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The ideal-valued index for a dihedral group action, and mass partition by two hyperplanes

El índice de valor ideal para una acción de grupo diedral, y partición de masa por dos hiperplanos Pavle V. M. Blagojevi Mathematički Institut Knez Michailova 35/1 11001 Beograd, Serbia pavleb@mi.sanu.ac.rs Günter M. Ziegler Inst. Matemáticas, MA 6-2 TU Berlin D-10623 Berlín, Alemania ziegler@math.tu-berlin.de 9 de diciembre de 2010 Resumen Calculamos el índice Fadell-Husseini completo del grupo diedral D8 = (Z2) 2 Z2 actuando en Sd × Sd para F2 y para coeficientes Z, es decir, los núcleos de los mapas en cohomología equivariante (pt,F2) H (pt,Z) H*D8(S Esto establece los límites inferiores cohomológicos completos, con F2 y con coeficientes Z, para el caso de dos hyperplane del problema de partición de masa de Grünbaum de 1960: Para el cual d y j pueden cualquier j medidas arbitrarias se cortan en cuatro partes iguales cada uno por dos hiperplanos convenientemente elegidos en Rd? In en ambos casos, encontramos que los límites ideales no son más fuertes que los límites previamente establecidos basados en uno de los subgrupos abelianos máximos de D8. Sumario Introducción 2 1.1 El problema de la partición en masa del hiperplano........................ 2 1.2 Declaración del resultado principal (k = 2)........................ 3 1.3 Sinopsis de la prueba................................. 5 1.4 Evaluación de los límites del índice. ............................ 5 1.4.1 Evaluación F2. ................................ 5 1.4.2 Evaluación en Z. ................................. 6 2 Espacio de configuración/esquema de mapas de prueba 8 2.1 Espacio de configuración. .................................. 8 2.2 Mapa de pruebas. ....................................... 9 2.3 El espacio de ensayo.................................. 10 * La investigación que ha dado lugar a estos resultados ha recibido financiación del Consejo Europeo de Investigación en el marco del Consejo Europeo de Investigación. Séptimo Programa Marco de la Unión (7o PM/2007-2013) / Acuerdo de subvención del CEI no. 247029-SDModels. También se apoya mediante la subvención ON 174008 del Ministerio de Ciencia y Medio Ambiente de Serbia. • La investigación que ha dado lugar a estos resultados ha recibido financiación del Consejo Europeo de Investigación en el marco de la Unión Europea. Séptimo Programa Marco de la Unión (7o PM/2007-2013) / Acuerdo de subvención del CEI no. 247029-SDModels. http://arxiv.org/abs/0704.1943v4 pavleb@mi.sanu.ac.rs ziegler@math.tu-berlin.de 3 La teoría del índice Fadell-Husseini 11 3.1 Cohomología equivariante ................................ 11 3.2 ÍndiceG,R e índice G,R................................ 11 3.3 El mapa de restricciones y el índice. ............................ 12 3.4 Cálculos básicos del índice. ............................... 14 3.4.1 El índice de un producto. ............................... 14 3.4.2 El índice de una esfera........................... 16 4 La cohomología de D8 y el diagrama de restricción 17 4.1 El postulante de subgrupos de D8............................ 17 4.2 El anillo de cohomología H*(D8,F2)....................... 17 4.3 Diagrama de cohomología de subgrupos con coeficientes en F2................. 19 4.3.1 El diagrama Z2 × Z2....................... 19 4.3.2 El D8-diagrama. ................................ 19 4.4 El anillo de cohomología H*(D8,Z)........................................................................................................................................................................................................................................................ 4.4.1 Opinión de las pares..................................... 21 4.4.2 La vista de secuencia espectral de Bockstein. ...................... 23 4.5 Diagrama D8 con coeficientes en Z....................... 25 4.5.1 El diagrama Z2 × Z2....................... 26 4.5.2 El D8-diagrama. ............................... 26 5 ÍndiceD8,F2S(R 4 ) 27 5.1 ÍndiceD8,F2S(V-V-V) = -w®. .............................. 27 5.2 ÍndiceD8,F2S(V) = «y». ................................ 28 5.3 ÍndiceD8,F2S(R 4 ) = jwjó. ............................... 28 6 ÍndiceD8,ZS(R 4 ) 28 6.1 El caso cuando j es par. ................................ 29 6.2 El caso cuando j es impar. ................................ 29 7 ÍndiceD8,F2S d×Sd 33 7.1 La d-ésima fila como un módulo H*(D8,F2). ........................... 33 7.2 Índice +2D8,F2S d × Sd = d+1, ηd+2.................................................................................................................... 35 7.3 ÍndiceD8,F2S d × Sd = d+1, γd+2, w d+1°.......................... 36 7.4 Una prueba alternativa, boceto. ............................... 37 8 ÍndiceD8,ZS d×Sd 39 8.1 La d-ésima fila como módulo H*(D8,Z). ........................... 39 8.1.1 El caso cuando d es impar. ............................. 39 8.1.2 El caso cuando d es par. ............................. 40 8.2 Índice +2D8,ZS d × Sd. ................................ 42 8.2.1 El caso cuando d es impar. ............................. 43 8.2.2 El caso cuando d es par. ............................. 43 1 Introducción 1.1 El problema de la partición de masa del hiperplano Una distribución de masa en Rd es una medida finita de Borel μ(X) = fdμ determinado por una densidad integrable función f : Rd → R. Cada hiperplano afín H = {x â € Rd â € x, vâ € = â € en Rd determina dos semiespacios abiertos H− = {x â € € € TM Rd â € € €, vâ € < €, y H+ = {x â € € Rd â € €, vâ € >. Ortante de una disposición de k hiperplanosH = {H1, H2,. .., Hk} en R d es una intersección de semiespacios O = Hα11 k, para algunos αj • Z2. Así que hay 2 k ortos determinados por H y son: Índice natural por elementos del grupo (Z2) Un arreglo de hiperplanos H equipaarts una colección de distribuciones de masa M en Rd si para cada uno ortont O y cada medida μ â € TM M que tenemos μ(O) = 1 μ(Rd). Un triple de enteros (d, j, k) es admisible si para cada colecciónM de distribuciones de masa j en Rd allí existe un arreglo de k hiperplanos H equiparlos. El problema general formulado por Grünbaum [16] en 1960 puede afirmarse de la siguiente manera. Problema 1.1. Determine la función : N2 → N dada por * (j, k) = min{d (d, j, k) es un triple admisible}. El caso de un hiperplano, (j, 1) = j, es el famoso teorema sándwich de jamón, que es equivalente al teorema de Borsuk-Ulam. La igualdad (2, 2) = 3, y, por consiguiente, (1, 3) = 3, fue probada por Hadwiger [17]. Ramos [30] dio un límite general más bajo para la función (j, k) ≥ 2 j. 1).......................................................................................................................................................... Recientemente, Mani-Levitska, Vrećica y Živaljević [26] aplicaron la teoría del índice Fadell-Husseini para un elemen- subgrupo tary abelian (Z2) k del grupo Weyl Wk = (Z2) k Sk para obtener un nuevo límite superior para el función • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •(2q + r, k) ≤ 2k+q−1 + r. (2) En el caso de j = 2l+1 − 1 medidas y k = 2 hiperplanos estos límites producen la igualdad (j, 2) = 3 1.2 Declaración del resultado principal (k = 2) Este artículo aborda el Problema 1.1 para k = 2 usando dos diferentes pero relacionadas Espacio de configuración/Prueba Planes cartográficos (Sección 2, Proposición 2.2). • El esquema de producto es el clásico, ya considerado en [32] y [26]. El problema es traducido al problema de la existencia de un mapa Wk-equivariante, Yd,k := (R2k) donde Wk = (Z2) k Sk es el grupo Weyl. • El esquema de unión es nuevo. Conecta el problema con las propiedades clásicas Borsuk-Ulam en el espíritu de Marzantowicz [27]. Se plantea la pregunta de si existe un mapa Wk-equivariante Xd,k := Uk × (R2k) Las representaciones Wk R2k y Uk se introducen en la sección 2.2. Los métodos de teoría de la obstrucción no se pueden aplicar a cualquiera de los esquemas directamente para k > 1, ya que las acciones Wk en los respectivos espacios de configuración no son libres (comparar [26, sección 2.3.3], suposiciones sobre el múltiple Mn). Por lo tanto, analizamos la pregunta equivariante asociada para k = 2 a través del método de teoría de índice ideal Fadell-Husseini. Demostramos que el esquema de unión considerado desde el El punto de vista de Fadell-Husseini, con coeficientes F2 o Z, no obstaculiza la existencia de el mapa equivariante en cuestión (Observaciones 5.3 y 6.3). En el caso del esquema de productos que damos el límites ideales obtenidos mediante el uso de todo el grupo de simetrías mediante la prueba del siguiente teorema. Teorema 1.2. Que ηd, d ≥ 0, sean polinomios en F2[y, w] dados por ηd(y, w) = d− 1− i wiyd−2i y Πd, d ≥ 0, ser polinomios en Z[Y,M,W]/+2Y, 2M, 4W,M 2 − WY® dada por Πd(Y,W) = d− 1− i W iYd−2i. (A) F2-encuadernado: El triple (d, j, 2) N 3 es admisible si yjwj / d+1, γd+2 F2[y, w]. (B) Z-bound: El triple (d, j, 2) N3 es admisible si (j − 1)mod2 Y jmod2 Y 2 M, jmod 2 Y • (d− 1)mod 2 Π d+2 , (d− 1)mod2 Π d+4 (d - 1)mod 2 MΠ d dmod 2 Π d+1 , dmod 2 Π d+3 en el anillo Z[Y,M,W]/+2Y, 2M, 4W,M2 −WY®. Observación 1.3. Que d, d ≥ 0, sea la secuencia de polinomios en Z[Y,W ] definida por 0 = 0, 1 = Y y d+1 = Y d +W d−1 para d ≥ 2. A continuación, las secuencias de polinomios Πd y πd son reducciones de los polinomios d. Los polinomios d también se puede describir por la función generadora (potencia formal serie) d = 1 − Y − W donde d es homogéneo de grado 2d si fijamos deg(Y) = 2 y deg (W) = 4. Teorema 1.2 es una consecuencia de un resultado topológico, el cálculo completo y explícito de la índices Fadell-Husseini pertinentes del espacio D8 S d × Sd y la S(R D8-esfera Teorema 1.4. A) Índice D8,F2 4 ) = ÍndiceD8,F2S(R 4 ) = jwjó. B) Índice+2D8,F2(S d × Sd) = d+1, (C) Índice 4 ) = 2 â € TM, para j par, 2 M,Y 2 â ¢, para j impar. (D) Índiced+2D8,ZS d × Sd = d+2 ,Π d+4 ,MΠ d ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ para d par, d+1 ,Π d+3 ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ por ♪ impar ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ La secuencia de índices Fadell-Husseini se introducirá en la Sección 3. Las acciones de la diedra grupo D8 y la definición del espacio de representación R 4 figuran en la sección 2. A pesar de que lo hace no parece tener ninguna relevancia para nuestro estudio del Problema 1.1, el índice completo ÍndiceD8,F2(S d×Sd) se calcularán también en el caso de los coeficientes F2, ÍndiceD8,F2(S d × Sd) = d+1, γd+2, w d + 1 + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 3) Observación final 1.5. Las versiones preimpresas de este artículo, publicadas en el arXiv en abril de 2007 y julio 2008, arXiv0704.1943v1–v2, han sido referenciados en diversas aplicaciones: ver Gonzalez y Landweber [15], Adem y Reichstein [2], así como [6]. 1.3 Sinopsis de la prueba El Problema 1.1 sobre particiones de masa por hiperplanos puede ser conectado con el problema de la existencia de mapas equivariantes, como se explica en la Sección 2, Proposición 2.2. Los problemas topológicos que enfrentamos, sobre la existencia de Wk = (Z2) k Sk-equivariantes mapas, para los esquemas de producto / unión, Uk ×R tienen que ser tratados con cuidado porque las acciones de los grupos de Weyl Wk no son libres. Tenga en cuenta que hay ningún teorema ingenuo Borsuk-Ulam para acciones libres de puntos fijos. En efecto, en el caso k = 2 cuando W2 = D8 existe un mapa equivariante W2 [5, Teorema 3.22, página 49] (V V) (U2 V) a pesar de que tenue (V V) > dim (U2+V) . El W2 = D8-representaciones V V, V y U2 se introducen en la sección 2.2. En este artículo nos centramos en el caso de k = 2 hiperplanos. Teorema 1.2 da la mejor respuesta posible a la pregunta sobre la existencia de mapas W2 = D8-equivariantes Sd × Sd S(R desde el punto de vista de la teoría del índice Fadell-Husseini (sección 3). Nosotros computamos explícitamente el relevante Índices Fadell-Husseini con coeficientes F2 y Z (Teorema 1.4, secciones 5, 6, 7 y 8). Entonces teorema 1.2 es una consecuencia de la propiedad del índice básico, Proposición 3.2. El índice de la esfera S(R 4 ), con coeficientes F2, se calcula en la sección 5 por • descomposición de la representación D8 R 4 en una suma de los irreductibles, y • cálculo de índices de esferas de todas las representacións irreducibles D8. La principal herramienta técnica es el diagrama de restricción derivado de la sección 4.3.2, que conecta los índices de los subgrupos de D8. El índice con coeficientes Z se calcula en la sección 6 utilizando • (para j par) los resultados de los coeficientes F2 y la comparación de las secuencias espectrales de Serre, y • (para j impar) la secuencia espectral de Bockstein combinada con los resultados conocidos para los coeficientes F2 y comparación de secuencias espectrales de Serre. El índice del producto Sd × Sd se calcula en las secciones 7 y 8 mediante un estudio explícito del Serre secuencia espectral asociada con la fibración Sd × Sd → ED8 × D8 (S d × Sd)→ BD8. La dificultad mayor proviene de la no trivialidad de los coeficientes locales en la secuencia espectral de Serre. Los El cálculo de la secuencia espectral con coeficientes locales no triviales se realiza mediante un estudio independiente de H*(D8,F2)-módulo y H * Estructuras del módulo D8, Z de las filas pertinentes en la secuencia espectral de Serre (Secciones 7.1 y 8.1). 1.4 Evaluación de los límites del índice 1.4.1 Evaluación F2 Se nos señaló que, con los coeficientes F2, el índice D8 da lo mismo límites como el H1 = (Z2) índice consolidado. Esta observación se deriva de la implicación ajbj(a+ b)j â € € â € € € € € TM ajbj(a+ b)j â € € € € € € € TM ajbj(a+ b)j € € ajbj(a+ b)j € € € ajbj(a+ b)j € € > ajbj(a+ b)j € > ajbj(a+ b)j € € € € € > ajbj+ 1 € € € € € € € € € € · ajbj+ b)j+ b)j € € € € € € € € € € € €. ajbj+ b)j+ b)j+ € € € €. Al introducir una nueva variable c := a+ b, es suficiente para probar la implicación ajcj(a+ c)j â € € € € TM ajcj(a+ c)j â € € € TM ajcj(a+ c)j â € € € TM ajcj(a+ c)j â € € € € TM ajcj(a+ c)j â € € € € € € € € € € € € € € · ajcj(a+ c)j+ c)j â € € € € € € € € € · ajc+ c)j â € € · ad+ 1, cd+ 1, cd+ 1 € € € € ajcjjjjj(a+ c)j(a+ c)j € € €. 4) Asumamos que ajcj(a + c)j â € â € € TM ad+1, cd+1â € € TM a. Los monomios en la expansión de ajcj(a + c)j siempre vienen en parejas ad+kc3j−d−k + cd+ka3j−d−k. Esto también es cierto cuando j es incluso desde =mod2 0 implica que no hay términos intermedios. La secuencia de ecuaciones ad+1c3j−d−1 + cd+1a3j−d−1 = (ad+1 + cd+1)(c3j−d−1 + a3j−d−1) + a3j + c3j ad+2c3j−d−2 + cd+2a3j−d−2 = (ad+1 + cd+1)(ac3j−d−2 + a3j−d−2c) + a3j−1c+ ac3j−1 . ... a3j + c3j = (ad+2 + cd+2)(a3j−d−2 + c3j−d−2) + ad+2c3j−d−2 + cd+2a3j−d−2 muestra que todos los binomios ad+1c3j−d−1 + cd+1a3j−d−1, ad+2c3j−d−2 + cd+2a3j−d−2,. ................................................ pertenecen al ideal â € € TM ad+1 + cd+1, ad+2 + cd+2â € o ninguno de ellos lo hacen. Desde 3j − d− 1 par 3j−d−1 3j−d−1 2 + c 3j−d−1 3j−d−1 2 = (ad+1 + cd+1)a 3j−d−1 3j−d−1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # y para 3j − d− 1 impar ad+2+ 3j−d−2 3j−d−2 2 + cd+2+ 3j−d−2 3j−d−2 2 = (ad+2 + cd+2)a 3j−d−2 3j−d−2 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # la implicación (4) queda demostrada. 1.4.2 Evaluación en Z Más es cierto, incluso el índice D8 completo encuadernado, ahora con los coeficientes Z, implica los mismos límites que hace el subgrupo H1 = (Z2) para el problema de partición de masa de k = 2 hiperplanos. Lemma 1.6. Dejar a = i y b = Yo soy las expansiones dyádicas. Entonces mod 2 Este hecho clásico [25] acerca de los coeficientes binomial mod 2 produce la siguiente propiedad para la secuencia de polinomios Πd, d ≥ 0. Lemma 1.7. Dejar q > 0 e i ser enteros. Entonces 2q−1−i 0, i 6= 0 1, i = 0 (B) Π2q = Y Prueba. La declaración (B) es una consecuencia directa del hecho (A) y de la definición de polinomios Πd. En el caso de i/ {1,....., 2q−1} la declaración (A) es cierta a partir de las condiciones límite en los coeficientes binomial. Vamos. i {1,............................................................................................................................................................................................................................................................. # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 2k. Entonces 2q − 1− i = 20 + 21 + 22 + · · 2q−1 − # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. KâIc0,...,q−1} donde Ic es el índice complementario establecido en {0,...., q−1}. La declaración (A) se deriva de Lemma 1.6 Que j sea un entero tal que j = 2q + r donde 0 ≤ r < 2q y d = 2q+1 + r − 1. Vamos a presentar la siguiendo ideales 2 â € ¢, para j par, 2 M,Y 2 â € TM a, para j impar, Y Bd = d+2 ,Π d+4 ,MΠ d â € TM a, para d par, d+1 ,Π d+3 # Por extraño # El hecho de que el índice D8 unido a los coeficientes Z no mejore los límites de particiones de masa obtenidos utilizando el subgrupo H1 = (Z2) es consecuencia de los siguientes hechos: • r = 0 Aj Bd, • (r 6= 2q − 1 y Aj Bd) = Aj+1 Bd+1, que se demuestran en Lemma 1.8 y 1.9, respectivamente. Lemma 1.8. •Y2 • = A2q B2q+1−1 = 2q,Π2q+1®. Prueba. Desde Y2 = Π2q−1 por Lemma 1.7, W = Π2q−1W = Π2q−1+2 + YΠ2q−1+1 + 2q−1+1,Π2q−1+2». Por inducción en la potencia i de W en Y2 W i 2q−1+i,Π2q−1+i+1®, y, en consecuencia, 2q,Π2q+1. Lemma 1.9. Si r 6= 2q − 1 y Aj Bd entonces Aj+1 Bd+1. Prueba. Distinguimos dos casos dependiendo de la paridad de j. (A) Que j sea par y Y 2 d+1 ,Π d+3 - Sí. Hay polinomios α y β tales que 2 = d+1 + d+3 (j+1)+1 (j+1)−1 2 M = Y 2M = YM d+1 + d+3 (d+1)+2 ,MΠ d+1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ,Π d+5 ,MΠ d+1 • = Bd+1, (j+1)+1 (j+1)+1 2 = YW d+1 + d+3 = αM2Π d+1 + βYWΠ d+3 • MΠ d+1 ,Π d+3 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ,Π d+5 ,MΠ d+1 • = Bd+1. Así Aj+1 Bd+1. (B) Que j sea impar y 2 M,Y 2 = Aj Bd = d+2 ,Π d+4 ,MΠ d Hay polinomios α, β y γ tales que 2 = d+2 + d+4 + γMΠ d y ninguna ocurrencia de la relación definitoria Π d+4 = YΠ d+2 +WΠ d , Observación 1.3, se puede restar de la presentación. A continuación, γMΠ d # # # D+2 # ,Π d+4 , y sinceM es de grado impar γ = M. En el primer caso la inclusión Aj+1 Bd+1 sigue directamente. Considerar γ = Mγ ′. Desde (Y+X )WΠi = YWΠi por cada i > 0, tenemos que 2 = d+2 + d+4 + M2Π d = d+2 + d+4 + YWΠ d = d+2 + d+4 + Y(YΠ d +1 d +2) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ,Π d+4 • = Bd+1. Así Aj+1 Bd+1. Agradecimientos Estamos agradecidos a Jon Carlson y a Carsten Schultz por comentarios útiles y observaciones perspicaces. El árbitro proporcionó muchas sugerencias y comentarios útiles que se incorporan en la última versión del manuscrito. Parte de este trabajo se realizó en el marco del programa MSRI “Aplicaciones Computacionales de Topología algebraica” en el semestre de otoño de 2006. 2 Espacio de configuración/esquema de mapas de prueba El paradigma del espacio de configuración/mapa de pruebas (CS/TM) (formalizado por Živaljević en [31], y también beau- sutilmente expuesto por Matoušek en [28]) ha sido muy poderoso en la derivación sistemática de la topología límites inferiores para problemas de Combinatoria y Geometría Discreta. En muchos casos, el problema sugiere espacios de configuración naturalX, Y, un grupo de simetría finitoG, y un conjunto de pruebas Y0 • Y, donde uno intentaría mostrar que cada mapa G-equivariante f : X → Y debe Dale a Y0. La herramienta canónica es entonces el teorema de Dold, que dice que si las acciones del grupo son libres, entonces el map f debe golpear el conjunto de prueba Y0 • Y si la conectividad de X es más alta que la dimensión de Y \ Y0. Para el éxito de este “enfoque canónico” uno necesita crucialmente que un resultado como el teorema de Dold es aplicable. Por lo tanto, la acción de grupo debe ser libre, por lo que a menudo se reduce la acción de grupo a un prime orden subgrupo cíclico del grupo completo de simetría, y los resultados pueden seguir sólo en “el caso principal”, o con más esfuerzo y herramientas más profundas en el caso de la potencia principal. El principal ejemplo de esto es el topológico Tverberg Problem, que todavía no se resuelve para (d, q) si d > 1 y q no es una potencia principal [28, Sección 6.4, página 165]. Así que en general uno tiene que trabajar mucho más duro cuando el enfoque “canónico” falla. A continuación, presentamos espacios de configuración y mapas de prueba para el problema de partición de masa. 2.1 Espacio de configuración El espacio de todos los hiperplanos afín orientados en Rd se puede identificar naturalmente con el subespacio de la esfera Sd obtenido mediante la eliminación de dos puntos, a saber, los "hiperplanos orientados en el infinito". De hecho, vamos a Rd estar incrustado en Rd+1 por (x1,. .., xd) 7 (x1,. ., xd, 1). Entonces cada hiperplano afín orientado H en Rd determina un hiperplano orientado único H a través del origen en Rd+1 de tal manera que H inversamente si el hiperplano en el infinito está incluido. El hiperplano orientado exclusivamente determinado por el vector unitario v • Sd es denotado por Hv y la orientación supuesta es determinada por el medio-espacio H Entonces Hv = H v. El candidato obvio y de uso clásico para el espacio de configuración asociado con el problema de la prueba de la admisibilidad de (d, j, k) es Yd,k = El grupo relevante que actúa en este espacio es el grupo Weyl Wk = (Z2) k Sk. Cada Z2 = (1,−1}, ·) actúa antipodalmente sobre la copia apropiada de Sd (cambiando la orientación de los hiperplanos), mientras que Sk actúa permutando copias. El segundo espacio de configuración que podemos utilizar es Xd,k = S d ∗ · · · * Sd # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # k copias = Sdk+k−1. Los elementos de Xd,k se designan por t1v1 + · · tkvk, con ti ≥ 0, t1 = 1, vi + S d. El grupo Weyl Wk actúa en Xd,k por (t1v1 + · tivi + · · tkvk) = t1v1 + · · ti(−vi) + · tkvk, η · (t1v1 + · · tivi + · · tkvk) = t1(1)v1(1) + · · t1(i)v1(i) + · · t1(k)v1(k), donde Łi es el generador de la i-ésima copia de Z2 y  Sk es una permutación arbitraria. 2.2 Mapa de pruebas LetM = 1,. ..., μj} ser una colección de distribuciones de masa en R d. Dejar que las coordenadas de R2 ser indexado por los elementos del grupo (Z2) k. El grupo Weyl Wk actúa sobre R 2k actuando sobre su índice de coordenadas conjunto (Z2) k de la siguiente manera: ((β1,. ........................................................................ .., αk) = β11(1). ............................................................................................................................................................................................................................................................... El mapa de la prueba : Yd,k → (R 2k)j utilizado con el espacio de configuración Yd,k es un mapa Wk-equivariante dado por (v1,. .., vk) = # # # # # Hαkvk # # # # # Hαkvk # # # # # Hαkvk # # # # # Hαkvk # # # # # Hαkvk # # # # Hαkvk # # # # Hαkvk # # # # Hαkk # # # # Hαkk # # # Hαk # # # # Hαkk # # # # Hαkkk # # # # # Hαkkk # # # # # # # # Hαkk # # # # # Hα # # Hαkk # # # # # # Hα # # # Hαkkkkkk # # # # # # # # # # # # # # # # # (α1,...,αk)(Z2)k i1,...,j} Denote el componente i-ésimo de la letra i) por la letra i), i = 1,..., j. Para definir un mapa de prueba asociado con el espacio de configuración Xd,k, discutimos el (Z2) K- y Wk- estructuras de módulo en R2 Todas las representaciones irreductibles del grupo (Z2) k son 1-dimensionales. Están en bijección con el homomorfismos (características) χ : (Z2) k → Z2. Estos homomorfismos están completamente determinados por el los valores de los grupos electrógenos...................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... k, es decir. por el vector (χ(1),. ................................................ Para (α1,. ........................................................................................................... k let Vα1...αk = span{vα1...αk} 2k denotan la representación 1-dimensional dada por vα1...αk = αi vα1...αk El vector vα1...αk 2k se determina de forma única hasta una multiplicación escalar por −1. Tenga en cuenta que •vα1...αk, vβ1...βk® = 0 para α1. αk 6= β1. βk. Para k = 2, con la abreviatura + para +1, − para −1, el conjunto del índice de coordenadas para R4 es,,,. Entonces v++ = (1, 1, 1), v = (1,−1, 1,−1), v = (1, 1,-1,-1), v = (1,-1,-1, 1). La siguiente descomposición de (Z2) k-módulos mantiene, con la identificación del índice (Z2) k =,k, k # # # V # # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # # V # # # # V # # # # # V # # # # V # # # # V # # # # # # V # # # # # # V # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # V # # # # # # V # # V # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # α1...αk®(Z2)k Vα1...αk donde V es el trivial (Z2) K-representación. Que R2k denote el complemento ortogonal de V y η : R2 → R2k la proyección asociada (equivariante). Explícitamente R2k = {(x1,. .................................................................................................................... xi = 0} = α1...αk®(Z2)k)} Vα1...αk, (5) x = (x1,. .., x2k) 7 1 1 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; x, vα1...αk) α1...αk®(Z2)k donde, denota el producto interior estándar de R2 . Observar que im  = (Yd,k) (R2k) Dejar α1. .. αk • (Z2) k y dejar η(α1. .. αk) = αi). La siguiente descomposición de los módulos Wk # Sostiene # k # # # V # # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # # V # # # # V # # # # # V # # # # V # # # # V # # # # # # V # # # # # # V # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # V # # # # # # V # # V # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # n=η(α1,...,αk) Vα1...αk = V R2k. 6) El mapa de prueba : Xd,k → Uk × (R2k) es definido por (t1v1 + · · tkvk) = ,. ............................................................... 1 · · · t k i (v1,. .., vk), vα1...αk α1...αk®(Z2)k Aquí Uk = {(1,. .............................................................. i = 0} es un módulo Wk con una acción dada por ((β1,. ........................................................................ ................................................................................... 1(1). ....................................................................................... El subgrupo (Z2) k actúa trivialmente en Uk. La acción sobre Uk× (R2k) se supone que es la acción diagonal. El mapa de la prueba es bien definido, continuo y Wk-equivariante. Ejemplo 2.1. El mapa de prueba : Xd,k → Uk × (R2k) es en el caso de k = 2 hiperplanos y j = 1 medida dada por  : Xd,2 → U2 × R4 = U2 × ((V V) V) y (t1v1 + t2v2) = , t2 − T1 (v1, v2), v, t2 (v1, v2), v, t1t2 (v1, v2), v) donde (v1, v2) = Hα2v2)− μ(Rd) α1α2°(Z2)2 • R4. 2.3 El espacio de ensayo Los espacios de prueba para los mapas ♥ y  son los orígenes de (R2k) y Uk × (R2k) , respectivamente. Los las construcciones que realizamos en esta sección satisfacen las hipótesis habituales para el esquema CS/TM. Proposición 2.2. (i) Para una colección de distribuciones de masa M = 1,. ...., μj} let فارسى : Yd,k → (R2k) y  : Xd,k → Uk × (R2k) ser los mapas de ensayo correspondientes. Si (0,.............................................................................................................................................................................................................................................................. entonces existe un arreglo de k hiperplanos H en Rd equipar la colección M. ii) Si no hay un mapa Wk-equivariante con respecto a las acciones definidas anteriormente, Yd,k → (R2k) *(0,............................................................................................................................................................................................................................................................. (R2k) Sj(2 k−1)−1, o Xd,k → Uk × (R2k) *(0,............................................................................................................................................................................................................................................................. Uk × (R2k) Sj(2 k−1)+k−2, entonces el triple (d, j, k) es admisible. (iii) Específicamente, para k = 2, si no hay un mapa equivariante D8 = W2, con las acciones ya definidas, Yd,2 → (R4) •(0,...., 0)}, o Yd,2 → S • S3j−1, o Xd,2 → U2 × (R4) *(0,....., 0)}, o S2d+1 * Xd,2 → S U2 × (R4) S3j, entonces el triple (d, j, 2) es admisible. Observación 2.3. La acción de Wk en la esfera S(U2 × (R4) j) es punto fijo libre, pero no libre. Para k = 2, la acción del subgrupo único Z4 de W2 = D8 en la esfera S(U2 × (R4) j) es un punto fijo libre. La condición necesaria para la inexistencia de un mapa de Wk equivariante Xd,k → S(Uk × (R2k) implicado por el teorema equivariante Kuratowski–Dugundji [4, Teorema 1.3, página 25] es dk + k − 1 > j(2k − 1) + k − 2 d ≥ 2 j. 7).................................................................................................................................................. Para k = 2 la condición (7) se convierte en d ≥ 3 - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! (8) 3 La teoría del índice Fadell-Husseini 3.1 Cohomología equivariante Que X sea un G -space y X → EG×GX → BG el haz universal asociado, con X como fibra típica. EG es un espacio celular contractible en el que G actúa libremente, y BG := EG/G. El espacio EG ×G X = (EG×X) /G se llama la construcción Borel de X con respecto a la acción de G. El equivariante cohomología de X es la cohomología ordinaria de la construcción Borel EG×G X, H*G(X) := H * (EG×G X). La cohomología equivariante es un módulo sobre el anillo H*G(pt) = H ∗ (BG). Cuando X es un espacio G libre el equivalencia homotópica EG×G X X/G induce un isomorfismo natural H*G(X) ∗ (X/G). El paquete universal X → EG ×G X → BG, para los coeficientes en el anillo R, induce un Serre espectral secuencia que converge con el grupo graduado Gr(H*G(X,R)) asociado con H G(X,R) adecuadamente filtrado. En este artículo “anillo” significa anillo conmutativo con un elemento unitario. El término E2 es dado por p(BG,Hq(X,R)), (9) donde Hq(X,R) es un sistema de coeficientes locales. Para un grupo discreto G, el término E2 de la espectral secuencia se puede interpretar como la cohomología del grupo G con coeficientes en el G-móduloH*(X,R), = Hp(G,Hq(X,R)). (10) 3.2 ÍndiceG,R e índice Que X sea un G-espacio, R un anillo y X el anillo homomorfismo en la cohomología X : H *(BG,R)→ H*(EG×G X,R) inducido por la proyección EG×G X → EG×G pt فارسى BG. El índice Fadell-Husseini (valorado ideal) de un G-espacio X es el ideal del núcleo de X, ÍndiceG,RX := ker X H ∗ (BG,R). La secuencia espectral de Serre (9) da una representación del homomorfismo X como la composición H*(BG,R)→ E 2 → E 3 → E 4 → · · · → E * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (EG×G X,R). El índice k-th Fadell-Husseini está definido por ÍndicekG,RX = ker H*(BG,R)→ E , k ≥ 2, Índice1G,RX = {0}. De las definiciones pueden derivarse las siguientes propiedades de los índices. Proposición 3.1. Que X, Y sean G-espacios. (1) IndexkG,RX H *(BG,R) es un ideal, para cada k. (2) Índice1G,RX Índice Índice G,RX G,RX · · · IndexG,RX; Índice de k+N G,RX = IndexG,RX. Proposición 3.2. Que X e Y sean G-espacios y f : X → Y a G-map. Entonces ÍndiceG,R(X) ÍndiceG,R(Y) y por cada k de N ÍndicekG,R(X) Índice G,R(Y). Prueba. La funcionalidad de todas las construcciones implica que los siguientes diagramas se desplazan: f Y EG×G X EG×G Y y, en consecuencia, aplicando el functor de cohomología H*(EG×G X,R) H*(EG×G Y,R) H* (BG,R) ηX = ηY °fó ° y η X = f * * * Y. Por lo tanto, kerl X kerl Ejemplo 3.3. Sn es un Z2-espacio con la acción antipodal. La acción es libre y, por lo tanto, EZ2 ×Z2 S n Sn/Z2  RP n.o H.o.p. (Sn, R) = H ∗ (RPn, R). 1. R = F2: El anillo de cohomología H *(BZ2,F2) = H ∗(RPŁ,F2) es el anillo polinomio F2[t] donde deg(t) = 1. El índice Z2-de S n es el principal ideal generado por tn+1: ÍndiceZ2,F2S n = Indexn+2 Z2,F2 Sn = tn+1 F2[t]. 2. R = Z: El anillo de cohomología H*(BZ2,Z) = H ∗(RP­,Z) es el anillo polinomio cociente Z[­]/^2 donde deg() = 2. El índice Z2-de S n es el ideal principal ÍndiceZ2,ZS n = Indexn+2 2 â € ¢, para n impar, 2 â € ¢, para n par. Ejemplo 3.4. Dejar G ser un grupo finito y H un subgrupo de índice 2. Luego H G y G/H Z2. Vamos. V ser la representación real de 1-dimensional de G definida para v • V por g · v = v, en el caso de g â € H, −v, para g/o H. Hay un G-homeomorfismo S(V ) Z2. Por lo tanto por [21, última ecuación en la página 34]: EG×G S(V ) • EG×G (G/H) • (EG×G G) /H • EG/H • BH ÍndiceG,RS(V) = ker resGH : H *(G,R)→H*(H,R) . (11) 3.3 El mapa de restricciones y el índice Que X sea un G-espacio y K G un subgrupo. Luego hay un diagrama conmutativo de las fibras [12, páginas 179 a 180]: EG×G X EG×K X BG = GE/G Bi EG/K = BK inducido por la inclusión i : K G. Aquí EG en la esquina inferior derecha se entiende como un K-espacio y En consecuencia, un modelo para EK. El mapa Bi es un mapa entre los espacios de clasificación inducidos por la inclusión i. Ahora con los coeficientes en el anillo R definimos resGK := H *(f) : H*(EG×G X,R)→ H * (EG×K X,R). Si G es un grupo finito, entonces el mapa inducido en la cohomología de los espacios de clasificación resGK = (Bi) * : H*(BG,R)→ H*(BK,R) coincide con la restricción homomorfismo entre las cohomologías de grupo resGK : H *(G,R)→H*(K,R). Proposición 3.5. Que X sea un G-espacio, y K y L subgrupos de G. (A) El morfismo de las fibras (12) proporciona el siguiente diagrama conmutativo en la cohomología: H*(EG×G X,R) resGK H*(EG×K X,R) H* (BG,R) resGK H*(BK,R) B) Por cada x x H* (BG,R) y y H* (EG×G X,R), resGK(x · y) = res K(x) · res K(y). (C) L - K - G - resGL = res L â € € ¢ res (D) El mapa de las fibras (12) induce un morfismo de las secuencias espectrales de Serre i : E i (EG×G X,R)→ E i (EK ×K X,R) de tal manera que (1), = res K: H (EG×G X,R)→ H (EG×K X,R), 2).......................................................................................................................................................................... 2 = res K: H *(BG,R)→ H*(BK,R). (E) Dejar que R y S sean anillos conmutativos y : R→ S un anillo homomorfismo. Hay morfismos: (1) en cohomología equivariante : H*(EG×G X,R)→ H ∗(EG×G X,S), (2) en la cohomología del grupo : H*(G,R)→ H*(G,S), y (3) entre secuencias espectrales de Serre Φ i : E i (EG×G X,R)→ E i (EG×G X,S), inducidos por  de tal manera que el siguiente diagrama se conmuta: H*(EG×G X,R) H ∗(EG×K X,R) H*(EG×G X,S) H*(EG×K X,S) H* (BG,R) H*(BK,R) H* (BG,S) H*(BK,S) Observación 3.6. Por morfismo de secuencias espectrales en propiedades (D) y (E) queremos decir que i) I) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i y Φ i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) ) ) ) ) ) ) ) ) Estas relaciones se aplican en las situaciones donde el lado derecho es 6= 0 para un elemento en particular x, para dar a entender que el lado izquierdo i) i) i) o Φ) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) Φ i) El valor de x) es también de 6 = 0. En particular, entonces Łi(x) 6= 0. Figura 1: Ilustración de la Proposición 3.5 (D) y (E) Proposición 3.7. Let X ser un G-space y K un subgrupo de G. Let R y S ser anillos y : R → S a homomorfismo anillo. Entonces (1) resGK (IndexG,RX) IndexK,RX, (2) resGK IndizadorG,RX IndexrK,RX por cada r (3) (IndexG,RX) IndexG,SX, (4) Índice (IndexrG,RX) G, SX. Prueba. Las afirmaciones sobre el IndexG,R siguen de los diagramas (13) y (14). Los diagramas conmutativos E*,0r (EG×G X,R) ,0r E*,0r (EK ×K X,R) H* (BG,R) resGK H*(BK,R) E*,0r (EG×G X,R) ,0r E*,0r (EG×G X,S) H* (BG,R) H*(BG,S) implican las afirmaciones parciales del índice. 3.4 Cálculos básicos del índice 3.4.1 El índice de un producto Deja que X sea un G-space y Y un H-space. Entonces X × Y tiene la estructura natural de un G×H-espacio. ¿Qué? es la relación entre los tres índices IndexG×H(X × Y), IndexG(X), e IndexH(Y)? Usando el Künneth fórmula uno puede probar la siguiente proposición [14, corolario 3.2], [32, Proposición 2.7] cuando el anillo de coeficiente es un campo. Proposición 3.8. Que X sea un G-espacio y Y un H-espacio y H*(BG, k) ≤ k[x1,. .., xn], H *(BH, k)= k[y1,. .., ym] los anillos de cohomología de los espacios de clasificación asociados con coeficientes en el campo k. Si ÍndiceG,kX = f1,. ............................................................................... .............................................................. ÍndiceG×H,kX = f1,. .., fi, g1,. .............................................................. .., xn, y1,. ................................................................................................................................................ El (Z2) k-índice de un producto de esferas se puede calcular usando esta proposición y Ejemplo 3.3. Corollary 3.9. Que Sn1 × · · · × Snk sea un (Z2) k-space con la acción del producto. Entonces Índice(Z2)k,F2S n1 × · · · × Snk = ­tn1+11,. .., t k F2[t1,. .., tk]. Desafortunadamente, cuando el anillo de coeficiente no es un campo, la afirmación de la Proposición 3.8 no se sostiene. Ejemplo 3.10. Que Sn × Sn sea un (Z2) 2-espacio con la acción del producto. Del corolario anterior Índice(Z2)2,F2S n × Sn = ­tn+11, t 2 F2[t1, t2] = H *(Z2) 2,F2). (15) Para determinar el índice Z procedemos en dos pasos. Anillo de cohomología H*((Z2) 2,Z): Después de [24, sección 4.1, página 508] la secuencia exacta corta de coeficientes → F2 → 0 (16) induce una larga secuencia exacta en la cohomología del grupo [8, Proposición 6.1, página 71] que en este caso reduce a una secuencia de secuencias exactas cortas para k > 0, 0→ Hk((Z2) → Hk((Z2) 2,F2)→ H k+1(Z2) 2,Z)→ 0. (17) Por lo tanto, como en [24, Proposición 4.1, página 508], H*(Z2) 2,Z) = (Z[­1, ­2] Z[μ]) /I (18) donde se genera el grado 1 = grado 2 = 2, grados μ = 3 y el ideal I por las relaciones 1 °C = 2 °C2 = 2 μ = 0 y μ 2 = ­1­2(­1+­2). El morfismo del anillo c : Z → F2 en la secuencia exacta del coeficiente (16) induce un morfismo en el grupo cohomología c* : H *(Z2) 2,Z)→ H*((Z2) 2,F2) dada por: 1 7 t 1, 2 7 t 2, μ 7 t1t2(t1 + t2). (19) Los argumentos utilizados en el cálculo de la cohomología con coeficientes enteros provienen de la Secuencia espectral de Bockstein [7], [10, páginas 104 a 110] asociada con la pareja exacta H*(Z2) 2,Z) H*(Z2) H*(Z2) 2,F2) donde deg(p) = deg(q) = 0 y deg(l) = 1. El primer diferencial d1 = q coincide con el primero Steenrod cuadrado Sq1 : H*((Z2) 2,F2)→ H 1(Z2) 2,F2) y por lo tanto es dada por 1 7→ 0, t1 7→ t 1, t2 7→ t En consecuencia, t1t2 7→ t 1t2 + t1t 2. La secuencia espectral se estabiliza en el segundo paso desde el derivado pareja es donde F2 está en la dimensión 0. # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # Índice(Z2)2,ZS n × Sn: El (Z2) 2-acción en Sn × Sn, como producto de acciones antipodales, es libre y por lo tanto E(Z2) 2 ×(Z2)2 (S n × Sn) (Sn × Sn) /(Z2) 2 فارسى RPn × RPn. Usando la igualdad (15), Proposición 3.5.E.3 sobre el coeficiente morfismo c : Z→ F2, el isomorfismo H*(Z2)2(S) n × Sn,Z) ≤ H*(RPn × RPn,Z) y la existencia de la (Z2) 2-inclusiones Sn−1 × Sn−1 • Sn × Sn • Sn+1 × Sn+1, puede concluirse que: Índice(Z2)2,ZS n × Sn = 1, ♥ 2 â € ¢, para n impar 1, ♥ 2, ♥ 1 μ,  2, para n par H*(Z2) 2,Z). (20) 3.4.2 El índice de una esfera Necesitamos saber cómo calcular el índice de una esfera admitiendo una acción de un grupo finito diferente de la acción Z2 antipodal. Las tres proposiciones siguientes serán de alguna ayuda [14, Proposición 3.13), [32, Proposición 2.9]. Proposición 3.11. Que G sea un grupo finito y V una representación compleja n-dimensional de G. Entonces ÍndiceG,ZS(V) = * (G,Z) donde cn(VG) es la clase n-ésima Chern del paquete V → EG×G V → BG. Prueba. Si el grupo G actúa sobre H*(S(V),Z) trivialmente, entonces de la secuencia espectral Serre de la esfera paquete S(V )→ EG×G S(V )→ BG De ello se deduce que ÍndiceG,ZS(V ) = E(VG)+ H ∗ (G,Z), donde e(V ) es la clase Euler del paquete V → EG×G V → BG. Ahora V es una representación G compleja, Por lo tanto, el grupo G actúa trivialmente en H*(S(V),Z). De [22, Ejercicio 3, página 261] se desprende que e(VG) = cn(VG) y la declaración está probada. Proposición 3.12. Que U, V sean dos G-representaciones y que S(U), S(V) sean las esferas G asociadas. Dejar que R sea un anillo y asumir que H*(S(U), R), H*(S(V), R) son módulos G triviales. Si ÍndiceG,R(S(U)) = ÍndiceG,R(S(V)) = H*(BG,R) e ÍndiceG,R(S(V)) = H ∗ (BG,R), entonces ÍndiceG,RS(U-V ) = f · g H ∗ (BG,R). Proposición 3.13. (A) Dejar V ser el 1-dimensional (Z2) k-representación con el vector asociado ±1 (α1,. ........................................................................................................... k (según se define en la sección 2). Entonces Índice(Z2)k,F2S(V) = 1t1 + · · ktkó F2[t1,. .., tk], donde i = 0 si αi = 1, y i = 1 si αi = −1. (B) Dejar U ser un n-dimensional (Z2) k-representación con una descomposición U = V1 · · · · · Vn en 1- dimensional (Z2) k-representaciones V1,. ............................................................................... Si (α1i,. ...................................................................................... k es el vector asociado ±1 de Vi, entonces Índice(Z2)k,F2S(U) = (1it1 + · · kitk) F2[t1,. .., tk]. Ejemplo 3.14. Dejar V, V y V ser 1-dimensional real (Z2) 2-representaciones introducidas en la Sección 2.2. Entonces por la Proposición 3.13 Índice(Z2)2,F2S(V) = «t1», Índice(Z2)2,F2S(V) = «t2», Índice(Z2)2,F2S(V) = «t1» + «t2». Por otra parte, el ejemplo 3.4 y el diagrama de restricción (42) implican que Índice(Z2)2,ZS(V) = 1,, Índice(Z2)2,ZS(V) = 2,, Índice(Z2)2,ZS(V) = 1 + Ł2,. 4 La cohomología de D8 y el diagrama de restricción El grupo diedro W2 = D8 = (Z2) 2 Z2 = (1 × 2) puede ser presentado por D8 = 1, 1 = 2 = (de 1o de enero de 2006) = 1°. A continuación, 1 Z4 y 2 = 1. 4.1 Pospuesto de subgrupos de D8 El poset Sub(G) denota la colección de todos los subgrupos no triviales de un grupo G dado ordenado por inclusión. El poset Sub(G) se puede interpretar como una pequeña categoría G de la manera habitual: • Ob(G) = Sub(G), • por cada dos objetos H y K, subgrupos de G, hay un morfismo único fH,K : H → K si H K, y sin morfismo si H + K, es decir, Mor(H,K) = {fH,K}, H K, *, H + K. El diagrama de Hasse del poset Sub(D8) se presenta en el siguiente diagrama. 1, â € ~ 2â € ~ Z2 × Z2 1 1, 2, Z2 × Z2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * # # 1 # 2 # # 4.2 El anillo de cohomología H*(D8,F2) El grupo diedral D8 es un ejemplo de un producto de corona. Por lo tanto, el espacio de clasificación asociado puede, como en [1, página 117], ser escrito explícitamente como BD8 = B(Z2) 2 ×Z2 EZ2 فارسى (B(Z2) 2)×Z2 EZ2, donde Z2 = actúa sobre (BZ2) 2 mediante el intercambio de coordenadas. Presentado de esta manera BD8 es el Borel construcción del espacio Z2 (BZ2) 2. Así BD8 encaja en una fibración B(Z2) 2 → (B(Z2) 2) × Z2 EZ2 → BZ2. (21) Existe una secuencia espectral Serre asociada con E2-término Hp(BZ2,H B(Z2) Hp(Z2, H Hp+q(BD8,F2) Hp+q(D8,F2) que converge a la cohomología del grupo D8 con los coeficientes F2. Esta secuencia espectral es también la secuencia espectral Lyndon-Hochschild-Serre (LHS) [1, Sección IV.1, página 116] secuencia de extensión del grupo: 1→ (Z2) 2 → D8 → D8/(Z2) 2 → 1. En [1, Teorema 1.7, página 117] se demuestra que la secuencia espectral (22) colapsa en el término E2. Por lo tanto, para calcular la cohomología de D8 sólo necesitamos leer el término E2. Lemma 4.1. i) H* = anillo F2[a, a+ b], donde deg(a) = deg(a + b) = 1 y la acción Z2 inducida por dado por  · a = a+ b. ii) H* )Z2 = anillo F2[b, a(a+ b)]. iii) Hola • = módulo Z2-F2[Z2] Si,1 F 2, donde si,1 ≥ 0, si,2 ≥ 0 y F2[Z2] denotan un libre Z2-módulo y F2 uno trivial. iv) E 2 = H ∗(Z2, H ) = anillo H ∗(Z2,F2) # Si, 2 F # 2, donde F 2 denota un anillo concentrado en la dimensión 0. Prueba. i) La declaración se deriva de la observación de que B(Z2) 2 (B(Z2)) , y en consecuencia = anillo H * (Z2,F2)H ∗ (Z2,F2) = anillo F2[a] F2[a+ b]. La acción Z2 intercambia copias en el lado izquierdo. Grupos electrógenos en el lado derecho son elegidos tal que la acción Z2-que viene del isomorfismo cambia a y a+ b. ii) Con la acción Z2 inducida b = a+(a+b) y a(a+b) son polinomios invariantes. Generan el anillo de todos los polinomios invariantes. iii) La cohomología es un módulo Z2 y, por lo tanto, una suma directa de Z2- módulos. Sólo hay dos módulos Z2 irreducibles sobre F2: el libre F2[Z2] y el trivial F2. iv) El isomorfismo se deriva del iii) y de las dos propiedades siguientes de la cohomología del grupo [20, Ejercicio 2.2, página 190] y [8, corolario 6.6, página 73]. Dejar M y N ser G-módulos de un grupo finito G. a) H*(G,M,N) = H*(G,M),H*(G,N) b) M es un módulo G gratuito H*(G,M) = H0(G,M) = MG. Aplicado en nuestro caso, este rendimiento 2 = anillo H ∗(Z2, H = anillo H ∗(Z2,F2[Z2] Si,1 F = anillo H ∗(Z2,F2[Z2]) Si, 1 H*(Z2,F2) Si, 2 = anillo H 0(Z2,F2[Z2]) Si, 1 H*(Z2,F2) Si, 2 = anillo (F2[Z2] Z2)-si,1-H*(Z2,F2) Si, 2 = anillo F2 Si, 1 H*(Z2,F2) Si, 2 Que la cohomología del espacio base de la fibración (21) sea denotada por H*(Z2,F2) = F2[x]. El término E2 (22) se puede representar como en la Figura 2. La cohomología de D8 se puede leer de la imagen. Si denotamos y := b, w := a(a+ b) (23) y mantener x como introdujimos arriba, entonces H*(D8,F2) = F2[x, y, w]/xy®. Además, la restricción homomorfismo resD8H1 : H *(D8,F2) = F2[x, y, w]/xy® → H *(H1,F2) = F2[a, a+ b] (24) puede ser leído ya que es inducido por la inclusión de la fibra en la fibración (21). En generadores, resD8H1(x) = 0, res (y) = b, resD8H1(w) = a(a+ b). (25) b4, b2 aa + b a2°a + b°2 å 1 a2°a + bü2 å x a2°a + bü2 å x a2°a + bü2 å x a2°a + bü2 å x 3 b3, b4a + b4 0 0 0 1 + 1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 b 0 0 0 0 0 1 x x 2 x 3 x 4 0 1 2 3 4 Figura 2: Término E2 4.3 Diagrama de cohomología de subgrupos con coeficientes en F2 Deja que G sea un grupo finito y R un anillo arbitrario. A continuación, el diagrama Res(R) : G→ Anillo (funtor covariante) definido por Ob(G) H 7 H*(H,R) ( H K) 7 resHK : H *(H,R)→H*(K,R) es el diagrama de cohomología de subgrupos de G con coeficientes en el anillo R. En esta sección asumimos que R = F2. 4.3.1 El Z2 × Z2-diagrama La cohomología de cualquier 2-grupo abeliano elemental Z2 × Z2 es un anillo polinomio F2 [x, y], deg(x) = deg(y) = 1. Las restricciones a los tres subgrupos del orden 2 están dadas por todas las proyecciones posibles F2 [x, y]→F2 [t], deg(t) = 1: (x 7→ t, y 7→ 0) o (x 7→ 0, y 7→ t) o (x 7→ t, y 7→ t). Así, el diagrama de cohomología de los subgrupos de Z2 × Z2 es Z2 × Z2 F2 [x, y] F2[t1] F2[t2] x 7→ t2 y 7→ 0 F2[t3] 4.3.2 El D8-diagrama Para el grupo diedro D8, a partir de [9] y (24), los dos niveles superiores del diagrama pueden ser presentados por: F2 [x, y;w]/{xy} grados: 1, 1, 2 F2 [a, b] grados: 1, 1 F2 [e, u]/ grados: 1, 2 x, y 7→ e w 7→ u F2 [c, d] grados: 1, 1 Let H*(Ki,F2) = F2[ti], deg(ti) = 1. A partir de [1, Corollary II.5.7, página 69] la restricción resH2K3 : H*(H2,F2) = F2[e, u]/ (H*(K3,F2) = F2[t3]) es dada por e 7→ 0, u 7→ t23. Por lo tanto, la restricción res es dada por x 7→ 0, y 7→ 0, w 7→ t23. Uso de diagramas (26), (27) con la propiedad (C) de la Proposición 3.5 revelamos casi completamente la cohomología diagrama de subgrupos de D8. Las igualdades resD8K3 = res • resD8H2 = res • resD8H1 = res • resD8H3 implica que • resH1K3 : (H *(H1,F2) = F2[a, b]) (H ∗(K3,F2) = F2[t3]) viene dada por un 7→ t3, b 7→ 0, • resH3K3 : (H *(H3,F2) = F2[c, d]) (H ∗(K3,F2) = F2[t3]) se indica por c 7→ t3, d 7→ 0. F2 [a, b] grados: 1, 1 F2 [e, u]/ grados: 1, 2 F2 [c, d] grados: 1, 1 F2[t3] grados: 1 u 7→ t23 e 7→ 0 El diagrama de cohomología (26) de subgrupos de Z2 × Z2 y la parte (28) del diagrama D8 implican que • resH1K1 : F2[a, b] F2[t1] y res : F2[a, b] F2[t2] son dadas por (a 7→ t1, b 7→ t1 y a 7→ 0, b 7→ t2) o (a 7→ 0, b 7→ t1 y a 7→ t2, b 7→ t2), • resH3K4 : F2[c, d] F2[t4] y res : F2[a, b] F2[t5] son dadas por (c 7→ t4, d 7→ t4 y c 7→ 0, d 7→ t5) o (c 7→ 0, d 7→ t4 y c 7→ t5, d 7→ t5). Proposición 4.2. Para todos los i 6= 3, resD8Ki (w) = 0, mientras que res (w) 6= 0. Prueba. El resultado sigue del diagrama (27) de la siguiente manera: a) En el caso de i) {1, 2}: resD8Ki (w) = res • resD8H1(w) = res (a(a+b)) = 0 ya sea a 7→ ti, b 7→ ti o a 7→ 0, b 7→ ti. b) Para i) {4, 5}: resD8Ki (w) = res • resD8H3(w) = res (c(c+d)) = 0 desde c 7→ ti, d 7→ ti o c 7→ 0, d 7→ ti. Corolario 4.3. La cohomología del grupo diedral D8 es H*(D8,F2) = F2[x, y, w]/ donde a) x H1(D8,F2) y res (x) = 0, (b) y (+) H1(D8,F2) y res (y) = 0, (c) con H1(D8,F2) y res (w) = resD8K2(w) = res (w) = resD8K5(w) = 0 y res (w) 6= 0. Asunción Sin pérdida de generalidad podemos asumir que resH1K1(a) = t1, res (b) = t1, res (a) = 0, resH1K2(b) = t2. 29).............................................................................................................................................................................................................................................................. 4.4 El anillo de cohomología H*(D8,Z) En esta sección presentamos la cohomología H*(D8,Z) basada en: A. Enfoque de Evens [13, sección 5, páginas 191 a 192], donde se encuentran los generadores de hormigón en H*(D8,Z) se identificarán utilizando las clases Chern de representacións adecuadas de complejos D8 irreducibles. Nosotros también. considerar secuencias espectrales LHS asociadas con dos extensiones siguientes 1→ H1 → D8 → D8/(Z2) 2 → 1 y 1→ H2 → D8 → D8/Z4 → 1. (30) Desafortunadamente, la estructura del anillo en E-términos de estas secuencias espectrales LHS no coincide con la estructura del anillo en H*(D8,Z). B. La secuencia espectral de Bockstein de la pareja exacta H*(D8,Z) ×2 H*(D8,Z) H*(D8,F2) donde d1 = c â ¬ ¬ = Sq 1 : H*(D8,F2) → H 1(D8,F2) se da por d1 (x) = x 2, d1 (y) = y 2 y d1 (w) = (x + y)w [1, Teorema 2.7. página 127]. Este enfoque permite determinar el anillo estructura en H*(D8,Z). 4.4.1 Opinión de Evens Que V C V = Câ ° C, V = C y U 2 = C ser las complejas D8-representaciones dadas por A. Para (u, v) V (u, v) = (u,-v), (u, v) = (-u, v), (u, v), (u, v) = (v, u). B. En el caso de U. V. C.: *1 · u = −u, *2 · u = −u, *u · u = u. C. Para u • UC2 : *1 · u = u, *2 · u = u, * · u = −u. Hay isomorfismos de real D8-representaciones V. C. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. = (V V) , V C (V) , UC2 = (U2) Let χ1, â € € ¢ H *(D8,Z) ser 1-dimensional complejo D8-representaciones dadas por el carácter (aquí suponemos la identificación c1 : Hom(G,U (1))→ H 2, G, Z), [3, página 286]: χ1(­1) = 1, χ1(­2) = 1, χ1(­) = −1, 1 = -1, 1 = -1, 1 = -1, 1 = -1. Luego χ1 = U 2, • = U 2 V y en consecuencia 2 ) = χ1, y c1(U) 2 ) + c1(V ) =. 31) La cohomología H*(D8,Z) se da en [13, páginas 191-192] por H*(D8,Z) = Z[, χ1,, χ] (32) donde = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 2 °C = 2 °C = 2 °C = 4 °C = 0, χ 1 = • · χ1, • 2 = · · · χ. 33) Hay cuatro representaciones complejas irreducibles de 1-dimensionales de D8: 1 = UC2 V , χ1 = U 2, χ1 = V y una representación compleja bidimensional que es denotada por el término «denominada» en [13, páginas 191 a 192]: V = V C V Se calcula en [13, páginas 191 a 192] que c(V C V ) = 1 + + χ y c2(V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V ) = χ. (34) Las relaciones (31) y (34) junto con la Proposición 3.11 implican la siguiente declaración. Proposición 4.4. ÍndiceD8,ZS(V ) = 1, IndexD8,ZS(U 2 ) = 1, IndexD8,ZS(V ) =. Antes de proceder al enfoque de secuencia espectral de Bockstein damos descripciones de los términos E2 de Dos secuencias espectrales LHS. A pesar de que no es una consecuencia fácil, se puede probar que ambos las secuencias espectrales se estabilizan y que E2 = E. LHS secuencias espectrales de la extensión 1 → H1 → D8 → D8/H1 → 1. El LHS espectral secuencia de esta extensión (22) permite el cálculo del anillo de cohomologíaH*(D8,F2) con coeficientes F2. Si ahora consideramos los coeficientes Z, entonces el término E2-tiene la forma 2 = H p(D8/H1, H q (H1,Z)) = H p(Z2, H ). (35) La secuencia espectral converge al grupo graduado Gr (Hp+q(D8,Z)) asociado con H p+q(D8,Z) Filtrado adecuadamente. Para presentar el término E2 elegimos generadores de H * (H1,Z) en consonancia con el las decisiones tomadas en Lemma 4.1. Let c : Z → F2 ser reducción mod 2 y c* : H *(D8,Z) → H ∗(D8,F2) mapa inducido en cohomología. Considere la siguiente presentación del anillo de cohomología H1: H* (H1,Z) = Z[α, α β] Z[μ] (36) donde A. deg(α) = deg(β) = 2, deg(μ) = 3; B. 2α = 2β = 2μ = 0 y μ2 = (α + β); C. La acción sobre H* (H1,Z) está dada por  · α = β y  · μ = μ; D. c*(α) = a 2, c* (β) = b 2, c* (μ) = ab(a+b). å3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 x 2 0 1 2 3 4 0 0 0 0 m xåm åmm x2 a(a+b), b(a+b)åxå0 0 åx 2a(a+b)2 Figura 3: E2-término de extensión 1 → H1 → D8 → D8/H1 → 1. Ahora el término E2 (Figura 3) está dado por + = Hp(Z2, H Hp(Z2,Z), q = 0 0, q = 1 Hp(Z2,F2[Z2]), q = 2 Hp(Z2,F2), q = 3 . .., q > 3. El morfismo de las secuencias espectrales LHS de la extensión 1→ H1 → D8 → D8/H1 → 1 inducido por la La reducción del mod 2 c : Z → F2 (Proposición 3.5 E.3) da una prueba de que E2 = E.e. para los coeficientes Z. Los estructuras de anillas en Ee y H ∗ (D8,Z) no coinciden. Por otra parte no hay ningún elemento en E. de exponente 4. Una cosa está clara: el elemento μ en el E2 = E-término coincide con el elemento • en el Evens’ presentación (32) de H*(D8,Z). LHS secuencias espectrales de la extensión 1 → H2 → D8 → D8/H2 → 1. El término E2 tiene el siguiente: forma: 2 = H p(D8/H2, H q (H2,Z)) = H p(Z2, H q (Z4,Z)) Hp(Z2,Z), q = 0 0, q impar Hp(Z2,Z4), q par y 4 q Hp(Z2,Z4), q > 0 par y 4q, donde Z4 = Z4 es un módulo Z2 no trivial. Usando [8, Ejemplo 2, páginas 58-59] el término E2 tiene la forma se indica en la figura 4. Este diagrama proporciona sólo dos pistas: podría haber elementos de exponente 4 6 ̈2 ̈2 ̈2 ̈2 ̈2 ̈2 ̈2 5 0 0 0 0 0 0 4 ̈4 ̈2 ̈2 ̈2 ̈2 ̈2 ̈2 3 0 0 0 0 0 0 2 ̈2 ̈2 Q ̈2 ̈2 ̈2 ̈2 1 0 0 0 0 0 0 0 ̈ 0 ̈2 0 ̈2 0 ̈2 0 1 2 3 4 5 6 Figura 4: E2-término de extensión 1 → H2 → D8 → D8/H2 → 1. en la cohomología H*(D8,Z) y definitivamente sólo hay un elemento de grado 3 de las Evens’ presentación. Conclusión. Las secuencias espectrales LHS de diferentes extensiones dan una imagen incompleta de la anillo de cohomología con coeficientes enteros, H*(D8,Z). Por lo tanto, a los efectos de los cálculos con los coeficientes Z utilizamos la secuencia espectral de Bockstein utilizando los resultados obtenidos del LHS espectral secuencia con coeficientes F2. Las presentaciones de estas dos secuencias espectrales se utilizarán en la descripción del diagrama de restricción de la sección 4.5. 4.4.2 Vista de secuencia espectral de Bockstein Deja que G sea un grupo finito. La secuencia exacta 0 → Z → Z → F2 → 0 induce una secuencia exacta larga en cohomología de grupo, o una pareja exacta H*(G,Z) ×2 H*(G,Z) H*(G,F2). La secuencia espectral de esta pareja exacta es la secuencia espectral de Bockstein. Converge a (H*(G,Z)/torsión) que en el caso de un grupo finito G es sólo F2 en la dimensión 0. Aquí "torsión" significa "torsión Z". La primera diferencial d1 = c es el homomorfismo de Bockstein y en este caso coincide con el primer Steenrod cuadrado Sq1 : H*(G,F2)→ H 1(G,F2). Que H sea un subgrupo de G. La restricción resGH se desplaza con los mapas en las parejas exactas asociadas a los grupos G y H y, por lo tanto, induce un morfismo de las secuencias espectrales de Bockstein [10, página 109] antes de 5.7.6]. Considere dos secuencias espectrales de Bockstein asociadas con D8 y su subgrupo H2 = Z4. A. Grupo D8. La pareja exacta es H*(D8,Z) ×2 H*(D8,Z) H*(D8,F2). y d1 = c 1 es dada por d1 (x) = x 2, d1 (y) = y 2 y d1 (w) = (x + y)w, [1, Teorema 2.7. página 127]. La pareja derivada es entonces por [10, Observación 5.7.4, página 108] hay elementos X,Y 2 ·H*(D8,Z) ×2 2 ·H*(D8,Z) «x2, y2, xw, yw, w2»/«x2, y2, xw + yw». H2(D8,Z), M-H 3(D8,Z) de exponente 2 tal que c*(X) = x 2, c*(Y) = y 2, c*(M) = (x + y)w y XY = 0. B. Grupo Z4. La pareja exacta es H*(Z4,Z) ×2 H*(Z4,Z) H*(Z4,F2). Desde H*(Z4,Z) = Z[U ]/+4U®, degU = 2 y H *(Z4,F2) = F2 [e, u]/ , deg e = 1, deg u = 2, la desenrollado de la pareja exacta a una larga secuencia exacta [8, Proposición 6.1, página 71] H0(Z4,Z) Z, 1 ×2 H 0(Z4,Z) Z, 1 0(Z4,F2) F2, 1 1 (Z4,Z) ×2 H 1 (Z4,Z) 1 (Z4,F2) F2, e 2-Z4,Z) Z4, U ×2 H 2-Z4,Z) Z4, U 2-Z4,F2) F2, u 3(Z4,Z) ×2 H 3(Z4,Z) 3(Z4,F2) F2, eu 4(Z4,Z) ... nos permite demostrar que para j ≥ 0 : * (u) = 0 y * (eui) = 2U i+1. Así d1 = 0 y la pareja derivada es 2 ·H*(Z4,Z) ×2 2 ·H*(Z4,Z) H*(Z4,F2). Por otra parte, por definición del diferencial de una pareja derivada tenemos que i) = 0 y d2(eu) i) = ui+1. El mapa de restricción resD8H2 : H ∗(D8,F2) → H ∗(H2,F2) está determinado por el diagrama de restricción (27). Por lo tanto, el morfismo entre secuencias espectrales inducidas por la restricción resD8H2 implica que: resD8H2 (d2[xw]) = d2 resD8H2 [xw] = d2(eu) = u y, en consecuencia, d2[xw] = [w Aquí [ · ] denota la clase en el cociente "x2", y2, xw, yw,w2", y2, xw + yw". Por lo tanto, por [10, Observación 5.7.4, pág. 108] hay un elemento W H4(D8,Z) del exponente 4 tal que c*(W) = w 2 y M2 = W(X + Y). El segundo par derivado de (37) se estabiliza. Así el anillo de cohomología H*(D8,Z) y el mapa c* : H *(D8,Z) H ∗ (D8,F2) se describen. Teorema 4.5. El anillo de cohomología H*(D8,Z) puede ser presentado por H*(D8,Z) = Z[X,Y,M,W]/I donde degX = degY = 2, degM = 3, degW = 4 y el ideal I es generado por las ecuaciones 2X = 2Y = 2M = 4W = 0, XY = 0,M2 = W(X + Y). (39) El mapa c* : H *(D8,Z) H ∗(D8,F2), inducida por la reducción de los coeficientes Z→ F2, está dada por X 7→x2, Y 7→y2, M 7→w(x + y), W 7→w2. (40) Observación 4.6. La correspondencia entre la vista de secuencia espectral de Evens y Bockstein es dada por X ↔ χ1, Y ↔ ° + χ1, M↔ °, W ↔ χ (41) 4.5 El D8-diagrama con coeficientes en Z Dejar G ser un grupo finito y R y S anillos. Un anillo homomorfismo : R → S induce un morfismo de diagramas (transformación natural de los functores covariantes) Φ : Res(R) →Res(S). El morfismo Φ en cada uno ob(G) se define por la reducción del coeficiente Φ(H) : H*(H,R) → H*(H,S) inducida por ♥. Particularmente en esta sección, como herramienta para la reconstrucción del diagrama Res(Z), utilizamos el diagrama morfismo C : Res(Z) → Res(F2) inducido por el homomorfismo de reducción de coeficiente c : Z→ F2. 4.5.1 El diagrama Z2 × Z2- El diagrama de restricción de la cohomología Res(F2) del 2-grupo abeliano elemental Z2 × Z2 se da en la diagrama (26). Usando la presentación de la cohomología H*(Z2 × Z2,Z) y el homomorfismo H *(Z2 × Z2,Z)→ H *(Z2 × Z2,F2) en el ejemplo 3.10 podemos reconstruir el diagrama de restricción Res(Z): Z2 × Z2 Z[­1, ­2] Z[­μ] grados 1 ° = grados 2 ° = 2, grados μ = 3 1 °C = 2 °C2 = 2μ = 0, μ2 = ­1­2(­1 + ­2) 3, ♥ Z2 Z[1] grados 1 ° = 2 1 = 0 Z2 Z[Ł2] grados 2 = 2 2­2 = 0 *1 7\2, *1 7\2, *1 7\2, *1 7\2, *1 7\2. 7→ 0, μ 7→ 0 Z2 Z[♥3] grados 3 ° = 2 2­3 = 0 4.5.2 El D8-diagrama De manera similar, utilizando: • el diagrama de restricción D8 (27) y (28) con coeficientes F2, • los diagramas de restricción Z2 × Z2 (42) con coeficientes Z, • la presentación de la cohomología H*(H1,Z) dada en (36), • la presentación de Bockstein de H*(D8,Z) dada en Teorema 4.5, • un vistazo a los mapas de restricción resD8H1 y res obtenido a partir de los términos E2 = E® de la LHS secuencias espectrales Figura 3 y Figura 4, y • el homomorfismo c* : H ∗(D8,Z)→ H *(D8,F2) descrito en (40), podemos reconstruir el diagrama de restricción de D8 con coeficientes Z. D8 Z[X,Y,M,W] grados: 2, 2, 3, 4 2X = 2Y = 2M = 4W = 0, XY = 0,M2 =W(X + Y) H1 Z[α, α + β, μ] grados: 2, 2, 3, 2α = 2β = 2μ = 0, μ2 = ≤(α + β) H2 Z[U] grados: 2 4U = 0, Y 7→ 2U W7→ U2 X 7→2U H3 Z[γ, γ + , η] grados: 2, 2, 3, 2γ = 2 = 2η = 0, η2 = «(γ + ») K3 Z[Ł3] deg فارسى3 = 2 U 73 Ahora la determinación del diagrama morfismo C :Res(Z) →Res(F2) inducido por la reducción del coeficiente homomorfismo c : Z→ F2 es sólo un ejercicio de rutina. 5 ÍndiceD8,F2S(R En esta sección mostramos la siguiente igualdad: ÍndiceD8,F2S(R 4 ) = Índice D8,F2 4 ) = 0 jyjó. La representación D8 R 4 puede ser descompuesto en una suma de irreductibles de la siguiente manera R4 = (V-V-V-V-V-R 4 = (V V) donde V V es una representación de D8 irreductible de 2 dimensiones. Puesto que en esta sección los coeficientes F2 se asumen, la Proposición 3.12 implica que computando los índices de las esferas S(V V) y S(V) basta. La estrategia empleada utiliza la Proposición 3.7 y los siguientes hechos particulares. A. Let X = S(T ) para alguna representación D8 T. A continuación, el término E2 de la secuencia espectral Serre asociado a ED8 × D8 X es 2 = H p(D8,F2)H q(X,F2). (44) Los coeficientes locales son triviales ya que X es una esfera y los coeficientes son F2. Ya que sólo ŁdimT,F2 puede ser 6= 0, a partir de la propiedad multiplicativa de la secuencia espectral se sigue que ÍndiceD8,F2X = 0,dimV −1 dimV,F2 (1 l) donde l • HdimV −1(X,F2) es el generador. Por lo tanto, ÍndiceD8,F2(X) = Índice dimV+1 D8,F2 B. Para cualquier subgrupo H de D8, con algún abuso de notación, dimV,0 dimV • • • 0,dimV−1 dimV,F2 (1 l) = 0,dimV −1 dimV,F2 0,dimV −1 dimV (1 l), (45) donde فارسى denota el morfismo de restricción de las secuencias espectrales de Serre introducidas en la Proposición 3.5 (D). Por lo tanto, para cada subgrupo H de D8 obtenemos ÍndiceD8,F2X = «a», ÍndiceH,F2X = «aH» = «res» K(a) = aH. En particular, si aH 6= 0 entonces un 6= 0. Nuestro cálculo de IndexD8,F2X para X = S(V V) y X = S(V) tiene dos pasos: • calcular ÍndiceH,F2X = â € aHâ € para todos los subgrupos apropiados H de D8, • buscar un elemento a H*(D8,F2) de tal manera que para cada aH computada resGK(a) = aH. 5.1 ÍndiceD8,F2S(V V) = La Proposición 3.13 y las propiedades de la acción de D8 sobre VV proporcionan la siguiente información: ÍndiceH1,F2S(V V) = *a(a+b)* o *b(a+b)® o # Aba # # # Aba # # # Aba # # # Aba # # # # Aba # # # # Aba # # # Aba # # # Aba # # # Aba # # # # Aba # # # Aba # # # Aba # # # Aba # # # Aba # # # # Aba # # # Aba # Puesto que inicialmente no sabemos cuál de los posibles generadores a, b, a + b de F2[a, b] corresponde a la Generadores: 1, 2, 1 2, tenemos que tener en cuenta las tres posibilidades. Del mismo modo: ÍndiceH3,F2S(V V) = *c(c+d)* o (c+d) # Cd # # # # Cd # # # # Cd # # # # # Cd # # # # # # # # Cd # # # # # # Cd # # # # # Cd # # # # Cd # # # # # Cd # # # # Cd # # # # # Cd # # # # # Cd # # # # # # Cd # # # # # # Cd # # # # # # # # # Cd # # # # # # # # # # # Cd # # # # # # # # # Cd # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Además, 1 actúa trivialmente en V ♥ IndexK1,F2S(V V) = 0 2 actúa trivialmente en V ♥ IndexK2,F2S(V V) = 0  actúa trivialmente sobre {(x, x) V V ♥ IndexK4,F2S(V V) = 0 Actua trivialmente {(x,−x) {x,−x) {x,−x) {x) {x,−x) {x) {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} El único elemento distinto de cero de H2(D8,F2) que cumple todos los requisitos de conmutatividad con restricciones es w. Por lo tanto, ÍndiceD8,F2S(V V) = (46) Observación 5.1. La información lateral que viene de este cálculo es que los generadores ­1 y ­2 de la grupo H1 corresponden a generadores a y a+ b en el anillo de cohomología H ∗(H1,F2). Esta correspondencia sugirió la elección de generadores en Lemma 4.1 i). 5.2 ÍndiceD8,F2S(V) = Una vez más, V es una representación concreta D8, y de la Proposición 3.13: ÍndiceH1,F2S(V) = • a+ b®, o (a+ b), o * b+ (a+ b). Una vez más, permitimos las tres posibilidades ya que no conocemos la correspondencia entre los generadores de H1 y los generadores elegidos de H* (Hq,F2). Además, puesto que K1 y K2 actúan no trivialmente en V, ÍndiceK1,F2S(V) = «t1», ÍndiceK2,F2S(V) = «t2». Por otro lado, H3 actúa trivialmente sobre S(V) y así ÍndiceH3,F2S(V) = 0. Por computatividad del diagrama de restricción, o ya que los grupos K3, K4 y K5 actúan trivialmente en V(1,1), De ello se deduce que ÍndiceK3,F2S(V) = ÍndiceK4,F2S(V) = ÍndiceK5,F2S(V) = 0. El único elemento que satisface los requisitos de computatividad es y â € H1(D8,F2), así que ÍndiceD8,F2S(V) = «y». (47) Observación 5.2. De la observación anterior se desprende el hecho de que el ÍndiceH1,F2S(V) = â € € = â € € a + (a + b)â € directamente. Alternativamente, la ecuación (47) es una consecuencia de (11) y (27). 5.3 ÍndiceD8,F2S(R 4 ) = De la Proposición 3.12 obtenemos eso ÍndiceD8,F2S(R 4 ) = ÍndiceD8,F2S((V V) # J # V # ) = #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y # jwjó. Observación 5.3. De la misma manera podemos calcular que ÍndiceD8,F2(U2) = «x». (48) Por lo tanto ÍndiceD8,F2(U2+R 4 ) = 0. Esto significa que en el esquema de unión CS/TM el Fadell–Husseini la teoría del índice con coeficientes F2 no impide la existencia del mapa equivariante en cuestión. 6 ÍndiceD8,ZS(R En esta sección mostramos que ÍndiceD8,ZS(R 4 ) = Índice 4 ) = 2 â € ¢, para j par 2 M,Y 2o, por j impar. 6.1 El caso cuando j es par Damos dos pruebas de la ecuación (49) en el caso cuando j es par. Método 1: De acuerdo con la definición del complejo D8 - Representaciones V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V y V , en la sección 4.4.1, tenemos un isomorfismo de real D8-representaciones 4 = (V V) V. C. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V C Así, por las Proposiciones 3.11 y 3.12, propiedades de las clases Chern [3, (5) página 286] y ecuaciones (31) y (34) tenemos que ÍndiceD8,ZS(R 4 ) = 3j V. C. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V C # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # V. C. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. 2 · c1 V C 2 ( + χ1) La correspondencia entre las vistas de secuencia espectral de Evens y Bockstein implica la declaración. Método 2: El grupo D8 actúa trivialmente sobre la cohomologíaH ∗(S(R) 4 ), Z). Entonces el término E2 del Serre secuencia espectral asociada a ED8 ×D8 S(R 4 ) es un producto tensor 2 = H p(D8,Z)H q(S(R) 4 ), Z). Dado que sólo Ł3j,Z puede ser 6= 0, la propiedad multiplicativa de la secuencia espectral implica que ÍndiceD8,ZS(R 4 ) = Índice dimV +1 4 ) = 0,3j−1 3j,Z (1 l) en la que l-H3j−1(S(R) 4 ), Z) es un generador. El coeficiente de reducción del morfismo c : Z → F2 induce a morfismo de las secuencias espectrales de Serre (Proposición 3.5. E. 3) relacionada con la construcción de Borel la esfera S(R 4 ). Por lo tanto, 0,3j−1 3j,Z (1 l) 0,3j−1 3j,F2 (s*(1 l)) 3j(D8,F2) y según el resultado de la sección anterior 0,3j−1 3j,Z (1 l) = yjwj. Ahora, de la descripción del mapa c* : H *(D8,Z) H ∗ (D8,F2) en (40) sigue la declaración correspondiente a j par. 6.2 El caso cuando j es impar El grupo D8 actúa no trivialmente en la cohomología H ∗(S(R) 4 ), Z). Precisamente, el módulo D8-Z = H3j−1(S(R) 4 ),Z) es un módulo D8 no trivial y para z â € Z: *1 · z = z, *2 · z = z, * · z = −z. A continuación, el término E2 de la secuencia espectral Serre asociado a ED8 × D8 S(R 4 ) no es un producto tensor 2 = H p(D8, H q(S(R) 4 ), Z)) = Hp(D8,Z), q = 0 Hp(D8,Z), q = 3j − 1 0, q 6= 0, 3j − 1. Para calcular el índice en este caso tenemos que estudiar la estructura H*(D8,Z)-módulo de H ∗ (D8,Z). Dado que el uso de la secuencia espectral LHS, como en el caso de los coeficientes de campo (Proposición 7.4), no puede ser de ayuda significativa aplicamos la secuencia espectral de Bockstein asociada con la siguiente secuencia exacta de D8-módulos: → Z → F2 → 0. (51) Proposición 6.1. (A) 2 ·H*(D8,Z) = 0 (B) H*(D8,Z) se genera como H ∗ (D8,Z)-módulo por tres elementos X = 0, 3 · X = 0 c(­1) = x, c(­2) = y 2, c(­3) = yw donde c es el mapa inducido por el mapa Z → F2 de la secuencia exacta (51). Prueba. La estrategia de la prueba es considerar cuatro parejas exactas inducidas por la secuencia exacta (51): H*(D8,Z) ×2 H*(D8,Z) H ∗ (H1,Z) ×2 H*(H1,Z) H*(D8,F2) H*(H1,F2) H*(H2,Z) ×2 H*(H2,Z) H *(K4,Z) ×2 H*(K4,Z) H*(H2,F2) H*(K4,F2) y los morfismos correspondientes inducidos por resD8H1, res y resD8K4. Nuestra notación es como en la restricción diagrama (27). 1. El módulo Z como módulo H1- es un módulo trivial. Por lo tanto, en la pareja exacta H1 d1 es el habitual Homomorfismo de Bockstein y así d1(a) = Sq 1 a) = a2, d1 b) = Sq 1 b) = b2. Así de la restricción homomorfismo resD8H1 tenemos: resD8H1 (d1(1)) = d1 resD8H1 (1) = d1(1) = 0 resD8H1 resD8H1 (d1(x)) = d1 resD8H1 (x) = d1(0) = 0 resD8H1 resD8H1 (d1(y)) = d1 resD8H1 (y) = d1(b) = b 1 d1(y) 2 + ker resD8H1 resD8H1 (d1(w)) = d1 resD8H1 (w) = ba(a+ b)  d1(w) yw + ker resD8H1 2. El módulo Z como módulo H2-módulo es un módulo no trivial. La pareja exacta H2 = Z4 se desenrolla en una larga secuencia exacta [8, Proposición 6.1, página 71] H0(Z4,Z) ×2 H 0(Z4,Z) 0(Z4,F2) F2, 1 1 (Z4,Z) F2,  ×2 H 1 (Z4,Z) F2,  1 (Z4,F2) F2, e 2-Z4,Z) ×2 H 2-Z4,Z) 2-Z4,F2) F2, u 3(Z4,Z) F2, U ×2 H 3(Z4,Z) F2, U 3(Z4,F2) F2, eu 4(Z4,Z) ... Aquí hemos usado los hechos que Hi(Z4,Z) = F2, i impar 0, incluso y que la multiplicación por U H2(Z4,Z) en H *(Z4,Z) es un isomorfismo [11, Sección XII. 7. págs. 250 a 253]. La larga exacta secuencia describe el operador de límites: En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, los vehículos de motor de encendido por chispa y los vehículos de motor de encendido por chispa y de encendido por chispa deberán estar equipados con un sistema de frenado de encendido por chispa y un sistema de frenado de encendido por chispa. y, por consiguiente, el primer diferencial: d1(1) = e, d1(e) = 0, d1(u) = eu. La restricción homomorfismo resD8H2 implica que: resD8H2 (d1(1)) = d1 resD8H1 (1) = d1(1) = e resD8H2 resD8H1 (d1(x)) = d1 resD8H1 (x) = d1(e) = 0 resD8H2 resD8H1 (d1(y)) = d1 resD8H1 (y) = d1(e) = 0 resD8H2 resD8H1 (d1(w)) = d1 resD8H1 (w) = d1(u) = eu d1(w) yw + ker resD8H2 3. El módulo Z como módulo K4-módulo es un módulo no trivial. Entonces la pareja exacta K4 = Z2 se desenrolla en H0(Z2,Z) ×2 H 0(Z2,Z) 0(Z2,F2) F2, 1 1 (Z2,Z) F2,  ×2 H 1 (Z2,Z) F2,  1 (Z2,F2) F2, t4 2-Z2,Z) ×2 H 2-Z2,Z) 2-Z2,F2) F2, t 3(Z2,Z) F2, T ×2 H 3(Z2,Z) F2, T 3(Z2,F2) F2, t 4(Z2,Z) ... Del mismo modo, Hi(Z2,Z) = F2, i impar 0, incluso y multiplicación por T H2(Z2,Z) en H ∗(Z2,Z) es un isomorfismo [11, Sección XII. 7. págs. 250 a 253]. Entonces d1(1) = t4, d1(t 4 ) = 0, d1(t 4 ) = t para i ≥ 0. Esto implica que resD8K4 (d1(w)) = d1 resD8H1 (w) = d1(0) = 0 (55) resD8K4 (d1(y)) = d1 resD8H1 (y) = d1(0) = 0. (56) A partir de (52), (53) y del diagrama de restricción (27): d1(1) = x, d1(x) = 0, d1(w) {yw, yw + x 3} y d1(y) {y) 2, y2 + x2}. (57) Desde resD8K4 (yw) = 0, res yw + x3 = t34 6= 0 y res = 0, resD8K4 y2 + x2 = t24 6= 0, entonces la las ecuaciones (55) y (56) resuelven los dilemas finales (57). Así d1(w) = yw. Según [10], 5.7.4, pág. 108] hay elementos de grado 1, 2, 3 y de exponente 2 en H *(D8,Z) satisfactorio propiedad (B) de esta proposición. La propiedad (A) sigue de las propiedades de la secuencia espectral de Bockstein y el hecho de que el pareja derivada de la pareja exacta D8 es: # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # donde F2 aparece en la dimensión 0. Observación 6.2. La propuesta no describe la estructura completa H*(D8,Z)-modulo onH ∗ (D8,Z). Sólo proporciona la información necesaria para el cálculo de IndexD8,ZS(R 4 ). El resultado completo se puede encontrar en [18, Teorema 5.11.a)]. Por lo tanto, el índice es dado por ÍndiceD8,ZS(R 4 ) = 1,3j−1 3j,Z (....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 2,3j−1 3j,Z ( 3,3j−1 3j,Z (­3)». El morfismo C de la secuencia espectral (50) a la secuencia espectral (44) inducida por la reducción homo- morfismo Z→ F2 implica que: 1,3j−1 3j,Z (­1)) = 1,3j−1 3j,F2 (c*(l) = 1,3j−1 3j,F2 (x) = 0 2,3j−1 3j,Z (­2)) = 2,3j−1 3j,F2 (c*(l2)) = 2,3j−1 3j,F2 (y2) = yj+2wj = yj+1wj−1(y + x)w 3,3j−1 3j,Z (­3)) = 3,3j−1 3j,F2 (c*(l3)) = 3,3j−1 3j,F2 (yw) = yj+1wj+1 La secuencia de los mapas de inclusión D8 • (j−1) 4 ) S(R 4 ) S(R •(j+1) proporciona (Proposición 3.2) una secuencia de inclusiones: 2 + = ÍndiceD8,ZS(R • (j−1) 4 ) IndexD8,ZS(R 4 ) IndexD8,ZS(R •(j+1) 4 ) = Y 2 â € ¢. (59) Las relaciones (58), (59) y (40), junto con la Proposición 6.1 implican que para j impar: ÍndiceD8,ZS(R 4 ) = Y 2 M,Y Observación 6.3. El índice ÍndiceD8,ZS(Uk × R 4 ) que aparecen en el esquema de mapa de prueba de la unión ahora puede ser Calculado. Del ejemplo 3.4 y del diagrama de restricción (43) se desprende que ÍndiceD8,ZS(Uk) = ÍndiceD8,ZD8/H1 = ker resD8H1 : H ∗(D8,Z)→ H ∗ (H1,Z) = X. Las inclusiones ÍndiceD8,ZS(Uk ×R 4 ) IndexD8,ZS(R 4 ) e IndexD8,ZS(Uk ×R 4 ) IndexD8,ZS(Uk) implica que ÍndiceD8,ZS(Uk ×R 4 ) IndexD8,ZS(R 4 ) • ÍndiceD8,ZS(Uk) = {0}. Así, como en el caso de los coeficientes F2, la teoría del índice Fadell-Husseini con coeficientes Z en la unión El esquema CS/TM no conduce a ninguna obstrucción a la existencia del mapa equivariante en cuestión. 7 ÍndiceD8,F2S Esta sección está dedicada a la prueba de la igualdad ÍndiceD8,F2S d × Sd = d+1, γd+2, w d + 1 + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (60) El índice será determinado por el cálculo explícito de la secuencia espectral de Serre asociada con la construcción de Borel Sd × Sd → ED8 ×D8 Sd × Sd → BD8. El grupo D8 actúa no trivialmente sobre la cohomología de la fibra, y por lo tanto la secuencia espectral tiene coeficientes locales no triviales. El término E2 es dado por 2 = H p(BD8,H q(Sd × Sd,F2)) = H p(D8, H q(Sd × Sd,F2)) Hp(D8,F2), q = 0, 2d Hp(D8,F2[D8/H1)], q = d 0, q 6 = 0, d, 2d. La no trivialidad de los coeficientes locales aparece en la d-ésima fila de la secuencia espectral. En la sección 7.4 hay un bosquejo de una prueba alternativa del hecho (60) sugerido por un árbitro para un antes, F2-coeficiente, versión del papel. 7.1 La d-ésima fila como módulo H*(D8,F2) Dado que la secuencia espectral es un módulo H*(D8,F2) y los diferenciales son mapas de módulos que necesitamos comprender la estructura H*(D8,F2)-módulo del término E2. Proposición 7.1. H*(D8,F2[D8/H1]) ∗(H1,F2). Prueba. En este caso H1 = 1, 2 = Z2 × Z2 es un subgrupo máximo (normal) del índice 2 en D8. Método 1: La declaración se deriva del lema de Shapiro [8, Proposición 6.2, página 73] y del hecho de que cuando [G : H ], entonces hay un isomorfismo de G-módulos CoindGHM = IndGHM. Método 2: Hay una secuencia exacta de grupos 1→ H1 → D8 → D8/H1 → 1. La secuencia espectral LHS asociada [1, Corollary 1.2, página 116] tiene el término E2: 2 = H p(D8/H1, H q(H1,F2[D8/H1)] p(Z2, H q(Z2) 2,F2 - F2)) Hp(Z2;H) = Hp(Z2;H) q(Z2) 2,F2)+H q(Z2) 2,F2)). La acción del grupo D8/H1 = Z2 en la suma es dada por la acción de conjugación de G en el par (H1, H q(H1,F2[D8/H1)]) [8, Corollary 8.4, página 80]. Puesto que F2[Z2] es un módulo Z2-gratuito H0(Z2;F2[Z2]) = (F2[Z2]) Z2 = F2 y Hp(Z2;F2[Z2]) = 0 para p > 0. Por lo tanto + = Hp(D8/H1;H q(Z2) 2,F2)+H q(Z2) 2,F2)) p(D8/H1;F2[Z2] + = Hp(D8/H1;F2[Z2]) q+1 â € = Hp(Z2;F2[Z2]) )Z2 = F 2, p = 0 0, p > 0. Así, el término E2 tiene la forma como en la Figura 5 (concentrada en la columna 0) y colapsa. La primera información sobre la estructura de módulos H*(D8,F2) en H ∗(D8,F2[D8/H1)], así como el método para revelar la estructura completa, viene de la siguiente proposición. * HD* H1, F2* ã H D­H1,F2 D8/H1 0 1 Figura 5: El término A2 de la secuencia espectral del LHS Proposición 7.2. Tenemos x ·H*(D8,F2[D8/H1)] = 0 para el elemento que no es cero 1 (D8,F2), es decir, caracterizado por resD8H1(x) = 0. Prueba. Método 1: El isomorfismoH*(D8,F2[D8/H1]) ∗(H1,F2) inducida por el lema de Shapiro [8, Propo- Situación 6.2, página 73] lleva la estructura del módulo H*(D8,F2) a H *(H1,F2) a través de la restricción homomor- phism resD8H1 : H ∗(D8,F2)→ H ∗(H1,F2). De esta manera la H completa ∗ (D8,F2) - estructura del módulo se da sobre H*(D8,F2[D8/H1)]. En particular, puesto que res (x) = 0, se demuestra la proposición. Método 2: La secuencia exacta de los grupos 1→ H1 → D8 → D8/H1 → 1 induce dos secuencias espectrales LHS 2 = H p (D8/H1, H q (H1,F2[D8/H1)] = p+q(D8,F2[D8/H1]), (62) 2 = H p (D8/H1, H q (H1,F2)) = p+q(D8,F2). (63) La secuencia espectral (63) actúa sobre la secuencia espectral (62) t → A u+r,v+s Esta acción se convierte en una acción de H ∗ (D8,F2) en H *(D8,F2[D8/H1)]. Desde que ya Discutimos ambas secuencias espectrales que sabemos que 2 = A • y B 2 = B De las Figuras 2 y 5 es evidente que x B 2 = B - actúa por x · A 2 = 0 para cada p y q. Corollary 7.3. Índice+2D8,F2S d × Sd = im D+1 : E d+1 → E d+1,0 y ·H*(D8,F2). Prueba. Let α â € E d+1 y ­d+1(α) /­ y ·H *(D8,F2). Luego x · Łd+1(α) 6= 0. Puesto que Łd+1 es una H ∗(D8,F2)- mapa del módulo y x actúa trivialmente en H*(D8,F2[D8/H1]), como se indica en la Proposición 7.2, hay un contradicción 0 = ­d+1(x · α) = x · ­d+1(α) 6= 0. Proposición 7.4. H*(D8,F2[D8/H1)] se genera como H ∗ (D8,F2)-módulo por H0(D8,F2[D8/H1)] y H 1(D8,F2[D8/H1)]. Prueba. Método 1: Ya hemos observado que el lema de Shapiro H*(D8,F2[D8/H1)] ∗ (H1,F2) lleva la H*(D8,F2)-módulo de estructura a H *(H1,F2) a través de la restricción homomorfismo res : H*(D8,F2) → H*(H1,F2). Por lo tanto H ∗ (H1,F2) como H ∗ (D8,F2)-módulo se genera por 1 H 0(H1,F2) junto con a H1(H1,F2). Método 2: Existe la secuencia exacta de módulos D8- 0→ F2 → F2[D8/H1]→ F2 → 0, (64) donde los módulos izquierdo y derecho F2 son módulos D8 triviales. El primer mapa es una inclusión diagonal mientras que El segundo es un mapa de cocientes. La secuencia (64) induce una secuencia exacta larga en la cohomología del grupo [8, Proposición 6.1, página 71], 0→ H0 (D8,F2) → H0 (D8,F2[D8/H1)] → H0 (D8,F2) H1 (D8,F2) → H1 (D8,F2[D8/H1)] → H1 (D8,F2) →... A partir de la secuencia exacta (65), compatibilidad del producto de la copa [8, página 110, (3.3)] y Proposición 7.2 uno puede deducir que فارسى0(1) = x. A continuación, persiguiendo a lo largo de la secuencia (65) con la compatibilidad del producto de la copa [8, página 110,(3.3)] como herramienta se puede probar que H*(D8,F2[D8/H1)] se genera como una H ∗ (D8,F2)-módulo por I = i0(1) y A â € q 1 ({y}). 7.2 Índice +2D8,F2S d × Sd = d+1, El índice por definición es Índice+2D8,F2S d × Sd = im D+1 : E d+1 → E d+1,0 D+1 : H ∗ (D8,F2[D8/H1)]→ H d+1(D8,F2 De la Proposición 7.4 esta imagen es generada como un módulo por las imágenes de H 0 (D8,F2[D8/H1)] y de H1 (D8,F2[D8/H1)]. Se calcula la imagen de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de datos de la unidad de datos de datos de la unidad de datos de datos de la unidad de datos de datos de la unidad de datos de datos de la unidad de datos de datos de la unidad de datos de datos de la unidad de datos de datos de la unidad de datos de datos. Proposición 3.5 para el subgrupo H1. Con la identificación de H ∗ (D8,F2[D8/H1)] dada por Shapiro’s lemma el morfismo de las secuencias espectrales de las construcciones de Borel inducidas por la restricción se especifica en Gráfico 6 Además, Índice+2D8,F2S d × Sd = D8d+1(1), d+1(a), d+1(b), d+1(a+b)+. a + b 0 ^d+1 y^d+1 0 1 d + 1 d + 2 2d 11612 d 11ã12 a â â € € Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * b ã b 0 ad+1 +?a +b?d+1 ad+2 +?a +b?d+2 # Aa +bad # # aa # # aa # # aa # # bad # # aa # # aa # # aa # # aa # # aa # aa # # aa # # aa # # aa # aa # # aa # # aa # # aa # # aa # # aa # b # a # aa # b # # aa # b # aa # b # aa # b # aa # # b # aa # # # # a # # b # # # # a # # # a # # # # aa # b # a # # a # a # aa # aa # * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 1 2 3 4 d + 1 d + 2 Ed+1 término de la construcción Borel Sd × Sd فارسى ED8 × D8 فارسىS d × Sd duración de la construcción de Borel Sd × Sd فارسى EH1 ×H1 فارسىS d × Sd Figura 6: El morfismo de las secuencias espectrales Para simplificar la notación deje que := a d + (a+ b)d+1. Entonces desde 7 11+ 12 7 Łd+1 {a, a+ b, b} a+ (a+ b) a + b) + a 7 d+2, a(a+ b) De ello se deduce que resD8H1 D8d+1(1),  d+1(a), d+1(b), d+1(a+b) = d+2, a(a+ b) La fórmula D+2 = a d+2 + (a+ b)d+2 = (a+a+b) ­d+1 + a(a+ b) ai(a+ b)d−1−i = b­d+1 + a(a+ b)(a+ a+ b) ai(a+ b)d−1−i = b­d+1 + a(a+ b)­d junto con la Observación 1.3 y el conocimiento de la restricción resD8H1 implica que resD8H1(ld) = ld. Por lo tanto, existen xα, xβ, xγ, x D8d+1(1) = ηd+1 + xα D8d+1(a),  d+1(b), d+1(a+b) = d+2 + xβ, y Dado que y divide ηd, la Proposición 7.2 implica que α = β = γ = 0, y Índice+2D8,F2S d × Sd = D8d+1(1), d+1(a), d+1(b), d+1(a+b) = d+1, = d+1, Observación 7.5. La propiedad que el homomorfismo descrito concretamente resD8H1 : H ∗(D8,F2[D8/H1)]→ H ∗(H1,F2[D8/H1)] es inyector más generalmente [13, Lemma en la página 187]. 7.3 ÍndiceD8,F2S d × Sd = d+1, γd+2, w En la sección anterior describimos el diferencial D8d+1 de la secuencia espectral Serre asociada con la construcción de Borel Sd × Sd → ED8 ×D8 Sd × Sd → BD8. El único diferencial restante, posiblemente no trivial, es el D82d+1. La siguiente propuesta describe E 2d+1 puede obtenerse a partir de la Figura 6. Proposición 7.6. E 2d+1 = ker D8d+1 : E d+1 → E d+1,d = x ·H*(D8,F2) Prueba. La propiedad de restricción de la Proposición 3.5(D), aplicada al elemento 1 E d+1 = H ∗(D8,F2) implica que فارسىD8d+1(1) 6= 0. Proposición 7.2, junto con el hecho de que la multiplicación por y y por w en H*(D8,F2[D8/H1)] es inyector, implica que ker D8d+1 : E d+1 → E d+1,d = xH*(D8,F2). La descripción del diferencial D82d+1 : E 2d+1 → E 2d+1,0 2d+1 viene de una manera indirecta. Hay un Mapa D8-equivariante Sd × Sd → Sd ∗ Sd •(d+1) dado por Sd × Sd (t1, t2) 7→ t2 â € ~ S d* Sd. El resultado de la sección 5.1 y la propiedad básica de el índice (Proposición 3.2) implica que ÍndiceD8,F2S d × Sd IndexD8,F2S((V V) •(d+1) ) = «wd+1». Por lo tanto wd + 1 + ÍndiceD8,F2S d × Sd. Puesto que por corolario 7.3 wd + 1 /+ Índice + 1D8,F2S d × Sd se deduce que wd+1 im D82d+1 : E 2d+1 → E 2d+2,0 Pero el único elemento no cero en E 2d+1 es x, por lo tanto D82d+1 (x) = w Esto concluye la prueba de la ecuación (60). 7.4 Una prueba alternativa, bosquejo El objetivo de nuestro cálculo del índice es encontrar el núcleo del mapa (cf. Sección 3) H*(ED8 ×D8 Sd × Sd ,F2) = H (Sd × Sd,F2)← H (pt,F2) = H *(ED8 ×D8 pt,F2). (66) Este mapa es inducido por el mapa de los espacios ED8 ×D8 (S d × Sd)→ ED8 × D8 pt. (67) De la definición del producto ×D8 el mapa (67) es inducido por ED8 × (S d × Sd) → ED8 × pt, es decir por (Sd × Sd)→ pt. El mapa (67), de nuevo por definición del producto ×D8 es ED8 × (S d × Sd) /D8 → (ED8 × pt) /D8. (68) Dejar S2 = Z2 denota el grupo de cociente D8/H1. Hay un homeomorfismos naturales [23, Proposición 1.59, página 40] ED8 × (S d × Sd) /S2 → ((ED8 × pt) /H1) /S2 (69) que es inducido por el mapa ED8 × (S d × Sd) /H1 → (ED8 × pt) /H1 (70) Puesto que ED8 es también un modelo para EH1, el mapa (70) es un mapa de proyección en la construcción de Borel de S con respecto al grupo H1: Sd × Sd ED8 × (S d × Sd) El grupo D8 actúa libremente sobre el ED8 × (S d × Sd) y en ED8 × pt. Por lo tanto, las acciones S2 en los espacios( ED8 × (S d × Sd) /H1 y (ED8 × pt) /H1 también son libres. Hay equivalencias naturales de la homotopía ED8 × (S d × Sd) /S2 ES2 ×S2 ED8 × (S d × Sd) ((ED8 × pt) /H1) /S2 ES2 × S2 ((ED8 × pt) /H1) que transforman el mapa (69) en un mapa de construcciones Borel ES2 ×S2 ED8 × (S d × Sd) → ES2 × S2 ((ED8 × pt) /H1) (72) inducido por el mapa (70) en las fibras. El mapa entre construcciones Borel (72) induce un mapa de secuencias espectrales Serre asociadas que en el plazo E2 parece 2 = H p(S2, H q(ED8 × Sd × Sd )/H1,F2))← H p(S2, H q(ED8 × pt) /H1,F2)) = H 2. (73) La secuencia espectral H 2 es el estudiado en la sección 4.2. Converge a H ∗(D8,F2) y H 2 = H Lemma 7,7. E 2 = E Prueba. La acción de H1 sobre S d × Sd es gratis. Por lo tanto ED8 × Sd × Sd /H1 Sd × Sd /H1 = RP d × RP d (74) donde la acción inducida de S2 a partir de ED8 × Sd × Sd /H1 en RP d × RP d intercambia las copias de RP d × RP d. La equivalencia S2-homotopy (74) induce un isomorfismo de Serre espectral inducido secuencias de construcciones Borel 2 = H p(S2, H ED8 × Sd × Sd H1, F2)) = H p(S2, H q(RP d × RP d,F2)) = G Puesto que para la secuencia espectral G 2, por [1, Teorema 1.7, página 118], sabemos que G 2 = G *, lo mismo * debe contener para la secuencia espectral E Hemos obtenido la siguiente presentación del mapa (66) y el correspondiente mapa de las fibras (70). Proposición 7.8. (A) El mapa H*D8(pt,F2) → H (Sd × Sd,F2) da lugar a un mapa de secuencias espectrales de S2-Borel construcciones 2 = H p(S2, H q(ED8 × pt) /H1,F2))→ H p(S2, H q(ED8 × Sd × Sd )/H1,F2)) = E 2 (75) que es inducido por el mapa en fibras ED8 × (S d × Sd) /H1 → (ED8 × pt) /H1. (B) El mapa de las fibras es el mapa de proyección de la construcción H1-Borel Sd × Sd → ED8 × (S d × Sd) /H1 → BH1. Está completamente determinado en la cohomología F2 por su núcleo: H*(H1,F2)→ H ED8 × (S d × Sd) /H1,F2) = ÍndiceH1,F2S d × Sd = "ad+1", (a+ b)d+1». La E 2 = E * y H. 2 = H Se describen por [1, Lemma 1.4, página 117]. Por lo tanto, ÍndiceD8,F2S o el núcleo del mapa de secuencias espectrales (75) está completamente determinado por el núcleo del mapa de S2-invariantes F2[a, a+b] F2[a, a+ b]/a d+1, (a+ b)d+1 H*(H1,F2) S2 → H*( ED8 × (S d × Sd) /H1,F2) donde la acción S2 es dada por un 7 a+ b. La ecuación (60) ÍndiceD8,F2S d × Sd = d+1, γd+2, w d + 1 + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + es una consecuencia de la discusión anterior, identificación de elementos (23) en la secuencia espectral (22) y la siguiente proposición sobre polinomios simétricos. Proposición 7.9. A) Un polinomio simétrico aik(a+ b)jk • F2[a, a+ b] S2 está en el núcleo del mapa (76) si y sólo si por cada monomio ad+1 aik(a+ b)jk o (a+ b)d+1 aik(a+ b)jk. (B) El núcleo del mapa (76), como ideal en F2[a, a+ b] S2 es generado por ad+1 + (a+ b)d+1, ad+2 + (a+ b)d+2, ad+1(a+ b)d+1. El enfoque que aquí se presenta, con todas sus ventajas, tiene dos desventajas: (1) El portador del límite inferior combinatorio para el problema de la partición de masa, el índice parcial Índice+2D8,F2S d × Sd, no se puede obtener sin esfuerzo adicional. (2) No se puede utilizar para el cálculo del índice Índiced+2D8,ZS d × Sd; la secuencia espectral H 2, si considerado con los coeficientes Z, es la secuencia (35) cuyo E-término tiene una estructura de anillo que difiere de H*(D8,Z). Estas fueron nuestras razones para presentar esta idea como un boceto. 8 ÍndiceD8,ZS Let Π0 = 0, Π1 = Y y Πn+2 = YΠn+1 +WΠn, para n ≥ 0, ser una secuencia de polinomios en H ∗ (D8,Z). Esta sección está dedicada a la prueba de la igualdad Índice+2D8,ZS d × Sd = d+2 ,Π d+4 ,MΠ d ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ d+1 ,Π d+3 ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ por ♪ impar ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ El índice está determinado por el cálculo explícito del término Ed+2 de la secuencia espectral de Serre asociado con la construcción de Borel Sd × Sd → ED8 ×D8 Sd × Sd → BD8. Al igual que en la sección anterior, el grupo D8 actúa no trivialmente sobre la cohomología de la fibra y, por lo tanto, la Los coeficientes en la secuencia espectral son locales. El término E2 es dado por 2 = H p(BD8,H q(Sd × Sd,Z)) = Hp(D8, H q(Sd × Sd,Z)) Hp(D8,Z), q = 0, 2d Hp(D8, H d(Sd × Sd,Z), q = d 0, q 6 = 0, d, 2d. Los coeficientes locales son no triviales en la d-ésima fila de la secuencia espectral. 8.1 La d-ésima fila como módulo H*(D8,Z) El módulo D8-M := H d(Sd × Sd,Z), como grupo abeliano, es isomórfico a Z× Z. Desde la acción de D8 en M depende de d distinguimos dos casos. 8.1.1 El caso cuando d es impar La acción sobre M está dada por *1 · (x, y) = (x, y), *2 · (x, y) = (x, y), * (x, y) = (y, x). Por lo tanto, hay un isomorfismo de los módulos D8-M = Z[D8/H1]. La situación se parece a la de la Sección 7.1, y por lo tanto las siguientes proposiciones sostienen. Proposición 8.1. H*(D8,Z[D8/H1]) ∗ (H1,Z). Prueba. La reclamación se deriva del lema de Shapiro [8, Proposición 6.2, página 73] y del hecho de que cuando [G : H ] hay un isomorfismo de G-módulos CoindGHM = IndGHM. Proposición 8.2. Let T â € € ¢ H* (D8,Z) y P â € H *(H1,Z) = H *(D8,Z[D8/H1)]. A) Medidas adoptadas por H*(D8,Z) en relación con H ∗(D8,Z[D8/H1)] T ·P := resD8H1 (T ) ·P. Aquí P en el lado derecho es un elemento de H*(H1,Z) y en el lado izquierdo es su isomórfico imagen bajo el isomorfismo de la proposición anterior. En particular, X·H*(D8,Z[D8/H1)] = 0. B) H* (D8,Z)-módulo H ∗(D8,Z[D8/H1)] es generada por los dos elementos 1, α • H*(H1,Z) = H ∗(D8,Z[D8/H1)] de grado 0 y 2. (C) El mapa H*(D8,Z[D8/H1)]→ H ∗(D8,F2[D8/H1)], inducido por el mapa del coeficiente Z→ F2, se indica por 1, α 7 1, a2. Prueba. El isomorfismo H*(D8,Z[D8/H1)] = anillo H ∗(H1,Z) inducida por el lema de Shapiro [8, Propo- Situación 6.2, página 73] lleva la estructura del módulo H*(D8,Z) a H ∗ (H1,Z) via res : H*(D8,Z) → H*(H1,Z). De esta manera la H completa ∗ (D8,Z)-módulo estructura se da en H *(D8,Z[D8/H1)]. Los la reclamación (B) se desprende del diagrama de restricciones (43). El morfismo de los diagramas de restricción inducidos por el homomorfismo de reducción de coeficiente c : Z→ F2 implica la última declaración. 8.1.2 El caso cuando d es par La acción sobre M está dada por *1 · (x, y) = (−x, y), *2 · (x, y) = (x,−y), * (x, y) = (y, x). En este caso nos vemos obligados a analizar la secuencia espectral de Bockstein asociada con la secuencia exacta de módulos D8-D8 →M → F2[D8/H1]→ 0, (79) i.e. con la pareja exacta H*(D8,M) ×2 H*(D8,M) H*(D8,F2[D8/H1)]. Primero estudiamos la secuencia espectral de Bockstein H*(H1,M) ×2 H*(H1,M) H*(H1,F2[D8/H1)]. Como en la Sección 7.2, tenemos que H*(H1,F2[D8/H1]) = F2[a, a + b] F2[a, a + b]. El módulo M como un El módulo H1 puede descomponerse en la suma de dos módulos H1 Z1 y Z2. Los módulos Z1 = Ab Z y Z2 = Ab Z son dados por *1 · x = −x, *2 · x = x y *1 · y = y, *2 · y = −y para x Z1 y y Z2. Esta descomposición también induce una descomposición de los módulos H1 F2[D8/H1] = F2 + F2. Así, la pareja exacta (81) se descompone en la suma directa de dos parejas exactas H*(H1, Z1) ×2 H*(H1, Z1) H ∗(H1, Z2) ×2 H*(H1, Z2) H*(H1,F2) H*(H1,F2) Dado que todos los mapas de estas parejas exactas son mapas H*(H1,Z)-módulo, la siguiente propuesta com- Determina abundantemente ambas parejas exactas. Proposición 8.3. En las parejas exactas (82) los diferenciales d1 = c d1(1) = a, d1(b) = b(b+a) y d1(1) = a+ b, d1(a) = d1(b) = ab. (83) Prueba. En ambas afirmaciones utilizamos el siguiente diagrama de parejas exactas inducidas por restricciones, donde i {1, 2}: (H1, Zi) ×2 H*(H1, Zi) (H1,F2) (K1, Zi) ×2 H*(K1, Zi) (K1,F2) (K2, Zi) ×2 H*(K2, Zi) (K2,F2) (K3, Zi) ×2 H*(K3, Zi) (K3,F2) La primera pareja exacta. El módulo Z1 es un módulo K1 y K3 no trivial, pero un módulo K2 trivial. Por lo tanto por las secuencias exactas largas (54), las propiedades de los cuadrados Steenrod y la suposición en el final de la sección 4.3.2: (A) Pareja exacta K1: d1(1) = t1 y d1(t1) = 0; (B) Pareja K2-exacta: d1(1) = 0 y d1(t2) = t (C) Pareja exacta K3: d1(1) = t3 y d1(t3) = 0. resH1K1(d1(1)) = t1 resH1K2(d1(1)) = 0 resH1K3(d1(1)) = t3  d1(1) = a resH1K1(d1(b)) = 0 resH1K2(d1(b)) = t resH1K3(d1(b)) = 0  d1(b) = b(b+a). La segunda pareja exacta. El módulo Z2 es un módulo no trivial K2 y K3, mientras que es un módulo trivial K1- módulo. Por lo tanto por el largo exacto (54), las propiedades de los cuadrados Steenrod y la suposición al final de la sección 4.3.2: (A) Pareja K1-exacta: d1(1) = 0 y d1(t1) = t (B) Pareja exacta de K2: d1(1) = t2 y d1(t2) = 0; (C) Pareja exacta K3: d1(1) = t3 y d1(t3) = 0. resH1K1(d1(1)) = 0 resH1K2(d1(1)) = t2 resH1K3(d1(1)) = t3  d1(1) = a+ b resH1K1(d1(b)) = t resH1K2(d1(b)) = 0 resH1K3(d1(b)) = 0  d1(b) = ab. Observación 8.4. El resultado de la propuesta anterior puede ser visto como un paso clave en una prueba alternativa de la ecuación (20). Proposición 8.5. En la pareja exacta (80), con identificación H*(D8,F2[D8/H1)] = F2[a, a + b], la diferencial d1 = s d1(1) = a, d1(a+b) = d1(b) = b(b+a), d1(a) 2) = a3. (84) (Esto determina d1 completamente ya que c y  son H ∗ (D8,Z)-módulo de mapas.) Prueba. Recuerde de la Observación 7.5 que el mapa de restricción resD8H1 : H ∗(D8,F2[D8/H1)]→ H ∗(H1,F2[D8/H1)] es inyector. A continuación, las ecuaciones (84) se obtienen llenando los lugares vacíos en los siguientes diagramas d1 a+ b d1 a2 * d1 a* (a+ b) a + b) + a * d1 b(b+ a)• ab a2 â € (a+ b)2 d1 a3 â € (a+ b)3 donde todos los mapas verticales son resD8H1. Corolario 8.6. H*(D8,M) se genera como H ∗ (D8,Z)-módulo de tres elementos: 1, 2, 3 de grado 1, 2, 3 de tal manera que c(­1) = a, c(­2) = b(a+ b), c(­3) = a donde c es el mapa H*(D8,M)→ H *(D8,F2[D8/H1)] de la pareja exacta (80). 8.2 Índice +2D8,ZS d × Sd La relación entre las secuencias de polinomios ∗(D8,F2) y Πd ∗ (D8,Z) se describe por el siguiente lema. Lemma 8.7. Let c* : H ∗(D8,Z)→ H ∗(D8,F2) ser el mapa inducido por el coeficiente de morfismo Z→ F2 (explícitamente dada por (40). Entonces por cada d ≥ 0, c*(Πd) = η2d. Prueba. Inducción en d ≥ 0. Para d = 0 y d = 1 la reclamación es obvia. Let d ≥ 2 y vamos a asumir que Reclamación mantenida por cada d ≤ k + 1. Entonces c*(Πk+2) = c*(YΠk+1 +WΠk) Hipo. = y2γ2k+2 + w 2γ2k = y 2η2k+2 + ywη2d+1 + ywη2d+1 + w = y(yü2k+2 + wü2d+1) + wü2d+1 + wü2k) = yü2k+3 + wü2k+2 = γ2k+4. Hay una secuencia de Inclusiones D8- S1 × S1 • S2 × S2 • · · · • Sd−1 × Sd−1 • Sd × Sd • Sd+1 × Sd+1 • · · implica una secuencia de inclusiones ideales Índice S1 × S1 Index4D8,ZS 2 × S2 · · · Indexd+1D8,ZS d−1 × Sd−1 Indexd+2D8,ZS d × Sd · · · (85) 8.2.1 El caso cuando d es impar En esta sección demostramos que Índice Sd × Sd = d+1 ,Π d+3 - Sí. (86) La prueba puede realizarse como en el caso de los coeficientes F2 (sección 7.2). Los resultados de la sección 7.2 También se puede utilizar para simplificar la prueba de la ecuación (86). El morfismo c* : H *(D8,Z) → H ∗(D8,F2) inducido por el coeficiente morfismo Z → F2 es una parte del morfismo C de las secuencias espectrales de Serre (78) y (61). Por lo tanto, para 1 E d+1 = H 0(D8, H d(Sd × Sd,Z)), 1+ E0,dd+1 = H 0(D8, H d(Sd × Sd,F2), α • E d+1 = H 2 D8, H d(Sd × Sd,Z)) y un E1,dd+1 = H 1 D8, H d(Sd × Sd,Z)), C(ld+1(1)) = ld+1(l) = ld+1(l) = ld+1 = C Π d+1 C(l+d+1(α)) = l+d+1(C(α)) = l+d+1(a) 2) = ld+1(w · 1° + y · a) = ld+1 + yld+2 = ld+3 = C D d+3 De la Proposición 8.2 y de la secuencia de inclusiones (85) se desprende que D+1(1) = Π d+1 y Łd+1(α) = Π d+3 Finalmente, la declaración (B) de la Proposición 8.2 implica ecuación (86). 8.2.2 El caso cuando d es par En esta sección demostramos que Índice+2D8,ZS d × Sd = d+2 ,Π d+4 ,MΠ d - Sí. (87) La sección anterior implica que ,Π d+2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + d × Sd d+2 ,Π d+4 - Sí. (88) De Corollary 8.6 sabemos que Índice + 2D8,ZS d × Sd es generado por tres elementos ­d+1(­1), ­d+1(­2), En el caso de los grados d + 2, d + 3, d + 3, d + 3, los grados d + 3. Por lo tanto, ­d+1(­1) = Π d+2 y Łd+1(­2) = MΠ d . Desde Π d+4 d+2 ,MΠ d D+4 = D+4 = D+3 = D+4 = D+3 = D+3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 + 4 . Se concluye la prueba de la ecuación (87). Alternativamente, la prueba se puede obtener con la ayuda del morfismo C de secuencias espectrales Serre (78) y (61). Bibliografía [1] A. Adem, R.J. Milgram, Cohomología de Grupos Finitos, Segunda Edición, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 309, Springer-Verlag, Berlín, 2004. [2] A. Adem,Z. Reichstein, Cohomología y Polinomios Simétricos Truncados, arXiv:0906.4799, 2009. [3] M. Atiyah, Personajes y Cohomología de Grupos Finitos, IHES Publ. matemáticas. No. 9, 1961. [4] Z. Balanov, A. Kushkuley, Métodos geométricos en Teoría de Grado para Mapas Equivariantes, Notas de Conferencia en Matemáticas 1632, Springer-Verlag, Berlín, 1996. [5] T. 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Belgrado, 64(78), 1998, 107-132. http://arxiv.org/abs/1004.0746 1 Introducción 1.1 El problema de la partición de masa del hiperplano 1.2 Declaración del resultado principal (k=2) 1.3 Sinopsis de la prueba 1.4 Evaluación de los límites del índice 1.4.1 Evaluación F2 1.4.2 Evaluación en Z 2 Espacio de configuración/esquema de mapas de prueba 2.1 Espacio de configuración 2.2 Mapa de pruebas 2.3 El espacio de ensayo 3 La teoría del índice Fadell-Husseini 3.1 Cohomología equivariante 3.2 ÍndiceG,R e ÍndiceG,Rk 3.3 El mapa de restricciones y el índice 3.4 Cálculos básicos del índice 3.4.1 El índice de un producto 3.4.2 El índice de una esfera 4 La cohomología de D8 y el diagrama de restricción 4.1 Pospuesto de subgrupos de D8 4.2 El anillo de cohomología H(D8,F2) 4.3 Diagrama de cohomología de subgrupos con coeficientes en F2 4.3.1 Diagrama Z2Z2- 4.3.2 El D8-diagrama 4.4 El anillo de cohomología H(D8,Z) 4.4.1 Opinión de las partes 4.4.2 Vista de secuencia espectral de Bockstein 4.5 El D8-diagrama con coeficientes en Z 4.5.1 Diagrama Z2Z2- 4.5.2 El D8-diagrama 5 ÍndiceD8,F2S(R4j) 5.1 ÍndiceD8,F2S(V-+V+-)="426830A w"526930B 5.2 ÍndiceD8,F2S(V–)="426830A y"526930B 5.3 ÍndiceD8,F2S(R4j)="426830A yjwj"526930B 6 ÍndiceD8,ZS(R4j) 6.1 El caso cuando j es par 6.2 El caso cuando j es impar 7 ÍndiceD8,F2SdSd 7.1 La d-ésima fila como un módulo H(D8,F2) 7.2 ÍndiceD8,F2d+2SdSd="426830A d+1,d+2"526930B 7.3 ÍndiceD8,F2SdSd="426830A d+1,d+2,wd+1"526930B 7.4 Una prueba alternativa, bosquejo 8 ÍndiceD8,Z SdSd 8.1 La d-ésima fila como un módulo H(D8,Z ) 8.1.1 El caso cuando d es impar 8.1.2 El caso cuando d es par 8.2 ÍndiceD8,Zd+2SdSd 8.2.1 El caso cuando d es impar 8.2.2 El caso cuando d es par

Calculamos el índice Fadell-Husseini completo del grupo diedral de 8 elementos D_8 actuando sobre S^d \times S^d, tanto para F_2 como para coeficientes enteros. Esto establece la cohomología de goup completa límites inferiores para los dos hiperplanos caso de problema de partición de masa de Gr"unbaum 1960: Para el cual d y j puede cualquier j medidas arbitrarias se cortan en cuatro partes iguales cada uno por dos adecuadamente elegidos hiperplanos en R^d? En ambos casos, encontramos que los límites ideales no son más fuertes que los límites establecidos previamente basados en uno de los abelios máximos subgrupos de D_8.

Introducción 2 1.1 El problema de la partición en masa del hiperplano........................ 2 1.2 Declaración del resultado principal (k = 2)........................ 3 1.3 Sinopsis de la prueba................................. 5 1.4 Evaluación de los límites del índice. ............................ 5 1.4.1 Evaluación F2. ................................ 5 1.4.2 Evaluación en Z. ................................. 6 2 Espacio de configuración/esquema de mapas de prueba 8 2.1 Espacio de configuración. .................................. 8 2.2 Mapa de pruebas. ....................................... 9 2.3 El espacio de ensayo.................................. 10 * La investigación que ha dado lugar a estos resultados ha recibido financiación del Consejo Europeo de Investigación en el marco del Consejo Europeo de Investigación. Séptimo Programa Marco de la Unión (7o PM/2007-2013) / Acuerdo de subvención del CEI no. 247029-SDModels. También se apoya mediante la subvención ON 174008 del Ministerio de Ciencia y Medio Ambiente de Serbia. • La investigación que ha dado lugar a estos resultados ha recibido financiación del Consejo Europeo de Investigación en el marco de la Unión Europea. Séptimo Programa Marco de la Unión (7o PM/2007-2013) / Acuerdo de subvención del CEI no. 247029-SDModels. http://arxiv.org/abs/0704.1943v4 pavleb@mi.sanu.ac.rs ziegler@math.tu-berlin.de 3 La teoría del índice Fadell-Husseini 11 3.1 Cohomología equivariante ................................ 11 3.2 ÍndiceG,R e índice G,R................................ 11 3.3 El mapa de restricciones y el índice. ............................ 12 3.4 Cálculos básicos del índice. ............................... 14 3.4.1 El índice de un producto. ............................... 14 3.4.2 El índice de una esfera........................... 16 4 La cohomología de D8 y el diagrama de restricción 17 4.1 El postulante de subgrupos de D8............................ 17 4.2 El anillo de cohomología H*(D8,F2)....................... 17 4.3 Diagrama de cohomología de subgrupos con coeficientes en F2................. 19 4.3.1 El diagrama Z2 × Z2....................... 19 4.3.2 El D8-diagrama. ................................ 19 4.4 El anillo de cohomología H*(D8,Z)........................................................................................................................................................................................................................................................ 4.4.1 Opinión de las pares..................................... 21 4.4.2 La vista de secuencia espectral de Bockstein. ...................... 23 4.5 Diagrama D8 con coeficientes en Z....................... 25 4.5.1 El diagrama Z2 × Z2....................... 26 4.5.2 El D8-diagrama. ............................... 26 5 ÍndiceD8,F2S(R 4 ) 27 5.1 ÍndiceD8,F2S(V-V-V) = -w®. .............................. 27 5.2 ÍndiceD8,F2S(V) = «y». ................................ 28 5.3 ÍndiceD8,F2S(R 4 ) = jwjó. ............................... 28 6 ÍndiceD8,ZS(R 4 ) 28 6.1 El caso cuando j es par. ................................ 29 6.2 El caso cuando j es impar. ................................ 29 7 ÍndiceD8,F2S d×Sd 33 7.1 La d-ésima fila como un módulo H*(D8,F2). ........................... 33 7.2 Índice +2D8,F2S d × Sd = d+1, ηd+2.................................................................................................................... 35 7.3 ÍndiceD8,F2S d × Sd = d+1, γd+2, w d+1°.......................... 36 7.4 Una prueba alternativa, boceto. ............................... 37 8 ÍndiceD8,ZS d×Sd 39 8.1 La d-ésima fila como módulo H*(D8,Z). ........................... 39 8.1.1 El caso cuando d es impar. ............................. 39 8.1.2 El caso cuando d es par. ............................. 40 8.2 Índice +2D8,ZS d × Sd. ................................ 42 8.2.1 El caso cuando d es impar. ............................. 43 8.2.2 El caso cuando d es par. ............................. 43 1 Introducción 1.1 El problema de la partición de masa del hiperplano Una distribución de masa en Rd es una medida finita de Borel μ(X) = fdμ determinado por una densidad integrable función f : Rd → R. Cada hiperplano afín H = {x â € Rd â € x, vâ € = â € en Rd determina dos semiespacios abiertos H− = {x â € € € TM Rd â € € €, vâ € < €, y H+ = {x â € € Rd â € €, vâ € >. Ortante de una disposición de k hiperplanosH = {H1, H2,. .., Hk} en R d es una intersección de semiespacios O = Hα11 k, para algunos αj • Z2. Así que hay 2 k ortos determinados por H y son: Índice natural por elementos del grupo (Z2) Un arreglo de hiperplanos H equipaarts una colección de distribuciones de masa M en Rd si para cada uno ortont O y cada medida μ â € TM M que tenemos μ(O) = 1 μ(Rd). Un triple de enteros (d, j, k) es admisible si para cada colecciónM de distribuciones de masa j en Rd allí existe un arreglo de k hiperplanos H equiparlos. El problema general formulado por Grünbaum [16] en 1960 puede afirmarse de la siguiente manera. Problema 1.1. Determine la función : N2 → N dada por * (j, k) = min{d (d, j, k) es un triple admisible}. El caso de un hiperplano, (j, 1) = j, es el famoso teorema sándwich de jamón, que es equivalente al teorema de Borsuk-Ulam. La igualdad (2, 2) = 3, y, por consiguiente, (1, 3) = 3, fue probada por Hadwiger [17]. Ramos [30] dio un límite general más bajo para la función (j, k) ≥ 2 j. 1).......................................................................................................................................................... Recientemente, Mani-Levitska, Vrećica y Živaljević [26] aplicaron la teoría del índice Fadell-Husseini para un elemen- subgrupo tary abelian (Z2) k del grupo Weyl Wk = (Z2) k Sk para obtener un nuevo límite superior para el función • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •(2q + r, k) ≤ 2k+q−1 + r. (2) En el caso de j = 2l+1 − 1 medidas y k = 2 hiperplanos estos límites producen la igualdad (j, 2) = 3 1.2 Declaración del resultado principal (k = 2) Este artículo aborda el Problema 1.1 para k = 2 usando dos diferentes pero relacionadas Espacio de configuración/Prueba Planes cartográficos (Sección 2, Proposición 2.2). • El esquema de producto es el clásico, ya considerado en [32] y [26]. El problema es traducido al problema de la existencia de un mapa Wk-equivariante, Yd,k := (R2k) donde Wk = (Z2) k Sk es el grupo Weyl. • El esquema de unión es nuevo. Conecta el problema con las propiedades clásicas Borsuk-Ulam en el espíritu de Marzantowicz [27]. Se plantea la pregunta de si existe un mapa Wk-equivariante Xd,k := Uk × (R2k) Las representaciones Wk R2k y Uk se introducen en la sección 2.2. Los métodos de teoría de la obstrucción no se pueden aplicar a cualquiera de los esquemas directamente para k > 1, ya que las acciones Wk en los respectivos espacios de configuración no son libres (comparar [26, sección 2.3.3], suposiciones sobre el múltiple Mn). Por lo tanto, analizamos la pregunta equivariante asociada para k = 2 a través del método de teoría de índice ideal Fadell-Husseini. Demostramos que el esquema de unión considerado desde el El punto de vista de Fadell-Husseini, con coeficientes F2 o Z, no obstaculiza la existencia de el mapa equivariante en cuestión (Observaciones 5.3 y 6.3). En el caso del esquema de productos que damos el límites ideales obtenidos mediante el uso de todo el grupo de simetrías mediante la prueba del siguiente teorema. Teorema 1.2. Que ηd, d ≥ 0, sean polinomios en F2[y, w] dados por ηd(y, w) = d− 1− i wiyd−2i y Πd, d ≥ 0, ser polinomios en Z[Y,M,W]/+2Y, 2M, 4W,M 2 − WY® dada por Πd(Y,W) = d− 1− i W iYd−2i. (A) F2-encuadernado: El triple (d, j, 2) N 3 es admisible si yjwj / d+1, γd+2 F2[y, w]. (B) Z-bound: El triple (d, j, 2) N3 es admisible si (j − 1)mod2 Y jmod2 Y 2 M, jmod 2 Y • (d− 1)mod 2 Π d+2 , (d− 1)mod2 Π d+4 (d - 1)mod 2 MΠ d dmod 2 Π d+1 , dmod 2 Π d+3 en el anillo Z[Y,M,W]/+2Y, 2M, 4W,M2 −WY®. Observación 1.3. Que d, d ≥ 0, sea la secuencia de polinomios en Z[Y,W ] definida por 0 = 0, 1 = Y y d+1 = Y d +W d−1 para d ≥ 2. A continuación, las secuencias de polinomios Πd y πd son reducciones de los polinomios d. Los polinomios d también se puede describir por la función generadora (potencia formal serie) d = 1 − Y − W donde d es homogéneo de grado 2d si fijamos deg(Y) = 2 y deg (W) = 4. Teorema 1.2 es una consecuencia de un resultado topológico, el cálculo completo y explícito de la índices Fadell-Husseini pertinentes del espacio D8 S d × Sd y la S(R D8-esfera Teorema 1.4. A) Índice D8,F2 4 ) = ÍndiceD8,F2S(R 4 ) = jwjó. B) Índice+2D8,F2(S d × Sd) = d+1, (C) Índice 4 ) = 2 â € TM, para j par, 2 M,Y 2 â ¢, para j impar. (D) Índiced+2D8,ZS d × Sd = d+2 ,Π d+4 ,MΠ d ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ para d par, d+1 ,Π d+3 ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ por ♪ impar ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ La secuencia de índices Fadell-Husseini se introducirá en la Sección 3. Las acciones de la diedra grupo D8 y la definición del espacio de representación R 4 figuran en la sección 2. A pesar de que lo hace no parece tener ninguna relevancia para nuestro estudio del Problema 1.1, el índice completo ÍndiceD8,F2(S d×Sd) se calcularán también en el caso de los coeficientes F2, ÍndiceD8,F2(S d × Sd) = d+1, γd+2, w d + 1 + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 3) Observación final 1.5. Las versiones preimpresas de este artículo, publicadas en el arXiv en abril de 2007 y julio 2008, arXiv0704.1943v1–v2, han sido referenciados en diversas aplicaciones: ver Gonzalez y Landweber [15], Adem y Reichstein [2], así como [6]. 1.3 Sinopsis de la prueba El Problema 1.1 sobre particiones de masa por hiperplanos puede ser conectado con el problema de la existencia de mapas equivariantes, como se explica en la Sección 2, Proposición 2.2. Los problemas topológicos que enfrentamos, sobre la existencia de Wk = (Z2) k Sk-equivariantes mapas, para los esquemas de producto / unión, Uk ×R tienen que ser tratados con cuidado porque las acciones de los grupos de Weyl Wk no son libres. Tenga en cuenta que hay ningún teorema ingenuo Borsuk-Ulam para acciones libres de puntos fijos. En efecto, en el caso k = 2 cuando W2 = D8 existe un mapa equivariante W2 [5, Teorema 3.22, página 49] (V V) (U2 V) a pesar de que tenue (V V) > dim (U2+V) . El W2 = D8-representaciones V V, V y U2 se introducen en la sección 2.2. En este artículo nos centramos en el caso de k = 2 hiperplanos. Teorema 1.2 da la mejor respuesta posible a la pregunta sobre la existencia de mapas W2 = D8-equivariantes Sd × Sd S(R desde el punto de vista de la teoría del índice Fadell-Husseini (sección 3). Nosotros computamos explícitamente el relevante Índices Fadell-Husseini con coeficientes F2 y Z (Teorema 1.4, secciones 5, 6, 7 y 8). Entonces teorema 1.2 es una consecuencia de la propiedad del índice básico, Proposición 3.2. El índice de la esfera S(R 4 ), con coeficientes F2, se calcula en la sección 5 por • descomposición de la representación D8 R 4 en una suma de los irreductibles, y • cálculo de índices de esferas de todas las representacións irreducibles D8. La principal herramienta técnica es el diagrama de restricción derivado de la sección 4.3.2, que conecta los índices de los subgrupos de D8. El índice con coeficientes Z se calcula en la sección 6 utilizando • (para j par) los resultados de los coeficientes F2 y la comparación de las secuencias espectrales de Serre, y • (para j impar) la secuencia espectral de Bockstein combinada con los resultados conocidos para los coeficientes F2 y comparación de secuencias espectrales de Serre. El índice del producto Sd × Sd se calcula en las secciones 7 y 8 mediante un estudio explícito del Serre secuencia espectral asociada con la fibración Sd × Sd → ED8 × D8 (S d × Sd)→ BD8. La dificultad mayor proviene de la no trivialidad de los coeficientes locales en la secuencia espectral de Serre. Los El cálculo de la secuencia espectral con coeficientes locales no triviales se realiza mediante un estudio independiente de H*(D8,F2)-módulo y H * Estructuras del módulo D8, Z de las filas pertinentes en la secuencia espectral de Serre (Secciones 7.1 y 8.1). 1.4 Evaluación de los límites del índice 1.4.1 Evaluación F2 Se nos señaló que, con los coeficientes F2, el índice D8 da lo mismo límites como el H1 = (Z2) índice consolidado. Esta observación se deriva de la implicación ajbj(a+ b)j â € € â € € € € € TM ajbj(a+ b)j â € € € € € € € TM ajbj(a+ b)j € € ajbj(a+ b)j € € € ajbj(a+ b)j € € > ajbj(a+ b)j € > ajbj(a+ b)j € € € € € > ajbj+ 1 € € € € € € € € € € · ajbj+ b)j+ b)j € € € € € € € € € € € €. ajbj+ b)j+ b)j+ € € € €. Al introducir una nueva variable c := a+ b, es suficiente para probar la implicación ajcj(a+ c)j â € € € € TM ajcj(a+ c)j â € € € TM ajcj(a+ c)j â € € € TM ajcj(a+ c)j â € € € € TM ajcj(a+ c)j â € € € € € € € € € € € € € € · ajcj(a+ c)j+ c)j â € € € € € € € € € · ajc+ c)j â € € · ad+ 1, cd+ 1, cd+ 1 € € € € ajcjjjjj(a+ c)j(a+ c)j € € €. 4) Asumamos que ajcj(a + c)j â € â € € TM ad+1, cd+1â € € TM a. Los monomios en la expansión de ajcj(a + c)j siempre vienen en parejas ad+kc3j−d−k + cd+ka3j−d−k. Esto también es cierto cuando j es incluso desde =mod2 0 implica que no hay términos intermedios. La secuencia de ecuaciones ad+1c3j−d−1 + cd+1a3j−d−1 = (ad+1 + cd+1)(c3j−d−1 + a3j−d−1) + a3j + c3j ad+2c3j−d−2 + cd+2a3j−d−2 = (ad+1 + cd+1)(ac3j−d−2 + a3j−d−2c) + a3j−1c+ ac3j−1 . ... a3j + c3j = (ad+2 + cd+2)(a3j−d−2 + c3j−d−2) + ad+2c3j−d−2 + cd+2a3j−d−2 muestra que todos los binomios ad+1c3j−d−1 + cd+1a3j−d−1, ad+2c3j−d−2 + cd+2a3j−d−2,. ................................................ pertenecen al ideal â € € TM ad+1 + cd+1, ad+2 + cd+2â € o ninguno de ellos lo hacen. Desde 3j − d− 1 par 3j−d−1 3j−d−1 2 + c 3j−d−1 3j−d−1 2 = (ad+1 + cd+1)a 3j−d−1 3j−d−1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # y para 3j − d− 1 impar ad+2+ 3j−d−2 3j−d−2 2 + cd+2+ 3j−d−2 3j−d−2 2 = (ad+2 + cd+2)a 3j−d−2 3j−d−2 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # la implicación (4) queda demostrada. 1.4.2 Evaluación en Z Más es cierto, incluso el índice D8 completo encuadernado, ahora con los coeficientes Z, implica los mismos límites que hace el subgrupo H1 = (Z2) para el problema de partición de masa de k = 2 hiperplanos. Lemma 1.6. Dejar a = i y b = Yo soy las expansiones dyádicas. Entonces mod 2 Este hecho clásico [25] acerca de los coeficientes binomial mod 2 produce la siguiente propiedad para la secuencia de polinomios Πd, d ≥ 0. Lemma 1.7. Dejar q > 0 e i ser enteros. Entonces 2q−1−i 0, i 6= 0 1, i = 0 (B) Π2q = Y Prueba. La declaración (B) es una consecuencia directa del hecho (A) y de la definición de polinomios Πd. En el caso de i/ {1,....., 2q−1} la declaración (A) es cierta a partir de las condiciones límite en los coeficientes binomial. Vamos. i {1,............................................................................................................................................................................................................................................................. # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 2k. Entonces 2q − 1− i = 20 + 21 + 22 + · · 2q−1 − # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. KâIc0,...,q−1} donde Ic es el índice complementario establecido en {0,...., q−1}. La declaración (A) se deriva de Lemma 1.6 Que j sea un entero tal que j = 2q + r donde 0 ≤ r < 2q y d = 2q+1 + r − 1. Vamos a presentar la siguiendo ideales 2 â € ¢, para j par, 2 M,Y 2 â € TM a, para j impar, Y Bd = d+2 ,Π d+4 ,MΠ d â € TM a, para d par, d+1 ,Π d+3 # Por extraño # El hecho de que el índice D8 unido a los coeficientes Z no mejore los límites de particiones de masa obtenidos utilizando el subgrupo H1 = (Z2) es consecuencia de los siguientes hechos: • r = 0 Aj Bd, • (r 6= 2q − 1 y Aj Bd) = Aj+1 Bd+1, que se demuestran en Lemma 1.8 y 1.9, respectivamente. Lemma 1.8. •Y2 • = A2q B2q+1−1 = 2q,Π2q+1®. Prueba. Desde Y2 = Π2q−1 por Lemma 1.7, W = Π2q−1W = Π2q−1+2 + YΠ2q−1+1 + 2q−1+1,Π2q−1+2». Por inducción en la potencia i de W en Y2 W i 2q−1+i,Π2q−1+i+1®, y, en consecuencia, 2q,Π2q+1. Lemma 1.9. Si r 6= 2q − 1 y Aj Bd entonces Aj+1 Bd+1. Prueba. Distinguimos dos casos dependiendo de la paridad de j. (A) Que j sea par y Y 2 d+1 ,Π d+3 - Sí. Hay polinomios α y β tales que 2 = d+1 + d+3 (j+1)+1 (j+1)−1 2 M = Y 2M = YM d+1 + d+3 (d+1)+2 ,MΠ d+1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ,Π d+5 ,MΠ d+1 • = Bd+1, (j+1)+1 (j+1)+1 2 = YW d+1 + d+3 = αM2Π d+1 + βYWΠ d+3 • MΠ d+1 ,Π d+3 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ,Π d+5 ,MΠ d+1 • = Bd+1. Así Aj+1 Bd+1. (B) Que j sea impar y 2 M,Y 2 = Aj Bd = d+2 ,Π d+4 ,MΠ d Hay polinomios α, β y γ tales que 2 = d+2 + d+4 + γMΠ d y ninguna ocurrencia de la relación definitoria Π d+4 = YΠ d+2 +WΠ d , Observación 1.3, se puede restar de la presentación. A continuación, γMΠ d # # # D+2 # ,Π d+4 , y sinceM es de grado impar γ = M. En el primer caso la inclusión Aj+1 Bd+1 sigue directamente. Considerar γ = Mγ ′. Desde (Y+X )WΠi = YWΠi por cada i > 0, tenemos que 2 = d+2 + d+4 + M2Π d = d+2 + d+4 + YWΠ d = d+2 + d+4 + Y(YΠ d +1 d +2) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ,Π d+4 • = Bd+1. Así Aj+1 Bd+1. Agradecimientos Estamos agradecidos a Jon Carlson y a Carsten Schultz por comentarios útiles y observaciones perspicaces. El árbitro proporcionó muchas sugerencias y comentarios útiles que se incorporan en la última versión del manuscrito. Parte de este trabajo se realizó en el marco del programa MSRI “Aplicaciones Computacionales de Topología algebraica” en el semestre de otoño de 2006. 2 Espacio de configuración/esquema de mapas de prueba El paradigma del espacio de configuración/mapa de pruebas (CS/TM) (formalizado por Živaljević en [31], y también beau- sutilmente expuesto por Matoušek en [28]) ha sido muy poderoso en la derivación sistemática de la topología límites inferiores para problemas de Combinatoria y Geometría Discreta. En muchos casos, el problema sugiere espacios de configuración naturalX, Y, un grupo de simetría finitoG, y un conjunto de pruebas Y0 • Y, donde uno intentaría mostrar que cada mapa G-equivariante f : X → Y debe Dale a Y0. La herramienta canónica es entonces el teorema de Dold, que dice que si las acciones del grupo son libres, entonces el map f debe golpear el conjunto de prueba Y0 • Y si la conectividad de X es más alta que la dimensión de Y \ Y0. Para el éxito de este “enfoque canónico” uno necesita crucialmente que un resultado como el teorema de Dold es aplicable. Por lo tanto, la acción de grupo debe ser libre, por lo que a menudo se reduce la acción de grupo a un prime orden subgrupo cíclico del grupo completo de simetría, y los resultados pueden seguir sólo en “el caso principal”, o con más esfuerzo y herramientas más profundas en el caso de la potencia principal. El principal ejemplo de esto es el topológico Tverberg Problem, que todavía no se resuelve para (d, q) si d > 1 y q no es una potencia principal [28, Sección 6.4, página 165]. Así que en general uno tiene que trabajar mucho más duro cuando el enfoque “canónico” falla. A continuación, presentamos espacios de configuración y mapas de prueba para el problema de partición de masa. 2.1 Espacio de configuración El espacio de todos los hiperplanos afín orientados en Rd se puede identificar naturalmente con el subespacio de la esfera Sd obtenido mediante la eliminación de dos puntos, a saber, los "hiperplanos orientados en el infinito". De hecho, vamos a Rd estar incrustado en Rd+1 por (x1,. .., xd) 7 (x1,. ., xd, 1). Entonces cada hiperplano afín orientado H en Rd determina un hiperplano orientado único H a través del origen en Rd+1 de tal manera que H inversamente si el hiperplano en el infinito está incluido. El hiperplano orientado exclusivamente determinado por el vector unitario v • Sd es denotado por Hv y la orientación supuesta es determinada por el medio-espacio H Entonces Hv = H v. El candidato obvio y de uso clásico para el espacio de configuración asociado con el problema de la prueba de la admisibilidad de (d, j, k) es Yd,k = El grupo relevante que actúa en este espacio es el grupo Weyl Wk = (Z2) k Sk. Cada Z2 = (1,−1}, ·) actúa antipodalmente sobre la copia apropiada de Sd (cambiando la orientación de los hiperplanos), mientras que Sk actúa permutando copias. El segundo espacio de configuración que podemos utilizar es Xd,k = S d ∗ · · · * Sd # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # k copias = Sdk+k−1. Los elementos de Xd,k se designan por t1v1 + · · tkvk, con ti ≥ 0, t1 = 1, vi + S d. El grupo Weyl Wk actúa en Xd,k por (t1v1 + · tivi + · · tkvk) = t1v1 + · · ti(−vi) + · tkvk, η · (t1v1 + · · tivi + · · tkvk) = t1(1)v1(1) + · · t1(i)v1(i) + · · t1(k)v1(k), donde Łi es el generador de la i-ésima copia de Z2 y  Sk es una permutación arbitraria. 2.2 Mapa de pruebas LetM = 1,. ..., μj} ser una colección de distribuciones de masa en R d. Dejar que las coordenadas de R2 ser indexado por los elementos del grupo (Z2) k. El grupo Weyl Wk actúa sobre R 2k actuando sobre su índice de coordenadas conjunto (Z2) k de la siguiente manera: ((β1,. ........................................................................ .., αk) = β11(1). ............................................................................................................................................................................................................................................................... El mapa de la prueba : Yd,k → (R 2k)j utilizado con el espacio de configuración Yd,k es un mapa Wk-equivariante dado por (v1,. .., vk) = # # # # # Hαkvk # # # # # Hαkvk # # # # # Hαkvk # # # # # Hαkvk # # # # # Hαkvk # # # # Hαkvk # # # # Hαkvk # # # # Hαkk # # # # Hαkk # # # Hαk # # # # Hαkk # # # # Hαkkk # # # # # Hαkkk # # # # # # # # Hαkk # # # # # Hα # # Hαkk # # # # # # Hα # # # Hαkkkkkk # # # # # # # # # # # # # # # # # (α1,...,αk)(Z2)k i1,...,j} Denote el componente i-ésimo de la letra i) por la letra i), i = 1,..., j. Para definir un mapa de prueba asociado con el espacio de configuración Xd,k, discutimos el (Z2) K- y Wk- estructuras de módulo en R2 Todas las representaciones irreductibles del grupo (Z2) k son 1-dimensionales. Están en bijección con el homomorfismos (características) χ : (Z2) k → Z2. Estos homomorfismos están completamente determinados por el los valores de los grupos electrógenos...................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... k, es decir. por el vector (χ(1),. ................................................ Para (α1,. ........................................................................................................... k let Vα1...αk = span{vα1...αk} 2k denotan la representación 1-dimensional dada por vα1...αk = αi vα1...αk El vector vα1...αk 2k se determina de forma única hasta una multiplicación escalar por −1. Tenga en cuenta que •vα1...αk, vβ1...βk® = 0 para α1. αk 6= β1. βk. Para k = 2, con la abreviatura + para +1, − para −1, el conjunto del índice de coordenadas para R4 es,,,. Entonces v++ = (1, 1, 1), v = (1,−1, 1,−1), v = (1, 1,-1,-1), v = (1,-1,-1, 1). La siguiente descomposición de (Z2) k-módulos mantiene, con la identificación del índice (Z2) k =,k, k # # # V # # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # # V # # # # V # # # # # V # # # # V # # # # V # # # # # # V # # # # # # V # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # V # # # # # # V # # V # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # α1...αk®(Z2)k Vα1...αk donde V es el trivial (Z2) K-representación. Que R2k denote el complemento ortogonal de V y η : R2 → R2k la proyección asociada (equivariante). Explícitamente R2k = {(x1,. .................................................................................................................... xi = 0} = α1...αk®(Z2)k)} Vα1...αk, (5) x = (x1,. .., x2k) 7 1 1 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; x, vα1...αk) α1...αk®(Z2)k donde, denota el producto interior estándar de R2 . Observar que im  = (Yd,k) (R2k) Dejar α1. .. αk • (Z2) k y dejar η(α1. .. αk) = αi). La siguiente descomposición de los módulos Wk # Sostiene # k # # # V # # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # V # # # # V # # # # V # # # # # V # # # # V # # # # V # # # # # # V # # # # # # V # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # V # # # # # # V # # V # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # n=η(α1,...,αk) Vα1...αk = V R2k. 6) El mapa de prueba : Xd,k → Uk × (R2k) es definido por (t1v1 + · · tkvk) = ,. ............................................................... 1 · · · t k i (v1,. .., vk), vα1...αk α1...αk®(Z2)k Aquí Uk = {(1,. .............................................................. i = 0} es un módulo Wk con una acción dada por ((β1,. ........................................................................ ................................................................................... 1(1). ....................................................................................... El subgrupo (Z2) k actúa trivialmente en Uk. La acción sobre Uk× (R2k) se supone que es la acción diagonal. El mapa de la prueba es bien definido, continuo y Wk-equivariante. Ejemplo 2.1. El mapa de prueba : Xd,k → Uk × (R2k) es en el caso de k = 2 hiperplanos y j = 1 medida dada por  : Xd,2 → U2 × R4 = U2 × ((V V) V) y (t1v1 + t2v2) = , t2 − T1 (v1, v2), v, t2 (v1, v2), v, t1t2 (v1, v2), v) donde (v1, v2) = Hα2v2)− μ(Rd) α1α2°(Z2)2 • R4. 2.3 El espacio de ensayo Los espacios de prueba para los mapas ♥ y  son los orígenes de (R2k) y Uk × (R2k) , respectivamente. Los las construcciones que realizamos en esta sección satisfacen las hipótesis habituales para el esquema CS/TM. Proposición 2.2. (i) Para una colección de distribuciones de masa M = 1,. ...., μj} let فارسى : Yd,k → (R2k) y  : Xd,k → Uk × (R2k) ser los mapas de ensayo correspondientes. Si (0,.............................................................................................................................................................................................................................................................. entonces existe un arreglo de k hiperplanos H en Rd equipar la colección M. ii) Si no hay un mapa Wk-equivariante con respecto a las acciones definidas anteriormente, Yd,k → (R2k) *(0,............................................................................................................................................................................................................................................................. (R2k) Sj(2 k−1)−1, o Xd,k → Uk × (R2k) *(0,............................................................................................................................................................................................................................................................. Uk × (R2k) Sj(2 k−1)+k−2, entonces el triple (d, j, k) es admisible. (iii) Específicamente, para k = 2, si no hay un mapa equivariante D8 = W2, con las acciones ya definidas, Yd,2 → (R4) •(0,...., 0)}, o Yd,2 → S • S3j−1, o Xd,2 → U2 × (R4) *(0,....., 0)}, o S2d+1 * Xd,2 → S U2 × (R4) S3j, entonces el triple (d, j, 2) es admisible. Observación 2.3. La acción de Wk en la esfera S(U2 × (R4) j) es punto fijo libre, pero no libre. Para k = 2, la acción del subgrupo único Z4 de W2 = D8 en la esfera S(U2 × (R4) j) es un punto fijo libre. La condición necesaria para la inexistencia de un mapa de Wk equivariante Xd,k → S(Uk × (R2k) implicado por el teorema equivariante Kuratowski–Dugundji [4, Teorema 1.3, página 25] es dk + k − 1 > j(2k − 1) + k − 2 d ≥ 2 j. 7).................................................................................................................................................. Para k = 2 la condición (7) se convierte en d ≥ 3 - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! (8) 3 La teoría del índice Fadell-Husseini 3.1 Cohomología equivariante Que X sea un G -space y X → EG×GX → BG el haz universal asociado, con X como fibra típica. EG es un espacio celular contractible en el que G actúa libremente, y BG := EG/G. El espacio EG ×G X = (EG×X) /G se llama la construcción Borel de X con respecto a la acción de G. El equivariante cohomología de X es la cohomología ordinaria de la construcción Borel EG×G X, H*G(X) := H * (EG×G X). La cohomología equivariante es un módulo sobre el anillo H*G(pt) = H ∗ (BG). Cuando X es un espacio G libre el equivalencia homotópica EG×G X X/G induce un isomorfismo natural H*G(X) ∗ (X/G). El paquete universal X → EG ×G X → BG, para los coeficientes en el anillo R, induce un Serre espectral secuencia que converge con el grupo graduado Gr(H*G(X,R)) asociado con H G(X,R) adecuadamente filtrado. En este artículo “anillo” significa anillo conmutativo con un elemento unitario. El término E2 es dado por p(BG,Hq(X,R)), (9) donde Hq(X,R) es un sistema de coeficientes locales. Para un grupo discreto G, el término E2 de la espectral secuencia se puede interpretar como la cohomología del grupo G con coeficientes en el G-móduloH*(X,R), = Hp(G,Hq(X,R)). (10) 3.2 ÍndiceG,R e índice Que X sea un G-espacio, R un anillo y X el anillo homomorfismo en la cohomología X : H *(BG,R)→ H*(EG×G X,R) inducido por la proyección EG×G X → EG×G pt فارسى BG. El índice Fadell-Husseini (valorado ideal) de un G-espacio X es el ideal del núcleo de X, ÍndiceG,RX := ker X H ∗ (BG,R). La secuencia espectral de Serre (9) da una representación del homomorfismo X como la composición H*(BG,R)→ E 2 → E 3 → E 4 → · · · → E * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (EG×G X,R). El índice k-th Fadell-Husseini está definido por ÍndicekG,RX = ker H*(BG,R)→ E , k ≥ 2, Índice1G,RX = {0}. De las definiciones pueden derivarse las siguientes propiedades de los índices. Proposición 3.1. Que X, Y sean G-espacios. (1) IndexkG,RX H *(BG,R) es un ideal, para cada k. (2) Índice1G,RX Índice Índice G,RX G,RX · · · IndexG,RX; Índice de k+N G,RX = IndexG,RX. Proposición 3.2. Que X e Y sean G-espacios y f : X → Y a G-map. Entonces ÍndiceG,R(X) ÍndiceG,R(Y) y por cada k de N ÍndicekG,R(X) Índice G,R(Y). Prueba. La funcionalidad de todas las construcciones implica que los siguientes diagramas se desplazan: f Y EG×G X EG×G Y y, en consecuencia, aplicando el functor de cohomología H*(EG×G X,R) H*(EG×G Y,R) H* (BG,R) ηX = ηY °fó ° y η X = f * * * Y. Por lo tanto, kerl X kerl Ejemplo 3.3. Sn es un Z2-espacio con la acción antipodal. La acción es libre y, por lo tanto, EZ2 ×Z2 S n Sn/Z2  RP n.o H.o.p. (Sn, R) = H ∗ (RPn, R). 1. R = F2: El anillo de cohomología H *(BZ2,F2) = H ∗(RPŁ,F2) es el anillo polinomio F2[t] donde deg(t) = 1. El índice Z2-de S n es el principal ideal generado por tn+1: ÍndiceZ2,F2S n = Indexn+2 Z2,F2 Sn = tn+1 F2[t]. 2. R = Z: El anillo de cohomología H*(BZ2,Z) = H ∗(RP­,Z) es el anillo polinomio cociente Z[­]/^2 donde deg() = 2. El índice Z2-de S n es el ideal principal ÍndiceZ2,ZS n = Indexn+2 2 â € ¢, para n impar, 2 â € ¢, para n par. Ejemplo 3.4. Dejar G ser un grupo finito y H un subgrupo de índice 2. Luego H G y G/H Z2. Vamos. V ser la representación real de 1-dimensional de G definida para v • V por g · v = v, en el caso de g â € H, −v, para g/o H. Hay un G-homeomorfismo S(V ) Z2. Por lo tanto por [21, última ecuación en la página 34]: EG×G S(V ) • EG×G (G/H) • (EG×G G) /H • EG/H • BH ÍndiceG,RS(V) = ker resGH : H *(G,R)→H*(H,R) . (11) 3.3 El mapa de restricciones y el índice Que X sea un G-espacio y K G un subgrupo. Luego hay un diagrama conmutativo de las fibras [12, páginas 179 a 180]: EG×G X EG×K X BG = GE/G Bi EG/K = BK inducido por la inclusión i : K G. Aquí EG en la esquina inferior derecha se entiende como un K-espacio y En consecuencia, un modelo para EK. El mapa Bi es un mapa entre los espacios de clasificación inducidos por la inclusión i. Ahora con los coeficientes en el anillo R definimos resGK := H *(f) : H*(EG×G X,R)→ H * (EG×K X,R). Si G es un grupo finito, entonces el mapa inducido en la cohomología de los espacios de clasificación resGK = (Bi) * : H*(BG,R)→ H*(BK,R) coincide con la restricción homomorfismo entre las cohomologías de grupo resGK : H *(G,R)→H*(K,R). Proposición 3.5. Que X sea un G-espacio, y K y L subgrupos de G. (A) El morfismo de las fibras (12) proporciona el siguiente diagrama conmutativo en la cohomología: H*(EG×G X,R) resGK H*(EG×K X,R) H* (BG,R) resGK H*(BK,R) B) Por cada x x H* (BG,R) y y H* (EG×G X,R), resGK(x · y) = res K(x) · res K(y). (C) L - K - G - resGL = res L â € € ¢ res (D) El mapa de las fibras (12) induce un morfismo de las secuencias espectrales de Serre i : E i (EG×G X,R)→ E i (EK ×K X,R) de tal manera que (1), = res K: H (EG×G X,R)→ H (EG×K X,R), 2).......................................................................................................................................................................... 2 = res K: H *(BG,R)→ H*(BK,R). (E) Dejar que R y S sean anillos conmutativos y : R→ S un anillo homomorfismo. Hay morfismos: (1) en cohomología equivariante : H*(EG×G X,R)→ H ∗(EG×G X,S), (2) en la cohomología del grupo : H*(G,R)→ H*(G,S), y (3) entre secuencias espectrales de Serre Φ i : E i (EG×G X,R)→ E i (EG×G X,S), inducidos por  de tal manera que el siguiente diagrama se conmuta: H*(EG×G X,R) H ∗(EG×K X,R) H*(EG×G X,S) H*(EG×K X,S) H* (BG,R) H*(BK,R) H* (BG,S) H*(BK,S) Observación 3.6. Por morfismo de secuencias espectrales en propiedades (D) y (E) queremos decir que i) I) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i y Φ i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) ) ) ) ) ) ) ) ) Estas relaciones se aplican en las situaciones donde el lado derecho es 6= 0 para un elemento en particular x, para dar a entender que el lado izquierdo i) i) i) o Φ) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) Φ i) El valor de x) es también de 6 = 0. En particular, entonces Łi(x) 6= 0. Figura 1: Ilustración de la Proposición 3.5 (D) y (E) Proposición 3.7. Let X ser un G-space y K un subgrupo de G. Let R y S ser anillos y : R → S a homomorfismo anillo. Entonces (1) resGK (IndexG,RX) IndexK,RX, (2) resGK IndizadorG,RX IndexrK,RX por cada r (3) (IndexG,RX) IndexG,SX, (4) Índice (IndexrG,RX) G, SX. Prueba. Las afirmaciones sobre el IndexG,R siguen de los diagramas (13) y (14). Los diagramas conmutativos E*,0r (EG×G X,R) ,0r E*,0r (EK ×K X,R) H* (BG,R) resGK H*(BK,R) E*,0r (EG×G X,R) ,0r E*,0r (EG×G X,S) H* (BG,R) H*(BG,S) implican las afirmaciones parciales del índice. 3.4 Cálculos básicos del índice 3.4.1 El índice de un producto Deja que X sea un G-space y Y un H-space. Entonces X × Y tiene la estructura natural de un G×H-espacio. ¿Qué? es la relación entre los tres índices IndexG×H(X × Y), IndexG(X), e IndexH(Y)? Usando el Künneth fórmula uno puede probar la siguiente proposición [14, corolario 3.2], [32, Proposición 2.7] cuando el anillo de coeficiente es un campo. Proposición 3.8. Que X sea un G-espacio y Y un H-espacio y H*(BG, k) ≤ k[x1,. .., xn], H *(BH, k)= k[y1,. .., ym] los anillos de cohomología de los espacios de clasificación asociados con coeficientes en el campo k. Si ÍndiceG,kX = f1,. ............................................................................... .............................................................. ÍndiceG×H,kX = f1,. .., fi, g1,. .............................................................. .., xn, y1,. ................................................................................................................................................ El (Z2) k-índice de un producto de esferas se puede calcular usando esta proposición y Ejemplo 3.3. Corollary 3.9. Que Sn1 × · · · × Snk sea un (Z2) k-space con la acción del producto. Entonces Índice(Z2)k,F2S n1 × · · · × Snk = ­tn1+11,. .., t k F2[t1,. .., tk]. Desafortunadamente, cuando el anillo de coeficiente no es un campo, la afirmación de la Proposición 3.8 no se sostiene. Ejemplo 3.10. Que Sn × Sn sea un (Z2) 2-espacio con la acción del producto. Del corolario anterior Índice(Z2)2,F2S n × Sn = ­tn+11, t 2 F2[t1, t2] = H *(Z2) 2,F2). (15) Para determinar el índice Z procedemos en dos pasos. Anillo de cohomología H*((Z2) 2,Z): Después de [24, sección 4.1, página 508] la secuencia exacta corta de coeficientes → F2 → 0 (16) induce una larga secuencia exacta en la cohomología del grupo [8, Proposición 6.1, página 71] que en este caso reduce a una secuencia de secuencias exactas cortas para k > 0, 0→ Hk((Z2) → Hk((Z2) 2,F2)→ H k+1(Z2) 2,Z)→ 0. (17) Por lo tanto, como en [24, Proposición 4.1, página 508], H*(Z2) 2,Z) = (Z[­1, ­2] Z[μ]) /I (18) donde se genera el grado 1 = grado 2 = 2, grados μ = 3 y el ideal I por las relaciones 1 °C = 2 °C2 = 2 μ = 0 y μ 2 = ­1­2(­1+­2). El morfismo del anillo c : Z → F2 en la secuencia exacta del coeficiente (16) induce un morfismo en el grupo cohomología c* : H *(Z2) 2,Z)→ H*((Z2) 2,F2) dada por: 1 7 t 1, 2 7 t 2, μ 7 t1t2(t1 + t2). (19) Los argumentos utilizados en el cálculo de la cohomología con coeficientes enteros provienen de la Secuencia espectral de Bockstein [7], [10, páginas 104 a 110] asociada con la pareja exacta H*(Z2) 2,Z) H*(Z2) H*(Z2) 2,F2) donde deg(p) = deg(q) = 0 y deg(l) = 1. El primer diferencial d1 = q coincide con el primero Steenrod cuadrado Sq1 : H*((Z2) 2,F2)→ H 1(Z2) 2,F2) y por lo tanto es dada por 1 7→ 0, t1 7→ t 1, t2 7→ t En consecuencia, t1t2 7→ t 1t2 + t1t 2. La secuencia espectral se estabiliza en el segundo paso desde el derivado pareja es donde F2 está en la dimensión 0. # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # Índice(Z2)2,ZS n × Sn: El (Z2) 2-acción en Sn × Sn, como producto de acciones antipodales, es libre y por lo tanto E(Z2) 2 ×(Z2)2 (S n × Sn) (Sn × Sn) /(Z2) 2 فارسى RPn × RPn. Usando la igualdad (15), Proposición 3.5.E.3 sobre el coeficiente morfismo c : Z→ F2, el isomorfismo H*(Z2)2(S) n × Sn,Z) ≤ H*(RPn × RPn,Z) y la existencia de la (Z2) 2-inclusiones Sn−1 × Sn−1 • Sn × Sn • Sn+1 × Sn+1, puede concluirse que: Índice(Z2)2,ZS n × Sn = 1, ♥ 2 â € ¢, para n impar 1, ♥ 2, ♥ 1 μ,  2, para n par H*(Z2) 2,Z). (20) 3.4.2 El índice de una esfera Necesitamos saber cómo calcular el índice de una esfera admitiendo una acción de un grupo finito diferente de la acción Z2 antipodal. Las tres proposiciones siguientes serán de alguna ayuda [14, Proposición 3.13), [32, Proposición 2.9]. Proposición 3.11. Que G sea un grupo finito y V una representación compleja n-dimensional de G. Entonces ÍndiceG,ZS(V) = * (G,Z) donde cn(VG) es la clase n-ésima Chern del paquete V → EG×G V → BG. Prueba. Si el grupo G actúa sobre H*(S(V),Z) trivialmente, entonces de la secuencia espectral Serre de la esfera paquete S(V )→ EG×G S(V )→ BG De ello se deduce que ÍndiceG,ZS(V ) = E(VG)+ H ∗ (G,Z), donde e(V ) es la clase Euler del paquete V → EG×G V → BG. Ahora V es una representación G compleja, Por lo tanto, el grupo G actúa trivialmente en H*(S(V),Z). De [22, Ejercicio 3, página 261] se desprende que e(VG) = cn(VG) y la declaración está probada. Proposición 3.12. Que U, V sean dos G-representaciones y que S(U), S(V) sean las esferas G asociadas. Dejar que R sea un anillo y asumir que H*(S(U), R), H*(S(V), R) son módulos G triviales. Si ÍndiceG,R(S(U)) = ÍndiceG,R(S(V)) = H*(BG,R) e ÍndiceG,R(S(V)) = H ∗ (BG,R), entonces ÍndiceG,RS(U-V ) = f · g H ∗ (BG,R). Proposición 3.13. (A) Dejar V ser el 1-dimensional (Z2) k-representación con el vector asociado ±1 (α1,. ........................................................................................................... k (según se define en la sección 2). Entonces Índice(Z2)k,F2S(V) = 1t1 + · · ktkó F2[t1,. .., tk], donde i = 0 si αi = 1, y i = 1 si αi = −1. (B) Dejar U ser un n-dimensional (Z2) k-representación con una descomposición U = V1 · · · · · Vn en 1- dimensional (Z2) k-representaciones V1,. ............................................................................... Si (α1i,. ...................................................................................... k es el vector asociado ±1 de Vi, entonces Índice(Z2)k,F2S(U) = (1it1 + · · kitk) F2[t1,. .., tk]. Ejemplo 3.14. Dejar V, V y V ser 1-dimensional real (Z2) 2-representaciones introducidas en la Sección 2.2. Entonces por la Proposición 3.13 Índice(Z2)2,F2S(V) = «t1», Índice(Z2)2,F2S(V) = «t2», Índice(Z2)2,F2S(V) = «t1» + «t2». Por otra parte, el ejemplo 3.4 y el diagrama de restricción (42) implican que Índice(Z2)2,ZS(V) = 1,, Índice(Z2)2,ZS(V) = 2,, Índice(Z2)2,ZS(V) = 1 + Ł2,. 4 La cohomología de D8 y el diagrama de restricción El grupo diedro W2 = D8 = (Z2) 2 Z2 = (1 × 2) puede ser presentado por D8 = 1, 1 = 2 = (de 1o de enero de 2006) = 1°. A continuación, 1 Z4 y 2 = 1. 4.1 Pospuesto de subgrupos de D8 El poset Sub(G) denota la colección de todos los subgrupos no triviales de un grupo G dado ordenado por inclusión. El poset Sub(G) se puede interpretar como una pequeña categoría G de la manera habitual: • Ob(G) = Sub(G), • por cada dos objetos H y K, subgrupos de G, hay un morfismo único fH,K : H → K si H K, y sin morfismo si H + K, es decir, Mor(H,K) = {fH,K}, H K, *, H + K. El diagrama de Hasse del poset Sub(D8) se presenta en el siguiente diagrama. 1, â € ~ 2â € ~ Z2 × Z2 1 1, 2, Z2 × Z2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * # # 1 # 2 # # 4.2 El anillo de cohomología H*(D8,F2) El grupo diedral D8 es un ejemplo de un producto de corona. Por lo tanto, el espacio de clasificación asociado puede, como en [1, página 117], ser escrito explícitamente como BD8 = B(Z2) 2 ×Z2 EZ2 فارسى (B(Z2) 2)×Z2 EZ2, donde Z2 = actúa sobre (BZ2) 2 mediante el intercambio de coordenadas. Presentado de esta manera BD8 es el Borel construcción del espacio Z2 (BZ2) 2. Así BD8 encaja en una fibración B(Z2) 2 → (B(Z2) 2) × Z2 EZ2 → BZ2. (21) Existe una secuencia espectral Serre asociada con E2-término Hp(BZ2,H B(Z2) Hp(Z2, H Hp+q(BD8,F2) Hp+q(D8,F2) que converge a la cohomología del grupo D8 con los coeficientes F2. Esta secuencia espectral es también la secuencia espectral Lyndon-Hochschild-Serre (LHS) [1, Sección IV.1, página 116] secuencia de extensión del grupo: 1→ (Z2) 2 → D8 → D8/(Z2) 2 → 1. En [1, Teorema 1.7, página 117] se demuestra que la secuencia espectral (22) colapsa en el término E2. Por lo tanto, para calcular la cohomología de D8 sólo necesitamos leer el término E2. Lemma 4.1. i) H* = anillo F2[a, a+ b], donde deg(a) = deg(a + b) = 1 y la acción Z2 inducida por dado por  · a = a+ b. ii) H* )Z2 = anillo F2[b, a(a+ b)]. iii) Hola • = módulo Z2-F2[Z2] Si,1 F 2, donde si,1 ≥ 0, si,2 ≥ 0 y F2[Z2] denotan un libre Z2-módulo y F2 uno trivial. iv) E 2 = H ∗(Z2, H ) = anillo H ∗(Z2,F2) # Si, 2 F # 2, donde F 2 denota un anillo concentrado en la dimensión 0. Prueba. i) La declaración se deriva de la observación de que B(Z2) 2 (B(Z2)) , y en consecuencia = anillo H * (Z2,F2)H ∗ (Z2,F2) = anillo F2[a] F2[a+ b]. La acción Z2 intercambia copias en el lado izquierdo. Grupos electrógenos en el lado derecho son elegidos tal que la acción Z2-que viene del isomorfismo cambia a y a+ b. ii) Con la acción Z2 inducida b = a+(a+b) y a(a+b) son polinomios invariantes. Generan el anillo de todos los polinomios invariantes. iii) La cohomología es un módulo Z2 y, por lo tanto, una suma directa de Z2- módulos. Sólo hay dos módulos Z2 irreducibles sobre F2: el libre F2[Z2] y el trivial F2. iv) El isomorfismo se deriva del iii) y de las dos propiedades siguientes de la cohomología del grupo [20, Ejercicio 2.2, página 190] y [8, corolario 6.6, página 73]. Dejar M y N ser G-módulos de un grupo finito G. a) H*(G,M,N) = H*(G,M),H*(G,N) b) M es un módulo G gratuito H*(G,M) = H0(G,M) = MG. Aplicado en nuestro caso, este rendimiento 2 = anillo H ∗(Z2, H = anillo H ∗(Z2,F2[Z2] Si,1 F = anillo H ∗(Z2,F2[Z2]) Si, 1 H*(Z2,F2) Si, 2 = anillo H 0(Z2,F2[Z2]) Si, 1 H*(Z2,F2) Si, 2 = anillo (F2[Z2] Z2)-si,1-H*(Z2,F2) Si, 2 = anillo F2 Si, 1 H*(Z2,F2) Si, 2 Que la cohomología del espacio base de la fibración (21) sea denotada por H*(Z2,F2) = F2[x]. El término E2 (22) se puede representar como en la Figura 2. La cohomología de D8 se puede leer de la imagen. Si denotamos y := b, w := a(a+ b) (23) y mantener x como introdujimos arriba, entonces H*(D8,F2) = F2[x, y, w]/xy®. Además, la restricción homomorfismo resD8H1 : H *(D8,F2) = F2[x, y, w]/xy® → H *(H1,F2) = F2[a, a+ b] (24) puede ser leído ya que es inducido por la inclusión de la fibra en la fibración (21). En generadores, resD8H1(x) = 0, res (y) = b, resD8H1(w) = a(a+ b). (25) b4, b2 aa + b a2°a + b°2 å 1 a2°a + bü2 å x a2°a + bü2 å x a2°a + bü2 å x a2°a + bü2 å x 3 b3, b4a + b4 0 0 0 1 + 1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 b 0 0 0 0 0 1 x x 2 x 3 x 4 0 1 2 3 4 Figura 2: Término E2 4.3 Diagrama de cohomología de subgrupos con coeficientes en F2 Deja que G sea un grupo finito y R un anillo arbitrario. A continuación, el diagrama Res(R) : G→ Anillo (funtor covariante) definido por Ob(G) H 7 H*(H,R) ( H K) 7 resHK : H *(H,R)→H*(K,R) es el diagrama de cohomología de subgrupos de G con coeficientes en el anillo R. En esta sección asumimos que R = F2. 4.3.1 El Z2 × Z2-diagrama La cohomología de cualquier 2-grupo abeliano elemental Z2 × Z2 es un anillo polinomio F2 [x, y], deg(x) = deg(y) = 1. Las restricciones a los tres subgrupos del orden 2 están dadas por todas las proyecciones posibles F2 [x, y]→F2 [t], deg(t) = 1: (x 7→ t, y 7→ 0) o (x 7→ 0, y 7→ t) o (x 7→ t, y 7→ t). Así, el diagrama de cohomología de los subgrupos de Z2 × Z2 es Z2 × Z2 F2 [x, y] F2[t1] F2[t2] x 7→ t2 y 7→ 0 F2[t3] 4.3.2 El D8-diagrama Para el grupo diedro D8, a partir de [9] y (24), los dos niveles superiores del diagrama pueden ser presentados por: F2 [x, y;w]/{xy} grados: 1, 1, 2 F2 [a, b] grados: 1, 1 F2 [e, u]/ grados: 1, 2 x, y 7→ e w 7→ u F2 [c, d] grados: 1, 1 Let H*(Ki,F2) = F2[ti], deg(ti) = 1. A partir de [1, Corollary II.5.7, página 69] la restricción resH2K3 : H*(H2,F2) = F2[e, u]/ (H*(K3,F2) = F2[t3]) es dada por e 7→ 0, u 7→ t23. Por lo tanto, la restricción res es dada por x 7→ 0, y 7→ 0, w 7→ t23. Uso de diagramas (26), (27) con la propiedad (C) de la Proposición 3.5 revelamos casi completamente la cohomología diagrama de subgrupos de D8. Las igualdades resD8K3 = res • resD8H2 = res • resD8H1 = res • resD8H3 implica que • resH1K3 : (H *(H1,F2) = F2[a, b]) (H ∗(K3,F2) = F2[t3]) viene dada por un 7→ t3, b 7→ 0, • resH3K3 : (H *(H3,F2) = F2[c, d]) (H ∗(K3,F2) = F2[t3]) se indica por c 7→ t3, d 7→ 0. F2 [a, b] grados: 1, 1 F2 [e, u]/ grados: 1, 2 F2 [c, d] grados: 1, 1 F2[t3] grados: 1 u 7→ t23 e 7→ 0 El diagrama de cohomología (26) de subgrupos de Z2 × Z2 y la parte (28) del diagrama D8 implican que • resH1K1 : F2[a, b] F2[t1] y res : F2[a, b] F2[t2] son dadas por (a 7→ t1, b 7→ t1 y a 7→ 0, b 7→ t2) o (a 7→ 0, b 7→ t1 y a 7→ t2, b 7→ t2), • resH3K4 : F2[c, d] F2[t4] y res : F2[a, b] F2[t5] son dadas por (c 7→ t4, d 7→ t4 y c 7→ 0, d 7→ t5) o (c 7→ 0, d 7→ t4 y c 7→ t5, d 7→ t5). Proposición 4.2. Para todos los i 6= 3, resD8Ki (w) = 0, mientras que res (w) 6= 0. Prueba. El resultado sigue del diagrama (27) de la siguiente manera: a) En el caso de i) {1, 2}: resD8Ki (w) = res • resD8H1(w) = res (a(a+b)) = 0 ya sea a 7→ ti, b 7→ ti o a 7→ 0, b 7→ ti. b) Para i) {4, 5}: resD8Ki (w) = res • resD8H3(w) = res (c(c+d)) = 0 desde c 7→ ti, d 7→ ti o c 7→ 0, d 7→ ti. Corolario 4.3. La cohomología del grupo diedral D8 es H*(D8,F2) = F2[x, y, w]/ donde a) x H1(D8,F2) y res (x) = 0, (b) y (+) H1(D8,F2) y res (y) = 0, (c) con H1(D8,F2) y res (w) = resD8K2(w) = res (w) = resD8K5(w) = 0 y res (w) 6= 0. Asunción Sin pérdida de generalidad podemos asumir que resH1K1(a) = t1, res (b) = t1, res (a) = 0, resH1K2(b) = t2. 29).............................................................................................................................................................................................................................................................. 4.4 El anillo de cohomología H*(D8,Z) En esta sección presentamos la cohomología H*(D8,Z) basada en: A. Enfoque de Evens [13, sección 5, páginas 191 a 192], donde se encuentran los generadores de hormigón en H*(D8,Z) se identificarán utilizando las clases Chern de representacións adecuadas de complejos D8 irreducibles. Nosotros también. considerar secuencias espectrales LHS asociadas con dos extensiones siguientes 1→ H1 → D8 → D8/(Z2) 2 → 1 y 1→ H2 → D8 → D8/Z4 → 1. (30) Desafortunadamente, la estructura del anillo en E-términos de estas secuencias espectrales LHS no coincide con la estructura del anillo en H*(D8,Z). B. La secuencia espectral de Bockstein de la pareja exacta H*(D8,Z) ×2 H*(D8,Z) H*(D8,F2) donde d1 = c â ¬ ¬ = Sq 1 : H*(D8,F2) → H 1(D8,F2) se da por d1 (x) = x 2, d1 (y) = y 2 y d1 (w) = (x + y)w [1, Teorema 2.7. página 127]. Este enfoque permite determinar el anillo estructura en H*(D8,Z). 4.4.1 Opinión de Evens Que V C V = Câ ° C, V = C y U 2 = C ser las complejas D8-representaciones dadas por A. Para (u, v) V (u, v) = (u,-v), (u, v) = (-u, v), (u, v), (u, v) = (v, u). B. En el caso de U. V. C.: *1 · u = −u, *2 · u = −u, *u · u = u. C. Para u • UC2 : *1 · u = u, *2 · u = u, * · u = −u. Hay isomorfismos de real D8-representaciones V. C. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. = (V V) , V C (V) , UC2 = (U2) Let χ1, â € € ¢ H *(D8,Z) ser 1-dimensional complejo D8-representaciones dadas por el carácter (aquí suponemos la identificación c1 : Hom(G,U (1))→ H 2, G, Z), [3, página 286]: χ1(­1) = 1, χ1(­2) = 1, χ1(­) = −1, 1 = -1, 1 = -1, 1 = -1, 1 = -1. Luego χ1 = U 2, • = U 2 V y en consecuencia 2 ) = χ1, y c1(U) 2 ) + c1(V ) =. 31) La cohomología H*(D8,Z) se da en [13, páginas 191-192] por H*(D8,Z) = Z[, χ1,, χ] (32) donde = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 2 °C = 2 °C = 2 °C = 4 °C = 0, χ 1 = • · χ1, • 2 = · · · χ. 33) Hay cuatro representaciones complejas irreducibles de 1-dimensionales de D8: 1 = UC2 V , χ1 = U 2, χ1 = V y una representación compleja bidimensional que es denotada por el término «denominada» en [13, páginas 191 a 192]: V = V C V Se calcula en [13, páginas 191 a 192] que c(V C V ) = 1 + + χ y c2(V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V ) = χ. (34) Las relaciones (31) y (34) junto con la Proposición 3.11 implican la siguiente declaración. Proposición 4.4. ÍndiceD8,ZS(V ) = 1, IndexD8,ZS(U 2 ) = 1, IndexD8,ZS(V ) =. Antes de proceder al enfoque de secuencia espectral de Bockstein damos descripciones de los términos E2 de Dos secuencias espectrales LHS. A pesar de que no es una consecuencia fácil, se puede probar que ambos las secuencias espectrales se estabilizan y que E2 = E. LHS secuencias espectrales de la extensión 1 → H1 → D8 → D8/H1 → 1. El LHS espectral secuencia de esta extensión (22) permite el cálculo del anillo de cohomologíaH*(D8,F2) con coeficientes F2. Si ahora consideramos los coeficientes Z, entonces el término E2-tiene la forma 2 = H p(D8/H1, H q (H1,Z)) = H p(Z2, H ). (35) La secuencia espectral converge al grupo graduado Gr (Hp+q(D8,Z)) asociado con H p+q(D8,Z) Filtrado adecuadamente. Para presentar el término E2 elegimos generadores de H * (H1,Z) en consonancia con el las decisiones tomadas en Lemma 4.1. Let c : Z → F2 ser reducción mod 2 y c* : H *(D8,Z) → H ∗(D8,F2) mapa inducido en cohomología. Considere la siguiente presentación del anillo de cohomología H1: H* (H1,Z) = Z[α, α β] Z[μ] (36) donde A. deg(α) = deg(β) = 2, deg(μ) = 3; B. 2α = 2β = 2μ = 0 y μ2 = (α + β); C. La acción sobre H* (H1,Z) está dada por  · α = β y  · μ = μ; D. c*(α) = a 2, c* (β) = b 2, c* (μ) = ab(a+b). å3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 x 2 0 1 2 3 4 0 0 0 0 m xåm åmm x2 a(a+b), b(a+b)åxå0 0 åx 2a(a+b)2 Figura 3: E2-término de extensión 1 → H1 → D8 → D8/H1 → 1. Ahora el término E2 (Figura 3) está dado por + = Hp(Z2, H Hp(Z2,Z), q = 0 0, q = 1 Hp(Z2,F2[Z2]), q = 2 Hp(Z2,F2), q = 3 . .., q > 3. El morfismo de las secuencias espectrales LHS de la extensión 1→ H1 → D8 → D8/H1 → 1 inducido por la La reducción del mod 2 c : Z → F2 (Proposición 3.5 E.3) da una prueba de que E2 = E.e. para los coeficientes Z. Los estructuras de anillas en Ee y H ∗ (D8,Z) no coinciden. Por otra parte no hay ningún elemento en E. de exponente 4. Una cosa está clara: el elemento μ en el E2 = E-término coincide con el elemento • en el Evens’ presentación (32) de H*(D8,Z). LHS secuencias espectrales de la extensión 1 → H2 → D8 → D8/H2 → 1. El término E2 tiene el siguiente: forma: 2 = H p(D8/H2, H q (H2,Z)) = H p(Z2, H q (Z4,Z)) Hp(Z2,Z), q = 0 0, q impar Hp(Z2,Z4), q par y 4 q Hp(Z2,Z4), q > 0 par y 4q, donde Z4 = Z4 es un módulo Z2 no trivial. Usando [8, Ejemplo 2, páginas 58-59] el término E2 tiene la forma se indica en la figura 4. Este diagrama proporciona sólo dos pistas: podría haber elementos de exponente 4 6 ̈2 ̈2 ̈2 ̈2 ̈2 ̈2 ̈2 5 0 0 0 0 0 0 4 ̈4 ̈2 ̈2 ̈2 ̈2 ̈2 ̈2 3 0 0 0 0 0 0 2 ̈2 ̈2 Q ̈2 ̈2 ̈2 ̈2 1 0 0 0 0 0 0 0 ̈ 0 ̈2 0 ̈2 0 ̈2 0 1 2 3 4 5 6 Figura 4: E2-término de extensión 1 → H2 → D8 → D8/H2 → 1. en la cohomología H*(D8,Z) y definitivamente sólo hay un elemento de grado 3 de las Evens’ presentación. Conclusión. Las secuencias espectrales LHS de diferentes extensiones dan una imagen incompleta de la anillo de cohomología con coeficientes enteros, H*(D8,Z). Por lo tanto, a los efectos de los cálculos con los coeficientes Z utilizamos la secuencia espectral de Bockstein utilizando los resultados obtenidos del LHS espectral secuencia con coeficientes F2. Las presentaciones de estas dos secuencias espectrales se utilizarán en la descripción del diagrama de restricción de la sección 4.5. 4.4.2 Vista de secuencia espectral de Bockstein Deja que G sea un grupo finito. La secuencia exacta 0 → Z → Z → F2 → 0 induce una secuencia exacta larga en cohomología de grupo, o una pareja exacta H*(G,Z) ×2 H*(G,Z) H*(G,F2). La secuencia espectral de esta pareja exacta es la secuencia espectral de Bockstein. Converge a (H*(G,Z)/torsión) que en el caso de un grupo finito G es sólo F2 en la dimensión 0. Aquí "torsión" significa "torsión Z". La primera diferencial d1 = c es el homomorfismo de Bockstein y en este caso coincide con el primer Steenrod cuadrado Sq1 : H*(G,F2)→ H 1(G,F2). Que H sea un subgrupo de G. La restricción resGH se desplaza con los mapas en las parejas exactas asociadas a los grupos G y H y, por lo tanto, induce un morfismo de las secuencias espectrales de Bockstein [10, página 109] antes de 5.7.6]. Considere dos secuencias espectrales de Bockstein asociadas con D8 y su subgrupo H2 = Z4. A. Grupo D8. La pareja exacta es H*(D8,Z) ×2 H*(D8,Z) H*(D8,F2). y d1 = c 1 es dada por d1 (x) = x 2, d1 (y) = y 2 y d1 (w) = (x + y)w, [1, Teorema 2.7. página 127]. La pareja derivada es entonces por [10, Observación 5.7.4, página 108] hay elementos X,Y 2 ·H*(D8,Z) ×2 2 ·H*(D8,Z) «x2, y2, xw, yw, w2»/«x2, y2, xw + yw». H2(D8,Z), M-H 3(D8,Z) de exponente 2 tal que c*(X) = x 2, c*(Y) = y 2, c*(M) = (x + y)w y XY = 0. B. Grupo Z4. La pareja exacta es H*(Z4,Z) ×2 H*(Z4,Z) H*(Z4,F2). Desde H*(Z4,Z) = Z[U ]/+4U®, degU = 2 y H *(Z4,F2) = F2 [e, u]/ , deg e = 1, deg u = 2, la desenrollado de la pareja exacta a una larga secuencia exacta [8, Proposición 6.1, página 71] H0(Z4,Z) Z, 1 ×2 H 0(Z4,Z) Z, 1 0(Z4,F2) F2, 1 1 (Z4,Z) ×2 H 1 (Z4,Z) 1 (Z4,F2) F2, e 2-Z4,Z) Z4, U ×2 H 2-Z4,Z) Z4, U 2-Z4,F2) F2, u 3(Z4,Z) ×2 H 3(Z4,Z) 3(Z4,F2) F2, eu 4(Z4,Z) ... nos permite demostrar que para j ≥ 0 : * (u) = 0 y * (eui) = 2U i+1. Así d1 = 0 y la pareja derivada es 2 ·H*(Z4,Z) ×2 2 ·H*(Z4,Z) H*(Z4,F2). Por otra parte, por definición del diferencial de una pareja derivada tenemos que i) = 0 y d2(eu) i) = ui+1. El mapa de restricción resD8H2 : H ∗(D8,F2) → H ∗(H2,F2) está determinado por el diagrama de restricción (27). Por lo tanto, el morfismo entre secuencias espectrales inducidas por la restricción resD8H2 implica que: resD8H2 (d2[xw]) = d2 resD8H2 [xw] = d2(eu) = u y, en consecuencia, d2[xw] = [w Aquí [ · ] denota la clase en el cociente "x2", y2, xw, yw,w2", y2, xw + yw". Por lo tanto, por [10, Observación 5.7.4, pág. 108] hay un elemento W H4(D8,Z) del exponente 4 tal que c*(W) = w 2 y M2 = W(X + Y). El segundo par derivado de (37) se estabiliza. Así el anillo de cohomología H*(D8,Z) y el mapa c* : H *(D8,Z) H ∗ (D8,F2) se describen. Teorema 4.5. El anillo de cohomología H*(D8,Z) puede ser presentado por H*(D8,Z) = Z[X,Y,M,W]/I donde degX = degY = 2, degM = 3, degW = 4 y el ideal I es generado por las ecuaciones 2X = 2Y = 2M = 4W = 0, XY = 0,M2 = W(X + Y). (39) El mapa c* : H *(D8,Z) H ∗(D8,F2), inducida por la reducción de los coeficientes Z→ F2, está dada por X 7→x2, Y 7→y2, M 7→w(x + y), W 7→w2. (40) Observación 4.6. La correspondencia entre la vista de secuencia espectral de Evens y Bockstein es dada por X ↔ χ1, Y ↔ ° + χ1, M↔ °, W ↔ χ (41) 4.5 El D8-diagrama con coeficientes en Z Dejar G ser un grupo finito y R y S anillos. Un anillo homomorfismo : R → S induce un morfismo de diagramas (transformación natural de los functores covariantes) Φ : Res(R) →Res(S). El morfismo Φ en cada uno ob(G) se define por la reducción del coeficiente Φ(H) : H*(H,R) → H*(H,S) inducida por ♥. Particularmente en esta sección, como herramienta para la reconstrucción del diagrama Res(Z), utilizamos el diagrama morfismo C : Res(Z) → Res(F2) inducido por el homomorfismo de reducción de coeficiente c : Z→ F2. 4.5.1 El diagrama Z2 × Z2- El diagrama de restricción de la cohomología Res(F2) del 2-grupo abeliano elemental Z2 × Z2 se da en la diagrama (26). Usando la presentación de la cohomología H*(Z2 × Z2,Z) y el homomorfismo H *(Z2 × Z2,Z)→ H *(Z2 × Z2,F2) en el ejemplo 3.10 podemos reconstruir el diagrama de restricción Res(Z): Z2 × Z2 Z[­1, ­2] Z[­μ] grados 1 ° = grados 2 ° = 2, grados μ = 3 1 °C = 2 °C2 = 2μ = 0, μ2 = ­1­2(­1 + ­2) 3, ♥ Z2 Z[1] grados 1 ° = 2 1 = 0 Z2 Z[Ł2] grados 2 = 2 2­2 = 0 *1 7\2, *1 7\2, *1 7\2, *1 7\2, *1 7\2. 7→ 0, μ 7→ 0 Z2 Z[♥3] grados 3 ° = 2 2­3 = 0 4.5.2 El D8-diagrama De manera similar, utilizando: • el diagrama de restricción D8 (27) y (28) con coeficientes F2, • los diagramas de restricción Z2 × Z2 (42) con coeficientes Z, • la presentación de la cohomología H*(H1,Z) dada en (36), • la presentación de Bockstein de H*(D8,Z) dada en Teorema 4.5, • un vistazo a los mapas de restricción resD8H1 y res obtenido a partir de los términos E2 = E® de la LHS secuencias espectrales Figura 3 y Figura 4, y • el homomorfismo c* : H ∗(D8,Z)→ H *(D8,F2) descrito en (40), podemos reconstruir el diagrama de restricción de D8 con coeficientes Z. D8 Z[X,Y,M,W] grados: 2, 2, 3, 4 2X = 2Y = 2M = 4W = 0, XY = 0,M2 =W(X + Y) H1 Z[α, α + β, μ] grados: 2, 2, 3, 2α = 2β = 2μ = 0, μ2 = ≤(α + β) H2 Z[U] grados: 2 4U = 0, Y 7→ 2U W7→ U2 X 7→2U H3 Z[γ, γ + , η] grados: 2, 2, 3, 2γ = 2 = 2η = 0, η2 = «(γ + ») K3 Z[Ł3] deg فارسى3 = 2 U 73 Ahora la determinación del diagrama morfismo C :Res(Z) →Res(F2) inducido por la reducción del coeficiente homomorfismo c : Z→ F2 es sólo un ejercicio de rutina. 5 ÍndiceD8,F2S(R En esta sección mostramos la siguiente igualdad: ÍndiceD8,F2S(R 4 ) = Índice D8,F2 4 ) = 0 jyjó. La representación D8 R 4 puede ser descompuesto en una suma de irreductibles de la siguiente manera R4 = (V-V-V-V-V-R 4 = (V V) donde V V es una representación de D8 irreductible de 2 dimensiones. Puesto que en esta sección los coeficientes F2 se asumen, la Proposición 3.12 implica que computando los índices de las esferas S(V V) y S(V) basta. La estrategia empleada utiliza la Proposición 3.7 y los siguientes hechos particulares. A. Let X = S(T ) para alguna representación D8 T. A continuación, el término E2 de la secuencia espectral Serre asociado a ED8 × D8 X es 2 = H p(D8,F2)H q(X,F2). (44) Los coeficientes locales son triviales ya que X es una esfera y los coeficientes son F2. Ya que sólo ŁdimT,F2 puede ser 6= 0, a partir de la propiedad multiplicativa de la secuencia espectral se sigue que ÍndiceD8,F2X = 0,dimV −1 dimV,F2 (1 l) donde l • HdimV −1(X,F2) es el generador. Por lo tanto, ÍndiceD8,F2(X) = Índice dimV+1 D8,F2 B. Para cualquier subgrupo H de D8, con algún abuso de notación, dimV,0 dimV • • • 0,dimV−1 dimV,F2 (1 l) = 0,dimV −1 dimV,F2 0,dimV −1 dimV (1 l), (45) donde فارسى denota el morfismo de restricción de las secuencias espectrales de Serre introducidas en la Proposición 3.5 (D). Por lo tanto, para cada subgrupo H de D8 obtenemos ÍndiceD8,F2X = «a», ÍndiceH,F2X = «aH» = «res» K(a) = aH. En particular, si aH 6= 0 entonces un 6= 0. Nuestro cálculo de IndexD8,F2X para X = S(V V) y X = S(V) tiene dos pasos: • calcular ÍndiceH,F2X = â € aHâ € para todos los subgrupos apropiados H de D8, • buscar un elemento a H*(D8,F2) de tal manera que para cada aH computada resGK(a) = aH. 5.1 ÍndiceD8,F2S(V V) = La Proposición 3.13 y las propiedades de la acción de D8 sobre VV proporcionan la siguiente información: ÍndiceH1,F2S(V V) = *a(a+b)* o *b(a+b)® o # Aba # # # Aba # # # Aba # # # Aba # # # # Aba # # # # Aba # # # Aba # # # Aba # # # Aba # # # # Aba # # # Aba # # # Aba # # # Aba # # # Aba # # # # Aba # # # Aba # Puesto que inicialmente no sabemos cuál de los posibles generadores a, b, a + b de F2[a, b] corresponde a la Generadores: 1, 2, 1 2, tenemos que tener en cuenta las tres posibilidades. Del mismo modo: ÍndiceH3,F2S(V V) = *c(c+d)* o (c+d) # Cd # # # # Cd # # # # Cd # # # # # Cd # # # # # # # # Cd # # # # # # Cd # # # # # Cd # # # # Cd # # # # # Cd # # # # Cd # # # # # Cd # # # # # Cd # # # # # # Cd # # # # # # Cd # # # # # # # # # Cd # # # # # # # # # # # Cd # # # # # # # # # Cd # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Además, 1 actúa trivialmente en V ♥ IndexK1,F2S(V V) = 0 2 actúa trivialmente en V ♥ IndexK2,F2S(V V) = 0  actúa trivialmente sobre {(x, x) V V ♥ IndexK4,F2S(V V) = 0 Actua trivialmente {(x,−x) {x,−x) {x,−x) {x) {x,−x) {x) {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} El único elemento distinto de cero de H2(D8,F2) que cumple todos los requisitos de conmutatividad con restricciones es w. Por lo tanto, ÍndiceD8,F2S(V V) = (46) Observación 5.1. La información lateral que viene de este cálculo es que los generadores ­1 y ­2 de la grupo H1 corresponden a generadores a y a+ b en el anillo de cohomología H ∗(H1,F2). Esta correspondencia sugirió la elección de generadores en Lemma 4.1 i). 5.2 ÍndiceD8,F2S(V) = Una vez más, V es una representación concreta D8, y de la Proposición 3.13: ÍndiceH1,F2S(V) = • a+ b®, o (a+ b), o * b+ (a+ b). Una vez más, permitimos las tres posibilidades ya que no conocemos la correspondencia entre los generadores de H1 y los generadores elegidos de H* (Hq,F2). Además, puesto que K1 y K2 actúan no trivialmente en V, ÍndiceK1,F2S(V) = «t1», ÍndiceK2,F2S(V) = «t2». Por otro lado, H3 actúa trivialmente sobre S(V) y así ÍndiceH3,F2S(V) = 0. Por computatividad del diagrama de restricción, o ya que los grupos K3, K4 y K5 actúan trivialmente en V(1,1), De ello se deduce que ÍndiceK3,F2S(V) = ÍndiceK4,F2S(V) = ÍndiceK5,F2S(V) = 0. El único elemento que satisface los requisitos de computatividad es y â € H1(D8,F2), así que ÍndiceD8,F2S(V) = «y». (47) Observación 5.2. De la observación anterior se desprende el hecho de que el ÍndiceH1,F2S(V) = â € € = â € € a + (a + b)â € directamente. Alternativamente, la ecuación (47) es una consecuencia de (11) y (27). 5.3 ÍndiceD8,F2S(R 4 ) = De la Proposición 3.12 obtenemos eso ÍndiceD8,F2S(R 4 ) = ÍndiceD8,F2S((V V) # J # V # ) = #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y #y # jwjó. Observación 5.3. De la misma manera podemos calcular que ÍndiceD8,F2(U2) = «x». (48) Por lo tanto ÍndiceD8,F2(U2+R 4 ) = 0. Esto significa que en el esquema de unión CS/TM el Fadell–Husseini la teoría del índice con coeficientes F2 no impide la existencia del mapa equivariante en cuestión. 6 ÍndiceD8,ZS(R En esta sección mostramos que ÍndiceD8,ZS(R 4 ) = Índice 4 ) = 2 â € ¢, para j par 2 M,Y 2o, por j impar. 6.1 El caso cuando j es par Damos dos pruebas de la ecuación (49) en el caso cuando j es par. Método 1: De acuerdo con la definición del complejo D8 - Representaciones V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V # V y V , en la sección 4.4.1, tenemos un isomorfismo de real D8-representaciones 4 = (V V) V. C. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V C Así, por las Proposiciones 3.11 y 3.12, propiedades de las clases Chern [3, (5) página 286] y ecuaciones (31) y (34) tenemos que ÍndiceD8,ZS(R 4 ) = 3j V. C. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V C # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # V. C. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. V. 2 · c1 V C 2 ( + χ1) La correspondencia entre las vistas de secuencia espectral de Evens y Bockstein implica la declaración. Método 2: El grupo D8 actúa trivialmente sobre la cohomologíaH ∗(S(R) 4 ), Z). Entonces el término E2 del Serre secuencia espectral asociada a ED8 ×D8 S(R 4 ) es un producto tensor 2 = H p(D8,Z)H q(S(R) 4 ), Z). Dado que sólo Ł3j,Z puede ser 6= 0, la propiedad multiplicativa de la secuencia espectral implica que ÍndiceD8,ZS(R 4 ) = Índice dimV +1 4 ) = 0,3j−1 3j,Z (1 l) en la que l-H3j−1(S(R) 4 ), Z) es un generador. El coeficiente de reducción del morfismo c : Z → F2 induce a morfismo de las secuencias espectrales de Serre (Proposición 3.5. E. 3) relacionada con la construcción de Borel la esfera S(R 4 ). Por lo tanto, 0,3j−1 3j,Z (1 l) 0,3j−1 3j,F2 (s*(1 l)) 3j(D8,F2) y según el resultado de la sección anterior 0,3j−1 3j,Z (1 l) = yjwj. Ahora, de la descripción del mapa c* : H *(D8,Z) H ∗ (D8,F2) en (40) sigue la declaración correspondiente a j par. 6.2 El caso cuando j es impar El grupo D8 actúa no trivialmente en la cohomología H ∗(S(R) 4 ), Z). Precisamente, el módulo D8-Z = H3j−1(S(R) 4 ),Z) es un módulo D8 no trivial y para z â € Z: *1 · z = z, *2 · z = z, * · z = −z. A continuación, el término E2 de la secuencia espectral Serre asociado a ED8 × D8 S(R 4 ) no es un producto tensor 2 = H p(D8, H q(S(R) 4 ), Z)) = Hp(D8,Z), q = 0 Hp(D8,Z), q = 3j − 1 0, q 6= 0, 3j − 1. Para calcular el índice en este caso tenemos que estudiar la estructura H*(D8,Z)-módulo de H ∗ (D8,Z). Dado que el uso de la secuencia espectral LHS, como en el caso de los coeficientes de campo (Proposición 7.4), no puede ser de ayuda significativa aplicamos la secuencia espectral de Bockstein asociada con la siguiente secuencia exacta de D8-módulos: → Z → F2 → 0. (51) Proposición 6.1. (A) 2 ·H*(D8,Z) = 0 (B) H*(D8,Z) se genera como H ∗ (D8,Z)-módulo por tres elementos X = 0, 3 · X = 0 c(­1) = x, c(­2) = y 2, c(­3) = yw donde c es el mapa inducido por el mapa Z → F2 de la secuencia exacta (51). Prueba. La estrategia de la prueba es considerar cuatro parejas exactas inducidas por la secuencia exacta (51): H*(D8,Z) ×2 H*(D8,Z) H ∗ (H1,Z) ×2 H*(H1,Z) H*(D8,F2) H*(H1,F2) H*(H2,Z) ×2 H*(H2,Z) H *(K4,Z) ×2 H*(K4,Z) H*(H2,F2) H*(K4,F2) y los morfismos correspondientes inducidos por resD8H1, res y resD8K4. Nuestra notación es como en la restricción diagrama (27). 1. El módulo Z como módulo H1- es un módulo trivial. Por lo tanto, en la pareja exacta H1 d1 es el habitual Homomorfismo de Bockstein y así d1(a) = Sq 1 a) = a2, d1 b) = Sq 1 b) = b2. Así de la restricción homomorfismo resD8H1 tenemos: resD8H1 (d1(1)) = d1 resD8H1 (1) = d1(1) = 0 resD8H1 resD8H1 (d1(x)) = d1 resD8H1 (x) = d1(0) = 0 resD8H1 resD8H1 (d1(y)) = d1 resD8H1 (y) = d1(b) = b 1 d1(y) 2 + ker resD8H1 resD8H1 (d1(w)) = d1 resD8H1 (w) = ba(a+ b)  d1(w) yw + ker resD8H1 2. El módulo Z como módulo H2-módulo es un módulo no trivial. La pareja exacta H2 = Z4 se desenrolla en una larga secuencia exacta [8, Proposición 6.1, página 71] H0(Z4,Z) ×2 H 0(Z4,Z) 0(Z4,F2) F2, 1 1 (Z4,Z) F2,  ×2 H 1 (Z4,Z) F2,  1 (Z4,F2) F2, e 2-Z4,Z) ×2 H 2-Z4,Z) 2-Z4,F2) F2, u 3(Z4,Z) F2, U ×2 H 3(Z4,Z) F2, U 3(Z4,F2) F2, eu 4(Z4,Z) ... Aquí hemos usado los hechos que Hi(Z4,Z) = F2, i impar 0, incluso y que la multiplicación por U H2(Z4,Z) en H *(Z4,Z) es un isomorfismo [11, Sección XII. 7. págs. 250 a 253]. La larga exacta secuencia describe el operador de límites: En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, los vehículos de motor de encendido por chispa y los vehículos de motor de encendido por chispa y de encendido por chispa deberán estar equipados con un sistema de frenado de encendido por chispa y un sistema de frenado de encendido por chispa. y, por consiguiente, el primer diferencial: d1(1) = e, d1(e) = 0, d1(u) = eu. La restricción homomorfismo resD8H2 implica que: resD8H2 (d1(1)) = d1 resD8H1 (1) = d1(1) = e resD8H2 resD8H1 (d1(x)) = d1 resD8H1 (x) = d1(e) = 0 resD8H2 resD8H1 (d1(y)) = d1 resD8H1 (y) = d1(e) = 0 resD8H2 resD8H1 (d1(w)) = d1 resD8H1 (w) = d1(u) = eu d1(w) yw + ker resD8H2 3. El módulo Z como módulo K4-módulo es un módulo no trivial. Entonces la pareja exacta K4 = Z2 se desenrolla en H0(Z2,Z) ×2 H 0(Z2,Z) 0(Z2,F2) F2, 1 1 (Z2,Z) F2,  ×2 H 1 (Z2,Z) F2,  1 (Z2,F2) F2, t4 2-Z2,Z) ×2 H 2-Z2,Z) 2-Z2,F2) F2, t 3(Z2,Z) F2, T ×2 H 3(Z2,Z) F2, T 3(Z2,F2) F2, t 4(Z2,Z) ... Del mismo modo, Hi(Z2,Z) = F2, i impar 0, incluso y multiplicación por T H2(Z2,Z) en H ∗(Z2,Z) es un isomorfismo [11, Sección XII. 7. págs. 250 a 253]. Entonces d1(1) = t4, d1(t 4 ) = 0, d1(t 4 ) = t para i ≥ 0. Esto implica que resD8K4 (d1(w)) = d1 resD8H1 (w) = d1(0) = 0 (55) resD8K4 (d1(y)) = d1 resD8H1 (y) = d1(0) = 0. (56) A partir de (52), (53) y del diagrama de restricción (27): d1(1) = x, d1(x) = 0, d1(w) {yw, yw + x 3} y d1(y) {y) 2, y2 + x2}. (57) Desde resD8K4 (yw) = 0, res yw + x3 = t34 6= 0 y res = 0, resD8K4 y2 + x2 = t24 6= 0, entonces la las ecuaciones (55) y (56) resuelven los dilemas finales (57). Así d1(w) = yw. Según [10], 5.7.4, pág. 108] hay elementos de grado 1, 2, 3 y de exponente 2 en H *(D8,Z) satisfactorio propiedad (B) de esta proposición. La propiedad (A) sigue de las propiedades de la secuencia espectral de Bockstein y el hecho de que el pareja derivada de la pareja exacta D8 es: # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # donde F2 aparece en la dimensión 0. Observación 6.2. La propuesta no describe la estructura completa H*(D8,Z)-modulo onH ∗ (D8,Z). Sólo proporciona la información necesaria para el cálculo de IndexD8,ZS(R 4 ). El resultado completo se puede encontrar en [18, Teorema 5.11.a)]. Por lo tanto, el índice es dado por ÍndiceD8,ZS(R 4 ) = 1,3j−1 3j,Z (....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 2,3j−1 3j,Z ( 3,3j−1 3j,Z (­3)». El morfismo C de la secuencia espectral (50) a la secuencia espectral (44) inducida por la reducción homo- morfismo Z→ F2 implica que: 1,3j−1 3j,Z (­1)) = 1,3j−1 3j,F2 (c*(l) = 1,3j−1 3j,F2 (x) = 0 2,3j−1 3j,Z (­2)) = 2,3j−1 3j,F2 (c*(l2)) = 2,3j−1 3j,F2 (y2) = yj+2wj = yj+1wj−1(y + x)w 3,3j−1 3j,Z (­3)) = 3,3j−1 3j,F2 (c*(l3)) = 3,3j−1 3j,F2 (yw) = yj+1wj+1 La secuencia de los mapas de inclusión D8 • (j−1) 4 ) S(R 4 ) S(R •(j+1) proporciona (Proposición 3.2) una secuencia de inclusiones: 2 + = ÍndiceD8,ZS(R • (j−1) 4 ) IndexD8,ZS(R 4 ) IndexD8,ZS(R •(j+1) 4 ) = Y 2 â € ¢. (59) Las relaciones (58), (59) y (40), junto con la Proposición 6.1 implican que para j impar: ÍndiceD8,ZS(R 4 ) = Y 2 M,Y Observación 6.3. El índice ÍndiceD8,ZS(Uk × R 4 ) que aparecen en el esquema de mapa de prueba de la unión ahora puede ser Calculado. Del ejemplo 3.4 y del diagrama de restricción (43) se desprende que ÍndiceD8,ZS(Uk) = ÍndiceD8,ZD8/H1 = ker resD8H1 : H ∗(D8,Z)→ H ∗ (H1,Z) = X. Las inclusiones ÍndiceD8,ZS(Uk ×R 4 ) IndexD8,ZS(R 4 ) e IndexD8,ZS(Uk ×R 4 ) IndexD8,ZS(Uk) implica que ÍndiceD8,ZS(Uk ×R 4 ) IndexD8,ZS(R 4 ) • ÍndiceD8,ZS(Uk) = {0}. Así, como en el caso de los coeficientes F2, la teoría del índice Fadell-Husseini con coeficientes Z en la unión El esquema CS/TM no conduce a ninguna obstrucción a la existencia del mapa equivariante en cuestión. 7 ÍndiceD8,F2S Esta sección está dedicada a la prueba de la igualdad ÍndiceD8,F2S d × Sd = d+1, γd+2, w d + 1 + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (60) El índice será determinado por el cálculo explícito de la secuencia espectral de Serre asociada con la construcción de Borel Sd × Sd → ED8 ×D8 Sd × Sd → BD8. El grupo D8 actúa no trivialmente sobre la cohomología de la fibra, y por lo tanto la secuencia espectral tiene coeficientes locales no triviales. El término E2 es dado por 2 = H p(BD8,H q(Sd × Sd,F2)) = H p(D8, H q(Sd × Sd,F2)) Hp(D8,F2), q = 0, 2d Hp(D8,F2[D8/H1)], q = d 0, q 6 = 0, d, 2d. La no trivialidad de los coeficientes locales aparece en la d-ésima fila de la secuencia espectral. En la sección 7.4 hay un bosquejo de una prueba alternativa del hecho (60) sugerido por un árbitro para un antes, F2-coeficiente, versión del papel. 7.1 La d-ésima fila como módulo H*(D8,F2) Dado que la secuencia espectral es un módulo H*(D8,F2) y los diferenciales son mapas de módulos que necesitamos comprender la estructura H*(D8,F2)-módulo del término E2. Proposición 7.1. H*(D8,F2[D8/H1]) ∗(H1,F2). Prueba. En este caso H1 = 1, 2 = Z2 × Z2 es un subgrupo máximo (normal) del índice 2 en D8. Método 1: La declaración se deriva del lema de Shapiro [8, Proposición 6.2, página 73] y del hecho de que cuando [G : H ], entonces hay un isomorfismo de G-módulos CoindGHM = IndGHM. Método 2: Hay una secuencia exacta de grupos 1→ H1 → D8 → D8/H1 → 1. La secuencia espectral LHS asociada [1, Corollary 1.2, página 116] tiene el término E2: 2 = H p(D8/H1, H q(H1,F2[D8/H1)] p(Z2, H q(Z2) 2,F2 - F2)) Hp(Z2;H) = Hp(Z2;H) q(Z2) 2,F2)+H q(Z2) 2,F2)). La acción del grupo D8/H1 = Z2 en la suma es dada por la acción de conjugación de G en el par (H1, H q(H1,F2[D8/H1)]) [8, Corollary 8.4, página 80]. Puesto que F2[Z2] es un módulo Z2-gratuito H0(Z2;F2[Z2]) = (F2[Z2]) Z2 = F2 y Hp(Z2;F2[Z2]) = 0 para p > 0. Por lo tanto + = Hp(D8/H1;H q(Z2) 2,F2)+H q(Z2) 2,F2)) p(D8/H1;F2[Z2] + = Hp(D8/H1;F2[Z2]) q+1 â € = Hp(Z2;F2[Z2]) )Z2 = F 2, p = 0 0, p > 0. Así, el término E2 tiene la forma como en la Figura 5 (concentrada en la columna 0) y colapsa. La primera información sobre la estructura de módulos H*(D8,F2) en H ∗(D8,F2[D8/H1)], así como el método para revelar la estructura completa, viene de la siguiente proposición. * HD* H1, F2* ã H D­H1,F2 D8/H1 0 1 Figura 5: El término A2 de la secuencia espectral del LHS Proposición 7.2. Tenemos x ·H*(D8,F2[D8/H1)] = 0 para el elemento que no es cero 1 (D8,F2), es decir, caracterizado por resD8H1(x) = 0. Prueba. Método 1: El isomorfismoH*(D8,F2[D8/H1]) ∗(H1,F2) inducida por el lema de Shapiro [8, Propo- Situación 6.2, página 73] lleva la estructura del módulo H*(D8,F2) a H *(H1,F2) a través de la restricción homomor- phism resD8H1 : H ∗(D8,F2)→ H ∗(H1,F2). De esta manera la H completa ∗ (D8,F2) - estructura del módulo se da sobre H*(D8,F2[D8/H1)]. En particular, puesto que res (x) = 0, se demuestra la proposición. Método 2: La secuencia exacta de los grupos 1→ H1 → D8 → D8/H1 → 1 induce dos secuencias espectrales LHS 2 = H p (D8/H1, H q (H1,F2[D8/H1)] = p+q(D8,F2[D8/H1]), (62) 2 = H p (D8/H1, H q (H1,F2)) = p+q(D8,F2). (63) La secuencia espectral (63) actúa sobre la secuencia espectral (62) t → A u+r,v+s Esta acción se convierte en una acción de H ∗ (D8,F2) en H *(D8,F2[D8/H1)]. Desde que ya Discutimos ambas secuencias espectrales que sabemos que 2 = A • y B 2 = B De las Figuras 2 y 5 es evidente que x B 2 = B - actúa por x · A 2 = 0 para cada p y q. Corollary 7.3. Índice+2D8,F2S d × Sd = im D+1 : E d+1 → E d+1,0 y ·H*(D8,F2). Prueba. Let α â € E d+1 y ­d+1(α) /­ y ·H *(D8,F2). Luego x · Łd+1(α) 6= 0. Puesto que Łd+1 es una H ∗(D8,F2)- mapa del módulo y x actúa trivialmente en H*(D8,F2[D8/H1]), como se indica en la Proposición 7.2, hay un contradicción 0 = ­d+1(x · α) = x · ­d+1(α) 6= 0. Proposición 7.4. H*(D8,F2[D8/H1)] se genera como H ∗ (D8,F2)-módulo por H0(D8,F2[D8/H1)] y H 1(D8,F2[D8/H1)]. Prueba. Método 1: Ya hemos observado que el lema de Shapiro H*(D8,F2[D8/H1)] ∗ (H1,F2) lleva la H*(D8,F2)-módulo de estructura a H *(H1,F2) a través de la restricción homomorfismo res : H*(D8,F2) → H*(H1,F2). Por lo tanto H ∗ (H1,F2) como H ∗ (D8,F2)-módulo se genera por 1 H 0(H1,F2) junto con a H1(H1,F2). Método 2: Existe la secuencia exacta de módulos D8- 0→ F2 → F2[D8/H1]→ F2 → 0, (64) donde los módulos izquierdo y derecho F2 son módulos D8 triviales. El primer mapa es una inclusión diagonal mientras que El segundo es un mapa de cocientes. La secuencia (64) induce una secuencia exacta larga en la cohomología del grupo [8, Proposición 6.1, página 71], 0→ H0 (D8,F2) → H0 (D8,F2[D8/H1)] → H0 (D8,F2) H1 (D8,F2) → H1 (D8,F2[D8/H1)] → H1 (D8,F2) →... A partir de la secuencia exacta (65), compatibilidad del producto de la copa [8, página 110, (3.3)] y Proposición 7.2 uno puede deducir que فارسى0(1) = x. A continuación, persiguiendo a lo largo de la secuencia (65) con la compatibilidad del producto de la copa [8, página 110,(3.3)] como herramienta se puede probar que H*(D8,F2[D8/H1)] se genera como una H ∗ (D8,F2)-módulo por I = i0(1) y A â € q 1 ({y}). 7.2 Índice +2D8,F2S d × Sd = d+1, El índice por definición es Índice+2D8,F2S d × Sd = im D+1 : E d+1 → E d+1,0 D+1 : H ∗ (D8,F2[D8/H1)]→ H d+1(D8,F2 De la Proposición 7.4 esta imagen es generada como un módulo por las imágenes de H 0 (D8,F2[D8/H1)] y de H1 (D8,F2[D8/H1)]. Se calcula la imagen de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de la unidad de datos de datos de la unidad de datos de datos de la unidad de datos de datos de la unidad de datos de datos de la unidad de datos de datos de la unidad de datos de datos de la unidad de datos de datos de la unidad de datos de datos de la unidad de datos de datos. Proposición 3.5 para el subgrupo H1. Con la identificación de H ∗ (D8,F2[D8/H1)] dada por Shapiro’s lemma el morfismo de las secuencias espectrales de las construcciones de Borel inducidas por la restricción se especifica en Gráfico 6 Además, Índice+2D8,F2S d × Sd = D8d+1(1), d+1(a), d+1(b), d+1(a+b)+. a + b 0 ^d+1 y^d+1 0 1 d + 1 d + 2 2d 11612 d 11ã12 a â â € € Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * b ã b 0 ad+1 +?a +b?d+1 ad+2 +?a +b?d+2 # Aa +bad # # aa # # aa # # aa # # bad # # aa # # aa # # aa # # aa # # aa # aa # # aa # # aa # # aa # aa # # aa # # aa # # aa # # aa # # aa # b # a # aa # b # # aa # b # aa # b # aa # b # aa # # b # aa # # # # a # # b # # # # a # # # a # # # # aa # b # a # # a # a # aa # aa # * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 1 2 3 4 d + 1 d + 2 Ed+1 término de la construcción Borel Sd × Sd فارسى ED8 × D8 فارسىS d × Sd duración de la construcción de Borel Sd × Sd فارسى EH1 ×H1 فارسىS d × Sd Figura 6: El morfismo de las secuencias espectrales Para simplificar la notación deje que := a d + (a+ b)d+1. Entonces desde 7 11+ 12 7 Łd+1 {a, a+ b, b} a+ (a+ b) a + b) + a 7 d+2, a(a+ b) De ello se deduce que resD8H1 D8d+1(1),  d+1(a), d+1(b), d+1(a+b) = d+2, a(a+ b) La fórmula D+2 = a d+2 + (a+ b)d+2 = (a+a+b) ­d+1 + a(a+ b) ai(a+ b)d−1−i = b­d+1 + a(a+ b)(a+ a+ b) ai(a+ b)d−1−i = b­d+1 + a(a+ b)­d junto con la Observación 1.3 y el conocimiento de la restricción resD8H1 implica que resD8H1(ld) = ld. Por lo tanto, existen xα, xβ, xγ, x D8d+1(1) = ηd+1 + xα D8d+1(a),  d+1(b), d+1(a+b) = d+2 + xβ, y Dado que y divide ηd, la Proposición 7.2 implica que α = β = γ = 0, y Índice+2D8,F2S d × Sd = D8d+1(1), d+1(a), d+1(b), d+1(a+b) = d+1, = d+1, Observación 7.5. La propiedad que el homomorfismo descrito concretamente resD8H1 : H ∗(D8,F2[D8/H1)]→ H ∗(H1,F2[D8/H1)] es inyector más generalmente [13, Lemma en la página 187]. 7.3 ÍndiceD8,F2S d × Sd = d+1, γd+2, w En la sección anterior describimos el diferencial D8d+1 de la secuencia espectral Serre asociada con la construcción de Borel Sd × Sd → ED8 ×D8 Sd × Sd → BD8. El único diferencial restante, posiblemente no trivial, es el D82d+1. La siguiente propuesta describe E 2d+1 puede obtenerse a partir de la Figura 6. Proposición 7.6. E 2d+1 = ker D8d+1 : E d+1 → E d+1,d = x ·H*(D8,F2) Prueba. La propiedad de restricción de la Proposición 3.5(D), aplicada al elemento 1 E d+1 = H ∗(D8,F2) implica que فارسىD8d+1(1) 6= 0. Proposición 7.2, junto con el hecho de que la multiplicación por y y por w en H*(D8,F2[D8/H1)] es inyector, implica que ker D8d+1 : E d+1 → E d+1,d = xH*(D8,F2). La descripción del diferencial D82d+1 : E 2d+1 → E 2d+1,0 2d+1 viene de una manera indirecta. Hay un Mapa D8-equivariante Sd × Sd → Sd ∗ Sd •(d+1) dado por Sd × Sd (t1, t2) 7→ t2 â € ~ S d* Sd. El resultado de la sección 5.1 y la propiedad básica de el índice (Proposición 3.2) implica que ÍndiceD8,F2S d × Sd IndexD8,F2S((V V) •(d+1) ) = «wd+1». Por lo tanto wd + 1 + ÍndiceD8,F2S d × Sd. Puesto que por corolario 7.3 wd + 1 /+ Índice + 1D8,F2S d × Sd se deduce que wd+1 im D82d+1 : E 2d+1 → E 2d+2,0 Pero el único elemento no cero en E 2d+1 es x, por lo tanto D82d+1 (x) = w Esto concluye la prueba de la ecuación (60). 7.4 Una prueba alternativa, bosquejo El objetivo de nuestro cálculo del índice es encontrar el núcleo del mapa (cf. Sección 3) H*(ED8 ×D8 Sd × Sd ,F2) = H (Sd × Sd,F2)← H (pt,F2) = H *(ED8 ×D8 pt,F2). (66) Este mapa es inducido por el mapa de los espacios ED8 ×D8 (S d × Sd)→ ED8 × D8 pt. (67) De la definición del producto ×D8 el mapa (67) es inducido por ED8 × (S d × Sd) → ED8 × pt, es decir por (Sd × Sd)→ pt. El mapa (67), de nuevo por definición del producto ×D8 es ED8 × (S d × Sd) /D8 → (ED8 × pt) /D8. (68) Dejar S2 = Z2 denota el grupo de cociente D8/H1. Hay un homeomorfismos naturales [23, Proposición 1.59, página 40] ED8 × (S d × Sd) /S2 → ((ED8 × pt) /H1) /S2 (69) que es inducido por el mapa ED8 × (S d × Sd) /H1 → (ED8 × pt) /H1 (70) Puesto que ED8 es también un modelo para EH1, el mapa (70) es un mapa de proyección en la construcción de Borel de S con respecto al grupo H1: Sd × Sd ED8 × (S d × Sd) El grupo D8 actúa libremente sobre el ED8 × (S d × Sd) y en ED8 × pt. Por lo tanto, las acciones S2 en los espacios( ED8 × (S d × Sd) /H1 y (ED8 × pt) /H1 también son libres. Hay equivalencias naturales de la homotopía ED8 × (S d × Sd) /S2 ES2 ×S2 ED8 × (S d × Sd) ((ED8 × pt) /H1) /S2 ES2 × S2 ((ED8 × pt) /H1) que transforman el mapa (69) en un mapa de construcciones Borel ES2 ×S2 ED8 × (S d × Sd) → ES2 × S2 ((ED8 × pt) /H1) (72) inducido por el mapa (70) en las fibras. El mapa entre construcciones Borel (72) induce un mapa de secuencias espectrales Serre asociadas que en el plazo E2 parece 2 = H p(S2, H q(ED8 × Sd × Sd )/H1,F2))← H p(S2, H q(ED8 × pt) /H1,F2)) = H 2. (73) La secuencia espectral H 2 es el estudiado en la sección 4.2. Converge a H ∗(D8,F2) y H 2 = H Lemma 7,7. E 2 = E Prueba. La acción de H1 sobre S d × Sd es gratis. Por lo tanto ED8 × Sd × Sd /H1 Sd × Sd /H1 = RP d × RP d (74) donde la acción inducida de S2 a partir de ED8 × Sd × Sd /H1 en RP d × RP d intercambia las copias de RP d × RP d. La equivalencia S2-homotopy (74) induce un isomorfismo de Serre espectral inducido secuencias de construcciones Borel 2 = H p(S2, H ED8 × Sd × Sd H1, F2)) = H p(S2, H q(RP d × RP d,F2)) = G Puesto que para la secuencia espectral G 2, por [1, Teorema 1.7, página 118], sabemos que G 2 = G *, lo mismo * debe contener para la secuencia espectral E Hemos obtenido la siguiente presentación del mapa (66) y el correspondiente mapa de las fibras (70). Proposición 7.8. (A) El mapa H*D8(pt,F2) → H (Sd × Sd,F2) da lugar a un mapa de secuencias espectrales de S2-Borel construcciones 2 = H p(S2, H q(ED8 × pt) /H1,F2))→ H p(S2, H q(ED8 × Sd × Sd )/H1,F2)) = E 2 (75) que es inducido por el mapa en fibras ED8 × (S d × Sd) /H1 → (ED8 × pt) /H1. (B) El mapa de las fibras es el mapa de proyección de la construcción H1-Borel Sd × Sd → ED8 × (S d × Sd) /H1 → BH1. Está completamente determinado en la cohomología F2 por su núcleo: H*(H1,F2)→ H ED8 × (S d × Sd) /H1,F2) = ÍndiceH1,F2S d × Sd = "ad+1", (a+ b)d+1». La E 2 = E * y H. 2 = H Se describen por [1, Lemma 1.4, página 117]. Por lo tanto, ÍndiceD8,F2S o el núcleo del mapa de secuencias espectrales (75) está completamente determinado por el núcleo del mapa de S2-invariantes F2[a, a+b] F2[a, a+ b]/a d+1, (a+ b)d+1 H*(H1,F2) S2 → H*( ED8 × (S d × Sd) /H1,F2) donde la acción S2 es dada por un 7 a+ b. La ecuación (60) ÍndiceD8,F2S d × Sd = d+1, γd+2, w d + 1 + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + es una consecuencia de la discusión anterior, identificación de elementos (23) en la secuencia espectral (22) y la siguiente proposición sobre polinomios simétricos. Proposición 7.9. A) Un polinomio simétrico aik(a+ b)jk • F2[a, a+ b] S2 está en el núcleo del mapa (76) si y sólo si por cada monomio ad+1 aik(a+ b)jk o (a+ b)d+1 aik(a+ b)jk. (B) El núcleo del mapa (76), como ideal en F2[a, a+ b] S2 es generado por ad+1 + (a+ b)d+1, ad+2 + (a+ b)d+2, ad+1(a+ b)d+1. El enfoque que aquí se presenta, con todas sus ventajas, tiene dos desventajas: (1) El portador del límite inferior combinatorio para el problema de la partición de masa, el índice parcial Índice+2D8,F2S d × Sd, no se puede obtener sin esfuerzo adicional. (2) No se puede utilizar para el cálculo del índice Índiced+2D8,ZS d × Sd; la secuencia espectral H 2, si considerado con los coeficientes Z, es la secuencia (35) cuyo E-término tiene una estructura de anillo que difiere de H*(D8,Z). Estas fueron nuestras razones para presentar esta idea como un boceto. 8 ÍndiceD8,ZS Let Π0 = 0, Π1 = Y y Πn+2 = YΠn+1 +WΠn, para n ≥ 0, ser una secuencia de polinomios en H ∗ (D8,Z). Esta sección está dedicada a la prueba de la igualdad Índice+2D8,ZS d × Sd = d+2 ,Π d+4 ,MΠ d ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ d+1 ,Π d+3 ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ por ♪ impar ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ El índice está determinado por el cálculo explícito del término Ed+2 de la secuencia espectral de Serre asociado con la construcción de Borel Sd × Sd → ED8 ×D8 Sd × Sd → BD8. Al igual que en la sección anterior, el grupo D8 actúa no trivialmente sobre la cohomología de la fibra y, por lo tanto, la Los coeficientes en la secuencia espectral son locales. El término E2 es dado por 2 = H p(BD8,H q(Sd × Sd,Z)) = Hp(D8, H q(Sd × Sd,Z)) Hp(D8,Z), q = 0, 2d Hp(D8, H d(Sd × Sd,Z), q = d 0, q 6 = 0, d, 2d. Los coeficientes locales son no triviales en la d-ésima fila de la secuencia espectral. 8.1 La d-ésima fila como módulo H*(D8,Z) El módulo D8-M := H d(Sd × Sd,Z), como grupo abeliano, es isomórfico a Z× Z. Desde la acción de D8 en M depende de d distinguimos dos casos. 8.1.1 El caso cuando d es impar La acción sobre M está dada por *1 · (x, y) = (x, y), *2 · (x, y) = (x, y), * (x, y) = (y, x). Por lo tanto, hay un isomorfismo de los módulos D8-M = Z[D8/H1]. La situación se parece a la de la Sección 7.1, y por lo tanto las siguientes proposiciones sostienen. Proposición 8.1. H*(D8,Z[D8/H1]) ∗ (H1,Z). Prueba. La reclamación se deriva del lema de Shapiro [8, Proposición 6.2, página 73] y del hecho de que cuando [G : H ] hay un isomorfismo de G-módulos CoindGHM = IndGHM. Proposición 8.2. Let T â € € ¢ H* (D8,Z) y P â € H *(H1,Z) = H *(D8,Z[D8/H1)]. A) Medidas adoptadas por H*(D8,Z) en relación con H ∗(D8,Z[D8/H1)] T ·P := resD8H1 (T ) ·P. Aquí P en el lado derecho es un elemento de H*(H1,Z) y en el lado izquierdo es su isomórfico imagen bajo el isomorfismo de la proposición anterior. En particular, X·H*(D8,Z[D8/H1)] = 0. B) H* (D8,Z)-módulo H ∗(D8,Z[D8/H1)] es generada por los dos elementos 1, α • H*(H1,Z) = H ∗(D8,Z[D8/H1)] de grado 0 y 2. (C) El mapa H*(D8,Z[D8/H1)]→ H ∗(D8,F2[D8/H1)], inducido por el mapa del coeficiente Z→ F2, se indica por 1, α 7 1, a2. Prueba. El isomorfismo H*(D8,Z[D8/H1)] = anillo H ∗(H1,Z) inducida por el lema de Shapiro [8, Propo- Situación 6.2, página 73] lleva la estructura del módulo H*(D8,Z) a H ∗ (H1,Z) via res : H*(D8,Z) → H*(H1,Z). De esta manera la H completa ∗ (D8,Z)-módulo estructura se da en H *(D8,Z[D8/H1)]. Los la reclamación (B) se desprende del diagrama de restricciones (43). El morfismo de los diagramas de restricción inducidos por el homomorfismo de reducción de coeficiente c : Z→ F2 implica la última declaración. 8.1.2 El caso cuando d es par La acción sobre M está dada por *1 · (x, y) = (−x, y), *2 · (x, y) = (x,−y), * (x, y) = (y, x). En este caso nos vemos obligados a analizar la secuencia espectral de Bockstein asociada con la secuencia exacta de módulos D8-D8 →M → F2[D8/H1]→ 0, (79) i.e. con la pareja exacta H*(D8,M) ×2 H*(D8,M) H*(D8,F2[D8/H1)]. Primero estudiamos la secuencia espectral de Bockstein H*(H1,M) ×2 H*(H1,M) H*(H1,F2[D8/H1)]. Como en la Sección 7.2, tenemos que H*(H1,F2[D8/H1]) = F2[a, a + b] F2[a, a + b]. El módulo M como un El módulo H1 puede descomponerse en la suma de dos módulos H1 Z1 y Z2. Los módulos Z1 = Ab Z y Z2 = Ab Z son dados por *1 · x = −x, *2 · x = x y *1 · y = y, *2 · y = −y para x Z1 y y Z2. Esta descomposición también induce una descomposición de los módulos H1 F2[D8/H1] = F2 + F2. Así, la pareja exacta (81) se descompone en la suma directa de dos parejas exactas H*(H1, Z1) ×2 H*(H1, Z1) H ∗(H1, Z2) ×2 H*(H1, Z2) H*(H1,F2) H*(H1,F2) Dado que todos los mapas de estas parejas exactas son mapas H*(H1,Z)-módulo, la siguiente propuesta com- Determina abundantemente ambas parejas exactas. Proposición 8.3. En las parejas exactas (82) los diferenciales d1 = c d1(1) = a, d1(b) = b(b+a) y d1(1) = a+ b, d1(a) = d1(b) = ab. (83) Prueba. En ambas afirmaciones utilizamos el siguiente diagrama de parejas exactas inducidas por restricciones, donde i {1, 2}: (H1, Zi) ×2 H*(H1, Zi) (H1,F2) (K1, Zi) ×2 H*(K1, Zi) (K1,F2) (K2, Zi) ×2 H*(K2, Zi) (K2,F2) (K3, Zi) ×2 H*(K3, Zi) (K3,F2) La primera pareja exacta. El módulo Z1 es un módulo K1 y K3 no trivial, pero un módulo K2 trivial. Por lo tanto por las secuencias exactas largas (54), las propiedades de los cuadrados Steenrod y la suposición en el final de la sección 4.3.2: (A) Pareja exacta K1: d1(1) = t1 y d1(t1) = 0; (B) Pareja K2-exacta: d1(1) = 0 y d1(t2) = t (C) Pareja exacta K3: d1(1) = t3 y d1(t3) = 0. resH1K1(d1(1)) = t1 resH1K2(d1(1)) = 0 resH1K3(d1(1)) = t3  d1(1) = a resH1K1(d1(b)) = 0 resH1K2(d1(b)) = t resH1K3(d1(b)) = 0  d1(b) = b(b+a). La segunda pareja exacta. El módulo Z2 es un módulo no trivial K2 y K3, mientras que es un módulo trivial K1- módulo. Por lo tanto por el largo exacto (54), las propiedades de los cuadrados Steenrod y la suposición al final de la sección 4.3.2: (A) Pareja K1-exacta: d1(1) = 0 y d1(t1) = t (B) Pareja exacta de K2: d1(1) = t2 y d1(t2) = 0; (C) Pareja exacta K3: d1(1) = t3 y d1(t3) = 0. resH1K1(d1(1)) = 0 resH1K2(d1(1)) = t2 resH1K3(d1(1)) = t3  d1(1) = a+ b resH1K1(d1(b)) = t resH1K2(d1(b)) = 0 resH1K3(d1(b)) = 0  d1(b) = ab. Observación 8.4. El resultado de la propuesta anterior puede ser visto como un paso clave en una prueba alternativa de la ecuación (20). Proposición 8.5. En la pareja exacta (80), con identificación H*(D8,F2[D8/H1)] = F2[a, a + b], la diferencial d1 = s d1(1) = a, d1(a+b) = d1(b) = b(b+a), d1(a) 2) = a3. (84) (Esto determina d1 completamente ya que c y  son H ∗ (D8,Z)-módulo de mapas.) Prueba. Recuerde de la Observación 7.5 que el mapa de restricción resD8H1 : H ∗(D8,F2[D8/H1)]→ H ∗(H1,F2[D8/H1)] es inyector. A continuación, las ecuaciones (84) se obtienen llenando los lugares vacíos en los siguientes diagramas d1 a+ b d1 a2 * d1 a* (a+ b) a + b) + a * d1 b(b+ a)• ab a2 â € (a+ b)2 d1 a3 â € (a+ b)3 donde todos los mapas verticales son resD8H1. Corolario 8.6. H*(D8,M) se genera como H ∗ (D8,Z)-módulo de tres elementos: 1, 2, 3 de grado 1, 2, 3 de tal manera que c(­1) = a, c(­2) = b(a+ b), c(­3) = a donde c es el mapa H*(D8,M)→ H *(D8,F2[D8/H1)] de la pareja exacta (80). 8.2 Índice +2D8,ZS d × Sd La relación entre las secuencias de polinomios ∗(D8,F2) y Πd ∗ (D8,Z) se describe por el siguiente lema. Lemma 8.7. Let c* : H ∗(D8,Z)→ H ∗(D8,F2) ser el mapa inducido por el coeficiente de morfismo Z→ F2 (explícitamente dada por (40). Entonces por cada d ≥ 0, c*(Πd) = η2d. Prueba. Inducción en d ≥ 0. Para d = 0 y d = 1 la reclamación es obvia. Let d ≥ 2 y vamos a asumir que Reclamación mantenida por cada d ≤ k + 1. Entonces c*(Πk+2) = c*(YΠk+1 +WΠk) Hipo. = y2γ2k+2 + w 2γ2k = y 2η2k+2 + ywη2d+1 + ywη2d+1 + w = y(yü2k+2 + wü2d+1) + wü2d+1 + wü2k) = yü2k+3 + wü2k+2 = γ2k+4. Hay una secuencia de Inclusiones D8- S1 × S1 • S2 × S2 • · · · • Sd−1 × Sd−1 • Sd × Sd • Sd+1 × Sd+1 • · · implica una secuencia de inclusiones ideales Índice S1 × S1 Index4D8,ZS 2 × S2 · · · Indexd+1D8,ZS d−1 × Sd−1 Indexd+2D8,ZS d × Sd · · · (85) 8.2.1 El caso cuando d es impar En esta sección demostramos que Índice Sd × Sd = d+1 ,Π d+3 - Sí. (86) La prueba puede realizarse como en el caso de los coeficientes F2 (sección 7.2). Los resultados de la sección 7.2 También se puede utilizar para simplificar la prueba de la ecuación (86). El morfismo c* : H *(D8,Z) → H ∗(D8,F2) inducido por el coeficiente morfismo Z → F2 es una parte del morfismo C de las secuencias espectrales de Serre (78) y (61). Por lo tanto, para 1 E d+1 = H 0(D8, H d(Sd × Sd,Z)), 1+ E0,dd+1 = H 0(D8, H d(Sd × Sd,F2), α • E d+1 = H 2 D8, H d(Sd × Sd,Z)) y un E1,dd+1 = H 1 D8, H d(Sd × Sd,Z)), C(ld+1(1)) = ld+1(l) = ld+1(l) = ld+1 = C Π d+1 C(l+d+1(α)) = l+d+1(C(α)) = l+d+1(a) 2) = ld+1(w · 1° + y · a) = ld+1 + yld+2 = ld+3 = C D d+3 De la Proposición 8.2 y de la secuencia de inclusiones (85) se desprende que D+1(1) = Π d+1 y Łd+1(α) = Π d+3 Finalmente, la declaración (B) de la Proposición 8.2 implica ecuación (86). 8.2.2 El caso cuando d es par En esta sección demostramos que Índice+2D8,ZS d × Sd = d+2 ,Π d+4 ,MΠ d - Sí. (87) La sección anterior implica que ,Π d+2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + d × Sd d+2 ,Π d+4 - Sí. (88) De Corollary 8.6 sabemos que Índice + 2D8,ZS d × Sd es generado por tres elementos ­d+1(­1), ­d+1(­2), En el caso de los grados d + 2, d + 3, d + 3, d + 3, los grados d + 3. Por lo tanto, ­d+1(­1) = Π d+2 y Łd+1(­2) = MΠ d . Desde Π d+4 d+2 ,MΠ d D+4 = D+4 = D+3 = D+4 = D+3 = D+3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 + 4 . Se concluye la prueba de la ecuación (87). Alternativamente, la prueba se puede obtener con la ayuda del morfismo C de secuencias espectrales Serre (78) y (61). Bibliografía [1] A. Adem, R.J. Milgram, Cohomología de Grupos Finitos, Segunda Edición, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 309, Springer-Verlag, Berlín, 2004. [2] A. Adem,Z. Reichstein, Cohomología y Polinomios Simétricos Truncados, arXiv:0906.4799, 2009. [3] M. Atiyah, Personajes y Cohomología de Grupos Finitos, IHES Publ. matemáticas. No. 9, 1961. [4] Z. Balanov, A. Kushkuley, Métodos geométricos en Teoría de Grado para Mapas Equivariantes, Notas de Conferencia en Matemáticas 1632, Springer-Verlag, Berlín, 1996. [5] T. 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Živaljević, guía del usuario sobre métodos equivariantes en la combinatoria II, Publ. Inst. Matemáticas. Belgrado, 64(78), 1998, 107-132. http://arxiv.org/abs/1004.0746 1 Introducción 1.1 El problema de la partición de masa del hiperplano 1.2 Declaración del resultado principal (k=2) 1.3 Sinopsis de la prueba 1.4 Evaluación de los límites del índice 1.4.1 Evaluación F2 1.4.2 Evaluación en Z 2 Espacio de configuración/esquema de mapas de prueba 2.1 Espacio de configuración 2.2 Mapa de pruebas 2.3 El espacio de ensayo 3 La teoría del índice Fadell-Husseini 3.1 Cohomología equivariante 3.2 ÍndiceG,R e ÍndiceG,Rk 3.3 El mapa de restricciones y el índice 3.4 Cálculos básicos del índice 3.4.1 El índice de un producto 3.4.2 El índice de una esfera 4 La cohomología de D8 y el diagrama de restricción 4.1 Pospuesto de subgrupos de D8 4.2 El anillo de cohomología H(D8,F2) 4.3 Diagrama de cohomología de subgrupos con coeficientes en F2 4.3.1 Diagrama Z2Z2- 4.3.2 El D8-diagrama 4.4 El anillo de cohomología H(D8,Z) 4.4.1 Opinión de las partes 4.4.2 Vista de secuencia espectral de Bockstein 4.5 El D8-diagrama con coeficientes en Z 4.5.1 Diagrama Z2Z2- 4.5.2 El D8-diagrama 5 ÍndiceD8,F2S(R4j) 5.1 ÍndiceD8,F2S(V-+V+-)="426830A w"526930B 5.2 ÍndiceD8,F2S(V–)="426830A y"526930B 5.3 ÍndiceD8,F2S(R4j)="426830A yjwj"526930B 6 ÍndiceD8,ZS(R4j) 6.1 El caso cuando j es par 6.2 El caso cuando j es impar 7 ÍndiceD8,F2SdSd 7.1 La d-ésima fila como un módulo H(D8,F2) 7.2 ÍndiceD8,F2d+2SdSd="426830A d+1,d+2"526930B 7.3 ÍndiceD8,F2SdSd="426830A d+1,d+2,wd+1"526930B 7.4 Una prueba alternativa, bosquejo 8 ÍndiceD8,Z SdSd 8.1 La d-ésima fila como un módulo H(D8,Z ) 8.1.1 El caso cuando d es impar 8.1.2 El caso cuando d es par 8.2 ÍndiceD8,Zd+2SdSd 8.2.1 El caso cuando d es impar 8.2.2 El caso cuando d es par

A new method of alpha ray measurement using a Quadrupole Mass Spectrometer

Un nuevo método de medición de rayos alfa utilizando un espectrómetro de masa cuádrupolo Y. Iwata a,*, Y. Inoue b, M. Minowa a a Departamento de Física, Escuela de Ciencias, Universidad de Tokio, 7-3-1, Hongo, Bunkyo-ku, Tokio 113-0033, Japón bCentro Internacional de Física Primaria de Partículas (ICEPP), Universidad de Tokio, 7-3-1 Hongo, Bunkyo-ku, Tokio 113-0033, Japón Resumen Proponemos un nuevo método de medición de los rayos alfa (α) que detecta el helio átomos con un espectrómetro de masa cuádrupolo (QMS). Se lleva a cabo una demostración con una fuente de emisión de α 241Am cubierta de plástico para detectar los rayos α Cápsula. Detectamos con éxito átomos de helio que se difunden fuera de la cápsula por acumularlos durante una a 20 horas en una cámara cerrada. Cantidad detectada se encuentra que es proporcional al tiempo de acumulación. Nuestro método es aplicable a sonda α-emisora de radiactividad en el material a granel. Palabras clave: Espectrómetro de masa cuádrupolo, átomos de helio, Conteo 1 Introducción Hay muchas maneras de detectar rayos α tales como contadores de flujo de gas y sólidos- los detectores de estado[1], pero todos detectan la señal de ionización correspondiente incidente α ray, en lugar de 4He en sí mismo. Sin embargo, debido a que las partículas α viajan sólo unos pocos centímetros en el aire y se puede detener fácilmente por un pedazo de lámina delgada o papel, es más difícil detectar sus rayos que los de radiación beta o gamma. En este trabajo, sugerimos un nuevo método de medición de rayos α que tiene como objetivo detectar 4E átomos neutros. Si uno quiere medir la radiactividad α-emisora en el material a granel con detectores ordinarios, uno tiene que depender de los rayos α emitidos * Autor correspondiente. Tel.: +81 3 5841 7622; fax: +81 3 5841 4186. Dirección de correo electrónico: yiwata@icepp.s.u-tokyo.ac.jp (Y. Iwata). Preimpresión enviada a Elsevier 13 de noviembre de 2018 http://arxiv.org/abs/0704.1944v1 de la superficie delgada del material debido a su corto alcance. Sin embargo, muchos materiales difuminan las partículas α paradas fuera de su superficie en la forma de átomos neutros de helio. La cantidad de los átomos de helio liberados puede ser entonces medida por un espectrómetro de masa cuádrupolo (QMS) en términos de masa número A = 4. Por lo tanto, existe la ventaja de poder medir α- emitiendo radiactividad en materiales a granel. Se puede ver que una mayor sensibilidad para alfas se puede esperar. 2 Configuración y método experimentales Para examinar nuestro método de medición de α-ray, utilizamos un Amersham X.825 disco tipo 241Am α fuente (Fig. 1) y un sistema de vacío que incluye un QMS. La fuente 241Am, un α-emisor con una vida media de T1/2 = 432,2 y, está cubierto con resina epoxi de 25mm de diámetro y 3mm de espesor. Esta fuente emite 3.25 × 105 alfas por segundo, que finalmente se detienen en la resina y se difunden 4Él neutrales átomos. El tiempo necesario para la difusión en resina es insignificante 1 en comparación con el tiempo transcurrido unos 10 años o más después de la producción de esta fuente α. Por lo tanto, se cree que la tasa de producción de helio de la fuente ser el mismo que el de alfa (3.25×105 s−1). Un espectrómetro de masa cuádrupolo (QMS) se utiliza a menudo para el análisis de oligoelementos debido a su alto isotópico selectividad y eficiencia[3]. El QMS que usamos es un Pfeiffer Vacuum QMS200 con un detector de canaltrón. El rango de masa es A = 1–100 y la detección el límite es de 1× 10−12 Pa [4]. La configuración experimental se muestra en Figs. 2 y 3. Una trampa de nitrógeno líquido fue introducido para capturar gases no deseados especialmente de la resina. Nosotros controló las válvulas, V1 y V2 (véase Fig. 3), para medir el SGC integrado corriente de canaltron QHe de helio, según se indica: a) Dibujar un vacío a 10-6Pa con ambas válvulas (V1, V2) abiertas. (b) Mantenga la válvula V1 cerrada para Tac = 1h, 4h, 10h y 20h para acumular helio átomos de la fuente. El número de átomos de helio esperados fue NHe = 1.17× 109, 4.68× 109, 1.17× 1010 y 2.34× 1010, respectivamente. (c) Después de cerrar la válvula V2, la válvula abierta V1 para introducir átomos de helio en la QMS a través de un orificio durante un par de segundos. (d) Válvula abierta V2 para introducir la mayoría de los átomos restantes al mismo tiempo para Detección de helio. En nuestro sistema QMS, se colocan la válvula de bypass V2 y el orificio (0,3 mm) para una muestra de gas de alta presión. Aquí, los utilizamos en el paso (c) para evitar un 1 Tiempo de difusión del helio a través de varias muestras de adhesivos de resina epoxi en ref [2]. cambio drástico en la corriente de canaltrón medida por el QMS, que fue observado con sólo V1 abierto después del paso (b). Considerando la conducción de la orificio, se estima que la cantidad de átomos de helio perdidos en el paso (c) es inferior a 2%, por lo que se midió la integración de las corrientes de Channeltron durante 5 segundos después de abrir la válvula V2 en el paso (d). Se determinó el tiempo de integración de los 5s después de considerar el tiempo necesario para abrir la válvula V2 a mano (+ 1s) y el tiempo de evacuación T0 â ¬ 0,3s (â € TM s) esperado por la velocidad de bombeo de nuestro sistema de vacío. Para estimar la cantidad de señal espuria causada por la salida de gas de la resina, también medimos corrientes de canaltrón contra una fuente de 57Co como control cubierto con la misma cápsula epoxi que la fuente 241Am. Asumiendo que ambas fuentes emiten gases de salida de una composición y una cantidad similares, el corriente de canaltron integrada QHe se puede definir como la diferencia entre la corriente integrada QAm y QCo con el 241Am y la fuente 57Co, respectivamente, bajo el mismo tiempo de acumulación Tac. En términos de NHe describió arriba, QEl puede ser escrito como QHe = QAm −QCo = eGRINHe, (1) donde e es la carga elemental, G + 7 × 103 es el factor de amplificación de el canaltron, y Ri es la eficiencia de detección del QMS, es decir, la relación del número de átomos de helio detectados por el QMS en comparación con el cantidad NHe. Tenga en cuenta que NHe y QHe son proporcionales a la acumulación tiempo Tac. 3 Resultados y análisis Medimos un conjunto de QAm y QCo dos veces para cada Tac = 1h, 4h, 10h y 20h. Fig. 4 muestra algunos ejemplos del resultado experimental para Tac = 20h, 10h y 4h. Se puede observar una clara diferencia entre dos fuentes para los datos de Tac = 20h y 10h. La diferencia también se puede ver en la Fig. 4-(C) (Tac = 4h), aunque un cambio drástico en la corriente de Channeltron hace que no quede claro. Fig. 5 muestra la relación entre el tiempo de acumulación Tac y la red cantidad de helio QHe = QAm − QCo con el mejor ajuste bajo el supuesto de linealidad. Aquí, debido a la dificultad en la evaluación del error exacto de QHe, lo estimamos en QCo para cada punto de datos, que puede ser un conservador sobrestimación. La falta de claridad de los datos de Tac = 4h descritos anteriormente es reflejado en las barras de error de esta figura. El coeficiente de proporcionalidad más adecuado (1,9±0,2)× 10−12[C/h] corresponde a Ri â € 2 × 10 −6 según Eq.(1). Podemos ver cierto grado de linealidad entre Tac y QHe, pero la eficiencia de detección obtenida Ri fue más bien pequeño, probablemente porque la mayoría de los átomos de helio fueron evacuados por el Bomba de vacío antes de que se ionizaran. Para estimar el límite de detección final bajo este sistema, aparte de la influencia de la salida de gas procedente de la cápsula epoxi, se midió el distribución de QBG, la corriente de canaltron de fondo sin ninguna fuente integrado durante 5 segundos, como se muestra en la Fig. 6. El mejor ajuste a los datos por la distribución normal también se muestra en la figura. De esta manera, el estándar Se obtuvo una desviación de  = 9,3 × 10−14 [C]. Definimos el límite de detección Qlimit como Qlimit = (1,645]× 2 = 2,2× 10−13 [C] (2) a un nivel de confianza del 95%. Aquí, el factor 2 se introduce para tener en cuenta los dos conjuntos de los datos, el 241Am y la fuente 57Co, que se utilizaron para detectando la señal de helio. El Qlimit obtenido corresponde a 10 8 helio átomos bajo nuestro sistema. Aunque no tratamos de obtener una mayor eficiencia de detección Ri con este mea- garantía, ya que las válvulas fueron controladas manualmente, hay algunas posibles soluciones para mejorar Ri: • Atom ramcher [5] Un agrupador de átomos es una trampa fría para capturar átomos de gas objetivo. Se compone de un superficie metálica que a menudo se enfría por helio líquido. Algunos tipos de láser pueden se utilizará para calentar temporalmente una mancha en la superficie para evaporar los átomos de gas. La eficiencia de detección Ri mejoraría si el área calentada se coloca cerca a la cámara de ionización del QMS. Este dispositivo se puede aplicar a la detección de helio al enfriar la superficie a una temperatura lo suficientemente baja como para atrapar los átomos de helio. • Válvula supersónica pulsada [6] La válvula supersónica pulsada (PSV) es un dispositivo electromagnético para generar jet de gas libre supersónico. Esta válvula consta de dos placas metálicas paralelas como una puerta para el gas de muestra. El gas sólo se permite temporalmente introducido cuando la puerta se abre por repulsión electromagnética entre Estas dos placas. El chorro de gas de muestra se inyecta en la ionización cámara. Similar al racimo de átomos descrito anteriormente, Ri superior puede ser lograda mediante la localización del PSV cerca de la región de ionización del QMS. Fijar dispositivos como un atom ramcher y un PSV para mejorar la detección eficiencia y así obtener un mayor Ri, cantidades mucho más pequeñas de átomos de helio podría ser detectado que bajo nuestro sistema actual. Además, se dice que algunos QMS ser capaz de contar átomos objetivo uno por uno[4], por lo que nuestro sistema podría teóricamente mejorar para detectar un solo átomo de helio; es decir, cada rayo α independientemente de su energía si la eficiencia de detección Ri se acerca a uno. Nuestro método se puede aplicar a las estimaciones exactas de errores blandos inducidos por α en circuito integrado a gran escala (VLSI). Los errores blandos son causados por rayos α a partir de una cantidad mínima de sustancia radiactiva en envases LSI, y convertirse en un problema grave en los circuitos VLSI[7]. Uso de análisis de masa en vacío puede permitirnos reducir el límite de detección de la radiactividad Envases comparados con el método convencional con un flujo de gas proporcional contador. 4 Conclusión Propusimos un nuevo método para la medición de rayos alfa (α) mediante la detección de helio átomos con un QMS. Una fuente 241Am α y una fuente 57Co como control fueron utilizado para examinar nuestro método. El resultado mostró que podíamos tener éxito detectar átomos de helio, pero la eficiencia de detección fue sólo 2× 10−6 bajo nuestro sistema. Dispositivos adicionales como un atom ramcher y un PSV para mejorar La eficiencia de detección puede permitirnos reducir el límite de detección. Este detector no puede medir la energía de las partículas α, pero esa característica es razonable común a muchos otros detectores α convencionales y no es una deficiencia en la mayoría de las aplicaciones. Nuestro método puede ser factible para elegir bajo α- material activo para envases LSI, que es esencial para reducir el α-inducido suave Tasas de error en los circuitos VLSI. Bibliografía [1] Kai Siegbahn, espectroscopia de rayos alfa, beta y gamma, Amsterdam, 1965. [2] A. Gerlach, W. Keller, J. Schulz y K. Schumacher, Microsystem Technologies 7 (2001) 17. [3] N. Trautmann, G. Passler y K. Wendt, Anal. 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Linealidad entre Tac y QHe (Tac = 1h, 4h, 10h, 20h). 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 BG integral (5s) [10-12C]  = 9,3*10-14 [C] datos para el ajuste Fig. 6. Distribución de QBG. Introducción Configuración y método experimentales Resultado y análisis Conclusión Bibliografía

Proponemos un nuevo método de medición de rayos alfa($\alpha$) que detecte átomos de helio con un espectrómetro de masa cuádrupolo (QMS). Una demostración es realizado con una fuente de emisión de plástico cubierta de $$241}$Am $\alpha$ para detectar $\alpha$-rays se detuvo en la cápsula. Detectamos con éxito átomos de helio que difundir fuera de la cápsula mediante la acumulación de una a 20 horas en un cerrado cámara. La cantidad detectada es proporcional a la acumulación Tiempo. Nuestro método es aplicable a la sonda $\alpha$-emisión de radiactividad a granel material.

Introducción Hay muchas maneras de detectar rayos α tales como contadores de flujo de gas y sólidos- los detectores de estado[1], pero todos detectan la señal de ionización correspondiente incidente α ray, en lugar de 4He en sí mismo. Sin embargo, debido a que las partículas α viajan sólo unos pocos centímetros en el aire y se puede detener fácilmente por un pedazo de lámina delgada o papel, es más difícil detectar sus rayos que los de radiación beta o gamma. En este trabajo, sugerimos un nuevo método de medición de rayos α que tiene como objetivo detectar 4E átomos neutros. Si uno quiere medir la radiactividad α-emisora en el material a granel con detectores ordinarios, uno tiene que depender de los rayos α emitidos * Autor correspondiente. Tel.: +81 3 5841 7622; fax: +81 3 5841 4186. Dirección de correo electrónico: yiwata@icepp.s.u-tokyo.ac.jp (Y. Iwata). Preimpresión enviada a Elsevier 13 de noviembre de 2018 http://arxiv.org/abs/0704.1944v1 de la superficie delgada del material debido a su corto alcance. Sin embargo, muchos materiales difuminan las partículas α paradas fuera de su superficie en la forma de átomos neutros de helio. La cantidad de los átomos de helio liberados puede ser entonces medida por un espectrómetro de masa cuádrupolo (QMS) en términos de masa número A = 4. Por lo tanto, existe la ventaja de poder medir α- emitiendo radiactividad en materiales a granel. Se puede ver que una mayor sensibilidad para alfas se puede esperar. 2 Configuración y método experimentales Para examinar nuestro método de medición de α-ray, utilizamos un Amersham X.825 disco tipo 241Am α fuente (Fig. 1) y un sistema de vacío que incluye un QMS. La fuente 241Am, un α-emisor con una vida media de T1/2 = 432,2 y, está cubierto con resina epoxi de 25mm de diámetro y 3mm de espesor. Esta fuente emite 3.25 × 105 alfas por segundo, que finalmente se detienen en la resina y se difunden 4Él neutrales átomos. El tiempo necesario para la difusión en resina es insignificante 1 en comparación con el tiempo transcurrido unos 10 años o más después de la producción de esta fuente α. Por lo tanto, se cree que la tasa de producción de helio de la fuente ser el mismo que el de alfa (3.25×105 s−1). Un espectrómetro de masa cuádrupolo (QMS) se utiliza a menudo para el análisis de oligoelementos debido a su alto isotópico selectividad y eficiencia[3]. El QMS que usamos es un Pfeiffer Vacuum QMS200 con un detector de canaltrón. El rango de masa es A = 1–100 y la detección el límite es de 1× 10−12 Pa [4]. La configuración experimental se muestra en Figs. 2 y 3. Una trampa de nitrógeno líquido fue introducido para capturar gases no deseados especialmente de la resina. Nosotros controló las válvulas, V1 y V2 (véase Fig. 3), para medir el SGC integrado corriente de canaltron QHe de helio, según se indica: a) Dibujar un vacío a 10-6Pa con ambas válvulas (V1, V2) abiertas. (b) Mantenga la válvula V1 cerrada para Tac = 1h, 4h, 10h y 20h para acumular helio átomos de la fuente. El número de átomos de helio esperados fue NHe = 1.17× 109, 4.68× 109, 1.17× 1010 y 2.34× 1010, respectivamente. (c) Después de cerrar la válvula V2, la válvula abierta V1 para introducir átomos de helio en la QMS a través de un orificio durante un par de segundos. (d) Válvula abierta V2 para introducir la mayoría de los átomos restantes al mismo tiempo para Detección de helio. En nuestro sistema QMS, se colocan la válvula de bypass V2 y el orificio (0,3 mm) para una muestra de gas de alta presión. Aquí, los utilizamos en el paso (c) para evitar un 1 Tiempo de difusión del helio a través de varias muestras de adhesivos de resina epoxi en ref [2]. cambio drástico en la corriente de canaltrón medida por el QMS, que fue observado con sólo V1 abierto después del paso (b). Considerando la conducción de la orificio, se estima que la cantidad de átomos de helio perdidos en el paso (c) es inferior a 2%, por lo que se midió la integración de las corrientes de Channeltron durante 5 segundos después de abrir la válvula V2 en el paso (d). Se determinó el tiempo de integración de los 5s después de considerar el tiempo necesario para abrir la válvula V2 a mano (+ 1s) y el tiempo de evacuación T0 â ¬ 0,3s (â € TM s) esperado por la velocidad de bombeo de nuestro sistema de vacío. Para estimar la cantidad de señal espuria causada por la salida de gas de la resina, también medimos corrientes de canaltrón contra una fuente de 57Co como control cubierto con la misma cápsula epoxi que la fuente 241Am. Asumiendo que ambas fuentes emiten gases de salida de una composición y una cantidad similares, el corriente de canaltron integrada QHe se puede definir como la diferencia entre la corriente integrada QAm y QCo con el 241Am y la fuente 57Co, respectivamente, bajo el mismo tiempo de acumulación Tac. En términos de NHe describió arriba, QEl puede ser escrito como QHe = QAm −QCo = eGRINHe, (1) donde e es la carga elemental, G + 7 × 103 es el factor de amplificación de el canaltron, y Ri es la eficiencia de detección del QMS, es decir, la relación del número de átomos de helio detectados por el QMS en comparación con el cantidad NHe. Tenga en cuenta que NHe y QHe son proporcionales a la acumulación tiempo Tac. 3 Resultados y análisis Medimos un conjunto de QAm y QCo dos veces para cada Tac = 1h, 4h, 10h y 20h. Fig. 4 muestra algunos ejemplos del resultado experimental para Tac = 20h, 10h y 4h. Se puede observar una clara diferencia entre dos fuentes para los datos de Tac = 20h y 10h. La diferencia también se puede ver en la Fig. 4-(C) (Tac = 4h), aunque un cambio drástico en la corriente de Channeltron hace que no quede claro. Fig. 5 muestra la relación entre el tiempo de acumulación Tac y la red cantidad de helio QHe = QAm − QCo con el mejor ajuste bajo el supuesto de linealidad. Aquí, debido a la dificultad en la evaluación del error exacto de QHe, lo estimamos en QCo para cada punto de datos, que puede ser un conservador sobrestimación. La falta de claridad de los datos de Tac = 4h descritos anteriormente es reflejado en las barras de error de esta figura. El coeficiente de proporcionalidad más adecuado (1,9±0,2)× 10−12[C/h] corresponde a Ri â € 2 × 10 −6 según Eq.(1). Podemos ver cierto grado de linealidad entre Tac y QHe, pero la eficiencia de detección obtenida Ri fue más bien pequeño, probablemente porque la mayoría de los átomos de helio fueron evacuados por el Bomba de vacío antes de que se ionizaran. Para estimar el límite de detección final bajo este sistema, aparte de la influencia de la salida de gas procedente de la cápsula epoxi, se midió el distribución de QBG, la corriente de canaltron de fondo sin ninguna fuente integrado durante 5 segundos, como se muestra en la Fig. 6. El mejor ajuste a los datos por la distribución normal también se muestra en la figura. De esta manera, el estándar Se obtuvo una desviación de  = 9,3 × 10−14 [C]. Definimos el límite de detección Qlimit como Qlimit = (1,645]× 2 = 2,2× 10−13 [C] (2) a un nivel de confianza del 95%. Aquí, el factor 2 se introduce para tener en cuenta los dos conjuntos de los datos, el 241Am y la fuente 57Co, que se utilizaron para detectando la señal de helio. El Qlimit obtenido corresponde a 10 8 helio átomos bajo nuestro sistema. Aunque no tratamos de obtener una mayor eficiencia de detección Ri con este mea- garantía, ya que las válvulas fueron controladas manualmente, hay algunas posibles soluciones para mejorar Ri: • Atom ramcher [5] Un agrupador de átomos es una trampa fría para capturar átomos de gas objetivo. Se compone de un superficie metálica que a menudo se enfría por helio líquido. Algunos tipos de láser pueden se utilizará para calentar temporalmente una mancha en la superficie para evaporar los átomos de gas. La eficiencia de detección Ri mejoraría si el área calentada se coloca cerca a la cámara de ionización del QMS. Este dispositivo se puede aplicar a la detección de helio al enfriar la superficie a una temperatura lo suficientemente baja como para atrapar los átomos de helio. • Válvula supersónica pulsada [6] La válvula supersónica pulsada (PSV) es un dispositivo electromagnético para generar jet de gas libre supersónico. Esta válvula consta de dos placas metálicas paralelas como una puerta para el gas de muestra. El gas sólo se permite temporalmente introducido cuando la puerta se abre por repulsión electromagnética entre Estas dos placas. El chorro de gas de muestra se inyecta en la ionización cámara. Similar al racimo de átomos descrito anteriormente, Ri superior puede ser lograda mediante la localización del PSV cerca de la región de ionización del QMS. Fijar dispositivos como un atom ramcher y un PSV para mejorar la detección eficiencia y así obtener un mayor Ri, cantidades mucho más pequeñas de átomos de helio podría ser detectado que bajo nuestro sistema actual. Además, se dice que algunos QMS ser capaz de contar átomos objetivo uno por uno[4], por lo que nuestro sistema podría teóricamente mejorar para detectar un solo átomo de helio; es decir, cada rayo α independientemente de su energía si la eficiencia de detección Ri se acerca a uno. Nuestro método se puede aplicar a las estimaciones exactas de errores blandos inducidos por α en circuito integrado a gran escala (VLSI). Los errores blandos son causados por rayos α a partir de una cantidad mínima de sustancia radiactiva en envases LSI, y convertirse en un problema grave en los circuitos VLSI[7]. Uso de análisis de masa en vacío puede permitirnos reducir el límite de detección de la radiactividad Envases comparados con el método convencional con un flujo de gas proporcional contador. 4 Conclusión Propusimos un nuevo método para la medición de rayos alfa (α) mediante la detección de helio átomos con un QMS. Una fuente 241Am α y una fuente 57Co como control fueron utilizado para examinar nuestro método. El resultado mostró que podíamos tener éxito detectar átomos de helio, pero la eficiencia de detección fue sólo 2× 10−6 bajo nuestro sistema. Dispositivos adicionales como un atom ramcher y un PSV para mejorar La eficiencia de detección puede permitirnos reducir el límite de detección. Este detector no puede medir la energía de las partículas α, pero esa característica es razonable común a muchos otros detectores α convencionales y no es una deficiencia en la mayoría de las aplicaciones. Nuestro método puede ser factible para elegir bajo α- material activo para envases LSI, que es esencial para reducir el α-inducido suave Tasas de error en los circuitos VLSI. Bibliografía [1] Kai Siegbahn, espectroscopia de rayos alfa, beta y gamma, Amsterdam, 1965. [2] A. Gerlach, W. Keller, J. Schulz y K. Schumacher, Microsystem Technologies 7 (2001) 17. [3] N. Trautmann, G. Passler y K. Wendt, Anal. Bioanal. Chem. 378 (2004) [4] Catálogo Pfeiffer Vacuum: Espectrómetro de masas, 2005. [5] G. S. Hurst, et al., J. Appl. Phys. 55 (1984) 1278. [6] H. Pauly, Atom, Molécula, y Cluster Beams I, Springer, 2000. [7] Y. Tosaka, et al., Jpn. J. Appl. Phys. 45(4B) (2006) 3185. Fig. 1. Fuente α de 241Am cubierta de plástico. El “punto” central es 241Am. Fig. 2. Vista esquemática de nuestro método de detección. Fig. 3. Fotografía de la configuración experimental. 0 3 6 9 12 15 Tiempo [s] V1 abierto V2 abierto 241Am α fuente 20h 57Co fuente (control) 20h (A) Tac = 20h. 0 3 6 9 12 15 Tiempo [s] V1 abierto V2 abierto 241Am α fuente 10h 57Co fuente (control) 10h (B) Tac = 10h. 0 3 6 9 12 15 Tiempo [s] V1 abierto V2 abierto 241Am α fuente 4h 57Co fuente (control) 4h (C) Tac = 4h. Fig. 4. Algunos ejemplos del resultado experimental. 0 4 8 12 16 20 Tac [h] f(Tac)=1,9*10 -12Tac fit f(Tac) Fig. 5. Linealidad entre Tac y QHe (Tac = 1h, 4h, 10h, 20h). 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 BG integral (5s) [10-12C]  = 9,3*10-14 [C] datos para el ajuste Fig. 6. Distribución de QBG. Introducción Configuración y método experimentales Resultado y análisis Conclusión Bibliografía

Magnetorotational Collapse of Population III Stars

arXiv:0704.1945v1 [astro-ph] 16 Abr 2007 Colapso Magnetorotal de la Población III Estrellas Yudai Suwa1, Tomoya Takiwaki1, Kei Kotake2 y Katsuhiko Sato1,3 1Departamento de Física, Escuela de Ciencias, Universidad de Tokio, Tokio 113-0033 2Observatorio Astronómico Nacional del Japón, Mitaka, Tokio 181-8588,Japón 3Centro de Investigación para el Universo Temprano, Escuela de Ciencias, Universidad de Tokio, 7-3-1 Hongo, Bunkyo-ku, Tokio 113-0033, Japón suwa@utap.phys.s.u-tokyo.ac.jp (Recibido el 12 de octubre de 2006; aceptado el 11 de abril de 2007) Resumen Realizamos una serie de simulacros de colapso del núcleo magnetorotal bidimensional. ciones de estrellas Pop III. Cambio de las distribuciones iniciales de rotación y magnética los campos antes del colapso de una manera paramétrica, calculamos 19 modelos. Así que... , investigamos sistemáticamente cómo la rotación y los campos magnéticos afectan el colapso dinámica y explorar cómo las propiedades de las formaciones de agujero negro y neutrino las emisiones podrían verse afectadas. En cuanto a la microfísica, empleamos una ecuación realista de indicar y aproximar la transferencia de neutrinos mediante un esquema de fugas multifavor. Con Estos cálculos, encontramos que las explosiones en forma de chorro son obtenidas por el magneto- ondas de choque accionadas si el campo magnético inicial es tan grande como 1012G. Señalamos que las masas de agujero negro en la formación disminuyen con la fuerza inicial del campo, en el Por otra parte, aumentar con las tasas de rotación inicial. En cuanto a las propiedades de los neutrinos, señalamos que el grado de la rotación diferencial juega un papel importante para determinar qué especies de la luminosidad neutrino es más dominante que las otras. Además, encontramos que los campos magnéticos más fuertes hacen que el pico de neutrino lumi- nosidades más pequeñas, porque la presión magnética actúa para detener el colapso en el centro regiones, lo que conduce a la supresión de las energías gravitacionales vinculantes. Palabras clave: estrellas: supernovas: general — física del agujero negro — neutrinos — métodos: numérico — magnetohidrodinámica: MHD 1. INTRODUCCIÓN Se ha prestado gran atención a la Población III, las primeras estrellas en formarse en el universo, porque están relacionados con muchos problemas no resueltos en la cosmología y la física estelar. Los Población III (Pop III) estrellas ionizan y enriquecen la metalicidad del medio intergaláctico y proporcionar así pistas importantes a la historia posterior de la formación estelar (para las revisiones, véase, por ejemplo, http://arxiv.org/abs/0704.1945v1 Barkana & Loeb 2001; Bromm & Larson 2004; Glover 2005). Las estrellas Pop III también son importantes para la comprensión de la historia de la evolución química. Descubrimiento reciente de hiper metal pobre estrellas como HE 0107-5240 (Christlieb et al. 2002) y HE 1327-2326 (Frebel et al. 2005) nos ha dado buenas oportunidades para investigar la nucleosíntesis en estrellas Pop III (Heger & Woosley 2002; Umeda & Nomoto 2002; Umeda & Nomoto 2003; Daigne et al. 2004; Iwamoto et al. 2005). Las ráfagas de rayos gamma en muy alto corrimiento al rojo se señalan para ser acompañado por el colapso gravitacional de estrellas Pop III (Schneider et al. 2002; Bromm & Loeb 2006). El Swift satélite, que ahora está en ejecución 1, se espera que detectar directamente las estrellas Pop III acompañado por las ráfagas de rayos gamma de alta z. Las evoluciones de las estrellas Pop III también han sido estudiadas durante mucho tiempo. De sus estudios, Pop III estrellas se predice que han sido predominantemente muy masivos con M 100M® (Nakamura & Umemura 2001; Abel et al. 2002; Bromm et al. 2002, véanse las referencias). Estrellas masivas en el rango de 100MÃ3s M La inestabilidad del par electrón-positrón durante su evolución. Esta inestabilidad provoca quema de oxígeno explosivo, y si la quema proporciona suficiente energía para revertir el colapso, se cree que las estrellas se convierten en supernovas de inestabilidad par (Bond et al. 1984; Fryer et al. 2001; Heger & Woosley 2002), cuya detectabilidad ha sido recientemente (Scannapieco et al. 2005; Weinmann & Lilly 2005). Estrellas más masivas, que también encuentro de pares-intestabilidad, están tan fuertemente atados y la fusión de oxígeno es incapaz de revertir infall. Tales estrellas se cree que colapsan a los agujeros negros (BHs) finalmente (Bond et al. 1984; Fryer et al. 2001), a la que prestamos atención en este documento. Hasta ahora ha habido unas cuantas simulaciones hidrodinámicas estudiando la gravedad- colapso del BH formando estrellas Pop III. En el transporte bidimensional de neutrinos grises simulaciones de Fryer et al. (2001), investigaron el colapso de una estrella Pop III 300M®, que conduce a la formación de BH. Discutieron los efectos de la rotación sobre la emisión luminosidades neutrino, ondas gravitacionales, y además, la posibilidad de que tales estrellas los rayos gamma estallan. En su estudio Newtoniano, el BH central fue extirpado y tratado como un límite absorbente después de la formación. Aunque esta simplificación no es fácil de conseguir validados, siguieron la dinámica mucho después de la formación del BH y obtuvieron muchos resultados. Más recientemente, Nakazato et al. (2006) realizó unidimensional, pero, en general, simulaciones atívicas en el rango de 100 + 10000M®, en el que el neutrino de última generación La física se tiene en cuenta. Sus cálculos detallados revelaron las propiedades del emer- espectro de neutrinos gent, y en base a eso, discutieron la detectabilidad de tales neutrinos como la supernova relic fondo neutrino (véase también Ando & Sato 2004; Iocco et al. 2005). Ellos vieron con éxito la formación del horizonte aparente, sin embargo, la dinámica en el no se remitieron las fases posteriores. En este artículo estudiamos el colapso magnetorotal de las estrellas Pop III realizando las simulaciones magnetohidrodinámicas bidimensionales (MHD) (véase, también, Akiyama et al. 2003; 1 Véase http://swift.gsfc.nasa.gov Kotake et al. 2004a; Kotake et al. 2004b; Takiwaki y otros 2004; Yamada & Sawai 2004; Ardeljan et al. 2005; Sawai y otros 2005; Obergaulinger et al. 2006, para los cálculos de MHD del colapso del núcleo supernovas, y Kotake et al. 2006 para un examen). En cuanto a la microfísica, empleamos una ecuación de estado basada en la teoría de campo de la media relativista y tener en cuenta el neutrino Enfriamiento mediante un esquema de fugas de varios sabores, en el que las reacciones de última generación de neutrinos son: incluido. En nuestras simulaciones newtonianas, la formación de los BHs se atribuye a un cierto condición, y después de la formación, la región central se extrae y se trata como un absorbente límite para seguir la dinámica más adelante. Desde las distribuciones de rotación y campos magnéticos en los progenitores de las estrellas Pop III son altamente inciertos, los cambiamos en una manera paramétrica y sistemáticamente investigar cómo afectan la rotación y los campos magnéticos la dinámica. También exploramos cómo la naturaleza de las explosiones, las propiedades de los BHs y neutrino luminosidades podrían verse afectadas debido a la incursión de los campos magnéticos y de rotación. El presente documento está organizado de la siguiente manera. En §2, describimos los métodos numéricos y el condiciones iniciales. En el §3, presentamos los resultados. Damos un resumen y discusión en el §4. 2. MÉTODO 2.1. Ecuaciones básicas Las ecuaciones básicas de la evolución están escritas como sigue: + ·v = 0, (1) =P − (B)×B, (2) =-P-V-L-L/, (3) = (v×B), (4) = 5 °C, 4 °C, 5 °C en los que l,P,v,e,Φ,B,L,L, , son la densidad de masa, la presión de gas incluyendo la radiación pres- seguro de neutrino, la velocidad del fluido, la densidad de energía interna, el potencial gravitacional, el campo magnético, la tasa de enfriamiento de neutrinos y el derivado de Lagrange, respectivamente. En nuestra 2D se asumen los cálculos, la simetría axial y la simetría de reflexión a través del plano ecuatorial. Coordenadas esféricas (r, ) se emplean con zonificación logarítmica en la dirección radial y la zonificación regular en la zona de la ciudad. Un cuadrante de la sección del meridiano está cubierto con 300 (r)×30 (­) malla puntos. Las distancias mínimas y máximas de malla son de 2 km y 60 km, respectivamente. Nosotros también. se calcularon algunos modelos con 60 puntos de malla angular, sin embargo, cualquier diferencia significativa fue obtenido. Por lo tanto, informaremos en los siguientes resultados obtenidos de los modelos con 30 puntos de malla angular. Empleamos el código ZEUS-2D (Stone & Norman 1992) como base y añadió cambios importantes para incluir la microfísica. Primero añadimos una ecuación para elec- fracción tron para tratar las capturas de electrones y el transporte de neutrinos mediante el llamado esquema de fugas (Kotake et al. 2003). Además, ampliamos el esquema para incluir las 6 especies de neutrino (e, e, νX), que es indispensable para los cálculos de las estrellas Pop III. Aquí νX significa ,, y. En cuanto a las reacciones de νX, pareja, foto, y procesos de plasma se incluyen utilizando las tarifas de Itoh et al. (1989). El LV, en Eq. (3) es la tasa de enfriamiento de la reacciones de neutrino (ver Takiwaki et al. 2007, para más detalles). En cuanto a la ecuación de estado, tenemos incorporó el tabulado basado en teoría de campo medio relativista en lugar del gas ideal EOS asumió en el código original (Shen et al. 1998). 2.2. Modelos iniciales y condiciones de frontera En este artículo, fijamos la masa de la estrella Pop III en 300M®. Esto es consistente con las simulaciones recientes de los fenómenos de formación estelar en un entorno libre de metales, proporcionando una función de masa inicial alcanzó su punto máximo en las masas de 100 a 300 millones (véase, por ejemplo, Nakamura & Umemura 2001). Elegimos el valor porque no tratamos las supernovas de inestabilidad del par de potencia nuclear (M260M®) y, por conveniencia, para la comparación con el estudio anterior, que empleó la misma masa estelar (Fryer et al. 2001). Comenzamos las simulaciones de colapso del núcleo de 180M de la estrella de 300M. El núcleo, que es la condición inicial de nuestras simulaciones, se produce de la siguiente manera. De acuerdo con el prescripción en Bond et al. (1984), establecemos el índice politrópico del núcleo a n= 3 y asumir que el núcleo es isentrópico de 10 kB por nucleón (Fryer et al. 2001) con el electrón constante fracción de Ye = 0,5. Ajustamos la densidad central a 5× 10 6 g cm−3, por el cual la temperatura de las regiones centrales llegan a ser lo suficientemente altas como para fotodesintegrar el hierro (+ 5× 109K), por lo tanto iniciando el colapso. Dada la densidad central, la distribución de la fracción de electrones, y la entropía, construimos numéricamente las estructuras hidrostáticas del núcleo. Desde que sabemos poco de las distribuciones de impulso angular en los núcleos de las estrellas Pop III (véase, sin embargo, Fryer et al. 2001), se añaden los siguientes perfiles de rotación de manera paramétrica: al núcleo no rotativo mencionado anteriormente. Asumimos la rotación cilíndrica del núcleo y cambiar el grado de rotación diferencial de las dos maneras siguientes. 1. En cuanto a los modelos de rotación diferencial, se asume la siguiente distribución de la inicial velocidad angular, (X,Z) = 0 X2+X20 Z4+Z40 , (6) donde es la velocidad angular y es la constante del modelo. X y Z denotan distancia desde el eje de rotación y el plano ecuatorial, respectivamente. Adoptamos el valor de param- eters, X0 y Z0, como 2×10 8cm,2×109cm, respectivamente. Desde el radio del borde exterior del núcleo se toma para ser tan grande como 3.5× 109cm, el perfil anterior representa que el los núcleos rotan fuertemente diferencialmente. 2. En cuanto a los modelos rígidos de rotación, la velocidad angular inicial es dada por, (X,Z) = 0. 7).................................................................................................................................................. En cuanto a la configuración inicial de los campos magnéticos, suponemos que el campo es casi uniforme y paralelo al eje de rotación en el núcleo y dipolar en el exterior (véase la figura 1). Por el propósito, consideramos el siguiente potencial vectorial eficaz, Ar = A. = 0, (8) r3+ r30 r sin. (9) donde Ar, fue, fue el potencial vectorial en la dirección r, fue, fue, respectivamente, r es el radio, r0 es el radio del núcleo, y B0 es la constante del modelo. En este estudio, adoptamos el valor de r0 como 3,5×109 cm. Este potencial vectorial puede producir los campos magnéticos uniformes cuando r es pequeño en comparación con r0, y los campos magnéticos del dipolo para viceversa. Hemos establecido el límite de salida condiciones para los campos magnéticos en el límite exterior de las regiones calculadas. Se toma nota que esta es una manera mucho mejor que el método de corriente de bucle para construir el dipolo magnético campos (LeBlanc & Wilson 1970), porque nuestro método no produce ninguna divergencia de la campos cercanos a la corriente de bucle. Fig. 1. La configuración de los campos magnéticos iniciales. Tenga en cuenta que B0 = 10 12G para esta cifra. Las flechas representan el vector de los campos magnéticos poloidales. El contorno muestra el logaritmo del presión (: B2/8η). Cambiando las energías rotacionales y magnéticas iniciales, variando los valores de ­0 y B0, calculamos 19 modelos en este artículo, a saber, uno esférico y 18 modelos magnetorotacionales. En la Tabla 1, se resumen las diferencias de los modelos iniciales. Tenga en cuenta que los modelos se nombran después de esta combinación, con las primeras letras, B12, B11, B10, indicando la fuerza de campo magnético, la letra siguiente, TW1, TW2, TW4, indicando el T/W inicial y final letras mayúsculas D o R que representen la ley de rotación inicial (D: rotación diferencial, R: rígida) rotación). Tenga en cuenta que T/W representa la relación de la rotación a la energía gravitacional. Cuadro 1 Modelos y parámetros*. T/W B0 1% 2% 4% 1010G B10TW1{D,R} B10TW2{D,R} B10TW4{D,R} 1011G B11TW1{D,R} B11TW2{D,R} B11TW4{D,R} 1012G B12TW1{D,R} B12TW2{D,R} B12TW4{D,R} * Esta tabla muestra el nombre de los modelos. En la tabla están etiquetados por la fuerza del campo magnético inicial y la rotación. T/W representa la relación entre la rotación y la energía gravitacional. B0 representa la fuerza del campo magnético inicial. En este artículo asumimos que se forma un BH cuando la condición 6Gm(r) >r está satisfecho, donde c,G,m(r) son la velocidad de la luz, la constante gravitacional y la coordenadas de masa, respectivamente. Esta condición significa que suponemos que los fluidos no pueden escapar de la región interna por debajo de la radio de la órbita marginalmente estable de un Schwarzschild BH. Cuando se cumpla esta condición, extirpamos la región dentro del radio calculado y luego la tratamos como un límite absorbente. Después, ampliamos el límite de la región extraída para tener en cuenta el crecimiento de la masa que cae en la región central. A pesar de que no es exacto en absoluto para referirse a la central región como el BH, nos aferramos a la simplificación en este documento con el fin de seguir y ver la Dinámica más adelante. 3. RESULTADO 3.1. Colapso esférico En primer lugar, describimos brevemente las características hidrodinámicas del colapso esférico como un referencial para los modelos MHD mencionados más adelante. Nota a continuación que por “estrellas masivas”, nos referimos a las estrellas de O(10)M® con la composición inicial de la metalicidad solar, que se considera que explotan como supernovas en sus extremos de la evolución (Heger et al. 2003). Como en el caso de las estrellas masivas, el colapso gravitacional es desencadenado por el electrón- las reacciones de captura y la fotodesintegración de los núcleos de hierro. Por otro lado, la gravedad... no es detenido por las fuerzas nucleares como en el caso de las estrellas masivas, sino por la presión térmica (gradiente de). Esto se debe a que el progenitor de las estrellas Pop III tiene entropía, es decir, alta temperatura. Llamamos a este rebote como “rebote térmico” para mayor comodidad. Los la evolución de la densidad, la temperatura, la entropía y la velocidad radial alrededor del rebote térmico son se muestra en la figura 2. A diferencia del caso de las estrellas masivas, ningún choque saliente se propaga hacia fuera después del rebote térmico. En el rebote, el tamaño del núcleo interior, que es de 200 km en radio y 6MÃ3 en la coordenada de masa, crece gradualmente debido a la acreciÃ3n de masa. Como se ve desde el la figura, los materiales en las regiones de choque creciente obtienen mayor entropía y temperatura que 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] -1×1010 -8×109 -6×109 -4×109 -2×109 2×109 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] -1×1010 -8×109 -6×109 -4×109 -2×109 2×109 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] -1×1010 -8×109 -6×109 -4×109 -2×109 2×109 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] -1×1010 -8×109 -6×109 -4×109 -2×109 2×109 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] Fig. 2. Las evoluciones de densidad, temperatura, entropía y velocidades radiales en el modelo esférico. Sólido línea es para -37 ms de rebote, línea discontinua es para -1 ms, línea punteada es para 19 ms y línea punteada es para 32 ms, respectivamente. los que en el caso de las estrellas masivas. Las temperaturas más altas son buenas para producir una gran cantidad de neutrinos a través del par aniquilación de electrones y positrones. Esto también hace que diferentes características de las emisiones de neutrinos procedentes del caso de las estrellas masivas, en las que el electrón-neutrino (/e) la luminosidad domina sobre las de las otras especies cerca de la época del rebote del núcleo. Como se muestra en el panel superior de la Figura 3, la luminosidad total de νX (,, y ) comienza a dominar sobre la luminosidad total de los neutrinos electrónicos y los neutrinos antielectrónicos a 25 mseg después de rebote (ver la primera intersección de las líneas en la figura). A 87 mseg después del rebote, el núcleo es tan pesado que rápidamente se derrumba a un BH. In Figura 4, se muestra la evolución de la HB calculada por el procedimiento descrito en §2.2. Los masa de la BH es inicialmente 20M®, aumenta rápidamente a 35 M® porque el resto de la densa interior núcleo cae en el BH poco después de la formación. La tasa de crecimiento de la masa se ralentiza después cuando se establece el flujo de acreción cuasi estable al BH (Fig 4). El rápido disminución de la luminosidad de neutrinos 100 mseg después del rebote (tabla superior de la figura 3) corresponde a la época en que las neutrinósferas son tragadas en el BH. Nota en el panel inferior, -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Tiempo después de rebotar [s] -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Tiempo después de rebotar [s] Fig. 3. Panel superior: Evolución temporal de la luminosidad del neutrino en el modelo esférico. El tiempo se mide del rebote térmico. Línea sólida representa la luminosidad total de neutrinos electrónicos y anti-electrón neutrinos. La línea rota representa la luminosidad total de νX (, , y ) neutrino. Antes de la el rebote térmico, la luminosidad de los electrones + neutrinos antielectrónicos dominan el de la luminosidad νX, Sin embargo, después del rebote, se invierte. A 0,1 segundos después del rebote, las luminosidades drásticamente disminución debida a la formación de HB. Panel inferior: Luminosidades de neutrino integradas en el tiempo. Línea sólida y Los neutrinos electrónicos y los neutrinos antielectrónicos y los neutrinos X emiten energía total. respectivamente. -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Tiempo [s] Esférico Fig. 4. Evolución de la masa BH en el modelo esférico. El tiempo se mide a partir de la formación de BH. El círculo lleno de negro indica la época de la formación del agujero negro. la energía emitida total se calcula por ddtL/, que representa la energía que se lleva a cabo a partir de el núcleo por neutrinos. Una vez más de la cantidad, se demuestra que vX priva dominantemente de la energía gravitacional del núcleo que νe y e. 3.2. Colapso rotacional 3.2.1. Efecto de la rotación diferencial Ahora pasamos a discutir las características en el colapso del núcleo rotacional. La desviación de la dinámica del colapso esférico viene de las tasas de rotación inicial y el grado de la rotación diferencial impuesta inicialmente. Para ver los efectos de la rotación diferencial en el colapso-dinámica, primero tomamos modelos de B10TW1D (rotación diferencial) y B10TW1R (rotación rígida) como ejemplos y mencionar la diferencia de ellos. Los efectos de la las tasas de rotación se discuten más adelante en §3.2.2. Primero describimos el colapso del modelo B10TW1D. Como en el caso del colapso esférico, el el núcleo rotativo experimenta el colapso debido a la emisión de neutrinos y la fotodesintegración, pero la diferencia aparece en el momento del rebote térmico. Debido al soporte de presión suministrado por la fuerza centrífuga, el modelo B10TW1D rebota en el polo en la época 17 mseg más tarde que el del colapso esférico. La evolución del tiempo después del rebote se presenta en la Figura 5. Se muestra que los materiales del núcleo interior oscilan unos 20 mseg después del rebote (ver desde la parte superior izquierda hacia abajo hasta la parte inferior), y luego la onda de choque comienza a propagarse a lo largo de la eje rotacional (ver desde la parte superior derecha hacia abajo). Esta onda de choque tipo jet finalmente puestos en Z + 2×108 cm, donde Z es la distancia desde el centro a lo largo del eje de rotación. Lo es. notó que la onda de choque formada al rebote no se para en los modelos fuertemente magnetizados como se explica en el párrafo 3.3. En este modelo débilmente magnetizado, el manto estelar simplemente colapsa a la región central después del shock-stall, y luego conduce a la formación de la BH. En este modelo, seguimos la hidrodinámica hasta que más del 99 % de los materiales externos colapsan a la BH (típicamente 2 segundos después del rebote). Fig. 5. Perfiles de entropía del modelo de rotación diferencial de B10TW1D 50 (superior izquierdo), 63 (medio izquierdo), 73 (izquierda) inferior), 87 (superior derecho), 113 (medio derecho) y 127 (inferior derecho) ms después del rebote, respectivamente. Los contorno codificado de color muestra el logaritmo de la entropía (kB) por nucleón y las flechas representan la velocidad campos. El modelo B10TW1R rebota térmicamente más bien isotrópicamente en el centro, no como el modelo B10TW1D. Esto se debe a que las regiones centrales tienen menos impulso angular en comparación con el modelo de rotación diferencial de B10TW1D. En la Figura 6, las evoluciones temporales de la entropía después de se muestran los rebotes. A diferencia de B10TW1D (Figura 5), B10TW1R colapsa directamente para formar el BH sin producir las ondas de choque salientes. Esto se debe a que la parte central tiene menos presión apoyo de la fuerza centrífuga debido al perfil de rotación uniforme inicialmente impuesto. En el Por otra parte, el modelo B10TW1R tiene más impulso angular que el del modelo B10TW1D en la parte exterior del núcleo. Esto lleva a la supresión de las tasas de acreción de la caída materia al núcleo interior. Como resultado, el núcleo del modelo B10TW1R oscila en un período más largo que la del modelo B10TW1D porque la escala de tiempo dinámica, que es proporcional a 1/2, se hace más largo debido a la menor densidad allí. Fig. 6. Igual que la figura 5, pero para el modelo de rotación rígida de B10TW1R en 56 (superior izquierdo), 76 (inferior izquierdo), 106 (parte superior derecha) y 134 (parte inferior derecha) ms después del rebote, respectivamente. El contorno codificado por color muestra el logaritmo de entropía (kB) por nucleón y flechas representan los campos de velocidad. A continuación, comparamos las masas de la BH en la formación y el crecimiento posterior entre los dos modelos (véase la figura 7). La masa inicial de BH de los modelos B10TW1R y B10TW1D es de 40 y 70 MÃ3s, respectivamente (ver los círculos llenos de negro en la figura). Ambas cosas. de ellos son más grandes que el del modelo de colapso esférico ( 20 millones). Como ya se ha mencionado, el razón de que la formación anterior de BH menos masiva del modelo B10TW1R es que el modelo tiene fuerzas centrífugas más pequeñas en las regiones centrales que el modelo B10TW1D. Por otra parte, reflejando las menores tasas de acreción de masa al BH, la tasa de crecimiento de la masa de BH del modelo B10TW1R es más pequeño que el del modelo B10TW1D (comparar las pendientes de las líneas en el Figura después de la formación de BH). La luminosidad de los neutrinos y la energía total filtrada del modelo B10TW1D son se muestra en el panel izquierdo de la Figura 8. Se ha comprobado que la luminosidad de los neutrinos (v.X) y de los neutrinos (v. no abrumar la de los neutrinos electrónicos incluso después del rebote a diferencia del colapso esférico y que la mayor parte de la energía es emitida por neutrinos electrónicos (panel inferior). Esto es porque el rotación suprime la compresión del núcleo, lo que reduce la temperatura en el centro regiones que la del modelo esférico. Cabe señalar que las tasas de producción de energía por los procesos de aniquilación del par dependen bruscamente de la temperatura. Las características del neutrino de B10TW1R se encuentra intermedio entre el modelo B10TW1D y el esférico modelo (ver paneles de la derecha). Si las tasas de rotación inicial de los dos modelos anteriores se hacen más grandes, el rebote ocurre -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Tiempo[s] B10TW1D B10TW1R Fig. 7. Evolución de las masas de BH para los modelos rotativos. Las líneas sólidas y discontinuas son para modelos B10TW1D y B10TW1R, respectivamente. El círculo negro indica la época de la formación del agujero negro. Tenga en cuenta que el tiempo se mide a partir de la época de la formación BH en el modelo esférico. más tarde debido a las fuerzas centrífugas más fuertes. Además, el intervalo del núcleo oscila- ciones se hacen más largas. Excepto por tales diferencias, las características hidrodinámicas antes de la BH formación se determinan principalmente por el grado de la rotación diferencial como se ha mencionado anteriormente y no se encuentran cambios cualitativos a medida que las tasas de rotación inicial se hacen mayores. 3.2.2. Efectos de la rotación sobre la masa de BH y la emisión de Neutrino En esta sección, procedemos a describir cómo la tasa de rotación inicial y el grado de la rotación diferencial afecta el crecimiento de las masas de HB y las emisiones de neutrinos. Los efectos de la rotación en las masas iniciales de los BHs para el casi puramente rotativo los modelos, etiquetados por B10, se muestran en la Figura 9. Como se ve, más grande la tasa de rotación inicial se vuelve, el BH más pesado se encuentra producido. Esta tendencia es independiente del grado de la rotación diferencial. Esto es simplemente porque la rotación rápida tiende a detener la caída de la materia al centro, por lo tanto, se requieren masas más pesadas para cumplir con la condición de la formación de BH. Lo siento. se encuentra además que la masa inicial es mayor para los modelos de rotación diferencial que los modelos rígidos de rotación. Esto es independiente de las tasas de rotación iniciales. Esto se debe a la menor impulso angular de los modelos rígidos de rotación en las regiones centrales que el de modelos de rotación diferencial como se ha mencionado. En la Figura 10 se muestra el crecimiento de la masa BH para los modelos correspondientes. Lo es. encontró que la época de la formación se retrasa a medida que las tasas de rotación inicial se hacen más grandes independientemente del grado de rotación diferencial. En cuanto a las tasas de crecimiento de la masa de BH, se encuentra que son casi lo mismo para los modelos de rotación diferencial, independientemente de la tasas de rotación inicial (véase el panel izquierdo de la figura 10). Esto se debe a que la parte externa del núcleo tiene poco impulso angular debido a la fuerte rotación diferencial impuesta, y por lo tanto cae a el centro de la misma manera. Por otro lado, las tasas de rotación inicial afectan a la evolución de BHs en los modelos rígidos de rotación (véase el panel derecho de la figura 10). Como rotación inicial -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Tiempo después del rebote térmico [s] -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Tiempo después del rebote térmico [s] -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Tiempo después del rebote térmico [s] -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Tiempo después del rebote térmico [s] Fig. 8. Igual que la Figura 3, pero para los modelos B10TW1D (izquierda) y B10TW1R (derecha), respectivamente. 0 1 2 3 4 5 T/W [%] Rotación diferencial Rotación rígida Fig. 9. Efectos de la tasa de rotación inicial y el grado de rotación diferencial en la masa inicial del BH. En esta figura, la secuencia de los modelos etiquetados por “B10”, que son casi puramente el modelo giratorio, es Elegido. Tenga en cuenta que el modelo B10TW4R está ausente porque este modelo no produce el BH durante el tiempo de simulación. las tasas se hacen mayores, las tasas de crecimiento de los BH se vuelven más pequeñas debido a la mayor angular impulso impuesto inicialmente. -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Tiempo[s] B10TW1D B10TW2D B10TW4D Esférico -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Tiempo[s] B10TW1R B10TW2R Esférico Fig. 10. Evolución temporal de la masa BH para los modelos casi puramente rotativos etiquetados por B10. Izquierda panel: Sólido, rayado, punteado, y punteado-punto, son para los modelos B10TW1D, B10TW2D, B10TW4D, y el modelo esférico, respectivamente. Panel derecho: Las líneas sólidas, discontinuas y punteadas son para los modelos B10TW1R, B10TW2R, y el modelo esférico, respectivamente. El tiempo se mide a partir del rebote térmico de cada uno modelo. Los círculos llenos de negro de cada panel representan la época de la formación BH. La masa de BH en la formación afecta a la energía total emitida por los neutrinos porque los neutrinos en la región de BH no pueden escapar al exterior del núcleo después. Los En la figura 11 se muestra la energía total emitida por los neutrinos. Se puede ver la tendencia general en el figura que la energía emitida sube rápidamente y luego se convierte en constante. La transición a la fase constante corresponde a la formación del BH. También en este caso, los modelos de rotación diferencial tienen características similares después de la formación de los BH (línea sólida del panel derecho de la figura 11). Es interesante que el modelo B10TW2R (línea inclinada del panel derecho de la Figura 11) por contraste tiene diferentes comportamientos del total emitido energía. Esto se debe a que este modelo produce el disco de acreción estable alrededor del BH central. As un resultado, los materiales del disco se acrecientan sólo lentamente a la BH, y por lo tanto pueden emitir neutrinos por un tiempo más largo. La pequeña tasa de acreción de este modelo también es prominente como se ve en la Figura Es interesante observar que sólo alrededor del 10% de la energía gravitacional del núcleo puede ser transportado por neutrinos incluso en el modelo de rotación más rápida considerado aquí (B10TW4D). Por otro lado, es bien sabido que los neutrinos transportan el 99 % de la energía gravitacional de las estrellas protoneutrón en caso de las estrellas masivas. La discrepancia se deriva obviamente de el hecho de que la mayor parte del núcleo interior es absorbido por el BH en el caso de las estrellas Pop III. 3.3. Colapso Magnetorotal En esta sección se presentan los resultados de los modelos MHD. En primer lugar, mencionamos la Características magnetohidrodinámicas (MHD) en la sección 3.3.1, a continuación, discutir los efectos de MHD en la 2×1054 4×1054 6×1054 8×1054 1×1055 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 Tiempo después de rebotar [s] B10TW1D B10TW2D B10TW4D Esférico 2×1054 4×1054 6×1054 8×1054 1×1055 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 Tiempo después de rebotar [s] B10TW1R B10TW2R Esférico Fig. 11. Energía de fuga de neutrinos integrada en el tiempo. Panel izquierdo: Línea sólida significa B10TW1D, línea discontinua significa B10TW2D, línea punteada significa B10TW4D y línea punteada significa modelo esférico. Panel derecho: Línea sólida significa B10TW1R, línea discontinua significa B10TW2R y línea punteada significa modelo esférico. Los el tiempo se mide a partir del rebote térmico de cada modelo. Masa de BH y emisiones de neutrinos en la sección 3.3.2. 3.3.1. Característica del MHD Entre los modelos computados, encontramos que los modelos con el campo (B = 1012G) sólo puede producir las ondas de choque tipo jet a lo largo del eje de rotación, que puede propagarse fuera del núcleo sin shock-stall. En primer lugar, mencionamos las propiedades de tales modelos tomando el modelo B12TW1D como ejemplo. La dinámica de colapso antes del rebote es casi la misma que la correspondiente débil Modelo de campo magnético de B10TW1D. Esto se debe a que los campos magnéticos amplificados por la presión y el envolvimiento de campo son, por supuesto, más grandes que el modelo de campo más débil, pero todavía mucho menor que la presión sobre la materia en las regiones centrales. Después del rebote, la magia toroidal... campos netos producidos por el envoltorio, proporcionar el soporte de presión adicional, actuando así para empujar la materia que cae como chorro de salida en lugar de girar a lo largo del campo magnético. Los el chorro se lanza cuando la presión magnética supera la presión local del acre materia. Esta característica es diferente de otro mecanismo de propulsión de chorro, el magneto-centrifugal aceleración (Blandford & Payne 1982). Las características MHD del modelo B12TW1D después del rebote se presentan en la Figura 12. Desde los paneles derecho, se muestra que las regiones detrás de la onda de choque tipo chorro (Z ≥ 1,5×109 cm) se diluyen con una densidad de 105 g cm−3 y tienen una entropía muy alta de 102 kB. El panel inferior muestra que el chorro es impulsado por la presión magnética porque el plasma beta presión de gas / presión magnética) de la región de chorro es mucho menor que la unidad. As the chorro se propaga en el núcleo, se produce un recién nacido BH (ver los círculos blancos de los paneles derecho de Figura 12). La masa del BH es inicialmente 57,9M®, que es menor que la de B10TW1D (70,4 millones de euros). La razón de la diferencia se menciona en §3.3.2. Las propiedades del chorro del modelo B12TW1D se muestran en la Figura 13. Hay perfiles de Fig. 12. Evolución temporal de las ondas de choque del modelo magnetizado más fuerte de B12TW1D. El panel superior de la figura muestra el logaritmo de la entropía (kB) por nucleón, el panel medio de la figura muestra el logaritmo de densidad (g cm−3), y el panel inferior muestra el logaritmo de la beta plasmática. Todas las cifras de la izquierda son de 119 ms de rebote, y las cifras correctas están a 305 ms. Los círculos blancos de los paneles de la derecha representan los BHs. densidad, velocidad radial, campo magnético y presión a 104 ms después del rebote. La densidad de la materia en la región del jet es de 107 g cm−3. La velocidad de choque frontal es tan grande como el 40 % de la velocidad de luz, que es ligeramente relativista. Se ve fácilmente que el campo magnético toroidal se desborda el componente poloidal detrás del frente de choque. En la región interior, el campo magnético poloidal es más grande debido a la compresión. La presión magnética abruma la presión de gas en todo el región de jet como ya se muestra en la Figura 12. Ahora pasamos a discutir cómo la rotación afecta a la dinámica mientras se fija la inicial Fuerza de campo. La figura 14 muestra las propiedades de los modelos B12TW1{D,R} y B12TW4{D,R} cuando la onda de choque tipo chorro alcance 1×109 cm. Como se ve claramente, la principal diferencia entre T/W = 1 % y 4 % es el grado de colimación de la onda de choque. Como rotación inicial las tasas se hacen grandes en los modelos de rotación diferencial, la compresión de los campos magnéticos se ve obstaculizado, lo que conduce a la supresión del estrés del aro de los campos magnéticos en el centro (Takiwaki y otros) 2004). Como resultado, la colimación de la onda de choque se vuelve menos 0 1×109 2×109 Radio [cm] -4×1010 -2×1010 2×1010 0 1×109 2×109 Radio [cm] 0 1×109 2×109 Radio [cm] poloidal toroidal 0 1×109 2×109 Radio [cm] presión magnética presión del gas Fig. 13. Varias cantidades físicas alrededor del eje de rotación a 104 ms después del rebote para el modelo B12TW1D. Densidad (superior izquierdo), velocidad radial (superior derecho), valor absoluto del campo magnético (inferior izquierdo), y la presión se muestran. En el panel inferior izquierdo, la línea sólida y la línea discontinua representan poloidal com- componente poniente y toroidal, respectivamente. En el panel inferior derecho, la línea discontinua representa el gas la presión y la línea sólida representan la presión magnética. (compare los paneles superiores). En contraste, la diferencia del grado de colimación entre Los modelos B12TW1R y B12TW4R son más pequeños que B12TW1D y B12TW4D. Esto es porque los materiales en la región interna de los modelos rígidos giratorios giran más lentamente que el diferencial modelos. Así el grado de la colimación de los choques depende semanalmente del T/W inicial. Los modelos con los campos magnéticos iniciales más débiles no producen la explosión en forma de chorro excepto el modelo B11TW4R. Estos modelos colapsan a BHs antes de la formación de chorros porque de débil presión magnética. Después de formar un BH, especialmente el modelo de rotación diferencial, descansar partes de la estrella giran lentamente para que la presión magnética no crezca. Así, cuando BH se forma antes de que el chorro se levante, el resto del núcleo sólo colapsa a BH y todo el núcleo son absorbidos por 3.3.2. Efectos del MHD sobre la masa de BH y la emisión de Neutrino Los efectos del MHD sobre las masas iniciales de HB se muestran en las Tablas 2 y 3. Como se ve, la masa inicial de BH se vuelve más pequeña cuando el campo magnético inicial se hace más fuerte. El angular Fig. 14. Perfiles de la propagación de choque para los modelos B12TW1D (arriba a la izquierda), B12TW4D (arriba a la derecha), B12TW1R (abajo a la izquierda) y B12TW4R (abajo a la derecha), respectivamente. Muestran el contorno codificado de color parcelas de logaritmo de entropía (kB) por nucleón. Varios perfiles se encuentran cambiando la fuerza de la campo magnético inicial y rotación. El transporte de impulso por los campos magnéticos es un agente importante para afectar a la masa BH. Esta característica se ve en la Figura 15, que representa la distribución de la media angular específica impulso de los modelos B12TW1D y B10TW1D. La región central de B12TW1D tiene menos impulso angular que B10TW1D debido al transporte de impulso angular por campos magnéticos. El pico del modelo B12TW1D representa la posición del frente de choque en el plano ecuatorial. El transporte del impulso angular hace que la fuerza centrífuga de la región central sea menor y mejora el colapso. Esto lleva la masa BH más pequeña. Esta tendencia es más prominente para los modelos rígidos de rotación (comparar los cuadros 2 y 3) debido a la rotación de la región central es más lento que los modelos de rotación diferencial y la contracción del núcleo es más importante, que conduce a la amplificación del campo magnético y a un mayor transporte de impulso angular. Figura 16 muestra la relación entre la masa BH y el momento angular en la formación BH. El angular impulso de BH se hace más grande con su masa en el momento de la formación de BH. Esto es porque el materia con gran impulso angular no puede colapsar debido a la fuerza centrífuga y requiere grandes Cuadro 2 Masa Inicial de Agujeros Negros para Modelos Rotatorios Diferenciales [M.o]. T/W B0 1% 2% 4% 1010G 70,4 87,3 106,6 1011G 70,4 87,3 106,6 1012G 57,9 75,8 96,6 Cuadro 3 Masa inicial de agujeros negros para modelos de rotación rígida [M.o]. T/W B0 1% 2% 4% 1010G 40,5 75,8 — 1011G 38,6 38,6 — 1012G 15,3 15,1 15,1 0 20 40 60 80 100 120 Coordenada de masa [M B12TW1D B10TW1D Fig. 15. Momento angular específico sobre las conchas en función de la coordenada de masa justo antes Formación BH. La línea sólida y la línea punteada representan los modelos B12TW1D y B10TW1D, respectivamente. cantidad de materia que acrece para colapsar BH, como ya se mencionó en §3.2. A continuación, discutimos los efectos del MHD de las emisiones de neutrinos. La Figura 17 muestra el pico neutrino luminosidades en función de las tasas de rotación iniciales. Se muestra que el los campos hacen que las luminosidades pico más pequeñas, al fijar el grado inicial del diferencial rotación (compare B10D y B12D, y B10R y B12R). Se nota que las estrellas Pop III tener pendiente suave de la densidad antes del colapso del núcleo, de modo que los materiales de la región exterior tienen una gran cantidad de la energía gravitacional total del núcleo de hierro. Por lo tanto, el magnético más fuerte las presiones, que impiden la acreción, hacen que la energía gravitacional liberadora de la materia más pequeña, y por lo tanto, resulta en la supresión de las luminosidades pico. En caso de rigidez la rotación, las fuerzas centrífugas más fuertes en las regiones exteriores, conducen a una supresión más fuerte de la energía gravitacional releasable que en el caso de la rotación diferencial. Como resultado, 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Masa BH [M Fig. 16. Relación entre la masa BH y el momento angular en la formación BH. las luminosidades de pico para los modelos rígidamente giratorios disminuyen más abruptamente con la inicial tasas de rotación que las de los modelos de rotación diferencial (comparar B10R y B10D). 2×1055 4×1055 6×1055 0 1 2 3 4 5 T/W [%] Fig. 17. Efectos de la rotación y de los campos magnéticos sobre la luminosidad máxima de los neutrinos. 4. RESUMEN Y DEBATE Estudiamos el colapso del núcleo magnetorotal de las estrellas Pop III realizando las dos... simulaciones magnetohidrodinámicas dimensionales. Desde las distribuciones de rotación y mag- campos netos en los progenitores de las estrellas Pop III son altamente inciertos, los cambiamos en un de manera paramétrica y sistemáticamente investigó cómo la rotación y los campos magnéticos afectan a la dinámica de las estrellas Pop III. Además, exploramos cómo afectan la rotación y los campos magnéticos la formación de los BHs y las emisiones de neutrinos. En las simulaciones newtonianas actuales, la formación BH se atribuyó a una cierta condición, y después de la formación, el centro la región fue extirpada y tratada como un límite absorbente. En cuanto a la microfísica, tomamos en cuenta el enfriamiento de neutrinos de 6 especies mediante un esquema de fugas con una ecuación realista de Estado. Con estos cálculos, hemos obtenido los siguientes resultados: 1. En el modelo esférico, la contracción gravitacional se detiene por el gradiente de la la presión, no por las fuerzas nucleares como en el caso de las estrellas masivas la composición inicial de la metalicidad solar, porque el progenitor de las estrellas Pop III tiene alta entropía, es decir, temperatura alta inicialmente. Tal temperatura alta también hace diferente características de las emisiones de neutrinos del caso de las estrellas masivas. La luminosidad de Los neutrinos dominan sobre el de los neutrinos electrónicos después del rebote del núcleo. Por lo tanto la energía gravitacional del núcleo es transportada dominantemente por los neutrinos. 2. A medida que las tasas de rotación inicial del núcleo se hacen más grandes, se encuentra que la época de la BH la formación se retrasa más tarde y que las masas iniciales de los BH se hacen más grandes. Fijación de la energía rotacional inicial, las masas BH en la formación se hacen más grandes como el grado de la rotación diferencial se hace más fuerte. Como el grado inicial de la rotación diferencial se hace más grande, el electrón neutrino luminosidad se encuentra para ser más dominante sobre que los neutrinos después del rebote del núcleo, porque los procesos de creación del par de μ y que dependen fuertemente de la temperatura, son más suprimidos. 3. Encontramos que las explosiones en forma de chorro se pueden producir incluso en las estrellas Pop III si el campo es tan grande como 1012G antes del colapso del núcleo. Esta onda de choque tipo jet está completamente Impulsado por magneto. 4. Los choques similares a los chorros en los modelos de campo magnético más fuertes se encuentran ellos mismos para hacer el masa inicial del BH menor. El transporte de impulso angular por campos magnéticos es se encontró a ser un agente importante para hacer la masa inicial de BHs más pequeño porque el el transporte del impulso angular aumenta el colapso de las regiones centrales. As a resultado, se encuentra que las masas iniciales de BH para los modelos más fuertemente magnetizados se encuentran a ser más pequeño al fijar las tasas de rotación inicial. En cuanto al neutrino luminosidades, señalamos que los campos magnéticos más fuertes hacen que las luminosidades pico más pequeños, porque pueden detener el colapso de los materiales. A este respecto, nos referiremos a las limitaciones de este estudio. En primer lugar, imitamos el neutrino transferencia por el sistema de fugas. Aunque el plan es una simplificación radical, hemos comprobado que podríamos reproducir, al menos, las características cualitativas de las luminosidades neutrino. Los la supremacía de la luminosidad de los neutrinos en el colapso esférico de las estrellas Pop III Este estudio es coherente con los estudios anteriores de Fryer et al. (2001) y Nakazato y otros (2006), en el que se emplearon los sistemas de transporte de neutrinos más elaborados. Además, los efectos de la rotación sobre las luminosidades de neutrino emergentes son consistentes con Fryer & Heger (2000), en el que se investigó un modelo del colapso rotacional de las estrellas masivas. En segundo lugar, las simulaciones se hicieron con la aproximación newtoniana y definimos la Formación BH por la órbita marginalmente estable de un Schwarzschild BH. Este tratamiento es totalmente inexacto porque el núcleo gira tan rápidamente que simulaciones relativistas totalmente generales (MHD) con las implementaciones apropiadas de la microfísica son necesarias, sin embargo, todavía son demasiado computacionalmente prohibitivo y más allá de nuestro alcance de este documento. Recordando estas advertencias, este cálculo no es más que una demostración que muestra cómo las combinaciones de rotación y campos magnéticos podrían producir la variedad de la dinámica, y las consecuencias importantes en las propiedades de las emisiones de neutrinos, y estos resultados, por supuesto, deberían ser reexaminados por las simulaciones más sofisticadas. En este estudio, se siguió la dinámica hasta 1 segundo después de la formación de los BHs y vio la ruptura de choque de los núcleos en los modelos fuertemente magnetizados. Pero si nosotros seguir la dinámica en la fase posterior en los modelos magnetizados más débiles, el Se pueden producir flujos de salida impulsados por magneto, debido al envolvimiento de campo a largo plazo y/o desarrollo de la llamada inestabilidad magnetorotal, como se demostró en el estudio de collapsar (véase, por ejemplo, Proga et al. 2003; Fujimoto y otros 2006). Sin embargo, cabe señalar que el fases dinámicas consideradas aquí y las otras son aparentemente diferentes (y por lo tanto son gratuitos). En estos últimos estudios, los BH centrales con un disco de soporte rotacional alrededor se tratan como una condición inicial para los cálculos. Nuestras simulaciones de colapso de núcleo presentado aquí mostró que la región exterior gira muy lentamente que el Keplerian y La mayoría de ellos se derrumba directamente a BH. Así la amplificación del campo magnético en los discos, que necesita una rotación rápida, podría no ser tan eficiente como se ha demostrado anteriormente. Para aclararlo, Ahora nos estamos preparando para las simulaciones a largo plazo, en las que los estados finales obtenidos aquí son tomado como una condición inicial. Luego discutimos la validez de la fuerza inicial de los campos magnéticos asumidos en este estudiar. Para el propósito, estimamos la fuerza del campo magnético justo antes del colapso con Eq. (13) de Maki & Susa (2004), en la que la historia térmica de las nubes primordiales colapsando se calculó con el fin de investigar el acoplamiento del campo magnético con el Gas. Por ejemplo, Bini........................................................................................................................ −7 G y nH,ini+10 3 cm−3, que son los valores empleados, plomo B + 1011 G si el flujo magnético se conserva durante la contracción y las nubes colapsan a 106 g cm−3. Aunque los parámetros arriba elegidos son ligeramente optimistas, los campos magnéticos Asumido en este estudio puede no ser tan poco realista. Señalamos que la energía total de neutrinos emitida por los modelos de rotación aumenta varias veces que el del modelo de colapso esférico. Sin embargo, la detección de neutrinos como los fondos difusivos podría ser difícil porque las estrellas Pop III son demasiado distante (véase Iocco et al. 2005). Alternativamente, la detección de ondas gravitacionales de Pop III estrellas como los fondos parecen más probables (Buonanno et al. 2005; Sandick et al. 2006 por el Comité Económico y Social Actualmente se están planificando interferómetros láser aerotransportados como LISA2, DECIGO (Seto et al. 2001) y BBO (Ungarelli et al. 2005), y necesita más investigación. Encontramos que las estrellas Pop III son capaces de producir explosiones a chorro con eyecciones de masa cuando los núcleos centrales están fuertemente magnetizados. Esto puede ser importante con respecto a su relevancia para la nucleosíntesis en tales objetos (Ohkubo et al. 2006). Esto también es interesante. tema a investigar como secuela de este artículo. 2 http://lisa.jpl.nasa.gov Este estudio fue apoyado en parte por la Sociedad Japonesa para la Promoción de la Ciencia (JSPS) Becas de investigación (T.T.), Subvenciones para la investigación científica del Ministerio de Educación, Ciencia y Cultura del Japón (No.S14102004, No. 14079202, No. 184044). Los cálculos numéricos se realizaron en parte en VPP5000 en el Centro de Astrofísica Computacional, CfCA, del Observatorio Astronómico Nacional de Japón. Bibliografía Abel, T., Bryan, G. L., & Norman, M. L. 2002, Science, 295, 93 Akiyama, S., Wheeler, J. C., Meier, D. L., & Lichtenstadt, I. 2003, ApJ, 584, 954 Ando, S. & Sato, K. 2004, New Journal of Physics, 6, 170 Ardeljan, N. V., Bisnovatyi-Kogan, G. S., & Moiseenko, S. G. 2005, MNRAS, 359, 333 Barkana, R. & Loeb, A. 2001, Phys. Rep., 349, 125 Blandford, R. D., & Payne, D. G. 1982, MNRAS, 199, 883 Bond, J. R., Arnett, W. D., & Carr, B. J. 1984, ApJ, 280, 825 Bromm, V., Coppi, P. S., & Larson, R. B. 2002, ApJ, 564, 23 Bromm, V. & Larson, R. B. 2004, ARA&A, 42, 79 Bromm, V. & Loeb, A. 2006, ApJ, 642, 382 Buonanno, A., Sigl, G., Raffelt, G. G., Janka, H.-T., & Müller, E. 2005, Phys. Rev. D, 72, 084001 Christlieb, N., et al. 2002, Nature, 419, 904 Daigne, F., Olive, K. A., Vangioni, E., Silk, J., & Audouze, J. 2004, ApJ, 617, 693 Frebel, A., et al. 2005, Nature, 434, 871 Fryer, C. L. & Heger, A. 2000, ApJ, 541, 1033 Fryer, C. L., Woosley, S. E., & Heger, A. 2001, ApJ, 550, 372 Fujimoto, S.-i., Kotake, K., Yamada, S., Hashimoto, M.-a., & Sato, K. 2006, ApJ, 644, 1040 Glover, S. 2005, Space Sci. Rev., 117, 445 Heger, A., Fryer, C. L., Woosley, S. E., Langer, N., & Hartmann, D. H. 2003, ApJ, 591, 288 Heger, A. & Woosley, S. E. 2002, ApJ, 567, 532 Iocco, F., Mangano, G., Miele, G., Raffelt, G. G., & Serpico, P. D. 2005, Astroparticle Physics, 23, Itoh, N., Adachi, T., Nakagawa, M., Kohyama, Y., & Munakata, H. 1989, ApJ, 339, 354 Iwamoto, N., Umeda, H., Tominaga, N., Nomoto, K., & Maeda, K. 2005, Science, 309, 451 Kotake, K., Sato, K., & Takahashi, K. 2006, Rep. Prog. Phys., 69, 971 Kotake, K., Sawai, H., Yamada, S., & Sato, K. 2004a, ApJ, 608, 391 Kotake, K., Yamada, S., & Sato, K. 2003, Phys. Rev. D, 68, 044023 Kotake, K., Yamada, S., Sato, K., Sumiyoshi, K., Ono, H., & Suzuki, H. 2004b, Phys. Rev. D, 69, 124004 LeBlanc, J. M. & Wilson, J. R. 1970, ApJ, 161, 541 Maki, H. & Susa, H. 2004, ApJ, 609, 467 Nakamura, F. & Umemura, M. 2001, ApJ, 548, 19 Nakazato, K., Sumiyoshi, K., & Yamada, S. 2006, ApJ, 645, 519 Obergaulinger, M., Aloy, M. A., & Müller, E. 2006, A&A, 450, 1107 Ohkubo, T., Umeda, H., Maeda, K., Nomoto, K., Suzuki, T., Tsuruta, S., & Rees, M. J. 2006, ApJ, 645, 1352 Proga, D., MacFadyen, A. I., Armitage, P. J., & Begelman, M. C. 2003, ApJL, 599, L5 Sandick, P., Olive, K. A., Daigne, F., & Vangioni, E. 2006, Phys. Rev. D, 73, 104024 Sawai, H., Kotake, K., & Yamada, S. 2005, ApJ, 631, 446 Scannapieco, E., Madau, P., Woosley, S., Heger, A., & Ferrara, A. 2005, ApJ, 633, 1031 Schneider, R., Guetta, D., & Ferrara, A. 2002, MNRAS, 334; 173 Seto, N., Kawamura, S., & Nakamura, T. 2001, Phys. Rev. Lett., 87, 221103 Shen, H., Toki, H., Oyamatsu, K., & Sumiyoshi, K. 1998, Nucl. Phys. A, 637, 435 Stone, J. M. & Norman, M. L. 1992, ApJS, 80, 753 Takiwaki, T., Kotake, K., Nagataki, S., & Sato, K. 2004, ApJ, 616, 1086 Takiwaki, T., Kotake, K., Yamada, S., & Sato, K. 2007, en preparación Umeda, H. & Nomoto, K. 2002, ApJ, 565, 385 —. 2003, Nature, 422, 871 Ungarelli, C., Corasaniti, P., Mercer, R., & Vecchio, A. 2005, Class. Quant. Grav., 22, S955 Weinmann, S. M. & Lilly, S. J. 2005, ApJ, 624, 526 Yamada, S. & Sawai, H. 2004, ApJ, 608, 907

Realizamos una serie de colapso de núcleo magnetorotal bidimensional simulaciones de estrellas Pop III. Cambio de las distribuciones iniciales de rotación y campos magnéticos antes del colapso de una manera paramétrica, calculamos 19 modelos. Al hacerlo, investigamos sistemáticamente cómo la rotación y el campos afectan la dinámica de colapso y explorar cómo las propiedades de la Las formaciones de agujeros negros y las emisiones de neutrinos podrían verse afectadas. En cuanto a la microfísica, empleamos una ecuación realista del estado y aproximamos la transferencia de neutrinos mediante un sistema de fugas de varios sabores. Con estos cálculos, nosotros encontrar que las explosiones en forma de chorro son obtenidas por las ondas de choque magnetopropulsadas si el campo magnético inicial es tan grande como $10}12}$ G. Señalamos que el masas de agujero negro en la formación disminuyen con la fuerza del campo inicial, en por otra parte, aumentar con las tasas de rotación inicial. En cuanto al neutrino propiedades, señalamos que el grado de la rotación diferencial juega un papel importante para determinar qué especies de la luminosidad neutrino es más dominante que los otros. Además, encontramos que el más fuerte magnético campos hacen el pico neutrino luminosidades más pequeñas, porque el magnético la presión para detener el colapso en las regiones centrales, lo que supresión de las energías de unión gravitacional releasables.

arXiv:0704.1945v1 [astro-ph] 16 Abr 2007 Colapso Magnetorotal de la Población III Estrellas Yudai Suwa1, Tomoya Takiwaki1, Kei Kotake2 y Katsuhiko Sato1,3 1Departamento de Física, Escuela de Ciencias, Universidad de Tokio, Tokio 113-0033 2Observatorio Astronómico Nacional del Japón, Mitaka, Tokio 181-8588,Japón 3Centro de Investigación para el Universo Temprano, Escuela de Ciencias, Universidad de Tokio, 7-3-1 Hongo, Bunkyo-ku, Tokio 113-0033, Japón suwa@utap.phys.s.u-tokyo.ac.jp (Recibido el 12 de octubre de 2006; aceptado el 11 de abril de 2007) Resumen Realizamos una serie de simulacros de colapso del núcleo magnetorotal bidimensional. ciones de estrellas Pop III. Cambio de las distribuciones iniciales de rotación y magnética los campos antes del colapso de una manera paramétrica, calculamos 19 modelos. Así que... , investigamos sistemáticamente cómo la rotación y los campos magnéticos afectan el colapso dinámica y explorar cómo las propiedades de las formaciones de agujero negro y neutrino las emisiones podrían verse afectadas. En cuanto a la microfísica, empleamos una ecuación realista de indicar y aproximar la transferencia de neutrinos mediante un esquema de fugas multifavor. Con Estos cálculos, encontramos que las explosiones en forma de chorro son obtenidas por el magneto- ondas de choque accionadas si el campo magnético inicial es tan grande como 1012G. Señalamos que las masas de agujero negro en la formación disminuyen con la fuerza inicial del campo, en el Por otra parte, aumentar con las tasas de rotación inicial. En cuanto a las propiedades de los neutrinos, señalamos que el grado de la rotación diferencial juega un papel importante para determinar qué especies de la luminosidad neutrino es más dominante que las otras. Además, encontramos que los campos magnéticos más fuertes hacen que el pico de neutrino lumi- nosidades más pequeñas, porque la presión magnética actúa para detener el colapso en el centro regiones, lo que conduce a la supresión de las energías gravitacionales vinculantes. Palabras clave: estrellas: supernovas: general — física del agujero negro — neutrinos — métodos: numérico — magnetohidrodinámica: MHD 1. INTRODUCCIÓN Se ha prestado gran atención a la Población III, las primeras estrellas en formarse en el universo, porque están relacionados con muchos problemas no resueltos en la cosmología y la física estelar. Los Población III (Pop III) estrellas ionizan y enriquecen la metalicidad del medio intergaláctico y proporcionar así pistas importantes a la historia posterior de la formación estelar (para las revisiones, véase, por ejemplo, http://arxiv.org/abs/0704.1945v1 Barkana & Loeb 2001; Bromm & Larson 2004; Glover 2005). Las estrellas Pop III también son importantes para la comprensión de la historia de la evolución química. Descubrimiento reciente de hiper metal pobre estrellas como HE 0107-5240 (Christlieb et al. 2002) y HE 1327-2326 (Frebel et al. 2005) nos ha dado buenas oportunidades para investigar la nucleosíntesis en estrellas Pop III (Heger & Woosley 2002; Umeda & Nomoto 2002; Umeda & Nomoto 2003; Daigne et al. 2004; Iwamoto et al. 2005). Las ráfagas de rayos gamma en muy alto corrimiento al rojo se señalan para ser acompañado por el colapso gravitacional de estrellas Pop III (Schneider et al. 2002; Bromm & Loeb 2006). El Swift satélite, que ahora está en ejecución 1, se espera que detectar directamente las estrellas Pop III acompañado por las ráfagas de rayos gamma de alta z. Las evoluciones de las estrellas Pop III también han sido estudiadas durante mucho tiempo. De sus estudios, Pop III estrellas se predice que han sido predominantemente muy masivos con M 100M® (Nakamura & Umemura 2001; Abel et al. 2002; Bromm et al. 2002, véanse las referencias). Estrellas masivas en el rango de 100MÃ3s M La inestabilidad del par electrón-positrón durante su evolución. Esta inestabilidad provoca quema de oxígeno explosivo, y si la quema proporciona suficiente energía para revertir el colapso, se cree que las estrellas se convierten en supernovas de inestabilidad par (Bond et al. 1984; Fryer et al. 2001; Heger & Woosley 2002), cuya detectabilidad ha sido recientemente (Scannapieco et al. 2005; Weinmann & Lilly 2005). Estrellas más masivas, que también encuentro de pares-intestabilidad, están tan fuertemente atados y la fusión de oxígeno es incapaz de revertir infall. Tales estrellas se cree que colapsan a los agujeros negros (BHs) finalmente (Bond et al. 1984; Fryer et al. 2001), a la que prestamos atención en este documento. Hasta ahora ha habido unas cuantas simulaciones hidrodinámicas estudiando la gravedad- colapso del BH formando estrellas Pop III. En el transporte bidimensional de neutrinos grises simulaciones de Fryer et al. (2001), investigaron el colapso de una estrella Pop III 300M®, que conduce a la formación de BH. Discutieron los efectos de la rotación sobre la emisión luminosidades neutrino, ondas gravitacionales, y además, la posibilidad de que tales estrellas los rayos gamma estallan. En su estudio Newtoniano, el BH central fue extirpado y tratado como un límite absorbente después de la formación. Aunque esta simplificación no es fácil de conseguir validados, siguieron la dinámica mucho después de la formación del BH y obtuvieron muchos resultados. Más recientemente, Nakazato et al. (2006) realizó unidimensional, pero, en general, simulaciones atívicas en el rango de 100 + 10000M®, en el que el neutrino de última generación La física se tiene en cuenta. Sus cálculos detallados revelaron las propiedades del emer- espectro de neutrinos gent, y en base a eso, discutieron la detectabilidad de tales neutrinos como la supernova relic fondo neutrino (véase también Ando & Sato 2004; Iocco et al. 2005). Ellos vieron con éxito la formación del horizonte aparente, sin embargo, la dinámica en el no se remitieron las fases posteriores. En este artículo estudiamos el colapso magnetorotal de las estrellas Pop III realizando las simulaciones magnetohidrodinámicas bidimensionales (MHD) (véase, también, Akiyama et al. 2003; 1 Véase http://swift.gsfc.nasa.gov Kotake et al. 2004a; Kotake et al. 2004b; Takiwaki y otros 2004; Yamada & Sawai 2004; Ardeljan et al. 2005; Sawai y otros 2005; Obergaulinger et al. 2006, para los cálculos de MHD del colapso del núcleo supernovas, y Kotake et al. 2006 para un examen). En cuanto a la microfísica, empleamos una ecuación de estado basada en la teoría de campo de la media relativista y tener en cuenta el neutrino Enfriamiento mediante un esquema de fugas de varios sabores, en el que las reacciones de última generación de neutrinos son: incluido. En nuestras simulaciones newtonianas, la formación de los BHs se atribuye a un cierto condición, y después de la formación, la región central se extrae y se trata como un absorbente límite para seguir la dinámica más adelante. Desde las distribuciones de rotación y campos magnéticos en los progenitores de las estrellas Pop III son altamente inciertos, los cambiamos en una manera paramétrica y sistemáticamente investigar cómo afectan la rotación y los campos magnéticos la dinámica. También exploramos cómo la naturaleza de las explosiones, las propiedades de los BHs y neutrino luminosidades podrían verse afectadas debido a la incursión de los campos magnéticos y de rotación. El presente documento está organizado de la siguiente manera. En §2, describimos los métodos numéricos y el condiciones iniciales. En el §3, presentamos los resultados. Damos un resumen y discusión en el §4. 2. MÉTODO 2.1. Ecuaciones básicas Las ecuaciones básicas de la evolución están escritas como sigue: + ·v = 0, (1) =P − (B)×B, (2) =-P-V-L-L/, (3) = (v×B), (4) = 5 °C, 4 °C, 5 °C en los que l,P,v,e,Φ,B,L,L, , son la densidad de masa, la presión de gas incluyendo la radiación pres- seguro de neutrino, la velocidad del fluido, la densidad de energía interna, el potencial gravitacional, el campo magnético, la tasa de enfriamiento de neutrinos y el derivado de Lagrange, respectivamente. En nuestra 2D se asumen los cálculos, la simetría axial y la simetría de reflexión a través del plano ecuatorial. Coordenadas esféricas (r, ) se emplean con zonificación logarítmica en la dirección radial y la zonificación regular en la zona de la ciudad. Un cuadrante de la sección del meridiano está cubierto con 300 (r)×30 (­) malla puntos. Las distancias mínimas y máximas de malla son de 2 km y 60 km, respectivamente. Nosotros también. se calcularon algunos modelos con 60 puntos de malla angular, sin embargo, cualquier diferencia significativa fue obtenido. Por lo tanto, informaremos en los siguientes resultados obtenidos de los modelos con 30 puntos de malla angular. Empleamos el código ZEUS-2D (Stone & Norman 1992) como base y añadió cambios importantes para incluir la microfísica. Primero añadimos una ecuación para elec- fracción tron para tratar las capturas de electrones y el transporte de neutrinos mediante el llamado esquema de fugas (Kotake et al. 2003). Además, ampliamos el esquema para incluir las 6 especies de neutrino (e, e, νX), que es indispensable para los cálculos de las estrellas Pop III. Aquí νX significa ,, y. En cuanto a las reacciones de νX, pareja, foto, y procesos de plasma se incluyen utilizando las tarifas de Itoh et al. (1989). El LV, en Eq. (3) es la tasa de enfriamiento de la reacciones de neutrino (ver Takiwaki et al. 2007, para más detalles). En cuanto a la ecuación de estado, tenemos incorporó el tabulado basado en teoría de campo medio relativista en lugar del gas ideal EOS asumió en el código original (Shen et al. 1998). 2.2. Modelos iniciales y condiciones de frontera En este artículo, fijamos la masa de la estrella Pop III en 300M®. Esto es consistente con las simulaciones recientes de los fenómenos de formación estelar en un entorno libre de metales, proporcionando una función de masa inicial alcanzó su punto máximo en las masas de 100 a 300 millones (véase, por ejemplo, Nakamura & Umemura 2001). Elegimos el valor porque no tratamos las supernovas de inestabilidad del par de potencia nuclear (M260M®) y, por conveniencia, para la comparación con el estudio anterior, que empleó la misma masa estelar (Fryer et al. 2001). Comenzamos las simulaciones de colapso del núcleo de 180M de la estrella de 300M. El núcleo, que es la condición inicial de nuestras simulaciones, se produce de la siguiente manera. De acuerdo con el prescripción en Bond et al. (1984), establecemos el índice politrópico del núcleo a n= 3 y asumir que el núcleo es isentrópico de 10 kB por nucleón (Fryer et al. 2001) con el electrón constante fracción de Ye = 0,5. Ajustamos la densidad central a 5× 10 6 g cm−3, por el cual la temperatura de las regiones centrales llegan a ser lo suficientemente altas como para fotodesintegrar el hierro (+ 5× 109K), por lo tanto iniciando el colapso. Dada la densidad central, la distribución de la fracción de electrones, y la entropía, construimos numéricamente las estructuras hidrostáticas del núcleo. Desde que sabemos poco de las distribuciones de impulso angular en los núcleos de las estrellas Pop III (véase, sin embargo, Fryer et al. 2001), se añaden los siguientes perfiles de rotación de manera paramétrica: al núcleo no rotativo mencionado anteriormente. Asumimos la rotación cilíndrica del núcleo y cambiar el grado de rotación diferencial de las dos maneras siguientes. 1. En cuanto a los modelos de rotación diferencial, se asume la siguiente distribución de la inicial velocidad angular, (X,Z) = 0 X2+X20 Z4+Z40 , (6) donde es la velocidad angular y es la constante del modelo. X y Z denotan distancia desde el eje de rotación y el plano ecuatorial, respectivamente. Adoptamos el valor de param- eters, X0 y Z0, como 2×10 8cm,2×109cm, respectivamente. Desde el radio del borde exterior del núcleo se toma para ser tan grande como 3.5× 109cm, el perfil anterior representa que el los núcleos rotan fuertemente diferencialmente. 2. En cuanto a los modelos rígidos de rotación, la velocidad angular inicial es dada por, (X,Z) = 0. 7).................................................................................................................................................. En cuanto a la configuración inicial de los campos magnéticos, suponemos que el campo es casi uniforme y paralelo al eje de rotación en el núcleo y dipolar en el exterior (véase la figura 1). Por el propósito, consideramos el siguiente potencial vectorial eficaz, Ar = A. = 0, (8) r3+ r30 r sin. (9) donde Ar, fue, fue el potencial vectorial en la dirección r, fue, fue, respectivamente, r es el radio, r0 es el radio del núcleo, y B0 es la constante del modelo. En este estudio, adoptamos el valor de r0 como 3,5×109 cm. Este potencial vectorial puede producir los campos magnéticos uniformes cuando r es pequeño en comparación con r0, y los campos magnéticos del dipolo para viceversa. Hemos establecido el límite de salida condiciones para los campos magnéticos en el límite exterior de las regiones calculadas. Se toma nota que esta es una manera mucho mejor que el método de corriente de bucle para construir el dipolo magnético campos (LeBlanc & Wilson 1970), porque nuestro método no produce ninguna divergencia de la campos cercanos a la corriente de bucle. Fig. 1. La configuración de los campos magnéticos iniciales. Tenga en cuenta que B0 = 10 12G para esta cifra. Las flechas representan el vector de los campos magnéticos poloidales. El contorno muestra el logaritmo del presión (: B2/8η). Cambiando las energías rotacionales y magnéticas iniciales, variando los valores de ­0 y B0, calculamos 19 modelos en este artículo, a saber, uno esférico y 18 modelos magnetorotacionales. En la Tabla 1, se resumen las diferencias de los modelos iniciales. Tenga en cuenta que los modelos se nombran después de esta combinación, con las primeras letras, B12, B11, B10, indicando la fuerza de campo magnético, la letra siguiente, TW1, TW2, TW4, indicando el T/W inicial y final letras mayúsculas D o R que representen la ley de rotación inicial (D: rotación diferencial, R: rígida) rotación). Tenga en cuenta que T/W representa la relación de la rotación a la energía gravitacional. Cuadro 1 Modelos y parámetros*. T/W B0 1% 2% 4% 1010G B10TW1{D,R} B10TW2{D,R} B10TW4{D,R} 1011G B11TW1{D,R} B11TW2{D,R} B11TW4{D,R} 1012G B12TW1{D,R} B12TW2{D,R} B12TW4{D,R} * Esta tabla muestra el nombre de los modelos. En la tabla están etiquetados por la fuerza del campo magnético inicial y la rotación. T/W representa la relación entre la rotación y la energía gravitacional. B0 representa la fuerza del campo magnético inicial. En este artículo asumimos que se forma un BH cuando la condición 6Gm(r) >r está satisfecho, donde c,G,m(r) son la velocidad de la luz, la constante gravitacional y la coordenadas de masa, respectivamente. Esta condición significa que suponemos que los fluidos no pueden escapar de la región interna por debajo de la radio de la órbita marginalmente estable de un Schwarzschild BH. Cuando se cumpla esta condición, extirpamos la región dentro del radio calculado y luego la tratamos como un límite absorbente. Después, ampliamos el límite de la región extraída para tener en cuenta el crecimiento de la masa que cae en la región central. A pesar de que no es exacto en absoluto para referirse a la central región como el BH, nos aferramos a la simplificación en este documento con el fin de seguir y ver la Dinámica más adelante. 3. RESULTADO 3.1. Colapso esférico En primer lugar, describimos brevemente las características hidrodinámicas del colapso esférico como un referencial para los modelos MHD mencionados más adelante. Nota a continuación que por “estrellas masivas”, nos referimos a las estrellas de O(10)M® con la composición inicial de la metalicidad solar, que se considera que explotan como supernovas en sus extremos de la evolución (Heger et al. 2003). Como en el caso de las estrellas masivas, el colapso gravitacional es desencadenado por el electrón- las reacciones de captura y la fotodesintegración de los núcleos de hierro. Por otro lado, la gravedad... no es detenido por las fuerzas nucleares como en el caso de las estrellas masivas, sino por la presión térmica (gradiente de). Esto se debe a que el progenitor de las estrellas Pop III tiene entropía, es decir, alta temperatura. Llamamos a este rebote como “rebote térmico” para mayor comodidad. Los la evolución de la densidad, la temperatura, la entropía y la velocidad radial alrededor del rebote térmico son se muestra en la figura 2. A diferencia del caso de las estrellas masivas, ningún choque saliente se propaga hacia fuera después del rebote térmico. En el rebote, el tamaño del núcleo interior, que es de 200 km en radio y 6MÃ3 en la coordenada de masa, crece gradualmente debido a la acreciÃ3n de masa. Como se ve desde el la figura, los materiales en las regiones de choque creciente obtienen mayor entropía y temperatura que 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] -1×1010 -8×109 -6×109 -4×109 -2×109 2×109 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] -1×1010 -8×109 -6×109 -4×109 -2×109 2×109 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] -1×1010 -8×109 -6×109 -4×109 -2×109 2×109 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] -1×1010 -8×109 -6×109 -4×109 -2×109 2×109 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] 0 500 1000 1500 2000 Radio [km] Fig. 2. Las evoluciones de densidad, temperatura, entropía y velocidades radiales en el modelo esférico. Sólido línea es para -37 ms de rebote, línea discontinua es para -1 ms, línea punteada es para 19 ms y línea punteada es para 32 ms, respectivamente. los que en el caso de las estrellas masivas. Las temperaturas más altas son buenas para producir una gran cantidad de neutrinos a través del par aniquilación de electrones y positrones. Esto también hace que diferentes características de las emisiones de neutrinos procedentes del caso de las estrellas masivas, en las que el electrón-neutrino (/e) la luminosidad domina sobre las de las otras especies cerca de la época del rebote del núcleo. Como se muestra en el panel superior de la Figura 3, la luminosidad total de νX (,, y ) comienza a dominar sobre la luminosidad total de los neutrinos electrónicos y los neutrinos antielectrónicos a 25 mseg después de rebote (ver la primera intersección de las líneas en la figura). A 87 mseg después del rebote, el núcleo es tan pesado que rápidamente se derrumba a un BH. In Figura 4, se muestra la evolución de la HB calculada por el procedimiento descrito en §2.2. Los masa de la BH es inicialmente 20M®, aumenta rápidamente a 35 M® porque el resto de la densa interior núcleo cae en el BH poco después de la formación. La tasa de crecimiento de la masa se ralentiza después cuando se establece el flujo de acreción cuasi estable al BH (Fig 4). El rápido disminución de la luminosidad de neutrinos 100 mseg después del rebote (tabla superior de la figura 3) corresponde a la época en que las neutrinósferas son tragadas en el BH. Nota en el panel inferior, -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Tiempo después de rebotar [s] -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Tiempo después de rebotar [s] Fig. 3. Panel superior: Evolución temporal de la luminosidad del neutrino en el modelo esférico. El tiempo se mide del rebote térmico. Línea sólida representa la luminosidad total de neutrinos electrónicos y anti-electrón neutrinos. La línea rota representa la luminosidad total de νX (, , y ) neutrino. Antes de la el rebote térmico, la luminosidad de los electrones + neutrinos antielectrónicos dominan el de la luminosidad νX, Sin embargo, después del rebote, se invierte. A 0,1 segundos después del rebote, las luminosidades drásticamente disminución debida a la formación de HB. Panel inferior: Luminosidades de neutrino integradas en el tiempo. Línea sólida y Los neutrinos electrónicos y los neutrinos antielectrónicos y los neutrinos X emiten energía total. respectivamente. -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Tiempo [s] Esférico Fig. 4. Evolución de la masa BH en el modelo esférico. El tiempo se mide a partir de la formación de BH. El círculo lleno de negro indica la época de la formación del agujero negro. la energía emitida total se calcula por ddtL/, que representa la energía que se lleva a cabo a partir de el núcleo por neutrinos. Una vez más de la cantidad, se demuestra que vX priva dominantemente de la energía gravitacional del núcleo que νe y e. 3.2. Colapso rotacional 3.2.1. Efecto de la rotación diferencial Ahora pasamos a discutir las características en el colapso del núcleo rotacional. La desviación de la dinámica del colapso esférico viene de las tasas de rotación inicial y el grado de la rotación diferencial impuesta inicialmente. Para ver los efectos de la rotación diferencial en el colapso-dinámica, primero tomamos modelos de B10TW1D (rotación diferencial) y B10TW1R (rotación rígida) como ejemplos y mencionar la diferencia de ellos. Los efectos de la las tasas de rotación se discuten más adelante en §3.2.2. Primero describimos el colapso del modelo B10TW1D. Como en el caso del colapso esférico, el el núcleo rotativo experimenta el colapso debido a la emisión de neutrinos y la fotodesintegración, pero la diferencia aparece en el momento del rebote térmico. Debido al soporte de presión suministrado por la fuerza centrífuga, el modelo B10TW1D rebota en el polo en la época 17 mseg más tarde que el del colapso esférico. La evolución del tiempo después del rebote se presenta en la Figura 5. Se muestra que los materiales del núcleo interior oscilan unos 20 mseg después del rebote (ver desde la parte superior izquierda hacia abajo hasta la parte inferior), y luego la onda de choque comienza a propagarse a lo largo de la eje rotacional (ver desde la parte superior derecha hacia abajo). Esta onda de choque tipo jet finalmente puestos en Z + 2×108 cm, donde Z es la distancia desde el centro a lo largo del eje de rotación. Lo es. notó que la onda de choque formada al rebote no se para en los modelos fuertemente magnetizados como se explica en el párrafo 3.3. En este modelo débilmente magnetizado, el manto estelar simplemente colapsa a la región central después del shock-stall, y luego conduce a la formación de la BH. En este modelo, seguimos la hidrodinámica hasta que más del 99 % de los materiales externos colapsan a la BH (típicamente 2 segundos después del rebote). Fig. 5. Perfiles de entropía del modelo de rotación diferencial de B10TW1D 50 (superior izquierdo), 63 (medio izquierdo), 73 (izquierda) inferior), 87 (superior derecho), 113 (medio derecho) y 127 (inferior derecho) ms después del rebote, respectivamente. Los contorno codificado de color muestra el logaritmo de la entropía (kB) por nucleón y las flechas representan la velocidad campos. El modelo B10TW1R rebota térmicamente más bien isotrópicamente en el centro, no como el modelo B10TW1D. Esto se debe a que las regiones centrales tienen menos impulso angular en comparación con el modelo de rotación diferencial de B10TW1D. En la Figura 6, las evoluciones temporales de la entropía después de se muestran los rebotes. A diferencia de B10TW1D (Figura 5), B10TW1R colapsa directamente para formar el BH sin producir las ondas de choque salientes. Esto se debe a que la parte central tiene menos presión apoyo de la fuerza centrífuga debido al perfil de rotación uniforme inicialmente impuesto. En el Por otra parte, el modelo B10TW1R tiene más impulso angular que el del modelo B10TW1D en la parte exterior del núcleo. Esto lleva a la supresión de las tasas de acreción de la caída materia al núcleo interior. Como resultado, el núcleo del modelo B10TW1R oscila en un período más largo que la del modelo B10TW1D porque la escala de tiempo dinámica, que es proporcional a 1/2, se hace más largo debido a la menor densidad allí. Fig. 6. Igual que la figura 5, pero para el modelo de rotación rígida de B10TW1R en 56 (superior izquierdo), 76 (inferior izquierdo), 106 (parte superior derecha) y 134 (parte inferior derecha) ms después del rebote, respectivamente. El contorno codificado por color muestra el logaritmo de entropía (kB) por nucleón y flechas representan los campos de velocidad. A continuación, comparamos las masas de la BH en la formación y el crecimiento posterior entre los dos modelos (véase la figura 7). La masa inicial de BH de los modelos B10TW1R y B10TW1D es de 40 y 70 MÃ3s, respectivamente (ver los círculos llenos de negro en la figura). Ambas cosas. de ellos son más grandes que el del modelo de colapso esférico ( 20 millones). Como ya se ha mencionado, el razón de que la formación anterior de BH menos masiva del modelo B10TW1R es que el modelo tiene fuerzas centrífugas más pequeñas en las regiones centrales que el modelo B10TW1D. Por otra parte, reflejando las menores tasas de acreción de masa al BH, la tasa de crecimiento de la masa de BH del modelo B10TW1R es más pequeño que el del modelo B10TW1D (comparar las pendientes de las líneas en el Figura después de la formación de BH). La luminosidad de los neutrinos y la energía total filtrada del modelo B10TW1D son se muestra en el panel izquierdo de la Figura 8. Se ha comprobado que la luminosidad de los neutrinos (v.X) y de los neutrinos (v. no abrumar la de los neutrinos electrónicos incluso después del rebote a diferencia del colapso esférico y que la mayor parte de la energía es emitida por neutrinos electrónicos (panel inferior). Esto es porque el rotación suprime la compresión del núcleo, lo que reduce la temperatura en el centro regiones que la del modelo esférico. Cabe señalar que las tasas de producción de energía por los procesos de aniquilación del par dependen bruscamente de la temperatura. Las características del neutrino de B10TW1R se encuentra intermedio entre el modelo B10TW1D y el esférico modelo (ver paneles de la derecha). Si las tasas de rotación inicial de los dos modelos anteriores se hacen más grandes, el rebote ocurre -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Tiempo[s] B10TW1D B10TW1R Fig. 7. Evolución de las masas de BH para los modelos rotativos. Las líneas sólidas y discontinuas son para modelos B10TW1D y B10TW1R, respectivamente. El círculo negro indica la época de la formación del agujero negro. Tenga en cuenta que el tiempo se mide a partir de la época de la formación BH en el modelo esférico. más tarde debido a las fuerzas centrífugas más fuertes. Además, el intervalo del núcleo oscila- ciones se hacen más largas. Excepto por tales diferencias, las características hidrodinámicas antes de la BH formación se determinan principalmente por el grado de la rotación diferencial como se ha mencionado anteriormente y no se encuentran cambios cualitativos a medida que las tasas de rotación inicial se hacen mayores. 3.2.2. Efectos de la rotación sobre la masa de BH y la emisión de Neutrino En esta sección, procedemos a describir cómo la tasa de rotación inicial y el grado de la rotación diferencial afecta el crecimiento de las masas de HB y las emisiones de neutrinos. Los efectos de la rotación en las masas iniciales de los BHs para el casi puramente rotativo los modelos, etiquetados por B10, se muestran en la Figura 9. Como se ve, más grande la tasa de rotación inicial se vuelve, el BH más pesado se encuentra producido. Esta tendencia es independiente del grado de la rotación diferencial. Esto es simplemente porque la rotación rápida tiende a detener la caída de la materia al centro, por lo tanto, se requieren masas más pesadas para cumplir con la condición de la formación de BH. Lo siento. se encuentra además que la masa inicial es mayor para los modelos de rotación diferencial que los modelos rígidos de rotación. Esto es independiente de las tasas de rotación iniciales. Esto se debe a la menor impulso angular de los modelos rígidos de rotación en las regiones centrales que el de modelos de rotación diferencial como se ha mencionado. En la Figura 10 se muestra el crecimiento de la masa BH para los modelos correspondientes. Lo es. encontró que la época de la formación se retrasa a medida que las tasas de rotación inicial se hacen más grandes independientemente del grado de rotación diferencial. En cuanto a las tasas de crecimiento de la masa de BH, se encuentra que son casi lo mismo para los modelos de rotación diferencial, independientemente de la tasas de rotación inicial (véase el panel izquierdo de la figura 10). Esto se debe a que la parte externa del núcleo tiene poco impulso angular debido a la fuerte rotación diferencial impuesta, y por lo tanto cae a el centro de la misma manera. Por otro lado, las tasas de rotación inicial afectan a la evolución de BHs en los modelos rígidos de rotación (véase el panel derecho de la figura 10). Como rotación inicial -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Tiempo después del rebote térmico [s] -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Tiempo después del rebote térmico [s] -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Tiempo después del rebote térmico [s] -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Tiempo después del rebote térmico [s] Fig. 8. Igual que la Figura 3, pero para los modelos B10TW1D (izquierda) y B10TW1R (derecha), respectivamente. 0 1 2 3 4 5 T/W [%] Rotación diferencial Rotación rígida Fig. 9. Efectos de la tasa de rotación inicial y el grado de rotación diferencial en la masa inicial del BH. En esta figura, la secuencia de los modelos etiquetados por “B10”, que son casi puramente el modelo giratorio, es Elegido. Tenga en cuenta que el modelo B10TW4R está ausente porque este modelo no produce el BH durante el tiempo de simulación. las tasas se hacen mayores, las tasas de crecimiento de los BH se vuelven más pequeñas debido a la mayor angular impulso impuesto inicialmente. -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Tiempo[s] B10TW1D B10TW2D B10TW4D Esférico -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Tiempo[s] B10TW1R B10TW2R Esférico Fig. 10. Evolución temporal de la masa BH para los modelos casi puramente rotativos etiquetados por B10. Izquierda panel: Sólido, rayado, punteado, y punteado-punto, son para los modelos B10TW1D, B10TW2D, B10TW4D, y el modelo esférico, respectivamente. Panel derecho: Las líneas sólidas, discontinuas y punteadas son para los modelos B10TW1R, B10TW2R, y el modelo esférico, respectivamente. El tiempo se mide a partir del rebote térmico de cada uno modelo. Los círculos llenos de negro de cada panel representan la época de la formación BH. La masa de BH en la formación afecta a la energía total emitida por los neutrinos porque los neutrinos en la región de BH no pueden escapar al exterior del núcleo después. Los En la figura 11 se muestra la energía total emitida por los neutrinos. Se puede ver la tendencia general en el figura que la energía emitida sube rápidamente y luego se convierte en constante. La transición a la fase constante corresponde a la formación del BH. También en este caso, los modelos de rotación diferencial tienen características similares después de la formación de los BH (línea sólida del panel derecho de la figura 11). Es interesante que el modelo B10TW2R (línea inclinada del panel derecho de la Figura 11) por contraste tiene diferentes comportamientos del total emitido energía. Esto se debe a que este modelo produce el disco de acreción estable alrededor del BH central. As un resultado, los materiales del disco se acrecientan sólo lentamente a la BH, y por lo tanto pueden emitir neutrinos por un tiempo más largo. La pequeña tasa de acreción de este modelo también es prominente como se ve en la Figura Es interesante observar que sólo alrededor del 10% de la energía gravitacional del núcleo puede ser transportado por neutrinos incluso en el modelo de rotación más rápida considerado aquí (B10TW4D). Por otro lado, es bien sabido que los neutrinos transportan el 99 % de la energía gravitacional de las estrellas protoneutrón en caso de las estrellas masivas. La discrepancia se deriva obviamente de el hecho de que la mayor parte del núcleo interior es absorbido por el BH en el caso de las estrellas Pop III. 3.3. Colapso Magnetorotal En esta sección se presentan los resultados de los modelos MHD. En primer lugar, mencionamos la Características magnetohidrodinámicas (MHD) en la sección 3.3.1, a continuación, discutir los efectos de MHD en la 2×1054 4×1054 6×1054 8×1054 1×1055 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 Tiempo después de rebotar [s] B10TW1D B10TW2D B10TW4D Esférico 2×1054 4×1054 6×1054 8×1054 1×1055 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 Tiempo después de rebotar [s] B10TW1R B10TW2R Esférico Fig. 11. Energía de fuga de neutrinos integrada en el tiempo. Panel izquierdo: Línea sólida significa B10TW1D, línea discontinua significa B10TW2D, línea punteada significa B10TW4D y línea punteada significa modelo esférico. Panel derecho: Línea sólida significa B10TW1R, línea discontinua significa B10TW2R y línea punteada significa modelo esférico. Los el tiempo se mide a partir del rebote térmico de cada modelo. Masa de BH y emisiones de neutrinos en la sección 3.3.2. 3.3.1. Característica del MHD Entre los modelos computados, encontramos que los modelos con el campo (B = 1012G) sólo puede producir las ondas de choque tipo jet a lo largo del eje de rotación, que puede propagarse fuera del núcleo sin shock-stall. En primer lugar, mencionamos las propiedades de tales modelos tomando el modelo B12TW1D como ejemplo. La dinámica de colapso antes del rebote es casi la misma que la correspondiente débil Modelo de campo magnético de B10TW1D. Esto se debe a que los campos magnéticos amplificados por la presión y el envolvimiento de campo son, por supuesto, más grandes que el modelo de campo más débil, pero todavía mucho menor que la presión sobre la materia en las regiones centrales. Después del rebote, la magia toroidal... campos netos producidos por el envoltorio, proporcionar el soporte de presión adicional, actuando así para empujar la materia que cae como chorro de salida en lugar de girar a lo largo del campo magnético. Los el chorro se lanza cuando la presión magnética supera la presión local del acre materia. Esta característica es diferente de otro mecanismo de propulsión de chorro, el magneto-centrifugal aceleración (Blandford & Payne 1982). Las características MHD del modelo B12TW1D después del rebote se presentan en la Figura 12. Desde los paneles derecho, se muestra que las regiones detrás de la onda de choque tipo chorro (Z ≥ 1,5×109 cm) se diluyen con una densidad de 105 g cm−3 y tienen una entropía muy alta de 102 kB. El panel inferior muestra que el chorro es impulsado por la presión magnética porque el plasma beta presión de gas / presión magnética) de la región de chorro es mucho menor que la unidad. As the chorro se propaga en el núcleo, se produce un recién nacido BH (ver los círculos blancos de los paneles derecho de Figura 12). La masa del BH es inicialmente 57,9M®, que es menor que la de B10TW1D (70,4 millones de euros). La razón de la diferencia se menciona en §3.3.2. Las propiedades del chorro del modelo B12TW1D se muestran en la Figura 13. Hay perfiles de Fig. 12. Evolución temporal de las ondas de choque del modelo magnetizado más fuerte de B12TW1D. El panel superior de la figura muestra el logaritmo de la entropía (kB) por nucleón, el panel medio de la figura muestra el logaritmo de densidad (g cm−3), y el panel inferior muestra el logaritmo de la beta plasmática. Todas las cifras de la izquierda son de 119 ms de rebote, y las cifras correctas están a 305 ms. Los círculos blancos de los paneles de la derecha representan los BHs. densidad, velocidad radial, campo magnético y presión a 104 ms después del rebote. La densidad de la materia en la región del jet es de 107 g cm−3. La velocidad de choque frontal es tan grande como el 40 % de la velocidad de luz, que es ligeramente relativista. Se ve fácilmente que el campo magnético toroidal se desborda el componente poloidal detrás del frente de choque. En la región interior, el campo magnético poloidal es más grande debido a la compresión. La presión magnética abruma la presión de gas en todo el región de jet como ya se muestra en la Figura 12. Ahora pasamos a discutir cómo la rotación afecta a la dinámica mientras se fija la inicial Fuerza de campo. La figura 14 muestra las propiedades de los modelos B12TW1{D,R} y B12TW4{D,R} cuando la onda de choque tipo chorro alcance 1×109 cm. Como se ve claramente, la principal diferencia entre T/W = 1 % y 4 % es el grado de colimación de la onda de choque. Como rotación inicial las tasas se hacen grandes en los modelos de rotación diferencial, la compresión de los campos magnéticos se ve obstaculizado, lo que conduce a la supresión del estrés del aro de los campos magnéticos en el centro (Takiwaki y otros) 2004). Como resultado, la colimación de la onda de choque se vuelve menos 0 1×109 2×109 Radio [cm] -4×1010 -2×1010 2×1010 0 1×109 2×109 Radio [cm] 0 1×109 2×109 Radio [cm] poloidal toroidal 0 1×109 2×109 Radio [cm] presión magnética presión del gas Fig. 13. Varias cantidades físicas alrededor del eje de rotación a 104 ms después del rebote para el modelo B12TW1D. Densidad (superior izquierdo), velocidad radial (superior derecho), valor absoluto del campo magnético (inferior izquierdo), y la presión se muestran. En el panel inferior izquierdo, la línea sólida y la línea discontinua representan poloidal com- componente poniente y toroidal, respectivamente. En el panel inferior derecho, la línea discontinua representa el gas la presión y la línea sólida representan la presión magnética. (compare los paneles superiores). En contraste, la diferencia del grado de colimación entre Los modelos B12TW1R y B12TW4R son más pequeños que B12TW1D y B12TW4D. Esto es porque los materiales en la región interna de los modelos rígidos giratorios giran más lentamente que el diferencial modelos. Así el grado de la colimación de los choques depende semanalmente del T/W inicial. Los modelos con los campos magnéticos iniciales más débiles no producen la explosión en forma de chorro excepto el modelo B11TW4R. Estos modelos colapsan a BHs antes de la formación de chorros porque de débil presión magnética. Después de formar un BH, especialmente el modelo de rotación diferencial, descansar partes de la estrella giran lentamente para que la presión magnética no crezca. Así, cuando BH se forma antes de que el chorro se levante, el resto del núcleo sólo colapsa a BH y todo el núcleo son absorbidos por 3.3.2. Efectos del MHD sobre la masa de BH y la emisión de Neutrino Los efectos del MHD sobre las masas iniciales de HB se muestran en las Tablas 2 y 3. Como se ve, la masa inicial de BH se vuelve más pequeña cuando el campo magnético inicial se hace más fuerte. El angular Fig. 14. Perfiles de la propagación de choque para los modelos B12TW1D (arriba a la izquierda), B12TW4D (arriba a la derecha), B12TW1R (abajo a la izquierda) y B12TW4R (abajo a la derecha), respectivamente. Muestran el contorno codificado de color parcelas de logaritmo de entropía (kB) por nucleón. Varios perfiles se encuentran cambiando la fuerza de la campo magnético inicial y rotación. El transporte de impulso por los campos magnéticos es un agente importante para afectar a la masa BH. Esta característica se ve en la Figura 15, que representa la distribución de la media angular específica impulso de los modelos B12TW1D y B10TW1D. La región central de B12TW1D tiene menos impulso angular que B10TW1D debido al transporte de impulso angular por campos magnéticos. El pico del modelo B12TW1D representa la posición del frente de choque en el plano ecuatorial. El transporte del impulso angular hace que la fuerza centrífuga de la región central sea menor y mejora el colapso. Esto lleva la masa BH más pequeña. Esta tendencia es más prominente para los modelos rígidos de rotación (comparar los cuadros 2 y 3) debido a la rotación de la región central es más lento que los modelos de rotación diferencial y la contracción del núcleo es más importante, que conduce a la amplificación del campo magnético y a un mayor transporte de impulso angular. Figura 16 muestra la relación entre la masa BH y el momento angular en la formación BH. El angular impulso de BH se hace más grande con su masa en el momento de la formación de BH. Esto es porque el materia con gran impulso angular no puede colapsar debido a la fuerza centrífuga y requiere grandes Cuadro 2 Masa Inicial de Agujeros Negros para Modelos Rotatorios Diferenciales [M.o]. T/W B0 1% 2% 4% 1010G 70,4 87,3 106,6 1011G 70,4 87,3 106,6 1012G 57,9 75,8 96,6 Cuadro 3 Masa inicial de agujeros negros para modelos de rotación rígida [M.o]. T/W B0 1% 2% 4% 1010G 40,5 75,8 — 1011G 38,6 38,6 — 1012G 15,3 15,1 15,1 0 20 40 60 80 100 120 Coordenada de masa [M B12TW1D B10TW1D Fig. 15. Momento angular específico sobre las conchas en función de la coordenada de masa justo antes Formación BH. La línea sólida y la línea punteada representan los modelos B12TW1D y B10TW1D, respectivamente. cantidad de materia que acrece para colapsar BH, como ya se mencionó en §3.2. A continuación, discutimos los efectos del MHD de las emisiones de neutrinos. La Figura 17 muestra el pico neutrino luminosidades en función de las tasas de rotación iniciales. Se muestra que el los campos hacen que las luminosidades pico más pequeñas, al fijar el grado inicial del diferencial rotación (compare B10D y B12D, y B10R y B12R). Se nota que las estrellas Pop III tener pendiente suave de la densidad antes del colapso del núcleo, de modo que los materiales de la región exterior tienen una gran cantidad de la energía gravitacional total del núcleo de hierro. Por lo tanto, el magnético más fuerte las presiones, que impiden la acreción, hacen que la energía gravitacional liberadora de la materia más pequeña, y por lo tanto, resulta en la supresión de las luminosidades pico. En caso de rigidez la rotación, las fuerzas centrífugas más fuertes en las regiones exteriores, conducen a una supresión más fuerte de la energía gravitacional releasable que en el caso de la rotación diferencial. Como resultado, 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Masa BH [M Fig. 16. Relación entre la masa BH y el momento angular en la formación BH. las luminosidades de pico para los modelos rígidamente giratorios disminuyen más abruptamente con la inicial tasas de rotación que las de los modelos de rotación diferencial (comparar B10R y B10D). 2×1055 4×1055 6×1055 0 1 2 3 4 5 T/W [%] Fig. 17. Efectos de la rotación y de los campos magnéticos sobre la luminosidad máxima de los neutrinos. 4. RESUMEN Y DEBATE Estudiamos el colapso del núcleo magnetorotal de las estrellas Pop III realizando las dos... simulaciones magnetohidrodinámicas dimensionales. Desde las distribuciones de rotación y mag- campos netos en los progenitores de las estrellas Pop III son altamente inciertos, los cambiamos en un de manera paramétrica y sistemáticamente investigó cómo la rotación y los campos magnéticos afectan a la dinámica de las estrellas Pop III. Además, exploramos cómo afectan la rotación y los campos magnéticos la formación de los BHs y las emisiones de neutrinos. En las simulaciones newtonianas actuales, la formación BH se atribuyó a una cierta condición, y después de la formación, el centro la región fue extirpada y tratada como un límite absorbente. En cuanto a la microfísica, tomamos en cuenta el enfriamiento de neutrinos de 6 especies mediante un esquema de fugas con una ecuación realista de Estado. Con estos cálculos, hemos obtenido los siguientes resultados: 1. En el modelo esférico, la contracción gravitacional se detiene por el gradiente de la la presión, no por las fuerzas nucleares como en el caso de las estrellas masivas la composición inicial de la metalicidad solar, porque el progenitor de las estrellas Pop III tiene alta entropía, es decir, temperatura alta inicialmente. Tal temperatura alta también hace diferente características de las emisiones de neutrinos del caso de las estrellas masivas. La luminosidad de Los neutrinos dominan sobre el de los neutrinos electrónicos después del rebote del núcleo. Por lo tanto la energía gravitacional del núcleo es transportada dominantemente por los neutrinos. 2. A medida que las tasas de rotación inicial del núcleo se hacen más grandes, se encuentra que la época de la BH la formación se retrasa más tarde y que las masas iniciales de los BH se hacen más grandes. Fijación de la energía rotacional inicial, las masas BH en la formación se hacen más grandes como el grado de la rotación diferencial se hace más fuerte. Como el grado inicial de la rotación diferencial se hace más grande, el electrón neutrino luminosidad se encuentra para ser más dominante sobre que los neutrinos después del rebote del núcleo, porque los procesos de creación del par de μ y que dependen fuertemente de la temperatura, son más suprimidos. 3. Encontramos que las explosiones en forma de chorro se pueden producir incluso en las estrellas Pop III si el campo es tan grande como 1012G antes del colapso del núcleo. Esta onda de choque tipo jet está completamente Impulsado por magneto. 4. Los choques similares a los chorros en los modelos de campo magnético más fuertes se encuentran ellos mismos para hacer el masa inicial del BH menor. El transporte de impulso angular por campos magnéticos es se encontró a ser un agente importante para hacer la masa inicial de BHs más pequeño porque el el transporte del impulso angular aumenta el colapso de las regiones centrales. As a resultado, se encuentra que las masas iniciales de BH para los modelos más fuertemente magnetizados se encuentran a ser más pequeño al fijar las tasas de rotación inicial. En cuanto al neutrino luminosidades, señalamos que los campos magnéticos más fuertes hacen que las luminosidades pico más pequeños, porque pueden detener el colapso de los materiales. A este respecto, nos referiremos a las limitaciones de este estudio. En primer lugar, imitamos el neutrino transferencia por el sistema de fugas. Aunque el plan es una simplificación radical, hemos comprobado que podríamos reproducir, al menos, las características cualitativas de las luminosidades neutrino. Los la supremacía de la luminosidad de los neutrinos en el colapso esférico de las estrellas Pop III Este estudio es coherente con los estudios anteriores de Fryer et al. (2001) y Nakazato y otros (2006), en el que se emplearon los sistemas de transporte de neutrinos más elaborados. Además, los efectos de la rotación sobre las luminosidades de neutrino emergentes son consistentes con Fryer & Heger (2000), en el que se investigó un modelo del colapso rotacional de las estrellas masivas. En segundo lugar, las simulaciones se hicieron con la aproximación newtoniana y definimos la Formación BH por la órbita marginalmente estable de un Schwarzschild BH. Este tratamiento es totalmente inexacto porque el núcleo gira tan rápidamente que simulaciones relativistas totalmente generales (MHD) con las implementaciones apropiadas de la microfísica son necesarias, sin embargo, todavía son demasiado computacionalmente prohibitivo y más allá de nuestro alcance de este documento. Recordando estas advertencias, este cálculo no es más que una demostración que muestra cómo las combinaciones de rotación y campos magnéticos podrían producir la variedad de la dinámica, y las consecuencias importantes en las propiedades de las emisiones de neutrinos, y estos resultados, por supuesto, deberían ser reexaminados por las simulaciones más sofisticadas. En este estudio, se siguió la dinámica hasta 1 segundo después de la formación de los BHs y vio la ruptura de choque de los núcleos en los modelos fuertemente magnetizados. Pero si nosotros seguir la dinámica en la fase posterior en los modelos magnetizados más débiles, el Se pueden producir flujos de salida impulsados por magneto, debido al envolvimiento de campo a largo plazo y/o desarrollo de la llamada inestabilidad magnetorotal, como se demostró en el estudio de collapsar (véase, por ejemplo, Proga et al. 2003; Fujimoto y otros 2006). Sin embargo, cabe señalar que el fases dinámicas consideradas aquí y las otras son aparentemente diferentes (y por lo tanto son gratuitos). En estos últimos estudios, los BH centrales con un disco de soporte rotacional alrededor se tratan como una condición inicial para los cálculos. Nuestras simulaciones de colapso de núcleo presentado aquí mostró que la región exterior gira muy lentamente que el Keplerian y La mayoría de ellos se derrumba directamente a BH. Así la amplificación del campo magnético en los discos, que necesita una rotación rápida, podría no ser tan eficiente como se ha demostrado anteriormente. Para aclararlo, Ahora nos estamos preparando para las simulaciones a largo plazo, en las que los estados finales obtenidos aquí son tomado como una condición inicial. Luego discutimos la validez de la fuerza inicial de los campos magnéticos asumidos en este estudiar. Para el propósito, estimamos la fuerza del campo magnético justo antes del colapso con Eq. (13) de Maki & Susa (2004), en la que la historia térmica de las nubes primordiales colapsando se calculó con el fin de investigar el acoplamiento del campo magnético con el Gas. Por ejemplo, Bini........................................................................................................................ −7 G y nH,ini+10 3 cm−3, que son los valores empleados, plomo B + 1011 G si el flujo magnético se conserva durante la contracción y las nubes colapsan a 106 g cm−3. Aunque los parámetros arriba elegidos son ligeramente optimistas, los campos magnéticos Asumido en este estudio puede no ser tan poco realista. Señalamos que la energía total de neutrinos emitida por los modelos de rotación aumenta varias veces que el del modelo de colapso esférico. Sin embargo, la detección de neutrinos como los fondos difusivos podría ser difícil porque las estrellas Pop III son demasiado distante (véase Iocco et al. 2005). Alternativamente, la detección de ondas gravitacionales de Pop III estrellas como los fondos parecen más probables (Buonanno et al. 2005; Sandick et al. 2006 por el Comité Económico y Social Actualmente se están planificando interferómetros láser aerotransportados como LISA2, DECIGO (Seto et al. 2001) y BBO (Ungarelli et al. 2005), y necesita más investigación. Encontramos que las estrellas Pop III son capaces de producir explosiones a chorro con eyecciones de masa cuando los núcleos centrales están fuertemente magnetizados. Esto puede ser importante con respecto a su relevancia para la nucleosíntesis en tales objetos (Ohkubo et al. 2006). Esto también es interesante. tema a investigar como secuela de este artículo. 2 http://lisa.jpl.nasa.gov Este estudio fue apoyado en parte por la Sociedad Japonesa para la Promoción de la Ciencia (JSPS) Becas de investigación (T.T.), Subvenciones para la investigación científica del Ministerio de Educación, Ciencia y Cultura del Japón (No.S14102004, No. 14079202, No. 184044). Los cálculos numéricos se realizaron en parte en VPP5000 en el Centro de Astrofísica Computacional, CfCA, del Observatorio Astronómico Nacional de Japón. Bibliografía Abel, T., Bryan, G. L., & Norman, M. L. 2002, Science, 295, 93 Akiyama, S., Wheeler, J. C., Meier, D. L., & Lichtenstadt, I. 2003, ApJ, 584, 954 Ando, S. & Sato, K. 2004, New Journal of Physics, 6, 170 Ardeljan, N. V., Bisnovatyi-Kogan, G. S., & Moiseenko, S. G. 2005, MNRAS, 359, 333 Barkana, R. & Loeb, A. 2001, Phys. Rep., 349, 125 Blandford, R. D., & Payne, D. G. 1982, MNRAS, 199, 883 Bond, J. R., Arnett, W. D., & Carr, B. J. 1984, ApJ, 280, 825 Bromm, V., Coppi, P. S., & Larson, R. B. 2002, ApJ, 564, 23 Bromm, V. & Larson, R. B. 2004, ARA&A, 42, 79 Bromm, V. & Loeb, A. 2006, ApJ, 642, 382 Buonanno, A., Sigl, G., Raffelt, G. G., Janka, H.-T., & Müller, E. 2005, Phys. Rev. D, 72, 084001 Christlieb, N., et al. 2002, Nature, 419, 904 Daigne, F., Olive, K. A., Vangioni, E., Silk, J., & Audouze, J. 2004, ApJ, 617, 693 Frebel, A., et al. 2005, Nature, 434, 871 Fryer, C. L. & Heger, A. 2000, ApJ, 541, 1033 Fryer, C. L., Woosley, S. E., & Heger, A. 2001, ApJ, 550, 372 Fujimoto, S.-i., Kotake, K., Yamada, S., Hashimoto, M.-a., & Sato, K. 2006, ApJ, 644, 1040 Glover, S. 2005, Space Sci. Rev., 117, 445 Heger, A., Fryer, C. L., Woosley, S. E., Langer, N., & Hartmann, D. H. 2003, ApJ, 591, 288 Heger, A. & Woosley, S. E. 2002, ApJ, 567, 532 Iocco, F., Mangano, G., Miele, G., Raffelt, G. G., & Serpico, P. D. 2005, Astroparticle Physics, 23, Itoh, N., Adachi, T., Nakagawa, M., Kohyama, Y., & Munakata, H. 1989, ApJ, 339, 354 Iwamoto, N., Umeda, H., Tominaga, N., Nomoto, K., & Maeda, K. 2005, Science, 309, 451 Kotake, K., Sato, K., & Takahashi, K. 2006, Rep. Prog. Phys., 69, 971 Kotake, K., Sawai, H., Yamada, S., & Sato, K. 2004a, ApJ, 608, 391 Kotake, K., Yamada, S., & Sato, K. 2003, Phys. Rev. D, 68, 044023 Kotake, K., Yamada, S., Sato, K., Sumiyoshi, K., Ono, H., & Suzuki, H. 2004b, Phys. Rev. D, 69, 124004 LeBlanc, J. M. & Wilson, J. R. 1970, ApJ, 161, 541 Maki, H. & Susa, H. 2004, ApJ, 609, 467 Nakamura, F. & Umemura, M. 2001, ApJ, 548, 19 Nakazato, K., Sumiyoshi, K., & Yamada, S. 2006, ApJ, 645, 519 Obergaulinger, M., Aloy, M. A., & Müller, E. 2006, A&A, 450, 1107 Ohkubo, T., Umeda, H., Maeda, K., Nomoto, K., Suzuki, T., Tsuruta, S., & Rees, M. J. 2006, ApJ, 645, 1352 Proga, D., MacFadyen, A. I., Armitage, P. J., & Begelman, M. C. 2003, ApJL, 599, L5 Sandick, P., Olive, K. A., Daigne, F., & Vangioni, E. 2006, Phys. Rev. D, 73, 104024 Sawai, H., Kotake, K., & Yamada, S. 2005, ApJ, 631, 446 Scannapieco, E., Madau, P., Woosley, S., Heger, A., & Ferrara, A. 2005, ApJ, 633, 1031 Schneider, R., Guetta, D., & Ferrara, A. 2002, MNRAS, 334; 173 Seto, N., Kawamura, S., & Nakamura, T. 2001, Phys. Rev. Lett., 87, 221103 Shen, H., Toki, H., Oyamatsu, K., & Sumiyoshi, K. 1998, Nucl. Phys. A, 637, 435 Stone, J. M. & Norman, M. L. 1992, ApJS, 80, 753 Takiwaki, T., Kotake, K., Nagataki, S., & Sato, K. 2004, ApJ, 616, 1086 Takiwaki, T., Kotake, K., Yamada, S., & Sato, K. 2007, en preparación Umeda, H. & Nomoto, K. 2002, ApJ, 565, 385 —. 2003, Nature, 422, 871 Ungarelli, C., Corasaniti, P., Mercer, R., & Vecchio, A. 2005, Class. Quant. Grav., 22, S955 Weinmann, S. M. & Lilly, S. J. 2005, ApJ, 624, 526 Yamada, S. & Sawai, H. 2004, ApJ, 608, 907

Hyperfine Quenching of the $4s4p ^{3}P_{0}$ Level in Zn-like Ions

EPJ manuscrito No. (se insertará por el editor) Aislamiento hiperfino del nivel 4s4p 3P0 en iones tipo Zn J. P. Marques1, F. Parente2 y P. Indelicato3 1 Centro de Física Atómica e Departamento Fósica, Facultad de Ciencias, Universidade de Lisboa, Campo Grande, Ed. C8, 1749-016 Lisboa, Portugal, correo electrónico: jmmarques@fc.ul.pt 2 Centro de Física Atómica da Universidade de Lisboa e Departamento Fósica da Facultad de Ciencias y Tecnología da Universidade Nova de Lisboa, Monte da Caparica, 2825-114 Caparica, Portugal, correo electrónico: facp@fct.unl.pt 3 Laboratoire Kastler Brossel, École Normale Supérieure; CNRS; Université P. et M. Curie - Paris 6 Caso 74; 4, lugar Jussieu, 75252 París CEDEX 05, Francia, correo electrónico: paul.indelicato@spectro.jussieu.fr Recibido: 24 de octubre de 2018/ Versión revisada: fecha Resumen. En este artículo, utilizamos el método de multiconfiguración Dirac-Fock para calcular con alta precisión la influencia de la interacción hiperfina en la vida útil del nivel [Ar]3d104s4p 3P0 en iones similares a Zn para la estabilidad y algunos isótopos cuasi estables de giro nuclear distinto de cero entre Z = 30 y Z = 92. La influencia de esto interacción con el [Ar]3d104s4p 3P1 − [Ar]3d 104s4p 3P0 energía de separación también se calcula para el mismo iones. PACS. 31.30.Gs – 31.30.Jv – 32.70.Cs 1 Introducción Se ha encontrado antes que la interacción hiperfina desempeña un papel fundamental en la vida y la energía sep- araciones del 3P0 y Niveles 3P1 de las configuraciones 1s2p en semejante a Él [1,2,3,4,5,6,7,8,9], [He]2s2p en semejante a Él [10, 11,12], y [Ne]3s3p en Mg-como [11,13] iones, y también en 3d4J = 4 nivel en los iones tipo Ti [14]. En los iones parecidos a He, en la región Z 45, estos dos lev- els pasan por un cruce de nivel [15] y son casi degenerados debido a la interacción magnética electrón-electrón, que lleva a una fuerte influencia de la interacción hiperfina en la división de energía y en la vida útil de 3P0 para los isótopos con un giro nuclear distinto de cero. En Be-like, Mg-like y Zn-like iones un cruce a nivel de la 3P0 y Los niveles de 3P1 no han sido se encuentra [16], pero la interacción hiperfina todavía tiene fuerte influ- en la vida útil del nivel metaestable 3P0 y en el división de energía, para isótopos con giro nuclear no nulo. Hasta hace poco, las mediciones de laboratorio de los mes atómicos... Se han realizado estados de saturación de hiperfinas solo para sistemas similares a He, para Z = 28 a Z = 79 [3,4,5,8, 17,18,19,20]. Líneas de transición inducidas por hiperfino en Be-like se han encontrado sistemas en la nebulosa planetaria NGC3918 [12]. Los valores medidos de las probabilidades de transición fueron encontrados para estar de acuerdo con los valores calculados [11,21]. Los átomos divalentes están siendo investigados, ambos teoreti- cally y experimentalmente, con el fin de investigar la possi- ble uso del estado metaestable 3P0 apagado por hiperfina para relojes ópticos ultraprecisos y experimentos de captura [22]. Últimamente, coeficientes de recombinación dielectrónica se midieron para tres isótopos de Zn-como Pt48+ en el Enviar solicitudes de impresión a: J. P. Marques Anillo de almacenamiento de iones pesados de Heidelberg TSR [23]. Era sug... ingerido que el apagado hiperfino del 4s4p 3P0 en isótopos con un giro nuclear distinto de cero podría explicar las diferencias detectada en los espectros observados. En este artículo ampliamos nuestros cálculos anteriores [2, 10,13] a la influencia de la interacción hiperfina en el Niveles de 1s22s22p63s23p63d104s4p en iones similares a Zn. In Fig. 1 mostramos el esquema de nivel de energía, no a escala, de estos iones. El nivel 3P0 es un nivel metaestable; uno- transiciones de fotones de este nivel al estado del suelo son prohibido, y las transiciones multifotón se han encontrado a ser insignificante en sistemas similares, por lo que el mismo comportamiento puede se espera para los iones similares a Zn. Por lo tanto, en la primera aproxima- la vida de este nivel como infinito. La separación de energía entre el 4 3P0 y 4 3P1 lev- Els es pequeño para los valores Z alrededor del átomo Zn neutro y aumenta muy rápidamente con Z. La interacción hiperfina es ex- para tener una fuerte influencia en la división de energía y en la vida útil de 4 3P0 para isótopos con no cero nuclear Gira. Los diferentes pasos de este cálculo se describen en Refs. [2,24]. Aquí sólo enfatizaremos lo fundamental. temas de la teoría y las características de Zn- como sistemas. En este trabajo hemos utilizado la multi-configuración Dirac- Código Fock de Desclaux e Indelicato [25,26,27] comieron, completamente ab initio las energías de estructura fina 4s4p y las probabilidades de transición. Varios términos, como el no relativista (J indepen- la contribución a la correlación, son iguales para todos niveles. En este cálculo se incluye la interacción Breit, como así como correcciones radiativas, utilizando el método descrito, http://arxiv.org/abs/0704.1946v1 2 J. P. Marques y otros: Hyperfine Quenching del nivel 4s4p 3P0 en iones tipo Zn Fig. 1. Nivel de energía y esquema de transición para iones similares a Zn (no a escala). por ejemplo, en Ref. [28] y referencias en él. El MCDF El método, en principio, permite realizar cálculos precisos: puede incluir la mayor parte de la correlación relativamente eas- ily, es decir, con un pequeño número de configuraciones. Aquí, cor- relación es importante en la determinación de la transición energía al estado de la tierra, que se utilizan en el calcu- la relación de las probabilidades de transición. Encontramos que el más grande efecto se obtiene utilizando [Ar]3d104s2 y 4p2 la figuración establecida para el estado del suelo. Para los estados excitados incluimos todas las funciones de estado de configuración (CSF) orig- nated de [Ar]3d104s4p, 4p4d, y 4d4f (que es generalmente definido como correlación intrashell), porque en segundo orden la teoría de la perturbación la diferencia de energía dominante de- Los nominadores corresponden a estas configuraciones. Correla... ión originada por la interacción con el núcleo Ar-como tiene ha sido descuidado. En particular incluimos, en una prueba de cal- culación, spin-polarización de las subconchas y encontró un influencia insignificante en las energías y la transición proba- bilidades. Observamos que la fina estructura de separación de energía, E0;fs = E3P1 −E3P0, que es el parámetro importante en el cálculo de la atenuación hiperfina, no es muy sensible a la correlación, similar a lo que encontramos para sys- tems con menor número de electrones [10,13]. Lo mismo se han utilizado para la energía, la transición proba- bilidades, y para el cálculo de la matriz hiperfina elementos. Todos los cálculos de energía se hacen en el medidor de Coulomb para la parte retardada de la interacción electrón-electrón, para evitar contribuciones espurias (véase, por ejemplo, Refs. [29, 31]). Los cálculos de por vida se hacen usando exactos fórmulas relativistas. El medidor de longitud se ha utilizado para todas las probabilidades de transición. 2 Cálculo relativista de la hiperfina contribución a la fina división de la estructura y a probabilidades de transición En el caso de un núcleo con giro no cero, el hiperfino la interacción entre el núcleo y los electrones debe ser Teniendo en cuenta. El corresponsal Hamiltonian puede estar escrito como Hhfs = k) ·T(k), (1) donde M(k) y T(k) son tensores esféricos de rango k, rep- resentidos, respectivamente, las partes nuclear y atómica de la interacción. Como en el caso de Él-como, Ser-como y Mg-como iones, la única contribución considerable de Eq. 1).......................................................................................................................................................... es el término dipolo magnético (k = 1). La hiperfina inter- acción mezcla estados con los mismos valores de F = J + I. In nuestro caso, estamos interesados en el nivel 3P0, por lo que J = 0 y F = I. La contribución de esta interacción para el total energía ha sido evaluada a través de la diagonalización de la matriz: Htot = +0 W0,0 W0,1 W0,2 W1,0 E1 + +W1,1 +W1,1 W1,2 W2,0 W2,1 E2 + i+2 +W2,2 Aquí, Ef es la energía de nivel no perturbado y el ancho radiativo del nivel no perturbado (f = 0, 1, 2 soportes, respectivamente, para 3P0, 3 P1, 1 P1). En realidad hay un cuarto nivel, 3P2, que incluimos en todos los cálculos pero fue encontrado innecesario, porque la influencia de este nivel en la vida útil de 3P0 es insignificante. Esto puede ser ex- allanado por la gran separación de energía entre el 3P2 y 3P0 niveles y también porque la probabilidad de la transición permitida M2 4s4p 3P2 → 4s 2 1S0 es muchos o- de magnitud inferior a las de las transiciones E1 4s4p 3P1 → 4s 2 1S0 y 4s4p 1P1 → 4s 2 1S0. Además, el elemento magnético de matriz hiperfina dipolo entre el 3P2 y los niveles de 3P0 son muy pequeños. Esto también lleva a un negligi- ble influencia del nivel 3P2 en el 3P1 − 3 P0 separación energía. Esto es consistente con los resultados de Plante e John- hijo [32], que encontró que el término magnético cuádruple de la interacción hiperfina afecta el nivel de 3P2 sólo a niveles altos Z. La influencia del nivel 1P1, sin embargo, debe ser tomada en cuenta, especialmente para los núcleos de luz, porque los grandes separación de energía entre 1P1 y Los niveles de 3P0 son compen- sated por la vida útil mucho más corta del nivel 1P1. Los J. P. Marques y otros: Hyperfine Quenching del nivel 4s4p 3P0 en iones tipo Zn 3 elemento de matriz hiperfina Wf,f ′ = Wf ′,f = [Ar] 3d 104s4p f Hhfs[Ar] 3d 104s4p f puede ser escrito como WJ1,J2 = I, J1, F, MF M (1)·T(1)I, J2, F, MF, (3) donde yo es el giro nuclear y F el total angular mo- mento del átomo, y puede ser puesto en la forma: WJ1,J2 = (−1) I+J1+F I J1 F J2 I 1 × IM(1)IJ1T (1) . 4) El símbolo 6j lleva a W0,0 = 0. También el mag... momento neto μI en unidades del magnetón nuclear μN puede ser definido por μIμN = IM (1) I 1 I −I 0 I , (5) con μN = eh/2γmpc. Los elementos de la matriz electrónica se evaluaron sobre la base establecida 3P0, 3P1®, 1P1+ con toda la correlación intrashell incluido. El resultado final se obtiene por una diagonalización de la matriz 3×3 en Eq. (2), la parte real de cada eigen- valor de ser la energía del nivel corresponsal y el parte imaginaria su vida. 3 Resultados y discusión El método MCDF se ha utilizado para evaluar la ence de la interacción hiperfina en el [Ar]3d104s4p 3P0, 3P1 y Niveles de 1P1 para todos los valores de Z entre 30 y 92 y para todos los isótopos estables y algunos cuasiestables de no cero Giro nuclear. Las contribuciones de otros niveles han sido: Se encontró que era insignificante. Lista detallada de las contribuciones al 3P0 teórico, 3P1 y Las energías de nivel 1P1 son presentado en el cuadro 1, para Z = 36, 54 y 82. En la Tabla 2 presentamos, para todos los valores posibles de la giro nuclear I, Z, y la masa número A, la diagonal y fuera de la matriz diagonal hiperfina elementos Wi, j, y el momento magnético nuclear, μI [37], en magnetón nuclear unidades. Los índices 0, 1 y 2 en la matriz hiperfina los elementos representan 3P0, 3P1, y 1P1, respectivamente. En la Tabla 3 se presentan todos los valores posibles de I, Z, y A, las energías de separación no perturbadas.E0 = E3P1− E3P0, la energía de separación hiperfina afectada 4s4p 3P1 y 4s4p Valores de vida de los niveles 1P1, 1 y 2, respectivamente, que no se ven afectados, dentro de la precisión muestra, por la interacción hiperfina, y finalmente la per- vida útil turbada 0 de los 4s4p Nivel 3P0. Como hemos señalado antes, se supone que el valor inperturbado de infinito. In Fig. 2 es trazada la diferencia E = Ehf E0 como una función de Z para los diferentes valores posibles de la energía nuclear Gira. La influencia de la interacción hiperfina en esto la energía se muestra aumentar lentamente con Z, el aumento cada vez más rápido para Z'60. In Fig. 3 se traza el nivel de vida perturbado 4s4p 3P0 tiempo 0, para los diferentes valores de giro nuclear I, como func- ión de Z. Uno puede fácilmente concluir que la apertura de un nuevo canal para el decaimiento del nivel 4s4p 3P0 tiene un efecto dramático en su vida. Después de presentar este documento, fue llevado a nuestra... mento de Liu et al [38], que contiene inde- cálculos pendent de la vida útil apagada hiperfina de el nivel 3P0 en varios iones similares a Zn. Nuestros resultados para esto vida útil son tres veces más altos que los valores encontrados por Liu et al para Z = 30 y 1,5 más alto en Z = 47. Para buscar el origen de esta discrepancia se utilizó el 3P1 → 1 S0 y 1P1 → 1 S0 energías de transición y probabilidades de Liu et al diagonalizar la matriz en eq. 2 y los resultados obtenidos muy cerca de nuestros propios cálculos. Como no sabemos el valores de los elementos de matriz hiperfina calculados por Liu et al., las razones de esta discrepancia siguen siendo desconocidas. Una de las implicaciones prácticas más interesantes de estos cálculos provienen de la relación entre el 4s4p 3P0 − 4s4p 3P1 niveles de separación de energía y el 4s4p 3P0 vida útil (Eq. 2). Como se menciona en [13] este la separación de energía se puede estimar a partir de una medición de la vida útil de 4s4p 3P0 de iones similares a Zn con giro nuclear I 6= 0. Este método ha sido un demonio... estratificado para el tipo de helio Ni26+ [4], Ag45+ [3], Gd62+ [17] y Au77+ [8]. En el caso de los iones similares a Zn, como en el caso de los ing Se-como y Mg-como iones, las situaciones son diferentes, ser- causa, incluso para los valores Z más altos, las vidas involucradas son mucho más largos que en iones helio pesados. Sin embargo, mediciones de las tasas de transición apagadas de Be-como hiperfina se han realizado a partir de fuentes astrofísicas [12] y el apagado hiperfino del ión Zn-como 195Pt48+ fue observado en el anillo de almacenamiento de iones pesados TSR [23]. El progreso continuo en los anillos de almacenamiento, fuentes de iones y trampas de iones nos lleva a creer que las vidas entre 0,1 s y 10 μs pueden ser medidos, con cierta precisión, al mirar directamente a la luz emitida por los iones como un función del tiempo, después de que la trampa se ha cargado. Muy bien. El vacío dentro de la trampa es necesario, por supuesto, si la vida larga- los tiempos deben ser medidos. Queda por demostrar que este método es experimentalmente factible. Tal experiencia... En el caso de los diferentes isótopos, la separación de energía inalterada, debido a la energía magnética nuclear los momentos son bien conocidos. Esto sería interesante. manera de probar nuestros cálculos relativistas. Agradecimientos Esta investigación contó con el apoyo parcial de los proyectos FCT POCTI/FAT/50356/2002 y POCTI/0303/2003 (Portu- gal), financiado por el Fondo de la Comunidad Europea FEDER, y por la colaboración franco-portuguesa (PESSOAPro- gram, contrato no 10721NF). Laboratoire Kastler Brossel es Unité Mixte de Recherche du CNRS no C8552. 4 J. P. Marques y otros: Hyperfine Quenching del nivel 4s4p 3P0 en iones tipo Zn Bibliografía 1. P. J. Mohr, en Beam Foil Spectroscopy, I. Sellin y Pegg Eds. Vol. I, 97 (1976) 2. P. Indelicato, F. Parente, y R. Marrus, Phys. Rev. A, 40, 3505 (1989) 3. R. Marrus, A. Simionovici, P. Indelicato, P. Dietrich, P. Charles, J. P. Briand, K. Finlayson, F. Bosh, P. Liesen, y F. Parente, Phys. Rev. Lett. 63, 502 (1989) 4. R.W. Dunford, C.J. Liu, J. Por último, N. Berrah-Mansour, R. Vondrasek, D.A. Church y L.J. Curtis, Phys. Rev. A 44, 764 (1991) 5. A. Simionovici, B. B. Birkett, J. P. Briand, P. Charles, D. D. Dietrich, K. Finlayson, P. Indelicato, P. Liesen y R. Marrus, Phys. Rev. A 48, 1965 (1993) 6. A. Aboussd, M. R. Godefroid, P. Jönsson, y C. Froese Fischer, Phys. Rev. A 51, 2031 (1995) 7. A. V. Volotka, V. M. Shabaev, G. Plunien, G. Soff, V. A. Yerokhin, Can. J. Phys. 80, 1263 (2002) 8. S. Toleikis, B. Manil, E. Berdermann, H. F. Beyer, F. Bosch, M. Czanta, R. W. Dunford, A. Gumberidze, P. In- delicato, C. Kozhuharov, D. Liesen, X. Ma, R. Marrus, P. H. Mokler, D. Schneider, A. Simionovici, Z. Stachura, T. Stöhlker, A. Warczak, Y. Zou, Phys. Rev. A 69, 022507 (2004) 9. W. R. Johnson, K. T. Cheng, D. R. Plante, Phys. Rev. A 55, 2728 (1997) 10. J. P. Marques, F. Parente y P. Indelicato, Phys. Rev. A 47, 929 (1993) 11. T. Brage, P. G. Judge, A. Aboussaid, M. Godefroid, P. Jöhnson, A. Ynnerman, C. F. Fischer, y D. S. Leckrone, Astrofias. J. 500, 507 (1998) 12. T. Brage, P. G. Judge, y C. R. Proffitt, Phys. Rev. Lett. 89, 0281101 (2002) 13. J. P. Marques, F. Parente y P. Indelicato, ADNDT, 55, 157 (1993) 14. F. Parente, J. P. Marques y P. Indelicato, Europhys. Lett. 26, 437 (1994) 15. W. R. Johnson y C. D. Lin, Phys. Rev. A 14, 565 (1976) 16. J. P. Marques, Ph.D. Tesis presentada a la Universidad de Lisboa, sin publicar (1994) 17. P. Indelicato, B. B. Birkett, J. P. Briand, P. Charles, D. D. Dietrich, R. Marrus, y A. Simionovici, Phys. Rev. Lett. 68, 1307 (1992) 18. R. W. Dunford, H. G. Berry, D. A. Church, M. Hass, C. J. Liu, M. Raphaelian, B. J. Zabransky, L. J. Curtis, A. E. Livingston, Phys. Rev. A 48 2729 (1993) 19. B. B. Birkett, J. P. Briand, P. Charles, D. D. Dietrich, K. Finlayson, P. Indelicato, D. Liesen, R. Marrus, A. Simionovici, Phys. Rev. A 47 R2454 (1993) 20. A. Simionovici, B. B. Birkett, R. Marrus, P. Charles, P. Indelicato, D.D. Dietrich, K. Finlayson, Phys. Rev. A 49 3553 (1994) 21. J. P. Marques, F. Parente y P. Indelicato, Resumen de XXIV Reunión de la Real Sociedad Española de Fsica, Vol. 1, 228 (2003) 22. S. G. Porsev y A. Derevianko, Phys. Rev. A 69, 042506 (2004) 23. S. Schippers, G. Gwinner, C. Brandau, S. Böhm, M. Grieser, S. Kieslich, H. Knopp, A Müller, R. Repnow, D Schwalm, y A. Wolf, Nucl. Instrum. Meth. B 235, 265 (2005) 24. K. T. Cheng y W. J. Childs, Phys. Rev. A 31, 2775 (1985) 25. J. P. Desclaux, en Métodos y Técnicas en Computa- (STEF, Cagliary, 1993), Vol. A 26. P. Indelicato, Phys. Rev. Lett 77, 3323 (1996) 27. MCDFGME, un Dirac Fock multiconfigurado y el programa General Matrix Elements, 2006)”, escrito por J. P. Desclaux y P. Indelicato (http://dirac.espectro.jussieu.fr/mcdf) 28. J. P. Santos, G. C. Rodrigues, J. P. Marques, F. Parente, J. P. Desclaux, y P. Indelicato, Eur. Phys. J. D 37, 201 (2006) 29. O. Gorceix y P. Indelicato, Phys. Rev. A 37, 1087 (1988) 30. E. Lindroth y A.-M. Martensson-Pendrill, Phys. Rev. A 39, 3794 (1989) 31. I. Lindgren, J. Phys. B 23, 1085 (1990) 32. W. R. Johnson, K. T. Cheng, D. R. Plante, Phys. Rev. A 55, 2728 (1997) 33. V. A. Yerokhin, P. Indelicato, V. M. Shabaev, Eur. Phys. J. D 25, 203 (2003) 34. V. A. Yerokhin, P. Indelicato, V. M. Shabaev, Phys. Rev. A 71, 40101 (2005) 35. V. A. Yerokhin, P. Indelicato, V. M. Shabaev, J. Exp. Teo. Phys 101, 280 (2005) 36. P. Mohr, B. N. Taylor, Rev. Mod. Phys 77 1 (2005) 37. P. Raghavan, At. Data Nucl. Cuadros de datos 42, 189 (1989) 38. Y. Liu, R. Hutton, Y. Zou, M. Andersson, T. Brage, J. Phys. B 39 3147 (2006) http://dirac.espectro.jussieu.fr/mcdf J. P. Marques y otros: Hyperfine Quenching del nivel 4s4p 3P0 en iones tipo Zn 5 Cuadro 1 Contribución a la energía del 4s4p3P0, 3 P1 y Niveles de 1P1 (en eV). Z = 36 Coulomb† −75616,613 −75616,265 −75609,264 Magnético† 42,785 42,779 42,765 Retardo (orden de 2)† −4,095 −4,095 −4,094 Retardo (≥ 2) −0,197 −0,197 −0,197 Autoenergía (SE) 31,358 31,363 31,366 Exámenes de autoenergía −2,735 −2,740 −2,743 VP [ α(Zα)]corrección a interacción e-e 0,033 0,033 0,033 Polarización por vacío α(Zα)3 + α2(Zα) 0,010 0,010 0,010 Segundo pedido (SE-SE + SE-VP + S-VP-E)‡ −0,031 −0,031 −0,031 Recaudación −0,003 −0,003 −0,003 Reflujo relativista* 0,009 0,009 0,009 Energía total −75549,478 −75549,737 −75542,148 Z = 54 Coulomb† −195348.063 −195344.974 −195317.667 Magnético† 171.169 171.142 170.943 Retardo (orden de 2)† −17.418 −17.418 −17.417 Retardo (≥ 2) −1,711 −1,713 −1,731 Autoenergía (SE) 127,610 127,615 127,669 Exámenes de autoenergía −9.166 −9.170 −9.205 VP [ α(Zα)]corrección a interacción e-el 0.124 0.124 0.124 Polarización por vacío α(Zα)3 + α2(Zα) 0,242 0,242 Segundo orden (SE-SE + SE-VP + S-VP-E)‡ −0,253 −0,253 −0,253 Recolección −0,012 −0,012 −0,012 Recoil relativista 0,042 0,042 0,042 Energía total -195077.437 -195074.376 -195047.265 Z = 82 Coulomb† −513070.812 −513061.827 −512876.005 Magnético† 710.586 710.511 708.897 Retardo (orden de 2)† −72.655 −72.654 −72.655 Retardo (> ­2) −14.666 −14.668 −14.965 Autoenergía (SE) 600.177 600.173 600.249 Exámenes de autoenergía −38.198 −38.203 −38.200 VP [ α(Zα)]corrección a interacción e-e 0,572 0,572 0,570 Polarización por vacío α(Zα)3 + α2(Zα) 4.192 4.192 4.189 Segundo pedido (SE-SE + SE-VP + S-VP-E)‡ −2.975 −2.975 −2.974 Recolección −0,051 −0,051 −0,051 Reflujo relativista > 0,191 0,191 0,191 Energía total −511883.638 −511874.738 −511690.755 † Contiene la contribución potencial de Uheling a todo el orden y toda la interacción Breit orden. ‡ Calculado utilizando los resultados de Ref. [33,34,35]. • Las fórmulas y definiciones utilizadas para evaluar este término son el Apéndice A de Ref. [36] 6 J. P. Marques y otros: Hyperfine Quenching del nivel 4s4p 3P0 en iones tipo Zn - 0,005 0,005 0,015 0,025 25 35 45 55 65 75 85 95 I=1/2 I=3/2 I=5/2 I=7/2 I=9/2 Fig. 2. Influencia de la interacción hiperfina en el 4s4p 3P1 − 3P0 separación de energía, en función del giro nuclear I y el número atómico Z. La cantidad E = Ehf E0 es la contribución de la interacción hiperfina a la estructura fina Dividir E0. Los símbolos representan valores para los diferentes giros nucleares; algunos elementos tienen varios isótopos con idénticos giros pero diferentes valores de μI. 1.E-06 1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 25 35 45 55 65 75 85 95 I=1/2 I=3/2 I=5/2 I=7/2 I=9/2 Fig. 3. Influencia de la interacción hiperfina en la vida útil del nivel 4s4p 3P0, en función del giro nuclear I y el Número atómico Z. La vida inalterada es, a una muy buena aproximación, infinita. J. P. Marques y otros: Hyperfine Quenching del nivel 4s4p 3P0 en iones tipo Zn 7 Cuadro 2 Elementos de matriz hiperfina Wi,j en eV. Los índices 0, 1 y 2 representan 3P1, y 1P1 respectivamente. Yo soy el giro nuclear y μ el momento magnético nuclear en unidades de magnetón nuclear. I Z A W1,1 W2,2 W0,1 W0,2 W1,2 μI 1/2 34 77 −3.312×10−05 −3.245×10−06 −2.382×10−05 1.708×10−05 3.268×10−05 0,535042 39 89 2.697×10−05 4.139×10−07 1.670×10−05 −1.055×10−05 −2.199×10−05 −0.137415 45 103 4.648×10−05 −4.491×10−06 2.564×10−05 −1.321×10−05 −2.923×10−05 −0.0884 47 107 7,878×10−05 −1.013×10−05 4.218×10−05 −2.011×10−05 −4,507×10−05 −0.11368 47 109 9,057×10−05 −1,164×10−05 4,849×10−05 −2,311×10−05 −5,182×10−05 −0,130691 48 111 4.696×10−04 −6.718×10−05 2.480×10−04 −1,136×10−04 −2,560×10−04 −0,594886 48 113 4,912×10−04 −7,027×10−05 2,594×10−04 −1,188×10−04 −2,678×10−04 −0,622301 50 115 9.289×10−04 −1.573×10−04 4.788×10−04 −2.018×10−04 −4,591×10−04 −0.91883 50 117 1,012×10−03 −1,714×10−04 5,216×10−04 −2,199×10−04 −5,002×10−04 −1,0104 50 119 1,059×10−03 −1,793×10−04 5,457×10−04 −2,301×10−04 −5,233×10−04 −1,04728 52 123 9,385×10−04 −1,801×10−04 4,734×10−04 −1,834×10−04 −4,199×10−04 −0,736948 52 125 1,132×10−03 −2.172×10−04 5.708×10−04 −2.212×10−04 −5.063×10−04 −0.888505 54 129 1,232×10−03 −2,602×10−04 6,102×10−04 −2,170×10−04 −4,984×10−04 −0,777976 69 169 1,391×10−03 −3.983×10−04 6.364×10−04 −1.217×10−04 −2,710×10−04 −0.231 70 171 −3.210×10−03 9.272×10−04 −1.463×10−03 2.694×10−04 5.974×10−04 0.49367 74 183 −1.035×10−03 3.081×10−04 −4,659×10−04 7.391×10−05 1.610×10−04 0.117785 76 187 −6,581×10−04 1,982×10−04 −2,942×10−04 4,344×10−05 9,378×10−05 0,064652 78 195 −7,176×10−03 2,186×10−03 −3,189×10−03 4,387×10−04 9,383×10−04 0,60952 80 199 −6,867×10−03 2.112×10−03 −3.030×10−03 3.892×10−04 8.250×10−04 0.505885 81 203 −2.364×10−02 7.305×10−03 −1.040×10−02 1.290×10−03 2.724×10−03 1.622258 81 205 −2.387×10−02 7.377×10−03 −1.050×10−02 1.303×10−03 2.751×10−03 1.638215 82 207 −9,267×10−03 2,876×10−03 −4,060×10−03 4,873×10−04 1,024×10−03 0,592583 3/2 31 69 −1.363×10−05 −1.123×10−06 −2.652×10−05 2.024×10−05 1.535×10−05 2.01659 31 71 −1,732×10−05 −1,427×10−06 −3,370×10−05 2,572×10−05 1,950×10−05 2,56227 33 75 −2,179×10−05 −2,286×10−06 −3,670×10−05 2,687×10−05 2,235×10−05 1,43948 35 79 −5,715×10−05 −4,904×10−06 −8,849×10−05 6,206×10−05 5,431×10−05 2,1064 35 81 −6,161×10−05 −5,286×10−06 −9,538×10−05 6,690×10−05 5,855×10−05 2,270562 37 87 −1,198×10−04 −6,370×10−06 −1,745×10−04 1,165×10−04 1,056×10−04 2,75131 54 131 −3,649×10−04 7,708×10−05 −4,042×10−04 1,438×10−04 1,477×10−04 0,6915 56 135 −5,429×10−04 1,235×10−04 −5,920×10−04 1,932×10−04 1,987×10−04 0,837953 56 137 −6.073×10−04 1.382×10−04 −6,622×10−04 2.161×10−04 2.222×10−04 0.937365 64 155 3,449×10−04 −9,328×10−05 3,595×10−04 −8,381×10−05 −8,504×10−05 −0,2572 64 157 4,556×10−04 −1.232×10−04 4,750×10−04 −1,107×10−04 −1,123×10−04 −0,3398 65 159 −2.936×10−03 8.052×10−04 −3.049×10−03 6.825×10−04 6.901×10−04 2.014 76 189 −2,239×10−03 6,745×10−04 −2,238×10−03 3,305×10−04 3,191×10−04 0,659933 77 191 −5.500×10−04 1.666×10−04 −5,481×10−04 7,811×10−05 7,506×10−05 0,1507 77 193 −5,974×10−04 1,810×10−04 −5,954×10−04 8,484×10−05 8,154×10−05 0,1637 79 197 −6,243×10−04 1,911×10−04 −6,182×10−04 8,215×10−05 7,824×10−05 0,148158 80 201 2,535×10−03 −7,798×10−04 2,501×10−03 −3,212×10−04 −3,045×10−04 −0,560226 91 231 −1.960×10−02 6.265×10−03 −1.845×10−02 1.656×10−03 1.506×10−03 2.01 5/2 30 67 −1,975×10−06 −3,436×10−08 −6,734×10−06 5.115×10−06 14.303×10−06 0,875479 37 85 −3,537×10−05 −1,880×10−06 −7,865×10−05 5.252×10−05 3.118×10−05 1.353352 40 91 6.158×10−05 −2,554×10−07 1.273×10−04 −7.804×10−05 −4,821×10−05 −1.30362 42 95 6,081×10−05 −2,597×10−06 1,207×10−04 −6,931×10−05 −4,375×10−05 −0,9142 42 97 6,209×10−05 −2,652×10−06 1,233×10−04 −7,078×10−05 −4,467×10−05 −0,9335 44 99 5,826×10−05 −4,623×10−06 1,116×10−04 −5,968×10−05 −3,835×10−05 −0,6413 44 101 6,530×10−05 −5.182×10−06 1.251×10−04 −6,689×10−05 −4,298×10−05 −0,7188 46 105 7,773×10−05 −8,788×10−06 1,442×10−04 −7,151×10−05 −4,664×10−05 −0,642 51 121 −7,648×10−04 1.385×10−04 −1.332×10−03 5.382×10−04 3.597×10−04 3.3634 53 127 −8.004×10−04 1.617×10−04 −1.366×10−03 5.072×10−04 3.406×10−04 2.813273 59 141 −2,218×10−03 5,482×10−04 −3,622×10−03 1,040×10−03 6,985×10−04 4,2754 63 151 −2,567×10−03 6,842×10−04 −4,106×10−03 9,970×10−04 6,642×10−04 3,4717 63 153 −1,133×10−03 3.020×10−04 −1,812×10−03 4.401×10−04 2.932×10−04 1.5324 66 161 4,556×10−04 −1.264×10−04 7.196×10−04 −1.548×10−04 −1.021×10−04 −0,4803 66 163 −6,384×10−04 1,771×10−04 −1,08×10−03 2,169×10−04 1,431×10−04 0,673 70 173 8,428×10−04 −2,434×10−04 1,312×10−03 −2,416×10−04 −1,568×10−04 −0,648 75 185 −6.034×10−03 1.807×10−03 −9.246×10−03 1.415×10−03 8.981×10−04 3.1871 75 187 −6.096×10−03 1.826×10−03 −9.341×10−03 1.429×10−03 9.073×10−04 3.2197 82 205 −2.226×10−03 6.908×10−04 −3.331×10−03 3.998×10−04 2.460×10−04 0.7117 92 233 1,702×10−03 −5,451×10−04 3,263×10−03 −2,839×10−04 −1,256×10−04 0,59 8 J. P. Marques y otros: Hyperfine Quenching del nivel 4s4p 3P0 en iones tipo Zn Cuadro 2 Continuación I Z A W1,1 W2,2 W0,1 W0,2 W1,2 μI 7/2 34 79 9.003×10−06 8.821×10−07 2.967×10−05 −2.128×10−05 −8.883×10−06 −1.018 51 123 −4,141×10−04 7,500×10−05 −9,673×10−04 3,910×10−04 1,948×10−04 2,5498 53 129 −5.326×10−04 1.076×10−04 −1.220×10−03 4.528×10−04 2.267×10−04 2.621 55 133 −6,480×10−04 1,424×10−04 −1,459×10−03 4,970×10−04 2,494×10−04 2,582025 55 135 −6,857×10−04 1.507×10−04 −1.544×10−03 5.260×10−04 2.639×10−04 2.7324 57 139 −8,527×10−04 2.001×10−04 −1,892×10−03 5.915×10−04 2.968×10−04 2.783046 60 143 4.324×10−04 −1.093×10−04 9.424×10−04 −2,593×10−04 −1.296×10−04 −1.065 60 145 2,664×10−04 −6,731×10−05 5.805×10−04 −1,597×10−04 −7,984×10−05 −0,656 62 147 3,935×10−04 −1.032×10−04 8,483×10−04 −2.147×10−04 −1.069×10−04 −0,812 62 149 3,235×10−04 −8,486×10−05 6,975×10−04 −1,765×10−04 −8,790×10−05 −0,6677 67 163 −3.107×10−03 8.721×10−04 −6,561×10−03 1.356×10−03 6.644×10−04 4.23 67 165 −3.063×10−03 8.598×10−04 −6.467×10−03 1.337×10−03 6.550×10−04 4.17 68 167 4.484×10−04 −1.271×10−04 9.431×10−04 −1.875×10−04 −9.150×10−05 −0.56385 71 175 −2,238×10−03 6,514×10−04 −4,657×10−03 8,257×10−04 3,979×10−04 2,2323 72 177 −8,583×10−04 2,519×10−04 −1,781×10−03 3,04×10−04 1,459×10−04 0,7935 73 181 −2,765×10−03 8.176×10−04 −5,722×10−03 9.414×10−04 4.495×10−04 2.3705 92 235 −3,699×10−03 1,185×10−03 −5,287×10−03 4,599×10−04 2,731×10−04 −0,38 9/2 32 73 3.089×10−06 3.176×10−07 1.419×10−05 −1.060×10−05 −3.306×10−06 −0.879468 36 83 1,124×10−05 7,920×10−07 4,326×10−05 −2,963×10−05 −1.029×10−05 −0,970669 38 87 1,959×10−05 6,773×10−07 7,138×10−05 −4,640×10−05 −1,662×10−05 −1,093603 41 93 −1,930×10−04 4,552×10−06 −6,573×10−04 3.901×10−04 1.449×10−04 6.1705 43 99 −2,464×10−04 1,512×10−05 −8.076×10−04 4.478×10−04 1.696×10−04 5.6847 49 113 −5.500×10−04 8.617×10−05 −1.648×10−03 7.241×10−04 2.856×10−04 5.5289 49 115 −5,512×10−04 8.636×10−05 −1.651×10−03 7.257×10−04 2.862×10−04 5.5408 72 179 5.392×10−04 −1.582×10−04 1.403×10−03 −2.395×10−04 −9.166×10−05 −0.6409 83 209 −7,663×10−03 2,388×10−03 −1,922×10−02 2,230×10−03 8,126×10−04 4,1103 5 57 138 −7,965×10−04 1,869×10−04 −2,439×10−03 7,625×10−04 2,772×10−04 3-713646 83 208 −7,773×10−03 2.422×10−03 −2.146×10−02 2.491×10−03 8.243×10−04 4.633 7 67 166 −1.322×10−03 3.711×10−04 −5.264×10−03 1.088×10−03 2.827×10−04 3.6 71 176 −1,588×10−03 4.624×10−04 −6,233×10−03 1.105×10−03 2.824×10−04 3.169 9 73 180 −2.189×10−03 6.472×10−04 −1.083×10−02 1.781×10−03 3.558×10−04 4.825 83 210 −2.545×10−03 7.929×10−04 −1.217×10−02 1.412×10−03 2.699×10−04 2.73 J. P. Marques y otros: Hyperfine Quenching del nivel 4s4p 3P0 en iones similares a Zn 9 Cuadro 3 Influencia de la interacción hiperfina en el 4s4p 3P1 − 4s4p 3P0 separación de energía y en la vida útil de la nivel, en función del giro nuclear I y el número atómico Z. E0 es la separación de energía no perturbada (en eV), y Ehf es la energía perturbada (en eV) cuando se tiene en cuenta la interacción hiperfina (los 5 dígitos no necesariamente representan la exactitud del cálculo - están destinados a mostrar el efecto a baja Z). Los siguientes elementos son los siguientes: vida útil (en s) de 4s4p 3P0, P1 y Niveles de P1 respectivamente. I Z A A E E E E F I I I Z A A E E E E E E E F I E F I E E F I E E F I I I Z A A E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 1/2 34 77 0,20461 0,20458 2,139×10−07 1,340×10−10 7,847×10+00 39 89 0,61806 0,61809 1,393×10−08 5,025×10−11 1,317×10+01 45 103 1.41748 1.41753 1.976×10−09 2.375×10−11 5.111×10+00 47 107 1.74706 1.74714 1.221×10−09 1.923×10−11 1.847×10+00 47 109 1.74706 1.74715 1.221×10−09 1.923×10−11 1.397×10+00 48 111 1.92132 1.92179 9.804×10−10 1.739×10−11 5.286×10−02 48 113 1.92132 1.92181 9.804×10−10 1.739×10−11 4.831×10−02 50 115 2,28581 2,28674 6,623×10−10 1,433×10−11 1,391×10−02 50 117 2,28581 2,28682 6,623×10−10 1,433×10−11 1,172×10−02 50 119 2,28581 2,28687 6,623×10−10 1,433×10−11 1,071×10−02 52 123 2,66778 2,66872 4,673×10−10 1,185×10−11 1,397×10−02 52 125 2,66778 2,66891 4,673×10−10 1,185×10−11 9,609×10−03 54 129 3.06295 3.06418 3.425×10−10 9.804×10−12 8.274×10−03 69 169 6,17717 6,17856 7,752×10−11 2,398×10−12 7,234×10−03 70 171 6.38647 6.38326 7.246×10−11 2.174×10−12 1.367×10−03 74 183 7,22323 7,22219 5.650×10−11 1.464×10−12 1.353×10−02 76 187 7.64172 7.64106 5,051×10−11 1,196×10−12 3400×10−02 78 195 8.06074 8.05357 4.545×10−11 9.804×10−13 2.895×10−04 80 199 8,48051 8,47364 4,115×10−11 7,937×10−13 3,215×10−04 81 203 8.69084 8.66722 3.922×10−11 7.194×10−13 2.725×10−05 81 205 8.69084 8.66699 3.922×10−11 7.194×10−13 2.672×10−05 82 207 8,90152 8,89226 3.745×10−11 6.494×10−13 1.794×10−04 3/2 31 69 0,06865 0,06864 4.446×10−06 4.528×10−10 8.711×10+00 31 71 0,06865 0,06863 4.446×10−06 4.528×10−10 5.395×10+00 33 75 0,14992 0,14990 4,831×10−07 1,808×10−10 3,524×10+00 35 79 0,26849 0,26843 1,071×10−07 1,044×10−10 5,357×10−01 35 81 0,26849 0,26843 1,071×10−07 1,044×10−10 4,610×10−01 37 87 0,42429 0,42417 3,448×10−08 6.944×10−11 1.270×10−01 54 131 3,06295 3,06259 3,425×10−10 9,804×10−12 1,883×10−02 56 135 3,46760 3,46706 2.611×10−10 8.197×10−12 8.660×10−03 56 137 3,46760 3,46699 2.611×10−10 8.197×10−12 6.920×10−03 64 155 5.12988 5.13022 1.130×10-10 3.876×10−12 2.277×10−02 64 157 5.12988 5.13034 1.130×10−10 3.876×10−12 1.304×10−02 65 159 5.33938 5.33645 1.041×10−10 3.534×10−12 3.155×10−04 76 189 7.64172 7.63948 5,051×10−11 1,196×10−12 5.872×10−04 77 191 7,85115 7,85060 4,785×10−11 1,081×10−12 9,806×10−03 77 193 7,85115 7,85055 4,785×10−11 1,081×10−12 8,310×10−03 79 197 8,27049 8,26987 4,329×10−11 8,850×10−13 7,729×10−03 80 201 8,480505 4,115×10−11 7,937×10−13 4,730×10−04 91 231 10.82070 10.80116 2.591×10−11 2.538×10−13 8.872×10−06 5/2 30 67 0,04546 0,04546 1.834×10−05 1.371×10−09 1.771×10+02 37 85 0,42429 0,42425 3,448×10−08 6,944×10−11 6,251×10−01 40 91 0,72914 0,72920 9,434×10−09 4,348×10−11 2,221×10−01 42 95 0,97889 0,97895 4,695×10−09 3,344×10−11 2,395×10−01 42 97 0,97889 0,97895 4,695×10−09 3,344×10−11 2,297×10−01 44 99 1.26339 1.26345 2.584×10−09 2.646×10−11 2.732×10−01 44 101 1.26339 1.26346 2.584×10−09 2.646×10−11 2.175×10−01 46 105 1,57892 1,57900 1,541×10−09 2,132×10−11 1,597×10−01 51 121 2,47489 2,47413 5,525×10−10 1,302×10−11 1,779×10−03 53 127 2.86396 2.86316 3.984×10−10 1.079×10−11 1.661×10−03 59 141 4.08585 4.08364 1.828×10−10 6.211×10−12 2.274×10−04 63 151 4.92049 4.91793 1.233×10−10 4.274×10−12 1.747×10−04 63 153 4.92049 4.91936 1.233×10−10 4.274×10−12 8.977×10−04 66 161 5,54887 5,54933 9,615×10−11 3,205×10−12 5,667×10−03 66 163 5,54887 5,54823 9,615×10−11 3,205×10−12 2,885×10−03 70 173 6.38647 6.38731 7.246×10−11 2.174×10−12 1.702×10−03 10 J. P. Marques y otros: Hyperfine Quenching del nivel 4s4p 3P0 en iones tipo Zn Cuadro 3 Continuación I Z A A E E E E F I I I Z A A E E E E E E E F I E F I E E F I E E F I I I Z A A E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 5/2 75 185 7,43246 7,42645 5.348×10−11 1.325×10−12 3.433×10−05 75 187 7,43246 7,42639 5.348×10−11 1.325×10−12 3.364×10−05 82 205 8,90152 8,89930 3.745×10−11 6.494×10−13 2.670×10−04 92 233 11,03725 11,03356 2,506×10−11 2,288×10−13 1,090×10−04 7/2 34 79 0,20461 0,20462 2,139×10−07 1,340×10−10 5,060×10+00 51 123 2,47489 2,47448 5,525×10−10 1,302×10−11 3,371×10−03 53 129 2.86396 2.86343 3.984×10−10 1.079×10−11 2.084×10−03 55 133 3.26430 3.26365 2.976×10−10 8.929×10−12 1.435×10−03 55 135 3.26430 3.26362 2.976×10−10 8.929×10−12 1.281×10−03 57 139 3,67249 3,67164 2,344×10−10 7,463×10−12 8,424×10−04 60 143 4.29381 4.29424 1.645×10-10 5.650×10−12 3.350×10−03 60 145 4.29381 4.29408 1.645×10-10 5.650×10−12 8.830×10−03 62 147 4.71127 4.71166 1.351×10−10 4.695×10−12 4.108×10−03 62 149 4.71127 4.71159 1.351×10−10 4.695×10−12 6.075×10−03 67 163 5,75836 5,75527 8.929×10−11 2.915×10−12 6.802×10−05 67 165 5,75836 5,75531 8.929×10−11 2.915×10−12 6.999×10−05 68 167 5.96779 5.96824 8.264×10−11 2.646×10−12 3.294×10−03 71 175 6,59569 6,59346 6,757×10−11 1,972×10−12 1,350×10−04 72 177 6.80490 6.80404 6.369×10−11 1.786×10−12 9.241×10−04 73 181 7,01409 7,01133 5,988×10−11 1,618×10−12 8,953×10−05 92 235 11,03725 11,03895 2,506×10−11 2,288×10−13 2,864×10−04 9/2 32 73 0,10442 0,10442 1.298×10−06 2.644×10−10 2.655×10+01 36 83 0,34167 0,34168 5,882×10−08 8,403×10−11 2,142×10+00 38 87 0,51641 0,51643 2,146×10−08 5,882×10−11 7,376×10−01 41 93 0,84950 0,84931 6,536×10−09 3,802×10−11 8,194×10−03 43 99 1,11697 1,11672 3.448×10−09 2.967×10−11 5.277×10−03 49 113 2,10110 2,10055 8,000×10−10 1,577×10−11 1,184×10−03 49 115 2,10110 2,10055 8,000×10−10 1,577×10−11 1,179×10−03 72 179 6.80490 6.80544 6.369×10−11 1.786×10−12 1.491×10−03 83 209 9.11260 9.10502 3.584×10−11 5.848×10−13 8.025×10−06 5 57 138 3,67249 3,67170 2,34×10−10 7,463×10−12 5,069×10−04 83 208 9.11260 9.10493 3,584×10−11 5.848×10−13 6.433×10−06 7 67 166 5.75836 5.75705 8.929×10−11 2.915×10−12 1.057×10−04 71 176 6,59569 6,59411 6,757×10−11 1,972×10−12 7,540×10−05 9 73 180 7,01409 7,01193 5,988×10−11 1,618×10−12 2,501×10−05 83 210 9.11260 9.11009 3.584×10−11 5.848×10−13 2.003×10−05 Introducción Cálculo relativista de la contribución hiperfina a la división de estructuras finas y a las probabilidades de transición Resultados y discusión

En este artículo, utilizamos el método de multiconfiguración Dirac-Fock para calcular con alta precisión la influencia de la interacción hiperfina en el 4s4p ^3P_0$ nivel de vida en iones tipo Zn para estable y algunos isótopos casi estables de giro nuclear distinto de cero entre Z=30 y Z=92. Los influencia de esta interacción en el $[Ar]3dÃ310} 4s4p ^3P_1 - [Ar]3dÃ310} 4s4p ^3P_0$ energía de separación también se calcula para los mismos iones.

Introducción Se ha encontrado antes que la interacción hiperfina desempeña un papel fundamental en la vida y la energía sep- araciones del 3P0 y Niveles 3P1 de las configuraciones 1s2p en semejante a Él [1,2,3,4,5,6,7,8,9], [He]2s2p en semejante a Él [10, 11,12], y [Ne]3s3p en Mg-como [11,13] iones, y también en 3d4J = 4 nivel en los iones tipo Ti [14]. En los iones parecidos a He, en la región Z 45, estos dos lev- els pasan por un cruce de nivel [15] y son casi degenerados debido a la interacción magnética electrón-electrón, que lleva a una fuerte influencia de la interacción hiperfina en la división de energía y en la vida útil de 3P0 para los isótopos con un giro nuclear distinto de cero. En Be-like, Mg-like y Zn-like iones un cruce a nivel de la 3P0 y Los niveles de 3P1 no han sido se encuentra [16], pero la interacción hiperfina todavía tiene fuerte influ- en la vida útil del nivel metaestable 3P0 y en el división de energía, para isótopos con giro nuclear no nulo. Hasta hace poco, las mediciones de laboratorio de los mes atómicos... Se han realizado estados de saturación de hiperfinas solo para sistemas similares a He, para Z = 28 a Z = 79 [3,4,5,8, 17,18,19,20]. Líneas de transición inducidas por hiperfino en Be-like se han encontrado sistemas en la nebulosa planetaria NGC3918 [12]. Los valores medidos de las probabilidades de transición fueron encontrados para estar de acuerdo con los valores calculados [11,21]. Los átomos divalentes están siendo investigados, ambos teoreti- cally y experimentalmente, con el fin de investigar la possi- ble uso del estado metaestable 3P0 apagado por hiperfina para relojes ópticos ultraprecisos y experimentos de captura [22]. Últimamente, coeficientes de recombinación dielectrónica se midieron para tres isótopos de Zn-como Pt48+ en el Enviar solicitudes de impresión a: J. P. Marques Anillo de almacenamiento de iones pesados de Heidelberg TSR [23]. Era sug... ingerido que el apagado hiperfino del 4s4p 3P0 en isótopos con un giro nuclear distinto de cero podría explicar las diferencias detectada en los espectros observados. En este artículo ampliamos nuestros cálculos anteriores [2, 10,13] a la influencia de la interacción hiperfina en el Niveles de 1s22s22p63s23p63d104s4p en iones similares a Zn. In Fig. 1 mostramos el esquema de nivel de energía, no a escala, de estos iones. El nivel 3P0 es un nivel metaestable; uno- transiciones de fotones de este nivel al estado del suelo son prohibido, y las transiciones multifotón se han encontrado a ser insignificante en sistemas similares, por lo que el mismo comportamiento puede se espera para los iones similares a Zn. Por lo tanto, en la primera aproxima- la vida de este nivel como infinito. La separación de energía entre el 4 3P0 y 4 3P1 lev- Els es pequeño para los valores Z alrededor del átomo Zn neutro y aumenta muy rápidamente con Z. La interacción hiperfina es ex- para tener una fuerte influencia en la división de energía y en la vida útil de 4 3P0 para isótopos con no cero nuclear Gira. Los diferentes pasos de este cálculo se describen en Refs. [2,24]. Aquí sólo enfatizaremos lo fundamental. temas de la teoría y las características de Zn- como sistemas. En este trabajo hemos utilizado la multi-configuración Dirac- Código Fock de Desclaux e Indelicato [25,26,27] comieron, completamente ab initio las energías de estructura fina 4s4p y las probabilidades de transición. Varios términos, como el no relativista (J indepen- la contribución a la correlación, son iguales para todos niveles. En este cálculo se incluye la interacción Breit, como así como correcciones radiativas, utilizando el método descrito, http://arxiv.org/abs/0704.1946v1 2 J. P. Marques y otros: Hyperfine Quenching del nivel 4s4p 3P0 en iones tipo Zn Fig. 1. Nivel de energía y esquema de transición para iones similares a Zn (no a escala). por ejemplo, en Ref. [28] y referencias en él. El MCDF El método, en principio, permite realizar cálculos precisos: puede incluir la mayor parte de la correlación relativamente eas- ily, es decir, con un pequeño número de configuraciones. Aquí, cor- relación es importante en la determinación de la transición energía al estado de la tierra, que se utilizan en el calcu- la relación de las probabilidades de transición. Encontramos que el más grande efecto se obtiene utilizando [Ar]3d104s2 y 4p2 la figuración establecida para el estado del suelo. Para los estados excitados incluimos todas las funciones de estado de configuración (CSF) orig- nated de [Ar]3d104s4p, 4p4d, y 4d4f (que es generalmente definido como correlación intrashell), porque en segundo orden la teoría de la perturbación la diferencia de energía dominante de- Los nominadores corresponden a estas configuraciones. Correla... ión originada por la interacción con el núcleo Ar-como tiene ha sido descuidado. En particular incluimos, en una prueba de cal- culación, spin-polarización de las subconchas y encontró un influencia insignificante en las energías y la transición proba- bilidades. Observamos que la fina estructura de separación de energía, E0;fs = E3P1 −E3P0, que es el parámetro importante en el cálculo de la atenuación hiperfina, no es muy sensible a la correlación, similar a lo que encontramos para sys- tems con menor número de electrones [10,13]. Lo mismo se han utilizado para la energía, la transición proba- bilidades, y para el cálculo de la matriz hiperfina elementos. Todos los cálculos de energía se hacen en el medidor de Coulomb para la parte retardada de la interacción electrón-electrón, para evitar contribuciones espurias (véase, por ejemplo, Refs. [29, 31]). Los cálculos de por vida se hacen usando exactos fórmulas relativistas. El medidor de longitud se ha utilizado para todas las probabilidades de transición. 2 Cálculo relativista de la hiperfina contribución a la fina división de la estructura y a probabilidades de transición En el caso de un núcleo con giro no cero, el hiperfino la interacción entre el núcleo y los electrones debe ser Teniendo en cuenta. El corresponsal Hamiltonian puede estar escrito como Hhfs = k) ·T(k), (1) donde M(k) y T(k) son tensores esféricos de rango k, rep- resentidos, respectivamente, las partes nuclear y atómica de la interacción. Como en el caso de Él-como, Ser-como y Mg-como iones, la única contribución considerable de Eq. 1).......................................................................................................................................................... es el término dipolo magnético (k = 1). La hiperfina inter- acción mezcla estados con los mismos valores de F = J + I. In nuestro caso, estamos interesados en el nivel 3P0, por lo que J = 0 y F = I. La contribución de esta interacción para el total energía ha sido evaluada a través de la diagonalización de la matriz: Htot = +0 W0,0 W0,1 W0,2 W1,0 E1 + +W1,1 +W1,1 W1,2 W2,0 W2,1 E2 + i+2 +W2,2 Aquí, Ef es la energía de nivel no perturbado y el ancho radiativo del nivel no perturbado (f = 0, 1, 2 soportes, respectivamente, para 3P0, 3 P1, 1 P1). En realidad hay un cuarto nivel, 3P2, que incluimos en todos los cálculos pero fue encontrado innecesario, porque la influencia de este nivel en la vida útil de 3P0 es insignificante. Esto puede ser ex- allanado por la gran separación de energía entre el 3P2 y 3P0 niveles y también porque la probabilidad de la transición permitida M2 4s4p 3P2 → 4s 2 1S0 es muchos o- de magnitud inferior a las de las transiciones E1 4s4p 3P1 → 4s 2 1S0 y 4s4p 1P1 → 4s 2 1S0. Además, el elemento magnético de matriz hiperfina dipolo entre el 3P2 y los niveles de 3P0 son muy pequeños. Esto también lleva a un negligi- ble influencia del nivel 3P2 en el 3P1 − 3 P0 separación energía. Esto es consistente con los resultados de Plante e John- hijo [32], que encontró que el término magnético cuádruple de la interacción hiperfina afecta el nivel de 3P2 sólo a niveles altos Z. La influencia del nivel 1P1, sin embargo, debe ser tomada en cuenta, especialmente para los núcleos de luz, porque los grandes separación de energía entre 1P1 y Los niveles de 3P0 son compen- sated por la vida útil mucho más corta del nivel 1P1. Los J. P. Marques y otros: Hyperfine Quenching del nivel 4s4p 3P0 en iones tipo Zn 3 elemento de matriz hiperfina Wf,f ′ = Wf ′,f = [Ar] 3d 104s4p f Hhfs[Ar] 3d 104s4p f puede ser escrito como WJ1,J2 = I, J1, F, MF M (1)·T(1)I, J2, F, MF, (3) donde yo es el giro nuclear y F el total angular mo- mento del átomo, y puede ser puesto en la forma: WJ1,J2 = (−1) I+J1+F I J1 F J2 I 1 × IM(1)IJ1T (1) . 4) El símbolo 6j lleva a W0,0 = 0. También el mag... momento neto μI en unidades del magnetón nuclear μN puede ser definido por μIμN = IM (1) I 1 I −I 0 I , (5) con μN = eh/2γmpc. Los elementos de la matriz electrónica se evaluaron sobre la base establecida 3P0, 3P1®, 1P1+ con toda la correlación intrashell incluido. El resultado final se obtiene por una diagonalización de la matriz 3×3 en Eq. (2), la parte real de cada eigen- valor de ser la energía del nivel corresponsal y el parte imaginaria su vida. 3 Resultados y discusión El método MCDF se ha utilizado para evaluar la ence de la interacción hiperfina en el [Ar]3d104s4p 3P0, 3P1 y Niveles de 1P1 para todos los valores de Z entre 30 y 92 y para todos los isótopos estables y algunos cuasiestables de no cero Giro nuclear. Las contribuciones de otros niveles han sido: Se encontró que era insignificante. Lista detallada de las contribuciones al 3P0 teórico, 3P1 y Las energías de nivel 1P1 son presentado en el cuadro 1, para Z = 36, 54 y 82. En la Tabla 2 presentamos, para todos los valores posibles de la giro nuclear I, Z, y la masa número A, la diagonal y fuera de la matriz diagonal hiperfina elementos Wi, j, y el momento magnético nuclear, μI [37], en magnetón nuclear unidades. Los índices 0, 1 y 2 en la matriz hiperfina los elementos representan 3P0, 3P1, y 1P1, respectivamente. En la Tabla 3 se presentan todos los valores posibles de I, Z, y A, las energías de separación no perturbadas.E0 = E3P1− E3P0, la energía de separación hiperfina afectada 4s4p 3P1 y 4s4p Valores de vida de los niveles 1P1, 1 y 2, respectivamente, que no se ven afectados, dentro de la precisión muestra, por la interacción hiperfina, y finalmente la per- vida útil turbada 0 de los 4s4p Nivel 3P0. Como hemos señalado antes, se supone que el valor inperturbado de infinito. In Fig. 2 es trazada la diferencia E = Ehf E0 como una función de Z para los diferentes valores posibles de la energía nuclear Gira. La influencia de la interacción hiperfina en esto la energía se muestra aumentar lentamente con Z, el aumento cada vez más rápido para Z'60. In Fig. 3 se traza el nivel de vida perturbado 4s4p 3P0 tiempo 0, para los diferentes valores de giro nuclear I, como func- ión de Z. Uno puede fácilmente concluir que la apertura de un nuevo canal para el decaimiento del nivel 4s4p 3P0 tiene un efecto dramático en su vida. Después de presentar este documento, fue llevado a nuestra... mento de Liu et al [38], que contiene inde- cálculos pendent de la vida útil apagada hiperfina de el nivel 3P0 en varios iones similares a Zn. Nuestros resultados para esto vida útil son tres veces más altos que los valores encontrados por Liu et al para Z = 30 y 1,5 más alto en Z = 47. Para buscar el origen de esta discrepancia se utilizó el 3P1 → 1 S0 y 1P1 → 1 S0 energías de transición y probabilidades de Liu et al diagonalizar la matriz en eq. 2 y los resultados obtenidos muy cerca de nuestros propios cálculos. Como no sabemos el valores de los elementos de matriz hiperfina calculados por Liu et al., las razones de esta discrepancia siguen siendo desconocidas. Una de las implicaciones prácticas más interesantes de estos cálculos provienen de la relación entre el 4s4p 3P0 − 4s4p 3P1 niveles de separación de energía y el 4s4p 3P0 vida útil (Eq. 2). Como se menciona en [13] este la separación de energía se puede estimar a partir de una medición de la vida útil de 4s4p 3P0 de iones similares a Zn con giro nuclear I 6= 0. Este método ha sido un demonio... estratificado para el tipo de helio Ni26+ [4], Ag45+ [3], Gd62+ [17] y Au77+ [8]. En el caso de los iones similares a Zn, como en el caso de los ing Se-como y Mg-como iones, las situaciones son diferentes, ser- causa, incluso para los valores Z más altos, las vidas involucradas son mucho más largos que en iones helio pesados. Sin embargo, mediciones de las tasas de transición apagadas de Be-como hiperfina se han realizado a partir de fuentes astrofísicas [12] y el apagado hiperfino del ión Zn-como 195Pt48+ fue observado en el anillo de almacenamiento de iones pesados TSR [23]. El progreso continuo en los anillos de almacenamiento, fuentes de iones y trampas de iones nos lleva a creer que las vidas entre 0,1 s y 10 μs pueden ser medidos, con cierta precisión, al mirar directamente a la luz emitida por los iones como un función del tiempo, después de que la trampa se ha cargado. Muy bien. El vacío dentro de la trampa es necesario, por supuesto, si la vida larga- los tiempos deben ser medidos. Queda por demostrar que este método es experimentalmente factible. Tal experiencia... En el caso de los diferentes isótopos, la separación de energía inalterada, debido a la energía magnética nuclear los momentos son bien conocidos. Esto sería interesante. manera de probar nuestros cálculos relativistas. Agradecimientos Esta investigación contó con el apoyo parcial de los proyectos FCT POCTI/FAT/50356/2002 y POCTI/0303/2003 (Portu- gal), financiado por el Fondo de la Comunidad Europea FEDER, y por la colaboración franco-portuguesa (PESSOAPro- gram, contrato no 10721NF). Laboratoire Kastler Brossel es Unité Mixte de Recherche du CNRS no C8552. 4 J. P. Marques y otros: Hyperfine Quenching del nivel 4s4p 3P0 en iones tipo Zn Bibliografía 1. P. J. Mohr, en Beam Foil Spectroscopy, I. Sellin y Pegg Eds. Vol. I, 97 (1976) 2. P. Indelicato, F. Parente, y R. Marrus, Phys. Rev. A, 40, 3505 (1989) 3. R. Marrus, A. Simionovici, P. Indelicato, P. Dietrich, P. Charles, J. P. Briand, K. Finlayson, F. Bosh, P. Liesen, y F. Parente, Phys. Rev. Lett. 63, 502 (1989) 4. R.W. Dunford, C.J. Liu, J. Por último, N. Berrah-Mansour, R. Vondrasek, D.A. Church y L.J. Curtis, Phys. Rev. A 44, 764 (1991) 5. A. Simionovici, B. B. Birkett, J. P. Briand, P. Charles, D. D. Dietrich, K. Finlayson, P. Indelicato, P. Liesen y R. Marrus, Phys. Rev. A 48, 1965 (1993) 6. A. Aboussd, M. R. Godefroid, P. Jönsson, y C. Froese Fischer, Phys. Rev. A 51, 2031 (1995) 7. A. V. Volotka, V. M. Shabaev, G. Plunien, G. Soff, V. A. Yerokhin, Can. J. Phys. 80, 1263 (2002) 8. S. Toleikis, B. Manil, E. Berdermann, H. F. Beyer, F. Bosch, M. Czanta, R. W. Dunford, A. Gumberidze, P. In- delicato, C. Kozhuharov, D. Liesen, X. Ma, R. Marrus, P. H. Mokler, D. Schneider, A. Simionovici, Z. Stachura, T. Stöhlker, A. Warczak, Y. Zou, Phys. Rev. A 69, 022507 (2004) 9. W. R. Johnson, K. T. Cheng, D. R. Plante, Phys. Rev. A 55, 2728 (1997) 10. J. P. Marques, F. Parente y P. Indelicato, Phys. Rev. A 47, 929 (1993) 11. T. Brage, P. G. Judge, A. Aboussaid, M. Godefroid, P. Jöhnson, A. Ynnerman, C. F. Fischer, y D. S. Leckrone, Astrofias. J. 500, 507 (1998) 12. T. Brage, P. G. Judge, y C. R. Proffitt, Phys. Rev. Lett. 89, 0281101 (2002) 13. J. P. Marques, F. Parente y P. Indelicato, ADNDT, 55, 157 (1993) 14. F. Parente, J. P. Marques y P. Indelicato, Europhys. Lett. 26, 437 (1994) 15. W. R. Johnson y C. D. Lin, Phys. Rev. A 14, 565 (1976) 16. J. P. Marques, Ph.D. Tesis presentada a la Universidad de Lisboa, sin publicar (1994) 17. P. Indelicato, B. B. Birkett, J. P. Briand, P. Charles, D. D. Dietrich, R. Marrus, y A. Simionovici, Phys. Rev. Lett. 68, 1307 (1992) 18. R. W. Dunford, H. G. Berry, D. A. Church, M. Hass, C. J. Liu, M. Raphaelian, B. J. Zabransky, L. J. Curtis, A. E. Livingston, Phys. Rev. A 48 2729 (1993) 19. B. B. Birkett, J. P. Briand, P. Charles, D. D. Dietrich, K. Finlayson, P. Indelicato, D. Liesen, R. Marrus, A. Simionovici, Phys. Rev. A 47 R2454 (1993) 20. A. Simionovici, B. B. Birkett, R. Marrus, P. Charles, P. Indelicato, D.D. Dietrich, K. Finlayson, Phys. Rev. A 49 3553 (1994) 21. J. P. Marques, F. Parente y P. Indelicato, Resumen de XXIV Reunión de la Real Sociedad Española de Fsica, Vol. 1, 228 (2003) 22. S. G. Porsev y A. Derevianko, Phys. Rev. A 69, 042506 (2004) 23. S. Schippers, G. Gwinner, C. Brandau, S. Böhm, M. Grieser, S. Kieslich, H. Knopp, A Müller, R. Repnow, D Schwalm, y A. Wolf, Nucl. Instrum. Meth. B 235, 265 (2005) 24. K. T. Cheng y W. J. Childs, Phys. Rev. A 31, 2775 (1985) 25. J. P. Desclaux, en Métodos y Técnicas en Computa- (STEF, Cagliary, 1993), Vol. A 26. P. Indelicato, Phys. Rev. Lett 77, 3323 (1996) 27. MCDFGME, un Dirac Fock multiconfigurado y el programa General Matrix Elements, 2006)”, escrito por J. P. Desclaux y P. Indelicato (http://dirac.espectro.jussieu.fr/mcdf) 28. J. P. Santos, G. C. Rodrigues, J. P. Marques, F. Parente, J. P. Desclaux, y P. Indelicato, Eur. Phys. J. D 37, 201 (2006) 29. O. Gorceix y P. Indelicato, Phys. Rev. A 37, 1087 (1988) 30. E. Lindroth y A.-M. Martensson-Pendrill, Phys. Rev. A 39, 3794 (1989) 31. I. Lindgren, J. Phys. B 23, 1085 (1990) 32. W. R. Johnson, K. T. Cheng, D. R. Plante, Phys. Rev. A 55, 2728 (1997) 33. V. A. Yerokhin, P. Indelicato, V. M. Shabaev, Eur. Phys. J. D 25, 203 (2003) 34. V. 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Z = 36 Coulomb† −75616,613 −75616,265 −75609,264 Magnético† 42,785 42,779 42,765 Retardo (orden de 2)† −4,095 −4,095 −4,094 Retardo (≥ 2) −0,197 −0,197 −0,197 Autoenergía (SE) 31,358 31,363 31,366 Exámenes de autoenergía −2,735 −2,740 −2,743 VP [ α(Zα)]corrección a interacción e-e 0,033 0,033 0,033 Polarización por vacío α(Zα)3 + α2(Zα) 0,010 0,010 0,010 Segundo pedido (SE-SE + SE-VP + S-VP-E)‡ −0,031 −0,031 −0,031 Recaudación −0,003 −0,003 −0,003 Reflujo relativista* 0,009 0,009 0,009 Energía total −75549,478 −75549,737 −75542,148 Z = 54 Coulomb† −195348.063 −195344.974 −195317.667 Magnético† 171.169 171.142 170.943 Retardo (orden de 2)† −17.418 −17.418 −17.417 Retardo (≥ 2) −1,711 −1,713 −1,731 Autoenergía (SE) 127,610 127,615 127,669 Exámenes de autoenergía −9.166 −9.170 −9.205 VP [ α(Zα)]corrección a interacción e-el 0.124 0.124 0.124 Polarización por vacío α(Zα)3 + α2(Zα) 0,242 0,242 Segundo orden (SE-SE + SE-VP + S-VP-E)‡ −0,253 −0,253 −0,253 Recolección −0,012 −0,012 −0,012 Recoil relativista 0,042 0,042 0,042 Energía total -195077.437 -195074.376 -195047.265 Z = 82 Coulomb† −513070.812 −513061.827 −512876.005 Magnético† 710.586 710.511 708.897 Retardo (orden de 2)† −72.655 −72.654 −72.655 Retardo (> ­2) −14.666 −14.668 −14.965 Autoenergía (SE) 600.177 600.173 600.249 Exámenes de autoenergía −38.198 −38.203 −38.200 VP [ α(Zα)]corrección a interacción e-e 0,572 0,572 0,570 Polarización por vacío α(Zα)3 + α2(Zα) 4.192 4.192 4.189 Segundo pedido (SE-SE + SE-VP + S-VP-E)‡ −2.975 −2.975 −2.974 Recolección −0,051 −0,051 −0,051 Reflujo relativista > 0,191 0,191 0,191 Energía total −511883.638 −511874.738 −511690.755 † Contiene la contribución potencial de Uheling a todo el orden y toda la interacción Breit orden. ‡ Calculado utilizando los resultados de Ref. [33,34,35]. • Las fórmulas y definiciones utilizadas para evaluar este término son el Apéndice A de Ref. [36] 6 J. P. Marques y otros: Hyperfine Quenching del nivel 4s4p 3P0 en iones tipo Zn - 0,005 0,005 0,015 0,025 25 35 45 55 65 75 85 95 I=1/2 I=3/2 I=5/2 I=7/2 I=9/2 Fig. 2. Influencia de la interacción hiperfina en el 4s4p 3P1 − 3P0 separación de energía, en función del giro nuclear I y el número atómico Z. La cantidad E = Ehf E0 es la contribución de la interacción hiperfina a la estructura fina Dividir E0. Los símbolos representan valores para los diferentes giros nucleares; algunos elementos tienen varios isótopos con idénticos giros pero diferentes valores de μI. 1.E-06 1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 25 35 45 55 65 75 85 95 I=1/2 I=3/2 I=5/2 I=7/2 I=9/2 Fig. 3. Influencia de la interacción hiperfina en la vida útil del nivel 4s4p 3P0, en función del giro nuclear I y el Número atómico Z. La vida inalterada es, a una muy buena aproximación, infinita. J. P. Marques y otros: Hyperfine Quenching del nivel 4s4p 3P0 en iones tipo Zn 7 Cuadro 2 Elementos de matriz hiperfina Wi,j en eV. Los índices 0, 1 y 2 representan 3P1, y 1P1 respectivamente. Yo soy el giro nuclear y μ el momento magnético nuclear en unidades de magnetón nuclear. I Z A W1,1 W2,2 W0,1 W0,2 W1,2 μI 1/2 34 77 −3.312×10−05 −3.245×10−06 −2.382×10−05 1.708×10−05 3.268×10−05 0,535042 39 89 2.697×10−05 4.139×10−07 1.670×10−05 −1.055×10−05 −2.199×10−05 −0.137415 45 103 4.648×10−05 −4.491×10−06 2.564×10−05 −1.321×10−05 −2.923×10−05 −0.0884 47 107 7,878×10−05 −1.013×10−05 4.218×10−05 −2.011×10−05 −4,507×10−05 −0.11368 47 109 9,057×10−05 −1,164×10−05 4,849×10−05 −2,311×10−05 −5,182×10−05 −0,130691 48 111 4.696×10−04 −6.718×10−05 2.480×10−04 −1,136×10−04 −2,560×10−04 −0,594886 48 113 4,912×10−04 −7,027×10−05 2,594×10−04 −1,188×10−04 −2,678×10−04 −0,622301 50 115 9.289×10−04 −1.573×10−04 4.788×10−04 −2.018×10−04 −4,591×10−04 −0.91883 50 117 1,012×10−03 −1,714×10−04 5,216×10−04 −2,199×10−04 −5,002×10−04 −1,0104 50 119 1,059×10−03 −1,793×10−04 5,457×10−04 −2,301×10−04 −5,233×10−04 −1,04728 52 123 9,385×10−04 −1,801×10−04 4,734×10−04 −1,834×10−04 −4,199×10−04 −0,736948 52 125 1,132×10−03 −2.172×10−04 5.708×10−04 −2.212×10−04 −5.063×10−04 −0.888505 54 129 1,232×10−03 −2,602×10−04 6,102×10−04 −2,170×10−04 −4,984×10−04 −0,777976 69 169 1,391×10−03 −3.983×10−04 6.364×10−04 −1.217×10−04 −2,710×10−04 −0.231 70 171 −3.210×10−03 9.272×10−04 −1.463×10−03 2.694×10−04 5.974×10−04 0.49367 74 183 −1.035×10−03 3.081×10−04 −4,659×10−04 7.391×10−05 1.610×10−04 0.117785 76 187 −6,581×10−04 1,982×10−04 −2,942×10−04 4,344×10−05 9,378×10−05 0,064652 78 195 −7,176×10−03 2,186×10−03 −3,189×10−03 4,387×10−04 9,383×10−04 0,60952 80 199 −6,867×10−03 2.112×10−03 −3.030×10−03 3.892×10−04 8.250×10−04 0.505885 81 203 −2.364×10−02 7.305×10−03 −1.040×10−02 1.290×10−03 2.724×10−03 1.622258 81 205 −2.387×10−02 7.377×10−03 −1.050×10−02 1.303×10−03 2.751×10−03 1.638215 82 207 −9,267×10−03 2,876×10−03 −4,060×10−03 4,873×10−04 1,024×10−03 0,592583 3/2 31 69 −1.363×10−05 −1.123×10−06 −2.652×10−05 2.024×10−05 1.535×10−05 2.01659 31 71 −1,732×10−05 −1,427×10−06 −3,370×10−05 2,572×10−05 1,950×10−05 2,56227 33 75 −2,179×10−05 −2,286×10−06 −3,670×10−05 2,687×10−05 2,235×10−05 1,43948 35 79 −5,715×10−05 −4,904×10−06 −8,849×10−05 6,206×10−05 5,431×10−05 2,1064 35 81 −6,161×10−05 −5,286×10−06 −9,538×10−05 6,690×10−05 5,855×10−05 2,270562 37 87 −1,198×10−04 −6,370×10−06 −1,745×10−04 1,165×10−04 1,056×10−04 2,75131 54 131 −3,649×10−04 7,708×10−05 −4,042×10−04 1,438×10−04 1,477×10−04 0,6915 56 135 −5,429×10−04 1,235×10−04 −5,920×10−04 1,932×10−04 1,987×10−04 0,837953 56 137 −6.073×10−04 1.382×10−04 −6,622×10−04 2.161×10−04 2.222×10−04 0.937365 64 155 3,449×10−04 −9,328×10−05 3,595×10−04 −8,381×10−05 −8,504×10−05 −0,2572 64 157 4,556×10−04 −1.232×10−04 4,750×10−04 −1,107×10−04 −1,123×10−04 −0,3398 65 159 −2.936×10−03 8.052×10−04 −3.049×10−03 6.825×10−04 6.901×10−04 2.014 76 189 −2,239×10−03 6,745×10−04 −2,238×10−03 3,305×10−04 3,191×10−04 0,659933 77 191 −5.500×10−04 1.666×10−04 −5,481×10−04 7,811×10−05 7,506×10−05 0,1507 77 193 −5,974×10−04 1,810×10−04 −5,954×10−04 8,484×10−05 8,154×10−05 0,1637 79 197 −6,243×10−04 1,911×10−04 −6,182×10−04 8,215×10−05 7,824×10−05 0,148158 80 201 2,535×10−03 −7,798×10−04 2,501×10−03 −3,212×10−04 −3,045×10−04 −0,560226 91 231 −1.960×10−02 6.265×10−03 −1.845×10−02 1.656×10−03 1.506×10−03 2.01 5/2 30 67 −1,975×10−06 −3,436×10−08 −6,734×10−06 5.115×10−06 14.303×10−06 0,875479 37 85 −3,537×10−05 −1,880×10−06 −7,865×10−05 5.252×10−05 3.118×10−05 1.353352 40 91 6.158×10−05 −2,554×10−07 1.273×10−04 −7.804×10−05 −4,821×10−05 −1.30362 42 95 6,081×10−05 −2,597×10−06 1,207×10−04 −6,931×10−05 −4,375×10−05 −0,9142 42 97 6,209×10−05 −2,652×10−06 1,233×10−04 −7,078×10−05 −4,467×10−05 −0,9335 44 99 5,826×10−05 −4,623×10−06 1,116×10−04 −5,968×10−05 −3,835×10−05 −0,6413 44 101 6,530×10−05 −5.182×10−06 1.251×10−04 −6,689×10−05 −4,298×10−05 −0,7188 46 105 7,773×10−05 −8,788×10−06 1,442×10−04 −7,151×10−05 −4,664×10−05 −0,642 51 121 −7,648×10−04 1.385×10−04 −1.332×10−03 5.382×10−04 3.597×10−04 3.3634 53 127 −8.004×10−04 1.617×10−04 −1.366×10−03 5.072×10−04 3.406×10−04 2.813273 59 141 −2,218×10−03 5,482×10−04 −3,622×10−03 1,040×10−03 6,985×10−04 4,2754 63 151 −2,567×10−03 6,842×10−04 −4,106×10−03 9,970×10−04 6,642×10−04 3,4717 63 153 −1,133×10−03 3.020×10−04 −1,812×10−03 4.401×10−04 2.932×10−04 1.5324 66 161 4,556×10−04 −1.264×10−04 7.196×10−04 −1.548×10−04 −1.021×10−04 −0,4803 66 163 −6,384×10−04 1,771×10−04 −1,08×10−03 2,169×10−04 1,431×10−04 0,673 70 173 8,428×10−04 −2,434×10−04 1,312×10−03 −2,416×10−04 −1,568×10−04 −0,648 75 185 −6.034×10−03 1.807×10−03 −9.246×10−03 1.415×10−03 8.981×10−04 3.1871 75 187 −6.096×10−03 1.826×10−03 −9.341×10−03 1.429×10−03 9.073×10−04 3.2197 82 205 −2.226×10−03 6.908×10−04 −3.331×10−03 3.998×10−04 2.460×10−04 0.7117 92 233 1,702×10−03 −5,451×10−04 3,263×10−03 −2,839×10−04 −1,256×10−04 0,59 8 J. P. Marques y otros: Hyperfine Quenching del nivel 4s4p 3P0 en iones tipo Zn Cuadro 2 Continuación I Z A W1,1 W2,2 W0,1 W0,2 W1,2 μI 7/2 34 79 9.003×10−06 8.821×10−07 2.967×10−05 −2.128×10−05 −8.883×10−06 −1.018 51 123 −4,141×10−04 7,500×10−05 −9,673×10−04 3,910×10−04 1,948×10−04 2,5498 53 129 −5.326×10−04 1.076×10−04 −1.220×10−03 4.528×10−04 2.267×10−04 2.621 55 133 −6,480×10−04 1,424×10−04 −1,459×10−03 4,970×10−04 2,494×10−04 2,582025 55 135 −6,857×10−04 1.507×10−04 −1.544×10−03 5.260×10−04 2.639×10−04 2.7324 57 139 −8,527×10−04 2.001×10−04 −1,892×10−03 5.915×10−04 2.968×10−04 2.783046 60 143 4.324×10−04 −1.093×10−04 9.424×10−04 −2,593×10−04 −1.296×10−04 −1.065 60 145 2,664×10−04 −6,731×10−05 5.805×10−04 −1,597×10−04 −7,984×10−05 −0,656 62 147 3,935×10−04 −1.032×10−04 8,483×10−04 −2.147×10−04 −1.069×10−04 −0,812 62 149 3,235×10−04 −8,486×10−05 6,975×10−04 −1,765×10−04 −8,790×10−05 −0,6677 67 163 −3.107×10−03 8.721×10−04 −6,561×10−03 1.356×10−03 6.644×10−04 4.23 67 165 −3.063×10−03 8.598×10−04 −6.467×10−03 1.337×10−03 6.550×10−04 4.17 68 167 4.484×10−04 −1.271×10−04 9.431×10−04 −1.875×10−04 −9.150×10−05 −0.56385 71 175 −2,238×10−03 6,514×10−04 −4,657×10−03 8,257×10−04 3,979×10−04 2,2323 72 177 −8,583×10−04 2,519×10−04 −1,781×10−03 3,04×10−04 1,459×10−04 0,7935 73 181 −2,765×10−03 8.176×10−04 −5,722×10−03 9.414×10−04 4.495×10−04 2.3705 92 235 −3,699×10−03 1,185×10−03 −5,287×10−03 4,599×10−04 2,731×10−04 −0,38 9/2 32 73 3.089×10−06 3.176×10−07 1.419×10−05 −1.060×10−05 −3.306×10−06 −0.879468 36 83 1,124×10−05 7,920×10−07 4,326×10−05 −2,963×10−05 −1.029×10−05 −0,970669 38 87 1,959×10−05 6,773×10−07 7,138×10−05 −4,640×10−05 −1,662×10−05 −1,093603 41 93 −1,930×10−04 4,552×10−06 −6,573×10−04 3.901×10−04 1.449×10−04 6.1705 43 99 −2,464×10−04 1,512×10−05 −8.076×10−04 4.478×10−04 1.696×10−04 5.6847 49 113 −5.500×10−04 8.617×10−05 −1.648×10−03 7.241×10−04 2.856×10−04 5.5289 49 115 −5,512×10−04 8.636×10−05 −1.651×10−03 7.257×10−04 2.862×10−04 5.5408 72 179 5.392×10−04 −1.582×10−04 1.403×10−03 −2.395×10−04 −9.166×10−05 −0.6409 83 209 −7,663×10−03 2,388×10−03 −1,922×10−02 2,230×10−03 8,126×10−04 4,1103 5 57 138 −7,965×10−04 1,869×10−04 −2,439×10−03 7,625×10−04 2,772×10−04 3-713646 83 208 −7,773×10−03 2.422×10−03 −2.146×10−02 2.491×10−03 8.243×10−04 4.633 7 67 166 −1.322×10−03 3.711×10−04 −5.264×10−03 1.088×10−03 2.827×10−04 3.6 71 176 −1,588×10−03 4.624×10−04 −6,233×10−03 1.105×10−03 2.824×10−04 3.169 9 73 180 −2.189×10−03 6.472×10−04 −1.083×10−02 1.781×10−03 3.558×10−04 4.825 83 210 −2.545×10−03 7.929×10−04 −1.217×10−02 1.412×10−03 2.699×10−04 2.73 J. P. Marques y otros: Hyperfine Quenching del nivel 4s4p 3P0 en iones similares a Zn 9 Cuadro 3 Influencia de la interacción hiperfina en el 4s4p 3P1 − 4s4p 3P0 separación de energía y en la vida útil de la nivel, en función del giro nuclear I y el número atómico Z. E0 es la separación de energía no perturbada (en eV), y Ehf es la energía perturbada (en eV) cuando se tiene en cuenta la interacción hiperfina (los 5 dígitos no necesariamente representan la exactitud del cálculo - están destinados a mostrar el efecto a baja Z). Los siguientes elementos son los siguientes: vida útil (en s) de 4s4p 3P0, P1 y Niveles de P1 respectivamente. I Z A A E E E E F I I I Z A A E E E E E E E F I E F I E E F I E E F I I I Z A A E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 1/2 34 77 0,20461 0,20458 2,139×10−07 1,340×10−10 7,847×10+00 39 89 0,61806 0,61809 1,393×10−08 5,025×10−11 1,317×10+01 45 103 1.41748 1.41753 1.976×10−09 2.375×10−11 5.111×10+00 47 107 1.74706 1.74714 1.221×10−09 1.923×10−11 1.847×10+00 47 109 1.74706 1.74715 1.221×10−09 1.923×10−11 1.397×10+00 48 111 1.92132 1.92179 9.804×10−10 1.739×10−11 5.286×10−02 48 113 1.92132 1.92181 9.804×10−10 1.739×10−11 4.831×10−02 50 115 2,28581 2,28674 6,623×10−10 1,433×10−11 1,391×10−02 50 117 2,28581 2,28682 6,623×10−10 1,433×10−11 1,172×10−02 50 119 2,28581 2,28687 6,623×10−10 1,433×10−11 1,071×10−02 52 123 2,66778 2,66872 4,673×10−10 1,185×10−11 1,397×10−02 52 125 2,66778 2,66891 4,673×10−10 1,185×10−11 9,609×10−03 54 129 3.06295 3.06418 3.425×10−10 9.804×10−12 8.274×10−03 69 169 6,17717 6,17856 7,752×10−11 2,398×10−12 7,234×10−03 70 171 6.38647 6.38326 7.246×10−11 2.174×10−12 1.367×10−03 74 183 7,22323 7,22219 5.650×10−11 1.464×10−12 1.353×10−02 76 187 7.64172 7.64106 5,051×10−11 1,196×10−12 3400×10−02 78 195 8.06074 8.05357 4.545×10−11 9.804×10−13 2.895×10−04 80 199 8,48051 8,47364 4,115×10−11 7,937×10−13 3,215×10−04 81 203 8.69084 8.66722 3.922×10−11 7.194×10−13 2.725×10−05 81 205 8.69084 8.66699 3.922×10−11 7.194×10−13 2.672×10−05 82 207 8,90152 8,89226 3.745×10−11 6.494×10−13 1.794×10−04 3/2 31 69 0,06865 0,06864 4.446×10−06 4.528×10−10 8.711×10+00 31 71 0,06865 0,06863 4.446×10−06 4.528×10−10 5.395×10+00 33 75 0,14992 0,14990 4,831×10−07 1,808×10−10 3,524×10+00 35 79 0,26849 0,26843 1,071×10−07 1,044×10−10 5,357×10−01 35 81 0,26849 0,26843 1,071×10−07 1,044×10−10 4,610×10−01 37 87 0,42429 0,42417 3,448×10−08 6.944×10−11 1.270×10−01 54 131 3,06295 3,06259 3,425×10−10 9,804×10−12 1,883×10−02 56 135 3,46760 3,46706 2.611×10−10 8.197×10−12 8.660×10−03 56 137 3,46760 3,46699 2.611×10−10 8.197×10−12 6.920×10−03 64 155 5.12988 5.13022 1.130×10-10 3.876×10−12 2.277×10−02 64 157 5.12988 5.13034 1.130×10−10 3.876×10−12 1.304×10−02 65 159 5.33938 5.33645 1.041×10−10 3.534×10−12 3.155×10−04 76 189 7.64172 7.63948 5,051×10−11 1,196×10−12 5.872×10−04 77 191 7,85115 7,85060 4,785×10−11 1,081×10−12 9,806×10−03 77 193 7,85115 7,85055 4,785×10−11 1,081×10−12 8,310×10−03 79 197 8,27049 8,26987 4,329×10−11 8,850×10−13 7,729×10−03 80 201 8,480505 4,115×10−11 7,937×10−13 4,730×10−04 91 231 10.82070 10.80116 2.591×10−11 2.538×10−13 8.872×10−06 5/2 30 67 0,04546 0,04546 1.834×10−05 1.371×10−09 1.771×10+02 37 85 0,42429 0,42425 3,448×10−08 6,944×10−11 6,251×10−01 40 91 0,72914 0,72920 9,434×10−09 4,348×10−11 2,221×10−01 42 95 0,97889 0,97895 4,695×10−09 3,344×10−11 2,395×10−01 42 97 0,97889 0,97895 4,695×10−09 3,344×10−11 2,297×10−01 44 99 1.26339 1.26345 2.584×10−09 2.646×10−11 2.732×10−01 44 101 1.26339 1.26346 2.584×10−09 2.646×10−11 2.175×10−01 46 105 1,57892 1,57900 1,541×10−09 2,132×10−11 1,597×10−01 51 121 2,47489 2,47413 5,525×10−10 1,302×10−11 1,779×10−03 53 127 2.86396 2.86316 3.984×10−10 1.079×10−11 1.661×10−03 59 141 4.08585 4.08364 1.828×10−10 6.211×10−12 2.274×10−04 63 151 4.92049 4.91793 1.233×10−10 4.274×10−12 1.747×10−04 63 153 4.92049 4.91936 1.233×10−10 4.274×10−12 8.977×10−04 66 161 5,54887 5,54933 9,615×10−11 3,205×10−12 5,667×10−03 66 163 5,54887 5,54823 9,615×10−11 3,205×10−12 2,885×10−03 70 173 6.38647 6.38731 7.246×10−11 2.174×10−12 1.702×10−03 10 J. P. Marques y otros: Hyperfine Quenching del nivel 4s4p 3P0 en iones tipo Zn Cuadro 3 Continuación I Z A A E E E E F I I I Z A A E E E E E E E F I E F I E E F I E E F I I I Z A A E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 5/2 75 185 7,43246 7,42645 5.348×10−11 1.325×10−12 3.433×10−05 75 187 7,43246 7,42639 5.348×10−11 1.325×10−12 3.364×10−05 82 205 8,90152 8,89930 3.745×10−11 6.494×10−13 2.670×10−04 92 233 11,03725 11,03356 2,506×10−11 2,288×10−13 1,090×10−04 7/2 34 79 0,20461 0,20462 2,139×10−07 1,340×10−10 5,060×10+00 51 123 2,47489 2,47448 5,525×10−10 1,302×10−11 3,371×10−03 53 129 2.86396 2.86343 3.984×10−10 1.079×10−11 2.084×10−03 55 133 3.26430 3.26365 2.976×10−10 8.929×10−12 1.435×10−03 55 135 3.26430 3.26362 2.976×10−10 8.929×10−12 1.281×10−03 57 139 3,67249 3,67164 2,344×10−10 7,463×10−12 8,424×10−04 60 143 4.29381 4.29424 1.645×10-10 5.650×10−12 3.350×10−03 60 145 4.29381 4.29408 1.645×10-10 5.650×10−12 8.830×10−03 62 147 4.71127 4.71166 1.351×10−10 4.695×10−12 4.108×10−03 62 149 4.71127 4.71159 1.351×10−10 4.695×10−12 6.075×10−03 67 163 5,75836 5,75527 8.929×10−11 2.915×10−12 6.802×10−05 67 165 5,75836 5,75531 8.929×10−11 2.915×10−12 6.999×10−05 68 167 5.96779 5.96824 8.264×10−11 2.646×10−12 3.294×10−03 71 175 6,59569 6,59346 6,757×10−11 1,972×10−12 1,350×10−04 72 177 6.80490 6.80404 6.369×10−11 1.786×10−12 9.241×10−04 73 181 7,01409 7,01133 5,988×10−11 1,618×10−12 8,953×10−05 92 235 11,03725 11,03895 2,506×10−11 2,288×10−13 2,864×10−04 9/2 32 73 0,10442 0,10442 1.298×10−06 2.644×10−10 2.655×10+01 36 83 0,34167 0,34168 5,882×10−08 8,403×10−11 2,142×10+00 38 87 0,51641 0,51643 2,146×10−08 5,882×10−11 7,376×10−01 41 93 0,84950 0,84931 6,536×10−09 3,802×10−11 8,194×10−03 43 99 1,11697 1,11672 3.448×10−09 2.967×10−11 5.277×10−03 49 113 2,10110 2,10055 8,000×10−10 1,577×10−11 1,184×10−03 49 115 2,10110 2,10055 8,000×10−10 1,577×10−11 1,179×10−03 72 179 6.80490 6.80544 6.369×10−11 1.786×10−12 1.491×10−03 83 209 9.11260 9.10502 3.584×10−11 5.848×10−13 8.025×10−06 5 57 138 3,67249 3,67170 2,34×10−10 7,463×10−12 5,069×10−04 83 208 9.11260 9.10493 3,584×10−11 5.848×10−13 6.433×10−06 7 67 166 5.75836 5.75705 8.929×10−11 2.915×10−12 1.057×10−04 71 176 6,59569 6,59411 6,757×10−11 1,972×10−12 7,540×10−05 9 73 180 7,01409 7,01193 5,988×10−11 1,618×10−12 2,501×10−05 83 210 9.11260 9.11009 3.584×10−11 5.848×10−13 2.003×10−05 Introducción Cálculo relativista de la contribución hiperfina a la división de estructuras finas y a las probabilidades de transición Resultados y discusión

R-matrices in Rime

CPT-P49-2006 R-MATRICES EN RIME Oleg Ogievetsky* Centre de Physique Théorique†, Luminy, 13288 Marsella, Francia Todor Popov Instituto de Investigación Nuclear y Energía Nuclear, Academia Búlgara de Ciencias, Sofía, BG-1784, Bulgaria Resumen Reemplazamos el hielo Ansatz en soluciones de matriz de la ecuación Yang-Baxter por una condición más débil que llamamos rime. Las soluciones Rime incluyen la matriz estándar Drinfeld–Jimbo R-matrix. Soluciones de la ecuación Yang-Baxter dentro de la rime Ansatz que son al máximo diferentes de la norma uno que llamamos rime estricta. Una solución estricta no unitaria es parametrizada por un vector proyectivo Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Demostramos que en la dimensión finita esta solución se transforma en la matriz Cremmer-Gervais R por un cambio de base con una matriz que contiene funciones simétricas en los componentes de. Un estricto solución unitaria (la rima Ansatz está bien adaptada para tomar un límite unitario) en la dimensión finita se demuestra que es equivalente a una cuantificación de una r-matriz clásica “frontaria” de Gerstenhaber y Giaquinto. Analizamos la estructura de los bloques de corteza elemental y encontramos, como subproducto, que Todas las matrices R no estándar de tipo GL(11) se pueden describir uniformemente en forma de rima. Discutimos entonces las conexiones de las soluciones clásicas rime con los operadores de Bézout. El Bézout los operadores satisfacen la ecuación (no-)homógena asociativa clásica Yang-Baxter que está relacionada a los operadores de Rota-Baxter. Calculamos los operadores Rota-Baxter correspondientes al Bézout operadores. Clasificamos los soportes de Poisson: forman un lápiz tridimensional. Una forma normal de cada uno miembro individual del lápiz depende del discriminante de un determinado polinomio cuadrático. También clasificamos álgebras asociativas cuadráticas ordenadas cuadráticas Para la solución estándar Drinfeld-Jimbo, hay una elección de los multiparámetros, para los cuales puede ser no trivialmente rizado. Sin embargo, no todos los Belavin-Drinfeld triple admite una elección de la multiparámetros para los que se puede rizar. Damos un ejemplo mínimo. * De licencia de P.N. Instituto Físico Lebedev, Departamento Teórico, Leninsky prospekt 53, 119991 Moscú, Rusia †Unité Mixte de Recherche (UMR 6207) du CNRS et des Universités Aix–Marseille I, Aix–Marseille II et du Sud Toulon – Var; laboratoire affilié à la FRUMAM (FR 2291) http://arxiv.org/abs/0704.1947v3 Sumario 1 Del hielo al rime 3 2 Soluciones Rime Yang–Baxter 6 2.1 Matrices R no unitarias.......................... 6 2.2 R-Matrices de corteza unitarias. ............................... 7 2.3 Propiedades. ..................................... 7 3 R-Matrices Rime y Cremmer-Gervais 9 4 R-Matrices de corteza clásica 12 4.1 Caso no simétrico............................ 13 4.2 BD triplica. ...................................... 14 4.3 Caso skew-simétrico. ............................... 16 5 operadores de Bézout 20 5.1 Ecuación clásica no homogénea Yang-Baxter......................................................................................................................................................................................................................................................... 5.2 Cuantización lineal................................ 24 5.3 Significado algebraico............................. 25 5.4 Operadores de rotor-baxter............................ 26 5.5* Multiplicación............................................................................................................................................................................................................................................................ 6 corchetes Rime Poisson 30 6.1 Lápiz de rima........................................................................................................................................................................................................................................................... 6.2 Invarianza ................................... 33 6.3 Forma normal. ................................. 36 álgebras asociativas cuadráticas ordenadas 38 Apéndice A. Ecuaciones 40 Apéndice B. Bloques 41 B.1 Soluciones. ....................................... 41 B.2 GL(2) y GL(11) R-Matrices. ............................ 43 B.3 Riming..................................... 45 Apéndice C. Rimeless triple 47 Referencias 48 1 Del hielo al hielo Una clase bien conocida de soluciones Râ â € End (V V ), V es un espacio vectorial, de la ecuación Yang-Baxter YB(R+) = 0, donde YB(R®) := (R 11)(11)(R® 11)− (11 R®)(R® 11)(11) R®), (1) se caracteriza por la llamada condición de hielo (ver conferencias [21] para más detalles) que dice que puede ser diferente de cero sólo si el conjunto de la parte superior y el conjunto de los índices inferiores coinciden, kl 6 = 0 ♥ {i, j} {k, l}. 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Presentamos el “rime” Ansatz, relajando la condición de hielo: la entrada R® kl puede ser diferente de cero si el conjunto de los índices inferiores es un subconjunto del conjunto de los índices superiores, 6 = 0 ♥ {k, l} {i, j}. 3) Las matrices para las que posee se denominarán matrices de "corro". Figurativamente, en la corteza, en contraste al hielo, situación, poner una manzana y un plátano en una nevera, hay una amplitud no cero para encontrar a la mañana siguiente dos manzanas en su lugar (pero nunca una manzana y una naranja). La ecuación Yang-Baxter para una matriz R® es equivalente a la igualdad de dos reordenaciones diferentes de xiyjzk, utilizando xiyj = R kxl, xizj = R kxl y yizj = R kyl, a la forma z•y•x•. Uno de ventajas de la rime Ansatz es que sólo los índices i, j y k aparecen en esta última expresión. Otro ventaja es que para los valores fijos de i y j, los elementos x• e y• con estos valores de los índices forma un subsistema. Una matriz R rime tiene la siguiente estructura: = αij + βij + γij l + γ (sin resumen). 4) Para evitar redundancias, fijar βii = 0, γii = 0 = γ ii. Denotamos por αi los elementos diagonales ii, αi = αii. A lo largo del texto asumiremos que la matriz R® es invertible que, en particular, implica que αi 6= 0 para todos los i. El orden de crecimiento del número de incógnitas en el sistema Yang-Baxter para una matriz rime es n2, donde n = dimV. Las permutaciones arbitrarias y los rescalamientos de coordenadas conservan la condición de rima. Las matrices de hielo y rime están hechas de 4× 4 bloques de construcción elementales, respectivamente, Róšice = α1 0 0 0 0 β12 α12 0 0 α21 β21 0 0 0 0 α2 y Rime = α1 0 0 0 γ12 β12 α12 γ 21 α21 β21 γ21 0 0 0 α2 . 5) En el apéndice B se analiza la estructura de los bloques de 4×4 rimes. Llamamos a una matriz rime estricta si αijγij 6= 0 i y j, i 6= j. Tenga en cuenta que las matrices de rime estrictas son necesariamente no hielo. Proposición 1. Que RÃ3r sea una matriz de rima (4). Entonces Ró es una solución de la ecuación Yang-Baxter si es es de la forma = (1− βji) + βij + γij l − γji , (6) donde βij y γij satisfacen el sistema βijβji = γjiγij, (7) βij + βji = βjk + βkj =: β, (8) βijβjk = (βjk − βji)βik = (βij − βkj)βik, (9) γijγjk = (βji − βjk)γik = (βkj − βij)γik. (10) Prueba. El sistema Yang-Baxter de ecuaciones YB(R®) abc = 0 para una matriz rima se indica en el apéndice A. El subconjunto (257) - (259) junto con su imagen bajo la involución (256) dice ij(γij + γ ji) = 0 = αijγij(γji + γ ij), (11) αij(βijβji + γijγ ij) = 0 = αij(βijβji − γijγji), (12) ij(αij + βji − αi) = 0 = αijγij(αij + βji − αj), (13) ij(αji + βij − αi) = 0 = αijγij(αji + βij − αj). (14) Estas ecuaciones están implícitas por (y, en la situación de rima estricta, son equivalentes a) la siguiente sistema ij = ji, αij + βji = αi, αji + βij = αi, (15) βijβji = γjiγij. 16) Uno comprueba que otras ecuaciones YB(R®) abc = 0, para los cuales dos índices entre {i, j, k} son diferentes, seguir de (15) y (16). Las dos últimas ecuaciones de (15) implican αi = αj para todos i y j. Como un reescalado general de una solución de la ecuación Yang-Baxter por una constante es de nuevo una solución de la Ecuación Yang-Baxter, podemos, sin pérdida de generalidad, establecerlo en uno, αi = 1. (17) Eqs. (15) y (17) dan la forma (6) de la matriz R® y eq. (7). Usando (15), reescribimos el subconjunto (266) - (268) junto con su imagen bajo la involución (256) en la forma (βij + βji − βik − βki)γijγik = 0, (18) αij(βijβjk + βikβji − βikβjk) = 0 = αji(βjiβkj + βkiβij − βkiβkj), (19) αij(γijγjk + γik(βjk − βji)) = 0 = αji(γjiγkj + γki(βkj − βij). (20) Estas ecuaciones están implícitas por (y, en la estricta situación rime, son equivalentes a) eqs. 8), 9) y (10). Uno comprueba que otras ecuaciones YB(R®) abc = 0 con tres índices diferentes {i, j, k} seguir de el sistema (7)–(10). La prueba está terminada. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma 1. La solución rime Yang–Baxter R (6) es del tipo Hecke, 2 = βR (1− β)11 11. (21) Además, cuando β 6= 2, R es de tipo GL: tiene dos valores propios 1 y β − 1 con multiplicidades n(n+1) n(n−1) , respectivamente. Cuando β = 2 la matriz R® tiene una estructura jordana no trivial. Prueba. En vista de la estructura de bloques de matrices de rime es suficiente comprobar la relación Hecke (21) para un bloque elemental (4 × 4) que sigue de (7) y (8). Cuando β 6= 2 las multiplicidades m1 y m1 son soluciones del sistema m1 +m1 = n 2, m1 + (β − 1)m1 = n+ n(n− 1) β (­TrR­). (22).............................................................................................................................................................................................................................................................. Cuando β = 2 la matriz Râ € tiene sólo un valor propio 1 pero Râ = 6 = 11 11 debido a (7) y (8). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Las soluciones unitarias, R+2 = 11 11, se distinguen por el valor del parámetro β = 0. Lemma 2. Una solución de rima estricta Yang-Baxter R (6) se puede llevar a una matriz de rima = (1 − βji) + βij − βij , (23) es decir, a una solución (6) con γij = ij, por un cambio de base. Prueba. La condición de rima estricta αijγij 6= 0 implica βijβji 6= 0 en vista de (7). Por lo tanto, para una rima estricta R-matrix todos los βij y γij son no evasivos. La proporción de eqs. (9) y (10) está bien definido y sigue de eqs. 7) y 8) que: γijγjk βijβjk (βji − βjk)γik (βji − βjk)βik = ik γijγji βijβji = 1, (24) Ijjk = Ijjjji = 1, (25) en los que ij = − . Eq. (25) se resuelve por ij = con di 6= 0, i = 1,..., n, por lo tanto β’s y γ’s son relacionados por γij = − βij. 26) Un cambio de base con una matriz D, (D D) (D−1 D−1), (27) donde Dij = dj j, transforma R a la forma (23). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Bajo la estricta condición de rima, el sistema Yang-Baxter de ecuaciones (véase el apéndice A) reduce a eqs. 8) y 9). Sin embargo, la matriz (23), donde los parámetros βij están sujetos a eqs. 8) y (9) es una solución de la ecuación Yang-Baxter sin una suposición estricta. Observación. Los espacios cuánticos derecho e izquierdo están definidos por, respectivamente, kxl = xixj, xjxiR kl = xlxk ; (28) los espacios cuánticos impares de derecha e izquierda se definen por, respectivamente, kÃ3l = (β − 1)â € € € € €                          Rijkl = (β − 1)â                               29).............................................................................................................................................................................................................................................................. Supongamos que β 6= 2. El espacio par izquierdo es clásico1 así como el espacio impar derecho [xi, xj] = 0, i, â € TM ~ j ] = 0, (30) donde [, ] y [, ]+ representan el conmutador y el anti-commutador. Las relaciones por el derecho incluso el espacio son [xi, xj] + (βijx i + βjix j) xi − xj) = 0 ; (31) las relaciones para el espacio impar de la izquierda lean (2 - β)~2i + i (1 - β)i = 0, (32) (33) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • en los que ♥ = j â €                                                    2 soluciones de Rime Yang-Baxter En esta sección resolvemos eqs. (8) y (9) obteniendo así soluciones explícitas de Yang-Baxter. 2.1 R-Matrices de cortezas no unitarias Proposición 2. Las soluciones de rima estricta no unitaria Yang-Baxter (23) con un parámetro β = βji+ βij 6= 0 están parametrizados por un punto ................................................................................................................................................... 6= 0 para todos los i y 6= j para todos los i y j, i 6= j. Estas soluciones son dadas por βij = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * . (34) Prueba. Tomando la proporción de los siguientes pares de ecuaciones de (9) βijβjk = (βjk − βji)βik, βkjβji = (βji − βjk)βki (35) encontramos que las cantidades ηij = ij/βji verificar ecuaciones ηijηjk = ηik, ηijηji = 1, (36) 1Let R® ser una matriz R rime (no necesariamente estricta). Cuando β 6= 2, la siguiente declaración mantiene. Si (i) la izquierda par espacio es clásico (que implica que ij = ji, αij + βji = 1 y αi = 1 en nuestra normalización) y (ii) la R-matriz es Hecke (que implica que βij + βji = β) entonces el sistema de ecuaciones del apéndice A se reduce de nuevo a (7), (9) y (10) como en la situación de rima estricta. cuyas soluciones son ηij = ­i/­j para algunas constantes ­i 6= 0, i = 1,..., n. Sustitución de la relación βji = − βij en β = βij + βji, obtenemos βij − βij = β que establece (34). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Observación. Hay una parametrización diferente, βij = − * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * , de soluciones rígidas; está relacionado a la parametrización (34) por ­i 7 (­i)­1. Una comprobación directa muestra que no es necesaria la condición 6= 0: la fórmula (34) con 6= todos i y j, i 6= j, da una solución de rime de la ecuación Yang-Baxter. Sin embargo, cuando uno de los dos es 0, la matriz (23) no es más estricta. 2.2 R-Matrices de corteza unitarias Para una solución de rima estricta unitaria Yang-Baxter (23), R = 2 = 11, tenemos β = 0, así que βij = ji. Proposición 3. Las soluciones unitarias estrictas rime Yang-Baxter (23) son parametrizadas por un vector (μ1,. .., μn) de forma que μi 6= μj, βij = μi − μj . (37) Prueba. Desde βij = ji podemos reescribir βijβjk = (βjk − βji)βik como βijβjk = (βij + βjk)βik o . 38) Estas ecuaciones se resuelven por = μi − μj, (39) que es equivalente a (37). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Observación. Las matrices unitarias R de la Proposición 3 pueden obtenerse como límite β → 0 de las no- R-Matrices unitarias de la Proposición 2. De hecho, para la siguiente expansión de los parámetros.......................................................................................................................................................................................................................................................... Parámetro “pequeño” β, * i = 1 + i + o(β), (40) la expresión (34) tiene un límite (37), βij = β(1 + i + o(β)) i − j + o(β) ^0 βij = μi − μj . 41) 2.3 Propiedades 1. Denote la R-matriz (23) con βij como en (34) por R®( ). Dejar Râ € = PRâ € 12P, donde P es el operador de permutación. A continuación, se mantiene lo siguiente: R+21( ) = F −1 F−1 R12(1) F F, (42) donde F = diag(­1, ­2,......................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................... −1 es un vector con componentes 1i. Denote la R-matriz (23) con βij como en (37) por R®( ). A continuación, se mantiene lo siguiente: Râ ́21() = Râ ́12(). (43) 2. La R-matriz (23) es sesgo invertible en el sentido de que existe un operador R, que satisface (véase, por ejemplo, [21]) Tr2(R+12(R)23) = P13. (44) Las matrices de las trazas cuánticas izquierda y derecha (es decir, las trazas izquierda y derecha del sesgo inverso R), (QR)1 = Tr2((R)12) y (QR)2 = Tr1(R)12), se dan por las fórmulas j = jk l: l 6=k (1− βjl), k 6= j, y (QR)jj = (1− βjl) ; (45) (Q­R) j = βjk l: l 6=k (1- βlj), k 6= j, y (Q­R)jj = (1− βlj). (46) Las matrices QR y Q?R satisfacen QRQ?R = (1- β)n−111. Para (34), uno tiene Spec QR = Spec Q?R = {(1 − β)a, a = 0,...., n − 1}. El autovector wa() de la matriz QR con el valor propio (1 − β)n−1−a coincide con el vector propio de la matriz Q con el valor propio (1)a. Uno tiene (wa())j = ea(), donde ei () es el i-th elemental simétrico función de (­1, ­2,. ............................................................... Para (37), la forma jordana de la matriz QR, así como de QûR, no es trivial: es un solo bloque. En la base {wi()}, i = 0, 1, 2,...., n− 1, donde (wi()j = ei (), uno tiene QR wi() = n− 1− s ws(). (47) 3. Para una R-matriz R®, el grupo de matrices invertibles Y satisfactorias R+12Y1Y2 = Y1Y2R+12 (48) forma el grupo de invarianza GR de Ró. Las matrices QR y QūR también pertenecen al grupo de invarianzas como las matrices proporcionales a la matriz de identidad. Uno puede escribir fórmulas para el grupo GR para una matriz R (23) uniformemente en términos de βij como en (45) y (46), pero las propiedades son diferentes en los casos no unitarios y unitarios y los describimos por separado. 3a. El grupo de invarianza G R( ) para la R-matriz R®( ) es 2-paramétrico. Se compone de matrices Y (u, v), u, v 6= 0, donde Y (u, v) l:l 6=j ............................................................................................................... * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * e Y (u, v)ij = (u - v) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * l:l 6=i,j ............................................................................................................... * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * , i 6= j. (49) Uno tiene R( ) = Y (1- β, 1), Q R( ) = Y (1, 1 − β). (50) La ley de composición es la multiplicación por componentes de los parámetros {u, v}, Y (u1, v1)Y (u2, v2) = Y (u1u2, v1v2). (51) El punto u = v = 1 corresponde a la matriz de identidad, Y (1, 1) = 11; el determinante de Y (u, v) es (uv)n(n−1)/2; u = v corresponde a escalas globales; el componente conectado de la unidad de la subgrupo SG R( ) que consiste en matrices con determinante 1 es uv = 1; el generador η de la conexión componente de unidad del subgrupo SG R( ) es sin trazas y lee ηij = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * , i 6= j, y ηjj = − l:l 6=j * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * . (52) 3b. Para la R-matriz R®( ), el grupo SGR( ), que consiste en matrices con determinante 1 es 1-paramétrico también. Está formado por matrices Y (0)(a), donde Y (0) a) l:l 6=j μj − μl ) e Y (0)(a)ij = μj − μi l:l 6=i,j μj − μl ), i 6= j. (53) La expresión (53) se puede obtener tomando un límite de (49), similar a (41) y dejando adicionalmente u = 1 + aβ/2 + o(β) y v = 1− aβ/2 + o(β). Uno tiene QR( ) = Y (0)(−1), QūR( ) = Y (0)(1). (54) La ley de composición es Y (0)(a1)Y (0)(a2) = Y (0)(a1 + a2). El punto a = 0 en (53) corresponde a la matriz de identidad, Y (0)(0) = 11; el generador η(0) de la grupo de invarianza SGR( ) es (η(0))ij = μj − μi , i 6= j, y (η(0))jj = l:l 6=j μj − μl . (55) 3 R-Matrices Rime y Cremmer-Gervais El Cremmer-Gervais R-matrix surge en las relaciones de intercambio de los operadores de vértice quiral en el álgebra de Virasoro ampliada no linealmente W [6]. La solución Cremmer-Gervais [6] del Yang– La ecuación de Baxter en su forma general biparamétrica lee (véase, p. ej. [17]; utilizamos una matriz reescalada con eigenvalues 1 y −q−2) (RÃ3CG, p) kl = q −2­jpi­j­il­ k + (1− q s: i≤s<j pi-s-s-s-sk-s- i+j−s l − (1− q s: j<s<i pi-s-s-s-sk-s- i+j−s l, (56) en la que se encuentra la función escalonada (lj = 1 cuando i > j y lij = 0 cuando i ≤ j). El valor del parámetro p = q2/n especifica el SL(n) Cremmer–Gervais R-matrix (su giro diagonal siendo la solución GL(n) (56)). La solución Cremmer-Gervais es un giro no diagonal del estándar Solución Drinfeld-Jimbo [18, 9]. Dejemos que RÃ3CG := RÃ3CG,1, es decir, la solución (56) con p = 1. La matriz D(p)ij = i−1 (57) con una p arbitraria que satisface (R­CG)12D(p)1D(p)2 = D(p)1D(p)2(R­CG)12. Se observó en [10] que si R+12D1D2 = D1D2R+12 para una matriz R+ y el operador D+D+12D 1 es de nuevo una R-matriz (esta operación también se utilizó en [15] para cambiar parcialmente las estadísticas de fantasmas en el super-simétrico situación). La matriz dos-paramétrica RÃoCG,p (56) se puede obtener de la matriz Cremmer-Gervais RócCG por esta operación también, (R­CG,p)12 = D(p)1(R­CG)12D(p) 1. (58) Que RÃ3 sea la matriz de rima no unitaria de la ProposiciÃ3n 2. Proposición 4. La matriz R® se transforma en la solución de Cremmer-Gervais R®CG Râ = (X X) Râ CG (X−1 X−1) (59) por un cambio de base con la matriz invertible Xkj = ej−1 (­1,. .............................................................. ..... n) =: e j−1 (60) cuyo inverso es (X−1)ji = (−1)j−1/23370/n−ji k:k 6=i (­)............................................................................................................................................................................................................................................................. . (61) Aquí el sombrero por encima de la j significa que esta entrada se omite en la expresión y ei son el elemental polinomios simétricos ei(x1,. .., xN ) = s1<...<si xs1xs2. .. xsi. Los parámetros proyectivos (­1 : ­2 : . ............................................................................................................................................................................................................................................................... el parámetro q en RÓCCG por q−2 = 1− β. (62) Prueba. Debido a la fórmula de interpolación Lagrange, la matriz, inversa a la matriz Vandermonde V jk j,k=1 = k es (V −1)kj = (−1)j−1ekÃ3j−1 l:l 6=k (l)............................................................................................................................................................................................................................................................. . (63) La matriz X (60) tiene la forma X = DV −1 d, donde Dmk = l:l 6=k(l) y dij = (−1)j−1 son matrices diagonales n×n. Así, su inversa es X−1 = d−1 V D−1, que establece (61). Ahora probamos la identidad de la matriz (59) en la forma Râ ́(X X) = (X X) Râ ́CG. (64) La sustitución de la forma explícita de la matriz rime Râr (23) por βij = i/(Łi − Łj) y RârCG (56) reduce (64) a un conjunto de relaciones entre los polinomios simétricos eâk−1 l−1 = eîa−1e b - 1 (R-CG) kl. (65) Hay dos subcasos: i) i = j y ii) i 6 = j. i) El lado izquierdo del eq. (65) con i = j es sólo eîk−1e l−1 debido a la rima. Eq. (65) es satisfecho debido a la relación de simetría (RACG) kl =  l +  k − (RÃ3CG)bakl. ii) Para i 6= j eq. (65), donde q−2 = 1− β, reduce, después de algunas manipulaciones algebraicas, a * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * k−1 − je k−1)(e l−1 − e s: s≥máx(1,k−l+2) (eîl+s−2e k−s − e l+s−2e k−s), 1 ≤ i, j, k, l ≤ n. De hecho, la suma en el lado derecho va hasta s = min(k, n + 1 − l) ya que es = 0 cuando r ≥ n − 1; Además podemos iniciar la suma de s = 1 porque cuando 1 < k−l+2 la suma para 1 ≤ s ≤ k−l+1 es anti-simétrico bajo k − l + 2− s y por lo tanto desaparece. Para probar (66) escribimos er = e r + Łie r−1; por lo tanto e r = e r + Łje r−1 y e r = e r + Łie r−1 y eq. (66) pasa a ser • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • l−2 = (­ • • • • j) l+s−2e k−s−1 − e l+s−3e k−s). (67) La suma en los telescopios laterales derecho al valor de (−el+s−3e k−s) en s = 1, es decir, a (−e l - 2). La prueba está completa. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Cabe señalar que la matriz X = X() no depende de q. El cambio de la base con la matriz X( )X( )−1 transforma la matriz R ( ) a R( ). Tenemos (X( )X( )−1)ij = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (lj − k) l:l 6=j (lj − l) La estructura de las matrices X y X-1 muestra que cuando la dimensión es infinita, las matrices R Róg,1 y Róg() (así como las R-Matrices Róg() y Róg() para diferentes y ′) en general no equivalente. El plano cuántico uniforme derecho para la matriz Cremmer-Gervais R.C.G.,1 está definido por lo siguiente: ecuaciones yiyj = q2yjyi + (q2 − 1)(yi+1yj−1 +... + yj−1yi+1), i < j. (69) Si i+1 < j − 1, se utiliza la fórmula (69) recursivamente para obtener las relaciones de orden. El cambio de base con la matriz X, eîj−1y j, (70) transforma el plano cuántico (69) en el plano cuántico rime (31) exhibiendo dos coordenadas: Subplanos dimensionales. El cambio de base (70) puede ser escrito en términos de una “función generadora”: ej(?1,. ............................................................... j. (71) . (72) Observación. El estándar Drinfeld–Jimbo R-matrix admite, para una cierta elección de multi-parámetros, un diferente forma rime. Las relaciones uivj = (RÃ3c) kul para esta elección son uivi = viui, uivj = vjui + (1− q−2)viuj, i < j, uivj = q−2 vjui, i > j. El espacio par izquierdo para esta R-matrix es clásico. El cambio de variables con la matriz X U i := u1 + u2 + · · ui, V i := v1 + v2 + · · vi, (74) transforma las relaciones (73) en U iV i = V iU i, U iV j = V jU i + (1− q−2)V iU j − (1− q−2)V iU i, i < j, U iV j = q−2 V jU i + (1− q−2)V jU j, i > j. La matriz X, definida por eq. (60), se degenera si i = Łj para algunos i y j. Curiosamente, la R-matriz X XRóc X−1 X−1 admite límites lim(2)→0 lim(3)→0. .. lim(n)→0 para un arbitrario permutación  Sn y el resultado es siempre rime. En particular, X. X.R.c X. 1 X. = lim . .. lim X XRÃ3c X−1 X−1. (76) 4 Clásicas R-Matrices El límite clásico de una R-matriz es una r-matriz clásica, una solución del clásico Yang-Baxter (cYB) ecuación [r12, r13] + [r12, r23] + [r13, r23] = 0. (77) Vamos a mostrar que los límites clásicos de las R-Matrices de la sección 2 son equivalentes a las matrices r de Cremmer-Gervais en el caso no simétrico del skew y a la matriz r de límites de Gerstenhaber y Giaquinto [14] (véase también [4]; esta matriz r se atribuye a A. G. Elashvili allí) en el caso simétrico del sesgo. Equivalencias similares aparecieron en el estudio de las transformaciones del calibrador de las matrices r dinámicas en el modelo Calogero-Moser [12, 13] 2. En la secuela usamos las siguientes convenciones. Una matriz R actúa en el espacio V V. Una base de V es {ei} (marcado por un índice inferior); un operador A en V tiene coeficientes de matriz Aji, A(ei) = A i ej, así que para un vector ~v = viei uno tiene (A~v) i = Aij~v j ; las unidades de matriz son eij, e j(ek) =  kej, por lo que la multiplicación regla es eije l =  j ; eαi son los elementos de raíz sl(n) positivos simples, eαi = e i ; P es la permutación operador, P (ei ej) = ej ei, así que P (eij ekl) = eil ekj y (PB)klij = Blkij para un operador B en V V que tengan coeficientes de matriz Bklij, B(ei ej) = Bklij ek el. 4.1 Caso no simétrico Proposición 5. La matriz R no unitaria de la corteza (Proposición 2) es una cuantificación de la non-skew- r-matriz simétrica i,j:i 6=j * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (eij e i − e i e j + e i Eij), (78) donde x y := x y − y x. El cambio de base con la matriz Xjk = ek−1 (­1,. .............................................................. ............................................................... transforma r en la solución cYB libre de parámetros rCG rCG = i,j:i<j (ei+s−1j e j−s+1 i − e i+s−1 i e j−s+1 j ). (79) Prueba. Los coeficientes βij (34) son lineales en el parámetro de deformación β (β = 0 es el clásico punto). Por lo tanto R = 11 11 + βr, (80) donde R = PR® y r es dado por (78). La matriz RCG−1111, donde RCG = PRÃ3CG, es lineal con respecto al parámetro β = 1−q−2 así, RCG = 11 11 + β rCG (81) por lo tanto la fórmula (59) implica r = (X X) rCG (X−1 X−1). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Mencionamos dos formas de obtener la R-matriz numérica dos-paramétrica (R-CG,p) de la R- matriz (RÃ3CG,1): por un giro diagonal y por la operaciÃ3n (58). Hay una manera más que consiste en de cambiar la representación. Lo ilustraremos sobre el ejemplo de la clásica matriz GL r (79). Un cambio de representación de la Lie álgebra GL, eij 7→ eij + c /23370/ij11, (82) 2Agradecemos a László Fehér por llamar nuestra atención sobre las referencias [12, 13]. donde c es una constante, produce el siguiente efecto sobre la matriz r (79): rCG 7→ rCG + c η 11− 11 η − (n− 1)11 11 , (83) donde n =dimV y η = − n(n+1) j, tr η = 0. (84) La versión clásica de la operación (58) es la siguiente. Dejar η ser un generador arbitrario de la grupo de invarianza de una r-matriz r, [r, η1 + η2] = 0. (85) Entonces el operador r(c) = r + c(η1 − η2), (86) donde c es una constante, es de nuevo una r-matriz clásica (una solución del cYBe). El operador η en (84) es, hasta una escala, el único generador sin trazas del grupo de invarianza (véase (57)) de la matriz r (79). Por lo tanto, el cambio de representación y la operación (86) dan la misma familia de R-Matrices (hasta una adición de un múltiplo del operador de la identidad, que no viola el CYBe). 4.2 BD triplica. Cada bloque en la estricta r-matriz clásica (78) se ve aún más “decorado”, 0 0 0 0 12 12 21 21 12 12 21 21 0 0 0 0 , (87) donde ij = βij/β = La multiplicación de la izquierda por P actúa en cada bloque como un permutación de las líneas segunda y tercera, por lo que la r-matriz rime (87) disfruta de la simetría Pr = −r. Ahora discutiremos esta propiedad de simetría en el contexto de los triples de Belavin-Drinfeld. En [3] Belavin y Drinfeld dio, para un simple álgebra de Lie g, una descripción de no unitario (no- soluciones cYB r g g, satisfaciendo r12 + r21 = t, donde t g g es el g-invariante elemento. Las soluciones no unitarias se ponen en correspondencia con objetos combinatorios llamados Belavin-Drinfeld se triplica (triples BD para abreviar). El triple de Belavin-Drinfeld (Π1,Π2, Lie álgebra g consiste en los siguientes datos: Π1,Π2 son subconjuntos del conjunto de raíces positivas simples Π del álgebra g y ♥ es un mapeo invertible: Π1 → Π2 tal que ( En los casos en que se definan «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o «k» o». La matriz r para un triple (Π1,Π2, ­) tiene la forma r = r0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + α,: e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e- donde < es un orden parcial en el conjunto de raíces positivas definido por la regla: α < β para α, β si existe una k natural de tal manera que Łk(α) = β. La parte r0 pertenece a h h, donde h es el Cartan subalgebra de g; r0 contiene “multiparámetros” continuos, que satisfacen .............................................................................................................................................. (89) Estamos tratando con soluciones de matriz r de la ecuación de cYB, r gl(n) gl(n), por lo que r12 + r21 puede ser una combinación lineal de P y 11 11. Let Π = â € 1,. .., αn−1} ser el conjunto de las raíces simples positivas para el Lie álgebra sl(n). Hay dos Cremmer-Gervais BD triples, T+ y T−. Para el Cremmer-Gervais triple BD- T+ triple, Π1 = +1, α2,. ..., αn−2}, Π2 = +2, α3,. ..., αn−1} y ♥(αi) = αi+1. Los datos (Π1,Π2, ­) está codificado en el gráfico . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • El triple T− se puede obtener del triple T+ bien mediante el ajuste Π 1 = Π2, Π 2 = Π1 y  ′ = 1 o mediante la aplicación del automorfismo externo del diagrama subyacente de Dynkin An−1; el gráfico correspondiente al triple T- es . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • La matriz r (79) corresponde al triple (90) para una determinada elección de los multiparámetros. Aquí está. la r-matriz r′ correspondiente al triple (91) r′CG = i,j:i<j (eij−s+1 e i+s−1 − e j−s+1 e i+s−1) (92) para una determinada elección de los multiparámetros, para los que satisface r′P = −r′. Para las matrices r (79) y (92) uno tiene r12+ r21 = P −1111. La parte cartán de las matrices r (79) y (92) r0 = − i,j:i<j eii e j, r 0 = − i,j:i<j * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * i. (93) El siguiente lema muestra que una r-matriz clásica r para un triple T puede tener una simetría con respecto a la multiplicación por P por un lado si y sólo si todos los segmentos (componentes conectados) de Π1 son cartografiados por  de acuerdo con (90) o (91). Lemma 3. Un r-matriz clásico no simétrico con datos de Belavin-Drinfeld (Π1,Π2, ) puede satisfacer Pr = −r (respectivamente, rP = −r) para una determinada elección de los multiparámetros si y sólo si (αi) = αi+1 (respectivamente, (αi) = αi−1) para todos los i+ Π1. Prueba. Supóngase que (αm) = αm+k para algunos k naturales, k ≥ 1. Entonces r contiene el término em+km+k+1 con el coeficiente 1. Tal r-matriz no puede satisfacer rP = −r para si rP = −r entonces r contiene el término m+k+1 • em+km con el coeficiente (−1), pero el coeficiente en e• • eβ es 1 en la fórmula (88). Si Pr = −r entonces r debe contener también el término em+1m+k+1 m. Se deduce entonces que (i) el subalgebra Lie generada por Π1 contiene e m por lo tanto el intervalo [αm, αm+1,. ..., αm+k−1 está incluido en el artículo Π1; (ii) el subalgebra Lie generada por Π2 contiene e m+k+1 por lo tanto el intervalo [αm+1, αm+2,. .., αm+k] está contenido en Π2; iii) la imagen del intervalo [αm, αm+1,. ...., αm+k−1...................................................................................................................................................................................................................................................... .., αm+k]. Esto implica que el intervalo [αm+1, αm+2,. ...., αm+k−1...................................................................................................................................................................................................................................................... contradice a la nilpotencia de ♥ a menos que este intervalo esté vacío, es decir, k = 1. Del mismo modo, rP = −r sólo es posible si ­(αi) = αi−1 para todos los i • Π1. Se deja para demostrar que cuando Ł(αi) = αi+1 (respectivamente, ♥(αi) = αi−1) para todos i • Π1 el multipa- los rametros pueden ajustarse efectivamente para cumplir Pr = −r (respectivamente, rP = −r). Lo dejamos como un ejercicio para que el lector compruebe que con la asignación (93) para r (respectivamente, para r′) la compatibilidad se verifica la condición (89). La prueba está terminada. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Observación. Dos BD extremos triples se pueden rimed, el vacío (Drinfeld-Jimbo) uno y el “maximal” Cremmer-Gervais uno. Sin embargo, no cada triple se puede rimed: ya el triple O • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • proporciona un contraejemplo. Delineamos una prueba asistida por computadora en el apéndice C. 4.3 Caso skew-simétrico Una r-matriz clásica sesgada y simétrica r â € g â € g se asocia canónicamente con una mentira cuasi-Frobenius subalgebra (f, ) de g (véase, por ejemplo, [24]). Una Lie álgebra f que admite un 2-cociclo no degenerado es se llama cuasi-Frobenius; es Frobenius si es un cobordario, es decir, (X,Y ) = ([X,Y ]) para algunos. Describimos ahora la matriz r simétrica sesgada que surge en el límite clásico de la rima unitaria R-matriz de la Proposición 3. Proposición 6. La R-matriz de la rima unitaria (Proposición 3) es una cuantificación del sesgo-simétrico r-matriz i,j:i<j μi − μj (eij − e j) • (e) i − e i) gl(n) gl(n). (95) Esta matriz clásica r-matriz sesgada y simétrica corresponde a un álgebra de la Lie Frobenius (g0(n), n) extendida por los generadores Zij := e j − e j, i 6= j, con la estructura Frobenius determinada por el cobordario de la 1-cochain ♥n = − i,j:i 6=j j, donde {zij}, i 6= j, es la base en g*0(n), dual a la base {Zij} en g0(n), zij(Z l ) =  Prueba. Introducción artificial de un pequeño parámetro c por un reescalado μi 7→ c−1μi en la fórmula para la R-matriz R® en la Proposición 3 da R = 11 11 + c r, (96) donde r es dada por (95). Las matrices n(n− 1) Zij := eij − e j, i 6= j, formar una subalgebra asociativa del álgebra matricial, l = (l (Zki − Z li) (97) (establecimos Zii = 0 para todos los i); con respecto a los conmutadores estas matrices forman una Lie subalgebra g0(n) del álgebra de Lie gl(n), g0(n) gl(n): [Zij, Z i ] = Z i − Z j, [Z i, Z i ] = Z i − Z i, [Z j, Z ] = Z - Zik, i 6= j 6= k 6= i, (98) todos los demás paréntesis desaparecen. La solución simétrica sesgada (95) de la ecuación cYB, i,j:i<j Zij Ł Z μi − μj , (99) no es degenerado en la subalgebra portadora g0(n). El subalgebra portadora g0(n) es necesariamente cuasi- Frobenius, que tiene un 2-cocicleta............................................................................................................................... (ZA, ZB) = rab, donde r ABrBC = C, r = rABZA ZB. (100) Tenemos (Zij, Z) l ) = −(μi − μj) . (101) Es fácil comprobar que el 2-ciclo es un cobordario, (Zij, Z) l ) = n([Z] j, Z l ]), n = − i,j:i 6=j j g*0(n), (102) Por lo tanto, el subalgebra g0(n) es Frobenius. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La “Frobenius” r-matriz (95) (y su cuantificación) fue considerada en la obra [2]. Proposición 7. La matriz clásica de r-matriz simétrica sesgada (95), r = i<j(μij)−1Zij i, donde μ = (μ1, μ2,. .., μn) es un vector arbitrario tal que μi 6= μj, pertenece a la órbita del parámetro libre r-matriz clásica i,j:i<j ei+ki j−k+1 j. (103) Más precisamente, r = AdXμ AdXμ(b), (104) donde el elemento Xμ • GL(n) está definido por (Xμ)jk = ek−1 (μ1,. .............................................................. ., μn). 3Esta matriz es la misma X que en la Proposición 4, pero dependiendo de las variables μi. Prueba. La igualdad r = AdXμ AdXμ(b) es equivalente a un conjunto de relaciones para el elemental funciones simétricas ei, (Xμ Xμ) b = r (Xμ Xμ) eîr−1e s−1 b l−1, (105) donde j−k+1 (+ + + + + − + + + + + + + + + + + + − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ♥i−k+1a  y r (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgualuna) (lgual) b + ♥ • • • # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (μi − μj), i 6 = j, 0, i = j. Ambos operadores b ab y r ab son simétricos en los índices inferiores y anti-simétricos en los índices superiores, es decir, Pb = −b, bP = b y Pr = −r, rP = r. (106) Eqs. (105) tienen el siguiente formulario: (eîb+s−2e a−s−1 − e b+s−2e a−s−1) = μi − μj (eîa−1 − e a−1)(e) b−1 − e b−1). (107) Debido a (66), el lado izquierdo de (107) es igual a μi − μj a−2 − μje a−2)(e) b−1 − e b−1). (108) El lado derecho de (107) es igual a (108) también porque eîa−1 = ea−1 − μieîa−2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Como en el caso no simétrico, en la dimensión infinita los operadores b y r son en general no equivalente. La solución sl(n) cYB. Let I = i=1 e i ser el elemento central de gl(n). Los generadores Z‡ij = Z (98) Por lo tanto, forman una subalgebra gœ0(n) de la Lie álgebra sl(n) que es isomórfica a g0(n), gœ0(n) g0(n). Este isomorfismo da lugar a otro la solución de la ecuación cYB, i,j:i<j Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J. μi − μj • sl(n) • sl(n). (109) Tenemos el siguiente lema sobre el portador Lie álgebra de r por los grupos electrógenos Zśij). Lemma 4. El subalgebra g­0(n) sl(n) de dimensión dim g­0(n) = n(n − 1) es isomórfico a la subalgebra parabólica máxima p de sl(n) obtenida eliminando la primera raíz negativa. Prueba. El vector v = i=1 ei es un vector independiente para todos los elementos Z Zśij(v) = v para todos i y j, i 6= j. (110) En una base en la que el primer vector es v, el espacio lineal de los generadores Z ∗ ∗. ................................................................................... 0 * * * 0 *. ................................................................................... , (111) con la condición sin trazas. La comparación de dimensiones termina la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Gerstenhaber y Giaquinto [14] encontraron una clásica r-matrix bCG que llamaron “frontario” porque se encuentra en el cierre del espacio de solución de la ecuación YB. La solución de cYB bCG corre- sponds a una subalgebra de Frobenius (p), donde p es la subalgebra parabólica de sl(n) como arriba y el El 2-cociclo es un cobordario,  = bCG, bCG = (eii+1) * p*................................................................................................................................................. (112) La matriz r bCG es un giro de b (véase [8]). Dado que los portadores de rс y bCG son isomórficos, las matrices r son equivalentes. Ahora probaremos que la misma matriz Xμ transforma bCG en r Proposición 8. El límite clásico bCG sl(n) sl(n) sl(n), bCG = ) eii e i,j:i<j ei+ki j−k+1 j, (113) se transforma en la solución de cYB, r.............................................................................................................................................. i,j:i<j Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J. μi − μj , en la que Zśij = e j − e eii, (114) mediante un cambio de base con la matriz Xμ • GL(n), r = AdXμ AdXμ(bCG). (115) Prueba. Debido a la Proposición 7 tenemos r = AdXμ AdXμ(b). La solución de cYB bCG es la suma de b y otros términos, bCG = b + i,j(1 − ) eii e j. Por lo tanto, basta con demostrar que r? − r = AdXμ AdXμ(bCG − b). Uno tiene r̃ − r = 1 i,j:i 6=j μi − μj , bCG − b = I (1 a j) j. (116) Así que tenemos que demostrar que (1 a j) i,j:i 6=j μi − μj Xμ, (117) que equivale a las siguientes identidades para las funciones simétricas elementales: (1− b− 1 )eîb−2 = j:j 6=i b−1 − e μi − μj . (118) Reemplazar, en el lado derecho, e b−1 por e b−1 + μie b−2, e b−1 por e b−1 + μje b−2 y notando que c = (n − c)ec, c = 1, 2,...., n (para las funciones simétricas elementales en n variables) termina el prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. El paso a la solución sl(n) es otra instancia del cambio de representación. Generalidades cambio de representación (82) produce el siguiente efecto sobre la matriz numérica r (103): b 7→ b− cη(0) • 11, (119) donde η(0) es el generador del grupo de invarianza de la matriz r (103), η(0) = (n− j)ej+1j. (120) El cambio de representación y la operación (86) producen la misma familia 1-paramétrica (119) de Matrices r simétricas sesgadas. La elección c = −1/n corresponde a la r-matriz bCG. 5 operadores de Bézout El operador Bézout [5] es el siguiente endomorfismo b(0) del espacio P de polinomios de dos variables x e y: b(0)f(x, y) = f(x, y)− f(y, x) o b(0) = (I − P ), (121) donde I es el operador de identidad y P es una permutación, Pf(x, y) = f(y, x). Para cualquier n natural, la Pn subespacial de polinomios de grado inferior a n en x e inferior a n en y es invariante con respecto a el operador b(0). La matriz de la restricción de b(0) a Pn, escrita en la base {xayb} de poderes (en orden decreciente) coincide con el operador (103). La matriz no simétrica (79) es la matriz del operador (I − P ) (122) en esta base. Las bases rimas están formadas por polinomios Lagrange no normalizados {li(x)lj(y)}, li(t) = s: s 6=i (t- Łs), en los puntos i}, i = 1, 2,..., n. Llamaremos a los operadores b(0) y b Bézout R-Matrices. Las matrices Bézout fueron redescubiertas en varios contextos diferentes relacionados con la ecuación Yang-Baxter (excepto el hecho de que son la Cremmer-Gervais R-Matrices, aparecen, por ejemplo, en [7] y [19]. La matriz estándar r(s), para la elección de los multiparámetros para los que puede ser no trivial rimed (véase la observación al final de la sección 3), tiene la siguiente forma en términos de polinomios r(s) : xiyj 7→ فارسى(i− j)xiyj − فارسى(j − i)xjyi. (123) Los subespacios Pn son invariantes con respecto a r Las propiedades de las matrices Bézout b(0) y b (y del operador r(s)) se vuelven más trans- padre cuando son vistos como operadores en polinomios. En particular, (b(0))2 = 0, b(0)P = −b(0), Pb(0) = b(0), b(0) + b(0)21 = 0, (124) b2 = b, bP = −b, b+ b21 = I − P, (125) (r(s))2 = r(s), r(s)P = −r(s), r(s) + r(s)21 = I − P. (126) La descripción de los grupos de invarianza de los operadores b(0) y b es especialmente transparente cuando estos operadores son vistos como operadores en los espacios de polinomios. Que los derivados sean x y ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ sean los derivados en x e y. Tenemos (x + y) = 0 lo que implica que el x es el generador de la invarianza grupo de b(0); el grupo está formado por traducciones. Del mismo modo, (xlx + y.y.) = 0 lo que implica que x-x es el generador del grupo de invarianza de b; el grupo está formado por dilataciones. La operación (86) implica que los operadores b(0) + c(lx − ly), b+ c(lxx − ly) (127) son soluciones del cYBe (la versión cuántica también es fácil) para una constante arbitraria c. 5.1 Ecuación de Yang-Baxter clásica asociativa no homogénea Los operadores b(0), b y r(s) satisfacen una ecuación más fuerte que el cYBe. Para un endomorfismo r de V V, definir r r := r12r13 + r13r23 − r23r12, r r := r13r12 + r23r13 − r12r23. (128) La ecuación r r = 0 (así como r r = 0) se llama ecuación asociativa clásica Yang-Baxter (acYbe) [1, 20]. Presentamos una ecuación clásica no homogénea Yang-Baxter (nhacYBe): r • r = cr13, (129) donde c es una constante. Dejar F ser el espacio de polinomios en una variable. Para el espacio F F de polinomios en dos variables, denotamos por x (respectivamente, y) el generador de la primera (respectivamente, segundo) copia de F. Para F F F, los generadores se denotan por x, y y z. Lemma 5. 1. Dejar M ser un operador en el espacio F F. Supongamos que M(xf) = f + yM(f), (130) M(yf) = −f + xM(f) (131) para un f F F. Entonces4 M (xF ) = zM (mF ), M (yF ) = xM (mF ), M (zF ) = yM (mF ) (132) para una F arbitraria F F F F. 2. El operador M = b(0) verifica (130) y (131). 3. Además, la solución única de eqs. (130) y (131) (para el operador M en el espacio F F) junto con la condición “inicial” M(1) = 0 es M = b(0). Prueba. Un cálculo directo. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Proposición 9. 1. El operador Bézout b(0) satisface el acYBe. 2. El operador Bézout b y el operador r(s) satisfacen el nhacYBe con c = 1. Prueba. Un cálculo directo para b(0). Otra manera es notar que las relaciones (132) para M = b(0) reducir la verificación de b(0) • b(0)(F) = 0 para un monomio F • F F F al caso F = 1, que Es trivial. Para el operador de Bézout b xb(0) (x aquí es el operador de multiplicación por x), tenemos, para un Arbitraria F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # b • b (F ) = xb(0)12 (xb 13 (F )) + xb 13 (yb) 23 (F ))− yb 23 (xb) 12 (F )) 13 (F ) + yb 13 (F ) + xyb 23 (F )− xyb 12 (F ) 13 (F ) + xyb (0) b(0)(F ) = b13(F ). (133) Usamos eq. (130) para b(0) en la segunda igualdad. Para el operador r(s), la identidad * (i− k) * (i− j) + (i− k) * (j − k) * (i− j) * (j − k) = (i− k) * (i− k) * (i− k) * (i− k) para la función de paso es útil. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En cada uno de los casos (124-126), el operador r satisface una ecuación cuadrática r2 = u1r+u2I, la relación r + r21 = αP + βI con algunas constantes α y β y el nhacYBe con alguna constante c. Varios comentarios generales sobre las relaciones entre las constantes que aparecen en estas ecuaciones están en orden Aquí. 4Eq. M (xF ) = zM (M (F ) sigue de (130) solo. 1. Supongamos que una r-matriz (una solución del cYBe) satisface r r = cr13. Entonces r r = cr13. Tomando las combinaciones (r-r- cr13)-P23(r- r- cr13)P23 y (r-r- cr13)-P12(r- r- cr13)P12, encontramos r13(Sr)23 − (Sr)23r12 = c(r13 − r12), (Sr)12r13 − r23(Sr)12 = c(r13 − r23), (135) donde (Sr)12 := r12 + r21. Si (Sr)12 = αP12 + βI con algunas constantes α y β, como en (124-126), entonces se deduce de (135) que (β − c)(r13 − r12) = 0 por lo tanto c = β. (136) Esto explica el valor de la constante c en el lema 9. 2. Para un endomorfismo r de V V, asumir que r r = βr13 y (Sr)12 = αP12 + βI. Entonces P23(r-r- βr13)P23 = r13r12 + r12r32 − r32r13 − βr12 = r13r12 + r12(αP23 + βI − r23)− (αP23 + βI − r23)r13 − βr12 = r r − βr13. (137) Así, si (Sr)12 = αP12 + βI entonces r • r = βr13 implica r r = βr13. 3. Asumir que r = cr13 para un endomorfismo r de V V. A continuación, para r = r+ aI + bP, a y b son constantes, tenemos bP13(Sr)23 − a(a+ c)I − bcP13 + b2P23P12. (138) Si, además, (Sr)12 = αP12 + βI, entonces a(c+ a)I + b(β − c)P13 + b( b)P23P12. (139) Esto muestra que la ecuación r • r = c1r13 + c2I + c3P13 + c4P23P12, c1, c2, c3 y c4 son constantes, se reduce a r ­ r = c­1r13 + c­3P13 por un desplazamiento r 7→ r + aI + bP. En caso de que r • r = βr13 y (Sr)12 = αP12 + βI, entonces a(β + a)I + b)P23P12. 140) La combinación P23P12 no aparece para b = 0 o b =. La opción b = corresponde, módulo un desplazamiento de r por un múltiplo de I, a r 7→ r21, por lo que consideramos sólo b = 0. Entonces, con la elección a = encontramos que el operador r?= r − βI satisface el nhacYBe (y (Sr)12 = αP12 − βI). Por la elección a = /2 encontramos que el operador r̃ = r − Yo satisfizo r.............................................................................................................................................................................................................................................................. , (Sr贸)12 = αP12. (141) En particular, el operador 2 x - y) P (142) satisface (141) con β = 1 y α = −1. Además, bû2 = 1 4. Suponga que r2 = ur + v y r12 + r21 = αP12 + βI para un endomorfismo r de V V. la relación r12 − βI = αP12 − r21 y utilizando la misma relación de nuevo, obtenemos (u- β)(2r12 − βI − αP12) = 0. (143) Por lo tanto, si r no es una combinación lineal de I y P entonces u = β. (144) 5. Asumir que r r = cr13 y rP = −r para un endomorfismo r de V V. El nhacYBe tiene la en forma equivalente: [r13, r23] = (r12 − cI)r13P23. (145) De hecho, r13r23 − r23r13 = (− r13r23 + r23r12)P23 = (r12 − cI)r13P23. (146) Aquí en la primera igualdad usamos r23P23 = −r23 y movimos P23 a la derecha; en la segunda igualdad usábamos el nhacYBe r â r = cr13. 5.2 Cuantización lineal Considerar un álgebra con tres generadores r12, r13 y r23 y relaciones r13r23 = r23r12 − r12r13 + βr13, r13r12 = r12r23 − r23r13 + βr13, r212 = βr12 + v, r 13 = βr13 + v, r 23 = βr23 + v. (147) Elija un orden, digamos, r13 > r23 > r12. Considere (147) como ordenar relaciones. Los solapamientos en (147) conducen a exactamente una relación más: r23r12r23 = r12r23r12. (148) Así el álgebra en cuestión es 12-dimensional (se sigue de (147) y (148) que un general elemento del álgebra es un producto AB de un elemento A del álgebra Hecke generado por r12 y r23 y un polinomio B, de grado inferior a 2, en r13). Concluimos que el nhacYBe junto con la ecuación cuadrática para r implica el YBe. Nota que la otra forma de la YBe también sigue: r23r13r12 − r12r13r23 = (r12r23 − r13r12 + βr13)r12 − r12(r23r12 − r12r13 + βr13)r23 = −r13(βr12 + v) + βr13r12 + (βr12 + v)r13 − βr12r13 = 0. (149) Aquí en la primera igualdad se utilizaron nhacYBe para r; la relación cuadrática para r se utilizó en el segunda igualdad. Por lo tanto, la cuantificación de tal r-matriz es “lineal”5: una combinación R = I + r, (150) en el que ♥ es una constante arbitraria, satisface el YBe R12R13R23 = R23R13R12. 5Se observó en [8] que el operador b(0) satisface ambas formas del YBe, cuadrados a cero y que su cuantificación tiene la forma simple (150). 5.3 Significado algebraico Aclararemos el significado algebraico de la asociación no homogénea clásica Yang-Baxter ecuación en el contexto general de álgebras asociativas. Que A sea un álgebra. Let r â € A A. La operación (0) : A→ AA, (0) u) = (u 1) r r (1 u) (151) (el álgebra A no necesita ser unitario, (u1)(a b) significa ua b y (a b)(u1) para au b) es coasociativo si y solo si [1] (u 1 1) (r r) = (r r) (1 1 u) (152) En particular, فارسى(0) es coasociativo si (r r) = 0. Supongamos ahora que el álgebra A es unitaria. Definir las operaciones y : A→ A A, *(u) := (u 1) r − r (1 u)− c (u 1), (153) (u) := (u 1) r − r (1 u) + c (1 u), (154) donde c es una constante. Proposición 10. La coasociatividad de cada una de las operaciones es equivalente a (u 1 1) (r r − c r13) = (r r − c r13) (1 1 u) (155) Prueba. Un cálculo sencillo. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En particular, las operaciones son coasociativas si r r = c r13. El mapa (151) tiene la siguiente propiedad: (0)(uv) = (u 1) (0)(v) + (0)(u) (1 v); (156) es decir, فارسى(0) es una derivación con respecto a la estructura estándar de A A como un bimódulo sobre A, uU := (u 1)U y Uu := U(1 u) para u â € A y U â € A A. Para las operaciones ♥ y, el análogo de la propiedad (156) se lee *(uv) = (u 1) *(v) + *(u) (1 v) + c (u v), (157) (uv) = (u 1) (v) + (u) (1 v)− c (u v). (158) 5.4 Operadores de rotor-baxter Que A sea un álgebra. Un operador r : A → A se llama Operador Rota-Baxter de peso α si r(A)r(B) + αr(AB) = r r(A)B +Ar(B) (159) para arbitrario A,B A (α es una constante). Nos referimos a [22] para más información sobre la Rota– Operadores Baxter. Los operadores Rota-Baxter del peso cero están estrechamente relacionados con el acYBe [23]. Resulta que... que los operadores Rota-Baxter de peso distinto de cero están relacionados con el nhacYBe. Discutiremos esto. relación y calcular los operadores de Rota-Baxter correspondientes a los operadores de Bézout. Es sorprendente que los operadores de Bézout, que más bien tienen el sentido de los derivados, se conviertan, siendo interpretados como operadores en álgebras de matriz, los operadores Rota-Baxter que están diseñados para axiomatizar las propiedades de integraciones indefinidas y resúmenes. 1. Para un endomorfismo r de V V, definir dos endomorfismos, r y r′, del álgebra de matriz Mat(V): r(A)1 := Tr2(r12A2), r ′(A)2 := Tr1(r12A1), A • Mat(V), (160) donde Tri es el rastro en el número de copia i del espacio V. Supongamos que r satisface el nhacYBe (129). Multiplicación (129) por A2B3, A,B • Mat(V), y tomar rastros en los espacios 2 y 3, encontramos r(A)r(B) + r r′(A)B Ar(B) = cTr(A)r(B). (161) Suponga, además, que r12 + r21 = αP12 + βI. Entonces r(A) + r′(A) = αA+ βTr(A) 11. (162) Si c = β entonces expresar r′(A) por (162) y sustituir por (161), encontramos que el término con Tr(A) cae y r es el operador Rota-Baxter de peso α en el álgebra de matrices. Del mismo modo, r′ es el operador Rota-Baxter de peso α también. 2. Calcularemos los operadores de Rota-Baxter correspondientes a los operadores de Bézout base nominal. La acción del operador b(0) sobre monomios xkyl lee b(0)(xkyl) = −(xl−1yk + xl−2yk+1 + · · xkyl−1), k < l, 0, k = l, xk−1yl + xk−2yl+1 + · · · + xlyk−1, k > l. (163) La acción del operador b sobre monomios xkyl lee b(xkyl) = −(xlyk + xl−1yk+1 + · · xk+1yl−1), k < l, 0, k = l, xkyl + xk−1yl+1 + · · xl+1yk−1, k > l. (164) Pronto, b(0)(xkyl) = (k − l) k−l−1 xl+syk−s−1 − (l − k) l−k−1 xk+syl−s−1, (165) b(xkyl) = (k − l) xl+syk−s − (l − k) xk+syl−s. (166) Enumeramos varias formas de matriz útiles de los operadores b(0) y b en la base formada por monomios, ea eb := xayb; para el operador b(0): b(0) = i, j, a, b (j) (a) (j) (b) (i) (j) (j) (j) (j) (j) (j) (j) (j) (b) (j) (j) (j) (j) (j) (j) (j) (j) (j) (j) a+b+1 EJE EIB i, j, a, b * (j − a) * (j − b) * (i− b) * (i− a) a+b+1 e a eib i,j:i<j i+a−1 (167) y para el operador b: i, j, a, b (j + 1− a) (a− i) (e) (i+ja+b) a eib − eia e i, j, a, b * (j + 1− a) * (a− i) * (i+ 1− a) * (a− j) a+b e a eib i,j:i<j i+a e j−a − eii+a e i,j:i<j j−i−1 i+a فارسى e j−a + e * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * i − eij e (168) donde x y = x y − y x. El operador Rota-Baxter r correspondiente a b(0) debe decir (A)ij = (j − i) Ai−sj−s−1 − (i+ 1− j) Ai+s+1j+s. (169) En el lado derecho de (169), los resúmenes son superiores a los s ≥ 0 para los cuales el correspondiente elemento de matriz en la suma tiene sentido, es decir, el rango de s en la primera suma es s = 0, 1,...., i − 1 y, en la segunda suma, s = 0, 1,... n− i− 1; El operador de Rota-Baxter rb correspondiente a b lee (con la misma convención sobre la suma- rangos de mosquiteros) rb(A) j = (j + 1− i) Ai−s−1j−s−1 − (i− j) Ai+sj+s. (170) Su peso es -1. Para el operador r(s), dado por eq. (123), el operador de Rota-Baxter correspondiente r(s) es r(s)(A)ij = (j − i)Aij, i 6= j, s:s<i Culo, i = j. (171) Su peso es -1. Daremos también el operador de Rota-Baxter para el Bézout r-matrix b en la base rime, es decir, para la matriz r (78); tiene peso 1 (desde r12+r21 = P −I para r en (78)). El operador Rota-Baxter tiene la forma r(A)ij = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (Aij − A j), i 6 = j, s: s 6=i * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (Ais − Ass), i = j. (172) 5.5 * Multiplicación 1. Let r : A→ A ser un operador de Rota-Baxter de peso α (véase eq.(159)) en un álgebra A. Se conoce que la operación A ∗B := r(A)B +Ar(B)− αAB, A,B â € A, (173) define un producto asociativo en el espacio A. Este producto está estrechamente relacionado con los coproductos (153) y (154) por dualidad. Lo ilustraremos en el contexto de los álgebras de matriz. Definir una operación por (u), B Aâ = u,ABâ, (174) donde es dado por (154). Lo hemos hecho entonces. (u), B A = Tr12 u1rB1A2 − ru2B1A2 + c u2B1A2 = Tr1 U1 Tr2(rA2)B1 − Tr1 U1A1 Tr2(B2 r21) c U1 Tr(B)A1 r(A)B −A r′(B) + cATr(B) (175) AB = r(A)B −A r′(B) + cATr(B). (176) En eq. (175), xi significa la copia de un elemento x en el número de espacio i en A A; los operadores r y r′ se dan por (160); para obtener el segundo y el tercero términos en la segunda línea de (175) que renumerado 1↔ 2 y luego movido r cíclicamente bajo el rastro en el segundo término. Suponga, como antes, que r12+ r21 = αP12 I y c = β. Entonces, expresando r ′(A) por (162), encontramos que el término con Tr(B) cae y se deduce que AB = A*B. (177) 2. Describiremos la ∗-multiplicación en el ejemplo más simple de los operadores de Rota-Baxter 169) y (170) correspondientes a los operadores de Bézout para los polinomios de grado inferior a 2 (que es, para 2 x 2 matrices A = a11 a a21 a Ł aije Para el operador b(0) = e21 e11, tenemos (A) = −a21 a11 (178) y la ∗-multiplicación dice A*o à Ł Ar (Ã) + r (A)à = −a21ã11 −a21ã12 +a11(ã11 + ã22) −a21ã21a21ã11 . (179) Este álgebra es isomórfica al álgebra de 3× 3 matrices de la forma * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 0 * 0 0 0 con la identificación e11 7→ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 , e12 7→ −1 0 0 0 0 0 0 0 0 , e21 7→ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 , e22 7→ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (180) Para el operador b = e22 e11 − e12 e21, tenemos rb(A) = −a21 a11 (181) y la ∗-multiplicación dice A* Arb(Ã) + rb(A)Aà = a11ã 2 + a 1 + ã a11ã 2 + a 1 + ã . (182) Este álgebra es isomórfica al álgebra de 3× 3 matrices de la forma * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 ∗ 0 0 0 0 con la identificación e11 7→ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 , e12 7→ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 , e21 7→ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 , e22 7→ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (183) 6 corchetes Rime Poisson Los soportes Poisson que tienen el formulario {xi, xj} = fij(xi, xj), i, j = 1, 2,..., n, (184) con algunas funciones fij de dos variables, llamaremos rime. En esta sección se estudia la rima cuadrática soportes Poisson, {xi, xj} = aij(xi)2 − aji(xj)2 + 2Viijxixj, i, j = 1, 2,..., n. (185) Demostramos que hay un lápiz tridimensional de tales soportes Poisson y luego encontrar la invarianza grupo y la forma normal de cada miembro individual del lápiz. 6.1 Lápiz rime En esta subsección establecemos que los soportes cuadráticos de la corteza de Poisson forman un tridimensional Lápiz Poisson. El lado izquierdo de (185) contiene una matriz aij con ceros en la diagonal, aii = 0, y un Matriz anti-simétrica vij, vij = ji. La identidad Jacobi limita estas matrices para satisfacer aijajk + aik(vidij + vjk) = 0, i 6= j 6= k 6= i. (186) Describiremos una solución general de eq. (186) en la situación estricta, es decir, cuando todos los aij y νij son diferentes de cero para i 6= j. El lado izquierdo de νij + νjk = −aijajk/aik es anti-simétrico con respecto a (i, k), es decir En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, sino del 50 % del precio franco fábrica del vehículo y del precio franco fábrica del vehículo. Ij = Ij j. Por lo tanto, aik = k, (187) donde la matriz cij es anti-simétrica, cij = −cji. A continuación, 2 vki = −(Ij jk)+ (Ijkki)+ (Ij ij); usando (186) para expresar cada soporte en el lado derecho, encontramos vki = cijcki cjkcki cijcjk . (188) El lado derecho del eq. (188) no depende de j que impone nuevas restricciones a la matriz cij cuando n > 3. Escribiendo la suma νij + νjk + νkl + νli de dos maneras, como (νij + νjk) + (νkl + νli) y como ( vjk + νkl) + ( vli + νij), y utilizando (186) para expresar cada soporte en términos de la matriz c, obtenemos cijcjk − cilclik cjkckl − cjicil . (189) La sustitución de j por m en (188) da la condición en la matriz c: cijcki cjkcki cijcjk cimcki cmkcki cimcmk . (190) Usando eq. (189) para reescribir la combinación cijcjk cimcmk , encontramos (cjkckm − cjicim) cjkcim cijckm ckicjm . (191) La cantidad ijkm es totalmente anti-simétrica con respecto a sus índices. Por lo tanto, si m 6= 0 entonces las combinaciones (cjkckm − cjicim) desaparecen para todas las permutaciones de índices. Sin embargo, esto es imposible: el sistema de tres ecuaciones lineales cijcjk − cimcmk = 0, cikckm − cijcjm = 0, cimcmj − cikckj = 0 (192) para incógnitas {cjk, ckm, cmj} tiene, por definición, una solución no cero pero el determinante del sistema es diferente de cero. Así el Pfaffian ijkm desaparece para cada cuádruple {i, j, k,m}; en otro palabras, los coeficientes de la matriz 1/cij satisfacen las relaciones Plücker; por lo tanto, la forma 1/cij es decomposable, c−1ij = sitj−sjti, para algunos vectores ~s y ~t. Para cada i, al menos uno de si o ti es diferente Desde cero. Haciendo, si es necesario, un cambio de base en el plano bidimensional extendido por ~s y ~t, nosotros Por lo tanto, siempre puede asumir que todos los componentes de, digamos, el vector ~s son diferentes de cero, si 6= 0 i. Representamos al bivector 1/cij en la forma (u−1i = si y Łi = −ti/si) = u−1i u j).................................................................................................................................................................................... (193) Sustituyendo (193) por (188) obtenemos vki + u2k + u # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # u2i − u2j * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * u2k − u2j # #k # # #j # . (194) Reemplazando j por m en el lado derecho y equiparando las expresiones resultantes, encontramos que el la independencia del lado derecho en j implica: Eijkm := (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­j − ­i)(­j ■k)(­j ·m) (k â â € € € € ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ (m â â € ~ i) (m â € ~ ~ j) (m â ~ ~ k) = 0. (195) por cada cuádruple {i, j, k, m}. La cantidad Eijkm es totalmente simétrica. Seleccionar tres valores del índice, digamos, 1,2 y 3, nosotros puede formar el cuádruple {i, 1, 2, 3} para cada i. Resolviendo Ei123 = 0, obtenemos la siguiente expresión para u2i: u2i = A1 (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (M1 −M2)(M1 −M3) (i −M1)(i −M3) (M2 −M1)(M2 −M3) (i −M1)(i −M2) (M3 −M1)(M3 −M2) (196) para algunas constantes A1, A2, A3, M1, M2 y M3. El lado derecho es el valor, en el punto Polinomio cuadrático que es igual a Aa en los puntos Ma, a = 1, 2, 3. Desde A1, A2, A3, M1, M2 y M3 son arbitrarios, podemos simplemente escribir u2i = a i + bÍ + c. (197) Con las expresiones (197) para u2i, las igualdades (195) están idénticamente satisfechas, lo que demuestra que (197) es la solución general. Al reescalar xi 7→ Łiuixi con Łi de (187), los soportes Poisson (185) simplifican. Lo siguiente: declaración se establece (para n = 2 o 3, (197) no impone una restricción a la anti-simétrica matriz cij con todas las entradas off-diagonales diferentes de cero). Proposición 11. Hasta un reescalado de variables, los estrictos paréntesis cuadráticos de la rima general Poisson tener el formulario {xi, xj} = (j)(x)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)()(m)(m)()()(m)()()()(m)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()( i)2 + â € € TM i)(x) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a * (i) + (j) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * xixj, (198) donde es un vector arbitrario con componentes distintos del par y (t) = at2+bt+c es un arbitrario Polinomio cuadrático 6. Por lo tanto, los estrictos soportes de rima cuadrática Poisson forman el lápiz tridimensional (parameterized por el polinomio. Los paréntesis Poisson (198) pueden ser reescritos en las siguientes formas: {xi, xj} = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *(j)x* i) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (xi - xj) + a (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) {xi, xj} = au2ij + buijvij + cv * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * , (200) donde uij = jx i − • ixj y vij = xi − xj. Observación 1. En el caso de la letra t) = bt (respectivamente, en el caso de la letra t) = c), estos corchetes de Poisson aparecen en el texto clásico. límite de las relaciones de conmutación (31) en el caso no unitario (respectivamente, unitario) (con el parametrización βij = − * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * en el caso no unitario). Observación 2. Los estrictos paréntesis lineales Poisson {xi, xj} = aijxi − ajixj, aij 6= 0 para todos los i, j = 1, 2,...., n : i 6= j (201) (o álgebras de la mentira estricta rime) son menos interesantes. La identidad Jacobi es aikakj = aijajk para todos i 6= j 6= k 6= i. (202) 6Para tener coeficientes no evasivos en la fórmula (198) hay que imponer ciertas desigualdades para los componentes de el vector y los coeficientes del polinomio ; sin embargo, la fórmula (198) define soportes Poisson sin estos desigualdades. Reescalar variables x2, x3,. .., xn tener a1i = 1, i = 2,..., n. A continuación, la condición (202) con uno de i, j, k igual 1 implica aij = aji y aij = ai1/aj1, i, j = 2,..., n; se deduce que a i1 = a j1, i, j = 2,..., n. n > 3, la condición (202) con i, j, k > 1 fuerzas ai1 = aj1, i, j = 2,...., n. valor, ai1 = v, i, j = 2,..., n. Después de un escalado x 1 7→ νx1 encontramos un único álgebra estricta de la mentira, [xi, xj ] = xi−xj para todos los i y k, que es casi trivial: [xi, xk −xl] = −(xk −xl) para todos los i, k y l y [xi − xj, xk − xl] = 0 para todos los i, j, k, l. Para n = 3, hay una posibilidad más: a31 = −a21. Después de reescalar x1 7→ a21x1, la solución lee [x1, x2] = x1 − x2, [x1, x3] = x1 + x3, [x2, x3] = −x2 + x3. (203) Este álgebra de Lie es isomórfica a sl(2); el isomorfismo se da, por ejemplo, por h 7→ x1 − x3, e 7→ x1+x3 y f 7→ x2− (x1+x3)/4 (aquí h, e y f son los generadores estándar de sl(2), [h, e] = 2e, [h, f] = −2f y [e, f] = h). 6.2 Invarianza En esta subsección analizamos el grupo de invarianza de cada miembro individual del lápiz Poisson de la proposición 11. Encontramos que los corchetes de Poisson (198), con arbitrario (no-desavanecimiento) admitir un grupo de invarianza 1-paramétrica no trivial. La ley de transformación de los corchetes de Poisson {xi, xj} = f ij(x) bajo un cambio infinitesimal de variables, x?i = xi +???i(x),?2 = 0, es {x?i, x?j} = f ij(x?) +??xf ij, donde?xf ij = i, xj {xi,?j} + *Kokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokoko ij. Para una transformación lineal infinitesimal, Łi(x) = Aijx j, tenemos ij = Aik{xk, xjA i, xk} − xlAkl Łk{xi, xj}. (204) Especializada en los soportes Poisson (198), encontramos ij = Uji − Uij (205) Uij := +Ajs(ija− * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * s: s 6=i (xs)2 + xi)2 + (sia− # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # )xixs (206) en los que se entiende por «ij» = «i» − «j» y «s» = «s». Los soportes Poisson (198) permanecen rimes bajo la transformación lineal infinitesimal con el matriz A si los coeficientes en (xs)2, xsxi y xsxj, s 6= i, j, en (205) desaparecen que da la siguiente sistema: (xs)2, s 6= i, j  Ajs = 0, (207) xixs, s 6= i, j 2Ais Ízja− * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * - # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # = 0. (208) Eq. (207) implica que Alk = vkÃ3l/à lk, l 6= k, con constantes arbitrarias vk. Para un polinomio cuadrático Esto resuelve eq. (208) también. El coeficiente en xjxs desaparece debido a la anti-simetría. Los soportes Poisson (198) son invariantes bajo la transformación lineal infinitesimal con el matriz A si, además de (207) y (208), los coeficientes en (xi)2, (xj)2 y xixj en (205) desaparecen que da: xixj Ł jAij + iA i = 0, (209) xi)2 Aii •ija− * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * s: s 6=i = 0. (210) Eq. (209) implica que vk son iguales, vk = vc. La matriz A se define hasta un factor multiplicativo, por lo que podemos fijar en 1. Puesto que los soportes Poisson (198) son cuadráticos, un escalado global los deja invariante, por lo que podemos añadir a A una matriz, proporcional a la matriz de identidad y hacer A sin trazas. La condición sin trazas, junto con eq. (210) determina las entradas diagonales, Aii = a(n − 1) b+ â € € ~ i s: s 6=i . El coeficiente en (xj)2 desaparece debido a la anti-simetría. Resumimos el resultados obtenidos. Proposición 12. (i) La transformación lineal infinitesimal con la matriz A deja el Poisson paréntesis (198) rime si y sólo si Alk = , l 6 = k, (211) con constantes arbitrarias vk. ii) Hasta un reescalamiento mundial de las coordenadas, el grupo de invariantes de los corchetes de Poisson (198) es 1-paramétrico, con un generador A, A()ij = , i 6 = j, y A(­)ii = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * s: s 6=i , (212) donde i es el valor de la derivada del polinomio en el punto i. Puesto que los soportes de Poisson transformados con la matriz (211) son todavía rime, se sigue de la propuesta 11 que se pueden escribir, después de un escalado apropiado de coordenadas, en la forma (198). En otras palabras, la variación x puede ser compensada por una variación de + y + y una diagonal transformación de las coordenadas. Tenemos − xf ij = (1) + (2), (213) donde 1 ° = 1 ° = 1 ° = 1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * i − xj)2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + /jjj(x) i) 2 − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (214) 2 ° = (Ãii − à i)2 − i(xj)2 , Ãii := A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # s: s 6=i . (215) Elija Aii para establecer à i a 0; se trata de una transformación diagonal de las coordenadas. Entonces... 2) desaparece y la variación de f ij se reduce a (1). Por otro lado, bajo una variación de s, 7→ i + i, los soportes de Poisson (198) transforman de la siguiente manera: (xi − xj)2 (ij − ji) + a (xj)2i − (xi)2j (216) y concluimos que con la elección i = iνi (217) la variación فارسى(1) es compensada por la variación. Los coeficientes del polinomio Lo mismo. En la próxima subsección vamos a estudiar las relaciones entre la variación de la de los polinomios y el polinomio Observación. Con Íñi como en (212), definir tres operadores, (B−)ij = , i 6= j, y (B−)ii = i, (218) (B0)ij = , i 6= j, y (B0)ii = −( + ('i'i'i), (219) (B+)ij = , i 6 = j, y (B+)ii = −((n− 1) (220) Los operadores B+, B0 y B− generan una acción de la Lie álgebra sl(2), [B0, B−] = −B−, [B0, B+] = B+, [B+, B−] = −2B0 (221) (para obtener las relaciones habituales de conmutación para los generadores de sl(2), cambiar el signo de B+). Esta es la acción proyectiva habitual de sl(2) sobre polinomios f(t) de grado inferior a n, B− : f(t) 7→ f ′(t), B0 : f(t) 7→ tf ′(t)− f(t), B+ : f(t) 7→ t2f ′(t)− (n− 1)t f(t), (222) escrito en la base de los polinomios Lagrange no normalizados, li(t) = s: s 6=i (t − ­s), en puntos i}, i = 1, 2,...., n. De hecho, en la base {li(t)}, un polinomio f(t), deg(f) ≤ n − 1, toma la forma f ili, donde f i = li(i) −1f(i). Tenemos l′i(t) = a:a6=i b:b6=a,i (t- Íb), por lo que l′i(k) = b:b6=k,i kb = lk(k) , k 6 = i. (223) Además, l′i(t) = li(t) s: s 6=i t- • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • , por lo que l′i(i) = −li(i)i. (224) Por lo tanto, l′i(t) = ili(t) + k:k 6=i lk(t), que es exactamente (218). Para funciones en el conjunto de puntos i}, el operador de la multiplicación por t actúa como una matriz diagonal Diag(1, 2,. ............................................................................................................................................................................................................................................................... Sígueme. Definir una involución en el espacio de matrices7, (Y)ij = Y j, i 6= j y (Y )ii = −Y ii, Y • Matn. (226) B(­) = aB+ + bB0 + cB−, B(­) : f 7→ •(t)f ′(t)− n− 1 (t)f(t). (227) En la base {li(t)} para B, el generador (212) del grupo de invarianza es A() = (B()). (228) Tenga en cuenta que los operadores (B−), (B0) y (B+) no forman un álgebra de Lie. 6.3 Forma normal En esta subsección derivamos una forma normal de cada miembro individual del lápiz de Poisson de la propuesta 11. Depende sólo del discriminante del polinomio. Cuando el discriminante de es diferente de cero, los paréntesis Poisson (198) son equivalentes a los corchetes Poisson definidos por el r-matriz (79). Cuando el polinomio es diferente de cero pero su discriminante es cero, el Poisson los paréntesis (198) son equivalentes a los corchetes Poisson definidos por la matriz r (103). Bajo una variación del polinomio, (t) 7→ (a + a) t2 + (b + b) t + (c + c), tenemos para el Poisson brackets (200): u2ijläa+ uijvijläb+ v * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * . (229) La variación de • puede ser compensada por una variación (216) de • si los coeficientes en (xj)2, xixj y (xi)2 en la combinación ( + )f ij desaparecen, lo que da el siguiente sistema: (xj)2  * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * + ai + *2i *a+*i*b+*c = 0, (230) xixj ♥ − 2................................................................................................................................................... 2-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-('). = 0. (231) Una combinación 2×(230)+(231) da 2ai + 2aa+ b = 0. (232) 7La involución es la diferencia de dos proyectores complementarios. La involución satisface (Y1)(Y2) (Y1Y2) = ((Y1)(Y2)) + Y1Y2, ((Y1)Y2) + Y1(Y2), (Y1(Y2)) (Y1)Y2 (225) por Y1, Y2 arbitrario, Matn. Todas las demás dependencias lineales entre Y1Y2, (Y1)Y2, Y1(Y2), (Y1)(Y2), (Y1Y2), ((Y1)Y2), (Y1(Y2)) y ((Y1)(Y2)) son consecuencias de las tres identidades (225). La sustitución de la expresión (232) para ’s en (230) da En el caso de los vehículos de las categorías D (D) = 0, donde D ( ) = b2 − 4ac. 233) El coeficiente en (xi)2 en ( + )f ij desaparece debido a la anti-simetría. Por lo tanto, una condición necesaria para que una variación de • se compense con una variación de • • • • • • • • • sea compensada por una variación de • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • el discriminante D() no varía. Ahora veremos que el discriminante es el invariante único. Explícitamente, bajo un cambio de turno 7→ 7→ 7→ 7→ 7→ 7→ 7 y 7→ 7→ vij (en la notación (200)), que produce el siguiente efecto sobre los coeficientes del polinomio...................................................................................................................................................................................................................................................... a 7→ a, b 7→ b+ 2°a, c 7→ c+ °b+ °2a. (234) Una dilatación 7→ j produce el siguiente efecto en los coeficientes de : a 7→ ♥a, b 7→ b, c 7→ 1c. (235) La inversión 7→ 1j acompañada de un cambio de variables x i produce lo siguiente: efecto sobre los coeficientes de •: a 7→ −c, b 7→ −b, c 7→ −a. (236) El conjunto de operadores (234) y (235) genera la acción del grupo afín sobre el espacio de la polinomios............................................................................................................................................................................................................................................................. El grupo afín, junto con la inversión (236) genera una acción8 de so(3) (la spin 1 representación de sl(2)) en el espacio de los polinomios y la clasificación se reduce a que de órbitas. Las órbitas (en la compleja situación) de polinomios no cero son de dos tipos: “masivos”, D(+) 6= 0, o "como la luz", D(+) = 0. En el Poisson aparecen representantes particulares de ambos tipos (véase la observación 1 después de la propuesta 11) y, por lo tanto, a las matrices r estudiadas en los apartados 4.1 y 4.3. Obtenemos la siguiente declaración. Proposición 13. Let (t) Ser un polinomio cuadrático no cero. Si el discriminante es diferente de cero, D() 6= 0, entonces existe un cambio del param- en los soportes de Poisson (198) que establece (t) a bt, (t) 7→ bt; estos son los soportes de Poisson correspondiente a la matriz rCG (subsección 4.1). Si el discriminante de â € es cero, D(â € = 0, entonces existe un cambio de los parámetros â € i en el Los soportes Poisson (198) que establecen el valor de «t» a «c», «t» a «t» 7→ c; estos son los soportes Poisson que corresponden al valor de «t» y «t» a «t» y «t» a «t» 7→ c; estos son los soportes Poisson correspondientes a «t» y «t» a «t» a «t». la matriz r bCG (subsección 4.3). En ambos casos se puede describir fácilmente el generador A de la invarianza, D(+) 6= 0 y D(+) 6= 0. D(+) = 0, en la base libre de parámetros (es decir, para las matrices rCG y bCG; en la base rime la los generadores son dados por (52) y (55), respectivamente). En el caso de D(­) 6= 0 (respectivamente, D(­) = 0), coincide con la matriz del operador B0 (respectivamente, B−), como en la observación de la subsección 6.2, en la base {ti} de poderes de la variable t. Esto implica algo inesperado que para un polinomio arbitrario Las matrices A() y () están relacionadas por una transformación de similitud. Nótese que en la base {ti} de potencias, los operadores aB++bB0+cB− y (aB++bB0+cB−) también están relacionados por una similitud transformación para arbitraria a, b y c pero aquí es obvio: (aB++bB0+cB−) = aBbB0+cB−, por lo que el operador (aB+ + bB0 + cB−) pertenece a sl(2) y además se encuentra en la misma órbita (complejo) como aB+ + bB0 + cB− con respecto a la acción contigua. 8Let e+ ser el generador del grupo 1-paramétrico (234) y h el generador del grupo 1-paramétrico (235). Denotar por I la inversión (236). El generador e− restante es Ie+I. 7 álgebras cuadráticas cuadráticas ordenadas Considere un álgebra asociativa A definida por relaciones cuadráticas dando un orden lexicográfico. Esto significa que xjxk para j < k es una combinación lineal de términos xaxb con a ≥ b y a > j o a = j y b > k. Diremos que tal álgebra A es rime si {a, b} {j, k}. En otras palabras, las relaciones en el álgebra son xjxk = fjkx kxj + gjkx kxk, j < k. (237) Clasificaremos los estrictos álgebras rime A (es decir, los álgebras para los cuales todos los coeficientes fij y gij son diferentes de cero para i < j). Los únicos solapamientos posibles para el conjunto de relaciones (237) son de la forma (xjxk)xl = xj(xkxl), j < k < l. La forma ordenada de la expresión (xjxk)xl es (xjxk)xl = fjkfjlfkl x lxkxj + fjkfjlgkl x lxlxj + f2klgjk x lxkxk + (fklgjkgkl + f kl(fjkgjl + gjkgkl)x lxlxk + (fjkgjlgkl + gjkg kl + fklgkl(fjkgjl + gjkgkl)x lxlxl. (238) La forma ordenada de la expresión xj(xkxl) es xj(xkxl) = fjkfjlfkl x lxkxj + f2jlgkl x lxlxj + fklfjlgjk x lxkxk + fklgjl x lxlxk + (gklgjl + fjlgklgjl)x lxlxl. (239) Coeficientes de ecuación, encontramos xlxlxj : fjkfjlgkl = f jlgkl, (240) xlxkxk : f2klgjk = fklfjlgjk, (241) xlxlxk : fklgjkgkl + f kl(fjkgjl + gjkgkl) = fklgjl, (242) xlxlxl : fjkgjlgkl + gjkg kl + fklgkl(fjkgjl + gjkgkl) = gklgjl + fjlgklgjl. (243) En la estricta situación, eqs. (240) y (241) simplificar, respectivamente, a fjk = fjl, para j < k y j < l, (244) fkl = fjl, para j < l y k < l. (245) Eqs. (244) y (245) implican que los fjk son todos iguales, fjk =: f. (246) La sustitución de (246) en (242) da (en la situación estricta) (f + 1) gjkgkl + gjl(f − 1) = 0 para j < k < l. (247) Eq. (243) sigue de (246) y (247). Por lo tanto, tenemos dos casos: i) f = −1 y sin condiciones adicionales en gjk; ii) f 6= − 1 y gjkgkl = (1− f) gjl para j < k < l; (248) 1− f 6= 0 desde gjk 6= 0 y gkl 6= 0. En el caso ii), hacer un escalado adecuado de los generadores, xi 7→ dixi para lograr gi,i+1 = 1− f para todos los i = 1,...., n− 1. (249) A continuación, se deriva de eq. (248) que gij = 1− f para todos los i < j. (250) Resumimos los resultados obtenidos. Proposición 14. Hasta un escalado de variables, el orden general cuadrático estricto álgebra rima tiene relaciones i) cualquiera de las dos formas xjxk = −xkxj + gjkxkxk, j < k, (251) sin condiciones en los coeficientes gjk; ii) o de la forma xjxk = fxkxj + (1− f)xkxk, j < k, (252) con f arbitraria (es estricta cuando f 6= 0, 1). Por construcción, los álgebras de los tipos (i) y (ii) poseen una base formada por monomios ordenados y por lo tanto tienen la serie Poincaré del álgebra de las variables de conmutación. El álgebra con relaciones definitorias (252) es el espacio cuántico para la matriz R (75). Relaciones (252) puede ser escrito en la forma (xj − xk)xk = fxk(xj − xk), j < k; (253) Esta es una cuantificación de los corchetes de Poisson {xj, xk} = xk(xj − xk), j < k. (254) Sería interesante saber si el álgebra con las relaciones que definen (251) admite una R-matriz descripción. Agradecimientos Es un placer dar las gracias a László Fehér, Alexei Isaev y Milen Yakimov por sus esclarecedoras discusiones. El trabajo fue parcialmente apoyado por el proyecto ANR GIMP No.ANR-05-BLAN-0029-01. El segundo autor (T. Popov) también fue parcialmente apoyado por el Programa “Bourses d’échanges scientifiques pour les pays de l’Est européen” y por el proyecto del Consejo Nacional Búlgaro de Investigación Científica PH- 1406. Apéndice A. Ecuaciones Aquí le damos la lista de las ecuaciones YB(R®) abc = 0 para la matriz rime kl = αij k + βij l + γij l + γ l, (255) con una convención αi = αii y βii = γii = γ ii = 0. La rime Ansatz implica que YB(R®) abc puede ser diferente de cero sólo si el conjunto de índices inferiores es contenido en el conjunto de índices superiores. Por lo tanto, las ecuaciones se dividen en dos listas: la primera con dos índices diferentes entre {i, j, k} y el segundo con tres índices diferentes. El conjunto completo de ecuaciones YB(R®) abc = 0 es invariante bajo la involución, : αi ↔ αi, αij ↔ αji, βij ↔ βji, γij ↔ ji, (256) porque si Râ € es una solución de la YBe entonces Râ € € = PRâ € P es una solución de la YBe también. Escribiremos sólo la parte necesaria de las ecuaciones, el resto puede ser obtenido por la involución. Las ecuaciones YB(R®) abc = 0 con dos índices diferentes son: αijγij(γji + γ ij) = 0, (257) αij(βijβji + γijγ ij) = 0 = αij(βijβji − γijγji), (258) αijγij(αij + βji − αj) = 0 = αijγij(αji + βij − αj), (259) βij(α i − αijαji − αiβij) + (αi − βij)γijij = 0, (260) (αi − αj)γ2ij + αijγij(γij + ji) = 0, (261) αijβijγ ji + (αiβij + γ ijγij)γij = 0, (262) (αij − αji − βij + βji)γijji = 0 = (αij − αji − βij + βji)βijβji, (263) ji(αj − αij) + βjiγij(αi − βji) + γij(βijβji + γjiji) = 0, (264) (α2i − αi(αji + βji) + βijβji − γijγji)γij = (α2i − αi(αij + βij) + βijβji − ijji)ji. (265) Las ecuaciones con tres índices diferentes {i, j, k} son: (αij − αki − βij + βki)γijki = 0, (266) αij(βijβjk + βikβji − βikβjk) = 0, (267) αij(γijγjk + γik(βjk − βji)) = αij(γijkj + γik(βkj − βij)) = 0, (268) (αijαji − αjkαkj)βik + βijβjk(βij − βjk) = 0, (269) (αi + βik − βji)βjiγik + γikγjiji + αik(γjkji + βjkki) = 0, (270) (αi + αij − αkj − βkj)γijγik − γ2ikγkj + γij(αikki − γijkj) = 0, (271) (αi − βkj)βijγik + (βikβkj + γijij)γik + αikβijki − (βij − βik)γijkj = 0, (272) αij(γijγjk + γik(αjk − αji))=αji(γijγjk + γik(αjk − αji))=αij(γijkj + γik(αkj − αij))=0. (273) Apéndice B. Bloques Analizamos aquí la estructura de los bloques 4×4 de una r-matriz R-matriz invertible e invertible responder a planos de coordenadas bidimensionales. Denotamos los elementos de la matriz como en (5). La sesgo-invertibilidad de una matriz R rime impone restricciones a sus entradas: en la línea RÍO*j* solamente dos entradas pueden ser distintas de cero, R® ji y RÃ3r jj; en la línea R *i sólo dos entradas pueden ser distintas de cero, R® ji y ii. Por lo tanto, αij = 0  γijij 6 = 0 y γijij = 0  αij 6 = 0. (274) Tratando con un solo bloque, esto se vuelve especialmente claro: para sesgar invertir un bloque 4×4 es el mismo para invertir la matriz α1 0 γ12 β12 0 0 α12 γ 21 α21 0 0 β21 γ21 0 α2 , (275) cuyo determinante es: (α12β12 − γ1212)(α21β21 − γ2121)− α1α2α12α21. (276) B.1 Soluciones Aquí clasificamos las soluciones que no son ni hielo ni rima estricta. Para una matriz R de hielo, α12 6= 0 y α21 6= 0. Para una matriz R rime, αij podría desaparecer y consideramos los casos de acuerdo con el número de αij s que puede ser cero. 1. Tanto α12 como α21 no desaparecen, α12α21 6= 0. Si γ12γ21 6= 0 entonces por (257), 1221 6= 0. Esto es una rima estricta. Si ambos γ12 = 0 y γ21 = 0 entonces eq. (259) implica (αji + βij − αj)ji = 0; eq. (261) implica (αi − αj + αji)ji = 0 y eq. (262) implica βijji = 0. Combinando estos, encontramos ij = 0, esto es hielo. Se deja para analizar la situación cuando sólo uno de γ es diferente de cero, digamos γ12 6= 0 y γ21 = 0. Tenemos la siguiente cadena de implicaciones: (257)  12 = 0, (277) (259) β12 = α2 − α21, β21 = α2 − α12, (278) (258)  (α2 − α12) (α2 − α21) = 0, (279) (260)  (α1 − α2)(α2 − α21)(α1 + α21) = 0, (α1 − α2)(α2 − α12)(α1 + α12) = 0, (280) (261) y (265) (α1 − α2 + α12)γ12 + α1221 = 0, (α1 − α2 + α21)21 + α21γ12 = 0. (281) Eqs. (262), (263) y (264) están satisfechos. Por la segunda línea en (281), 21 6= 0. Ahora bien, el sistema de desigualdades y ecuaciones es invariante en el marco de R.R.R.R.21, por lo que hasta este trans- formación podemos resolver eq. (279) mediante el ajuste α21 = α2. Entonces, por (281), γ 21 = 12α2/α1, β son expresado en términos de α por (278) y el sistema restante para α reduce a una sola ecuación (α1 − α2)(α1 + α12) = 0. Obtenemos dos soluciones: 1a. α2 = α1; α1, α12 y γ12 son números arbitrarios distintos de cero; reescalamos la matriz R para establecer α1α12 = 1 e indicar q = α1, γ = γ12: (q;γ) = α1 0 0 0 γ12 0 α12 0 12 α1 α1 − α12 0 0 0 0 α1 q 0 0 0 γ 0 q−1 0 q q − q−1 0 0 0 0 q . (282) La matriz R (282) es semi-simple si (y sólo si) q+q−1 6= 0 y es entonces una matriz R de tipo GL(2), Especificaciones (R+) = {q, q, q,−q−1}. Esta solución es una especialización de (15)-(16). 1b. α12 = +1; α1, α2 y γ12 son números arbitrarios distintos de cero; reescalamos la matriz R para establecer α1α2 = −1 e indicar q = α1, γ = γ12/q: (q;γ) = α1 0 0 0 γ12 0 â € 1 0 12α2/α1 α2 α1 + α2 0 0 0 0 α2 q 0 0 0 qγ 0 −q 0 q−1γ −q−1 q − q−1 0 0 0 0 −q−1 . (283) La matriz R (283) es semi-simple si (y sólo si) q+ q−1 6= 0 y es entonces una matriz R de GL(11)- = {q, q,−q−1,−q−1}. 2. Supongamos que α12 = 0. Por la invertibilidad, β12β21 6= 0; por el sesgo-invertibilidad, γ1212 6= 0; ahora eqs. (257) y (258) implica β12β21 = γ12γ21, γ 12 = 21 y 21 = 12. Eq. (259) implica α2 = α1, β12 = α1 − α21 y β21 = α1. El resto está satisfecho y obtenemos una solución, en la que α1, β12 y γ12 son arbitrarios no cero números; reescalamos la matriz R para establecer α1β12 = −1 y denotamos q = α1, γ = γ12: (q;γ) = α1 0 0 0 γ12 β12 0 α1β12/γ12 12 α1 − β12 α1 α1β12/γ12 0 0 0 α1 q 0 0 0 γ −q−1 0 1/γ q + q−1 q −1/γ 0 0 0 q . (284) La matriz R (284) es semi-simple si (y sólo si) q+q−1 6= 0 y es entonces una matriz R de tipo GL(2), Especificaciones (R+) = {q, q, q,−q−1}. Esta solución es una especialización de (15)-(16). 3. Finalmente, asumir que α12 = α21 = 0. Por la invertibilidad, β12β21 6= 0; por el sesgo-invertibilidad, γ1212γ2121 6= 0; ahora eq. (261) implica α2 = α1, eq. (263) implica β21 = β12; eq. (262) implica γ12γ 12 = γ21γ 21 = 1β12; eq. (265) implica que γ12γ21 puede tomar tres valores: α 12 o (+1β12). El resto está satisfecho y obtenemos una solución, en la que α1, β12 y γ12 son arbitrarios no cero números; reescalamos la matriz R para establecer α1β12 = −1 y denotamos q = α1, γ = γ12: (q;γ) = α1 0 0 0 γ12 β12 0 α1β12/γ12 0 β12 γ12 0 0 0 α1 q 0 0 0 γ −q−1 0 1/γ γ/• 0 −q−1 •/γ 0 0 0 q , (285) donde • = q2, 1, q−2. La matriz R (285) es semi-simple si (y sólo si) q + q−1 6= 0 y es entonces un R-matriz de tipo GL(11), Spec(R) = {q, q,−q−1,−q−1}. Se deduce del análisis anterior que si γij 6= 0 en una R-matriz invertible e invertible entonces ji 6= 0. En cada uno de los casos (282)-(285), el parámetro γ 6= 0 se puede establecer en un valor arbitrario (no cero) por un cambio diagonal de la base. Las R-Matrices (282)-(285) son sesgadas-invertibles. B.2 GL(2) y GL(11) R-Matrices 1. En la dimensión 2, excepto las matrices R estándar de tipo GL, GL(2) (q,p) q 0 0 0 0 0 p 0 0 p−1 q − q−1 0 0 0 0 q GL(11) (q,p) q 0 0 0 0 0 p 0 0 p−1 q − q−1 0 0 0 0 −q−1 , (286) hay dos familias unimétricas no estándar de matrices R no unitarias del tipo GL(11): el de ocho vértex, RÍO(q) = q − q−1 + 2 0 0 q − q−1 0 q − q−1 q + q−1 0 0 q + q−1 q − q−1 0 q − q−1 0 0 q − q−1 − 2 , (287) y la matriz Râr(II) para la que se puede dar una forma triangular superior a la matriz R = PRâr, RÍO II(q.) = q 0 0 q + q−1 0 0 •q−1 0 0 •q q − q−1 0 0 0 0 −q−1 , (288) en la que  = ±1. Las matrices R (286), (287) y (288) son semisimples si (y sólo si) q + q−1 6= 0. Hasta las transformaciones Ró Ró 21 y Ró Rót (la transposición), cambios de base y escalas Râ € 7→ c Râ € (donde c es una constante), la lista completa de semi-simple invertible y sesgo-invertible R-Matrices incluye (véase [16] para una descripción de todas las soluciones de la ecuación Yang-Baxter en dos las dimensiones y [11] para la clasificación de las matrices R de tipo GL(2), además de las (286)-(288), Una familia paramétrica de soluciones jordanas (h1:h2) (h1:h2) 1 h1 −h1 h1h2 0 0 1 −h2 0 1 0 h2 0 0 0 1 (289) (la matriz R jordana es de tipo GL(2); es unitaria; el parámetro esencial es el vector proyectivo (h1 : h2)), así como la solución similar a la permutación (a, b, c) y una solución más (a, b, c) 1 0 0 0 0 0 a 0 0 b 0 0 0 0 0 c 0 0 0 a 0 1 0 0 0 0 1 0 a 0 0 0 . (290) La matriz R R® (a, b, c) es Hecke cuando ab = 1 y c = ± 1 y es entonces estándar (y unitario). Los R-matriz R® es Hecke cuando a2 = 1; es entonces unitario y está relacionado con la matriz R estándar por una cambio de base con la matriz Sin la demanda de semisimplicidad, la lista completa de R-Matrices invertibles e invertibles contiene dos soluciones más, (h1:h2: 1 h1 h2 h3 0 0 1 h1 0 1 0 h2 0 0 0 1 , R®( •) = 1 0 0 1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 0 0 0 1 . 291) El parámetro esencial para la R-matriz R® (h1:h2: es el vector proyectivo (h1 : h2 : h3). Los R-matriz R® (h1:h2: es semi-simple si y sólo si h2 = −h1 y h3 = −h21; entonces pertenece a la familia (289) de R-Matrices jordanas. 2. Para las R-Matrices de la lista de arriba, las transformaciones Râ ↔ Râ °21, Râ ° ° Râ ° y Râ ° Râ ° Râ ° 1 en parte se superponen o reducen a parámetros o cambios de base. Escribiremos fórmulas para el Hecke R- Sólo matrices. Para la matriz estándar R-R®(q,p) := R® GL(2) (q,p) Rât(q,p) = Rât(q,p−1), (Rât(q,p))21 = ( −1 1), R1 (q,p) = (Rât(q−1,p−1))21, (292) donde η = Para la matriz estándar R-R®(q,p) := R® GL(11) (q,p) Rât(q,p) = Rât(q,p−1), (Rât(q,p))21 = ( −1 1), R1 (q,p) = (Rât(q−1,p−1))21. (293) Para la matriz no estándar GL(11) R-matriz R®(q) := R®I(q), Rât(q) = Rât(q), (Rât(q))21 = Rât(q), Rât = (D D)RÃ3r(q−1)(D D)−1, (294) donde D = Para la matriz no estándar GL(11) R-Mátrix R®(q, ( )( )( )(−q−1,))21() −1 1), R1 (q) = (RÃ3r(q−1–1)21, (295) donde = Para la matriz R jordana Ró (h1:h2) := Ró (h1:h2) Ródano(h1:h2) = (η η)Ródano(h2:h1)(η) −1 1), (RÃ3n(h1:h2))21 = RÃ3n(−h1:−h2), RÃ3n (h1:h2) = Râ € (h1:h2). (296) B.3 Riming Ahora vamos a identificar las R-Matrices rime (282)-(285). 1. GL(2) Las R-Matrices (282) y (284) están relacionadas con un cambio de base (el número entre paréntesis se refiere a la ecuación correspondiente), (282) (q;γ) T T = T T R®(284) (q;γ) , T = q −1/γ . (297) A su vez, la matriz R (282) está relacionada con la matriz R R® estándar GL(2) (q,q−1) por un cambio de base, (282) (q;γ) T T = T T RÃ3GL(2) (q,q−1) , T = q − q−1 0 . (298) En la situación unitaria (es decir, q − q−1 = 0), la matriz R R®(282) (q;γ) pertenece a la familia de R-Matrices jordanas. Tenga en cuenta que para las R-Matrices (282) y (284), los espacios cuánticos de la izquierda incluso son clásicos. 2. GL(11) La R-matriz (283) está relacionada con la R-matriz (285) con la elección • = β212, (283) (q;γ) T T = T T R®(285) (−q−1,q2;1), T = . (299) Tenemos (285) (q,1;γ) T T = T T Rà I , T = γ , en los que Ł2 = q − 1 q + 1 , (300) (285) (q,q2;γ) T T = T T RÍO II (q,1) , T = γq−1 q−1 , (301) (285) (q,q−2;γ) T T = T T (RÍO II) (q,1) )21, T = γq q . (302) En la situación unitaria (es decir, para q = ±1) sólo eq. (300) cambios, pero ahora diferentes opciones para Coinciden. 3. Puesto que las matrices R estándar son rime también, concluimos que en la dimensión 2, todos no unitarios Hecke R-Matrices encajan en la rime Ansatz. Cuando h1 = 0, la R-matriz jordana R (0:h2) es rime como Bueno. Sin embargo, cuando h1 6= 0, la R-matriz jordana R (h1:h2) no puede ser irritado. De hecho, supóngase que h1 6= 0 y dejar A = (T T ) (h1:h2) (T T )-1 con alguna matriz invertible T. (Det(T))2A1112 = h1 (T) 2 (Det(T)− h2 T 11 T 21 ), (Det(T ))2A1121 = −h1 (T 11 )2 (Det(T ) + h2 T 11 T 21 ), (Det(T))2A2212 = h1 (T) 2 (Det(T)− h2 T 11 T 21 ), (Det(T ))2A1121 = −h1 (T 21 )2 (Det(T ) + h2 T 11 T 21 ). (303) Para una T invertible, las entradas no rimas (303) de A no pueden desaparecer simultáneamente. 4. Observamos también que todas las R-Matrices no estándar de GL(11)-tipo son uniformemente descritos por el fórmula (285). Los espacios cuánticos correctos para la R-matriz R® (285) (q;γ) , con γ = 1, debe decir (R q11 11)ijkl x kxl = 0 : (q + q−1)xy = x2 + y2, (q + q−1)xy = 1x2 + y2 ; (304) (Rós + q-111 11)ij xkxl = 0 : x2 = 0, y2 = 0. (305) Usando el lema del diamante, es sencillo verificar que la serie Poincaré de la cuántica espacio (304) es de tipo GL(11) si y sólo si • = q−2, 1 o q2. Apéndice C. Triplicado sin rimas Aquí esbozamos una prueba de que el triple (94) no puede ser roto. Relaciones xiyj = R kxl, donde está R® la matriz R para el triple (94) con multiparámetros arbitrarios, debe decir xiyi = yixi, i = 1, 2, 3, 4 (306) x1y2 = y2x1, x1y3 = y3x1, x1y4 = y4x1 − rs y3x2, x2y1 = y1x2 + (1− q−2)y2x1, x2y3 = y3x2, x2y4 = y4x2, (307) x3y1 = y1x3 + (1− q−2)y3x1, x3y2 = y2x3 + (1− q−2)y3x2, x3y4 = y4x3, x4y1 = y1x4 + (1− q−2)y4x1 + 1 y2x3, x4y2 = y2x4 + (1− q−2)y4x2, x4y3 = y3x4 + (1− q−2)y4x3. (308) El parámetro q entra en la ecuación característica de Râ, Râ = (1− q−2)R q−211 11; p, r y s son los multiparámetros. La única restricción necesaria es q2 6= 1. Denotar por l(1), l(2), un plano bidimensional que se extiende por l(1) y l(2). Decimos que dos formas lineales l(1) y l(2) (en cuatro variables) forman un par de rimas si, para las relaciones de orden (306) y (307)-(308), cada producto l(α)(x)l(β)(y), α = 1, 2, β = 1, 2, es una combinación lineal de l(1)(y)l(1)(x), l(1)(y)l(2)(x), l 2) y) l 1) x) y l 2) y 2) x). Si, además, l(α)(x)l(α)(y) es proporcional a l(α)(y)l(α)(x) para α = 1 y 2, decimos que l(1) y l(2) forman una base de rima en el plano l(1), l(2). Llamamos a un avión rime si lo hace. admite una base de rima. Fork Lemma. Suponga que l (1) x) = x1 + a2x 2 + a3x 3 y l(4)(x) = b2x 2 + b3x 3 + x4 forman una rima par para algunos a2, a3, b2 y b3. Entonces a3b2 6= 0 y a2 = b3 = 0 o a2b3 6= 0 y a3 = b2 = 0. Si a3b2 6= 0 entonces r = s = 1, l(1)(x) = x1 + wx3 y l(4)(x) = x4 + q − q−1 x2, w 6= 0 es arbitrario. (309) Si a2b3 6= 0 entonces , r = s, l(1)(x) = x1 + wx2 y l(4)(x) = x4 + q − q−1 x3, w 6= 0 es arbitrario. (310) Por otra parte, si r = s = 1 y p 6= q−1 entonces el plano rime â € l(1), l(4)â € admite un único, hasta {l(1), l(4)}; si p = q−1 y r = s 6= 1 entonces el plano de la rima {l(1), l(4) {l(1), l(4)}; si p = q−1 y r = s = 1 entonces dos independientes Las combinaciones lineales de l(1) y l(4) forman una base de rima en el plano «l(1), l(4)». Prueba. Un cálculo sencillo. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Suponga que existe una base de rime {x­i} para el triple (94), x­i = Aijxj, la matriz Aij es invertible. Cambiar el nombre de las variables rime x?i de tal manera que el menor A11 A A41 A es distinto de cero y A11A 4 6= 0; normalizar las variables x?1 y x?4 para tener A11 = A 4 = 1. El plano x~1, x~4® es, por definición, rime, con una base de rima {x?1, x?4}. Supongamos que r = s = 1 y p 6= q−1 o p = q−1 y r = s 6= 1. Entonces, por Fork Lemma, el base rime en el plano â € € TM € TM € TM € TM € TM es, hasta proporcionalidad, único, por lo que sabemos las variables x~ 1 y x‡4. Las variables x?1 y x?2 forman un plano rime. Por lo tanto, si la variable x?2 contiene x4 con un coeficiente no cero entonces, por Fork Lemma, x?2 debe ser proporcional a x?4, en contradicción con el lineal la independencia de las variables xu2 y xu4. Del mismo modo, la variable x?2 no puede contener x1 con un no-cero Coeficiente (el plano â € € € € TM € TM °, xâ € € es rime). Por lo tanto, x?2 es una combinación lineal de x2 y x3. Lo mismo para x?3: es una combinación lineal de x2 y x3. Una de las variables, x?2 o x?3, digamos, x?2, contiene x2 con un coeficiente no cero. Ecuaciones de rima de escritura para el plano â € € TM x~ 1, x~2â € en el caso r = s = 1 y p 6= q−1 (para el plano x~2, x~4~ en el caso p = q−1 y r = s 6= 1) conduce rápidamente a una contradicción. Por lo tanto, si las relaciones (306) y (307)-(307) pueden ser rimed entonces p = q−1 y r = s = 1. Lo siento. sigue de Fork Lemma que x‡4 = (q − q−1)c2c3x1 + c2x2 + c3x3 + x4 para algunos c2 y c3. Los aviones x4a, x4a, a = 1, 2, 3, son de buena calidad. Resta de las variables x variable x?4 con los coeficientes apropiados, encontramos tres combinaciones linealmente independientes l(x) = d1x 1 + d2x 2 + d3x 3, (311) cada uno formando un par de rimas con x‡4. Debemos tener: l(x)l(y) es una combinación lineal de l(y)l(x), l(y)x 4 (x) y 4 (x) 4. Se sigue, después de un cálculo sencillo, que d2d3 = 0. Además, d2 = d3 = 0 está excluido por Fork Lemma. En el caso d2 6= 0 y d3 = 0 (respectivamente, d3 6= 0 y d2 = 0), la rima condición implica que d1 = (q − q−1)c2d3 (respectivamente, d1 = (q − q−1)c3d2). Por lo tanto, sólo dos linealmente combinaciones independientes (311) pueden formar un par de rimas con x­4; la contradicción final. Bibliografía [1] M. Aguiar, Infinitesimal Hopf álgebras; Contemp. Matemáticas. 267 (2000) 1–30. [2] G. E. Arutyunov y S. A. Frolov, matrices dinámicas cuánticas R y Frobenius cuánticos Grupo; Comm. Matemáticas. Phys. 191 (1998), 15 a 29. ArXiv: q-alg/9610009. [3] A. A. Belavin y V. G. Drinfeld, ecuaciones de triángulo y simples álgebras de mentira; Sov. Sci. Rev. C4 (1984), 93–166. [4] A. A. Belavin y V. G. Drinfeld, Soluciones de la ecuación clásica Yang-Baxter para la mentira simple álgebras; Funct. Anal. Appl. 16 (1982) 159–180. http://arxiv.org/abs/q-alg/9610009 [5] E. 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De hielo a rime Soluciones Rime Yang-Baxter.25cm R-Matrices de corteza no unitarias R-Matrices de corteza unitarias Propiedades R-Matrices Rime y Cremmer-Gervais Clásica rime r-Matrices.25cm Caso no simétrico de skew BD triplica. Caso skew-simétrico Operadores Bézout.25cm Ecuación de Yang-Baxter clásica asociativa no homogénea Cuantización lineal Significado algebraico Operadores Rota-Baxter *-multiplicación Brackets Rime Poisson.25cm Lápiz rime Invarianza Forma normal álgebras asociativas cuadráticas ordenadas.1cm Apéndice A. Ecuaciones Apéndice B. Bloques 25cm B.1 Soluciones B.2 GL(2) y GL(11) R-Matrices B.3 Riming Apéndice C. Triplicado sin rimas Bibliografía

Reemplazamos el hielo Ansatz en soluciones de matriz de la ecuación Yang-Baxter por una condición más débil que llamamos "delirio". Las soluciones Rime incluyen el estándar Drinfeld-Jimbo R-matrix. Soluciones de la ecuación Yang-Baxter dentro de la rima Ansatz que son al máximo diferentes de la norma que llamamos "estricto" rime". Una solución estricta no unitaria es parametrizada por un proyectivo vector. Demostramos que esta solución se transforma en la matriz de Cremmer-Gervais R por un cambio de base con una matriz que contiene funciones simétricas en el componentes del vector parametrizador. Una solución unitaria estricta (la rima Ansatz está bien adaptado para tomar un límite unitario) se demuestra que es equivalente a una cuantificación de una clásica r-matriz "bonaria" de Gerstenhaber y Giaquinto. Analizamos la estructura de los bloques de rima elemental y encontramos, como un subproducto, que todas las matrices R no estándar de GL(11)-tipo puede ser uniformemente descrita en forma de rima. Discutimos entonces las conexiones de las soluciones clásicas rime con el Bezout operadores. Los operadores de Bezout satisfacen la asociación (no) homogénea Yang clásico--Ecuación de Baxter que está relacionado con los operadores de Rota-Baxter. Clasificamos los soportes de Poisson: forman un lápiz tridimensional. A forma normal de cada miembro individual del lápiz depende del discriminante de cierto polinomio cuadrático. También clasificamos la rima cuadrática ordenada álgebras asociativas. Para la solución estándar Drinfeld-Jimbo, hay una opción de la multiparámetros, para los que puede ser rizado no trivialmente. Sin embargo, no todos Belavin-Drinfeld triple admite una elección de los multiparámetros para los que puede Que se enfade. Damos un ejemplo mínimo.

Introducción artificial de un pequeño parámetro c por un reescalado μi 7→ c−1μi en la fórmula para la R-matriz R® en la Proposición 3 da R = 11 11 + c r, (96) donde r es dada por (95). Las matrices n(n− 1) Zij := eij − e j, i 6= j, formar una subalgebra asociativa del álgebra matricial, l = (l (Zki − Z li) (97) (establecimos Zii = 0 para todos los i); con respecto a los conmutadores estas matrices forman una Lie subalgebra g0(n) del álgebra de Lie gl(n), g0(n) gl(n): [Zij, Z i ] = Z i − Z j, [Z i, Z i ] = Z i − Z i, [Z j, Z ] = Z - Zik, i 6= j 6= k 6= i, (98) todos los demás paréntesis desaparecen. La solución simétrica sesgada (95) de la ecuación cYB, i,j:i<j Zij Ł Z μi − μj , (99) no es degenerado en la subalgebra portadora g0(n). El subalgebra portadora g0(n) es necesariamente cuasi- Frobenius, que tiene un 2-cocicleta............................................................................................................................... (ZA, ZB) = rab, donde r ABrBC = C, r = rABZA ZB. (100) Tenemos (Zij, Z) l ) = −(μi − μj) . (101) Es fácil comprobar que el 2-ciclo es un cobordario, (Zij, Z) l ) = n([Z] j, Z l ]), n = − i,j:i 6=j j g*0(n), (102) Por lo tanto, el subalgebra g0(n) es Frobenius. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La “Frobenius” r-matriz (95) (y su cuantificación) fue considerada en la obra [2]. Proposición 7. La matriz clásica de r-matriz simétrica sesgada (95), r = i<j(μij)−1Zij i, donde μ = (μ1, μ2,. .., μn) es un vector arbitrario tal que μi 6= μj, pertenece a la órbita del parámetro libre r-matriz clásica i,j:i<j ei+ki j−k+1 j. (103) Más precisamente, r = AdXμ AdXμ(b), (104) donde el elemento Xμ • GL(n) está definido por (Xμ)jk = ek−1 (μ1,. .............................................................. ., μn). 3Esta matriz es la misma X que en la Proposición 4, pero dependiendo de las variables μi. Prueba. La igualdad r = AdXμ AdXμ(b) es equivalente a un conjunto de relaciones para el elemental funciones simétricas ei, (Xμ Xμ) b = r (Xμ Xμ) eîr−1e s−1 b l−1, (105) donde j−k+1 (+ + + + + − + + + + + + + + + + + + − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ♥i−k+1a  y r (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgual) (lgualuna) (lgual) b + ♥ • • • # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (μi − μj), i 6 = j, 0, i = j. Ambos operadores b ab y r ab son simétricos en los índices inferiores y anti-simétricos en los índices superiores, es decir, Pb = −b, bP = b y Pr = −r, rP = r. (106) Eqs. (105) tienen el siguiente formulario: (eîb+s−2e a−s−1 − e b+s−2e a−s−1) = μi − μj (eîa−1 − e a−1)(e) b−1 − e b−1). (107) Debido a (66), el lado izquierdo de (107) es igual a μi − μj a−2 − μje a−2)(e) b−1 − e b−1). (108) El lado derecho de (107) es igual a (108) también porque eîa−1 = ea−1 − μieîa−2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Como en el caso no simétrico, en la dimensión infinita los operadores b y r son en general no equivalente. La solución sl(n) cYB. Let I = i=1 e i ser el elemento central de gl(n). Los generadores Z‡ij = Z (98) Por lo tanto, forman una subalgebra gœ0(n) de la Lie álgebra sl(n) que es isomórfica a g0(n), gœ0(n) g0(n). Este isomorfismo da lugar a otro la solución de la ecuación cYB, i,j:i<j Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J. μi − μj • sl(n) • sl(n). (109) Tenemos el siguiente lema sobre el portador Lie álgebra de r por los grupos electrógenos Zśij). Lemma 4. El subalgebra g­0(n) sl(n) de dimensión dim g­0(n) = n(n − 1) es isomórfico a la subalgebra parabólica máxima p de sl(n) obtenida eliminando la primera raíz negativa. Prueba. El vector v = i=1 ei es un vector independiente para todos los elementos Z Zśij(v) = v para todos i y j, i 6= j. (110) En una base en la que el primer vector es v, el espacio lineal de los generadores Z ∗ ∗. ................................................................................... 0 * * * 0 *. ................................................................................... , (111) con la condición sin trazas. La comparación de dimensiones termina la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Gerstenhaber y Giaquinto [14] encontraron una clásica r-matrix bCG que llamaron “frontario” porque se encuentra en el cierre del espacio de solución de la ecuación YB. La solución de cYB bCG corre- sponds a una subalgebra de Frobenius (p), donde p es la subalgebra parabólica de sl(n) como arriba y el El 2-cociclo es un cobordario,  = bCG, bCG = (eii+1) * p*................................................................................................................................................. (112) La matriz r bCG es un giro de b (véase [8]). Dado que los portadores de rс y bCG son isomórficos, las matrices r son equivalentes. Ahora probaremos que la misma matriz Xμ transforma bCG en r Proposición 8. El límite clásico bCG sl(n) sl(n) sl(n), bCG = ) eii e i,j:i<j ei+ki j−k+1 j, (113) se transforma en la solución de cYB, r.............................................................................................................................................. i,j:i<j Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J., Z.J. μi − μj , en la que Zśij = e j − e eii, (114) mediante un cambio de base con la matriz Xμ • GL(n), r = AdXμ AdXμ(bCG). (115) Prueba. Debido a la Proposición 7 tenemos r = AdXμ AdXμ(b). La solución de cYB bCG es la suma de b y otros términos, bCG = b + i,j(1 − ) eii e j. Por lo tanto, basta con demostrar que r? − r = AdXμ AdXμ(bCG − b). Uno tiene r̃ − r = 1 i,j:i 6=j μi − μj , bCG − b = I (1 a j) j. (116) Así que tenemos que demostrar que (1 a j) i,j:i 6=j μi − μj Xμ, (117) que equivale a las siguientes identidades para las funciones simétricas elementales: (1− b− 1 )eîb−2 = j:j 6=i b−1 − e μi − μj . (118) Reemplazar, en el lado derecho, e b−1 por e b−1 + μie b−2, e b−1 por e b−1 + μje b−2 y notando que c = (n − c)ec, c = 1, 2,...., n (para las funciones simétricas elementales en n variables) termina el prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. El paso a la solución sl(n) es otra instancia del cambio de representación. Generalidades cambio de representación (82) produce el siguiente efecto sobre la matriz numérica r (103): b 7→ b− cη(0) • 11, (119) donde η(0) es el generador del grupo de invarianza de la matriz r (103), η(0) = (n− j)ej+1j. (120) El cambio de representación y la operación (86) producen la misma familia 1-paramétrica (119) de Matrices r simétricas sesgadas. La elección c = −1/n corresponde a la r-matriz bCG. 5 operadores de Bézout El operador Bézout [5] es el siguiente endomorfismo b(0) del espacio P de polinomios de dos variables x e y: b(0)f(x, y) = f(x, y)− f(y, x) o b(0) = (I − P ), (121) donde I es el operador de identidad y P es una permutación, Pf(x, y) = f(y, x). Para cualquier n natural, la Pn subespacial de polinomios de grado inferior a n en x e inferior a n en y es invariante con respecto a el operador b(0). La matriz de la restricción de b(0) a Pn, escrita en la base {xayb} de poderes (en orden decreciente) coincide con el operador (103). La matriz no simétrica (79) es la matriz del operador (I − P ) (122) en esta base. Las bases rimas están formadas por polinomios Lagrange no normalizados {li(x)lj(y)}, li(t) = s: s 6=i (t- Łs), en los puntos i}, i = 1, 2,..., n. Llamaremos a los operadores b(0) y b Bézout R-Matrices. Las matrices Bézout fueron redescubiertas en varios contextos diferentes relacionados con la ecuación Yang-Baxter (excepto el hecho de que son la Cremmer-Gervais R-Matrices, aparecen, por ejemplo, en [7] y [19]. La matriz estándar r(s), para la elección de los multiparámetros para los que puede ser no trivial rimed (véase la observación al final de la sección 3), tiene la siguiente forma en términos de polinomios r(s) : xiyj 7→ فارسى(i− j)xiyj − فارسى(j − i)xjyi. (123) Los subespacios Pn son invariantes con respecto a r Las propiedades de las matrices Bézout b(0) y b (y del operador r(s)) se vuelven más trans- padre cuando son vistos como operadores en polinomios. En particular, (b(0))2 = 0, b(0)P = −b(0), Pb(0) = b(0), b(0) + b(0)21 = 0, (124) b2 = b, bP = −b, b+ b21 = I − P, (125) (r(s))2 = r(s), r(s)P = −r(s), r(s) + r(s)21 = I − P. (126) La descripción de los grupos de invarianza de los operadores b(0) y b es especialmente transparente cuando estos operadores son vistos como operadores en los espacios de polinomios. Que los derivados sean x y ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ sean los derivados en x e y. Tenemos (x + y) = 0 lo que implica que el x es el generador de la invarianza grupo de b(0); el grupo está formado por traducciones. Del mismo modo, (xlx + y.y.) = 0 lo que implica que x-x es el generador del grupo de invarianza de b; el grupo está formado por dilataciones. La operación (86) implica que los operadores b(0) + c(lx − ly), b+ c(lxx − ly) (127) son soluciones del cYBe (la versión cuántica también es fácil) para una constante arbitraria c. 5.1 Ecuación de Yang-Baxter clásica asociativa no homogénea Los operadores b(0), b y r(s) satisfacen una ecuación más fuerte que el cYBe. Para un endomorfismo r de V V, definir r r := r12r13 + r13r23 − r23r12, r r := r13r12 + r23r13 − r12r23. (128) La ecuación r r = 0 (así como r r = 0) se llama ecuación asociativa clásica Yang-Baxter (acYbe) [1, 20]. Presentamos una ecuación clásica no homogénea Yang-Baxter (nhacYBe): r • r = cr13, (129) donde c es una constante. Dejar F ser el espacio de polinomios en una variable. Para el espacio F F de polinomios en dos variables, denotamos por x (respectivamente, y) el generador de la primera (respectivamente, segundo) copia de F. Para F F F, los generadores se denotan por x, y y z. Lemma 5. 1. Dejar M ser un operador en el espacio F F. Supongamos que M(xf) = f + yM(f), (130) M(yf) = −f + xM(f) (131) para un f F F. Entonces4 M (xF ) = zM (mF ), M (yF ) = xM (mF ), M (zF ) = yM (mF ) (132) para una F arbitraria F F F F. 2. El operador M = b(0) verifica (130) y (131). 3. Además, la solución única de eqs. (130) y (131) (para el operador M en el espacio F F) junto con la condición “inicial” M(1) = 0 es M = b(0). Prueba. Un cálculo directo. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Proposición 9. 1. El operador Bézout b(0) satisface el acYBe. 2. El operador Bézout b y el operador r(s) satisfacen el nhacYBe con c = 1. Prueba. Un cálculo directo para b(0). Otra manera es notar que las relaciones (132) para M = b(0) reducir la verificación de b(0) • b(0)(F) = 0 para un monomio F • F F F al caso F = 1, que Es trivial. Para el operador de Bézout b xb(0) (x aquí es el operador de multiplicación por x), tenemos, para un Arbitraria F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # F # b • b (F ) = xb(0)12 (xb 13 (F )) + xb 13 (yb) 23 (F ))− yb 23 (xb) 12 (F )) 13 (F ) + yb 13 (F ) + xyb 23 (F )− xyb 12 (F ) 13 (F ) + xyb (0) b(0)(F ) = b13(F ). (133) Usamos eq. (130) para b(0) en la segunda igualdad. Para el operador r(s), la identidad * (i− k) * (i− j) + (i− k) * (j − k) * (i− j) * (j − k) = (i− k) * (i− k) * (i− k) * (i− k) para la función de paso es útil. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En cada uno de los casos (124-126), el operador r satisface una ecuación cuadrática r2 = u1r+u2I, la relación r + r21 = αP + βI con algunas constantes α y β y el nhacYBe con alguna constante c. Varios comentarios generales sobre las relaciones entre las constantes que aparecen en estas ecuaciones están en orden Aquí. 4Eq. M (xF ) = zM (M (F ) sigue de (130) solo. 1. Supongamos que una r-matriz (una solución del cYBe) satisface r r = cr13. Entonces r r = cr13. Tomando las combinaciones (r-r- cr13)-P23(r- r- cr13)P23 y (r-r- cr13)-P12(r- r- cr13)P12, encontramos r13(Sr)23 − (Sr)23r12 = c(r13 − r12), (Sr)12r13 − r23(Sr)12 = c(r13 − r23), (135) donde (Sr)12 := r12 + r21. Si (Sr)12 = αP12 + βI con algunas constantes α y β, como en (124-126), entonces se deduce de (135) que (β − c)(r13 − r12) = 0 por lo tanto c = β. (136) Esto explica el valor de la constante c en el lema 9. 2. Para un endomorfismo r de V V, asumir que r r = βr13 y (Sr)12 = αP12 + βI. Entonces P23(r-r- βr13)P23 = r13r12 + r12r32 − r32r13 − βr12 = r13r12 + r12(αP23 + βI − r23)− (αP23 + βI − r23)r13 − βr12 = r r − βr13. (137) Así, si (Sr)12 = αP12 + βI entonces r • r = βr13 implica r r = βr13. 3. Asumir que r = cr13 para un endomorfismo r de V V. A continuación, para r = r+ aI + bP, a y b son constantes, tenemos bP13(Sr)23 − a(a+ c)I − bcP13 + b2P23P12. (138) Si, además, (Sr)12 = αP12 + βI, entonces a(c+ a)I + b(β − c)P13 + b( b)P23P12. (139) Esto muestra que la ecuación r • r = c1r13 + c2I + c3P13 + c4P23P12, c1, c2, c3 y c4 son constantes, se reduce a r ­ r = c­1r13 + c­3P13 por un desplazamiento r 7→ r + aI + bP. En caso de que r • r = βr13 y (Sr)12 = αP12 + βI, entonces a(β + a)I + b)P23P12. 140) La combinación P23P12 no aparece para b = 0 o b =. La opción b = corresponde, módulo un desplazamiento de r por un múltiplo de I, a r 7→ r21, por lo que consideramos sólo b = 0. Entonces, con la elección a = encontramos que el operador r?= r − βI satisface el nhacYBe (y (Sr)12 = αP12 − βI). Por la elección a = /2 encontramos que el operador r̃ = r − Yo satisfizo r.............................................................................................................................................................................................................................................................. , (Sr贸)12 = αP12. (141) En particular, el operador 2 x - y) P (142) satisface (141) con β = 1 y α = −1. Además, bû2 = 1 4. Suponga que r2 = ur + v y r12 + r21 = αP12 + βI para un endomorfismo r de V V. la relación r12 − βI = αP12 − r21 y utilizando la misma relación de nuevo, obtenemos (u- β)(2r12 − βI − αP12) = 0. (143) Por lo tanto, si r no es una combinación lineal de I y P entonces u = β. (144) 5. Asumir que r r = cr13 y rP = −r para un endomorfismo r de V V. El nhacYBe tiene la en forma equivalente: [r13, r23] = (r12 − cI)r13P23. (145) De hecho, r13r23 − r23r13 = (− r13r23 + r23r12)P23 = (r12 − cI)r13P23. (146) Aquí en la primera igualdad usamos r23P23 = −r23 y movimos P23 a la derecha; en la segunda igualdad usábamos el nhacYBe r â r = cr13. 5.2 Cuantización lineal Considerar un álgebra con tres generadores r12, r13 y r23 y relaciones r13r23 = r23r12 − r12r13 + βr13, r13r12 = r12r23 − r23r13 + βr13, r212 = βr12 + v, r 13 = βr13 + v, r 23 = βr23 + v. (147) Elija un orden, digamos, r13 > r23 > r12. Considere (147) como ordenar relaciones. Los solapamientos en (147) conducen a exactamente una relación más: r23r12r23 = r12r23r12. (148) Así el álgebra en cuestión es 12-dimensional (se sigue de (147) y (148) que un general elemento del álgebra es un producto AB de un elemento A del álgebra Hecke generado por r12 y r23 y un polinomio B, de grado inferior a 2, en r13). Concluimos que el nhacYBe junto con la ecuación cuadrática para r implica el YBe. Nota que la otra forma de la YBe también sigue: r23r13r12 − r12r13r23 = (r12r23 − r13r12 + βr13)r12 − r12(r23r12 − r12r13 + βr13)r23 = −r13(βr12 + v) + βr13r12 + (βr12 + v)r13 − βr12r13 = 0. (149) Aquí en la primera igualdad se utilizaron nhacYBe para r; la relación cuadrática para r se utilizó en el segunda igualdad. Por lo tanto, la cuantificación de tal r-matriz es “lineal”5: una combinación R = I + r, (150) en el que ♥ es una constante arbitraria, satisface el YBe R12R13R23 = R23R13R12. 5Se observó en [8] que el operador b(0) satisface ambas formas del YBe, cuadrados a cero y que su cuantificación tiene la forma simple (150). 5.3 Significado algebraico Aclararemos el significado algebraico de la asociación no homogénea clásica Yang-Baxter ecuación en el contexto general de álgebras asociativas. Que A sea un álgebra. Let r â € A A. La operación (0) : A→ AA, (0) u) = (u 1) r r (1 u) (151) (el álgebra A no necesita ser unitario, (u1)(a b) significa ua b y (a b)(u1) para au b) es coasociativo si y solo si [1] (u 1 1) (r r) = (r r) (1 1 u) (152) En particular, فارسى(0) es coasociativo si (r r) = 0. Supongamos ahora que el álgebra A es unitaria. Definir las operaciones y : A→ A A, *(u) := (u 1) r − r (1 u)− c (u 1), (153) (u) := (u 1) r − r (1 u) + c (1 u), (154) donde c es una constante. Proposición 10. La coasociatividad de cada una de las operaciones es equivalente a (u 1 1) (r r − c r13) = (r r − c r13) (1 1 u) (155) Prueba. Un cálculo sencillo. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En particular, las operaciones son coasociativas si r r = c r13. El mapa (151) tiene la siguiente propiedad: (0)(uv) = (u 1) (0)(v) + (0)(u) (1 v); (156) es decir, فارسى(0) es una derivación con respecto a la estructura estándar de A A como un bimódulo sobre A, uU := (u 1)U y Uu := U(1 u) para u â € A y U â € A A. Para las operaciones ♥ y, el análogo de la propiedad (156) se lee *(uv) = (u 1) *(v) + *(u) (1 v) + c (u v), (157) (uv) = (u 1) (v) + (u) (1 v)− c (u v). (158) 5.4 Operadores de rotor-baxter Que A sea un álgebra. Un operador r : A → A se llama Operador Rota-Baxter de peso α si r(A)r(B) + αr(AB) = r r(A)B +Ar(B) (159) para arbitrario A,B A (α es una constante). Nos referimos a [22] para más información sobre la Rota– Operadores Baxter. Los operadores Rota-Baxter del peso cero están estrechamente relacionados con el acYBe [23]. Resulta que... que los operadores Rota-Baxter de peso distinto de cero están relacionados con el nhacYBe. Discutiremos esto. relación y calcular los operadores de Rota-Baxter correspondientes a los operadores de Bézout. Es sorprendente que los operadores de Bézout, que más bien tienen el sentido de los derivados, se conviertan, siendo interpretados como operadores en álgebras de matriz, los operadores Rota-Baxter que están diseñados para axiomatizar las propiedades de integraciones indefinidas y resúmenes. 1. Para un endomorfismo r de V V, definir dos endomorfismos, r y r′, del álgebra de matriz Mat(V): r(A)1 := Tr2(r12A2), r ′(A)2 := Tr1(r12A1), A • Mat(V), (160) donde Tri es el rastro en el número de copia i del espacio V. Supongamos que r satisface el nhacYBe (129). Multiplicación (129) por A2B3, A,B • Mat(V), y tomar rastros en los espacios 2 y 3, encontramos r(A)r(B) + r r′(A)B Ar(B) = cTr(A)r(B). (161) Suponga, además, que r12 + r21 = αP12 + βI. Entonces r(A) + r′(A) = αA+ βTr(A) 11. (162) Si c = β entonces expresar r′(A) por (162) y sustituir por (161), encontramos que el término con Tr(A) cae y r es el operador Rota-Baxter de peso α en el álgebra de matrices. Del mismo modo, r′ es el operador Rota-Baxter de peso α también. 2. Calcularemos los operadores de Rota-Baxter correspondientes a los operadores de Bézout base nominal. La acción del operador b(0) sobre monomios xkyl lee b(0)(xkyl) = −(xl−1yk + xl−2yk+1 + · · xkyl−1), k < l, 0, k = l, xk−1yl + xk−2yl+1 + · · · + xlyk−1, k > l. (163) La acción del operador b sobre monomios xkyl lee b(xkyl) = −(xlyk + xl−1yk+1 + · · xk+1yl−1), k < l, 0, k = l, xkyl + xk−1yl+1 + · · xl+1yk−1, k > l. (164) Pronto, b(0)(xkyl) = (k − l) k−l−1 xl+syk−s−1 − (l − k) l−k−1 xk+syl−s−1, (165) b(xkyl) = (k − l) xl+syk−s − (l − k) xk+syl−s. (166) Enumeramos varias formas de matriz útiles de los operadores b(0) y b en la base formada por monomios, ea eb := xayb; para el operador b(0): b(0) = i, j, a, b (j) (a) (j) (b) (i) (j) (j) (j) (j) (j) (j) (j) (j) (b) (j) (j) (j) (j) (j) (j) (j) (j) (j) (j) a+b+1 EJE EIB i, j, a, b * (j − a) * (j − b) * (i− b) * (i− a) a+b+1 e a eib i,j:i<j i+a−1 (167) y para el operador b: i, j, a, b (j + 1− a) (a− i) (e) (i+ja+b) a eib − eia e i, j, a, b * (j + 1− a) * (a− i) * (i+ 1− a) * (a− j) a+b e a eib i,j:i<j i+a e j−a − eii+a e i,j:i<j j−i−1 i+a فارسى e j−a + e * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * i − eij e (168) donde x y = x y − y x. El operador Rota-Baxter r correspondiente a b(0) debe decir (A)ij = (j − i) Ai−sj−s−1 − (i+ 1− j) Ai+s+1j+s. (169) En el lado derecho de (169), los resúmenes son superiores a los s ≥ 0 para los cuales el correspondiente elemento de matriz en la suma tiene sentido, es decir, el rango de s en la primera suma es s = 0, 1,...., i − 1 y, en la segunda suma, s = 0, 1,... n− i− 1; El operador de Rota-Baxter rb correspondiente a b lee (con la misma convención sobre la suma- rangos de mosquiteros) rb(A) j = (j + 1− i) Ai−s−1j−s−1 − (i− j) Ai+sj+s. (170) Su peso es -1. Para el operador r(s), dado por eq. (123), el operador de Rota-Baxter correspondiente r(s) es r(s)(A)ij = (j − i)Aij, i 6= j, s:s<i Culo, i = j. (171) Su peso es -1. Daremos también el operador de Rota-Baxter para el Bézout r-matrix b en la base rime, es decir, para la matriz r (78); tiene peso 1 (desde r12+r21 = P −I para r en (78)). El operador Rota-Baxter tiene la forma r(A)ij = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (Aij − A j), i 6 = j, s: s 6=i * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (Ais − Ass), i = j. (172) 5.5 * Multiplicación 1. Let r : A→ A ser un operador de Rota-Baxter de peso α (véase eq.(159)) en un álgebra A. Se conoce que la operación A ∗B := r(A)B +Ar(B)− αAB, A,B â € A, (173) define un producto asociativo en el espacio A. Este producto está estrechamente relacionado con los coproductos (153) y (154) por dualidad. Lo ilustraremos en el contexto de los álgebras de matriz. Definir una operación por (u), B Aâ = u,ABâ, (174) donde es dado por (154). Lo hemos hecho entonces. (u), B A = Tr12 u1rB1A2 − ru2B1A2 + c u2B1A2 = Tr1 U1 Tr2(rA2)B1 − Tr1 U1A1 Tr2(B2 r21) c U1 Tr(B)A1 r(A)B −A r′(B) + cATr(B) (175) AB = r(A)B −A r′(B) + cATr(B). (176) En eq. (175), xi significa la copia de un elemento x en el número de espacio i en A A; los operadores r y r′ se dan por (160); para obtener el segundo y el tercero términos en la segunda línea de (175) que renumerado 1↔ 2 y luego movido r cíclicamente bajo el rastro en el segundo término. Suponga, como antes, que r12+ r21 = αP12 I y c = β. Entonces, expresando r ′(A) por (162), encontramos que el término con Tr(B) cae y se deduce que AB = A*B. (177) 2. Describiremos la ∗-multiplicación en el ejemplo más simple de los operadores de Rota-Baxter 169) y (170) correspondientes a los operadores de Bézout para los polinomios de grado inferior a 2 (que es, para 2 x 2 matrices A = a11 a a21 a Ł aije Para el operador b(0) = e21 e11, tenemos (A) = −a21 a11 (178) y la ∗-multiplicación dice A*o à Ł Ar (Ã) + r (A)à = −a21ã11 −a21ã12 +a11(ã11 + ã22) −a21ã21a21ã11 . (179) Este álgebra es isomórfica al álgebra de 3× 3 matrices de la forma * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 0 * 0 0 0 con la identificación e11 7→ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 , e12 7→ −1 0 0 0 0 0 0 0 0 , e21 7→ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 , e22 7→ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (180) Para el operador b = e22 e11 − e12 e21, tenemos rb(A) = −a21 a11 (181) y la ∗-multiplicación dice A* Arb(Ã) + rb(A)Aà = a11ã 2 + a 1 + ã a11ã 2 + a 1 + ã . (182) Este álgebra es isomórfica al álgebra de 3× 3 matrices de la forma * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 ∗ 0 0 0 0 con la identificación e11 7→ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 , e12 7→ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 , e21 7→ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 , e22 7→ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (183) 6 corchetes Rime Poisson Los soportes Poisson que tienen el formulario {xi, xj} = fij(xi, xj), i, j = 1, 2,..., n, (184) con algunas funciones fij de dos variables, llamaremos rime. En esta sección se estudia la rima cuadrática soportes Poisson, {xi, xj} = aij(xi)2 − aji(xj)2 + 2Viijxixj, i, j = 1, 2,..., n. (185) Demostramos que hay un lápiz tridimensional de tales soportes Poisson y luego encontrar la invarianza grupo y la forma normal de cada miembro individual del lápiz. 6.1 Lápiz rime En esta subsección establecemos que los soportes cuadráticos de la corteza de Poisson forman un tridimensional Lápiz Poisson. El lado izquierdo de (185) contiene una matriz aij con ceros en la diagonal, aii = 0, y un Matriz anti-simétrica vij, vij = ji. La identidad Jacobi limita estas matrices para satisfacer aijajk + aik(vidij + vjk) = 0, i 6= j 6= k 6= i. (186) Describiremos una solución general de eq. (186) en la situación estricta, es decir, cuando todos los aij y νij son diferentes de cero para i 6= j. El lado izquierdo de νij + νjk = −aijajk/aik es anti-simétrico con respecto a (i, k), es decir En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, sino del 50 % del precio franco fábrica del vehículo y del precio franco fábrica del vehículo. Ij = Ij j. Por lo tanto, aik = k, (187) donde la matriz cij es anti-simétrica, cij = −cji. A continuación, 2 vki = −(Ij jk)+ (Ijkki)+ (Ij ij); usando (186) para expresar cada soporte en el lado derecho, encontramos vki = cijcki cjkcki cijcjk . (188) El lado derecho del eq. (188) no depende de j que impone nuevas restricciones a la matriz cij cuando n > 3. Escribiendo la suma νij + νjk + νkl + νli de dos maneras, como (νij + νjk) + (νkl + νli) y como ( vjk + νkl) + ( vli + νij), y utilizando (186) para expresar cada soporte en términos de la matriz c, obtenemos cijcjk − cilclik cjkckl − cjicil . (189) La sustitución de j por m en (188) da la condición en la matriz c: cijcki cjkcki cijcjk cimcki cmkcki cimcmk . (190) Usando eq. (189) para reescribir la combinación cijcjk cimcmk , encontramos (cjkckm − cjicim) cjkcim cijckm ckicjm . (191) La cantidad ijkm es totalmente anti-simétrica con respecto a sus índices. Por lo tanto, si m 6= 0 entonces las combinaciones (cjkckm − cjicim) desaparecen para todas las permutaciones de índices. Sin embargo, esto es imposible: el sistema de tres ecuaciones lineales cijcjk − cimcmk = 0, cikckm − cijcjm = 0, cimcmj − cikckj = 0 (192) para incógnitas {cjk, ckm, cmj} tiene, por definición, una solución no cero pero el determinante del sistema es diferente de cero. Así el Pfaffian ijkm desaparece para cada cuádruple {i, j, k,m}; en otro palabras, los coeficientes de la matriz 1/cij satisfacen las relaciones Plücker; por lo tanto, la forma 1/cij es decomposable, c−1ij = sitj−sjti, para algunos vectores ~s y ~t. Para cada i, al menos uno de si o ti es diferente Desde cero. Haciendo, si es necesario, un cambio de base en el plano bidimensional extendido por ~s y ~t, nosotros Por lo tanto, siempre puede asumir que todos los componentes de, digamos, el vector ~s son diferentes de cero, si 6= 0 i. Representamos al bivector 1/cij en la forma (u−1i = si y Łi = −ti/si) = u−1i u j).................................................................................................................................................................................... (193) Sustituyendo (193) por (188) obtenemos vki + u2k + u # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # u2i − u2j * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * u2k − u2j # #k # # #j # . (194) Reemplazando j por m en el lado derecho y equiparando las expresiones resultantes, encontramos que el la independencia del lado derecho en j implica: Eijkm := (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­j − ­i)(­j ■k)(­j ·m) (k â â € € € € ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ (m â â € ~ i) (m â € ~ ~ j) (m â ~ ~ k) = 0. (195) por cada cuádruple {i, j, k, m}. La cantidad Eijkm es totalmente simétrica. Seleccionar tres valores del índice, digamos, 1,2 y 3, nosotros puede formar el cuádruple {i, 1, 2, 3} para cada i. Resolviendo Ei123 = 0, obtenemos la siguiente expresión para u2i: u2i = A1 (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (I) (M1 −M2)(M1 −M3) (i −M1)(i −M3) (M2 −M1)(M2 −M3) (i −M1)(i −M2) (M3 −M1)(M3 −M2) (196) para algunas constantes A1, A2, A3, M1, M2 y M3. El lado derecho es el valor, en el punto Polinomio cuadrático que es igual a Aa en los puntos Ma, a = 1, 2, 3. Desde A1, A2, A3, M1, M2 y M3 son arbitrarios, podemos simplemente escribir u2i = a i + bÍ + c. (197) Con las expresiones (197) para u2i, las igualdades (195) están idénticamente satisfechas, lo que demuestra que (197) es la solución general. Al reescalar xi 7→ Łiuixi con Łi de (187), los soportes Poisson (185) simplifican. Lo siguiente: declaración se establece (para n = 2 o 3, (197) no impone una restricción a la anti-simétrica matriz cij con todas las entradas off-diagonales diferentes de cero). Proposición 11. Hasta un reescalado de variables, los estrictos paréntesis cuadráticos de la rima general Poisson tener el formulario {xi, xj} = (j)(x)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)(m)()(m)(m)()()(m)()()()(m)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()( i)2 + â € € TM i)(x) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a * (i) + (j) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * xixj, (198) donde es un vector arbitrario con componentes distintos del par y (t) = at2+bt+c es un arbitrario Polinomio cuadrático 6. Por lo tanto, los estrictos soportes de rima cuadrática Poisson forman el lápiz tridimensional (parameterized por el polinomio. Los paréntesis Poisson (198) pueden ser reescritos en las siguientes formas: {xi, xj} = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *(j)x* i) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (xi - xj) + a (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) {xi, xj} = au2ij + buijvij + cv * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * , (200) donde uij = jx i − • ixj y vij = xi − xj. Observación 1. En el caso de la letra t) = bt (respectivamente, en el caso de la letra t) = c), estos corchetes de Poisson aparecen en el texto clásico. límite de las relaciones de conmutación (31) en el caso no unitario (respectivamente, unitario) (con el parametrización βij = − * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * en el caso no unitario). Observación 2. Los estrictos paréntesis lineales Poisson {xi, xj} = aijxi − ajixj, aij 6= 0 para todos los i, j = 1, 2,...., n : i 6= j (201) (o álgebras de la mentira estricta rime) son menos interesantes. La identidad Jacobi es aikakj = aijajk para todos i 6= j 6= k 6= i. (202) 6Para tener coeficientes no evasivos en la fórmula (198) hay que imponer ciertas desigualdades para los componentes de el vector y los coeficientes del polinomio ; sin embargo, la fórmula (198) define soportes Poisson sin estos desigualdades. Reescalar variables x2, x3,. .., xn tener a1i = 1, i = 2,..., n. A continuación, la condición (202) con uno de i, j, k igual 1 implica aij = aji y aij = ai1/aj1, i, j = 2,..., n; se deduce que a i1 = a j1, i, j = 2,..., n. n > 3, la condición (202) con i, j, k > 1 fuerzas ai1 = aj1, i, j = 2,...., n. valor, ai1 = v, i, j = 2,..., n. Después de un escalado x 1 7→ νx1 encontramos un único álgebra estricta de la mentira, [xi, xj ] = xi−xj para todos los i y k, que es casi trivial: [xi, xk −xl] = −(xk −xl) para todos los i, k y l y [xi − xj, xk − xl] = 0 para todos los i, j, k, l. Para n = 3, hay una posibilidad más: a31 = −a21. Después de reescalar x1 7→ a21x1, la solución lee [x1, x2] = x1 − x2, [x1, x3] = x1 + x3, [x2, x3] = −x2 + x3. (203) Este álgebra de Lie es isomórfica a sl(2); el isomorfismo se da, por ejemplo, por h 7→ x1 − x3, e 7→ x1+x3 y f 7→ x2− (x1+x3)/4 (aquí h, e y f son los generadores estándar de sl(2), [h, e] = 2e, [h, f] = −2f y [e, f] = h). 6.2 Invarianza En esta subsección analizamos el grupo de invarianza de cada miembro individual del lápiz Poisson de la proposición 11. Encontramos que los corchetes de Poisson (198), con arbitrario (no-desavanecimiento) admitir un grupo de invarianza 1-paramétrica no trivial. La ley de transformación de los corchetes de Poisson {xi, xj} = f ij(x) bajo un cambio infinitesimal de variables, x?i = xi +???i(x),?2 = 0, es {x?i, x?j} = f ij(x?) +??xf ij, donde?xf ij = i, xj {xi,?j} + *Kokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokokoko ij. Para una transformación lineal infinitesimal, Łi(x) = Aijx j, tenemos ij = Aik{xk, xjA i, xk} − xlAkl Łk{xi, xj}. (204) Especializada en los soportes Poisson (198), encontramos ij = Uji − Uij (205) Uij := +Ajs(ija− * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * s: s 6=i (xs)2 + xi)2 + (sia− # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # )xixs (206) en los que se entiende por «ij» = «i» − «j» y «s» = «s». Los soportes Poisson (198) permanecen rimes bajo la transformación lineal infinitesimal con el matriz A si los coeficientes en (xs)2, xsxi y xsxj, s 6= i, j, en (205) desaparecen que da la siguiente sistema: (xs)2, s 6= i, j  Ajs = 0, (207) xixs, s 6= i, j 2Ais Ízja− * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * - # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # = 0. (208) Eq. (207) implica que Alk = vkÃ3l/à lk, l 6= k, con constantes arbitrarias vk. Para un polinomio cuadrático Esto resuelve eq. (208) también. El coeficiente en xjxs desaparece debido a la anti-simetría. Los soportes Poisson (198) son invariantes bajo la transformación lineal infinitesimal con el matriz A si, además de (207) y (208), los coeficientes en (xi)2, (xj)2 y xixj en (205) desaparecen que da: xixj Ł jAij + iA i = 0, (209) xi)2 Aii •ija− * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * s: s 6=i = 0. (210) Eq. (209) implica que vk son iguales, vk = vc. La matriz A se define hasta un factor multiplicativo, por lo que podemos fijar en 1. Puesto que los soportes Poisson (198) son cuadráticos, un escalado global los deja invariante, por lo que podemos añadir a A una matriz, proporcional a la matriz de identidad y hacer A sin trazas. La condición sin trazas, junto con eq. (210) determina las entradas diagonales, Aii = a(n − 1) b+ â € € ~ i s: s 6=i . El coeficiente en (xj)2 desaparece debido a la anti-simetría. Resumimos el resultados obtenidos. Proposición 12. (i) La transformación lineal infinitesimal con la matriz A deja el Poisson paréntesis (198) rime si y sólo si Alk = , l 6 = k, (211) con constantes arbitrarias vk. ii) Hasta un reescalamiento mundial de las coordenadas, el grupo de invariantes de los corchetes de Poisson (198) es 1-paramétrico, con un generador A, A()ij = , i 6 = j, y A(­)ii = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * s: s 6=i , (212) donde i es el valor de la derivada del polinomio en el punto i. Puesto que los soportes de Poisson transformados con la matriz (211) son todavía rime, se sigue de la propuesta 11 que se pueden escribir, después de un escalado apropiado de coordenadas, en la forma (198). En otras palabras, la variación x puede ser compensada por una variación de + y + y una diagonal transformación de las coordenadas. Tenemos − xf ij = (1) + (2), (213) donde 1 ° = 1 ° = 1 ° = 1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * i − xj)2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + /jjj(x) i) 2 − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (214) 2 ° = (Ãii − à i)2 − i(xj)2 , Ãii := A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # s: s 6=i . (215) Elija Aii para establecer à i a 0; se trata de una transformación diagonal de las coordenadas. Entonces... 2) desaparece y la variación de f ij se reduce a (1). Por otro lado, bajo una variación de s, 7→ i + i, los soportes de Poisson (198) transforman de la siguiente manera: (xi − xj)2 (ij − ji) + a (xj)2i − (xi)2j (216) y concluimos que con la elección i = iνi (217) la variación فارسى(1) es compensada por la variación. Los coeficientes del polinomio Lo mismo. En la próxima subsección vamos a estudiar las relaciones entre la variación de la de los polinomios y el polinomio Observación. Con Íñi como en (212), definir tres operadores, (B−)ij = , i 6= j, y (B−)ii = i, (218) (B0)ij = , i 6= j, y (B0)ii = −( + ('i'i'i), (219) (B+)ij = , i 6 = j, y (B+)ii = −((n− 1) (220) Los operadores B+, B0 y B− generan una acción de la Lie álgebra sl(2), [B0, B−] = −B−, [B0, B+] = B+, [B+, B−] = −2B0 (221) (para obtener las relaciones habituales de conmutación para los generadores de sl(2), cambiar el signo de B+). Esta es la acción proyectiva habitual de sl(2) sobre polinomios f(t) de grado inferior a n, B− : f(t) 7→ f ′(t), B0 : f(t) 7→ tf ′(t)− f(t), B+ : f(t) 7→ t2f ′(t)− (n− 1)t f(t), (222) escrito en la base de los polinomios Lagrange no normalizados, li(t) = s: s 6=i (t − ­s), en puntos i}, i = 1, 2,...., n. De hecho, en la base {li(t)}, un polinomio f(t), deg(f) ≤ n − 1, toma la forma f ili, donde f i = li(i) −1f(i). Tenemos l′i(t) = a:a6=i b:b6=a,i (t- Íb), por lo que l′i(k) = b:b6=k,i kb = lk(k) , k 6 = i. (223) Además, l′i(t) = li(t) s: s 6=i t- • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • , por lo que l′i(i) = −li(i)i. (224) Por lo tanto, l′i(t) = ili(t) + k:k 6=i lk(t), que es exactamente (218). Para funciones en el conjunto de puntos i}, el operador de la multiplicación por t actúa como una matriz diagonal Diag(1, 2,. ............................................................................................................................................................................................................................................................... Sígueme. Definir una involución en el espacio de matrices7, (Y)ij = Y j, i 6= j y (Y )ii = −Y ii, Y • Matn. (226) B(­) = aB+ + bB0 + cB−, B(­) : f 7→ •(t)f ′(t)− n− 1 (t)f(t). (227) En la base {li(t)} para B, el generador (212) del grupo de invarianza es A() = (B()). (228) Tenga en cuenta que los operadores (B−), (B0) y (B+) no forman un álgebra de Lie. 6.3 Forma normal En esta subsección derivamos una forma normal de cada miembro individual del lápiz de Poisson de la propuesta 11. Depende sólo del discriminante del polinomio. Cuando el discriminante de es diferente de cero, los paréntesis Poisson (198) son equivalentes a los corchetes Poisson definidos por el r-matriz (79). Cuando el polinomio es diferente de cero pero su discriminante es cero, el Poisson los paréntesis (198) son equivalentes a los corchetes Poisson definidos por la matriz r (103). Bajo una variación del polinomio, (t) 7→ (a + a) t2 + (b + b) t + (c + c), tenemos para el Poisson brackets (200): u2ijläa+ uijvijläb+ v * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * . (229) La variación de • puede ser compensada por una variación (216) de • si los coeficientes en (xj)2, xixj y (xi)2 en la combinación ( + )f ij desaparecen, lo que da el siguiente sistema: (xj)2  * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * + ai + *2i *a+*i*b+*c = 0, (230) xixj ♥ − 2................................................................................................................................................... 2-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-('). = 0. (231) Una combinación 2×(230)+(231) da 2ai + 2aa+ b = 0. (232) 7La involución es la diferencia de dos proyectores complementarios. La involución satisface (Y1)(Y2) (Y1Y2) = ((Y1)(Y2)) + Y1Y2, ((Y1)Y2) + Y1(Y2), (Y1(Y2)) (Y1)Y2 (225) por Y1, Y2 arbitrario, Matn. Todas las demás dependencias lineales entre Y1Y2, (Y1)Y2, Y1(Y2), (Y1)(Y2), (Y1Y2), ((Y1)Y2), (Y1(Y2)) y ((Y1)(Y2)) son consecuencias de las tres identidades (225). La sustitución de la expresión (232) para ’s en (230) da En el caso de los vehículos de las categorías D (D) = 0, donde D ( ) = b2 − 4ac. 233) El coeficiente en (xi)2 en ( + )f ij desaparece debido a la anti-simetría. Por lo tanto, una condición necesaria para que una variación de • se compense con una variación de • • • • • • • • • sea compensada por una variación de • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • el discriminante D() no varía. Ahora veremos que el discriminante es el invariante único. Explícitamente, bajo un cambio de turno 7→ 7→ 7→ 7→ 7→ 7→ 7 y 7→ 7→ vij (en la notación (200)), que produce el siguiente efecto sobre los coeficientes del polinomio...................................................................................................................................................................................................................................................... a 7→ a, b 7→ b+ 2°a, c 7→ c+ °b+ °2a. (234) Una dilatación 7→ j produce el siguiente efecto en los coeficientes de : a 7→ ♥a, b 7→ b, c 7→ 1c. (235) La inversión 7→ 1j acompañada de un cambio de variables x i produce lo siguiente: efecto sobre los coeficientes de •: a 7→ −c, b 7→ −b, c 7→ −a. (236) El conjunto de operadores (234) y (235) genera la acción del grupo afín sobre el espacio de la polinomios............................................................................................................................................................................................................................................................. El grupo afín, junto con la inversión (236) genera una acción8 de so(3) (la spin 1 representación de sl(2)) en el espacio de los polinomios y la clasificación se reduce a que de órbitas. Las órbitas (en la compleja situación) de polinomios no cero son de dos tipos: “masivos”, D(+) 6= 0, o "como la luz", D(+) = 0. En el Poisson aparecen representantes particulares de ambos tipos (véase la observación 1 después de la propuesta 11) y, por lo tanto, a las matrices r estudiadas en los apartados 4.1 y 4.3. Obtenemos la siguiente declaración. Proposición 13. Let (t) Ser un polinomio cuadrático no cero. Si el discriminante es diferente de cero, D() 6= 0, entonces existe un cambio del param- en los soportes de Poisson (198) que establece (t) a bt, (t) 7→ bt; estos son los soportes de Poisson correspondiente a la matriz rCG (subsección 4.1). Si el discriminante de â € es cero, D(â € = 0, entonces existe un cambio de los parámetros â € i en el Los soportes Poisson (198) que establecen el valor de «t» a «c», «t» a «t» 7→ c; estos son los soportes Poisson que corresponden al valor de «t» y «t» a «t» y «t» a «t» 7→ c; estos son los soportes Poisson correspondientes a «t» y «t» a «t» a «t». la matriz r bCG (subsección 4.3). En ambos casos se puede describir fácilmente el generador A de la invarianza, D(+) 6= 0 y D(+) 6= 0. D(+) = 0, en la base libre de parámetros (es decir, para las matrices rCG y bCG; en la base rime la los generadores son dados por (52) y (55), respectivamente). En el caso de D(­) 6= 0 (respectivamente, D(­) = 0), coincide con la matriz del operador B0 (respectivamente, B−), como en la observación de la subsección 6.2, en la base {ti} de poderes de la variable t. Esto implica algo inesperado que para un polinomio arbitrario Las matrices A() y () están relacionadas por una transformación de similitud. Nótese que en la base {ti} de potencias, los operadores aB++bB0+cB− y (aB++bB0+cB−) también están relacionados por una similitud transformación para arbitraria a, b y c pero aquí es obvio: (aB++bB0+cB−) = aBbB0+cB−, por lo que el operador (aB+ + bB0 + cB−) pertenece a sl(2) y además se encuentra en la misma órbita (complejo) como aB+ + bB0 + cB− con respecto a la acción contigua. 8Let e+ ser el generador del grupo 1-paramétrico (234) y h el generador del grupo 1-paramétrico (235). Denotar por I la inversión (236). El generador e− restante es Ie+I. 7 álgebras cuadráticas cuadráticas ordenadas Considere un álgebra asociativa A definida por relaciones cuadráticas dando un orden lexicográfico. Esto significa que xjxk para j < k es una combinación lineal de términos xaxb con a ≥ b y a > j o a = j y b > k. Diremos que tal álgebra A es rime si {a, b} {j, k}. En otras palabras, las relaciones en el álgebra son xjxk = fjkx kxj + gjkx kxk, j < k. (237) Clasificaremos los estrictos álgebras rime A (es decir, los álgebras para los cuales todos los coeficientes fij y gij son diferentes de cero para i < j). Los únicos solapamientos posibles para el conjunto de relaciones (237) son de la forma (xjxk)xl = xj(xkxl), j < k < l. La forma ordenada de la expresión (xjxk)xl es (xjxk)xl = fjkfjlfkl x lxkxj + fjkfjlgkl x lxlxj + f2klgjk x lxkxk + (fklgjkgkl + f kl(fjkgjl + gjkgkl)x lxlxk + (fjkgjlgkl + gjkg kl + fklgkl(fjkgjl + gjkgkl)x lxlxl. (238) La forma ordenada de la expresión xj(xkxl) es xj(xkxl) = fjkfjlfkl x lxkxj + f2jlgkl x lxlxj + fklfjlgjk x lxkxk + fklgjl x lxlxk + (gklgjl + fjlgklgjl)x lxlxl. (239) Coeficientes de ecuación, encontramos xlxlxj : fjkfjlgkl = f jlgkl, (240) xlxkxk : f2klgjk = fklfjlgjk, (241) xlxlxk : fklgjkgkl + f kl(fjkgjl + gjkgkl) = fklgjl, (242) xlxlxl : fjkgjlgkl + gjkg kl + fklgkl(fjkgjl + gjkgkl) = gklgjl + fjlgklgjl. (243) En la estricta situación, eqs. (240) y (241) simplificar, respectivamente, a fjk = fjl, para j < k y j < l, (244) fkl = fjl, para j < l y k < l. (245) Eqs. (244) y (245) implican que los fjk son todos iguales, fjk =: f. (246) La sustitución de (246) en (242) da (en la situación estricta) (f + 1) gjkgkl + gjl(f − 1) = 0 para j < k < l. (247) Eq. (243) sigue de (246) y (247). Por lo tanto, tenemos dos casos: i) f = −1 y sin condiciones adicionales en gjk; ii) f 6= − 1 y gjkgkl = (1− f) gjl para j < k < l; (248) 1− f 6= 0 desde gjk 6= 0 y gkl 6= 0. En el caso ii), hacer un escalado adecuado de los generadores, xi 7→ dixi para lograr gi,i+1 = 1− f para todos los i = 1,...., n− 1. (249) A continuación, se deriva de eq. (248) que gij = 1− f para todos los i < j. (250) Resumimos los resultados obtenidos. Proposición 14. Hasta un escalado de variables, el orden general cuadrático estricto álgebra rima tiene relaciones i) cualquiera de las dos formas xjxk = −xkxj + gjkxkxk, j < k, (251) sin condiciones en los coeficientes gjk; ii) o de la forma xjxk = fxkxj + (1− f)xkxk, j < k, (252) con f arbitraria (es estricta cuando f 6= 0, 1). Por construcción, los álgebras de los tipos (i) y (ii) poseen una base formada por monomios ordenados y por lo tanto tienen la serie Poincaré del álgebra de las variables de conmutación. El álgebra con relaciones definitorias (252) es el espacio cuántico para la matriz R (75). Relaciones (252) puede ser escrito en la forma (xj − xk)xk = fxk(xj − xk), j < k; (253) Esta es una cuantificación de los corchetes de Poisson {xj, xk} = xk(xj − xk), j < k. (254) Sería interesante saber si el álgebra con las relaciones que definen (251) admite una R-matriz descripción. Agradecimientos Es un placer dar las gracias a László Fehér, Alexei Isaev y Milen Yakimov por sus esclarecedoras discusiones. El trabajo fue parcialmente apoyado por el proyecto ANR GIMP No.ANR-05-BLAN-0029-01. El segundo autor (T. Popov) también fue parcialmente apoyado por el Programa “Bourses d’échanges scientifiques pour les pays de l’Est européen” y por el proyecto del Consejo Nacional Búlgaro de Investigación Científica PH- 1406. Apéndice A. Ecuaciones Aquí le damos la lista de las ecuaciones YB(R®) abc = 0 para la matriz rime kl = αij k + βij l + γij l + γ l, (255) con una convención αi = αii y βii = γii = γ ii = 0. La rime Ansatz implica que YB(R®) abc puede ser diferente de cero sólo si el conjunto de índices inferiores es contenido en el conjunto de índices superiores. Por lo tanto, las ecuaciones se dividen en dos listas: la primera con dos índices diferentes entre {i, j, k} y el segundo con tres índices diferentes. El conjunto completo de ecuaciones YB(R®) abc = 0 es invariante bajo la involución, : αi ↔ αi, αij ↔ αji, βij ↔ βji, γij ↔ ji, (256) porque si Râ € es una solución de la YBe entonces Râ € € = PRâ € P es una solución de la YBe también. Escribiremos sólo la parte necesaria de las ecuaciones, el resto puede ser obtenido por la involución. Las ecuaciones YB(R®) abc = 0 con dos índices diferentes son: αijγij(γji + γ ij) = 0, (257) αij(βijβji + γijγ ij) = 0 = αij(βijβji − γijγji), (258) αijγij(αij + βji − αj) = 0 = αijγij(αji + βij − αj), (259) βij(α i − αijαji − αiβij) + (αi − βij)γijij = 0, (260) (αi − αj)γ2ij + αijγij(γij + ji) = 0, (261) αijβijγ ji + (αiβij + γ ijγij)γij = 0, (262) (αij − αji − βij + βji)γijji = 0 = (αij − αji − βij + βji)βijβji, (263) ji(αj − αij) + βjiγij(αi − βji) + γij(βijβji + γjiji) = 0, (264) (α2i − αi(αji + βji) + βijβji − γijγji)γij = (α2i − αi(αij + βij) + βijβji − ijji)ji. (265) Las ecuaciones con tres índices diferentes {i, j, k} son: (αij − αki − βij + βki)γijki = 0, (266) αij(βijβjk + βikβji − βikβjk) = 0, (267) αij(γijγjk + γik(βjk − βji)) = αij(γijkj + γik(βkj − βij)) = 0, (268) (αijαji − αjkαkj)βik + βijβjk(βij − βjk) = 0, (269) (αi + βik − βji)βjiγik + γikγjiji + αik(γjkji + βjkki) = 0, (270) (αi + αij − αkj − βkj)γijγik − γ2ikγkj + γij(αikki − γijkj) = 0, (271) (αi − βkj)βijγik + (βikβkj + γijij)γik + αikβijki − (βij − βik)γijkj = 0, (272) αij(γijγjk + γik(αjk − αji))=αji(γijγjk + γik(αjk − αji))=αij(γijkj + γik(αkj − αij))=0. (273) Apéndice B. Bloques Analizamos aquí la estructura de los bloques 4×4 de una r-matriz R-matriz invertible e invertible responder a planos de coordenadas bidimensionales. Denotamos los elementos de la matriz como en (5). La sesgo-invertibilidad de una matriz R rime impone restricciones a sus entradas: en la línea RÍO*j* solamente dos entradas pueden ser distintas de cero, R® ji y RÃ3r jj; en la línea R *i sólo dos entradas pueden ser distintas de cero, R® ji y ii. Por lo tanto, αij = 0  γijij 6 = 0 y γijij = 0  αij 6 = 0. (274) Tratando con un solo bloque, esto se vuelve especialmente claro: para sesgar invertir un bloque 4×4 es el mismo para invertir la matriz α1 0 γ12 β12 0 0 α12 γ 21 α21 0 0 β21 γ21 0 α2 , (275) cuyo determinante es: (α12β12 − γ1212)(α21β21 − γ2121)− α1α2α12α21. (276) B.1 Soluciones Aquí clasificamos las soluciones que no son ni hielo ni rima estricta. Para una matriz R de hielo, α12 6= 0 y α21 6= 0. Para una matriz R rime, αij podría desaparecer y consideramos los casos de acuerdo con el número de αij s que puede ser cero. 1. Tanto α12 como α21 no desaparecen, α12α21 6= 0. Si γ12γ21 6= 0 entonces por (257), 1221 6= 0. Esto es una rima estricta. Si ambos γ12 = 0 y γ21 = 0 entonces eq. (259) implica (αji + βij − αj)ji = 0; eq. (261) implica (αi − αj + αji)ji = 0 y eq. (262) implica βijji = 0. Combinando estos, encontramos ij = 0, esto es hielo. Se deja para analizar la situación cuando sólo uno de γ es diferente de cero, digamos γ12 6= 0 y γ21 = 0. Tenemos la siguiente cadena de implicaciones: (257)  12 = 0, (277) (259) β12 = α2 − α21, β21 = α2 − α12, (278) (258)  (α2 − α12) (α2 − α21) = 0, (279) (260)  (α1 − α2)(α2 − α21)(α1 + α21) = 0, (α1 − α2)(α2 − α12)(α1 + α12) = 0, (280) (261) y (265) (α1 − α2 + α12)γ12 + α1221 = 0, (α1 − α2 + α21)21 + α21γ12 = 0. (281) Eqs. (262), (263) y (264) están satisfechos. Por la segunda línea en (281), 21 6= 0. Ahora bien, el sistema de desigualdades y ecuaciones es invariante en el marco de R.R.R.R.21, por lo que hasta este trans- formación podemos resolver eq. (279) mediante el ajuste α21 = α2. Entonces, por (281), γ 21 = 12α2/α1, β son expresado en términos de α por (278) y el sistema restante para α reduce a una sola ecuación (α1 − α2)(α1 + α12) = 0. Obtenemos dos soluciones: 1a. α2 = α1; α1, α12 y γ12 son números arbitrarios distintos de cero; reescalamos la matriz R para establecer α1α12 = 1 e indicar q = α1, γ = γ12: (q;γ) = α1 0 0 0 γ12 0 α12 0 12 α1 α1 − α12 0 0 0 0 α1 q 0 0 0 γ 0 q−1 0 q q − q−1 0 0 0 0 q . (282) La matriz R (282) es semi-simple si (y sólo si) q+q−1 6= 0 y es entonces una matriz R de tipo GL(2), Especificaciones (R+) = {q, q, q,−q−1}. Esta solución es una especialización de (15)-(16). 1b. α12 = +1; α1, α2 y γ12 son números arbitrarios distintos de cero; reescalamos la matriz R para establecer α1α2 = −1 e indicar q = α1, γ = γ12/q: (q;γ) = α1 0 0 0 γ12 0 â € 1 0 12α2/α1 α2 α1 + α2 0 0 0 0 α2 q 0 0 0 qγ 0 −q 0 q−1γ −q−1 q − q−1 0 0 0 0 −q−1 . (283) La matriz R (283) es semi-simple si (y sólo si) q+ q−1 6= 0 y es entonces una matriz R de GL(11)- = {q, q,−q−1,−q−1}. 2. Supongamos que α12 = 0. Por la invertibilidad, β12β21 6= 0; por el sesgo-invertibilidad, γ1212 6= 0; ahora eqs. (257) y (258) implica β12β21 = γ12γ21, γ 12 = 21 y 21 = 12. Eq. (259) implica α2 = α1, β12 = α1 − α21 y β21 = α1. El resto está satisfecho y obtenemos una solución, en la que α1, β12 y γ12 son arbitrarios no cero números; reescalamos la matriz R para establecer α1β12 = −1 y denotamos q = α1, γ = γ12: (q;γ) = α1 0 0 0 γ12 β12 0 α1β12/γ12 12 α1 − β12 α1 α1β12/γ12 0 0 0 α1 q 0 0 0 γ −q−1 0 1/γ q + q−1 q −1/γ 0 0 0 q . (284) La matriz R (284) es semi-simple si (y sólo si) q+q−1 6= 0 y es entonces una matriz R de tipo GL(2), Especificaciones (R+) = {q, q, q,−q−1}. Esta solución es una especialización de (15)-(16). 3. Finalmente, asumir que α12 = α21 = 0. Por la invertibilidad, β12β21 6= 0; por el sesgo-invertibilidad, γ1212γ2121 6= 0; ahora eq. (261) implica α2 = α1, eq. (263) implica β21 = β12; eq. (262) implica γ12γ 12 = γ21γ 21 = 1β12; eq. (265) implica que γ12γ21 puede tomar tres valores: α 12 o (+1β12). El resto está satisfecho y obtenemos una solución, en la que α1, β12 y γ12 son arbitrarios no cero números; reescalamos la matriz R para establecer α1β12 = −1 y denotamos q = α1, γ = γ12: (q;γ) = α1 0 0 0 γ12 β12 0 α1β12/γ12 0 β12 γ12 0 0 0 α1 q 0 0 0 γ −q−1 0 1/γ γ/• 0 −q−1 •/γ 0 0 0 q , (285) donde • = q2, 1, q−2. La matriz R (285) es semi-simple si (y sólo si) q + q−1 6= 0 y es entonces un R-matriz de tipo GL(11), Spec(R) = {q, q,−q−1,−q−1}. Se deduce del análisis anterior que si γij 6= 0 en una R-matriz invertible e invertible entonces ji 6= 0. En cada uno de los casos (282)-(285), el parámetro γ 6= 0 se puede establecer en un valor arbitrario (no cero) por un cambio diagonal de la base. Las R-Matrices (282)-(285) son sesgadas-invertibles. B.2 GL(2) y GL(11) R-Matrices 1. En la dimensión 2, excepto las matrices R estándar de tipo GL, GL(2) (q,p) q 0 0 0 0 0 p 0 0 p−1 q − q−1 0 0 0 0 q GL(11) (q,p) q 0 0 0 0 0 p 0 0 p−1 q − q−1 0 0 0 0 −q−1 , (286) hay dos familias unimétricas no estándar de matrices R no unitarias del tipo GL(11): el de ocho vértex, RÍO(q) = q − q−1 + 2 0 0 q − q−1 0 q − q−1 q + q−1 0 0 q + q−1 q − q−1 0 q − q−1 0 0 q − q−1 − 2 , (287) y la matriz Râr(II) para la que se puede dar una forma triangular superior a la matriz R = PRâr, RÍO II(q.) = q 0 0 q + q−1 0 0 •q−1 0 0 •q q − q−1 0 0 0 0 −q−1 , (288) en la que  = ±1. Las matrices R (286), (287) y (288) son semisimples si (y sólo si) q + q−1 6= 0. Hasta las transformaciones Ró Ró 21 y Ró Rót (la transposición), cambios de base y escalas Râ € 7→ c Râ € (donde c es una constante), la lista completa de semi-simple invertible y sesgo-invertible R-Matrices incluye (véase [16] para una descripción de todas las soluciones de la ecuación Yang-Baxter en dos las dimensiones y [11] para la clasificación de las matrices R de tipo GL(2), además de las (286)-(288), Una familia paramétrica de soluciones jordanas (h1:h2) (h1:h2) 1 h1 −h1 h1h2 0 0 1 −h2 0 1 0 h2 0 0 0 1 (289) (la matriz R jordana es de tipo GL(2); es unitaria; el parámetro esencial es el vector proyectivo (h1 : h2)), así como la solución similar a la permutación (a, b, c) y una solución más (a, b, c) 1 0 0 0 0 0 a 0 0 b 0 0 0 0 0 c 0 0 0 a 0 1 0 0 0 0 1 0 a 0 0 0 . (290) La matriz R R® (a, b, c) es Hecke cuando ab = 1 y c = ± 1 y es entonces estándar (y unitario). Los R-matriz R® es Hecke cuando a2 = 1; es entonces unitario y está relacionado con la matriz R estándar por una cambio de base con la matriz Sin la demanda de semisimplicidad, la lista completa de R-Matrices invertibles e invertibles contiene dos soluciones más, (h1:h2: 1 h1 h2 h3 0 0 1 h1 0 1 0 h2 0 0 0 1 , R®( •) = 1 0 0 1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 0 0 0 1 . 291) El parámetro esencial para la R-matriz R® (h1:h2: es el vector proyectivo (h1 : h2 : h3). Los R-matriz R® (h1:h2: es semi-simple si y sólo si h2 = −h1 y h3 = −h21; entonces pertenece a la familia (289) de R-Matrices jordanas. 2. Para las R-Matrices de la lista de arriba, las transformaciones Râ ↔ Râ °21, Râ ° ° Râ ° y Râ ° Râ ° Râ ° 1 en parte se superponen o reducen a parámetros o cambios de base. Escribiremos fórmulas para el Hecke R- Sólo matrices. Para la matriz estándar R-R®(q,p) := R® GL(2) (q,p) Rât(q,p) = Rât(q,p−1), (Rât(q,p))21 = ( −1 1), R1 (q,p) = (Rât(q−1,p−1))21, (292) donde η = Para la matriz estándar R-R®(q,p) := R® GL(11) (q,p) Rât(q,p) = Rât(q,p−1), (Rât(q,p))21 = ( −1 1), R1 (q,p) = (Rât(q−1,p−1))21. (293) Para la matriz no estándar GL(11) R-matriz R®(q) := R®I(q), Rât(q) = Rât(q), (Rât(q))21 = Rât(q), Rât = (D D)RÃ3r(q−1)(D D)−1, (294) donde D = Para la matriz no estándar GL(11) R-Mátrix R®(q, ( )( )( )(−q−1,))21() −1 1), R1 (q) = (RÃ3r(q−1–1)21, (295) donde = Para la matriz R jordana Ró (h1:h2) := Ró (h1:h2) Ródano(h1:h2) = (η η)Ródano(h2:h1)(η) −1 1), (RÃ3n(h1:h2))21 = RÃ3n(−h1:−h2), RÃ3n (h1:h2) = Râ € (h1:h2). (296) B.3 Riming Ahora vamos a identificar las R-Matrices rime (282)-(285). 1. GL(2) Las R-Matrices (282) y (284) están relacionadas con un cambio de base (el número entre paréntesis se refiere a la ecuación correspondiente), (282) (q;γ) T T = T T R®(284) (q;γ) , T = q −1/γ . (297) A su vez, la matriz R (282) está relacionada con la matriz R R® estándar GL(2) (q,q−1) por un cambio de base, (282) (q;γ) T T = T T RÃ3GL(2) (q,q−1) , T = q − q−1 0 . (298) En la situación unitaria (es decir, q − q−1 = 0), la matriz R R®(282) (q;γ) pertenece a la familia de R-Matrices jordanas. Tenga en cuenta que para las R-Matrices (282) y (284), los espacios cuánticos de la izquierda incluso son clásicos. 2. GL(11) La R-matriz (283) está relacionada con la R-matriz (285) con la elección • = β212, (283) (q;γ) T T = T T R®(285) (−q−1,q2;1), T = . (299) Tenemos (285) (q,1;γ) T T = T T Rà I , T = γ , en los que Ł2 = q − 1 q + 1 , (300) (285) (q,q2;γ) T T = T T RÍO II (q,1) , T = γq−1 q−1 , (301) (285) (q,q−2;γ) T T = T T (RÍO II) (q,1) )21, T = γq q . (302) En la situación unitaria (es decir, para q = ±1) sólo eq. (300) cambios, pero ahora diferentes opciones para Coinciden. 3. Puesto que las matrices R estándar son rime también, concluimos que en la dimensión 2, todos no unitarios Hecke R-Matrices encajan en la rime Ansatz. Cuando h1 = 0, la R-matriz jordana R (0:h2) es rime como Bueno. Sin embargo, cuando h1 6= 0, la R-matriz jordana R (h1:h2) no puede ser irritado. De hecho, supóngase que h1 6= 0 y dejar A = (T T ) (h1:h2) (T T )-1 con alguna matriz invertible T. (Det(T))2A1112 = h1 (T) 2 (Det(T)− h2 T 11 T 21 ), (Det(T ))2A1121 = −h1 (T 11 )2 (Det(T ) + h2 T 11 T 21 ), (Det(T))2A2212 = h1 (T) 2 (Det(T)− h2 T 11 T 21 ), (Det(T ))2A1121 = −h1 (T 21 )2 (Det(T ) + h2 T 11 T 21 ). (303) Para una T invertible, las entradas no rimas (303) de A no pueden desaparecer simultáneamente. 4. Observamos también que todas las R-Matrices no estándar de GL(11)-tipo son uniformemente descritos por el fórmula (285). Los espacios cuánticos correctos para la R-matriz R® (285) (q;γ) , con γ = 1, debe decir (R q11 11)ijkl x kxl = 0 : (q + q−1)xy = x2 + y2, (q + q−1)xy = 1x2 + y2 ; (304) (Rós + q-111 11)ij xkxl = 0 : x2 = 0, y2 = 0. (305) Usando el lema del diamante, es sencillo verificar que la serie Poincaré de la cuántica espacio (304) es de tipo GL(11) si y sólo si • = q−2, 1 o q2. Apéndice C. Triplicado sin rimas Aquí esbozamos una prueba de que el triple (94) no puede ser roto. Relaciones xiyj = R kxl, donde está R® la matriz R para el triple (94) con multiparámetros arbitrarios, debe decir xiyi = yixi, i = 1, 2, 3, 4 (306) x1y2 = y2x1, x1y3 = y3x1, x1y4 = y4x1 − rs y3x2, x2y1 = y1x2 + (1− q−2)y2x1, x2y3 = y3x2, x2y4 = y4x2, (307) x3y1 = y1x3 + (1− q−2)y3x1, x3y2 = y2x3 + (1− q−2)y3x2, x3y4 = y4x3, x4y1 = y1x4 + (1− q−2)y4x1 + 1 y2x3, x4y2 = y2x4 + (1− q−2)y4x2, x4y3 = y3x4 + (1− q−2)y4x3. (308) El parámetro q entra en la ecuación característica de Râ, Râ = (1− q−2)R q−211 11; p, r y s son los multiparámetros. La única restricción necesaria es q2 6= 1. Denotar por l(1), l(2), un plano bidimensional que se extiende por l(1) y l(2). Decimos que dos formas lineales l(1) y l(2) (en cuatro variables) forman un par de rimas si, para las relaciones de orden (306) y (307)-(308), cada producto l(α)(x)l(β)(y), α = 1, 2, β = 1, 2, es una combinación lineal de l(1)(y)l(1)(x), l(1)(y)l(2)(x), l 2) y) l 1) x) y l 2) y 2) x). Si, además, l(α)(x)l(α)(y) es proporcional a l(α)(y)l(α)(x) para α = 1 y 2, decimos que l(1) y l(2) forman una base de rima en el plano l(1), l(2). Llamamos a un avión rime si lo hace. admite una base de rima. Fork Lemma. Suponga que l (1) x) = x1 + a2x 2 + a3x 3 y l(4)(x) = b2x 2 + b3x 3 + x4 forman una rima par para algunos a2, a3, b2 y b3. Entonces a3b2 6= 0 y a2 = b3 = 0 o a2b3 6= 0 y a3 = b2 = 0. Si a3b2 6= 0 entonces r = s = 1, l(1)(x) = x1 + wx3 y l(4)(x) = x4 + q − q−1 x2, w 6= 0 es arbitrario. (309) Si a2b3 6= 0 entonces , r = s, l(1)(x) = x1 + wx2 y l(4)(x) = x4 + q − q−1 x3, w 6= 0 es arbitrario. (310) Por otra parte, si r = s = 1 y p 6= q−1 entonces el plano rime â € l(1), l(4)â € admite un único, hasta {l(1), l(4)}; si p = q−1 y r = s 6= 1 entonces el plano de la rima {l(1), l(4) {l(1), l(4)}; si p = q−1 y r = s = 1 entonces dos independientes Las combinaciones lineales de l(1) y l(4) forman una base de rima en el plano «l(1), l(4)». Prueba. Un cálculo sencillo. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Suponga que existe una base de rime {x­i} para el triple (94), x­i = Aijxj, la matriz Aij es invertible. Cambiar el nombre de las variables rime x?i de tal manera que el menor A11 A A41 A es distinto de cero y A11A 4 6= 0; normalizar las variables x?1 y x?4 para tener A11 = A 4 = 1. El plano x~1, x~4® es, por definición, rime, con una base de rima {x?1, x?4}. Supongamos que r = s = 1 y p 6= q−1 o p = q−1 y r = s 6= 1. Entonces, por Fork Lemma, el base rime en el plano â € € TM € TM € TM € TM € TM es, hasta proporcionalidad, único, por lo que sabemos las variables x~ 1 y x‡4. Las variables x?1 y x?2 forman un plano rime. Por lo tanto, si la variable x?2 contiene x4 con un coeficiente no cero entonces, por Fork Lemma, x?2 debe ser proporcional a x?4, en contradicción con el lineal la independencia de las variables xu2 y xu4. Del mismo modo, la variable x?2 no puede contener x1 con un no-cero Coeficiente (el plano â € € € € TM € TM °, xâ € € es rime). Por lo tanto, x?2 es una combinación lineal de x2 y x3. Lo mismo para x?3: es una combinación lineal de x2 y x3. Una de las variables, x?2 o x?3, digamos, x?2, contiene x2 con un coeficiente no cero. Ecuaciones de rima de escritura para el plano â € € TM x~ 1, x~2â € en el caso r = s = 1 y p 6= q−1 (para el plano x~2, x~4~ en el caso p = q−1 y r = s 6= 1) conduce rápidamente a una contradicción. Por lo tanto, si las relaciones (306) y (307)-(307) pueden ser rimed entonces p = q−1 y r = s = 1. Lo siento. sigue de Fork Lemma que x‡4 = (q − q−1)c2c3x1 + c2x2 + c3x3 + x4 para algunos c2 y c3. Los aviones x4a, x4a, a = 1, 2, 3, son de buena calidad. Resta de las variables x variable x?4 con los coeficientes apropiados, encontramos tres combinaciones linealmente independientes l(x) = d1x 1 + d2x 2 + d3x 3, (311) cada uno formando un par de rimas con x‡4. Debemos tener: l(x)l(y) es una combinación lineal de l(y)l(x), l(y)x 4 (x) y 4 (x) 4. Se sigue, después de un cálculo sencillo, que d2d3 = 0. Además, d2 = d3 = 0 está excluido por Fork Lemma. En el caso d2 6= 0 y d3 = 0 (respectivamente, d3 6= 0 y d2 = 0), la rima condición implica que d1 = (q − q−1)c2d3 (respectivamente, d1 = (q − q−1)c3d2). Por lo tanto, sólo dos linealmente combinaciones independientes (311) pueden formar un par de rimas con x­4; la contradicción final. Bibliografía [1] M. Aguiar, Infinitesimal Hopf álgebras; Contemp. Matemáticas. 267 (2000) 1–30. [2] G. E. Arutyunov y S. A. Frolov, matrices dinámicas cuánticas R y Frobenius cuánticos Grupo; Comm. Matemáticas. Phys. 191 (1998), 15 a 29. ArXiv: q-alg/9610009. [3] A. A. Belavin y V. G. Drinfeld, ecuaciones de triángulo y simples álgebras de mentira; Sov. Sci. Rev. C4 (1984), 93–166. [4] A. A. Belavin y V. G. Drinfeld, Soluciones de la ecuación clásica Yang-Baxter para la mentira simple álgebras; Funct. Anal. Appl. 16 (1982) 159–180. http://arxiv.org/abs/q-alg/9610009 [5] E. 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De hielo a rime Soluciones Rime Yang-Baxter.25cm R-Matrices de corteza no unitarias R-Matrices de corteza unitarias Propiedades R-Matrices Rime y Cremmer-Gervais Clásica rime r-Matrices.25cm Caso no simétrico de skew BD triplica. Caso skew-simétrico Operadores Bézout.25cm Ecuación de Yang-Baxter clásica asociativa no homogénea Cuantización lineal Significado algebraico Operadores Rota-Baxter *-multiplicación Brackets Rime Poisson.25cm Lápiz rime Invarianza Forma normal álgebras asociativas cuadráticas ordenadas.1cm Apéndice A. Ecuaciones Apéndice B. Bloques 25cm B.1 Soluciones B.2 GL(2) y GL(11) R-Matrices B.3 Riming Apéndice C. Triplicado sin rimas Bibliografía

Quadratic centers defining elliptic surfaces

Centros cuadráticos que definen las superficies elípticas Sébastien GAUTIER 26 de agosto de 2021 Resumen Que X sea un campo vectorial cuadrático con un centro cuyas órbitas genéricas son curvas algebraicas de Género uno. A cada X asociamos una superficie elíptica (una superficie compacta compleja lisa que es un género de fibración). Damos la lista de todos estos campos vectoriales y determinamos el correspondiente superficies elípticas. 1 Introducción La segunda parte del 16o problema Hilbert pide un límite superior al número de ciclos límite de un campo vectorial polinomio plano de grado menor o igual a n. Incluso en el caso de sistemas cuadráticos (n = 2) el problema sigue abierto. Una versión infinitesimal del problema de Hilbert 16 puede ser formulada de la siguiente manera: Encontrar un límite superior Z(f, n) al número de ciclos límite de un campo vectorial polinomio de grado n, cerca de un campo vectorial polinomio con una primera integral f. La foliación asociada en el plano se define por R−1df + = 0 (1) donde R−1df = Pdx + Qdy es una forma polinómica única, degP, degQ ≤ n, R−1 es una integración factor, y es una polinomio una forma de grado n con coeficientes que dependen analíticamente de la parámetro pequeño......................................................................................................................................................... Un progreso en la solución del infinitesimal 16o problema Hilbert se logra principalmente en el caso de f es un polinomio de grado tres, o F = y2 + P (x) donde P es un polinomio de grado cuatro ver [I02, P90, G01]. Un punto clave es que las hojas genéricas ­c = {f = c} • C2 de la foliación polinómica R−1df = 0 son curvas elípticas. Esperamos que las perturbaciones de las foliaciones polinómicas más generales con hojas elípticas (que llamamos “foliaciones elípticas”) se pueden estudiar en la misma línea. Esto lleva naturalmente al siguiente problema (abierto). Para un n > 1 determinado determinar, hasta una equivalencia afín, las foliaciones polinómicas elípticas Pdx+ Qdy = 0, degP, degQ ≤ n. El presente artículo aborda el problema anterior en el caso cuadrático, n = 2. En vista de las solicitudes al 16o problema Hilbert más importante es el caso cuando la foliación no perturbada es real y posee un centro. Tales foliaciones son bien conocidas desde Dulac (1908) y Kapteyn (1912). Además, cuando las hojas de la foliación (las órbitas del campo vectorial cuadrático) son curvas algebraicas, hay a (racional) primera integral f [J79]. Recordando la clasificación de los campos vectoriales cuadráticos con un centro, una primera integral racional de la foliación inducida es así de cuatro tipos diferentes: f = P3(x, y) con P3 (x, y) (caso Hamiltoniano) (2) f = x(y2 + P2(x)) con * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * P2 R2[x, y] (caso reversible) (3) f = x­yμ(ax+ por + c) con Q, μ Q, μ Q, μ Q, μ Q, μ Q, μ Q, μ Q, μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ } μ μ μ μ μ μ μ μ } μ μ μ μ μ μ μ μ μ } μ μ μ μ μ μ μ μ μ } P2 R2[x, y] a,b,c números reales (Caso Lotka-Volterra) (4) http://arxiv.org/abs/0704.1948v2 f = P2(x, y) −3P3(x, y) 2 con P3 R3[x, y] P2 R2[x, y] (caso de la codimensión 4) (5) En la sección 2 se da la clasificación, hasta una equivalencia afín, de todas las foliaciones elípticas con una la primera integral de los formularios (3) o (4). Los casos Hamiltonianos obviamente inducen una foliación elíptica y ya han sido estudiados. Las observaciones relativas al caso de la codimensión 4 pueden encontrarse en [GGI, G07]. En nuestra clasificación, el campo base se supone que es C, por lo que todos los parámetros a, b, c, ,... son complejos. Nosotros obtener una lista finita de tales foliaciones con un centro, así como varias series infinitas de foliaciones degeneradas que no puede tener un centro (cuando el campo base es R). La mayoría de estas foliaciones elípticas no fueron previamente estudiado en el contexto del 16o problema Hilbert (pero ver [CLLL06, YL02, ILLY05]). La sección 3 trata de la topología de la superficie singular inducida. Una foliación elíptica en C2 (o más generalmente una foliación con una primera integral algebraica f) da lugar canónicamente a una elíptica superficie como se indica a continuación. Supongamos que f se elige de tal manera que la fibra genérica del mapa f : C2 → C es una curva algebraica irreductible. El mapa racional inducido f : P2 99K P1 tienen un número finito de puntos de indeterminación. Después de un número finito de explosiones de P2 en estos puntos obtenemos (por el Teorema de desingularización de Hironaka ) un mapa analítico inducido 2 K f→ P1 donde K es una superficie lisa y compleja. Además, podemos suponer que K es mínimo en el sentido de que las fibras no contienen curvas excepcionales de primer tipo. El par (K, f) es entonces la superficie elíptica asociado a la foliación elíptica R−1df = 0. Es único hasta una fibra que preserva el isomorfismo. In Esta última sección, calculamos las fibras singulares de las superficies elípticas obtenidas. Las fibras singulares de una superficie elíptica se clasifican por Kodaira [Ko63]. Tales cálculos son de 2 veces. En primer lugar, es permite identificar superficies isomórficas elípticas de foliaciones no afín equivalentes, que por sí solas son de interés. Pero lo más importante es que inmediatamente da la monodromia local de la singular fibras. Aquí, el número de fibras singulares (excepto en el caso de Hamilton) no superan 4 por lo que la monodromia local de las fibras singulares da una buena descripción del grupo de monodromia (global) de la ecuación Picard-Fuchs asociada (o equivalentemente, la invariante homológica de la superficie [Ko63]), que en su turno es necesario al estudiar ceros de Abelian integrals (o ciclos límite de la perturbada foliación (1)), véase [G01, P90, I02, GGI, G07] para más detalles. 2 Centros cuadráticos que definen las foliaciones elípticas Let F = F(­) ser una foliación en el plano C2 definida por una forma diferencial ­ = Pdx + Qdy. Nosotros decimos que F(df) es elíptica siempre que sus hojas genéricas sean curvas elípticas. Como se indica en la Introducción, en el presente trabajo suponemos que F tiene, eventualmente después de un cambio afín de las variables en C2, una primera integral de la forma (3) o (4). Tal foliación será llamada reversible (teniendo una integral de la forma (3) pero no (4)), del tipo Lotka-Voltera (que tenga una integral de la forma (4) pero no (3)), o de tipo reversible Lotka-Voltera. 2.1 El caso reversible Una foliación elíptica del tipo Lotka-Voltera tiene tres líneas invariantes. De esto deducimos que un re- foliación de Lotka-Voltera versible siempre tiene una primera integral f = x(y2+P2(x)) donde P2 es un polinomio de grado como máximo dos, y el polinomio bivariado y2+P2(x) es irreductible. En esta sección demostramos lo siguiente: Teorema 1 La foliación reversible F(df) es elíptica si y sólo si, después de un cambio afín de la variables, tiene una primera integral de la forma: (rv1) f = x−3(y2 + ax2 + bx+ c) (rv2) f = x(y2 + cx2 + bx+ a) (rv3) f = x−3/2(y2 + ax2 + bx+ c) (rv4) f = x−1/2(y2 + cx2 + bx+ a) f = x−4(y2 + ax2 + bx+ c) (rv6) f = x2(y2 + cx2 + bx+ a) (rv7) f = x−4/3(y2 + bx+ c) (rv8) f = x−2/3(y2 + cx2 + bx) f = x−4/3(y2 + ax2 + bx) (rv10) f = x−2/3(y2 + bx+ a) (rv11) f = x−5/3(y2 + ax2 + bx) (rv12) f = x−1/3(y2 + bx+ a) (rv13) f = x−5/4(y2 + ax2 + bx) (rv14) f = x−3/4(y2 + bx+ a) f = x−7/4(y2 + ax2 + bx) (rv16) f = x−1/4(y2 + bx+ a) (rv17) f = x−5/2(y2 + ax2 + bx) (rv18) f = x1/2(y2 + bx+ a). i)f = x−1+ k (y2 + x), k • Z* \ 2Z, ii)f = x−1+ k (y2 + x), k • Z* \ 3Z. Observación 1 Suponemos además que c 6= 0 para (rv3), (rv4). Prueba. Let 't ser el conjunto de (x, y) C2 tales que para alguna determinación de la función multi-valorada Si los componentes conectados de Łt para todos los t son curvas algebraicas, entonces pusimos ♥ = p P2(x) = ax2 + bx+ c C2[x]. Como la foliación es reversible podemos suponer que y2 + ax2 + bx + c es irreductible, o simplemente b2−4ac 6= 0. Suponemos primero que un 6= 0, c 6= 0, es decir, el cuadrático {y2+ax2+bx+c = 0} no es tangente a la línea en el infinito en P2 y a la línea {x = 0}. 2.1.1 El caso a 6= 0, c 6= 0, b2 − 4ac 6= 0. Después de una escala de t y una transformación afín podemos suponer que f = xe(y2 + x2 + bx+ c). 6) Por abuso de notación ponemos * t = {xp/q(y2 + x2 + bx+ c) = t} y de una manera similar definimos t = {Xp(Y 2 +X2q + bXq + c) = t}. 7).................................................................................................................................................. Lemma 1 El mapa : C2 → C2 : (X,Y ) → (x, y) = (Xq, Y ) induce un isomorfismo de Łt y t. De hecho, es fácil de comprobar que : t → t es una bíjez y, por lo tanto, es un bi-holomórfico Para calcular el género de t o t distinguimos dos casos: 1. El caso cuando p < 0. Obtenemos la curva hiperelíptica {y2 = −x2q − bxq + tx−p − c}. Las raíces del polino- mial −x2q − bxq+ tx−p− c son diferentes y no ceros ya que t es genérico. En consecuencia, su género es uno si y sólo si el grado del polinomio es 3 o 4 y así obtenemos: a) f = x−3(y2 + x2 + bx+ c) b) f = x−4(y2 + x2 + bx+ c) c) f = x− 2 (y2 + x2 + bx+ c) d) f = x− 2 (y2 + x2 + bx+ c) 2. Supongamos que ahora p ≥ 0. Tenemos fácilmente: y2xp = t − x2q+p − bxq+p − cxp. Así, después de una transformación biracional, nosotros obtener: y2 = xp(t− x2q+p − bxq+p − cxp). Dado que t es genérico, todas las raíces de t− x2q+p − bxq+p − cxp son diferentes y no desaparecen. • Si p es incluso tenemos: )2 = t− x2q+p − bxq+p − cxp. En consecuencia, es elíptica cuando 2q+ p es igual a 3 o 4. Esto da las siguientes curvas: a) x(y2 + x2 + bx+ c) = t b) x2(y2 + x2 + bx+ c) = t. • Si p es impar, entonces tenemos: )2 = x(t− x2q+p − bxq+p − cxp). Puesto que todas las raíces de t-x2q+p-bxq+p-cxp son diferentes y no ceros, la curva es elíptica si y sólo 2q + p es igual a 2 o 3, lo que da la solución (b) anterior. Esto hemos obtenido los casos (rv1)-(rv6) en Teorema 1. 2.1.2 El caso a 6= 0, c = 0, b2 − 4ac 6= 0. Esto significa que el cuadrado {y2+ax2+bx = 0} es tangente a la línea {x = 0} y es transversal a la línea en el infinito, ver Figura 7. Después de una transformación afín y escalado de t obtenemos P2(x) = ax 2 + bx con un 6 = 0. Por lo tanto necesitamos calcular el género de {xp(y2 + x2q + bxq) = t} para t genérico. Si p ≥ 0 los mismos cálculos como caso a 6= 0, c 6= 0 dan las mismas soluciones del problema. Deje p < 0 y supongamos que p = 2a es par. Tenemos (xay)2 = −x2q+p − bxq+p + t, así que si −p ≤ q, tiene un género si y sólo 2q + p = 3 o 4, por lo tanto q ≤ 4 y (p, q) = (−2, 3). Si −p ≥ 2q la curva anterior es biracional a la curva y2 = −x−p−q − bx−p−2q + t y por lo tanto tiene género uno si −p− q = 3 o 4 que conduce a (p, q) = (−4, 1). Si q < −p < 2q, porque p es par y q es impar, es equivalente a calcular el género de {y2 = x(tx−(q+p) − xq − b)}. Por lo tanto (p, q) = (−4, 3). Ahora supongamos que p = 2a + 1 es impar. La curva es biracionalmente equivalente a {y2 = −x(x2q+p + bxq+p − t)}. Como arriba obtenemos: (p, q) = (−1, 2), (−3, 1), (−5, 2), (−5, 3), (−5, 4), (−7, 4). Para reanudar, probamos Proposición 1 La foliación F(x(y2 + x2 + bx)) es elíptica si y sólo tiene bajo afina transfor- mation una primera integral del tipo : f = x(y2 + x2 + bx) f = x2(y2 + x2 + bx) f = x−3(y2 + x2 + bx) f = x−4(y2 + x2 + bx) f = x− 2 (y2 + x2 + bx) f = x− 2 (y2 + x2 + bx) f = x− 3 (y2 + x2 + bx) f = x− 3 (y2 + x2 + bx) f = x− 4 (y2 + x2 + bx) f = x− 4 (y2 + x2 + bx) f = x− 3 (y2 + x2 + bx) Aquí obtenemos (rv1)− (rv6) excepto (rv3) de acuerdo con la Observación 1, (rv8) y el final de la columna izquierda de Teorema 1. 2.1.3 a = 0, c 6 = 0, b2 − 4ac 6 = 0. Esto significa que el cuadrado {y2 + bx+ c = 0} es tangente a la línea en el infinito y es transversal a la línea {x = 0}. El cambio biracional de variables x → 1/x, y → y/x muestra que esto es equivalente al caso a 6= 0, c = 0 y obtenemos: Proposición 2 La foliación F(x(y2 + x+ c)) es elíptica si y sólo tiene bajo la transformación afín- una primera integral del tipo: f = x(y2 + x+ c) f = x2(y2 + x+ c) f = x−3(y2 + x+ c) f = x−4(y2 + x+ c) f = x− 2 (y2 + x+ c) f = x 2 (y2 + x+ c) f = x− 3 (y2 + x+ c) f = x− 3 (y2 + x+ c) f = x− 4 (y2 + x+ c) f = x− 4 (y2 + x+ c) f = x− 3 (y2 + x+ c) Aquí obtenemos (rv1)− (rv6) excepto (rv4) de acuerdo con la Observación 1, (rv7) y el final de la columna derecha de Teorema 1. 2.1.4 a = c = 0, b 6 = 0 Esto significa que el cuadrado {y2 + ax2 + bx+ c = 0} es tangente a la línea en el infinito y a la línea {x = 0}. Hasta el cambio afín de escalas podemos suponer f = xp/q(y2 + x). Si p es incluso la curva t es biracional a y 2 = −xq+p + t. Si p es impar la curva t es biracional a y 2 = −x(xq+p − t). Para p ≥ 0 esta curva es elíptica si y solamente: (p, q) = (1, 1), (2, 1) y (1, 2). Ahora, si p ≤ 0 y q + p ≥ 0 las condiciones son q + p = 2, 3 o 4 con p par. El caso q + p ≤ 0 da similar-q − p = 2, 3 o 4 con p par. Tenga en cuenta que debemos tener q primo con los enteros 2 o 3 o 4 cuando se consideran todos los casos. Esto da lo siguiente: Proposición 3 La foliación F(x(y2 + bx)) con b 6= 0 es elíptica si y sólo si tiene una primera integral del tipo : f = x−1+ k (y2 + x), k • Z* \ 2Z f = x−1+ 3k (y2 + x), k • Z* \ 3Z Finalmente, el Teorema 1 está probado. 2.2 El caso Lotka-Volterra Teorema 2 La foliación Lotka-Volterra F(df) es elíptica si y sólo si, después de un cambio afín de la variables, tiene una primera integral de la forma: f = x2y3(1− x− y) (lv2) f = x−6y2(1− x− y) (lv3) f = x−6y3(1− x− y) (lv4) f = x−4y2(1− x− y) (lv5) f = x−6y3(1− x− y)2 iii)f = x k (1 + y), iv)f = x−1+ k (x+ y) con k • Z* \ 3Z y l − k • 3Z, v)f = x k (1 + y), (vi)f = x−1+ k (x+ y) con k • Z* \ 2Z y l − k • 4Z vii)f = x k (1 + y), viii)f = x−1+ k (x+ y) con k • Z*, l • 2Z y kl − 2 • 6Z (ix)f = x k (1 + y) (x)f = x−1+ k (1 + y) con k, l ° Z* \ 2Z (xi)f = x k (1 + y) (xii)f = x−1+ k (1 + y) con k-Z* \ 3Z y l-Z* \ 2Z y además gcd(k, l) = 1. Prueba. Una primera integral algebraica es dada por f = xp1yp2(ax+ por + c)r, p1, p2 â € Z, r â € N*. Esto define un divisor en P2: D = p1L1 + p2L2 + rL3 donde Li, i = 1.3, son líneas proyectivas. Al igual que en la sección anterior, el estudio a continuación dependerá de la geometría del divisor D multiplicidades) asociadas a D. En primer lugar vamos a considerar el caso genérico, es decir, las líneas proyectivas Li, i = 1,3 tienen cruces normales uno hacia el otro. 2.2.1 El caso a 6= 0, b 6= 0, c 6= 0. Primero podemos suponer que bajo la transformación afín b = c = −a = 1. La expresión de Dû nos invita a dividir el estudio en 4: p1 > 0, p2 > 0 (8) p1 < 0, p2 > 0, p1 + p2 + q > 0 (9) p1 < 0, p2 > 0, p1 + p2 + q < 0 (10) p1 < 0, p2 > 0, p1 + p2 + q = 0. (11) En la forma de (10) la hoja genérica es biracional a la curva algebraica Xp1Y p2 = t que es racional. Por lo tanto, el caso genérico será una consecuencia obvia de las 3 proposiciones siguientes: Proposición 4. La curva algebraica xpyq(1 − x− y)r = 1 con 0 ≤ p ≤ q ≤ r, gcd(p, q, r) = 1 es de género uno si y sólo si (p, q, r) = (1, 1, 1) o (1, 1, 2) o (1, 2, 3). Proposición 5 Curva algebraica yq(1−x−y)r = xp con p, q, r > 0, −p+q+r < 0 gcd(p, q, r) = 1 es del género uno si y sólo si (p, q, r) = (1, 2, 2) o (3, 2, 2). Proposición 6 Curva algebraica yq(1 − x − y)r = xp con p > 0, q > r > 0, −p + q + r > 0 gcd(p, q, r) = 1 es elíptica si y solo si (p, q, r) = (3, 1, 1), (4, 1, 1), (4, 2, 1), (6, 2, 1), (6, 3, 1) o (6, 3, 2). Prueba de la Proposición 4. Vamos a ser una forma única en una superficie compacta de Riemann S. Escribimos = i aiPi con puntos Pi de S. Esta suma es finita y definimos el grado de : deg(­) = i ai. Según el Poincaré-Hopf fórmula (véase [GH78]), cualquier 1-formulario en S satisface: = 2 g − 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 = 2 g = 2 g = 2 g = 2 = 2 g = 2 = 2 g = 2 g = 2 g = 2 = 2 g = 2 g = 2 g = 2 = 2 g = 2 g = 2 = 2 = 2 = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = = = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 g = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 g = 2 g = 2 g = 2 = 2 g = 2 g = 2 g = 2 (12) Ahora, usamos esta fórmula con la superficie de riemann C... obtenida después de la desingularización de la irre- curva algebraica ducible C definida por la ecuación xpyq(1 − x − y)r = 1. Let η : Cû → C ser tal un mapa de desingularización. Calculamos por debajo del grado de la forma única donde (por el abuso de notación): • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • x[q − qx− (q + r)y] = y[p− py − (p+ r)x]. La 1-forma anterior ha sido elegida de tal manera que no tiene ni ceros ni polos fuera del locus singular de C. Sin embargo, C es sólo singular en los tres puntos singulares que se encuentran con la línea en el infinito: [1 : 0 : 0], [0 : 1 : 0], [1 : −1 : 0]. En primer lugar, investigamos el comportamiento local de cerca de [0 : 1 : 0]. Recibimos coordenadas locales cerca de [1 : 0 : 0] como A continuación: Escribir x = 1 con u → 0. Después de este cambio de coordenadas, la ecuación se convierte en: yq(u− 1− yu)r = up+r. Desde u → 0, tenemos las m = gcd(q, p + r) diferentes parametrizaciones de las ramas m locales cerca este punto: u = t y = −e 2ikπm t m (1 + o(t) m )). k = 0...m− 1. Para cada sucursal, localmente, • = − q −1(1 + o(t) −1))dt. Finalmente, para obtenemos después de un número finito de voladuras m puntos donde nuestro 1-forma tiene un cero de orden El estudio es completamente similar para los puntos singulares restantes: cerca de [0 : 1 : 0] obtenemos n = gcd(p, q + r) puntos donde el 1-formulario tiene un cero de orden p − 1 y cerca [1 : − 1 : 0], tenemos l = gcd(r, p+ q) puntos donde tiene un cero de orden r Por último, los números en cuestión satisfacen la siguiente relación: p+ q + r −m− n− l = 2g − 2 (13) y en consecuencia, esta curva es elíptica cuando: p+ q + r = m+ n+ l. (14) Ahora tenemos que resolver esta ecuación diofantina: Siempre tenemos: m ≤ q, n ≤ p y l ≤ r. Por lo tanto (14) es cierto si y sólo si: gcd(q, r + p) = q; gcd(p, q + r) = p; gcd(r, p+ q) = r. Que α, β, γ • N* tales que: r + p = qα; (a) r + q = pβ; (b) p+ q = rγ. c) Utilizando (a) y (b), obtenemos ( 1)q = (β + 1)p. Utilizando (b) y (c), obtenemos ( − 1)q = (γ + 1)p. Por lo tanto tenemos: β + 1 − 1 γ + 1 que da la siguiente ecuación: • = 2 + • β + γ. (15) Las soluciones de esta ecuación están bajo simetría (2, 2, 2), (3, 3, 1) y (5, 2, 1) que da por fin las soluciones (p, q, r) de la Proposición 4. Prueba de la Proposición 5. La prueba es similar. Todavía usamos (12) con un 1− forme que sin ceros y polos fuera el locus singular de la curva algebraica C definida por yq(1− x− y)r = xp: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • x[q − qx− (q + r)y] y[−p+ py − (r − p)x] Aquí el lugar singular ya no es como antes. Tiene dos puntos singulares en el infinito: [1 : 0 : 0] et [1 : −1 : 0] y además (0, 0) et (0, 1) en el gráfico afín. Consideraciones locales como las anteriores, naturalmente nos lleva a lo siguiente Lemma 2 La curva algebraica irreductible arriba tiene género uno si y solamente p, q y r satisfacen la ecuación: q + r = gcd(p, q) + gcd(q, r) + gcd(r, r + q − p) + gcd(q, r + q − p). 16) Escribiendo m = gcd(p, q), n = gcd(q, r), l = gcd(r, r + q − p) y s = gcd(q, r + q − p), entonces allí existen enteros α, β, γ,  tales que r = nα = lβ y q = sγ = m de modo que (16) sea equivalente a: q + r = γ +  r (17) Por lo tanto tenemos γ +  = y α + β = y, por lo tanto, α = β = ↔ = 2.Hence m = s y como m divide p y q entonces m divide r y finalmente m = 1. Del mismo modo, obtenemos n = 1 y en consecuencia q = r = 2. Ahora, recuerde que p < r + q = 4 para que p sea igual a 1 o 3 (2 se excluye como gcd(p, q, r) = 1). Ahora verificamos fácilmente que (1, 2, 2) y (3, 2, 2) son las soluciones a la ecuación 16) por encima de lo cual se demuestra la Proposición 5. Prueba de la Proposición 6. Después del cambio biracional de la variable: x → 1 y y → y , el género (que es un invariante biracional para curvas) es el mismo que el género de la curva algebraica: xp−r−qyq(1 − x− y)r = 1. Entonces esto es una consecuencia inmediata de la Proposición 4 arriba. Consecuentemente encontramos (lv1− 5) del Teorema 2. 2.2.2 El caso a = 0. Bajo la transformación afín podemos suponer b = c = 1. Geométricamente {y = 0} y {y = 1} ambos se cruzan en el infinito. Note en primer lugar lo siguiente: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * para n • Z, por lo tanto x •yμ(1 + y) = t es biracional a x •yn/23370/(1 + y) = t de modo que sólo necesitamos estudiar cuando los valores de  y μ sean estrictamente positivos. Esto conduce naturalmente a lo siguiente: Proposición 7 La curva algebraica: C = (x, y) C2, xpyq(1 + y)r = 1} con 0 ≤ r ≤ q y 0 ≤ p, donde gcd(p, q, r) = 1. es elíptica si y solo, bajo permutaciones de {y = 0} y {y + 1 = 0} está en la siguiente lista: x3y1+3u(1 + y)1+3v = 1; x3y2+3u(1 + y)2+3v = 1 x4y1+4u(1 + y)1+4v = 1; x4y3+4u(1 + y)3+4v = 1; x4y2(1 + 2u)(1 + y)r = 1, r x6y2+6u(1 + y)1+6v = 1; x6y5+6u(1 + y)4+6v = 1; x6y3(2u+1)(1 + y)r = 1, r • Z* \ 3Z. Prueba de la Proposición 7. Todavía usamos (12) con un juiciosamente elegido sin ceros ni polos en su locus regular: x(q + (q + r))y = − dy py(1 + y) Esta curva tiene dos puntos en el infinito, a saber [1 : 0 : 0] y [0 : 1 : 0], donde C es singular (C es regular en el gráfico de las afinas) Cerca de [1 : 0 : 0], tenemos dos ramas donde una ecuación local de cada uno es respectivamente: Y q = arriba (1 + Y )r = arriba donde x = 1 . Así, escribiendo: m = pgcd(p, q) y n = pgcd(p, r), obtenemos las parametrizaciones: Y = t u = t Y = t u = t Ambos dan un polo de orden 1 para, por lo tanto obtenemos, sumando las diferentes parametrizaciones posibles, − m− n en la fórmula Poincaré-Hopf. Un cálculo similar cerca del otro punto en el infinito da un cero de orden p − 1 donde l = (p, q+ r) con l diferentes parametrizaciones. Así finalmente obtenemos la igualdad: p = m+ n+ l. (18) Queremos resolver esta ecuación. Considere: p = nγ p = mβ p = lα con α, β, γ, Entonces (18) es equivalente a la siguiente ecuación bien conocida: # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (19) Las soluciones están a la permutación: (3, 3, 3) (2, 4, 4) (2, 3, 6). La solución (3, 3, 3) implica m = n = l. Como gcd(p, q, r) = 1 tenemos: m = n = l = 1 y así p = 3, 1 = (r, 3), 1 = (q, 3). Por lo tanto r = 1, 2 mod (3) y también q. Finalmente, recordando l = gcd(p, q + r), concluimos que (p, q, r) = (3, 1 + 3u, 1 + 3v), (3, 2 + 3u, 2 + 3v). La solución (2, 4, 4) implica l = 2n y m = n = 1 y el mismo argumento muestra que (p, q, r) = (4, 1 + 4u, 1 + 4v) o (4, 3 + 4u, 3 + 4v). Hay otras dos soluciones (permutaciones de (2, 4, 4)). Bajo permutaciones de las dos líneas {y = 0} y {y + 1 = 0}, sólo necesitamos estudiar (4, 2, 4). A similar resolución así da (p, q, r) = (4, 2(1 + 2u), 1 + 2v). La solución (2, 3, 6) implica m = 2, n = 1, l = 3, así (p, q, r) = (6, 2+6u, 1+6v) o (6, 5+ 6u, 4+6v). Como en el caso anterior, debemos tener en cuenta las soluciones (3, 2, 6) y (6, 2, 3), respectivamente. da (p, q, r) = (6, 3(2u+ 1), r) con gcd(r, 3) = 1 y (6, 2(3u+ 1), 6v + 1) o (6, 2(3u+ 2), 6v + 5). Por último, se demuestra la propuesta. Obtenemos los últimos casos de la columna izquierda del Teorema 2. 2.2.3 El caso c = 0. Bajo la transformación afín podemos suponer a = b = 1. Aquí las tres líneas {x = 0}, {y = 0} y {x+ y = 0} se cruzan en el origen. Ahora, la curva algebraica x­yμ(x+ y) = t es obviamente biracional a x­1yμ(1+ y) = t, por lo que este caso cae de los resultados anteriores y obtenemos los últimos casos de la columna derecha del Teorema 2. De hecho, hemos investigado todas las primeras integrales posibles. De hecho, si nuestra foliación admite una primera integral: f = xy(ax+ por + c) con α, β números positivos reales, luego después de la transformación de la afina tiene una primera integral: g = X− α (AX + BY + C). Por lo tanto, el teorema 2 está probado. 2.3 El caso reversible de Lotka-Voltera Teorema 3 La foliación reversible Lotka-Voltera F(df) es elíptica si y sólo si, después de una afinación cambio de las variables, tiene una primera integral de la forma (rlv1) f = xy(1− x− y) (rlv2) f = x−3y(1− x− y) (rlv3) f = x2y(1− x− y) (rlv4) f = x−4y(1− x− y) f = x−3y2(1 − x− y)2 (rlv6) f = x−1y2(1− x− y)2 xiii)f = x k (y + 1)(y − 1), k • Z* \ 3Z (x1v)f = x−2+ 3k (x+ y)(x− y), k • Z* \ 3Z (xv)f = x k (y + 1)(y − 1), k • Z* \ 2Z (xvi)f = x−2+ 4k (x+ y)(x− y), k • Z* \ 2Z Prueba. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que la foliación tiene una primera integral de la forma f = *(y2 + a(x− b) ) 2) si a 6= 0 y f = x(y2 + c) de lo contrario (nos ocupamos de las foliaciones cuadráticas de modo que c necesario no desaparece). Para a = 0 esto es una consecuencia de la Proposición 7. Ahora mira a un 6= 0 : si b = 0, la curva de x-(y2 + ax2) = t es biracional a x-(y2 + 1) = t por lo tanto las condiciones son p+ 2q = 3, 4 o −2q − p = 3, 4. si b 6= 0 el cuadrical es un polinomio reducible de modo que este caso es una consecuencia directa de Propuestas 4, 5 y 6. Notamos que los últimos casos de Lotka-Volterra reversible son exactamente los últimos casos de Lotka-Volterra bajo la condición l = k cuando sea posible (para vii) y viii) de Teorema 2 no podemos tener k = l). Esto le da a Teorema 3. Note que el caso b = 0 es también una consecuencia del caso degenerado de Lotka-Voltera con los tres líneas invariantes implicaban la intersección de sí mismos, pero el cálculo es aquí tan fácil que lo probamos directamente y es útil para probar nuestro cálculo anterior. 3 Topología de las fibras singulares y clasificación de Kodaira Ahora nos enfocamos en las fibras singulares de las superficies elípticas inducidas. En primer lugar, recordar que dos bira- Las superficies elípticas tienen el mismo modelo mínimo (véase [Ka75, M89]). Algunas de nuestras anteriores elípticas las superficies son obviamente biracionales y por lo tanto tienen las mismas fibras singulares bajo permutación. Primero investigamos esos mapas. A continuación, damos algunos ejemplos de cálculo de la singular fibras para ilustrar la forma en que obtuvimos las Tablas 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 3.1 El caso reversible 3.1.1 Cartografías biracionales Las primeras integrales son dadas por la ecuación algebraica: (y2 + ax2 + bx+ c) = t con a, b, c números complejos que satisfagan algunas condiciones y un número racional. Tenemos un fácil mapeo biracional (ya lo hemos utilizado, véase la sección 2.1.3): X = 1 , Y = y que lleva a x−2(y2 + cx2 + bx+ a) = t. Al considerar esta asignación en P2 con coordenadas homogéneas [x : y : z] este último permutas en hecho las líneas proactivas {x = 0} y {z = 0}. Por lo tanto, para cada línea de la Tabla 1 sólo necesitamos estudiar o bien el elemento derecho o el elemento izquierdo. Para casos degenerados, observe el cambio de variables (X,Y ) = (xy, y) biracionalmente conduce (i) (resp. ii) a x) (resp. xii) Caso elíptico Lotka-Volterra con l = 1. En consecuencia, esos casos serán consecuencia del cálculo de las fibras singulares de los casos de Lotka-Volterra (ver abajo). Tenga cuidado de que la geometría de los divisores que aparecen en las primeras integrales (incluyendo la línea en el infinito) es de importancia, ya que vamos a explotar los puntos de indeterminación. Biracionalmente, los diferentes la descripción geométrica de los divisores en el caso reversible es la siguiente: (1) Los divisores están en posición general (véase la figura 1). Esto se refiere (rv2), (rv4), (rv6) con a, b, c 6= 0. (2) {Q = 0} y {x = 0} están en posición general y {Q = 0} y {z = 0} tienen sólo un tan- doble punto gent (véase la figura 7). Esto se refiere a (rv2) con c = 0, (rv3) con a = 0, (rv6) con c = 0, (rv7), (rv10), (rv12), (rv14), (rv16). (3) Ambas líneas proyectivas {x = 0} y {z = 0} tienen un punto tangente doble con el cuadric. Esto se refiere a los incisos i) y ii).  < −1  > −1 (rv1) x−3(y2 + ax2 + bx+ c) = t (rv2) x(y2 + cx2 + bx+ a) = t (rv3) x− 2 (y2 + ax2 + bx+ c) = t, c 6= 0 (rv4) x− 12 (y2 + cx2 + bx+ a) = t, c 6= 0 (rv5) x−4(y2 + ax2 + bx+ c) = t (rv6) x2(y2 + cx2 + bx+ a) = t (rv7) x− 3 (y2 + bx+ c) = t (rv8) x− 3 (y2 + cx2 + bx) = t (rv9) x− 3 (y2 + ax2 + bx) = t (rv10) x− 3 (y2 + bx+ a) = t (rv11) x− 3 (y2 + ax2 + bx) = t (rv12) x− 3 (y2 + bx+ a) = t (rv13) x− 4 (y2 + ax2 + bx) = t (rv14) x− 4 (y2 + bx+ a) = t (rv15) x− 4 (y2 + ax2 + bx) = t (rv16) x− 4 (y2 + bx+ a) = t (rv17) x− 2 (y2 + ax2 + bx) = t (rv18) x 2 (y2 + bx+ a) = t i) x−1+ k (y2 + x) = t k • Z* \ 2Z ii) x−1+ k (y2 + x) = t k • Z* \ 3Z Tabla 1: Los casos reversibles elípticos. 3.1.2 Las fibras singulares t = 0 y t = Aquí ilustramos los resultados con ejemplos: EJEMPLO 1: Las fibras singulares de (rv4): Incorporando nuestra primera integral en P2, uno tiene: (y2 + ax2 + bxz + cz2)2 Geométricamente, hay dos líneas: {x = 0} y {z = 0} con multiplicidades respectivamente−1 y−3 que intersecta en [0 : 1 : 0], y una cónica que intersecta ambas líneas en cuatro puntos, a saber, A1 = [0 : − c : 1], A2 = [0 : − −c : 1], B1 = [ −a : 1 : 0], B2 = [− −a : 1 : 0] con paso normal cada vez (ver Gráfico 1 {x = 0} B1 B2 {z = 0} Figura 1: Situación geométrica de (rv4). La función racional no está definida en estos cuatro puntos, por lo que necesitamos explotarlos. • Cerca de A1 En las coordenadas locales la función racional se convierte en: Y Necesitamos dos explosiones para definir la función racional cerca de este punto: → separación de ambas sucursales locales Recuerde que soplar un punto de P2 que pertenece a un divisor D disminuye la auto-intersección de D por uno (véase [GH78], por ejemplo). Escribiendo la auto-intersección y las multiplicidades (la los números de auto-intersección están dentro del () ) obtenemos la situación de la Figura 2. Estudiamos A2 en la misma línea. Véase la figura 3. • Cerca de B1. Localmente la función racional se convierte en Y Las sucesivas explosiones dan las siguientes ecuaciones locales hasta la separación: → separación de las ramas 1) −1 3) 2 (0) − 1 3) 2 −1(−1) Figura 2: Las sucesivas explosiones de A1. Figura 3: Resumen de la situación después de la explosión A1 y A2. 2) 1) (−3)(0) (0) (0)−1 Figura 4: Las sucesivas explosiones de B1. Véase la figura 4. La situación sigue siendo la misma cerca de B2. Obtenemos 2 fibras singulares. Véase la figura 5. 2 (−2) −1 (−3)−1 (−3)−1 Figura 5: Las fibras t = 0 y t = 0 de (rv4). Ahora tenemos que reconocer estas fibras singulares en la clasificación de Kodaira (véase [Ko63]). El pecado... fibra gular t = 0 es I*0, pero no reconocemos el otro. Esto es porque tenemos ramas con auto-intersección −1. Recordemos que la clasificación de Kodaira incluye superficies elípticas mínimas, es decir, ninguna fibra contiene una curva excepcional del primer tipo. Finalmente obtenemos IV (la fibra singular en el infinito). Véase la figura 6. −1 (−3) −1 (−3)−1 (−3) (−2) −1 −1 Figura 6: Contracción de la fibra t = de (rv4). {x = 0} {z = 0} Figura 7: El divisor asociado a (rv12). EJEMPLO 2 : Las fibras singulares de (rv12) : −4 (−2) −4 (−2) 3 (1) −2 (−1) 3 (0) −1 (−2) −5 −2 2 (−2) −1 (−3) −5 (−1) (−2) 3 (2) −2 (−2) −4(4) Figura 8: Sucesivas explosiones de (rv12) cerca de A. La función racional aquí es: (y2 + bxz + az2)3 La situación geométrica se explica en la Figura 7. • Estudiar cerca de A: Localmente la función racional se convierte en: Y . Para empezar, tenemos: (Y 2 + Z)3 → (Y + Z) Z5Y 2 → (Z + 1) Z5Y 4 → separación de ambas sucursales locales A continuación tenemos que inflar el punto con coordenadas locales: (Y = 0, Z = −1), lo que da localmente : → separación de ambas ramas locales. las explicaciones geométricas se dan en la Figura 8. • Estudio cerca de B: Localmente la función racional se convierte en: Y . Tal cálculo ya se ha hecho en Ejemplo Finalmente obtenemos dos fibras (ver Figura 9). Para t = 0 reconocemos IV*. Para t = فارسى, uno tiene que contratar divisores con auto-intersección −1 como en Gráfico 10 Finalmente obtenemos III de la clasificación de Kodaira. −4 (−2) Figura 9: Las fibras en t = 0 y t = Ł de (rv12). −4 (−2) −1 (−5) −2 (−2) −1 −1 (−4) (−4) Figura 10: Contracción de divisores con auto-intersección −1 para la fibra en el infinito de (rv12). 3.1.3 Otras fibras singulares Tenga cuidado de que no tenemos la lista completa de fibras singulares: también tenemos que considerar el singular puntos de nuestra foliación que no se intersecan ambas líneas y la curva cónica de arriba. Aquí, los resultados se refieren a toda la clase de sistemas reversibles que inducen fibras elípticas: Escribiendo: f = x(y2 + ax2 + bx+ c), (x, y) es un punto singular si y sólo : ×y = 0 x1(­)y2 + (­))ax2 + (­)bx+ (­)c) = 0. En consecuencia (x0, y0) es un punto singular que no intersecta ambas líneas y la curva cónica por encima si y únicamente: y0 = 0 x0 es un cero del polinomio : P = ( 2)ax 2 + (+ 1)bx+ c y x0 6= 0. Vamos a ser el discriminante de P. Retomamos el general que sucede a continuación: Si un 6= 0, recordando P (x0) = 0, obtenemos: (x0, 0) = x ′(x0) (x0, 0) = x 0 (2( 1)P ′(x0) + 2a( 2)x0). En las listas obtenidas en relación con todo el caso reversible anteriormente mencionado, como 6= 0, −1 los puntos tienen diferentes valores críticos y P ′(x0) = 0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • a continuación (recordemos que para el caso reversible b2 − 4ac 6= 0): Lemma 3 Para un 6= 0 y c 6= 0, si el 6= 0 obtenemos dos curvas singulares diferentes con una normal cruce, es decir, I1 en la clasificación de Kodaira y si se obtiene una fibra singular con una cúspide, Eso es II. Si a 6= 0 y c = 0, o a = 0 y c 6= 0, obtenemos una fibra singular con cruce normal, Eso es I1. De lo contrario, no hay más fibras singulares. Finalmente, ahora somos capaces de calcular todas las fibras singulares. Los resultados se presentan en los cuadros 2, 3 y 4. Fibración {t = {t = 0} t1 t2 IV ∗ I2 I1 I1 IV ∗ I2 I1 I1 (rv3) IV I0* I1 I1 (rv4) IV I0* I1 I1 III* I1 I1 I1 III* I1 I1 I1 Tabla 2: El caso reversible elíptico con 4 fibras singulares. Fibración {t = {t = 0} t1 (rv1) a, b, c 6= 0,  = 0 IV ∗ I2 II a 6 = 0,c = 0 III* I2 I1 a = 0, c 6 = 0 IV * III I1 (rv2) a, b, c 6= 0,  = 0 IV ∗ I2 II a 6 = 0,c = 0 III* I2 I1 a = 0, c 6 = 0 IV * III I1 (rv3) a, b, c 6= 0,  = 0 IV I0* II a = 0 IV I1* I1 (rv4), a, b, c 6= 0,  = 0 IV I0* II a = 0 IV I1* I1 (rv5) a, b, c 6= 0,  = 0 III* I1 II a 6 = 0,c = 0 II* I1 I1 a = 0, c 6 = 0 III* II I1 (rv6) a, b, c 6= 0,  = 0 III* I1 II a 6 = 0,c = 0 II* I1 I1 a = 0, c 6 = 0 III* II I1 (rv7) IV * III I1 IV ∗ III I1 (rv9) I1* IV I1 (rv10) I1* IV I1 (rv11) III IV * I1 III IV * I1 IV ∗ III I1 IV ∗ III I1 III* II I1 (rv16) III* II I1 (rv17) II* I1 I1. (rv18) II* I1 I1. Tabla 3: El caso reversible elíptico con 3 fibras singulares. Fibración {t = {t = 0} i), k = 1 mod (4) III* III k = 3 mod (4) III III* ii) k = 1, 2 mod (6) II* II k = 3, 5 mod (6) II II* Tabla 4: Caso reversible con 2 fibras singulares. 3.2 El caso Lotka-Volterra 3.2.1 Cartografías biracionales La misma cartografía biracional: X = 1 E Y = y , leads: ×yμ(ax+ por + c) = t biracionalmente para: x1yμ(cx+ por + a) = t. Usando esto, uno puede verificar inmediatamente que (lv1), (lv2), (lv3) y (lv5) son biracionales y (lv4) es biracional a (rlv3) y (rlv4). Para los últimos casos de Lotka-Volterra, hay otro obvio birational mapeo: X = xyu(1 + y)v, Y = y Y = xyu(1 + y)v, X = x. con u, v â € Z sabiamente elegido. 3.2.2 Las fibras t = 0 y t = EJEMPLO 3: Las fibras singulares de (lv1) Aquí la función racional es: x2y3(z − x− y) La situación geométrica se explica en la Figura 11. Los puntos de intersección con la multiplicidad opuesta Necesitan ser volados. Aquí hay 3 puntos: A1 = [0 : 1 : 0], A2 = [1 : 0 : 0], A3 = [1 : −1 : 0]. Cerca de A1, localmente la función racional se convierte de tal manera que sólo necesitamos tres explosiones para Separar las sucursales locales. Esta situación es bien conocida como cerca de A2 y A3, donde necesitamos respectivamente 2 y 6 explosiones. Véanse los gráficos 12 y 13. La fibra en el infinito es II*. Para la fibra t = 0, necesitamos dos contracciones como se explica en la Figura 14 y finalmente obtenemos I1. EJEMPLO 4: Las fibras singulares de (vii) con l = 4 mod (6). Bajo equivalencia biracional, el función racional que necesitamos considerar es: y4(z + y)5 Tenemos que volar 3 puntos: A = [0 : 0 : 1], B = [1 : 0 : 0] y C = [0 : 1 : -1]. Por A y C Tenemos cruces normales y la situación es similar a la de los precedentes. Tenemos que pagar un poco más. atención para la explosión de B: Localmente la función racional se convierte en: Y 4 (Y + Z)5 . Aquí la primera explosión-para arriba separa los tres ramas. Ahora tenemos que explotar el punto de intersección de la rama con la multiplicidad 6 y el rama con multiplicidad −3. Localmente la función racional es: Y y nos metemos en una situación bien conocida. Obtenemos II* para t = 0. Para t = فارسى necesitamos tres contracciones para obtener finalmente II (ver Figura 16). {z = 0} {x = 0} {1− x− y = 0} {y = 0} Figura 11: La situación geométrica de (lv1). 2 3 4 Figura 12: La fibra en el infinito para (lv1). (−5)1(−2)2 Figura 13: La fibra t = 0 para (lv1). 3.2.3 Otras fibras singulares Escribimos: f = x­yμ(ax+ por + c). Esto es aquí álgebra lineal elemental e inmediatamente da lo siguiente: Lemma 4 Bajo los supuestos , μ 6= 0,  6= −1, μ 6= −1 y  + μ + 1 6= 0, la función anterior da lugar a otra fibra singular si y sólo si a, b, c 6= 0 y la fibra singular correspondiente es I1. (−5)1(−2)2 1 (−3) 2 (−1) 1 (−4) Figura 14: Contracción de la fibra t = 0 para (lv1). {x = 0} {y = 0} {z = 0} {z + y = 0} Figura 15: Situación geométrica de vii). Observación 2 Tales suposiciones sostienen para nuestros sistemas Lotka-Volterra y reversibles Lotka-Volterra en- que inducen a las fibras elípticas. −6 (−1) Figura 16: Contracciones de t = 0 para (vii). Fibra de fibra {t = Fibra t = 0 Otras fibras singulares II* I1 I1 II* I1 I1 II* I1 I1 II* I1 I1 III* I2 I1 Tabla 5: El caso Lotka-Volterra con 3 fibras singulares. 3.3 El caso reversible de Lotka-Volterra El cálculo es similar y se deja al lector. Los resultados figuran en los cuadros 7 y 8. Fibración {t = t = 0 iii), k = l = 1 mod (3) IV * IV k = l = 2 mod (3) IV IV* iv), k = l = 1 mod (3) IV * IV k = l = 2 mod (3) IV IV* v), k = l = 1 mod (4) III* III k = l = 3 mod (4) III III* vi), k = l = 1 mod (4) III* III k = l = 3 mod (4) III III* vii), l = 2 mod (6) II* II l = 4 mod (6) II II* viii), l = 2 mod (6) II* II l = 4 mod (6) II II* ix), k = 1 mod (4) III* III k = 3 mod (4) III III* (x), k = 1 mod (4) III* III k = 3 mod (4) III III* (xi), k = 1, 2 mod (6) II* II k = 4, 5 mod (6) II II* xii), k = 1, 2 mod (6) II* II k = 4, 5 mod (6) II II* Tabla 6: El caso elíptico Lotka-Volterra con 2 fibras singulares. Fibra de fibra {t = Fibra t = 0 Otras fibras singulares (rlv1) IV ∗ I3 I1 (rlv2) IV ∗ I3 I1 (rlv3) III* I2 I1 (rlv4) III* I2 I1 IV I1* I1 IV I1* I1 Tabla 7: El caso elíptico reversible Lotka-Volterra con 3 fibras singulares. Fibra de fibra {t = Fibra t = 0 ix), k = 1 mod (3) IV * IV k = 2 mod (3) IV IV* (x), k = 1 mod (3) IV * IV k = 2 mod (3) IV IV* (xi), k = 1 mod (4) III* III k = 3 mod (4) III III* xii), k = 1 mod (4) III* III k = 3 mod (4) III III* Tabla 8: El caso elíptico reversible Lotka-Volterra con 2 fibras singulares. Agradecimientos: El autor desea agradecer a L. Gavrilov y a I. D. Iliev y su atención al documento, muchos comentarios útiles y comentarios estimulantes. Bibliografía [BPV84] W. Barth, C. Peters, A. Van de Ven: Superficies compactas y complejas, Erg. Matemáticas, Springer... Verlag (1984). [CGLPR] J. Chavarriga, B. Garciá, J. Llibre, J. S Pérez Del Róço y J. A. Rodguez: Polinomio Primeras integrales de campos vectoriales cuadráticos, Revista de Ecuaciones Diferenciales Volumen 230, Edición 2, 15 Noviembre de 2006, Páginas 393-421. [CLLL06] G. Chen, C. Li, C. Liu, J. Llibre: La cíclica del período anular de algunas clases de reversibles Sistemas cuadráticos, Discreto Contin. Dyn. 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El caso a=0, c= 0, b2-4ac=0. a=0, c=0, b2-4ac=0. a=c=0, b=0 El caso Lotka-Volterra El caso a = 0, b = 0, c = 0. El caso a=0. El caso c=0. El caso reversible de Lotka-Voltera Topología de las fibras singulares y clasificación de Kodaira El caso reversible Cartografías biracionales Las fibras singulares t=0 y t= Otras fibras singulares El caso Lotka-Volterra Cartografías biracionales Las fibras t=0 y t= Otras fibras singulares El caso reversible de Lotka-Volterra

Que $X$ sea un campo vectorial cuadrático con un centro cuyas órbitas genéricas son curvas algebraicas del género uno. A cada $X$ asociamos una superficie elíptica (a superficie compacta compleja lisa que es un género de una fibración). Damos la lista de todos estos campos vectoriales y determinar la elíptica correspondiente superficies.

Introducción La segunda parte del 16o problema Hilbert pide un límite superior al número de ciclos límite de un campo vectorial polinomio plano de grado menor o igual a n. Incluso en el caso de sistemas cuadráticos (n = 2) el problema sigue abierto. Una versión infinitesimal del problema de Hilbert 16 puede ser formulada de la siguiente manera: Encontrar un límite superior Z(f, n) al número de ciclos límite de un campo vectorial polinomio de grado n, cerca de un campo vectorial polinomio con una primera integral f. La foliación asociada en el plano se define por R−1df + = 0 (1) donde R−1df = Pdx + Qdy es una forma polinómica única, degP, degQ ≤ n, R−1 es una integración factor, y es una polinomio una forma de grado n con coeficientes que dependen analíticamente de la parámetro pequeño......................................................................................................................................................... Un progreso en la solución del infinitesimal 16o problema Hilbert se logra principalmente en el caso de f es un polinomio de grado tres, o F = y2 + P (x) donde P es un polinomio de grado cuatro ver [I02, P90, G01]. Un punto clave es que las hojas genéricas ­c = {f = c} • C2 de la foliación polinómica R−1df = 0 son curvas elípticas. Esperamos que las perturbaciones de las foliaciones polinómicas más generales con hojas elípticas (que llamamos “foliaciones elípticas”) se pueden estudiar en la misma línea. Esto lleva naturalmente al siguiente problema (abierto). Para un n > 1 determinado determinar, hasta una equivalencia afín, las foliaciones polinómicas elípticas Pdx+ Qdy = 0, degP, degQ ≤ n. El presente artículo aborda el problema anterior en el caso cuadrático, n = 2. En vista de las solicitudes al 16o problema Hilbert más importante es el caso cuando la foliación no perturbada es real y posee un centro. Tales foliaciones son bien conocidas desde Dulac (1908) y Kapteyn (1912). Además, cuando las hojas de la foliación (las órbitas del campo vectorial cuadrático) son curvas algebraicas, hay a (racional) primera integral f [J79]. Recordando la clasificación de los campos vectoriales cuadráticos con un centro, una primera integral racional de la foliación inducida es así de cuatro tipos diferentes: f = P3(x, y) con P3 (x, y) (caso Hamiltoniano) (2) f = x(y2 + P2(x)) con * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * P2 R2[x, y] (caso reversible) (3) f = x­yμ(ax+ por + c) con Q, μ Q, μ Q, μ Q, μ Q, μ Q, μ Q, μ Q, μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ } μ μ μ μ μ μ μ μ } μ μ μ μ μ μ μ μ μ } μ μ μ μ μ μ μ μ μ } P2 R2[x, y] a,b,c números reales (Caso Lotka-Volterra) (4) http://arxiv.org/abs/0704.1948v2 f = P2(x, y) −3P3(x, y) 2 con P3 R3[x, y] P2 R2[x, y] (caso de la codimensión 4) (5) En la sección 2 se da la clasificación, hasta una equivalencia afín, de todas las foliaciones elípticas con una la primera integral de los formularios (3) o (4). Los casos Hamiltonianos obviamente inducen una foliación elíptica y ya han sido estudiados. Las observaciones relativas al caso de la codimensión 4 pueden encontrarse en [GGI, G07]. En nuestra clasificación, el campo base se supone que es C, por lo que todos los parámetros a, b, c, ,... son complejos. Nosotros obtener una lista finita de tales foliaciones con un centro, así como varias series infinitas de foliaciones degeneradas que no puede tener un centro (cuando el campo base es R). La mayoría de estas foliaciones elípticas no fueron previamente estudiado en el contexto del 16o problema Hilbert (pero ver [CLLL06, YL02, ILLY05]). La sección 3 trata de la topología de la superficie singular inducida. Una foliación elíptica en C2 (o más generalmente una foliación con una primera integral algebraica f) da lugar canónicamente a una elíptica superficie como se indica a continuación. Supongamos que f se elige de tal manera que la fibra genérica del mapa f : C2 → C es una curva algebraica irreductible. El mapa racional inducido f : P2 99K P1 tienen un número finito de puntos de indeterminación. Después de un número finito de explosiones de P2 en estos puntos obtenemos (por el Teorema de desingularización de Hironaka ) un mapa analítico inducido 2 K f→ P1 donde K es una superficie lisa y compleja. Además, podemos suponer que K es mínimo en el sentido de que las fibras no contienen curvas excepcionales de primer tipo. El par (K, f) es entonces la superficie elíptica asociado a la foliación elíptica R−1df = 0. Es único hasta una fibra que preserva el isomorfismo. In Esta última sección, calculamos las fibras singulares de las superficies elípticas obtenidas. Las fibras singulares de una superficie elíptica se clasifican por Kodaira [Ko63]. Tales cálculos son de 2 veces. En primer lugar, es permite identificar superficies isomórficas elípticas de foliaciones no afín equivalentes, que por sí solas son de interés. Pero lo más importante es que inmediatamente da la monodromia local de la singular fibras. Aquí, el número de fibras singulares (excepto en el caso de Hamilton) no superan 4 por lo que la monodromia local de las fibras singulares da una buena descripción del grupo de monodromia (global) de la ecuación Picard-Fuchs asociada (o equivalentemente, la invariante homológica de la superficie [Ko63]), que en su turno es necesario al estudiar ceros de Abelian integrals (o ciclos límite de la perturbada foliación (1)), véase [G01, P90, I02, GGI, G07] para más detalles. 2 Centros cuadráticos que definen las foliaciones elípticas Let F = F(­) ser una foliación en el plano C2 definida por una forma diferencial ­ = Pdx + Qdy. Nosotros decimos que F(df) es elíptica siempre que sus hojas genéricas sean curvas elípticas. Como se indica en la Introducción, en el presente trabajo suponemos que F tiene, eventualmente después de un cambio afín de las variables en C2, una primera integral de la forma (3) o (4). Tal foliación será llamada reversible (teniendo una integral de la forma (3) pero no (4)), del tipo Lotka-Voltera (que tenga una integral de la forma (4) pero no (3)), o de tipo reversible Lotka-Voltera. 2.1 El caso reversible Una foliación elíptica del tipo Lotka-Voltera tiene tres líneas invariantes. De esto deducimos que un re- foliación de Lotka-Voltera versible siempre tiene una primera integral f = x(y2+P2(x)) donde P2 es un polinomio de grado como máximo dos, y el polinomio bivariado y2+P2(x) es irreductible. En esta sección demostramos lo siguiente: Teorema 1 La foliación reversible F(df) es elíptica si y sólo si, después de un cambio afín de la variables, tiene una primera integral de la forma: (rv1) f = x−3(y2 + ax2 + bx+ c) (rv2) f = x(y2 + cx2 + bx+ a) (rv3) f = x−3/2(y2 + ax2 + bx+ c) (rv4) f = x−1/2(y2 + cx2 + bx+ a) f = x−4(y2 + ax2 + bx+ c) (rv6) f = x2(y2 + cx2 + bx+ a) (rv7) f = x−4/3(y2 + bx+ c) (rv8) f = x−2/3(y2 + cx2 + bx) f = x−4/3(y2 + ax2 + bx) (rv10) f = x−2/3(y2 + bx+ a) (rv11) f = x−5/3(y2 + ax2 + bx) (rv12) f = x−1/3(y2 + bx+ a) (rv13) f = x−5/4(y2 + ax2 + bx) (rv14) f = x−3/4(y2 + bx+ a) f = x−7/4(y2 + ax2 + bx) (rv16) f = x−1/4(y2 + bx+ a) (rv17) f = x−5/2(y2 + ax2 + bx) (rv18) f = x1/2(y2 + bx+ a). i)f = x−1+ k (y2 + x), k • Z* \ 2Z, ii)f = x−1+ k (y2 + x), k • Z* \ 3Z. Observación 1 Suponemos además que c 6= 0 para (rv3), (rv4). Prueba. Let 't ser el conjunto de (x, y) C2 tales que para alguna determinación de la función multi-valorada Si los componentes conectados de Łt para todos los t son curvas algebraicas, entonces pusimos ♥ = p P2(x) = ax2 + bx+ c C2[x]. Como la foliación es reversible podemos suponer que y2 + ax2 + bx + c es irreductible, o simplemente b2−4ac 6= 0. Suponemos primero que un 6= 0, c 6= 0, es decir, el cuadrático {y2+ax2+bx+c = 0} no es tangente a la línea en el infinito en P2 y a la línea {x = 0}. 2.1.1 El caso a 6= 0, c 6= 0, b2 − 4ac 6= 0. Después de una escala de t y una transformación afín podemos suponer que f = xe(y2 + x2 + bx+ c). 6) Por abuso de notación ponemos * t = {xp/q(y2 + x2 + bx+ c) = t} y de una manera similar definimos t = {Xp(Y 2 +X2q + bXq + c) = t}. 7).................................................................................................................................................. Lemma 1 El mapa : C2 → C2 : (X,Y ) → (x, y) = (Xq, Y ) induce un isomorfismo de Łt y t. De hecho, es fácil de comprobar que : t → t es una bíjez y, por lo tanto, es un bi-holomórfico Para calcular el género de t o t distinguimos dos casos: 1. El caso cuando p < 0. Obtenemos la curva hiperelíptica {y2 = −x2q − bxq + tx−p − c}. Las raíces del polino- mial −x2q − bxq+ tx−p− c son diferentes y no ceros ya que t es genérico. En consecuencia, su género es uno si y sólo si el grado del polinomio es 3 o 4 y así obtenemos: a) f = x−3(y2 + x2 + bx+ c) b) f = x−4(y2 + x2 + bx+ c) c) f = x− 2 (y2 + x2 + bx+ c) d) f = x− 2 (y2 + x2 + bx+ c) 2. Supongamos que ahora p ≥ 0. Tenemos fácilmente: y2xp = t − x2q+p − bxq+p − cxp. Así, después de una transformación biracional, nosotros obtener: y2 = xp(t− x2q+p − bxq+p − cxp). Dado que t es genérico, todas las raíces de t− x2q+p − bxq+p − cxp son diferentes y no desaparecen. • Si p es incluso tenemos: )2 = t− x2q+p − bxq+p − cxp. En consecuencia, es elíptica cuando 2q+ p es igual a 3 o 4. Esto da las siguientes curvas: a) x(y2 + x2 + bx+ c) = t b) x2(y2 + x2 + bx+ c) = t. • Si p es impar, entonces tenemos: )2 = x(t− x2q+p − bxq+p − cxp). Puesto que todas las raíces de t-x2q+p-bxq+p-cxp son diferentes y no ceros, la curva es elíptica si y sólo 2q + p es igual a 2 o 3, lo que da la solución (b) anterior. Esto hemos obtenido los casos (rv1)-(rv6) en Teorema 1. 2.1.2 El caso a 6= 0, c = 0, b2 − 4ac 6= 0. Esto significa que el cuadrado {y2+ax2+bx = 0} es tangente a la línea {x = 0} y es transversal a la línea en el infinito, ver Figura 7. Después de una transformación afín y escalado de t obtenemos P2(x) = ax 2 + bx con un 6 = 0. Por lo tanto necesitamos calcular el género de {xp(y2 + x2q + bxq) = t} para t genérico. Si p ≥ 0 los mismos cálculos como caso a 6= 0, c 6= 0 dan las mismas soluciones del problema. Deje p < 0 y supongamos que p = 2a es par. Tenemos (xay)2 = −x2q+p − bxq+p + t, así que si −p ≤ q, tiene un género si y sólo 2q + p = 3 o 4, por lo tanto q ≤ 4 y (p, q) = (−2, 3). Si −p ≥ 2q la curva anterior es biracional a la curva y2 = −x−p−q − bx−p−2q + t y por lo tanto tiene género uno si −p− q = 3 o 4 que conduce a (p, q) = (−4, 1). Si q < −p < 2q, porque p es par y q es impar, es equivalente a calcular el género de {y2 = x(tx−(q+p) − xq − b)}. Por lo tanto (p, q) = (−4, 3). Ahora supongamos que p = 2a + 1 es impar. La curva es biracionalmente equivalente a {y2 = −x(x2q+p + bxq+p − t)}. Como arriba obtenemos: (p, q) = (−1, 2), (−3, 1), (−5, 2), (−5, 3), (−5, 4), (−7, 4). Para reanudar, probamos Proposición 1 La foliación F(x(y2 + x2 + bx)) es elíptica si y sólo tiene bajo afina transfor- mation una primera integral del tipo : f = x(y2 + x2 + bx) f = x2(y2 + x2 + bx) f = x−3(y2 + x2 + bx) f = x−4(y2 + x2 + bx) f = x− 2 (y2 + x2 + bx) f = x− 2 (y2 + x2 + bx) f = x− 3 (y2 + x2 + bx) f = x− 3 (y2 + x2 + bx) f = x− 4 (y2 + x2 + bx) f = x− 4 (y2 + x2 + bx) f = x− 3 (y2 + x2 + bx) Aquí obtenemos (rv1)− (rv6) excepto (rv3) de acuerdo con la Observación 1, (rv8) y el final de la columna izquierda de Teorema 1. 2.1.3 a = 0, c 6 = 0, b2 − 4ac 6 = 0. Esto significa que el cuadrado {y2 + bx+ c = 0} es tangente a la línea en el infinito y es transversal a la línea {x = 0}. El cambio biracional de variables x → 1/x, y → y/x muestra que esto es equivalente al caso a 6= 0, c = 0 y obtenemos: Proposición 2 La foliación F(x(y2 + x+ c)) es elíptica si y sólo tiene bajo la transformación afín- una primera integral del tipo: f = x(y2 + x+ c) f = x2(y2 + x+ c) f = x−3(y2 + x+ c) f = x−4(y2 + x+ c) f = x− 2 (y2 + x+ c) f = x 2 (y2 + x+ c) f = x− 3 (y2 + x+ c) f = x− 3 (y2 + x+ c) f = x− 4 (y2 + x+ c) f = x− 4 (y2 + x+ c) f = x− 3 (y2 + x+ c) Aquí obtenemos (rv1)− (rv6) excepto (rv4) de acuerdo con la Observación 1, (rv7) y el final de la columna derecha de Teorema 1. 2.1.4 a = c = 0, b 6 = 0 Esto significa que el cuadrado {y2 + ax2 + bx+ c = 0} es tangente a la línea en el infinito y a la línea {x = 0}. Hasta el cambio afín de escalas podemos suponer f = xp/q(y2 + x). Si p es incluso la curva t es biracional a y 2 = −xq+p + t. Si p es impar la curva t es biracional a y 2 = −x(xq+p − t). Para p ≥ 0 esta curva es elíptica si y solamente: (p, q) = (1, 1), (2, 1) y (1, 2). Ahora, si p ≤ 0 y q + p ≥ 0 las condiciones son q + p = 2, 3 o 4 con p par. El caso q + p ≤ 0 da similar-q − p = 2, 3 o 4 con p par. Tenga en cuenta que debemos tener q primo con los enteros 2 o 3 o 4 cuando se consideran todos los casos. Esto da lo siguiente: Proposición 3 La foliación F(x(y2 + bx)) con b 6= 0 es elíptica si y sólo si tiene una primera integral del tipo : f = x−1+ k (y2 + x), k • Z* \ 2Z f = x−1+ 3k (y2 + x), k • Z* \ 3Z Finalmente, el Teorema 1 está probado. 2.2 El caso Lotka-Volterra Teorema 2 La foliación Lotka-Volterra F(df) es elíptica si y sólo si, después de un cambio afín de la variables, tiene una primera integral de la forma: f = x2y3(1− x− y) (lv2) f = x−6y2(1− x− y) (lv3) f = x−6y3(1− x− y) (lv4) f = x−4y2(1− x− y) (lv5) f = x−6y3(1− x− y)2 iii)f = x k (1 + y), iv)f = x−1+ k (x+ y) con k • Z* \ 3Z y l − k • 3Z, v)f = x k (1 + y), (vi)f = x−1+ k (x+ y) con k • Z* \ 2Z y l − k • 4Z vii)f = x k (1 + y), viii)f = x−1+ k (x+ y) con k • Z*, l • 2Z y kl − 2 • 6Z (ix)f = x k (1 + y) (x)f = x−1+ k (1 + y) con k, l ° Z* \ 2Z (xi)f = x k (1 + y) (xii)f = x−1+ k (1 + y) con k-Z* \ 3Z y l-Z* \ 2Z y además gcd(k, l) = 1. Prueba. Una primera integral algebraica es dada por f = xp1yp2(ax+ por + c)r, p1, p2 â € Z, r â € N*. Esto define un divisor en P2: D = p1L1 + p2L2 + rL3 donde Li, i = 1.3, son líneas proyectivas. Al igual que en la sección anterior, el estudio a continuación dependerá de la geometría del divisor D multiplicidades) asociadas a D. En primer lugar vamos a considerar el caso genérico, es decir, las líneas proyectivas Li, i = 1,3 tienen cruces normales uno hacia el otro. 2.2.1 El caso a 6= 0, b 6= 0, c 6= 0. Primero podemos suponer que bajo la transformación afín b = c = −a = 1. La expresión de Dû nos invita a dividir el estudio en 4: p1 > 0, p2 > 0 (8) p1 < 0, p2 > 0, p1 + p2 + q > 0 (9) p1 < 0, p2 > 0, p1 + p2 + q < 0 (10) p1 < 0, p2 > 0, p1 + p2 + q = 0. (11) En la forma de (10) la hoja genérica es biracional a la curva algebraica Xp1Y p2 = t que es racional. Por lo tanto, el caso genérico será una consecuencia obvia de las 3 proposiciones siguientes: Proposición 4. La curva algebraica xpyq(1 − x− y)r = 1 con 0 ≤ p ≤ q ≤ r, gcd(p, q, r) = 1 es de género uno si y sólo si (p, q, r) = (1, 1, 1) o (1, 1, 2) o (1, 2, 3). Proposición 5 Curva algebraica yq(1−x−y)r = xp con p, q, r > 0, −p+q+r < 0 gcd(p, q, r) = 1 es del género uno si y sólo si (p, q, r) = (1, 2, 2) o (3, 2, 2). Proposición 6 Curva algebraica yq(1 − x − y)r = xp con p > 0, q > r > 0, −p + q + r > 0 gcd(p, q, r) = 1 es elíptica si y solo si (p, q, r) = (3, 1, 1), (4, 1, 1), (4, 2, 1), (6, 2, 1), (6, 3, 1) o (6, 3, 2). Prueba de la Proposición 4. Vamos a ser una forma única en una superficie compacta de Riemann S. Escribimos = i aiPi con puntos Pi de S. Esta suma es finita y definimos el grado de : deg(­) = i ai. Según el Poincaré-Hopf fórmula (véase [GH78]), cualquier 1-formulario en S satisface: = 2 g − 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 = 2 g = 2 g = 2 g = 2 = 2 g = 2 = 2 g = 2 g = 2 g = 2 = 2 g = 2 g = 2 g = 2 = 2 g = 2 g = 2 = 2 = 2 = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = = = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 g = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 g = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 g = 2 g = 2 g = 2 = 2 g = 2 g = 2 g = 2 (12) Ahora, usamos esta fórmula con la superficie de riemann C... obtenida después de la desingularización de la irre- curva algebraica ducible C definida por la ecuación xpyq(1 − x − y)r = 1. Let η : Cû → C ser tal un mapa de desingularización. Calculamos por debajo del grado de la forma única donde (por el abuso de notación): • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • x[q − qx− (q + r)y] = y[p− py − (p+ r)x]. La 1-forma anterior ha sido elegida de tal manera que no tiene ni ceros ni polos fuera del locus singular de C. Sin embargo, C es sólo singular en los tres puntos singulares que se encuentran con la línea en el infinito: [1 : 0 : 0], [0 : 1 : 0], [1 : −1 : 0]. En primer lugar, investigamos el comportamiento local de cerca de [0 : 1 : 0]. Recibimos coordenadas locales cerca de [1 : 0 : 0] como A continuación: Escribir x = 1 con u → 0. Después de este cambio de coordenadas, la ecuación se convierte en: yq(u− 1− yu)r = up+r. Desde u → 0, tenemos las m = gcd(q, p + r) diferentes parametrizaciones de las ramas m locales cerca este punto: u = t y = −e 2ikπm t m (1 + o(t) m )). k = 0...m− 1. Para cada sucursal, localmente, • = − q −1(1 + o(t) −1))dt. Finalmente, para obtenemos después de un número finito de voladuras m puntos donde nuestro 1-forma tiene un cero de orden El estudio es completamente similar para los puntos singulares restantes: cerca de [0 : 1 : 0] obtenemos n = gcd(p, q + r) puntos donde el 1-formulario tiene un cero de orden p − 1 y cerca [1 : − 1 : 0], tenemos l = gcd(r, p+ q) puntos donde tiene un cero de orden r Por último, los números en cuestión satisfacen la siguiente relación: p+ q + r −m− n− l = 2g − 2 (13) y en consecuencia, esta curva es elíptica cuando: p+ q + r = m+ n+ l. (14) Ahora tenemos que resolver esta ecuación diofantina: Siempre tenemos: m ≤ q, n ≤ p y l ≤ r. Por lo tanto (14) es cierto si y sólo si: gcd(q, r + p) = q; gcd(p, q + r) = p; gcd(r, p+ q) = r. Que α, β, γ • N* tales que: r + p = qα; (a) r + q = pβ; (b) p+ q = rγ. c) Utilizando (a) y (b), obtenemos ( 1)q = (β + 1)p. Utilizando (b) y (c), obtenemos ( − 1)q = (γ + 1)p. Por lo tanto tenemos: β + 1 − 1 γ + 1 que da la siguiente ecuación: • = 2 + • β + γ. (15) Las soluciones de esta ecuación están bajo simetría (2, 2, 2), (3, 3, 1) y (5, 2, 1) que da por fin las soluciones (p, q, r) de la Proposición 4. Prueba de la Proposición 5. La prueba es similar. Todavía usamos (12) con un 1− forme que sin ceros y polos fuera el locus singular de la curva algebraica C definida por yq(1− x− y)r = xp: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • x[q − qx− (q + r)y] y[−p+ py − (r − p)x] Aquí el lugar singular ya no es como antes. Tiene dos puntos singulares en el infinito: [1 : 0 : 0] et [1 : −1 : 0] y además (0, 0) et (0, 1) en el gráfico afín. Consideraciones locales como las anteriores, naturalmente nos lleva a lo siguiente Lemma 2 La curva algebraica irreductible arriba tiene género uno si y solamente p, q y r satisfacen la ecuación: q + r = gcd(p, q) + gcd(q, r) + gcd(r, r + q − p) + gcd(q, r + q − p). 16) Escribiendo m = gcd(p, q), n = gcd(q, r), l = gcd(r, r + q − p) y s = gcd(q, r + q − p), entonces allí existen enteros α, β, γ,  tales que r = nα = lβ y q = sγ = m de modo que (16) sea equivalente a: q + r = γ +  r (17) Por lo tanto tenemos γ +  = y α + β = y, por lo tanto, α = β = ↔ = 2.Hence m = s y como m divide p y q entonces m divide r y finalmente m = 1. Del mismo modo, obtenemos n = 1 y en consecuencia q = r = 2. Ahora, recuerde que p < r + q = 4 para que p sea igual a 1 o 3 (2 se excluye como gcd(p, q, r) = 1). Ahora verificamos fácilmente que (1, 2, 2) y (3, 2, 2) son las soluciones a la ecuación 16) por encima de lo cual se demuestra la Proposición 5. Prueba de la Proposición 6. Después del cambio biracional de la variable: x → 1 y y → y , el género (que es un invariante biracional para curvas) es el mismo que el género de la curva algebraica: xp−r−qyq(1 − x− y)r = 1. Entonces esto es una consecuencia inmediata de la Proposición 4 arriba. Consecuentemente encontramos (lv1− 5) del Teorema 2. 2.2.2 El caso a = 0. Bajo la transformación afín podemos suponer b = c = 1. Geométricamente {y = 0} y {y = 1} ambos se cruzan en el infinito. Note en primer lugar lo siguiente: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * para n • Z, por lo tanto x •yμ(1 + y) = t es biracional a x •yn/23370/(1 + y) = t de modo que sólo necesitamos estudiar cuando los valores de  y μ sean estrictamente positivos. Esto conduce naturalmente a lo siguiente: Proposición 7 La curva algebraica: C = (x, y) C2, xpyq(1 + y)r = 1} con 0 ≤ r ≤ q y 0 ≤ p, donde gcd(p, q, r) = 1. es elíptica si y solo, bajo permutaciones de {y = 0} y {y + 1 = 0} está en la siguiente lista: x3y1+3u(1 + y)1+3v = 1; x3y2+3u(1 + y)2+3v = 1 x4y1+4u(1 + y)1+4v = 1; x4y3+4u(1 + y)3+4v = 1; x4y2(1 + 2u)(1 + y)r = 1, r x6y2+6u(1 + y)1+6v = 1; x6y5+6u(1 + y)4+6v = 1; x6y3(2u+1)(1 + y)r = 1, r • Z* \ 3Z. Prueba de la Proposición 7. Todavía usamos (12) con un juiciosamente elegido sin ceros ni polos en su locus regular: x(q + (q + r))y = − dy py(1 + y) Esta curva tiene dos puntos en el infinito, a saber [1 : 0 : 0] y [0 : 1 : 0], donde C es singular (C es regular en el gráfico de las afinas) Cerca de [1 : 0 : 0], tenemos dos ramas donde una ecuación local de cada uno es respectivamente: Y q = arriba (1 + Y )r = arriba donde x = 1 . Así, escribiendo: m = pgcd(p, q) y n = pgcd(p, r), obtenemos las parametrizaciones: Y = t u = t Y = t u = t Ambos dan un polo de orden 1 para, por lo tanto obtenemos, sumando las diferentes parametrizaciones posibles, − m− n en la fórmula Poincaré-Hopf. Un cálculo similar cerca del otro punto en el infinito da un cero de orden p − 1 donde l = (p, q+ r) con l diferentes parametrizaciones. Así finalmente obtenemos la igualdad: p = m+ n+ l. (18) Queremos resolver esta ecuación. Considere: p = nγ p = mβ p = lα con α, β, γ, Entonces (18) es equivalente a la siguiente ecuación bien conocida: # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (19) Las soluciones están a la permutación: (3, 3, 3) (2, 4, 4) (2, 3, 6). La solución (3, 3, 3) implica m = n = l. Como gcd(p, q, r) = 1 tenemos: m = n = l = 1 y así p = 3, 1 = (r, 3), 1 = (q, 3). Por lo tanto r = 1, 2 mod (3) y también q. Finalmente, recordando l = gcd(p, q + r), concluimos que (p, q, r) = (3, 1 + 3u, 1 + 3v), (3, 2 + 3u, 2 + 3v). La solución (2, 4, 4) implica l = 2n y m = n = 1 y el mismo argumento muestra que (p, q, r) = (4, 1 + 4u, 1 + 4v) o (4, 3 + 4u, 3 + 4v). Hay otras dos soluciones (permutaciones de (2, 4, 4)). Bajo permutaciones de las dos líneas {y = 0} y {y + 1 = 0}, sólo necesitamos estudiar (4, 2, 4). A similar resolución así da (p, q, r) = (4, 2(1 + 2u), 1 + 2v). La solución (2, 3, 6) implica m = 2, n = 1, l = 3, así (p, q, r) = (6, 2+6u, 1+6v) o (6, 5+ 6u, 4+6v). Como en el caso anterior, debemos tener en cuenta las soluciones (3, 2, 6) y (6, 2, 3), respectivamente. da (p, q, r) = (6, 3(2u+ 1), r) con gcd(r, 3) = 1 y (6, 2(3u+ 1), 6v + 1) o (6, 2(3u+ 2), 6v + 5). Por último, se demuestra la propuesta. Obtenemos los últimos casos de la columna izquierda del Teorema 2. 2.2.3 El caso c = 0. Bajo la transformación afín podemos suponer a = b = 1. Aquí las tres líneas {x = 0}, {y = 0} y {x+ y = 0} se cruzan en el origen. Ahora, la curva algebraica x­yμ(x+ y) = t es obviamente biracional a x­1yμ(1+ y) = t, por lo que este caso cae de los resultados anteriores y obtenemos los últimos casos de la columna derecha del Teorema 2. De hecho, hemos investigado todas las primeras integrales posibles. De hecho, si nuestra foliación admite una primera integral: f = xy(ax+ por + c) con α, β números positivos reales, luego después de la transformación de la afina tiene una primera integral: g = X− α (AX + BY + C). Por lo tanto, el teorema 2 está probado. 2.3 El caso reversible de Lotka-Voltera Teorema 3 La foliación reversible Lotka-Voltera F(df) es elíptica si y sólo si, después de una afinación cambio de las variables, tiene una primera integral de la forma (rlv1) f = xy(1− x− y) (rlv2) f = x−3y(1− x− y) (rlv3) f = x2y(1− x− y) (rlv4) f = x−4y(1− x− y) f = x−3y2(1 − x− y)2 (rlv6) f = x−1y2(1− x− y)2 xiii)f = x k (y + 1)(y − 1), k • Z* \ 3Z (x1v)f = x−2+ 3k (x+ y)(x− y), k • Z* \ 3Z (xv)f = x k (y + 1)(y − 1), k • Z* \ 2Z (xvi)f = x−2+ 4k (x+ y)(x− y), k • Z* \ 2Z Prueba. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que la foliación tiene una primera integral de la forma f = *(y2 + a(x− b) ) 2) si a 6= 0 y f = x(y2 + c) de lo contrario (nos ocupamos de las foliaciones cuadráticas de modo que c necesario no desaparece). Para a = 0 esto es una consecuencia de la Proposición 7. Ahora mira a un 6= 0 : si b = 0, la curva de x-(y2 + ax2) = t es biracional a x-(y2 + 1) = t por lo tanto las condiciones son p+ 2q = 3, 4 o −2q − p = 3, 4. si b 6= 0 el cuadrical es un polinomio reducible de modo que este caso es una consecuencia directa de Propuestas 4, 5 y 6. Notamos que los últimos casos de Lotka-Volterra reversible son exactamente los últimos casos de Lotka-Volterra bajo la condición l = k cuando sea posible (para vii) y viii) de Teorema 2 no podemos tener k = l). Esto le da a Teorema 3. Note que el caso b = 0 es también una consecuencia del caso degenerado de Lotka-Voltera con los tres líneas invariantes implicaban la intersección de sí mismos, pero el cálculo es aquí tan fácil que lo probamos directamente y es útil para probar nuestro cálculo anterior. 3 Topología de las fibras singulares y clasificación de Kodaira Ahora nos enfocamos en las fibras singulares de las superficies elípticas inducidas. En primer lugar, recordar que dos bira- Las superficies elípticas tienen el mismo modelo mínimo (véase [Ka75, M89]). Algunas de nuestras anteriores elípticas las superficies son obviamente biracionales y por lo tanto tienen las mismas fibras singulares bajo permutación. Primero investigamos esos mapas. A continuación, damos algunos ejemplos de cálculo de la singular fibras para ilustrar la forma en que obtuvimos las Tablas 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 3.1 El caso reversible 3.1.1 Cartografías biracionales Las primeras integrales son dadas por la ecuación algebraica: (y2 + ax2 + bx+ c) = t con a, b, c números complejos que satisfagan algunas condiciones y un número racional. Tenemos un fácil mapeo biracional (ya lo hemos utilizado, véase la sección 2.1.3): X = 1 , Y = y que lleva a x−2(y2 + cx2 + bx+ a) = t. Al considerar esta asignación en P2 con coordenadas homogéneas [x : y : z] este último permutas en hecho las líneas proactivas {x = 0} y {z = 0}. Por lo tanto, para cada línea de la Tabla 1 sólo necesitamos estudiar o bien el elemento derecho o el elemento izquierdo. Para casos degenerados, observe el cambio de variables (X,Y ) = (xy, y) biracionalmente conduce (i) (resp. ii) a x) (resp. xii) Caso elíptico Lotka-Volterra con l = 1. En consecuencia, esos casos serán consecuencia del cálculo de las fibras singulares de los casos de Lotka-Volterra (ver abajo). Tenga cuidado de que la geometría de los divisores que aparecen en las primeras integrales (incluyendo la línea en el infinito) es de importancia, ya que vamos a explotar los puntos de indeterminación. Biracionalmente, los diferentes la descripción geométrica de los divisores en el caso reversible es la siguiente: (1) Los divisores están en posición general (véase la figura 1). Esto se refiere (rv2), (rv4), (rv6) con a, b, c 6= 0. (2) {Q = 0} y {x = 0} están en posición general y {Q = 0} y {z = 0} tienen sólo un tan- doble punto gent (véase la figura 7). Esto se refiere a (rv2) con c = 0, (rv3) con a = 0, (rv6) con c = 0, (rv7), (rv10), (rv12), (rv14), (rv16). (3) Ambas líneas proyectivas {x = 0} y {z = 0} tienen un punto tangente doble con el cuadric. Esto se refiere a los incisos i) y ii).  < −1  > −1 (rv1) x−3(y2 + ax2 + bx+ c) = t (rv2) x(y2 + cx2 + bx+ a) = t (rv3) x− 2 (y2 + ax2 + bx+ c) = t, c 6= 0 (rv4) x− 12 (y2 + cx2 + bx+ a) = t, c 6= 0 (rv5) x−4(y2 + ax2 + bx+ c) = t (rv6) x2(y2 + cx2 + bx+ a) = t (rv7) x− 3 (y2 + bx+ c) = t (rv8) x− 3 (y2 + cx2 + bx) = t (rv9) x− 3 (y2 + ax2 + bx) = t (rv10) x− 3 (y2 + bx+ a) = t (rv11) x− 3 (y2 + ax2 + bx) = t (rv12) x− 3 (y2 + bx+ a) = t (rv13) x− 4 (y2 + ax2 + bx) = t (rv14) x− 4 (y2 + bx+ a) = t (rv15) x− 4 (y2 + ax2 + bx) = t (rv16) x− 4 (y2 + bx+ a) = t (rv17) x− 2 (y2 + ax2 + bx) = t (rv18) x 2 (y2 + bx+ a) = t i) x−1+ k (y2 + x) = t k • Z* \ 2Z ii) x−1+ k (y2 + x) = t k • Z* \ 3Z Tabla 1: Los casos reversibles elípticos. 3.1.2 Las fibras singulares t = 0 y t = Aquí ilustramos los resultados con ejemplos: EJEMPLO 1: Las fibras singulares de (rv4): Incorporando nuestra primera integral en P2, uno tiene: (y2 + ax2 + bxz + cz2)2 Geométricamente, hay dos líneas: {x = 0} y {z = 0} con multiplicidades respectivamente−1 y−3 que intersecta en [0 : 1 : 0], y una cónica que intersecta ambas líneas en cuatro puntos, a saber, A1 = [0 : − c : 1], A2 = [0 : − −c : 1], B1 = [ −a : 1 : 0], B2 = [− −a : 1 : 0] con paso normal cada vez (ver Gráfico 1 {x = 0} B1 B2 {z = 0} Figura 1: Situación geométrica de (rv4). La función racional no está definida en estos cuatro puntos, por lo que necesitamos explotarlos. • Cerca de A1 En las coordenadas locales la función racional se convierte en: Y Necesitamos dos explosiones para definir la función racional cerca de este punto: → separación de ambas sucursales locales Recuerde que soplar un punto de P2 que pertenece a un divisor D disminuye la auto-intersección de D por uno (véase [GH78], por ejemplo). Escribiendo la auto-intersección y las multiplicidades (la los números de auto-intersección están dentro del () ) obtenemos la situación de la Figura 2. Estudiamos A2 en la misma línea. Véase la figura 3. • Cerca de B1. Localmente la función racional se convierte en Y Las sucesivas explosiones dan las siguientes ecuaciones locales hasta la separación: → separación de las ramas 1) −1 3) 2 (0) − 1 3) 2 −1(−1) Figura 2: Las sucesivas explosiones de A1. Figura 3: Resumen de la situación después de la explosión A1 y A2. 2) 1) (−3)(0) (0) (0)−1 Figura 4: Las sucesivas explosiones de B1. Véase la figura 4. La situación sigue siendo la misma cerca de B2. Obtenemos 2 fibras singulares. Véase la figura 5. 2 (−2) −1 (−3)−1 (−3)−1 Figura 5: Las fibras t = 0 y t = 0 de (rv4). Ahora tenemos que reconocer estas fibras singulares en la clasificación de Kodaira (véase [Ko63]). El pecado... fibra gular t = 0 es I*0, pero no reconocemos el otro. Esto es porque tenemos ramas con auto-intersección −1. Recordemos que la clasificación de Kodaira incluye superficies elípticas mínimas, es decir, ninguna fibra contiene una curva excepcional del primer tipo. Finalmente obtenemos IV (la fibra singular en el infinito). Véase la figura 6. −1 (−3) −1 (−3)−1 (−3) (−2) −1 −1 Figura 6: Contracción de la fibra t = de (rv4). {x = 0} {z = 0} Figura 7: El divisor asociado a (rv12). EJEMPLO 2 : Las fibras singulares de (rv12) : −4 (−2) −4 (−2) 3 (1) −2 (−1) 3 (0) −1 (−2) −5 −2 2 (−2) −1 (−3) −5 (−1) (−2) 3 (2) −2 (−2) −4(4) Figura 8: Sucesivas explosiones de (rv12) cerca de A. La función racional aquí es: (y2 + bxz + az2)3 La situación geométrica se explica en la Figura 7. • Estudiar cerca de A: Localmente la función racional se convierte en: Y . Para empezar, tenemos: (Y 2 + Z)3 → (Y + Z) Z5Y 2 → (Z + 1) Z5Y 4 → separación de ambas sucursales locales A continuación tenemos que inflar el punto con coordenadas locales: (Y = 0, Z = −1), lo que da localmente : → separación de ambas ramas locales. las explicaciones geométricas se dan en la Figura 8. • Estudio cerca de B: Localmente la función racional se convierte en: Y . Tal cálculo ya se ha hecho en Ejemplo Finalmente obtenemos dos fibras (ver Figura 9). Para t = 0 reconocemos IV*. Para t = فارسى, uno tiene que contratar divisores con auto-intersección −1 como en Gráfico 10 Finalmente obtenemos III de la clasificación de Kodaira. −4 (−2) Figura 9: Las fibras en t = 0 y t = Ł de (rv12). −4 (−2) −1 (−5) −2 (−2) −1 −1 (−4) (−4) Figura 10: Contracción de divisores con auto-intersección −1 para la fibra en el infinito de (rv12). 3.1.3 Otras fibras singulares Tenga cuidado de que no tenemos la lista completa de fibras singulares: también tenemos que considerar el singular puntos de nuestra foliación que no se intersecan ambas líneas y la curva cónica de arriba. Aquí, los resultados se refieren a toda la clase de sistemas reversibles que inducen fibras elípticas: Escribiendo: f = x(y2 + ax2 + bx+ c), (x, y) es un punto singular si y sólo : ×y = 0 x1(­)y2 + (­))ax2 + (­)bx+ (­)c) = 0. En consecuencia (x0, y0) es un punto singular que no intersecta ambas líneas y la curva cónica por encima si y únicamente: y0 = 0 x0 es un cero del polinomio : P = ( 2)ax 2 + (+ 1)bx+ c y x0 6= 0. Vamos a ser el discriminante de P. Retomamos el general que sucede a continuación: Si un 6= 0, recordando P (x0) = 0, obtenemos: (x0, 0) = x ′(x0) (x0, 0) = x 0 (2( 1)P ′(x0) + 2a( 2)x0). En las listas obtenidas en relación con todo el caso reversible anteriormente mencionado, como 6= 0, −1 los puntos tienen diferentes valores críticos y P ′(x0) = 0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • a continuación (recordemos que para el caso reversible b2 − 4ac 6= 0): Lemma 3 Para un 6= 0 y c 6= 0, si el 6= 0 obtenemos dos curvas singulares diferentes con una normal cruce, es decir, I1 en la clasificación de Kodaira y si se obtiene una fibra singular con una cúspide, Eso es II. Si a 6= 0 y c = 0, o a = 0 y c 6= 0, obtenemos una fibra singular con cruce normal, Eso es I1. De lo contrario, no hay más fibras singulares. Finalmente, ahora somos capaces de calcular todas las fibras singulares. Los resultados se presentan en los cuadros 2, 3 y 4. Fibración {t = {t = 0} t1 t2 IV ∗ I2 I1 I1 IV ∗ I2 I1 I1 (rv3) IV I0* I1 I1 (rv4) IV I0* I1 I1 III* I1 I1 I1 III* I1 I1 I1 Tabla 2: El caso reversible elíptico con 4 fibras singulares. Fibración {t = {t = 0} t1 (rv1) a, b, c 6= 0,  = 0 IV ∗ I2 II a 6 = 0,c = 0 III* I2 I1 a = 0, c 6 = 0 IV * III I1 (rv2) a, b, c 6= 0,  = 0 IV ∗ I2 II a 6 = 0,c = 0 III* I2 I1 a = 0, c 6 = 0 IV * III I1 (rv3) a, b, c 6= 0,  = 0 IV I0* II a = 0 IV I1* I1 (rv4), a, b, c 6= 0,  = 0 IV I0* II a = 0 IV I1* I1 (rv5) a, b, c 6= 0,  = 0 III* I1 II a 6 = 0,c = 0 II* I1 I1 a = 0, c 6 = 0 III* II I1 (rv6) a, b, c 6= 0,  = 0 III* I1 II a 6 = 0,c = 0 II* I1 I1 a = 0, c 6 = 0 III* II I1 (rv7) IV * III I1 IV ∗ III I1 (rv9) I1* IV I1 (rv10) I1* IV I1 (rv11) III IV * I1 III IV * I1 IV ∗ III I1 IV ∗ III I1 III* II I1 (rv16) III* II I1 (rv17) II* I1 I1. (rv18) II* I1 I1. Tabla 3: El caso reversible elíptico con 3 fibras singulares. Fibración {t = {t = 0} i), k = 1 mod (4) III* III k = 3 mod (4) III III* ii) k = 1, 2 mod (6) II* II k = 3, 5 mod (6) II II* Tabla 4: Caso reversible con 2 fibras singulares. 3.2 El caso Lotka-Volterra 3.2.1 Cartografías biracionales La misma cartografía biracional: X = 1 E Y = y , leads: ×yμ(ax+ por + c) = t biracionalmente para: x1yμ(cx+ por + a) = t. Usando esto, uno puede verificar inmediatamente que (lv1), (lv2), (lv3) y (lv5) son biracionales y (lv4) es biracional a (rlv3) y (rlv4). Para los últimos casos de Lotka-Volterra, hay otro obvio birational mapeo: X = xyu(1 + y)v, Y = y Y = xyu(1 + y)v, X = x. con u, v â € Z sabiamente elegido. 3.2.2 Las fibras t = 0 y t = EJEMPLO 3: Las fibras singulares de (lv1) Aquí la función racional es: x2y3(z − x− y) La situación geométrica se explica en la Figura 11. Los puntos de intersección con la multiplicidad opuesta Necesitan ser volados. Aquí hay 3 puntos: A1 = [0 : 1 : 0], A2 = [1 : 0 : 0], A3 = [1 : −1 : 0]. Cerca de A1, localmente la función racional se convierte de tal manera que sólo necesitamos tres explosiones para Separar las sucursales locales. Esta situación es bien conocida como cerca de A2 y A3, donde necesitamos respectivamente 2 y 6 explosiones. Véanse los gráficos 12 y 13. La fibra en el infinito es II*. Para la fibra t = 0, necesitamos dos contracciones como se explica en la Figura 14 y finalmente obtenemos I1. EJEMPLO 4: Las fibras singulares de (vii) con l = 4 mod (6). Bajo equivalencia biracional, el función racional que necesitamos considerar es: y4(z + y)5 Tenemos que volar 3 puntos: A = [0 : 0 : 1], B = [1 : 0 : 0] y C = [0 : 1 : -1]. Por A y C Tenemos cruces normales y la situación es similar a la de los precedentes. Tenemos que pagar un poco más. atención para la explosión de B: Localmente la función racional se convierte en: Y 4 (Y + Z)5 . Aquí la primera explosión-para arriba separa los tres ramas. Ahora tenemos que explotar el punto de intersección de la rama con la multiplicidad 6 y el rama con multiplicidad −3. Localmente la función racional es: Y y nos metemos en una situación bien conocida. Obtenemos II* para t = 0. Para t = فارسى necesitamos tres contracciones para obtener finalmente II (ver Figura 16). {z = 0} {x = 0} {1− x− y = 0} {y = 0} Figura 11: La situación geométrica de (lv1). 2 3 4 Figura 12: La fibra en el infinito para (lv1). (−5)1(−2)2 Figura 13: La fibra t = 0 para (lv1). 3.2.3 Otras fibras singulares Escribimos: f = x­yμ(ax+ por + c). Esto es aquí álgebra lineal elemental e inmediatamente da lo siguiente: Lemma 4 Bajo los supuestos , μ 6= 0,  6= −1, μ 6= −1 y  + μ + 1 6= 0, la función anterior da lugar a otra fibra singular si y sólo si a, b, c 6= 0 y la fibra singular correspondiente es I1. (−5)1(−2)2 1 (−3) 2 (−1) 1 (−4) Figura 14: Contracción de la fibra t = 0 para (lv1). {x = 0} {y = 0} {z = 0} {z + y = 0} Figura 15: Situación geométrica de vii). Observación 2 Tales suposiciones sostienen para nuestros sistemas Lotka-Volterra y reversibles Lotka-Volterra en- que inducen a las fibras elípticas. −6 (−1) Figura 16: Contracciones de t = 0 para (vii). Fibra de fibra {t = Fibra t = 0 Otras fibras singulares II* I1 I1 II* I1 I1 II* I1 I1 II* I1 I1 III* I2 I1 Tabla 5: El caso Lotka-Volterra con 3 fibras singulares. 3.3 El caso reversible de Lotka-Volterra El cálculo es similar y se deja al lector. Los resultados figuran en los cuadros 7 y 8. Fibración {t = t = 0 iii), k = l = 1 mod (3) IV * IV k = l = 2 mod (3) IV IV* iv), k = l = 1 mod (3) IV * IV k = l = 2 mod (3) IV IV* v), k = l = 1 mod (4) III* III k = l = 3 mod (4) III III* vi), k = l = 1 mod (4) III* III k = l = 3 mod (4) III III* vii), l = 2 mod (6) II* II l = 4 mod (6) II II* viii), l = 2 mod (6) II* II l = 4 mod (6) II II* ix), k = 1 mod (4) III* III k = 3 mod (4) III III* (x), k = 1 mod (4) III* III k = 3 mod (4) III III* (xi), k = 1, 2 mod (6) II* II k = 4, 5 mod (6) II II* xii), k = 1, 2 mod (6) II* II k = 4, 5 mod (6) II II* Tabla 6: El caso elíptico Lotka-Volterra con 2 fibras singulares. Fibra de fibra {t = Fibra t = 0 Otras fibras singulares (rlv1) IV ∗ I3 I1 (rlv2) IV ∗ I3 I1 (rlv3) III* I2 I1 (rlv4) III* I2 I1 IV I1* I1 IV I1* I1 Tabla 7: El caso elíptico reversible Lotka-Volterra con 3 fibras singulares. Fibra de fibra {t = Fibra t = 0 ix), k = 1 mod (3) IV * IV k = 2 mod (3) IV IV* (x), k = 1 mod (3) IV * IV k = 2 mod (3) IV IV* (xi), k = 1 mod (4) III* III k = 3 mod (4) III III* xii), k = 1 mod (4) III* III k = 3 mod (4) III III* Tabla 8: El caso elíptico reversible Lotka-Volterra con 2 fibras singulares. Agradecimientos: El autor desea agradecer a L. Gavrilov y a I. D. Iliev y su atención al documento, muchos comentarios útiles y comentarios estimulantes. Bibliografía [BPV84] W. Barth, C. Peters, A. Van de Ven: Superficies compactas y complejas, Erg. Matemáticas, Springer... Verlag (1984). [CGLPR] J. Chavarriga, B. Garciá, J. Llibre, J. S Pérez Del Róço y J. A. Rodguez: Polinomio Primeras integrales de campos vectoriales cuadráticos, Revista de Ecuaciones Diferenciales Volumen 230, Edición 2, 15 Noviembre de 2006, Páginas 393-421. [CLLL06] G. Chen, C. Li, C. Liu, J. Llibre: La cíclica del período anular de algunas clases de reversibles Sistemas cuadráticos, Discreto Contin. Dyn. 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Notas en matemáticas., 708 (1979). [Ka75] K. Kas: Weirstrass formas normales e invariantes de superficies elípticas, Trans. de la A.M.S, 225, (1977). [Ko60] K. Kodaira: En superficies analíticas compactas, I, Annals of Math., 71 (1960), 111-152. [Ko63] K. Kodaira: En superficies analíticas compactas, II, Annals of Math., 77 (1963),563-626. [M89] R. Miranda, La teoría básica de las superficies elípticas, Dottorato di Ricerca en Matematica. [Doc. torate in Mathematical Research], ETS Editrice, Pisa, 1989. [P90] G. S. Petrov: Nonoscilación de integrales elípticas, Funct. Anal. Appl., 3 (1990), 45-50 [YL02] J. Yu, C. Li: Bifurcación de una clase de sistemas integrados planos no hamiltonianos con uno centro y un bucle homoclínico, J. Matemáticas. Anal. Appl., 269 (2002), no. 1, 227–243. http://arxiv.org/abs/0705.1609 Introducción Centros cuadráticos que definen las foliaciones elípticas El caso reversible El caso a=0, c=0, b2-4ac=0. El caso a=0, c= 0, b2-4ac=0. a=0, c=0, b2-4ac=0. a=c=0, b=0 El caso Lotka-Volterra El caso a = 0, b = 0, c = 0. El caso a=0. El caso c=0. El caso reversible de Lotka-Voltera Topología de las fibras singulares y clasificación de Kodaira El caso reversible Cartografías biracionales Las fibras singulares t=0 y t= Otras fibras singulares El caso Lotka-Volterra Cartografías biracionales Las fibras t=0 y t= Otras fibras singulares El caso reversible de Lotka-Volterra

Corner Transfer Matrix Renormalization Group Method Applied to the Ising Model on the Hyperbolic Plane

arXiv:0704.1949v1 [cond-mat.stat-mech] 16 Abr 2007 typeset usando JPSJ.sty <ver.1.0b> Método de grupo de renormalización de la matriz de transferencia de esquina Modelo Ising en el plano hiperbólico Kouji Ueda1), Roman Krcmar2), Andrej Gendiar2), y Tomotoshi Nishino1) 1Departamento de Física, Escuela de Posgrado de Ciencias, Universidad de Kobe, Kobe 657-8501, Japón 2Instituto de Ingeniería Eléctrica, Academia Eslovaca de Ciencias, SK-841 04 Bratislava, Eslovaquia (Recibido) El comportamiento crítico del modelo Ising se investiga en el centro de los sistemas de tamaño finito a gran escala, donde la celosía se representa como el revestimiento de los pentágonos. El sistema está en el plano hiperbólico, y la estructura recursiva de la celosía hace posible aplicar la matriz de transferencia de esquina método de grupo de renormalización. A partir de la función de correlación de giro vecina más cercana calculada y la magnetización espontánea, se concluye que la transición de fase de este modelo es como un campo medio. Un parámetro deformación de la esquina Hamiltoniano en el plano hiperbólico se discute. Palabras clave: CTMRG, modelo de ising, escalado, curvatura § 1. Introducción El método de Baxter de matriz de transferencia de esquina (CTM) tiene conocido como una de las herramientas representativas para el analyti- cal stydy de los modelos estadísticos en dos dimensiones (2D).1–3) El método es también de uso para los cálculos numéricos de funciones de un punto, como la energía local y el magnetización.3) Esta aplicación numérica es una especie de método de renormalización numérica del grupo (RG), donde la transformación de la rotación del bloque se obtiene de la di- agonalización de MCs. Tal esquema de RG tiene muchos aspectos en común con la matriz de densidad renormal- método de grupo de ización (DMRG),4–7) especialmente cuando método se aplica a los modelos de celosía clásica 2D.8) Introducción de la flexibilidad en la extensión del sistema pro- del método DMRG al método de Baxter de CTM, los autores desarrollaron la matriz de transferencia de esquina método de grupo de renormalización (CTMRG).9–12) artículo informamos de una modificación del método CTMRG, con el fin de aplicar el método a los sistemas clásicos de modelos de tic en el plano hiperbólico. Usando el recursivo estructura de la celosía, obtenemos un punto funciones en el centro de sistemas de tamaño finito suficientemente grandes. Muy recientemente Hasegawa, Sakaniwa y Shima re- desviaciones portadas de los índices críticos del modelo Ising sobre el plano hiperbólico del conocido Ising Univers- clases de salidad en dos dimensiones.14, 15) Ellos predijeron que La transición en fase de tales sistemas sería de tipo campo medio. Para confirmar su predicción, en la siguiente sección con- sider el modelo Ising en una celosía, que se representa como el alicate de los pentágonos. La modificación necesaria de el método CTMRG en esta celosía se explica en §3. Calculamos la correlación de spin vecino más cercano func- y la magnetización espontánea en el centro de sistemas de tamaño finito a gran escala. Índices críticos para estos un punto funciones se estudian en §4, y confirmamos el propiedades de campo medio como de la transición de fase. Con- Las conclusiones se resumen en la última sección. Discutimos una posible deformación de la esquina Hamiltoniana en el hy- plano perbólico. § 2. Modelo sobre el atavío de los Pentágonos Consideremos el plano hiperbólico, que es el dos superficie dimensional con curvatura negativa constante. La figura 1 muestra una parte de un lat regular suficientemente grande. en el plano, donde la celosía se construye como la todos los arcos son geodésicos, que divide la celosía en dos partes de una estructura similar. Cada punto de celosía representado por un círculo abierto es el puntos de cruce de dos geodésicos. Fig. 1. Es el modelo en una celosía regular en el plano hiperbólico. Los círculos abiertos representan los giros de Ising en el punto de celosía, y ) es el peso Boltzmann local definido en Eq. (2.2). Dos geodésicos dibujados por arcos gruesos dividen el sistema en cuatro cuadrantes, que se llaman como la esquina. Investigamos el modelo ferromagnético Ising en este Enrejado. El Hamiltoniano del sistema se define como el suma del vecino más cercano H = −J # # # I, j # # # # # I, j # # # # I, j # # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # I, j # # # I, j # # I, j # # # I, j # # I, j # ............................................................................................................................................................................................................................................................... donde â € € TM i, jâ € representa el par de sitios vecinos, y i = ±1 y j = ±1 son los giros de Ising en la celosía http://arxiv.org/abs/0704.1949v1 2 Kouji Ueda, Roman Krcmar, Andrej Gendiar y Tomotoshi Nishino puntos. A lo largo de este artículo asumimos la ausencia de campo magnético externo. Para estas últimas conveniencias, representamos el sistema como la “interacción alrededor de una cara (IRF)» modelo. El peso local de Boltzmann para cada cara de forma pentagonal — el peso IRF — viene dado por W (e) (2.2) = exp (Oaooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo donde β = 1/kBT es la temperatura inversa, y Las variables de giro alrededor de la cara como shwon en Fig. 1. La función de partición de un sistema de tamaño finito (con suf- el diámetro fisciently grande) está escrito formalmente como el con- figuración suma del peso de Boltzmann de la totalidad sistema todos los giros todos los caras W, (2.3) donde estamos interesados en el límite termodinámico de Este sistema. Tenga en cuenta que es bastante difícil investigar la sistema por el uso de las simulaciones de Monte Carlo, desde el El número de sitios contenidos en un clúster explota la exposición con respecto a su diámetro. Como complemento herramienta numérica, empleamos el método CTMRG. § 3. Renormalización de la matriz de transferencia de esquina Método del grupo Las dos geodésicas mostradas por arcos gruesos en la Fig. 1 división el sistema en cuatro partes, que se llaman esquinas.3) La Figura 2 muestra la estructura de una esquina. Etiquetamos el gira en el corte como 1, ..}, y los de otro cortado como 1,  3,...}, en el que 1. Los matriz de transferencia de esquina es el peso Boltzmann con re- a una esquina, que se calcula como una suma parcial de el producto de los pesos IRF en la esquina C(1,  3,............................................................................... ..) gira en el interior el cuadrante caras en el cuadrante W. (3.1) La suma de la configuración se hace cargo de los giros ‘dentro’ la esquina, dejando esos giros en los cortes. Con- la matriz C se interpreta como bloque di- agonal con respecto a los puntos 1 y 1, y el elemento C(1,  3,............................................................................... ................................................................................................ se establece en cero. La CTM así definida es simétrica en el caso de la celosía pentagonal en cuestión. Como se muestra en la Fig. 2 una esquina tiene la estructura donde tres partes etiquetadas por P̄ y dos partes etiquetadas por C̄ se unen a una cara W. La relación de ‘fusión’ puede ser representado por una ecuación formal9, 10) C = W · P̄ C̄ P̄ C̄ P̄ C̄. (3.2) Tenga en cuenta que C̄ es un rincón de menor tamaño. Por conveniencia, observemos la estructura de la parte del sistema que se muestra en la Fig. 3, donde dos P̄, y C̄ se unen a W. La etiqueta de la parte mostrada por P, podemos Fig. 2. Estructura recursiva de la esquina C. escribir formalmente la relación de fusión de la misma manera P = W · P̄ C̄P̄. (3.3) Por una razón convencional llamamos a P como la ‘media fila’, aunque P no es una fila en el plano hiperbólico. Lo es. fácilmente entendido que P̄ es una media fila de tamaño más pequeño. Hemos obtenido así la estructura recursiva de la esquina C y la media fila P. Fig. 3. Estructura recursiva de la «mitad-raw» P. Como hemos definido CTM para una esquina, vamos a expresar el peso de Boltzmann con respecto a la media fila P (1, ) 3,............................................................................... ..) gira en el interior la media fila caras en la media fila W (3.4) en la forma de matriz, donde las posiciones de los giros 1, 2, 3, 3. ....................................................................................... 3,...} se muestran en la Fig. 3. Llamamos al peso en la forma de la matriz como la media fila matriz de transferencia (HRTM). La 4a potencia de la CTM  = C4 (3.5) es un tipo de matriz de densidad, ya que su traza da la par- función de titulación Z = Tr ♥ = TrC4 (3.6) de un cluster de tamaño finito que consta de cuatro esquinas. Los Método CTMRG Aplicado al Modelo de Ising en el Plano Hiperbólico 3 dimensión de matriz de la MC, y también la de la HRTM, aumenta exponencialmente con respecto al tamaño del sistema. Con el fin de obtener Z numéricamente hasta lo suficientemente grande sistemas, introducimos la transformación de giro de bloque que se crea a partir de la diagonalización de la matriz de densidad 4 y 5) En lugar de diagonalizar directamente en Eq. (3.5), nosotros primero crear su contracción *(2,* 3............................................................................... ..) (1, ♥) 3............................................................................... ....................................................................................................................... y luego diagonalizarlo *(2,* 3............................................................................... ..) A(2,  3............................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... donde el valor propio no es negativo. A raíz de la reunión del Consejo de Ministros de Asuntos Exteriores de la Unión Europea, el Consejo de Ministros de Asuntos Exteriores de la Unión Europea, el Consejo de Ministros de Asuntos Exteriores de la Unión Europea y el Consejo de Ministros de Asuntos Exteriores de la Unión Europea, reunidos en el seno del Consejo de Seguridad, reunidos en el seno del Consejo de Seguridad, reunidos en el seno del Consejo de Seguridad, reunidos en el marco de la Cooperación Política Europea, convención en DMRG, asumimos el orden decreciente en lugar de la letra a) del párrafo 1 del artículo 2 del Reglamento (CE) n.o 182/2009. . La matriz ortogonal A( ...................................................................... envía la transformación de la rotación del bloque desde el ‘retorno de la fila’ 2, ♥3,. ..} a la variable de rotación efectiva.......................................................................................................................................................................................... Nos quedamos conmigo. número de estados representativos, que corresponden a mayores valores propios, para la variable de rotación de bloques â € ¬. Aplicar- con la matriz A a la CTM y la HRTM, obtenemos «Matrices renormalizadas» de 2m-dimensión C(1,  2,.............................................................. ............................................................... ′, , ) P (1, ) 2,.............................................................. .............................................................. ′, , ), (3.9) donde hemos bajado los índices de 9, 10) Combinación de las estructuras recursivas en Eqs. (3.2) y (3.3) y el esquema de renormalización en Eqs. (3.7)-(3.9), podemos obtener el CTM y el HRTM en el renormalizado forma para el tamaño arbitrario del sistema a través de sucesivos ex- tensión del sistema. Fig. 4. Posceso de extensión de (a) CTM y (b) HRTM en el renor- expresión maleada. Supongamos que tenemos C(, , ) y P (, , ) para un grupo de tamaño finito. Para explicar la extensión proceso, vamos a reescribir estas matrices como C̄(s′, s, ) y P̄ (s′, s, فارسى). (1) Sustituto de C̄(s′, s, Ł) y P̄ (s′, s, Ł) en el proceso de fusión en Eqs. (3.2) y (3.3). Gráfico 4 muestra estos procesos de fusión entre W, C̄, y P̄, donde los rectángulos corresponden al bloque spin vari- Capaz. Las variables de giro que se contraen son mostrado por marcas negras. Como resultado, obtenemos el CTM extendida C(, s′, , s ) y la extensión HRTM P (, s′, , s, فارسى). (2) De la CTM extendida C(, s′, , s ) obtener la matriz de densidad (, s′, , s, ) por Eq. (3.5). Contratando el giro en el centro, obtener • (s′, s, ) como Eq. (3.7), y diagonalizándolo a ob- la matriz de transformación de la rotación de bloques A(s, ) de Eq. (3.8). (3) Aplicando A(s, ) a C(, s′,, s, ) y P (, s′, , s ), obtener la CTM extendida C(, , ) en la forma inicial, y el mismo para HRTM para obtener P (, , ). (4) volver al primer paso. El tamaño del sistema, que es la longitud de la más larga geodésicos en el sistema, aumenta en 2 por cada itera- tion.16) Con el fin de iniciar el proceso de extensión anterior, establecer la condición inicial C̄( ) = P̄ ( ) = que representa el límite ferromagnético, donde فارسى(a b) = Es el delta de Cronecker. Durante la iteración podemos obtener un punto funciones en el centro del sistema. Por ejemplo, el sponta- la magnetización del neous se calcula como = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 ............................................................................................................ (, s,, s, ) ............................................................................................................ (e, s,, s, ) . (3.11) De la misma manera obtenemos el giro vecino más cercano función de correlación s. Cabe señalar que las funciones de punto así calculadas en el centro no al- formas representan la propiedad mediada de todo el sistema- en el límite termodinámico, ya que el área cerca de el límite tiene peso no despreciable en el hiperbólico avión. § 4. Resultado numérico comparado con el Bethe Aproximation Calculemos la magnetización espontánea, y la función de correlación de giro s para el giro más cercano par. Consideramos la fuerza de interacción de Ising J como la unidad de energía, y utilizar la temperatura donde el Boltz- mann constante kB es igual a unidad. La mayor parte del numerador... Los cálculos icales se realizan manteniendo m = 40 estados. El dumping de los valores propios de la matriz de densidad es muy rápido, y en realidad los resultados calculados con m = 10 do no difieren de los obtenidos con m = 40 incluso en la temperatura crítica TC. El número de iteración requerido para la convergencia numérica es como máximo 400000 para el puntos de datos calculados. La Figura 5 muestra los resultados calculados. El cuadrado de la magnetización espontánea 2 es una función lineal de temperatura en el barrio de TC. Del comportamiento estimamos la temperatura de transición TC = 2.799. La función de correlación de giro vecino más cercana 4 Kouji Ueda, Roman Krcmar, Andrej Gendiar y Tomotoshi Nishino 2.775 2.780 2.785 2.790 2.795 2.800 2.805 2.775 2.780 2.785 2.790 2.795 2.800 2.805 Fig. 5. Cuadrado de la magnetización espontánea 2 (superior) y la función de correlación de giro vecino más cercana s (inferior) con respecto a la temperatura T. s tiene una torcedura en TC, y es lineal en T alrededor de allí. Estos resultados calculados apoyan la existencia de campo como la transición, que está sujeto a los índices críticos β = 1/2 y α = 0. Así confirmamos la predicción por Hasegawa, Sakaniwa y Shima.14, 15) Comparado con la temperatura de transición de la retícula cuadrada Ising modelo T Cuadrado C = 2.269, el calcu- lated TC es bastante mayor y está cerca de la transición temperatura calculada a partir de la aproximación de Bethe TbetheC = 2.885. 17, 18) El resultado sugiere que el abandono del «efecto loop back» no es tan conspicuo en el hy- plano perbólico. §5. Conclusión y debate Hemos calculado la magnetización espontánea y la función de correlación de giro vecino más cercano de la Es el modelo en una celosía pentagonal en el hiperbólico avión. El algoritmo numérico del método CTMRG se modifica con este fin. El tem crítico calculado peratura es TC = 2.799, y observamos el campo medio como transición de fase. El método CTMRG modificado que hemos desarrollado es aplicable a las celosías regulares que consisten en geodésicos en el plano hiperbólico. Para esas celosías que lo hacen no contienen geodésicos, uno tiene que tratar la asimetría- matriz de densidad métrica o para dibujar geodésicos mediante el uso de transformación como la transformación de la dualidad y la relación estrella-triángulo. Generalización de la modificación El método CTMRG para el modelo vértice es recto para- Ward. Puede ser interesante clasificar estados ordenados de modelo ocho-vértex en una variedad de retículas regulares en el plano hiperbólico. Un interés está en la estructura de valor propio de la den- matriz de sity a la temperatura de transición. Su análisis forma no está bien definido en el límite termodinámico de modelos clásicos de celosía en el plano plano 2D.19, 20) dumping rápido por valor propio observado en el hiperbólico El avión sugiere que habría una forma de regularizar... la CTM en la criticidad. El quantum clásico la correspondencia desde este punto de vista vale la pena considerar ring. Formalmente hablando la matriz de transferencia de esquina C puede ser escrito como la exponencial de la esquina Hamil- Tonian HC. Cuando la celosía está en el plano plano, el ejemplo más simple de la esquina Hamiltonian está escrito en la suma de los operadores locales HC = h( = h1 + 2h2 + 3h3 + 4h4 +. ., (5.1) donde hi = h(?i,?i+1) es el hamiltoniano local que acs entre los sitios vecinos. Un posible parámetro de- formación de la esquina hamiltoniana a la hiperbólica geometría puede dar por HC(­) = h1 + sinh 2 sinh sinh 3 sinh h3 +. ., (5.2) que se reduce a HC en Eq. (5.1) en el límite فارسى → 0. El Hamiltoniano deformado satisface la estructura recursiva... HC(­) = cosh­ sinh 2 sinh sinh 3 sinh h4 +... + h1 + coshen h2 + coshen 2° h3 +. 5.3) discutido en el esquema RG de Okunishi en la esquina Hamil- toniano.21) Tal deformación tiene una regularización similar efecto propuesto por Okunishi muy recientemente.22) T. N. y A. G. están parcialmente respaldados por una subvención In-Aid para la Investigación Científica del Ministerio de Ed- educación, ciencia, deporte y cultura. T. N. gracias a Okunishi para discusiones valiosas. 1) R.J. Baxter, J. Matemáticas. Phys. 9 (1968) 650. 2) R.J. Baxter, J. Stat. Phys. 19 (1978) 461. 3) R.J. Baxter, modelos exactamente resueltos en mecánica estadística (Academic Press, Londres, 1982), pág. 363. 4) S. R. White: Phys. Rev. Lett. 69 (1992) 2863. 5) S. R. White: Phys. Rev. B 48 (1993) 10345. 6) Renormalización de la densidad-matriz - Un nuevo método numérico en física -, eds. I. Peschel, X. Wang, M. Kaulke y K. Hall berg, (Springer Berlin, 1999), y referencias allí en. 7) U. Schollwöck: Rev. Mod. Phys. 77 (2005) 259 y referencias Ahí dentro. 8) T. Nishino, J. Phys. Soc. Jpn. 64 (1995) 3598. 9) T. Nishino, J. Phys. Soc. Jpn. 65 (1996) 891. 10) T. Nishino, J. Phys. Soc. Jpn. 66 (1997) 3040. 11) A. Gendiar y T. Nishino, Phys. Rev. E 65 (2002) 046702. 12) K. Ueda y T. Nishino, K. Ueda, R. Otani, Y. Nishio, A. Gendiar, y T. Nishino, J. Phys. Soc. Jpn. 74 (2005) suplemento p.111. 13) Una serie de ejemplos de las celosías regulares en el plano hiperbólico se enumera en la siguiente URL; http://www2u.biglobe.ne.jp/ śhsaka/mandara/index.html. 14) H. Shima e Y. Sakaniwa: cond-mat/0511539. 15) I. Hasegawa, Y. Sakaniwa, y H. Shima: cond-mat/0612509. 16) Precisamente hablando, tal forma de extensión del sistema no garantizar la forma del clúster donde cada giro en el límite es igual de distante del centro. 17) H.A. Bethe, Proc. Roy. Soc. Londres A 150 (1935) 552-75. 18) Puesto que el número de configuración de la celosía es z = 4, la Aproximación media de los campos aplicada al modelo Ising La retícula pentagonal que se está considerando da el mismo transi- temperatura de la toma como la aproximación aplicada al cuadrado Enrejado modelo Ising. Tal equivalencia depende de la Bethe aproximación. 19) I. Peschel, J. Stat. Mech. (2004) P06004 y referencias allí Método CTMRG Aplicado al Modelo de Ising en el Plano Hiperbólico 5 20) K. Okunishi, Y. Hieida, Y. Akutsu, Phys. Rev. E 59 (1999) R6227. 21) k. Okunishi, J. Phys. Soc. Jpn. 74 (2005) 3186. 22) K. Okunishi, para aparecer en J. Phys. Soc. Jpn, preprint arXiv:cond-mat/0702581.

El comportamiento crítico del modelo Ising se investiga en el centro de escala de los sistemas de tamaño finito, donde la celosía se representa como el revestimiento de Pentágonos. El sistema está en el plano hiperbólico, y la estructura recursiva de la celosía hace posible aplicar la matriz de transferencia de esquina método de grupo de renormalización. De la vuelta vecina más cercana calculada función de correlación y la magnetización espontánea, se concluye que la transición de fase de este modelo es de campo medio. Un parámetro Deformación de la esquina Hamiltoniano en el plano hiperbólico se discute.

Introducción El método de Baxter de matriz de transferencia de esquina (CTM) tiene conocido como una de las herramientas representativas para el analyti- cal stydy de los modelos estadísticos en dos dimensiones (2D).1–3) El método es también de uso para los cálculos numéricos de funciones de un punto, como la energía local y el magnetización.3) Esta aplicación numérica es una especie de método de renormalización numérica del grupo (RG), donde la transformación de la rotación del bloque se obtiene de la di- agonalización de MCs. Tal esquema de RG tiene muchos aspectos en común con la matriz de densidad renormal- método de grupo de ización (DMRG),4–7) especialmente cuando método se aplica a los modelos de celosía clásica 2D.8) Introducción de la flexibilidad en la extensión del sistema pro- del método DMRG al método de Baxter de CTM, los autores desarrollaron la matriz de transferencia de esquina método de grupo de renormalización (CTMRG).9–12) artículo informamos de una modificación del método CTMRG, con el fin de aplicar el método a los sistemas clásicos de modelos de tic en el plano hiperbólico. Usando el recursivo estructura de la celosía, obtenemos un punto funciones en el centro de sistemas de tamaño finito suficientemente grandes. Muy recientemente Hasegawa, Sakaniwa y Shima re- desviaciones portadas de los índices críticos del modelo Ising sobre el plano hiperbólico del conocido Ising Univers- clases de salidad en dos dimensiones.14, 15) Ellos predijeron que La transición en fase de tales sistemas sería de tipo campo medio. Para confirmar su predicción, en la siguiente sección con- sider el modelo Ising en una celosía, que se representa como el alicate de los pentágonos. La modificación necesaria de el método CTMRG en esta celosía se explica en §3. Calculamos la correlación de spin vecino más cercano func- y la magnetización espontánea en el centro de sistemas de tamaño finito a gran escala. Índices críticos para estos un punto funciones se estudian en §4, y confirmamos el propiedades de campo medio como de la transición de fase. Con- Las conclusiones se resumen en la última sección. Discutimos una posible deformación de la esquina Hamiltoniana en el hy- plano perbólico. § 2. Modelo sobre el atavío de los Pentágonos Consideremos el plano hiperbólico, que es el dos superficie dimensional con curvatura negativa constante. La figura 1 muestra una parte de un lat regular suficientemente grande. en el plano, donde la celosía se construye como la todos los arcos son geodésicos, que divide la celosía en dos partes de una estructura similar. Cada punto de celosía representado por un círculo abierto es el puntos de cruce de dos geodésicos. Fig. 1. Es el modelo en una celosía regular en el plano hiperbólico. Los círculos abiertos representan los giros de Ising en el punto de celosía, y ) es el peso Boltzmann local definido en Eq. (2.2). Dos geodésicos dibujados por arcos gruesos dividen el sistema en cuatro cuadrantes, que se llaman como la esquina. Investigamos el modelo ferromagnético Ising en este Enrejado. El Hamiltoniano del sistema se define como el suma del vecino más cercano H = −J # # # I, j # # # # # I, j # # # # I, j # # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # I, j # # # I, j # # I, j # # # I, j # # I, j # ............................................................................................................................................................................................................................................................... donde â € € TM i, jâ € representa el par de sitios vecinos, y i = ±1 y j = ±1 son los giros de Ising en la celosía http://arxiv.org/abs/0704.1949v1 2 Kouji Ueda, Roman Krcmar, Andrej Gendiar y Tomotoshi Nishino puntos. A lo largo de este artículo asumimos la ausencia de campo magnético externo. Para estas últimas conveniencias, representamos el sistema como la “interacción alrededor de una cara (IRF)» modelo. El peso local de Boltzmann para cada cara de forma pentagonal — el peso IRF — viene dado por W (e) (2.2) = exp (Oaooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo donde β = 1/kBT es la temperatura inversa, y Las variables de giro alrededor de la cara como shwon en Fig. 1. La función de partición de un sistema de tamaño finito (con suf- el diámetro fisciently grande) está escrito formalmente como el con- figuración suma del peso de Boltzmann de la totalidad sistema todos los giros todos los caras W, (2.3) donde estamos interesados en el límite termodinámico de Este sistema. Tenga en cuenta que es bastante difícil investigar la sistema por el uso de las simulaciones de Monte Carlo, desde el El número de sitios contenidos en un clúster explota la exposición con respecto a su diámetro. Como complemento herramienta numérica, empleamos el método CTMRG. § 3. Renormalización de la matriz de transferencia de esquina Método del grupo Las dos geodésicas mostradas por arcos gruesos en la Fig. 1 división el sistema en cuatro partes, que se llaman esquinas.3) La Figura 2 muestra la estructura de una esquina. Etiquetamos el gira en el corte como 1, ..}, y los de otro cortado como 1,  3,...}, en el que 1. Los matriz de transferencia de esquina es el peso Boltzmann con re- a una esquina, que se calcula como una suma parcial de el producto de los pesos IRF en la esquina C(1,  3,............................................................................... ..) gira en el interior el cuadrante caras en el cuadrante W. (3.1) La suma de la configuración se hace cargo de los giros ‘dentro’ la esquina, dejando esos giros en los cortes. Con- la matriz C se interpreta como bloque di- agonal con respecto a los puntos 1 y 1, y el elemento C(1,  3,............................................................................... ................................................................................................ se establece en cero. La CTM así definida es simétrica en el caso de la celosía pentagonal en cuestión. Como se muestra en la Fig. 2 una esquina tiene la estructura donde tres partes etiquetadas por P̄ y dos partes etiquetadas por C̄ se unen a una cara W. La relación de ‘fusión’ puede ser representado por una ecuación formal9, 10) C = W · P̄ C̄ P̄ C̄ P̄ C̄. (3.2) Tenga en cuenta que C̄ es un rincón de menor tamaño. Por conveniencia, observemos la estructura de la parte del sistema que se muestra en la Fig. 3, donde dos P̄, y C̄ se unen a W. La etiqueta de la parte mostrada por P, podemos Fig. 2. Estructura recursiva de la esquina C. escribir formalmente la relación de fusión de la misma manera P = W · P̄ C̄P̄. (3.3) Por una razón convencional llamamos a P como la ‘media fila’, aunque P no es una fila en el plano hiperbólico. Lo es. fácilmente entendido que P̄ es una media fila de tamaño más pequeño. Hemos obtenido así la estructura recursiva de la esquina C y la media fila P. Fig. 3. Estructura recursiva de la «mitad-raw» P. Como hemos definido CTM para una esquina, vamos a expresar el peso de Boltzmann con respecto a la media fila P (1, ) 3,............................................................................... ..) gira en el interior la media fila caras en la media fila W (3.4) en la forma de matriz, donde las posiciones de los giros 1, 2, 3, 3. ....................................................................................... 3,...} se muestran en la Fig. 3. Llamamos al peso en la forma de la matriz como la media fila matriz de transferencia (HRTM). La 4a potencia de la CTM  = C4 (3.5) es un tipo de matriz de densidad, ya que su traza da la par- función de titulación Z = Tr ♥ = TrC4 (3.6) de un cluster de tamaño finito que consta de cuatro esquinas. Los Método CTMRG Aplicado al Modelo de Ising en el Plano Hiperbólico 3 dimensión de matriz de la MC, y también la de la HRTM, aumenta exponencialmente con respecto al tamaño del sistema. Con el fin de obtener Z numéricamente hasta lo suficientemente grande sistemas, introducimos la transformación de giro de bloque que se crea a partir de la diagonalización de la matriz de densidad 4 y 5) En lugar de diagonalizar directamente en Eq. (3.5), nosotros primero crear su contracción *(2,* 3............................................................................... ..) (1, ♥) 3............................................................................... ....................................................................................................................... y luego diagonalizarlo *(2,* 3............................................................................... ..) A(2,  3............................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... donde el valor propio no es negativo. A raíz de la reunión del Consejo de Ministros de Asuntos Exteriores de la Unión Europea, el Consejo de Ministros de Asuntos Exteriores de la Unión Europea, el Consejo de Ministros de Asuntos Exteriores de la Unión Europea y el Consejo de Ministros de Asuntos Exteriores de la Unión Europea, reunidos en el seno del Consejo de Seguridad, reunidos en el seno del Consejo de Seguridad, reunidos en el seno del Consejo de Seguridad, reunidos en el marco de la Cooperación Política Europea, convención en DMRG, asumimos el orden decreciente en lugar de la letra a) del párrafo 1 del artículo 2 del Reglamento (CE) n.o 182/2009. . La matriz ortogonal A( ...................................................................... envía la transformación de la rotación del bloque desde el ‘retorno de la fila’ 2, ♥3,. ..} a la variable de rotación efectiva.......................................................................................................................................................................................... Nos quedamos conmigo. número de estados representativos, que corresponden a mayores valores propios, para la variable de rotación de bloques â € ¬. Aplicar- con la matriz A a la CTM y la HRTM, obtenemos «Matrices renormalizadas» de 2m-dimensión C(1,  2,.............................................................. ............................................................... ′, , ) P (1, ) 2,.............................................................. .............................................................. ′, , ), (3.9) donde hemos bajado los índices de 9, 10) Combinación de las estructuras recursivas en Eqs. (3.2) y (3.3) y el esquema de renormalización en Eqs. (3.7)-(3.9), podemos obtener el CTM y el HRTM en el renormalizado forma para el tamaño arbitrario del sistema a través de sucesivos ex- tensión del sistema. Fig. 4. Posceso de extensión de (a) CTM y (b) HRTM en el renor- expresión maleada. Supongamos que tenemos C(, , ) y P (, , ) para un grupo de tamaño finito. Para explicar la extensión proceso, vamos a reescribir estas matrices como C̄(s′, s, ) y P̄ (s′, s, فارسى). (1) Sustituto de C̄(s′, s, Ł) y P̄ (s′, s, Ł) en el proceso de fusión en Eqs. (3.2) y (3.3). Gráfico 4 muestra estos procesos de fusión entre W, C̄, y P̄, donde los rectángulos corresponden al bloque spin vari- Capaz. Las variables de giro que se contraen son mostrado por marcas negras. Como resultado, obtenemos el CTM extendida C(, s′, , s ) y la extensión HRTM P (, s′, , s, فارسى). (2) De la CTM extendida C(, s′, , s ) obtener la matriz de densidad (, s′, , s, ) por Eq. (3.5). Contratando el giro en el centro, obtener • (s′, s, ) como Eq. (3.7), y diagonalizándolo a ob- la matriz de transformación de la rotación de bloques A(s, ) de Eq. (3.8). (3) Aplicando A(s, ) a C(, s′,, s, ) y P (, s′, , s ), obtener la CTM extendida C(, , ) en la forma inicial, y el mismo para HRTM para obtener P (, , ). (4) volver al primer paso. El tamaño del sistema, que es la longitud de la más larga geodésicos en el sistema, aumenta en 2 por cada itera- tion.16) Con el fin de iniciar el proceso de extensión anterior, establecer la condición inicial C̄( ) = P̄ ( ) = que representa el límite ferromagnético, donde فارسى(a b) = Es el delta de Cronecker. Durante la iteración podemos obtener un punto funciones en el centro del sistema. Por ejemplo, el sponta- la magnetización del neous se calcula como = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 ............................................................................................................ (, s,, s, ) ............................................................................................................ (e, s,, s, ) . (3.11) De la misma manera obtenemos el giro vecino más cercano función de correlación s. Cabe señalar que las funciones de punto así calculadas en el centro no al- formas representan la propiedad mediada de todo el sistema- en el límite termodinámico, ya que el área cerca de el límite tiene peso no despreciable en el hiperbólico avión. § 4. Resultado numérico comparado con el Bethe Aproximation Calculemos la magnetización espontánea, y la función de correlación de giro s para el giro más cercano par. Consideramos la fuerza de interacción de Ising J como la unidad de energía, y utilizar la temperatura donde el Boltz- mann constante kB es igual a unidad. La mayor parte del numerador... Los cálculos icales se realizan manteniendo m = 40 estados. El dumping de los valores propios de la matriz de densidad es muy rápido, y en realidad los resultados calculados con m = 10 do no difieren de los obtenidos con m = 40 incluso en la temperatura crítica TC. El número de iteración requerido para la convergencia numérica es como máximo 400000 para el puntos de datos calculados. La Figura 5 muestra los resultados calculados. El cuadrado de la magnetización espontánea 2 es una función lineal de temperatura en el barrio de TC. Del comportamiento estimamos la temperatura de transición TC = 2.799. La función de correlación de giro vecino más cercana 4 Kouji Ueda, Roman Krcmar, Andrej Gendiar y Tomotoshi Nishino 2.775 2.780 2.785 2.790 2.795 2.800 2.805 2.775 2.780 2.785 2.790 2.795 2.800 2.805 Fig. 5. Cuadrado de la magnetización espontánea 2 (superior) y la función de correlación de giro vecino más cercana s (inferior) con respecto a la temperatura T. s tiene una torcedura en TC, y es lineal en T alrededor de allí. Estos resultados calculados apoyan la existencia de campo como la transición, que está sujeto a los índices críticos β = 1/2 y α = 0. Así confirmamos la predicción por Hasegawa, Sakaniwa y Shima.14, 15) Comparado con la temperatura de transición de la retícula cuadrada Ising modelo T Cuadrado C = 2.269, el calcu- lated TC es bastante mayor y está cerca de la transición temperatura calculada a partir de la aproximación de Bethe TbetheC = 2.885. 17, 18) El resultado sugiere que el abandono del «efecto loop back» no es tan conspicuo en el hy- plano perbólico. §5. Conclusión y debate Hemos calculado la magnetización espontánea y la función de correlación de giro vecino más cercano de la Es el modelo en una celosía pentagonal en el hiperbólico avión. El algoritmo numérico del método CTMRG se modifica con este fin. El tem crítico calculado peratura es TC = 2.799, y observamos el campo medio como transición de fase. El método CTMRG modificado que hemos desarrollado es aplicable a las celosías regulares que consisten en geodésicos en el plano hiperbólico. Para esas celosías que lo hacen no contienen geodésicos, uno tiene que tratar la asimetría- matriz de densidad métrica o para dibujar geodésicos mediante el uso de transformación como la transformación de la dualidad y la relación estrella-triángulo. Generalización de la modificación El método CTMRG para el modelo vértice es recto para- Ward. Puede ser interesante clasificar estados ordenados de modelo ocho-vértex en una variedad de retículas regulares en el plano hiperbólico. Un interés está en la estructura de valor propio de la den- matriz de sity a la temperatura de transición. Su análisis forma no está bien definido en el límite termodinámico de modelos clásicos de celosía en el plano plano 2D.19, 20) dumping rápido por valor propio observado en el hiperbólico El avión sugiere que habría una forma de regularizar... la CTM en la criticidad. El quantum clásico la correspondencia desde este punto de vista vale la pena considerar ring. Formalmente hablando la matriz de transferencia de esquina C puede ser escrito como la exponencial de la esquina Hamil- Tonian HC. Cuando la celosía está en el plano plano, el ejemplo más simple de la esquina Hamiltonian está escrito en la suma de los operadores locales HC = h( = h1 + 2h2 + 3h3 + 4h4 +. ., (5.1) donde hi = h(?i,?i+1) es el hamiltoniano local que acs entre los sitios vecinos. Un posible parámetro de- formación de la esquina hamiltoniana a la hiperbólica geometría puede dar por HC(­) = h1 + sinh 2 sinh sinh 3 sinh h3 +. ., (5.2) que se reduce a HC en Eq. (5.1) en el límite فارسى → 0. El Hamiltoniano deformado satisface la estructura recursiva... HC(­) = cosh­ sinh 2 sinh sinh 3 sinh h4 +... + h1 + coshen h2 + coshen 2° h3 +. 5.3) discutido en el esquema RG de Okunishi en la esquina Hamil- toniano.21) Tal deformación tiene una regularización similar efecto propuesto por Okunishi muy recientemente.22) T. N. y A. G. están parcialmente respaldados por una subvención In-Aid para la Investigación Científica del Ministerio de Ed- educación, ciencia, deporte y cultura. T. N. gracias a Okunishi para discusiones valiosas. 1) R.J. Baxter, J. Matemáticas. Phys. 9 (1968) 650. 2) R.J. Baxter, J. Stat. Phys. 19 (1978) 461. 3) R.J. Baxter, modelos exactamente resueltos en mecánica estadística (Academic Press, Londres, 1982), pág. 363. 4) S. R. White: Phys. Rev. Lett. 69 (1992) 2863. 5) S. R. White: Phys. Rev. B 48 (1993) 10345. 6) Renormalización de la densidad-matriz - Un nuevo método numérico en física -, eds. I. Peschel, X. Wang, M. Kaulke y K. Hall berg, (Springer Berlin, 1999), y referencias allí en. 7) U. Schollwöck: Rev. Mod. Phys. 77 (2005) 259 y referencias Ahí dentro. 8) T. Nishino, J. Phys. Soc. Jpn. 64 (1995) 3598. 9) T. Nishino, J. Phys. Soc. Jpn. 65 (1996) 891. 10) T. Nishino, J. Phys. Soc. Jpn. 66 (1997) 3040. 11) A. Gendiar y T. Nishino, Phys. Rev. E 65 (2002) 046702. 12) K. Ueda y T. Nishino, K. Ueda, R. Otani, Y. Nishio, A. Gendiar, y T. Nishino, J. Phys. Soc. Jpn. 74 (2005) suplemento p.111. 13) Una serie de ejemplos de las celosías regulares en el plano hiperbólico se enumera en la siguiente URL; http://www2u.biglobe.ne.jp/ śhsaka/mandara/index.html. 14) H. Shima e Y. Sakaniwa: cond-mat/0511539. 15) I. Hasegawa, Y. Sakaniwa, y H. Shima: cond-mat/0612509. 16) Precisamente hablando, tal forma de extensión del sistema no garantizar la forma del clúster donde cada giro en el límite es igual de distante del centro. 17) H.A. Bethe, Proc. Roy. Soc. Londres A 150 (1935) 552-75. 18) Puesto que el número de configuración de la celosía es z = 4, la Aproximación media de los campos aplicada al modelo Ising La retícula pentagonal que se está considerando da el mismo transi- temperatura de la toma como la aproximación aplicada al cuadrado Enrejado modelo Ising. Tal equivalencia depende de la Bethe aproximación. 19) I. Peschel, J. Stat. Mech. (2004) P06004 y referencias allí Método CTMRG Aplicado al Modelo de Ising en el Plano Hiperbólico 5 20) K. Okunishi, Y. Hieida, Y. Akutsu, Phys. Rev. E 59 (1999) R6227. 21) k. Okunishi, J. Phys. Soc. Jpn. 74 (2005) 3186. 22) K. Okunishi, para aparecer en J. Phys. Soc. Jpn, preprint arXiv:cond-mat/0702581.

Inferring periodic orbits from spectra of simple shaped micro-lasers

Inferir órbitas periódicas de espectros de microlásers de forma simple M. Lebental1,2, N. Djellali1, C. Arnaud1, J.-S. Lauret1, J. Zyss1 R. Dubertrand2, C. Schmit2 y E. Bogomolny2* CNRS, Ecole Normale Supérieure de Cachan, UMR 8537, Laboratoire de Photonique Quantique et Moléculaire, 94235 Cachan (Francia) CNRS, Université Paris Sud, UMR 8626, Laboratoire de Physique Théorique et Modèles Statistiques, 91405 Orsay, Francia (Fecha: 26 de octubre de 2018) Las microcavidades dieléctricas son ampliamente utilizadas como resonadores láser y caracterizaciones de sus espectros son de interés para varias aplicaciones. Investigamos experimentalmente micro-láseres de formas simples (Fabry-Perot, cuadrado, pentágono y disco). Sus espectros lasing consisten principalmente en casi equidistantes los picos y la distancia entre picos revela la longitud de una órbita periódica cuantificada. A medida esta longitud con una buena precisión, es necesario tener en cuenta las diferentes fuentes de refracción dispersión del índice. Nuestros resultados experimentales y numéricos concuerdan con el modelo superscar que describe la formación de estados de larga vida en cavidades poligonales. Las limitaciones de la bidimensionalidad La aproximación se discute brevemente en relación con los microdiscos. Números PACS: 42.55.Sa, 05.45.Mt, 03.65.Sq I. INTRODUCCIÓN Microrresonadores y microláseres bidimensionales se están desarrollando como bloques de construcción para la óptica telecomunicaciones [1, 2]. Por otra parte, son de terest como sensores para aplicaciones químicas o biológicas [2, 3, 4] así como modelos de juguete de billar para el caos cuántico [5, 6]. Hacia consideraciones fundamentales y aplicadas, su espectro es una de las principales características. Fue usado, por ejemplo, para recuperar experimentalmente alguna información sobre el índice de refracción [7] o parámetros geométricos En este artículo nos centramos en cavidades mucho más grandes que la longitud de onda y proponer dar cuenta de los espectros en los términos de las familias orbitales periódicas. Cavidades de lo más simple y se investigaron las formas más utilizadas actualmente: Resonador Fabry-Perot, cavidades poligonales como el cuadrado y pentágono, y cavidades circulares. Nuestros experimentos se basan en casi dos dimensiones microláseres orgánicos [9]. La relativamente recta para... El proceso de fabricación del pabellón garantiza una buena calidad y repro- ducibilidad, así como versatilidad en formas y tamaños (ver Fig. 1). Los enfoques experimentales y teóricos desarrollado en este documento se puede ampliar fácilmente a más formas de contorno complicadas. Por otra parte, este método es útil para otros tipos de microresonadores, ya que de- sólo en forma de cavidad e índice de refracción. El documento se organiza de la siguiente manera. En la sección II a de- la descripción del modelo bidimensional se proporciona a: gether con sus ventajas y limitaciones. En la sección III se investigan micro-láseres en forma de banda larga como resonadores Fabry-Perot para probar el método y la * Dirección electrónica: lebental@lpqm.ens-cachan.fr FIG. 1: Fotografías de microscopio óptico de algunos orgánicos micro-láser: raya (vista parcial, utilizada como Fabry-Perot res- onator), cuadrado, pentágono, disco, cuasi-estadio, y cardioide. Dimensión típica: 100 μm. uate su precisión experimental. Este protocolo es entonces aplicada posteriormente a las cavidades poligonales. En la sección IV caso de cavidades cuadradas se examina mientras que en la sección V Se investigan las cavidades pentagonales dieléctricas. El... Las predicciones oréticas basadas en un modelo superscar son com- a experimentos, así como simulaciones numéricas y se encuentra un buen acuerdo. Por último, en la sección VI el caso de varias órbitas coexistentes se trata brevemente sobre el ejemplo de las cavidades circulares. II. PRELIMINARIOS Las micro-cavidades dieléctricas son casi bidimensionales extensibles cuyo espesor es del orden de la longitud de onda pero con dimensiones planas mucho mayores (véase Fig. 1). Al- http://arxiv.org/abs/0704.1950v2 mailto:lebental@lpqm.ens-cachan.fr aunque tales cavidades han sido investigadas durante mucho tiempo tiempo, tanto con y sin láser, su de- La inscripción no es del todo satisfactoria. En particular, el au- no son conscientes de los verdaderos estudios tridimensionales de campos electromagnéticos muy excitados, incluso para cavi- pasivo corbatas. Usualmente se usa una aproximación bidimensional pero su validez no está bajo control. Dentro de tales campos de aproximación dentro de la cavidad y cerca de su límite bidimensional se tratan diferen- Ently. A granel, uno considera los campos electromagnéticos como propagación dentro de una losa dieléctrica infinita (capa de ganancia) con índice de refracción ngl rodeado de medios con re- Índices factivos n1 y n2 menores que ngl. En nuestro ex- Perimentos, la capa de ganancia está hecha de un polímero (PMMA) dopado con un tinte láser (DCM) y emparedado entre el aire y una capa de polímero (SOG) (véase Fig. 2 a) y [9]). Es bien conocido (véase, por ejemplo, [10] o [11]) que en tales ometría existe un número finito de modos de propagación confinado dentro de la losa por reflexión interna total. Los valores permitidos de impulso transversal dentro de la losa, q, se determinan a partir de la relación estándar e2ihqr1r2 = 1 (1) donde h es el espesor de la losa y r1,2 son el re- Fresnel coeficientes de flexión en las dos interfaces horizontales. Por reflexión interna total ri = exp(−2i/23370/i) (2) donde ♥i = arctan − n2i ngl cos (3) Aquí es el ángulo entre la dirección de la pro- agation dentro de la losa y lo normal a la interfaz. El parámetro νi es 1 (resp. (ngl/ni) 2) cuando el mag- campo neto (resp. el campo eléctrico) es perpendicular a el plano de la losa. Los asuntos primero y segundo corresponden a: respectivamente a las polarizaciones TE y TM. Denotando el impulso longitudinal, p = nglk sin ♥, como p = neffk, el índice de refracción eficaz, neff, es de- término de la siguiente relación de dispersión = arcán − n21 + arctan − n22 lü, lü N. (4) Esta ecuación tiene sólo un número finito de propagación soluciones que se pueden obtener fácilmente numéricamente. Fig. 3 presenta posibles modos de propagación para nuestro experimento ajuste n1 = 1 (aire), n2 = 1,42 (SOG) [28] y ngl = 1,54 Deducido de las mediciones elipsométricas (véase Fig. 2 b)) en el rango de observación. 0.80.700.600.50 Longitud de onda (μm) FIG. 2: a) Notación de los índices de refracción y propagación Números de onda. De arriba a abajo, las capas de nuestras muestras [9] son el aire (n1 = 1), un polímero (PMMA) dopado con un tinte láser (DCM) (ngl = 1,54) y otro polímero (SOG) (n2 = 1,42) o sílice (n2 = 1,45). b) Índice refractivo de la capa de ganancia versus la longitud de onda inferida de la elipsometría medidas. FIG. 3: Índice de refracción efectivo versus el espesor sobre Variable de longitud de onda calculada a partir de Eq. 4). La refracción Se supone que los índices son constantes: 1 para el aire, 1,42 para el SOG, y 1.54 para la capa de ganancia (líneas negras horizontales). El TE la polarización se traza con líneas azules sólidas y TM polariza- ciones con líneas rojas punteadas. Integer l (véase 4) izquierda a derecha a partir de l = 0. Las ecuaciones de Maxwell para ondas que se propagan en el interior la losa se reducen así a la escalar bidimensional Ecuación de Helmholtz: n2effk (x, y) = 0. 5) • representa el campo perpendicular a la losa, es decir. la campo eléctrico para TM y el campo magnético para TE po- larización [29]. Esta ecuación describe adecuadamente la onda propa- gation dentro de la cavidad. Pero cuando uno de estos propa... modos de gating alcanza el límite de la cavidad, puede parcialmente escapar de la cavidad y reflejarse parcialmente en el interior Lo siento. Para describir correctamente diferentes componentes de electro- campos magnéticos cerca del límite, la solución completa de las ecuaciones vectoriales tridimensionales Maxwell es re- que para los autores aún no ha sido en este contexto. Incluso el caso mucho más simple de dispersión escalar por una placa de medio plano con un pequeño pero espesor finito se reduce sólo a la solución numérica de la ecuación tipo Wiener-Hopf [12]. Para evitar estas complicaciones, se suele considerar que los campos se pueden separar en TE y TM po- larización y obedecer las ecuaciones escalares de Helmholtz (5) n2in,outk (x, y) = 0. 6) con nin es el índice efectivo de neff inferido de Eq. 4) y nout el índice de refracción de los medios circundantes, Por lo general, el aire nout = 1. Este sistema de dos dimensiones ecuaciones se cierra mediante la imposición de la siguiente frontera Trastornos de la piel y del tejido subcutáneo # En B # # En B # # En B # # En B # # En B # # En B # # En B # # En B # # En B # # En B # # En B # # En B # B = /out out B. 7).................................................................................................................................................. Aquí indica la dirección normal a la frontera y depende de la polarización. Cuando la electricidad (resp. campo magnético) es perpendicular a la cavidad plano, llamado polarización TM (resp. TE polarización), ~in,out = 1 (resp. ~in,out = 1/n in, out). Nótese que estos Las definiciones de «contra» no son las mismas en el caso de las categorías horizontal y ver- Interfaces ticales. Consideramos que este enfoque bidimensional estándar teniendo en cuenta que las olas se propagan cerca de la límite (modos de la galería de susurros) puede desviarse significativamente a partir de predicciones bidimensionales. In fugas particulares a través de la tercera dimensión podría modificar la estimación del tiempo de vida de los estados cuasiestacionarios. Nuestras cavidades poliméricas están dopadas con un tinte láser y bombeado uniformemente uno por uno desde arriba [9], de modo que el proceso de bombeo no induce ninguna selección de modo. Los la descripción completa de tales cavidades laing requiere el solución de las ecuaciones no lineales de Maxwell-Bloch (ver e.g. [13, 14, 15] y sus referencias). Para mayor claridad, Aceptamos aquí un punto de vista simplificado (véase, por ejemplo, [1] Secc. 24) según los cuales los verdaderos modos de lase pueden ser representado como una combinación lineal de los modos pasivos que pueden perder (es decir, para los cuales la ganancia supera las pérdidas) lasing = CmÃ3m. (8) Desde las consideraciones físicas, es natural considerar la Los modos de m como los estados cuasi-estacionarios de la pasiva Cavidad. Aunque esta elección lleva a dificultades bien conocidas (véase, por ejemplo, [1]) es ampliamente notada y aceptada al menos para los modos con pequeñas pérdidas (cf. [14, 15, 16]). Para cada modo de lasing individual, los coeficientes Cm se puede determinar sólo después de la solución de la Ecuaciones Maxwell-Bloch. Pero debido a la estadística na- ión de fluorescencia el efecto laing comienza al azar y independientemente durante cada pulso de la bomba. Así que es bastante nat- ural a promedio sobre muchos pulsos de la bomba. Entonces la media espectro muestra picos a frecuencias de todas las posibles Los modos de ing. Los datos experimentales estudiados en este trabajo se registran después de la integración de más de 30 pulsos de bomba y Estoy de acuerdo con este simple modelo estadístico. Más refinado Las verificaciones están en curso. III. RESONADOR DE PEROTA DE FABRICACIÓN La configuración de Fabry-Perot es útil para la calibra- control de los nuevos experimentos espectrales debido a la no ambigua única familia de órbita periódica que sus- tiene el efecto láser. Una banda larga se puede considerar a una buena aproxima- Como un resonador de Fabry-Perot. De hecho, el bombeo El área es muy pequeña en comparación con la longitud (ver Fig. 4 (a)) y el material es ligeramente absorbente, de modo que ciones en extremos lejanos pueden ser descuidados. Por otra parte, el el área de bombeo es mayor que la anchura de la banda, por lo tanto la ganancia se distribuye uniformemente en la sección. Por una Cavidad de Fabry-Perot, la emisión se espera a lo largo de ambos En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. 4 a) para las anotaciones). Fig. 4 b) muestra que se observa esta emisión direccional experimentalmente, lo que confirma la validez de nuestra configuración. Banda larga Detector -10 -5 0 5 10 (grados) FIG. 4: a) Diagrama en el que se resumen las principales características de la El experimento de Fabry-Perot. b) Intensidad detectada frente al ángulo para un experimento de Fabry-Perot. El espectro experimental promedió más de 30 bombas pulsos se compone de picos casi regularmente espaciados (ver Fig. 5 (a)) que normalmente se espera para un Fabry- Resonador Perot. De hecho, debido a los efectos coherentes, la los números de onda de los estados cuasi-encuadernados de un pasivo Fabry- La cavidad del perot se determina a partir de la cuantificación con- a lo largo de la única órbita periódica de L = longitud 2W como donde dice 1): r2ei L k neff (k) = 1 (9) donde r es el coeficiente de reflexión Fresnel y neff es el índice de refracción eficaz (4). Las soluciones de esto ecuación son números complejos: la parte imaginaria cor- responde a la anchura de la resonancia y la parte real (llamado km después) da la posición de un pico en el espectro y verificar L km neff (km) = 2η m, m ° N. (10) Con un km=km+1-km que se supone que es pequeño, la distancia entre los picos adyacentes está limitado por km[neff (km) + km neff (km)] L = 2η. (11) Llamamos nfull = neff (km) + km neff (km) (12) el índice de refracción total eficaz. Es una suma superada dos términos: uno correspondiente a la velocidad de fase, neff (km), y el otro a la velocidad del grupo, neff (km). Si nfull se considera como una constante sobre el rango de observación, que es cierto con un buen accu- Racy, puede ser recuperado de las especificaciones experimentales. trum. Por ejemplo, la transformación de Fourier de la trum (intensidad frente a k) se compone de espacio regular picos (fig. 5 b) inset), con el primero (indicado con una flecha) centrada en la longitud óptica (L nfull) y la otros en sus armónicos. Así que la longitud geométrica de la órbita periódica puede inferirse experimentalmente de la conocimiento de nfull que se determina independientemente como que se describe a continuación. Para el resonador Fabry-Perot, el ge- longitud métrica se sabe que es 2W, lo que permite a verifique la precisión experimental. La estadística relativa Se estima que los errores en la anchura de W son inferiores al 3 %. Las barras de error en la Fig. 5 b) están relacionados con el primer pico ancho de la transformación de Fourier y son inferiores al 5 % de la longitud óptica. El índice de refracción total eficaz, nfull, es indepen- Dently inferido de la medición elipsométrica (Fig. 2 (b)) y derivación estándar efectiva del índice descrito en la sección anterior. Dependiendo del parámetro h/ (espesor sobre longitud de onda), uno o varios modos son al- baja para propagarse. Nuestras muestras están diseñadas como: Sólo existen un modo TE y TM con efecto neff índice de refracción según Eq. 4). In Fig. 3 el índice de refracción de la capa de ganancia, ngl, se supone que es constante: ngl = 1,54 en el centro de la ventana experimental, variando de 0,58 a 0,65 μm. De Eq. (4) se obtiene un neff = 1,50 en el ob- rango de servación con un espesor h = 0,6 μm, y corre- sponds al término de velocidad de fase. La velocidad del grupo Término km neff (km) se compone de dos contri- butiones: uno del índice efectivo (alrededor del 4 %) y el otro del medio de ganancia (alrededor del 7 %). El de- pendance de ngl con la longitud de onda se determina con el elipsómetro GES 5 SOPRA de una regresión con el software Winelli II (coeficiente de correlación: 0,9988) y trazado en la Fig. 2 b). Teniendo en cuenta todos los factores butiones (es decir, el cálculo de la refracción efectiva el índice con un ngl disperso), la re- se evalúa que el índice de factivos es de 1,645 ± 0,008 en la rango de observación. Así que el término de velocidad de grupo compuesto por 625620615610605 Longitud de onda (nm) 22020018016014012010080 Ancho (μm) 2.0x10 1,00,0 Longitud óptica (nm) FIG. 5: a) Espectro experimental de una resolución de Fabry-Perot onator con W = 150 μm. b) Longitud óptica frente a Fabry- Ancho de Perot W. Los experimentos (puntos rojos) son linealmente equipado por la línea roja sólida. La línea azul salpicada corresponde a la predicción teórica sin ningún parámetro ajustado. Inset: Transformación de Fourier normalizado del espectro en (a) expresado como intensidad versus número de onda. de los dos tipos de dispersión del índice de refracción contribuyen del 10 % al índice efectivo completo, que es significativo en comparación con nuestra precisión experimental. El nfull in- dex depende sólo suavemente de la polarización (TE o TM), y en el espesor h, que se mide con una superficie profilómetro Veeco (Dektak3ST). Por lo tanto, las muestras son diseñado con espesor 0,6 μm y la precisión es re- portado en el índice efectivo completo que se supone que es 1.64 con una precisión relativa de alrededor del 1 % Este trabajo. Teniendo en cuenta todos estos parámetros, se obtiene un satis- acuerdo entre la fábrica medida y calculada op- tica, lo que mejora aún más cuando se toman en ac- contar varias cavidades Fabry-Perot con diferentes anchos como se muestra en la Fig. 5 b). El excelente reproducibil... ity (tiempo a tiempo y muestra a muestra) es un adi- confirmación de la exactitud y validez. Con estos Resonadores Fabry-Perot, hemos demostrado un espectral método para recuperar la longitud geométrica de un periódico 615610605600595 Longitud de onda (nm) 1401201008060 Ancho (μm) 2.0x10 1,00,0 Longitud óptica (nm) FIG. 6: a) Espectro experimental de una micro- láser de 135 μm de ancho lateral. b) Longitud óptica frente a un cuadrado Anchura lateral. Los experimentos (puntos rojos) están ajustados linealmente por la sólida línea roja. La línea azul salpicada corresponde a la predicción teórica (órbita periódica de diamantes) sin ninguna parámetro ajustado. Conjunto superior: Dos representaciones de la órbita periódica de diamantes. Inserto inferior: Fourier normalizado transformación del espectro en (a) expresado como intensidad versus Número de onda. órbita que ahora se puede aplicar con confianza a diferentes formas de micro-cavidades. IV. MICRO-CAVIDAD CUARTA En el contexto de este papel de forma cuadrada micro- las cavidades presentan una doble ventaja. En primer lugar, son cada vez más utilizado en las telecomunicaciones ópticas [2, 17]. En segundo lugar, la precisión y validez de los parámetros se puede probar de forma independiente ya que hay Sólo una familia de órbitas periódicas totalmente confinada. De hecho El índice de refracción es bastante bajo (alrededor de 1,5), por lo que la di- amond (véase Fig. 6 (b), entrada superior) es el único corto- órbita del período sin pérdida de refracción (es decir, toda la reflexión ángulos en el límite son más grandes que el ángulo crítico χc = arcsin(1/n) + 42 °.) En una cavidad cuadrada la luz escapa principalmente en el esquinas debido a la difracción. Por lo tanto, el diseño de calidad de cor- ners es fundamental para la direccionalidad de la emisión, pero no para el espectro. De hecho, para razonablemente bien diseñado micro-cavidad cuadrada (véase Fig. 1), no hay desplazamiento de la los picos del espectro se detectan cambiando el Ángulo de la vación. Los espectros utilizados en este artículo son, por lo tanto, registrado en la dirección de la intensidad máxima. Fig. 6 a) presenta un espectro típico de micro-cavidad en forma. Los picos son más estrechos que en el espectro del resonador Fabry-Perot, indicando un mejor el confinamiento, así como regularmente espaciado, revelando un pecado- gle órbita periódica. El procesamiento de datos se realiza exactamente como se presenta en la sección anterior: para cada cavidad la Se calcula la transformación de Fourier del espectro (Fig. 6 (b), inset inferior) y la posición de su primer pico es situado en la longitud óptica. Fig. 6 b) resume la resultados para unos veinte micro-cuadrados diferentes, a saber: la longitud óptica inferida de la transformación de Fourier contra el ancho de un lado cuadrado. Estos experimentos los resultados son ajustados por la línea roja sólida. El azul punteado línea corresponde a una pendiente a priori dada por nfull (1.64) veces la longitud geométrica del diamante órbita periódica (L = 2 2a). El excelente acuerdo confirma que la familia de órbitas periódicas de diamantes proporciona una contribución dominante a la cuantificación de dieléctricos Resonador cuadrado. Este resultado está lejos de ser obvio como cav dieléctrico cuadrado. ciones no son integrables. A primera vista, el dom- de una órbita de corto período se puede entender a partir de consideraciones generales basadas en fórmulas de rastreo que una herramienta estándar en cuantificación semiclásica de cerrado sistemas multidimensionales (véase, por ejemplo, [18, 19] y refiérase a: En consecuencia, la Comisión considera que, en el caso de que se trate, no se ha producido ningún cambio en la situación de la industria de la Unión en el mercado de la Unión. En general, las fórmulas de traza expresan la densidad de los estados (y otras cantidades también) como suma sobre órbitas periódicas clásicas. Para cierre bidimensional cavidades d(k) (k − kn) ikLp−iμp + c.c. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. donde k es el número de onda y kn son los valores propios de una cavidad cerrada. La suma en la parte derecha es realizado en todas las órbitas periódicas etiquetadas por p. Lp es el longitud de la órbita periódica p, μp es una fase determinada accu- a partir de la reflexión sobre los límites y las causas, y La amplitud cp se puede calcular a partir de la mecánica clásica. En general para sistemas integrables y pseudointegrables (por ejemplo: Billar poligonal) forma órbitas periódicas clásicas familias de órbitas periódicas continuas y en dos dimensiones donde Ap es el área geométrica cubierta por un periódico o- familia de bits (ver el ejemplo de cavidades circulares en la sección Contribuciones no clásicas procedentes de órbitas difractivas y diferentes tipos de ondas rastreras (en particular, laterales) ondas [19]) son individualmente más pequeñas por un cierto poder de 1/k y son insignificantes en el límite semiclásico k → en comparación con las órbitas periódicas. No existen verdaderos estados consolidados para los sistemas abiertos. Sólo se puede calcular el espectro de eigen complejo frecuencias de estados cuasiestacionarios. Las partes reales de tales valores propios dan las posiciones de resonancias y su parte imaginaria mide las pérdidas debidas a la fuga- edad de la cavidad. Para tales sistemas es bastante natural suponer que el densidad de los estados cuasiestacionarios d) k) 1 Im(kn) (k − Re(kn))2 + Im(kn)2 se puede escribir en una forma similar a (13), pero el contri- butión de cada órbita periódica tiene que ser multiplicado por el producto de todos los coeficientes de reflexión a lo largo de esta órbita (como se hizo en un problema ligeramente diferente en [19]) d(k) r(j)p eikLp−iμp + c.c.. (16) Aquí Np es el número de reflexiones en el límite y p es el valor del coeficiente de reflexión correspondiente a la reflexión jth para la órbita periódica p. Cuando el ángulo de incidente es más grande que el crítico ángulo el módulo del coeficiente de reflexión es igual a 1 (véase Eq. (2)), pero si una órbita periódica golpea un pedazo de límite con ángulo más pequeño que el ángulo crítico, entonces rp < 1 reduciendo así la contribución de esta órbita. Por lo tanto, la contribución dominante a la mula para cavidades dieléctricas abiertas se administra por corto período órbitas (cp 1/ Lp) que están confinados por el total interno reflexión. Para una cavidad cuadrada con n = 1,5 el diamante órbita es la única órbita confinada de corto plazo que ex- Plantea nuestra observación experimental de su dominio. Sin embargo, este razonamiento es incompleto porque el suma de las contribuciones de una órbita periódica y su Las repeticiones en cavidades poligonales no producen una plex polo que es las características de cuasi-estacionario estados. Con el fin de comprender mejor la situación, tenemos simulaciones numéricas realizadas para cav cuadrado pasivo- ciones en una aproximación bidimensional con TM po- larización (véanse las secciones II y [20]). Debido a las simetrías, los estados independientes cuasiestacionarios pueden ser clasificados de acuerdo- ing a diferentes paridades con respecto al diago cuadrado- nals. In Fig. 7 (a), las partes imaginarias de los números de onda son conspirados versus su parte real para los estados antisimmet- ric de acuerdo con las diagonales (que significa obedecer el Condiciones del límite de Dirichlet a lo largo de las diagonales) y aquí (− − ) estados. Estos estados cuasi estacionarios están claramente organizados en familias. Este efecto es más pronunciado cuando las ondas func- Se calculan las ciones correspondientes a cada familia. Por... postura, funciones de onda para las tres familias más bajas con 30 50 70 90 Re(a k) −0,35 30 80 130 180 230 Re (a k) −0.14 −0,07 10 30 50 70 FIG. 7: (a) Partes imaginarias versus partes reales de la onda- de estados cuasiestacionarios con (− −) simetría para un Resonador cuadrado dieléctrico con neff = 1,5 rodeado de aire con n = 1. b) Lo mismo que en a) pero para los Estados con módulo más pequeño de la parte imaginaria (el más confinado Estados Unidos de América). Inset. Triángulos vacíos: la diferencia (20) entre la parte real de estos números de onda y el ex- presion. Círculos rellenos: el mismo pero cuando la corrección se tiene en cuenta el término (21). (− −) la simetría se presenta en la Fig. 8. La otra mem... bers de estas familias tienen patrones similares. La existencia de estas familias se observó en primer lugar en [21] para di- cavidades eléctricas, luego más detalladas en [20]. Se puede argumentar que el origen de tales familias es anal- Ogos a la formación de estados superscar en pseudo- Billar integrable discutido en [22] y observado ex- perimentalmente en experimentos de microondas en [23]. En gen- órbitas periódicas de cavidades poligonales forman continuo familias que pueden ser consideradas como propagación en el interior a) b) c) FIG. 8: Módulo cuadrado de funciones de onda con − − simetría calculada con simulaciones numéricas. a) ak = 68,74− 0,026 i, b) ak = 68,84 −.16 i, c) ak = 69,18 −,33 i. a) b) c) FIG. 9: Módulo cuadrado de funciones de onda calculado dentro del modelo superscar (17) y correspondiente a los parámetros de Fig. 8. FIG. 10: Desdoblamiento de la órbita periódica de diamantes. Líneas gruesas indicar el triángulo inicial. canales rectos obtenidos mediante el despliegue de movimiento clásico (véase la Fig. 10). Estos canales (área enchapada Fig. 10) son restringidos por líneas rectas que pasan a través de la cavidad cor- ners. En [22] se demostró que el difracción mecánica en estas fuerzas de esquinas singulares funciones de onda en el límite semiclásico para obedecer simple condiciones de frontera en estos canales (ficticios) Aries. Más precisamente, se ha demostrado que para el billar prob- en estos límites toman valores del orden de k) → 0 cuando k → فارسى. Este resultado fue obtenido utilizando la solución exacta para la dispersión en peri- odic array de semi-aviones. No se conocen tales resultados por problemas dieléctricos. Sin embargo, parece natural de consideraciones semiclásicas de que un fenómeno similar debe aparecer para las cavidades poligonales dieléctricas también. Dentro de este marco, un estado superscar puede ser structed explícitamente de la siguiente manera. Después de desplegarse (ver Fig. 10), un canal orbital periódico tiene la forma de un rectan- gle. Su longitud es igual a la longitud periódica de la órbita y su ancho es determinado por las posiciones del pecado más cercano- esquinas gulares. El estado del superscar desdoblado corresponde a una simple onda plana que se propaga dentro del rectángulo teniendo en cuenta todos los cambios de fase. Cancela en el límites ficticios paralelos a la dirección x y es periódica a lo largo de esta dirección con una periodicidad impuesta por la clase de simetría elegida. Este procedimiento establece la número de onda del estado y la verdadera función de onda es obtenido doblando hacia atrás este estado superscar. Las funciones de onda superscar con (− −) simetría asso- ciada con la órbita del diamante (véase Fig. 10) se expresan de la siguiente manera: (− −)m,p (x, y) = pecado (−)m x + pecado (−)m x ′ − 2 donde x′ e y′ son coordenadas simétricas con respecto al lado cuadrado. En coordenadas como en la Fig. 10 x′ = y, y′ = x En (17) m y p son enteros con p = 1, 2,.... y m â € 1. l = 2a es la mitad del diamante periódico longitud de la órbita [30], es la fase de la reflexión coeffi- cientifico definido por r = exp(−2i/23370/). Para la simplicidad, nosotros ig- nore leves cambios en el coeficiente de reflexión para ent ondas planas en las funciones anteriores. Por lo tanto, es dado por (3) con ν = 1 para la polarización de la TM y π = η/4. Y m es el impulso definido por *(−)m l− 4° = 2°m. (18) Esta construcción conduce a la siguiente expresión: para la parte real de los números de onda [31] neff lRe(km,p) = 2η 2 + p2 = 2η(m+ (+) +O( 1 ). (19) Para comprobar la exactitud de las fórmulas anteriores trazamos en Fig. 9 funciones de onda cicatricial (17) con los mismos parámetros como los de la Fig. 8. Estos últimos se computaron numéricamente mediante la solución directa de las ecuaciones Helmholtz (6) pero la anterior se ve muy similar que apoya la validez de el modelo superscar. La parte real de los números de onda también se prueba. In Fig. 7 b) los estados de pérdida más bajos (con el mod- ulus de la parte imaginaria) con (− −) la simetría son presentado a lo largo de un intervalo mayor que en la Fig. 7 a). Los partes reales de estos estados se comparan con superscar pre- dictions (19) con p = 1, lo que conduce a un buen acuerdo. Para detectar pequeñas desviaciones de la fórmula teórica, trazamos en el conjunto de la Fig. 7 b) la diferencia entre una cantidad inferida de simulaciones numéricas y sus predicción superscar de (19). 2 + p2 . (20) De esta curva se deduce que esta diferencia tiende a cero con m aumentando, confirmando así la existencia de el término proporcional a p2. Ajustando esta diferencia con la expresión más simple a) b) FIG. 11: Familia periódica de órbitas de galerías susurrantes más simples para una cavidad pentagonal. a) La línea sólida indica la inscripción pentágono que es una órbita periódica aislada. Una órbita periódica en sus alrededores está trazado con una línea discontinua. Pertenece a la familia de la órbita periódica estelar de cinco puntos. La fundación... dominio tal está indicado en gris. b) Límite de la familia de la órbita periódica de las estrellas de cinco puntos. encontramos que c −6.9. Al restar esta corrección término de la diferencia (20), se obtiene la curva indi- con círculos llenos en inset de la fig. 7 b). El resultado es un orden de magnitud más pequeño que la diferencia Yo mismo. Todos estos cálculos confirman que las partes reales de los números de onda de resonancia para las cavidades dieléctricas cuadradas son bien reproducido en el límite semiclásico por el anterior fórmula superscar (19) y nuestros resultados experimentales pueden ser considerado como una confirmación experimental implícita de esta declaración. V. MICRO-CAVIDAD PENTAGONAL La fórmula de traza y los argumentos del modelo superscar pueden generalizar a todas las cavidades poligonales. El pentagonal el resonador proporciona una nueva prueba interesante. De hecho, debido a el número impar de lados, la órbita pentagonal inscrita (indicado por línea sólida en la Fig. 11 a)) está aislado. Los La familia de órbitas periódicas confinadas más cortas es dos veces más larga. Se representa con una línea discontinua en la Fig. 11 a) y puede ser mapeado en la órbita estelar de cinco puntos dibujada en Fig. 11 b) por deformación continua. En esta sección comparamos las predicciones del modelo superscar para esta familia periódica de órbitas con simulaciones numéricas y experimentos. Debido a la simetría C5v, las cavidades pentagonales sostienen 10 clases de simetría correspondientes a las rotaciones por 2η/5 y la inversión con respecto a uno de los sim- Eje de metría. Hemos estudiado numéricamente una simetría clase en la que las funciones de onda obedecen el Dirichlet- ary condiciones a lo largo de dos lados de un triángulo recto con ángulo η/5 (véase la Fig. 11 a) en gris). Los resultados de estos estudios Los cálculos se presentan en la Fig. 12. En cuanto a la cavidad cuadrada, los estados de pérdida más bajos son orga- En las familias. Las funciones de onda de los tres más bajos Las familias perdidas están planeadas en la Fig. 13 y su superscar La estructura es obvia. El cálculo de los estados puros del superscar puede ser por- 40 60 80 100 Re (a k) 8 12 16 20 −0.25 FIG. 12: a) Números de ondas para una cavidad pentagonal. a es la longitud lateral de la cavidad. Las tres familias más confinadas están indicados por líneas sólidas, rotas y largas. b) Las diferencia (28) entre la parte real de las cuasienergías y expresión superscar (25) para las tres familias indicadas en formado como en la sección anterior. La estrella de cinco puntas el canal orbital periódico se muestra en la Fig. 15. En este caso condiciones de frontera a lo largo de los límites horizontales de No se conoce el canal orbital riodico. Por analogía con su- formación de perscar en billar poligonal [22], imponemos que las funciones de onda tienden a cero a lo largo de estos límites cuando k → فارسى. Por lo tanto, una función de ondas superscar se propaga en- lado este canal toma la forma (x, y) = exp(iüx) sin( py)-(y)-(w − y), (22) donde w es el ancho del canal (para el cinco-punto órbita estelar w = un sin(/5) donde a es la longitud de la pluma- tagon side). (x) es la función Heavyside introducida aquí para enfatizar que las funciones superscar son cero (o pequeñas) fuera del canal de órbita periódica. Los valores cuantificados del impulso longitudinal, Se obtiene mediante la imposición de que la función (22) es periódico a lo largo del canal cuando todas las fases debido a la reflexión con los límites de la cavidad se toman en ac- cuenta °L = 2η . 23) Aquí M es un entero y L es la órbita periódica total longitud. Para la órbita estelar de cinco puntos (véase Fig. 11) L = 10a cos( ), (24) es la fase del coeficiente de reflexión dado por (3) con ν = 1 (para la polarización TM) y • = 3η/10. Para estos estados la parte real del número de onda es la a continuación nLRek = 2 +O( 1 ). (25) Función de onda dentro de la cavidad se obtienen por plegado volver a la función cicatriz (22) y elegir el correcto rep- resentido de la clase de simetría elegida. Cuando Dirich... que las condiciones de frontera se impongan a lo largo de dos lados de un triángulo derecho que pasa por el centro del pentágono (véase la Fig. 15), M debe escribirse como M = 5(2m) si p es impar y M = 5(2m − 1) si p es par. Entonces la ola función dentro del triángulo es la suma de dos términos * m, p(x, y) = pecado* mx py)-(y)-(w − y) + + sin(­mx ′ − 2) sin( η py′)(y′)(w − y′) (26) donde el impulso longitudinal es = 2η(m+ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (27) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • con = 0 para impares p y = 1/2 para pares p. x′ e y′ en (26) son coordenadas del punto simétrico de (x, y) con respecto a la inversión en el borde del pentágono. En el sistema de coordenadas cuando pasa el borde del pentágono a través del origen (como en la Fig. 15) x′ = x cos 2 y sin 2, y′ = x sin 2 y cos 2 es el ángulo de inclinación del pentágono lado con respecto al eje abscissa. Funciones de las ondas ob- se presentan en la Fig. 14. Corresponden al primero, segundo y tercero perpen- Excitaciones diiculares de la familia de órbita periódica de cinco estrellas (p = 1, 2, y 3). Comprobar el acuerdo entre calculado numéricamente partes reales de los números de onda y el superscar predic- tion (25) y (27), trazamos en la Fig. 12 b) lo siguiente: a) b) c) FIG. 13: Módulo cuadrado de funciones de onda para cavidad pentagonal con (− −) simetría calculada con simulaciones numéricas. a) ak = 104,7 − 0,017 i, b) ak = 102,2 − 0,05 i, c) ak = 105,0 − 0,12 i. a) b) c) FIG. 14: Módulo cuadrado de funciones de onda calculado dentro del modelo superscar y correspondiente a los parámetros de Fig. 13. FIG. 15: Desdoblamiento de la órbita periódica de cinco estrellas para una pluma- Cavidad tagonal. Líneas gruesas indican el triángulo inicial. diferencia No se aplica a los productos de la partida n.c.o.p., excepto a los productos de la partida n.c.o.p. Rekanum * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2 tan........................................................................................................ . (28) Para los estados puros de la cicatriz • = p2. Como nuestra simulación numérica... las ulaciones no han alcanzado el límite semiclásico (ver básculas en Figs. 7 y 12), nos pareció conveniente encajar numéricamente, la constante de. El mejor ajuste da 0.44, 2,33 y 5,51 para las tres familias más confinadas (para funciones de cicatriz pura esta constante es 1, 4, 9 respectivamente). El acuerdo es bastante bueno con una precisión relativa del orden de 10−4 (ver Fig. 12 b)). Independientemente de se indica el valor exacto de la longitud óptica total, nL, por (25) y conduce a una predicción experimental dos veces más larga que la longitud óptica del pentágono inscrito, que es una órbita periódica aislada y por lo tanto no puede basar superscar wavefunctions. La comparación con los experimentos confirma el superscar la naturaleza de los estados más confinados para res- onators. De hecho, el espectro y su Fourier transforman en Fig. 16 corresponden a un micro-láser pentagonal con lado a = 80 μm, y mostrar una órbita periódica con óptica longitud 1040 ± 30 μm a comparar con el de cinco estrellas longitud óptica nfull10a cos(/5) = 1061 μm. El acuerdo... Es mejor que el 2%. Este resultado es reproducible para cavidades del mismo tamaño. También se han probado otros tamaños. Para cavidades más pequeñas, la órbita estelar de cinco puntos no es identificable debido a la falta de de ganancia, mientras que para los más grandes es visible pero mezclado con órbitas periódicas no confinadas. Este efecto, no spe- cífico a pentágonos, se puede asignar a la contribución de diferentes familias de órbita periódica que se vuelven importantes cuando la ganancia de lasing supere las pérdidas refractivas. Lo haremos. describir este fenómeno en una publicación futura [24]. El buen acuerdo de las simulaciones numéricas y ex- periments con predicciones superscar da un adicional crédito a la validez de este enfoque, incluso para no trivial configuraciones. 6206156106056600 Longitud de onda (nm) 3.0x10 2,01.0,0 Longitud óptica (nm) FIG. 16: Espectro experimental de un microláser pentagonal de 80 μm de longitud lateral. Inset: Transformación de Fourier normalizado de el espectro expresado como intensidad versus número de onda. VI. MICRO-DISKS Las cavidades de microdisco son las más simples y ampliamente micro-resonadores usados. En el contexto de este trabajo, son de interés debido a la coexistencia de familias de órbita riodica con longitudes cercanas. Para índice bajo cavidades (n + 1,5) cada trayectoria regular del polígono con más de cuatro lados están confinados por un total de tion. En el círculo pasivo de aproximación bidimensional las cavidades lar son integrables y el espectro de estados estacionarios pueden ser calculados a partir de un condición de tisation J ′m(nkR) Jm(nkR) m (kR) m (kR) . 29).............................................................................................................................................................................................................................................................. Aquí R es el radio del disco, n el índice de refracción de la cavidad, y v = 1 (resp. v = n2) para el TM (resp. TE) polarización. Para cada número cuántico angular m, una secuencia infinita de soluciones, km,q, se deduce de (29). Están etiquetados por el número cuántico radial q. a) b) FIG. 17: a) Dos ejemplos de órbitas periódicas: el cuadrado y el pentágono. b) Dos representaciones del cuadro periódico órbita y el cáustico de esta familia en rojo. Para grande k los números de onda km,l se obtienen de una expresión semiclásica (véase, por ejemplo, [25]) y la densidad de Los Estados cuasi estacionarios (15) pueden ser probados como reescritos. diez como una suma sobre las familias de órbita periódica. La derivación de esta fórmula de traza asume sólo el semiclásico ap- proximación (kR 1) y se puede hacer de una manera similar al del caso del billar (véase, por ejemplo, [27]), lo que lleva a una expresión cerrada a (16) d(k) rpNp cos(nLpk−Np (2­p+) Aquí el índice p especifica una familia periódica de órbitas. Esta fórmula depende de la órbita periódica parame- ters: el número de rebotes en el límite, Np, el ángulo de incidente en el límite, χp, la longitud, Lp = 2NpR cos(χp), y el área cubierta por familia de órbitas, Ap = ηR 2 cos2(χp), que es el área incluido entre el cáustico y el límite (ver Fig. 17 b)). Es la fase del coeficiente de reflexión en cada rebote en el límite (véase Eq. (3)) y rp es su módulo. Para órbitas confinadas por reflexión interna total no dependen de kR en el límite semiclásico, y rp es exponencialmente cerca de 1 [25, 26]. A partir de (30) sigue: que cada órbita periódica se selecciona mediante un pesaje coeficiente cp = rpNp. Teniendo en cuenta la experiencia... valores mentales kR 1000, rp se puede aproximar a la unidad con una buena precisión para los periódicos confinados órbitas, y por lo tanto cp = depende sólo de la geometría cantidades. Fig. 18 muestra la evolución de cp para polígonos cuando el número de lados está aumentando. Como la crítica ángulo está cerca de 45°, el diámetro y el triángulo periódico órbitas no están confinados y la contribución dominante viene de la órbita periódica cuadrada. Así que podemos razonablemente concluir que el espectro (15) de un microdisco bidimensional está dominado por el cuadrado órbita periódica. El método experimental descrito en el anterior Se han aplicado secciones a microcavidades en forma de disco. Un espectro experimental típico se muestra en la Fig. 19 a). El primer pico de su transformación de Fourier (véase Fig. 19 b) 5,0 5,5 6,0 6,5 Longitud geométrica FIG. 18: Barras rojas verticales: coeficiente de cp para polígonos con- multada por reflexión interna total (cuadrado, pentágono, hexágono, etc.). La línea azul punteada indica la posición de la perímetro. inset) tiene un ancho finito procedente del experimento condiciones (discretización, ruido, etc...) y la contribución ciones de varias órbitas periódicas. Esta anchura está representada como barras de error en el gráfico 19 (b). La línea roja continua ajuste de los datos experimentales está rodeado por el salpicado línea verde y la línea azul punteada correspondiente a la longitud óptica del cuadrado y del hexágono, respectivamente, calculado con nfull = 1,64 como en las secciones anteriores. El perímetro (línea negra continua) se superpone con un gran parte de las barras de error que evidencian su contribución sión al espectro, pero no está cerca de ser experimental. datos. Estos resultados experimentales parecen estar de acuerdo. con las predicciones teóricas anteriores. Pero actu... alia estas resonancias, normalmente llamadas galería susurrante modos, están viviendo cerca de la frontera. Por lo tanto, ambos la rugosidad y los efectos tridimensionales deben tomarse en cuenta. En esta etapa es difícil evaluar y para medir correctamente dichas contribuciones para cada órbita. Para microdiscos de pequeño espesor (aproximadamente 0,4) μm) y diseñados con menor rugosidad, los resultados son: más o menos similares a las presentadas en la Fig. 19 b). VII. CONCLUSIÓN Demostramos experimentalmente que la longitud de la la órbita periódica dominante se puede recuperar de las especificaciones tra de micro-lásers con formas simples. Tomando en ac- contar diferentes correcciones de dispersión a la re- eficaz Índice frenético, un buen acuerdo con la teoría predic- ciones se ha evidenciado primero para el Fabry-Perot res- Onator. Entonces hemos probado las cavidades poligonales tanto con experimentos y simulaciones numéricas, y una buena acuerdo para las partes reales de los números de onda ha sido obtenido incluso para la configuración no trivial de la pluma- Cavidad tagonal. El dominio observado de las órbitas de corto plazo confinadas es, en general, una consecuencia de la fórmula traza y el 2000I 630620610600 Longitud de onda (nm) 7060504030 Radio (μm) 2.0x10 1,00,0 Longitud óptica (nm) FIG. 19: a) Espectro experimental de un microdisco de 30 μm radio. b) Longitud óptica frente a radio. Los experimentos (puntos rojos) están ajustados linealmente por la línea roja sólida. Los otras líneas corresponden a predicciones teóricas sin ninguna los parámetros ajustados: la línea verde rayada a la plaza, el línea azul punteada al hexágono, y la línea negra sólida a El perímetro. Inset: Transformación de Fourier normalizado de la espectro en (a) expresado como intensidad frente a número de onda. La formación de estados de larga vida en cavidades poligonales es re- tarde a una fuerte difracción en las esquinas de la cavidad. Por último, el estudio de los microdiscos pone de relieve el caso de varias órbitas y la influencia de la rugosidad y tres efecto dimensional. Nuestro estudio abre el camino a una exploración sistemática de propiedades espectrales al variar la forma del límite. Incrementando la precisión experimental incluso pequeños detalles de fórmulas de trazas serán accesibles. La mejora de la calidad de grabado suprimirá las fugas debido a se enfrentan a la rugosidad y conducen a una medida de la diffractive pérdidas de modo que deben depender de las clases de simetría. Desde el punto de vista de la tecnología, permitirá la predicción del diseño del resonador en función de la ap- plicaciones. Desde un punto de vista más fundamental de la física, puede contribuir a una mejor comprensión de la billar eléctrico. VIII. AGRADECIMIENTOS Los autores agradecen a S. Brasselet, R. Hierle, J. Lautru, C. T. Nguyen y J.-J. Vachon para experimentación y el apoyo tecnológico y a C.-M. Kim, O. Bohi- gas, N. Sandeau, J. Szeftel, y E. Richalot debates. [1] A.E. Siegman, Láseres, (Libros de Ciencias de la Universidad, Molino) Valley, California, 1986). [2] K. Vahala (ed.), Microcavidades ópticas (World Scientific Publishing Company 2004). [3] E. Krioukov, D.J. W. Klunder, A. Driessen, J. Greve, y C. Otto, Opt. Lett. 27, 512 (2002). [4] A. M. Armani y K. J. Vahala, Opt. 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Schmit, y E. Bogomolny, en preparación. [25] J. Nöckel, tesis doctoral (1997). http://www.eng.yale.edu/stonegroup/publications.html [26] H. Schomero y M. Hentschel, Phys. Rev. Lett. 96, 243903 (2006). [27] M. Brack, R.K. Bhaduri, Física semiclásica, (Addison-Wesley Publishing Company, 1997). [28] Para algunas muestras, la capa subyacente es sílice con re- índice factivo n2 = 1,45, por lo que neff es ligeramente diferente. [29] Esta definición es coherente en todo el documento. En el literatura, estos nombres a veces se permutan. [30] Para una clase de simetría dada, la longitud que entra en el quan- la condición de tisación puede ser una parte del total periódico longitud orbital. [31] La estimación de las partes imaginarias de estos estados como así como la distribución de campo fuera de la cavidad está más allá el ámbito de aplicación del presente documento y se debatirá en otro lugar. http://arxiv.org/abs/cond-mat/0610229 http://www.eng.yale.edu/stonegroup/publications.html

Las microcavidades dieléctricas se utilizan ampliamente como resonadores láser y Las caracterizaciones de sus espectros son de interés para diversas aplicaciones. Nosotros investigar experimentalmente micro-láseres de formas simples (Fabry-Perot, cuadrado, pentágono y disco). Sus espectros lasing consisten principalmente en casi equidistantes picos y la distancia entre picos revela la longitud de un cuantizado periódico órbita. Para medir esta longitud con una buena precisión, es necesario tomar tener en cuenta diferentes fuentes de dispersión del índice de refracción. Nuestro experimental y los resultados numéricos concuerdan con el modelo superscar que describe la formación de estados de larga vida en cavidades poligonales. Las limitaciones de la la aproximación bidimensional se discuten brevemente en relación con microdiscos.

Inferir órbitas periódicas de espectros de microlásers de forma simple M. Lebental1,2, N. Djellali1, C. Arnaud1, J.-S. Lauret1, J. Zyss1 R. Dubertrand2, C. Schmit2 y E. Bogomolny2* CNRS, Ecole Normale Supérieure de Cachan, UMR 8537, Laboratoire de Photonique Quantique et Moléculaire, 94235 Cachan (Francia) CNRS, Université Paris Sud, UMR 8626, Laboratoire de Physique Théorique et Modèles Statistiques, 91405 Orsay, Francia (Fecha: 26 de octubre de 2018) Las microcavidades dieléctricas son ampliamente utilizadas como resonadores láser y caracterizaciones de sus espectros son de interés para varias aplicaciones. Investigamos experimentalmente micro-láseres de formas simples (Fabry-Perot, cuadrado, pentágono y disco). Sus espectros lasing consisten principalmente en casi equidistantes los picos y la distancia entre picos revela la longitud de una órbita periódica cuantificada. A medida esta longitud con una buena precisión, es necesario tener en cuenta las diferentes fuentes de refracción dispersión del índice. Nuestros resultados experimentales y numéricos concuerdan con el modelo superscar que describe la formación de estados de larga vida en cavidades poligonales. Las limitaciones de la bidimensionalidad La aproximación se discute brevemente en relación con los microdiscos. Números PACS: 42.55.Sa, 05.45.Mt, 03.65.Sq I. INTRODUCCIÓN Microrresonadores y microláseres bidimensionales se están desarrollando como bloques de construcción para la óptica telecomunicaciones [1, 2]. Por otra parte, son de terest como sensores para aplicaciones químicas o biológicas [2, 3, 4] así como modelos de juguete de billar para el caos cuántico [5, 6]. Hacia consideraciones fundamentales y aplicadas, su espectro es una de las principales características. Fue usado, por ejemplo, para recuperar experimentalmente alguna información sobre el índice de refracción [7] o parámetros geométricos En este artículo nos centramos en cavidades mucho más grandes que la longitud de onda y proponer dar cuenta de los espectros en los términos de las familias orbitales periódicas. Cavidades de lo más simple y se investigaron las formas más utilizadas actualmente: Resonador Fabry-Perot, cavidades poligonales como el cuadrado y pentágono, y cavidades circulares. Nuestros experimentos se basan en casi dos dimensiones microláseres orgánicos [9]. La relativamente recta para... El proceso de fabricación del pabellón garantiza una buena calidad y repro- ducibilidad, así como versatilidad en formas y tamaños (ver Fig. 1). Los enfoques experimentales y teóricos desarrollado en este documento se puede ampliar fácilmente a más formas de contorno complicadas. Por otra parte, este método es útil para otros tipos de microresonadores, ya que de- sólo en forma de cavidad e índice de refracción. El documento se organiza de la siguiente manera. En la sección II a de- la descripción del modelo bidimensional se proporciona a: gether con sus ventajas y limitaciones. En la sección III se investigan micro-láseres en forma de banda larga como resonadores Fabry-Perot para probar el método y la * Dirección electrónica: lebental@lpqm.ens-cachan.fr FIG. 1: Fotografías de microscopio óptico de algunos orgánicos micro-láser: raya (vista parcial, utilizada como Fabry-Perot res- onator), cuadrado, pentágono, disco, cuasi-estadio, y cardioide. Dimensión típica: 100 μm. uate su precisión experimental. Este protocolo es entonces aplicada posteriormente a las cavidades poligonales. En la sección IV caso de cavidades cuadradas se examina mientras que en la sección V Se investigan las cavidades pentagonales dieléctricas. El... Las predicciones oréticas basadas en un modelo superscar son com- a experimentos, así como simulaciones numéricas y se encuentra un buen acuerdo. Por último, en la sección VI el caso de varias órbitas coexistentes se trata brevemente sobre el ejemplo de las cavidades circulares. II. PRELIMINARIOS Las micro-cavidades dieléctricas son casi bidimensionales extensibles cuyo espesor es del orden de la longitud de onda pero con dimensiones planas mucho mayores (véase Fig. 1). Al- http://arxiv.org/abs/0704.1950v2 mailto:lebental@lpqm.ens-cachan.fr aunque tales cavidades han sido investigadas durante mucho tiempo tiempo, tanto con y sin láser, su de- La inscripción no es del todo satisfactoria. En particular, el au- no son conscientes de los verdaderos estudios tridimensionales de campos electromagnéticos muy excitados, incluso para cavi- pasivo corbatas. Usualmente se usa una aproximación bidimensional pero su validez no está bajo control. Dentro de tales campos de aproximación dentro de la cavidad y cerca de su límite bidimensional se tratan diferen- Ently. A granel, uno considera los campos electromagnéticos como propagación dentro de una losa dieléctrica infinita (capa de ganancia) con índice de refracción ngl rodeado de medios con re- Índices factivos n1 y n2 menores que ngl. En nuestro ex- Perimentos, la capa de ganancia está hecha de un polímero (PMMA) dopado con un tinte láser (DCM) y emparedado entre el aire y una capa de polímero (SOG) (véase Fig. 2 a) y [9]). Es bien conocido (véase, por ejemplo, [10] o [11]) que en tales ometría existe un número finito de modos de propagación confinado dentro de la losa por reflexión interna total. Los valores permitidos de impulso transversal dentro de la losa, q, se determinan a partir de la relación estándar e2ihqr1r2 = 1 (1) donde h es el espesor de la losa y r1,2 son el re- Fresnel coeficientes de flexión en las dos interfaces horizontales. Por reflexión interna total ri = exp(−2i/23370/i) (2) donde ♥i = arctan − n2i ngl cos (3) Aquí es el ángulo entre la dirección de la pro- agation dentro de la losa y lo normal a la interfaz. El parámetro νi es 1 (resp. (ngl/ni) 2) cuando el mag- campo neto (resp. el campo eléctrico) es perpendicular a el plano de la losa. Los asuntos primero y segundo corresponden a: respectivamente a las polarizaciones TE y TM. Denotando el impulso longitudinal, p = nglk sin ♥, como p = neffk, el índice de refracción eficaz, neff, es de- término de la siguiente relación de dispersión = arcán − n21 + arctan − n22 lü, lü N. (4) Esta ecuación tiene sólo un número finito de propagación soluciones que se pueden obtener fácilmente numéricamente. Fig. 3 presenta posibles modos de propagación para nuestro experimento ajuste n1 = 1 (aire), n2 = 1,42 (SOG) [28] y ngl = 1,54 Deducido de las mediciones elipsométricas (véase Fig. 2 b)) en el rango de observación. 0.80.700.600.50 Longitud de onda (μm) FIG. 2: a) Notación de los índices de refracción y propagación Números de onda. De arriba a abajo, las capas de nuestras muestras [9] son el aire (n1 = 1), un polímero (PMMA) dopado con un tinte láser (DCM) (ngl = 1,54) y otro polímero (SOG) (n2 = 1,42) o sílice (n2 = 1,45). b) Índice refractivo de la capa de ganancia versus la longitud de onda inferida de la elipsometría medidas. FIG. 3: Índice de refracción efectivo versus el espesor sobre Variable de longitud de onda calculada a partir de Eq. 4). La refracción Se supone que los índices son constantes: 1 para el aire, 1,42 para el SOG, y 1.54 para la capa de ganancia (líneas negras horizontales). El TE la polarización se traza con líneas azules sólidas y TM polariza- ciones con líneas rojas punteadas. Integer l (véase 4) izquierda a derecha a partir de l = 0. Las ecuaciones de Maxwell para ondas que se propagan en el interior la losa se reducen así a la escalar bidimensional Ecuación de Helmholtz: n2effk (x, y) = 0. 5) • representa el campo perpendicular a la losa, es decir. la campo eléctrico para TM y el campo magnético para TE po- larización [29]. Esta ecuación describe adecuadamente la onda propa- gation dentro de la cavidad. Pero cuando uno de estos propa... modos de gating alcanza el límite de la cavidad, puede parcialmente escapar de la cavidad y reflejarse parcialmente en el interior Lo siento. Para describir correctamente diferentes componentes de electro- campos magnéticos cerca del límite, la solución completa de las ecuaciones vectoriales tridimensionales Maxwell es re- que para los autores aún no ha sido en este contexto. Incluso el caso mucho más simple de dispersión escalar por una placa de medio plano con un pequeño pero espesor finito se reduce sólo a la solución numérica de la ecuación tipo Wiener-Hopf [12]. Para evitar estas complicaciones, se suele considerar que los campos se pueden separar en TE y TM po- larización y obedecer las ecuaciones escalares de Helmholtz (5) n2in,outk (x, y) = 0. 6) con nin es el índice efectivo de neff inferido de Eq. 4) y nout el índice de refracción de los medios circundantes, Por lo general, el aire nout = 1. Este sistema de dos dimensiones ecuaciones se cierra mediante la imposición de la siguiente frontera Trastornos de la piel y del tejido subcutáneo # En B # # En B # # En B # # En B # # En B # # En B # # En B # # En B # # En B # # En B # # En B # # En B # B = /out out B. 7).................................................................................................................................................. Aquí indica la dirección normal a la frontera y depende de la polarización. Cuando la electricidad (resp. campo magnético) es perpendicular a la cavidad plano, llamado polarización TM (resp. TE polarización), ~in,out = 1 (resp. ~in,out = 1/n in, out). Nótese que estos Las definiciones de «contra» no son las mismas en el caso de las categorías horizontal y ver- Interfaces ticales. Consideramos que este enfoque bidimensional estándar teniendo en cuenta que las olas se propagan cerca de la límite (modos de la galería de susurros) puede desviarse significativamente a partir de predicciones bidimensionales. In fugas particulares a través de la tercera dimensión podría modificar la estimación del tiempo de vida de los estados cuasiestacionarios. Nuestras cavidades poliméricas están dopadas con un tinte láser y bombeado uniformemente uno por uno desde arriba [9], de modo que el proceso de bombeo no induce ninguna selección de modo. Los la descripción completa de tales cavidades laing requiere el solución de las ecuaciones no lineales de Maxwell-Bloch (ver e.g. [13, 14, 15] y sus referencias). Para mayor claridad, Aceptamos aquí un punto de vista simplificado (véase, por ejemplo, [1] Secc. 24) según los cuales los verdaderos modos de lase pueden ser representado como una combinación lineal de los modos pasivos que pueden perder (es decir, para los cuales la ganancia supera las pérdidas) lasing = CmÃ3m. (8) Desde las consideraciones físicas, es natural considerar la Los modos de m como los estados cuasi-estacionarios de la pasiva Cavidad. Aunque esta elección lleva a dificultades bien conocidas (véase, por ejemplo, [1]) es ampliamente notada y aceptada al menos para los modos con pequeñas pérdidas (cf. [14, 15, 16]). Para cada modo de lasing individual, los coeficientes Cm se puede determinar sólo después de la solución de la Ecuaciones Maxwell-Bloch. Pero debido a la estadística na- ión de fluorescencia el efecto laing comienza al azar y independientemente durante cada pulso de la bomba. Así que es bastante nat- ural a promedio sobre muchos pulsos de la bomba. Entonces la media espectro muestra picos a frecuencias de todas las posibles Los modos de ing. Los datos experimentales estudiados en este trabajo se registran después de la integración de más de 30 pulsos de bomba y Estoy de acuerdo con este simple modelo estadístico. Más refinado Las verificaciones están en curso. III. RESONADOR DE PEROTA DE FABRICACIÓN La configuración de Fabry-Perot es útil para la calibra- control de los nuevos experimentos espectrales debido a la no ambigua única familia de órbita periódica que sus- tiene el efecto láser. Una banda larga se puede considerar a una buena aproxima- Como un resonador de Fabry-Perot. De hecho, el bombeo El área es muy pequeña en comparación con la longitud (ver Fig. 4 (a)) y el material es ligeramente absorbente, de modo que ciones en extremos lejanos pueden ser descuidados. Por otra parte, el el área de bombeo es mayor que la anchura de la banda, por lo tanto la ganancia se distribuye uniformemente en la sección. Por una Cavidad de Fabry-Perot, la emisión se espera a lo largo de ambos En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. 4 a) para las anotaciones). Fig. 4 b) muestra que se observa esta emisión direccional experimentalmente, lo que confirma la validez de nuestra configuración. Banda larga Detector -10 -5 0 5 10 (grados) FIG. 4: a) Diagrama en el que se resumen las principales características de la El experimento de Fabry-Perot. b) Intensidad detectada frente al ángulo para un experimento de Fabry-Perot. El espectro experimental promedió más de 30 bombas pulsos se compone de picos casi regularmente espaciados (ver Fig. 5 (a)) que normalmente se espera para un Fabry- Resonador Perot. De hecho, debido a los efectos coherentes, la los números de onda de los estados cuasi-encuadernados de un pasivo Fabry- La cavidad del perot se determina a partir de la cuantificación con- a lo largo de la única órbita periódica de L = longitud 2W como donde dice 1): r2ei L k neff (k) = 1 (9) donde r es el coeficiente de reflexión Fresnel y neff es el índice de refracción eficaz (4). Las soluciones de esto ecuación son números complejos: la parte imaginaria cor- responde a la anchura de la resonancia y la parte real (llamado km después) da la posición de un pico en el espectro y verificar L km neff (km) = 2η m, m ° N. (10) Con un km=km+1-km que se supone que es pequeño, la distancia entre los picos adyacentes está limitado por km[neff (km) + km neff (km)] L = 2η. (11) Llamamos nfull = neff (km) + km neff (km) (12) el índice de refracción total eficaz. Es una suma superada dos términos: uno correspondiente a la velocidad de fase, neff (km), y el otro a la velocidad del grupo, neff (km). Si nfull se considera como una constante sobre el rango de observación, que es cierto con un buen accu- Racy, puede ser recuperado de las especificaciones experimentales. trum. Por ejemplo, la transformación de Fourier de la trum (intensidad frente a k) se compone de espacio regular picos (fig. 5 b) inset), con el primero (indicado con una flecha) centrada en la longitud óptica (L nfull) y la otros en sus armónicos. Así que la longitud geométrica de la órbita periódica puede inferirse experimentalmente de la conocimiento de nfull que se determina independientemente como que se describe a continuación. Para el resonador Fabry-Perot, el ge- longitud métrica se sabe que es 2W, lo que permite a verifique la precisión experimental. La estadística relativa Se estima que los errores en la anchura de W son inferiores al 3 %. Las barras de error en la Fig. 5 b) están relacionados con el primer pico ancho de la transformación de Fourier y son inferiores al 5 % de la longitud óptica. El índice de refracción total eficaz, nfull, es indepen- Dently inferido de la medición elipsométrica (Fig. 2 (b)) y derivación estándar efectiva del índice descrito en la sección anterior. Dependiendo del parámetro h/ (espesor sobre longitud de onda), uno o varios modos son al- baja para propagarse. Nuestras muestras están diseñadas como: Sólo existen un modo TE y TM con efecto neff índice de refracción según Eq. 4). In Fig. 3 el índice de refracción de la capa de ganancia, ngl, se supone que es constante: ngl = 1,54 en el centro de la ventana experimental, variando de 0,58 a 0,65 μm. De Eq. (4) se obtiene un neff = 1,50 en el ob- rango de servación con un espesor h = 0,6 μm, y corre- sponds al término de velocidad de fase. La velocidad del grupo Término km neff (km) se compone de dos contri- butiones: uno del índice efectivo (alrededor del 4 %) y el otro del medio de ganancia (alrededor del 7 %). El de- pendance de ngl con la longitud de onda se determina con el elipsómetro GES 5 SOPRA de una regresión con el software Winelli II (coeficiente de correlación: 0,9988) y trazado en la Fig. 2 b). Teniendo en cuenta todos los factores butiones (es decir, el cálculo de la refracción efectiva el índice con un ngl disperso), la re- se evalúa que el índice de factivos es de 1,645 ± 0,008 en la rango de observación. Así que el término de velocidad de grupo compuesto por 625620615610605 Longitud de onda (nm) 22020018016014012010080 Ancho (μm) 2.0x10 1,00,0 Longitud óptica (nm) FIG. 5: a) Espectro experimental de una resolución de Fabry-Perot onator con W = 150 μm. b) Longitud óptica frente a Fabry- Ancho de Perot W. Los experimentos (puntos rojos) son linealmente equipado por la línea roja sólida. La línea azul salpicada corresponde a la predicción teórica sin ningún parámetro ajustado. Inset: Transformación de Fourier normalizado del espectro en (a) expresado como intensidad versus número de onda. de los dos tipos de dispersión del índice de refracción contribuyen del 10 % al índice efectivo completo, que es significativo en comparación con nuestra precisión experimental. El nfull in- dex depende sólo suavemente de la polarización (TE o TM), y en el espesor h, que se mide con una superficie profilómetro Veeco (Dektak3ST). Por lo tanto, las muestras son diseñado con espesor 0,6 μm y la precisión es re- portado en el índice efectivo completo que se supone que es 1.64 con una precisión relativa de alrededor del 1 % Este trabajo. Teniendo en cuenta todos estos parámetros, se obtiene un satis- acuerdo entre la fábrica medida y calculada op- tica, lo que mejora aún más cuando se toman en ac- contar varias cavidades Fabry-Perot con diferentes anchos como se muestra en la Fig. 5 b). El excelente reproducibil... ity (tiempo a tiempo y muestra a muestra) es un adi- confirmación de la exactitud y validez. Con estos Resonadores Fabry-Perot, hemos demostrado un espectral método para recuperar la longitud geométrica de un periódico 615610605600595 Longitud de onda (nm) 1401201008060 Ancho (μm) 2.0x10 1,00,0 Longitud óptica (nm) FIG. 6: a) Espectro experimental de una micro- láser de 135 μm de ancho lateral. b) Longitud óptica frente a un cuadrado Anchura lateral. Los experimentos (puntos rojos) están ajustados linealmente por la sólida línea roja. La línea azul salpicada corresponde a la predicción teórica (órbita periódica de diamantes) sin ninguna parámetro ajustado. Conjunto superior: Dos representaciones de la órbita periódica de diamantes. Inserto inferior: Fourier normalizado transformación del espectro en (a) expresado como intensidad versus Número de onda. órbita que ahora se puede aplicar con confianza a diferentes formas de micro-cavidades. IV. MICRO-CAVIDAD CUARTA En el contexto de este papel de forma cuadrada micro- las cavidades presentan una doble ventaja. En primer lugar, son cada vez más utilizado en las telecomunicaciones ópticas [2, 17]. En segundo lugar, la precisión y validez de los parámetros se puede probar de forma independiente ya que hay Sólo una familia de órbitas periódicas totalmente confinada. De hecho El índice de refracción es bastante bajo (alrededor de 1,5), por lo que la di- amond (véase Fig. 6 (b), entrada superior) es el único corto- órbita del período sin pérdida de refracción (es decir, toda la reflexión ángulos en el límite son más grandes que el ángulo crítico χc = arcsin(1/n) + 42 °.) En una cavidad cuadrada la luz escapa principalmente en el esquinas debido a la difracción. Por lo tanto, el diseño de calidad de cor- ners es fundamental para la direccionalidad de la emisión, pero no para el espectro. De hecho, para razonablemente bien diseñado micro-cavidad cuadrada (véase Fig. 1), no hay desplazamiento de la los picos del espectro se detectan cambiando el Ángulo de la vación. Los espectros utilizados en este artículo son, por lo tanto, registrado en la dirección de la intensidad máxima. Fig. 6 a) presenta un espectro típico de micro-cavidad en forma. Los picos son más estrechos que en el espectro del resonador Fabry-Perot, indicando un mejor el confinamiento, así como regularmente espaciado, revelando un pecado- gle órbita periódica. El procesamiento de datos se realiza exactamente como se presenta en la sección anterior: para cada cavidad la Se calcula la transformación de Fourier del espectro (Fig. 6 (b), inset inferior) y la posición de su primer pico es situado en la longitud óptica. Fig. 6 b) resume la resultados para unos veinte micro-cuadrados diferentes, a saber: la longitud óptica inferida de la transformación de Fourier contra el ancho de un lado cuadrado. Estos experimentos los resultados son ajustados por la línea roja sólida. El azul punteado línea corresponde a una pendiente a priori dada por nfull (1.64) veces la longitud geométrica del diamante órbita periódica (L = 2 2a). El excelente acuerdo confirma que la familia de órbitas periódicas de diamantes proporciona una contribución dominante a la cuantificación de dieléctricos Resonador cuadrado. Este resultado está lejos de ser obvio como cav dieléctrico cuadrado. ciones no son integrables. A primera vista, el dom- de una órbita de corto período se puede entender a partir de consideraciones generales basadas en fórmulas de rastreo que una herramienta estándar en cuantificación semiclásica de cerrado sistemas multidimensionales (véase, por ejemplo, [18, 19] y refiérase a: En consecuencia, la Comisión considera que, en el caso de que se trate, no se ha producido ningún cambio en la situación de la industria de la Unión en el mercado de la Unión. En general, las fórmulas de traza expresan la densidad de los estados (y otras cantidades también) como suma sobre órbitas periódicas clásicas. Para cierre bidimensional cavidades d(k) (k − kn) ikLp−iμp + c.c. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. donde k es el número de onda y kn son los valores propios de una cavidad cerrada. La suma en la parte derecha es realizado en todas las órbitas periódicas etiquetadas por p. Lp es el longitud de la órbita periódica p, μp es una fase determinada accu- a partir de la reflexión sobre los límites y las causas, y La amplitud cp se puede calcular a partir de la mecánica clásica. En general para sistemas integrables y pseudointegrables (por ejemplo: Billar poligonal) forma órbitas periódicas clásicas familias de órbitas periódicas continuas y en dos dimensiones donde Ap es el área geométrica cubierta por un periódico o- familia de bits (ver el ejemplo de cavidades circulares en la sección Contribuciones no clásicas procedentes de órbitas difractivas y diferentes tipos de ondas rastreras (en particular, laterales) ondas [19]) son individualmente más pequeñas por un cierto poder de 1/k y son insignificantes en el límite semiclásico k → en comparación con las órbitas periódicas. No existen verdaderos estados consolidados para los sistemas abiertos. Sólo se puede calcular el espectro de eigen complejo frecuencias de estados cuasiestacionarios. Las partes reales de tales valores propios dan las posiciones de resonancias y su parte imaginaria mide las pérdidas debidas a la fuga- edad de la cavidad. Para tales sistemas es bastante natural suponer que el densidad de los estados cuasiestacionarios d) k) 1 Im(kn) (k − Re(kn))2 + Im(kn)2 se puede escribir en una forma similar a (13), pero el contri- butión de cada órbita periódica tiene que ser multiplicado por el producto de todos los coeficientes de reflexión a lo largo de esta órbita (como se hizo en un problema ligeramente diferente en [19]) d(k) r(j)p eikLp−iμp + c.c.. (16) Aquí Np es el número de reflexiones en el límite y p es el valor del coeficiente de reflexión correspondiente a la reflexión jth para la órbita periódica p. Cuando el ángulo de incidente es más grande que el crítico ángulo el módulo del coeficiente de reflexión es igual a 1 (véase Eq. (2)), pero si una órbita periódica golpea un pedazo de límite con ángulo más pequeño que el ángulo crítico, entonces rp < 1 reduciendo así la contribución de esta órbita. Por lo tanto, la contribución dominante a la mula para cavidades dieléctricas abiertas se administra por corto período órbitas (cp 1/ Lp) que están confinados por el total interno reflexión. Para una cavidad cuadrada con n = 1,5 el diamante órbita es la única órbita confinada de corto plazo que ex- Plantea nuestra observación experimental de su dominio. Sin embargo, este razonamiento es incompleto porque el suma de las contribuciones de una órbita periódica y su Las repeticiones en cavidades poligonales no producen una plex polo que es las características de cuasi-estacionario estados. Con el fin de comprender mejor la situación, tenemos simulaciones numéricas realizadas para cav cuadrado pasivo- ciones en una aproximación bidimensional con TM po- larización (véanse las secciones II y [20]). Debido a las simetrías, los estados independientes cuasiestacionarios pueden ser clasificados de acuerdo- ing a diferentes paridades con respecto al diago cuadrado- nals. In Fig. 7 (a), las partes imaginarias de los números de onda son conspirados versus su parte real para los estados antisimmet- ric de acuerdo con las diagonales (que significa obedecer el Condiciones del límite de Dirichlet a lo largo de las diagonales) y aquí (− − ) estados. Estos estados cuasi estacionarios están claramente organizados en familias. Este efecto es más pronunciado cuando las ondas func- Se calculan las ciones correspondientes a cada familia. Por... postura, funciones de onda para las tres familias más bajas con 30 50 70 90 Re(a k) −0,35 30 80 130 180 230 Re (a k) −0.14 −0,07 10 30 50 70 FIG. 7: (a) Partes imaginarias versus partes reales de la onda- de estados cuasiestacionarios con (− −) simetría para un Resonador cuadrado dieléctrico con neff = 1,5 rodeado de aire con n = 1. b) Lo mismo que en a) pero para los Estados con módulo más pequeño de la parte imaginaria (el más confinado Estados Unidos de América). Inset. Triángulos vacíos: la diferencia (20) entre la parte real de estos números de onda y el ex- presion. Círculos rellenos: el mismo pero cuando la corrección se tiene en cuenta el término (21). (− −) la simetría se presenta en la Fig. 8. La otra mem... bers de estas familias tienen patrones similares. La existencia de estas familias se observó en primer lugar en [21] para di- cavidades eléctricas, luego más detalladas en [20]. Se puede argumentar que el origen de tales familias es anal- Ogos a la formación de estados superscar en pseudo- Billar integrable discutido en [22] y observado ex- perimentalmente en experimentos de microondas en [23]. En gen- órbitas periódicas de cavidades poligonales forman continuo familias que pueden ser consideradas como propagación en el interior a) b) c) FIG. 8: Módulo cuadrado de funciones de onda con − − simetría calculada con simulaciones numéricas. a) ak = 68,74− 0,026 i, b) ak = 68,84 −.16 i, c) ak = 69,18 −,33 i. a) b) c) FIG. 9: Módulo cuadrado de funciones de onda calculado dentro del modelo superscar (17) y correspondiente a los parámetros de Fig. 8. FIG. 10: Desdoblamiento de la órbita periódica de diamantes. Líneas gruesas indicar el triángulo inicial. canales rectos obtenidos mediante el despliegue de movimiento clásico (véase la Fig. 10). Estos canales (área enchapada Fig. 10) son restringidos por líneas rectas que pasan a través de la cavidad cor- ners. En [22] se demostró que el difracción mecánica en estas fuerzas de esquinas singulares funciones de onda en el límite semiclásico para obedecer simple condiciones de frontera en estos canales (ficticios) Aries. Más precisamente, se ha demostrado que para el billar prob- en estos límites toman valores del orden de k) → 0 cuando k → فارسى. Este resultado fue obtenido utilizando la solución exacta para la dispersión en peri- odic array de semi-aviones. No se conocen tales resultados por problemas dieléctricos. Sin embargo, parece natural de consideraciones semiclásicas de que un fenómeno similar debe aparecer para las cavidades poligonales dieléctricas también. Dentro de este marco, un estado superscar puede ser structed explícitamente de la siguiente manera. Después de desplegarse (ver Fig. 10), un canal orbital periódico tiene la forma de un rectan- gle. Su longitud es igual a la longitud periódica de la órbita y su ancho es determinado por las posiciones del pecado más cercano- esquinas gulares. El estado del superscar desdoblado corresponde a una simple onda plana que se propaga dentro del rectángulo teniendo en cuenta todos los cambios de fase. Cancela en el límites ficticios paralelos a la dirección x y es periódica a lo largo de esta dirección con una periodicidad impuesta por la clase de simetría elegida. Este procedimiento establece la número de onda del estado y la verdadera función de onda es obtenido doblando hacia atrás este estado superscar. Las funciones de onda superscar con (− −) simetría asso- ciada con la órbita del diamante (véase Fig. 10) se expresan de la siguiente manera: (− −)m,p (x, y) = pecado (−)m x + pecado (−)m x ′ − 2 donde x′ e y′ son coordenadas simétricas con respecto al lado cuadrado. En coordenadas como en la Fig. 10 x′ = y, y′ = x En (17) m y p son enteros con p = 1, 2,.... y m â € 1. l = 2a es la mitad del diamante periódico longitud de la órbita [30], es la fase de la reflexión coeffi- cientifico definido por r = exp(−2i/23370/). Para la simplicidad, nosotros ig- nore leves cambios en el coeficiente de reflexión para ent ondas planas en las funciones anteriores. Por lo tanto, es dado por (3) con ν = 1 para la polarización de la TM y π = η/4. Y m es el impulso definido por *(−)m l− 4° = 2°m. (18) Esta construcción conduce a la siguiente expresión: para la parte real de los números de onda [31] neff lRe(km,p) = 2η 2 + p2 = 2η(m+ (+) +O( 1 ). (19) Para comprobar la exactitud de las fórmulas anteriores trazamos en Fig. 9 funciones de onda cicatricial (17) con los mismos parámetros como los de la Fig. 8. Estos últimos se computaron numéricamente mediante la solución directa de las ecuaciones Helmholtz (6) pero la anterior se ve muy similar que apoya la validez de el modelo superscar. La parte real de los números de onda también se prueba. In Fig. 7 b) los estados de pérdida más bajos (con el mod- ulus de la parte imaginaria) con (− −) la simetría son presentado a lo largo de un intervalo mayor que en la Fig. 7 a). Los partes reales de estos estados se comparan con superscar pre- dictions (19) con p = 1, lo que conduce a un buen acuerdo. Para detectar pequeñas desviaciones de la fórmula teórica, trazamos en el conjunto de la Fig. 7 b) la diferencia entre una cantidad inferida de simulaciones numéricas y sus predicción superscar de (19). 2 + p2 . (20) De esta curva se deduce que esta diferencia tiende a cero con m aumentando, confirmando así la existencia de el término proporcional a p2. Ajustando esta diferencia con la expresión más simple a) b) FIG. 11: Familia periódica de órbitas de galerías susurrantes más simples para una cavidad pentagonal. a) La línea sólida indica la inscripción pentágono que es una órbita periódica aislada. Una órbita periódica en sus alrededores está trazado con una línea discontinua. Pertenece a la familia de la órbita periódica estelar de cinco puntos. La fundación... dominio tal está indicado en gris. b) Límite de la familia de la órbita periódica de las estrellas de cinco puntos. encontramos que c −6.9. Al restar esta corrección término de la diferencia (20), se obtiene la curva indi- con círculos llenos en inset de la fig. 7 b). El resultado es un orden de magnitud más pequeño que la diferencia Yo mismo. Todos estos cálculos confirman que las partes reales de los números de onda de resonancia para las cavidades dieléctricas cuadradas son bien reproducido en el límite semiclásico por el anterior fórmula superscar (19) y nuestros resultados experimentales pueden ser considerado como una confirmación experimental implícita de esta declaración. V. MICRO-CAVIDAD PENTAGONAL La fórmula de traza y los argumentos del modelo superscar pueden generalizar a todas las cavidades poligonales. El pentagonal el resonador proporciona una nueva prueba interesante. De hecho, debido a el número impar de lados, la órbita pentagonal inscrita (indicado por línea sólida en la Fig. 11 a)) está aislado. Los La familia de órbitas periódicas confinadas más cortas es dos veces más larga. Se representa con una línea discontinua en la Fig. 11 a) y puede ser mapeado en la órbita estelar de cinco puntos dibujada en Fig. 11 b) por deformación continua. En esta sección comparamos las predicciones del modelo superscar para esta familia periódica de órbitas con simulaciones numéricas y experimentos. Debido a la simetría C5v, las cavidades pentagonales sostienen 10 clases de simetría correspondientes a las rotaciones por 2η/5 y la inversión con respecto a uno de los sim- Eje de metría. Hemos estudiado numéricamente una simetría clase en la que las funciones de onda obedecen el Dirichlet- ary condiciones a lo largo de dos lados de un triángulo recto con ángulo η/5 (véase la Fig. 11 a) en gris). Los resultados de estos estudios Los cálculos se presentan en la Fig. 12. En cuanto a la cavidad cuadrada, los estados de pérdida más bajos son orga- En las familias. Las funciones de onda de los tres más bajos Las familias perdidas están planeadas en la Fig. 13 y su superscar La estructura es obvia. El cálculo de los estados puros del superscar puede ser por- 40 60 80 100 Re (a k) 8 12 16 20 −0.25 FIG. 12: a) Números de ondas para una cavidad pentagonal. a es la longitud lateral de la cavidad. Las tres familias más confinadas están indicados por líneas sólidas, rotas y largas. b) Las diferencia (28) entre la parte real de las cuasienergías y expresión superscar (25) para las tres familias indicadas en formado como en la sección anterior. La estrella de cinco puntas el canal orbital periódico se muestra en la Fig. 15. En este caso condiciones de frontera a lo largo de los límites horizontales de No se conoce el canal orbital riodico. Por analogía con su- formación de perscar en billar poligonal [22], imponemos que las funciones de onda tienden a cero a lo largo de estos límites cuando k → فارسى. Por lo tanto, una función de ondas superscar se propaga en- lado este canal toma la forma (x, y) = exp(iüx) sin( py)-(y)-(w − y), (22) donde w es el ancho del canal (para el cinco-punto órbita estelar w = un sin(/5) donde a es la longitud de la pluma- tagon side). (x) es la función Heavyside introducida aquí para enfatizar que las funciones superscar son cero (o pequeñas) fuera del canal de órbita periódica. Los valores cuantificados del impulso longitudinal, Se obtiene mediante la imposición de que la función (22) es periódico a lo largo del canal cuando todas las fases debido a la reflexión con los límites de la cavidad se toman en ac- cuenta °L = 2η . 23) Aquí M es un entero y L es la órbita periódica total longitud. Para la órbita estelar de cinco puntos (véase Fig. 11) L = 10a cos( ), (24) es la fase del coeficiente de reflexión dado por (3) con ν = 1 (para la polarización TM) y • = 3η/10. Para estos estados la parte real del número de onda es la a continuación nLRek = 2 +O( 1 ). (25) Función de onda dentro de la cavidad se obtienen por plegado volver a la función cicatriz (22) y elegir el correcto rep- resentido de la clase de simetría elegida. Cuando Dirich... que las condiciones de frontera se impongan a lo largo de dos lados de un triángulo derecho que pasa por el centro del pentágono (véase la Fig. 15), M debe escribirse como M = 5(2m) si p es impar y M = 5(2m − 1) si p es par. Entonces la ola función dentro del triángulo es la suma de dos términos * m, p(x, y) = pecado* mx py)-(y)-(w − y) + + sin(­mx ′ − 2) sin( η py′)(y′)(w − y′) (26) donde el impulso longitudinal es = 2η(m+ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (27) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • con = 0 para impares p y = 1/2 para pares p. x′ e y′ en (26) son coordenadas del punto simétrico de (x, y) con respecto a la inversión en el borde del pentágono. En el sistema de coordenadas cuando pasa el borde del pentágono a través del origen (como en la Fig. 15) x′ = x cos 2 y sin 2, y′ = x sin 2 y cos 2 es el ángulo de inclinación del pentágono lado con respecto al eje abscissa. Funciones de las ondas ob- se presentan en la Fig. 14. Corresponden al primero, segundo y tercero perpen- Excitaciones diiculares de la familia de órbita periódica de cinco estrellas (p = 1, 2, y 3). Comprobar el acuerdo entre calculado numéricamente partes reales de los números de onda y el superscar predic- tion (25) y (27), trazamos en la Fig. 12 b) lo siguiente: a) b) c) FIG. 13: Módulo cuadrado de funciones de onda para cavidad pentagonal con (− −) simetría calculada con simulaciones numéricas. a) ak = 104,7 − 0,017 i, b) ak = 102,2 − 0,05 i, c) ak = 105,0 − 0,12 i. a) b) c) FIG. 14: Módulo cuadrado de funciones de onda calculado dentro del modelo superscar y correspondiente a los parámetros de Fig. 13. FIG. 15: Desdoblamiento de la órbita periódica de cinco estrellas para una pluma- Cavidad tagonal. Líneas gruesas indican el triángulo inicial. diferencia No se aplica a los productos de la partida n.c.o.p., excepto a los productos de la partida n.c.o.p. Rekanum * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2 tan........................................................................................................ . (28) Para los estados puros de la cicatriz • = p2. Como nuestra simulación numérica... las ulaciones no han alcanzado el límite semiclásico (ver básculas en Figs. 7 y 12), nos pareció conveniente encajar numéricamente, la constante de. El mejor ajuste da 0.44, 2,33 y 5,51 para las tres familias más confinadas (para funciones de cicatriz pura esta constante es 1, 4, 9 respectivamente). El acuerdo es bastante bueno con una precisión relativa del orden de 10−4 (ver Fig. 12 b)). Independientemente de se indica el valor exacto de la longitud óptica total, nL, por (25) y conduce a una predicción experimental dos veces más larga que la longitud óptica del pentágono inscrito, que es una órbita periódica aislada y por lo tanto no puede basar superscar wavefunctions. La comparación con los experimentos confirma el superscar la naturaleza de los estados más confinados para res- onators. De hecho, el espectro y su Fourier transforman en Fig. 16 corresponden a un micro-láser pentagonal con lado a = 80 μm, y mostrar una órbita periódica con óptica longitud 1040 ± 30 μm a comparar con el de cinco estrellas longitud óptica nfull10a cos(/5) = 1061 μm. El acuerdo... Es mejor que el 2%. Este resultado es reproducible para cavidades del mismo tamaño. También se han probado otros tamaños. Para cavidades más pequeñas, la órbita estelar de cinco puntos no es identificable debido a la falta de de ganancia, mientras que para los más grandes es visible pero mezclado con órbitas periódicas no confinadas. Este efecto, no spe- cífico a pentágonos, se puede asignar a la contribución de diferentes familias de órbita periódica que se vuelven importantes cuando la ganancia de lasing supere las pérdidas refractivas. Lo haremos. describir este fenómeno en una publicación futura [24]. El buen acuerdo de las simulaciones numéricas y ex- periments con predicciones superscar da un adicional crédito a la validez de este enfoque, incluso para no trivial configuraciones. 6206156106056600 Longitud de onda (nm) 3.0x10 2,01.0,0 Longitud óptica (nm) FIG. 16: Espectro experimental de un microláser pentagonal de 80 μm de longitud lateral. Inset: Transformación de Fourier normalizado de el espectro expresado como intensidad versus número de onda. VI. MICRO-DISKS Las cavidades de microdisco son las más simples y ampliamente micro-resonadores usados. En el contexto de este trabajo, son de interés debido a la coexistencia de familias de órbita riodica con longitudes cercanas. Para índice bajo cavidades (n + 1,5) cada trayectoria regular del polígono con más de cuatro lados están confinados por un total de tion. En el círculo pasivo de aproximación bidimensional las cavidades lar son integrables y el espectro de estados estacionarios pueden ser calculados a partir de un condición de tisation J ′m(nkR) Jm(nkR) m (kR) m (kR) . 29).............................................................................................................................................................................................................................................................. Aquí R es el radio del disco, n el índice de refracción de la cavidad, y v = 1 (resp. v = n2) para el TM (resp. TE) polarización. Para cada número cuántico angular m, una secuencia infinita de soluciones, km,q, se deduce de (29). Están etiquetados por el número cuántico radial q. a) b) FIG. 17: a) Dos ejemplos de órbitas periódicas: el cuadrado y el pentágono. b) Dos representaciones del cuadro periódico órbita y el cáustico de esta familia en rojo. Para grande k los números de onda km,l se obtienen de una expresión semiclásica (véase, por ejemplo, [25]) y la densidad de Los Estados cuasi estacionarios (15) pueden ser probados como reescritos. diez como una suma sobre las familias de órbita periódica. La derivación de esta fórmula de traza asume sólo el semiclásico ap- proximación (kR 1) y se puede hacer de una manera similar al del caso del billar (véase, por ejemplo, [27]), lo que lleva a una expresión cerrada a (16) d(k) rpNp cos(nLpk−Np (2­p+) Aquí el índice p especifica una familia periódica de órbitas. Esta fórmula depende de la órbita periódica parame- ters: el número de rebotes en el límite, Np, el ángulo de incidente en el límite, χp, la longitud, Lp = 2NpR cos(χp), y el área cubierta por familia de órbitas, Ap = ηR 2 cos2(χp), que es el área incluido entre el cáustico y el límite (ver Fig. 17 b)). Es la fase del coeficiente de reflexión en cada rebote en el límite (véase Eq. (3)) y rp es su módulo. Para órbitas confinadas por reflexión interna total no dependen de kR en el límite semiclásico, y rp es exponencialmente cerca de 1 [25, 26]. A partir de (30) sigue: que cada órbita periódica se selecciona mediante un pesaje coeficiente cp = rpNp. Teniendo en cuenta la experiencia... valores mentales kR 1000, rp se puede aproximar a la unidad con una buena precisión para los periódicos confinados órbitas, y por lo tanto cp = depende sólo de la geometría cantidades. Fig. 18 muestra la evolución de cp para polígonos cuando el número de lados está aumentando. Como la crítica ángulo está cerca de 45°, el diámetro y el triángulo periódico órbitas no están confinados y la contribución dominante viene de la órbita periódica cuadrada. Así que podemos razonablemente concluir que el espectro (15) de un microdisco bidimensional está dominado por el cuadrado órbita periódica. El método experimental descrito en el anterior Se han aplicado secciones a microcavidades en forma de disco. Un espectro experimental típico se muestra en la Fig. 19 a). El primer pico de su transformación de Fourier (véase Fig. 19 b) 5,0 5,5 6,0 6,5 Longitud geométrica FIG. 18: Barras rojas verticales: coeficiente de cp para polígonos con- multada por reflexión interna total (cuadrado, pentágono, hexágono, etc.). La línea azul punteada indica la posición de la perímetro. inset) tiene un ancho finito procedente del experimento condiciones (discretización, ruido, etc...) y la contribución ciones de varias órbitas periódicas. Esta anchura está representada como barras de error en el gráfico 19 (b). La línea roja continua ajuste de los datos experimentales está rodeado por el salpicado línea verde y la línea azul punteada correspondiente a la longitud óptica del cuadrado y del hexágono, respectivamente, calculado con nfull = 1,64 como en las secciones anteriores. El perímetro (línea negra continua) se superpone con un gran parte de las barras de error que evidencian su contribución sión al espectro, pero no está cerca de ser experimental. datos. Estos resultados experimentales parecen estar de acuerdo. con las predicciones teóricas anteriores. Pero actu... alia estas resonancias, normalmente llamadas galería susurrante modos, están viviendo cerca de la frontera. Por lo tanto, ambos la rugosidad y los efectos tridimensionales deben tomarse en cuenta. En esta etapa es difícil evaluar y para medir correctamente dichas contribuciones para cada órbita. Para microdiscos de pequeño espesor (aproximadamente 0,4) μm) y diseñados con menor rugosidad, los resultados son: más o menos similares a las presentadas en la Fig. 19 b). VII. CONCLUSIÓN Demostramos experimentalmente que la longitud de la la órbita periódica dominante se puede recuperar de las especificaciones tra de micro-lásers con formas simples. Tomando en ac- contar diferentes correcciones de dispersión a la re- eficaz Índice frenético, un buen acuerdo con la teoría predic- ciones se ha evidenciado primero para el Fabry-Perot res- Onator. Entonces hemos probado las cavidades poligonales tanto con experimentos y simulaciones numéricas, y una buena acuerdo para las partes reales de los números de onda ha sido obtenido incluso para la configuración no trivial de la pluma- Cavidad tagonal. El dominio observado de las órbitas de corto plazo confinadas es, en general, una consecuencia de la fórmula traza y el 2000I 630620610600 Longitud de onda (nm) 7060504030 Radio (μm) 2.0x10 1,00,0 Longitud óptica (nm) FIG. 19: a) Espectro experimental de un microdisco de 30 μm radio. b) Longitud óptica frente a radio. Los experimentos (puntos rojos) están ajustados linealmente por la línea roja sólida. Los otras líneas corresponden a predicciones teóricas sin ninguna los parámetros ajustados: la línea verde rayada a la plaza, el línea azul punteada al hexágono, y la línea negra sólida a El perímetro. Inset: Transformación de Fourier normalizado de la espectro en (a) expresado como intensidad frente a número de onda. La formación de estados de larga vida en cavidades poligonales es re- tarde a una fuerte difracción en las esquinas de la cavidad. Por último, el estudio de los microdiscos pone de relieve el caso de varias órbitas y la influencia de la rugosidad y tres efecto dimensional. Nuestro estudio abre el camino a una exploración sistemática de propiedades espectrales al variar la forma del límite. Incrementando la precisión experimental incluso pequeños detalles de fórmulas de trazas serán accesibles. La mejora de la calidad de grabado suprimirá las fugas debido a se enfrentan a la rugosidad y conducen a una medida de la diffractive pérdidas de modo que deben depender de las clases de simetría. Desde el punto de vista de la tecnología, permitirá la predicción del diseño del resonador en función de la ap- plicaciones. Desde un punto de vista más fundamental de la física, puede contribuir a una mejor comprensión de la billar eléctrico. VIII. AGRADECIMIENTOS Los autores agradecen a S. Brasselet, R. Hierle, J. Lautru, C. T. Nguyen y J.-J. Vachon para experimentación y el apoyo tecnológico y a C.-M. Kim, O. Bohi- gas, N. Sandeau, J. Szeftel, y E. Richalot debates. [1] A.E. Siegman, Láseres, (Libros de Ciencias de la Universidad, Molino) Valley, California, 1986). [2] K. Vahala (ed.), Microcavidades ópticas (World Scientific Publishing Company 2004). [3] E. Krioukov, D.J. W. Klunder, A. Driessen, J. Greve, y C. Otto, Opt. Lett. 27, 512 (2002). [4] A. M. Armani y K. J. Vahala, Opt. 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Zeta function and cryptographic exponent of supersingular curves of genus 2

FUNCIÓN DE ZETA Y GASTO CRIPTOGRAFÍA DE CURVOS SUPERIORES DE GENUS 2 GABRIEL CARDONA Y NART ENRIC Resumen. Calculamos de una manera directa (no algorítmica) la función zeta de todas las curvas supersingulares del género 2 sobre un campo finito k, con muchas geometrías automorfismos. Exhibimos estos cálculos en un apéndice donde seleccionar una familia de representantes de todas estas curvas hasta k-isomorfismo y exhibimos ecuaciones y la función zeta de todos sus k/k-twists. Como un aplicación obtenemos un cálculo directo del exponente criptográfico de los jacobinos de estas curvas. Introducción Diffie-Hellman tripartito de una ronda, cifrado basado en la identidad, y corto digital las firmas son algunos de los problemas para los que se han encontrado recientemente buenas soluciones, hacer uso crítico de los emparejamientos en variedades abelianas supersingulares sobre un campo finito k. El exponente criptográfico cA de una variedad abeliana supersingular A es una media- entero que mide la seguridad contra un ataque al problema DL basado en los emparejamientos de Weil o Tate. Además, es relevante determinar cuándo los emparejamientos pueden ser computado eficientemente. Rubin y Silverberg mostraron en [RS04] que esta invariante es determinado por la función zeta de A. En este artículo damos un procedimiento directo, no algorítmico para calcular el zeta función de una curva supersingular del género 2, proporcionando así un cálculo directo de el exponente criptográfico de su jacobino. Esto se logra en la Secc. 1. Por pares características de los resultados se basan en [MN06] y se resumen en el cuadro 2; característica impar que utilizamos los resultados de Xing y Zhu en la estructura del grupo de k-racional puntos de una superficie abeliana supersingular y casi determinamos el función zeta en términos de la estructura de Galois del conjunto de Weierstrass puntos de la curva (cuadros 3, 4). En el resto del artículo obtenemos una respuesta completa en el caso de curvas con muchos automorfismos. En Secc. 2 estudiamos la información adicional proporcionado por estos automorfismos y mostramos cómo obtener los datos relevantes para calcular la función zeta de una curva retorcida en términos de datos de la curva original y el 1-cociclo que define el giro. En Secc. 3 seleccionamos una familia de representantes de estas curvas hasta k-isomorfismo y aplicamos las técnicas del anterior sección para tratar con cada curva y todos sus k/k-twists. Los resultados se muestran en un apéndice en forma de cuadros. En lo que se refiere a las aplicaciones criptográficas de los emparejamientos, curvas con muchos au- tomorfismos son interesantes también porque son candidatos naturales para proporcionar Los autores reconocen el apoyo de los proyectos MTM2006-15038-C02-01 y MTM2006- 11391 del MEC español. http://arxiv.org/abs/0704.1951v1 mapas de distorsión en el jacobino. A este respecto, el cálculo de la función zeta es un paso necesario para estudiar la estructura del anillo de endomorfismo de la Jacobiano (cf. [GPRS06]). 1. Función Zeta y exponente criptográfico Dejar p ser un número primo y dejar k = Fq ser un campo finito de la característica p. Denotamos por kn la extensión del grado n de k en un cierre algebraico fijo k, Gk := Gal(k/k) es el grupo absoluto de Galois de k, y automorfismo. Que C sea una curva proyectiva, lisa, geométricamente irreductible, supersingular de El género 2 definido sobre k. El jacobiano J de C es una superficie abeliana supersingular sobre k (el subgrupo de torsión p de J(k) es trivial). Recordemos cómo es la supersingularidad reflejado en un modelo de la curva C: Teorema 1.1. Si p es impar, cualquier curva del género 2 definida sobre k admite una afina Modelo de Weierstrass y2 = f(x), con f(x) un polinomio separable en k[x] de grado 5 o 6. La curva es supersingular si y sólo si M (p)M = 0, donde M, M (p) son los matrices: cp−1 cp−2 c2p−1 c2p−2 , M (p) = p−1 c 2p−1 c , f(x)(p−1)/2 = Si p = 2 una curva del género 2 definida sobre k es supersingular si y sólo si admite un modelo afín de Artin-Schreier y2 + y = f(x), con f(x) un polinomio arbitrario en k[x] de grado 5. Para la primera declaración, véase [Yui78] o [IKO86], para la segunda, véase [VV92]. Para cualquier simple variedad abeliana supersingular A definida sobre k, Rubin y Silver- berg computado en [RS04] el exponente criptográfico cA, definido como el medio entero tal que qcA es el tamaño del campo más pequeño F tal que cada subgrupo cíclico de A(k) puede ser incrustado en F*. Esto invariante refina el concepto de incrustar de- gree, anteriormente introducido como una medida de la seguridad de la variedad abeliana contra los ataques al DLP utilizando el emparejamiento de Weil [MOV93] o el emparejamiento de Tate [FR94] (véase, por ejemplo, [Gal01]). Recordemos el resultado de Rubin-Silverberg, adaptado a la dimensión dos caso. Después de los resultados clásicos de Tate y Honda, la clase de isogenia de A está determinada por el polinomio de Weil de A, fA(x) = x 4 + rx3 + sx2 + qrx + q2 + Z[x], que es el polinomio característico del endomorfismo Frobenius de la superficie. Por A supersingular las raíces de fA(x) en Q son de la forma q فارسى, donde q es el positivo la raíz cuadrada de q y Ł es una raíz primitiva m-th de la unidad. Teorema 1.2. Supongamos que A es una superficie abeliana supersingular simple sobre Fq y que l > 5 sea cualquier número primo dividiendo A(Fq). Entonces, el medio entero más pequeño cA tal que qcA − 1 es un entero divisible por l es dado por m/2, si q es un cuadrado, m/(2,m), si q no es un cuadrado. En particular, el exponente criptográfico cA es un invariante de la clase isogenia de A. La lista completa de clases de isogenia supersingular simple de superficies abelianas se puede encontrar en [MN02, Thm. 2.9]. Es sencillo descubrir la raíz m-th de unidad en cada caso. En la Tabla 1 se muestra el cálculo de cA. Cuadro 1 Cryptographic exponente cA del simple supersingular superficie abeliana A con polinomio de Weil fA(x) = x 4 + rx3 + sx2 + qrx + q2 (r, s) condiciones en p y q cA (0,−2q) q nonsquare 1 (0, 2q) q square, p. 1 (mod 4) 2 q, 3q) q square, p 1 (mod 3) 3/2 (−2oq, 3oq) q square, pág. 1 (mod 3) 3 (0, 0) (q nonsquare, p 6 = 2) o (q square, p 6 ° 1 (mod 8)) 4 (0, q) q nonsquare 3 (0,–q) (q nonsquare, p 6=3) o (q cuadrado, p 6–1 (mod 12)) 6 q, q) q square, p 6o 1 (mod 5) 5/2 (q, q) q square, p 6­1 (mod 5) 5 5q, 3q) q nonsquare, p = 5 5 2q, q) q nonsquare, p = 2 12 Por lo tanto, el cálculo del exponente criptográfico del jacobino J de una curva supersingular C equivale al cálculo del polinomio de Weil de J, que está relacionado de una manera bien conocida con la función zeta de C. Llamaremos fJ(x) el polinomio Weil de C también. El cálculo de fJ(x) ha merecido mucha atención porque para el crypto- aplicaciones gráficas se necesita conocer la cardenalidad J(Fq) = fJ(1) del grupo de los puntos racionales de los jacobinos. Sin embargo, en el caso supersingular la corriente Los algoritmos de “puntos de cuenta” no son necesarios porque hay maneras más directas para calcular el polinomio fJ(x). El objetivo de esta sección es presentar estos métodos explícitos, que toman una diferente forma para p impar o incluso. Para p = 2 el cálculo de fJ(x) es un inmediato consecuencia de los métodos de [MN06], basados en ideas de van der Geer-van der Vlugt; para p > 2 derivamos nuestros resultados de la estructura de grupo de J(Fq), determinado en [Xin96], [Zhu00], y del conocimiento exacto de lo que las clases isogenias de Abelian las superficies contienen jacobinos [HNR06]. En ambos casos demostraremos que fJ (x) es casi determinado por la estructura como un conjunto Galois de un subconjunto finito de k, fácil de calcular a partir de la ecuación definitoria de C. 1.1. Computación de la función Zeta cuando p = 2. Denotamos simplemente por tr el rastro absoluto trk/F2. Recordemos que ker(tr) = {x + x2 x k} es un F2-lineal subespacio de k de codimensión 1. Cada curva supersingular supersingular proyectiva suave geométricamente irreductible C del género 2 definido sobre k admite un modelo afín de Artin-Schreier del tipo: C : y2 + y = ax5 + bx3 + cx+ d, a â € k*, b, c, d â € k, que tiene sólo un punto en el infinito [VV92]. El cambio de variables y = y + u, u â € k, nos permite suponer que d = 0 o d = d0, con d0 â € k\ker(tr) fijo. Torsión C por el giro hiperelíptico consiste en añadir d0 a la ecuación definitoria. Si nosotros denotar por J ′ el jacobino de la curva torcida tenemos fJ′(x) = fJ(−x). Por lo tanto, para el cálculo de fJ(x) podemos asumir que d = 0. La estructura como un conjunto de Gk del conjunto de raíces en k del polinomio P (x) = a2x5 + b2x+ a k[x] casi determina la función zeta de C [MN06,Sect.3]. Cuadro 2 Weil polinomio x4 + rx3 + sx2 + qrx+ q2 de la curva y2+ y = ax5+ bx3+ cx, para q nonsquare (izquierda) y q square (derecha) P (x) N, M (r, s) (1)(4) N = 0 (± 2q, 2q) N = 1 (0, 0) (2)(3) M = 0 (± 2q, q) M = 1 (0, q) N = 0 (±2 2q, 4q) (1)3(2) N = 1 (0, 2q) N = 2 (0, 0) N = 3 (0,−2q) P (x) N, M (r, s) 5) (q, q) N = 0 (0,−q) (1)2(3) N = 1 (0, q) N = 2 (±2°q, 3°q) M = 0 (±2oq, 2oq) (1)(2)2 M = 1 (0, 0) M = 2 (0, 2q) N = 1 (0,−2q) (1)5 N = 3 (0, 2q) N = 5 (±4oq, 6oq) En la Tabla 2 escribimos P (x) = (n1) r1(n2) r2 · · · (nm)rm para indicar que ri de la Los factores irreducibles de P (x) tienen grado ni. Además, consideramos el operador lineal T (x) := tr((c+ b2a−1)x) y definimos N := número de raíces z â € k de P (x) s.t. T (z) = 0, M := número de irred. Factores cuadráticos x2 + vx+ w de P (x) s.t. T (v) = 0. La ambigüedad del signo de r se puede resolver computando nD en el jacobiano, donde n es uno de los valores presuntos de J(Fq) y D es un divisor racional aleatorio de grado 0. 1.2. Computación de la función Zeta cuando p es impar. Deja que A sea un super- superficie abeliana singular sobre k y dejar rk2(A) := dimF2(A [2](k)). La estructura de A(k) como grupo abeliano fue estudiada en [Xin96], [Zhu00], donde está probado que está casi determinado por la clase de isogenía de A. De hecho, si Fi(x) son los diferentes factores irreducibles de fA(x) en Z[x]: fA(x) = Fi(x) ei, 1 ≤ s ≤ 2 = A(k) si=1 (Z/Fi(1)Z) salvo en los casos siguientes: a) p • 3 (mod 4), q no es un cuadrado y fA(x) = (x2 + q)2, (b) p • 1 (mod 4), q no es un cuadrado y fA(x) = (x2 − q)2. c) q es un cuadrado y fA(x) = (x) 2 − q)2. La posible estructura de A k) en los casos a) y b) es la siguiente: A(k) (Z/F (1)Z)m (Z/(F (1)/2)Z® Z/2Z)n, donde F (x) denota respectivamente x2 + q, x2 − q y m, n son enteros no negativos Tal que m+ n = 2 [Zhu00, Thm. 1.1]. En el caso c) tenemos: A(k) (Z/(q − 1)/2)Z2 (Z/2Z)2, o A(k) (Z/(q − 1)/2m)Z)® (Z/(q − 1)/2n)Z)® (Z/2m+nZ) donde 0 ≤ m, n ≤ v2(q − 1) [Xin96, Thm. 3]. En este último caso tenemos rk2(A) > 1; de hecho, v2(1 − q) + v2(1 + q) = v2(1 − q) = (1/2)v2(F (1)) y podemos aplicar [Xin96, Lem. 4] para concluir que A(k) tiene un subgrupo isomórfico a (Z/2Z)2. Cuadro 3 Weil polinomio x4 + rx3 + sx2 + qrx+ q2 de la curva C cuando q no es cuadrado. El signo es el símbolo de Legendre (−1/p) W p rk2(J) (r, s) 1) 6 o 1) 4 2) 4, 3 (0, -2q) (1)2(2)2 o (2)3 2 (0,±2q) 1)3(3) 2 no es posible (1)(2)(3) p > 3 1 no es posible p = 3 (± 3q, 2q) (1)2(4) o (2)(4) 1 (0, 0) (1)(5) p 6= 5 0 no es posible p = 5 (± 5q, 3q) (mod 3) (0, q) (3)2 p • −1 (mod 3) 0 (0, •q) p = 3 no es posible (6) p فارسى −1 (mod 3) 0 (0,±q) − 1 (mod 3) (0, q) Considerar ahora una curva supersingular C del género 2 definida sobre k, dada por un Ecuación de Weierstrass y2 = f(x), para algunos polinomios separables f(x) k[x] de grado 5 ó 6. Que J sea su variedad jacobiana, W = {P0, P1, P2, P3, P4, P5} C(k) el conjunto de Weierstrass puntos de C, y W (k) W el subconjunto de puntos de k-racional Weierstrass. Nuestro objetivo es mostrar que la estructura de W como un conjunto de Gk contiene suficiente información sobre el valor 2-ádico de C(k) y J(k) para casi determinar el polinomio fJ(x) = x4 + rx3 + sx2 + qrx+ q2. De las identidades fundamentales C(k) = q + 1 + r, J(k) = fJ(1) = (q2 + 1) + (q + 1)r + s, y la libre acción de la involución hiperelíptica en C(k) \W (k) obtenemos (1) r W (k) (mod 2), s J(k) (mod 2). Por otra parte, J [2] está representada por las clases de los 15 divisores: Pi − P0, 1 ≤ i ≤ 5, y Pi + Pj − 2P0, 1 ≤ i < j ≤ 5, junto con la clase trivial. Lemma 1.3. Dejar D = Pi − Pj, con i 6 = j, o D = Pi + Pj − 2P0, con 0, i, j En pareja diferente. Entonces, la clase del divisor D es k-racional si y sólo si Pi, Pj son ambos conjugados k-racional o cuadrático. Por lo tanto, la estructura de Galois de W determina rk2(J) y esto limita el posible valores de la función zeta de C. Nuestros resultados finales se dan en las Tablas 3, 4, donde escribimos W = (n1) r1(n2) r2 · · · (nm)rm para indicar que hay ri Gk-órbitas de longitud ni de Weierstrass puntos. Si f(x) tiene grado 6 esta estructura de Galois imita la descomposición f(x) = (n1) r1(n2) r2 · · · (nm)rm (la misma notación que en la Secc. 1.1) de f(x) en un producto de polinomios irreducibles k[x]. Si f(x) tiene grado 5 entonces W = (1)f(x), porque en estos modelos el punto en el infinito es un Weierstrass k-racional punto. La prueba del contenido de las Tablas 3 y 4 es elemental, pero larga. En lugar de dando todos los detalles sólo esbozamos las ideas principales: Cuadro 4 Weil polinomio x4 + rx3 + sx2 + qrx+ q2 de la curva C cuando q es un cuadrado W p rk2(J) (r, s) (1)6 4 (0,−2q) o (±4oq, 6q) (1)4(2) 3 (0,−2q) (1)2(2)2 o (2)3 2 (0,±2q) (1)3(3) p > 3 2 no es posible p = 3 (q, 0) 1) 2) 3) 1 no es posible (1)2(4) o (2)(4) p. 1 (mod 8) 1 no es posible (mod 8) (0, 0) (1)(5) p. 1 (mod 5) 0 no es posible (mod 5) (q, q) (3)2 (0, q) o (±2oq, 3oq) (6) p. 5 (mod 12) 0 (0,±q) (mod 12) (0, q) (I) Waterhouse determinó todas las clases posibles de isogenia de elíptica supersingular curvas [Wat69]. Por lo tanto, es posible escribir todas las clases isogénicas de supersingular superficies abelianas añadiendo a las clases simples que figuran en el cuadro 1 la isógena dividida clases. Por [HNR06] sabemos exactamente lo que las clases isogénicas de superficies abelianas hacen no contienen jacobinos y pueden ser eliminados de la lista. Por los resultados de Xing y Zhu podemos distribuir las clases de isogenía restantes de acuerdo con la posible valores de rk2. (II) Cada estructura de W como un conjunto de Gk determina el valor de rk2 y, después (I), tiene un número reducido de posibilidades para las clases de isogenia. Usando (1) y buscando cierta incoherencia en el comportamiento bajo extensión escalar a k2 o k3 de ambos, la estructura de Galois de W y las posibles clases de isogenia asociadas, podemos todavía descartan algunas de estas posibilidades. En la práctica, entre las pocas posibilidades que quedan en las Tablas 3 y 4 podemos destacar la clase isogenia del jacobino de cualquier curva supersingular dada computando iteraciones de divisores aleatorios de grado cero. Sin embargo, si C tiene muchos automorfismos proporcionan suficiente información adicional para determinar completamente la función zeta. Esto se llevará a cabo en el resto del periódico. En el Apéndice mostramos ecuaciones de las curvas supersingulares con muchos automorfismos y su Weil polinomio. 2. Función Zeta de los Twists En esta sección revisamos algunos hechos básicos sobre los giros y mostramos cómo calcular las diferentes propiedades de una curva retorcida en términos de la definición de 1-cociclo. A partir de ahora en el campo de tierra k tendrá características extrañas. Dejar C ser una curva supersingular del género 2 definido sobre k y dejar W C(k) ser el conjunto de Weierstrass puntos de C. Denotamos por Aut(C) el automorfismo k grupo de C y por Autk(C) el grupo de automorfismo completo de C. Let : C P1 ser un k-morfismo fijo de grado 2 y considerar el grupo de Automorfismos geométricos reducidos de C: (C) := {u′ Autk(P) 1) u′(Ł(W )) = Ł(W )}. Denotamos por Aut′(C) el subgrupo de automorfismos reducidos definidos sobre k. Cualquier automorfismo u de C encaja en un diagrama conmutativo: // P1 para cierto automorfismo reducido determinado de forma única u′. El mapa u 7→ u′ es un homomorfismo de grupo (dependiendo de Ł) y tenemos una secuencia exacta central de grupos compatibles con la acción de Galois: 1 {1, Autk(C) Aut′ (C) 1, donde se encuentra la involución hiperelíptica. Esto lleva a una larga secuencia exacta de Galois juegos de cohomología: (2) 1 → {1, → Aut(C) Aut′(C) H1(Gk, {1, ) → H1(Gk,Autk(C)) → → H1(Gk,Aut′k(C)) → H 2 Gk, {1, ) Br2(k) = 0. Los k/k-twists de C están parametrizados por el conjunto en punta H1(Gk,Autk(C)) y, puesto que k es un campo finito, un 1-cociclo se determina sólo por la elección de un automorfismo v • Autk(C). La curva retorcida Cv asociada a v se define sobre k y está determinado, hasta k-isomorfismo, por la existencia de un k-isomorfismo f : C Cv, de tal manera que f−1f = v. Por ejemplo, la elección v = ^ corresponde al giro hiperelíptico C′; si C es dado por una ecuación de Weierstrass y2 = f(x) entonces C′ admite el modelo y2 = tf(x), para t k(k*)2. Decimos que C es auto-dual si es k-isomórfico a su giro hiperelíptico. Si fJ(x) es el polinomio de Weil de C, el polinomio de Weil de C ′ es fJ′(x) = fJ(−x); en particular, para una curva auto-doble uno tiene fJ(x) = x 4+ sx2+ q2 para algunos enteros s. Es fácil deducir de (2) el siguiente criterio para la autodualidad: Lemma 2.1. La curva C es auto-dual si y sólo si Aut′(C) = Aut(C). Uno puede calcular fácilmente los datos Aut(Cv), Aut ′(Cv) de la curva retorcida Cv, en términos de Autk(C), Aut (C) y el 1-cociclo v. Let f : C Cv ser un isomorfismo geométrico tal que f - 1f Autk(Cv) = f Autk(C)f −1, y el grupo k-automorfismo es (3) Aut(Cv) = {fuf−1 u • Autk(C), u v = v u Una vez que fijamos cualquier k-morfismo de grado dos, Łv : Cv P1, determina un único automorfismo geométrico f ′ de P1 de tal manera que Łvf = f Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. El grupo reducido de k-automorfismos de Cv es (4) Aut′(Cv) = {f ′u′(f ′)−1 u′ Aut′k(C), u ′ v′ = v′(u′). Para calcular la función zeta de Cv consideramos el isomor geométrico- phism f : J Jv inducido por f. Todavía tenemos f - 1fe = v*, donde v* es el automorfismo de J inducido por v. Claramente, ηvf = f , donde η, ηv son los respec- tiva q-poder Frobenius endomorfismos de J, Jv. Por lo tanto, f−1γvf = f −1f/23370/(f/23370/)−1ηvf = v. En particular, ηv tiene el mismo polinomio característico que v. De este hecho se pueden deducir dos resultados cruciales (cf. [HNR06, Props.13.1,13.4]). Proposición 2.2. Supongamos que q es un cuadrado. Dejar C ser una curva de género 2 supersingular sobre k con polinomio de Weil (x + q)4 y dejar v ser un automorfismo geométrico de C, v 6 = 1, i. A continuación, se determina el polinomio Weil x4+rx3+sx2+rx+q2 de Cv como sigue en términos de v (en la columna v6 = 1 suponemos v2 6 = 1, v3 6 = 1, i): v v2= 1 v2= { v3= 1 v3= { v4= ^ v5= 1 v5= { v6= 1 v6= ^ (r, s) (0,−2q) (0, 2q) (−2oq, 3q) (2oq, 3q) (0, 0) (oq, q) (oq, q) (0, q) (0,−q) Proposición 2.3. Suponga que q no es cuadrado. Dejar C ser una curva de género 2 supersingular sobre k con polinomio de Weil (x2 + â € ~ q)2, â € ~ {1,−1}, y dejar v ser un geométrico automorfismo de C. Luego, el polinomio Weil x4 + rx3 + sx2 + rx + q2 de Cv es determinado de la siguiente manera en términos de la orden n del automorfismo vv n 1 2 3 4 6 (r, s) (0, 2°q) (0, -2°q) (0, q) (0, 0) (0, q) Al aplicar estos resultados, la propiedad de la transitividad de los giros puede ser útil. Lemma 2.4. Let u, v ser automorfismos de C y let f : C → Cv ser un geométrico isomorfismo con f−1f = v. Entonces la curva Cu es el giro de Cv asociado a el automorfismo fuv−1f−1 de Cv. Para una curva con un grupo grande de k-automorfismo la siguiente observación, juntos con las Tablas 3 y 4, determina en algunos casos la función zeta: Lemma 2.5. Dejar F C(k) ser el subconjunto de puntos k-racionales de C que se fijan por algún k-automorfismo no trivial de C. Entonces, C(k) F (mod Aut(C)). Prueba. El grupo Aut(C) actúa libremente en C(k) \ F. Tenga en cuenta que F contiene el conjunto W (k) de k-racional Weierstrass puntos, todos ellos fijado por la involución hiperelíptica de C. Para aplicar este resultado a la curva retorcida Cv necesitamos calcular la Gk-set estructura de Wv y Fv solamente en términos de v. Lemma 2.6. (1) Para cualquier P • W la longitud de la Gk-órbita de f(P ) • Wv es el número entero positivo mínimo n de tal manera que v v Wv(k) = P W v(P ) = P. (2) El mapa f−1 establece una bijección entre Fv y el conjunto {P C(k) v(P ) = P = u(P) para unos 1 6= u Autk(C), s.t. u v = v u. 3. Curvas supersingulares con muchos automorfismos Para varias aplicaciones criptográficas del emparejamiento Tate el uso de distor- Los mapas de las ciones son esenciales. Un mapa de distorsión es un endomorfismo de los jacobinos J de C que proporciona una entrada para la cual el valor del emparejamiento no es trivial: el(D1, •(D2)) 6= 1 para algunos divisores de torsión de l fijos D1, D2. La existencia de Tal mapa está garantizado, pero en la práctica es difícil encontrarlo de una manera eficiente. Por lo general, se puede empezar con una curva C agradable con muchos automorfismos, considerar un automorfismo concreto u 6 = 1, u 6 = ^, y buscar un mapa de distorsión End(J), donde η es el endomorfismo Frobenius de J y u* es el automorfismo del jacobino inducido por u. Si Z[l, u*] = End(J) es altamente Es probable que se encuentre un mapa de distorsión. Si Z[l, u*] 6= End(J) puede ser difícil problema para probar que algún buen candidato es un mapa de distorsión, pero al menos uno es capaz de la mayoría de las veces de encontrar un “denominador” m tal que más yace en el subrengÃ3n En este caso, si se puede utilizar mà como mapa de distorsión en los divisores de Orden l. Varios ejemplos se discuten en [GPRS06]. El objetivo de esta sección es exhibir todas las curvas supersingulares del género 2 con muchos automorfismos, describir sus automorfismos, y calcular el carácter- polinomio istico de η, que es siempre un ingrediente necesario para analizar la estructura del anillo Z[l, u*]. Recuerde que se dice que una curva C tiene muchos auto- morfismos si tiene algún automorfismo geométrico que no sea la identidad y el Involución hiperelíptica; en otras palabras, si Autk(C) > 2. Igusa encontró ecuaciones para todas las curvas geométricas del género 2 con muchos automor- phisms, y agrupó estas curvas en seis familias de acuerdo con la posible estructura- tura del grupo del automorfismo [Igu60], [IKO86]. Cardona y Quer encontraron una fe... sistema completo de representantes de todas estas curvas hasta el k-isomorfismo y dieron condiciones para asegurar la estructura exacta del grupo de automorfismo de cada modelo de hormigón [Car03], [CQ06]. El siguiente teorema resume estos resultados. Teorema 3.1. Cualquier curva del género 2 con muchos automorfismos es geométricamente isomórfico a una y sólo una de las curvas en estas seis familias: Ecuación de C Aut′ C) Autk(C) y2 = x6 + ax4 + bx2 + 1 a, b satisfacer (5) C2 C2 × C2 y2 = x5 + x3 + ax a 6= 0, 1/4, 9/100 C2 × C2 D8 y2 = x6 + x3 + a p 6= 3, a 6= 0, 1/4, −1/50 S3 D12 y2 = ax6 + x4 + x2 + 1 p = 3, a 6 = 0 S3 D12 y2 = x6 − 1 p 6= 3, 5 D12 2D12 y2 = x5 − x p 6 = 5 S4 S p = 5 PGL2(F5) S y2 = x5 − 1 p 6= 5 C5 C10 (5) (4c3−d2)(c2−4d+18c−27)(c2−4d−110c+1125) 6= 0, c := ab, d := a3+ b3. Ibukiyama-Katsura-Oort determinado, utilizando el teorema 1.1, cuando los últimos tres Las curvas son supersingulares [IKO86, Props. 1.11, 1.12, 1.13]: y2 = x6 − 1 es supersingular iff p فارسى −1 (mod 3) y2 = x5 − x es supersingular iff p 5, 7 (mod 8) y2 = x5 − 1 es supersingular iff p Karabaj 2, 3, 4 (mod 5) Es inmediato comprobar que y2 = ax6 + x4 + x2 + 1 nunca es supersingular si p = 3. Uno puede aplicar Teorema 1.1 a las otras curvas en las tres primeras familias a distinguir los supersingulares. Teorema 3.2. Supongamos q es un cuadrado y dejar que C sea una curva supersingular perteneciente a una de las cinco primeras familias de Teorema 3.1. Luego hay un giro de C con Weil polinomio (x+) q)4, y este giro es único. Prueba. Dejar E ser una curva elíptica supersingular definida sobre Fp. Por [IKO86, Prop. 1.3] el jacobino J de C es geométricamente isomórfico al producto de dos supersin- curvas elípticas gulares, que a su vez es isomórfica a E×E por un teorema bien conocido de Deligne. La superficie principalmente polarizada (J.o) es así geométricamente isomórfica. a (E × E, Puesto que E tiene todos los endomorfismos definido sobre Fp2, (E × E, ) se define sobre Fp2 y por un resultado clásico de Weil es Fp2 -isomórfico al jacobino canónicamente polarizado de una curva C0 definida sobre Fp2. Por Torelli, C0 es un giro de C. El polinomio de Weil de C0 es (x ± porque el polinomio Frobenius de E es x2 + p. El hecho de que C0 y C 0 son los giros únicos de C0 con polinomio de Weil (x ± q)4 es consecuencia de la Proposición 2.2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Corolario 3.3. En los mismos supuestos: (1) El polinomio de Weil de C es (xÃ3q)4 si y solamente si W = (1)6. (2) Si C pertenece a una de las tres primeras familias de Teorema 3.1, entonces admite sin torsión con Weil polinomio x4 ± qx2 + q2 o x4 + q2. (3) Si cualquiera de las curvas y2 = x5 + x3 + ax, y2 = x6 + x3 + a es supersingular a continuación, un â € ¢ Fp2. Prueba. (1) En el cuadro 4, el conjunto W0 de Weierstrass puntos de C0 tiene Gk-estructura W0 = (1) 6 y Lemma 2.6 muestra que para todos los automorfismos v 6= 1, Wv 6= (1)6; por lo tanto, sólo los giros C0 y C′0 tienen W = (1)6. (2) Los automorfismos geométricos v de C0 no satisfacen ni v 6 = 1, v2 6 = 1, v3 6 = 1, i, ni v6 = i, ni v4 = i; así, por la Proposición 2.2 el polinomio de Weil de un giro de C0 no es ni x 4 ± qx2 + q2 ni x4 + q2. (3) Los invariantes de Igusa de C0 toman valores en Fp2 y a pueden expresarse en términos de estos invariantes [CQ05]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En una serie de artículos Cardona y Quer estudiaron las posibles estructuras de la sets apuntados H1(Gk,Autk(C)) y se encontraron representantes v • Autk(C) (identificados a 1-cociclos de H1(Gk,Autk(C)) de los giros de todas las curvas con muchos automor- phisms [Car03], [CQ05], [Car06], [CQ06]. En las subsecciones siguientes computamos la función zeta y el número de k-automorfismos de estas curvas cuando son supersingular. Una estrategia general que funciona en la mayoría de los casos es aplicar la técnicas de la Secc. 2 para encontrar un giro de C con polinomio de Weil (x ± Łq)4 (para q cuadrado) o (x2±q)2 (para q nonsquare) y aplicar entonces las Proposiciones 2.2, 2.3 para obtener la función zeta de todos los demás giros de C. Los resultados se muestran en el Apéndice en forma de tablas, donde exhibimos además una ecuación de cada curva. 3.1. Twists de la curva C : y2 = x5 − 1, para p 6-0, 1 (mod 5). Tenemos (W) = μ5 y Aut′k(C) μ5. La función zeta de C se puede calcular de los cuadros 3,4 y Lemma 2.5 aplicados a Ck2. Si la q 6o 1 (mod 5) los únicos giros son C, C′. Si q فارسى 1 (mod 5) hay diez giros y su función zeta puede ser deducido de la Proposición 2.2. En el cuadro 5 se resumen todos los cálculos. 3.2. Twists de la curva C : y2 = x5 − x, para p • 5, 7 (mod 8). Ahora (W) = , 0, ±1, ±i}. Si p = 5 tenemos Aut′ (C) = Aut(P1). Si p 6= 5 el grupo Aut′ es isomórfico a S4 y se genera por las transformaciones T (x) = ix, S(x) = , con relaciones S3 = 1 = T 4, ST 3 = TS2. Para q nonsquare la función zeta de C se determina por la Tabla 3; ya que la curva se define sobre Fp obtenemos la zeta función de C sobre k por extensión escalar. En todos los casos podemos aplicar las Proposiciones 2.2 y 2.3 para determinar la función zeta de los giros de C. Tablas 6, 7, 8 resumen todos los cálculos. 3.3. Twists de la curva C : y2 = x6 − 1, para p فارسى −1 (mod 3), p 6= 5. Tenemos (W ) = μ6 y Aut (C) = x, x,2x,±1 }, donde η • Fp2 es un la tercera raíz primitiva de la unidad. La función zeta de C se puede calcular a partir de las tablas 3,4 y Lemma 2.5 aplicadas a C y Ck2. La función zeta de todos los giros puede ser determinada por Proposiciones 2.2, 2.3. En los cuadros 9, 10 se resumen todos los cálculos. 3.4. Twists de la curva supersingular C : y2 = x6 + x3 + a, para p > 3. Recordar que a es un valor especial haciendo la curva C supersingular y un 6= 0, 1/4, −1/50. Ahora sí. (W) =,, η2o, A }, Aut′ (C) = {x, ηx, η2x, A en los que A, z, Ł k satisfacen A3 = a, z2 + z + a = 0, Ł3 = z. La acción de Galois sobre W y sobre Aut′ (C) depende de z y a/z siendo cubos o no en su campo mínimo de definición k* o (k2) ∗. Esto está determinado por el hecho que a es un cubo o no. Lemma 3.4. Si a es un cubo en k* entonces z, a/z son ambos cubos en k* o en (k2) de acuerdo con 1− 4a (k*)2 siendo un cuadrado o no. Si a no es un cubo en k* entonces z, a/z son ambos no picos en k* o en (k2) ∗, según a 1 - 4a (k*)2 siendo un cuadrado o no. Prueba. Comprobemos que todas las situaciones excluidas por la declaración conducen a W = (1)3(3) o Wv = (1) 3 (3) para algún giro, en contradicción con las Tablas 3, 4. Suponga q • −1 (mod 3). Si 1− 4a es un cuadrado, entonces a, z, a/z son todos cubos en k*. Si 1 − 4a no es un cuadrado entonces a es un cubo y si z, ze no son cubos en k2 tenemos = (A/l), con 3 = 1, 6= 1, y el giro por v = (1(A/x), ay/x3) tiene Wv = (1) 3(3) por Lemma 2.6. Suponga q 1 (mod 3). Si 1−4a no es un cuadrado tenemos z(q2−1)/3 = a(q−1)/3, así que que a es un cubo en k* si y sólo si z, zÔ son cubos en k*2. Supongamos ahora que 1-4a es un cuadrado. Si exactamente uno de los dos elementos z, a/z es un cubo tenemos W = (1)3(3); Por lo tanto z, a/z son cubos o no cubes en k*. En particular, si a no es un cubo entonces z, a/z son necesariamente ambos no picos. Finalmente, si a es un cubo y z, a/z son noncubes en k*, Lemma 2.6 muestra que Wv = (1) 3(3) para el giro correspondiente a v = (ηx, y). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Para el cálculo de las funciones zeta de los giros es útil detectar que algunas de las combinaciones un cuadrado/noncuadrado y 1-4a cuadrado/noncuadrado no son Es posible. Lemma 3.5. Suponga q 1 (mod 3). (1) Si q فارسى −1 (mod 4) entonces 1− 4a no es un cuadrado. (2) Si q no es cuadrado, entonces a no es un cuadrado. (3) Si q es un cuadrado entonces a y 1− 4a son ambos cuadrados. Prueba. Que Cv sea el giro de C correspondiente a v(x, y) = (ηx, y). (1) Suponer 1− 4a es un cuadrado. Si a es un cubo tenemos W = (1)6 y si a no es un cubo tenemos Wv = (1) 6; por Tabla 3 obtenemos (r, s) = (0,−2 q) en ambos casos. Por otro lado, Lemmas 2.5 y 2.6 aplicados a Ck k2 muestran en ambos casos que s 1 (mod 3); por lo tanto, p 1 (mod 4). (2) Supongamos que a es un cuadrado. Si a es un cubo (respectivamente a no es un cubo) nosotros tener W = (1)6 o W = (2)3 (respectivamente Wv = (1) 6 o Wv = (2) 3), según a 1 − 4a siendo un cuadrado o no. En todos los casos tenemos (r, s) = (0,±2q) por tabla 3 y una aplicación directa de Lemma 2.5 y (2) de Lemma 2.6 conduce a r -1 (mod 3), que es una contradicción. (3) En todos los casos en que a o 1 − 4a no son cuadrados obtenemos (r, s) = (0, q) o bien para la curva C o para la curva Cv. Esto contradice el corolario 3.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Después de estos resultados se puede aplicar la estrategia general. Los resultados se muestran en los cuadros 11, 12, 13. 3.5. Twists de la curva supersingular C : y2 = x5+x3+ax. Recordemos que a es un valor especial haciendo C supersingular y un 6= 0, 1/4, 9/100. Teniendo en cuenta la satisfacción de z â € k z2 + z + a = 0 tenemos a/z}, Autk(C) = (­2 x, ­ y) ­4 = 1 w4 = a Lemma 3.6. Si q 1 (mod 4) entonces a y 1-4a son ambos cuadrados o ambos no cuadrados en k*. Si q es un cuadrado entonces necesariamente a y 1− 4a son ambos cuadrados. Prueba. Si se trata de 6o (k*)2, 1o a 4o (k*)2, entonces W = (1)4(2) y (r, s) = (0,−2q) por cuadros 3,4; esto contradice a Lemma 2.5 porque Aut(C) = F = 4 y r 2 (mod 4). Supóngase ahora un â ¬ (k*)2, 1 − 4a 6â ¬ (k*)2. Si a • (k*)4 entonces W = (1)2(2)2 y (r, s) = (0,±2q); esto contradice a Lemma 2.5 porque Aut(C) = 8, F = 6 si q • 1 (mod 8) y F = 2 o 10 si q • 5 (mod 8), de modo que r • 4 (mod 8) en ambos casos. Si un 6o (k*)4 obtenemos una contradicción similar para la curva Cv para v(x, y) = (−x, iy). Si a, 1 − 4a no son cuadrados, entonces W = (1)2(4) y el polinomio de Weil de C es x4 + q2 por tablas 3,4. Si q es un cuadrado esto contradice el corolario 3.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma 3.7. Si q es un cuadrado entonces un â € (k*)4 si y sólo si z â € (k*)2. Prueba. Supongamos un â € ¬ (k*)4, z 6â € (k*)2 y busquemos una contradicción. Considerar los k-automorfismos u(x, y) = (−x, iy), v(x, y) = (w y) de C, donde w4 = a. Por Lemma 2.6, Wu = (1) 6 y Cu tiene polinomio de Weil (x ± q)4 por Corollary 3.3; desde u2 = ι, el polinomio de Weil de C es (x2 + q)2 por Proposición 2.2 y Lemma 2.4. El cociente E := C/v es una curva elíptica definida sobre k y la El endomorfismo de Frobenius η de E debe satisfacer η2 = −q. Puesto que q es un cuadrado, E tiene cuatro automorfismos y su j invariante es necesariamente jE = 1728. Ahora, E tiene un Ecuación de Weierstrass: Y 2 = (X + 2w)(X2 + 1 − 2w2), donde X = (x2 + w2)x−1, Y = y(x + w)x−2 son invariantes bajo la acción de v. La condición jE = 1728 es equivalente a a = 0 (que se excluyó desde el principio) o a = (9/14)2; en este último caso z es un cuadrado en Fp2 y obtenemos una contradicción. Supóngase ahora un 6o (k*)4, z (k*)2. Tenemos W = (1)6 y C tiene polinomio de Weil (x ± Łq)4 por el corolario 3.3. Por la Proposición 2.2, el polinomio de Weil de Cu es (x2+q)2. Para cualquier elección de w = 4 a, el morfismo f(x, y) = (x+w x-w, 1+2w2 (x-w)3 ) establece un k2-isomorfismo entre C y el modelo: Cu : y 2 = (x2 − 1) (x4 + bx2 + 1), b = (12) a− 2)/(2 a+1), de Cu. El cociente de esta curva por el automorfismo (-x, y) es la curva elíptica E : Y 2 = (X − 1) (X2 + bX + 1). Argumentando como arriba, E tiene j-invariante 1728, y Esto lleva a a = 0 (excluido desde el principio) o a = (9/14)2, que es a contradicción ya que una sería una cuarta potencia en Fp2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Después de estos resultados uno es capaz de determinar la función zeta de todos los giros de C cuando q es un cuadrado; los resultados se muestran en la Tabla 14. En los casos en que El polinomio de Weil es (x − q)4, = ±1, los métodos de la sección 2 no son suficientes nuestro cálculo de este signo se deriva de un estudio de la 4-torsión de un cociente elíptico de la curva correspondiente. Con el fin de tratar con el caso q nonsquare necesitamos descartar más casos. Lemma 3.8. Suponga q nonsquare. Si q • −1 (mod 4) entonces a y 1 − 4a no pueden ser ambos no cuadrados. En caso de q • 1 (mod 4) y un • (k*)2 entonces un • (k*)4 si y sólo si z 6 • (k*)2. Prueba. Si a, 1 − 4a son no cuadrados el polinomio x4 + x2 + a es irreductible y el polinomio de Weil de C es x4 + q2 por tabla 3; por lo tanto, el polinomio de Weil de C k k2 es (x2 + q2)2. Si q • −1 (mod 4) tenemos un • k* (k*2)4 y esto contradice el cuadro 14. Suponga q • 1 (mod 4) y un • (k*)2; por Lemma 3.6, 1−4a es también un cuadrado y z â € k*. Si a (k*)4 y z (k*)2 obtenemos W = (1)6, y (r, s) = (0,−2q) por tabla 3; obtenemos una contradicción porque el jacobino J de C es simple ([MN02, Thm. 2.9]) y C tiene cocientes elípticos sobre k porque los automorfismos (w2/x, (w3y)/x3) se definen sobre k. Si un 6o (k*)4 y z 6o (k*)2 obtenemos una contradicción análoga para la curva Cu retorcida por u(x, y) = (−x, iy). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Los resultados para el caso q nonsquare siguen ahora por los argumentos habituales y ellos se muestran en los cuadros 15 y 16. 3.6. Twists de la curva supersingular C : y2 = x6+ax4+bx2+1. Recordemos que a, b â € k son valores especiales que satisfacen (5) y que hacen C supersingular; en particular p > 3. La curva C tiene cuatro giros porque Autk(C) = Aut(C) = {(±x,±y)} es conmutativo y tiene una acción trivial de Galois. El jacobino de C es k-isógeno al producto E1 × E2 de las curvas elípticas con ecuaciones de Weierstrass y2 = x3 + ax2 + bx + 1, y2 = x3 + bx2 + ax + 1, obtenido como cociente de C por la automorfismos respectivos v = (-x, y), ■v = (-x,-y). Para q nonsquare, estos Las curvas elípticas tienen necesariamente Weil polinomio x2 + q y el polinomio Weil de C es (x2 + q)2. Lemma 3.9. Si q es un cuadrado C tiene Weil polinomio (xÃ3q)4. Prueba. Por Teorema 3.2 y Proposición 2.2 C tiene polinomio de Weil (x ± Łq)4 o (x2 − q)2. En ambos casos las curvas elípticas E1, E2 tienen polinomio Weil (x± y afirmamos que son isógenos. Desde E(k) (Z/(1°q)Z)2 como abeliano grupo, nuestras curvas elípticas tienen cuatro 2 puntos de torsión racional y el polinomio Cuadro 5 Twists de la curva y2 = x5 − 1 para p • 2, 3, 4 (mod 5). La señal • = ±1 está determinado por •q • • (mod 5). La última fila proporciona ocho inequivalentes twists correspondientes a los cuatro valores no triviales de t â € k*/(k*)5 Cv v (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x5 − 1 (x, y) q • ±2 (mod 5) q • −1 (mod 5) q 1 (mod 5) (0, 0) (0, 2q) (−4q, 6q) y2 = tx5 − 1, t6° (k*)5 (t 5 x, y) q 1 (mod 5) (q, q) no 10 Cuadro 6 Twists de la curva y2 = x5 − x cuando q فارسى −1 (mod 8) Cv v (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x5 − x (x, y) (0, 2q) sí 8 y2 = x5 + x (ix, 1+i y) (0, 2q) sí 4 y2 = (x2 + 1)(x2 − 2tx − 1)(x2 + 2 x − 1) t2 + 1 6o (k*)2 (− ) (0,−2q) sí 24 y2 = (x2 + 1)(x4 − 4tx3 − 6x2 + 4tx + 1), t2 + 1 6o (k*)2 , i−1 (0, 0) sí 4 y2 = x6 − (t + 3)x5 + 5( 2+t−s )x4 + 5(s − 1)x3 +5( 2−t−s )x2 + (t − 3)x + 1 irred., s2 + t2 = −2 2-1-i)y (x+i)3 (0, q) no 6 x3 + ax2 + bx + 1 tiene tres raíces e1, e2, e3 + k. Desde e1e2e3 = 1, ya sea una o tres de estas raíces son cuadrados. Si sólo una raíz es un cuadrado tenemos W = (1)2(2)2, Wv = (1) 4(2) y C, Cv tienen ambos polinomios de Weil (x 2 ± q)2, en contradicción con Teorema 3.2. Por lo tanto, las tres raíces son cuadrados, W = (1)6, y C tiene Weil polinomio (xÃ3q)4 por corolario 3.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La función zeta de los giros de C se obtiene de las Proposiciones 2.2 y 2.3. Los resultados se muestran en la Tabla 17. Para q cuadrado el signo de (x ± Łq)4 puede ser determinado mediante el análisis de la 4-torsión de la curva elíptica y2 = x3 + ax2 + bx+ 1. Finalmente, hay curvas especiales sobre k cuyo modelo geométrico y2 = x6 + ax4 + bx2+1 no se define sobre k (cf. [Car03, Secc.1]). Es sencillo aplicar el técnicas de este artículo para determinar su función zeta también. 4. Apéndice En este apéndice mostramos en varias tablas el cálculo de la función zeta- ciones de las curvas supersingulares del género 2 con muchos automorfismos. Para cada una de ellas curva Cv, exhibimos el número de k-automorfismos y el par de enteros (r, s) determinación del polinomio fJv(x) de Weil = x 4 + rx3 + sx2 + qrx+ q2 de Cv. En el columna etiquetada “s.d” indicamos si C es auto-dual. Para las curvas no-self-dual nosotros mostrar sólo una curva de la pareja Cv, C Denotamos por η, i k una primitiva tercera, cuarta raíz de la unidad. Para n positivo entero y x k* definimos vn(x) = 1 si se trata de x (k*)n, vn(x) = −1 en caso contrario. En todas las tablas los parámetros s, t toman valores en k*. Conclusión. Demostramos que la función zeta de una curva supersingular del género dos es casi determinado por la estructura de Galois de un conjunto finito fácil de describir en términos de una ecuación definitoria. Para curvas con muchos automorfismos este resultado es refinado obtener un cálculo directo (no algorítmico) de la función zeta en todos los casos. As Cuadro 7 Twists de la curva y2 = x5 − x cuando q • 5 (mod 8) Cv v p (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x5 − x (x, y) p > 5 p = 5 (0,-2q) sí 24 y2 = x5 − 4x (−x, iy) (0, 2q) sí 8 y2 = x5 − 2x (ix, 1+i y) (0, 0) sí 4 y2 = (x2 + 2)(x4 − 12x2 + 4) , i−1 p > 5 p = 5 (0, 2q) sí y2 = f(t, x)f( 18+(5i−3)t (5i+3)−2t, x) f(t, x) = x3 − tx2 + (t − 3) x+ 1 irred. 2-1-i)y (x+i)3 p > 5 p = 5 (0, q) y2 = x5 − x − t, trk/F5 (t) = 1 (x + 1, y) p = 5 ( 5q, 3q) no 10 y2 = x6 + tx5 + (1 − t)x + 2, irred. ( 3 x−1, (x+1)3 ) p = 5 (0,-q) sí 6 Cuadro 8 Twists de la curva y2 = x5 − x cuando p • 5, 7 (mod 8) y q es a Cuadrado. Acá = (-1/-q) y = (-3/-q) Cv v p (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x5 − x (x, y) p > 5 p = 5 (−4q, 6q) no 48 y2 = x5 − t2x, t 6° (k*)2 (−x, iy) (0, 2q) sí 8 y2 = x5 − tx, t 6â € (k*)2 (ix, 1+i y) (0, 0) no 8 y2 = (x2 − t)(x4 + 6tx2 + t2), t 6o (k*)2 , i−1 p > 5 p = 5 (0,−2q) sí 4 y2 = (x3 − t)(x3 − (15) 3 − 26)t), t 6o (k*)3 2-1-i)y (x+i)3 p > 5 p = 5 q, 3q) no y2 = x5 − x − t, trk/F5(t) = 1 (x+ 1, y) p = 5 ( q, q) no 10 y2 = x6 + tx5 + (1 − t)x+ 2, irred. ( 3 x−1, (x+1)3 ) p = 5 (0, q) no 12 Cuadro 9 Twists de la curva y2 = x6 − 1 cuando q فارسى −1 (mod 3), p 6= 5. Acá = (−1/p) Cv v (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x6 − 1 (x, y) (0, 2q) if = −1 6 + 2 y2 = x6 − t, t 6 • (k*)2 (−x,−y) (0, 2q) if • = 1 6 − 2 • y2 = x(x2 − 1) (x2 − 9) ( 1 ) (0, -2q) sí 12 y2 = (x4 − 2stx3 + (7s + 1)x2 + 2tsx + 1)· ·(x2 − 4 x− 1), t2 + 4 k* \ (k*)2, s−1 = t2 + 3 (− ) (0, 2°q) sí 12 y2 = x6 + 6tx5 + 15sx4 + 20tsx3 + 15s2x2+ +6ts2x + s3, s = t2 − 4 6â € (k*)2, gcd(x(q+1)/3 − 1, x2 − tx + 1) = 1 ) (0, q) sí 6 y2 = x6 + 6x5 + 15sx4 + 20sx3 + 15s2x2+ +6s2x + s3, s = t2/(t2 + 4) 6o (k*)2, gcd(x(q+1)/3 + 1, x2 − tx − 1) = 1 ) (0,q) sí 6 Cuadro 10 Twists de la curva y2 = x6 − 1 cuando p فارسى −1 (mod 3), p 6 = 5 y q es un cuadrado. Acá = (−3/3q) Cv v (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x6 − 1 (x, y) (−4q, 6q) no 24 y2 = x6 − t3, t 6â € (k*)2 (−x, y) (0,−2q) sí 12 y2 = x6 − t2, t6o (k*)3 (ηx, y) (2q, 3q) no 12 y2 = x6 − t, t 6° (k*) 2° (k*)3) (x,−y) (0, q) no 12 y2 = x(x2 + 3t)(x2 + t ), t 6o (k*)2 ( 1 ) (0, 2q) sí 4 y2 = x6 + 15tx4 + 15t2x2 + t3, t 6â € (k*)2 (− 1 ) (0,−2q) sí 4 Cuadro 11 Twists de la curva supersingular y2 = x6+x3+a, a 6= 0, 1/4,-1/50, cuando q • −1 (mod 3). Aquí es la raíz cúbica de a en k = v2(a) y A Cv v (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x6 + x3 + a (x, y) (0, 2q) if • = −1 3 + • y2 = 3(x − Ł)6 − g(x)3 + aŁ3(x − )6 g(x) min. Polin. De los tipos utilizados en la fabricación de productos de la partida 84.01 del SA y) (0, 2°q) iff = −1 9 + 3° y2 = (x− η)6 − g(x)3 + a1(x − η2)6 g(x) = x2 + x+ 1, 3, Nk2/k() = a y) (0,q) no 6 Cuadro 12 Twists de la curva supersingular y2 = x6+x3+a, a 6= 0, 1/4,-1/50, cuando q • 1 (mod 3) y q no es cuadrado. Aquí A es una raíz cúbica de a en k y n = 3, en caso de que se trate de un valor de referencia (k*)3, mientras que A = a, n = 1, si se trata de un valor de referencia (k*)3 Cv c/ 3(a) (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x6 + x3 + a (x, y) (0,−2q) (0, q) y2 = x6 + tx3 + t2a, t 6° (k*)3 y2 = x6 + ax3 + a3 3 x, y) (0, q) (0,−2q) y2 = n(x − Ł)6 − g(x)3 + aŁn(x− )6 g(x) min. Polin. De los tipos utilizados en la fabricación de productos de la partida 84.01 del SA y) (0, 2q) sí 2 Cuadro 13 Twists de la curva supersingular y2 = x6+x3+a, a 6= 0, 1/4,-1/50, cuando q es un cuadrado. He aquí = (−3/3q). Además, A es una raíz cúbica de a en k y n = 3, en caso de que se trate de un valor de referencia (k*)3, mientras que A = a, n = 1, si se trata de un valor de referencia (k*)3 Cv c/ 3(a) (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x6 + x3 + a (x, y) (−4q, 6q) q, 3q) y2 = x6 + tx3 + t2a, t 6° (k*)3 y2 = x6 + ax3 + a3 3 x, y) q, 3q) (−4q, 6q) no y2 = n(x − Ł)6 − g(x)3 + aŁn(x− )6 g(x) min. Polin. De los tipos utilizados en la fabricación de productos de la partida 84.01 del SA y) (0,−2q) no 4 Cuadro 14 Twists de la curva supersingular y2 = x5 + x3 + ax, a 6 = 0, 1/4, 9/100, cuando q es un cuadrado. La última fila proporciona dos giros inequivalentes de acuerdo con los dos valores de a. Aquí: = −(−1/•q) v4(z) y = −(−1/lq) v4(tz), donde z2 + z + a = 0 Cv c/ 4(a) (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x5 + x3 + ax (x, y) q, 6q) (0, 2q) y2 = x5 + tx3 + at2x, t 6° (k*)2 (−x, t (0, 2q) q, 6q) y2 = g(x) 2(x− )4 + g(x)2+ +a2(x− )4 , Nk2/k(­) = g(x) min. Polin. Los demás, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, pero inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso y) (0,-2q) sí 4 Cuadro 15 Twists de la curva supersingular y2 = x5 + x3 + ax, a 6 = 0, 1/4, 9/100, cuando q no es cuadrado y un 6o (k*)2 Cv v (−1/p) (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x5 + x3 + ax (x, y) (0, 0) (0, 2q) y2 = (x2 − a) a)4 + (x2 − a)2+ +a1(x + , ­ · k2, Nk2/k(­) = a (0, 2q) (0, 0) Cuadro 16 Twists de la curva supersingular y2 = x5 + x3 + ax, a 6 = 0, 1/4, 9/100, cuando q no es cuadrado y un â € (k*)2. Aquí = (−1/p). Si p -1 (mod 4) suponemos que a pertenece a (k*)2 Cv c/ 4(a) (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x5 + x3 + ax (x, y) (0, 2q) (0,−2q) if = −1 6 + 2 y2 = x5 + tx3 + at2x, t 6° (k*)2 (−x, t (0, -2 °q) (0, 2q) y2 = g(x) 2(x− )4 + g(x)2+ +a2(x − )4 , Nk2/k(­) = g(x) min. Polin. Los demás, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, pero inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso y) (0, 2q) if • = 1 6 − 2 • y2 = g(x) 2(x− )4 + g(x)2+ +a2(x − )4 , Nk2/k(­) = − g(x) min. Polin. Los demás, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, pero inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso y) (0, 2oq) sí 4 Cuadro 17 Twists de la curva supersingular y2 = x6 + ax4 + bx2 + 1 satisfactorio (5) Cv v (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x6 + ax4 + bx2 + 1 (x, y) q nonsq. q cuadrado (0, 2q) (±4oq, 6oq) no 4 y2 = x6 + atx4 + bt2x2 + t3 t 6o (k*)2 (−x,−y) q nonsq. q cuadrado (0, 2q) (0,−2q) no 4 una aplicación se obtiene un cálculo directo del exponente criptográfico de la Jacobiano de estas curvas. Además, el cálculo de la función zeta es necesario para determinar la estructura del anillo de endomorfismo del jacobino y calcular mapas de distorsión para los emparejamientos de Weil y Tate. Agradecimiento. Es un placer agradecer a Christophe Ritzenthaler por su ayuda. en la búsqueda de algunas de las ecuaciones de las curvas retorcidas. Bibliografía [Car03] G. Cardona, Sobre el número de curvas del género 2 sobre un campo finito, Campos Finitos y Sus aplicaciones 9 (2003), 505-526. [CQ05] G. Cardona, J. Quer, Campo de modulo y campo de definición para curvas del género 2, en Aspectos computacionales de las curvas algebraicas (T. 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Ciències Matemàtiques i Informatica, Universitat de les Illes Balears, 07122, Palma de Mallorca, España Dirección de correo electrónico: gabriel.cardona@uib.es Departamento de Matemáticas, Universitat Autònoma de Barcelona, Edifici C, 08193 Bellaterra, Barcelona, España Dirección de correo electrónico: nart@mat.uab.cat Introducción 1. Función Zeta y exponente criptográfico 1.1. Computación de la función Zeta cuando p=2 1.2. Computación de la función Zeta cuando p es impar 2. Función Zeta de los Twists 3. Curvas supersingulares con muchos automorfismos 3.1. Twists de la curva C2mu-:6muplus1muy2=x5-1, para p0,1 (mod 5) 3.2. Twists de la curva C2mu-:6muplus1muy2=x5-x, para p5,7 (mod 8) 3.3. Twists de la curva C2mu-:6muplus1muy2=x6-1, para p-1 (mod 3), p=5 3.4. Twists de la curva supersingular C2mu-:6muplus1muy2=x6+x3+a, para p>3 3.5. Twists de la curva supersingular C2mu-:6muplus1muy2=x5+x3+ax 3.6. Twists de la curva supersingular C2mu-:6muplus1muy2=x6+ax4+bx2+1 4. Apéndice Bibliografía

Calculamos de una manera directa (no algorítmica) la función zeta de todos curvas supersingulares del género 2 sobre un campo finito k, con muchas geometrías automorfismos. Visualizamos estos cálculos en un apéndice donde seleccionamos un familia de representantes de todas estas curvas hasta el isomorfismo geométrico y exhibimos ecuaciones y la función zeta de todos sus giros. Como un aplicación obtenemos un cálculo directo del exponente criptográfico de la Jacobianos de estas curvas.

Introducción Diffie-Hellman tripartito de una ronda, cifrado basado en la identidad, y corto digital las firmas son algunos de los problemas para los que se han encontrado recientemente buenas soluciones, hacer uso crítico de los emparejamientos en variedades abelianas supersingulares sobre un campo finito k. El exponente criptográfico cA de una variedad abeliana supersingular A es una media- entero que mide la seguridad contra un ataque al problema DL basado en los emparejamientos de Weil o Tate. Además, es relevante determinar cuándo los emparejamientos pueden ser computado eficientemente. Rubin y Silverberg mostraron en [RS04] que esta invariante es determinado por la función zeta de A. En este artículo damos un procedimiento directo, no algorítmico para calcular el zeta función de una curva supersingular del género 2, proporcionando así un cálculo directo de el exponente criptográfico de su jacobino. Esto se logra en la Secc. 1. Por pares características de los resultados se basan en [MN06] y se resumen en el cuadro 2; característica impar que utilizamos los resultados de Xing y Zhu en la estructura del grupo de k-racional puntos de una superficie abeliana supersingular y casi determinamos el función zeta en términos de la estructura de Galois del conjunto de Weierstrass puntos de la curva (cuadros 3, 4). En el resto del artículo obtenemos una respuesta completa en el caso de curvas con muchos automorfismos. En Secc. 2 estudiamos la información adicional proporcionado por estos automorfismos y mostramos cómo obtener los datos relevantes para calcular la función zeta de una curva retorcida en términos de datos de la curva original y el 1-cociclo que define el giro. En Secc. 3 seleccionamos una familia de representantes de estas curvas hasta k-isomorfismo y aplicamos las técnicas del anterior sección para tratar con cada curva y todos sus k/k-twists. Los resultados se muestran en un apéndice en forma de cuadros. En lo que se refiere a las aplicaciones criptográficas de los emparejamientos, curvas con muchos au- tomorfismos son interesantes también porque son candidatos naturales para proporcionar Los autores reconocen el apoyo de los proyectos MTM2006-15038-C02-01 y MTM2006- 11391 del MEC español. http://arxiv.org/abs/0704.1951v1 mapas de distorsión en el jacobino. A este respecto, el cálculo de la función zeta es un paso necesario para estudiar la estructura del anillo de endomorfismo de la Jacobiano (cf. [GPRS06]). 1. Función Zeta y exponente criptográfico Dejar p ser un número primo y dejar k = Fq ser un campo finito de la característica p. Denotamos por kn la extensión del grado n de k en un cierre algebraico fijo k, Gk := Gal(k/k) es el grupo absoluto de Galois de k, y automorfismo. Que C sea una curva proyectiva, lisa, geométricamente irreductible, supersingular de El género 2 definido sobre k. El jacobiano J de C es una superficie abeliana supersingular sobre k (el subgrupo de torsión p de J(k) es trivial). Recordemos cómo es la supersingularidad reflejado en un modelo de la curva C: Teorema 1.1. Si p es impar, cualquier curva del género 2 definida sobre k admite una afina Modelo de Weierstrass y2 = f(x), con f(x) un polinomio separable en k[x] de grado 5 o 6. La curva es supersingular si y sólo si M (p)M = 0, donde M, M (p) son los matrices: cp−1 cp−2 c2p−1 c2p−2 , M (p) = p−1 c 2p−1 c , f(x)(p−1)/2 = Si p = 2 una curva del género 2 definida sobre k es supersingular si y sólo si admite un modelo afín de Artin-Schreier y2 + y = f(x), con f(x) un polinomio arbitrario en k[x] de grado 5. Para la primera declaración, véase [Yui78] o [IKO86], para la segunda, véase [VV92]. Para cualquier simple variedad abeliana supersingular A definida sobre k, Rubin y Silver- berg computado en [RS04] el exponente criptográfico cA, definido como el medio entero tal que qcA es el tamaño del campo más pequeño F tal que cada subgrupo cíclico de A(k) puede ser incrustado en F*. Esto invariante refina el concepto de incrustar de- gree, anteriormente introducido como una medida de la seguridad de la variedad abeliana contra los ataques al DLP utilizando el emparejamiento de Weil [MOV93] o el emparejamiento de Tate [FR94] (véase, por ejemplo, [Gal01]). Recordemos el resultado de Rubin-Silverberg, adaptado a la dimensión dos caso. Después de los resultados clásicos de Tate y Honda, la clase de isogenia de A está determinada por el polinomio de Weil de A, fA(x) = x 4 + rx3 + sx2 + qrx + q2 + Z[x], que es el polinomio característico del endomorfismo Frobenius de la superficie. Por A supersingular las raíces de fA(x) en Q son de la forma q فارسى, donde q es el positivo la raíz cuadrada de q y Ł es una raíz primitiva m-th de la unidad. Teorema 1.2. Supongamos que A es una superficie abeliana supersingular simple sobre Fq y que l > 5 sea cualquier número primo dividiendo A(Fq). Entonces, el medio entero más pequeño cA tal que qcA − 1 es un entero divisible por l es dado por m/2, si q es un cuadrado, m/(2,m), si q no es un cuadrado. En particular, el exponente criptográfico cA es un invariante de la clase isogenia de A. La lista completa de clases de isogenia supersingular simple de superficies abelianas se puede encontrar en [MN02, Thm. 2.9]. Es sencillo descubrir la raíz m-th de unidad en cada caso. En la Tabla 1 se muestra el cálculo de cA. Cuadro 1 Cryptographic exponente cA del simple supersingular superficie abeliana A con polinomio de Weil fA(x) = x 4 + rx3 + sx2 + qrx + q2 (r, s) condiciones en p y q cA (0,−2q) q nonsquare 1 (0, 2q) q square, p. 1 (mod 4) 2 q, 3q) q square, p 1 (mod 3) 3/2 (−2oq, 3oq) q square, pág. 1 (mod 3) 3 (0, 0) (q nonsquare, p 6 = 2) o (q square, p 6 ° 1 (mod 8)) 4 (0, q) q nonsquare 3 (0,–q) (q nonsquare, p 6=3) o (q cuadrado, p 6–1 (mod 12)) 6 q, q) q square, p 6o 1 (mod 5) 5/2 (q, q) q square, p 6­1 (mod 5) 5 5q, 3q) q nonsquare, p = 5 5 2q, q) q nonsquare, p = 2 12 Por lo tanto, el cálculo del exponente criptográfico del jacobino J de una curva supersingular C equivale al cálculo del polinomio de Weil de J, que está relacionado de una manera bien conocida con la función zeta de C. Llamaremos fJ(x) el polinomio Weil de C también. El cálculo de fJ(x) ha merecido mucha atención porque para el crypto- aplicaciones gráficas se necesita conocer la cardenalidad J(Fq) = fJ(1) del grupo de los puntos racionales de los jacobinos. Sin embargo, en el caso supersingular la corriente Los algoritmos de “puntos de cuenta” no son necesarios porque hay maneras más directas para calcular el polinomio fJ(x). El objetivo de esta sección es presentar estos métodos explícitos, que toman una diferente forma para p impar o incluso. Para p = 2 el cálculo de fJ(x) es un inmediato consecuencia de los métodos de [MN06], basados en ideas de van der Geer-van der Vlugt; para p > 2 derivamos nuestros resultados de la estructura de grupo de J(Fq), determinado en [Xin96], [Zhu00], y del conocimiento exacto de lo que las clases isogenias de Abelian las superficies contienen jacobinos [HNR06]. En ambos casos demostraremos que fJ (x) es casi determinado por la estructura como un conjunto Galois de un subconjunto finito de k, fácil de calcular a partir de la ecuación definitoria de C. 1.1. Computación de la función Zeta cuando p = 2. Denotamos simplemente por tr el rastro absoluto trk/F2. Recordemos que ker(tr) = {x + x2 x k} es un F2-lineal subespacio de k de codimensión 1. Cada curva supersingular supersingular proyectiva suave geométricamente irreductible C del género 2 definido sobre k admite un modelo afín de Artin-Schreier del tipo: C : y2 + y = ax5 + bx3 + cx+ d, a â € k*, b, c, d â € k, que tiene sólo un punto en el infinito [VV92]. El cambio de variables y = y + u, u â € k, nos permite suponer que d = 0 o d = d0, con d0 â € k\ker(tr) fijo. Torsión C por el giro hiperelíptico consiste en añadir d0 a la ecuación definitoria. Si nosotros denotar por J ′ el jacobino de la curva torcida tenemos fJ′(x) = fJ(−x). Por lo tanto, para el cálculo de fJ(x) podemos asumir que d = 0. La estructura como un conjunto de Gk del conjunto de raíces en k del polinomio P (x) = a2x5 + b2x+ a k[x] casi determina la función zeta de C [MN06,Sect.3]. Cuadro 2 Weil polinomio x4 + rx3 + sx2 + qrx+ q2 de la curva y2+ y = ax5+ bx3+ cx, para q nonsquare (izquierda) y q square (derecha) P (x) N, M (r, s) (1)(4) N = 0 (± 2q, 2q) N = 1 (0, 0) (2)(3) M = 0 (± 2q, q) M = 1 (0, q) N = 0 (±2 2q, 4q) (1)3(2) N = 1 (0, 2q) N = 2 (0, 0) N = 3 (0,−2q) P (x) N, M (r, s) 5) (q, q) N = 0 (0,−q) (1)2(3) N = 1 (0, q) N = 2 (±2°q, 3°q) M = 0 (±2oq, 2oq) (1)(2)2 M = 1 (0, 0) M = 2 (0, 2q) N = 1 (0,−2q) (1)5 N = 3 (0, 2q) N = 5 (±4oq, 6oq) En la Tabla 2 escribimos P (x) = (n1) r1(n2) r2 · · · (nm)rm para indicar que ri de la Los factores irreducibles de P (x) tienen grado ni. Además, consideramos el operador lineal T (x) := tr((c+ b2a−1)x) y definimos N := número de raíces z â € k de P (x) s.t. T (z) = 0, M := número de irred. Factores cuadráticos x2 + vx+ w de P (x) s.t. T (v) = 0. La ambigüedad del signo de r se puede resolver computando nD en el jacobiano, donde n es uno de los valores presuntos de J(Fq) y D es un divisor racional aleatorio de grado 0. 1.2. Computación de la función Zeta cuando p es impar. Deja que A sea un super- superficie abeliana singular sobre k y dejar rk2(A) := dimF2(A [2](k)). La estructura de A(k) como grupo abeliano fue estudiada en [Xin96], [Zhu00], donde está probado que está casi determinado por la clase de isogenía de A. De hecho, si Fi(x) son los diferentes factores irreducibles de fA(x) en Z[x]: fA(x) = Fi(x) ei, 1 ≤ s ≤ 2 = A(k) si=1 (Z/Fi(1)Z) salvo en los casos siguientes: a) p • 3 (mod 4), q no es un cuadrado y fA(x) = (x2 + q)2, (b) p • 1 (mod 4), q no es un cuadrado y fA(x) = (x2 − q)2. c) q es un cuadrado y fA(x) = (x) 2 − q)2. La posible estructura de A k) en los casos a) y b) es la siguiente: A(k) (Z/F (1)Z)m (Z/(F (1)/2)Z® Z/2Z)n, donde F (x) denota respectivamente x2 + q, x2 − q y m, n son enteros no negativos Tal que m+ n = 2 [Zhu00, Thm. 1.1]. En el caso c) tenemos: A(k) (Z/(q − 1)/2)Z2 (Z/2Z)2, o A(k) (Z/(q − 1)/2m)Z)® (Z/(q − 1)/2n)Z)® (Z/2m+nZ) donde 0 ≤ m, n ≤ v2(q − 1) [Xin96, Thm. 3]. En este último caso tenemos rk2(A) > 1; de hecho, v2(1 − q) + v2(1 + q) = v2(1 − q) = (1/2)v2(F (1)) y podemos aplicar [Xin96, Lem. 4] para concluir que A(k) tiene un subgrupo isomórfico a (Z/2Z)2. Cuadro 3 Weil polinomio x4 + rx3 + sx2 + qrx+ q2 de la curva C cuando q no es cuadrado. El signo es el símbolo de Legendre (−1/p) W p rk2(J) (r, s) 1) 6 o 1) 4 2) 4, 3 (0, -2q) (1)2(2)2 o (2)3 2 (0,±2q) 1)3(3) 2 no es posible (1)(2)(3) p > 3 1 no es posible p = 3 (± 3q, 2q) (1)2(4) o (2)(4) 1 (0, 0) (1)(5) p 6= 5 0 no es posible p = 5 (± 5q, 3q) (mod 3) (0, q) (3)2 p • −1 (mod 3) 0 (0, •q) p = 3 no es posible (6) p فارسى −1 (mod 3) 0 (0,±q) − 1 (mod 3) (0, q) Considerar ahora una curva supersingular C del género 2 definida sobre k, dada por un Ecuación de Weierstrass y2 = f(x), para algunos polinomios separables f(x) k[x] de grado 5 ó 6. Que J sea su variedad jacobiana, W = {P0, P1, P2, P3, P4, P5} C(k) el conjunto de Weierstrass puntos de C, y W (k) W el subconjunto de puntos de k-racional Weierstrass. Nuestro objetivo es mostrar que la estructura de W como un conjunto de Gk contiene suficiente información sobre el valor 2-ádico de C(k) y J(k) para casi determinar el polinomio fJ(x) = x4 + rx3 + sx2 + qrx+ q2. De las identidades fundamentales C(k) = q + 1 + r, J(k) = fJ(1) = (q2 + 1) + (q + 1)r + s, y la libre acción de la involución hiperelíptica en C(k) \W (k) obtenemos (1) r W (k) (mod 2), s J(k) (mod 2). Por otra parte, J [2] está representada por las clases de los 15 divisores: Pi − P0, 1 ≤ i ≤ 5, y Pi + Pj − 2P0, 1 ≤ i < j ≤ 5, junto con la clase trivial. Lemma 1.3. Dejar D = Pi − Pj, con i 6 = j, o D = Pi + Pj − 2P0, con 0, i, j En pareja diferente. Entonces, la clase del divisor D es k-racional si y sólo si Pi, Pj son ambos conjugados k-racional o cuadrático. Por lo tanto, la estructura de Galois de W determina rk2(J) y esto limita el posible valores de la función zeta de C. Nuestros resultados finales se dan en las Tablas 3, 4, donde escribimos W = (n1) r1(n2) r2 · · · (nm)rm para indicar que hay ri Gk-órbitas de longitud ni de Weierstrass puntos. Si f(x) tiene grado 6 esta estructura de Galois imita la descomposición f(x) = (n1) r1(n2) r2 · · · (nm)rm (la misma notación que en la Secc. 1.1) de f(x) en un producto de polinomios irreducibles k[x]. Si f(x) tiene grado 5 entonces W = (1)f(x), porque en estos modelos el punto en el infinito es un Weierstrass k-racional punto. La prueba del contenido de las Tablas 3 y 4 es elemental, pero larga. En lugar de dando todos los detalles sólo esbozamos las ideas principales: Cuadro 4 Weil polinomio x4 + rx3 + sx2 + qrx+ q2 de la curva C cuando q es un cuadrado W p rk2(J) (r, s) (1)6 4 (0,−2q) o (±4oq, 6q) (1)4(2) 3 (0,−2q) (1)2(2)2 o (2)3 2 (0,±2q) (1)3(3) p > 3 2 no es posible p = 3 (q, 0) 1) 2) 3) 1 no es posible (1)2(4) o (2)(4) p. 1 (mod 8) 1 no es posible (mod 8) (0, 0) (1)(5) p. 1 (mod 5) 0 no es posible (mod 5) (q, q) (3)2 (0, q) o (±2oq, 3oq) (6) p. 5 (mod 12) 0 (0,±q) (mod 12) (0, q) (I) Waterhouse determinó todas las clases posibles de isogenia de elíptica supersingular curvas [Wat69]. Por lo tanto, es posible escribir todas las clases isogénicas de supersingular superficies abelianas añadiendo a las clases simples que figuran en el cuadro 1 la isógena dividida clases. Por [HNR06] sabemos exactamente lo que las clases isogénicas de superficies abelianas hacen no contienen jacobinos y pueden ser eliminados de la lista. Por los resultados de Xing y Zhu podemos distribuir las clases de isogenía restantes de acuerdo con la posible valores de rk2. (II) Cada estructura de W como un conjunto de Gk determina el valor de rk2 y, después (I), tiene un número reducido de posibilidades para las clases de isogenia. Usando (1) y buscando cierta incoherencia en el comportamiento bajo extensión escalar a k2 o k3 de ambos, la estructura de Galois de W y las posibles clases de isogenia asociadas, podemos todavía descartan algunas de estas posibilidades. En la práctica, entre las pocas posibilidades que quedan en las Tablas 3 y 4 podemos destacar la clase isogenia del jacobino de cualquier curva supersingular dada computando iteraciones de divisores aleatorios de grado cero. Sin embargo, si C tiene muchos automorfismos proporcionan suficiente información adicional para determinar completamente la función zeta. Esto se llevará a cabo en el resto del periódico. En el Apéndice mostramos ecuaciones de las curvas supersingulares con muchos automorfismos y su Weil polinomio. 2. Función Zeta de los Twists En esta sección revisamos algunos hechos básicos sobre los giros y mostramos cómo calcular las diferentes propiedades de una curva retorcida en términos de la definición de 1-cociclo. A partir de ahora en el campo de tierra k tendrá características extrañas. Dejar C ser una curva supersingular del género 2 definido sobre k y dejar W C(k) ser el conjunto de Weierstrass puntos de C. Denotamos por Aut(C) el automorfismo k grupo de C y por Autk(C) el grupo de automorfismo completo de C. Let : C P1 ser un k-morfismo fijo de grado 2 y considerar el grupo de Automorfismos geométricos reducidos de C: (C) := {u′ Autk(P) 1) u′(Ł(W )) = Ł(W )}. Denotamos por Aut′(C) el subgrupo de automorfismos reducidos definidos sobre k. Cualquier automorfismo u de C encaja en un diagrama conmutativo: // P1 para cierto automorfismo reducido determinado de forma única u′. El mapa u 7→ u′ es un homomorfismo de grupo (dependiendo de Ł) y tenemos una secuencia exacta central de grupos compatibles con la acción de Galois: 1 {1, Autk(C) Aut′ (C) 1, donde se encuentra la involución hiperelíptica. Esto lleva a una larga secuencia exacta de Galois juegos de cohomología: (2) 1 → {1, → Aut(C) Aut′(C) H1(Gk, {1, ) → H1(Gk,Autk(C)) → → H1(Gk,Aut′k(C)) → H 2 Gk, {1, ) Br2(k) = 0. Los k/k-twists de C están parametrizados por el conjunto en punta H1(Gk,Autk(C)) y, puesto que k es un campo finito, un 1-cociclo se determina sólo por la elección de un automorfismo v • Autk(C). La curva retorcida Cv asociada a v se define sobre k y está determinado, hasta k-isomorfismo, por la existencia de un k-isomorfismo f : C Cv, de tal manera que f−1f = v. Por ejemplo, la elección v = ^ corresponde al giro hiperelíptico C′; si C es dado por una ecuación de Weierstrass y2 = f(x) entonces C′ admite el modelo y2 = tf(x), para t k(k*)2. Decimos que C es auto-dual si es k-isomórfico a su giro hiperelíptico. Si fJ(x) es el polinomio de Weil de C, el polinomio de Weil de C ′ es fJ′(x) = fJ(−x); en particular, para una curva auto-doble uno tiene fJ(x) = x 4+ sx2+ q2 para algunos enteros s. Es fácil deducir de (2) el siguiente criterio para la autodualidad: Lemma 2.1. La curva C es auto-dual si y sólo si Aut′(C) = Aut(C). Uno puede calcular fácilmente los datos Aut(Cv), Aut ′(Cv) de la curva retorcida Cv, en términos de Autk(C), Aut (C) y el 1-cociclo v. Let f : C Cv ser un isomorfismo geométrico tal que f - 1f Autk(Cv) = f Autk(C)f −1, y el grupo k-automorfismo es (3) Aut(Cv) = {fuf−1 u • Autk(C), u v = v u Una vez que fijamos cualquier k-morfismo de grado dos, Łv : Cv P1, determina un único automorfismo geométrico f ′ de P1 de tal manera que Łvf = f Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. El grupo reducido de k-automorfismos de Cv es (4) Aut′(Cv) = {f ′u′(f ′)−1 u′ Aut′k(C), u ′ v′ = v′(u′). Para calcular la función zeta de Cv consideramos el isomor geométrico- phism f : J Jv inducido por f. Todavía tenemos f - 1fe = v*, donde v* es el automorfismo de J inducido por v. Claramente, ηvf = f , donde η, ηv son los respec- tiva q-poder Frobenius endomorfismos de J, Jv. Por lo tanto, f−1γvf = f −1f/23370/(f/23370/)−1ηvf = v. En particular, ηv tiene el mismo polinomio característico que v. De este hecho se pueden deducir dos resultados cruciales (cf. [HNR06, Props.13.1,13.4]). Proposición 2.2. Supongamos que q es un cuadrado. Dejar C ser una curva de género 2 supersingular sobre k con polinomio de Weil (x + q)4 y dejar v ser un automorfismo geométrico de C, v 6 = 1, i. A continuación, se determina el polinomio Weil x4+rx3+sx2+rx+q2 de Cv como sigue en términos de v (en la columna v6 = 1 suponemos v2 6 = 1, v3 6 = 1, i): v v2= 1 v2= { v3= 1 v3= { v4= ^ v5= 1 v5= { v6= 1 v6= ^ (r, s) (0,−2q) (0, 2q) (−2oq, 3q) (2oq, 3q) (0, 0) (oq, q) (oq, q) (0, q) (0,−q) Proposición 2.3. Suponga que q no es cuadrado. Dejar C ser una curva de género 2 supersingular sobre k con polinomio de Weil (x2 + â € ~ q)2, â € ~ {1,−1}, y dejar v ser un geométrico automorfismo de C. Luego, el polinomio Weil x4 + rx3 + sx2 + rx + q2 de Cv es determinado de la siguiente manera en términos de la orden n del automorfismo vv n 1 2 3 4 6 (r, s) (0, 2°q) (0, -2°q) (0, q) (0, 0) (0, q) Al aplicar estos resultados, la propiedad de la transitividad de los giros puede ser útil. Lemma 2.4. Let u, v ser automorfismos de C y let f : C → Cv ser un geométrico isomorfismo con f−1f = v. Entonces la curva Cu es el giro de Cv asociado a el automorfismo fuv−1f−1 de Cv. Para una curva con un grupo grande de k-automorfismo la siguiente observación, juntos con las Tablas 3 y 4, determina en algunos casos la función zeta: Lemma 2.5. Dejar F C(k) ser el subconjunto de puntos k-racionales de C que se fijan por algún k-automorfismo no trivial de C. Entonces, C(k) F (mod Aut(C)). Prueba. El grupo Aut(C) actúa libremente en C(k) \ F. Tenga en cuenta que F contiene el conjunto W (k) de k-racional Weierstrass puntos, todos ellos fijado por la involución hiperelíptica de C. Para aplicar este resultado a la curva retorcida Cv necesitamos calcular la Gk-set estructura de Wv y Fv solamente en términos de v. Lemma 2.6. (1) Para cualquier P • W la longitud de la Gk-órbita de f(P ) • Wv es el número entero positivo mínimo n de tal manera que v v Wv(k) = P W v(P ) = P. (2) El mapa f−1 establece una bijección entre Fv y el conjunto {P C(k) v(P ) = P = u(P) para unos 1 6= u Autk(C), s.t. u v = v u. 3. Curvas supersingulares con muchos automorfismos Para varias aplicaciones criptográficas del emparejamiento Tate el uso de distor- Los mapas de las ciones son esenciales. Un mapa de distorsión es un endomorfismo de los jacobinos J de C que proporciona una entrada para la cual el valor del emparejamiento no es trivial: el(D1, •(D2)) 6= 1 para algunos divisores de torsión de l fijos D1, D2. La existencia de Tal mapa está garantizado, pero en la práctica es difícil encontrarlo de una manera eficiente. Por lo general, se puede empezar con una curva C agradable con muchos automorfismos, considerar un automorfismo concreto u 6 = 1, u 6 = ^, y buscar un mapa de distorsión End(J), donde η es el endomorfismo Frobenius de J y u* es el automorfismo del jacobino inducido por u. Si Z[l, u*] = End(J) es altamente Es probable que se encuentre un mapa de distorsión. Si Z[l, u*] 6= End(J) puede ser difícil problema para probar que algún buen candidato es un mapa de distorsión, pero al menos uno es capaz de la mayoría de las veces de encontrar un “denominador” m tal que más yace en el subrengÃ3n En este caso, si se puede utilizar mà como mapa de distorsión en los divisores de Orden l. Varios ejemplos se discuten en [GPRS06]. El objetivo de esta sección es exhibir todas las curvas supersingulares del género 2 con muchos automorfismos, describir sus automorfismos, y calcular el carácter- polinomio istico de η, que es siempre un ingrediente necesario para analizar la estructura del anillo Z[l, u*]. Recuerde que se dice que una curva C tiene muchos auto- morfismos si tiene algún automorfismo geométrico que no sea la identidad y el Involución hiperelíptica; en otras palabras, si Autk(C) > 2. Igusa encontró ecuaciones para todas las curvas geométricas del género 2 con muchos automor- phisms, y agrupó estas curvas en seis familias de acuerdo con la posible estructura- tura del grupo del automorfismo [Igu60], [IKO86]. Cardona y Quer encontraron una fe... sistema completo de representantes de todas estas curvas hasta el k-isomorfismo y dieron condiciones para asegurar la estructura exacta del grupo de automorfismo de cada modelo de hormigón [Car03], [CQ06]. El siguiente teorema resume estos resultados. Teorema 3.1. Cualquier curva del género 2 con muchos automorfismos es geométricamente isomórfico a una y sólo una de las curvas en estas seis familias: Ecuación de C Aut′ C) Autk(C) y2 = x6 + ax4 + bx2 + 1 a, b satisfacer (5) C2 C2 × C2 y2 = x5 + x3 + ax a 6= 0, 1/4, 9/100 C2 × C2 D8 y2 = x6 + x3 + a p 6= 3, a 6= 0, 1/4, −1/50 S3 D12 y2 = ax6 + x4 + x2 + 1 p = 3, a 6 = 0 S3 D12 y2 = x6 − 1 p 6= 3, 5 D12 2D12 y2 = x5 − x p 6 = 5 S4 S p = 5 PGL2(F5) S y2 = x5 − 1 p 6= 5 C5 C10 (5) (4c3−d2)(c2−4d+18c−27)(c2−4d−110c+1125) 6= 0, c := ab, d := a3+ b3. Ibukiyama-Katsura-Oort determinado, utilizando el teorema 1.1, cuando los últimos tres Las curvas son supersingulares [IKO86, Props. 1.11, 1.12, 1.13]: y2 = x6 − 1 es supersingular iff p فارسى −1 (mod 3) y2 = x5 − x es supersingular iff p 5, 7 (mod 8) y2 = x5 − 1 es supersingular iff p Karabaj 2, 3, 4 (mod 5) Es inmediato comprobar que y2 = ax6 + x4 + x2 + 1 nunca es supersingular si p = 3. Uno puede aplicar Teorema 1.1 a las otras curvas en las tres primeras familias a distinguir los supersingulares. Teorema 3.2. Supongamos q es un cuadrado y dejar que C sea una curva supersingular perteneciente a una de las cinco primeras familias de Teorema 3.1. Luego hay un giro de C con Weil polinomio (x+) q)4, y este giro es único. Prueba. Dejar E ser una curva elíptica supersingular definida sobre Fp. Por [IKO86, Prop. 1.3] el jacobino J de C es geométricamente isomórfico al producto de dos supersin- curvas elípticas gulares, que a su vez es isomórfica a E×E por un teorema bien conocido de Deligne. La superficie principalmente polarizada (J.o) es así geométricamente isomórfica. a (E × E, Puesto que E tiene todos los endomorfismos definido sobre Fp2, (E × E, ) se define sobre Fp2 y por un resultado clásico de Weil es Fp2 -isomórfico al jacobino canónicamente polarizado de una curva C0 definida sobre Fp2. Por Torelli, C0 es un giro de C. El polinomio de Weil de C0 es (x ± porque el polinomio Frobenius de E es x2 + p. El hecho de que C0 y C 0 son los giros únicos de C0 con polinomio de Weil (x ± q)4 es consecuencia de la Proposición 2.2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Corolario 3.3. En los mismos supuestos: (1) El polinomio de Weil de C es (xÃ3q)4 si y solamente si W = (1)6. (2) Si C pertenece a una de las tres primeras familias de Teorema 3.1, entonces admite sin torsión con Weil polinomio x4 ± qx2 + q2 o x4 + q2. (3) Si cualquiera de las curvas y2 = x5 + x3 + ax, y2 = x6 + x3 + a es supersingular a continuación, un â € ¢ Fp2. Prueba. (1) En el cuadro 4, el conjunto W0 de Weierstrass puntos de C0 tiene Gk-estructura W0 = (1) 6 y Lemma 2.6 muestra que para todos los automorfismos v 6= 1, Wv 6= (1)6; por lo tanto, sólo los giros C0 y C′0 tienen W = (1)6. (2) Los automorfismos geométricos v de C0 no satisfacen ni v 6 = 1, v2 6 = 1, v3 6 = 1, i, ni v6 = i, ni v4 = i; así, por la Proposición 2.2 el polinomio de Weil de un giro de C0 no es ni x 4 ± qx2 + q2 ni x4 + q2. (3) Los invariantes de Igusa de C0 toman valores en Fp2 y a pueden expresarse en términos de estos invariantes [CQ05]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En una serie de artículos Cardona y Quer estudiaron las posibles estructuras de la sets apuntados H1(Gk,Autk(C)) y se encontraron representantes v • Autk(C) (identificados a 1-cociclos de H1(Gk,Autk(C)) de los giros de todas las curvas con muchos automor- phisms [Car03], [CQ05], [Car06], [CQ06]. En las subsecciones siguientes computamos la función zeta y el número de k-automorfismos de estas curvas cuando son supersingular. Una estrategia general que funciona en la mayoría de los casos es aplicar la técnicas de la Secc. 2 para encontrar un giro de C con polinomio de Weil (x ± Łq)4 (para q cuadrado) o (x2±q)2 (para q nonsquare) y aplicar entonces las Proposiciones 2.2, 2.3 para obtener la función zeta de todos los demás giros de C. Los resultados se muestran en el Apéndice en forma de tablas, donde exhibimos además una ecuación de cada curva. 3.1. Twists de la curva C : y2 = x5 − 1, para p 6-0, 1 (mod 5). Tenemos (W) = μ5 y Aut′k(C) μ5. La función zeta de C se puede calcular de los cuadros 3,4 y Lemma 2.5 aplicados a Ck2. Si la q 6o 1 (mod 5) los únicos giros son C, C′. Si q فارسى 1 (mod 5) hay diez giros y su función zeta puede ser deducido de la Proposición 2.2. En el cuadro 5 se resumen todos los cálculos. 3.2. Twists de la curva C : y2 = x5 − x, para p • 5, 7 (mod 8). Ahora (W) = , 0, ±1, ±i}. Si p = 5 tenemos Aut′ (C) = Aut(P1). Si p 6= 5 el grupo Aut′ es isomórfico a S4 y se genera por las transformaciones T (x) = ix, S(x) = , con relaciones S3 = 1 = T 4, ST 3 = TS2. Para q nonsquare la función zeta de C se determina por la Tabla 3; ya que la curva se define sobre Fp obtenemos la zeta función de C sobre k por extensión escalar. En todos los casos podemos aplicar las Proposiciones 2.2 y 2.3 para determinar la función zeta de los giros de C. Tablas 6, 7, 8 resumen todos los cálculos. 3.3. Twists de la curva C : y2 = x6 − 1, para p فارسى −1 (mod 3), p 6= 5. Tenemos (W ) = μ6 y Aut (C) = x, x,2x,±1 }, donde η • Fp2 es un la tercera raíz primitiva de la unidad. La función zeta de C se puede calcular a partir de las tablas 3,4 y Lemma 2.5 aplicadas a C y Ck2. La función zeta de todos los giros puede ser determinada por Proposiciones 2.2, 2.3. En los cuadros 9, 10 se resumen todos los cálculos. 3.4. Twists de la curva supersingular C : y2 = x6 + x3 + a, para p > 3. Recordar que a es un valor especial haciendo la curva C supersingular y un 6= 0, 1/4, −1/50. Ahora sí. (W) =,, η2o, A }, Aut′ (C) = {x, ηx, η2x, A en los que A, z, Ł k satisfacen A3 = a, z2 + z + a = 0, Ł3 = z. La acción de Galois sobre W y sobre Aut′ (C) depende de z y a/z siendo cubos o no en su campo mínimo de definición k* o (k2) ∗. Esto está determinado por el hecho que a es un cubo o no. Lemma 3.4. Si a es un cubo en k* entonces z, a/z son ambos cubos en k* o en (k2) de acuerdo con 1− 4a (k*)2 siendo un cuadrado o no. Si a no es un cubo en k* entonces z, a/z son ambos no picos en k* o en (k2) ∗, según a 1 - 4a (k*)2 siendo un cuadrado o no. Prueba. Comprobemos que todas las situaciones excluidas por la declaración conducen a W = (1)3(3) o Wv = (1) 3 (3) para algún giro, en contradicción con las Tablas 3, 4. Suponga q • −1 (mod 3). Si 1− 4a es un cuadrado, entonces a, z, a/z son todos cubos en k*. Si 1 − 4a no es un cuadrado entonces a es un cubo y si z, ze no son cubos en k2 tenemos = (A/l), con 3 = 1, 6= 1, y el giro por v = (1(A/x), ay/x3) tiene Wv = (1) 3(3) por Lemma 2.6. Suponga q 1 (mod 3). Si 1−4a no es un cuadrado tenemos z(q2−1)/3 = a(q−1)/3, así que que a es un cubo en k* si y sólo si z, zÔ son cubos en k*2. Supongamos ahora que 1-4a es un cuadrado. Si exactamente uno de los dos elementos z, a/z es un cubo tenemos W = (1)3(3); Por lo tanto z, a/z son cubos o no cubes en k*. En particular, si a no es un cubo entonces z, a/z son necesariamente ambos no picos. Finalmente, si a es un cubo y z, a/z son noncubes en k*, Lemma 2.6 muestra que Wv = (1) 3(3) para el giro correspondiente a v = (ηx, y). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Para el cálculo de las funciones zeta de los giros es útil detectar que algunas de las combinaciones un cuadrado/noncuadrado y 1-4a cuadrado/noncuadrado no son Es posible. Lemma 3.5. Suponga q 1 (mod 3). (1) Si q فارسى −1 (mod 4) entonces 1− 4a no es un cuadrado. (2) Si q no es cuadrado, entonces a no es un cuadrado. (3) Si q es un cuadrado entonces a y 1− 4a son ambos cuadrados. Prueba. Que Cv sea el giro de C correspondiente a v(x, y) = (ηx, y). (1) Suponer 1− 4a es un cuadrado. Si a es un cubo tenemos W = (1)6 y si a no es un cubo tenemos Wv = (1) 6; por Tabla 3 obtenemos (r, s) = (0,−2 q) en ambos casos. Por otro lado, Lemmas 2.5 y 2.6 aplicados a Ck k2 muestran en ambos casos que s 1 (mod 3); por lo tanto, p 1 (mod 4). (2) Supongamos que a es un cuadrado. Si a es un cubo (respectivamente a no es un cubo) nosotros tener W = (1)6 o W = (2)3 (respectivamente Wv = (1) 6 o Wv = (2) 3), según a 1 − 4a siendo un cuadrado o no. En todos los casos tenemos (r, s) = (0,±2q) por tabla 3 y una aplicación directa de Lemma 2.5 y (2) de Lemma 2.6 conduce a r -1 (mod 3), que es una contradicción. (3) En todos los casos en que a o 1 − 4a no son cuadrados obtenemos (r, s) = (0, q) o bien para la curva C o para la curva Cv. Esto contradice el corolario 3.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Después de estos resultados se puede aplicar la estrategia general. Los resultados se muestran en los cuadros 11, 12, 13. 3.5. Twists de la curva supersingular C : y2 = x5+x3+ax. Recordemos que a es un valor especial haciendo C supersingular y un 6= 0, 1/4, 9/100. Teniendo en cuenta la satisfacción de z â € k z2 + z + a = 0 tenemos a/z}, Autk(C) = (­2 x, ­ y) ­4 = 1 w4 = a Lemma 3.6. Si q 1 (mod 4) entonces a y 1-4a son ambos cuadrados o ambos no cuadrados en k*. Si q es un cuadrado entonces necesariamente a y 1− 4a son ambos cuadrados. Prueba. Si se trata de 6o (k*)2, 1o a 4o (k*)2, entonces W = (1)4(2) y (r, s) = (0,−2q) por cuadros 3,4; esto contradice a Lemma 2.5 porque Aut(C) = F = 4 y r 2 (mod 4). Supóngase ahora un â ¬ (k*)2, 1 − 4a 6â ¬ (k*)2. Si a • (k*)4 entonces W = (1)2(2)2 y (r, s) = (0,±2q); esto contradice a Lemma 2.5 porque Aut(C) = 8, F = 6 si q • 1 (mod 8) y F = 2 o 10 si q • 5 (mod 8), de modo que r • 4 (mod 8) en ambos casos. Si un 6o (k*)4 obtenemos una contradicción similar para la curva Cv para v(x, y) = (−x, iy). Si a, 1 − 4a no son cuadrados, entonces W = (1)2(4) y el polinomio de Weil de C es x4 + q2 por tablas 3,4. Si q es un cuadrado esto contradice el corolario 3.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma 3.7. Si q es un cuadrado entonces un â € (k*)4 si y sólo si z â € (k*)2. Prueba. Supongamos un â € ¬ (k*)4, z 6â € (k*)2 y busquemos una contradicción. Considerar los k-automorfismos u(x, y) = (−x, iy), v(x, y) = (w y) de C, donde w4 = a. Por Lemma 2.6, Wu = (1) 6 y Cu tiene polinomio de Weil (x ± q)4 por Corollary 3.3; desde u2 = ι, el polinomio de Weil de C es (x2 + q)2 por Proposición 2.2 y Lemma 2.4. El cociente E := C/v es una curva elíptica definida sobre k y la El endomorfismo de Frobenius η de E debe satisfacer η2 = −q. Puesto que q es un cuadrado, E tiene cuatro automorfismos y su j invariante es necesariamente jE = 1728. Ahora, E tiene un Ecuación de Weierstrass: Y 2 = (X + 2w)(X2 + 1 − 2w2), donde X = (x2 + w2)x−1, Y = y(x + w)x−2 son invariantes bajo la acción de v. La condición jE = 1728 es equivalente a a = 0 (que se excluyó desde el principio) o a = (9/14)2; en este último caso z es un cuadrado en Fp2 y obtenemos una contradicción. Supóngase ahora un 6o (k*)4, z (k*)2. Tenemos W = (1)6 y C tiene polinomio de Weil (x ± Łq)4 por el corolario 3.3. Por la Proposición 2.2, el polinomio de Weil de Cu es (x2+q)2. Para cualquier elección de w = 4 a, el morfismo f(x, y) = (x+w x-w, 1+2w2 (x-w)3 ) establece un k2-isomorfismo entre C y el modelo: Cu : y 2 = (x2 − 1) (x4 + bx2 + 1), b = (12) a− 2)/(2 a+1), de Cu. El cociente de esta curva por el automorfismo (-x, y) es la curva elíptica E : Y 2 = (X − 1) (X2 + bX + 1). Argumentando como arriba, E tiene j-invariante 1728, y Esto lleva a a = 0 (excluido desde el principio) o a = (9/14)2, que es a contradicción ya que una sería una cuarta potencia en Fp2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Después de estos resultados uno es capaz de determinar la función zeta de todos los giros de C cuando q es un cuadrado; los resultados se muestran en la Tabla 14. En los casos en que El polinomio de Weil es (x − q)4, = ±1, los métodos de la sección 2 no son suficientes nuestro cálculo de este signo se deriva de un estudio de la 4-torsión de un cociente elíptico de la curva correspondiente. Con el fin de tratar con el caso q nonsquare necesitamos descartar más casos. Lemma 3.8. Suponga q nonsquare. Si q • −1 (mod 4) entonces a y 1 − 4a no pueden ser ambos no cuadrados. En caso de q • 1 (mod 4) y un • (k*)2 entonces un • (k*)4 si y sólo si z 6 • (k*)2. Prueba. Si a, 1 − 4a son no cuadrados el polinomio x4 + x2 + a es irreductible y el polinomio de Weil de C es x4 + q2 por tabla 3; por lo tanto, el polinomio de Weil de C k k2 es (x2 + q2)2. Si q • −1 (mod 4) tenemos un • k* (k*2)4 y esto contradice el cuadro 14. Suponga q • 1 (mod 4) y un • (k*)2; por Lemma 3.6, 1−4a es también un cuadrado y z â € k*. Si a (k*)4 y z (k*)2 obtenemos W = (1)6, y (r, s) = (0,−2q) por tabla 3; obtenemos una contradicción porque el jacobino J de C es simple ([MN02, Thm. 2.9]) y C tiene cocientes elípticos sobre k porque los automorfismos (w2/x, (w3y)/x3) se definen sobre k. Si un 6o (k*)4 y z 6o (k*)2 obtenemos una contradicción análoga para la curva Cu retorcida por u(x, y) = (−x, iy). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Los resultados para el caso q nonsquare siguen ahora por los argumentos habituales y ellos se muestran en los cuadros 15 y 16. 3.6. Twists de la curva supersingular C : y2 = x6+ax4+bx2+1. Recordemos que a, b â € k son valores especiales que satisfacen (5) y que hacen C supersingular; en particular p > 3. La curva C tiene cuatro giros porque Autk(C) = Aut(C) = {(±x,±y)} es conmutativo y tiene una acción trivial de Galois. El jacobino de C es k-isógeno al producto E1 × E2 de las curvas elípticas con ecuaciones de Weierstrass y2 = x3 + ax2 + bx + 1, y2 = x3 + bx2 + ax + 1, obtenido como cociente de C por la automorfismos respectivos v = (-x, y), ■v = (-x,-y). Para q nonsquare, estos Las curvas elípticas tienen necesariamente Weil polinomio x2 + q y el polinomio Weil de C es (x2 + q)2. Lemma 3.9. Si q es un cuadrado C tiene Weil polinomio (xÃ3q)4. Prueba. Por Teorema 3.2 y Proposición 2.2 C tiene polinomio de Weil (x ± Łq)4 o (x2 − q)2. En ambos casos las curvas elípticas E1, E2 tienen polinomio Weil (x± y afirmamos que son isógenos. Desde E(k) (Z/(1°q)Z)2 como abeliano grupo, nuestras curvas elípticas tienen cuatro 2 puntos de torsión racional y el polinomio Cuadro 5 Twists de la curva y2 = x5 − 1 para p • 2, 3, 4 (mod 5). La señal • = ±1 está determinado por •q • • (mod 5). La última fila proporciona ocho inequivalentes twists correspondientes a los cuatro valores no triviales de t â € k*/(k*)5 Cv v (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x5 − 1 (x, y) q • ±2 (mod 5) q • −1 (mod 5) q 1 (mod 5) (0, 0) (0, 2q) (−4q, 6q) y2 = tx5 − 1, t6° (k*)5 (t 5 x, y) q 1 (mod 5) (q, q) no 10 Cuadro 6 Twists de la curva y2 = x5 − x cuando q فارسى −1 (mod 8) Cv v (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x5 − x (x, y) (0, 2q) sí 8 y2 = x5 + x (ix, 1+i y) (0, 2q) sí 4 y2 = (x2 + 1)(x2 − 2tx − 1)(x2 + 2 x − 1) t2 + 1 6o (k*)2 (− ) (0,−2q) sí 24 y2 = (x2 + 1)(x4 − 4tx3 − 6x2 + 4tx + 1), t2 + 1 6o (k*)2 , i−1 (0, 0) sí 4 y2 = x6 − (t + 3)x5 + 5( 2+t−s )x4 + 5(s − 1)x3 +5( 2−t−s )x2 + (t − 3)x + 1 irred., s2 + t2 = −2 2-1-i)y (x+i)3 (0, q) no 6 x3 + ax2 + bx + 1 tiene tres raíces e1, e2, e3 + k. Desde e1e2e3 = 1, ya sea una o tres de estas raíces son cuadrados. Si sólo una raíz es un cuadrado tenemos W = (1)2(2)2, Wv = (1) 4(2) y C, Cv tienen ambos polinomios de Weil (x 2 ± q)2, en contradicción con Teorema 3.2. Por lo tanto, las tres raíces son cuadrados, W = (1)6, y C tiene Weil polinomio (xÃ3q)4 por corolario 3.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La función zeta de los giros de C se obtiene de las Proposiciones 2.2 y 2.3. Los resultados se muestran en la Tabla 17. Para q cuadrado el signo de (x ± Łq)4 puede ser determinado mediante el análisis de la 4-torsión de la curva elíptica y2 = x3 + ax2 + bx+ 1. Finalmente, hay curvas especiales sobre k cuyo modelo geométrico y2 = x6 + ax4 + bx2+1 no se define sobre k (cf. [Car03, Secc.1]). Es sencillo aplicar el técnicas de este artículo para determinar su función zeta también. 4. Apéndice En este apéndice mostramos en varias tablas el cálculo de la función zeta- ciones de las curvas supersingulares del género 2 con muchos automorfismos. Para cada una de ellas curva Cv, exhibimos el número de k-automorfismos y el par de enteros (r, s) determinación del polinomio fJv(x) de Weil = x 4 + rx3 + sx2 + qrx+ q2 de Cv. En el columna etiquetada “s.d” indicamos si C es auto-dual. Para las curvas no-self-dual nosotros mostrar sólo una curva de la pareja Cv, C Denotamos por η, i k una primitiva tercera, cuarta raíz de la unidad. Para n positivo entero y x k* definimos vn(x) = 1 si se trata de x (k*)n, vn(x) = −1 en caso contrario. En todas las tablas los parámetros s, t toman valores en k*. Conclusión. Demostramos que la función zeta de una curva supersingular del género dos es casi determinado por la estructura de Galois de un conjunto finito fácil de describir en términos de una ecuación definitoria. Para curvas con muchos automorfismos este resultado es refinado obtener un cálculo directo (no algorítmico) de la función zeta en todos los casos. As Cuadro 7 Twists de la curva y2 = x5 − x cuando q • 5 (mod 8) Cv v p (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x5 − x (x, y) p > 5 p = 5 (0,-2q) sí 24 y2 = x5 − 4x (−x, iy) (0, 2q) sí 8 y2 = x5 − 2x (ix, 1+i y) (0, 0) sí 4 y2 = (x2 + 2)(x4 − 12x2 + 4) , i−1 p > 5 p = 5 (0, 2q) sí y2 = f(t, x)f( 18+(5i−3)t (5i+3)−2t, x) f(t, x) = x3 − tx2 + (t − 3) x+ 1 irred. 2-1-i)y (x+i)3 p > 5 p = 5 (0, q) y2 = x5 − x − t, trk/F5 (t) = 1 (x + 1, y) p = 5 ( 5q, 3q) no 10 y2 = x6 + tx5 + (1 − t)x + 2, irred. ( 3 x−1, (x+1)3 ) p = 5 (0,-q) sí 6 Cuadro 8 Twists de la curva y2 = x5 − x cuando p • 5, 7 (mod 8) y q es a Cuadrado. Acá = (-1/-q) y = (-3/-q) Cv v p (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x5 − x (x, y) p > 5 p = 5 (−4q, 6q) no 48 y2 = x5 − t2x, t 6° (k*)2 (−x, iy) (0, 2q) sí 8 y2 = x5 − tx, t 6â € (k*)2 (ix, 1+i y) (0, 0) no 8 y2 = (x2 − t)(x4 + 6tx2 + t2), t 6o (k*)2 , i−1 p > 5 p = 5 (0,−2q) sí 4 y2 = (x3 − t)(x3 − (15) 3 − 26)t), t 6o (k*)3 2-1-i)y (x+i)3 p > 5 p = 5 q, 3q) no y2 = x5 − x − t, trk/F5(t) = 1 (x+ 1, y) p = 5 ( q, q) no 10 y2 = x6 + tx5 + (1 − t)x+ 2, irred. ( 3 x−1, (x+1)3 ) p = 5 (0, q) no 12 Cuadro 9 Twists de la curva y2 = x6 − 1 cuando q فارسى −1 (mod 3), p 6= 5. Acá = (−1/p) Cv v (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x6 − 1 (x, y) (0, 2q) if = −1 6 + 2 y2 = x6 − t, t 6 • (k*)2 (−x,−y) (0, 2q) if • = 1 6 − 2 • y2 = x(x2 − 1) (x2 − 9) ( 1 ) (0, -2q) sí 12 y2 = (x4 − 2stx3 + (7s + 1)x2 + 2tsx + 1)· ·(x2 − 4 x− 1), t2 + 4 k* \ (k*)2, s−1 = t2 + 3 (− ) (0, 2°q) sí 12 y2 = x6 + 6tx5 + 15sx4 + 20tsx3 + 15s2x2+ +6ts2x + s3, s = t2 − 4 6â € (k*)2, gcd(x(q+1)/3 − 1, x2 − tx + 1) = 1 ) (0, q) sí 6 y2 = x6 + 6x5 + 15sx4 + 20sx3 + 15s2x2+ +6s2x + s3, s = t2/(t2 + 4) 6o (k*)2, gcd(x(q+1)/3 + 1, x2 − tx − 1) = 1 ) (0,q) sí 6 Cuadro 10 Twists de la curva y2 = x6 − 1 cuando p فارسى −1 (mod 3), p 6 = 5 y q es un cuadrado. Acá = (−3/3q) Cv v (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x6 − 1 (x, y) (−4q, 6q) no 24 y2 = x6 − t3, t 6â € (k*)2 (−x, y) (0,−2q) sí 12 y2 = x6 − t2, t6o (k*)3 (ηx, y) (2q, 3q) no 12 y2 = x6 − t, t 6° (k*) 2° (k*)3) (x,−y) (0, q) no 12 y2 = x(x2 + 3t)(x2 + t ), t 6o (k*)2 ( 1 ) (0, 2q) sí 4 y2 = x6 + 15tx4 + 15t2x2 + t3, t 6â € (k*)2 (− 1 ) (0,−2q) sí 4 Cuadro 11 Twists de la curva supersingular y2 = x6+x3+a, a 6= 0, 1/4,-1/50, cuando q • −1 (mod 3). Aquí es la raíz cúbica de a en k = v2(a) y A Cv v (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x6 + x3 + a (x, y) (0, 2q) if • = −1 3 + • y2 = 3(x − Ł)6 − g(x)3 + aŁ3(x − )6 g(x) min. Polin. De los tipos utilizados en la fabricación de productos de la partida 84.01 del SA y) (0, 2°q) iff = −1 9 + 3° y2 = (x− η)6 − g(x)3 + a1(x − η2)6 g(x) = x2 + x+ 1, 3, Nk2/k() = a y) (0,q) no 6 Cuadro 12 Twists de la curva supersingular y2 = x6+x3+a, a 6= 0, 1/4,-1/50, cuando q • 1 (mod 3) y q no es cuadrado. Aquí A es una raíz cúbica de a en k y n = 3, en caso de que se trate de un valor de referencia (k*)3, mientras que A = a, n = 1, si se trata de un valor de referencia (k*)3 Cv c/ 3(a) (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x6 + x3 + a (x, y) (0,−2q) (0, q) y2 = x6 + tx3 + t2a, t 6° (k*)3 y2 = x6 + ax3 + a3 3 x, y) (0, q) (0,−2q) y2 = n(x − Ł)6 − g(x)3 + aŁn(x− )6 g(x) min. Polin. De los tipos utilizados en la fabricación de productos de la partida 84.01 del SA y) (0, 2q) sí 2 Cuadro 13 Twists de la curva supersingular y2 = x6+x3+a, a 6= 0, 1/4,-1/50, cuando q es un cuadrado. He aquí = (−3/3q). Además, A es una raíz cúbica de a en k y n = 3, en caso de que se trate de un valor de referencia (k*)3, mientras que A = a, n = 1, si se trata de un valor de referencia (k*)3 Cv c/ 3(a) (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x6 + x3 + a (x, y) (−4q, 6q) q, 3q) y2 = x6 + tx3 + t2a, t 6° (k*)3 y2 = x6 + ax3 + a3 3 x, y) q, 3q) (−4q, 6q) no y2 = n(x − Ł)6 − g(x)3 + aŁn(x− )6 g(x) min. Polin. De los tipos utilizados en la fabricación de productos de la partida 84.01 del SA y) (0,−2q) no 4 Cuadro 14 Twists de la curva supersingular y2 = x5 + x3 + ax, a 6 = 0, 1/4, 9/100, cuando q es un cuadrado. La última fila proporciona dos giros inequivalentes de acuerdo con los dos valores de a. Aquí: = −(−1/•q) v4(z) y = −(−1/lq) v4(tz), donde z2 + z + a = 0 Cv c/ 4(a) (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x5 + x3 + ax (x, y) q, 6q) (0, 2q) y2 = x5 + tx3 + at2x, t 6° (k*)2 (−x, t (0, 2q) q, 6q) y2 = g(x) 2(x− )4 + g(x)2+ +a2(x− )4 , Nk2/k(­) = g(x) min. Polin. Los demás, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, pero inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso y) (0,-2q) sí 4 Cuadro 15 Twists de la curva supersingular y2 = x5 + x3 + ax, a 6 = 0, 1/4, 9/100, cuando q no es cuadrado y un 6o (k*)2 Cv v (−1/p) (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x5 + x3 + ax (x, y) (0, 0) (0, 2q) y2 = (x2 − a) a)4 + (x2 − a)2+ +a1(x + , ­ · k2, Nk2/k(­) = a (0, 2q) (0, 0) Cuadro 16 Twists de la curva supersingular y2 = x5 + x3 + ax, a 6 = 0, 1/4, 9/100, cuando q no es cuadrado y un â € (k*)2. Aquí = (−1/p). Si p -1 (mod 4) suponemos que a pertenece a (k*)2 Cv c/ 4(a) (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x5 + x3 + ax (x, y) (0, 2q) (0,−2q) if = −1 6 + 2 y2 = x5 + tx3 + at2x, t 6° (k*)2 (−x, t (0, -2 °q) (0, 2q) y2 = g(x) 2(x− )4 + g(x)2+ +a2(x − )4 , Nk2/k(­) = g(x) min. Polin. Los demás, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, pero inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso y) (0, 2q) if • = 1 6 − 2 • y2 = g(x) 2(x− )4 + g(x)2+ +a2(x − )4 , Nk2/k(­) = − g(x) min. Polin. Los demás, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, pero inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso inferior o igual a 150 g/m2, de peso y) (0, 2oq) sí 4 Cuadro 17 Twists de la curva supersingular y2 = x6 + ax4 + bx2 + 1 satisfactorio (5) Cv v (r, s) s.d. Aut(Cv) y2 = x6 + ax4 + bx2 + 1 (x, y) q nonsq. q cuadrado (0, 2q) (±4oq, 6oq) no 4 y2 = x6 + atx4 + bt2x2 + t3 t 6o (k*)2 (−x,−y) q nonsq. q cuadrado (0, 2q) (0,−2q) no 4 una aplicación se obtiene un cálculo directo del exponente criptográfico de la Jacobiano de estas curvas. Además, el cálculo de la función zeta es necesario para determinar la estructura del anillo de endomorfismo del jacobino y calcular mapas de distorsión para los emparejamientos de Weil y Tate. Agradecimiento. Es un placer agradecer a Christophe Ritzenthaler por su ayuda. en la búsqueda de algunas de las ecuaciones de las curvas retorcidas. Bibliografía [Car03] G. Cardona, Sobre el número de curvas del género 2 sobre un campo finito, Campos Finitos y Sus aplicaciones 9 (2003), 505-526. [CQ05] G. Cardona, J. Quer, Campo de modulo y campo de definición para curvas del género 2, en Aspectos computacionales de las curvas algebraicas (T. 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Ciències Matemàtiques i Informatica, Universitat de les Illes Balears, 07122, Palma de Mallorca, España Dirección de correo electrónico: gabriel.cardona@uib.es Departamento de Matemáticas, Universitat Autònoma de Barcelona, Edifici C, 08193 Bellaterra, Barcelona, España Dirección de correo electrónico: nart@mat.uab.cat Introducción 1. Función Zeta y exponente criptográfico 1.1. Computación de la función Zeta cuando p=2 1.2. Computación de la función Zeta cuando p es impar 2. Función Zeta de los Twists 3. Curvas supersingulares con muchos automorfismos 3.1. Twists de la curva C2mu-:6muplus1muy2=x5-1, para p0,1 (mod 5) 3.2. Twists de la curva C2mu-:6muplus1muy2=x5-x, para p5,7 (mod 8) 3.3. Twists de la curva C2mu-:6muplus1muy2=x6-1, para p-1 (mod 3), p=5 3.4. Twists de la curva supersingular C2mu-:6muplus1muy2=x6+x3+a, para p>3 3.5. Twists de la curva supersingular C2mu-:6muplus1muy2=x5+x3+ax 3.6. Twists de la curva supersingular C2mu-:6muplus1muy2=x6+ax4+bx2+1 4. Apéndice Bibliografía

Dynamic Effects Increasing Network Vulnerability to Cascading Failures

Efectos dinámicos Aumento de la vulnerabilidad de la red a fallas en cascada Ingve Simonsen,1,2, ∗ Lubos Buzna,1, 3 Karsten Peters,1 Stefan Bornholdt,4 y Dirk Helbing1 1Dresden University of Technology, Andreas-Schubert-Straße 23, D-01086 Dresden, ALEMANIA 2Departamento de Física, Universidad Noruega de Ciencia y Tecnología (NTNU), NO-7491 Trondheim, NORUEGA 3Universidad de Zilina, Univerzitna 8215/5, SK-01026 Zilina, ESLOVAQUIA 4Instituto de Física Teórica, Universidad de Bremen, Otto Hahn Allee 1, D-28334 Bremen, ALEMANIA (Fecha: 10 de junio de 2021) Estudiamos fallas en cascada en redes utilizando un modelo de flujo dinámico basado en una Derecho de circulación para investigar el impacto de las dinámicas transitorias causadas por el reequilibrio de cargas después de un fallo inicial de la red (acontecimiento de activación). Se encuentra que teniendo en cuenta el flujo dy- los namics pueden implicar una menor robustez de la red en comparación con los anteriores modelos de fallo de sobrecarga estática. Esto se debe a las oscilaciones transitorias o al rebasamiento en las cargas, cuando la dinámica del flujo se ajusta a la nueva estructura de red (permanente). Obtenemos límites superiores e inferiores a la robustez de la red, y se muestra que son importantes dos escalas de tiempo Ł y Ł0, definidas por la dinámica de la red, considerar antes de abordar con precisión la robustez o vulnerabilidad de la red. La robustez de las redes que muestran fallas en cascada se determinan generalmente por una interacción compleja entre el la topología de la red y la dinámica del flujo, donde la relación χ = Dos de ellos. Números PACS: 89.75.-k; 89.20.-a; 75.40.Gb; 89.65.-s Las sociedades dependen de una operación estable y de un alto rendimiento. de las redes de infraestructuras complejas, que son esenciales para ical para su funcionamiento óptimo. Ejemplos de ello son electri- redes eléctricas, redes de telecomunicaciones, agua, gas oleoductos, carreteras, ferrocarriles y líneas aéreas redes de transporte. Su fracaso puede ser grave. las consecuencias económicas y sociales, como las diversas apagones y otros incidentes en todo el mundo recientemente mostrado. Por lo tanto, es una cuestión clave cómo proteger mejor estos sistemas críticos contra fallos y ataques aleatorios o deliberados [1, 2, 3]. Emisiones netas robustez del trabajo y vulnerabilidad no sólo han sido abordada por los ingenieros [4, 5], pero también por la física comunidad [2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17]. En los estudios iniciales de este tipo [2, 6, 7, 8, 11], el pri- La preocupación de Mary se dedicó a lo que se puede llamar robustez tural; el estudio de diferentes clases de redes topologías y cómo se vieron afectadas por la eliminación de un número finito de enlaces y/o nodos (por ejemplo: ¿Cómo el av- se cambió el diámetro de la red). Se llegó a la conclusión de que la red más heterogénea es en términos de, por ejemplo, distribución de grado, cuanto más robusto es el fracaso aleatorio- , mientras que, al mismo tiempo, parece más vulnerable a ataques deliberados sobre nodos altamente conectados [7, 11]. Más adelante, los conceptos de cargas de red, capacidades, y Se introdujeron fallos de sobrecarga [9, 10, 12, 14, 15, 16]. Para las redes que apoyan el flujo de una cantidad física, la eliminación de un nodo/enlace hará que el flujo redis- tributo con el riesgo de que algunos otros nodos / enlaces pueden ser sobrecargado y propenso al fracaso. Por lo tanto, un evento desencadenante puede causar toda una secuencia de fallas debido a la sobrecarga, e incluso puede amenazar la estabilidad global de la red trabajo. Tal comportamiento ha sido llamado fallo en cascada. ures. Un trabajo fundamental a este respecto es el documento de Motter y Lai [9]. Estos autores definieron la carga de un nodo por su centralidad entrelazada [3, 9]. Acontecimientos posteriores estudios introdujeron medidas alternativas para la red carga [12] así como una redistribución más realista mecha- nisms [12, 14, 15, 16]. En todos los estudios citados anteriormente, la redistribución de las cargas se trata independientemente del tiempo o estático. Nos referiremos a colectivamente como modelos de fallo de sobrecarga estática. Los las redistribuciones de la carga en tales modelos son instantáneamente y se cambia de forma discontinua a las cargas estacionarias de la nueva red (perturbada), es decir, el dinam transitorio ajuste ical hacia las nuevas cargas estacionarias de la La red perturbada es descuidada. El objetivo de esta carta es comparar la robustez es diezmas de redes complejas contra fallos en cascada donde las propiedades de flujo dinámico se toman en ac- contar en relación con aquellos en los que no están (casos estáticos). Este trabajo no tiene la intención de centrarse en un sistema específico (o red), sino que pretendemos ser tan genéricos como pos- sible en la elección del modelo dinámico con la conse- que los detalles y características particulares de un El sistema tiene que ser descuidado, es decir. Trabajamos con un mínimo modelo como a menudo favorecido en la física. Sin embargo, la Modelo de flujo fenomenológico dinámico conceptualmente simple que proponemos, incorpora la conservación del flujo, red topología, así como las características de redistribución de la carga que son compartido por sistemas de la vida real. Sobre este telón de fondo, es esperadas (cf. Fig. 1) que los resultados del modelo reflejarán algunas propiedades importantes de los sistemas de la vida real. Para las cuestiones de ilustración y para facilitar la comparación hijo con resultados anteriores [9, 10, 12, 14, 15, 16], tenemos trabajado con topologías de redes de transmisión de energía. Aunque nuestro modelo parece capturar características estilizadas de redes eléctricas (véase Fig. 1), hacemos hincapié en que nuestro objetivo es No es una representación realista de ellos, ni es nuestro modelo re- estricta a tales sistemas. Dentro del modelo propuesto, nosotros http://arxiv.org/abs/0704.1952v2 0 10 20 30 40 tiempo [s] 0 10 20 30 40 50 tiempo [s] 0 10 20 30 40 tiempo [pasos] 0 10 20 30 40 50 tiempo [pasos] a) b) c) d) FIG. 1: (Color en línea) Comparación del tiempo dependiente carga de enlace después de un evento desencadenante (que tiene lugar en t = 0) como predicho por simuladores de potencia de última generación (figs. 1 a) [18] y b) [19]), y el modelo simple de “conservación de flujos” escrito y utilizado en el presente trabajo (Figs. 1 c) y d)). quieren demostrar que los ajustes dependientes del tiempo puede desempeñar un papel crucial. En particular, demostraremos que modelos de fallo de sobrecarga estática dan el límite inferior de la vulnerabilidad de las redes de flujo a fallos y ataques, y por lo tanto de la probabilidad de fallas en cascada. Para estudiar esto, en la misma tradición de la física, Utilizamos un modelo de flujo simple con pocos parámetros, que Sin embargo, considera la topología de la red, el flujo conserva- y la distribución de cargas sobre el vecino enlaces de un nodo [20, 22]. Asumimos que una red consiste en... ing de N nodos y lo representan por una matriz W, cuya las entradas Wij ≥ 0 (con i, j = 1, 2,..,N ) reflejarán el peso del enlace (directo) del nodo j a i (con Wij = 0 indicando que no hay enlace presente). Las ponderaciones relativas Tij = Wij/wi definirá los elementos de la transferencia ma- trix T, donde wj = i=1 Wij es el peso total saliente de nodo j [22]. Estos elementos describen la distribución del caudal total (por unidad de peso) cj(t) que alcanza el nodo j en el momento t sobre los enlaces vecinos i. Cuando el flujo se asume para llegar a los nodos vecinos i en el paso de tiempo t+1, obtenemos ci(t+1) = j=1 Tijcj(t)+j i [20, 22, 23], donde hemos añadido posibles términos fuente (j±i > 0) o términos del sumidero (j±i < 0). En notación vectorial, la red Ecuación de flujo lee c(t+ 1) = Tc(t) + j±, (1) se asemeja a la primera ley de Kirchhoff de la teoría de circuitos. Si j± = 0, la solución estacionaria a Eq. 1) es una con- vector constante con componentes c i) 1/ N, mientras que con un término fuente presente (j± 6= 0), puede expresarse como c(­) = c(­0)(­) + (1­ T )+ j± con (1­ T )+ denot- ■ el llamado inverso generalizado [24] del singu- matriz lar 1 − T. Por lo tanto, la corriente dirigida total en enlace j → i en el momento t se convierte en Cij(t) = Wijcj(t), de que también la carga (sin dirección) Lij(t) de este enlace puede se definirá mediante Lij(t) = Cij(t) + Cji(t) [28]. Cerrado... expresiones de forma para la dinámica de flujo en nodos individuales han sido derivados en Ref. [23]. Estos permiten que uno estudie la propagación ondulada y la disipación de las perturbaciones en la red mientras se propaga a través de enlaces vecinos, segundo-próximo, etc. (véase la Fig. 2). Dichas perturbaciones pueden como resultado de la redistribución de los flujos tras el fracaso de un enlace sobrecargado. En la obra seminal de Motter y Lai [9], el fracaso de un nodo se basó en la sobrecarga a largo plazo, es decir, un nodo se supone que falla cada vez que la carga estacionaria en el red perturbada (considerando nodos previamente rotos) ha superado la capacidad del nodo. Las capacidades (nodo) fueron definido como 1 + α veces las cargas (estacionarias) de los orig- red inal, siendo α ≥ 0 un factor de tolerancia global (es decir, un exceso relativo de capacidad o margen de seguridad). En los demás palabras, la evaluación de sobrecarga se hizo previamente después de que el sistema se relajó, sin considerar el tiempo- historia de cómo llegó a este estado (falla de sobrecarga estática modelos) [9, 10, 12, 14, 15, 16]. En esta Carta, generalizamos este enfoque hacia una modelo de fallo de sobrecarga dinámica. Específicamente, en nuestro simulaciones informáticas asumimos un enlace desde el nodo j a i a ser sobrecargado (y a fallar) cada vez que el tiempo- carga dependiente Lij(t) superó la capacidad de enlace Cij para al menos un período de tiempo, el tiempo de exposición a la sobrecarga. Los las capacidades de enlace se definieron análogamente a Motter y Lai [9] como Cij = (1 + α)Lij, (2) donde Lij indica las cargas estacionarias de la red original trabajo. En lo siguiente, se estudia el ef dinámico transitorio enfermedades y situaciones de sobrecarga que pueden ocurrir antes de la se alcanza el estado estacionario. Mientras que para  = 0, un fallo resultados inmediatamente después de una sobrecarga por primera vez,  > 0 el sistema tendrá que ser sobrecargado para un un cierto período de tiempo para causar un fracaso. La estática El modelo de fallo de sobrecarga corresponde a en la que se indica el tiempo transitorio de la sistema (la inversa del valor propio no cero más pequeño de T ). Por lo tanto, la relación χ = Polato entre la estática (χ → •) y (instantánea) fallo de sobrecarga dinámica (χ = 0). Mientras que el modelo de fallo de sobrecarga estática describe el límite superior de robustez de la red (el mejor caso), la sobrecarga dinámica modelo de fallo con  = 0 da el límite inferior (el peor caso) debido a un exceso de dinámica de flujo (Fig. 2). Re- Se espera que los casos alisticos se encuentren entre estos dos límites casos, correspondientes a un valor finito de χ. Aparte de la robustez de la red a los fallos de sobrecarga, el valor de la χ también determina la dinámica del fracaso cascadas. En el caso dinámico con χ = 0, enlaces cercanos son más propensos a ser sobrecargados y a fallar que en el Caso estático (χ → ­). Por lo tanto, en el escenario dinámico 0 200 400 600 800 1000 tiempo [pasos] 0,980 0,990 1.000 1.010 1.020 1.030 Enlace A Enlace B 0 20 40 60 80 100 tiempo [pasos] Enlace A 0 200 400 600 800 1000 tiempo [pasos] 1.000 1.005 1.010 1.015 Enlace C Enlace D Enlace E 0 10 20 30 40 50 60 tiempo [pasos] Enlace F FIG. 2: (Color en línea) (a) Ilustración de la dinámica de nuestro modelo de flujo de red asumiendo la topología del Reino Unido La red de transmisión de alta tensión (300–400 kV) consiste en: ración de 120 nodos situados geográficamente correctamente (generadores, servicios públicos y estaciones de transmisión) y 165 enlaces (transmis- sión). La red fue tratada como no ponderada y sin dirección. En nuestras simulaciones, veinte de las redes existentes... Los nodos de trabajo fueron elegidos aleatoriamente para desempeñar el papel de gener- nodos de ator (fuente) y utilidad (sumidero) ( n ±i /N • = 2,5 · 10−4), diez de cada tipo. In Fig. 2 a) la ubicación de estos nodos se indican por cuadrados rojos llenos y diamantes verdes llenos respectivamente. En el momento t = 0, antes de que la red carga se encontraban en el estado estacionario (Lij(t < 0)), la red fue perturbado por la eliminación de una línea de transmisión en Escocia (la enlace rojo marcado por 0 en la Fig.2(a)). El resultado no- cargas transitorias malizadas de enlace, Lij(t)/Lij(t < 0), se representan en Figs. 2 b) y c) para algunos enlaces seleccionados de la la cuadrícula de la misión, como se indica en la Fig. 2 a). El guión horizontal... líneas punteadas corresponden a las cargas estacionarias normalizadas de los enlaces. uno tiende a tener una pronunciada “ola de fallo” que barre a través de la red. Con el fin de ilustrar más la diferencia entre el modelos de falla en cascada estática y dinámica, así como obtener una medida cuantitativa del nivel de sobreesti- de robustez, investigamos una de las redes ya estudiado por Motter y Lai [9] — el noroeste red de transmisión de energía de los Estados Unidos obtenida a partir de Ref. [26] (véase también Refs. [11, 27]). Para evaluar el efecto de una perturbación inicial de la red y la siguiente cascada (en su caso), estudiamos la fracción de nodos y enlaces, GN (α) y GL(α), respectivamente, permaneciendo en la compo- nent de la red después de posibles fallas en cascada cesó, que han sido iniciadas por el fracaso aleatorio de un enlace [9]. Ambas cantidades se comportan de manera similar [29]. Ellos se muestran en la Fig. 3 para la red de transmisión de energía de EE.UU. trabajar como funciones del parámetro de tolerancia α. Lo ha hecho. se ha comprobado y ha encontrado que nuestra sobrecarga estática falla modelo reproduce bien el comportamiento general previamente notificada en Ref. [9]. Es decir, un fallo en cascada a nivel mundial se producirán bajo ataques aleatorios (o fallas) principalmente para redes heterogéneas. Según Fig. 3, hay una diferencia pronunciada entre la sobrecarga estática y (instantánea) dinámica modelo de fallo, correspondiente a esti- se acoplan a la robustez de la red. Como se muestra en el inset to Fig. 3, puede ser tan significativo como el 80%, y para pesos de enlace más homogéneos hemos encontrado diferencias incluso superior al 95%. Sólo para un toler muy significativo... (α ≥ 50%), la discrepancia entre la dos estimaciones se vuelven insignificantes. Por otra parte, ha También se encontró que el modelo estático tiende a ser más sensibles a la localización de fuentes (y sumideros). Por lo tanto, nuestros resultados muestran que el papel del proceso dinámico En la red pueden ser importantes las actividades que se lleven a cabo en el marco de la red. apareamiento de la robustez de las redes a los fallos y al azar ataques. No es sólo la topología de la red que importa, pero también las propiedades de la dinámica de la red medida por χ = ­/­0. El cambio en uno o ambos de requerirán una nueva estimación de robustez. En conclusión, hemos simulado una red simple modelo de flujo considerando, además de la topología de la red, un flujo- conservación de la dinámica y distribución de cargas. En el interior Este marco, hemos estudiado el papel de la dinámica sensible de la redistribución de cargas hacia el el estado estacionario tras el fallo de los enlaces de red. Este tran... dinámica sensible se caracteriza a menudo por excesos y/o oscilaciones en las cargas, lo que puede las “ondas fallidas” actuantes que se extienden por toda la red. Nosotros han encontrado además que, teniendo en cuenta sólo las cargas en el estado estacionario (el modelo de sobrecarga estática), da un la mejor estimación de casos (límite superior) de la robustez. Los Se puede determinar el peor caso (límite inferior) de robustez por el modelo de fallo instantáneo de sobrecarga dinámica y puede diferir considerablemente. Nuestro sencillo enfoque dinámico proporciona la topología de la red es com- lleno de leyes de flujo, conservación y distribución. Estos son potencialmente útiles para entender, mejor de- firmar y proteger las infraestructuras críticas contra los fallos. Por ejemplo, sobrecargas relacionadas con altas corrientes eléctricas causa (a través del sobrecalentamiento de los alambres) una propagación lenta 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Estático Dinámica (­ = 0) Dinámica (­ = 1) Dinámica (­ = 10) 0 0,2 0,4 0,6 FIG. 3: (Color en línea) La robustez del noroeste de EE.UU. red de transmisión de energía [26], compuesta de 4941 nodos, con un grado medio de nodo de 2,67 (cf. también Refs. [11, 15, 27]). La fracción media de enlaces (o nodos), G(α), que permanece en el componente gigante de esta red (después de la cascada) es de- picted como función del parámetro de tolerancia α, utilizando el modelos de fallo de sobrecarga estática y dinámica descritos en el texto. Para obtener estos resultados, los enlaces fueron asignados pesos, procedentes de una distribución uniforme en el intervalo [1, 10], y 200 nodos de fuerza del generador y de la utilidad • = 10 - 8 se asignaron aleatoriamente (100 de cada tipo). Los resultados fueron: se obtiene promediando sobre todos los posibles acontecimientos desencadenantes (sin- gle link removes). El conjunto muestra la diferencia, G(α), entre los modelos de fallo de sobrecarga estática y dinámica. de fracasos en comparación con la dinámica de ajuste de las corrientes. Esto corresponde a la χ â € 1. En cambio, dentro de los límites de validez de la ley de Ohm, también se puede utilizar nuestro modelo para imitar los efectos de sobrecargas relacionadas con sobre- voltajes. En este caso, tenemos χ 1 y fallas de enlace reflejar la desconexión anticipatoria de las líneas para prevenir daños de la red y sus componentes. Los demás ex- los amplios, además de las redes eléctricas, son los sistemas de tráfico, donde las calles sobrecargadas causan viajes irrazonablemente largos a lo largo de los enlaces, que pueden interpretarse como eficaces link fallas. La elección resultante de rutas alternativas corresponde a un reequilibrio de cargas y se espera que causar efectos transitorios, con valores finitos de χ. Como el modelo permite simulaciones eficaces, podría También será útil para la planificación en tiempo real y opti- mización de topologías de red y distribución de carga, partic- para las grandes redes. Totalmente realista estado de la técnica herramientas de simulación para, por ejemplo, redes de energía eléctrica que en- incluir capacidades de red, inductores, generación de energía, etc., son computacionalmente caros y por lo tanto no tan muy adecuado para la simulación en tiempo real de grandes redes o su optimización topológica. Por lo tanto, modelos más simples puede proporcionar de forma rápida y eficiente una visión general útil que podría servir como punto de partida para una más detallada fuera de línea simulaciones utilizando simuladores de red de energía clásica. Los autores agradecen el apoyo de El proyecto integrado de la UE IRRIIIS (027568) y el FSE COST Acción P10 “Física del riesgo” y comentarios de J.L. Man y A. Diu. * Dirección electrónica: Ingve.Simonsen@phys.ntnu.no [1] A. Kaufmann, D. Grouchko, y R. Cruon, Mathemat- ical Modelos para el Estudio de la Fiabilidad de los Sistemas (Academic Press, 1977). [2] R. Albert y A.-L. Barabási, Rev. Mod. Phys. 74, 47 (2002). [3] M. E. J. Newman, SIAM Rev. 45, 167 (2003). [4] R. Billinton y W. Li, evaluación de la fiabilidad de Sistemas de energía eléctrica que utilizan métodos de Montecarlo (Pleno) Press, NY, 1994). [5] Y. Dai, J. McCalley, N. Samra, y V. Vittal, IEEE T. Poder Syst. 16, 4 (2001). [6] R. Albert, A. L. H. Jeong, y A.-L. Barabási, Nature 406, 378 (2000). [7] D. J. Watts, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 99, 5766 (2002). [8] P. Holme, B. J. Kim, C. N. Yoon, y S. K. Han, Phys. Rev. E 65, 056109 (2002). [9] A. E. Motter e Y.-C. Lai, Phys. Rev. E 66, 065102(R) (2002). [10] A. E. Motter, Phys. Rev. Lett. 93, 098701 (2004). [11] R. Albert, I. Albert, y G. L. Nakarado, Phys. Rev. E 69, 025103(R) (2004). [12] P. Crucitti, V. Latora, y M. Marchiori, Phys. Rev. E 69, 045104(R) (2004). [13] A. Scirè, I. Tuval, y V. M. Egluz, Europhys. Lett. 71, 318 (2005). [14] L. Huang, L. Yang, y K. Yang, Phys. Rev. E 73, 036102 (2006). [15] J. Bakke, A. Hansen, y J. Kertész, Europhys. Lett. 76, 717 (2006). [16] L. Dall’Asta, A. Barrat, M. Barthélemy y A. Vespig- nani, J. Stat. Mech. P04006 (2006). [17] P. Kaluza, M. Ipsen, M. Vingron, y A. S. Mikhailov, Phys. Rev. E 75, 015101(R) (2007). [18] R. Sadikovic, tesis doctoral, ETH Zurich, Suiza (2006). [19] El paquete de simulación de potencia de EUROSTAG (http://wwweurostag.epfl.ch/). [20] K. A. Eriksen, I. Simonsen, S. Maslov, y K. Sneppen, Phys. Rev. Lett. 90, 148701 (2003). [21] I. Simonsen, K. A. Eriksen, S. Maslov, y K. Sneppen, Physica A 336, 167 (2003). [22] I. Simonsen, Physica A 357, 317 (2005). [23] D. Helbing y R. Molini, Phys. Lett. A 212, 130 (1996). [24] A. Ben-Israel y T. Greville, Inversos Generalizados (Springer-Verlag, Berlín, 2003), 2nd ed. [25] Los datos de la red de transmisión de energía del Reino Unido se digitalizaron a partir de un mapa de la red europea de transmisión comprada a Glückauf Verlag. [26] D. J. Watts y S. H. Strogatz, Nature 393, 440 (1998). [27] L. A. N. Amaral, A. Scala, M. Barthelemy y H. E. Stanley, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 97, 11149 (2000). [28] Alternativamente se podría haber definido las cargas dirigidas por Lij(t) = Cij(t), pero esta posibilidad no se considerará Aquí. [29] Esta es una consecuencia de que la red sea la mayoría no afectada por una eliminación de enlace inicial, o experienc- • un fracaso global en el que toda la red se desploma. mailto:Ingve.Simonsen@phys.ntnu.no

Estudiamos fallas en cascada en redes utilizando un modelo de flujo dinámico basado en simples leyes de conservación y distribución para investigar el impacto de dinámica transitoria causada por el reequilibrio de cargas después de una red inicial fallo (evento de activación). Se encuentra que teniendo en cuenta la dinámica de flujo puede implica una menor robustez de la red en comparación con fallos de sobrecarga estática anteriores modelos. Esto se debe a las oscilaciones transitorias o al rebasamiento de las cargas, cuando la dinámica de flujo se ajuste a la nueva estructura de red (permanente). Nosotros obtener los límites superiores y inferiores a la robustez de la red, y es muestra que {\it dos} escalas de tiempo $\tau$ y $\tau_0$, definido por la red dinámica, son importantes a considerar antes de abordar con precisión la red robustez o vulnerabilidad. La robustez de las redes que muestran cascadas los fallos se determinan generalmente por una interacción compleja entre la red topología y dinámica de flujo, donde la relación $\chi=\tau/\tau_0$ determina la papel relativo de los dos de ellos.

Efectos dinámicos Aumento de la vulnerabilidad de la red a fallas en cascada Ingve Simonsen,1,2, ∗ Lubos Buzna,1, 3 Karsten Peters,1 Stefan Bornholdt,4 y Dirk Helbing1 1Dresden University of Technology, Andreas-Schubert-Straße 23, D-01086 Dresden, ALEMANIA 2Departamento de Física, Universidad Noruega de Ciencia y Tecnología (NTNU), NO-7491 Trondheim, NORUEGA 3Universidad de Zilina, Univerzitna 8215/5, SK-01026 Zilina, ESLOVAQUIA 4Instituto de Física Teórica, Universidad de Bremen, Otto Hahn Allee 1, D-28334 Bremen, ALEMANIA (Fecha: 10 de junio de 2021) Estudiamos fallas en cascada en redes utilizando un modelo de flujo dinámico basado en una Derecho de circulación para investigar el impacto de las dinámicas transitorias causadas por el reequilibrio de cargas después de un fallo inicial de la red (acontecimiento de activación). Se encuentra que teniendo en cuenta el flujo dy- los namics pueden implicar una menor robustez de la red en comparación con los anteriores modelos de fallo de sobrecarga estática. Esto se debe a las oscilaciones transitorias o al rebasamiento en las cargas, cuando la dinámica del flujo se ajusta a la nueva estructura de red (permanente). Obtenemos límites superiores e inferiores a la robustez de la red, y se muestra que son importantes dos escalas de tiempo Ł y Ł0, definidas por la dinámica de la red, considerar antes de abordar con precisión la robustez o vulnerabilidad de la red. La robustez de las redes que muestran fallas en cascada se determinan generalmente por una interacción compleja entre el la topología de la red y la dinámica del flujo, donde la relación χ = Dos de ellos. Números PACS: 89.75.-k; 89.20.-a; 75.40.Gb; 89.65.-s Las sociedades dependen de una operación estable y de un alto rendimiento. de las redes de infraestructuras complejas, que son esenciales para ical para su funcionamiento óptimo. Ejemplos de ello son electri- redes eléctricas, redes de telecomunicaciones, agua, gas oleoductos, carreteras, ferrocarriles y líneas aéreas redes de transporte. Su fracaso puede ser grave. las consecuencias económicas y sociales, como las diversas apagones y otros incidentes en todo el mundo recientemente mostrado. Por lo tanto, es una cuestión clave cómo proteger mejor estos sistemas críticos contra fallos y ataques aleatorios o deliberados [1, 2, 3]. Emisiones netas robustez del trabajo y vulnerabilidad no sólo han sido abordada por los ingenieros [4, 5], pero también por la física comunidad [2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17]. En los estudios iniciales de este tipo [2, 6, 7, 8, 11], el pri- La preocupación de Mary se dedicó a lo que se puede llamar robustez tural; el estudio de diferentes clases de redes topologías y cómo se vieron afectadas por la eliminación de un número finito de enlaces y/o nodos (por ejemplo: ¿Cómo el av- se cambió el diámetro de la red). Se llegó a la conclusión de que la red más heterogénea es en términos de, por ejemplo, distribución de grado, cuanto más robusto es el fracaso aleatorio- , mientras que, al mismo tiempo, parece más vulnerable a ataques deliberados sobre nodos altamente conectados [7, 11]. Más adelante, los conceptos de cargas de red, capacidades, y Se introdujeron fallos de sobrecarga [9, 10, 12, 14, 15, 16]. Para las redes que apoyan el flujo de una cantidad física, la eliminación de un nodo/enlace hará que el flujo redis- tributo con el riesgo de que algunos otros nodos / enlaces pueden ser sobrecargado y propenso al fracaso. Por lo tanto, un evento desencadenante puede causar toda una secuencia de fallas debido a la sobrecarga, e incluso puede amenazar la estabilidad global de la red trabajo. Tal comportamiento ha sido llamado fallo en cascada. ures. Un trabajo fundamental a este respecto es el documento de Motter y Lai [9]. Estos autores definieron la carga de un nodo por su centralidad entrelazada [3, 9]. Acontecimientos posteriores estudios introdujeron medidas alternativas para la red carga [12] así como una redistribución más realista mecha- nisms [12, 14, 15, 16]. En todos los estudios citados anteriormente, la redistribución de las cargas se trata independientemente del tiempo o estático. Nos referiremos a colectivamente como modelos de fallo de sobrecarga estática. Los las redistribuciones de la carga en tales modelos son instantáneamente y se cambia de forma discontinua a las cargas estacionarias de la nueva red (perturbada), es decir, el dinam transitorio ajuste ical hacia las nuevas cargas estacionarias de la La red perturbada es descuidada. El objetivo de esta carta es comparar la robustez es diezmas de redes complejas contra fallos en cascada donde las propiedades de flujo dinámico se toman en ac- contar en relación con aquellos en los que no están (casos estáticos). Este trabajo no tiene la intención de centrarse en un sistema específico (o red), sino que pretendemos ser tan genéricos como pos- sible en la elección del modelo dinámico con la conse- que los detalles y características particulares de un El sistema tiene que ser descuidado, es decir. Trabajamos con un mínimo modelo como a menudo favorecido en la física. Sin embargo, la Modelo de flujo fenomenológico dinámico conceptualmente simple que proponemos, incorpora la conservación del flujo, red topología, así como las características de redistribución de la carga que son compartido por sistemas de la vida real. Sobre este telón de fondo, es esperadas (cf. Fig. 1) que los resultados del modelo reflejarán algunas propiedades importantes de los sistemas de la vida real. Para las cuestiones de ilustración y para facilitar la comparación hijo con resultados anteriores [9, 10, 12, 14, 15, 16], tenemos trabajado con topologías de redes de transmisión de energía. Aunque nuestro modelo parece capturar características estilizadas de redes eléctricas (véase Fig. 1), hacemos hincapié en que nuestro objetivo es No es una representación realista de ellos, ni es nuestro modelo re- estricta a tales sistemas. Dentro del modelo propuesto, nosotros http://arxiv.org/abs/0704.1952v2 0 10 20 30 40 tiempo [s] 0 10 20 30 40 50 tiempo [s] 0 10 20 30 40 tiempo [pasos] 0 10 20 30 40 50 tiempo [pasos] a) b) c) d) FIG. 1: (Color en línea) Comparación del tiempo dependiente carga de enlace después de un evento desencadenante (que tiene lugar en t = 0) como predicho por simuladores de potencia de última generación (figs. 1 a) [18] y b) [19]), y el modelo simple de “conservación de flujos” escrito y utilizado en el presente trabajo (Figs. 1 c) y d)). quieren demostrar que los ajustes dependientes del tiempo puede desempeñar un papel crucial. En particular, demostraremos que modelos de fallo de sobrecarga estática dan el límite inferior de la vulnerabilidad de las redes de flujo a fallos y ataques, y por lo tanto de la probabilidad de fallas en cascada. Para estudiar esto, en la misma tradición de la física, Utilizamos un modelo de flujo simple con pocos parámetros, que Sin embargo, considera la topología de la red, el flujo conserva- y la distribución de cargas sobre el vecino enlaces de un nodo [20, 22]. Asumimos que una red consiste en... ing de N nodos y lo representan por una matriz W, cuya las entradas Wij ≥ 0 (con i, j = 1, 2,..,N ) reflejarán el peso del enlace (directo) del nodo j a i (con Wij = 0 indicando que no hay enlace presente). Las ponderaciones relativas Tij = Wij/wi definirá los elementos de la transferencia ma- trix T, donde wj = i=1 Wij es el peso total saliente de nodo j [22]. Estos elementos describen la distribución del caudal total (por unidad de peso) cj(t) que alcanza el nodo j en el momento t sobre los enlaces vecinos i. Cuando el flujo se asume para llegar a los nodos vecinos i en el paso de tiempo t+1, obtenemos ci(t+1) = j=1 Tijcj(t)+j i [20, 22, 23], donde hemos añadido posibles términos fuente (j±i > 0) o términos del sumidero (j±i < 0). En notación vectorial, la red Ecuación de flujo lee c(t+ 1) = Tc(t) + j±, (1) se asemeja a la primera ley de Kirchhoff de la teoría de circuitos. Si j± = 0, la solución estacionaria a Eq. 1) es una con- vector constante con componentes c i) 1/ N, mientras que con un término fuente presente (j± 6= 0), puede expresarse como c(­) = c(­0)(­) + (1­ T )+ j± con (1­ T )+ denot- ■ el llamado inverso generalizado [24] del singu- matriz lar 1 − T. Por lo tanto, la corriente dirigida total en enlace j → i en el momento t se convierte en Cij(t) = Wijcj(t), de que también la carga (sin dirección) Lij(t) de este enlace puede se definirá mediante Lij(t) = Cij(t) + Cji(t) [28]. Cerrado... expresiones de forma para la dinámica de flujo en nodos individuales han sido derivados en Ref. [23]. Estos permiten que uno estudie la propagación ondulada y la disipación de las perturbaciones en la red mientras se propaga a través de enlaces vecinos, segundo-próximo, etc. (véase la Fig. 2). Dichas perturbaciones pueden como resultado de la redistribución de los flujos tras el fracaso de un enlace sobrecargado. En la obra seminal de Motter y Lai [9], el fracaso de un nodo se basó en la sobrecarga a largo plazo, es decir, un nodo se supone que falla cada vez que la carga estacionaria en el red perturbada (considerando nodos previamente rotos) ha superado la capacidad del nodo. Las capacidades (nodo) fueron definido como 1 + α veces las cargas (estacionarias) de los orig- red inal, siendo α ≥ 0 un factor de tolerancia global (es decir, un exceso relativo de capacidad o margen de seguridad). En los demás palabras, la evaluación de sobrecarga se hizo previamente después de que el sistema se relajó, sin considerar el tiempo- historia de cómo llegó a este estado (falla de sobrecarga estática modelos) [9, 10, 12, 14, 15, 16]. En esta Carta, generalizamos este enfoque hacia una modelo de fallo de sobrecarga dinámica. Específicamente, en nuestro simulaciones informáticas asumimos un enlace desde el nodo j a i a ser sobrecargado (y a fallar) cada vez que el tiempo- carga dependiente Lij(t) superó la capacidad de enlace Cij para al menos un período de tiempo, el tiempo de exposición a la sobrecarga. Los las capacidades de enlace se definieron análogamente a Motter y Lai [9] como Cij = (1 + α)Lij, (2) donde Lij indica las cargas estacionarias de la red original trabajo. En lo siguiente, se estudia el ef dinámico transitorio enfermedades y situaciones de sobrecarga que pueden ocurrir antes de la se alcanza el estado estacionario. Mientras que para  = 0, un fallo resultados inmediatamente después de una sobrecarga por primera vez,  > 0 el sistema tendrá que ser sobrecargado para un un cierto período de tiempo para causar un fracaso. La estática El modelo de fallo de sobrecarga corresponde a en la que se indica el tiempo transitorio de la sistema (la inversa del valor propio no cero más pequeño de T ). Por lo tanto, la relación χ = Polato entre la estática (χ → •) y (instantánea) fallo de sobrecarga dinámica (χ = 0). Mientras que el modelo de fallo de sobrecarga estática describe el límite superior de robustez de la red (el mejor caso), la sobrecarga dinámica modelo de fallo con  = 0 da el límite inferior (el peor caso) debido a un exceso de dinámica de flujo (Fig. 2). Re- Se espera que los casos alisticos se encuentren entre estos dos límites casos, correspondientes a un valor finito de χ. Aparte de la robustez de la red a los fallos de sobrecarga, el valor de la χ también determina la dinámica del fracaso cascadas. En el caso dinámico con χ = 0, enlaces cercanos son más propensos a ser sobrecargados y a fallar que en el Caso estático (χ → ­). Por lo tanto, en el escenario dinámico 0 200 400 600 800 1000 tiempo [pasos] 0,980 0,990 1.000 1.010 1.020 1.030 Enlace A Enlace B 0 20 40 60 80 100 tiempo [pasos] Enlace A 0 200 400 600 800 1000 tiempo [pasos] 1.000 1.005 1.010 1.015 Enlace C Enlace D Enlace E 0 10 20 30 40 50 60 tiempo [pasos] Enlace F FIG. 2: (Color en línea) (a) Ilustración de la dinámica de nuestro modelo de flujo de red asumiendo la topología del Reino Unido La red de transmisión de alta tensión (300–400 kV) consiste en: ración de 120 nodos situados geográficamente correctamente (generadores, servicios públicos y estaciones de transmisión) y 165 enlaces (transmis- sión). La red fue tratada como no ponderada y sin dirección. En nuestras simulaciones, veinte de las redes existentes... Los nodos de trabajo fueron elegidos aleatoriamente para desempeñar el papel de gener- nodos de ator (fuente) y utilidad (sumidero) ( n ±i /N • = 2,5 · 10−4), diez de cada tipo. In Fig. 2 a) la ubicación de estos nodos se indican por cuadrados rojos llenos y diamantes verdes llenos respectivamente. En el momento t = 0, antes de que la red carga se encontraban en el estado estacionario (Lij(t < 0)), la red fue perturbado por la eliminación de una línea de transmisión en Escocia (la enlace rojo marcado por 0 en la Fig.2(a)). El resultado no- cargas transitorias malizadas de enlace, Lij(t)/Lij(t < 0), se representan en Figs. 2 b) y c) para algunos enlaces seleccionados de la la cuadrícula de la misión, como se indica en la Fig. 2 a). El guión horizontal... líneas punteadas corresponden a las cargas estacionarias normalizadas de los enlaces. uno tiende a tener una pronunciada “ola de fallo” que barre a través de la red. Con el fin de ilustrar más la diferencia entre el modelos de falla en cascada estática y dinámica, así como obtener una medida cuantitativa del nivel de sobreesti- de robustez, investigamos una de las redes ya estudiado por Motter y Lai [9] — el noroeste red de transmisión de energía de los Estados Unidos obtenida a partir de Ref. [26] (véase también Refs. [11, 27]). Para evaluar el efecto de una perturbación inicial de la red y la siguiente cascada (en su caso), estudiamos la fracción de nodos y enlaces, GN (α) y GL(α), respectivamente, permaneciendo en la compo- nent de la red después de posibles fallas en cascada cesó, que han sido iniciadas por el fracaso aleatorio de un enlace [9]. Ambas cantidades se comportan de manera similar [29]. Ellos se muestran en la Fig. 3 para la red de transmisión de energía de EE.UU. trabajar como funciones del parámetro de tolerancia α. Lo ha hecho. se ha comprobado y ha encontrado que nuestra sobrecarga estática falla modelo reproduce bien el comportamiento general previamente notificada en Ref. [9]. Es decir, un fallo en cascada a nivel mundial se producirán bajo ataques aleatorios (o fallas) principalmente para redes heterogéneas. Según Fig. 3, hay una diferencia pronunciada entre la sobrecarga estática y (instantánea) dinámica modelo de fallo, correspondiente a esti- se acoplan a la robustez de la red. Como se muestra en el inset to Fig. 3, puede ser tan significativo como el 80%, y para pesos de enlace más homogéneos hemos encontrado diferencias incluso superior al 95%. Sólo para un toler muy significativo... (α ≥ 50%), la discrepancia entre la dos estimaciones se vuelven insignificantes. Por otra parte, ha También se encontró que el modelo estático tiende a ser más sensibles a la localización de fuentes (y sumideros). Por lo tanto, nuestros resultados muestran que el papel del proceso dinámico En la red pueden ser importantes las actividades que se lleven a cabo en el marco de la red. apareamiento de la robustez de las redes a los fallos y al azar ataques. No es sólo la topología de la red que importa, pero también las propiedades de la dinámica de la red medida por χ = ­/­0. El cambio en uno o ambos de requerirán una nueva estimación de robustez. En conclusión, hemos simulado una red simple modelo de flujo considerando, además de la topología de la red, un flujo- conservación de la dinámica y distribución de cargas. En el interior Este marco, hemos estudiado el papel de la dinámica sensible de la redistribución de cargas hacia el el estado estacionario tras el fallo de los enlaces de red. Este tran... dinámica sensible se caracteriza a menudo por excesos y/o oscilaciones en las cargas, lo que puede las “ondas fallidas” actuantes que se extienden por toda la red. Nosotros han encontrado además que, teniendo en cuenta sólo las cargas en el estado estacionario (el modelo de sobrecarga estática), da un la mejor estimación de casos (límite superior) de la robustez. Los Se puede determinar el peor caso (límite inferior) de robustez por el modelo de fallo instantáneo de sobrecarga dinámica y puede diferir considerablemente. Nuestro sencillo enfoque dinámico proporciona la topología de la red es com- lleno de leyes de flujo, conservación y distribución. Estos son potencialmente útiles para entender, mejor de- firmar y proteger las infraestructuras críticas contra los fallos. Por ejemplo, sobrecargas relacionadas con altas corrientes eléctricas causa (a través del sobrecalentamiento de los alambres) una propagación lenta 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Estático Dinámica (­ = 0) Dinámica (­ = 1) Dinámica (­ = 10) 0 0,2 0,4 0,6 FIG. 3: (Color en línea) La robustez del noroeste de EE.UU. red de transmisión de energía [26], compuesta de 4941 nodos, con un grado medio de nodo de 2,67 (cf. también Refs. [11, 15, 27]). La fracción media de enlaces (o nodos), G(α), que permanece en el componente gigante de esta red (después de la cascada) es de- picted como función del parámetro de tolerancia α, utilizando el modelos de fallo de sobrecarga estática y dinámica descritos en el texto. Para obtener estos resultados, los enlaces fueron asignados pesos, procedentes de una distribución uniforme en el intervalo [1, 10], y 200 nodos de fuerza del generador y de la utilidad • = 10 - 8 se asignaron aleatoriamente (100 de cada tipo). Los resultados fueron: se obtiene promediando sobre todos los posibles acontecimientos desencadenantes (sin- gle link removes). El conjunto muestra la diferencia, G(α), entre los modelos de fallo de sobrecarga estática y dinámica. de fracasos en comparación con la dinámica de ajuste de las corrientes. Esto corresponde a la χ â € 1. En cambio, dentro de los límites de validez de la ley de Ohm, también se puede utilizar nuestro modelo para imitar los efectos de sobrecargas relacionadas con sobre- voltajes. En este caso, tenemos χ 1 y fallas de enlace reflejar la desconexión anticipatoria de las líneas para prevenir daños de la red y sus componentes. Los demás ex- los amplios, además de las redes eléctricas, son los sistemas de tráfico, donde las calles sobrecargadas causan viajes irrazonablemente largos a lo largo de los enlaces, que pueden interpretarse como eficaces link fallas. La elección resultante de rutas alternativas corresponde a un reequilibrio de cargas y se espera que causar efectos transitorios, con valores finitos de χ. Como el modelo permite simulaciones eficaces, podría También será útil para la planificación en tiempo real y opti- mización de topologías de red y distribución de carga, partic- para las grandes redes. Totalmente realista estado de la técnica herramientas de simulación para, por ejemplo, redes de energía eléctrica que en- incluir capacidades de red, inductores, generación de energía, etc., son computacionalmente caros y por lo tanto no tan muy adecuado para la simulación en tiempo real de grandes redes o su optimización topológica. Por lo tanto, modelos más simples puede proporcionar de forma rápida y eficiente una visión general útil que podría servir como punto de partida para una más detallada fuera de línea simulaciones utilizando simuladores de red de energía clásica. Los autores agradecen el apoyo de El proyecto integrado de la UE IRRIIIS (027568) y el FSE COST Acción P10 “Física del riesgo” y comentarios de J.L. Man y A. Diu. * Dirección electrónica: Ingve.Simonsen@phys.ntnu.no [1] A. Kaufmann, D. Grouchko, y R. Cruon, Mathemat- ical Modelos para el Estudio de la Fiabilidad de los Sistemas (Academic Press, 1977). [2] R. Albert y A.-L. Barabási, Rev. Mod. Phys. 74, 47 (2002). [3] M. E. J. Newman, SIAM Rev. 45, 167 (2003). [4] R. Billinton y W. Li, evaluación de la fiabilidad de Sistemas de energía eléctrica que utilizan métodos de Montecarlo (Pleno) Press, NY, 1994). [5] Y. Dai, J. McCalley, N. Samra, y V. Vittal, IEEE T. Poder Syst. 16, 4 (2001). [6] R. Albert, A. L. H. Jeong, y A.-L. Barabási, Nature 406, 378 (2000). [7] D. J. Watts, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 99, 5766 (2002). [8] P. Holme, B. J. Kim, C. N. Yoon, y S. K. Han, Phys. Rev. E 65, 056109 (2002). [9] A. E. Motter e Y.-C. Lai, Phys. Rev. E 66, 065102(R) (2002). [10] A. E. Motter, Phys. 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Ramsey fringes formation during excitation of topological modes in a Bose-Einstein condensate

Ramsey flecos formación durante la excitación de modos topológicos en un Bose-Einstein condensado E. R. F. Ramos a, L. Sanz a, V. I. Yukalov b y V. S. Bagnato a Instituto de Física de São Carlos, Universidade de São Paulo, Caixa Postal 369, 13560-970, São Carlos-SP Brasil bBogolubov Laboratorio de Física Teórica, Instituto Conjunto de Investigación Nuclear Dubna 141980, Rusia Resumen La formación de Ramsey se extiende durante la excitación de modos topológicos coherentes se considera un condensado de Bose-Einstein por un campo de modulación externo. Los Los flecos de Ramsey aparecen cuando se aplica una serie de pulsos del campo de excitación. In tanto Rabi como Ramsey interrogatorios, hay un cambio de la población máximo transferencia debido a la fuerte no linealidad presente en el sistema. Se encuentra que el El propio patrón de Ramsey retiene información sobre la fase relativa acumulada entre ambos modos tierra y excitado coherente. Palabras clave: condensación de Bose-Einstein, franjas de Ramsey, coherencia, no lineal dinámica PACS: 03.75.Kk, 39.20.+q, 31.15.Gy, 42.25.Kb 1 Introducción La creación de condensados de Bose-Einstein (BEC) en estados no terrestres, como originalmente propuesto por Yukalov, Yukalova, y Bagnato [1,2] es hoy en día un tema de gran interés. Este método permite la formación directa de frag- condensados no equilibrados (ver el artículo de revisión de Leggett [3]). Dirección de correo electrónico: edmir@ursa.ifsc.usp.br (E. R. F. Ramos). Preprint enviado a Elsevier el 11 de agosto de 2021 http://arxiv.org/abs/0704.1953v1 Una de las aplicaciones importantes del acoplamiento entre los diferentes modos coherentes de BEC es la posibilidad de producir varios modos transversales en el láser de átomo [5,6,7,8]. Muchos experimentos se dedican al estudio de las propiedades de BECs mediante el acoplamiento de sus estados colectivos [9,10]. Comenzando con una muestra de átomos condensados en Bose en el estado del suelo de un con- potencial de afinación, es posible promover átomos de un nivel de trampa a otro mediante excitación por resonancia [1,11]. Esto se hace mediante la aplicación de un adicional campo externo débil, con una distribución espacial fija, y oscilando en el tiempo con una frecuencia cercana a la frecuencia de transición entre el suelo y un ex- Estado citado. Cálculos anteriores demostraron la posibilidad de macroscópica transferencia entre los niveles, confirmando la viabilidad de este procedimiento, y ha analizado varias aplicaciones [1,2,11]. En el presente trabajo, investigamos la formación de los flecos como Ramsey, debido a la interferencia entre el suelo y los estados no terrestres de BEC, excitado por medio de un campo resonante cercano. Tenemos en mente un dominio del tiempo ver- sión del método de campo oscilatorio separado, desarrollado por Ramsey [13,14], que consiste en una secuencia de dos pulsaciones Rabi η/2, que son equivalentes a la campos oscilatorios del método Ramsey. Anteriormente, la formación de Ramsey se estudiaron flecos en condensados dobles de Bose-Einstein [15]. Pero esto es para la primera vez que los patrones de Ramsey se obtienen, cuando BECs estados con diferentes números cuánticos, asociados con el potencial de la trampa, se acoplan. La eventual medición de esos márgenes cuantificaría la coherencia de la proceso. Una configuración experimental para la observación de la coherencia topológica modos, a través de la observación de la distribución espacial, está actualmente en progreso en nuestra grupo de investigación [16,17]. El presente documento está estructurado de la siguiente manera. In Sec. 2, repasamos brevemente la dinámica de los modos coherentes, basados en la ecuación Gross-Pitaevskii para BEC [4]. Además, recordamos la idea de la excitación resonante, que hace posible la pareja los estados de tierra y no-tierra. Sección 3 se dedica a la formación de la Ramsey-como franjas y a la posibilidad de su observación experimental. En la Sección 4, resumimos nuestros resultados. 2 ecuación de Gross-Pitaevskii y modos coherentes A bajas temperaturas, el gas de Bose diluido, como se conoce, está bien descrito por el Ecuación Gross-Pitaevskii. Esta ecuación describe los estados coherentes de la Bose sistema con el Hamiltonian (r, t) + Vho (r, t) (r, t) dr+ drr (r, t) (r′, t)V (r−r′) (r′, t) (r, t), (1) con bosones N considerados confinados por un potencial de trampa armónica, Vho (r, t). Los (r, t) ( (r, t)) son los operadores de campo de bosón que aniquilan (crear) un átomo en la posición r y V (r− r′) es una interacción de dos cuerpos debido a la atómica colisiones. En un gas frío diluido, el proceso de dispersión más relevante está asociado con colisiones binarias elásticas a baja energía [3,4], dando la interacción efectiva potencial V (r− r′) = As/23370/ (r− r ′) = (N − 1) 42as  (r− r′). 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Aquí, al igual que la longitud de dispersión de la onda s “cero-energía”. Para un attrac- interacción tiva (repulsiva) al igual que negativa (positiva). El armónico de confinación potencial se escribe como Vho (r, t) = 2 + 2aaa 2 + 2 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° donde m0 es la masa atómica y Łk (k = x, y, z) son la oscilación de la trampa frecuencias a lo largo de cada eje. Los modos topológicos coherentes son las soluciones a la estacionaria Gross- Ecuación de Pitaevskii. Los modos coherentes no lineales forman un ba- y son normalizados (j = 1). El problema del valor propio para estacionario funciones están dadas por [11] [lj]lj = Ejlj (4) donde [lj] = − + Vho (r, t) + As j sigue del Hamiltoniano (1). El bombeo de resonantes hace posible una transferencia coherente de condensados átomos entre los niveles colectivos de átomos en la trampa armónica, como es de- escrito en Ref. [11]. En el momento inicial, se supone que los átomos condensados N están en el estado de suelo de la trampa con una frecuencia de 0 °. El objetivo es transferir el átomos a un estado no terrestre (etiquetado como p). La diferencia de energía del nivel- p, en relación con el estado del suelo, es ~ (­p − 0). Siguiendo a Yukalov y otros. [11], esta transferencia se puede obtener a través de la acción de un campo oscilatorio externo dado por Vp (r, t) = V (r) cosat. 6) La correspondiente ecuación no lineal de Schrödinger, asociada con el Hamil- toniano (5), escribe como (r, t) + Vp (r, t) * (r, t). 7).................................................................................................................................................. El campo de modulación se llama externo en el sentido de que no es una parte de la configuración de trampa armónica, pero más bien el campo Vp (r, t) es una perturbación en Eq.(7). La solución (r, t), puede expresarse como una suma sobre los modos coherentes: (r, t) = n cn (t)ln (r, t). Aunque se podría considerar una forma más general del campo externo para la transferencia de átomos entre un par arbitrario de collec- Los niveles tivos [11] bastan con trabajar con el potencial (6) con el fin de crear los márgenes de interferencia de Ramsey. Las funciones c0 (t), asociadas con el estado del suelo, y cp (t), atribuidas a un estado excitado, determinar el comportamiento de las poblaciones en cada modo n0 (t) = c0 (t) , np (t) = cp (t) . (8) Hay algunas condiciones en los parámetros físicos involucrados con el fin de observar una población macroscópica de un estado no terrestre (np 6= 0): En primer lugar, es requiere que la condición de resonancia entre el campo externo de frecuencia • y la frecuencia asociada con la transición de nivel, •p0 = •p0, Lleno. También, el ajuste = p0 debe ser lo suficientemente pequeño, /p0 1. Al mismo tiempo, hay que recordar que no sólo el acoplamiento externo pero también las colisiones interatómicas causan transiciones atómicas entre el modos. Con el fin de cuantificar ambos efectos, es conveniente definir intensidad de acción α, asociada con colisiones interatómicas, y la transición Amplitud β del campo de acoplamiento como αm,k = m (r) 2 k (r) − m (r) r)Vp ( r)•p ( r) dr. (9) Para la simplicidad, establecemos α فارسى α0,p = αp,0 para el análisis de folowing. Estos... las dimensiones de la frecuencia (Hz). Sus valores deben ser menores que la frecuencia de transición ­p0, de modo que â € 1, • 1. (10) Para el proceso dependiente del tiempo, con el potencial Vp, la solución de Eq.7).................................................................................................................................................. puede ser representado como (r, t) = cn (t)ln (r) exp Ent. (11) Otra condición es que los coeficientes cn (t) evolucionen lentamente en el tiempo, cuando en comparación con los términos oscilatorios en la ecuación (11), de modo que • 1. (12) Es sencillo obtener un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas para los coeficientes c0 y cp, cuya derivación detallada puede encontrarse en Ref. [1],.......................................................................................................... =αnpc0 + βeitcp, =αn0cp + e−itc0. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Mencionemos que la forma de estas ecuaciones acopladas se asemeja a la equa- ciones del problema de dos niveles de Rabi [18]. Se espera que, si elegimos los parámetros físicos apropiados, las oscilaciones de Rabi entre el topolog- Se pueden observar modos icales. La solución a este sistema nos proporciona toda la información necesaria sobre la dinámica de las poblaciones, tanto los estados terrestres como los no terrestres. Una solución analítica de Eqs.(13) puede se obtiene cuando , como en Ref. [2]. Entonces las fracciones de población son dado por n0 = 1− , (14) con la frecuencia colectiva efectiva definida como + [α (n0 − np)] . (15) Cabe destacar que esta frecuencia colectiva no es una constante, sino una función de las poblaciones instantáneas n0 y np, y que la solución analítica está disponible bajo la condición de que las poblaciones de los modos tienen pequeñas cambios. Por lo tanto, la diferencia de población n = np − n0 es casi una constante. Cuando estamos interesados en una población macroscópica de un estado excitado, es necesario resolver las ecuaciones acopladas (13) utilizando un procedimiento numérico basado en el método Runge-Kutta de cuarto orden. Por lo tanto, podemos tratar con α y β valores no restringidos a la condición . Con el fin de encontrar las soluciones dependientes del tiempo para los coeficientes c0 (t) y cp (t), consideramos como condiciones iniciales c0 (0) = 1 y cp (0) = 0 (todos los átomos N ini- se condensa en el estado del suelo). En la figura 1, trazamos los resultados para el poblaciones fraccionarias, asociadas con los estados no terrestres y excitados y 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 Fig. 1. Evolución de la densidad de poblaciones (n0 en línea punteada, np en línea gris) y el desbalance de la población n = np − n0 (línea negra) en función de adimensionales cantidad αt para 0 y diferentes valores del parámetro de acoplamiento β: (a) β = 0,40α; (b) β = 0,46α; (c) β ≤ 0,50α y (d) β = 0,60α. la diferencia de población como funciones del parámetro adimensional αt. Gris las líneas muestran la población del estado no terrestre (np = 0 en el momento inicial) y las líneas punteadas muestran n0 (t). La evolución de la diferencia de población, n (t), está trazado en negritas líneas negras. Para todos los casos, el ajuste se fija de modo que 0, y simulamos un ligero cambio del campo externo Vp, que es se caracteriza por el parámetro de acoplamiento β definido en Eq.(9). Desde el previ- trabajos [19,11,2], sabemos que hay efectos críticos asociados con el sistema acoplado dado por Eqs.(13), que, sin embargo, no vamos a considerar aquí. Puesto que es posible transferir poblaciones entre dos diferentes topológicos establece, en condiciones bien definidas, la prescripción cuando este proceso sea eficiente, estamos en posición de analizar lo que sucede si manipulamos la excitación dominio de tiempo con el fin de detectar flecos de interferencia como Ramsey como la oscila- ciones de las poblaciones fraccionarias. 3 η/2 y η- pulsos y la formación de las franjas similares a Ramsey En esta sección, demostramos la formación de los flecos como Ramsey para el caso de dos modos topológicos acoplados por un campo resonante externo. Dado un cierto valor de β, definimos el máximo de la población de átomos que es transferido de la tierra a un estado excitado. También es posible estimar el tiempo necesario para que el acoplamiento se encienda. Cuando un pulso es aplicado, el tiempo del acoplamiento, t1, es suficiente para el rendimiento de un oscilación completa de Rabi. Si el acoplamiento está apagado en el momento, cuando la mitad de la población máxima se transfiere, el pulso aplicado es el llamado Rabi γ/2-pulse. Mostramos abajo que los flecos de Ramsey se obtienen cuando se aplican dos pulsos Rabi 2 con un intervalo de tiempo entre ellos. Los procedimiento es similar al realizado para el hiperfino acoplado los niveles de Rubidium [20], y la formación de las franjas confirma la existencia de una fase relativa entre ambos modos topológicos. En la figura 2, trazamos nuestros resultados para la densidad de población fraccionaria de la estado de tierra, n0, considerando tres configuraciones de pulso, mencionadas anteriormente, como funciones del ajuste. La cantidad normalizada n0 nos da información sobre la población atómica en el modo y una cuantificación indirecta de la visibilidad para el proceso de imagen. El tiempo total de las simulaciones es igual en Los tres casos. El procedimiento de obtención de los patrones implica la solución del sistema (13) para un valor fijo de β, es decir, un valor fijo del la función de amplitud en Vp, permitiendo la variación del ajuste. En la figura 2, las líneas negras muestran el comportamiento esperado de n0, cuando el equivalente de Rabi Se aplican pulsos. Ambos, η (línea de oro) y η/2 (línea de espesor), los pulsos exhiben características comunes. En primer lugar, observamos un pico único, con un máximo en 6= 0. El cambio del máximo de la condición resonante se asocia con el contribución de los términos no lineales del Hamiltoniano (5). En segundo lugar, la el valor máximo de n0 depende del número de átomos transferidos entre los estados acoplados, que, a su vez, dependen del tiempo de acoplamiento t1. Esto es relacionados con el medio ancho.......................................................................................................................................... . Si comparamos ambas líneas negras en la figura 2, note que 1,44 y /2 2,76 2. La posibilidad de la formación de franjas de Ramsey se sugirió por primera vez en Ref. [11]. Nuestros cálculos numéricos demuestran que las franjas son realmente obtenido cuando dos pulsos γ/2 se aplican por separado. De esta manera, dado un -6 -4 -2 0 2 4 6 Fig. 2. Población fraccionada de un estado no terrestre, np, en función del ajuste para tres tipos diferentes de configuraciones de pulso. Para todos los casos β = 0,4α. Línea gris: flecos de Ramsey debido a la aplicación de dos pulsos Línea negra negrita: un pulso de Rabi; Línea negra gruesa: pulso de Rabi η/2. número de átomos condensados N, aproximadamente la mitad de la población es trans- ferred desde el suelo a un estado excitado durante el primer pulso η/2, evolucionando libremente cuando el acoplamiento está apagado, y luego, un segundo pulso concluye la excitación. La población fraccionaria después de este proceso, en función de el ajuste, se traza en la figura 2 con la línea gris. El proceso simu- el efecto de la aplicación de dos pulsos de Rabi separados por  = 8t1. El valor máximo para np se encuentra a la misma frecuencia que en la configuración ración de un solo pulso, lo que confirma nuestra conclusión anterior de que el cambio en la frecuencia es un sello distintivo de los efectos no lineales debido a dos cuerpos elásticos colisiones. En la figura 3, trazamos el comportamiento de la población fraccionaria en función de β, teniendo en cuenta la misma configuración de pulso que la anterior, con un pulso inicial un intervalo de 4t1 y un segundo pulso de 2°. Si la amplitud de acoplamiento es débil, el patrón de Ramsey pierde su visibilidad. El aumento de β mejora la visibilidad, pero en el mismo tiempo causa cambios de poder, representados por el desplazamiento de las franjas. El número de los flecos de Ramsey, contenido dentro del ancho espectral, es fuertemente dependiente del intervalo de tiempo  entre los pulsos aplicados η/2-. Esta característica se muestra en la figura 4, donde se consideran cuatro situaciones diferentes. Observamos que los valores máximos absolutos de np y su posición, como un función de, no están conectados con los cambios de ♥. Lo que sí depende -4 -2 0 2 4 Fig. 3. Ramsey franjas de la población fraccionaria np en función de, después de la aplicación de dos pulsos η/2- separados por  = 4t1, siendo t1 el tiempo necesario para la excitación de la mitad de la población de la tierra a una no-tierra Estado. Las líneas corresponden a los valores crecientes de β. Línea gris claro: β = 0,1α; Línea gris: β = 0,2α; Línea negra: β = 0,3α en ♥ es el número de franjas, que aumenta a medida que aumenta. Si el valor de la suma es igual al valor de la cantidad de referencia, el valor de la cantidad de referencia será igual al valor de la cantidad de referencia. tiempo de acoplamiento t1, dos picos adicionales aparecen a ambos lados de la principal El pico. Para  = 2t1, obtenemos dos picos a cada lado, y así sucesivamente, como puede ser se comparan las cuatro parcelas de la figura 4. La aparición de estos auxiliares los picos son el sello distintivo de la acumulación de una fase relativa entre ambos estados topológicos. Durante el tiempo que el enganche se desconecta, el dinámica de todo el sistema (suelo + estado no terreno) se asocia con el término no lineal en el Hamiltoniano (5). Esta dinámica libre determina la fase relativa acumulada. -4 -2 0 2 4 4 -2 0 2 4 = 2t = t = 3t = 8t Fig. 4. Ramsey franjas de la población fraccionaria np en función de, después de la aplicación de la configuración de pulsos de Ramsey para diferentes valores. La línea gris en todas las parcelas se corresponde con el γ/2-pulso Rabi. 4 Conclusiones En este trabajo, utilizamos cálculos numéricos para resolver el sistema de acoplado ecuaciones que describen la excitación resonante de dos modos no lineales coherentes de BEC. Nuestros resultados, obtenidos por medio del cuarto orden Runge-Kutta método, nos da una idea del comportamiento de la población de modo fraccionario- ciones de estados atómicos colectivos no terrestres en una trampa armónica. El principal la novedad del presente documento es la investigación de la respuesta del sistema a diferentes configuraciones de acoplamiento y la demostración de la aparición de los flecos de Ramsey. La formación de los flecos de Ramsey es una firma de la coherencia real carácter de los modos topológicos en el sistema no lineal estudiado. En ambos, Rabi y las configuraciones de pulso de Ramsey, hay un cambio de la población máxima transferencia debido al fuerte efecto de la no linealidad del sistema. El Ramsey patrón en sí contiene información sobre la fase relativa acumulada, y el número de picos secundarios es proporcional al tiempo.......................................................................................................................................................................................................................................................... Sección 3. Como posible extensión de este trabajo, sería interesante considerar la influencia en los márgenes de Ramsay de la geometría de la trampa y de diferentes externos campos de bombeo Vp (r, t). Otras posibilidades podrían estar relacionadas con la manipulación de la longitud de dispersión a través de las técnicas de resonancia Feshbach y a la efectos de cambiar el número total de átomos, lo que afecta al interatómico intensidad α. Agradecimientos Los autores desean agradecer a E. P. Yukalova su importante contribución a la primera etapa de este trabajo. Gracias especialmente a E. A. L. Henn y K. M. F. Mag- Alhães para discusiones útiles. Este trabajo fue apoyado por Fapesp (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo), CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pesoal de vel Superior), y por CNPq (Conselho Na- cial de Desenvolvimento Científico y Tecnológico). Bibliografía [1] V. I. Yukalov, E. P. Yukalova, y V. S. Bagnato, Phys. Rev. A 56, 4845 (1997). [2] P. W. Courteille, V. S. Bagnato, y V. I. Yukalov, Laser Phys. 11, 659 (2001). [3] A. J. Leggett, Rev. Mod. Phys. 73, 307 (2001). [4] F. Dalfovo, S. Giorgini, y L. P. Pitaevskii, Rev. Mod. Phys. 71, 463 (1999). [5] M.-O. Mewes, M. R. Andrews, D. M. Kurn, D. S. Durfee, C. G. Townsend, y W. Ketterle, Phys. Rev. Lett. 78, 582 (1997). [6] E. Hagley, L. Deng, M. Kozuma, J. Wen, K. Helmerson, S. L. Rolston, y W. D. Phillips, Science 283, 1706 (1999). [7] I. Bloch, T. Hansch, y T. Esslinger, Phys. Rev. Lett. 82, 3008 (1999). [8] B. Anderson y M. Kasevich, Science 282, 1686 (1998). [9] C. J. Myatt, E. A. Burt, R. W. Ghrist, E. A. Cornell, y C. E. Wieman, Phys. Rev. Lett. 78, 586 (1997). [10] M. R. Matthews, D. S. Hall, D. S. Jin, J. R. Ensher, C. E. Wieman, E. A. Cornell, F. Dalfovo, C. Minniti, y S. Stringari, Phys. Rev. Lett. 81, 243 (1998). [11] V. I. Yukalov, E. P. Yukalova, y V. S. Bagnato, Phys. Rev. A 66, 043602 (2002). [12] V. I. Yukalov, E. P. Yukalova, y V. S. Bagnato, Proc. SPIE 4243, 150 (2001). [13] N. F. Ramsey, Phys. Rev. 76, 996 (1949). [14] N. F. Ramsey, Phys. Rev. 78, 695 (1950). [15] A. Eschmann, R. J. Ballagh, y B. M. Caradoc-Davies, J. Opt. B:Quantum Semiclase. Opt. 1, 383 (1999). [16] K. M. F. Magalhães, S. R. Muniz, E. A. L. Henn, R. R. Silva, L. G. Marcassa, y V. S. Bagnato, Laser. Phys. Lett. 2, 214-219 (2005). [17] E. A. L. Henn, K. M. F. Magalhães, G. B. Seco, y V. S. Bagnato, Resumen para el XXIX Encuentro nacional de la materia condensada física de la materia condensada). Mayo de 2006, São Lourenço-MG, Brasil. [18] I. Rabi, Phys. Rep. 51, 652 (1937). [19] V. I. Yukalov, E. P. Yukalova, y V. S. Bagnato, Laser Phys. 13, 861 (2003). [20] D. S. Hall, M. R. Matthews, C. E. Wieman, y E. A. Cornell, Phys. Rev. Lett. 81, 1543 (1998). Introducción Ecuación Gross-Pitaevskii y modos coherentes /2 y - pulsos y la formación de los flecos de Ramsey-como Conclusiones Bibliografía

La formación de los márgenes de Ramsey durante la excitación de la topología coherente modos de condensado de Bose-Einstein por un campo de modulación externo es considerándolo. Los flecos de Ramsey aparecen cuando una serie de pulsos de la excitación se aplica el campo. En los interrogatorios de Rabi y Ramsey, hay un cambio de la transferencia máxima de la población debido a la fuerte no linealidad presente en el sistema. Se encuentra que el propio patrón de Ramsey conserva información sobre la fase relativa acumulada entre ambos modos terrestres y dinámicos y coherentes.

Introducción La creación de condensados de Bose-Einstein (BEC) en estados no terrestres, como originalmente propuesto por Yukalov, Yukalova, y Bagnato [1,2] es hoy en día un tema de gran interés. Este método permite la formación directa de frag- condensados no equilibrados (ver el artículo de revisión de Leggett [3]). Dirección de correo electrónico: edmir@ursa.ifsc.usp.br (E. R. F. Ramos). Preprint enviado a Elsevier el 11 de agosto de 2021 http://arxiv.org/abs/0704.1953v1 Una de las aplicaciones importantes del acoplamiento entre los diferentes modos coherentes de BEC es la posibilidad de producir varios modos transversales en el láser de átomo [5,6,7,8]. Muchos experimentos se dedican al estudio de las propiedades de BECs mediante el acoplamiento de sus estados colectivos [9,10]. Comenzando con una muestra de átomos condensados en Bose en el estado del suelo de un con- potencial de afinación, es posible promover átomos de un nivel de trampa a otro mediante excitación por resonancia [1,11]. Esto se hace mediante la aplicación de un adicional campo externo débil, con una distribución espacial fija, y oscilando en el tiempo con una frecuencia cercana a la frecuencia de transición entre el suelo y un ex- Estado citado. Cálculos anteriores demostraron la posibilidad de macroscópica transferencia entre los niveles, confirmando la viabilidad de este procedimiento, y ha analizado varias aplicaciones [1,2,11]. En el presente trabajo, investigamos la formación de los flecos como Ramsey, debido a la interferencia entre el suelo y los estados no terrestres de BEC, excitado por medio de un campo resonante cercano. Tenemos en mente un dominio del tiempo ver- sión del método de campo oscilatorio separado, desarrollado por Ramsey [13,14], que consiste en una secuencia de dos pulsaciones Rabi η/2, que son equivalentes a la campos oscilatorios del método Ramsey. Anteriormente, la formación de Ramsey se estudiaron flecos en condensados dobles de Bose-Einstein [15]. Pero esto es para la primera vez que los patrones de Ramsey se obtienen, cuando BECs estados con diferentes números cuánticos, asociados con el potencial de la trampa, se acoplan. La eventual medición de esos márgenes cuantificaría la coherencia de la proceso. Una configuración experimental para la observación de la coherencia topológica modos, a través de la observación de la distribución espacial, está actualmente en progreso en nuestra grupo de investigación [16,17]. El presente documento está estructurado de la siguiente manera. In Sec. 2, repasamos brevemente la dinámica de los modos coherentes, basados en la ecuación Gross-Pitaevskii para BEC [4]. Además, recordamos la idea de la excitación resonante, que hace posible la pareja los estados de tierra y no-tierra. Sección 3 se dedica a la formación de la Ramsey-como franjas y a la posibilidad de su observación experimental. En la Sección 4, resumimos nuestros resultados. 2 ecuación de Gross-Pitaevskii y modos coherentes A bajas temperaturas, el gas de Bose diluido, como se conoce, está bien descrito por el Ecuación Gross-Pitaevskii. Esta ecuación describe los estados coherentes de la Bose sistema con el Hamiltonian (r, t) + Vho (r, t) (r, t) dr+ drr (r, t) (r′, t)V (r−r′) (r′, t) (r, t), (1) con bosones N considerados confinados por un potencial de trampa armónica, Vho (r, t). Los (r, t) ( (r, t)) son los operadores de campo de bosón que aniquilan (crear) un átomo en la posición r y V (r− r′) es una interacción de dos cuerpos debido a la atómica colisiones. En un gas frío diluido, el proceso de dispersión más relevante está asociado con colisiones binarias elásticas a baja energía [3,4], dando la interacción efectiva potencial V (r− r′) = As/23370/ (r− r ′) = (N − 1) 42as  (r− r′). 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Aquí, al igual que la longitud de dispersión de la onda s “cero-energía”. Para un attrac- interacción tiva (repulsiva) al igual que negativa (positiva). El armónico de confinación potencial se escribe como Vho (r, t) = 2 + 2aaa 2 + 2 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° donde m0 es la masa atómica y Łk (k = x, y, z) son la oscilación de la trampa frecuencias a lo largo de cada eje. Los modos topológicos coherentes son las soluciones a la estacionaria Gross- Ecuación de Pitaevskii. Los modos coherentes no lineales forman un ba- y son normalizados (j = 1). El problema del valor propio para estacionario funciones están dadas por [11] [lj]lj = Ejlj (4) donde [lj] = − + Vho (r, t) + As j sigue del Hamiltoniano (1). El bombeo de resonantes hace posible una transferencia coherente de condensados átomos entre los niveles colectivos de átomos en la trampa armónica, como es de- escrito en Ref. [11]. En el momento inicial, se supone que los átomos condensados N están en el estado de suelo de la trampa con una frecuencia de 0 °. El objetivo es transferir el átomos a un estado no terrestre (etiquetado como p). La diferencia de energía del nivel- p, en relación con el estado del suelo, es ~ (­p − 0). Siguiendo a Yukalov y otros. [11], esta transferencia se puede obtener a través de la acción de un campo oscilatorio externo dado por Vp (r, t) = V (r) cosat. 6) La correspondiente ecuación no lineal de Schrödinger, asociada con el Hamil- toniano (5), escribe como (r, t) + Vp (r, t) * (r, t). 7).................................................................................................................................................. El campo de modulación se llama externo en el sentido de que no es una parte de la configuración de trampa armónica, pero más bien el campo Vp (r, t) es una perturbación en Eq.(7). La solución (r, t), puede expresarse como una suma sobre los modos coherentes: (r, t) = n cn (t)ln (r, t). Aunque se podría considerar una forma más general del campo externo para la transferencia de átomos entre un par arbitrario de collec- Los niveles tivos [11] bastan con trabajar con el potencial (6) con el fin de crear los márgenes de interferencia de Ramsey. Las funciones c0 (t), asociadas con el estado del suelo, y cp (t), atribuidas a un estado excitado, determinar el comportamiento de las poblaciones en cada modo n0 (t) = c0 (t) , np (t) = cp (t) . (8) Hay algunas condiciones en los parámetros físicos involucrados con el fin de observar una población macroscópica de un estado no terrestre (np 6= 0): En primer lugar, es requiere que la condición de resonancia entre el campo externo de frecuencia • y la frecuencia asociada con la transición de nivel, •p0 = •p0, Lleno. También, el ajuste = p0 debe ser lo suficientemente pequeño, /p0 1. Al mismo tiempo, hay que recordar que no sólo el acoplamiento externo pero también las colisiones interatómicas causan transiciones atómicas entre el modos. Con el fin de cuantificar ambos efectos, es conveniente definir intensidad de acción α, asociada con colisiones interatómicas, y la transición Amplitud β del campo de acoplamiento como αm,k = m (r) 2 k (r) − m (r) r)Vp ( r)•p ( r) dr. (9) Para la simplicidad, establecemos α فارسى α0,p = αp,0 para el análisis de folowing. Estos... las dimensiones de la frecuencia (Hz). Sus valores deben ser menores que la frecuencia de transición ­p0, de modo que â € 1, • 1. (10) Para el proceso dependiente del tiempo, con el potencial Vp, la solución de Eq.7).................................................................................................................................................. puede ser representado como (r, t) = cn (t)ln (r) exp Ent. (11) Otra condición es que los coeficientes cn (t) evolucionen lentamente en el tiempo, cuando en comparación con los términos oscilatorios en la ecuación (11), de modo que • 1. (12) Es sencillo obtener un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas para los coeficientes c0 y cp, cuya derivación detallada puede encontrarse en Ref. [1],.......................................................................................................... =αnpc0 + βeitcp, =αn0cp + e−itc0. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Mencionemos que la forma de estas ecuaciones acopladas se asemeja a la equa- ciones del problema de dos niveles de Rabi [18]. Se espera que, si elegimos los parámetros físicos apropiados, las oscilaciones de Rabi entre el topolog- Se pueden observar modos icales. La solución a este sistema nos proporciona toda la información necesaria sobre la dinámica de las poblaciones, tanto los estados terrestres como los no terrestres. Una solución analítica de Eqs.(13) puede se obtiene cuando , como en Ref. [2]. Entonces las fracciones de población son dado por n0 = 1− , (14) con la frecuencia colectiva efectiva definida como + [α (n0 − np)] . (15) Cabe destacar que esta frecuencia colectiva no es una constante, sino una función de las poblaciones instantáneas n0 y np, y que la solución analítica está disponible bajo la condición de que las poblaciones de los modos tienen pequeñas cambios. Por lo tanto, la diferencia de población n = np − n0 es casi una constante. Cuando estamos interesados en una población macroscópica de un estado excitado, es necesario resolver las ecuaciones acopladas (13) utilizando un procedimiento numérico basado en el método Runge-Kutta de cuarto orden. Por lo tanto, podemos tratar con α y β valores no restringidos a la condición . Con el fin de encontrar las soluciones dependientes del tiempo para los coeficientes c0 (t) y cp (t), consideramos como condiciones iniciales c0 (0) = 1 y cp (0) = 0 (todos los átomos N ini- se condensa en el estado del suelo). En la figura 1, trazamos los resultados para el poblaciones fraccionarias, asociadas con los estados no terrestres y excitados y 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 Fig. 1. Evolución de la densidad de poblaciones (n0 en línea punteada, np en línea gris) y el desbalance de la población n = np − n0 (línea negra) en función de adimensionales cantidad αt para 0 y diferentes valores del parámetro de acoplamiento β: (a) β = 0,40α; (b) β = 0,46α; (c) β ≤ 0,50α y (d) β = 0,60α. la diferencia de población como funciones del parámetro adimensional αt. Gris las líneas muestran la población del estado no terrestre (np = 0 en el momento inicial) y las líneas punteadas muestran n0 (t). La evolución de la diferencia de población, n (t), está trazado en negritas líneas negras. Para todos los casos, el ajuste se fija de modo que 0, y simulamos un ligero cambio del campo externo Vp, que es se caracteriza por el parámetro de acoplamiento β definido en Eq.(9). Desde el previ- trabajos [19,11,2], sabemos que hay efectos críticos asociados con el sistema acoplado dado por Eqs.(13), que, sin embargo, no vamos a considerar aquí. Puesto que es posible transferir poblaciones entre dos diferentes topológicos establece, en condiciones bien definidas, la prescripción cuando este proceso sea eficiente, estamos en posición de analizar lo que sucede si manipulamos la excitación dominio de tiempo con el fin de detectar flecos de interferencia como Ramsey como la oscila- ciones de las poblaciones fraccionarias. 3 η/2 y η- pulsos y la formación de las franjas similares a Ramsey En esta sección, demostramos la formación de los flecos como Ramsey para el caso de dos modos topológicos acoplados por un campo resonante externo. Dado un cierto valor de β, definimos el máximo de la población de átomos que es transferido de la tierra a un estado excitado. También es posible estimar el tiempo necesario para que el acoplamiento se encienda. Cuando un pulso es aplicado, el tiempo del acoplamiento, t1, es suficiente para el rendimiento de un oscilación completa de Rabi. Si el acoplamiento está apagado en el momento, cuando la mitad de la población máxima se transfiere, el pulso aplicado es el llamado Rabi γ/2-pulse. Mostramos abajo que los flecos de Ramsey se obtienen cuando se aplican dos pulsos Rabi 2 con un intervalo de tiempo entre ellos. Los procedimiento es similar al realizado para el hiperfino acoplado los niveles de Rubidium [20], y la formación de las franjas confirma la existencia de una fase relativa entre ambos modos topológicos. En la figura 2, trazamos nuestros resultados para la densidad de población fraccionaria de la estado de tierra, n0, considerando tres configuraciones de pulso, mencionadas anteriormente, como funciones del ajuste. La cantidad normalizada n0 nos da información sobre la población atómica en el modo y una cuantificación indirecta de la visibilidad para el proceso de imagen. El tiempo total de las simulaciones es igual en Los tres casos. El procedimiento de obtención de los patrones implica la solución del sistema (13) para un valor fijo de β, es decir, un valor fijo del la función de amplitud en Vp, permitiendo la variación del ajuste. En la figura 2, las líneas negras muestran el comportamiento esperado de n0, cuando el equivalente de Rabi Se aplican pulsos. Ambos, η (línea de oro) y η/2 (línea de espesor), los pulsos exhiben características comunes. En primer lugar, observamos un pico único, con un máximo en 6= 0. El cambio del máximo de la condición resonante se asocia con el contribución de los términos no lineales del Hamiltoniano (5). En segundo lugar, la el valor máximo de n0 depende del número de átomos transferidos entre los estados acoplados, que, a su vez, dependen del tiempo de acoplamiento t1. Esto es relacionados con el medio ancho.......................................................................................................................................... . Si comparamos ambas líneas negras en la figura 2, note que 1,44 y /2 2,76 2. La posibilidad de la formación de franjas de Ramsey se sugirió por primera vez en Ref. [11]. Nuestros cálculos numéricos demuestran que las franjas son realmente obtenido cuando dos pulsos γ/2 se aplican por separado. De esta manera, dado un -6 -4 -2 0 2 4 6 Fig. 2. Población fraccionada de un estado no terrestre, np, en función del ajuste para tres tipos diferentes de configuraciones de pulso. Para todos los casos β = 0,4α. Línea gris: flecos de Ramsey debido a la aplicación de dos pulsos Línea negra negrita: un pulso de Rabi; Línea negra gruesa: pulso de Rabi η/2. número de átomos condensados N, aproximadamente la mitad de la población es trans- ferred desde el suelo a un estado excitado durante el primer pulso η/2, evolucionando libremente cuando el acoplamiento está apagado, y luego, un segundo pulso concluye la excitación. La población fraccionaria después de este proceso, en función de el ajuste, se traza en la figura 2 con la línea gris. El proceso simu- el efecto de la aplicación de dos pulsos de Rabi separados por  = 8t1. El valor máximo para np se encuentra a la misma frecuencia que en la configuración ración de un solo pulso, lo que confirma nuestra conclusión anterior de que el cambio en la frecuencia es un sello distintivo de los efectos no lineales debido a dos cuerpos elásticos colisiones. En la figura 3, trazamos el comportamiento de la población fraccionaria en función de β, teniendo en cuenta la misma configuración de pulso que la anterior, con un pulso inicial un intervalo de 4t1 y un segundo pulso de 2°. Si la amplitud de acoplamiento es débil, el patrón de Ramsey pierde su visibilidad. El aumento de β mejora la visibilidad, pero en el mismo tiempo causa cambios de poder, representados por el desplazamiento de las franjas. El número de los flecos de Ramsey, contenido dentro del ancho espectral, es fuertemente dependiente del intervalo de tiempo  entre los pulsos aplicados η/2-. Esta característica se muestra en la figura 4, donde se consideran cuatro situaciones diferentes. Observamos que los valores máximos absolutos de np y su posición, como un función de, no están conectados con los cambios de ♥. Lo que sí depende -4 -2 0 2 4 Fig. 3. Ramsey franjas de la población fraccionaria np en función de, después de la aplicación de dos pulsos η/2- separados por  = 4t1, siendo t1 el tiempo necesario para la excitación de la mitad de la población de la tierra a una no-tierra Estado. Las líneas corresponden a los valores crecientes de β. Línea gris claro: β = 0,1α; Línea gris: β = 0,2α; Línea negra: β = 0,3α en ♥ es el número de franjas, que aumenta a medida que aumenta. Si el valor de la suma es igual al valor de la cantidad de referencia, el valor de la cantidad de referencia será igual al valor de la cantidad de referencia. tiempo de acoplamiento t1, dos picos adicionales aparecen a ambos lados de la principal El pico. Para  = 2t1, obtenemos dos picos a cada lado, y así sucesivamente, como puede ser se comparan las cuatro parcelas de la figura 4. La aparición de estos auxiliares los picos son el sello distintivo de la acumulación de una fase relativa entre ambos estados topológicos. Durante el tiempo que el enganche se desconecta, el dinámica de todo el sistema (suelo + estado no terreno) se asocia con el término no lineal en el Hamiltoniano (5). Esta dinámica libre determina la fase relativa acumulada. -4 -2 0 2 4 4 -2 0 2 4 = 2t = t = 3t = 8t Fig. 4. Ramsey franjas de la población fraccionaria np en función de, después de la aplicación de la configuración de pulsos de Ramsey para diferentes valores. La línea gris en todas las parcelas se corresponde con el γ/2-pulso Rabi. 4 Conclusiones En este trabajo, utilizamos cálculos numéricos para resolver el sistema de acoplado ecuaciones que describen la excitación resonante de dos modos no lineales coherentes de BEC. Nuestros resultados, obtenidos por medio del cuarto orden Runge-Kutta método, nos da una idea del comportamiento de la población de modo fraccionario- ciones de estados atómicos colectivos no terrestres en una trampa armónica. El principal la novedad del presente documento es la investigación de la respuesta del sistema a diferentes configuraciones de acoplamiento y la demostración de la aparición de los flecos de Ramsey. La formación de los flecos de Ramsey es una firma de la coherencia real carácter de los modos topológicos en el sistema no lineal estudiado. En ambos, Rabi y las configuraciones de pulso de Ramsey, hay un cambio de la población máxima transferencia debido al fuerte efecto de la no linealidad del sistema. El Ramsey patrón en sí contiene información sobre la fase relativa acumulada, y el número de picos secundarios es proporcional al tiempo.......................................................................................................................................................................................................................................................... Sección 3. Como posible extensión de este trabajo, sería interesante considerar la influencia en los márgenes de Ramsay de la geometría de la trampa y de diferentes externos campos de bombeo Vp (r, t). Otras posibilidades podrían estar relacionadas con la manipulación de la longitud de dispersión a través de las técnicas de resonancia Feshbach y a la efectos de cambiar el número total de átomos, lo que afecta al interatómico intensidad α. Agradecimientos Los autores desean agradecer a E. P. Yukalova su importante contribución a la primera etapa de este trabajo. Gracias especialmente a E. A. L. Henn y K. M. F. Mag- Alhães para discusiones útiles. Este trabajo fue apoyado por Fapesp (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo), CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pesoal de vel Superior), y por CNPq (Conselho Na- cial de Desenvolvimento Científico y Tecnológico). Bibliografía [1] V. I. Yukalov, E. P. Yukalova, y V. S. Bagnato, Phys. Rev. A 56, 4845 (1997). [2] P. W. Courteille, V. S. Bagnato, y V. I. Yukalov, Laser Phys. 11, 659 (2001). [3] A. J. Leggett, Rev. Mod. Phys. 73, 307 (2001). [4] F. Dalfovo, S. Giorgini, y L. P. Pitaevskii, Rev. Mod. Phys. 71, 463 (1999). [5] M.-O. Mewes, M. R. Andrews, D. M. Kurn, D. S. Durfee, C. G. Townsend, y W. Ketterle, Phys. Rev. Lett. 78, 582 (1997). [6] E. Hagley, L. Deng, M. Kozuma, J. Wen, K. Helmerson, S. L. Rolston, y W. D. Phillips, Science 283, 1706 (1999). [7] I. Bloch, T. Hansch, y T. Esslinger, Phys. Rev. Lett. 82, 3008 (1999). [8] B. Anderson y M. Kasevich, Science 282, 1686 (1998). [9] C. J. Myatt, E. A. Burt, R. W. Ghrist, E. A. Cornell, y C. E. Wieman, Phys. Rev. Lett. 78, 586 (1997). [10] M. R. Matthews, D. S. Hall, D. S. Jin, J. R. Ensher, C. E. Wieman, E. A. Cornell, F. Dalfovo, C. Minniti, y S. Stringari, Phys. Rev. Lett. 81, 243 (1998). [11] V. I. Yukalov, E. P. Yukalova, y V. S. Bagnato, Phys. Rev. A 66, 043602 (2002). [12] V. I. Yukalov, E. P. Yukalova, y V. S. Bagnato, Proc. SPIE 4243, 150 (2001). [13] N. F. Ramsey, Phys. Rev. 76, 996 (1949). [14] N. F. Ramsey, Phys. Rev. 78, 695 (1950). [15] A. Eschmann, R. J. Ballagh, y B. M. Caradoc-Davies, J. Opt. B:Quantum Semiclase. Opt. 1, 383 (1999). [16] K. M. F. Magalhães, S. R. Muniz, E. A. L. Henn, R. R. Silva, L. G. Marcassa, y V. S. Bagnato, Laser. Phys. Lett. 2, 214-219 (2005). [17] E. A. L. Henn, K. M. F. Magalhães, G. B. Seco, y V. S. Bagnato, Resumen para el XXIX Encuentro nacional de la materia condensada física de la materia condensada). Mayo de 2006, São Lourenço-MG, Brasil. [18] I. Rabi, Phys. Rep. 51, 652 (1937). [19] V. I. Yukalov, E. P. Yukalova, y V. S. Bagnato, Laser Phys. 13, 861 (2003). [20] D. S. Hall, M. R. Matthews, C. E. Wieman, y E. A. Cornell, Phys. Rev. Lett. 81, 1543 (1998). Introducción Ecuación Gross-Pitaevskii y modos coherentes /2 y - pulsos y la formación de los flecos de Ramsey-como Conclusiones Bibliografía

The Allen-Cahn Action functional in higher dimensions

LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL DIMENSIONES LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER Resumen. La acción Allen-Cahn funcional está relacionada con la probabilidad de acontecimientos raros en la ecuación estocásticamente perturbada Allen-Cahn. Formal los cálculos sugieren una acción reducida funcional en el límite de interfaz nítida. Demostramos el correspondiente límite inferior en dos y tres dimensiones espaciales. Una dificultad es que las interfaces difusas pueden colapsar en el límite. Por lo tanto, considerar el límite de las medidas de superficie difusas e introducir una velocidad y acción reducida generalizada funcional en una clase de evolución medidas. 1. Introducción En este trabajo se estudia el (renormalizado) Allen-Cahn acción funcional S/23370/(u) := tu+ − u+ W ′(u) dx dt. (1.1) Esta función surge en el análisis del estocástico perturbado Allen-Cahn ecuación [2, 21, 13, 30, 8, 10, 12] y está relacionada con la probabilidad de acontecimientos raros tales como el cambio entre estados determinísticamente estables. Comparadas con el entorno puramente determinista, las perturbaciones estocásticas añaden nuevas características de la teoría de las separaciones de fase, y el análisis de las funciones de acción ha llamó la atención [8, 13, 18, 19, 26]. Kohn et alii [18] consideraron la interface aguda límite  → 0 de S/23370/ e identificó una acción funcional reducida que es más fácil accesible para un análisis cualitativo. El límite de interfaz nítida revela una conexión entre los minimizadores de S.o.p. y el flujo medio de curvatura. La función de acción reducida en [18] se define para las funciones de indicador de fase u : (0, T ) ×  → 1, 1} con las propiedades adicionales que la medida de la fase {u(t, ·) = 1} es continua y el límite común de las dos fases {u = 1} y {u = −1} es, aparte de un conjunto contable de tiempos singulares, dado como unión de las hipersuperficies que evolucionan suavemente. La reducción acción funcional se define como S0(u) := c0 •v(t, x)−H(t, x) dHn−1(x)dt + 4S0nuc(u), (1.2) S0nuc(u) := 2c0 Hn−1(­i), (1.3) Fecha: 12 de noviembre de 2021. 2000 Clasificación de Materias Matemáticas. Primaria 49J45; Secundaria 35R60, 60F10, 53C44. Palabras y frases clave. Ecuación Allen-Cahn, ecuaciones diferenciales parciales estocásticas, grandes teoría de desviación, límites de interfaz nítida, movimiento por curvatura media. http://arxiv.org/abs/0704.1954v2 2 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER en la que el término «i» denota la «i» en el momento de la creación, donde v denota la velocidad normal de la evolución, donde H(t, ·) denota la media vector de curvatura de Łt, y donde la constante c0 está determinada por W, c0 := 2W (s) ds. (1.4) (Véase la sección 9 para una definición más rigurosa de S0). Varios argumentos sugieren que S0 describe el límite Gamma de S • El límite superior necesario para la convergencia Gamma fue formalmente se ha demostrado [18] mediante la construcción de buenas «secuencias de recuperación». • El límite inferior fue probado en [18] para las secuencias (u Las «medidas energéticas» asociadas tienen energía equipada y una plicity como 0. • En una dimensión espacial, Reznikoff y Tonegawa [26] demostraron que S Gamma-converge a una relajación apropiada de la ver- sión de S0. El enfoque utilizado en [18] se basa en la evolución de las fases y es sensato a las cancelaciones de los límites de fase en el límite de interfaz nítida. Por lo tanto, en [18] un límite más bajo brusco sólo se alcanza en un supuesto de una sola multiplicación para el límite de las interfaces difusas. En consecuencia, no podía excluirse que crear múltiples interfaces reduce la acción. En el presente documento demostramos un nítido bajo-encuadernación de la funcional S.O. en el espacio dimensiones n = 2, 3 sin ninguna restricción adicional sobre la Quences. Para evitar problemas con cancelaciones de interfaces analizamos la evolución de las medidas (difusas) de superficie, que facilitan información perdido en el límite de los campos de fase. Con este objetivo generalizamos el S0 funcional a un clase adecuada de medidas energéticas en evolución e introducir una formulación generalizada de velocidad, similar a la generalización de Brakke del flujo medio de curvatura [5]. Describamos oficiosamente nuestro enfoque y los principales resultados. Comparando los dos funcional S/23370/ y S0 el primer y segundo término de la suma en el integrand (1.1) describir una «velocidad difusa» y una «curvatura media difusa» respectivamente. Vamos a hacer Esta declaración precisa en (6.13) y (7.1). La curvatura media es dada por la primera variación del área funcional, y una estimación más baja para el cuadrado del difuso La curvatura media está disponible en una situación independiente del tiempo [28]. La velocidad de la evolución de los límites de fase está determinada por el tiempo derivado de la medidas de superficie y el término de nucleación en el S0 funcional de hecho describe una parte singular de este derivado del tiempo. Nuestro primer resultado principal es un resultado de compacidad: las medidas de superficie difusa Converger a una evolución de las medidas con un cuadrado integrable medio generalizado cur- vatura y una velocidad generalizada integrable cuadrada. En la clase de tales evoluciones de medidas proporcionamos una formulación generalizada de la acción reducida funcional. Demostramos una estimación más baja que cuenta el costo de propagación con la multiplicidad de la interfaz. Esto demuestra que es más caro mover los límites de fase con mayor multiplicidad. Por último, probamos dos declaraciones sobre la convergencia Gamma (con respecto a L1(el T )) de la acción funcional. El primer resultado es para el evolu- ciones en el dominio de S0 que tienen nucleaciones sólo en el momento inicial. Esto está en particularmente deseable ya que los minimizadores de S0 se supone que están en esta clase. Los LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 3 el segundo resultado demuestra la convergencia de Gamma en L1( la estructura del conjunto de medidas que surgen como límites de interfaz agudos de secuencias con una acción uniformemente limitada. Damos una declaración precisa de nuestros principales resultados en la Sección 4. En el resto de esta introducción describimos algunos antecedentes y motivación. 1.1. Modelos de campo de fase determinante y límites de interfaz nítidos. La mayoría Los modelos de interfaz difusa se basan en la energía Van der Waals–Cahn–Hilliard E­(u) := u2 + 1 W (u) dx. (1.5) La energía E.E. favorece una descomposición de.E. en dos regiones (fases) donde u.E. −1 y u 1, separados por una capa de transición (interfaz difusa) con un espesor de Modica y Mortola [23, 22] probaron que E. Gamma-converge (con respeto a L1-convergencia) a un múltiplo constante del perímetro funcional P, restringidos a las funciones de indicador de fase, E. → c0P, P(u) := du si u BV (­*, 1, 1}), De lo contrario. P mide la superficie-área del límite de fase u = 1}. En este sentido E.E. describe una aproximación difusa de la superficie funcional. Se han demostrado varias conexiones más estrechas entre las funciones E. y P. Mencionamos aquí sólo dos que son importantes para nuestro análisis. El (acelerado) El flujo L2-gradiente de E.O. es dado por la ecuación Allen-Cahn tu = u− W ′(u) (1.6) para campos de fase en el cilindro tiempo-espacio (0, T ) × . Se demuestra en diferentes formulaciones [7, 9, 17] que (1.6) converge con el flujo medio de curvatura H(t, ·) = v(t, ·) (1.7) para la evolución de los límites de fase. Otra conexión entre las primeras variaciones de Ee y P se expresa en un (modificado) conjetura de De Giorgi [6]: Considerando W­(u) := − u+ 1 W ′(u) dx (1.8) la suma E. +W. Gamma-converge hasta el factor constante c0 a la suma de la Perímetro funcional y el Willmore funcional W, I + W → c0P + c0W, W(u) = H2 dHn−1, (1.9) en la que se denota el límite de la fase u = 1} Esta declaración fue recientemente probado por Röger y Schätzle [28] en dimensiones espaciales n = 2, 3 y es un elemento esencial ingrediente para obtener el límite inferior para la acción funcional. 4 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER 1.2. Interpretación estocástica de la acción funcional. Fenómenos como la nucleación de una nueva fase o el cambio entre dos mínimos de energía (locales) requieren un cruce de barrera energética y están fuera del alcance de los modelos deterministas que son disipadores de energía. Si se tienen en cuenta las fluctuaciones térmicas, El cruce de la barrera energética es posible. En [18] «conmutación térmica activada» fue considerado para la ecuación estocásticamente perturbada Allen-Cahn tu = u− W ′(u) + 2 (1.10) Aquí γ > 0 es un parámetro que representa la temperatura del sistema, η es un el ruido blanco del espacio-tiempo, y es una regularización espacial con → η como  → 0. Esta regularización es necesaria para n ≥ 2 ya que el ruido blanco es demasiado singular para garantizar una buena posición de (1.10) en las dimensiones espaciales superiores. Gran teoría de desviación y (extensiones de) resultados por Wentzell y Freidlin [15, 14] arrojan una estimación sobre la distribución de probabilidad de soluciones de stochas- tic ODEs y PDEs en el límite de ruido pequeño. Esta estimación se expresa en términos de una acción (determinista) funcional. Por ejemplo, el conmutador activado térmicamente dentro de un tiempo T > 0 es descrito por el conjunto de rutas u(0, ·) = −1, â € € TM (t, ·)− 1â € Lâ € € € = € € para algunos t ≤ T , (1.11) donde  > 0 es una constante fija. La probabilidad de cambiar por soluciones de (1.10) entonces satisface γ lnProb(B) = − inf S(l)(l)(l) (l). (1.12) En este caso, la acción funcional asociada a (1,10) y convergen (formalmente) a la acción funcional S.o.p. como.o. → 0 [18]. Gran teoría de la desviación no sólo estima la probabilidad de acontecimientos raros, pero también identifica el «camino de conmutación más probable» como el minimizador u en (1.12). Nos centramos aquí en el límite de la interfaz nítida فارسى → 0 de la acción funcional S/23370/. El pequeño parámetro فارسى > 0 corresponde a un escalonamiento difusivo específico del tiempo- y los dominios espaciales. Esta elección fue identificada [8, 18] como particularmente interesante, que exhiba una competencia entre la nucleación y la propagación para Cambio de tono. Dependiendo del valor de 1/d/ T una cascada de más y más se observan patrones espaciales complejos [8, 18, 19]. El interés en la interfaz nítida límite está motivado por un interés en aplicaciones donde el tiempo de conmutación es pequeño en comparación con la escala temporal determinista, véase, por ejemplo, [20]. 1.3. Organización. Fijamos algunas notación y suposiciones en la siguiente sección. En la Sección 3 introducimos el concepto de flujos L2 y velocidad generalizada. Nuestro Los principales resultados se exponen en la sección 4 y se demuestran en las secciones 5 a 8. Discutimos algunas implicaciones para la convergencia gamma de la acción funcional en la Sección 9. Finalmente, en el Apéndice recogemos algunas definiciones de la Medida Geométrica Teoría. Agradecimiento. Queremos dar las gracias a Maria Reznikoff, Yoshihiro Tonegawa, y Stephan Luckhaus para varias discusiones estimulantes. El primer autor agradece al Universidad Tecnológica de Eindhoven por su hospitalidad durante su estancia en verano 2006. El primer autor fue apoyado parcialmente por el Schwerpunktprogramm DFG SPP 1095 «Problemas multiescala» y DFG Forschergruppe 718. LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 5 2. Notación y suposiciones A lo largo del documento adoptaremos la siguiente notación: subconjunto limitado de Rn con límite Lipschitz; T > 0 es un número real y T := (0, T ) × el gradiente espacial y el laplaciano y el el gradiente completo, respectivamente; gradiente en R× Rn. Elegimos W para ser el potencial estándar de doble pozo quártico W (r) = (1− r2)2. Para una familia de medidas (μt)t®(0,T ) denotamos por L1 μt la medida del producto definido por L1 μt (η) := μt(η(t, ·)) dt para cualquier η • C0c (­T ). A continuación declaramos nuestras principales suposiciones. Suposición 2.1. Dejar n = 2, 3 y dejar que una secuencia (u)0 de funciones lisas sea Teniendo en cuenta que satisface para todos فارسى > 0 S­(u­) ≤ ­1, (A1) u2 + W (u.............................................................................................................................................................................................................................................................. (0, x) dx ≤ Ł2, (A2) donde las constantes ­1,­2 son independientes de ­ > 0. Además, prescribimos que 0 en [0, T ]×. (A3) Observación 2.2. De (A3) se desprende que para cualquier 0 ≤ t0 ≤ T tuooooooooooooooooo tuoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo − u + W ′(u♥) - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? − u + W ′(u♥) u2 + W (u.............................................................................................................................................................................................................................................................. (t0, x) dx − 2 u2 + W (u.............................................................................................................................................................................................................................................................. (0, x) dx. Por los límites uniformes (A1), (A2) esto implica que - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? − u + W ′(u♥) dxdt ≤ 3, (2.1) 0≤t≤T u2 + W (u.............................................................................................................................................................................................................................................................. (t, x) dx ≤ ­4, (2.2) donde 3 := 1 ° + 2 ° 2, ° 4 := 1 ° + 2 ° ° ° °. Observación 2.3. Nuestros argumentos también trabajarían para cualquier límite condiciones para que se desvanece en particular en el caso de Dirichlet independiente del tiempo. dicciones o condiciones de frontera periódicas. 6 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER Nos pusimos := uoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo W ′(uŁ) (2.3) y definir una medida de radón μt® en el caso de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra a) de la letra b) de la letra b) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra a) de la letra b) de la letra a) de la letra b) de la letra a) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) del μt. := u2(t, ·) + W (n(t, ·)) Ln, (2.4) y en el caso de las medidas no 0, las medidas no T, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # u2 + W (u.............................................................................................................................................................................................................................................................. Ln+1, (2,5) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 1 / 2 / tu +. −1/2w )2Ln+1. (2.6) Finalmente restringiéndonos a una subsecuencia 0 podemos asumir que • → μ como medidas de radón en el T, (2,7) • → α como medidas de radón en el T, (2,8) para dos medidas de radón μ, α en T, y que α(T ) = lim inf â € € TM. â € â € € â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM (2.9) 3. Flujos L2 Demostraremos que el uniforme vinculado a la acción implica la existencia de una curvatura media débil integrable cuadrada y la existencia de un cuadrado integrable velocidad generalizada. La formulación de la curvatura media débil es estándar en Geo- Teoría de la medida métrica [1, 31]. Nuestra definición de flujo L2 y velocidad generalizada es similar a la formulación de Brakke de flujo de curvatura medio [5]. Definición 3.1. Let (μt)t(0,T ) ser cualquier familia de medidas de radón rectificables entero De tal manera que μ := L1t define una medida de Radón en el T y tal que μt tiene un débil media de curvatura H(t, ·) L2(μt) para casi todas las t (0, T ). Si existe una constante positiva C y un campo vectorial v • L2(μ,Rn) de tal manera que v(t, x) Txμt para μ-casi todos (t, x) No obstante, el Tribunal de Primera Instancia consideró que, en el caso de autos, la Comisión no había adoptado las medidas necesarias para garantizar la compatibilidad con el Derecho comunitario de las disposiciones del artículo 107, apartado 1, letra c), del Tratado. dμtdt ≤ CC0(T) (3.2) para todos los η C1c ((0, T ) × ♥), entonces llamamos a la evolución (μt)tâ (0,T ) un flujo L2. A función v • L2(μ,Rn) satisfactoria (3.1), (3.2) se llama vector de velocidad generalizada. Esta definición se basa en la observación de que para una evolución suave (Mt)t®(0,T) con curvatura media H(t, ·) y vector de velocidad normal V (t, ·) η(t, x) dHn−1(x) − tη(t, x) dHn−1(x) − (t, x) · V (t, x) dHn−1(x) H(t, x) · V (t, x)η(t, x) dHn−1(x). Integrar esta igualdad en el tiempo implica (3.2) para cualquier evolución con square- Velocidad integrable y curvatura media. LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 7 Observación 3.2. La elección de η(t, x) = (t)(x) con C1c (0, T ), deducir de (3.2) que t 7→ μt() pertenece a BV (0, T ). Elegir un denso contable Esto implica que existe un conjunto contable S (0, T ) de tiempos singulares de tal manera que cualquier buen representante de t 7→ μt() es continuo en (0, T ) \ S para todos los países de la zona C1. Cualquier velocidad generalizada es (en un conjunto de buenos puntos) determinada exclusivamente por el evolution (μt)tÃ3r(0,T ). Proposición 3.3. Let (μt)tÃ3r(0,T ) ser una L 2-flujo y conjunto μ := L1t. Let v â € L2(μ) ser un campo de velocidad generalizada en el sentido de la definición 3.1. Entonces v(t0, x0) T(t0,x0)μ (3.3) se mantiene en μ-casi todos los puntos (t0, x0) â ¬ T donde existe el plano tangencial de μ. La evolución (μt)t+(0,T ) determina de forma única v en todos los puntos (t0, x0) ambos planos tangenciales T(t0,x0)μ y Tx0μ Existe. Aplazamos la prueba a la Sección 8. En el conjunto de puntos donde existe un plano tangencial de μ, la velocidad generalizada campo v coincide con la velocidad normal introducida en [4]. Pasamos ahora a la declaración de un límite inferior para las secuencias (u)0 satisfaciendo Suposición 2.1. Como 0 vamos a obtener una función indicador de fase u como el límite de la secuencia (u)0 y una L 2-flujo (μt)t(0,T) como límite de las medidas ()0. Demostraremos que en Hn-casi todos los puntos de la frontera de la fase u = 1} existe un plano tangencial de μ. Esto implica la existencia de una velocidad normal única campo de la frontera de fase. 4. Límite inferior para la acción funcional En varios pasos se establece un límite inferior para las funciones S. Lo posponemos todo. pruebas de las Secciones 5-8. 4.1. Estimación más baja para la curvatura media. Comenzamos con una aplicación de los conocidos resultados de Modica y Mortola [23, 22]. Proposición 4.1. Existe u BV (T, 1, 1})(0, T ;BV ()) de tal manera que para una subsecuencia 0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o(t, ·) → u(t, ·) en L1(­) para casi todos los t (0, T ). (4.2) Además du ≤ 3 °C + 4 °C, du(t, ·) ≤ 4 (4.3) holds, donde c0 se definió en (1.4). La siguiente proposición básicamente repite los argumentos en [19, Teorema 1.1]. Proposición 4.2. Existe un conjunto contable S â € (0, T ), una subsecuencia â € → 0 y medidas de radón μt, t [0, T ] \ S, de manera que para todos los t [0, T ] \ S μt­ → μt como medidas de radón en el sector de los cereales (4.4) 8 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER de tal manera que μ = L1 μt, (4.5) y de tal manera que para todos C1(­) la función t 7→ μt() es de variación limitada en (0, T ) (4.6) y no tiene saltos en (0, T ) \ S. Explotar el límite inferior [28] para la aproximación difusa del Willmore funcional (1.8) obtenemos que las medidas μt son hasta un entero constante- rectificable con una curvatura media débil que satisfaga una estimación más baja adecuada. Teorema 4.3. Para casi todos los t â € (0, T ) μt es una variante integral (n− 1), μt tiene la curvatura media débil H(t, ·) L2(μt), y la estimación H 2 dμ ≤ lim inf w2Ł dxdt (4.7) Espera. 4.2. Estimación más baja para la velocidad generalizada. Teorema 4.4. Que (μt)t(0,T ) sean las medidas límite obtenidas en la Proposición 4.2. Entonces existe una velocidad generalizada v â € L2(μ,Rn) de (μt)tâ € (0,T ). Por otra parte, el Estimación v2 dμ ≤ lim inf - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? 2 dxdt (4.8) está satisfecho. En particular, ( 1 μt)t®(0,T) es una L 2-flujo. Obtenemos v como límite de velocidades aproximadas adecuadamente definidas, véase Lemma 6.2. En el límite de fase v coincide con la velocidad de distribución (estándar) de la fase a granel {u(t, ·) = 1}. Sin embargo, nuestra definición extiende la velocidad también a den límites», que parece necesario para probar la convergencia Gamma de la acción funcional; véase el debate en la sección 9. Proposición 4.5. Definir la velocidad normal generalizada V en dirección de la normal interna de {u = 1} por V (t, x) := v(t, x) · (t, x), para (t, x) u = 1}. Entonces V L1(u) sostiene y V u=1} es el campo de vectores único que satisface para Todos los η C1c (­T ) V (t, x)η(t, x) du(t, ·)(x)dt = − .................................................................................................................... (4.9) LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 9 4.3. Una estimación más baja de la acción funcional. Como nuestro principal resultado obtenemos la siguiente estimación más baja para S................................................................................................................ Teorema 4.6. Deja que la Asunción 2.1 mantenga, y dejar que μ, (μt)t[0,T ], y S sea el mea- asegura y el conjunto contable de tiempos singulares que obtuvimos en la Proposición 4.2. Definir el coste de nucleación Snuc(μ) por Snuc(μ) := μt()− lim μt(­) + sup μt(+)− μ0(+) + sup μT ()− lim μt(­) (4.10) donde la sup se hace cargo de todo el C1(­) con 0 ≤ ≤ ≤ 1. Entonces lim inf S­(u­) ≥ v −H 2 d 4Snuc(μ). (4.11) En la definición anterior de coste de nucleación hemos elegido tácitamente tasatos de μt() (véase [3]). Con esta opción las partes de salto en (4.10) están bien definidas. Con el tiempo comentaremos que, en vista del teorema 4.3, podemos concluir que Snuc realmente mide sólo (n− 1) saltos dimensionales. El teorema 4.6 mejora [18] en el caso de mayor multiplicación. Discutiremos nuestro los principales resultados de la sección 9. 4.4. Convergencia de la ecuación Allen-Cahn al flujo medio de curvatura. Dejar n = 2, 3 y considerar las soluciones (u)0 de la ecuación Allen-Cahn (1,6) sat- isfiing (A2) y (A3). A continuación, se aplican los siguientes criterios: Existe una subsecuencia فارسى → 0 tal que las funciones de la fase u♥ convergen a un función del indicador de fase u, de tal manera que las medidas de energía μt 2-flujo (μt)tÃ3r(0,T ), y de tal manera que μ-casi en todas partes H = v (4,12) mantiene, donde H(t, ·) denota la curvatura media débil de μt y donde v denota la velocidad generalizada de (μt)tâ(0,T ) en el sentido de la definición 3.1. Además Snuc(μ) = 0, lo que muestra que para cualquier no negativo C1(­) la función t 7→ μt(­) no puede Salta hacia arriba. De (1.6) y (5.3) por debajo de uno obtiene que para cualquier C1(l) y C1(l) y todos los valores de C1c (0, T ) En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de todas las materias utilizadas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (x) • (x) • (t, x) • (x) • (t, x) • (x) • (x) • (x) • (x) • (x) • (x) • (x) • (x) • (x) • (x) • (x) • (x) • (x) (t, x) (x) • (x) • (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) • (w) (t, x) (x) • (x) (x) (t, x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) • (x) (x) (x) (x) (x) (x) dxdt. (4.13) Demostraremos que ‘difusa media curvaturas’ adecuadamente definidas convergen como 0, ver (7.1). Utilizando este resultado podemos pasar al límite en (4.13) y obtenemos para cualquier nonnegative functions (función no negativa), C1(­), C1c (0, T ) que t(­) dt ≤ − H2(t, x) (x) ·H(t, x) dμt(x)dt, que es una versión integrada en el tiempo de la desigualdad de Brakke. 10 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER 5. Pruebas de las Proposiciones 4.1, 4.2 y Teorema 4.3 Prueba de la Proposición 4.1. Por (2.1), (2.2) obtenemos que u2 + W (u.............................................................................................................................................................................................................................................................. dxdt ≤ 3 °C + 4 °C. Esto implica por [22] la existencia de una subsecuencia ­ → 0 y de una función u BV (T ; 1, 1}) de tal manera que • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • du ≤ lim inf u2 + W (u.............................................................................................................................................................................................................................................................. dxdt ≤ 3 °C + 3 °C + 4 °C Después de posiblemente tomar otra secuencia, para casi todos t â € (0, T ) o(t, ·) → u(t, ·) en L1(♥) (5.1) Espera. Usando (2.2) y aplicando [22] para una t fija (0, T ) con (5.1) obtenemos que du(t, ·) ≤ lim inf μt-(­) ≤ 4 °C. Antes de probar la Proposición 4.2 mostramos que la derivada del tiempo de la energía- se controla la densidad μt Lemma 5.1. Existe C = C(­1,­3,­4) de tal manera que para todos los países de la Europa Central y Oriental (­) tμt() dt ≤ CC1(). (5.2) Prueba. Usando (A3) calculamos que • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • tuooooooooooooooooo tuoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo (t, x)•(x) dx − - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? (t, x)•(x) dx (x) · ŁtuŁ(t, x)­ü­·(t, x) dx. (5.3) Para (2.1), (2.2) estimamos * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? 2 + u2 ≤ (­3 + T­4)C0(­) (5.4) y deducir de (A1), (2.1), (5.3) que tμt() dt ≤ (1 + 3)C0() + C(3, TŁ4)C0(l), lo que prueba (5.2). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Prueba de la Proposición 4.2. Por (2.7) • → μ como medidas de radón en el T. Elija ahora Una familia contable (i)iN C1(l) que es densa en C0(l). Por Lemma 5.1 LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 11 y un argumento diagonal-secuencia existe una subsecuencia 0 y funciones mi BV (0, T), i N, de tal manera que para todos i N Mi(t) para casi todos los t (0, T ), (5.5) En el caso de las medidas de radón (0, T ), la cantidad de m′i → m′i. (5.6) Que S denote el conjunto contable de veces t â € (0, T ) donde para algunos i â € N la medida m′i tiene una parte atómica en t. Afirmamos que (5.5) se mantiene en (0, T ) \ S. Para ver esto elegimos un punto t â ¬ (0, T ) \ S y una secuencia de puntos (tj)jÃ3n en (0, T ) \ S, tales que tj t y (5.5) se mantiene para todos tj. Entonces obtenemos m′i([tj, t]) = 0 para todos los i+N, (5.7) (i)([tj, t]) = m i([tj, t]) para todos los i, j+ N. (5.8) Además mi(t)− μtä(i) ≤ mi(t)−mi(tj) mi(tj)− μtj ≤ m′i([tj, t]) mi(tj)− μtj Tomando primero فارسى → 0 y luego tj t deducimos por (5.7), (5.8) que (5.5) se sostiene para todos los i â € N y todos los t â € (0, T ) \ S. Tomando ahora un t arbitrario (0, T ) tal que (5.5) sostiene, por (2.2) existe un subsecuencia 0 tal que μt. → μt como medidas de radón en . (5.9) Se deduce que μt(i) = mi(t) y puesto que (i)iN es denso en C 0(l) podemos identificar cualquier límite de (μt)0 y obtener (5.9) para toda la secuencia seleccionada en (5.5), (5.6) y para todos los t â ¬ (0, T ), para los cuales (5.5) se mantiene. Por otra parte, para cualquier â € â € TM C0(­) el mapa t 7→ μt() no tiene saltos en (0, T ) \ S. Después de tomar posiblemente otra secuencia también podemos asegurar que como 0 μ0­ → μ0, μT­ → μT como las medidas de Radon en el caso de la República Federal de Alemania. Esto demuestra (4.4). Por el Teorema de Convergencia Dominado concluimos que para cualquier η C0(­T ) η dμ = lim η dâ ° = lim η(t, x) dμtŁ(x) dt = η(t, x) dμt(x) dt, lo que implica (4.5). Por (5.2), la compactación L1(0, T) de las secuencias que están unidas uniformemente en BV (0, T ), la semicontinuidad inferior de la norma BV bajo la convergencia L1, y (4.4) concluimos que (4.6) sostiene. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Prueba de Teorema 4.3. Para casi todos t â € (0, T ) obtenemos de Fatou’s Lemma y (2.1), (2.2) que lim inf μt­(­) + μt­(­) + μt­(­) + μt­(­) μt­(­) μt­(­) μt­(­) μt­+ μt­(­) μt­+ μt­(­) μt­+ μt­+ μt­+ μt­+ μt­(­) μt­+ μt­+ μt­+ (­) μt­+ (­) μt­+ μt­+ (­) μt­+ μt­+ μt­+ μt­+ μt­+ (­) μt­+ (­) μt­+ (­) μt­+ + + μt­+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + w2Ł(t, x) dx < فارسى. (5.10) 12 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER Dejar que S â € (0, T ) sea como en la Proposición 4.2 y fijar un t â € (0, T ) \ S tal que (5,10) Espera. Entonces deducimos de [28, Teorema 4.1, Teorema 5.1] y (4.4) que μt es una variante integral (n− 1), μt ≥ c0 u(t, ·), y que μt tiene la curvatura media débil H(t, ·) satisfactorio H(t, x)2 dμt(x) ≤ lim inf (t, x) 2 dx. (5.11) Por (5.11) y Fatou’s Lemma obtenemos que H(t, x)2 dμt(x) dt ≤ lim inf (t, x) ≤ lim inf w2Ł dxdt, lo que demuestra (4.7). Para su uso posterior también asociamos los varifolds generales a μt gence como 0. Let (t, ·) :  → Sn−11 (0) ser una extensión de la(t, ·)/u(t, ·) a el conjunto uŁ(t, ·) = 0}. Definir las proyecciones P.(t, x) := Id(t, x)(t, x) y tener en cuenta los varifolds generales V t.o. y el entero varifolds rectificables c.o. t definida V t-(f) := f(x, P/23370/(t, x)) dμ (x), (5.12) V t(f) := f(x, P (t, x)) dμt(x) (5.13) en el caso de la letra f) del punto C0c, donde P (t, x) del punto Rn×n denota la proyección en el punto plano tangencial Txμ t. Entonces deducimos de la prueba de [28, Teorema 4.1] que V r > V t como 0 (5.14) en el sentido de varifolds. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 6. Prueba del teorema 4.4 6.1. Equipartición de energía. Comenzamos con un resultado preliminar, mostrando el importante equipamiento de la energía: la medida de discrepancia := u2 − W (u.............................................................................................................................................................................................................................................................. Ln+1 (6.1) desaparece en el límite 0. Para demostrar esto combinamos los resultados de [28] con una versión refinada de Lebesgue Teorema de convergencia dominada [25], véase también [27, Lemma 4.2]. Proposición 6.1. Para una subsecuencia 0 obtenemos que → 0 como medidas de Radón en el T. (6.2) LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 13 Prueba. Definamos las medidas * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * u2 − W (u.............................................................................................................................................................................................................................................................. (t, ·)Ln el ♥. En el caso de 0, k, N, definimos los conjuntos B.,k. := {t. {t. } (0, T. } : (t, x) dx > k}. (6.3) Entonces obtenemos de (2.1) que w2Ł(t, x) dxdt ≥ B,kk. (6.4) A continuación definimos las (firmadas) Radon-medidas *,k := En el caso de T, T, B, K, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, 0 para t â € € € € € € € € € € € € € € € €. (6.5) Por [28, Proposición 4.9], tenemos 0 (j → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • para cualquier subsecuencia ­j → 0 (j → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • lim sup w2Łj (t, x) dx < فارسى. Por (2.2), (6.5) deducimos que para cualquier η o C0(­T,R+0 ), k o N, y casi todos t (0, T ) 0 como 0 (6,7) y que t,k(η(t, ·)) = 1-XB­,k(t) t η(t, ·) ≤ C0(­T). ≤ C0(­T). ≤ C0(­T). ≤ C0(­T). ≤ C0(­T). ≤ C0(­T). ≤ C0(­T) ≤ C0(­T). ≤ C0(­T) ≤ C0(­T) ≤ C0(­T). ≤ C0(­T) ≤ C0(­T). (6.8) Por el Teorema de Convergencia Dominado, (6.7) y (6.8) implican que t,k(η(t, ·)) dt → 0 como 0. (6.9) Más adelante obtenemos que t(η(t, ·)) dt ≤ t,k(η(t, ·)) dt + t(η(t, ·)) dt t,k(η(t, ·)) dt + (n(t, ·)) dt. (6.10) Para k N fijo deducimos de (2.2), (6.4), (6.10) que lim sup t(η(t, ·)) dt ≤ lim t,k(η(t, ·)) dt + C0( . (6.11) Por (6.9) y puesto que k â € N fue arbitrario, esto prueba la Proposición. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 14 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER 6.2. Convergencia de velocidades aproximadas. En el siguiente paso en la prueba de Teorema 4.4 definimos vectores de velocidad aproximada y mostramos su convergencia como 0. Lemma 6.2. Definir v............................................................................................................................................................................................................................................................. v. := • • • # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # u u si u 6= 0, De lo contrario. (6.12) Entonces existe una función v • L2(μ,Rn) de tal manera que → (μ, v) como 0 (6.13) en el sentido de la convergencia del par de funciones de medida (véase el apéndice B) y que (4.8) está satisfecho. Prueba. Definimos las medidas Radon := u2 Ln+1 = +. (6.14) De (2.7), (6.2) deducimos que → μ como medidas de Radón en el T. (6.15) A continuación, observamos que (, vŁ) es un par función-medida en el sentido de [16] (véase también definición B.1 en el apéndice B) y que por (2.1) v2 d ≤ - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? 2 dxdt ≤ Ł3. (6.16) Por Teorema B.3 deducimos por lo tanto que existe una subsecuencia función v L2(μ,Rn) de tal manera que (6.13) y (4.8) mantener. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma 6.3. Para μ-casi todos (t, x) v(t, x) Txμt. (6.17) Prueba. Seguimos [24, Proposición 3.2]. Let : T → Sn−11 (0) ser una extensión de Al conjunto u/u = 0} y definir los mapas de proyección valorados Fl := Id− . Considere a continuación los varifolds generales, V definido por (f) := f(t, x, PŁ(t, x)) d(t, x), (6.18) V (f) := f(t, x, P (t, x)) dμt(x) (6.19) en el caso de la letra f) del punto C0c, donde P (t, x) y Rn×n denotan la proyección en el punto plano tangencial Txμ Del (5.14), Proposición 6.1, y Teorema de Convergencia Dominado de Lebesgue Deducimos que = V (6.20) como medidas de radón en el T × Rn×n. LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 15 A continuación definimos las funciones v en T × Rn×n por v(t, x, Y ) = vŁ(t, x) para todos (t, x) Entonces observamos que T×Rn×n Vâ € € € TM = vâ € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. V2° d ≤ 3° y deducir de (6.20) y de Teorema B.3 la existencia de váš L2(V,Rn) de tal manera que (V.V.V.) convergen a (V.V.V.) como pares de función de medida en el T. × Rn×n con valores en Consideramos que ahora h C0c (Rn×n) de tal manera que h(Y ) = 1 para todas las proyecciones Y. Nosotros Deducir que para cualquier η ° C0c (­T,Rn) η · v dμ = lim T×Rn×n η(t, x) · h(Y )v(t, x, Y ) dVŁ(t, x, Y ) η(t, x) · vû(t, x, P (t, x)) dμ(t, x), que muestra que para μ-casi todos (t, x) vâr(t, x, P (t, x)) = v(t, x). (6.21) Finalmente observamos que para h, η como arriba η(t, x) · P (t, x)v(t, x) dμ(t, x) T×Rn×n η(t, x)h(Y) · Y vâ °(t, x, Y ) dV (t, x, Y ) = lim T×Rn×n η(t, x)h(Y ) · Y v(t, x, Y ) dVŁ(t, x, Y ) = lim η(t, x) · Pl(t, x)vl(t, x) d(t, x) = 0 desde el punto de vista de los valores de P­v­ = 0. Esto muestra que P (t, x)v(t, x) = 0 para μ-casi todos (t, x) - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Prueba de Teorema 4.4. Por (2.1) existe una subsecuencia فارسى → 0 y un Radón medida β en T de tal manera que - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? Ln+1 → β, β( (6.22) Usando (A3) computamos que para cualquier η C1c ((0, T )× ) η dâ ° = - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? dxdt − 2 - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (6.23) A medida que el término tiende a cero en el lado izquierdo y los dos primeros términos en el el lado derecho convergen por 2,7, (2,8) y (6,22). Para el tercer mandato sobre la 16 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER mano derecha de (6.23) obtenemos de (6.13) que dxdt = − lim · v u2 dxdt · v dμ. Por lo tanto, tomando 0 en (6.23) deducimos que η dα = η dβ − 2 - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. · v dμ se mantiene para todos los η • C1c ((0, T )× ). Esto da como resultado que En el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, el valor de los vehículos de motor no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor con motor de encendido por chispa. ≤ C0(T) α(­T ) + β(­T ) que muestra junto con (6.17) que v es un vector de velocidad generalizada para (μt)tâ(0,T ) en el sentido de la definición 3.1. La estimación (4.8) ya se demostró en Lemma 6.2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 7. Prueba del teorema 4.6 Comenzamos con la convergencia de un «término de curvatura media difusa». Lemma 7.1. Definir H. := u2 Let = u2 Ln+1, y let vŁ, v ser como en (6.12), (6.13). Entonces → (μ,H), (7.1) → (μ, v −H) (7.2) como 0 en el sentido de la convergencia de pares de función de medida. En particular v −H 2 dμ ≤ α(η) (7.3) se mantiene para todos los η + C0(­T,R+0 ). Prueba. Usamos argumentos similares como en la prueba de la Proposición 6.1. En lo que se refiere a las categorías de vehículos de la categoría M1 y M2 y a las categorías de vehículos de la categoría M2 y M2 y a las categorías de vehículos de la categoría M2 y M2 y de vehículos de la categoría M2 y N3, el número de vehículos de la categoría M3 y M3 se determinará en función de la categoría M3. k N, definimos conjuntos B.,k. := {t. {t. } (0, T. } : (t, x) 2 dx > k}. (7.4) Entonces obtenemos de (2.1) que ≥,kk. ≥,kk....................................................................................................................................................................................................................................................... (7.5) A continuación, definimos las funciones de T t.,k. C.C. (l,Rn)* por: T tl,k() := • (x) • (t, x) • (t, x) • (dx) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (x) ·H(t, x) dμt(x) para t • (x) • (x) ·H(t, x) dμt(x) para t • (k) • (x) • (x) • (x) • (x) ·H(t, x) dμt(x) para t • (k) • (x) • (x) · (t, x) dμt(x) para t • (k) (7.6) LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 17 Teniendo en cuenta el general (n− 1)-varifolds V t., V t definido en (5.12), (5.13) obtenemos de [28, Proposición 4.10] y (5.14) que (t, x) (t, x) dx = − lim Vtj (­ > ).......................................................................................................................................................................................................................................................... = − t() = H(t, x) dμt(x) (7.7) para cualquier subsecuencia ­j → 0 (j → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • lim sup w2­j dxdt < ­. Por lo tanto, deducimos de (7.6), (7.7) que para todos los η C0c (­T,Rn), k N, y casi todos t â € (0, T ) T tŁ,k(η(t, ·)) → η(t, x) ·H(t, x) dμt(x) como 0 (7.8) y que (t, ·) 1-XB­,k(t) η(t, x) + XBe,k(t) η(t, x) ·H(t, x) dμt(x) C0(T) 1-XB­,k(t) (t, x) )1/2( u(t, x)2 dx (t, x)H(t, x) dμt(x) C0(T) (t, x)H(t, x) dμt(x), (7.9) donde el lado derecho está delimitado en L1(0, T ), uniformemente con respecto a  > 0. Por el Teorema de Convergencia Dominado, (7.8) y (7.9) implican que T tl,k(η(t, ·)) dt → η ·H dμ como 0. (7.10) Más adelante obtenemos que η · wuüü dxdt− η ·H dμ T tl,k(η(t, ·)) dt− η ·H dμ η(t, x) ·H(t, x) dμt(x)dt η · ° dx dt (7.11) 18 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER El último término en el lado derecho que estimamos más adelante por η(t, x) C0(T) w2 dxdt B,k1/2 C0(­T)3 4o, 7o, 12o donde hemos usado (2.2) y (7.5). Para el segundo término en el lado derecho de (7.11) obtenemos η(t, x) ·H(t, x) dμt(x)dt ≤ B,k1/21/2C0(T) supp(η) H2 dμ 1/2 C0(T ) 3o, 7o, 13o donde hemos utilizado (4.7) y (2.1). Por último, para k â € N fijado, por (7.10) deducir • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • η ·H dμ = 0. (7.14) Tomando 0 en (7.11) obtenemos por (7.12)-(7.14) que η · wuüü dxdt− η ·H dμ ≤ 3 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C + 1 °C ≤ 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C C0(T) *3 (7.15) para cualquier k ° N, lo que demuestra (7.1). Usando (6.13) esto implica (7.2). Finalmente arreglamos un η no negativo arbitrario C0(T ) y deducir que el par medida-función (, η(vŁ − HŁ)) converge a (μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, η(v − H)). A continuación se presenta la estimación (7.3) del teorema B.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Let Π : [0, T ]×  → [0, T ] denotar la proyección sobre el primer componente y el impulso hacia adelante de las medidas por Π. Por lo que se refiere a la letra c) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos y por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establecen disposiciones de aplicación del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo en lo que se refiere a la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos y por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos := en [0, T], eso significa () := (t)(x) dα(t, x), en el caso de los productos de la partida C0([0, T ]), y en el caso de los productos de la partida C0([0, T ]), y :=. Entonces podemos estimar la parte atómica de en términos del costo de nucleación. Lemma 7.2. Que Snuc(μ) sea el coste de nucleación definido en (4.10). Entonces ()atómico[0, T ] ≥ 4Snuc(μ). (7.16) LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 19 Prueba. Let η • C1(­T,R+0 ) ser no negativo. Calculamos eso. ηd® = - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? w2oooooooooo + 2oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Dxdt = − 4 No se aplica a los vehículos de motor de las categorías M2 y M3. dxdt + 4μT­ (η(T, ·))­ 4μ0­(η(0, ·)). (7.17) Pasando al límite 0 obtenemos de (2.7), (4.4), (6.13) que ηdα ≥ − 4 - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. · v dâr 4μT (η(T, ·))− 4μ0(η(0, ·)). (7.18) Ahora elegimos η(t, x) = Ł(t)­(x) en el que فارسى • C1([0, T ],R+0 ), • • C1(,R 0 ) en (7.18) y deducir que No obstante, en el caso de los vehículos de motor de la categoría M1, el valor de los vehículos de la categoría M2 no superará el 50 % del precio franco fábrica del vehículo. t() dt+ 4 · v(t, x) dμt(x) dt + 4°(T )μT (­)− 4°(0)μ0(­). (7.19) Esto muestra que ≥ 4t(μt()) + 4 (x) · v(t, x) dμt(x) μT ()− lim μt(­) T + 4 μt(+)− μ0(+) - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (7.20) Evaluando las partes atómicas obtenemos que para cualquier 0 < t0 < T ({t0}) ≥ 4t(μt())({t0}), lo que implica que ({t0}) ≥ 4 sup {t0}). (7.21) donde el máximo se hace cargo de todos los valores de la categoría C1(l), con 0 ≤ ≤ ≤ 1. Además deducimos de (7.20) ({0}) ≥ 4 sup μt(+)− μ0(+) , (7.22) ({T }) ≥ 4 sup μT (­) − lim μt(­) , (7.23) en el que se toma el máximo control de la línea C(l) con 0 ≤ °C ≤ 1 °C. Por (7.21)-(7.23) concluye que (7.16) se mantiene. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Prueba de Teorema 4.6. Por (7.3) deducimos que α ≥ v −H 2μ. Desde μ = L1 μt deducimos del Teorema Radon-Nikodym que ()ac[0, T] ≥ v −H 2 dμ, (7.24) y de (7.16) que ()atómico[0, T] ≥ 4Snuc(μ), (7,25) 20 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER donde ()ac y ()atómico denotan la parte absolutamente continua y atómica con respecto a L1 de la medida. Agregar las dos estimaciones y recordar (2.9) Obtenemos (4.11). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 8. Pruebas de la Proposición 3.3 y la Proposición 4.5 Definir para r > 0, (t0, x0) Qr(t0, x0) := (t0 − r, t0 + r) ×Bnr (x0). Prueba de la Proposición 3.3. Definir N(μ) := (t, x) â ¬ T : existe el plano tangencial de μ en (t, x) (8.1) y elegir (t0, x0) v es aproximadamente continua con respecto a μ in (t0, x0). (8.2) Dado que v L2(μ) deducimos de [11, Teorema 2.9.13] que (8.2) contiene μ-casi En todas partes. Vamos. P0 := T(t0,x0)μ, ­0 > 0 (8,3) denotar el plano tangencial y la multiplicidad en (t0, x0) respectivamente, y definir para las funciones escalonadas (Q1(0)) C0c (Q®(t0, x0)), (t, x) := 1(t− t0), 1(x− x0) Entonces obtenemos de (8.3) que dμ → فارسى0 No se aplica a los casos en los que se haya producido un accidente de tráfico. (8.4) De (3.2), el Teorema de Hahn-Banach, y el Teorema de Riesz deducimos que C1c (­T )*, (­ η ) : = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * dμ (8.5) puede ampliarse a una medida de radón (firmada) en el T. Desde entonces por el Radon-Nikodym Teorema D existe y es finito μ-casi en todas partes podemos asumir sin pérdida de generalidad que D(t0, x0) < فارسى. (8.6) A continuación fijamos η C1c (Q1(0)) y calculamos que () = dμ. (8.7) De (8.2), (8.4) deducimos que el lado derecho converge en el límite 0, dμ = فارسى0 v(t0, x0) dμ. (8.8) Para el lado izquierdo de (8.7) deducimos que lim inf () ≤ C0c (Q1(0)) lim inf0 −n+1(Q®(t0, x0)) (8.9) LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 21 y observar que (8.6) implica • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (Q®(t0, x0)) μ(Q+(t0, x0)) ≥ lim inf n(Q(t0, x0)) lim sup nμ(Q(t0, x0)) ≥ c lim inf n(Q(t0, x0)), (8.10) ya que en (8.4) para cualquier tipo de C0c (Q2(0),R+0 ) con  ≥ 1 en Q1(0) lim sup nμ(Q(t0, x0)) ≤ lim sup dμ ≤ C(). Por lo tanto (8.7)-(8.10) rendimiento v(t0, x0) dμ = 0. (8.11) Ahora observamos que la integral sobre la proyección de en P0 desaparece. Esto muestra que dHn P0. (8.12) Puesto que η puede ser elegido de tal manera que la integral en (8.12) toma una dirección arbitraria normal a P0 obtenemos de (8.11) que v(t0, x0) satisface (3.3). Si Tx0μ t0 existe T(t0,x0)μ = {0} × Tx0μt0 â € â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM v(x0) y obtenemos que v está determinado de forma única. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Para preparar la prueba de la Proposición 4.5, primero demostramos que μ es absolutamente tinuous con respecto a Hn. Proposición 8.1. Para cualquier D  existe C(D) tal que para todos x0 D y casi todos los t0 (0, T ) lim sup Qr(t0, x0) ≤ C(D)­4 + lim inf w2Ł(t0, x) dx. (8.13) En particular, lim sup μ(B/23370/(t0, x0)) Casi todos (t0, x0) (8.14) y μ es absolutamente continua con respecto a Hn, μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. (8.15) Prueba. Vamos. r0 := min dist(D, ), t0, T − t0 Entonces obtenemos para todos r < r0, x0 â € D, de (6.2) y [28, Proposición 4.5] que ∫ t0+r r1−nμt Bnr (x0) ∫ t0+r r1−n0 μ Bnr0(x0) 4 (n− 1)2 ∫ t0+r lim inf w2Ł(t, x) dx (8.16) 22 LUCA MUGNAI y Matthias RÖGER Por Lemma y (2.1) de Fatou t 7→ lim inf w2o(t, x) dx está en L 1 (0, T ) (8.17) y por (2.2) deducimos para casi todos t0 â € (0, T ) que lim sup ∫ t0+r r1−nμt Bnr (x0) ≤ 2r1−n0 2 n− 1)2 lim inf w2Ł(t0, x) dx. Puesto que el r0 depende sólo de D, la desigualdad (8.13) sigue. Por (8.17) el lado derecho en (8.13) es finito para L1-casi todos los t0 (0, T) y n(μ, (t, x)) se delimita para casi todos t (0, T) y todos x. Por (2.2) deducimos que para cualquier I (0, T ) con I = 0 μ(I × ) ≤ 4I = 0 lo que implica (8.14). Para probar la declaración final deje B â € € TM T ser dado con Hn(B) = 0. (8.18) Consideremos la familia de conjuntos (Dk)kÃ3n, Dk := {z • • T : n(μ, z) ≤ k}. Por (8.14), [31, Teorema 3.2], y (8.18) obtenemos que para todos k N μ(B-Dk) ≤ 2nkHn(B-Dk) = 0. (8.19) Por otra parte, tenemos que μ(B \ Dk) = 0 (8,20) por (8.14). Por (8.19), (8.20) llegamos a la conclusión de que μ(B) = 0, lo que prueba (8.15). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Para probar la Proposición 4.5 necesitamos que Hn-casi en todas partes en u = 1} El plano tangente generalizado de μ existe. Primero obtenemos la siguiente relación entre las medidas μ y u. Proposición 8.2. Existe una función no negativa g • L2(μ,R+0 ) tal que g μ ≥ c0 u. (8.21) En particular, u es absolutamente continuo con respecto a μ, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (8.22) Prueba. Vamos. G(r) = 2W (s) ds. (8.23) LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 23 En el conjunto u 6= 0} tenemos G(u) = G(u) G(u) G(u) G(u) En este contexto, la Comisión considera que la ayuda concedida por el Estado federado de Renania-Palatinado es compatible con el mercado interior y, en particular, con el artículo 107, apartado 3, letra b), del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea y con el artículo 107, apartado 3, letra c), del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea (en lo sucesivo, «el artículo 107, apartado 1, letra c), del Tratado»), es compatible con el mercado interior. G(u) 1 + v2 G(u). (8.24) Dejando como en (6.14) obtenemos de (6.16), (2.2), y Teorema B.3 la existencia de una función g • L2(μ) de tal manera que (hasta una subsecuencia) (, 1 + v2) = (μ, g) (8,25) como pares de medida-función en T con valores en R. Let η • C0c (­T ). Entonces 1 + v2 G(u) dxdt − 1 + v2 d 1 + v2 2W (u......................................................................................................................................... u u dxdt η2(1 + v2)u2 dxdt )1/2 2W (u......................................................................................................................................... u L2(T ) 1 / 2 / 2 / 2 / 1 / 2 / 1 / 2 / 1 / 2 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 2 / 1 / 2 / 1 / 1 / 2 / 1 / 1 / 1 / 1 / 2 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 2 / 1 / 2 / 2 ) / 2 / 2 / 2 (8.26) Gracias a (8.25), (8.26) y (6.2) llegamos a la conclusión de que (G(u) Ln+1, 1 + v2) = (μ, g) (8,27) como pares de medida-función en T con valores en R. Una vez más para (2.1) tenemos {0=uW (u)} G(u) dxdt {0=uW (u)} tu 2W (uŁ) dxdt - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? 2 dxdt )1/2( {0=uW (u)} W (u.............................................................................................................................................................................................................................................................. 2­3(­T )1/2, que desaparece por (6.2) como 0. Esto implica junto con (8.24) y (8.27) que η g dμ = lim 1 + v2G(u) dxdt = lim G(u) dxdt ≥ η du, donde en la última línea usamos eso η du = η dG(u) ≤ lim inf G(u) dxdt. 24 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER Considerando ahora un conjunto B u = 1} con μ(B) = 0 concluimos que u(B) ≤ 2 g dμ = 0, desde g â € L2(μ). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Proposición 8.3. En Hn-casi todos los puntos en u = 1} el plano tangencial de μ existe. Prueba. Desde el Radon-Nikodym Teorema obtenemos que la derivada f(z) := Du(z) := lim μ(Bn+1r (z)) u(Bn+1r (z)) (8.28) existe para u-casi-todo z T y que f L1(u). Por (8.15) deducimos u = 1} = f u. (8.29) Similarmente obtenemos que = Du(z) es finito para μ-casi todo z u = 1}. Por (8.22) esto implica que f > 0 u-casi en todas partes en T. (8.30) Puesto que u es rectificable y f medible con respecto a u obtenemos de (8.29), (8.30) y [31, Observación 11.5] que u = 1} es rectificable. (8.31) Por otra parte Hn-casi-todo z u = 1} satisfacer que μ(Bn+1r (z) \ u = 1}) μ(Bn+1r (z)) = 0, (8,32) lim sup μ(Bn+1r (z)) < فارسى. (8.33) De hecho, (8.32) sigue de [11, Teorema 2.9.11] y (8.22), y (8.33) de Propo- Situación 8.1 y (8.22). Ahora z0 u = 1} satisfacer (8.32), (8.33). Para una Arbitrariamente η C0c (Bn+11 (0)) deducimos que lim sup * T u=1} r−1(z − z0) r−n dμ(z) C0c (Bn+11 (0)) lim subr→0 Bn+1r (z0) \ u = 1} Bn+1r (z0) ) lim sup Bn+1r (z0) por (8.32), (8.33). Por lo tanto r−1(z − z0) r−n dμ(z) = lim u=1} r−1(z − z0) r−n dμ(z) si este último límite existe. Por lo tanto, en (8.31) llegamos a la conclusión de que en Hn-casi todos puntos de u = 1} el plano tangente de μ existe y coincide con la tangente plano de u = 1}. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 25 Prueba de la Proposición 4.5. Desde u • BV (­T ) y u(t, ·) • BV (­ ) para casi todos t • (0, T ) obtenemos que •tu •u son medidas Radon •T y que •u(t, ·) es una medida de radón en  para casi todos los t (0, T ). Por otra parte, observamos que v L1(u) desde v du ≤ v du ≤ 2 gv dμ ≤ 2 L2(μ)+L2(μ)+L2(μ) por Teorema 4.4 y Proposición 8.2. De (3.3) y de la Proposición 8.3 deducimos que para cualquier η • C1c (­T ) η detu = ηv dÃ3u = du = ηV du(t, ·) dt, lo que demuestra (4.9). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 9. Conclusiones Teorema 4.6 sugiere definir una acción generalizada funcional S en la clase de L2-flujos por S(μ) := inf v −H 2 d 4Snuc(μ), (9.1) donde el infimum es tomado sobre todas las velocidades generalizadas v para la evolución (μt)tó(0,T ). En la clase de n-rectificable L 2-flujos que tenemos S(μ) = v −H 2 d 4Snuc(μ), (9.2) donde v es la velocidad normal única de (μt)t(0,T ) (véase la Proposición 3.3). En la presente sección se compara el funcional S con el funcional S0 definido en [18] (véase (1.2)) y discutir las implicaciones del Teorema 4.6 sobre un Gamma completo resultados de convergencia para la acción funcional. Para la facilidad de la exposición nos centramos en esta sección sobre el escenario de conmutación. Suposición 9.1. Dejar que una secuencia (u)0 de funciones lisas uŁ : T → R ser dado con acción limitada uniformemente (A1), cero datos de frontera de Neumann (A3), y Asumir para los estados inicial y final que para todos فارسى > 0 o(0, ·) = −1, o(T, ·) = 1 en ♥. (9.3) Siguiendo [18] definimos la acción reducida funcional en el set M BV (T, 1, 1})(0, T, BV ()) de forma que: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: u(t, ·) dx es absolutamente continuo en [0, T]; • (u(t, ·) = 1}) evolución de las hipersuperficies. 26 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER Por Asunción 9.1 el S0nuc funcional puede ser reescrito como S0(u) := c0 •v(t, x) −H(t, x) dHn−1(x)dt + 4S0nuc(u), (9.4) S0nuc(u) := u(t, ·)()− lim u(t, ·)() + sup u(t, ·)() (9.5) donde la sup se hace cargo de todo el C1(­) con 0 ≤ ≤ ≤ 1. En [18, Proposición 2.2] se presentó una prueba (formal) de la estimación de la subclase de funciones ‘agradables’ en M. Siguiendo las ideas de esa prueba, utilizando el uno- construcción dimensional [18, Proposición 3.1], y un argumento de densidad que esperamos que la limsup-estimación se puede extender a todo el conjunto M. No damos un prueba rigurosa aquí, pero más bien asumir la limsup-estimación en el siguiente. Supuestos 9.2. Para todos u M existe una secuencia (u)0 que satisface Suposición 9.1 de que: u = lim ≥ lim sup, S0(u) ≥ lim sup S­(u­). (9.6) El candidato natural para el límite Gamma de S.O. con respecto a L.O.T. Envoltorio semicontinuo de S0 inferior a L1(T), S(u) := inf lim inf S0(uk) : (uk)kÃ3n â m, uk → u en L1(­T ) . (9.7) 9.1. Comparación de S y S0. Si nos asociamos con una función u â € M la medida Podemos comparar S0(u) y S(c02 u). Proposición 9.3. Dejar u â € M y dejar μ = L1 μt ser un flujo L2 de medidas. Asumir que para casi todos t â € (0, T ) μt ≥ c0 u(t, ·) (9.8) y que el coste de nucleación S0nuc(u) no es superior al coste de nucleación Snuc(μ). S0(u) ≤ S(μ) (9.9) Espera. Para μ = c0 u obtenemos que S0(u) = S(c0 u). (9.10) Prueba. La localidad de la curvatura media [29] muestra que la curvatura media débil de μt y la curvatura media (clásica) coinciden en u(t, ·) = 1}. Por proposición 4.5 cualquier velocidad generalizada v y la (clásica) velocidad normal V son iguales en el límite de fase. Esto muestra que la parte integral de S0(u) no es mayor que la parte integral de S(μ), con la igualdad si μt = c0 u(t, ·) para casi todos t (0, T ). Esto demuestra (9.9). Para la medida c0 Observamos que el costo de la nucleación Snuc( c02 μ) es igual al coste de nucleación S nuc(u) y obtenemos (9.10). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Si para la medida μ se produce unas multiplicidades más elevadas, los costes de nucleación de μ y u puede diferir y el valor de S0(u) puede ser mayor que S(μ) como el siguiente ejemplo muestra. Dejar que las regiones sombreadas de la Figura 1 sean  = (0, L), dejar que {u = 1} sean las regiones sombreadas de la Figura 1, y LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 27 x1 x2 Gráfico 1 Los fases {u = 1} x1 x2 Gráfico 2 Los medida μ permitir que μ sea la medida soportada en el límite de fase y con doble densidad en un límite oculto que conecta la parte superior e inferior de la fase {u = 1}, véase Gráfico 2 En el momento t2 una nueva fase se nuclea, pero esta vez no es singular con respeto a la evolución (μt)tÃ3(0,T ). Por otra parte, no se produce ningún costo de propagación para la evolución (u(t, ·))tó(t1,t0), mientras que hay un coste de propagación para (μt)tó(t1,t2). La diferencia en la acción es dada por S0(u)− S(μ) = 8c0 − 2c0 (x2 − x1)2 t2 − t1 donde x1 es el punto de aniquilación en el tiempo t1 y x2 el punto de nucleación en el tiempo t2, ver Figura 1. Esto muestra que tan pronto como (x2 − x1) < 4 t2 − t1 tenemos S(μ) < S0(u). x1 x2 Gráfico 3 Fases {uk = 1} 1x x2= Gráfico 4 El límite 28 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER El mismo ejemplo con x2 = x1 muestra que S0 no es bajo-semicontinuo y que una relajación es necesaria para obtener el límite Gamma de S. In fact considera una secuencia (uk)kÃ3n con las fases {uk = 1} dadas por la región sombreada en la figura 3. Supongamos que el cuello conecta la parte superior e inferior de la región sombreada desaparece con k → y que uk converge al indicador de fase función u con la fase {u = 1} indicada por las regiones sombreadas en la Figura 4. Entonces un coste de nucleación en el momento t2 aparece para u. Para las aproximaciones uk sin embargo hay no es ningún coste de nucleación para t > 0 y la aproximación puede hacerse de tal manera que la El coste de propagación en (t1, t2) es arbitrariamente pequeño, lo que demuestra que S0(u) > lim inf S0(uk). La situación en las dimensiones espaciales superiores está aún más implicada que en la ejemplos dimensionales discutidos anteriormente. Por ejemplo, uno podría crear un círculo con doble densidad (no se crea nueva fase) a la vez t1 y dejar que esta doble densidad círculo crecer hasta un tiempo t2 > t1 donde el círculo de doble densidad se divide y dos círculos evolucionan en diferentes direcciones, una de ellas encogiéndose y la otra creciendo. In de esta manera se crea una nueva fase en el momento t2. En este ejemplo S cuenta la creación de un círculo de doble densidad en el momento t1 y el coste de propagación de la doble densidad círculo entre los tiempos t1, t2. Por el contrario, S0 cuenta el coste de nucleación de la nueva fase en el tiempo t2, que es más grande como el coste de nucleación Snuc a veces t1, pero no coste de propagación entre los tiempos t1, t2. El análisis de [18] sugiere que los minimizadores de la exposición funcional de acción nucleación y aniquilación de fases sólo en el tiempo inicial y final. Esta clase Por lo tanto, es especialmente interesante. Teorema 9.4. Dejemos que (u)0 satisfaga la Asunción 9.1 y supongamos que la Asunción 9.2 espera. Suponga que u-u en L1(e-T), u-M, y que u exhibe nucleación. y aniquilación de fases sólo en el momento final e inicial. Entonces S(u) = S0(u) ≤ lim inf S­(u­ü) (9.11) Espera. En particular, S.O. Gamma converge a S.O. para aquellas evoluciones en M.O. tiene nucleaciones sólo en el momento inicial. Prueba. De la definición de la S funcional se deduce que S(u) ≤ S0(u) (9.12) y que existe una secuencia (uk)kÃ3n M tal que u = lim uk, S(u) = lim S0(uk). Suposición 9.2 implica que para todos k â € N existe una secuencia (uâ,k)0 tal uk = lim ≥ lim sup S­(uü,k). (9.13) Por lo tanto, podemos elegir una diagonal-secuencia (u.k.k.k.k.N. S(u) ≥ lim sup Sl(k)(uŁ(k),k). (9.14) En la Proposición 4.1, 4.2 existe una subsecuencia k → (k),k → u, (k),k → μ, μ ≥ u, (9.15) LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 29 donde la última desigualdad se deriva de η du(t, ·) ≤ lim inf G(u) dx ≤ lim inf ηdμt = ηdμt, con G como en (8.23). Por Teorema 4.6 deducimos además que lim inf ≥ S(μ) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (U) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (U) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) ≥ S(μ). Esto implica por (9.14) que S(u) ≥ S(μ). (9.16) Desde μ0 = 0 y μt ≥ c0 u(t, ·) el coste de nucleación de μ en t = 0 no es inferior que el costo de nucleación para u. Puesto que por suposición no hay más nucleación veces podemos aplicar la Proposición 9.3 y obtener que S0(u) ≤ S(μ). Por (9.12), (9.16) concluimos que S0(u) = S(u) = S(μ). Aplicando la Proposición 4.1 y el Teorema 4.6 a la secuencia (u)0 deducimos que existe una subsecuencia 0 tal que # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # u (9.17) y de tal manera que lim inf ≥ S(). Repitiendo los argumentos anteriores deducimos de la Proposición 9.3 que S0(u) ≤ S() S0(u) ≤ lim inf S­(u­). Combinar el límite superior (9.6) con (9.11) demuestra la convergencia gamma de - Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 9.2. Convergencia gamma bajo una suposición adicional. Uso del teorema 4.6 podemos probar la convergencia Gamma de S.O. bajo una suposición adicional sobre la estructura del conjunto de las medidas que se presentan como límite de secuencias con acción limitada uniformemente. Suposición 9.5. Considerar cualquier secuencia (u)0 con u/23370/ → u en L1(T ) que Cumple la hipótesis 9.1. Definir las medidas de energía de acuerdo con (2.5) y dejar μ ser cualquier medida de Radón tal que para una subsecuencia 0 μ = lim - Sí. (9.18) Entonces asumimos que existe una secuencia (uk)kÃ3n M tal que u = lim ul, S(μ) ≥ lim S0(uk). (9.19) Para cualquier u M que exhiba nucleación y aniquilación sólo en la inicial y final tiempo la Asunción 9.5 siempre se satisface: La prueba de Teorema 9.4 y nuestro resultados en la sección 4 muestran que para cualquier límite μ como en (9.18) podemos aplicar Proposición 9.3. Por lo tanto, S0(u) ≤ S(μ) y la secuencia constante u satisface (9.19). Sin embargo, Una caracterización de los u â € M tal que la Asunción 9.5 mantiene está abierta. Teorema 9.6. Supongamos que las Supuestos 9.1, 9.2 y 9.5 sostienen. Entonces S. → S. 0 (9.20) en el sentido de la convergencia Gamma con respecto a la L1(el T ). 30 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER Prueba. Primero probamos el limsup-estimación para S.S. De hecho, fijar un u arbitrario # L1(T, 1, 1}) con S(u) <. Deducimos que existe una secuencia (uk)kÃ3n como en (9.7) tales que S(u) = lim S0(uk). (9.21) Por (9.6) para todos los k N existe una secuencia tal que = S0(uk) ≥ lim sup S­(uü,k). Eligiendo una secuencia diagonal adecuada uŁ(k),k deducimos que S(u) ≥ lim (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c). lo que demuestra la limsup-estimación. A continuación probamos la estimación del liminf. Considerar una secuencia arbitraria (u)0 que satisface la Asunción 9.1. Por el teorema 4.6 existe u BV (T, 1, 1}) y una medida μ en T de tal manera que • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • para una subsecuencia 0, y tal que lim inf ≥ S(μ). (9.24) Por la Asunción 9.5 existe una secuencia (uk)kÃ3n M tal que (9.19) sostiene. Por (9.24) y la definición de S esto produce que lim inf ≥ S(μ) ≥ S(μ) ≥ lim S0(uk) ≥ S(u) (9,25) y prueba la estimación del liminf. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Apéndice A. Medidas de rectificación y curvatura media débil Resumimos brevemente algunas definiciones de la Teoría de la Medida Geométrica. Nosotros siempre nos limitamos al caso de la hipersuperficie, que es ‘plano-tangencial’ y «rectificabilidad» de una medida en Rd significa «plano tangencial dimensional (d− 1)», y «d− 1)-rectificable». Definición A.1. Dejar que μ sea una medida de radón en Rd, d â € N. (1) Decimos que μ tiene un plano tangente (generalizado) en z • Rd si existe un Núm. 0 y a (d− 1)-dimensionales subespacio lineal T • Rd de tal manera que r−d+1 y − z dμ(y) = η dHd−1, por cada η o C0c (Rd). (A.1) A continuación, establecemos Tzμ := T y llamar a la multiplicidad de μ en z. (2) Si para μ-casi todo z • Rd existe un plano tangencial, entonces llamamos μ rectificable. Si además la multiplicidad es entero valorado μ-casi en todas partes decimos que μ es rectificable en número entero. (3) La primera variación : C1c (R d,Rd) de una medida de radón rectificable μ sobre Rd es definido por (η) := divTzμ η dμ. LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 31 Si existe una función H • L1loc(μ) tal que (η) = − H · η dμ llamamos H el débil vector de curvatura media de μ. Apéndice B. Pares de función de medida Recordamos algunos hechos básicos sobre la noción de pares de función de medida introducidos Hutchinson en [16]. Definición B.1. Deja que E-Rd sea un subconjunto abierto. Dejemos que μ sea un Radón positivo. medida en E. Supongamos f : E → Rm está bien definido μ-casi en todas partes, y f • L1(μ,Rm). Entonces decimos (μ, f) es un par de medida-función sobre E (con valores en RM). A continuación definimos dos nociones de convergencia para una secuencia de medida-función pares en E con valores en Rm. Definición B.2. Supongamos que {(μk, fk)}k y (μ, f) son pares de función de medida sobre E con valores en Rm. Supón μk = μ, como las medidas de Radon en E. Entonces decimos (μk, fk) converge a (μ, f) en el débil sentido (en E) y escribir (μk, fk) → (μ, f), si μkfk → f en el sentido de medidas valoradas por vectores, eso significa fk · η dμk = f · η dμ, para todos los Estados miembros (E,Rm). El siguiente resultado es una versión ligeramente menos general de [16, Teorema 4.4.2], Sin embargo, esto es suficiente para nuestros objetivos. Teorema B.3. Let F : Rm → [0,) ser una función continua, convexa con crecimiento superlineal en el infinito, es decir: y F y) = â € ¬. Supongamos que {(μk, fk)}k son pares de función de medida sobre E • Rd con valores en Rm. Supongamos que μ es una medida de radón en E y μk → μ como k →. Entonces los siguientes son: Verdadero: 1) Si: F (fk) dμk <, (B.1) entonces alguna secuencia de {(μk, fk)} converge en el sentido débil a algunos función de medición (μ, f) para algunos f. (2) si (B.1) mantiene y (μk, fk) → (μ, f) entonces lim inf F (fk) dμk ≥ F (f) dμ. (B.2) 32 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER Bibliografía [1] William K. Allard. En la primera variación de un varifold. Ann. de Matemáticas. (2), 95:417–491, 1972. [2] H. Allouba y J. A. Langa. Atractores Semimartingale para Allen-Cahn SPDEs impulsados por ruido blanco espacio-tiempo. I. Existencia y comportamiento asintótico dimensional finito. Stoch. Dyn., 4(2):223–244, 2004. [3] Luigi Ambrosio, Nicola Fusco y Diego Pallara. Funciones de variación limitada y libre problemas de discontinuidad. Monografías Matemáticas de Oxford. La prensa Clarendon Oxford Uni- versity Press, Nueva York, 2000. [4] Giovanni Bellettini y Luca Mugnai. 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Universidad Nacional de Australia Centro de Análisis Matemático, Canberra, 1983. Luca Mugnai, Instituto Max Planck de Matemáticas en las Ciencias, Inselstr. 22, D-04103 Leipzig Matthias Röger, Instituto Max Planck de Matemáticas en las Ciencias, Inselstr. 22, D-04103 Leipzig Dirección de correo electrónico: mugnai@mis.mpg.de, roeger@mis.mpg.de 1. Introducción 1.1. Modelos de campo de fase determinada y límites de interfaz nítidos 1.2. Interpretación estocástica de la acción funcional 1.3. Organización Reconocimiento 2. Notación y suposiciones 3. Flujos L2 4. Límite inferior para la acción funcional 4.1. Estimación inferior para la curvatura media 4.2. Estimación más baja para la velocidad generalizada 4.3. Estimación más baja de la acción funcional 4.4. Convergencia de la ecuación Allen-Cahn al flujo medio de curvatura 5. ¿Pruebas de Proposiciones?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ¿Y el teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 6. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 6.1. Equipartición de la energía 6.2. Convergencia de velocidades aproximadas 7. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 8. ¿Pruebas de Proposición? y Proposición?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 9. Conclusiones 9.1. Comparación de S y S0 9.2. Convergencia gamma en un supuesto adicional Apéndice A. Medidas de rectificación y curvatura media débil Apéndice B. Pares de función de medida Bibliografía

La función de acción Allen-Cahn está relacionada con la probabilidad de eventos raros en la estocásticamente perturbada ecuación Allen-Cahn. Cálculos formales sugieren una acción reducida funcional en el límite de interfaz nítida. Demostramos en dos y tres dimensiones espaciales el límite inferior correspondiente. Una dificultad es que las interfaces difusas pueden colapsar en el límite. Por lo tanto, consideramos que la límite de las medidas de superficie difusas e introducir una velocidad generalizada y acción reducida generalizada funcional en una clase de medidas en evolución. As a corolario obtenemos la convergencia gamma de la acción funcional en una clase de hipersuperficies en evolución regular.

Introducción En este trabajo se estudia el (renormalizado) Allen-Cahn acción funcional S/23370/(u) := tu+ − u+ W ′(u) dx dt. (1.1) Esta función surge en el análisis del estocástico perturbado Allen-Cahn ecuación [2, 21, 13, 30, 8, 10, 12] y está relacionada con la probabilidad de acontecimientos raros tales como el cambio entre estados determinísticamente estables. Comparadas con el entorno puramente determinista, las perturbaciones estocásticas añaden nuevas características de la teoría de las separaciones de fase, y el análisis de las funciones de acción ha llamó la atención [8, 13, 18, 19, 26]. Kohn et alii [18] consideraron la interface aguda límite  → 0 de S/23370/ e identificó una acción funcional reducida que es más fácil accesible para un análisis cualitativo. El límite de interfaz nítida revela una conexión entre los minimizadores de S.o.p. y el flujo medio de curvatura. La función de acción reducida en [18] se define para las funciones de indicador de fase u : (0, T ) ×  → 1, 1} con las propiedades adicionales que la medida de la fase {u(t, ·) = 1} es continua y el límite común de las dos fases {u = 1} y {u = −1} es, aparte de un conjunto contable de tiempos singulares, dado como unión de las hipersuperficies que evolucionan suavemente. La reducción acción funcional se define como S0(u) := c0 •v(t, x)−H(t, x) dHn−1(x)dt + 4S0nuc(u), (1.2) S0nuc(u) := 2c0 Hn−1(­i), (1.3) Fecha: 12 de noviembre de 2021. 2000 Clasificación de Materias Matemáticas. Primaria 49J45; Secundaria 35R60, 60F10, 53C44. Palabras y frases clave. Ecuación Allen-Cahn, ecuaciones diferenciales parciales estocásticas, grandes teoría de desviación, límites de interfaz nítida, movimiento por curvatura media. http://arxiv.org/abs/0704.1954v2 2 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER en la que el término «i» denota la «i» en el momento de la creación, donde v denota la velocidad normal de la evolución, donde H(t, ·) denota la media vector de curvatura de Łt, y donde la constante c0 está determinada por W, c0 := 2W (s) ds. (1.4) (Véase la sección 9 para una definición más rigurosa de S0). Varios argumentos sugieren que S0 describe el límite Gamma de S • El límite superior necesario para la convergencia Gamma fue formalmente se ha demostrado [18] mediante la construcción de buenas «secuencias de recuperación». • El límite inferior fue probado en [18] para las secuencias (u Las «medidas energéticas» asociadas tienen energía equipada y una plicity como 0. • En una dimensión espacial, Reznikoff y Tonegawa [26] demostraron que S Gamma-converge a una relajación apropiada de la ver- sión de S0. El enfoque utilizado en [18] se basa en la evolución de las fases y es sensato a las cancelaciones de los límites de fase en el límite de interfaz nítida. Por lo tanto, en [18] un límite más bajo brusco sólo se alcanza en un supuesto de una sola multiplicación para el límite de las interfaces difusas. En consecuencia, no podía excluirse que crear múltiples interfaces reduce la acción. En el presente documento demostramos un nítido bajo-encuadernación de la funcional S.O. en el espacio dimensiones n = 2, 3 sin ninguna restricción adicional sobre la Quences. Para evitar problemas con cancelaciones de interfaces analizamos la evolución de las medidas (difusas) de superficie, que facilitan información perdido en el límite de los campos de fase. Con este objetivo generalizamos el S0 funcional a un clase adecuada de medidas energéticas en evolución e introducir una formulación generalizada de velocidad, similar a la generalización de Brakke del flujo medio de curvatura [5]. Describamos oficiosamente nuestro enfoque y los principales resultados. Comparando los dos funcional S/23370/ y S0 el primer y segundo término de la suma en el integrand (1.1) describir una «velocidad difusa» y una «curvatura media difusa» respectivamente. Vamos a hacer Esta declaración precisa en (6.13) y (7.1). La curvatura media es dada por la primera variación del área funcional, y una estimación más baja para el cuadrado del difuso La curvatura media está disponible en una situación independiente del tiempo [28]. La velocidad de la evolución de los límites de fase está determinada por el tiempo derivado de la medidas de superficie y el término de nucleación en el S0 funcional de hecho describe una parte singular de este derivado del tiempo. Nuestro primer resultado principal es un resultado de compacidad: las medidas de superficie difusa Converger a una evolución de las medidas con un cuadrado integrable medio generalizado cur- vatura y una velocidad generalizada integrable cuadrada. En la clase de tales evoluciones de medidas proporcionamos una formulación generalizada de la acción reducida funcional. Demostramos una estimación más baja que cuenta el costo de propagación con la multiplicidad de la interfaz. Esto demuestra que es más caro mover los límites de fase con mayor multiplicidad. Por último, probamos dos declaraciones sobre la convergencia Gamma (con respecto a L1(el T )) de la acción funcional. El primer resultado es para el evolu- ciones en el dominio de S0 que tienen nucleaciones sólo en el momento inicial. Esto está en particularmente deseable ya que los minimizadores de S0 se supone que están en esta clase. Los LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 3 el segundo resultado demuestra la convergencia de Gamma en L1( la estructura del conjunto de medidas que surgen como límites de interfaz agudos de secuencias con una acción uniformemente limitada. Damos una declaración precisa de nuestros principales resultados en la Sección 4. En el resto de esta introducción describimos algunos antecedentes y motivación. 1.1. Modelos de campo de fase determinante y límites de interfaz nítidos. La mayoría Los modelos de interfaz difusa se basan en la energía Van der Waals–Cahn–Hilliard E­(u) := u2 + 1 W (u) dx. (1.5) La energía E.E. favorece una descomposición de.E. en dos regiones (fases) donde u.E. −1 y u 1, separados por una capa de transición (interfaz difusa) con un espesor de Modica y Mortola [23, 22] probaron que E. Gamma-converge (con respeto a L1-convergencia) a un múltiplo constante del perímetro funcional P, restringidos a las funciones de indicador de fase, E. → c0P, P(u) := du si u BV (­*, 1, 1}), De lo contrario. P mide la superficie-área del límite de fase u = 1}. En este sentido E.E. describe una aproximación difusa de la superficie funcional. Se han demostrado varias conexiones más estrechas entre las funciones E. y P. Mencionamos aquí sólo dos que son importantes para nuestro análisis. El (acelerado) El flujo L2-gradiente de E.O. es dado por la ecuación Allen-Cahn tu = u− W ′(u) (1.6) para campos de fase en el cilindro tiempo-espacio (0, T ) × . Se demuestra en diferentes formulaciones [7, 9, 17] que (1.6) converge con el flujo medio de curvatura H(t, ·) = v(t, ·) (1.7) para la evolución de los límites de fase. Otra conexión entre las primeras variaciones de Ee y P se expresa en un (modificado) conjetura de De Giorgi [6]: Considerando W­(u) := − u+ 1 W ′(u) dx (1.8) la suma E. +W. Gamma-converge hasta el factor constante c0 a la suma de la Perímetro funcional y el Willmore funcional W, I + W → c0P + c0W, W(u) = H2 dHn−1, (1.9) en la que se denota el límite de la fase u = 1} Esta declaración fue recientemente probado por Röger y Schätzle [28] en dimensiones espaciales n = 2, 3 y es un elemento esencial ingrediente para obtener el límite inferior para la acción funcional. 4 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER 1.2. Interpretación estocástica de la acción funcional. Fenómenos como la nucleación de una nueva fase o el cambio entre dos mínimos de energía (locales) requieren un cruce de barrera energética y están fuera del alcance de los modelos deterministas que son disipadores de energía. Si se tienen en cuenta las fluctuaciones térmicas, El cruce de la barrera energética es posible. En [18] «conmutación térmica activada» fue considerado para la ecuación estocásticamente perturbada Allen-Cahn tu = u− W ′(u) + 2 (1.10) Aquí γ > 0 es un parámetro que representa la temperatura del sistema, η es un el ruido blanco del espacio-tiempo, y es una regularización espacial con → η como  → 0. Esta regularización es necesaria para n ≥ 2 ya que el ruido blanco es demasiado singular para garantizar una buena posición de (1.10) en las dimensiones espaciales superiores. Gran teoría de desviación y (extensiones de) resultados por Wentzell y Freidlin [15, 14] arrojan una estimación sobre la distribución de probabilidad de soluciones de stochas- tic ODEs y PDEs en el límite de ruido pequeño. Esta estimación se expresa en términos de una acción (determinista) funcional. Por ejemplo, el conmutador activado térmicamente dentro de un tiempo T > 0 es descrito por el conjunto de rutas u(0, ·) = −1, â € € TM (t, ·)− 1â € Lâ € € € = € € para algunos t ≤ T , (1.11) donde  > 0 es una constante fija. La probabilidad de cambiar por soluciones de (1.10) entonces satisface γ lnProb(B) = − inf S(l)(l)(l) (l). (1.12) En este caso, la acción funcional asociada a (1,10) y convergen (formalmente) a la acción funcional S.o.p. como.o. → 0 [18]. Gran teoría de la desviación no sólo estima la probabilidad de acontecimientos raros, pero también identifica el «camino de conmutación más probable» como el minimizador u en (1.12). Nos centramos aquí en el límite de la interfaz nítida فارسى → 0 de la acción funcional S/23370/. El pequeño parámetro فارسى > 0 corresponde a un escalonamiento difusivo específico del tiempo- y los dominios espaciales. Esta elección fue identificada [8, 18] como particularmente interesante, que exhiba una competencia entre la nucleación y la propagación para Cambio de tono. Dependiendo del valor de 1/d/ T una cascada de más y más se observan patrones espaciales complejos [8, 18, 19]. El interés en la interfaz nítida límite está motivado por un interés en aplicaciones donde el tiempo de conmutación es pequeño en comparación con la escala temporal determinista, véase, por ejemplo, [20]. 1.3. Organización. Fijamos algunas notación y suposiciones en la siguiente sección. En la Sección 3 introducimos el concepto de flujos L2 y velocidad generalizada. Nuestro Los principales resultados se exponen en la sección 4 y se demuestran en las secciones 5 a 8. Discutimos algunas implicaciones para la convergencia gamma de la acción funcional en la Sección 9. Finalmente, en el Apéndice recogemos algunas definiciones de la Medida Geométrica Teoría. Agradecimiento. Queremos dar las gracias a Maria Reznikoff, Yoshihiro Tonegawa, y Stephan Luckhaus para varias discusiones estimulantes. El primer autor agradece al Universidad Tecnológica de Eindhoven por su hospitalidad durante su estancia en verano 2006. El primer autor fue apoyado parcialmente por el Schwerpunktprogramm DFG SPP 1095 «Problemas multiescala» y DFG Forschergruppe 718. LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 5 2. Notación y suposiciones A lo largo del documento adoptaremos la siguiente notación: subconjunto limitado de Rn con límite Lipschitz; T > 0 es un número real y T := (0, T ) × el gradiente espacial y el laplaciano y el el gradiente completo, respectivamente; gradiente en R× Rn. Elegimos W para ser el potencial estándar de doble pozo quártico W (r) = (1− r2)2. Para una familia de medidas (μt)t®(0,T ) denotamos por L1 μt la medida del producto definido por L1 μt (η) := μt(η(t, ·)) dt para cualquier η • C0c (­T ). A continuación declaramos nuestras principales suposiciones. Suposición 2.1. Dejar n = 2, 3 y dejar que una secuencia (u)0 de funciones lisas sea Teniendo en cuenta que satisface para todos فارسى > 0 S­(u­) ≤ ­1, (A1) u2 + W (u.............................................................................................................................................................................................................................................................. (0, x) dx ≤ Ł2, (A2) donde las constantes ­1,­2 son independientes de ­ > 0. Además, prescribimos que 0 en [0, T ]×. (A3) Observación 2.2. De (A3) se desprende que para cualquier 0 ≤ t0 ≤ T tuooooooooooooooooo tuoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo − u + W ′(u♥) - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? − u + W ′(u♥) u2 + W (u.............................................................................................................................................................................................................................................................. (t0, x) dx − 2 u2 + W (u.............................................................................................................................................................................................................................................................. (0, x) dx. Por los límites uniformes (A1), (A2) esto implica que - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? − u + W ′(u♥) dxdt ≤ 3, (2.1) 0≤t≤T u2 + W (u.............................................................................................................................................................................................................................................................. (t, x) dx ≤ ­4, (2.2) donde 3 := 1 ° + 2 ° 2, ° 4 := 1 ° + 2 ° ° ° °. Observación 2.3. Nuestros argumentos también trabajarían para cualquier límite condiciones para que se desvanece en particular en el caso de Dirichlet independiente del tiempo. dicciones o condiciones de frontera periódicas. 6 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER Nos pusimos := uoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo W ′(uŁ) (2.3) y definir una medida de radón μt® en el caso de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra a) de la letra b) de la letra b) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra a) de la letra b) de la letra a) de la letra b) de la letra a) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) del μt. := u2(t, ·) + W (n(t, ·)) Ln, (2.4) y en el caso de las medidas no 0, las medidas no T, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # u2 + W (u.............................................................................................................................................................................................................................................................. Ln+1, (2,5) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 1 / 2 / tu +. −1/2w )2Ln+1. (2.6) Finalmente restringiéndonos a una subsecuencia 0 podemos asumir que • → μ como medidas de radón en el T, (2,7) • → α como medidas de radón en el T, (2,8) para dos medidas de radón μ, α en T, y que α(T ) = lim inf â € € TM. â € â € € â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM (2.9) 3. Flujos L2 Demostraremos que el uniforme vinculado a la acción implica la existencia de una curvatura media débil integrable cuadrada y la existencia de un cuadrado integrable velocidad generalizada. La formulación de la curvatura media débil es estándar en Geo- Teoría de la medida métrica [1, 31]. Nuestra definición de flujo L2 y velocidad generalizada es similar a la formulación de Brakke de flujo de curvatura medio [5]. Definición 3.1. Let (μt)t(0,T ) ser cualquier familia de medidas de radón rectificables entero De tal manera que μ := L1t define una medida de Radón en el T y tal que μt tiene un débil media de curvatura H(t, ·) L2(μt) para casi todas las t (0, T ). Si existe una constante positiva C y un campo vectorial v • L2(μ,Rn) de tal manera que v(t, x) Txμt para μ-casi todos (t, x) No obstante, el Tribunal de Primera Instancia consideró que, en el caso de autos, la Comisión no había adoptado las medidas necesarias para garantizar la compatibilidad con el Derecho comunitario de las disposiciones del artículo 107, apartado 1, letra c), del Tratado. dμtdt ≤ CC0(T) (3.2) para todos los η C1c ((0, T ) × ♥), entonces llamamos a la evolución (μt)tâ (0,T ) un flujo L2. A función v • L2(μ,Rn) satisfactoria (3.1), (3.2) se llama vector de velocidad generalizada. Esta definición se basa en la observación de que para una evolución suave (Mt)t®(0,T) con curvatura media H(t, ·) y vector de velocidad normal V (t, ·) η(t, x) dHn−1(x) − tη(t, x) dHn−1(x) − (t, x) · V (t, x) dHn−1(x) H(t, x) · V (t, x)η(t, x) dHn−1(x). Integrar esta igualdad en el tiempo implica (3.2) para cualquier evolución con square- Velocidad integrable y curvatura media. LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 7 Observación 3.2. La elección de η(t, x) = (t)(x) con C1c (0, T ), deducir de (3.2) que t 7→ μt() pertenece a BV (0, T ). Elegir un denso contable Esto implica que existe un conjunto contable S (0, T ) de tiempos singulares de tal manera que cualquier buen representante de t 7→ μt() es continuo en (0, T ) \ S para todos los países de la zona C1. Cualquier velocidad generalizada es (en un conjunto de buenos puntos) determinada exclusivamente por el evolution (μt)tÃ3r(0,T ). Proposición 3.3. Let (μt)tÃ3r(0,T ) ser una L 2-flujo y conjunto μ := L1t. Let v â € L2(μ) ser un campo de velocidad generalizada en el sentido de la definición 3.1. Entonces v(t0, x0) T(t0,x0)μ (3.3) se mantiene en μ-casi todos los puntos (t0, x0) â ¬ T donde existe el plano tangencial de μ. La evolución (μt)t+(0,T ) determina de forma única v en todos los puntos (t0, x0) ambos planos tangenciales T(t0,x0)μ y Tx0μ Existe. Aplazamos la prueba a la Sección 8. En el conjunto de puntos donde existe un plano tangencial de μ, la velocidad generalizada campo v coincide con la velocidad normal introducida en [4]. Pasamos ahora a la declaración de un límite inferior para las secuencias (u)0 satisfaciendo Suposición 2.1. Como 0 vamos a obtener una función indicador de fase u como el límite de la secuencia (u)0 y una L 2-flujo (μt)t(0,T) como límite de las medidas ()0. Demostraremos que en Hn-casi todos los puntos de la frontera de la fase u = 1} existe un plano tangencial de μ. Esto implica la existencia de una velocidad normal única campo de la frontera de fase. 4. Límite inferior para la acción funcional En varios pasos se establece un límite inferior para las funciones S. Lo posponemos todo. pruebas de las Secciones 5-8. 4.1. Estimación más baja para la curvatura media. Comenzamos con una aplicación de los conocidos resultados de Modica y Mortola [23, 22]. Proposición 4.1. Existe u BV (T, 1, 1})(0, T ;BV ()) de tal manera que para una subsecuencia 0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o(t, ·) → u(t, ·) en L1(­) para casi todos los t (0, T ). (4.2) Además du ≤ 3 °C + 4 °C, du(t, ·) ≤ 4 (4.3) holds, donde c0 se definió en (1.4). La siguiente proposición básicamente repite los argumentos en [19, Teorema 1.1]. Proposición 4.2. Existe un conjunto contable S â € (0, T ), una subsecuencia â € → 0 y medidas de radón μt, t [0, T ] \ S, de manera que para todos los t [0, T ] \ S μt­ → μt como medidas de radón en el sector de los cereales (4.4) 8 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER de tal manera que μ = L1 μt, (4.5) y de tal manera que para todos C1(­) la función t 7→ μt() es de variación limitada en (0, T ) (4.6) y no tiene saltos en (0, T ) \ S. Explotar el límite inferior [28] para la aproximación difusa del Willmore funcional (1.8) obtenemos que las medidas μt son hasta un entero constante- rectificable con una curvatura media débil que satisfaga una estimación más baja adecuada. Teorema 4.3. Para casi todos los t â € (0, T ) μt es una variante integral (n− 1), μt tiene la curvatura media débil H(t, ·) L2(μt), y la estimación H 2 dμ ≤ lim inf w2Ł dxdt (4.7) Espera. 4.2. Estimación más baja para la velocidad generalizada. Teorema 4.4. Que (μt)t(0,T ) sean las medidas límite obtenidas en la Proposición 4.2. Entonces existe una velocidad generalizada v â € L2(μ,Rn) de (μt)tâ € (0,T ). Por otra parte, el Estimación v2 dμ ≤ lim inf - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? 2 dxdt (4.8) está satisfecho. En particular, ( 1 μt)t®(0,T) es una L 2-flujo. Obtenemos v como límite de velocidades aproximadas adecuadamente definidas, véase Lemma 6.2. En el límite de fase v coincide con la velocidad de distribución (estándar) de la fase a granel {u(t, ·) = 1}. Sin embargo, nuestra definición extiende la velocidad también a den límites», que parece necesario para probar la convergencia Gamma de la acción funcional; véase el debate en la sección 9. Proposición 4.5. Definir la velocidad normal generalizada V en dirección de la normal interna de {u = 1} por V (t, x) := v(t, x) · (t, x), para (t, x) u = 1}. Entonces V L1(u) sostiene y V u=1} es el campo de vectores único que satisface para Todos los η C1c (­T ) V (t, x)η(t, x) du(t, ·)(x)dt = − .................................................................................................................... (4.9) LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 9 4.3. Una estimación más baja de la acción funcional. Como nuestro principal resultado obtenemos la siguiente estimación más baja para S................................................................................................................ Teorema 4.6. Deja que la Asunción 2.1 mantenga, y dejar que μ, (μt)t[0,T ], y S sea el mea- asegura y el conjunto contable de tiempos singulares que obtuvimos en la Proposición 4.2. Definir el coste de nucleación Snuc(μ) por Snuc(μ) := μt()− lim μt(­) + sup μt(+)− μ0(+) + sup μT ()− lim μt(­) (4.10) donde la sup se hace cargo de todo el C1(­) con 0 ≤ ≤ ≤ 1. Entonces lim inf S­(u­) ≥ v −H 2 d 4Snuc(μ). (4.11) En la definición anterior de coste de nucleación hemos elegido tácitamente tasatos de μt() (véase [3]). Con esta opción las partes de salto en (4.10) están bien definidas. Con el tiempo comentaremos que, en vista del teorema 4.3, podemos concluir que Snuc realmente mide sólo (n− 1) saltos dimensionales. El teorema 4.6 mejora [18] en el caso de mayor multiplicación. Discutiremos nuestro los principales resultados de la sección 9. 4.4. Convergencia de la ecuación Allen-Cahn al flujo medio de curvatura. Dejar n = 2, 3 y considerar las soluciones (u)0 de la ecuación Allen-Cahn (1,6) sat- isfiing (A2) y (A3). A continuación, se aplican los siguientes criterios: Existe una subsecuencia فارسى → 0 tal que las funciones de la fase u♥ convergen a un función del indicador de fase u, de tal manera que las medidas de energía μt 2-flujo (μt)tÃ3r(0,T ), y de tal manera que μ-casi en todas partes H = v (4,12) mantiene, donde H(t, ·) denota la curvatura media débil de μt y donde v denota la velocidad generalizada de (μt)tâ(0,T ) en el sentido de la definición 3.1. Además Snuc(μ) = 0, lo que muestra que para cualquier no negativo C1(­) la función t 7→ μt(­) no puede Salta hacia arriba. De (1.6) y (5.3) por debajo de uno obtiene que para cualquier C1(l) y C1(l) y todos los valores de C1c (0, T ) En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de todas las materias utilizadas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (x) • (x) • (t, x) • (x) • (t, x) • (x) • (x) • (x) • (x) • (x) • (x) • (x) • (x) • (x) • (x) • (x) • (x) • (x) (t, x) (x) • (x) • (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) • (w) (t, x) (x) • (x) (x) (t, x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) • (x) (x) (x) (x) (x) (x) dxdt. (4.13) Demostraremos que ‘difusa media curvaturas’ adecuadamente definidas convergen como 0, ver (7.1). Utilizando este resultado podemos pasar al límite en (4.13) y obtenemos para cualquier nonnegative functions (función no negativa), C1(­), C1c (0, T ) que t(­) dt ≤ − H2(t, x) (x) ·H(t, x) dμt(x)dt, que es una versión integrada en el tiempo de la desigualdad de Brakke. 10 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER 5. Pruebas de las Proposiciones 4.1, 4.2 y Teorema 4.3 Prueba de la Proposición 4.1. Por (2.1), (2.2) obtenemos que u2 + W (u.............................................................................................................................................................................................................................................................. dxdt ≤ 3 °C + 4 °C. Esto implica por [22] la existencia de una subsecuencia ­ → 0 y de una función u BV (T ; 1, 1}) de tal manera que • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • du ≤ lim inf u2 + W (u.............................................................................................................................................................................................................................................................. dxdt ≤ 3 °C + 3 °C + 4 °C Después de posiblemente tomar otra secuencia, para casi todos t â € (0, T ) o(t, ·) → u(t, ·) en L1(♥) (5.1) Espera. Usando (2.2) y aplicando [22] para una t fija (0, T ) con (5.1) obtenemos que du(t, ·) ≤ lim inf μt-(­) ≤ 4 °C. Antes de probar la Proposición 4.2 mostramos que la derivada del tiempo de la energía- se controla la densidad μt Lemma 5.1. Existe C = C(­1,­3,­4) de tal manera que para todos los países de la Europa Central y Oriental (­) tμt() dt ≤ CC1(). (5.2) Prueba. Usando (A3) calculamos que • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • tuooooooooooooooooo tuoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo (t, x)•(x) dx − - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? (t, x)•(x) dx (x) · ŁtuŁ(t, x)­ü­·(t, x) dx. (5.3) Para (2.1), (2.2) estimamos * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? 2 + u2 ≤ (­3 + T­4)C0(­) (5.4) y deducir de (A1), (2.1), (5.3) que tμt() dt ≤ (1 + 3)C0() + C(3, TŁ4)C0(l), lo que prueba (5.2). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Prueba de la Proposición 4.2. Por (2.7) • → μ como medidas de radón en el T. Elija ahora Una familia contable (i)iN C1(l) que es densa en C0(l). Por Lemma 5.1 LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 11 y un argumento diagonal-secuencia existe una subsecuencia 0 y funciones mi BV (0, T), i N, de tal manera que para todos i N Mi(t) para casi todos los t (0, T ), (5.5) En el caso de las medidas de radón (0, T ), la cantidad de m′i → m′i. (5.6) Que S denote el conjunto contable de veces t â € (0, T ) donde para algunos i â € N la medida m′i tiene una parte atómica en t. Afirmamos que (5.5) se mantiene en (0, T ) \ S. Para ver esto elegimos un punto t â ¬ (0, T ) \ S y una secuencia de puntos (tj)jÃ3n en (0, T ) \ S, tales que tj t y (5.5) se mantiene para todos tj. Entonces obtenemos m′i([tj, t]) = 0 para todos los i+N, (5.7) (i)([tj, t]) = m i([tj, t]) para todos los i, j+ N. (5.8) Además mi(t)− μtä(i) ≤ mi(t)−mi(tj) mi(tj)− μtj ≤ m′i([tj, t]) mi(tj)− μtj Tomando primero فارسى → 0 y luego tj t deducimos por (5.7), (5.8) que (5.5) se sostiene para todos los i â € N y todos los t â € (0, T ) \ S. Tomando ahora un t arbitrario (0, T ) tal que (5.5) sostiene, por (2.2) existe un subsecuencia 0 tal que μt. → μt como medidas de radón en . (5.9) Se deduce que μt(i) = mi(t) y puesto que (i)iN es denso en C 0(l) podemos identificar cualquier límite de (μt)0 y obtener (5.9) para toda la secuencia seleccionada en (5.5), (5.6) y para todos los t â ¬ (0, T ), para los cuales (5.5) se mantiene. Por otra parte, para cualquier â € â € TM C0(­) el mapa t 7→ μt() no tiene saltos en (0, T ) \ S. Después de tomar posiblemente otra secuencia también podemos asegurar que como 0 μ0­ → μ0, μT­ → μT como las medidas de Radon en el caso de la República Federal de Alemania. Esto demuestra (4.4). Por el Teorema de Convergencia Dominado concluimos que para cualquier η C0(­T ) η dμ = lim η dâ ° = lim η(t, x) dμtŁ(x) dt = η(t, x) dμt(x) dt, lo que implica (4.5). Por (5.2), la compactación L1(0, T) de las secuencias que están unidas uniformemente en BV (0, T ), la semicontinuidad inferior de la norma BV bajo la convergencia L1, y (4.4) concluimos que (4.6) sostiene. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Prueba de Teorema 4.3. Para casi todos t â € (0, T ) obtenemos de Fatou’s Lemma y (2.1), (2.2) que lim inf μt­(­) + μt­(­) + μt­(­) + μt­(­) μt­(­) μt­(­) μt­(­) μt­+ μt­(­) μt­+ μt­(­) μt­+ μt­+ μt­+ μt­+ μt­(­) μt­+ μt­+ μt­+ (­) μt­+ (­) μt­+ μt­+ (­) μt­+ μt­+ μt­+ μt­+ μt­+ (­) μt­+ (­) μt­+ (­) μt­+ + + μt­+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + w2Ł(t, x) dx < فارسى. (5.10) 12 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER Dejar que S â € (0, T ) sea como en la Proposición 4.2 y fijar un t â € (0, T ) \ S tal que (5,10) Espera. Entonces deducimos de [28, Teorema 4.1, Teorema 5.1] y (4.4) que μt es una variante integral (n− 1), μt ≥ c0 u(t, ·), y que μt tiene la curvatura media débil H(t, ·) satisfactorio H(t, x)2 dμt(x) ≤ lim inf (t, x) 2 dx. (5.11) Por (5.11) y Fatou’s Lemma obtenemos que H(t, x)2 dμt(x) dt ≤ lim inf (t, x) ≤ lim inf w2Ł dxdt, lo que demuestra (4.7). Para su uso posterior también asociamos los varifolds generales a μt gence como 0. Let (t, ·) :  → Sn−11 (0) ser una extensión de la(t, ·)/u(t, ·) a el conjunto uŁ(t, ·) = 0}. Definir las proyecciones P.(t, x) := Id(t, x)(t, x) y tener en cuenta los varifolds generales V t.o. y el entero varifolds rectificables c.o. t definida V t-(f) := f(x, P/23370/(t, x)) dμ (x), (5.12) V t(f) := f(x, P (t, x)) dμt(x) (5.13) en el caso de la letra f) del punto C0c, donde P (t, x) del punto Rn×n denota la proyección en el punto plano tangencial Txμ t. Entonces deducimos de la prueba de [28, Teorema 4.1] que V r > V t como 0 (5.14) en el sentido de varifolds. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 6. Prueba del teorema 4.4 6.1. Equipartición de energía. Comenzamos con un resultado preliminar, mostrando el importante equipamiento de la energía: la medida de discrepancia := u2 − W (u.............................................................................................................................................................................................................................................................. Ln+1 (6.1) desaparece en el límite 0. Para demostrar esto combinamos los resultados de [28] con una versión refinada de Lebesgue Teorema de convergencia dominada [25], véase también [27, Lemma 4.2]. Proposición 6.1. Para una subsecuencia 0 obtenemos que → 0 como medidas de Radón en el T. (6.2) LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 13 Prueba. Definamos las medidas * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * u2 − W (u.............................................................................................................................................................................................................................................................. (t, ·)Ln el ♥. En el caso de 0, k, N, definimos los conjuntos B.,k. := {t. {t. } (0, T. } : (t, x) dx > k}. (6.3) Entonces obtenemos de (2.1) que w2Ł(t, x) dxdt ≥ B,kk. (6.4) A continuación definimos las (firmadas) Radon-medidas *,k := En el caso de T, T, B, K, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, 0 para t â € € € € € € € € € € € € € € € €. (6.5) Por [28, Proposición 4.9], tenemos 0 (j → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • para cualquier subsecuencia ­j → 0 (j → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • lim sup w2Łj (t, x) dx < فارسى. Por (2.2), (6.5) deducimos que para cualquier η o C0(­T,R+0 ), k o N, y casi todos t (0, T ) 0 como 0 (6,7) y que t,k(η(t, ·)) = 1-XB­,k(t) t η(t, ·) ≤ C0(­T). ≤ C0(­T). ≤ C0(­T). ≤ C0(­T). ≤ C0(­T). ≤ C0(­T). ≤ C0(­T) ≤ C0(­T). ≤ C0(­T) ≤ C0(­T) ≤ C0(­T). ≤ C0(­T) ≤ C0(­T). (6.8) Por el Teorema de Convergencia Dominado, (6.7) y (6.8) implican que t,k(η(t, ·)) dt → 0 como 0. (6.9) Más adelante obtenemos que t(η(t, ·)) dt ≤ t,k(η(t, ·)) dt + t(η(t, ·)) dt t,k(η(t, ·)) dt + (n(t, ·)) dt. (6.10) Para k N fijo deducimos de (2.2), (6.4), (6.10) que lim sup t(η(t, ·)) dt ≤ lim t,k(η(t, ·)) dt + C0( . (6.11) Por (6.9) y puesto que k â € N fue arbitrario, esto prueba la Proposición. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 14 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER 6.2. Convergencia de velocidades aproximadas. En el siguiente paso en la prueba de Teorema 4.4 definimos vectores de velocidad aproximada y mostramos su convergencia como 0. Lemma 6.2. Definir v............................................................................................................................................................................................................................................................. v. := • • • # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # u u si u 6= 0, De lo contrario. (6.12) Entonces existe una función v • L2(μ,Rn) de tal manera que → (μ, v) como 0 (6.13) en el sentido de la convergencia del par de funciones de medida (véase el apéndice B) y que (4.8) está satisfecho. Prueba. Definimos las medidas Radon := u2 Ln+1 = +. (6.14) De (2.7), (6.2) deducimos que → μ como medidas de Radón en el T. (6.15) A continuación, observamos que (, vŁ) es un par función-medida en el sentido de [16] (véase también definición B.1 en el apéndice B) y que por (2.1) v2 d ≤ - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? 2 dxdt ≤ Ł3. (6.16) Por Teorema B.3 deducimos por lo tanto que existe una subsecuencia función v L2(μ,Rn) de tal manera que (6.13) y (4.8) mantener. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma 6.3. Para μ-casi todos (t, x) v(t, x) Txμt. (6.17) Prueba. Seguimos [24, Proposición 3.2]. Let : T → Sn−11 (0) ser una extensión de Al conjunto u/u = 0} y definir los mapas de proyección valorados Fl := Id− . Considere a continuación los varifolds generales, V definido por (f) := f(t, x, PŁ(t, x)) d(t, x), (6.18) V (f) := f(t, x, P (t, x)) dμt(x) (6.19) en el caso de la letra f) del punto C0c, donde P (t, x) y Rn×n denotan la proyección en el punto plano tangencial Txμ Del (5.14), Proposición 6.1, y Teorema de Convergencia Dominado de Lebesgue Deducimos que = V (6.20) como medidas de radón en el T × Rn×n. LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 15 A continuación definimos las funciones v en T × Rn×n por v(t, x, Y ) = vŁ(t, x) para todos (t, x) Entonces observamos que T×Rn×n Vâ € € € TM = vâ € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. V2° d ≤ 3° y deducir de (6.20) y de Teorema B.3 la existencia de váš L2(V,Rn) de tal manera que (V.V.V.) convergen a (V.V.V.) como pares de función de medida en el T. × Rn×n con valores en Consideramos que ahora h C0c (Rn×n) de tal manera que h(Y ) = 1 para todas las proyecciones Y. Nosotros Deducir que para cualquier η ° C0c (­T,Rn) η · v dμ = lim T×Rn×n η(t, x) · h(Y )v(t, x, Y ) dVŁ(t, x, Y ) η(t, x) · vû(t, x, P (t, x)) dμ(t, x), que muestra que para μ-casi todos (t, x) vâr(t, x, P (t, x)) = v(t, x). (6.21) Finalmente observamos que para h, η como arriba η(t, x) · P (t, x)v(t, x) dμ(t, x) T×Rn×n η(t, x)h(Y) · Y vâ °(t, x, Y ) dV (t, x, Y ) = lim T×Rn×n η(t, x)h(Y ) · Y v(t, x, Y ) dVŁ(t, x, Y ) = lim η(t, x) · Pl(t, x)vl(t, x) d(t, x) = 0 desde el punto de vista de los valores de P­v­ = 0. Esto muestra que P (t, x)v(t, x) = 0 para μ-casi todos (t, x) - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Prueba de Teorema 4.4. Por (2.1) existe una subsecuencia فارسى → 0 y un Radón medida β en T de tal manera que - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? Ln+1 → β, β( (6.22) Usando (A3) computamos que para cualquier η C1c ((0, T )× ) η dâ ° = - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? dxdt − 2 - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (6.23) A medida que el término tiende a cero en el lado izquierdo y los dos primeros términos en el el lado derecho convergen por 2,7, (2,8) y (6,22). Para el tercer mandato sobre la 16 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER mano derecha de (6.23) obtenemos de (6.13) que dxdt = − lim · v u2 dxdt · v dμ. Por lo tanto, tomando 0 en (6.23) deducimos que η dα = η dβ − 2 - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. · v dμ se mantiene para todos los η • C1c ((0, T )× ). Esto da como resultado que En el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, el valor de los vehículos de motor no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor con motor de encendido por chispa. ≤ C0(T) α(­T ) + β(­T ) que muestra junto con (6.17) que v es un vector de velocidad generalizada para (μt)tâ(0,T ) en el sentido de la definición 3.1. La estimación (4.8) ya se demostró en Lemma 6.2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 7. Prueba del teorema 4.6 Comenzamos con la convergencia de un «término de curvatura media difusa». Lemma 7.1. Definir H. := u2 Let = u2 Ln+1, y let vŁ, v ser como en (6.12), (6.13). Entonces → (μ,H), (7.1) → (μ, v −H) (7.2) como 0 en el sentido de la convergencia de pares de función de medida. En particular v −H 2 dμ ≤ α(η) (7.3) se mantiene para todos los η + C0(­T,R+0 ). Prueba. Usamos argumentos similares como en la prueba de la Proposición 6.1. En lo que se refiere a las categorías de vehículos de la categoría M1 y M2 y a las categorías de vehículos de la categoría M2 y M2 y a las categorías de vehículos de la categoría M2 y M2 y de vehículos de la categoría M2 y N3, el número de vehículos de la categoría M3 y M3 se determinará en función de la categoría M3. k N, definimos conjuntos B.,k. := {t. {t. } (0, T. } : (t, x) 2 dx > k}. (7.4) Entonces obtenemos de (2.1) que ≥,kk. ≥,kk....................................................................................................................................................................................................................................................... (7.5) A continuación, definimos las funciones de T t.,k. C.C. (l,Rn)* por: T tl,k() := • (x) • (t, x) • (t, x) • (dx) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (x) ·H(t, x) dμt(x) para t • (x) • (x) ·H(t, x) dμt(x) para t • (k) • (x) • (x) • (x) • (x) ·H(t, x) dμt(x) para t • (k) • (x) • (x) · (t, x) dμt(x) para t • (k) (7.6) LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 17 Teniendo en cuenta el general (n− 1)-varifolds V t., V t definido en (5.12), (5.13) obtenemos de [28, Proposición 4.10] y (5.14) que (t, x) (t, x) dx = − lim Vtj (­ > ).......................................................................................................................................................................................................................................................... = − t() = H(t, x) dμt(x) (7.7) para cualquier subsecuencia ­j → 0 (j → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • lim sup w2­j dxdt < ­. Por lo tanto, deducimos de (7.6), (7.7) que para todos los η C0c (­T,Rn), k N, y casi todos t â € (0, T ) T tŁ,k(η(t, ·)) → η(t, x) ·H(t, x) dμt(x) como 0 (7.8) y que (t, ·) 1-XB­,k(t) η(t, x) + XBe,k(t) η(t, x) ·H(t, x) dμt(x) C0(T) 1-XB­,k(t) (t, x) )1/2( u(t, x)2 dx (t, x)H(t, x) dμt(x) C0(T) (t, x)H(t, x) dμt(x), (7.9) donde el lado derecho está delimitado en L1(0, T ), uniformemente con respecto a  > 0. Por el Teorema de Convergencia Dominado, (7.8) y (7.9) implican que T tl,k(η(t, ·)) dt → η ·H dμ como 0. (7.10) Más adelante obtenemos que η · wuüü dxdt− η ·H dμ T tl,k(η(t, ·)) dt− η ·H dμ η(t, x) ·H(t, x) dμt(x)dt η · ° dx dt (7.11) 18 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER El último término en el lado derecho que estimamos más adelante por η(t, x) C0(T) w2 dxdt B,k1/2 C0(­T)3 4o, 7o, 12o donde hemos usado (2.2) y (7.5). Para el segundo término en el lado derecho de (7.11) obtenemos η(t, x) ·H(t, x) dμt(x)dt ≤ B,k1/21/2C0(T) supp(η) H2 dμ 1/2 C0(T ) 3o, 7o, 13o donde hemos utilizado (4.7) y (2.1). Por último, para k â € N fijado, por (7.10) deducir • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • η ·H dμ = 0. (7.14) Tomando 0 en (7.11) obtenemos por (7.12)-(7.14) que η · wuüü dxdt− η ·H dμ ≤ 3 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C ≤ 1 °C + 1 °C ≤ 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C C0(T) *3 (7.15) para cualquier k ° N, lo que demuestra (7.1). Usando (6.13) esto implica (7.2). Finalmente arreglamos un η no negativo arbitrario C0(T ) y deducir que el par medida-función (, η(vŁ − HŁ)) converge a (μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, η(v − H)). A continuación se presenta la estimación (7.3) del teorema B.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Let Π : [0, T ]×  → [0, T ] denotar la proyección sobre el primer componente y el impulso hacia adelante de las medidas por Π. Por lo que se refiere a la letra c) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos y por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establecen disposiciones de aplicación del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo en lo que se refiere a la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos y por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos := en [0, T], eso significa () := (t)(x) dα(t, x), en el caso de los productos de la partida C0([0, T ]), y en el caso de los productos de la partida C0([0, T ]), y :=. Entonces podemos estimar la parte atómica de en términos del costo de nucleación. Lemma 7.2. Que Snuc(μ) sea el coste de nucleación definido en (4.10). Entonces ()atómico[0, T ] ≥ 4Snuc(μ). (7.16) LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 19 Prueba. Let η • C1(­T,R+0 ) ser no negativo. Calculamos eso. ηd® = - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? w2oooooooooo + 2oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Dxdt = − 4 No se aplica a los vehículos de motor de las categorías M2 y M3. dxdt + 4μT­ (η(T, ·))­ 4μ0­(η(0, ·)). (7.17) Pasando al límite 0 obtenemos de (2.7), (4.4), (6.13) que ηdα ≥ − 4 - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. · v dâr 4μT (η(T, ·))− 4μ0(η(0, ·)). (7.18) Ahora elegimos η(t, x) = Ł(t)­(x) en el que فارسى • C1([0, T ],R+0 ), • • C1(,R 0 ) en (7.18) y deducir que No obstante, en el caso de los vehículos de motor de la categoría M1, el valor de los vehículos de la categoría M2 no superará el 50 % del precio franco fábrica del vehículo. t() dt+ 4 · v(t, x) dμt(x) dt + 4°(T )μT (­)− 4°(0)μ0(­). (7.19) Esto muestra que ≥ 4t(μt()) + 4 (x) · v(t, x) dμt(x) μT ()− lim μt(­) T + 4 μt(+)− μ0(+) - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (7.20) Evaluando las partes atómicas obtenemos que para cualquier 0 < t0 < T ({t0}) ≥ 4t(μt())({t0}), lo que implica que ({t0}) ≥ 4 sup {t0}). (7.21) donde el máximo se hace cargo de todos los valores de la categoría C1(l), con 0 ≤ ≤ ≤ 1. Además deducimos de (7.20) ({0}) ≥ 4 sup μt(+)− μ0(+) , (7.22) ({T }) ≥ 4 sup μT (­) − lim μt(­) , (7.23) en el que se toma el máximo control de la línea C(l) con 0 ≤ °C ≤ 1 °C. Por (7.21)-(7.23) concluye que (7.16) se mantiene. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Prueba de Teorema 4.6. Por (7.3) deducimos que α ≥ v −H 2μ. Desde μ = L1 μt deducimos del Teorema Radon-Nikodym que ()ac[0, T] ≥ v −H 2 dμ, (7.24) y de (7.16) que ()atómico[0, T] ≥ 4Snuc(μ), (7,25) 20 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER donde ()ac y ()atómico denotan la parte absolutamente continua y atómica con respecto a L1 de la medida. Agregar las dos estimaciones y recordar (2.9) Obtenemos (4.11). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 8. Pruebas de la Proposición 3.3 y la Proposición 4.5 Definir para r > 0, (t0, x0) Qr(t0, x0) := (t0 − r, t0 + r) ×Bnr (x0). Prueba de la Proposición 3.3. Definir N(μ) := (t, x) â ¬ T : existe el plano tangencial de μ en (t, x) (8.1) y elegir (t0, x0) v es aproximadamente continua con respecto a μ in (t0, x0). (8.2) Dado que v L2(μ) deducimos de [11, Teorema 2.9.13] que (8.2) contiene μ-casi En todas partes. Vamos. P0 := T(t0,x0)μ, ­0 > 0 (8,3) denotar el plano tangencial y la multiplicidad en (t0, x0) respectivamente, y definir para las funciones escalonadas (Q1(0)) C0c (Q®(t0, x0)), (t, x) := 1(t− t0), 1(x− x0) Entonces obtenemos de (8.3) que dμ → فارسى0 No se aplica a los casos en los que se haya producido un accidente de tráfico. (8.4) De (3.2), el Teorema de Hahn-Banach, y el Teorema de Riesz deducimos que C1c (­T )*, (­ η ) : = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * dμ (8.5) puede ampliarse a una medida de radón (firmada) en el T. Desde entonces por el Radon-Nikodym Teorema D existe y es finito μ-casi en todas partes podemos asumir sin pérdida de generalidad que D(t0, x0) < فارسى. (8.6) A continuación fijamos η C1c (Q1(0)) y calculamos que () = dμ. (8.7) De (8.2), (8.4) deducimos que el lado derecho converge en el límite 0, dμ = فارسى0 v(t0, x0) dμ. (8.8) Para el lado izquierdo de (8.7) deducimos que lim inf () ≤ C0c (Q1(0)) lim inf0 −n+1(Q®(t0, x0)) (8.9) LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 21 y observar que (8.6) implica • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (Q®(t0, x0)) μ(Q+(t0, x0)) ≥ lim inf n(Q(t0, x0)) lim sup nμ(Q(t0, x0)) ≥ c lim inf n(Q(t0, x0)), (8.10) ya que en (8.4) para cualquier tipo de C0c (Q2(0),R+0 ) con  ≥ 1 en Q1(0) lim sup nμ(Q(t0, x0)) ≤ lim sup dμ ≤ C(). Por lo tanto (8.7)-(8.10) rendimiento v(t0, x0) dμ = 0. (8.11) Ahora observamos que la integral sobre la proyección de en P0 desaparece. Esto muestra que dHn P0. (8.12) Puesto que η puede ser elegido de tal manera que la integral en (8.12) toma una dirección arbitraria normal a P0 obtenemos de (8.11) que v(t0, x0) satisface (3.3). Si Tx0μ t0 existe T(t0,x0)μ = {0} × Tx0μt0 â € â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM v(x0) y obtenemos que v está determinado de forma única. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Para preparar la prueba de la Proposición 4.5, primero demostramos que μ es absolutamente tinuous con respecto a Hn. Proposición 8.1. Para cualquier D  existe C(D) tal que para todos x0 D y casi todos los t0 (0, T ) lim sup Qr(t0, x0) ≤ C(D)­4 + lim inf w2Ł(t0, x) dx. (8.13) En particular, lim sup μ(B/23370/(t0, x0)) Casi todos (t0, x0) (8.14) y μ es absolutamente continua con respecto a Hn, μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. μ Hn. (8.15) Prueba. Vamos. r0 := min dist(D, ), t0, T − t0 Entonces obtenemos para todos r < r0, x0 â € D, de (6.2) y [28, Proposición 4.5] que ∫ t0+r r1−nμt Bnr (x0) ∫ t0+r r1−n0 μ Bnr0(x0) 4 (n− 1)2 ∫ t0+r lim inf w2Ł(t, x) dx (8.16) 22 LUCA MUGNAI y Matthias RÖGER Por Lemma y (2.1) de Fatou t 7→ lim inf w2o(t, x) dx está en L 1 (0, T ) (8.17) y por (2.2) deducimos para casi todos t0 â € (0, T ) que lim sup ∫ t0+r r1−nμt Bnr (x0) ≤ 2r1−n0 2 n− 1)2 lim inf w2Ł(t0, x) dx. Puesto que el r0 depende sólo de D, la desigualdad (8.13) sigue. Por (8.17) el lado derecho en (8.13) es finito para L1-casi todos los t0 (0, T) y n(μ, (t, x)) se delimita para casi todos t (0, T) y todos x. Por (2.2) deducimos que para cualquier I (0, T ) con I = 0 μ(I × ) ≤ 4I = 0 lo que implica (8.14). Para probar la declaración final deje B â € € TM T ser dado con Hn(B) = 0. (8.18) Consideremos la familia de conjuntos (Dk)kÃ3n, Dk := {z • • T : n(μ, z) ≤ k}. Por (8.14), [31, Teorema 3.2], y (8.18) obtenemos que para todos k N μ(B-Dk) ≤ 2nkHn(B-Dk) = 0. (8.19) Por otra parte, tenemos que μ(B \ Dk) = 0 (8,20) por (8.14). Por (8.19), (8.20) llegamos a la conclusión de que μ(B) = 0, lo que prueba (8.15). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Para probar la Proposición 4.5 necesitamos que Hn-casi en todas partes en u = 1} El plano tangente generalizado de μ existe. Primero obtenemos la siguiente relación entre las medidas μ y u. Proposición 8.2. Existe una función no negativa g • L2(μ,R+0 ) tal que g μ ≥ c0 u. (8.21) En particular, u es absolutamente continuo con respecto a μ, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (8.22) Prueba. Vamos. G(r) = 2W (s) ds. (8.23) LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 23 En el conjunto u 6= 0} tenemos G(u) = G(u) G(u) G(u) G(u) En este contexto, la Comisión considera que la ayuda concedida por el Estado federado de Renania-Palatinado es compatible con el mercado interior y, en particular, con el artículo 107, apartado 3, letra b), del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea y con el artículo 107, apartado 3, letra c), del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea (en lo sucesivo, «el artículo 107, apartado 1, letra c), del Tratado»), es compatible con el mercado interior. G(u) 1 + v2 G(u). (8.24) Dejando como en (6.14) obtenemos de (6.16), (2.2), y Teorema B.3 la existencia de una función g • L2(μ) de tal manera que (hasta una subsecuencia) (, 1 + v2) = (μ, g) (8,25) como pares de medida-función en T con valores en R. Let η • C0c (­T ). Entonces 1 + v2 G(u) dxdt − 1 + v2 d 1 + v2 2W (u......................................................................................................................................... u u dxdt η2(1 + v2)u2 dxdt )1/2 2W (u......................................................................................................................................... u L2(T ) 1 / 2 / 2 / 2 / 1 / 2 / 1 / 2 / 1 / 2 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 2 / 1 / 2 / 1 / 1 / 2 / 1 / 1 / 1 / 1 / 2 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 2 / 1 / 2 / 2 ) / 2 / 2 / 2 (8.26) Gracias a (8.25), (8.26) y (6.2) llegamos a la conclusión de que (G(u) Ln+1, 1 + v2) = (μ, g) (8,27) como pares de medida-función en T con valores en R. Una vez más para (2.1) tenemos {0=uW (u)} G(u) dxdt {0=uW (u)} tu 2W (uŁ) dxdt - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? 2 dxdt )1/2( {0=uW (u)} W (u.............................................................................................................................................................................................................................................................. 2­3(­T )1/2, que desaparece por (6.2) como 0. Esto implica junto con (8.24) y (8.27) que η g dμ = lim 1 + v2G(u) dxdt = lim G(u) dxdt ≥ η du, donde en la última línea usamos eso η du = η dG(u) ≤ lim inf G(u) dxdt. 24 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER Considerando ahora un conjunto B u = 1} con μ(B) = 0 concluimos que u(B) ≤ 2 g dμ = 0, desde g â € L2(μ). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Proposición 8.3. En Hn-casi todos los puntos en u = 1} el plano tangencial de μ existe. Prueba. Desde el Radon-Nikodym Teorema obtenemos que la derivada f(z) := Du(z) := lim μ(Bn+1r (z)) u(Bn+1r (z)) (8.28) existe para u-casi-todo z T y que f L1(u). Por (8.15) deducimos u = 1} = f u. (8.29) Similarmente obtenemos que = Du(z) es finito para μ-casi todo z u = 1}. Por (8.22) esto implica que f > 0 u-casi en todas partes en T. (8.30) Puesto que u es rectificable y f medible con respecto a u obtenemos de (8.29), (8.30) y [31, Observación 11.5] que u = 1} es rectificable. (8.31) Por otra parte Hn-casi-todo z u = 1} satisfacer que μ(Bn+1r (z) \ u = 1}) μ(Bn+1r (z)) = 0, (8,32) lim sup μ(Bn+1r (z)) < فارسى. (8.33) De hecho, (8.32) sigue de [11, Teorema 2.9.11] y (8.22), y (8.33) de Propo- Situación 8.1 y (8.22). Ahora z0 u = 1} satisfacer (8.32), (8.33). Para una Arbitrariamente η C0c (Bn+11 (0)) deducimos que lim sup * T u=1} r−1(z − z0) r−n dμ(z) C0c (Bn+11 (0)) lim subr→0 Bn+1r (z0) \ u = 1} Bn+1r (z0) ) lim sup Bn+1r (z0) por (8.32), (8.33). Por lo tanto r−1(z − z0) r−n dμ(z) = lim u=1} r−1(z − z0) r−n dμ(z) si este último límite existe. Por lo tanto, en (8.31) llegamos a la conclusión de que en Hn-casi todos puntos de u = 1} el plano tangente de μ existe y coincide con la tangente plano de u = 1}. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 25 Prueba de la Proposición 4.5. Desde u • BV (­T ) y u(t, ·) • BV (­ ) para casi todos t • (0, T ) obtenemos que •tu •u son medidas Radon •T y que •u(t, ·) es una medida de radón en  para casi todos los t (0, T ). Por otra parte, observamos que v L1(u) desde v du ≤ v du ≤ 2 gv dμ ≤ 2 L2(μ)+L2(μ)+L2(μ) por Teorema 4.4 y Proposición 8.2. De (3.3) y de la Proposición 8.3 deducimos que para cualquier η • C1c (­T ) η detu = ηv dÃ3u = du = ηV du(t, ·) dt, lo que demuestra (4.9). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 9. Conclusiones Teorema 4.6 sugiere definir una acción generalizada funcional S en la clase de L2-flujos por S(μ) := inf v −H 2 d 4Snuc(μ), (9.1) donde el infimum es tomado sobre todas las velocidades generalizadas v para la evolución (μt)tó(0,T ). En la clase de n-rectificable L 2-flujos que tenemos S(μ) = v −H 2 d 4Snuc(μ), (9.2) donde v es la velocidad normal única de (μt)t(0,T ) (véase la Proposición 3.3). En la presente sección se compara el funcional S con el funcional S0 definido en [18] (véase (1.2)) y discutir las implicaciones del Teorema 4.6 sobre un Gamma completo resultados de convergencia para la acción funcional. Para la facilidad de la exposición nos centramos en esta sección sobre el escenario de conmutación. Suposición 9.1. Dejar que una secuencia (u)0 de funciones lisas uŁ : T → R ser dado con acción limitada uniformemente (A1), cero datos de frontera de Neumann (A3), y Asumir para los estados inicial y final que para todos فارسى > 0 o(0, ·) = −1, o(T, ·) = 1 en ♥. (9.3) Siguiendo [18] definimos la acción reducida funcional en el set M BV (T, 1, 1})(0, T, BV ()) de forma que: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: • por cada una de las funciones siguientes: u(t, ·) dx es absolutamente continuo en [0, T]; • (u(t, ·) = 1}) evolución de las hipersuperficies. 26 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER Por Asunción 9.1 el S0nuc funcional puede ser reescrito como S0(u) := c0 •v(t, x) −H(t, x) dHn−1(x)dt + 4S0nuc(u), (9.4) S0nuc(u) := u(t, ·)()− lim u(t, ·)() + sup u(t, ·)() (9.5) donde la sup se hace cargo de todo el C1(­) con 0 ≤ ≤ ≤ 1. En [18, Proposición 2.2] se presentó una prueba (formal) de la estimación de la subclase de funciones ‘agradables’ en M. Siguiendo las ideas de esa prueba, utilizando el uno- construcción dimensional [18, Proposición 3.1], y un argumento de densidad que esperamos que la limsup-estimación se puede extender a todo el conjunto M. No damos un prueba rigurosa aquí, pero más bien asumir la limsup-estimación en el siguiente. Supuestos 9.2. Para todos u M existe una secuencia (u)0 que satisface Suposición 9.1 de que: u = lim ≥ lim sup, S0(u) ≥ lim sup S­(u­). (9.6) El candidato natural para el límite Gamma de S.O. con respecto a L.O.T. Envoltorio semicontinuo de S0 inferior a L1(T), S(u) := inf lim inf S0(uk) : (uk)kÃ3n â m, uk → u en L1(­T ) . (9.7) 9.1. Comparación de S y S0. Si nos asociamos con una función u â € M la medida Podemos comparar S0(u) y S(c02 u). Proposición 9.3. Dejar u â € M y dejar μ = L1 μt ser un flujo L2 de medidas. Asumir que para casi todos t â € (0, T ) μt ≥ c0 u(t, ·) (9.8) y que el coste de nucleación S0nuc(u) no es superior al coste de nucleación Snuc(μ). S0(u) ≤ S(μ) (9.9) Espera. Para μ = c0 u obtenemos que S0(u) = S(c0 u). (9.10) Prueba. La localidad de la curvatura media [29] muestra que la curvatura media débil de μt y la curvatura media (clásica) coinciden en u(t, ·) = 1}. Por proposición 4.5 cualquier velocidad generalizada v y la (clásica) velocidad normal V son iguales en el límite de fase. Esto muestra que la parte integral de S0(u) no es mayor que la parte integral de S(μ), con la igualdad si μt = c0 u(t, ·) para casi todos t (0, T ). Esto demuestra (9.9). Para la medida c0 Observamos que el costo de la nucleación Snuc( c02 μ) es igual al coste de nucleación S nuc(u) y obtenemos (9.10). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Si para la medida μ se produce unas multiplicidades más elevadas, los costes de nucleación de μ y u puede diferir y el valor de S0(u) puede ser mayor que S(μ) como el siguiente ejemplo muestra. Dejar que las regiones sombreadas de la Figura 1 sean  = (0, L), dejar que {u = 1} sean las regiones sombreadas de la Figura 1, y LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 27 x1 x2 Gráfico 1 Los fases {u = 1} x1 x2 Gráfico 2 Los medida μ permitir que μ sea la medida soportada en el límite de fase y con doble densidad en un límite oculto que conecta la parte superior e inferior de la fase {u = 1}, véase Gráfico 2 En el momento t2 una nueva fase se nuclea, pero esta vez no es singular con respeto a la evolución (μt)tÃ3(0,T ). Por otra parte, no se produce ningún costo de propagación para la evolución (u(t, ·))tó(t1,t0), mientras que hay un coste de propagación para (μt)tó(t1,t2). La diferencia en la acción es dada por S0(u)− S(μ) = 8c0 − 2c0 (x2 − x1)2 t2 − t1 donde x1 es el punto de aniquilación en el tiempo t1 y x2 el punto de nucleación en el tiempo t2, ver Figura 1. Esto muestra que tan pronto como (x2 − x1) < 4 t2 − t1 tenemos S(μ) < S0(u). x1 x2 Gráfico 3 Fases {uk = 1} 1x x2= Gráfico 4 El límite 28 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER El mismo ejemplo con x2 = x1 muestra que S0 no es bajo-semicontinuo y que una relajación es necesaria para obtener el límite Gamma de S. In fact considera una secuencia (uk)kÃ3n con las fases {uk = 1} dadas por la región sombreada en la figura 3. Supongamos que el cuello conecta la parte superior e inferior de la región sombreada desaparece con k → y que uk converge al indicador de fase función u con la fase {u = 1} indicada por las regiones sombreadas en la Figura 4. Entonces un coste de nucleación en el momento t2 aparece para u. Para las aproximaciones uk sin embargo hay no es ningún coste de nucleación para t > 0 y la aproximación puede hacerse de tal manera que la El coste de propagación en (t1, t2) es arbitrariamente pequeño, lo que demuestra que S0(u) > lim inf S0(uk). La situación en las dimensiones espaciales superiores está aún más implicada que en la ejemplos dimensionales discutidos anteriormente. Por ejemplo, uno podría crear un círculo con doble densidad (no se crea nueva fase) a la vez t1 y dejar que esta doble densidad círculo crecer hasta un tiempo t2 > t1 donde el círculo de doble densidad se divide y dos círculos evolucionan en diferentes direcciones, una de ellas encogiéndose y la otra creciendo. In de esta manera se crea una nueva fase en el momento t2. En este ejemplo S cuenta la creación de un círculo de doble densidad en el momento t1 y el coste de propagación de la doble densidad círculo entre los tiempos t1, t2. Por el contrario, S0 cuenta el coste de nucleación de la nueva fase en el tiempo t2, que es más grande como el coste de nucleación Snuc a veces t1, pero no coste de propagación entre los tiempos t1, t2. El análisis de [18] sugiere que los minimizadores de la exposición funcional de acción nucleación y aniquilación de fases sólo en el tiempo inicial y final. Esta clase Por lo tanto, es especialmente interesante. Teorema 9.4. Dejemos que (u)0 satisfaga la Asunción 9.1 y supongamos que la Asunción 9.2 espera. Suponga que u-u en L1(e-T), u-M, y que u exhibe nucleación. y aniquilación de fases sólo en el momento final e inicial. Entonces S(u) = S0(u) ≤ lim inf S­(u­ü) (9.11) Espera. En particular, S.O. Gamma converge a S.O. para aquellas evoluciones en M.O. tiene nucleaciones sólo en el momento inicial. Prueba. De la definición de la S funcional se deduce que S(u) ≤ S0(u) (9.12) y que existe una secuencia (uk)kÃ3n M tal que u = lim uk, S(u) = lim S0(uk). Suposición 9.2 implica que para todos k â € N existe una secuencia (uâ,k)0 tal uk = lim ≥ lim sup S­(uü,k). (9.13) Por lo tanto, podemos elegir una diagonal-secuencia (u.k.k.k.k.N. S(u) ≥ lim sup Sl(k)(uŁ(k),k). (9.14) En la Proposición 4.1, 4.2 existe una subsecuencia k → (k),k → u, (k),k → μ, μ ≥ u, (9.15) LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 29 donde la última desigualdad se deriva de η du(t, ·) ≤ lim inf G(u) dx ≤ lim inf ηdμt = ηdμt, con G como en (8.23). Por Teorema 4.6 deducimos además que lim inf ≥ S(μ) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (U) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (U) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) (K) ≥ S(μ). Esto implica por (9.14) que S(u) ≥ S(μ). (9.16) Desde μ0 = 0 y μt ≥ c0 u(t, ·) el coste de nucleación de μ en t = 0 no es inferior que el costo de nucleación para u. Puesto que por suposición no hay más nucleación veces podemos aplicar la Proposición 9.3 y obtener que S0(u) ≤ S(μ). Por (9.12), (9.16) concluimos que S0(u) = S(u) = S(μ). Aplicando la Proposición 4.1 y el Teorema 4.6 a la secuencia (u)0 deducimos que existe una subsecuencia 0 tal que # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # u (9.17) y de tal manera que lim inf ≥ S(). Repitiendo los argumentos anteriores deducimos de la Proposición 9.3 que S0(u) ≤ S() S0(u) ≤ lim inf S­(u­). Combinar el límite superior (9.6) con (9.11) demuestra la convergencia gamma de - Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 9.2. Convergencia gamma bajo una suposición adicional. Uso del teorema 4.6 podemos probar la convergencia Gamma de S.O. bajo una suposición adicional sobre la estructura del conjunto de las medidas que se presentan como límite de secuencias con acción limitada uniformemente. Suposición 9.5. Considerar cualquier secuencia (u)0 con u/23370/ → u en L1(T ) que Cumple la hipótesis 9.1. Definir las medidas de energía de acuerdo con (2.5) y dejar μ ser cualquier medida de Radón tal que para una subsecuencia 0 μ = lim - Sí. (9.18) Entonces asumimos que existe una secuencia (uk)kÃ3n M tal que u = lim ul, S(μ) ≥ lim S0(uk). (9.19) Para cualquier u M que exhiba nucleación y aniquilación sólo en la inicial y final tiempo la Asunción 9.5 siempre se satisface: La prueba de Teorema 9.4 y nuestro resultados en la sección 4 muestran que para cualquier límite μ como en (9.18) podemos aplicar Proposición 9.3. Por lo tanto, S0(u) ≤ S(μ) y la secuencia constante u satisface (9.19). Sin embargo, Una caracterización de los u â € M tal que la Asunción 9.5 mantiene está abierta. Teorema 9.6. Supongamos que las Supuestos 9.1, 9.2 y 9.5 sostienen. Entonces S. → S. 0 (9.20) en el sentido de la convergencia Gamma con respecto a la L1(el T ). 30 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER Prueba. Primero probamos el limsup-estimación para S.S. De hecho, fijar un u arbitrario # L1(T, 1, 1}) con S(u) <. Deducimos que existe una secuencia (uk)kÃ3n como en (9.7) tales que S(u) = lim S0(uk). (9.21) Por (9.6) para todos los k N existe una secuencia tal que = S0(uk) ≥ lim sup S­(uü,k). Eligiendo una secuencia diagonal adecuada uŁ(k),k deducimos que S(u) ≥ lim (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c). lo que demuestra la limsup-estimación. A continuación probamos la estimación del liminf. Considerar una secuencia arbitraria (u)0 que satisface la Asunción 9.1. Por el teorema 4.6 existe u BV (T, 1, 1}) y una medida μ en T de tal manera que • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • para una subsecuencia 0, y tal que lim inf ≥ S(μ). (9.24) Por la Asunción 9.5 existe una secuencia (uk)kÃ3n M tal que (9.19) sostiene. Por (9.24) y la definición de S esto produce que lim inf ≥ S(μ) ≥ S(μ) ≥ lim S0(uk) ≥ S(u) (9,25) y prueba la estimación del liminf. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Apéndice A. Medidas de rectificación y curvatura media débil Resumimos brevemente algunas definiciones de la Teoría de la Medida Geométrica. Nosotros siempre nos limitamos al caso de la hipersuperficie, que es ‘plano-tangencial’ y «rectificabilidad» de una medida en Rd significa «plano tangencial dimensional (d− 1)», y «d− 1)-rectificable». Definición A.1. Dejar que μ sea una medida de radón en Rd, d â € N. (1) Decimos que μ tiene un plano tangente (generalizado) en z • Rd si existe un Núm. 0 y a (d− 1)-dimensionales subespacio lineal T • Rd de tal manera que r−d+1 y − z dμ(y) = η dHd−1, por cada η o C0c (Rd). (A.1) A continuación, establecemos Tzμ := T y llamar a la multiplicidad de μ en z. (2) Si para μ-casi todo z • Rd existe un plano tangencial, entonces llamamos μ rectificable. Si además la multiplicidad es entero valorado μ-casi en todas partes decimos que μ es rectificable en número entero. (3) La primera variación : C1c (R d,Rd) de una medida de radón rectificable μ sobre Rd es definido por (η) := divTzμ η dμ. LA ACCIÓN ALLEN-CAHN FUNCIONAL EN LAS DIMENSIONES SUPERIORES 31 Si existe una función H • L1loc(μ) tal que (η) = − H · η dμ llamamos H el débil vector de curvatura media de μ. Apéndice B. Pares de función de medida Recordamos algunos hechos básicos sobre la noción de pares de función de medida introducidos Hutchinson en [16]. Definición B.1. Deja que E-Rd sea un subconjunto abierto. Dejemos que μ sea un Radón positivo. medida en E. Supongamos f : E → Rm está bien definido μ-casi en todas partes, y f • L1(μ,Rm). Entonces decimos (μ, f) es un par de medida-función sobre E (con valores en RM). A continuación definimos dos nociones de convergencia para una secuencia de medida-función pares en E con valores en Rm. Definición B.2. Supongamos que {(μk, fk)}k y (μ, f) son pares de función de medida sobre E con valores en Rm. Supón μk = μ, como las medidas de Radon en E. Entonces decimos (μk, fk) converge a (μ, f) en el débil sentido (en E) y escribir (μk, fk) → (μ, f), si μkfk → f en el sentido de medidas valoradas por vectores, eso significa fk · η dμk = f · η dμ, para todos los Estados miembros (E,Rm). El siguiente resultado es una versión ligeramente menos general de [16, Teorema 4.4.2], Sin embargo, esto es suficiente para nuestros objetivos. Teorema B.3. Let F : Rm → [0,) ser una función continua, convexa con crecimiento superlineal en el infinito, es decir: y F y) = â € ¬. Supongamos que {(μk, fk)}k son pares de función de medida sobre E • Rd con valores en Rm. Supongamos que μ es una medida de radón en E y μk → μ como k →. Entonces los siguientes son: Verdadero: 1) Si: F (fk) dμk <, (B.1) entonces alguna secuencia de {(μk, fk)} converge en el sentido débil a algunos función de medición (μ, f) para algunos f. (2) si (B.1) mantiene y (μk, fk) → (μ, f) entonces lim inf F (fk) dμk ≥ F (f) dμ. (B.2) 32 LUCA MUGNAI Y Matthias RÖGER Bibliografía [1] William K. Allard. En la primera variación de un varifold. Ann. de Matemáticas. (2), 95:417–491, 1972. [2] H. Allouba y J. A. Langa. Atractores Semimartingale para Allen-Cahn SPDEs impulsados por ruido blanco espacio-tiempo. I. Existencia y comportamiento asintótico dimensional finito. Stoch. Dyn., 4(2):223–244, 2004. [3] Luigi Ambrosio, Nicola Fusco y Diego Pallara. Funciones de variación limitada y libre problemas de discontinuidad. Monografías Matemáticas de Oxford. La prensa Clarendon Oxford Uni- versity Press, Nueva York, 2000. [4] Giovanni Bellettini y Luca Mugnai. 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Universidad Nacional de Australia Centro de Análisis Matemático, Canberra, 1983. Luca Mugnai, Instituto Max Planck de Matemáticas en las Ciencias, Inselstr. 22, D-04103 Leipzig Matthias Röger, Instituto Max Planck de Matemáticas en las Ciencias, Inselstr. 22, D-04103 Leipzig Dirección de correo electrónico: mugnai@mis.mpg.de, roeger@mis.mpg.de 1. Introducción 1.1. Modelos de campo de fase determinada y límites de interfaz nítidos 1.2. Interpretación estocástica de la acción funcional 1.3. Organización Reconocimiento 2. Notación y suposiciones 3. Flujos L2 4. Límite inferior para la acción funcional 4.1. Estimación inferior para la curvatura media 4.2. Estimación más baja para la velocidad generalizada 4.3. Estimación más baja de la acción funcional 4.4. Convergencia de la ecuación Allen-Cahn al flujo medio de curvatura 5. ¿Pruebas de Proposiciones?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ¿Y el teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 6. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 6.1. Equipartición de la energía 6.2. Convergencia de velocidades aproximadas 7. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 8. ¿Pruebas de Proposición? y Proposición?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 9. Conclusiones 9.1. Comparación de S y S0 9.2. Convergencia gamma en un supuesto adicional Apéndice A. Medidas de rectificación y curvatura media débil Apéndice B. Pares de función de medida Bibliografía

Metrical characterization of super-reflexivity and linear type of Banach spaces

CARACTERIZACIÓN METRICAL DE LA SUPERREFLEXIVIDAD Y TIPO LINEAR DE ESPECES DE BANACH FLORENT BAUDIER† Resumen. Demostramos que un espacio X Banach no es super-reflexivo si y sólo si el árbol infinito hiperbólico se incrusta métricamente en X. Mejoramos una implicación de Resultado de J.Bourgain que dio una caracterización métrica de la super-reflexividad en Banach espacios en términos de uniformes incrustaciones de los árboles finitos. Una caracterización de la tipo lineal para espacios Banach se da usando la incrustación del árbol infinito equipado con las métricas dp inducidas por las normas de lp. 1. Introducción y notación Arreglamos algunas notación y recordamos los resultados básicos. Que (M,d) y (N, ) sean dos espacios métricos y un mapa inyector f : M → N. [11], definimos la distorsión de f para ser dist(f) := −1+Lip = sup x 6 = y ° M (f(x), f(y)) d(x, y) . sup x 6 = y ° M d(x, y) (f(x), f(y)) Si dist(f) es finito, decimos que f es una integración métrica, o simplemente una integración de M en Y si existe una incrustación f de M en N, con dist(f) ≤ C, utilizamos la notación N. Denote Ł0 =, la raíz del árbol. Let Łn = 1, 1} n, Tn = i=0 ♥i y n=0 Tn. Así Tn es el árbol finito con n niveles y T el árbol infinito. En el caso de las palabras «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra» o «obra», «obra», «obra», «obra» o «obra», «obra», «obra» o «obra» o «obra» o «obra» o «obre». Denotar la longitud de Ł; es decir, los números de los nodos de ♥. Definimos el dis- hiperbólico = (, ) = 2, donde es el ancestro común más grande de los Países Bajos y de los Países Bajos. La métrica en Tn, es la restricción de Para un espacio de Banach X, denotamos BX su bola de unidad cerrada, y X * su espacio dual. T se incrusta isométricamente en l1(N) de una manera trivial. En realidad, dejar (e)T ser el canónico base de l1(T) (T es contable), a continuación, la incrustación es dada por 7→ s es. Laboratoire de Mathématiques, UMR 6623 Université de Franche-Comté, 25030 Besançon, cedex - Francia †florent.baudier@math.univ-fcomte.fr 2000 Clasificación de Materias Matemáticas. (46B20) (51F99) http://arxiv.org/abs/0704.1955v1 2 BAUDIER FLORENTE† Aharoni demostró en [1] que cada espacio métrico separable se incrusta en c0, así que T lo hace. El principal resultado de este artículo es una mejora de la caracterización métrica de Bourgain de super-reflexividad. Bourgain demostró en [2] que X no es super-reflexivo si y sólo si el árboles finitos Tn incrustar uniformemente en X (es decir, con constantes de incrustación independiente de n). Obviamente si T se incrusta en X entonces los T ′ns incrustar uniformemente en X y X no es super- reflexivo, pero si X no es super-reflexivo no sabíamos si el árbol infinito T se incrusta en X. En este documento, demostramos que es el caso: Teorema 1.1. Que X sea un espacio Banach no super-reflexivo, entonces (T, ♥) se incrusta en X. La prueba de la parte directa del Teorema de Bourgain utiliza esencialmente la caracterización de James- ciones de superreflexividad (véase [7]) y una enumeración de los árboles finitos Tn. Recordamos a James’ Teorema: Teorema 1.2 (James). Dejar 0 <  < 1 y X un espacio Banach no super-reflexivo, a continuación: N, x1, x2,. ......................................... 2,..., x n.o BX* s.t.: x*k(xj) = x*k(xj) = 0 k ≥ j 2. Caracterización métrica de la superreflexividad La principal obstrucción a la inserción de T en cualquier espacio Banach no super-reflexivo X es la finitud de las secuencias en la caracterización de Santiago. Cómo, con una secuencia de La incrustación tipo Bourgain, ¿podemos construir una única incrustación de T en X? En [13], Ribe muestra, en particular, que 2 lpn y ( 2 lpn) l1 son uniformemente homeo- mórfico, donde (pn)n es una secuencia de números tales que pn > 1, y pn tiende a 1. Pero T se incrusta en l1, por lo tanto a través del homeomorfismo uniforme T se incrusta en 2 lpn. Sin embargo T no se incrusta en ningún lpn (son super-reflexivos). El problema resuelto en el siguiente teorema, inspirado en parte por la prueba de Ribe, es construir un subespacio con una descomposición de Schauder Fn donde T2n+1 se incrusta en Fn y para repostar correctamente las incrustaciones con el fin de obtener la incrustación deseada. Prueba de Teorema 1.1 : Let (i)i≥0, una secuencia de números reales positivos tales que i≥0(1 + Łi) ≤ 2, y fijar 0 <  < 1. Let kn = 2 2n+1+1 − 1. Primero construimos inductivamente una secuencia (Fn)n≥0 de subespacios de X, que es un Schauder la descomposición dimensional finita de un subespacio de X s.t la proyección de i=0 Fi en la p i=0 Fi, con núcleo i=p+1 Fi (con p < q) es de norma como máximo i=p (1i), y secuencias xn,1, xn,2,. ............................................................................................................................................................................................................................................................... x*n1, x n,2,. .., x BX* s.t: x*n,k(xn,j) = x*n,k(xn,j) = 0 Łk ≥ j. Caracterización métrica de superrreflexividad y tipo lineal de espacios Banach 3 Nota Φn : Tn → {1, 2,..., 2 n+1− 1} la enumeración de Tn después de la lexicografía Orden. Es una enumeración de Tn tal que cualquier par de segmentos en Tn a partir de incompa- los nodos de la table (con respecto al orden del árbol ≤) se mapean dentro de intervalos de discontinuidad. Let N = Φ2n+1 y N = T2n+1. X no es super-reflexiva, por lo tanto de James’ Teorema: x0,1, x0,2,. ........................................................................ 0,1, x 0,2,..., x 0,7 ° BX* s.t: x*0,k(x0,j) = x*0,k(x0,j) = 0 Łk ≥ j. ­0 = T2 se incrusta en X a través de la incrustación f0(­) = s x0,0(s) (véase [2]). Let F0 = Span{x0,1,. .., x0,7}, luego dim(F0) <. Supongamos que F0,. .., Fp, y xp,1, xp,2,. ........................................................................................................... x*p1, x p,2,. .., x BX* verificar las condiciones requeridas, se construyen para todas las p ≤ n. Aplicamos el Lemma de Mazur (ver [9] página 4) al subespacio dimensional finito i=0 Fi de X. Por lo tanto existe Yn X tal que dim (X/Yn) < y : Índice ≤ 1 + (n) + (n) + (n) + (n) + (n) + (n) + (n) + (n) + (n) + (n) + (n) + (n) + (n) Fi × Yn Pero Yn es de codimensión finita en X, por lo tanto no es super-reflexivo. Del teorema de James y del teorema de Hahn-Banach: * xn+1,1, xn+1,2,. ............................................................................................................................................................................................................................................................... x*n+1,1, x n+1,2,. .., x n+1,kn+1 BX*, s.t: x*n+1,k(xn+1,j) = x*n+1,k(xn+1,j) = 0 k ≥ j. Se incrusta en Yn a través de la integración fn+1(­) = s xn+1;n+1(s). Let Fn+1 = Span{xn+1,j ; 1 ≤ j ≤ kn+1}, luego dim(Fn+1) < tion. Ahora defina las siguientes proyecciones: Let, Pn la proyección de Span( i=0 Fi) hacia F0 · · · Fn con kernel Span( i=n+1 Fi). Es fácil demostrar que â € ¢ Pnâ ≤ i=n(1 + Łi) ≤ 2. Denotamos ahora Π0 = P0 y Πn = Pn − Pn−1 para n ≥ 1. Tenemos que n ≤ 4. 4 FLORENT BAUDIER† De la construcción de Bourgain, para todos n : (, ) ≤ fn(l)− fn(l) ′) ≤ (, ), donde fn denota el tipo de incrustaciones de Bourgain en Fn, es decir, fn(l) = s xn,n(s). Tenga en cuenta que : N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N. Ahora definimos nuestra incrustación. f : T → Y = Span( i=0 Fi) X 7→ fn(l) + (1− l)fn+1(l), si 2 n ≤ ≤ 2n+1 donde, 2n+1 − f(­) = 0. Demostraremos que: (2), T (, ) ≤ f()− f() ≤ 9(, ). Observación 2.1 ≤ â € ~ f()â \ ~ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~. En primer lugar, mostramos que f es 9-Lipschitz. Podemos suponer que 0 < ≤ w.r.t observación 2.1. Si ≤ 1 entonces : (, ) ≥ − ≥ Por lo tanto, En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. < ≤, tenemos dos casos diferentes a considerar. 1) si 2n ≤ ≤ < 2n+1. Entonces, vamos 2n+1 − y = 2n+1 − * f()− f() = fn( ′fn( ′) + (1 − )fn+1(l)− (1−) ′)fn+1( ≤ fn(l)− fn(l) ′) ′) fn+1(l) ′)) + (1 − Ł)fn+1(l)− fn+1(l) ≤ ­(­, ) + 2­(­, ) + 2­(­, ) ≤ 5°(, ), Caracterización métrica de superrreflexividad y tipo lineal de espacios Banach 5 porque «fn» ′) < 2n+1, fn+1(l) ′)° < 2n+1 y, * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (, ) 2) si 2n ≤ ≤ 2n+1 ≤ < 2n+2. Entonces, vamos 2n+1 − y = 2n+2 − • f) • f) • f) = fn) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ′fn+1( ′)− (1− )fn+2( ≤ ­(­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) ′))•fn+1(l) ′) â € € TM fn+2(? ′)) + fn+1(l)− fn+1(l) ≤ 1(, ) + 2 2(1− ) ≤ 9°(, ), porque, (, ) , por lo que ≤ 2o(, ). Del mismo modo 1− = − 2n+1 (, ) y (1 a ) ≤ 2°(, ). Finalmente, f es 9-Lipschitz. Ahora nos ocupamos de la minorización. En nuestra próxima discusión, cada vez que (respectivamente ) pertenecerá a [2n, 2n+1), para algunos entero n, vamos a denotar 2n+1 − (respectivamente = 2n+1 − Podemos suponer que es más pequeño que en el orden lexicográfico. Denotar el más grande ancestro común de y. Y dejar d = − (respectivamente d′ = − ). 1) si 2n ≤, ≤ 2n+1. Tenemos, x*n.d.n. (l)n.d.f. (l)-f. (l) ′)) = فارسى(ld− d′) x*n+1;n+1(l)Πn+1(l)f(l)− f(l) ′)) = ((1 − )d− (1 − )d′). Por lo tanto, • f(l)− f(l) • ≥ (d-d′) − x*n*n*n*n*n*n*n*n*(f*)− f*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*(f*n*)- f* ′)) = d′ −x*n+1;*n+1(l)Πn+1(f(l)− f(l) ′)) = فارسى(1− )d′. 6 FLORENT BAUDIER† • f(l)− f(l) • ≥ Finalmente si distinguimos los casos d ≤ d′, y d′ < d Obtenemos: • f(l)− f(l) • ≥ (d + d′) (, ). 2) si 2n ≤ ≤ 2n+1 ≤ 2q+1 ≤ ≤ 2q+2, o 2n ≤ ≤ 2n+1 ≤ 2q+1 ≤ ≤ 2q+2. Si n < q, x*q+1,q+1(l)Πq+1(f(l)− f(l) ′)) + x*q+2,­q+2(l)Πq+2(l)− f(l) ′)) = ŁMax(d, d′) Por lo tanto, • f(l)− f(l) • ≥ (, ). Si n = q y ≤, x*n+1;n+1(l)Πn+1(f(l)− f(l) ′)) + x*n+2+2(l)Πn+2(f(l)− f(l) ′)) ≥ Łd′. • f(l)− f(l) • ≥ (, ). Si n = q y <, x*n+1;n+1(l)Πn+1(f(l)−f(l) ′))−x*n+1,­n+1(l)Πn+1(f(l)−f(l) ′)))+x*n+2+2(l)Πn+2(f(l)−f(l) ′)) = Łd. Por lo tanto, • f(l)− f(l) • ≥ (, ). Finalmente T X. Corolario 2.2. X no es super-reflexiva si y sólo si (T, ♥) se incrusta en X. Prueba : Se sigue claramente del resultado de Bourgain [2] y Teorema 1.1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Caracterización métrica de la superreflexividad y tipo lineal de los espacios Banach 7 3. Caracterización métrica del tipo lineal Primero identificamos canónicamente 1, 1}n con Kn = 1, 1} k>n{0}. Let p â € [1, â € €. Luego definimos otra métrica en T = Kn como sigue: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * dp(l, l ′) = ( * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * La longitud de T se puede ver como = (dp(l, 0)) La norma â € ¢p en lp coincide con dp para los elementos de T. Recordamos ahora dos definiciones clásicas: Que X e Y sean dos espacios Banach. Si X e Y son linealmente isomórficos, el Banach- La distancia de Mazur entre X e Y, denotado por dBM ( X, Y ), es el ínfimo de T-T-T sobre todos los isomorfismos lineales T de X a Y. Para p â € [1, € ], decimos que un espacio X Banach uniformemente contiene el lnp ’s si hay un constante C ≥ 1 tal que para cada entero n, X admite un subespacio Y n-dimensional así que dBM (l p, Y ) ≤ C. Declaramos y probamos ahora el siguiente resultado. Teorema 3.1. Let p â € [1, â € €. Si X contiene uniformemente el lnp’s entonces (T, dp) se incrusta en X. Prueba : Recordamos primero un resultado fundamental debido a Krivine (para 1 < p < en [8]) y James (para p = 1 y • en [7]). Teorema 3.2 (James-Krivine). Que el espacio de Banach y X sean un espacio uniformemente con- el mantenimiento de los inp ’s. Entonces, para cualquier subespacio codimensional finito Y de X, cualquier â € > 0 y cualquier n N, existe un subespacio F de Y tal que dBM (l p, F ) < 1 +. Utilizando el teorema 3.2 junto con el hecho de que cada lnp es dimensional finito, podemos construir Subespacios dimensionales inductivamente finitos (Fn) n=0 de X y (Rn) n=0 de modo que para cada n ≥ 0, Rn es un isomorfismo lineal de l p sobre Fn satisfactoria * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ y también tales que (Fn) n=0 es una descomposición dimensional finita de Schauder de su cerrado espaciamiento lineal Z. Más precisamente, si Pn es la proyección de Z a F0 â €...â € TM Fn con kernel Span ( i=n+1 Fi), asumiremos como podemos, que â € € TM ≤ 2. Denotamos ahora Π0 = P0 y Πn = Pn − Pn−1 para n ≥ 1. Tenemos que n ≤ 4. Ahora consideramos: Tn → l p definida por = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = .................................................................................................................................................................... donde (ei) es la base canónica de l p. El mapa es claramente una incrustación isométrica de Tn en lnp. 8 FLORENT BAUDIER† Entonces establecemos: Tn, fn(­) = Rn(­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) () (­) (­) () () () () () () () () () () () () () () () () () ())) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () Finalmente construimos un mapa f : T → X como sigue : f : T → X 7→ Fm(­) + (1­ ­)fm+1(­), si 2 m ≤ < 2m+1, donde, 2m+1 − Observación 3.3 Tenemos 1 En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo y del precio franco fábrica del vehículo. Como en la prueba de Teorema 1.1, probamos que f es 9-Lipschitz utilizando exactamente el mismo Cálculos. Ahora probaremos que f-1 es Lipschitz. Nosotros consideramos a T y asumimos de nuevo que 0 < ≤. Tenemos que estudiar dos casos diferentes. Una vez más, cuando (respectivamente ) pertenecerá a [2m, 2m+1), para algunos entero m, vamos a denotar 2m+1 − (respectivamente = 2m+1 − 1) si 2m ≤, < 2m+1. dp(l, l ′) ≤ i=1?iei −? * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * i=1 ♥ ieiÃ3p + â € ~ (1− â € ~ ~ ~) i=1?iei − (1−? * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * i=1 ♥ ieičáp ≤ 2m(f(l)− f(l) ′)) + 2m+1(f(l)− f(l) ≤ 16°f(l)− f(l)­. ≤ 16°f(l). ≤ 16°f(l)− f(l). ≤ 16°f(l). ≤ 16°f(l)− f(l). ≤ 16°f(l)− f(l). ≤ 16°f(l)− f(l). ≤ 16°f(l)− f(l). ≤ 16°f(l)− f(l). ≤ 16°f(l). ≤ 16°f(l)− f(l) 2) si 2m ≤ ≤ 2m+1 ≤ 2q+1 ≤ < 2q+2. si m < q, dp(l, l ′) ≤ 2dp( ′, 0) ≤ 2(1− )dp( ′, 0) + dp( ′, 0)) ≤ 2(2q+2(f(l)− f(l) ′)) 2m+1(f(l)− f(l) ′) ) ) ) ) )........................................................................................................................................................................... ≤ 32°f(l)− f(l)®. Caracterización métrica de la superreflexividad y tipo lineal de los espacios Banach 9 si m = q, dp(l, l ′) ≤ i=1?iei −? * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * i=1 ♥ ieičáp + (1 − ♥) ′)dp( ′, 0) ≤ 2m(f(l)− f(l) ′)) 2m+1(f(l)− f(l) ′)) + 2m+2(f(l)− f(l) ≤ 24°f(l)− f(l)®. Finalmente obtenemos que f−1 es 32-Lipschitz, y T X. En la secuela un espacio de Banach X se dice que tiene tipo p > 0 si existe una constante T < tal que para cada n y cada x1,. .............................................................. *Jxj* ≤ T p donde la expectación es con respecto a una elección uniforme de los signos............................................................................................................................................................. ................................................................................................... El conjunto de p’s para el cual X contiene lnp’s uniformemente está estrechamente relacionado con el tipo de X según el resultado siguiente debido a Maurey, Pisier [10] y Krivine [8], que aclara el significado de estas nociones. Teorema 3.4 (Maurey-Pisier-Krivine). Que X sea un espacio Banach de dimensiones infinitas. pX = sup{p ; X es de tipo p}, Entonces X contiene lnp’s uniformemente para p = pX. Equivalentemente, tenemos pX = inf{p ; X contiene l p’s uniformemente}. Deducimos de Teorema 3.1 dos corolarios. Corolario 3.5. Dejar X un espacio de Banach y 1 ≤ p < 2. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) pX ≤ p. ii) X contiene uniformemente el lnp ’s. iii) el (Tn, dp) se incrusta uniformemente en X. iv) (T, dp) se incrusta en X. Prueba : ii) implica i) es obvio. i) implica ii) se debe al teorema 3.2 y al trabajo de Bretagnolle, Dacunha-Castelle y Krivine [4]. Para la equivalencia entre ii) y iii) véase el trabajo de Bourgain, Milman y Wolfson [3] y Krivine [8]. iv) implica iii) es obvio. Y ii) implica iv) es Teorema 3.1. 10 FLORENT BAUDIER† Corollary 3.6. Que X sea un espacio banach dimensional infinito, entonces (T, d2) se incrusta en Prueba : Este corolario es una consecuencia del Teorema de Dvoretsky [6] y del Teorema 3.1. Bibliografía [1] I. Aharoni, Cada espacio métrico separable es Lipschitz equivalente a un subconjunto de c . Israel J. Matemáticas. 19 (1974), 284–291. [2] J. Bourgain, La interpretación métrica de la super-reflexividad en los espacios de Banach. Israel J. Matemáticas. 56 (1986), 221-230. [3] J. Bourgain, V. Milman, H. Wolfson, En el tipo de espacios métricos. Trans. Amer. Matemáticas. Soc. volumen 294, número 1, marzo de 1986, 295-317. [4] J. Bretagnolle, D. Dacunha-Castelle, J.L. Krivine, Lois Stables et espaces Lp. Ann. Instit. H. Poincaré, 2 (1966), 231-259. [5] J. Diestel, Secuencias y Serie en Espacios Banach. Springer-Verlag (1984). [6] A. Dvoretzky, Algunos resultados sobre cuerpos convexos y espacios Banach. Proc. Internat. Sympos. Lineal Espacios (Jerusalén, 1960) 123–160. [7] R. C. James, Espacios super-reflexivos con bases. Pacific J. Matemáticas. 41 (1972), 409-419. [8] J. L. Krivine, Sous-espaces de dimension finie des espaces de Banach réticulés, Ann. de Matemáticas. 2) 104 (1976), 1-29. [9] J. Lindenstrauss y L. Tzafriri, Classical Banach Spaces I, Springer Berlin 1977. [10] B. Maurey, G. Pisier, Séries de variables aléatoires vectorielles independentes et propriétés géométriques de espaces de Banach, Studia Math. 58(1) 1976, 45-90. [11] M. Mendel, A. Naor, Cotipo métrico, arXiv:math.FA/0506201 v3 29 Apr 2006 [12] G. Pisier, Factorización de Operadores Lineales y Geometría de Espacios Banach. CBMS Regional Serie de conferencias en matemáticas, 60. [13] M. Ribe, Existencia de espacios de Banach separables uniformemente homeomórficos no isomórficos. Israel J. Matemáticas. 48 (1984), No. 2-3, 139-147. http://arxiv.org/abs/math/0506201 1. Introducción y notación 2. Caracterización métrica de la superreflexividad 3. Caracterización métrica del tipo lineal Bibliografía

Demostramos que un espacio X Banach no es super-reflexivo si y sólo si el árbol infinito hiperbólico se incrusta métricamente en X. Mejoramos una implicación del resultado de J.Bourgain que dio una caracterización métrica de super-reflexividad en los espacios de Banach en términos de uniformes incrustaciones de la árboles finitos. Se da una caracterización del tipo lineal para los espacios de Banach utilizando la incrustación del árbol infinito equipado con una métrica adecuada.

Introducción y notación Arreglamos algunas notación y recordamos los resultados básicos. Que (M,d) y (N, ) sean dos espacios métricos y un mapa inyector f : M → N. [11], definimos la distorsión de f para ser dist(f) := −1+Lip = sup x 6 = y ° M (f(x), f(y)) d(x, y) . sup x 6 = y ° M d(x, y) (f(x), f(y)) Si dist(f) es finito, decimos que f es una integración métrica, o simplemente una integración de M en Y si existe una incrustación f de M en N, con dist(f) ≤ C, utilizamos la notación N. Denote Ł0 =, la raíz del árbol. Let Łn = 1, 1} n, Tn = i=0 ♥i y n=0 Tn. Así Tn es el árbol finito con n niveles y T el árbol infinito. En el caso de las palabras «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra», «obra» o «obra», «obra», «obra», «obra» o «obra», «obra», «obra» o «obra» o «obra» o «obra» o «obre». Denotar la longitud de Ł; es decir, los números de los nodos de ♥. Definimos el dis- hiperbólico = (, ) = 2, donde es el ancestro común más grande de los Países Bajos y de los Países Bajos. La métrica en Tn, es la restricción de Para un espacio de Banach X, denotamos BX su bola de unidad cerrada, y X * su espacio dual. T se incrusta isométricamente en l1(N) de una manera trivial. En realidad, dejar (e)T ser el canónico base de l1(T) (T es contable), a continuación, la incrustación es dada por 7→ s es. Laboratoire de Mathématiques, UMR 6623 Université de Franche-Comté, 25030 Besançon, cedex - Francia †florent.baudier@math.univ-fcomte.fr 2000 Clasificación de Materias Matemáticas. (46B20) (51F99) http://arxiv.org/abs/0704.1955v1 2 BAUDIER FLORENTE† Aharoni demostró en [1] que cada espacio métrico separable se incrusta en c0, así que T lo hace. El principal resultado de este artículo es una mejora de la caracterización métrica de Bourgain de super-reflexividad. Bourgain demostró en [2] que X no es super-reflexivo si y sólo si el árboles finitos Tn incrustar uniformemente en X (es decir, con constantes de incrustación independiente de n). Obviamente si T se incrusta en X entonces los T ′ns incrustar uniformemente en X y X no es super- reflexivo, pero si X no es super-reflexivo no sabíamos si el árbol infinito T se incrusta en X. En este documento, demostramos que es el caso: Teorema 1.1. Que X sea un espacio Banach no super-reflexivo, entonces (T, ♥) se incrusta en X. La prueba de la parte directa del Teorema de Bourgain utiliza esencialmente la caracterización de James- ciones de superreflexividad (véase [7]) y una enumeración de los árboles finitos Tn. Recordamos a James’ Teorema: Teorema 1.2 (James). Dejar 0 <  < 1 y X un espacio Banach no super-reflexivo, a continuación: N, x1, x2,. ......................................... 2,..., x n.o BX* s.t.: x*k(xj) = x*k(xj) = 0 k ≥ j 2. Caracterización métrica de la superreflexividad La principal obstrucción a la inserción de T en cualquier espacio Banach no super-reflexivo X es la finitud de las secuencias en la caracterización de Santiago. Cómo, con una secuencia de La incrustación tipo Bourgain, ¿podemos construir una única incrustación de T en X? En [13], Ribe muestra, en particular, que 2 lpn y ( 2 lpn) l1 son uniformemente homeo- mórfico, donde (pn)n es una secuencia de números tales que pn > 1, y pn tiende a 1. Pero T se incrusta en l1, por lo tanto a través del homeomorfismo uniforme T se incrusta en 2 lpn. Sin embargo T no se incrusta en ningún lpn (son super-reflexivos). El problema resuelto en el siguiente teorema, inspirado en parte por la prueba de Ribe, es construir un subespacio con una descomposición de Schauder Fn donde T2n+1 se incrusta en Fn y para repostar correctamente las incrustaciones con el fin de obtener la incrustación deseada. Prueba de Teorema 1.1 : Let (i)i≥0, una secuencia de números reales positivos tales que i≥0(1 + Łi) ≤ 2, y fijar 0 <  < 1. Let kn = 2 2n+1+1 − 1. Primero construimos inductivamente una secuencia (Fn)n≥0 de subespacios de X, que es un Schauder la descomposición dimensional finita de un subespacio de X s.t la proyección de i=0 Fi en la p i=0 Fi, con núcleo i=p+1 Fi (con p < q) es de norma como máximo i=p (1i), y secuencias xn,1, xn,2,. ............................................................................................................................................................................................................................................................... x*n1, x n,2,. .., x BX* s.t: x*n,k(xn,j) = x*n,k(xn,j) = 0 Łk ≥ j. Caracterización métrica de superrreflexividad y tipo lineal de espacios Banach 3 Nota Φn : Tn → {1, 2,..., 2 n+1− 1} la enumeración de Tn después de la lexicografía Orden. Es una enumeración de Tn tal que cualquier par de segmentos en Tn a partir de incompa- los nodos de la table (con respecto al orden del árbol ≤) se mapean dentro de intervalos de discontinuidad. Let N = Φ2n+1 y N = T2n+1. X no es super-reflexiva, por lo tanto de James’ Teorema: x0,1, x0,2,. ........................................................................ 0,1, x 0,2,..., x 0,7 ° BX* s.t: x*0,k(x0,j) = x*0,k(x0,j) = 0 Łk ≥ j. ­0 = T2 se incrusta en X a través de la incrustación f0(­) = s x0,0(s) (véase [2]). Let F0 = Span{x0,1,. .., x0,7}, luego dim(F0) <. Supongamos que F0,. .., Fp, y xp,1, xp,2,. ........................................................................................................... x*p1, x p,2,. .., x BX* verificar las condiciones requeridas, se construyen para todas las p ≤ n. Aplicamos el Lemma de Mazur (ver [9] página 4) al subespacio dimensional finito i=0 Fi de X. Por lo tanto existe Yn X tal que dim (X/Yn) < y : Índice ≤ 1 + (n) + (n) + (n) + (n) + (n) + (n) + (n) + (n) + (n) + (n) + (n) + (n) + (n) Fi × Yn Pero Yn es de codimensión finita en X, por lo tanto no es super-reflexivo. Del teorema de James y del teorema de Hahn-Banach: * xn+1,1, xn+1,2,. ............................................................................................................................................................................................................................................................... x*n+1,1, x n+1,2,. .., x n+1,kn+1 BX*, s.t: x*n+1,k(xn+1,j) = x*n+1,k(xn+1,j) = 0 k ≥ j. Se incrusta en Yn a través de la integración fn+1(­) = s xn+1;n+1(s). Let Fn+1 = Span{xn+1,j ; 1 ≤ j ≤ kn+1}, luego dim(Fn+1) < tion. Ahora defina las siguientes proyecciones: Let, Pn la proyección de Span( i=0 Fi) hacia F0 · · · Fn con kernel Span( i=n+1 Fi). Es fácil demostrar que â € ¢ Pnâ ≤ i=n(1 + Łi) ≤ 2. Denotamos ahora Π0 = P0 y Πn = Pn − Pn−1 para n ≥ 1. Tenemos que n ≤ 4. 4 FLORENT BAUDIER† De la construcción de Bourgain, para todos n : (, ) ≤ fn(l)− fn(l) ′) ≤ (, ), donde fn denota el tipo de incrustaciones de Bourgain en Fn, es decir, fn(l) = s xn,n(s). Tenga en cuenta que : N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N. Ahora definimos nuestra incrustación. f : T → Y = Span( i=0 Fi) X 7→ fn(l) + (1− l)fn+1(l), si 2 n ≤ ≤ 2n+1 donde, 2n+1 − f(­) = 0. Demostraremos que: (2), T (, ) ≤ f()− f() ≤ 9(, ). Observación 2.1 ≤ â € ~ f()â \ ~ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~. En primer lugar, mostramos que f es 9-Lipschitz. Podemos suponer que 0 < ≤ w.r.t observación 2.1. Si ≤ 1 entonces : (, ) ≥ − ≥ Por lo tanto, En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. < ≤, tenemos dos casos diferentes a considerar. 1) si 2n ≤ ≤ < 2n+1. Entonces, vamos 2n+1 − y = 2n+1 − * f()− f() = fn( ′fn( ′) + (1 − )fn+1(l)− (1−) ′)fn+1( ≤ fn(l)− fn(l) ′) ′) fn+1(l) ′)) + (1 − Ł)fn+1(l)− fn+1(l) ≤ ­(­, ) + 2­(­, ) + 2­(­, ) ≤ 5°(, ), Caracterización métrica de superrreflexividad y tipo lineal de espacios Banach 5 porque «fn» ′) < 2n+1, fn+1(l) ′)° < 2n+1 y, * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (, ) 2) si 2n ≤ ≤ 2n+1 ≤ < 2n+2. Entonces, vamos 2n+1 − y = 2n+2 − • f) • f) • f) = fn) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ′fn+1( ′)− (1− )fn+2( ≤ ­(­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) ′))•fn+1(l) ′) â € € TM fn+2(? ′)) + fn+1(l)− fn+1(l) ≤ 1(, ) + 2 2(1− ) ≤ 9°(, ), porque, (, ) , por lo que ≤ 2o(, ). Del mismo modo 1− = − 2n+1 (, ) y (1 a ) ≤ 2°(, ). Finalmente, f es 9-Lipschitz. Ahora nos ocupamos de la minorización. En nuestra próxima discusión, cada vez que (respectivamente ) pertenecerá a [2n, 2n+1), para algunos entero n, vamos a denotar 2n+1 − (respectivamente = 2n+1 − Podemos suponer que es más pequeño que en el orden lexicográfico. Denotar el más grande ancestro común de y. Y dejar d = − (respectivamente d′ = − ). 1) si 2n ≤, ≤ 2n+1. Tenemos, x*n.d.n. (l)n.d.f. (l)-f. (l) ′)) = فارسى(ld− d′) x*n+1;n+1(l)Πn+1(l)f(l)− f(l) ′)) = ((1 − )d− (1 − )d′). Por lo tanto, • f(l)− f(l) • ≥ (d-d′) − x*n*n*n*n*n*n*n*n*(f*)− f*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*(f*n*)- f* ′)) = d′ −x*n+1;*n+1(l)Πn+1(f(l)− f(l) ′)) = فارسى(1− )d′. 6 FLORENT BAUDIER† • f(l)− f(l) • ≥ Finalmente si distinguimos los casos d ≤ d′, y d′ < d Obtenemos: • f(l)− f(l) • ≥ (d + d′) (, ). 2) si 2n ≤ ≤ 2n+1 ≤ 2q+1 ≤ ≤ 2q+2, o 2n ≤ ≤ 2n+1 ≤ 2q+1 ≤ ≤ 2q+2. Si n < q, x*q+1,q+1(l)Πq+1(f(l)− f(l) ′)) + x*q+2,­q+2(l)Πq+2(l)− f(l) ′)) = ŁMax(d, d′) Por lo tanto, • f(l)− f(l) • ≥ (, ). Si n = q y ≤, x*n+1;n+1(l)Πn+1(f(l)− f(l) ′)) + x*n+2+2(l)Πn+2(f(l)− f(l) ′)) ≥ Łd′. • f(l)− f(l) • ≥ (, ). Si n = q y <, x*n+1;n+1(l)Πn+1(f(l)−f(l) ′))−x*n+1,­n+1(l)Πn+1(f(l)−f(l) ′)))+x*n+2+2(l)Πn+2(f(l)−f(l) ′)) = Łd. Por lo tanto, • f(l)− f(l) • ≥ (, ). Finalmente T X. Corolario 2.2. X no es super-reflexiva si y sólo si (T, ♥) se incrusta en X. Prueba : Se sigue claramente del resultado de Bourgain [2] y Teorema 1.1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Caracterización métrica de la superreflexividad y tipo lineal de los espacios Banach 7 3. Caracterización métrica del tipo lineal Primero identificamos canónicamente 1, 1}n con Kn = 1, 1} k>n{0}. Let p â € [1, â € €. Luego definimos otra métrica en T = Kn como sigue: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * dp(l, l ′) = ( * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * La longitud de T se puede ver como = (dp(l, 0)) La norma â € ¢p en lp coincide con dp para los elementos de T. Recordamos ahora dos definiciones clásicas: Que X e Y sean dos espacios Banach. Si X e Y son linealmente isomórficos, el Banach- La distancia de Mazur entre X e Y, denotado por dBM ( X, Y ), es el ínfimo de T-T-T sobre todos los isomorfismos lineales T de X a Y. Para p â € [1, € ], decimos que un espacio X Banach uniformemente contiene el lnp ’s si hay un constante C ≥ 1 tal que para cada entero n, X admite un subespacio Y n-dimensional así que dBM (l p, Y ) ≤ C. Declaramos y probamos ahora el siguiente resultado. Teorema 3.1. Let p â € [1, â € €. Si X contiene uniformemente el lnp’s entonces (T, dp) se incrusta en X. Prueba : Recordamos primero un resultado fundamental debido a Krivine (para 1 < p < en [8]) y James (para p = 1 y • en [7]). Teorema 3.2 (James-Krivine). Que el espacio de Banach y X sean un espacio uniformemente con- el mantenimiento de los inp ’s. Entonces, para cualquier subespacio codimensional finito Y de X, cualquier â € > 0 y cualquier n N, existe un subespacio F de Y tal que dBM (l p, F ) < 1 +. Utilizando el teorema 3.2 junto con el hecho de que cada lnp es dimensional finito, podemos construir Subespacios dimensionales inductivamente finitos (Fn) n=0 de X y (Rn) n=0 de modo que para cada n ≥ 0, Rn es un isomorfismo lineal de l p sobre Fn satisfactoria * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ y también tales que (Fn) n=0 es una descomposición dimensional finita de Schauder de su cerrado espaciamiento lineal Z. Más precisamente, si Pn es la proyección de Z a F0 â €...â € TM Fn con kernel Span ( i=n+1 Fi), asumiremos como podemos, que â € € TM ≤ 2. Denotamos ahora Π0 = P0 y Πn = Pn − Pn−1 para n ≥ 1. Tenemos que n ≤ 4. Ahora consideramos: Tn → l p definida por = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = .................................................................................................................................................................... donde (ei) es la base canónica de l p. El mapa es claramente una incrustación isométrica de Tn en lnp. 8 FLORENT BAUDIER† Entonces establecemos: Tn, fn(­) = Rn(­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) () (­) (­) () () () () () () () () () () () () () () () () () ())) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () Finalmente construimos un mapa f : T → X como sigue : f : T → X 7→ Fm(­) + (1­ ­)fm+1(­), si 2 m ≤ < 2m+1, donde, 2m+1 − Observación 3.3 Tenemos 1 En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo y del precio franco fábrica del vehículo. Como en la prueba de Teorema 1.1, probamos que f es 9-Lipschitz utilizando exactamente el mismo Cálculos. Ahora probaremos que f-1 es Lipschitz. Nosotros consideramos a T y asumimos de nuevo que 0 < ≤. Tenemos que estudiar dos casos diferentes. Una vez más, cuando (respectivamente ) pertenecerá a [2m, 2m+1), para algunos entero m, vamos a denotar 2m+1 − (respectivamente = 2m+1 − 1) si 2m ≤, < 2m+1. dp(l, l ′) ≤ i=1?iei −? * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * i=1 ♥ ieiÃ3p + â € ~ (1− â € ~ ~ ~) i=1?iei − (1−? * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * i=1 ♥ ieičáp ≤ 2m(f(l)− f(l) ′)) + 2m+1(f(l)− f(l) ≤ 16°f(l)− f(l)­. ≤ 16°f(l). ≤ 16°f(l)− f(l). ≤ 16°f(l). ≤ 16°f(l)− f(l). ≤ 16°f(l)− f(l). ≤ 16°f(l)− f(l). ≤ 16°f(l)− f(l). ≤ 16°f(l)− f(l). ≤ 16°f(l). ≤ 16°f(l)− f(l) 2) si 2m ≤ ≤ 2m+1 ≤ 2q+1 ≤ < 2q+2. si m < q, dp(l, l ′) ≤ 2dp( ′, 0) ≤ 2(1− )dp( ′, 0) + dp( ′, 0)) ≤ 2(2q+2(f(l)− f(l) ′)) 2m+1(f(l)− f(l) ′) ) ) ) ) )........................................................................................................................................................................... ≤ 32°f(l)− f(l)®. Caracterización métrica de la superreflexividad y tipo lineal de los espacios Banach 9 si m = q, dp(l, l ′) ≤ i=1?iei −? * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * i=1 ♥ ieičáp + (1 − ♥) ′)dp( ′, 0) ≤ 2m(f(l)− f(l) ′)) 2m+1(f(l)− f(l) ′)) + 2m+2(f(l)− f(l) ≤ 24°f(l)− f(l)®. Finalmente obtenemos que f−1 es 32-Lipschitz, y T X. En la secuela un espacio de Banach X se dice que tiene tipo p > 0 si existe una constante T < tal que para cada n y cada x1,. .............................................................. *Jxj* ≤ T p donde la expectación es con respecto a una elección uniforme de los signos............................................................................................................................................................. ................................................................................................... El conjunto de p’s para el cual X contiene lnp’s uniformemente está estrechamente relacionado con el tipo de X según el resultado siguiente debido a Maurey, Pisier [10] y Krivine [8], que aclara el significado de estas nociones. Teorema 3.4 (Maurey-Pisier-Krivine). Que X sea un espacio Banach de dimensiones infinitas. pX = sup{p ; X es de tipo p}, Entonces X contiene lnp’s uniformemente para p = pX. Equivalentemente, tenemos pX = inf{p ; X contiene l p’s uniformemente}. Deducimos de Teorema 3.1 dos corolarios. Corolario 3.5. Dejar X un espacio de Banach y 1 ≤ p < 2. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) pX ≤ p. ii) X contiene uniformemente el lnp ’s. iii) el (Tn, dp) se incrusta uniformemente en X. iv) (T, dp) se incrusta en X. Prueba : ii) implica i) es obvio. i) implica ii) se debe al teorema 3.2 y al trabajo de Bretagnolle, Dacunha-Castelle y Krivine [4]. Para la equivalencia entre ii) y iii) véase el trabajo de Bourgain, Milman y Wolfson [3] y Krivine [8]. iv) implica iii) es obvio. Y ii) implica iv) es Teorema 3.1. 10 FLORENT BAUDIER† Corollary 3.6. Que X sea un espacio banach dimensional infinito, entonces (T, d2) se incrusta en Prueba : Este corolario es una consecuencia del Teorema de Dvoretsky [6] y del Teorema 3.1. Bibliografía [1] I. Aharoni, Cada espacio métrico separable es Lipschitz equivalente a un subconjunto de c . Israel J. Matemáticas. 19 (1974), 284–291. [2] J. Bourgain, La interpretación métrica de la super-reflexividad en los espacios de Banach. Israel J. Matemáticas. 56 (1986), 221-230. [3] J. Bourgain, V. Milman, H. Wolfson, En el tipo de espacios métricos. Trans. Amer. Matemáticas. Soc. volumen 294, número 1, marzo de 1986, 295-317. [4] J. Bretagnolle, D. Dacunha-Castelle, J.L. Krivine, Lois Stables et espaces Lp. Ann. Instit. H. Poincaré, 2 (1966), 231-259. [5] J. Diestel, Secuencias y Serie en Espacios Banach. Springer-Verlag (1984). [6] A. Dvoretzky, Algunos resultados sobre cuerpos convexos y espacios Banach. Proc. Internat. Sympos. Lineal Espacios (Jerusalén, 1960) 123–160. [7] R. C. James, Espacios super-reflexivos con bases. Pacific J. Matemáticas. 41 (1972), 409-419. [8] J. L. Krivine, Sous-espaces de dimension finie des espaces de Banach réticulés, Ann. de Matemáticas. 2) 104 (1976), 1-29. [9] J. Lindenstrauss y L. Tzafriri, Classical Banach Spaces I, Springer Berlin 1977. [10] B. Maurey, G. Pisier, Séries de variables aléatoires vectorielles independentes et propriétés géométriques de espaces de Banach, Studia Math. 58(1) 1976, 45-90. [11] M. Mendel, A. Naor, Cotipo métrico, arXiv:math.FA/0506201 v3 29 Apr 2006 [12] G. Pisier, Factorización de Operadores Lineales y Geometría de Espacios Banach. CBMS Regional Serie de conferencias en matemáticas, 60. [13] M. Ribe, Existencia de espacios de Banach separables uniformemente homeomórficos no isomórficos. Israel J. Matemáticas. 48 (1984), No. 2-3, 139-147. http://arxiv.org/abs/math/0506201 1. Introducción y notación 2. Caracterización métrica de la superreflexividad 3. Caracterización métrica del tipo lineal Bibliografía

Search for exclusive events using the dijet mass fraction at the Tevatron

Búsqueda de eventos exclusivos utilizando la fracción de masa de chorro en el Tevatron O. Kepka* DAPNIA/Service de physique des particules, CEA/Saclay, 91191 Gif-sur-Yvette cedex, Francia IPNP, Facultad de Matemáticas y Física, Universidad Charles, Praga y Centro de Física de Partículas, Instituto de Física, Academia de Ciencias, Praga C. Royon† DAPNIA/Service de physique des particules, CEA/Saclay, 91191 Gif-sur-Yvette cedex, Francia En este artículo, discutimos la observación de eventos exclusivos usando la fracción de masa de dijet como medida por la colaboración CDF en el Tevatron. Comparamos los datos con el intercambio de pomerones modelos inspirados, así como los de interacción de color suave. También proporcionamos la predicción sobre la masa de chorro fracción en el LHC utilizando eventos exclusivos e inclusivos difractivos. I. INTRODUCCIÓN Se espera que los procesos de intercambio de pomerones dobles (DPE) amplíen el programa de física en el LHC no sólo debido a la posible detección de bosones de Higgs, pero también debido a la posibilidad de estudiar una gama más amplia de la física QCD y difracción [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]. Los procesos se caracterizan teóricamente por grandes regiones de brecha de rapidez desprovistas de partículas entre el objeto pesado producido centralmente y los hadrones dispersos que dejan intacta la interacción. Esto se atribuye al intercambio de un objeto incoloro, el pomeron (o el reggeon). Sin embargo, en el entorno del LHC, la firma de la brecha de rapidez no aparecerá debido al alto número de interacciones múltiples que ocurren en el mismo tiempo, y los eventos difractivos serán identificados marcando los protones que escapan en la tubería del haz. Generalmente se consideran dos clases de procesos de DPE, a saber, eventos exclusivos de DPE si se produce el objeto central solo transportando la energía difractiva total disponible y los eventos inclusivos cuando la energía total se utiliza para producir el objeto central y, además, los restos de pomerones. Los eventos exclusivos permiten una reconstrucción precisa de la masa y propiedades cinemáticas del objeto central utilizando el detector central o incluso más precisamente utilizando muy hacia adelante detectores instalados aguas abajo del punto de interacción. El proceso exclusivo más atractivo a estudiar en el LHC es la producción de bosón de Higgs, pero como no se puede observar en el Tevatron debido a la baja producción sección transversal, uno debe encontrar otras formas de buscar eventos exclusivos en el Tevatron, por ejemplo en dijet, difotón canales. Es necesario mencionar que hasta hace poco, no había una medición decisiva que proporcionara suficiente pruebas de la existencia de una producción exclusiva. Aunque la producción exclusiva produce objetos de estado final cinemáticamente bien limitados, su detección experimental no es trivial debido a la superposición con los eventos de DPE inclusivos. En esos eventos, los pomerones colisionantes son habituales visto como un objeto con subestructura partónica. Una parten emitida por el pomeron participa en la interacción dura y los restos de pomerones que acompañan al objeto central se distribuyen uniformemente en rapidez. Acontecimientos exclusivos por lo general aparecen como una pequeña desviación de las predicciones del modelo inclusivo que necesitan ser estudiadas con precisión antes de aceptar un nuevo tipo de producción. En particular, no se conoce con precisión la estructura del pomeron obtenida de HERA a una fracción de alto impulso, y específicamente, el gluón en el pomeron no está bien limitado. No está claro si tales la incertidumbre no puede llevar a identificar erróneamente los procesos observados como exclusivos. Esto impediría, por ejemplo, que el análisis spin del objeto producido. En este trabajo, pretendemos investigar la observación de la producción exclusiva en el Tevatron. De hecho, usamos el dijet distribución de fracciones de masa medida por la colaboración CDF y muestran que incluso teniendo en cuenta las incertidumbres asociado con la estructura del pomeron, uno no puede dar una descripción satisfactoria de los datos sin el existencia de acontecimientos exclusivos. También incluimos otro enfoque para explicar la difracción en nuestro estudio, el llamado Soft modelo de interacción de color (las propiedades de todos los modelos se discuten más adelante). Como perspectiva, aplicamos modelos actuales para la producción de DPE para energías LHC y demostrar la posible aparición de eventos exclusivos a través de la fracción de masa de dijet. El documento está organizado de la siguiente manera: en la segunda sección ofrecemos una breve descripción de lo inclusivo, exclusivo, y Modelos de interacción de colores suaves. En la tercera sección se discute qué tan bien pueden explicar los diversos modelos el preliminar * Dirección electrónica: kepkao@fzu.cz †Dirección electrónica: royon@hep.saclay.cea.fr http://arxiv.org/abs/0704.1956v1 mailto:kepkao@fzu.cz mailto:royon@hep.saclay.cea.fr Datos de la fracción de masa de Tevatron dijet y las limitaciones que implican los datos de los modelos actuales. En la cuarta parte, prefiguramos una aplicación de la distribución de la fracción de masa dijet como herramienta para observar eventos exclusivos en LHC energías. Por último, discutimos cuestiones relativas a la reconstrucción de la fracción de dijet y la simulación rápida del detector en el apéndice. II. MODELOS TEÓRETICOS Los modelos DPE inclusivos y exclusivos utilizados en este trabajo se implementan en el programa de Monte Carlo DPEMC [9]. El modelo de interacción de color suave está integrado en el programa PYTHIA [18]. A continuación se presenta el estudio de los diferentes modelos. A. Modelos inclusivos El primer modelo inclusivo a mencionar es el llamado “modelo fraccionado”. Es un tipo de Ingelman-Schlein de modelo [10] que describe el proceso difractivo de doble pomeron como una dispersión de dos pomerons emitidos desde el protón, suponiendo una factorización de la sección transversal en un flujo de regge envuelto con las funciones de estructura de pomeron. Por ep difracción única, es necesario introducir la trayectoria secundaria de reggeon para describir el único diffractive observado sección transversal no factorable. En el caso del Tevatron, la trayectoria del pomeron por sí sola es suficiente para describir los datos y la sección transversal es factorable, como se defendía en [11]. Se rompe la factorización entre HERA y Tevatron viene sólo a través del factor de probabilidad de supervivencia, denotando la probabilidad de que no hay adicional interacción suave que destruiría los protones dispersados difractivamente. En otras palabras, la probabilidad de destruir la brecha de rapidez no depende de la interacción dura. En las energías de Tevatron, el factor se midió para ser aproximadamente 0,1, y el cálculo sugirió el valor de 0,03 para el LHC. Funciones de la estructura de Pomeron, reggeon y los flujos de pomerones se determinan a partir de las colisiones DIS ep que se ajustan a la función de estructura difractiva FD en HERA. Para uno de los análisis de la función de estructura diffractive publicados más recientes, véase, por ejemplo [12]. Por otra parte, el modelo inclusivo Bialas-Landshoff (BL) [8], es un cálculo puramente no perturbativo que utiliza sólo la forma de la función de la estructura del pomeron y dejando que la normalización global se determine a partir del experimento; se puede, por ejemplo, confrontar la predicción de la sección transversal de DPE con la tasa observada en el Tevatron [11] y obtener el factor de normalización faltante 1. Ambos modelos utilizan la estructura de pomeron medida en HERA que está dominada por el gluón. En este artículo, utilizamos el los resultados del QCD se ajustan a los datos más recientes de la función de estructura de Pomeron medidos mediante la colaboración H1 [12]. La nueva densidad de gluón en el Pomeron se encuentra un poco más pequeña que las anteriores, y es interesante ver el efecto de los nuevos PDF con respecto a las mediciones de Tevatron. Sin embargo, la densidad de gluón a alta β, donde β denota la fracción de la parten particular en el pomeron, no está bien limitada de los ajustes QCD se realizó en HERA. Para estudiar esta incertidumbre, multiplicamos la distribución del gluón por el factor (1 − β) v como se muestra en Fig. 1. QCD se ajusta a los datos H1 conduce a la incertidumbre sobre el parámetro v v = 0.0± 0.5 [12]. Vamos a ver en el siguiendo cómo este parámetro influye en los resultados de la fracción de masa de dijet medidos en el Tevatron. B. Modelos exclusivos Bialas-Landsoff modelo exclusivo [13] se basa en un intercambio de dos gluones “no perturbativos” entre un par de colisionando hadrones que se conectan al subproceso duro. Reggeización se emplea para recuperar el pomeron parámetros que describieron con éxito los fenómenos difractivos blandos, por ejemplo: sección transversal total con bajas energías. A El cálculo de la producción de qq̄ y gg y más detalles se pueden encontrar en [13] y [14], respectivamente. Por el contrario, el modelo Khoze, Martin, Ryskin (KMR) [15] es puramente un enfoque perturbador. La interacción se obtiene mediante un intercambio de dos gluones directamente acoplados a los hadrones colisionantes (no se introduce imagen de pomeron). Mientras que un gluon toma parte en la creación del objeto central, el otro sirve para examinar el flujo de color a través del Brecha de rapidez. Si los protones salientes permanecen intactos y se dispersan en ángulos pequeños, el sistema de di-gluón intercambiado, en 1 Una observación más está en orden. En el modelo BL inclusivo, el contenido partónico del pomeron se expresa en términos de distribución funciones como fi/P(βi) βiGi/P(βi), donde el Gi/P(βi) son las densidades verdaderas de parten medida por la colaboración HERA, y βi denota la fracción de impulso de la parten i en el pomeron. La integral de fi/P(βi) se normaliza a 1, de modo que en el límite fi/P(βi) → (βi) se recupera la sección transversal exclusiva [9]. FIG. 1: Incertidumbre de la densidad de gluón a β alto (aquí β Ł z). La densidad del gluón se multiplica por el factor (1- β) v =-1., -0.5, 0.5, 1. El valor predeterminado ν = 0 es la densidad de gluón en el pomeron determinada directamente por un ajuste a los datos H1 FD2 con una incertidumbre de alrededor de 0,5. ambos modelos, deben obedecer las reglas de selección JZ = 0, C-even, P-even. Tales restricciones también se aplican a los subprocesos para la producción del objeto central. Los dos modelos muestran una dependencia pT completamente diferente de la sección transversal DPE. La dependencia energética de el modelo BL se encuentra más débil ya que el Pomeron se supone que es suave, mientras que no es el caso para el KMR modelo. C. Modelo de interacción de colores suaves El modelo de interacción de color suave (SCI) [17, 18] asume que la difracción no se debe a un intercambio incoloro en el vértice pero más bien a un reordenamiento de cuerdas en el estado final durante la hadronización. Este modelo da una probabilidad (para determinar por el experimento) que no hay conexión de cadena, y por lo tanto no hay intercambio de color, entre los partones en el protón y el quark disperso producido durante la interacción dura. Puesto que el modelo no implica la existencia de un pomeron, no hay necesidad de un concepto como la probabilidad de supervivencia y una correcta normalización se encuentra entre los datos de difracción única Tevatron y HERA sin ningún nuevo parámetro, que es uno de los grandes éxitos de este modelo. III. FRACCIÓN EN MASA DE DIJETA EN EL TEVATRÓN La fracción de masa de chorro (DMF) resulta ser un observable muy apropiado para identificar la producción exclusiva. Se define como una relación RJJ = MJJ/MX del sistema de chorro masa invariante MJJ a la masa total del estado final sistema MX (excluyendo el haz intacto (anti)protones). Si el algoritmo jet tiene tales propiedades que el cono exterior los efectos son pequeños, la presencia de una producción exclusiva se manifestaría como un exceso de los acontecimientos hacia RJJ + 1; para eventos exclusivos, la masa de dijet es esencialmente igual a la masa del sistema central porque no hay pomeron el remanente está presente. La ventaja de DMF es que uno puede centrarse en la forma de la distribución; la observación de acontecimientos exclusivos no depende de la normalización general que podría ser fuertemente dependiente del detector simulación y aceptación del detector romano de macetas. En el siguiente análisis, seguimos de cerca la medición realizada por la Colaboración CDF. Uno puede encontrar más información sobre la medición y la configuración del detector en una nota sobre los resultados preliminares [16]. In En este apartado sólo mencionaremos los diferentes recortes que son relevantes para nuestro análisis. Para simular el CDF detector, utilizamos una interfaz de simulación rápida [19], que realiza un frotis de la energía de la célula depositada por encima de un Umbral 0.5GeV y reconstruye chorros usando un algoritmo de cono. Propiedades del evento como el tamaño de la brecha de rapidez se evaluaron a nivel de partículas generadoras. CDF utiliza un detector romano para etiquetar los antiprotones en un lado (correspondiente a ηp̄ < 0). Por el DMF reconstrucción, requerimos que los antiprotones tengan la pérdida de impulso longitudinal en el rango 0.01 <?p̄ < 0.12 y aplicamos la aceptación de maceta romana obtenida de la colaboración CDF (la aceptación real es mayor que 0,5 para 0,035 < p̄ < 0,095). En el lado del protón, donde no existe tal dispositivo, una brecha de rapidez del tamaño 3,6 < ηgap < 5,9 es necesario. En el análisis, se aplican más recortes: dos jets principales con un impulso transversal por encima del umbral pjet1,jet2 > 10GeV o p jet1,jet2 T > 25GeV en la región central jet1,jet2 < 2.5, un tercer corte de veto a reacción (p T < 5GeV) como así como un espacio adicional en el lado antiprotón del tamaño −5,9 < ηgap < −3,6. En aras de la brevedad, el umbral para el impulso transversal de los dos jets principales será en el siguiente denotado como pminT, si es necesario. La masa de chorro se calcula utilizando el jet momenta para todos los eventos que pasan los cortes mencionados anteriormente. Con el fin de seguir en la medida de lo posible el método utilizado por la colaboración CDF, la masa del sistema diffractive MX es calculado a partir de la pérdida de impulso longitudinal antiprotón p̄ dentro de la aceptación de maceta romana, y el longitudinal la pérdida de impulso del protón se determina a partir de las partículas en el detector central (−4 ηpart 4), tales que: sápÃ3n p, (1) •partp = partículas exp pT η, (2) Resumiendo sobre las partículas con energías superiores a 0.5GeV en el estado final a nivel del generador. Para reconstruir el masa diffractiva, partp se multiplicó por un factor 1.1, obtenido mediante el ajuste de la trama de correlación entre el momento pérdida del protón a nivel del generador p a nivel de partículas con una línea recta. La reconstrucción del DMF depende profundamente de la precisión de la simulación del detector. Ya que no somos capaces de utilizar la simulación completa en nuestro análisis, discutimos posibles efectos debido a las diversas definiciones de DMF en el generador y el nivel de partículas en el apéndice. A. Previsión de modelos inclusivos Presentamos primero la fracción de masa de chorro calculada con modelos inclusivos FM y BL. Como se ha indicado en un informe anterior sección, queremos explorar el impacto de la alta incertidumbre β gluon en el pomeron. Para hacer esto, multiplicamos la densidad de gluón por un factor (1- β) v, para diversos valores de v = −1,−0,5, 0, 0,5, 1. Se muestra el impacto del parámetro en Fig. 2 y Fig. 3 para chorros con pT > 10GeV y pT > 25GeV, respectivamente. Las distribuciones computadas fueron: normalizado en forma, ya que no hubo determinación de luminosidad, lo que implica ninguna estimación de sección transversal, en el CDF medición. La interesante región exclusiva posible en el RJJ alto se aumenta para ν = −1, sin embargo, no en tal la medida en que ello daría lugar a una descripción justa de las distribuciones observadas. Como consecuencia, la cola de la medida fracción de masa de dijet en RJJ alto no se puede explicar por la mejora de la distribución del gluón en β alto, y otro se requiere una contribución como eventos exclusivos. Una propiedad en particular parece desfavorecer el modelo BL inclusivo en el Tevatron. De hecho, la fracción de masa de dijet se vierte a valores bajos de RJJ, especialmente para chorros pT > 10GeV. Dado que la sección transversal se obtiene como una convolución el elemento de la matriz dura y las funciones de distribución, el efecto de dumping es una consecuencia directa del uso de un factor multiplicativo β en las funciones de densidad del parton en el pomeron (véase la nota 1). Volveremos sobre esto. punto cuando discutimos la posibilidad de una versión revisada del modelo inclusivo BL en el siguiente. x/Mjj=MjjR 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Datos de DPE (estatuto) preliminar =0.5 / =-0,5 / FM INC x/Mjj=MjjR 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Datos de DPE (estatuto) preliminar =0.5 / =-0,5 / BL INC FIG. 2: Fracción de masa de chorro para chorros pT > 10GeV. Modelos FM (izquierda) y BL (derecha), contribución inclusiva. La incertidumbre de la densidad de gluón a β alta se obtiene multiplicando la distribución de gluón por (1- β) v para los diferentes valores de v (no sólido) líneas). Como hemos visto, los modelos inclusivos no son suficientes para describir bien las distribuciones de CDF medidas. Por lo tanto, abre un área para introducir diferentes tipos de procedimientos/modelos que dan una contribución significativa en RJJ alta. B. Predicciones de modelos exclusivos En esta sección, se estudiará la mejora de la distribución de masa de chorro utilizando procesos exclusivos de DPE, con el objetivo de describir los datos de la fracción de masa de dijet CDF. Examinamos tres posibilidades de la interacción de contribuciones exclusivas, en particular: 1. FM + KMR 2. Exclusivo FM + BL 3. BL inclusive + BL exclusivo La contribución total se obtiene ajustando la distribución inclusiva y exclusiva a los datos del CDF, dejando la normalización general N y la normalización relativa entre las dos contribuciones rEXC/INC libre. Más precisamente, la distribución DMF se obtiene con el ajuste como N(INC(RJJ )+ r EXC/INCÔEXC(RJJ )). El ajuste se hizo para los jets con pminT = 10GeV y p T = 25GeV, por separado. El factor de normalización general no puede ser estudiado ya que la colaboración CDF no determinó la luminosidad para la medición. Por otro lado, la normalización relativa entre la producción inclusiva y exclusiva es una información útil. La normalización relativa permite hacer predicciones para chorros de pT más altos o para energías LHC Por ejemplo. Por este motivo, las normalizaciónes relativas rEXC/INC no deben variar mucho entre los dos pminT mea- Seguros. Los resultados se resumen en la Tabla I. Damos las secciones inclusivas y INC y las secciones exclusivas EXC, se obtiene directamente de los modelos, y el factor de escala relativo necesario para describir los datos CDF que deben aplicarse a la contribución exclusiva únicamente. Mientras que la normalización relativa cambia como una función pminT por un orden de magnitud para el modelo BL exclusivo, tiende a ser bastante estable para el modelo KMR (la incertidumbre sobre el factor 2.5 podría ser relativamente grandes ya que no tenemos una interfaz de simulación completa y los efectos de simulación tienden a ser más altos en baja impulso transversal de chorro). Finalmente, en la Fig. 4 y 5, las distribuciones instaladas se representan para pminT = 10, 25GeV jets, respectivamente. Los datos de Tevatron están bien descritos por la combinación de los modelos FM y KMR. Atribuimos la salida desde la distribución fluida de los datos hasta la imperfección de nuestra interfaz de simulación rápida. Por el contrario, el x/Mjj=MjjR 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Datos de DPE (estatuto) preliminar =0.5 / =-0,5 / FM INC x/Mjj=MjjR 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Datos de DPE (estatuto) preliminar =0.5 / =-0,5 / BL INC FIG. 3: Fracción de masa de chorro para chorros pT > 25GeV. Modelos FM (izquierda) y BL (derecha), contribución inclusiva. La incertidumbre de la densidad de gluón a β alta se obtiene multiplicando la distribución de gluón por (1- β) v para los diferentes valores de v (no sólido) líneas). contribuciones rEXC/INC(10) INC(10)[pb] ▼EXC(10)[pb] rEXC/INC(25) FM + KMR 2,50 1249 238 1,0 7,39 3,95 FM + BL exc 0,35 1249 1950 0,038 7,39 108 BL inc + BL exc 0.46 2000 1950 0,017 40.6 108 CUADRO I: Secciones transversales para la producción diffractiva inclusiva normalización adicional entre eventos inclusivos y exclusivos rEXC/INC para pT > 10GeV y pT > 25GeV y para diferentes modelos (ver texto). Tenga en cuenta que el ajuste a los datos se parametriezed como N(INC(RJJ ) + r EXC/INC EXC(RJJ )). El modelo BL inclusivo es desfavorecido porque no describe la región RJJ baja. Es debido al factor βi en el partón densidad fi/P(βi) utilizado por el modelo BL inclusivo (véase la nota 1 donde se definen las variables) que el RJJ la distribución se desplaza hacia valores más altos. Este factor se introdujo para mantener la correspondencia entre el modelo inclusivo y exclusivo en el límite fi/P(xi) → (xi). Por el contrario, esta suposición lleva a propiedades en contradicción con los datos de los CDF. El uso del modelo BL inclusivo sin este factor de normalización adicional conduce a un DMF que está de acuerdo con los datos. De hecho, mostramos en la Fig. 6 las predicciones del modelo “modificado” (es decir. definido como fi/P(βi) فارسى Gi/P(βi) para los chorros de pT > 10GeV y pT > 25GeV. Vemos que se describe la región baja de RJJ bien y que el ajuste de la predicción del exclusivo modelo KMR con el modelo BL inclusivo produce aproximadamente el mismo cantidad de eventos exclusivos como el uso de los modelos factorables. Se revisará el modelo BL inclusivo para tener en cuenta estos efectos en cuenta. No mencionaremos más esta versión “modificada” del modelo BL inclusivo ya que da similares resultados como los modelos factorables. El modelo BL exclusivo lleva a una descripción bastante razonable de la forma DMF para ambos cortes pminT en combinación con FM, sin embargo, no logra captar la forma de la sección transversal exclusiva medida en función del chorro mínimo impulso transversal pminT. Para ilustrar esto, presentamos los datos CDF para la sección transversal exclusiva corregida para efectos detectores comparados con las predicciones de ambos modelos exclusivos después de aplicar los mismos cortes que en el CDF medición, a saber: p jet1,2 T > p T, jet1,2 < 2,5, 3.6 < ηgap < 5,9, 0,03 < p̄ < 0,08. El modelo exclusivo BL x/Mjj=MjjR 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 preliminar Datos de DPE (estatuto) contribución exclusiva FM INC + KMR EXC x/Mjj=MjjR 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Datos de DPE (estatuto) preliminar contribución exclusiva BL INC + BL EXC x/Mjj=MjjR 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Datos de DPE (estatuto) preliminar contribución exclusiva FM INC + BL EXC FIG. 4: Fracción de masa de chorro para chorros pT > 10GeV. FM + KMR (izquierda), BL + BL (derecha), FM + BL (abajo). Nos damos cuenta que la contribución exclusiva permite describir las colas en alta RJJ. muestra una dependencia pT mucho más débil que el modelo KMR y está en desacuerdo con los datos. 2 Tengamos en cuenta que la sección transversal de eventos exclusivos medidos por la colaboración CDF es una medida indirecta ya que fue obtenido restando la contribución inclusiva utilizando una versión más antigua de la densidad de gluón en el pomeron medido en HERA. In ese sentido, la contribución de eventos exclusivos usando la nueva densidad de gluon de HERA podría cambiar esos resultados. Sin embargo, como nos dimos cuenta, modificando la densidad de gluón incluso en gran medida a β alto multiplicando la distribución de gluón por (1 − β) v no cambia la cantidad de eventos exclusivos por un factor grande, y por lo tanto no modifica la medición indirecta realizada por la colaboración CDF Mucho. x/Mjj=MjjR 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Datos de DPE (estatuto) preliminar contribución exclusiva FM INC + KMR EXC x/Mjj=MjjR 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Datos de DPE (estatuto) preliminar contribución exclusiva BL INC + BL EXC x/Mjj=MjjR 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Datos de DPE (estatuto) preliminar contribución exclusiva FM INC + BL EXC FIG. 5: Fracción de masa de chorro para chorros pT > 25GeV. FM + KMR (izquierda), BL + BL (derecha), FM + BL (abajo). Tomamos nota que la contribución exclusiva permite describir las colas en alta RJJ. Para terminar la discusión sobre el pomeron como modelos, vale la pena mencionar que estos resultados asumen que el La probabilidad de supervivencia no tiene una fuerte dependencia de β y. Si este no es el caso, no podemos asumir que la forma la distribución del gluón medida en HERA podría utilizarse para hacer predicciones en el Tevatron. Sin embargo, este es una suposición razonable ya que la probabilidad de supervivencia está relacionada con los fenómenos blandos que ocurren durante la hadronización efectos que ocurren a una escala de tiempo mucho más larga que la interacción dura. En otras palabras, es natural suponer que el fenómeno suave no será influenciado por la interacción dura. x/Mjj=MjjR 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Datos de DPE (estatuto) preliminar contribución exclusiva BL INC modificado + KMR EXC x/Mjj=MjjR 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Datos de DPE (estatuto) preliminar contribución exclusiva + KMR EXC BL INC modificado FIG. 6: Distribución de la masa de chorro en el Tevatron calculada con las densidades de partón “modificadas” (ver texto) para 10GeV (izquierda) y 25 aviones GeV (derecha), modelo exclusivo KMR incluido. (GeV)min 10 15 20 25 30 35 Bialas-Landshoff Preliminar CDF FIG. 7: Sección transversal exclusiva en función del mínimo impulso de chorro transversal pminT medido por la colaboración CDF y en comparación con la predicción de los modelos exclusivos KMR y BL. Observamos que el modelo BL supera al CDF medición mientras el modelo KMR esté de acuerdo. C. Perspectivas de mediciones futuras en el Tevatron En esta sección, enumeramos algunos ejemplos de observables que podrían utilizarse para identificar mejor la contribución exclusiva en las mediciones de DMF en el Tevatron. Presentamos la predicción en función del mínimo impulso transversal de los dos jets principales pminT. Dado que el modelo BL inclusivo no describe el DMF en RJJ bajo, elegimos mostrar x/Mjj=MjjR 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 -1Luminosidad 200pb >10GeV >50GeV contribución exclusiva ES INC+ KMR EXC FIG. 8: Fracción de masa de chorro para dos valores de impulso de chorro transversal mínimo pminT. Tomamos nota de que la relación exclusiva la contribución es mayor en pminT alta. (GeV) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 = 0,5 / =-0,5 / IS + BL IS + KMR -1Número de eventos de jet por 200pb (GeV) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 = 0,5 / =-0,5 / IS + KMR Valor medio de la fracción de masa de chorro FIG. 9: Número de eventos de chorro y media de la fracción de masa de chorro en función del pminT de chorro mínimo. Tomamos nota de que el ideal valor de pminT para mejorar la contribución exclusiva es del orden de 30-40 GeV que conduce a una cruz de producción lo suficientemente alta sección, así como un gran efecto de la contribución exclusiva en la fracción de masa de chorro. solo la predicción de FM en combinación con los modelos exclusivos KMR y BL. Se utilizaron los mismos cortes de aceptación y restricción de maceta romana que en la medición de CDF, específicamente 0,01 < Índice < 0,12, p jet1,2 T > p T, jet1,2 < 2.5, 3.6 < gap < 5.9. Por otra parte, adoptamos una normalización entre y eventos exclusivos obtenidos para el análisis de pT > 25GeV en la sección anterior porque somos menos sensibles a las imperfecciones de la interfaz de simulación rápida para chorros de pT más altos. Fig. 8 ilustra la aparición de DMF para dos valores separados de pminT de chorro mínimo. El carácter de la distribución se rige claramente por acontecimientos exclusivos en x/Mjj=MjjR 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 preliminar Datos de DPE (sólo stat.only) Interacción de color suave -10 -5 0 5 10 FIG. 10: Fracción de masa de chorro en el Tevatron para chorros pT > 10GeV (izquierda) y distribución η de partículas producidas (derecha) para el modelo de interacción de color suave. alta pminT. Fig. 9 muestra la tasa de eventos de DPE. Además de las curvas que denotan la contribución inclusiva con el variado Densidad de gluón para ν = −0,5, 0, 0.5, se muestra la contribución completa para ambos modelos exclusivos. Para el modelo FM que es más coherente con los datos accesibles, la medición de la tasa de DPE no proporciona una separación evidente de contribución exclusiva de los efectos debidos a la incertidumbre del pomeron, ya que la diferencia notoria aparece cuando las secciones transversales son demasiado bajas para ser observables. Sin embargo, es posible examinar la media de la distribución de DMF. Como se ve en la Fig. 9, esto observable desenreda bien la producción exclusiva con el efecto más alto entre 30 y 40GeV. Hay que subrayar que a pesar de que obtenemos una pista en la comprensión de los fenómenos de producción exclusiva en el Tevatron, la imagen final no se puede dibujar antes de medir con precisión la estructura del pomeron. Por con este fin, el DMF o la tasa DPE no son adecuados en el Tevatron. En el primero, no hay sensibilidad a la alta variación del gluón β, mientras que en este último, la variación del gluón y la contribución exclusiva no pueden ser fácilmente Separados. La salida es realizar los ajustes QCD de la estructura de pomeron en gluón y quark para los datos en RJJ bajo donde la contribución exclusiva es insignificante. Otra posibilidad es realizar silmutaneamente los ataques globales de pomeron funciones de estructura utilizando la evolución DGLAP y de la producción exclusiva. Un comentario final importante es que este estudio estaba asumiendo modelos de pomeron como para difracción inclusiva. Vale la pena. estudiar otros modelos como procesos de interacción de color suave y averiguar si también conducen a la misma conclusión relativa a la existencia de acontecimientos exclusivos. D. Modelo de interacción de color suave El modelo de interacción de color suave utiliza un enfoque diferente para explicar los eventos difractivos. En este modelo, la difracción es debido a la reorganización especial de color en el estado final como mencionamos antes. Vale la pena notar que en este modelo, los datos CDF están dominados por eventos con etiquetado antiprotón en el lado p̄ (ηp̄ < 0) y una brecha de rapidez en la p Side. En otras palabras, en la mayoría de los acontecimientos, sólo hay un único antiprotón en el estado final acompañado de un un montón de partículas (principalmente piones) que fluyen hacia el tubo del haz. Esto se ilustra en la Fig. 10 a la derecha que muestra la rápida distribución de las partículas producidas y notamos la cola de la distribución a alta rapidez. No deberíamos. omita mencionar que, por otro lado, la probabilidad de obtener dos protones intactos (que es importante para el doble eventos etiquetados) está en el modelo SCI extremadamente pequeño. Después de aplicar todos los cortes de CDF mencionados anteriormente, la comparación entre los datos de SCI y CDF en RJJ se muestra en Higos. 10 (izquierda) y 12. Considerando que no es posible describir la fracción total de masa de chorro para un chorro con pT > 10GeV, Jet1η -4 -2 0 2 4 Jet2η -4 -2 0 2 4 FIG. 11: Distribución rápida de un jet líder (izquierda) y un segundo jet líder (derecha) en el modelo SCI al calcular el dijet fracción de masa. x/Mjj=MjjR 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 preliminar Datos de DPE (sólo stat.only) Interacción de color suave contribución exclusiva LIC + KMR EXC x/Mjj=MjjR 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 preliminar Datos de DPE (sólo stat.only) Interacción de color suave FIG. 12: Fracción de masa de chorro en el Tevatron para chorros pT > 10GeV para el modelo SCI y el modelo exclusivo KMR (izquierda), y para jets pT > 25GeV sólo para el modelo SCI (derecha). es evidente que la contribución exclusiva es menor que en el caso de los modelos inspirados en el pomeron. De hecho, al realizar el mismo ajuste independiente de la contribución exclusiva del LIC y del KMR, se observa que sólo el 70% de la la contribución exclusiva necesaria en el caso de modelos inspirados en pomeron es necesaria para describir los datos. Para chorros con pT > 25GeV, no se necesita ninguna contribución exclusiva adicional para describir la medición que se puede ver en la Fig. 12. Dado que la mayoría de los acontecimientos son asimétricos en el sentido de que sólo el antiprotón está estrictamente intacto y en el otro lado, hay es un flujo de partículas en el tubo del haz, vale la pena estudiar la distribución rápida de chorros para este modelo. Resultados se muestran en la Fig. 11. Tomamos nota de que la distribución de la rapidez se impulsa hacia valores altos de la rapidez y no centrado alrededor de cero como para modelos inspirados en pomeron y datos CDF. Además, la sección transversal para pT > 10GeV Los chorros se encuentran en el modelo SCI SCI = 167 pb, aproximadamente el 13% de la sección transversal predicha por los modelos inspirados en pomeron que sin embargo dan una predicción correcta de una amplia gama de observables incluyendo secciones transversales DPE. Por lo tanto, tales las propiedades desfavorecen el modelo LIC. Sin embargo, merecería la pena estudiar y modificar el modelo del LIC desde el probabilidad de observar dos protones en el estado final (y/o dos huecos) debe ser mayor que la probabilidad cuadrada de observar sólo un protón (y/o un hueco) (difracción única) como se vio por la colaboración del CDF [21]. Los el modelo necesita ser ajustado para tener esto en cuenta y de lo que sería interesante ver el impacto en el dijet fracción de masa y la existencia de eventos exclusivos. IV. FRACCIÓN EN MASA DE DIJETA EN EL LHC Se sugirió que la producción exclusiva en el LHC podría utilizarse para estudiar las propiedades de una clase específica de objetos producidos centralmente como bosones de Higgs. Sin embargo, se basa en muchas sutilezas tales como un buen entendimiento de la producción inclusiva. La naturaleza perturbadora de los procesos difractivos resulta en la factorización de la sección transversal a un flujo de regge y funciones de estructura de pomeron, mientras que la ruptura de factorización aparece a través de la supervivencia Sólo la probabilidad. La densidad de gluón en el pomeron es de la materia más importante, ya que su valor a un alto impulso fracción controlará el fondo a DPE exclusivo, y el flujo de pomeron y el factor de probabilidad de supervivencia deben medirse en el LHC para hacer predicciones fiables. El flujo depende de la intercepción de pomeron αP cuyo impacto en la distribución de DMF para las energías LHC se muestra en Fig. 13. La intercepción de pomeron es parametrizada como αP = 1 + • y la predicción se hace para cuatro valores de • = 0,5, 0,2, 0,12, 0,08. El análisis actualizado de la función de la estructura del pomeron de HERA [12] sugiere que el “pomeron duro” El valor de intercepción está cerca de αP = 1.12. Sin embargo, el nuevo QCD se ajusta usando un solo intercambio difractivo o doble pomeron Los datos deberán realizarse para limitar completamente las densidades de partón y el flujo de pomeron en el LHC. FIG. 13: Sensibilidad de la fracción de masa del dijet a diferentes valores del pomeron interceptar αP = 1 +. También damos la dependencia del DMF en el jet pT en el LHC. En este análisis se seleccionaron los acontecimientos de DPE ap- la aceptación de la olla romana en ambos lados desde el punto de interacción, y utilizando una simulación rápida de la Detector CMS [20] (los resultados serían similares utilizando la simulación ATLAS) y pidiendo dos jets principales con pT = 100, 200, 300, 400GeV. Hemos desfavorecido las predicciones del modelo exclusivo BL en el Tevatron. Los Exclusivamente BL muestra débil dependencia de pT que hace que el modelo no físico para las energías LHC ya que predice cruz secciones incluso más altas que las inclusivas. Por lo tanto, nos centramos únicamente en las predicciones de los modelos FM y KMR. As en las secciones anteriores, incluimos también un estudio de la incertidumbre sobre la densidad del gluón mejorando el alto β gluón con un factor (1- β) contra. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 FIG. 14: Fracción de masa de chorro en el LHC en función del impulso transverso mínimo de chorro pminT, modelo FM inclusivo. FIG. 15: Fracción de masa de chorro en el LHC para chorros pT > 200GeV y pT > 400GeV, respectivamente, FM inclusive + KMR exclusivo modelos. 100 150 200 250 300 350 400 FIG. 16: Número de eventos de DPE en el LHC en función del mínimo impulso transversal pminT de dos jets líderes. FM inclusive + modelos exclusivos KMR. La variación del gluon se muestra para diferentes valores v. 100 150 200 250 300 350 400 FIG. 17: Valor medio de la fracción de masa de chorro en función del impulso transversal mínimo pminT de los chorros principales. Se muestran la contribución exclusiva y los diferentes valores de la empresa. Modelos FM + KMR. La fracción de masa de dijet en función de diferentes pT es visible en la Fig. 14. La contribución exclusiva se manifiesta como un aumento en la cola de la distribución que se puede ver para los chorros de 200GeV (izquierda) y 400GeV (derecha), respectivamente, en la Fig. 15. La producción exclusiva se enciende lentamente con el aumento del jet pT que se demuestra en Fig. 16 donde se muestra el número de eventos de DPE esperados. Sin embargo, con respecto a la incertidumbre sobre la densidad de gluón esta apariencia es casi negligible. Se puede utilizar la posición media del DMF como una función de el mínimo impulso transversal de chorro pminT para estudiar la presencia de la contribución exclusiva, véase Fig. 17. Esto es cierto especialmente para los chorros de alta PT. La producción exclusiva en el LHC juega un papel menor para los chorros de pT bajos. Por lo tanto, las mediciones, por ejemplo para pT < 200GeV donde la producción inclusiva es dominante podría utilizarse para limitar la densidad de gluón en el pomeron. Después, uno puede mirar en la alta región de chorro de pT para extraer la contribución exclusiva de la cola del DMF. V. CONCLUSIÓN El objetivo de este artículo era investigar si podemos explicar el exceso de eventos en la fracción de masa de alto dijet medida en el Tevatron sin la producción exclusiva. El resultado es en realidad dos veces. En cuanto a los modelos inducidos por pomeron (modelo "Factorizado" y modelos inclusivos Bialas-Landshoff) encontramos que la incertidumbre sobre la alta densidad de β gluon en el Pomeron tiene un pequeño impacto en la alta RJJ. Por lo tanto, un Es necesaria una contribución adicional para describir los datos del FDC con estos modelos. Examinamos el modelo exclusivo de KMR y Bialas-Landshoff pronósticos exclusivos modelo para el papel de la contribución adicional y encontró que la mejor se obtiene mediante la combinación del modelo inclusivo Factorizado (o el modelo inclusivo Bialas- Landshoff uno) y el modelo exclusivo de KMR. La contribución exclusiva en el Tevatron se puede ampliar solicitando chorros de pT más altos y estudiando observables específicos como una media de la fracción de masa de dijet, por ejemplo. Aunque, uno de las limitaciones del uso de chorros de pT altos se debe a la tasa de eventos de DPE que cae logarítmicamente permitiendo mediciones para chorros de hasta aproximadamente 40GeV. El modelo exclusivo de Bialas-Landshoff parece estar desfavorecido por los datos de Tevatron ya que muestra una dependencia de PT de chorro más suave y predice tasas de DPE anfísicamente grandes en energías LHC. En el caso del modelo de interacción de color suave que no se basa en intercambios de pomerones, la necesidad de introducir un La producción exclusiva adicional es menos obvia. Para los chorros pT bajos la cantidad de eventos exclusivos para describir los datos es menor que en el caso del modelo Factorizado, pero para los chorros de alta pT no es necesaria ninguna contribución adicional. Esto dibuja un nueva pregunta: si los eventos de intercambio de pomeron doble podrían ser explicados por un reordenamiento especial de color ¿Sólo? Los datos CDF están en este modelo dominado por eventos difractivos individuales. La probabilidad de etiquetar dos protones en el estado final dentro de este modelo es muy pequeño, contradiciendo la observación del CDF. Así que a pesar de que el modelo SCI no es aplicable a los eventos DPE en el estado actual merecería la pena ajustar este modelo para predecir correctamente el tasa de eventos con doble etiqueta y estudiar el modelo de predicción de la fracción de masa de chorro y otros procesos inducidos por DPE. La fracción de masa de chorro en el LHC podría utilizarse para seleccionar los eventos exclusivos. De hecho, es posible estudiar los chorros con pT > 200GeV por ejemplo, y para centrarse en eventos con DMF por encima de 0,8 que está dominado por la producción exclusiva (véase la Fig. 15). Sin embargo, como se defendía anteriormente, un análisis completo de QCD consistente en medir la densidad de gluón en el Pomeron (especialmente en β alto) y estudiar la evolución QCD de eventos exclusivos en función de la pT jet es necesario para comprender plenamente los observables, y hacer predicciones para la producción difractiva de Higgs y sus antecedentes en el LHC como ejemplo. Agradecimientos Los autores quieren dar las gracias a M. Boonekamp, R. Enberg, D. Goulianos, G. Ingelman, R. Pechanski y K. Tereashi para discusiones útiles y para proporcionarles los datos CDF y la aceptación de maceta romana. VI. APÉNDICE A lo largo del artículo, hemos omitido purposamente una discusión de las imperfecciones relativas a la fracción de masa de dijet reconstrucción dentro de nuestro marco, aplazando a esta sección. En este apéndice, todos los cálculos se hacen para los chorros con pT > 10GeV. • En nuestro análisis, definimos la fracción de masa del dijet como una relación de la masa invariante de dos chorros principales MJJ a la masa difractiva central MX. Este último se determinó utilizando la pérdida de impulso p̄ medida en una olla romana en el lado del antiprotón y el partp obtenido de partículas en el nivel del generador, tales como MX = (sp En este caso, debemos asegurarnos de que toda la energía difractiva producida MX se deposita en el detector central. Si este no es el caso, nuestro MX a nivel del generador podría ser sensiblemente más grande que el medido por el CDF colaboración. El flujo de energía de las partículas en el nivel del generador en función de la rapidez se muestra en la Fig. 18, parcela superior. El gráfico medio muestra el flujo de energía ponderado por el impulso transversal de la partícula ET. Vemos que la mayor parte de la energía se deposita en la región del calorímetro, es decir. para < 4. En los eventos etiquetados con p̄, los protones pierden con más frecuencia una fracción de impulso más pequeña (aproximadamente p < 0.025) que el antiprotón etiquetado para el cual la aceptación se enciende para p̄ > 0.035. Esto se puede ver desde la parcela de población de p en la parte inferior de Fig. 18. Así, una colisión de pomeron más energético del lado antiprotón con un pomeron del protón lado se aumenta hacia el p̄ como se ve en las distribuciones de flujo de energía. • Una comparación entre la pérdida de impulso de protones obtenida de partículas •partp calculado utilizando la fórmula (2) y la pérdida de impulso de protones a nivel del generador p conduce al factor 1.1 mencionado en una sección anterior. La dependencia se muestra en la Fig. 19. • El tamaño de la brecha de rapidez se ejecuta en función de la pérdida de impulso como log 1/». El tamaño de la brecha que aumenta con la disminución de para los modelos inclusivos se puede ver en la Fig. 20. Regiones de alta rapidez el p̄ golpea mientras que la región de baja rapidez se debe a las partículas producidas detectadas en el detector central; ellos están bien separados por una brecha de rapidez. Para eventos exclusivos, el tamaño de una brecha de rapidez es mayor y no muestra una dependencia tan fuerte como para los modelos inclusivos. • La interfaz de simulación desempeña un papel importante en la determinación de la contribución exclusiva. Como antes , no podemos beneficiarnos de tener acceso a la interfaz de simulación completa y tener bajo control todo el efectos del detector. Con el fin de eliminar algunos efectos de la simulación trazamos la distribución de la masa de chorro RJJ utilizando la información del generador y comprobar si la necesidad de eventos exclusivos para describir el los datos siguen siendo válidos. Específicamente, requerimos los mismos cortes que en la sección III, pero la masa diffractiva MRP es evaluado utilizando el verdadero (anti)protones pérdida de impulso ()p a nivel del generador MRPX = sÃ3pÃ3pÃ3p. 3) La fracción de masa de dijet calculada con MRP se muestra en la Fig. 21. Vemos que la distribución se desplaza a valores más bajos de RJJ, solicitando eventos ligeramente más exclusivos para describir los datos CDF. La descripción de la los datos también son bastante buenos. • El papel de la interfaz de simulación para reconstruir chorros se puede ilustrar comparando las distributinas anteriores a DMF calculado a nivel de generador definido como RJJ = sαppβ1β2 sápÃ3pÃ3p β1β2, (4) donde β1, β2 denotan la fracción del pomeron transportada por la parte interactuante. Como se puede ver, en la Fig. 21 (derecha), la distribución DMF a nivel de generador puro muestra una forma completamente diferente no compatible con Los datos de las FDC y muestran la importancia de la reconstrucción a reacción. [1] M. Boonekamp, R. Peschanski y C. Royon, Phys. Lett. B598 (2004) 243. [2] C. Royon, Mod. Phys. Lett. A18 (2003) 2169. [3] M. Boonekamp, A. De Roeck, R. Peschanski y C. Royon, Acta Phys. Polon. B33 (2002) 3485, Phys. Lett. B550 (2002) 93. [4] M. Boonekamp, J. Cammin, S. Lavignac, R. Peschanski y C. Royon, Phys. Rev. D73 (2006) 115011. [5] B. Cox, J. Forshaw, B. Heinemann, Phys. Lett. B540 (2002) 263. [6] V. A. Khoze, A. D. Martin y M. G. Ryskin, arXiv:hep-ph/0702213. [7] V. A. Khoze, A. D. Martin y M. G. Ryskin, Eur. Phys. J. C48 (2006) 467. [8] M. Boonekamp, R. Peschanski, C. Royon, Phys. Rev. Lett. 87 (2001) 251806; M. Boonekamp, R. Peschanski, C. Royon, Nucl. Phys. B669 (2003) 277, Err-ibid B676 (2004) 493; [9] M. Boonekamp y T. Kucs, Comput. Phys. 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[19] Simulación rápida de los detectores CDF y DØ, paquete SHW. [20] CIMIM, simulación rápida del detector CMS, CMS Collab., Technical Design Report (1997); TOTEM Recop., Informe de diseño técnico, CERN/LHCC/99-7; ATLFAST, simulación rápida del detector ATLAS, ATLAS Coll., Technical Design Report, CERN/LHC C/99-14. [21] CDF Coll., Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 011802. http://arxiv.org/abs/hep-ph/0702213 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0609291 http://www.isv.uu.se/thep/MC/scigal/ -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 FIG. 18: Parcelas superiores y medianas: Distribución rápida y ET ponderada de todas las partículas producidas (excepto la protones); Gráfico inferior: pérdida de impulso del protón en eventos de intercambio de dos pomerones p para FM (izquierda) y BL (derecha) modelos inclusivos. 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 FIG. 19: Comparación de la pérdida de impulso de protones •partp calculada con la fórmula (2) y la pérdida de impulso de protones •p en nivel del generador. 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 FIG. 20: Rapididad de partículas en el lado p̄ vs p̄ pérdida de impulso: modelos inclusivos (top) para FM (izquierda) y BL (derecha); exclusive modelos (abajo) para KMR (izquierda) y BL (derecha). Los golpes de p̄ dispersos están incluidos. x/Mjj=MjjR 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Datos de DPE (estatuto) preliminar contribución exclusiva FM INC + KMR EXC x/Mjj=MjjR 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Datos de DPE (estatuto) preliminar FM INC FIG. 21: Fracción de masa de chorro para chorros pT > 10GeV: FM + KMR (izquierda), y a nivel del generador calculado de acuerdo con (4). Introducción Modelos teóricos Modelos inclusivos Modelos exclusivos Modelo de interacción de color suave Fracción de masa de chorro en el Tevatron Previsión de modelos inclusivos Predicciones de modelos exclusivos Perspectivas de mediciones futuras en el Tevatron Modelo de interacción de color suave Fracción de masa de chorro en el LHC Conclusión Agradecimientos Apéndice Bibliografía

En este artículo, discutimos la observación de eventos exclusivos usando el dijet fracción de masa medida por la colaboración CDF en el Tevatron. Comparamos los datos para el intercambio de pomeron inspirado modelos, así como la interacción de color suave Uno. También proporcionamos la predicción sobre la fracción de masa de chorro en el LHC usando eventos exclusivos e inclusivos difractivos.

Introducción Modelos teóricos Modelos inclusivos Modelos exclusivos Modelo de interacción de color suave Fracción de masa de chorro en el Tevatron Previsión de modelos inclusivos Predicciones de modelos exclusivos Perspectivas de mediciones futuras en el Tevatron Modelo de interacción de color suave Fracción de masa de chorro en el LHC Conclusión Agradecimientos Apéndice Bibliografía

Entanglement Cost for Sequences of Arbitrary Quantum States

Costo de enredo por secuencias de arbitrariedades Estados cuánticos Garry Bowen* y Nilanjana Datta† 10 de enero de 2019 Resumen El costo de enredo de las secuencias arbitrarias de los estados bipartitos es demostrado ser expresable como la minimización de un espectral condicional tasa de entropía sobre secuencias de extensiones separables de los estados en la secuencia. La expresión se muestra para reducir a la regularizada enredo de la formación cuando el n o estado en la secuencia consiste de n copias de un solo estado bipartito. 1 Introducción Un problema fundamental en la teoría del enredo es determinar cómo timalmente convertir el enredo, compartido entre dos partes distantes Alice y Bob, de una forma a otra. La manipulación del enredo es el proceso por el que Alice y Bob convierten un estado bipartito inicial participación, a un estado objetivo requerido AB utilizando operaciones locales y clásicas comunicación (LOCC). Si el estado de destino AB es un enredado máximo estado, entonces el protocolo se llama destilación de enredo, mientras que si el el estado inicial ♥AB es un estado enredado máximo, entonces el protocolo se llama Dilución del enredo. Las tasas óptimas de estos protocolos fueron originalmente eval- en el supuesto de que el recurso de enredo accesible a Alice y Bob consisten en múltiples copias, es decir, productos tensores nAB, de la Estado bipartito inicial, y el requisito de que el estado final de la protocolo es igual a n copias del estado de destino deseado nAB con asymptot- error de desaparición en el límite n→ ­. El enredo destilable y Los costes de enredo calculados de esta manera son dos medidas asintóticas de enredo del Estado.................................................................................................................................................................. Por otra parte, en el caso de que puro, estas dos medidas de enredo coinciden y son iguales al von *Centro de Computación Cuántica, DAMTP, Universidad de Cambridge, Cambridge CB3 0WA, Reino Unido † Laboratorio estadístico, Universidad de Cambridge, Wilberforce Road, Cambridge CB3 0WB, Reino Unido (dirección electrónica:n.datta@statslab.cam.ac.uk) http://arxiv.org/abs/0704.1957v3 Entropía Neumann del estado reducido en cualquiera de los subsistemas, A o En este trabajo nos centramos en la dilución del enredo, que, como se mencionó antes, es el proceso de manipulación del enredo por el cual dos distantes par- ata, dicen Alice y Bob, crear un estado objetivo bipartito deseado a partir de un maxi- Estado mal enredado que inicialmente comparten, utilizando LOCC. En [6, 7] la la tasa óptima de dilución del enredo, a saber, el coste del enredo, fue evaluado en el caso en el que Alice y Bob crearon múltiples copias de un Estado de destino deseado, con error de desaparición asintótica, de una acción compartida recurso de singlets, utilizando las operaciones locales y la comunicación clásica. In en particular, en el caso de un Estado objetivo puro, el coste de enredo se demostró [7] que era igual a la entropía del enredo del estado, es decir, la entropía de von Neumann del estado reducido en cualquiera de los dos sub- sistemas A y B. Por otra parte, en [8] se demostró que para una mezcla arbitraria El coste de enredo es igual al de enredo regularizado. de la formación del Estado (véase la definición en el punto 10). La capacidad práctica de transformar el enredo de una forma a otra es útil para muchas aplicaciones en la teoría cuántica de la información. Sin embargo, no siempre está justificado suponer que el recurso de enredo disponible se compone de estados que son copias múltiples (y, por tanto, productos tensores) de un determinado estado enredado, o exigir que el estado final del protocolo es de la forma del producto tensor. En general, un recurso de enredo se caracteriza por una secuencia arbitraria de estados bipartitos que no son necesariamente de la forma del producto tensor. Secuencias de estados bipartitos en AB son considerados existir en los espacios de Hilbert HnA H B de n° {1, 2, 3...}. Una herramienta útil para el estudio de la manipulación del enredo en este el escenario es proporcionado por el método del espectro de la información. La información método de espectro, introducido en la teoría de la información clásica por Verdu & Han [1, 2], se ha extendido a la teoría cuántica de la información por Hayashi, Ogawa y Nagaoka [3, 4, 5]. El poder del espectro de la información ap- proach proviene del hecho de que no depende de la estructura específica de fuentes, canales o recursos de enredo empleados en la protocolos oréticos. En este artículo se evalúa la tasa asintótica óptima de enredo dilución para una secuencia arbitraria de estados bipartitos. El caso de una arbitrariedad En [9] se estudió la secuencia de estado bipartito puro. El documento se organiza como sigue. En la Sección 2 introducimos las anotaciones y definiciones necesarias. La sección 3 contiene la declaración y la prueba del resultado principal, declarada como Teorema 1. Tenga en cuenta que si consideramos la secuencia de estados bipartitos a consisten en productos tensores de un determinado estado bipartito, a continuación, nuestro resultado principal reduce a los resultados conocidos obtenidos en [6, 8] (ver la discusión después de Teorema 1 de la Sección 3. Finalmente, en la Sección 4 mostramos cómo el Teorema 1 rinde una prueba alternativa de la equivalencia del coste del enredo asintótico y el enredo regularizado de la formación [8]. 2 Notas y definiciones LetB(H) denota el álgebra de los operadores lineales que actúan sobre un finito-dimensional Hilbert espacio H de dimensión d y dejar D(H) denotar el conjunto de estados (o Los operadores de densidad, es decir, los operadores positivos de trazas de unidades) que actúan sobre H. Fur- ther, que H(n) denote el espacio Hilbert Hn. Para cualquier Estado D(H), la La entropía de von Neumann se define como S( Let n ser una operación cuántica utilizada para la transformación de un inicial Estado bipartito n a un Estado bipartito n, con n, n D ((HA HB) n). Para los procesos de manipulación del enredo considerados en este artículo,........................................................................................................................................................................................................................................................ o bien consiste en operaciones locales (LO) solas o LO con una o dos vías: la forma clásica de la comunicación. Definimos la eficacia de cualquier enredo proceso de manipulación en términos de la fidelidad Fn := Tr - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. entre el estado de la salida, n (n) y el estado de destino, n. Un enredo proceso de manipulación se dice que es confiable si la fidelidad asintótica F := lim infnÃ3 Fn = 1. Para bases ortonormales dadas iA i=1 y iB i=1 en los espacios de Hilbert A y H B, de dimensiones d A y d B respectivamente, definimos la canónica estado enredado máximo del rango de Schmidt Mn ≤ min{dnA, dnB} a ser MnAB = iAó iBó. 1).......................................................................................................................................................... De hecho, en el siguiente, consideramos HA HB, para la simplicidad, de modo que dnA = d B. En este caso y en lo sucesivo, la n-dependencia explícita de los Estados de base Ha sido suprimido por simplicidad notacional. El enfoque cuántico del espectro de la información requiere un amplio uso de proyecciones espectrales. Cualquier operador auto-adjunto A actuando sobre un di- finito espacio mensional Hilbert puede ser escrito en su descomposición espectral A = i.i.i., donde.i. denota el operador que proyecta en el espacio propio. correspondientes al valor propio....................................................................................................................................................... Definimos el proyecto espectral positivo. en A como {A ≥ 0} = Por ejemplo, el proyector sobre el espacio propio de valores propios positivos de A. Para dos operadores A y B, podemos definir {A ≥ B} como {A−B ≥ 0}. Los siguientes lemas clave se utilizan repetidamente en el periódico. Para sus pruebas, véase [3, 4]. Lemma 1. Para los operadores autónomos A, B y cualquier operador positivo 0 ≤ P ≤ I la desigualdad P (A a B) A ≥ B (A a B) Espera. Lemma 2. Dado un estado D(Hn) y un operador autoadjunto B(Hn), tenemos n ≥ ennn ≤ e−nγ. 3) para cualquier número real γ. En el enfoque cuántico del espectro de la información se define la di- las tasas de alargamiento, que se pueden ver como generalizaciones de la rel- Entropía ativa. Las generalizaciones espectrales de la entropía de von Neumann, la entropía condicional y la información mutua pueden expresarse como tasas de divergencia espectral. Definición 1. Dada una secuencia de estados = nn=1, con D(Hn), y una secuencia de operadores positivos = nn=1, con n B(Hn), las tasas de divergencia espectral cuántica sup-(inf-) se definen en términos de la los operadores de diferencia Πn(γ) = πn − enn, para cualquier número real arbitrario γ, D() = inf γ : lim sup n(γ) ≥ 0n(γ) D() = sup γ : lim inf n(γ) ≥ 0n(γ) respectivamente. Las tasas de entropía espectral y las tasas de entropía espectral condicional puede expresarse como tasas de divergencia con sustituciones adecuadas para el secuencia de los operadores = nn=1. Estos son S() = −D() y S() = −D(), donde Î = {Inn=1, con En ser el operador de identidad que actúa en el espacio Hilbert Hon. Además, para secuencias de estados bipartitos AB = nABn=1, S(AB) = −D(ABA B) (4) S(AB) = −D(ABA B). 5) En lo anterior, ÎA = {InAn=1 y B = nBn=1, siendo InA la identidad operador en B(H A ) y l B = TrA AB, el rastro parcial que se está tomando en el Hilbert espacio H A. Varias propiedades de estas cantidades, y las relaciones entre ellos, se exploran en [10]. Para las secuencias de estados = n} y = n}, con se ha demostrado [5] que D() = D() = S(), (6) donde S() := Tr Dos partes, Alice y Bob, comparten una secuencia de máxima enredado estados MnAB n=1, y desea convertirlos en una secuencia de bi- Partite states nABn=1, con Łn D(Hn) y ABâ â € H B. Los protocolo utilizado para esta conversión se conoce como dilución de enredo. Los el concepto de manipulación fiable del enredo puede entonces ser utilizado para definir una medida de enredo asintótico, a saber, el coste de enredo. Definición 2. Se dice que un número R de valor real es un dilu- tasa de cion para una secuencia de estados AB = nAB}, con n), si > 0, N tal que n ≥ N existe una transformación que toma MnAB AB → nAB con fidelidad F 2n ≥ 1− ♥ y logMn ≤ R. Definición 3. El costo de enredo de la secuencia AB es el infimum de todas las tasas de dilución alcanzables: EC(AB) = inf R (7) Para simplificar las expresiones que representan el costo del enredo, definimos los siguientes conjuntos de secuencias de estados. En primer lugar, dada una secuencia de objetivo los estados AB = nABn=1, definen el conjunto Dcq(AB) como el conjunto de secuencias de los estados tripartitos RAB = nRABn=1 de tal manera que cada nRAB es un clásico- estado cuántico (estado-cq) de la forma nRAB = RinR AB AB, (8) en los que?nAB = AB AB y el conjunto de estados puros i R forma un base ortonormal de HnR. Nos referimos al estado. RAB como extensión cq del Estado bipartito, nAB. Let D AB) denotar el conjunto de todos los posibles cq- Extensiones de los fondos propios de los Estados miembros. El enredo de la formación del estado bipartito......................................................................................................................................................................................................................................................... n) se define como EF (l) AB) := min i S(l) donde A = TrB AB AB, el rastro parcial siendo tomado sobre el Hilbert espacio HnB, y la minimización es sobre todo posible conjunto de descomposición- ciones del Estado nAB. Alternativamente, el enredo de la formación de la el estado de la AAB se puede expresar como EF (l) AB) = min Dncq(l) S(AR)­n , (9) donde S(AR)­n denota la entropía condicional S(AR)­n = S(?nRA)− S(?nR), con nRA = TrB RAB y................................................................................................................................................. R = TrA RA, el Estado RAB es un cq- la ampliación del Estado nAB. El enredo regularizado de la formación de un estado bipartito D(HA HB) se define como E­F (­AB) := lim EF (l) AB) (10) La tasa de entropía sup-condicional S(AR) de la secuencia RA := nRAn=1, definido como S(AR) = −D(RAA R), (11) donde R := nRn=1, será de particular importancia en este documento. Nota: Para la simplicidad notorial, la n-dependencia explícita de las cantidades son Suprimida en el resto del periódico, donde no hay alcance de ninguna ambi- Guity. 3 Dilución del enredo para Estados mixtos La optimización asintótica sobre protocolos de dilución de enredo conduce a el siguiente teorema. Teorema 1. El costo de enredo de una secuencia de estados objetivo bipartitos AB = nABn=1, es dado por EC(AB) = min Dcq(AB) S(AR), (12) o equivalentemente minDcq(AB) S(BR), donde Dcq(AB) es el conjunto de secuencias de los estados tripartitos RAB = nRABn=1 definidos anteriormente. La prueba del Teorema 1 está contenida en los dos lemas siguientes. ¿Cómo...? nunca, antes de pasar a la prueba, nos gustaría señalar primero que Los resultados previamente conocidos sobre dilución de enredo [7, 8] pueden recuperarse del teorema de arriba. En [8] se demostró que el coste de enredo de un estado bipartito arbitrario (mixto), evaluado en el caso de Alice y Bob crear múltiples copias (es decir, productos tensores) de?AB (con asymp- error de desaparición toticalmente, de un recurso compartido de singlets, utilizando LOCC) es dada por el enredo regularizado de la formación E­F (­AB) (10). In Sección 4 demostramos cómo este resultado puede ser recuperado del Teorema 1. As con respecto al coste de enredo de los estados puros, en [9] obtuvimos una expres- sión por el coste de enredo de una secuencia arbitraria de estados puros y probamos que esta expresión se reduce a la entropía del enredo de un estado puro dado (por ejemplo, AB®), si la secuencia consistió en productos tensores de este estado, recuperando así el resultado demostrado por primera vez en [6]. Lemma 3. (Codificación) Para cualquier secuencia AB = nABn=1 y فارسى > 0, la velocidad de dilución R = S(AR) + , (13) donde S(AR) es la velocidad espectral sup-condicional dada por (11), es alcanzable. Prueba. Dejemos que el estado bipartito de la diana tenga una descomposición dada por πnAB = piiABiAB, (14) donde la descomposición Schmidt de iAB® es dada por iAB® = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * B â € ¬, (15) con los coeficientes Schmidt Łik dispuestos en orden no creciente, es decir, ♥i1 ≥ ♥i2. .. ≥ ♥idn, para dn = dimH Alice prepara localmente el estado clásico-cuantum (cq-state) i piiRiR iAAiAA′ D (HR HA HA′)n). Ella entonces hace un operación unitaria en el sistema RAA′ dada por InA nRA′ ♥nRAA′ InA nRA′ donde NRA′ := jRjR lA , (16) con la l=1 siendo una base ortonormal fija en H A′. Esto da lugar a la estado iRiR * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ′ i,kA A Ak A′, (17) En la que, una vez más, la n-dependencia explícita de los términos ha sido sup- presionado para la simplicidad notorial. Tenga en cuenta que la operación de Alice asciende a un Implicación coherente de una medición proyectiva en R con rango uno proyecciones jRjR, seguido de un Uj unitario = l lA A′ en A ′, condi- nal sobre el resultado j. Alice teletransporta el estado A′ a Bob. El resultado Estado compartido es νnRAB := piiRiR k,k′=1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * i,kA A Bk B nRAB (18) donde nRAB es un estado de error no normalizado. Tenga en cuenta que la suma sobre el índice k es truncado a Mn. Este truncado ocurre debido a la llamada efecto tijera cuántica [11], es decir, si el estado cuántico a ser teletransportado vive en un espacio de dimensión superior al rango Mn del enredado compartido estado (utilizado por los dos partidos para la teletransportación), a continuación, todas las dimensiones superiores los términos en la expansión del estado original están cortados. Por otra parte, el sistema A′ se conoce ahora como B, ya que ahora está en posesión de Bob. Alice también envía el estado “clásico” R a Bob a través de un clásico chan- nel. Bob entonces actúa en el sistema RB, que ahora está en su posesión, con el operador unitario (nRB) †. Por lo tanto, el estado final compartido puede ser ex- presionado como InA (nRB)† /nRAB InA nRB = nRAB + piiRiR iABiAB nRAB, donde iAB® := (Q) A I B)iAB®, (20) con Q Un ser el proyector ortogonal en el espacio de los vectores Schmidt correspondientes a los coeficientes Mn más grandes de Schmidt de iAB®, y nRAB := (en dólares de los EE.UU.) nRAB Por el teorema de Uhlmann (véase [12]) se deduce que F (nAB + AB, AB) ≥ F (lnAB, l 1 y la fidelidad entre el Estado y el Estado del enredo el protocolo de dilución y el estado de destino Fn ≥ máx. nABC nABC â € ¢, (21) donde nABC® es cualquier purificación fija del estado final y el maxi- la mización se hace cargo de todas las depuraciones de la NAB. Al elegir las purificaciones nCAB = iCiABá y nCABá = piiCiABá, obtenemos el siguiente límite inferior a F 2n(?nAB,?nAB). Que QnRA := i iRiR Q A y AR := i piiRiR A, donde A = TrB ABiAB. Entonces F 2n ≥ nCABnCAB QnRA Examinando explícitamente el operador de proyección PnRA := { i piiRiR e-nnRInA}, donde α es un número real, podemos expresarlo en la forma PnRA = i piiRiR A − e −nαInA ≥ 0} = i iRiR A ≥ e − nαIA}. Los rango de cada uno de los proyectores n,iA ≥ e−nαIA} es limitado por Tr[ e-nαIA}] ≤ enα por Lemma 2, y por lo tanto comparando PnRA con QnRA se puede ver que Mn = en implica que Tr[QnRARA] ≥ Tr[PnRARA]. Para cualquier  > 0 siempre podemos elegir un entero positivo N tal que para todos n ≥ N hay un Mn entero que satisface S(AR) +  ≥ 1n logMn > S(AR). Por lo tanto, usando una secuencia de estados maximamente enredados MnAB n=1 del rango de Schmidt Mn, de la definición de S(AR) se deduce que 2 ≥ lim QnRA ≥ lim PnRA = 1. 23) y la dilución del enredo a la velocidad R = S(AR) +  es alcanzable. Lemma 4. (Converso débil) Para cualquier secuencia arbitraria de estados AB, cualquier protocolo de dilución de enredo con una velocidad * < min S(AR), (24) 1Tomar una purificación tal que F (, ) =. A continuación, utilizar las purificaciones 0, 1, y 0, lo que junto con el teorema de Uhlmann implica F ( +,) ≥ = F (l, l). donde S(AR) es la velocidad espectral sup-condicional dada por (11), no es reli- Capaz. Prueba. Que TnAB denote cualquier operación LOCC utilizada para transformar el max- estado enredado MnAB® H B al estado de destino AB en este Hilbert espacio, tal que F MnAB , lnAB → 1 como n → ­. Em- el teorema de Lo & Popescu [13], el estado final del protocolo es expresable como NAB := T MnAB A U B ) AB AB (K) A U † (25) A = I A, y U B es unitaria. Dejemos que nCAB® := k knC (K A U B ) AB®, denotar una purificación de el estado final del protocolo de dilución de enredo, con C denotando, un sistema de referencia, y knC que denota una base ortonormal en su Hilbert Espacio HnC. Por el teorema de Uhlmann, para esta purificación fija CAB®, el fidelidad es dada por AB,........................................................................................... AB) = máx. nCAB nCAB, (26) donde la maximización es sobre todas las purificaciones nCAB® del estado objetivo NAB. Sin embargo, esta maximización es equivalente a una maximización sobre todo posibles transformaciones unitarias que actúan sobre el sistema de referencia C. a su vez corresponde a una descomposición particular de la purificación de la Estado de destino nAB con respecto a un sistema de referencia fijo [14]. Explícitamente nosotros entonces tienen nCAB = knC AB®, donde n,kAB AB es el dada la descomposición de?nAB obtenida de la maximización. AB,........................................................................................... AB) = nCAB nCAB = pkn,kAB K A U AB, (27) Tenga en cuenta que AB® = jAU jAU Bóš, (28) donde Nn = dimH A y P k=1 kAkA. Para la simplicidad, consideremos HA HB H, y dejar que el estado n,kAB® (HAHB) H2n tienen una descomposición Schmidt n,kAB = A,i n,kB,i. Además, que W kA y W kB sean operadores unitarios en B(Hn) de tal manera que W kn,kA,j = ¡Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa B,jó = Bâ € € TM TM. Entonces de (28) se deduce que AB® = W kA A,jáu B,já, A,j B,jà (29) donde V A := (U TW kA. Aquí hemos usado la relación j j U j = para U unitario y una base ortonormal en n,kAB K A U AB® = Tr donde A = TrB AB AB = A,i A,i. Luego a partir de (27), utilizando la desigualdad de Cauchy Schwarz que entonces obtenemos pn,kl A · P pn,kl PMnA (K pn,kl pn,kTr donde P A = (V †PMnA V A. La tercera desigualdad es la siguiente: argumentación. Expresar la tercera línea como qklk con qk = PMnA (K y πk = Tr A pk ≥ 0. De las propiedades Tr[PMnA ] = Mn y A = I A. De ello se deduce que k qk = 1 y qk ≥ 0 para todos los k. usando la concavidad del mapa x 7→ x, tenemos que k : qk>0 k : qk>0 ηk, (31) dando lugar a la desigualdad en la última línea de (30). Definición del operador de proyección PnRA := jnRjnR P y el Estado ............................................................................................................................................................................................................................................................... pn,kknRknR el cuadrado de la fidelidad puede entonces ser delimitado por F 2n ≤ Tr PnRA pn,kTr , (33) dondeQ A es el proyector ortogonal en el lapso de los vectores Schmidt correspondientes a los coeficientes Mn más grandes de Schmidt de n,kAB®. Tenga en cuenta que eqs. (22) y (33) ofrecen una prueba alternativa de lo siguiente: Lemma declaró en [15]: Lemma 5. La fidelidad de dilución del enredo para un determinado estado bipartito lnAB := i piiABiAB, bajo una transformación de LOCC F 2 (ln(MnAB), l AB) = ♥ij, (34) donde se indican los coeficientes Mn más grandes de Schmidt de iAB, j = 1,....Mn. A partir de (32), utilizando Lemma 1, con Πn(γ) := ­nRA − e­nnR InA, PnRA PnRAΠ + e−nγ pkTr[P n(γ) ≥ 0n(γ) desde Tr[Pn,k] = Tr[PMn] =Mn. Por lo tanto para Mn ≤ enR tenemos F 2n ≤ Tr n(γ) ≥ 0n(γ) + e−n(R). (35) La elección de un número γ y  > 0 tal que R+  = γ < S(AR), el segundo término en RHS de (35) tiende a cero como n →. Sin embargo, desde γ < S(AR) el primer término en RHS de (35) no converge a 1 como n→. Por lo tanto, la fidelidad asintótica F no es igual a 1. Es entonces inmediato demostrar que la elección particular de la decom- la posición de cada AAB impuesta por el criterio de fidelidad da una minimización sobre posibles secuencias cq. Supongamos que existe una secuencia cq RAB con Sl(AR) = Sl(AR) − A continuación, se desprende de la ing teorema que la tasa R = S/23370/(AR) + فارسى/2 es asintóticamente alcanzable. Sin embargo, si tomamos F ′n = nRR′AB nRR′AB entonces esto es menor que el max- imización sobre todas las purificaciones posibles, atando la fidelidad asintótica debajo de 1, dando una contradicción. 4 El enredo regularizado de la formación La aplicación del resultado principal al caso de copias múltiples de una sola el estado bipartito proporciona una nueva prueba de la equivalencia [8] entre el Enredo de la formación de un estado bipartito E.F. (A.B.) (10), y su coste de enredo CE(lAB). Primera nota que como el enredo de la formación es un no- aumento de la función de n tenemos infn EF (l) AB) = limn EF (l) AB) = F.E.F. (AB.). Considere la secuencia AB = nABn=1 de los estados bipartitos. Por cualquier estado ­nAB en la secuencia, S(AnBn)­nAB denote el condicional en- Tropy: S(AnBn) = S(lnAB)− S(lnB). De los resultados en [5] se puede demostrar que la tasa de entropía condicional de la la secuencia está limitada arriba por la velocidad de entropía espectral sup-condicional: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • S(AnBn) ≤ S(AB) (36) Así, para cualquier secuencia de cq-estados RAB = nRABn=1 en RAB, que reducir a secuencias de producto AB = nn=1 en AB, tenemos de (9) y EF (­) n) ≤ lim inf S(AnRn) ≤ S(AR), donde S(AR) denota la tasa de entropía espectral supcondicional definida en (11). Para la desigualdad inversa simplemente construimos estados de tamaño de bloque m en RAB de tal manera que mn = ( i iRiRmi mi AB)n/mRAB, donde  es un estado tampón asintóticamente irrelevante cuando m no divide n. Utilizando la regla de cadena [16] S(AR) ≤ S(RA)−S(R), las definiciones de S(RA) y S(R), y (6), obtenemos S(AR) ≤ S(­mmRA )­ S(­mmR ) i S( En el caso de la letra a) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, la fecha de entrada en vigor del presente Reglamento será la de la fecha de entrada en vigor del presente Reglamento. Tomando el infimum sobre m y decompo- Situaciones entonces implica CE(?AB) = E F (lAB) (37) para las secuencias de productos, y por lo tanto el enredo regularizado de la formación para un estado bipartito es igual a su costo de enredo. Agradecimientos Este trabajo forma parte del QIP-IRC apoyado por la Comunidad Europea Séptimo Programa Marco (PM7/2007-2013) en virtud de un acuerdo de subvención número 213681. Bibliografía [1] S. Verdu y T. S. Han, IEEE Trans. Informa. Teoría 40, 1147 (1994). [2] T. S. Han, Métodos del espectro de la información en la teoría de la información Springer-Verlag, (2002). [3] T. Ogawa y H. Nagaoka, IEEE Trans. Informa. Teoría 46, 2428 (2000). [4] H. Nagaoka y M. Hayashi, quant-ph/0206185. [5] M. Hayashi y H. Nagaoka, IEEE Trans. Informa. Teoría 49,1753 (2003). [6] C.H.Bennett, H.J.Bernstein, S.Popescu, y B.Schumacher, Phys. Rev. A, vol. 53, 2046, 1996. [7] C.H.Bennett, D.P.DiVincenzo, J.A.Smolin, y W.K.Wootters, Phys. Rev. A, vol. 54, 3824, 1996. [8] P. M.Hayden, M. Horodecki y B. M.Terhal, J. Phys. A 34, 6891(2001). [9] G. Bowen y N. Datta, IEEE Trans. Informa. Teoría 54.3677 (2008). [10] G. Bowen y N. Datta, Actas 2006 sium en la Teoría de la Información p.451 (2006), quant-ph/0604013. [11] D. T. Pegg, L. S. Phillips y S. M. Barnett, Phys. Rev. Lett., 81, p. 1604, 1998. [12] M. A. Nielsen e I. L. Chuang, Computación Cuántica y Quantum Información, Cambridge University Press,Cambridge, (2000). [13] H.K.Lo y S.Popescu, Phys. Rev. A, vol. 63, 022301, (2001) [14] L.Hughston, R.Jozsa, y W.Wootters, Phys. Lett. A 183,14, (1993). [15] M. Hayashi, Información Cuántica: una Introducción (Springer-Verlag, Berlín, Heidelberg, 2006). [16] G.Bowen y N.Datta, quant-ph/0610003. 1 Introducción 2 Notas y definiciones 3 Dilución del enredo para Estados mixtos 4 El enredo regularizado de la formación

El costo de enredo de secuencias arbitrarias de estados bipartitos se muestra a ser expresable como la minimización de una tasa de entropía espectral condicional sobre secuencias de extensiones separables de los estados en la secuencia. La expresión se muestra reducir al enredo regularizado de la formación cuando el n-ésimo estado en la secuencia consiste en n copias de un único estado bipartito.

Introducción Un problema fundamental en la teoría del enredo es determinar cómo timalmente convertir el enredo, compartido entre dos partes distantes Alice y Bob, de una forma a otra. La manipulación del enredo es el proceso por el que Alice y Bob convierten un estado bipartito inicial participación, a un estado objetivo requerido AB utilizando operaciones locales y clásicas comunicación (LOCC). Si el estado de destino AB es un enredado máximo estado, entonces el protocolo se llama destilación de enredo, mientras que si el el estado inicial ♥AB es un estado enredado máximo, entonces el protocolo se llama Dilución del enredo. Las tasas óptimas de estos protocolos fueron originalmente eval- en el supuesto de que el recurso de enredo accesible a Alice y Bob consisten en múltiples copias, es decir, productos tensores nAB, de la Estado bipartito inicial, y el requisito de que el estado final de la protocolo es igual a n copias del estado de destino deseado nAB con asymptot- error de desaparición en el límite n→ ­. El enredo destilable y Los costes de enredo calculados de esta manera son dos medidas asintóticas de enredo del Estado.................................................................................................................................................................. Por otra parte, en el caso de que puro, estas dos medidas de enredo coinciden y son iguales al von *Centro de Computación Cuántica, DAMTP, Universidad de Cambridge, Cambridge CB3 0WA, Reino Unido † Laboratorio estadístico, Universidad de Cambridge, Wilberforce Road, Cambridge CB3 0WB, Reino Unido (dirección electrónica:n.datta@statslab.cam.ac.uk) http://arxiv.org/abs/0704.1957v3 Entropía Neumann del estado reducido en cualquiera de los subsistemas, A o En este trabajo nos centramos en la dilución del enredo, que, como se mencionó antes, es el proceso de manipulación del enredo por el cual dos distantes par- ata, dicen Alice y Bob, crear un estado objetivo bipartito deseado a partir de un maxi- Estado mal enredado que inicialmente comparten, utilizando LOCC. En [6, 7] la la tasa óptima de dilución del enredo, a saber, el coste del enredo, fue evaluado en el caso en el que Alice y Bob crearon múltiples copias de un Estado de destino deseado, con error de desaparición asintótica, de una acción compartida recurso de singlets, utilizando las operaciones locales y la comunicación clásica. In en particular, en el caso de un Estado objetivo puro, el coste de enredo se demostró [7] que era igual a la entropía del enredo del estado, es decir, la entropía de von Neumann del estado reducido en cualquiera de los dos sub- sistemas A y B. Por otra parte, en [8] se demostró que para una mezcla arbitraria El coste de enredo es igual al de enredo regularizado. de la formación del Estado (véase la definición en el punto 10). La capacidad práctica de transformar el enredo de una forma a otra es útil para muchas aplicaciones en la teoría cuántica de la información. Sin embargo, no siempre está justificado suponer que el recurso de enredo disponible se compone de estados que son copias múltiples (y, por tanto, productos tensores) de un determinado estado enredado, o exigir que el estado final del protocolo es de la forma del producto tensor. En general, un recurso de enredo se caracteriza por una secuencia arbitraria de estados bipartitos que no son necesariamente de la forma del producto tensor. Secuencias de estados bipartitos en AB son considerados existir en los espacios de Hilbert HnA H B de n° {1, 2, 3...}. Una herramienta útil para el estudio de la manipulación del enredo en este el escenario es proporcionado por el método del espectro de la información. La información método de espectro, introducido en la teoría de la información clásica por Verdu & Han [1, 2], se ha extendido a la teoría cuántica de la información por Hayashi, Ogawa y Nagaoka [3, 4, 5]. El poder del espectro de la información ap- proach proviene del hecho de que no depende de la estructura específica de fuentes, canales o recursos de enredo empleados en la protocolos oréticos. En este artículo se evalúa la tasa asintótica óptima de enredo dilución para una secuencia arbitraria de estados bipartitos. El caso de una arbitrariedad En [9] se estudió la secuencia de estado bipartito puro. El documento se organiza como sigue. En la Sección 2 introducimos las anotaciones y definiciones necesarias. La sección 3 contiene la declaración y la prueba del resultado principal, declarada como Teorema 1. Tenga en cuenta que si consideramos la secuencia de estados bipartitos a consisten en productos tensores de un determinado estado bipartito, a continuación, nuestro resultado principal reduce a los resultados conocidos obtenidos en [6, 8] (ver la discusión después de Teorema 1 de la Sección 3. Finalmente, en la Sección 4 mostramos cómo el Teorema 1 rinde una prueba alternativa de la equivalencia del coste del enredo asintótico y el enredo regularizado de la formación [8]. 2 Notas y definiciones LetB(H) denota el álgebra de los operadores lineales que actúan sobre un finito-dimensional Hilbert espacio H de dimensión d y dejar D(H) denotar el conjunto de estados (o Los operadores de densidad, es decir, los operadores positivos de trazas de unidades) que actúan sobre H. Fur- ther, que H(n) denote el espacio Hilbert Hn. Para cualquier Estado D(H), la La entropía de von Neumann se define como S( Let n ser una operación cuántica utilizada para la transformación de un inicial Estado bipartito n a un Estado bipartito n, con n, n D ((HA HB) n). Para los procesos de manipulación del enredo considerados en este artículo,........................................................................................................................................................................................................................................................ o bien consiste en operaciones locales (LO) solas o LO con una o dos vías: la forma clásica de la comunicación. Definimos la eficacia de cualquier enredo proceso de manipulación en términos de la fidelidad Fn := Tr - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. entre el estado de la salida, n (n) y el estado de destino, n. Un enredo proceso de manipulación se dice que es confiable si la fidelidad asintótica F := lim infnÃ3 Fn = 1. Para bases ortonormales dadas iA i=1 y iB i=1 en los espacios de Hilbert A y H B, de dimensiones d A y d B respectivamente, definimos la canónica estado enredado máximo del rango de Schmidt Mn ≤ min{dnA, dnB} a ser MnAB = iAó iBó. 1).......................................................................................................................................................... De hecho, en el siguiente, consideramos HA HB, para la simplicidad, de modo que dnA = d B. En este caso y en lo sucesivo, la n-dependencia explícita de los Estados de base Ha sido suprimido por simplicidad notacional. El enfoque cuántico del espectro de la información requiere un amplio uso de proyecciones espectrales. Cualquier operador auto-adjunto A actuando sobre un di- finito espacio mensional Hilbert puede ser escrito en su descomposición espectral A = i.i.i., donde.i. denota el operador que proyecta en el espacio propio. correspondientes al valor propio....................................................................................................................................................... Definimos el proyecto espectral positivo. en A como {A ≥ 0} = Por ejemplo, el proyector sobre el espacio propio de valores propios positivos de A. Para dos operadores A y B, podemos definir {A ≥ B} como {A−B ≥ 0}. Los siguientes lemas clave se utilizan repetidamente en el periódico. Para sus pruebas, véase [3, 4]. Lemma 1. Para los operadores autónomos A, B y cualquier operador positivo 0 ≤ P ≤ I la desigualdad P (A a B) A ≥ B (A a B) Espera. Lemma 2. Dado un estado D(Hn) y un operador autoadjunto B(Hn), tenemos n ≥ ennn ≤ e−nγ. 3) para cualquier número real γ. En el enfoque cuántico del espectro de la información se define la di- las tasas de alargamiento, que se pueden ver como generalizaciones de la rel- Entropía ativa. Las generalizaciones espectrales de la entropía de von Neumann, la entropía condicional y la información mutua pueden expresarse como tasas de divergencia espectral. Definición 1. Dada una secuencia de estados = nn=1, con D(Hn), y una secuencia de operadores positivos = nn=1, con n B(Hn), las tasas de divergencia espectral cuántica sup-(inf-) se definen en términos de la los operadores de diferencia Πn(γ) = πn − enn, para cualquier número real arbitrario γ, D() = inf γ : lim sup n(γ) ≥ 0n(γ) D() = sup γ : lim inf n(γ) ≥ 0n(γ) respectivamente. Las tasas de entropía espectral y las tasas de entropía espectral condicional puede expresarse como tasas de divergencia con sustituciones adecuadas para el secuencia de los operadores = nn=1. Estos son S() = −D() y S() = −D(), donde Î = {Inn=1, con En ser el operador de identidad que actúa en el espacio Hilbert Hon. Además, para secuencias de estados bipartitos AB = nABn=1, S(AB) = −D(ABA B) (4) S(AB) = −D(ABA B). 5) En lo anterior, ÎA = {InAn=1 y B = nBn=1, siendo InA la identidad operador en B(H A ) y l B = TrA AB, el rastro parcial que se está tomando en el Hilbert espacio H A. Varias propiedades de estas cantidades, y las relaciones entre ellos, se exploran en [10]. Para las secuencias de estados = n} y = n}, con se ha demostrado [5] que D() = D() = S(), (6) donde S() := Tr Dos partes, Alice y Bob, comparten una secuencia de máxima enredado estados MnAB n=1, y desea convertirlos en una secuencia de bi- Partite states nABn=1, con Łn D(Hn) y ABâ â € H B. Los protocolo utilizado para esta conversión se conoce como dilución de enredo. Los el concepto de manipulación fiable del enredo puede entonces ser utilizado para definir una medida de enredo asintótico, a saber, el coste de enredo. Definición 2. Se dice que un número R de valor real es un dilu- tasa de cion para una secuencia de estados AB = nAB}, con n), si > 0, N tal que n ≥ N existe una transformación que toma MnAB AB → nAB con fidelidad F 2n ≥ 1− ♥ y logMn ≤ R. Definición 3. El costo de enredo de la secuencia AB es el infimum de todas las tasas de dilución alcanzables: EC(AB) = inf R (7) Para simplificar las expresiones que representan el costo del enredo, definimos los siguientes conjuntos de secuencias de estados. En primer lugar, dada una secuencia de objetivo los estados AB = nABn=1, definen el conjunto Dcq(AB) como el conjunto de secuencias de los estados tripartitos RAB = nRABn=1 de tal manera que cada nRAB es un clásico- estado cuántico (estado-cq) de la forma nRAB = RinR AB AB, (8) en los que?nAB = AB AB y el conjunto de estados puros i R forma un base ortonormal de HnR. Nos referimos al estado. RAB como extensión cq del Estado bipartito, nAB. Let D AB) denotar el conjunto de todos los posibles cq- Extensiones de los fondos propios de los Estados miembros. El enredo de la formación del estado bipartito......................................................................................................................................................................................................................................................... n) se define como EF (l) AB) := min i S(l) donde A = TrB AB AB, el rastro parcial siendo tomado sobre el Hilbert espacio HnB, y la minimización es sobre todo posible conjunto de descomposición- ciones del Estado nAB. Alternativamente, el enredo de la formación de la el estado de la AAB se puede expresar como EF (l) AB) = min Dncq(l) S(AR)­n , (9) donde S(AR)­n denota la entropía condicional S(AR)­n = S(?nRA)− S(?nR), con nRA = TrB RAB y................................................................................................................................................. R = TrA RA, el Estado RAB es un cq- la ampliación del Estado nAB. El enredo regularizado de la formación de un estado bipartito D(HA HB) se define como E­F (­AB) := lim EF (l) AB) (10) La tasa de entropía sup-condicional S(AR) de la secuencia RA := nRAn=1, definido como S(AR) = −D(RAA R), (11) donde R := nRn=1, será de particular importancia en este documento. Nota: Para la simplicidad notorial, la n-dependencia explícita de las cantidades son Suprimida en el resto del periódico, donde no hay alcance de ninguna ambi- Guity. 3 Dilución del enredo para Estados mixtos La optimización asintótica sobre protocolos de dilución de enredo conduce a el siguiente teorema. Teorema 1. El costo de enredo de una secuencia de estados objetivo bipartitos AB = nABn=1, es dado por EC(AB) = min Dcq(AB) S(AR), (12) o equivalentemente minDcq(AB) S(BR), donde Dcq(AB) es el conjunto de secuencias de los estados tripartitos RAB = nRABn=1 definidos anteriormente. La prueba del Teorema 1 está contenida en los dos lemas siguientes. ¿Cómo...? nunca, antes de pasar a la prueba, nos gustaría señalar primero que Los resultados previamente conocidos sobre dilución de enredo [7, 8] pueden recuperarse del teorema de arriba. En [8] se demostró que el coste de enredo de un estado bipartito arbitrario (mixto), evaluado en el caso de Alice y Bob crear múltiples copias (es decir, productos tensores) de?AB (con asymp- error de desaparición toticalmente, de un recurso compartido de singlets, utilizando LOCC) es dada por el enredo regularizado de la formación E­F (­AB) (10). In Sección 4 demostramos cómo este resultado puede ser recuperado del Teorema 1. As con respecto al coste de enredo de los estados puros, en [9] obtuvimos una expres- sión por el coste de enredo de una secuencia arbitraria de estados puros y probamos que esta expresión se reduce a la entropía del enredo de un estado puro dado (por ejemplo, AB®), si la secuencia consistió en productos tensores de este estado, recuperando así el resultado demostrado por primera vez en [6]. Lemma 3. (Codificación) Para cualquier secuencia AB = nABn=1 y فارسى > 0, la velocidad de dilución R = S(AR) + , (13) donde S(AR) es la velocidad espectral sup-condicional dada por (11), es alcanzable. Prueba. Dejemos que el estado bipartito de la diana tenga una descomposición dada por πnAB = piiABiAB, (14) donde la descomposición Schmidt de iAB® es dada por iAB® = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * B â € ¬, (15) con los coeficientes Schmidt Łik dispuestos en orden no creciente, es decir, ♥i1 ≥ ♥i2. .. ≥ ♥idn, para dn = dimH Alice prepara localmente el estado clásico-cuantum (cq-state) i piiRiR iAAiAA′ D (HR HA HA′)n). Ella entonces hace un operación unitaria en el sistema RAA′ dada por InA nRA′ ♥nRAA′ InA nRA′ donde NRA′ := jRjR lA , (16) con la l=1 siendo una base ortonormal fija en H A′. Esto da lugar a la estado iRiR * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ′ i,kA A Ak A′, (17) En la que, una vez más, la n-dependencia explícita de los términos ha sido sup- presionado para la simplicidad notorial. Tenga en cuenta que la operación de Alice asciende a un Implicación coherente de una medición proyectiva en R con rango uno proyecciones jRjR, seguido de un Uj unitario = l lA A′ en A ′, condi- nal sobre el resultado j. Alice teletransporta el estado A′ a Bob. El resultado Estado compartido es νnRAB := piiRiR k,k′=1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * i,kA A Bk B nRAB (18) donde nRAB es un estado de error no normalizado. Tenga en cuenta que la suma sobre el índice k es truncado a Mn. Este truncado ocurre debido a la llamada efecto tijera cuántica [11], es decir, si el estado cuántico a ser teletransportado vive en un espacio de dimensión superior al rango Mn del enredado compartido estado (utilizado por los dos partidos para la teletransportación), a continuación, todas las dimensiones superiores los términos en la expansión del estado original están cortados. Por otra parte, el sistema A′ se conoce ahora como B, ya que ahora está en posesión de Bob. Alice también envía el estado “clásico” R a Bob a través de un clásico chan- nel. Bob entonces actúa en el sistema RB, que ahora está en su posesión, con el operador unitario (nRB) †. Por lo tanto, el estado final compartido puede ser ex- presionado como InA (nRB)† /nRAB InA nRB = nRAB + piiRiR iABiAB nRAB, donde iAB® := (Q) A I B)iAB®, (20) con Q Un ser el proyector ortogonal en el espacio de los vectores Schmidt correspondientes a los coeficientes Mn más grandes de Schmidt de iAB®, y nRAB := (en dólares de los EE.UU.) nRAB Por el teorema de Uhlmann (véase [12]) se deduce que F (nAB + AB, AB) ≥ F (lnAB, l 1 y la fidelidad entre el Estado y el Estado del enredo el protocolo de dilución y el estado de destino Fn ≥ máx. nABC nABC â € ¢, (21) donde nABC® es cualquier purificación fija del estado final y el maxi- la mización se hace cargo de todas las depuraciones de la NAB. Al elegir las purificaciones nCAB = iCiABá y nCABá = piiCiABá, obtenemos el siguiente límite inferior a F 2n(?nAB,?nAB). Que QnRA := i iRiR Q A y AR := i piiRiR A, donde A = TrB ABiAB. Entonces F 2n ≥ nCABnCAB QnRA Examinando explícitamente el operador de proyección PnRA := { i piiRiR e-nnRInA}, donde α es un número real, podemos expresarlo en la forma PnRA = i piiRiR A − e −nαInA ≥ 0} = i iRiR A ≥ e − nαIA}. Los rango de cada uno de los proyectores n,iA ≥ e−nαIA} es limitado por Tr[ e-nαIA}] ≤ enα por Lemma 2, y por lo tanto comparando PnRA con QnRA se puede ver que Mn = en implica que Tr[QnRARA] ≥ Tr[PnRARA]. Para cualquier  > 0 siempre podemos elegir un entero positivo N tal que para todos n ≥ N hay un Mn entero que satisface S(AR) +  ≥ 1n logMn > S(AR). Por lo tanto, usando una secuencia de estados maximamente enredados MnAB n=1 del rango de Schmidt Mn, de la definición de S(AR) se deduce que 2 ≥ lim QnRA ≥ lim PnRA = 1. 23) y la dilución del enredo a la velocidad R = S(AR) +  es alcanzable. Lemma 4. (Converso débil) Para cualquier secuencia arbitraria de estados AB, cualquier protocolo de dilución de enredo con una velocidad * < min S(AR), (24) 1Tomar una purificación tal que F (, ) =. A continuación, utilizar las purificaciones 0, 1, y 0, lo que junto con el teorema de Uhlmann implica F ( +,) ≥ = F (l, l). donde S(AR) es la velocidad espectral sup-condicional dada por (11), no es reli- Capaz. Prueba. Que TnAB denote cualquier operación LOCC utilizada para transformar el max- estado enredado MnAB® H B al estado de destino AB en este Hilbert espacio, tal que F MnAB , lnAB → 1 como n → ­. Em- el teorema de Lo & Popescu [13], el estado final del protocolo es expresable como NAB := T MnAB A U B ) AB AB (K) A U † (25) A = I A, y U B es unitaria. Dejemos que nCAB® := k knC (K A U B ) AB®, denotar una purificación de el estado final del protocolo de dilución de enredo, con C denotando, un sistema de referencia, y knC que denota una base ortonormal en su Hilbert Espacio HnC. Por el teorema de Uhlmann, para esta purificación fija CAB®, el fidelidad es dada por AB,........................................................................................... AB) = máx. nCAB nCAB, (26) donde la maximización es sobre todas las purificaciones nCAB® del estado objetivo NAB. Sin embargo, esta maximización es equivalente a una maximización sobre todo posibles transformaciones unitarias que actúan sobre el sistema de referencia C. a su vez corresponde a una descomposición particular de la purificación de la Estado de destino nAB con respecto a un sistema de referencia fijo [14]. Explícitamente nosotros entonces tienen nCAB = knC AB®, donde n,kAB AB es el dada la descomposición de?nAB obtenida de la maximización. AB,........................................................................................... AB) = nCAB nCAB = pkn,kAB K A U AB, (27) Tenga en cuenta que AB® = jAU jAU Bóš, (28) donde Nn = dimH A y P k=1 kAkA. Para la simplicidad, consideremos HA HB H, y dejar que el estado n,kAB® (HAHB) H2n tienen una descomposición Schmidt n,kAB = A,i n,kB,i. Además, que W kA y W kB sean operadores unitarios en B(Hn) de tal manera que W kn,kA,j = ¡Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa B,jó = Bâ € € TM TM. Entonces de (28) se deduce que AB® = W kA A,jáu B,já, A,j B,jà (29) donde V A := (U TW kA. Aquí hemos usado la relación j j U j = para U unitario y una base ortonormal en n,kAB K A U AB® = Tr donde A = TrB AB AB = A,i A,i. Luego a partir de (27), utilizando la desigualdad de Cauchy Schwarz que entonces obtenemos pn,kl A · P pn,kl PMnA (K pn,kl pn,kTr donde P A = (V †PMnA V A. La tercera desigualdad es la siguiente: argumentación. Expresar la tercera línea como qklk con qk = PMnA (K y πk = Tr A pk ≥ 0. De las propiedades Tr[PMnA ] = Mn y A = I A. De ello se deduce que k qk = 1 y qk ≥ 0 para todos los k. usando la concavidad del mapa x 7→ x, tenemos que k : qk>0 k : qk>0 ηk, (31) dando lugar a la desigualdad en la última línea de (30). Definición del operador de proyección PnRA := jnRjnR P y el Estado ............................................................................................................................................................................................................................................................... pn,kknRknR el cuadrado de la fidelidad puede entonces ser delimitado por F 2n ≤ Tr PnRA pn,kTr , (33) dondeQ A es el proyector ortogonal en el lapso de los vectores Schmidt correspondientes a los coeficientes Mn más grandes de Schmidt de n,kAB®. Tenga en cuenta que eqs. (22) y (33) ofrecen una prueba alternativa de lo siguiente: Lemma declaró en [15]: Lemma 5. La fidelidad de dilución del enredo para un determinado estado bipartito lnAB := i piiABiAB, bajo una transformación de LOCC F 2 (ln(MnAB), l AB) = ♥ij, (34) donde se indican los coeficientes Mn más grandes de Schmidt de iAB, j = 1,....Mn. A partir de (32), utilizando Lemma 1, con Πn(γ) := ­nRA − e­nnR InA, PnRA PnRAΠ + e−nγ pkTr[P n(γ) ≥ 0n(γ) desde Tr[Pn,k] = Tr[PMn] =Mn. Por lo tanto para Mn ≤ enR tenemos F 2n ≤ Tr n(γ) ≥ 0n(γ) + e−n(R). (35) La elección de un número γ y  > 0 tal que R+  = γ < S(AR), el segundo término en RHS de (35) tiende a cero como n →. Sin embargo, desde γ < S(AR) el primer término en RHS de (35) no converge a 1 como n→. Por lo tanto, la fidelidad asintótica F no es igual a 1. Es entonces inmediato demostrar que la elección particular de la decom- la posición de cada AAB impuesta por el criterio de fidelidad da una minimización sobre posibles secuencias cq. Supongamos que existe una secuencia cq RAB con Sl(AR) = Sl(AR) − A continuación, se desprende de la ing teorema que la tasa R = S/23370/(AR) + فارسى/2 es asintóticamente alcanzable. Sin embargo, si tomamos F ′n = nRR′AB nRR′AB entonces esto es menor que el max- imización sobre todas las purificaciones posibles, atando la fidelidad asintótica debajo de 1, dando una contradicción. 4 El enredo regularizado de la formación La aplicación del resultado principal al caso de copias múltiples de una sola el estado bipartito proporciona una nueva prueba de la equivalencia [8] entre el Enredo de la formación de un estado bipartito E.F. (A.B.) (10), y su coste de enredo CE(lAB). Primera nota que como el enredo de la formación es un no- aumento de la función de n tenemos infn EF (l) AB) = limn EF (l) AB) = F.E.F. (AB.). Considere la secuencia AB = nABn=1 de los estados bipartitos. Por cualquier estado ­nAB en la secuencia, S(AnBn)­nAB denote el condicional en- Tropy: S(AnBn) = S(lnAB)− S(lnB). De los resultados en [5] se puede demostrar que la tasa de entropía condicional de la la secuencia está limitada arriba por la velocidad de entropía espectral sup-condicional: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • S(AnBn) ≤ S(AB) (36) Así, para cualquier secuencia de cq-estados RAB = nRABn=1 en RAB, que reducir a secuencias de producto AB = nn=1 en AB, tenemos de (9) y EF (­) n) ≤ lim inf S(AnRn) ≤ S(AR), donde S(AR) denota la tasa de entropía espectral supcondicional definida en (11). Para la desigualdad inversa simplemente construimos estados de tamaño de bloque m en RAB de tal manera que mn = ( i iRiRmi mi AB)n/mRAB, donde  es un estado tampón asintóticamente irrelevante cuando m no divide n. Utilizando la regla de cadena [16] S(AR) ≤ S(RA)−S(R), las definiciones de S(RA) y S(R), y (6), obtenemos S(AR) ≤ S(­mmRA )­ S(­mmR ) i S( En el caso de la letra a) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, la fecha de entrada en vigor del presente Reglamento será la de la fecha de entrada en vigor del presente Reglamento. Tomando el infimum sobre m y decompo- Situaciones entonces implica CE(?AB) = E F (lAB) (37) para las secuencias de productos, y por lo tanto el enredo regularizado de la formación para un estado bipartito es igual a su costo de enredo. Agradecimientos Este trabajo forma parte del QIP-IRC apoyado por la Comunidad Europea Séptimo Programa Marco (PM7/2007-2013) en virtud de un acuerdo de subvención número 213681. Bibliografía [1] S. Verdu y T. S. Han, IEEE Trans. Informa. Teoría 40, 1147 (1994). [2] T. S. Han, Métodos del espectro de la información en la teoría de la información Springer-Verlag, (2002). [3] T. Ogawa y H. Nagaoka, IEEE Trans. Informa. Teoría 46, 2428 (2000). [4] H. Nagaoka y M. Hayashi, quant-ph/0206185. [5] M. Hayashi y H. Nagaoka, IEEE Trans. Informa. Teoría 49,1753 (2003). [6] C.H.Bennett, H.J.Bernstein, S.Popescu, y B.Schumacher, Phys. Rev. A, vol. 53, 2046, 1996. [7] C.H.Bennett, D.P.DiVincenzo, J.A.Smolin, y W.K.Wootters, Phys. Rev. A, vol. 54, 3824, 1996. [8] P. M.Hayden, M. Horodecki y B. M.Terhal, J. Phys. A 34, 6891(2001). [9] G. Bowen y N. Datta, IEEE Trans. Informa. Teoría 54.3677 (2008). [10] G. Bowen y N. Datta, Actas 2006 sium en la Teoría de la Información p.451 (2006), quant-ph/0604013. [11] D. T. Pegg, L. S. Phillips y S. M. Barnett, Phys. Rev. Lett., 81, p. 1604, 1998. [12] M. A. Nielsen e I. L. 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Line and continuum variability of two intermediate-redshift, high-luminosity quasars

Astronomía y Astrofísica manuscrito no. ecopap c© ESO 2021 8 de noviembre de 2021 Variabilidad lineal y continua de dos corrimientos intermedios al rojo, Cuásares de alta luminosidad D.Trevese1, D.Paris1, G. M. Stirpe2, F.Vagnetti3, y V. Zitelli2 1 Dipartimento di Fisica, Università di Roma “La Sapienza”, P.le A.Moro 2, I-00185 Roma (Italia) Correo electrónico: dario.trevese@roma1.infn.it 2 INAF - Osservatorio Astronomico di Bologna, vía Ranzani, 1 - 40127 Bologna (Italia) 3 Dipartimento di Fisica, Università di Roma “Tor Vergata”, Via della Ricerca Scientifica, 1, I-00133 Roma (Italia) RESUMEN Contexto. Se ha demostrado que la luminosidad de los núcleos galácticos activos y el tamaño de su región de amplia línea obedecen a una relación simple de el tipo RBLR = aLγ, desde núcleos débiles de Seyfert hasta cuásares brillantes, permitiendo la determinación de un solo epoch de la masa central del agujero negro MBH = bL2Hβ de su luminosidad L y anchura de la línea de emisión Hβ. Adoptando esta determinación de masa para estudios cosmológicos requiere la extrapolación a alto corrimiento al rojo y luminosidad de una relación cuya calibración, depende hasta ahora de mapeo de reverberación mea- seguridades realizadas para L 1046erg s−1 y corrimiento al rojo z 0.4. Apuntes. Iniciamos una campaña para el monitoreo espectrofotométrico de unos cuantos quásares luminosos, intermedios de corrimiento al rojo cuyos aparentes la magnitud, V < 15.7, permite las observaciones con un telescopio de 1,8 m, destinado a demostrar que las líneas de emisión varían y responden al continuum variaciones incluso para las luminosidades 1047erg s−1, y determinar finalmente su MBH de la cartografía de reverberación. Métodos. Hemos realizado repetidamente observaciones espectrofotométricas simultáneas de cuásares y estrellas de referencia para determinar variabilidad relativa del continuum y de las líneas de emisión. Describimos las observaciones y los métodos de análisis. Resultados. Para los cuásares PG 1634+706 y PG 1247+268 obtenemos curvas de luz respectivamente para CIII](1909Å), MgII(2798Å) y para las líneas de emisión CIV(1549Å), CIII](1909Å) con la continuidad correspondiente. Durante 3,2 años de observación, en el primer caso no se ha detectado ninguna variabilidad del continuum y la evidencia de la variabilidad de las líneas es marginal, mientras que en este último caso ambos continuum y la variabilidad de línea se detectan con alta significación y las variaciones de línea aparecen correlacionadas con las variaciones de continuum. Conclusiones. La detección de la variabilidad de la línea de emisión en un quásar con L •1047erg s−1 fomenta el enjuiciamiento de los moni- campaña de arqueo que debería proporcionar una estimación de masa de agujero negro en otros 5-6 años, limitando la relación masa-luminosidad en una rango poco explorado de luminosidad. Palabras clave. galaxias:activas – cuásares: líneas de emisión – cuásares: generales – cuásar:individual:PG 1634+706, PG 1247+268 1. Introducción Los agujeros negros supermasivos (SMBHs) se cree que habitan la mayoría, si no todos, los protuberancias de las galaxias presentes-epoch (Kormendy y Richstone, 1995), y existen fuertes evidencias de una correlación entre la masa del agujero negro y o bien la masa Mbulge y lu- minosity (Marconi et al., 2003, y refs. en ellos) o el veloc- ity dispersión del abultamiento del huésped (Ferrarese & Merrit, 2000; Tremaine et al., 2002). Esto sugiere fuertemente que la formación y el crecimiento de SMBHs y galaxias están físicamente relacionados pro- y proporciona una base para una teoría de la estructura cósmica para , incorporando la retroalimentación de los Núcleos Galácticos Activos (AGNs) (Silk & Rees, 1998; Vittorini, Shankar, & Cavaliere, 2005, y refs.therein). Masas de agujeros negros basadas en determinaciones en la cinemática estelar o de gas están intrínsecamente limitados, por angu- resolución lar, a objetos relativamente cercanos y no se puede aplicar a brillantes AGNs donde la luz nuclear prevalece sobre el galac- componente tic, justo en la región central donde el gas galáctico o el movimiento estelar está dominado por el campo gravitacional del agujero negro. La técnica de reverberación-mapeo no sufre de este lim- y representa el único medio para medir la masa de SMBH en AGNs brillantes. Las líneas de emisión, en la región óptica-UV, se interpretan como recombinación de un gas que es fotoionizado por el continuum radiación emitida por la región interior del núcleo, presumiblemente un disco de acreción que rodea el agujero negro. Líneas de emisiones re- spond a la variación del continuum ionizante. Aunque el phys... El origen ical de estas variaciones es poco conocido (p. ej. Trevese & Vagnetti, 2002; Vanden Berk y otros, 2004; De Vries y otros, 2005) es posible utilizar la respuesta de las líneas al continuum varia- ciones para investigar la estructura de la región emisora de líneas. Esto requiere largas campañas de monitorización espectrofotomérica precisa- • el desarrollo de las redes transeuropeas de transporte, que en el pasado han dado lugar a grandes avances en el ámbito de las redes transeuropeas de transporte; entendiendo la física de la “atmósfera” de Seyfert 1 galaxias. Un resumen de estos resultados se da en Peterson (1993). Ancho de línea, p. ej. la línea de emisión FWHM Hβ de la línea de emisión Hβ, corresponde a r.m.s. velocidades de emisión de las nubes de gas. A análisis de correlación cruzada de la luz continua y de la línea de emisión curvas, evidenciando un retraso de tiempo de la línea de respeto al continuum variaciones, permite estimar el tamaño R = /c de la región donde se generan los fotones de línea. Si el movimiento de gas en el La región de la línea ancha (BLR) está dominada por la gravitación (Peterson & Wandel, 2000), el tamaño estimado RBLR se puede combinar con la anchura de la línea para producir una estimación primaria de la masa virial de el agujero negro MBH • • 2Hβ/GRBLR y el correspondiente Eddington relación. Para Seyfert 1 galaxias tamaño BLR típico son del orden de días-luz a semanas-luz. Estudios similares son más difíciles para quásares (QSO) que requieren un seguimiento más largo. 2 D. Trevese y otros: Variabilidad de líneas y continuum Una campaña a largo plazo para una submuestra de 28 QSOs fue comenzó en 1991 con el Wise 1.0m y el Steward 2.3m tele- alcances (Maoz y otros, 1994). Como resultado, nueve años después Kaspi et al. (2000) proporcionó estimaciones de masa para toda la muestra. Los nuevos datos, combinados con resultados anteriores en Seyfert 1 galax- es, abarcando así una gama mucho más amplia de luminosidad intrínseca, se permite establecer una relación media entre la lu- minosidad y tamaño, RBLR = aLγ, con γ'0,7, que permite un estimación secundaria de la masa del agujero negro basada en un solo epoch observaciones de luminosidad y anchura de línea: MBH = bL2Hβ, donde tanto la constante b y γ se determinan estadísticamente a partir de los datos de eco-mapping disponibles. Estudios recientes muestran que γ es en el intervalo 0,5-0,7, dependiendo de cómo se defina la luminosidad, qué líneas se seleccionan para el eco-mapping y el ajuste pro- cedure adoptado (Kaspi y otros, 2005; Bentz y otros, 2006). La extrema importancia de las estimaciones de masa secundarias se basa en sobre el hecho de que sobre la base de observaciones de una sola época es posible estudiar la evolución en el tiempo cósmico de la masa distri- bution de QSOs/AGNs, y para ampliar los estudios de la relación existente entre QSOs y propiedades de host bulges. Sin embargo, las correlaciones anteriores con las masas primarias, basadas en el eco- mapeo, se establecieron para AGNs relativamente cercanos y débiles con z ≤ 0.4 y [L/23370/(5100Å) 1046 erg s−1], por lo que es actualmente no se sabe si se pueden extrapolar a mayores luminosidades y/o corrimientos al rojo. Por ejemplo, la extrapolación de la relación MBH − L (Kaspi y otros, 2000), junto con la suposición de que las relaciones conocidas de MBH − Mbulge − (Tremaine et al., 2002), conduce a predecir la existencia de galax- Con un contenido de materias grasas superior al 85 % pero inferior o igual al 85 % en peso y con un contenido de materias grasas superior o igual al 85 % en peso s−1. Tales galaxias nunca han sido observadas, y sus exis- tence pondría importantes limitaciones a la formación de galaxias mod- els (Netzer, 2003). Por lo tanto, es esencial extender la medidas de masa a corrimientos al rojo más altos y luminosidades. Por otro lado mano, para altas luminosidades QSO un gran tamaño de la línea ancha se espera que la región. Esto causaría tanto un suavizado de la línea de luz-curva y mayores retrasos de tiempo con respecto a contin- variaciones de uum (Wilhite et al., 2005), por lo tanto la detectabilidad y la amplitud de las variaciones de línea son cuestiones abiertas. Muestra de objetos con corrimientos al rojo en el rango 2 < z < 3.4 y la magnitud aparente tan débil como mV 18 está siendo monitoreada Kaspi et al. (2004) con el telescopio Hobby-Eberly de 9m (HET; Ramsey et al., 1998) y se han presentado nuevos resultados recientemente (Kaspi et al., 2006). Durante sus 6 años de vigilancia de 6 Los QSO, continuum significativo y las variaciones de las líneas de emisión fueron: detectada en todos los objetivos y una masa preliminar de agujero negro estima- sión se da por uno de ellos. En el presente documento describimos una nueva campaña de monitoreo limitado a objetos con V < 15,7 y 1 < z < 4 que, gracias a su brillo aparente, se puede observar con el medio- Telescopio Copérnico de 1,82 m en Cima Ekar (Asiago, Italia), a través de una programación en modo de servicio de un seguimiento a largo plazo, y permitir investigar si: i) el eco-mapeo es factible en el caso de objetos tan brillantes como la letra L(5100Å) 1047 erg s−1 y ii) La correlación RBLR-luminosidad se puede extrapolar a ness. El documento se organiza de la siguiente manera. En la sección 2 se describe la muestra, observaciones y procedimiento de reducción de datos. Sección 3 describe los resultados para dos cuásares de la muestra. Sección 4 resume los resultados y discute las perspectivas futuras. En el fol- la bajada derivamos del flujo en el Johnson V banda, extrapolando la densidad de flujo al marco de reposo  = 5100Å con una ley de poder, y asumiendo una cosmología estándar Ho = 70 km s−1 Mpc−1, M = 0,3, y = 0,7. Cuadro 1 Los cuásares monitoreados Object z V log[­L­(5100Å)] [erg s−1] APM 08279+5255 3.911 15.20 47.7 PG 1247+268 2,042 15,60 47,0 PG 1634+706 1,337 15,27 46,7 HS 2154+2228 1.290 15.30 46,7 4000 5000 6000 7000 Fig. 1. Espectros medios de PG 1634+706 (panel superior) y PG 1247+268 (panel inferior). Intervalos espectrales para el continuum minación (marcas cortas) y evaluación del flujo de línea (marcas largas), como En el cuadro 2 se presentan los datos correspondientes. 2. Observaciones 2.1. Selección de objetos La muestra ha sido extraída del Veron-Cetty & Veron (2003) (11a ed.) catálogo con la condición de  > 0, V < 15.7 mag y z > 1 para seleccionar objetos con suficiente brillo intrínseco luminosidad para investigar la extensión final brillante de la RBLR vs. Relación entre los dos grupos (Kaspi y otros, 2000, 2005). Estas condiciones identificar 12 objetos, sólo cuatro de los cuales fueron vigilados, debido a a los límites de la observación del tiempo. Estos cuatro objetos se enumeran en Cuadro 1 Las observaciones en corrimiento al rojo intermedio permiten Variabilidad de las líneas MgII 2798, CIII] 1909, CIV 1559, en su lugar de Hα, Hβ, Hγ observado en el estudio de corrimiento al rojo bajo de Kaspi et al. (2000). Esto permite estudiar cualquiera de los BLR a menor distancia de el centro, o regiones de los mismos tamaños de los que producen el Líneas Balmer, pero utilizando líneas que responden a diferentes partes de el espectro continuo. Las principales líneas de emisión que entran en el ámbito de aplicación el intervalo de longitud de onda observado está indicado para dos objetos en el cuadro 2. La figura 1 muestra los espectros medios de PG 1634+706 y PG 1247+268. Con respecto a otros programas de monitoreo de QSO, los nuestros es el primero que incluye la línea MgII en parte del ob- fuentes servidas. Esta línea es particularmente significativa, porque i) anteriores campañas de seguimiento Seyfert 1 llevadas a cabo con IUE han D. Trevese y otros: Variabilidad de línea y continuum 3 mostró que su retraso era similar al de Hβ (Clavel y otros, 1991); Reichert et al., 1994); ii) esta línea se utiliza con más frecuencia para derivar timates de masa de agujero negro de espectros de un solo epoch de alto-z QSOs (McLure & Jarvis, 2002), debido a que su relacionado con el de Hβ. Derivar un retraso para la línea MgII sería por lo tanto permitir estimar la masa de agujero negro más consis- con respecto a los resultados de Seyferts, que en su mayoría son basado en el seguimiento de la Hβ. APM 08279+5255 es uno de los QSO más luminosos conocidos si su emisión se considera isotrópica. Sin embargo, ha sido se muestra a ser mirado por una galaxia de primer plano (Irwin et al., 1998). Tres componentes, separados por unas pocas décimas de un arcosec tienen se ha detectado en imágenes casi infrarrojas obtenidas con alcance y diferentes modelos del campo de lente predicen unos pocos días de retraso entre las variaciones fotométricas de los componentes (Ledoux y otros, 1998; Ibata y otros, 1999; Egami y otros, 2000): a corto tiempo en comparación con la escala de tiempo prevista de intrin- sic variations. APM 08279+5255 es también una amplia absorción Línea QSO (Irwin y otros, 1998), que hace más difícil definir regiones libres de emisiones o de características de absorción para medir las variaciones del continuum. El análisis de este objeto es Aplazado a un próximo documento. HS 2154+2228 ha sido ob- hasta ahora sólo 5 veces y el análisis requiere más Itoring. Los otros dos objetos PG 1247+268 y PG1634+706 se analizan en este trabajo con el objetivo de: i) verificar la ecuación de los datos observacionales y de los procedimientos de reducción, de la suposición de que las amplitudes de variabilidad y las características escalas de tiempo se pueden extrapolar de las propiedades de más débil objetos; ii) posiblemente detectar variaciones de línea en objetos como lumi- Nous como 5100Å) 1047 erg s−1 y comparar su amplitud con variaciones en el continuum. Para ambos objetos una estrella de comparable magnitud, lo más cerca posible del QSO, se ha seleccionado para la calibración espectrofotométrica relativa, descrita en siguiente sección. 2.2. Observaciones espectrofotométricas y reducción de datos Se realizaron observaciones en el telescopio Asiago 1,82 m equipado con el espectrógrafo y cámara de objetos débiles AFOSC que es un reductor focal con factor de reducción de 0,58, diseñado para permitir un cambio rápido entre espectroscópico e imagen modos. La escala en el plano focal es 21.7 ′′/mm. El detector es una matriz CCD diluida 1024x1024 TEK1024 con 22x22 μm2 píxeles correspondientes a una escala de 0,473 arcsec pixel−1 y un FOV de 8.14x8.14 arcmin2. Aprobamos un 8” 44 de ancho y un grism con una dispersión de 4,99 Å pixel-1, proporcionando un tipo- resolución ica de 15 Å en el rango espectral 3500-8450 Å. Las exposiciones espectrofotométricas se realizan después de orientar la hendidura para incluir tanto el QSO como la estrella de referencia de magnitud, situada en (12:50:11.5 +26:33:32) y (16:34:57.4) +70:32:49) (J2000) para PG 1247+268 y PG 1647+706 Tily. Las estrellas de referencia se incluyen como calibradores internos para Espectros QSO, según lo descrito por Maoz et al. (1990) y Netzer et al. (1990). La ranura ancha es necesaria para evitar diferentes fraccionarios pérdidas del QSO y la luz estelar debido a una posible hendidura no perfecta alineamiento y refracción diferencial, lo que podría variación osa de las relaciones de flujo. Lámparas planas y espectros del arca Hg-Cd también se tomaron para la calibración de longitud de onda. En cada época, typi- Las observaciones de la ciencia de la cal consisten en dos exposiciones consecutivas de 1800 s. QSO y espectros estelares, Q(l) y S (l) fueron extraídos con el procedimientos IRAF estándar. La relación QSO/estrella en función de longitud de onda se calcula para cada exposición k = 1, 2 μ (k)(l) = Q (k)(l)/S (k)(l). 1).......................................................................................................................................................... Esta cantidad es independiente de los cambios de extinción durante el Buenas noches. Esto permite comprobar la consistencia entre las dos expo- y el rechazo de los datos si se producen incoherencias (bajo la hipótesis de que las variaciones de QSO son insignificantes en 1 hora escala). De hecho, los espectros típicos de dos exposiciones consecutivas tienen a razón de μ(1)(e)/μ(2)(e) de unidad de orden, con desviaciones menores que 0,02 cuando promedió más de 500 Å, al menos en el 4000Å − 7000Å Rango. Cuando las discrepancias son mayores de 0,04 ambas exposiciones se rechazan. Es importante notar que, debido a la gran anchura de la hendidura, se producen pequeños cambios en la escala de cuotas debido a los cambios de la escala de cuotas la posición de la inyección dentro de la hendidura (que en general son insignificantes en el caso de los pares de exposiciones consecutivas). Esto sugiere que: Proceda de la siguiente manera. Como primer paso registramos el punto cero de la escala de................................................................................................................................................. Sin embargo, desde los cambios de posición dentro de la hendidura no corresponden exactamente a los cambios rígidos de la escala de porciones de los espectros en intervalos de longitud de onda 1000Å alrededor de cada una de las líneas de emisión QSO consideradas (véase el cuadro 2), y determinamos los turnos para cada porción. Una vez registradas las escalas de longitud de onda, el QSO y la estrella los espectros tomados en las dos exposiciones son coadicionados y la relación μi() = (Q i + Q i )/(S) i + S i ) (2) es calculado, en cada época i. La estrella de referencia está calibrada de flujo en una época de referencia. Puesto que nuestro objetivo es calcular el flujo relativo variaciones, reducimos todos los espectros cuásares a esta época de referencia, multiplicando todos los μi() por el espectro estelar calibrado de flujo f S (l): f Qi (l) μi(l) f S (l). Subrayamos que no estamos interesados en la calibración de flujo absoluto, cuya precisión es del orden del 20% y que se aplica con el único fin de informar de la Espectros QSO en unidades físicas. El espectro estelar f S (l) adoptado es el mismo para todas las épocas, por lo tanto no afecta el flujo relativo cambios que queremos medir. El espectro QSO f Q(l) = c(l) + l(l) puede ser decom- en los espectros de la línea l(e) y c(e) continuum. Dos valores del continuum, corto y largo en onda más corta y más larga- longitud con respecto a las líneas de emisión QSO más prominentes, se evalúan en regiones lo más libres posible de otras emisiones características, definidas por los rangos de longitudes de onda (el corto, el corto, el corto, 2) y (­long,1­long,2), respectivamente. En el cuadro 2 se presenta el marco de observadores longitudes de onda que definen las regiones del continuum y los intervalos para integración de líneas. Estos se eligieron sobre la base del análisis de Clavel et al. (1991); Reichert et al. (1994) de los espectros UV de AGNs de corrimiento al rojo bajo observados con el Ultravioleta Internacional Explorador (IUE), con ligeras modificaciones para maximizar el S/N relación (long de MgII(­2798 Å) cae fuera del rango de longitud de onda cubierto por el espectrógrafo IUE). Los flujos de línea se calculan como: [F(Q)(l) − cint(l)]dl, (3) donde cint(l) es la interpolación lineal a través de cshort y clong. Los extremos 1 y 2, también enumerados en el cuadro 2, no necesariamente Coinciden con el corto (corto,1 + corto,2)/2 y el largo (largo,1 + 2/2, y se eligen para optimizar la relación entre la señal fl y el ruido. Imágenes directas B y R en campos de 15x15 arcmin centrados en el Se tomaron QSOs para comprobar la posible variabilidad de la referencia 4 D. Trevese y otros: Variabilidad de líneas y continuum Cuadro 2 Intervalos de longitud de onda para líneas y continuidad [Å] Objeto de la línea z de corto,1 de corto,2 de corto,2 de largo,1 de largo,2 de largo PG1634+706 1.337 CIII]/23370/1909 4252 4298 4382 4590 4630 4674 PG1634+706 1,337 MgII­2798 6215 6285 6251 6777 6755 6815 PG1247+268 2.042 CIV/23370/1549 4380 4502 4598 4801 5202 5262 PG1247+268 2.042 CIII]/23370/1909 5535 5595 5770 5900 6025 6085 CIII] 2800 3200 3600 4000 t (JD-2450000) 2800 3200 3600 4000 t (JD-2450000) Fig. 2. Curvas de luz de PG 1634+706 en el marco del observador, como variaciones de flujo relativo • f / f. Paneles superiores: líneas de emisión, Panel medio: continuum de longitud de onda más corta cshort, panel inferior: continuum de longitud de onda más larga clong, izquierda: CIII]/1909 Å, derecha: MgII Ł2798 Å. Estrella. Comparación de la estrella de referencia con la estrella más brillante en el campo mostró un r.m.s. variación del flujo fraccional de 0,02 en ambos casos. Así podemos asumir que la estrella de referencia no es variable, en este nivel de precisión. Errores de calibración del flujo relativo 1-, comunicados en las figuras 2 y 3, se estiman agregando en cuadratura los r.m.s. incertidumbre sobre el flujo de la estrella de referencia a la r.m.s. Incertidumbre fraccionaria- los lazos de los flujos de línea o continuo, que, a su vez, se calculan por la comparación de los pares de exposiciones que se añaden a la forma cuásar espectros de épocas individuales. 3. Resultados y discusión Las figuras 2 y 3 muestran las curvas de luz en el marco del observador, para líneas de emisión y continuidad enumeradas en el cuadro 2, para PG1634+706 y PG1247+268, respectivamente. Las curvas de luz se expresan en términos de las variaciones de flujo relativo ( f / f ), con respecto a la flujo f en la época de referencia donde la calibración absoluta fue realizado (ver sección 2.2). La base temporal total es de 3,3 años en el marco del observador, correspondiente en el marco de reposo a 1,4 años para los primeros QSO y 1,1 años para los segundos. En el caso de: PG1634+706 no se detectan variaciones significativas: CIII] línea, que tiene la relación S/N más baja debido a su intrínseca debilidad, ni en la línea MgII. Las continuas relevantes son también 2800 3200 3600 4000 t (JD-2450000) CIII] 2800 3200 3600 4000 t (JD-2450000) Fig. 3. Curvas de luz de PG 1247+268 en el marco del observador, como variaciones de flujo relativo • f / f. Paneles superiores: líneas de emisión, Panel medio: continuum de longitud de onda más corta cshort, panel inferior: longitud de onda más larga clong, izquierda: CIV/1549 Å, derecha: CIII] Ł1909 Å. Coherente con ausencia de variabilidad a un nivel de f/f de 0,02-0,03 r.m.s. El resultado es diferente en el caso de PG 1247+268. Los línea más débil CIII] Å1909 Å muestra una evidencia marginal de vari- la capacidad y la línea más fuerte CIV 1549 Å parece disminuir constante durante el período de observación. Una disminución casi constante no permite derivar possi- ble línea-continuo retrasos en el tiempo del análisis de correlación cruzada. Sin embargo, podemos establecer cuantitativamente la evidencia de uum y, lo más importante, de la variabilidad de la línea. Para este propósito nosotros definir la función de estructura discreta desvinculada UDS F(­i j) = y(ti) − y(t j), (4) donde y(t) representa cualquiera de las curvas de luz de línea o continuum se consideran, ti y t j son dos épocas de observación y ­i j = ti − t j es el tiempo de retraso. La función de estructura (binned) se puede definir en cubos de tiempo de retraso, centrados en : S (­) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * UDS F(­i j) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * donde la suma se extiende a todos los valores M de UDSF pertenecen- a un cubo dado de Ł. Adoptamos el promedio de UDSF, en su lugar D. Trevese y otros: Variabilidad de líneas y continuum 5 0 200 400 600 800 1000 0 200 400 600 800 1000 Fig. 4. Funciones de estructura para PG 1634+706 en el marco. Paneles superiores: líneas de emisión, panel medio: onda más corta- longitud continuo cshort, panel inferior: longitud de onda más larga contin- Uum clong, a la izquierda: CIII]//23370/1909 Å, a la derecha: MgII /23370/2798 Å. de UDSF2, ya que es más estable, es decir, menos sensible a los desviados puntos; el factor 2 en la ecuación (4) hace que S (­) sea igual a la desviación típica en el caso de una distribución gaussiana (véase Di Clemente et al., 1996). Funciones de estructura para líneas y continuidad 0 200 400 600 800 1000 0 200 400 600 800 1000 Fig. 5. Funciones de estructura para PG 1247+268.Paneles superiores: líneas de emisión, panel medio: continuum de longitud de onda más corto cshort, panel inferior: longitud de onda más larga clong, izquierda: Å, derecha: CIII] Å1909 Å. de los dos cuásares PG 1634+706 y PG 1247+268 en los gráficos 4 y 5, respectivamente, en función del retraso en el marco del observador. Las barras de error reportadas en las cifras representa simplemente la desviación estándar de la UDSF en cada cubo y no la incertidumbre sobre su valor medio. Esto último sería ser 1/(M − 1) veces la desviación estándar, para M no relacionada Valores UDSF. En el caso de PG 1634+706 la función de la estructura analy- hermana simplemente confirma lo que ya aparece de las curvas de luz, a saber, no hay variaciones significativas de las líneas y continua son de- Tected. Las r.m.s. nivel de ruido es de aproximadamente 0,02-0,03 para continua y 0,05 para líneas. Por el contrario, en el caso del PG 1247+268, hay un claro aumento de la variabilidad durante largos períodos de tiempo. Para establecer la significación cance de esta variabilidad es necesario evaluar la probabilidad de la hipótesis nula de que un valor de S es producido por puro ruido. Para este propósito generamos curvas de luz de ruido simulado, n(ti), i=1,Nepo, donde Nepo es el número de épocas de observación, mediante la extracción de números aleatorios con una distribución gaussiana de Desviación estándar , que representa el ruido puro, bajo el as- suposición de que el ruido fotométrico no está correlacionado en el tiempo escala de nuestro intervalo mínimo de muestreo (es decir, unos 10 días). A continuación, se ha calculado la función de estructura pertinente S moke() con el mismo binning adoptado para los datos reales. La simulación fue iterado por 107 veces para generar, para cada cubo, la estadística dis- Atribución de los valores de S moke(l). Se ha estimado, de forma conservadora, el valor adoptado para de las funciones de estructura observadas de las figuras 4 y 5 yo mismo, como el valor de S (­) en el primer cubo. Esto es, de hecho, un sobreestimación del ruido, ya que incluye varia- ciones del QSO, que, sin embargo, deberían ser insignificantes en el base de estudios previos de QSOs (fainter) (Giveon et al., 1999); Kaspi y otros, 2000). El valor casi constante de la estructura las funciones en el caso del PG 1634+706 confirman la Potesis de que el ruido no está correlacionado en la escala de tiempo largo. Para la línea CIII] las r.m.s. ruido (+ 0,05) es mayor que en el caso de la línea CIV (-0,02). Esto depende de lo intrínseco debilidad de la línea CIII]. De acuerdo con las simulaciones anteriores la probabilidad de la hipótesis nula, para el segundo y cuarto cubos, es P(> S ) 4 × 10−4. El máximo local de S (­), para CIII] a los 400 días, se debe a una “oscilación” de la curva de la luz en una escala de tiempo comparable con la base temporal total de sservations. Esto indica que se necesita una base de tiempo más larga para oscilaciones individuales medias adecuadas y para obtener una “estación- ary” función de la estructura. Muestreo adicional, tratando de evitar anualmente periodicidad debido a los períodos de observación óptima, es necesario para obtener la resolución necesaria para la medición del tiempo de retraso. La función de estructura de la línea CIV muestra mucho más sig- variabilidad nificante: la probabilidad de la hipótesis nula en el en el caso de los dos últimos cubos, donde S (­) es 0,13 y 0,21 respec- ticularmente, es menos de 10-6. Disminución sistemática de la línea CIV luminosidad y la continua relevante podría parecer confiar en el valor de las curvas de luz en la primera época. Por lo tanto, tenemos la recomendación de... puso el S (­) después de la eliminación de la primera época. De hecho, en el caso de continua la disminución sistemática de S (­) ya no es evidente. Por el contrario, para la línea se mantiene prácticamente sin cambios (excepto que el último cubo ya no está presente). Por lo tanto, el hecho de que la probabilidad de la hipótesis nula es menor que 10-6 no confiar en ese punto en particular en la curva de la luz. El principal objetivo de las nuevas campañas de eco-mapeo es obtener una medida directa de la masa central del agujero negro y para establecer si la escala del tamaño de la región de la línea ancha QSO y las masas re- main el mismo en la luminosidad cuásar más alta. El muy detectable... ity de la variación de la línea en los QSO más luminosos fue, hasta re- 6 D. Trevese y otros: Variabilidad de líneas y continuum Desde el 3C273 con (lf(5100Å) 1046 erg s−1) fue el QSO más brillante con variabilidad de línea detectada (Kaspi y otros, 2005). Una evidencia de la variabilidad de la línea en más brillante los objetos han sido reportados más recientemente por Kaspi et al. (2006). Detección actual de la variabilidad de la línea en uno de los dos cuásares se considera reforzar la noción de que las líneas de emisión cuásar re- spond a los cambios continuos en QSOs de alta luminosidad como en menor luminosidad e indica que el eco-mapeo de la leva- Los paigns son factibles para L/23370/(5100Å) 1047 erg s−1. Nuestros resultados son consistentes con los de Kaspi et al. (2006), que han controlado fuentes de luminosidades comparables y Redshifts. También hemos detectado variabilidad, de plitud, en el continuum y en las líneas de emisión CIII] y CIV en una de nuestras fuentes. Teniendo en cuenta el menor tiempo de referencia de nuestras observaciones, el hecho de que la variabilidad no se ha encontrado en PG 1634+706 es consistente con los segmentos sin variaciones que se puede ver en el Kaspi et al. (2006) curvas de luz sobre esto escala de tiempo. Estimar el seguimiento adicional necesario para medir la los retrasos continuos, debemos tener en cuenta que, en edad, la amplitud de la variabilidad aumenta con el marco de descanso desfase de tiempo. Sin embargo, esta dependencia es débil: log S De acuerdo con estudios estadísticos anteriores sobre muestras de quásar (Vanden Berk et al., 2004; De Vries et al., 2005). En el caso de nuestros cuásares PG 1634+706 y PG 1247+268, el el marco del observador Łobs = ♥rest(1+z) se dilata por un factor 2.3 y 3 respectivamente. El tamaño de la región de la línea ancha, basado en Balmer reverberación-mapeo de línea, se espera escalar con luminosidad como RBLR Lγ con γ=0,5-0,7, dependiendo de cómo se mida L y se obtiene el ajuste RBLR vs. L (Kaspi et al., 2000, 2005; Bentz et al., 2006; Kaspi et al., 2006). Una línea de Balmer BLR de aproximadamente 3 años luz en el marco de descanso se espera para los luminosi corbatas. Por otro lado, la línea CIV corresponde a un tamaño BLR 2 veces más pequeño que las líneas de Balmer (Peterson & Wandel, 2000). Teniendo en cuenta que, en general, una línea de base temporal de aproximadamente el doble de la se requiere un tiempo de cruce de la luz para obtener un desfase fiable de las curvas de luz, estimamos que el mapeo de reverberación debe ser factible después de 5-6 años más de seguimiento. 4. Resumen – Hemos iniciado una campaña para el seguimiento de 4 altos luminosidad QSOs y presentamos el resultado para dos de ellos sobre la base de 3,3 años de observación con la tele de 1,82 m ámbito de aplicación del Observatorio de Asiago. – Discutimos la reducción de datos, los procedimientos adoptados y el nivel de precisión alcanzado en el espectrofotométrico relativo medición de la variabilidad. – Realizamos un análisis de la función de la estructura de la curva de luz simulaciones numéricas para establecer el nivel de confianza detección de la variabilidad de la línea. – Detectamos variabilidad de línea y continuum en uno de los dos QSOs, PG 1247+268 de L/23370/(5100Å) = 1047 erg s−1, con una probabilidad de menos de 10-6 de la hipótesis nula de que el la función de la estructura observada es producida por el ruido puro. – Esta detección apoya la noción de que las líneas de emisión re- spond a las variaciones de continuum como en menos lumi- Nous QSOs. Los resultados fomentan el enjuiciamiento de la campaña que debe proporcionar tiempo de retraso, y la masa del agujero negro, estimaciones en 5-6 años. Agradecimientos. Reconocemos el apoyo del Observatorio de Asiago equipo, en particular Hripsime Navasardian, para observaciones. Bibliografía Clavel, J., Reichert, G. A., Alloin, D. y otros, 1991, ApJ, 366, 64 Bentz, M. C., Peterson, B. M., Pogge, R. W., Vestergaard, M., & Onken, C. A., 2006, ApJ, 644.133 De Vries, W.H., Becker, R. H., White, R.L., & Loomis, C., 2005, ApJ, 129, 615 di Clemente, A., Giallongo, E., Natali, G., Trevese, D., & Vagnetti, F., 1996, ApJ, 463, 466 Egami, E., Matthews, K., Ressler, M., et al., 2000, ApJ, 535, 561 Ferrarese, L., & Merrit, D. 2000, ApJ, 539, L9 Giveon, Uriel, Maoz, Dan, Kaspi, Shai, Netzer, Hagai, Smith, Paul S., 1999, MNRAS, 306, 637 Ibata, R. A., Lewis, M. J., Irwin, M. J., Lehar, J., & Totten, E. J., 1999, ApJ, 118,1922 Irwin, M. J., Ibata, R. A., Lewis, G. F., & Totten, E. J., 1998, ApJ, 505, 529 Kaspi, S., Smith, P.S., Meters, H., Maoz, D., Jannuzi, B.T. & Giveon, U., 2000, ApJ, 533, 631 Kaspi, S., Netzer, H., Maoz, D., Shemmer, O., Brandt, W. N.,& Schneider, D. P., 2004, en Coevolución de Agujeros Negros y Galaxias, Carnegie Obs. Astroph. Ser. Vol. 1, L. C. Ho ed., http://www.ociw.edu/ociw/symposia/series/ Kaspi, S., Maoz, D., Netzer, H., Peterson, B. M., Vestergaard, M., & Jannuzi, B. T., 2005, ApJ, 629, 61 Kaspi, S., Bradt, W. N., Maoz, D., Netzer, H., Schneider, D. P., & Shemmer, O., 2006, ApJ (en prensa), astro-ph/0612722 Kormendy, J., & Richstone, D. 1995, ARA&A,33, 581 Ledoux, C., Theodore, B., Petitjean, P., et al., 1998, A&A.339,L77 Maoz, D., Netzer, H., Leibowitz, E., et al. 1990, ApJ, 351, 75 Maoz, D., Smith, P. S., Jannuzi, B. T., Kaspi, S., & Netzer, H., 1994, ApJ, 421, Marconi, A., Hunt, L. K., 2003, ApJ, 589L, 21 McLure, R. J., & Jarvis, M. J., 2002, MNRAS, 337, 109 Netzer, H., Maoz, D., Laor, A. et al., 1990, ApJ, 353, 108 Netzer, H., 2003, ApJ, 583, L5 Peterson, B. M., 1993, PASP, 105, 247 Peterson, B. M., & Wandel, A., 2000, ApJ, 540, L13 Seda, J. & Rees, M.J. 1998, A&A, 331, L1 Ramsey, L. W., et al. 1998, SPIE, 3352, 34 Reichert, G. A., Rodriguez-Pascual, P. M., Alloin, D. et al., 1994, ApJ, 425, 582 Tremaine, S. et al., 2002, ApJ, 574, 740 Trevese, D., & Vagnetti, F., 2002, ApJ, 564, 624 Vanden Berk, D, 2004, ApJ, 601, 692 Veron-Cetty M.P., Veron P., 2003, A&A, 412, 399 Vittorini, V., Shankar, F., & Cavaliere, A., 2005, MNRAS, 363, 1376 Wilhite, B. C., Vanden Berk, D. E., Kron, R. G. et al., 2005, ApJ, 633, 638 http://www.ociw.edu/ociw/symposia/series/ http://arxiv.org/abs/astro-ph/0612722 Introducción Observaciones Selección de objetos Observaciones espectrofotométricas y reducción de datos Resultados y discusión Resumen

Se ha demostrado que la luminosidad de los AGNs y el tamaño de sus región de línea obedecen a una relación simple del tipo R=a L^g, del débil Seyfert núcleos a quásares brillantes, permitiendo la determinación de un solo epoch de la central masa de agujero negro M=b L^g D^2 de su luminosidad L y anchura de H_beta línea de emisión. Adoptando esta determinación de masa para estudios cosmológicos requiere la extrapolación a z alta y L de una relación cuya calibración se basa hasta ahora en mediciones de mapeo de reverberación realizadas para L<10^46 erg/s y z<0.4. Iniciamos una campaña para el monitoreo de unos pocos luminosos, z quásares intermedios cuya magnitud aparente V<15.7 permite observaciones con un telescopio de 1,8 m, destinado a demostrar que las líneas de emisión varían y responden a Variaciones continuas incluso para luminosidades >10^47 erg/s, y determinación eventualmente su M_BH de la asignación de reverberación. Hemos actuado repetidamente. observaciones simultáneas de cuásares y estrellas de referencia para determinar la variabilidad del continuo y las líneas de emisión. Describimos las observaciones y métodos de análisis. Para los cuásares PG1634+706 y PG1247+268 obtenemos curvas de luz, respectivamente, para las líneas de emisión CIII], MgII y CIV, CIII] con la continuidad pertinente. Durante 3,2 años de observación, en el primer caso no se ha detectado ninguna variabilidad del continuum y la evidencia de la línea la variabilidad es marginal, mientras que en este último caso tanto el continuum como la línea la variabilidad se detectan con alta significación y las variaciones de la línea aparecen correlacionado con las variaciones del continuum. La detección de la línea de emisión la variabilidad en un cuásar con L~10^47 erg/s fomenta el enjuiciamiento de la campaña que debería proporcionar una estimación de masa de agujero negro en otros 5-6 años, limitando la relación M_BH-L en un rango poco explorado de luminosidad.

Introducción Los agujeros negros supermasivos (SMBHs) se cree que habitan la mayoría, si no todos, los protuberancias de las galaxias presentes-epoch (Kormendy y Richstone, 1995), y existen fuertes evidencias de una correlación entre la masa del agujero negro y o bien la masa Mbulge y lu- minosity (Marconi et al., 2003, y refs. en ellos) o el veloc- ity dispersión del abultamiento del huésped (Ferrarese & Merrit, 2000; Tremaine et al., 2002). Esto sugiere fuertemente que la formación y el crecimiento de SMBHs y galaxias están físicamente relacionados pro- y proporciona una base para una teoría de la estructura cósmica para , incorporando la retroalimentación de los Núcleos Galácticos Activos (AGNs) (Silk & Rees, 1998; Vittorini, Shankar, & Cavaliere, 2005, y refs.therein). Masas de agujeros negros basadas en determinaciones en la cinemática estelar o de gas están intrínsecamente limitados, por angu- resolución lar, a objetos relativamente cercanos y no se puede aplicar a brillantes AGNs donde la luz nuclear prevalece sobre el galac- componente tic, justo en la región central donde el gas galáctico o el movimiento estelar está dominado por el campo gravitacional del agujero negro. La técnica de reverberación-mapeo no sufre de este lim- y representa el único medio para medir la masa de SMBH en AGNs brillantes. Las líneas de emisión, en la región óptica-UV, se interpretan como recombinación de un gas que es fotoionizado por el continuum radiación emitida por la región interior del núcleo, presumiblemente un disco de acreción que rodea el agujero negro. Líneas de emisiones re- spond a la variación del continuum ionizante. Aunque el phys... El origen ical de estas variaciones es poco conocido (p. ej. Trevese & Vagnetti, 2002; Vanden Berk y otros, 2004; De Vries y otros, 2005) es posible utilizar la respuesta de las líneas al continuum varia- ciones para investigar la estructura de la región emisora de líneas. Esto requiere largas campañas de monitorización espectrofotomérica precisa- • el desarrollo de las redes transeuropeas de transporte, que en el pasado han dado lugar a grandes avances en el ámbito de las redes transeuropeas de transporte; entendiendo la física de la “atmósfera” de Seyfert 1 galaxias. Un resumen de estos resultados se da en Peterson (1993). Ancho de línea, p. ej. la línea de emisión FWHM Hβ de la línea de emisión Hβ, corresponde a r.m.s. velocidades de emisión de las nubes de gas. A análisis de correlación cruzada de la luz continua y de la línea de emisión curvas, evidenciando un retraso de tiempo de la línea de respeto al continuum variaciones, permite estimar el tamaño R = /c de la región donde se generan los fotones de línea. Si el movimiento de gas en el La región de la línea ancha (BLR) está dominada por la gravitación (Peterson & Wandel, 2000), el tamaño estimado RBLR se puede combinar con la anchura de la línea para producir una estimación primaria de la masa virial de el agujero negro MBH • • 2Hβ/GRBLR y el correspondiente Eddington relación. Para Seyfert 1 galaxias tamaño BLR típico son del orden de días-luz a semanas-luz. Estudios similares son más difíciles para quásares (QSO) que requieren un seguimiento más largo. 2 D. Trevese y otros: Variabilidad de líneas y continuum Una campaña a largo plazo para una submuestra de 28 QSOs fue comenzó en 1991 con el Wise 1.0m y el Steward 2.3m tele- alcances (Maoz y otros, 1994). Como resultado, nueve años después Kaspi et al. (2000) proporcionó estimaciones de masa para toda la muestra. Los nuevos datos, combinados con resultados anteriores en Seyfert 1 galax- es, abarcando así una gama mucho más amplia de luminosidad intrínseca, se permite establecer una relación media entre la lu- minosidad y tamaño, RBLR = aLγ, con γ'0,7, que permite un estimación secundaria de la masa del agujero negro basada en un solo epoch observaciones de luminosidad y anchura de línea: MBH = bL2Hβ, donde tanto la constante b y γ se determinan estadísticamente a partir de los datos de eco-mapping disponibles. Estudios recientes muestran que γ es en el intervalo 0,5-0,7, dependiendo de cómo se defina la luminosidad, qué líneas se seleccionan para el eco-mapping y el ajuste pro- cedure adoptado (Kaspi y otros, 2005; Bentz y otros, 2006). La extrema importancia de las estimaciones de masa secundarias se basa en sobre el hecho de que sobre la base de observaciones de una sola época es posible estudiar la evolución en el tiempo cósmico de la masa distri- bution de QSOs/AGNs, y para ampliar los estudios de la relación existente entre QSOs y propiedades de host bulges. Sin embargo, las correlaciones anteriores con las masas primarias, basadas en el eco- mapeo, se establecieron para AGNs relativamente cercanos y débiles con z ≤ 0.4 y [L/23370/(5100Å) 1046 erg s−1], por lo que es actualmente no se sabe si se pueden extrapolar a mayores luminosidades y/o corrimientos al rojo. Por ejemplo, la extrapolación de la relación MBH − L (Kaspi y otros, 2000), junto con la suposición de que las relaciones conocidas de MBH − Mbulge − (Tremaine et al., 2002), conduce a predecir la existencia de galax- Con un contenido de materias grasas superior al 85 % pero inferior o igual al 85 % en peso y con un contenido de materias grasas superior o igual al 85 % en peso s−1. Tales galaxias nunca han sido observadas, y sus exis- tence pondría importantes limitaciones a la formación de galaxias mod- els (Netzer, 2003). Por lo tanto, es esencial extender la medidas de masa a corrimientos al rojo más altos y luminosidades. Por otro lado mano, para altas luminosidades QSO un gran tamaño de la línea ancha se espera que la región. Esto causaría tanto un suavizado de la línea de luz-curva y mayores retrasos de tiempo con respecto a contin- variaciones de uum (Wilhite et al., 2005), por lo tanto la detectabilidad y la amplitud de las variaciones de línea son cuestiones abiertas. Muestra de objetos con corrimientos al rojo en el rango 2 < z < 3.4 y la magnitud aparente tan débil como mV 18 está siendo monitoreada Kaspi et al. (2004) con el telescopio Hobby-Eberly de 9m (HET; Ramsey et al., 1998) y se han presentado nuevos resultados recientemente (Kaspi et al., 2006). Durante sus 6 años de vigilancia de 6 Los QSO, continuum significativo y las variaciones de las líneas de emisión fueron: detectada en todos los objetivos y una masa preliminar de agujero negro estima- sión se da por uno de ellos. En el presente documento describimos una nueva campaña de monitoreo limitado a objetos con V < 15,7 y 1 < z < 4 que, gracias a su brillo aparente, se puede observar con el medio- Telescopio Copérnico de 1,82 m en Cima Ekar (Asiago, Italia), a través de una programación en modo de servicio de un seguimiento a largo plazo, y permitir investigar si: i) el eco-mapeo es factible en el caso de objetos tan brillantes como la letra L(5100Å) 1047 erg s−1 y ii) La correlación RBLR-luminosidad se puede extrapolar a ness. El documento se organiza de la siguiente manera. En la sección 2 se describe la muestra, observaciones y procedimiento de reducción de datos. Sección 3 describe los resultados para dos cuásares de la muestra. Sección 4 resume los resultados y discute las perspectivas futuras. En el fol- la bajada derivamos del flujo en el Johnson V banda, extrapolando la densidad de flujo al marco de reposo  = 5100Å con una ley de poder, y asumiendo una cosmología estándar Ho = 70 km s−1 Mpc−1, M = 0,3, y = 0,7. Cuadro 1 Los cuásares monitoreados Object z V log[­L­(5100Å)] [erg s−1] APM 08279+5255 3.911 15.20 47.7 PG 1247+268 2,042 15,60 47,0 PG 1634+706 1,337 15,27 46,7 HS 2154+2228 1.290 15.30 46,7 4000 5000 6000 7000 Fig. 1. Espectros medios de PG 1634+706 (panel superior) y PG 1247+268 (panel inferior). Intervalos espectrales para el continuum minación (marcas cortas) y evaluación del flujo de línea (marcas largas), como En el cuadro 2 se presentan los datos correspondientes. 2. Observaciones 2.1. Selección de objetos La muestra ha sido extraída del Veron-Cetty & Veron (2003) (11a ed.) catálogo con la condición de  > 0, V < 15.7 mag y z > 1 para seleccionar objetos con suficiente brillo intrínseco luminosidad para investigar la extensión final brillante de la RBLR vs. Relación entre los dos grupos (Kaspi y otros, 2000, 2005). Estas condiciones identificar 12 objetos, sólo cuatro de los cuales fueron vigilados, debido a a los límites de la observación del tiempo. Estos cuatro objetos se enumeran en Cuadro 1 Las observaciones en corrimiento al rojo intermedio permiten Variabilidad de las líneas MgII 2798, CIII] 1909, CIV 1559, en su lugar de Hα, Hβ, Hγ observado en el estudio de corrimiento al rojo bajo de Kaspi et al. (2000). Esto permite estudiar cualquiera de los BLR a menor distancia de el centro, o regiones de los mismos tamaños de los que producen el Líneas Balmer, pero utilizando líneas que responden a diferentes partes de el espectro continuo. Las principales líneas de emisión que entran en el ámbito de aplicación el intervalo de longitud de onda observado está indicado para dos objetos en el cuadro 2. La figura 1 muestra los espectros medios de PG 1634+706 y PG 1247+268. Con respecto a otros programas de monitoreo de QSO, los nuestros es el primero que incluye la línea MgII en parte del ob- fuentes servidas. Esta línea es particularmente significativa, porque i) anteriores campañas de seguimiento Seyfert 1 llevadas a cabo con IUE han D. Trevese y otros: Variabilidad de línea y continuum 3 mostró que su retraso era similar al de Hβ (Clavel y otros, 1991); Reichert et al., 1994); ii) esta línea se utiliza con más frecuencia para derivar timates de masa de agujero negro de espectros de un solo epoch de alto-z QSOs (McLure & Jarvis, 2002), debido a que su relacionado con el de Hβ. Derivar un retraso para la línea MgII sería por lo tanto permitir estimar la masa de agujero negro más consis- con respecto a los resultados de Seyferts, que en su mayoría son basado en el seguimiento de la Hβ. APM 08279+5255 es uno de los QSO más luminosos conocidos si su emisión se considera isotrópica. Sin embargo, ha sido se muestra a ser mirado por una galaxia de primer plano (Irwin et al., 1998). Tres componentes, separados por unas pocas décimas de un arcosec tienen se ha detectado en imágenes casi infrarrojas obtenidas con alcance y diferentes modelos del campo de lente predicen unos pocos días de retraso entre las variaciones fotométricas de los componentes (Ledoux y otros, 1998; Ibata y otros, 1999; Egami y otros, 2000): a corto tiempo en comparación con la escala de tiempo prevista de intrin- sic variations. APM 08279+5255 es también una amplia absorción Línea QSO (Irwin y otros, 1998), que hace más difícil definir regiones libres de emisiones o de características de absorción para medir las variaciones del continuum. El análisis de este objeto es Aplazado a un próximo documento. HS 2154+2228 ha sido ob- hasta ahora sólo 5 veces y el análisis requiere más Itoring. Los otros dos objetos PG 1247+268 y PG1634+706 se analizan en este trabajo con el objetivo de: i) verificar la ecuación de los datos observacionales y de los procedimientos de reducción, de la suposición de que las amplitudes de variabilidad y las características escalas de tiempo se pueden extrapolar de las propiedades de más débil objetos; ii) posiblemente detectar variaciones de línea en objetos como lumi- Nous como 5100Å) 1047 erg s−1 y comparar su amplitud con variaciones en el continuum. Para ambos objetos una estrella de comparable magnitud, lo más cerca posible del QSO, se ha seleccionado para la calibración espectrofotométrica relativa, descrita en siguiente sección. 2.2. Observaciones espectrofotométricas y reducción de datos Se realizaron observaciones en el telescopio Asiago 1,82 m equipado con el espectrógrafo y cámara de objetos débiles AFOSC que es un reductor focal con factor de reducción de 0,58, diseñado para permitir un cambio rápido entre espectroscópico e imagen modos. La escala en el plano focal es 21.7 ′′/mm. El detector es una matriz CCD diluida 1024x1024 TEK1024 con 22x22 μm2 píxeles correspondientes a una escala de 0,473 arcsec pixel−1 y un FOV de 8.14x8.14 arcmin2. Aprobamos un 8” 44 de ancho y un grism con una dispersión de 4,99 Å pixel-1, proporcionando un tipo- resolución ica de 15 Å en el rango espectral 3500-8450 Å. Las exposiciones espectrofotométricas se realizan después de orientar la hendidura para incluir tanto el QSO como la estrella de referencia de magnitud, situada en (12:50:11.5 +26:33:32) y (16:34:57.4) +70:32:49) (J2000) para PG 1247+268 y PG 1647+706 Tily. Las estrellas de referencia se incluyen como calibradores internos para Espectros QSO, según lo descrito por Maoz et al. (1990) y Netzer et al. (1990). La ranura ancha es necesaria para evitar diferentes fraccionarios pérdidas del QSO y la luz estelar debido a una posible hendidura no perfecta alineamiento y refracción diferencial, lo que podría variación osa de las relaciones de flujo. Lámparas planas y espectros del arca Hg-Cd también se tomaron para la calibración de longitud de onda. En cada época, typi- Las observaciones de la ciencia de la cal consisten en dos exposiciones consecutivas de 1800 s. QSO y espectros estelares, Q(l) y S (l) fueron extraídos con el procedimientos IRAF estándar. La relación QSO/estrella en función de longitud de onda se calcula para cada exposición k = 1, 2 μ (k)(l) = Q (k)(l)/S (k)(l). 1).......................................................................................................................................................... Esta cantidad es independiente de los cambios de extinción durante el Buenas noches. Esto permite comprobar la consistencia entre las dos expo- y el rechazo de los datos si se producen incoherencias (bajo la hipótesis de que las variaciones de QSO son insignificantes en 1 hora escala). De hecho, los espectros típicos de dos exposiciones consecutivas tienen a razón de μ(1)(e)/μ(2)(e) de unidad de orden, con desviaciones menores que 0,02 cuando promedió más de 500 Å, al menos en el 4000Å − 7000Å Rango. Cuando las discrepancias son mayores de 0,04 ambas exposiciones se rechazan. Es importante notar que, debido a la gran anchura de la hendidura, se producen pequeños cambios en la escala de cuotas debido a los cambios de la escala de cuotas la posición de la inyección dentro de la hendidura (que en general son insignificantes en el caso de los pares de exposiciones consecutivas). Esto sugiere que: Proceda de la siguiente manera. Como primer paso registramos el punto cero de la escala de................................................................................................................................................. Sin embargo, desde los cambios de posición dentro de la hendidura no corresponden exactamente a los cambios rígidos de la escala de porciones de los espectros en intervalos de longitud de onda 1000Å alrededor de cada una de las líneas de emisión QSO consideradas (véase el cuadro 2), y determinamos los turnos para cada porción. Una vez registradas las escalas de longitud de onda, el QSO y la estrella los espectros tomados en las dos exposiciones son coadicionados y la relación μi() = (Q i + Q i )/(S) i + S i ) (2) es calculado, en cada época i. La estrella de referencia está calibrada de flujo en una época de referencia. Puesto que nuestro objetivo es calcular el flujo relativo variaciones, reducimos todos los espectros cuásares a esta época de referencia, multiplicando todos los μi() por el espectro estelar calibrado de flujo f S (l): f Qi (l) μi(l) f S (l). Subrayamos que no estamos interesados en la calibración de flujo absoluto, cuya precisión es del orden del 20% y que se aplica con el único fin de informar de la Espectros QSO en unidades físicas. El espectro estelar f S (l) adoptado es el mismo para todas las épocas, por lo tanto no afecta el flujo relativo cambios que queremos medir. El espectro QSO f Q(l) = c(l) + l(l) puede ser decom- en los espectros de la línea l(e) y c(e) continuum. Dos valores del continuum, corto y largo en onda más corta y más larga- longitud con respecto a las líneas de emisión QSO más prominentes, se evalúan en regiones lo más libres posible de otras emisiones características, definidas por los rangos de longitudes de onda (el corto, el corto, el corto, 2) y (­long,1­long,2), respectivamente. En el cuadro 2 se presenta el marco de observadores longitudes de onda que definen las regiones del continuum y los intervalos para integración de líneas. Estos se eligieron sobre la base del análisis de Clavel et al. (1991); Reichert et al. (1994) de los espectros UV de AGNs de corrimiento al rojo bajo observados con el Ultravioleta Internacional Explorador (IUE), con ligeras modificaciones para maximizar el S/N relación (long de MgII(­2798 Å) cae fuera del rango de longitud de onda cubierto por el espectrógrafo IUE). Los flujos de línea se calculan como: [F(Q)(l) − cint(l)]dl, (3) donde cint(l) es la interpolación lineal a través de cshort y clong. Los extremos 1 y 2, también enumerados en el cuadro 2, no necesariamente Coinciden con el corto (corto,1 + corto,2)/2 y el largo (largo,1 + 2/2, y se eligen para optimizar la relación entre la señal fl y el ruido. Imágenes directas B y R en campos de 15x15 arcmin centrados en el Se tomaron QSOs para comprobar la posible variabilidad de la referencia 4 D. Trevese y otros: Variabilidad de líneas y continuum Cuadro 2 Intervalos de longitud de onda para líneas y continuidad [Å] Objeto de la línea z de corto,1 de corto,2 de corto,2 de largo,1 de largo,2 de largo PG1634+706 1.337 CIII]/23370/1909 4252 4298 4382 4590 4630 4674 PG1634+706 1,337 MgII­2798 6215 6285 6251 6777 6755 6815 PG1247+268 2.042 CIV/23370/1549 4380 4502 4598 4801 5202 5262 PG1247+268 2.042 CIII]/23370/1909 5535 5595 5770 5900 6025 6085 CIII] 2800 3200 3600 4000 t (JD-2450000) 2800 3200 3600 4000 t (JD-2450000) Fig. 2. Curvas de luz de PG 1634+706 en el marco del observador, como variaciones de flujo relativo • f / f. Paneles superiores: líneas de emisión, Panel medio: continuum de longitud de onda más corta cshort, panel inferior: continuum de longitud de onda más larga clong, izquierda: CIII]/1909 Å, derecha: MgII Ł2798 Å. Estrella. Comparación de la estrella de referencia con la estrella más brillante en el campo mostró un r.m.s. variación del flujo fraccional de 0,02 en ambos casos. Así podemos asumir que la estrella de referencia no es variable, en este nivel de precisión. Errores de calibración del flujo relativo 1-, comunicados en las figuras 2 y 3, se estiman agregando en cuadratura los r.m.s. incertidumbre sobre el flujo de la estrella de referencia a la r.m.s. Incertidumbre fraccionaria- los lazos de los flujos de línea o continuo, que, a su vez, se calculan por la comparación de los pares de exposiciones que se añaden a la forma cuásar espectros de épocas individuales. 3. Resultados y discusión Las figuras 2 y 3 muestran las curvas de luz en el marco del observador, para líneas de emisión y continuidad enumeradas en el cuadro 2, para PG1634+706 y PG1247+268, respectivamente. Las curvas de luz se expresan en términos de las variaciones de flujo relativo ( f / f ), con respecto a la flujo f en la época de referencia donde la calibración absoluta fue realizado (ver sección 2.2). La base temporal total es de 3,3 años en el marco del observador, correspondiente en el marco de reposo a 1,4 años para los primeros QSO y 1,1 años para los segundos. En el caso de: PG1634+706 no se detectan variaciones significativas: CIII] línea, que tiene la relación S/N más baja debido a su intrínseca debilidad, ni en la línea MgII. Las continuas relevantes son también 2800 3200 3600 4000 t (JD-2450000) CIII] 2800 3200 3600 4000 t (JD-2450000) Fig. 3. Curvas de luz de PG 1247+268 en el marco del observador, como variaciones de flujo relativo • f / f. Paneles superiores: líneas de emisión, Panel medio: continuum de longitud de onda más corta cshort, panel inferior: longitud de onda más larga clong, izquierda: CIV/1549 Å, derecha: CIII] Ł1909 Å. Coherente con ausencia de variabilidad a un nivel de f/f de 0,02-0,03 r.m.s. El resultado es diferente en el caso de PG 1247+268. Los línea más débil CIII] Å1909 Å muestra una evidencia marginal de vari- la capacidad y la línea más fuerte CIV 1549 Å parece disminuir constante durante el período de observación. Una disminución casi constante no permite derivar possi- ble línea-continuo retrasos en el tiempo del análisis de correlación cruzada. Sin embargo, podemos establecer cuantitativamente la evidencia de uum y, lo más importante, de la variabilidad de la línea. Para este propósito nosotros definir la función de estructura discreta desvinculada UDS F(­i j) = y(ti) − y(t j), (4) donde y(t) representa cualquiera de las curvas de luz de línea o continuum se consideran, ti y t j son dos épocas de observación y ­i j = ti − t j es el tiempo de retraso. La función de estructura (binned) se puede definir en cubos de tiempo de retraso, centrados en : S (­) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * UDS F(­i j) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * donde la suma se extiende a todos los valores M de UDSF pertenecen- a un cubo dado de Ł. Adoptamos el promedio de UDSF, en su lugar D. Trevese y otros: Variabilidad de líneas y continuum 5 0 200 400 600 800 1000 0 200 400 600 800 1000 Fig. 4. Funciones de estructura para PG 1634+706 en el marco. Paneles superiores: líneas de emisión, panel medio: onda más corta- longitud continuo cshort, panel inferior: longitud de onda más larga contin- Uum clong, a la izquierda: CIII]//23370/1909 Å, a la derecha: MgII /23370/2798 Å. de UDSF2, ya que es más estable, es decir, menos sensible a los desviados puntos; el factor 2 en la ecuación (4) hace que S (­) sea igual a la desviación típica en el caso de una distribución gaussiana (véase Di Clemente et al., 1996). Funciones de estructura para líneas y continuidad 0 200 400 600 800 1000 0 200 400 600 800 1000 Fig. 5. Funciones de estructura para PG 1247+268.Paneles superiores: líneas de emisión, panel medio: continuum de longitud de onda más corto cshort, panel inferior: longitud de onda más larga clong, izquierda: Å, derecha: CIII] Å1909 Å. de los dos cuásares PG 1634+706 y PG 1247+268 en los gráficos 4 y 5, respectivamente, en función del retraso en el marco del observador. Las barras de error reportadas en las cifras representa simplemente la desviación estándar de la UDSF en cada cubo y no la incertidumbre sobre su valor medio. Esto último sería ser 1/(M − 1) veces la desviación estándar, para M no relacionada Valores UDSF. En el caso de PG 1634+706 la función de la estructura analy- hermana simplemente confirma lo que ya aparece de las curvas de luz, a saber, no hay variaciones significativas de las líneas y continua son de- Tected. Las r.m.s. nivel de ruido es de aproximadamente 0,02-0,03 para continua y 0,05 para líneas. Por el contrario, en el caso del PG 1247+268, hay un claro aumento de la variabilidad durante largos períodos de tiempo. Para establecer la significación cance de esta variabilidad es necesario evaluar la probabilidad de la hipótesis nula de que un valor de S es producido por puro ruido. Para este propósito generamos curvas de luz de ruido simulado, n(ti), i=1,Nepo, donde Nepo es el número de épocas de observación, mediante la extracción de números aleatorios con una distribución gaussiana de Desviación estándar , que representa el ruido puro, bajo el as- suposición de que el ruido fotométrico no está correlacionado en el tiempo escala de nuestro intervalo mínimo de muestreo (es decir, unos 10 días). A continuación, se ha calculado la función de estructura pertinente S moke() con el mismo binning adoptado para los datos reales. La simulación fue iterado por 107 veces para generar, para cada cubo, la estadística dis- Atribución de los valores de S moke(l). Se ha estimado, de forma conservadora, el valor adoptado para de las funciones de estructura observadas de las figuras 4 y 5 yo mismo, como el valor de S (­) en el primer cubo. Esto es, de hecho, un sobreestimación del ruido, ya que incluye varia- ciones del QSO, que, sin embargo, deberían ser insignificantes en el base de estudios previos de QSOs (fainter) (Giveon et al., 1999); Kaspi y otros, 2000). El valor casi constante de la estructura las funciones en el caso del PG 1634+706 confirman la Potesis de que el ruido no está correlacionado en la escala de tiempo largo. Para la línea CIII] las r.m.s. ruido (+ 0,05) es mayor que en el caso de la línea CIV (-0,02). Esto depende de lo intrínseco debilidad de la línea CIII]. De acuerdo con las simulaciones anteriores la probabilidad de la hipótesis nula, para el segundo y cuarto cubos, es P(> S ) 4 × 10−4. El máximo local de S (­), para CIII] a los 400 días, se debe a una “oscilación” de la curva de la luz en una escala de tiempo comparable con la base temporal total de sservations. Esto indica que se necesita una base de tiempo más larga para oscilaciones individuales medias adecuadas y para obtener una “estación- ary” función de la estructura. Muestreo adicional, tratando de evitar anualmente periodicidad debido a los períodos de observación óptima, es necesario para obtener la resolución necesaria para la medición del tiempo de retraso. La función de estructura de la línea CIV muestra mucho más sig- variabilidad nificante: la probabilidad de la hipótesis nula en el en el caso de los dos últimos cubos, donde S (­) es 0,13 y 0,21 respec- ticularmente, es menos de 10-6. Disminución sistemática de la línea CIV luminosidad y la continua relevante podría parecer confiar en el valor de las curvas de luz en la primera época. Por lo tanto, tenemos la recomendación de... puso el S (­) después de la eliminación de la primera época. De hecho, en el caso de continua la disminución sistemática de S (­) ya no es evidente. Por el contrario, para la línea se mantiene prácticamente sin cambios (excepto que el último cubo ya no está presente). Por lo tanto, el hecho de que la probabilidad de la hipótesis nula es menor que 10-6 no confiar en ese punto en particular en la curva de la luz. El principal objetivo de las nuevas campañas de eco-mapeo es obtener una medida directa de la masa central del agujero negro y para establecer si la escala del tamaño de la región de la línea ancha QSO y las masas re- main el mismo en la luminosidad cuásar más alta. El muy detectable... ity de la variación de la línea en los QSO más luminosos fue, hasta re- 6 D. Trevese y otros: Variabilidad de líneas y continuum Desde el 3C273 con (lf(5100Å) 1046 erg s−1) fue el QSO más brillante con variabilidad de línea detectada (Kaspi y otros, 2005). Una evidencia de la variabilidad de la línea en más brillante los objetos han sido reportados más recientemente por Kaspi et al. (2006). Detección actual de la variabilidad de la línea en uno de los dos cuásares se considera reforzar la noción de que las líneas de emisión cuásar re- spond a los cambios continuos en QSOs de alta luminosidad como en menor luminosidad e indica que el eco-mapeo de la leva- Los paigns son factibles para L/23370/(5100Å) 1047 erg s−1. Nuestros resultados son consistentes con los de Kaspi et al. (2006), que han controlado fuentes de luminosidades comparables y Redshifts. También hemos detectado variabilidad, de plitud, en el continuum y en las líneas de emisión CIII] y CIV en una de nuestras fuentes. Teniendo en cuenta el menor tiempo de referencia de nuestras observaciones, el hecho de que la variabilidad no se ha encontrado en PG 1634+706 es consistente con los segmentos sin variaciones que se puede ver en el Kaspi et al. (2006) curvas de luz sobre esto escala de tiempo. Estimar el seguimiento adicional necesario para medir la los retrasos continuos, debemos tener en cuenta que, en edad, la amplitud de la variabilidad aumenta con el marco de descanso desfase de tiempo. Sin embargo, esta dependencia es débil: log S De acuerdo con estudios estadísticos anteriores sobre muestras de quásar (Vanden Berk et al., 2004; De Vries et al., 2005). En el caso de nuestros cuásares PG 1634+706 y PG 1247+268, el el marco del observador Łobs = ♥rest(1+z) se dilata por un factor 2.3 y 3 respectivamente. El tamaño de la región de la línea ancha, basado en Balmer reverberación-mapeo de línea, se espera escalar con luminosidad como RBLR Lγ con γ=0,5-0,7, dependiendo de cómo se mida L y se obtiene el ajuste RBLR vs. L (Kaspi et al., 2000, 2005; Bentz et al., 2006; Kaspi et al., 2006). Una línea de Balmer BLR de aproximadamente 3 años luz en el marco de descanso se espera para los luminosi corbatas. Por otro lado, la línea CIV corresponde a un tamaño BLR 2 veces más pequeño que las líneas de Balmer (Peterson & Wandel, 2000). Teniendo en cuenta que, en general, una línea de base temporal de aproximadamente el doble de la se requiere un tiempo de cruce de la luz para obtener un desfase fiable de las curvas de luz, estimamos que el mapeo de reverberación debe ser factible después de 5-6 años más de seguimiento. 4. Resumen – Hemos iniciado una campaña para el seguimiento de 4 altos luminosidad QSOs y presentamos el resultado para dos de ellos sobre la base de 3,3 años de observación con la tele de 1,82 m ámbito de aplicación del Observatorio de Asiago. – Discutimos la reducción de datos, los procedimientos adoptados y el nivel de precisión alcanzado en el espectrofotométrico relativo medición de la variabilidad. – Realizamos un análisis de la función de la estructura de la curva de luz simulaciones numéricas para establecer el nivel de confianza detección de la variabilidad de la línea. – Detectamos variabilidad de línea y continuum en uno de los dos QSOs, PG 1247+268 de L/23370/(5100Å) = 1047 erg s−1, con una probabilidad de menos de 10-6 de la hipótesis nula de que el la función de la estructura observada es producida por el ruido puro. – Esta detección apoya la noción de que las líneas de emisión re- spond a las variaciones de continuum como en menos lumi- Nous QSOs. Los resultados fomentan el enjuiciamiento de la campaña que debe proporcionar tiempo de retraso, y la masa del agujero negro, estimaciones en 5-6 años. Agradecimientos. Reconocemos el apoyo del Observatorio de Asiago equipo, en particular Hripsime Navasardian, para observaciones. Bibliografía Clavel, J., Reichert, G. A., Alloin, D. y otros, 1991, ApJ, 366, 64 Bentz, M. C., Peterson, B. M., Pogge, R. W., Vestergaard, M., & Onken, C. A., 2006, ApJ, 644.133 De Vries, W.H., Becker, R. H., White, R.L., & Loomis, C., 2005, ApJ, 129, 615 di Clemente, A., Giallongo, E., Natali, G., Trevese, D., & Vagnetti, F., 1996, ApJ, 463, 466 Egami, E., Matthews, K., Ressler, M., et al., 2000, ApJ, 535, 561 Ferrarese, L., & Merrit, D. 2000, ApJ, 539, L9 Giveon, Uriel, Maoz, Dan, Kaspi, Shai, Netzer, Hagai, Smith, Paul S., 1999, MNRAS, 306, 637 Ibata, R. A., Lewis, M. J., Irwin, M. J., Lehar, J., & Totten, E. J., 1999, ApJ, 118,1922 Irwin, M. J., Ibata, R. A., Lewis, G. F., & Totten, E. J., 1998, ApJ, 505, 529 Kaspi, S., Smith, P.S., Meters, H., Maoz, D., Jannuzi, B.T. & Giveon, U., 2000, ApJ, 533, 631 Kaspi, S., Netzer, H., Maoz, D., Shemmer, O., Brandt, W. N.,& Schneider, D. P., 2004, en Coevolución de Agujeros Negros y Galaxias, Carnegie Obs. Astroph. Ser. Vol. 1, L. C. Ho ed., http://www.ociw.edu/ociw/symposia/series/ Kaspi, S., Maoz, D., Netzer, H., Peterson, B. M., Vestergaard, M., & Jannuzi, B. T., 2005, ApJ, 629, 61 Kaspi, S., Bradt, W. N., Maoz, D., Netzer, H., Schneider, D. P., & Shemmer, O., 2006, ApJ (en prensa), astro-ph/0612722 Kormendy, J., & Richstone, D. 1995, ARA&A,33, 581 Ledoux, C., Theodore, B., Petitjean, P., et al., 1998, A&A.339,L77 Maoz, D., Netzer, H., Leibowitz, E., et al. 1990, ApJ, 351, 75 Maoz, D., Smith, P. S., Jannuzi, B. T., Kaspi, S., & Netzer, H., 1994, ApJ, 421, Marconi, A., Hunt, L. K., 2003, ApJ, 589L, 21 McLure, R. J., & Jarvis, M. J., 2002, MNRAS, 337, 109 Netzer, H., Maoz, D., Laor, A. et al., 1990, ApJ, 353, 108 Netzer, H., 2003, ApJ, 583, L5 Peterson, B. M., 1993, PASP, 105, 247 Peterson, B. M., & Wandel, A., 2000, ApJ, 540, L13 Seda, J. & Rees, M.J. 1998, A&A, 331, L1 Ramsey, L. W., et al. 1998, SPIE, 3352, 34 Reichert, G. A., Rodriguez-Pascual, P. M., Alloin, D. et al., 1994, ApJ, 425, 582 Tremaine, S. et al., 2002, ApJ, 574, 740 Trevese, D., & Vagnetti, F., 2002, ApJ, 564, 624 Vanden Berk, D, 2004, ApJ, 601, 692 Veron-Cetty M.P., Veron P., 2003, A&A, 412, 399 Vittorini, V., Shankar, F., & Cavaliere, A., 2005, MNRAS, 363, 1376 Wilhite, B. C., Vanden Berk, D. E., Kron, R. G. et al., 2005, ApJ, 633, 638 http://www.ociw.edu/ociw/symposia/series/ http://arxiv.org/abs/astro-ph/0612722 Introducción Observaciones Selección de objetos Observaciones espectrofotométricas y reducción de datos Resultados y discusión Resumen

Adiabatic passage in a three-state system with non-Markovian relaxation: The role of excited-state absorption and two-exciton processes

Pasaje adiabático en un sistema de tres estados con Relajación no-Markoviana: El papel del estado excitado procesos de absorción y de dos excitón. B. D. Fainberg1,2* y V. A. Gorbunov1 1Facultad de Ciencias, Departamento de Física, Instituto de Tecnología Holon, 52 Golomb St., Holon 58102, Israel 2Raymond y Beverly Sackler Facultad de Ciencias Exactas, Escuela de Química, Universidad de Tel-Aviv, Tel-Aviv 69978, Israel 8 de agosto de 2021 Resumen La influencia de la absorción de estado excitado (ESA) y de los procesos de dos excitones en un co- Transferencia de población herente con pulsos quirped ultracortos intensos en sistemas moleculares en solución se ha estudiado. Un tratamiento unificado del paso rápido adiabático (ARP) en estos sistemas se ha desarrollado utilizando un sistema electrónico de tres estados con Se trata de una difusión en las superficies de energía potencial electrónicas. Hemos mostrado que la ESA tiene un profundo efecto en la transferencia coherente de población en grandes moléculas que * Autor correspondiente. Correo electrónico: fainberg@hit.ac.il http://arxiv.org/abs/0704.1959v1 requiere una interpretación más precisa de los datos experimentales. Un simple y phys- modelo para ARP en moléculas con tres estados electrónicos en solución tiene se ha desarrollado ampliando los cálculos de Landau-Zener poniendo en un tercer nivel a cruzar al azar los niveles. Un método para el control cuántico de los estados de dos excitones en se han propuesto complejos moleculares. 1 Introducción. La posibilidad del control óptico de la dinámica molecular utilizando pulsos correctamente adaptados ha sido objeto de estudios intensivos en los últimos años [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11] 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23]. Pulsos retorcidos pueden excitar selectivamente coherente movimiento de paquetes de onda ya sea en la superficie de energía potencial electrónica de una molécula o en la superficie de energía potencial electrónica excitada debido al proceso de bomba-bomba intrapulso [1, 5, 11, 12]. Además, son muy eficientes para lograr la transferencia óptica de población entre estados moleculares electrónicos. Se puede lograr la inversión total de la población electrónica uso de interacciones coherentes de la luz-materia como el paso rápido adiabático (ARP) en un dos- o tres- sistema de estado [24, 25], que se basa en barrer la frecuencia del pulso a través de una resonancia. Dado que la inmensa mayoría de las reacciones químicas se llevan a cabo en solución líquida, se estudió el paso adiabático en moléculas en solución para el sistema electrónico de dos estados (ARP) en Refs.[26, 27, 28], y para la configuración estimulada del paso adiabático Raman (STIRAP) en Refs.[29, 30]. Se ha mostrado en Ref.[26] que la relajación no obstaculice la coherencia transferencia de población para pulsos quirped positivos y ajuste moderado del pulso central frecuencia con respecto a la frecuencia de la transición Franck-Condon. Sin embargo, un modelo electrónico de dos estados para sistemas moleculares es de utilidad limitada. De hecho, la absorción del estado excitado (ESA) ocurre para la mayoría de moléculas orgánicas complejas [31, 23]. Incluso un dímero molecular que consiste en cromoforos de dos niveles tiene una excitación adicional estado correspondiente a la excitación de dos excitones. Un tratamiento unificado de ARP en estos sistemas. Los tems pueden ser desarrollados usando el sistema electrónico de tres estados interactuando con el depósito (el subsistemas vibratorios de una molécula (cromóforos) y un disolvente). La mayoría de las veces el AEE en moléculas orgánicas complejas corresponde a una transición de el primer estado de singlet S1 excitado a un estado de singlet más alto Sn (n > 1), que se relaja a S1 muy rápido [32, 33, 34, 31]. Por lo tanto, parecería que la AEE no influye en traslado de población S0 → S1 desde el estado de tierra S0. Sin embargo, en presencia de la AEE pulso emocionante interactúa con S0 → S1 y S1 → Sn transiciones. Es bien sabido que interacciones ópticas coherentes en transiciones ópticas adyacentes en un sistema de tres estados se afectan sensiblemente entre sí. Los ejemplos son STIRAP, lading sin inversión, coherente trampeo, transparencia inducida electromagnéticamente y otros. (Para los tratamientos de libros de texto de Estos efectos pueden verse, por ejemplo, [35]). Por lo tanto, uno esperaría un cambio apreciable de una transferencia de población S0 → S1 con pulsos quirped en presencia de estado excitado absorp- en el régimen coherente cuando la tasa de chirp en el dominio de frecuencia no es grande y, consecuentemente, el pulso es bastante corto. Nuestro objetivo es responder a las siguientes preguntas: la influencia en una transferencia coherente de la población en los sistemas moleculares en solución? ¿Qué? es el potencial de los pulsos quirped para la excitación selectiva de los estados único y dos excitón y su espectroscopia selectiva?” Además, el sistema de tres estados en discusión nos permite considerar STIRAP como Bueno. Por lo tanto, también nos preocuparemos brevemente de ralentizar el desfase puro en STIRAP en campos intensos cuando la relajación es no-Marcoviana. El esbozo del documento es el siguiente. En Sec.2 presentamos ecuaciones para la matriz de densidad de un sistema molecular de tres estados bajo la acción de pulsos moldeados cuando la interacción con un entorno disipativo se puede describir como la modulación Gaussian-Markovian (así se llama el modelo total). En la sección 3 formulamos una serie de enfoques a este modelo que nos permite, en primer lugar, aclarar la física subyacente y, en segundo lugar, entender la validez de los resultados obtenidos por el modelo total. Los efectos de la AEE sobre ARP en moléculas complejas son: considerado en la sección 4. En Sec.5 estudiamos la transferencia de población en dímeros moleculares con en función de los procesos de dos excitones. En el Sec.6 consideramos ralentizar el desfase puro sobre STIRAP en campos fuertes cuando la interacción sistema-baño no es débil (no-Markovian relajación). Resumimos nuestros resultados en Sec.7. En el Apéndice se amplían los cálculos de excitación de dos fotones de un sistema de escalera cuántica por un pulso gorjeado [36] a no cero Detonación de dos fotones. 2 Ecuaciones básicas Consideremos un sistema molecular con tres estados electrónicos n = 1, 2 y 3 en un disolvente descrito por el hamiltoniano n [En +Wn(Q)] n (1) donde E3 > E2 > E1, En es la energía del estado n,Wn(Q) es el adiabático Hamiltoniano de depósito R (subsistemas vibratorios de un sistema molecular y un disolvente que interactúa con el sistema electrónico de tres niveles considerado en el estado n). El sistema molecular se ve afectado por dos pulsos en forma de frecuencias portadoras................................................................................................................................. E(t) = i=1,2 Ei(t) + c.c. = i=1,2 ~Ei (t) exp[−iÃ3it+iŁi (t)] + c.c. 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. que son resonantes a las transiciones ópticas 1 → 2 y 2 → 3, respectivamente (configuración de ión). Aquí Ei (t) y Ei (t) describen el cambio de la amplitud del pulso y fase, respec- ticularmente, en un tiempo t. Las frecuencias de pulso instantáneas son i (t) = i − didt. Influencia de los subsistemas vibratorios de un soluto y de un disolvente en el sistema electrónico transición puede describirse como una modulación de esta transición por ciones s} [37, 38]. De acuerdo con el principio de Franck-Condon, una la posición tiene lugar en una configuración nuclear fija. Por lo tanto, por ejemplo, la cantidad u(Q) = W2(Q) −W1(Q) − •W2(Q) −W1(Q)•1 es la perturbación del movimiento nuclear bajo transición electrónica 1 → 2. Aquí TrR (...Rn) denota la operación de rastreo sobre el variables del depósito en el estado electrónico n, Rn = exp (Wn) /TrR exp (Wn), β = 1/kBT. La relajación de la transición electrónica 1 → 2 estimulado por las vibraciones de LF se describe por la función de correlación K(t) = â € ~ u(0)u(t)â € de la perturbación vibracional correspondiente con tiempo de atenuación característico Łs [12, 38]. Suponemos que kBT. Así s} es un al- la mayoría del sistema clásico y los operadores Wn se supone que son funciones estocásticas del tiempo en el Representación de Heisenberg. La cantidad u se puede considerar como un vari gaussiano estocástico Capaz. Consideramos el proceso Gaussian-Markovian cuando K(t)/K(0) S(t) = exp(t/el). El correspondiente operador de Fokker-Planck Lj = + (q − dj) q + 1 describe la difusión en el potencial parabólico efectivo Uj (q) = Ej + 2 (q − dj)2 (3) del estado electrónico j donde 1s = D El coeficiente de difusión es el 2 y el D. Ir a un di- coordenada generalizada sin mension x = q β, se puede obtener las ecuaciones para los elementos de la matriz de la densidad Łij(x, t) por la generalización de las ecuaciones de Ref.[26]. Cambio al sistema que gira con frecuencia instantánea 12(x, t) = ♥12(x, t) exp[−i(­1t− ­1(t))], 23(x, t) = ♥23(x, t) exp[−i(­2t− ­2(t))], 13(x, t) = ♥13(x, t) expi[(­1 + ­2)t− (­1(t) + ­2(t))], (4) ¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos. *11(x, t) = Im[­112(x, t)] + L1­11(x, t) ­22(x, t) = − Im[­112(x, t) + 232(x, t)] + L2­22(x, t) + 2­32­33(x, t) * 33(x, t) = − Im[­223(x, t)] + (L3­232)­33(x, t) (5) 12(x, t) = i •21 •1(t)− ()−1x2x 12(x, t) + * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (x, t) + L1212(x, t) (6) 13(x, t) = i • 31 • 1(t)− • 2(t)− ()− 1x3x 13(x, t) + 123(x, t)− 212(x, t) + (L13 − Ł32)13(x, t) (7) 23(x, t) = i 2(t)− ()−1 (x3 − x2)x 23(x, t) + 2 (t) [?33(x, t)−?22(x, t)]+ (L23) − (x, t) + (L23) + (x, t) (8) donde las frecuencias de Rabi para las transiciones 1 → 2 son las siguientes: •1 = D21E1/~ y •2 = D32E2/~ y 2 → 3, respectivamente. Aquí es la frecuencia de Franck-Condon. transición 1 → i, elij = (Ei − Ej)/~ es la frecuencia de la transición puramente electrónica j → i, Dij son elementos de matriz del operador del momento del dipolo, 2-32 es una probabilidad de no radiativo transición 3 → 2 para el problema de absorción de estado excitado (ver abajo); xj = (1jst)1/2 es un Desplazamiento adimensional entre las superficies potenciales de los estados 1 y j (x1 = 0), que está relacionado a la correspondiente transferencia de Stokes pt de los espectros de absorción de equilibrio y luminiscencia para la transición 1 → j. La última magnitud se puede escribir como 1jst = 2s donde 2s denota la contribución de la vibración LF a un segundo momento central de un espectro de absorción para transición 1 → j. Los términos Lj = + (x− xj) en el lado derecho de Eqs.5) describir la difusión en el correspondiente parabólico efectivo potencial Uj(x) = Ej + (x− xj)2 (j = 1, 2, 3), (10) Lij = (Li + Lj)/2. La matriz de densidad parcial del sistema ij (x, t) describe la distribución del sistema con un valor dado de x en el tiempo t. La matriz de densidad completa promediado sobre el proceso estocástico que modula los niveles de energía del sistema, se obtiene mediante la integración de ij (x, t) sobre el coordenadas generalizadas x: ij (t) = ij (x, t) dx (11) donde las cantidades diagonales jj (t) son nada más ni menos que las poblaciones de la Estados electrónicos: jj (t) Ł nj, n1 + n2 + n3 = 1. Resolvemos Eqs acoplados.(5)-(8), utilizando una expansión basada con funciones propias de difusión operador L13, similar a Ref. [26]. Las soluciones, correspondientes al procedimiento descrito en esta sección, se denominan modelo total para abreviar, teniendo en cuenta que tienen en cuenta todas las relajaciónes (diffu- ciones) relacionadas con las poblaciones y las coherencias electrónicas entre todos los estados electrónicos. 3 Modelos aproximados En esta sección describimos una serie de enfoques para el modelo total (Eqs.5) a 8)). 3.1 Sistema con movimiento nuclear congelado Para los pulsos mucho más cortos que los de los Łs uno puede ignorar todos los términos Li, Lij en la mano derecha lados de Eqs.(5)-(8). Esto significa que nuestro sistema puede ser descrito como un conjunto de pendent sistemas de tres niveles con diferentes frecuencias de transición correspondientes a un puro transiciones electrónicas inhomogéneas ampliadas. En este caso las ecuaciones de la matriz de densidad se puede integrar de forma independiente para cada x. Después de esto el resultado debe ser promediado sobre x. Las soluciones de las ecuaciones no amplificadas para la matriz de densidad son interesantes desde el punto de evaluación de la mayor población posible de estados excitados debido a la coherencia efectos, porque estas soluciones ignoran todas las relajaciónes irreversibles que destruyen la coherencia. Además, una comparación entre estas últimas soluciones y cálculos para el modelo total nos permite aclarar el papel de la relajación en la dependencia chirp de la transferencia de población (véase la sección 4 infra). El enfoque que se discute en esta sección se denomina “libre de relajación” modelo para abreviar. 3.2 Aproximación semiclásica (lax) Para las transiciones electrónicas amplias que satisfacen el límite de “modulación lenta”, tenemos s â € 1, donde 2s es la contribución de la vibración LF a un segundo momento central de una absorción espectro para la transición i → j. En el último caso el desfase electrónico es rápido, y uno puede utilizar una aproximación semiclásica (tiempo corto) [39]. Este límite también se conoce como el caso de Pérdidas apreciables de Stokes debido a la perturbación del sistema nuclear bajo el sistema electrónico excitación i → j (una cantidad Wj-Wi) es grande. Entonces uno puede ignorar el último término Lij ij(x, t) en el lado derecho de la ecuación correspondiente para el elemento no diagonal de la matriz de densidad [26, 40, 12, 41] que describe la relajación (difusión) de ij(x, t) (Eqs.6) y 8)). Las soluciones, que corresponden a términos que ignoran Lij ij(x, t) para amplia electrónica transitions i → j se denominan modelo de relajación parcial para corto [26]. Es digno de notar que el modelo de relajación parcial ofrece una ventaja particular sobre el modelo total. Los punto es que el primero puede derivarse no asumiendo la eliminación adiabática estándar de el impulso p para la matriz de densidad no diagonal [41], que es incorrecto en el ”lento modulación” límite [42]. Esta cuestión es muy importante a la luz de los límites impuestos a Eqs.(6) y (8) para los elementos no diagonales de la matriz de densidad [43, 44]. De hecho, en la representación de Wigner [45, 46, 47] ecuación para 12 se puede escribir en el marco giratorio como (véase Eq.6)) W12(q, p, t) = i[(U2 (q)− U1 (q))/ 1(t)]W12(q, p, t)− 2W13(q, p, t)+ 1 [lFP12W12(q, p, t)) (12) Eq.(12) se ha derivado de potenciales armónicos, Eq.(3), por generalización de ecuaciones de Refs.[48, 49, 42, 41] LFP12 = −p + γp+ (U1 (q) + U2 (q)) es el operador Fokker-Planck para el oscilador browniano con constante de atenuación En el caso de pérdidas apreciables de Stokes cuando la perturbación del sistema nuclear bajo excitación electrónica 1 → 2 (una cantidad (U2 (q)-U1 (q))/el21) es grande, la cantidad W12(q, p, t) oscila rápidamente debido al primer término en el lado derecho de Eq.(12) (véase también Ref.[42]). Por lo tanto, a la primera aproximación, en puede descuidar los cambios de W12(q, p, t) debido al último término a la derecha de Eq.(12). Descuidar este término, integrar ambos lado de Eq.(12) sobre el impulso, y teniendo en cuenta que ij(q, t) = Wij(q, p, t)dp (13) y x = q β, tenemos 12(x, t) = i[211(t)−()−1x2x]12(x, t)+ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (x, t) (14) Eso no es nada más ni menos Eq.(6) sin el último término L1212(x, t) a la derecha Side. De hecho, una derivación de Eq.(14) no implica la suposición de que el el impulso se corresponde instantáneamente. Lo mismo se puede hacer con Eq.(8) para 23. 4 Transferencia de población adiabática en presencia de absorción del estado Estudiaremos los efectos de la AEE sobre la ARP en moléculas complejas mediante el ejemplo de la coumarina 153 en solución líquida [31]. En el dominio de frecuencia, el campo eléctrico se puede escribir como E() exp[iΦ()] y el término de fase Φ() se puede ampliar en una serie Taylor Φ() = Φ(­) + (1/2)(­)(­)2 +... Vamos a considerar los pulsos quirped lineales de la forma E(t) = E0 exp[− • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • cuando los parámetros  y μ se determinen mediante las fórmulas [11, 12]: 2 p0 + [2 (­) /­p0] 21, μ = −4 () 4p0 + 4Φ ′′2 () , (16) p0 = tp0/ 2 ln 2, tp0 es la duración del pulso del pulso limitado de transformación correspondiente. Fig.1 muestra poblaciones de estados electrónicos después de la finalización de la acción de pulso como funciones -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 "( ) (x10) Figura 1: Poblaciones de estados electrónicos después de la finalización de la acción del pulso como funciones de (') en un sistema de tres Estados. Cálculos sin decaimiento del estado superior 3 en estado 2: n1 (línea de puntos), n2 (línea sólida), n3 (línea de puntos). Línea con círculos huecos - n2 en el modelo con decaimiento rápido 3 → 2 32=10 ps−1. Para la comparación también mostramos n2 para un dos-estado sistema (línea con cuadrados). Modelo de relajación total con difusión de todos los elementos de la matriz. de la tasa de chirp en el dominio de frecuencia ( v) = 4 Para la molécula bajo consideración una resonancia de dos fotones ocurre en la frecuencia doble de la Franck-Condon transición 1 → 2. El espectro de absorción correspondiente a la transición 1 → 3 es bastante estrecho eso significa x3 = 0. Los valores de los parámetros para la figura 1 fueron los siguientes: la duración del pulso del pulso limitado a la transformación (no entorchado) tp0 = 10 fs, st = 2686 cm −1, D12 = D32 = 6 D [31], فارسىs = 70 fs, el parámetro de saturación, que es proporcional a la energía del pulso [26], Q′ D12Emax2tp/(2~2 2,122s ) = 5; la resonancia de un fotón para Franck-Condon transición 1 → 2 ocurre al máximo del pulso, es decir. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Fig.2 contrasta los cálculos utilizando el modelo total (Fig.1) con los de la relajación parcial- modelo de la formación. Este último incluye tanto la difusión de todos los elementos diagonales de la densidad matriz y un elemento off-diagonal?13. El punto es que la transición 1 → 3 ocurre con cambiar el estado de los subsistemas vibratorios de una molécula y un disolvente, y por lo tanto -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 "( ) (x10) Figura 2: Poblaciones de estados electrónicos n1 (líneas punteadas), n2 (líneas sólidas) y n3 (abastecidas) líneas) después de la finalización de la acción de pulso calculada sin decaimiento del estado superior 3 en el estado 2 como funciones de ( v). La relajación parcial y los modelos totales - líneas con y sin círculos huecos, respectivamente. Todos los parámetros son idénticos a los de la Fig.1. no se puede describir en una aproximación semiclásica (tiempo corto). La figura 2 muestra una buena acuerdo entre los resultados de cálculo de los modelos considerados. Uno puede ver a partir de la Fig.1, primero, que la población n2 para una molécula con una desintegración rápida 3 → 2, que se parece mucho a los datos experimentales [11] para LD6901, es claramente diferente de la de un sistema de dos estados para ( v) < 15 · 103 fs2 cuando el pulso excitado es bastante corto. Esto significa que la absorción excitada del estado tiene un profundo efecto en la transferencia coherente de la población en moléculas complejas. En segundo lugar, n3 disminuye fuertemente cuando aumenta ( v). Para entender estos resultados, vamos a considerar dos primeras transiciones por separado. Uno puede obtener el siguiente criterio para la adiabaticidad de una transición en ausencia de ión: Q′ >> 1 donde Q′ es el parámetro de saturación. Se ajusta al valor de Q′ = 5 usado en nuestros cálculos. La condición Q′ >> 1 sigue del criterio adiabático para un sistema de dos niveles: 1 Según Ref.[23], LD690 muestra ESA. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ”( x104 fs2) Figura 3: Poblaciones de estados electrónicos n1 (línea de puntos), n2 (línea sólida), n3 (línea de puntos) y n2 + n3 (línea con círculos huecos) después de la finalización de la acción del pulso como funciones de ( v) para el modelo libre de la relajación. Otros parámetros son idénticos a los de Fig.1. En el caso considerado, la población combinada n2 + n3 no depende de El Tribunal de Primera Instancia decidió: d-(t) 1,2(t)2 (17) donde las frecuencias de Rabi para las transiciones 1 → 2 y 2 → 3, respectivamente. Criterio adiabático Eq.(17) se cumplió en nuestras simulaciones para ambas transiciones 1 → 2 y 2 → 3 en cualquier ( v). Sin embargo, la Fig.1 muestra que n3 disminuye fuertemente cuando ( v) aumenta. Para aclarar las razones de fuerte disminución n3 es instructivo llevar fuera de los cálculos correspondientes para el modelo libre de relajación de la sección 3.1 que se muestran en la figura.3. En este caso la excitación del estado 3 con un pulso limitado a la transformación es ligeramente más eficaz como comparado con un pulso fuertemente gorjeado de la misma energía. El punto es que un dos-fotón resonancia ocurre para una serie de componentes espectrales de un pulso limitado a la transformación y sólo al máximo de un pulso fuertemente gorjeado. Sin embargo, la Fig.3 no muestra una fuerte disminución la población del Estado 3 cuando aumenta. Esto significa que la relajación es responsable para una fuerte disminución de n3 en función de Φ ′′(l) a pesar del hecho de que la relajación no destruir ARP cuando las frecuencias Rabi superan el tiempo de desfase irreversible recíproco (T ′)−1 [27] 1-1,2 >> 1/T ′ (18) La última condición se cumplió en nuestras simulaciones por lo menos para (v). 104 fs2. Para aclarar esta cuestión, vamos a considerar una transferencia de población entre fluctuación aleatoria niveles. 4.1 Transferencia de población entre niveles fluctuantes al azar La imagen de los niveles fluctuantes al azar [27] ofrece una explicación sencilla y físicamente clara de los resultados numéricos [26] obtenidos para el traslado de población en un sistema de dos estados. Aquí lo haremos. generalizar los cálculos de Landau-Zener (LZ) poniendo en un tercer nivel [50] al cruce aleatorio de niveles. Escribamos las ecuaciones de Schrödinger para las amplitudes de los estados a1,2,3 para el sistema que se está examinando. Cambiar a nuevas variables ãk: ak = ãk exp , (19) obtenemos en la aproximación de onda giratoria (U1 − U2)/1(t) 1/2 0 1/2 0 2/2 0 2/2 (U3 − U2)/ 2(t) A lo largo de esta sección, los potenciales parabólicos eficaces (10) se consideran funciones de Coordenada borrada α = x 12a : Uj(α) = Ej+ ~2­12a 12a [ •12a+(−1)sgn(xj) st ]}2. (U3 − U2)/ ­2(t) = [(­el32 + ­12st /2)− ­2] + α + μ2t (21) para x3 = x1 (que corresponde a Coumarin 153), y (U1 − U2)/• • 1(t) = [­1 − (­ • el21 − • 12st /2)] + μ1t, (22) para los pulsos quirped lineales siguientes: 1,2, (t) = 1,2, − μ1,2t. Definamos los cruces instantáneos del estado 2 con repeticiones fotónicas 1′ y 3′ de los estados 1 y 3, respectivamente. Están determinadas por las condiciones de las cantidades Eqs.(21) y (22) son iguales a cero: α12(t) = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • α23(t) = ­2 − (­el32 + ­12st /2)­ μ2t ­ α23(0)­ μ2t Cerca de los puntos de intersección se puede considerar α como una función lineal del tiempo. Para la pequeña t, α(t)  α12(0)+ t. Dejar α12(0) = α23(0), es decir, indica 2, 1′ y 3′ cruzar en el mismo punto cuando t = 0. Esto significa El 21 de mayo + El 21 de mayo + 32 = 1 ° + 2 ° (24) i.e. la resonancia de dos fotones ocurre para t = 0. Luego Eqs.(20) adoptar la siguiente forma: ( μ1)t 1/2 0 1/2 0 2/2 0 2/2 ( + μ2)t que se puede reducir a Eqs.(2) de Ref.[50]. Uso de la solución obtenida en [50] y consid- Ring chirps idénticos cuando μ1 = μ2 • μ, obtenemos para la condición inicial a1()2 = 1, a2,3()2 = 0 a3()2 = (1− P )(1−Q) para − < < P (1− P )(1−Q) para ambos > cuando μ < 0, y < cuando μ > 0 Q(1− P)(1−Q) para < μ cuando μ < 0, y > μ cuando μ > 0 donde P = exp 4 , Q = exp 4 + Similar a Ref.[27], consideramos α como una variable estocástica gaussiana. Consecuentemente, nosotros debe promediar Eqs.(26) sobre el cruce aleatorio de los niveles descritos por el ruido aleatorio gaussiano inducido por fluctuaciones intra e intermoleculares. Se puede hacer fácilmente para un diferenciable (no-Marcoviano) proceso gaussiano [27], teniendo en cuenta una independencia de α y de el uno al otro para tales procesos. Por lo tanto, vamos a considerar en esta sección una diferenciable Ruido gaussiano, en contraposición a secciones previudas. Además, consideramos que un límite de modulación lenta cuando s >> 1. Average Eqs.(26), obtenemos lo siguiente: expresión para la población del estado 3 cuando μ > 0 ∫ P (1− P )(1−Q)f(α, )d + ∫ (1− P )(1−Q)f(α, )d Q(1 − P)(1−Q)f(α, )d] (28) Aquí f(α, ) es la densidad de probabilidad conjunta para α y su derivado : f(α, ) = 122s (−k̈(0)) 2k̈(0) , (29) k̈(0) es la segunda derivada de la función de correlación k(t) = < α(0)α(t) > de las fluctuaciones energéticas evaluadas a cero. Eq.(28) se escribe para μ > 0 (negativamente pulso chirped). Uno puede mostrar fácilmente que n3 es simétrico con respecto al signo chirp. El punto es que un modelo estocástico simple de esta sección no tiene los efectos de cualquier cromoforo en el baño, en particular el cambio dinámico de Stokes (véase Ref.[51] Para más detalles. Esto es opuesto. a los modelos de secciones anteriores, que describen el dinámico Stokes por el término de deriva (el segundo término en el lado derecho de Eq.9)). Integrando Eq.(28) con respecto a α y entrar en una variable adimensional y = / , ¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos. P (1− P )(1−Q) exp (1− P )(1−Q)] exp Q(1− P)(1−Q) exp dy] (30) donde P = exp 2y − 1 y Q = exp 2y + 1 , (31) 2 > 0, • = − k̈(0) > 0 (32) son parámetros adimensionales. Cuando criterio adiabático Eq.(17) está satisfecho, el parámetro فارسى es mucho mayor que 1 ya que d(t)/dt = para un pulso quirped lineal. A continuación, las integrales en el lado derecho de Eq.(30) puede ser evaluado por el método de Laplace, similar a Ref.[27]. El resultado es espe- cialmente simple para una interacción fuerte, Eq.(18), donde el tiempo irreversible de desfase de transi- ciones 1 → 2 y 2 → 3 se dan por [27] T ′ = 1/[−k̈(0)]1/4. Entonces, como se puede ver también desde Eqs.(30) y (31), la principal contribución a n3 es dada por dy = erf T ′2 Puesto que erf(1.5) = 0,966, obtenemos que la relajación no impide un traslado de la población a Estado 3 cuando T ′2 ≥ 2 (34) Para pulsos fuertemente quirped [52], T ′2/ 2 • 2 El Tribunal de Primera Instancia decidió, en su sentencia de 14 de julio de 2000, que la Comisión había incumplido las obligaciones que le incumben en virtud de la letra c) del apartado 1 del artículo 92 del Tratado CE. Eq.(34) expresa un criterio adicional para el traslado coherente de la población a los que tenemos obtenido antes para un sistema de dos niveles [27], Eqs.(17) y (18). Nuevo criterio (34) implica conservación del “contramovimiento” de las “repeticiones fotónicas” de los estados 1 y 3, a pesar del cruce aleatorio de niveles. La condición (34) se ejemplifica en la figura 4. Además, La figura 4 muestra un excelente acuerdo de fórmula simple (33) con cálculos numéricos. Lo siento. es digno de notar que la condición (18) se cumplió en nuestras simulaciones, aunque en el último Caso T ′ = (ls/ls) 1/3 se determina independientemente de k̈(0) [53], que no existe para el Proceso Gaussiano-Markoviano. 4.2 Influencia de la absorción en estado de excitación cuando se desafina a partir de dos- Se produce resonancia fotónica Para la coumarina 153 en solución líquida considerada por encima de una resonancia de dos fotón se produce en la frecuencia duplicada de la transición Franck-Condon 1 → 2. En esta sección consideramos poblaciones de estados electrónicos cuando se viola la condición de resonancia bifotónica. Higos. 5 y 6 muestran poblaciones de estados electrónicos para el modelo total después de la finalización 15 20 25 30 T', fs Figura 4: Población del estado 3 en función del tiempo irreversible de desfase T ′ para ( v) = 104 fs2 calculado por Eq.(33) (línea sólida con círculos) y solución numérica de Eqs.5) a 8) (línea bañada con cuadrados). n3, ausencia de relajación, n3(T ′ → فارسى). Otros parámetros son idénticos a los de la figura 1. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 "( ) (x10) Figura 5: Poblaciones de estados electrónicos después de la finalización de la acción del pulso como funciones de (') en un sistema de tres Estados. La frecuencia de la transición puramente electrónica 3 → 2,?el32, Disminuye en 12a /4 con la conservación de x3 = 0. Cálculos sin decaimiento de la parte superior estado 3 en el estado 2: n1 (línea punteada), n2 (línea sólida), n3 (línea punteada). Los correspondientes las poblaciones en el modelo con decaimiento rápido 3 → 2 32 = 10 ps−1 se muestran por las mismas líneas con círculos huecos. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 "( ) (x10) Figura 6: Poblaciones de estados electrónicos después de la finalización de la acción del pulso como funciones de (') en un sistema de tres Estados. Equilibrio posición del estado 3 se compensa a la derecha por x3 = x2/2 y hacia abajo para que las frecuencias de Franck-Condon transiciones 1 → 2 y 2 → 3 son Equivalente: +21 = +32. Cálculos sin decaimiento del estado superior 3 en el estado 2: n1 (puntos línea), n2 (línea sólida), n3 (línea de calado). Las poblaciones correspondientes en el modelo con rápido decaimiento 3 → 2 32 = 10 ps−1 se muestran por las mismas líneas con círculos huecos. de la acción del pulso como funciones de (v) para los mismos valores de parámetros que para la Fig.1 con la única diferencia relativa a la posición del Estado 3. La frecuencia de la información puramente electrónica transición 3 → 2 El32 disminuye en 12a /4 con la conservación de x3 = 0 para la Fig. 5. Equilib... posición del rio del estado 3 se compensa a la derecha por x3 = x2/2 y hacia abajo de modo que las frecuencias de Las transiciones de Franck-Condon 1 → 2 y 2 → 3 son iguales: +21 = +32 para la Fig. 6. Uno puede ver a partir de las Figs.1, 5 y 6, primero, que la población n1 y, como consecuencia, n2+n3 dependen sólo ligeramente de la aparición de la desintegración rápida 3 → 2. En segundo lugar, las poblaciones n2 y n3 en ausencia de una rápida decadencia 3 → 2 son muy sensibles a la violación del dos-fotón condición de resonancia. Sin embargo, un comportamiento de n2, cuando la desintegración rápida 3 → 2 ocurre, y n1 Las funciones de (') son muy similares para las cifras en discusión, sin regateo de las dos. afección por resonancia fotónica. Las mediciones experimentales suelen corresponder a n2 y se llevan a cabo en las condiciones de desintegración rápida 3 → 2. Así el comportamiento de n2 para la desintegración rápida 3 → 2 se muestra en las Figs.1, 5 y 6 es bastante versátil. 5 Traslado de población en presencia de dos excitón procesos. Excitación selectiva de uno y dos... estados excitónicos con pulsos quirped Considere un dímero de cromoforos cada uno con dos estados electrónicos descritos por el Frenkel exciton Hamiltonian [54, 55, 56] y excitado con el campo electromagnético Eq.(2). El Hamil... toniano del dímero es dado por m=1,2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * mBm + ~J(B 1 B2 + B 2 B1) +Hbath +Heb − m=1,2 Dm ·E(t)(B+m +Bm) (35) donde B+m = m0 (Bm = 0m) son operadores de creación de exciton (aniquilación) asociados con el cromoforo m, que cumple las normas de conmutación [Bn, B m] = nm(1−2B+mBm), El nombre del delta Kroenecker es el estado de la tierra y el estado correspondiente. a la excitación de cromoforo m, respectivamente. Dm es el momento dipolo de transición de molécula m, Hbath representa un baño y Heb su acoplamiento con el sistema de exciton. Nosotros asumir que el baño es armónico y que el acoplamiento es lineal en las coordenadas nucleares Heb = mBn (36) donde αmn representa coordenadas de baño colectivo. 1(2) y ~J son la energía de exciton de 1 (2) cromoforo y su energía de acoplamiento en la coordenada nuclear de equilibrio de la estado electrónico de tierra. Uno puede considerar αmn como diagonal: αmn = αmlnm en la suposición que la amplitud de fluctuación constante del acoplamiento electrónico es insignificantemente menor que la del emplazamiento amplitud de fluctuación energética [55]. Diagonalización del Hamiltoniano electrónico m=1,2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * mBm + ~J(B 1 B2 + B 2 B1) (37) por transformación unitaria [57] U−1 = cos ♥ sin ♥ - el pecado - porque - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado donde = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = = = 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1 − 2 , 0 <  < η/2, (39) uno puede obtener los estados propios para los estados de una excitón ei y los momentos de dipolo de transición Dei (i = 1, 2) correspondiente a las transiciones entre el suelo y los estados de excitón único = U−1 A1 cos فارسى + A2 sin ♥ −Pecado A1 فارسى + A2 cos Aquí aei = eiÃ3n, Dei y Ai = B+i 0Ã3n, Di; D1 y D2 son los momentos de transición del sitio. Los dos energías de un excitón son dadas por e1 = 1 cos 2 فارسى + 2 pecado 2................................................................................................................................................................ e2 = 1 pecado 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) (+) 2 (+) (+) 2 (+) (+) 2 (+ 2 (+) (+) 2 (+) (+) 2 (+ 2 (+) 2 (+) 2 (+) (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) # 2 # # J pecado 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # # 2 # # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # # 2 # # Sin # 2 # # # 2 # # 2 # 2 # # 2 # 2 # 2 # 2 # # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # # 2 # 2 # 2 # # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # # # 2 # # # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # La función de onda de estado de dos excitones y su energía son como sigue e3 = B+1 B+2 0 B+e3 0 (42) e3 = 1 + 2 (43) Se dan los momentos de transición del dipolo entre los estados de un excitón y dos excitón De1e3 = D1 sin Sin embargo, no se permite la transición entre el terreno y los dos estados excitónicos. En la representación del propio Estado, el Hamiltoniano de Eq.(35) se reescriba como i=1,2,3 ~ (ei − αei) ~ B+eiBei ~ i,j=1,2 i 6=j αeiejB Bej + Hbath− i=1,2 [Dei(B +Bei) +Deie3(B Be3 + B Bei)] · E(t) (45) Aquí la interacción con el baño es dada por αe1 αe1e2 αe2e1 αe2 = U−1HebU = ~ α1 cos 2 Pecado de 2oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 2 1.................................................................................................................................... (α2 − α1) sin 2 (α2 − α1) se debe a que α1 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α1 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α1 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α1 se debe a que se debe a que α2 se debe a que se debe a que α2 se debe a que α1 se debe a que α2 se debe a que α1 se debe a que se debe a que α1 se debe a que se debe a que α2 se debe a que se debe a que α2 se debe a que se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que se debe a que se debe a que se debe a que α2 αe3 = α1 + α2, (47) para los estados de un excitón y dos excitón, respectivamente. Eqs.(46) y (47) definen la partes fluctuantes de las frecuencias de transición de un excitón y dos estados de excitón. Considere varias funciones de correlación. Asumiendo que los baños actuando en diferentes cro... los mophores no están relacionados m(t)αn(0) = 0 para m 6= n (48) y que las funciones de correlación de fluctuación de energía del sitio son idénticas para los dos monómeros [55, 56], tenemos e1(t)αe1(0)® = e2(t)αe2(0)® = 2K(t)(cos4 e3(t)αe3(0) = 22K(t) (49) donde K(t) = 21(t)α1(0) = 22(t)α2(0) 2(t)(0). Cálculos adicionales simplificar considerablemente si la parte no diagonal de la interacción con el baño en el exciton representación αe1e2 = αe2e1 en Eq.(46) puede ser descuidado. Esta aproximación se discute en Refs.[55, 58]. La función de correlación K(t) se puede representar como la transformación de Fourier del poder espectro Φ(­) de 1(= 2) [59] K(t) = d() exp(iüt) donde Φ() = Φ() exp() (50) Usando Eq.(50), las partes reales e imaginarias de K(t) = K ′(t) + iK ′′(t) pueden escribirse como K ′(t) = d()[1 + exp()] K ′′(t) = d()[1− exp()] En el límite de alta temperatura uno consigue K ′(t) = 2 d() co r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r K ′′(t) = # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. donde K(0) = K ′(0) = 2 d() = ~22 = Stβ -1; -2 y -St son un segundo cen- momento tral y el cambio de Stokes de la absorción de equilibrio y espectros de luminiscencia, respectivamente, para cada monómero. Similar a Sec.2, vamos a considerar = −u/~ como una variable estocástica gaussiana con el función de correlación correspondiente a la Gaussian-Markovian proceso. En este caso los operadores de Fokker-Planck para el estado excitado de cada monómero el siguiente formulario Lm =  + (x− xm) donde x = q β = / 2 es una coordenada generalizada adimensional. Teniendo en cuenta Eqs.(49), los operadores Fokker-Planck para los estados independientes já = 0,eiá del exciton Hamil- toniano puede ser escrito por Eq.(9) donde x0 = 0, xe1 = xe2 = xm(cos 4 sin4) y xe3 = 2xm. Las frecuencias de transición correspondientes en la coordinación nuclear de equilibrio del suelo el estado electrónico está definido por Eqs.41) y 43). Considerar un complejo homodímero que consiste en moléculas idénticas con 1 = 2 y D1 = D2 D. Para este caso, usando Eqs.(39), (40), (41), (43) y (44), se obtiene -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 "( ) (x104 fs2) Figura 7: Poblaciones del suelo (línea punteada), una (línea sólida) y dos excitón (dashed) línea) estados de un complejo homodímero después de la terminación de la acción del pulso como funciones de Φ"( v) para J = −300 cm−1 (J < 0 - J-agregado), Q′ = 2,9, tp0 = 10 fs, Los relajación parcial y los modelos totales - líneas con y sin círculos huecos, respectivamente. e1,2 = ~( J), e3 = 2 (52) De1 = De1e3 = 2D, De2 = De2e3 = 0 Por lo tanto, tenemos que considerar sólo tres estados: 0, e1 y e3, ya que el estado e2 no está excitado con luz. Dejo 1, 2 y 3 representan 0, e1 y e3, respectivamente, llegamos a un sistema de tres estados considerado anteriormente en el que el valor 21 = + J, el valor 31 = 2, el valor D21 = D32 = x1 = 0, x2 = xm, x3 = 2xm. Fig.7 muestra poblaciones de estados de una y dos excitones después de la excitación con una Pulso chirped, Eqs.(15) y (16), como funciones del Tribunal de Primera Instancia. Aquí la resonancia de un fotón para Franck-Condon transición 1 → 2 se produce en el pulso máximo, es decir, * = 21 = + J, y el cambio de Stokes de los espectros de absorción de equilibrio y luminiscencia para cada monómero es igual a monst = 400 cm −1. Fig.7 también contrasta los cálculos utilizando el modelo total (líneas sin círculos huecos) con los del modelo de relajación parcial cuando sólo matriz diagonal los elementos de la matriz de densidad son objeto de difusión (líneas con círculos huecos). La figura 7 muestra un buen acuerdo entre los resultados de cálculo para ambos modelos. Además, se puede ver la fuerte supresión de la población del estado de dos excitones para Excitación de pulso (NC) resonada negativamente. De hecho, uno puede suprimir o mejorar procesos de dos exciton usando pulsos positivos o NC. Nuestros cálculos (véase el cuadro siguiente) muestran beneficios dobles de la excitación del pulso NC ( = −104 fs2) con respecto a la transformación limitada pulso ( = 0) de la misma duración (tp = 71 fs) y energía sintonizada a una transición de excitón: el traslado de la población al estado de excitón único es mayor, y que al estado de dos excitón es más pequeño. Poblaciones después de la terminación de la acción del pulso Transformación limitada pulso ( = 0, tp = 71fs) Pulso NC ( = −104fs2, tp = 71fs) n2 0,317 0,573 n3 0,208 0,057 Es digno de notar buenas propiedades selectivas de los pulsos quirped, teniendo en cuenta fuerte Transiciones de Franck-Condon superpuestas 1 → 2, â € ¢21, y 2 → 3, â € TM 32. Realmente, el correspondiente las frecuencias difieren entre 32° y 21° = 2° J − 34° st para el modelo considerado que para los valores de parámetros utilizados. Por otra parte, el ancho de banda del espectro de absorción a la mitad máximo para la transición 2 → 3 llega a = 2 2 ln 232s 1024 cm-1 que sea más grande que 32 − 21 °. Aquí está el número 232 = ()−1~23. la contribución de la vibración LF a un segundo momento central de un espectro de absorción para transición 2 → 3 y 23a = ()−1(x3 − x2)2 = 94o st es el correspondiente cambio de Stokes. Esta cuestión puede ser comprensible desde el punto de vista de la competencia entre secuenciales y secuenciales. rutas directas en una transición de dos fotones [36]. Considere un sistema de escalera atómica de tres niveles en ausencia de relajación con frecuencias de transición estrechas......................................................................................................................................................................................................................................................... asociado con la excitación de una excitón y frecuencia 31- con la excitación de dos excitón. El sistema se ve afectado por un pulso modulado de una fase de frecuencia portadora, Eqs.2), (15) y (16). En el Apéndice hemos calculado la amplitud de estado excitado a3 debido a dos fotones transición 1 → 3 que implica un nivel intermedio casi resonante 2 para este sistema. Amplitud a3 = aTP + aS consta de dos contribuciones. La primera aTP corresponde exactamente a la de la transición no resonante de dos fotones. Esta contribución aTP 1/(), y es pequeña para pulsos fuertemente gorjeados [52] 2() 2p0 (53) Este resultado tiene un claro significado físico. El punto es que la estructura de fase (chirp) de la el pulso determina el orden temporal de sus diferentes componentes de frecuencia. Por un fuerte pulso agudo cuando una duración del pulso es mucho mayor que la de la transformación correspondiente- Limitado uno, uno puede atribuir a diferentes instantes de tiempo las frecuencias correspondientes [52]. De hecho, en el caso que se examina diferentes componentes de frecuencia de la campo se determinan a través de los valores de la frecuencia de pulso instantánea (t) para diferentes instantes del tiempo. Por lo tanto, sólo una pequeña parte de todo el espectro del pulso excita directamente los dos- Resonancia fotónica. La segunda contribución corresponde a [36] aS = − D32D21η E/C.12/2001/SR.41 donde E() es la transformación de Fourier de los componentes de frecuencia positiva del campo ampli- tude E (t) exp[iŁi (t)]. La consideración del Apéndice nos permite ampliar los resultados de Ref.[36] a una detonación de dos fotónes no ceros ­2 = ­31 − 2­6 = 0. Eq.(54) describe una secuencia proceso, cuya contribución es una función escalonada. Este proceso se puede suprimir cuando las frecuencias de pulso llegan en orden contra-intuitivo (-32 antes de -21) que se produce en nuestras simulaciones de un agregado J para excitación NC. Fig.7 y la tabla de arriba muestran que el propiedades selectivas de pulsos quirped en discusión se conservan en campo fuerte excita- sión y para transiciones amplias. La excitación selectiva de estados individuales y de dos excitones puede ser utilizado para la preparación de los estados iniciales para la espectroscopia no lineal basada en la formación del pulso [60, 61]. 6 Fuerte interacción y STIRAP El sistema de tres estados bajo discusión nos permite considerar STIRAP también. STIRAP en Las moléculas en solución se estudiaron en Refs.[29], cuando las fluctuaciones del disolvente estaban representadas como un proceso aleatorio gaussiano, y en Ref.[30], donde el acoplamiento sistema-baño fue llevado a ser débil en el sentido de que los tiempos de relajación eran largos en comparación con la correlación del baño tiempo, C.A. Se mostraron campos intensos en Ref.[30] para frenar efectivamente el desfase cuando el la distancia energética entre los estados vestidos (adiabatic) supera el 1 / / c. El punto de la última papel es que en contraste con los estados desvestidos habituales, que se cruzan, el vestido (diabatico) los estados no se cruzan. Por lo tanto, la densidad espectral del ruido inducido por la relajación, que tiene un máximo a cero frecuencia, disminuye fuertemente para las frecuencias correspondientes a la brecha inducida por la luz entre los estados vestidos, resultando en suprimir el desfase puro entre los estados vestidos. En esta sección mostramos que esta conclusión también se aplica a los La relajación markoviana cuando la interacción sistema-baño no es débil y, por lo tanto, no puede se caracterizará sólo por lc. En la aproximación de onda giratoria las ecuaciones de Schrödinger para STIRAP en la configuración puede ser escrito de la siguiente manera: U ′1 1/2 0 1/2 U2 2/2 0 2/2 U ′3 donde U ′1 = U1 + 1 y U 3 = U3 + 2 son “replicaciones fotónicas” de parabólico eficaz potenciales U1(x) y U3(x) (Eq.10), respectivamente. Consideramos la resonancia de dos fotones afección cuando •1 − •2 = (E3 −E1)/~ y x1 = x3 = 0 que parecería razonable cuando 1 y 3 son diferentes niveles vibracionales del mismo estado electrónico. Luego U ′1 = U ′3. Los estados adiabáticos Uad correspondientes a Eq.(55) se puede encontrar por ecuación U ′1 − Uad 1/2 0 1/2 U2 − Uad 2/2 0 2/2 U ′3 − Uad Esto da los siguientes estados adiabáticos Uad0 = U 1 = U Uad± = (U2 + U (U2 − U ′1)2 + ~2( Se puede ver que U inicial ′1 y U final 3 estados diabáticos coinciden con uno de los estados adiabatis Uad0. Para una interacción fuerte la última estará bien separada de otros estados adiabáticos U ± debido para evitar cruzar. Por lo tanto, durante STIRAP el sistema permanecerá en la misma adiabática estado Uad0, que es U 1 para t = + + y U ′3 para t = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Su evolución debido a la relajación estimulado por las vibraciones LF puede ser descrito por el operador Fokker-Planck correspondiente Lad0 = L1,3 = + x describiendo la difusión en el potencial adiabático Uad0 = U 1 = U Esto significa que durante la transición 1 → 3 el movimiento del sistema a lo largo de una coordenada generalizada x no cambia. En otras palabras, tal transición no será acompañada de pura Defasing. Esta conclusión es una generalización del resultado anterior [30] en relación con la desaceleración abajo el desfase en campos fuertes, que se obtuvo para la interacción débil sistema-baño, a la relajación no-Markoviana. 7 Conclusión En este trabajo hemos estudiado la influencia de la ESA y de los procesos de dos excitones sobre una transferencia de población con pulsos quirped ultracortos intensos en sistemas moleculares en solución. Se ha desarrollado un tratamiento unificado de la ARP en estos sistemas utilizando un elec de tres estados. sistema trónico con relajación tratado como una difusión en superficies de energía potencial electrónica. Creemos que un modelo tan simple describe correctamente los principales procesos de relajación relacionados a movimientos excesivamente dañados que ocurren en grandes moléculas en soluciones. Nuestros cálculos muestran que incluso con la relajación rápida de un estado singlet más alto Sn (n > 1) volver a S1, ESA tiene un profundo efecto en la transferencia de población coherente en moléculas complejas que requiere una interpretación más precisa de los datos experimentales correspondientes. In la ausencia de relajación Sn → S1, la población del estado 3, n3, disminuye fuertemente cuando la tasa de chirp en el dominio de frecuencia aumenta. Con el fin de apreciar la mecanismo para tal comportamiento, una aproximación al modelo total - el modelo libre de relajación - se invocó. Una comparación entre el comportamiento del modelo total y el de la relajación-libre modelo ha demostrado que la relajación es responsable de la fuerte disminución de n3 en función de A pesar de cumplir los criterios adiabáticos para ambas transiciones 1 → 2 y 2 → 3 por separado. Por este medio, los criterios habituales de ARP en un sistema de dos estados deben revisarse para un sistema de tres estados sistema. Para aclarar esta cuestión, hemos desarrollado un modelo simple y físicamente claro para ARP con un pulso quirped lineal en moléculas con tres estados electrónicos en solución. La relajación se tuvieron en cuenta los efectos en el marco de los cálculos de las ZL, situándose en un tercer nivel generalizado para el cruce aleatorio de niveles. El modelo nos ha permitido obtener un sencillo fórmula para n3, Eq.(33), que está en excelente acuerdo con los cálculos numéricos. In Además, el modelo nos da un criterio adicional para la transferencia coherente de la población a aquellos que han obtenido anteriormente para un sistema de dos Estados [27]. Nuevo criterio, Eq.(34), implica conservación del “contramovimiento” de las “repeticiones fotónicas” de los estados 1 y 3, a pesar del azar cruce de niveles. Además, también aplicamos nuestro modelo a un dímero molecular que consiste en dos niveles Cromóforos. Una fuerte supresión de la población de dos estados excitón para la excitación del pulso NC de un agregado J se ha demostrado. Hemos demostrado que uno puede suprimir o mejorar procesos de dos exciton usando pulsos positivos o NC. De hecho, un método para Se ha propuesto el control cuántico de dos estados excitónicos. Nuestros cálculos son buenos. propiedades selectivas de los pulsos quirped a pesar de fuertes transiciones superpuestas relacionadas con el Excitación de estados de uno y dos excitones. A la luz de los límites [43, 44] impuestos a Eqs.(6) y (8) para los elementos no diagonales de la matriz de densidad para el modelo total, se utilizó una aproximación semiclásica (Lax) (Eq.(14) (modelo de relajación parcial). Este último ofrece una ventaja particular sobre el modelo total. El punto es que el modelo de relajación parcial puede derivarse no asumiendo la eliminación adiabática estándar del impulso para la matriz de densidad no diagonal, que es incorrecto en el límite de “modulación lenta” [42]. Un buen acuerdo entre calcu- Los resultados de la ración para la relajación parcial y los modelos totales en el límite de modulación lenta (véanse las Figs.2 y 7) muestra que una forma específica del término de relajación en las ecuaciones para Los elementos no diagonales de la matriz de densidad 12(x, t) y 23(x, t) no son importantes. Por esto los límites impuestos a la última ecuación [43, 44] no son de importancia práctica para el problema que se está considerando en el límite de modulación lenta. Esta cuestión puede explicarse como sigue. Nuestras simulaciones anteriores [26] muestran que a pesar de un comportamiento bastante diferente de la Coherencias (elementos de la matriz de densidad no diagonal) para la relajación parcial y el total los modelos, sus paquetes de onda de la población se comportan muy parecidos. Ya que estamos interesados en las poblaciones de los estados electrónicos nj = (x, t) dx solamente, que son integrales de Las diferencias entre los dos modelos en discusión son mínimas. En conclusión, también hemos demostrado ralentizar el desfase puro en STIRAP en campos fuertes cuando la interacción sistema-baño no es débil (relajación no-Markoviana). Agradecimientos Esta labor contó con el apoyo del Ministerio de Absorción de Israel. Apéndice Considere la posibilidad de un sistema de tres niveles E1 < E2 < E3 con frecuencias de transición cercanas.................................................................................................................................................................................................................................................. •32 donde •21 puede asociarse con una excitación y frecuencia de una excitón •31 - con Excitación de dos excitación. El sistema se ve afectado por una fase modulada pulso del portador frecuencia de la inyección, Eq.(2). La amplitud de estado excitado para una transición de dos fotones nivel intermedio casi resonante, se puede escribir como [62, 36] a3 = − D32D21 E(+21) E(+32) + E(l+)E(l+)E(l++) (21 − ) donde E() es la transformación de Fourier de los componentes de frecuencia positiva del campo am- plitud E (t) exp[i Detonación de dos fotones. Para excitación quirped lineal, Eqs.(15) y (16), E() es dada por E() = ηE0­p0 exp (58) Usando Eq.(58) e introducir una nueva variable z = Ł2/2, Eq.(57) puede escribirse como a3 = − D32D21η 2 (E0-p0)2 {exp[−1 (l+2 + (l+2 −)2)(l+2p0/2− i(l+)) + exp[− l22(l) p0/2− i())] exp[−z2(­2p0/2­i(­))] z - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) } (59) donde فارسى = 21 es una detonación de un fotón. La integral en el lado derecho de Eq.(59) puede ser evaluados para pulsos fuertemente quirped [52], Eq.(53), cuando la duración del pulso es mucho mayor que la de la transformada-limitada correspondiente. En este caso dos rangos de frecuencia dan las principales contribuciones a la integral. El primero resulta del método de fase estacionaria [63], y se localiza cerca de la resonancia de dos fotones z = • • • 31/2 = 0 en el rango pequeño 1/ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * En este caso sólo una pequeña parte 1/ () de todo el pulso espectro pulse = 4/el p0 excita directamente la resonancia de dos fotones, y la correspondiente Contribución* 1/ () es pequeño debido a Eq.(53). La segunda contribución a la integral se encuentra cerca de z = 2/2 y se debe a la polo en los ejes reales. Esta contribución la aporta Eq.(54) de Sec.5. Bibliografía [1] Ruhman, S.; Kosloff, R. J. Opt. Soc. Soy. B 1990, 7 (8), 1748. [2] Krause, J. L.; Whitnel, R. M.; Wilson, K. R.; Yan, Y. J.; Mukamel, S. J. Chem. Phys. 1993, 99 (9), 6562–6578. [3] Kohler, B.; Yakovlev, V. V.; Che, J.; Krause, J. L.; Messina, M.; Wilson, K. R.; Schwentner, N.; Whitnel, R. M.; Yan, Y. J. Phys. Rev. Lett. 1995, 74, 3360. [4] Melinger, J. S.; Hariharan, A.; Gandhi, S. R.; Warren, W. S. J. Chem. Phys. 1991, 95, 2210. [5] Bardeen, C. J.; Wang, Q.; Shank, C. V. Phys. Rev. Lett. 1995, 75, 3410. [6] Garraway, B. M.; Suonen, K.-A. Rep. Prog. Phys. 1995, 58, 365–419. [7] Nibbering, E. T. J.; Wiersma, D. A.; Duppen, K. Phys. Rev. Lett. 1992, 68, 514. [8] Duppen, K.; de Haan, F.; Nibbering, E. T. J.; Wiersma, D. A. Phys. Rev. A 1993, 47 (6), 5120–5137. [9] Sterling, M.; Zadoyan, R.; Apkarian, V. A. J. Chem. 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Excitación selectiva de estados individuales y de dos excitón con pulsos quirped Fuerte interacción y STIRAP Conclusión

La influencia de la absorción de estado excitado (ESA) y de los procesos de dos excitón sobre una transferencia de población coherente con pulsos quirped ultracortos intensos en se han estudiado sistemas moleculares en solución. Un tratamiento unificado de adiabático de paso rápido (ARP) en estos sistemas se ha desarrollado utilizando un sistema electrónico de tres estados con relajación tratado como una difusión en superficies de energía potencial electrónica. Hemos demostrado que la ESA tiene un profundo efecto en la transferencia coherente de la población en las grandes moléculas que una interpretación más precisa de los datos experimentales. Un simple y físico modelo claro para ARP en moléculas con tres estados electrónicos en solución ha se ha desarrollado ampliando los cálculos de Landau-Zener poniendo en nivel a cruzar al azar de los niveles. Un método para el control cuántico de dos excitón se han propuesto estados en complejos moleculares.

Introducción. La posibilidad del control óptico de la dinámica molecular utilizando pulsos correctamente adaptados ha sido objeto de estudios intensivos en los últimos años [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11] 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23]. Pulsos retorcidos pueden excitar selectivamente coherente movimiento de paquetes de onda ya sea en la superficie de energía potencial electrónica de una molécula o en la superficie de energía potencial electrónica excitada debido al proceso de bomba-bomba intrapulso [1, 5, 11, 12]. Además, son muy eficientes para lograr la transferencia óptica de población entre estados moleculares electrónicos. Se puede lograr la inversión total de la población electrónica uso de interacciones coherentes de la luz-materia como el paso rápido adiabático (ARP) en un dos- o tres- sistema de estado [24, 25], que se basa en barrer la frecuencia del pulso a través de una resonancia. Dado que la inmensa mayoría de las reacciones químicas se llevan a cabo en solución líquida, se estudió el paso adiabático en moléculas en solución para el sistema electrónico de dos estados (ARP) en Refs.[26, 27, 28], y para la configuración estimulada del paso adiabático Raman (STIRAP) en Refs.[29, 30]. Se ha mostrado en Ref.[26] que la relajación no obstaculice la coherencia transferencia de población para pulsos quirped positivos y ajuste moderado del pulso central frecuencia con respecto a la frecuencia de la transición Franck-Condon. Sin embargo, un modelo electrónico de dos estados para sistemas moleculares es de utilidad limitada. De hecho, la absorción del estado excitado (ESA) ocurre para la mayoría de moléculas orgánicas complejas [31, 23]. Incluso un dímero molecular que consiste en cromoforos de dos niveles tiene una excitación adicional estado correspondiente a la excitación de dos excitones. Un tratamiento unificado de ARP en estos sistemas. Los tems pueden ser desarrollados usando el sistema electrónico de tres estados interactuando con el depósito (el subsistemas vibratorios de una molécula (cromóforos) y un disolvente). La mayoría de las veces el AEE en moléculas orgánicas complejas corresponde a una transición de el primer estado de singlet S1 excitado a un estado de singlet más alto Sn (n > 1), que se relaja a S1 muy rápido [32, 33, 34, 31]. Por lo tanto, parecería que la AEE no influye en traslado de población S0 → S1 desde el estado de tierra S0. Sin embargo, en presencia de la AEE pulso emocionante interactúa con S0 → S1 y S1 → Sn transiciones. Es bien sabido que interacciones ópticas coherentes en transiciones ópticas adyacentes en un sistema de tres estados se afectan sensiblemente entre sí. Los ejemplos son STIRAP, lading sin inversión, coherente trampeo, transparencia inducida electromagnéticamente y otros. (Para los tratamientos de libros de texto de Estos efectos pueden verse, por ejemplo, [35]). Por lo tanto, uno esperaría un cambio apreciable de una transferencia de población S0 → S1 con pulsos quirped en presencia de estado excitado absorp- en el régimen coherente cuando la tasa de chirp en el dominio de frecuencia no es grande y, consecuentemente, el pulso es bastante corto. Nuestro objetivo es responder a las siguientes preguntas: la influencia en una transferencia coherente de la población en los sistemas moleculares en solución? ¿Qué? es el potencial de los pulsos quirped para la excitación selectiva de los estados único y dos excitón y su espectroscopia selectiva?” Además, el sistema de tres estados en discusión nos permite considerar STIRAP como Bueno. Por lo tanto, también nos preocuparemos brevemente de ralentizar el desfase puro en STIRAP en campos intensos cuando la relajación es no-Marcoviana. El esbozo del documento es el siguiente. En Sec.2 presentamos ecuaciones para la matriz de densidad de un sistema molecular de tres estados bajo la acción de pulsos moldeados cuando la interacción con un entorno disipativo se puede describir como la modulación Gaussian-Markovian (así se llama el modelo total). En la sección 3 formulamos una serie de enfoques a este modelo que nos permite, en primer lugar, aclarar la física subyacente y, en segundo lugar, entender la validez de los resultados obtenidos por el modelo total. Los efectos de la AEE sobre ARP en moléculas complejas son: considerado en la sección 4. En Sec.5 estudiamos la transferencia de población en dímeros moleculares con en función de los procesos de dos excitones. En el Sec.6 consideramos ralentizar el desfase puro sobre STIRAP en campos fuertes cuando la interacción sistema-baño no es débil (no-Markovian relajación). Resumimos nuestros resultados en Sec.7. En el Apéndice se amplían los cálculos de excitación de dos fotones de un sistema de escalera cuántica por un pulso gorjeado [36] a no cero Detonación de dos fotones. 2 Ecuaciones básicas Consideremos un sistema molecular con tres estados electrónicos n = 1, 2 y 3 en un disolvente descrito por el hamiltoniano n [En +Wn(Q)] n (1) donde E3 > E2 > E1, En es la energía del estado n,Wn(Q) es el adiabático Hamiltoniano de depósito R (subsistemas vibratorios de un sistema molecular y un disolvente que interactúa con el sistema electrónico de tres niveles considerado en el estado n). El sistema molecular se ve afectado por dos pulsos en forma de frecuencias portadoras................................................................................................................................. E(t) = i=1,2 Ei(t) + c.c. = i=1,2 ~Ei (t) exp[−iÃ3it+iŁi (t)] + c.c. 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. que son resonantes a las transiciones ópticas 1 → 2 y 2 → 3, respectivamente (configuración de ión). Aquí Ei (t) y Ei (t) describen el cambio de la amplitud del pulso y fase, respec- ticularmente, en un tiempo t. Las frecuencias de pulso instantáneas son i (t) = i − didt. Influencia de los subsistemas vibratorios de un soluto y de un disolvente en el sistema electrónico transición puede describirse como una modulación de esta transición por ciones s} [37, 38]. De acuerdo con el principio de Franck-Condon, una la posición tiene lugar en una configuración nuclear fija. Por lo tanto, por ejemplo, la cantidad u(Q) = W2(Q) −W1(Q) − •W2(Q) −W1(Q)•1 es la perturbación del movimiento nuclear bajo transición electrónica 1 → 2. Aquí TrR (...Rn) denota la operación de rastreo sobre el variables del depósito en el estado electrónico n, Rn = exp (Wn) /TrR exp (Wn), β = 1/kBT. La relajación de la transición electrónica 1 → 2 estimulado por las vibraciones de LF se describe por la función de correlación K(t) = â € ~ u(0)u(t)â € de la perturbación vibracional correspondiente con tiempo de atenuación característico Łs [12, 38]. Suponemos que kBT. Así s} es un al- la mayoría del sistema clásico y los operadores Wn se supone que son funciones estocásticas del tiempo en el Representación de Heisenberg. La cantidad u se puede considerar como un vari gaussiano estocástico Capaz. Consideramos el proceso Gaussian-Markovian cuando K(t)/K(0) S(t) = exp(t/el). El correspondiente operador de Fokker-Planck Lj = + (q − dj) q + 1 describe la difusión en el potencial parabólico efectivo Uj (q) = Ej + 2 (q − dj)2 (3) del estado electrónico j donde 1s = D El coeficiente de difusión es el 2 y el D. Ir a un di- coordenada generalizada sin mension x = q β, se puede obtener las ecuaciones para los elementos de la matriz de la densidad Łij(x, t) por la generalización de las ecuaciones de Ref.[26]. Cambio al sistema que gira con frecuencia instantánea 12(x, t) = ♥12(x, t) exp[−i(­1t− ­1(t))], 23(x, t) = ♥23(x, t) exp[−i(­2t− ­2(t))], 13(x, t) = ♥13(x, t) expi[(­1 + ­2)t− (­1(t) + ­2(t))], (4) ¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos. *11(x, t) = Im[­112(x, t)] + L1­11(x, t) ­22(x, t) = − Im[­112(x, t) + 232(x, t)] + L2­22(x, t) + 2­32­33(x, t) * 33(x, t) = − Im[­223(x, t)] + (L3­232)­33(x, t) (5) 12(x, t) = i •21 •1(t)− ()−1x2x 12(x, t) + * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (x, t) + L1212(x, t) (6) 13(x, t) = i • 31 • 1(t)− • 2(t)− ()− 1x3x 13(x, t) + 123(x, t)− 212(x, t) + (L13 − Ł32)13(x, t) (7) 23(x, t) = i 2(t)− ()−1 (x3 − x2)x 23(x, t) + 2 (t) [?33(x, t)−?22(x, t)]+ (L23) − (x, t) + (L23) + (x, t) (8) donde las frecuencias de Rabi para las transiciones 1 → 2 son las siguientes: •1 = D21E1/~ y •2 = D32E2/~ y 2 → 3, respectivamente. Aquí es la frecuencia de Franck-Condon. transición 1 → i, elij = (Ei − Ej)/~ es la frecuencia de la transición puramente electrónica j → i, Dij son elementos de matriz del operador del momento del dipolo, 2-32 es una probabilidad de no radiativo transición 3 → 2 para el problema de absorción de estado excitado (ver abajo); xj = (1jst)1/2 es un Desplazamiento adimensional entre las superficies potenciales de los estados 1 y j (x1 = 0), que está relacionado a la correspondiente transferencia de Stokes pt de los espectros de absorción de equilibrio y luminiscencia para la transición 1 → j. La última magnitud se puede escribir como 1jst = 2s donde 2s denota la contribución de la vibración LF a un segundo momento central de un espectro de absorción para transición 1 → j. Los términos Lj = + (x− xj) en el lado derecho de Eqs.5) describir la difusión en el correspondiente parabólico efectivo potencial Uj(x) = Ej + (x− xj)2 (j = 1, 2, 3), (10) Lij = (Li + Lj)/2. La matriz de densidad parcial del sistema ij (x, t) describe la distribución del sistema con un valor dado de x en el tiempo t. La matriz de densidad completa promediado sobre el proceso estocástico que modula los niveles de energía del sistema, se obtiene mediante la integración de ij (x, t) sobre el coordenadas generalizadas x: ij (t) = ij (x, t) dx (11) donde las cantidades diagonales jj (t) son nada más ni menos que las poblaciones de la Estados electrónicos: jj (t) Ł nj, n1 + n2 + n3 = 1. Resolvemos Eqs acoplados.(5)-(8), utilizando una expansión basada con funciones propias de difusión operador L13, similar a Ref. [26]. Las soluciones, correspondientes al procedimiento descrito en esta sección, se denominan modelo total para abreviar, teniendo en cuenta que tienen en cuenta todas las relajaciónes (diffu- ciones) relacionadas con las poblaciones y las coherencias electrónicas entre todos los estados electrónicos. 3 Modelos aproximados En esta sección describimos una serie de enfoques para el modelo total (Eqs.5) a 8)). 3.1 Sistema con movimiento nuclear congelado Para los pulsos mucho más cortos que los de los Łs uno puede ignorar todos los términos Li, Lij en la mano derecha lados de Eqs.(5)-(8). Esto significa que nuestro sistema puede ser descrito como un conjunto de pendent sistemas de tres niveles con diferentes frecuencias de transición correspondientes a un puro transiciones electrónicas inhomogéneas ampliadas. En este caso las ecuaciones de la matriz de densidad se puede integrar de forma independiente para cada x. Después de esto el resultado debe ser promediado sobre x. Las soluciones de las ecuaciones no amplificadas para la matriz de densidad son interesantes desde el punto de evaluación de la mayor población posible de estados excitados debido a la coherencia efectos, porque estas soluciones ignoran todas las relajaciónes irreversibles que destruyen la coherencia. Además, una comparación entre estas últimas soluciones y cálculos para el modelo total nos permite aclarar el papel de la relajación en la dependencia chirp de la transferencia de población (véase la sección 4 infra). El enfoque que se discute en esta sección se denomina “libre de relajación” modelo para abreviar. 3.2 Aproximación semiclásica (lax) Para las transiciones electrónicas amplias que satisfacen el límite de “modulación lenta”, tenemos s â € 1, donde 2s es la contribución de la vibración LF a un segundo momento central de una absorción espectro para la transición i → j. En el último caso el desfase electrónico es rápido, y uno puede utilizar una aproximación semiclásica (tiempo corto) [39]. Este límite también se conoce como el caso de Pérdidas apreciables de Stokes debido a la perturbación del sistema nuclear bajo el sistema electrónico excitación i → j (una cantidad Wj-Wi) es grande. Entonces uno puede ignorar el último término Lij ij(x, t) en el lado derecho de la ecuación correspondiente para el elemento no diagonal de la matriz de densidad [26, 40, 12, 41] que describe la relajación (difusión) de ij(x, t) (Eqs.6) y 8)). Las soluciones, que corresponden a términos que ignoran Lij ij(x, t) para amplia electrónica transitions i → j se denominan modelo de relajación parcial para corto [26]. Es digno de notar que el modelo de relajación parcial ofrece una ventaja particular sobre el modelo total. Los punto es que el primero puede derivarse no asumiendo la eliminación adiabática estándar de el impulso p para la matriz de densidad no diagonal [41], que es incorrecto en el ”lento modulación” límite [42]. Esta cuestión es muy importante a la luz de los límites impuestos a Eqs.(6) y (8) para los elementos no diagonales de la matriz de densidad [43, 44]. De hecho, en la representación de Wigner [45, 46, 47] ecuación para 12 se puede escribir en el marco giratorio como (véase Eq.6)) W12(q, p, t) = i[(U2 (q)− U1 (q))/ 1(t)]W12(q, p, t)− 2W13(q, p, t)+ 1 [lFP12W12(q, p, t)) (12) Eq.(12) se ha derivado de potenciales armónicos, Eq.(3), por generalización de ecuaciones de Refs.[48, 49, 42, 41] LFP12 = −p + γp+ (U1 (q) + U2 (q)) es el operador Fokker-Planck para el oscilador browniano con constante de atenuación En el caso de pérdidas apreciables de Stokes cuando la perturbación del sistema nuclear bajo excitación electrónica 1 → 2 (una cantidad (U2 (q)-U1 (q))/el21) es grande, la cantidad W12(q, p, t) oscila rápidamente debido al primer término en el lado derecho de Eq.(12) (véase también Ref.[42]). Por lo tanto, a la primera aproximación, en puede descuidar los cambios de W12(q, p, t) debido al último término a la derecha de Eq.(12). Descuidar este término, integrar ambos lado de Eq.(12) sobre el impulso, y teniendo en cuenta que ij(q, t) = Wij(q, p, t)dp (13) y x = q β, tenemos 12(x, t) = i[211(t)−()−1x2x]12(x, t)+ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (x, t) (14) Eso no es nada más ni menos Eq.(6) sin el último término L1212(x, t) a la derecha Side. De hecho, una derivación de Eq.(14) no implica la suposición de que el el impulso se corresponde instantáneamente. Lo mismo se puede hacer con Eq.(8) para 23. 4 Transferencia de población adiabática en presencia de absorción del estado Estudiaremos los efectos de la AEE sobre la ARP en moléculas complejas mediante el ejemplo de la coumarina 153 en solución líquida [31]. En el dominio de frecuencia, el campo eléctrico se puede escribir como E() exp[iΦ()] y el término de fase Φ() se puede ampliar en una serie Taylor Φ() = Φ(­) + (1/2)(­)(­)2 +... Vamos a considerar los pulsos quirped lineales de la forma E(t) = E0 exp[− • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • cuando los parámetros  y μ se determinen mediante las fórmulas [11, 12]: 2 p0 + [2 (­) /­p0] 21, μ = −4 () 4p0 + 4Φ ′′2 () , (16) p0 = tp0/ 2 ln 2, tp0 es la duración del pulso del pulso limitado de transformación correspondiente. Fig.1 muestra poblaciones de estados electrónicos después de la finalización de la acción de pulso como funciones -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 "( ) (x10) Figura 1: Poblaciones de estados electrónicos después de la finalización de la acción del pulso como funciones de (') en un sistema de tres Estados. Cálculos sin decaimiento del estado superior 3 en estado 2: n1 (línea de puntos), n2 (línea sólida), n3 (línea de puntos). Línea con círculos huecos - n2 en el modelo con decaimiento rápido 3 → 2 32=10 ps−1. Para la comparación también mostramos n2 para un dos-estado sistema (línea con cuadrados). Modelo de relajación total con difusión de todos los elementos de la matriz. de la tasa de chirp en el dominio de frecuencia ( v) = 4 Para la molécula bajo consideración una resonancia de dos fotones ocurre en la frecuencia doble de la Franck-Condon transición 1 → 2. El espectro de absorción correspondiente a la transición 1 → 3 es bastante estrecho eso significa x3 = 0. Los valores de los parámetros para la figura 1 fueron los siguientes: la duración del pulso del pulso limitado a la transformación (no entorchado) tp0 = 10 fs, st = 2686 cm −1, D12 = D32 = 6 D [31], فارسىs = 70 fs, el parámetro de saturación, que es proporcional a la energía del pulso [26], Q′ D12Emax2tp/(2~2 2,122s ) = 5; la resonancia de un fotón para Franck-Condon transición 1 → 2 ocurre al máximo del pulso, es decir. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Fig.2 contrasta los cálculos utilizando el modelo total (Fig.1) con los de la relajación parcial- modelo de la formación. Este último incluye tanto la difusión de todos los elementos diagonales de la densidad matriz y un elemento off-diagonal?13. El punto es que la transición 1 → 3 ocurre con cambiar el estado de los subsistemas vibratorios de una molécula y un disolvente, y por lo tanto -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 "( ) (x10) Figura 2: Poblaciones de estados electrónicos n1 (líneas punteadas), n2 (líneas sólidas) y n3 (abastecidas) líneas) después de la finalización de la acción de pulso calculada sin decaimiento del estado superior 3 en el estado 2 como funciones de ( v). La relajación parcial y los modelos totales - líneas con y sin círculos huecos, respectivamente. Todos los parámetros son idénticos a los de la Fig.1. no se puede describir en una aproximación semiclásica (tiempo corto). La figura 2 muestra una buena acuerdo entre los resultados de cálculo de los modelos considerados. Uno puede ver a partir de la Fig.1, primero, que la población n2 para una molécula con una desintegración rápida 3 → 2, que se parece mucho a los datos experimentales [11] para LD6901, es claramente diferente de la de un sistema de dos estados para ( v) < 15 · 103 fs2 cuando el pulso excitado es bastante corto. Esto significa que la absorción excitada del estado tiene un profundo efecto en la transferencia coherente de la población en moléculas complejas. En segundo lugar, n3 disminuye fuertemente cuando aumenta ( v). Para entender estos resultados, vamos a considerar dos primeras transiciones por separado. Uno puede obtener el siguiente criterio para la adiabaticidad de una transición en ausencia de ión: Q′ >> 1 donde Q′ es el parámetro de saturación. Se ajusta al valor de Q′ = 5 usado en nuestros cálculos. La condición Q′ >> 1 sigue del criterio adiabático para un sistema de dos niveles: 1 Según Ref.[23], LD690 muestra ESA. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ”( x104 fs2) Figura 3: Poblaciones de estados electrónicos n1 (línea de puntos), n2 (línea sólida), n3 (línea de puntos) y n2 + n3 (línea con círculos huecos) después de la finalización de la acción del pulso como funciones de ( v) para el modelo libre de la relajación. Otros parámetros son idénticos a los de Fig.1. En el caso considerado, la población combinada n2 + n3 no depende de El Tribunal de Primera Instancia decidió: d-(t) 1,2(t)2 (17) donde las frecuencias de Rabi para las transiciones 1 → 2 y 2 → 3, respectivamente. Criterio adiabático Eq.(17) se cumplió en nuestras simulaciones para ambas transiciones 1 → 2 y 2 → 3 en cualquier ( v). Sin embargo, la Fig.1 muestra que n3 disminuye fuertemente cuando ( v) aumenta. Para aclarar las razones de fuerte disminución n3 es instructivo llevar fuera de los cálculos correspondientes para el modelo libre de relajación de la sección 3.1 que se muestran en la figura.3. En este caso la excitación del estado 3 con un pulso limitado a la transformación es ligeramente más eficaz como comparado con un pulso fuertemente gorjeado de la misma energía. El punto es que un dos-fotón resonancia ocurre para una serie de componentes espectrales de un pulso limitado a la transformación y sólo al máximo de un pulso fuertemente gorjeado. Sin embargo, la Fig.3 no muestra una fuerte disminución la población del Estado 3 cuando aumenta. Esto significa que la relajación es responsable para una fuerte disminución de n3 en función de Φ ′′(l) a pesar del hecho de que la relajación no destruir ARP cuando las frecuencias Rabi superan el tiempo de desfase irreversible recíproco (T ′)−1 [27] 1-1,2 >> 1/T ′ (18) La última condición se cumplió en nuestras simulaciones por lo menos para (v). 104 fs2. Para aclarar esta cuestión, vamos a considerar una transferencia de población entre fluctuación aleatoria niveles. 4.1 Transferencia de población entre niveles fluctuantes al azar La imagen de los niveles fluctuantes al azar [27] ofrece una explicación sencilla y físicamente clara de los resultados numéricos [26] obtenidos para el traslado de población en un sistema de dos estados. Aquí lo haremos. generalizar los cálculos de Landau-Zener (LZ) poniendo en un tercer nivel [50] al cruce aleatorio de niveles. Escribamos las ecuaciones de Schrödinger para las amplitudes de los estados a1,2,3 para el sistema que se está examinando. Cambiar a nuevas variables ãk: ak = ãk exp , (19) obtenemos en la aproximación de onda giratoria (U1 − U2)/1(t) 1/2 0 1/2 0 2/2 0 2/2 (U3 − U2)/ 2(t) A lo largo de esta sección, los potenciales parabólicos eficaces (10) se consideran funciones de Coordenada borrada α = x 12a : Uj(α) = Ej+ ~2­12a 12a [ •12a+(−1)sgn(xj) st ]}2. (U3 − U2)/ ­2(t) = [(­el32 + ­12st /2)− ­2] + α + μ2t (21) para x3 = x1 (que corresponde a Coumarin 153), y (U1 − U2)/• • 1(t) = [­1 − (­ • el21 − • 12st /2)] + μ1t, (22) para los pulsos quirped lineales siguientes: 1,2, (t) = 1,2, − μ1,2t. Definamos los cruces instantáneos del estado 2 con repeticiones fotónicas 1′ y 3′ de los estados 1 y 3, respectivamente. Están determinadas por las condiciones de las cantidades Eqs.(21) y (22) son iguales a cero: α12(t) = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • α23(t) = ­2 − (­el32 + ­12st /2)­ μ2t ­ α23(0)­ μ2t Cerca de los puntos de intersección se puede considerar α como una función lineal del tiempo. Para la pequeña t, α(t)  α12(0)+ t. Dejar α12(0) = α23(0), es decir, indica 2, 1′ y 3′ cruzar en el mismo punto cuando t = 0. Esto significa El 21 de mayo + El 21 de mayo + 32 = 1 ° + 2 ° (24) i.e. la resonancia de dos fotones ocurre para t = 0. Luego Eqs.(20) adoptar la siguiente forma: ( μ1)t 1/2 0 1/2 0 2/2 0 2/2 ( + μ2)t que se puede reducir a Eqs.(2) de Ref.[50]. Uso de la solución obtenida en [50] y consid- Ring chirps idénticos cuando μ1 = μ2 • μ, obtenemos para la condición inicial a1()2 = 1, a2,3()2 = 0 a3()2 = (1− P )(1−Q) para − < < P (1− P )(1−Q) para ambos > cuando μ < 0, y < cuando μ > 0 Q(1− P)(1−Q) para < μ cuando μ < 0, y > μ cuando μ > 0 donde P = exp 4 , Q = exp 4 + Similar a Ref.[27], consideramos α como una variable estocástica gaussiana. Consecuentemente, nosotros debe promediar Eqs.(26) sobre el cruce aleatorio de los niveles descritos por el ruido aleatorio gaussiano inducido por fluctuaciones intra e intermoleculares. Se puede hacer fácilmente para un diferenciable (no-Marcoviano) proceso gaussiano [27], teniendo en cuenta una independencia de α y de el uno al otro para tales procesos. Por lo tanto, vamos a considerar en esta sección una diferenciable Ruido gaussiano, en contraposición a secciones previudas. Además, consideramos que un límite de modulación lenta cuando s >> 1. Average Eqs.(26), obtenemos lo siguiente: expresión para la población del estado 3 cuando μ > 0 ∫ P (1− P )(1−Q)f(α, )d + ∫ (1− P )(1−Q)f(α, )d Q(1 − P)(1−Q)f(α, )d] (28) Aquí f(α, ) es la densidad de probabilidad conjunta para α y su derivado : f(α, ) = 122s (−k̈(0)) 2k̈(0) , (29) k̈(0) es la segunda derivada de la función de correlación k(t) = < α(0)α(t) > de las fluctuaciones energéticas evaluadas a cero. Eq.(28) se escribe para μ > 0 (negativamente pulso chirped). Uno puede mostrar fácilmente que n3 es simétrico con respecto al signo chirp. El punto es que un modelo estocástico simple de esta sección no tiene los efectos de cualquier cromoforo en el baño, en particular el cambio dinámico de Stokes (véase Ref.[51] Para más detalles. Esto es opuesto. a los modelos de secciones anteriores, que describen el dinámico Stokes por el término de deriva (el segundo término en el lado derecho de Eq.9)). Integrando Eq.(28) con respecto a α y entrar en una variable adimensional y = / , ¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos. P (1− P )(1−Q) exp (1− P )(1−Q)] exp Q(1− P)(1−Q) exp dy] (30) donde P = exp 2y − 1 y Q = exp 2y + 1 , (31) 2 > 0, • = − k̈(0) > 0 (32) son parámetros adimensionales. Cuando criterio adiabático Eq.(17) está satisfecho, el parámetro فارسى es mucho mayor que 1 ya que d(t)/dt = para un pulso quirped lineal. A continuación, las integrales en el lado derecho de Eq.(30) puede ser evaluado por el método de Laplace, similar a Ref.[27]. El resultado es espe- cialmente simple para una interacción fuerte, Eq.(18), donde el tiempo irreversible de desfase de transi- ciones 1 → 2 y 2 → 3 se dan por [27] T ′ = 1/[−k̈(0)]1/4. Entonces, como se puede ver también desde Eqs.(30) y (31), la principal contribución a n3 es dada por dy = erf T ′2 Puesto que erf(1.5) = 0,966, obtenemos que la relajación no impide un traslado de la población a Estado 3 cuando T ′2 ≥ 2 (34) Para pulsos fuertemente quirped [52], T ′2/ 2 • 2 El Tribunal de Primera Instancia decidió, en su sentencia de 14 de julio de 2000, que la Comisión había incumplido las obligaciones que le incumben en virtud de la letra c) del apartado 1 del artículo 92 del Tratado CE. Eq.(34) expresa un criterio adicional para el traslado coherente de la población a los que tenemos obtenido antes para un sistema de dos niveles [27], Eqs.(17) y (18). Nuevo criterio (34) implica conservación del “contramovimiento” de las “repeticiones fotónicas” de los estados 1 y 3, a pesar del cruce aleatorio de niveles. La condición (34) se ejemplifica en la figura 4. Además, La figura 4 muestra un excelente acuerdo de fórmula simple (33) con cálculos numéricos. Lo siento. es digno de notar que la condición (18) se cumplió en nuestras simulaciones, aunque en el último Caso T ′ = (ls/ls) 1/3 se determina independientemente de k̈(0) [53], que no existe para el Proceso Gaussiano-Markoviano. 4.2 Influencia de la absorción en estado de excitación cuando se desafina a partir de dos- Se produce resonancia fotónica Para la coumarina 153 en solución líquida considerada por encima de una resonancia de dos fotón se produce en la frecuencia duplicada de la transición Franck-Condon 1 → 2. En esta sección consideramos poblaciones de estados electrónicos cuando se viola la condición de resonancia bifotónica. Higos. 5 y 6 muestran poblaciones de estados electrónicos para el modelo total después de la finalización 15 20 25 30 T', fs Figura 4: Población del estado 3 en función del tiempo irreversible de desfase T ′ para ( v) = 104 fs2 calculado por Eq.(33) (línea sólida con círculos) y solución numérica de Eqs.5) a 8) (línea bañada con cuadrados). n3, ausencia de relajación, n3(T ′ → فارسى). Otros parámetros son idénticos a los de la figura 1. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 "( ) (x10) Figura 5: Poblaciones de estados electrónicos después de la finalización de la acción del pulso como funciones de (') en un sistema de tres Estados. La frecuencia de la transición puramente electrónica 3 → 2,?el32, Disminuye en 12a /4 con la conservación de x3 = 0. Cálculos sin decaimiento de la parte superior estado 3 en el estado 2: n1 (línea punteada), n2 (línea sólida), n3 (línea punteada). Los correspondientes las poblaciones en el modelo con decaimiento rápido 3 → 2 32 = 10 ps−1 se muestran por las mismas líneas con círculos huecos. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 "( ) (x10) Figura 6: Poblaciones de estados electrónicos después de la finalización de la acción del pulso como funciones de (') en un sistema de tres Estados. Equilibrio posición del estado 3 se compensa a la derecha por x3 = x2/2 y hacia abajo para que las frecuencias de Franck-Condon transiciones 1 → 2 y 2 → 3 son Equivalente: +21 = +32. Cálculos sin decaimiento del estado superior 3 en el estado 2: n1 (puntos línea), n2 (línea sólida), n3 (línea de calado). Las poblaciones correspondientes en el modelo con rápido decaimiento 3 → 2 32 = 10 ps−1 se muestran por las mismas líneas con círculos huecos. de la acción del pulso como funciones de (v) para los mismos valores de parámetros que para la Fig.1 con la única diferencia relativa a la posición del Estado 3. La frecuencia de la información puramente electrónica transición 3 → 2 El32 disminuye en 12a /4 con la conservación de x3 = 0 para la Fig. 5. Equilib... posición del rio del estado 3 se compensa a la derecha por x3 = x2/2 y hacia abajo de modo que las frecuencias de Las transiciones de Franck-Condon 1 → 2 y 2 → 3 son iguales: +21 = +32 para la Fig. 6. Uno puede ver a partir de las Figs.1, 5 y 6, primero, que la población n1 y, como consecuencia, n2+n3 dependen sólo ligeramente de la aparición de la desintegración rápida 3 → 2. En segundo lugar, las poblaciones n2 y n3 en ausencia de una rápida decadencia 3 → 2 son muy sensibles a la violación del dos-fotón condición de resonancia. Sin embargo, un comportamiento de n2, cuando la desintegración rápida 3 → 2 ocurre, y n1 Las funciones de (') son muy similares para las cifras en discusión, sin regateo de las dos. afección por resonancia fotónica. Las mediciones experimentales suelen corresponder a n2 y se llevan a cabo en las condiciones de desintegración rápida 3 → 2. Así el comportamiento de n2 para la desintegración rápida 3 → 2 se muestra en las Figs.1, 5 y 6 es bastante versátil. 5 Traslado de población en presencia de dos excitón procesos. Excitación selectiva de uno y dos... estados excitónicos con pulsos quirped Considere un dímero de cromoforos cada uno con dos estados electrónicos descritos por el Frenkel exciton Hamiltonian [54, 55, 56] y excitado con el campo electromagnético Eq.(2). El Hamil... toniano del dímero es dado por m=1,2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * mBm + ~J(B 1 B2 + B 2 B1) +Hbath +Heb − m=1,2 Dm ·E(t)(B+m +Bm) (35) donde B+m = m0 (Bm = 0m) son operadores de creación de exciton (aniquilación) asociados con el cromoforo m, que cumple las normas de conmutación [Bn, B m] = nm(1−2B+mBm), El nombre del delta Kroenecker es el estado de la tierra y el estado correspondiente. a la excitación de cromoforo m, respectivamente. Dm es el momento dipolo de transición de molécula m, Hbath representa un baño y Heb su acoplamiento con el sistema de exciton. Nosotros asumir que el baño es armónico y que el acoplamiento es lineal en las coordenadas nucleares Heb = mBn (36) donde αmn representa coordenadas de baño colectivo. 1(2) y ~J son la energía de exciton de 1 (2) cromoforo y su energía de acoplamiento en la coordenada nuclear de equilibrio de la estado electrónico de tierra. Uno puede considerar αmn como diagonal: αmn = αmlnm en la suposición que la amplitud de fluctuación constante del acoplamiento electrónico es insignificantemente menor que la del emplazamiento amplitud de fluctuación energética [55]. Diagonalización del Hamiltoniano electrónico m=1,2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * mBm + ~J(B 1 B2 + B 2 B1) (37) por transformación unitaria [57] U−1 = cos ♥ sin ♥ - el pecado - porque - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado donde = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = = = 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1 − 2 , 0 <  < η/2, (39) uno puede obtener los estados propios para los estados de una excitón ei y los momentos de dipolo de transición Dei (i = 1, 2) correspondiente a las transiciones entre el suelo y los estados de excitón único = U−1 A1 cos فارسى + A2 sin ♥ −Pecado A1 فارسى + A2 cos Aquí aei = eiÃ3n, Dei y Ai = B+i 0Ã3n, Di; D1 y D2 son los momentos de transición del sitio. Los dos energías de un excitón son dadas por e1 = 1 cos 2 فارسى + 2 pecado 2................................................................................................................................................................ e2 = 1 pecado 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) (+) 2 (+) (+) 2 (+) (+) 2 (+ 2 (+) (+) 2 (+) (+) 2 (+ 2 (+) 2 (+) 2 (+) (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) 2 (+) # 2 # # J pecado 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # # 2 # # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # # 2 # # Sin # 2 # # # 2 # # 2 # 2 # # 2 # 2 # 2 # 2 # # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # # 2 # 2 # 2 # # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # # # 2 # # # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # La función de onda de estado de dos excitones y su energía son como sigue e3 = B+1 B+2 0 B+e3 0 (42) e3 = 1 + 2 (43) Se dan los momentos de transición del dipolo entre los estados de un excitón y dos excitón De1e3 = D1 sin Sin embargo, no se permite la transición entre el terreno y los dos estados excitónicos. En la representación del propio Estado, el Hamiltoniano de Eq.(35) se reescriba como i=1,2,3 ~ (ei − αei) ~ B+eiBei ~ i,j=1,2 i 6=j αeiejB Bej + Hbath− i=1,2 [Dei(B +Bei) +Deie3(B Be3 + B Bei)] · E(t) (45) Aquí la interacción con el baño es dada por αe1 αe1e2 αe2e1 αe2 = U−1HebU = ~ α1 cos 2 Pecado de 2oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 2 1.................................................................................................................................... (α2 − α1) sin 2 (α2 − α1) se debe a que α1 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α1 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α1 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que α1 se debe a que se debe a que α2 se debe a que se debe a que α2 se debe a que α1 se debe a que α2 se debe a que α1 se debe a que se debe a que α1 se debe a que se debe a que α2 se debe a que se debe a que α2 se debe a que se debe a que α2 se debe a que α2 se debe a que se debe a que se debe a que se debe a que α2 αe3 = α1 + α2, (47) para los estados de un excitón y dos excitón, respectivamente. Eqs.(46) y (47) definen la partes fluctuantes de las frecuencias de transición de un excitón y dos estados de excitón. Considere varias funciones de correlación. Asumiendo que los baños actuando en diferentes cro... los mophores no están relacionados m(t)αn(0) = 0 para m 6= n (48) y que las funciones de correlación de fluctuación de energía del sitio son idénticas para los dos monómeros [55, 56], tenemos e1(t)αe1(0)® = e2(t)αe2(0)® = 2K(t)(cos4 e3(t)αe3(0) = 22K(t) (49) donde K(t) = 21(t)α1(0) = 22(t)α2(0) 2(t)(0). Cálculos adicionales simplificar considerablemente si la parte no diagonal de la interacción con el baño en el exciton representación αe1e2 = αe2e1 en Eq.(46) puede ser descuidado. Esta aproximación se discute en Refs.[55, 58]. La función de correlación K(t) se puede representar como la transformación de Fourier del poder espectro Φ(­) de 1(= 2) [59] K(t) = d() exp(iüt) donde Φ() = Φ() exp() (50) Usando Eq.(50), las partes reales e imaginarias de K(t) = K ′(t) + iK ′′(t) pueden escribirse como K ′(t) = d()[1 + exp()] K ′′(t) = d()[1− exp()] En el límite de alta temperatura uno consigue K ′(t) = 2 d() co r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r K ′′(t) = # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. donde K(0) = K ′(0) = 2 d() = ~22 = Stβ -1; -2 y -St son un segundo cen- momento tral y el cambio de Stokes de la absorción de equilibrio y espectros de luminiscencia, respectivamente, para cada monómero. Similar a Sec.2, vamos a considerar = −u/~ como una variable estocástica gaussiana con el función de correlación correspondiente a la Gaussian-Markovian proceso. En este caso los operadores de Fokker-Planck para el estado excitado de cada monómero el siguiente formulario Lm =  + (x− xm) donde x = q β = / 2 es una coordenada generalizada adimensional. Teniendo en cuenta Eqs.(49), los operadores Fokker-Planck para los estados independientes já = 0,eiá del exciton Hamil- toniano puede ser escrito por Eq.(9) donde x0 = 0, xe1 = xe2 = xm(cos 4 sin4) y xe3 = 2xm. Las frecuencias de transición correspondientes en la coordinación nuclear de equilibrio del suelo el estado electrónico está definido por Eqs.41) y 43). Considerar un complejo homodímero que consiste en moléculas idénticas con 1 = 2 y D1 = D2 D. Para este caso, usando Eqs.(39), (40), (41), (43) y (44), se obtiene -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 "( ) (x104 fs2) Figura 7: Poblaciones del suelo (línea punteada), una (línea sólida) y dos excitón (dashed) línea) estados de un complejo homodímero después de la terminación de la acción del pulso como funciones de Φ"( v) para J = −300 cm−1 (J < 0 - J-agregado), Q′ = 2,9, tp0 = 10 fs, Los relajación parcial y los modelos totales - líneas con y sin círculos huecos, respectivamente. e1,2 = ~( J), e3 = 2 (52) De1 = De1e3 = 2D, De2 = De2e3 = 0 Por lo tanto, tenemos que considerar sólo tres estados: 0, e1 y e3, ya que el estado e2 no está excitado con luz. Dejo 1, 2 y 3 representan 0, e1 y e3, respectivamente, llegamos a un sistema de tres estados considerado anteriormente en el que el valor 21 = + J, el valor 31 = 2, el valor D21 = D32 = x1 = 0, x2 = xm, x3 = 2xm. Fig.7 muestra poblaciones de estados de una y dos excitones después de la excitación con una Pulso chirped, Eqs.(15) y (16), como funciones del Tribunal de Primera Instancia. Aquí la resonancia de un fotón para Franck-Condon transición 1 → 2 se produce en el pulso máximo, es decir, * = 21 = + J, y el cambio de Stokes de los espectros de absorción de equilibrio y luminiscencia para cada monómero es igual a monst = 400 cm −1. Fig.7 también contrasta los cálculos utilizando el modelo total (líneas sin círculos huecos) con los del modelo de relajación parcial cuando sólo matriz diagonal los elementos de la matriz de densidad son objeto de difusión (líneas con círculos huecos). La figura 7 muestra un buen acuerdo entre los resultados de cálculo para ambos modelos. Además, se puede ver la fuerte supresión de la población del estado de dos excitones para Excitación de pulso (NC) resonada negativamente. De hecho, uno puede suprimir o mejorar procesos de dos exciton usando pulsos positivos o NC. Nuestros cálculos (véase el cuadro siguiente) muestran beneficios dobles de la excitación del pulso NC ( = −104 fs2) con respecto a la transformación limitada pulso ( = 0) de la misma duración (tp = 71 fs) y energía sintonizada a una transición de excitón: el traslado de la población al estado de excitón único es mayor, y que al estado de dos excitón es más pequeño. Poblaciones después de la terminación de la acción del pulso Transformación limitada pulso ( = 0, tp = 71fs) Pulso NC ( = −104fs2, tp = 71fs) n2 0,317 0,573 n3 0,208 0,057 Es digno de notar buenas propiedades selectivas de los pulsos quirped, teniendo en cuenta fuerte Transiciones de Franck-Condon superpuestas 1 → 2, â € ¢21, y 2 → 3, â € TM 32. Realmente, el correspondiente las frecuencias difieren entre 32° y 21° = 2° J − 34° st para el modelo considerado que para los valores de parámetros utilizados. Por otra parte, el ancho de banda del espectro de absorción a la mitad máximo para la transición 2 → 3 llega a = 2 2 ln 232s 1024 cm-1 que sea más grande que 32 − 21 °. Aquí está el número 232 = ()−1~23. la contribución de la vibración LF a un segundo momento central de un espectro de absorción para transición 2 → 3 y 23a = ()−1(x3 − x2)2 = 94o st es el correspondiente cambio de Stokes. Esta cuestión puede ser comprensible desde el punto de vista de la competencia entre secuenciales y secuenciales. rutas directas en una transición de dos fotones [36]. Considere un sistema de escalera atómica de tres niveles en ausencia de relajación con frecuencias de transición estrechas......................................................................................................................................................................................................................................................... asociado con la excitación de una excitón y frecuencia 31- con la excitación de dos excitón. El sistema se ve afectado por un pulso modulado de una fase de frecuencia portadora, Eqs.2), (15) y (16). En el Apéndice hemos calculado la amplitud de estado excitado a3 debido a dos fotones transición 1 → 3 que implica un nivel intermedio casi resonante 2 para este sistema. Amplitud a3 = aTP + aS consta de dos contribuciones. La primera aTP corresponde exactamente a la de la transición no resonante de dos fotones. Esta contribución aTP 1/(), y es pequeña para pulsos fuertemente gorjeados [52] 2() 2p0 (53) Este resultado tiene un claro significado físico. El punto es que la estructura de fase (chirp) de la el pulso determina el orden temporal de sus diferentes componentes de frecuencia. Por un fuerte pulso agudo cuando una duración del pulso es mucho mayor que la de la transformación correspondiente- Limitado uno, uno puede atribuir a diferentes instantes de tiempo las frecuencias correspondientes [52]. De hecho, en el caso que se examina diferentes componentes de frecuencia de la campo se determinan a través de los valores de la frecuencia de pulso instantánea (t) para diferentes instantes del tiempo. Por lo tanto, sólo una pequeña parte de todo el espectro del pulso excita directamente los dos- Resonancia fotónica. La segunda contribución corresponde a [36] aS = − D32D21η E/C.12/2001/SR.41 donde E() es la transformación de Fourier de los componentes de frecuencia positiva del campo ampli- tude E (t) exp[iŁi (t)]. La consideración del Apéndice nos permite ampliar los resultados de Ref.[36] a una detonación de dos fotónes no ceros ­2 = ­31 − 2­6 = 0. Eq.(54) describe una secuencia proceso, cuya contribución es una función escalonada. Este proceso se puede suprimir cuando las frecuencias de pulso llegan en orden contra-intuitivo (-32 antes de -21) que se produce en nuestras simulaciones de un agregado J para excitación NC. Fig.7 y la tabla de arriba muestran que el propiedades selectivas de pulsos quirped en discusión se conservan en campo fuerte excita- sión y para transiciones amplias. La excitación selectiva de estados individuales y de dos excitones puede ser utilizado para la preparación de los estados iniciales para la espectroscopia no lineal basada en la formación del pulso [60, 61]. 6 Fuerte interacción y STIRAP El sistema de tres estados bajo discusión nos permite considerar STIRAP también. STIRAP en Las moléculas en solución se estudiaron en Refs.[29], cuando las fluctuaciones del disolvente estaban representadas como un proceso aleatorio gaussiano, y en Ref.[30], donde el acoplamiento sistema-baño fue llevado a ser débil en el sentido de que los tiempos de relajación eran largos en comparación con la correlación del baño tiempo, C.A. Se mostraron campos intensos en Ref.[30] para frenar efectivamente el desfase cuando el la distancia energética entre los estados vestidos (adiabatic) supera el 1 / / c. El punto de la última papel es que en contraste con los estados desvestidos habituales, que se cruzan, el vestido (diabatico) los estados no se cruzan. Por lo tanto, la densidad espectral del ruido inducido por la relajación, que tiene un máximo a cero frecuencia, disminuye fuertemente para las frecuencias correspondientes a la brecha inducida por la luz entre los estados vestidos, resultando en suprimir el desfase puro entre los estados vestidos. En esta sección mostramos que esta conclusión también se aplica a los La relajación markoviana cuando la interacción sistema-baño no es débil y, por lo tanto, no puede se caracterizará sólo por lc. En la aproximación de onda giratoria las ecuaciones de Schrödinger para STIRAP en la configuración puede ser escrito de la siguiente manera: U ′1 1/2 0 1/2 U2 2/2 0 2/2 U ′3 donde U ′1 = U1 + 1 y U 3 = U3 + 2 son “replicaciones fotónicas” de parabólico eficaz potenciales U1(x) y U3(x) (Eq.10), respectivamente. Consideramos la resonancia de dos fotones afección cuando •1 − •2 = (E3 −E1)/~ y x1 = x3 = 0 que parecería razonable cuando 1 y 3 son diferentes niveles vibracionales del mismo estado electrónico. Luego U ′1 = U ′3. Los estados adiabáticos Uad correspondientes a Eq.(55) se puede encontrar por ecuación U ′1 − Uad 1/2 0 1/2 U2 − Uad 2/2 0 2/2 U ′3 − Uad Esto da los siguientes estados adiabáticos Uad0 = U 1 = U Uad± = (U2 + U (U2 − U ′1)2 + ~2( Se puede ver que U inicial ′1 y U final 3 estados diabáticos coinciden con uno de los estados adiabatis Uad0. Para una interacción fuerte la última estará bien separada de otros estados adiabáticos U ± debido para evitar cruzar. Por lo tanto, durante STIRAP el sistema permanecerá en la misma adiabática estado Uad0, que es U 1 para t = + + y U ′3 para t = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Su evolución debido a la relajación estimulado por las vibraciones LF puede ser descrito por el operador Fokker-Planck correspondiente Lad0 = L1,3 = + x describiendo la difusión en el potencial adiabático Uad0 = U 1 = U Esto significa que durante la transición 1 → 3 el movimiento del sistema a lo largo de una coordenada generalizada x no cambia. En otras palabras, tal transición no será acompañada de pura Defasing. Esta conclusión es una generalización del resultado anterior [30] en relación con la desaceleración abajo el desfase en campos fuertes, que se obtuvo para la interacción débil sistema-baño, a la relajación no-Markoviana. 7 Conclusión En este trabajo hemos estudiado la influencia de la ESA y de los procesos de dos excitones sobre una transferencia de población con pulsos quirped ultracortos intensos en sistemas moleculares en solución. Se ha desarrollado un tratamiento unificado de la ARP en estos sistemas utilizando un elec de tres estados. sistema trónico con relajación tratado como una difusión en superficies de energía potencial electrónica. Creemos que un modelo tan simple describe correctamente los principales procesos de relajación relacionados a movimientos excesivamente dañados que ocurren en grandes moléculas en soluciones. Nuestros cálculos muestran que incluso con la relajación rápida de un estado singlet más alto Sn (n > 1) volver a S1, ESA tiene un profundo efecto en la transferencia de población coherente en moléculas complejas que requiere una interpretación más precisa de los datos experimentales correspondientes. In la ausencia de relajación Sn → S1, la población del estado 3, n3, disminuye fuertemente cuando la tasa de chirp en el dominio de frecuencia aumenta. Con el fin de apreciar la mecanismo para tal comportamiento, una aproximación al modelo total - el modelo libre de relajación - se invocó. Una comparación entre el comportamiento del modelo total y el de la relajación-libre modelo ha demostrado que la relajación es responsable de la fuerte disminución de n3 en función de A pesar de cumplir los criterios adiabáticos para ambas transiciones 1 → 2 y 2 → 3 por separado. Por este medio, los criterios habituales de ARP en un sistema de dos estados deben revisarse para un sistema de tres estados sistema. Para aclarar esta cuestión, hemos desarrollado un modelo simple y físicamente claro para ARP con un pulso quirped lineal en moléculas con tres estados electrónicos en solución. La relajación se tuvieron en cuenta los efectos en el marco de los cálculos de las ZL, situándose en un tercer nivel generalizado para el cruce aleatorio de niveles. El modelo nos ha permitido obtener un sencillo fórmula para n3, Eq.(33), que está en excelente acuerdo con los cálculos numéricos. In Además, el modelo nos da un criterio adicional para la transferencia coherente de la población a aquellos que han obtenido anteriormente para un sistema de dos Estados [27]. Nuevo criterio, Eq.(34), implica conservación del “contramovimiento” de las “repeticiones fotónicas” de los estados 1 y 3, a pesar del azar cruce de niveles. Además, también aplicamos nuestro modelo a un dímero molecular que consiste en dos niveles Cromóforos. Una fuerte supresión de la población de dos estados excitón para la excitación del pulso NC de un agregado J se ha demostrado. Hemos demostrado que uno puede suprimir o mejorar procesos de dos exciton usando pulsos positivos o NC. De hecho, un método para Se ha propuesto el control cuántico de dos estados excitónicos. Nuestros cálculos son buenos. propiedades selectivas de los pulsos quirped a pesar de fuertes transiciones superpuestas relacionadas con el Excitación de estados de uno y dos excitones. A la luz de los límites [43, 44] impuestos a Eqs.(6) y (8) para los elementos no diagonales de la matriz de densidad para el modelo total, se utilizó una aproximación semiclásica (Lax) (Eq.(14) (modelo de relajación parcial). Este último ofrece una ventaja particular sobre el modelo total. El punto es que el modelo de relajación parcial puede derivarse no asumiendo la eliminación adiabática estándar del impulso para la matriz de densidad no diagonal, que es incorrecto en el límite de “modulación lenta” [42]. Un buen acuerdo entre calcu- Los resultados de la ración para la relajación parcial y los modelos totales en el límite de modulación lenta (véanse las Figs.2 y 7) muestra que una forma específica del término de relajación en las ecuaciones para Los elementos no diagonales de la matriz de densidad 12(x, t) y 23(x, t) no son importantes. Por esto los límites impuestos a la última ecuación [43, 44] no son de importancia práctica para el problema que se está considerando en el límite de modulación lenta. Esta cuestión puede explicarse como sigue. Nuestras simulaciones anteriores [26] muestran que a pesar de un comportamiento bastante diferente de la Coherencias (elementos de la matriz de densidad no diagonal) para la relajación parcial y el total los modelos, sus paquetes de onda de la población se comportan muy parecidos. Ya que estamos interesados en las poblaciones de los estados electrónicos nj = (x, t) dx solamente, que son integrales de Las diferencias entre los dos modelos en discusión son mínimas. En conclusión, también hemos demostrado ralentizar el desfase puro en STIRAP en campos fuertes cuando la interacción sistema-baño no es débil (relajación no-Markoviana). Agradecimientos Esta labor contó con el apoyo del Ministerio de Absorción de Israel. Apéndice Considere la posibilidad de un sistema de tres niveles E1 < E2 < E3 con frecuencias de transición cercanas.................................................................................................................................................................................................................................................. •32 donde •21 puede asociarse con una excitación y frecuencia de una excitón •31 - con Excitación de dos excitación. El sistema se ve afectado por una fase modulada pulso del portador frecuencia de la inyección, Eq.(2). La amplitud de estado excitado para una transición de dos fotones nivel intermedio casi resonante, se puede escribir como [62, 36] a3 = − D32D21 E(+21) E(+32) + E(l+)E(l+)E(l++) (21 − ) donde E() es la transformación de Fourier de los componentes de frecuencia positiva del campo am- plitud E (t) exp[i Detonación de dos fotones. Para excitación quirped lineal, Eqs.(15) y (16), E() es dada por E() = ηE0­p0 exp (58) Usando Eq.(58) e introducir una nueva variable z = Ł2/2, Eq.(57) puede escribirse como a3 = − D32D21η 2 (E0-p0)2 {exp[−1 (l+2 + (l+2 −)2)(l+2p0/2− i(l+)) + exp[− l22(l) p0/2− i())] exp[−z2(­2p0/2­i(­))] z - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) } (59) donde فارسى = 21 es una detonación de un fotón. La integral en el lado derecho de Eq.(59) puede ser evaluados para pulsos fuertemente quirped [52], Eq.(53), cuando la duración del pulso es mucho mayor que la de la transformada-limitada correspondiente. En este caso dos rangos de frecuencia dan las principales contribuciones a la integral. El primero resulta del método de fase estacionaria [63], y se localiza cerca de la resonancia de dos fotones z = • • • 31/2 = 0 en el rango pequeño 1/ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * En este caso sólo una pequeña parte 1/ () de todo el pulso espectro pulse = 4/el p0 excita directamente la resonancia de dos fotones, y la correspondiente Contribución* 1/ () es pequeño debido a Eq.(53). La segunda contribución a la integral se encuentra cerca de z = 2/2 y se debe a la polo en los ejes reales. Esta contribución la aporta Eq.(54) de Sec.5. Bibliografía [1] Ruhman, S.; Kosloff, R. J. Opt. Soc. Soy. B 1990, 7 (8), 1748. [2] Krause, J. L.; Whitnel, R. M.; Wilson, K. R.; Yan, Y. J.; Mukamel, S. J. Chem. Phys. 1993, 99 (9), 6562–6578. [3] Kohler, B.; Yakovlev, V. V.; Che, J.; Krause, J. L.; Messina, M.; Wilson, K. R.; Schwentner, N.; Whitnel, R. M.; Yan, Y. J. Phys. Rev. Lett. 1995, 74, 3360. [4] Melinger, J. S.; Hariharan, A.; Gandhi, S. R.; Warren, W. S. J. Chem. Phys. 1991, 95, 2210. [5] Bardeen, C. J.; Wang, Q.; Shank, C. V. Phys. Rev. Lett. 1995, 75, 3410. [6] Garraway, B. M.; Suonen, K.-A. Rep. Prog. Phys. 1995, 58, 365–419. [7] Nibbering, E. T. J.; Wiersma, D. A.; Duppen, K. Phys. Rev. Lett. 1992, 68, 514. [8] Duppen, K.; de Haan, F.; Nibbering, E. T. J.; Wiersma, D. A. Phys. Rev. A 1993, 47 (6), 5120–5137. [9] Sterling, M.; Zadoyan, R.; Apkarian, V. A. J. Chem. 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Excitación selectiva de estados individuales y de dos excitón con pulsos quirped Fuerte interacción y STIRAP Conclusión

Harmonic bilocal fields generated by globally conformal invariant scalar fields

Campos bilocales armónicos generados por campos escalares invariantes conformes Nikolay M. Nikolov1,3, Karl-Henning Rehren2, Ivan Todorov1,3 23 de septiembre de 2021 1 Instituto de Investigación Nuclear y Energía Nuclear, Tsarigradsko Chaussee 72, BG-1784 Sofía, Bulgaria 2 Institut für Theoretische Physik, Universität Göttingen, Friedrich-Hund-Platz 1, D-37077 Göttingen, Alemania 3 Centro Internacional de Física Teórica Abdus Salam, Strada Costiera 11, I–34014 Trieste, Italia Resumen La contribución twist dos en la expansión del producto del operador de........................................................................................................................................................................................................................................................ 2(x2) para un par de campos escalares, invariantes, conformados globalmente de igual escalar- ing dimension d en cuatro dimensiones espacio-tiempo es un campo V1(x1, x2) que es armónico en ambas variables. Se demuestra que la bilocalidad de Huygens de V1 puede caracterizarse equivalentemente por una “propiedad de un solo polo” la estructura de polos de las funciones de correlación (racionales) producto ­1(x1) ­2(x2). Esta propiedad está establecida para la dimensión d = 2 de 1o, de 2o. Como aplicación demostramos que cualquier sistema de campos escalares GCI de la dimensión conformal 2 (en cuatro dimensiones espacio-tiempo) como una superposición (posiblemente infinita) de productos de campos libres sin masa. Clasificación por temas: PACS 2003: 11.10.-z. 03.70.+k, MSC 2000: 81T10 1 Introducción Invarianza Conformal Global (GCI) de los campos Wightman del espacio de Minkowski racionalidad de las funciones de correlación [14]. Este resultado abre el camino para un no- construcción y análisis perturbativo de modelos GCI para dimensiones superiores La teoría cuántica de campo (QFT), explorando nuevas implicaciones de la Wight- Hombre axiomas. Al elegir el enfoque axiomático, evitamos cualquier sesgo sobre el posible origen del modelo, porque aspiramos a una perspectiva más amplia posible. Activar por otra parte, la suposición de GCI limita el análisis a una clase de teorías http://arxiv.org/abs/0704.1960v4 Campos bilocales armónicos 2 que puede ser parametrizado por su contenido de campo (generador) y finitamente muchos coeficientes para cada función de correlación (véase Secc. 2). Como dimensiones anómalas bajo el supuesto de que GCI se ven obligados a ser integral, no hay En este contexto, pero es concebible que una teoría con una el parámetro de acoplamiento ue puede mostrar GCI a valores discretos (que aparecen como puntos fijos de grupo de renormalización). Un ejemplo de este tipo es proporcionado por el Modelo Thirring: es localmente invariante conforme para cualquier valor del acoplamiento constante g y se convierte en GCI para el entero positivo g2 [5]. Los tratamientos axiomáticos previos de QFT conformal se centraron en la teoría de resentimiento y análisis armónico del grupo conformal [6, 10] como herramientas para la Expansión de Producto del Operador (OPE). La realización proyectiva general de simetría conformal en QFT ya se hizo hincapié en [15, 16] y se encontró que constituir una organización (parcial) de la OPI. GCI es complementaria en la medida en que asume representaciones verdaderas (proyección de cobertura trivial). Una condición necesaria para esta situación altamente simétrica es la presencia de infinitamente muchos conservados Corrientes tensoras (como veremos en Secc. 3.3). Los primeros casos estudiados bajo el supuesto de ICG fueron teorías generadas por un campo escalar de (baja) dimensión integral d > 1. (El caso d = 1 corresponde a un campo libre sin masa con una función de 4 puntos truncada que desaparece wtr4.) Los casos 2 6 d 6 4, que dan lugar a no cero w 4 fueron considerados en [12, 13, 11].1 El principal propósito de estos trabajos fue estudiar las limitaciones para el 4- correlación de puntos (= Wightman) funciones procedentes de theWightman (= Hilbert espacio) positividad. Esto se logró mediante el uso de la extensión de onda parcial conformal sión. Una herramienta técnica importante en esta expansión es la división de la OPI en diferentes contribuciones de giro (véase (2.10)). Cada onda parcial da un no- contribución racional a la completa función racional de 4 puntos. Es, por lo tanto, notable que la suma de la dirección, torcer dos, ondas parciales conformales (cor- respuesta a las contribuciones de todos los tensores simétricos sin trazas conservados en la OPI de los campos básicos) puede demostrarse, en algunos casos, que es una función racional. Esto significa que el giro de dos partes en la OPI de dos campos es convergente en tales casos a un campo bilocal, V1(x1, x2), que es nuestro primer resultado principal en el presente papel. A lo largo de todo, “bilocal” significa Huygens (= espacio–como y tiempo–como) lo- cality con respecto a ambos argumentos. Demostrar la bilocalidad explota los límites en los polos debido a la positividad de Wightman, y las leyes de conservación para torcer dos tensores que implican que los campos bilocales son armónicos en ambos argumentos. Ejemplos triviales de campos bilocales armónicos son dados por campo libre bilineal construcciones de la forma : (x1):, (x1)(x2): (x1)(x1)(x1 − x2) (x2) :, o (x1 − μ(x1 − x2) /: F(x1)F El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 23 de octubre de 2001. Uno de los objetivos principales de este documento es explorar si pueden existir dos campos armónicos que no son de esta forma, y si pueden ser bilocales. Por otra parte, se muestra que la presencia de un bilocal 1 Las dos últimas referencias se refieren principalmente al caso d = 4 (en D = 4 espacio-tiempo) las dimensiones) que parecen ser de especial interés como correspondiente a un (invariante de calibre) Densidad lagrangiana. El caso intermedio d = 3 se examina brevemente en [18]. Campos bilocales armónicos 3 campo V1 determina completamente la estructura de la teoría en el caso de una escala dimensión d = 2. El primer paso hacia la clasificación de d = 2 campos GCI se realizó en [12], donde se consideró el caso de un campo escalar único. Aquí vamos. extender nuestro estudio al caso más general de una teoría generada por un arbitrario (contable) conjunto de d = 2 campos escalares. Nuestro segundo resultado principal dice que los campos son siempre combinaciones de los productos de Wick de los campos libres (y generalizada campos libres). El documento se organiza de la siguiente manera. La sección 2 contiene un examen de los resultados pertinentes relativos a la teoría de la ICG campos escalares. En Secc. 3 estudiamos las condiciones para la existencia del campo bilocal armónico V1(x1, x2). Demostramos que la bilocalidad de Huygens de V1(x1, x2) es equivalente al pecado- gle pole property (SPP), Definición 3.1, que es una condición en la estructura de polos de las singularidades principales de las funciones de correlación truncadas de cuya expansión de giro comienza con V1(x1, x2). Esta condición no trivial califica un anuncio prematuro en [2] de que la bilocalidad de Huygens es automática. De hecho, el SPP está trivialmente satisfecho con todas las correlaciones de la construcción de campo libre. ciones de campos armónicos con otros (productos de) campos libres, debido a la estructura de V1. Por lo tanto, cualquier violación del SPP es una señal clara para un nontriv- Contenido del campo ial del modelo. Por otra parte, el SPP se demostrará a partir de principios para un sistema arbitrario de d = 2 campos escalares (el caso estudiado en [2]). Sin embargo, aunque la estructura de los polos de U(x1, x2) resulta ser altamente limitada en general por las leyes de conservación de torcer dos corrientes tensoras, el SPP hace no seguir para los campos de dimensiones superiores, como lo ilustra un contra-ejemplo de una función de 6 puntos de d = 4 campos escalares que implican polos dobles (Sect. 3.5). La existencia de V1(x1, x2) como un campo bilocal de Huygens en una teoría de la dimensión d = 2 campos permite determinar las funciones de correlación truncada hasta una sola parámetro en cada uno de ellos. Esto es explotado en la secta. 4, donde una asociación álgebra estructura de la OPI de d = 2 campos escalares y campos bilocales armónicos se revela. La representación de campo libre de estos campos se infiere resolviendo un problema de momento asociado. 2 Propiedades de los campos escalares GCI 2.1 Estructura de las funciones de correlación y límites de polos Asumimos a lo largo de la validez de los axiomas Wightman para un QFT en el D = 4 Minkowski plano espacio-tiempo M (excepto para la integridad asintótica) – véase [17]. Nuestros resultados pueden ser, de hecho, generalizados de una manera directa a cualquier incluso la dimensión espacio-tiempo D. La condición de GCI en el espacio Minkowski es una condición de simetría adicional en las funciones de correlación de la teoría [14]. En el caso de un campo escalar (x), afirma que las funciones de correlación del campo (x) Campos bilocales armónicos 4 son invariantes en la sustitución (x) 7→ det , (2.1) donde x 7→ g(x) es cualquier transformación conformal del espacio de Minkowski, su matriz Jacobi y d > 0 es la dimensión de escalado de ♥. Un punto importante es que la invarianza de las funciones de Wightman (x1) · · • (xn) por debajo de la la transformación (2.1) debe ser válida para todos los xk M en el dominio de la definición de g (en el sentido de las distribuciones). Se deduce que d debe ser un entero en orden para garantizar el valor único del prefactor en (2.1). Por lo tanto, GCI implica que sólo pueden ocurrir dimensiones anómalas integrales. Las consecuencias más importantes de la ICG en el caso de los campos escalares dimensiones dk se resumen como sigue. a) Localidad de Huygens ([14, Teorema 4.1]). Los campos viajan para no luz-como separaciones. Esto tiene una versión algebraica: (x1 − x2) 1(x1), 2(x2) = 0 (2.2) para un número entero suficientemente grande N. b) Racionalidad de las funciones de correlación (cf. [14, Teorema 3.1]). Generalidades forma de las funciones de Wightman es: 1(x1) · · n(xn) jk} Cjk} (ljk) μjk, (2.3) donde aquí y en lo que sigue nos fijamos (xjk − i 0 e0) 2 = (xjk) 2 + i 0 x0jk, xjk := xj − xk ; (2.4) la suma en Eq. (2.3) está sobre todas las configuraciones de potencias integrales jk = μkj} con sujeción a las siguientes condiciones: j (6=k) μjk = −dk, (2,5) y límites de los polos μjk > − dj + dk - 1 . Ecuación (2.5) la invarianza conformal bajo (2.1), los límites del polo expresan la ausencia de representaciones no unitarias en la OPI de dos campos [14, Lemma 4.3]. Bajo estas condiciones la suma en (2.3) es siempre finita y hay un número finito de parámetros libres para cada función de correlación de n-punto. Nos referiremos a la forma (2.3) como un polinomio Laurent en las variables đjk. 2Escribir funciones de correlación en términos de las relaciones cruzadas conformalmente invariantes es particu- Larly útil para parametrizar las funciones de 4 puntos. Una base de relaciones cruzadas para una función de n-punto se utiliza en la prueba de Lemma 3.6. La sistemática general de la estructura de polos, sin embargo, es más transparente en términos de las variables actuales. Campos bilocales armónicos 5 c) Las funciones truncadas de Wightman 1(x1) · · • n(xn) son de la la misma forma como (2.3) pero con grados de polo μtr limitada por μtrjk > − dj+dk (2.6) (cf. [14, Corollary 4.4]). La condición de cluster, expresando la singularidad del vacío, requiere que si un subconjunto apropiado no vacío de puntos xk entre todos los xi (i = 1,..., n) es desplazado por t · a (a2 6= 0), entonces la función truncada debe desaparecer en el límite t →. Por los grupos de dos puntos {xj, xk}, esta condición está garantizada por (2.6) en combinación con (2,5). En el caso de los grupos más altos, impone nuevas limitaciones a la admisibilidad combinaciones lineales de términos de la forma (2.3). Obsérvese, sin embargo, que debido a posibles cancelaciones los términos individuales no necesitan desaparecer en el límite de cluster. La condición de clúster se utilizará en el establecimiento de la propiedad de polo único para d = 2. 2.2 Expansión de torsión de la OPI y bi-armonicidad de la torsión de dos Contribución La herramienta más poderosa proporcionada por GCI es la construcción explícita de la OPI de los campos locales en el marco general (axiomático). Dejar que la letra x) y la letra x) sean dos campos escalares GCI de la misma dimensión de escalado d y considerar la distribución del operador U(x1, x2) = (­12) * 1(x1)* * 2(x2)* * 1(x1)* * 2(x2)* * . (2.7) Como consecuencia de los límites del polo (2.6), U(x1, x2) es suave en la diferencia x12. Esto debe entenderse en un sentido débil para los elementos de la matriz de U entre estados de energía limitada. Obviamente, U(x1, x2) es un campo bilocal de Huygens en el sensibilizar que [ (x1 − x) 2 x 2 − x) U(x1, x2), •(x) = 0 (2.8) para todos los campos (x) que es local de Huygens con respecto a Łk(x). Entonces, uno introduce la OPI de ­1(x1)­2(x2) por la expansión de Taylor de U en x12 U(x1, x2) = μ1,...,μn=0 12 · · · x μ1...μn (x2), (2.9) donde Xnμ1...μn(x2) son campos locales de Huygens. Podemos considerar la serie (2.9) como una serie de poder formal, o como una serie convergente en términos de la analítica funciones de correlación continua de U(x1, x2). En este momento examinaremos la cuestión. serie (2.9) como una serie formal. (Véase también [1] para el caso general de la construcción OPI a través de campos multilocales en el contexto de álgebras vértices en dimensiones superiores.) Puesto que el prefactor en (2.7) se transforma como una densidad escalar de peso conformal (1-d, 1-d) luego U(x1, x2) se transforma como un campo de peso bilocal conformal (1, 1). Campos bilocales armónicos 6 Por lo tanto, los campos locales Xnμ1...μn en (2.9) tienen dimensiones de escala n+2 pero no lo son, en general, cuasiprimario.3 Uno puede pasar a una expansión en campos cuasiprimarios por restando de Xnμ1...μn derivados de campos dimensionales inferiores X μ1...μn′ . Los campos cuasiprimarios resultantes Okμ1...μl son campos tensores sin trazas de rango l y dimensión k. La diferencia k - l (“dimensión − rango”) (2.10) se llama torsión del campo tensor Okμ1...μl. La unidad implica que el giro es no negativo [10], y por GCI, debe ser un entero par. De esta manera uno puede reorganizar la OPI (2.9) de la siguiente manera: U(x1, x2) = V1(x1, x2) + 2 V3(x1, x2) + · · ·, (2.11) en la que V­(x1, x2) es la parte de la OPI (2,9) que contiene sólo la torsión 2­ contri­ butions. Nótese que Eq. (2.11) contiene también la información de que el giro 2 las contribuciones contienen un factor (12) 1 (es decir, V.V. son “regulares” en x1 = x2), que es una característica no trivial de este OPI (obtenido considerando funciones de 3 puntos). Por lo tanto, la expansión en los giros se puede ver como una expansión del cono-luz de la Puesto que la descomposición de giro de los campos es conforme invariante entonces cada uno Se comportará, al menos infinitesimalmente, como una densidad escalar bajo con- transformaciones formales. Cada serie (formal) es una serie complicada en twist 2o campos y su deriva- tivos: (x1, x2) = Kμ1...μlŁ (x12, Łx2)O μ1...μl (x2), (2.12) donde K μ1...μl Las series de potencia formal infinitas en x12 (x12, x2) con coeficientes que son operadores diferenciales en x2 que actúan en los campos cuasiprimarios O. Los importante aquí es que la serie K μ1...μl Se puede fijar universalmente (x12, x2) para cualquier QFT conforme (incluso en general). Esto se debe a la universalidad de la funciones formales de tres puntos. La forma explícita de K μ1...μl Se puede encontrar en la página web de la Oficina de Publicaciones Oficiales de las Comunidades Europeas: http://europa.eu.int/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment. [6, 7] (véase también [13]). Por lo tanto, podemos en este punto considerar V­(x1, x2) sólo como la generación de series para el giro 2o contribuciones a la OPI de ♥(x1)o(x2), pero todavía no sabemos si estas series serían convergentes e incluso si lo fueran, no sería evidenció si darían campos bilocales. En la siguiente sección veremos que esto es cierto para el líder, girar dos partes bajo ciertas condiciones, que se cumplen automáticamente para d = 2. Las partes más altas de torsión V. (...................................................................................................................................................... campos bilocales, ya que sus funciones de 4 puntos, computadas en [13], no son racionales. 3Los campos cuasiprimarios se transforman irreductiblemente bajo transformaciones conformales. Campos bilocales armónicos 7 La mayor diferencia entre el giro dos campos tensores y el giro superior campos es que los primeros satisfacen las leyes de conservación: xμ1O μ1...μl (x) = 0 (l > 1). (2.13) Esta es una consecuencia bien conocida de la invarianza conformal de la función de 2-puntos y el teorema de Reeh-Schlieder. Incluye, en particular, la conservación leyes de las corrientes y el tensor de tensión-energía. Resulta que V1(x1, x2) codifica de una manera sencilla este sistema infinito de ecuaciones. Teorema 2.1. ([13]) El sistema de ecuaciones diferenciales (2.13) es equivalente a la armónicoidad de V1(x1, x2) en ambos argumentos (bi–armonicidad) como un formal series, es decir, x1V1(x1, x2) = 0 = x2V1(x1, x2). La prueba se basa en el conocimiento explícito de la serie K en (2.12) y es válida incluso si la teoría es invariante bajo transformaciones conformales infinitesimal Sólo. La separación del giro de dos partes en (2.11) equivale a una división de U de el formulario U(x1, x2) = V1(x1, x2) + ♥12 (x1, x2). (2.14) Esta división se puede pensar en términos de elementos de matriz de U(x1, x2) expandido como una serie de potencia formal de acuerdo con (2.9). Es único en virtud del Teorema 2.1, debido a la Lemma clásica siguiente: Lemma 2.2. ([3, 1]) Dejar u(x) ser una serie de potencia formal en x • C4 (o, CD) con coeficientes en un espacio vector V. Entonces existe una serie de potencia formal única v(x) y •(x) con coeficientes en V de modo que u(x) = v(x) + x2 Ł(x) (2.15) y v(x) es armónico en x (es decir, x v(x) = 0). (2.15) se llama el armónico descomposición de u(x) (en la variable x alrededor de x = 0), y la potencia formal serie v(x) se dice que es la parte armónica de u(x). 3 Bilocalidad de giro dos contribución a la OPI Vamos a bosquejar nuestra estrategia para estudiar la bilocalidad de V1(x1, x2). La existencia del campo V1(x1, x2) se puede establecer mediante la construcción de su cor- funciones de relación. Por otro lado, cada función de correlación4 ·V1(x1, x2) · 4Esta notación abreviada significa 3(x3) · k(xk) V1(x1, x2) ♥k+1(xk+1) # # # n(xn) # , aquí y en la secuela. Campos bilocales armónicos 8 de V1 se obtiene (originalmente, como una serie de potencia formal en x12) ión (2.14). Por lo tanto, aparece como una descomposición armónica de la correspondiente función de correlación · U(x1, x2) · de U : · U(x1, x2) · · V1(x1, x2) · + 12 libras esterlinas · (x1, x2) · . (3.1) Tenga en cuenta que inicialmente debemos tratar el lado izquierdo de (3.1) también como un formal serie de energía en x12 con el fin de hacer la igualdad significativa. Es importante que esta serie es siempre convergente como una expansión Taylor de una función racional en un cierto dominio alrededor de x1 = x2 en M , para el espacio Minkowski complejado MC = M + iM, de acuerdo con las propiedades analíticas estándar de Wightman funciones. Lo mostraremos en Sect. 3.1 que esto implica la convergencia por separado de ambos términos en el lado derecho de (3.1). Por lo tanto, la herramienta clave en la construcción V1 son las descomposicións armónicas F (x1, x2) = H(x1, x2) +....................................................................................................................................................................................................................................................... de funciones F (x1, x2) que son analíticas en ciertos barrios de la diagonal {x1 = x2}. Recuerde que H en (3.2) es fijado como la parte armónica de F en x1 alrededor x2, debido a Lemma 2.2. Esto es equivalente a la armónicoidad x1 H(x1, x2) = 0. Por otra parte, según Teorema 2.1 tenemos que considerar también la segunda condición de armónico en H, x2 H(x1, x2) = 0, es decir, H es el armónico parte en x2 alrededor de x1. Esto lleva a algunas condiciones de “integrabilidad” para el función F (x1, x2), que estudiamos en la Secc. 3.2. A continuación, para caracterizar la bilocalidad Huygens de V1, deberíamos tener racionalidad de sus funciones de correlación · V1(x1, x2) · , que se debe a un sencillo extensión de los argumentos de [14, Teorema 3.1]. Pero hemos empezado con el funciones de correlación de U, que son ciertamente racionales. Por lo tanto, debemos estudiar otra condición en U, a saber, que sus funciones de correlación tienen un racional descomposición armónica. Mostramos en Sect. 3.3 que esto es equivalente a un simple condición sobre las funciones de correlación de U, que llamamos “propiedad del Polo Único” (SPP). De esta manera establecemos en la Secc. 3.4 que V1 siempre existe como un Huygens campo bilocal en el caso de campos escalares de dimensión d = 2. Sin embargo, para mayores dimensiones de escala ya no se puede esperar que V1 es Huygens bilocal en Generalidades. Esto se ilustra por un contraejemplo, que implica la función de 6 puntos de un sistema de d = 4 campos, dado al final de la Secc. 3.5. 3.1 Convergencia de las descomposicións armónicas Analizar la existencia de la descomposición armónica de un Taylor convergente serie utilizamos las complejas técnicas de integración introducidas en [1]. Que MC =M + iM sea la complejidad del espacio Minkowski, que en este subsección se supone que es D-dimensional, y E = x : (i x0, x1,. .., xD−1) su verdadero submanifold euclidiano, y SD−1 E la esfera de unidad en E. Nosotros Campos bilocales armónicos 9 denotar por la norma Hilbert relacionada con las coordenadas fijas en MC: x02 + · · · + xD−12. También vamos a introducir para cualquier r > 0 un verdadero submanifold compacto Sr de MC: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • [0, π], w • SD−1 (3.3) (Obsérvese que en el artículo 2 se da otra parametrización del Sr.) Entonces hay un representación integral para la parte armónica de una serie convergente de Taylor. Lemma 3.1. (cf. [1, Secc. 3.3 y Apéndice A]) Que u(x) sea un complejo formal serie de potencia que es absolutamente convergente en la bola â € € < r, para algunos r > 0, a una función analítica U(x). A continuación, la parte armónica v(x) de u(x) (alrededor de x = 0), que es proporcionado por Lemma 2.2, es absolutamente convergente para x2 2 r xó < r2. (3.4) La función analítica V (x) que es la suma de la serie de potencia formal v(x) tiene la siguiente representación integral: V (x) = (z− x)2 U(z), V1 = = iSD−1, (3.5) donde r′ < r, x2 + 2 r′ â € € € € < r′2, y la medida de integración (compleja) se obtiene por la restricción del volumen complejo forma dDz (= dz0 · · · dzD−1) en MC (= CD) al verdadero submanifold D-dimensional Mr′ (3.3), r′ > 0. Prueba. Considere la expansión de Taylor en x de la función 1 − x (z − x)2 y escribirlo en la forma (cf. [1, Secc. 3.3]) (z− x)2 z2)− −lHl(z, x), Hl(z, x) = hlμ(z)hlμ(x), (3.6) donde {hlμ(u)} es una base ortonormal de polinomios homogéneos armónicos de grado l en la esfera SD−1. Esta expansión es convergente para 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z · x (3.7) ya que su lado izquierdo está relacionado con la función generadora de Hl: 1− 2 x 2 y2 (1 - 2- x · y + 2 x 2 y2) lHl(x, y), (3.8) la expansión (3.8) siendo convergente para  6 1 si x2y22x ·y < 1. Entonces si nosotros fijar r′ < r y z varía en Mr′, una condición suficiente para (3.7) es x 2 + 2 r′ x < r′2 (desde el • SD−1 w · x = x®). Campos bilocales armónicos 10 Por otro lado, escribir u(z) = k=0 uk(z), donde uk son homogéneos polinomios de grado k, obtenemos por la convergencia absoluta de u(z) la relación (válido para el subartículo x2 + 2 r′ x < r′2) (z− x)2 U(z) = k,l=0 z2)− -lHl(x, z)uk(z). (3.9) Tomando nota a continuación de que en la parametrización (3.3) de Mr′ tenemos d = i r′D eiD Ł dŁ ♥ dÔ(w), donde dÔ(w) es la forma de volumen en la esfera unitaria, obtenemos para el lado derecho de (3.9): k,l=0 (k−l) d(w) SD−1 Hl(x,w)uk(w). Ahora si escribimos, de acuerdo con Lemma 2.2, uk(z) = ck,j, (z 2)j hk−2j,(z) entonces obtenemos por la ortonormalidad de hl,μ(w) k,l=0 l,k−2j ic(k−l) ck,j,μ hk−2j,μ(x) ck,0,μ hk,μ(x) = v(x). Esta última prueba ambos: la convergencia de v(x) en el dominio (3.4) (desde r′ < r fue arbitraria) y la representación integral (3.5). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Como aplicación de este resultado vamos a demostrar ahora Proposición 3.2. Para todos los campos n y k, y para todos los campos locales (j = 3,..., n) Serie Taylor 3(x3) · ·?k(xk) V1(x1, x2)?k+1(xk+1) · ·?n(xn) (3.10) en x12 convergen absolutamente en el dominio *x12* + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x212 * x2j * + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x22j x22j ♥ j (3.11) (j = 3,..., n). Todos ellos son analíticos reales e independientes de k para mutuamente puntos noisotrópicos. Prueba. Vamos. Fk(x12, x23,. .., x2n) 3(x3) · · k(xk) U(x1, x2) ­k+1(xk+1) · · ­n(xn) (3.12) Campos bilocales armónicos 11 ser las funciones de correlación, continuadas analíticamente en x12. Como Fk, que es una función racional, depende de x := x12 a través de una suma de productos de poderes (x− x2j) tiene una expansión convergente en x para 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x · x2j x22j * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (3.13) Si queremos que Fk tenga una expansión convergente de Taylor para x < r tras una condición suficiente x22j 2 r â â € € TM TM x 2jâ € TM. (3.14) Por Lemma 3.1 concluimos que la serie (3.10) es convergente para x212 2 r x12 < r 2. (3.15) Combinando ambas (suficiente) condiciones (3.14) y (3.15) para r encontramos que son compatibles si â € € x 12â € + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x212 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x22j − â € TM x2jâ €, que es equivalente a (3.11). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Tenga en cuenta que también se puede probar una propiedad de convergencia similar para la correla- funciones de varios V1. Observación 3.1. El dominio de convergencia de (3.10) debe ser Lorentz invariante. Por lo tanto, (3.10) son convergentes en el conjunto invariante Lorentz más pequeño que contiene el dominio (3.11). Tal conjunto está determinado por los valores de los invariantes x212, x y x12 · x2j y resulta ser el conjunto x212 12 x22j 12 6 x12 · x2j (x22j 12 − x212 12 )2 o equivalente x212 x22j x12 · x2j 2 < (x22j 12 − x212 12 )2 . (3.16) Fuera del dominio de la convergencia (3.16), las correlaciones de V1(x1, x2) tienen que se definirá mediante la continuación analítica. Cuando las correlaciones son racionales, V1 es Huygens bilocal, pero el contra-ejemplo presentado en Secc. 3.5 muestra que la racionalidad no es automática. Entonces, ni siquiera es obvio que las son de un solo valor dentro del tubo de analítica requerido por el espectro con- sión, es decir, que V1 existe como una distribución en todo M × M. Caso no trivial estudios, sin embargo, muestran que al menos para xk espacio–como para x1 y x2, la continuación es de un solo valor y preserva la independencia sobre la posición k en (3.10), donde se inserta V1(x1, x2). Esto nos lleva a conjeturar Conjetura 3.3. La torcedura de dos campos V1(x1, x2), cuyas correlaciones se definen como las continuacións analíticas de las partes armónicas de las de U(x1, x2), existe y es bilocal en el sentido ordinario, es decir, se conmuta con x y V1 (x, x ′) si x y x′ son espacios–como x1 y x2. Esperamos volver a esta conjetura en otra parte (véase también la nota añadida en prueba). Nótese que el argumento de que la localidad implica la localidad de Huygens [14] lo hace no pasar a campos bilocales. Campos bilocales armónicos 12 3.2 Consecuencias de la biarmonicidad Ahora nuestro objetivo es encontrar la descomposición armónica de las funciones racionales F (x1, x2) que dependen de x1 y x2 a través de los intervalos?ik = (xi−xk) 2, i = 1, 2, k = 3,..., n, para algunos puntos adicionales x3,. .., xn. La F, como correlación funciones de U(x1, x2), tienen la forma F (x1, x2) = (12) q Fq(x1, x2) (12) iki,k}6={1,2} , (3.17) Fq(x1, x2) = 1i},2i} Cq,1j},2j} (lj) (l2i) μ2j, (3.18) donde los números enteros > −d, μ2j (j = 3,....., n) son M â N y μ1j, μ2j (j = 3,...., j>3 μ1j j>3 μ2j = −1 − q, y los coeficientes Cq,1j},2j} pueden depender de (j, k > 3). IfH es la parte armónica de F en x12, entonces la parte principal F0 (de orden ( es también la parte principal de H. Procederemos ahora a demostrar que la bi-armonicidad de H (Teorema 2.1), junto con los primeros principios de QFT, incluida GCI, implica fuertes limitaciones a F0. Proposición 3.4. Dejar F0(x1, x2) ser como en (3.18), y dejar H(x1, x2) ser su har- parte monica con respecto a x1 alrededor de x2. Entonces H es también armónico con respeto a x2, si y sólo si F0 satisface la ecuación diferencial (E1D2 − E2D1)F0 = 0, (3.19) donde E1 = i = 3............................................................................................................................................................................................................................................................. ), D1 = 36j<k6n ljküljülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülürülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülül e igualmente para E2 y D2, intercambiando 1 ↔ 2. Prueba. Por la Proposición 3.2 (véase también la Observación 3.1) podemos considerar H como una función en las variables 2n − 3 i, 2i (i > 3) y 12, analítica en algún dominio que incluye 12 libras esterlinas = 0. Expandiendo H = q(l12) qHq/q!, las funciones Hq son homogéneas de grado −1 − q en ambos conjuntos de variables ­1i y ­2i, y H0 = F0. Imponer el armónico con respecto a la variable x1, utilizamos la identidad [11, App. C] x1F = −4 26i<j6n * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Ij = (xi−xj)2 , (3.20) válida para las funciones homogéneas de grado -1, para expresar el operador de onda x1 como operador diferencial con respecto al conjunto de variables......................................................................................................................................................................................................................................................... Esto produce el sistema recursivo de ecuaciones diferenciales E1Hq+1 = −D1Hq. (3.21) Realizando los mismos pasos con respecto a la variable x2, se obtiene E2Hq+1 = −D2Hq. (3.22) Campos bilocales armónicos 13 Eq. (3.19) surge entonces como la condición de integrabilidad para el par de inhomógenos ecuaciones diferenciales para H1 (putting q = 0), observando que E2E1 − E1E2 = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * La H1 se desvanece por homogeneidad. Por el contrario, si se cumple (3.19), entonces H1 existe y satisface (D1E2−D2E1)H1 = − (D1D2 − D2D1)H0 = 0 porque D1 y D2 se desplazan. Pero esto es equivalente a (D2E1 − D1E2)H1 = 0, que es a su vez la condición de integrabilidad para la existencia de H2, y así sucesivamente. De ello se deduce que la biarmonicidad no impone más condiciones en la función principal H0 = F0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La ecuación diferencial (3.19) impone las siguientes limitaciones al plomo: ing parte F0 de la función de correlación racional F (3.17): Corolario 3.5. Supongamos que la función F0 como en (3.18) satisface el diferencial ecuación (3.19). Entonces i) Si F0 contiene un “polo doble” de la forma (l)i) μ1i(1j) μ1j con i 6=j y μ1i y μ1j ambos negativos, entonces sus coeficientes deben ser regulares en 2k (k 6= i, j). ii) F0 no puede contener un “álamo triple” de la forma (­1i) μ1i(1j) μ1j (­1k) μ1k con i, j, k todos diferentes y μ1i, μ1j, μ1k todos negativos. Lo mismo es cierto, el intercambio de 1 ↔ 2. Prueba. Escoja cualquier variable, digamos 2k, y descomponga F0 = rp(l2k) rfr como un Lau- alquilar polinomio en 2k. La ecuación diferencial (3.19) se convierte en la recursiva sistema * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * i,j 6=k 2Ijjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj r · fr = Xrfr−1 + Y fr de ecuaciones diferenciales para las funciones fr que son polinomios Laurent en el las variables restantes. La forma precisa de los operadores diferenciales polinomios Xr e Y no importa. Suponga que la potencia más baja −p de 2k es negativa. Para r = −p, el lado derecho desaparece. Porque el término "jiji"1iö1j en el lado izquierdo produciría una singularidad que no puede ser cancelada por cualquier otro término, f-p no puede tener un “polo doble” en cualquier par de variables..................................................................................................................................................................................................................................................... e i, j 6= k. Esta propiedad pasa recursivamente a todos los fr con r < 0, porque también el lado derecho nunca puede contener tal poste. Esto implica que un doble polo en un par de variables?1i,?1j con i 6= j no puede multiplicar un término que es singular en 2k, a menos que k = i o k = j, probando (i). Si el coeficiente del doble polo fuera singular en?1k, k 6= i, j, entonces el resultado de doble polo en el par?1i,?1k resp. * 1j, * 1k implicaría regularidad. también en la resp. 2i. Por lo tanto, el coeficiente de un polo triple debe ser regular en todos 2m, lo que contradice la homogeneidad total −1 de F0 en estas variables. Esto prueba la declaración (ii). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 3.3 Una condición necesaria y suficiente para la bilocalidad de Huygens Definición 3.1. ("Propiedad de Polo Único", SPP) Let f(x1,. .., xn) ser un Laurent polinomio en las variables?ij, es decir, considerado como una función de x1 sólo, es un Campos bilocales armónicos 14 combinación lineal finita de funciones de la forma (lj) μ1j (x1 − xj) , (3.23) donde μ1j (j > 2) son enteros y los coeficientes pueden depender de los parámetros jk (j, k > 2). Entonces f se dice para satisfacer la propiedad de polo único con respecto a x1 si no contiene términos para los cuales hay j 6= k (j, k > 2) de tal manera que tanto μ1,j y μ1,k son negativos. La importancia de SPP se deriva del hecho de que las partes armónicas H de F0, es decir, las funciones de correlación de V1, son de nuevo polinomios Laurent si y sólo si F0 satisface el SPP. Es decir, si H es un polinomio armónico Laurent, el el mismo argumento que en [11, Lemma C.1] (utilizando la representación (3.20) de la operador de onda) muestra que H cumple el SPP con respecto a x1, y también F0, porque es la parte principal del orden (? 12) 0 de H. El contrario es un inmediato consecuencia de Lemma 3.6 (permitiendo un reetiquetado y un conteo múltiple de los puntos x3,. .., xn, que no están obligados a ser distintos). Lemma 3.6. Dejar n > 4. Cada combinación lineal finita de monomios de la gn(x1) = i=4......................................................................................................................................................... (13) i=4(x1 − xi) [(x1 − x3)2]n−2 (3.24) tiene una descomposición armónica racional en x1 alrededor de x2 gn(x1) = hn(x1) + (x1 − x2) 2 · gûn(x1) (3.25) Es decir, hn es armónico con respecto a x1 y gūn es regular en x1 = x2, y ambos hn y gûn son racionales. Más precisamente, (13) n−2(l23) n−3hn es un polinomio del grado total 2 (n − 3) en las variables ij : 16 i < j}, que es por separado homogonos de grado n− 3 en las variables 1i : i > 2} y en el Variables 12, ♥2i : i > 3}. Prueba. Es conveniente introducir las variables ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... , si = ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... , uij = 122323j ............................................................................................................................................................................................................................................................... (4 6 i < j 6 n). (3.26) Afirmamos que hn(x1) es de la forma hn(x1) = fn(ti, si, uij) , (3.27) donde fn son polinomios de grado n − 3 tales que fn(ti, si = 0, uij = 0) =n i=4 ti. Debido a que todos los si y uij contienen un factor 12, estas propiedades aseguran que La administración por gn − hn)/­12 es regular en ­12. Campos bilocales armónicos 15 Usando nuevamente la identidad (3.20) para el operador de onda, y transformando esto en un operador diferencial con respecto al conjunto de variables (3.26), encontramos x1 hn(x1) = −4 (13) ·Dfn(ti, si, uij), (3.28) donde D es el operador diferencial D = (1 + tüt + süs + uüu)(süt + süs + uüu)− (süs + uüu) con notas taquigráficas para los operadores de conservación de títulos n = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 % % = 1 = 1 % % = 1 , = .............................................................................................. ÍNDICE (continuación) de la Decisión de Ejecución (UE) 2015/61 de la Comisión, de 17 de diciembre de 2015, por la que se aprueba el Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación de la Decisión de Ejecución (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación de la Decisión de Ejecución (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación de la Decisión de Ejecución (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación de la Decisión de Ejecución (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación de la Decisión de Ejecución (UE) n.o 1308/2013 del Consejo en lo que respecta a la aplicación de la Decisión de Ejecución (UE) n.o 1308/UE del Consejo en lo que respecta a la aplicación de la Decisión de Ejecución (UE) n.o 1307/UE) 46i<j6n uijđuij y los operadores que bajan los grados * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 46i<j6n uijltiötj. Para resolver la condición Dfn = 0 para la armonía, hacemos un ansatz fn(ti, si, uij) = (sk, ukl) · ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (ti − si), donde N {4,..., n}, g son polinomios en las variables sk, ukl (k, l K) sólo, y g = 1. Entonces la condición de armónico Dfn = 0 es equivalente a la sistema recursivo (n− 2− K) ¡Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók! k,l'K,k<l (ukl − sk − sl) g Kók, l} donde K es el número de elementos del conjunto K y el operador diferencial El grado polinomio total r en sk y ukl. Desde uno puede dividir por (n − 2− K r)r si r > 0, hay una solución polinómica única Tal que g (sk = 0, ukl = 0) = 0 (K 6 = Ł), y g es del orden 6 K. So fn es de orden n − 3. (Explícitamente, las tres primeras funciones son f3 = 1, f4 = t4 − s4 y f5 = (t4 − s4)(t5 − s5) + (u45 − s4 − s5).) Una inspección de la recursión también muestra que todos los posibles factores........................................................................................................................................................................................................................................................... fn cancelar con los factores en el prefactor en (3.27), por lo que hn puede tener polos sólo en los puntos.13 y.23 del grado máximo especificado. Esto prueba el Lemma. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. El resultado de la discusión anterior es una condición necesaria y suficiente para la bilocalidad Huygens de V1 que se refiere directamente a la correlación local funciones de la teoría: Campos bilocales armónicos 16 Teorema 3.7. El campo V1(x1, x2) converge débilmente en estados de energía limitada a un campo bilocal de Huygens que es conforme de peso (1, 1), si y sólo si el las partes principales F0 de los polinomios Laurent F (3.17) satisfacen el “polo único” propiedad” (Def. 3.1) con respecto a x1 y x2. En este caso, el serie H convergen a polinomios Laurent en (xi − xj) 2 sujeto al mismo polo límites, especificados en el Teorema 2.1, como F. Prueba. Ya sabemos que si V1 es un campo bilocal de Huygens, entonces su correlación funciones H son polinomios Laurent de la forma (2.3), y que esto implica la SPP para F0 con respecto a x1 y x2. Por el contrario, si el SPP mantiene para F0 con respeto a x1 y x2, entonces H son polinomios Laurent por Lemma 3.6, y por lo tanto V1 es relativamente de Huygens bilocal con respecto a los campos. Desde el punto de vista general argumento [4] que la localidad relativa implica la computatividad local de un campo con se refiere sólo a los campos locales, queremos dar un argumento explícito para el caso a la mano. Todo lo anterior sigue siendo cierto cuando en (3.10) o (3.17) un producto de campos Se sustituye el texto siguiente por el de U(xk, xk+1). Por suposición, y porque U es bilocal, las contribuciones de orden (lk,k+1) 0 a las funciones de correlación de U(xk, xk+1) cumplen el SPP con respecto a xk y xk+1. Por Lemma 3.6, este propiedad se conserva en el paso a las partes armónicas con respecto a x1 y x2. Por lo tanto, uno puede continuar de la misma manera con xk, xk+1, y con el tiempo encontrar que todas las funciones de correlación mixtas de la funciones racionales. Con esta convergencia concluimos que todos los productos de V1’s convergen en el vacío, y esto define V1 como un campo bilocal de Huygens, ya que sus elementos de matriz satisfarán la localidad de Huygens. Las propiedades conformales de V1 se derivan de la preservación de la homo- geneidad y los grados de los polos en la descomposición armónica, como se garantiza por Lemma 3.6. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Para n = 4 puntos, el SPP está trivialmente satisfecho debido a la homogeneidad. Por lo tanto la función de 4 puntos V ∗1 V1 siempre es racional. De ello se deduce que su expansión en ondas parciales (trascendentales) [11] no puede terminarse. Esto significa que (a menos que V1 = 0 en cuyo caso no hay ni siquiera un tensor de tensión-energía) un QFT GCI necesariamente contiene infinitamente muchos campos tensores conservados de arbitrariamente alto Gira. 3.4 El caso de la dimensión 2 Analicemos ahora el caso de los campos escalares de la dimensión 2. Alegamos que en en este caso, el corolario 3.5 en combinación con el estado del clúster es suficiente para establecer la SPP, Definición 3.1. Por lo tanto, concluimos por Teorema 3.7 que el torcer dos campos armónicos V1(x1, x2) son efectivamente campos bilocales de Huygens. Para probar nuestra afirmación, usamos que por (2.6), μij > −1, por lo tanto el SPP es equiv- a la afirmación de que no puede haber un término que contribuya a 1(x1) · · · N(xn) , para el cual hay i con más de dos μij negativo (j 6= i). Por lo tanto asumir que hay un término con, por ejemplo, μ12 = μ13 = μ14 = −1. Constituyó un Campos bilocales armónicos 17 doble polo para cada uno de los tres campos armónicos V1(x1, xj) (j = 2, 3, 4). Entonces por homogeneidad (2.5), debe haber más polos en xj (j = 2, 3, 4), pero estos no pueden ser de la forma ljk con k > 4 por el corolario 3.5. Por lo tanto (hasta permutaciones de 2, 3, 4) μ23 = μ24 = −1, μ34 = 0. De nuevo por homogeneidad (2.5), la dependencia en x1,. .., x4 debe ser dada por una combinación lineal de términos - ¡No, no! - ¡No, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no! 12,13,14,23,24 (3.30) con k, l > 4. Aplicando el límite de racimo (Sect. 2.1) a los puntos x1, x2, x3, x4 en (3.30), el límite diverge entre los cuatro puntos siguientes: Este comportamiento es domesticado a t2 por anti– la simetría en k, l, pero no puede ser cancelada por ningún otro término. Por lo tanto la suposición lleva a una contradicción. Esto demuestra el SPP si los campos escalares generadores tienen dimensión d = 2. 3.5 A d = 4 Función de 6 puntos que viola el SPP Procedemos con un ejemplo de función de 6 puntos que viola el SPP en el caso de dos d = 4 campos escalares GCI Li(x) de tal manera que el campo bilocal U(x1, x2) obtenido a partir de L1(x1)L2(x2) tiene una parte simétrica no cero. Deja que L sea cualquier lineal combinación de L1 y L2. La siguiente contribución admisible a la parte truncada de los 6 puntos función U(x1, x2)L(x3)L(x4)U(x5, x6)0> claramente viola el SPP: F0(x1, x2) = A12A56 - - - - - - - - - - - ¿Qué? - ¿Qué? - 13 - 14 - 23 - 24 - 34 - 35 - 45 - 36 - 46 , (3.31) donde Aij representa la antisimmetrización en los argumentos xi, xj. Es ad- misible como una estructura truncada de 6 puntos porque (­12­56) −3F0 obedece a todo el polo límites de Sect. 2 para una correlación L1(x1)L2(x2)L(x3)L(x4)L1(x5)L2(x6) de seis campos de dimensión d = 4. Por otro lado, F0 satisface la ecuación diferencial (E1D2 − E2D1)F0(x1, x2) = 0 (3,32) (y similar en las variables x5 y x6), asegurando que F0 es la parte principal de un función bi-armónica, analítica en un barrio de x1 = x2 y x5 = x6, repre- enviar una contribución a la torsión dos función de 6 puntos 0V1(x1, x2)L(x3)L(x4) V1(x5, x6)0, de los cuales F0 es la parte principal. Esta función no puede ser un Laurent polinomio en el ğij por nuestro argumento general de que la parte principal de un bi- El polinomio armónico Laurent no puede satisfacer el SPP. De ahí el giro de dos campos V1(x1, x2) no puede ser Huygens bilocal. La contribución resultante a la función de 4 puntos actual local conservada El Tribunal de Primera Instancia decidió: tr se obtiene a través de Jμ(x) = i(xyμ) V1(x, y)x=y. También satisface los límites pertinentes de los polos. Esta estructura es racional como debería, porque sólo la parte principal F0 contribuye. De hecho, mientras que la estructura de 6 puntos el campo armónico no puede ser reproducido por campos libres debido a su doble Campos bilocales armónicos 18 polo, la estructura resultante de 4 puntos surge como uno de los tres independientes estructuras conectadas que contribuyen a las funciones de 4 puntos que implican dos Dirac cur- alquiler : aγ b : y dos escalares de Yukawa a, b,. .. ). 4 La teoría de los campos escalares GCI de la dimensión de escala d = 2 La dimensión de escala d = 2 es la dimensión mínima de un campo escalar GCI para que se podría esperar la existencia de modelos no libres. Resulta que sin embargo, que en este caso los campos pueden ser construidos como campos compuestos de libre, o libre generalizado, campos. Es decir, estableceremos el siguiente resultado. Teorema 4.1. Let m(x)} m=1 ser un sistema de campos escalares GCI reales de escalar dimensión d = 2. Entonces se puede realizar por un sistema de campos libres generalizados m(x)} y un sistema de campos libres sin masa reales independientes m(x)}, actuando en un espacio posiblemente más grande de Hilbert, como sigue: Φm(x) = αm,j Łj(x) + j,k=1 βm,j,k :­j(x)­k(x) :, (4.1) donde αm,j y βm,j,k = βm,k,j son constantes reales tales que α2m,j < فارسى y j,k=1 m,j,k < فارسى. Aquí, asumimos que las normalizacións son #0j(x1) #k(x2) #0#= jk (12) -1, -0j(x1) -k(x2) La prueba del Teorema 4.1 se da al final de la Secc. 4.2. La razón principal para este resultado es el hecho de que en el caso d = 2 existen los campos bilocales armónicos y además, son campos de Mentira. Esto fue reconocido originalmente en [12], [2] bajo la suposición de que hay un campo único de la dimensión 2. Lo somos. extendiendo aquí el resultado a un sistema arbitrario de d = 2 campos escalares GCI. Si asumimos la existencia de un tensor de energía de estrés como un campo Wightman5, los campos libres generalizados deben estar ausentes en (4.1), y el número de campos libres debe ser finito. En este caso, la OPI iterada genera en particular el Campo 1 i) i) i) i) y) Como este campo no tiene otra representación de energía positiva que aquellos que ocurren en el espacio Fock [2], posibilidades no triviales de correlaciones entre los campos no libres y los campos (4.1) están fuertemente limitados. 4.1 Estructura de las funciones de correlación Consideramos un QFT GCI generado por un conjunto de campos escalares hermitanos (reales). Denotamos por F el espacio vectorial real de todos los campos escalares reales de escalar GCI 5Un tensor de tensión-energía siempre existe como una forma cuadrática entre los estados generados por el campos Φm del vacío [8]. Campos bilocales armónicos 19 dimensión 2 en la teoría. (Tenga en cuenta que el espacio F puede ser más grande que el lineal espacio del sistema original de d = 2 campos del Teorema 4.1.) Vamos a encontrar en esto sección la forma explícita de las funciones de correlación de los campos de F. Teorema 4.2. Let Ł1(x),. ............................................................................................................................................................................................................................................................... tener el formulario *01(x1)* *n(xn)* c(n)(1,. ............................................................... # 1 #2 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (4.2) donde c(n) son funciones multilineales c(n) : Fn → R con la inversión y Simetrías cíclicas c(n)(­1,. ..... n) = c n)?n,. ........................................................................................................... (n)(?n,?1,. .................................................................. Antes de probar el teorema, vamos a ilustrar primero en el ejemplo de la realización de campo libre (4.1). En este caso se encuentra Φm1,Φm2 αm1,jαm2,j + j,k=1 βm1,j,k βm2,j,k αm1,jαm2,j + Tr βm1βm2, Φm1,. .......................................................... = Tr βm1 · · · βmn para n > 2 (4.3) donde βm = βm,j,k Prueba de Teorema 4.2. Primero recordamos la forma general (2.3) de los truncados función de correlación con límites de polo (2.6) que en este caso dice: μtrjk > −1. El argumento en la Secc. 3.4 muestra que los términos de contribución distintos de cero en Eq. 2.3) tener por cada j = 1,..., n exactamente dos μtrjk o μ negativo kj para algunos k = k1, k2 diferente de j. Los términos distintos de cero son, por lo tanto, productos de «productos cíclicos disociados de pro- agators” de la forma 1/lk1k2lk2k3 · · · kr−1krlkrk1. Pero los ciclos de longitud r < n son en conflicto con la condición del cluster (Sect. 2). Concluimos que 01(x1) · · · N(xn) tr es una combinación lineal de términos como los de (4.2) con algunos co- efficients c­(­1,..................................................................................................................... ..... n............................................................................................................................................... campos Łj (multilinealmente). Localidad, es decir. *01(x1)* *n(xn)* tr = 01(x ) · · · n(xn)0 tr, entonces implica c(­1,. .................................................................................................................... ,. ...................................................................... ′ Sn), por lo que que c­(­1,................................................................................................................................................................. ..... n) = c n)1,. ................................................................................................... n) : Fn → R. Equali- c(n)(­1,............................................................................................................................................... ..... n) = c n)?n,. ........................................................................................................... (n)(?n,?1,. ............................................................... localidad. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Como ya sabemos por los resultados generales de la sección anterior, el campo bilocal monic existe en el caso de los campos de dimensión d = 2. Por otra parte, el conocimiento de las funciones de correlación de los campos d = 2 nos permite encontrar la forma de las funciones de correlación de los campos bilocales resultantes. Esto da lugar a una estructura algebraica en el espacio de los campos escalares reales (locales y bilocales), que nosotros proceder a la exhibición. Campos bilocales armónicos 20 Vamos a introducir junto con el espacio F de d = 2 campos también el vector real espacio V de todos los campos bilocales armónicos reales. Vamos a considerar F y V como construido a partir de nuestro sistema original de d = 2 campos m} del teorema 4.1, por el después de las construcciones. a) Si el valor de la letra x), el valor de la letra x), el valor de la letra x), el valor de la letra x), el valor de la letra x), el valor de la letra c), el valor de la letra x), el valor de la letra c), el valor de la letra x), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de * 1(x1)* * 2(x2)* * 1(x1)* * 2(x2)* * de acuerdo con Eq. (2.7), consideramos su descomposición armónica U(x, y) = V1(x, y) + (x−y) 2 (x, y). Denotamos V1(x, y) por Ł1 ∗ Ł2; esto define un mapa bilineal F F (b) Si ahora v(x, y) V entonces vt(x, y) := v(y, x) también pertenece a V y γ(v) es un campo de F. (c) Si v(x, y), v′(x, y) V entonces hay un campo bilocal armónico (v*v′) := w-lim x′ → y′ xy′ x, x′ y′, y 0v x, x′ y′, y . (4.4) La existencia del límite débil anterior (es decir, un límite dentro de las funciones de correlación) se establecerá a continuación junto con la independencia de x′ = y′ y el regularidad del campo resultante para (x− y)2 = 0. (d) Si v(x, y) #V y #x) #F entonces podemos construir el siguiente bilocal campo perteneciente a V: (v ∗ ♥) := w-lim x′ → y x′ − y x, x′ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • x, x′ , (4.5) donde nuevamente la existencia del límite y la regularidad para (x− y)2 = 0 será se establece más tarde. Uno puede definir de manera similar un producto • ∗ v • V, pero entonces se expresaría como: (vt ∗ ♥)t. Para resumir, tenemos tres mapas bilineales: F F →V, V V →V, V →V, y dos lineales: V →V, V →F. Aplicando estos mapas que construimos F y V inductivamente, a partir de nuestro sistema original de d = 2 campos, dado en Teorema 4.1, y en cada paso de este procedimiento inductivo, establecemos el la existencia de los límites mencionados en las letras c) y d). De hecho, vamos a establecer esto. junto con la estructura de las funciones de correlación truncada para los campos en F y V.6 Antes de declarar el resultado inductivo es conveniente introducir el vector espacio = F × V (4.6) 6Puesto que utilizaremos la noción de funciones de correlación truncada también para los campos bilocales dejar lo recordamos brevemente. Si B1,. ..., Bn son algunos campos (multi)locales manchados luego sus truncados funciones de correlación se definen recursivamente por: P = {1,...,n} {j1,...,jk} Bj1 · · · Bjk · · · tr (la suma es sobre todas las particiones P de {1,..., n}) Campos bilocales armónicos 21 y dotarlo con la siguiente operación bilineal • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0, 1 * 2 + v1 * 2 + v1 * 2 + v1 * 2 + (v) 2 * * * 1) , (4.7) y con la transposición (l, v)t := (l, vt). (4.8) Los espacios F y V serán considerados como subespacios en Â. Por lo tanto, el nuevo operación ∗ en  combina las tres operaciones mencionadas anteriormente. Nos veremos más tarde. que  es en realidad un álgebra asociativa bajo el producto (4.7). Tomamos nota que la transposición t (4.8) es una antiinvolución con respecto al producto: (q1 ∗ q2) t = qt2 * q 1, por cada q1, q2 â Â. Proposición 4.3. Existen funciones multilineales c(N) : N → R (4.9) tal que si tomamos elementos q1,. ............................................................................................................................................................................................................................................................... xk[0], xk[1] V, donde [­] significa un valor Z/2Z y k = 1,..., n, y qk := ­k−n • F para el período comprendido entre el 1 de enero de 2000 y el 31 de diciembre de 2001. k = n+ 1,..., n +m, entonces las funciones de correlación truncada se pueden escribir en el siguiente formulario: *0v1* x1[0], x1[1] · · · vn xn[0], xn[1] · · m 0tr 2 n+m) Sn+m (I,...,ln) (Z/2Z) K.O.T.O.T.O.O. x1[0],. .., xn[1], xn+1,. .., xn+m . (4.10) Aquí: Los coeficientes son dados por K. := c (n+m) [1] ............................................................................................... .., q [n+m] , donde nos fijamos en n+1 = · · = n+m = 0, y q [0] := q, q[1] := qt (para q â Â); los términos Los siguientes productos cíclicos de intervalos son: Tl, ° = xln+m − xl[l] * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * xln+k − xln+k+1 . (4.11) A continuación, Eq. (4.10) que los límites en los pasos c) y d) anteriores están bien Definido. Antes de la prueba vamos a hacer algunas observaciones. Primero, usamos la misma notación. c(n) como en el teorema 4.2 ya que las funciones multilineales anteriores son obviamente un extensión de la anterior, es decir, Eq. (4.10) se reduce a Eq. (4.2) para m = 0. Déjanos También dar un ejemplo para Eq. (4.10) con n = m = 1: *0v(x1, x2)* *(x3)* c 2) v) .23.31 + c(2)(vt, ) *13*32* + c 2)................................................................................................................................................. 31 23 + c 2).................................................................................................................................................. .32.13 . (4.12) Campos bilocales armónicos 22 Como se puede ver, c(n) (así como c(n) del teorema 4.2) poseen un ciclo y un simetría de inversión: q1,. .., qn = c(n) qn, q1. .., qn−1 = c(n) qtn,. .., q . (4.13) Esta es la razón para elegir los prefactores en Eqs. (4.2) y (4.10) (la inversa de las órdenes de los grupos de simetría). Prueba de la Proposición 4.3. De acuerdo con nuestras observaciones preliminares, basta con Demostrar que Eq. (4.10) es consistente con las operaciones F F →V, V V V F →V y V Empezando con F F →V uno debe probar que cualquier correlación truncada función 1(x1)2(x2)· dado por Eq. (4.10) produce una descomposición armónica: 1(x1)2(x2) · ·(12) x1, x2 12R(x1, x2), con una correlación función · (­*1* ­2) x1, x2 dado por Eq. (4.10) y una función racional R Regular en 12 ° = 0. Esto nos da relaciones del tipo c(n+2)(q1,. .................................................................. .., qn) = c (n+1)(q1,. ............................................................... .., qn). (4.14) A continuación, tener funciones de correlación de tipo · v1(x1, x2)v2(x3, x4) · v(x1, x2)•(x3) · de la forma (4.10), se verifica que los límites (4.4) y (4.5) existen dentro de estas funciones de correlación, y producen expresiones para · (v1 ∗ x1, x4 · (v ∗ ♥) x1, x3 consistente con (4.10). Como resultado, nosotros obtener de nuevo las relaciones entre los c’s: c(n+2)(q1,. .., v1, v2,. .., qn) = c (n+1)(q1,. ............................................................... .., qn), c(n+2)(q1,. .... v........................................................... .., qn) = c (n+1)(q1,. ............................................................... .., qn). (4.15) Finalmente, se verifica que el ajuste x1 = x2 en · v(x1, x2) · Obtenemos el funciones de correlación γ(v) con la relación c(n+1)(q1,. ............................................................................... t),. .., qn) = 2 c (n+1)(q1,. .............................................................. .., qn). (4.16) Esto completa la prueba de la Proposición 4.3, así como la prueba de que los productos V V →V y V F →V están bien definidos. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4.2 Estructura asociativa del álgebra de la OPI Tenga en cuenta que Eqs. (4.14), (4.15) debe decir (bajo (4.7)) q1,. .., qk, qk+1,. .., qn = c(n−1) q1,. ............................................................................................................... .., qn . (4.17) Esto implica que la operación bilineal * en  es un producto asociativo. De hecho, considere el elemento q := q1 ∗q2 ∗q3−q1* q2 ∗q3 para q1, q2, q3 â Â. Por (4.7) q es un campo bilocal. Ecuación (4.17) implica que todos los c’s en los que q entra desaparecer y por lo tanto, por Eq. (4.10) q tiene cero funciones de correlación con todos los demás Campos bilocales armónicos 23 campos, incluyéndose a sí mismo. Pero entonces este campo (bilocal) es cero por el Reeh-Schlieder teorema, ya que su acción en el vacío será idénticamente cero. Por lo tanto, la introducción del producto cartesiano  (4.6) no sólo era conveniente para la combinación de tres tipos de operaciones bilineales en uno, pero también como una sión para la asociación (Eqs. (4.14), (4.15). Sin embargo,  lleva un redundante información debida a la siguiente relación: (v), (v + vt) * q = 0 = q * (v), (v + vt) (4.18) por cada v â € ¢ V y q â  Â. Para demostrar (4.18) señalamos en primer lugar que es equivalente a las identidades v*  = γ(v) ∗ y v′ ∗ v = v′ ∗ γ(v) para v = vt V y cualquiera V. Estas identidades se pueden establecer de nuevo primero para los c’s, y a continuación, utilizando el teorema de Reeh-Schlieder, como en la prueba anterior de Associatividad. Por lo tanto, la redundancia en  es porque podemos identificar simétrico bilocal campos v = vt V con sus restricciones a la diagonal, γ(v) F, y esto es compatible con el producto*. Señalamos que la restricción de la mapa γ al subespacio t-invariante Vs := {v • V : v = v t} es una inyección en F. Este último se deriva de un simple análisis de las funciones de 4 puntos de v y el teorema de Reeh-Schlieder: si v(x, y) = v(y, x) y 0v(x, x)v(y, y)0 = 0 entonces 0v(x, x′)v(y, y′)0 = 0. De esta manera vemos que podemos identificar en  el campos simétricos armónicos bilocales v = vt con su restricción en la diagonal γ(v) • F. Formalmente, las consideraciones anteriores pueden resumirse en el cuadro siguiente: Stract way. Vamos a introducir el cociente A :=  (v), (v + vt) v) V) . (4.19) Es un álgebra asociativa según Eq. (4.18). La involución t :  →  puede ser transferido a una involución en el cociente (4.19) y lo denotamos por T también. Los espacios F y V son mapeados en A por las composiciones naturales F →  → A y V →  → A. La inyectividad de γ en Vs implica que los mapas F → A y V → A así definidos son realmente inyecciones. Por lo tanto, trataremos a F y V también como subespacios de A. Además, A se convierte en una suma directa de vector espacios A = F Va, (4.20) q • A : qt = q = F Vs v V : vt = v q A : qt = −q = Va := v • V : vt = −v Por lo tanto, los elementos t-simétricos de A se identifican con la d = 2 campos locales, mientras que los elementos t-antisimétricos de A, con el antisimétrico, armónico campos bilocales (1, 1). (Ni F ni Va son subalgebras de A.) Para resumir, el álgebra asociativa A se obtiene de  identificando el espacio Vs de campos simétricos bilocales con su imagen γ F. Campos bilocales armónicos 24 Para la simplicidad denotaremos la clase de equivalencia en A de un elemento q de nuevo por q. También tenga en cuenta que los c’s se pueden transferir también, a multilinear funcional en A, ya que el núcleo del cociente (4.19) está contenido en el núcleo de cada c(n) por (4.16). Usaremos la misma notación c(n) también para el c(n) funcional multilineal en A. Ejemplo 4.1. Vamos a ilustrar las estructuras algebraicas anteriores en el más simple ejemplo de un QFT generado por un par de d = 2 campos GCI Φ1 y Φ2 dado por normal un par de dos campos libres sin masa que se conmutan mutuamente - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 x): y Φ2(x) = Su álgebra de la OPE implica un conjunto de cuatro campos bilocales armónicos independientes Vjk(x1, x2) := : (j, k = 1, 2), que satisfacen Vjk(x1, x2) = Vkj(x1, x2) = Vjk(x2, x1). Por... postura, tenemos Φ1 ∗ Φ2 = V12 − V21. 7 Tenga en cuenta también que Φ1 = γ(V1) para V1(x1, x2) = :­1(x1)­1(x2) : ­2(x1)­2(x2):, etc. Por la asociación y Eq. (4.17) tenemos q1,. .., qn = c(2) q1 * · · · * qn−1, qn (4.21) para q1,. .............................................................. Consideremos ahora c (2) y definir la simetría siguiente: forma bilineal en A: q1, q2 := c(2) qt1, q2 . (4.22) Primera nota que F y Va son ortogonales con respecto a esta forma bilineal: esto es debido al hecho de que no hay no cero tres punto conformalmente invariante escalar función de los pesos (2, 1, 1), que es antisimétrica en el segundo y tercero argumentaciones. A continuación, afirmamos que (4.22) es estrictamente positivo definido. Esto es un consecuencia directa de la positividad de Wightman y el Reeh-Schlieder teorema (uno debe considerar por separado la positividad en F y Va). En particular: ular, (4.22) es no degenerado. Por Eqs. (4.13) y (4.17) tenemos: q1 ∗ q2, q3 q2, q 1 * q3 (4.23) para todos los q1, q2, q3 o A. Vamos a introducir ahora una división adicional de F. Denote por F0 el núcleo del producto, es decir, F0 := • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • # F : q # # # # 0 # q # A # (4.24) (la segunda igualdad se debe a la identidad فارسى ∗ q = (qt ∗ ♥)t). Deja que F1 sea el complemento ortogonal en F de F0 con respecto al producto escalar (4.22): F1 := • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • = 0 F0 . (4.25) El significado de los campos pertenecientes a F0 se vuelve inmediatamente claro si notamos que c(n) para n > 3 son cero si uno de los argumentos pertenece a F0 (esto se debe a 7i.e., en el OPI Φ1(x1)Φ2(x2) aparece el campo bilocal antisimétrico V12(x1, x2) − V21(x1, x2) que involucra solamente corrientes de tensor conservadas de rango impar en su expansión en campos locales Campos bilocales armónicos 25 Eq. (4.21)). Por lo tanto, todas sus funciones truncadas superiores a dos puntos son cero, Es decir, los campos pertenecientes a F0 son libres generalizados d = 2 campos. Además, estos campos se desplazan con todos los demás campos de F1 y Va A (1): esto es porque de la desaparición de c(2), q) si • • F0 y q • F1 • Va, así como de todos c(n+1)(­, q1,. ..., qn) para n > 2 si • • F0 y q1,.................................................................................................................................................................................................................................................. ........................................................................................................... (4.24)). Claramente, F1Va es un subalgebra de A: esto sigue de Eq. (4.23) con q3 o F0 junto con las definiciones (4.24) y (4.25). Vamos a denotarlo por B := F1 • Va. (4.26) Ahora estamos dispuestos a dar el paso principal hacia la prueba del Teorema 4.1. Proposición 4.4. Hay un homomorfismo del álgebra asociativa B en el álgebra de Hilbert-Schmidt operadores sobre algunos verdaderos separables Hilbert espacio, de tal manera que q1,. .., qn · · · · , (4.27) y son operadores simétricos, mientras que son antisimétricos. Daremos la prueba de esta proposición en la subsección siguiente. Los razón principal que conduce a ella es que B se convierte en un verdadero álgebra Hilbert con una integral Rastrealo. Aquí procedemos a mostrar cómo el Teorema 4.1 puede ser probado mediante el uso de los resultados anteriores. Prueba de Teorema 4.1. Let Φm = Φ m + Φ m ser la descomposición de cada campo Φm según la división F = F0 + F1. Tome una base ortonormal F0 y let Φ αm,j Łj, y βm = βm,j,k ser la matriz simétrica correspondiente al operador Hilbert-Schmidt (m = 1, 2,... ). Entonces Eqs. (4.3) y (4.27) muestran que las constantes αm,j y βm,j,k así definidas satisfacen las condiciones del Teorema 4.1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Observación 4.1. En general, tenemos F1 % Vs. Esto se debe a que los elementos de F1 corresponde, por Proposición 4.4, a los operadores simétricos Hilbert-Schmidt y por otro lado, los elementos de V se obtienen, de acuerdo con la inductiva construcción de la Secc. 4.1, como productos de elementos de F y, por lo tanto, corresponderá para rastrear a los operadores de clase. 4.3 Finalización de las pruebas Queda por probar la Proposición 4.4. Comenzamos con una desigualdad de Cauchy– Tipo Schwartz. Lemma 4.5. Que q1, q2 â € A sea tal que cada uno de ellos pertenece a F o a Va. Entonces tenemos q1 * q2, q1 * q2 q1 * q1, q1 * q1 q2 * q2, q2 * q2 . (4.28) Campos bilocales armónicos 26 Prueba. Considerar q1*q1 q2*q2, q1*q1 q2*q2 > 0 y utilizarlo q1*q1, q2*q2 q1 * q2, q1 * q2 si cada uno de q1, q2 pertenece a F o a Va. El espacio B (4.26) es un verdadero espacio pre-Hilbert con un producto escalar dado por (4.22). También es invariante bajo la acción de t (realmente los espacios propios de t son F1 y Va). La acción izquierda de B en sí nos da un homomorfismo de álgebra ■ : B → LinR B (4.29) de B en el álgebra de todos los operadores sobre B. Además, los elementos de F son: mapeado en operadores simétricos y los elementos de Va, en antisimétricos (esto se debe a (4.23)). Lemma 4.6. Cada elemento de B se asigna a un operador de Hilbert-Schmidt. Prueba. Dado que B es generada por F1 (según la construcción inductiva de F y V en Secc. 4.1) basta con mostrar esto para los elementos de F1. Vamos a F1 y considerar la subalgebra conmutativa de B de B generada por - ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. El álgebra B.B. es libremente generada por.B., es decir, es isomórfica al álgebra En el caso de los polinomios, en una sola variable, el valor de los polinomios es el mismo que el de los polinomios, ya que el valor de los polinomios es el mismo que el de los polinomios, ya que el valor de los polinomios es el mismo que el de los polinomios, ya que el valor de los polinomios es el mismo que el de los polinomios. Complemento onal de F0 (4.24). En el caso de un p(l) ° ° R[l] se denominará por el p[l] ° p[l] el elemento correspondiente de B................................................................................................................. En particular, * [p1] * * [p2] = * [p1p2]. (4.30) Ajuste (n+1) := n ∗, c := c(2) # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (4.31) (1 := ♥, n > 1) obtenemos una funcional definida positiva sobre el álgebra (debido a Eq. (4.23) y la positividad de (4.22)). Luego, por el teorema de la Hamburguesa sobre el problema del momento clásico ([9, Chap. 12, Sect. 8) llegamos a la conclusión de que existe un límite positivo Borel mea- dμ seguro sobre R, de tal manera que 2 p () dμ() (4.32) por cada p(l) + R[l]. Usando esto podemos extender los campos Ł[p](x) a Ł[f ](x) para funciones medibles Borel f con soporte compacto con respecto a μ en R.0}. Esto último se puede hacer de la siguiente manera. Arreglar los puntos (0, 1) y Let g1,. ................................................................................ 0[p1][g1] · · [pn][gn]0 dependen polinomialmente de c [pk1],. ............................................. [pkj] pk1 · · · pkj para todos {k1,. ........................................................................................................... Pero por cada 0, 1) allí existe una norma # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * qk() + B R \ (, Ł) qk() dμ(♥) (4.33) Campos bilocales armónicos 27 sobre 2R[l] q(l), donde A­ y B­ son algunas constantes positivas, de tal manera que para cada q1,. ............................................ 2R[] c q1(e) · · · qm(e) 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 qk() dμ() * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Por lo tanto, 0[p1][g1] · · [pn][gn] 6 C Para algo de constante C y Schwartz norma S (no dependiendo de pk y gk). Ya que por cada # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (0, 1) el espacio Banach L1 Ráaaaaaaaaaaaaaaaaaaa, μaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa se incluye en la conclusión de Con respecto a las normas (4.33), podemos extender la función funcional lineal c[p(l)], así como los correlatores 0[p1][g1] · · · [pn][gn]0 a una c[f(l)] funcional y correlators [f1][g1] · · [fn][gn]0», definido para las funciones de Borel f, f1,. .............................................................. soporte compacto con respecto a μ en R­0}. Así, podemos extender los campos Extendiendo sus correlatores. Por la continuidad también tenemos para las funciones arbitrarias de Borel f, fk, compactamente soportada en R­0}: * [f1] * * [f2] = * [f1f2], c(n) *[f1],. ................................................................................... f1 · · · fn f ] = dμ() (4.34) (cp. (4.32)) y c(n) determinan las funciones de correlación de la rem 4.2. En particular, para cada función característica χS de un subconjunto compacto Tenemos "XXS" = "XXS" = "XXS". Por lo tanto, para tal d = 2 campo tendremos que todas sus funciones de correlación truncada son dadas por (4.2) con toda normalización constantes c(n) igual a uno y el mismo valor c(2) * [xxs], * [xxs] . Entonces, como se muestra en [12, Teorema 5.1], La positividad de Wightman requiere que este valor sea no negativo entero, es decir, [XXS], [XXS] dμ() {0, 1, 2,... } (4.35) (es cero iff [χS ] = 0). Por lo tanto, la restricción de la medida dμ( es una suma (posiblemente infinita) de medidas atómicas de masas integrales, cada una de ellas apoyada en algunos γk â Râ ¬ 0} para k = 1,...., N (y N podría ser infinito). En particular, la medida μ se apoya en un subconjunto limitado de R. Por Lemma 4.5 podemos definir l([f ]) como un operador closable en B si f es un Borel función medible con soporte compacto en R®0}. De ello se deduce que el los proyectores ([χS ]), para un S compacto R0}, proporcionan una descomposición espectral En el caso de la letra a) (de hecho, en el caso de la letra f)) = f) ). Por lo tanto, tiene espectro discreto con eigen- valores γk (k + N), cada uno de una multiplicidad dada por el entero c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * k} A continuación, es un operador Hilbert-Schmidt desde γ2k c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * k} dμ() Râ € TM = 0} dμ() Campos bilocales armónicos 28 (μ siendo una medida limitada). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La conclusión de la prueba de la Proposición 4.4 es proporcionada ahora por el fol- Lowing corolary. Corollary 4.7. Por cada q1, q2 o B uno tiene c q1, q2 (q1)(q2) Prueba. Si q1 = q2 F1 esto sigue de la prueba de Lemma 4.6 y por lo tanto, por una polarización, para cualquier q1, q2 o F1. El caso general puede obtenerse utilizando los hechos de que B es generado por F1 y c (2) tiene la simetría c(2)q1 * q2, q3) = c 2) q1, q2 * q3). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 5. Discusión. Problemas abiertos El principal resultado de Secc. 4, la representación (generalizada) libre sobre el terreno de un sistema a} de campos escalares GCI de dimensión conformal d = 2 (Teorema 4.1), se obtiene revelando y explotando una rica estructura algebraica en el espacio F × V de todos d = 2 campos escalares reales y de todos los campos bilocales armónicos de dimensión (1, 1). Sin embargo, esta estructura se debe principalmente al hecho de que estamos en el caso de dimensión de escala inferior: sólo hay una posible estructura singular en el OPE (después de truncar la pieza de vacío). Uno puede tratar de establecer tal resultado en espacios de spin–tensor de campos bilocales (de dimensión ) satisfaciendo lineal (primer orden) ecuaciones diferenciales conformalmente invariantes (que otra vez implican armónico). Si estas ecuaciones junto con los límites de polo correspondientes implica tales singularidades en la OPI, que puede ser “dividido” uno sería capaz de probar la validez de las realizaciones de campo libre en tales teorías más generales, también. Uno también puede intentar estudiar modelos, digamos en una teoría de un sistema de escalar campos de dimensión d = 4, sin dejar el reino del armónico bilocal escalar campos V1 (de dimensión (1, 1)). En [11] se han encontrado ejemplos de 6 puntos funciones de los campos bilocales armónicos, que no tienen realizaciones libres del campo. Sin embargo, nuestra experiencia con el caso d = 2 muestra que para completar el modelo (incluyendo la comprobación de la positividad de Wightman para todas las funciones de correlación) es crucial describir la OPI en términos de alguna estructura algebraica simple (por ejemplo, álgebras asociativas o Lie). Por otro lado, ir más allá de la V1 bilocal es una verdadera señal de no trivialidad de un modelo GCI. Nuestro análisis de Sect. 3 muestra que esto se puede caracterizar por una simple propiedad de las funciones de correlación: la violación del único pole property (de Secc. 3.3). Desde este punto de vista, una nueva exploración de el ejemplo de Sect. 3.5 dentro de un QFT que involucra corrientes aparece particularmente Atractivo. Nota añadida como prueba. En [19], hemos determinado la función biarmónica cuya parte principal es dada por Eq. 3.31). Implica funciones dilogarotmicas, cuyos argumentos son funciones algebraicas de las relaciones transversales conformales. Este exem... amplifica la violación de la bilocalidad de Huygens para los campos biarmónicos, Teorema 3.7. Campos bilocales armónicos 29 Sin embargo, en apoyo de la conjetura 3.3, se demuestra que la estructura de los cortes está en una manera no trivial consistente con la bilocalidad ordinaria. Agradecimientos. Damos las gracias a Yassen Stanev por un debate esclarecedor. Este trabajo comenzó mientras N.N. e I.T. visitaron el Institut für Theoretische Physik der Universität Göttingen como Alexander von Humboldt becario de investigación y becario de AvH, respectivamente. Se continuó durante el la estancia de N.N. en el Instituto Albert Einstein de Física Gravitacional de Potsdam y de I.T. en el Grupo de Teoría del Departamento de Física del CERN. El documento se completó durante la visita de N. N. e I.T. a la Sección de Energía Alta del I.C.T.P. en Trieste, y de K.-H.R. en el Instituto Erwin Schrödinger en Viena. Agradecemos a todas estas instituciones su hospitalidad y apoyo. N.N. e I.T. fueron parcialmente apoyados por la Red de Formación en Investigación de la Comisión Europea en virtud del contrato MRTN-CT-2004-00514 y por el Consejo Nacional Búlgaro de Investigación Científica en virtud del contrato PH-1406. Bibliografía [1] B. Bakalov, N.M. Nikolov, identidad jacobi para álgebras vértices en niveles superiores dimensiones, J. Matemáticas. Phys. 47 (2006) 053505; matemáticas-ph/0604069. [2] B. Bakalov, N.M. Nikolov, K.–H. Rehren, I. Todorov, unitario representaciones de energía positiva de campos cuánticos bilocales escalares, Commun. Matemáticas. Phys. 271 (2007) 223–246; matemáticas-ph/0604069. [3] V. Bargmann, I.T. Todorov, Espacios de funciones analíticas en un complejo cono como portador de las representaciones tensoras simétricas de SO(N), J. Matemáticas. 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Todorov, estructura del polo y bihar- campos mónicos en QFT conforme en cuatro dimensiones. E-print arXiv:0711.0628, aparecer en: “LT7: Teoría de la Mentira y sus Aplicaciones en Física”, Proce- ings Varna 2007, ed. V. Dobrev (Heron Press, Sofía). http://arxiv.org/abs/hep-th/0504146 http://arxiv.org/abs/hep-th/0110230 http://arxiv.org/abs/hep-th/0305200 http://arxiv.org/abs/hep-th/0009004 http://arxiv.org/abs/0711.0628 Introducción Propiedades de los campos escalares GCI Estructura de las funciones de correlación y límites de polos Expansión del giro de la OPI y bi-armonicidad del giro de dos contribuciones Bilocalidad de giro dos contribución a la OPI Convergencia de las descomposicións armónicas Consecuencias de la biarmonicidad Una condición necesaria y suficiente para la bilocalidad de Huygens El caso de la dimensión 2 A d=4 función de 6 puntos violando el SPP La teoría de los campos escalares de escala de GCI d=2 Estructura de las funciones de correlación Estructura asociativa del álgebra de la OPI Finalización de las pruebas Discusión. Problemas abiertos

La contribución twist dos en la expansión del producto del operador de phi_1(x_1) phi_2(x_2) para un par de campos invariantes conformantes globales, escalares iguales escalar la dimensión d en cuatro dimensiones espacio-tiempo es un campo V_1(x_1,x_2) que es armónico en ambas variables. Se demuestra que la bilocalidad de Huygens de V_1 puede ser caracterizado equivalentemente por una "propiedad de un solo polo" la estructura de polos de las funciones de correlación (racional) producto phi_1(x_1) phi_2(x_2). Esta propiedad está establecida para la dimensión d=2 de phi_1, phi_2. Como aplicación demostramos que cualquier sistema de escalar GCI los campos de la dimensión conforme 2 (en cuatro dimensiones espacio-tiempo) pueden ser presentado como una superposición (posiblemente infinita) de productos de masa libre campos.

Introducción Invarianza Conformal Global (GCI) de los campos Wightman del espacio de Minkowski racionalidad de las funciones de correlación [14]. Este resultado abre el camino para un no- construcción y análisis perturbativo de modelos GCI para dimensiones superiores La teoría cuántica de campo (QFT), explorando nuevas implicaciones de la Wight- Hombre axiomas. Al elegir el enfoque axiomático, evitamos cualquier sesgo sobre el posible origen del modelo, porque aspiramos a una perspectiva más amplia posible. Activar por otra parte, la suposición de GCI limita el análisis a una clase de teorías http://arxiv.org/abs/0704.1960v4 Campos bilocales armónicos 2 que puede ser parametrizado por su contenido de campo (generador) y finitamente muchos coeficientes para cada función de correlación (véase Secc. 2). Como dimensiones anómalas bajo el supuesto de que GCI se ven obligados a ser integral, no hay En este contexto, pero es concebible que una teoría con una el parámetro de acoplamiento ue puede mostrar GCI a valores discretos (que aparecen como puntos fijos de grupo de renormalización). Un ejemplo de este tipo es proporcionado por el Modelo Thirring: es localmente invariante conforme para cualquier valor del acoplamiento constante g y se convierte en GCI para el entero positivo g2 [5]. Los tratamientos axiomáticos previos de QFT conformal se centraron en la teoría de resentimiento y análisis armónico del grupo conformal [6, 10] como herramientas para la Expansión de Producto del Operador (OPE). La realización proyectiva general de simetría conformal en QFT ya se hizo hincapié en [15, 16] y se encontró que constituir una organización (parcial) de la OPI. GCI es complementaria en la medida en que asume representaciones verdaderas (proyección de cobertura trivial). Una condición necesaria para esta situación altamente simétrica es la presencia de infinitamente muchos conservados Corrientes tensoras (como veremos en Secc. 3.3). Los primeros casos estudiados bajo el supuesto de ICG fueron teorías generadas por un campo escalar de (baja) dimensión integral d > 1. (El caso d = 1 corresponde a un campo libre sin masa con una función de 4 puntos truncada que desaparece wtr4.) Los casos 2 6 d 6 4, que dan lugar a no cero w 4 fueron considerados en [12, 13, 11].1 El principal propósito de estos trabajos fue estudiar las limitaciones para el 4- correlación de puntos (= Wightman) funciones procedentes de theWightman (= Hilbert espacio) positividad. Esto se logró mediante el uso de la extensión de onda parcial conformal sión. Una herramienta técnica importante en esta expansión es la división de la OPI en diferentes contribuciones de giro (véase (2.10)). Cada onda parcial da un no- contribución racional a la completa función racional de 4 puntos. Es, por lo tanto, notable que la suma de la dirección, torcer dos, ondas parciales conformales (cor- respuesta a las contribuciones de todos los tensores simétricos sin trazas conservados en la OPI de los campos básicos) puede demostrarse, en algunos casos, que es una función racional. Esto significa que el giro de dos partes en la OPI de dos campos es convergente en tales casos a un campo bilocal, V1(x1, x2), que es nuestro primer resultado principal en el presente papel. A lo largo de todo, “bilocal” significa Huygens (= espacio–como y tiempo–como) lo- cality con respecto a ambos argumentos. Demostrar la bilocalidad explota los límites en los polos debido a la positividad de Wightman, y las leyes de conservación para torcer dos tensores que implican que los campos bilocales son armónicos en ambos argumentos. Ejemplos triviales de campos bilocales armónicos son dados por campo libre bilineal construcciones de la forma : (x1):, (x1)(x2): (x1)(x1)(x1 − x2) (x2) :, o (x1 − μ(x1 − x2) /: F(x1)F El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 23 de octubre de 2001. Uno de los objetivos principales de este documento es explorar si pueden existir dos campos armónicos que no son de esta forma, y si pueden ser bilocales. Por otra parte, se muestra que la presencia de un bilocal 1 Las dos últimas referencias se refieren principalmente al caso d = 4 (en D = 4 espacio-tiempo) las dimensiones) que parecen ser de especial interés como correspondiente a un (invariante de calibre) Densidad lagrangiana. El caso intermedio d = 3 se examina brevemente en [18]. Campos bilocales armónicos 3 campo V1 determina completamente la estructura de la teoría en el caso de una escala dimensión d = 2. El primer paso hacia la clasificación de d = 2 campos GCI se realizó en [12], donde se consideró el caso de un campo escalar único. Aquí vamos. extender nuestro estudio al caso más general de una teoría generada por un arbitrario (contable) conjunto de d = 2 campos escalares. Nuestro segundo resultado principal dice que los campos son siempre combinaciones de los productos de Wick de los campos libres (y generalizada campos libres). El documento se organiza de la siguiente manera. La sección 2 contiene un examen de los resultados pertinentes relativos a la teoría de la ICG campos escalares. En Secc. 3 estudiamos las condiciones para la existencia del campo bilocal armónico V1(x1, x2). Demostramos que la bilocalidad de Huygens de V1(x1, x2) es equivalente al pecado- gle pole property (SPP), Definición 3.1, que es una condición en la estructura de polos de las singularidades principales de las funciones de correlación truncadas de cuya expansión de giro comienza con V1(x1, x2). Esta condición no trivial califica un anuncio prematuro en [2] de que la bilocalidad de Huygens es automática. De hecho, el SPP está trivialmente satisfecho con todas las correlaciones de la construcción de campo libre. ciones de campos armónicos con otros (productos de) campos libres, debido a la estructura de V1. Por lo tanto, cualquier violación del SPP es una señal clara para un nontriv- Contenido del campo ial del modelo. Por otra parte, el SPP se demostrará a partir de principios para un sistema arbitrario de d = 2 campos escalares (el caso estudiado en [2]). Sin embargo, aunque la estructura de los polos de U(x1, x2) resulta ser altamente limitada en general por las leyes de conservación de torcer dos corrientes tensoras, el SPP hace no seguir para los campos de dimensiones superiores, como lo ilustra un contra-ejemplo de una función de 6 puntos de d = 4 campos escalares que implican polos dobles (Sect. 3.5). La existencia de V1(x1, x2) como un campo bilocal de Huygens en una teoría de la dimensión d = 2 campos permite determinar las funciones de correlación truncada hasta una sola parámetro en cada uno de ellos. Esto es explotado en la secta. 4, donde una asociación álgebra estructura de la OPI de d = 2 campos escalares y campos bilocales armónicos se revela. La representación de campo libre de estos campos se infiere resolviendo un problema de momento asociado. 2 Propiedades de los campos escalares GCI 2.1 Estructura de las funciones de correlación y límites de polos Asumimos a lo largo de la validez de los axiomas Wightman para un QFT en el D = 4 Minkowski plano espacio-tiempo M (excepto para la integridad asintótica) – véase [17]. Nuestros resultados pueden ser, de hecho, generalizados de una manera directa a cualquier incluso la dimensión espacio-tiempo D. La condición de GCI en el espacio Minkowski es una condición de simetría adicional en las funciones de correlación de la teoría [14]. En el caso de un campo escalar (x), afirma que las funciones de correlación del campo (x) Campos bilocales armónicos 4 son invariantes en la sustitución (x) 7→ det , (2.1) donde x 7→ g(x) es cualquier transformación conformal del espacio de Minkowski, su matriz Jacobi y d > 0 es la dimensión de escalado de ♥. Un punto importante es que la invarianza de las funciones de Wightman (x1) · · • (xn) por debajo de la la transformación (2.1) debe ser válida para todos los xk M en el dominio de la definición de g (en el sentido de las distribuciones). Se deduce que d debe ser un entero en orden para garantizar el valor único del prefactor en (2.1). Por lo tanto, GCI implica que sólo pueden ocurrir dimensiones anómalas integrales. Las consecuencias más importantes de la ICG en el caso de los campos escalares dimensiones dk se resumen como sigue. a) Localidad de Huygens ([14, Teorema 4.1]). Los campos viajan para no luz-como separaciones. Esto tiene una versión algebraica: (x1 − x2) 1(x1), 2(x2) = 0 (2.2) para un número entero suficientemente grande N. b) Racionalidad de las funciones de correlación (cf. [14, Teorema 3.1]). Generalidades forma de las funciones de Wightman es: 1(x1) · · n(xn) jk} Cjk} (ljk) μjk, (2.3) donde aquí y en lo que sigue nos fijamos (xjk − i 0 e0) 2 = (xjk) 2 + i 0 x0jk, xjk := xj − xk ; (2.4) la suma en Eq. (2.3) está sobre todas las configuraciones de potencias integrales jk = μkj} con sujeción a las siguientes condiciones: j (6=k) μjk = −dk, (2,5) y límites de los polos μjk > − dj + dk - 1 . Ecuación (2.5) la invarianza conformal bajo (2.1), los límites del polo expresan la ausencia de representaciones no unitarias en la OPI de dos campos [14, Lemma 4.3]. Bajo estas condiciones la suma en (2.3) es siempre finita y hay un número finito de parámetros libres para cada función de correlación de n-punto. Nos referiremos a la forma (2.3) como un polinomio Laurent en las variables đjk. 2Escribir funciones de correlación en términos de las relaciones cruzadas conformalmente invariantes es particu- Larly útil para parametrizar las funciones de 4 puntos. Una base de relaciones cruzadas para una función de n-punto se utiliza en la prueba de Lemma 3.6. La sistemática general de la estructura de polos, sin embargo, es más transparente en términos de las variables actuales. Campos bilocales armónicos 5 c) Las funciones truncadas de Wightman 1(x1) · · • n(xn) son de la la misma forma como (2.3) pero con grados de polo μtr limitada por μtrjk > − dj+dk (2.6) (cf. [14, Corollary 4.4]). La condición de cluster, expresando la singularidad del vacío, requiere que si un subconjunto apropiado no vacío de puntos xk entre todos los xi (i = 1,..., n) es desplazado por t · a (a2 6= 0), entonces la función truncada debe desaparecer en el límite t →. Por los grupos de dos puntos {xj, xk}, esta condición está garantizada por (2.6) en combinación con (2,5). En el caso de los grupos más altos, impone nuevas limitaciones a la admisibilidad combinaciones lineales de términos de la forma (2.3). Obsérvese, sin embargo, que debido a posibles cancelaciones los términos individuales no necesitan desaparecer en el límite de cluster. La condición de clúster se utilizará en el establecimiento de la propiedad de polo único para d = 2. 2.2 Expansión de torsión de la OPI y bi-armonicidad de la torsión de dos Contribución La herramienta más poderosa proporcionada por GCI es la construcción explícita de la OPI de los campos locales en el marco general (axiomático). Dejar que la letra x) y la letra x) sean dos campos escalares GCI de la misma dimensión de escalado d y considerar la distribución del operador U(x1, x2) = (­12) * 1(x1)* * 2(x2)* * 1(x1)* * 2(x2)* * . (2.7) Como consecuencia de los límites del polo (2.6), U(x1, x2) es suave en la diferencia x12. Esto debe entenderse en un sentido débil para los elementos de la matriz de U entre estados de energía limitada. Obviamente, U(x1, x2) es un campo bilocal de Huygens en el sensibilizar que [ (x1 − x) 2 x 2 − x) U(x1, x2), •(x) = 0 (2.8) para todos los campos (x) que es local de Huygens con respecto a Łk(x). Entonces, uno introduce la OPI de ­1(x1)­2(x2) por la expansión de Taylor de U en x12 U(x1, x2) = μ1,...,μn=0 12 · · · x μ1...μn (x2), (2.9) donde Xnμ1...μn(x2) son campos locales de Huygens. Podemos considerar la serie (2.9) como una serie de poder formal, o como una serie convergente en términos de la analítica funciones de correlación continua de U(x1, x2). En este momento examinaremos la cuestión. serie (2.9) como una serie formal. (Véase también [1] para el caso general de la construcción OPI a través de campos multilocales en el contexto de álgebras vértices en dimensiones superiores.) Puesto que el prefactor en (2.7) se transforma como una densidad escalar de peso conformal (1-d, 1-d) luego U(x1, x2) se transforma como un campo de peso bilocal conformal (1, 1). Campos bilocales armónicos 6 Por lo tanto, los campos locales Xnμ1...μn en (2.9) tienen dimensiones de escala n+2 pero no lo son, en general, cuasiprimario.3 Uno puede pasar a una expansión en campos cuasiprimarios por restando de Xnμ1...μn derivados de campos dimensionales inferiores X μ1...μn′ . Los campos cuasiprimarios resultantes Okμ1...μl son campos tensores sin trazas de rango l y dimensión k. La diferencia k - l (“dimensión − rango”) (2.10) se llama torsión del campo tensor Okμ1...μl. La unidad implica que el giro es no negativo [10], y por GCI, debe ser un entero par. De esta manera uno puede reorganizar la OPI (2.9) de la siguiente manera: U(x1, x2) = V1(x1, x2) + 2 V3(x1, x2) + · · ·, (2.11) en la que V­(x1, x2) es la parte de la OPI (2,9) que contiene sólo la torsión 2­ contri­ butions. Nótese que Eq. (2.11) contiene también la información de que el giro 2 las contribuciones contienen un factor (12) 1 (es decir, V.V. son “regulares” en x1 = x2), que es una característica no trivial de este OPI (obtenido considerando funciones de 3 puntos). Por lo tanto, la expansión en los giros se puede ver como una expansión del cono-luz de la Puesto que la descomposición de giro de los campos es conforme invariante entonces cada uno Se comportará, al menos infinitesimalmente, como una densidad escalar bajo con- transformaciones formales. Cada serie (formal) es una serie complicada en twist 2o campos y su deriva- tivos: (x1, x2) = Kμ1...μlŁ (x12, Łx2)O μ1...μl (x2), (2.12) donde K μ1...μl Las series de potencia formal infinitas en x12 (x12, x2) con coeficientes que son operadores diferenciales en x2 que actúan en los campos cuasiprimarios O. Los importante aquí es que la serie K μ1...μl Se puede fijar universalmente (x12, x2) para cualquier QFT conforme (incluso en general). Esto se debe a la universalidad de la funciones formales de tres puntos. La forma explícita de K μ1...μl Se puede encontrar en la página web de la Oficina de Publicaciones Oficiales de las Comunidades Europeas: http://europa.eu.int/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment/environment. [6, 7] (véase también [13]). Por lo tanto, podemos en este punto considerar V­(x1, x2) sólo como la generación de series para el giro 2o contribuciones a la OPI de ♥(x1)o(x2), pero todavía no sabemos si estas series serían convergentes e incluso si lo fueran, no sería evidenció si darían campos bilocales. En la siguiente sección veremos que esto es cierto para el líder, girar dos partes bajo ciertas condiciones, que se cumplen automáticamente para d = 2. Las partes más altas de torsión V. (...................................................................................................................................................... campos bilocales, ya que sus funciones de 4 puntos, computadas en [13], no son racionales. 3Los campos cuasiprimarios se transforman irreductiblemente bajo transformaciones conformales. Campos bilocales armónicos 7 La mayor diferencia entre el giro dos campos tensores y el giro superior campos es que los primeros satisfacen las leyes de conservación: xμ1O μ1...μl (x) = 0 (l > 1). (2.13) Esta es una consecuencia bien conocida de la invarianza conformal de la función de 2-puntos y el teorema de Reeh-Schlieder. Incluye, en particular, la conservación leyes de las corrientes y el tensor de tensión-energía. Resulta que V1(x1, x2) codifica de una manera sencilla este sistema infinito de ecuaciones. Teorema 2.1. ([13]) El sistema de ecuaciones diferenciales (2.13) es equivalente a la armónicoidad de V1(x1, x2) en ambos argumentos (bi–armonicidad) como un formal series, es decir, x1V1(x1, x2) = 0 = x2V1(x1, x2). La prueba se basa en el conocimiento explícito de la serie K en (2.12) y es válida incluso si la teoría es invariante bajo transformaciones conformales infinitesimal Sólo. La separación del giro de dos partes en (2.11) equivale a una división de U de el formulario U(x1, x2) = V1(x1, x2) + ♥12 (x1, x2). (2.14) Esta división se puede pensar en términos de elementos de matriz de U(x1, x2) expandido como una serie de potencia formal de acuerdo con (2.9). Es único en virtud del Teorema 2.1, debido a la Lemma clásica siguiente: Lemma 2.2. ([3, 1]) Dejar u(x) ser una serie de potencia formal en x • C4 (o, CD) con coeficientes en un espacio vector V. Entonces existe una serie de potencia formal única v(x) y •(x) con coeficientes en V de modo que u(x) = v(x) + x2 Ł(x) (2.15) y v(x) es armónico en x (es decir, x v(x) = 0). (2.15) se llama el armónico descomposición de u(x) (en la variable x alrededor de x = 0), y la potencia formal serie v(x) se dice que es la parte armónica de u(x). 3 Bilocalidad de giro dos contribución a la OPI Vamos a bosquejar nuestra estrategia para estudiar la bilocalidad de V1(x1, x2). La existencia del campo V1(x1, x2) se puede establecer mediante la construcción de su cor- funciones de relación. Por otro lado, cada función de correlación4 ·V1(x1, x2) · 4Esta notación abreviada significa 3(x3) · k(xk) V1(x1, x2) ♥k+1(xk+1) # # # n(xn) # , aquí y en la secuela. Campos bilocales armónicos 8 de V1 se obtiene (originalmente, como una serie de potencia formal en x12) ión (2.14). Por lo tanto, aparece como una descomposición armónica de la correspondiente función de correlación · U(x1, x2) · de U : · U(x1, x2) · · V1(x1, x2) · + 12 libras esterlinas · (x1, x2) · . (3.1) Tenga en cuenta que inicialmente debemos tratar el lado izquierdo de (3.1) también como un formal serie de energía en x12 con el fin de hacer la igualdad significativa. Es importante que esta serie es siempre convergente como una expansión Taylor de una función racional en un cierto dominio alrededor de x1 = x2 en M , para el espacio Minkowski complejado MC = M + iM, de acuerdo con las propiedades analíticas estándar de Wightman funciones. Lo mostraremos en Sect. 3.1 que esto implica la convergencia por separado de ambos términos en el lado derecho de (3.1). Por lo tanto, la herramienta clave en la construcción V1 son las descomposicións armónicas F (x1, x2) = H(x1, x2) +....................................................................................................................................................................................................................................................... de funciones F (x1, x2) que son analíticas en ciertos barrios de la diagonal {x1 = x2}. Recuerde que H en (3.2) es fijado como la parte armónica de F en x1 alrededor x2, debido a Lemma 2.2. Esto es equivalente a la armónicoidad x1 H(x1, x2) = 0. Por otra parte, según Teorema 2.1 tenemos que considerar también la segunda condición de armónico en H, x2 H(x1, x2) = 0, es decir, H es el armónico parte en x2 alrededor de x1. Esto lleva a algunas condiciones de “integrabilidad” para el función F (x1, x2), que estudiamos en la Secc. 3.2. A continuación, para caracterizar la bilocalidad Huygens de V1, deberíamos tener racionalidad de sus funciones de correlación · V1(x1, x2) · , que se debe a un sencillo extensión de los argumentos de [14, Teorema 3.1]. Pero hemos empezado con el funciones de correlación de U, que son ciertamente racionales. Por lo tanto, debemos estudiar otra condición en U, a saber, que sus funciones de correlación tienen un racional descomposición armónica. Mostramos en Sect. 3.3 que esto es equivalente a un simple condición sobre las funciones de correlación de U, que llamamos “propiedad del Polo Único” (SPP). De esta manera establecemos en la Secc. 3.4 que V1 siempre existe como un Huygens campo bilocal en el caso de campos escalares de dimensión d = 2. Sin embargo, para mayores dimensiones de escala ya no se puede esperar que V1 es Huygens bilocal en Generalidades. Esto se ilustra por un contraejemplo, que implica la función de 6 puntos de un sistema de d = 4 campos, dado al final de la Secc. 3.5. 3.1 Convergencia de las descomposicións armónicas Analizar la existencia de la descomposición armónica de un Taylor convergente serie utilizamos las complejas técnicas de integración introducidas en [1]. Que MC =M + iM sea la complejidad del espacio Minkowski, que en este subsección se supone que es D-dimensional, y E = x : (i x0, x1,. .., xD−1) su verdadero submanifold euclidiano, y SD−1 E la esfera de unidad en E. Nosotros Campos bilocales armónicos 9 denotar por la norma Hilbert relacionada con las coordenadas fijas en MC: x02 + · · · + xD−12. También vamos a introducir para cualquier r > 0 un verdadero submanifold compacto Sr de MC: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • [0, π], w • SD−1 (3.3) (Obsérvese que en el artículo 2 se da otra parametrización del Sr.) Entonces hay un representación integral para la parte armónica de una serie convergente de Taylor. Lemma 3.1. (cf. [1, Secc. 3.3 y Apéndice A]) Que u(x) sea un complejo formal serie de potencia que es absolutamente convergente en la bola â € € < r, para algunos r > 0, a una función analítica U(x). A continuación, la parte armónica v(x) de u(x) (alrededor de x = 0), que es proporcionado por Lemma 2.2, es absolutamente convergente para x2 2 r xó < r2. (3.4) La función analítica V (x) que es la suma de la serie de potencia formal v(x) tiene la siguiente representación integral: V (x) = (z− x)2 U(z), V1 = = iSD−1, (3.5) donde r′ < r, x2 + 2 r′ â € € € € < r′2, y la medida de integración (compleja) se obtiene por la restricción del volumen complejo forma dDz (= dz0 · · · dzD−1) en MC (= CD) al verdadero submanifold D-dimensional Mr′ (3.3), r′ > 0. Prueba. Considere la expansión de Taylor en x de la función 1 − x (z − x)2 y escribirlo en la forma (cf. [1, Secc. 3.3]) (z− x)2 z2)− −lHl(z, x), Hl(z, x) = hlμ(z)hlμ(x), (3.6) donde {hlμ(u)} es una base ortonormal de polinomios homogéneos armónicos de grado l en la esfera SD−1. Esta expansión es convergente para 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z · x (3.7) ya que su lado izquierdo está relacionado con la función generadora de Hl: 1− 2 x 2 y2 (1 - 2- x · y + 2 x 2 y2) lHl(x, y), (3.8) la expansión (3.8) siendo convergente para  6 1 si x2y22x ·y < 1. Entonces si nosotros fijar r′ < r y z varía en Mr′, una condición suficiente para (3.7) es x 2 + 2 r′ x < r′2 (desde el • SD−1 w · x = x®). Campos bilocales armónicos 10 Por otro lado, escribir u(z) = k=0 uk(z), donde uk son homogéneos polinomios de grado k, obtenemos por la convergencia absoluta de u(z) la relación (válido para el subartículo x2 + 2 r′ x < r′2) (z− x)2 U(z) = k,l=0 z2)− -lHl(x, z)uk(z). (3.9) Tomando nota a continuación de que en la parametrización (3.3) de Mr′ tenemos d = i r′D eiD Ł dŁ ♥ dÔ(w), donde dÔ(w) es la forma de volumen en la esfera unitaria, obtenemos para el lado derecho de (3.9): k,l=0 (k−l) d(w) SD−1 Hl(x,w)uk(w). Ahora si escribimos, de acuerdo con Lemma 2.2, uk(z) = ck,j, (z 2)j hk−2j,(z) entonces obtenemos por la ortonormalidad de hl,μ(w) k,l=0 l,k−2j ic(k−l) ck,j,μ hk−2j,μ(x) ck,0,μ hk,μ(x) = v(x). Esta última prueba ambos: la convergencia de v(x) en el dominio (3.4) (desde r′ < r fue arbitraria) y la representación integral (3.5). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Como aplicación de este resultado vamos a demostrar ahora Proposición 3.2. Para todos los campos n y k, y para todos los campos locales (j = 3,..., n) Serie Taylor 3(x3) · ·?k(xk) V1(x1, x2)?k+1(xk+1) · ·?n(xn) (3.10) en x12 convergen absolutamente en el dominio *x12* + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x212 * x2j * + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x22j x22j ♥ j (3.11) (j = 3,..., n). Todos ellos son analíticos reales e independientes de k para mutuamente puntos noisotrópicos. Prueba. Vamos. Fk(x12, x23,. .., x2n) 3(x3) · · k(xk) U(x1, x2) ­k+1(xk+1) · · ­n(xn) (3.12) Campos bilocales armónicos 11 ser las funciones de correlación, continuadas analíticamente en x12. Como Fk, que es una función racional, depende de x := x12 a través de una suma de productos de poderes (x− x2j) tiene una expansión convergente en x para 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x · x2j x22j * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (3.13) Si queremos que Fk tenga una expansión convergente de Taylor para x < r tras una condición suficiente x22j 2 r â â € € TM TM x 2jâ € TM. (3.14) Por Lemma 3.1 concluimos que la serie (3.10) es convergente para x212 2 r x12 < r 2. (3.15) Combinando ambas (suficiente) condiciones (3.14) y (3.15) para r encontramos que son compatibles si â € € x 12â € + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x212 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x22j − â € TM x2jâ €, que es equivalente a (3.11). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Tenga en cuenta que también se puede probar una propiedad de convergencia similar para la correla- funciones de varios V1. Observación 3.1. El dominio de convergencia de (3.10) debe ser Lorentz invariante. Por lo tanto, (3.10) son convergentes en el conjunto invariante Lorentz más pequeño que contiene el dominio (3.11). Tal conjunto está determinado por los valores de los invariantes x212, x y x12 · x2j y resulta ser el conjunto x212 12 x22j 12 6 x12 · x2j (x22j 12 − x212 12 )2 o equivalente x212 x22j x12 · x2j 2 < (x22j 12 − x212 12 )2 . (3.16) Fuera del dominio de la convergencia (3.16), las correlaciones de V1(x1, x2) tienen que se definirá mediante la continuación analítica. Cuando las correlaciones son racionales, V1 es Huygens bilocal, pero el contra-ejemplo presentado en Secc. 3.5 muestra que la racionalidad no es automática. Entonces, ni siquiera es obvio que las son de un solo valor dentro del tubo de analítica requerido por el espectro con- sión, es decir, que V1 existe como una distribución en todo M × M. Caso no trivial estudios, sin embargo, muestran que al menos para xk espacio–como para x1 y x2, la continuación es de un solo valor y preserva la independencia sobre la posición k en (3.10), donde se inserta V1(x1, x2). Esto nos lleva a conjeturar Conjetura 3.3. La torcedura de dos campos V1(x1, x2), cuyas correlaciones se definen como las continuacións analíticas de las partes armónicas de las de U(x1, x2), existe y es bilocal en el sentido ordinario, es decir, se conmuta con x y V1 (x, x ′) si x y x′ son espacios–como x1 y x2. Esperamos volver a esta conjetura en otra parte (véase también la nota añadida en prueba). Nótese que el argumento de que la localidad implica la localidad de Huygens [14] lo hace no pasar a campos bilocales. Campos bilocales armónicos 12 3.2 Consecuencias de la biarmonicidad Ahora nuestro objetivo es encontrar la descomposición armónica de las funciones racionales F (x1, x2) que dependen de x1 y x2 a través de los intervalos?ik = (xi−xk) 2, i = 1, 2, k = 3,..., n, para algunos puntos adicionales x3,. .., xn. La F, como correlación funciones de U(x1, x2), tienen la forma F (x1, x2) = (12) q Fq(x1, x2) (12) iki,k}6={1,2} , (3.17) Fq(x1, x2) = 1i},2i} Cq,1j},2j} (lj) (l2i) μ2j, (3.18) donde los números enteros > −d, μ2j (j = 3,....., n) son M â N y μ1j, μ2j (j = 3,...., j>3 μ1j j>3 μ2j = −1 − q, y los coeficientes Cq,1j},2j} pueden depender de (j, k > 3). IfH es la parte armónica de F en x12, entonces la parte principal F0 (de orden ( es también la parte principal de H. Procederemos ahora a demostrar que la bi-armonicidad de H (Teorema 2.1), junto con los primeros principios de QFT, incluida GCI, implica fuertes limitaciones a F0. Proposición 3.4. Dejar F0(x1, x2) ser como en (3.18), y dejar H(x1, x2) ser su har- parte monica con respecto a x1 alrededor de x2. Entonces H es también armónico con respeto a x2, si y sólo si F0 satisface la ecuación diferencial (E1D2 − E2D1)F0 = 0, (3.19) donde E1 = i = 3............................................................................................................................................................................................................................................................. ), D1 = 36j<k6n ljküljülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülürülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülülül e igualmente para E2 y D2, intercambiando 1 ↔ 2. Prueba. Por la Proposición 3.2 (véase también la Observación 3.1) podemos considerar H como una función en las variables 2n − 3 i, 2i (i > 3) y 12, analítica en algún dominio que incluye 12 libras esterlinas = 0. Expandiendo H = q(l12) qHq/q!, las funciones Hq son homogéneas de grado −1 − q en ambos conjuntos de variables ­1i y ­2i, y H0 = F0. Imponer el armónico con respecto a la variable x1, utilizamos la identidad [11, App. C] x1F = −4 26i<j6n * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Ij = (xi−xj)2 , (3.20) válida para las funciones homogéneas de grado -1, para expresar el operador de onda x1 como operador diferencial con respecto al conjunto de variables......................................................................................................................................................................................................................................................... Esto produce el sistema recursivo de ecuaciones diferenciales E1Hq+1 = −D1Hq. (3.21) Realizando los mismos pasos con respecto a la variable x2, se obtiene E2Hq+1 = −D2Hq. (3.22) Campos bilocales armónicos 13 Eq. (3.19) surge entonces como la condición de integrabilidad para el par de inhomógenos ecuaciones diferenciales para H1 (putting q = 0), observando que E2E1 − E1E2 = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * La H1 se desvanece por homogeneidad. Por el contrario, si se cumple (3.19), entonces H1 existe y satisface (D1E2−D2E1)H1 = − (D1D2 − D2D1)H0 = 0 porque D1 y D2 se desplazan. Pero esto es equivalente a (D2E1 − D1E2)H1 = 0, que es a su vez la condición de integrabilidad para la existencia de H2, y así sucesivamente. De ello se deduce que la biarmonicidad no impone más condiciones en la función principal H0 = F0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La ecuación diferencial (3.19) impone las siguientes limitaciones al plomo: ing parte F0 de la función de correlación racional F (3.17): Corolario 3.5. Supongamos que la función F0 como en (3.18) satisface el diferencial ecuación (3.19). Entonces i) Si F0 contiene un “polo doble” de la forma (l)i) μ1i(1j) μ1j con i 6=j y μ1i y μ1j ambos negativos, entonces sus coeficientes deben ser regulares en 2k (k 6= i, j). ii) F0 no puede contener un “álamo triple” de la forma (­1i) μ1i(1j) μ1j (­1k) μ1k con i, j, k todos diferentes y μ1i, μ1j, μ1k todos negativos. Lo mismo es cierto, el intercambio de 1 ↔ 2. Prueba. Escoja cualquier variable, digamos 2k, y descomponga F0 = rp(l2k) rfr como un Lau- alquilar polinomio en 2k. La ecuación diferencial (3.19) se convierte en la recursiva sistema * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * i,j 6=k 2Ijjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj r · fr = Xrfr−1 + Y fr de ecuaciones diferenciales para las funciones fr que son polinomios Laurent en el las variables restantes. La forma precisa de los operadores diferenciales polinomios Xr e Y no importa. Suponga que la potencia más baja −p de 2k es negativa. Para r = −p, el lado derecho desaparece. Porque el término "jiji"1iö1j en el lado izquierdo produciría una singularidad que no puede ser cancelada por cualquier otro término, f-p no puede tener un “polo doble” en cualquier par de variables..................................................................................................................................................................................................................................................... e i, j 6= k. Esta propiedad pasa recursivamente a todos los fr con r < 0, porque también el lado derecho nunca puede contener tal poste. Esto implica que un doble polo en un par de variables?1i,?1j con i 6= j no puede multiplicar un término que es singular en 2k, a menos que k = i o k = j, probando (i). Si el coeficiente del doble polo fuera singular en?1k, k 6= i, j, entonces el resultado de doble polo en el par?1i,?1k resp. * 1j, * 1k implicaría regularidad. también en la resp. 2i. Por lo tanto, el coeficiente de un polo triple debe ser regular en todos 2m, lo que contradice la homogeneidad total −1 de F0 en estas variables. Esto prueba la declaración (ii). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 3.3 Una condición necesaria y suficiente para la bilocalidad de Huygens Definición 3.1. ("Propiedad de Polo Único", SPP) Let f(x1,. .., xn) ser un Laurent polinomio en las variables?ij, es decir, considerado como una función de x1 sólo, es un Campos bilocales armónicos 14 combinación lineal finita de funciones de la forma (lj) μ1j (x1 − xj) , (3.23) donde μ1j (j > 2) son enteros y los coeficientes pueden depender de los parámetros jk (j, k > 2). Entonces f se dice para satisfacer la propiedad de polo único con respecto a x1 si no contiene términos para los cuales hay j 6= k (j, k > 2) de tal manera que tanto μ1,j y μ1,k son negativos. La importancia de SPP se deriva del hecho de que las partes armónicas H de F0, es decir, las funciones de correlación de V1, son de nuevo polinomios Laurent si y sólo si F0 satisface el SPP. Es decir, si H es un polinomio armónico Laurent, el el mismo argumento que en [11, Lemma C.1] (utilizando la representación (3.20) de la operador de onda) muestra que H cumple el SPP con respecto a x1, y también F0, porque es la parte principal del orden (? 12) 0 de H. El contrario es un inmediato consecuencia de Lemma 3.6 (permitiendo un reetiquetado y un conteo múltiple de los puntos x3,. .., xn, que no están obligados a ser distintos). Lemma 3.6. Dejar n > 4. Cada combinación lineal finita de monomios de la gn(x1) = i=4......................................................................................................................................................... (13) i=4(x1 − xi) [(x1 − x3)2]n−2 (3.24) tiene una descomposición armónica racional en x1 alrededor de x2 gn(x1) = hn(x1) + (x1 − x2) 2 · gûn(x1) (3.25) Es decir, hn es armónico con respecto a x1 y gūn es regular en x1 = x2, y ambos hn y gûn son racionales. Más precisamente, (13) n−2(l23) n−3hn es un polinomio del grado total 2 (n − 3) en las variables ij : 16 i < j}, que es por separado homogonos de grado n− 3 en las variables 1i : i > 2} y en el Variables 12, ♥2i : i > 3}. Prueba. Es conveniente introducir las variables ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... , si = ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... , uij = 122323j ............................................................................................................................................................................................................................................................... (4 6 i < j 6 n). (3.26) Afirmamos que hn(x1) es de la forma hn(x1) = fn(ti, si, uij) , (3.27) donde fn son polinomios de grado n − 3 tales que fn(ti, si = 0, uij = 0) =n i=4 ti. Debido a que todos los si y uij contienen un factor 12, estas propiedades aseguran que La administración por gn − hn)/­12 es regular en ­12. Campos bilocales armónicos 15 Usando nuevamente la identidad (3.20) para el operador de onda, y transformando esto en un operador diferencial con respecto al conjunto de variables (3.26), encontramos x1 hn(x1) = −4 (13) ·Dfn(ti, si, uij), (3.28) donde D es el operador diferencial D = (1 + tüt + süs + uüu)(süt + süs + uüu)− (süs + uüu) con notas taquigráficas para los operadores de conservación de títulos n = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 % % = 1 = 1 % % = 1 , = .............................................................................................. ÍNDICE (continuación) de la Decisión de Ejecución (UE) 2015/61 de la Comisión, de 17 de diciembre de 2015, por la que se aprueba el Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación de la Decisión de Ejecución (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación de la Decisión de Ejecución (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación de la Decisión de Ejecución (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación de la Decisión de Ejecución (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación de la Decisión de Ejecución (UE) n.o 1308/2013 del Consejo en lo que respecta a la aplicación de la Decisión de Ejecución (UE) n.o 1308/UE del Consejo en lo que respecta a la aplicación de la Decisión de Ejecución (UE) n.o 1307/UE) 46i<j6n uijđuij y los operadores que bajan los grados * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 46i<j6n uijltiötj. Para resolver la condición Dfn = 0 para la armonía, hacemos un ansatz fn(ti, si, uij) = (sk, ukl) · ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (ti − si), donde N {4,..., n}, g son polinomios en las variables sk, ukl (k, l K) sólo, y g = 1. Entonces la condición de armónico Dfn = 0 es equivalente a la sistema recursivo (n− 2− K) ¡Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók, Kók! k,l'K,k<l (ukl − sk − sl) g Kók, l} donde K es el número de elementos del conjunto K y el operador diferencial El grado polinomio total r en sk y ukl. Desde uno puede dividir por (n − 2− K r)r si r > 0, hay una solución polinómica única Tal que g (sk = 0, ukl = 0) = 0 (K 6 = Ł), y g es del orden 6 K. So fn es de orden n − 3. (Explícitamente, las tres primeras funciones son f3 = 1, f4 = t4 − s4 y f5 = (t4 − s4)(t5 − s5) + (u45 − s4 − s5).) Una inspección de la recursión también muestra que todos los posibles factores........................................................................................................................................................................................................................................................... fn cancelar con los factores en el prefactor en (3.27), por lo que hn puede tener polos sólo en los puntos.13 y.23 del grado máximo especificado. Esto prueba el Lemma. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. El resultado de la discusión anterior es una condición necesaria y suficiente para la bilocalidad Huygens de V1 que se refiere directamente a la correlación local funciones de la teoría: Campos bilocales armónicos 16 Teorema 3.7. El campo V1(x1, x2) converge débilmente en estados de energía limitada a un campo bilocal de Huygens que es conforme de peso (1, 1), si y sólo si el las partes principales F0 de los polinomios Laurent F (3.17) satisfacen el “polo único” propiedad” (Def. 3.1) con respecto a x1 y x2. En este caso, el serie H convergen a polinomios Laurent en (xi − xj) 2 sujeto al mismo polo límites, especificados en el Teorema 2.1, como F. Prueba. Ya sabemos que si V1 es un campo bilocal de Huygens, entonces su correlación funciones H son polinomios Laurent de la forma (2.3), y que esto implica la SPP para F0 con respecto a x1 y x2. Por el contrario, si el SPP mantiene para F0 con respeto a x1 y x2, entonces H son polinomios Laurent por Lemma 3.6, y por lo tanto V1 es relativamente de Huygens bilocal con respecto a los campos. Desde el punto de vista general argumento [4] que la localidad relativa implica la computatividad local de un campo con se refiere sólo a los campos locales, queremos dar un argumento explícito para el caso a la mano. Todo lo anterior sigue siendo cierto cuando en (3.10) o (3.17) un producto de campos Se sustituye el texto siguiente por el de U(xk, xk+1). Por suposición, y porque U es bilocal, las contribuciones de orden (lk,k+1) 0 a las funciones de correlación de U(xk, xk+1) cumplen el SPP con respecto a xk y xk+1. Por Lemma 3.6, este propiedad se conserva en el paso a las partes armónicas con respecto a x1 y x2. Por lo tanto, uno puede continuar de la misma manera con xk, xk+1, y con el tiempo encontrar que todas las funciones de correlación mixtas de la funciones racionales. Con esta convergencia concluimos que todos los productos de V1’s convergen en el vacío, y esto define V1 como un campo bilocal de Huygens, ya que sus elementos de matriz satisfarán la localidad de Huygens. Las propiedades conformales de V1 se derivan de la preservación de la homo- geneidad y los grados de los polos en la descomposición armónica, como se garantiza por Lemma 3.6. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Para n = 4 puntos, el SPP está trivialmente satisfecho debido a la homogeneidad. Por lo tanto la función de 4 puntos V ∗1 V1 siempre es racional. De ello se deduce que su expansión en ondas parciales (trascendentales) [11] no puede terminarse. Esto significa que (a menos que V1 = 0 en cuyo caso no hay ni siquiera un tensor de tensión-energía) un QFT GCI necesariamente contiene infinitamente muchos campos tensores conservados de arbitrariamente alto Gira. 3.4 El caso de la dimensión 2 Analicemos ahora el caso de los campos escalares de la dimensión 2. Alegamos que en en este caso, el corolario 3.5 en combinación con el estado del clúster es suficiente para establecer la SPP, Definición 3.1. Por lo tanto, concluimos por Teorema 3.7 que el torcer dos campos armónicos V1(x1, x2) son efectivamente campos bilocales de Huygens. Para probar nuestra afirmación, usamos que por (2.6), μij > −1, por lo tanto el SPP es equiv- a la afirmación de que no puede haber un término que contribuya a 1(x1) · · · N(xn) , para el cual hay i con más de dos μij negativo (j 6= i). Por lo tanto asumir que hay un término con, por ejemplo, μ12 = μ13 = μ14 = −1. Constituyó un Campos bilocales armónicos 17 doble polo para cada uno de los tres campos armónicos V1(x1, xj) (j = 2, 3, 4). Entonces por homogeneidad (2.5), debe haber más polos en xj (j = 2, 3, 4), pero estos no pueden ser de la forma ljk con k > 4 por el corolario 3.5. Por lo tanto (hasta permutaciones de 2, 3, 4) μ23 = μ24 = −1, μ34 = 0. De nuevo por homogeneidad (2.5), la dependencia en x1,. .., x4 debe ser dada por una combinación lineal de términos - ¡No, no! - ¡No, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no! 12,13,14,23,24 (3.30) con k, l > 4. Aplicando el límite de racimo (Sect. 2.1) a los puntos x1, x2, x3, x4 en (3.30), el límite diverge entre los cuatro puntos siguientes: Este comportamiento es domesticado a t2 por anti– la simetría en k, l, pero no puede ser cancelada por ningún otro término. Por lo tanto la suposición lleva a una contradicción. Esto demuestra el SPP si los campos escalares generadores tienen dimensión d = 2. 3.5 A d = 4 Función de 6 puntos que viola el SPP Procedemos con un ejemplo de función de 6 puntos que viola el SPP en el caso de dos d = 4 campos escalares GCI Li(x) de tal manera que el campo bilocal U(x1, x2) obtenido a partir de L1(x1)L2(x2) tiene una parte simétrica no cero. Deja que L sea cualquier lineal combinación de L1 y L2. La siguiente contribución admisible a la parte truncada de los 6 puntos función U(x1, x2)L(x3)L(x4)U(x5, x6)0> claramente viola el SPP: F0(x1, x2) = A12A56 - - - - - - - - - - - ¿Qué? - ¿Qué? - 13 - 14 - 23 - 24 - 34 - 35 - 45 - 36 - 46 , (3.31) donde Aij representa la antisimmetrización en los argumentos xi, xj. Es ad- misible como una estructura truncada de 6 puntos porque (­12­56) −3F0 obedece a todo el polo límites de Sect. 2 para una correlación L1(x1)L2(x2)L(x3)L(x4)L1(x5)L2(x6) de seis campos de dimensión d = 4. Por otro lado, F0 satisface la ecuación diferencial (E1D2 − E2D1)F0(x1, x2) = 0 (3,32) (y similar en las variables x5 y x6), asegurando que F0 es la parte principal de un función bi-armónica, analítica en un barrio de x1 = x2 y x5 = x6, repre- enviar una contribución a la torsión dos función de 6 puntos 0V1(x1, x2)L(x3)L(x4) V1(x5, x6)0, de los cuales F0 es la parte principal. Esta función no puede ser un Laurent polinomio en el ğij por nuestro argumento general de que la parte principal de un bi- El polinomio armónico Laurent no puede satisfacer el SPP. De ahí el giro de dos campos V1(x1, x2) no puede ser Huygens bilocal. La contribución resultante a la función de 4 puntos actual local conservada El Tribunal de Primera Instancia decidió: tr se obtiene a través de Jμ(x) = i(xyμ) V1(x, y)x=y. También satisface los límites pertinentes de los polos. Esta estructura es racional como debería, porque sólo la parte principal F0 contribuye. De hecho, mientras que la estructura de 6 puntos el campo armónico no puede ser reproducido por campos libres debido a su doble Campos bilocales armónicos 18 polo, la estructura resultante de 4 puntos surge como uno de los tres independientes estructuras conectadas que contribuyen a las funciones de 4 puntos que implican dos Dirac cur- alquiler : aγ b : y dos escalares de Yukawa a, b,. .. ). 4 La teoría de los campos escalares GCI de la dimensión de escala d = 2 La dimensión de escala d = 2 es la dimensión mínima de un campo escalar GCI para que se podría esperar la existencia de modelos no libres. Resulta que sin embargo, que en este caso los campos pueden ser construidos como campos compuestos de libre, o libre generalizado, campos. Es decir, estableceremos el siguiente resultado. Teorema 4.1. Let m(x)} m=1 ser un sistema de campos escalares GCI reales de escalar dimensión d = 2. Entonces se puede realizar por un sistema de campos libres generalizados m(x)} y un sistema de campos libres sin masa reales independientes m(x)}, actuando en un espacio posiblemente más grande de Hilbert, como sigue: Φm(x) = αm,j Łj(x) + j,k=1 βm,j,k :­j(x)­k(x) :, (4.1) donde αm,j y βm,j,k = βm,k,j son constantes reales tales que α2m,j < فارسى y j,k=1 m,j,k < فارسى. Aquí, asumimos que las normalizacións son #0j(x1) #k(x2) #0#= jk (12) -1, -0j(x1) -k(x2) La prueba del Teorema 4.1 se da al final de la Secc. 4.2. La razón principal para este resultado es el hecho de que en el caso d = 2 existen los campos bilocales armónicos y además, son campos de Mentira. Esto fue reconocido originalmente en [12], [2] bajo la suposición de que hay un campo único de la dimensión 2. Lo somos. extendiendo aquí el resultado a un sistema arbitrario de d = 2 campos escalares GCI. Si asumimos la existencia de un tensor de energía de estrés como un campo Wightman5, los campos libres generalizados deben estar ausentes en (4.1), y el número de campos libres debe ser finito. En este caso, la OPI iterada genera en particular el Campo 1 i) i) i) i) y) Como este campo no tiene otra representación de energía positiva que aquellos que ocurren en el espacio Fock [2], posibilidades no triviales de correlaciones entre los campos no libres y los campos (4.1) están fuertemente limitados. 4.1 Estructura de las funciones de correlación Consideramos un QFT GCI generado por un conjunto de campos escalares hermitanos (reales). Denotamos por F el espacio vectorial real de todos los campos escalares reales de escalar GCI 5Un tensor de tensión-energía siempre existe como una forma cuadrática entre los estados generados por el campos Φm del vacío [8]. Campos bilocales armónicos 19 dimensión 2 en la teoría. (Tenga en cuenta que el espacio F puede ser más grande que el lineal espacio del sistema original de d = 2 campos del Teorema 4.1.) Vamos a encontrar en esto sección la forma explícita de las funciones de correlación de los campos de F. Teorema 4.2. Let Ł1(x),. ............................................................................................................................................................................................................................................................... tener el formulario *01(x1)* *n(xn)* c(n)(1,. ............................................................... # 1 #2 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (4.2) donde c(n) son funciones multilineales c(n) : Fn → R con la inversión y Simetrías cíclicas c(n)(­1,. ..... n) = c n)?n,. ........................................................................................................... (n)(?n,?1,. .................................................................. Antes de probar el teorema, vamos a ilustrar primero en el ejemplo de la realización de campo libre (4.1). En este caso se encuentra Φm1,Φm2 αm1,jαm2,j + j,k=1 βm1,j,k βm2,j,k αm1,jαm2,j + Tr βm1βm2, Φm1,. .......................................................... = Tr βm1 · · · βmn para n > 2 (4.3) donde βm = βm,j,k Prueba de Teorema 4.2. Primero recordamos la forma general (2.3) de los truncados función de correlación con límites de polo (2.6) que en este caso dice: μtrjk > −1. El argumento en la Secc. 3.4 muestra que los términos de contribución distintos de cero en Eq. 2.3) tener por cada j = 1,..., n exactamente dos μtrjk o μ negativo kj para algunos k = k1, k2 diferente de j. Los términos distintos de cero son, por lo tanto, productos de «productos cíclicos disociados de pro- agators” de la forma 1/lk1k2lk2k3 · · · kr−1krlkrk1. Pero los ciclos de longitud r < n son en conflicto con la condición del cluster (Sect. 2). Concluimos que 01(x1) · · · N(xn) tr es una combinación lineal de términos como los de (4.2) con algunos co- efficients c­(­1,..................................................................................................................... ..... n............................................................................................................................................... campos Łj (multilinealmente). Localidad, es decir. *01(x1)* *n(xn)* tr = 01(x ) · · · n(xn)0 tr, entonces implica c(­1,. .................................................................................................................... ,. ...................................................................... ′ Sn), por lo que que c­(­1,................................................................................................................................................................. ..... n) = c n)1,. ................................................................................................... n) : Fn → R. Equali- c(n)(­1,............................................................................................................................................... ..... n) = c n)?n,. ........................................................................................................... (n)(?n,?1,. ............................................................... localidad. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Como ya sabemos por los resultados generales de la sección anterior, el campo bilocal monic existe en el caso de los campos de dimensión d = 2. Por otra parte, el conocimiento de las funciones de correlación de los campos d = 2 nos permite encontrar la forma de las funciones de correlación de los campos bilocales resultantes. Esto da lugar a una estructura algebraica en el espacio de los campos escalares reales (locales y bilocales), que nosotros proceder a la exhibición. Campos bilocales armónicos 20 Vamos a introducir junto con el espacio F de d = 2 campos también el vector real espacio V de todos los campos bilocales armónicos reales. Vamos a considerar F y V como construido a partir de nuestro sistema original de d = 2 campos m} del teorema 4.1, por el después de las construcciones. a) Si el valor de la letra x), el valor de la letra x), el valor de la letra x), el valor de la letra x), el valor de la letra x), el valor de la letra c), el valor de la letra x), el valor de la letra c), el valor de la letra x), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de la letra c), el valor de * 1(x1)* * 2(x2)* * 1(x1)* * 2(x2)* * de acuerdo con Eq. (2.7), consideramos su descomposición armónica U(x, y) = V1(x, y) + (x−y) 2 (x, y). Denotamos V1(x, y) por Ł1 ∗ Ł2; esto define un mapa bilineal F F (b) Si ahora v(x, y) V entonces vt(x, y) := v(y, x) también pertenece a V y γ(v) es un campo de F. (c) Si v(x, y), v′(x, y) V entonces hay un campo bilocal armónico (v*v′) := w-lim x′ → y′ xy′ x, x′ y′, y 0v x, x′ y′, y . (4.4) La existencia del límite débil anterior (es decir, un límite dentro de las funciones de correlación) se establecerá a continuación junto con la independencia de x′ = y′ y el regularidad del campo resultante para (x− y)2 = 0. (d) Si v(x, y) #V y #x) #F entonces podemos construir el siguiente bilocal campo perteneciente a V: (v ∗ ♥) := w-lim x′ → y x′ − y x, x′ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • x, x′ , (4.5) donde nuevamente la existencia del límite y la regularidad para (x− y)2 = 0 será se establece más tarde. Uno puede definir de manera similar un producto • ∗ v • V, pero entonces se expresaría como: (vt ∗ ♥)t. Para resumir, tenemos tres mapas bilineales: F F →V, V V →V, V →V, y dos lineales: V →V, V →F. Aplicando estos mapas que construimos F y V inductivamente, a partir de nuestro sistema original de d = 2 campos, dado en Teorema 4.1, y en cada paso de este procedimiento inductivo, establecemos el la existencia de los límites mencionados en las letras c) y d). De hecho, vamos a establecer esto. junto con la estructura de las funciones de correlación truncada para los campos en F y V.6 Antes de declarar el resultado inductivo es conveniente introducir el vector espacio = F × V (4.6) 6Puesto que utilizaremos la noción de funciones de correlación truncada también para los campos bilocales dejar lo recordamos brevemente. Si B1,. ..., Bn son algunos campos (multi)locales manchados luego sus truncados funciones de correlación se definen recursivamente por: P = {1,...,n} {j1,...,jk} Bj1 · · · Bjk · · · tr (la suma es sobre todas las particiones P de {1,..., n}) Campos bilocales armónicos 21 y dotarlo con la siguiente operación bilineal • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0, 1 * 2 + v1 * 2 + v1 * 2 + v1 * 2 + (v) 2 * * * 1) , (4.7) y con la transposición (l, v)t := (l, vt). (4.8) Los espacios F y V serán considerados como subespacios en Â. Por lo tanto, el nuevo operación ∗ en  combina las tres operaciones mencionadas anteriormente. Nos veremos más tarde. que  es en realidad un álgebra asociativa bajo el producto (4.7). Tomamos nota que la transposición t (4.8) es una antiinvolución con respecto al producto: (q1 ∗ q2) t = qt2 * q 1, por cada q1, q2 â Â. Proposición 4.3. Existen funciones multilineales c(N) : N → R (4.9) tal que si tomamos elementos q1,. ............................................................................................................................................................................................................................................................... xk[0], xk[1] V, donde [­] significa un valor Z/2Z y k = 1,..., n, y qk := ­k−n • F para el período comprendido entre el 1 de enero de 2000 y el 31 de diciembre de 2001. k = n+ 1,..., n +m, entonces las funciones de correlación truncada se pueden escribir en el siguiente formulario: *0v1* x1[0], x1[1] · · · vn xn[0], xn[1] · · m 0tr 2 n+m) Sn+m (I,...,ln) (Z/2Z) K.O.T.O.T.O.O. x1[0],. .., xn[1], xn+1,. .., xn+m . (4.10) Aquí: Los coeficientes son dados por K. := c (n+m) [1] ............................................................................................... .., q [n+m] , donde nos fijamos en n+1 = · · = n+m = 0, y q [0] := q, q[1] := qt (para q â Â); los términos Los siguientes productos cíclicos de intervalos son: Tl, ° = xln+m − xl[l] * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * xln+k − xln+k+1 . (4.11) A continuación, Eq. (4.10) que los límites en los pasos c) y d) anteriores están bien Definido. Antes de la prueba vamos a hacer algunas observaciones. Primero, usamos la misma notación. c(n) como en el teorema 4.2 ya que las funciones multilineales anteriores son obviamente un extensión de la anterior, es decir, Eq. (4.10) se reduce a Eq. (4.2) para m = 0. Déjanos También dar un ejemplo para Eq. (4.10) con n = m = 1: *0v(x1, x2)* *(x3)* c 2) v) .23.31 + c(2)(vt, ) *13*32* + c 2)................................................................................................................................................. 31 23 + c 2).................................................................................................................................................. .32.13 . (4.12) Campos bilocales armónicos 22 Como se puede ver, c(n) (así como c(n) del teorema 4.2) poseen un ciclo y un simetría de inversión: q1,. .., qn = c(n) qn, q1. .., qn−1 = c(n) qtn,. .., q . (4.13) Esta es la razón para elegir los prefactores en Eqs. (4.2) y (4.10) (la inversa de las órdenes de los grupos de simetría). Prueba de la Proposición 4.3. De acuerdo con nuestras observaciones preliminares, basta con Demostrar que Eq. (4.10) es consistente con las operaciones F F →V, V V V F →V y V Empezando con F F →V uno debe probar que cualquier correlación truncada función 1(x1)2(x2)· dado por Eq. (4.10) produce una descomposición armónica: 1(x1)2(x2) · ·(12) x1, x2 12R(x1, x2), con una correlación función · (­*1* ­2) x1, x2 dado por Eq. (4.10) y una función racional R Regular en 12 ° = 0. Esto nos da relaciones del tipo c(n+2)(q1,. .................................................................. .., qn) = c (n+1)(q1,. ............................................................... .., qn). (4.14) A continuación, tener funciones de correlación de tipo · v1(x1, x2)v2(x3, x4) · v(x1, x2)•(x3) · de la forma (4.10), se verifica que los límites (4.4) y (4.5) existen dentro de estas funciones de correlación, y producen expresiones para · (v1 ∗ x1, x4 · (v ∗ ♥) x1, x3 consistente con (4.10). Como resultado, nosotros obtener de nuevo las relaciones entre los c’s: c(n+2)(q1,. .., v1, v2,. .., qn) = c (n+1)(q1,. ............................................................... .., qn), c(n+2)(q1,. .... v........................................................... .., qn) = c (n+1)(q1,. ............................................................... .., qn). (4.15) Finalmente, se verifica que el ajuste x1 = x2 en · v(x1, x2) · Obtenemos el funciones de correlación γ(v) con la relación c(n+1)(q1,. ............................................................................... t),. .., qn) = 2 c (n+1)(q1,. .............................................................. .., qn). (4.16) Esto completa la prueba de la Proposición 4.3, así como la prueba de que los productos V V →V y V F →V están bien definidos. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4.2 Estructura asociativa del álgebra de la OPI Tenga en cuenta que Eqs. (4.14), (4.15) debe decir (bajo (4.7)) q1,. .., qk, qk+1,. .., qn = c(n−1) q1,. ............................................................................................................... .., qn . (4.17) Esto implica que la operación bilineal * en  es un producto asociativo. De hecho, considere el elemento q := q1 ∗q2 ∗q3−q1* q2 ∗q3 para q1, q2, q3 â Â. Por (4.7) q es un campo bilocal. Ecuación (4.17) implica que todos los c’s en los que q entra desaparecer y por lo tanto, por Eq. (4.10) q tiene cero funciones de correlación con todos los demás Campos bilocales armónicos 23 campos, incluyéndose a sí mismo. Pero entonces este campo (bilocal) es cero por el Reeh-Schlieder teorema, ya que su acción en el vacío será idénticamente cero. Por lo tanto, la introducción del producto cartesiano  (4.6) no sólo era conveniente para la combinación de tres tipos de operaciones bilineales en uno, pero también como una sión para la asociación (Eqs. (4.14), (4.15). Sin embargo,  lleva un redundante información debida a la siguiente relación: (v), (v + vt) * q = 0 = q * (v), (v + vt) (4.18) por cada v â € ¢ V y q â  Â. Para demostrar (4.18) señalamos en primer lugar que es equivalente a las identidades v*  = γ(v) ∗ y v′ ∗ v = v′ ∗ γ(v) para v = vt V y cualquiera V. Estas identidades se pueden establecer de nuevo primero para los c’s, y a continuación, utilizando el teorema de Reeh-Schlieder, como en la prueba anterior de Associatividad. Por lo tanto, la redundancia en  es porque podemos identificar simétrico bilocal campos v = vt V con sus restricciones a la diagonal, γ(v) F, y esto es compatible con el producto*. Señalamos que la restricción de la mapa γ al subespacio t-invariante Vs := {v • V : v = v t} es una inyección en F. Este último se deriva de un simple análisis de las funciones de 4 puntos de v y el teorema de Reeh-Schlieder: si v(x, y) = v(y, x) y 0v(x, x)v(y, y)0 = 0 entonces 0v(x, x′)v(y, y′)0 = 0. De esta manera vemos que podemos identificar en  el campos simétricos armónicos bilocales v = vt con su restricción en la diagonal γ(v) • F. Formalmente, las consideraciones anteriores pueden resumirse en el cuadro siguiente: Stract way. Vamos a introducir el cociente A :=  (v), (v + vt) v) V) . (4.19) Es un álgebra asociativa según Eq. (4.18). La involución t :  →  puede ser transferido a una involución en el cociente (4.19) y lo denotamos por T también. Los espacios F y V son mapeados en A por las composiciones naturales F →  → A y V →  → A. La inyectividad de γ en Vs implica que los mapas F → A y V → A así definidos son realmente inyecciones. Por lo tanto, trataremos a F y V también como subespacios de A. Además, A se convierte en una suma directa de vector espacios A = F Va, (4.20) q • A : qt = q = F Vs v V : vt = v q A : qt = −q = Va := v • V : vt = −v Por lo tanto, los elementos t-simétricos de A se identifican con la d = 2 campos locales, mientras que los elementos t-antisimétricos de A, con el antisimétrico, armónico campos bilocales (1, 1). (Ni F ni Va son subalgebras de A.) Para resumir, el álgebra asociativa A se obtiene de  identificando el espacio Vs de campos simétricos bilocales con su imagen γ F. Campos bilocales armónicos 24 Para la simplicidad denotaremos la clase de equivalencia en A de un elemento q de nuevo por q. También tenga en cuenta que los c’s se pueden transferir también, a multilinear funcional en A, ya que el núcleo del cociente (4.19) está contenido en el núcleo de cada c(n) por (4.16). Usaremos la misma notación c(n) también para el c(n) funcional multilineal en A. Ejemplo 4.1. Vamos a ilustrar las estructuras algebraicas anteriores en el más simple ejemplo de un QFT generado por un par de d = 2 campos GCI Φ1 y Φ2 dado por normal un par de dos campos libres sin masa que se conmutan mutuamente - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 x): y Φ2(x) = Su álgebra de la OPE implica un conjunto de cuatro campos bilocales armónicos independientes Vjk(x1, x2) := : (j, k = 1, 2), que satisfacen Vjk(x1, x2) = Vkj(x1, x2) = Vjk(x2, x1). Por... postura, tenemos Φ1 ∗ Φ2 = V12 − V21. 7 Tenga en cuenta también que Φ1 = γ(V1) para V1(x1, x2) = :­1(x1)­1(x2) : ­2(x1)­2(x2):, etc. Por la asociación y Eq. (4.17) tenemos q1,. .., qn = c(2) q1 * · · · * qn−1, qn (4.21) para q1,. .............................................................. Consideremos ahora c (2) y definir la simetría siguiente: forma bilineal en A: q1, q2 := c(2) qt1, q2 . (4.22) Primera nota que F y Va son ortogonales con respecto a esta forma bilineal: esto es debido al hecho de que no hay no cero tres punto conformalmente invariante escalar función de los pesos (2, 1, 1), que es antisimétrica en el segundo y tercero argumentaciones. A continuación, afirmamos que (4.22) es estrictamente positivo definido. Esto es un consecuencia directa de la positividad de Wightman y el Reeh-Schlieder teorema (uno debe considerar por separado la positividad en F y Va). En particular: ular, (4.22) es no degenerado. Por Eqs. (4.13) y (4.17) tenemos: q1 ∗ q2, q3 q2, q 1 * q3 (4.23) para todos los q1, q2, q3 o A. Vamos a introducir ahora una división adicional de F. Denote por F0 el núcleo del producto, es decir, F0 := • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • # F : q # # # # 0 # q # A # (4.24) (la segunda igualdad se debe a la identidad فارسى ∗ q = (qt ∗ ♥)t). Deja que F1 sea el complemento ortogonal en F de F0 con respecto al producto escalar (4.22): F1 := • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • = 0 F0 . (4.25) El significado de los campos pertenecientes a F0 se vuelve inmediatamente claro si notamos que c(n) para n > 3 son cero si uno de los argumentos pertenece a F0 (esto se debe a 7i.e., en el OPI Φ1(x1)Φ2(x2) aparece el campo bilocal antisimétrico V12(x1, x2) − V21(x1, x2) que involucra solamente corrientes de tensor conservadas de rango impar en su expansión en campos locales Campos bilocales armónicos 25 Eq. (4.21)). Por lo tanto, todas sus funciones truncadas superiores a dos puntos son cero, Es decir, los campos pertenecientes a F0 son libres generalizados d = 2 campos. Además, estos campos se desplazan con todos los demás campos de F1 y Va A (1): esto es porque de la desaparición de c(2), q) si • • F0 y q • F1 • Va, así como de todos c(n+1)(­, q1,. ..., qn) para n > 2 si • • F0 y q1,.................................................................................................................................................................................................................................................. ........................................................................................................... (4.24)). Claramente, F1Va es un subalgebra de A: esto sigue de Eq. (4.23) con q3 o F0 junto con las definiciones (4.24) y (4.25). Vamos a denotarlo por B := F1 • Va. (4.26) Ahora estamos dispuestos a dar el paso principal hacia la prueba del Teorema 4.1. Proposición 4.4. Hay un homomorfismo del álgebra asociativa B en el álgebra de Hilbert-Schmidt operadores sobre algunos verdaderos separables Hilbert espacio, de tal manera que q1,. .., qn · · · · , (4.27) y son operadores simétricos, mientras que son antisimétricos. Daremos la prueba de esta proposición en la subsección siguiente. Los razón principal que conduce a ella es que B se convierte en un verdadero álgebra Hilbert con una integral Rastrealo. Aquí procedemos a mostrar cómo el Teorema 4.1 puede ser probado mediante el uso de los resultados anteriores. Prueba de Teorema 4.1. Let Φm = Φ m + Φ m ser la descomposición de cada campo Φm según la división F = F0 + F1. Tome una base ortonormal F0 y let Φ αm,j Łj, y βm = βm,j,k ser la matriz simétrica correspondiente al operador Hilbert-Schmidt (m = 1, 2,... ). Entonces Eqs. (4.3) y (4.27) muestran que las constantes αm,j y βm,j,k así definidas satisfacen las condiciones del Teorema 4.1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Observación 4.1. En general, tenemos F1 % Vs. Esto se debe a que los elementos de F1 corresponde, por Proposición 4.4, a los operadores simétricos Hilbert-Schmidt y por otro lado, los elementos de V se obtienen, de acuerdo con la inductiva construcción de la Secc. 4.1, como productos de elementos de F y, por lo tanto, corresponderá para rastrear a los operadores de clase. 4.3 Finalización de las pruebas Queda por probar la Proposición 4.4. Comenzamos con una desigualdad de Cauchy– Tipo Schwartz. Lemma 4.5. Que q1, q2 â € A sea tal que cada uno de ellos pertenece a F o a Va. Entonces tenemos q1 * q2, q1 * q2 q1 * q1, q1 * q1 q2 * q2, q2 * q2 . (4.28) Campos bilocales armónicos 26 Prueba. Considerar q1*q1 q2*q2, q1*q1 q2*q2 > 0 y utilizarlo q1*q1, q2*q2 q1 * q2, q1 * q2 si cada uno de q1, q2 pertenece a F o a Va. El espacio B (4.26) es un verdadero espacio pre-Hilbert con un producto escalar dado por (4.22). También es invariante bajo la acción de t (realmente los espacios propios de t son F1 y Va). La acción izquierda de B en sí nos da un homomorfismo de álgebra ■ : B → LinR B (4.29) de B en el álgebra de todos los operadores sobre B. Además, los elementos de F son: mapeado en operadores simétricos y los elementos de Va, en antisimétricos (esto se debe a (4.23)). Lemma 4.6. Cada elemento de B se asigna a un operador de Hilbert-Schmidt. Prueba. Dado que B es generada por F1 (según la construcción inductiva de F y V en Secc. 4.1) basta con mostrar esto para los elementos de F1. Vamos a F1 y considerar la subalgebra conmutativa de B de B generada por - ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. El álgebra B.B. es libremente generada por.B., es decir, es isomórfica al álgebra En el caso de los polinomios, en una sola variable, el valor de los polinomios es el mismo que el de los polinomios, ya que el valor de los polinomios es el mismo que el de los polinomios, ya que el valor de los polinomios es el mismo que el de los polinomios, ya que el valor de los polinomios es el mismo que el de los polinomios. Complemento onal de F0 (4.24). En el caso de un p(l) ° ° R[l] se denominará por el p[l] ° p[l] el elemento correspondiente de B................................................................................................................. En particular, * [p1] * * [p2] = * [p1p2]. (4.30) Ajuste (n+1) := n ∗, c := c(2) # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (4.31) (1 := ♥, n > 1) obtenemos una funcional definida positiva sobre el álgebra (debido a Eq. (4.23) y la positividad de (4.22)). Luego, por el teorema de la Hamburguesa sobre el problema del momento clásico ([9, Chap. 12, Sect. 8) llegamos a la conclusión de que existe un límite positivo Borel mea- dμ seguro sobre R, de tal manera que 2 p () dμ() (4.32) por cada p(l) + R[l]. Usando esto podemos extender los campos Ł[p](x) a Ł[f ](x) para funciones medibles Borel f con soporte compacto con respecto a μ en R.0}. Esto último se puede hacer de la siguiente manera. Arreglar los puntos (0, 1) y Let g1,. ................................................................................ 0[p1][g1] · · [pn][gn]0 dependen polinomialmente de c [pk1],. ............................................. [pkj] pk1 · · · pkj para todos {k1,. ........................................................................................................... Pero por cada 0, 1) allí existe una norma # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * qk() + B R \ (, Ł) qk() dμ(♥) (4.33) Campos bilocales armónicos 27 sobre 2R[l] q(l), donde A­ y B­ son algunas constantes positivas, de tal manera que para cada q1,. ............................................ 2R[] c q1(e) · · · qm(e) 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 qk() dμ() * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Por lo tanto, 0[p1][g1] · · [pn][gn] 6 C Para algo de constante C y Schwartz norma S (no dependiendo de pk y gk). Ya que por cada # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (0, 1) el espacio Banach L1 Ráaaaaaaaaaaaaaaaaaaa, μaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa se incluye en la conclusión de Con respecto a las normas (4.33), podemos extender la función funcional lineal c[p(l)], así como los correlatores 0[p1][g1] · · · [pn][gn]0 a una c[f(l)] funcional y correlators [f1][g1] · · [fn][gn]0», definido para las funciones de Borel f, f1,. .............................................................. soporte compacto con respecto a μ en R­0}. Así, podemos extender los campos Extendiendo sus correlatores. Por la continuidad también tenemos para las funciones arbitrarias de Borel f, fk, compactamente soportada en R­0}: * [f1] * * [f2] = * [f1f2], c(n) *[f1],. ................................................................................... f1 · · · fn f ] = dμ() (4.34) (cp. (4.32)) y c(n) determinan las funciones de correlación de la rem 4.2. En particular, para cada función característica χS de un subconjunto compacto Tenemos "XXS" = "XXS" = "XXS". Por lo tanto, para tal d = 2 campo tendremos que todas sus funciones de correlación truncada son dadas por (4.2) con toda normalización constantes c(n) igual a uno y el mismo valor c(2) * [xxs], * [xxs] . Entonces, como se muestra en [12, Teorema 5.1], La positividad de Wightman requiere que este valor sea no negativo entero, es decir, [XXS], [XXS] dμ() {0, 1, 2,... } (4.35) (es cero iff [χS ] = 0). Por lo tanto, la restricción de la medida dμ( es una suma (posiblemente infinita) de medidas atómicas de masas integrales, cada una de ellas apoyada en algunos γk â Râ ¬ 0} para k = 1,...., N (y N podría ser infinito). En particular, la medida μ se apoya en un subconjunto limitado de R. Por Lemma 4.5 podemos definir l([f ]) como un operador closable en B si f es un Borel función medible con soporte compacto en R®0}. De ello se deduce que el los proyectores ([χS ]), para un S compacto R0}, proporcionan una descomposición espectral En el caso de la letra a) (de hecho, en el caso de la letra f)) = f) ). Por lo tanto, tiene espectro discreto con eigen- valores γk (k + N), cada uno de una multiplicidad dada por el entero c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * k} A continuación, es un operador Hilbert-Schmidt desde γ2k c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * k} dμ() Râ € TM = 0} dμ() Campos bilocales armónicos 28 (μ siendo una medida limitada). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La conclusión de la prueba de la Proposición 4.4 es proporcionada ahora por el fol- Lowing corolary. Corollary 4.7. Por cada q1, q2 o B uno tiene c q1, q2 (q1)(q2) Prueba. Si q1 = q2 F1 esto sigue de la prueba de Lemma 4.6 y por lo tanto, por una polarización, para cualquier q1, q2 o F1. El caso general puede obtenerse utilizando los hechos de que B es generado por F1 y c (2) tiene la simetría c(2)q1 * q2, q3) = c 2) q1, q2 * q3). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 5. Discusión. Problemas abiertos El principal resultado de Secc. 4, la representación (generalizada) libre sobre el terreno de un sistema a} de campos escalares GCI de dimensión conformal d = 2 (Teorema 4.1), se obtiene revelando y explotando una rica estructura algebraica en el espacio F × V de todos d = 2 campos escalares reales y de todos los campos bilocales armónicos de dimensión (1, 1). Sin embargo, esta estructura se debe principalmente al hecho de que estamos en el caso de dimensión de escala inferior: sólo hay una posible estructura singular en el OPE (después de truncar la pieza de vacío). Uno puede tratar de establecer tal resultado en espacios de spin–tensor de campos bilocales (de dimensión ) satisfaciendo lineal (primer orden) ecuaciones diferenciales conformalmente invariantes (que otra vez implican armónico). Si estas ecuaciones junto con los límites de polo correspondientes implica tales singularidades en la OPI, que puede ser “dividido” uno sería capaz de probar la validez de las realizaciones de campo libre en tales teorías más generales, también. Uno también puede intentar estudiar modelos, digamos en una teoría de un sistema de escalar campos de dimensión d = 4, sin dejar el reino del armónico bilocal escalar campos V1 (de dimensión (1, 1)). En [11] se han encontrado ejemplos de 6 puntos funciones de los campos bilocales armónicos, que no tienen realizaciones libres del campo. Sin embargo, nuestra experiencia con el caso d = 2 muestra que para completar el modelo (incluyendo la comprobación de la positividad de Wightman para todas las funciones de correlación) es crucial describir la OPI en términos de alguna estructura algebraica simple (por ejemplo, álgebras asociativas o Lie). Por otro lado, ir más allá de la V1 bilocal es una verdadera señal de no trivialidad de un modelo GCI. Nuestro análisis de Sect. 3 muestra que esto se puede caracterizar por una simple propiedad de las funciones de correlación: la violación del único pole property (de Secc. 3.3). Desde este punto de vista, una nueva exploración de el ejemplo de Sect. 3.5 dentro de un QFT que involucra corrientes aparece particularmente Atractivo. Nota añadida como prueba. En [19], hemos determinado la función biarmónica cuya parte principal es dada por Eq. 3.31). Implica funciones dilogarotmicas, cuyos argumentos son funciones algebraicas de las relaciones transversales conformales. Este exem... amplifica la violación de la bilocalidad de Huygens para los campos biarmónicos, Teorema 3.7. Campos bilocales armónicos 29 Sin embargo, en apoyo de la conjetura 3.3, se demuestra que la estructura de los cortes está en una manera no trivial consistente con la bilocalidad ordinaria. Agradecimientos. Damos las gracias a Yassen Stanev por un debate esclarecedor. Este trabajo comenzó mientras N.N. e I.T. visitaron el Institut für Theoretische Physik der Universität Göttingen como Alexander von Humboldt becario de investigación y becario de AvH, respectivamente. Se continuó durante el la estancia de N.N. en el Instituto Albert Einstein de Física Gravitacional de Potsdam y de I.T. en el Grupo de Teoría del Departamento de Física del CERN. El documento se completó durante la visita de N. N. e I.T. a la Sección de Energía Alta del I.C.T.P. en Trieste, y de K.-H.R. en el Instituto Erwin Schrödinger en Viena. Agradecemos a todas estas instituciones su hospitalidad y apoyo. N.N. e I.T. fueron parcialmente apoyados por la Red de Formación en Investigación de la Comisión Europea en virtud del contrato MRTN-CT-2004-00514 y por el Consejo Nacional Búlgaro de Investigación Científica en virtud del contrato PH-1406. Bibliografía [1] B. Bakalov, N.M. Nikolov, identidad jacobi para álgebras vértices en niveles superiores dimensiones, J. Matemáticas. Phys. 47 (2006) 053505; matemáticas-ph/0604069. [2] B. Bakalov, N.M. Nikolov, K.–H. Rehren, I. Todorov, unitario representaciones de energía positiva de campos cuánticos bilocales escalares, Commun. Matemáticas. Phys. 271 (2007) 223–246; matemáticas-ph/0604069. [3] V. Bargmann, I.T. Todorov, Espacios de funciones analíticas en un complejo cono como portador de las representaciones tensoras simétricas de SO(N), J. Matemáticas. 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A simple test of quantumness for a single system

Una simple prueba de cuántica para un solo sistema Robert Ali ki Instituto de Teoreti al Physi s y Astrofisica s, Universidad de Gda«sk, Wita Stwosza 57, PL 80-952 Gda«sk, Polonia Ni hola Van Ryn S Hool de las Fisiologías s, Resardo cuántico h Grupo, Universidad de KwaZulu-Natal, Westville Campus, Bolsa privada x54001, Durban, Sur Afri a. 17 de noviembre de 2018 Abstra t Proponemos una simple prueba de cuántica h an de ide si para el conjunto dado de un esble experimental datos de la lassi al modelo es insu ient. Toma dos observables A, B su h que para cualquier estado sus valores medios satisfacer 0 ≤ A ≤ B ≤ 1. Si existe un estado h que el se end momentos llenos de la desigualdad A2 > B2 entonces el sistema annot be des cosido por el lassi al probabilisti s Heme. Un ejemplo de un triple óptimo (A,B, ase de un qubit se da. A pesar de que estamos sobre la abolladura de que la teoría adecuada des cosido de todo fisico al fenómeno es la teoría cuántica, allí son muchas las situaciones en las que el lassi al des Ripción en términos de diversión ciones y distribuciones de probabilidad sobre un "fase-spa e" es su ient. En parte ular, los sistemas sobre la existencia de un gran número de parti y/o emergentes en estados cuánticos hara se supone que los grandes números cuánticos se comportan lassi Ally. El estándar explicación de esta fa t se refiere a las propiedades de estabilidad de los estados cuánticos con respe t to the intera ciones con una medio ambiente. Para los sistemas cuánticos grandes el intera sión con el medio ambiente es tan fuerte que la mayoría cuántica los estados rápidamente de ay (de y el resto de los múltiples de experimentalmente un Estados viables an be des cosido por lassi Todos los modelos. Sin embargo, la frontera tual entre cuántica y lassi al mundos sigue siendo un Topi de teoreti al debate y proyectos experimentales [1. Esta pregunta es parti es muy importante en el campo de la información cuántica. Útiles grandes s ale quantum omputación exigiría la preservación de algunas propiedades cuánticas para bastante grandes fisico Al menos para 103 qubits. Por otra parte, algunas implementaciones prometedoras de un qubit se basan en mesos opi sistemas con h se encuentran en la frontera antes mencionada. En parte ular, el tan- super alled ondu los qubits de ting son sistemas omposed de 108− 109 parti les (pares de cooperación). Por lo tanto, es importante realizar una simple prueba operativa. de la quantuidad h Se puede aplicar a un único sistema que implemente un qubit. En general, se cree que la ensayo operacional más simple y modelo independiente de la quantumness (o stri Hablando en serio, no... lassi dad) se basa en Desigualdades en las campanas h Incluyen los sistemas omitida de al menos dos partes [2. Sin embargo, esta prueba es problemati en lugar de sistemas con h no estar espacialmente bien separados ("lo la existencia de una laguna jurídica sobre la calidad de vida"). Proponemos aquí un mu h ensayo operativo más sencillo h se aplique a un sistema único y se formule en términos de desigualdad entre los valores medios de Mangueras observables. In entrast a Bell desigualdades esta prueba no se refiere a la noción de dad, asso iado con el spa e-time, pero sólo implica el más fundamental di eren es entre lassi Al y observables cuánticos. Se basa en la observación de que para cualquier dos diversión real ciones f, g satisfactorias 0 ≤ f(x) ≤ g(x) (1) y cualquier distribución de probabilidad ♥(x) la siguiente desigualdad mantiene * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2 x)­(x)dx ≤ 2 x................................................................................................................................................................................ 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Por otra parte, como se ilustra a continuación para ase de un único qubit, para los sistemas cuánticos que un siempre y un par de observables A,B su h que para todos los estados sus valores medios satisfacen 0 ≤ A ≤ B pero existe a Estado h que para el se ond moments A2 > B2. La declaración anterior sigue de la interesante y no trivial mathemati al resultado en la teoría de C*-álgebras [3, whi h se presenta a continuación para ompleteness. Considerar una abstra t formalismo en el que los observables (limitados) son elementos de una C*-álgebra A, y estados son diversión normalizada positiva A 7→ A con A denotando el valor medio de una A observable en un estado http://arxiv.org/abs/0704.1962v3 - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Para todos los pra ti al propositos nosotros un restri a nosotros mismos a dos extremos ases: el rst ser un lassi en el caso del modelo en el que A es un álgebra de la diversión ciones sobre una ergain "phase-spa" e" con A = A(x)/23370/(x)dx, donde ♥(x) es alguna probabilidad distribución, y la se ond ser un modelo cuántico nite en whi h A es un álgebra de matri es y A = Tr(A), donde es una matriz de densidad. Para cualquier par de observables A,B,A, la relación de orden A ≤ B significa que Para todos los estados (en fa) t es suficiente para tomar todos los estados puros). Ahora una formulación de lo siguiente: Teorema. Si se aplica lo siguiente: ciones 0 ≤ A ≤ B = A2 ≤ B2 (3) siempre se sostiene entonces el álgebra A es ommutativo, es decir, isomorfi al álgebra de Ontinuous fun ciones sobre una ertain ompa t spa e. As a onsequen e del teorema anterior, para cualquier sistema cuántico existe un par de observables (identi ed con matri es) (A,B) su h que los valores propios de A,B y B-A no son negativos, pero la matriz B2−A2 posee al menos un valor propio negativo. Con el fin de aplicar nuestra prueba de cuántica en un experimento, uno debe rst adivinar un par de observables A, B con valores no negativos de salida posible omes y realizar un statisti al prueba de la desigualdad A ≤ B con como gran número posible de estados iniciales diferentes, generalmente mixtos. Estos estados deben ser tan puros como sea posible, de lo contrario, la cuántica Podría no ser dete Ted. Entonces uno debería sear. h entre estos para cualquier estado la relación para el se ond moments A2 > B2. Si la violación de la lassi al relación (2) sostiene, significa que el sistema exhibe algo cuántico hara teristi s. Aunque siempre hay en nitely muchos triples (A,B, e e e ts de ruido exterior a en el sistema y en los aparatos de medida un lavado fácil de las desviaciones de " lassi dad". Por lo tanto, en lugar de una suposición aleatoria es útil nd los ejemplos de su h triples why h máxima violar lassi dad y se utilizará para diseñar de manera óptima el entorno experimental. Esto un fácil ser un secuestrados en el ase de un qubit whi h es el ejemplo más importante para la información cuántica. Nos quemamos. h para un par de 2× 2 matri es A, B y un estado puro h satisfacer 0 ≤ A ≤ B ≤ I, donde los observables A y B se normalizan en su h una forma en que su límite superior es la identidad. Su h un triple se da como un ejemplo como a2 , B = .............................................................. . 5) La matriz B es manguito para ser diagonal, con la identidad como su límite superior, y este hoi e de la base a ser hecho pecado e la solución a este problema es única hasta equivalen unitario e. Desde el límite superior un ser visto que ambos valores propios de B deben ser como máximo 1, y para maximizar la violación de (3) uno de los valores propios es Mangueras a ser xed a la 1. Lo de siempre. ondition 2 + 2 = 1 se aplica a los parámetros del estado. La positividad de la Los observables A, B y (B − A) están garantizados por el requisito de que tanto sus elementos diagonales como sus determinantes son positivos. Estos a continuación se indican las adiciones; 0 ≤ b ≤ 1, (6) 0 ≤ a1 ≤ 1, (7) 0 ≤ a1a2 − 2, (8) 0 ≤ (1 − a1)(b− a2)− 2. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Para que este triple satisfaga la ecuación (4), es su ient que uno de los valores propios de (B2 −A2) se encuentra para ser negativo mientras permanece dentro de la onstraints enumerados anteriormente. Los valores propios de la matriz (B2 −A2) se encuentran para ser b2 + 1− a2 − 22 ± (b2 − 1 + a2 )2 + 4(a1 + a2)22 . (10) Para obtener el valor más negativo h uno de los valores propios un logro, sólo se necesita onder uno de los Dos. Pecado e la raíz cuadrada es siempre positiva, un valor propio siempre permanece mayor que el otro. A numeri al te hnique se utiliza para al la violación máxima de la desigualdad (3) pecado e no somos capaces de hacer un exa t solución a este problema de optimización. En nding el conjunto óptimo de los parámetros a1, a2, b y real a ser visto que la violación máxima de la desigualdad (3) surge cuando el las adiciones (8) y (9) son igualdades en lugar de desigualdades. Uso a1a2 = 2, (11) (1− a1)(b− a2) = 2 (12) redu es el problema de cuatro incógnitas a dos, y el trillizo a a continuación, se escribe como a1a2 a1a2 a2 , B = .............................................................. . (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Los parámetros son los siguientes: h resultado en uno de los valores propios de (B2 −A2) alcanzar su valor más negativo, y por lo tanto la máxima violación de la desigualdad (3), al tiempo que se mantiene dentro de la ostras nos dan el trillizo 0,724 0,249 0,249 0,0854 , B = 0 0,309 .............................................................. 0,391 0,920 . (14) En este ejemplo, el valor de B − A es 0.0528, un valor positivo, mientras que a ser visto que B2 − A2 = −0,0590 why h Learly demuestra la naturaleza cuántica de este ejemplo. El eigenve tors y orre- sponding eigenvalues de A utilizando estos parámetros es al en la que se indica que: 0,946 0,325 = 0,809 0,946 0,325 −0,325 0,946 . 16) Para dar un el rete ejemplo, uno a aplicar estos resultados a la polarización de un solo fotón. Elección una base de polarización como HÃ3, V Ã y atribuyendo los valores 1 a HÃ y 0.309 a V obtenemos el observable B. La A observable o corresponde a una base de polarización rotada H = cos(19)H + sin(19)V, V = − sin(19)H + cos(19)V con los valores propios 0.809 y 0, respe Tily. La violación máxima de lassi dad debe ser observado en el vecindario del estado = cos(67)H sin(67)V. En prin iple, el ensayo propuesto con los parámetros obtenidos anteriormente Se puede utilizar para soportar el pi cuántico tura para las distintas implementaciones de un qubit en luding, por ejemplo, "super ondu qubits" con un todavía cuestionable cuántico hara ter [4. A conocimientos. Los autores agradecen a P. Badzi ag, M. Horode ki, R. Horode ki, W.A. Majewski y M. ukowski for dis ussions. Finan Apoyo ial del Programa de COLABORACIÓN POLONIA/SA del Resear nacional h Fundación del sur del Afri a y el Ministerio polaco de S ien e y Edu Superior y por el Consejo Unión Europea a través del Proyecto Integrado t SCALA es un con conocimiento de causa. Referencia es [1 E. Joos, H.D. Zeh, C. Kiefer, D. Giulini, J. Kups H, y yo,-O. Stamates u, De oheren e y el Aparición e de a Classi al World in Quantum Theory, 2nd ed. Springer, Berlín 2003. [2 J.S. Bell, Rev. Mod. Phys. 38, 447 (1966) [3 R.V. Kadison y J.R. Ringrose, Fundamentos de la Teoría de las Álgebras Operadoras: Teoría Elemental, A ademi Press, Nueva York, 1983 [4 R. Ali ki, quant-ph/0610008 http://arxiv.org/abs/quant-ph/0610008

Proponemos una simple prueba de cuántica que puede decidir si para el Dado el conjunto de datos experimentales accesibles, el modelo clásico es insuficiente. Tome dos observables $ A,B$ tal que para cualquier estado $\psi$ sus valores medios satisfacer $0\leq â € € â € € â € € â € € â € € â € € â € â € € â € â € â € â € â € â € â € â € â € â € â € â € â € â € â € â € â €. Si existe un estado $\phi$ tal que los segundos momentos cumplan la desigualdad $phiA^2phi> phiB^2phi>$ entonces el sistema no puede ser descrito por el clásico Esquema probabilístico. Un ejemplo de un triple óptimo $(A,B,\phi)$ en el caso de un qubit se da.

Una simple prueba de cuántica para un solo sistema Robert Ali ki Instituto de Teoreti al Physi s y Astrofisica s, Universidad de Gda«sk, Wita Stwosza 57, PL 80-952 Gda«sk, Polonia Ni hola Van Ryn S Hool de las Fisiologías s, Resardo cuántico h Grupo, Universidad de KwaZulu-Natal, Westville Campus, Bolsa privada x54001, Durban, Sur Afri a. 17 de noviembre de 2018 Abstra t Proponemos una simple prueba de cuántica h an de ide si para el conjunto dado de un esble experimental datos de la lassi al modelo es insu ient. Toma dos observables A, B su h que para cualquier estado sus valores medios satisfacer 0 ≤ A ≤ B ≤ 1. Si existe un estado h que el se end momentos llenos de la desigualdad A2 > B2 entonces el sistema annot be des cosido por el lassi al probabilisti s Heme. Un ejemplo de un triple óptimo (A,B, ase de un qubit se da. A pesar de que estamos sobre la abolladura de que la teoría adecuada des cosido de todo fisico al fenómeno es la teoría cuántica, allí son muchas las situaciones en las que el lassi al des Ripción en términos de diversión ciones y distribuciones de probabilidad sobre un "fase-spa e" es su ient. En parte ular, los sistemas sobre la existencia de un gran número de parti y/o emergentes en estados cuánticos hara se supone que los grandes números cuánticos se comportan lassi Ally. El estándar explicación de esta fa t se refiere a las propiedades de estabilidad de los estados cuánticos con respe t to the intera ciones con una medio ambiente. Para los sistemas cuánticos grandes el intera sión con el medio ambiente es tan fuerte que la mayoría cuántica los estados rápidamente de ay (de y el resto de los múltiples de experimentalmente un Estados viables an be des cosido por lassi Todos los modelos. Sin embargo, la frontera tual entre cuántica y lassi al mundos sigue siendo un Topi de teoreti al debate y proyectos experimentales [1. Esta pregunta es parti es muy importante en el campo de la información cuántica. Útiles grandes s ale quantum omputación exigiría la preservación de algunas propiedades cuánticas para bastante grandes fisico Al menos para 103 qubits. Por otra parte, algunas implementaciones prometedoras de un qubit se basan en mesos opi sistemas con h se encuentran en la frontera antes mencionada. En parte ular, el tan- super alled ondu los qubits de ting son sistemas omposed de 108− 109 parti les (pares de cooperación). Por lo tanto, es importante realizar una simple prueba operativa. de la quantuidad h Se puede aplicar a un único sistema que implemente un qubit. En general, se cree que la ensayo operacional más simple y modelo independiente de la quantumness (o stri Hablando en serio, no... lassi dad) se basa en Desigualdades en las campanas h Incluyen los sistemas omitida de al menos dos partes [2. Sin embargo, esta prueba es problemati en lugar de sistemas con h no estar espacialmente bien separados ("lo la existencia de una laguna jurídica sobre la calidad de vida"). Proponemos aquí un mu h ensayo operativo más sencillo h se aplique a un sistema único y se formule en términos de desigualdad entre los valores medios de Mangueras observables. In entrast a Bell desigualdades esta prueba no se refiere a la noción de dad, asso iado con el spa e-time, pero sólo implica el más fundamental di eren es entre lassi Al y observables cuánticos. Se basa en la observación de que para cualquier dos diversión real ciones f, g satisfactorias 0 ≤ f(x) ≤ g(x) (1) y cualquier distribución de probabilidad ♥(x) la siguiente desigualdad mantiene * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2 x)­(x)dx ≤ 2 x................................................................................................................................................................................ 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Por otra parte, como se ilustra a continuación para ase de un único qubit, para los sistemas cuánticos que un siempre y un par de observables A,B su h que para todos los estados sus valores medios satisfacen 0 ≤ A ≤ B pero existe a Estado h que para el se ond moments A2 > B2. La declaración anterior sigue de la interesante y no trivial mathemati al resultado en la teoría de C*-álgebras [3, whi h se presenta a continuación para ompleteness. Considerar una abstra t formalismo en el que los observables (limitados) son elementos de una C*-álgebra A, y estados son diversión normalizada positiva A 7→ A con A denotando el valor medio de una A observable en un estado http://arxiv.org/abs/0704.1962v3 - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Para todos los pra ti al propositos nosotros un restri a nosotros mismos a dos extremos ases: el rst ser un lassi en el caso del modelo en el que A es un álgebra de la diversión ciones sobre una ergain "phase-spa" e" con A = A(x)/23370/(x)dx, donde ♥(x) es alguna probabilidad distribución, y la se ond ser un modelo cuántico nite en whi h A es un álgebra de matri es y A = Tr(A), donde es una matriz de densidad. Para cualquier par de observables A,B,A, la relación de orden A ≤ B significa que Para todos los estados (en fa) t es suficiente para tomar todos los estados puros). Ahora una formulación de lo siguiente: Teorema. Si se aplica lo siguiente: ciones 0 ≤ A ≤ B = A2 ≤ B2 (3) siempre se sostiene entonces el álgebra A es ommutativo, es decir, isomorfi al álgebra de Ontinuous fun ciones sobre una ertain ompa t spa e. As a onsequen e del teorema anterior, para cualquier sistema cuántico existe un par de observables (identi ed con matri es) (A,B) su h que los valores propios de A,B y B-A no son negativos, pero la matriz B2−A2 posee al menos un valor propio negativo. Con el fin de aplicar nuestra prueba de cuántica en un experimento, uno debe rst adivinar un par de observables A, B con valores no negativos de salida posible omes y realizar un statisti al prueba de la desigualdad A ≤ B con como gran número posible de estados iniciales diferentes, generalmente mixtos. Estos estados deben ser tan puros como sea posible, de lo contrario, la cuántica Podría no ser dete Ted. Entonces uno debería sear. h entre estos para cualquier estado la relación para el se ond moments A2 > B2. Si la violación de la lassi al relación (2) sostiene, significa que el sistema exhibe algo cuántico hara teristi s. Aunque siempre hay en nitely muchos triples (A,B, e e e ts de ruido exterior a en el sistema y en los aparatos de medida un lavado fácil de las desviaciones de " lassi dad". Por lo tanto, en lugar de una suposición aleatoria es útil nd los ejemplos de su h triples why h máxima violar lassi dad y se utilizará para diseñar de manera óptima el entorno experimental. Esto un fácil ser un secuestrados en el ase de un qubit whi h es el ejemplo más importante para la información cuántica. Nos quemamos. h para un par de 2× 2 matri es A, B y un estado puro h satisfacer 0 ≤ A ≤ B ≤ I, donde los observables A y B se normalizan en su h una forma en que su límite superior es la identidad. Su h un triple se da como un ejemplo como a2 , B = .............................................................. . 5) La matriz B es manguito para ser diagonal, con la identidad como su límite superior, y este hoi e de la base a ser hecho pecado e la solución a este problema es única hasta equivalen unitario e. Desde el límite superior un ser visto que ambos valores propios de B deben ser como máximo 1, y para maximizar la violación de (3) uno de los valores propios es Mangueras a ser xed a la 1. Lo de siempre. ondition 2 + 2 = 1 se aplica a los parámetros del estado. La positividad de la Los observables A, B y (B − A) están garantizados por el requisito de que tanto sus elementos diagonales como sus determinantes son positivos. Estos a continuación se indican las adiciones; 0 ≤ b ≤ 1, (6) 0 ≤ a1 ≤ 1, (7) 0 ≤ a1a2 − 2, (8) 0 ≤ (1 − a1)(b− a2)− 2. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Para que este triple satisfaga la ecuación (4), es su ient que uno de los valores propios de (B2 −A2) se encuentra para ser negativo mientras permanece dentro de la onstraints enumerados anteriormente. Los valores propios de la matriz (B2 −A2) se encuentran para ser b2 + 1− a2 − 22 ± (b2 − 1 + a2 )2 + 4(a1 + a2)22 . (10) Para obtener el valor más negativo h uno de los valores propios un logro, sólo se necesita onder uno de los Dos. Pecado e la raíz cuadrada es siempre positiva, un valor propio siempre permanece mayor que el otro. A numeri al te hnique se utiliza para al la violación máxima de la desigualdad (3) pecado e no somos capaces de hacer un exa t solución a este problema de optimización. En nding el conjunto óptimo de los parámetros a1, a2, b y real a ser visto que la violación máxima de la desigualdad (3) surge cuando el las adiciones (8) y (9) son igualdades en lugar de desigualdades. Uso a1a2 = 2, (11) (1− a1)(b− a2) = 2 (12) redu es el problema de cuatro incógnitas a dos, y el trillizo a a continuación, se escribe como a1a2 a1a2 a2 , B = .............................................................. . (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Los parámetros son los siguientes: h resultado en uno de los valores propios de (B2 −A2) alcanzar su valor más negativo, y por lo tanto la máxima violación de la desigualdad (3), al tiempo que se mantiene dentro de la ostras nos dan el trillizo 0,724 0,249 0,249 0,0854 , B = 0 0,309 .............................................................. 0,391 0,920 . (14) En este ejemplo, el valor de B − A es 0.0528, un valor positivo, mientras que a ser visto que B2 − A2 = −0,0590 why h Learly demuestra la naturaleza cuántica de este ejemplo. El eigenve tors y orre- sponding eigenvalues de A utilizando estos parámetros es al en la que se indica que: 0,946 0,325 = 0,809 0,946 0,325 −0,325 0,946 . 16) Para dar un el rete ejemplo, uno a aplicar estos resultados a la polarización de un solo fotón. Elección una base de polarización como HÃ3, V Ã y atribuyendo los valores 1 a HÃ y 0.309 a V obtenemos el observable B. La A observable o corresponde a una base de polarización rotada H = cos(19)H + sin(19)V, V = − sin(19)H + cos(19)V con los valores propios 0.809 y 0, respe Tily. La violación máxima de lassi dad debe ser observado en el vecindario del estado = cos(67)H sin(67)V. En prin iple, el ensayo propuesto con los parámetros obtenidos anteriormente Se puede utilizar para soportar el pi cuántico tura para las distintas implementaciones de un qubit en luding, por ejemplo, "super ondu qubits" con un todavía cuestionable cuántico hara ter [4. A conocimientos. Los autores agradecen a P. Badzi ag, M. Horode ki, R. Horode ki, W.A. Majewski y M. ukowski for dis ussions. Finan Apoyo ial del Programa de COLABORACIÓN POLONIA/SA del Resear nacional h Fundación del sur del Afri a y el Ministerio polaco de S ien e y Edu Superior y por el Consejo Unión Europea a través del Proyecto Integrado t SCALA es un con conocimiento de causa. Referencia es [1 E. Joos, H.D. Zeh, C. Kiefer, D. Giulini, J. Kups H, y yo,-O. Stamates u, De oheren e y el Aparición e de a Classi al World in Quantum Theory, 2nd ed. Springer, Berlín 2003. [2 J.S. Bell, Rev. Mod. Phys. 38, 447 (1966) [3 R.V. Kadison y J.R. Ringrose, Fundamentos de la Teoría de las Álgebras Operadoras: Teoría Elemental, A ademi Press, Nueva York, 1983 [4 R. Ali ki, quant-ph/0610008 http://arxiv.org/abs/quant-ph/0610008

SPITZER: Accretion in Low Mass Stars and Brown Dwarfs in the Lambda Orionis Cluster

SPITZER: Acreción en estrellas de baja masa y enanos marrones en el Lambda Orionis Cluster David Barrado y Navascués Laboratorio de Astrofísica Espacial y Física Fundamental, LAEFF-INTA, P.O. Box 50727, E-28080 Madrid, ESPAÑA barrado@laeff.esa.es John R. Stauffer Centro Científico Spitzer, Instituto Tecnológico de California, Pasadena, CA 91125 Maa Morales-Calderón, Amelia Bayo Laboratorio de Astrofísica Espacial y Física Fundamental, LAEFF-INTA, P.O. Box 50727, E-28080 Madrid, ESPAÑA Giovanni Fazzio, Tom Megeath, Lori Allen Centro de Astrofísica de Harvard Smithsonian, Cambridge, MA 02138 Lee W. Hartmann, Nuria Calvet Departamento de Astronomía, Universidad de Michigan RESUMEN Presentamos fotometría óptica e infrarroja de varias longitudes de onda de 170 previamente conocidas como bajas estrellas de masa y enanas marrones del racimo 5 Myr Collinder 69 (Lambda Orionis). El nuevo fotometría apoya la membresía de clúster para la mayoría de ellos, con menos del 15% de la anterior candidatos identificados como probables no miembros. La fotometría infrarroja nos permite identificar estrellas con excesos IR, y encontramos que la población de Clase II es muy grande, alrededor de 25% para las estrellas (en el rango espectral M0 - M6.5) y 40% para las enanas marrones, hasta 0,04 M®, a pesar del hecho de que la anchura equivalente de Hα es baja para una fracción significativa de ellos. Además, hay un número de objetos subestelares, clasificados como Clase III, que tienen discos ópticamente delgados. Los miembros de la clase II se distribuyen de manera inhomógena y se encuentran preferentemente en un filamento. Corriendo hacia el sureste. Los excesos IR para los miembros de Collinder 69 van desde puros Clase II (espectro plano o casi plano largo de 1 μm), a discos de transición sin exceso de IR cercano pero excesos que comienzan dentro del rango de longitud de onda del IRAC, a dos estrellas con exceso detectados solamente a 24 μm. Collinder 69 parece, por lo tanto, estar en una edad en la que proporciona un laboratorio natural para el estudio de los discos primordiales y su disipación. Títulos temáticos: clústeres abiertos y asociaciones: individuo (Región de formación de estrellas Lambda Orionis) – estrellas: enanas marrones de baja masa – estrellas: pre-secuencia principal http://arxiv.org/abs/0704.1963v1 1. Introducción El proceso de formación estelar parece funcionar con éxito en una amplia gama de condiciones iniciales. En regiones como Tauro, grupos de unas pocas estrellas a pocas decenas de estrellas son la norma. El gas molecular en Tauro se organiza en un número de casi paral- filamentos de lel, posiblemente alineados con el mag- campo neto, y con los pequeños grupos estelares localizados cerca de los extremos de los filamentos (Hartmann 2004). No se han formado estrellas de alta masa en el Tauro grupos, y la función de masa inicial (en adelante, El FMI) también parece ser relativamente deficiente en Enanas marrones (Briceño et al. 2003; Luhman 2004) – pero véase también (Guieu et al. 2006) para un suplente vista. Los grupos Tauro no son gravitación- aliado atado, y se dispersará en el campo en escalas de tiempo cortas. En el otro extremo de la masa espectro, regiones como el cúmulo de Trapecio y la nebulosa de Orión (ONC) que la rodea produjo cientos de estrellas. La ONC incluye varias estrellas O, con las primeras que tienen espectral tipo O6 y una masa estimada de orden 35 Mó. La densidad estelar muy alta en la ONC (10.000 estrellas/pc3 en su centro (McCaughrean & Stauffer 1994)) sugiere que la formación estelar en la ONC era la gravedad dominada en lugar de campo magnético dominada. No está claro si la ONC actualmente gravitacionalmente ligado o no, pero es Probablemente al menos regiones como la ONC que son los progenitores de clusters abiertos de larga vida como el Pléyades. Fotoionización UV y ablación de Oh, los vientos estelares probablemente actúan para truncar la circunvalación. discos estelares de estrellas de baja masa en la ONC, con posibles consecuencias para la formación de un planeta gigante. Una escala intermedia interesante de la estrella... formación está representada por el Lambda Ori asociación. El clúster central en el associ- dad – normalmente designado como Colinder 69 o el clúster Lambda Orionis– incluye al menos una estrella O, el epónimo Ori, con especificaciones... tipo tral O8III. Sin embargo, una serie de líneas de pruebas sugieren que uno de los coll 69 1 Basado en observaciones recogidas Spitzer Space Tele- en el Centro Astronómico Alemán-Español de Calar Alto operado conjuntamente por el Max-Planck-Institut für Astronomia Heidelberg y el Instituto de Astrofísica de Andalua (CSIC); y en el WHT opera en la isla de La Palma por el Grupo Isaac Newton en el Servicio del Roque de los Muchachos del Instituto de Astrofsica de Canarias estrellas ya han pasado a través de su post-main secuencia evolución y convertirse en una supernova, y por lo tanto indicando que era más masivo que Lambda Ori (ver el Func- en Barrado y Navascués, Stauffer, & Bouvier (2005)). Un censo de las estrellas en Coll 69 por Dolan & Mathieu (2001) –en lo sucesivo, DM– indi- cates que el clúster está ahora fuertemente desencuadernado. DM argumenta que esto se debe a la rápida eliminación de gas molecular de la región que ocurrió 1 Hace Myr cuando la supernova explotó. Ellos interpretado el diagrama color-magnitud de Coll 69 como indicador de una propagación significativa de la edad con una edad máxima de orden 6 Myr; una alternativa en- terpretación es que el grupo tiene edad insignificante (con la edad de 6 años Myr) y un num- Ber de estrellas binarias. Mientras que el DM identificó un gran población de estrellas de baja masa en Coll 69, sólo cuatro de 72 para los que obtuvieron espectros son clas- estrellas T Tauri sica (basadas en su emisión de Hα anchos equivalentes). Estrellas mucho más jóvenes, incluyendo... ing estrellas clásicas T Tauri, están presentes en otra parte en el SFR Lambda Ori, que DM atribuye a formación estelar desencadenada por la supernova rem- onda de choque nant impacto molecular preexistente núcleos en la región (los Barnard 30 y Barnard 35 nubes oscuras, en particular). Hemos obtenido el telescopio espacial Spitzer IRAC y imágenes MIPS de una región de un grado cuadrado centrado en la estrella de Ori para (a) buscar para discos circunstelares de los miembros de la Coll 69 cluster y b) tratar de identificar nuevos, muy bajos miembros de masa del grupo con el fin de determinar mejorar el cluster FMI (en un próximo documento). En §2, describimos las nuevas observaciones que tenemos obtenidos; y en §3 utilizamos esos datos para recon- sider cluster member. En §4 usamos el nuevo lista de miembros candidatos y la fotometría de IR a determinar la fracción de miembros del grupo con cir- discos cumstellares tanto en el estelar como en el subestelar dominio, y ordenamos las estrellas con discos de acuerdo a su pendiente espectral de 1 a 24 μm. 2. Los datos 2.1. Fotoma óptico y cercano al infrarrojo. La óptica y los datos IR cercanos para el brillante candidatos provienen de Barrado y Navascués et al. (2004) – A continuación, el documento I. Las RI-Cousins sistema– los datos fueron recogidos con el CFHT en 1999, mientras que los JHK provienen del 2MASS Todos los estudios sobre el cielo (Cutri et al. 2003). Para el grupo miembros, el límite de exhaustividad se encuentra en I(completo, agrupador) 20,2 mag, mientras que 2MASS proporciona datos infrarrojos cercanos hasta un límite magnitud de J=16,8, H=16,5, y Ks=15,7 Mag. En algunos casos, espectroscopia de baja resolución en la óptica, que proporciona tipos espectrales y Anchuras equivalentes Hα, también está disponible. Veinte... cinco objetos del candidato 170 CFHT1999 los miembros están en común con Dolan & Mathieu (1999, 2001). Esas 25 estrellas también tienen Hα y Ancho equivalente de litio y velocidades radiales. 2.1.1. Nueva fotometría profunda cercana al infrarrojo Para los objetos con gran error en 2MASS JHKs, o sin este tipo de datos debido a su desmayo intrínseco, hemos obtenido adicional mediciones con el WHT (La Palma Observa- Tory, España) e INGRID (4.1×4.1 arcmin FOV) en noviembre de 2002 y febrero de 2003, y con el telescopio Calar Alto de 3,5 metros (Almería, España) y Omega2000 en octubre de 2005 (15.36×15.36 ar- cmin FOV). En todos los casos, para cada posición, tomamos cinco exposiciones individuales de 60 segundos cada una, con pequeñas offsets de unos pocos segundos de arco, con un total de 5 minutos. En el caso de las campañas con IN- GRID, observamos el área alrededor de la estrella. Orionis creando una cuadrícula. Esencialmente, tenemos ob- sirvió alrededor de 2/3 de la encuesta óptica CFHT 1999 región en J (en la zona alrededor de la estrella y al oeste de ), con una cierta cobertura en H y K. Por el otro de la mano, las observaciones Omega2000, tomadas bajo un El programa de Tiempo Discrecional del Director, fue encubierto a los débiles candidatos. Excepto para un objeto (LOri154), hemos recogido observa- ciones en los filtros J, H y Ks. Las condiciones de la primera prueba de observación con INGRID fue foto- métrica, y hemos calibrado los datos utilizando estándar estrellas de Hunt et al. (1998) observado a lo largo de las noches de la carrera. El promedio de visitas fue de 0,9 arcsec. Tuvimos cobertura en la nube durante la segunda ejecución con INGRID, y los datos fueron calibrados utilizando el catálogo 2MASS y las estrellas presentes en cada uno imagen individual. La dispersión de esta calibra... en cada filtro, con una ver alrededor de 1.0 arcsec. Por último, no hay norma las estrellas fueron observadas durante las observaciones del DDT en Calar Alto. El ver en este caso fue 1.2 arco- seg. El débil candidato Lambda Orionis mem... Las bers fueron calibradas utilizando también datos de 2MASS. In en este último caso, la dispersión es algo más alta, probablemente debido a la peor vista y el mayor escala angular del pixel del detector, con  = 0,1 Mag. Tenga en cuenta que esto es dispersión no el error en la calibración. Estos valores corresponden a la FWHM de la distribución gaussiana de la val- ues ceropunto(i)=magraw(i)-mag2MASS(i), para cualquier estrella i, que también incluye los errores fotométricos en la fotometría 2MASS y cualquier contribución debido a que las estrellas de racimo son fotométricamente vari- Capaz. Puesto que hay un gran número de estrellas por campo (hasta 1.000 en las imágenes Omega2000), el pico de esta distribución se puede identificar fácilmente y los cero puntos derivados. Una mejor estimación de el error en la calibración se basa en la distancia entre la media, la mediana y los valores de modo, que son menores de la mitad de la FWHM (en el caso de la media y la mediana, casi idéntica a la centésimo de magnitud). Por lo tanto, los errores en la calibración puede estimarse en 0.025 y 0.05 magnitudes para el INGRID y el Omega2000 conjuntos de datos, respectivamente. Todos los datos fueron procesados y analizados con IRAF2, utilizando fotometría de apertura. Estos las medidas, para 166 miembros candidatos, son Cuadro 1 (WHT/INGRID) y cuadro 3 (CAHA/Omega2000). Tenga en cuenta que los errores enumerados en el cuadro corresponden a los valores producidos por la tarea phot con el paquete digi.apphot y no incluye los errores en las calibraciones. 2.2. Imágenes de Spitzer Nuestros datos de Spitzer fueron recolectados durante marzo 15 (MIPS) y 11 de octubre (IRAC), 2004, como parte de un programa de GTO. La cámara InfraRed Array (IRAC, Fazio et al. (2004)) es una cámara de cuatro canales era que toma imágenes a 3,6, 4,5, 5,8 y 8,0 μm con un campo de visión que cubre â € 5,2×5,2 arcmin. Las imágenes del IRAC se realizaron en modo de mapeo con exposiciones individuales de 12 segundos etime” (correspondiente a 10,4 segundos de exposición times) y tres dithers en cada paso del mapa. En o... para mantener el tiempo total de observación de un determinado 2IRAF es distribuido por National Optical Astronomy Obser- , que es operado por la Asociación de Universi- para la Investigación en Astronomía, Inc., bajo contrato con el Fundación Nacional de Ciencia, EE.UU. mapa en menos de tres horas, el mapa de Lambda Ori fue dividido en dos segmentos, cada uno de tamaño 28.75×61.5 arcmin - un offset al oeste de la estrella el otro desplazamiento hacia el este, con el combinado imagen que cubre un área de 57×61.5 arcmin, leav- • Orionis aproximadamente en el cén- ter. Cada una de las imágenes del IRAC del Spitzer La tubería del Centro Científico se corrigió por instru- Se desarrollaron artefactos mentales utilizando una rutina IDL por S. Carey y luego combinado en los mosaicos en cada uno de los cuatro pasos de banda utilizando el MOPEX paquete (Makovoz & Khan 2005). Tenga en cuenta que la Las imágenes del IRAC no cubren exactamente el mismo FOV en todas las bandas, proporcionando una rebanada al norte de la estrella con datos a 3,6 y 5,8 micras, y otra porción al sur con fotometría a 4.5 y 8.0 micras. El tamaño de estas tiras es de aproximadamente 57×6,7 arcmin en ambos casos. El fotometro multibanda de imágenes para Spitzer (MIPS, Rieke et al. (2004)) se utilizó para mapear el cluster con un modo de escaneo de velocidad media y 12 patas separadas por 302 arcos en la cruz Escanee la dirección. El tiempo total de integración efectiva por punto en el cielo a 24 μm para la mayoría de los puntos en el mapa era de 40 segundos, y el mosaico cubierto un área de 60,5×98,75 arcmin centrada alrededor del Estrella Orionis. Dado que no había arti- hechos en los mosaicos de tubería para MIPS 24 μm nosotros Los utilizó como nuestro punto de partida para extraer la pho- tometría. Obtuvimos MIPS 70 μm y 160 μm imágenes de la región de Ori, pero muy pocos puntos las fuentes fueron detectadas y no informamos de datos en este artículo. El análisis de los datos se realizó con IRAF. Primero, detectamos objetos en cada imagen usando el comando “starfind”. Desde las imágenes en el [3.6] y [4.5] las bandas son más profundas que las del [5.8] y [8.0] bandas, y desde los flujos de la mayoría de Los chorros son más brillantes en esas longitudes de onda, el num- las detecciones son mucho más grandes en el IRAC longitudes de onda cortas que en las más largas. Sólo una relativamente pocos objetos han sido detectados a 24 μm con MIPS. Como resumen, 164 objetos fueron de- a 3,6 y 4,5 micras, 145 a 5,8 micras, 139 a 8,0 micras y 13 a 24 micras. Hemos realizado fotometría de apertura a de- flujo de flujo para los miembros del grupo C69. Por el IRAC mosaicos usamos una abertura de 4 píxeles de radio, y el cielo fue computado usando un anu circular lus 4 píxeles de ancho, a partir de un radio de 4 píxeles de distancia desde el centro. Es necesario aplicar un aper- corrección de la tura a nuestra fotometría de apertura de 4 píxeles con el fin de estimar el flujo para un aper de 10 pixel- , porque este último es el tamaño de apertura utilizado para determinar la calibración del flujo del IRAC. En algunos casos, debido a la presencia de estrellas cercanas, pix- els, o debido a su desmayo, una abertura de 2 píxeles y se utilizó la corrección de apertura adecuada (véanse las notas del cuadro 3). Para el fotoma MIPS- probar a 24 μm, hemos utilizado un 5,31 píxeles (13 arcsec) apertura y un anillo de cielo a partir de 8,16 píxeles (20 arcsec) a 13,06 píxeles (32 arcsec). Una abertura También se aplicó la corrección. En el cuadro 2 figura el cuadro siguiente: cero puntos, correcciones de apertura y conversión factores entre magnitudes y Jansky, como pro- vided por el sitio web del Spitzer Science Center. 2.2.1. Correlación cruzada de datos La cobertura en el cielo de nuestro Spitzer/IRAC datos es un cuadrado aproximado de aproximadamente 1 sq.deg, centrado en la estrella Orionis. Los datos ópticos de la CFHT en 1999 cubre un área de 42×28 arcmin, dejando de nuevo la estrella en el centro de este rectángulo. Por lo tanto, el estudio óptico está completamente incluido en el mapa de Spitzer, y hemos sido capaces de buscar la contraparte de los candidatos a grupos temáticos presentados en el documento I. El análisis del área cubierta por Spitzer, pero sin imágenes ópticas en el CFHT1999 sur- va a ser discutido en un próximo documento. Nosotros no han sido capaces de obtener fiable Spitzer pho- tometría para algunos miembros candidatos de Paper Yo, especialmente en el extremo débil del clúster se- Quence. El objeto más débil detectado, LOri167, dependiendo del isocrono y el modelo, tienen una masa de 0.017 millones de euros, si es un miembro (Barrado y Navascués, Huélamo, & Morales Calderón) (2005)). Los resultados se enumeran en el cuadro 3, donde los miembros y los miembros están incluidos, respectivamente (véase la siguiente sección para el debate sobre bérship). En ambos casos, incluimos los datos corre- sponding a las bandas R e I – de CFHT –, J, H y Ks –de 2MASS y CAHA–, [3.6], [4.5], [5.8], y [8.0] –del IRAC– y [24] –de MIPS. La fotometría adicional cerca de IR de WHT puede ser encontrado en la Tabla 1. 3. Color-Color y Color-Magnitud Dia- gramos y nueva asignación de miembros Antes de debatir la composición del documento I estrellas basadas en todos los nuevos datos ópticos e IR, hemos hecho una selección inicial basada en el Colores IRAC. Gráfico 1 (véase más información en la siguiente sección) muestra un Diagrama Color-Color con las cuatro bandas del IRAC. Hemos encontrado que 31 objetos caen en el área definida por Allen et al. (2004) y Megeath y otros (2004) como clase II jects (es decir, estrellas TTauri). Otros dos candidatos los miembros se encuentran en la región corresponden- a los objetos de la clase I/II. Tenemos en cuenta todo esto. 33 objetos como miembros bona-fide del C69 clus- ter. Harvey et al. (2006) han debatido el tema de la fusión por fuentes extragalácticas y de otro tipo cuando análisis de los datos de Spitzer (en su caso, utilizaron Serpens, una nube que tiene una gran extinción). Nosotros cree que esta contribución es insignificante para nuestro Datos de Lambda Ori, ya que esos objetos de Clase II de- a 24 micras se encuentran en el área de TTauri de- multada por Sicilia-Aguilar et al. (2005), como se muestra en su figura 5. Puede haber un nivel más alto de contaminación entre los objetos clasificados como Clase III. Todos los objetos de la Figura 1 tenían previ- miembros de los grupos temáticos a partir de CMD ópticas – es poco probable que un signif- icant número de AGN habría pasado tanto nuestro y nuestros criterios de IR (y también han sido no resuelto en nuestras imágenes ópticas CFHT). Más... sobre, antes de nuestros datos de Spitzer, sólo 25% candidato miembros que tenían datos ópticos, cercanos al IR y op- Espectroscopia de baja resolución tica resultó ser no miembros (papel I). Después de añadir el Spitzer fotometría, estamos bastante seguros en el mem- bérship de la selección. La Figura 2 y la Figura 3 muestran varios colores. diagramas de magnitud (CMD) utilizando los datos listados en los cuadros 1 y 3. En el caso de los paneles de la primera figura, presentamos óptica e IR, incluyendo Datos de Spitzer/IRAC; que en el segundo conjunto de Figuras sólo datos IR son trazados. Por el bien de simplicidad, también hemos eliminado a los no miembros de la figura 3. Basado en estos diagramas y en los espectros información escoscópica incluida en el documento I, tenemos reclasificó a los miembros candidatos como pertenecientes o No al clúster. En los diagramas de color-magnitud, Los miembros del C69 se encuentran en un lugar bastante bien definido, con un límite inferior que coincide aproximadamente con el 20 de Myr isochrone en este conjunto particular de la- modelos oréticos (Baraffe et al. 1998). Estrellas que caer muy por debajo (o azulado) de ese locus es probable no miembros; estrellas que caen por encima o en rojo de que el locus se retienen porque podrían tener Excesos de IR o por encima del enrojecimiento medio. Vamos a... bine los “votos” de varios CMD para producir un determinación cualitativa de la composición, esencialmente Sí, no o tal vez. En total, de un total de 170 las fechas, 19 son probables no miembros, cuatro tienen du- miembros bious y el resto (147 objetos) parecen ser miembros de buena fe del grupo. Ahí... En primer lugar, la proporción de no miembros con respecto al candidato inicial los miembros son del 13,5 %. En cualquier caso, sólo adicional espectroscopia (particularmente media y alta res- olución) se puede utilizar para establecer el estado real. El movimiento adecuado puede ser útil, pero como se muestra por Bouy et al. (2007), algún miembro bona-fide puede parecen tener movimientos apropiados discrepantes cuando en comparación con los valores medios de la associa- tion. En el cuadro 4 se muestran los resultados de cada candidato en las diferentes pruebas utilizadas para determinar su mem- bérship, los miembros como en el Documento I, y el Membresía final basada en la nueva fotometría. La segunda y última columnas muestran el espectro- información escópica. Nótese que el grado de confi- en la nueva clasificación de miembros varía dependiendo de la información disponible y en cualquier siempre es una cuestión de probabilidad. Como muestra la Tabla 3, los datos de Spitzer/IRAC no coinciden completamente con las magnitudes limitantes de nuestra encuesta óptica con CFHT o la Datos de 2MASS JHKs. En el caso de la banda [3.6], En esencia, todos los candidatos Lambda Orionis mem- bers deberían haber sido detectados (excepto tal vez los más débiles, alrededor de I=22 mag). Algún obs- Los efectos en el extremo débil tienen datos de 3,6 micras, pero falta 2MASS NIR, aunque en la mayoría de los casos tenemos le proveyó nuestra propia encuesta NIR profunda. En el caso de los datos de Spitzer a 4,5 micras, algunos ad- miembros candidatos dicionales más débiles que I=20,9 mag no fueron encontrados, debido a la limitación magni- tude de aproximadamente [4,5]lim=16,3 mag. Los datos en 8.0 micron solo alcanza [8,0]lim=14,0 mag, lo que significa que sólo los miembros del cluster con alrededor de I=18,6 mag –orKs=14.9– se puede detectar en esa longitud de onda. Esto es importante cuando se discuten los dos mem- estado de atraque basado en diagramas de color-magnitud y la presencia de excesos infrarrojos por ing diagramas color-color. Nótese, sin embargo, que Los exámenes con excesos de IR tienen un efecto óptico/inferior a IR más débil las contrapartes de lo previsto en la tabla. La Figura 4 presenta otra DMC con la op- magnitudes ticales de la encuesta CFHT (R y I), donde exhibimos los 170 miembros candidatos el uso de diferentes símbolos para distinguir su ac- condición de miembro. Los puntos pequeños corresponden a los no miembros sobre la base del debate anterior, mientras que más símbolos, cruces y círculos denotan Miembros probables. En el primer caso, en la mayoría de los casos debido a su desmayo – no tienen un com- conjunto pleto de magnitudes del IRAC, aunque pueden tener una medición de 3,6 y 4,5, o incluso a 5,8 micras. En el caso de los objetos rep- resentidos por cruces, han sido clasificados como Objetos de clase III (estrellas TTauri de línea débil y sub- Los análogos estelares si de hecho pertenecen al clus- ter) basado en un diagrama color-color del IRAC (ver siguiente sección y Figura 1). Por último, grandes círculos corresponden a fuentes de clase II. La contaminación tasa parece ser insignificante en el rango de magnitud I=12-16 (1,2–0,17 M+ aprox, equivalente a M0 y M5, respectivamente), donde nuestra selección inicial basado en el óptico y el infrarrojo cercano (2MASS) datos) ha funcionado bien. Sin embargo, para los más débiles... didates, el número de miembros espurios es muy grandes y el índice de contaminación asciende a alrededor del 15% para objetos con 16 < I < 19, y alrededor del 45% para I≥19 (aproximadamente la magnitud más allá de la alcance de la encuesta 2MASS). A una distancia de 400 pc y para una edad de 5 años Myr, y según los modelos de Baraffe et al. (1998), la frontera subestelar se encuentra en alrededor de I=17,5 mag. En el cuadro 5 se enumeran otros valores para diferentes edades, así como otras bandas –J, Ks y L′– se examinan en el presente documento. Entre nuestros 170 miembros candidatos CFHT, hay 25 objetos más débil que esa magnitud, y que pasan todo de nuestros criterios de adhesión que son probables Enanas marrones. De estos 25 objetos, 12 tienen espectroscopia de baja resolución y parece ser bona- miembros de fide y, por lo tanto, enanas marrones. Los otros 13 objetos están esperando el confir espectral- dad de su situación. Suponiendo una edad de 3 años o 8 Myr aumentaría o disminuiría el número de Enana marrón por siete en cada caso. En la primera caso (3 Myr), cinco de los siete posibles BDs En el caso de los Estados miembros de la Unión Europea, los Estados miembros de la Unión Europea tienen una composición espectroscópica, mientras que en el caso de los Estados miembros de la Unión Europea, los Estados miembros de la Unión Europea tienen una composición espectroscópica, mientras que en el caso de los Estados miembros de la Unión Europea, los Estados miembros de la Unión Europea tienen una composición espectroscópica, mientras que en el caso de los Estados miembros de la Unión Europea tienen una composición espectroscópica, mientras que en el caso de los Estados miembros de la Unión Europea, los Estados miembros de la Unión Europea tienen una composición espectroscópica, mientras que en el caso de los Estados miembros de la Unión Europea tienen una composición espectroscópica, mientras que en el caso de los Estados miembros de la Unión Europea tienen una composición espectroscópica, mientras que en el caso de los Estados miembros de la Unión Europea tienen una composición espectroscópica, mientras que en el caso de los Estados miembros de la Unión Europea tienen una composición espectroscópica, mientras que en el caso de los Estados miembros de la Unión Europea tienen una composición espectroscópica. En el segundo caso sólo se observaron tres en el documento I. Como resumen, hemos encontrado entre 18 y 32 buenos candidatos enanas marrones (dependiendo de la edad final) en el grupo Lambda Orionis, y entre 17 y 9 tienen su naturaleza confirmada a través de espectroscopia de baja resolución. Note que incluso esto técnica no excluye la posibilidad de que un pocos de ellos serían en realidad no miembros. Finalmente, el dominio de masa planetario comienza en sobre Ic=21.5, usando un isocrono de 5 Myr (DUSTY) modelos de Baraffe et al. (2002)). En esa re- Gion, sólo hay una masa planetaria prometedora candidato, LOri167 (Barrado y Navascués et al. (2007)). 4. Discusión 4.1. Los diagramas Color-Color, el diag- nóstico de exceso de IR y la relación de disco Los colores Spitzer / IRAC son una herramienta de gran alcance para revela el polvo y, por lo tanto, la población de Fuentes de clase I y II en una asociación estelar. Fig- ure 1 (después de Allen et al. (2004) y Megeath y otros (2004)) muestra los colores derivados de la mea- seguros a 3,6 menos 4,5 micras, frente a los obtenido a 5,8 menos 8,0 micras. Este diagrama produce un excelente diagnóstico, permitiendo un fácil discriminación entre objetos con y sin discos. Tenga en cuenta que debido a las magnitudes limitantes de las bandas del IRAC (ver la discusión en sección), objetos más débiles que alrededor de I=18,6 mag no puede tener un conjunto completo de colores IRAC y Por lo tanto, no se puede trazar en el diagrama. Esto el hecho impone un límite a nuestra capacidad de descubrir Excesos de IR en el extremo débil de la secuencia de racimo. Para los miembros del cluster Lambda Orionis, asumiendo un distancia de 400 pc y una edad de 5 Myr (y ac- cableado a los modelos de Baraffe et al. (1998)), este límite se encuentra en 0.040 Más. Gráfico 1 contiene un número considerable de objetos en la región correspondientes a las fuentes de la clase II. En total, hay 31 objetos ubicados dentro de la recta sólida ángulo de 134 miembros de Lambda Orionis con datos en las cuatro bandas del IRAC. Entre ellos, tres (LOri045, LOri082 y LOri092) posiblemente tienen rel- Errores fotométricos de gran tamaño en sus 5,8 μm flujo, ya que la inspección de sus SED indica Es probable que estén sin disco. Dos objetos más, LORI038 y LORI063, tienen colores IRAC indicat- ing Clase I/II (en realidad, LORI038 está muy cerca de la región de clase II). El SED (véase más adelante) Dica que ambos son estrellas de clase II. Por lo tanto, la fracción de miembros del grupo que son de clase II Las estrellas PMS basadas en sus excesos de IR son de 22–25%, para el rango espectral M0–M6.5. Esto es diferente. ent de lo que fue inferido por Dolan & Mathieu (1999, 2001) y por nosotros (papel I), sobre la base distribución de la emisión de Hα y de los infrarrojos cercanos diagramas color-color. Los datos de Spitzer/IRAC demostrar claramente que Lambda Orionis cluster contiene un número significativo de estrellas con discos circunstelares polvorientos. Sin objetos incrustados (Clase I) parecen estar presentes, de acuerdo con el rango de edad de la asociación (3-8 Myr o incluso un poco más grande). Tenga en cuenta que nuestros diferentes excesos de IR frecuencia en comparación con Dolan & Mathieu puede re- sulfato de su muestra siendo principalmente de mayor estrellas masivas que las nuestras. La figura 5 es una explosión de la región en la Fig- ure 1 correspondiente a las fuentes de la clase II. Nosotros también han añadido grandes menos y más símbolos, y grandes cuadrados, para indicar esos objetos con mea- anchos equivalentes de Hα asegurados (en espectro de resolución). Hemos usado la satura... criterio por Barrado y Navascués & Martn (2003) para distinguir entre objetos con W(Hα) –más símbolos– y W(Hα) normal – menos símbolos. En principio, un objeto con una El valor de W(Hα) por encima del criterio de saturación es ei- acreciente o está experimentando un episodio de bengala. Hay dos estrellas de baja masa (LOri050 y LOri063) con una línea Hα superior a 200 km/s (Muzerolle et al. 2003), otro indi- accreción (basado en Natta et al. (2004), deberían tener tasas de acreción muy grandes â € 10− 9 Más/año). Los modelos de disco teóricos utilizados para terpret Diagrama Color-Color del IRAC por Allen et al. (2004) sugieren que las tasas de acreción aumentan de la parte inferior izquierda a la parte superior derecha de la figura. Esto está de acuerdo con nuestros resultados, ya que la mayoría de los objetos que se acrecientan (suponiendo que Hα fuerte es un buen indicador de acreción) se encuentran en la zona de la figura con los excesos más grandes (arriba-derecha). Un par de objetos con muy baja emisión de Hα se encuentran cerca del borde de la zona de clase II (inferior izquierda), un hecho que sugiere que pueden tienen un disco relativamente delgado, con pequeñas o insignificantes acreción. En realidad estos objetos están rodeados por discos delgados en lugar de discos primordiales gruesos (ver sección siguiente). Con respecto a las enanas marrones en el cúmulo, varios miembros probables (LOri126, LOri129, Lori131, LOri132, LOri139 y LOri140) en el recinto de las estrellas TTauri Clásicas. Están justo en la frontera entre las estrellas y objetos subestelares, con magnitudes en el rango I=17,52–18,21 y J=15,38–16,16 (el límite se encuentra en I=17,55 y J=15,36 para 5 Myr, ver Cuadro 5). En el documento I presentamos una resolución baja espectroscopia de LOri126, LOri139 y LOri140, que sugieren que son miembros de los grupos temáticos (el Los tipos espectrales son M6,5, M6.0 y M7.0 con un Hα ancho equivalente de 26,2, 19,7 y 72,8 Å, ticularmente). Además, hemos confirmado la mem- arenque de LOri129 a través de especificaciones de resolución media troscopía (tipo espectral, M6.0 con un Hα equiva- ancho prestado de 12,1 Å). En total, hay 15 candidatos enanos marrones con un juego completo de colores IRAC, seis de los cuales caída en la región de clase II, haciendo así la fracción de enanas marrones con colores IR indicativos de cir- discos cumstellares cercanos al 40% (de 0,04 millones de euros), similar al 50% obtenido por (Bouy et al. 2007) en enanas marrones de la parte superior de Sco, usando fotom de medio IR- etry o el 50% derivado por Guieu et al. (2006) en Taurus enanas marrones con Spitzer. 4.2. La distribución espectral de la energía Hemos conspirado los SED de nuestro Lambda Ori- onis miembros candidatos en las figuras 6-8. Hay claramente una gama de espectros aproximadamente planos, a cuerpo negro en el cercano IR pero empezando a mostrar excesos en longitudes de onda del IRAC, sólo para mostrar ex- cesto a 24 micras. Una manera de estudiar la presencia de un disco circunstelar alrededor de un objeto es para analizar la forma del SED. Después de Lada et al. (2006) han utilizado la pendiente de 3,6-8,0 μm para cada fuente de- Tecnó en al menos tres bandas IRAC para distinguir entre objetos ópticamente gruesos, primordiales discos, objetos rodeados de ópticamente delgados o anéicos discos de micrófono y objetos sin discos. Resultados de este ensayo se presentan en la Tabla 4. En las figuras 6-8 los SED se ordenan de acuerdo con su IRAC clasificación de pendiente: objetos sin disco (índice de pendiente) o 2.56) en la Figura 6, discos gruesos (1.8). en la Figura 7, y objetos rodeados de discos delgados (−1.82.56) en la Figura 8. En esta última figura también incluimos dos estrellas de baja masa que presentan un exceso sólo a 24 micras, debido a una transición disco (véase más abajo). Según la pendiente del IRAC la fracción de miembros del cluster detectados en al menos tres de las bandas IRAC con discos ópticamente gruesos es el 14%, mientras que la fracción total del disco se encuentra 31% (similar al 25% derivado con el IRAC) CCD). Esta fracción es inferior al 50% encontrado por Lada et al. (2006) en IC348 (1-3 Myr) como ex- pected debido a la diferente edad de los clusters. La Figura 9 ilustra la evolución del disco fracción con la edad para varias associa- ciones (suponiendo que el exceso de infrarrojos sirve como un proxy de la presencia de un disco circunstelar). Las proporciones para las diferentes asociaciones provienen de Datos del IRAC (Hartmann y otros 2005; Lada et al. 2006; Sicilia-Aguilar et al. 2006) con el fin de evitar diferentes resultados en función de la técnica utilizada (Bouy et al. 2007). La proporción para el Lambda Ori- onis clúster (Collinder 69) es de alrededor del 30% y, como indicado anteriormente, para los objetos debajo del subestelar bordeline, la fracción de objetos clásicos TTauri Parece ser más grande. De acuerdo con su edad avanzada, el fracción de disco grueso en Colinder 69 es inferior a la de IC348 (esta fracción está representada por abierto cuadrados en la figura 9). Entre los objetos clasificados como fuentes de clase III de la figura 1, sólo dos (LOri043 y LOri065) tener una medición en [24] con una indicación inequívoca detección. Estas dos estrellas no tienen excesos. a 3,6 ó 4,5 micras. Por lo tanto, pueden ser clas- sifified como objetos de transición, el enlace evolutivo entre los discos primordiales y los discos de desechos. Un tercio de las fuentes de clase II (11 de 33) tienen medidas en la banda [24], todas ellas con un claro exceso, como se esperaba de su clase II situación. La falta de excesos de IR en una onda más corta... longitudes para LOri043 y LOri065 probablemente tallos de un agujero interior de disco o al menos menos polvo interior que para las fuentes de clase II. Modelos de simi- lar 24 μm-solo fuentes excesivas y una discusión de su significación disk-evolutiva se puede encontrar en Sicilia-Aguilar et al. (2006); Muzerolle et al. (2006); D’Alessio et al. (2006). La figura 10 muestra el mismo diagrama que en la figura 1, pero los MIPS La información de 24 μm se incluye como cuadrados rayados. Los círculos pequeños representan objetos que tienen ópticamente Discos delgados o de espesor óptico (sólidos) en su pendiente IRAC. El diagrama muestra un suave transición entre los tres tipos de objetos: disco- discos menos, delgados y primordiales. LOri103 tiene un disco delgado basado en su pendiente de 3,6-5,8 μm. Lo ha hecho. se clasificó como clase III debido a su magnitud en 8.0 μm pero creemos que en realidad es una clase II fuente y la magnitud débil en este paso de banda probablemente debido a la presencia de una nebulosidad. Hay algunos objetos clasificados como Clase III fuentes por el IRAC CCD (están fuera, pero cerca del área de clase II del diagrama), pero tienen discos basados en su pendiente IRAC. Todos estos los objetos son enanas marrones según los modelos por Baraffe et al. (1998) (5 Myr) que pasan todos nuestros los criterios de adhesión y, por tanto, la relación entre objetos lar que llevan discos aumenta al 50 % (nota que necesitamos detecciones en al menos tres IRAC bandas para calcular la pendiente del IRAC). Ninguno de nuestros candidatos enanos marrones ha sido detectada a 24 micras. Esto es probablemente debido a la límites de detección para esta banda. Como resumen, de los 170 objetos presentados en El documento I, 167, se discute aquí (los otros tres son detecciones espurias o la fotometría de Spitzer no es fiable). Excluidas las fuentes clasificadas como no miembros, hay 22 que no pueden ser clasi- debido a la insuficiencia de los datos del IRAC, 95 han sido clasificados como diskless, otros dos tienen discos de transición, 25 discos delgados y 20 de espesor discos. Toda esta información ha sido listada en Ta- ble 4. Tenga en cuenta que hay nueve objetos clasificados como Clase III de los diagramas color-color pero que tienen discos delgados de acuerdo con las pendientes SED, y un- otro (LOri156, una enana marrón de masa muy baja candidato con un Hα muy intenso) que tiene un disco grueso basado en la pendiente de los datos del IRAC. 4.3. La distribución espacial de la mem- Hemos trazado la distribución espacial de nuestro buenos miembros candidatos en la Figura 11. Cuatro puntos las estrellas representan las estrellas B y Orionis (O8III). Los Los miembros de clase III (cruces) son aproximadamente Distribución aleatoria en toda la región de la encuesta. Tanto las fuentes de Clase II como las estrellas B dan la impresión de estar concentrado en lineal agrupamiento - con la mayoría de las estrellas B siendo alineadas verticalmente cerca de RA = 83,8, y un gran número de las fuentes de clase II alineadas en el Este Dirección Sureste (más algunos menos bien organizados alineaciones más o menos norte-sur). Lo siento. es posible que las distribuciones espaciales sean reflexivas de los procesos de nacimiento en C69 - con los más jóvenes objetos (fuentes de clase II y estrellas B) el (¿antiguo?) presencia de gas molecular denso, mientras que las fuentes de la clase III han tenido tiempo de mezcla dinámicamente y ya no están cerca de la lugares donde nacieron. La figura 12 muestra tres puntos de vista diferentes de la porción central del mosaico de Spitzer a 3,6 micras para la región C69. Figuras 12a y 12b (con 12b) ser una explosión del centro de 12a) enfatizar la distribución de las fuentes de la clase II en relación con el cluster center; la Figura 12c muestra la distribución de nuestros candidatos enanos marrones. La estrella Orionis es en el centro de cada una de estas figuras. El objeto situado al sur de la estrella  Orionis es BD+09 879 C (o HD36861 C, una estrella F8 V), con un ángulo angular distancia de unos 30 arcsec desde el binario cercano Orionis AB (la distancia proyectada, si BD+09) 879 C es un miembro del grupo, sería 12.000 UA del par AB). La aparente falta relativa de miembros candidatos al cluster dentro de unos 75 arcsec Orionis puede ser ilusorio, ya que este re- gion fue "quemado" en las imágenes ópticas de la CFHT1999 encuesta y también se ve negativamente afectado en nuestras imágenes del IRAC. Hay una serie de clases II fuentes alrededor de 75-90 arcsec de  Ori, corre- a una separación proyectada de orden de 30.000 UA, así que al menos a esa distancia discos circunstelares puede sobrevivir a pesar de la presencia de un cercano O Estrella. En cuanto a la distribución de enanas marrones, un número significativo de ellos (30 %) se encuentran dentro de la el círculo interior con un diámetro de 9 arcmin (nuestro El estudio óptico original abarcó un área de 42×28 arcmin). Sin embargo, hay miembros subestelares a cualquier distancia de la estrella de Ori (Figura 12c), y no hay pruebas sustanciales de que el clus- ter enanas marrones tienden a estar cerca de la masiva Estrella central. Hemos estimado la correlación en el espacio espacial distribución de diferentes conjuntos de datos: Clase II vs. Candidatos de clase III, objetos con cualquier tipo de disco (delgado, grueso y transición) frente a objetos sin disco, y objetos estelares vs. subestelares (siguiendo la frontera subestelar que figura en el cuadro 5 para edades y bandas). Hemos calculado los dos lados Estadística de Kuiper (invariante Kolmogorov-Smirnov prueba), y su probabilidad asociada de que cualquiera de los anteriormente mencionados pares de grupos estelares fueron procedentes de la misma distribución. Tenemos calcu... lated la función de densidad bidimensional de cada uno muestra considerando un encuadernación de cuadrícula de 4.5×3 arcmin en una región de 45×30 arcmin centrada a las 05:35:08.31, +09:56:03.6 (la estrella Lambda Orionis). El ensayo En el primer caso, se revela que la desgravación acumulativa La función de asignación de los candidatos de la clase II es sig- Diversificadamente diferente de la de la clase III fechas, con una probabilidad para estos conjuntos de datos ser- de la misma distribución del 1%. Esta situación cambia al comparar el conjunto de objetos que albergan cualquier tipo de disco con el de objetos sin disco, encontrando una probabilidad de + 50% en este caso (y, por lo tanto, no se puede llegar a ninguna conclusión, aparte de eso no hay una correlación fuerte). Activar por otra parte, con respecto a una correlación con la edad, la prueba señala una tendencia en la relación ser- entre la distribución espacial de estelares y sub- objetos estelares dependiendo de la edad supuesta. Los valor de la probabilidad de estas dos poblaciones compartir una distribución espacial común disminuye de un 30% al asumir una edad de 3 Myr, a • 0,001% para una edad de 8 años Myr. El valor suponiendo una edad de 5 años Myr es de 1 %. Distribución espacial de los objetos detectados en 24 micras se pueden ver en la Figura 13. La nebulosidad inmediatamente al sur de la estrella de Orionis (cerca de BD +09 879 C) corresponde a la región HII LBN 194.69-12.42 (véase el detalle en la figura 12b banda [3.6]). La mayoría de los miembros detectados son gated dentro del círculo interior de 9 arcmin, con un ap- concentración principal en un “filamento” que se ejecuta ap- Aproximadamente norte-sur (es decir, alineado con la B estrellas como se ilustra en la Figura 11b). Fuera del clus... miembros descubiertos por Dolan & Mathieu, 11 están dentro de la imagen MIPS [24] (véase la figura 13) y tener flujos por encima del nivel de detección. El clos- Este miembro de Orionis es D&M#33 (LOri034), cerca de 2 arcmin al este de la estrella central. La imagen MIPS en 24 micras sugiere que Hay dos burbujas centradas alrededor del Ori- onis estrella múltiple (en realidad, el centro podría ser el componente C o la región HII LBN 194.69- 12.42). El primero está a unos 25 arcmin de distancia, y se encuentra a lo largo del noreste/sur-oeste eje. Más visible es el más pequeño frente lo- a una distancia de 10,75 arcmin, de nuevo cen- en la región HII y no en Orionis AB. En este caso, es más visible situado en la direc- sión Oeste/Norte-Oeste, frente a la alineación de objetos de clase II y miembros de baja masa con ex- cesto a 24 micras. Estructuras similares se pueden encontrar a mayor escala en las imágenes de IRAS de esta región, a 110 y 190 arcmin. La estrella 37 Ori, una B0III, se encuentra en el centro del capullo en la parte inferior de la imagen. Los fuente IRAS 05320+0927 está muy cerca y es Probablemente lo mismo. Tenga en cuenta que mientras que BD +09 879 C aparecería ser la fuente de un fuerte viento estelar y/o gran flujo de fotones UV, no es obvio que el estrella visible es el emisor UV porque el espectral tipo para BD +09 879 C se administra como F8V (Lindroos 1985). Sería útil examinar esta estrella más con el fin de tratar de resolver este misterio. 5. Conclusiones Hemos obtenido datos de Spitzer IRAC y MIPS de un área de alrededor de un sq.deg alrededor de la estrella onis, la estrella central de la 5 Myr Lambda Orio- nis open cluster (Collinder 69). Estos datos fueron: combinado con nuestra óptica anterior y cerca de en- fotometría (de 2MASS). Además, nosotros han obtenido imágenes infrarrojas muy profundas. Los las muestras se han utilizado para evaluar buque de los 170 miembros candidatos, seleccionados entre Barrado y Navascués et al. (2004). Utilizando los datos de Spitzer/IRAC y el crite- ria desarrollada por Allen et al. (2004) y Hartmann et al. (2005), hemos encontrado 33 objetos que pueden ser clasificados como estrellas TTauri clásicas y sub- análogos lar (objetos de clase II). Esto significa que la fracción de miembros con discos es 25% y 40%, para el estelar (en el rango espectral M0 - M6.5) y población subestelar (hasta 0,04 millones de habitantes). ¿Cómo...? siempre, combinando esta información con Hα emis- sión (sólo una fracción de ellos tienen espectroscopia), Encontramos que algunos no parecen estar acrecentándose. Por otra parte, como se espera de los modelos, vemos un la correlación en el [3.6] - [4.5] vs. [5.8] - [8.0] dia- gramo para objetos con colores más rojos (más IR ex- cesto) tener una emisión de Hα más fuerte. Además, siguiendo a Lada et al. (2006) y la clasificación basado en la pendiente de los datos del IRAC, encontramos que la proporción de miembros subestelares que llevan discos (ópticamente delgado o grueso) es + 50%, mientras que es aproximadamente 31% para la muestra completa (14% con espesor disquetes). Este resultado sugiere que la escala de tiempo para Los discos primordiales que se disipan son más largos para los discos inferiores. estrellas de masas, como se sugiere en Barrado y Navascués & Martn (2003). También hemos encontrado que la distribución de Los miembros de Collinder son muy inhomógenos, specif- ticamente para los objetos de Clase II. La mayoría de ellos son situado en un filamento que va desde el centro Orionis al sureste, más o menos a... guarda la nube oscura Barnard 35. Además, hay varias estrellas de Clase II cerca de la central estrellas. Si el (anteriormente) miembro más alto de la masa de C69 ya ha evolucionado fuera de la secuencia principal y convertirse en una supernova, o los discos de estos Estrellas de clase II sobrevivieron a ese episodio o se formaron posterior a la supernova. También hemos derivado los flujos a 24 micras de imágenes de Spitzer/MIPS. Sólo un puñado... 13– de las estrellas de baja masa se detectaron (no marrón enanos). La mayoría de ellos son objetos de clase II. In el caso de los dos miembros de clase III con 24 exceso de micrones, parece que corresponden a las transiciones de discos, ya evolucionando hacia el pro- fase planetaria. Agradecemos la asignación del Observatorio de Calar Alto del tiempo discrecional del director para este programa. Esta investigación ha sido financiada por subvenciones españolas MEC/ESP2004-01049,MEC/Consolidador-CSD2006- 0070, y CAM/PRICIT-S-0505/ESP/0361. REFERENCIAS Allen, L. E., Calvet, N., D’Alessio, P., et al. 2004, ApJS, 154, 363 Baraffe, I., Chabrier, G., Allard, F., & Hauschildt, P. H. 1998, A&A, 337, 403 Baraffe, I., Chabrier, G., Allard, F., & Hauschildt, P. H. 2002, A&A, 382, 563 Barrado y Navascués, D. & Marten, E. L. 2003, AJ, 126, 2997 Barrado y Navascués, D., Stauffer, J. R., Bouvier, J., Jayawardhana, R., & Cuillandre, J.-C. 2004, ApJ, 610, 1064 (Papel I) Barrado y Navascués, D., Stauffer, J. R., & Bou- vier, J. 2005, ASSL Vol. 327: La misa inicial Función 50 años después, 133 Barrado y Navascués, D., Huélamo, N., & Morales Calderón, M. 2005, Astronomische Nachrichten, 326, 981 Barrado y Navascués, D., Bayo, A., Morales Calderón, M., Huélamo, N., Stauffer, J.R., Bouy, H. 2007, cartas A&A, presentadas Bouy, H., Huélamo, N., Marten, E. L., Barrado y Navascués, D., Sterzik, M., & Pantin, E. 2007, A&A, 463, 641 Briceño, C., Luhman, K. L., Hartmann, L., Stauf- fer, J. R., & Kirkpatrick, J. D. 2003, en la UAI Simposio, ed. E. 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L., et al. 2006, AJ, 131, 1574 Lindroos, K. P. 1985, A&AS, 60, 183 Luhman, K. L. 2004, ApJ, 617, 1216 Makovoz, D. & Khan, I. 2005, en Astronomical Society of the Pacific Conference Series, ed. P. Shopbell, M. Britton, & R. Ebert, 81–+ Megeath, S. T., et al. 2004, ApJS, 154, 367 McCaughrean, M. J. & Stauffer, J. R. 1994, AJ, 108, 1382 Muzerolle, J., Adame, L., D’Alessio, P., et al. 2006, ApJ, 643, 1003 Muzerolle, J., Hillenbrand, L., Calvet, N., Briceño, C., & Hartmann, L. 2003, ApJ, 592, 266 Natta, A., Testi, L., Muzerolle, J., et al. 2004, A&A, 424, 603 Reach, W. T., Megeath, S. T., Cohen, M., et al. 2005, PASP, 117, 978 Rieke, G. H., Young, E. T., Engelbracht, C. W., et al. 2004, ApJS, 154, 25 Sicilia-Aguilar, A., Hartmann, L. W., Hernández, J., Briceño, C., & Calvet, N. 2005, AJ, 130, 188 Sicilia-Aguilar, A., Hartmann, L., Calvet, N., et al. 2006, ApJ, 638, 897 Esta preimpresión de 2 columnas fue preparada con el AAS LATEX macros v5.0. http://irsa.ipac.caltech.edu/applications/Gator/ Cuadro 1 Fotometría adicional cerca de infrarrojos para los miembros candidatos de la Lambda Orionis cluster (WHT/INGRID). Nombre Error J Error H Error Ks Error LOri006 12,752 11,67 0,01 10,90 0,01 10,94 0,01 LOri007 12,779 11,65 0,01 – – – – LOri008 12,789 11,53 0,01 10,85 0,01 10,62 0,01 LOri009 12,953 11,79 0,01 – – – – LOri011 13,006 11,59 0,01 – – – – LOri015 13,045 11,90 0,01 – – – – LOri016 13,181 12.00 0,01 11,41 0,01 11,27 0,01 LOri020 13,313 11,95 0,01 – – – – LOri021 13,376 12,26 0,01 – – – – LOri022 13,382 12,20 0,01 11,44 0,01 11,22 0,01 LOri024 13.451 12.35 0,01 – – – – LOri026 13.472 12.00 0,01 – – – – LOri027 13,498 12,51 0,01 – – – – LOri030 13,742 12,44 0,01 11,81 0,01 11,64 0,01 LOri031 13,750 12,34 0,01 – – – – LOri034 13,973 12,43 0,01 – – – – LOri035 13,974 12,56 0,01 – – – – LOri036 13,985 12,53 0,01 – – – – LOri037 13,988 13,43 0,01 – – – – LOri048 14,409 12,78 0,01 12,17 0,01 12.00 0,01 LOri049 14,501 13,13 0,01 – – – – LOri050 14.541 13.17 0,01 – – – – LOri053 14,716 13.17 0,01 – – – – LOri055 14,763 13,24 0,01 – – – – LOri056 14,870 13,33 0,01 – – – – LOri057 15,044 13,43 0,01 – – – – LOri060 15.144 13,60 0,01 – – – – LOri061 15,146 13,38 0,01 12,74 0,01 12,54 0,01 LOri062 15.163 13,60 0,01 – – – – LOri063 15,340 13,72 0,01 13,02 0,01 12,69 0,01 LOri065 15,366 13,66 0,01 13,04 0,01 12,85 0,01 LOri068 15,200 13,73 0,01 – – – – LOri069 15.203 13,28 0,01 – – – – LOri071 15.449 13,72 0,01 – – – – LOri073 15.277 13,68 0,01 – – – – LOri076 15,812 14,12 0,01 13,51 0,01 13,28 0,01 LOri077 15.891 14.11 0,01 – – – – LOri082 16,022 14,18 0,01 13,64 0,01 13,35 0,01 LOri083 16,025 14,22 0,01 13,63 0,01 13,32 0,01 LOri085 16,043 14,21 0,01 13,58 0,01 13,26 0,01 LOri087 16,091 14,44 0,01 – – – – LOri088 16.100 14,14 0,01 – – – – LOri089 16.146 14,43 0,01 – – – – LOri093 16.207 14,47 0,01 – – – – LOri094 16,282 14,37 0,01 – – – – LOri096 16,366 14,59 0,01 13,98 0,01 13,72 0,01 LOri099 16.416 14,62 0,01 – – – – LOri100 16,426 14,83 0,01 – – – – LOri102 16,505 14,57 0,01 14,05 0,01 13,78 0,01 LOri104 16,710 14,90 0,01 – – – – LOri105 16,745 14,84 0,01 – – – – LOri107 16,776 14,91 0,01 14,35 0,01 14,05 0,01 LOri115 17,0777 15,35 0,01 – – – – LOri116 17.165 15.31 0,01 – – – – LOri120 17,339 15,36 0,01 – – – – LOri130 17,634 15,76 0,01 – – – – LOri131 17,783 15,29 0,01 14,83 0,01 14,41 0,01 LOri132 17,822 15,77 0,01 – – – – LOri134 17.902 15,72 0,01 15,17 0,01 14,82 0,01 LOri135 17,904 15,63 0,01 15,14 0,01 14,79 0,01 LOri136 17,924 15,53 0,01 – – – – Cuadro 2 Cero puntos, correcciones de apertura y factores de conversión entre las magnitudes y los flujos en Jansky. Canal Ap. corrección ap=4px (mag) Ap. corrección ap=2px (mag) Punto Cero (mag)a Flux mag=0 (Jy) [3.6] 0,090 0,210 17,26 280,9b [4,5] 0,102 0,228 16,78 179,7b [5.8] 0,101 0,349 16,29 115,0b [8.0] 0,121 0,499 15,62 64,1b [24] 0,168d 11,76 7.14c aZero Puntos para fotometría de apertura realizados con IRAF en los datos del CDB. bReach et al. (2005) cEngelbracht y otros (2006) dLa abertura utilizada para MIPS [24] fue siempre de 5,31 píxeles. Cuadro 3 Miembros candidatos del grupo Lambda Orionis (Collinder 69) Nombre R error I error J error H error Ks error [3.6] error [4.5] error [5.8] error [8.0] error [24] error Mem1 error LOri001 13,21 0,00 12,52 0,00 11,297 0,022 10,595 0,022 10,426 0,021 10,228 0,003 10,255 0,004 10,214 0,009 10,206 0,010 – – Y LORI002 13,44 0,00 12,64 0,00 11,230 0,024 10,329 0,023 10,088 0,019 9,935 0,003 10,042 0,003 9,930 0,009 9,880 0,008 – – Y LOri003 13,39 0,00 12,65 0,00 11,416 0,023 10,725 0,022 10,524 0,023 10,262 0,003 10,318 0,004 10,239 0,010 10,171 0,010 – – Y LOri004 13,71 0,00 12,65 0,00 11,359 0,022 10,780 0,023 10,548 0,021 10,287 0,003 10,249 0,004 10,185 0,009 10,127 0,009 – – Y LOri005 13,38 0,00 12,67 0,00 11,378 0,022 10,549 0,022 10,354 0,023 10,204 0,003 10,321 0,004 10,218 0,009 10,158 0,009 – – Y LOri006 13,55 0,00 12,75 0,00 11,542 0,026 10,859 0,026 10,648 0,021 10,454 0,003 10,454 0,004 10,399 0,011 10,319 0,010 – – Y LOri007 13,72 0,00 12,78 0,00 11.698 0,027 11,101 0,024 10.895 0,030 10.668 0,004 10.636 0,004 10.615 0,012 10.482 0,013 – – Y LOri008 13,60 0,00 12,79 0,00 11,548 0,029 10,859 0,023 10,651 0,024 10,498 0,003 10,495 0,004 10,440 0,011 10,256 0,012 – – Y LOri009 13,70 0,00 12,95 0,00 11.843 0,024 11,109 0,024 10.923 0,023 10.834 0,004 10.873 0,005 10.788 0,012 10.743 0,014 – – Y LOri010 13,70 0,00 12,96 0,00 11.880 0,026 11,219 0,026 11,041 0,023 10,916 0,004 10,953 0,005 10,733 0,012 10,839 0,016 – – Y LOri011 13,84 0,00 13,01 0,00 11.604 0,026 10.784 0,024 10.554 0,024 10.378 0,003 10.521 0,004 10.444 0,011 10.326 0,011 – – Y LOri012 13,80 0,00 13,03 0,00 11.816 0,026 10.971 0,024 10.795 0,023 10.619 0,003 10.758 0,005 10.627 0,012 10.543 0,012 – – Y LOri013 14,21 0,00 13,03 0,00 11.656 0,022 10.918 0,022 10.719 0,023 10.511 0,003 10.480 0,004 10.467 0,011 10.344 0,012 – – Y LOri014 13,84 0,00 13,03 0,00 11.941 0,024 11,278 0,027 11,092 0,023 10.902 0,004 10.904 0,005 10.839 0,014 10.797 0,014 – – Y LOri015 13,83 0,00 13,05 0,00 11.870 0,024 11.127 0,024 10.912 0,019 10.808 0,004 10.886 0,005 10.824 0,013 10.882 0,015 – – Y LOri016 14,07 0,00 13.18 0,00 11.958 0,024 11,284 0,027 11,053 0,024 10.833 0,004 10.817 0,006 10.378 0,011 10,700 0,014 – – Y LOri017 13,99 0,00 13,19 0,00 12,188 0,024 11,482 0,023 11,323 0,021 11,165 0,005 11,206 0,006 11,173 0,017 11,072 0,019 – – Y LOri018 14,21 0,00 13,26 0,00 11,991 0,024 11,284 0,022 11,090 0,023 10,804 0,004 10,798 0,005 10,722 0,012 10,636 0,014 – – Y LOri019 14,33 0,00 13,31 0,00 12.019 0,026 11,316 0,024 11,067 0,021 10,880 0,004 10,866 0,005 10,767 0,013 10,788 0,018 – – Y LOri020 14,65 0,00 13,31 0,00 11,856 0,028 11,214 0,026 11,025 0,027 10,676 0,003 10,609 0,004 10,573 0,012 10,485 0,012 – – Y LOri021 14,26 0,00 13,38 0,00 12,258 0,027 11,560 0,026 11,296 0,011 11,129 0,004 11,107 0,005 11,081 0,016 11,065 0,019 – – Y LOri022 14,41 0,00 13,38 0,00 12,102 0,023 11,411 0,022 11,156 0,019 11,010 0,004 10,985 0,005 10,895 0,014 10,683 0,014 – – Y LOri023 14,43 0,00 13,44 0,00 12,221 0,027 11,471 0,022 11,290 0,024 11,090 0,004 11,114 0,005 11,071 0,015 10,928 0,018 – – Y LOri024 14,43 0,00 13.45 0,00 12,139 0,030 11,446 0,026 11,223 0,028 11,018 0,004 11,019 0,005 10,972 0,015 10,877 0,016 – – Y LOri025 14,36 0,00 13.45 0,00 12.163 0,044 11.409 0,051 11,090 0,033 10.668 0,003 10.674 0,004 10.613 0,012 10.576 0,012 – – Y LOri026 14,57 0,00 13,47 0,00 12.046 0,028 11,324 0,024 11,092 0,025 10,882 0,004 10,833 0,005 10,811 0,014 10,742 0,013 – – Y LOri027 14,49 0,00 13,50 0,00 12,378 0,026 11,7118 0,023 11,503 0,021 11,35 0,005 11,36 11,237 0,016 11,179 0,025 – – Y LOri028 14,86 0,00 13,65 0,00 12,488 0,024 11,872 0,022 11,687 0,021 11,439 0,005 11,417 0,006 11,348 0,017 11,297 0,021 – – Y LORI029 14,89 0,00 13,69 0,00 12,210 0,026 11,460 0,027 11,071 0,019 10,259 0,003 9,830 0,003 9,321 0,006 8,416 0,003 5,684 0,007 Y LOri030 14,95 0,00 13,74 0,00 12,427 0,027 11,686 0,026 11,428 0,021 11,208 0,007 11,157 0,007 11,119 0,019 10,997 0,023 – – Y LOri031 14,90 0,00 13,75 0,00 12,412 0,028 11,654 0,023 11,442 0,028 11,206 0,004 11,188 0,006 11,150 0,015 11,079 0,016 – – Y LOri032 15.04 0,00 13,80 0,00 12,410 0,029 11,714 0,023 11,493 0,021 11,252 0,004 11,215 0,006 11,178 0,016 11,080 0,019 – – Y LOri033 14,82 0,00 13,81 0,00 12,455 0,033 11,800 0,042 11,502 0,027 11,146 0,004 11,149 0,005 11,060 0,015 11,020 0,019 – – Y LOri034 15,10 0,00 13,97 0,00 12,442 0,026 11,639 0,026 11,184 0,023 10,068 0,003 9,734 0,003 9,314 0,007 8,325 0,003 5,738 0,007 Y LOri035 15,25 0,00 13,97 0,00 12,546 0,024 11,842 0,027 11,609 0,019 11,371 0,005 11,349 0,006 11,283 0,017 11,259 0,021 – – Y LOri036 15,47 0,00 13,98 0,00 12,576 0,024 11,936 0,023 11,706 0,021 11,395 0,005 11,378 0,006 11,287 0,018 11,260 0,019 – – Y LORI037 15,17 0,00 13,99 0,00 12,459 0,024 11,727 0,026 11,492 0,321 11.302 0,005 11.309 0,006 11,198 0,016 11,180 0,018 – – Y LOri038 15,10 0,00 14,01 0,00 12,684 0,030 11,954 0,029 – – 11,455 0,005 11,320 0,006 10,970 0,014 9,857 0,008 6,211 0,010 Y LOri039 15,25 0,00 14,02 0,00 12,755 0,030 12,004 0,023 11,775 0,023 11,523 0,005 11,534 0,007 11,434 0,018 11,373 0,025 – – Y LOri040 15,38 0,00 14,06 0,00 12,553 0,024 11,877 0,022 11,594 0,024 11,364 0,005 11,319 0,006 11,231 0,017 11,218 0,025 – – Y LOri041 15,55 0,00 14,10 0,00 12.500 0,024 11,856 0,023 11,587 0,027 11,255 0,004 11,187 0,006 11,131 0,015 11,123 0,021 – – Y LOri042 15,31 0,00 14,14 0,00 12,813 0,027 12.099 0,026 11.853 0,023 11.604 0,005 11.633 0,007 11.546 0,019 11.479 0,025 – – Y LOri043 15,46 0,00 14,16 0,00 12,707 0,024 12,021 0,0226 11,741 0,024 11,512 0,005 11,496 0,007 11,408 0,019 11,393 0,024 8,479 0,102 Y LOri044 15.39 0,00 14.17 0,00 12.924 0,024 12.318 0,024 12.065 0,023 11.837 0,006 11.804 0,007 11.751 0,023 11.674 0,024 – – Y LOri045 15,56 0,00 14,23 0,00 12,768 0,023 12,102 0,026 11,844 0,023 11,602 0,005 11,596 0,007 12,023 0,039 11,474 0,026 – – Y LOri046 15,64 0,00 14,36 0,00 13,033 0,023 12,478 0,026 12,252 0,026 11,906 0,006 11,852 0,008 11,787 0,024 11,763 0,032 – – Y LOri047 15,91 0,00 14,38 0,00 12,732 0,026 12.097 0,031 11,827 0,026 11,474 0,005 11,400 0,006 11,333 0,017 11,342 0,025 – – Y LOri048 15,78 0,00 14,41 0,00 12,887 0,027 12,196 0,029 11,932 0,026 11,612 0,006 11,521 0,008 11,448 0,020 10,920 0,018 8,119 0,087 Y Cuadro 3-Continuación Nombre R error I error J error H error Ks error [3.6] error [4.5] error [5.8] error [8.0] error [24] error Mem1 error LORI049 15,77 0,00 14,50 0,00 13,173 0,027 12,592 0,029 12,253 0,023 12,004 0,006 11,992 0,009 12,043 0,027 12,427 0,057 – – Y LOri050 15,90 0,00 14,54 0,00 12,877 0,027 12,236 0,027 11,955 0,031 11,471 0,005 11,089 0,005 10,529 0,011 9.537 0,007 7,268 0,029 Y LOri051 15,91 0,00 14,60 0,00 13,266 0,024 12.559 0,022 12.285 0,021 12.017 0,006 11.995 0,008 11.969 0,024 11.919 0,035 – – Y LOri052 15.93 0,00 14,63 0,00 13,117 0,023 12,454 0,024 12,192 0,019 11,917 0,006 11,863 0,008 11,764 0,022 11,791 0,029 – – Y LOri053 16.08 0,00 14,72 0,00 13.173 0,032 12.521 0,023 12.278 0,027 11.995 0,006 11.954 0,008 11.886 0,022 11.862 0,034 – – Y LOri054 16,19 0,00 14,73 0,00 13,189 0,024 12,509 0,022 12,271 0,027 11,974 0,006 11,948 0,009 11,805 0,025 11,862 0,038 – – Y LOri055 16,12 0,00 14,76 0,00 13,184 0,026 12,477 0,026 12,253 0,026 12,044 0,006 12.038 0,009 12.015 0,029 11.902 0,038 – – Y LOri056 16,43 0,00 14,87 0,00 13,211 0,029 12,567 0,026 12,267 0,029 12,011 0,004211,906 0,005211,913 0,019211,853 0,0322– – Y LOri057 16,63 0,00 15.04 0,00 13.412 0,024 12,773 0,023 12.487 0,030 12.177 0,007 12.078 0,009 11.988 0,030 11.992 0,033 – – Y LOri058 16,57 0,00 15,06 0,00 13,521 0,024 12,935 0,022 12,643 0,027 12,332 0,007 12,269 0,010 12,172 0,032 12,637 0,072 – – Y LOri059 16,57 0,00 15,10 0,00 13,574 0,026 12,884 0,026 12,682 0,032 12,317 0,007 12,270 0,009 12,218 0,030 12,679 0,066 – – Y LOri060 16,56 0,00 15,14 0,00 13,598 0,030 12,961 0,030 12,663 0,029 12,423 0,008 12,418 0,011 12,408 0,041 12,377 0,051 – – Y LOri061 16,58 0,00 15,15 0,00 13,533 0,023 12,833 0,026 12,525 0,027 12,052 0,006 11,851 0,008 11,519 0,019 10,730 0,015 8,047 0,046 Y LOri062 16,62 0,00 15,16 0,00 13,634 0,029 13,005 0,030 12,725 0,027 12,370 0,007 12,246 0,009 12,153 0,30 11,36 0,021 7,834 0,035 Y LOri063 16,80 0,01 15,34 0,00 13,756 0,029 13,066 0,029 12,663 0,030 11,666 11,368 0,007 11,768 0,028 10,397 0,014 6,055 0,010 Y LOri064 16,78 0,01 15,34 0,00 13,782 0,026 13,098 0,025 12,846 0,029 12,486 0,008 12,489 0,011 12,378 0,034 12,245 0,053 – – Y LOri065 16,89 0,01 15,37 0,00 13,820 0,024 13,123 0,029 12,843 0,027 12,526 0,008 12,504 0,011 12,494 0,032 12,641 0,063 8,424 0,075 Y LOri066 17,12 0,01 15,40 0,00 13,506 0,024 12,901 0,026 12,654 0,029 12,221 0,007 12,170 0,010 12,196 0,039 12,578 0,072 – – Y LOri067 17,05 0,01 15,53 0,00 14.000 0,033 13,356 0,027 13,102 0,036 12,794 0,010 12,727 0,014 12,702 0,046 12,786 0,071 – – Y LOri068 16,76 0,01 15,20 0,00 13,521 0,027 12,902 0,026 12,628 0,027 12,348 0,005212,246 0,00621,029 0,016212,145 0,0362– – Y LOri069 16,89 0,01 15,20 0,00 13,384 0,027 12,774 0,027 12,425 0,027 12.089 0,006 12.015 0,008 12.034 0,026 11.903 0,042 – – Y LOri070 17,18 0,01 15,61 0,00 14,042 0,032 13,405 0,029 13,067 0,031 12,809 0,009 12,779 0,013 12,799 0,041 12,559 0,060 – – Y LOri071 17,13 0,00 15,63 0,00 13,749 0,030 13,129 0,024 12,839 0,031 12,470 0,008 12,382 0,010 12,276 0,031 12,250 0,044 – – Y LOri072 17.00 0,00 15,35 0,00 13,554 0,026 12,944 0,032 12,631 0,027 11,993 0,006 11,860 0,008 11,836 0,026 11,718 0,037 – – Y LOri073 16,84 0,01 15,28 0,00 13,644 0,028 12,992 0,023 12,715 0,027 12,376 0,007 12,274 0,009 12,187 0,029 12,162 0,031 – – Y LOri074 17,03 0,01 15,39 0,00 13,663 0,026 13,088 0,025 12,720 0,024 12,312 0,007 12,310 0,010 12,290 0,030 12,259 0,046 – – Y LOri075 16,95 0,01 15,23 0,00 13,396 0,026 12,794 0,026 12,526 0,024 12.089 0,006 11,990 0,008 11.924 0,026 11.936 0,038 – – Y LOri076 17,39 0,01 15,81 0,00 14,216 0,027 13,527 0,027 13,201 0,032 12,916 0,0110 12,843 0,014 12,669 0,048 12,754 0,072 – – Y LOri077 17,45 0,00 15,89 0,00 14,031 0,027 13,416 0,027 13,109 0,035 12,761 0,009 12,717 0,012 12,700 0,046 12,650 0,073 – – Y LOri078 17,35 0,00 15,92 0,00 14,227 0,041 13,593 0,053 13,286 0,040 12,766 0,009 12,844 0,014 12,789 0,046 12,554 0,069 – – Y LOri079 17,51 0,00 16.00 0,00 14,221 0,032 13,536 0,032 13,338 0,039 13,002 0,006212,970 0,008212,876 0,078212,724 0,0482– – Y LOri080 17,51 0,00 16,01 0,00 13,804 0,023 13,196 0,022 12,891 0,033 12,504 0,008 12,424 0,010 12,597 0,041 12,190 0,031 – – Y LOri081 17.61 0,00 16,02 0,00 14,669 0,032 13,692 0,032 13,209 0,037 12,620 0,008 12,360 0,010 12.050 0,030 11.632 0,028 8,062 0,056 Y LOri082 17,57 0,00 16.02 0,00 14,200 0,033 13,570 0,025 13,281 0,033 13,008 0,011 12,954 0,015 13,586 0,100 12,830 0,100 – – Y LOri083 17,56 0,00 16,02 0,00 14,265 0,030 13,638 0,035 13,375 0,40 13,012 0,0110 12,946 0,013 12,947 0,057 13,017 0,074 – – Y LOri084 17.48 0,00 16.03 0,00 14,077 0,024 13,448 0,027 13,188 0,034 12,888 0,010 12,800 0,013 12,863 0,061 12,745 0,067 – – Y LOri085 17,65 0,01 16.04 0,00 14,189 0,026 13,622 0,037 13,233 0,027 12,584 0,008 12,315 0,010 12.090 0,028 11,510 0,029 8,089 0,056 Y LOri086 17.59 0,00 16.09 0,00 14,482 0,032 13,867 0,032 13,503 0,40 13,251 0,011 13,205 0,016 13,160 0,057 13,277 0,098 – – Y LOri087 17,54 0,00 16.09 0,00 14,186 0,039 13,601 0,030 13,279 0,035 12,978 0,0110 12,894 0,013 13,002 0,064 12,669 0,060 – – Y LOri088 17,78 0,00 16,10 0,00 14,140 0,031 13,543 0,037 13,228 0,039 12,923 0,009 12,853 0,013 12,865 0,040 12,676 0,051 – – Y LOri089 17,79 0,00 16,15 0,00 14,380 0,032 13,839 0,035 13,512 0,039 13,156 0,011 13,123 0,015 13,682 0,086 12,877 0,081 – – Y LOri090 17,77 0,00 16,17 0,00 14,515 0,041 13,881 0,023 13,651 13,226 0,011 13,116 0,015 12,930 0,047 13,126 0,100 – – Y LOri091 18.01 0,00 16,18 0,00 14,184 0,032 13,556 0,032 13,289 0,031 12,868 0,009 12,803 0,013 13,087 0,062 12,462 0,054 – – Y LOri092 17,84 0,00 16,19 0,00 14,441 0,030 13,841 0,038 13,537 0,040 13,158 0,011 13,053 0,014 13,517 0,087 12,992 0,089 – – Y LOri093 17,82 0,00 16,21 0,00 14,462 0,030 13,836 0,039 13,604 0,052 13,169 0,011 13,104 0,015 13,256 0,073 12,982 0,098 – – Y LOri094 18.03 0,00 16.28 0,00 14.404 0,034 13,802 0,30 13.425 0,038 12.955 0,009 12.994 0,014 13,184 0,058 12,894 0,085 – – Y LOri095 17,96 0,00 16,35 0,00 14,564 0,033 13,913 0,029 13,613 0,048 13,247 0,012 13,278 0,017 13,176 0,067 13,340 0,138 – – Y LOri096 18.02 0,02 16,37 0,00 14,627 0,038 13,965 0,037 13,638 0,047 13,039 0,010 12,732 0,013 12,527 0,045 12.029 0,039 – – Y Cuadro 3-Continuación Nombre R error I error J error H error Ks error [3.6] error [4.5] error [5.8] error [8.0] error [24] error Mem1 error LOri098 18,12 0,00 16,40 0,00 14,647 0,037 13,985 0,045 13,682 0,039 13,393 0,012 13,301 0,016 13,284 0,075 13,182 0,115 – – Y LOri099 18,14 0,00 16,42 0,00 14,709 0,034 14,074 0,035 13,676 0,043 13,421 0,013 13,335 0,018 13,211 0,069 13,352 0,124 – – Y LOri100 18,08 0,00 16,43 0,00 14,768 0,044 14,044 0,042 13,821 0,044 13,446 0,012 13,325 0,017 13,163 0,066 13,318 0,123 – – Y LOri101 18,14 0,00 16.48 0,00 15,019 0,038 14,372 0,044 14,110 0,066 13,763 0,015 13,627 0,021 13,860 0,105 13,475 0,153 – – N LOri102 18.24 0,00 16,50 0,00 14,634 0,047 14,083 0,50 13,809 0,057 13,296 0,012 13,213 0,015 13,275 0,073 13,101 0,108 – – Y LOri103 18,30 0,00 16,55 0,00 14,643 0,029 14,126 0,029 13,833 0,055 13,425 0,013 13,387 0,018 13,140 0,067 13,628 0,151 – – Y LOri104 18,48 0,03 16,71 0,01 14,667 0,030 14,136 0,036 13,721 0,042 13,143 0,011 12,877 0,014 12,694 0,055 11,762 0,035 – – Y LOri105 18.58 0,00 16.75 0,00 14.922 0,40 14,340 0,052 13,993 0,053 13,621 0,016 13,593 0,021 13.601 0,093 13,536 0,159 – – Y LOri106 18,48 0,00 16,76 0,00 14,776 0,043 14,161 0,057 13,743 0,045 13,295 0,012 12,967 0,014 12,558 0,045 11,832 0,034 8,849 0,151 Y LOri107 18,85 0,00 16,78 0,00 14,656 0,036 13,987 0,035 13,621 0,052 13,213 0,017 13,152 0,019 13,215 0,082 13,046 0,160 – – Y LOri108 18,64 0,00 16,80 0,00 14,840 0,033 14,256 0,048 13,918 0,0150 13,498 0,013 13,464 0,018 13,387 0,073 13,303 0,124 – – Y LOri109 18.67 0,00 16.81 0,00 14,96 0,01 14,47 0,01 14.18 0,01 13.699 0,01 13.654 0,022 13.519 0,077 13.708 0,190 – – Y LOri110 18,54 0,00 16,82 0,00 15,043 0,051 14,475 0,056 14,144 0,060 13,798 0,016 13,796 0,026 14,017 0,130 13,454 0,177 – – Y LOri111 18,88 0,00 16,86 0,00 14,801 0,038 14,165 0,043 13,786 0,051 13,419 0,012 13,330 0,017 13,601 0,082 13,664 0,185 – – Y LOri112 18,72 0,00 16,87 0,00 14,991 0,042 14,358 0,048 14,148 0,062 13,412 0,013 13,335 0,017 13,334 0,079 13,299 0,145 – – Y LOri113 18,71 0,00 16.99 0,00 15,18 0,01 14,62 0,01 14,30 0,01 13,723 0,017 13,579 0,021 13,263 0,070 12,448 0,054 – – Y LOri114 18,99 0,00 17,06 0,00 15,092 0,044 14,389 0,053 14,006 0,064 13,502 0,015 13,414 0,010 13,525 0,096 13,051 0,108 – – Y LOri115 18,80 0,00 17,08 0,00 15,449 0,047 14,821 0,068 14,594 0,104 14,083 0,017 14,012 0,030 13,942 0,119 13,346 0,131 – – Y LOri116 19,05 0,01 17,17 0,00 15,343 0,057 14,573 0,055 14,411 0,082 13,977 0,017 13,847 0,024 14,340 0,190 13.614 0,141 – – Y LOri117 19,24 0,01 17,21 0,00 15,10 0,01 14,36 0,01 14,17 0,01 13,418 0,018 13,102 0,024 13,063 0,105 – – – – Y LOri118 19,10 0,01 17.23 0,00 15,269 0,044 14,686 0,064 14,181 0,057 13,430 0,013 13,251 0,016 12,844 0,045 12,178 0,043 – – Y LOri119 19,11 0,00 17,30 0,00 15,26 0,01 14,74 0,01 14,41 0,01 13,568 0,014 13,492 0,019 13,408 0,088 13,590 0,170 – – Y LOri120 19.23 0,00 17,34 0,00 15,335 0,050 14,770 0,059 14,337 0,087 13,878 0,015 13,688 0,020 13,458 0,086 12,783 0,070 – – Y LOri121 19,12 0,00 17,37 0,00 15,533 0,060 15,093 0,086 14,748 0,099 14,336 0,019 14,310 0,031 14,053 0,144 – – – – Y LOri122 19,31 0,00 17,38 0,00 15,428 0,066 14,852 0,060 14,462 0,080 14,096 0,018 13,973 0,027 14,315 0,190 13,659 0,174 – – Y LOri124 19,30 0,00 17,45 0,00 15,661 0,073 15,059 0,082 14,778 0,112 14,353 0,012214,235 0,018214,303 0,086213,976 0,1262– – Y LOri125 19,29 0,04 17,51 0,01 15,661 0,073 15,059 0,082 14,778 0,112 14,353 0,012214,235 0,018214,303 0,086213,976 0,1262– – Y LOri126 19,52 0,01 17,52 0,00 15,62 0,01 15,04 0,01 14,67 0,01 13,709 0,014 13,577 0,021 13,118 0,063 12,352 0,049 – – Y LOri127 19,87 0,10 17,53 0,01 13,016 0,023 12,606 0,027 12,468 0,024 12,401 0,007 12,348 0,010 12,301 0,033 12,352 0,037 – – N LOri128 19,53 0,01 17,58 0,00 15,624 0,077 15,099 0,087 14,769 0,109 14,150 0,021 14,115 0,031 14,327 0,254 13,956 0,209 – – Y LOri129 19,51 0,01 17,59 0,00 15,383 0,056 14,816 0,072 14,526 0,102 13,625 0,014 13,317 0,016 13,194 0,058 12,598 0,057 – – Y LOri130 19,44 0,01 17,63 0,00 15,731 0,059 15,265 0,092 14,735 0,110 14,408 0,013214,382 0,020214,041 0,077214,348 0,2562– – Y LOri131 19,79 0,01 17,78 0,00 15,429 0,054 14,900 0,063 14,380 0,090 13,991 0,017 13,909 0,025 13,865 0,119 13,344 0,106 – – Y LOri132 19.99 0,01 17,82 0,00 15,583 0,067 14,962 0,078 14,913 0,145 14,173 0,019 14,087 0,025 14,076 0,140 13,630 0,129 – – Y LOri133 19,68 0,01 17,83 0,00 16,290 0,101 15,900 0,167 15,378 0,203 15,066 0,032 14,941 0,041 15,077 0,312 – – – – N LOri134 19,91 0,01 17,90 0,00 15,543 0,057 14,937 0,074 14,666 0,107 14,321 0,20 14,071 0,027 13,880 0,113 13,884 0,154 – – Y LOri135 19,91 0,01 17,90 0,00 15,671 0,072 15,082 0,087 14,908 0,138 14,334 0,014214,166 0,018214,171 0,113213,871 0,1082– – Y LOri136 20,06 0,12 17,92 0,01 15,560 0,085 14,828 0,090 14,576 0,108 14,139 0,016214,224 0,023213,948 0,083213,607 0,1072– – Y LOri137 19,89 0,08 17,96 0,09 – – – – – 16,454 0,073 16,789 0,270 – – – – – – – N LOri138 20,01 0,01 17,96 0,00 15,821 0,078 15,204 0,083 14,971 0,133 14,527 0,022 14,469 0,035 14,150 0,123 – – – – Y LOri139 20,04 0,01 18,16 0,00 16,16 0,01 15,53 0,01 15,06 0,01 14,054 0,017 13,658 0,019 13,151 0,056 12,663 0,062 – – Y LOri140 20,34 0,01 18,21 0,00 15,981 0,078 15,224 0,089 14,750 0,113 14,030 0,017 13,704 0,023 13,299 0,066 12,786 0,078 – – Y LOri141 20,44 0,01 18,25 0,00 16,61 0,01 15,89 0,01 15,68 0,02 15,100 0,034 15,668 0,089 – – – – – – – N LOri142 20,34 0,01 18,27 0,00 16,25 0,01 15,58 0,01 15,26 0,01 14,705 0,028 14,674 0,041 – – – – – – – Y LOri143 20,32 0,01 18,30 0,00 16,11 0,01 15,61 0,02 15,23 0,01 14,835 0,01 14,896 0,023 14,765 0,089 14,553 0,126 – – Y LOri144 20,24 0,11 18,30 0,11 17,69 0,02 16,90 0,02 16,55 0,03 16,476 0,094 16,424 0,184 – – – – – – – N? LOri146 20,88 0,26 18,60 0,02 16,230 0,107 15,470 0,110 14,936 0,128 14,404 0,022214,199 0,035213,836 0,103213,614 0,1752– – Y LOri147 20,54 0,01 18,60 0,00 16.58 0,02 15,93 0,02 15,62 0,02 15,348 0,023215,675 0,048215,128 0,2242– – – – Y? Cuadro 3-Continuación Nombre R error I error J error H error Ks error [3.6] error [4.5] error [5.8] error [8.0] error [24] error Mem1 error LOri148 20,77 0,02 18,62 0,00 16,39 0,01 16,12 0,01 15,98 0,02 14,869 0,030 14,989 0,051 14,530 0,210 – – – – – Y? LOri149 21,07 0,02 18,95 0,00 99.99 0,00 88,88 0,00 16,97 0,02 17,135 0,132216,829 0,0992– – – – – – – N LOri150 21,29 0,03 19,00 0,00 16,656 0,152 16,134 0,197 15,560 0,214 15,015 0,032 15,133 0,070 14,942 0,390 – – – – Y LOri151 20,98 0,02 19,00 0,00 17,40 0,02 16,76 0,02 16,52 0,04 15,801 0,056 15,716 0,103 – – – – – – N LOri152 21,43 0,04 19,05 0,00 16,773 0,173 16,657 0,295 15,870 0,285 16,313 0,086 16,316 0,158 – – – – – – – – N? LOri153 21,30 0,03 19,17 0,00 17,09 0,01 16,37 0,01 16,09 0,03 15,223 0,036 15,139 0,072 – – – – – – Y LOri154 21,79 0,05 19,31 0,00 16,804 0,169 16,143 0,192 15,513 0,219 15,071 0,035 15,953 0,141 – – – – – – – Y LOri155 21,87 0,06 19,36 0,00 16.97 0,01 16,30 0,01 15,84 0,02 15,085 0,019215,412 0,045214,878 0,163214,517 0,1832– – Y LOri156 22,05 0,06 19,59 0,01 17,06 0,02 16,34 0,02 15,89 0,02 14,942 0,029 14,688 0,038 14,127 0,148 13,870 0,146 – – Y LOri157 22.09 0,06 19,63 0,01 18,08 0,03 17,42 0,03 17,00 0,04 16,907 0,103 16,719 0,161 – – – – – – – N LOri158 22.07 0,05 19,67 0,01 18,59 0,03 17,86 0,05 17,61 0,08 17,627 0,123217,565 0,2452– – – – – – – N? LOri159 22,25 0,06 20,01 0,01 18,21 0,02 17,62 0,05 17,47 0,09 16,422 0,089 16,627 0,207 – – – – – – – – N? LOri160 22,82 0,13 20,29 0,02 18,11 0,03 17,14 0,02 16,38 0,03 15,669 0,052 15,384 0,079 – – – – – – – Y LOri161 23.09 0,19 20,34 0,01 17,71 0,02 16,90 0,02 16,51 0,03 16,361 0,122 16,451 0,249 – – – – – – – Y LOri162 23,22 0,51 20,42 0,02 17,64 0,03 16,90 0,09 16,52 0,04 15,675 0,062 15,733 0,112 – – – – – – Y LOri163 22.96 0,24 20,42 0,02 17,86 0,04 17,02 0,08 16,76 0,05 15,666 0,062 15,904 0,119 – – – – – – Y LOri164 23.11 0,17 20,44 0,01 18,75 0,04 18,17 0,05 18,31 0,13 – – – – – – – – – – LOri165 23,12 0,22 20,73 0,02 18,77 0,08 18,11 0,16 17,90 0,09 16,377 0,112 16,130 0,189 – – – – – – – N? LOri166 23,33 0,18 20,75 0,02 18,26 0,03 88,88 0,00 17,38 0,04 16,655 0,055217,232 0,2372– – – – – – – Y? LOri167 23,86 0,64 20,90 0,02 18,01 0,03 17,17 0,07 16,83 0,09 15,935 0,063 16,060 0,129 – – – – – – Y LOri168 24,15 0,62 21,54 0,04 19,39 0,09 18,58 0,08 18,70 0,25 – – – – – – – – – – – N? LOri169 24.83 1,10 21,88 0,05 20,10 0,10 19,47 0,15 018,93 0,42 – – – – – – – – – – Y? LOri170 25.41 2.61 22.06 0.07 20.35 0.20 19.20 0.20 019.39 0.46 – – – – – – – – – – – N? 1Membresía final. Radio de apertura de 22 píxeles utilizado para la fotometría debido a la presencia de objetos cercanos o píxeles calientes. ∗LOri097 y LOri145 son artefactos. LOri123 es un no miembro y tiene incertidumbres en su fotometría. Cuadro 4 Miembros candidatos del grupo Lambda Orionis (Collinder 69) Nombre SpT Phot.Mem1 Mem2 Mem3 Clasificación IRAC4 SED pendiente5 Tipo de disco Comentario6 LORI001 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2,8 Diskless Ha- WHA(DM)=2,51 DM#01 LORI002 – Y Y Y Y Y Y NM- Y III -2.74 Diskless – LORI003 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.71 Diskless Ha- WHA(DM)=3.35 DM#46 LORI004 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.65 Sin disco – LORI005 – Y Y Y Y Y Y NM- Y III -2.75 Diskless – LORI006 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.68 Diskless – LORI007 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.63 Diskless – LORI008 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.56 Diskless Ha- WHA(DM)=1,65 DM#51 LORI009 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.71 Diskless – LORI010 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.69 Diskless – LORI011 – Y Y Y Y Y Y NM- Y III -2.70 Diskless – LORI012 – Y Y Y Y Y Y NM- Y III -2.70 Diskless – LORI013 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.66 Diskless Ha- WHA(DM)=4,41 DM#04 LORI014 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.71 Diskless Ha- WHA(DM)=1,45 DM#58 LORI015 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.89 Diskless – LORI016 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.58 Diskless – LORI017 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.72 Diskless Ha- WHA(DM)=0.80 DM#60 LORI018 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.63 Diskless Ha- WHA(DM)=2,02 DM#56 LORI019 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.71 Diskless – LORI020 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.63 Diskless – LORI021 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.76 Diskless Ha- WHA(DM)=1,47 DM#25 LORI022 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.65 Diskless Ha- WHA(DM)=4,39 DM#44 LORI023 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.65 Diskless Ha- WHA(DM)=1,95 DM#50 LORI024 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.67 Diskless – LORI025 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.72 Diskless Ha- WHA(DM)=3,95 DM#59 LORI026 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.69 Diskless Ha- WHA(DM)=6,07 DM#12 LORI027 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.68 Diskless – LORI028 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.67 Diskless – LORI029 – Y Y Y Y Y Y NM- Y II -0.72 Thick Ha+ WHA(DM)=30.00 DM#36 LORI030 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.60 Diskless – LORI031 M4.0 Y Y Y Y Y Mem Y III -2.69 Diskless Ha- WHA=3,8 DM#20 WHA(DM)= 3,45 LORI032 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.64 Diskless Ha- WHA(DM)=6,83 DM#55 LORI033 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.68 Diskless Ha- WHA(DM)=3,14 DM#39 LORI034 – Y Y Y Y Y NM- Y II -0,85 Thick Ha+ WHA(DM)=10,92 DM#33 LORI035 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.70 Diskless Ha- WHA(DM)=4,13 DM#29 LORI036 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.67 Diskless – LORI037 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.67 Diskless Ha- WHA(DM)=3,63 DM#11 LORI038 – Y – Y Y – Mem Y I/II -1.00 Thick Ha+ WHA(DM)=24.95 DM#02 LORI039 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.65 Diskless Ha- WHA(DM)=3.59 DM#49 LORI040 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.66 Diskless Ha- WHA(DM)=3,90 DM#41 LORI041 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.69 Diskless Ha- WHA(DM)=8,20 DM#38 LORI042 M4.0 Y Y Y Y Y Mem Y III -2.67 Diskless Ha- WHA=4,3 DM#54 WHA(DM)= 4,22 LORI043 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.69 Transición – LORI044 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.65 Diskless – LORI045 – Y Y Y Y Y Mem Y II7 -2.68 Diskless – LORI046 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.67 Diskless – LORI047 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.68 Diskless Ha- WHA(DM)=8.65 DM#47 LORI048 – Y Y Y Y Y Y Mem Y II -2.07 Thin – LORI049 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -3.32 Diskless – LORI050 M4.5 Y Y Y Y Y Mem Y II -0.60 Espesor 200 km WHA=15,6 LORI051 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.73 Diskless – LORI052 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.68 Diskless – LORI053 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.68 Diskless – LORI054 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.68 Diskless – LORI055 M4.5: Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.68 Diskless Ha- WHA=8.2 LORI056 M4.5: Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.68 Diskless Ha- WHA=7.2 LORI057 M5,5 Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2,62 Diskless Ha- WHA=8,4 LORI058 M4.5: Y Y Y Y Y Y Mem Y III -3.16 Diskless Ha- WHA=7,3 LORI059 M4.5 Y Y Y Y Y Mem Y III -3,23 Diskless Ha- WHA=8,7 LORI060 M4.5: Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.79 Diskless Ha- WHA=4,1 LORI061 – Y Y Y Y Y Mem Y II -1,32 Espesor – LORI062 – Y Y Y Y Y Y Mem Y II -1.66 Espesor – LORI063 M4.5: Y Y Y Y Y Y Y Mem? Y I/II -1,58 Thick Ha+FL WHA=12,8 LORI064 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.54 Thin – Cuadro 4-Continuación Nombre SpT Phot.Mem1 Mem2 Mem3 Clasificación IRAC4 SED pendiente5 Tipo de disco Comentario6 LORI065 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.97 Transición – LORI066 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -3.25 Diskless – LORI067 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.83 Diskless – LORI068 M5.0 Y Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.57 Diskless Ha+ WHA=16,6 LORI069 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.65 Diskless – LORI070 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.57 Diskless – LORI071 M5.0 Y Y Y Y Y Mem Y III -2.58 Diskless Ha- WHA=8,0 LORI072 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.55 Delgado – LORI073 M5.0 Y Y Y Y Y Y Y Mem? ¿Y III -2.59 Diskless Ha+? WHA=12,0 LORI074 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.78 Diskless – LORI075 M5.5 Y Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.67 Diskless Ha- WHA=9.4 WHA=9.4 LORI076 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.62 Diskless – LORI077 M5.0 Y Y Y Y Y Mem Y III -2.72 Diskless Ha- WHA=8,8 LORI078 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.58 Diskless – LORI079 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.51 Delgado – LORI080 M5.5 Y Y Y Y Y Y Mem Y II -2.55 Thin Ha+? WHA=14,3 LORI081 M5,5 N Y Y Y Y Y Mem+ Y II -1,70 Thick Ha- WHA=4,2 LORI082 M4.5 Y Y Y Y Y Mem+ Y II7 -2.82 Diskless Ha- WHA=8,6 LORI083 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.85 Diskless – LORI084 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.71 Diskless – LORI085 – Y Y Y Y Y Y Mem Y II -1,63 Espesor – LORI086 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.86 Diskless – LORI087 M4.5 Y Y Y Y Y Mem+ Y III -2.54 Thin Ha- WHA=6,7 LORI088 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.58 Diskless – LORI089 M5.0 Y Y Y Y Y Mem Y II -2,50 Thin Ha- WHA=5,1 LORI090 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.69 Diskless – LORI091 M5.5 Y Y Y Y Y Y Mem Y II -2.48 Thin Ha+? WHA=14,7 LORI092 – Y Y Y Y Y Y Mem Y II -2.79 Diskless – LORI093 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.68 Diskless – LORI094 M5.5 Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.82 Diskless Ha- WHA=10.4 LORI095 M6.0 Y Y Y Y Y Mem+ Y III -2.91 Diskless Ha- WHA=7.3 LORI096 – Y Y Y Y Y Y Mem Y II -1.71 Espesor – LORI098 M5.0 Y Y Y Y Y Mem+ Y III -2.61 Diskless Ha- WHA=12,9 LORI099 M5,25 Y Y Y Y Y Mem Y III -2,74 Diskless Ha- WHA=6,6 LOri100 M5.5 Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.67 Diskless Ha+? WHA=13,1 LORI101 – N N?? ¿Y Y Y Mem? N III -2.6 Sin disco – LORI102 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.65 Diskless – LORI103 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III8 -2.31 Thin – LORI104 – Y Y Y Y Y Mem Y II -1,30 Espesor – LORI105 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.75 Diskless – LOri106 M5,5 Y Y Y Y Y Mem Y II -1,16 Thick Ha+ WHA=54,0 LOri107 M6.0 Y Y Y Y Y Mem+ Y III -2.68 Diskless Ha- WHA=11.7 LORI108 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.61 Diskless – LOri109 M5,5 Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.82 Diskless Ha- WHA=10,1 LOri110 M5,5 Y Y Y Y Y Mem Y II -2,52 Thin Ha- WHA=9,1 LORI111 – Y Y Y Y Y Mem Y III -3.19 Diskless – LORI112 – Y Y Y Y Y NM- Y III -2.72 Diskless – LOri113 M5,5 Y Y Y Y Y Mem Y II -1,37 Thick Ha+ WHA=22,0 LOri114 M6,5 Y Y Y Y Y Mem+ Y II -2,38 Thin Ha- WHA=10,9 LOri115 M5.0 Y Y Y Y Y NM+ Y II -2,02 Thin Ha- WHA=8,5 LOri116 M5,5 Y Y Y Y Y Mem+ Y II -2,43 Thin Ha- WHA=11,1 LORI117 M6.0 Y Y Y Y Y Y Mem Y – -2.20 Thin Ha+? WHA=22,9 LOri118 M5,5 Y Y Y Y Y Mem+ Y II -1,37 Thick Ha- WHA=10,1 ¿Lori119 M5.5 Y Y Y Y Y Y Y NM? ¿Y III -2.85 Diskless Ha+? WHA=12,7 LOri120 M5,5 Y Y Y Y Y Mem+ Y II -1,59 Thick Ha- WHA=7,4 LORI121 – Y Y Y? Y Y NM- Y – -2.31 Thin – LORI122 – Y Y Y Y Y Mem Y II -2.46 Thin – Lori124 M5.5 Y Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.56 Diskless Ha- WHA=8,4 LORI125 – Y Y Y Y Y Y NM- Y III -2.56 Diskless – LOri126 M6,5 Y Y Y Y Y Y Mem+ Y II -1.24 Thick Ha+? WHA=26,2 LOri127 – N N N N N N NM- N III -2.78 Diskless – LORI128 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.69 Diskless – LORI129 M6.0 Y Y Y Y Y Y Y Mem? ¿Y II -1.71 Thick Ha+? WHA=12,1 LORI130 M5.5 Y Y Y Y Y? Y Mem+ Y III -2.69 Diskless Ha- WHA=8.7 Cuadro 4-Continuación Nombre SpT Phot.Mem1 Mem2 Mem3 Clasificación IRAC4 SED pendiente5 Tipo de disco Comentario6 LORI131 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y II -2.12 Delgado – LORI132 – Y Y Y Y Y N NM- Y II -2.25 Thin – LOri133 M4.5 N N N?? N Y NM+ N – -2.91 Diskless – LORI134 M5.0 Y Y Y Y?? Y NM+ Y III -2.34 Thin – Lori135 M7.0 Y Y Y Y Y Y? ¿Mem? Y III -2.56 Diskless Ha- WHA=15,5 LORI136 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.17 Delgado – LOri137 – – – N N – – –? N – – – – LORI138 – Y Y Y Y Y Y NM- Y – -2.13 Thin – LORI139 M6.0 Y Y Y Y Y Y Mem+ Y II -1,22 Thick Ha+? WHA=19,7 LOri140 M7.0 Y Y Y Y Y Mem+ Y II -1,40 Thick Ha+ WHA=72,8 LOri141 M4.5 N N? N Y Y NM+ N – -5.35 Sin disco – LORI142 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y – – – – LOri143 M6,5 Y Y Y Y Y Y Mem+ Y III -2,59 Diskless Ha+ WHA=35,7 LOri144 – N N N N N N Y? ¿N? – – – – LORI146 – Y Y Y Y Y Mem Y III -1.90 Thin – LORI147 M5.5 Y Y? ¿N? ¿N Y NM+ Y? – -2.41 Delgado – LORI148 – Y N Y Y Y N N M- Y? – -2.19 Delgado – LOri149 – – N N N – N –? N – – – – LOri150 M8.0 Y Y Y Y Y Mem+ Y – -2.72 Diskless Ha- WHA=15,6 LOri151 M5.5 N N N? ¿Y Y Y NM? N – – – – LORI152 – Y Y N N N N Y NM- N? – – – – LOri153 –? ¿Y Y Y Y Y? Y – – – – Lori154 M8.0 Y Y Y? Y Y Y Mem+ Y – – – Ha- WHA=16,9 LORI155 M8.0 Y Y Y Y Y Y Mem+ Y III -2.03 Thin Ha+? WHA=38,0 LOri156 M8.0 Y Y Y Y Y Mem+ Y III -1.54 Thick Ha+ WHA=101,7 LORI157 – N N N N N N Y? N – – – – LORI158 – N N N N N N Y? ¿N? – – – – LORI159 – N N N N Y Y N? ¿N? – – – – LORI160 – N Y Y Y Y Y Y? Y – – – – LORI161 M8,5 Y Y Y Y Y Mem+ Y – – – Ha+ WHA=123 LORI162 – Y Y Y Y Y Y Y? Y – – – – LORI163 – Y Y Y Y Y Y Y? Y – – – – LOri164 – N N – – – – N? N – – – – Lori165 M7,5 N N Y Y Y Y? NM? ¿N? – – – – LORI166 –?? ¿YNYY? ¿Y? – – – – LORI167 – Y Y Y Y Y Y Y? Y – – – – LOri168 – N N – – – – Y? ¿N? – – – – LOri169 – N N – – – – –? ¿Y? – – – – LOri170 – N N – – – – –? ¿N? – – – – 1Miembro es Ivs(I-J); Ivs(I-K); Ivs(I-3.6); Ivs(I-4.5); Jvs(J-3.6); Kvs(K-3.6); Jvs(J-K). 2Miembro como en el documento I. 3Membresía final. 4Clasificación medida en el CCD del IRAC –[3,6]-[4,5] versus [5,8]-[8.0]. Clase III significa diskless Los miembros y Clase II son estrellas TTauri clásicas o análogos subestelares. La pendiente de la 5IRAC. Lada et al. (2006) clasificaron los objetos según su pendiente IRAC: α <-2,56 para un disco sin disco objeto, -2.56< α <-1.80 para un objeto de transición, y α >-1.80 para objetos con discos ópticamente gruesos 6Ha+ = W(Halfa) por encima del criterio de saturación. Ha- = W(Halfa) por debajo del criterio de saturación. 200km = ancho de Halpha igual o mayor que este valor. WHA(DM) = de Dolan & Mathieu Probablemente objetos sin disco. Los diferentes resultados sobre CCD IRAC y pendiente IRAC son probablemente debido a una medida incierta a 5,8 μm. Probablemente una fuente de clase II con una medida incierta a 8,0 μm. Cuadro 5 Ubicación de la frontera subestelar, utilizando modelos de Baraffe et al. (1998) y una distancia de 400 uds. Valores como 340 o 450 pc modificarían las magnitudes enumeradas por −0.35 y +0,26, respectivamente. Hemos incluido un enrojecimiento interestelar de E(B − V )=0,12, equivalente a AI=0,223, AJ=0,106, AK=0,042, AL=0,022 Edad (Myr) Ic J Ks L′ 1 16.72 14.35 13.32 12.88 3 17,18 14,87 13,84 13,40 5 17.55 15.36 14.35 13.92 8 17.92 15.80 14.80 14.36 10 18.13 16.01 15.01 14.57 16 18.52 16.40 15.40 14.96 20 18.71 16.59 15.60 15.15 Fig. 1.- Spitzer/IRAC CCD. Clase I/II (círculos grandes vacíos, magenta), clase II (círculos grandes vacíos, rojo) y Clase III –o no miembros– (cruces) han sido clasificados usando este diagrama (Después de Allen et al. (2004) y Hartmann et al. (2005)). Fig. 2.- Diagrama óptico/IR de color-magnitud. Los no miembros aparecen como puntos. Fuentes de la clase II (Classical) Las estrellas TTauri y los análogos subestelares) se han incluido como círculos grandes (rojos), mientras que la clase III (línea débil) TTauri) los objetos aparecen como cruces, y otros miembros de Lambda Orionis carecen del conjunto completo del IRAC La fotometría se muestra con el símbolo plus. La cifra incluye 1, 3, 5, 10, 20, 50 y 100 isocrones Myr de Baraffe et al. (1998) como líneas sólidas, así como 5 isocronos Myr correspondientes a polvorientos y COND modelos (Chabrier et al. 2000; Baraffe et al. 2002), como líneas punteadas y discontinuas. Fig. 3.- Diagrama de Magnitud de Color cerca del IR y Spitzer. Fuentes de clase II (estrellas clásicas TTauri y Los analógicos subestelares) se han incluido como círculos grandes (rojos), mientras que los objetos de clase III (TTauri de línea débil) aparecen como cruces, y otros miembros de Lambda Orionis que carecen del conjunto completo de fotometría del IRAC son se muestra con el símbolo plus. La cifra incluye 1, 5, 10, 20 y 100 isocronos Myr de Baraffe et al. (1998) como líneas sólidas, así como 5 isocronos Myr correspondientes a modelos polvorientos y COND (Chabrier et al. 2000; Baraffe et al. 2002), como líneas punteadas y discontinuas. Tenga en cuenta que en el último panel tenemos el L y M datos para los modelos de NextGen, ya que la fotometría de Spitzer no se ha calculado para este conjunto de modelos. Fig. 4.- Diagrama óptico de color-magnitud con las magnitudes CFHT y nuestra nueva clasificación de membresía- catión. Símbolos como en figuras anteriores. Fig. 5.- Spitzer/IRAC CCD para objetos de Clase II. Hemos incluido información sobre la emisión de Hα. Fig. 6.- Distribuciones de energía espectral para algunos miembros estelares del grupo Lambda Orionis ordenados según su pendiente IRAC: espectros de fotosfera simples. Objetos que carecen de pendiente IRAC o que están en la los límites entre dos tipos se han clasificado después de la inspección visual. Fig. 7.- Distribución espectral de energía para algunos miembros estelares del cluster Lambda Orionis ordenados según su pendiente del IRAC: espectros planos o inclinados del IR con el exceso que comienza en el disquetes). Fig. 8.- Distribución espectral de energía para algunos miembros estelares del cluster Lambda Orionis ordenados según su pendiente IRAC: espectros con excesos que comienzan en el rango IRAC o MIPS (discos delgados y objetos de transición). LOri043 y LOri065 fueron clasificados como objetos sin disco pero han sido ordenados como objetos portar discos delgados debido a su exceso en MIPS [24]. Fig. 9.— La fracción de estrellas de clase II y enanas marrones masivas en varios SFR y racimos jóvenes (llenados) cuadrados). Los cuadrados abiertos representan fracciones de disco grueso de IC348 y C69. Fig. 10.— Spitzer/IRAC CCD. Mostramos con diferentes símbolos (ver clave) los miembros del cluster con diferentes tipos de discos. Fig. 11.- a) Distribución espacial de nuestra muestra. Los niveles de contorno de IRAS en 100 micras también han sido incluidos como líneas sólidas (magenta). El rectángulo grande y grueso corresponde a la encuesta CFHT (Papel I). Fuentes de clase II (estrellas TTauri clásicas y análogos subestelares) se han incluido como grandes (rojo) círculos, mientras que los objetos de clase III (TTauri de línea débil) aparecen como cruces, y otros miembros de Lambda Orionis carecen de el conjunto completo de fotometría IRAC se muestra con el símbolo plus. b) Distribución espacial de la estrellas de baja masa de Dolan & Mathieu (1999, 2001). Las estrellas OB aparecen como estrellas de cuatro puntos (azul), con tamaño relacionados con la magnitud (el más grande, el más brillante). Los triángulos gruesos sobreexplotados indican aquellas estrellas que La anchura equivalente de Hα es mayor que el criterio de saturación definido por Barrado y Navascués & Marten (2003), por lo tanto, sugiere la presencia de acreción activa. Basado sólo en Hα, la fracción de estrellas acrecientes Sé el 11%. Fig. 12.— Imagen de Spitzer/IRAC en 3,6 micras centrada alrededor de la estrella. a) El tamaño es de aproximadamente 9×9 arcmin, equivalente a 192.000 UA. El doble círculo indica la presencia de un objeto de clase II, mientras que los cuadrados indican la ubicación de los miembros del cluster de Dolan & Mathieu (1999;2001). La intensidad de la la imagen está en escala logarítmica. b) Detalle alrededor de la estrella Orionis. El tamaño es de aproximadamente 3.3×3.3 arcmin, equivalente a 80.000 UA. c) Distribución de enanas marrones bona-fide. El tamaño de la imagen es 45×30 arcmin. El norte está arriba, el este está a la izquierda. Fig. 13.- Imagen Spitzer/MIPS a 24 micras que incluye los miembros del cluster Lambda Orionis visible en esta longitud de onda, incluidos los miembros del cluster de Dolan & Mathieu (1999, 2001) como grandes círculos y miembro CFHT como pequeños círculos detectados en esta longitud de onda. El tamaño es de aproximadamente 60,5×60.5 arcmin. Norte está arriba, el Este está a la izquierda. La figura se centra en la estrella Ori AB. Introducción Los datos Fotometría óptica e infrarroja cercana Nueva fotometría profunda cercana al infrarrojo Imágenes de Spitzer Correlación cruzada de datos Color-Color y Color-Magnitud Diagramas y nueva asignación de membresía Discusión Los diagramas Color-Color, el diagnóstico del exceso de IR y la relación de disco La distribución espectral de la energía La distribución espacial de los miembros Conclusiones

Presentamos fotometría óptica e infrarroja de múltiples longitudes de onda de 170 previamente estrellas de baja masa conocidas y enanas marrones del racimo de 5 Myr Collinder 69 (Lambda Orionis). La nueva fotometría apoya la membresía de clusters para la mayoría de ellos, con menos del 15% de los candidatos anteriores identificados como probables no miembros. La fotometría infrarroja cercana nos permite identificar estrellas con excesos IR, y nos encontramos con que la población de clase II es muy grande, alrededor del 25% para las estrellas (en el rango espectral M0 - M6.5) y el 40% para las enanas marrones, hasta 0.04 Msun, a pesar de que la anchura equivalente de H (alfa) es baja para un fracción de ellos. Además, hay una serie de objetos subestelares, clasificados como Clase III, que tienen discos ópticamente delgados. Miembros de la clase II se distribuyen de manera inhomogénea, mintiendo preferentemente en el filamento Corriendo hacia el sureste. Los excesos de IR para los 69 miembros de Collinder van desde pura Clase II (espectro plano o casi plano largo de 1 micra), hasta discos de transición sin exceso de casi IR pero con excesos que comienzan dentro del IRAC rango de longitud de onda, a dos estrellas con exceso detectado sólo a 24 micras. Collinder 69 por lo tanto parece estar en una edad en la que proporciona un laboratorio para el estudio de discos primordiales y su disipación.

Introducción El proceso de formación estelar parece funcionar con éxito en una amplia gama de condiciones iniciales. En regiones como Tauro, grupos de unas pocas estrellas a pocas decenas de estrellas son la norma. El gas molecular en Tauro se organiza en un número de casi paral- filamentos de lel, posiblemente alineados con el mag- campo neto, y con los pequeños grupos estelares localizados cerca de los extremos de los filamentos (Hartmann 2004). No se han formado estrellas de alta masa en el Tauro grupos, y la función de masa inicial (en adelante, El FMI) también parece ser relativamente deficiente en Enanas marrones (Briceño et al. 2003; Luhman 2004) – pero véase también (Guieu et al. 2006) para un suplente vista. Los grupos Tauro no son gravitación- aliado atado, y se dispersará en el campo en escalas de tiempo cortas. En el otro extremo de la masa espectro, regiones como el cúmulo de Trapecio y la nebulosa de Orión (ONC) que la rodea produjo cientos de estrellas. La ONC incluye varias estrellas O, con las primeras que tienen espectral tipo O6 y una masa estimada de orden 35 Mó. La densidad estelar muy alta en la ONC (10.000 estrellas/pc3 en su centro (McCaughrean & Stauffer 1994)) sugiere que la formación estelar en la ONC era la gravedad dominada en lugar de campo magnético dominada. No está claro si la ONC actualmente gravitacionalmente ligado o no, pero es Probablemente al menos regiones como la ONC que son los progenitores de clusters abiertos de larga vida como el Pléyades. Fotoionización UV y ablación de Oh, los vientos estelares probablemente actúan para truncar la circunvalación. discos estelares de estrellas de baja masa en la ONC, con posibles consecuencias para la formación de un planeta gigante. Una escala intermedia interesante de la estrella... formación está representada por el Lambda Ori asociación. El clúster central en el associ- dad – normalmente designado como Colinder 69 o el clúster Lambda Orionis– incluye al menos una estrella O, el epónimo Ori, con especificaciones... tipo tral O8III. Sin embargo, una serie de líneas de pruebas sugieren que uno de los coll 69 1 Basado en observaciones recogidas Spitzer Space Tele- en el Centro Astronómico Alemán-Español de Calar Alto operado conjuntamente por el Max-Planck-Institut für Astronomia Heidelberg y el Instituto de Astrofísica de Andalua (CSIC); y en el WHT opera en la isla de La Palma por el Grupo Isaac Newton en el Servicio del Roque de los Muchachos del Instituto de Astrofsica de Canarias estrellas ya han pasado a través de su post-main secuencia evolución y convertirse en una supernova, y por lo tanto indicando que era más masivo que Lambda Ori (ver el Func- en Barrado y Navascués, Stauffer, & Bouvier (2005)). Un censo de las estrellas en Coll 69 por Dolan & Mathieu (2001) –en lo sucesivo, DM– indi- cates que el clúster está ahora fuertemente desencuadernado. DM argumenta que esto se debe a la rápida eliminación de gas molecular de la región que ocurrió 1 Hace Myr cuando la supernova explotó. Ellos interpretado el diagrama color-magnitud de Coll 69 como indicador de una propagación significativa de la edad con una edad máxima de orden 6 Myr; una alternativa en- terpretación es que el grupo tiene edad insignificante (con la edad de 6 años Myr) y un num- Ber de estrellas binarias. Mientras que el DM identificó un gran población de estrellas de baja masa en Coll 69, sólo cuatro de 72 para los que obtuvieron espectros son clas- estrellas T Tauri sica (basadas en su emisión de Hα anchos equivalentes). Estrellas mucho más jóvenes, incluyendo... ing estrellas clásicas T Tauri, están presentes en otra parte en el SFR Lambda Ori, que DM atribuye a formación estelar desencadenada por la supernova rem- onda de choque nant impacto molecular preexistente núcleos en la región (los Barnard 30 y Barnard 35 nubes oscuras, en particular). Hemos obtenido el telescopio espacial Spitzer IRAC y imágenes MIPS de una región de un grado cuadrado centrado en la estrella de Ori para (a) buscar para discos circunstelares de los miembros de la Coll 69 cluster y b) tratar de identificar nuevos, muy bajos miembros de masa del grupo con el fin de determinar mejorar el cluster FMI (en un próximo documento). En §2, describimos las nuevas observaciones que tenemos obtenidos; y en §3 utilizamos esos datos para recon- sider cluster member. En §4 usamos el nuevo lista de miembros candidatos y la fotometría de IR a determinar la fracción de miembros del grupo con cir- discos cumstellares tanto en el estelar como en el subestelar dominio, y ordenamos las estrellas con discos de acuerdo a su pendiente espectral de 1 a 24 μm. 2. Los datos 2.1. Fotoma óptico y cercano al infrarrojo. La óptica y los datos IR cercanos para el brillante candidatos provienen de Barrado y Navascués et al. (2004) – A continuación, el documento I. Las RI-Cousins sistema– los datos fueron recogidos con el CFHT en 1999, mientras que los JHK provienen del 2MASS Todos los estudios sobre el cielo (Cutri et al. 2003). Para el grupo miembros, el límite de exhaustividad se encuentra en I(completo, agrupador) 20,2 mag, mientras que 2MASS proporciona datos infrarrojos cercanos hasta un límite magnitud de J=16,8, H=16,5, y Ks=15,7 Mag. En algunos casos, espectroscopia de baja resolución en la óptica, que proporciona tipos espectrales y Anchuras equivalentes Hα, también está disponible. Veinte... cinco objetos del candidato 170 CFHT1999 los miembros están en común con Dolan & Mathieu (1999, 2001). Esas 25 estrellas también tienen Hα y Ancho equivalente de litio y velocidades radiales. 2.1.1. Nueva fotometría profunda cercana al infrarrojo Para los objetos con gran error en 2MASS JHKs, o sin este tipo de datos debido a su desmayo intrínseco, hemos obtenido adicional mediciones con el WHT (La Palma Observa- Tory, España) e INGRID (4.1×4.1 arcmin FOV) en noviembre de 2002 y febrero de 2003, y con el telescopio Calar Alto de 3,5 metros (Almería, España) y Omega2000 en octubre de 2005 (15.36×15.36 ar- cmin FOV). En todos los casos, para cada posición, tomamos cinco exposiciones individuales de 60 segundos cada una, con pequeñas offsets de unos pocos segundos de arco, con un total de 5 minutos. En el caso de las campañas con IN- GRID, observamos el área alrededor de la estrella. Orionis creando una cuadrícula. Esencialmente, tenemos ob- sirvió alrededor de 2/3 de la encuesta óptica CFHT 1999 región en J (en la zona alrededor de la estrella y al oeste de ), con una cierta cobertura en H y K. Por el otro de la mano, las observaciones Omega2000, tomadas bajo un El programa de Tiempo Discrecional del Director, fue encubierto a los débiles candidatos. Excepto para un objeto (LOri154), hemos recogido observa- ciones en los filtros J, H y Ks. Las condiciones de la primera prueba de observación con INGRID fue foto- métrica, y hemos calibrado los datos utilizando estándar estrellas de Hunt et al. (1998) observado a lo largo de las noches de la carrera. El promedio de visitas fue de 0,9 arcsec. Tuvimos cobertura en la nube durante la segunda ejecución con INGRID, y los datos fueron calibrados utilizando el catálogo 2MASS y las estrellas presentes en cada uno imagen individual. La dispersión de esta calibra... en cada filtro, con una ver alrededor de 1.0 arcsec. Por último, no hay norma las estrellas fueron observadas durante las observaciones del DDT en Calar Alto. El ver en este caso fue 1.2 arco- seg. El débil candidato Lambda Orionis mem... Las bers fueron calibradas utilizando también datos de 2MASS. In en este último caso, la dispersión es algo más alta, probablemente debido a la peor vista y el mayor escala angular del pixel del detector, con  = 0,1 Mag. Tenga en cuenta que esto es dispersión no el error en la calibración. Estos valores corresponden a la FWHM de la distribución gaussiana de la val- ues ceropunto(i)=magraw(i)-mag2MASS(i), para cualquier estrella i, que también incluye los errores fotométricos en la fotometría 2MASS y cualquier contribución debido a que las estrellas de racimo son fotométricamente vari- Capaz. Puesto que hay un gran número de estrellas por campo (hasta 1.000 en las imágenes Omega2000), el pico de esta distribución se puede identificar fácilmente y los cero puntos derivados. Una mejor estimación de el error en la calibración se basa en la distancia entre la media, la mediana y los valores de modo, que son menores de la mitad de la FWHM (en el caso de la media y la mediana, casi idéntica a la centésimo de magnitud). Por lo tanto, los errores en la calibración puede estimarse en 0.025 y 0.05 magnitudes para el INGRID y el Omega2000 conjuntos de datos, respectivamente. Todos los datos fueron procesados y analizados con IRAF2, utilizando fotometría de apertura. Estos las medidas, para 166 miembros candidatos, son Cuadro 1 (WHT/INGRID) y cuadro 3 (CAHA/Omega2000). Tenga en cuenta que los errores enumerados en el cuadro corresponden a los valores producidos por la tarea phot con el paquete digi.apphot y no incluye los errores en las calibraciones. 2.2. Imágenes de Spitzer Nuestros datos de Spitzer fueron recolectados durante marzo 15 (MIPS) y 11 de octubre (IRAC), 2004, como parte de un programa de GTO. La cámara InfraRed Array (IRAC, Fazio et al. (2004)) es una cámara de cuatro canales era que toma imágenes a 3,6, 4,5, 5,8 y 8,0 μm con un campo de visión que cubre â € 5,2×5,2 arcmin. Las imágenes del IRAC se realizaron en modo de mapeo con exposiciones individuales de 12 segundos etime” (correspondiente a 10,4 segundos de exposición times) y tres dithers en cada paso del mapa. En o... para mantener el tiempo total de observación de un determinado 2IRAF es distribuido por National Optical Astronomy Obser- , que es operado por la Asociación de Universi- para la Investigación en Astronomía, Inc., bajo contrato con el Fundación Nacional de Ciencia, EE.UU. mapa en menos de tres horas, el mapa de Lambda Ori fue dividido en dos segmentos, cada uno de tamaño 28.75×61.5 arcmin - un offset al oeste de la estrella el otro desplazamiento hacia el este, con el combinado imagen que cubre un área de 57×61.5 arcmin, leav- • Orionis aproximadamente en el cén- ter. Cada una de las imágenes del IRAC del Spitzer La tubería del Centro Científico se corrigió por instru- Se desarrollaron artefactos mentales utilizando una rutina IDL por S. Carey y luego combinado en los mosaicos en cada uno de los cuatro pasos de banda utilizando el MOPEX paquete (Makovoz & Khan 2005). Tenga en cuenta que la Las imágenes del IRAC no cubren exactamente el mismo FOV en todas las bandas, proporcionando una rebanada al norte de la estrella con datos a 3,6 y 5,8 micras, y otra porción al sur con fotometría a 4.5 y 8.0 micras. El tamaño de estas tiras es de aproximadamente 57×6,7 arcmin en ambos casos. El fotometro multibanda de imágenes para Spitzer (MIPS, Rieke et al. (2004)) se utilizó para mapear el cluster con un modo de escaneo de velocidad media y 12 patas separadas por 302 arcos en la cruz Escanee la dirección. El tiempo total de integración efectiva por punto en el cielo a 24 μm para la mayoría de los puntos en el mapa era de 40 segundos, y el mosaico cubierto un área de 60,5×98,75 arcmin centrada alrededor del Estrella Orionis. Dado que no había arti- hechos en los mosaicos de tubería para MIPS 24 μm nosotros Los utilizó como nuestro punto de partida para extraer la pho- tometría. Obtuvimos MIPS 70 μm y 160 μm imágenes de la región de Ori, pero muy pocos puntos las fuentes fueron detectadas y no informamos de datos en este artículo. El análisis de los datos se realizó con IRAF. Primero, detectamos objetos en cada imagen usando el comando “starfind”. Desde las imágenes en el [3.6] y [4.5] las bandas son más profundas que las del [5.8] y [8.0] bandas, y desde los flujos de la mayoría de Los chorros son más brillantes en esas longitudes de onda, el num- las detecciones son mucho más grandes en el IRAC longitudes de onda cortas que en las más largas. Sólo una relativamente pocos objetos han sido detectados a 24 μm con MIPS. Como resumen, 164 objetos fueron de- a 3,6 y 4,5 micras, 145 a 5,8 micras, 139 a 8,0 micras y 13 a 24 micras. Hemos realizado fotometría de apertura a de- flujo de flujo para los miembros del grupo C69. Por el IRAC mosaicos usamos una abertura de 4 píxeles de radio, y el cielo fue computado usando un anu circular lus 4 píxeles de ancho, a partir de un radio de 4 píxeles de distancia desde el centro. Es necesario aplicar un aper- corrección de la tura a nuestra fotometría de apertura de 4 píxeles con el fin de estimar el flujo para un aper de 10 pixel- , porque este último es el tamaño de apertura utilizado para determinar la calibración del flujo del IRAC. En algunos casos, debido a la presencia de estrellas cercanas, pix- els, o debido a su desmayo, una abertura de 2 píxeles y se utilizó la corrección de apertura adecuada (véanse las notas del cuadro 3). Para el fotoma MIPS- probar a 24 μm, hemos utilizado un 5,31 píxeles (13 arcsec) apertura y un anillo de cielo a partir de 8,16 píxeles (20 arcsec) a 13,06 píxeles (32 arcsec). Una abertura También se aplicó la corrección. En el cuadro 2 figura el cuadro siguiente: cero puntos, correcciones de apertura y conversión factores entre magnitudes y Jansky, como pro- vided por el sitio web del Spitzer Science Center. 2.2.1. Correlación cruzada de datos La cobertura en el cielo de nuestro Spitzer/IRAC datos es un cuadrado aproximado de aproximadamente 1 sq.deg, centrado en la estrella Orionis. Los datos ópticos de la CFHT en 1999 cubre un área de 42×28 arcmin, dejando de nuevo la estrella en el centro de este rectángulo. Por lo tanto, el estudio óptico está completamente incluido en el mapa de Spitzer, y hemos sido capaces de buscar la contraparte de los candidatos a grupos temáticos presentados en el documento I. El análisis del área cubierta por Spitzer, pero sin imágenes ópticas en el CFHT1999 sur- va a ser discutido en un próximo documento. Nosotros no han sido capaces de obtener fiable Spitzer pho- tometría para algunos miembros candidatos de Paper Yo, especialmente en el extremo débil del clúster se- Quence. El objeto más débil detectado, LOri167, dependiendo del isocrono y el modelo, tienen una masa de 0.017 millones de euros, si es un miembro (Barrado y Navascués, Huélamo, & Morales Calderón) (2005)). Los resultados se enumeran en el cuadro 3, donde los miembros y los miembros están incluidos, respectivamente (véase la siguiente sección para el debate sobre bérship). En ambos casos, incluimos los datos corre- sponding a las bandas R e I – de CFHT –, J, H y Ks –de 2MASS y CAHA–, [3.6], [4.5], [5.8], y [8.0] –del IRAC– y [24] –de MIPS. La fotometría adicional cerca de IR de WHT puede ser encontrado en la Tabla 1. 3. Color-Color y Color-Magnitud Dia- gramos y nueva asignación de miembros Antes de debatir la composición del documento I estrellas basadas en todos los nuevos datos ópticos e IR, hemos hecho una selección inicial basada en el Colores IRAC. Gráfico 1 (véase más información en la siguiente sección) muestra un Diagrama Color-Color con las cuatro bandas del IRAC. Hemos encontrado que 31 objetos caen en el área definida por Allen et al. (2004) y Megeath y otros (2004) como clase II jects (es decir, estrellas TTauri). Otros dos candidatos los miembros se encuentran en la región corresponden- a los objetos de la clase I/II. Tenemos en cuenta todo esto. 33 objetos como miembros bona-fide del C69 clus- ter. Harvey et al. (2006) han debatido el tema de la fusión por fuentes extragalácticas y de otro tipo cuando análisis de los datos de Spitzer (en su caso, utilizaron Serpens, una nube que tiene una gran extinción). Nosotros cree que esta contribución es insignificante para nuestro Datos de Lambda Ori, ya que esos objetos de Clase II de- a 24 micras se encuentran en el área de TTauri de- multada por Sicilia-Aguilar et al. (2005), como se muestra en su figura 5. Puede haber un nivel más alto de contaminación entre los objetos clasificados como Clase III. Todos los objetos de la Figura 1 tenían previ- miembros de los grupos temáticos a partir de CMD ópticas – es poco probable que un signif- icant número de AGN habría pasado tanto nuestro y nuestros criterios de IR (y también han sido no resuelto en nuestras imágenes ópticas CFHT). Más... sobre, antes de nuestros datos de Spitzer, sólo 25% candidato miembros que tenían datos ópticos, cercanos al IR y op- Espectroscopia de baja resolución tica resultó ser no miembros (papel I). Después de añadir el Spitzer fotometría, estamos bastante seguros en el mem- bérship de la selección. La Figura 2 y la Figura 3 muestran varios colores. diagramas de magnitud (CMD) utilizando los datos listados en los cuadros 1 y 3. En el caso de los paneles de la primera figura, presentamos óptica e IR, incluyendo Datos de Spitzer/IRAC; que en el segundo conjunto de Figuras sólo datos IR son trazados. Por el bien de simplicidad, también hemos eliminado a los no miembros de la figura 3. Basado en estos diagramas y en los espectros información escoscópica incluida en el documento I, tenemos reclasificó a los miembros candidatos como pertenecientes o No al clúster. En los diagramas de color-magnitud, Los miembros del C69 se encuentran en un lugar bastante bien definido, con un límite inferior que coincide aproximadamente con el 20 de Myr isochrone en este conjunto particular de la- modelos oréticos (Baraffe et al. 1998). Estrellas que caer muy por debajo (o azulado) de ese locus es probable no miembros; estrellas que caen por encima o en rojo de que el locus se retienen porque podrían tener Excesos de IR o por encima del enrojecimiento medio. Vamos a... bine los “votos” de varios CMD para producir un determinación cualitativa de la composición, esencialmente Sí, no o tal vez. En total, de un total de 170 las fechas, 19 son probables no miembros, cuatro tienen du- miembros bious y el resto (147 objetos) parecen ser miembros de buena fe del grupo. Ahí... En primer lugar, la proporción de no miembros con respecto al candidato inicial los miembros son del 13,5 %. En cualquier caso, sólo adicional espectroscopia (particularmente media y alta res- olución) se puede utilizar para establecer el estado real. El movimiento adecuado puede ser útil, pero como se muestra por Bouy et al. (2007), algún miembro bona-fide puede parecen tener movimientos apropiados discrepantes cuando en comparación con los valores medios de la associa- tion. En el cuadro 4 se muestran los resultados de cada candidato en las diferentes pruebas utilizadas para determinar su mem- bérship, los miembros como en el Documento I, y el Membresía final basada en la nueva fotometría. La segunda y última columnas muestran el espectro- información escópica. Nótese que el grado de confi- en la nueva clasificación de miembros varía dependiendo de la información disponible y en cualquier siempre es una cuestión de probabilidad. Como muestra la Tabla 3, los datos de Spitzer/IRAC no coinciden completamente con las magnitudes limitantes de nuestra encuesta óptica con CFHT o la Datos de 2MASS JHKs. En el caso de la banda [3.6], En esencia, todos los candidatos Lambda Orionis mem- bers deberían haber sido detectados (excepto tal vez los más débiles, alrededor de I=22 mag). Algún obs- Los efectos en el extremo débil tienen datos de 3,6 micras, pero falta 2MASS NIR, aunque en la mayoría de los casos tenemos le proveyó nuestra propia encuesta NIR profunda. En el caso de los datos de Spitzer a 4,5 micras, algunos ad- miembros candidatos dicionales más débiles que I=20,9 mag no fueron encontrados, debido a la limitación magni- tude de aproximadamente [4,5]lim=16,3 mag. Los datos en 8.0 micron solo alcanza [8,0]lim=14,0 mag, lo que significa que sólo los miembros del cluster con alrededor de I=18,6 mag –orKs=14.9– se puede detectar en esa longitud de onda. Esto es importante cuando se discuten los dos mem- estado de atraque basado en diagramas de color-magnitud y la presencia de excesos infrarrojos por ing diagramas color-color. Nótese, sin embargo, que Los exámenes con excesos de IR tienen un efecto óptico/inferior a IR más débil las contrapartes de lo previsto en la tabla. La Figura 4 presenta otra DMC con la op- magnitudes ticales de la encuesta CFHT (R y I), donde exhibimos los 170 miembros candidatos el uso de diferentes símbolos para distinguir su ac- condición de miembro. Los puntos pequeños corresponden a los no miembros sobre la base del debate anterior, mientras que más símbolos, cruces y círculos denotan Miembros probables. En el primer caso, en la mayoría de los casos debido a su desmayo – no tienen un com- conjunto pleto de magnitudes del IRAC, aunque pueden tener una medición de 3,6 y 4,5, o incluso a 5,8 micras. En el caso de los objetos rep- resentidos por cruces, han sido clasificados como Objetos de clase III (estrellas TTauri de línea débil y sub- Los análogos estelares si de hecho pertenecen al clus- ter) basado en un diagrama color-color del IRAC (ver siguiente sección y Figura 1). Por último, grandes círculos corresponden a fuentes de clase II. La contaminación tasa parece ser insignificante en el rango de magnitud I=12-16 (1,2–0,17 M+ aprox, equivalente a M0 y M5, respectivamente), donde nuestra selección inicial basado en el óptico y el infrarrojo cercano (2MASS) datos) ha funcionado bien. Sin embargo, para los más débiles... didates, el número de miembros espurios es muy grandes y el índice de contaminación asciende a alrededor del 15% para objetos con 16 < I < 19, y alrededor del 45% para I≥19 (aproximadamente la magnitud más allá de la alcance de la encuesta 2MASS). A una distancia de 400 pc y para una edad de 5 años Myr, y según los modelos de Baraffe et al. (1998), la frontera subestelar se encuentra en alrededor de I=17,5 mag. En el cuadro 5 se enumeran otros valores para diferentes edades, así como otras bandas –J, Ks y L′– se examinan en el presente documento. Entre nuestros 170 miembros candidatos CFHT, hay 25 objetos más débil que esa magnitud, y que pasan todo de nuestros criterios de adhesión que son probables Enanas marrones. De estos 25 objetos, 12 tienen espectroscopia de baja resolución y parece ser bona- miembros de fide y, por lo tanto, enanas marrones. Los otros 13 objetos están esperando el confir espectral- dad de su situación. Suponiendo una edad de 3 años o 8 Myr aumentaría o disminuiría el número de Enana marrón por siete en cada caso. En la primera caso (3 Myr), cinco de los siete posibles BDs En el caso de los Estados miembros de la Unión Europea, los Estados miembros de la Unión Europea tienen una composición espectroscópica, mientras que en el caso de los Estados miembros de la Unión Europea, los Estados miembros de la Unión Europea tienen una composición espectroscópica, mientras que en el caso de los Estados miembros de la Unión Europea, los Estados miembros de la Unión Europea tienen una composición espectroscópica, mientras que en el caso de los Estados miembros de la Unión Europea tienen una composición espectroscópica, mientras que en el caso de los Estados miembros de la Unión Europea, los Estados miembros de la Unión Europea tienen una composición espectroscópica, mientras que en el caso de los Estados miembros de la Unión Europea tienen una composición espectroscópica, mientras que en el caso de los Estados miembros de la Unión Europea tienen una composición espectroscópica, mientras que en el caso de los Estados miembros de la Unión Europea tienen una composición espectroscópica, mientras que en el caso de los Estados miembros de la Unión Europea tienen una composición espectroscópica, mientras que en el caso de los Estados miembros de la Unión Europea tienen una composición espectroscópica. En el segundo caso sólo se observaron tres en el documento I. Como resumen, hemos encontrado entre 18 y 32 buenos candidatos enanas marrones (dependiendo de la edad final) en el grupo Lambda Orionis, y entre 17 y 9 tienen su naturaleza confirmada a través de espectroscopia de baja resolución. Note que incluso esto técnica no excluye la posibilidad de que un pocos de ellos serían en realidad no miembros. Finalmente, el dominio de masa planetario comienza en sobre Ic=21.5, usando un isocrono de 5 Myr (DUSTY) modelos de Baraffe et al. (2002)). En esa re- Gion, sólo hay una masa planetaria prometedora candidato, LOri167 (Barrado y Navascués et al. (2007)). 4. Discusión 4.1. Los diagramas Color-Color, el diag- nóstico de exceso de IR y la relación de disco Los colores Spitzer / IRAC son una herramienta de gran alcance para revela el polvo y, por lo tanto, la población de Fuentes de clase I y II en una asociación estelar. Fig- ure 1 (después de Allen et al. (2004) y Megeath y otros (2004)) muestra los colores derivados de la mea- seguros a 3,6 menos 4,5 micras, frente a los obtenido a 5,8 menos 8,0 micras. Este diagrama produce un excelente diagnóstico, permitiendo un fácil discriminación entre objetos con y sin discos. Tenga en cuenta que debido a las magnitudes limitantes de las bandas del IRAC (ver la discusión en sección), objetos más débiles que alrededor de I=18,6 mag no puede tener un conjunto completo de colores IRAC y Por lo tanto, no se puede trazar en el diagrama. Esto el hecho impone un límite a nuestra capacidad de descubrir Excesos de IR en el extremo débil de la secuencia de racimo. Para los miembros del cluster Lambda Orionis, asumiendo un distancia de 400 pc y una edad de 5 Myr (y ac- cableado a los modelos de Baraffe et al. (1998)), este límite se encuentra en 0.040 Más. Gráfico 1 contiene un número considerable de objetos en la región correspondientes a las fuentes de la clase II. En total, hay 31 objetos ubicados dentro de la recta sólida ángulo de 134 miembros de Lambda Orionis con datos en las cuatro bandas del IRAC. Entre ellos, tres (LOri045, LOri082 y LOri092) posiblemente tienen rel- Errores fotométricos de gran tamaño en sus 5,8 μm flujo, ya que la inspección de sus SED indica Es probable que estén sin disco. Dos objetos más, LORI038 y LORI063, tienen colores IRAC indicat- ing Clase I/II (en realidad, LORI038 está muy cerca de la región de clase II). El SED (véase más adelante) Dica que ambos son estrellas de clase II. Por lo tanto, la fracción de miembros del grupo que son de clase II Las estrellas PMS basadas en sus excesos de IR son de 22–25%, para el rango espectral M0–M6.5. Esto es diferente. ent de lo que fue inferido por Dolan & Mathieu (1999, 2001) y por nosotros (papel I), sobre la base distribución de la emisión de Hα y de los infrarrojos cercanos diagramas color-color. Los datos de Spitzer/IRAC demostrar claramente que Lambda Orionis cluster contiene un número significativo de estrellas con discos circunstelares polvorientos. Sin objetos incrustados (Clase I) parecen estar presentes, de acuerdo con el rango de edad de la asociación (3-8 Myr o incluso un poco más grande). Tenga en cuenta que nuestros diferentes excesos de IR frecuencia en comparación con Dolan & Mathieu puede re- sulfato de su muestra siendo principalmente de mayor estrellas masivas que las nuestras. La figura 5 es una explosión de la región en la Fig- ure 1 correspondiente a las fuentes de la clase II. Nosotros también han añadido grandes menos y más símbolos, y grandes cuadrados, para indicar esos objetos con mea- anchos equivalentes de Hα asegurados (en espectro de resolución). Hemos usado la satura... criterio por Barrado y Navascués & Martn (2003) para distinguir entre objetos con W(Hα) –más símbolos– y W(Hα) normal – menos símbolos. En principio, un objeto con una El valor de W(Hα) por encima del criterio de saturación es ei- acreciente o está experimentando un episodio de bengala. Hay dos estrellas de baja masa (LOri050 y LOri063) con una línea Hα superior a 200 km/s (Muzerolle et al. 2003), otro indi- accreción (basado en Natta et al. (2004), deberían tener tasas de acreción muy grandes â € 10− 9 Más/año). Los modelos de disco teóricos utilizados para terpret Diagrama Color-Color del IRAC por Allen et al. (2004) sugieren que las tasas de acreción aumentan de la parte inferior izquierda a la parte superior derecha de la figura. Esto está de acuerdo con nuestros resultados, ya que la mayoría de los objetos que se acrecientan (suponiendo que Hα fuerte es un buen indicador de acreción) se encuentran en la zona de la figura con los excesos más grandes (arriba-derecha). Un par de objetos con muy baja emisión de Hα se encuentran cerca del borde de la zona de clase II (inferior izquierda), un hecho que sugiere que pueden tienen un disco relativamente delgado, con pequeñas o insignificantes acreción. En realidad estos objetos están rodeados por discos delgados en lugar de discos primordiales gruesos (ver sección siguiente). Con respecto a las enanas marrones en el cúmulo, varios miembros probables (LOri126, LOri129, Lori131, LOri132, LOri139 y LOri140) en el recinto de las estrellas TTauri Clásicas. Están justo en la frontera entre las estrellas y objetos subestelares, con magnitudes en el rango I=17,52–18,21 y J=15,38–16,16 (el límite se encuentra en I=17,55 y J=15,36 para 5 Myr, ver Cuadro 5). En el documento I presentamos una resolución baja espectroscopia de LOri126, LOri139 y LOri140, que sugieren que son miembros de los grupos temáticos (el Los tipos espectrales son M6,5, M6.0 y M7.0 con un Hα ancho equivalente de 26,2, 19,7 y 72,8 Å, ticularmente). Además, hemos confirmado la mem- arenque de LOri129 a través de especificaciones de resolución media troscopía (tipo espectral, M6.0 con un Hα equiva- ancho prestado de 12,1 Å). En total, hay 15 candidatos enanos marrones con un juego completo de colores IRAC, seis de los cuales caída en la región de clase II, haciendo así la fracción de enanas marrones con colores IR indicativos de cir- discos cumstellares cercanos al 40% (de 0,04 millones de euros), similar al 50% obtenido por (Bouy et al. 2007) en enanas marrones de la parte superior de Sco, usando fotom de medio IR- etry o el 50% derivado por Guieu et al. (2006) en Taurus enanas marrones con Spitzer. 4.2. La distribución espectral de la energía Hemos conspirado los SED de nuestro Lambda Ori- onis miembros candidatos en las figuras 6-8. Hay claramente una gama de espectros aproximadamente planos, a cuerpo negro en el cercano IR pero empezando a mostrar excesos en longitudes de onda del IRAC, sólo para mostrar ex- cesto a 24 micras. Una manera de estudiar la presencia de un disco circunstelar alrededor de un objeto es para analizar la forma del SED. Después de Lada et al. (2006) han utilizado la pendiente de 3,6-8,0 μm para cada fuente de- Tecnó en al menos tres bandas IRAC para distinguir entre objetos ópticamente gruesos, primordiales discos, objetos rodeados de ópticamente delgados o anéicos discos de micrófono y objetos sin discos. Resultados de este ensayo se presentan en la Tabla 4. En las figuras 6-8 los SED se ordenan de acuerdo con su IRAC clasificación de pendiente: objetos sin disco (índice de pendiente) o 2.56) en la Figura 6, discos gruesos (1.8). en la Figura 7, y objetos rodeados de discos delgados (−1.82.56) en la Figura 8. En esta última figura también incluimos dos estrellas de baja masa que presentan un exceso sólo a 24 micras, debido a una transición disco (véase más abajo). Según la pendiente del IRAC la fracción de miembros del cluster detectados en al menos tres de las bandas IRAC con discos ópticamente gruesos es el 14%, mientras que la fracción total del disco se encuentra 31% (similar al 25% derivado con el IRAC) CCD). Esta fracción es inferior al 50% encontrado por Lada et al. (2006) en IC348 (1-3 Myr) como ex- pected debido a la diferente edad de los clusters. La Figura 9 ilustra la evolución del disco fracción con la edad para varias associa- ciones (suponiendo que el exceso de infrarrojos sirve como un proxy de la presencia de un disco circunstelar). Las proporciones para las diferentes asociaciones provienen de Datos del IRAC (Hartmann y otros 2005; Lada et al. 2006; Sicilia-Aguilar et al. 2006) con el fin de evitar diferentes resultados en función de la técnica utilizada (Bouy et al. 2007). La proporción para el Lambda Ori- onis clúster (Collinder 69) es de alrededor del 30% y, como indicado anteriormente, para los objetos debajo del subestelar bordeline, la fracción de objetos clásicos TTauri Parece ser más grande. De acuerdo con su edad avanzada, el fracción de disco grueso en Colinder 69 es inferior a la de IC348 (esta fracción está representada por abierto cuadrados en la figura 9). Entre los objetos clasificados como fuentes de clase III de la figura 1, sólo dos (LOri043 y LOri065) tener una medición en [24] con una indicación inequívoca detección. Estas dos estrellas no tienen excesos. a 3,6 ó 4,5 micras. Por lo tanto, pueden ser clas- sifified como objetos de transición, el enlace evolutivo entre los discos primordiales y los discos de desechos. Un tercio de las fuentes de clase II (11 de 33) tienen medidas en la banda [24], todas ellas con un claro exceso, como se esperaba de su clase II situación. La falta de excesos de IR en una onda más corta... longitudes para LOri043 y LOri065 probablemente tallos de un agujero interior de disco o al menos menos polvo interior que para las fuentes de clase II. Modelos de simi- lar 24 μm-solo fuentes excesivas y una discusión de su significación disk-evolutiva se puede encontrar en Sicilia-Aguilar et al. (2006); Muzerolle et al. (2006); D’Alessio et al. (2006). La figura 10 muestra el mismo diagrama que en la figura 1, pero los MIPS La información de 24 μm se incluye como cuadrados rayados. Los círculos pequeños representan objetos que tienen ópticamente Discos delgados o de espesor óptico (sólidos) en su pendiente IRAC. El diagrama muestra un suave transición entre los tres tipos de objetos: disco- discos menos, delgados y primordiales. LOri103 tiene un disco delgado basado en su pendiente de 3,6-5,8 μm. Lo ha hecho. se clasificó como clase III debido a su magnitud en 8.0 μm pero creemos que en realidad es una clase II fuente y la magnitud débil en este paso de banda probablemente debido a la presencia de una nebulosidad. Hay algunos objetos clasificados como Clase III fuentes por el IRAC CCD (están fuera, pero cerca del área de clase II del diagrama), pero tienen discos basados en su pendiente IRAC. Todos estos los objetos son enanas marrones según los modelos por Baraffe et al. (1998) (5 Myr) que pasan todos nuestros los criterios de adhesión y, por tanto, la relación entre objetos lar que llevan discos aumenta al 50 % (nota que necesitamos detecciones en al menos tres IRAC bandas para calcular la pendiente del IRAC). Ninguno de nuestros candidatos enanos marrones ha sido detectada a 24 micras. Esto es probablemente debido a la límites de detección para esta banda. Como resumen, de los 170 objetos presentados en El documento I, 167, se discute aquí (los otros tres son detecciones espurias o la fotometría de Spitzer no es fiable). Excluidas las fuentes clasificadas como no miembros, hay 22 que no pueden ser clasi- debido a la insuficiencia de los datos del IRAC, 95 han sido clasificados como diskless, otros dos tienen discos de transición, 25 discos delgados y 20 de espesor discos. Toda esta información ha sido listada en Ta- ble 4. Tenga en cuenta que hay nueve objetos clasificados como Clase III de los diagramas color-color pero que tienen discos delgados de acuerdo con las pendientes SED, y un- otro (LOri156, una enana marrón de masa muy baja candidato con un Hα muy intenso) que tiene un disco grueso basado en la pendiente de los datos del IRAC. 4.3. La distribución espacial de la mem- Hemos trazado la distribución espacial de nuestro buenos miembros candidatos en la Figura 11. Cuatro puntos las estrellas representan las estrellas B y Orionis (O8III). Los Los miembros de clase III (cruces) son aproximadamente Distribución aleatoria en toda la región de la encuesta. Tanto las fuentes de Clase II como las estrellas B dan la impresión de estar concentrado en lineal agrupamiento - con la mayoría de las estrellas B siendo alineadas verticalmente cerca de RA = 83,8, y un gran número de las fuentes de clase II alineadas en el Este Dirección Sureste (más algunos menos bien organizados alineaciones más o menos norte-sur). Lo siento. es posible que las distribuciones espaciales sean reflexivas de los procesos de nacimiento en C69 - con los más jóvenes objetos (fuentes de clase II y estrellas B) el (¿antiguo?) presencia de gas molecular denso, mientras que las fuentes de la clase III han tenido tiempo de mezcla dinámicamente y ya no están cerca de la lugares donde nacieron. La figura 12 muestra tres puntos de vista diferentes de la porción central del mosaico de Spitzer a 3,6 micras para la región C69. Figuras 12a y 12b (con 12b) ser una explosión del centro de 12a) enfatizar la distribución de las fuentes de la clase II en relación con el cluster center; la Figura 12c muestra la distribución de nuestros candidatos enanos marrones. La estrella Orionis es en el centro de cada una de estas figuras. El objeto situado al sur de la estrella  Orionis es BD+09 879 C (o HD36861 C, una estrella F8 V), con un ángulo angular distancia de unos 30 arcsec desde el binario cercano Orionis AB (la distancia proyectada, si BD+09) 879 C es un miembro del grupo, sería 12.000 UA del par AB). La aparente falta relativa de miembros candidatos al cluster dentro de unos 75 arcsec Orionis puede ser ilusorio, ya que este re- gion fue "quemado" en las imágenes ópticas de la CFHT1999 encuesta y también se ve negativamente afectado en nuestras imágenes del IRAC. Hay una serie de clases II fuentes alrededor de 75-90 arcsec de  Ori, corre- a una separación proyectada de orden de 30.000 UA, así que al menos a esa distancia discos circunstelares puede sobrevivir a pesar de la presencia de un cercano O Estrella. En cuanto a la distribución de enanas marrones, un número significativo de ellos (30 %) se encuentran dentro de la el círculo interior con un diámetro de 9 arcmin (nuestro El estudio óptico original abarcó un área de 42×28 arcmin). Sin embargo, hay miembros subestelares a cualquier distancia de la estrella de Ori (Figura 12c), y no hay pruebas sustanciales de que el clus- ter enanas marrones tienden a estar cerca de la masiva Estrella central. Hemos estimado la correlación en el espacio espacial distribución de diferentes conjuntos de datos: Clase II vs. Candidatos de clase III, objetos con cualquier tipo de disco (delgado, grueso y transición) frente a objetos sin disco, y objetos estelares vs. subestelares (siguiendo la frontera subestelar que figura en el cuadro 5 para edades y bandas). Hemos calculado los dos lados Estadística de Kuiper (invariante Kolmogorov-Smirnov prueba), y su probabilidad asociada de que cualquiera de los anteriormente mencionados pares de grupos estelares fueron procedentes de la misma distribución. Tenemos calcu... lated la función de densidad bidimensional de cada uno muestra considerando un encuadernación de cuadrícula de 4.5×3 arcmin en una región de 45×30 arcmin centrada a las 05:35:08.31, +09:56:03.6 (la estrella Lambda Orionis). El ensayo En el primer caso, se revela que la desgravación acumulativa La función de asignación de los candidatos de la clase II es sig- Diversificadamente diferente de la de la clase III fechas, con una probabilidad para estos conjuntos de datos ser- de la misma distribución del 1%. Esta situación cambia al comparar el conjunto de objetos que albergan cualquier tipo de disco con el de objetos sin disco, encontrando una probabilidad de + 50% en este caso (y, por lo tanto, no se puede llegar a ninguna conclusión, aparte de eso no hay una correlación fuerte). Activar por otra parte, con respecto a una correlación con la edad, la prueba señala una tendencia en la relación ser- entre la distribución espacial de estelares y sub- objetos estelares dependiendo de la edad supuesta. Los valor de la probabilidad de estas dos poblaciones compartir una distribución espacial común disminuye de un 30% al asumir una edad de 3 Myr, a • 0,001% para una edad de 8 años Myr. El valor suponiendo una edad de 5 años Myr es de 1 %. Distribución espacial de los objetos detectados en 24 micras se pueden ver en la Figura 13. La nebulosidad inmediatamente al sur de la estrella de Orionis (cerca de BD +09 879 C) corresponde a la región HII LBN 194.69-12.42 (véase el detalle en la figura 12b banda [3.6]). La mayoría de los miembros detectados son gated dentro del círculo interior de 9 arcmin, con un ap- concentración principal en un “filamento” que se ejecuta ap- Aproximadamente norte-sur (es decir, alineado con la B estrellas como se ilustra en la Figura 11b). Fuera del clus... miembros descubiertos por Dolan & Mathieu, 11 están dentro de la imagen MIPS [24] (véase la figura 13) y tener flujos por encima del nivel de detección. El clos- Este miembro de Orionis es D&M#33 (LOri034), cerca de 2 arcmin al este de la estrella central. La imagen MIPS en 24 micras sugiere que Hay dos burbujas centradas alrededor del Ori- onis estrella múltiple (en realidad, el centro podría ser el componente C o la región HII LBN 194.69- 12.42). El primero está a unos 25 arcmin de distancia, y se encuentra a lo largo del noreste/sur-oeste eje. Más visible es el más pequeño frente lo- a una distancia de 10,75 arcmin, de nuevo cen- en la región HII y no en Orionis AB. En este caso, es más visible situado en la direc- sión Oeste/Norte-Oeste, frente a la alineación de objetos de clase II y miembros de baja masa con ex- cesto a 24 micras. Estructuras similares se pueden encontrar a mayor escala en las imágenes de IRAS de esta región, a 110 y 190 arcmin. La estrella 37 Ori, una B0III, se encuentra en el centro del capullo en la parte inferior de la imagen. Los fuente IRAS 05320+0927 está muy cerca y es Probablemente lo mismo. Tenga en cuenta que mientras que BD +09 879 C aparecería ser la fuente de un fuerte viento estelar y/o gran flujo de fotones UV, no es obvio que el estrella visible es el emisor UV porque el espectral tipo para BD +09 879 C se administra como F8V (Lindroos 1985). Sería útil examinar esta estrella más con el fin de tratar de resolver este misterio. 5. Conclusiones Hemos obtenido datos de Spitzer IRAC y MIPS de un área de alrededor de un sq.deg alrededor de la estrella onis, la estrella central de la 5 Myr Lambda Orio- nis open cluster (Collinder 69). Estos datos fueron: combinado con nuestra óptica anterior y cerca de en- fotometría (de 2MASS). Además, nosotros han obtenido imágenes infrarrojas muy profundas. Los las muestras se han utilizado para evaluar buque de los 170 miembros candidatos, seleccionados entre Barrado y Navascués et al. (2004). Utilizando los datos de Spitzer/IRAC y el crite- ria desarrollada por Allen et al. (2004) y Hartmann et al. (2005), hemos encontrado 33 objetos que pueden ser clasificados como estrellas TTauri clásicas y sub- análogos lar (objetos de clase II). Esto significa que la fracción de miembros con discos es 25% y 40%, para el estelar (en el rango espectral M0 - M6.5) y población subestelar (hasta 0,04 millones de habitantes). ¿Cómo...? siempre, combinando esta información con Hα emis- sión (sólo una fracción de ellos tienen espectroscopia), Encontramos que algunos no parecen estar acrecentándose. Por otra parte, como se espera de los modelos, vemos un la correlación en el [3.6] - [4.5] vs. [5.8] - [8.0] dia- gramo para objetos con colores más rojos (más IR ex- cesto) tener una emisión de Hα más fuerte. Además, siguiendo a Lada et al. (2006) y la clasificación basado en la pendiente de los datos del IRAC, encontramos que la proporción de miembros subestelares que llevan discos (ópticamente delgado o grueso) es + 50%, mientras que es aproximadamente 31% para la muestra completa (14% con espesor disquetes). Este resultado sugiere que la escala de tiempo para Los discos primordiales que se disipan son más largos para los discos inferiores. estrellas de masas, como se sugiere en Barrado y Navascués & Martn (2003). También hemos encontrado que la distribución de Los miembros de Collinder son muy inhomógenos, specif- ticamente para los objetos de Clase II. La mayoría de ellos son situado en un filamento que va desde el centro Orionis al sureste, más o menos a... guarda la nube oscura Barnard 35. Además, hay varias estrellas de Clase II cerca de la central estrellas. Si el (anteriormente) miembro más alto de la masa de C69 ya ha evolucionado fuera de la secuencia principal y convertirse en una supernova, o los discos de estos Estrellas de clase II sobrevivieron a ese episodio o se formaron posterior a la supernova. También hemos derivado los flujos a 24 micras de imágenes de Spitzer/MIPS. Sólo un puñado... 13– de las estrellas de baja masa se detectaron (no marrón enanos). La mayoría de ellos son objetos de clase II. In el caso de los dos miembros de clase III con 24 exceso de micrones, parece que corresponden a las transiciones de discos, ya evolucionando hacia el pro- fase planetaria. Agradecemos la asignación del Observatorio de Calar Alto del tiempo discrecional del director para este programa. Esta investigación ha sido financiada por subvenciones españolas MEC/ESP2004-01049,MEC/Consolidador-CSD2006- 0070, y CAM/PRICIT-S-0505/ESP/0361. REFERENCIAS Allen, L. E., Calvet, N., D’Alessio, P., et al. 2004, ApJS, 154, 363 Baraffe, I., Chabrier, G., Allard, F., & Hauschildt, P. H. 1998, A&A, 337, 403 Baraffe, I., Chabrier, G., Allard, F., & Hauschildt, P. H. 2002, A&A, 382, 563 Barrado y Navascués, D. & Marten, E. L. 2003, AJ, 126, 2997 Barrado y Navascués, D., Stauffer, J. R., Bouvier, J., Jayawardhana, R., & Cuillandre, J.-C. 2004, ApJ, 610, 1064 (Papel I) Barrado y Navascués, D., Stauffer, J. R., & Bou- vier, J. 2005, ASSL Vol. 327: La misa inicial Función 50 años después, 133 Barrado y Navascués, D., Huélamo, N., & Morales Calderón, M. 2005, Astronomische Nachrichten, 326, 981 Barrado y Navascués, D., Bayo, A., Morales Calderón, M., Huélamo, N., Stauffer, J.R., Bouy, H. 2007, cartas A&A, presentadas Bouy, H., Huélamo, N., Marten, E. L., Barrado y Navascués, D., Sterzik, M., & Pantin, E. 2007, A&A, 463, 641 Briceño, C., Luhman, K. L., Hartmann, L., Stauf- fer, J. R., & Kirkpatrick, J. D. 2003, en la UAI Simposio, ed. E. Martn, 81–+ Chabrier, G., Baraffe, I., Allard, F., & Hauschildt, P. 2000, ApJ, 542, 464 Cutri, R. M., Skrutskie, M. F., van Dyk, S. et al. 2003, 2MASS Todo el cielo Catálogo del punto fuentes. (The IRSA 2MASS All-Sky Point) Catálogo de fuentes, NASA/IPAC Infrared Science Archivo. http://irsa.ipac.caltech.edu/applications/Gator/) D’Alessio, P., Calvet, N., Hartmann, L., Franco- Hernández, R., & Servn, H. 2006, ApJ, 638, Dolan, C.J. & Mathieu, R. D. 1999, AJ, 118, 2409 Dolan, C.J. & Mathieu, R. D. 2001, AJ, 121, 2124 Engelbracht y otros 2006, en preparación. Fazio, G. G., et al. 2004, ApJS, 154, 10 Guieu, S., Dougados, C., Monin, J.-L., Magnier, E., & Martn, E. L. 2006, A&A, 446, 485 Hartmann, L. 2004, en IAU Symposium, ed. M. Burton, R. Jayawardhana, & T. Bourke, 201–+ Hartmann, L., Megeath, S. T., Allen, L., et al. 2005, ApJ, 629, 881 Harvey, P. M., et al. 2006, ApJ, 644, 307 Hunt, L. K., Mannucci, F., Testi, L., et al. 1998, AJ, 115, 2594 Lada, C. J., Muench, A. A., Luhman, K. L., et al. 2006, AJ, 131, 1574 Lindroos, K. P. 1985, A&AS, 60, 183 Luhman, K. L. 2004, ApJ, 617, 1216 Makovoz, D. & Khan, I. 2005, en Astronomical Society of the Pacific Conference Series, ed. P. Shopbell, M. Britton, & R. Ebert, 81–+ Megeath, S. T., et al. 2004, ApJS, 154, 367 McCaughrean, M. J. & Stauffer, J. R. 1994, AJ, 108, 1382 Muzerolle, J., Adame, L., D’Alessio, P., et al. 2006, ApJ, 643, 1003 Muzerolle, J., Hillenbrand, L., Calvet, N., Briceño, C., & Hartmann, L. 2003, ApJ, 592, 266 Natta, A., Testi, L., Muzerolle, J., et al. 2004, A&A, 424, 603 Reach, W. T., Megeath, S. T., Cohen, M., et al. 2005, PASP, 117, 978 Rieke, G. H., Young, E. T., Engelbracht, C. W., et al. 2004, ApJS, 154, 25 Sicilia-Aguilar, A., Hartmann, L. W., Hernández, J., Briceño, C., & Calvet, N. 2005, AJ, 130, 188 Sicilia-Aguilar, A., Hartmann, L., Calvet, N., et al. 2006, ApJ, 638, 897 Esta preimpresión de 2 columnas fue preparada con el AAS LATEX macros v5.0. http://irsa.ipac.caltech.edu/applications/Gator/ Cuadro 1 Fotometría adicional cerca de infrarrojos para los miembros candidatos de la Lambda Orionis cluster (WHT/INGRID). Nombre Error J Error H Error Ks Error LOri006 12,752 11,67 0,01 10,90 0,01 10,94 0,01 LOri007 12,779 11,65 0,01 – – – – LOri008 12,789 11,53 0,01 10,85 0,01 10,62 0,01 LOri009 12,953 11,79 0,01 – – – – LOri011 13,006 11,59 0,01 – – – – LOri015 13,045 11,90 0,01 – – – – LOri016 13,181 12.00 0,01 11,41 0,01 11,27 0,01 LOri020 13,313 11,95 0,01 – – – – LOri021 13,376 12,26 0,01 – – – – LOri022 13,382 12,20 0,01 11,44 0,01 11,22 0,01 LOri024 13.451 12.35 0,01 – – – – LOri026 13.472 12.00 0,01 – – – – LOri027 13,498 12,51 0,01 – – – – LOri030 13,742 12,44 0,01 11,81 0,01 11,64 0,01 LOri031 13,750 12,34 0,01 – – – – LOri034 13,973 12,43 0,01 – – – – LOri035 13,974 12,56 0,01 – – – – LOri036 13,985 12,53 0,01 – – – – LOri037 13,988 13,43 0,01 – – – – LOri048 14,409 12,78 0,01 12,17 0,01 12.00 0,01 LOri049 14,501 13,13 0,01 – – – – LOri050 14.541 13.17 0,01 – – – – LOri053 14,716 13.17 0,01 – – – – LOri055 14,763 13,24 0,01 – – – – LOri056 14,870 13,33 0,01 – – – – LOri057 15,044 13,43 0,01 – – – – LOri060 15.144 13,60 0,01 – – – – LOri061 15,146 13,38 0,01 12,74 0,01 12,54 0,01 LOri062 15.163 13,60 0,01 – – – – LOri063 15,340 13,72 0,01 13,02 0,01 12,69 0,01 LOri065 15,366 13,66 0,01 13,04 0,01 12,85 0,01 LOri068 15,200 13,73 0,01 – – – – LOri069 15.203 13,28 0,01 – – – – LOri071 15.449 13,72 0,01 – – – – LOri073 15.277 13,68 0,01 – – – – LOri076 15,812 14,12 0,01 13,51 0,01 13,28 0,01 LOri077 15.891 14.11 0,01 – – – – LOri082 16,022 14,18 0,01 13,64 0,01 13,35 0,01 LOri083 16,025 14,22 0,01 13,63 0,01 13,32 0,01 LOri085 16,043 14,21 0,01 13,58 0,01 13,26 0,01 LOri087 16,091 14,44 0,01 – – – – LOri088 16.100 14,14 0,01 – – – – LOri089 16.146 14,43 0,01 – – – – LOri093 16.207 14,47 0,01 – – – – LOri094 16,282 14,37 0,01 – – – – LOri096 16,366 14,59 0,01 13,98 0,01 13,72 0,01 LOri099 16.416 14,62 0,01 – – – – LOri100 16,426 14,83 0,01 – – – – LOri102 16,505 14,57 0,01 14,05 0,01 13,78 0,01 LOri104 16,710 14,90 0,01 – – – – LOri105 16,745 14,84 0,01 – – – – LOri107 16,776 14,91 0,01 14,35 0,01 14,05 0,01 LOri115 17,0777 15,35 0,01 – – – – LOri116 17.165 15.31 0,01 – – – – LOri120 17,339 15,36 0,01 – – – – LOri130 17,634 15,76 0,01 – – – – LOri131 17,783 15,29 0,01 14,83 0,01 14,41 0,01 LOri132 17,822 15,77 0,01 – – – – LOri134 17.902 15,72 0,01 15,17 0,01 14,82 0,01 LOri135 17,904 15,63 0,01 15,14 0,01 14,79 0,01 LOri136 17,924 15,53 0,01 – – – – Cuadro 2 Cero puntos, correcciones de apertura y factores de conversión entre las magnitudes y los flujos en Jansky. Canal Ap. corrección ap=4px (mag) Ap. corrección ap=2px (mag) Punto Cero (mag)a Flux mag=0 (Jy) [3.6] 0,090 0,210 17,26 280,9b [4,5] 0,102 0,228 16,78 179,7b [5.8] 0,101 0,349 16,29 115,0b [8.0] 0,121 0,499 15,62 64,1b [24] 0,168d 11,76 7.14c aZero Puntos para fotometría de apertura realizados con IRAF en los datos del CDB. bReach et al. (2005) cEngelbracht y otros (2006) dLa abertura utilizada para MIPS [24] fue siempre de 5,31 píxeles. Cuadro 3 Miembros candidatos del grupo Lambda Orionis (Collinder 69) Nombre R error I error J error H error Ks error [3.6] error [4.5] error [5.8] error [8.0] error [24] error Mem1 error LOri001 13,21 0,00 12,52 0,00 11,297 0,022 10,595 0,022 10,426 0,021 10,228 0,003 10,255 0,004 10,214 0,009 10,206 0,010 – – Y LORI002 13,44 0,00 12,64 0,00 11,230 0,024 10,329 0,023 10,088 0,019 9,935 0,003 10,042 0,003 9,930 0,009 9,880 0,008 – – Y LOri003 13,39 0,00 12,65 0,00 11,416 0,023 10,725 0,022 10,524 0,023 10,262 0,003 10,318 0,004 10,239 0,010 10,171 0,010 – – Y LOri004 13,71 0,00 12,65 0,00 11,359 0,022 10,780 0,023 10,548 0,021 10,287 0,003 10,249 0,004 10,185 0,009 10,127 0,009 – – Y LOri005 13,38 0,00 12,67 0,00 11,378 0,022 10,549 0,022 10,354 0,023 10,204 0,003 10,321 0,004 10,218 0,009 10,158 0,009 – – Y LOri006 13,55 0,00 12,75 0,00 11,542 0,026 10,859 0,026 10,648 0,021 10,454 0,003 10,454 0,004 10,399 0,011 10,319 0,010 – – Y LOri007 13,72 0,00 12,78 0,00 11.698 0,027 11,101 0,024 10.895 0,030 10.668 0,004 10.636 0,004 10.615 0,012 10.482 0,013 – – Y LOri008 13,60 0,00 12,79 0,00 11,548 0,029 10,859 0,023 10,651 0,024 10,498 0,003 10,495 0,004 10,440 0,011 10,256 0,012 – – Y LOri009 13,70 0,00 12,95 0,00 11.843 0,024 11,109 0,024 10.923 0,023 10.834 0,004 10.873 0,005 10.788 0,012 10.743 0,014 – – Y LOri010 13,70 0,00 12,96 0,00 11.880 0,026 11,219 0,026 11,041 0,023 10,916 0,004 10,953 0,005 10,733 0,012 10,839 0,016 – – Y LOri011 13,84 0,00 13,01 0,00 11.604 0,026 10.784 0,024 10.554 0,024 10.378 0,003 10.521 0,004 10.444 0,011 10.326 0,011 – – Y LOri012 13,80 0,00 13,03 0,00 11.816 0,026 10.971 0,024 10.795 0,023 10.619 0,003 10.758 0,005 10.627 0,012 10.543 0,012 – – Y LOri013 14,21 0,00 13,03 0,00 11.656 0,022 10.918 0,022 10.719 0,023 10.511 0,003 10.480 0,004 10.467 0,011 10.344 0,012 – – Y LOri014 13,84 0,00 13,03 0,00 11.941 0,024 11,278 0,027 11,092 0,023 10.902 0,004 10.904 0,005 10.839 0,014 10.797 0,014 – – Y LOri015 13,83 0,00 13,05 0,00 11.870 0,024 11.127 0,024 10.912 0,019 10.808 0,004 10.886 0,005 10.824 0,013 10.882 0,015 – – Y LOri016 14,07 0,00 13.18 0,00 11.958 0,024 11,284 0,027 11,053 0,024 10.833 0,004 10.817 0,006 10.378 0,011 10,700 0,014 – – Y LOri017 13,99 0,00 13,19 0,00 12,188 0,024 11,482 0,023 11,323 0,021 11,165 0,005 11,206 0,006 11,173 0,017 11,072 0,019 – – Y LOri018 14,21 0,00 13,26 0,00 11,991 0,024 11,284 0,022 11,090 0,023 10,804 0,004 10,798 0,005 10,722 0,012 10,636 0,014 – – Y LOri019 14,33 0,00 13,31 0,00 12.019 0,026 11,316 0,024 11,067 0,021 10,880 0,004 10,866 0,005 10,767 0,013 10,788 0,018 – – Y LOri020 14,65 0,00 13,31 0,00 11,856 0,028 11,214 0,026 11,025 0,027 10,676 0,003 10,609 0,004 10,573 0,012 10,485 0,012 – – Y LOri021 14,26 0,00 13,38 0,00 12,258 0,027 11,560 0,026 11,296 0,011 11,129 0,004 11,107 0,005 11,081 0,016 11,065 0,019 – – Y LOri022 14,41 0,00 13,38 0,00 12,102 0,023 11,411 0,022 11,156 0,019 11,010 0,004 10,985 0,005 10,895 0,014 10,683 0,014 – – Y LOri023 14,43 0,00 13,44 0,00 12,221 0,027 11,471 0,022 11,290 0,024 11,090 0,004 11,114 0,005 11,071 0,015 10,928 0,018 – – Y LOri024 14,43 0,00 13.45 0,00 12,139 0,030 11,446 0,026 11,223 0,028 11,018 0,004 11,019 0,005 10,972 0,015 10,877 0,016 – – Y LOri025 14,36 0,00 13.45 0,00 12.163 0,044 11.409 0,051 11,090 0,033 10.668 0,003 10.674 0,004 10.613 0,012 10.576 0,012 – – Y LOri026 14,57 0,00 13,47 0,00 12.046 0,028 11,324 0,024 11,092 0,025 10,882 0,004 10,833 0,005 10,811 0,014 10,742 0,013 – – Y LOri027 14,49 0,00 13,50 0,00 12,378 0,026 11,7118 0,023 11,503 0,021 11,35 0,005 11,36 11,237 0,016 11,179 0,025 – – Y LOri028 14,86 0,00 13,65 0,00 12,488 0,024 11,872 0,022 11,687 0,021 11,439 0,005 11,417 0,006 11,348 0,017 11,297 0,021 – – Y LORI029 14,89 0,00 13,69 0,00 12,210 0,026 11,460 0,027 11,071 0,019 10,259 0,003 9,830 0,003 9,321 0,006 8,416 0,003 5,684 0,007 Y LOri030 14,95 0,00 13,74 0,00 12,427 0,027 11,686 0,026 11,428 0,021 11,208 0,007 11,157 0,007 11,119 0,019 10,997 0,023 – – Y LOri031 14,90 0,00 13,75 0,00 12,412 0,028 11,654 0,023 11,442 0,028 11,206 0,004 11,188 0,006 11,150 0,015 11,079 0,016 – – Y LOri032 15.04 0,00 13,80 0,00 12,410 0,029 11,714 0,023 11,493 0,021 11,252 0,004 11,215 0,006 11,178 0,016 11,080 0,019 – – Y LOri033 14,82 0,00 13,81 0,00 12,455 0,033 11,800 0,042 11,502 0,027 11,146 0,004 11,149 0,005 11,060 0,015 11,020 0,019 – – Y LOri034 15,10 0,00 13,97 0,00 12,442 0,026 11,639 0,026 11,184 0,023 10,068 0,003 9,734 0,003 9,314 0,007 8,325 0,003 5,738 0,007 Y LOri035 15,25 0,00 13,97 0,00 12,546 0,024 11,842 0,027 11,609 0,019 11,371 0,005 11,349 0,006 11,283 0,017 11,259 0,021 – – Y LOri036 15,47 0,00 13,98 0,00 12,576 0,024 11,936 0,023 11,706 0,021 11,395 0,005 11,378 0,006 11,287 0,018 11,260 0,019 – – Y LORI037 15,17 0,00 13,99 0,00 12,459 0,024 11,727 0,026 11,492 0,321 11.302 0,005 11.309 0,006 11,198 0,016 11,180 0,018 – – Y LOri038 15,10 0,00 14,01 0,00 12,684 0,030 11,954 0,029 – – 11,455 0,005 11,320 0,006 10,970 0,014 9,857 0,008 6,211 0,010 Y LOri039 15,25 0,00 14,02 0,00 12,755 0,030 12,004 0,023 11,775 0,023 11,523 0,005 11,534 0,007 11,434 0,018 11,373 0,025 – – Y LOri040 15,38 0,00 14,06 0,00 12,553 0,024 11,877 0,022 11,594 0,024 11,364 0,005 11,319 0,006 11,231 0,017 11,218 0,025 – – Y LOri041 15,55 0,00 14,10 0,00 12.500 0,024 11,856 0,023 11,587 0,027 11,255 0,004 11,187 0,006 11,131 0,015 11,123 0,021 – – Y LOri042 15,31 0,00 14,14 0,00 12,813 0,027 12.099 0,026 11.853 0,023 11.604 0,005 11.633 0,007 11.546 0,019 11.479 0,025 – – Y LOri043 15,46 0,00 14,16 0,00 12,707 0,024 12,021 0,0226 11,741 0,024 11,512 0,005 11,496 0,007 11,408 0,019 11,393 0,024 8,479 0,102 Y LOri044 15.39 0,00 14.17 0,00 12.924 0,024 12.318 0,024 12.065 0,023 11.837 0,006 11.804 0,007 11.751 0,023 11.674 0,024 – – Y LOri045 15,56 0,00 14,23 0,00 12,768 0,023 12,102 0,026 11,844 0,023 11,602 0,005 11,596 0,007 12,023 0,039 11,474 0,026 – – Y LOri046 15,64 0,00 14,36 0,00 13,033 0,023 12,478 0,026 12,252 0,026 11,906 0,006 11,852 0,008 11,787 0,024 11,763 0,032 – – Y LOri047 15,91 0,00 14,38 0,00 12,732 0,026 12.097 0,031 11,827 0,026 11,474 0,005 11,400 0,006 11,333 0,017 11,342 0,025 – – Y LOri048 15,78 0,00 14,41 0,00 12,887 0,027 12,196 0,029 11,932 0,026 11,612 0,006 11,521 0,008 11,448 0,020 10,920 0,018 8,119 0,087 Y Cuadro 3-Continuación Nombre R error I error J error H error Ks error [3.6] error [4.5] error [5.8] error [8.0] error [24] error Mem1 error LORI049 15,77 0,00 14,50 0,00 13,173 0,027 12,592 0,029 12,253 0,023 12,004 0,006 11,992 0,009 12,043 0,027 12,427 0,057 – – Y LOri050 15,90 0,00 14,54 0,00 12,877 0,027 12,236 0,027 11,955 0,031 11,471 0,005 11,089 0,005 10,529 0,011 9.537 0,007 7,268 0,029 Y LOri051 15,91 0,00 14,60 0,00 13,266 0,024 12.559 0,022 12.285 0,021 12.017 0,006 11.995 0,008 11.969 0,024 11.919 0,035 – – Y LOri052 15.93 0,00 14,63 0,00 13,117 0,023 12,454 0,024 12,192 0,019 11,917 0,006 11,863 0,008 11,764 0,022 11,791 0,029 – – Y LOri053 16.08 0,00 14,72 0,00 13.173 0,032 12.521 0,023 12.278 0,027 11.995 0,006 11.954 0,008 11.886 0,022 11.862 0,034 – – Y LOri054 16,19 0,00 14,73 0,00 13,189 0,024 12,509 0,022 12,271 0,027 11,974 0,006 11,948 0,009 11,805 0,025 11,862 0,038 – – Y LOri055 16,12 0,00 14,76 0,00 13,184 0,026 12,477 0,026 12,253 0,026 12,044 0,006 12.038 0,009 12.015 0,029 11.902 0,038 – – Y LOri056 16,43 0,00 14,87 0,00 13,211 0,029 12,567 0,026 12,267 0,029 12,011 0,004211,906 0,005211,913 0,019211,853 0,0322– – Y LOri057 16,63 0,00 15.04 0,00 13.412 0,024 12,773 0,023 12.487 0,030 12.177 0,007 12.078 0,009 11.988 0,030 11.992 0,033 – – Y LOri058 16,57 0,00 15,06 0,00 13,521 0,024 12,935 0,022 12,643 0,027 12,332 0,007 12,269 0,010 12,172 0,032 12,637 0,072 – – Y LOri059 16,57 0,00 15,10 0,00 13,574 0,026 12,884 0,026 12,682 0,032 12,317 0,007 12,270 0,009 12,218 0,030 12,679 0,066 – – Y LOri060 16,56 0,00 15,14 0,00 13,598 0,030 12,961 0,030 12,663 0,029 12,423 0,008 12,418 0,011 12,408 0,041 12,377 0,051 – – Y LOri061 16,58 0,00 15,15 0,00 13,533 0,023 12,833 0,026 12,525 0,027 12,052 0,006 11,851 0,008 11,519 0,019 10,730 0,015 8,047 0,046 Y LOri062 16,62 0,00 15,16 0,00 13,634 0,029 13,005 0,030 12,725 0,027 12,370 0,007 12,246 0,009 12,153 0,30 11,36 0,021 7,834 0,035 Y LOri063 16,80 0,01 15,34 0,00 13,756 0,029 13,066 0,029 12,663 0,030 11,666 11,368 0,007 11,768 0,028 10,397 0,014 6,055 0,010 Y LOri064 16,78 0,01 15,34 0,00 13,782 0,026 13,098 0,025 12,846 0,029 12,486 0,008 12,489 0,011 12,378 0,034 12,245 0,053 – – Y LOri065 16,89 0,01 15,37 0,00 13,820 0,024 13,123 0,029 12,843 0,027 12,526 0,008 12,504 0,011 12,494 0,032 12,641 0,063 8,424 0,075 Y LOri066 17,12 0,01 15,40 0,00 13,506 0,024 12,901 0,026 12,654 0,029 12,221 0,007 12,170 0,010 12,196 0,039 12,578 0,072 – – Y LOri067 17,05 0,01 15,53 0,00 14.000 0,033 13,356 0,027 13,102 0,036 12,794 0,010 12,727 0,014 12,702 0,046 12,786 0,071 – – Y LOri068 16,76 0,01 15,20 0,00 13,521 0,027 12,902 0,026 12,628 0,027 12,348 0,005212,246 0,00621,029 0,016212,145 0,0362– – Y LOri069 16,89 0,01 15,20 0,00 13,384 0,027 12,774 0,027 12,425 0,027 12.089 0,006 12.015 0,008 12.034 0,026 11.903 0,042 – – Y LOri070 17,18 0,01 15,61 0,00 14,042 0,032 13,405 0,029 13,067 0,031 12,809 0,009 12,779 0,013 12,799 0,041 12,559 0,060 – – Y LOri071 17,13 0,00 15,63 0,00 13,749 0,030 13,129 0,024 12,839 0,031 12,470 0,008 12,382 0,010 12,276 0,031 12,250 0,044 – – Y LOri072 17.00 0,00 15,35 0,00 13,554 0,026 12,944 0,032 12,631 0,027 11,993 0,006 11,860 0,008 11,836 0,026 11,718 0,037 – – Y LOri073 16,84 0,01 15,28 0,00 13,644 0,028 12,992 0,023 12,715 0,027 12,376 0,007 12,274 0,009 12,187 0,029 12,162 0,031 – – Y LOri074 17,03 0,01 15,39 0,00 13,663 0,026 13,088 0,025 12,720 0,024 12,312 0,007 12,310 0,010 12,290 0,030 12,259 0,046 – – Y LOri075 16,95 0,01 15,23 0,00 13,396 0,026 12,794 0,026 12,526 0,024 12.089 0,006 11,990 0,008 11.924 0,026 11.936 0,038 – – Y LOri076 17,39 0,01 15,81 0,00 14,216 0,027 13,527 0,027 13,201 0,032 12,916 0,0110 12,843 0,014 12,669 0,048 12,754 0,072 – – Y LOri077 17,45 0,00 15,89 0,00 14,031 0,027 13,416 0,027 13,109 0,035 12,761 0,009 12,717 0,012 12,700 0,046 12,650 0,073 – – Y LOri078 17,35 0,00 15,92 0,00 14,227 0,041 13,593 0,053 13,286 0,040 12,766 0,009 12,844 0,014 12,789 0,046 12,554 0,069 – – Y LOri079 17,51 0,00 16.00 0,00 14,221 0,032 13,536 0,032 13,338 0,039 13,002 0,006212,970 0,008212,876 0,078212,724 0,0482– – Y LOri080 17,51 0,00 16,01 0,00 13,804 0,023 13,196 0,022 12,891 0,033 12,504 0,008 12,424 0,010 12,597 0,041 12,190 0,031 – – Y LOri081 17.61 0,00 16,02 0,00 14,669 0,032 13,692 0,032 13,209 0,037 12,620 0,008 12,360 0,010 12.050 0,030 11.632 0,028 8,062 0,056 Y LOri082 17,57 0,00 16.02 0,00 14,200 0,033 13,570 0,025 13,281 0,033 13,008 0,011 12,954 0,015 13,586 0,100 12,830 0,100 – – Y LOri083 17,56 0,00 16,02 0,00 14,265 0,030 13,638 0,035 13,375 0,40 13,012 0,0110 12,946 0,013 12,947 0,057 13,017 0,074 – – Y LOri084 17.48 0,00 16.03 0,00 14,077 0,024 13,448 0,027 13,188 0,034 12,888 0,010 12,800 0,013 12,863 0,061 12,745 0,067 – – Y LOri085 17,65 0,01 16.04 0,00 14,189 0,026 13,622 0,037 13,233 0,027 12,584 0,008 12,315 0,010 12.090 0,028 11,510 0,029 8,089 0,056 Y LOri086 17.59 0,00 16.09 0,00 14,482 0,032 13,867 0,032 13,503 0,40 13,251 0,011 13,205 0,016 13,160 0,057 13,277 0,098 – – Y LOri087 17,54 0,00 16.09 0,00 14,186 0,039 13,601 0,030 13,279 0,035 12,978 0,0110 12,894 0,013 13,002 0,064 12,669 0,060 – – Y LOri088 17,78 0,00 16,10 0,00 14,140 0,031 13,543 0,037 13,228 0,039 12,923 0,009 12,853 0,013 12,865 0,040 12,676 0,051 – – Y LOri089 17,79 0,00 16,15 0,00 14,380 0,032 13,839 0,035 13,512 0,039 13,156 0,011 13,123 0,015 13,682 0,086 12,877 0,081 – – Y LOri090 17,77 0,00 16,17 0,00 14,515 0,041 13,881 0,023 13,651 13,226 0,011 13,116 0,015 12,930 0,047 13,126 0,100 – – Y LOri091 18.01 0,00 16,18 0,00 14,184 0,032 13,556 0,032 13,289 0,031 12,868 0,009 12,803 0,013 13,087 0,062 12,462 0,054 – – Y LOri092 17,84 0,00 16,19 0,00 14,441 0,030 13,841 0,038 13,537 0,040 13,158 0,011 13,053 0,014 13,517 0,087 12,992 0,089 – – Y LOri093 17,82 0,00 16,21 0,00 14,462 0,030 13,836 0,039 13,604 0,052 13,169 0,011 13,104 0,015 13,256 0,073 12,982 0,098 – – Y LOri094 18.03 0,00 16.28 0,00 14.404 0,034 13,802 0,30 13.425 0,038 12.955 0,009 12.994 0,014 13,184 0,058 12,894 0,085 – – Y LOri095 17,96 0,00 16,35 0,00 14,564 0,033 13,913 0,029 13,613 0,048 13,247 0,012 13,278 0,017 13,176 0,067 13,340 0,138 – – Y LOri096 18.02 0,02 16,37 0,00 14,627 0,038 13,965 0,037 13,638 0,047 13,039 0,010 12,732 0,013 12,527 0,045 12.029 0,039 – – Y Cuadro 3-Continuación Nombre R error I error J error H error Ks error [3.6] error [4.5] error [5.8] error [8.0] error [24] error Mem1 error LOri098 18,12 0,00 16,40 0,00 14,647 0,037 13,985 0,045 13,682 0,039 13,393 0,012 13,301 0,016 13,284 0,075 13,182 0,115 – – Y LOri099 18,14 0,00 16,42 0,00 14,709 0,034 14,074 0,035 13,676 0,043 13,421 0,013 13,335 0,018 13,211 0,069 13,352 0,124 – – Y LOri100 18,08 0,00 16,43 0,00 14,768 0,044 14,044 0,042 13,821 0,044 13,446 0,012 13,325 0,017 13,163 0,066 13,318 0,123 – – Y LOri101 18,14 0,00 16.48 0,00 15,019 0,038 14,372 0,044 14,110 0,066 13,763 0,015 13,627 0,021 13,860 0,105 13,475 0,153 – – N LOri102 18.24 0,00 16,50 0,00 14,634 0,047 14,083 0,50 13,809 0,057 13,296 0,012 13,213 0,015 13,275 0,073 13,101 0,108 – – Y LOri103 18,30 0,00 16,55 0,00 14,643 0,029 14,126 0,029 13,833 0,055 13,425 0,013 13,387 0,018 13,140 0,067 13,628 0,151 – – Y LOri104 18,48 0,03 16,71 0,01 14,667 0,030 14,136 0,036 13,721 0,042 13,143 0,011 12,877 0,014 12,694 0,055 11,762 0,035 – – Y LOri105 18.58 0,00 16.75 0,00 14.922 0,40 14,340 0,052 13,993 0,053 13,621 0,016 13,593 0,021 13.601 0,093 13,536 0,159 – – Y LOri106 18,48 0,00 16,76 0,00 14,776 0,043 14,161 0,057 13,743 0,045 13,295 0,012 12,967 0,014 12,558 0,045 11,832 0,034 8,849 0,151 Y LOri107 18,85 0,00 16,78 0,00 14,656 0,036 13,987 0,035 13,621 0,052 13,213 0,017 13,152 0,019 13,215 0,082 13,046 0,160 – – Y LOri108 18,64 0,00 16,80 0,00 14,840 0,033 14,256 0,048 13,918 0,0150 13,498 0,013 13,464 0,018 13,387 0,073 13,303 0,124 – – Y LOri109 18.67 0,00 16.81 0,00 14,96 0,01 14,47 0,01 14.18 0,01 13.699 0,01 13.654 0,022 13.519 0,077 13.708 0,190 – – Y LOri110 18,54 0,00 16,82 0,00 15,043 0,051 14,475 0,056 14,144 0,060 13,798 0,016 13,796 0,026 14,017 0,130 13,454 0,177 – – Y LOri111 18,88 0,00 16,86 0,00 14,801 0,038 14,165 0,043 13,786 0,051 13,419 0,012 13,330 0,017 13,601 0,082 13,664 0,185 – – Y LOri112 18,72 0,00 16,87 0,00 14,991 0,042 14,358 0,048 14,148 0,062 13,412 0,013 13,335 0,017 13,334 0,079 13,299 0,145 – – Y LOri113 18,71 0,00 16.99 0,00 15,18 0,01 14,62 0,01 14,30 0,01 13,723 0,017 13,579 0,021 13,263 0,070 12,448 0,054 – – Y LOri114 18,99 0,00 17,06 0,00 15,092 0,044 14,389 0,053 14,006 0,064 13,502 0,015 13,414 0,010 13,525 0,096 13,051 0,108 – – Y LOri115 18,80 0,00 17,08 0,00 15,449 0,047 14,821 0,068 14,594 0,104 14,083 0,017 14,012 0,030 13,942 0,119 13,346 0,131 – – Y LOri116 19,05 0,01 17,17 0,00 15,343 0,057 14,573 0,055 14,411 0,082 13,977 0,017 13,847 0,024 14,340 0,190 13.614 0,141 – – Y LOri117 19,24 0,01 17,21 0,00 15,10 0,01 14,36 0,01 14,17 0,01 13,418 0,018 13,102 0,024 13,063 0,105 – – – – Y LOri118 19,10 0,01 17.23 0,00 15,269 0,044 14,686 0,064 14,181 0,057 13,430 0,013 13,251 0,016 12,844 0,045 12,178 0,043 – – Y LOri119 19,11 0,00 17,30 0,00 15,26 0,01 14,74 0,01 14,41 0,01 13,568 0,014 13,492 0,019 13,408 0,088 13,590 0,170 – – Y LOri120 19.23 0,00 17,34 0,00 15,335 0,050 14,770 0,059 14,337 0,087 13,878 0,015 13,688 0,020 13,458 0,086 12,783 0,070 – – Y LOri121 19,12 0,00 17,37 0,00 15,533 0,060 15,093 0,086 14,748 0,099 14,336 0,019 14,310 0,031 14,053 0,144 – – – – Y LOri122 19,31 0,00 17,38 0,00 15,428 0,066 14,852 0,060 14,462 0,080 14,096 0,018 13,973 0,027 14,315 0,190 13,659 0,174 – – Y LOri124 19,30 0,00 17,45 0,00 15,661 0,073 15,059 0,082 14,778 0,112 14,353 0,012214,235 0,018214,303 0,086213,976 0,1262– – Y LOri125 19,29 0,04 17,51 0,01 15,661 0,073 15,059 0,082 14,778 0,112 14,353 0,012214,235 0,018214,303 0,086213,976 0,1262– – Y LOri126 19,52 0,01 17,52 0,00 15,62 0,01 15,04 0,01 14,67 0,01 13,709 0,014 13,577 0,021 13,118 0,063 12,352 0,049 – – Y LOri127 19,87 0,10 17,53 0,01 13,016 0,023 12,606 0,027 12,468 0,024 12,401 0,007 12,348 0,010 12,301 0,033 12,352 0,037 – – N LOri128 19,53 0,01 17,58 0,00 15,624 0,077 15,099 0,087 14,769 0,109 14,150 0,021 14,115 0,031 14,327 0,254 13,956 0,209 – – Y LOri129 19,51 0,01 17,59 0,00 15,383 0,056 14,816 0,072 14,526 0,102 13,625 0,014 13,317 0,016 13,194 0,058 12,598 0,057 – – Y LOri130 19,44 0,01 17,63 0,00 15,731 0,059 15,265 0,092 14,735 0,110 14,408 0,013214,382 0,020214,041 0,077214,348 0,2562– – Y LOri131 19,79 0,01 17,78 0,00 15,429 0,054 14,900 0,063 14,380 0,090 13,991 0,017 13,909 0,025 13,865 0,119 13,344 0,106 – – Y LOri132 19.99 0,01 17,82 0,00 15,583 0,067 14,962 0,078 14,913 0,145 14,173 0,019 14,087 0,025 14,076 0,140 13,630 0,129 – – Y LOri133 19,68 0,01 17,83 0,00 16,290 0,101 15,900 0,167 15,378 0,203 15,066 0,032 14,941 0,041 15,077 0,312 – – – – N LOri134 19,91 0,01 17,90 0,00 15,543 0,057 14,937 0,074 14,666 0,107 14,321 0,20 14,071 0,027 13,880 0,113 13,884 0,154 – – Y LOri135 19,91 0,01 17,90 0,00 15,671 0,072 15,082 0,087 14,908 0,138 14,334 0,014214,166 0,018214,171 0,113213,871 0,1082– – Y LOri136 20,06 0,12 17,92 0,01 15,560 0,085 14,828 0,090 14,576 0,108 14,139 0,016214,224 0,023213,948 0,083213,607 0,1072– – Y LOri137 19,89 0,08 17,96 0,09 – – – – – 16,454 0,073 16,789 0,270 – – – – – – – N LOri138 20,01 0,01 17,96 0,00 15,821 0,078 15,204 0,083 14,971 0,133 14,527 0,022 14,469 0,035 14,150 0,123 – – – – Y LOri139 20,04 0,01 18,16 0,00 16,16 0,01 15,53 0,01 15,06 0,01 14,054 0,017 13,658 0,019 13,151 0,056 12,663 0,062 – – Y LOri140 20,34 0,01 18,21 0,00 15,981 0,078 15,224 0,089 14,750 0,113 14,030 0,017 13,704 0,023 13,299 0,066 12,786 0,078 – – Y LOri141 20,44 0,01 18,25 0,00 16,61 0,01 15,89 0,01 15,68 0,02 15,100 0,034 15,668 0,089 – – – – – – – N LOri142 20,34 0,01 18,27 0,00 16,25 0,01 15,58 0,01 15,26 0,01 14,705 0,028 14,674 0,041 – – – – – – – Y LOri143 20,32 0,01 18,30 0,00 16,11 0,01 15,61 0,02 15,23 0,01 14,835 0,01 14,896 0,023 14,765 0,089 14,553 0,126 – – Y LOri144 20,24 0,11 18,30 0,11 17,69 0,02 16,90 0,02 16,55 0,03 16,476 0,094 16,424 0,184 – – – – – – – N? LOri146 20,88 0,26 18,60 0,02 16,230 0,107 15,470 0,110 14,936 0,128 14,404 0,022214,199 0,035213,836 0,103213,614 0,1752– – Y LOri147 20,54 0,01 18,60 0,00 16.58 0,02 15,93 0,02 15,62 0,02 15,348 0,023215,675 0,048215,128 0,2242– – – – Y? Cuadro 3-Continuación Nombre R error I error J error H error Ks error [3.6] error [4.5] error [5.8] error [8.0] error [24] error Mem1 error LOri148 20,77 0,02 18,62 0,00 16,39 0,01 16,12 0,01 15,98 0,02 14,869 0,030 14,989 0,051 14,530 0,210 – – – – – Y? LOri149 21,07 0,02 18,95 0,00 99.99 0,00 88,88 0,00 16,97 0,02 17,135 0,132216,829 0,0992– – – – – – – N LOri150 21,29 0,03 19,00 0,00 16,656 0,152 16,134 0,197 15,560 0,214 15,015 0,032 15,133 0,070 14,942 0,390 – – – – Y LOri151 20,98 0,02 19,00 0,00 17,40 0,02 16,76 0,02 16,52 0,04 15,801 0,056 15,716 0,103 – – – – – – N LOri152 21,43 0,04 19,05 0,00 16,773 0,173 16,657 0,295 15,870 0,285 16,313 0,086 16,316 0,158 – – – – – – – – N? LOri153 21,30 0,03 19,17 0,00 17,09 0,01 16,37 0,01 16,09 0,03 15,223 0,036 15,139 0,072 – – – – – – Y LOri154 21,79 0,05 19,31 0,00 16,804 0,169 16,143 0,192 15,513 0,219 15,071 0,035 15,953 0,141 – – – – – – – Y LOri155 21,87 0,06 19,36 0,00 16.97 0,01 16,30 0,01 15,84 0,02 15,085 0,019215,412 0,045214,878 0,163214,517 0,1832– – Y LOri156 22,05 0,06 19,59 0,01 17,06 0,02 16,34 0,02 15,89 0,02 14,942 0,029 14,688 0,038 14,127 0,148 13,870 0,146 – – Y LOri157 22.09 0,06 19,63 0,01 18,08 0,03 17,42 0,03 17,00 0,04 16,907 0,103 16,719 0,161 – – – – – – – N LOri158 22.07 0,05 19,67 0,01 18,59 0,03 17,86 0,05 17,61 0,08 17,627 0,123217,565 0,2452– – – – – – – N? LOri159 22,25 0,06 20,01 0,01 18,21 0,02 17,62 0,05 17,47 0,09 16,422 0,089 16,627 0,207 – – – – – – – – N? LOri160 22,82 0,13 20,29 0,02 18,11 0,03 17,14 0,02 16,38 0,03 15,669 0,052 15,384 0,079 – – – – – – – Y LOri161 23.09 0,19 20,34 0,01 17,71 0,02 16,90 0,02 16,51 0,03 16,361 0,122 16,451 0,249 – – – – – – – Y LOri162 23,22 0,51 20,42 0,02 17,64 0,03 16,90 0,09 16,52 0,04 15,675 0,062 15,733 0,112 – – – – – – Y LOri163 22.96 0,24 20,42 0,02 17,86 0,04 17,02 0,08 16,76 0,05 15,666 0,062 15,904 0,119 – – – – – – Y LOri164 23.11 0,17 20,44 0,01 18,75 0,04 18,17 0,05 18,31 0,13 – – – – – – – – – – LOri165 23,12 0,22 20,73 0,02 18,77 0,08 18,11 0,16 17,90 0,09 16,377 0,112 16,130 0,189 – – – – – – – N? LOri166 23,33 0,18 20,75 0,02 18,26 0,03 88,88 0,00 17,38 0,04 16,655 0,055217,232 0,2372– – – – – – – Y? LOri167 23,86 0,64 20,90 0,02 18,01 0,03 17,17 0,07 16,83 0,09 15,935 0,063 16,060 0,129 – – – – – – Y LOri168 24,15 0,62 21,54 0,04 19,39 0,09 18,58 0,08 18,70 0,25 – – – – – – – – – – – N? LOri169 24.83 1,10 21,88 0,05 20,10 0,10 19,47 0,15 018,93 0,42 – – – – – – – – – – Y? LOri170 25.41 2.61 22.06 0.07 20.35 0.20 19.20 0.20 019.39 0.46 – – – – – – – – – – – N? 1Membresía final. Radio de apertura de 22 píxeles utilizado para la fotometría debido a la presencia de objetos cercanos o píxeles calientes. ∗LOri097 y LOri145 son artefactos. LOri123 es un no miembro y tiene incertidumbres en su fotometría. Cuadro 4 Miembros candidatos del grupo Lambda Orionis (Collinder 69) Nombre SpT Phot.Mem1 Mem2 Mem3 Clasificación IRAC4 SED pendiente5 Tipo de disco Comentario6 LORI001 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2,8 Diskless Ha- WHA(DM)=2,51 DM#01 LORI002 – Y Y Y Y Y Y NM- Y III -2.74 Diskless – LORI003 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.71 Diskless Ha- WHA(DM)=3.35 DM#46 LORI004 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.65 Sin disco – LORI005 – Y Y Y Y Y Y NM- Y III -2.75 Diskless – LORI006 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.68 Diskless – LORI007 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.63 Diskless – LORI008 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.56 Diskless Ha- WHA(DM)=1,65 DM#51 LORI009 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.71 Diskless – LORI010 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.69 Diskless – LORI011 – Y Y Y Y Y Y NM- Y III -2.70 Diskless – LORI012 – Y Y Y Y Y Y NM- Y III -2.70 Diskless – LORI013 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.66 Diskless Ha- WHA(DM)=4,41 DM#04 LORI014 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.71 Diskless Ha- WHA(DM)=1,45 DM#58 LORI015 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.89 Diskless – LORI016 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.58 Diskless – LORI017 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.72 Diskless Ha- WHA(DM)=0.80 DM#60 LORI018 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.63 Diskless Ha- WHA(DM)=2,02 DM#56 LORI019 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.71 Diskless – LORI020 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.63 Diskless – LORI021 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.76 Diskless Ha- WHA(DM)=1,47 DM#25 LORI022 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.65 Diskless Ha- WHA(DM)=4,39 DM#44 LORI023 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.65 Diskless Ha- WHA(DM)=1,95 DM#50 LORI024 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.67 Diskless – LORI025 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.72 Diskless Ha- WHA(DM)=3,95 DM#59 LORI026 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.69 Diskless Ha- WHA(DM)=6,07 DM#12 LORI027 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.68 Diskless – LORI028 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.67 Diskless – LORI029 – Y Y Y Y Y Y NM- Y II -0.72 Thick Ha+ WHA(DM)=30.00 DM#36 LORI030 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.60 Diskless – LORI031 M4.0 Y Y Y Y Y Mem Y III -2.69 Diskless Ha- WHA=3,8 DM#20 WHA(DM)= 3,45 LORI032 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.64 Diskless Ha- WHA(DM)=6,83 DM#55 LORI033 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.68 Diskless Ha- WHA(DM)=3,14 DM#39 LORI034 – Y Y Y Y Y NM- Y II -0,85 Thick Ha+ WHA(DM)=10,92 DM#33 LORI035 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.70 Diskless Ha- WHA(DM)=4,13 DM#29 LORI036 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.67 Diskless – LORI037 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.67 Diskless Ha- WHA(DM)=3,63 DM#11 LORI038 – Y – Y Y – Mem Y I/II -1.00 Thick Ha+ WHA(DM)=24.95 DM#02 LORI039 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.65 Diskless Ha- WHA(DM)=3.59 DM#49 LORI040 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.66 Diskless Ha- WHA(DM)=3,90 DM#41 LORI041 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.69 Diskless Ha- WHA(DM)=8,20 DM#38 LORI042 M4.0 Y Y Y Y Y Mem Y III -2.67 Diskless Ha- WHA=4,3 DM#54 WHA(DM)= 4,22 LORI043 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.69 Transición – LORI044 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.65 Diskless – LORI045 – Y Y Y Y Y Mem Y II7 -2.68 Diskless – LORI046 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.67 Diskless – LORI047 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.68 Diskless Ha- WHA(DM)=8.65 DM#47 LORI048 – Y Y Y Y Y Y Mem Y II -2.07 Thin – LORI049 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -3.32 Diskless – LORI050 M4.5 Y Y Y Y Y Mem Y II -0.60 Espesor 200 km WHA=15,6 LORI051 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.73 Diskless – LORI052 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.68 Diskless – LORI053 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.68 Diskless – LORI054 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.68 Diskless – LORI055 M4.5: Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.68 Diskless Ha- WHA=8.2 LORI056 M4.5: Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.68 Diskless Ha- WHA=7.2 LORI057 M5,5 Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2,62 Diskless Ha- WHA=8,4 LORI058 M4.5: Y Y Y Y Y Y Mem Y III -3.16 Diskless Ha- WHA=7,3 LORI059 M4.5 Y Y Y Y Y Mem Y III -3,23 Diskless Ha- WHA=8,7 LORI060 M4.5: Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.79 Diskless Ha- WHA=4,1 LORI061 – Y Y Y Y Y Mem Y II -1,32 Espesor – LORI062 – Y Y Y Y Y Y Mem Y II -1.66 Espesor – LORI063 M4.5: Y Y Y Y Y Y Y Mem? Y I/II -1,58 Thick Ha+FL WHA=12,8 LORI064 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.54 Thin – Cuadro 4-Continuación Nombre SpT Phot.Mem1 Mem2 Mem3 Clasificación IRAC4 SED pendiente5 Tipo de disco Comentario6 LORI065 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.97 Transición – LORI066 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -3.25 Diskless – LORI067 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.83 Diskless – LORI068 M5.0 Y Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.57 Diskless Ha+ WHA=16,6 LORI069 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.65 Diskless – LORI070 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.57 Diskless – LORI071 M5.0 Y Y Y Y Y Mem Y III -2.58 Diskless Ha- WHA=8,0 LORI072 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.55 Delgado – LORI073 M5.0 Y Y Y Y Y Y Y Mem? ¿Y III -2.59 Diskless Ha+? WHA=12,0 LORI074 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.78 Diskless – LORI075 M5.5 Y Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.67 Diskless Ha- WHA=9.4 WHA=9.4 LORI076 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.62 Diskless – LORI077 M5.0 Y Y Y Y Y Mem Y III -2.72 Diskless Ha- WHA=8,8 LORI078 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.58 Diskless – LORI079 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.51 Delgado – LORI080 M5.5 Y Y Y Y Y Y Mem Y II -2.55 Thin Ha+? WHA=14,3 LORI081 M5,5 N Y Y Y Y Y Mem+ Y II -1,70 Thick Ha- WHA=4,2 LORI082 M4.5 Y Y Y Y Y Mem+ Y II7 -2.82 Diskless Ha- WHA=8,6 LORI083 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.85 Diskless – LORI084 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.71 Diskless – LORI085 – Y Y Y Y Y Y Mem Y II -1,63 Espesor – LORI086 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.86 Diskless – LORI087 M4.5 Y Y Y Y Y Mem+ Y III -2.54 Thin Ha- WHA=6,7 LORI088 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.58 Diskless – LORI089 M5.0 Y Y Y Y Y Mem Y II -2,50 Thin Ha- WHA=5,1 LORI090 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.69 Diskless – LORI091 M5.5 Y Y Y Y Y Y Mem Y II -2.48 Thin Ha+? WHA=14,7 LORI092 – Y Y Y Y Y Y Mem Y II -2.79 Diskless – LORI093 – Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.68 Diskless – LORI094 M5.5 Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.82 Diskless Ha- WHA=10.4 LORI095 M6.0 Y Y Y Y Y Mem+ Y III -2.91 Diskless Ha- WHA=7.3 LORI096 – Y Y Y Y Y Y Mem Y II -1.71 Espesor – LORI098 M5.0 Y Y Y Y Y Mem+ Y III -2.61 Diskless Ha- WHA=12,9 LORI099 M5,25 Y Y Y Y Y Mem Y III -2,74 Diskless Ha- WHA=6,6 LOri100 M5.5 Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.67 Diskless Ha+? WHA=13,1 LORI101 – N N?? ¿Y Y Y Mem? N III -2.6 Sin disco – LORI102 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.65 Diskless – LORI103 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III8 -2.31 Thin – LORI104 – Y Y Y Y Y Mem Y II -1,30 Espesor – LORI105 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.75 Diskless – LOri106 M5,5 Y Y Y Y Y Mem Y II -1,16 Thick Ha+ WHA=54,0 LOri107 M6.0 Y Y Y Y Y Mem+ Y III -2.68 Diskless Ha- WHA=11.7 LORI108 – Y Y Y Y Y Mem Y III -2.61 Diskless – LOri109 M5,5 Y Y Y Y Y Y Mem Y III -2.82 Diskless Ha- WHA=10,1 LOri110 M5,5 Y Y Y Y Y Mem Y II -2,52 Thin Ha- WHA=9,1 LORI111 – Y Y Y Y Y Mem Y III -3.19 Diskless – LORI112 – Y Y Y Y Y NM- Y III -2.72 Diskless – LOri113 M5,5 Y Y Y Y Y Mem Y II -1,37 Thick Ha+ WHA=22,0 LOri114 M6,5 Y Y Y Y Y Mem+ Y II -2,38 Thin Ha- WHA=10,9 LOri115 M5.0 Y Y Y Y Y NM+ Y II -2,02 Thin Ha- WHA=8,5 LOri116 M5,5 Y Y Y Y Y Mem+ Y II -2,43 Thin Ha- WHA=11,1 LORI117 M6.0 Y Y Y Y Y Y Mem Y – -2.20 Thin Ha+? WHA=22,9 LOri118 M5,5 Y Y Y Y Y Mem+ Y II -1,37 Thick Ha- WHA=10,1 ¿Lori119 M5.5 Y Y Y Y Y Y Y NM? ¿Y III -2.85 Diskless Ha+? WHA=12,7 LOri120 M5,5 Y Y Y Y Y Mem+ Y II -1,59 Thick Ha- WHA=7,4 LORI121 – Y Y Y? Y Y NM- Y – -2.31 Thin – LORI122 – Y Y Y Y Y Mem Y II -2.46 Thin – Lori124 M5.5 Y Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.56 Diskless Ha- WHA=8,4 LORI125 – Y Y Y Y Y Y NM- Y III -2.56 Diskless – LOri126 M6,5 Y Y Y Y Y Y Mem+ Y II -1.24 Thick Ha+? WHA=26,2 LOri127 – N N N N N N NM- N III -2.78 Diskless – LORI128 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.69 Diskless – LORI129 M6.0 Y Y Y Y Y Y Y Mem? ¿Y II -1.71 Thick Ha+? WHA=12,1 LORI130 M5.5 Y Y Y Y Y? Y Mem+ Y III -2.69 Diskless Ha- WHA=8.7 Cuadro 4-Continuación Nombre SpT Phot.Mem1 Mem2 Mem3 Clasificación IRAC4 SED pendiente5 Tipo de disco Comentario6 LORI131 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y II -2.12 Delgado – LORI132 – Y Y Y Y Y N NM- Y II -2.25 Thin – LOri133 M4.5 N N N?? N Y NM+ N – -2.91 Diskless – LORI134 M5.0 Y Y Y Y?? Y NM+ Y III -2.34 Thin – Lori135 M7.0 Y Y Y Y Y Y? ¿Mem? Y III -2.56 Diskless Ha- WHA=15,5 LORI136 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y III -2.17 Delgado – LOri137 – – – N N – – –? N – – – – LORI138 – Y Y Y Y Y Y NM- Y – -2.13 Thin – LORI139 M6.0 Y Y Y Y Y Y Mem+ Y II -1,22 Thick Ha+? WHA=19,7 LOri140 M7.0 Y Y Y Y Y Mem+ Y II -1,40 Thick Ha+ WHA=72,8 LOri141 M4.5 N N? N Y Y NM+ N – -5.35 Sin disco – LORI142 – Y Y Y Y Y Y Mem? Y – – – – LOri143 M6,5 Y Y Y Y Y Y Mem+ Y III -2,59 Diskless Ha+ WHA=35,7 LOri144 – N N N N N N Y? ¿N? – – – – LORI146 – Y Y Y Y Y Mem Y III -1.90 Thin – LORI147 M5.5 Y Y? ¿N? ¿N Y NM+ Y? – -2.41 Delgado – LORI148 – Y N Y Y Y N N M- Y? – -2.19 Delgado – LOri149 – – N N N – N –? N – – – – LOri150 M8.0 Y Y Y Y Y Mem+ Y – -2.72 Diskless Ha- WHA=15,6 LOri151 M5.5 N N N? ¿Y Y Y NM? N – – – – LORI152 – Y Y N N N N Y NM- N? – – – – LOri153 –? ¿Y Y Y Y Y? Y – – – – Lori154 M8.0 Y Y Y? Y Y Y Mem+ Y – – – Ha- WHA=16,9 LORI155 M8.0 Y Y Y Y Y Y Mem+ Y III -2.03 Thin Ha+? WHA=38,0 LOri156 M8.0 Y Y Y Y Y Mem+ Y III -1.54 Thick Ha+ WHA=101,7 LORI157 – N N N N N N Y? N – – – – LORI158 – N N N N N N Y? ¿N? – – – – LORI159 – N N N N Y Y N? ¿N? – – – – LORI160 – N Y Y Y Y Y Y? Y – – – – LORI161 M8,5 Y Y Y Y Y Mem+ Y – – – Ha+ WHA=123 LORI162 – Y Y Y Y Y Y Y? Y – – – – LORI163 – Y Y Y Y Y Y Y? Y – – – – LOri164 – N N – – – – N? N – – – – Lori165 M7,5 N N Y Y Y Y? NM? ¿N? – – – – LORI166 –?? ¿YNYY? ¿Y? – – – – LORI167 – Y Y Y Y Y Y Y? Y – – – – LOri168 – N N – – – – Y? ¿N? – – – – LOri169 – N N – – – – –? ¿Y? – – – – LOri170 – N N – – – – –? ¿N? – – – – 1Miembro es Ivs(I-J); Ivs(I-K); Ivs(I-3.6); Ivs(I-4.5); Jvs(J-3.6); Kvs(K-3.6); Jvs(J-K). 2Miembro como en el documento I. 3Membresía final. 4Clasificación medida en el CCD del IRAC –[3,6]-[4,5] versus [5,8]-[8.0]. Clase III significa diskless Los miembros y Clase II son estrellas TTauri clásicas o análogos subestelares. La pendiente de la 5IRAC. Lada et al. (2006) clasificaron los objetos según su pendiente IRAC: α <-2,56 para un disco sin disco objeto, -2.56< α <-1.80 para un objeto de transición, y α >-1.80 para objetos con discos ópticamente gruesos 6Ha+ = W(Halfa) por encima del criterio de saturación. Ha- = W(Halfa) por debajo del criterio de saturación. 200km = ancho de Halpha igual o mayor que este valor. WHA(DM) = de Dolan & Mathieu Probablemente objetos sin disco. Los diferentes resultados sobre CCD IRAC y pendiente IRAC son probablemente debido a una medida incierta a 5,8 μm. Probablemente una fuente de clase II con una medida incierta a 8,0 μm. Cuadro 5 Ubicación de la frontera subestelar, utilizando modelos de Baraffe et al. (1998) y una distancia de 400 uds. Valores como 340 o 450 pc modificarían las magnitudes enumeradas por −0.35 y +0,26, respectivamente. Hemos incluido un enrojecimiento interestelar de E(B − V )=0,12, equivalente a AI=0,223, AJ=0,106, AK=0,042, AL=0,022 Edad (Myr) Ic J Ks L′ 1 16.72 14.35 13.32 12.88 3 17,18 14,87 13,84 13,40 5 17.55 15.36 14.35 13.92 8 17.92 15.80 14.80 14.36 10 18.13 16.01 15.01 14.57 16 18.52 16.40 15.40 14.96 20 18.71 16.59 15.60 15.15 Fig. 1.- Spitzer/IRAC CCD. Clase I/II (círculos grandes vacíos, magenta), clase II (círculos grandes vacíos, rojo) y Clase III –o no miembros– (cruces) han sido clasificados usando este diagrama (Después de Allen et al. (2004) y Hartmann et al. (2005)). Fig. 2.- Diagrama óptico/IR de color-magnitud. Los no miembros aparecen como puntos. Fuentes de la clase II (Classical) Las estrellas TTauri y los análogos subestelares) se han incluido como círculos grandes (rojos), mientras que la clase III (línea débil) TTauri) los objetos aparecen como cruces, y otros miembros de Lambda Orionis carecen del conjunto completo del IRAC La fotometría se muestra con el símbolo plus. La cifra incluye 1, 3, 5, 10, 20, 50 y 100 isocrones Myr de Baraffe et al. (1998) como líneas sólidas, así como 5 isocronos Myr correspondientes a polvorientos y COND modelos (Chabrier et al. 2000; Baraffe et al. 2002), como líneas punteadas y discontinuas. Fig. 3.- Diagrama de Magnitud de Color cerca del IR y Spitzer. Fuentes de clase II (estrellas clásicas TTauri y Los analógicos subestelares) se han incluido como círculos grandes (rojos), mientras que los objetos de clase III (TTauri de línea débil) aparecen como cruces, y otros miembros de Lambda Orionis que carecen del conjunto completo de fotometría del IRAC son se muestra con el símbolo plus. La cifra incluye 1, 5, 10, 20 y 100 isocronos Myr de Baraffe et al. (1998) como líneas sólidas, así como 5 isocronos Myr correspondientes a modelos polvorientos y COND (Chabrier et al. 2000; Baraffe et al. 2002), como líneas punteadas y discontinuas. Tenga en cuenta que en el último panel tenemos el L y M datos para los modelos de NextGen, ya que la fotometría de Spitzer no se ha calculado para este conjunto de modelos. Fig. 4.- Diagrama óptico de color-magnitud con las magnitudes CFHT y nuestra nueva clasificación de membresía- catión. Símbolos como en figuras anteriores. Fig. 5.- Spitzer/IRAC CCD para objetos de Clase II. Hemos incluido información sobre la emisión de Hα. Fig. 6.- Distribuciones de energía espectral para algunos miembros estelares del grupo Lambda Orionis ordenados según su pendiente IRAC: espectros de fotosfera simples. Objetos que carecen de pendiente IRAC o que están en la los límites entre dos tipos se han clasificado después de la inspección visual. Fig. 7.- Distribución espectral de energía para algunos miembros estelares del cluster Lambda Orionis ordenados según su pendiente del IRAC: espectros planos o inclinados del IR con el exceso que comienza en el disquetes). Fig. 8.- Distribución espectral de energía para algunos miembros estelares del cluster Lambda Orionis ordenados según su pendiente IRAC: espectros con excesos que comienzan en el rango IRAC o MIPS (discos delgados y objetos de transición). LOri043 y LOri065 fueron clasificados como objetos sin disco pero han sido ordenados como objetos portar discos delgados debido a su exceso en MIPS [24]. Fig. 9.— La fracción de estrellas de clase II y enanas marrones masivas en varios SFR y racimos jóvenes (llenados) cuadrados). Los cuadrados abiertos representan fracciones de disco grueso de IC348 y C69. Fig. 10.— Spitzer/IRAC CCD. Mostramos con diferentes símbolos (ver clave) los miembros del cluster con diferentes tipos de discos. Fig. 11.- a) Distribución espacial de nuestra muestra. Los niveles de contorno de IRAS en 100 micras también han sido incluidos como líneas sólidas (magenta). El rectángulo grande y grueso corresponde a la encuesta CFHT (Papel I). Fuentes de clase II (estrellas TTauri clásicas y análogos subestelares) se han incluido como grandes (rojo) círculos, mientras que los objetos de clase III (TTauri de línea débil) aparecen como cruces, y otros miembros de Lambda Orionis carecen de el conjunto completo de fotometría IRAC se muestra con el símbolo plus. b) Distribución espacial de la estrellas de baja masa de Dolan & Mathieu (1999, 2001). Las estrellas OB aparecen como estrellas de cuatro puntos (azul), con tamaño relacionados con la magnitud (el más grande, el más brillante). Los triángulos gruesos sobreexplotados indican aquellas estrellas que La anchura equivalente de Hα es mayor que el criterio de saturación definido por Barrado y Navascués & Marten (2003), por lo tanto, sugiere la presencia de acreción activa. Basado sólo en Hα, la fracción de estrellas acrecientes Sé el 11%. Fig. 12.— Imagen de Spitzer/IRAC en 3,6 micras centrada alrededor de la estrella. a) El tamaño es de aproximadamente 9×9 arcmin, equivalente a 192.000 UA. El doble círculo indica la presencia de un objeto de clase II, mientras que los cuadrados indican la ubicación de los miembros del cluster de Dolan & Mathieu (1999;2001). La intensidad de la la imagen está en escala logarítmica. b) Detalle alrededor de la estrella Orionis. El tamaño es de aproximadamente 3.3×3.3 arcmin, equivalente a 80.000 UA. c) Distribución de enanas marrones bona-fide. El tamaño de la imagen es 45×30 arcmin. El norte está arriba, el este está a la izquierda. Fig. 13.- Imagen Spitzer/MIPS a 24 micras que incluye los miembros del cluster Lambda Orionis visible en esta longitud de onda, incluidos los miembros del cluster de Dolan & Mathieu (1999, 2001) como grandes círculos y miembro CFHT como pequeños círculos detectados en esta longitud de onda. El tamaño es de aproximadamente 60,5×60.5 arcmin. Norte está arriba, el Este está a la izquierda. La figura se centra en la estrella Ori AB. Introducción Los datos Fotometría óptica e infrarroja cercana Nueva fotometría profunda cercana al infrarrojo Imágenes de Spitzer Correlación cruzada de datos Color-Color y Color-Magnitud Diagramas y nueva asignación de membresía Discusión Los diagramas Color-Color, el diagnóstico del exceso de IR y la relación de disco La distribución espectral de la energía La distribución espacial de los miembros Conclusiones

A data-analysis driven comparison of analytic and numerical coalescing binary waveforms: nonspinning case

Una comparación basada en análisis de datos de binarios de coalescencia analítica y numérica formas de onda: caso no giratorio Yi Pan,1 Alessandra Buonanno,1 John G. Baker,2 Joan Centrella,2 Bernard J. Kelly,2 Sean T. McWilliams,1 Frans Pretorius,3 y James R. van Meter2, 4 Departamento de Física, Universidad de Maryland, College Park, MD 20742 Laboratorio de Astrofísica Gravitacional, Centro de Vuelo Espacial Goddard de la NASA, 8800 Greenbelt Rd., Greenbelt, MD 20771 Departamento de Física, Universidad de Princeton, Princeton, NJ 08544 Centro de Ciencia y Tecnología Espaciales, Universidad de Maryland, Condado de Baltimore, Departamento de Física, 1000 Hilltop Circle, Baltimore, MD 21250 (Fecha: 22 de octubre de 2018) Comparamos las formas de onda obtenidas por los agujeros negros binarios no giratorios en evolución numérica con post- Las familias de plantillas newtonianas (PN) utilizadas actualmente en la búsqueda de ondas gravitacionales por tierra- Detectores basados. Encontramos que la familia de plantillas de tiempo-dominio 3.5PN, que incluye la inspiración fase, tiene factores de ajuste (FFs) ≥ 0,96 para sistemas binarios con masa totalM = 10–20M®. El tiempo... dominio 3.5PN familia de plantillas eficaces de un solo cuerpo, que incluye la inspiración, fusión y reducción fases, da un rendimiento satisfactorio de correlación de señales con FFs ≥ 0,96 para sistemas binarios con total masa M = 10–120M®. Si introducimos una frecuencia de corte correctamente ajustada al agujero negro final frecuencia de llamada hacia abajo, encontramos que la plantilla de frecuencia-dominio estacionario-fase-aproximada familia en orden de 3,5PN tiene FFs ≥ 0,96 para sistemas binarios con masa total M = 10–20M®. Sin embargo, para obtener altas prestaciones de emparejamiento para grandes masas binarias, necesitamos o bien extender esta familia a las regiones no físicas del espacio de parámetros o introducir un coeficiente de orden 4PN en la frecuencia- fase GW de dominio. Finalmente, encontramos que la familia fenomenológica Buonanno-Chen-Vallisneri tiene FF ≥ 0,97 con masa total M = 10–120M®. Los análisis principales utilizan la densidad espectral del ruido de LIGO, pero varias pruebas se extienden a VIRGO y avanzado LIGO ruido-densidades espectrales. Números PACS: 04.25.Dm, 04.30.Db, 04.70.Bw, x04.25.Nx, 04.30.-w, 04.80.Nn, 95.55.Ym I. INTRODUCCIÓN La búsqueda de ondas gravitacionales (GWs) lescing sistemas binarios con interferómetro láser GW de- tectores [1, 2, 3, 4, 5] se basa en el filtrado emparejado técnica, que requiere un conocimiento preciso de la forma de onda de la señal entrante. En la última pareja de Durante años ha habido varios avances en numeri- la relatividad cal (NR) [6, 7, 8], y ahora grupos independientes son capaces de simular la inspiración, la fusión y el ring-down fases de las hipótesis genéricas de fusión de agujeros negros (BH), en con diferentes orientaciones de giro y relaciones de masa [9]. Sin embargo, el alto costo computacional de la ejecución de simulaciones dificultan la generación de suficiente tiempo formas de onda inspirales que cubren el espacio de parámetros de como- interés trofísico. Las referencias [10, 11] encontraron un buen acuerdo entre ana- lytic (basado en la expansión post-Newtonian (PN)) y formas numéricas de onda emitidas durante la fusión inspiral, y fases descendentes de masa igual, binarios no giratorios BHs. En particular, el mejor acuerdo se obtiene con 3PN o 3.5PN formas adiabáticas de onda [12] (denominadas en adelante como Taylor PN waveforms) y 3.5PN eficaz-un-cuerpo (EOB) formas de onda [13, 14, 15, 16, 17, 18, 19]. En addi- a la fase inspiral, las últimas formas de onda incluyen las fases de fusión y reducción. Esas comparaciones Por otra parte, sugiere que debería ser posible diseñar plantillas mericales/analíticas, o incluso puramente analíticas placas con los números completos utilizados para guiar el parche juntos de las formas de onda inspiral y ring-down. Esto es una vía importante para modelar la construcción como eventu- alia miles de plantillas de forma de onda puede ser necesario para extraer la señal del ruido, una demanda imposible sólo para NR. Una vez disponibles, esas plantillas podrían ser: utilizados por los detectores GW del interferómetro láser basados en tierra, como LIGO, VIRGO, GEO y TAMA, y en el por la antena espacial interferómetro láser (LISA) para detección de los GW emitidos por la masa solar y supermasivos BHs binarios, respectivamente. Este artículo presenta un primer intento de investigar la proximidad de las familias de plantillas utilizadas actualmente en GW búsquedas inspirales a formas de onda generadas por simulacro NR- ciones. Sobre la base de esta investigación, propondremos justments a las plantillas para que incluyan la fusión y fases descendentes. En contraste, Ref. [21] examinado el uso de formas de onda numéricas en búsquedas inspiradoras, y se compararon las formas numéricas de onda con el tem- placas utilizadas actualmente en las búsquedas por ráfagas. Similar a la metodología presentada aquí, factores de ajuste (FFs) [véase Eq. (2) infra] se utilizan en Ref. [21] para cuantificar la ac- curacy de formas de onda numéricas con el fin de de- tección, así como la superposición de plantillas de explosión con las formas de onda. Referencia [21] encontró que por computación FF entre formas de onda numéricas de diferentes reso- simulaciones de contaminación de un evento dado, se puede refundir el error numérico como FF máximo que el número La forma de onda puede resolverse. En otras palabras, cualquier otro tem- placa o señal putativa confluida con la resolución más alta simulación numérica de la dilución que da un FF igual a o mayor que este FF máximo es, a los efectos de de- http://arxiv.org/abs/0704.1964v2 Tección, indistinguible de la forma de onda numérica. Estudiaremos brevemente este aspecto del problema. Los conclusiones primarias que sacaremos del análisis no dependen crucialmente de la exactitud de la formas de onda. Lo que cuenta aquí es que las plantillas pueden captar las características espectrales dominantes del verdadero forma de onda. Para nuestro análisis nos centraremos en dos no girar formas de onda de simulación binaria de masa igual que difieren en longitud, condiciones iniciales y los códigos de evolución utilizados para calcularlos: Cook-Pfeiffer cuasi-equilibrio ini- datos de tial construidos en Refs. [22, 23, 24, 25, 26] Código armónico generalizado de Pretorius [6], y Brandt- Los datos de punción de Brügmann [27] evolucionaron utilizando el Goddard código de desplazamiento-puntura del grupo [8]. También consideramos dos simulaciones binarias de masa desigual sin girar con masa cocientes m2/m1 = 1,5 y m2/m1 = 2 producidos por la Grupo Goddard. El documento se organiza de la siguiente manera. In Sec. - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? la diferencia de fase entre la PN inspirante tem- placas. In Sec. III construimos formas de onda híbridas por punto- ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Tratamos de... soportar cuántos ciclos NR son necesarios para obtener buenos acuerdo entre NR y PN waveforms, para ofrecer un Guía para la duración de las formas de onda PN se puede utilizar como accu- plantillas de tarifas. In Sec. IV calculamos los FFs entre varias familias de plantillas PN y formas de onda NR. Nosotros primer enfoque en sistemas binarios de baja masa con masa total M = 10–30M®, a continuación, sistemas binarios de alta masa con a- masa tal M = 30–120M®. Finalmente, Sec. V contiene nuestro Conclusiones principales. En el Apéndice A comentamos cómo diferentes representaciones de las ecuaciones de equilibrio energético dar frecuencias GW más cerca o más lejos de la NR Uno. II. DIFERENCIAS DE FASE EN MODELOS DE INSPIRALACIÓN POSTERIOR A NEGRO A partir de Ref. [28], que señaló la importancia de dad de predicción de la fase de GW con la más alta possi- ble precisión al construir plantillas GW, muchos subse- estudios quent [14, 18, 19, 20, 29, 31, 32, 33] Las reacciones se limitan a los casos no espumosos) centrados sobre esta cuestión y probó a fondo la exactitud de plantillas, proponiendo representaciones mejoradas de ellas. Estas preguntas fueron motivadas por la observación de que sistemas binarios de masa comparable con masa total superior que 30M® se fusionan en banda con la señal-a- más alta relación de ruido (SNR) para los detectores LIGO, las plantillas correspondientes exigen un análisis mejorado. En ausencia de resultados de NR y bajo la urgencia de proporcionar plantillas para la búsqueda de nary BHs, la comunidad analítica de PN empujó PN cal- Culaciones a órdenes PN superiores, en particular orden 3.5PN [12], y también propuso formas de resumir la extensión de la PN sión, ya sea para la dinámica conservadora (el EOB ap- proach [13, 16, 17]), efectos de reacción a la radiación (el Padé la recapitulación [19]), o ambas [14, 18]. Estos resultados conducen a varias conclusiones: i) los términos 3PN mejoran el compar- ion entre el análisis y el cuasiequilibrio (numerical) las predicciones [23, 26, 34, 35]; ii) Taylor se expandió y volvió a predicciones PN resumidas para sistemas binarios de masa igual están mucho más cerca en orden 3.5PN que en PN anterior ordenes, indicando una convergencia entre los diferentes sistemas [18, 20, 31]; iii) la moción de dos cuerpos es circular hasta el final de una inmersión bastante borrosa [14], (iv) la transición al ring-down puede ser descrito por un ex- fase de fusión tremely corta [14, 18]. Hoy, con la NR los resultados que estamos en condiciones de afinar la y empezar a evaluar la proximidad de los análisis plantillas a formas de onda numéricas. A partir de ahora, limitamos el análisis a los tres tiempos... familias de plantilla física de dominio que están más cerca de Resultados NR [10, 11]: el modelo adiabático Taylor PN (Tpn) [véase, por ejemplo, Eqs. (1), (10) y (11)–(13) en Ref. [30]] computado en orden 3PN y 3.5PN, y la nonadia- modelo EOB batico (Epn) [véase, por ejemplo, Eqs. (3.41)–(3.44) in Ref. [14]] computado en orden 3.5 PN. Denotaremos nuestros modelos como Tpn(n) y Epn(n), n siendo el PN o- der. El modelo Tpn se obtiene resolviendo un particular representación de la ecuación de equilibrio. En el apéndice A brevemente discutimos cómo los modelos de tiempo-dominio PN basados en diferentes representaciones de la ecuación de equilibrio energético se compararían con los resultados de NR. Las formas de onda que usamos siempre se derivan en el así- llamada aproximación restringida que utiliza la amplitud en el orden newtoniano y la fase en el PN más alto orden disponible. Se calculan resolviendo PN dy- ecuaciones námicas que proporcionan la frecuencia instantánea (t) y fase (t) = (0 +) (t′)dt′, por lo tanto h(t) = A­(t)2/3 cos[2­(t)], (1) donde t0 y Ł0 son el tiempo y la fase iniciales, respec- tily, y A es una amplitud constante, irrelevante para nuestro debate. La inclusión de correcciones de PN de orden superior a la amplitud puede ser bastante importante para sistemas binarios de masa desigual, y será el tema de un estudio futuro. Al medir las diferencias entre las formas de onda los sopesamos por la potencia espectral-densidad (PSDs) de el detector, y calcular el factor de ajuste ampliamente utilizado (FF) (es decir, la función de ambigüedad o lap), o equivalente al desajuste definido como 1-FF. Fol- rebajar el formalismo estándar del filtrado emparejado [véase, Por ejemplo, Refs. [19, 31, 36]], definimos el FF como la superposición «H1(t), h2(t)» entre las formas de onda h1(t) y h2(t): • h1(t), h2(t) • 4Re h­1(f)h­ Sh(f) FF • máx. # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, H1, h2(t0, ­0, ­ En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, los vehículos de motor de encendido por chispa y los vehículos de motor de encendido por chispa y de encendido por chispa, deberán estar equipados con un sistema de frenado de servicio y un sistema de frenado de servicio para los vehículos de motor de encendido por chispa. donde hśi(f) es la transformación de Fourier de hi(t), y Sh(f) es el PSD del detector. Por lo tanto, el FF es el normalizado la superposición entre una forma de onda objetivo h1(t) y un conjunto de tem- formas de onda de la placa h2(t0, i) maximizado a lo largo de la fase inicial tiempo t0, fase inicial ­0, y otros parámetros ­ i. Algunos... veces que estamos interesados en FFs que están optimizados sólo sobre t0 y Ł0; vamos a denotarlos como FF0. Para los datos... los fines de análisis, el FF tiene un significado más directo que la evolución de fase de las formas de onda, ya que cuenta los PSD y es proporcional al SNR de la señal filtrada. Dado que la tasa de eventos es proporcional a el cubo del SNR, y por lo tanto al cubo del FF, un FF= 0,97 corresponde a una pérdida de tasas de eventos del 10%. Una plantilla de forma de onda se considera una envío de la forma de onda de destino cuando el FF es más grande más de 0,97. Cuando se comparan dos familias de formas de onda, el FF es optimizado durante la fase inicial de la onda de plantilla- forma, y también necesitamos especificar la fase inicial de la forma de onda objetivo. Puesto que no hay fase inicial preferida de la meta, por lo general se adoptan dos opciones: i) fase tial maximiza la FF o (ii) minimiza la FF. Los FF resultantes se denominan los mejores y mini- máx. FF [29]. Todos los FF que presentamos en este documento son min- imax FFs. Aunque el FF de dos familias de forma de onda es En general, asimétrica en el intercambio de la plantilla familia [31], los mejores y los minimax FF0s son simmet- ric (véase el apéndice B de Ref. [29] Para más detalles. De ahora en adelante, al comparar dos familias de forma de onda usando FF0, lo hacemos no es necesario especificar qué familia es el objetivo. Consideraremos tres detectores interferométricos GW: LIGO, avanzado LIGO y VIRGO. Los dos últimos tienen mejor sensibilidad de baja frecuencia y ancho de banda más amplio. Para LIGO, utilizamos el ajuste analítico del LIGO de- signo PSD dado en Ref. [20]; para LIGO avanzado utilizamos la configuración de banda ancha PSD dada en Ref. [37]; para VIRGO utilizamos el PSD dado en Ref. [20]. In Fig. 1, mostramos los FF0s como funciones de la ac- diferencia acumulada en el número de ciclos de GW entre formas de onda generadas con diferentes PN inspirantes modelos y para sistemas binarios con diferentes componentes masas. Primero generamos dos formas de onda evolucionando dos modelos PN, por ejemplo, “PN1” y “PN2” que comienzan en la misma frecuencia GW fGW = 30Hz y tienen la misma fase inicial. Las dos formas de onda se terminan en el misma frecuencia final fGW = defensa hasta un máximo fend,max = min(fend,PN1, fend,PN2), donde fend,PN es el frecuencia a la que termina el modelo de inspiración PN. (Por Tpn modelos esta es la frecuencia a la que la energía PN tiene un mínimo; para los modelos Epn es el anillo de luz EOB frecuencia.) Entonces, calculamos la diferencia en fase y número de ciclos GW acumulados hasta el final frecuencia NGV = ............................................................................................................................................................................................................................................................... 3) Variando el fin (hasta el fin, máx.) no necesariamente monótonamente. Aunque parece que hay ser una correlación floja entre los FF0s y NGW, es es difícil cuantificarlo como una correspondencia uno a uno. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 Tpn(3,5) y Epn(3,5), (3+3) Tpn(3.5) y Epn(3.5), (15+3) Tpn(3.5) y Epn(3.5), (15+15) Tpn(3) & Tpn(3,5), (3+3) Tpn(3) & Tpn(3,5), (15+3) Tpn(3) & Tpn(3,5), (15+15) FIG. 1: Mostramos FF0s entre formas de onda generadas a partir de los tres modelos PN Tpn(3), Tpn(3.5) y Epn(3.5) versus NGV [véase Eq. 3)]. Los FF0s se evalúan con LIGO’s PSD. Nótese que para Tpn(3.5) y Epn(3.5) y a (15+3) binario, el FF0 más bajo es 0,78 y la diferencia en el número de los ciclos de GW 2. En el límite ­NGW → 0, el FF0 va a la unidad. Por ejemplo, una diferencia de fase de alrededor de la mitad de cle ( 0.5 ) se suele pensar que es significativo. Sin embargo, aquí encontramos FF0 relativamente altos entre 0.97 y > 0,99, dependiendo de las masas del binario y el modelo PN específico utilizado. Esto sucede porque el FF entre dos formas de onda no está determinado por el a- la diferencia de fase tal acumulada, sino más bien por cómo la la diferencia de fase se acumula en el detector más banda de frecuencia sensible. La relación entre los FF y diferencias de fase también se desdibuja por la maximización a lo largo del tiempo y la fase iniciales: cambio de la fase por medio ciclo de la banda más sensible a un menos sen- banda sitiva puede aumentar la coincidencia significativamente. Nosotros concluir que con el PSD de LIGO, después de maximizar sólo en la fase inicial y en el tiempo, Epn(3.5) y Tpn(3.5) tem- las placas están cerca unas de otras para la masa comparable bi- sistemas nary M = 6–30M® con FF0 0,97, pero puede ser diferente para las relaciones de masa m2/m1 0.3 con FF0 tan bajo como 0.8. Las plantillas Tpn(3) y Tpn(3.5) tienen: FF0 0,97 para las masas binarias consideradas. Tenga en cuenta que para m2/m1 = 1 [ 0.3] sistemas binarios, Tpn(3.5) está más cerca a Epn(3.5) [Tpn(3)] que a Tpn(3) [Epn(3.5)]. Nota también que al maximizar en las masas binarias los FFs pueden aumentar significativamente, por ejemplo, para un (15 + 3) nary, el FF entre las formas de onda Tpn(3.5) y Epn(3.5) se convierte en > 0,995, mientras que FF0 0,8. III. CONSTRUCCIÓN Y COMPARACIÓN DE HÍBRIDO MANUFACTURAS Comparaciones recientes [10, 11] entre el análisis formas de onda inspirante merical de masa igual y no giratoria sistemas binarios han demostrado que las formas de onda numéricas son en buen acuerdo con Epn(3.5), Tpn(3) y Tpn(3.5) formas de onda. Estos resultados se evaluaron utilizando ocho y dieciséis ciclos GW inspirados numéricos. ¿Podemos concluir? de estos análisis que Epn(3.5), Tpn(3.5) y Tpn(3) se puede utilizar de forma segura para construir un banco de plantillas para detectar ¿Señales GW inspiradoras? Una manera de abordar esta cuestión es calcular el desajuste entre las formas de onda híbridas construido mediante la fijación de formas de onda Epn o Tpn a la la misma forma numérica de onda, y variando el tiempo cuando el accesorio está hecho. Esto es equivalente a variar el número de ciclos numéricos de GW n en el tem- Plato. Cuanto más grande n más pequeño el desajuste, como somos utilizando el mismo segmento numérico en ambas formas de onda. Para un máximo de desajuste deseado, digamos 3%, podemos entonces encontrar el número más pequeño n de ciclos numéricos que es requerido en la forma de onda híbrida. Este número será, de curso, depende de la masa binaria y el PSD de cada uno detector. A. Formas de onda híbridas Construimos formas de onda híbridas conectando onda PN- formas a formas de onda NR en un punto elegido en el último etapa inspiral. Como se mencionó anteriormente, utilizamos ondas NR- formas generadas con el código de Pretorio [10] y el Dios- código del grupo dard [38]. La forma de onda de Pretorius proviene de un binario de masa igual con masa total M, e igual, co- giros rotativos (a = 0,06). La simulación dura 671M, y la forma de onda tiene 8 ciclos antes de la formación de el horizonte común aparente. La forma de onda de Goddard se refiere a un binario no giratorio de masa igual. La simulación... tion dura alrededor de 1516M, y la forma de onda tiene 16 ciclos antes de la fusión. Ya que vamos a presentar los resultados de estas dos formas de onda es útil compararlos primero computando el FF0. Aunque los parámetros binarios considerados por Pretorius Y Goddard es un poco diferente, esperamos que la ola... formas, especialmente alrededor de la fase de fusión, para ser justos Cerca. Comparaciones entre formas de onda (más cortas) com- colocados con punciones móviles y armónicos generalizados En Ref. [39], donde los autores maldijeron las diferentes condiciones iniciales, extracción de ondas técnicas, y comparó la fase, amplitud y fre- quency evoluciones. Dado que las dos simulaciones utilizan dif- condiciones iniciales ferinas y duran para diferentes cantidades de tiempo cortamos la forma de onda más larga de Goddard frecuencia donde comienza la forma de onda Pretorius. En este forma en que comparamos formas de onda que tienen la misma longitud entre la hora inicial y la hora en la que la onda La amplitud alcanza su máximo. In Fig. 2, mostramos el FF0 como función de la masa binaria total. A pesar de... las diferencias en las dos simulaciones los FF0s son bastante altos. Las formas de onda difieren más significativamente a menor frecuencia. cies. De hecho, a medida que la masa total disminuye los FF0s también disminuir a medida que estas primeras partes de la forma de onda contribuyen más a la potencia de la señal dada PSD de LIGO. Cualquier forma de onda extraída de una simulación numérica heredará errores de truncación, afectando tanto a la ola- amplitud y fase de la forma [10, 21, 38]. Para comprobar si esas diferencias cambiarían los resultados de la comparaciones entre formas de onda NR y PN, trazamos en Fig. 2 los FF0s versus la masa binaria total entre dos formas de onda de Goddard generadas a partir de un alto y un Ejecución de resolución media [38]. Los FF0 son extremadamente altos. (> 0,995). Basado en las comparaciones entre alto y medio formas de onda de resolución, podemos estimar los FFs entre alta resolución y formas de onda exactas. Si tenemos varios simulaciones con diferentes resoluciones, especificadas por el malla-espaciados xi, y xi son suficientemente pequeños, podemos asumir que las formas de onda hola son dadas por hi = h0 + x i hd, (4) donde n es el factor de convergencia de la forma de onda, h0 es la forma exacta de onda generada a partir de la resolución infinita ejecutar (x0 → 0), y hd es el error de truncación de orden principal contribución a la forma de onda y es independiente de la Espaciado de malla xi. Nos encontramos con que el desajuste entre el formas de onda hi y hj, 1− FFij, escamas como 1 - FFij â € (x i − x 2. 5) En las simulaciones de Goddard, la alta y mediana resolución los recorridos de dilución tienen relación malla-espaciado xh/xm = 5/6, y la tasa de convergencia de la forma de onda es n = 4 [38]. El FF entre la alta resolución y las formas de onda exactas hh y h0 es dada por FF0h = 1− 0,87(1− FFhm), (6) donde FFhm es el FF entre el alto y el medio formas de onda de resolución hh y hm. Es decir, el el desajuste entre hh y h0 es ligeramente menor que el entre hh y hm, donde este último puede derivarse de los FF mostrados en la Fig. 2. A partir de ahora, siempre usaremos formas de onda de alta resolución. Un cálculo similar para Pre- forma de onda de torius da FF0h = 1−0,64(1−FFhm), aunque aquí xh/xm = 2/3 y n = 2. Véase Fig. 6 de Ref. [21] para una parcela de FFhm calculada a partir de la evolución del Cook- Pfeiffer datos iniciales 1; hay FF0 rangos de 0.97 para M/Ms = 30 a 0,99 para M/Ms = 100. En otras palabras, el desajuste entre la ola de Goddard y la de Pretorius- forma que se muestra en la figura 2 es inferior al desajuste estimado de error numérico en esta última forma de onda. Construimos formas de onda híbridas cosiendo juntos el PN y NR waveforms computadas para sistemas binarios con los mismos parámetros. En el punto donde conectamos el 1 La parcela en Ref. [21] es para “d=16” que corroe el Cook-Pfeiffer inicial datos, mientras que los resultados presentados aquí son de “d=19” inicial datos. Sin embargo, las resoluciones utilizadas para ambos conjuntos eran las mismas, y, por lo tanto, los desajustes deben ser similares, en particular en el rango de masa más alto. 30 40 50 60 70 80 90 100 Masa total del binario ( ) 0,980 0,985 0,990 0,995 1.000 Resoluciones altas y medianas de Goddard Pretorio y formas de onda Goddard FIG. 2: FF0 entre las formas de onda NR en función de la M de masa total binario. La curva sólida se generan para la onda- formas de Pretorio y el grupo Goddard. Cuanto más tiempo Forma de onda Goddard se acorta de tal manera que ambas formas de onda duran 671M y contienen 8 ciclos. La curva divisoria es gen- gradado para formas de onda de alta resolución y medio simulaciones de resolución del grupo Goddard. Todos los FFs son evaluado utilizando el PSD de LIGO. dos formas de onda, sintonizamos el tiempo inicial t0 para que el frecuencia de la forma de onda PN es casi la misma que la frecuencia de la forma de onda NR (hay una sutileza que intenta para coincidir exactamente con las frecuencias que se discuten en el final de esta sección). A continuación, se elige la fase inicial ­0 para que la cepa de la forma de onda híbrida sea continua en el punto de conexión. In Fig. 3, mostramos dos ejemplos de formas de onda híbridas de un binario de masa igual. Suturamos las formas de onda en los puntos donde los efectos debidos al pulso transitorio de los datos iniciales son Es insignificante. Encontramos una diferencia de amplitud en el orden de un 10% entre la forma de onda de Goddard y la re- Estricto forma de onda PN. Esta diferencia también está presente en La forma de onda de Pretorius, pero es algo compensada por por modulación de amplitud causada por la excentricidad en el datos iniciales. In Ref. [38] se demostró que las formas de onda PN con correcciones de amplitud 2.5PN dan mejor acuerdo (véase, por ejemplo, Fig. 12 in Ref. [38]). Sin embargo, el máximo Los errores de amplitud en las formas de onda también están en el o- der del 10% [10, 38]. Puesto que ni 2PN ni otros inferiores PN orden correcciones a las amplitudes están más cerca de la Orden 2.5PN, no podemos concluir que 2.5PN amplitud Las correcciones se aproximan mejor a las ondas numéricas. Por lo tanto, Decidimos utilizar dos conjuntos de formas de onda híbridas: structed con formas de onda PN restringidas, y el otro con formas de onda PN restringidas redistribuidas por un solo factor tude, que elimina las diferencias de amplitud con las formas de onda NR. Veremos que la diferencia sea... entre estos dos casos es pequeño para el propósito de nuestro pruebas. La diferencia de amplitud entre la onda PN y la NR- formas se calcula en el mismo punto de conexión GW fre- -500-1000 -1000-1500 -1500-2000 -2000-2500 - 2500. Tiempo (M) Tiempo (M) FIG. 3: Mostramos dos ejemplos de formas de onda híbridas, start- ing de 40Hz. Las formas de onda PN se generan con el Modelo Tpn(3.5) y las formas de onda NR en la parte superior y los paneles inferiores se generan a partir de Pretorius’ y Goddard’s simulaciones, respectivamente. Marcamos con un punto el punto donde conectamos las formas de onda PN y NR. Quency. Hay otro efecto que causa un salto en la amplitud de onda híbrida. Esta es una pequeña fre... quency diferencia entre las formas de onda PN y NR en el punto de conexión. Todas nuestras formas de onda NR contienen pequeñas excentricidades [10, 38]. Como consecuencia, la frecuencia la evolución oscila (t). Para reducir este efecto fol- bajo lo que se hace en Ref. [38] y ajustar la frecuencia a una función quártica monotónica. Al construir el híbrido forma de onda, ajustamos la frecuencia PN para que coincida con el quar- tic frecuencia ajustada (en lugar de la oscilatoria, numérica frecuencia) en el punto de conexión. Desde el momento en que se restringió La amplitud de la PN es proporcional a la letra t) del punto 2/3 [véase Eq. 1)], esta ligera diferencia entre los dos puntos en el punto de conexión crea otra diferencia entre la NR y la PN am- plitudes. Sin embargo, esta diferencia suele ser menor. (para la forma de onda de Goddard) o comparable (para Pretorius) a la diferencia de amplitud discutida anteriormente. -25 -20 -15 -10 -5 0 Tiempo (100M) Original Blanqueados -25 -20 -15 -10 -5 0 Tiempo (100M) -800 -600 -400 -200 0 Tiempo (M) -800 -600 -400 -200 0 Tiempo (M) -200 -150 -100 -50 0 50 Tiempo (M) -200 -150 -100 -50 0 50 Tiempo (M) (5+5) (10+10) (20+20) (15+15) (30+30) (50+50) FIG. 4: Distribución de la potencia de señal GW. En cada panel, trazamos una forma de onda híbrida (una forma de onda Tpn cosida al Goddard forma de onda) tanto en su forma original (curva azul) como en su forma “blanca” (curva roja) [44]. Mostramos formas de onda de seis sistemas binarios con masas totales de 10M+ 20M+, 30M+, 40M+, 60M+ y 100M+. Las líneas verticales dividen las formas de onda en segmentos, en los que cada segmento aporta el 10% de la potencia total de la señal. B. Distribución de la potencia de la señal en gravedad formas de onda Para comprender mejor los resultados de los FFs entre formas de onda híbridas, queremos calcular cuántos sig- Los ciclos GW nificantes están en la banda de frecuencias LIGO. Por importantes ciclos de GW nos referimos a los ciclos que contribuyen más a la potencia de la señal, o al SNR del filtro señal. Puesto que las frecuencias GW son escaladas por el total bi- la respuesta a esta pregunta depende de ambos el PSD y la masa total de un binario. In Fig. 4, mostramos el efecto del LIGO PSD en el distribución de la potencia de señal para varias ondas emitidas por coalescing sistemas binarios con diferentes masas totales. In cada panel, trazamos una forma de onda híbrida (una forma de onda Tpn cosido a la forma de onda de Goddard) en ambos su original forma y su forma “blanca” [44]. La ola blanqueada... forma es generada por Fourier-transformando el original forma de onda en el dominio de frecuencia, reescalándolo por un fac- tor de 1/ Sh(f), y luego inversa-Fourier-transformando volver al dominio del tiempo. El tiempo de referencia t = 0 es el pico en la amplitud de la forma de onda no blanqueada. La amplitud de un segmento de la forma de onda blanqueada indica la contribución relativa de ese segmento a la potencia de señal y tiene en cuenta el PSD de LIGO. Ambas cosas. formas de onda se trazan con amplitudes arbitrarias, y el uno sin blanquear siempre tiene la amplitud más grande. Los amplitud absoluta de una forma de onda, o equivalente distancia del binario, no es relevante en estas cifras un- menos el z de shift rojo se vuelve significativo. En este caso, el masa del binario es la masa desplazada al rojo (1+ z)M. Ver- líneas ticales en cada figura dividen una forma de onda en segmentos, donde cada segmento aporta el 10% de la señal total Poder. En cada parcela, a excepción del 10M®-binario, nosotros mostrar todas las 9 líneas verticales que dividen las formas de onda en 10 segmentos. En la trama de 10M®-binario omitimos el temprano parte de la fase inspiral que representa el 50% de la potencia de la señal, como sería demasiado largo para mostrar. La escala de tiempo absoluta de una forma de onda aumenta lin- temprano con la masa total M ; equivalentemente la forma de onda es desplazado hacia bandas de frecuencias más bajas. Para un M = 10M + 10M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M binaria, la etapa inspiracional larga genera GWs con fre- Quencias que abarcan la parte más sensible del LIGO banda, alrededor de 150Hz, mientras que para un binario M = 100M®, sólo la señal de fusión contribuye en esta banda. Por lo tanto, para sistemas binarios de baja masa, la mayor parte de la contribución a la potencia de la señal viene de la etapa inspiracional larga de la forma de onda, mientras que para los sistemas binarios de alta masa más de la contribución proviene de la tardía inspiración, fusión, y etapas de reducción. Comprensión cuantitativa de la la distribución de la potencia de la señal nos permitirá deducir cuántos, y que, los ciclos GW son significativos a los efectos de análisis de datos. Necesitamos formas de onda exactas de cualquiera de los dos Modelos de PN o simulaciones de NR para, al menos, Ciclos de cánticos. De Fig. 4 concluimos que: • Para un binario M = 10M®, el último 25 Además de las fases de fusión y reducción gradual de la la forma de onda aporta sólo el 50% de la potencia de la señal, y necesitamos 80 ciclos (no se muestra en la figura) de forma de onda inspiral precisa para recuperar el 90% de la potencia de señal. Para un binario M = 20M®, el último 23 ciclos, más las fases de fusión y la forma de onda aporta > 90% de la potencia de la señal, y las simulaciones actuales de NR pueden producir formas de onda de tal longitud; • Para un binario M = 30M®, el último 11 Además de las fases de fusión y reducción gradual de la la forma de onda aporta > 90% de la potencia de la señal, lo que significa que, para los sistemas binarios con a- masa tal superior a 30M®, simulacro de NR actual- ciones, por ejemplo, los dieciséis ciclos obtenidos en Ref. [38], puede proporcionar formas de onda lo suficientemente largas para un emparejado- búsqueda de filtro de la coalescencia binaria, como también se encuentra en Ref. [21]; • Para un binario M = 100M®, > 90% de la señal energía viene del último ciclo inspiracional, fusión y las etapas descendentes de la forma de onda, con dos ciclos que dominan la potencia de la señal. Es por lo tanto pos- capaz de identificar esta forma de onda como una señal de explosión. Análisis similares también se pueden hacer para LIGO avanzado y VIRGO. C. Comparación de formas de onda híbridas Ahora vamos a calcular FF0s entre ondas híbridas- formas. Fijamos la masa total del binario de masa igual en cada comparación, es decir, no optimizamos sobre masa parámetros, pero sólo en fase y tiempo. Usamos el desajuste, definido como 1- FF0, para medir la diferencia entre formas de onda y los calculamos para LIGO, ad- Vanced LIGO, y VIRGO. Tenga en cuenta que mediante el uso de FF0, que prueba la proximidad entre las formas de onda híbridas que son gen- de sistemas binarios con el mismo pa- físico rameters; en otras palabras, probamos si las formas de onda son lo suficientemente precisos para el propósito del parámetro estima- sión, en lugar de con el único propósito de detectar los GW. En el idioma de Ref. [19] Estamos estudiando a los fieles- dad de las plantillas PN 2. Dado que en las etapas tardías de la inspiración, las formas de onda PN son en parte sustituida por formas de onda NR, diferencias entre híbridos Las formas de onda de dos modelos PN son más pequeñas que las entre formas de onda PN puras. En general, cuanto más NR ciclos que utilizamos para generar formas de onda híbridas, 2 Después de Ref. [19], plantillas fieles son plantillas que tienen grandes solapamientos, dicen 96,5%, con la señal esperada maximiz- Sólo durante la fase inicial y la hora de llegada. Por el contrario cuando la maximización se hace también en las masas binarias, el plantillas se llaman eficaces. se espera que la diferencia sea entre estas ondas híbridas formas. Esto es evidente en las Figs. 5, 6 donde mostramos mal... coincidencias entre formas de onda híbridas para sistemas binarios con diferentes masas totales en función del número n. Específicamente, se toman los desajustes entre dos formas de onda híbridas generadas a partir de la misma Forma de onda NR (del grupo Goddard, tomando la última n ciclos, más fusión y reducción) y dos diferentes Las formas de onda PN generadas con las mismas masas. Los desajustes son más bajos para los sistemas binarios con mayores masas totales, ya que la mayor parte de su potencia de señal se concentra en los últimos ciclos próximos a la fusión (véase Fig. 4). Comparación de resultados entre LIGO, avanzado LIGO y VIRGO, vemos que para las mismas formas de onda los desajustes son más bajos cuando se evalúan con el LIGO PSD, y más alto cuando se evalúa con el VIRGO PSD. Esto se debe al ancho de banda mucho más amplio de VIRGO, especialmente a baja frecuencia: la sensibilidad absoluta no es relevante; sólo la forma de los asuntos de la DSP. En VIRGO, la parte inspiral de una forma de onda híbrida tiene mayor peso- en su contribución a la potencia de la señal. Como ya observado al final de Sec. II, podemos ver también que el diferencia entre los modelos Epn(3.5) y Tpn(3.5) es menor que entre el Tpn(3) y el Tpn(3.5) mod- Las figuras 5, 6 muestran un buen acuerdo entre las ondas híbridas. formas. In Sec. IV, como una confirmación adicional de lo que fue encontrado en Refs. [10, 11], veremos que formas de onda PN de los modelos Tpn y Epn tienen un buen acuerdo con el fase inspiral de las formas de onda NR. Por lo tanto, argumentamos que es probable que las formas de onda híbridas tengan alta precisión. De hecho, para la evolución tardía de un binario compacto, donde Las formas de onda NR están disponibles, las formas de onda PN están cerca a las formas de onda NR, mientras que para la evolución temprana de la binario, donde esperamos que las aproximaciones de la PN para trabajar mejor, las formas de onda PN (de los modelos Tpn y Epn) están cerca el uno del otro. Sobre la base de estas observaciones, sacamos las siguientes conclusiones para LIGO, avanzado Análisis de datos de LIGO y VIRGO: • Para sistemas binarios con masa total superior a 30M®, las simulaciones actuales de NR de masa igual sistemas binarios (16 ciclos) son lo suficientemente largos como para re- reducir los desajustes entre las formas de onda híbridas de los tres modelos PN a menos del 0,5%. Dado que estos FFs se logran sin optimizar los parámetros binarios, concluimos que para estos sistemas binarios de alta masa, la pequeña diferencia ser- entre formas de onda híbridas indica baja sistemática error en la estimación de parámetros, es decir, ondas híbridas- las formas son fieles [19]. • Para sistemas binarios con masa total alrededor 10–20M®, 16 ciclos de formas de onda NR pueden reducir el desajuste por debajo del 3%, que normalmente se establece como la tolerancia máxima para la finalidad del análisis de datos (correspondiente a un 10% de pérdida en la tasa de eventos). Por una extrapolación bruta de nuestros resultados, estimamos que con 30 ciclos de forma de onda NR, el desajuste podría 4 6 8 10 12 14 Número de ciclos de forma de onda NR PN restringida PN redistribuida 4 6 8 10 12 14 Número de ciclos de forma de onda NR Frecuencia de ajuste cuartico Frecuencia oscilatoria FIG. 5: Se muestra el desajuste entre formas de onda híbridas en función del número de ciclos de forma de onda NR utilizados para generar las formas de onda híbridas. El LIGO PSD se utiliza para evaluar los desajustes. En el panel izquierdo, comparamos el Epn(3.5) y el Epn(3.5) Modelos Tpn(3.5). En el panel derecho, comparamos los modelos Tpn(3) y Tpn(3.5). De arriba a abajo, las cuatro curvas corresponden a cuatro sistemas binarios de masa igual, con masas totales de 10MÃ3s, 20MÃ3s, 30MÃ3s y 40MÃ3s. Los puntos muestran desajustes tomado entre formas de onda híbridas que se generan con diferentes métodos. En el panel izquierdo, ajustamos la amplitud de formas de onda PN restringidas, de tal manera que se conectan suavemente en amplitud a formas de onda NR. En el panel derecho, para establecer el frecuencia de formas de onda PN en el punto de unión, utilizamos la frecuencia orbital original, en lugar de la cuartica ajustada. (Véase Sec. IIIA para la discusión sobre escalamiento de amplitud y ajuste de frecuencia). 4 6 8 10 12 14 Número de ciclos de forma de onda NR Avanzado LIGO PSD VIRGO PSD 4 6 8 10 12 14 Número de ciclos de forma de onda NR Avanzado LIGO PSD VIRGO PSD FIG. 6: Mismatch entre formas de onda híbridas en función del número de ciclos de forma de onda NR utilizados para generar el híbrido formas de onda. Siguiendo los ajustes de la Fig. 5, se muestran comparaciones entre Epn(3.5) y Tpn(3.5), y Tpn(3) y Tpn(3.5) modelos en los paneles izquierdo y derecho, respectivamente. Los conjuntos sólidos y discontinuados de curvas se generan utilizando los PSDs de Ligo avanzado y VIRGO. En cada conjunto, de arriba a abajo, las tres curvas corresponden a tres sistemas binarios de masa igual, con masas totales de 20 millones, 30 millones y 40 millones. se reducirá a menos del 1%. • Para sistemas binarios con masa total inferior a 10M®, la diferencia entre el Tpn(3) y el Tpn(3) Los modelos Tpn(3.5) son sustanciales para el LIGO avanzado y VIRGO. Su desajuste puede ser > 4% y > 6% respectivamente (no se muestra en la figura). En este rango de masa, persiguiendo más ciclos de forma de onda NR en fase inspiracional tardía no ayuda mucho, ya que el La potencia de señal se acumula lentamente a lo largo de cientos de los ciclos de GW a través de la banda del detector. Nunca... menos, aquí damos desajustes para FF0s que son no optimizado sobre masas binarias. A los efectos de la presente Decisión, se entenderá por: sólo de detección, optimización sobre param binario- eters conduce a desajustes bastante bajos (véase también el fin de Sec. II). En el idioma de Ref. [19] híbrido las formas de onda para la masa total inferior a 10 M- fecundo pero no fiel. IV. MANUFACTURAS NUMÉRICAS CON TEMPLADOS POSTERIORES En esta sección, comparamos la inspiración completa, fusión y reducción de las formas de onda del compacto de coalescencia sistemas binarios generados a partir de simulaciones NR con sus las formas de onda de plantilla PN que mejor coincidan. También comparamos formas de onda híbridas con formas de onda de plantilla PN para menor masa total, centrándose en la fase de inspiración tardía pro- vided por las formas de onda NR. Probamos siete familias de Plantillas PN que se han utilizado en las búsquedas para los GW en LIGO (véase, por ejemplo, Refs. [40, 41]), o candidatos prometedores para búsquedas en curso y futuras con detectores basados en tierra. Evaluamos el perfor- mance de plantillas PN computando los FFs maxi- mized en fase, tiempo y parámetros binarios. Como nosotros deberá ver, para las formas de onda híbridas de los sistemas binarios con una masa total de M ≤ 30M®, ambos dominios de tiempo fam- ilies Tpn(3.5) y Epn(3.5), que incluye una superposi- ciones de tres modos de reducción, funcionan bien, confirmando lo que se encontró en Refs. [10, 11]. El estándar estacionario... familia de plantillas aproximadas de fase (SPA) en la familia de dominio quency tiene altos FFs sólo para los sistemas binarios con M < 20 millones de libras esterlinas. Después de investigar en detalle la fase GW en el dominio de frecuencia, y habiendo entendido por qué hap- plumas (ver Sec. IVB2), introducimos dos SPA modificado plantilla familias (definido en Sec. IVB 2) para sistemas binarios Tems con masa total M ≥ 30M®. En general, para las masas M ≥ 30M®, la familia de plantillas Epn(3.5) en el tiempo principal y las dos familias de plantillas de SPA modificadas en el el dominio de frecuencia muestra las prestaciones más compatibles. A. Forma de onda numérica y post-Newtonian plantillas Para los sistemas binarios con masa total M ≥ 30M®, la Los últimos 8–16 ciclos contribuyen con más del 80–90 % de los sig- nal, por lo que en este caso utilizamos sólo la onda NR- formas. Por el contrario, para sistemas binarios con masa total 10 ≤ M ≤ 30 millones de euros, para los que la fusión y la reducción de valor fases de las formas de onda contribuyen sólo â € 1-10%, nosotros utilizar las formas de onda híbridas, generadas por la costura Tpn formas de onda a las formas de onda Goddard NR. Queremos enfatizar que los FF computados para diferen- Las formas numéricas de onda ent destino no pueden ser directamente com- se lidiaron el uno con el otro. Por ejemplo, la onda Goddard... forma es más largo que la forma de onda Pretorio, y los FFs son en algún momento ligeramente más bajo usando la forma de onda Goddard. Este es un efecto completamente artificial, debido al hecho de que es mucho más fácil ajustar los parámetros de la plantilla y obtener un FF grande con una forma de onda objetivo más corta que un Uno más largo. Consideramos siete familias de plantillas PN. Los dos familias de dominio del tiempo introducidas en Sec. II son: • Tpn(3.5) [30, 31]: El modelo inspirado de Taylor. • Epn(3.5) [10, 13, 14, 16, 19]: El modelo EOB que incluye una superposición de tres modos cuasinormales (QNM) del BH final. Estos están etiquetados por tres in- tegers (l,m,n) [42]: el QNM menos amortiguado (2, 2, 0) y dos matices (2, 2, 1) y (2, 2, 2). La ola de derribo... la forma se da como: hQNM(t) = − (t-tendencia)/­22n cos [­ 22n(t- tendencia) + ­n], en los que ­lmn y ­lmn son la frecuencia y el tiempo de decaimiento de el QNM (l,m, n), determinado por la masa Mf y el spin af del BH final. Cantidades en Eq. 7).................................................................................................................................................. son la amplitud y la fase del QNM (2, 2, n). Ellos se obtienen imponiendo la continuidad de h+ y h×, y sus derivados de primera y segunda vez, en el momento de Coincidiendo con el partido. Además de los parámetros de masa, nuestro Epn el modelo contiene otros tres parámetros físicos: y J. En el parámetro «t» se tiene en cuenta la posible dif- diferencias entre el momento en que tienden los modelos EOB final y el tiempo de partido en el que la coincidencia a anillo- Abajo está hecho. Más explícitamente, establecemos tmatch = (1t)tend, y si t > 0, extrapolamos la evolución del EOB, y establecer un límite superior para la búsqueda en la que la extrapolación falla. Los parámetros M y J describen posibles diferencias. ences entre los valores de la masa Mend momentum angular â € ¢ Jend/M final al final de la EOB inspiral y la masa BH final y mo- Mentum. (El final de la inspiración EOB ocurre alrededor de el anillo de luz EOB.) Las diferencias se deben al hecho de que que el sistema aún no ha liberado energía y angular el impulso durante la fase de fusión y a la solución estacionaria de BH. Si la masa binaria total e impulso angular al final de el EOB inspiral son Mend y Jend, establecemos el total masa y momento angular del BH estacionario final ser Mf = (1 − M )Mend y Jf = (1 − J)Jend, y utilizar af ­Jf/Mf para calcular ­lmn y ­lmn. Consideramos que el modelo actual de Epn con tres parámetros: J, como un primer intento de construir un modelo físico de EOB para Coincidiendo coherentemente con la inspiración, fusión y reducción fases. Dado que los parámetros de los parámetros están relacionados con la las cantidades, por ejemplo, la pérdida de energía durante el son funciones de los parámetros físicos iniciales de la bi- nary, como masas, giros, etc. En un futuro cercano esperar ser capaz de fijar los valores de â € ~ comparando NR y (mejorado) formas de onda EOB para una amplia gama de binarios parámetros. También consideramos cinco modelos de dominio de frecuencia, en que se introducen más tarde dos (modelos modificados de SPA) in Sec. IVB 2, y tres se introducen aquí: • SPAc(3.5) [33]: Modelo SPAc PN con un Fcut de frecuencia de corte [30, 31]; (5 + 5)Mós (10 + 10)Mós (15 + 15)Mós Potencia de señalización (%) (30, 0,2) (80, 2) (85, 10) HNR-híbrido, hTpn(3,5)– 0,9875 0,9527 0,8975 (M/M®, η) (10,18, 0,2422) (19,97, 0,2500) (29,60, 0,2499) Mörb 0,1262 0,1287 0,1287 HNR-híbrido, hEpn(3,5)– 0,9836 0,9522 0,9618 (M/M®, η) (10,15, 0,2435) (19,90, 0,2500) (29,49,0,2488) (0,02, 12.19, 30.87) (-0,02, 75.03, 95.00) (0,05, 2,38, 92.06) Mörb 0,1346 0,1345 0,1345 HNR-híbrido, hSPAC(3,5)– 0,9690 0,9290 0,8355 (M/M®, η) (10,16, 0,2432) (19,93, 0,2498) (29,08, 0,2500) (fcut/Hz) CUADRO I: FFs entre formas de onda híbridas [Tpn(3.5) forma de onda cosida a la forma de onda Goddard] y plantillas PN. En la primera fila, los dos números entre paréntesis son los porcentajes de la contribución señal-potencia de los 16 ciclos de inspiración NR y los ciclos de fusión/reducción de NR. (La separación entre la inspiración y la fusión/reducción se obtiene utilizando el enfoque EOB) como guía, es decir, igualamos el modelo Epn(3.5) y usamos la posición de anillo ligero EOB como el comienzo de la fase de fusión.) In las filas PN-template, el primer número en cada bloque es el FF, y los números entre paréntesis son parámetros de plantilla que lograr este FF. El último número en cada bloque de los modelos Tpn(3.5) y Epn(3.5) es la frecuencia orbital final de la plantilla de mejor partido. En el caso del modelo Epn, la frecuencia final se calcula en el punto de coincidencia con la fase de anotación, alrededor del anillo de luz EOB. • BCV [31]: Modelo BCV con corrección de amplitud Término (1°f2/3) y una frecuencia de corte adecuada. • BCVImpr [31]: Modelo BCV mejorado con una am- Término de corrección de plitud (1 − αf1/2) y un comió fcut de frecuencia de corte. Incluimos esto mejorado Modelo BCV porque Ref. [10] encontró una desviación de la Amplitud de Fourier-transform de la predic- Durante las fases de fusión y de reducción del riesgo (véase Fig. 22 de Ref. [10]). Aquí asumiremos n = −2/3 en la ley de poder de fn para obtener la forma (1 − αf1/2) de la Corrección de amplitud. Mientras que se encontró [10] que el valor de n está cerca de −2/3 para la l = 2,m = 2 onda- forma, este valor varía ligeramente si otros momentos múltiples se incluyen y si los sistemas binarios con se tienen en cuenta los tios. Finalmente, se espera el parámetro α para ser negativo, pero en nuestra búsqueda real puede tomar ambos valores positivos y negativos. B. Discusión de los resultados de los factores de ajuste En la Tabla I, enumeramos los FFs para formas de onda de destino híbridas y tres familias de plantillas PN: Tpn(3.5), Epn(3.5), y SPAc(3.5), junto con los parámetros de la plantilla en que se obtiene la mejor coincidencia. Como se muestra en la primera fila, en este rango de masa relativamente bajo, es decir, 10M < M < 30M®, las fases de fusión/reducción de las formas de onda aportar sólo una pequeña fracción de la potencia total de la señal, mientras que los últimos 16 ciclos de inspiración de la forma de onda NR aportar una fracción significativa. Por lo tanto, confirmando Recientes alegaciones de Refs. [10, 11], podemos concluir que las familias de plantillas PN Tpn(3.5) y Epn(3.5) tienen buen acuerdo con las formas de onda NR inspirantes. Los El modelo Tpn(3.5) da un FF bajo para M = 30M® porque 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 af /Mf FIG. 7: Frecuencias y tiempos de decadencia de los menos amortiguados QNM 220, y dos tonos 221 y 222. Las escalas de la frecuencia y el tiempo de desintegración se enumeran en la izquierda y la derecha lados de la parcela, respectivamente. para estas masas superiores las fases de fusión/reducción, que el modelo Tpn no incluye, iniciar contribut- a la potencia de la señal. Tenga en cuenta que ambos dominios de tiempo plantillas dan estimaciones bastante buenas de la masa parame- ters. La familia de plantillas SPAc(3.5) da FFs que caen sustancialmente cuando la masa binaria total aumenta de 10M® a 30M®, indicando que esta familia de plantillas puede sólo coinciden con la fase inicial, menos relativista inspiracional de las formas de onda híbridas. Sin embargo, resulta que por modificando ligeramente la forma de onda SPA podemos igualar la Formas de onda NR con FF altas (véase Sec. IVB2). En la Tabla II, enumeramos los FF para las formas de onda NR completas y cinco familias de plantillas PN: Epn(3.5), SPAextc (3.5), SPAYc (4), BCV, y BCVImpr, junto con el tem- (15 + 15)Mós (20 + 20)Mós (30 + 30)Mós (50 + 50)Mós - Pretorius, hEpn(3,5)-0,9616 0,9599 0,9602 0,9787 (M/M®, η) (27,93, 0,2384) (35,77, 0,2426) (52,27, 0,2370) (96,60, 0,2386) (0,08, 0,63, 99,70) (-0,03, 0,48, 94,38) (-0,12, 0,00, 64,14) (0,04, 0,01, 73,01) Pretorius, hSPA c 3,5)– 0,9712 0,9802 0,9821 0,9722 (M/M®, η) (19.14, 08037) (24.92, 0.9097) (36.75, 0.9933) (58.06, 0.9986) (fcut/Hz) (589.6) (476.9) (318.9) (195.9) Pretorius, hSPA c (4)– 0,9736 0,9824 0,9874 0,9851 (M/M®, η) (29,08, 0,2460) (38,63, 0,2461) (57,58, 0,2441) (96,55, 0,2457) (fcut/Hz) (666.5) (501.2) (332.5) (199.4) - Pretorius, hBCV-0,9726 0,9807 0,9788 0,9662 (+0/10) 4, â € ¢ 1/10 2) (2.101, 1.655) (1.178, 1.744) (0.342, 2.385) (-0.092, 3.129) (102α, fcut/Hz) (-1,081, 605,5) (-0,834, 461,7) (0,162, 320,4) (1,438, 204,3) - Pretorius, hBCVimpr- 0,9727 0,9807 0,9820 0,9803 (+0/10) 4, â € ¢ 1/10 2) (2.377, 0.930) (1.167, 1.762) (0.431, 2.077) (-0.109, 3.158) (102α, fcut/Hz) (-3.398, 571.9) (-2.648, 458.3) (-1.196, 319.1) (-3.233, 196.0) (15 + 15)Mós (20 + 20)Mós (30 + 30)Mós (50 + 50)Mós 0.9805 0.9720 0.9692 0.9671 (M/M®, η) (29,25, 0,2435) (38,27, 0,2422) (56,66, 0,2381) (83,52, 0,2233) (0,05, 0,03, 99,90) (0,05, 0,27, 99,17) (0,09, 0,01, 54,56) (0,10, 1,71, 79,75) HNR-Goddard, hSPA (3,5)– 0,9794 0,9785 0,9778 0,9693 (M/M®, η) (21,41, 0,5708) (27,27, 0,6695) (37,67, 0,9911) (60,90, 0,9947) (fcut/Hz) (552.7) (444.4) (318.5) (191.7) HNR-Goddard, hSPA 4) 0,9898 0,9905 0,9885 0,9835 (M/M®, η) (30,28, 0,2456) (40,23, 0,2477) (60,54, 0,2455) (100,00, 0,2462) (fcut/Hz) (674.6) (506.6) (330.5) (195.0) HNR-Goddard, hBCV-0,9707 0,9710 0,9722 0,9692 (+0/10) 4, â € ¢ 1/10 2) (3.056, -1.385) (1.650, -0.091) (0,561, 1.404) (-0.113, 3.113) (102α, fcut/Hz) (0.805, 458.3) (0.559, 412.6) (0.218, 309.2) (1.063, 198.7) 0.9763 0.9768 0.9782 0.9803 (+0/10) 4, â € ¢ 1/10 2) (2,867, -0,600) (1,514, 0,448) (0,555, 1,425) (-0.165, 3,373) (102α, fcut/Hz) (0.193, 578.0) (-1.797, 441.1) (-4.472, 308.1) (-4.467, 193.4) CUADRO II: FF entre las formas de onda NR y las plantillas PN que incluyen las fases de fusión y de reducción. La tabla superior utiliza La forma de onda de Pretorius, y la tabla inferior utiliza la forma de onda larga de alta resolución de Goddard. El primer número en cada bloque es el FF, y los números entre paréntesis son parámetros de plantilla que logran este FF. Parámetros de la placa en los que se obtiene la mejor coincidencia. El SPAextc (3.5) y el SPA c (4) las familias se modifican ver- sions de la familia SPA, definida en Sec. IVB 2. Investigaremos estos resultados con más detalle en la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial. a continuación. 1. Rendimientos efectivos de plantillas de un solo cuerpo El modelo Epn es el único dominio de tiempo disponible modelo que incluye explícitamente formas de onda descendentes. Lo siento. > 0,96 para todas las formas de onda diana, reafirmando la necesidad de incluir modos de reducción y prueba de que la inclusión de tres QNM con tres Los parámetros de afinación «t», «M» y «J» son suficientes para detec- tion. Como vemos en la Tabla II, los valores de la afinación los parámetros M y J, donde se alcanzan los FF, son diferentes de sus valores físicos. A título de referencia, el La simulación numérica de Goddard predice Mf 0.95M y â € ¢ Jf/M f 0,7 [38], y Epn(3.5) predice Remendar = 0,967 y â € € ¢ Jend/M fin = 0,796, por lo que los dos los parámetros de ajuste deben ser M 1,75% y J 11%. En nuestra búsqueda, por ejemplo, para M = 30M®, J tiende a ser afinado a su valor más bajo posible y t tiende a tomar su alta- es posible valor, lo que indica que empujando el extremo de la Epn(3.5) inspiral a un tiempo posterior da FFs más altos. Puesto que los parámetros M y J dependen del QNM frecuencia y tiempo de decaimiento, mostramos en la Fig. 7 ¿Cómo?............................................................................................................................................................................................................................................................. Las funciones de af [42] para los tres modos varían según las funciones de af [42] utilizado en el modelo Epn(3.5). Las frecuencias tres modos no son realmente diferentes, y crecen monotoni- Cally con el aumento de af. Los tiempos de decadencia, aunque diferente para los tres modos, también crecen monótonamente con aumento de af. Por lo tanto, la enorme pérdida de mo- mentum J, o equivalente al pequeño giro final de BH re- en el modelo Epn(3.5) para lograr FFs altos, indi- gates que bajan las frecuencias y/o decaimiento corto tiempos son necesarios para que este modelo coincida con el número 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 Tiempo (s) -0,02 Frecuencia NR y forma de onda Epn frecuencia y forma de onda (15+15) 0,40 0,45 0,50 0,50 Tiempo (s) (50+50) FIG. 8: Evolución de frecuencia de las formas de onda del modelo Epn(3.5) y de las simulaciones NR del grupo Goddard. A la izquierda y paneles derecho, mostramos evoluciones de frecuencia para dos sistemas binarios de masa igual con masa total 30M® y 100M®. En cada una de ellas panel, hay dos curvas casi monotónicas y dos curvas oscilatorias, donde las primeras son las evoluciones de frecuencia y la Estos últimos son formas de onda binarias de coalescencia. Las curvas sólidas (azul) son de las simulaciones NR, mientras que las curvas discontinuas (rojo) son del modelo Epn(3.5). La línea vertical en cada parcela muestra la posición donde se encuentra la forma de onda de anillo descendente de tres QNM unido a la forma de onda EOB. fusiones y formas de onda descendentes. In Fig. 8, mostramos Goddard NR y Epn(3.5) onda- formas, así como sus evoluciones de frecuencia, para dos Sistemas binarios de masa igual con masas totales de 30M® y 100 millones. En el caso de la masa baja, es decir, M = 30 millones, desde el parte inspiral contribuye a la mayor parte del SNR, el Epn(3,5) modelo se ajusta a la frecuencia y la evolución de fase de la NR bien inspiral, con el inconveniente de que en el punto de unión la frecuencia EOB es sustancialmente superior a la de la forma de onda NR. Entonces, para encajar en el anillo temprano... forma de onda hacia abajo que tiene mayor amplitud, el ajuste los parámetros tienen que tomar valores en el cuadro II de tal manera que la frecuencia de anillo-abajo es lo suficientemente pequeña como para acercarse a la Frecuencia NR durante la fase inicial de desactivación, según lo indicado en Fig. 8. La forma de onda tardía no es una estafa. el SNR, y por lo tanto no es demasiado que la optimización de la forma de onda de la FF no ade- representa quately esta parte de la forma de onda NR. En el caso de masa más alta, M = 100M®, el modelo Epn(3.5) da mucho mejor, aunque no perfecto, coinciden con la fusión y fases descendentes de la forma de onda NR, en el ex- Pense de tergiversar la parte inicial de la inspiración. Otra vez, esto no es inesperado teniendo en cuenta que en este rango de masa la fusión y las formas de onda de ring-down dominan la Atribución al SNR. Comparando los dos casos discutidos anteriormente, podemos ver que con el procedimiento actual de emparejar la inspiración en el enfoque EOB no es posible obtener una combinación perfecta con toda la NR forma de onda. Sin embargo, debido al limitado detector sensi- El ancho de banda de la tividad, los FF son lo suficientemente altos para la detección. El gran error sistemático en la estimación de la Los rámetros se superarán mejorando la coincidencia EOB- procedimiento durante la parte inspiral, y también mediante la fijación los parámetros de los valores físicos obtenidos por compar- con simulaciones numéricas. Finalmente, en Figs. 9, 10 mostramos el dominio de frecuencia amplitud y fase de las formas de onda NR y EOB. Muy interesante, nos damos cuenta de que la inclusión de tres los modos de anillo-abajo reproducen bastante bien el golpe en el NR frecuencia-dominio amplitud. La frecuencia EOB- fase de dominio también coincide con el NR uno muy bien. 2. Rendimientos de plantilla estacionario-fase-aproximada Las figuras 9, 10 también muestran las fases de frecuencia-dominio y amplitudes para las formas de onda SPAc(3.5) mejor emparejadas. Vemos que a alta frecuencia el NR y el SPAc(3.5) las fases se elevan con diferentes pendientes 3. Basado en este obser... se introducen dos modelos de SPA modificados: • SPAextc (3.5): Modelo SPAc PN con valores no físicos de η y una frecuencia de corte adecuada. El rango de la masa-ratio simétrico η = m1m2/(m1+m2) 2 es ex- tendió desde su rango físico 0 â ¬ 0,25 hasta el antifísico 3 Al examinar en detalle los términos PN en la fase SPAc(3.5) encontrar que la diferencia en pendiente se debe en gran medida a la logarítmica plazo en orden 2.5PN. 100 200 500 Fase NR SPAc(3,5) ext(3,5) Epn(3,5) 100 200 500 Frecuencia (Hz) Amplitud NR Epn(3,5) FIG. 9: Para los sistemas binarios M = 30M + masa igual, com- palpar la fase y amplitud de la onda de frecuencia-dominio- formularios de los modelos SPAc y simulación NR (Goddard grupo). También mostramos la amplitud de la forma de onda de el modelo Epn(3.5). rango 0 â € 1. • SPAYc (4): Modelo SPAc PN con un pedido especial de 4PN término en la fase, y una frecuencia de corte adecuada Fcut. La fase del modelo SPA se conoce hasta el Orden 3.5PN (véase, por ejemplo, Eq. (3.3) de Ref. [33]): • f) = 2ηft0 − 0 − 128ηv5 k, (8) donde v = (γMf)1/3. Coeficiente PN αks, k = 0,..., N, (con N = 7 en orden 3.5PN) son dadas por Eqs. 3.4a), 3.4h) de Ref. [33]. Añadimos el siguiente término en: Orden 4PN: α8 = Y log v, (9) donde Y es un parámetro que fijamos al imponer alta la correspondencia de las actuaciones con las formas de onda NR. Nótese que a término constante en α8 sólo añade un término de orden 4PN que es lineal en f, que se puede absorber en el término 2ηft0. Por lo tanto, para obtener un efecto no trivial, necesitamos introducir un término logarítmico. El coeficiente Y podría en princi- Dependen de η. Determinamos Y optimizando la FFs de masas iguales y desiguales. Nos encontramos con que en el el caso de la masa igual Y no depende significativamente de la masa total binaria y es dada por Y = 3923. Esta última es también cercano al mejor valor de partido obtenido para desigual masas. Más específicamente, está dentro del 4,5% para sistemas binarios. tems de masa ratiom2/m1 = 2. Para seguir explorando la de- Pendencia de Y en η, necesitamos una muestra más grande de formas de onda 50 100 200 Fase NR SPAc(3,5) ext(3,5) Epn(3,5) M=100 50 100 200 Frecuencia (Hz) Amplitud NR Epn(3,5) FIG. 10: Para los sistemas binarios M = 100M® de masa igual, nosotros comparar la fase y amplitud del dominio de frecuencia formas de onda de los modelos SPAc y simulación NR (Dios- dard group). También mostramos la amplitud de la forma de onda del modelo Epn(3.5). para sistemas binarios de masa desigual 4. Como se observa en el cuadro II, las dos familias de plantillas de SPAc modificadas tienen FF > 0.97 (excepto un 0,9693) para todas las formas de onda objetivo, incluso Sin embargo, no existe ninguna fusión explícita ni fase de reducción de la competencia. incluido en la forma de onda. El modelo SPAYc (4) proporciona También una estimación muy buena de los parámetros. In Fig. 11 trazamos Goddard NR y SPAYc (4) onda- formularios para dos sistemas binarios de masa igual con total masasM = 30M+ yM = 100M+. Podemos ver claramente Formas de onda anillada similares a la cola al final del SPAYc (4) formas de onda, que resultan de la inversa de Fourier trans- forma de ondas de dominio de frecuencia que se han cortado at f = fcut. Esta característica bien conocida se llama el Gibbs fenómeno. A primera vista, puede parecer surpris... que el fenómeno de Gibbs, a menudo inconveniente [44] puede proporcionar formas de onda de bajada de anillo razonables en el tiempo dominio. Sin embargo, mirando los espectros de estos formas de onda en el dominio de frecuencia (ver las amplitudes en Figs. 9 y 10), vemos que el SPAYc (4) se corta en la frecuencia de corte (obtenido del FF optimizado) donde los espectros NR también comienzan a caer. Por lo tanto, incluso a pesar de que las formas de onda SPAc de dominio de frecuencia son dis- continua, mientras que las formas de onda NR de frecuencia-dominio son continuas (siendo combinaciones de Lorentzianos), el Las formas de onda de dominio de tiempo SPAc contienen colas con frecuencia- ciones y tasas de decaimiento similares a los modos de reducción de NR. Esperamos que los valores de la frecuencia de corte fcut en el que se maximicen los FFs están bien determinados por 4 Tenga en cuenta que la fase auxiliar introducida en Eq. (239) de Ref. [43] también da lugar a un término en la fase SPA del tipo f log v, excepto un orden de magnitud menor que Y. la frecuencia más alta de las formas de onda NR, es decir, por la frecuencia del QNM fundamental. En la siguiente sección, mostraremos resultados cuantitativos para confirmar esta suposición. 3. Desempeño de la plantilla Buonanno-Chen-Vallisneri En el cuadro II se observa que el BCV y el BCVImpr fam- ilies dan casi los mismos FF para masa relativamente baja sistemas binarios (M = 30, 40M®), mientras que el BCVImpr familia da un poco mejor FFs para mayor masa binario sistemas (M = 60, 100M®). Para sistemas binarios de mayor masa... tems, encontramos que el parámetro α toma valores negativos con una magnitud razonable. Esto se debe a que el ampli- tude de las formas de onda NR en el dominio de frecuencia de- viáticos de la ley de poder f-7/6 sólo cerca de la fusión, que dura alrededor de un ciclo GW. Este ciclo de fusiones es importante sólo cuando la masa total del binario es lo suficientemente alto (ver Fig. 4). [Véase también Ref. [46] cuando sea similar se han hecho las pruebas.] Las familias de plantillas BCV y BCvimper dan FFs casi tan alto como los dados por la familia SPAYc (4), pero este último tiene la ventaja de ser parametrizado directamente en términos de los parámetros binarios físicos, y da errores sistemáticos bastante pequeños. C. Plantillas de dominio de frecuencia para fusión y reducción En esta sección, ampliamos nuestras comparaciones entre las familias SPAc y las formas de onda NR a sistemas binarios de masa (40M + 120M + 40M + 120M + 40M + 40M + 120M + 40M + 40M + 120M + 40M + 40M + 120M + 40M + 40M + 40M + 40M + 120M + 40M + 40M + 40M + 120M + 40M + 120M + 40M + 120M + sistemas binarios de masa con mass-ratios m2/m1 = 1,5 y 2. Las simulaciones numéricas para el binario de masa desigual Los sistemas son del grupo Goddard. Duran para 373M y 430M, respectivamente, y las formas de onda NR tienen 4 ciclos antes de la fusión. En Figs. 12 y 13 mostramos los FF para SPAextc (3.5) y plantillas SPAYc (4), y los valores de fcut que logró estos FF 5. Para todas las combinaciones de masa (ex- (con excepción de M = 40 millones de euros por razones artificiales) Las plantillas SPAc(3.5) son superiores a 0,96 y las FF Las plantillas de SPAYc (4) son superiores a 0,97, confirmando que ambas familias de plantillas se pueden utilizar para buscar GWs de sistemas binarios coalescentes con masas iguales tan grande como 120M® y las relaciones de masa m2/m1 = 2 y 1.5. La Figura 13 muestra que todos los valores de fcut de nuestras búsquedas 5 Tenga en cuenta que debido a las formas cortas de onda NR para la masa desigual sistemas binarios, tenemos que buscar sobre la frecuencia de inicio de plantillas con una cuadrícula gruesa, y esto causa algunas oscilaciones en nuestros resultados. Las oscilaciones son artificiales y se suavizarán en búsquedas reales. Por ejemplo, la caída de FFs en 40 millones de libras esterlinas para los sistemas binarios de masa desigual ocurre porque la onda NR- las formas son demasiado cortas y comienzan en la banda más sensible de LIGO. están dentro de un 10% más grandes que la frecuencia de la QNM mental de un binario de masa igual. Tenemos ha comprobado que si fijamos fcut = 1,07­220/2η, la caída de los FFs menos del 1%. In Fig. 15, mostramos la misma información que en la Fig. 7, excepto que aquí dibujamos lnm y lnm como funciones de la masa-ratio η de un binario no giratorio. Calculamos el giro del BH final en unidades de la masa del fi- BH nal usando el ajuste cuadrático dado por Eq. (3.17a) de Ref. [47]: 3.352η − 2.461η2. (10) Como Fig. 15 shows, 220 libras no cambia mucho, confirmando la insensibilidad del corte en η. Sin embargo, en las búsquedas reales podríamos solicitar que el la familia plantilla tiene algunas desviaciones de la onda- formas predichas por NR. Por ejemplo, un tem- banco de placa podría cubrir una región de fcut que va desde el Schwarzschild órbita circular más estable (ISCO) fre- quency, o la frecuencia de órbita circular más interna (ICO) determinado por la dinámica conservadora 3PN, hasta un un valor ligeramente superior a la frecuencia de Tal QNM. Número de plantillas que deben cubrirse la dimensión fcut depende de las masas binarias. Nosotros encontrar que para cubrir la dimensión de fcut de la 3PN ICO frecuencia a la frecuencia QNM fundamental con una Banco de plantillas SPAextc (3.5), que impone un desajuste < 0,03 entre las plantillas vecinas, sólo necesitamos dos (20) plantillas si M = 30M+ (M = 100M+) y η = 0,25. En este último caso, la coincidencia entre plantillas es más sensible a fcut ya que la mayor parte de la potencia de la señal proviene de los dos últimos ciclos, barriendo a través de una gran frecuencia rango, justo en la banda más sensible de LIGO. El num- ber de plantillas afecta directamente a la potencia computacional necesario, y la tasa de falsa alarma. Nuevas investigaciones son necesarios para determinar la manera más eficiente para buscar en la dimensión de fcut. A efectos de la estimación de parámetros, fig. 14 espectáculos que las plantillas SPAYc (4) son bastante fieles, dando estimaciones razonables de la masa chirp: errores sistemáticos menos de un 8% en valor absoluto para sistemas binarios con M = 40M® hasta M = 120M®. Una diferencia de 8% puede parecer grande, pero las plantillas de SPAYc (4) son no exactamente físico, y lo más importante, para grandes... sistemas binarios masivos, la mayor parte de la información la masa del chirp viene solamente del último ciclo de la inspiración. Nosotros note que cuando la masa binaria total es mayor que 120 millones de francos franceses, los FF son relativamente altos (de 0,93 a 0,97), y las estimaciones de la masa chirp todavía son buenas (dentro de 10%). Sin embargo, para los sistemas binarios con las masas tal, la forma de onda de ring-down domina el SNR, y la familia de plantillas SPAYc (4) se convierte en Nomenológico. Una búsqueda directa podría ser más eficiente. Todos los resultados para los sistemas binarios de masa desigual son ob- contenido utilizando el componente C22 de la letra §4 [10], que es: el término de orden principal cuádruple que contribuye a la 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,16 0,18 Tiempo (s) Forma de onda NR (15+15) 0,45 0,55 0,60 Horas (s) (50+50) FIG. 11: Las formas de onda de coalescencia binarias del modelo SPAYc (4), y las simulaciones NR del grupo Goddard. A la izquierda y paneles derecho mostramos formas de onda para dos sistemas binarios de masa igual con masa total de 30M® y 100M®. Las líneas sólidas mostrar las formas de onda de la simulación NR, y las líneas discontinuas dan las formas de onda mejor emparejadas del modelo SPAYc (4). 40 60 80 100 120 Masa total ( ) ext(3.5): masa igual ext(3,5): razón de masa 2:1 ext(3,5): razón de masa 3:2 (4): masa igual (4): razón de masa 2:1 (4): razón de masa 3:2 FIG. 12: FFs como funciones de la masa binaria total. Los FFs se calculan entre el SPAextc (3.5) o el SPA c 4) plantillas y las formas de onda NR para la masa igual y desigual- sistemas binarios masivos. Radiación GW. Para los sistemas binarios de masa desigual, orden multipolos también puede ser importante, y tenemos que probar el rendimiento de la familia de plantillas directamente utilizando 4o. En el caso de la letra «4», extraída en la dirección perpendicular a la siguiente: la órbita binaria, verificamos que los multipolos de orden superior no cambien sensiblemente los FF. Una forma natural de mejorar los modelos de SPAc sería para sustituir el corte de frecuencia discontinuo por un corte lineal combinación de Lorentzianos. Mostramos aquí un primer intento 40 60 80 100 120 Masa total ( ) ext(3.5): masa igual ext(3,5): razón de masa 2:1 ext(3,5): razón de masa 3:2 (4): masa igual (4): razón de masa 2:1 (4): razón de masa 3:2 Frecuencia del QNM fundamental FIG. 13: Frecuencias de corte como funciones del binario total masa. Mostramos el mejor corte de partido para SPA c (3.5) y Plantillas SPAYc (4) de Fig. 12. La curva negra sólida es la Frecuencia QNM fundamental: 220/2η. Las frecuencias están en unidades de Hz. al hacerlo. La Lorentzian L se obtiene como un Fourier transformación de un sinusoide amortiguado, por ejemplo, para el QNM tenemos ei2lft e±iÃ220tÃ3tÃ3tÃ3n/Ã220 2//23370/220 1 / / 2220 + (2 / f ± + 220) 2L±220(f) (11) 40 60 80 100 120 Masa total ( ) - 0,08 -0,06 -0,04 -0,02 (4): masa igual (4): razón de masa 2:1 (4): razón de masa 3:2 FIG. 14: Errores sistemáticos de la masa chirp como funciones de la masa binaria total cuando se utilizan plantillas SPAYc (4). Mostramos errores de las masas chirp que optimizan los FF de Fig. 12. 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 FIG. 15: Frecuencias y tiempos de decadencia de los menos amortiguados QNM 220, y dos tonos 221 y 222. Las escalas de la frecuencia y el tiempo de desintegración se enumeran en la izquierda y la derecha lados de la parcela, respectivamente. y la transformación (inversa) de Fourier de Eq. 7) dice: hśQNM(f) = An L+22n(f) e • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Restringiendo a las frecuencias positivas sólo mantenemos el L−22n(f) términos. En el dominio de frecuencia adjuntamos la modo fundamental continuamente a la onda SPAYc (4) forma en la frecuencia de anillo-abajo ­220 mediante la afinación de la am- plitud y fase A0 y A0. Denotamos este modelo SPAL1 (obsérvese que también es necesario introducir la parámetro de la BH final como escala para ­220 y ­220). Del mismo modo, definimos el modelo SPAL3 donde los tres Los QNM se combinan. Con las tres amplitudes y fases como parámetros, este modelo es similar a la spin- Familia de plantillas BCV [30] y podemos optimizar el automatismo- icónicamente sobre los 6 parámetros. Como ejemplo, computamos los FF entre el SPAL1(4) o el SPAL3(4) y el NR forma de onda de un binario de masa igual M = 100M®. Uso el LIGO PSD, obtenemos 0,9703 y 0,9817, respec- Tily. Estos FF son comparables a los FF obtenidos con el modelo SPAc más sencillo, mostrado en la Fig. 12. Lo es. sabe que la adición de más parámetros aumenta los FFs pero también aumenta la probabilidad de falsa alarma. Por piel... investigación y comparación con las formas de onda NR nuestro objetivo es expresar la fase y amplitud parame- ters de la Lorentzian en términos de la física binaria pa- rameters, relacionándolos con las amplitudes y fases de los QNM y la física de la fusión. Esos parame... ters son algo similares a los parámetros introducidos arriba para el modelo EOB al modelizar la fusión y Fases descendentes. Queremos enfatizar que los resultados que presentamos en Esta sección es preliminar, en el sentido de que conside- sólo unas pocas combinaciones de masa y las formas de onda NR de los sistemas binarios de masa desigual son bastante cortos. Nunca... sin embargo, estos resultados son lo suficientemente interesantes como para proponer un estudio sistemático de la eficiencia de estas plantillas fam- Ilies a través de simulaciones de Monte Carlo en datos reales. V. CONCLUSIONES En este artículo comparamos NR y formas de onda analíticas Emitida por sistemas binarios que no giran, tratando de sub- soportar el rendimiento de las familias de plantillas PN desarrolladas durante los últimos diez años y actualmente se utiliza para la búsqueda para los GW con detectores basados en tierra, sugiriendo possi- ble mejoras. Primero computamos FF0s (maximizado sólo a tiempo y fase) entre las familias de plantillas PN que mejor coincide con las formas de onda NR [10, 11], es decir, Tpn(3), Tpn(3.5) y Epn(3.5). Mostramos cómo la caída en FF0s no es simplemente determinado por la diferencia de fase acumulada entre formas de onda, pero también depende de la PSD del detector y la masa binaria. Por lo tanto, formas de onda que difieren incluso por un ciclo GW puede tener FF0 + 0,97, dependiendo de la masas binarias (véase Fig. 1). Luego mostramos que las formas de onda NR de la simulaciones de alta resolución y resolución media de la El grupo Goddard está cerca el uno del otro (FF0 alrededor de 0,99, Véase Fig. 2). También estimamos que el FF0 entre las formas de onda NR de alta resolución y exactas son aún más altas, basado en las tasas de convergencia numérica del Goddard simulaciones. En segundo lugar, mediante la costura de formas de onda PN a formas de onda NR construimos formas de onda híbridas, y computamos FF0s (max- imizado sólo en el tiempo y la fase) entre la onda híbrida- formas construidas con diferentes modelos PN, en particular Modelos Tpn(3), Tpn(3.5) y Epn(3.5). Encontramos que para los detectores de LIGO y sistemas binarios de igual masa con masa total M > 30M®, los últimos 11 ciclos de GW más las fases de fusión y reducción de capital contribuyen > 90% de la potencia de señal. Esta información se puede utilizar para establecer el longitud de las simulaciones NR. Los FF0s entre formas de onda híbridas se resumen en Figs. 5, 6. Encontramos que para los detectores de LIGO y sistemas binarios con una masa total superior a 10M®, la simulaciones NR actuales para sistemas binarios de masa igual son lo suficientemente largos como para reducir las diferencias entre híbridos formas de onda construidas con los modelos PN Tpn(3), Tpn(3.5) y Epn(3.5) al nivel de < 3% de desajuste. Por GW detectores con ancho de banda más amplio como el avanzado LIGO y VIRGO, se necesitarán simulaciones NR más largas si masa binaria total M < 10M®. Con la disponibilidad actual longitud capaz de simulaciones numéricas, es difícil de esti- mate de los FFs entre formas de onda híbridas cuánto tiempo las simulaciones deben ser. Sin embargo, de nuestro estudio de la distribución de la potencia de la señal, estimamos que para Sistemas binarios M < 10M®, al menos 80 NR de inspiración ciclos antes de la fusión son necesarios. Finalmente, evaluamos los FFs (maximizados en binarios) masa, tiempo inicial y fase) entre la NR completa (o brid waveforms, dependiendo de la masa binaria total) y varias plantillas de dominio de tiempo y frecuencia PN familias. Para plantillas de dominio de tiempo PN y binarios masa 10M < M < 20M >, para la que la fusión / anillo las fases descendentes no contribuyen significativamente a potencia de señal del detector tal, confirmamos los resultados obtenidos en Refs. [10, 11], en particular que Tpn(3.5) y Epn(3.5) mod- Els tiene FFs altos con una buena estimación de parámetros, es decir, son fieles. Encontramos que el dominio de frecuencia SPA familia tiene altos FFs sólo para los sistemas binarios con M < 20M®, para el que viene la mayor parte de la potencia de la señal desde las primeras etapas de la inspiración. Además, encontramos que es posible mejorar la familia SPA por cualquiera de los dos extendiéndolo a regiones no físicas del espacio de parámetros (como se hace con las plantillas BCV) o mediante la introducción de un anuncio Coeficiente constante de orden 4PN en la fase. Ambas cosas. familias ZEPA modificadas alcanzan altos FF para altas masas sistemas binarios con masas totales de 30M® < M < 120M®. Para plantillas de dominio de tiempo PN y masas binarias M 30MÃ3, encontramos que si una superposiciÃ3n de anillo- modos hacia abajo se une a la forma de onda inspiral, como nat- en el modelo EOB, los FFs pueden aumentar de • 0,8 a > 0,9. Probamos la plantilla actual de Epn(3.5) familia obtenida por unión a la forma de onda inspiral tres QNM [10] alrededor del anillo de luz EOB. En orden tener debidamente en cuenta la energía y la impulso liberado durante las fases de fusión/reducción introdujimos [10] dos parámetros físicos, M y J, cuya dependencia de las masas y giros binarios se determinará mediante comparaciones futuras entre el EOB y Formas de onda NR calculadas para diferentes relaciones de masa y Gira. Encontramos altos FFs 0.96. Debido a pequeñas diferencias... ences entre las formas de onda EOB y NR durante la fi- Masa total ( ) 50 100 150 200 LIGO mejorado Plantilla: NR Plantilla: SPAc ext(3,5) Plantilla: Epn(3.5) FIG. 16: El SNR promedio del cielo para LIGO y mejorado o Detector medio de LIGO versus masa total para un binario de masa igual a 100Mpc. ciclos nales de la evolución, las mejores coincidencias se alcanzan a costa de un gran error sistemático en la operación de concentración abajo los parámetros binarios. Por lo tanto, la plantilla Epn(3.5) familia puede ser utilizado para la detección, pero para el parámetro es- TIMACIÓN que necesita ser mejorado a la hora de emparejar con el ring-down, y también durante la fase inspiral. La re- Las multas pueden alcanzarse (i) introduciendo desviaciones del movimiento circular, ii) añadir términos PN de orden superior en la dinámica del EOB, iii) utilizando en la radiación del EOB ecuaciones de reacción un flujo de energía GW más cerca de la NR flujo, iv) diseño de una mejor compatibilidad con los modos de reducción, etc.. El objetivo sería lograr el desfase entre Formas de onda EOB y NR de menos de un el caso de masa comparable, tal como se obtiene en Ref. [48] en el límite de masa-ratio extremo. De hecho, con un nu- simulaciones mericales, especialmente las que utilizan meta espectral- ods [49], será posible mejorar la inspiración plantillas mediante la introducción de términos PN de orden superior en el formas de onda analíticas calculadas por comparación directa con Forma de onda NR. Plantillas PN de dominio de frecuencia con un La frecuencia de corte fcut proporciona altos FF (> 0,97), incluso para grandes masas. Esto se debe a las colas oscilantes (Gibbs fenómeno) producido al cortar la señal en el dominio de frecuencia. Hemos probado el SPAextc (3.5) y el SPAYc (4) familias de plantillas para masas totales de hasta 120 millones de libras esterlinas, y tres relaciones de masa m2/m1 = 1, 1,5 y 2. Siempre obtener FFs > 0,96, incluso cuando se utiliza una frecuencia de corte fijo, fcut = 1,07­220/2η. Debido a su alta eficiencia, la fe... dad, es decir, bajo error sistemático en el parámetro estima- la plantilla SPAYc (4) familia (o variantes de ella que incluyen a los lorencios) es, a- Gether con el modelo EOB, un buen candidato para la búsqueda- ing coherentemente para los GW de sistemas binarios con total masas de hasta 120 millones de metros cúbicos. In Fig. 16, mostramos el cielo promedio SNRs de un pecado- gle LIGO y detector mejorado o medio LIGO [50], para un binario de masa igual a 100Mpc. Los picos SNR en la masa binaria total M 150M® y muestra el importancia de impulsar las actuales búsquedas de coalescencia sistemas binarios a M > 100M®. En el rango de masas 30M® < M < 120M®, el SNR disminuye sólo ligeramente si filtramos la señal GW con SPAextc (3.5) o Epn (3.5) en lugar de usar formas de onda NR. La diferencia es... entre Epn(3.5) y SPAextc(3.5) es casi indistinguible Capaz. Cuando M > 120M®, aunque el SPA c (3.5) y Epn(3.5) familias de plantilla dan SNRs bastante buenos, es tal vez no es una buena opción para usarlos como el número de los ciclos se reducen a unos pocos. El problema clave en la detección tales GWs es cómo vetar los desencadenantes de no-Gaussian, ruido no estacionario, en lugar de emparejar el señal corta. Este es un problema general en las búsquedas de señales cortas en detectores basados en tierra. Agradecimientos A.B. e Y.P. reconocer el apoyo de la subvención NSF PHY-0603762, y A.B. También del Alfred Sloan Foun... dation. El trabajo en Goddard fue apoyado en parte por la NASA concede O5-BEFS-05-0044 y 06-BEFS06-19. B.K. fue apoyado por el Programa Postdoctoral de la NASA en las Universidades Asociadas de Oak Ridge. S.T.M. era apoyado en parte por el graduado Leon A. Herreid Fel- Lowship. Algunas de las comparaciones con PN y EOB modelos se obtuvieron construyendo en los códigos de Mathematica de- desarrollado en Refs. [14, 30, 31, 45] APÉNDICE A: COMENTARIO SOBRE LAS MANUFACTURAS OBTENIDA DEL BALANCE ENERGÉTICO EQUACIÓN En los modelos adiabáticos PN, como el modelo Tpn utilizado en este papel, las formas de onda se calculan bajo el assump- que el binario evoluciona a través de un se adiabático Quence de órbitas cuasicirculares. Más concretamente, uno sets = 0 y calcula la frecuencia orbital Ecuación energía-equilibrio dE(l)/dt = F(l), donde E(l) es la energía total del sistema binario y F(­) es la Flujo de energía GW. Se computan tanto E(­) como F(­) para órbitas circulares y expresada como una expansión de Taylor en................................................................................................... La evolución adiabática termina en principio en el Órbita circular más interna (ICO) [35], o energía mínima Órbita circular (MECO) [30], donde (dE/dŁ) = 0. Reescribiendo la ecuación energía-balance, puede ser integrado directamente como (t) = dE(­)/d . (A1) El RHS de Eq. (A1) puede expresarse como una expansión en el poder de.................................................................................................................................................................. La versión ampliada es ampliamente utilizada en la generación de formas de onda PN adiabáticas [20, 30, 31, 45], se utiliza para generar la llamada familia de plantillas Tpn. Lo siento. Resulta que Tpn(3) y Tpn(3.5) están bastante cerca de la Formas de onda inspirante NR [10, 11]. Nos preguntamos si utilizar el equilibrio energético en forma de Eq. (A1), es decir, sin expandirlo, podría dar formas de onda PN más cerca de o más lejos de las formas de onda NR. En principio, la adiabática secuencia de órbitas circulares descritas por Eq. (A1) termina en el ICO, por lo que el modelo adiabático debe funcionar mejor hasta el ICO y empezar a desviarse (con va al infinito) del resultado exacto más allá de él. In Fig. 17 se muestra la frecuencia orbital NR (t) a- gether con la frecuencia orbital PN obtenida por solv- la forma inexpandida y expandida de la energía- Ecuación de balance. La evolución de la frecuencia en estos dos casos es bastante diferente, con la frecuencia orbital com- puesto de la ecuación de equilibrio energético expandido de acuerdo- Con el NR, es mucho mejor. Cuando muchos, extremadamente precisa, los ciclos de GW de NR estarán disponibles, será vale la pena comprobar si este resultado sigue siendo cierto. [1] A. Abramovici y otros, Science 256, 325 (1992); http://www.ligo.caltech.edu. [2] H. Lück y otros, Class. Quant. Grav. 14, 1471 (1997); http://www.geo600.uni-hannover.de. [3] M. Ando et al., Phys. Rev. Lett. 86, 3950 (2001); http://tamago.mtk.nao.ac.jp. [4] B. Caron y otros, Class. Quant. Grav. 14, 1461 (1997); http://www.virgo.infn.it. [5] http://www.lisa-science.org/resources/ talks-articles/science/lisa_science_case.pdf [6] F. Pretorius, Phys. Rev. Lett. 95, 121101 (2005). [7] M. Campanelli, C.O. Lousto, P. Marronetti e Y. Zlo... Chower, Phys. Rev. Lett. 96, 111101 (2006). [8] J. Baker, J. Centrella, D. Choi, M. Koppitz y J. van Medidor, Phys. Rev. Lett. 96, 111102 (2006). [9] M. Campanelli, C.O. Lousto, y Y. Zlochower, Phys. Rev. D 74, 041501 (2006); ibíd. D 74, 084023 (2006); U. Sperhake, gr-qc/0606079; J. González, U. Sperhake, B. Brügmann, M. Hannam, y S. Husa, Phys. Rev. Lett. 98, 091101 (2007); B. Szilagyi, D. Pollney, L. Rezzolla, http://www.ligo.caltech.edu http://www.geo600.uni-hannover.de http://tamago.mtk.nao.ac.jp http://www.virgo.infn.it http://www.lisa-science.org/resources/ talks-articles/science/lisa_science_case.pdf gr-qc/0606079 100 200 300 400 500 600 700 Tiempo(M) Ecuación de equilibrio energético ampliado Ecuación de equilibrio energético sin expansión Resultado de la simulación NR FIG. 17: Evolución de la frecuencia orbital. Las curvas punteadas y discontinuas se calculan a partir de las curvas no ampliadas y expandidas. Ecuaciones de equilibrio energético. La curva continua se refiere a la simulación de Goddard NR muy larga. J. Thornburg y J. Winicour, gr-qc/0612150; F. Pre- torius y D. Khurana, gr-qc/0702084. [10] A. Buonanno, G. Cook, y F. Pretorius, Phys. Rev. D 75 (2007) 124018. [11] J. Baker, J. van Meter, S. McWilliams, J. Centrella, y B. Kelly (2006), gr-qc/0612024. [12] P. Jaranowski, y G. Schäfer, Phys. Rev. D 57, 7274 (1998); Erratum-ibid D 63 029902; L. Blanchet, y G. Faye, Phys. Rev. D 63, 062005 (2001); V. C. de An- Drade, L. Blanchet, y G. Faye, clase. Quant. Grav. 18, 753 (2001); T. Damour, P. Jaranowski, y G. Schäfer, Phys. Lett. B 513, 147 (2001); L. Blanchet, G. Faye, B.R. Iyer, y B. Joguet, Phys. Rev. D 65, 061501(R) (2002); L. Blanchet, y B.R. Iyer, clase. Quant. Grav. 20, 755 (2003); Erratum-ibid D 71, 129902 (2005); L. Blanchet, T. Damour, G. Esposito-Farese y B.R. Iyer, Phys. Rev. Lett. 93, 091101 (2004). [13] A. Buonanno, y T. Damour, Phys. Rev. D 59, 084006 (1999). [14] A. Buonanno, y T. Damour, Phys. Rev. D 62, 064015 (2000). [15] A. Buonanno, y T. Damour, Actas de IX Reunión Marcel Grossmann (Roma, julio de 2000), gr-qc/0011052. [16] T. Damour, P. Jaranowski, y G. Schäfer, Phys. Rev. D 62, 084011 (2000). [17] T. Damour, Phys. Rev. D 64, 124013 (2001). [18] A. Buonanno, Y. Chen, y T. Damour, Phys. Rev. D 74, 104005 (2006). [19] T. Damour, B.R. Iyer, y B.S. Sathyaprakash, Phys. Rev. D 57, 885 (1998). [20] T. Damour, B. Iyer, y B. Sathyaprakash, Phys. Rev. D 63, 044023 (2001); ibíd. D 66, 027502 (2002). [21] T. Baumgarte, P. Brady, J.D.E. Creighton, L. Lehner, F. Pretorius, y R. DeVoe (2006), gr-qc/0612100. [22] J. W. York, Jr., Phys. Rev. Lett. 82, 1350 (1999). [23] E. Gourgoulhon, P. Grandclément, y S. Bonazzola, Phys. Rev. D 65, 044020 (2002). [24] P. Grandclément, E. Gourgoulhon, y S. Bonazzola, Phys. Rev. D 65, 044021 (2002). [25] H. P. Pfeiffer L. E. Kidder, M. S. Scheel, y S. A. Teukol- cielo, Comp. Phys. Comm. 152, 253 (2003). [26] G. B. Cook, y H. P. Pfeiffer, Phys. Rev. D 70, 104016 (2004); M. Caudill, G.B. Cook, J.D. Grigsby, y H. Pfeiffer, Phys. Rev. D 74, 064011 (2006). [27] S. Brandt y B. Brügmann, Phys. Rev. Lett. 78, 3606 (1997). [28] C. Cutler y otros, Phys. Rev. Lett. 70, 2984 (1993). [29] T. Damour, B.R. Iyer, y B.S. Sathyaprakash, Phys. Rev. D 67, 064028 (2003). [30] A. Buonanno, Y. Chen, y M. Vallisneri, Phys. Rev. D 67, 104025 (2003); Erratum-ibid. D 74, 029904 (2006). [31] A. Buonanno, Y. Chen, y M. Vallisneri, Phys. Rev. D 67, 024016 (2003); Erratum-ibid. D 74, 029903 (2006). [32] T. Damour, B. Iyer, P. Jaranowski y B. Sathyaprakash, Phys. Rev. D 67, 064028 (2003). [33] K. G. Arun, B.R. Iyer, B.S. Sathyaprakash, y P. Sun... Dararajan, Phys. Rev. D 71, 084008 (2005); Erratum-ibid D 72, 069903 (2005). [34] T. Damour, E. Gourgoulhon, y P. Grandclément, Phys. Rev. D 66, 024007 (2002); P. Grandclément, E. Gourgoulhon, y S. Bonazzola, Phys. Rev. D 65, 044021 (2002). [35] L. Blanchet, Phys. Rev. D 65, 124009 (2002). [36] L.S. Finn, Phys. Rev. D 46, 5236 (1992); L. S. Finn y D.F. Chernoff, Phys. Rev. D 47, 2198 (1993); É.E. Flana... Gan y S.A. Hughes, Phys. Rev. D 57, 4535 (1998). [37] http://www.ligo.caltech.edu/advLIGO/scripts/ref_ des.shtml [38] J. Baker, S. McWilliams, J. van Meter, J. Centrella, D. Choi, B. Kelly, y M. Koppitz (2006), gr-qc/0612117. [39] J. Baker, M. Campanelli, F. Pretorius e Y. Zlochower (2007), gr-qc/0701016. [40] B. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration), Phys. Rev.D 72, 082001 (2005). [41] B. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration), Phys. Rev. D 73, 062001 (2006). [42] E. Berti, V. Cardoso, y C. Will, Phys. Rev. D 73, 064030 (2006). [43] L. Blanchet, Rev. Rel. 9 (2006) 4. [44] T. Damour, B. Iyer, y B. Sathyaprakash, Phys. Rev. D 62, 084036 (2000). gr-qc/0612150 gr-qc/0702084 gr-qc/0612024 gr-qc/0011052 gr-qc/0612100 http://www.ligo.caltech.edu/advLIGO/scripts/ref_ des.shtml gr-qc/0612117 gr-qc/0701016 [45] Y. Pan, A. Buonanno, Y. Chen, y M. Vallisneri, Phys. Rev. D 69, 104017 (2004). [46] P. Ajith et al. (2007) (en preparación). [47] E. Berti, V. Cardoso, J. González, U. Sperhake, M. Han- nam, S. Husa, y B. Brügmann (2007), gr-qc/0703053. [48] A. Nagar, T. Damour, y A. Tartaglia, gr-qc/0612096 T. Damour, y A. Nagar, Actas del XI Marcel Grossmann Meeting (Berlín, julio de 2006), gr-qc/0612151. [49] H. P. Pfeiffer, D.A. Brown, L.E. Kidder, L. Lindblom, G. Lovelace, y M. A. Scheel (2007), gr-qc/0702106. [50] http://www.ligo.caltech.edu/~rana/NoiseData/S6/ DCnoise.txt. gr-qc/0703053 gr-qc/0612096 gr-qc/0612151 gr-qc/0702106 http://www.ligo.caltech.edu/~rana/NoiseData/S6/ DCnoise.txt

Comparamos las formas de onda obtenidas por binarios no giratorios en evolución numérica los agujeros negros a las familias de plantillas post-Newtonian (PN) que se utilizan actualmente en el búsqueda de ondas gravitacionales por detectores terrestres. Nos encontramos con que la tiempo-dominio 3.5PN plantilla familia, que incluye la fase inspiral, ha factores de ajuste (FFs) > 0,96 para sistemas binarios con masa total M = 10 ~ 20 Msun. La familia de plantillas de tiempo-dominio 3.5PN eficaz-un-cuerpo, que incluye las fases inspirales, de fusión y de reducción, dan una coincidencia satisfactoria de la señal rendimiento con FF > = 0,96 para sistemas binarios con masa total M = 10 ~ 120 Msun. Si introducimos una frecuencia de corte correctamente ajustada a la final negro-agujero de la frecuencia de anillo hacia abajo, encontramos que el dominio de la frecuencia familia de plantillas estacionaria-fase-aproximada a orden 3.5PN tiene FFs = 0,96 para sistemas binarios con masa total M = 10 ~ 20 Msun. Sin embargo, para obtener alta resultados coincidentes para grandes masas binarias, necesitamos o bien extender este familia a regiones no físicas del espacio de parámetros o introducir un orden 4PN coeficiente en la fase de frecuencia-dominio GW. Por último, nos encontramos con que la La familia fenomenológica Buonanno-Chen-Vallisneri tiene FF = 0,97 con total masa M=10 ~ 120Msun. Los análisis principales utilizan la densidad espectral de ruido de LIGO, pero varias pruebas se extienden a VIRGO y LIGO avanzado ruido-espectral densidades.

Una comparación basada en análisis de datos de binarios de coalescencia analítica y numérica formas de onda: caso no giratorio Yi Pan,1 Alessandra Buonanno,1 John G. Baker,2 Joan Centrella,2 Bernard J. Kelly,2 Sean T. McWilliams,1 Frans Pretorius,3 y James R. van Meter2, 4 Departamento de Física, Universidad de Maryland, College Park, MD 20742 Laboratorio de Astrofísica Gravitacional, Centro de Vuelo Espacial Goddard de la NASA, 8800 Greenbelt Rd., Greenbelt, MD 20771 Departamento de Física, Universidad de Princeton, Princeton, NJ 08544 Centro de Ciencia y Tecnología Espaciales, Universidad de Maryland, Condado de Baltimore, Departamento de Física, 1000 Hilltop Circle, Baltimore, MD 21250 (Fecha: 22 de octubre de 2018) Comparamos las formas de onda obtenidas por los agujeros negros binarios no giratorios en evolución numérica con post- Las familias de plantillas newtonianas (PN) utilizadas actualmente en la búsqueda de ondas gravitacionales por tierra- Detectores basados. Encontramos que la familia de plantillas de tiempo-dominio 3.5PN, que incluye la inspiración fase, tiene factores de ajuste (FFs) ≥ 0,96 para sistemas binarios con masa totalM = 10–20M®. El tiempo... dominio 3.5PN familia de plantillas eficaces de un solo cuerpo, que incluye la inspiración, fusión y reducción fases, da un rendimiento satisfactorio de correlación de señales con FFs ≥ 0,96 para sistemas binarios con total masa M = 10–120M®. Si introducimos una frecuencia de corte correctamente ajustada al agujero negro final frecuencia de llamada hacia abajo, encontramos que la plantilla de frecuencia-dominio estacionario-fase-aproximada familia en orden de 3,5PN tiene FFs ≥ 0,96 para sistemas binarios con masa total M = 10–20M®. Sin embargo, para obtener altas prestaciones de emparejamiento para grandes masas binarias, necesitamos o bien extender esta familia a las regiones no físicas del espacio de parámetros o introducir un coeficiente de orden 4PN en la frecuencia- fase GW de dominio. Finalmente, encontramos que la familia fenomenológica Buonanno-Chen-Vallisneri tiene FF ≥ 0,97 con masa total M = 10–120M®. Los análisis principales utilizan la densidad espectral del ruido de LIGO, pero varias pruebas se extienden a VIRGO y avanzado LIGO ruido-densidades espectrales. Números PACS: 04.25.Dm, 04.30.Db, 04.70.Bw, x04.25.Nx, 04.30.-w, 04.80.Nn, 95.55.Ym I. INTRODUCCIÓN La búsqueda de ondas gravitacionales (GWs) lescing sistemas binarios con interferómetro láser GW de- tectores [1, 2, 3, 4, 5] se basa en el filtrado emparejado técnica, que requiere un conocimiento preciso de la forma de onda de la señal entrante. En la última pareja de Durante años ha habido varios avances en numeri- la relatividad cal (NR) [6, 7, 8], y ahora grupos independientes son capaces de simular la inspiración, la fusión y el ring-down fases de las hipótesis genéricas de fusión de agujeros negros (BH), en con diferentes orientaciones de giro y relaciones de masa [9]. Sin embargo, el alto costo computacional de la ejecución de simulaciones dificultan la generación de suficiente tiempo formas de onda inspirales que cubren el espacio de parámetros de como- interés trofísico. Las referencias [10, 11] encontraron un buen acuerdo entre ana- lytic (basado en la expansión post-Newtonian (PN)) y formas numéricas de onda emitidas durante la fusión inspiral, y fases descendentes de masa igual, binarios no giratorios BHs. En particular, el mejor acuerdo se obtiene con 3PN o 3.5PN formas adiabáticas de onda [12] (denominadas en adelante como Taylor PN waveforms) y 3.5PN eficaz-un-cuerpo (EOB) formas de onda [13, 14, 15, 16, 17, 18, 19]. En addi- a la fase inspiral, las últimas formas de onda incluyen las fases de fusión y reducción. Esas comparaciones Por otra parte, sugiere que debería ser posible diseñar plantillas mericales/analíticas, o incluso puramente analíticas placas con los números completos utilizados para guiar el parche juntos de las formas de onda inspiral y ring-down. Esto es una vía importante para modelar la construcción como eventu- alia miles de plantillas de forma de onda puede ser necesario para extraer la señal del ruido, una demanda imposible sólo para NR. Una vez disponibles, esas plantillas podrían ser: utilizados por los detectores GW del interferómetro láser basados en tierra, como LIGO, VIRGO, GEO y TAMA, y en el por la antena espacial interferómetro láser (LISA) para detección de los GW emitidos por la masa solar y supermasivos BHs binarios, respectivamente. Este artículo presenta un primer intento de investigar la proximidad de las familias de plantillas utilizadas actualmente en GW búsquedas inspirales a formas de onda generadas por simulacro NR- ciones. Sobre la base de esta investigación, propondremos justments a las plantillas para que incluyan la fusión y fases descendentes. En contraste, Ref. [21] examinado el uso de formas de onda numéricas en búsquedas inspiradoras, y se compararon las formas numéricas de onda con el tem- placas utilizadas actualmente en las búsquedas por ráfagas. Similar a la metodología presentada aquí, factores de ajuste (FFs) [véase Eq. (2) infra] se utilizan en Ref. [21] para cuantificar la ac- curacy de formas de onda numéricas con el fin de de- tección, así como la superposición de plantillas de explosión con las formas de onda. Referencia [21] encontró que por computación FF entre formas de onda numéricas de diferentes reso- simulaciones de contaminación de un evento dado, se puede refundir el error numérico como FF máximo que el número La forma de onda puede resolverse. En otras palabras, cualquier otro tem- placa o señal putativa confluida con la resolución más alta simulación numérica de la dilución que da un FF igual a o mayor que este FF máximo es, a los efectos de de- http://arxiv.org/abs/0704.1964v2 Tección, indistinguible de la forma de onda numérica. Estudiaremos brevemente este aspecto del problema. Los conclusiones primarias que sacaremos del análisis no dependen crucialmente de la exactitud de la formas de onda. Lo que cuenta aquí es que las plantillas pueden captar las características espectrales dominantes del verdadero forma de onda. Para nuestro análisis nos centraremos en dos no girar formas de onda de simulación binaria de masa igual que difieren en longitud, condiciones iniciales y los códigos de evolución utilizados para calcularlos: Cook-Pfeiffer cuasi-equilibrio ini- datos de tial construidos en Refs. [22, 23, 24, 25, 26] Código armónico generalizado de Pretorius [6], y Brandt- Los datos de punción de Brügmann [27] evolucionaron utilizando el Goddard código de desplazamiento-puntura del grupo [8]. También consideramos dos simulaciones binarias de masa desigual sin girar con masa cocientes m2/m1 = 1,5 y m2/m1 = 2 producidos por la Grupo Goddard. El documento se organiza de la siguiente manera. In Sec. - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? la diferencia de fase entre la PN inspirante tem- placas. In Sec. III construimos formas de onda híbridas por punto- ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Tratamos de... soportar cuántos ciclos NR son necesarios para obtener buenos acuerdo entre NR y PN waveforms, para ofrecer un Guía para la duración de las formas de onda PN se puede utilizar como accu- plantillas de tarifas. In Sec. IV calculamos los FFs entre varias familias de plantillas PN y formas de onda NR. Nosotros primer enfoque en sistemas binarios de baja masa con masa total M = 10–30M®, a continuación, sistemas binarios de alta masa con a- masa tal M = 30–120M®. Finalmente, Sec. V contiene nuestro Conclusiones principales. En el Apéndice A comentamos cómo diferentes representaciones de las ecuaciones de equilibrio energético dar frecuencias GW más cerca o más lejos de la NR Uno. II. DIFERENCIAS DE FASE EN MODELOS DE INSPIRALACIÓN POSTERIOR A NEGRO A partir de Ref. [28], que señaló la importancia de dad de predicción de la fase de GW con la más alta possi- ble precisión al construir plantillas GW, muchos subse- estudios quent [14, 18, 19, 20, 29, 31, 32, 33] Las reacciones se limitan a los casos no espumosos) centrados sobre esta cuestión y probó a fondo la exactitud de plantillas, proponiendo representaciones mejoradas de ellas. Estas preguntas fueron motivadas por la observación de que sistemas binarios de masa comparable con masa total superior que 30M® se fusionan en banda con la señal-a- más alta relación de ruido (SNR) para los detectores LIGO, las plantillas correspondientes exigen un análisis mejorado. En ausencia de resultados de NR y bajo la urgencia de proporcionar plantillas para la búsqueda de nary BHs, la comunidad analítica de PN empujó PN cal- Culaciones a órdenes PN superiores, en particular orden 3.5PN [12], y también propuso formas de resumir la extensión de la PN sión, ya sea para la dinámica conservadora (el EOB ap- proach [13, 16, 17]), efectos de reacción a la radiación (el Padé la recapitulación [19]), o ambas [14, 18]. Estos resultados conducen a varias conclusiones: i) los términos 3PN mejoran el compar- ion entre el análisis y el cuasiequilibrio (numerical) las predicciones [23, 26, 34, 35]; ii) Taylor se expandió y volvió a predicciones PN resumidas para sistemas binarios de masa igual están mucho más cerca en orden 3.5PN que en PN anterior ordenes, indicando una convergencia entre los diferentes sistemas [18, 20, 31]; iii) la moción de dos cuerpos es circular hasta el final de una inmersión bastante borrosa [14], (iv) la transición al ring-down puede ser descrito por un ex- fase de fusión tremely corta [14, 18]. Hoy, con la NR los resultados que estamos en condiciones de afinar la y empezar a evaluar la proximidad de los análisis plantillas a formas de onda numéricas. A partir de ahora, limitamos el análisis a los tres tiempos... familias de plantilla física de dominio que están más cerca de Resultados NR [10, 11]: el modelo adiabático Taylor PN (Tpn) [véase, por ejemplo, Eqs. (1), (10) y (11)–(13) en Ref. [30]] computado en orden 3PN y 3.5PN, y la nonadia- modelo EOB batico (Epn) [véase, por ejemplo, Eqs. (3.41)–(3.44) in Ref. [14]] computado en orden 3.5 PN. Denotaremos nuestros modelos como Tpn(n) y Epn(n), n siendo el PN o- der. El modelo Tpn se obtiene resolviendo un particular representación de la ecuación de equilibrio. En el apéndice A brevemente discutimos cómo los modelos de tiempo-dominio PN basados en diferentes representaciones de la ecuación de equilibrio energético se compararían con los resultados de NR. Las formas de onda que usamos siempre se derivan en el así- llamada aproximación restringida que utiliza la amplitud en el orden newtoniano y la fase en el PN más alto orden disponible. Se calculan resolviendo PN dy- ecuaciones námicas que proporcionan la frecuencia instantánea (t) y fase (t) = (0 +) (t′)dt′, por lo tanto h(t) = A­(t)2/3 cos[2­(t)], (1) donde t0 y Ł0 son el tiempo y la fase iniciales, respec- tily, y A es una amplitud constante, irrelevante para nuestro debate. La inclusión de correcciones de PN de orden superior a la amplitud puede ser bastante importante para sistemas binarios de masa desigual, y será el tema de un estudio futuro. Al medir las diferencias entre las formas de onda los sopesamos por la potencia espectral-densidad (PSDs) de el detector, y calcular el factor de ajuste ampliamente utilizado (FF) (es decir, la función de ambigüedad o lap), o equivalente al desajuste definido como 1-FF. Fol- rebajar el formalismo estándar del filtrado emparejado [véase, Por ejemplo, Refs. [19, 31, 36]], definimos el FF como la superposición «H1(t), h2(t)» entre las formas de onda h1(t) y h2(t): • h1(t), h2(t) • 4Re h­1(f)h­ Sh(f) FF • máx. # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, H1, h2(t0, ­0, ­ En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, los vehículos de motor de encendido por chispa y los vehículos de motor de encendido por chispa y de encendido por chispa, deberán estar equipados con un sistema de frenado de servicio y un sistema de frenado de servicio para los vehículos de motor de encendido por chispa. donde hśi(f) es la transformación de Fourier de hi(t), y Sh(f) es el PSD del detector. Por lo tanto, el FF es el normalizado la superposición entre una forma de onda objetivo h1(t) y un conjunto de tem- formas de onda de la placa h2(t0, i) maximizado a lo largo de la fase inicial tiempo t0, fase inicial ­0, y otros parámetros ­ i. Algunos... veces que estamos interesados en FFs que están optimizados sólo sobre t0 y Ł0; vamos a denotarlos como FF0. Para los datos... los fines de análisis, el FF tiene un significado más directo que la evolución de fase de las formas de onda, ya que cuenta los PSD y es proporcional al SNR de la señal filtrada. Dado que la tasa de eventos es proporcional a el cubo del SNR, y por lo tanto al cubo del FF, un FF= 0,97 corresponde a una pérdida de tasas de eventos del 10%. Una plantilla de forma de onda se considera una envío de la forma de onda de destino cuando el FF es más grande más de 0,97. Cuando se comparan dos familias de formas de onda, el FF es optimizado durante la fase inicial de la onda de plantilla- forma, y también necesitamos especificar la fase inicial de la forma de onda objetivo. Puesto que no hay fase inicial preferida de la meta, por lo general se adoptan dos opciones: i) fase tial maximiza la FF o (ii) minimiza la FF. Los FF resultantes se denominan los mejores y mini- máx. FF [29]. Todos los FF que presentamos en este documento son min- imax FFs. Aunque el FF de dos familias de forma de onda es En general, asimétrica en el intercambio de la plantilla familia [31], los mejores y los minimax FF0s son simmet- ric (véase el apéndice B de Ref. [29] Para más detalles. De ahora en adelante, al comparar dos familias de forma de onda usando FF0, lo hacemos no es necesario especificar qué familia es el objetivo. Consideraremos tres detectores interferométricos GW: LIGO, avanzado LIGO y VIRGO. Los dos últimos tienen mejor sensibilidad de baja frecuencia y ancho de banda más amplio. Para LIGO, utilizamos el ajuste analítico del LIGO de- signo PSD dado en Ref. [20]; para LIGO avanzado utilizamos la configuración de banda ancha PSD dada en Ref. [37]; para VIRGO utilizamos el PSD dado en Ref. [20]. In Fig. 1, mostramos los FF0s como funciones de la ac- diferencia acumulada en el número de ciclos de GW entre formas de onda generadas con diferentes PN inspirantes modelos y para sistemas binarios con diferentes componentes masas. Primero generamos dos formas de onda evolucionando dos modelos PN, por ejemplo, “PN1” y “PN2” que comienzan en la misma frecuencia GW fGW = 30Hz y tienen la misma fase inicial. Las dos formas de onda se terminan en el misma frecuencia final fGW = defensa hasta un máximo fend,max = min(fend,PN1, fend,PN2), donde fend,PN es el frecuencia a la que termina el modelo de inspiración PN. (Por Tpn modelos esta es la frecuencia a la que la energía PN tiene un mínimo; para los modelos Epn es el anillo de luz EOB frecuencia.) Entonces, calculamos la diferencia en fase y número de ciclos GW acumulados hasta el final frecuencia NGV = ............................................................................................................................................................................................................................................................... 3) Variando el fin (hasta el fin, máx.) no necesariamente monótonamente. Aunque parece que hay ser una correlación floja entre los FF0s y NGW, es es difícil cuantificarlo como una correspondencia uno a uno. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 Tpn(3,5) y Epn(3,5), (3+3) Tpn(3.5) y Epn(3.5), (15+3) Tpn(3.5) y Epn(3.5), (15+15) Tpn(3) & Tpn(3,5), (3+3) Tpn(3) & Tpn(3,5), (15+3) Tpn(3) & Tpn(3,5), (15+15) FIG. 1: Mostramos FF0s entre formas de onda generadas a partir de los tres modelos PN Tpn(3), Tpn(3.5) y Epn(3.5) versus NGV [véase Eq. 3)]. Los FF0s se evalúan con LIGO’s PSD. Nótese que para Tpn(3.5) y Epn(3.5) y a (15+3) binario, el FF0 más bajo es 0,78 y la diferencia en el número de los ciclos de GW 2. En el límite ­NGW → 0, el FF0 va a la unidad. Por ejemplo, una diferencia de fase de alrededor de la mitad de cle ( 0.5 ) se suele pensar que es significativo. Sin embargo, aquí encontramos FF0 relativamente altos entre 0.97 y > 0,99, dependiendo de las masas del binario y el modelo PN específico utilizado. Esto sucede porque el FF entre dos formas de onda no está determinado por el a- la diferencia de fase tal acumulada, sino más bien por cómo la la diferencia de fase se acumula en el detector más banda de frecuencia sensible. La relación entre los FF y diferencias de fase también se desdibuja por la maximización a lo largo del tiempo y la fase iniciales: cambio de la fase por medio ciclo de la banda más sensible a un menos sen- banda sitiva puede aumentar la coincidencia significativamente. Nosotros concluir que con el PSD de LIGO, después de maximizar sólo en la fase inicial y en el tiempo, Epn(3.5) y Tpn(3.5) tem- las placas están cerca unas de otras para la masa comparable bi- sistemas nary M = 6–30M® con FF0 0,97, pero puede ser diferente para las relaciones de masa m2/m1 0.3 con FF0 tan bajo como 0.8. Las plantillas Tpn(3) y Tpn(3.5) tienen: FF0 0,97 para las masas binarias consideradas. Tenga en cuenta que para m2/m1 = 1 [ 0.3] sistemas binarios, Tpn(3.5) está más cerca a Epn(3.5) [Tpn(3)] que a Tpn(3) [Epn(3.5)]. Nota también que al maximizar en las masas binarias los FFs pueden aumentar significativamente, por ejemplo, para un (15 + 3) nary, el FF entre las formas de onda Tpn(3.5) y Epn(3.5) se convierte en > 0,995, mientras que FF0 0,8. III. CONSTRUCCIÓN Y COMPARACIÓN DE HÍBRIDO MANUFACTURAS Comparaciones recientes [10, 11] entre el análisis formas de onda inspirante merical de masa igual y no giratoria sistemas binarios han demostrado que las formas de onda numéricas son en buen acuerdo con Epn(3.5), Tpn(3) y Tpn(3.5) formas de onda. Estos resultados se evaluaron utilizando ocho y dieciséis ciclos GW inspirados numéricos. ¿Podemos concluir? de estos análisis que Epn(3.5), Tpn(3.5) y Tpn(3) se puede utilizar de forma segura para construir un banco de plantillas para detectar ¿Señales GW inspiradoras? Una manera de abordar esta cuestión es calcular el desajuste entre las formas de onda híbridas construido mediante la fijación de formas de onda Epn o Tpn a la la misma forma numérica de onda, y variando el tiempo cuando el accesorio está hecho. Esto es equivalente a variar el número de ciclos numéricos de GW n en el tem- Plato. Cuanto más grande n más pequeño el desajuste, como somos utilizando el mismo segmento numérico en ambas formas de onda. Para un máximo de desajuste deseado, digamos 3%, podemos entonces encontrar el número más pequeño n de ciclos numéricos que es requerido en la forma de onda híbrida. Este número será, de curso, depende de la masa binaria y el PSD de cada uno detector. A. Formas de onda híbridas Construimos formas de onda híbridas conectando onda PN- formas a formas de onda NR en un punto elegido en el último etapa inspiral. Como se mencionó anteriormente, utilizamos ondas NR- formas generadas con el código de Pretorio [10] y el Dios- código del grupo dard [38]. La forma de onda de Pretorius proviene de un binario de masa igual con masa total M, e igual, co- giros rotativos (a = 0,06). La simulación dura 671M, y la forma de onda tiene 8 ciclos antes de la formación de el horizonte común aparente. La forma de onda de Goddard se refiere a un binario no giratorio de masa igual. La simulación... tion dura alrededor de 1516M, y la forma de onda tiene 16 ciclos antes de la fusión. Ya que vamos a presentar los resultados de estas dos formas de onda es útil compararlos primero computando el FF0. Aunque los parámetros binarios considerados por Pretorius Y Goddard es un poco diferente, esperamos que la ola... formas, especialmente alrededor de la fase de fusión, para ser justos Cerca. Comparaciones entre formas de onda (más cortas) com- colocados con punciones móviles y armónicos generalizados En Ref. [39], donde los autores maldijeron las diferentes condiciones iniciales, extracción de ondas técnicas, y comparó la fase, amplitud y fre- quency evoluciones. Dado que las dos simulaciones utilizan dif- condiciones iniciales ferinas y duran para diferentes cantidades de tiempo cortamos la forma de onda más larga de Goddard frecuencia donde comienza la forma de onda Pretorius. En este forma en que comparamos formas de onda que tienen la misma longitud entre la hora inicial y la hora en la que la onda La amplitud alcanza su máximo. In Fig. 2, mostramos el FF0 como función de la masa binaria total. A pesar de... las diferencias en las dos simulaciones los FF0s son bastante altos. Las formas de onda difieren más significativamente a menor frecuencia. cies. De hecho, a medida que la masa total disminuye los FF0s también disminuir a medida que estas primeras partes de la forma de onda contribuyen más a la potencia de la señal dada PSD de LIGO. Cualquier forma de onda extraída de una simulación numérica heredará errores de truncación, afectando tanto a la ola- amplitud y fase de la forma [10, 21, 38]. Para comprobar si esas diferencias cambiarían los resultados de la comparaciones entre formas de onda NR y PN, trazamos en Fig. 2 los FF0s versus la masa binaria total entre dos formas de onda de Goddard generadas a partir de un alto y un Ejecución de resolución media [38]. Los FF0 son extremadamente altos. (> 0,995). Basado en las comparaciones entre alto y medio formas de onda de resolución, podemos estimar los FFs entre alta resolución y formas de onda exactas. Si tenemos varios simulaciones con diferentes resoluciones, especificadas por el malla-espaciados xi, y xi son suficientemente pequeños, podemos asumir que las formas de onda hola son dadas por hi = h0 + x i hd, (4) donde n es el factor de convergencia de la forma de onda, h0 es la forma exacta de onda generada a partir de la resolución infinita ejecutar (x0 → 0), y hd es el error de truncación de orden principal contribución a la forma de onda y es independiente de la Espaciado de malla xi. Nos encontramos con que el desajuste entre el formas de onda hi y hj, 1− FFij, escamas como 1 - FFij â € (x i − x 2. 5) En las simulaciones de Goddard, la alta y mediana resolución los recorridos de dilución tienen relación malla-espaciado xh/xm = 5/6, y la tasa de convergencia de la forma de onda es n = 4 [38]. El FF entre la alta resolución y las formas de onda exactas hh y h0 es dada por FF0h = 1− 0,87(1− FFhm), (6) donde FFhm es el FF entre el alto y el medio formas de onda de resolución hh y hm. Es decir, el el desajuste entre hh y h0 es ligeramente menor que el entre hh y hm, donde este último puede derivarse de los FF mostrados en la Fig. 2. A partir de ahora, siempre usaremos formas de onda de alta resolución. Un cálculo similar para Pre- forma de onda de torius da FF0h = 1−0,64(1−FFhm), aunque aquí xh/xm = 2/3 y n = 2. Véase Fig. 6 de Ref. [21] para una parcela de FFhm calculada a partir de la evolución del Cook- Pfeiffer datos iniciales 1; hay FF0 rangos de 0.97 para M/Ms = 30 a 0,99 para M/Ms = 100. En otras palabras, el desajuste entre la ola de Goddard y la de Pretorius- forma que se muestra en la figura 2 es inferior al desajuste estimado de error numérico en esta última forma de onda. Construimos formas de onda híbridas cosiendo juntos el PN y NR waveforms computadas para sistemas binarios con los mismos parámetros. En el punto donde conectamos el 1 La parcela en Ref. [21] es para “d=16” que corroe el Cook-Pfeiffer inicial datos, mientras que los resultados presentados aquí son de “d=19” inicial datos. Sin embargo, las resoluciones utilizadas para ambos conjuntos eran las mismas, y, por lo tanto, los desajustes deben ser similares, en particular en el rango de masa más alto. 30 40 50 60 70 80 90 100 Masa total del binario ( ) 0,980 0,985 0,990 0,995 1.000 Resoluciones altas y medianas de Goddard Pretorio y formas de onda Goddard FIG. 2: FF0 entre las formas de onda NR en función de la M de masa total binario. La curva sólida se generan para la onda- formas de Pretorio y el grupo Goddard. Cuanto más tiempo Forma de onda Goddard se acorta de tal manera que ambas formas de onda duran 671M y contienen 8 ciclos. La curva divisoria es gen- gradado para formas de onda de alta resolución y medio simulaciones de resolución del grupo Goddard. Todos los FFs son evaluado utilizando el PSD de LIGO. dos formas de onda, sintonizamos el tiempo inicial t0 para que el frecuencia de la forma de onda PN es casi la misma que la frecuencia de la forma de onda NR (hay una sutileza que intenta para coincidir exactamente con las frecuencias que se discuten en el final de esta sección). A continuación, se elige la fase inicial ­0 para que la cepa de la forma de onda híbrida sea continua en el punto de conexión. In Fig. 3, mostramos dos ejemplos de formas de onda híbridas de un binario de masa igual. Suturamos las formas de onda en los puntos donde los efectos debidos al pulso transitorio de los datos iniciales son Es insignificante. Encontramos una diferencia de amplitud en el orden de un 10% entre la forma de onda de Goddard y la re- Estricto forma de onda PN. Esta diferencia también está presente en La forma de onda de Pretorius, pero es algo compensada por por modulación de amplitud causada por la excentricidad en el datos iniciales. In Ref. [38] se demostró que las formas de onda PN con correcciones de amplitud 2.5PN dan mejor acuerdo (véase, por ejemplo, Fig. 12 in Ref. [38]). Sin embargo, el máximo Los errores de amplitud en las formas de onda también están en el o- der del 10% [10, 38]. Puesto que ni 2PN ni otros inferiores PN orden correcciones a las amplitudes están más cerca de la Orden 2.5PN, no podemos concluir que 2.5PN amplitud Las correcciones se aproximan mejor a las ondas numéricas. Por lo tanto, Decidimos utilizar dos conjuntos de formas de onda híbridas: structed con formas de onda PN restringidas, y el otro con formas de onda PN restringidas redistribuidas por un solo factor tude, que elimina las diferencias de amplitud con las formas de onda NR. Veremos que la diferencia sea... entre estos dos casos es pequeño para el propósito de nuestro pruebas. La diferencia de amplitud entre la onda PN y la NR- formas se calcula en el mismo punto de conexión GW fre- -500-1000 -1000-1500 -1500-2000 -2000-2500 - 2500. Tiempo (M) Tiempo (M) FIG. 3: Mostramos dos ejemplos de formas de onda híbridas, start- ing de 40Hz. Las formas de onda PN se generan con el Modelo Tpn(3.5) y las formas de onda NR en la parte superior y los paneles inferiores se generan a partir de Pretorius’ y Goddard’s simulaciones, respectivamente. Marcamos con un punto el punto donde conectamos las formas de onda PN y NR. Quency. Hay otro efecto que causa un salto en la amplitud de onda híbrida. Esta es una pequeña fre... quency diferencia entre las formas de onda PN y NR en el punto de conexión. Todas nuestras formas de onda NR contienen pequeñas excentricidades [10, 38]. Como consecuencia, la frecuencia la evolución oscila (t). Para reducir este efecto fol- bajo lo que se hace en Ref. [38] y ajustar la frecuencia a una función quártica monotónica. Al construir el híbrido forma de onda, ajustamos la frecuencia PN para que coincida con el quar- tic frecuencia ajustada (en lugar de la oscilatoria, numérica frecuencia) en el punto de conexión. Desde el momento en que se restringió La amplitud de la PN es proporcional a la letra t) del punto 2/3 [véase Eq. 1)], esta ligera diferencia entre los dos puntos en el punto de conexión crea otra diferencia entre la NR y la PN am- plitudes. Sin embargo, esta diferencia suele ser menor. (para la forma de onda de Goddard) o comparable (para Pretorius) a la diferencia de amplitud discutida anteriormente. -25 -20 -15 -10 -5 0 Tiempo (100M) Original Blanqueados -25 -20 -15 -10 -5 0 Tiempo (100M) -800 -600 -400 -200 0 Tiempo (M) -800 -600 -400 -200 0 Tiempo (M) -200 -150 -100 -50 0 50 Tiempo (M) -200 -150 -100 -50 0 50 Tiempo (M) (5+5) (10+10) (20+20) (15+15) (30+30) (50+50) FIG. 4: Distribución de la potencia de señal GW. En cada panel, trazamos una forma de onda híbrida (una forma de onda Tpn cosida al Goddard forma de onda) tanto en su forma original (curva azul) como en su forma “blanca” (curva roja) [44]. Mostramos formas de onda de seis sistemas binarios con masas totales de 10M+ 20M+, 30M+, 40M+, 60M+ y 100M+. Las líneas verticales dividen las formas de onda en segmentos, en los que cada segmento aporta el 10% de la potencia total de la señal. B. Distribución de la potencia de la señal en gravedad formas de onda Para comprender mejor los resultados de los FFs entre formas de onda híbridas, queremos calcular cuántos sig- Los ciclos GW nificantes están en la banda de frecuencias LIGO. Por importantes ciclos de GW nos referimos a los ciclos que contribuyen más a la potencia de la señal, o al SNR del filtro señal. Puesto que las frecuencias GW son escaladas por el total bi- la respuesta a esta pregunta depende de ambos el PSD y la masa total de un binario. In Fig. 4, mostramos el efecto del LIGO PSD en el distribución de la potencia de señal para varias ondas emitidas por coalescing sistemas binarios con diferentes masas totales. In cada panel, trazamos una forma de onda híbrida (una forma de onda Tpn cosido a la forma de onda de Goddard) en ambos su original forma y su forma “blanca” [44]. La ola blanqueada... forma es generada por Fourier-transformando el original forma de onda en el dominio de frecuencia, reescalándolo por un fac- tor de 1/ Sh(f), y luego inversa-Fourier-transformando volver al dominio del tiempo. El tiempo de referencia t = 0 es el pico en la amplitud de la forma de onda no blanqueada. La amplitud de un segmento de la forma de onda blanqueada indica la contribución relativa de ese segmento a la potencia de señal y tiene en cuenta el PSD de LIGO. Ambas cosas. formas de onda se trazan con amplitudes arbitrarias, y el uno sin blanquear siempre tiene la amplitud más grande. Los amplitud absoluta de una forma de onda, o equivalente distancia del binario, no es relevante en estas cifras un- menos el z de shift rojo se vuelve significativo. En este caso, el masa del binario es la masa desplazada al rojo (1+ z)M. Ver- líneas ticales en cada figura dividen una forma de onda en segmentos, donde cada segmento aporta el 10% de la señal total Poder. En cada parcela, a excepción del 10M®-binario, nosotros mostrar todas las 9 líneas verticales que dividen las formas de onda en 10 segmentos. En la trama de 10M®-binario omitimos el temprano parte de la fase inspiral que representa el 50% de la potencia de la señal, como sería demasiado largo para mostrar. La escala de tiempo absoluta de una forma de onda aumenta lin- temprano con la masa total M ; equivalentemente la forma de onda es desplazado hacia bandas de frecuencias más bajas. Para un M = 10M + 10M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M + 10 M binaria, la etapa inspiracional larga genera GWs con fre- Quencias que abarcan la parte más sensible del LIGO banda, alrededor de 150Hz, mientras que para un binario M = 100M®, sólo la señal de fusión contribuye en esta banda. Por lo tanto, para sistemas binarios de baja masa, la mayor parte de la contribución a la potencia de la señal viene de la etapa inspiracional larga de la forma de onda, mientras que para los sistemas binarios de alta masa más de la contribución proviene de la tardía inspiración, fusión, y etapas de reducción. Comprensión cuantitativa de la la distribución de la potencia de la señal nos permitirá deducir cuántos, y que, los ciclos GW son significativos a los efectos de análisis de datos. Necesitamos formas de onda exactas de cualquiera de los dos Modelos de PN o simulaciones de NR para, al menos, Ciclos de cánticos. De Fig. 4 concluimos que: • Para un binario M = 10M®, el último 25 Además de las fases de fusión y reducción gradual de la la forma de onda aporta sólo el 50% de la potencia de la señal, y necesitamos 80 ciclos (no se muestra en la figura) de forma de onda inspiral precisa para recuperar el 90% de la potencia de señal. Para un binario M = 20M®, el último 23 ciclos, más las fases de fusión y la forma de onda aporta > 90% de la potencia de la señal, y las simulaciones actuales de NR pueden producir formas de onda de tal longitud; • Para un binario M = 30M®, el último 11 Además de las fases de fusión y reducción gradual de la la forma de onda aporta > 90% de la potencia de la señal, lo que significa que, para los sistemas binarios con a- masa tal superior a 30M®, simulacro de NR actual- ciones, por ejemplo, los dieciséis ciclos obtenidos en Ref. [38], puede proporcionar formas de onda lo suficientemente largas para un emparejado- búsqueda de filtro de la coalescencia binaria, como también se encuentra en Ref. [21]; • Para un binario M = 100M®, > 90% de la señal energía viene del último ciclo inspiracional, fusión y las etapas descendentes de la forma de onda, con dos ciclos que dominan la potencia de la señal. Es por lo tanto pos- capaz de identificar esta forma de onda como una señal de explosión. Análisis similares también se pueden hacer para LIGO avanzado y VIRGO. C. Comparación de formas de onda híbridas Ahora vamos a calcular FF0s entre ondas híbridas- formas. Fijamos la masa total del binario de masa igual en cada comparación, es decir, no optimizamos sobre masa parámetros, pero sólo en fase y tiempo. Usamos el desajuste, definido como 1- FF0, para medir la diferencia entre formas de onda y los calculamos para LIGO, ad- Vanced LIGO, y VIRGO. Tenga en cuenta que mediante el uso de FF0, que prueba la proximidad entre las formas de onda híbridas que son gen- de sistemas binarios con el mismo pa- físico rameters; en otras palabras, probamos si las formas de onda son lo suficientemente precisos para el propósito del parámetro estima- sión, en lugar de con el único propósito de detectar los GW. En el idioma de Ref. [19] Estamos estudiando a los fieles- dad de las plantillas PN 2. Dado que en las etapas tardías de la inspiración, las formas de onda PN son en parte sustituida por formas de onda NR, diferencias entre híbridos Las formas de onda de dos modelos PN son más pequeñas que las entre formas de onda PN puras. En general, cuanto más NR ciclos que utilizamos para generar formas de onda híbridas, 2 Después de Ref. [19], plantillas fieles son plantillas que tienen grandes solapamientos, dicen 96,5%, con la señal esperada maximiz- Sólo durante la fase inicial y la hora de llegada. Por el contrario cuando la maximización se hace también en las masas binarias, el plantillas se llaman eficaces. se espera que la diferencia sea entre estas ondas híbridas formas. Esto es evidente en las Figs. 5, 6 donde mostramos mal... coincidencias entre formas de onda híbridas para sistemas binarios con diferentes masas totales en función del número n. Específicamente, se toman los desajustes entre dos formas de onda híbridas generadas a partir de la misma Forma de onda NR (del grupo Goddard, tomando la última n ciclos, más fusión y reducción) y dos diferentes Las formas de onda PN generadas con las mismas masas. Los desajustes son más bajos para los sistemas binarios con mayores masas totales, ya que la mayor parte de su potencia de señal se concentra en los últimos ciclos próximos a la fusión (véase Fig. 4). Comparación de resultados entre LIGO, avanzado LIGO y VIRGO, vemos que para las mismas formas de onda los desajustes son más bajos cuando se evalúan con el LIGO PSD, y más alto cuando se evalúa con el VIRGO PSD. Esto se debe al ancho de banda mucho más amplio de VIRGO, especialmente a baja frecuencia: la sensibilidad absoluta no es relevante; sólo la forma de los asuntos de la DSP. En VIRGO, la parte inspiral de una forma de onda híbrida tiene mayor peso- en su contribución a la potencia de la señal. Como ya observado al final de Sec. II, podemos ver también que el diferencia entre los modelos Epn(3.5) y Tpn(3.5) es menor que entre el Tpn(3) y el Tpn(3.5) mod- Las figuras 5, 6 muestran un buen acuerdo entre las ondas híbridas. formas. In Sec. IV, como una confirmación adicional de lo que fue encontrado en Refs. [10, 11], veremos que formas de onda PN de los modelos Tpn y Epn tienen un buen acuerdo con el fase inspiral de las formas de onda NR. Por lo tanto, argumentamos que es probable que las formas de onda híbridas tengan alta precisión. De hecho, para la evolución tardía de un binario compacto, donde Las formas de onda NR están disponibles, las formas de onda PN están cerca a las formas de onda NR, mientras que para la evolución temprana de la binario, donde esperamos que las aproximaciones de la PN para trabajar mejor, las formas de onda PN (de los modelos Tpn y Epn) están cerca el uno del otro. Sobre la base de estas observaciones, sacamos las siguientes conclusiones para LIGO, avanzado Análisis de datos de LIGO y VIRGO: • Para sistemas binarios con masa total superior a 30M®, las simulaciones actuales de NR de masa igual sistemas binarios (16 ciclos) son lo suficientemente largos como para re- reducir los desajustes entre las formas de onda híbridas de los tres modelos PN a menos del 0,5%. Dado que estos FFs se logran sin optimizar los parámetros binarios, concluimos que para estos sistemas binarios de alta masa, la pequeña diferencia ser- entre formas de onda híbridas indica baja sistemática error en la estimación de parámetros, es decir, ondas híbridas- las formas son fieles [19]. • Para sistemas binarios con masa total alrededor 10–20M®, 16 ciclos de formas de onda NR pueden reducir el desajuste por debajo del 3%, que normalmente se establece como la tolerancia máxima para la finalidad del análisis de datos (correspondiente a un 10% de pérdida en la tasa de eventos). Por una extrapolación bruta de nuestros resultados, estimamos que con 30 ciclos de forma de onda NR, el desajuste podría 4 6 8 10 12 14 Número de ciclos de forma de onda NR PN restringida PN redistribuida 4 6 8 10 12 14 Número de ciclos de forma de onda NR Frecuencia de ajuste cuartico Frecuencia oscilatoria FIG. 5: Se muestra el desajuste entre formas de onda híbridas en función del número de ciclos de forma de onda NR utilizados para generar las formas de onda híbridas. El LIGO PSD se utiliza para evaluar los desajustes. En el panel izquierdo, comparamos el Epn(3.5) y el Epn(3.5) Modelos Tpn(3.5). En el panel derecho, comparamos los modelos Tpn(3) y Tpn(3.5). De arriba a abajo, las cuatro curvas corresponden a cuatro sistemas binarios de masa igual, con masas totales de 10MÃ3s, 20MÃ3s, 30MÃ3s y 40MÃ3s. Los puntos muestran desajustes tomado entre formas de onda híbridas que se generan con diferentes métodos. En el panel izquierdo, ajustamos la amplitud de formas de onda PN restringidas, de tal manera que se conectan suavemente en amplitud a formas de onda NR. En el panel derecho, para establecer el frecuencia de formas de onda PN en el punto de unión, utilizamos la frecuencia orbital original, en lugar de la cuartica ajustada. (Véase Sec. IIIA para la discusión sobre escalamiento de amplitud y ajuste de frecuencia). 4 6 8 10 12 14 Número de ciclos de forma de onda NR Avanzado LIGO PSD VIRGO PSD 4 6 8 10 12 14 Número de ciclos de forma de onda NR Avanzado LIGO PSD VIRGO PSD FIG. 6: Mismatch entre formas de onda híbridas en función del número de ciclos de forma de onda NR utilizados para generar el híbrido formas de onda. Siguiendo los ajustes de la Fig. 5, se muestran comparaciones entre Epn(3.5) y Tpn(3.5), y Tpn(3) y Tpn(3.5) modelos en los paneles izquierdo y derecho, respectivamente. Los conjuntos sólidos y discontinuados de curvas se generan utilizando los PSDs de Ligo avanzado y VIRGO. En cada conjunto, de arriba a abajo, las tres curvas corresponden a tres sistemas binarios de masa igual, con masas totales de 20 millones, 30 millones y 40 millones. se reducirá a menos del 1%. • Para sistemas binarios con masa total inferior a 10M®, la diferencia entre el Tpn(3) y el Tpn(3) Los modelos Tpn(3.5) son sustanciales para el LIGO avanzado y VIRGO. Su desajuste puede ser > 4% y > 6% respectivamente (no se muestra en la figura). En este rango de masa, persiguiendo más ciclos de forma de onda NR en fase inspiracional tardía no ayuda mucho, ya que el La potencia de señal se acumula lentamente a lo largo de cientos de los ciclos de GW a través de la banda del detector. Nunca... menos, aquí damos desajustes para FF0s que son no optimizado sobre masas binarias. A los efectos de la presente Decisión, se entenderá por: sólo de detección, optimización sobre param binario- eters conduce a desajustes bastante bajos (véase también el fin de Sec. II). En el idioma de Ref. [19] híbrido las formas de onda para la masa total inferior a 10 M- fecundo pero no fiel. IV. MANUFACTURAS NUMÉRICAS CON TEMPLADOS POSTERIORES En esta sección, comparamos la inspiración completa, fusión y reducción de las formas de onda del compacto de coalescencia sistemas binarios generados a partir de simulaciones NR con sus las formas de onda de plantilla PN que mejor coincidan. También comparamos formas de onda híbridas con formas de onda de plantilla PN para menor masa total, centrándose en la fase de inspiración tardía pro- vided por las formas de onda NR. Probamos siete familias de Plantillas PN que se han utilizado en las búsquedas para los GW en LIGO (véase, por ejemplo, Refs. [40, 41]), o candidatos prometedores para búsquedas en curso y futuras con detectores basados en tierra. Evaluamos el perfor- mance de plantillas PN computando los FFs maxi- mized en fase, tiempo y parámetros binarios. Como nosotros deberá ver, para las formas de onda híbridas de los sistemas binarios con una masa total de M ≤ 30M®, ambos dominios de tiempo fam- ilies Tpn(3.5) y Epn(3.5), que incluye una superposi- ciones de tres modos de reducción, funcionan bien, confirmando lo que se encontró en Refs. [10, 11]. El estándar estacionario... familia de plantillas aproximadas de fase (SPA) en la familia de dominio quency tiene altos FFs sólo para los sistemas binarios con M < 20 millones de libras esterlinas. Después de investigar en detalle la fase GW en el dominio de frecuencia, y habiendo entendido por qué hap- plumas (ver Sec. IVB2), introducimos dos SPA modificado plantilla familias (definido en Sec. IVB 2) para sistemas binarios Tems con masa total M ≥ 30M®. En general, para las masas M ≥ 30M®, la familia de plantillas Epn(3.5) en el tiempo principal y las dos familias de plantillas de SPA modificadas en el el dominio de frecuencia muestra las prestaciones más compatibles. A. Forma de onda numérica y post-Newtonian plantillas Para los sistemas binarios con masa total M ≥ 30M®, la Los últimos 8–16 ciclos contribuyen con más del 80–90 % de los sig- nal, por lo que en este caso utilizamos sólo la onda NR- formas. Por el contrario, para sistemas binarios con masa total 10 ≤ M ≤ 30 millones de euros, para los que la fusión y la reducción de valor fases de las formas de onda contribuyen sólo â € 1-10%, nosotros utilizar las formas de onda híbridas, generadas por la costura Tpn formas de onda a las formas de onda Goddard NR. Queremos enfatizar que los FF computados para diferen- Las formas numéricas de onda ent destino no pueden ser directamente com- se lidiaron el uno con el otro. Por ejemplo, la onda Goddard... forma es más largo que la forma de onda Pretorio, y los FFs son en algún momento ligeramente más bajo usando la forma de onda Goddard. Este es un efecto completamente artificial, debido al hecho de que es mucho más fácil ajustar los parámetros de la plantilla y obtener un FF grande con una forma de onda objetivo más corta que un Uno más largo. Consideramos siete familias de plantillas PN. Los dos familias de dominio del tiempo introducidas en Sec. II son: • Tpn(3.5) [30, 31]: El modelo inspirado de Taylor. • Epn(3.5) [10, 13, 14, 16, 19]: El modelo EOB que incluye una superposición de tres modos cuasinormales (QNM) del BH final. Estos están etiquetados por tres in- tegers (l,m,n) [42]: el QNM menos amortiguado (2, 2, 0) y dos matices (2, 2, 1) y (2, 2, 2). La ola de derribo... la forma se da como: hQNM(t) = − (t-tendencia)/­22n cos [­ 22n(t- tendencia) + ­n], en los que ­lmn y ­lmn son la frecuencia y el tiempo de decaimiento de el QNM (l,m, n), determinado por la masa Mf y el spin af del BH final. Cantidades en Eq. 7).................................................................................................................................................. son la amplitud y la fase del QNM (2, 2, n). Ellos se obtienen imponiendo la continuidad de h+ y h×, y sus derivados de primera y segunda vez, en el momento de Coincidiendo con el partido. Además de los parámetros de masa, nuestro Epn el modelo contiene otros tres parámetros físicos: y J. En el parámetro «t» se tiene en cuenta la posible dif- diferencias entre el momento en que tienden los modelos EOB final y el tiempo de partido en el que la coincidencia a anillo- Abajo está hecho. Más explícitamente, establecemos tmatch = (1t)tend, y si t > 0, extrapolamos la evolución del EOB, y establecer un límite superior para la búsqueda en la que la extrapolación falla. Los parámetros M y J describen posibles diferencias. ences entre los valores de la masa Mend momentum angular â € ¢ Jend/M final al final de la EOB inspiral y la masa BH final y mo- Mentum. (El final de la inspiración EOB ocurre alrededor de el anillo de luz EOB.) Las diferencias se deben al hecho de que que el sistema aún no ha liberado energía y angular el impulso durante la fase de fusión y a la solución estacionaria de BH. Si la masa binaria total e impulso angular al final de el EOB inspiral son Mend y Jend, establecemos el total masa y momento angular del BH estacionario final ser Mf = (1 − M )Mend y Jf = (1 − J)Jend, y utilizar af ­Jf/Mf para calcular ­lmn y ­lmn. Consideramos que el modelo actual de Epn con tres parámetros: J, como un primer intento de construir un modelo físico de EOB para Coincidiendo coherentemente con la inspiración, fusión y reducción fases. Dado que los parámetros de los parámetros están relacionados con la las cantidades, por ejemplo, la pérdida de energía durante el son funciones de los parámetros físicos iniciales de la bi- nary, como masas, giros, etc. En un futuro cercano esperar ser capaz de fijar los valores de â € ~ comparando NR y (mejorado) formas de onda EOB para una amplia gama de binarios parámetros. También consideramos cinco modelos de dominio de frecuencia, en que se introducen más tarde dos (modelos modificados de SPA) in Sec. IVB 2, y tres se introducen aquí: • SPAc(3.5) [33]: Modelo SPAc PN con un Fcut de frecuencia de corte [30, 31]; (5 + 5)Mós (10 + 10)Mós (15 + 15)Mós Potencia de señalización (%) (30, 0,2) (80, 2) (85, 10) HNR-híbrido, hTpn(3,5)– 0,9875 0,9527 0,8975 (M/M®, η) (10,18, 0,2422) (19,97, 0,2500) (29,60, 0,2499) Mörb 0,1262 0,1287 0,1287 HNR-híbrido, hEpn(3,5)– 0,9836 0,9522 0,9618 (M/M®, η) (10,15, 0,2435) (19,90, 0,2500) (29,49,0,2488) (0,02, 12.19, 30.87) (-0,02, 75.03, 95.00) (0,05, 2,38, 92.06) Mörb 0,1346 0,1345 0,1345 HNR-híbrido, hSPAC(3,5)– 0,9690 0,9290 0,8355 (M/M®, η) (10,16, 0,2432) (19,93, 0,2498) (29,08, 0,2500) (fcut/Hz) CUADRO I: FFs entre formas de onda híbridas [Tpn(3.5) forma de onda cosida a la forma de onda Goddard] y plantillas PN. En la primera fila, los dos números entre paréntesis son los porcentajes de la contribución señal-potencia de los 16 ciclos de inspiración NR y los ciclos de fusión/reducción de NR. (La separación entre la inspiración y la fusión/reducción se obtiene utilizando el enfoque EOB) como guía, es decir, igualamos el modelo Epn(3.5) y usamos la posición de anillo ligero EOB como el comienzo de la fase de fusión.) In las filas PN-template, el primer número en cada bloque es el FF, y los números entre paréntesis son parámetros de plantilla que lograr este FF. El último número en cada bloque de los modelos Tpn(3.5) y Epn(3.5) es la frecuencia orbital final de la plantilla de mejor partido. En el caso del modelo Epn, la frecuencia final se calcula en el punto de coincidencia con la fase de anotación, alrededor del anillo de luz EOB. • BCV [31]: Modelo BCV con corrección de amplitud Término (1°f2/3) y una frecuencia de corte adecuada. • BCVImpr [31]: Modelo BCV mejorado con una am- Término de corrección de plitud (1 − αf1/2) y un comió fcut de frecuencia de corte. Incluimos esto mejorado Modelo BCV porque Ref. [10] encontró una desviación de la Amplitud de Fourier-transform de la predic- Durante las fases de fusión y de reducción del riesgo (véase Fig. 22 de Ref. [10]). Aquí asumiremos n = −2/3 en la ley de poder de fn para obtener la forma (1 − αf1/2) de la Corrección de amplitud. Mientras que se encontró [10] que el valor de n está cerca de −2/3 para la l = 2,m = 2 onda- forma, este valor varía ligeramente si otros momentos múltiples se incluyen y si los sistemas binarios con se tienen en cuenta los tios. Finalmente, se espera el parámetro α para ser negativo, pero en nuestra búsqueda real puede tomar ambos valores positivos y negativos. B. Discusión de los resultados de los factores de ajuste En la Tabla I, enumeramos los FFs para formas de onda de destino híbridas y tres familias de plantillas PN: Tpn(3.5), Epn(3.5), y SPAc(3.5), junto con los parámetros de la plantilla en que se obtiene la mejor coincidencia. Como se muestra en la primera fila, en este rango de masa relativamente bajo, es decir, 10M < M < 30M®, las fases de fusión/reducción de las formas de onda aportar sólo una pequeña fracción de la potencia total de la señal, mientras que los últimos 16 ciclos de inspiración de la forma de onda NR aportar una fracción significativa. Por lo tanto, confirmando Recientes alegaciones de Refs. [10, 11], podemos concluir que las familias de plantillas PN Tpn(3.5) y Epn(3.5) tienen buen acuerdo con las formas de onda NR inspirantes. Los El modelo Tpn(3.5) da un FF bajo para M = 30M® porque 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 af /Mf FIG. 7: Frecuencias y tiempos de decadencia de los menos amortiguados QNM 220, y dos tonos 221 y 222. Las escalas de la frecuencia y el tiempo de desintegración se enumeran en la izquierda y la derecha lados de la parcela, respectivamente. para estas masas superiores las fases de fusión/reducción, que el modelo Tpn no incluye, iniciar contribut- a la potencia de la señal. Tenga en cuenta que ambos dominios de tiempo plantillas dan estimaciones bastante buenas de la masa parame- ters. La familia de plantillas SPAc(3.5) da FFs que caen sustancialmente cuando la masa binaria total aumenta de 10M® a 30M®, indicando que esta familia de plantillas puede sólo coinciden con la fase inicial, menos relativista inspiracional de las formas de onda híbridas. Sin embargo, resulta que por modificando ligeramente la forma de onda SPA podemos igualar la Formas de onda NR con FF altas (véase Sec. IVB2). En la Tabla II, enumeramos los FF para las formas de onda NR completas y cinco familias de plantillas PN: Epn(3.5), SPAextc (3.5), SPAYc (4), BCV, y BCVImpr, junto con el tem- (15 + 15)Mós (20 + 20)Mós (30 + 30)Mós (50 + 50)Mós - Pretorius, hEpn(3,5)-0,9616 0,9599 0,9602 0,9787 (M/M®, η) (27,93, 0,2384) (35,77, 0,2426) (52,27, 0,2370) (96,60, 0,2386) (0,08, 0,63, 99,70) (-0,03, 0,48, 94,38) (-0,12, 0,00, 64,14) (0,04, 0,01, 73,01) Pretorius, hSPA c 3,5)– 0,9712 0,9802 0,9821 0,9722 (M/M®, η) (19.14, 08037) (24.92, 0.9097) (36.75, 0.9933) (58.06, 0.9986) (fcut/Hz) (589.6) (476.9) (318.9) (195.9) Pretorius, hSPA c (4)– 0,9736 0,9824 0,9874 0,9851 (M/M®, η) (29,08, 0,2460) (38,63, 0,2461) (57,58, 0,2441) (96,55, 0,2457) (fcut/Hz) (666.5) (501.2) (332.5) (199.4) - Pretorius, hBCV-0,9726 0,9807 0,9788 0,9662 (+0/10) 4, â € ¢ 1/10 2) (2.101, 1.655) (1.178, 1.744) (0.342, 2.385) (-0.092, 3.129) (102α, fcut/Hz) (-1,081, 605,5) (-0,834, 461,7) (0,162, 320,4) (1,438, 204,3) - Pretorius, hBCVimpr- 0,9727 0,9807 0,9820 0,9803 (+0/10) 4, â € ¢ 1/10 2) (2.377, 0.930) (1.167, 1.762) (0.431, 2.077) (-0.109, 3.158) (102α, fcut/Hz) (-3.398, 571.9) (-2.648, 458.3) (-1.196, 319.1) (-3.233, 196.0) (15 + 15)Mós (20 + 20)Mós (30 + 30)Mós (50 + 50)Mós 0.9805 0.9720 0.9692 0.9671 (M/M®, η) (29,25, 0,2435) (38,27, 0,2422) (56,66, 0,2381) (83,52, 0,2233) (0,05, 0,03, 99,90) (0,05, 0,27, 99,17) (0,09, 0,01, 54,56) (0,10, 1,71, 79,75) HNR-Goddard, hSPA (3,5)– 0,9794 0,9785 0,9778 0,9693 (M/M®, η) (21,41, 0,5708) (27,27, 0,6695) (37,67, 0,9911) (60,90, 0,9947) (fcut/Hz) (552.7) (444.4) (318.5) (191.7) HNR-Goddard, hSPA 4) 0,9898 0,9905 0,9885 0,9835 (M/M®, η) (30,28, 0,2456) (40,23, 0,2477) (60,54, 0,2455) (100,00, 0,2462) (fcut/Hz) (674.6) (506.6) (330.5) (195.0) HNR-Goddard, hBCV-0,9707 0,9710 0,9722 0,9692 (+0/10) 4, â € ¢ 1/10 2) (3.056, -1.385) (1.650, -0.091) (0,561, 1.404) (-0.113, 3.113) (102α, fcut/Hz) (0.805, 458.3) (0.559, 412.6) (0.218, 309.2) (1.063, 198.7) 0.9763 0.9768 0.9782 0.9803 (+0/10) 4, â € ¢ 1/10 2) (2,867, -0,600) (1,514, 0,448) (0,555, 1,425) (-0.165, 3,373) (102α, fcut/Hz) (0.193, 578.0) (-1.797, 441.1) (-4.472, 308.1) (-4.467, 193.4) CUADRO II: FF entre las formas de onda NR y las plantillas PN que incluyen las fases de fusión y de reducción. La tabla superior utiliza La forma de onda de Pretorius, y la tabla inferior utiliza la forma de onda larga de alta resolución de Goddard. El primer número en cada bloque es el FF, y los números entre paréntesis son parámetros de plantilla que logran este FF. Parámetros de la placa en los que se obtiene la mejor coincidencia. El SPAextc (3.5) y el SPA c (4) las familias se modifican ver- sions de la familia SPA, definida en Sec. IVB 2. Investigaremos estos resultados con más detalle en la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial. a continuación. 1. Rendimientos efectivos de plantillas de un solo cuerpo El modelo Epn es el único dominio de tiempo disponible modelo que incluye explícitamente formas de onda descendentes. Lo siento. > 0,96 para todas las formas de onda diana, reafirmando la necesidad de incluir modos de reducción y prueba de que la inclusión de tres QNM con tres Los parámetros de afinación «t», «M» y «J» son suficientes para detec- tion. Como vemos en la Tabla II, los valores de la afinación los parámetros M y J, donde se alcanzan los FF, son diferentes de sus valores físicos. A título de referencia, el La simulación numérica de Goddard predice Mf 0.95M y â € ¢ Jf/M f 0,7 [38], y Epn(3.5) predice Remendar = 0,967 y â € € ¢ Jend/M fin = 0,796, por lo que los dos los parámetros de ajuste deben ser M 1,75% y J 11%. En nuestra búsqueda, por ejemplo, para M = 30M®, J tiende a ser afinado a su valor más bajo posible y t tiende a tomar su alta- es posible valor, lo que indica que empujando el extremo de la Epn(3.5) inspiral a un tiempo posterior da FFs más altos. Puesto que los parámetros M y J dependen del QNM frecuencia y tiempo de decaimiento, mostramos en la Fig. 7 ¿Cómo?............................................................................................................................................................................................................................................................. Las funciones de af [42] para los tres modos varían según las funciones de af [42] utilizado en el modelo Epn(3.5). Las frecuencias tres modos no son realmente diferentes, y crecen monotoni- Cally con el aumento de af. Los tiempos de decadencia, aunque diferente para los tres modos, también crecen monótonamente con aumento de af. Por lo tanto, la enorme pérdida de mo- mentum J, o equivalente al pequeño giro final de BH re- en el modelo Epn(3.5) para lograr FFs altos, indi- gates que bajan las frecuencias y/o decaimiento corto tiempos son necesarios para que este modelo coincida con el número 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 Tiempo (s) -0,02 Frecuencia NR y forma de onda Epn frecuencia y forma de onda (15+15) 0,40 0,45 0,50 0,50 Tiempo (s) (50+50) FIG. 8: Evolución de frecuencia de las formas de onda del modelo Epn(3.5) y de las simulaciones NR del grupo Goddard. A la izquierda y paneles derecho, mostramos evoluciones de frecuencia para dos sistemas binarios de masa igual con masa total 30M® y 100M®. En cada una de ellas panel, hay dos curvas casi monotónicas y dos curvas oscilatorias, donde las primeras son las evoluciones de frecuencia y la Estos últimos son formas de onda binarias de coalescencia. Las curvas sólidas (azul) son de las simulaciones NR, mientras que las curvas discontinuas (rojo) son del modelo Epn(3.5). La línea vertical en cada parcela muestra la posición donde se encuentra la forma de onda de anillo descendente de tres QNM unido a la forma de onda EOB. fusiones y formas de onda descendentes. In Fig. 8, mostramos Goddard NR y Epn(3.5) onda- formas, así como sus evoluciones de frecuencia, para dos Sistemas binarios de masa igual con masas totales de 30M® y 100 millones. En el caso de la masa baja, es decir, M = 30 millones, desde el parte inspiral contribuye a la mayor parte del SNR, el Epn(3,5) modelo se ajusta a la frecuencia y la evolución de fase de la NR bien inspiral, con el inconveniente de que en el punto de unión la frecuencia EOB es sustancialmente superior a la de la forma de onda NR. Entonces, para encajar en el anillo temprano... forma de onda hacia abajo que tiene mayor amplitud, el ajuste los parámetros tienen que tomar valores en el cuadro II de tal manera que la frecuencia de anillo-abajo es lo suficientemente pequeña como para acercarse a la Frecuencia NR durante la fase inicial de desactivación, según lo indicado en Fig. 8. La forma de onda tardía no es una estafa. el SNR, y por lo tanto no es demasiado que la optimización de la forma de onda de la FF no ade- representa quately esta parte de la forma de onda NR. En el caso de masa más alta, M = 100M®, el modelo Epn(3.5) da mucho mejor, aunque no perfecto, coinciden con la fusión y fases descendentes de la forma de onda NR, en el ex- Pense de tergiversar la parte inicial de la inspiración. Otra vez, esto no es inesperado teniendo en cuenta que en este rango de masa la fusión y las formas de onda de ring-down dominan la Atribución al SNR. Comparando los dos casos discutidos anteriormente, podemos ver que con el procedimiento actual de emparejar la inspiración en el enfoque EOB no es posible obtener una combinación perfecta con toda la NR forma de onda. Sin embargo, debido al limitado detector sensi- El ancho de banda de la tividad, los FF son lo suficientemente altos para la detección. El gran error sistemático en la estimación de la Los rámetros se superarán mejorando la coincidencia EOB- procedimiento durante la parte inspiral, y también mediante la fijación los parámetros de los valores físicos obtenidos por compar- con simulaciones numéricas. Finalmente, en Figs. 9, 10 mostramos el dominio de frecuencia amplitud y fase de las formas de onda NR y EOB. Muy interesante, nos damos cuenta de que la inclusión de tres los modos de anillo-abajo reproducen bastante bien el golpe en el NR frecuencia-dominio amplitud. La frecuencia EOB- fase de dominio también coincide con el NR uno muy bien. 2. Rendimientos de plantilla estacionario-fase-aproximada Las figuras 9, 10 también muestran las fases de frecuencia-dominio y amplitudes para las formas de onda SPAc(3.5) mejor emparejadas. Vemos que a alta frecuencia el NR y el SPAc(3.5) las fases se elevan con diferentes pendientes 3. Basado en este obser... se introducen dos modelos de SPA modificados: • SPAextc (3.5): Modelo SPAc PN con valores no físicos de η y una frecuencia de corte adecuada. El rango de la masa-ratio simétrico η = m1m2/(m1+m2) 2 es ex- tendió desde su rango físico 0 â ¬ 0,25 hasta el antifísico 3 Al examinar en detalle los términos PN en la fase SPAc(3.5) encontrar que la diferencia en pendiente se debe en gran medida a la logarítmica plazo en orden 2.5PN. 100 200 500 Fase NR SPAc(3,5) ext(3,5) Epn(3,5) 100 200 500 Frecuencia (Hz) Amplitud NR Epn(3,5) FIG. 9: Para los sistemas binarios M = 30M + masa igual, com- palpar la fase y amplitud de la onda de frecuencia-dominio- formularios de los modelos SPAc y simulación NR (Goddard grupo). También mostramos la amplitud de la forma de onda de el modelo Epn(3.5). rango 0 â € 1. • SPAYc (4): Modelo SPAc PN con un pedido especial de 4PN término en la fase, y una frecuencia de corte adecuada Fcut. La fase del modelo SPA se conoce hasta el Orden 3.5PN (véase, por ejemplo, Eq. (3.3) de Ref. [33]): • f) = 2ηft0 − 0 − 128ηv5 k, (8) donde v = (γMf)1/3. Coeficiente PN αks, k = 0,..., N, (con N = 7 en orden 3.5PN) son dadas por Eqs. 3.4a), 3.4h) de Ref. [33]. Añadimos el siguiente término en: Orden 4PN: α8 = Y log v, (9) donde Y es un parámetro que fijamos al imponer alta la correspondencia de las actuaciones con las formas de onda NR. Nótese que a término constante en α8 sólo añade un término de orden 4PN que es lineal en f, que se puede absorber en el término 2ηft0. Por lo tanto, para obtener un efecto no trivial, necesitamos introducir un término logarítmico. El coeficiente Y podría en princi- Dependen de η. Determinamos Y optimizando la FFs de masas iguales y desiguales. Nos encontramos con que en el el caso de la masa igual Y no depende significativamente de la masa total binaria y es dada por Y = 3923. Esta última es también cercano al mejor valor de partido obtenido para desigual masas. Más específicamente, está dentro del 4,5% para sistemas binarios. tems de masa ratiom2/m1 = 2. Para seguir explorando la de- Pendencia de Y en η, necesitamos una muestra más grande de formas de onda 50 100 200 Fase NR SPAc(3,5) ext(3,5) Epn(3,5) M=100 50 100 200 Frecuencia (Hz) Amplitud NR Epn(3,5) FIG. 10: Para los sistemas binarios M = 100M® de masa igual, nosotros comparar la fase y amplitud del dominio de frecuencia formas de onda de los modelos SPAc y simulación NR (Dios- dard group). También mostramos la amplitud de la forma de onda del modelo Epn(3.5). para sistemas binarios de masa desigual 4. Como se observa en el cuadro II, las dos familias de plantillas de SPAc modificadas tienen FF > 0.97 (excepto un 0,9693) para todas las formas de onda objetivo, incluso Sin embargo, no existe ninguna fusión explícita ni fase de reducción de la competencia. incluido en la forma de onda. El modelo SPAYc (4) proporciona También una estimación muy buena de los parámetros. In Fig. 11 trazamos Goddard NR y SPAYc (4) onda- formularios para dos sistemas binarios de masa igual con total masasM = 30M+ yM = 100M+. Podemos ver claramente Formas de onda anillada similares a la cola al final del SPAYc (4) formas de onda, que resultan de la inversa de Fourier trans- forma de ondas de dominio de frecuencia que se han cortado at f = fcut. Esta característica bien conocida se llama el Gibbs fenómeno. A primera vista, puede parecer surpris... que el fenómeno de Gibbs, a menudo inconveniente [44] puede proporcionar formas de onda de bajada de anillo razonables en el tiempo dominio. Sin embargo, mirando los espectros de estos formas de onda en el dominio de frecuencia (ver las amplitudes en Figs. 9 y 10), vemos que el SPAYc (4) se corta en la frecuencia de corte (obtenido del FF optimizado) donde los espectros NR también comienzan a caer. Por lo tanto, incluso a pesar de que las formas de onda SPAc de dominio de frecuencia son dis- continua, mientras que las formas de onda NR de frecuencia-dominio son continuas (siendo combinaciones de Lorentzianos), el Las formas de onda de dominio de tiempo SPAc contienen colas con frecuencia- ciones y tasas de decaimiento similares a los modos de reducción de NR. Esperamos que los valores de la frecuencia de corte fcut en el que se maximicen los FFs están bien determinados por 4 Tenga en cuenta que la fase auxiliar introducida en Eq. (239) de Ref. [43] también da lugar a un término en la fase SPA del tipo f log v, excepto un orden de magnitud menor que Y. la frecuencia más alta de las formas de onda NR, es decir, por la frecuencia del QNM fundamental. En la siguiente sección, mostraremos resultados cuantitativos para confirmar esta suposición. 3. Desempeño de la plantilla Buonanno-Chen-Vallisneri En el cuadro II se observa que el BCV y el BCVImpr fam- ilies dan casi los mismos FF para masa relativamente baja sistemas binarios (M = 30, 40M®), mientras que el BCVImpr familia da un poco mejor FFs para mayor masa binario sistemas (M = 60, 100M®). Para sistemas binarios de mayor masa... tems, encontramos que el parámetro α toma valores negativos con una magnitud razonable. Esto se debe a que el ampli- tude de las formas de onda NR en el dominio de frecuencia de- viáticos de la ley de poder f-7/6 sólo cerca de la fusión, que dura alrededor de un ciclo GW. Este ciclo de fusiones es importante sólo cuando la masa total del binario es lo suficientemente alto (ver Fig. 4). [Véase también Ref. [46] cuando sea similar se han hecho las pruebas.] Las familias de plantillas BCV y BCvimper dan FFs casi tan alto como los dados por la familia SPAYc (4), pero este último tiene la ventaja de ser parametrizado directamente en términos de los parámetros binarios físicos, y da errores sistemáticos bastante pequeños. C. Plantillas de dominio de frecuencia para fusión y reducción En esta sección, ampliamos nuestras comparaciones entre las familias SPAc y las formas de onda NR a sistemas binarios de masa (40M + 120M + 40M + 120M + 40M + 40M + 120M + 40M + 40M + 120M + 40M + 40M + 120M + 40M + 40M + 40M + 40M + 120M + 40M + 40M + 40M + 120M + 40M + 120M + 40M + 120M + sistemas binarios de masa con mass-ratios m2/m1 = 1,5 y 2. Las simulaciones numéricas para el binario de masa desigual Los sistemas son del grupo Goddard. Duran para 373M y 430M, respectivamente, y las formas de onda NR tienen 4 ciclos antes de la fusión. En Figs. 12 y 13 mostramos los FF para SPAextc (3.5) y plantillas SPAYc (4), y los valores de fcut que logró estos FF 5. Para todas las combinaciones de masa (ex- (con excepción de M = 40 millones de euros por razones artificiales) Las plantillas SPAc(3.5) son superiores a 0,96 y las FF Las plantillas de SPAYc (4) son superiores a 0,97, confirmando que ambas familias de plantillas se pueden utilizar para buscar GWs de sistemas binarios coalescentes con masas iguales tan grande como 120M® y las relaciones de masa m2/m1 = 2 y 1.5. La Figura 13 muestra que todos los valores de fcut de nuestras búsquedas 5 Tenga en cuenta que debido a las formas cortas de onda NR para la masa desigual sistemas binarios, tenemos que buscar sobre la frecuencia de inicio de plantillas con una cuadrícula gruesa, y esto causa algunas oscilaciones en nuestros resultados. Las oscilaciones son artificiales y se suavizarán en búsquedas reales. Por ejemplo, la caída de FFs en 40 millones de libras esterlinas para los sistemas binarios de masa desigual ocurre porque la onda NR- las formas son demasiado cortas y comienzan en la banda más sensible de LIGO. están dentro de un 10% más grandes que la frecuencia de la QNM mental de un binario de masa igual. Tenemos ha comprobado que si fijamos fcut = 1,07­220/2η, la caída de los FFs menos del 1%. In Fig. 15, mostramos la misma información que en la Fig. 7, excepto que aquí dibujamos lnm y lnm como funciones de la masa-ratio η de un binario no giratorio. Calculamos el giro del BH final en unidades de la masa del fi- BH nal usando el ajuste cuadrático dado por Eq. (3.17a) de Ref. [47]: 3.352η − 2.461η2. (10) Como Fig. 15 shows, 220 libras no cambia mucho, confirmando la insensibilidad del corte en η. Sin embargo, en las búsquedas reales podríamos solicitar que el la familia plantilla tiene algunas desviaciones de la onda- formas predichas por NR. Por ejemplo, un tem- banco de placa podría cubrir una región de fcut que va desde el Schwarzschild órbita circular más estable (ISCO) fre- quency, o la frecuencia de órbita circular más interna (ICO) determinado por la dinámica conservadora 3PN, hasta un un valor ligeramente superior a la frecuencia de Tal QNM. Número de plantillas que deben cubrirse la dimensión fcut depende de las masas binarias. Nosotros encontrar que para cubrir la dimensión de fcut de la 3PN ICO frecuencia a la frecuencia QNM fundamental con una Banco de plantillas SPAextc (3.5), que impone un desajuste < 0,03 entre las plantillas vecinas, sólo necesitamos dos (20) plantillas si M = 30M+ (M = 100M+) y η = 0,25. En este último caso, la coincidencia entre plantillas es más sensible a fcut ya que la mayor parte de la potencia de la señal proviene de los dos últimos ciclos, barriendo a través de una gran frecuencia rango, justo en la banda más sensible de LIGO. El num- ber de plantillas afecta directamente a la potencia computacional necesario, y la tasa de falsa alarma. Nuevas investigaciones son necesarios para determinar la manera más eficiente para buscar en la dimensión de fcut. A efectos de la estimación de parámetros, fig. 14 espectáculos que las plantillas SPAYc (4) son bastante fieles, dando estimaciones razonables de la masa chirp: errores sistemáticos menos de un 8% en valor absoluto para sistemas binarios con M = 40M® hasta M = 120M®. Una diferencia de 8% puede parecer grande, pero las plantillas de SPAYc (4) son no exactamente físico, y lo más importante, para grandes... sistemas binarios masivos, la mayor parte de la información la masa del chirp viene solamente del último ciclo de la inspiración. Nosotros note que cuando la masa binaria total es mayor que 120 millones de francos franceses, los FF son relativamente altos (de 0,93 a 0,97), y las estimaciones de la masa chirp todavía son buenas (dentro de 10%). Sin embargo, para los sistemas binarios con las masas tal, la forma de onda de ring-down domina el SNR, y la familia de plantillas SPAYc (4) se convierte en Nomenológico. Una búsqueda directa podría ser más eficiente. Todos los resultados para los sistemas binarios de masa desigual son ob- contenido utilizando el componente C22 de la letra §4 [10], que es: el término de orden principal cuádruple que contribuye a la 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,16 0,18 Tiempo (s) Forma de onda NR (15+15) 0,45 0,55 0,60 Horas (s) (50+50) FIG. 11: Las formas de onda de coalescencia binarias del modelo SPAYc (4), y las simulaciones NR del grupo Goddard. A la izquierda y paneles derecho mostramos formas de onda para dos sistemas binarios de masa igual con masa total de 30M® y 100M®. Las líneas sólidas mostrar las formas de onda de la simulación NR, y las líneas discontinuas dan las formas de onda mejor emparejadas del modelo SPAYc (4). 40 60 80 100 120 Masa total ( ) ext(3.5): masa igual ext(3,5): razón de masa 2:1 ext(3,5): razón de masa 3:2 (4): masa igual (4): razón de masa 2:1 (4): razón de masa 3:2 FIG. 12: FFs como funciones de la masa binaria total. Los FFs se calculan entre el SPAextc (3.5) o el SPA c 4) plantillas y las formas de onda NR para la masa igual y desigual- sistemas binarios masivos. Radiación GW. Para los sistemas binarios de masa desigual, orden multipolos también puede ser importante, y tenemos que probar el rendimiento de la familia de plantillas directamente utilizando 4o. En el caso de la letra «4», extraída en la dirección perpendicular a la siguiente: la órbita binaria, verificamos que los multipolos de orden superior no cambien sensiblemente los FF. Una forma natural de mejorar los modelos de SPAc sería para sustituir el corte de frecuencia discontinuo por un corte lineal combinación de Lorentzianos. Mostramos aquí un primer intento 40 60 80 100 120 Masa total ( ) ext(3.5): masa igual ext(3,5): razón de masa 2:1 ext(3,5): razón de masa 3:2 (4): masa igual (4): razón de masa 2:1 (4): razón de masa 3:2 Frecuencia del QNM fundamental FIG. 13: Frecuencias de corte como funciones del binario total masa. Mostramos el mejor corte de partido para SPA c (3.5) y Plantillas SPAYc (4) de Fig. 12. La curva negra sólida es la Frecuencia QNM fundamental: 220/2η. Las frecuencias están en unidades de Hz. al hacerlo. La Lorentzian L se obtiene como un Fourier transformación de un sinusoide amortiguado, por ejemplo, para el QNM tenemos ei2lft e±iÃ220tÃ3tÃ3tÃ3n/Ã220 2//23370/220 1 / / 2220 + (2 / f ± + 220) 2L±220(f) (11) 40 60 80 100 120 Masa total ( ) - 0,08 -0,06 -0,04 -0,02 (4): masa igual (4): razón de masa 2:1 (4): razón de masa 3:2 FIG. 14: Errores sistemáticos de la masa chirp como funciones de la masa binaria total cuando se utilizan plantillas SPAYc (4). Mostramos errores de las masas chirp que optimizan los FF de Fig. 12. 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 FIG. 15: Frecuencias y tiempos de decadencia de los menos amortiguados QNM 220, y dos tonos 221 y 222. Las escalas de la frecuencia y el tiempo de desintegración se enumeran en la izquierda y la derecha lados de la parcela, respectivamente. y la transformación (inversa) de Fourier de Eq. 7) dice: hśQNM(f) = An L+22n(f) e • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Restringiendo a las frecuencias positivas sólo mantenemos el L−22n(f) términos. En el dominio de frecuencia adjuntamos la modo fundamental continuamente a la onda SPAYc (4) forma en la frecuencia de anillo-abajo ­220 mediante la afinación de la am- plitud y fase A0 y A0. Denotamos este modelo SPAL1 (obsérvese que también es necesario introducir la parámetro de la BH final como escala para ­220 y ­220). Del mismo modo, definimos el modelo SPAL3 donde los tres Los QNM se combinan. Con las tres amplitudes y fases como parámetros, este modelo es similar a la spin- Familia de plantillas BCV [30] y podemos optimizar el automatismo- icónicamente sobre los 6 parámetros. Como ejemplo, computamos los FF entre el SPAL1(4) o el SPAL3(4) y el NR forma de onda de un binario de masa igual M = 100M®. Uso el LIGO PSD, obtenemos 0,9703 y 0,9817, respec- Tily. Estos FF son comparables a los FF obtenidos con el modelo SPAc más sencillo, mostrado en la Fig. 12. Lo es. sabe que la adición de más parámetros aumenta los FFs pero también aumenta la probabilidad de falsa alarma. Por piel... investigación y comparación con las formas de onda NR nuestro objetivo es expresar la fase y amplitud parame- ters de la Lorentzian en términos de la física binaria pa- rameters, relacionándolos con las amplitudes y fases de los QNM y la física de la fusión. Esos parame... ters son algo similares a los parámetros introducidos arriba para el modelo EOB al modelizar la fusión y Fases descendentes. Queremos enfatizar que los resultados que presentamos en Esta sección es preliminar, en el sentido de que conside- sólo unas pocas combinaciones de masa y las formas de onda NR de los sistemas binarios de masa desigual son bastante cortos. Nunca... sin embargo, estos resultados son lo suficientemente interesantes como para proponer un estudio sistemático de la eficiencia de estas plantillas fam- Ilies a través de simulaciones de Monte Carlo en datos reales. V. CONCLUSIONES En este artículo comparamos NR y formas de onda analíticas Emitida por sistemas binarios que no giran, tratando de sub- soportar el rendimiento de las familias de plantillas PN desarrolladas durante los últimos diez años y actualmente se utiliza para la búsqueda para los GW con detectores basados en tierra, sugiriendo possi- ble mejoras. Primero computamos FF0s (maximizado sólo a tiempo y fase) entre las familias de plantillas PN que mejor coincide con las formas de onda NR [10, 11], es decir, Tpn(3), Tpn(3.5) y Epn(3.5). Mostramos cómo la caída en FF0s no es simplemente determinado por la diferencia de fase acumulada entre formas de onda, pero también depende de la PSD del detector y la masa binaria. Por lo tanto, formas de onda que difieren incluso por un ciclo GW puede tener FF0 + 0,97, dependiendo de la masas binarias (véase Fig. 1). Luego mostramos que las formas de onda NR de la simulaciones de alta resolución y resolución media de la El grupo Goddard está cerca el uno del otro (FF0 alrededor de 0,99, Véase Fig. 2). También estimamos que el FF0 entre las formas de onda NR de alta resolución y exactas son aún más altas, basado en las tasas de convergencia numérica del Goddard simulaciones. En segundo lugar, mediante la costura de formas de onda PN a formas de onda NR construimos formas de onda híbridas, y computamos FF0s (max- imizado sólo en el tiempo y la fase) entre la onda híbrida- formas construidas con diferentes modelos PN, en particular Modelos Tpn(3), Tpn(3.5) y Epn(3.5). Encontramos que para los detectores de LIGO y sistemas binarios de igual masa con masa total M > 30M®, los últimos 11 ciclos de GW más las fases de fusión y reducción de capital contribuyen > 90% de la potencia de señal. Esta información se puede utilizar para establecer el longitud de las simulaciones NR. Los FF0s entre formas de onda híbridas se resumen en Figs. 5, 6. Encontramos que para los detectores de LIGO y sistemas binarios con una masa total superior a 10M®, la simulaciones NR actuales para sistemas binarios de masa igual son lo suficientemente largos como para reducir las diferencias entre híbridos formas de onda construidas con los modelos PN Tpn(3), Tpn(3.5) y Epn(3.5) al nivel de < 3% de desajuste. Por GW detectores con ancho de banda más amplio como el avanzado LIGO y VIRGO, se necesitarán simulaciones NR más largas si masa binaria total M < 10M®. Con la disponibilidad actual longitud capaz de simulaciones numéricas, es difícil de esti- mate de los FFs entre formas de onda híbridas cuánto tiempo las simulaciones deben ser. Sin embargo, de nuestro estudio de la distribución de la potencia de la señal, estimamos que para Sistemas binarios M < 10M®, al menos 80 NR de inspiración ciclos antes de la fusión son necesarios. Finalmente, evaluamos los FFs (maximizados en binarios) masa, tiempo inicial y fase) entre la NR completa (o brid waveforms, dependiendo de la masa binaria total) y varias plantillas de dominio de tiempo y frecuencia PN familias. Para plantillas de dominio de tiempo PN y binarios masa 10M < M < 20M >, para la que la fusión / anillo las fases descendentes no contribuyen significativamente a potencia de señal del detector tal, confirmamos los resultados obtenidos en Refs. [10, 11], en particular que Tpn(3.5) y Epn(3.5) mod- Els tiene FFs altos con una buena estimación de parámetros, es decir, son fieles. Encontramos que el dominio de frecuencia SPA familia tiene altos FFs sólo para los sistemas binarios con M < 20M®, para el que viene la mayor parte de la potencia de la señal desde las primeras etapas de la inspiración. Además, encontramos que es posible mejorar la familia SPA por cualquiera de los dos extendiéndolo a regiones no físicas del espacio de parámetros (como se hace con las plantillas BCV) o mediante la introducción de un anuncio Coeficiente constante de orden 4PN en la fase. Ambas cosas. familias ZEPA modificadas alcanzan altos FF para altas masas sistemas binarios con masas totales de 30M® < M < 120M®. Para plantillas de dominio de tiempo PN y masas binarias M 30MÃ3, encontramos que si una superposiciÃ3n de anillo- modos hacia abajo se une a la forma de onda inspiral, como nat- en el modelo EOB, los FFs pueden aumentar de • 0,8 a > 0,9. Probamos la plantilla actual de Epn(3.5) familia obtenida por unión a la forma de onda inspiral tres QNM [10] alrededor del anillo de luz EOB. En orden tener debidamente en cuenta la energía y la impulso liberado durante las fases de fusión/reducción introdujimos [10] dos parámetros físicos, M y J, cuya dependencia de las masas y giros binarios se determinará mediante comparaciones futuras entre el EOB y Formas de onda NR calculadas para diferentes relaciones de masa y Gira. Encontramos altos FFs 0.96. Debido a pequeñas diferencias... ences entre las formas de onda EOB y NR durante la fi- Masa total ( ) 50 100 150 200 LIGO mejorado Plantilla: NR Plantilla: SPAc ext(3,5) Plantilla: Epn(3.5) FIG. 16: El SNR promedio del cielo para LIGO y mejorado o Detector medio de LIGO versus masa total para un binario de masa igual a 100Mpc. ciclos nales de la evolución, las mejores coincidencias se alcanzan a costa de un gran error sistemático en la operación de concentración abajo los parámetros binarios. Por lo tanto, la plantilla Epn(3.5) familia puede ser utilizado para la detección, pero para el parámetro es- TIMACIÓN que necesita ser mejorado a la hora de emparejar con el ring-down, y también durante la fase inspiral. La re- Las multas pueden alcanzarse (i) introduciendo desviaciones del movimiento circular, ii) añadir términos PN de orden superior en la dinámica del EOB, iii) utilizando en la radiación del EOB ecuaciones de reacción un flujo de energía GW más cerca de la NR flujo, iv) diseño de una mejor compatibilidad con los modos de reducción, etc.. El objetivo sería lograr el desfase entre Formas de onda EOB y NR de menos de un el caso de masa comparable, tal como se obtiene en Ref. [48] en el límite de masa-ratio extremo. De hecho, con un nu- simulaciones mericales, especialmente las que utilizan meta espectral- ods [49], será posible mejorar la inspiración plantillas mediante la introducción de términos PN de orden superior en el formas de onda analíticas calculadas por comparación directa con Forma de onda NR. Plantillas PN de dominio de frecuencia con un La frecuencia de corte fcut proporciona altos FF (> 0,97), incluso para grandes masas. Esto se debe a las colas oscilantes (Gibbs fenómeno) producido al cortar la señal en el dominio de frecuencia. Hemos probado el SPAextc (3.5) y el SPAYc (4) familias de plantillas para masas totales de hasta 120 millones de libras esterlinas, y tres relaciones de masa m2/m1 = 1, 1,5 y 2. Siempre obtener FFs > 0,96, incluso cuando se utiliza una frecuencia de corte fijo, fcut = 1,07­220/2η. Debido a su alta eficiencia, la fe... dad, es decir, bajo error sistemático en el parámetro estima- la plantilla SPAYc (4) familia (o variantes de ella que incluyen a los lorencios) es, a- Gether con el modelo EOB, un buen candidato para la búsqueda- ing coherentemente para los GW de sistemas binarios con total masas de hasta 120 millones de metros cúbicos. In Fig. 16, mostramos el cielo promedio SNRs de un pecado- gle LIGO y detector mejorado o medio LIGO [50], para un binario de masa igual a 100Mpc. Los picos SNR en la masa binaria total M 150M® y muestra el importancia de impulsar las actuales búsquedas de coalescencia sistemas binarios a M > 100M®. En el rango de masas 30M® < M < 120M®, el SNR disminuye sólo ligeramente si filtramos la señal GW con SPAextc (3.5) o Epn (3.5) en lugar de usar formas de onda NR. La diferencia es... entre Epn(3.5) y SPAextc(3.5) es casi indistinguible Capaz. Cuando M > 120M®, aunque el SPA c (3.5) y Epn(3.5) familias de plantilla dan SNRs bastante buenos, es tal vez no es una buena opción para usarlos como el número de los ciclos se reducen a unos pocos. El problema clave en la detección tales GWs es cómo vetar los desencadenantes de no-Gaussian, ruido no estacionario, en lugar de emparejar el señal corta. Este es un problema general en las búsquedas de señales cortas en detectores basados en tierra. Agradecimientos A.B. e Y.P. reconocer el apoyo de la subvención NSF PHY-0603762, y A.B. También del Alfred Sloan Foun... dation. El trabajo en Goddard fue apoyado en parte por la NASA concede O5-BEFS-05-0044 y 06-BEFS06-19. B.K. fue apoyado por el Programa Postdoctoral de la NASA en las Universidades Asociadas de Oak Ridge. S.T.M. era apoyado en parte por el graduado Leon A. Herreid Fel- Lowship. Algunas de las comparaciones con PN y EOB modelos se obtuvieron construyendo en los códigos de Mathematica de- desarrollado en Refs. [14, 30, 31, 45] APÉNDICE A: COMENTARIO SOBRE LAS MANUFACTURAS OBTENIDA DEL BALANCE ENERGÉTICO EQUACIÓN En los modelos adiabáticos PN, como el modelo Tpn utilizado en este papel, las formas de onda se calculan bajo el assump- que el binario evoluciona a través de un se adiabático Quence de órbitas cuasicirculares. Más concretamente, uno sets = 0 y calcula la frecuencia orbital Ecuación energía-equilibrio dE(l)/dt = F(l), donde E(l) es la energía total del sistema binario y F(­) es la Flujo de energía GW. Se computan tanto E(­) como F(­) para órbitas circulares y expresada como una expansión de Taylor en................................................................................................... La evolución adiabática termina en principio en el Órbita circular más interna (ICO) [35], o energía mínima Órbita circular (MECO) [30], donde (dE/dŁ) = 0. Reescribiendo la ecuación energía-balance, puede ser integrado directamente como (t) = dE(­)/d . (A1) El RHS de Eq. (A1) puede expresarse como una expansión en el poder de.................................................................................................................................................................. La versión ampliada es ampliamente utilizada en la generación de formas de onda PN adiabáticas [20, 30, 31, 45], se utiliza para generar la llamada familia de plantillas Tpn. Lo siento. Resulta que Tpn(3) y Tpn(3.5) están bastante cerca de la Formas de onda inspirante NR [10, 11]. Nos preguntamos si utilizar el equilibrio energético en forma de Eq. (A1), es decir, sin expandirlo, podría dar formas de onda PN más cerca de o más lejos de las formas de onda NR. En principio, la adiabática secuencia de órbitas circulares descritas por Eq. (A1) termina en el ICO, por lo que el modelo adiabático debe funcionar mejor hasta el ICO y empezar a desviarse (con va al infinito) del resultado exacto más allá de él. In Fig. 17 se muestra la frecuencia orbital NR (t) a- gether con la frecuencia orbital PN obtenida por solv- la forma inexpandida y expandida de la energía- Ecuación de balance. La evolución de la frecuencia en estos dos casos es bastante diferente, con la frecuencia orbital com- puesto de la ecuación de equilibrio energético expandido de acuerdo- Con el NR, es mucho mejor. Cuando muchos, extremadamente precisa, los ciclos de GW de NR estarán disponibles, será vale la pena comprobar si este resultado sigue siendo cierto. [1] A. Abramovici y otros, Science 256, 325 (1992); http://www.ligo.caltech.edu. [2] H. Lück y otros, Class. Quant. Grav. 14, 1471 (1997); http://www.geo600.uni-hannover.de. [3] M. Ando et al., Phys. Rev. Lett. 86, 3950 (2001); http://tamago.mtk.nao.ac.jp. [4] B. Caron y otros, Class. Quant. Grav. 14, 1461 (1997); http://www.virgo.infn.it. [5] http://www.lisa-science.org/resources/ talks-articles/science/lisa_science_case.pdf [6] F. Pretorius, Phys. Rev. Lett. 95, 121101 (2005). [7] M. Campanelli, C.O. Lousto, P. Marronetti e Y. Zlo... Chower, Phys. Rev. Lett. 96, 111101 (2006). [8] J. Baker, J. Centrella, D. Choi, M. Koppitz y J. van Medidor, Phys. Rev. Lett. 96, 111102 (2006). [9] M. Campanelli, C.O. Lousto, y Y. Zlochower, Phys. Rev. D 74, 041501 (2006); ibíd. D 74, 084023 (2006); U. Sperhake, gr-qc/0606079; J. González, U. Sperhake, B. Brügmann, M. Hannam, y S. Husa, Phys. Rev. Lett. 98, 091101 (2007); B. Szilagyi, D. Pollney, L. Rezzolla, http://www.ligo.caltech.edu http://www.geo600.uni-hannover.de http://tamago.mtk.nao.ac.jp http://www.virgo.infn.it http://www.lisa-science.org/resources/ talks-articles/science/lisa_science_case.pdf gr-qc/0606079 100 200 300 400 500 600 700 Tiempo(M) Ecuación de equilibrio energético ampliado Ecuación de equilibrio energético sin expansión Resultado de la simulación NR FIG. 17: Evolución de la frecuencia orbital. Las curvas punteadas y discontinuas se calculan a partir de las curvas no ampliadas y expandidas. Ecuaciones de equilibrio energético. La curva continua se refiere a la simulación de Goddard NR muy larga. J. Thornburg y J. Winicour, gr-qc/0612150; F. Pre- torius y D. Khurana, gr-qc/0702084. [10] A. Buonanno, G. Cook, y F. Pretorius, Phys. Rev. D 75 (2007) 124018. [11] J. Baker, J. van Meter, S. McWilliams, J. Centrella, y B. Kelly (2006), gr-qc/0612024. [12] P. Jaranowski, y G. Schäfer, Phys. Rev. D 57, 7274 (1998); Erratum-ibid D 63 029902; L. Blanchet, y G. Faye, Phys. Rev. D 63, 062005 (2001); V. C. de An- Drade, L. Blanchet, y G. Faye, clase. Quant. Grav. 18, 753 (2001); T. Damour, P. Jaranowski, y G. Schäfer, Phys. Lett. B 513, 147 (2001); L. Blanchet, G. Faye, B.R. Iyer, y B. Joguet, Phys. Rev. D 65, 061501(R) (2002); L. Blanchet, y B.R. Iyer, clase. Quant. Grav. 20, 755 (2003); Erratum-ibid D 71, 129902 (2005); L. Blanchet, T. Damour, G. Esposito-Farese y B.R. Iyer, Phys. Rev. Lett. 93, 091101 (2004). [13] A. Buonanno, y T. Damour, Phys. Rev. D 59, 084006 (1999). [14] A. Buonanno, y T. Damour, Phys. Rev. D 62, 064015 (2000). [15] A. Buonanno, y T. Damour, Actas de IX Reunión Marcel Grossmann (Roma, julio de 2000), gr-qc/0011052. [16] T. Damour, P. Jaranowski, y G. Schäfer, Phys. Rev. D 62, 084011 (2000). [17] T. Damour, Phys. Rev. D 64, 124013 (2001). [18] A. Buonanno, Y. Chen, y T. Damour, Phys. Rev. D 74, 104005 (2006). [19] T. Damour, B.R. Iyer, y B.S. Sathyaprakash, Phys. Rev. D 57, 885 (1998). [20] T. Damour, B. Iyer, y B. Sathyaprakash, Phys. Rev. D 63, 044023 (2001); ibíd. D 66, 027502 (2002). [21] T. Baumgarte, P. Brady, J.D.E. Creighton, L. Lehner, F. Pretorius, y R. DeVoe (2006), gr-qc/0612100. [22] J. W. York, Jr., Phys. Rev. Lett. 82, 1350 (1999). [23] E. Gourgoulhon, P. Grandclément, y S. Bonazzola, Phys. Rev. D 65, 044020 (2002). [24] P. Grandclément, E. Gourgoulhon, y S. Bonazzola, Phys. Rev. D 65, 044021 (2002). [25] H. P. Pfeiffer L. E. Kidder, M. S. Scheel, y S. A. Teukol- cielo, Comp. Phys. Comm. 152, 253 (2003). [26] G. B. Cook, y H. P. Pfeiffer, Phys. Rev. D 70, 104016 (2004); M. Caudill, G.B. Cook, J.D. Grigsby, y H. Pfeiffer, Phys. Rev. D 74, 064011 (2006). [27] S. Brandt y B. Brügmann, Phys. Rev. Lett. 78, 3606 (1997). [28] C. Cutler y otros, Phys. Rev. Lett. 70, 2984 (1993). [29] T. Damour, B.R. Iyer, y B.S. Sathyaprakash, Phys. Rev. D 67, 064028 (2003). [30] A. Buonanno, Y. Chen, y M. Vallisneri, Phys. Rev. D 67, 104025 (2003); Erratum-ibid. D 74, 029904 (2006). [31] A. Buonanno, Y. Chen, y M. Vallisneri, Phys. Rev. D 67, 024016 (2003); Erratum-ibid. D 74, 029903 (2006). [32] T. Damour, B. Iyer, P. Jaranowski y B. Sathyaprakash, Phys. Rev. D 67, 064028 (2003). [33] K. G. Arun, B.R. Iyer, B.S. Sathyaprakash, y P. Sun... Dararajan, Phys. Rev. D 71, 084008 (2005); Erratum-ibid D 72, 069903 (2005). [34] T. Damour, E. Gourgoulhon, y P. Grandclément, Phys. Rev. D 66, 024007 (2002); P. Grandclément, E. Gourgoulhon, y S. Bonazzola, Phys. Rev. D 65, 044021 (2002). [35] L. Blanchet, Phys. Rev. D 65, 124009 (2002). [36] L.S. Finn, Phys. Rev. D 46, 5236 (1992); L. S. Finn y D.F. Chernoff, Phys. Rev. D 47, 2198 (1993); É.E. Flana... Gan y S.A. Hughes, Phys. Rev. D 57, 4535 (1998). [37] http://www.ligo.caltech.edu/advLIGO/scripts/ref_ des.shtml [38] J. Baker, S. McWilliams, J. van Meter, J. Centrella, D. Choi, B. Kelly, y M. Koppitz (2006), gr-qc/0612117. [39] J. Baker, M. Campanelli, F. Pretorius e Y. Zlochower (2007), gr-qc/0701016. [40] B. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration), Phys. Rev.D 72, 082001 (2005). [41] B. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration), Phys. Rev. D 73, 062001 (2006). [42] E. Berti, V. Cardoso, y C. Will, Phys. Rev. D 73, 064030 (2006). [43] L. Blanchet, Rev. Rel. 9 (2006) 4. [44] T. Damour, B. Iyer, y B. Sathyaprakash, Phys. Rev. D 62, 084036 (2000). gr-qc/0612150 gr-qc/0702084 gr-qc/0612024 gr-qc/0011052 gr-qc/0612100 http://www.ligo.caltech.edu/advLIGO/scripts/ref_ des.shtml gr-qc/0612117 gr-qc/0701016 [45] Y. Pan, A. Buonanno, Y. Chen, y M. Vallisneri, Phys. Rev. D 69, 104017 (2004). [46] P. Ajith et al. (2007) (en preparación). [47] E. Berti, V. Cardoso, J. González, U. Sperhake, M. Han- nam, S. Husa, y B. Brügmann (2007), gr-qc/0703053. [48] A. Nagar, T. Damour, y A. Tartaglia, gr-qc/0612096 T. Damour, y A. Nagar, Actas del XI Marcel Grossmann Meeting (Berlín, julio de 2006), gr-qc/0612151. [49] H. P. Pfeiffer, D.A. Brown, L.E. Kidder, L. Lindblom, G. Lovelace, y M. A. Scheel (2007), gr-qc/0702106. [50] http://www.ligo.caltech.edu/~rana/NoiseData/S6/ DCnoise.txt. gr-qc/0703053 gr-qc/0612096 gr-qc/0612151 gr-qc/0702106 http://www.ligo.caltech.edu/~rana/NoiseData/S6/ DCnoise.txt

Quantum entanglement of decohered two-mode squeezed states in absorbing and amplifying environment

Enrejado cuántico de los estados de dos modos descohecidos en absorción y amplificación del entorno Phoenix S. Y. Poon y C. K. Law Departamento de Física e Instituto de Física Teórica, La Universidad China de Hong Kong, Shatin, Hong Kong SAR, China (Fecha: 5 de noviembre de 2018) Investigamos las propiedades del enredo cuántico de los estados de dos modos exprimidos interactuando con baños lineales con parámetros generales de ganancia y pérdida. Solucionando explícitamente por el maestro Ecuación, determinamos expresiones analíticas de valores propios y autovectores de la transposición de la matriz de densidad En el espacio Fock, se muestra que ÔTA mantiene una diagonal de bloque estructura a medida que evoluciona el sistema. Además, descubrimos que la decoherencia inducida por los baños rompería la degeneración de la ATA, y conduce a un nuevo conjunto de autovectores para la construcción de Enredamiento de los operadores de testigos. Se demuestra que tales autovectores son independientes del tiempo, que es un firma de enredo robusto de estados de dos modos exprimidos en presencia de ruido. Números PACS: 03.67.Mn, 03.65.Yz, 42.50.Dv, 42.50.Lc I. INTRODUCCIÓN El vacío óptico exprimido de dos modos (TMSV) ha sido una fuente importante de enredo variable continuo para comunicación cuántica [1]. En los últimos años, intrigante aplicaciones como la teletransportación cuántica [2, 3, 4, 5, 6] Y la densa codificación cuántica [7, 8] ha sido demoníaca. estratificado experimentalmente con TMSV. Teóricamente, es también se sabe que TMSV maximiza la correlación EPR cuando se indique una cantidad fija de enredo [9]. In para explotar plenamente las propiedades no clásicas de tales campos de luz entrelazados, es importante entender deco- efectos de herencia a medida que se propagan a través de ambientes ruidosos- 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19]. Esto pertenece a un tema más sutil que involucra la caracterización y cuantificación del enredo de estado mixto en general. Para los sistemas bipartitos, Peres y Horodecki tienen de- ha desarrollado un poderoso criterio de enredo, que es conocido como el PPT (transposición parcial positiva) crite- rion [20, 21, 22]. Si la transposición parcial de un la matriz de la sidad (denominada por el ATA) tiene uno o más negativos eigenvalues, entonces el estado es un estado enredado. Phys... La transposición parcial para los Estados separables puede ser considerado como una operación de tiempo-reversal, y uno puede construir una variedad de relaciones de incertidumbre que sirvan como los indicadores de enredo [23, 24]. Para Gaus de dos modos... sian estados tales como TMSV, PPT proporciona un necesario y condición suficiente de separabilidad [25, 26]. La dinámica del desenredo de TMSV en varios situaciones ruidosas han sido abordadas por varios autores recientemente [10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19]. Los hecho de que una amplitud amortiguada TMSV sigue siendo Gaus- sian permite una descripción elegante del enredo basado sobre las propiedades de la matriz de covarianza asociada con los operadores de densidad [27]. En particular, desde el momento... solución dependiente de la función Wigner [15, 16, 17] o la función característica correspondiente [19], se puede cuantificar la degradación del enredo mediante el cálculo la negatividad [28] y la entropía relativa [29]. Ahora sí. conocido que para un TMSV inicial en un no-cero térmico baño, el enredo cuántico desaparece por completo en un fi- tiempo mínimo [27]. Sin embargo, notamos que hay mucho menos investiga- ciones que abordan directamente la estructura de la ATA y, sin embargo, de la ATA. es en lo que se basaba originalmente el criterio del PPT. Desde El estudio se realizó en el marco de una serie de estudios realizados en el marco de la investigación sobre el medio ambiente y el medio ambiente, en el marco de una serie de estudios realizados en el marco de la investigación sobre el medio ambiente y el medio ambiente, en el marco de una serie de estudios realizados en el marco de la investigación sobre el medio ambiente. Por ejemplo, en el espacio Fock, podría revelarse un enredo propiedades no fáciles de encontrar por la función Wigner método [30]. Un ejemplo que notamos es la construcción de operadores de testigos de enredo a través de los proyectores formados por los autovectores de la ATA con valores propios negativos [31]. Estos operadores testigos enredados, que corresponden una variedad de observables para la detección de enredo, son determinados por?TA. El propósito principal de este documento es indicar algunas claves características del enredo descohendido como lo revela el eigen- los valores y los vectores propios de la ATA. Nuestro análisis será en contra de... centrate en las estructuras de autovectores en el espacio Fock, que es también donde interesantes correlaciones no locales de Se pueden observar sistemas variables continuos [32]. Por a TMSV bajo la influencia de la amortiguación de amplitud (o ganar en un amplificador), resolvemos para la evolución temporal de y determinar los propiosvectores y valores propios exactos de la Comisión de Asuntos Jurídicos y de Derechos de los Ciudadanos. Estos autovectores se muestran para tener una fuerte correlación en los números de fotones, y por lo tanto una matriz diagonal de bloques en el espacio Fock. Por lo tanto, testigo operadores asociados con cada bloque implican sólo un finito número de vectores Fock, lo que implica que la detección de enredo sólo puede requerir una pequeña porción de la Espacio Hilbert. Esto es en contraste con el enre- ciones basadas en relaciones de incertidumbre en las que el conjunto El espacio de Hilbert suele estar involucrado [23, 24, 25, 26]. En este la sensación de los autovectores de acceso a la enredadera sig- la naturaleza «local», que es un complemento de la char «global» acterización (de los estados gaussianos) utilizando covarianza matri- ces. Como veremos a continuación, mientras el estado inicial sea a TMSV, los vectores propios correspondientes no cambian con el tiempo, indicando que el enredo transportado por TMSV es robusto contra la amortiguación de amplitud. http://arxiv.org/abs/0704.1965v1 FIG. 1: La estructura de la sub-matriz de?TA, con TMSV inicial, en la base Fock. II. EQUACIÓN Y SOLUCIÓN DE LOS MÁSTERES Para empezar, consideramos la evolución del tiempo de un TMSV inicial, cada uno unido a una fase separada baño lineal insensible. En términos de la aniquilación op- a y b de los dos modos, la ecuación maestra que rijan el proceso dinámico es [33]: = G(2aa− aa?aa† + 2bb− bb?bb†) + L(2 bisa† − a†a /23370/a†a+ 2bb† − b†b /23370/b†b), donde G y L son los parámetros de ganancia y pérdida respec- ticularmente, ambos tienen una dimensión de tiempo-1. Dependiendo sobre los valores de G y L, la ecuación maestra describe efectos de amplificación o amortiguación debidos al acoplamiento con los baños. Para disipación en baños termales, cada uno de temperatura T, tenemos los parámetros G = γ nth y L = γ (nth +1), donde nth = exp(h-/kT )-1 es el promedio número de fotones en cada uno de los modos (con frecuencia En el equilibrio térmico, y γ/2 es la tasa de decaimiento de las amplitudes de modo. En este documento nos centramos en la tial TMSV con el parámetro squeezing r > 0: (0) = exp[r(a†b† − ab)] 00 = 1 - 2 * n nnnn, (2) * nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnrnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn, nnnnnnnnnnnnnnnn, nnnnnnnnnnnnnn, nnnnnnnnnnnnnnnn, nnnnnnnnnnnnnnn, nn, nnnnnnnn, nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n. donde el estado de vacío de dos modos es el tanh r y el tanh 00. A. Estructuras de bloques TA en el espacio Fock Investigar las propiedades de enredo de la guarida. sity matrice, estudiamos su transposición parcial. Los ATA es de dimensión infinita, sin embargo, mediante el examen de la ecuación maestra en la base Fock, estructuras de bloques de Se puede identificar el TCA. Denotemos los elementos de la matriz de los Estados Unidos de América por .................................................................................................................................................................... nmTA pq = pmnq, (3) que se rige por la siguiente ecuación diferencial: TAn,m,p,q = G[2 npÔTAn−1,m,p−1,q mqđTAn,m−1,p,q−1 −(n+m+ p+ q + 4) (n+ 1)(p+ 1)­TAN+1,m,p+1,q (m+ 1)(q + 1)?TAn,m+1,p,q+1 −(n+m+ p+ q)­TAN,m,p,q]. 4) TAn,m,p,q(t = 0) = 5) corresponde a la condición inicial (2). Se puede ver desde Eq. 4) Que cada uno de ellos: ement TAn,m,p,q(t) se combina con elementos Sólo para los números enteros l y k. ­TAn+l,m+k,p+l,q+k(0). Por lo tanto,?TAn+l,m+k,m+l,n+k (t) son los únicos que no son cero elementos en cualquier momento t > 0 debido a la con- inicial sión. Al señalar que la suma de los dos primeros índices igual a la de los dos últimos, podemos agrupar todos no-cero elementos TAN+l,m+k,m+l,n+k (t) en submétrices MS según el índice de suma S = n + l + m + k, es decir, El término «TAn+l,m+k,m+l,n+k (t)» figura en el término «Mn+l+m+k». Nosotros puede, por tanto, expresar la TTA en una suma directa de los Estados miembros como A continuación: TA(t) = MS(t), (6) donde la submatriz MS tiene una dimensión de S+1, ya que los elementos inMS tienen sus dos primeros índices como {0, S}, {1, S− 1},..., {S, 0}. Fig. 1 muestra la estructura de la submatriz de T.A.A. Tenga en cuenta que la suma característica S es igual al total número de fotones que contienen los dos modos. Desde Eq. (4) observamos que el flujo probabilístico ocurre entre elementos en sub-Matrices vecinas, con emisión o absorción de un fotón en uno de los modos a uno Tiempo. La evolución del tiempo de una sub-matriz típica de ilustrada esquemáticamente en la Fig. 2, que será des- tachado en detalle en la parte posterior del documento. Ini- sólo los elementos diagonales opuestos están presentes, hav- , con la misma magnitud que en el caso de la S............................................................................................................................................................... A medida que aumenta el tiempo, el elemento fluye de las sub-Matrices vecinas, y desenredar- las sub-matrices se producen en un momento crítico t = tc (Sección IIIA). En el caso de los baños termales, evoluciona hacia una forma diagonal en el largo plazo, estableciéndose como el estado de equilibrio térmico TAN,m,p,q = Npmq (nth+1)2 (nth nth+1 )n+m. B. Solución analítica del espacio de posición Para analizar las propiedades de?TA, es más conve- niente a determinar primero el espacio de posición y luego FIG. 2: (Color en línea) Diagrama esquemático que muestra el evo- la contaminación de la distribución de los elementos en una submatriz de la ATA, suponiendo que los baños sean baños termales. La tc es la crítica Tiempo para el desenredo. hacer la transformación al espacio Fock. La posición método espacial de la búsqueda de.... fue utilizado anteriormente en Ref. [11, 34] en el estudio de enredo en varios oscil- sistemas de lator. En esta subsección, presentamos un solución de la ecuación maestra (1) con un TMSV inicial. Observamos que nuestro método es diferente de aquel dado en [11], como este último implica una transformación de Fourier de la matriz de densidad, es decir, el espacio de impulso. Aquí lo resolvemos. la matriz de densidad totalmente en el espacio de posición (apéndice A). Esto resulta ser más conveniente para el real estados simétricos gaussianos considerados aquí, ya que menos Las ecuaciones diferenciales están involucradas. Además, la re- la solución sultante es más transparente para su posterior análisis de autovectores en la siguiente sección. Denominemos a los operadores de ‘posición’ como x = 1 (a+a†) e y = 1 (b + b†), y definir * (x1, y1;x2, y2; t) * (x1, y1 (t) * (x2; y2); (7) entonces la ecuación maestra (1) se convierte, = −1 [L(x21 + x 2 − 2x1x2 + y21 + y22 − 2y1y2 − 4 2x1 − • 2y1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • - 2-x1-x2 - 2-y1-y2 −2x1­0x2­2x2­0x1­2y1­0y2­2y2­0y2­0y2­0y2­0y1 +G(x21 + x 2 − 2x1x2 + y21 + y22 − 2y1y2 + 4 2x1 − • 2y1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • - 2-x1-x2 - 2-y1-y2 +2x1ox2 + 2x2ox1 + 2y1oy2 + 2y2oy1)]]. (8) Para un estado inicial (2), ♥(x1, y1;x2, y2; t) toma un gaussiano forma en cualquier momento t, *(x1, y1;x2, y2; t) = *(t) exp[−A(t)(x21 + x22 + y21 + y22) +B(t)(x1y1 + x2y2) +C(t)(x1x2 + y1y2) +D(t)(x1y2 + x2y1)], (9) donde A(t), B(t), C(t) y D(t) dependen en tiempo real coeficientes, y el factor de normalización es: (t) = [2A(t)− C(t)]2 − [B(t) +D(t)]2. (10) Sustituyendo Eq. (9) en la ecuación maestra, la coeficientes se encuentran para obedecer un conjunto de ecuaciones acopladas que se puede resolver analíticamente (Apéndice A). Por la Comisión TMSV considerado aquí, tenemos, A(t) = [2A0η + G− L(η − 1) + 2-(x2+2t)-(xy)-(x2)-(x2+2t)-(x)-(x2+2t)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x) B(t) = [B0η + # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2-(x2+2t)-(xy)-(x2)-(x2+2t)-(x)-(x2+2t)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x) C(t) = [2A0η + G− L(η − 1)− 2-(x2+2t)-(xy)-(x2)-(x2+2t)-(x)-(x2+2t)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x) D(t) = [−B0η + # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2-(x2+2t)-(xy)-(x2)-(x2+2t)-(x)-(x2+2t)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x) ]. (11) Aquí A0 = cosh 2r, B0 = sinh 2r y η(t) = exp[2(G− L)t] se definen, y los valores de expectativa son dados por, = A0η + 2 G - L) (η − 1), # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # η. (12) III. PROPIEDADES DE Según el criterio del PPT, la aparición de Los valores propios de la ATA son una firma de enredo. In esta sección, resolvemos los autovectores y valores propios de A medida que evoluciona el sistema. Luego discutimos cómo deco- herence afecta las propiedades de enredo de la ATA. Los los valores propios y los vectores propios de la ATA se definen de la siguiente manera: TTA(x1, y1;x2, y2; t)n,m(x2, y2; t)dx2dy2 = N, m(t)N, m(x1, y1; t). (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Nuestra principal técnica para resolver el problema de los propios es la uso de la fórmula Mehler que expande un Gaussian doble función en una serie de funciones ortogonales. Después de un poco cálculos (véase el apéndice B), obtenemos la expresión de valores propios, N,m(t) = N,m(t) β1)n+1 β2)m+1 y los correspondientes autovectores, N, m(x1, y1) = 2n+mn!m! x1 − y1 x1 + y1 × exp[−1 (x21 + y 1)] (15) donde Hn son los polinomios Hermite. Por escrito Eq. (14), hemos definido α1(t) = [2A(t)−B(t) + C(t) +D(t)], β1(t) = [2A(t) +B(t)− C(t) +D(t)], α2(t) = [2A(t) +B(t) + C(t)−D(t)], β2(t) = [2A(t)−B(t)− C(t)−D(t)] (16) y la solución de A, B, C y D son dadas por Eq. (11). Nótese que por escrito Eq. (15) de (B8), hemos utilizado el hecho de que para TMSV, α1β1 = α2β2 = para todos los tiempos t ≥ 0. Ahora transformamos a los autovectores de la posición espacio al espacio Fock. Obsérvese que el TCA es una base de- Operación pendent. Los autovectores de la ATA definidos en dos conjuntos de bases diferentes no se transforman directamente. Un excepción es el caso cuando los dos conjuntos de vectores de base transformar por una matriz unitaria real [35], que es el caso Aquí. Esto nos permite escribir el autovector n,m en el espacio Fock de Eq. (15): n,m = [ a† − b a† + b )m] 00, (17) que se puede conectar a las sub-Matrices de ÔTA (Fig. 1) a través del número de fotones sum S • m + n para etiquetar el eigenket, para que n,S−nâ = ¡N!(S − n)! S,n,j ¡J!(S − j)! j, S − já. (18) Aquí hemos usado la abreviatura # S,n,j # min(j,n) (−1)n−kCS−nj−k C k, (19) con CSr S!r!(S−r)!. De esta manera n,S−n® y n,S−n (n = 0, 1,..., S) son el nésimo vector y el valor propio de el bloque con la suma característica S. A. Evolución de los valores propios negativos Inspeccionando Eq. (14), encontramos que todos los negativos valores propios en cada bloque comparten el mismo valor en t = 0 (Fig. 3). Lo mismo es cierto también para el eigenval positivo- ues. Sin embargo, una degeneración tan fuerte se rompe por acoplamiento con los baños. Esto se ilustra en la Fig. 3 donde la dependencia temporal de los valores propios individuales en Se muestran varios índices de bloques S. Excepto en t = 0 y en el tiempo crítico tc, vemos que los valores propios negativos poseer diferentes valores. Es importante observar que los valores propios son neg- ativo para n impar, cuando β1, o en otras palabras, B(t) > C(t). Todos los valores propios giran cero al mismo tiempo, cuando tenemos B(t) = C(t), excepto el único valor propio con n = 0 en cada bloque. Un tiempo tan crítico tc se da 2 (L-G) bitácora G+ L G (1 + ) que es siempre finito positivo tanto como G 6= 0. Por el caso G → 0, tenemos tc →. Observamos que el FIG. 3: (Color en línea) Los valores propios de las sub-Matrices de de un sistema amplificador con G = 1,5γ, L = 0,5γ e inicial factor de compresión r = tanh−1 0,2, con suma característica (a) S = 1, b) S = 4, c) S = 7, y d) S = 10. Línea roja indica el n = 0 eigenvalue que no gira cero en tc, mientras que la línea azul indica el valor propio más negativo con n = 1. tiempo de desenredo tc se obtuvo previamente en Ref. [26] para los baños termales, aquí hemos obtenido un ex general presión (20) que también se aplica a los amplificadores lineales. In en particular, en el caso de que los parámetros de ganancia y pérdida sean igual, es decir, G = L, el tiempo crítico se puede reducir a Señalamos que en el momento del desenredo t = tc, sólo hay un valor propio no cero (con el índice n = 0) en cada submatriz (fig. 3). Por lo tanto, en la Comisión de Asuntos Jurídicos y de Derechos de los Ciudadanos, el Tribunal de Justicia decidió: tiempo crítico es altamente degenerado, y el correspondiente la propiedad de simetría de la TTA(t = tc) se indica en la relación: TAI,S-j,j,S-j = j,S−j,S−j,j = TAS−j,j,j,S−j = S−j,j,S−j,j. (21) Esto resulta en la distribución simétrica de los elementos como se muestra en la Fig. 2 esquemáticamente. Como observación adicional, es interesante que Los valores propios pueden no ser necesariamente monotones con el tiempo. Esto se puede ver diferenciando Eq. (14) y mirando al tipo inicial: n,S−n = (−1)n tanhS r csch rsech3r (G− L)(S − 2n) +(G+ L)(S − 2n) cosh2r −[LS +G(2 + S)] sinh 2r}, (22) que puede dar lugar a un valor negativo para eters, es decir, algunos valores propios de n impar pueden llegar a ser más negativo con el tiempo (Fig. 3d). Un caso excepcional es cuando G = 0, donde encontramos que para impar n, la derivada en t = 0 debe ser positivo inspeccionando Eq. (22). FIG. 4: (Color en línea) La negatividad N de G, fijando los parámetros L = γ y el factor de compresión inicial r = tanh−1 0,2. B. Negatividad y subnegatividad La negatividad N sirve como una medida computable de enredo definido por la norma de traza de la TTA menos 1 dividido por 2 [28]. Para los estados separables, la ATA sigue siendo una guarida. matriz de sity con traza 1 y por lo tanto N = 0. Sin embargo, para estados no separables con negativo?TA, tenemos N > 0. Específicamente, N es igual a la suma del valor absoluto de valores autóctonos negativos de TA [28, 36]. Para el sistema con- en este artículo, N lee, N = (t) ). 23) Alternativamente, N se puede derivar de la especificación simpléctica- trum de la matriz de covarianza asociada con la den- sity operator [27]. In Fig. 4 mostramos el tiempo de evolución- ión de negatividad N para TMSV inicial con diferente G parámetros. Un ejemplo para el caso G = 0 es el cero- escenario de disipación del baño de temperatura. Arreglando L, nosotros ob- servir que una ganancia más grande G conduce a un tc más corto. También podemos calcular la negatividad en una submatriz Estados miembros, que mide la contribución del enredo a partir del bloque correspondiente que se acumula?TA. Especif... cialmente, la submatriz negatividad NS se define la misma forma como negatividad N pero restringido a la submatriz de A.T. con la característica suma S. A nuestro conocimiento, Esta negatividad de la submatriz, que requiere la laciones de valores propios individuales, no se ha discutido antes. Explícitamente, el NS adopta la forma de: NS = (t) β1)2n+2 S−2n−1 β2)S−2n donde P se define como la parte integral de S−1 . In Fig. 5 se ilustra el comportamiento de NS de algunos bloques. Lo siento. es sorprendente que para las sub-matrices superiores el corre- negatividad sponding NS puede aumentar con el tiempo. Physi... cally, el aumento de NS se debe al flujo de probabilidad en FIG. 5: La negatividad de las sub-Matrices NS de TA, para un am- sistema de plegado con G = 1,5γ, L = 0,5γ y compresión inicial factor r = tanh−1 0,2, con suma característica (a) S = 1, (b) S = 4, c) S = 7, y d) S = 10. Espacio de fock derivado de la amortiguación o amplificación de meca- Nismos. Dado que cada sub-matriz de la ATA no necesariamente Conserve la probabilidad (es decir, el rastro de EM no es un fuerte), es posible que algunos bloques podrían tener su la negatividad aumenta con el tiempo. Sin embargo, el aumento del NS no viola el hecho que la negatividad global N de la ATA es un enredo monotona que no aumenta bajo LOCC (la mas- la ecuación ter corresponde a las operaciones locales). Eq. (14) revela que los valores propios de los bloques superiores son de menor tamaño orden de magnitud. Como vemos en la Fig. 5, aunque nega- dad de las sub-matrices más altas individuales puede aumentar sobre tiempo, su contribución a la negatividad es menor por sev- órdenes eral que las sub-Matrices con S inferior, y allí- la negatividad general sigue disminuyendo en forma monotónica. Estructura robusta del testigo de enredo Un operador testigo enredado W está diseñado para la detección de enredo de tal manera que Tr(lW) < 0 para algunos estados no separables............................................................................................................................................................................................................................................................ para todos los estados separables ♥sep [21]. Para cada eigenvec- con un valor propio negativo, se puede con- struct an W by W = TA [31] que cumplan los criterios arriba. En nuestro sistema, podemos construir una familia de W de los autovectores n,S−n® con impar n en consecuencia, es decir, WS,n = n,S−nn,S−nTA. De Eq. (18), la explícita forma de WS, n lee, WS,n = ¡2Sn!(S − n)! ¡J!(S − j)!l!(S − l)! l, S − , S − l, FIG. 6: Ejemplo de testigo de enredo W2,1. que muestra que WS,n opera sólo en una dimensión finita- sión en el espacio Fock. Nótese que Tr(?WS,n) =?n,S−n, y â ¢1,S−1 es el valor propio más negativo en cada sub- la matriz, por lo tanto WS,1 proporciona el detección de enredos entre todos los testigos construidos de vectores que se encuentran dentro de la sub-matriz MS. Algún ex- Amplificaciones para testigos de enredo con n = 1 se muestran en Fig. 6 y Fig. 7. Observamos que W también tiene una estructura diagonal de bloque en el que los elementos distintos de cero son: j, S − lWS,n l, S − j. Esto nos permite dividir W en sub-bloques K, con cada uno subbloque caracterizado por una diferencia K + [−S, S]: WS,n = K, (26) donde el elemento «j», S − lWS,n l, S − j® se encuentra en el sub- bloque con K = S − j − l. min(S,S-K) l=máx(0,−K) ¡2Sn!(S - n)!S,n,S-K-l-l-S,n,l (S −K − l)!(K + l)!l!(S − l)! l,K + lÃ3r á S − K − l,S − lÃ, (27) que tengan una dimensión de S − K 1. Observamos que el El más simple testigo de enredo de 2×2W1,1 fue construido en [37] utilizando un enfoque diferente. Aquí nuestro general WS,n se aplica a todos los S y n. Finalmente, destaquemos la característica de robustez de TMSV contra la decoherencia. Hemos visto desde Eq. (18) explícitamente que los autovectores n,S−n® permanecen in- cambió con el tiempo. El tiempo-independiente n,S−n® sug- indica que TMSV es robusto contra el ruido, en el sentido de que estructura de enredo testigoWS,n se conserva. Los la degradación del enredo sólo afectaría a los valores. Insistimos en que esa propiedad independiente del tiempo eigenvectores es específico de TMSV inicial, y no mantener para los estados iniciales arbitrarios en general. En el apéndice B, derivamos los autovectores de la evolución de la ATA a partir de un ini- estados gaussianos simétricos de dos modos con arbitrariedad FIG. 7: Parte del testigo de enredo W3,1, mostrando el bloques con diferencia característica de -3 a 0. W3,1 es simétrica sobre la diagonal de arriba-derecha a abajo-izquierda. coeficientes reales A0, B0, C0 y D0. Nos encontramos con que la dependencia del tiempo de los autovectores surge únicamente de la evolución de los factores α1β1 y α2β2. Debido a las interacciones sistema-baño, estos factores son generalmente depende del tiempo. Sin embargo, el estado evoluciona de TMSV es una excepción en la que se puede mostrar que el correspondiente α1β1 y α2β2 igual a la constante 1/16 en todo el tiempo. IV. CONCLUSIÓN Para resumir, mediante la obtención de una solución analítica exacta para el ATA y el examen de sus autovectores, descubrimos sev- características importantes sobre la pérdida de enredo de un TMSV sufría de decoherencia. Ambas amplitudes efectos de amortiguación y amplificación se han incluido en nuestro análisis. A lo largo del proceso de decoherencia, el la estructura diagonal del bloque de la ATA se muestra como principal- En base Fock. Como cada bloque abarca sólo un finito porción del espacio Fock, la existencia de eigen negativo- valores en un bloque implica que la información de enredo puede ‘sobrevivir’ en el número de fotones correspondiente sub- espacio. Si el enredo cuántico del sistema va a ser destruido por completo, entonces todos los bloques tienen que ser hechos positivo. En otras palabras, simplemente mezclando el sistema con otro estado que implica espacio finito Fock no destruir el enredo. Para el proceso de decoherencia considera en este documento, todos los bloques se vuelven positivos en un tiempo crítico tc, que está de acuerdo con el análisis anterior- sis basado en la matriz de covarianza. En t < tc, de- rived una expresión explícita de la negatividad, así como la negatividad de las sub-Matrices para caracterizar la dependencia temporal del enredo. Curiosamente, el negatividad de algunas sub-Matrices podría aumentar con el tiempo cuando G no es cero, aunque el efecto es débil acorde- , en función de nuestros cálculos. La firma del enredo en El testigo puede detectar el subespacio del número de fotones operadoresWS,n, y hemos construido WS,n explícitamente en este periódico. Estos operadores de testigos también están en el bloque di- agonal, y lo más notable, son independientes del tiempo a pesar de que el sistema está bajo la influencia del ruido. Interpretamos tal propiedad como una especie de entan robusto... estructura de glement heredada en TMSV. Agradecimientos Este trabajo cuenta con el apoyo del Consejo de Becas de Investigación de la RAE de Hong Kong, China (Proyecto No. 401305). APÉNDICE A: EVOLUCIÓN DEL TIEMPO DE SIMMÉTRICO REAL GENERAL DOS MODOS OPERADOR DE DENSIDAD GAUSSO En este Apéndice, consideramos la evolución del tiempo de estados gaussianos de dos modos simétricos reales, cada acoplamiento linealmente con un baño separado con ganancia y pérdida general parámetros. La matriz de densidad está representada en posición espacio, obedeciendo la ecuación maestra como en Eq. (8). Por la Comisión solución del estado simétrico Gaussiano real de dos modos presentado en Eq. (9), una sustitución directa conduce a la las siguientes ecuaciones diferenciales acopladas: = (G− L)C + 1 (G+ L)[1− (2A− C)2 − (B +D)2], • = −2(G− L)D −2(G+L)(2A− C)(B +D), * = 4(G− L)A+ (G+ L)[1 + (2A− C)2 + (B +D)2], = −2(G− L)B −2(G+ L)(2A− C)(B +D). (A1) Sin pérdida de generalidad, consideramos el caso G 6=L. De Eqs. (A1), B − D y 2A + C tienen la solución, B(t)−D(t) = (B0 −D0)η(t), 2A(t) + C(t) = (2A0 + C0)η(t) + G− L [η(t)− 1], donde η(t) ♥ exp[2(G− L)t] y los subíndices cero de- note los valores en t = 0. Las otras dos combinaciones, B+D y 2A−C, se pueden encontrar al señalar que son relacionados con los segundos momentos â € € ¢x2â € y â € € € € por: 2A(t)− C(t) = 2[+x2+2t − â € â € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM B(t) +D(t) = # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2[+x2+2t − â € â € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM . (A3) con el subíndice t que denota el valor en el momento t. Bajo la condición: = 0 (A4) , que se aplica a TMSV, y desde el equa-Heisenberg las mociones de a y b, la dependencia temporal de la los segundos momentos son dados por: η(t) + 2 G - L) [η(t)-1], Índice = Índice η(t). (A5) Aquí los segundos momentos iniciales son dados por: 2A0 − C0 2[(2A0 − C0)2 − (B0 +D0)2] # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # B0 +D0 2[(2A0 − C0)2 − (B0 +D0)2] . (A6) Por lo tanto, la evolución del tiempo de los coeficientes de los dos- modo Gaussian solución de estado son los siguientes: A(t) = [(2A0 + C0)η + G− L (η − 1) 2-(x2+2t)-(xy)-(x2)-(x2+2t)-(x)-(x2+2t)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x) B(t) = [(B0 −D0)η + # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2-(x2+2t)-(xy)-(x2)-(x2+2t)-(x)-(x2+2t)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x) C(t) = [(2A0 + C0)η + G− L (η − 1) 2-(x2+2t)-(xy)-(x2)-(x2+2t)-(x)-(x2+2t)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x) D(t) = [−(B0 −D0)η + # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2-(x2+2t)-(xy)-(x2)-(x2+2t)-(x)-(x2+2t)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x) ], (A7) donde los valores de expectación se dan en Eq. (A5). En el caso de TMSV, la solución se reduce a Eq. (12) ya que los coeficientes iniciales satisfacen: C0 = D0 = 0 (A8) 4A20 −B20 = 1. (A9) En particular, al señalar que A0 = 12, tenemos A0 = Cosh 2r. APÉNDICE B: DERIVACIÓN DE EGENVECTORES Y EGENVALUES DE En el espacio de posición,?TA(x1, y1;x2, y2; t) = (x2, y1;x1, y2; t). Los vectores autóctonos y los valores autóctonos Países Bajos La TA está definida por Eq. (13). Aplicando el trans- formación xj = (uj + vj)/ 2 y yj = (−uj + vj)/ (j = 1, 2), se convierte en un producto limpio de dos dobles Gaussians de la siguiente manera: TTA(u1, v1;u2, v2; t) = ­(t) exp[­1(t)(u1 − u2)2 − β1(t)(u1 + u2)2] × exp[+2(t)(v1 − v2)2 − β2(t)(v1 + v2)2], (B1) donde α1 = (2A−B+C+D), β1 = 14 (2A+B−C+D), (2A+B +C −D) y β2 = 14 (2A−B −C −D). Aplicamos la Fórmula de Mehler dos veces, una para el u1, u2 doble Gaussian, y uno para el v1, v2 doble Gaussian función. Esto llevaría a la descomposición de Schmidt sobre el punto AT: TA(u1, v1;u2, v2; t) = (t) α1β1α2β2 nfn(u1)fn(u2) mf贸m(v1)f贸m(v2), (B2) donde los modos Schmidt fn(u) y fсm(u) son: fn(u) = ¡2n-1n! 4Hn[2(α1β1) exp(−2 α1β1u f­m(u) = ¡2m-1m! 4Hm[2(α2β2) exp(−2 α2β2u 2), (B3) y los coeficientes n(t) y m(t) n(t) = 2(α1β1) β1)n+1 m(t) = 2(α2β2) β2)m+1 , (B4) donde Hn(u) son los polinomios Hermita. Reordenar términos, Eq. (B2) da: TTA(x1, y1;x2, y2; t) n,m(t)n,m(x1, y1; t) n,m(x2, y2; t), (B5) donde se encuentran los autovectores n,m(x1, y1; t) 2n-12m-1n!m! α1β1α2β2 ×Hn[2(α1β1) x1 − y1 )]Hm[2(α2β2) x1 + y1 × exp[− α1β1(x1 − y1)2] exp[− α2β2(x1 + y1) y los valores propios TA son, N,m(t) = N,m(t) β1)n+1 β2)m+1 Estas expresiones de autovectores y valores propios son para cualquier coeficiente dependiente del tiempo A(t), B(t), C(t) y D(t), es decir, aplicable a los Estados que evolucionan de la arbitrariedad valores iniciales A0, B0, C0 y D0. El caso especial con TMSV inicial se da en Eq. (14) y Eq. (18). [1] S. L. Braunstein, y P. van Loock, Rev. Mod. Phys. 77, 513 (2005). [2] A. Furusawa, J. L. Sørensen, S. L. Braunstein, C. A. Fuchs, H. J Kimble, y E. S. Polzik, Science 282, 706 (1998). [3] W. P. Bowen, N. Treps, B. C. Buchler, R. Schnabel, T. C. Ralph, Hans-A. Bachor, T. Symul, y P. K. Lam, Phys. Rev. A 67, 032302 (2003). [4] T. C. Zhang, K. W. Goh, C. W. Chou, P. Lodahl, y H. J. Kimble, Phys. Rev. A 67, 033802 (2003). [5] Nobuyuki Takei, Hidehiro Yonezawa, Takao Aoki, y Akira Furusawa, Phys. Rev. Lett. 94, 220502 (2005). [6] Hidehiro Yonezawa, Takao Aoki y Akira Furusawa, Nature 431, 430 (2004). [7] X. Li, Q. Pan, J. Jing, J. Zhang, C. Xie y K. Peng, Phys. Rev. Lett. 88, 047904 (2002). [8] J. Mizuno, K. Wakui, A. Furusawa, y M. Sasaki, Phys. Rev. A 71, 012304 (2005). [9] G. Giedke, M. M. Wolf, O. Kruger, R. F. Werner, y J. I. Cirac, Phys. Rev. Lett. 91, 107901 (2003). [10] T. Hiroshima, Phys. Rev. A 63, 022305 (2001). [11] A. K. Rajagopal y R. W. Rendell, Phys. Rev. A 63, 022116 (2001). [12] P. J. Dodd y J. J. Halliwell, Phys. Rev. A 69, 052105 (2004); P. J. Dodd, Phys. Rev. A 69, 052106 (2004). [13] S. Scheel y D.-G. Welsch Phys. Rev. A 64, 063811 (2001). [14] S. J. van Enk, y O. Hirota, Phys. Rev. A 71, 062322 (2005). [15] A. Serafini, F. Illuminati, M. G. A. Paris, y S. De Siena, Phys. Rev. A 69, 022318 (2004); A. Serafini, M. G. A. Paris, F. Illuminati, y S. De Siena, J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 7, R19 (2005). [16] M. Ban, J. Phys. B 39, 1125 (2006). [17] J. S. Prauzner-Bechcicki, J. Phys. A 37, L173 (2004). [18] S. Daffer, K. Wódkiewicz, y J. K. McIver, Phys. Rev. A 68, 012104 (2003). [19] Xiao-Yu Chen, J. Phys. B 39, 4605 (2006); Xiao-Yu Chen, Phys. Rev. A. 73, 022307 (2006). [20] A. Peres, Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996). [21] M. Horodecki, P. Horodecki, y R. Horodecki, Phys. Lett. A 223, 1 (1996). [22] P. Horodecki, Phys. Lett. A 232, 333 (1997). [23] G. S. Agarwal y A. Biswas, New J. Phys. 7, 211 (2005). [24] E. Shchukin y W. Vogel, Phys. Rev. Lett. 95, 230502 (2005). [25] R. Simon, Phys. Rev. Lett. 84, 2726 (2000). [26] L. M. Duan, G. Giedke, J. I. Cirac, y P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 84, 2722 (2000). [27] Para una reseña, véanse A. Ferraro, S. Olivares y M. G. A. París, Gaussian States in Quantum Information, Napoli Serie de Física y Astrofísica, (Bibliopolis, Napoli, 2005) y sus referencias. [28] G. Vidal y R. F. Werner, Phys. Rev. A 65, 032314 (2002). [29] V. Vedral y M. B. Plenio, Phys. Rev. A 57, 1619 (1998). [30] X. B. Wang, M. Keiji, y T. Akihisa, Phys. Rev. Lett. 87, 137903 (2001). [31] Véanse, por ejemplo, O. Gühne, P. Hyllus, D. Bruss, A. Ekert, M. Lewenstein, C. Macchiavello, y A. Sanpera, Phys. Rev. A 66, 062305 (2002). [32] Z. B. Chen, J. W. Pan, G. Hou e Y. D. Zhang, Phys. Rev. Lett. 88, 040406 (2002). [33] L. Mandel y E. Wolf, Coherencia óptica y cuántica Óptica, (Cambridge University Press, Nueva York, 1995). [34] Stein Olav Skrøvseth, Phys. Rev. A 72, 062305 (2005). [35] Dejemos que cnmnmÃ3 ser un editor independiente de AT obtenida de la transposición parcial de la letra a) del apartado 1 del artículo 85 del Tratado CE (en lo sucesivo, «la Directiva»). en el espacio Fock, entonces se puede mostrar que = No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. jmj es el correspondiente eigenvector de la ATA obtenida de la transposición parcial en las nuevas bases (etiquetado por tilde), con el el mismo valor propio. Por lo tanto y son relacionados por una la transformación directa de las bases, es decir, cuando nk es real. [36] K. Łyczkowski, P. Horodecki, A. Sanpera, y M. Lewen- Stein, Phys. Rev. A 58, 883 (1998). [37] G. M. DARIANO, C. Macchiavello, y M. G. A. Paris, Phys. Rev. A 67, 042310 (2003).

Investigamos las propiedades del enredo cuántico de dos modos exprimidos estados que interactúan con baños lineales con parámetros generales de ganancia y pérdida. Por resolviendo explícitamente para \rho de la ecuación maestra, determinamos analíticamente expresiones de valores propios y autovectores de \rhoT_A} (la transposición de la matriz de densidad \rho). En el espacio Fock, se muestra a mantener una estructura diagonal de bloque a medida que el sistema evoluciona. Además, nosotros descubrir que la decoherencia inducida por los baños rompería la degeneración y conduce a un conjunto novedoso de vectores propios para la construcción de Enredamiento de los operadores de testigos. Se demuestra que tales vectores propios son tiempo-independiente, que es una firma de enredo robusto de dos modos estados apretados en presencia de ruido.

Enrejado cuántico de los estados de dos modos descohecidos en absorción y amplificación del entorno Phoenix S. Y. Poon y C. K. Law Departamento de Física e Instituto de Física Teórica, La Universidad China de Hong Kong, Shatin, Hong Kong SAR, China (Fecha: 5 de noviembre de 2018) Investigamos las propiedades del enredo cuántico de los estados de dos modos exprimidos interactuando con baños lineales con parámetros generales de ganancia y pérdida. Solucionando explícitamente por el maestro Ecuación, determinamos expresiones analíticas de valores propios y autovectores de la transposición de la matriz de densidad En el espacio Fock, se muestra que ÔTA mantiene una diagonal de bloque estructura a medida que evoluciona el sistema. Además, descubrimos que la decoherencia inducida por los baños rompería la degeneración de la ATA, y conduce a un nuevo conjunto de autovectores para la construcción de Enredamiento de los operadores de testigos. Se demuestra que tales autovectores son independientes del tiempo, que es un firma de enredo robusto de estados de dos modos exprimidos en presencia de ruido. Números PACS: 03.67.Mn, 03.65.Yz, 42.50.Dv, 42.50.Lc I. INTRODUCCIÓN El vacío óptico exprimido de dos modos (TMSV) ha sido una fuente importante de enredo variable continuo para comunicación cuántica [1]. En los últimos años, intrigante aplicaciones como la teletransportación cuántica [2, 3, 4, 5, 6] Y la densa codificación cuántica [7, 8] ha sido demoníaca. estratificado experimentalmente con TMSV. Teóricamente, es también se sabe que TMSV maximiza la correlación EPR cuando se indique una cantidad fija de enredo [9]. In para explotar plenamente las propiedades no clásicas de tales campos de luz entrelazados, es importante entender deco- efectos de herencia a medida que se propagan a través de ambientes ruidosos- 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19]. Esto pertenece a un tema más sutil que involucra la caracterización y cuantificación del enredo de estado mixto en general. Para los sistemas bipartitos, Peres y Horodecki tienen de- ha desarrollado un poderoso criterio de enredo, que es conocido como el PPT (transposición parcial positiva) crite- rion [20, 21, 22]. Si la transposición parcial de un la matriz de la sidad (denominada por el ATA) tiene uno o más negativos eigenvalues, entonces el estado es un estado enredado. Phys... La transposición parcial para los Estados separables puede ser considerado como una operación de tiempo-reversal, y uno puede construir una variedad de relaciones de incertidumbre que sirvan como los indicadores de enredo [23, 24]. Para Gaus de dos modos... sian estados tales como TMSV, PPT proporciona un necesario y condición suficiente de separabilidad [25, 26]. La dinámica del desenredo de TMSV en varios situaciones ruidosas han sido abordadas por varios autores recientemente [10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19]. Los hecho de que una amplitud amortiguada TMSV sigue siendo Gaus- sian permite una descripción elegante del enredo basado sobre las propiedades de la matriz de covarianza asociada con los operadores de densidad [27]. En particular, desde el momento... solución dependiente de la función Wigner [15, 16, 17] o la función característica correspondiente [19], se puede cuantificar la degradación del enredo mediante el cálculo la negatividad [28] y la entropía relativa [29]. Ahora sí. conocido que para un TMSV inicial en un no-cero térmico baño, el enredo cuántico desaparece por completo en un fi- tiempo mínimo [27]. Sin embargo, notamos que hay mucho menos investiga- ciones que abordan directamente la estructura de la ATA y, sin embargo, de la ATA. es en lo que se basaba originalmente el criterio del PPT. Desde El estudio se realizó en el marco de una serie de estudios realizados en el marco de la investigación sobre el medio ambiente y el medio ambiente, en el marco de una serie de estudios realizados en el marco de la investigación sobre el medio ambiente y el medio ambiente, en el marco de una serie de estudios realizados en el marco de la investigación sobre el medio ambiente. Por ejemplo, en el espacio Fock, podría revelarse un enredo propiedades no fáciles de encontrar por la función Wigner método [30]. Un ejemplo que notamos es la construcción de operadores de testigos de enredo a través de los proyectores formados por los autovectores de la ATA con valores propios negativos [31]. Estos operadores testigos enredados, que corresponden una variedad de observables para la detección de enredo, son determinados por?TA. El propósito principal de este documento es indicar algunas claves características del enredo descohendido como lo revela el eigen- los valores y los vectores propios de la ATA. Nuestro análisis será en contra de... centrate en las estructuras de autovectores en el espacio Fock, que es también donde interesantes correlaciones no locales de Se pueden observar sistemas variables continuos [32]. Por a TMSV bajo la influencia de la amortiguación de amplitud (o ganar en un amplificador), resolvemos para la evolución temporal de y determinar los propiosvectores y valores propios exactos de la Comisión de Asuntos Jurídicos y de Derechos de los Ciudadanos. Estos autovectores se muestran para tener una fuerte correlación en los números de fotones, y por lo tanto una matriz diagonal de bloques en el espacio Fock. Por lo tanto, testigo operadores asociados con cada bloque implican sólo un finito número de vectores Fock, lo que implica que la detección de enredo sólo puede requerir una pequeña porción de la Espacio Hilbert. Esto es en contraste con el enre- ciones basadas en relaciones de incertidumbre en las que el conjunto El espacio de Hilbert suele estar involucrado [23, 24, 25, 26]. En este la sensación de los autovectores de acceso a la enredadera sig- la naturaleza «local», que es un complemento de la char «global» acterización (de los estados gaussianos) utilizando covarianza matri- ces. Como veremos a continuación, mientras el estado inicial sea a TMSV, los vectores propios correspondientes no cambian con el tiempo, indicando que el enredo transportado por TMSV es robusto contra la amortiguación de amplitud. http://arxiv.org/abs/0704.1965v1 FIG. 1: La estructura de la sub-matriz de?TA, con TMSV inicial, en la base Fock. II. EQUACIÓN Y SOLUCIÓN DE LOS MÁSTERES Para empezar, consideramos la evolución del tiempo de un TMSV inicial, cada uno unido a una fase separada baño lineal insensible. En términos de la aniquilación op- a y b de los dos modos, la ecuación maestra que rijan el proceso dinámico es [33]: = G(2aa− aa?aa† + 2bb− bb?bb†) + L(2 bisa† − a†a /23370/a†a+ 2bb† − b†b /23370/b†b), donde G y L son los parámetros de ganancia y pérdida respec- ticularmente, ambos tienen una dimensión de tiempo-1. Dependiendo sobre los valores de G y L, la ecuación maestra describe efectos de amplificación o amortiguación debidos al acoplamiento con los baños. Para disipación en baños termales, cada uno de temperatura T, tenemos los parámetros G = γ nth y L = γ (nth +1), donde nth = exp(h-/kT )-1 es el promedio número de fotones en cada uno de los modos (con frecuencia En el equilibrio térmico, y γ/2 es la tasa de decaimiento de las amplitudes de modo. En este documento nos centramos en la tial TMSV con el parámetro squeezing r > 0: (0) = exp[r(a†b† − ab)] 00 = 1 - 2 * n nnnn, (2) * nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnrnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn, nnnnnnnnnnnnnnnn, nnnnnnnnnnnnnn, nnnnnnnnnnnnnnnn, nnnnnnnnnnnnnnn, nn, nnnnnnnn, nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n. donde el estado de vacío de dos modos es el tanh r y el tanh 00. A. Estructuras de bloques TA en el espacio Fock Investigar las propiedades de enredo de la guarida. sity matrice, estudiamos su transposición parcial. Los ATA es de dimensión infinita, sin embargo, mediante el examen de la ecuación maestra en la base Fock, estructuras de bloques de Se puede identificar el TCA. Denotemos los elementos de la matriz de los Estados Unidos de América por .................................................................................................................................................................... nmTA pq = pmnq, (3) que se rige por la siguiente ecuación diferencial: TAn,m,p,q = G[2 npÔTAn−1,m,p−1,q mqđTAn,m−1,p,q−1 −(n+m+ p+ q + 4) (n+ 1)(p+ 1)­TAN+1,m,p+1,q (m+ 1)(q + 1)?TAn,m+1,p,q+1 −(n+m+ p+ q)­TAN,m,p,q]. 4) TAn,m,p,q(t = 0) = 5) corresponde a la condición inicial (2). Se puede ver desde Eq. 4) Que cada uno de ellos: ement TAn,m,p,q(t) se combina con elementos Sólo para los números enteros l y k. ­TAn+l,m+k,p+l,q+k(0). Por lo tanto,?TAn+l,m+k,m+l,n+k (t) son los únicos que no son cero elementos en cualquier momento t > 0 debido a la con- inicial sión. Al señalar que la suma de los dos primeros índices igual a la de los dos últimos, podemos agrupar todos no-cero elementos TAN+l,m+k,m+l,n+k (t) en submétrices MS según el índice de suma S = n + l + m + k, es decir, El término «TAn+l,m+k,m+l,n+k (t)» figura en el término «Mn+l+m+k». Nosotros puede, por tanto, expresar la TTA en una suma directa de los Estados miembros como A continuación: TA(t) = MS(t), (6) donde la submatriz MS tiene una dimensión de S+1, ya que los elementos inMS tienen sus dos primeros índices como {0, S}, {1, S− 1},..., {S, 0}. Fig. 1 muestra la estructura de la submatriz de T.A.A. Tenga en cuenta que la suma característica S es igual al total número de fotones que contienen los dos modos. Desde Eq. (4) observamos que el flujo probabilístico ocurre entre elementos en sub-Matrices vecinas, con emisión o absorción de un fotón en uno de los modos a uno Tiempo. La evolución del tiempo de una sub-matriz típica de ilustrada esquemáticamente en la Fig. 2, que será des- tachado en detalle en la parte posterior del documento. Ini- sólo los elementos diagonales opuestos están presentes, hav- , con la misma magnitud que en el caso de la S............................................................................................................................................................... A medida que aumenta el tiempo, el elemento fluye de las sub-Matrices vecinas, y desenredar- las sub-matrices se producen en un momento crítico t = tc (Sección IIIA). En el caso de los baños termales, evoluciona hacia una forma diagonal en el largo plazo, estableciéndose como el estado de equilibrio térmico TAN,m,p,q = Npmq (nth+1)2 (nth nth+1 )n+m. B. Solución analítica del espacio de posición Para analizar las propiedades de?TA, es más conve- niente a determinar primero el espacio de posición y luego FIG. 2: (Color en línea) Diagrama esquemático que muestra el evo- la contaminación de la distribución de los elementos en una submatriz de la ATA, suponiendo que los baños sean baños termales. La tc es la crítica Tiempo para el desenredo. hacer la transformación al espacio Fock. La posición método espacial de la búsqueda de.... fue utilizado anteriormente en Ref. [11, 34] en el estudio de enredo en varios oscil- sistemas de lator. En esta subsección, presentamos un solución de la ecuación maestra (1) con un TMSV inicial. Observamos que nuestro método es diferente de aquel dado en [11], como este último implica una transformación de Fourier de la matriz de densidad, es decir, el espacio de impulso. Aquí lo resolvemos. la matriz de densidad totalmente en el espacio de posición (apéndice A). Esto resulta ser más conveniente para el real estados simétricos gaussianos considerados aquí, ya que menos Las ecuaciones diferenciales están involucradas. Además, la re- la solución sultante es más transparente para su posterior análisis de autovectores en la siguiente sección. Denominemos a los operadores de ‘posición’ como x = 1 (a+a†) e y = 1 (b + b†), y definir * (x1, y1;x2, y2; t) * (x1, y1 (t) * (x2; y2); (7) entonces la ecuación maestra (1) se convierte, = −1 [L(x21 + x 2 − 2x1x2 + y21 + y22 − 2y1y2 − 4 2x1 − • 2y1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • - 2-x1-x2 - 2-y1-y2 −2x1­0x2­2x2­0x1­2y1­0y2­2y2­0y2­0y2­0y2­0y1 +G(x21 + x 2 − 2x1x2 + y21 + y22 − 2y1y2 + 4 2x1 − • 2y1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • - 2-x1-x2 - 2-y1-y2 +2x1ox2 + 2x2ox1 + 2y1oy2 + 2y2oy1)]]. (8) Para un estado inicial (2), ♥(x1, y1;x2, y2; t) toma un gaussiano forma en cualquier momento t, *(x1, y1;x2, y2; t) = *(t) exp[−A(t)(x21 + x22 + y21 + y22) +B(t)(x1y1 + x2y2) +C(t)(x1x2 + y1y2) +D(t)(x1y2 + x2y1)], (9) donde A(t), B(t), C(t) y D(t) dependen en tiempo real coeficientes, y el factor de normalización es: (t) = [2A(t)− C(t)]2 − [B(t) +D(t)]2. (10) Sustituyendo Eq. (9) en la ecuación maestra, la coeficientes se encuentran para obedecer un conjunto de ecuaciones acopladas que se puede resolver analíticamente (Apéndice A). Por la Comisión TMSV considerado aquí, tenemos, A(t) = [2A0η + G− L(η − 1) + 2-(x2+2t)-(xy)-(x2)-(x2+2t)-(x)-(x2+2t)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x) B(t) = [B0η + # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2-(x2+2t)-(xy)-(x2)-(x2+2t)-(x)-(x2+2t)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x) C(t) = [2A0η + G− L(η − 1)− 2-(x2+2t)-(xy)-(x2)-(x2+2t)-(x)-(x2+2t)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x) D(t) = [−B0η + # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2-(x2+2t)-(xy)-(x2)-(x2+2t)-(x)-(x2+2t)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x) ]. (11) Aquí A0 = cosh 2r, B0 = sinh 2r y η(t) = exp[2(G− L)t] se definen, y los valores de expectativa son dados por, = A0η + 2 G - L) (η − 1), # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # η. (12) III. PROPIEDADES DE Según el criterio del PPT, la aparición de Los valores propios de la ATA son una firma de enredo. In esta sección, resolvemos los autovectores y valores propios de A medida que evoluciona el sistema. Luego discutimos cómo deco- herence afecta las propiedades de enredo de la ATA. Los los valores propios y los vectores propios de la ATA se definen de la siguiente manera: TTA(x1, y1;x2, y2; t)n,m(x2, y2; t)dx2dy2 = N, m(t)N, m(x1, y1; t). (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Nuestra principal técnica para resolver el problema de los propios es la uso de la fórmula Mehler que expande un Gaussian doble función en una serie de funciones ortogonales. Después de un poco cálculos (véase el apéndice B), obtenemos la expresión de valores propios, N,m(t) = N,m(t) β1)n+1 β2)m+1 y los correspondientes autovectores, N, m(x1, y1) = 2n+mn!m! x1 − y1 x1 + y1 × exp[−1 (x21 + y 1)] (15) donde Hn son los polinomios Hermite. Por escrito Eq. (14), hemos definido α1(t) = [2A(t)−B(t) + C(t) +D(t)], β1(t) = [2A(t) +B(t)− C(t) +D(t)], α2(t) = [2A(t) +B(t) + C(t)−D(t)], β2(t) = [2A(t)−B(t)− C(t)−D(t)] (16) y la solución de A, B, C y D son dadas por Eq. (11). Nótese que por escrito Eq. (15) de (B8), hemos utilizado el hecho de que para TMSV, α1β1 = α2β2 = para todos los tiempos t ≥ 0. Ahora transformamos a los autovectores de la posición espacio al espacio Fock. Obsérvese que el TCA es una base de- Operación pendent. Los autovectores de la ATA definidos en dos conjuntos de bases diferentes no se transforman directamente. Un excepción es el caso cuando los dos conjuntos de vectores de base transformar por una matriz unitaria real [35], que es el caso Aquí. Esto nos permite escribir el autovector n,m en el espacio Fock de Eq. (15): n,m = [ a† − b a† + b )m] 00, (17) que se puede conectar a las sub-Matrices de ÔTA (Fig. 1) a través del número de fotones sum S • m + n para etiquetar el eigenket, para que n,S−nâ = ¡N!(S − n)! S,n,j ¡J!(S − j)! j, S − já. (18) Aquí hemos usado la abreviatura # S,n,j # min(j,n) (−1)n−kCS−nj−k C k, (19) con CSr S!r!(S−r)!. De esta manera n,S−n® y n,S−n (n = 0, 1,..., S) son el nésimo vector y el valor propio de el bloque con la suma característica S. A. Evolución de los valores propios negativos Inspeccionando Eq. (14), encontramos que todos los negativos valores propios en cada bloque comparten el mismo valor en t = 0 (Fig. 3). Lo mismo es cierto también para el eigenval positivo- ues. Sin embargo, una degeneración tan fuerte se rompe por acoplamiento con los baños. Esto se ilustra en la Fig. 3 donde la dependencia temporal de los valores propios individuales en Se muestran varios índices de bloques S. Excepto en t = 0 y en el tiempo crítico tc, vemos que los valores propios negativos poseer diferentes valores. Es importante observar que los valores propios son neg- ativo para n impar, cuando β1, o en otras palabras, B(t) > C(t). Todos los valores propios giran cero al mismo tiempo, cuando tenemos B(t) = C(t), excepto el único valor propio con n = 0 en cada bloque. Un tiempo tan crítico tc se da 2 (L-G) bitácora G+ L G (1 + ) que es siempre finito positivo tanto como G 6= 0. Por el caso G → 0, tenemos tc →. Observamos que el FIG. 3: (Color en línea) Los valores propios de las sub-Matrices de de un sistema amplificador con G = 1,5γ, L = 0,5γ e inicial factor de compresión r = tanh−1 0,2, con suma característica (a) S = 1, b) S = 4, c) S = 7, y d) S = 10. Línea roja indica el n = 0 eigenvalue que no gira cero en tc, mientras que la línea azul indica el valor propio más negativo con n = 1. tiempo de desenredo tc se obtuvo previamente en Ref. [26] para los baños termales, aquí hemos obtenido un ex general presión (20) que también se aplica a los amplificadores lineales. In en particular, en el caso de que los parámetros de ganancia y pérdida sean igual, es decir, G = L, el tiempo crítico se puede reducir a Señalamos que en el momento del desenredo t = tc, sólo hay un valor propio no cero (con el índice n = 0) en cada submatriz (fig. 3). Por lo tanto, en la Comisión de Asuntos Jurídicos y de Derechos de los Ciudadanos, el Tribunal de Justicia decidió: tiempo crítico es altamente degenerado, y el correspondiente la propiedad de simetría de la TTA(t = tc) se indica en la relación: TAI,S-j,j,S-j = j,S−j,S−j,j = TAS−j,j,j,S−j = S−j,j,S−j,j. (21) Esto resulta en la distribución simétrica de los elementos como se muestra en la Fig. 2 esquemáticamente. Como observación adicional, es interesante que Los valores propios pueden no ser necesariamente monotones con el tiempo. Esto se puede ver diferenciando Eq. (14) y mirando al tipo inicial: n,S−n = (−1)n tanhS r csch rsech3r (G− L)(S − 2n) +(G+ L)(S − 2n) cosh2r −[LS +G(2 + S)] sinh 2r}, (22) que puede dar lugar a un valor negativo para eters, es decir, algunos valores propios de n impar pueden llegar a ser más negativo con el tiempo (Fig. 3d). Un caso excepcional es cuando G = 0, donde encontramos que para impar n, la derivada en t = 0 debe ser positivo inspeccionando Eq. (22). FIG. 4: (Color en línea) La negatividad N de G, fijando los parámetros L = γ y el factor de compresión inicial r = tanh−1 0,2. B. Negatividad y subnegatividad La negatividad N sirve como una medida computable de enredo definido por la norma de traza de la TTA menos 1 dividido por 2 [28]. Para los estados separables, la ATA sigue siendo una guarida. matriz de sity con traza 1 y por lo tanto N = 0. Sin embargo, para estados no separables con negativo?TA, tenemos N > 0. Específicamente, N es igual a la suma del valor absoluto de valores autóctonos negativos de TA [28, 36]. Para el sistema con- en este artículo, N lee, N = (t) ). 23) Alternativamente, N se puede derivar de la especificación simpléctica- trum de la matriz de covarianza asociada con la den- sity operator [27]. In Fig. 4 mostramos el tiempo de evolución- ión de negatividad N para TMSV inicial con diferente G parámetros. Un ejemplo para el caso G = 0 es el cero- escenario de disipación del baño de temperatura. Arreglando L, nosotros ob- servir que una ganancia más grande G conduce a un tc más corto. También podemos calcular la negatividad en una submatriz Estados miembros, que mide la contribución del enredo a partir del bloque correspondiente que se acumula?TA. Especif... cialmente, la submatriz negatividad NS se define la misma forma como negatividad N pero restringido a la submatriz de A.T. con la característica suma S. A nuestro conocimiento, Esta negatividad de la submatriz, que requiere la laciones de valores propios individuales, no se ha discutido antes. Explícitamente, el NS adopta la forma de: NS = (t) β1)2n+2 S−2n−1 β2)S−2n donde P se define como la parte integral de S−1 . In Fig. 5 se ilustra el comportamiento de NS de algunos bloques. Lo siento. es sorprendente que para las sub-matrices superiores el corre- negatividad sponding NS puede aumentar con el tiempo. Physi... cally, el aumento de NS se debe al flujo de probabilidad en FIG. 5: La negatividad de las sub-Matrices NS de TA, para un am- sistema de plegado con G = 1,5γ, L = 0,5γ y compresión inicial factor r = tanh−1 0,2, con suma característica (a) S = 1, (b) S = 4, c) S = 7, y d) S = 10. Espacio de fock derivado de la amortiguación o amplificación de meca- Nismos. Dado que cada sub-matriz de la ATA no necesariamente Conserve la probabilidad (es decir, el rastro de EM no es un fuerte), es posible que algunos bloques podrían tener su la negatividad aumenta con el tiempo. Sin embargo, el aumento del NS no viola el hecho que la negatividad global N de la ATA es un enredo monotona que no aumenta bajo LOCC (la mas- la ecuación ter corresponde a las operaciones locales). Eq. (14) revela que los valores propios de los bloques superiores son de menor tamaño orden de magnitud. Como vemos en la Fig. 5, aunque nega- dad de las sub-matrices más altas individuales puede aumentar sobre tiempo, su contribución a la negatividad es menor por sev- órdenes eral que las sub-Matrices con S inferior, y allí- la negatividad general sigue disminuyendo en forma monotónica. Estructura robusta del testigo de enredo Un operador testigo enredado W está diseñado para la detección de enredo de tal manera que Tr(lW) < 0 para algunos estados no separables............................................................................................................................................................................................................................................................ para todos los estados separables ♥sep [21]. Para cada eigenvec- con un valor propio negativo, se puede con- struct an W by W = TA [31] que cumplan los criterios arriba. En nuestro sistema, podemos construir una familia de W de los autovectores n,S−n® con impar n en consecuencia, es decir, WS,n = n,S−nn,S−nTA. De Eq. (18), la explícita forma de WS, n lee, WS,n = ¡2Sn!(S − n)! ¡J!(S − j)!l!(S − l)! l, S − , S − l, FIG. 6: Ejemplo de testigo de enredo W2,1. que muestra que WS,n opera sólo en una dimensión finita- sión en el espacio Fock. Nótese que Tr(?WS,n) =?n,S−n, y â ¢1,S−1 es el valor propio más negativo en cada sub- la matriz, por lo tanto WS,1 proporciona el detección de enredos entre todos los testigos construidos de vectores que se encuentran dentro de la sub-matriz MS. Algún ex- Amplificaciones para testigos de enredo con n = 1 se muestran en Fig. 6 y Fig. 7. Observamos que W también tiene una estructura diagonal de bloque en el que los elementos distintos de cero son: j, S − lWS,n l, S − j. Esto nos permite dividir W en sub-bloques K, con cada uno subbloque caracterizado por una diferencia K + [−S, S]: WS,n = K, (26) donde el elemento «j», S − lWS,n l, S − j® se encuentra en el sub- bloque con K = S − j − l. min(S,S-K) l=máx(0,−K) ¡2Sn!(S - n)!S,n,S-K-l-l-S,n,l (S −K − l)!(K + l)!l!(S − l)! l,K + lÃ3r á S − K − l,S − lÃ, (27) que tengan una dimensión de S − K 1. Observamos que el El más simple testigo de enredo de 2×2W1,1 fue construido en [37] utilizando un enfoque diferente. Aquí nuestro general WS,n se aplica a todos los S y n. Finalmente, destaquemos la característica de robustez de TMSV contra la decoherencia. Hemos visto desde Eq. (18) explícitamente que los autovectores n,S−n® permanecen in- cambió con el tiempo. El tiempo-independiente n,S−n® sug- indica que TMSV es robusto contra el ruido, en el sentido de que estructura de enredo testigoWS,n se conserva. Los la degradación del enredo sólo afectaría a los valores. Insistimos en que esa propiedad independiente del tiempo eigenvectores es específico de TMSV inicial, y no mantener para los estados iniciales arbitrarios en general. En el apéndice B, derivamos los autovectores de la evolución de la ATA a partir de un ini- estados gaussianos simétricos de dos modos con arbitrariedad FIG. 7: Parte del testigo de enredo W3,1, mostrando el bloques con diferencia característica de -3 a 0. W3,1 es simétrica sobre la diagonal de arriba-derecha a abajo-izquierda. coeficientes reales A0, B0, C0 y D0. Nos encontramos con que la dependencia del tiempo de los autovectores surge únicamente de la evolución de los factores α1β1 y α2β2. Debido a las interacciones sistema-baño, estos factores son generalmente depende del tiempo. Sin embargo, el estado evoluciona de TMSV es una excepción en la que se puede mostrar que el correspondiente α1β1 y α2β2 igual a la constante 1/16 en todo el tiempo. IV. CONCLUSIÓN Para resumir, mediante la obtención de una solución analítica exacta para el ATA y el examen de sus autovectores, descubrimos sev- características importantes sobre la pérdida de enredo de un TMSV sufría de decoherencia. Ambas amplitudes efectos de amortiguación y amplificación se han incluido en nuestro análisis. A lo largo del proceso de decoherencia, el la estructura diagonal del bloque de la ATA se muestra como principal- En base Fock. Como cada bloque abarca sólo un finito porción del espacio Fock, la existencia de eigen negativo- valores en un bloque implica que la información de enredo puede ‘sobrevivir’ en el número de fotones correspondiente sub- espacio. Si el enredo cuántico del sistema va a ser destruido por completo, entonces todos los bloques tienen que ser hechos positivo. En otras palabras, simplemente mezclando el sistema con otro estado que implica espacio finito Fock no destruir el enredo. Para el proceso de decoherencia considera en este documento, todos los bloques se vuelven positivos en un tiempo crítico tc, que está de acuerdo con el análisis anterior- sis basado en la matriz de covarianza. En t < tc, de- rived una expresión explícita de la negatividad, así como la negatividad de las sub-Matrices para caracterizar la dependencia temporal del enredo. Curiosamente, el negatividad de algunas sub-Matrices podría aumentar con el tiempo cuando G no es cero, aunque el efecto es débil acorde- , en función de nuestros cálculos. La firma del enredo en El testigo puede detectar el subespacio del número de fotones operadoresWS,n, y hemos construido WS,n explícitamente en este periódico. Estos operadores de testigos también están en el bloque di- agonal, y lo más notable, son independientes del tiempo a pesar de que el sistema está bajo la influencia del ruido. Interpretamos tal propiedad como una especie de entan robusto... estructura de glement heredada en TMSV. Agradecimientos Este trabajo cuenta con el apoyo del Consejo de Becas de Investigación de la RAE de Hong Kong, China (Proyecto No. 401305). APÉNDICE A: EVOLUCIÓN DEL TIEMPO DE SIMMÉTRICO REAL GENERAL DOS MODOS OPERADOR DE DENSIDAD GAUSSO En este Apéndice, consideramos la evolución del tiempo de estados gaussianos de dos modos simétricos reales, cada acoplamiento linealmente con un baño separado con ganancia y pérdida general parámetros. La matriz de densidad está representada en posición espacio, obedeciendo la ecuación maestra como en Eq. (8). Por la Comisión solución del estado simétrico Gaussiano real de dos modos presentado en Eq. (9), una sustitución directa conduce a la las siguientes ecuaciones diferenciales acopladas: = (G− L)C + 1 (G+ L)[1− (2A− C)2 − (B +D)2], • = −2(G− L)D −2(G+L)(2A− C)(B +D), * = 4(G− L)A+ (G+ L)[1 + (2A− C)2 + (B +D)2], = −2(G− L)B −2(G+ L)(2A− C)(B +D). (A1) Sin pérdida de generalidad, consideramos el caso G 6=L. De Eqs. (A1), B − D y 2A + C tienen la solución, B(t)−D(t) = (B0 −D0)η(t), 2A(t) + C(t) = (2A0 + C0)η(t) + G− L [η(t)− 1], donde η(t) ♥ exp[2(G− L)t] y los subíndices cero de- note los valores en t = 0. Las otras dos combinaciones, B+D y 2A−C, se pueden encontrar al señalar que son relacionados con los segundos momentos â € € ¢x2â € y â € € € € por: 2A(t)− C(t) = 2[+x2+2t − â € â € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM B(t) +D(t) = # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2[+x2+2t − â € â € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM . (A3) con el subíndice t que denota el valor en el momento t. Bajo la condición: = 0 (A4) , que se aplica a TMSV, y desde el equa-Heisenberg las mociones de a y b, la dependencia temporal de la los segundos momentos son dados por: η(t) + 2 G - L) [η(t)-1], Índice = Índice η(t). (A5) Aquí los segundos momentos iniciales son dados por: 2A0 − C0 2[(2A0 − C0)2 − (B0 +D0)2] # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # B0 +D0 2[(2A0 − C0)2 − (B0 +D0)2] . (A6) Por lo tanto, la evolución del tiempo de los coeficientes de los dos- modo Gaussian solución de estado son los siguientes: A(t) = [(2A0 + C0)η + G− L (η − 1) 2-(x2+2t)-(xy)-(x2)-(x2+2t)-(x)-(x2+2t)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x) B(t) = [(B0 −D0)η + # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2-(x2+2t)-(xy)-(x2)-(x2+2t)-(x)-(x2+2t)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x) C(t) = [(2A0 + C0)η + G− L (η − 1) 2-(x2+2t)-(xy)-(x2)-(x2+2t)-(x)-(x2+2t)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x) D(t) = [−(B0 −D0)η + # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2-(x2+2t)-(xy)-(x2)-(x2+2t)-(x)-(x2+2t)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x)-(x) ], (A7) donde los valores de expectación se dan en Eq. (A5). En el caso de TMSV, la solución se reduce a Eq. (12) ya que los coeficientes iniciales satisfacen: C0 = D0 = 0 (A8) 4A20 −B20 = 1. (A9) En particular, al señalar que A0 = 12, tenemos A0 = Cosh 2r. APÉNDICE B: DERIVACIÓN DE EGENVECTORES Y EGENVALUES DE En el espacio de posición,?TA(x1, y1;x2, y2; t) = (x2, y1;x1, y2; t). Los vectores autóctonos y los valores autóctonos Países Bajos La TA está definida por Eq. (13). Aplicando el trans- formación xj = (uj + vj)/ 2 y yj = (−uj + vj)/ (j = 1, 2), se convierte en un producto limpio de dos dobles Gaussians de la siguiente manera: TTA(u1, v1;u2, v2; t) = ­(t) exp[­1(t)(u1 − u2)2 − β1(t)(u1 + u2)2] × exp[+2(t)(v1 − v2)2 − β2(t)(v1 + v2)2], (B1) donde α1 = (2A−B+C+D), β1 = 14 (2A+B−C+D), (2A+B +C −D) y β2 = 14 (2A−B −C −D). Aplicamos la Fórmula de Mehler dos veces, una para el u1, u2 doble Gaussian, y uno para el v1, v2 doble Gaussian función. Esto llevaría a la descomposición de Schmidt sobre el punto AT: TA(u1, v1;u2, v2; t) = (t) α1β1α2β2 nfn(u1)fn(u2) mf贸m(v1)f贸m(v2), (B2) donde los modos Schmidt fn(u) y fсm(u) son: fn(u) = ¡2n-1n! 4Hn[2(α1β1) exp(−2 α1β1u f­m(u) = ¡2m-1m! 4Hm[2(α2β2) exp(−2 α2β2u 2), (B3) y los coeficientes n(t) y m(t) n(t) = 2(α1β1) β1)n+1 m(t) = 2(α2β2) β2)m+1 , (B4) donde Hn(u) son los polinomios Hermita. Reordenar términos, Eq. (B2) da: TTA(x1, y1;x2, y2; t) n,m(t)n,m(x1, y1; t) n,m(x2, y2; t), (B5) donde se encuentran los autovectores n,m(x1, y1; t) 2n-12m-1n!m! α1β1α2β2 ×Hn[2(α1β1) x1 − y1 )]Hm[2(α2β2) x1 + y1 × exp[− α1β1(x1 − y1)2] exp[− α2β2(x1 + y1) y los valores propios TA son, N,m(t) = N,m(t) β1)n+1 β2)m+1 Estas expresiones de autovectores y valores propios son para cualquier coeficiente dependiente del tiempo A(t), B(t), C(t) y D(t), es decir, aplicable a los Estados que evolucionan de la arbitrariedad valores iniciales A0, B0, C0 y D0. El caso especial con TMSV inicial se da en Eq. (14) y Eq. (18). [1] S. L. Braunstein, y P. van Loock, Rev. Mod. Phys. 77, 513 (2005). [2] A. Furusawa, J. L. Sørensen, S. L. Braunstein, C. A. Fuchs, H. J Kimble, y E. S. Polzik, Science 282, 706 (1998). [3] W. P. Bowen, N. Treps, B. C. Buchler, R. Schnabel, T. C. Ralph, Hans-A. Bachor, T. Symul, y P. K. Lam, Phys. Rev. A 67, 032302 (2003). [4] T. C. Zhang, K. W. Goh, C. W. Chou, P. Lodahl, y H. J. Kimble, Phys. Rev. A 67, 033802 (2003). [5] Nobuyuki Takei, Hidehiro Yonezawa, Takao Aoki, y Akira Furusawa, Phys. Rev. Lett. 94, 220502 (2005). [6] Hidehiro Yonezawa, Takao Aoki y Akira Furusawa, Nature 431, 430 (2004). [7] X. Li, Q. Pan, J. Jing, J. Zhang, C. Xie y K. Peng, Phys. Rev. Lett. 88, 047904 (2002). [8] J. Mizuno, K. Wakui, A. Furusawa, y M. Sasaki, Phys. Rev. A 71, 012304 (2005). [9] G. Giedke, M. M. Wolf, O. Kruger, R. F. Werner, y J. I. Cirac, Phys. Rev. Lett. 91, 107901 (2003). [10] T. Hiroshima, Phys. Rev. A 63, 022305 (2001). [11] A. K. Rajagopal y R. W. Rendell, Phys. Rev. A 63, 022116 (2001). [12] P. J. Dodd y J. J. Halliwell, Phys. Rev. A 69, 052105 (2004); P. J. Dodd, Phys. Rev. A 69, 052106 (2004). [13] S. Scheel y D.-G. Welsch Phys. Rev. A 64, 063811 (2001). [14] S. J. van Enk, y O. Hirota, Phys. Rev. A 71, 062322 (2005). [15] A. Serafini, F. Illuminati, M. G. A. Paris, y S. De Siena, Phys. Rev. A 69, 022318 (2004); A. Serafini, M. G. A. Paris, F. Illuminati, y S. De Siena, J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 7, R19 (2005). [16] M. Ban, J. Phys. B 39, 1125 (2006). [17] J. S. Prauzner-Bechcicki, J. Phys. A 37, L173 (2004). [18] S. Daffer, K. Wódkiewicz, y J. K. McIver, Phys. Rev. A 68, 012104 (2003). [19] Xiao-Yu Chen, J. Phys. B 39, 4605 (2006); Xiao-Yu Chen, Phys. Rev. A. 73, 022307 (2006). [20] A. Peres, Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996). [21] M. Horodecki, P. Horodecki, y R. Horodecki, Phys. Lett. A 223, 1 (1996). [22] P. Horodecki, Phys. Lett. A 232, 333 (1997). [23] G. S. Agarwal y A. Biswas, New J. Phys. 7, 211 (2005). [24] E. Shchukin y W. Vogel, Phys. Rev. Lett. 95, 230502 (2005). [25] R. Simon, Phys. Rev. Lett. 84, 2726 (2000). [26] L. M. Duan, G. Giedke, J. I. Cirac, y P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 84, 2722 (2000). [27] Para una reseña, véanse A. Ferraro, S. Olivares y M. G. A. París, Gaussian States in Quantum Information, Napoli Serie de Física y Astrofísica, (Bibliopolis, Napoli, 2005) y sus referencias. [28] G. Vidal y R. F. Werner, Phys. Rev. A 65, 032314 (2002). [29] V. Vedral y M. B. Plenio, Phys. Rev. A 57, 1619 (1998). [30] X. B. Wang, M. Keiji, y T. Akihisa, Phys. Rev. Lett. 87, 137903 (2001). [31] Véanse, por ejemplo, O. Gühne, P. Hyllus, D. Bruss, A. Ekert, M. Lewenstein, C. Macchiavello, y A. Sanpera, Phys. Rev. A 66, 062305 (2002). [32] Z. B. Chen, J. W. Pan, G. Hou e Y. D. Zhang, Phys. Rev. Lett. 88, 040406 (2002). [33] L. Mandel y E. Wolf, Coherencia óptica y cuántica Óptica, (Cambridge University Press, Nueva York, 1995). [34] Stein Olav Skrøvseth, Phys. Rev. A 72, 062305 (2005). [35] Dejemos que cnmnmÃ3 ser un editor independiente de AT obtenida de la transposición parcial de la letra a) del apartado 1 del artículo 85 del Tratado CE (en lo sucesivo, «la Directiva»). en el espacio Fock, entonces se puede mostrar que = No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. jmj es el correspondiente eigenvector de la ATA obtenida de la transposición parcial en las nuevas bases (etiquetado por tilde), con el el mismo valor propio. Por lo tanto y son relacionados por una la transformación directa de las bases, es decir, cuando nk es real. [36] K. Łyczkowski, P. Horodecki, A. Sanpera, y M. Lewen- Stein, Phys. Rev. A 58, 883 (1998). [37] G. M. DARIANO, C. Macchiavello, y M. G. A. Paris, Phys. Rev. A 67, 042310 (2003).

Some new observations on interpolation in the spectral unit ball

ALGUNAS NUEVAS OBSERVACIONES SOBRE LA INTERPOLACIÓN EN LA BALLA DE UNIDADES ESPECTRAL GAUTAM BHARALI Resumen. Presentamos varios resultados asociados a una interpolación holomórfica problema para la bola de la unidad espectral, n ≥ 2. Comenzamos mostrando que un conocido condición necesaria para la existencia de un O(D; n)-interpolante (D aquí siendo el disco unitario en C), dado que los datos de matrícula no son despectivos, no es suficiente. Proveemos a continuación una nueva condición necesaria para la solvabilidad de los dos puntos problema de interpolación - uno que no se limita sólo a los datos no despectivos, e incorpora la estructura jordana de los datos prescritos. A continuación, utilizar algunas de las ideas utilizadas en la deducción de este último resultado para probar un lema tipo Schwarz para los automapas holomórficos de n, n ≥ 2. 1. Introducción y Declaración de Resultados El problema de interpolación mencionado en el título, y que vincula el surtido resultados de este documento, es el siguiente (D aquí denotará la unidad abierta centrada en el disco a 0° C): (*) Habida cuenta de los distintos puntos de M, 1. .............................................................. ..................................................................................... báscula de la unidad tral n := {W {Mn(C) : r(W ) < 1}, encontrar condiciones en 1,. ......................................... y {W1,. ..,WM} de tal manera que existe un mapa holomórfico F : D Cumpliendo F (j) =Wj, j = 1,...,M. En la declaración anterior, r(W ) denota el radio espectral de la matriz de n × n W. Bajo una ligera simplificación, es decir. que el interpolante F en (*) está obligado a satisfacer supD r(F) < 1 – el papel [5] proporciona una caracterización de la interpo- datos de la relación ((­1, W1),. Que admitan un interpolante del tipo descrito.......................................................................................................................................................................................................................................................... Sin embargo, esta caracterización implica una búsqueda no trivial sobre una región en Cn Por lo tanto, hay interés en encontrar caracterizaciones alternativas que o bien: ventilar la necesidad de realizar una búsqueda; o b) reducir la dimensión de la región de búsqueda. In a este respecto, una nueva idea fue introducida por Agler & Young en el artículo [1]. Esto la idea se desarrolló aún más en varias obras, especialmente en [2] en los documentos [7] y [8] por Costara, y en la tesis de David Ogle [13]. Puede resumirse en dos fases: A continuación: • Si las matrices W1,. ............................................................................................................................................................................................................................................................... un problema de interpolación en el polidisco simetría Gn, n ≥ 2, que es definido como Gn := (s1,. .............................................................................................. n : todas las raíces de zn + (−1)jsjz n−j = 0 se encuentran en D 1991 Clasificación del sujeto de las matemáticas. Primaria: 30E05, 47A56; secundaria: 32F45. Palabras y frases clave. Geometría compleja, métrica de caratéodoría, polinomio mínimo, Schwarz Lema, radio espectral, bola de unidad espectral. Este trabajo cuenta en parte con el apoyo de una subvención de la UGC en el marco de la fase IV del DSA-SAP. Aparecer en Eqns Integrales. Teoría de la operadora. http://arxiv.org/abs/0704.1966v2 2 GAUTAM BHARALI • Se muestra que el problema de la interpolación de Gn comparte ciertos aspectos de la problemas de Nevanlinna-Pick, ya sea estableciendo las condiciones para un von Neumann desigualdad para Gn – note que Gn es compacto – o a través de la función teoría. Sería útil, en esta etapa, recordar lo siguiente: Definición 1.1. Una matriz A • Mn(C) se dice que no es despectiva si la geométrica multiplicidad de cada valor propio de A es 1 (independientemente de su multiplicidad algebraica). Los matriz A ser no despectivo es equivalente a A ser similar al compañero matriz de su polinomio característico – es decir, si zn + j=1 sjz n−j es la característica polinomio entonces A es no despectivo A es similar a 0 − sn 1 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ... ... 0 1 −s1 Los artículos Agler-Young tratan el caso n = 2, mientras que los dos últimos trabajos citados anteriormente considerar el problema de las dimensiones superiores. Se hace referencia al lector [2] para obtener una prueba de la equivalencia de (*), dados los datos de matrícula no derogatorios, y el Problema de interpolación de Gn. La condición de similitud dada en la definición 1.1 es central para establecer esta equivalencia. Antes de presentar el primer resultado de este trabajo, tenemos que examinar lo que se conoce sobre (*) desde la perspectiva del problema de la interpolación de Gn. Ya que nos gustaría para centrarse en el problema de la interpolación matricial, vamos a parafrasear los resultados de [13] y [8] en la lengua de las matrices no derogatorias. Dado un complejo de n × n matriz W, dejar que su característica polinomio χW (z) = zn+ j=1(−1) jsj(W)z n-j, y definir la función racional f(z;W ) := j=1 jsj(W)(−1) jzj−1 j=0 (n− j)sj(W)(−1) Entonces, la declaración más general que se conoce sobre (*) es: Resultado 1.2 (parafraseado de [13] y [8]). Let â € 1,. ......................................... en D y dejar W1,. ............................................................... Si existe un mapa F O(D,ln) de tal manera que F (lj) = Wj, j = 1,...,M, entonces las matrices (1.1) 1− f(z;Wj)f(z;Wk) 1 - Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice j,k=1 ≥ 0 para cada z + D. Aquí, y en otra parte de este documento, dados dos dominios complejos X e Y, O(X;Y ) denotará la clase de todos los mapas holomórficos de X a Y. Observación 1.3. Las matrices en (1.1) pueden aparecer diferentes de las de [13, corolario 5.2.2], pero estos últimos son, de hecho, ∗ congruentes con las matrices anteriores. A pesar de que el resultado 1.2 sólo proporciona una condición necesaria, (1.1) es más tratable para valores pequeños de M que la condición de Bercovici-Foias-Tannenbaum. Su viabilidad como condición suficiente, al menos para el pequeño M, se ha discutido tanto en [13] y [8]. Esto es razonable porque esta última condición es suficiente cuando n = 2 y M = 2 (y las matrices dadas no son, por supuesto, despectivas); véase [4]. Dado todo estos acontecimientos, parece apropiado comenzar con lo siguiente: INTERPOLACIÓN EN LA DEPENDENCIA SPECTRAL BALL 3 Observación 1.4. Cuando n ≥ 3, la condición (1.1) no es suficiente para la existencia de un interpolante O(D; n) para los datos prescritos ((­1, W1),. ............................................................................................................................................................................................................................................................... No obstante, la información que figura en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 no es de carácter despectivo, puesto que la información que figura en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 no se refiere a la información que figura en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 1303/2013. La observación anterior se basa en ideas de geometría compleja; específicamente -esti- mates para métricas invariantes en el polidisco simetrizado Gn, n ≥ 3. Nuestro argumento sigue de un estudio reciente [11] de la métrica de Caratheodory en Gn, n ≥ 3. Esto el argumento se presenta en la siguiente sección. Observación 1.4 nos lleva de nuevo al tablero de dibujo cuando se trata de alcanzar los objetivos de los tipos a) o b) (como en el párrafo inicial) para determinar si un O(D; existe interpolante para un determinado conjunto de datos. Por lo tanto, nuevas condiciones que son inequivalentes a (1.1) son deseables por las mismas razones que las ofrecidas en [2] y [3]. A saber: todos enfoques existentes para la aplicación de la solución de Bercovici-Foias-Tannenbaum de (*) son computacionales, y dependen de varios algoritmos de búsqueda. Análisis riguroso resultados, incluso si sólo indican cuando un conjunto de datos (+1,W1),. .................................................................................................. admitir un interpolante O(D; n) – es decir, condiciones necesarias – proporcionar pruebas de algoritmos/software e ilustrar las complejidades de (*). Diremos más sobre esto; pero primero – anotaciones para nuestro siguiente resultado. Dado z1, z2 D, el pseudohiperbólico la distancia entre estos puntos, escrito MD(z1, z2), se define como: MD(z1, z2) := z1 − z2 1− z2z1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Ahora podemos declarar nuestro próximo resultado. Teorema 1.5. Dejar F O(D; n), n ≥ 2, y dejar F O(D; n), y dejar 1, 2 D. Escribir Wj = F (j), y (Wj) := el conjunto de valores propios de Wj, j = 1, 2 (es decir, no se repiten de acuerdo con la multiplicidad). Si   (Wj), a continuación, dejar m(♥) denotar la multiplicidad de ♥ como un cero de la mínima polinomio de Wj. Entonces: (1.2) max(W2) (W1) MD(μ, ) m(), máx. (W1) (W2) MD(, μ) - - - - - - - - - - ¿Qué? 1 - 2 - 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Volviendo a nuestro párrafo anterior: se podría preguntar si el Teorema 1.5 es capaz de destacar cualquier complejidad de (*) que el resultado 1.2 falle. Hay dos partes a la respuesta: 1) La estructura jordana del conjunto de datos ((­1, W1), (­2, W2)): Varios conocidos ejemplos de [6] y [2] revelan que la existencia de un interpolante O(D; n ≥ 2, es sensible a la estructura jordana de las matrices W1,. ............................................................................................... ¿Cómo...? siempre, a lo mejor de nuestro conocimiento, no hay resultados en la literatura para fecha de incorporación de la información sobre las estructuras de Jordania o el mínimo polinomios de W1,. ............................................................................................... En cambio, el siguiente ejemplo muestra que La información sobre los polinomios mínimos es vital, es decir, que con el correcto infor- • sobre los polinomios mínimos de F (­1) y F (­2), condición (1,2) es Afilada. 4 GAUTAM BHARALI Ejemplo 1.6. Para n ≥ 3 y d = 2,..., n − 1, definir el mapa holomórfico Fd : D ln por Fd(­) := * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 0 0 ... ... ... 0 0 In-d * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ......................................................... donde In-d denota la matriz de identidad de la dimensión n− d para 1 < d < n. •1 = 0 y •2 = •. Uno computa fácilmente – en la notación de Teorema 1.5 – que: (W2) (W1) MD(μ, ) m() =, (W1) (W2) MD(, μ) m(μ) = 2, donde la primera igualdad sostiene porque W1 es nilpotente de orden d. Así, (1.2) es satisfecho como una igualdad para la elección dada de 1 y 2, que es lo que fue significado arriba diciendo que (1.2) es agudo. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 2) Comparación con (1.1): Teorema 1.5 no sería eficaz en la prueba de de los algoritmos existentes utilizados en la aplicación de la Bercovici-Foias- Tannenbaum solución a (*) si (1.1) eran una necesidad universalmente más fuerte condición que (1.2). Sin embargo, (1.1) se elabora con datos no derogatorios en mente, mientras que ninguna condición de interpolación simple era conocida hasta ahora para los pares de las matrices arbitrarias en el n. Por lo tanto, al elegir cualquiera de W1 y W2 a ser despectivo, uno quisiera examinar cómo comparar (1.1) y (1.2). Esto nos lleva a nuestra próxima observación. Observación 1.7. Para cada n ≥ 3, podemos encontrar un conjunto de datos ((+1,W1), (+2,W2)) para que (1.2) implica que no puede admitir ningún O(D; n)-interpolante, mientras que (1.1) pro- no contiene información. Un ejemplo pertinente a esta observación se presenta al final de la Sección 3. En cuanto a Teorema 1.5, puede ser visto como un lema de Schwarz para las asignaciones entre D y el bola de unidad espectral. Tenga en cuenta que la desigualdad (1.2) se conserva bajo automorfismos de D y bajo los automorfismos “obvios” de Łn (el grupo completo del automorfism No se conoce Aut(ln), n ≥ 2. La prueba del Teorema 1.5 se presenta en la Sección 3. La nueva idea clave en la prueba del teorema 1.5 – es decir. para centrarse en el mínimo polinomio de ciertas matrices cruciales que se encuentran en el rango de F – vale la pena en la obtención un resultado que se elimina un poco del tema principal. El resultado en cuestión es una generalización del siguiente teorema de Ransford y White [14, Teorema 2]: (1.3) G O(ln; ln) y G(0) = 0 =el r(G(X)) ≤ el r(X) Uno quisiera generalizar (1.3) en la forma en que el lema Schwarz-Pick generaliza la Lema de Schwarz para D – es decir formulando una desigualdad que es válida sin asumir que la cartografía holomórfica en cuestión tiene un punto fijo. Esta generalización es la siguiente: de la siguiente manera: INTERPOLACIÓN EN LA DEPENDENCIA SPECTRAL 5 Teorema 1.8. Dejemos G O(ln; ln), n ≥ 2, y definamos dG := el grado de la mínima polinomio de G(0). Entonces: (1.4) r(G(X)) ≤ r(X)1/dG + r(G(0)) 1 + r(G(0))r(X)1/dG * X * n. Además, la desigualdad (1.4) es aguda en el sentido de que existe un no vacío set Sn â € ¬ n tal que dado cualquier A â € Sn y d = 1,...., n, podemos encontrar un G A,d De los tipos utilizados en la fabricación de productos de la partida 84.01 del SA dGA,d = d, y r(GA,d(A)) = r(A)1/d + r(GA,d(0)) 1 + r(GA,d(0))r(A)1/d .(1.5) 2. Discusión de la observación 1.4 Comenzamos esta discusión con un par de definiciones de geometría compleja. Dado un dominio Cn, la pseudodistancia de Carathéodory entre dos puntos z1, z2 definido como (z1, z2) := sup {pD(f(z1), f(z2)) : f • O(l;D)}, donde la PD es la distancia de Poincaré en D (y la PD es dada por pD (1, 2) = tanh −1(MD(+1, +2)) en el caso de las letras «1, », «2» y «D»). En el mismo entorno, el Lempert funcional en ♥, se define como (2.1) (z1, z2) := inf {pD(­1, ­2) : â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. . No es difícil demostrar que el conjunto en el lado derecho de arriba no está vacío. Los se remite al lector al capítulo III de [10] para más detalles. A continuación, examinamos algunos techni- Objetos cal. Para el resto de esta sección, S = (s1,. .., sn) denotará un punto en Cn, n ≥ 2. Para z â € ¢ D definir el mapa racional fn(z;S) := (s̃1(z;S),. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 2, por sсj(z;S) := (n− j)sj − z(j + 1)sj+1 n− zs1 , S • Cn s.t. n− zs1 6= 0, j = 1,..., (n− 1). Siguiente, definir F (Z; ·) := f2(z1; ·) • • • fn(zn−1; ·) • Z = (z1,. .................................................................................................................... donde el segundo argumento varía a través de esa región en Cn donde la mano derecha se define el lado de arriba. La conexión de estos objetos con nuestras discusiones anteriores es establecido a través de f(z;S) := j=1 jsj(−1) jzj−1 j=0 (n− j)sj(−1) , z â € D, y S varía a través de esa región en Cn donde se define el lado derecho arriba. Note el parecido de f(z;S) a f(z;W) definido anteriormente. Del teorema 3.5 de [8], extraemos: Resultado 2.1. Let S = (s1,. .., sn) denota un punto en C n. Entonces: 1) f(z; ·) = F (z,. ..., z; ·)........................................................................................................................................................................................................................................................ 2) S Gn si y sólo si supzó D f(z;S) < 1, n ≥ 2. 6 GAUTAM BHARALI 3) Si S • Gn, n ≥ 2, entonces f(z;S) = sup F (Z;S). Para mayor comodidad, vamos a referirnos a la pseudodistancia de Caratheodory en Gn, n ≥ 2, por cn. A continuación, definir – aquí nos referimos a la sección 2 de [11] – la siguiente función de distancia sobre Gn (2.2) pn(S, T ) := max ZÃ3r(­)D)n−1 pD(F (Z;S), F (Z;T )) Esta es la función de distancia – cuyas propiedades han sido estudiadas en [11] – nosotros se aprovecharán para apoyar la Observación 1.4. La precisión de la mano derecha la parte anterior sigue de las partes (2) y (3) del resultado 2.1 supra. Por otra parte, desde F (Z;S), F (Z;T ) D para cada Z (Z;D) siempre que S, T, Gn, n ≥ 2, se desprenda simplemente de la definición de que (2.3) cn(S, T ) ≥ pn(S, T ) Puesto que ahora hemos adoptado ciertas nociones de [11], debemos hacer lo siguiente: Nota. Hemos optado por confiar en la notación de [8]. Esto lleva a un ligero des- crepancia entre nuestra definición de pn en (2.2) y la de [11]. Esta discrepancia es fácil de conciliar con la observación de que F (·;S) utilizado aquí y en [8] tendrá que ser léase como F (·;−s1, s2,. ., (−1) nsn) en [11]. Esto es inofensivo porque S Gn (−s1, s2,. ., (−1) nsn) Gn. Ahora vamos a referirnos a la condición (1.1) con M = 2. Un cálculo fácil 2 x 2 matrices revelan que Cuando M = 2, (1.1) sup * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * f(z;W1)− f(z;W2) 1− f(z;W2)f(z;W1) ≤ - - - - - - - - - - ¿Qué? 1 - 2 - 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Si W1 es nilpotente de orden n (recordemos que todas las matrices que ocurren en (1.1) son no- Derogatorio), a continuación f(·;W1) 0. Por supuesto, W2 significa que (s1(W2),. .................................................................................................................... Gn. Por la parte (2) del resultado 2.1, f(z;W2) hecho: (2.4) Cuando M = 2 y W1 es nilpotente del orden n, (1.1) sup tanh−1f(z;W2) = sup pD(0, f(z;W2)) ≤ pD(­1, ­2). Ahora apelamos a la Proposición 2 en [11], es decir. pn(0, ·) 6= cn(0, ·) para cada n ≥ 3. Vamos. ahora fijar n ≥ 3. Dejar que S0 Gn \ {0} sea tal que cn(0, S0) > pn(0, S0). Let Ł0 > 0 ser tales que cn(0, S0) = pn(0, S0) + 2­0. Escribamos S0 = (s0,1,. .., s0,n) y elegir dos matrices W1, W2 â ¬ n, según se indica: W1 = un nilpotente de orden n, W2 = 0 (−1)n−1s0,n 1 0 (−1)n−2s0,n−1 ... ... 0 1 s01,1 INTERPOLACIÓN EN LA DEPENDENCIA SPECTRAL 7 i.e. W2 es la matriz compañera del polinomio z j=1(−1) js0,jz n−j. Nosotros enfatizar los siguientes hechos que se derivan de esta elección de W1 y W2 f(·,W1) = f(·; 0,........................................................................................................................................................................................................................................................ W1 y W2 son, por construcción, no despectivos. Las relaciones en (2.5) son casos de una correspondencia general entre matrices en y puntos en Gn, dados por el mapa surjective, holomorphic Πn : ­n Gn, donde Πn(W ) := ( s1(W ),. .., sn(W )), y sj(W), j = 1,... n, son como se definen al principio de este artículo. Escojamos dos puntos distintos: 1, 2 D de tal manera que (2.6) pD(­1, ­2)­ ­0 < pn(0, S0) ≤ pD(­1, ­2). Supongamos, ahora, que (1.1) es una condición suficiente para la existencia de un O(D; ♥n)- interpolante. Entonces, en vista de las elecciones de W1, W2, la segunda desigualdad en (2.6), y (2.5) obtenemos (2,7) sup tanh−1f(z;W2) = sup tanh−1f(z;W2) = pn(0, S0) ≤ pD(­1, ­2). La primera igualdad en (2.7) es consecuencia de la parte (2) del resultado 2.1: la función racional f(·;W2) = f(·;S0) • O(D) C(D), de donde sigue la igualdad del Teorema Máximo del Modulus. Pero ahora, debido a la equivalencia (2.4), el la estimación (2.7) implica, por suposición, que existe un interpolante F • O(D; • n) tal que F (­j) = Wj, j = 1, 2. A continuación, Πn F : D Gn satisface Πn F (­*1) = 0 y Πn F (­2) = S0. Entonces, por la definición de Lempert funcional (por conveniencia, denotamos el Lempert funcional de Gn por n) n(0, S0) ≤ pD( [4, 1 y 2) < pn(0, S0) + 0 (a partir de (2,6), primera parte) < cn(0, S0). (según la definición de 0oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Pero, para cualquier dominio, la pseudodistancia de Carathéodory y la función de Lempert siempre satisfagan a c. ≤. Por lo tanto, acabamos de obtener una contradicción. Por lo tanto, nuestro suposición de que (1.1) es suficiente para la existencia de una interpolación de O(D, n ≥ 3, debe ser falso. 3. La prueba del teorema 1.5 Las pruebas en esta sección dependen crucialmente de un teorema de Vesentini. El resultado es el siguiente: Resultado 3.1 (Vesentini, [15]). Dejar A ser un complejo, álgebra unitaria de Banach y dejar r(x) Denotar el radio espectral de cualquier elemento x â € A. Let f O(D;A). Entonces, la función 7 r(f(­)) es subarmónica en D. El siguiente resultado es el lema clave de esta sección. La prueba del teorema 1.5 se reduce a una simple aplicación de este lema. La estructura de esta prueba es reminiscencia de [12, Teorema 1.1]. Esto se debe a la forma en que Vesentini se utiliza teorema. La esencia del truco de abajo se remonta a Globevnik [9]. Los lector notará que Teorema 1.5 se especializa en el lema Schwarz de Globevnik cuando W1 = 0. 8 GAUTAM BHARALI Lemma 3.2. Let F O(D; ♥n). Para cada uno de ellos, defina m(l) := el multiplic- ity de  como un cero del polinomio mínimo de F (0). Definir el producto Blaschke B(­) := (F (0)) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1− )m(l) .......... D........................................................ Entonces B(μ) ≤ Prueba. El producto Blaschke B induce una función de matriz B # A # # # A # # # A # # # A # # # A # # # # A # # # # A # # # A # # # A # # # A # # # A # # # A # # # A # # # A # # # A # # # # A # # # A # # A # # A # # A # # A # # # A # # A # # A # # A # # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # A # A # # A # A # A # A # # A # A # A # A # A # # A # # # A # A # A # A # A # A # # # # # A # A # # # # # # # # # # # # A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # B(A) := (F (0)) (I-.A)-m(l)(A)-.I)m(l), que está bien definido en n porque siempre que  6= 0, (I-.A) =.(I/A)...................................................................................................................................................................................................................................................... Por otra parte, puesto que 7 ( - ♥)/(1− ), < 1, tiene una expansión de la serie de energía que convergen uniformemente en subconjuntos compactos de D, se sigue de argumentos estándar (3.1) (B(A)) = {B(μ) : μ Por la definición del polinomio mínimo, B.F. (0) = 0. Desde el punto de vista de la FB (0) = 0, hay existe un mapa holomórfico Φ O(D;Mn(C)) de tal manera que B Tenga en cuenta que (3.2) (B F (­)) = ((­)) = (Φ(­)) D. Desde el punto de vista de las ecuaciones anteriores, las siguientes son las siguientes: (3.3) r(Φ()) < 1/R : = R, R (0, 1). Tomando A = Mn(C) en el teorema de Vesentini, vemos que en el disco de la unidad. Aplicando el Principio Máximo a (3.3) y tomando límites como R 1−, obtenemos (3.4) r(Φ()) ≤ 1 D. En vista de (3.1), (3.2) y (3.4), obtenemos B(μ) ≤ r(Φ()) ≤ Ahora estamos en condiciones de proporcionar 3.3. La prueba del Teorema 1.5. Definir los automorfismos del disco Mj(­) := * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - , j = 1, 2, y escribir Φj = F â € M j, j = 1, 2. Tenga en cuenta que Φ1(0) = W1. En el caso de la letra a) de la letra b) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, la fecha de entrada en vigor del presente Reglamento será la de la fecha de entrada en vigor del presente Reglamento. ser como se indica en el teorema. Definir el producto Blaschke B1(­) := (W1) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1− )m(l) .......... D........................................................ INTERPOLACIÓN EN LA DEPENDENCIA ESPECTRAL 9 Aplicando Lemma 3.2, obtenemos - - - - - - - - - - ¿Qué? 1 - 2 - 1 = M1(2) ≥ (W1) 1− (W1) MD(μ, ) m(l)  (Φ1(M1(l)2)) = (L2).(3.5) Ahora, el intercambio de los roles de 1 y 2 y la aplicación del mismo argumento a B2(­) := (W2) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1− )m(μ) ......................................................... ¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos. (3.6) - - - - - - - - - - ¿Qué? 1 - 2 - 1 ≥ (W2) MD(, μ) m(μ) Combinando (3.5) y (3.6), obtenemos max(W2) (W1) MD(μ, ) m(), máx. (W1) (W2) MD(, μ) - - - - - - - - - - ¿Qué? 1 - 2 - 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Concluimos esta sección con un ejemplo. Ejemplo 3.4. Una ilustración de la Observación 1.7 Comenzamos señalando que el fenómeno de abajo se espera para n = 2. Nosotros quieren considerar n > 2 y mostrar que no hay interpolante para los siguientes datos, pero que esto no puede inferirse de (1.1). En primer lugar, los datos de matriculación: n = 2m, m ≥ 2, y dejar que W1 = cualquier matriz bloque-diagonal con dos m×m-bloques que son cada nilpotente de orden m.(3.7) Siguiente, para un α â € D, α 6= 0, vamos W2 = la matriz compañera del polinomio (z 2m − αzm). Tenga en cuenta que, por construcción, W2 no es despectivo. Tenemos la característica poli- nomios χW1(z) = zm y χW2(z) = z2m − αzm. Por lo tanto f(·;W1) 0, f(z;W2) = −mαzm−1 2m−mαzm Recordamos, de la Sección 2, la siguiente forma equivalente de (1.1): (3.8) Cuando M = 2, (1.1) sup * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * f(z;W1)− f(z;W2) 1− f(z;W2)f(z;W1) ≤ - - - - - - - - - - ¿Qué? 1 - 2 - 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Puesto que, claramente, f(·;W2) • O(D) C(D), por el Teorema Máximo del Módulo * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * f(z;W1)− f(z;W2) 1− f(z;W2)f(z;W1) = supzD 2m−mαzm 2m−m <.(3.9) 10 GAUTAM BHARALI Obsérvese que (W1) = {0} y (W2) = {0, 1/mei(2γj+Arg(α))/m, j = 1,..,m}. Por lo tanto, (W2) (W1) MD(μ, ) m() =, (W1) (W2) MD(, μ) m(μ) = 0. Nos fijamos 1 ° = 0 y elegir 2 ° ° D de tal manera que (3.10) 2m−m < 2 = - - - - - - - - - - ¿Qué? 1 - 2 - 1 <. La desigualdad (3.9). hace posible tal elección de 2 libras esterlinas. En vista de la última el cálculo anterior, vemos que el conjunto de datos ((W1,........................................................................................................................................................................................................................................................ la desigualdad (1.2). Por lo tanto, no hay interpolante O(D,?2m) para este conjunto de datos. In contraste, ya que la forma equivalente (3.8) de (1.1) se cumple, este último no da cualquier información sobre la existencia de un interpolante de O(D,?2m). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4. La prueba del teorema 1.8 Para probar el Teorema 1.8, necesitaremos el siguiente elemental: Lemma 4.1. Dada una transformación fraccional-lineal T (z) := (az + b)/(cz + d), si T (lD) C, entonces T (lD) es un círculo con centro(T (­D)) = bd− ac d2 − c2 , radio(T (­D)) = ad− bc d2 − c2 Ahora estamos en condiciones de presentar 4.2. La prueba del Teorema 1.8. Dejad G O(ln; ln) y dejad ln1,. ................................................. distintos valores propios de G(0). Definir m(j) :=la multiplicidad del factor ( ♥j) en el polinomio mínimo de G(0). Definir el producto Blaschke BG(­) := * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - 1 - - 1 - 1 - 1 - - 1 - - 1 - 1 - - 1 - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - - 1 - - 1 - - - 1 - - 1 - - 1 - - - 1 - - 1 - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - )m(j) .......... D........................................................ BG induce la siguiente función de matriz que, por un leve abuso de notación, también denotar como BG BG(Y ) := (I - ♥jY ) − m(j)(Y) − jI) m(j) que está bien definido en el n exactamente como se explica en la prueba de Lemma 3.2. Una vez una vez más, debido a la analyticity de BG en (BG(Y )) = {BG( de donde BG : ln ln. Por lo tanto, si definimos H(X) := BG (G) (X) (X) (X) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+))))) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+))) (+)))))) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) () (+) () () () () () ( INTERPOLACIÓN EN LA DEPENDENCIA SPECTRAL 11 a continuación, H O(ln; ln) y, por construcción, H(0) = 0. Por el resultado de Ransford-White, r(H(X)) ≤ r(X), o, con mayor precisión (G(X)) ♥j 1− jμ ≤ r(X) En particular: (G(X)) distM(μ;(G(0))) ≤ r(X) donde, para cualquier compactoK D y μ D, definimos distM(μ;K) := minK ()(1− )−1 Por el momento, vamos a arreglar X. Para cada μ ° (G(X)), dejar ° (μ) ser un valor propio de G(0) de tal manera que ()(μ))(1 − (μ)μ)−1 = distM(μ;(G(0))). Ahora fijar μ (G(X)). La desigualdad antedicha conduce a (4.1) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (μ) 1− (μ)μ ≤ r(X) 1/dG. Aplicación de Lemma 4.1 a la transformación de Möbius T (z) = z − (μ) 1- (μ)z deducir que • • • • • (μ) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1− (μ) ≥ − (μ) 1− (μ) : =. Aplicando el hecho anterior a (4.1), obtenemos − (μ) 1− (μ) ≤ r(X)1/dG  ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ r(X)1/dG + (μ) 1 + (μ)r(X)1/dG , μ ° (G(X)).(4.2) Tenga en cuenta que la función t 7 r(X)1/dG + t 1 + r(X)1/dGt , t ≥ 0, es una función cada vez mayor en [0,]. Combinando este hecho con (4.2), obtenemos ≤ r(X)1/dG + r(G(0)) 1 + r(G(0))r(X)1/dG que contiene (G(X)), mientras que el lado derecho es independiente de μ. Desde entonces es cierto para cualquier X arbitrario, llegamos a la conclusión de que r(G(X)) ≤ r(X)1/dG + r(G(0)) 1 + r(G(0))r(X)1/dG * X * n. Con el fin de probar la nitidez de (1.2), vamos a fijar un n ≥ 2, y definir Sn := {A {A} {A} : A tiene un único valor propio de multiplicidad n}. 12 GAUTAM BHARALI Elija cualquier d = 1,..., n, y definir Md(X) := * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * [tr(X)/n], si d = 1, * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 tr(X)/n 1 0 0 ... ... * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * , si d ≥ 2, y, para la d elegida, definir G(d) por la siguiente matriz bloque-diagonal d) Y ) := Md(X) tr(X) * X * n. Para nuestros propósitos GA,d = G(d) para cada A • Sn; es decir, la igualdad (1.5) se mantendrá con la misma función para cada A â € ¢ Sn. Para ver esto, tenga en cuenta que • r(G(d)(X)) = tr(X)/n1/d; y • G(d)(0) es nilpotente de grado d, de donde dG(d) = d. Por lo tanto, r(A)1/d + r(G(d)(0)) 1 + r(G(d)(0))r(A)1/d = r(A)1/d = r(G(d)(A)) que establece (1.5) Bibliografía [1] J. Agler y N.J. Young, un teorema de elevación conmutante para un dominio en C2 e interpo- , J. Funct. Anal. 161 (1999), 452 a 477. [2] J. Agler y N.J. Young, El problema espectral de dos puntos Nevanlinna-Pick, Ecuaciones Integrales Teoría del Operador 37 (2000), 375-385. [3] J. Agler y N.J. Young, El problema de Nevanlinna-Pick espectral de dos por dos, Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 356 (2004), 573-585. [4] J.Agler, N.J. Young, La geometría hiperbólica del bidisco simetría, J. Geom. Anal. 14 (2004), 375-403. [5] H. Bercovici, C. Foias y A. Tannenbaum, variantes espectrales del interpo- problema de la relación en el procesamiento de señales, dispersión y teoría del operador, y métodos numéricos (Amsterdam, 1989), 23-45, Progr. Teoría de Control de Sistemas 5, Birkhuser Boston, Boston, MA, 1990. [6] H. Bercovici, C. Foias, A. Tannenbaum, Un teorema de elevación espectral conmutante, Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 325 (1991), 741-763. [7] C. Costara, El problema espectral 2 × 2 Nevanlinna-Pick, J. London Math. Soc. (2) 71 (2005), 684-702. [8] C. Costara, En el problema espectral Nevanlinna-Pick, Studia Math. 170 (2005), 23-55. [9] J. Globevnik, lema de Schwarz para el radio espectral, Rev. Rumaine Math. Pures Appl. 19 (1974), 1009-1012. [10] M. Jarnicki y P. Pflug, Invariant Distances and Metrics in Complex Analysis, de Gruyter Exposiciones en Matemáticas No. 9, Walter de Gruyter & Co., Berlín, 1993. [11] N. Nikolov, P. Pflug, P.J. Thomas y W. 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Una discusión de observación?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 3. ¿La prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 4. ¿La prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ Bibliografía

Presentamos varios resultados asociados a un problema de interpolación holomórfica para la bola de unidad espectral \Omega_n, n\geq 2. Comenzamos mostrando que un conocido condición necesaria para la existencia de un $\mathcal{O}(D;\Omega_n)$-interpolante (D aquí es el disco de la unidad en el plano complejo), dado que los datos de matriculación no son despectivos, no es Suficiente. Proveemos a continuación una nueva condición necesaria para la solvabilidad de el problema de interpolación de dos puntos - uno que no se limita sólo a datos no derogatorios, que incorporan la estructura jordana de la datos prescritos. A continuación, utilizamos algunas de las ideas utilizadas para deducir este último resultado para probar un lema tipo Schwarz para los automapas holomórficos de \Omega_n, n\geq 2.

Introducción y Declaración de Resultados El problema de interpolación mencionado en el título, y que vincula el surtido resultados de este documento, es el siguiente (D aquí denotará la unidad abierta centrada en el disco a 0° C): (*) Habida cuenta de los distintos puntos de M, 1. .............................................................. ..................................................................................... báscula de la unidad tral n := {W {Mn(C) : r(W ) < 1}, encontrar condiciones en 1,. ......................................... y {W1,. ..,WM} de tal manera que existe un mapa holomórfico F : D Cumpliendo F (j) =Wj, j = 1,...,M. En la declaración anterior, r(W ) denota el radio espectral de la matriz de n × n W. Bajo una ligera simplificación, es decir. que el interpolante F en (*) está obligado a satisfacer supD r(F) < 1 – el papel [5] proporciona una caracterización de la interpo- datos de la relación ((­1, W1),. Que admitan un interpolante del tipo descrito.......................................................................................................................................................................................................................................................... Sin embargo, esta caracterización implica una búsqueda no trivial sobre una región en Cn Por lo tanto, hay interés en encontrar caracterizaciones alternativas que o bien: ventilar la necesidad de realizar una búsqueda; o b) reducir la dimensión de la región de búsqueda. In a este respecto, una nueva idea fue introducida por Agler & Young en el artículo [1]. Esto la idea se desarrolló aún más en varias obras, especialmente en [2] en los documentos [7] y [8] por Costara, y en la tesis de David Ogle [13]. Puede resumirse en dos fases: A continuación: • Si las matrices W1,. ............................................................................................................................................................................................................................................................... un problema de interpolación en el polidisco simetría Gn, n ≥ 2, que es definido como Gn := (s1,. .............................................................................................. n : todas las raíces de zn + (−1)jsjz n−j = 0 se encuentran en D 1991 Clasificación del sujeto de las matemáticas. Primaria: 30E05, 47A56; secundaria: 32F45. Palabras y frases clave. Geometría compleja, métrica de caratéodoría, polinomio mínimo, Schwarz Lema, radio espectral, bola de unidad espectral. Este trabajo cuenta en parte con el apoyo de una subvención de la UGC en el marco de la fase IV del DSA-SAP. Aparecer en Eqns Integrales. Teoría de la operadora. http://arxiv.org/abs/0704.1966v2 2 GAUTAM BHARALI • Se muestra que el problema de la interpolación de Gn comparte ciertos aspectos de la problemas de Nevanlinna-Pick, ya sea estableciendo las condiciones para un von Neumann desigualdad para Gn – note que Gn es compacto – o a través de la función teoría. Sería útil, en esta etapa, recordar lo siguiente: Definición 1.1. Una matriz A • Mn(C) se dice que no es despectiva si la geométrica multiplicidad de cada valor propio de A es 1 (independientemente de su multiplicidad algebraica). Los matriz A ser no despectivo es equivalente a A ser similar al compañero matriz de su polinomio característico – es decir, si zn + j=1 sjz n−j es la característica polinomio entonces A es no despectivo A es similar a 0 − sn 1 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ... ... 0 1 −s1 Los artículos Agler-Young tratan el caso n = 2, mientras que los dos últimos trabajos citados anteriormente considerar el problema de las dimensiones superiores. Se hace referencia al lector [2] para obtener una prueba de la equivalencia de (*), dados los datos de matrícula no derogatorios, y el Problema de interpolación de Gn. La condición de similitud dada en la definición 1.1 es central para establecer esta equivalencia. Antes de presentar el primer resultado de este trabajo, tenemos que examinar lo que se conoce sobre (*) desde la perspectiva del problema de la interpolación de Gn. Ya que nos gustaría para centrarse en el problema de la interpolación matricial, vamos a parafrasear los resultados de [13] y [8] en la lengua de las matrices no derogatorias. Dado un complejo de n × n matriz W, dejar que su característica polinomio χW (z) = zn+ j=1(−1) jsj(W)z n-j, y definir la función racional f(z;W ) := j=1 jsj(W)(−1) jzj−1 j=0 (n− j)sj(W)(−1) Entonces, la declaración más general que se conoce sobre (*) es: Resultado 1.2 (parafraseado de [13] y [8]). Let â € 1,. ......................................... en D y dejar W1,. ............................................................... Si existe un mapa F O(D,ln) de tal manera que F (lj) = Wj, j = 1,...,M, entonces las matrices (1.1) 1− f(z;Wj)f(z;Wk) 1 - Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice Índice j,k=1 ≥ 0 para cada z + D. Aquí, y en otra parte de este documento, dados dos dominios complejos X e Y, O(X;Y ) denotará la clase de todos los mapas holomórficos de X a Y. Observación 1.3. Las matrices en (1.1) pueden aparecer diferentes de las de [13, corolario 5.2.2], pero estos últimos son, de hecho, ∗ congruentes con las matrices anteriores. A pesar de que el resultado 1.2 sólo proporciona una condición necesaria, (1.1) es más tratable para valores pequeños de M que la condición de Bercovici-Foias-Tannenbaum. Su viabilidad como condición suficiente, al menos para el pequeño M, se ha discutido tanto en [13] y [8]. Esto es razonable porque esta última condición es suficiente cuando n = 2 y M = 2 (y las matrices dadas no son, por supuesto, despectivas); véase [4]. Dado todo estos acontecimientos, parece apropiado comenzar con lo siguiente: INTERPOLACIÓN EN LA DEPENDENCIA SPECTRAL BALL 3 Observación 1.4. Cuando n ≥ 3, la condición (1.1) no es suficiente para la existencia de un interpolante O(D; n) para los datos prescritos ((­1, W1),. ............................................................................................................................................................................................................................................................... No obstante, la información que figura en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 no es de carácter despectivo, puesto que la información que figura en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 no se refiere a la información que figura en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 1303/2013. La observación anterior se basa en ideas de geometría compleja; específicamente -esti- mates para métricas invariantes en el polidisco simetrizado Gn, n ≥ 3. Nuestro argumento sigue de un estudio reciente [11] de la métrica de Caratheodory en Gn, n ≥ 3. Esto el argumento se presenta en la siguiente sección. Observación 1.4 nos lleva de nuevo al tablero de dibujo cuando se trata de alcanzar los objetivos de los tipos a) o b) (como en el párrafo inicial) para determinar si un O(D; existe interpolante para un determinado conjunto de datos. Por lo tanto, nuevas condiciones que son inequivalentes a (1.1) son deseables por las mismas razones que las ofrecidas en [2] y [3]. A saber: todos enfoques existentes para la aplicación de la solución de Bercovici-Foias-Tannenbaum de (*) son computacionales, y dependen de varios algoritmos de búsqueda. Análisis riguroso resultados, incluso si sólo indican cuando un conjunto de datos (+1,W1),. .................................................................................................. admitir un interpolante O(D; n) – es decir, condiciones necesarias – proporcionar pruebas de algoritmos/software e ilustrar las complejidades de (*). Diremos más sobre esto; pero primero – anotaciones para nuestro siguiente resultado. Dado z1, z2 D, el pseudohiperbólico la distancia entre estos puntos, escrito MD(z1, z2), se define como: MD(z1, z2) := z1 − z2 1− z2z1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Ahora podemos declarar nuestro próximo resultado. Teorema 1.5. Dejar F O(D; n), n ≥ 2, y dejar F O(D; n), y dejar 1, 2 D. Escribir Wj = F (j), y (Wj) := el conjunto de valores propios de Wj, j = 1, 2 (es decir, no se repiten de acuerdo con la multiplicidad). Si   (Wj), a continuación, dejar m(♥) denotar la multiplicidad de ♥ como un cero de la mínima polinomio de Wj. Entonces: (1.2) max(W2) (W1) MD(μ, ) m(), máx. (W1) (W2) MD(, μ) - - - - - - - - - - ¿Qué? 1 - 2 - 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Volviendo a nuestro párrafo anterior: se podría preguntar si el Teorema 1.5 es capaz de destacar cualquier complejidad de (*) que el resultado 1.2 falle. Hay dos partes a la respuesta: 1) La estructura jordana del conjunto de datos ((­1, W1), (­2, W2)): Varios conocidos ejemplos de [6] y [2] revelan que la existencia de un interpolante O(D; n ≥ 2, es sensible a la estructura jordana de las matrices W1,. ............................................................................................... ¿Cómo...? siempre, a lo mejor de nuestro conocimiento, no hay resultados en la literatura para fecha de incorporación de la información sobre las estructuras de Jordania o el mínimo polinomios de W1,. ............................................................................................... En cambio, el siguiente ejemplo muestra que La información sobre los polinomios mínimos es vital, es decir, que con el correcto infor- • sobre los polinomios mínimos de F (­1) y F (­2), condición (1,2) es Afilada. 4 GAUTAM BHARALI Ejemplo 1.6. Para n ≥ 3 y d = 2,..., n − 1, definir el mapa holomórfico Fd : D ln por Fd(­) := * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 0 0 ... ... ... 0 0 In-d * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ......................................................... donde In-d denota la matriz de identidad de la dimensión n− d para 1 < d < n. •1 = 0 y •2 = •. Uno computa fácilmente – en la notación de Teorema 1.5 – que: (W2) (W1) MD(μ, ) m() =, (W1) (W2) MD(, μ) m(μ) = 2, donde la primera igualdad sostiene porque W1 es nilpotente de orden d. Así, (1.2) es satisfecho como una igualdad para la elección dada de 1 y 2, que es lo que fue significado arriba diciendo que (1.2) es agudo. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 2) Comparación con (1.1): Teorema 1.5 no sería eficaz en la prueba de de los algoritmos existentes utilizados en la aplicación de la Bercovici-Foias- Tannenbaum solución a (*) si (1.1) eran una necesidad universalmente más fuerte condición que (1.2). Sin embargo, (1.1) se elabora con datos no derogatorios en mente, mientras que ninguna condición de interpolación simple era conocida hasta ahora para los pares de las matrices arbitrarias en el n. Por lo tanto, al elegir cualquiera de W1 y W2 a ser despectivo, uno quisiera examinar cómo comparar (1.1) y (1.2). Esto nos lleva a nuestra próxima observación. Observación 1.7. Para cada n ≥ 3, podemos encontrar un conjunto de datos ((+1,W1), (+2,W2)) para que (1.2) implica que no puede admitir ningún O(D; n)-interpolante, mientras que (1.1) pro- no contiene información. Un ejemplo pertinente a esta observación se presenta al final de la Sección 3. En cuanto a Teorema 1.5, puede ser visto como un lema de Schwarz para las asignaciones entre D y el bola de unidad espectral. Tenga en cuenta que la desigualdad (1.2) se conserva bajo automorfismos de D y bajo los automorfismos “obvios” de Łn (el grupo completo del automorfism No se conoce Aut(ln), n ≥ 2. La prueba del Teorema 1.5 se presenta en la Sección 3. La nueva idea clave en la prueba del teorema 1.5 – es decir. para centrarse en el mínimo polinomio de ciertas matrices cruciales que se encuentran en el rango de F – vale la pena en la obtención un resultado que se elimina un poco del tema principal. El resultado en cuestión es una generalización del siguiente teorema de Ransford y White [14, Teorema 2]: (1.3) G O(ln; ln) y G(0) = 0 =el r(G(X)) ≤ el r(X) Uno quisiera generalizar (1.3) en la forma en que el lema Schwarz-Pick generaliza la Lema de Schwarz para D – es decir formulando una desigualdad que es válida sin asumir que la cartografía holomórfica en cuestión tiene un punto fijo. Esta generalización es la siguiente: de la siguiente manera: INTERPOLACIÓN EN LA DEPENDENCIA SPECTRAL 5 Teorema 1.8. Dejemos G O(ln; ln), n ≥ 2, y definamos dG := el grado de la mínima polinomio de G(0). Entonces: (1.4) r(G(X)) ≤ r(X)1/dG + r(G(0)) 1 + r(G(0))r(X)1/dG * X * n. Además, la desigualdad (1.4) es aguda en el sentido de que existe un no vacío set Sn â € ¬ n tal que dado cualquier A â € Sn y d = 1,...., n, podemos encontrar un G A,d De los tipos utilizados en la fabricación de productos de la partida 84.01 del SA dGA,d = d, y r(GA,d(A)) = r(A)1/d + r(GA,d(0)) 1 + r(GA,d(0))r(A)1/d .(1.5) 2. Discusión de la observación 1.4 Comenzamos esta discusión con un par de definiciones de geometría compleja. Dado un dominio Cn, la pseudodistancia de Carathéodory entre dos puntos z1, z2 definido como (z1, z2) := sup {pD(f(z1), f(z2)) : f • O(l;D)}, donde la PD es la distancia de Poincaré en D (y la PD es dada por pD (1, 2) = tanh −1(MD(+1, +2)) en el caso de las letras «1, », «2» y «D»). En el mismo entorno, el Lempert funcional en ♥, se define como (2.1) (z1, z2) := inf {pD(­1, ­2) : â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. . No es difícil demostrar que el conjunto en el lado derecho de arriba no está vacío. Los se remite al lector al capítulo III de [10] para más detalles. A continuación, examinamos algunos techni- Objetos cal. Para el resto de esta sección, S = (s1,. .., sn) denotará un punto en Cn, n ≥ 2. Para z â € ¢ D definir el mapa racional fn(z;S) := (s̃1(z;S),. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 2, por sсj(z;S) := (n− j)sj − z(j + 1)sj+1 n− zs1 , S • Cn s.t. n− zs1 6= 0, j = 1,..., (n− 1). Siguiente, definir F (Z; ·) := f2(z1; ·) • • • fn(zn−1; ·) • Z = (z1,. .................................................................................................................... donde el segundo argumento varía a través de esa región en Cn donde la mano derecha se define el lado de arriba. La conexión de estos objetos con nuestras discusiones anteriores es establecido a través de f(z;S) := j=1 jsj(−1) jzj−1 j=0 (n− j)sj(−1) , z â € D, y S varía a través de esa región en Cn donde se define el lado derecho arriba. Note el parecido de f(z;S) a f(z;W) definido anteriormente. Del teorema 3.5 de [8], extraemos: Resultado 2.1. Let S = (s1,. .., sn) denota un punto en C n. Entonces: 1) f(z; ·) = F (z,. ..., z; ·)........................................................................................................................................................................................................................................................ 2) S Gn si y sólo si supzó D f(z;S) < 1, n ≥ 2. 6 GAUTAM BHARALI 3) Si S • Gn, n ≥ 2, entonces f(z;S) = sup F (Z;S). Para mayor comodidad, vamos a referirnos a la pseudodistancia de Caratheodory en Gn, n ≥ 2, por cn. A continuación, definir – aquí nos referimos a la sección 2 de [11] – la siguiente función de distancia sobre Gn (2.2) pn(S, T ) := max ZÃ3r(­)D)n−1 pD(F (Z;S), F (Z;T )) Esta es la función de distancia – cuyas propiedades han sido estudiadas en [11] – nosotros se aprovecharán para apoyar la Observación 1.4. La precisión de la mano derecha la parte anterior sigue de las partes (2) y (3) del resultado 2.1 supra. Por otra parte, desde F (Z;S), F (Z;T ) D para cada Z (Z;D) siempre que S, T, Gn, n ≥ 2, se desprenda simplemente de la definición de que (2.3) cn(S, T ) ≥ pn(S, T ) Puesto que ahora hemos adoptado ciertas nociones de [11], debemos hacer lo siguiente: Nota. Hemos optado por confiar en la notación de [8]. Esto lleva a un ligero des- crepancia entre nuestra definición de pn en (2.2) y la de [11]. Esta discrepancia es fácil de conciliar con la observación de que F (·;S) utilizado aquí y en [8] tendrá que ser léase como F (·;−s1, s2,. ., (−1) nsn) en [11]. Esto es inofensivo porque S Gn (−s1, s2,. ., (−1) nsn) Gn. Ahora vamos a referirnos a la condición (1.1) con M = 2. Un cálculo fácil 2 x 2 matrices revelan que Cuando M = 2, (1.1) sup * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * f(z;W1)− f(z;W2) 1− f(z;W2)f(z;W1) ≤ - - - - - - - - - - ¿Qué? 1 - 2 - 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Si W1 es nilpotente de orden n (recordemos que todas las matrices que ocurren en (1.1) son no- Derogatorio), a continuación f(·;W1) 0. Por supuesto, W2 significa que (s1(W2),. .................................................................................................................... Gn. Por la parte (2) del resultado 2.1, f(z;W2) hecho: (2.4) Cuando M = 2 y W1 es nilpotente del orden n, (1.1) sup tanh−1f(z;W2) = sup pD(0, f(z;W2)) ≤ pD(­1, ­2). Ahora apelamos a la Proposición 2 en [11], es decir. pn(0, ·) 6= cn(0, ·) para cada n ≥ 3. Vamos. ahora fijar n ≥ 3. Dejar que S0 Gn \ {0} sea tal que cn(0, S0) > pn(0, S0). Let Ł0 > 0 ser tales que cn(0, S0) = pn(0, S0) + 2­0. Escribamos S0 = (s0,1,. .., s0,n) y elegir dos matrices W1, W2 â ¬ n, según se indica: W1 = un nilpotente de orden n, W2 = 0 (−1)n−1s0,n 1 0 (−1)n−2s0,n−1 ... ... 0 1 s01,1 INTERPOLACIÓN EN LA DEPENDENCIA SPECTRAL 7 i.e. W2 es la matriz compañera del polinomio z j=1(−1) js0,jz n−j. Nosotros enfatizar los siguientes hechos que se derivan de esta elección de W1 y W2 f(·,W1) = f(·; 0,........................................................................................................................................................................................................................................................ W1 y W2 son, por construcción, no despectivos. Las relaciones en (2.5) son casos de una correspondencia general entre matrices en y puntos en Gn, dados por el mapa surjective, holomorphic Πn : ­n Gn, donde Πn(W ) := ( s1(W ),. .., sn(W )), y sj(W), j = 1,... n, son como se definen al principio de este artículo. Escojamos dos puntos distintos: 1, 2 D de tal manera que (2.6) pD(­1, ­2)­ ­0 < pn(0, S0) ≤ pD(­1, ­2). Supongamos, ahora, que (1.1) es una condición suficiente para la existencia de un O(D; ♥n)- interpolante. Entonces, en vista de las elecciones de W1, W2, la segunda desigualdad en (2.6), y (2.5) obtenemos (2,7) sup tanh−1f(z;W2) = sup tanh−1f(z;W2) = pn(0, S0) ≤ pD(­1, ­2). La primera igualdad en (2.7) es consecuencia de la parte (2) del resultado 2.1: la función racional f(·;W2) = f(·;S0) • O(D) C(D), de donde sigue la igualdad del Teorema Máximo del Modulus. Pero ahora, debido a la equivalencia (2.4), el la estimación (2.7) implica, por suposición, que existe un interpolante F • O(D; • n) tal que F (­j) = Wj, j = 1, 2. A continuación, Πn F : D Gn satisface Πn F (­*1) = 0 y Πn F (­2) = S0. Entonces, por la definición de Lempert funcional (por conveniencia, denotamos el Lempert funcional de Gn por n) n(0, S0) ≤ pD( [4, 1 y 2) < pn(0, S0) + 0 (a partir de (2,6), primera parte) < cn(0, S0). (según la definición de 0oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Pero, para cualquier dominio, la pseudodistancia de Carathéodory y la función de Lempert siempre satisfagan a c. ≤. Por lo tanto, acabamos de obtener una contradicción. Por lo tanto, nuestro suposición de que (1.1) es suficiente para la existencia de una interpolación de O(D, n ≥ 3, debe ser falso. 3. La prueba del teorema 1.5 Las pruebas en esta sección dependen crucialmente de un teorema de Vesentini. El resultado es el siguiente: Resultado 3.1 (Vesentini, [15]). Dejar A ser un complejo, álgebra unitaria de Banach y dejar r(x) Denotar el radio espectral de cualquier elemento x â € A. Let f O(D;A). Entonces, la función 7 r(f(­)) es subarmónica en D. El siguiente resultado es el lema clave de esta sección. La prueba del teorema 1.5 se reduce a una simple aplicación de este lema. La estructura de esta prueba es reminiscencia de [12, Teorema 1.1]. Esto se debe a la forma en que Vesentini se utiliza teorema. La esencia del truco de abajo se remonta a Globevnik [9]. Los lector notará que Teorema 1.5 se especializa en el lema Schwarz de Globevnik cuando W1 = 0. 8 GAUTAM BHARALI Lemma 3.2. Let F O(D; ♥n). Para cada uno de ellos, defina m(l) := el multiplic- ity de  como un cero del polinomio mínimo de F (0). Definir el producto Blaschke B(­) := (F (0)) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1− )m(l) .......... D........................................................ Entonces B(μ) ≤ Prueba. El producto Blaschke B induce una función de matriz B # A # # # A # # # A # # # A # # # A # # # # A # # # # A # # # A # # # A # # # A # # # A # # # A # # # A # # # A # # # A # # # # A # # # A # # A # # A # # A # # A # # # A # # A # # A # # A # # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # A # A # # A # A # A # A # # A # A # A # A # A # # A # # # A # A # A # A # A # A # # # # # A # A # # # # # # # # # # # # A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # B(A) := (F (0)) (I-.A)-m(l)(A)-.I)m(l), que está bien definido en n porque siempre que  6= 0, (I-.A) =.(I/A)...................................................................................................................................................................................................................................................... Por otra parte, puesto que 7 ( - ♥)/(1− ), < 1, tiene una expansión de la serie de energía que convergen uniformemente en subconjuntos compactos de D, se sigue de argumentos estándar (3.1) (B(A)) = {B(μ) : μ Por la definición del polinomio mínimo, B.F. (0) = 0. Desde el punto de vista de la FB (0) = 0, hay existe un mapa holomórfico Φ O(D;Mn(C)) de tal manera que B Tenga en cuenta que (3.2) (B F (­)) = ((­)) = (Φ(­)) D. Desde el punto de vista de las ecuaciones anteriores, las siguientes son las siguientes: (3.3) r(Φ()) < 1/R : = R, R (0, 1). Tomando A = Mn(C) en el teorema de Vesentini, vemos que en el disco de la unidad. Aplicando el Principio Máximo a (3.3) y tomando límites como R 1−, obtenemos (3.4) r(Φ()) ≤ 1 D. En vista de (3.1), (3.2) y (3.4), obtenemos B(μ) ≤ r(Φ()) ≤ Ahora estamos en condiciones de proporcionar 3.3. La prueba del Teorema 1.5. Definir los automorfismos del disco Mj(­) := * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - , j = 1, 2, y escribir Φj = F â € M j, j = 1, 2. Tenga en cuenta que Φ1(0) = W1. En el caso de la letra a) de la letra b) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, la fecha de entrada en vigor del presente Reglamento será la de la fecha de entrada en vigor del presente Reglamento. ser como se indica en el teorema. Definir el producto Blaschke B1(­) := (W1) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1− )m(l) .......... D........................................................ INTERPOLACIÓN EN LA DEPENDENCIA ESPECTRAL 9 Aplicando Lemma 3.2, obtenemos - - - - - - - - - - ¿Qué? 1 - 2 - 1 = M1(2) ≥ (W1) 1− (W1) MD(μ, ) m(l)  (Φ1(M1(l)2)) = (L2).(3.5) Ahora, el intercambio de los roles de 1 y 2 y la aplicación del mismo argumento a B2(­) := (W2) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1− )m(μ) ......................................................... ¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos. (3.6) - - - - - - - - - - ¿Qué? 1 - 2 - 1 ≥ (W2) MD(, μ) m(μ) Combinando (3.5) y (3.6), obtenemos max(W2) (W1) MD(μ, ) m(), máx. (W1) (W2) MD(, μ) - - - - - - - - - - ¿Qué? 1 - 2 - 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Concluimos esta sección con un ejemplo. Ejemplo 3.4. Una ilustración de la Observación 1.7 Comenzamos señalando que el fenómeno de abajo se espera para n = 2. Nosotros quieren considerar n > 2 y mostrar que no hay interpolante para los siguientes datos, pero que esto no puede inferirse de (1.1). En primer lugar, los datos de matriculación: n = 2m, m ≥ 2, y dejar que W1 = cualquier matriz bloque-diagonal con dos m×m-bloques que son cada nilpotente de orden m.(3.7) Siguiente, para un α â € D, α 6= 0, vamos W2 = la matriz compañera del polinomio (z 2m − αzm). Tenga en cuenta que, por construcción, W2 no es despectivo. Tenemos la característica poli- nomios χW1(z) = zm y χW2(z) = z2m − αzm. Por lo tanto f(·;W1) 0, f(z;W2) = −mαzm−1 2m−mαzm Recordamos, de la Sección 2, la siguiente forma equivalente de (1.1): (3.8) Cuando M = 2, (1.1) sup * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * f(z;W1)− f(z;W2) 1− f(z;W2)f(z;W1) ≤ - - - - - - - - - - ¿Qué? 1 - 2 - 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Puesto que, claramente, f(·;W2) • O(D) C(D), por el Teorema Máximo del Módulo * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * f(z;W1)− f(z;W2) 1− f(z;W2)f(z;W1) = supzD 2m−mαzm 2m−m <.(3.9) 10 GAUTAM BHARALI Obsérvese que (W1) = {0} y (W2) = {0, 1/mei(2γj+Arg(α))/m, j = 1,..,m}. Por lo tanto, (W2) (W1) MD(μ, ) m() =, (W1) (W2) MD(, μ) m(μ) = 0. Nos fijamos 1 ° = 0 y elegir 2 ° ° D de tal manera que (3.10) 2m−m < 2 = - - - - - - - - - - ¿Qué? 1 - 2 - 1 <. La desigualdad (3.9). hace posible tal elección de 2 libras esterlinas. En vista de la última el cálculo anterior, vemos que el conjunto de datos ((W1,........................................................................................................................................................................................................................................................ la desigualdad (1.2). Por lo tanto, no hay interpolante O(D,?2m) para este conjunto de datos. In contraste, ya que la forma equivalente (3.8) de (1.1) se cumple, este último no da cualquier información sobre la existencia de un interpolante de O(D,?2m). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4. La prueba del teorema 1.8 Para probar el Teorema 1.8, necesitaremos el siguiente elemental: Lemma 4.1. Dada una transformación fraccional-lineal T (z) := (az + b)/(cz + d), si T (lD) C, entonces T (lD) es un círculo con centro(T (­D)) = bd− ac d2 − c2 , radio(T (­D)) = ad− bc d2 − c2 Ahora estamos en condiciones de presentar 4.2. La prueba del Teorema 1.8. Dejad G O(ln; ln) y dejad ln1,. ................................................. distintos valores propios de G(0). Definir m(j) :=la multiplicidad del factor ( ♥j) en el polinomio mínimo de G(0). Definir el producto Blaschke BG(­) := * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - 1 - - 1 - 1 - 1 - - 1 - - 1 - 1 - - 1 - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - - 1 - - 1 - - - 1 - - 1 - - 1 - - - 1 - - 1 - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - )m(j) .......... D........................................................ BG induce la siguiente función de matriz que, por un leve abuso de notación, también denotar como BG BG(Y ) := (I - ♥jY ) − m(j)(Y) − jI) m(j) que está bien definido en el n exactamente como se explica en la prueba de Lemma 3.2. Una vez una vez más, debido a la analyticity de BG en (BG(Y )) = {BG( de donde BG : ln ln. Por lo tanto, si definimos H(X) := BG (G) (X) (X) (X) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+))))) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+))) (+)))))) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) () (+) () () () () () ( INTERPOLACIÓN EN LA DEPENDENCIA SPECTRAL 11 a continuación, H O(ln; ln) y, por construcción, H(0) = 0. Por el resultado de Ransford-White, r(H(X)) ≤ r(X), o, con mayor precisión (G(X)) ♥j 1− jμ ≤ r(X) En particular: (G(X)) distM(μ;(G(0))) ≤ r(X) donde, para cualquier compactoK D y μ D, definimos distM(μ;K) := minK ()(1− )−1 Por el momento, vamos a arreglar X. Para cada μ ° (G(X)), dejar ° (μ) ser un valor propio de G(0) de tal manera que ()(μ))(1 − (μ)μ)−1 = distM(μ;(G(0))). Ahora fijar μ (G(X)). La desigualdad antedicha conduce a (4.1) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (μ) 1− (μ)μ ≤ r(X) 1/dG. Aplicación de Lemma 4.1 a la transformación de Möbius T (z) = z − (μ) 1- (μ)z deducir que • • • • • (μ) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1− (μ) ≥ − (μ) 1− (μ) : =. Aplicando el hecho anterior a (4.1), obtenemos − (μ) 1− (μ) ≤ r(X)1/dG  ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ r(X)1/dG + (μ) 1 + (μ)r(X)1/dG , μ ° (G(X)).(4.2) Tenga en cuenta que la función t 7 r(X)1/dG + t 1 + r(X)1/dGt , t ≥ 0, es una función cada vez mayor en [0,]. Combinando este hecho con (4.2), obtenemos ≤ r(X)1/dG + r(G(0)) 1 + r(G(0))r(X)1/dG que contiene (G(X)), mientras que el lado derecho es independiente de μ. Desde entonces es cierto para cualquier X arbitrario, llegamos a la conclusión de que r(G(X)) ≤ r(X)1/dG + r(G(0)) 1 + r(G(0))r(X)1/dG * X * n. Con el fin de probar la nitidez de (1.2), vamos a fijar un n ≥ 2, y definir Sn := {A {A} {A} : A tiene un único valor propio de multiplicidad n}. 12 GAUTAM BHARALI Elija cualquier d = 1,..., n, y definir Md(X) := * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * [tr(X)/n], si d = 1, * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 tr(X)/n 1 0 0 ... ... * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * , si d ≥ 2, y, para la d elegida, definir G(d) por la siguiente matriz bloque-diagonal d) Y ) := Md(X) tr(X) * X * n. Para nuestros propósitos GA,d = G(d) para cada A • Sn; es decir, la igualdad (1.5) se mantendrá con la misma función para cada A â € ¢ Sn. Para ver esto, tenga en cuenta que • r(G(d)(X)) = tr(X)/n1/d; y • G(d)(0) es nilpotente de grado d, de donde dG(d) = d. Por lo tanto, r(A)1/d + r(G(d)(0)) 1 + r(G(d)(0))r(A)1/d = r(A)1/d = r(G(d)(A)) que establece (1.5) Bibliografía [1] J. Agler y N.J. Young, un teorema de elevación conmutante para un dominio en C2 e interpo- , J. Funct. Anal. 161 (1999), 452 a 477. [2] J. Agler y N.J. Young, El problema espectral de dos puntos Nevanlinna-Pick, Ecuaciones Integrales Teoría del Operador 37 (2000), 375-385. [3] J. Agler y N.J. Young, El problema de Nevanlinna-Pick espectral de dos por dos, Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 356 (2004), 573-585. [4] J.Agler, N.J. Young, La geometría hiperbólica del bidisco simetría, J. Geom. Anal. 14 (2004), 375-403. [5] H. Bercovici, C. Foias y A. 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Una discusión de observación?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 3. ¿La prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 4. ¿La prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ Bibliografía

The microcanonical ensemble of the ideal relativistic quantum gas

arXiv:0704.1967v2 [nucl-th] 9 Oct 2007 El conjunto microcanónico del ideal Gas cuántico relativista F. Becattini, L. Ferroni Università di Firenze e INFN Sezione di Firenze Resumen Derivamos la función de partición microcanónica del cuántico relativista ideal gas de bosones spinless en un marco de campo cuántico como una expansión sobre mul- tiplicitities. Nuestro cálculo generaliza expresiones bien conocidas en la literatura en que no introduce ninguna aproximación de gran volumen y es válido a cualquier volumen. Discutimos las cuestiones relacionadas con la definición del conjunto microcanónico para un campo cuántico libre en volúmenes comparables con la longitud de onda de Compton y proporcionar una prescripción coherente de cálculo de la función de partición microcanónica tion, que es finito en volumen finito y que produce el límite termodinámico correcto. Además de un factor global inmaterial, la expresión obtenida resulta ser la lo mismo que en el enfoque multipartículas no relativista. Este trabajo es introductorio a derivar la expresión más general de la función de partición microcanónica de fijación el conjunto máximo de observables del grupo Poincaré. Palabras clave: PACS: 1 Introducción El conjunto microcanónico del gas relativista es un tema que tiene no recibió mucha atención en el pasado. La razón del escaso interés en esto problema es la peculiaridad de las aplicaciones físicas, que han sido esencialmente confinado dentro de enfoques estadísticos para la producción de hadron y el modelo de bolsa [1]; estos son, de hecho, los únicos casos en los que se trata de volúmenes y partículas num- bers son tan pequeñas que las correcciones microcanónicas a las cantidades medias se convierten en relevante. De lo contrario, las energías o volúmenes involucrados son tan grandes que canoni- los conjuntos cal y gran canónicos son apropiados para la mayoría de los propósitos prácticos (por ejemplo: en colisiones de iones pesados relativistas). Recientemente [2], se ha señalado que que la equivalencia, en el límite termodinámico, entre gran canónico, Los conjuntos canónicos y microcanónicos no se aplican a las fluctuaciones, más http://arxiv.org/abs/0704.1967v2 en general a los momentos de multiplicidad distribuciones de orden > 1. De hecho, los efectos de la diferencia entre conjuntos estadísticos podría ser desvelado en el estudio distribución múltiple en colisiones nucleares relativistas [3]. En vista de ello, aplicaciones fenomenológicas, sería entonces deseable tener una profundidad análisis del conjunto microcanónico de un gas cuántico relativista. La principal dificultad para hacer frente a este problema se debe a la necesidad de volumen finito. Esto es necesario para tener un límite termodinámico correcto porque, siendo la energía E finita por construcción, también V debe ser finita si el límite con E/V fijado. Por extraño que pueda parecer, un completo y riguroso tratamiento del conjunto microcanónico relativista de un gas ideal en finito El volumen sigue faltando. En todos los trabajos anteriores sobre el tema, en algún momento, la se introduce una aproximación de gran volumen; esto se hace tácitamente, por ejemplo, considerando que la densidad del nivel de una partícula es continua, es decir, sustituyendo Sumas sobre estados cuánticos discretos con integraciones de espacio de impulso [4]: d3p. 1).......................................................................................................................................................... En un trabajo anterior [5], hemos derivado una expresión de los microcanoni- función de partición cal de un gas cuántico relativista ideal con finito explícito- Correcciones de volumen (véase eqs. (23), (24)). Sin embargo, se obtuvo esa expresión en un marco esencialmente multi-partículas de primera cuantificación, que, como en ref. [6] debe esperarse que sean insuficientes a volúmenes muy bajos, comparable con la longitud de onda de las partículas de Compton. En este régimen, bajo... efectos de campo cuántico mentir debe convertirse en importante y creación de pares debido a localización un efecto inevitable [7]. De hecho, hay varios estudios de la el conjunto microcanónico de un campo cuántico libre [8], pero todos ellos, de nuevo, en Algunos puntos invocan una aproximación de grandes volúmenes. En el límite de grandes volúmenes obtiene las mismas expresiones de la función de partición microcanónica y, En consecuencia, de los promedios estadísticos como en la primera cuantificación multi-partículas enfoque seguido en ref. [5]. El objetivo de este trabajo es derivar una expresión general de la microcanónica función de partición en un marco de campo cuántico relativista completo, válido para cualquier volumen finito, generalizando los resultados obtenidos en [5]. Haremos esto por el caso más simple de un gas ideal de bosones sin spin y posponer el tratamiento de partículas con spin a una próxima publicación [9]. Vamos a demostrar que la expresión de la función de partición microcanónica obtenida en ref. [5] en un enfoque multipartículas no relativista, siempre y cuando prescripción de términos sustraídos derivados de grados de libertad fuera del campo se introduce el volumen considerado. El documento está organizado de la siguiente manera: en Sects. 2 y 3 vamos a discutir sobre general características del conjunto microcanónico para un sistema relativista y discutir varias cuestiones relativas a una definición adecuada de la partición microcanónica función. En Secc. 4 nos ocuparemos de las demás cuestiones relacionadas con la definición de un conjunto microcanónico para un campo cuántico en volumen finito. Sects. 5 y 6 incluyen el cuerpo principal de este trabajo, donde la partición microcanónica función se elabora en un marco teórico de campo cuántico. En Secc. 7 we resumirá y discutirá los resultados. 2 Sobre la definición de la función de partición microcanónica Es bien sabido que la herramienta fundamental para calcular los promedios estadísticos en cualquier conjunto es la función de partición. Para el conjunto microcanónico uno tiene que calcular la función de partición microcanónica (MPF) que es generalmente definido como el número de estados con un valor definido E de energía total: estados (E − Estate). 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Para un sistema cuántico, el MPF es el rastro del operador فارسى(E − ): 1 (E − ) (3) con la normalización adecuada de los estados de base. Por ejemplo, para un no- partícula libre relativista, uno tiene que calcular el rastro que suman sobre el plano ondas normalizadas de modo que se ajusten a la norma pp = 3(p− p′):  = tr(E − ) = E − p pp = 1 (2η)3 d3p  E − p De este modo, se recupera la conocida expresión clásica que implica que el MPF es el número de células espaciales de fase con tamaño h3 y dada la energía E. número es infinito ya que el volumen es ilimitado y por lo tanto es imposible calcular un límite termodinámico significativo a una densidad de energía finita. Por lo tanto, uno generalmente considera un sistema confinado dentro de una región finita modificando el hamiltoniano con la adición de muros potenciales infinitos, es decir. ajuste ′ = V donde es el actual hamiltoniano interno y V un potencial externo implementar muros infinitos. Clásicamente, esto lleva a un finito............................................................................................................... (2η)3 d3p  E − p 1 A lo largo de este trabajo los operadores cuánticos se distinguirán de los ordinarios los números por un símbolo "". donde V es el volumen de la región abarcada por los muros potenciales. 2 También el problema cuántico correspondiente se puede resolver fácilmente y uno tiene:  = tr(E) − ′) E − k donde la suma se ejecuta sobre todos los vectores de onda k que, para una caja rectangular con Li lado y condiciones de límite periódico, se etiquetan por tres enteros (n1, n2, n3) de tal manera que ki = niη/Li. La dificultad de la expresión cuántica (6) con respecto a la clásica (5) es que, para una energía dada E, un conjunto de los números enteros que cumplen la restricción impuesta por el Dirac........................................................................................................................................................................................................................................................ en general no existe. Por lo tanto, el MPF desaparece a excepción de un conjunto discreto de energías totales, para las cuales es divergente. Uno tiene un resultado finito sólo para el número integral de Estados 0 dE (E), es decir, el número de estados con una energía inferior a un E ′ dado, pero esto es claramente un paso a paso y no diferenciable función de E ′. Esto sostiene para un gas ideal de cualquier número finito de partículas: estrictamente hablando, el MPF no puede definirse con energía y volumen finitos como una función continua tion. Sólo en el límite termodinámico E → • y V → • una expresión como (6) se convierte en significativo porque entonces es posible reemplazar la suma sobre niveles discretos con integración espacial de fase: células (2η)3 d3p. 7).................................................................................................................................................. Por lo tanto, para un sistema cuántico verdaderamente finito, se necesita una mejor definición de función de partición microcanónica. Una definición que no sufre Los inconvenientes anteriores son los siguientes:  = trV (E − ) hV (E − )hV. (8) donde es el hamiltoniano interno, sin potencial de confinación externa, y el hV forma de un conjunto completo de estados localizados normalizados, es decir. a completo conjunto de estados para las funciones de onda que desaparecen de la región V. se subraya que estos estados no son una base de todo el espacio Hilbert porque funciones de onda que no desaparecen de V no se puede ampliar en este base; de ahí la notación trV en lugar de tr significa que el rastro en eq. (8) no es una correcta. La diferencia entre (8) y una definición como (3) es que hV no son eigenstatos del hamiltoniano y el lado derecho de 2 Usaremos el mismo símbolo V para denotar tanto la región finita como su volumen. (8) no se reduce a una suma discreta de la de Ł. De hecho, esto es crucial para tener un función continua de E, a diferencia de (6). Como ejemplo, vamos a elaborar la definición (8) para la partícula libre única confinado en una caja rectangular por infinitas paredes potenciales y compararlo con (4). Un conjunto completo de estados para este problema es: k = exp(ik · x) si x • V k = ηnx/Lxi + ny/Ly nz/Lzk 0 si x /+ V Por lo tanto, la definición de MPF (8) implica: k(E − )k = d3p kp2 E − p donde hemos insertado una resolución de la identidad utilizando un conjunto completo de estados para el espacio completo de Hilbert. La suma en (10) puede calcularse y producir: kp2 = V (2η)3 d3x exp[i(k− p) · x] d3x′ exp[ik · (x− x′)] exp[−ip · (x− x′)] (2η)3 d3x′ Ł3(x− x′)] exp[−ip · (x− x′)] = V (2η)3 donde la relación de integridad en V: exp[ik · (x− x′)] = Ł3(x− x′) (12) ha sido utilizado. Por lo tanto, mediante el uso (11), el eq. (10) se convierte en: (2η)3 d3p  E − p que es la misma expresión (5) que en el caso clásico. El MPF (13) es ahora manifiestamente una función continua de E y, notablemente, su límite termodinámico V → • es el mismo que el límite termodinámico de la expresión cuántica "pura" (6) (debido a (7)). Desde el único re- estricto el requisito para un MPF bien definido es reproducir el termodinámico correcto límite, para un gas se puede elegir una definición como (8) en lugar de en (6). Destacamos una vez más que en el pasaje de (6) a (8) el hamilto- nian encarnando un potencial de confinación externa se sustituye por el hamiltoniano, mientras que, al mismo tiempo, los eigenstatos localizados de los antiguos hamiltoniano se utilizan para calcular el rastro. 3 La función de partición microcanónica de un sistema relativista En la relatividad especial, el conjunto microcanónico debe incluir el impulso conservación junto a la energía para satisfacer la invarianza de Lorentz. Esto significa que la La definición de MPF (8) debe generalizarse a [5]: hV 4(P − P)hV, (14) P es el cuatro-momento del sistema y P es el cuatro-momento op- Erator. El MPF es ahora un número de estados por célula de cuatro-momento, es es una cantidad invariante de Lorentz. El cálculo del MPF es más fácil en el rest-frame del sistema, donde P = (M, 0) y el V u de cuatro volúmenes, siendo u la cuatro velocidades y V el volumen adecuado del sistema, se reduce a (V,0), según la formulación habitual de la termodinámica relativista estadística [10,11]. El eq. (14) puede generalizarse aún más mediante la aplicación de la conservación de sólo energía-momento, pero del conjunto máximo de cantidades conservadas, es decir, un conjunto máximo de conmutables observables construidos con los generadores de la Grupo Poincaré. Para lograr esto, uno tiene que reemplazar a 4 (P - P - P ) en (14) por un proyector genérico Pi sobre un estado irreductible de la representación de la Grupo Poincaré [5,6], es decir: *HV* *PihV* (15) Este conjunto todavía se define generalmente como conjunto microcanónico y (15) función de partición microcanónica. En este trabajo, nos limitaremos a un conjunto microcanónico donde sólo la energía- El impulso está fijo, es decir. nuestro proyector Pi en eq. (15) será: Pi =  4 (P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - y a un gas cuántico ideal, es decir. con Pâ ́ siendo el cuatro-momento libre op- Erator. De hecho, hay que subrayar que el proyector 4(P − P® ) no es un proyector adecuado, porque P2 = aP donde a es una constante divergente. Esto se debe al hecho de que que los proyectores normalizados sobre representaciones irreducibles no pueden ser definidos para grupos no compactos, como el grupo de traducción espacio-tiempo T(4). Nev- Sin embargo, mantendremos este nombre incluso para los operadores no-idempotentes, el rigor matemático relajante, porque será favorable adoptar el projec- formalismo de la toma de decisiones. Vale la pena señalar que la definición (8) implica sólo el interno (libre) hamiltoniano, es mucho más adecuado que (6) para una generalización relativista. Además la ventaja de restaurar la continuidad en E, analizada en la sección anterior, la formulación puede ampliarse fácilmente a todo el conjunto de leyes de conservación con gran dificultad conceptual. Por el contrario, si uno hubiera tratado de generalizar (6), uno debería haber definido una región finita y después buscar los observables Conmutación con el hamiltoniano suplementado con una confinación externa po- Tential. Esta no habría sido una tarea fácil y, además, un conjunto máximo de observables que se desplazan con el modificado no definiría, en general, una álgebra de Poincaré. Este es un problema bien conocido en el modelo de bolsa estática donde la invarianza traslacional está manifiestamente rota y el impulso no es así conservada. Por otro lado, en la definición (15), nos ocupamos del original álgebra de Poincaré de operadores no modificados (libres) y hacer cumplir la localización a través del proyector en estados confinados. El eq. (15) puede ser refundido como un rastro completo insertando un conjunto completo de estados f en (15): hV ff PihV # F # Pi # hV hV f f PiPV f = tr [PiPV ] (17) donde hV hV, (18) es, por definición, el proyector en el HV subespacial Hilbert de estados confinados (es decir, de las funciones de onda que desaparecen de V ). La fórmula (17) es el comienzo punto para llevar a cabo un cálculo del MPF en volumen finito. Lo primero hacer es expandir (17) como una suma de funciones de partición en multiplicidades fijas, i.e.: N (19) para una sola especie de gas y: Nj} (20) para un gas de varias especies, donde {Nj} = (N1,. .., NK) es un conjunto de partículas mul- tiplicidades para cada especie j = 1,..., K, definiendo un canal. N o Nj} son obtenido sumando todos los valores posibles de variables cinemáticas con Multiplicidades fijas. Por lo tanto, si f N, {p donde {p} etiquetas el conjunto de kinemati- variables cal de partículas en el estado f, N dice: N, {pPiPV N, {p. (21) Del mismo modo, para un gas de varias especies, la función de partición microcanónica es ex- presionado como una expansión sobre todos los canales posibles: Nj} = Nj}, {pPiPV Nj}, {p. (22).............................................................................................................................................................................................................................................................. y Nj} se define como el peso del canal microcanónico. Los pesos de los canales microcanónicos (22) se han calculado en ref. [5] con conservación de la energía-momento (es decir, utilizando (16) en una multipartícula, marco de tización. Para una sola especie, gas sin espinillas ideal: d3p1................................................................................................................................................. 3pN  SN FV (pl(n) − pn) (23) mientras que para un gas de varias especies de bosones K sin espinillas: Nj} = d3pnj SNj FV (plj(nj) − pnj ) (24) siendo N = j Nj. En eqs. (23),(24) πj etiquetas permutación pertenecientes a la Los grupos de permutación SNj y FV son integrales de Fourier en la región V: FV (p- p′) (2η)3 d3x ei(p−p ′)·x (25) Si el volumen es lo suficientemente grande como para permitir la aproximación: FV (p- p′) = (2η)3 d3x ei(p−p ′)·x Ł3(p− p′) (26) los pesos de los canales microcanónicos (24) pueden volver a resumirse explícitamente en el función de partición microcanónica según (20) y se obtiene [5]: lim0 (2η)4 ∫ i i d3y eiP ·y exp (2η)3 d3p log(1− e-ip·y)−1 Un cálculo analítico completo de eq. (27) sólo es posible en el caso de limitación de las masas que desaparecen (p. ej. cuerpo negro microcanónico). Para el caso masivo, las integraciones cuatridimensionales no pueden ser elaboradas analíticamente y recurrir a la computación numérica. El eq. (27) se obtuvo implícitamente en ref. [4] donde la primera expresión de la función de partición microcanónica de una multi-especie ideal relativista gas cuántico se deriva como una expansión (20) sobre los canales, mediante el uso de la aproximación de grandes volúmenes (7) desde el principio. Esto muestra que el la aproximación (26) es efectivamente equivalente a la (7), como también se ha demostrado en ref. [5]. Notablemente, la definición de MPF eq. (14) sin grandes volúmenes ap- La proximación implica la aparición de integrales de Fourier que dan cuenta de Bose- Einstein y Fermi-Dirac correlaciones en el gas cuántico, que no muestran en la aproximación de grandes volúmenes aplicada en ref. [4]. Este enfoque también permite investigar más generalizaciones cuando el volumen es tan pequeño que Deben tenerse en cuenta los efectos de campo cuántico relativistas. 4 Conjunto microcanónico y teoría de campo El cálculo de la función de partición (14) en un marco de campo cuántico presenta nuevas dificultades con respecto al plan de primera cuantificación. Esto el problema se ha abordado en la literatura con un enfoque funcional, inspirado en la teoría habitual del campo térmico gran canónico [8]. Sin embargo, estos los cálculos apuntan al límite de los grandes volúmenes y, por lo tanto, son insensibles a las dificultades relacionadas con el estricto requisito de volumen finito discutido en detalle en la Secc. 2. Como resultado, para un campo libre, las expresiones derivadas son equivalente a la fórmula (27). En lugar de empezar con una integración funcional desde el principio, nosotros calcular la función de partición microcanónica de un campo libre mediante la primera expansión a multiplicidades fijas como en eqs. (19),(21) (o canales, para multiespecies gas como en eq. (20)), donde N, {p son Fock estados espaciales con partículas definidas multiplicidad y variables cinemáticas {p}. Para llevar a cabo este cálculo, nosotros primera necesidad de encontrar una expresión del peso del estado microcanónico: N, {pPiPV N, {p. (28) Usando (16) y eligiendo N, {p como un estado propio del cuatro-momento operador con valor propio Pf = i pi, el eq. (28) se convierte en: N, {pPV N, {p , {p, (29) Para calcularlo y, mediante una mayor integración, necesitamos conocer el proyector. PV. Puesto que PV se define como el proyector en el subespacio Hilbert de localización los estados, se puede escribir fácilmente en una cantidad no relativista multi-partículas marco mecánico (NRQM). Como ejemplo, para un no relativista spinless una sola partícula, se lee (véase también Secc. 2): kV kV (30) donde el kV es un estado normalizado de la partícula confinado en una región V, con un función de onda correspondiente kV (x) desapareciendo de V. El símbolo kV se erige para un conjunto de tres números que etiquetan los modos cinemáticos del confinado estados (p. ej. los vectores de onda discretos, o la energía y el momento angulara) y el conjunto kV Formar un conjunto completo de estados para las funciones de onda que desaparecen de V. El proyector (30) se puede extender fácilmente al caso del cuerpo múltiple y: Ñ {k} , {kV, {kV. 31) donde el símbolo {kV } denota un conjunto múltiple de modos cinemáticos de la Estados confinados, mientras que Ñ es el número de ocupación integrado, es decir, la suma de Números de ocupación en todos los modos cinemáticos de una sola partícula. En el NRQM aproximación estos números son simplemente partículas multiplicidades, lo que implica: N, {p, {kV 6= 0 if N = Ñ. (32) Para calcular el peso de estado microcanónico, de ahí el MPF, los productos , {kV N, {p se puede elaborar sobre la base de (32) similar a lo que ha se hizo en Secc. 2 para una sola partícula, que rinde, para un bosón escalar [5]: N, {pPV N, {p = SN FV (pl(n) − pn) (33) donde ♥ es una permutación de los enteros 1,...., N y FV son Inte de Fourier- grals (25) sobre la región del sistema V. De la ecuación anterior la expresión del peso del canal microcanónico en eq. (23) sigue. Nos referiremos a la expresión (33) como la NRQM, lo que significa que se ha obtenido en este marco NRQM multipartículas cuantificado primero, donde, por ejemplo, partículas y antipartículas se consideran simplemente como especies diferentes y su contri- butiones factorizan. Se podría prever que un proyector como (31), escrito en términos de espacio Fock estados, simplemente podrían ser trasladados al caso de campo cuántico relativista, donde , {kV son estados del problema localizado, obtenido resolviendo el ecuaciones de campo libre en una caja con condiciones de contorno adecuadas. Sin embargo, algunos pronto surgen dificultades. En primer lugar, mientras que en NRQM la única partícula local- La función de onda izada kV y el estado de onda plana libre p viven en el mismo Hilbert espacio, en la teoría cuántica de campo el localizado y el no localizado problema se asocian con distintos espacios Hilbert. Así, a diferencia de NRQM, no está claro cómo calcular un producto como, {kV N, {p. En segundo lugar, incluso Si hubiera una prescripción definitiva para ello, debería esperarse que el inte- Números de ocupación rallados del problema localizado no coinciden con reales multiplicidades de partículas a menos que el volumen sea infinito. Para entender este punto, uno debe tener en cuenta que las partículas propiamente llamadas surgen de las soluciones de las ecuaciones de campo libre sobre todo el espacio y que el eigen hamiltoniano- los estados del problema localizado son conceptualmente diferentes. En consecuencia, el Tribunal de Primera Instancia decidió: Los operadores de número de partículas integrados en todo el espacio deben diferir de operadores de números tegrados dentro de la región finita. Por lo tanto, a diferencia de NRQM, un estado con números de ocupación integrados definidos Ñ (nos abstenemos a propósito de llamarlos números de partículas) debe esperarse que no desaparezcan. componentes de ing en todos los estados libres con diferentes números de partículas reales, a saber: V = α0,Ñ 0 α1,Ñ 1........................................................................................ .. (34) donde α son coeficientes complejos no triviales, y (32) ya no se mantienen. Sólo en el límite de volumen grande se espera que los números de ocupación integrados coinciden con multiplicidades reales y eq. 32) se aplica. Este tipo de efecto es apuntado en la introducción del libro de Landau sobre la teoría cuántica del campo [7]: cuando se trata de localizar un electrón, un par electrón-positrón inevitablemente aparece, lo que significa que la única “partícula” localizada es de hecho una superposición de muchos verdaderos estados de partículas asintóticas. Otra manifestación relevante de esta diferencia que es probablemente más familiar, es el efecto Casimir, que es relacionado con la diferencia entre el verdadero estado de vacío 0 y el localizado Estado del vacío 0V. Por lo tanto, todas las fórmulas derivadas bajo la aproximación (32) son asintóticos, válidos en el límite V → • pero no en volumen estrictamente finito. Por lo tanto, uno debe esperar correcciones significativas de volumen finito a los eqs. 33) y el consiguiente MPF (23) en un tratamiento de campo cuántico. Si queremos dar una expresión como, {kV N, {p un significado preciso en una marco de campo cuántico, primero tenemos que cartografiar el espacio Hilbert HV de la problema localizado en el espacio Hilbert H del campo libre en el conjunto espacio. Esto se puede hacer cartografiando los eigenstates de campo y los operadores de H en el VH de una manera natural como: *(x)HV*(x)H*(x)H*(x)H*(x)H*(x)H*(x)H*(x)H*(x)H*(x) (x)HV (x)H (35) Esto permite escribir relaciones lineales, no-bijectas, Bogoliubov expresando la aniquilación y creación de operadores del problema de la región finita como una función de los del campo entero (escalar real) (véase el apéndice A para derivación): d3pF (k,p) ­k + ­p ap + F (k,−p) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * a†p (36) donde k son trillizos de números que etiquetan modos cinemáticos, al igual que el kV antes mencionado, k es la energía asociada, p = p2 + m2 y: F (k,p) = (2η)3 d3xu*k(x) e ip·x (37) uk ser un conjunto completo de funciones de onda ortonormales para la región finita. Una característica notable de los campos cuánticos relativistas es que, a diferencia de NRQM, los operadores de aniquilación localizados tienen componentes no evasivos en el operadores de creación en todo el espacio, como se muestra en (36). Esto confirma nuestra ex- pectación de que un estado localizado con números de ocupación integrados definidos es una combinación lineal no trivial de estados con diferentes multiplicidades de partículas. Se espera que, a medida que el volumen aumenta, estos componentes se vuelvan más pequeños y en el límite de volumen infinito se recupera ak = ap (véase el apéndice A). A partir de las relaciones de Bogoliubov (36), debería ser posible, en principio, calcular los coeficientes en eq. (34), de ahí el peso del estado microcanónico (29) utilizando la expansión (31). De hecho, no necesitamos hacerlo. Es más ventajoso, como se señala en ref. [6], para escribir el proyector PV en términos de estados de campo en lugar de número de ocupación de modos de campo dentro de la región finita. De hecho, en la definición general en eq. (17): hV hV (38) los estados hV son un conjunto completo de estados del espacio Hilbert de los localizados problema HV, donde los grados de libertad son valores del campo en cada uno punto de la región V, es decir, V. Por lo tanto, el proyector antedicho es un la resolución de la identidad del problema localizado y puede ser escrito como (para un campo escalar real): D (39) donde la medida funcional es x(x) y D; el índice V significa que la integración funcional debe realizarse sobre los grados de campo de la libertad en la región V, es decir, DÃ3 = xÃ3V dÃ3(x). La normalización de los estados se eligen de tal manera que (x)(x) = ((x) − (x)) para asegurar el idempotencia de PV. Si ahora queremos dar expresiones como: Nj}, {pPV Nj}, {p (40) un significado claro, debemos encontrar una manera de completar el producto tensor en el proyector (39) con los estados del campo fuera de la región V tal manera el escalar el producto se puede realizar sin ambigüedades. Desafortunadamente la respuesta a esta pregunta no es única y el proyector se puede extender a H de infinitas maneras. Lo que es importante es que el el resultado del cálculo es independiente de cómo se haya extendido el proyector. Por lo tanto, al final del cálculo, uno tiene que comprobar si términos espurios Aparecen, posiblemente divergentes, dependiendo explícitamente del estado elegido de la campo fuera de V y estos términos deben ser sustraídos. En general, todos los términos dependiendo de los grados de libertad del campo fuera de V debe ser bajado del resultado final. En este trabajo, extenderemos el proyector con estados propios del campo, donde la función de campo (x) es una función arbitraria fuera de la región V. Por lo tanto, el proyector PV (39) está asignado a: D V (x) (x) (41) donde el índice V sigue implicando D = xÃ3V dÃ3(x). Vamos a ver que, con el definición (41), términos espurios en función de los grados de libertad V surgen de hecho, pero que pueden ser sustraídos “a mano” en una 5 Canal único de partículas Comenzaremos a calcular el valor de expectación de una sola parte canal en los casos simples de campos escalares neutros y cargados. Esto es preparación para el caso general de los estados multipartículas en la Secc. 6. 5.1 Campo escalar neutro Consideramos un gas hecho de un tipo de bosón spinless descrito por el libre campo escalar real 3 (en representación de Schrödinger): (x) = a(p) eip·x+a†(p) e−ip·x en los que p2 +m2 es la energía, p es el módulo del tres-momento y la normalización se ha elegido para tener la siguiente conmutación regla entre aniquilación y operadores de creación: [a(p), a†(p′)] = Ł3(p− p′). (43) Comenzamos a escribir el estado de Fock de una sola partícula en términos de creación y un- Operadores de nihilación que actúan sobre el vacío: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (44) 3 A partir de ahora, la letra mayúscula denotará a los operadores de campo, mientras que para las funciones de campo Usaremos la letra pequeña. Puesto que la PV se define, de acuerdo con (41) como una integral funcional de los autovectores de la operadora de campo, es conveniente expresar la creación y la aniquilación operadores en términos de operadores de campo. Usaremos las siguientes expresiones: que son los más apropiados para nuestra tarea: *0a(p)=*01 d3x e-ip·x 2-(x) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + a†(p)0= 1 d3x eip·x 2-(x) -0-(x). (45) Estas expresiones se pueden comprobar fácilmente mediante el enchufamiento, en el lado derecho, los operadores de campo en (42). Usando eq. (45) en (44): 0a(p)PV a†(p)0 = (2η)3 d3x′ eip·(x−x ′) 2° (x′) VP(x) 0° (46) Se puede comprobar fácilmente ahora que el factor más a la derecha en la ecuación anterior resulta ser (usando la definición (41): 0(x′)PV(x)0 = (x′)(x)................................................................................................................. (47) donde las funciones de campo (x) y (x′) son las funciones de campo o los valores propios del operador de campo relevante para el estado, es decir: (x) = (x). (48) Es posible encontrar una solución de la integral funcional (47) por primera vez consid- ring el límite de volumen infinito, cuando el proyector PV se reduce a la identidad. En este caso limitante, la integral funcional en (41) se realiza ahora sobre todas las posibles funciones de campo y eq. (41) pasa a ser una resolución de la identidad; Es sólo la función de correlación de dos puntos que escribimos, ac- cableado a (47): 0(x′)(x)0 = Dóle 02(x′)(x) (49) El producto 0 se conoce como el vacío funcional y lee [12], para una campo neutro escalar: = N exp d3x2 (x1)K(x1 − x2)®(x2) donde N es un factor de normalización independiente del campo, que es irrelevante para nuestros propósitos. La función K(x′ −x) se llama núcleo y cumple la ecuación [12]: ∫ d3x′ e-ip·x K(x′ − x) = 2­ e­ip·x (51) cuya solución es: K(x′ − x) = 1 (2η)3 d3p e-ip·(x x) 2. (52) La integral funcional (49) es por lo tanto una integral gaussiana y se puede resolver utilizando las fórmulas conocidas para múltiples integrales gaussianas de vari- perceptores [12]: I2N = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • d3x2 (x1)K(x1 − x2)®(x2) emparejamientos de 1,...,2N pares K−1 (variables combinadas) donde las variables emparejadas significa parejas (i, j) cuya diferencia ij (o, lo que es el mismo, el argumento de K−1 es el de K−1. El factor I0 es sólo la normalización del estado de vacío I0 = â € â € € TM que se establece en 1. El núcleo inverso K−1 se puede encontrar a partir de su definición: d3x′K(y − x′)K−1(x′ − x) = lo que lleva a: K−1(x′ − x) = 1 (2η)3 e-ip·(x x) = 0(x′)(x)0 (55) La última igualdad proviene de (53) y (49) en el caso especial N = 2 o puede ser probado directamente desde la expansión del campo de Fourier (42). Ahora estamos en condiciones de resolver la integral funcional (47) en volumen finito. En primer lugar, las variables de integración funcional están separadas de las que son no integrados, es decir, los valores de campo fuera de V (V̄ denota el complemento de 02= N 2 exp d3x2 (x1)K(x1 − x2)®(x2) = N 2 exp d3x2 (x1)K(x1 − x2)®(x2) × exp d3x2 (x1)K(x1 − x2)®(x2) × exp d3x2 (x1)K(x1 − x2)®(x2) donde hemos aprovechado la simetría del núcleo K. El (56) es una función gaussiana, con una forma cuadrática general en los valores de campo en la región V ; puede integrarse en (47) de acuerdo con las normas estándar [12], que rinden: (x′)(x) = K−1V (x′,x)N 2 det −1/2 exp [ d3x1d d3x2d 3x′2K V (x1,x 1) K(x1 − x2) K(x′1 − x′2)********************************************************************************************************************************************************************************************** * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d3x2 (x1)K(x1 − x2)®(x2) = K−1V (x = K-1V (x′,x) La función K−1V es la inversa de K sobre la región V, es decir, la inversa K(x′ − x)-V (x′)-V (x)-KV (x′ − x), (58) la función V (x) es la función Heaviside: V (x) = 1 si x • V De lo contrario. El núcleo inverso K−1V cumple, por definición, la ecuación integral: d3x′KV (y − x′)K−1V (x′,x) = Tenga en cuenta que, debido a la región finita de integración, el núcleo inverso puede ahora dependen tanto de las variables del espacio en lugar de sólo su diferencia. También note que K−1V es real y simétrico, siendo KV real y simétrico. Por lo tanto, el resultado de la integración funcional produce la fórmula simple: 0(x′)PV(x)0 = K−1V (x′,x)0PV 0 (61) donde el factor 0PV 0 es una constante positiva que dejaremos unex- Pandeado. En conjunto, la presencia del proyector PV en el eq. (61) modifica las dos función de correlación de puntos mediante la introducción de un factor constante colocando el núcleo inverso K−1 con otro K−1V. Puede ser fácilmente probado, mediante el uso de las fórmulas generales de integrales gaussianas, que esto sostiene verdadero en el caso más general de la función de correlación de muchos puntos. De hecho, la (53) se mantiene para las formas cuadráticas generales en el campo ­ y por lo tanto el eq. (61) puede generalizar a: •(xn)PV n=N+1 "(xn)0" = 0PV 0" emparejamientos de x1,...,x2N pares K−1V (pared var.) . La tarea restante es calcular el núcleo inverso K−1V por medio de (60). De hecho, buscaremos una solución de la ecuación más general: d3x′K(y− x′)K−1V (x′,x) = con y sin límite. Está claro que una solución K-1V de la ecuación (63) es también una solución de (60) porque KV es igual a K cuando y • V. nos permite encontrar una forma implícita para K−1V. De hecho (63) implica: (2η)3 d3x′ eip·x K−1V (x ′,x) = eip·x (2η)3 que se obtiene multiplicando ambos lados de (63) por eip·y /(2η)3 e integrando sobre todo el espacio en d3y. Ahora estamos en una posición para cumplir nuestra tarea de calcular pPV p. Por Enchufando (61) en (46) obtenemos: 0a(p)PV a†(p)0 = (2η)3 d3x′ eip·(x−x ′) 2° K−1V (x ′,x)0PV 0. El dominio de integración en (65) se puede dividir en la región V y la V̄ complementario para ambas variables. El núcleo inverso K−1V no está definido fuera de V y luego se puede establecer un valor arbitrario, por ejemplo. cero. De lo contrario, incluso si uno eligió una prolongación no desaparecida de K−1V, una integración fuera del dominio V implicaría los grados de libertad del campo fuera de V y, según el debate general al final de la Sección. 4, el término contribuyente debe ser Se cayó. Por lo tanto, conservar sólo el término físicamente significativo, el (65) se convierte en: 0a(p)PV a†(p)0 = (2η)3 d3x′ eip·(x−x ′) 2° K−1V (x ′,x)0PV 0. En la ecuación anterior se puede reconocer fácilmente el conjugado complejo de la lado izquierdo de (64). Por lo tanto, sustituirlo por el conjugado complejo de la lado derecho, uno consigue: 0a(p)PV a†(p)0 = (2η)3 d3x 0PV 0 = (2η)3 0PV 0 (67) que es el mismo resultado de NRQM en (33) en el caso simple N = 1, veces un factor 0PV 0. Este factor todavía contiene una dependencia de los grados de campo de la libertad fuera de V, según la expresión del proyector en eq. 41), que debería desaparecer en algún momento. Sin embargo, veremos que este factor aparece en cualquier multiplicidad y por lo tanto se vuelve irrelevante para los cálculos de la promedios estadísticos. 5.2 Campo escalar cargado El cálculo hecho para un campo escalar neutro se puede extender fácilmente a un Campo escalar cargado. El campo escalar de 2 componentes cargado en Schrödinger rep- La resentida dice: (x) = a(p) eip·x +b†(p) e−ip·x (x) = b(p) eip·x +a†(p) e−ip·x donde a, a† y b, b† son agentes de aniquilación y creación de partículas y antipartículas, respectivamente. Satisfacen las relaciones de conmutación: [a(p), a†(p′)] = [b(p), b†(p′)] = Ł3(p− p′) (69) [a(p), b(p′)] = [a†(p), b(p′)] = 0 Del mismo modo, los campos obedecen a las relaciones de conmutación: [(x),(y)] = 0. (70) y es entonces posible construir estados de campo,. El proyector PV puede escríbase como: D(, ),, (71) con la normalización adecuada del estado y las funciones arbitrarias de campo región V 4 Del mismo modo que eq. (45), se puede escribir: 4 La medida funcional en la ecuación (71) lee (x)d(x)/iη. De todos modos, su forma explícita no es importante para nuestros propósitos. *0a(p)=*01 d3x e-ip·x 2-(x) (72) a†(p)0= 1 d3x eip·x 2o (x) 0 #0b(p)= #01# d3x e-ip·x 2 (x) b†(p)0= 1 d3x eip·x 2-(x)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0) La cadena de argumentos de la subsección anterior se puede repetir y el integral funcional: •(xn)PV (x′n)0 = D(, ) 0, 2 *(xn)* †(x′n) encontrado como una integral gaussiana múltiple. Permutación de la enteros 1,...., N, la integración en el lado derecho del eq. (73) rendimientos: •(xn)PV (x′n)0 = 0PV 0 K−1V (xn,x * (n) (74) que difiere de la expresión correspondiente para el campo escalar real porque Ahora el campo es complejo y sólo se puede acoplar a [13]: D(, ) * (n)............................................................................................................................................................................................................................................................. †(n) d3x2 †(x1)K(x1 − x2)•(x2) K−1(n − (n)) (75) Sin embargo, la integral funcional que implica sólo dos campos y produce el el mismo resultado que para las partículas neutras. Por lo tanto, el núcleo K sigue siendo el mismo y así es la ecuación integral (64) que define K−1V. El valor de expectativa de la fotovoltaica en un estado con una sola partícula (o antipartícula) también será el mismo que en eq. (67), es decir: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (2η)3 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (76) 6 canales multipartículas Hemos visto en la sección anterior que el valor de la expectativa para un una sola partícula spinless es la misma obtenida en un enfoque NRQM [5] veces un factor inmaterial global 0PV 0. En esta sección, abordaremos la cuestión de la cálcula. sión del estado general de las multipartículas. Veremos eso, usando el proyector definiciones en eqs. (41),(71) y restar las contribuciones espurias El resultado final sigue siendo el mismo de los grados de libertad del campo exterior. como en el cálculo NRQM veces el factor 0PV 0. Primero abordaremos el caso de las partículas cargadas N. 6.1 Partículas cargadas idénticas Consideraremos un estado con N partículas cargadas idénticas; para N antipartículas el resultado es trivialmente el mismo. Queremos calcular: N, {pPV N, {p = 0 a(pn)PV a†(pn)0. (77) Desde: [a†,] = [a,] = [b,] = [b†,] = 0 (78) uno puede reemplazar a los operadores de creación y aniquilación con sus expresiones en (72) haciendo caso omiso de la posición de los operadores con respecto al vacío Estado. En la fórmula: N, {pPV N, {p= (2η)3 d3x′n e • ipn·(xn−x′n) •(xn)PV (x′n)0 (2η)3 d3x′n e • ipn·(xn−x′n) K−1V (xn,x (n))(0PV 0, (80) donde SN es el grupo de permutación de rango N. Ahora, como para la partícula única caso, restringimos el dominio de integración a V en (79) con el fin de deshacerse de grados externos de libertad y, mediante el uso repetido de eq. (64), nos quedamos con: N, {pPV N, {p # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (2η)3 d3x′n e - ipn·(x(n)−x (2η)3 d3x′n e 1(n) −pn)·x′n Por lo tanto, utilizando la definición (25): N, {pPV N, {p = FV (p­(n)­ pn)­0PV 0­ (82) que es exactamente la expresión (33) obtenida en NRQM para bosones N idénticos, veces el factor 0PV 0. 6.2 Partículas neutras idénticas El caso de N partículas neutras idénticas es más complicado debido a la posibilidad de creación de pares de partículas. Esto se refleja en el formalismo en el la existencia de muchos términos adicionales en la elaboración del eq. (77). Comenzamos con el cálculo de un estado con dos partículas neutras de 4-momenta p1 y p2 respectivamente, generalizando a partir de entonces las partículas N. En términos de creación y los operadores de aniquilación: P1, p2PV p1, p2a(p1)a(p2) PV a†(p2)a†(p1)0 (83) que podemos reescribir usando eq. (45) para a(p1) y a †(p1) como: P1, p2PV p1, p2= (2η)3 d3x′1 e −ip1·(x1−x1′) × 2+1+0+(x1)a(p2) PV a†(p2)+(x′1)+0+. (84) Con el fin de utilizar la expresión (45) para la aniquilación y la creación a(p2) y a†(p2) operadores tenemos que conseguir que actúen en el estado de vacío, de ahí que deben ser trasladados de su posición en eq. (84) hacia el exterior. Esto se puede hacer aprovechándose de las siguientes normas de conmutación: (x), a(p)] = − e-ip·x [a(p)†,•(x)] = − eip·x Usando (85) y luego enchufando (45) en eq. (84) Obtenemos: P1, p2PV p1, p2 = 2(2η)6 d3x′1 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x1−x 1) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • − 2 ° 1 (2η)6 d3x′1 d3x2 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x2−x 1) «0» (x2) «PV» (x1) «0» (x1) «0» (x2) «PV» (x1) − 2 ° 1 (2η)6 d3x′1 d3x′2 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x1−x 2) «0» (x′1) «PV» (x′2) «0» 4o 1o 2o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o (2η)6 d3x′1 d3x′2 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x2−x2 0(x2)°(x1)°PV (x′1)°(x′2)°°(86) donde se ha tomado ventaja del hecho de que [PV,­(x)] = 0. El eq. (86) tiene cuatro términos diferentes, entre los cuales sólo el último estuvo presente en el caso de 2 partículas cargadas en el Subsecto. 6.1. En cambio, los tres primeros términos surgen de contracciones de la aniquilación y operadores de creación con operadores de campo sobre el mismo lado con respecto a la fotovoltaica. Mediante el uso de (62) y la sustitución de todos sin límite integraciones con integraciones sobre V para eliminar grados espurios de libertad del campo, el eq. (86) rendimientos: P1, p2PV p1, p2 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2(2η)6 d3x′1 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x1−x − 2 ° 1 (2η)6 d3x′1 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x2−x 1) K−1V (x2,x1) − 2 ° 1 (2η)6 d3x′1 d3x′2 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x1−x 2) K−1V (x 4o 1o 2o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o (2η)6 d3x′1 d3x′2 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x2−x2 K−1V (x1,x V (x2,x 2) +K V (x1,x V (x2,x +K−1V (x1,x2)K . (87) Ahora podemos usar (64) para integrar el núcleo inverso en eq. (87). Por el segundo término en el lado derecho, elegimos integrar exp(−ip2 · V (x2,x1) en x2 y para el tercer término exp(ip1 · x′1)K−1V (x′1,x′2) en x′1. Al mismo tiempo, realizamos la integración del último término en forma arbitraria. pareja de variables con índices 1 y 2, obteniendo: P1, p2PV p1, p2 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (2η)6 d3x′1 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x1−x (2η)6 d3x′1 e − ip1·(x1−x1′) e-ip2·(x1−x (2η)6 d3x′2 e −ip1·(x1−x2′) e−ip2·(x1−x (2η)6 (2η)6 d3x2 e −i(p1−p2)·(x1−x2) (2η)6 d3x′2 e −ip1·(x1−x2′) e−ip2·(x1−x 2) (88) Cuatro términos en la suma anterior se cancelan y nos quedamos con: P1, p2PV p1, p2 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (2η)6 + FV (p1 − p2) 2= FV (pl(n) − pn) (89) Este es el mismo resultado que se obtendría para dos bosones idénticos en un NRQM marco [5]. El segundo término en el lado derecho representa el pozo fenómeno conocido de la correlación de Bose-Einstein en la emisión de idénticos Pares de bosones. Mirando hacia atrás a toda la derivación, encontramos que los términos que surgen de Los emparejamientos de variables de campo en el mismo lado con respecto a PV han cancelado con los términos derivados de la conmutación de la aniquilación y la creación Erators con operadores de campo; los únicos términos que sobreviven son N! emparejamientos de campo variables en diferentes lados de PV, al igual que en el caso de partículas cargadas. Esto Cancelación propiedad se mantiene y por lo tanto, la fórmula (82) se aplica al caso de N Partículas neutras también. Una prueba basada en la forma de la termodinámica el límite V → • figura en el apéndice B. 6.3 Caso de las partículas-antipartículas Para un estado con una partícula y una antipartícula, el valor de expectativa de PV el texto es el siguiente: •0a(p1)b(p2) PV b†(p2)a†(p1)0 (90) lo que implica, en vista de (72): •0a(p1)b(p2) PV b†(p2)a†(p1)0 (2η)3 d3x′1 e −ip1·(x1−x1′) 2­1­0(x1)b(p2)PV b†(p2)(x′1)­0­.91) Al igual que para las partículas neutras, los operadores b y b† se mueven hacia fuera para obtener que actúan sobre el estado de vacío mediante el uso de los conmutadores: (x), b(p)] = e-ip·x [b(p)†,(x)] = eip·x Usando el eq. (72) y, al igual que en la subsección anterior, restringir la integración a la región V para eliminar los grados externos de libertad, obtenemos: •0a(p1)b(p2) PV b†(p2)a†(p1)0 2(2η)6 d3x′1 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x1−x 1) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • − 2 ° 1 (2η)6 d3x′1 d3x2 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x2−x 1) «0» (x2) «PV» (x1) «0» (x1) «0» (x2) «PV» (x1) − 2 ° 1 (2η)6 d3x′1 d3x′2 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x1−x 2) «0» (x′1) «PV» (x′2) «0» 4o 1o 2o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o (2η)6 d3x′1 d3x′2 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x2−x2 0(x2)(x1)PV (x′1)(x′2)0 (93) cuyo resultado es (87) excepto el (último-1)o término, porque ahora: *0(x2)**(x1) PV*(x′1)**(x′2)* # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # = K−1V (x1,x V (x2,x 2) +K V (x1,x2)K que es consecuencia de la expresión general (74). De nuevo, cuatro de cada cinco términos cancelan en eq. (93) y obtenemos: •0a(p1)b(p2) PV b†(p2)a†(p1)0 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (2η)6 donde el término que falta con respecto al caso de partículas neutras (89) es el uno que implica permutaciones; este es un resultado natural porque las partículas y un- Las partículas tippartics no son, por supuesto, idénticas. Por lo tanto, el valor de expectativa de PV en un par de partículas-antipartícula muestra una propiedad de factorización notable, es decir: •0a(p1)b(p2)PV b†(p2)a†(p1)0= •0a(p1)PV a†(p1)00b(p2)PV b†(p2)0 donde el signo = se mantiene siempre que las integraciones se limiten a la región V. Extrapolando al caso más general de partículas N+ y antipartículas N−, se puede argumentar utilizando el límite V → • que la factorización de la El peso en estado microcanoncal se mantiene (véase el apéndice B) en cualquier multiplicidad, es decir: las partículas y las antipartículas se comportan como dos especies diferentes: No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. SN+ FV (p(n+) − pn+) SN FV (p(n−) − pn−)(97) 7 Resumen y debate Sobre la base de eqs. (19), (21), (16) y (82), que se aplica a los cargos así como partículas neutras, y teniendo en cuenta que los estados N, {p tienen ser elegidos para ser autovectores de cuatro-momento, finalmente podemos escribir la plena expresión de la función de partición microcanónica de un relativista gas cuántico de bosones neutros sin spin como: En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el punto de encendido por chispa. d3x exp[ix · (pl(n) − pn)] (98) con P = (M, 0) y el factor 1/N! se ha introducido con el fin de evitar conteo múltiple cuando se integra sobre partículas momenta. Del mismo modo, en el base de eqs. (20) (22) y (97), la función de partición microcanónica de un El gas cuántico relativista de los bosones sin espinillas cargados puede escribirse como: En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el punto de encendido por chispa. N+,N−=0 ¡N+! N++N N++N SN+ d3x exp[ix · (p(n+) − pn+)] SN d3x exp[ix · (p(n−) − pn−)]. (99) La generalización a un gas multi-especie de bosones sin espinillas es entonces fácilmente logrado: En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el punto de encendido por chispa. d3pnj SNj d3x exp[ix · (pđj(nj) − pnj )]. (100) donde N = j Nj. Las fórmulas (98), (99) y (100) son nuestro resultado final. El volumen finito de las integrales de Fourier en las expresiones anteriores cuenta muy bien para correlaciones estadísticas cuánticas conocidas como Bose-Einstein y Fermi-Dirac correlaciones. Destacamos una vez más que para un gas cuántico cargado, partículas y antipartículas pueden ser manejadas como pertenecientes a especies distintas y corresponden a diferentes etiquetas j en la generalización multiespecie de (100). La expresión del MPF (98) es la misma que se obtiene en un cálculo NRQM en ref. [5], citado en este trabajo en (24), veces un factor global 0PV 0 que es no es importante para el cálculo de las medias estadísticas en los microcanónicos en- Semble. Más concretamente, el valor de expectativa de la fotovoltaica en una multipartícula libre estado (véase eqs. (82) y (97)) es el mismo que en el cálculo del NRQM (33) Tiempos # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Este resultado se ha logrado haciendo cumplir un prescrip de sustracción sión, a saber, que todos los términos dependen de los grados de libertad fuera de la la región V del sistema se debe restar “a mano” en todos los términos a plicities. El factor "VV" sigue dependiendo de esos grados espurios de libertad, de acuerdo con la definición PV en eq. 41), pero esto no afecta cualquier promedio estadístico porque siempre se cancela. En la termodinámica límite, este factor tiende a 1 como PV → I y el resultado de gran volumen límite conocido en la literatura [4] (es decir, eq. (27)) se recupera. Este resultado parece sorprendente en cierto sentido porque uno habría esperado, un pri- que los efectos relativistas cuánticos afectarían a los promedios estadísticos en una dependencia de la relación entre la longitud de onda de Compton y el tamaño lineal de la región, llegando a ser insignificante a valores pequeños, es decir, cuando V → فارسى. Esto se debe a la condición (32) a partir de la cual las expresiones MPF (23,24) A continuación, ya no se mantiene en la teoría de campo cuántico en volumen finito y sólo ap- se basa en una buena aproximación a volúmenes muy grandes, como se explica en la sec. 4. Sin embargo, en el cálculo de las medias estadísticas, sólo el proyector PV entra y esto implica la suma de todos los Estados en diferentes ocupaciones integradas. Números de tion V, de acuerdo con (31). Por lo tanto, a pesar de los coeficientes en el expansión (34) son diferentes de cero y dependen del volumen, gira fuera que sumando todos ellos en fijo N, uno obtiene el mismo resultado que en el Aproximación NRQM (32). En la fórmula, utilizando (31): N, {pPV N{p = Ñ,{kV } N, {p, {kV 2 Ñ,{kV } 0, {kV 2 {kV} N, {pN, {kV 2NR (101) donde el índice NR significa que uno debe hacer un cuántico no relativista cálculo mecánico. Este cálculo se puede extender al caso más general del microcanon- conjunto ical de un gas cuántico relativista ideal mediante la fijación del conjunto máximo de observables del álgebra de Poincaré, es decir, spin, tercer componente y par- ity además del energy-momentum cuatro-vector. Este será el tema de una próxima publicación. Agradecimientos Estamos agradecidos a F. Colomo y L. Lusanna por estimular las discusiones. Un Bogoliubov relaciones para un campo escalar real Se pueden derivar de la primera expresión del operador de aniquilación localizada como una función del campo y su momento conjugado. Para los localizados problema que tenemos: (x) = akuk(x) e −iŁkt+c.c. (A.1) donde k es un vector de tres números que etiquetan los modos en la región V, es la energía asociada y uk es un conjunto completo de funciones de onda ortogonal sobre la región V: u*k(x)uk(x ′) = 3(x− x′) d3xu*k(x)uk′(x) = Łk,k′ (A.2) y desapareciendo de V. Invirtiendo el (A.1) tenemos: d3xu*k(x) e • x) (A.3) que son válidos en cualquier momento. Ahora aplicamos el mapeo (35) y reemplazamos los operadores de campo localizados en t = 0, es decir. en la representación de Schrödinger, con aquellos en todo el espacio de Hilbert. En otras palabras, reemplazamos en (A.3): (x) → 1 (2η)3/2 eip·x ap + c.c. (x) → 1 (2η)3/2 −ip eip·x ap + c.c. (A.4) donde p = p2 +m2, obteniendo: d3pF (k,p) ­k + ­p ap + F (k,−p) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * a†p (A.5) donde: F (k,p) = (2η)3/2 d3xu*k(x) e ip·x (A.6) que son las relaciones de Bogoliubov (36). Observamos que la annihila localizada- El operador es una combinación no trivial de aniquilación y creación de ópera. Tors en todo el espacio. Sin embargo, el término en (A.5) dependiendo de la creación el operador a†p desaparece en el límite termodinámico, como se esperaba. Esto es lo más se muestra fácilmente para una región rectangular, donde uno tiene uk(x) = exp[ik · x]/ k es dada por el eq. (9) y Łk = k2 +m2. Por lo tanto: F (k, − p) d3x e-i(p+k)·x â ¬3(p+ k) (A.7) y, en consecuencia, kp → 0, que hacen que el segundo término en (A.5) desapareciendo. Podemos usar el eq. (A.5) para elaborar relaciones lineales entre el espacio Fock estados del problema localizado y estados asintóticos del espacio Fock. Estos pueden obtener la destrucción del estado de vacío localizado: ak0°V = 0 y por escrito: 0V = α00 d3pα1(p)p d3p1d 3p2 α2(p1,p2)p1,p2. .. (A.8) La elaboración de tales relaciones está fuera del alcance de este documento. B Estado multipartículas con partículas N Con el fin de probar eq. (82) para las partículas neutras, el primer paso es darse cuenta de que una ampliación general de: *0a1............................................................................................................ .. aNPV a†N. .............................................................................................. 10® (B.1) (ai es una taquigrafía para a(pi)) debe producir, sobre la base de lo que se muestra para el caso de 2 partículas, una suma de términos como estos: d3x1... n,m=1 e±ipn·xm f(­1,. ............................................................... donde f es una función genérica que implica una suma de ratios o producto de cualquier número de energías de partículas y ± representa un signo + o un signo −. Que (B.2) debe ser la expresión final puede ser previsto sobre la base de una repetición aplicación de las ecuaciones (45), (85), (62), (64) a su vez. El eq. (B.2) también puede escríbase como: d3x1... d3xN e pn·x1. ................................................................................................................... pn·xn f(­1,. ............................................................... donde significa una suma algebraica con términos que tienen cualquiera de los signos. Si ahora tomamos el límite termodinámico V → de (B.1), uno tiene PV → I, de ahí: *0a1............................................................................................................ .. aNPV a†N. .............................................................................................. 1 = 0 = 0 = 1. .. aNa†N. .............................................................................................. 3 (pn − pl(n)) (B.4) Esto nos dice que la función f ’s en cada término (B.2) debe reducir a un triv- factor ial 1 porque de otro modo sobrevivirían en el límite termodinámico, ser un factor que depende sólo de la pn. Por otra parte, desde la termodinámica límite implica sólo el de Dirac con diferencias de dos momentos como argumento, sólo puede haber diferencia de dos momentos como argumento de funcionamiento exponencial ciones en (B.3). Finalmente, comparando el eq. (B.3) con el (B.4), concluimos que la única expresión posible en el finito V es: *0a1............................................................................................................ .. aNPV a†N. .............................................................................................. 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 (2η)3 d3xn e −i(pn−pl(n))·xn (B.5) que es precisamente (82). Para un estado con partículas N+ y antipartículas N−, la validez de eq. (97) can argumentar con un argumento similar, es decir. limitando la forma de términos como (B.2) aprovechándose del límite V → فارسى. En el caso de partículas y antipartículas, el límite termodinámico nos dice que: *0a1............................................................................................................ aN+b1. . bN−PV a . .............................................................................................. . b = 0a1. aN+b1. bN−a . .............................................................................................. . b SN+ (pn+ − p(n+)) SN 3(pn− − p(n−)) (B.6) y esto determina la forma de la expresión: *0a1............................................................................................................ aN+b1. . bN−PV a . .............................................................................................. . b en V finito a (97). La ausencia de integrales mezclando partículas con antipar- ticles momenta tal como: ∫ d3xi e i(pnpn−)·xi se debe a la ausencia de tales diferencias como los argumentos de los de Eq. (B.6). Bibliografía [1] A. Chodos et al, Phys. Rev. D 9 (1974) 3471. [2] V. V. Begun, M. Gazdzicki, M. I. Gorenstein y O. S. Zozulya, Phys. Rev. C 70 (2004) 034901. [3] V. V. Begun, M. Gazdzicki, M. I. Gorenstein, M. Hauer, V. P. Konchakovski y B. Lungwitz, arXiv:nucl-th/0611075. [4] M. Chaichian, R. Hagedorn, M. Hayashi, Nucl. Phys. B 92 (1975) 445. [5] F. Becattini, L. Ferroni, Eur. Phys. J. C 35 (2004) 243. [6] F. Becattini, J. Phys. Conf. Ser. 5 175 (2005). [7] L. Landau y E. Lifshitz, Electrodinámica Cuántica. [8] A. E. Strominger, Annals Phys. 146 (1983) 419 R: Iwazaki, Phys. Lett. B 141 (1984) 342 J. D. Brown, J. W. York, Phys. Rev. D 47, (1993) 1420. [9] F. Becattini, L. Ferroni, El conjunto microcanónico del relativista ideal gas cuántico con conservación del impulso angular, en preparación. [10] B. Touschek, N. Cim. 58 B (1968) 295. [11] D. E. Miller y F. Karsch, Phys. Rev. D 24 (1981) 2564. [12] S. Weinberg, La Teoría Cuántica de los Campos Vol. 1 Cambridge University Press. [13] M. 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Derivamos la función de partición microcanónica del ideal relativista gas cuántico de bosones sin spin en un marco de campo cuántico como una expansión sobre multiplicidades fijas. Nuestro cálculo generaliza expresiones bien conocidas en la literatura en el sentido de que no introduce ninguna aproximación de grandes volúmenes y es válido en cualquier volumen. Discutimos las cuestiones relacionadas con la definición del conjunto microcanónico para un campo cuántico libre en volúmenes comparables con la longitud de onda Compton y proporcionar una prescripción coherente de calcular la función de partición microcanónica, que es finita en finita volumen y el rendimiento del límite termodinámico correcto. Además de un inmaterial factor general, la expresión obtenida resulta ser el mismo que en el enfoque multipartículas no relativista. Este trabajo es introductorio para derivar la expresión más general de la función de partición microcanónica que fija el conjunto máximo de observables del grupo Poincare.

Introducción El conjunto microcanónico del gas relativista es un tema que tiene no recibió mucha atención en el pasado. La razón del escaso interés en esto problema es la peculiaridad de las aplicaciones físicas, que han sido esencialmente confinado dentro de enfoques estadísticos para la producción de hadron y el modelo de bolsa [1]; estos son, de hecho, los únicos casos en los que se trata de volúmenes y partículas num- bers son tan pequeñas que las correcciones microcanónicas a las cantidades medias se convierten en relevante. De lo contrario, las energías o volúmenes involucrados son tan grandes que canoni- los conjuntos cal y gran canónicos son apropiados para la mayoría de los propósitos prácticos (por ejemplo: en colisiones de iones pesados relativistas). Recientemente [2], se ha señalado que que la equivalencia, en el límite termodinámico, entre gran canónico, Los conjuntos canónicos y microcanónicos no se aplican a las fluctuaciones, más http://arxiv.org/abs/0704.1967v2 en general a los momentos de multiplicidad distribuciones de orden > 1. De hecho, los efectos de la diferencia entre conjuntos estadísticos podría ser desvelado en el estudio distribución múltiple en colisiones nucleares relativistas [3]. En vista de ello, aplicaciones fenomenológicas, sería entonces deseable tener una profundidad análisis del conjunto microcanónico de un gas cuántico relativista. La principal dificultad para hacer frente a este problema se debe a la necesidad de volumen finito. Esto es necesario para tener un límite termodinámico correcto porque, siendo la energía E finita por construcción, también V debe ser finita si el límite con E/V fijado. Por extraño que pueda parecer, un completo y riguroso tratamiento del conjunto microcanónico relativista de un gas ideal en finito El volumen sigue faltando. En todos los trabajos anteriores sobre el tema, en algún momento, la se introduce una aproximación de gran volumen; esto se hace tácitamente, por ejemplo, considerando que la densidad del nivel de una partícula es continua, es decir, sustituyendo Sumas sobre estados cuánticos discretos con integraciones de espacio de impulso [4]: d3p. 1).......................................................................................................................................................... En un trabajo anterior [5], hemos derivado una expresión de los microcanoni- función de partición cal de un gas cuántico relativista ideal con finito explícito- Correcciones de volumen (véase eqs. (23), (24)). Sin embargo, se obtuvo esa expresión en un marco esencialmente multi-partículas de primera cuantificación, que, como en ref. [6] debe esperarse que sean insuficientes a volúmenes muy bajos, comparable con la longitud de onda de las partículas de Compton. En este régimen, bajo... efectos de campo cuántico mentir debe convertirse en importante y creación de pares debido a localización un efecto inevitable [7]. De hecho, hay varios estudios de la el conjunto microcanónico de un campo cuántico libre [8], pero todos ellos, de nuevo, en Algunos puntos invocan una aproximación de grandes volúmenes. En el límite de grandes volúmenes obtiene las mismas expresiones de la función de partición microcanónica y, En consecuencia, de los promedios estadísticos como en la primera cuantificación multi-partículas enfoque seguido en ref. [5]. El objetivo de este trabajo es derivar una expresión general de la microcanónica función de partición en un marco de campo cuántico relativista completo, válido para cualquier volumen finito, generalizando los resultados obtenidos en [5]. Haremos esto por el caso más simple de un gas ideal de bosones sin spin y posponer el tratamiento de partículas con spin a una próxima publicación [9]. Vamos a demostrar que la expresión de la función de partición microcanónica obtenida en ref. [5] en un enfoque multipartículas no relativista, siempre y cuando prescripción de términos sustraídos derivados de grados de libertad fuera del campo se introduce el volumen considerado. El documento está organizado de la siguiente manera: en Sects. 2 y 3 vamos a discutir sobre general características del conjunto microcanónico para un sistema relativista y discutir varias cuestiones relativas a una definición adecuada de la partición microcanónica función. En Secc. 4 nos ocuparemos de las demás cuestiones relacionadas con la definición de un conjunto microcanónico para un campo cuántico en volumen finito. Sects. 5 y 6 incluyen el cuerpo principal de este trabajo, donde la partición microcanónica función se elabora en un marco teórico de campo cuántico. En Secc. 7 we resumirá y discutirá los resultados. 2 Sobre la definición de la función de partición microcanónica Es bien sabido que la herramienta fundamental para calcular los promedios estadísticos en cualquier conjunto es la función de partición. Para el conjunto microcanónico uno tiene que calcular la función de partición microcanónica (MPF) que es generalmente definido como el número de estados con un valor definido E de energía total: estados (E − Estate). 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Para un sistema cuántico, el MPF es el rastro del operador فارسى(E − ): 1 (E − ) (3) con la normalización adecuada de los estados de base. Por ejemplo, para un no- partícula libre relativista, uno tiene que calcular el rastro que suman sobre el plano ondas normalizadas de modo que se ajusten a la norma pp = 3(p− p′):  = tr(E − ) = E − p pp = 1 (2η)3 d3p  E − p De este modo, se recupera la conocida expresión clásica que implica que el MPF es el número de células espaciales de fase con tamaño h3 y dada la energía E. número es infinito ya que el volumen es ilimitado y por lo tanto es imposible calcular un límite termodinámico significativo a una densidad de energía finita. Por lo tanto, uno generalmente considera un sistema confinado dentro de una región finita modificando el hamiltoniano con la adición de muros potenciales infinitos, es decir. ajuste ′ = V donde es el actual hamiltoniano interno y V un potencial externo implementar muros infinitos. Clásicamente, esto lleva a un finito............................................................................................................... (2η)3 d3p  E − p 1 A lo largo de este trabajo los operadores cuánticos se distinguirán de los ordinarios los números por un símbolo "". donde V es el volumen de la región abarcada por los muros potenciales. 2 También el problema cuántico correspondiente se puede resolver fácilmente y uno tiene:  = tr(E) − ′) E − k donde la suma se ejecuta sobre todos los vectores de onda k que, para una caja rectangular con Li lado y condiciones de límite periódico, se etiquetan por tres enteros (n1, n2, n3) de tal manera que ki = niη/Li. La dificultad de la expresión cuántica (6) con respecto a la clásica (5) es que, para una energía dada E, un conjunto de los números enteros que cumplen la restricción impuesta por el Dirac........................................................................................................................................................................................................................................................ en general no existe. Por lo tanto, el MPF desaparece a excepción de un conjunto discreto de energías totales, para las cuales es divergente. Uno tiene un resultado finito sólo para el número integral de Estados 0 dE (E), es decir, el número de estados con una energía inferior a un E ′ dado, pero esto es claramente un paso a paso y no diferenciable función de E ′. Esto sostiene para un gas ideal de cualquier número finito de partículas: estrictamente hablando, el MPF no puede definirse con energía y volumen finitos como una función continua tion. Sólo en el límite termodinámico E → • y V → • una expresión como (6) se convierte en significativo porque entonces es posible reemplazar la suma sobre niveles discretos con integración espacial de fase: células (2η)3 d3p. 7).................................................................................................................................................. Por lo tanto, para un sistema cuántico verdaderamente finito, se necesita una mejor definición de función de partición microcanónica. Una definición que no sufre Los inconvenientes anteriores son los siguientes:  = trV (E − ) hV (E − )hV. (8) donde es el hamiltoniano interno, sin potencial de confinación externa, y el hV forma de un conjunto completo de estados localizados normalizados, es decir. a completo conjunto de estados para las funciones de onda que desaparecen de la región V. se subraya que estos estados no son una base de todo el espacio Hilbert porque funciones de onda que no desaparecen de V no se puede ampliar en este base; de ahí la notación trV en lugar de tr significa que el rastro en eq. (8) no es una correcta. La diferencia entre (8) y una definición como (3) es que hV no son eigenstatos del hamiltoniano y el lado derecho de 2 Usaremos el mismo símbolo V para denotar tanto la región finita como su volumen. (8) no se reduce a una suma discreta de la de Ł. De hecho, esto es crucial para tener un función continua de E, a diferencia de (6). Como ejemplo, vamos a elaborar la definición (8) para la partícula libre única confinado en una caja rectangular por infinitas paredes potenciales y compararlo con (4). Un conjunto completo de estados para este problema es: k = exp(ik · x) si x • V k = ηnx/Lxi + ny/Ly nz/Lzk 0 si x /+ V Por lo tanto, la definición de MPF (8) implica: k(E − )k = d3p kp2 E − p donde hemos insertado una resolución de la identidad utilizando un conjunto completo de estados para el espacio completo de Hilbert. La suma en (10) puede calcularse y producir: kp2 = V (2η)3 d3x exp[i(k− p) · x] d3x′ exp[ik · (x− x′)] exp[−ip · (x− x′)] (2η)3 d3x′ Ł3(x− x′)] exp[−ip · (x− x′)] = V (2η)3 donde la relación de integridad en V: exp[ik · (x− x′)] = Ł3(x− x′) (12) ha sido utilizado. Por lo tanto, mediante el uso (11), el eq. (10) se convierte en: (2η)3 d3p  E − p que es la misma expresión (5) que en el caso clásico. El MPF (13) es ahora manifiestamente una función continua de E y, notablemente, su límite termodinámico V → • es el mismo que el límite termodinámico de la expresión cuántica "pura" (6) (debido a (7)). Desde el único re- estricto el requisito para un MPF bien definido es reproducir el termodinámico correcto límite, para un gas se puede elegir una definición como (8) en lugar de en (6). Destacamos una vez más que en el pasaje de (6) a (8) el hamilto- nian encarnando un potencial de confinación externa se sustituye por el hamiltoniano, mientras que, al mismo tiempo, los eigenstatos localizados de los antiguos hamiltoniano se utilizan para calcular el rastro. 3 La función de partición microcanónica de un sistema relativista En la relatividad especial, el conjunto microcanónico debe incluir el impulso conservación junto a la energía para satisfacer la invarianza de Lorentz. Esto significa que la La definición de MPF (8) debe generalizarse a [5]: hV 4(P − P)hV, (14) P es el cuatro-momento del sistema y P es el cuatro-momento op- Erator. El MPF es ahora un número de estados por célula de cuatro-momento, es es una cantidad invariante de Lorentz. El cálculo del MPF es más fácil en el rest-frame del sistema, donde P = (M, 0) y el V u de cuatro volúmenes, siendo u la cuatro velocidades y V el volumen adecuado del sistema, se reduce a (V,0), según la formulación habitual de la termodinámica relativista estadística [10,11]. El eq. (14) puede generalizarse aún más mediante la aplicación de la conservación de sólo energía-momento, pero del conjunto máximo de cantidades conservadas, es decir, un conjunto máximo de conmutables observables construidos con los generadores de la Grupo Poincaré. Para lograr esto, uno tiene que reemplazar a 4 (P - P - P ) en (14) por un proyector genérico Pi sobre un estado irreductible de la representación de la Grupo Poincaré [5,6], es decir: *HV* *PihV* (15) Este conjunto todavía se define generalmente como conjunto microcanónico y (15) función de partición microcanónica. En este trabajo, nos limitaremos a un conjunto microcanónico donde sólo la energía- El impulso está fijo, es decir. nuestro proyector Pi en eq. (15) será: Pi =  4 (P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - P - y a un gas cuántico ideal, es decir. con Pâ ́ siendo el cuatro-momento libre op- Erator. De hecho, hay que subrayar que el proyector 4(P − P® ) no es un proyector adecuado, porque P2 = aP donde a es una constante divergente. Esto se debe al hecho de que que los proyectores normalizados sobre representaciones irreducibles no pueden ser definidos para grupos no compactos, como el grupo de traducción espacio-tiempo T(4). Nev- Sin embargo, mantendremos este nombre incluso para los operadores no-idempotentes, el rigor matemático relajante, porque será favorable adoptar el projec- formalismo de la toma de decisiones. Vale la pena señalar que la definición (8) implica sólo el interno (libre) hamiltoniano, es mucho más adecuado que (6) para una generalización relativista. Además la ventaja de restaurar la continuidad en E, analizada en la sección anterior, la formulación puede ampliarse fácilmente a todo el conjunto de leyes de conservación con gran dificultad conceptual. Por el contrario, si uno hubiera tratado de generalizar (6), uno debería haber definido una región finita y después buscar los observables Conmutación con el hamiltoniano suplementado con una confinación externa po- Tential. Esta no habría sido una tarea fácil y, además, un conjunto máximo de observables que se desplazan con el modificado no definiría, en general, una álgebra de Poincaré. Este es un problema bien conocido en el modelo de bolsa estática donde la invarianza traslacional está manifiestamente rota y el impulso no es así conservada. Por otro lado, en la definición (15), nos ocupamos del original álgebra de Poincaré de operadores no modificados (libres) y hacer cumplir la localización a través del proyector en estados confinados. El eq. (15) puede ser refundido como un rastro completo insertando un conjunto completo de estados f en (15): hV ff PihV # F # Pi # hV hV f f PiPV f = tr [PiPV ] (17) donde hV hV, (18) es, por definición, el proyector en el HV subespacial Hilbert de estados confinados (es decir, de las funciones de onda que desaparecen de V ). La fórmula (17) es el comienzo punto para llevar a cabo un cálculo del MPF en volumen finito. Lo primero hacer es expandir (17) como una suma de funciones de partición en multiplicidades fijas, i.e.: N (19) para una sola especie de gas y: Nj} (20) para un gas de varias especies, donde {Nj} = (N1,. .., NK) es un conjunto de partículas mul- tiplicidades para cada especie j = 1,..., K, definiendo un canal. N o Nj} son obtenido sumando todos los valores posibles de variables cinemáticas con Multiplicidades fijas. Por lo tanto, si f N, {p donde {p} etiquetas el conjunto de kinemati- variables cal de partículas en el estado f, N dice: N, {pPiPV N, {p. (21) Del mismo modo, para un gas de varias especies, la función de partición microcanónica es ex- presionado como una expansión sobre todos los canales posibles: Nj} = Nj}, {pPiPV Nj}, {p. (22).............................................................................................................................................................................................................................................................. y Nj} se define como el peso del canal microcanónico. Los pesos de los canales microcanónicos (22) se han calculado en ref. [5] con conservación de la energía-momento (es decir, utilizando (16) en una multipartícula, marco de tización. Para una sola especie, gas sin espinillas ideal: d3p1................................................................................................................................................. 3pN  SN FV (pl(n) − pn) (23) mientras que para un gas de varias especies de bosones K sin espinillas: Nj} = d3pnj SNj FV (plj(nj) − pnj ) (24) siendo N = j Nj. En eqs. (23),(24) πj etiquetas permutación pertenecientes a la Los grupos de permutación SNj y FV son integrales de Fourier en la región V: FV (p- p′) (2η)3 d3x ei(p−p ′)·x (25) Si el volumen es lo suficientemente grande como para permitir la aproximación: FV (p- p′) = (2η)3 d3x ei(p−p ′)·x Ł3(p− p′) (26) los pesos de los canales microcanónicos (24) pueden volver a resumirse explícitamente en el función de partición microcanónica según (20) y se obtiene [5]: lim0 (2η)4 ∫ i i d3y eiP ·y exp (2η)3 d3p log(1− e-ip·y)−1 Un cálculo analítico completo de eq. (27) sólo es posible en el caso de limitación de las masas que desaparecen (p. ej. cuerpo negro microcanónico). Para el caso masivo, las integraciones cuatridimensionales no pueden ser elaboradas analíticamente y recurrir a la computación numérica. El eq. (27) se obtuvo implícitamente en ref. [4] donde la primera expresión de la función de partición microcanónica de una multi-especie ideal relativista gas cuántico se deriva como una expansión (20) sobre los canales, mediante el uso de la aproximación de grandes volúmenes (7) desde el principio. Esto muestra que el la aproximación (26) es efectivamente equivalente a la (7), como también se ha demostrado en ref. [5]. Notablemente, la definición de MPF eq. (14) sin grandes volúmenes ap- La proximación implica la aparición de integrales de Fourier que dan cuenta de Bose- Einstein y Fermi-Dirac correlaciones en el gas cuántico, que no muestran en la aproximación de grandes volúmenes aplicada en ref. [4]. Este enfoque también permite investigar más generalizaciones cuando el volumen es tan pequeño que Deben tenerse en cuenta los efectos de campo cuántico relativistas. 4 Conjunto microcanónico y teoría de campo El cálculo de la función de partición (14) en un marco de campo cuántico presenta nuevas dificultades con respecto al plan de primera cuantificación. Esto el problema se ha abordado en la literatura con un enfoque funcional, inspirado en la teoría habitual del campo térmico gran canónico [8]. Sin embargo, estos los cálculos apuntan al límite de los grandes volúmenes y, por lo tanto, son insensibles a las dificultades relacionadas con el estricto requisito de volumen finito discutido en detalle en la Secc. 2. Como resultado, para un campo libre, las expresiones derivadas son equivalente a la fórmula (27). En lugar de empezar con una integración funcional desde el principio, nosotros calcular la función de partición microcanónica de un campo libre mediante la primera expansión a multiplicidades fijas como en eqs. (19),(21) (o canales, para multiespecies gas como en eq. (20)), donde N, {p son Fock estados espaciales con partículas definidas multiplicidad y variables cinemáticas {p}. Para llevar a cabo este cálculo, nosotros primera necesidad de encontrar una expresión del peso del estado microcanónico: N, {pPiPV N, {p. (28) Usando (16) y eligiendo N, {p como un estado propio del cuatro-momento operador con valor propio Pf = i pi, el eq. (28) se convierte en: N, {pPV N, {p , {p, (29) Para calcularlo y, mediante una mayor integración, necesitamos conocer el proyector. PV. Puesto que PV se define como el proyector en el subespacio Hilbert de localización los estados, se puede escribir fácilmente en una cantidad no relativista multi-partículas marco mecánico (NRQM). Como ejemplo, para un no relativista spinless una sola partícula, se lee (véase también Secc. 2): kV kV (30) donde el kV es un estado normalizado de la partícula confinado en una región V, con un función de onda correspondiente kV (x) desapareciendo de V. El símbolo kV se erige para un conjunto de tres números que etiquetan los modos cinemáticos del confinado estados (p. ej. los vectores de onda discretos, o la energía y el momento angulara) y el conjunto kV Formar un conjunto completo de estados para las funciones de onda que desaparecen de V. El proyector (30) se puede extender fácilmente al caso del cuerpo múltiple y: Ñ {k} , {kV, {kV. 31) donde el símbolo {kV } denota un conjunto múltiple de modos cinemáticos de la Estados confinados, mientras que Ñ es el número de ocupación integrado, es decir, la suma de Números de ocupación en todos los modos cinemáticos de una sola partícula. En el NRQM aproximación estos números son simplemente partículas multiplicidades, lo que implica: N, {p, {kV 6= 0 if N = Ñ. (32) Para calcular el peso de estado microcanónico, de ahí el MPF, los productos , {kV N, {p se puede elaborar sobre la base de (32) similar a lo que ha se hizo en Secc. 2 para una sola partícula, que rinde, para un bosón escalar [5]: N, {pPV N, {p = SN FV (pl(n) − pn) (33) donde ♥ es una permutación de los enteros 1,...., N y FV son Inte de Fourier- grals (25) sobre la región del sistema V. De la ecuación anterior la expresión del peso del canal microcanónico en eq. (23) sigue. Nos referiremos a la expresión (33) como la NRQM, lo que significa que se ha obtenido en este marco NRQM multipartículas cuantificado primero, donde, por ejemplo, partículas y antipartículas se consideran simplemente como especies diferentes y su contri- butiones factorizan. Se podría prever que un proyector como (31), escrito en términos de espacio Fock estados, simplemente podrían ser trasladados al caso de campo cuántico relativista, donde , {kV son estados del problema localizado, obtenido resolviendo el ecuaciones de campo libre en una caja con condiciones de contorno adecuadas. Sin embargo, algunos pronto surgen dificultades. En primer lugar, mientras que en NRQM la única partícula local- La función de onda izada kV y el estado de onda plana libre p viven en el mismo Hilbert espacio, en la teoría cuántica de campo el localizado y el no localizado problema se asocian con distintos espacios Hilbert. Así, a diferencia de NRQM, no está claro cómo calcular un producto como, {kV N, {p. En segundo lugar, incluso Si hubiera una prescripción definitiva para ello, debería esperarse que el inte- Números de ocupación rallados del problema localizado no coinciden con reales multiplicidades de partículas a menos que el volumen sea infinito. Para entender este punto, uno debe tener en cuenta que las partículas propiamente llamadas surgen de las soluciones de las ecuaciones de campo libre sobre todo el espacio y que el eigen hamiltoniano- los estados del problema localizado son conceptualmente diferentes. En consecuencia, el Tribunal de Primera Instancia decidió: Los operadores de número de partículas integrados en todo el espacio deben diferir de operadores de números tegrados dentro de la región finita. Por lo tanto, a diferencia de NRQM, un estado con números de ocupación integrados definidos Ñ (nos abstenemos a propósito de llamarlos números de partículas) debe esperarse que no desaparezcan. componentes de ing en todos los estados libres con diferentes números de partículas reales, a saber: V = α0,Ñ 0 α1,Ñ 1........................................................................................ .. (34) donde α son coeficientes complejos no triviales, y (32) ya no se mantienen. Sólo en el límite de volumen grande se espera que los números de ocupación integrados coinciden con multiplicidades reales y eq. 32) se aplica. Este tipo de efecto es apuntado en la introducción del libro de Landau sobre la teoría cuántica del campo [7]: cuando se trata de localizar un electrón, un par electrón-positrón inevitablemente aparece, lo que significa que la única “partícula” localizada es de hecho una superposición de muchos verdaderos estados de partículas asintóticas. Otra manifestación relevante de esta diferencia que es probablemente más familiar, es el efecto Casimir, que es relacionado con la diferencia entre el verdadero estado de vacío 0 y el localizado Estado del vacío 0V. Por lo tanto, todas las fórmulas derivadas bajo la aproximación (32) son asintóticos, válidos en el límite V → • pero no en volumen estrictamente finito. Por lo tanto, uno debe esperar correcciones significativas de volumen finito a los eqs. 33) y el consiguiente MPF (23) en un tratamiento de campo cuántico. Si queremos dar una expresión como, {kV N, {p un significado preciso en una marco de campo cuántico, primero tenemos que cartografiar el espacio Hilbert HV de la problema localizado en el espacio Hilbert H del campo libre en el conjunto espacio. Esto se puede hacer cartografiando los eigenstates de campo y los operadores de H en el VH de una manera natural como: *(x)HV*(x)H*(x)H*(x)H*(x)H*(x)H*(x)H*(x)H*(x)H*(x) (x)HV (x)H (35) Esto permite escribir relaciones lineales, no-bijectas, Bogoliubov expresando la aniquilación y creación de operadores del problema de la región finita como una función de los del campo entero (escalar real) (véase el apéndice A para derivación): d3pF (k,p) ­k + ­p ap + F (k,−p) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * a†p (36) donde k son trillizos de números que etiquetan modos cinemáticos, al igual que el kV antes mencionado, k es la energía asociada, p = p2 + m2 y: F (k,p) = (2η)3 d3xu*k(x) e ip·x (37) uk ser un conjunto completo de funciones de onda ortonormales para la región finita. Una característica notable de los campos cuánticos relativistas es que, a diferencia de NRQM, los operadores de aniquilación localizados tienen componentes no evasivos en el operadores de creación en todo el espacio, como se muestra en (36). Esto confirma nuestra ex- pectación de que un estado localizado con números de ocupación integrados definidos es una combinación lineal no trivial de estados con diferentes multiplicidades de partículas. Se espera que, a medida que el volumen aumenta, estos componentes se vuelvan más pequeños y en el límite de volumen infinito se recupera ak = ap (véase el apéndice A). A partir de las relaciones de Bogoliubov (36), debería ser posible, en principio, calcular los coeficientes en eq. (34), de ahí el peso del estado microcanónico (29) utilizando la expansión (31). De hecho, no necesitamos hacerlo. Es más ventajoso, como se señala en ref. [6], para escribir el proyector PV en términos de estados de campo en lugar de número de ocupación de modos de campo dentro de la región finita. De hecho, en la definición general en eq. (17): hV hV (38) los estados hV son un conjunto completo de estados del espacio Hilbert de los localizados problema HV, donde los grados de libertad son valores del campo en cada uno punto de la región V, es decir, V. Por lo tanto, el proyector antedicho es un la resolución de la identidad del problema localizado y puede ser escrito como (para un campo escalar real): D (39) donde la medida funcional es x(x) y D; el índice V significa que la integración funcional debe realizarse sobre los grados de campo de la libertad en la región V, es decir, DÃ3 = xÃ3V dÃ3(x). La normalización de los estados se eligen de tal manera que (x)(x) = ((x) − (x)) para asegurar el idempotencia de PV. Si ahora queremos dar expresiones como: Nj}, {pPV Nj}, {p (40) un significado claro, debemos encontrar una manera de completar el producto tensor en el proyector (39) con los estados del campo fuera de la región V tal manera el escalar el producto se puede realizar sin ambigüedades. Desafortunadamente la respuesta a esta pregunta no es única y el proyector se puede extender a H de infinitas maneras. Lo que es importante es que el el resultado del cálculo es independiente de cómo se haya extendido el proyector. Por lo tanto, al final del cálculo, uno tiene que comprobar si términos espurios Aparecen, posiblemente divergentes, dependiendo explícitamente del estado elegido de la campo fuera de V y estos términos deben ser sustraídos. En general, todos los términos dependiendo de los grados de libertad del campo fuera de V debe ser bajado del resultado final. En este trabajo, extenderemos el proyector con estados propios del campo, donde la función de campo (x) es una función arbitraria fuera de la región V. Por lo tanto, el proyector PV (39) está asignado a: D V (x) (x) (41) donde el índice V sigue implicando D = xÃ3V dÃ3(x). Vamos a ver que, con el definición (41), términos espurios en función de los grados de libertad V surgen de hecho, pero que pueden ser sustraídos “a mano” en una 5 Canal único de partículas Comenzaremos a calcular el valor de expectación de una sola parte canal en los casos simples de campos escalares neutros y cargados. Esto es preparación para el caso general de los estados multipartículas en la Secc. 6. 5.1 Campo escalar neutro Consideramos un gas hecho de un tipo de bosón spinless descrito por el libre campo escalar real 3 (en representación de Schrödinger): (x) = a(p) eip·x+a†(p) e−ip·x en los que p2 +m2 es la energía, p es el módulo del tres-momento y la normalización se ha elegido para tener la siguiente conmutación regla entre aniquilación y operadores de creación: [a(p), a†(p′)] = Ł3(p− p′). (43) Comenzamos a escribir el estado de Fock de una sola partícula en términos de creación y un- Operadores de nihilación que actúan sobre el vacío: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (44) 3 A partir de ahora, la letra mayúscula denotará a los operadores de campo, mientras que para las funciones de campo Usaremos la letra pequeña. Puesto que la PV se define, de acuerdo con (41) como una integral funcional de los autovectores de la operadora de campo, es conveniente expresar la creación y la aniquilación operadores en términos de operadores de campo. Usaremos las siguientes expresiones: que son los más apropiados para nuestra tarea: *0a(p)=*01 d3x e-ip·x 2-(x) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + a†(p)0= 1 d3x eip·x 2-(x) -0-(x). (45) Estas expresiones se pueden comprobar fácilmente mediante el enchufamiento, en el lado derecho, los operadores de campo en (42). Usando eq. (45) en (44): 0a(p)PV a†(p)0 = (2η)3 d3x′ eip·(x−x ′) 2° (x′) VP(x) 0° (46) Se puede comprobar fácilmente ahora que el factor más a la derecha en la ecuación anterior resulta ser (usando la definición (41): 0(x′)PV(x)0 = (x′)(x)................................................................................................................. (47) donde las funciones de campo (x) y (x′) son las funciones de campo o los valores propios del operador de campo relevante para el estado, es decir: (x) = (x). (48) Es posible encontrar una solución de la integral funcional (47) por primera vez consid- ring el límite de volumen infinito, cuando el proyector PV se reduce a la identidad. En este caso limitante, la integral funcional en (41) se realiza ahora sobre todas las posibles funciones de campo y eq. (41) pasa a ser una resolución de la identidad; Es sólo la función de correlación de dos puntos que escribimos, ac- cableado a (47): 0(x′)(x)0 = Dóle 02(x′)(x) (49) El producto 0 se conoce como el vacío funcional y lee [12], para una campo neutro escalar: = N exp d3x2 (x1)K(x1 − x2)®(x2) donde N es un factor de normalización independiente del campo, que es irrelevante para nuestros propósitos. La función K(x′ −x) se llama núcleo y cumple la ecuación [12]: ∫ d3x′ e-ip·x K(x′ − x) = 2­ e­ip·x (51) cuya solución es: K(x′ − x) = 1 (2η)3 d3p e-ip·(x x) 2. (52) La integral funcional (49) es por lo tanto una integral gaussiana y se puede resolver utilizando las fórmulas conocidas para múltiples integrales gaussianas de vari- perceptores [12]: I2N = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • d3x2 (x1)K(x1 − x2)®(x2) emparejamientos de 1,...,2N pares K−1 (variables combinadas) donde las variables emparejadas significa parejas (i, j) cuya diferencia ij (o, lo que es el mismo, el argumento de K−1 es el de K−1. El factor I0 es sólo la normalización del estado de vacío I0 = â € â € € TM que se establece en 1. El núcleo inverso K−1 se puede encontrar a partir de su definición: d3x′K(y − x′)K−1(x′ − x) = lo que lleva a: K−1(x′ − x) = 1 (2η)3 e-ip·(x x) = 0(x′)(x)0 (55) La última igualdad proviene de (53) y (49) en el caso especial N = 2 o puede ser probado directamente desde la expansión del campo de Fourier (42). Ahora estamos en condiciones de resolver la integral funcional (47) en volumen finito. En primer lugar, las variables de integración funcional están separadas de las que son no integrados, es decir, los valores de campo fuera de V (V̄ denota el complemento de 02= N 2 exp d3x2 (x1)K(x1 − x2)®(x2) = N 2 exp d3x2 (x1)K(x1 − x2)®(x2) × exp d3x2 (x1)K(x1 − x2)®(x2) × exp d3x2 (x1)K(x1 − x2)®(x2) donde hemos aprovechado la simetría del núcleo K. El (56) es una función gaussiana, con una forma cuadrática general en los valores de campo en la región V ; puede integrarse en (47) de acuerdo con las normas estándar [12], que rinden: (x′)(x) = K−1V (x′,x)N 2 det −1/2 exp [ d3x1d d3x2d 3x′2K V (x1,x 1) K(x1 − x2) K(x′1 − x′2)********************************************************************************************************************************************************************************************** * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d3x2 (x1)K(x1 − x2)®(x2) = K−1V (x = K-1V (x′,x) La función K−1V es la inversa de K sobre la región V, es decir, la inversa K(x′ − x)-V (x′)-V (x)-KV (x′ − x), (58) la función V (x) es la función Heaviside: V (x) = 1 si x • V De lo contrario. El núcleo inverso K−1V cumple, por definición, la ecuación integral: d3x′KV (y − x′)K−1V (x′,x) = Tenga en cuenta que, debido a la región finita de integración, el núcleo inverso puede ahora dependen tanto de las variables del espacio en lugar de sólo su diferencia. También note que K−1V es real y simétrico, siendo KV real y simétrico. Por lo tanto, el resultado de la integración funcional produce la fórmula simple: 0(x′)PV(x)0 = K−1V (x′,x)0PV 0 (61) donde el factor 0PV 0 es una constante positiva que dejaremos unex- Pandeado. En conjunto, la presencia del proyector PV en el eq. (61) modifica las dos función de correlación de puntos mediante la introducción de un factor constante colocando el núcleo inverso K−1 con otro K−1V. Puede ser fácilmente probado, mediante el uso de las fórmulas generales de integrales gaussianas, que esto sostiene verdadero en el caso más general de la función de correlación de muchos puntos. De hecho, la (53) se mantiene para las formas cuadráticas generales en el campo ­ y por lo tanto el eq. (61) puede generalizar a: •(xn)PV n=N+1 "(xn)0" = 0PV 0" emparejamientos de x1,...,x2N pares K−1V (pared var.) . La tarea restante es calcular el núcleo inverso K−1V por medio de (60). De hecho, buscaremos una solución de la ecuación más general: d3x′K(y− x′)K−1V (x′,x) = con y sin límite. Está claro que una solución K-1V de la ecuación (63) es también una solución de (60) porque KV es igual a K cuando y • V. nos permite encontrar una forma implícita para K−1V. De hecho (63) implica: (2η)3 d3x′ eip·x K−1V (x ′,x) = eip·x (2η)3 que se obtiene multiplicando ambos lados de (63) por eip·y /(2η)3 e integrando sobre todo el espacio en d3y. Ahora estamos en una posición para cumplir nuestra tarea de calcular pPV p. Por Enchufando (61) en (46) obtenemos: 0a(p)PV a†(p)0 = (2η)3 d3x′ eip·(x−x ′) 2° K−1V (x ′,x)0PV 0. El dominio de integración en (65) se puede dividir en la región V y la V̄ complementario para ambas variables. El núcleo inverso K−1V no está definido fuera de V y luego se puede establecer un valor arbitrario, por ejemplo. cero. De lo contrario, incluso si uno eligió una prolongación no desaparecida de K−1V, una integración fuera del dominio V implicaría los grados de libertad del campo fuera de V y, según el debate general al final de la Sección. 4, el término contribuyente debe ser Se cayó. Por lo tanto, conservar sólo el término físicamente significativo, el (65) se convierte en: 0a(p)PV a†(p)0 = (2η)3 d3x′ eip·(x−x ′) 2° K−1V (x ′,x)0PV 0. En la ecuación anterior se puede reconocer fácilmente el conjugado complejo de la lado izquierdo de (64). Por lo tanto, sustituirlo por el conjugado complejo de la lado derecho, uno consigue: 0a(p)PV a†(p)0 = (2η)3 d3x 0PV 0 = (2η)3 0PV 0 (67) que es el mismo resultado de NRQM en (33) en el caso simple N = 1, veces un factor 0PV 0. Este factor todavía contiene una dependencia de los grados de campo de la libertad fuera de V, según la expresión del proyector en eq. 41), que debería desaparecer en algún momento. Sin embargo, veremos que este factor aparece en cualquier multiplicidad y por lo tanto se vuelve irrelevante para los cálculos de la promedios estadísticos. 5.2 Campo escalar cargado El cálculo hecho para un campo escalar neutro se puede extender fácilmente a un Campo escalar cargado. El campo escalar de 2 componentes cargado en Schrödinger rep- La resentida dice: (x) = a(p) eip·x +b†(p) e−ip·x (x) = b(p) eip·x +a†(p) e−ip·x donde a, a† y b, b† son agentes de aniquilación y creación de partículas y antipartículas, respectivamente. Satisfacen las relaciones de conmutación: [a(p), a†(p′)] = [b(p), b†(p′)] = Ł3(p− p′) (69) [a(p), b(p′)] = [a†(p), b(p′)] = 0 Del mismo modo, los campos obedecen a las relaciones de conmutación: [(x),(y)] = 0. (70) y es entonces posible construir estados de campo,. El proyector PV puede escríbase como: D(, ),, (71) con la normalización adecuada del estado y las funciones arbitrarias de campo región V 4 Del mismo modo que eq. (45), se puede escribir: 4 La medida funcional en la ecuación (71) lee (x)d(x)/iη. De todos modos, su forma explícita no es importante para nuestros propósitos. *0a(p)=*01 d3x e-ip·x 2-(x) (72) a†(p)0= 1 d3x eip·x 2o (x) 0 #0b(p)= #01# d3x e-ip·x 2 (x) b†(p)0= 1 d3x eip·x 2-(x)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0) La cadena de argumentos de la subsección anterior se puede repetir y el integral funcional: •(xn)PV (x′n)0 = D(, ) 0, 2 *(xn)* †(x′n) encontrado como una integral gaussiana múltiple. Permutación de la enteros 1,...., N, la integración en el lado derecho del eq. (73) rendimientos: •(xn)PV (x′n)0 = 0PV 0 K−1V (xn,x * (n) (74) que difiere de la expresión correspondiente para el campo escalar real porque Ahora el campo es complejo y sólo se puede acoplar a [13]: D(, ) * (n)............................................................................................................................................................................................................................................................. †(n) d3x2 †(x1)K(x1 − x2)•(x2) K−1(n − (n)) (75) Sin embargo, la integral funcional que implica sólo dos campos y produce el el mismo resultado que para las partículas neutras. Por lo tanto, el núcleo K sigue siendo el mismo y así es la ecuación integral (64) que define K−1V. El valor de expectativa de la fotovoltaica en un estado con una sola partícula (o antipartícula) también será el mismo que en eq. (67), es decir: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (2η)3 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (76) 6 canales multipartículas Hemos visto en la sección anterior que el valor de la expectativa para un una sola partícula spinless es la misma obtenida en un enfoque NRQM [5] veces un factor inmaterial global 0PV 0. En esta sección, abordaremos la cuestión de la cálcula. sión del estado general de las multipartículas. Veremos eso, usando el proyector definiciones en eqs. (41),(71) y restar las contribuciones espurias El resultado final sigue siendo el mismo de los grados de libertad del campo exterior. como en el cálculo NRQM veces el factor 0PV 0. Primero abordaremos el caso de las partículas cargadas N. 6.1 Partículas cargadas idénticas Consideraremos un estado con N partículas cargadas idénticas; para N antipartículas el resultado es trivialmente el mismo. Queremos calcular: N, {pPV N, {p = 0 a(pn)PV a†(pn)0. (77) Desde: [a†,] = [a,] = [b,] = [b†,] = 0 (78) uno puede reemplazar a los operadores de creación y aniquilación con sus expresiones en (72) haciendo caso omiso de la posición de los operadores con respecto al vacío Estado. En la fórmula: N, {pPV N, {p= (2η)3 d3x′n e • ipn·(xn−x′n) •(xn)PV (x′n)0 (2η)3 d3x′n e • ipn·(xn−x′n) K−1V (xn,x (n))(0PV 0, (80) donde SN es el grupo de permutación de rango N. Ahora, como para la partícula única caso, restringimos el dominio de integración a V en (79) con el fin de deshacerse de grados externos de libertad y, mediante el uso repetido de eq. (64), nos quedamos con: N, {pPV N, {p # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (2η)3 d3x′n e - ipn·(x(n)−x (2η)3 d3x′n e 1(n) −pn)·x′n Por lo tanto, utilizando la definición (25): N, {pPV N, {p = FV (p­(n)­ pn)­0PV 0­ (82) que es exactamente la expresión (33) obtenida en NRQM para bosones N idénticos, veces el factor 0PV 0. 6.2 Partículas neutras idénticas El caso de N partículas neutras idénticas es más complicado debido a la posibilidad de creación de pares de partículas. Esto se refleja en el formalismo en el la existencia de muchos términos adicionales en la elaboración del eq. (77). Comenzamos con el cálculo de un estado con dos partículas neutras de 4-momenta p1 y p2 respectivamente, generalizando a partir de entonces las partículas N. En términos de creación y los operadores de aniquilación: P1, p2PV p1, p2a(p1)a(p2) PV a†(p2)a†(p1)0 (83) que podemos reescribir usando eq. (45) para a(p1) y a †(p1) como: P1, p2PV p1, p2= (2η)3 d3x′1 e −ip1·(x1−x1′) × 2+1+0+(x1)a(p2) PV a†(p2)+(x′1)+0+. (84) Con el fin de utilizar la expresión (45) para la aniquilación y la creación a(p2) y a†(p2) operadores tenemos que conseguir que actúen en el estado de vacío, de ahí que deben ser trasladados de su posición en eq. (84) hacia el exterior. Esto se puede hacer aprovechándose de las siguientes normas de conmutación: (x), a(p)] = − e-ip·x [a(p)†,•(x)] = − eip·x Usando (85) y luego enchufando (45) en eq. (84) Obtenemos: P1, p2PV p1, p2 = 2(2η)6 d3x′1 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x1−x 1) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • − 2 ° 1 (2η)6 d3x′1 d3x2 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x2−x 1) «0» (x2) «PV» (x1) «0» (x1) «0» (x2) «PV» (x1) − 2 ° 1 (2η)6 d3x′1 d3x′2 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x1−x 2) «0» (x′1) «PV» (x′2) «0» 4o 1o 2o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o (2η)6 d3x′1 d3x′2 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x2−x2 0(x2)°(x1)°PV (x′1)°(x′2)°°(86) donde se ha tomado ventaja del hecho de que [PV,­(x)] = 0. El eq. (86) tiene cuatro términos diferentes, entre los cuales sólo el último estuvo presente en el caso de 2 partículas cargadas en el Subsecto. 6.1. En cambio, los tres primeros términos surgen de contracciones de la aniquilación y operadores de creación con operadores de campo sobre el mismo lado con respecto a la fotovoltaica. Mediante el uso de (62) y la sustitución de todos sin límite integraciones con integraciones sobre V para eliminar grados espurios de libertad del campo, el eq. (86) rendimientos: P1, p2PV p1, p2 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2(2η)6 d3x′1 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x1−x − 2 ° 1 (2η)6 d3x′1 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x2−x 1) K−1V (x2,x1) − 2 ° 1 (2η)6 d3x′1 d3x′2 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x1−x 2) K−1V (x 4o 1o 2o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o (2η)6 d3x′1 d3x′2 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x2−x2 K−1V (x1,x V (x2,x 2) +K V (x1,x V (x2,x +K−1V (x1,x2)K . (87) Ahora podemos usar (64) para integrar el núcleo inverso en eq. (87). Por el segundo término en el lado derecho, elegimos integrar exp(−ip2 · V (x2,x1) en x2 y para el tercer término exp(ip1 · x′1)K−1V (x′1,x′2) en x′1. Al mismo tiempo, realizamos la integración del último término en forma arbitraria. pareja de variables con índices 1 y 2, obteniendo: P1, p2PV p1, p2 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (2η)6 d3x′1 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x1−x (2η)6 d3x′1 e − ip1·(x1−x1′) e-ip2·(x1−x (2η)6 d3x′2 e −ip1·(x1−x2′) e−ip2·(x1−x (2η)6 (2η)6 d3x2 e −i(p1−p2)·(x1−x2) (2η)6 d3x′2 e −ip1·(x1−x2′) e−ip2·(x1−x 2) (88) Cuatro términos en la suma anterior se cancelan y nos quedamos con: P1, p2PV p1, p2 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (2η)6 + FV (p1 − p2) 2= FV (pl(n) − pn) (89) Este es el mismo resultado que se obtendría para dos bosones idénticos en un NRQM marco [5]. El segundo término en el lado derecho representa el pozo fenómeno conocido de la correlación de Bose-Einstein en la emisión de idénticos Pares de bosones. Mirando hacia atrás a toda la derivación, encontramos que los términos que surgen de Los emparejamientos de variables de campo en el mismo lado con respecto a PV han cancelado con los términos derivados de la conmutación de la aniquilación y la creación Erators con operadores de campo; los únicos términos que sobreviven son N! emparejamientos de campo variables en diferentes lados de PV, al igual que en el caso de partículas cargadas. Esto Cancelación propiedad se mantiene y por lo tanto, la fórmula (82) se aplica al caso de N Partículas neutras también. Una prueba basada en la forma de la termodinámica el límite V → • figura en el apéndice B. 6.3 Caso de las partículas-antipartículas Para un estado con una partícula y una antipartícula, el valor de expectativa de PV el texto es el siguiente: •0a(p1)b(p2) PV b†(p2)a†(p1)0 (90) lo que implica, en vista de (72): •0a(p1)b(p2) PV b†(p2)a†(p1)0 (2η)3 d3x′1 e −ip1·(x1−x1′) 2­1­0(x1)b(p2)PV b†(p2)(x′1)­0­.91) Al igual que para las partículas neutras, los operadores b y b† se mueven hacia fuera para obtener que actúan sobre el estado de vacío mediante el uso de los conmutadores: (x), b(p)] = e-ip·x [b(p)†,(x)] = eip·x Usando el eq. (72) y, al igual que en la subsección anterior, restringir la integración a la región V para eliminar los grados externos de libertad, obtenemos: •0a(p1)b(p2) PV b†(p2)a†(p1)0 2(2η)6 d3x′1 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x1−x 1) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • − 2 ° 1 (2η)6 d3x′1 d3x2 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x2−x 1) «0» (x2) «PV» (x1) «0» (x1) «0» (x2) «PV» (x1) − 2 ° 1 (2η)6 d3x′1 d3x′2 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x1−x 2) «0» (x′1) «PV» (x′2) «0» 4o 1o 2o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o 4o (2η)6 d3x′1 d3x′2 e −ip1·(x1−x1′) e−ip2·(x2−x2 0(x2)(x1)PV (x′1)(x′2)0 (93) cuyo resultado es (87) excepto el (último-1)o término, porque ahora: *0(x2)**(x1) PV*(x′1)**(x′2)* # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # = K−1V (x1,x V (x2,x 2) +K V (x1,x2)K que es consecuencia de la expresión general (74). De nuevo, cuatro de cada cinco términos cancelan en eq. (93) y obtenemos: •0a(p1)b(p2) PV b†(p2)a†(p1)0 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (2η)6 donde el término que falta con respecto al caso de partículas neutras (89) es el uno que implica permutaciones; este es un resultado natural porque las partículas y un- Las partículas tippartics no son, por supuesto, idénticas. Por lo tanto, el valor de expectativa de PV en un par de partículas-antipartícula muestra una propiedad de factorización notable, es decir: •0a(p1)b(p2)PV b†(p2)a†(p1)0= •0a(p1)PV a†(p1)00b(p2)PV b†(p2)0 donde el signo = se mantiene siempre que las integraciones se limiten a la región V. Extrapolando al caso más general de partículas N+ y antipartículas N−, se puede argumentar utilizando el límite V → • que la factorización de la El peso en estado microcanoncal se mantiene (véase el apéndice B) en cualquier multiplicidad, es decir: las partículas y las antipartículas se comportan como dos especies diferentes: No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. SN+ FV (p(n+) − pn+) SN FV (p(n−) − pn−)(97) 7 Resumen y debate Sobre la base de eqs. (19), (21), (16) y (82), que se aplica a los cargos así como partículas neutras, y teniendo en cuenta que los estados N, {p tienen ser elegidos para ser autovectores de cuatro-momento, finalmente podemos escribir la plena expresión de la función de partición microcanónica de un relativista gas cuántico de bosones neutros sin spin como: En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el punto de encendido por chispa. d3x exp[ix · (pl(n) − pn)] (98) con P = (M, 0) y el factor 1/N! se ha introducido con el fin de evitar conteo múltiple cuando se integra sobre partículas momenta. Del mismo modo, en el base de eqs. (20) (22) y (97), la función de partición microcanónica de un El gas cuántico relativista de los bosones sin espinillas cargados puede escribirse como: En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el punto de encendido por chispa. N+,N−=0 ¡N+! N++N N++N SN+ d3x exp[ix · (p(n+) − pn+)] SN d3x exp[ix · (p(n−) − pn−)]. (99) La generalización a un gas multi-especie de bosones sin espinillas es entonces fácilmente logrado: En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el caso de los vehículos de encendido por chispa, en el punto de encendido por chispa. d3pnj SNj d3x exp[ix · (pđj(nj) − pnj )]. (100) donde N = j Nj. Las fórmulas (98), (99) y (100) son nuestro resultado final. El volumen finito de las integrales de Fourier en las expresiones anteriores cuenta muy bien para correlaciones estadísticas cuánticas conocidas como Bose-Einstein y Fermi-Dirac correlaciones. Destacamos una vez más que para un gas cuántico cargado, partículas y antipartículas pueden ser manejadas como pertenecientes a especies distintas y corresponden a diferentes etiquetas j en la generalización multiespecie de (100). La expresión del MPF (98) es la misma que se obtiene en un cálculo NRQM en ref. [5], citado en este trabajo en (24), veces un factor global 0PV 0 que es no es importante para el cálculo de las medias estadísticas en los microcanónicos en- Semble. Más concretamente, el valor de expectativa de la fotovoltaica en una multipartícula libre estado (véase eqs. (82) y (97)) es el mismo que en el cálculo del NRQM (33) Tiempos # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Este resultado se ha logrado haciendo cumplir un prescrip de sustracción sión, a saber, que todos los términos dependen de los grados de libertad fuera de la la región V del sistema se debe restar “a mano” en todos los términos a plicities. El factor "VV" sigue dependiendo de esos grados espurios de libertad, de acuerdo con la definición PV en eq. 41), pero esto no afecta cualquier promedio estadístico porque siempre se cancela. En la termodinámica límite, este factor tiende a 1 como PV → I y el resultado de gran volumen límite conocido en la literatura [4] (es decir, eq. (27)) se recupera. Este resultado parece sorprendente en cierto sentido porque uno habría esperado, un pri- que los efectos relativistas cuánticos afectarían a los promedios estadísticos en una dependencia de la relación entre la longitud de onda de Compton y el tamaño lineal de la región, llegando a ser insignificante a valores pequeños, es decir, cuando V → فارسى. Esto se debe a la condición (32) a partir de la cual las expresiones MPF (23,24) A continuación, ya no se mantiene en la teoría de campo cuántico en volumen finito y sólo ap- se basa en una buena aproximación a volúmenes muy grandes, como se explica en la sec. 4. Sin embargo, en el cálculo de las medias estadísticas, sólo el proyector PV entra y esto implica la suma de todos los Estados en diferentes ocupaciones integradas. Números de tion V, de acuerdo con (31). Por lo tanto, a pesar de los coeficientes en el expansión (34) son diferentes de cero y dependen del volumen, gira fuera que sumando todos ellos en fijo N, uno obtiene el mismo resultado que en el Aproximación NRQM (32). En la fórmula, utilizando (31): N, {pPV N{p = Ñ,{kV } N, {p, {kV 2 Ñ,{kV } 0, {kV 2 {kV} N, {pN, {kV 2NR (101) donde el índice NR significa que uno debe hacer un cuántico no relativista cálculo mecánico. Este cálculo se puede extender al caso más general del microcanon- conjunto ical de un gas cuántico relativista ideal mediante la fijación del conjunto máximo de observables del álgebra de Poincaré, es decir, spin, tercer componente y par- ity además del energy-momentum cuatro-vector. Este será el tema de una próxima publicación. Agradecimientos Estamos agradecidos a F. Colomo y L. Lusanna por estimular las discusiones. Un Bogoliubov relaciones para un campo escalar real Se pueden derivar de la primera expresión del operador de aniquilación localizada como una función del campo y su momento conjugado. Para los localizados problema que tenemos: (x) = akuk(x) e −iŁkt+c.c. (A.1) donde k es un vector de tres números que etiquetan los modos en la región V, es la energía asociada y uk es un conjunto completo de funciones de onda ortogonal sobre la región V: u*k(x)uk(x ′) = 3(x− x′) d3xu*k(x)uk′(x) = Łk,k′ (A.2) y desapareciendo de V. Invirtiendo el (A.1) tenemos: d3xu*k(x) e • x) (A.3) que son válidos en cualquier momento. Ahora aplicamos el mapeo (35) y reemplazamos los operadores de campo localizados en t = 0, es decir. en la representación de Schrödinger, con aquellos en todo el espacio de Hilbert. En otras palabras, reemplazamos en (A.3): (x) → 1 (2η)3/2 eip·x ap + c.c. (x) → 1 (2η)3/2 −ip eip·x ap + c.c. (A.4) donde p = p2 +m2, obteniendo: d3pF (k,p) ­k + ­p ap + F (k,−p) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * a†p (A.5) donde: F (k,p) = (2η)3/2 d3xu*k(x) e ip·x (A.6) que son las relaciones de Bogoliubov (36). Observamos que la annihila localizada- El operador es una combinación no trivial de aniquilación y creación de ópera. Tors en todo el espacio. Sin embargo, el término en (A.5) dependiendo de la creación el operador a†p desaparece en el límite termodinámico, como se esperaba. Esto es lo más se muestra fácilmente para una región rectangular, donde uno tiene uk(x) = exp[ik · x]/ k es dada por el eq. (9) y Łk = k2 +m2. Por lo tanto: F (k, − p) d3x e-i(p+k)·x â ¬3(p+ k) (A.7) y, en consecuencia, kp → 0, que hacen que el segundo término en (A.5) desapareciendo. Podemos usar el eq. (A.5) para elaborar relaciones lineales entre el espacio Fock estados del problema localizado y estados asintóticos del espacio Fock. Estos pueden obtener la destrucción del estado de vacío localizado: ak0°V = 0 y por escrito: 0V = α00 d3pα1(p)p d3p1d 3p2 α2(p1,p2)p1,p2. .. (A.8) La elaboración de tales relaciones está fuera del alcance de este documento. B Estado multipartículas con partículas N Con el fin de probar eq. (82) para las partículas neutras, el primer paso es darse cuenta de que una ampliación general de: *0a1............................................................................................................ .. aNPV a†N. .............................................................................................. 10® (B.1) (ai es una taquigrafía para a(pi)) debe producir, sobre la base de lo que se muestra para el caso de 2 partículas, una suma de términos como estos: d3x1... n,m=1 e±ipn·xm f(­1,. ............................................................... donde f es una función genérica que implica una suma de ratios o producto de cualquier número de energías de partículas y ± representa un signo + o un signo −. Que (B.2) debe ser la expresión final puede ser previsto sobre la base de una repetición aplicación de las ecuaciones (45), (85), (62), (64) a su vez. El eq. (B.2) también puede escríbase como: d3x1... d3xN e pn·x1. ................................................................................................................... pn·xn f(­1,. ............................................................... donde significa una suma algebraica con términos que tienen cualquiera de los signos. Si ahora tomamos el límite termodinámico V → de (B.1), uno tiene PV → I, de ahí: *0a1............................................................................................................ .. aNPV a†N. .............................................................................................. 1 = 0 = 0 = 1. .. aNa†N. .............................................................................................. 3 (pn − pl(n)) (B.4) Esto nos dice que la función f ’s en cada término (B.2) debe reducir a un triv- factor ial 1 porque de otro modo sobrevivirían en el límite termodinámico, ser un factor que depende sólo de la pn. Por otra parte, desde la termodinámica límite implica sólo el de Dirac con diferencias de dos momentos como argumento, sólo puede haber diferencia de dos momentos como argumento de funcionamiento exponencial ciones en (B.3). Finalmente, comparando el eq. (B.3) con el (B.4), concluimos que la única expresión posible en el finito V es: *0a1............................................................................................................ .. aNPV a†N. .............................................................................................. 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 (2η)3 d3xn e −i(pn−pl(n))·xn (B.5) que es precisamente (82). Para un estado con partículas N+ y antipartículas N−, la validez de eq. (97) can argumentar con un argumento similar, es decir. limitando la forma de términos como (B.2) aprovechándose del límite V → فارسى. En el caso de partículas y antipartículas, el límite termodinámico nos dice que: *0a1............................................................................................................ aN+b1. . bN−PV a . .............................................................................................. . b = 0a1. aN+b1. bN−a . .............................................................................................. . b SN+ (pn+ − p(n+)) SN 3(pn− − p(n−)) (B.6) y esto determina la forma de la expresión: *0a1............................................................................................................ aN+b1. . bN−PV a . .............................................................................................. . b en V finito a (97). La ausencia de integrales mezclando partículas con antipar- ticles momenta tal como: ∫ d3xi e i(pnpn−)·xi se debe a la ausencia de tales diferencias como los argumentos de los de Eq. (B.6). Bibliografía [1] A. Chodos et al, Phys. Rev. D 9 (1974) 3471. [2] V. V. Begun, M. Gazdzicki, M. I. Gorenstein y O. S. Zozulya, Phys. Rev. C 70 (2004) 034901. [3] V. V. Begun, M. Gazdzicki, M. I. Gorenstein, M. Hauer, V. P. Konchakovski y B. Lungwitz, arXiv:nucl-th/0611075. [4] M. Chaichian, R. Hagedorn, M. Hayashi, Nucl. Phys. B 92 (1975) 445. [5] F. Becattini, L. Ferroni, Eur. Phys. J. C 35 (2004) 243. [6] F. Becattini, J. Phys. Conf. Ser. 5 175 (2005). [7] L. Landau y E. Lifshitz, Electrodinámica Cuántica. [8] A. E. Strominger, Annals Phys. 146 (1983) 419 R: Iwazaki, Phys. Lett. B 141 (1984) 342 J. D. Brown, J. W. York, Phys. Rev. D 47, (1993) 1420. [9] F. Becattini, L. Ferroni, El conjunto microcanónico del relativista ideal gas cuántico con conservación del impulso angular, en preparación. [10] B. Touschek, N. Cim. 58 B (1968) 295. [11] D. E. Miller y F. Karsch, Phys. Rev. D 24 (1981) 2564. [12] S. Weinberg, La Teoría Cuántica de los Campos Vol. 1 Cambridge University Press. [13] M. Stone The Physics of Quantum Fields Springer, Nueva York.

The spin-flip phenomenon in supermassive black hole binary mergers

El fenómeno spin-flip en fusiones binarias supermasivas del agujero negro László Árpád Gergely1,2,3o y Peter L. Biermann4,5,6,7,8‡ 1Departamento de Física Teórica, Universidad de Szeged, Tisza Lajos krt 84-86, Szeged 6720, Hungría 2Departamento de Física Experimental, Universidad de Szeged, Dóm tér 9, Szeged 6720, Hungría 3Departamento de Ciencias Aplicadas, London South Bank University, 103 Borough Road, Londres SE1 0AA, Reino Unido 4Max Planck Instituto de Radioastronomía, Bonn (Alemania) 5Departamento de Física y Astronomía, Universidad de Bonn (Alemania) 6Departamento de Física y Astronomía, Universidad de Alabama, Tuscaloosa, AL, EE.UU. 7Departamento de Física, Universidad de Alabama en Huntsville, AL, EE.UU. 8FZ Karlsruhe y Departamento de Física, Universidad de Karlsruhe, Alemania E-mail: gergely@physx.u-szeged.hu E-mail: plbiermann@mpifr-bonn.mpg.de RESUMEN La fusión masiva de agujeros negros será la fuente principal de ondas táctiles a baja frecuencia, y permitirá probar la relatividad general con galaxias candidatas cerca de una fusión binaria agujero negro. En este artículo identificamos la proporción de masa típica de los dos agujeros negros, pero luego mostrar que la distancia donde la radiación gravitacional se convierte en el efecto disipativo dominante (sobre dy- fricciones nímicas) no depende de la relación de masa; sin embargo, la dinámica la evolución en el régimen de emisiones de ondas gravitacionales lo hace. Para el rango típico de los coeficientes de masa la fase final de la fusión va precedida de una precesión rápida y un giro-giro posterior del agujero negro principal. Esto ya ocurre en la inspiración fase, por lo tanto, puede ser descrito analíticamente por técnicas post-Newtonian. Nosotros a continuación, identificar las galaxias de radio con un superdisco como aquellos en los que el rápido el chorro de perforación produce efectivamente un viento potente, entrenando el medio ambiente gas para producir la apariencia de un disco grueso. Estas galaxias específicas son así candidatos para una fusión de dos agujeros negros a suceder en el astronómicamente cerca futuro. Títulos temáticos: binarios compactos, radiación gravitacional, radio galaxias, chorros http://arxiv.org/abs/0704.1968v4 – 2 – 1. Introducción El fenómeno más energético que implica la relatividad general en el uni- verso es la fusión de dos agujeros negros supermasivos (SMBHs). Por lo tanto, el estudio de estos las fusiones pueden proporcionar una de las pruebas más rigurosas de relatividad general, incluso antes de la medición cubierta y precisa de las ondas gravitacionales correspondientes (véase, por ejemplo, Schäfer 2005). La mayoría de las galaxias tienen un agujero negro masivo central (Kormendy & Richstone 1995, Sanders) & Mirabel 1996, Faber et al. 1997), y después de su crecimiento inicial (para un posible ejemplo cómo esto podría suceder, ver Munyaneza & Biermann, 2005, 2006), su evolución está gobernada por fusiones. Por lo tanto, los dos agujeros negros centrales también se fusionan (véase Zier & Biermann 2001, 2002; Biermann et al. 2000; Merritt & Ekers 2002; Merritt 2003; Gopal-Krishna et al. 2003, 2004, 2006; Gopal-Krishna & Wiita 2000, 2006; Zier 2005, 2006, 2007). Antes de los dos negros los agujeros se acercan, las galaxias comienzan a rodearse, distorsionando la forma de una radio galaxia alimentados por uno o ambos agujeros negros; de ahí las galaxias de radio en forma de Z (Gopal-Krishna) et al. 2003). Cuando se fusionan, en circunstancias específicas que se aclararán en el presente documento, puede producirse un vuelco. Para un agujero negro que alimenta la actividad alrededor de él, el eje de giro define el eje de un chorro relativista, y por lo tanto un spin-flip resulta en una nueva dirección de chorro: de ahí las radio galaxias en forma de X (Rottmann 2001, Chirvasa 2001, Biermann et al. 2000, Merritt y Ekers 2002). De hecho, las observaciones sugieren que toda la actividad alrededor de un agujero negro puede resulta en un chorro relativista incluso para la actividad quásar de radio débil (Falcke et al. 1996, Chini et al. 1989a, b). Una famosa imagen a color que muestra el pasado giro-giro del agujero negro M87 (Owen et al. 2000) muestra claramente un débil contra-jet de radio, desalineado con el moderno jet activo alrededor de 30oC. La característica de los chorros de radio galaxia en forma de X es tan común y sin embargo muy de corta duración que todas las radio galaxias pueden haber pasado por esta fusión (Rottmann 2001), y Por lo tanto, debería haber sufrido un giro-giro. Esto también puede deducirse de la observación de que muchas fuentes de espectro empinadas compactas muestran una estructura de radio doble desalineada, donde un par interno de puntos calientes está desalineado con un par externo de puntos calientes (Marecki et al. 2003). Concluimos que los argumentos teóricos y las observaciones sugieren consistentemente que el negro los agujeros se funden y dan lugar a un giro-giro. De estos y otros datos deducimos algunos principios básicos que la teoría necesita para explicar: 1. En las radio galaxias en forma de X los ángulos entre dos pares de chorros en proyección son típicamente menos de 30 grados. Los ángulos reales pueden ser incluso alrededor de 45o. Se cree que los jets para significar el eje de giro del más activo (por lo tanto presumiblemente el más masivo) negro agujero antes de la fusión y el eje de giro del agujero negro fusionado. Por lo tanto, una cantidad sustancial debería haber ocurrido spin-flip. – 3 – 2. En las radio galaxias en forma de X, un par de chorros tiene un espectro radioeléctrico empinado. Esto implica que no ha sido reabastecida energéticamente recientemente, es un viejo par de jets; y Su edad de sincrotrón es típicamente de unos 107 años. El otro par de jets tiene un relativamente plano espectro radioeléctrico (este es el nuevo jet; Rottmann 2001). Por lo tanto, espectroscopia de radiocontinuum soporta el modelo spin-flip. 3. Una vez más, como muestra Rottmann (2001), las estadísticas de las radio galaxias en forma de X son tal, que cada radio galaxia pudo haber pasado a través de esta etapa durante su evolución. Esto coincide con argumentos basados en observaciones de infrarrojos lejanos que la actividad central en las galaxias como las ráfagas estelares y la alimentación de la actividad de un agujero negro central, es a menudo, tal vez siempre, precedida de una fusión de galaxias (Sanders & Mirabel 1996). 4. Hay otra observación crítica del espectro de las radio galaxias. Para muchos de ellos el espectro radioeléctrico tiene un corte de baja frecuencia, lo que sugiere un corte en la energía distribución de los electrones en aproximadamente la masa de piones (los electrones / positrones son productos de desintegración de piones, producidos en colisiones hadrónicas; Falcke et al. 1995, Biermann et al. 1995, Falcke y Biermann 1995a, 1995b, 1999, Gopal-Krishna y otros 2004). Hadronic las colisiones con la consiguiente producción de piones en el anillo del pie del chorro de radio se producen de forma natural y térmicamente en el caso de que el parámetro de rotación del agujero negro sea mayor que 0,95, y si el anillo del pie es un flujo de acreción dominado por la advección (ADAF) o radiantemente ineficiente flujo de acreción (RIAF; Donea & Biermann 1996, Mahadevan 1998, Gopal-Krishna et al. 2004). Si esto es cierto para todas las radio galaxias, el giro del agujero negro antes y después el spin-flip debe ser superior al 95 % del valor máximo permitido. Esto es importante. restricción en el proceso del giro-giro. Si asumimos que esto es válido para todas las radio galaxias, entonces a fortiori también se mantiene para aquellos que acaban de pasar por una fusión binaria agujero negro, y por lo que su giro debe ser alto también. 5. Cuando dos agujeros negros se fusionan, la emisión de fuertes ondas gravitacionales es segura (Peters & Mathews 1963, Peters 1964, Thorne 1979). Los binarios compactos son impulsados por grav- radiación itacional a través de un régimen post-Newtoniano (PN) (el inspiral), una inmersión y un fase de reducción hacia el estado final. Se cree comúnmente que el spin-flip phe- nomenon es probable que sea causado por la radiación gravitacional que escapa del sistema de fusión (Rottmann 2001, Biermann et al. 2000, Merritt y Ekers 2002). Trabajos numéricos recientes en las etapas finales de la coalescencia apoya esto (véase Brügmann 2007; Campanelli et al. 2007a, b; Gonzalez et al. 2007a, b). Por lo tanto, es obligatorio investigar lo que sucede cuando los dos agujeros negros cerca el uno del otro, y esto nos proponemos tratar en este documento. Presentamos aquí un modelo que permite tener una transición de fusión pasando de una etapa de alto giro a otra etapa de alto giro, utilizando en su mayoría perspicacia física desde fuera de la órbita más estable (ISO). En contraste – 4 – con simulación numérica disponible, nuestro método, limitado a un cierto rango típico de masa ratios de los dos agujeros negros, tiene la ventaja de que la evolución del binario compacto puede tratarse en el marco de una expansión analítica de la PN con dos pequeños parámetros. En la Sección 2, revisamos el estado actual de las observaciones sobre las masas de supermasivos agujeros negros galácticos, que más o menos escalan con las masas abultadas de sus galaxias anfitrionas. Los observaciones sugieren que los agujeros negros más masivos tienen alrededor de 3 × 109 masas solares y la determinación más fiable del agujero negro central de baja masa (en nuestra galaxia) es de aproximadamente 3 × 106 millones de euros (Ghez et al. 2005, Schödel & Eckart 2005). Hay algunas pruebas para agujeros negros masivos centrales de masa ligeramente inferior (Barth et al. 2005), pero las barras de error son Muy grande. Esto implica que la proporción máxima de masa es de aproximadamente 103. Analizamos cuidadosamente las estadísticas y argumentan en la sección 2 que las relaciones de masa en el rango 3 : 1 a 30 : 1 cubren la mayor parte de el rango plausible en las fusiones de agujeros negros centrales galácticos. En términos generales, esto significa que típicamente una masa es dominante por un factor de orden 10. Por lo tanto, encontramos que ninguno de los dos el caso muy discutido de masas iguales ni el de las proporciones de masa extrema (partículas de ensayo la caída en un agujero negro) describe las fusiones típicas del SMBH galáctico central. En la Sección 3, se estudian las magnitudes relativas del giro del agujero negro dominante y del impulso angular orbital del sistema. Su proporción depende de dos factores: la relación de masa y la separación de los componentes binarios (la inversa de los cuales escala con el parámetro post-Newtoniano). Demostramos que para el intervalo típico de la razón de masa el orbital el impulso izquierdo cuando el sistema está alcanzando ISO es mucho más pequeño que el giro dominante. Así que en el típico caso de rango de masa pase lo que pase durante las fases de zambullida y anillada de la fusión, en la que se disipa el impulso orbital restante, no puede cambiar esencialmente la dirección del giro. Por el contrario, para las fusiones de masa igual el angular orbital impulso domina hasta el final de la inspiración, mientras que para las fusiones de la proporción de masa extrema El giro más grande domina desde el comienzo de la fase de fusión de ondas gravitacionales. En la Sección 4, discutimos la transición del régimen dominado por la fricción dinámica a el régimen dominado por la radiación gravitacional, con el fin de establecer los datos iniciales para el PN tratamiento. La interacción de los agujeros negros con el entorno estelar ya fusionado genera una fricción dinámica cuando la separación de los agujeros negros está entre unos parsecs (pc) y centésima de un pc. La radiación gravitacional tiene un pequeño efecto en este régimen. Debido a la fricción dinámica, parte del impulso angular orbital del negro binario sistema de agujeros se transfiere al entorno estelar, de tal manera que la población estelar en el los polos del sistema tienden a ser expulsados y se forma un toro (Zier & Biermann 2001, 2002, Zier 2006). Esto se conecta con el toro ubicuo alrededor de los núcleos galácticos activos (AGNs), detectada por primera vez en la absorción de rayos X (Lawrence & Elvis 1982, Mushotzky 1982), y posteriormente confirmado por polarización óptica de las líneas de emisión (Antonucci & Miller 1985). Dinámica – 5 – la fricción aumenta ya que en una fusión la distribución fase-espacio se ve fuertemente perturbada por grandes las fluctuaciones de la distribución masiva (Lynden-Bell 1967, Toomre & Toomre 1972, Barnes & Hernquist 1992, Barnes 2001). Había habido una gran preocupación de que los dos agujeros negros en su acercamiento mutuo (Valtonen 1996, Yu 2003, Merritt 2005, Milosavljević & Merritt 2003a, b, Makino & Funato 2004, Berczik et al. 2005, 2006, Matsubashi et al. 2007) antes de llegar a la emisión de ondas gravitacionales; que el mecanismo de cono de pérdida para alimentar a las estrellas en órbitas que intersecan los agujeros negros binarios es demasiado lento. Sin embargo, Zier (2006) ha demostrado que la interacción directa con las estrellas circundantes ligeramente más fuera acelera el proceso, y muy probablemente no se produce ningún estancamiento. Procesos de relajación debido a las interacciones nube/estrella-estrella son bastante fuertes, como lo muestra Alexander (2007), utilizando observaciones de nuestra galaxia. Estas interacciones repoblan las órbitas estelares en el centro de la galaxia. Nueva obra de Merritt et al. (2007) es consistente con Zier (2006) y Alexander (2007). También en una serie de artículos Sesana, Haardt y Madau han demostrado recientemente que incluso en ausencia de relajación de dos cuerpos o procesos dinámicos gaseosos, masa desigual y/o los binarios excéntricos con la masa mayor de 105 M® pueden encogerse a la onda gravitacional régimen de emisión en menos de un tiempo Hubble debido a la desintegración orbital binaria por tres cuerpos interacciones en los cúspides estelares de unión gravitacional (Sesana et al. 2006, 2007a, 2007b). Finalmente, Hayasaki (2008) ha considerado el “último problema parsec” bajo la suposición de la existencia de tres discos de acreción: uno alrededor de cada agujero negro y otro tercero, que es Circunbinario. El disco circunbinario elimina el momento angular orbital del binario a través de la interacción resonante de disco binario, sin embargo, la transferencia de masa a cada negro individual agujero añade impulso angular orbital al binario. Parámetro crítico de la masa tasa de transferencia es tal que para los binarios SMBH, se convierte en más grande que el límite de Eddington, por lo tanto estos binarios se fusionarán dentro de un tiempo Hubble por este mecanismo. El impulso angular transferencia de órbita a disco ya se consideraba como un concepto físico clave en las estrellas binarias por Biermann & Hall (1973). Todos estos trabajos recientes sugieren que por un mecanismo u otro los SMBH se acercarán unos a otros a distancias más pequeñas alrededor de un centésimo pc, cuando la radiación gravitacional se convierte en el efecto disipativo dominante. En la sección 4, analizamos las escalas de tiempo características de la fricción dinámica y la radiación gravitacional como función de la masa total, el radio de distribución estelar y la relación de masa del compacto binaria y establecemos los valores del radio de transición y parámetro PN, para el cual el La radiación gravitacional está superando la fricción dinámica. En la Sección 5, discutimos la evolución post-Newtoniana de los binarios compactos, siguiendo Apostolatos et al. (1994) y Kidder (1995). El nuevo elemento es el énfasis del papel de la razón de masa como segundo parámetro pequeño en el formalismo. El líder conservador del orden el efecto que contribuye al cambio en la orientación de los giros es el acoplamiento spin-orbit (SO). La retrorreacción de la radiación gravitacional, que es el principal efecto disipador del orden – 6 – debajo del radio de transición, aparece en un orden PN más alto. Mostramos aquí que para el rango característico de relaciones de masa el giro-giro se produce durante la radiación gravitacional régimen inspiracional dominado, fuera de ISO. En el proceso evaluamos las escalas de tiempo para el cambio de la inclinación del giro en comparación con las escalas de tiempo del movimiento precesional y gravitacional Inspiral impulsado por radiación. Como subproducto, podemos demostrar que para la masa típica la llamada precesión transicional ocurre muy raramente. Interpretamos y discutimos el modelo resultante en la Sección 6. Aquí, damos un tentativo esquema de la secuencia temporal de la actividad de dos galaxias que se fusionan, llevando a un AGN episodio del agujero negro primario. Una revisión reciente de los aspectos genéricos de estas galaxias núcleos como fuentes de rayos cósmicos ultra alta energía está en (Biermann et al. 2008). Por último, resumimos nuestras conclusiones en las observaciones finales. Siguiendo nuestros argumentos sobre la fase apenas antes de la fusión proponemos allí que los supervientos en la radio galaxias (Gopal-Krishna et al. 2007, Gopal-Krishna & Wiita 2006) están en esta etapa, como El jet de preceso rápido actúa como un viento poderoso. El objetivo principal de nuestro trabajo es poner la física derivada en el contexto observacional, a fin de permitir que las pruebas se realicen en radio y otras longitudes de onda. 2. Rango de la relación de masa pertinente In Lauer et al. (2007), se describe la distribución masiva de agujeros negros centrales galácticos, confirmar trabajos anteriores, y también coherente con un análisis local (Roman & Biermann 2006). Argumentos basados en Häring & Rix (2004), Gott & Turner (1977), Hickson (1982) y Press El razonamiento de & Schechter (1974) conduce a un resultado similar, al igual que una encuesta observacional reciente (Ferrarese at al. 2006b). Wilson & Colbert (1995) también encuentran una ley de poder rota. Los probabilidad para una relación de masa específica es una integral sobre la distribución de masa del agujero negro, plegada con la tasa de fusión real (proporcional a la sección transversal de captura y el velocidad para dos galaxias), por ejemplo, isomórfica a la discusión en Silk & Takahashi (1979) para la fusión de grupos de diferentes masas. La distribución de masa del agujero negro ΦBH(MBH), el número de agujeros negros centrales masivos en galaxias por unidad de volumen, y masa de agujeros negros intervalo, se puede describir como una ley de poder roto, de aproximadamente ma 3 × 10 6 Más a aproximadamente mb 3 × 10 9 Más, con un descanso cerca de má 10 8 millones de libras esterlinas. Las masas bajas han sido discutidas en algún detalle por Barth et al. (2005). Los valores de ma, mb y m* implican que tenemos dos rangos de masa de un factor de 30 cada uno. Las masas por encima de 108 millones se están volviendo muy raras. con mayor masa, por lo que el rango de masa más bajo es estadísticamente más importante. Esa proporción rango es entonces 1 : 1 a 30 : 1; mientras que en el rango de masa más alto el rango máximo de las masas es también 30 : 1. – 7 – La masa de las escalas de agujeros negros masivos centrales con la masa de la esferoidal com- ponent, como con la masa total de una galaxia (la materia oscura), ver Benson et al. (2007). Los La tasa de fusiones de agujeros negros es una fracción de todas las fusiones de galaxias masivas. Si, como se ha argumentado por Zier (2006) el acercamiento de los dos agujeros negros no se paraliza, luego cada fusión de dos galaxias masivas inevitablemente conducirán a la fusión de los dos agujeros negros centrales. Esto es apoyado por los argumentos estadísticos de Rottmann (2001), utilizando observaciones radiofónicas, que toda fuerte actividad central en galaxias puede implicar una fusión de dos agujeros negros. Por lo tanto, evidencia observacional sugiere que los agujeros negros se fusionan, y lo hacen en el más bien corto escalas de tiempo de AGNs. Las interacciones y fusiones de galaxias dependen claramente de los tres momentos angulares: los dos giros intrínsecos, y el momento angular orbital relativo, así como en el inicial distancia y velocidad relativa de las dos galaxias. Una vez que todos estos parámetros se dan, el La evolución es bastante determinista. Las observaciones de Gilmore et al. (2007) sugieren enérgicamente, que las galaxias de semilla iniciales son las galaxias elípticas enanas de hoy, todas las cuales son consistentes con una unión inferior a una masa total común de 5 × 107 M®. Esto implica que todas las galaxias, y a fortiori todos los agujeros negros centrales, han sufrido muchas fusiones. Las observaciones de Bouwens & Illingworth (2006) y Iye et al. (2006) sugieren firmemente que gran parte de esta historia de fusión ocurrió antes que el corrimiento al rojo 6, quizás en su mayoría entre Desplazamientos al rojo 9 y 6. Cada fusión individual va a lo largo de una vía evolutiva bien definida, pero Todas estas fusiones están completamente descorrelacionadas unas con otras. Por lo tanto, el conjunto de muy muchas fusiones se pueden tratar estadísticamente, y esto es lo que procedemos a hacer, utilizando el relación de masa constante entre el componente esferoidal de las galaxias y su negro central agujeros. Por lo tanto, utilizamos la tasa de fusión de galaxias como equivalente a la tasa de fusión de la agujeros negros centrales. Las estadísticas de las fusiones se dan por la integral para el número de fusiones N(q) por volumen y tiempo para una relación de masa determinada q, definida como mayor que la unidad. Este tipo de fusión es el producto de la distribución del primer agujero negro con la distribución del segundo agujero negro multiplicado por una tasa F. Este último en principio depende de ambos la sección transversal y velocidad relativa de las dos galaxias, las velocidades sin embargo no son muy diferentes, como el el universo no es lo suficientemente viejo para la segregación masiva. La sección transversal a su vez depende de la dos masas, así F = F (q,m). Si nos integramos para todos los casos, en los que el primer agujero negro es menos masivo que el segundo agujero negro, nos infracontamos por un factor de 2, y tenemos que correcto para este factor. La relación general es N(q) = 2 ∫ mb/q ΦBH(m)ΦBH(qm)F (q,m)dm (1) – 8 – Es probable que el agujero negro más masivo, y por lo tanto la galaxia anfitriona más masiva, dominar la tasa de fusión F, por lo que se puede aproximar en función de qm solo, y un comportamiento de la ley de poder con F â € qâ € con â € > 0 debe ser adecuado para una primera aproximación. Para estimar más o menos sólo observamos, que los esferoidales enanos tienen un radio de núcleo de unos pocos 100 pc (Gilmore et al. 2007), mientras que nuestra galaxia tiene un radio central de aproximadamente 3 kpc (Klypin et al. 2002), por lo que un factor de 10 en radio (102 en sección transversal) para un factor de alrededor de 104 en masa, por lo tanto, el exponente es probable que sea aproximadamente 1/2; por lo tanto, una primera estimación razonable para cualquier sección transversal es = 1/2. En este caso utilizamos la equivalencia aproximada de galaxia fusiones con fusiones de agujeros negros. Como la distribución de masa del agujero negro tiene una ruptura en q* = 30, utilizamos ΦBH(m) m para el primer rango de masa, y ΦBH(m) por el segundo. Para el rango q de 1 a 30 tienen como contribución dominante N(q) ▼ m./q. )( )( )( ) ( ∫ mb/q ) ( ) ( dm (2) y para el caso de q por encima de 30 tenemos la contribución N(q) ∫ mb/q )( ) ( dm. 3) Los diversos modelos mostrados en Lauer et al.(2007) muestran que un rango de valores de y es posible, con que varia entre aproximadamente 1 y 2, y de 3 a valores más grandes. Benson et al.(2007) Proponer 0.65. Adoptamos aquí los valores aproximados para y de 1 y 3, para ser cautelosos, y para â € ¢ adoptamos 1/2. Con estos valores los integrands anteriores son funciones monótonamente decrecientes y las integrales están dominadas por los límites inferiores. Así, los cuatro términos escala con q como q, q−1, q, y de nuevo q. Consideremos los cuatro términos: el primer término es galaxias pequeñas que se fusionan con pequeñas galaxias, y por lo tanto no muy interesante, ya que la sección transversal es baja. Sin embargo, para esta distribución el número de fusiones en el rango de la relación de masa 30 : 1 a 3 : 1 frente a 3 : 1 a 1 : 1 es aproximadamente 5. Las relaciones de masa más extremas son más comunes. Para el segundo término, esta proporción de fusiones en los dos rangos de razón de masa es de aproximadamente 14. Como esto es galaxias masivas que se fusionan con más pequeñas – 9 – galaxias (por encima y por debajo del quiebre m­), este es el caso más interesante, y también bastante frecuentes. El tercer término es casi insignificante, y el cuarto término añade casos al segundo. término con proporciones de masa más extremas, más allá de 30 : 1, y por lo tanto hace hincapié en la proporción de masa grande Rango. Por lo tanto, entre los casos pertinentes la tasa de fusiones de la relación de masa de más de 3 : 1 a los con una proporción de masa menor está en el rango de 5 : 1 a 14 : 1, alrededor de un orden de magnitud. Centrándose en aquellos casos en los que un agujero negro está a 108 millones o más, la proporción es mayor que 14 : 1. La especulación de que el exponente podría ser más grande aumentaría todos estos efectos; La ampliación los debilitaría. Por lo tanto vamos a tratar en el siguiente con esto mucho más razón de masa extendida común rango 30 : 1 a 3 : 1, que, como se mostrará, permite utilizar métodos analíticos. 3. El giro y el impulso angular orbital en el régimen PN Asumimos que el sistema binario compacto se compone de dos masas mi, i = 1, 2, cada uno teniendo el giro Si. Por definición, el radio característico Ri de los objetos compactos es de la el mismo orden de magnitud que el radio gravitacional RG = Gmi/c 2 (donde c es la velocidad de luz y G es la constante gravitacional). Por lo tanto, la magnitud del vector de giro se puede aproximar como Si MiRiVi Gm iVi/c 2, donde Vi es la rotación característica velocidad del objeto compacto ith Como los agujeros negros giran rápidamente debido a la acreción, Vi/c es de Ordenen la unidad. Equivalentemente podemos introducir Si = (G/c)m ixxi, con χi siendo el dimensional parámetro spin. Entonces la rotación máxima implica χi = 1. La expansión PN se hace en términos del parámetro pequeño , (4) donde m = m1+m2 es la masa total y v es la velocidad orbital de la partícula de masa reducida μ = m1m2/m, que está en órbita alrededor de la masa fija m (según el problema de un centro) en mecánica celeste). Las dos expresiones son del mismo orden de magnitud debido a el teorema virial. Como en ciertas expresiones poderes impares de v/c puede ocurrir, es común a tienen órdenes medio-integer en el tratamiento post-Newtoniano de la inspiración de un binario compacto sistema. Cuando las masas de los dos objetos compactos son comparables, cualquiera de los dos Gmi/c También representan una orden post-Newtoniana. Sin embargo, como hemos argumentado antes, por chocar agujeros negros galácticos es típico que sus masas difieren por 1 orden de magnitud, por lo que tienen un segundo pequeño parámetro en el formalismo. Al elegir m2 como la masa más pequeña, nosotros – 10 – también puede definir la relación de masa • (0, 1). 5) En la literatura la relación de masa simétrica También se emplea con frecuencia. Las dos relaciones de masa están relacionadas como (1 + /) , (7) y en el caso de los pequeños Estados miembros, tenemos η = − 2 /2 + O (/3). Para el rango de proporción de masa típico de binarios SMBH η o ν se puede elegir como el segundo pequeño parámetro en el formalismo. Sin embargo, mientras que estos permanecen constantes, el PN el parámetro  evoluciona durante el inspiral hacia valores más altos. De hecho, la separación de la Los componentes del binario con m = 108M® evolucionan como = 4. 781 3× 10−6 , (8) donde rS representa el radio Schwarzschild. La interacción de los agujeros negros galácticos con el entorno estelar comienza cuando los agujeros negros están a unos pocos kpc lejos de cada uno otros (a continuación, los 10 a 8). La fricción dinámica se vuelve subdominante a aproximadamente 0.005 pc (Zier & Biermann 2001, Zier 2006), cuando la radiación gravitacional se convierte en el líder efecto disipador. Por lo tanto, el valor del parámetro PN para el cual el valor del parámetro PN = 10−3 es el valor del parámetro PN. La radiación gravitacional está impulsando la disipación de energía y el impulso angular orbital. Luego sigue la etapa inspiradora de la evolución de los binarios compactos, que continúa hasta el dominio de validez del enfoque post-Newtoniano se alcanza, en pocos radios gravitacionales, en ISO. Más lejos es necesario un tratamiento numérico para describir la caída, que finalmente es seguido por el ring-down. El formalismo de la PN puede ser considerado válido hasta 10-1. Teóricamente, es posible para un pequeño /, que en cierta etapa de la inspiración, el El aumento de 1/2 pasa a ser del mismo orden de magnitud que el anterior y posteriormente incluso supera el mismo nivel de magnitud. Tal situación cambiaría el valor numérico de varias contribuciones a diversas las cantidades en el rango de órdenes PN más o menos, dependiendo de la potencia implicada de La relación de rotación (para velocidades de rotación similares V1 • V2) se puede expresar como = /2. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. – 11 – Cuadro 1: Evolución de la relación S1/L............................................................................................................................................... 1/21 en el rango de 10-3-3-10-1 para los diversos valores de la relación de masa v. S1/L = 1 / 2 / 3 / 10 - 3 / 10 - 1 v = 1 0,03 (S1 - L) 0,3 (S1 < L) v = 1/3 0,1 (S1 < L) 1 (S1 • L) / = 1/30 1 (S1 L) 10 (S1 > L) / = 1/900 30 (S1 - L) 300 (S1 - L) La relación de los giros con el momento angular orbital se convierte Gm22V2/c * 1/2/, (10) 1 / 2 1. (11) Observamos que las aproximaciones en las fórmulas anteriores (9)-(11) están relacionadas solamente con el hecho que hemos asumido la rotación máxima (por lo tanto Vi/c. 1). En primer lugar, observamos que las proporciones anteriores que involucran los giros de los objetos compactos que ya contienen 1 / 2. Por lo tanto, el conteo de la poderes inversos de c2 no es equivalente con el orden PN, cuando los objetos compactos están involucrados. Además, mientras que la relación S2/L se desplaza hacia órdenes más altas por un pequeño ν (por lo tanto, S2 durante todas las etapas de la inspiración), el orden de la relación del giro del agujero negro dominante a la magnitud del momento angular orbital no se fija. De hecho, está determinado por la magnitud relativa de los pequeños parámetros (en lo sucesivo, «parámetros pequeños») y (en lo sucesivo, «parámetros pequeños»). A medida que aumenta durante la inspiración, cada vez que ν cae en el rango de 1 / 2, la época inicial con S1 < L es seguida por S1 ° L y S1 > L épocas (Tabla 1). Hemos concluido en la sección anterior que el rango de proporciones de masa q entre 3 : 1 y 30 : 1 es el más común. Para tales binarios la secuencia de las tres épocas S1 < L, S1 • L y S1 > L es bastante representativo. Llamamos a esta relación de masa intermedia las fusiones, que hay que contrastar con el caso de las fusiones de masas iguales, en las que el momento angular domina a lo largo de la inspiración; y con el caso de la masa extrema concentraciones de razón (que definimos como que tienen relaciones de masa superiores a 30 : 1), donde el mayor spin domina desde el principio de la inspiración hasta el final de la fase PN, como se puede ver de nuestra Tabla 1. – 12 – 4. Las escalas de tiempo El valor 10−3 del cual el análisis de la PN con la radiación gravitacional como la se puede aplicar el efecto disipativo principal se adoptó en la sección anterior para un pacto binarios con masa total m = 108M® y relación de masa v = 10 −1. Esto se basó en el análisis en Zier & Biermann (2001) y Zier (2006), donde se demostró que alrededor de 5 × 10−3 la radiación gravitacional toma el relevo de la fricción dinámica en la interacción con las estrellas en la pérdida angular del momento del agujero negro binario. Otros argumentos para el binario a Alcanzar el régimen de emisión de ondas gravitacionales fueron presentados por Alexander (2007), Sesana et al. (2006, 2007a, 2007b), y Hayasaki (2008). En esta sección planteamos la pregunta, si el valor del radio de transición (y el el valor correspondiente del parámetro PN) depende de m y ν. Con el fin de responder a esto, nosotros comparar las escalas de tiempo características de la radiación gravitacional y la fricción dinámica. La escala temporal de la radiación gravitacional (como se derivará en la sección 5) es la siguiente: * 4η. (12) La escala de tiempo para que el agujero negro secundario pierda impulso angular por gravitación la interacción con la distribución estelar circundante es (Binney & Tremaine 1987) tfr = 2­G2m2­2­distr­ . (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Con el cambio máximamente permitido en la velocidad de v/v = 1 encontramos el total relevante escala de tiempo. En este caso, el logaritmo es el logaritmo de la relación de la distancia máxima. dentro del sistema, dividido por la distancia típica entre los objetos. Este último es grande para nubes, por lo que la relación es baja y la unidad de orden, mientras que para las estrellas o partículas de materia oscura se puede tomar como 10o 20. Para la fusión, la estimación basada en nubes es más apropiada. Por lo tanto, siguiendo el razonamiento de Binney & Tremaine (1987) adoptamos = 3. El compacto distribución estelar con la densidad de distr, radio rdistr, y mdistr masa es del mismo orden en masa como el binario agujero negro (Zier & Biermann 2001, Ferrarese et al. 2006a) con una escala rdistr de unos pocos pc, y así bajo la asunción de una distribución esféricamente simétrica que ............................................................................................................................................................................................................................................................... 4ηr3distr . (14) Empleando las definiciones del parámetro PN y la relación de masa, obtenemos r3distr 3/2η (1 + ν). (15) – 13 – Esto da la escala de tiempo completa de la fricción dinámica. Las dos escalas de tiempo se vuelven comparables para un parámetro PN: = K (/) c2rdistr )6/11 , (16) por ser un factor de unidad de orden, definido como: K ( v) = (1 + /) ]2/11 0.938, 1. 064). (17) correspondiente a la distancia r* r* = K−1 ( v) )5/11 distr. (18) En particular, la dependencia de la proporción de masa es bastante débil y en la práctica puede descuidarse. Insertar entonces para rdistr = 5 pc y utilizar como valor de referencia para la masa m = 10 8 Más, nosotros obtener 10-3 y r* 0,005 pc de acuerdo con la discusión en Zier & Biermann (2001). También tomamos nota de que, de hecho, cualquier otro valor razonable para factor de la unidad de orden en Eq. (14), a medida que este número surge tomando el poder 2/11. Los débiles La dependencia de K a través de K se debe a la misma razón. El valor del parámetro PN escala con m6/11 y radio r −6/11 distr como 10−3 108 millones de libras esterlinas )6/11 ( rdistr )6/11 , (19) mientras que las escalas de radio de transición con m5/11 y r distr como • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 108 millones de libras esterlinas )5/11 ( rdistr )6/11 . (20) Para m = 109M® y para el mismo radio de distribución estelar entonces r • 0,01 ud. Concluimos que tanto la dependencia del radio de transición como la correspondiente Parámetro PN en la masa total y en el radio de distribución estelar son débiles, mientras que allí prácticamente no depende de la proporción de masa. 5. La inspiración de hilar binarios compactos en la radiación gravitacional régimen dominado En la primera subsección de esta sección presentamos la dinámica conservadora de un binario compacto en un tratamiento post-Newtoniano, haciendo hincapié en el papel de la segunda pequeña – 14 – parámetro, como un elemento nuevo. Entonces en la segunda subsección tenemos en cuenta el efecto de la radiación gravitacional, derivando cómo se produce el giro-giro para el rango típico de la relación de masa. Los límites de validez de nuestros resultados obtenidos mediante el uso de estos dos pequeños parámetros serán que se examina más adelante en la subsección 5.3. 5.1. Dinámica conservadora por debajo del radio de transición El intercambio en el dominio de L o S1 tiene una consecuencia drástica en el dinámica del binario compacto. Para ver esto, vamos a resumir primero el dinam conservador- ics, válido hasta la segunda orden post-Newtoniana. Las constantes del movimiento son el total energía E y el vector de impulso angular total J = L+ S1 + S2 (Kidder et al. 1993). El momento angular L, S no se conservan por separado. Los giros obedecen a una precesión movimiento (Barker & O’Connell 1975, Barker & O’Connell 1979): i = ♥i × Si, (21) con las velocidades angulares dadas como suma de la spin-orbit, spin-spin, y quadrupole- contribuciones de monopolo. Estos últimos vienen de considerar uno de los componentes binarios como un monopolo de masa que se mueve en el campo cuadripolar del otro componente. La contribución de orden principal debido a la interacción SO (discutido en Kidder et al. 1993, Apostolatos et al. 1994, Kidder 1995, Ryan 1996, Rieth & Schäfer 1997, Gergely en al. 1998a, 1998b, 1998c, O’Connell 2004), hacen que los ejes de giro se desplomen y se deslicen. Los spin-spin (Kidder 1995, Apostolatos 1995, Apostolatos 1996, Gergely 2000a, 2000b), masa cuadrupolar (Poisson 1998, Gergely & Keresztes 2003, Flanagan & Hinderer 2007, Racine 2008), dipolar magnético (Ioka & Taniguchi 2000, Vasúth et al. 2003), auto-spin (Mikóczi et al. 2005) y efectos de spin-orbit de mayor orden (Faye et al. 2006, Blanchet et al. 2006) ligeramente modula este proceso. La precesión SO ocurre con las velocidades angulares G (4 + 3 /) 2c2r3 LN, (22) G (4 + 31) 2c2r3 LN, (23) donde LN = μr × v es la parte newtoniana del momento angular orbital. El total impulso angular orbital L también contiene una contribución LSO (Kidder 1995), que para Los binarios compactos son del orden de 3/2LN. Debido a la conservación de J, el impulso angular orbital evoluciona como – 15 – 2c2r3 (4 + 3 /)S1 + 4 + 31 ×L. (24) (Añadiendo un término de corrección de orden 3/2 relativo a los términos de orden principal, tenemos cambió LN en L en el lado derecho de la ecuación anterior.) Para dirigir el orden en / obtenemos: 1 = L×S1, (25) S1 × L. (26) (Otra vez, se añadió un término LSO a LN en el lado derecho de Eq. (25), con el fin de tener una precesión pura de S1.) Por lo tanto, la dinámica conservadora de orden dominante da la siguiente imagen: spin S1 sufre una precesión pura sobre L, mientras que L hace lo mismo sobre S1. A pesar de la precesión (23), el giro S2 puede ser ignorado a orden de dirección, ya que su magnitud es ν 2 veces menor que S1, por ejemplo, Eq. 9). Al añadir los términos de desaparición (2G/c) 2r3)S1 × S1 y (2G/c2r3)L×L a los lados derecho de Eqs. (25) y (26), respectivamente, obtenemos 1 = J×S1, (27) J×L. (28) Por lo tanto, las precesiones también se puede imaginar que sucede sobre J, que representa un invariante dirección en la dinámica conservadora hasta 2PN. Las contribuciones de orden superior a la dinámica conservadora modulan ligeramente esta pre- Moción en favor. De hecho, tanto para las perturbaciones spin-spin como cuádrupole-monopolio un promedio angular L̄ se puede introducir, que se conserva hasta el orden 2PN (Gergely 2000a). Como L̄ se diferencia de L sólo por términos de orden 2PN, y L̄ se conserva, la evolución real de L difiere de una precesión pura sólo ligeramente. Por último, observamos que como las precesiones SO son 1.5 efectos PN y la gravita- diation aparece en 2.5 PN, en el radio de transición el tiempo de precesión SO es 1 veces menor que la escala de tiempo de fricción dinámica. Las modificaciones inducidas por la pres- se discutirán los iones en la transferencia de impulso angular hacia el entorno estelar en otros lugares (Zier et al. 2009, en preparación). – 16 – Fig. 1.- El viejo jet apunta en la dirección del giro original S1. Cuando los dos agujeros negros se acercan unos a otros debido al movimiento de sus galaxias anfitrionas, un lento movimiento precesional de tanto el giro como el impulso angular orbital L comienza (figura izquierda) sobre la dirección del momento angular total J, que se debe a la interacción spin-orbit. Gravitacional la radiación lleva tanto la energía y el impulso angular del sistema, de tal manera que el la dirección de J se mantiene inalterada. Como consecuencia de ello, la órbita precesional se reduce lentamente y la magnitud de L disminuye. Esto se acompaña de un aumento continuo en el ángulo α y una disminución de β. Cuando las magnitudes de L y S sean comparables (figura media), los movimientos precesionales son mucho más rápidos (para los valores típicos véase la Tabla 2). En el típico relación de masa rango ν = 1/3 1/30 la magnitud de L se vuelve pequeña en comparación con la magnitud del giro, que no se modifica por la radiación gravitacional (excepto la límite de la gama en v = 1/3 cuando L y S son todavía comparables). Antes de llegar a la órbita más estable, el giro se vuelve casi alineado a la (dirección original de la) momentum angular total, y un nuevo chorro puede formarse a lo largo de esta dirección. Por lo tanto, para el rango de la relación de masa típica se ha producido el fenómeno spin-flip en la fase inspiral y no mucho momento angular orbital se deja para modificar la dirección de la vuelta durante el Sumérgete y arrójate. En el régimen entre los estados inicial y final el antecesor jet actúa como un superviento, barrendo el ambiente de los jets. – 17 – 5.2. Dinámica disipativa por debajo del radio de transición La dinámica se disipa a partir de 2,5 órdenes PN. Luego gravitacional cuatripolar ra- la diación lleva tanto la energía como el momento angular. Excentricidad orbital se disipa , más rápido que la tasa de inspiración orbital (Peters 1964), por lo que la órbita se circulará. órbitas circulares laterales y un promedio de más de una órbita da el siguiente cambio disipativo en gw = − 32Gμ2 LÃ3, (29) donde LÃ3 representa la direcciÃ3n del momento angular orbital. Entonces el cambio total en L se da por la suma de Eqs. 26) y 29). Los efectos cuasi-precesionales inducidos por el giro modulan la dinámica y tienen un efecto importante en la detección de ondas gravitacionales (véase Lang & Hughes 2006, 2008, Racine 2008, Gergely & Mikoczi 2008). La dinámica disipativa, con la inclusión del orden líder precesiones SO y el Los efectos disipadores debidos a la radiación gravitacional, promediados sobre órbitas circulares, fueron discutidos en detalle en Apostolatos et al. (1994) para el caso de un solo giro S2 = 0 y masas iguales v = 1. Para la proporción de masa típica ν 1/30, 1/3), y manteniendo sólo las contribuciones de orden principal en la expansión también da S2 = 0 (las contribuciones de orden principal en S2 son de orden v. 2). En esta subsección analizaremos en profundidad las evoluciones angulares y las escalas de tiempo Envuelto. En cuanto a cualquier vector X con magnitud X y dirección X+ uno tiene = X X + X®, la cambio en la dirección puede expresarse como # # # # # # # # # # # # # X # # # /X. También la identidad X2 = X2 da = X ·. Luego Eqs. (27)-(29) implican 1 = 0, J×+1, L = − 32Gμ2 J×L®. (30) 1A medida que nos centramos aquí en los giros, no vamos a detenernos en el posible retroceso como resultado de la pérdida de impulso debida a la radiación gravitacional en la fusión de los dos agujeros negros (véase, por ejemplo, Brügmann 2008, Gonzalez et al. 2007a, b). La precisión de la determinación de la distancia entre dos separado e independiente activo negro agujeros (Marcaide & Shapiro 1983, Brunthaler et al. 2005) está alcanzando una precisión, que pronto puede permitir El retroceso debe ser mensurable; todavía no se ha detectado ninguna prueba de este tipo. – 18 – El impulso angular total J también es cambiado por la radiación gravitacional emitida. As no se produce ningún otro cambio en las órdenes 2PN, JÃ3 = Là  Là  y N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N N N N N N N N N N N N = N N N N = N N N N N N N N N = N N N N N N N N N N N N N N N N N = N = N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N = N N N N = N = N = N = N = N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N LÃ3 ·         LÃ3 ·         . 31) Nótese que desde el segundo Eq. (31) es inmediato que la dirección de J cambia violentamente, cada vez que J es pequeño en comparación con Ló. Al orden principal en ν, los vectores L, S1, y J forman un paralelogramo, caracterizado por los ángulos α = cos−1 LÃ3 ·         y β = cos−1 â â € ¢ 1 . De Eqs.(30) y (31), obtenemos = − sinα > 0, (32) sinα < 0. 33) En esta última ecuación, hemos utilizado que â ¬ 1· Lâ = cos (α + β). Por lo tanto, hemos encontrado la siguiente imagen para la inspiración del binario compacto después de la radio de transición. Al ignorar la radiación gravitacional, las precesiones de SO (25) y (26) asegurar que los vectores L y S1 están precediendo sobre J (una dirección fija), pero también sobre el uno al otro (entonces los respectivos ejes de precesión evolucionan en el tiempo). Radiación gravitacional un poco perturba esta imagen. El ángulo α β entre el momento angular orbital y el giro dominante permanece constante durante la inspiración, incluso con la radiación gravitacional Teniendo en cuenta. Por el contrario, el ángulo entre J y L aumenta continuamente, mientras que el ángulo entre J y S1 disminuye con la misma velocidad. Esto también significa que debido a la radiación gravitacional, los vectores L y S1 ya no preceden sobre J en un exacto sentido común. Sin embargo, siguen preocupándose el uno por el otro. El cambio en el momento angular total Jâ = Lâ ° Lâ ° se trata de la momen angular orbital- el cual, a su vez, básicamente (independientemente de la radiación gravitacional) sufre una movimiento sobre J. Esto muestra que el cambio promedio en J es a lo largo de J. Esta conclusión, sin embargo, depende en gran medida de si la frecuencia angular precesional p es mucho más alta que el cambio en los ángulos α y β. De hecho, si son comparables, el componente perpendicular a J en el cambio de Jâ = Lâ ° Lâ ° no se promediará durante un ciclo precesional, como debido al aumento de α puede diferir significativamente al principio y al final de la el mismo ciclo precesional, véase la figura 1. El régimen con Pp puede ser bien aproximado por un movimiento precesional de ambos L y S1 alrededor de un fijo, con las magnitudes de L y J lentamente encoger, el ángulo – 19 – α aumentando lentamente y β disminuyendo lentamente. Como resultado, durante la inspiración, el orbital impulso angular lentamente se aleja de J, mientras que S1 lentamente se acerca a la dirección de J. Este régimen es característico para la mayoría de los casos, y fue llamado simple precesión en Apostolatos et al. (1994). Cada vez que la conclusión de tener a Jó en la dirección de no se sostiene para el promedio sobre una precesión. Esto da lugar a un cambio en la dirección de J en cada ciclo. La evolución se vuelve mucho más complicada (de hecho, no hay análisis aproximados se conoce la solución), y se llamó precesión transitoria en Apostolatos et al. (1994). Veamos ahora cuando los dos tipos de evolución típicamente ocurren. Para ello, tomamos nota de que la tasa inspiral LÃ3r/L es del orden ­4η, (34) mientras que la velocidad angular precesional p = 2GJ/c 2r3 da la estimación 5/2 N° de cat.: E-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: mail: @@@@@ . (35) Finalmente, la velocidad de inclinación de L es del orden 7/2 sin (α + β) - ¡No! - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! sin (α + β) (36) Hemos usado sinα = pecado ( β) 1/21 sin (β) (37) para la primera y segunda expresiones de , respectivamente, junto con Eq. (11). Para comparar... Todos ellos están representados en el cuadro 2 para los tres regímenes que se caracterizan por S1/L S1 (L) y S1/L (L) (L), respectivamente. Los números de la segunda línea de la tabla 2 demuestran que para el ejemplo el tiempo de precesión puede llegar a ser tan corto como un día, pasando de 3000 años a tres años a un día en las tres columnas de arriba. Esta última etapa está, obviamente, bastante cerca de la Sumérgete. Desde la primera línea podemos inferir límites superiores de lo cerca que está la fusión, así que 30 millones de años en la columna 1, 300 años en la columna 2, y unos meses en la columna 3. As the tasa inspiral aumenta en el tiempo, en lugar de ser una constante, estos números son más altos que los valores reales. La exactitud de la tercera estimación se ve obstaculizada aún más por el hecho de que después de ISO la inmersión sigue, pero como esto comprende sólo unas pocas órbitas, la predicción PN puede – 20 – Cuadro 2: Estimaciones del orden de magnitudes para la tasa inspiral Lâr/L, angulares pre- velocidad encesionaria y velocidad de inclinación de los vectores L y S1 con respecto a J, representado para los tres regímenes con L > S1, L • S1 y L < S1, charac- teristica en el ámbito de las relaciones de masa ν = 0,3­0,03. Los números entre paréntesis representan escalas de tiempo inversas en segundos-1, calculadas para la relación de masa típica v = 10−1, parámetro post-Newtoniano 10−3, 10−2 y 10−1, respectivamente y m = 108M® (entonces c 3/Gm = 2× 10−3 s−1). L > S1 L  S1 L < S1 − LÃ3rÂ/L 32c 4η (­ > 10­15) 32c • 4η (• 10−11) 32c - 4 N° (- 10 - 7 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 10 - 7 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 10 - 7 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 10 - 7 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 5/2° (± 10-11) 2c 5/2° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 10 a 8 J - 3 (- 10-5) sin() ­9/2 n.c.o.p. 10-16) 32c ­9/2 n.c.o.p. 10-11L 7/2 (entre 10 y 8 años) se considerarán pertinentes como una estimación de orden de magnitud. Multiplicando los números en el tercera línea con las escalas de tiempo de precesión 1p realmente obtenemos el ángulo de inclinación relevante, variando de 2 arcsec durante una precesión (6× 10-4 segundos de arco al año) en grandes separaciones a 3 arcmin por precesión (por día) cerca de la ISO. Vemos, que la tasa de precesión y la velocidad de inclinación se convierten en comparables en el S1 L de la época (en la que 1 / 2 / 1 / 1) para sin (α + β) −1/3 - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! (38) Asunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos es decir, para el ejemplo numérico elegido v = 10−1 y para el soporte cuadrado de la unidad de orden, esto da J/L 10−1 y la tasa de −9 (esto sigue siendo 100 veces más rápido que el tasa de inhalación). El momento angular total J puede ser tan pequeño sólo si L y S1 son casi perfectamente antialineados, por lo tanto α + β ¿Cuál es la condición para Precesión transitoria (38) significa en términos de su ángulo, ¿qué tan cerca debe estar de la ¿El perfecto anti-alineamiento? Para responder a la pregunta tomamos nota de que L cosα + S1 cos β * Sinα, (39) Entonces, comparando con las estimaciones (37) y (38) concluimos, que la precesión transicional sólo puede ocurrir si la desviación de la perfecta anti-alineación es del orden de ν3/2. Esto es un caso altamente atípico en los binarios galácticos de agujeros negros. – 21 – 5.3. Límites de validez Uno podría preguntarse seriamente si empujando los valores de los parámetros más allá de la el rango para el que los usamos demostraría realmente que nuestras aproximaciones no pueden Es posible que sea correcto. Quisiéramos abordar específicamente las dos preocupaciones siguientes. a) Es el alto límite de impulso angular orbital L >> S1, obtenido por un aumento suficiente de la separación de los dos agujeros negros un límite correcto? b) Es el límite de masa extrema → 0, para el que el tratamiento de la sección 5 puede parecer cada vez más exacto, ¿correcto? Con respecto al límite (a): en cualquier expansión con un pequeño parámetro una condición siempre espera: el parámetro debe ser pequeño, y en cualquier expansión PN siempre podemos llegar a una etapa, para lo cual la base física falla tan inadecuada, como otros procesos físicos adicionales se vuelven dominante, o para los que no hay apoyo observacional, a pesar de la validez matemática de la expansión. De entre los efectos que afectan las direcciones de los giros la dinámica discutida en En la sección 5 se tiene en cuenta 1) el efecto conservador del orden principal, dado por la precesión debido al acoplamiento de giro-órbita y (2) el efecto disipador de orden principal debido a la gravedad radiación. Otros efectos conservadores y disipadores son descuidados, siendo más débiles. Significado los resultados se pueden rastrear a partir de este modelo sólo cuando estas suposiciones se mantienen. Esto implica que el parámetro post-Newtoniano  varía entre 10-3 y 10-1, correspondiente a la órbita Separaciones de 500 radios Schwarzschild = 0,005 uds. a 5 radios Schwarzschild, con 108 millones de uds. agujero negro. Esto se pone de relieve en el párrafo siguiente a Eq. (8). Las fases “inicial” y “final” de la dinámica descrita anteriormente se refieren, por lo tanto, a una rango bien definido de separación orbital, no son arbitrarios. La elección para el estado inicial se justifica además por la discusión de la sección 4. No se puede aplicar la dinámica discutida arriba a distancias arbitrariamente grandes, donde el impulso orbital realmente dominaría, simplemente porque la dinámica ya no es válida allí. En las separaciones más grandes el líder orden efecto disipativo se debe a la fricción dinámica, por lo tanto, la discusión de los dos anteriores las subsecciones no son aplicables. En cuanto a la letra b): según el resumen presentado en el cuadro 1, hay tres possi- bilidades en el régimen de PN, donde la dinámica analizada anteriormente sostiene: (i) a partir de las proporciones de masa v de 1 a 1/3 el impulso angular orbital domina a lo largo de toda la gama de — a partir de las relaciones de masa. de 1/3 a 1/30 inicialmente el impulso angular orbital domina sobre el giro, pero su la relación se invierte en la separación final; iii) a partir de las relaciones de masa v menos de 1/30 la rotación – 22 – es dominante durante todo el proceso. Nuestra afirmación es que el spin-flip se produce sólo si el momento angular total (cuyo dirección permanece inalterada) inicialmente está dominada por el momento angular orbital, finalmente por el giro, por lo tanto sólo para el caso (ii). En la dinámica presentada en las dos subsecciones anteriores hemos descuidado la segunda Gira. Como incluso para la relación de masa más alta v = 1/3 en el régimen (ii) la segunda vuelta es 1 orden de magnitud más pequeño que el giro principal, consideramos esta suposición justificada. Con proporciones de masa decrecientes se vuelve cada vez más preciso descuidar la segunda vuelta, ya que según Eq. (7) la relación de los giros va con v2. Sin embargo, no todos los resultados de la subsección anterior son cada vez más exactos con una relación de masa decreciente. Enfatizamos, lo que es diferente en el caso iii) en comparación con (ii). La diferencia está en las condiciones iniciales, que permiten obtener un giro-giro en el caso (ii), pero no en iii). Matemáticamente, la diferencia entre estos dos casos se puede ver desde Eq. 33), mostrando que la velocidad angular de inclinación de las escalas de giro dominantes con v2. Por la Comisión coeficientes de masa extrema v < 1/30, por ejemplo, cuadro 1, el giro domina sobre el angular orbital impulso a lo largo de todo el régimen de la PN. Por lo tanto, la relación S1/J es de orden unidad. Con la disminución ν sin embargo el cambio en la dirección del giro, representado por va rápido a cero, por lo tanto no se produce spin-flip en el régimen de PN para las relaciones de masa extremas. Al final de esta subsección derivamos una expresión analítica relacionada con la servida α + β, el parámetro PN en evolución y la relación de masa v. De la figura 1 J = L cosa S1 cosa β. Introduciendo el ángulo α + β y empleando la estimación (11) obtener 1 + 1 / 2 / 1 cos (α + β) cosα + 1/21 sin (α + β) sinα. (40) Insertando esto en la segunda expresión (37) y reorganizando encontramos sin 2α 1 + 2α sin (α + β) 1/2 / + cos (α + β) . 41) Para una configuración inicial de 0,005 pc (de tal manera que la desalineación inicial entre L y J es αinicial 18 â € TM a, 10 â € TM a, 0 â € para el giro dominante en el plano de órbita, que abarca 45o con el plano de órbita y perpendicular al plano de Órbita (de tal manera que = 90°, 45°, 0°), respectivamente. Luego βinicial = 72 *, 35*, 0*. Para el mismo relación de masa y configuraciones relativas, el ángulo α al final de la época PN (a  = 10−1) se convierte en αfinal *, 35*, 0*, respectivamente. Esto puede traducirse en una desalineación entre S1 y J de βfinal = 17 *, 10o, 0o, y un spin-flip de = 55o, 25o, 0o, respectivamente. – 23 – 5.4. Resumen En el rango típico de relaciones de masa ν = 0,03­0,3 la condición inicial L > S1 es siempre transformado en S1 < L, pero la transición se acompaña muy raramente de la llamada Precesión transitoria. En todos los demás casos la precesión es simple. Como el ángulo de precesión de la rotación dominante está disminuyendo en el tiempo desde el valor inicial dado a un valor pequeño, el Cono precesional se vuelve más estrecho en el tiempo. Al final de la fase inspiracional el dominante la vuelta S1 apuntará más o menos a lo largo de J. Esto significa que se ha producido un spin-flip durante el post- Evolución newtoniana, ya en la fase inspiradora de la fusión. Por otra parte, como la fase inspiral termina con L < S1, independientemente de lo que suceda en las fases siguientes, durante la zambullida y anillada, L no es lo suficientemente alta como para causar un giro significativo adicional. Para las proporciones de masa más pequeñas (para las fusiones de proporciones de masa extremas) el giro más grande ya domi- nates el momento angular total desde el principio de la inspiración, por lo tanto no se gira-giro se producen por el mecanismo presentado aquí. Alternativamente, a partir de la segunda expresión (36) uno puede ver que la tasa de inclinación de la vuelta disminuye con v2, por lo que va rápido a cero en el caso de relación de masa extrema. Sin embargo, como argumentamos en la sección 2, tales proporciones de masa son menos típico de las fusiones galácticas centrales de SMBH. Esto también muestra que una partícula que cae no cambiar el giro del agujero negro supermasivo. Para la (otra vez atípica) masa igual SMBH fusiones el momento angular orbital se mantiene dominante hasta el final de la fase inspiral. En este caso, sin embargo, la posibilidad permanece abierto para tener un giro-giro más adelante, durante la inmersión. 6. Discusión Las consideraciones de este documento conducen a la siguiente secuencia de tiempo para el transitorio alimentación de un SMBH incluyendo una fusión con otro SMBH. Primero: Dos galaxias con agujeros negros centrales se acercan a una distancia donde la fricción dinámica los mantiene atados, en espiral el uno hacia el otro. Si hay gas fresco en cualquiera de los dos, puede comenzar a formar estrellas rápidamente, a lo largo de los brazos de marea. El centro galáctico supermassive SMBH binary influye en la dinámica del gas y la actividad de formación de estrellas también en el disco de gas nuclear, debido a diversas resonancias entre el movimiento de gas y el movimiento binario SMBH (Matsui et al. 2006), creando algunas estructuras características, como las estructuras de filamentos, formación de brazos espirales gaseosos, y pequeños discos de gas alrededor de SMBHs. Si cualquiera de las galaxias pasa a tener chorros de radio, entonces debido al movimiento orbital, estos chorros se distorsionan y forman la forma Z (Gopal-Krishna et al. 2003, Zier 2005). – 24 – Segundo: Las regiones centrales de cada galaxia comienzan a actuar como una unidad, en un mar de estrellas y materia oscura de la otra galaxia. Durante esta fase, como el gas fresco del otro socio típicamente tiene un bajo impulso angular con respecto a la galaxia receptora, la región central se puede agitar, y producir una explosión estelar nuclear (Toomre y Toomre 1972). La central agujero negro se puede empezar a alimentar a un alto ritmo, pero su emisión se sumergirá en toda la emisión de infrarrojos lejanos del gas y polvo calentado por las estrellas masivas producidas en el estallido estelar. En este caso, hay fricción dinámica, que puede actuar para seleccionar las simetrías, tales como la coronación, la contra rotación, o la rotación a 90° (como en NGC2685, un polar galaxia de anillo; Richter et al. 1994). Tercero: Los agujeros negros comienzan a perder impulso angular orbital debido a la interacción con las estrellas cercanas (Zier y Biermann 2001, 2002). Otros mecanismos para los dispositivos angulares También se conoce la pérdida de impulso (Sesana et al. 2006, 2007a,b, Alexander 2007, Hayasaki 2008). Los dos agujeros negros se acercan a esa distancia crítica donde la interacción con las estrellas y la radiación gravitacional eliminan fracciones equivalentes del angular orbital impulso. Entonces, como se muestra en este artículo, los ejes de giro caen y el preceso. Esta fase se puede identificar con el superdisco aparente, ya que el chorro de preceso rápido produce el equivalente hidrodinámico de un viento potente, mediante el entrenamiento del gas caliente ambiente, empujando el dos lóbulos radio separados y dando lugar a una amplia separación (Gopal-Krishna et al. 2003, 2007, Gopal-Krishna & Wiita 2006). Gopal-Krishna & Wiita (2006) enfatizan lo evidente la asimetría, que proponemos atribuir a los efectos de la línea de visión y la distorsión debida a la reciente fusión. La base de la estructura de radio es tan amplia y asimétrica, que la AGN central parecerá ser compensado desde el centro proyectado de brecha. Los argumentos recientes de Worrall y otros (2007) parece ser coherente con este punto de vista. La dirección de giro de la combinación de dos agujeros negros se conserva, aunque la fuerza de la rotación disminuye. As durante la simple precesión el impulso angular total se reduce considerablemente, pero su dirección se conserva, en el otro lado la magnitud del giro se mantiene constante, esto significa que el el impulso angular orbital se reduce. Para los binarios de masas comparables será aún más alto que el giro en ISO (por lo tanto, la dinámica por debajo de ISO, que se puede analizar sólo numéricamente, debe ser responsable de cualquier spin-flip en el caso de masas comparables). Para la masa extrema cociente binarios el resultado de la contracción del momento angular orbital es L < S en ISO. Por lo tanto, el giro en ISO debe ser aproximadamente alineado con la dirección de J = L+S, que (como inicialmente L era dominante), está cerca de la dirección de la L inicial. En algunos casos, especialmente para masas iguales de los dos agujeros negros, un fuerte retroceso ha (González et al. 2007a, b). Sin embargo, como hemos señalado anteriormente, la relación de masa igual es Atípico. Cuarto: los dos agujeros negros en realidad se fusionan, y el agujero negro fusionado mantiene el – 25 – eje de rotación desde el momento angular orbital del binario existente anteriormente, siempre que la proporción de masa es relativamente grande. En caso de que la relación de masa esté entre 1 : 1 y 1 : 3, entonces incluso en la órbita más estable más interna una fracción sustancial del angular orbital momentum puede sobrevivir, posiblemente llevando a un giro-giro más adelante. Esta fase tan corta debería ir acompañada de una emisión extrema de ondas gravitacionales de baja frecuencia. La etapa final en esta fusión conduce a un rápido aumento de la frecuencia de las ondas, llamado “chirping”, Pero este canto dependerá de los ángulos involucrados. El ángulo entre el giro orbital de los dos agujeros negros combinados, y el giro intrínseco de las influencias más masivas del agujero negro la frecuencia más alta del chirp; para un ángulo grande esta frecuencia será menor que para un pequeño ángulo entre los dos giros. Si hay otra característica observable, como el Decaimiento inducido de partículas pesadas de materia oscura, de la fusión de los dos agujeros negros en que evento como el especulado por Biermann & Frampton (2006) no está claro en este momento. Quinto: Ahora el nuevo agujero negro fusionado más masivo comienza su disco de acreción y volar de nuevo, perforar un nuevo agujero para los chorros a través de su entorno. Esta etapa puede ser identificado tal vez con giga hertz pico de fuentes de radio (GPS). Si el nuevo jet apunta en el observador, entonces 3C147 puede ser un ejemplo (Junor et al. 1999). Sexto: Los chorros de nueva orientación comienzan a aparecer sobre algunos kpc, y esto corresponde a las radio galaxias en forma de X, mientras que los viejos chorros están desapareciendo pero todavía visibles. Esto también explica muchas de las fuentes compactas del espectro empinado, con direcciones desconectadas para el interior y el exterior jets. Séptimo: Los viejos chorros se han desvanecido, y son a lo sumo visibles en la baja frecuencia de radio estructuras burbujeantes, como se ve en la región de cluster Virgo alrededor de M87 (Owen et al. 2000). La alimentación se está desacelerando, y ya no hay un disco de acreción observable, pero probablemente sólo un disco dominado por la advección. Sin embargo, un jet de gran alcance todavía está allí, aunque por debajo o incluso muy por debajo de la potencia máxima. La alimentación es todavía del material residual que se detiene de la fusión. Octavo: La alimentación del agujero negro se reduce a la captura de un poco de gas de un común El viento gigante rojo de la estrella como presumiblemente está sucediendo en nuestro centro Galáctico. Esta etapa parece existen para todos los agujeros negros, incluso en niveles muy bajos de actividad (por ejemplo, Pérez-Fournon y Biermann 1984, Elvis et al. 1984, Nagar et al. 2000). Si este concepto descrito aquí es cierto, entonces las galaxias de radio superdisco deberían tener grandes distorsiones externas en sus imágenes de radio, que pueden ser detectables a muy alta sensibilidad, como deben corresponder a fuentes en forma de Z recientemente activas. Además, el superdisco debería ser visible en rayos X, aunque si la refrigeración es eficiente la temperatura puede ser relativamente baja. El cuadro 2 sugiere que la fusión es inminente, si la precesión del jet es mensurable dentro de – 26 – unos años, y el ángulo de apertura de la precesión es mucho más estrecho que el cono del viento, Reflejando la precesión anterior de tiempo más largo (véase Gopal-Krishna et al. 2007). Por lo tanto, con muy sensible radio interferometría podría ser posible detectar el chorro subyacente a pesar de su rápida precesión, aunque inmediatamente antes de la fusión real la alimentación del jet se apagará. Como más y más piezas de evidencia sugieren que los AGN son las fuentes de ultra-alto rayos cósmicos de energía (Biermann & Strittmatter 1987, Biermann et al. 2007) tenemos que preguntar lo que podríamos aprender a continuación. Claramente, después de un spin-flip, el nuevo jet relativista perfora a través de un nuevo entorno, con mucho gas, y por lo tanto sufre un fuerte choque de desaceleración. En tal shock las partículas se aceleran a las energías máximas, y al mismo tiempo, a medida que dejan el choque la región interactúa con todo ese gas interestelar. Por lo tanto, tales sitios son fuentes primarias para cualquier nuevas partículas, como neutrinos de alta energía (Becker et al. 2007). Tales descubrimientos pueden muy bien ser posible mucho antes de que detectemos las ondas gravitacionales de baja frecuencia del agujero negro fusión. Como en tales neutrinos de alta energía viajan directamente a través del universo, y sufren poco pérdida distinta de la expansión adiabática del universo, los agujeros negros resultantes de una fusión de dos agujeros negros, con posterior spin-flip, serán los objetivos principales para las búsquedas para neutrinos de energía ultra alta, y tal vez otras fotos y partículas en energías extremas. 7. Observaciones finales Considerando que se ha cuestionado en el pasado si los SMBH centrales de la fusión galaxias serán capaces de fusionarse realmente o su aproximación se estancará (debido al proceso de pérdida de cono de agotamiento) a una distancia donde la disipación a través de la radiación gravitacional no es (para un examen de estas consideraciones véase Merritt & Miloslavljević 2005), el papel de la fricción dinámica como acercar los SMBH al radio de transición, desde donde la radiación gravitacional lleva a cabo el control del proceso disipativo ha sido recientemente confirmado (Zier 2006) y también se propusieron mecanismos complementarios (Alexander 2007, Sesana et al. 2006, 2007a, b, Hayasaki 2008). Se prevé que la misión espacial LISA detectar la fusión de SMBHs. Los argumentos estadísticos de Rottmann (2001), utilizando la radio observaciones, sugieren que toda fuerte actividad central en las galaxias puede implicar una fusión de dos agujeros negros. Por lo tanto, hemos asumido en este documento que cada vez que las galaxias se fusionan, así que harán sus SMBH centrales. Incluso si hubiera excepciones en virtud de esta regla, esto sería reflejar únicamente en la inclusión de un factor global. 1 en el número de fusiones de SMBH como en comparación con el número de fusiones de galaxias, derivadas de la sección 2, que no afectarían las estimaciones de la proporción de masa de nuestro papel. Guiados por suposiciones razonables y simples hemos demostrado que los sistemas binarios de – 27 – Los binarios SMBH formados por fusiones de galaxias suelen tener un rango de masa entre 1/3 y 1/30. Después de esto, hemos demostrado que para los rangos de masa típicos una combinación de la Así que la precesión y la disipación por radiación gravitacional produce el giro-giro de la agujero negro dominante ya en la fase inspiral, excepto para la configuración particular de el giro perpendicular al plano orbital. Durante este proceso la magnitud del giro es sin cambios, por lo tanto la fusión de un alto giro (y alto parámetro de rotación) agujero negro con el agujero negro más pequeño da lugar a un estado de rotación alto similar al final de la fase inspiral. Estos son los principales resultados de nuestro trabajo. Hay una discusión relacionada en la literatura, si el giro alto de Los SMBH se producen por fases prolongadas de acreción o por fusiones frecuentes. Incluso un escenario, donde los SMBHs tienen típicamente baja rotación (King & Pringle 2006) fue avanzado, basado en el suposición de períodos cortos de pequeña acreción desde direcciones aleatorias. Hughes & Blandford (2003), extrapolando los resultados de \ = q−1 - 1 binarios a masas comparables, han mostrado que fusiona los agujeros negros spin-down. Volonteri et al. (2005) han estudiado la distribución SMBH gira bajo la acción combinada de acreción y fusiones, y encontró que la El efecto spin-up dominante es por acreción de gas. Últimamente, Berti & Volonteri (2008) han El problema de las fusiones se plantea teniendo en cuenta la mejora de la métodos relativistas (Pretorius 2007), y una fórmula semianalítica reciente, que da la giro final en términos de los giros adimensionales iniciales, la relación de masa y los ángulos relativos de la órbita momentum angular y giros (Rezzolla et al. 2008a,b,c, Barausse & Rezzolla 2009). Ellos han encontrado que las fusiones pueden dar lugar a un alto estado final de giro sólo si la rotación dominante es alineado con el impulso angular orbital del sistema (por lo tanto, las órbitas de masa más pequeñas en el plano ecuatorial del más grande). Sus consideraciones se extienden de masas comparables a coeficientes de masa de 1/10. Sin embargo, Berti y Volonteri (2008) descuidaron el impulso angular intercambio y transporte entre agujero negro, chorro y disco de acreción interior por campos magnéticos (véase, por ejemplo, Blandford 1976); esto puede modificar o incluso agudizar las conclusiones. Podemos añadir tres observaciones a este debate. En primer lugar, hemos demostrado por medios analíticos, que para el rango típico de la relación de masa la fase inspiral termina con un valor considerablemente menor del momento angular orbital en comparación con el giro (véase la última imagen de la Figura 1). A argumento heurístico muestra entonces que un momento angular tan pequeño no podría significativamente cambiar la dirección del giro durante las fases siguientes de la fusión. Aparte de esto pequeño impulso angular orbital, el problema es axialmente simétrico, no esperamos un giro adicional significativo debido a la radiación gravitacional en las últimas etapas de la inspiración. En segundo lugar, la configuración del momento angular orbital alineado con el giro dominante no es una opción preferida en el régimen gravitacional dominado por la radiación post-Newtoniana. Lo es. todavía no está claro si tal alineación podría ser el subproducto de las fases anteriores de la – 28 – inspiral, cuando la fricción dinámica (Zier & Biermann 2001), interacciones de tres cuerpos (Sesana et al. 2006, 2007a,b), procesos de relajación debidos a interacciones entre la nube y las estrellas (Alexander 2007), tres acreción del modelo de disco (Hayasaki 2008), y otros posibles mecanismos ocurren. Desde el sistema estelar es a menudo ligeramente aplanado, la fricción dinámica diferencial podría producir la cerca de la alineación necesaria para permitir un giro muy alto después de una fusión. En tercer lugar, la magnitud del giro prácticamente no cambia en la fase inspiracional, discutida Aquí. Esto se debe a la pérdida en el vector de rotación por radiación gravitacional, un segundo orden PN efecto, calculado a partir del potencial Burke-Thorne (Burke 1971), es perpendicular a la giros, produciendo otro efecto precesional (Gergely et al. 1998c). Por debajo de ISO esta estimación debe desglosarse, como se indica en las simulaciones numéricas que informan sobre diversas fracciones de el giro irradiado. En este contexto queremos subrayar la magnitud inalterada de el giro durante la inspiración, como datos iniciales importantes para la evolución numérica durante el Sumérgete y arrójate. También mencionamos aquí los resultados de la comunidad de relatividad numérica que muestra una Retroceso lateral del SMBH fusionado en casos particulares, principalmente para masas iguales y peculiares configuraciones del momento angulara (Brügmann 2008, Gonzalez et al. 2007a, b, Koppitz et al. 2007). También se ha demostrado que el retroceso regula el crecimiento de la masa de SMBH, como el SMBH deambula a través de la galaxia anfitriona durante 106  108 años (Blecha y Loeb 2008). Según la fórmula empírica de Campanelli et al. (2007a, véase también Lousto & Zlochower 2009) las escalas de velocidad de retroceso con q−2/ (1 + q−1) (1 + q−1), que para q−1 = a una escala con q−2. Por lo tanto, no esperamos efectos de retroceso significativos en la masa típica Rango de proporción de las fusiones de SMBH. Sugerimos que la fase precesional de la fusión de dos agujeros negros, ocurriendo antes del giro, es visible como un superdisco en las galaxias de radio (Gopal-Krishna et al. 2007). El chorro anterior aparece como un superviento que separa los dos lóbulos de radio en las etapas finales de la fusión. De acuerdo con nuestro modelo tales galaxias de radio son candidatos para subsecuentes Fusiones de SMBH. Otras observaciones y trabajos teóricos pueden ser capaces de identificar estos candidatos probablemente se fusionarán, y determinarán el calendario para que esto suceda. El reinicio de la alimentación de un jet relativista (después de la vuelta y la fusión) producirá energía ultra alta hadrones, neutrinos y otras partículas. Sobre la base de las estimaciones que figuran en el cuadro 2 para los plazos previos e inspiracionales, Podemos decir lo siguiente. Si fuéramos a observar un tiempo de precesión de tres años en un radio galaxia superdisco, podríamos predecir con confianza una caída en unos 300 años, lo que debería ser observable. Los plazos de precesión más rápidos requerirían algún esfuerzo para identificarse. Sin embargo, si Pudimos incluso identificar una escala de tiempo de precesión de días a semanas, entonces la caída sería se predice que sucederá unos meses a unos pocos años de allí: poderosas ondas gravitacionales en – 29 – entonces se emitiría una frecuencia muy baja. La imagen desarrollada aquí difiere de la de Wilson & Colbert (1995) en que lo hacemos no identificar sólo las raras fusiones de dos enormes agujeros negros de masas aproximadamente iguales con radio galaxias y radio quásares. Tenemos la intención de revisar las interacciones con las estrellas (Zier et al. 2009, en preparación), discutir el giro de los agujeros negros en otra obra (Kovács et al. 2009, en preparación) desarrollado a partir de Duđan & Biermann (2005), finalmente para trabajar cuantitativamente la relación de la fusión de agujeros negros y las estadísticas de radio galaxias (Gopal-Krishna et al. 2009, en preparación). 8. Agradecimientos Agradecemos las conversaciones con Gopal-Krishna y C. Zier. P.L.B. reconocer nuevas conversaciones con J. Barnes, B. Brügmann y G. Schäfer. L.Á.G. fue sucesivamente con el apoyo de OTKA subvenciones 46939, 69036, la beca János Bolyai de la Academia Húngara de Ciencias, el Fondo de Oportunidades de Investigación de la Universidad del Banco del Sur de Londres y el Polányi Programa de la Oficina Nacional Húngara de Investigación y Tecnología (NKTH). Sup- puerto para P.L.B. fue de la membresía de AUGER y la subvención teórica 05 CU 5PD 1/2 vía DESY/BMBF y VIHKOS. La colaboración entre la Universidad de Szeged y la La Universidad de Bonn fue a través de un contrato de la UE Sokrates/Erasmus. REFERENCIAS Alexander, T., en 2007 STScI Spring Symp.: Agujeros Negros”, eds, M. Livio & A.M. Koekemoer, (Cambridge, Cambridge University Press), en prensa (arXiv:0708.0688) Antonucci, R.R.J., Miller, J.S., Astrophys. J. 297, 621 - 632 (1985) Apostolatos T.A., Phys. Rev. D 52, 605 (1995) Apostolatos T.A., Phys. Rev. D 54, 2438 (1996) Apostolatos T.A., Cutler C., Sussman G.J., Thorne K.S., Phys. Rev. D 49, 6274 (1994) Barausse, E. 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(2009), en preparación Esta preimpresión fue preparada con el AAS LATEX macros v5.2. http://arxiv.org/abs/0710.4301 http://arxiv.org/abs/astro-ph/0702411 Introducción Rango de la relación de masa pertinente El giro y el impulso angular orbital en el régimen PN Las escalas de tiempo La inspiración de los binarios compactos de hilado en el régimen dominado por la radiación gravitacional Dinámica conservadora por debajo del radio de transición Dinámica disipativa por debajo del radio de transición Límites de validez Resumen Discusión Observaciones finales Agradecimientos

La fusión masiva de agujeros negros será la fuente principal de poder ondas gravitacionales a baja frecuencia, y permitirá probar general relatividad con galaxias candidatas cerca de una fusión binaria de agujero negro. En este papel identificamos la proporción de masa típica de los dos agujeros negros, pero luego mostrar que la distancia cuando la radiación gravitacional se convierte en el disipador dominante el efecto (sobre la fricción dinámica) no depende de la relación de masa. Sin embargo, la evolución dinámica en el régimen de emisiones de ondas gravitacionales. Por la Comisión la fase final de la fusión va precedida de una precesión rápida y un giro posterior del agujero negro principal. Esto ya ocurre en la fase inspiral, por lo tanto se puede describir analíticamente por técnicas post-Newtonianas. Luego identificamos las radio galaxias con un superdisco como aquellos en los que el chorro de preceso rápido produce efectivamente un potente viento, entrenando el gas ambiental para producir la apariencia de un Un disco grueso. Estas galaxias específicas son así candidatas para una fusión de dos agujeros negros que ocurrirán en el futuro astronómicamente cercano.

Introducción El fenómeno más energético que implica la relatividad general en el uni- verso es la fusión de dos agujeros negros supermasivos (SMBHs). Por lo tanto, el estudio de estos las fusiones pueden proporcionar una de las pruebas más rigurosas de relatividad general, incluso antes de la medición cubierta y precisa de las ondas gravitacionales correspondientes (véase, por ejemplo, Schäfer 2005). La mayoría de las galaxias tienen un agujero negro masivo central (Kormendy & Richstone 1995, Sanders) & Mirabel 1996, Faber et al. 1997), y después de su crecimiento inicial (para un posible ejemplo cómo esto podría suceder, ver Munyaneza & Biermann, 2005, 2006), su evolución está gobernada por fusiones. Por lo tanto, los dos agujeros negros centrales también se fusionan (véase Zier & Biermann 2001, 2002; Biermann et al. 2000; Merritt & Ekers 2002; Merritt 2003; Gopal-Krishna et al. 2003, 2004, 2006; Gopal-Krishna & Wiita 2000, 2006; Zier 2005, 2006, 2007). Antes de los dos negros los agujeros se acercan, las galaxias comienzan a rodearse, distorsionando la forma de una radio galaxia alimentados por uno o ambos agujeros negros; de ahí las galaxias de radio en forma de Z (Gopal-Krishna) et al. 2003). Cuando se fusionan, en circunstancias específicas que se aclararán en el presente documento, puede producirse un vuelco. Para un agujero negro que alimenta la actividad alrededor de él, el eje de giro define el eje de un chorro relativista, y por lo tanto un spin-flip resulta en una nueva dirección de chorro: de ahí las radio galaxias en forma de X (Rottmann 2001, Chirvasa 2001, Biermann et al. 2000, Merritt y Ekers 2002). De hecho, las observaciones sugieren que toda la actividad alrededor de un agujero negro puede resulta en un chorro relativista incluso para la actividad quásar de radio débil (Falcke et al. 1996, Chini et al. 1989a, b). Una famosa imagen a color que muestra el pasado giro-giro del agujero negro M87 (Owen et al. 2000) muestra claramente un débil contra-jet de radio, desalineado con el moderno jet activo alrededor de 30oC. La característica de los chorros de radio galaxia en forma de X es tan común y sin embargo muy de corta duración que todas las radio galaxias pueden haber pasado por esta fusión (Rottmann 2001), y Por lo tanto, debería haber sufrido un giro-giro. Esto también puede deducirse de la observación de que muchas fuentes de espectro empinadas compactas muestran una estructura de radio doble desalineada, donde un par interno de puntos calientes está desalineado con un par externo de puntos calientes (Marecki et al. 2003). Concluimos que los argumentos teóricos y las observaciones sugieren consistentemente que el negro los agujeros se funden y dan lugar a un giro-giro. De estos y otros datos deducimos algunos principios básicos que la teoría necesita para explicar: 1. En las radio galaxias en forma de X los ángulos entre dos pares de chorros en proyección son típicamente menos de 30 grados. Los ángulos reales pueden ser incluso alrededor de 45o. Se cree que los jets para significar el eje de giro del más activo (por lo tanto presumiblemente el más masivo) negro agujero antes de la fusión y el eje de giro del agujero negro fusionado. Por lo tanto, una cantidad sustancial debería haber ocurrido spin-flip. – 3 – 2. En las radio galaxias en forma de X, un par de chorros tiene un espectro radioeléctrico empinado. Esto implica que no ha sido reabastecida energéticamente recientemente, es un viejo par de jets; y Su edad de sincrotrón es típicamente de unos 107 años. El otro par de jets tiene un relativamente plano espectro radioeléctrico (este es el nuevo jet; Rottmann 2001). Por lo tanto, espectroscopia de radiocontinuum soporta el modelo spin-flip. 3. Una vez más, como muestra Rottmann (2001), las estadísticas de las radio galaxias en forma de X son tal, que cada radio galaxia pudo haber pasado a través de esta etapa durante su evolución. Esto coincide con argumentos basados en observaciones de infrarrojos lejanos que la actividad central en las galaxias como las ráfagas estelares y la alimentación de la actividad de un agujero negro central, es a menudo, tal vez siempre, precedida de una fusión de galaxias (Sanders & Mirabel 1996). 4. Hay otra observación crítica del espectro de las radio galaxias. Para muchos de ellos el espectro radioeléctrico tiene un corte de baja frecuencia, lo que sugiere un corte en la energía distribución de los electrones en aproximadamente la masa de piones (los electrones / positrones son productos de desintegración de piones, producidos en colisiones hadrónicas; Falcke et al. 1995, Biermann et al. 1995, Falcke y Biermann 1995a, 1995b, 1999, Gopal-Krishna y otros 2004). Hadronic las colisiones con la consiguiente producción de piones en el anillo del pie del chorro de radio se producen de forma natural y térmicamente en el caso de que el parámetro de rotación del agujero negro sea mayor que 0,95, y si el anillo del pie es un flujo de acreción dominado por la advección (ADAF) o radiantemente ineficiente flujo de acreción (RIAF; Donea & Biermann 1996, Mahadevan 1998, Gopal-Krishna et al. 2004). Si esto es cierto para todas las radio galaxias, el giro del agujero negro antes y después el spin-flip debe ser superior al 95 % del valor máximo permitido. Esto es importante. restricción en el proceso del giro-giro. Si asumimos que esto es válido para todas las radio galaxias, entonces a fortiori también se mantiene para aquellos que acaban de pasar por una fusión binaria agujero negro, y por lo que su giro debe ser alto también. 5. Cuando dos agujeros negros se fusionan, la emisión de fuertes ondas gravitacionales es segura (Peters & Mathews 1963, Peters 1964, Thorne 1979). Los binarios compactos son impulsados por grav- radiación itacional a través de un régimen post-Newtoniano (PN) (el inspiral), una inmersión y un fase de reducción hacia el estado final. Se cree comúnmente que el spin-flip phe- nomenon es probable que sea causado por la radiación gravitacional que escapa del sistema de fusión (Rottmann 2001, Biermann et al. 2000, Merritt y Ekers 2002). Trabajos numéricos recientes en las etapas finales de la coalescencia apoya esto (véase Brügmann 2007; Campanelli et al. 2007a, b; Gonzalez et al. 2007a, b). Por lo tanto, es obligatorio investigar lo que sucede cuando los dos agujeros negros cerca el uno del otro, y esto nos proponemos tratar en este documento. Presentamos aquí un modelo que permite tener una transición de fusión pasando de una etapa de alto giro a otra etapa de alto giro, utilizando en su mayoría perspicacia física desde fuera de la órbita más estable (ISO). En contraste – 4 – con simulación numérica disponible, nuestro método, limitado a un cierto rango típico de masa ratios de los dos agujeros negros, tiene la ventaja de que la evolución del binario compacto puede tratarse en el marco de una expansión analítica de la PN con dos pequeños parámetros. En la Sección 2, revisamos el estado actual de las observaciones sobre las masas de supermasivos agujeros negros galácticos, que más o menos escalan con las masas abultadas de sus galaxias anfitrionas. Los observaciones sugieren que los agujeros negros más masivos tienen alrededor de 3 × 109 masas solares y la determinación más fiable del agujero negro central de baja masa (en nuestra galaxia) es de aproximadamente 3 × 106 millones de euros (Ghez et al. 2005, Schödel & Eckart 2005). Hay algunas pruebas para agujeros negros masivos centrales de masa ligeramente inferior (Barth et al. 2005), pero las barras de error son Muy grande. Esto implica que la proporción máxima de masa es de aproximadamente 103. Analizamos cuidadosamente las estadísticas y argumentan en la sección 2 que las relaciones de masa en el rango 3 : 1 a 30 : 1 cubren la mayor parte de el rango plausible en las fusiones de agujeros negros centrales galácticos. En términos generales, esto significa que típicamente una masa es dominante por un factor de orden 10. Por lo tanto, encontramos que ninguno de los dos el caso muy discutido de masas iguales ni el de las proporciones de masa extrema (partículas de ensayo la caída en un agujero negro) describe las fusiones típicas del SMBH galáctico central. En la Sección 3, se estudian las magnitudes relativas del giro del agujero negro dominante y del impulso angular orbital del sistema. Su proporción depende de dos factores: la relación de masa y la separación de los componentes binarios (la inversa de los cuales escala con el parámetro post-Newtoniano). Demostramos que para el intervalo típico de la razón de masa el orbital el impulso izquierdo cuando el sistema está alcanzando ISO es mucho más pequeño que el giro dominante. Así que en el típico caso de rango de masa pase lo que pase durante las fases de zambullida y anillada de la fusión, en la que se disipa el impulso orbital restante, no puede cambiar esencialmente la dirección del giro. Por el contrario, para las fusiones de masa igual el angular orbital impulso domina hasta el final de la inspiración, mientras que para las fusiones de la proporción de masa extrema El giro más grande domina desde el comienzo de la fase de fusión de ondas gravitacionales. En la Sección 4, discutimos la transición del régimen dominado por la fricción dinámica a el régimen dominado por la radiación gravitacional, con el fin de establecer los datos iniciales para el PN tratamiento. La interacción de los agujeros negros con el entorno estelar ya fusionado genera una fricción dinámica cuando la separación de los agujeros negros está entre unos parsecs (pc) y centésima de un pc. La radiación gravitacional tiene un pequeño efecto en este régimen. Debido a la fricción dinámica, parte del impulso angular orbital del negro binario sistema de agujeros se transfiere al entorno estelar, de tal manera que la población estelar en el los polos del sistema tienden a ser expulsados y se forma un toro (Zier & Biermann 2001, 2002, Zier 2006). Esto se conecta con el toro ubicuo alrededor de los núcleos galácticos activos (AGNs), detectada por primera vez en la absorción de rayos X (Lawrence & Elvis 1982, Mushotzky 1982), y posteriormente confirmado por polarización óptica de las líneas de emisión (Antonucci & Miller 1985). Dinámica – 5 – la fricción aumenta ya que en una fusión la distribución fase-espacio se ve fuertemente perturbada por grandes las fluctuaciones de la distribución masiva (Lynden-Bell 1967, Toomre & Toomre 1972, Barnes & Hernquist 1992, Barnes 2001). Había habido una gran preocupación de que los dos agujeros negros en su acercamiento mutuo (Valtonen 1996, Yu 2003, Merritt 2005, Milosavljević & Merritt 2003a, b, Makino & Funato 2004, Berczik et al. 2005, 2006, Matsubashi et al. 2007) antes de llegar a la emisión de ondas gravitacionales; que el mecanismo de cono de pérdida para alimentar a las estrellas en órbitas que intersecan los agujeros negros binarios es demasiado lento. Sin embargo, Zier (2006) ha demostrado que la interacción directa con las estrellas circundantes ligeramente más fuera acelera el proceso, y muy probablemente no se produce ningún estancamiento. Procesos de relajación debido a las interacciones nube/estrella-estrella son bastante fuertes, como lo muestra Alexander (2007), utilizando observaciones de nuestra galaxia. Estas interacciones repoblan las órbitas estelares en el centro de la galaxia. Nueva obra de Merritt et al. (2007) es consistente con Zier (2006) y Alexander (2007). También en una serie de artículos Sesana, Haardt y Madau han demostrado recientemente que incluso en ausencia de relajación de dos cuerpos o procesos dinámicos gaseosos, masa desigual y/o los binarios excéntricos con la masa mayor de 105 M® pueden encogerse a la onda gravitacional régimen de emisión en menos de un tiempo Hubble debido a la desintegración orbital binaria por tres cuerpos interacciones en los cúspides estelares de unión gravitacional (Sesana et al. 2006, 2007a, 2007b). Finalmente, Hayasaki (2008) ha considerado el “último problema parsec” bajo la suposición de la existencia de tres discos de acreción: uno alrededor de cada agujero negro y otro tercero, que es Circunbinario. El disco circunbinario elimina el momento angular orbital del binario a través de la interacción resonante de disco binario, sin embargo, la transferencia de masa a cada negro individual agujero añade impulso angular orbital al binario. Parámetro crítico de la masa tasa de transferencia es tal que para los binarios SMBH, se convierte en más grande que el límite de Eddington, por lo tanto estos binarios se fusionarán dentro de un tiempo Hubble por este mecanismo. El impulso angular transferencia de órbita a disco ya se consideraba como un concepto físico clave en las estrellas binarias por Biermann & Hall (1973). Todos estos trabajos recientes sugieren que por un mecanismo u otro los SMBH se acercarán unos a otros a distancias más pequeñas alrededor de un centésimo pc, cuando la radiación gravitacional se convierte en el efecto disipativo dominante. En la sección 4, analizamos las escalas de tiempo características de la fricción dinámica y la radiación gravitacional como función de la masa total, el radio de distribución estelar y la relación de masa del compacto binaria y establecemos los valores del radio de transición y parámetro PN, para el cual el La radiación gravitacional está superando la fricción dinámica. En la Sección 5, discutimos la evolución post-Newtoniana de los binarios compactos, siguiendo Apostolatos et al. (1994) y Kidder (1995). El nuevo elemento es el énfasis del papel de la razón de masa como segundo parámetro pequeño en el formalismo. El líder conservador del orden el efecto que contribuye al cambio en la orientación de los giros es el acoplamiento spin-orbit (SO). La retrorreacción de la radiación gravitacional, que es el principal efecto disipador del orden – 6 – debajo del radio de transición, aparece en un orden PN más alto. Mostramos aquí que para el rango característico de relaciones de masa el giro-giro se produce durante la radiación gravitacional régimen inspiracional dominado, fuera de ISO. En el proceso evaluamos las escalas de tiempo para el cambio de la inclinación del giro en comparación con las escalas de tiempo del movimiento precesional y gravitacional Inspiral impulsado por radiación. Como subproducto, podemos demostrar que para la masa típica la llamada precesión transicional ocurre muy raramente. Interpretamos y discutimos el modelo resultante en la Sección 6. Aquí, damos un tentativo esquema de la secuencia temporal de la actividad de dos galaxias que se fusionan, llevando a un AGN episodio del agujero negro primario. Una revisión reciente de los aspectos genéricos de estas galaxias núcleos como fuentes de rayos cósmicos ultra alta energía está en (Biermann et al. 2008). Por último, resumimos nuestras conclusiones en las observaciones finales. Siguiendo nuestros argumentos sobre la fase apenas antes de la fusión proponemos allí que los supervientos en la radio galaxias (Gopal-Krishna et al. 2007, Gopal-Krishna & Wiita 2006) están en esta etapa, como El jet de preceso rápido actúa como un viento poderoso. El objetivo principal de nuestro trabajo es poner la física derivada en el contexto observacional, a fin de permitir que las pruebas se realicen en radio y otras longitudes de onda. 2. Rango de la relación de masa pertinente In Lauer et al. (2007), se describe la distribución masiva de agujeros negros centrales galácticos, confirmar trabajos anteriores, y también coherente con un análisis local (Roman & Biermann 2006). Argumentos basados en Häring & Rix (2004), Gott & Turner (1977), Hickson (1982) y Press El razonamiento de & Schechter (1974) conduce a un resultado similar, al igual que una encuesta observacional reciente (Ferrarese at al. 2006b). Wilson & Colbert (1995) también encuentran una ley de poder rota. Los probabilidad para una relación de masa específica es una integral sobre la distribución de masa del agujero negro, plegada con la tasa de fusión real (proporcional a la sección transversal de captura y el velocidad para dos galaxias), por ejemplo, isomórfica a la discusión en Silk & Takahashi (1979) para la fusión de grupos de diferentes masas. La distribución de masa del agujero negro ΦBH(MBH), el número de agujeros negros centrales masivos en galaxias por unidad de volumen, y masa de agujeros negros intervalo, se puede describir como una ley de poder roto, de aproximadamente ma 3 × 10 6 Más a aproximadamente mb 3 × 10 9 Más, con un descanso cerca de má 10 8 millones de libras esterlinas. Las masas bajas han sido discutidas en algún detalle por Barth et al. (2005). Los valores de ma, mb y m* implican que tenemos dos rangos de masa de un factor de 30 cada uno. Las masas por encima de 108 millones se están volviendo muy raras. con mayor masa, por lo que el rango de masa más bajo es estadísticamente más importante. Esa proporción rango es entonces 1 : 1 a 30 : 1; mientras que en el rango de masa más alto el rango máximo de las masas es también 30 : 1. – 7 – La masa de las escalas de agujeros negros masivos centrales con la masa de la esferoidal com- ponent, como con la masa total de una galaxia (la materia oscura), ver Benson et al. (2007). Los La tasa de fusiones de agujeros negros es una fracción de todas las fusiones de galaxias masivas. Si, como se ha argumentado por Zier (2006) el acercamiento de los dos agujeros negros no se paraliza, luego cada fusión de dos galaxias masivas inevitablemente conducirán a la fusión de los dos agujeros negros centrales. Esto es apoyado por los argumentos estadísticos de Rottmann (2001), utilizando observaciones radiofónicas, que toda fuerte actividad central en galaxias puede implicar una fusión de dos agujeros negros. Por lo tanto, evidencia observacional sugiere que los agujeros negros se fusionan, y lo hacen en el más bien corto escalas de tiempo de AGNs. Las interacciones y fusiones de galaxias dependen claramente de los tres momentos angulares: los dos giros intrínsecos, y el momento angular orbital relativo, así como en el inicial distancia y velocidad relativa de las dos galaxias. Una vez que todos estos parámetros se dan, el La evolución es bastante determinista. Las observaciones de Gilmore et al. (2007) sugieren enérgicamente, que las galaxias de semilla iniciales son las galaxias elípticas enanas de hoy, todas las cuales son consistentes con una unión inferior a una masa total común de 5 × 107 M®. Esto implica que todas las galaxias, y a fortiori todos los agujeros negros centrales, han sufrido muchas fusiones. Las observaciones de Bouwens & Illingworth (2006) y Iye et al. (2006) sugieren firmemente que gran parte de esta historia de fusión ocurrió antes que el corrimiento al rojo 6, quizás en su mayoría entre Desplazamientos al rojo 9 y 6. Cada fusión individual va a lo largo de una vía evolutiva bien definida, pero Todas estas fusiones están completamente descorrelacionadas unas con otras. Por lo tanto, el conjunto de muy muchas fusiones se pueden tratar estadísticamente, y esto es lo que procedemos a hacer, utilizando el relación de masa constante entre el componente esferoidal de las galaxias y su negro central agujeros. Por lo tanto, utilizamos la tasa de fusión de galaxias como equivalente a la tasa de fusión de la agujeros negros centrales. Las estadísticas de las fusiones se dan por la integral para el número de fusiones N(q) por volumen y tiempo para una relación de masa determinada q, definida como mayor que la unidad. Este tipo de fusión es el producto de la distribución del primer agujero negro con la distribución del segundo agujero negro multiplicado por una tasa F. Este último en principio depende de ambos la sección transversal y velocidad relativa de las dos galaxias, las velocidades sin embargo no son muy diferentes, como el el universo no es lo suficientemente viejo para la segregación masiva. La sección transversal a su vez depende de la dos masas, así F = F (q,m). Si nos integramos para todos los casos, en los que el primer agujero negro es menos masivo que el segundo agujero negro, nos infracontamos por un factor de 2, y tenemos que correcto para este factor. La relación general es N(q) = 2 ∫ mb/q ΦBH(m)ΦBH(qm)F (q,m)dm (1) – 8 – Es probable que el agujero negro más masivo, y por lo tanto la galaxia anfitriona más masiva, dominar la tasa de fusión F, por lo que se puede aproximar en función de qm solo, y un comportamiento de la ley de poder con F â € qâ € con â € > 0 debe ser adecuado para una primera aproximación. Para estimar más o menos sólo observamos, que los esferoidales enanos tienen un radio de núcleo de unos pocos 100 pc (Gilmore et al. 2007), mientras que nuestra galaxia tiene un radio central de aproximadamente 3 kpc (Klypin et al. 2002), por lo que un factor de 10 en radio (102 en sección transversal) para un factor de alrededor de 104 en masa, por lo tanto, el exponente es probable que sea aproximadamente 1/2; por lo tanto, una primera estimación razonable para cualquier sección transversal es = 1/2. En este caso utilizamos la equivalencia aproximada de galaxia fusiones con fusiones de agujeros negros. Como la distribución de masa del agujero negro tiene una ruptura en q* = 30, utilizamos ΦBH(m) m para el primer rango de masa, y ΦBH(m) por el segundo. Para el rango q de 1 a 30 tienen como contribución dominante N(q) ▼ m./q. )( )( )( ) ( ∫ mb/q ) ( ) ( dm (2) y para el caso de q por encima de 30 tenemos la contribución N(q) ∫ mb/q )( ) ( dm. 3) Los diversos modelos mostrados en Lauer et al.(2007) muestran que un rango de valores de y es posible, con que varia entre aproximadamente 1 y 2, y de 3 a valores más grandes. Benson et al.(2007) Proponer 0.65. Adoptamos aquí los valores aproximados para y de 1 y 3, para ser cautelosos, y para â € ¢ adoptamos 1/2. Con estos valores los integrands anteriores son funciones monótonamente decrecientes y las integrales están dominadas por los límites inferiores. Así, los cuatro términos escala con q como q, q−1, q, y de nuevo q. Consideremos los cuatro términos: el primer término es galaxias pequeñas que se fusionan con pequeñas galaxias, y por lo tanto no muy interesante, ya que la sección transversal es baja. Sin embargo, para esta distribución el número de fusiones en el rango de la relación de masa 30 : 1 a 3 : 1 frente a 3 : 1 a 1 : 1 es aproximadamente 5. Las relaciones de masa más extremas son más comunes. Para el segundo término, esta proporción de fusiones en los dos rangos de razón de masa es de aproximadamente 14. Como esto es galaxias masivas que se fusionan con más pequeñas – 9 – galaxias (por encima y por debajo del quiebre m­), este es el caso más interesante, y también bastante frecuentes. El tercer término es casi insignificante, y el cuarto término añade casos al segundo. término con proporciones de masa más extremas, más allá de 30 : 1, y por lo tanto hace hincapié en la proporción de masa grande Rango. Por lo tanto, entre los casos pertinentes la tasa de fusiones de la relación de masa de más de 3 : 1 a los con una proporción de masa menor está en el rango de 5 : 1 a 14 : 1, alrededor de un orden de magnitud. Centrándose en aquellos casos en los que un agujero negro está a 108 millones o más, la proporción es mayor que 14 : 1. La especulación de que el exponente podría ser más grande aumentaría todos estos efectos; La ampliación los debilitaría. Por lo tanto vamos a tratar en el siguiente con esto mucho más razón de masa extendida común rango 30 : 1 a 3 : 1, que, como se mostrará, permite utilizar métodos analíticos. 3. El giro y el impulso angular orbital en el régimen PN Asumimos que el sistema binario compacto se compone de dos masas mi, i = 1, 2, cada uno teniendo el giro Si. Por definición, el radio característico Ri de los objetos compactos es de la el mismo orden de magnitud que el radio gravitacional RG = Gmi/c 2 (donde c es la velocidad de luz y G es la constante gravitacional). Por lo tanto, la magnitud del vector de giro se puede aproximar como Si MiRiVi Gm iVi/c 2, donde Vi es la rotación característica velocidad del objeto compacto ith Como los agujeros negros giran rápidamente debido a la acreción, Vi/c es de Ordenen la unidad. Equivalentemente podemos introducir Si = (G/c)m ixxi, con χi siendo el dimensional parámetro spin. Entonces la rotación máxima implica χi = 1. La expansión PN se hace en términos del parámetro pequeño , (4) donde m = m1+m2 es la masa total y v es la velocidad orbital de la partícula de masa reducida μ = m1m2/m, que está en órbita alrededor de la masa fija m (según el problema de un centro) en mecánica celeste). Las dos expresiones son del mismo orden de magnitud debido a el teorema virial. Como en ciertas expresiones poderes impares de v/c puede ocurrir, es común a tienen órdenes medio-integer en el tratamiento post-Newtoniano de la inspiración de un binario compacto sistema. Cuando las masas de los dos objetos compactos son comparables, cualquiera de los dos Gmi/c También representan una orden post-Newtoniana. Sin embargo, como hemos argumentado antes, por chocar agujeros negros galácticos es típico que sus masas difieren por 1 orden de magnitud, por lo que tienen un segundo pequeño parámetro en el formalismo. Al elegir m2 como la masa más pequeña, nosotros – 10 – también puede definir la relación de masa • (0, 1). 5) En la literatura la relación de masa simétrica También se emplea con frecuencia. Las dos relaciones de masa están relacionadas como (1 + /) , (7) y en el caso de los pequeños Estados miembros, tenemos η = − 2 /2 + O (/3). Para el rango de proporción de masa típico de binarios SMBH η o ν se puede elegir como el segundo pequeño parámetro en el formalismo. Sin embargo, mientras que estos permanecen constantes, el PN el parámetro  evoluciona durante el inspiral hacia valores más altos. De hecho, la separación de la Los componentes del binario con m = 108M® evolucionan como = 4. 781 3× 10−6 , (8) donde rS representa el radio Schwarzschild. La interacción de los agujeros negros galácticos con el entorno estelar comienza cuando los agujeros negros están a unos pocos kpc lejos de cada uno otros (a continuación, los 10 a 8). La fricción dinámica se vuelve subdominante a aproximadamente 0.005 pc (Zier & Biermann 2001, Zier 2006), cuando la radiación gravitacional se convierte en el líder efecto disipador. Por lo tanto, el valor del parámetro PN para el cual el valor del parámetro PN = 10−3 es el valor del parámetro PN. La radiación gravitacional está impulsando la disipación de energía y el impulso angular orbital. Luego sigue la etapa inspiradora de la evolución de los binarios compactos, que continúa hasta el dominio de validez del enfoque post-Newtoniano se alcanza, en pocos radios gravitacionales, en ISO. Más lejos es necesario un tratamiento numérico para describir la caída, que finalmente es seguido por el ring-down. El formalismo de la PN puede ser considerado válido hasta 10-1. Teóricamente, es posible para un pequeño /, que en cierta etapa de la inspiración, el El aumento de 1/2 pasa a ser del mismo orden de magnitud que el anterior y posteriormente incluso supera el mismo nivel de magnitud. Tal situación cambiaría el valor numérico de varias contribuciones a diversas las cantidades en el rango de órdenes PN más o menos, dependiendo de la potencia implicada de La relación de rotación (para velocidades de rotación similares V1 • V2) se puede expresar como = /2. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. – 11 – Cuadro 1: Evolución de la relación S1/L............................................................................................................................................... 1/21 en el rango de 10-3-3-10-1 para los diversos valores de la relación de masa v. S1/L = 1 / 2 / 3 / 10 - 3 / 10 - 1 v = 1 0,03 (S1 - L) 0,3 (S1 < L) v = 1/3 0,1 (S1 < L) 1 (S1 • L) / = 1/30 1 (S1 L) 10 (S1 > L) / = 1/900 30 (S1 - L) 300 (S1 - L) La relación de los giros con el momento angular orbital se convierte Gm22V2/c * 1/2/, (10) 1 / 2 1. (11) Observamos que las aproximaciones en las fórmulas anteriores (9)-(11) están relacionadas solamente con el hecho que hemos asumido la rotación máxima (por lo tanto Vi/c. 1). En primer lugar, observamos que las proporciones anteriores que involucran los giros de los objetos compactos que ya contienen 1 / 2. Por lo tanto, el conteo de la poderes inversos de c2 no es equivalente con el orden PN, cuando los objetos compactos están involucrados. Además, mientras que la relación S2/L se desplaza hacia órdenes más altas por un pequeño ν (por lo tanto, S2 durante todas las etapas de la inspiración), el orden de la relación del giro del agujero negro dominante a la magnitud del momento angular orbital no se fija. De hecho, está determinado por la magnitud relativa de los pequeños parámetros (en lo sucesivo, «parámetros pequeños») y (en lo sucesivo, «parámetros pequeños»). A medida que aumenta durante la inspiración, cada vez que ν cae en el rango de 1 / 2, la época inicial con S1 < L es seguida por S1 ° L y S1 > L épocas (Tabla 1). Hemos concluido en la sección anterior que el rango de proporciones de masa q entre 3 : 1 y 30 : 1 es el más común. Para tales binarios la secuencia de las tres épocas S1 < L, S1 • L y S1 > L es bastante representativo. Llamamos a esta relación de masa intermedia las fusiones, que hay que contrastar con el caso de las fusiones de masas iguales, en las que el momento angular domina a lo largo de la inspiración; y con el caso de la masa extrema concentraciones de razón (que definimos como que tienen relaciones de masa superiores a 30 : 1), donde el mayor spin domina desde el principio de la inspiración hasta el final de la fase PN, como se puede ver de nuestra Tabla 1. – 12 – 4. Las escalas de tiempo El valor 10−3 del cual el análisis de la PN con la radiación gravitacional como la se puede aplicar el efecto disipativo principal se adoptó en la sección anterior para un pacto binarios con masa total m = 108M® y relación de masa v = 10 −1. Esto se basó en el análisis en Zier & Biermann (2001) y Zier (2006), donde se demostró que alrededor de 5 × 10−3 la radiación gravitacional toma el relevo de la fricción dinámica en la interacción con las estrellas en la pérdida angular del momento del agujero negro binario. Otros argumentos para el binario a Alcanzar el régimen de emisión de ondas gravitacionales fueron presentados por Alexander (2007), Sesana et al. (2006, 2007a, 2007b), y Hayasaki (2008). En esta sección planteamos la pregunta, si el valor del radio de transición (y el el valor correspondiente del parámetro PN) depende de m y ν. Con el fin de responder a esto, nosotros comparar las escalas de tiempo características de la radiación gravitacional y la fricción dinámica. La escala temporal de la radiación gravitacional (como se derivará en la sección 5) es la siguiente: * 4η. (12) La escala de tiempo para que el agujero negro secundario pierda impulso angular por gravitación la interacción con la distribución estelar circundante es (Binney & Tremaine 1987) tfr = 2­G2m2­2­distr­ . (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Con el cambio máximamente permitido en la velocidad de v/v = 1 encontramos el total relevante escala de tiempo. En este caso, el logaritmo es el logaritmo de la relación de la distancia máxima. dentro del sistema, dividido por la distancia típica entre los objetos. Este último es grande para nubes, por lo que la relación es baja y la unidad de orden, mientras que para las estrellas o partículas de materia oscura se puede tomar como 10o 20. Para la fusión, la estimación basada en nubes es más apropiada. Por lo tanto, siguiendo el razonamiento de Binney & Tremaine (1987) adoptamos = 3. El compacto distribución estelar con la densidad de distr, radio rdistr, y mdistr masa es del mismo orden en masa como el binario agujero negro (Zier & Biermann 2001, Ferrarese et al. 2006a) con una escala rdistr de unos pocos pc, y así bajo la asunción de una distribución esféricamente simétrica que ............................................................................................................................................................................................................................................................... 4ηr3distr . (14) Empleando las definiciones del parámetro PN y la relación de masa, obtenemos r3distr 3/2η (1 + ν). (15) – 13 – Esto da la escala de tiempo completa de la fricción dinámica. Las dos escalas de tiempo se vuelven comparables para un parámetro PN: = K (/) c2rdistr )6/11 , (16) por ser un factor de unidad de orden, definido como: K ( v) = (1 + /) ]2/11 0.938, 1. 064). (17) correspondiente a la distancia r* r* = K−1 ( v) )5/11 distr. (18) En particular, la dependencia de la proporción de masa es bastante débil y en la práctica puede descuidarse. Insertar entonces para rdistr = 5 pc y utilizar como valor de referencia para la masa m = 10 8 Más, nosotros obtener 10-3 y r* 0,005 pc de acuerdo con la discusión en Zier & Biermann (2001). También tomamos nota de que, de hecho, cualquier otro valor razonable para factor de la unidad de orden en Eq. (14), a medida que este número surge tomando el poder 2/11. Los débiles La dependencia de K a través de K se debe a la misma razón. El valor del parámetro PN escala con m6/11 y radio r −6/11 distr como 10−3 108 millones de libras esterlinas )6/11 ( rdistr )6/11 , (19) mientras que las escalas de radio de transición con m5/11 y r distr como • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 108 millones de libras esterlinas )5/11 ( rdistr )6/11 . (20) Para m = 109M® y para el mismo radio de distribución estelar entonces r • 0,01 ud. Concluimos que tanto la dependencia del radio de transición como la correspondiente Parámetro PN en la masa total y en el radio de distribución estelar son débiles, mientras que allí prácticamente no depende de la proporción de masa. 5. La inspiración de hilar binarios compactos en la radiación gravitacional régimen dominado En la primera subsección de esta sección presentamos la dinámica conservadora de un binario compacto en un tratamiento post-Newtoniano, haciendo hincapié en el papel de la segunda pequeña – 14 – parámetro, como un elemento nuevo. Entonces en la segunda subsección tenemos en cuenta el efecto de la radiación gravitacional, derivando cómo se produce el giro-giro para el rango típico de la relación de masa. Los límites de validez de nuestros resultados obtenidos mediante el uso de estos dos pequeños parámetros serán que se examina más adelante en la subsección 5.3. 5.1. Dinámica conservadora por debajo del radio de transición El intercambio en el dominio de L o S1 tiene una consecuencia drástica en el dinámica del binario compacto. Para ver esto, vamos a resumir primero el dinam conservador- ics, válido hasta la segunda orden post-Newtoniana. Las constantes del movimiento son el total energía E y el vector de impulso angular total J = L+ S1 + S2 (Kidder et al. 1993). El momento angular L, S no se conservan por separado. Los giros obedecen a una precesión movimiento (Barker & O’Connell 1975, Barker & O’Connell 1979): i = ♥i × Si, (21) con las velocidades angulares dadas como suma de la spin-orbit, spin-spin, y quadrupole- contribuciones de monopolo. Estos últimos vienen de considerar uno de los componentes binarios como un monopolo de masa que se mueve en el campo cuadripolar del otro componente. La contribución de orden principal debido a la interacción SO (discutido en Kidder et al. 1993, Apostolatos et al. 1994, Kidder 1995, Ryan 1996, Rieth & Schäfer 1997, Gergely en al. 1998a, 1998b, 1998c, O’Connell 2004), hacen que los ejes de giro se desplomen y se deslicen. Los spin-spin (Kidder 1995, Apostolatos 1995, Apostolatos 1996, Gergely 2000a, 2000b), masa cuadrupolar (Poisson 1998, Gergely & Keresztes 2003, Flanagan & Hinderer 2007, Racine 2008), dipolar magnético (Ioka & Taniguchi 2000, Vasúth et al. 2003), auto-spin (Mikóczi et al. 2005) y efectos de spin-orbit de mayor orden (Faye et al. 2006, Blanchet et al. 2006) ligeramente modula este proceso. La precesión SO ocurre con las velocidades angulares G (4 + 3 /) 2c2r3 LN, (22) G (4 + 31) 2c2r3 LN, (23) donde LN = μr × v es la parte newtoniana del momento angular orbital. El total impulso angular orbital L también contiene una contribución LSO (Kidder 1995), que para Los binarios compactos son del orden de 3/2LN. Debido a la conservación de J, el impulso angular orbital evoluciona como – 15 – 2c2r3 (4 + 3 /)S1 + 4 + 31 ×L. (24) (Añadiendo un término de corrección de orden 3/2 relativo a los términos de orden principal, tenemos cambió LN en L en el lado derecho de la ecuación anterior.) Para dirigir el orden en / obtenemos: 1 = L×S1, (25) S1 × L. (26) (Otra vez, se añadió un término LSO a LN en el lado derecho de Eq. (25), con el fin de tener una precesión pura de S1.) Por lo tanto, la dinámica conservadora de orden dominante da la siguiente imagen: spin S1 sufre una precesión pura sobre L, mientras que L hace lo mismo sobre S1. A pesar de la precesión (23), el giro S2 puede ser ignorado a orden de dirección, ya que su magnitud es ν 2 veces menor que S1, por ejemplo, Eq. 9). Al añadir los términos de desaparición (2G/c) 2r3)S1 × S1 y (2G/c2r3)L×L a los lados derecho de Eqs. (25) y (26), respectivamente, obtenemos 1 = J×S1, (27) J×L. (28) Por lo tanto, las precesiones también se puede imaginar que sucede sobre J, que representa un invariante dirección en la dinámica conservadora hasta 2PN. Las contribuciones de orden superior a la dinámica conservadora modulan ligeramente esta pre- Moción en favor. De hecho, tanto para las perturbaciones spin-spin como cuádrupole-monopolio un promedio angular L̄ se puede introducir, que se conserva hasta el orden 2PN (Gergely 2000a). Como L̄ se diferencia de L sólo por términos de orden 2PN, y L̄ se conserva, la evolución real de L difiere de una precesión pura sólo ligeramente. Por último, observamos que como las precesiones SO son 1.5 efectos PN y la gravita- diation aparece en 2.5 PN, en el radio de transición el tiempo de precesión SO es 1 veces menor que la escala de tiempo de fricción dinámica. Las modificaciones inducidas por la pres- se discutirán los iones en la transferencia de impulso angular hacia el entorno estelar en otros lugares (Zier et al. 2009, en preparación). – 16 – Fig. 1.- El viejo jet apunta en la dirección del giro original S1. Cuando los dos agujeros negros se acercan unos a otros debido al movimiento de sus galaxias anfitrionas, un lento movimiento precesional de tanto el giro como el impulso angular orbital L comienza (figura izquierda) sobre la dirección del momento angular total J, que se debe a la interacción spin-orbit. Gravitacional la radiación lleva tanto la energía y el impulso angular del sistema, de tal manera que el la dirección de J se mantiene inalterada. Como consecuencia de ello, la órbita precesional se reduce lentamente y la magnitud de L disminuye. Esto se acompaña de un aumento continuo en el ángulo α y una disminución de β. Cuando las magnitudes de L y S sean comparables (figura media), los movimientos precesionales son mucho más rápidos (para los valores típicos véase la Tabla 2). En el típico relación de masa rango ν = 1/3 1/30 la magnitud de L se vuelve pequeña en comparación con la magnitud del giro, que no se modifica por la radiación gravitacional (excepto la límite de la gama en v = 1/3 cuando L y S son todavía comparables). Antes de llegar a la órbita más estable, el giro se vuelve casi alineado a la (dirección original de la) momentum angular total, y un nuevo chorro puede formarse a lo largo de esta dirección. Por lo tanto, para el rango de la relación de masa típica se ha producido el fenómeno spin-flip en la fase inspiral y no mucho momento angular orbital se deja para modificar la dirección de la vuelta durante el Sumérgete y arrójate. En el régimen entre los estados inicial y final el antecesor jet actúa como un superviento, barrendo el ambiente de los jets. – 17 – 5.2. Dinámica disipativa por debajo del radio de transición La dinámica se disipa a partir de 2,5 órdenes PN. Luego gravitacional cuatripolar ra- la diación lleva tanto la energía como el momento angular. Excentricidad orbital se disipa , más rápido que la tasa de inspiración orbital (Peters 1964), por lo que la órbita se circulará. órbitas circulares laterales y un promedio de más de una órbita da el siguiente cambio disipativo en gw = − 32Gμ2 LÃ3, (29) donde LÃ3 representa la direcciÃ3n del momento angular orbital. Entonces el cambio total en L se da por la suma de Eqs. 26) y 29). Los efectos cuasi-precesionales inducidos por el giro modulan la dinámica y tienen un efecto importante en la detección de ondas gravitacionales (véase Lang & Hughes 2006, 2008, Racine 2008, Gergely & Mikoczi 2008). La dinámica disipativa, con la inclusión del orden líder precesiones SO y el Los efectos disipadores debidos a la radiación gravitacional, promediados sobre órbitas circulares, fueron discutidos en detalle en Apostolatos et al. (1994) para el caso de un solo giro S2 = 0 y masas iguales v = 1. Para la proporción de masa típica ν 1/30, 1/3), y manteniendo sólo las contribuciones de orden principal en la expansión también da S2 = 0 (las contribuciones de orden principal en S2 son de orden v. 2). En esta subsección analizaremos en profundidad las evoluciones angulares y las escalas de tiempo Envuelto. En cuanto a cualquier vector X con magnitud X y dirección X+ uno tiene = X X + X®, la cambio en la dirección puede expresarse como # # # # # # # # # # # # # X # # # /X. También la identidad X2 = X2 da = X ·. Luego Eqs. (27)-(29) implican 1 = 0, J×+1, L = − 32Gμ2 J×L®. (30) 1A medida que nos centramos aquí en los giros, no vamos a detenernos en el posible retroceso como resultado de la pérdida de impulso debida a la radiación gravitacional en la fusión de los dos agujeros negros (véase, por ejemplo, Brügmann 2008, Gonzalez et al. 2007a, b). La precisión de la determinación de la distancia entre dos separado e independiente activo negro agujeros (Marcaide & Shapiro 1983, Brunthaler et al. 2005) está alcanzando una precisión, que pronto puede permitir El retroceso debe ser mensurable; todavía no se ha detectado ninguna prueba de este tipo. – 18 – El impulso angular total J también es cambiado por la radiación gravitacional emitida. As no se produce ningún otro cambio en las órdenes 2PN, JÃ3 = Là  Là  y N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N = N N N N N N N N N N N N = N N N N = N N N N N N N N N = N N N N N N N N N N N N N N N N N = N = N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N = N N N N = N = N = N = N = N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N LÃ3 ·         LÃ3 ·         . 31) Nótese que desde el segundo Eq. (31) es inmediato que la dirección de J cambia violentamente, cada vez que J es pequeño en comparación con Ló. Al orden principal en ν, los vectores L, S1, y J forman un paralelogramo, caracterizado por los ángulos α = cos−1 LÃ3 ·         y β = cos−1 â â € ¢ 1 . De Eqs.(30) y (31), obtenemos = − sinα > 0, (32) sinα < 0. 33) En esta última ecuación, hemos utilizado que â ¬ 1· Lâ = cos (α + β). Por lo tanto, hemos encontrado la siguiente imagen para la inspiración del binario compacto después de la radio de transición. Al ignorar la radiación gravitacional, las precesiones de SO (25) y (26) asegurar que los vectores L y S1 están precediendo sobre J (una dirección fija), pero también sobre el uno al otro (entonces los respectivos ejes de precesión evolucionan en el tiempo). Radiación gravitacional un poco perturba esta imagen. El ángulo α β entre el momento angular orbital y el giro dominante permanece constante durante la inspiración, incluso con la radiación gravitacional Teniendo en cuenta. Por el contrario, el ángulo entre J y L aumenta continuamente, mientras que el ángulo entre J y S1 disminuye con la misma velocidad. Esto también significa que debido a la radiación gravitacional, los vectores L y S1 ya no preceden sobre J en un exacto sentido común. Sin embargo, siguen preocupándose el uno por el otro. El cambio en el momento angular total Jâ = Lâ ° Lâ ° se trata de la momen angular orbital- el cual, a su vez, básicamente (independientemente de la radiación gravitacional) sufre una movimiento sobre J. Esto muestra que el cambio promedio en J es a lo largo de J. Esta conclusión, sin embargo, depende en gran medida de si la frecuencia angular precesional p es mucho más alta que el cambio en los ángulos α y β. De hecho, si son comparables, el componente perpendicular a J en el cambio de Jâ = Lâ ° Lâ ° no se promediará durante un ciclo precesional, como debido al aumento de α puede diferir significativamente al principio y al final de la el mismo ciclo precesional, véase la figura 1. El régimen con Pp puede ser bien aproximado por un movimiento precesional de ambos L y S1 alrededor de un fijo, con las magnitudes de L y J lentamente encoger, el ángulo – 19 – α aumentando lentamente y β disminuyendo lentamente. Como resultado, durante la inspiración, el orbital impulso angular lentamente se aleja de J, mientras que S1 lentamente se acerca a la dirección de J. Este régimen es característico para la mayoría de los casos, y fue llamado simple precesión en Apostolatos et al. (1994). Cada vez que la conclusión de tener a Jó en la dirección de no se sostiene para el promedio sobre una precesión. Esto da lugar a un cambio en la dirección de J en cada ciclo. La evolución se vuelve mucho más complicada (de hecho, no hay análisis aproximados se conoce la solución), y se llamó precesión transitoria en Apostolatos et al. (1994). Veamos ahora cuando los dos tipos de evolución típicamente ocurren. Para ello, tomamos nota de que la tasa inspiral LÃ3r/L es del orden ­4η, (34) mientras que la velocidad angular precesional p = 2GJ/c 2r3 da la estimación 5/2 N° de cat.: E-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: e-mail: mail: @@@@@ . (35) Finalmente, la velocidad de inclinación de L es del orden 7/2 sin (α + β) - ¡No! - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! sin (α + β) (36) Hemos usado sinα = pecado ( β) 1/21 sin (β) (37) para la primera y segunda expresiones de , respectivamente, junto con Eq. (11). Para comparar... Todos ellos están representados en el cuadro 2 para los tres regímenes que se caracterizan por S1/L S1 (L) y S1/L (L) (L), respectivamente. Los números de la segunda línea de la tabla 2 demuestran que para el ejemplo el tiempo de precesión puede llegar a ser tan corto como un día, pasando de 3000 años a tres años a un día en las tres columnas de arriba. Esta última etapa está, obviamente, bastante cerca de la Sumérgete. Desde la primera línea podemos inferir límites superiores de lo cerca que está la fusión, así que 30 millones de años en la columna 1, 300 años en la columna 2, y unos meses en la columna 3. As the tasa inspiral aumenta en el tiempo, en lugar de ser una constante, estos números son más altos que los valores reales. La exactitud de la tercera estimación se ve obstaculizada aún más por el hecho de que después de ISO la inmersión sigue, pero como esto comprende sólo unas pocas órbitas, la predicción PN puede – 20 – Cuadro 2: Estimaciones del orden de magnitudes para la tasa inspiral Lâr/L, angulares pre- velocidad encesionaria y velocidad de inclinación de los vectores L y S1 con respecto a J, representado para los tres regímenes con L > S1, L • S1 y L < S1, charac- teristica en el ámbito de las relaciones de masa ν = 0,3­0,03. Los números entre paréntesis representan escalas de tiempo inversas en segundos-1, calculadas para la relación de masa típica v = 10−1, parámetro post-Newtoniano 10−3, 10−2 y 10−1, respectivamente y m = 108M® (entonces c 3/Gm = 2× 10−3 s−1). L > S1 L  S1 L < S1 − LÃ3rÂ/L 32c 4η (­ > 10­15) 32c • 4η (• 10−11) 32c - 4 N° (- 10 - 7 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 10 - 7 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 10 - 7 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 10 - 7 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 5/2° (± 10-11) 2c 5/2° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 10 a 8 J - 3 (- 10-5) sin() ­9/2 n.c.o.p. 10-16) 32c ­9/2 n.c.o.p. 10-11L 7/2 (entre 10 y 8 años) se considerarán pertinentes como una estimación de orden de magnitud. Multiplicando los números en el tercera línea con las escalas de tiempo de precesión 1p realmente obtenemos el ángulo de inclinación relevante, variando de 2 arcsec durante una precesión (6× 10-4 segundos de arco al año) en grandes separaciones a 3 arcmin por precesión (por día) cerca de la ISO. Vemos, que la tasa de precesión y la velocidad de inclinación se convierten en comparables en el S1 L de la época (en la que 1 / 2 / 1 / 1) para sin (α + β) −1/3 - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! (38) Asunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos es decir, para el ejemplo numérico elegido v = 10−1 y para el soporte cuadrado de la unidad de orden, esto da J/L 10−1 y la tasa de −9 (esto sigue siendo 100 veces más rápido que el tasa de inhalación). El momento angular total J puede ser tan pequeño sólo si L y S1 son casi perfectamente antialineados, por lo tanto α + β ¿Cuál es la condición para Precesión transitoria (38) significa en términos de su ángulo, ¿qué tan cerca debe estar de la ¿El perfecto anti-alineamiento? Para responder a la pregunta tomamos nota de que L cosα + S1 cos β * Sinα, (39) Entonces, comparando con las estimaciones (37) y (38) concluimos, que la precesión transicional sólo puede ocurrir si la desviación de la perfecta anti-alineación es del orden de ν3/2. Esto es un caso altamente atípico en los binarios galácticos de agujeros negros. – 21 – 5.3. Límites de validez Uno podría preguntarse seriamente si empujando los valores de los parámetros más allá de la el rango para el que los usamos demostraría realmente que nuestras aproximaciones no pueden Es posible que sea correcto. Quisiéramos abordar específicamente las dos preocupaciones siguientes. a) Es el alto límite de impulso angular orbital L >> S1, obtenido por un aumento suficiente de la separación de los dos agujeros negros un límite correcto? b) Es el límite de masa extrema → 0, para el que el tratamiento de la sección 5 puede parecer cada vez más exacto, ¿correcto? Con respecto al límite (a): en cualquier expansión con un pequeño parámetro una condición siempre espera: el parámetro debe ser pequeño, y en cualquier expansión PN siempre podemos llegar a una etapa, para lo cual la base física falla tan inadecuada, como otros procesos físicos adicionales se vuelven dominante, o para los que no hay apoyo observacional, a pesar de la validez matemática de la expansión. De entre los efectos que afectan las direcciones de los giros la dinámica discutida en En la sección 5 se tiene en cuenta 1) el efecto conservador del orden principal, dado por la precesión debido al acoplamiento de giro-órbita y (2) el efecto disipador de orden principal debido a la gravedad radiación. Otros efectos conservadores y disipadores son descuidados, siendo más débiles. Significado los resultados se pueden rastrear a partir de este modelo sólo cuando estas suposiciones se mantienen. Esto implica que el parámetro post-Newtoniano  varía entre 10-3 y 10-1, correspondiente a la órbita Separaciones de 500 radios Schwarzschild = 0,005 uds. a 5 radios Schwarzschild, con 108 millones de uds. agujero negro. Esto se pone de relieve en el párrafo siguiente a Eq. (8). Las fases “inicial” y “final” de la dinámica descrita anteriormente se refieren, por lo tanto, a una rango bien definido de separación orbital, no son arbitrarios. La elección para el estado inicial se justifica además por la discusión de la sección 4. No se puede aplicar la dinámica discutida arriba a distancias arbitrariamente grandes, donde el impulso orbital realmente dominaría, simplemente porque la dinámica ya no es válida allí. En las separaciones más grandes el líder orden efecto disipativo se debe a la fricción dinámica, por lo tanto, la discusión de los dos anteriores las subsecciones no son aplicables. En cuanto a la letra b): según el resumen presentado en el cuadro 1, hay tres possi- bilidades en el régimen de PN, donde la dinámica analizada anteriormente sostiene: (i) a partir de las proporciones de masa v de 1 a 1/3 el impulso angular orbital domina a lo largo de toda la gama de — a partir de las relaciones de masa. de 1/3 a 1/30 inicialmente el impulso angular orbital domina sobre el giro, pero su la relación se invierte en la separación final; iii) a partir de las relaciones de masa v menos de 1/30 la rotación – 22 – es dominante durante todo el proceso. Nuestra afirmación es que el spin-flip se produce sólo si el momento angular total (cuyo dirección permanece inalterada) inicialmente está dominada por el momento angular orbital, finalmente por el giro, por lo tanto sólo para el caso (ii). En la dinámica presentada en las dos subsecciones anteriores hemos descuidado la segunda Gira. Como incluso para la relación de masa más alta v = 1/3 en el régimen (ii) la segunda vuelta es 1 orden de magnitud más pequeño que el giro principal, consideramos esta suposición justificada. Con proporciones de masa decrecientes se vuelve cada vez más preciso descuidar la segunda vuelta, ya que según Eq. (7) la relación de los giros va con v2. Sin embargo, no todos los resultados de la subsección anterior son cada vez más exactos con una relación de masa decreciente. Enfatizamos, lo que es diferente en el caso iii) en comparación con (ii). La diferencia está en las condiciones iniciales, que permiten obtener un giro-giro en el caso (ii), pero no en iii). Matemáticamente, la diferencia entre estos dos casos se puede ver desde Eq. 33), mostrando que la velocidad angular de inclinación de las escalas de giro dominantes con v2. Por la Comisión coeficientes de masa extrema v < 1/30, por ejemplo, cuadro 1, el giro domina sobre el angular orbital impulso a lo largo de todo el régimen de la PN. Por lo tanto, la relación S1/J es de orden unidad. Con la disminución ν sin embargo el cambio en la dirección del giro, representado por va rápido a cero, por lo tanto no se produce spin-flip en el régimen de PN para las relaciones de masa extremas. Al final de esta subsección derivamos una expresión analítica relacionada con la servida α + β, el parámetro PN en evolución y la relación de masa v. De la figura 1 J = L cosa S1 cosa β. Introduciendo el ángulo α + β y empleando la estimación (11) obtener 1 + 1 / 2 / 1 cos (α + β) cosα + 1/21 sin (α + β) sinα. (40) Insertando esto en la segunda expresión (37) y reorganizando encontramos sin 2α 1 + 2α sin (α + β) 1/2 / + cos (α + β) . 41) Para una configuración inicial de 0,005 pc (de tal manera que la desalineación inicial entre L y J es αinicial 18 â € TM a, 10 â € TM a, 0 â € para el giro dominante en el plano de órbita, que abarca 45o con el plano de órbita y perpendicular al plano de Órbita (de tal manera que = 90°, 45°, 0°), respectivamente. Luego βinicial = 72 *, 35*, 0*. Para el mismo relación de masa y configuraciones relativas, el ángulo α al final de la época PN (a  = 10−1) se convierte en αfinal *, 35*, 0*, respectivamente. Esto puede traducirse en una desalineación entre S1 y J de βfinal = 17 *, 10o, 0o, y un spin-flip de = 55o, 25o, 0o, respectivamente. – 23 – 5.4. Resumen En el rango típico de relaciones de masa ν = 0,03­0,3 la condición inicial L > S1 es siempre transformado en S1 < L, pero la transición se acompaña muy raramente de la llamada Precesión transitoria. En todos los demás casos la precesión es simple. Como el ángulo de precesión de la rotación dominante está disminuyendo en el tiempo desde el valor inicial dado a un valor pequeño, el Cono precesional se vuelve más estrecho en el tiempo. Al final de la fase inspiracional el dominante la vuelta S1 apuntará más o menos a lo largo de J. Esto significa que se ha producido un spin-flip durante el post- Evolución newtoniana, ya en la fase inspiradora de la fusión. Por otra parte, como la fase inspiral termina con L < S1, independientemente de lo que suceda en las fases siguientes, durante la zambullida y anillada, L no es lo suficientemente alta como para causar un giro significativo adicional. Para las proporciones de masa más pequeñas (para las fusiones de proporciones de masa extremas) el giro más grande ya domi- nates el momento angular total desde el principio de la inspiración, por lo tanto no se gira-giro se producen por el mecanismo presentado aquí. Alternativamente, a partir de la segunda expresión (36) uno puede ver que la tasa de inclinación de la vuelta disminuye con v2, por lo que va rápido a cero en el caso de relación de masa extrema. Sin embargo, como argumentamos en la sección 2, tales proporciones de masa son menos típico de las fusiones galácticas centrales de SMBH. Esto también muestra que una partícula que cae no cambiar el giro del agujero negro supermasivo. Para la (otra vez atípica) masa igual SMBH fusiones el momento angular orbital se mantiene dominante hasta el final de la fase inspiral. En este caso, sin embargo, la posibilidad permanece abierto para tener un giro-giro más adelante, durante la inmersión. 6. Discusión Las consideraciones de este documento conducen a la siguiente secuencia de tiempo para el transitorio alimentación de un SMBH incluyendo una fusión con otro SMBH. Primero: Dos galaxias con agujeros negros centrales se acercan a una distancia donde la fricción dinámica los mantiene atados, en espiral el uno hacia el otro. Si hay gas fresco en cualquiera de los dos, puede comenzar a formar estrellas rápidamente, a lo largo de los brazos de marea. El centro galáctico supermassive SMBH binary influye en la dinámica del gas y la actividad de formación de estrellas también en el disco de gas nuclear, debido a diversas resonancias entre el movimiento de gas y el movimiento binario SMBH (Matsui et al. 2006), creando algunas estructuras características, como las estructuras de filamentos, formación de brazos espirales gaseosos, y pequeños discos de gas alrededor de SMBHs. Si cualquiera de las galaxias pasa a tener chorros de radio, entonces debido al movimiento orbital, estos chorros se distorsionan y forman la forma Z (Gopal-Krishna et al. 2003, Zier 2005). – 24 – Segundo: Las regiones centrales de cada galaxia comienzan a actuar como una unidad, en un mar de estrellas y materia oscura de la otra galaxia. Durante esta fase, como el gas fresco del otro socio típicamente tiene un bajo impulso angular con respecto a la galaxia receptora, la región central se puede agitar, y producir una explosión estelar nuclear (Toomre y Toomre 1972). La central agujero negro se puede empezar a alimentar a un alto ritmo, pero su emisión se sumergirá en toda la emisión de infrarrojos lejanos del gas y polvo calentado por las estrellas masivas producidas en el estallido estelar. En este caso, hay fricción dinámica, que puede actuar para seleccionar las simetrías, tales como la coronación, la contra rotación, o la rotación a 90° (como en NGC2685, un polar galaxia de anillo; Richter et al. 1994). Tercero: Los agujeros negros comienzan a perder impulso angular orbital debido a la interacción con las estrellas cercanas (Zier y Biermann 2001, 2002). Otros mecanismos para los dispositivos angulares También se conoce la pérdida de impulso (Sesana et al. 2006, 2007a,b, Alexander 2007, Hayasaki 2008). Los dos agujeros negros se acercan a esa distancia crítica donde la interacción con las estrellas y la radiación gravitacional eliminan fracciones equivalentes del angular orbital impulso. Entonces, como se muestra en este artículo, los ejes de giro caen y el preceso. Esta fase se puede identificar con el superdisco aparente, ya que el chorro de preceso rápido produce el equivalente hidrodinámico de un viento potente, mediante el entrenamiento del gas caliente ambiente, empujando el dos lóbulos radio separados y dando lugar a una amplia separación (Gopal-Krishna et al. 2003, 2007, Gopal-Krishna & Wiita 2006). Gopal-Krishna & Wiita (2006) enfatizan lo evidente la asimetría, que proponemos atribuir a los efectos de la línea de visión y la distorsión debida a la reciente fusión. La base de la estructura de radio es tan amplia y asimétrica, que la AGN central parecerá ser compensado desde el centro proyectado de brecha. Los argumentos recientes de Worrall y otros (2007) parece ser coherente con este punto de vista. La dirección de giro de la combinación de dos agujeros negros se conserva, aunque la fuerza de la rotación disminuye. As durante la simple precesión el impulso angular total se reduce considerablemente, pero su dirección se conserva, en el otro lado la magnitud del giro se mantiene constante, esto significa que el el impulso angular orbital se reduce. Para los binarios de masas comparables será aún más alto que el giro en ISO (por lo tanto, la dinámica por debajo de ISO, que se puede analizar sólo numéricamente, debe ser responsable de cualquier spin-flip en el caso de masas comparables). Para la masa extrema cociente binarios el resultado de la contracción del momento angular orbital es L < S en ISO. Por lo tanto, el giro en ISO debe ser aproximadamente alineado con la dirección de J = L+S, que (como inicialmente L era dominante), está cerca de la dirección de la L inicial. En algunos casos, especialmente para masas iguales de los dos agujeros negros, un fuerte retroceso ha (González et al. 2007a, b). Sin embargo, como hemos señalado anteriormente, la relación de masa igual es Atípico. Cuarto: los dos agujeros negros en realidad se fusionan, y el agujero negro fusionado mantiene el – 25 – eje de rotación desde el momento angular orbital del binario existente anteriormente, siempre que la proporción de masa es relativamente grande. En caso de que la relación de masa esté entre 1 : 1 y 1 : 3, entonces incluso en la órbita más estable más interna una fracción sustancial del angular orbital momentum puede sobrevivir, posiblemente llevando a un giro-giro más adelante. Esta fase tan corta debería ir acompañada de una emisión extrema de ondas gravitacionales de baja frecuencia. La etapa final en esta fusión conduce a un rápido aumento de la frecuencia de las ondas, llamado “chirping”, Pero este canto dependerá de los ángulos involucrados. El ángulo entre el giro orbital de los dos agujeros negros combinados, y el giro intrínseco de las influencias más masivas del agujero negro la frecuencia más alta del chirp; para un ángulo grande esta frecuencia será menor que para un pequeño ángulo entre los dos giros. Si hay otra característica observable, como el Decaimiento inducido de partículas pesadas de materia oscura, de la fusión de los dos agujeros negros en que evento como el especulado por Biermann & Frampton (2006) no está claro en este momento. Quinto: Ahora el nuevo agujero negro fusionado más masivo comienza su disco de acreción y volar de nuevo, perforar un nuevo agujero para los chorros a través de su entorno. Esta etapa puede ser identificado tal vez con giga hertz pico de fuentes de radio (GPS). Si el nuevo jet apunta en el observador, entonces 3C147 puede ser un ejemplo (Junor et al. 1999). Sexto: Los chorros de nueva orientación comienzan a aparecer sobre algunos kpc, y esto corresponde a las radio galaxias en forma de X, mientras que los viejos chorros están desapareciendo pero todavía visibles. Esto también explica muchas de las fuentes compactas del espectro empinado, con direcciones desconectadas para el interior y el exterior jets. Séptimo: Los viejos chorros se han desvanecido, y son a lo sumo visibles en la baja frecuencia de radio estructuras burbujeantes, como se ve en la región de cluster Virgo alrededor de M87 (Owen et al. 2000). La alimentación se está desacelerando, y ya no hay un disco de acreción observable, pero probablemente sólo un disco dominado por la advección. Sin embargo, un jet de gran alcance todavía está allí, aunque por debajo o incluso muy por debajo de la potencia máxima. La alimentación es todavía del material residual que se detiene de la fusión. Octavo: La alimentación del agujero negro se reduce a la captura de un poco de gas de un común El viento gigante rojo de la estrella como presumiblemente está sucediendo en nuestro centro Galáctico. Esta etapa parece existen para todos los agujeros negros, incluso en niveles muy bajos de actividad (por ejemplo, Pérez-Fournon y Biermann 1984, Elvis et al. 1984, Nagar et al. 2000). Si este concepto descrito aquí es cierto, entonces las galaxias de radio superdisco deberían tener grandes distorsiones externas en sus imágenes de radio, que pueden ser detectables a muy alta sensibilidad, como deben corresponder a fuentes en forma de Z recientemente activas. Además, el superdisco debería ser visible en rayos X, aunque si la refrigeración es eficiente la temperatura puede ser relativamente baja. El cuadro 2 sugiere que la fusión es inminente, si la precesión del jet es mensurable dentro de – 26 – unos años, y el ángulo de apertura de la precesión es mucho más estrecho que el cono del viento, Reflejando la precesión anterior de tiempo más largo (véase Gopal-Krishna et al. 2007). Por lo tanto, con muy sensible radio interferometría podría ser posible detectar el chorro subyacente a pesar de su rápida precesión, aunque inmediatamente antes de la fusión real la alimentación del jet se apagará. Como más y más piezas de evidencia sugieren que los AGN son las fuentes de ultra-alto rayos cósmicos de energía (Biermann & Strittmatter 1987, Biermann et al. 2007) tenemos que preguntar lo que podríamos aprender a continuación. Claramente, después de un spin-flip, el nuevo jet relativista perfora a través de un nuevo entorno, con mucho gas, y por lo tanto sufre un fuerte choque de desaceleración. En tal shock las partículas se aceleran a las energías máximas, y al mismo tiempo, a medida que dejan el choque la región interactúa con todo ese gas interestelar. Por lo tanto, tales sitios son fuentes primarias para cualquier nuevas partículas, como neutrinos de alta energía (Becker et al. 2007). Tales descubrimientos pueden muy bien ser posible mucho antes de que detectemos las ondas gravitacionales de baja frecuencia del agujero negro fusión. Como en tales neutrinos de alta energía viajan directamente a través del universo, y sufren poco pérdida distinta de la expansión adiabática del universo, los agujeros negros resultantes de una fusión de dos agujeros negros, con posterior spin-flip, serán los objetivos principales para las búsquedas para neutrinos de energía ultra alta, y tal vez otras fotos y partículas en energías extremas. 7. Observaciones finales Considerando que se ha cuestionado en el pasado si los SMBH centrales de la fusión galaxias serán capaces de fusionarse realmente o su aproximación se estancará (debido al proceso de pérdida de cono de agotamiento) a una distancia donde la disipación a través de la radiación gravitacional no es (para un examen de estas consideraciones véase Merritt & Miloslavljević 2005), el papel de la fricción dinámica como acercar los SMBH al radio de transición, desde donde la radiación gravitacional lleva a cabo el control del proceso disipativo ha sido recientemente confirmado (Zier 2006) y también se propusieron mecanismos complementarios (Alexander 2007, Sesana et al. 2006, 2007a, b, Hayasaki 2008). Se prevé que la misión espacial LISA detectar la fusión de SMBHs. Los argumentos estadísticos de Rottmann (2001), utilizando la radio observaciones, sugieren que toda fuerte actividad central en las galaxias puede implicar una fusión de dos agujeros negros. Por lo tanto, hemos asumido en este documento que cada vez que las galaxias se fusionan, así que harán sus SMBH centrales. Incluso si hubiera excepciones en virtud de esta regla, esto sería reflejar únicamente en la inclusión de un factor global. 1 en el número de fusiones de SMBH como en comparación con el número de fusiones de galaxias, derivadas de la sección 2, que no afectarían las estimaciones de la proporción de masa de nuestro papel. Guiados por suposiciones razonables y simples hemos demostrado que los sistemas binarios de – 27 – Los binarios SMBH formados por fusiones de galaxias suelen tener un rango de masa entre 1/3 y 1/30. Después de esto, hemos demostrado que para los rangos de masa típicos una combinación de la Así que la precesión y la disipación por radiación gravitacional produce el giro-giro de la agujero negro dominante ya en la fase inspiral, excepto para la configuración particular de el giro perpendicular al plano orbital. Durante este proceso la magnitud del giro es sin cambios, por lo tanto la fusión de un alto giro (y alto parámetro de rotación) agujero negro con el agujero negro más pequeño da lugar a un estado de rotación alto similar al final de la fase inspiral. Estos son los principales resultados de nuestro trabajo. Hay una discusión relacionada en la literatura, si el giro alto de Los SMBH se producen por fases prolongadas de acreción o por fusiones frecuentes. Incluso un escenario, donde los SMBHs tienen típicamente baja rotación (King & Pringle 2006) fue avanzado, basado en el suposición de períodos cortos de pequeña acreción desde direcciones aleatorias. Hughes & Blandford (2003), extrapolando los resultados de \ = q−1 - 1 binarios a masas comparables, han mostrado que fusiona los agujeros negros spin-down. Volonteri et al. (2005) han estudiado la distribución SMBH gira bajo la acción combinada de acreción y fusiones, y encontró que la El efecto spin-up dominante es por acreción de gas. Últimamente, Berti & Volonteri (2008) han El problema de las fusiones se plantea teniendo en cuenta la mejora de la métodos relativistas (Pretorius 2007), y una fórmula semianalítica reciente, que da la giro final en términos de los giros adimensionales iniciales, la relación de masa y los ángulos relativos de la órbita momentum angular y giros (Rezzolla et al. 2008a,b,c, Barausse & Rezzolla 2009). Ellos han encontrado que las fusiones pueden dar lugar a un alto estado final de giro sólo si la rotación dominante es alineado con el impulso angular orbital del sistema (por lo tanto, las órbitas de masa más pequeñas en el plano ecuatorial del más grande). Sus consideraciones se extienden de masas comparables a coeficientes de masa de 1/10. Sin embargo, Berti y Volonteri (2008) descuidaron el impulso angular intercambio y transporte entre agujero negro, chorro y disco de acreción interior por campos magnéticos (véase, por ejemplo, Blandford 1976); esto puede modificar o incluso agudizar las conclusiones. Podemos añadir tres observaciones a este debate. En primer lugar, hemos demostrado por medios analíticos, que para el rango típico de la relación de masa la fase inspiral termina con un valor considerablemente menor del momento angular orbital en comparación con el giro (véase la última imagen de la Figura 1). A argumento heurístico muestra entonces que un momento angular tan pequeño no podría significativamente cambiar la dirección del giro durante las fases siguientes de la fusión. Aparte de esto pequeño impulso angular orbital, el problema es axialmente simétrico, no esperamos un giro adicional significativo debido a la radiación gravitacional en las últimas etapas de la inspiración. En segundo lugar, la configuración del momento angular orbital alineado con el giro dominante no es una opción preferida en el régimen gravitacional dominado por la radiación post-Newtoniana. Lo es. todavía no está claro si tal alineación podría ser el subproducto de las fases anteriores de la – 28 – inspiral, cuando la fricción dinámica (Zier & Biermann 2001), interacciones de tres cuerpos (Sesana et al. 2006, 2007a,b), procesos de relajación debidos a interacciones entre la nube y las estrellas (Alexander 2007), tres acreción del modelo de disco (Hayasaki 2008), y otros posibles mecanismos ocurren. Desde el sistema estelar es a menudo ligeramente aplanado, la fricción dinámica diferencial podría producir la cerca de la alineación necesaria para permitir un giro muy alto después de una fusión. En tercer lugar, la magnitud del giro prácticamente no cambia en la fase inspiracional, discutida Aquí. Esto se debe a la pérdida en el vector de rotación por radiación gravitacional, un segundo orden PN efecto, calculado a partir del potencial Burke-Thorne (Burke 1971), es perpendicular a la giros, produciendo otro efecto precesional (Gergely et al. 1998c). Por debajo de ISO esta estimación debe desglosarse, como se indica en las simulaciones numéricas que informan sobre diversas fracciones de el giro irradiado. En este contexto queremos subrayar la magnitud inalterada de el giro durante la inspiración, como datos iniciales importantes para la evolución numérica durante el Sumérgete y arrójate. También mencionamos aquí los resultados de la comunidad de relatividad numérica que muestra una Retroceso lateral del SMBH fusionado en casos particulares, principalmente para masas iguales y peculiares configuraciones del momento angulara (Brügmann 2008, Gonzalez et al. 2007a, b, Koppitz et al. 2007). También se ha demostrado que el retroceso regula el crecimiento de la masa de SMBH, como el SMBH deambula a través de la galaxia anfitriona durante 106  108 años (Blecha y Loeb 2008). Según la fórmula empírica de Campanelli et al. (2007a, véase también Lousto & Zlochower 2009) las escalas de velocidad de retroceso con q−2/ (1 + q−1) (1 + q−1), que para q−1 = a una escala con q−2. Por lo tanto, no esperamos efectos de retroceso significativos en la masa típica Rango de proporción de las fusiones de SMBH. Sugerimos que la fase precesional de la fusión de dos agujeros negros, ocurriendo antes del giro, es visible como un superdisco en las galaxias de radio (Gopal-Krishna et al. 2007). El chorro anterior aparece como un superviento que separa los dos lóbulos de radio en las etapas finales de la fusión. De acuerdo con nuestro modelo tales galaxias de radio son candidatos para subsecuentes Fusiones de SMBH. Otras observaciones y trabajos teóricos pueden ser capaces de identificar estos candidatos probablemente se fusionarán, y determinarán el calendario para que esto suceda. El reinicio de la alimentación de un jet relativista (después de la vuelta y la fusión) producirá energía ultra alta hadrones, neutrinos y otras partículas. Sobre la base de las estimaciones que figuran en el cuadro 2 para los plazos previos e inspiracionales, Podemos decir lo siguiente. Si fuéramos a observar un tiempo de precesión de tres años en un radio galaxia superdisco, podríamos predecir con confianza una caída en unos 300 años, lo que debería ser observable. Los plazos de precesión más rápidos requerirían algún esfuerzo para identificarse. Sin embargo, si Pudimos incluso identificar una escala de tiempo de precesión de días a semanas, entonces la caída sería se predice que sucederá unos meses a unos pocos años de allí: poderosas ondas gravitacionales en – 29 – entonces se emitiría una frecuencia muy baja. La imagen desarrollada aquí difiere de la de Wilson & Colbert (1995) en que lo hacemos no identificar sólo las raras fusiones de dos enormes agujeros negros de masas aproximadamente iguales con radio galaxias y radio quásares. Tenemos la intención de revisar las interacciones con las estrellas (Zier et al. 2009, en preparación), discutir el giro de los agujeros negros en otra obra (Kovács et al. 2009, en preparación) desarrollado a partir de Duđan & Biermann (2005), finalmente para trabajar cuantitativamente la relación de la fusión de agujeros negros y las estadísticas de radio galaxias (Gopal-Krishna et al. 2009, en preparación). 8. Agradecimientos Agradecemos las conversaciones con Gopal-Krishna y C. Zier. P.L.B. reconocer nuevas conversaciones con J. Barnes, B. Brügmann y G. Schäfer. L.Á.G. fue sucesivamente con el apoyo de OTKA subvenciones 46939, 69036, la beca János Bolyai de la Academia Húngara de Ciencias, el Fondo de Oportunidades de Investigación de la Universidad del Banco del Sur de Londres y el Polányi Programa de la Oficina Nacional Húngara de Investigación y Tecnología (NKTH). Sup- puerto para P.L.B. fue de la membresía de AUGER y la subvención teórica 05 CU 5PD 1/2 vía DESY/BMBF y VIHKOS. La colaboración entre la Universidad de Szeged y la La Universidad de Bonn fue a través de un contrato de la UE Sokrates/Erasmus. REFERENCIAS Alexander, T., en 2007 STScI Spring Symp.: Agujeros Negros”, eds, M. Livio & A.M. Koekemoer, (Cambridge, Cambridge University Press), en prensa (arXiv:0708.0688) Antonucci, R.R.J., Miller, J.S., Astrophys. J. 297, 621 - 632 (1985) Apostolatos T.A., Phys. Rev. D 52, 605 (1995) Apostolatos T.A., Phys. Rev. D 54, 2438 (1996) Apostolatos T.A., Cutler C., Sussman G.J., Thorne K.S., Phys. Rev. D 49, 6274 (1994) Barausse, E. 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(2009), en preparación Esta preimpresión fue preparada con el AAS LATEX macros v5.2. http://arxiv.org/abs/0710.4301 http://arxiv.org/abs/astro-ph/0702411 Introducción Rango de la relación de masa pertinente El giro y el impulso angular orbital en el régimen PN Las escalas de tiempo La inspiración de los binarios compactos de hilado en el régimen dominado por la radiación gravitacional Dinámica conservadora por debajo del radio de transición Dinámica disipativa por debajo del radio de transición Límites de validez Resumen Discusión Observaciones finales Agradecimientos

On the Young-Fibonacci insertion algorithm

SOBRE EL ALGORITMO DE INSERCIÓN JÓVENES-FIBONACCI JANVIER NZEUTCHAP Resumen. Este trabajo se refiere a algunas propiedades de la inserción de Young-Fibonacci algo- el ritmo y su relación con los diagramas de crecimiento de Fomin. También investiga una relación entre la combinatoria de los cuadros de Young-Fibonacci y el estudio del álgebra de Okada asociado a la Enrejado Young-Fibonacci. El algoritmo original fue introducido por Roby y lo redefinimos en una forma en que tanto la inserción como los cuadros de grabación de cualquier permutación son convenientemente inter- Pretendido como cadenas en la celosía Young-Fibonacci. Una propiedad de la evacuación de Killpatrick se le da un pruebas más sencillas, pero esta evacuación ya no es necesaria para hacer las construcciones de Roby y Fomin Coinciden. Proporcionamos el conjunto de cuadros Young-Fibonacci de tamaño n con una estructura de poset graduado, inducido por el orden débil en las permutaciones del grupo simétrico, y realizado por clo- seguro de las transformaciones elementales en los tableros. Demostramos que esta poseta da una combinatoria interpretación de los coeficientes en la matriz de transición a partir del análogo de funciones ric a análogo de las funciones Schur en álgebra de Okada. Terminamos con una muy similar. observación de cuatro posets en Young-tableaux estudiado por Taskin. Sumario 1. INTRODUCCIÓN 1 1.1. La celosía de Young-Fibonacci 2 2. Young-Fibonacci tableaux y Young-Fibonacci algoritmo de inserción 3 2.1. Convertir una cadena en YFL en un cuadro estándar de Young-Fibonacci 3 2.2. Redefine el algoritmo de inserción Young-Fibonacci 4 3. Inserción y crecimiento de jóvenes-Fibonacci en posets diferenciales 6 3.1. Equivalencia entre las construcciones de Roby y Fomin 7 3.2. Otro punto de vista de la evacuación de Killpatrick para Young-Fibonacci tableaux 8 4. Números de Fibonacci y una estadística sobre Young-Fibonacci tableaux 9 5. Un orden débil en Young-Fibonacci tableaux 10 6. Una conexión con el álgebra de Okada asociada a la celosía de Young-Fibonacci 15 7. Números de Kostka, la regla de Littlewood Richardson, y cuatro posets en Young tableaux 16 Observaciones finales y perspectivas 18 Agradecimientos 18 Referencias 19 1. Introducción La celosía joven (YL) se define en el conjunto de particiones de enteros positivos, con cubierta relaciones dadas por la orden de inclusión natural. La naturaleza diferencial poset de este gráfico fue generalizado por Fomin que introdujo la dualidad gráfica [13]. Con esta extensión introdujo [15] un generalización del algoritmo clásico Robinson-Schensted-Knuth [1, 2], dando un esquema general para establecer correspondencias bijetivas entre parejas de cadenas saturadas en gráficos de doble grado, tanto a partir de un vértice de rango 0 como teniendo un punto final común de rango n, por un lado, y permutaciones del grupo simétrico Sn por otro lado. Este enfoque conduce naturalmente a el algoritmo de inserción de Robinson-Schensted. 2000 Clasificación de Materias Matemáticas. Primaria 05-06; secundaria 05E99. Palabras y frases clave. Schensted-Fomin, algoritmo de inserción, Young-Fibonacci, celosía, tableaux, evacuación, poset, álgebra de Okada, números de Kostka. http://arxiv.org/abs/0704.1969v1 2 J. NZEUTCHAP Roby [17] dio un algoritmo de inserción análogo a la correspondencia Schensted, que mapea una permutación  sobre una pareja hecha de un cuadro de Young-Fibonacci P ( El tablero de Roby se interpreta canónicamente como una cadena saturada en la celosía de Fibonacci Z(1) introducido por Stanley [11] y también por Fomin [14]. Roby también mostró que el enfoque de Fomin es parcialmente equivalente a su construcción. De hecho, en la construcción de Roby, sólo la cadena saturada Q® obtenida del diagrama de crecimiento de Fomin tiene una interpretación como una representación del cuadro de ruta Q(), mientras que parece que no hay manera de traducir el tablero de Young-Fibonacci P en su cadena equivalente P®. Contrario al enfoque de Killpatrick [8] que ha utilizado una evacuación para relacionar las dos construcciones de Roby y Fomin, demostramos que con un mecanismo adecuado para convertir una cadena saturada en el Young-Fibonacci Enrejado en un tablero de Young-Fibonacci, la construcción de Roby coincide naturalmente con la de Fomin. El documento se organiza de la siguiente manera. En la sección 1.1 recordamos la definición de la Young-Fibonacci celosía, entonces en la Sección 2 definimos un mecanismo para convertir una cadena saturada en esta celosía en un cuadro estándar de Young-Fibonacci. En la misma sección, también introducimos una modificación en El algoritmo de Roby, de tal manera que tanto la inserción como la grabación de cuadros de cualquier permutación tendrá una interpretación en términos de cadena saturada en la celosía Young-Fibonacci. En la sección 3.1 relacionamos el algoritmo de Roby con la construcción de Fomin utilizando diagramas de crecimiento y lo comparamos a la obra de Killpatrick. En la Sección 4, definimos un análogo de los números de Kostka para Young-Fibonacci tableaux, y señalamos una de sus relaciones con los números habituales de Fibonacci. En la sección 5 definir y estudiar algunas propiedades de un poset en Young-Fibonacci tableaux. Esta poseta gira ser un modelo para la interpretación, así como el cálculo de otro análogo de Kostka números, introducidos por Okada [16] en un análogo del álgebra de funciones simétricas, asociados a la celosía Young-Fibonacci. Demostramos que este resultado es la Sección 6, y en la última sección de la papel probamos un resultado similar relacionando los números usuales de Kostka con cuatro posets en Young-tableaux estudiado por Taskin [9]. 1.1. La celosía Young-Fibonacci. Un diagrama de Fibonacci o forma de serpiente del tamaño n es una columna por columna representación gráfica de una composición de un entero n, con partes iguales a 1 o 2. El número de tales composiciones es el Número Fibonacci. Un orden parcial se define en el conjunto de todas las formas de serpiente, de tal manera que obtener un análogo de la celosía joven de particiones de enteros (YL). Esta celosía se llama la La celosía Young-Fibonacci (YFL) y fue introducida por Stanley [11] y también por Fomin [14]. As veremos en la secuela, hay una considerable similitud entre las dos celosías, así como el combinatoria de cuadros su inducir. Las relaciones de cobertura en YFL se dan a continuación, para cualquier snakeshape u. (1) u está cubierto por la forma de serpiente obtenida mediante la fijación de una sola caja justo delante ; (2) u está cubierto por la forma de serpiente obtenida mediante la adición de una caja única en la parte superior de su primera caja única columna, leyendo u de izquierda a derecha. (3) si u comienza con una serie de columnas de dos cajas, entonces está cubierto por todas las formas de serpiente obtenidas insertando una columna de una sola caja justo después de cualquiera de esas columnas. El rango u de una forma de serpiente u es la suma de dígitos de la palabra correspondiente Fibonacci. Su longitud se denota l(u). Dejar u y v ser dos formas de serpiente tal que v cubre u en YFL, la célula añadido a u para obtener v es un rincón interior de v, también se llama un rincón exterior de u. Observación 1.1. Young-Fibonacci tableaux (YFT) aparecerá naturalmente como numeración de serpiente- formas, satisfaciendo ciertas condiciones descritas en la secuela, de la misma manera que Young tableaux son numeraciones de particiones de números enteros con condiciones de numeración prescritas. La numeración condiciones de Young-Fibonacci tableaux se deducen de la descripción de la Young-Fibonacci algoritmo de inserción (sección 2.2). SOBRE EL ALGORITMO DE INSERCIÓN JÓVENES-FIBONACCI 3 A continuación se muestra una representación pictórica de una realización finita de YFL, desde el rango 0 hasta el rango n = 4, con células negras que representan las esquinas interiores. Gráfico 1 La celosía Young-Fibonacci. Ahora veamos el problema de convertir una cadena saturada en YFL en un YFT estándar. 2. El algoritmo de inserción de Young-Fibonacci y Young-Fibonacci En YL, cualquier cadena saturada a partir de la partición vacía se puede convertir canónicamente en una tabla estándar Young, y esta representación es conveniente en muchas maneras. Consiste en etiquetar las cajas como se producen en la cadena. Como ya observó Roby [17], una pregunta que presenta en sí mismo es hacer lo mismo en YFL para cualquier cadena saturada a partir de la forma de serpiente vacía. La necesidad de tal mecanismo de conversión aparecerá en la sección 3.1 en la interpretación de dos cadenas en un diagrama de crecimiento. También se puede utilizar el etiquetado canónico para convertir una cadena saturada de YFL en un tablero, pero Roby ya había señalado que un problema importante con este etiquetado canónico es que excepto por la regla trivial de que cada elemento de la fila superior debe ser mayor que el que está debajo de él, No hay otras reglas obvias que rijan qué numeración se permite para una forma dada. Sugerimos que uno primero define reglas simples que rigen qué numeración se permite para una forma dada, de modo que sea fácil de decidir si una numeración de una forma de serpiente es un cuadro de Young-Fibonacci legítimo o no. Los convención que utilizamos se describe en la siguiente sección. 2.1. Convertir una cadena en YFL en un cuadro estándar de Young-Fibonacci. Puesto que no usamos las mismas convenciones que Roby [17] y Fomin [13], vamos a dar la siguiente definición de Young-Fibonacci tableaux. Definición 2.1. Una numeración de una forma de serpiente con distintos números enteros no negativos es un estándar Tabla Young-Fibonacci (SYFT) en las siguientes condiciones. (1) Las entradas están aumentando estrictamente en columnas ; (2) cualquier entrada en la parte superior de cualquier columna no tiene ninguna entrada mayor que ella a su derecha. Para convertir una cadena en YFL en un YFT estándar, se seguirá el enfoque canónico como en la medida en que la nueva caja añadida a la cadena se encuentra en la primera columna. Ejemplo con la cadena Q+ = La subcadena se convierte de la siguiente manera: 1, 2, 12, 22, 221, 2211, 21211) ; la subcadena se convierte de la siguiente manera. • 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 4 J. NZEUTCHAP Ahora, pasando de la forma 22 a la forma 221 en YFL, se inserta una caja justo después de dos cajas columna de la forma anterior. En tal situación, se moverá la entrada en la parte superior de esa columna en el cuadro de nueva creación, y luego cambiar las otras entradas de la fila superior a la derecha. Por último, si n es la entrada más grande en el cuadro parcial obtenido, luego etiqueta la caja en la parte superior de la primera columna con (n + 1). La conversión iniciada arriba se mantiene como sigue, xk significa que escribir o mover la etiqueta x es la acción kth realizada durante el paso actual. 22 → 221 : 3 1 21 3 1 2 3 1 2 221 → 2211 : 3 1 2 3 1 2 3 1 41 2 3 1 4 2 3 1 4 2 2211 → 21211 : 3 1 4 2 3 1 4 2 3 61 1 4 2 3 6 1 4 2 De la descripción anterior se desprende fácilmente que este mecanismo sólo produce YFT legítimo (Definición 2.1), y que la conversión es reversible. Ahora otra pregunta que se presenta es cómo contar YFT estándar de una forma dada u 6= فارسى, denotamos este número por Fu. Vamos primero. recordar la fórmula contando extensiones lineales de un árbol binario poset P. (2.1) Ext(P) = d1d2 · · · dn donde para el nodo ith vi, di es el número de nodos v ≤P vi. Esta fórmula se debe a Knuth [3], y ya que cualquier forma de serpiente puede ser canónicamente asimilada a un poseta Pu, entonces tenemos lo siguiente. Proposición 2.2. Los tableros de Young-Fibonacci estándar de una forma dada son contados por el gancho- fórmula de longitud para árboles binarios. Para aplicar la fórmula a una forma de serpiente u, contarlo celdas de derecha a izquierda y de abajo a arriba, etiquetando la primera caja y cada caja que aparece en la fila inferior de cualquier columna de dos cajas. Los número de YFT estándar de la forma dada es el producto de todas las etiquetas obtenidas. Ejemplo 2.3. Consideremos u = 2212. una forma de serpiente u = 2212 su poseta Pu Longitudes de gancho 6 4 1 F2212 = 2×3×5×7 = 6× 4× 1 2.2. Redefinir el algoritmo de inserción Young-Fibonacci. Referimos al lector a [17, 8] para una descripción del algoritmo original ; a continuación es el que nosotros Considerar. SOBRE EL ALGORITMO DE INSERCIÓN DE JÓVENES-FIBONACCI 5 Definición 2.4. El algoritmo de inserción de Young-Fibonacci mapea una permutación en un par de YFT estándar construido de la siguiente manera. El tablero de inserción P () está construido por la lectura de la derecha a la izquierda, coincide con cualquiera de las letras encontradas (y aún no coincide) con la máxima (no todavía emparejado) a su izquierda, en su caso, siempre que este último sea mayor que el primero. El cuadro de grabación Q() registra las posiciones de las letras, en el orden inverso de la en la que están emparejadas. Ejemplo 2.5. Para  = 2715643, tenemos lo siguiente. 2 7 1 5 6 4 3 1 2 3 4 5 6 7 • P () = 7 6 2 3 4 5 1 y Q() = 7 6 3 2 5 4 1 Observación 2.6. Que tanto P () como Q () son los cuadros estándar de Young-Fibonacci (Definición 2.1) está claro de la descripción del algoritmo. Este no es el caso en el algoritmo original donde P (l) y Q(l) no son del mismo tipo. De hecho, con el algoritmo de inserción original, la inserción tablau es el mismo que el cuadro P ( no satisfacen la definición 2.1. QRoby() = 3 7 4 2 6 5 1 La definición de Q() que adoptamos está inspirada en la inserción hipopláctica [4] y en el silvester [5] algoritmos, donde Q() también registra las posiciones en  de las etiquetas de P (). Con esta definición, algunas propiedades esenciales de la correspondencia Young-Fibonacci tienen una combinatoria mucho más fácil prueba, que no es siempre el caso en [17]. Por ejemplo, recordemos la propiedad de la involución. Teorema 2.7. [17] Para cualquier permutación Prueba. Considere la construcción geométrica de Killpatrick [8], y recuerde que P ( lectura de coordenadas verticales de la x más derecha y superior en ese orden, para cualquier línea rota. As para Q(l), lo hemos definido de tal manera que corresponde a la lectura de coordenadas horizontales de la x más alta y la más derecha en ese orden. La construcción para 1 se obtiene transponiendo el de.............................................................................................................. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Otra propiedad fundamental del algoritmo de Roby que se demuestra fácilmente utilizando la definición 2.4 sigue. Teorema 2.8. [17] Seamos una involución del grupo simétrico, luego la descomposición del ciclo es la lectura de la columna de su cuadro de inserción P. Damos otras dos palabras canónicas asociadas con una tabla t ; así que si dejamos que YFC(t) denota la clase de equivalencia hecha de permutaciones que tienen t como tabla de inserción, entonces YFC(t) tiene al menos tres elementos canónicos. El primer elemento canónico es su involución canónica, que es la única involución cuyos ciclos coinciden con las columnas de t, como se indica en el Teorema 2.8. Los dos otros elementos canónicos son los máximos (resp. mínimo) para el orden lexicográfico. Utilizaremos estos elementos en la Sección 5. Lemma 2.9. Que no sea un tablero de Young-Fibonacci, w1 la lectura de izquierda a derecha de su fila superior y w2 la lectura de derecha a izquierda de su fila inferior, luego w1.w2 (donde. denota la concatenación habitual de words) es el elemento máximo (para el orden lexicográfico) de YFC(t), se denota wtmax. Lemma 2.10. La palabra que consiste en la lectura de columna derecha a izquierda y arriba hacia abajo de t es la elemento mínimo (para el orden lexicográfico) de YFC(t), se denota wtmin. Prueba. Borrar de la descripción del algoritmo de inserción Young-Fibonacci. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 6 J. NZEUTCHAP Un ejemplo se da con el cuadro t a continuación; su involución canónica es (13)(26)(48)(5)(7) = 36185274, el elemento canónico máximo es 86315274, y el mínimo es 31562784. 8 6 3 4 7 2 5 1 Veremos (Teorema 5.12) que YFC(t) es el conjunto de extensiones lineales de un poset dado, y Además, YFC(t) es un intervalo del orden débil en el grupo simétrico (Teorema 5.9). 3. Inserción de jóvenes-Fibonacci y crecimiento en poses diferenciales En esta sección mostramos que con la modificación que hemos introducido en la inserción original de Roby algoritmo, junto con el mecanismo de conversión discutido en la sección 2.1, el Young-Fibonacci El algoritmo de inserción coincide naturalmente con el enfoque de Fomin utilizando diagramas de crecimiento. Así que reclamamos que la evacuación de Killpatrick [8] ya no es necesaria para que las dos construcciones coincidan. Nosotros Dar una simplificación del teorema de Killpatrick relacionando el algoritmo original de Roby con el de Fomin a través de un proceso de evacuación, y más tarde necesitaremos esta evacuación en la prueba de Teorema 6.2 dando una interpretación combinatoria del análogo de Okada de los números Kostka. Recordemos que la construcción de Fomin con diagramas de crecimiento consiste en utilizar algunas reglas locales al rellenar un diagrama dando lugar a un par de cadenas saturadas en YL. Para cualquier permutación, la El diagrama de crecimiento d() se construye de la siguiente manera. Primero dibuje la matriz de permutación de  ; siguiente relleno el límite izquierdo e inferior de d() con la forma de serpiente vacía ♥. El resto de la construcción es iterativo ; d() se rellena desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha, siguiendo la diagonal. En cada paso y para cualquier configuración como se muestra a continuación, z se obtiene mediante la aplicación de las reglas locales a los vértices t, x, y y el elemento de matriz de permutación α. Referimos al lector a [15] para más información detalles sobre esta construcción. a1 α b1 Gráfico 2 Un cuadrado en un diagrama de crecimiento. Algoritmo 1 : normas locales para YFL 1: si x 6= y y 6= t entonces 2: z := t, con una columna de dos cajas añadida al frente 3: de lo contrario 4: si x = y = t y α = 1 entonces 5: z := t, con una columna de una sola caja añadida en la parte delantera 6: de lo contrario 7: z se define de tal manera que el borde bi es degenerado cada vez que ai es degenerado 8: Fin si 9: Fin si SOBRE LA INSERCIÓN DE LOS JÓVENES FIBONACCI ALGORITMO 7 3.1. Equivalencia entre las construcciones de Roby y Fomin. Construyamos el diagrama de crecimiento de Fomin para la permutación  = 2715643. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 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* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Gráfico 3 Ejemplo de diagrama de crecimiento para la inserción de Young-Fibonacci. Obtenemos los caminos Qâ = (1, 2, 12, 22, 22, 2211, 21211) y Pâ = (1, 11, 21, 211, 1211, 2211, 21211) en el límite superior y derecho, respectivamente. Ahora vamos a convertirlos en Young-Fibonacci tableaux, utilizando el mecanismo examinado en la sección 2.1. 1 → 2 1 → 2 4 1 2 5 4 1 7 6 3 2 5 4 1 = Q.............................................................................................................................................................................................................................................................. • 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 3 4 1 6 5 2 3 4 1 7 6 2 3 4 5 1 = P-(l) = P-(l) Como podemos ver en este ejemplo, las dos construcciones coinciden naturalmente. Observación 3.1. Mencionemos eso porque Roby usó el etiquetado canónico para convertir una cadena en un cuadro, parecía que no había manera de convertir la cadena de Pó en su cuadro equivalente P (). El algoritmo de Killpatrick fue entonces un enfoque para relacionar Pó con Pó. Nuestro propio enfoque consiste en en la introducción de una modificación del algoritmo original, y un nuevo proceso de etiquetado. Teorema 3.2. Let (PÃ3n, QÃ3n, QÃ3n) ser el par de Young-Fibonacci tableaux obtenido de la permu- la inserción de los jóvenes-fibonacci y la grabación de cuadros utilizando la inserción de Roby modificada (Definición 2.4), luego P..................................................................................................................................................................................................................................................... Qâ € € = Qâ € € = Qâ € € = Qâ € € = Q € = Q € = Q € = Q € = Q € = Q € = Q € = Q € = Q € = Q € = Q € = Q € = Q. Prueba. La igualdad de Pâ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° de la tabla P (/[1..k]), donde /[1..k] es la restricción de  al intervalo [1..k]. De hecho, el camino Se obtiene aplicando a P () el proceso inverso del descrito en la sección 2.1. Al hacerlo, la celda añadida a Pak para obtener Pak+1 se encuentra en la primera columna cuando cualquiera de los dos termina con la letra. k + 1 o [1..k+1] no termina con la letra k + 1 sino con la letra k. un razonamiento similar se utiliza para probar la igualdad Qâ € = Qâ € = Qâ € = Qâ €. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 8 J. NZEUTCHAP 3.2. Otro punto de vista de la evacuación de Killpatrick para Young-Fibonacci tableaux. Para un cuadro t, esta operación se define sólo para las entradas superiores de las columnas de t. Dejar a0 ser tal una entrada, el cuadro resultante de la evacuación de a0 se denota ev(t, a0) y se construye de la siguiente manera. (1) si a0 es una columna de un solo cuadro, entonces simplemente eliminar esta columna y, si esto es necesario, cambiar un componente del tablero restante para conectarlo con el otro (por ejemplo, de la línea 3 en el cuadro que figura a continuación) ; (2) de lo contrario, la caja que contiene a0 se vacía y se compara la entrada a1 que era justo debajo de a0 con la entrada a2 en la parte superior de la columna justo a la derecha si la hay. Si a2 < a1 entonces Esto pone fin al proceso de evacuación (por ejemplo, en la línea 4 del cuadro que figura a continuación). De lo contrario, muévase a2 en la parte superior de a1, creando una nueva caja vacía en el cuadro. Si la nueva caja vacía es una columna de una sola caja, esto termina el proceso de evacuación (por ejemplo, de la línea 7, paso 4, en la tabla de abajo), de lo contrario, repetir iterativamente el proceso con las entradas justo debajo y a la derecha de esta nueva caja vacía. Que no sea un cuadro de tamaño n y forma u. Si se evacua sucesivamente las entradas n, (n−1), · · ·, 1 de t, etiquetando las casillas de u de acuerdo con las posiciones de las casillas vacías al final del evacuación de entradas, se obtiene un cuadro de ruta denotado ev(t). Recordemos que un cuadro de ruta es el Etiquetado canónico de una cadena saturada. Observación 3.3. ev(t) es el mismo cuadro que el descrito por Killpatrick [8], con Young- Fibonacci tableaux definido como en la definición 2.1. 7 t = 7 6 2 3 4 5 1 • 6 2 3 4 5 1 6 • 2 3 4 5 1 6 5 2 3 4 • 1 7 6 5 2 3 4 1 • 5 2 3 4 1 5 • 2 3 4 1 3 4 1 3 4 1 3 • 1 3 5 7 4 6 2 3 5 7 1 1 → • ev(t) = 4 6 2 3 5 7 1 Cuadro 1 Evacuación en los tableros de Young-Fibonacci. Lemma 3.4. Que w sea una palabra sin letra repetida, que a0 sea una de sus letras que aparecen como una elemento superior en una columna de P (w), y dejar w0 ser la palabra obtenida de w mediante la eliminación de la única ocurrencia de a0, luego ev(P (w), a0) = P (w0). SOBRE EL ALGORITMO DE INSERCIÓN DE JÓVENES-FIBONACCI 9 Prueba. Fácilmente a partir de la descripción de la evacuación y la descripción de la Young-Fibonacci algoritmo de inserción (Definición 2.4). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Damos una prueba más simple del siguiente teorema de Killpatrick, relacionado con ev(P ( De hecho, usando el etiquetado canónico, Roby ha convertido el camino Pâ € en un cuadro de ruta Pâ € € y Teorema 3.5. [8] ev(P ( Prueba. Sigue de Lemma 3.4 y la observación de que cualquier forma de serpiente Pók que aparece en Pó es la forma del tableau P (/[1..k]), donde /[1..k] es la restricción de  al intervalo [1..k]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4. Números de Fibonacci y una estadística en Young-Fibonacci tableaux En esta sección señalamos una propiedad de los números de Young-Fibonacci definidos como un análogo de Números de Kostka. Recordemos que los números usuales de Kostka K.o, μ se definen para dos particiones.o y μ del mismo entero n y aparecen al expresar las funciones de Schur s♥ en términos del monomio funciones simétricas mμ, y en la expresión de las funciones simétricas completas hμ en términos de Schur funciona. (4.1) s/23370/ = K, μmμ; hμ = Kl, μ sl No nos centraremos en la interpretación algebraica de la K/23370/, μ, sino más bien en su combinatoria interpretación en términos de cuadros. De hecho, μ cuenta el número de diferentes semi-estándar Cuadros jóvenes de forma y valoración, es decir, con entradas de μi i para i = 1 l(μ). Lo es. entonces natural para introducir la misma definición con Young-Fibonacci tableaux. Definición 4.1. Una tabla de Young-Fibonacci semi-estándar es una numeración de una forma de serpiente con Números enteros no negativos, no necesariamente distintos, preservando las condiciones establecidas en la definición 2.1. Definición 4.2. Que u y v sean dos formas de serpiente de tamaño n, el número de Young-Fibonacci asociado a u y v, denotado Nu, v es el número de cuadros de Young-Fibonacci distintos forma u y valoración v, es decir, con vi entradas i para i = 1.. l(v). Por ejemplo, para u = 221 y v = 1211, hay 4 diferentes semi-estándar Young-Fibonacci tableaux of form u y valoración v. So N221, 1211 = 4. 1 2 2 2 1 2 2 2 1 3 1 2 Proposición 4.3. Los números de Young-Fibonacci son generados por las fórmulas de recurrencia abajo, donde ambos u y v son formas de serpiente. (4.2) No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. N1u, v1 = Nu, v; N1u, v2 = Nu, v1 N2u, v1 = v > v > v − Nu,w ; N2u, v2 = v > v > v − Nu, w1 donde v1 denota el multiconjunto de formas de serpiente obtenidas de v bien mediante la supresión de una sola ocurrencia de 1, o disminuyendo una sola entrada no igual a 1, por ejemplo 21121 = [1112, 212, 212, 2111]. Prueba. Fácilmente a partir de la definición de Young-Fibonacci tableaux y Young-Fibonacci números. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 10 J. NZEUTCHAP v = 222 2211 2121 2112 21111 1221 1212 12111 1122 1121121 111112 11111111 u = 222 2 3 4 5 6 4 5 6 5 7 8 12 15 2211 4 5 5 7 9 5 7 9 9 9 12 15 2121 2 3 4 4 5 4 4 5 4 6 8 8 10 2112 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 4 5 21111 2 3 3 3 4 3 3 4 3 4 4 4 5 1221 2 2 3 4 4 3 4 4 4 6 8 1212 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 12111 2 2 2 3 3 2 3 3 3 3 4 1122 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 11211 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 11121 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 11112 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 111111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Cuadro 2 Matriz de números de Young-Fibonacci para n = 6. Teorema 4.4. Dejar n ≥ 2 ser un entero positivo, a continuación, el número de parejas (u, v) de formas de serpiente de tamaño n tal que Nu, v = 0 es el (n− 2) El número de Fibonacci. Prueba. La prueba se hace por inducción en n. De hecho, utilizando la ecuación (4.2) es fácil ver que Nu, v 6= 0 cuando u 6= 1 n−22. Así que el problema es equivalente a contar el número de formas de serpiente v Tal que N = 0. Pero N = 0 si y sólo si existe una forma de serpiente w v = 2w. Entonces el problema es finalmente equivalente a contar las formas de serpiente de tamaño (n − 2), y de ahí el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 5. Un orden débil en los tableros de Young-Fibonacci En lo que sigue, introducimos una orden parcial y graduada denotada en el conjunto YFTn de Young- Fibonacci tableaux de tamaño n. Veremos (Teorema 5.8) que este pedido parcial en YFTn es tal que el mapa del orden débil en el grupo simétrico Sn que envía cada permutación en su tabla de inserción de Young-Fibonacci P () está conservando el orden. Más concretamente, las normas Las clases de Young-Fibonacci en Sn son intervalos del orden débil en Sn. Recordemos que los débiles o... der sobre las permutaciones de Sn es el cierre transitivo de la relación i, en el que Łi es la transposición adyacente (i i+1). Una inversión de una permutación es una pareja (j, i), 1 ≤ i < j ≤ n de tal manera que 1(i) > 1(j), es decir, j aparece a la izquierda de i en Tenga en cuenta que esta no es la definición comúnmente utilizada. El conjunto de inversiones de la permutación ser denotado inv(l), y el número de inversiones denotadas #inv(l). Vamos a hacer uso de un nociones análogas de no inversión de una permutación  que es una pareja (i, j), 1 ≤ i < j ≤ n tales que 1(i) < 1(j), es decir, i aparece a la izquierda de j en El conjunto de no-inversiones de un la permutación  se denotará ord(). Definición 5.1. Para introducir, definimos la operación de desplazar una entrada en un cuadro t como sigue. (1) la entrada inferior a de cualquier columna de t puede moverse y subir la entrada c a su izquierda si c es una columna de una caja de t. En el ejemplo de abajo, la letra 1 es la que se está desplazando. 2 4 3 1 cambiar la entrada 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2 4 1 SOBRE LA INSERCIÓN DE LOS JÓVENES FIBONACCI ALGORITMO 11 (2) En el caso de a fue la entrada inferior en una columna de dos cajas, la entrada superior b sólo caerá Abajo. En los dos ejemplos siguientes, la letra 2 (resp. 3) es el que está siendo cambiado. 5 2 3 1 cambio 2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2 4 3 1 5 3 1 cambio 3 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 3 4 1 (3) En el caso de que la columna justo a la izquierda de a esté dos cajas, con la entrada inferior c y a < c, entonces a puede reemplazar c que en su turno se desplaza a la derecha de tal manera que si c < b entonces c sólo reemplazará a ; de lo contrario c se coloca como una nueva columna de un solo cuadro entre a y b, y b simplemente se cae. En los dos ejemplos siguientes, la letra 1 (resp. 2) se desplaza. 2 1 3 cambio 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 2 3 4 2 1 cambio 2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2 4 3 1 Observación 5.2. Se deduce fácilmente de la definición que cambiar una entrada en un cuadro siempre produce un tablero legítimo del mismo tamaño. De manera análoga, dado un cuadro t, se define lo contrario operación de encontrar todos los cuadros t′ de tal manera que desplazar una entrada en t′ devuelve t. Por ejemplo, uno comprobará que 3 4 1 se obtiene a partir de 5 3 1 4 3 1 3 4 2 1 cambiando 3 o 1. Por último, está claro que esta operación es antisimétrica, es decir, si t′ se obtiene de t por desplazando una entrada dada, entonces t no se puede obtener de t′ desplazando una entrada. Esta última observación se hace cumplir por el siguiente lema, que también define la graduación de el poset (YFTn, ) vamos a presentar pronto. Lemma 5.3. Que t2 sea un cuadro obtenido desplazando una entrada en un cuadro t1, y que 1 (resp. - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ser la permutación mínima canónicamente asociada a t1 (resp. t2) como se indica en Lemma 2.10, entonces los conjuntos de inversiones de 1 y 2 están relacionados por la relación #inv(2) = #inv(1) + 1. Prueba. La prueba tiene en cuenta todas las situaciones que uno puede encontrar al cambiar una entrada en t1. (1) t1 = T2 c a T1 y t2 = T2 a T1, donde T1 y T2 son YFT parciales que tienen mínima canónica las palabras w1 y w2 (véase Lemma 2.10 para la definición), y condiciones de la definición 2.1, y posiblemente ninguna entrada. Las permutaciones mínimas asociadas a t1 y t2 son 1 = w1?acw2 y 2 = w1?caw2 respectivamente, y claramente?2 tiene uno más inversión que 1. (2) t1 = T2 c a T1 y t2 = T2 a c T1, con una < c < d; uno tiene w1ocdaw2. La inversión (dc) aparece en 1 pero no en 2 mientras que las inversiones (da) y (ca) aparecen en el 2 pero no en el 1; por lo que el 2 tiene una inversión más. (3) t1 = T2 c a T1 y t2 = T2 a c T1, con una < c < b < d; uno tiene 1 = w1badcw2 y 2 = w1bcdaw2. La inversión (dc) aparece en 1 pero no en 2 mientras que las inversiones (da) y (ca) aparecen en el 2 pero no en el 1; por lo que el 2 tiene una inversión más. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora estamos en condiciones de proporcionar a YFTn una estructura de poset. Definición 5.4 (orden débil en YFTn). Que t y t ′ ser dos cuadros de tamaño n, entonces t se dice más pequeño que t′ y escribimos t t′ si se puede encontrar una secuencia t0 = t, t1, · · ·, tk = t ′ de cuadros del tamaño n Tal que ti+1 se obtenga de ti cambiando una entrada, para i de 0 a k − 1. Proposición 5.5. (YFTn, ) es un poset calificado, el rango de un cuadro de Young-Fibonacci siendo el número de inversiones de su permutación canónica mínima. 12 J. NZEUTCHAP Prueba. Sigue desde Lemma 5.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Observación 5.6. Nótese que esta notable propiedad de la graduación de la poset de estándar Young- Fibonacci tableaux del tamaño n no se aplica a la postura similar YTn de Young tableaux estándar de tamaño n. El lector interesado puede referirse a [9] donde Taskin estudió muchas propiedades agradables de cuatro órdenes parciales sobre YTn. π = 6 π = 5 π = 4 π = 3 π = 2 π = 1 54321............................................................................................................................................................................................................................................................. Gráfico 4 El orden débil clasificado en los tableros Young-Fibonacci de tamaño 5. Observación 5.7. Como se comprobará fácilmente en la figura de arriba, (YFTn, ) no es una celosía para n = 5 Por ejemplo. De hecho, dejar a = 5421 y b = 3421, entonces a y b no tienen un límite superior mínimo. Teorema 5.8. Que t1 y t2 sean dos tablas, entonces t1 t2 si y sólo si uno puede encontrar dos permu- las taciones 1 y 2 de tal manera que P (­1) = t1, P (­2) = t2 y ­1 ≤p ­2. Prueba. Es suficiente para probar esta declaración para el caso t2 se obtiene cambiando una entrada en t1, y la prueba se lleva a cabo como un proceso paralelo de la prueba de Lemma 5.3. Así que vuelve a la las pruebas finales y (1) tomar ­i = ­i ; (2) tomar ­1 = w1­dacw2 y ­2 = w1­dcaw2 ; (3) tomar ­1 = w1bdacw2 y ­2 = w1bdcaw2. Esto muestra que uno puede encontrar dos permutaciones ­1 y ­2 de tal manera que P (­1) = t1, P (­2) = t2 y Para algunos i, siempre que t1 t2. Recíprocamente dejar que el 1 y el 2 sean dos permutaciones tales que SOBRE LA INSERCIÓN DE LOS JÓVENES FIBONACCI ALGORITMO 13 P (l+1) = t1 y P (l+2) = t2 y l+2 = l+1+i para algunos i. Entonces t2 se obtiene de t1 desplazando la entrada i en t1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora nos fijamos en la estructura de las clases de Young-Fibonacci ; a continuación hay dos imágenes de la poset (YFT4, ). En la imagen de la izquierda, los vértices son clases Young-Fibonacci que corresponden a Mesas Young-Fibonacci en la foto a la derecha. Recuerde que el rango de una clase es el número de inversiones de su elemento mínimo en el orden lexicográfico. La involución única de cualquier clase está encerrado en un rectángulo. Un doble borde significa que hay dos parejas (-1, -2) y (-) cumpliendo las condiciones del Teorema 5.8. 3241 ° = 4 3142? = 3 1342? = 2 2134 1324 1243 ° = 1 1234 ° = 0 1 3 2 4 1 2 2 3 1 4 3 1 4 2 1 3 2 1 4 3 2 1 Gráfico 5 El orden débil calificado en las clases de Young-Fibonacci de tamaño 4. Es fácil comprobar que cada clase que aparece como un vértice del poset (YFT4, ) es un intervalo de el orden débil (S4,≤p), y esta es una observación general. Teorema 5.9. Que no sea un cuadro estándar de Young-Fibonacci de tamaño n, entonces YFC(t) es un intervalo del orden débil (Sn,≤p), más sobre YFC(t) = [w min, w max]. Para probar esta afirmación, primero relacionaremos YFC(t) con extensiones lineales de un poset canónicamente asociado a t, y luego probaremos que el conjunto de extensiones lineales de este poset es un intervalo del orden débil. Definición 5.10. Que no sea un cuadro estándar de Young-Fibonacci de tamaño n, su postura canónica Pt es el poset definido en el conjunto {1, 2,..., n} con las relaciones de cobertura a continuación. (1) la lectura de derecha a izquierda de la fila inferior de t forma una cadena en el poset ; (2) cada entrada en la parte superior de una columna de t de dos casillas está cubierta por la entrada correspondiente en Fila inferior. Nota 5.11. Una permutación es un conjunto (totalmente ordenado) con relaciones de cobertura definidas por Cuando i < j, es decir x y si x aparece a la izquierda de y en Dejad en paz a P. a poset y a la permutación, se dice que es una extensión lineal de P si sus relaciones preservan el relaciones en P, es decir, si x ≤ P y entonces x y. El conjunto de extensiones lineales de un poset P debe denotarse Ext(P). 14 J. NZEUTCHAP Teorema 5.12. Que no sea un cuadro estándar de Young-Fibonacci, luego YFC(t) = Ext(Pt). Prueba. Que cualquier permutación de t como tabla de inserción es una extensión lineal de Pt está claro de las Definiciones 2.4 y 5.10. Por el contrario, si  es una extensión lineal de Pt, entonces t se construye naturalmente leer de derecha a izquierda siguiendo la descripción dada en la definición 2.4. En cada nuevo paso el la primera letra que se lee es la máxima (para ≤Pt) que aún no se lee en la cadena descrita en la regla (1) de Definición 5.10. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Teorema 5.13. Que no sea un YFT estándar de tamaño n, entonces Ext(Pt) es el intervalo [w min, w max] in (Sn,≤p). Para probar esta declaración hacemos uso del siguiente lema bien conocido. Lemma 5.14. Let  y ♥ ser dos permutaciones de Sn, entonces las tres propiedades a continuación son equivalentes. 1)  ≤p  ; 2) orden(e) orden(e) ; (3) inv(l) inv(l). Prueba. (del Teorema 5.13) Se deduce fácilmente de la definición que Pt se puede dividir en un anticadena A = (y1, y2, · · ·, yl) y una cadena C = (x1 < Pt x2 < Pt · · < Pt xk) de tal manera que para i = 1..l existe j(i) ≤ k de tal manera que yi <Pt xj(i), y adicionalmente para i1 < i2 uno tiene yi1 < yi2 y xj(i1) <Pt xj(i2). Para las ilustraciones, utilizamos el siguiente ejemplo. A = (3, 6, 7) C = (2 < Pt 5 < Pt 1 < Pt 4) 7 6 3 4 1 5 2 un cuadro t de forma u = 2212 su poset canónicoPt El set que estoy haciendo de la inver- Sions abajo. (3, 2), (6, 1), (7, 4) (3, 1), (6, 4) (2, 1), (5, 1), (5, 4). El conjunto O está hecho de la o- Pares de color rojo abajo. (2, 5), (2, 4), (1, 4) (3, 5), (3, 4). En el caso de Ext(P), inv() incluye al menos el conjunto (yi, xj(i)), i = 1.l (yi, xr) / xj(i) > xr y xj(i) <Pt xr (xi, xj) / xi > xj y xi <Pt xj que no es más que inv (wtmin) ; así por [Lemma 5.14 - (3)], w mín. ≤p. Por otra parte, el orden incluye: al menos el conjunto O = { (yi, xr) / xj(i) < Pt xr } { (xi, xj) / xi < xj y xi < Pt xj } que no es más que ord(wtmax) ; así por [Lemma 5.14 - (2)],  ≤p w máx. y, por lo tanto, min, w max]. Por el contrario, en el caso de la letra a) de la letra b) de la letra b) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) del apartado 1. max], aplicando Lemma 5,14 a w mín,  y w max parece que ha las inversiones yi xj(i) para i = 1..l, y las relaciones x1 x2 · · · xk. Así que P () = t y Por lo tanto, Ext(Pt). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Prueba. (del Teorema 5.9) Sigue del Teorema 5.12 y del Teorema 5.13. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Definición 5.15. Vamos a ser una forma de serpiente de tamaño n, la fila canónica tabla rTu es el tal SOBRE LA INSERCIÓN DE LOS JÓVENES FIBONACCI ALGORITMO 15 (1) las celdas superiores de rTu están etiquetadas con entradas n, n− 1, · · · de izquierda a derecha ; (2) las celdas inferiores en columnas de dos cajas están etiquetadas con las entradas 1, 2, · · · de izquierda a derecha. El cuadro canónico columna cTu se construye etiquetando las celdas de u de derecha a izquierda e inferior arriba. Lemma 5.16. Dejar u ser una forma de serpiente del tamaño n, entonces cTu (resp. rTu) es el único cuadro de forma u que tengan un rango mínimo de Umin (resp. rango máximo max) en el poset (YFTn, ). Para cualquier forma de serpiente u, Umin es el número de columnas de doble caja de u y máx. se obtiene de la manera siguiente. Etiquetar cada uno celda inferior con el número de columnas de doble caja a su izquierda y hacer lo mismo, pero añadir 1 para cada la celda superior de las columnas de u.?umax de doble caja es la suma de las etiquetas obtenidas. * = 12 1 * • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 7 6 4 1 2 5 3 • tabla canónica de fila • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 7 5 2 6 4 3 1 columna cuadro canónico • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • l = 0 0 ° Gráfico 6 Fila canónica y columna canónica tableaux de forma 2212. Prueba. (de Lemma 5.16) Fácilmente de las definiciones. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora nos relacionaremos (YFTn, ) a una matriz de transición en el álgebra de Okada asociado a YFL. 6. Una conexión con el álgebra de Okada asociada a la celosía de Young-Fibonacci Un análogo de Young-Fibonacci del anillo de funciones simétricas [6] fue dado y estudiado por S. Okada [16], con un análogo Young-Fibonacci de los números Kostka, que aparece al expresar el análogo de una función simétrica completa hv en términos de las funciones analógicas de Schur su. (6.1) hv = Ku, v su El análogo de Young-Fibonacci de los números de Kostka se genera por las fórmulas de recurrencia que figuran a continuación [16], donde Ka, b se define para dos formas de serpiente del mismo peso y denota la cubierta relación en YFL. (6.2) K1u, 1v = Ku, v (r1) K2u, 2v = Ku, v (r2) K1u, 2v = 0 (r3) K2u, 1v = wuKw, v (r4) Como se indica a continuación, la fórmula de longitud de gancho para los árboles binarios ilustrada en el ejemplo 2.3 es un fórmula alternativa para la computaciónKu, 1n = Fu que es la dimensión de una representación en Okada álgebra. Proposición 6.1. Dejar u ser una forma de serpiente de tamaño n, entonces Fu es la dimensión del módulo Vu correspondiente a u en el n o componente homogéneo del álgebra de Okada asociado a YFL. 16 J. NZEUTCHAP Prueba. dim (Vu) es el número de cadenas saturadas que van de Ł a u en YFL, de ahí el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Aquí está una declaración más general dando una interpretación combinatoria de Ku, v usando (YFTn, ). Teorema 6.2. Dejar que u y v sean dos formas de serpiente de tamaño n, y dejar 1° ser el cuadro máximo en (YFTn, ), entonces Ku, v es el número de tablas t de forma u en el intervalo [rTv, 1». 1 2 3 1 4 2 1 3 2 5 1 2 1 4 3 2 5 1 3 2 4 1 2 5 4 1 2 Ejemplo 6.3. En la siguiente matriz, el número Ku, 1121 cuenta el número de Young- Fibonacci tableaux de forma u en el intervalo [rT1121, 1o]. 221 212 2111 122 1211 1121 1112 15 221 1 1 2 1 2 3 4 8 212. 1 1 1 1 1 3 4 2111 1. 1 1 1 4 122............................................................................................................................................ 1 1 1 3.................................................................................................................................................................... 1121 1 1 2 1112......................................................................................................................................................................... 15........................................................................................................... Iterando esto para cada forma de serpiente v de tamaño n, se construye la matriz de transición para expresar el análogo de la función simétrica completa hv en términos de las funciones analógicas de Schur su. Gráfico 7 (YFT5, ) y el análogo de Okada de la matriz de Kostka para n = 5. Prueba. (de Teorema 6.2) Una prueba consiste en demostrar que para cualquier pareja (a, b) de formas de serpiente aparece en el lado izquierdo de la ecuación (6.2), hay una correspondencia uno-a-uno entre los cuadros que cumplen las condiciones del teorema para (a, b) y los que cumplen las condiciones de el teorema para las parejas de culebras en el lado derecho correspondiente de la relación. Para (r1), dado un cuadro t de forma u tal que rTv t, t se mapea en el cuadro t ′ de forma 1u obtenido de t mediante la fijación de una celda etiquetada n+1 a su izquierda, y rT1v t ′. Para (r2), se une una columna de dos cajas a la izquierda de t, con 1 como entrada inferior y n+2 como entrada superior, además de una estandariza t aumentando todas sus entradas. Entonces t′ es de forma 2u y rT2v t ′. Para (r3) es fácil de la definición de la operación de desplazamiento de una entrada en un cuadro de que no hay cuadros t1 y t2 de forma 1u y 2v respectivamente, de manera que t2 t1. Para (r4), dejar que no sea un cuadro de forma 2u tal que rT1v t, entonces t se mapea en el cuadro t ′ = ev(t, n), es decir, el cuadro obtenido de t mediante la evacuación de su letra máxima (el proceso de evacuación debido originalmente a Killpatrick [8] es descrita en la sección 3.2). De hecho, w ser la forma de t′, entonces w u y rTv t 7. Números de Kostka, la regla de Littlewood Richardson, y cuatro posets en Young tableaux El poset (YFTn, ) de Young-Fibonacci tableaux que definimos en la sección 5 es un análogo de uno entre cuatro órdenes parciales en el conjunto YTn de Young tableaux estándar de tamaño n [9]. Los orden débil (YTn, débil) se define como en Teorema 5,8 con P () que denota la inserción Schensted tablau de . Dejar que ♥ y μ sean dos particiones de longitudes l() y l(μ), se dice que mayor que μ en SOBRE LA INSERCIÓN DE LOS JÓVENES FIBONACCI ALGORITMO 17 el orden de dominio y uno escribe  ≥dom μ si para cada 1 ≤ i ≤ min(l(), l(μ)), la desigualdad En el caso de los productos de la partida 84.01, el valor de todas las materias de la partida 84.01 no excederá del 50 % del precio franco fábrica del producto. Que no sea un cuadro de Young estándar de tamaño n, y 1 ≤ i ≤ j ≤ n. Denominamos (t/i,j) la forma del tablero obtenida de t restringiendo en primer lugar t a t. el segmento [i, j], luego bajando todas las entradas por i − 1, y finalmente deslizando el cuadro sesgado obtenido en forma normal por jeu-de-taquin. La cadena de orden de cadena en el estándar Young tableaux se define del siguiente modo. Definición 7.1. [9] Que t y t′ sean dos cuadros Young estándar de tamaño n, luego t cadena t ′ si y solo si para cada 1 ≤ i ≤ j ≤ n, El lector interesado puede referirse a [9] para la definición de los otros dos órdenes, así como para las propiedades de esos posets. Los cuatro poses coinciden con el rango n = 5. 12345 Gráfico 8 Orden parcial en los tableros Young de talla 5. A continuación se muestra un análogo de Young tableaux de Teorema 6.2. Teorema 7.2. Dejar , μ ser dos particiones de tamaño n, dejar rTμ ser la fila canónica estándar Young tablau de forma μ, es decir, rTμ tiene forma μ y se llena cada vez más de let a la derecha y De abajo a arriba. Y dejar que 0â € sea el cuadro mínimo en el poset de estándar Young tableaux de tamaño n. Entonces Kel, μ es el número de tableaux Young estándar de la forma ♥ en el intervalo [0, rTμ], para cualquiera de los poses estudiados en [9]. 18 J. NZEUTCHAP 1 2 4 1 2 5 1 2 4 1 2 4 5 1 2 3 4 0 = 1 2 3 4 5 Ejemplo 7.3. En la siguiente matriz, el num- ber Kđ, 221 cuenta el número de Young estándar los tableros de la forma  en el intervalo [0», rT221]. μ = 5 41 32 311 221 2111 11111  = 5 1 1 1 1 1 1 1 1 41. 1 1 2 2 3 4 32 1 1 2 3 5 311............................................................................................................................................ 221................................................................................................................................................................................... 2111 1 4............................................................................................................................................................................................................................................................. 11111................................................................................................................... Iterando esto para cada partición μ del tamaño n, se construye la matriz de transición para expresar la función simétrica completa hμ en términos de el Schur funciona s/23370/. Gráfico 9 Poset de cuadros jóvenes y matriz de Kostka para n = 5. Prueba. (de Teorema 7.2) Para una partición dada μ, dejar nscrt(μ) ser la fila canónica semi-estándar Joven tablero de forma μ, es decir, el tablero lleno de 1’s en su primera línea, 2’s en su segunda línea y así sucesivamente. Que nsclt(n) sea el tablero Young semiestándar de forma n y que tenga entradas μi i para i = 1.l(μ). Considere la extensión de la definición 7.1 al conjunto Tab(μ) de Young semi-estándar tableaux con entradas μi i para i = 1.l(μ). A continuación, para cada t Tab(μ), uno tiene nsclt(n) cadena t cadena nscrt(μ). Hay un mapeo de bijección canónica (Tab(μ), cadena) en ([0», rTμ], cadena) y este mapa es la preservación del orden. Así que el teorema 7.2 se mantiene para la cadena de orden parcial. A partir de ([9], Teorema 1.1) y la observación de que [0», rTμ] = rTμ1 ∗ rTμ2 ∗ · · · ∗ rTμl(μ), se deduce que el conjunto de tableaux en [0», rTμ] no depende de la elección del orden parcial. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Observaciones finales y perspectivas Hay muchas similitudes entre el algoritmo Robinson-Schensted y el Young- Algoritmo de inserción de Fibonacci. Así como entre la combinatoria de Young tableaux y el Combinatoria de cuadros de Young-Fibonacci. Una de las preguntas que no hemos explorado en este papel es el de la existencia de un álgebra de Young-Fibonacci tableaux, que sería un análogo del álgebra de Poirier-Reutenauer Hopf de Young tableaux [12]. Tal álgebra sería ayuda a dar una descripción combinatoria (en términos de cuadros) del producto de Schur funciones en el álgebra de Okada asociado a la celosía de Young-Fibonacci. Actualmente estamos buscando para una definición adecuada de este álgebra. Agradecimientos El autor agradece a F. Hivert sus útiles comentarios y sugerencias a lo largo de este trabajo. SOBRE LA INSERCIÓN DE LOS JÓVENES FIBONACCI ALGORITMO 19 Bibliografía [1] C. Schensted, Subsecuencias más largas que aumentan y disminuyen. Canad. J. Math., vol. 13, 1961, pp. 179-191. [2] D. E. Knuth, Permutaciones, matrices y cuadros de Young generalizados, Pacific J. Matemáticas. 34 (1970), 709-727. [3] —, El arte de la programación informática, vol.3: Búsqueda y clasificación (Addison-Wesley, 1973). [4] D. Krob y J.-Y. Thibon, Función simétrica no commutativa IV: Grupos lineales cuánticos y álgebras Hecke at q=0, J. Alg. Peine. 6 (1997), 339-376. [5] F. Hivert, J. C. Novelli, y J.-Y. Thibon, la álgebra de los árboles de búsqueda binarios, Theo. Comp. Science 339(2005), 129-165. [6] I. G. MacDonald, Funciones simétricas y Polinomios Hall, 2nd ed, Clarendon Press, Oxford Sce Publications, 139 (1995). [7] J. Nzeutchap, En el Algoritmo de inserción de Young-Fibonacci, para aparecer en las Actas de FPSAC’07. [8] K. Killpatrick, Evacuación y una perturbación geométrica para Fibonacci Tableaux, J. Comb. Th, Ser A, 110 (2005), 337-351. [9] M. Tashin, Propiedades de cuatro órdenes parciales en Young tableaux estándar, J. Comb. Teoría, Ser A, 113(2006), 1092-1119. [10] R. P. Stanley, Diferencial Posets, J. Amer. Matemáticas. Soc. 1 (1998), 919-961. [11] —, La celosía de Fibonacci, Fibonacci Quarterly 13(1998), 215-232. [12] S. Poirier y C. Reutenauer, Algèbre de Hopf des tableaux, Ann. Sci. Matemáticas. Qébec 19 (1995), 79-90. [13] S. V. Fomin, Dualidad de los gráficos clasificados, J. Alg. Peine. 3(1994), 357-404. [14] —, correspondencia Generalizada Robinson-Schensted-Knuth, Zapiski Nauchn. Sem. LOMI. 155 (1986), 156-175. [15] —, Algoritmos Schensted para gráficos de doble grado, J. Alg. Peine. 4(1995), 5-45. [16] S. Okada, Álgebras asociadas a la celosía Young-Fibonacci, Trans AMS 346(1994), 549-568. [17] T. Roby, Aplicaciones y extensiones de la generalización de Fomin de la correspondencia de Robinson-Schensted a postas diferenciales, tesis de doctorado, MIT, 1991. LITIS EA 4051 (Laboratoire d’Informatique, de Traitement de l’Information et des Systèmes), Avenue de l’Université, 76800 Saint Etienne du Rouvray, Francia Dirección de correo electrónico: janvier.nzeutchap@univ-mlv.fr URL: http://monge.univ-mlv.fr/nzeutcha 1. Introducción 1.1. La celosía de Young-Fibonacci 2. El algoritmo de inserción de Young-Fibonacci y Young-Fibonacci 2.1. Convertir una cadena en YFL en un tablero estándar de Young-Fibonacci 2.2. Redefine el algoritmo de inserción Young-Fibonacci 3. Inserción de jóvenes-Fibonacci y crecimiento en poses diferenciales 3.1. Equivalencia entre las construcciones de Roby y Fomin 3.2. Otro punto de vista de la evacuación de Killpatrick para Young-Fibonacci tableaux 4. Números de Fibonacci y una estadística en Young-Fibonacci tableaux 5. Un orden débil en los tableros de Young-Fibonacci 6. Una conexión con el álgebra de Okada asociada a la celosía de Young-Fibonacci 7. Números de Kostka, la regla de Littlewood Richardson, y cuatro poses en Young tableaux Observaciones finales y perspectivas Agradecimientos Bibliografía

Este trabajo se refiere a algunas propiedades de la inserción de Young-Fibonacci algoritmo y su relación con los diagramas de crecimiento de Fomin. También investiga una relación entre la combinatoria de los cuadros de Young-Fibonacci y el estudio de álgebra de Okada asociada a la celosía de Young-Fibonacci. El original algoritmo fue introducido por Roby y lo redefinimos de tal manera que tanto el la inserción y los cuadros de grabación de cualquier permutación son \emph{convenientemente} interpretado como cadenas en la celosía Young-Fibonacci. Una propiedad de La evacuación de Killpatrick se da una prueba más simple, pero esta evacuación no es más tiempo necesario para hacer que las construcciones de Roby y Fomin coincidan. Nosotros proporcionamos el conjunto de mesas Young-Fibonacci de tamaño $n$ con una estructura de clasificación poset, inducido por el orden débil en las permutaciones del grupo simétrico, y realizado por el cierre transitorio de las transformaciones elementales en los tableros. Nosotros mostrar que este poset da una interpretación combinatoria de los coeficientes en la matriz de transición del análogo de funciones simétricas completas a análogo de las funciones Schur en el álgebra de Okada. Terminamos con una muy similar. observación de cuatro posets en Young-tableaux estudiado por Taskin.

Introducción La celosía joven (YL) se define en el conjunto de particiones de enteros positivos, con cubierta relaciones dadas por la orden de inclusión natural. La naturaleza diferencial poset de este gráfico fue generalizado por Fomin que introdujo la dualidad gráfica [13]. Con esta extensión introdujo [15] un generalización del algoritmo clásico Robinson-Schensted-Knuth [1, 2], dando un esquema general para establecer correspondencias bijetivas entre parejas de cadenas saturadas en gráficos de doble grado, tanto a partir de un vértice de rango 0 como teniendo un punto final común de rango n, por un lado, y permutaciones del grupo simétrico Sn por otro lado. Este enfoque conduce naturalmente a el algoritmo de inserción de Robinson-Schensted. 2000 Clasificación de Materias Matemáticas. Primaria 05-06; secundaria 05E99. Palabras y frases clave. Schensted-Fomin, algoritmo de inserción, Young-Fibonacci, celosía, tableaux, evacuación, poset, álgebra de Okada, números de Kostka. http://arxiv.org/abs/0704.1969v1 2 J. NZEUTCHAP Roby [17] dio un algoritmo de inserción análogo a la correspondencia Schensted, que mapea una permutación  sobre una pareja hecha de un cuadro de Young-Fibonacci P ( El tablero de Roby se interpreta canónicamente como una cadena saturada en la celosía de Fibonacci Z(1) introducido por Stanley [11] y también por Fomin [14]. Roby también mostró que el enfoque de Fomin es parcialmente equivalente a su construcción. De hecho, en la construcción de Roby, sólo la cadena saturada Q® obtenida del diagrama de crecimiento de Fomin tiene una interpretación como una representación del cuadro de ruta Q(), mientras que parece que no hay manera de traducir el tablero de Young-Fibonacci P en su cadena equivalente P®. Contrario al enfoque de Killpatrick [8] que ha utilizado una evacuación para relacionar las dos construcciones de Roby y Fomin, demostramos que con un mecanismo adecuado para convertir una cadena saturada en el Young-Fibonacci Enrejado en un tablero de Young-Fibonacci, la construcción de Roby coincide naturalmente con la de Fomin. El documento se organiza de la siguiente manera. En la sección 1.1 recordamos la definición de la Young-Fibonacci celosía, entonces en la Sección 2 definimos un mecanismo para convertir una cadena saturada en esta celosía en un cuadro estándar de Young-Fibonacci. En la misma sección, también introducimos una modificación en El algoritmo de Roby, de tal manera que tanto la inserción como la grabación de cuadros de cualquier permutación tendrá una interpretación en términos de cadena saturada en la celosía Young-Fibonacci. En la sección 3.1 relacionamos el algoritmo de Roby con la construcción de Fomin utilizando diagramas de crecimiento y lo comparamos a la obra de Killpatrick. En la Sección 4, definimos un análogo de los números de Kostka para Young-Fibonacci tableaux, y señalamos una de sus relaciones con los números habituales de Fibonacci. En la sección 5 definir y estudiar algunas propiedades de un poset en Young-Fibonacci tableaux. Esta poseta gira ser un modelo para la interpretación, así como el cálculo de otro análogo de Kostka números, introducidos por Okada [16] en un análogo del álgebra de funciones simétricas, asociados a la celosía Young-Fibonacci. Demostramos que este resultado es la Sección 6, y en la última sección de la papel probamos un resultado similar relacionando los números usuales de Kostka con cuatro posets en Young-tableaux estudiado por Taskin [9]. 1.1. La celosía Young-Fibonacci. Un diagrama de Fibonacci o forma de serpiente del tamaño n es una columna por columna representación gráfica de una composición de un entero n, con partes iguales a 1 o 2. El número de tales composiciones es el Número Fibonacci. Un orden parcial se define en el conjunto de todas las formas de serpiente, de tal manera que obtener un análogo de la celosía joven de particiones de enteros (YL). Esta celosía se llama la La celosía Young-Fibonacci (YFL) y fue introducida por Stanley [11] y también por Fomin [14]. As veremos en la secuela, hay una considerable similitud entre las dos celosías, así como el combinatoria de cuadros su inducir. Las relaciones de cobertura en YFL se dan a continuación, para cualquier snakeshape u. (1) u está cubierto por la forma de serpiente obtenida mediante la fijación de una sola caja justo delante ; (2) u está cubierto por la forma de serpiente obtenida mediante la adición de una caja única en la parte superior de su primera caja única columna, leyendo u de izquierda a derecha. (3) si u comienza con una serie de columnas de dos cajas, entonces está cubierto por todas las formas de serpiente obtenidas insertando una columna de una sola caja justo después de cualquiera de esas columnas. El rango u de una forma de serpiente u es la suma de dígitos de la palabra correspondiente Fibonacci. Su longitud se denota l(u). Dejar u y v ser dos formas de serpiente tal que v cubre u en YFL, la célula añadido a u para obtener v es un rincón interior de v, también se llama un rincón exterior de u. Observación 1.1. Young-Fibonacci tableaux (YFT) aparecerá naturalmente como numeración de serpiente- formas, satisfaciendo ciertas condiciones descritas en la secuela, de la misma manera que Young tableaux son numeraciones de particiones de números enteros con condiciones de numeración prescritas. La numeración condiciones de Young-Fibonacci tableaux se deducen de la descripción de la Young-Fibonacci algoritmo de inserción (sección 2.2). SOBRE EL ALGORITMO DE INSERCIÓN JÓVENES-FIBONACCI 3 A continuación se muestra una representación pictórica de una realización finita de YFL, desde el rango 0 hasta el rango n = 4, con células negras que representan las esquinas interiores. Gráfico 1 La celosía Young-Fibonacci. Ahora veamos el problema de convertir una cadena saturada en YFL en un YFT estándar. 2. El algoritmo de inserción de Young-Fibonacci y Young-Fibonacci En YL, cualquier cadena saturada a partir de la partición vacía se puede convertir canónicamente en una tabla estándar Young, y esta representación es conveniente en muchas maneras. Consiste en etiquetar las cajas como se producen en la cadena. Como ya observó Roby [17], una pregunta que presenta en sí mismo es hacer lo mismo en YFL para cualquier cadena saturada a partir de la forma de serpiente vacía. La necesidad de tal mecanismo de conversión aparecerá en la sección 3.1 en la interpretación de dos cadenas en un diagrama de crecimiento. También se puede utilizar el etiquetado canónico para convertir una cadena saturada de YFL en un tablero, pero Roby ya había señalado que un problema importante con este etiquetado canónico es que excepto por la regla trivial de que cada elemento de la fila superior debe ser mayor que el que está debajo de él, No hay otras reglas obvias que rijan qué numeración se permite para una forma dada. Sugerimos que uno primero define reglas simples que rigen qué numeración se permite para una forma dada, de modo que sea fácil de decidir si una numeración de una forma de serpiente es un cuadro de Young-Fibonacci legítimo o no. Los convención que utilizamos se describe en la siguiente sección. 2.1. Convertir una cadena en YFL en un cuadro estándar de Young-Fibonacci. Puesto que no usamos las mismas convenciones que Roby [17] y Fomin [13], vamos a dar la siguiente definición de Young-Fibonacci tableaux. Definición 2.1. Una numeración de una forma de serpiente con distintos números enteros no negativos es un estándar Tabla Young-Fibonacci (SYFT) en las siguientes condiciones. (1) Las entradas están aumentando estrictamente en columnas ; (2) cualquier entrada en la parte superior de cualquier columna no tiene ninguna entrada mayor que ella a su derecha. Para convertir una cadena en YFL en un YFT estándar, se seguirá el enfoque canónico como en la medida en que la nueva caja añadida a la cadena se encuentra en la primera columna. Ejemplo con la cadena Q+ = La subcadena se convierte de la siguiente manera: 1, 2, 12, 22, 221, 2211, 21211) ; la subcadena se convierte de la siguiente manera. • 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 4 J. NZEUTCHAP Ahora, pasando de la forma 22 a la forma 221 en YFL, se inserta una caja justo después de dos cajas columna de la forma anterior. En tal situación, se moverá la entrada en la parte superior de esa columna en el cuadro de nueva creación, y luego cambiar las otras entradas de la fila superior a la derecha. Por último, si n es la entrada más grande en el cuadro parcial obtenido, luego etiqueta la caja en la parte superior de la primera columna con (n + 1). La conversión iniciada arriba se mantiene como sigue, xk significa que escribir o mover la etiqueta x es la acción kth realizada durante el paso actual. 22 → 221 : 3 1 21 3 1 2 3 1 2 221 → 2211 : 3 1 2 3 1 2 3 1 41 2 3 1 4 2 3 1 4 2 2211 → 21211 : 3 1 4 2 3 1 4 2 3 61 1 4 2 3 6 1 4 2 De la descripción anterior se desprende fácilmente que este mecanismo sólo produce YFT legítimo (Definición 2.1), y que la conversión es reversible. Ahora otra pregunta que se presenta es cómo contar YFT estándar de una forma dada u 6= فارسى, denotamos este número por Fu. Vamos primero. recordar la fórmula contando extensiones lineales de un árbol binario poset P. (2.1) Ext(P) = d1d2 · · · dn donde para el nodo ith vi, di es el número de nodos v ≤P vi. Esta fórmula se debe a Knuth [3], y ya que cualquier forma de serpiente puede ser canónicamente asimilada a un poseta Pu, entonces tenemos lo siguiente. Proposición 2.2. Los tableros de Young-Fibonacci estándar de una forma dada son contados por el gancho- fórmula de longitud para árboles binarios. Para aplicar la fórmula a una forma de serpiente u, contarlo celdas de derecha a izquierda y de abajo a arriba, etiquetando la primera caja y cada caja que aparece en la fila inferior de cualquier columna de dos cajas. Los número de YFT estándar de la forma dada es el producto de todas las etiquetas obtenidas. Ejemplo 2.3. Consideremos u = 2212. una forma de serpiente u = 2212 su poseta Pu Longitudes de gancho 6 4 1 F2212 = 2×3×5×7 = 6× 4× 1 2.2. Redefinir el algoritmo de inserción Young-Fibonacci. Referimos al lector a [17, 8] para una descripción del algoritmo original ; a continuación es el que nosotros Considerar. SOBRE EL ALGORITMO DE INSERCIÓN DE JÓVENES-FIBONACCI 5 Definición 2.4. El algoritmo de inserción de Young-Fibonacci mapea una permutación en un par de YFT estándar construido de la siguiente manera. El tablero de inserción P () está construido por la lectura de la derecha a la izquierda, coincide con cualquiera de las letras encontradas (y aún no coincide) con la máxima (no todavía emparejado) a su izquierda, en su caso, siempre que este último sea mayor que el primero. El cuadro de grabación Q() registra las posiciones de las letras, en el orden inverso de la en la que están emparejadas. Ejemplo 2.5. Para  = 2715643, tenemos lo siguiente. 2 7 1 5 6 4 3 1 2 3 4 5 6 7 • P () = 7 6 2 3 4 5 1 y Q() = 7 6 3 2 5 4 1 Observación 2.6. Que tanto P () como Q () son los cuadros estándar de Young-Fibonacci (Definición 2.1) está claro de la descripción del algoritmo. Este no es el caso en el algoritmo original donde P (l) y Q(l) no son del mismo tipo. De hecho, con el algoritmo de inserción original, la inserción tablau es el mismo que el cuadro P ( no satisfacen la definición 2.1. QRoby() = 3 7 4 2 6 5 1 La definición de Q() que adoptamos está inspirada en la inserción hipopláctica [4] y en el silvester [5] algoritmos, donde Q() también registra las posiciones en  de las etiquetas de P (). Con esta definición, algunas propiedades esenciales de la correspondencia Young-Fibonacci tienen una combinatoria mucho más fácil prueba, que no es siempre el caso en [17]. Por ejemplo, recordemos la propiedad de la involución. Teorema 2.7. [17] Para cualquier permutación Prueba. Considere la construcción geométrica de Killpatrick [8], y recuerde que P ( lectura de coordenadas verticales de la x más derecha y superior en ese orden, para cualquier línea rota. As para Q(l), lo hemos definido de tal manera que corresponde a la lectura de coordenadas horizontales de la x más alta y la más derecha en ese orden. La construcción para 1 se obtiene transponiendo el de.............................................................................................................. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Otra propiedad fundamental del algoritmo de Roby que se demuestra fácilmente utilizando la definición 2.4 sigue. Teorema 2.8. [17] Seamos una involución del grupo simétrico, luego la descomposición del ciclo es la lectura de la columna de su cuadro de inserción P. Damos otras dos palabras canónicas asociadas con una tabla t ; así que si dejamos que YFC(t) denota la clase de equivalencia hecha de permutaciones que tienen t como tabla de inserción, entonces YFC(t) tiene al menos tres elementos canónicos. El primer elemento canónico es su involución canónica, que es la única involución cuyos ciclos coinciden con las columnas de t, como se indica en el Teorema 2.8. Los dos otros elementos canónicos son los máximos (resp. mínimo) para el orden lexicográfico. Utilizaremos estos elementos en la Sección 5. Lemma 2.9. Que no sea un tablero de Young-Fibonacci, w1 la lectura de izquierda a derecha de su fila superior y w2 la lectura de derecha a izquierda de su fila inferior, luego w1.w2 (donde. denota la concatenación habitual de words) es el elemento máximo (para el orden lexicográfico) de YFC(t), se denota wtmax. Lemma 2.10. La palabra que consiste en la lectura de columna derecha a izquierda y arriba hacia abajo de t es la elemento mínimo (para el orden lexicográfico) de YFC(t), se denota wtmin. Prueba. Borrar de la descripción del algoritmo de inserción Young-Fibonacci. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 6 J. NZEUTCHAP Un ejemplo se da con el cuadro t a continuación; su involución canónica es (13)(26)(48)(5)(7) = 36185274, el elemento canónico máximo es 86315274, y el mínimo es 31562784. 8 6 3 4 7 2 5 1 Veremos (Teorema 5.12) que YFC(t) es el conjunto de extensiones lineales de un poset dado, y Además, YFC(t) es un intervalo del orden débil en el grupo simétrico (Teorema 5.9). 3. Inserción de jóvenes-Fibonacci y crecimiento en poses diferenciales En esta sección mostramos que con la modificación que hemos introducido en la inserción original de Roby algoritmo, junto con el mecanismo de conversión discutido en la sección 2.1, el Young-Fibonacci El algoritmo de inserción coincide naturalmente con el enfoque de Fomin utilizando diagramas de crecimiento. Así que reclamamos que la evacuación de Killpatrick [8] ya no es necesaria para que las dos construcciones coincidan. Nosotros Dar una simplificación del teorema de Killpatrick relacionando el algoritmo original de Roby con el de Fomin a través de un proceso de evacuación, y más tarde necesitaremos esta evacuación en la prueba de Teorema 6.2 dando una interpretación combinatoria del análogo de Okada de los números Kostka. Recordemos que la construcción de Fomin con diagramas de crecimiento consiste en utilizar algunas reglas locales al rellenar un diagrama dando lugar a un par de cadenas saturadas en YL. Para cualquier permutación, la El diagrama de crecimiento d() se construye de la siguiente manera. Primero dibuje la matriz de permutación de  ; siguiente relleno el límite izquierdo e inferior de d() con la forma de serpiente vacía ♥. El resto de la construcción es iterativo ; d() se rellena desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha, siguiendo la diagonal. En cada paso y para cualquier configuración como se muestra a continuación, z se obtiene mediante la aplicación de las reglas locales a los vértices t, x, y y el elemento de matriz de permutación α. Referimos al lector a [15] para más información detalles sobre esta construcción. a1 α b1 Gráfico 2 Un cuadrado en un diagrama de crecimiento. Algoritmo 1 : normas locales para YFL 1: si x 6= y y 6= t entonces 2: z := t, con una columna de dos cajas añadida al frente 3: de lo contrario 4: si x = y = t y α = 1 entonces 5: z := t, con una columna de una sola caja añadida en la parte delantera 6: de lo contrario 7: z se define de tal manera que el borde bi es degenerado cada vez que ai es degenerado 8: Fin si 9: Fin si SOBRE LA INSERCIÓN DE LOS JÓVENES FIBONACCI ALGORITMO 7 3.1. Equivalencia entre las construcciones de Roby y Fomin. Construyamos el diagrama de crecimiento de Fomin para la permutación  = 2715643. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 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* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * # # # # # # # # # # # # # # # # # # # * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ] * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Gráfico 3 Ejemplo de diagrama de crecimiento para la inserción de Young-Fibonacci. Obtenemos los caminos Qâ = (1, 2, 12, 22, 22, 2211, 21211) y Pâ = (1, 11, 21, 211, 1211, 2211, 21211) en el límite superior y derecho, respectivamente. Ahora vamos a convertirlos en Young-Fibonacci tableaux, utilizando el mecanismo examinado en la sección 2.1. 1 → 2 1 → 2 4 1 2 5 4 1 7 6 3 2 5 4 1 = Q.............................................................................................................................................................................................................................................................. • 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 3 4 1 6 5 2 3 4 1 7 6 2 3 4 5 1 = P-(l) = P-(l) Como podemos ver en este ejemplo, las dos construcciones coinciden naturalmente. Observación 3.1. Mencionemos eso porque Roby usó el etiquetado canónico para convertir una cadena en un cuadro, parecía que no había manera de convertir la cadena de Pó en su cuadro equivalente P (). El algoritmo de Killpatrick fue entonces un enfoque para relacionar Pó con Pó. Nuestro propio enfoque consiste en en la introducción de una modificación del algoritmo original, y un nuevo proceso de etiquetado. Teorema 3.2. Let (PÃ3n, QÃ3n, QÃ3n) ser el par de Young-Fibonacci tableaux obtenido de la permu- la inserción de los jóvenes-fibonacci y la grabación de cuadros utilizando la inserción de Roby modificada (Definición 2.4), luego P..................................................................................................................................................................................................................................................... Qâ € € = Qâ € € = Qâ € € = Qâ € € = Q € = Q € = Q € = Q € = Q € = Q € = Q € = Q € = Q € = Q € = Q € = Q € = Q. Prueba. La igualdad de Pâ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° de la tabla P (/[1..k]), donde /[1..k] es la restricción de  al intervalo [1..k]. De hecho, el camino Se obtiene aplicando a P () el proceso inverso del descrito en la sección 2.1. Al hacerlo, la celda añadida a Pak para obtener Pak+1 se encuentra en la primera columna cuando cualquiera de los dos termina con la letra. k + 1 o [1..k+1] no termina con la letra k + 1 sino con la letra k. un razonamiento similar se utiliza para probar la igualdad Qâ € = Qâ € = Qâ € = Qâ €. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 8 J. NZEUTCHAP 3.2. Otro punto de vista de la evacuación de Killpatrick para Young-Fibonacci tableaux. Para un cuadro t, esta operación se define sólo para las entradas superiores de las columnas de t. Dejar a0 ser tal una entrada, el cuadro resultante de la evacuación de a0 se denota ev(t, a0) y se construye de la siguiente manera. (1) si a0 es una columna de un solo cuadro, entonces simplemente eliminar esta columna y, si esto es necesario, cambiar un componente del tablero restante para conectarlo con el otro (por ejemplo, de la línea 3 en el cuadro que figura a continuación) ; (2) de lo contrario, la caja que contiene a0 se vacía y se compara la entrada a1 que era justo debajo de a0 con la entrada a2 en la parte superior de la columna justo a la derecha si la hay. Si a2 < a1 entonces Esto pone fin al proceso de evacuación (por ejemplo, en la línea 4 del cuadro que figura a continuación). De lo contrario, muévase a2 en la parte superior de a1, creando una nueva caja vacía en el cuadro. Si la nueva caja vacía es una columna de una sola caja, esto termina el proceso de evacuación (por ejemplo, de la línea 7, paso 4, en la tabla de abajo), de lo contrario, repetir iterativamente el proceso con las entradas justo debajo y a la derecha de esta nueva caja vacía. Que no sea un cuadro de tamaño n y forma u. Si se evacua sucesivamente las entradas n, (n−1), · · ·, 1 de t, etiquetando las casillas de u de acuerdo con las posiciones de las casillas vacías al final del evacuación de entradas, se obtiene un cuadro de ruta denotado ev(t). Recordemos que un cuadro de ruta es el Etiquetado canónico de una cadena saturada. Observación 3.3. ev(t) es el mismo cuadro que el descrito por Killpatrick [8], con Young- Fibonacci tableaux definido como en la definición 2.1. 7 t = 7 6 2 3 4 5 1 • 6 2 3 4 5 1 6 • 2 3 4 5 1 6 5 2 3 4 • 1 7 6 5 2 3 4 1 • 5 2 3 4 1 5 • 2 3 4 1 3 4 1 3 4 1 3 • 1 3 5 7 4 6 2 3 5 7 1 1 → • ev(t) = 4 6 2 3 5 7 1 Cuadro 1 Evacuación en los tableros de Young-Fibonacci. Lemma 3.4. Que w sea una palabra sin letra repetida, que a0 sea una de sus letras que aparecen como una elemento superior en una columna de P (w), y dejar w0 ser la palabra obtenida de w mediante la eliminación de la única ocurrencia de a0, luego ev(P (w), a0) = P (w0). SOBRE EL ALGORITMO DE INSERCIÓN DE JÓVENES-FIBONACCI 9 Prueba. Fácilmente a partir de la descripción de la evacuación y la descripción de la Young-Fibonacci algoritmo de inserción (Definición 2.4). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Damos una prueba más simple del siguiente teorema de Killpatrick, relacionado con ev(P ( De hecho, usando el etiquetado canónico, Roby ha convertido el camino Pâ € en un cuadro de ruta Pâ € € y Teorema 3.5. [8] ev(P ( Prueba. Sigue de Lemma 3.4 y la observación de que cualquier forma de serpiente Pók que aparece en Pó es la forma del tableau P (/[1..k]), donde /[1..k] es la restricción de  al intervalo [1..k]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4. Números de Fibonacci y una estadística en Young-Fibonacci tableaux En esta sección señalamos una propiedad de los números de Young-Fibonacci definidos como un análogo de Números de Kostka. Recordemos que los números usuales de Kostka K.o, μ se definen para dos particiones.o y μ del mismo entero n y aparecen al expresar las funciones de Schur s♥ en términos del monomio funciones simétricas mμ, y en la expresión de las funciones simétricas completas hμ en términos de Schur funciona. (4.1) s/23370/ = K, μmμ; hμ = Kl, μ sl No nos centraremos en la interpretación algebraica de la K/23370/, μ, sino más bien en su combinatoria interpretación en términos de cuadros. De hecho, μ cuenta el número de diferentes semi-estándar Cuadros jóvenes de forma y valoración, es decir, con entradas de μi i para i = 1 l(μ). Lo es. entonces natural para introducir la misma definición con Young-Fibonacci tableaux. Definición 4.1. Una tabla de Young-Fibonacci semi-estándar es una numeración de una forma de serpiente con Números enteros no negativos, no necesariamente distintos, preservando las condiciones establecidas en la definición 2.1. Definición 4.2. Que u y v sean dos formas de serpiente de tamaño n, el número de Young-Fibonacci asociado a u y v, denotado Nu, v es el número de cuadros de Young-Fibonacci distintos forma u y valoración v, es decir, con vi entradas i para i = 1.. l(v). Por ejemplo, para u = 221 y v = 1211, hay 4 diferentes semi-estándar Young-Fibonacci tableaux of form u y valoración v. So N221, 1211 = 4. 1 2 2 2 1 2 2 2 1 3 1 2 Proposición 4.3. Los números de Young-Fibonacci son generados por las fórmulas de recurrencia abajo, donde ambos u y v son formas de serpiente. (4.2) No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. N1u, v1 = Nu, v; N1u, v2 = Nu, v1 N2u, v1 = v > v > v − Nu,w ; N2u, v2 = v > v > v − Nu, w1 donde v1 denota el multiconjunto de formas de serpiente obtenidas de v bien mediante la supresión de una sola ocurrencia de 1, o disminuyendo una sola entrada no igual a 1, por ejemplo 21121 = [1112, 212, 212, 2111]. Prueba. Fácilmente a partir de la definición de Young-Fibonacci tableaux y Young-Fibonacci números. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 10 J. NZEUTCHAP v = 222 2211 2121 2112 21111 1221 1212 12111 1122 1121121 111112 11111111 u = 222 2 3 4 5 6 4 5 6 5 7 8 12 15 2211 4 5 5 7 9 5 7 9 9 9 12 15 2121 2 3 4 4 5 4 4 5 4 6 8 8 10 2112 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 4 5 21111 2 3 3 3 4 3 3 4 3 4 4 4 5 1221 2 2 3 4 4 3 4 4 4 6 8 1212 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 12111 2 2 2 3 3 2 3 3 3 3 4 1122 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 11211 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 11121 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 11112 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 111111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Cuadro 2 Matriz de números de Young-Fibonacci para n = 6. Teorema 4.4. Dejar n ≥ 2 ser un entero positivo, a continuación, el número de parejas (u, v) de formas de serpiente de tamaño n tal que Nu, v = 0 es el (n− 2) El número de Fibonacci. Prueba. La prueba se hace por inducción en n. De hecho, utilizando la ecuación (4.2) es fácil ver que Nu, v 6= 0 cuando u 6= 1 n−22. Así que el problema es equivalente a contar el número de formas de serpiente v Tal que N = 0. Pero N = 0 si y sólo si existe una forma de serpiente w v = 2w. Entonces el problema es finalmente equivalente a contar las formas de serpiente de tamaño (n − 2), y de ahí el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 5. Un orden débil en los tableros de Young-Fibonacci En lo que sigue, introducimos una orden parcial y graduada denotada en el conjunto YFTn de Young- Fibonacci tableaux de tamaño n. Veremos (Teorema 5.8) que este pedido parcial en YFTn es tal que el mapa del orden débil en el grupo simétrico Sn que envía cada permutación en su tabla de inserción de Young-Fibonacci P () está conservando el orden. Más concretamente, las normas Las clases de Young-Fibonacci en Sn son intervalos del orden débil en Sn. Recordemos que los débiles o... der sobre las permutaciones de Sn es el cierre transitivo de la relación i, en el que Łi es la transposición adyacente (i i+1). Una inversión de una permutación es una pareja (j, i), 1 ≤ i < j ≤ n de tal manera que 1(i) > 1(j), es decir, j aparece a la izquierda de i en Tenga en cuenta que esta no es la definición comúnmente utilizada. El conjunto de inversiones de la permutación ser denotado inv(l), y el número de inversiones denotadas #inv(l). Vamos a hacer uso de un nociones análogas de no inversión de una permutación  que es una pareja (i, j), 1 ≤ i < j ≤ n tales que 1(i) < 1(j), es decir, i aparece a la izquierda de j en El conjunto de no-inversiones de un la permutación  se denotará ord(). Definición 5.1. Para introducir, definimos la operación de desplazar una entrada en un cuadro t como sigue. (1) la entrada inferior a de cualquier columna de t puede moverse y subir la entrada c a su izquierda si c es una columna de una caja de t. En el ejemplo de abajo, la letra 1 es la que se está desplazando. 2 4 3 1 cambiar la entrada 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2 4 1 SOBRE LA INSERCIÓN DE LOS JÓVENES FIBONACCI ALGORITMO 11 (2) En el caso de a fue la entrada inferior en una columna de dos cajas, la entrada superior b sólo caerá Abajo. En los dos ejemplos siguientes, la letra 2 (resp. 3) es el que está siendo cambiado. 5 2 3 1 cambio 2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2 4 3 1 5 3 1 cambio 3 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 3 4 1 (3) En el caso de que la columna justo a la izquierda de a esté dos cajas, con la entrada inferior c y a < c, entonces a puede reemplazar c que en su turno se desplaza a la derecha de tal manera que si c < b entonces c sólo reemplazará a ; de lo contrario c se coloca como una nueva columna de un solo cuadro entre a y b, y b simplemente se cae. En los dos ejemplos siguientes, la letra 1 (resp. 2) se desplaza. 2 1 3 cambio 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 2 3 4 2 1 cambio 2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2 4 3 1 Observación 5.2. Se deduce fácilmente de la definición que cambiar una entrada en un cuadro siempre produce un tablero legítimo del mismo tamaño. De manera análoga, dado un cuadro t, se define lo contrario operación de encontrar todos los cuadros t′ de tal manera que desplazar una entrada en t′ devuelve t. Por ejemplo, uno comprobará que 3 4 1 se obtiene a partir de 5 3 1 4 3 1 3 4 2 1 cambiando 3 o 1. Por último, está claro que esta operación es antisimétrica, es decir, si t′ se obtiene de t por desplazando una entrada dada, entonces t no se puede obtener de t′ desplazando una entrada. Esta última observación se hace cumplir por el siguiente lema, que también define la graduación de el poset (YFTn, ) vamos a presentar pronto. Lemma 5.3. Que t2 sea un cuadro obtenido desplazando una entrada en un cuadro t1, y que 1 (resp. - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ser la permutación mínima canónicamente asociada a t1 (resp. t2) como se indica en Lemma 2.10, entonces los conjuntos de inversiones de 1 y 2 están relacionados por la relación #inv(2) = #inv(1) + 1. Prueba. La prueba tiene en cuenta todas las situaciones que uno puede encontrar al cambiar una entrada en t1. (1) t1 = T2 c a T1 y t2 = T2 a T1, donde T1 y T2 son YFT parciales que tienen mínima canónica las palabras w1 y w2 (véase Lemma 2.10 para la definición), y condiciones de la definición 2.1, y posiblemente ninguna entrada. Las permutaciones mínimas asociadas a t1 y t2 son 1 = w1?acw2 y 2 = w1?caw2 respectivamente, y claramente?2 tiene uno más inversión que 1. (2) t1 = T2 c a T1 y t2 = T2 a c T1, con una < c < d; uno tiene w1ocdaw2. La inversión (dc) aparece en 1 pero no en 2 mientras que las inversiones (da) y (ca) aparecen en el 2 pero no en el 1; por lo que el 2 tiene una inversión más. (3) t1 = T2 c a T1 y t2 = T2 a c T1, con una < c < b < d; uno tiene 1 = w1badcw2 y 2 = w1bcdaw2. La inversión (dc) aparece en 1 pero no en 2 mientras que las inversiones (da) y (ca) aparecen en el 2 pero no en el 1; por lo que el 2 tiene una inversión más. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora estamos en condiciones de proporcionar a YFTn una estructura de poset. Definición 5.4 (orden débil en YFTn). Que t y t ′ ser dos cuadros de tamaño n, entonces t se dice más pequeño que t′ y escribimos t t′ si se puede encontrar una secuencia t0 = t, t1, · · ·, tk = t ′ de cuadros del tamaño n Tal que ti+1 se obtenga de ti cambiando una entrada, para i de 0 a k − 1. Proposición 5.5. (YFTn, ) es un poset calificado, el rango de un cuadro de Young-Fibonacci siendo el número de inversiones de su permutación canónica mínima. 12 J. NZEUTCHAP Prueba. Sigue desde Lemma 5.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Observación 5.6. Nótese que esta notable propiedad de la graduación de la poset de estándar Young- Fibonacci tableaux del tamaño n no se aplica a la postura similar YTn de Young tableaux estándar de tamaño n. El lector interesado puede referirse a [9] donde Taskin estudió muchas propiedades agradables de cuatro órdenes parciales sobre YTn. π = 6 π = 5 π = 4 π = 3 π = 2 π = 1 54321............................................................................................................................................................................................................................................................. Gráfico 4 El orden débil clasificado en los tableros Young-Fibonacci de tamaño 5. Observación 5.7. Como se comprobará fácilmente en la figura de arriba, (YFTn, ) no es una celosía para n = 5 Por ejemplo. De hecho, dejar a = 5421 y b = 3421, entonces a y b no tienen un límite superior mínimo. Teorema 5.8. Que t1 y t2 sean dos tablas, entonces t1 t2 si y sólo si uno puede encontrar dos permu- las taciones 1 y 2 de tal manera que P (­1) = t1, P (­2) = t2 y ­1 ≤p ­2. Prueba. Es suficiente para probar esta declaración para el caso t2 se obtiene cambiando una entrada en t1, y la prueba se lleva a cabo como un proceso paralelo de la prueba de Lemma 5.3. Así que vuelve a la las pruebas finales y (1) tomar ­i = ­i ; (2) tomar ­1 = w1­dacw2 y ­2 = w1­dcaw2 ; (3) tomar ­1 = w1bdacw2 y ­2 = w1bdcaw2. Esto muestra que uno puede encontrar dos permutaciones ­1 y ­2 de tal manera que P (­1) = t1, P (­2) = t2 y Para algunos i, siempre que t1 t2. Recíprocamente dejar que el 1 y el 2 sean dos permutaciones tales que SOBRE LA INSERCIÓN DE LOS JÓVENES FIBONACCI ALGORITMO 13 P (l+1) = t1 y P (l+2) = t2 y l+2 = l+1+i para algunos i. Entonces t2 se obtiene de t1 desplazando la entrada i en t1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora nos fijamos en la estructura de las clases de Young-Fibonacci ; a continuación hay dos imágenes de la poset (YFT4, ). En la imagen de la izquierda, los vértices son clases Young-Fibonacci que corresponden a Mesas Young-Fibonacci en la foto a la derecha. Recuerde que el rango de una clase es el número de inversiones de su elemento mínimo en el orden lexicográfico. La involución única de cualquier clase está encerrado en un rectángulo. Un doble borde significa que hay dos parejas (-1, -2) y (-) cumpliendo las condiciones del Teorema 5.8. 3241 ° = 4 3142? = 3 1342? = 2 2134 1324 1243 ° = 1 1234 ° = 0 1 3 2 4 1 2 2 3 1 4 3 1 4 2 1 3 2 1 4 3 2 1 Gráfico 5 El orden débil calificado en las clases de Young-Fibonacci de tamaño 4. Es fácil comprobar que cada clase que aparece como un vértice del poset (YFT4, ) es un intervalo de el orden débil (S4,≤p), y esta es una observación general. Teorema 5.9. Que no sea un cuadro estándar de Young-Fibonacci de tamaño n, entonces YFC(t) es un intervalo del orden débil (Sn,≤p), más sobre YFC(t) = [w min, w max]. Para probar esta afirmación, primero relacionaremos YFC(t) con extensiones lineales de un poset canónicamente asociado a t, y luego probaremos que el conjunto de extensiones lineales de este poset es un intervalo del orden débil. Definición 5.10. Que no sea un cuadro estándar de Young-Fibonacci de tamaño n, su postura canónica Pt es el poset definido en el conjunto {1, 2,..., n} con las relaciones de cobertura a continuación. (1) la lectura de derecha a izquierda de la fila inferior de t forma una cadena en el poset ; (2) cada entrada en la parte superior de una columna de t de dos casillas está cubierta por la entrada correspondiente en Fila inferior. Nota 5.11. Una permutación es un conjunto (totalmente ordenado) con relaciones de cobertura definidas por Cuando i < j, es decir x y si x aparece a la izquierda de y en Dejad en paz a P. a poset y a la permutación, se dice que es una extensión lineal de P si sus relaciones preservan el relaciones en P, es decir, si x ≤ P y entonces x y. El conjunto de extensiones lineales de un poset P debe denotarse Ext(P). 14 J. NZEUTCHAP Teorema 5.12. Que no sea un cuadro estándar de Young-Fibonacci, luego YFC(t) = Ext(Pt). Prueba. Que cualquier permutación de t como tabla de inserción es una extensión lineal de Pt está claro de las Definiciones 2.4 y 5.10. Por el contrario, si  es una extensión lineal de Pt, entonces t se construye naturalmente leer de derecha a izquierda siguiendo la descripción dada en la definición 2.4. En cada nuevo paso el la primera letra que se lee es la máxima (para ≤Pt) que aún no se lee en la cadena descrita en la regla (1) de Definición 5.10. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Teorema 5.13. Que no sea un YFT estándar de tamaño n, entonces Ext(Pt) es el intervalo [w min, w max] in (Sn,≤p). Para probar esta declaración hacemos uso del siguiente lema bien conocido. Lemma 5.14. Let  y ♥ ser dos permutaciones de Sn, entonces las tres propiedades a continuación son equivalentes. 1)  ≤p  ; 2) orden(e) orden(e) ; (3) inv(l) inv(l). Prueba. (del Teorema 5.13) Se deduce fácilmente de la definición que Pt se puede dividir en un anticadena A = (y1, y2, · · ·, yl) y una cadena C = (x1 < Pt x2 < Pt · · < Pt xk) de tal manera que para i = 1..l existe j(i) ≤ k de tal manera que yi <Pt xj(i), y adicionalmente para i1 < i2 uno tiene yi1 < yi2 y xj(i1) <Pt xj(i2). Para las ilustraciones, utilizamos el siguiente ejemplo. A = (3, 6, 7) C = (2 < Pt 5 < Pt 1 < Pt 4) 7 6 3 4 1 5 2 un cuadro t de forma u = 2212 su poset canónicoPt El set que estoy haciendo de la inver- Sions abajo. (3, 2), (6, 1), (7, 4) (3, 1), (6, 4) (2, 1), (5, 1), (5, 4). El conjunto O está hecho de la o- Pares de color rojo abajo. (2, 5), (2, 4), (1, 4) (3, 5), (3, 4). En el caso de Ext(P), inv() incluye al menos el conjunto (yi, xj(i)), i = 1.l (yi, xr) / xj(i) > xr y xj(i) <Pt xr (xi, xj) / xi > xj y xi <Pt xj que no es más que inv (wtmin) ; así por [Lemma 5.14 - (3)], w mín. ≤p. Por otra parte, el orden incluye: al menos el conjunto O = { (yi, xr) / xj(i) < Pt xr } { (xi, xj) / xi < xj y xi < Pt xj } que no es más que ord(wtmax) ; así por [Lemma 5.14 - (2)],  ≤p w máx. y, por lo tanto, min, w max]. Por el contrario, en el caso de la letra a) de la letra b) de la letra b) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) del apartado 1. max], aplicando Lemma 5,14 a w mín,  y w max parece que ha las inversiones yi xj(i) para i = 1..l, y las relaciones x1 x2 · · · xk. Así que P () = t y Por lo tanto, Ext(Pt). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Prueba. (del Teorema 5.9) Sigue del Teorema 5.12 y del Teorema 5.13. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Definición 5.15. Vamos a ser una forma de serpiente de tamaño n, la fila canónica tabla rTu es el tal SOBRE LA INSERCIÓN DE LOS JÓVENES FIBONACCI ALGORITMO 15 (1) las celdas superiores de rTu están etiquetadas con entradas n, n− 1, · · · de izquierda a derecha ; (2) las celdas inferiores en columnas de dos cajas están etiquetadas con las entradas 1, 2, · · · de izquierda a derecha. El cuadro canónico columna cTu se construye etiquetando las celdas de u de derecha a izquierda e inferior arriba. Lemma 5.16. Dejar u ser una forma de serpiente del tamaño n, entonces cTu (resp. rTu) es el único cuadro de forma u que tengan un rango mínimo de Umin (resp. rango máximo max) en el poset (YFTn, ). Para cualquier forma de serpiente u, Umin es el número de columnas de doble caja de u y máx. se obtiene de la manera siguiente. Etiquetar cada uno celda inferior con el número de columnas de doble caja a su izquierda y hacer lo mismo, pero añadir 1 para cada la celda superior de las columnas de u.?umax de doble caja es la suma de las etiquetas obtenidas. * = 12 1 * • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 7 6 4 1 2 5 3 • tabla canónica de fila • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 7 5 2 6 4 3 1 columna cuadro canónico • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • l = 0 0 ° Gráfico 6 Fila canónica y columna canónica tableaux de forma 2212. Prueba. (de Lemma 5.16) Fácilmente de las definiciones. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora nos relacionaremos (YFTn, ) a una matriz de transición en el álgebra de Okada asociado a YFL. 6. Una conexión con el álgebra de Okada asociada a la celosía de Young-Fibonacci Un análogo de Young-Fibonacci del anillo de funciones simétricas [6] fue dado y estudiado por S. Okada [16], con un análogo Young-Fibonacci de los números Kostka, que aparece al expresar el análogo de una función simétrica completa hv en términos de las funciones analógicas de Schur su. (6.1) hv = Ku, v su El análogo de Young-Fibonacci de los números de Kostka se genera por las fórmulas de recurrencia que figuran a continuación [16], donde Ka, b se define para dos formas de serpiente del mismo peso y denota la cubierta relación en YFL. (6.2) K1u, 1v = Ku, v (r1) K2u, 2v = Ku, v (r2) K1u, 2v = 0 (r3) K2u, 1v = wuKw, v (r4) Como se indica a continuación, la fórmula de longitud de gancho para los árboles binarios ilustrada en el ejemplo 2.3 es un fórmula alternativa para la computaciónKu, 1n = Fu que es la dimensión de una representación en Okada álgebra. Proposición 6.1. Dejar u ser una forma de serpiente de tamaño n, entonces Fu es la dimensión del módulo Vu correspondiente a u en el n o componente homogéneo del álgebra de Okada asociado a YFL. 16 J. NZEUTCHAP Prueba. dim (Vu) es el número de cadenas saturadas que van de Ł a u en YFL, de ahí el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Aquí está una declaración más general dando una interpretación combinatoria de Ku, v usando (YFTn, ). Teorema 6.2. Dejar que u y v sean dos formas de serpiente de tamaño n, y dejar 1° ser el cuadro máximo en (YFTn, ), entonces Ku, v es el número de tablas t de forma u en el intervalo [rTv, 1». 1 2 3 1 4 2 1 3 2 5 1 2 1 4 3 2 5 1 3 2 4 1 2 5 4 1 2 Ejemplo 6.3. En la siguiente matriz, el número Ku, 1121 cuenta el número de Young- Fibonacci tableaux de forma u en el intervalo [rT1121, 1o]. 221 212 2111 122 1211 1121 1112 15 221 1 1 2 1 2 3 4 8 212. 1 1 1 1 1 3 4 2111 1. 1 1 1 4 122............................................................................................................................................ 1 1 1 3.................................................................................................................................................................... 1121 1 1 2 1112......................................................................................................................................................................... 15........................................................................................................... Iterando esto para cada forma de serpiente v de tamaño n, se construye la matriz de transición para expresar el análogo de la función simétrica completa hv en términos de las funciones analógicas de Schur su. Gráfico 7 (YFT5, ) y el análogo de Okada de la matriz de Kostka para n = 5. Prueba. (de Teorema 6.2) Una prueba consiste en demostrar que para cualquier pareja (a, b) de formas de serpiente aparece en el lado izquierdo de la ecuación (6.2), hay una correspondencia uno-a-uno entre los cuadros que cumplen las condiciones del teorema para (a, b) y los que cumplen las condiciones de el teorema para las parejas de culebras en el lado derecho correspondiente de la relación. Para (r1), dado un cuadro t de forma u tal que rTv t, t se mapea en el cuadro t ′ de forma 1u obtenido de t mediante la fijación de una celda etiquetada n+1 a su izquierda, y rT1v t ′. Para (r2), se une una columna de dos cajas a la izquierda de t, con 1 como entrada inferior y n+2 como entrada superior, además de una estandariza t aumentando todas sus entradas. Entonces t′ es de forma 2u y rT2v t ′. Para (r3) es fácil de la definición de la operación de desplazamiento de una entrada en un cuadro de que no hay cuadros t1 y t2 de forma 1u y 2v respectivamente, de manera que t2 t1. Para (r4), dejar que no sea un cuadro de forma 2u tal que rT1v t, entonces t se mapea en el cuadro t ′ = ev(t, n), es decir, el cuadro obtenido de t mediante la evacuación de su letra máxima (el proceso de evacuación debido originalmente a Killpatrick [8] es descrita en la sección 3.2). De hecho, w ser la forma de t′, entonces w u y rTv t 7. Números de Kostka, la regla de Littlewood Richardson, y cuatro posets en Young tableaux El poset (YFTn, ) de Young-Fibonacci tableaux que definimos en la sección 5 es un análogo de uno entre cuatro órdenes parciales en el conjunto YTn de Young tableaux estándar de tamaño n [9]. Los orden débil (YTn, débil) se define como en Teorema 5,8 con P () que denota la inserción Schensted tablau de . Dejar que ♥ y μ sean dos particiones de longitudes l() y l(μ), se dice que mayor que μ en SOBRE LA INSERCIÓN DE LOS JÓVENES FIBONACCI ALGORITMO 17 el orden de dominio y uno escribe  ≥dom μ si para cada 1 ≤ i ≤ min(l(), l(μ)), la desigualdad En el caso de los productos de la partida 84.01, el valor de todas las materias de la partida 84.01 no excederá del 50 % del precio franco fábrica del producto. Que no sea un cuadro de Young estándar de tamaño n, y 1 ≤ i ≤ j ≤ n. Denominamos (t/i,j) la forma del tablero obtenida de t restringiendo en primer lugar t a t. el segmento [i, j], luego bajando todas las entradas por i − 1, y finalmente deslizando el cuadro sesgado obtenido en forma normal por jeu-de-taquin. La cadena de orden de cadena en el estándar Young tableaux se define del siguiente modo. Definición 7.1. [9] Que t y t′ sean dos cuadros Young estándar de tamaño n, luego t cadena t ′ si y solo si para cada 1 ≤ i ≤ j ≤ n, El lector interesado puede referirse a [9] para la definición de los otros dos órdenes, así como para las propiedades de esos posets. Los cuatro poses coinciden con el rango n = 5. 12345 Gráfico 8 Orden parcial en los tableros Young de talla 5. A continuación se muestra un análogo de Young tableaux de Teorema 6.2. Teorema 7.2. Dejar , μ ser dos particiones de tamaño n, dejar rTμ ser la fila canónica estándar Young tablau de forma μ, es decir, rTμ tiene forma μ y se llena cada vez más de let a la derecha y De abajo a arriba. Y dejar que 0â € sea el cuadro mínimo en el poset de estándar Young tableaux de tamaño n. Entonces Kel, μ es el número de tableaux Young estándar de la forma ♥ en el intervalo [0, rTμ], para cualquiera de los poses estudiados en [9]. 18 J. NZEUTCHAP 1 2 4 1 2 5 1 2 4 1 2 4 5 1 2 3 4 0 = 1 2 3 4 5 Ejemplo 7.3. En la siguiente matriz, el num- ber Kđ, 221 cuenta el número de Young estándar los tableros de la forma  en el intervalo [0», rT221]. μ = 5 41 32 311 221 2111 11111  = 5 1 1 1 1 1 1 1 1 41. 1 1 2 2 3 4 32 1 1 2 3 5 311............................................................................................................................................ 221................................................................................................................................................................................... 2111 1 4............................................................................................................................................................................................................................................................. 11111................................................................................................................... Iterando esto para cada partición μ del tamaño n, se construye la matriz de transición para expresar la función simétrica completa hμ en términos de el Schur funciona s/23370/. Gráfico 9 Poset de cuadros jóvenes y matriz de Kostka para n = 5. Prueba. (de Teorema 7.2) Para una partición dada μ, dejar nscrt(μ) ser la fila canónica semi-estándar Joven tablero de forma μ, es decir, el tablero lleno de 1’s en su primera línea, 2’s en su segunda línea y así sucesivamente. Que nsclt(n) sea el tablero Young semiestándar de forma n y que tenga entradas μi i para i = 1.l(μ). Considere la extensión de la definición 7.1 al conjunto Tab(μ) de Young semi-estándar tableaux con entradas μi i para i = 1.l(μ). A continuación, para cada t Tab(μ), uno tiene nsclt(n) cadena t cadena nscrt(μ). Hay un mapeo de bijección canónica (Tab(μ), cadena) en ([0», rTμ], cadena) y este mapa es la preservación del orden. Así que el teorema 7.2 se mantiene para la cadena de orden parcial. A partir de ([9], Teorema 1.1) y la observación de que [0», rTμ] = rTμ1 ∗ rTμ2 ∗ · · · ∗ rTμl(μ), se deduce que el conjunto de tableaux en [0», rTμ] no depende de la elección del orden parcial. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Observaciones finales y perspectivas Hay muchas similitudes entre el algoritmo Robinson-Schensted y el Young- Algoritmo de inserción de Fibonacci. Así como entre la combinatoria de Young tableaux y el Combinatoria de cuadros de Young-Fibonacci. Una de las preguntas que no hemos explorado en este papel es el de la existencia de un álgebra de Young-Fibonacci tableaux, que sería un análogo del álgebra de Poirier-Reutenauer Hopf de Young tableaux [12]. Tal álgebra sería ayuda a dar una descripción combinatoria (en términos de cuadros) del producto de Schur funciones en el álgebra de Okada asociado a la celosía de Young-Fibonacci. Actualmente estamos buscando para una definición adecuada de este álgebra. Agradecimientos El autor agradece a F. Hivert sus útiles comentarios y sugerencias a lo largo de este trabajo. SOBRE LA INSERCIÓN DE LOS JÓVENES FIBONACCI ALGORITMO 19 Bibliografía [1] C. Schensted, Subsecuencias más largas que aumentan y disminuyen. Canad. J. Math., vol. 13, 1961, pp. 179-191. [2] D. E. Knuth, Permutaciones, matrices y cuadros de Young generalizados, Pacific J. Matemáticas. 34 (1970), 709-727. [3] —, El arte de la programación informática, vol.3: Búsqueda y clasificación (Addison-Wesley, 1973). [4] D. Krob y J.-Y. Thibon, Función simétrica no commutativa IV: Grupos lineales cuánticos y álgebras Hecke at q=0, J. Alg. Peine. 6 (1997), 339-376. [5] F. Hivert, J. C. Novelli, y J.-Y. Thibon, la álgebra de los árboles de búsqueda binarios, Theo. Comp. Science 339(2005), 129-165. [6] I. G. MacDonald, Funciones simétricas y Polinomios Hall, 2nd ed, Clarendon Press, Oxford Sce Publications, 139 (1995). [7] J. Nzeutchap, En el Algoritmo de inserción de Young-Fibonacci, para aparecer en las Actas de FPSAC’07. [8] K. Killpatrick, Evacuación y una perturbación geométrica para Fibonacci Tableaux, J. Comb. Th, Ser A, 110 (2005), 337-351. [9] M. Tashin, Propiedades de cuatro órdenes parciales en Young tableaux estándar, J. Comb. Teoría, Ser A, 113(2006), 1092-1119. [10] R. P. Stanley, Diferencial Posets, J. Amer. Matemáticas. Soc. 1 (1998), 919-961. [11] —, La celosía de Fibonacci, Fibonacci Quarterly 13(1998), 215-232. [12] S. Poirier y C. Reutenauer, Algèbre de Hopf des tableaux, Ann. Sci. Matemáticas. Qébec 19 (1995), 79-90. [13] S. V. Fomin, Dualidad de los gráficos clasificados, J. Alg. Peine. 3(1994), 357-404. [14] —, correspondencia Generalizada Robinson-Schensted-Knuth, Zapiski Nauchn. Sem. LOMI. 155 (1986), 156-175. [15] —, Algoritmos Schensted para gráficos de doble grado, J. Alg. Peine. 4(1995), 5-45. [16] S. Okada, Álgebras asociadas a la celosía Young-Fibonacci, Trans AMS 346(1994), 549-568. [17] T. Roby, Aplicaciones y extensiones de la generalización de Fomin de la correspondencia de Robinson-Schensted a postas diferenciales, tesis de doctorado, MIT, 1991. LITIS EA 4051 (Laboratoire d’Informatique, de Traitement de l’Information et des Systèmes), Avenue de l’Université, 76800 Saint Etienne du Rouvray, Francia Dirección de correo electrónico: janvier.nzeutchap@univ-mlv.fr URL: http://monge.univ-mlv.fr/nzeutcha 1. Introducción 1.1. La celosía de Young-Fibonacci 2. El algoritmo de inserción de Young-Fibonacci y Young-Fibonacci 2.1. Convertir una cadena en YFL en un tablero estándar de Young-Fibonacci 2.2. Redefine el algoritmo de inserción Young-Fibonacci 3. Inserción de jóvenes-Fibonacci y crecimiento en poses diferenciales 3.1. Equivalencia entre las construcciones de Roby y Fomin 3.2. Otro punto de vista de la evacuación de Killpatrick para Young-Fibonacci tableaux 4. Números de Fibonacci y una estadística en Young-Fibonacci tableaux 5. Un orden débil en los tableros de Young-Fibonacci 6. Una conexión con el álgebra de Okada asociada a la celosía de Young-Fibonacci 7. Números de Kostka, la regla de Littlewood Richardson, y cuatro poses en Young tableaux Observaciones finales y perspectivas Agradecimientos Bibliografía

Thermoelectric response near a quantum critical point: the case of CeCoIn5

Respuesta termoeléctrica cerca de un punto crítico cuántico: el caso de CeCoIn5 K. Izawa1,2,3, K. Behnia4, Y. Matsuda3,5, H. Shishido5,6, R. Settai6, Y. Onuki6 y J. Flouquet2 1Departamento de Física, Instituto de Tecnología de Tokio, Meguro, Tokio, 152-8551 Japón 2DRFMC/SPSMS, Commissariat à l’Energie Atomique, F-38042 Grenoble, Francia 3Instituto de Física del Estado Sólido, Universidad de Tokio, Kashiwa, Chiba 277-8581, Japón 4Laboratoire Photons Et Matière (CNRS), ESPCI, 75231 París, Francia 5Departamento de Física, Universidad de Kyoto, Kyoto 606-8502, Japón y 6Departamento de Física, Universidad de Osaka, Toyonaka, Osaka 560-0043, Japón Presentamos un estudio de coeficientes termoeléctricos en CeCoIn5 hasta 0,1 K y hasta 16 T en orden para sondear las firmas termoeléctricas de criticidad cuántica. En las proximidades del campo inducido punto crítico cuántico, el coeficiente Nernst / presenta una mejora dramática sin saturación hasta la temperatura medida más baja. Relación adimensional del coeficiente Seebeck con el coeficiente electrónico calor específico muestra un mínimo a una temperatura cercana al umbral de la formación de cuasipartículas. Cerca de Tc(H), en el estado vórtice-líquido, el coeficiente de Nernst se comporta anomalmente en desconcertante contraste con otros superconductores y dinámica vórtice estándar. Números PACS: 74.70.Tx, 72.15.Jf, 71.27.+a CeCoIn5 es un superconductor no convencional con un estado normal intrigante[1]. Su comportamiento es peculiar cerca el campo crítico superior, donde la escala de energía que rige diversas propiedades electrónicas se desvanecen de forma muy pequeña y en arrugas con un campo magnético en aumento[2, 3], un comportamiento ex- en presencia de un Punto Crítico Cuántico(QCP)[4]. La proximidad de este QCP al campo crítico superior en CeCoIn5 es desconcertante[5, 6, 7]. La posible existencia de un estado FFLO[8] y/o una orden magnética elusiva son un tema de investigación intensa reciente. Por otra parte, incluso en ausencia de campo magnético, el estado normal presenta fuerte desviación del estándar Fermi-líquido comportamiento[1, 9]. La aplicación de la presión conduce a la destrucción de la superconductividad y la restauración de el líquido Fermi[6, 10, 11]. El vínculo entre el campo- y las rutas inducidas por la presión hasta el Fermi El líquido aún no se ha aclarado. Durante los últimos tres años, las propiedades anómalas de CeCoIn5 cerca del QCP inducido por el campo han sido re- gracias a las mediciones de calor específico[3], elec- resistividad trica[2], transporte térmico[7] y efecto Hall[13]. En este artículo, la nueva visión sobre la criticidad cuántica es se administra mediante respuesta termoeléctrica hasta 0.1K. Hasta ahora Como sabemos, esta es la primera investigación experimental del tensor termoeléctrico en las proximidades de un QCP, una sujeto de varios estudios teóricos[16, 17, 18]. Soltero los cristales fueron cultivados por el método de autoflujo. Termoelec- Los coeficientes tric fueron medidos con un calentador y dos Termómetros RuO2 en campo magnético a lo largo del eje c. Los Se aplicó corriente de calor a lo largo del plano basal. Anterior estudios de termoelectricidad en CeCoIn5 detectaron un Coeficiente Nernst y un Seebeck coeffi- en el régimen de líquidos no fermi por encima de Tc[14] y un escala de campo adicional a 23 T[15]. Aquí, encontramos que el la firma termoeléctrica más espectacular del cuántico la criticidad es una mejora drástica de la coefi- Científico, contra. La pequeña energía de Fermi, que fue detectada previamente por una mejora casi divergente de coeficiente A de resistividad (­ = 0 + AT) 2)[2] y el Coeficiente de Sommerfeld del calor específico (γ = Cel/T )[3], También conduce a un aparentemente divergente / T............................................................................................ Estos resultados mostrar dos anomalías distintas cerca de Hc2(0) y Tc(0) que son diferentes en el origen. Esta conclusión no puede se derivarán de otras sondas mencionadas anteriormente. Nosotros también. encontrar una mejora más leve del coeficiente Seebeck cerca el QCP. Por otra parte, la relación entre termopotencia y elec- calor específico trónico, expresado en unidades adecuadas[19], se mantiene cerca de la unidad, incluso en las proximidades del QCP. La dependencia de la temperatura de esta relación presenta un min- imum a una temperatura que marca aproximadamente la formación de cuasipartículas bien definidas[7]. En la figura 1 se presentan los datos obtenidos mediante la medición Nernst y los coeficientes Seebeck en varios magnéticos campos. Dado que la respuesta termoeléctrica de Fermions es se espera que sea T -lineal muy por debajo de su temperamento Fermi- ature, lo que se traza en la figura es la temperatura dependencia de los dos coeficientes divididos por temple- ature. Como se ve en la fig. 1 a), el coeficiente Seebeck, S desaparece en el estado superconductor. En la normalidad estado, S/T aumenta con la disminución de la temperatura para todos campos. Para campos superiores a 5,4 T, el estado normal ex- tiende a cero temperatura y un finito S / T en el Se puede extraer el límite de cero temperaturas. Para un campo de 16 T (que está muy por encima de la región crítica cuántica) S/T satura a un valor de aproximadamente 13 μVK−2. Para campos entre 5,4 T y 16 T, S/T presenta un dependencia de la temperatura. Una subida por debajo de 0,15 K es vis- ble para μ0H 5,5 T (es decir, en las inmediaciones del QCP) curvas. Note que este repunte conduce a una la mejora de S/T. El cambio general en la magnitud de S/T es de aproximadamente el 70 %. Por otro lado, el tem- dependencia peratura del coeficiente de Nernst dividido por temperature ν/T revela una firma más dramática de Criticalidad cuántica. Como se observa en la figura 1, letra b), para μ0H = 5,5 T y μ0H = 6 T, por debajo de 1 K, ing con temperatura decreciente. Ninguna mejora de este tipo se produce para μ0H = 16 T, muy por encima de QCP. En el nivel más bajo La temperatura medida (+ 0,1 K), ν/T es de cinco veces en- http://arxiv.org/abs/0704.1970v2 Muestra 2 3 4 5 6 7 2 3 4 T ( K ) 5.45T 5.2T 5T 4.5T 2 3 4 5 6 7 2 3 4 T ( K ) 0,5 T 5.3 T 5.2 T 5 T 4,5 T 4 T 5.4 T 16 T FIG. 1: (a) El coeficiente Seebeck dividido por temperatura como una función de la temperatura para los diferentes campos magnéticos en una trama de semi-log. Note el repunte cerca del QCP.b) Tempera- ature dependencia del coeficiente de Nernst dividido por tem- Perature / T. Cerca del QCP, esta cantidad nunca satu- Tasas. El conjunto define la convención utilizada para el signo de el coeficiente de Nernst (ver texto). hanced cerca del QCP (6 T) en comparación con su valor de 16 T. Desde la conductividad termal de la Sala, en CeCoIn5 viene grande a bajas temperaturas debido a la mejora de el camino libre medio de los electrones [12], el transversal gradiente térmico •yT podría generar un transverso finito Campo eléctrico Ey. Por lo tanto, el (medido) adiabático y los coeficientes (teóricos) isotérmicos de Nernst son no idéntico en CeCoIn5. Sin embargo, utilizando el valor de yT /xT 0.1 a 5.2 T reportado en Ref. [12], la dif- se estima que la diferencia entre estos dos grupos es de alrededor del 10 %, que indica que la mejora observada no se debe a una finito yT. Vamos a argumentar a continuación que esta mejora refleja una disminución concomitante en la magnitud de la energía normalizada Fermi como previamente documentado por mediciones específicas de calor y resistividad. La respuesta termoeléctrica de CeCoIn5 en la vicina- ity de QCP puede ser mejor entendido complementando nuestros datos con la información extraída por otros experi- sondas mentales[2, 3], que originalmente detectaron un comportamiento crítico cerca de Hc2. En particular, un interesante cuestión a tratar es el destino de la correlación observada entre termopotencia y calor específico de muchos Fermi Líquidos en el límite de temperatura cero En una amplia gama de los sistemas, la relación adimensional que une estos dos es de el orden de la unidad (q = SNAe ±1, con γ = Cel/T, NA el número de Avogadro y e la carga del electrón)[19]. ¿Qué sucede con tal correlación en un criti cuántico? ¿Cal Point? Combinación de los datos de calor específicos comunicados por Bianchi et al.[3] con nuestros resultados termoeléctricos nos permite para responder a estas preguntas. Fig. 2 a) presenta q computadas de esta manera en función de la temperatura. La primera característica a la observación es que q permanece del orden de la unidad incluso en la región crítica cuántica. Obsérvese que, teóricamente, esto la correlación surge porque S/T y γ son ambos inversamente proporcional a la energía normalizada de Fermi y por lo tanto q es se espera que sea del orden de (y no rigurosamente igual a) unidad[17]. De acuerdo con nuestro resultado (q 0.9 a 6 T y 0,1 K), esta correlación se mantiene incluso cuando el normal- 15105 m0H ( T ) 1/2 (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + n/T (0,1 K) A1/2 g (0,1 K) (año) 2 3 4 5 6 7 8 T ( K ) FIG. 2: (a) La dependencia de la temperatura de q, el dimen- ionless ratio de termopotencia a calor específico electrónico a tres campos magnéticos. La temperatura marcada por la flecha diseña el umbral del acuerdo de formación de cuasipartículas a la dependencia de la temperatura del número de Lorenz como Informe de Paglione et al.[7] b) Comparación del terreno dependencia de ν/T, γ (como se indica en ref. [3]) y A1/2 (tomado de ref. [2]). Fermi Energy se vuelve desvanecidamente pequeña. La segunda parte, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la función de interés en la figura 2 a) es la temperatura dependencia de q, que presenta un mínimo. Para ambos campos, la temperatura a la que se produce este mínimo está cerca de la donde el número de Lorenz(L = uniendo térmicas,.. y eléctricas,......................................................................................................................................................................................................................................................... También un mínimo. Paglione y compañeros de trabajo, que informan esta última característica, argumentan que esta temperatura marca la formación de cuasipartículas bien definidas[7]. Esto es un temperatura por debajo de la cual tanto térmica como eléctrica re- las sistividades muestran una dependencia de temperatura T 3/2. Re- notable, Miyake y Kohno, que proporcionaron un marco en un modelo de Anderson periódico para el corre- la relación entre la termopotencia y el calor específico, prevista que q debe desviarse hacia abajo de la unidad en presencia de un QCP antiferromagnético (AF) que conduce a líneas calientes en la superficie de Fermi[17]. Pasamos ahora al coeficiente de Nernst. En un simple imagen, es proporcional a la derivada de energía de la tiempo de relajación en la energía Fermi[20]. En un primer ap- proximación, rastrea una magnitud establecida por el ciclotrón frecuencia, el tiempo de dispersión y la energía Fermi[21]. Ya que escala inversamente con la Energía Fermi, allí no es ninguna sorpresa que se hace grande en pesado-fermión metales[14, 15] y, en particular, en semi- metales[22, 23], donde tanto la masa pesada de electrones y la pequeñez del vector de ondas Fermi contribuyen a su mejora ( //T 1/(kF / F )). Ahora, desde el Fermi energía (definida ampliamente como la escala energética característica) del sistema) se vuelve muy pequeño cerca de un QCP, uno esperar un gran coeficiente de Nernst de acuerdo con el observación experimental reportada aquí. Con estas consideraciones fenomenológicas en mente comparemos el comportamiento del coeficiente de Nernst con calor específico y resistividad. Tanto γ y A, el T 2 término de la resistividad (­ = ­0 + AT) 2) escala inversa con la Fermi Energy, F. Por lo tanto, ambos se mejoran cuando la energía Fermi es pequeña. Dado que estas dos cantidades son vinculado por la relación Kadowaki-Woods (γ2 A), el mejora es más pronunciada en A que en γ. Fig- ure 2 b) compara la dependencia sobre el terreno de A1/2, γ y / T...................................................................... En una imagen ingenua, la mejora de los tres las cantidades son comparables en magnitud. Esta cantidad... La correlación entre los dos factores sugiere que la razón principal de la la mejora de ν/T cerca de QCP se debe a una pequeña F. Lo siento. es instructivo trazar una trama de contorno de esta cantidad en el plano de campo de temperatura. Esto se hace en la Fig. 3 con a escala de color logarítmico con el fin de mejorar el contraste. Tenga en cuenta que contrariamente a las otras sondas, no hay necesidad para restar una compensación de los datos de Nernst. En el caso de: calor específico, se debe restar la Schottky contribu- ión a baja temperatura[3] y campo alto, y el fonón contribución a alta temperatura. En el caso de resistiv- ity el comportamiento T 2 se interrumpe a baja temperatura y los campos altos por un aumento debido a la temperatura- la magnitud dependiente de la suma de los siguientes elementos [2]. Como se ve en la Fig. 3 / T se hace muy grande cerca del QCP, que constituye el el hogar principal de la figura. Sin embargo, hay una segunda en el campo cero justo por encima de Tc, que fue identificado por previ- ous measurements[14]. Esta región caliente de campo cero corre... sponds a una resistencia puramente lineal y anomalmente en- hanced Hall coeficiente[9] debido a la fuerte anisótropo scat- miento por fluctuaciones de AF[11], lo que también puede mejorar la Coeficiente Nernst[24]. Por otro lado, cerca de la QCP, la magnitud del coeficiente Hall[13] es compara- ble a su valor a temperatura ambiente o en LaCoIn5[11]. Por lo tanto, parece haber dos fuentes distintas para la mejora del coeficiente de Nernst. En el cero- régimen de campo justo por encima de Tc, se mejora sobre todo porque de fuerte dispersión inelástica asociada a la fluctu- aciones, pero en el régimen de cero temperaturas justo por encima Hc2, se hace grande debido a la pequeñez de la Energía Fermi. La aparición de superconductividad im- pedes para explorar la ruta que une a estos dos calientes regiones del (B,T) plano. El conjunto de la figura com- analiza la evolución de las escalas de energía detectadas por diferentes sondas experimentales cerca del QCP. Pasamos ahora al desconcertante comportamiento del Nernst. coeficiente en las proximidades de la transi- tion. En el fondo del estado superconductor, no hay señal de Nernst medible, como lo ilustra la existencia del área negra en la Fig. 3. Por otro lado, cerrar a Hc2(T) (o alternativamente, cerca de Tc(H)), los vórtices pueden y una contribución adicional a la sig- nal se espera. En toda la gama de nuestro estudio, la Coeficiente Nernst mantiene el mismo signo que se presenta en el conjunto de la Fig. 1. Tal coeficiente de Nernst es negativo. de acuerdo con una convención de libros de texto sobre el signo de los coeficientes termoeléctricos[25]. Sin embargo, el litro... atura sobre el efecto vórtice Nernst[26] generalmente toma para positivo la señal de Nernst generada por los vórtices en movimiento de calor a frío, lo que lleva a una convención opuesta. El signo del efecto Nernst en CeCoIn5 es a la convención de los libros de texto[25], pero atado al vórtice[26, 27]. De hecho, contrariamente a cuasi-partículas, la señal de Nernst producida por los vórtices 0 1 2 3 4 0,2 0,4 0,6 T(K) 0,01000 0,02185 0,04775 0,1044 0,2280 0,4983 1.089 2.380 5.200 FIG. 3: Contour parcela de //T en el (B,T) plano. El color escala es logarítmica. Note la presencia de dos regiones calientes cerca de Hc2 y Tc. El conjunto es un zoom en la región cercana Hc2. La variación de tres escalas de temperatura, el inicio de resistividad T2(cuadrados sólidos), el mínimo en L/L0(abierto cuadrados) el y mínimo en q (círculos abiertos) con magnético campo también se muestra. Debería tener una señal fija. Un gradiente térmico xT gen- renace una fuerza sobre un vórtice porque su núcleo tiene un exceso de entropía. La dirección de esta fuerza es, por lo tanto, termo- determinar dinámicamente; los vórtices se mueven a lo largo de gradiente de mal de la región caliente a fría. La orientación de campo eléctrico también se establece sin ambigüedades por la dirección del movimiento del vórtice y la señal del vórtice Nernst es no esperaba tener una señal arbitraria. Con el fin de sepa- el vórtice y las contribuciones de las cuasipartículas a la Nernst señal, ponemos bajo escrutinio cuidadoso el efecto de transición de superconductores en tres coeficientes : S(T ) y N(T ). Como se ilustra en el fig. 4 a) y 4 b), con el inicio de la superconductividad, la señal de Nernst, N, colapsa más rápido que la resistividad y el Seebeck Coeficiente. Esta característica robusta se observó para todos los mag- campos netic. Por otra parte, el colapso en?(T) y S(T) seguir de cerca unos a otros. Esta última característica, que también se observó en cuprates[27], sugiere que la See- la respuesta de beck es esencialmente generada por cuasi-partículas. Por lo tanto, la suposición más natural con respecto a su contribución a la señal de Nernst en el líquido vórtice el régimen es que Nqp(T ) sigue también a S(T ) y S(T ) y la contribución del vórtice a la señal de Nernst puede ser ob- contenido restando el coeficiente Seebeck normalizado del Nernst normalizado. Fig. 4 c) y 4 d) muestran que este procedimiento resuelve claramente una señal opuesta Signatura. Por lo tanto, la interpretación más directa de el colapso más rápido de N(T ) implica una fuente adicional señal de Nernst en el régimen líquido del vórtice con un signo opuesta a la predominante y también a la ex- para los vórtices que se mueven a lo largo del flujo de calor. Este resultado parece incompatible con el estándar Imagen de la dinámica del vórtice impulsada por un gradiente térmico. Sin embargo, no hay que olvidar que las fuerzas adicionales en vórtices además de la fuerza térmica pueden estar presentes. CeCoIn5 1.51.00.5 T ( K ) 2,42,22,01,8 T ( K ) S/Sn N/Nn r/rn FIG. 4: a) b) magnitudes normalizadas r de r = N/Nn(abierto) círculos), S/Sn(círculos sólidos) y de transición superconductora para 1 T y 5 T. Para todos los campos, el inicio de la superconductividad conduce a un colapso más rápido de la La señal de Nernst. Nótese también el pequeño hombro a 1 T. (c) (d) contribución adicional a la termoelectricidad transversal en el vórtice régimen líquido obtenido restando el normalizado Coeficiente Seebeck fuera de la señal Nernst normalizada. se distingue de otros superconductores por la possi- ble ocurrencia de un estado antiferromagnético en el nor- núcleo de sus vórtices. Esta característica podría disminuir la entropía exceso de los vórtices y reducir la intensidad de la fuerza térmica, que por lo tanto puede ser vencida por otra fuente de movimiento vórtice. Como se señaló por primera vez por Ginzburg[28], en un superconductor sujeto a un gradiente de mal, una corriente de cuasipartículas (que transportan calor) y un contraflujo de supercorriente (que no) en o- der para mantener la carga actual cero[27]. En contra de lo normal. ditions, este contraflujo genera un Magnus transversal fuerza sobre los vórtices[29]. Su papel en el contexto de la superlimpieza CeCoIn5[12] necesita un tratamiento teórico adecuado. Otra característica notable de la Fig. 4 es la presencia de un hombro pequeño en la dependencia de la temperatura de la Efecto Nernst al final de la transición. El hombro es presente en una amplia gama de campos magnéticos y sólo desaparece en las proximidades de Hc2. Parece que hay una ventana de temperatura estrecha, donde un gradiente térmico puede crear un campo eléctrico transversal, pero una corriente hace no producir ningún campo eléctrico. La explicación más simple para tal discrepancia implicaría un umbral de fuerza a depin vórtices, fdp alcanzado por la temperatura aplicada gradiente, pero no por la corriente aplicada. Sin embargo, este se encontró que la característica era robusta y ningún cambio fue de- se ha modificado la magnitud de las medidas aplicadas. gradiente de mal. Claramente, el signo y la fina estructura de el efecto Nernst en el régimen líquido vórtice de CeCoIn5 necesita más investigación. Agradecemos a J-P. Brison, H. Kontani, N. Kopnin, K. Maki y K. Miyake para discusiones útiles y especialmente N. P. Ong por su entrada iluminadora en el signo del Nernst efecto. K.I. reconoce una Unión Europea Marie Curie La comunión. Este trabajo fue apoyado por la Agence Na- tionale de la Recherche a través del proyecto ICENET. [1] C. Petrovic et al., J. Phys. Condens. Materia 13, L337 (2001). [2] J. Paglione et al., Phys. Rev. Lett. 91, 246405 (2003). [3] A. Bianchi et al., Phys. Rev. Lett. 91, 257001 (2003). [4] G. R. Stewart, Rev. Mod. Phys. 73, 797 (2001). [5] E. D. Bauer et al., Phys. Rev. Lett. 94, 047001 (2005). [6] F. Ronning et al., Phys. Rev. B 73, 064519 (2006). [7] J. Paglione et al., Phys. Rev. Lett. 97, 106606 (2006). [8] Y. Matsuda y H. Shimahara, J. Phys. Soc. Jpn 76, 051005 (2007). [9] Y. Nakajima et al., J. Phys. Soc. Jpn. 73, 5 (2004). [10] V. A. Sidorov y otros, Phys. Rev. Lett. 89, 157004 (2002). [11] Y. Nakajima et al., J. Phys. Soc. Jpn. 76, 024703 (2007). [12] Y. Kasahara et al., Phys. Rev. B 72, 214515 (2005). [13] S. Singh y otros, Phys. Rev. Lett. 98, 057001 (2007). [14] R. Bel et al., Phys. Rev. Lett. 92, 217002 (2004). [15] I. Sheikin et al., Phys. Rev. Lett. 96, 077207 (2006). [16] I. Paul y G. Kotliar, Phys. Rev. B 64, 184414 (2001). [17] K. Miyake y Kohno, J. Phys. Soc. Jpn. 74, 254 (2005). [18] D. Podolsky y otros, Phys. Rev. B 75, 014520 (2007). [19] K. Behnia et al., J. Phys.: Condens. Materia 16, 5187 (2004). [20] E. H. Sondheimer, Proc. R. Soc. Londres, Ser. A 193, 484 (1948). [21] K. Behnia y otros, Phys. Rev. Lett. 98, 076603 (2007). [22] R. Bel et al., Phys. Rev. B 70, 220501(R) (2004). [23] A. Pourret et al. Phys. Rev. Lett. 96, 176402 (2006). [24] H. Kontani, Phys. Rev. Lett. 89, 237003 (2002). [25] G. S. Nolas y otros, Thermoelectrics, Springer (2001). [26] Y. Wang y otros, Phys. Rev. B 73, 024510 (2006). [27] R. P. Huebener, Supercond. Sci. Technol. 8, 189 (1995). [28] V. L. Ginzburg, Sov. Phys. Usp. 34, 101 (1991). [29] H. -C. Ri et al., Phys. Rev. B 47, 12312 (1993).

Presentamos un estudio de coeficientes termoeléctricos en CeCoIn_5 hasta 0.1 K y hasta 16 T con el fin de sondear las firmas termoeléctricas de cuántico criticidad. En las proximidades del punto crítico cuántico inducido por el campo, el Coeficiente Nernst nu exhibe una mejora dramática sin saturación hacia abajo a la temperatura mínima medida. Relación adimensional del coeficiente de Seebeck al calor electrónico específico muestra un mínimo a una temperatura cercana al umbral de la formación de cuasipartículas. Cerca de T_c(H), en estado vórtice-líquido, el coeficiente de Nernst se comporta anomalmente en contraste desconcertante con otros superconductores y dinámica vórtice estándar.

Respuesta termoeléctrica cerca de un punto crítico cuántico: el caso de CeCoIn5 K. Izawa1,2,3, K. Behnia4, Y. Matsuda3,5, H. Shishido5,6, R. Settai6, Y. Onuki6 y J. Flouquet2 1Departamento de Física, Instituto de Tecnología de Tokio, Meguro, Tokio, 152-8551 Japón 2DRFMC/SPSMS, Commissariat à l’Energie Atomique, F-38042 Grenoble, Francia 3Instituto de Física del Estado Sólido, Universidad de Tokio, Kashiwa, Chiba 277-8581, Japón 4Laboratoire Photons Et Matière (CNRS), ESPCI, 75231 París, Francia 5Departamento de Física, Universidad de Kyoto, Kyoto 606-8502, Japón y 6Departamento de Física, Universidad de Osaka, Toyonaka, Osaka 560-0043, Japón Presentamos un estudio de coeficientes termoeléctricos en CeCoIn5 hasta 0,1 K y hasta 16 T en orden para sondear las firmas termoeléctricas de criticidad cuántica. En las proximidades del campo inducido punto crítico cuántico, el coeficiente Nernst / presenta una mejora dramática sin saturación hasta la temperatura medida más baja. Relación adimensional del coeficiente Seebeck con el coeficiente electrónico calor específico muestra un mínimo a una temperatura cercana al umbral de la formación de cuasipartículas. Cerca de Tc(H), en el estado vórtice-líquido, el coeficiente de Nernst se comporta anomalmente en desconcertante contraste con otros superconductores y dinámica vórtice estándar. Números PACS: 74.70.Tx, 72.15.Jf, 71.27.+a CeCoIn5 es un superconductor no convencional con un estado normal intrigante[1]. Su comportamiento es peculiar cerca el campo crítico superior, donde la escala de energía que rige diversas propiedades electrónicas se desvanecen de forma muy pequeña y en arrugas con un campo magnético en aumento[2, 3], un comportamiento ex- en presencia de un Punto Crítico Cuántico(QCP)[4]. La proximidad de este QCP al campo crítico superior en CeCoIn5 es desconcertante[5, 6, 7]. La posible existencia de un estado FFLO[8] y/o una orden magnética elusiva son un tema de investigación intensa reciente. Por otra parte, incluso en ausencia de campo magnético, el estado normal presenta fuerte desviación del estándar Fermi-líquido comportamiento[1, 9]. La aplicación de la presión conduce a la destrucción de la superconductividad y la restauración de el líquido Fermi[6, 10, 11]. El vínculo entre el campo- y las rutas inducidas por la presión hasta el Fermi El líquido aún no se ha aclarado. Durante los últimos tres años, las propiedades anómalas de CeCoIn5 cerca del QCP inducido por el campo han sido re- gracias a las mediciones de calor específico[3], elec- resistividad trica[2], transporte térmico[7] y efecto Hall[13]. En este artículo, la nueva visión sobre la criticidad cuántica es se administra mediante respuesta termoeléctrica hasta 0.1K. Hasta ahora Como sabemos, esta es la primera investigación experimental del tensor termoeléctrico en las proximidades de un QCP, una sujeto de varios estudios teóricos[16, 17, 18]. Soltero los cristales fueron cultivados por el método de autoflujo. Termoelec- Los coeficientes tric fueron medidos con un calentador y dos Termómetros RuO2 en campo magnético a lo largo del eje c. Los Se aplicó corriente de calor a lo largo del plano basal. Anterior estudios de termoelectricidad en CeCoIn5 detectaron un Coeficiente Nernst y un Seebeck coeffi- en el régimen de líquidos no fermi por encima de Tc[14] y un escala de campo adicional a 23 T[15]. Aquí, encontramos que el la firma termoeléctrica más espectacular del cuántico la criticidad es una mejora drástica de la coefi- Científico, contra. La pequeña energía de Fermi, que fue detectada previamente por una mejora casi divergente de coeficiente A de resistividad (­ = 0 + AT) 2)[2] y el Coeficiente de Sommerfeld del calor específico (γ = Cel/T )[3], También conduce a un aparentemente divergente / T............................................................................................ Estos resultados mostrar dos anomalías distintas cerca de Hc2(0) y Tc(0) que son diferentes en el origen. Esta conclusión no puede se derivarán de otras sondas mencionadas anteriormente. Nosotros también. encontrar una mejora más leve del coeficiente Seebeck cerca el QCP. Por otra parte, la relación entre termopotencia y elec- calor específico trónico, expresado en unidades adecuadas[19], se mantiene cerca de la unidad, incluso en las proximidades del QCP. La dependencia de la temperatura de esta relación presenta un min- imum a una temperatura que marca aproximadamente la formación de cuasipartículas bien definidas[7]. En la figura 1 se presentan los datos obtenidos mediante la medición Nernst y los coeficientes Seebeck en varios magnéticos campos. Dado que la respuesta termoeléctrica de Fermions es se espera que sea T -lineal muy por debajo de su temperamento Fermi- ature, lo que se traza en la figura es la temperatura dependencia de los dos coeficientes divididos por temple- ature. Como se ve en la fig. 1 a), el coeficiente Seebeck, S desaparece en el estado superconductor. En la normalidad estado, S/T aumenta con la disminución de la temperatura para todos campos. Para campos superiores a 5,4 T, el estado normal ex- tiende a cero temperatura y un finito S / T en el Se puede extraer el límite de cero temperaturas. Para un campo de 16 T (que está muy por encima de la región crítica cuántica) S/T satura a un valor de aproximadamente 13 μVK−2. Para campos entre 5,4 T y 16 T, S/T presenta un dependencia de la temperatura. Una subida por debajo de 0,15 K es vis- ble para μ0H 5,5 T (es decir, en las inmediaciones del QCP) curvas. Note que este repunte conduce a una la mejora de S/T. El cambio general en la magnitud de S/T es de aproximadamente el 70 %. Por otro lado, el tem- dependencia peratura del coeficiente de Nernst dividido por temperature ν/T revela una firma más dramática de Criticalidad cuántica. Como se observa en la figura 1, letra b), para μ0H = 5,5 T y μ0H = 6 T, por debajo de 1 K, ing con temperatura decreciente. Ninguna mejora de este tipo se produce para μ0H = 16 T, muy por encima de QCP. En el nivel más bajo La temperatura medida (+ 0,1 K), ν/T es de cinco veces en- http://arxiv.org/abs/0704.1970v2 Muestra 2 3 4 5 6 7 2 3 4 T ( K ) 5.45T 5.2T 5T 4.5T 2 3 4 5 6 7 2 3 4 T ( K ) 0,5 T 5.3 T 5.2 T 5 T 4,5 T 4 T 5.4 T 16 T FIG. 1: (a) El coeficiente Seebeck dividido por temperatura como una función de la temperatura para los diferentes campos magnéticos en una trama de semi-log. Note el repunte cerca del QCP.b) Tempera- ature dependencia del coeficiente de Nernst dividido por tem- Perature / T. Cerca del QCP, esta cantidad nunca satu- Tasas. El conjunto define la convención utilizada para el signo de el coeficiente de Nernst (ver texto). hanced cerca del QCP (6 T) en comparación con su valor de 16 T. Desde la conductividad termal de la Sala, en CeCoIn5 viene grande a bajas temperaturas debido a la mejora de el camino libre medio de los electrones [12], el transversal gradiente térmico •yT podría generar un transverso finito Campo eléctrico Ey. Por lo tanto, el (medido) adiabático y los coeficientes (teóricos) isotérmicos de Nernst son no idéntico en CeCoIn5. Sin embargo, utilizando el valor de yT /xT 0.1 a 5.2 T reportado en Ref. [12], la dif- se estima que la diferencia entre estos dos grupos es de alrededor del 10 %, que indica que la mejora observada no se debe a una finito yT. Vamos a argumentar a continuación que esta mejora refleja una disminución concomitante en la magnitud de la energía normalizada Fermi como previamente documentado por mediciones específicas de calor y resistividad. La respuesta termoeléctrica de CeCoIn5 en la vicina- ity de QCP puede ser mejor entendido complementando nuestros datos con la información extraída por otros experi- sondas mentales[2, 3], que originalmente detectaron un comportamiento crítico cerca de Hc2. En particular, un interesante cuestión a tratar es el destino de la correlación observada entre termopotencia y calor específico de muchos Fermi Líquidos en el límite de temperatura cero En una amplia gama de los sistemas, la relación adimensional que une estos dos es de el orden de la unidad (q = SNAe ±1, con γ = Cel/T, NA el número de Avogadro y e la carga del electrón)[19]. ¿Qué sucede con tal correlación en un criti cuántico? ¿Cal Point? Combinación de los datos de calor específicos comunicados por Bianchi et al.[3] con nuestros resultados termoeléctricos nos permite para responder a estas preguntas. Fig. 2 a) presenta q computadas de esta manera en función de la temperatura. La primera característica a la observación es que q permanece del orden de la unidad incluso en la región crítica cuántica. Obsérvese que, teóricamente, esto la correlación surge porque S/T y γ son ambos inversamente proporcional a la energía normalizada de Fermi y por lo tanto q es se espera que sea del orden de (y no rigurosamente igual a) unidad[17]. De acuerdo con nuestro resultado (q 0.9 a 6 T y 0,1 K), esta correlación se mantiene incluso cuando el normal- 15105 m0H ( T ) 1/2 (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + n/T (0,1 K) A1/2 g (0,1 K) (año) 2 3 4 5 6 7 8 T ( K ) FIG. 2: (a) La dependencia de la temperatura de q, el dimen- ionless ratio de termopotencia a calor específico electrónico a tres campos magnéticos. La temperatura marcada por la flecha diseña el umbral del acuerdo de formación de cuasipartículas a la dependencia de la temperatura del número de Lorenz como Informe de Paglione et al.[7] b) Comparación del terreno dependencia de ν/T, γ (como se indica en ref. [3]) y A1/2 (tomado de ref. [2]). Fermi Energy se vuelve desvanecidamente pequeña. La segunda parte, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la función de interés en la figura 2 a) es la temperatura dependencia de q, que presenta un mínimo. Para ambos campos, la temperatura a la que se produce este mínimo está cerca de la donde el número de Lorenz(L = uniendo térmicas,.. y eléctricas,......................................................................................................................................................................................................................................................... También un mínimo. Paglione y compañeros de trabajo, que informan esta última característica, argumentan que esta temperatura marca la formación de cuasipartículas bien definidas[7]. Esto es un temperatura por debajo de la cual tanto térmica como eléctrica re- las sistividades muestran una dependencia de temperatura T 3/2. Re- notable, Miyake y Kohno, que proporcionaron un marco en un modelo de Anderson periódico para el corre- la relación entre la termopotencia y el calor específico, prevista que q debe desviarse hacia abajo de la unidad en presencia de un QCP antiferromagnético (AF) que conduce a líneas calientes en la superficie de Fermi[17]. Pasamos ahora al coeficiente de Nernst. En un simple imagen, es proporcional a la derivada de energía de la tiempo de relajación en la energía Fermi[20]. En un primer ap- proximación, rastrea una magnitud establecida por el ciclotrón frecuencia, el tiempo de dispersión y la energía Fermi[21]. Ya que escala inversamente con la Energía Fermi, allí no es ninguna sorpresa que se hace grande en pesado-fermión metales[14, 15] y, en particular, en semi- metales[22, 23], donde tanto la masa pesada de electrones y la pequeñez del vector de ondas Fermi contribuyen a su mejora ( //T 1/(kF / F )). Ahora, desde el Fermi energía (definida ampliamente como la escala energética característica) del sistema) se vuelve muy pequeño cerca de un QCP, uno esperar un gran coeficiente de Nernst de acuerdo con el observación experimental reportada aquí. Con estas consideraciones fenomenológicas en mente comparemos el comportamiento del coeficiente de Nernst con calor específico y resistividad. Tanto γ y A, el T 2 término de la resistividad (­ = ­0 + AT) 2) escala inversa con la Fermi Energy, F. Por lo tanto, ambos se mejoran cuando la energía Fermi es pequeña. Dado que estas dos cantidades son vinculado por la relación Kadowaki-Woods (γ2 A), el mejora es más pronunciada en A que en γ. Fig- ure 2 b) compara la dependencia sobre el terreno de A1/2, γ y / T...................................................................... En una imagen ingenua, la mejora de los tres las cantidades son comparables en magnitud. Esta cantidad... La correlación entre los dos factores sugiere que la razón principal de la la mejora de ν/T cerca de QCP se debe a una pequeña F. Lo siento. es instructivo trazar una trama de contorno de esta cantidad en el plano de campo de temperatura. Esto se hace en la Fig. 3 con a escala de color logarítmico con el fin de mejorar el contraste. Tenga en cuenta que contrariamente a las otras sondas, no hay necesidad para restar una compensación de los datos de Nernst. En el caso de: calor específico, se debe restar la Schottky contribu- ión a baja temperatura[3] y campo alto, y el fonón contribución a alta temperatura. En el caso de resistiv- ity el comportamiento T 2 se interrumpe a baja temperatura y los campos altos por un aumento debido a la temperatura- la magnitud dependiente de la suma de los siguientes elementos [2]. Como se ve en la Fig. 3 / T se hace muy grande cerca del QCP, que constituye el el hogar principal de la figura. Sin embargo, hay una segunda en el campo cero justo por encima de Tc, que fue identificado por previ- ous measurements[14]. Esta región caliente de campo cero corre... sponds a una resistencia puramente lineal y anomalmente en- hanced Hall coeficiente[9] debido a la fuerte anisótropo scat- miento por fluctuaciones de AF[11], lo que también puede mejorar la Coeficiente Nernst[24]. Por otro lado, cerca de la QCP, la magnitud del coeficiente Hall[13] es compara- ble a su valor a temperatura ambiente o en LaCoIn5[11]. Por lo tanto, parece haber dos fuentes distintas para la mejora del coeficiente de Nernst. En el cero- régimen de campo justo por encima de Tc, se mejora sobre todo porque de fuerte dispersión inelástica asociada a la fluctu- aciones, pero en el régimen de cero temperaturas justo por encima Hc2, se hace grande debido a la pequeñez de la Energía Fermi. La aparición de superconductividad im- pedes para explorar la ruta que une a estos dos calientes regiones del (B,T) plano. El conjunto de la figura com- analiza la evolución de las escalas de energía detectadas por diferentes sondas experimentales cerca del QCP. Pasamos ahora al desconcertante comportamiento del Nernst. coeficiente en las proximidades de la transi- tion. En el fondo del estado superconductor, no hay señal de Nernst medible, como lo ilustra la existencia del área negra en la Fig. 3. Por otro lado, cerrar a Hc2(T) (o alternativamente, cerca de Tc(H)), los vórtices pueden y una contribución adicional a la sig- nal se espera. En toda la gama de nuestro estudio, la Coeficiente Nernst mantiene el mismo signo que se presenta en el conjunto de la Fig. 1. Tal coeficiente de Nernst es negativo. de acuerdo con una convención de libros de texto sobre el signo de los coeficientes termoeléctricos[25]. Sin embargo, el litro... atura sobre el efecto vórtice Nernst[26] generalmente toma para positivo la señal de Nernst generada por los vórtices en movimiento de calor a frío, lo que lleva a una convención opuesta. El signo del efecto Nernst en CeCoIn5 es a la convención de los libros de texto[25], pero atado al vórtice[26, 27]. De hecho, contrariamente a cuasi-partículas, la señal de Nernst producida por los vórtices 0 1 2 3 4 0,2 0,4 0,6 T(K) 0,01000 0,02185 0,04775 0,1044 0,2280 0,4983 1.089 2.380 5.200 FIG. 3: Contour parcela de //T en el (B,T) plano. El color escala es logarítmica. Note la presencia de dos regiones calientes cerca de Hc2 y Tc. El conjunto es un zoom en la región cercana Hc2. La variación de tres escalas de temperatura, el inicio de resistividad T2(cuadrados sólidos), el mínimo en L/L0(abierto cuadrados) el y mínimo en q (círculos abiertos) con magnético campo también se muestra. Debería tener una señal fija. Un gradiente térmico xT gen- renace una fuerza sobre un vórtice porque su núcleo tiene un exceso de entropía. La dirección de esta fuerza es, por lo tanto, termo- determinar dinámicamente; los vórtices se mueven a lo largo de gradiente de mal de la región caliente a fría. La orientación de campo eléctrico también se establece sin ambigüedades por la dirección del movimiento del vórtice y la señal del vórtice Nernst es no esperaba tener una señal arbitraria. Con el fin de sepa- el vórtice y las contribuciones de las cuasipartículas a la Nernst señal, ponemos bajo escrutinio cuidadoso el efecto de transición de superconductores en tres coeficientes : S(T ) y N(T ). Como se ilustra en el fig. 4 a) y 4 b), con el inicio de la superconductividad, la señal de Nernst, N, colapsa más rápido que la resistividad y el Seebeck Coeficiente. Esta característica robusta se observó para todos los mag- campos netic. Por otra parte, el colapso en?(T) y S(T) seguir de cerca unos a otros. Esta última característica, que también se observó en cuprates[27], sugiere que la See- la respuesta de beck es esencialmente generada por cuasi-partículas. Por lo tanto, la suposición más natural con respecto a su contribución a la señal de Nernst en el líquido vórtice el régimen es que Nqp(T ) sigue también a S(T ) y S(T ) y la contribución del vórtice a la señal de Nernst puede ser ob- contenido restando el coeficiente Seebeck normalizado del Nernst normalizado. Fig. 4 c) y 4 d) muestran que este procedimiento resuelve claramente una señal opuesta Signatura. Por lo tanto, la interpretación más directa de el colapso más rápido de N(T ) implica una fuente adicional señal de Nernst en el régimen líquido del vórtice con un signo opuesta a la predominante y también a la ex- para los vórtices que se mueven a lo largo del flujo de calor. Este resultado parece incompatible con el estándar Imagen de la dinámica del vórtice impulsada por un gradiente térmico. Sin embargo, no hay que olvidar que las fuerzas adicionales en vórtices además de la fuerza térmica pueden estar presentes. CeCoIn5 1.51.00.5 T ( K ) 2,42,22,01,8 T ( K ) S/Sn N/Nn r/rn FIG. 4: a) b) magnitudes normalizadas r de r = N/Nn(abierto) círculos), S/Sn(círculos sólidos) y de transición superconductora para 1 T y 5 T. Para todos los campos, el inicio de la superconductividad conduce a un colapso más rápido de la La señal de Nernst. Nótese también el pequeño hombro a 1 T. (c) (d) contribución adicional a la termoelectricidad transversal en el vórtice régimen líquido obtenido restando el normalizado Coeficiente Seebeck fuera de la señal Nernst normalizada. se distingue de otros superconductores por la possi- ble ocurrencia de un estado antiferromagnético en el nor- núcleo de sus vórtices. Esta característica podría disminuir la entropía exceso de los vórtices y reducir la intensidad de la fuerza térmica, que por lo tanto puede ser vencida por otra fuente de movimiento vórtice. Como se señaló por primera vez por Ginzburg[28], en un superconductor sujeto a un gradiente de mal, una corriente de cuasipartículas (que transportan calor) y un contraflujo de supercorriente (que no) en o- der para mantener la carga actual cero[27]. En contra de lo normal. ditions, este contraflujo genera un Magnus transversal fuerza sobre los vórtices[29]. Su papel en el contexto de la superlimpieza CeCoIn5[12] necesita un tratamiento teórico adecuado. Otra característica notable de la Fig. 4 es la presencia de un hombro pequeño en la dependencia de la temperatura de la Efecto Nernst al final de la transición. El hombro es presente en una amplia gama de campos magnéticos y sólo desaparece en las proximidades de Hc2. Parece que hay una ventana de temperatura estrecha, donde un gradiente térmico puede crear un campo eléctrico transversal, pero una corriente hace no producir ningún campo eléctrico. La explicación más simple para tal discrepancia implicaría un umbral de fuerza a depin vórtices, fdp alcanzado por la temperatura aplicada gradiente, pero no por la corriente aplicada. Sin embargo, este se encontró que la característica era robusta y ningún cambio fue de- se ha modificado la magnitud de las medidas aplicadas. gradiente de mal. Claramente, el signo y la fina estructura de el efecto Nernst en el régimen líquido vórtice de CeCoIn5 necesita más investigación. Agradecemos a J-P. Brison, H. Kontani, N. Kopnin, K. Maki y K. Miyake para discusiones útiles y especialmente N. P. Ong por su entrada iluminadora en el signo del Nernst efecto. K.I. reconoce una Unión Europea Marie Curie La comunión. Este trabajo fue apoyado por la Agence Na- tionale de la Recherche a través del proyecto ICENET. [1] C. Petrovic et al., J. Phys. Condens. Materia 13, L337 (2001). [2] J. Paglione et al., Phys. Rev. Lett. 91, 246405 (2003). [3] A. Bianchi et al., Phys. Rev. Lett. 91, 257001 (2003). [4] G. R. Stewart, Rev. Mod. Phys. 73, 797 (2001). [5] E. D. Bauer et al., Phys. Rev. Lett. 94, 047001 (2005). [6] F. Ronning et al., Phys. Rev. B 73, 064519 (2006). [7] J. Paglione et al., Phys. Rev. Lett. 97, 106606 (2006). [8] Y. Matsuda y H. Shimahara, J. Phys. Soc. Jpn 76, 051005 (2007). [9] Y. Nakajima et al., J. Phys. Soc. Jpn. 73, 5 (2004). [10] V. A. Sidorov y otros, Phys. Rev. Lett. 89, 157004 (2002). [11] Y. Nakajima et al., J. Phys. Soc. Jpn. 76, 024703 (2007). [12] Y. Kasahara et al., Phys. Rev. B 72, 214515 (2005). [13] S. Singh y otros, Phys. Rev. Lett. 98, 057001 (2007). [14] R. Bel et al., Phys. Rev. Lett. 92, 217002 (2004). [15] I. Sheikin et al., Phys. Rev. Lett. 96, 077207 (2006). [16] I. Paul y G. Kotliar, Phys. Rev. B 64, 184414 (2001). [17] K. Miyake y Kohno, J. Phys. Soc. Jpn. 74, 254 (2005). [18] D. Podolsky y otros, Phys. Rev. B 75, 014520 (2007). [19] K. Behnia et al., J. Phys.: Condens. Materia 16, 5187 (2004). [20] E. H. Sondheimer, Proc. R. Soc. Londres, Ser. A 193, 484 (1948). [21] K. Behnia y otros, Phys. Rev. Lett. 98, 076603 (2007). [22] R. Bel et al., Phys. Rev. B 70, 220501(R) (2004). [23] A. Pourret et al. Phys. Rev. Lett. 96, 176402 (2006). [24] H. Kontani, Phys. Rev. Lett. 89, 237003 (2002). [25] G. S. Nolas y otros, Thermoelectrics, Springer (2001). [26] Y. Wang y otros, Phys. Rev. B 73, 024510 (2006). [27] R. P. Huebener, Supercond. Sci. Technol. 8, 189 (1995). [28] V. L. Ginzburg, Sov. Phys. Usp. 34, 101 (1991). [29] H. -C. Ri et al., Phys. Rev. B 47, 12312 (1993).

Dissipative dynamics of superfluid vortices at non-zero temperatures

Dinámica disipativa de los vórtices superfluidos a temperaturas distintas de cero Natalia G. Berloff y Anthony J. Youd Departamento de Matemáticas Aplicadas y Física Teórica, Universidad de Cambridge, Cambridge, CB3 0WA Consideramos la evolución y disipación de los anillos de vórtice en un condensado a temperatura no cero, en el contexto de la aproximación del campo clásico, basada en el desenfoque no lineal Schrödinger ecuación. La temperatura en tal sistema está totalmente determinada por la densidad total del número y la densidad numérica del condensado. Un anillo de vórtice se introduce en un condensado en un estado de equilibrio térmico, e interactúa con partículas no condensadas. Estas interacciones conducen a una disminución gradual de la densidad de la línea del vórtice, hasta que el anillo del vórtice desaparece por completo. Mostramos que el cuadrado de la longitud de la línea del vórtice cambia linealmente con el tiempo, y obtener el correspondiente ley de decadencia universal. Esto se relaciona con los coeficientes de fricción mutuos en la ecuación fundamental de movimiento vórtice en superfluidos. Números PACS: 03.65.Sq, 03.75.Kk, 05.65.+b, 67.40.Vs, 67.57.De Los procesos de auto-organización, la formación de grandes a escala coherente de las estructuras localizadas y las interacciones de las estructuras con fluctuaciones a pequeña escala se encuentran en corazón de las ciencias no lineales, que van desde el clásico tur- bulencia, superfluidos, gases ultrafríos y Bose-Einstein Condensados (BECs), a la formación de la Uni- Versículo. La turbulencia se caracteriza por la coexistencia de movimientos con muchas escalas de longitud y tiempo descritos por muchos grados de libertad. La clave de nuestra comprensión... la turbulencia es elucidar la física de las interacciones entre grandes escalas (por ejemplo: remolinos grandes) y escamas pequeñas (por ejemplo. fluctuaciones turbulentas), y para desarrollar matemat- icos que tienen en cuenta los efectos de las pequeñas escalas sin resolver realmente para ellos. De acuerdo con el Lan- dau descripción, superfluido 4El consiste en el suelo estado y las excitaciones — cuasipartículas a la deriva en la parte superior del estado del suelo. En el lenguaje de los quan- campos tum esto corresponde al vacío y la materia (por ejemplo. ondas de gravedad que interactúan con un vacío). De hecho, hay es una estrecha relación entre la hidrodinámica superfluida y la gravedad cuántica, de modo que en algún nivel de jerarquía de parámetros las interacciones del vacío cuántico y la materia puede ser descrito por el desenfoque no lineal Ecuación de Schrödinger (NLS) [1]. La dinámica de Bose los condensados dependen del intercambio de energía entre los partes condensadas y no condensadas del gas. Otra vez, la ecuación NLS (reformulada como el Gross–Pitaevskii) (GP) ecuación [2]) describe equilibrio y dinámica propiedades de BEC, así como la formación de BEC a partir de un gas fuertemente degenerado de bosones débilmente interactuantes [3, 4]. La formación de un sistema coherente de localización a gran escala estado del suelo (condensado) de un no-equilibrio inicial estado ha sido estudiado en una serie de documentos que abordan diferentes etapas de la formación. Débil turbulencia... ory se ha utilizado para predecir la evolución auto-similar de el sector en el régimen de fases aleatorias de Fourier amplia- , la transición del régimen de la bulencia a turbulencias superfluidas a través de estados de fuerte tur- bulencia en la región de larga onda del espacio energético [7], y la etapa final, dando lugar a la formación de un condensar [8, 9]. La pregunta relacionada sobre el efecto de la temperatura finita en la dinámica BEC también ha sido se ha abordado recientemente [10]. Por ejemplo, se demostró que la presencia de la nube térmica en un condensado atrapado- sate crea una disipación efectiva que fuerza a una sola vórtice para alejarse del centro y desaparecer [11]. El problema del enredo del vórtice interactuando con el Líquido normal (nube térmica) es la cuestión clave en su- turbulencia perfluida. La teoría de dos fluidos Landau de su- la perfluidez pre-dató el descubrimiento del vórtice cuantificado líneas y, por lo tanto, omitió efectos dinámicos significativos. Esto se remediaba —en el límite en el que la media ing entre las líneas del vórtice es pequeño en comparación con cualquier otra escala de interés de longitud — por la teoría de HVBK [12, 13]. En este límite, la vórticidad superfluida se trata como una tinuum, pero la naturaleza discreta de la vorticidad da lugar a a una fuerza adicional en el componente superfluido, que surge de la tensión en las líneas del vórtice. Este término está ausente de la ecuación clásica de movimiento de Euler para un inviscid Líquido. Las líneas del vórtice también crean una fuerza de fric- ión entre el líquido superfluido y el líquido normal, además de la fricción mutua incluida por Landau en sus ecuaciones, y representa los efectos de las colisiones de la cuasiparti- con los núcleos del vórtice. Tales fuerzas fueron introducidas en el modelo Landau de una manera ad hoc. Esta carta es el primer intento de estudiar el efecto de estas colisiones cuantitativamente: encontraremos la ley de decaimiento de la línea de vórtice a temperatura no cero en el contexto de la desenfoque- ing ecuación NLS. La ecuación NLS es un buen comienzo punto, como el modelo de dos fluidos Landau no disipador puede obtener a partir de las ecuaciones de conservación de la masa e impulso para un fluido barotrópico de un solo componente nosotros- una expresión general para el funcionamiento de la energía interna de la densidad [14]. A través de la transformación Madelunga- tion la ecuación NLS se puede escribir en esa forma. Anal... Ogrosamente, los coeficientes de transporte en el modelo Landau http://arxiv.org/abs/0704.1971v2 se han obtenido directamente de la ecuación NLS por siguiendo la expansión Chapman-Engskog [15]. Nota que la separación de escalas es necesaria para llevar a cabo la derivación del modelo de dos fluidos Landau de la NLS ecuación no permite la inclusión de vórtices como parte del estado del suelo. Es natural, por lo tanto, intentar para derivar los efectos correspondientes de las interacciones de vórtices con las cuasipartículas directamente de la NLS ecuación. Consideramos la ecuación NLS desenfocada normalizada en el caso de la función compleja siguientes [2]: * = 2 + 2. 1).......................................................................................................................................................... La dinámica conserva el número total de parti- ccles N = 2dx, y la energía total E = 2 + 1 dx. Consideramos que el uniforme discreto sistema de volumen V = N 3, que es un cuadro periódico en un cuadrícula computacional con 1283 puntos discretos. Nuestro objetivo es determinar la ley de decadencia universal para la densidad de la línea del vórtice en toda la gama de tempera- de 0 a la temperatura crítica de condensación, - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? Nuestro enfoque consiste en tres pasos esenciales. Nosotros destinado a: (1) alcanzar el estado de equilibrio térmico para el número dado de partículas y la energía dada, comenzando de una condición inicial estocástica no equilibrada para la función de onda; (2) introducir un anillo de vórtice en este estado y seguir su decadencia a través de interacciones con no condensados quasipartículas; (3) relacionar la tasa de decaimiento con la tempera- en equilibrio, donde derivamos la expresión para la temperatura relativa, T/T/23370/, en función del total densidad de número,  = N/V, y la densidad de número de el condensado, 0. Realizamos simulaciones numéricas a gran escala de Eq. (1) partiendo de un principio fuertemente no equilibrado condición[7], donde las fases del complejo Fourier am- plitudes ak(t) = (x, t)e-ip·x dx se distribuyen domly en t = 0. Aquí el impulso p toma cuantificado valores p = (2η/N)n con n = (0, 0, 0), (±1, 0, 0), · · ·. Este estado inicial describe un Bose débilmente interactuante gas que se enfría tan rápidamente por debajo de la peratura de que las partículas permanecen en un fuerte no- estado de equilibrio. La cinética del tur- estado bulento ha sido analizado en [5, 6, 16] descubrir un cascada de cuasipartículas de altas energías a bajas energías en el espacio del número de onda. El orden del sistema y la violación de los supuestos de turbulencia débil ocurre muy rápidamente en una parte del espectro de baja energía, con la formación de un cuasicondensado consistente en un maraña de vórtices cuantificados. El enredo del vórtice decae como el sistema alcanza un estado de equilibrio térmico con parte de las partículas que ocupan la zona estado de impulso cero (condensado genuino) y el resto de las partículas no condensadas que se distribuyen de acuerdo ing a la distribución de equilibrio Rayleigh–Jeans [17], modificado por la presencia de interacciones no lineales con el condensado [9]: p 6=0 2 = T B(p) , (2) donde T es la temperatura y B(p) es el Bogoli- relación de dispersión de ubov (véase más adelante). Un corte ultravioleta... para esta distribución aparece naturalmente a través de la discretización espacial de la ecuación NLS. El numerador... ical esquema consiste en la diferencia finita de cuarto orden dis- cretización en el espacio y cuarto orden Runge-Kutta en tiempo, por lo que es globalmente de cuarto orden exacto. Este régimen corresponde al sistema Hamiltoniano en el discreto Variables de tipo «jkn», tales que ijkn = , j, k, n = 1,...,N, (3) donde jkn[ • 2 − 43 • 1 + * jkn] + jkn4 + 2,k,n + 2,k,n + 2,k,n + 2,n + 2,n + 2,n + 2,n + 2,n + 2,n •j,k,n+2 + •j,k,n−2 y •1 = •j+1,k,n + •j−1,k,n + •j,k+1,n + •j,k−1,n + •j,k,n+1 + •j,k,n−1. La descripción termodinámica de la condensación el proceso se ha obtenido en [9] mediante la adaptación de la ubov teoría de una débil interacción de Bose gas [18] a la sistema clásico (1). Seguimos la misma idea básica para de- expresiones rive para la energía y parte no condensada de la energía discriminada (4) escrita en términos del Fourier amplitudes ap como K2(p)a pap + p1,p2,p3,p4 a*p1a ap3ap4p1+p2−p3−p4, donde el símbolo delta de Kronecker y K2(p) = sin2(pi/2)(7− cos(pi)). 6) La transformación de Bogoliubov bp = upap − vpap, Tal que hasta = 1/ 1-Q2p y vp = Qp/ 1−Q2p con Qp = [−K2−2­0B(p)]/­0 diagonaliza el término en (5), que es cuadrático en a0, a B(p) b pbp, donde excluye el modo p = 0. Aquí B(p) = K22 + 2­0K2 es la relación de dispersión tipo Bogoliubov. Usando la distribución de equilibrio de los no condensados partículas (2) la densidad numérica no condensada puede entonces se expresarán en términos de la base utilizada en esta diagonal isation as = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ′K2(p) + . 7).................................................................................................................................................. La densidad de energía discriminada H/V en la nueva base toma la forma ()2 + ()2 1. (8) Los Eqs. (7)–8) son análogos a las Eqs. (8)–9) de [9], pero modificado para la discreta discretización hamiltoniana (4). Dada la densidad de energía, H/V, y el número total densidad,........................................................................................... equilibrio y la densidad numérica de los condensados Partículas,?0, de Eqs. 7) y 8). El condensado fracción.0.o. en función de la densidad de energía H/V se muestra en FIG.1. Esta cifra puede compararse con FIG.2 de [9] para la representación espectral del total energía. Las fórmulas analíticas (7)–(8) predicen la sub- comportamiento crítico de condensación, mientras que los números no apoya esta conclusión, como se muestra en el insértese de FIG.1. Utilizamos una aproximación lineal para pequeñas determinar la energía máxima crítica para la condensación como se muestra en el insértese. Esta energía se utiliza entonces para disuadir- mina la temperatura crítica para la condensación T. (= T. en el caso de minH/V, para el cual ­0 = 0) a partir de (7)–(8). Encontramos una fórmula fenomenológica que determina T/T función de la letra §0 y de la letra 1− − , (9) donde α es el único parámetro de ajuste que encontramos como α = 0,227538. El inserto en FIG.1 muestra la gráfica de T/T/23370/ en función de l0/l para l = 1/2. Eq. (9) da un excelente ajuste a los valores calculados a partir de (7)–(8) todos los valores de 0 y de 0. Con el fin de analizar la decadencia de la longitud de la línea de vórtice a temperaturas distintas de cero, insertamos un anillo de vórtice en un estado de equilibrio térmico y seguir su decadencia debido a las interacciones con las partículas no condensadas. Los longitud de curación de condensado, que determina el tamaño del núcleo del vórtice, se calcula en función de la densidad del condensado, y en nuestras unidades no-dimensionales es 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En longitudes curativas, el radio del anillo se establece en R0 = 10. El nuevo estado inicial es v(t = 0) = Eq ∗ Vórtice, donde Eq es el estado de equilibrio es una función de onda del anillo del vórtice [19]. Los longitud de línea del vórtice, L, se calcula en función del tiempo con altas frecuencias siendo filtradas fuera del campo, según ãp = ap ∗ max( 1− p2/p2c, 0), donde El número de onda de corte se elige como pc = 10(2η/N) [20]. La primera conclusión importante de nuestra simulación numérica... ciones es que a todas las temperaturas, el cuadrado del vórtice longitud de línea decae linealmente con el tiempo, = (e, T/E), (10) donde γ no depende de t. FIG. 2 muestra este depen- dence para varias temperaturas. Las isosuperficies reales de la línea de vórtice en descomposición se muestran en los insertos. FIG. 1: (color en línea) Fracción de condensado, de la densidad de energía obtenida a partir de la simulaciones (puntos) y a partir de las expresiones analíticas (7)– (8) (línea sólida). Los insertos muestran (a) la trama de T/T una función de 0/o, obtenida utilizando Eqs. 7–8) o Eq. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. y (b) condensación subcrítica predicha por Eqs. (7)–8) (línea negra), la aproximación lineal utilizada para obtener el crit- ica de condensación (línea gris (roja)), y cálculos mericos (puntos azules). La densidad total del número es * = 1/2. 0,5 1 1,5 2 H/V 2,55 2,56 2,57 2,58 2,59 H/V 0 0,2 0,4 0,6 0,8 FIG. 2: (color online) La decadencia del cuadrado del vórtice longitud de línea en función del tiempo para varios T indicado siguiente a los gráficos. El ajuste a la función lineal se muestra por las líneas grises (rojas). Las inserciones muestran las tramas isosuperficiales de la línea de vórtice (para los campos filtrados, véase el texto) para T = 0.52T tiempo=130 (izquierda) y tiempo=1300 (derecha); entre estos dos veces la longitud de la línea del vórtice se reduce en un factor de 2. Los perturbaciones en la línea del vórtice debido a colisiones con no- Las partículas condensadas se ven claramente en el inserto izquierdo. Estos colisiones generan ondas Kelvin que también irradian energía a Sonido. La densidad total del número es de 1⁄2. 100 200 300 400 500 600 0.44Tl 0,27T 0,63T Este resultado concuerda con las predicciones de la teoría HVBK en el caso del helio superfluido [12], según el cual ecuación mental del movimiento de una línea vórtice, vL, es (véase también la página 90, Eq. (3.17) de [21]) vL = vls (vn − vsl)s[s(vn − vsl)], (11) donde vsl es la velocidad superfluida local que consiste en la velocidad de flujo superfluido ambiente y el auto-inducido velocidad del vórtice ui, vn es la velocidad normal del fluido, s es un vector de posición de un punto en el vórtice y s′ es el unidad tangente en ese punto. Parámetros de fricción mutua α y son coeficientes ad hoc en la teoría de HVBK que son funciones de sólo..... y....................................................................................................................................................................................................................................................... Eq. (11) es un gen- ecuación eral y universal utilizado para seguir la evolución de movimiento vórtice tridimensional en un flujo arbitrario. Cuando se formula para un único anillo de vórtice Eq. 11 dice dR/dt = Łui, donde ui = Ł[log(8R/­) −  + 1]/(4ηR) es el parámetro del núcleo del vórtice. Para los vórtices de GP * 0,38 [2]. En unidades adimensionales utilizadas en nuestro papel ui = [log(8R) −  + 1]/R. Después de la integración del equa- ión para obtenemos αt = (R20 − R2)/[2(log(8R®) +  − 1)], donde RÃ3 es el radio medio del anillo. Cuando esto es com- con (10) obtenemos la siguiente relación entre γ y α: γ = 8 De nuestro numerador... ics obtuvimos un resultado general válido en todos los rangos de temperaturas y densidades totales: γ K • 68. Tenga en cuenta que para un condensado de GP T/T al primer orden (véase el apartado a) de la FIG.1), por lo que ticularmente, podemos escribir γ ♥ K1ln(T/T/23370/) FIG. 3 muestra la comparación de los cálculos numéricos ajuste cuadrático K(T/T/23370/) 2. Por lo tanto, encontramos que el mutuo coeficiente de fricción en superfluidos de condensado es dado por α ­ K2­n(T/T­). La existencia de la fuerza transversal en superfluido vor- tices que es parametrised por el parámetro â € ha sido un tema de mucho debate a mediados de la década de 1990, cuando ciones de la fuerza clásica Magnus aplicada a superfluidos vórtices se han ofrecido y discutido sobre [22]. Los crítica se basa en la observación de que el clásico Las ecuaciones hidrodinámicas son inaplicables en el vórtice núcleo. Ya sean o no los detalles del vor no clásico... tex dinámica son cruciales para la existencia de la trans- la fuerza del verso sigue siendo una pregunta abierta. La estimación de • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • se puede obtener a partir de nuestro procedimiento numérico como sigue: ing. Eq. (11) escrito para una distancia recorrida por una sola vórtice anillo toma forma (véase Eq. (3.53) en la página 107 de [21]) dz/dt = (1)ui. Comparamos las distancias recorridas por un anillo de vórtice a varias temperaturas mericalmente con las distancias recorridas por un anillo de vórtice en la ausencia de la fuerza transversal según el ana- Fórmula lítica dz/dt = ui, donde ui = ui(R(t)) y R(t) varía con el tiempo según (10). Insértese FIG.3 muestra estas distancias para T/T. = 0.27. Nuestros cálculos no detectar ninguna presencia significativa del transverso fuerza para cualquier temperatura considerada: la desviación de la curva analítica es insignificante dentro de la precisión de (10). Planeamos realizar un análisis más minucioso. Cal y estudio numérico de la fuerza transversal de una sola FIG. 3: (Color en línea) Valores de γ/ para diversos valores de la densidad total del número fotografiado en varios tonos de gris (en varios colores):......................................................................................................................................................................................................................................................... (oscuro (rojo)), 1/4 (luz (verde)) y 3/4 (medio) (azul)). La trama del ajuste cuadrático γ/ dado por la línea discontinua. La temperatura relativa es calcu- Tarde con Eq. 9). El resultado no es sensible a si Utilizamos los valores de. y. que corresponden al estado de equilibrio termodinámico antes de la introducción de la anillo de vórtice o después de que el anillo de vórtice desaparece y el sys- Tem equilibra. El inserto muestra la distancia recorrida por un anillo de vórtice en función del tiempo para T/T/23370/ = 0,27 (puntos rojos) – distancias calculadas utilizando dz/dt = ui, línea negra utilizando nu- mérics). Las curvas parten cuando el anillo del vórtice se vuelve pequeño en radio y la fórmula analítica ya no es ap- proximación de la velocidad del vórtice. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 0 200 400 600 800 fonón actuando sobre un vórtice único en el contexto del GP modelo en el futuro. En resumen, consideramos el efecto de la temperatura sobre la decadencia de la densidad de la línea de vórtice a través de interacciones con partículas no condensadas en el contexto de la desenfoque- ing ecuación NLS. Obtuvimos una simple expresión para la temperatura en equilibrio en función de la la densidad del número tal y la densidad del número de partículas densas. Dependiendo de estos dos parámetros, un anillo de vórtice introducido en el condensado muestra dif- tasas de decaimiento feroces con el tiempo. Identificamos esta decadencia. ley como lineal para el cuadrado de la longitud de línea del vórtice y muestra la dependencia universal de la tasa de decaimiento en temperatura y densidad total. Se ha sugerido que la emisión de sonido por reconexión del vórtice y El movimiento vórtice es el único mecanismo de disipación activo responsable de la decadencia de la turbulencia superfluida. Los Decaimiento de la turbulencia superfluida a través de la radiación de ondas Kelvin y reconexión del vórtice se estudió en el marco de la ecuación GP [23] a una temperatura cercana a cero, vía colisión de dos anillos de vórtice, y confirmó que en el Kelvin cascada de la onda, donde la energía se transfiere a mucho longitudes de onda más cortas con un corte por debajo de una onda crítica- longitud, la densidad de la línea del vórtice puede ser descrito por el famosa ecuación de Vinen [24] d(L/V)/dt = (L/V)2. Lo siento. también se ha demostrado [25] que la presencia de la amplitud finita ondas sonoras realza en gran medida la dissi- el enredo del vórtice, esencialmente cambiando el de- la ley cay a la decadencia exponencial. Esta carta complementa el escenario actual de la cascada de ondas Kelvin, teniendo en cuenta: un límite opuesto cuando no haya reconexiones, y el mecanismo de desintegración depende sólo de la energía intercambio con partículas no condensadas. Este mecanismo supera la transferencia de energía a través de la cascada de ondas Kelvin. Finalmente, relacionamos nuestros resultados sobre un solo anillo de vórtice a los coeficientes de fricción mutuos en la ecuación general de movimiento vórtice. NGB reconoce el apoyo de EPSRC-UK. Ella también está muy agradecido al profesor Joe Vinen por varios esclarecedores debates sobre turbulencias superfluidas y su sugerencia de mirar en la decadencia de los anillos de vórtice en el contexto de la ecuación NLS. [1] G. Volovik, gr-qc/0612134. [2] V. L. Ginzburg y L. P. Pitaevskii, Sov. Phys. JETP 7, 858 (1958); L. P. Pitaevskii, Sov. Phys. JETP 13, 451 (1961); E. P. Gross J. Matemáticas. Phys. 4, 195 (1963). [3] E. Levich y V. Yakhot, J. Phys. R: Matemáticas. Gen. 11, 2237 (1978). [4] Yu. Kagan y B.V. Svistunov, Phys. Rev. Lett. 79, 3331 (1997). [5] V.E.Zakharov, S.L. Musher, y A.M.Rubenchik, Phys. 129, 285 (1985) y S. Dyachenko, A.C. Newell, A. Pushkarev y V.E.Zakharov, Physica D 57, 96 (1992). [6] B.V. Svistunov, J. Moscow Phys. Soc. 1, 373 (1991); Yu. Kagan y B.V. Svistunov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 105, 353 (1994) [Sov. Phys. JETP 78, 187 (1994)]. [7] N. G. Berloff y B. V. Svistunov, Phys. Rev. A 66, 013603 (2002) [8] M.J.Davis, S.A. Morgan, y K. Burnett, Phys. Rev. Lett 87, 160402 (2001) y Phys. Rev. A 66, 053618 (2002) [9] C. Connaughton et al, Phys. Rev. Lett. 95, 26901 (2005). [10] M.Brewczyk et al J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 40, R1-R37 (2007) y referencia interna. [11] H. Schmidt et al J.Opt.B: Quantum Simiclass. Opt. 5 S96 (2003). [12] H.E. Hall y W. F. Vinen, Proc. R. Soc. Lond., A238, 215 (1956); I.L. Bekharevich e I.M. Khalatnikov Soviet Phys., JETP, 13, 643 (1961). [13] R.N. Hills, y P.H. Roberts, Archiv. Rata. Mech. & Anal., 66, 43 (1977a); Int. J. Eng. Sci., 15, 305 (1977b); J. Baja temperatura. Phys., 30, 709 (1978a); J. Phys. C11, 4485 (1978b). [14] S.J. Putterman y P.H.Roberts, Physica, 117A, 369 (1983). [15] T.R.Kirkpatrick y J.R. Dorfman J. Baja temperatura. Phys. 58, 301 (1985); 399 (1985). [16] Yu. Kagan, B.V. Svistunov y G.V. Shlyapnikov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 101, 528 (1992) [Sov. Phys. JETP 75, 387 (1992)]; Yu. Kagan y B.V. Svistunov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 105, 353 (1994) [Sov. Phys. JETP 78, 187 (1994)]. [17] V. E. Zakharov, V. S. L’vov y G. Falkovich, Kol- Mogorov Spectra de Turbulencia I (Springer, Berlín, 1992); A. C. Newell, S. Nazarenko y L. Biven, Physica D 152, 520 (2001). [18] N. N. Bogoliubov, Journal of Physics 11, 23 (1947). [19] N.G. Berloff J. Phys. R: Matemáticas. y Gen., 37(5), 1617 (2004). [20] Varias opciones de PC tomadas del intervalo (5, 15) × (2η/N) dan diferente L, pero similar línea de vórtice decaimiento Tasas. Una más precisa, pero más computacionalmente inten- forma de calcular la longitud de la línea del vórtice en un cuasi- condensado (un condensado con vórtices) es a través de un tiempo promedio del campo que elimina las frecuencias altas, Véase la discusión en [7]. [21] R.J.Donnelly “Vórtices cuantificados en Helio II”, Cam- bridge University Press, Cambridge 1991. [22] S.V.Iordanskii, Sov. Phys. JETP 22, 160 (1966); E. B. Sonin, Sov. Phys. JETP 42 469 (1975); Phys. Rev. B 55, 485 (1997), Ao y Thouless, Phys. Rev. Lett. 70, 2158 (1993). [23] M. Leadbeater, D.C. Samuels, C.F. Barenghi y C.S. Adams, Phys. Rev. A 67 015601 (2003). [24] W.F. Vinen, Proc. R. Soc. Londres. Ser. A 242, 493 (1957) [25] N.G. Berloff Phys. Rev. A, 69 053601 (2004) http://arxiv.org/abs/gr-qc/0612134

Consideramos la evolución y disipación de los anillos de vórtice en un condensado en temperatura no cero, en el contexto de la aproximación del campo clásico, basado en la ecuación no lineal Schr\"odinger. La temperatura en tal sistema está totalmente determinado por la densidad de número total y el número densidad del condensado. Un anillo de vórtice se introduce en un condensado en un estado de equilibrio térmico, e interactúa con partículas no condensadas. Estos las interacciones conducen a una disminución gradual de la densidad de la línea del vórtice, hasta el El anillo de vórtice desaparece por completo. Mostramos que el cuadrado de la línea del vórtice longitud cambia linealmente con el tiempo, y obtener la correspondiente decaimiento universal ley. Relacionamos esto con los coeficientes de fricción mutuos en la ecuación fundamental de movimiento vórtice en superfluidos.

Dinámica disipativa de los vórtices superfluidos a temperaturas distintas de cero Natalia G. Berloff y Anthony J. Youd Departamento de Matemáticas Aplicadas y Física Teórica, Universidad de Cambridge, Cambridge, CB3 0WA Consideramos la evolución y disipación de los anillos de vórtice en un condensado a temperatura no cero, en el contexto de la aproximación del campo clásico, basada en el desenfoque no lineal Schrödinger ecuación. La temperatura en tal sistema está totalmente determinada por la densidad total del número y la densidad numérica del condensado. Un anillo de vórtice se introduce en un condensado en un estado de equilibrio térmico, e interactúa con partículas no condensadas. Estas interacciones conducen a una disminución gradual de la densidad de la línea del vórtice, hasta que el anillo del vórtice desaparece por completo. Mostramos que el cuadrado de la longitud de la línea del vórtice cambia linealmente con el tiempo, y obtener el correspondiente ley de decadencia universal. Esto se relaciona con los coeficientes de fricción mutuos en la ecuación fundamental de movimiento vórtice en superfluidos. Números PACS: 03.65.Sq, 03.75.Kk, 05.65.+b, 67.40.Vs, 67.57.De Los procesos de auto-organización, la formación de grandes a escala coherente de las estructuras localizadas y las interacciones de las estructuras con fluctuaciones a pequeña escala se encuentran en corazón de las ciencias no lineales, que van desde el clásico tur- bulencia, superfluidos, gases ultrafríos y Bose-Einstein Condensados (BECs), a la formación de la Uni- Versículo. La turbulencia se caracteriza por la coexistencia de movimientos con muchas escalas de longitud y tiempo descritos por muchos grados de libertad. La clave de nuestra comprensión... la turbulencia es elucidar la física de las interacciones entre grandes escalas (por ejemplo: remolinos grandes) y escamas pequeñas (por ejemplo. fluctuaciones turbulentas), y para desarrollar matemat- icos que tienen en cuenta los efectos de las pequeñas escalas sin resolver realmente para ellos. De acuerdo con el Lan- dau descripción, superfluido 4El consiste en el suelo estado y las excitaciones — cuasipartículas a la deriva en la parte superior del estado del suelo. En el lenguaje de los quan- campos tum esto corresponde al vacío y la materia (por ejemplo. ondas de gravedad que interactúan con un vacío). De hecho, hay es una estrecha relación entre la hidrodinámica superfluida y la gravedad cuántica, de modo que en algún nivel de jerarquía de parámetros las interacciones del vacío cuántico y la materia puede ser descrito por el desenfoque no lineal Ecuación de Schrödinger (NLS) [1]. La dinámica de Bose los condensados dependen del intercambio de energía entre los partes condensadas y no condensadas del gas. Otra vez, la ecuación NLS (reformulada como el Gross–Pitaevskii) (GP) ecuación [2]) describe equilibrio y dinámica propiedades de BEC, así como la formación de BEC a partir de un gas fuertemente degenerado de bosones débilmente interactuantes [3, 4]. La formación de un sistema coherente de localización a gran escala estado del suelo (condensado) de un no-equilibrio inicial estado ha sido estudiado en una serie de documentos que abordan diferentes etapas de la formación. Débil turbulencia... ory se ha utilizado para predecir la evolución auto-similar de el sector en el régimen de fases aleatorias de Fourier amplia- , la transición del régimen de la bulencia a turbulencias superfluidas a través de estados de fuerte tur- bulencia en la región de larga onda del espacio energético [7], y la etapa final, dando lugar a la formación de un condensar [8, 9]. La pregunta relacionada sobre el efecto de la temperatura finita en la dinámica BEC también ha sido se ha abordado recientemente [10]. Por ejemplo, se demostró que la presencia de la nube térmica en un condensado atrapado- sate crea una disipación efectiva que fuerza a una sola vórtice para alejarse del centro y desaparecer [11]. El problema del enredo del vórtice interactuando con el Líquido normal (nube térmica) es la cuestión clave en su- turbulencia perfluida. La teoría de dos fluidos Landau de su- la perfluidez pre-dató el descubrimiento del vórtice cuantificado líneas y, por lo tanto, omitió efectos dinámicos significativos. Esto se remediaba —en el límite en el que la media ing entre las líneas del vórtice es pequeño en comparación con cualquier otra escala de interés de longitud — por la teoría de HVBK [12, 13]. En este límite, la vórticidad superfluida se trata como una tinuum, pero la naturaleza discreta de la vorticidad da lugar a a una fuerza adicional en el componente superfluido, que surge de la tensión en las líneas del vórtice. Este término está ausente de la ecuación clásica de movimiento de Euler para un inviscid Líquido. Las líneas del vórtice también crean una fuerza de fric- ión entre el líquido superfluido y el líquido normal, además de la fricción mutua incluida por Landau en sus ecuaciones, y representa los efectos de las colisiones de la cuasiparti- con los núcleos del vórtice. Tales fuerzas fueron introducidas en el modelo Landau de una manera ad hoc. Esta carta es el primer intento de estudiar el efecto de estas colisiones cuantitativamente: encontraremos la ley de decaimiento de la línea de vórtice a temperatura no cero en el contexto de la desenfoque- ing ecuación NLS. La ecuación NLS es un buen comienzo punto, como el modelo de dos fluidos Landau no disipador puede obtener a partir de las ecuaciones de conservación de la masa e impulso para un fluido barotrópico de un solo componente nosotros- una expresión general para el funcionamiento de la energía interna de la densidad [14]. A través de la transformación Madelunga- tion la ecuación NLS se puede escribir en esa forma. Anal... Ogrosamente, los coeficientes de transporte en el modelo Landau http://arxiv.org/abs/0704.1971v2 se han obtenido directamente de la ecuación NLS por siguiendo la expansión Chapman-Engskog [15]. Nota que la separación de escalas es necesaria para llevar a cabo la derivación del modelo de dos fluidos Landau de la NLS ecuación no permite la inclusión de vórtices como parte del estado del suelo. Es natural, por lo tanto, intentar para derivar los efectos correspondientes de las interacciones de vórtices con las cuasipartículas directamente de la NLS ecuación. Consideramos la ecuación NLS desenfocada normalizada en el caso de la función compleja siguientes [2]: * = 2 + 2. 1).......................................................................................................................................................... La dinámica conserva el número total de parti- ccles N = 2dx, y la energía total E = 2 + 1 dx. Consideramos que el uniforme discreto sistema de volumen V = N 3, que es un cuadro periódico en un cuadrícula computacional con 1283 puntos discretos. Nuestro objetivo es determinar la ley de decadencia universal para la densidad de la línea del vórtice en toda la gama de tempera- de 0 a la temperatura crítica de condensación, - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? Nuestro enfoque consiste en tres pasos esenciales. Nosotros destinado a: (1) alcanzar el estado de equilibrio térmico para el número dado de partículas y la energía dada, comenzando de una condición inicial estocástica no equilibrada para la función de onda; (2) introducir un anillo de vórtice en este estado y seguir su decadencia a través de interacciones con no condensados quasipartículas; (3) relacionar la tasa de decaimiento con la tempera- en equilibrio, donde derivamos la expresión para la temperatura relativa, T/T/23370/, en función del total densidad de número,  = N/V, y la densidad de número de el condensado, 0. Realizamos simulaciones numéricas a gran escala de Eq. (1) partiendo de un principio fuertemente no equilibrado condición[7], donde las fases del complejo Fourier am- plitudes ak(t) = (x, t)e-ip·x dx se distribuyen domly en t = 0. Aquí el impulso p toma cuantificado valores p = (2η/N)n con n = (0, 0, 0), (±1, 0, 0), · · ·. Este estado inicial describe un Bose débilmente interactuante gas que se enfría tan rápidamente por debajo de la peratura de que las partículas permanecen en un fuerte no- estado de equilibrio. La cinética del tur- estado bulento ha sido analizado en [5, 6, 16] descubrir un cascada de cuasipartículas de altas energías a bajas energías en el espacio del número de onda. El orden del sistema y la violación de los supuestos de turbulencia débil ocurre muy rápidamente en una parte del espectro de baja energía, con la formación de un cuasicondensado consistente en un maraña de vórtices cuantificados. El enredo del vórtice decae como el sistema alcanza un estado de equilibrio térmico con parte de las partículas que ocupan la zona estado de impulso cero (condensado genuino) y el resto de las partículas no condensadas que se distribuyen de acuerdo ing a la distribución de equilibrio Rayleigh–Jeans [17], modificado por la presencia de interacciones no lineales con el condensado [9]: p 6=0 2 = T B(p) , (2) donde T es la temperatura y B(p) es el Bogoli- relación de dispersión de ubov (véase más adelante). Un corte ultravioleta... para esta distribución aparece naturalmente a través de la discretización espacial de la ecuación NLS. El numerador... ical esquema consiste en la diferencia finita de cuarto orden dis- cretización en el espacio y cuarto orden Runge-Kutta en tiempo, por lo que es globalmente de cuarto orden exacto. Este régimen corresponde al sistema Hamiltoniano en el discreto Variables de tipo «jkn», tales que ijkn = , j, k, n = 1,...,N, (3) donde jkn[ • 2 − 43 • 1 + * jkn] + jkn4 + 2,k,n + 2,k,n + 2,k,n + 2,n + 2,n + 2,n + 2,n + 2,n + 2,n •j,k,n+2 + •j,k,n−2 y •1 = •j+1,k,n + •j−1,k,n + •j,k+1,n + •j,k−1,n + •j,k,n+1 + •j,k,n−1. La descripción termodinámica de la condensación el proceso se ha obtenido en [9] mediante la adaptación de la ubov teoría de una débil interacción de Bose gas [18] a la sistema clásico (1). Seguimos la misma idea básica para de- expresiones rive para la energía y parte no condensada de la energía discriminada (4) escrita en términos del Fourier amplitudes ap como K2(p)a pap + p1,p2,p3,p4 a*p1a ap3ap4p1+p2−p3−p4, donde el símbolo delta de Kronecker y K2(p) = sin2(pi/2)(7− cos(pi)). 6) La transformación de Bogoliubov bp = upap − vpap, Tal que hasta = 1/ 1-Q2p y vp = Qp/ 1−Q2p con Qp = [−K2−2­0B(p)]/­0 diagonaliza el término en (5), que es cuadrático en a0, a B(p) b pbp, donde excluye el modo p = 0. Aquí B(p) = K22 + 2­0K2 es la relación de dispersión tipo Bogoliubov. Usando la distribución de equilibrio de los no condensados partículas (2) la densidad numérica no condensada puede entonces se expresarán en términos de la base utilizada en esta diagonal isation as = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ′K2(p) + . 7).................................................................................................................................................. La densidad de energía discriminada H/V en la nueva base toma la forma ()2 + ()2 1. (8) Los Eqs. (7)–8) son análogos a las Eqs. (8)–9) de [9], pero modificado para la discreta discretización hamiltoniana (4). Dada la densidad de energía, H/V, y el número total densidad,........................................................................................... equilibrio y la densidad numérica de los condensados Partículas,?0, de Eqs. 7) y 8). El condensado fracción.0.o. en función de la densidad de energía H/V se muestra en FIG.1. Esta cifra puede compararse con FIG.2 de [9] para la representación espectral del total energía. Las fórmulas analíticas (7)–(8) predicen la sub- comportamiento crítico de condensación, mientras que los números no apoya esta conclusión, como se muestra en el insértese de FIG.1. Utilizamos una aproximación lineal para pequeñas determinar la energía máxima crítica para la condensación como se muestra en el insértese. Esta energía se utiliza entonces para disuadir- mina la temperatura crítica para la condensación T. (= T. en el caso de minH/V, para el cual ­0 = 0) a partir de (7)–(8). Encontramos una fórmula fenomenológica que determina T/T función de la letra §0 y de la letra 1− − , (9) donde α es el único parámetro de ajuste que encontramos como α = 0,227538. El inserto en FIG.1 muestra la gráfica de T/T/23370/ en función de l0/l para l = 1/2. Eq. (9) da un excelente ajuste a los valores calculados a partir de (7)–(8) todos los valores de 0 y de 0. Con el fin de analizar la decadencia de la longitud de la línea de vórtice a temperaturas distintas de cero, insertamos un anillo de vórtice en un estado de equilibrio térmico y seguir su decadencia debido a las interacciones con las partículas no condensadas. Los longitud de curación de condensado, que determina el tamaño del núcleo del vórtice, se calcula en función de la densidad del condensado, y en nuestras unidades no-dimensionales es 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En longitudes curativas, el radio del anillo se establece en R0 = 10. El nuevo estado inicial es v(t = 0) = Eq ∗ Vórtice, donde Eq es el estado de equilibrio es una función de onda del anillo del vórtice [19]. Los longitud de línea del vórtice, L, se calcula en función del tiempo con altas frecuencias siendo filtradas fuera del campo, según ãp = ap ∗ max( 1− p2/p2c, 0), donde El número de onda de corte se elige como pc = 10(2η/N) [20]. La primera conclusión importante de nuestra simulación numérica... ciones es que a todas las temperaturas, el cuadrado del vórtice longitud de línea decae linealmente con el tiempo, = (e, T/E), (10) donde γ no depende de t. FIG. 2 muestra este depen- dence para varias temperaturas. Las isosuperficies reales de la línea de vórtice en descomposición se muestran en los insertos. FIG. 1: (color en línea) Fracción de condensado, de la densidad de energía obtenida a partir de la simulaciones (puntos) y a partir de las expresiones analíticas (7)– (8) (línea sólida). Los insertos muestran (a) la trama de T/T una función de 0/o, obtenida utilizando Eqs. 7–8) o Eq. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. y (b) condensación subcrítica predicha por Eqs. (7)–8) (línea negra), la aproximación lineal utilizada para obtener el crit- ica de condensación (línea gris (roja)), y cálculos mericos (puntos azules). La densidad total del número es * = 1/2. 0,5 1 1,5 2 H/V 2,55 2,56 2,57 2,58 2,59 H/V 0 0,2 0,4 0,6 0,8 FIG. 2: (color online) La decadencia del cuadrado del vórtice longitud de línea en función del tiempo para varios T indicado siguiente a los gráficos. El ajuste a la función lineal se muestra por las líneas grises (rojas). Las inserciones muestran las tramas isosuperficiales de la línea de vórtice (para los campos filtrados, véase el texto) para T = 0.52T tiempo=130 (izquierda) y tiempo=1300 (derecha); entre estos dos veces la longitud de la línea del vórtice se reduce en un factor de 2. Los perturbaciones en la línea del vórtice debido a colisiones con no- Las partículas condensadas se ven claramente en el inserto izquierdo. Estos colisiones generan ondas Kelvin que también irradian energía a Sonido. La densidad total del número es de 1⁄2. 100 200 300 400 500 600 0.44Tl 0,27T 0,63T Este resultado concuerda con las predicciones de la teoría HVBK en el caso del helio superfluido [12], según el cual ecuación mental del movimiento de una línea vórtice, vL, es (véase también la página 90, Eq. (3.17) de [21]) vL = vls (vn − vsl)s[s(vn − vsl)], (11) donde vsl es la velocidad superfluida local que consiste en la velocidad de flujo superfluido ambiente y el auto-inducido velocidad del vórtice ui, vn es la velocidad normal del fluido, s es un vector de posición de un punto en el vórtice y s′ es el unidad tangente en ese punto. Parámetros de fricción mutua α y son coeficientes ad hoc en la teoría de HVBK que son funciones de sólo..... y....................................................................................................................................................................................................................................................... Eq. (11) es un gen- ecuación eral y universal utilizado para seguir la evolución de movimiento vórtice tridimensional en un flujo arbitrario. Cuando se formula para un único anillo de vórtice Eq. 11 dice dR/dt = Łui, donde ui = Ł[log(8R/­) −  + 1]/(4ηR) es el parámetro del núcleo del vórtice. Para los vórtices de GP * 0,38 [2]. En unidades adimensionales utilizadas en nuestro papel ui = [log(8R) −  + 1]/R. Después de la integración del equa- ión para obtenemos αt = (R20 − R2)/[2(log(8R®) +  − 1)], donde RÃ3 es el radio medio del anillo. Cuando esto es com- con (10) obtenemos la siguiente relación entre γ y α: γ = 8 De nuestro numerador... ics obtuvimos un resultado general válido en todos los rangos de temperaturas y densidades totales: γ K • 68. Tenga en cuenta que para un condensado de GP T/T al primer orden (véase el apartado a) de la FIG.1), por lo que ticularmente, podemos escribir γ ♥ K1ln(T/T/23370/) FIG. 3 muestra la comparación de los cálculos numéricos ajuste cuadrático K(T/T/23370/) 2. Por lo tanto, encontramos que el mutuo coeficiente de fricción en superfluidos de condensado es dado por α ­ K2­n(T/T­). La existencia de la fuerza transversal en superfluido vor- tices que es parametrised por el parámetro â € ha sido un tema de mucho debate a mediados de la década de 1990, cuando ciones de la fuerza clásica Magnus aplicada a superfluidos vórtices se han ofrecido y discutido sobre [22]. Los crítica se basa en la observación de que el clásico Las ecuaciones hidrodinámicas son inaplicables en el vórtice núcleo. Ya sean o no los detalles del vor no clásico... tex dinámica son cruciales para la existencia de la trans- la fuerza del verso sigue siendo una pregunta abierta. La estimación de • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • se puede obtener a partir de nuestro procedimiento numérico como sigue: ing. Eq. (11) escrito para una distancia recorrida por una sola vórtice anillo toma forma (véase Eq. (3.53) en la página 107 de [21]) dz/dt = (1)ui. Comparamos las distancias recorridas por un anillo de vórtice a varias temperaturas mericalmente con las distancias recorridas por un anillo de vórtice en la ausencia de la fuerza transversal según el ana- Fórmula lítica dz/dt = ui, donde ui = ui(R(t)) y R(t) varía con el tiempo según (10). Insértese FIG.3 muestra estas distancias para T/T. = 0.27. Nuestros cálculos no detectar ninguna presencia significativa del transverso fuerza para cualquier temperatura considerada: la desviación de la curva analítica es insignificante dentro de la precisión de (10). Planeamos realizar un análisis más minucioso. Cal y estudio numérico de la fuerza transversal de una sola FIG. 3: (Color en línea) Valores de γ/ para diversos valores de la densidad total del número fotografiado en varios tonos de gris (en varios colores):......................................................................................................................................................................................................................................................... (oscuro (rojo)), 1/4 (luz (verde)) y 3/4 (medio) (azul)). La trama del ajuste cuadrático γ/ dado por la línea discontinua. La temperatura relativa es calcu- Tarde con Eq. 9). El resultado no es sensible a si Utilizamos los valores de. y. que corresponden al estado de equilibrio termodinámico antes de la introducción de la anillo de vórtice o después de que el anillo de vórtice desaparece y el sys- Tem equilibra. El inserto muestra la distancia recorrida por un anillo de vórtice en función del tiempo para T/T/23370/ = 0,27 (puntos rojos) – distancias calculadas utilizando dz/dt = ui, línea negra utilizando nu- mérics). Las curvas parten cuando el anillo del vórtice se vuelve pequeño en radio y la fórmula analítica ya no es ap- proximación de la velocidad del vórtice. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 0 200 400 600 800 fonón actuando sobre un vórtice único en el contexto del GP modelo en el futuro. En resumen, consideramos el efecto de la temperatura sobre la decadencia de la densidad de la línea de vórtice a través de interacciones con partículas no condensadas en el contexto de la desenfoque- ing ecuación NLS. Obtuvimos una simple expresión para la temperatura en equilibrio en función de la la densidad del número tal y la densidad del número de partículas densas. Dependiendo de estos dos parámetros, un anillo de vórtice introducido en el condensado muestra dif- tasas de decaimiento feroces con el tiempo. Identificamos esta decadencia. ley como lineal para el cuadrado de la longitud de línea del vórtice y muestra la dependencia universal de la tasa de decaimiento en temperatura y densidad total. Se ha sugerido que la emisión de sonido por reconexión del vórtice y El movimiento vórtice es el único mecanismo de disipación activo responsable de la decadencia de la turbulencia superfluida. Los Decaimiento de la turbulencia superfluida a través de la radiación de ondas Kelvin y reconexión del vórtice se estudió en el marco de la ecuación GP [23] a una temperatura cercana a cero, vía colisión de dos anillos de vórtice, y confirmó que en el Kelvin cascada de la onda, donde la energía se transfiere a mucho longitudes de onda más cortas con un corte por debajo de una onda crítica- longitud, la densidad de la línea del vórtice puede ser descrito por el famosa ecuación de Vinen [24] d(L/V)/dt = (L/V)2. Lo siento. también se ha demostrado [25] que la presencia de la amplitud finita ondas sonoras realza en gran medida la dissi- el enredo del vórtice, esencialmente cambiando el de- la ley cay a la decadencia exponencial. Esta carta complementa el escenario actual de la cascada de ondas Kelvin, teniendo en cuenta: un límite opuesto cuando no haya reconexiones, y el mecanismo de desintegración depende sólo de la energía intercambio con partículas no condensadas. Este mecanismo supera la transferencia de energía a través de la cascada de ondas Kelvin. Finalmente, relacionamos nuestros resultados sobre un solo anillo de vórtice a los coeficientes de fricción mutuos en la ecuación general de movimiento vórtice. NGB reconoce el apoyo de EPSRC-UK. Ella también está muy agradecido al profesor Joe Vinen por varios esclarecedores debates sobre turbulencias superfluidas y su sugerencia de mirar en la decadencia de los anillos de vórtice en el contexto de la ecuación NLS. [1] G. Volovik, gr-qc/0612134. [2] V. L. Ginzburg y L. P. Pitaevskii, Sov. Phys. JETP 7, 858 (1958); L. P. Pitaevskii, Sov. Phys. JETP 13, 451 (1961); E. P. Gross J. Matemáticas. Phys. 4, 195 (1963). [3] E. Levich y V. Yakhot, J. Phys. R: Matemáticas. Gen. 11, 2237 (1978). [4] Yu. Kagan y B.V. Svistunov, Phys. Rev. Lett. 79, 3331 (1997). [5] V.E.Zakharov, S.L. Musher, y A.M.Rubenchik, Phys. 129, 285 (1985) y S. Dyachenko, A.C. Newell, A. Pushkarev y V.E.Zakharov, Physica D 57, 96 (1992). [6] B.V. Svistunov, J. Moscow Phys. Soc. 1, 373 (1991); Yu. Kagan y B.V. Svistunov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 105, 353 (1994) [Sov. Phys. JETP 78, 187 (1994)]. [7] N. G. Berloff y B. V. Svistunov, Phys. Rev. A 66, 013603 (2002) [8] M.J.Davis, S.A. Morgan, y K. Burnett, Phys. Rev. Lett 87, 160402 (2001) y Phys. Rev. A 66, 053618 (2002) [9] C. Connaughton et al, Phys. Rev. Lett. 95, 26901 (2005). [10] M.Brewczyk et al J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 40, R1-R37 (2007) y referencia interna. [11] H. Schmidt et al J.Opt.B: Quantum Simiclass. Opt. 5 S96 (2003). [12] H.E. Hall y W. F. Vinen, Proc. R. Soc. Lond., A238, 215 (1956); I.L. Bekharevich e I.M. Khalatnikov Soviet Phys., JETP, 13, 643 (1961). [13] R.N. Hills, y P.H. Roberts, Archiv. Rata. Mech. & Anal., 66, 43 (1977a); Int. J. Eng. Sci., 15, 305 (1977b); J. Baja temperatura. Phys., 30, 709 (1978a); J. Phys. C11, 4485 (1978b). [14] S.J. Putterman y P.H.Roberts, Physica, 117A, 369 (1983). [15] T.R.Kirkpatrick y J.R. Dorfman J. Baja temperatura. Phys. 58, 301 (1985); 399 (1985). [16] Yu. Kagan, B.V. Svistunov y G.V. Shlyapnikov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 101, 528 (1992) [Sov. Phys. JETP 75, 387 (1992)]; Yu. Kagan y B.V. Svistunov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 105, 353 (1994) [Sov. Phys. JETP 78, 187 (1994)]. [17] V. E. Zakharov, V. S. L’vov y G. Falkovich, Kol- Mogorov Spectra de Turbulencia I (Springer, Berlín, 1992); A. C. Newell, S. Nazarenko y L. Biven, Physica D 152, 520 (2001). [18] N. N. Bogoliubov, Journal of Physics 11, 23 (1947). [19] N.G. Berloff J. Phys. R: Matemáticas. y Gen., 37(5), 1617 (2004). [20] Varias opciones de PC tomadas del intervalo (5, 15) × (2η/N) dan diferente L, pero similar línea de vórtice decaimiento Tasas. Una más precisa, pero más computacionalmente inten- forma de calcular la longitud de la línea del vórtice en un cuasi- condensado (un condensado con vórtices) es a través de un tiempo promedio del campo que elimina las frecuencias altas, Véase la discusión en [7]. [21] R.J.Donnelly “Vórtices cuantificados en Helio II”, Cam- bridge University Press, Cambridge 1991. [22] S.V.Iordanskii, Sov. Phys. JETP 22, 160 (1966); E. B. Sonin, Sov. Phys. JETP 42 469 (1975); Phys. Rev. B 55, 485 (1997), Ao y Thouless, Phys. Rev. Lett. 70, 2158 (1993). [23] M. Leadbeater, D.C. Samuels, C.F. Barenghi y C.S. Adams, Phys. Rev. A 67 015601 (2003). [24] W.F. Vinen, Proc. R. Soc. Londres. Ser. A 242, 493 (1957) [25] N.G. Berloff Phys. Rev. A, 69 053601 (2004) http://arxiv.org/abs/gr-qc/0612134

Critical edge behavior in unitary random matrix ensembles and the thirty fourth Painleve transcendent

Comportamiento crítico del borde en la matriz aleatoria unitaria conjuntos y el trigésimo cuarto Painlevé trascendente A.R. Su Departamento de Ciencias Matemáticas Universidad de Indiana – Universidad Purdue Indianápolis Indianápolis EN 46202-3216, E.U.A. isa@math.iupui.edu A.B.J. Kuijlaars y J. Östensson Departamento de Matemáticas Katholieke Universiteit Lovaina Celestijnenlaan 200B 3001 Lovaina, Bélgica arno.kuijlaars@wis.kuleuven.be ostensson@wis.kuleuven.be 3 de junio de 2018 Resumen Describimos una nueva clase de universalidad para la matriz unitaria invariante aleatoria ensem- Bles. Surge en el límite de doble escala de conjuntos de n × n Ermitanian aleatorio Matrices Z−1n,N detM 2αe−N Tr V (M)dM con α > −1/2, donde el factor detM 2α induce un comportamiento de autovalor crítico cerca del origen. En el supuesto de que el limitar la densidad media del valor propio asociado con V es regular, y que el origen es un punto final correcto de su soporte, calculamos la correlación límite de valor propio kernel en el límite de doble escala como n,N → tal que n2/3(n/N − 1) = O(1). Utilizamos el método de descenso más empinado de Deift-Zhou para el problema Riemann-Hilbert para polinomios en la línea ortogonal con respecto al peso x2αe−NV (x). Nuestra principal atención está en la construcción de una parametrix local cerca del origen por los medios de las funciones-de-asociadas con una solución distinguida del Painlevé Ecuación XXXIV. Esta solución está relacionada con una solución particular del Painlevé II ecuación, que sin embargo es diferente de la solución usual Hastings-McLeod. 2000 Matemática Clasificación por materias: 15A52, 33E17, 34M55 http://arxiv.org/abs/0704.1972v1 2 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON 1 Introducción y declaración de resultados 1.1 Modelos unitarios de matriz aleatoria Para n + N, N > 0, y α > −1/2, consideramos el conjunto de matriz aleatoria unitaria Z−1n,N detM 2αe−N TrV (M) dM, (1.1) en el espacio M(n) de n× n matrices ermitañas M, donde V es analítica real y satisface V (x) log(x2 + 1) = â € ¬. (1.2) Este es un conjunto de matriz aleatoria unitaria en el sentido de que es invariante bajo conju- gation, M 7→ UMU−1, por matrices unitarias U. Como es bien sabido [11, 38], induce el después de la densidad de probabilidad en los n autovalores x1,. ............................................ P (n,N)(x1,. .................................................................................................. xj2αe−NV (xj) xi − xj 2. (1.3) La distribución del valor propio es determinante con el núcleo Kn,N construido fuera de los polinomios pj,N(x) = Łj,N x j + · · ·, ­j,N > 0, ortonormal con respecto al peso x2αe−NV (x) en R. De hecho, como lo muestran Dyson, Gaudin, y Mehta, ver e.g. [11, 21, 38], para cualquier m = 1,...., n− 1, la función de correlación de puntos m R(n,N)m (x1,. ............................................................... (N-m)! · · · P (n,N)(x1,. .., xn) dxm+1 · · · dxn (1.4) es dada por R(n,N)m (x1,. .., xm) = det (Kn,N(xi, xj))1≤i,j≤m, (1.5) donde Kn,N(x, y) = xye− N(V (x)+V (y)) pj,N(x) pj,N(y). (1.6) En el límite n,N → فارسى, n/N → 1, el régimen de valor propio global está determinado por V como sigue. La medida de equilibrio μV para V es el minimizador único de IV (μ) = x− ydμ(x)dμ(y) + V (x)dμ(x) (1.7) toma sobre todas las medidas de probabilidad Borel μ en R. Puesto que V es analítica real tenemos que μV se apoya en una unión finita de intervalos disjuntos [13], y tiene una densidad n.N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o 1 Kn,N(x, x) = V (x), x 6= 0. La densidad de valor propio medio limitante es independiente de α. COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 3 El factor detM 2α cambia el comportamiento local de autovalor cerca de 0. Esto se refleja en en los límites de escala local de Kn,N alrededor de 0 que dependen de α. Si 0 se encuentra en la mayor parte de el espectro y el V (0) > 0, entonces en lugar del núcleo sinusoidal habitual obtenemos un núcleo de Bessel dependiendo de α [37]. Si 0 es a granel y.V (0) =. V (0) = 0, V (0) > 0, luego el local límites de escala del núcleo cerca de 0 se asocian con la solución Hastings-McLeod de la ecuación de Painlevé II q′′ = sq + 2q3 − α [9]. En este trabajo estudiamos el efecto de α en el caso 0 es un punto final del espectro que es tal que la densidad V desaparece como una raíz cuadrada en 0. Para α = 0 el límite de escala es el conocido núcleo de Airy, ver los papeles [6, 26, 39, 42] y también [3, 12], y por lo tanto somos haciendo la pregunta: ¿Cuál es la generalización α del núcleo de Airy? Para α > −1/2, hemos encontrado una nueva familia de un parámetro de núcleos limitantes como se indica en Teorema 1.1 infra. En el Teorema 1.1 también suponemos que la densidad de valor propio regular, lo que significa lo siguiente. • La función x 7→ 2 log x − sV (s)ds − V (x) definido para x R, asume su valor máximo sólo en el soporte de?V. • La densidad V es positiva en el interior de su soporte. • La densidad V se desvanece como una raíz cuadrada en cada uno de los puntos finales de su soporte. Teorema 1.1 Por cada α > −1/2, existe una familia de un parámetro de núcleosKedgeα (x, y; s) tal que lo que sigue se mantiene. Let V ser un campo externo analítico real en R tal que su la densidad media de la limitación del valor autóctono V es regular. Supongamos que 0 es un punto final derecho de la soporte de V de modo que para alguna constante c1 = c1,V > 0 V (x) x1/2 como x→ 0−. (1.8) Entonces existe una segunda constante c2 = c2,V > 0 tal que n.N.e.p. (c1n)2/3 (c1n)2/3 (c1n)2/3 = Kedgeα (x, y; s) (1.9) cuando n,N → tal que = L + R (1,10) y s = −c2,V L. Para α = 0, los núcleos limitantes se reducen al núcleo 0 (x, y; s) = Ai(x+ s)Ai′(y + s)− Ai′(x+ s)Ai(y + s) x− y, (1.11) que es el núcleo Airy (desplazado) de la teoría de matriz aleatoria mencionada anteriormente, véase también Subsección 4.1 infra. Para α 6= 0, se necesita un nuevo tipo de funciones especiales para describir el núcleo limitador Kedgeα (x, y; s). Esta descripción se da en las subsecciones siguientes. 4 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON Figura 1: Contorno para el problema del modelo RH. 1.2 El problema del modelo RH Describimos Kedgeα (x, y; s) a través de la solución de un prob especial Riemann-Hilbert (RH) lem, que nos referiremos como el problema de RH modelo. El problema de la RH modelo se plantea en un contorno en un plano auxiliar, que consiste en cuatro rayos: 1 = {arg • = 0}, 2 = {arg • = 2η/3}, 3 = {arg • =, y 4 = {arg • = −2η/3} con orientación como se muestra en la Figura 1. Como es habitual en los problemas de RH, la orientación define un + y un − lado en cada parte del contorno, donde el +-lado está a la izquierda cuando atravesar el contorno de acuerdo a su orientación. Para una función f en C \ فارسى, utilizamos f± para denotar sus valores límite sobre el valor de referencia tomados del lado ±, a condición de que dichos valores límite existe. El contorno divide el plano complejo en cuatro sectores también se muestra en el Figura. El problema del modelo RH dice lo siguiente. Riemann-Hilbert problema para (a) : C \ فارسى → C2×2 es analítico. b),+(­) =,−(­) , en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de ,+(l) =,−(l) e2'i 1 , en nombre de la República Popular Democrática de Corea............................................................................................. ,+(l) =,−(l) , en nombre de la República Popular Democrática de Corea............................................................................................. ,+(l) =,−(l) e - 2 - i 1 , en nombre de la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de China, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República de Polonia, la República Eslovaca. c) () = 3/4 1 (I + O(1/+1/2))e−( 3/3/2+s-1/2)/3, en la forma siguiente:....................................................................................................................................................................................................................................................... Aquí 3 = ( 1 00 −1 ) es la tercera matriz pauli. d) () = O como فارسى → 0, si α < 0; y COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 5 () = • 0 con • • • • 1 • • • 4, • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • si α ≥ 0. Aquí, y en lo que sigue, los O-términos se toman en la entrada. Tenga en cuenta que el problema de RH depende de un parámetro s a través de la condición asintótica en el infinito. Si queremos enfatizar la dependencia de s escribiremos ( ; s) en lugar de (). El problema del modelo RH no es exclusivamente solvable. De hecho, si es una solución, entonces ( es también una solución para cualquier η = η(s), y resulta que esta es la única libertad lo tenemos (véase la Proposición 2.1). Teorema 1.2 El problema del modelo RH es solvable para cada s R. Let ser una solución del problema del modelo RH y poner 1(x; s) 2(x; s) ,+(x; s) , para x > 0, ,+(x; s)e iÔ3 , para x < 0. (1.12) Entonces el núcleo limitador Kedgeα (x, y; s) se puede escribir en la “forma integrable” Kedgeα (x, y; s) = *2(x; s)*1(y; s)−*1(x; s)*2(y; s) 2πi(x− y). (1.13) La función 2 depende de la elección particular de la solución al modelo RH problema. De hecho, para cualquier η tenemos que el mapeo 7→ # Hojas # # 1 invariante # y cambia 2 a 2 + 1. Sin embargo, esto no cambia la expresión (1.13) para el kernel Kedgeα (x, y; s). Se deduce de (1.12) y de la parte c) del problema del modelo RH que Comportamiento asintótico 1(x; s) = 2x1/4 x3/2−sx1/2(1 +O(x−1/2)), (1.14) 2(x; s) = ix1/4 x3/2−sx1/2(1 +O(x−1/2)), (1.15) como x→ â € TM, y 1(x; s) = 2x1/4 cos x3/2 − sx1/2 − π/4 +O(x−3/4), (1.16) 2(x; s) = −i 2x1/4 pecado x3/2 − sx1/2 − π/4 +O(x−1/4), (1.17) como x→ â € ¬. Observación 1.3 El núcleo Kedgeα (x, y; s) describe un efecto de borde para la matriz aleatoria conjunto (1.1). Si suponemos que 0 es el punto más a la derecha en el soporte de V, y si se da M dejamos que el valor máximo(M) denote su valor propio más grande, entonces sigue bajo las suposiciones de Teorema 1.1, en particular la hipótesis de límite (1.10), de que n.N.e.p. (c1n) 2/3max ≤ t = det 1 - Kα,s(t, , (1.18) 6 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON donde Kα,s(t,Ł) es el operador de la clase de trazas en L2(t,Ł) con kernel Kedgeα (x, y; s). A probar (1.18) uno debe demostrar que el operador con el núcleo 1 (c1n)2/3 (c1n)2/3 (c1n)2/3 Converge en la norma de la clase de traza en L2(t,­) al operador con kernel Kedgeα (x, y; s). Esto requiere buenas estimaciones sobre la tasa de convergencia en (1.9), que pueden establecerse como en [12]. Para α = 0, el núcleo es el núcleo Airy (desplazado), y el determinante Fredholm (1.18) tiene una expresión equivalente en términos de una solución especial de la ecuación Painlevé II. La distribución resultante es la famosa distribución Tracy-Widom [42, 43]. Lo sería. muy interesante para encontrar una expresión análoga para α general. La conexión con el modelo RH problema dado en Teorema 1.2 se puede utilizar para obtener tal expresión, siguiendo el enfoque de [5] y [27]. Estamos planeando abordar esta cuestión en un futuro. publicación. 1.3 Conexión con la ecuación Painlevé XXXIV El problema del modelo RH está relacionado con una solución especial de la ecuación número XXXIV de la lista de Painlevé y Gambier [29], u′′ = 4u2 + 2su+ (u′)2 − (2α)2 . (1.19) Todas las soluciones de (1.19) son meromórficas en el plano complejo. Teorema 1.4 Let ( ; s) ser una solución del problema del modelo RH. Entonces u(s) = −s − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ( ; s)e ( 23................................................................................................................................................... 3/2+s­1⁄2)­3 1­ 3/4 (1.20) existe y satisface (1.19). La función (1.20) es una solución global de (1.19) (es decir, lo hace no tienen polos en la línea real), y no depende de la solución particular de la El problema del modelo RH. La conexión con la ecuación Painlevé XXXIV lleva a los siguientes caracteres: zation de 1° y 2° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Teorema 1.5 Dejar ser la solución de Painlevé XXXIV dada por (1.20). Entonces, ahí está. existe una solución del problema del modelo RH de tal manera que las funciones â € 1 y â € 2 definido por (1.12) satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales lineales 1(x; s) 2(x; s) u′/(2x) i− iu/x −i(x+ s+ u+ ((u′)2 − (2α)2)/(4ux)) −u′/(2x) 1(x; s) 2(x; s) (1.21) y tienen asintótica (1.14)–(1.17). De hecho, vamos a demostrar que para C ( ; s) = u′/(2­) i− iu/­ −i( + s+ u+ ((u′)2 − (2α)2)/(4u)) −u′/(2Ł) ( ; s) (1.22) COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 7 de la cual (1.21) sigue fácilmente en vista de (1.12). Insistimos en que (1.21) y (1.22) mantener para una solución particular del problema del modelo RH. Cualquier otra solución( ( ; s) también satisface un sistema de ecuaciones diferenciales lineales, pero con la matriz u′/(2­) i− iu/­ −i( + s+ u+ ((u′)2 − (2α)2)/(4u)) −u′/(2Ł) . (1.23) Con el fin de hacer de Teorema 1.5 un auténtico, es decir, independiente del problema RH, caracterización de 1 y 2, necesitamos una caracterización independiente de la fórmula (1.20) de la solución u(s) de la ecuación (1.19). Esto se puede lograr indicando la asintótica Comportamiento de u(s) como s → فارسى, cf. la caracterización de la solución Hastings-McLeod de Ecuación Painlevé II [28]. Discutimos esta cuestión en detalle en la última sección del documento, Véase, en particular, la Propuesta 4.1 y el final de la Observación 4.2, donde la posible asintótica se dan las caracterizaciones de la solución u(s). 1.4 Resumen del resto del documento En la Sección 2 damos las pruebas de Teorema 1.1 y Teorema 1.2. Comenzamos por presentar el problema RH para los polinomios ortogonales en la línea [23]. La correlación del valor propio kernel Kn,N se puede expresar explícitamente en términos de la solución de este problema RH [11, 15]. Como en artículos anteriores, véase, por ejemplo. [3, 4, 8, 9, 14, 15], aplicamos el descenso más empinado de Deift-Zhou método para los problemas de RH, véase [16]. Para el análisis local cerca de 0, necesitamos el modelo RH problema para ( ; s) tal como se introdujo en la subsección 1.2. Mostramos, siguiendo la metodología de [25], que el problema de modelo RH tiene una solución para cada s R. A continuación, seguimos la pasos habituales en el análisis de descenso más empinado para problemas de RH, que nos llevan a las pruebas de Teorema 1.1 y 1.2. La sección 3 está dedicada a las pruebas de Teorema 1.4 y Teorema 1.5. Comenzamos por la discusión del problema de RH, en la forma debida a Flaschka y Newell, Painlevé II ecuación q′′ = sq+2q3− v. A continuación [2], mostramos que para una elección especial de datos monodrómicos el problema de Flaschka-Newell RH está relacionado con el problema de modelo RH. Los parámetros en las ecuaciones de Painlevé están relacionados por v = 2α + 1/2. La monodromia los datos corresponden a una solución de Painlevé II que es diferente de la Hastings-McLeod solución que ha aparecido más a menudo en la teoría de matriz aleatoria [4, 8, 9, 28, 42]. Los resultados conocidos (asintóticos, par laxista, etc.) para el problema de RH para Painlevé II son entonces transferido al problema del modelo RH, y luego utilizado para completar las pruebas de los teoremas 1.4 y 1.5. En particular da lugar a la solución especial u del Painlevé XXXIV ecuación definida por (1.20). En la sección 4 formulamos algunas observaciones finales. Para los casos especiales importantes α = 0 y α = 1, mostramos cómo el problema de RH modelo se puede resolver explícitamente en términos de Funciones aéreas, y cómo el núcleo limitador Kedgeα (x, y; s) así como el especial Painlevé XXXIV solución u se puede calcular explícitamente en ambos casos. Nuestras observaciones finales se refieren a la caracterización de u, en el caso de α general, a través de su comportamiento asintótico en El infinito. 8 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON 2 Prueba del teorema 1.1 y 1.2 2.1 El problema Riemann-Hilbert para los polinomios ortogonales El problema RH para polinomios ortogonales en la línea, para nuestro peso particular, es el a continuación (cf. [23]). Riemann-Hilbert problema para Y • Y : C \ R → C2×2 es analítico. • Y+(x) = Y−(x) 1 x2αe−NV (x) para x â € Râ € ¢ 0}, con R orientado de izquierda a derecha. • Y (z) = (I + O(1/z)) 0 z−n como z → فارسى. • Si α < 0, entonces Y (z) = O 1 z2α 1 z2α como z → 0. Si α ≥ 0, entonces Y (z) = O ( 1 11 1 ) como z → 0. El problema de RH tiene la solución única Y (z) = pn,N(z) 2lnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnsnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnsnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnsssssssssss pn,N(s)s2αe−NV(s) s− z ds −2ηi Łn−1,N pn−1,N(z) n−1,N pn−1,N(s)s2αe−NV(s) s− z ds , (2.1) donde pj,N(x) = Łj,N x j + · · · es el polinomio ortonormal con respecto al peso x2αe−NV (x). Por (1.6) y la fórmula Christoffel-Darboux para polinomios ortogonales, Tenemos Kn,N(x, y) = xye− N(V (x)+V (y))­n−1,N pn,N(x) pn−1,N(y)− pn−1,N(x) pn,N(y) x− y. (2.2) Por lo tanto, utilizando (2.1) y el hecho de que det Y • 1, podemos expresar la correlación de valor propio núcleo directamente en términos de Y : Kn,N(x, y) = (x− y) x ye− 12N(V (x)+V (y)) Y −1+ (y)Y+(x) . 2.3) La idea principal para la prueba de los teoremas 1.1 y 1.2 es aplicar el más fuerte empinado análisis de descenso para los problemas de RH de Deift y Zhou [16] al problema de RH satisfecho por Y. En el caso que nos ocupa consiste en construir una secuencia de transformaciones invertibles Y 7→ T 7→ S 7→ R, donde la función de valor de matriz R está cerca de la identidad. Por desarrollar las transformaciones anteriores asintóticas para Y y por lo tanto, en vista de (2.3), para Kn,N en varios regímenes puede ser derivado. Nuestra principal atención se dedicará a los locales comportamiento de Y cerca de 0. Alrededor de 0 construimos una parametrix local con la ayuda de la problema de RH modelo, que a continuación discutimos con más detalle. COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 9 2.2 El problema del modelo RH El problema del modelo RH no es exclusivamente solvable. Proposición 2.1 Que sea una solución del problema del modelo RH. Entonces lo siguiente Espera. a) det 1. (b) Para cualquier η R (que puede depender de s), tenemos que también resuelve el El problema del modelo RH. c) Dos soluciones están relacionadas, como en la parte b), es decir, si α y  α son dos soluciones del problema de la RH modelo, entonces α para algunos η = η(s). Prueba. (a) Tenemos que det es analítico en C \ {0}, ya que todas las matrices de salto tienen determinante uno. En caso de α < 0 obtenemos de la condición (d) del problema de RH que det() = O( 2α) como → 0. Desde 2α > −1 se deduce que la singularidad en el el origen es removible. En caso α ≥ 0 encontramos de la condición (d) del problema de RH que = O(1) como • → 0 en • 1 • • 4. Por lo tanto, la singularidad en el origen no puede ser un poste. Puesto que det = O( 2α) como → 0, no puede ser una singularidad esencial y por lo tanto la singularidad en el origen es removible también en este caso. Por lo tanto det es Todo. De la condición (c) del problema de la RH se deduce que det() → 1 como y así parte (a) de la proposición sigue del teorema de Liouville. b) Es evidente que cumple las condiciones (a), (b) y (d) del modelo RH problema. Para establecer (c) basta observar que 3/4 = 3/4 2-1/2 = 3/4 (I + O(1/+1/2)) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • c) Habida cuenta de lo dispuesto en la parte a), sabemos que α es invertible. Entonces... −1 es analítico en C \ {0} y, por argumentos similares a los de la prueba de la parte a), la singularidad en el origen es removible. Como • → • obtenemos de la condición (c) del problema del modelo RH • 2)α (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) α (­)) −1 = 3/4 (I + O(1/2)) 3/4 = I + O 1/2 1 1 1/2 La declaración se deriva ahora del teorema de Liouville. â € € TM TM En lo siguiente necesitaremos más información sobre el comportamiento en el origen de funciones que satisfacen las propiedades (a), (b) y (d) del problema del modelo RH. Lo siguiente: el resultado es similar a la Proposición 2.3 en [9]. Proposición 2.2 Dejemos que • satisfaga las condiciones (a), (b) y (d) del problema de RH para. Entonces, con todas las ramas siendo principales, la siguiente bodega. 10 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON • Si 1 /+ N0, existe una función analítica valorada por la matriz E y matrices constantes Aj tal que En el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. (2.4) Dejando que vj denote la matriz de salto para............................................................................................................. A1 = A4 v1, A1 = A2 v2, A3 = A4 v4, (2,5) 2 porque... 2 porque... −ei ei * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (2.6) • Si 1 N0, entonces tiene un comportamiento logarítmico en el origen: Existe un análisis matriz valorada función E y matrices constantes Aj tal que • (­) = E(­) # Log # 0 Aj, para Łj. (2.7) Dejando que vj denote la matriz de salto para............................................................................................................................... A1 = A4 v1, A1 = A2 v2, A3 = A4 v4, (2.8) 0 e3πi/4 e.i./4.e.i./4.e.i.i. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (2.9) • En todos los casos sostiene que detAj = 1 y (A1)21 = (A4)21 = 0. (2.10) Prueba. La declaración (2.10) es una consecuencia inmediata de las fórmulas explícitas para los Aj. Considere el caso 1 - N0. Definir E por (2.4), es decir, dejar E(­) = (­) (­) A−1j (­) 3, en el caso de la letra a) del apartado 2 del artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, en el caso de la letra a) del apartado 3 del artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, en el caso de la letra a) del apartado 3 del artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, en el caso de la letra a) del apartado 3 del artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, en el caso de la letra a) del apartado 3 del artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, en el caso de la letra a) del apartado 3 del artículo 3 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, en el caso de la letra a) del apartado 3 del artículo 3 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, en el caso de la letra a) del apartado 3 del artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1307/2013, en el caso de la letra b) del apartado 2 del artículo 3 del Reglamento (UE) n.o 1307/2013. con Aj como en (2.5), (2.6). Entonces E es analítica en C \ فارسى. Ahora demostramos que E es de hecho Todo. Las relaciones (2.5) y la condición (b) del problema del modelo RH implican que E es analítico también en #1 #2 #4 Por otra parte, el 3 de E−1− (­)E+(­) = ­ − A3 v3A Ahora, por (2.5), (2.6), y computación directa A3 v3A 2 = A2 v2 v 1 v4 v3A 2 = e 2o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° +. (2.12) COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 11 Por lo tanto, E es analítica también en Ł3, y por lo tanto en C \ {0}. A continuación mostramos que la singularidad en 0 es removible. Si α < 0, vemos de (2.11) y la condición (d) del problema del modelo RH, que como • → 0 E(­) = O 0 Oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh. 1 2α 1 2α por lo que (desde 2α > −1) la singularidad aislada en 0 es realmente extraíble. Si α ≥ 0 y  → 0 En el punto 1 encontramos de la misma manera (también usando (A1)21 = 0) que E(­) = O 0 Oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh. de modo que E está limitada cerca de 0 en Ł1 y por lo tanto 0 no puede ser un polo. Dado que 0 no puede ser un singularidad esencial, ya sea, concluimos que la singularidad es realmente removible. En caso α − 1 N0 la prueba es casi idéntica, sólo que ahora la ecuación (2.12) es sustituida por A3 v3A 2 = A2 v2 v 1 v4 v3A −1 −2i − 1 # Log # # Log # 0 . (2.13) 2.3 Existencia de solución al problema del modelo RH Necesitaremos que para s â € R el problema del modelo RH realmente tiene una solución. Para probar existencia de una solución al problema del modelo RH basta para probar la existencia de un (único) Solución (especifíquese) α al problema RH especial obtenido cuando la asintótica (c) en el infinito se sustituye por el texto siguiente: (especifíquese)α (especifíquese) = (I + O(1/ 3/4 1 3/3/2+s-1/2)- 3, (2.14) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Un elemento clave en la prueba de la solvabilidad única del problema de RH para (especifíquese) α es la después de la desaparición del lema (cf. [25]). Proposición 2.3 (lema disuasorio) 3/2+s1/2. Supongamos que Fα satisface las condiciones (a), (b) y (d) en el problema de RH para pero, en lugar de condición (c), tiene el siguiente comportamiento en el infinito: Fα(­) = O(1/­) 3/4 1 e()3, (2.15) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Entonces Fα 0. 12 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON Prueba. Las ideas de la prueba son similares en espíritu a las de Deift et al. [14]. Deja que Gα se definirá como sigue: Gα(­) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Fα(Ł)e • (e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e). , en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de Fα(Ł)e • (e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e). e2oe2oe(­) 1 , en nombre de la República Popular Democrática de Corea............................................................................................. Fα(Ł)e • (e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e). −e−2­ie2­(­) 1 , en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de Fα(Ł)e En lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de la parte de en lugar de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte, (2.16) Entonces Gα satisface el siguiente problema de RH. Riemann-Hilbert problema para Gα a) Gα : C \ R → C2×2 es analítico. (b) Gα,+(l) = Gα,−(l)vGα(l) en el caso de R \ {0}, donde vGα(­) = e - 2-(-) - 1 , en el caso de los vehículos de motor de la partida 8701, 1 -e2-ie2 (-) e-2oOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO , en el caso de los productos < 0. (2.17) c) Gα(­) = O(­) −3/4) como • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (d) Gα tiene el siguiente comportamiento cerca del origen: Si α < 0, Gα(­) = O , al igual que en la sección 0 → 0, (2.18) y si α ≥ 0, Gα(­) = como • → 0, Im • > 0, 0, Im • < 0. (2.19) Los saltos en (b) siguen de los cálculos directos que utiliza que () + () = 0 para < 0. El comportamiento (c) de Gα en el infinito (uniforme en cada sector) sigue directamente a partir de (2.15), (2.16), y el hecho de que Re...................................................................................................................................................................................................................................................... El comportamiento (2.18) en el origen es inmediata de la condición (d) del problema de RH para Fα, y así es el comportamiento (2.19) si • → 0 con • • • • • 1 • • • 4. Para probar (2.19) si • → 0 con Necesitamos la Proposición 2.2. Considerar en primer lugar el caso α − 12 / N0 y COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 13 Entonces tenemos, usando (2.16), (2.4), (2.5), y (2.10) Gα(­) = Fα(­)e • (e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e). e2oe2oe(­) 1 = E()3A2 e2'i 1 e.. (........................................................................................................................................ = E()3A2 e2'i 1 e(­)e3 = E()3A1 e(l)o3 = E(l)o3 e()3, donde ∗ denota una constante no especificada. Usando el límite de E y Ł en el origen, se encuentra (2.19) como • → 0 en el sector •2. Se trata de manera similar el caso................................................................................................................ Uso (2.7), (2.8) en lugar de (2.4), (2.5), el mismo argumento funciona en el caso α − 1 N0. Nota que a pesar de la entrada logarítmica en (2,8), no hay entradas logarítmicas en (2,19). Introducir la función matriz auxiliar valorada Hα(l) = Gα(l) (Gα(l)) ∗, C \ R. (2.20) Entonces Hα es analítico y Hα(­) = O(­) −3/2), como • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (2.21) De la condición (d) en el problema de RH para Gα se deduce que Hα tiene la siguiente comportamiento cercano al origen: Hα(­) = 2α 2α 2α 2α 0, en el caso de α < 0, en el caso de α ≥ 0, igual o superior a 0. (2.22) Desde α > −1/2, vemos de (2.21) y (2.22) que cada entrada de Hα,+ es integrable sobre la línea real, y por el teorema de Cauchy y (2.21) Hα,+() d = 0. (2.23) Es decir, por (2.20), Gα,+(l) (Gα,−(l)) * = 0. (2.24) Sumando (2.24) a su conjugado ermitaño y usando (2.17) obtenemos Gα,−(­) [vGα(­) + (vGα(­)) ∗] (Gα,−(l)) Gα,−(­) (Gα,−(فارسى)) * + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Gα,−(­) 2e−2o(­) 0 (Gα,−(فارسى)) * d.............................................................................................................................................................................................................................................................. (2.25) 14 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON Aquí también usamos que (­) = (­) iR para < 0, que se sostiene porque s es real. La identidad (2.25) implica que la primera columna de Gα,- desaparece idénticamente en R. Así, en vista de la forma de la matriz de salto en (2.17), la segunda columna de Gα,+ desaparece idénticamente en R también. Se deduce que la primera columna de Gα desaparece idénticamente en el semiplano inferior, y la segunda columna desaparece idénticamente en el semiplano superior. Para probar que la matriz completa Gα desaparece idénticamente en ambos semi-planos, utilizaremos un teorema tipo Phragmen-Lindelöf debido a Carlson [7, 41]. Definir para j = 1, 2, gj(­) = (Gα)j1(­), para Im • > 0, (Gα)j2(­), para Im......................................................................................................................................................................................................................................................... (2.26) Las condiciones del problema de RH para el rendimiento de Gα que tanto g1 y g2 tienen análisis contin- la evaluación a lo largo de (0,) y que ambas son soluciones del siguiente problema escalar RH. Riemann-Hilbert problema para g • g : C \ (, 0] → C es analítica con salto g+(­) = g−(­) e − 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 3o, 3o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, (2.27) • g() = O(3/4) como • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • g() = O( ) como • → 0. Vamos a demostrar que este problema de RH tiene sólo la solución trivial. Deja que g sea cualquier solución y definir por • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • g(­2), si se trata de Re­ ­ > 0, g(­2)e−2­ie−2( En el caso de los vehículos de motor de la partida 8701, el valor de los vehículos de motor de la partida 8701 no excederá del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. g(­2)e2­ie­−2( En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. (2.28) La propiedad de salto (2.27) asegura que • es analítica a través del eje imaginario. Ahora defina h(­) = 1 + فارسى En el caso de los Estados miembros, el importe total de la ayuda se calculará sobre la base de los importes consignados en el artículo 4, apartado 1, del Reglamento (UE) n.o 1308/2013. con (como de costumbre) las principales ramas de los poderes fraccionarios. Entonces se puede comprobar que h es analítica en Re • > 0, limitada para Re • ≥ 0, y satisface h() ≤ Ce−c4, en caso de iR, para algunas constantes positivas c y C. Por lo tanto, por el teorema de Carlson, h • 0 en Re • ≥ 0. Por lo tanto g 0, y así g1 y g2 son ambos idénticamente cero. De ello se deduce que la matriz completa Gα desaparece idénticamente en ambos semi-planos. Así Fα 0 por (2.16), y esto completa la prueba de la proposición. â € € TM TM Ahora mostramos cómo (única) solvabilidad del problema de RH para (especifíquese) α puede deducirse del lema de la desaparición de arriba. COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 15 Proposición 2.4 El problema de la RH para (especifíquese) α tiene una solución única para cada s R. Prueba. La idea de la prueba es la siguiente: Dada una solución (especifíquese) α a la prob RH anterior lem, mostramos cómo construir una solución mα a un cierto problema de RH normalizado (es decir, mα(­) → I as • → • •) caracterizado por una matriz de salto v en un contorno, y con- Versículosamente. Para probar la proposición basta, por lo tanto, probar (única) solvabilidad de la Problemas de RH normalizados. Esto se puede hacer utilizando la relación básica entre problemas RH normalizados y ecuaciones integrales singulares. Recordamos brevemente, en nuestro entorno, algunos hechos estándar con respecto a esta relación. Para más detalles, y pruebas, el lector se remite a los documentos [17, 18, 19, 44] y al apéndice de [32]. Deje C denotar el operador Cauchy Ch(­) = s− • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 2 (), C \, (2.30) y denotar por C±h(), , los límites de Ch( ′) como فارسى ′ → فارسى desde el lado (±) de. Los los operadores C± están delimitados en L 2(). Vamos. v(­) = (v−(­)) −1v+(), , (2.31) ser una factorización puntual de v(l) con v±(l) GL(2,C), y definir a través de v±(­) = I ± (­), . (2.32) Nuestra elección de la factorización implicará que L2() L(). La singular integral operador C. : L. 2() → L2(), definido por = C+(h) + C−(h), h L2(), (2.33) se delimita entonces en L2(). Además, tiene sentido estudiar la ecuación integral singular (1 - C-)μ = I (2,34) en el caso de μ I+L2(). Porque si escribimos μ = I + h, entonces (2.34) toma la forma (1 - C-)h = C-I-L2(). (2.35) Suponga que μ I + L2() es una solución de (2.34). Entonces, de hecho mα() = I + C(μ( + )))), C \, (2.36) resuelve el problema de RH normalizado. Por lo tanto, si podemos probar que el operador 1 − una biyección en L2(), entonces la solvabilidad del problema de RH para mα, y por lo tanto para (especifíquese) α, se ha establecido. La bijectividad de 1 − C­ en L2() se demuestra en dos pasos. Nosotros primera muestra que, para una elección apropiada de = (, ) en la factorización anterior, 1− Es Fredholm en L2() con índice 0. En segundo lugar, mostramos que el núcleo de 1 - C trivial. Ahora, es un hecho estándar que ker (1 - C-) = {0} si y sólo si el asociado problema de RH homogéneo (por ejemplo m0α) tiene sólo la solución trivial. Pero lo explícito relación entre los (especifíquese) α y mα también establece una relación entre las soluciones Fα y m 16 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON Figura 2: Contorno para el problema de RH para mα. de los problemas de RH homogéneos asociados. En vista de la Proposición 2.3, que dice que Fα 0, el segundo paso ya se ha logrado. Ahora establecemos la relación antes mencionada entre (especifíquese) α y mα, derivar el RH problema satisfecho por mα, y finalmente mostrar que una factorización de v puede ser elegido así que 1 - C- es Fredholm con índice 0, cf. [25]. Que D = C < 1}. Set ­(­) = 2 3/2 + s-1/2 y mα(­) = (especifíquese) α (­)A # Log # , en el caso de la letra d) del apartado 1 del artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, (especifíquese) α (­)e - (l)3 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 3/4, en lugar de la letra D) del apartado 2 del artículo 3 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013. (2.37) con {Aj}4j=1 siendo las matrices en la Proposición 2.2, y donde = 1 si 1/2 N0 y De lo contrario. Por la Proposición 2.2 se deduce que mα es analítica en D. Let = orientar los componentes de como en la Figura 2. Esto hace que un contorno completo, lo que significa que C se puede expresar como la unión de dos conjuntos discontinuos, C =, = que es el límite orientado positivamente de y el límite orientado negativamente de Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Let j = Las computaciones muestran que mα satisface el siguiente problema de RH normalizado. Al igual que en Proposición 2.2 usamos vj para denotar la matriz de saltos en el modelo de problema RH. Riemann-Hilbert problema para mα • mα : C \ → C2×2 es analítico. • mα,+(l) = mα,−(l)v(l) para , donde COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 17 v(­) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * I, por el Sr. D, 3/4 1 e3vje 3 1 3/4, en lugar de la letra D) del apartado 2 del artículo 3 del Reglamento (CE) n.o 1224/2009. {1, 2, 4}, I, para # # # # # 3 # D # Log # 0 3 1 3/4, para j, j {1, 3}, 3/4 1 e3A−1j # Log # , para j, j {2, 4}. • mα(­) = I + O(1/­) como • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • La analitica de mα en ­3 • D sigue desde (­) + (­) = 0 para < 0. Es importante tener en cuenta que v()− me decae exponencialmente a lo largo de. Siguiente observar que, en cualquiera de los puntos 0, A, B, C, D de auto-intersección de (véase la figura 2), precisamente cuatro contornos se unen. En un punto fijo de auto-intersección, digamos P, orden los contornos que se encuentran en P en sentido contrario a las agujas del reloj, a partir de cualquier contorno que está orientado hacia fuera de P. Denotando el valor límite de las matrices de salto sobre el contorno jth en P por v(j)(P ), entonces tenemos la relación cíclica v(1)P ) v(2)P ) v(3)P ) v(4)(P) = I. (2.38) Esto es trivial en el caso P = 0, y sigue por cálculo directo en los otros casos. Nosotros observación de que la relación cíclica (2.38) en C es una consecuencia de la relación (2.12) en el Caso α − 1/2 6o N0, y de (2.13) en el caso α − 1/2o N0 (véase la prueba de la Proposición 2.2). Fuera de los pequeños barrios de los puntos de auto-intersección elegimos lo trivial factorización v+ = v, v− = I en (2.31), de modo que = v − I, = 0 por (2.32). Usando el relaciones cíclicas (2.38), entonces somos capaces de elegir una factorización de v en el resto barrios de tal manera que es continuo a lo largo de la frontera de cada conectado componente de, y de manera similar, es continuo a lo largo del límite de cada conectado componente de. La decaimiento exponencial de v()− I como → asegura que L2()L(). Desde esto es lo que se deduce que 1 - C- es Fredholm en L2(). De hecho, set = I − v−1−, = v−1+ − I. (2.39) La elección de = (, ) está motivada por las relaciones = +, = −( + ). (2.40) Un cálculo directo, utilizando C+ − C− = 1 y (2.40), muestra que (1 - C-)(1 - Ce-) = 1 + T, (2.41) donde Tf = C+(C−[f( + )])) + C−((C+[f( + )])) (2.42) 18 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON para la letra f) del punto L2(). Cálculos estándar, utilizando la continuidad de las funciones resp. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * a lo largo del límite de cada componente conectado de resp. , mostrar que T es compacto en L2(). Cálculos similares muestran que (1 - Ce-)(1 - C-) = 1 + S, con S compacto en L2(). Así que 1- Ce- es un pseudoinverso para 1- C-, que es por lo tanto Fredholm en L2(). De la teoría general se deduce que el índice del operador 1 - C-C- es igual a la bobina número de det v a lo largo de, este último se define de la manera natural. Ahora, desde el punto de vista del v. Esto es trivialmente cero. Esto completa la prueba de la Proposición 2.4. â € € TM TM Observación 2.5 El problema de la RH (especifíquese) α es realmente solvable para todos s C \D, donde D es un conjunto discreto en C (desconectado de R según la Proposición 2.4), y la solución (especifíquese) es meromórfico en s con polos en D. Para ver esto, primero observamos que la factorización (2.31), (2.32) se puede hacer de tal manera que sean ambas analíticas en s. Se deduce que s 7→ 1−C un mapa analítico tomando valores en los operadores de Fredholm en L2(). Desde que sabemos que 1 - C- es invertible para s R, entonces obtenemos, por una versión del teorema de Fredholm analítico [44], que μ definido por (2.34) es meromórfico. Por lo tanto mα y por lo tanto (especifíquese) α es meromórfico en s. 2.4 Algunos preliminares sobre las medidas de equilibrio Antes de embarcarnos en el análisis de descenso más pronunciado para el problema de RH de la subsección 2.1, recordamos ciertas propiedades de las medidas de equilibrio, véase [11, 40]. Usamos lo siguiente: notación: , Vt(x) = V (x). (2.43) Como se explica en la Introducción, estamos interesados en el caso donde n/N → 1 como n,N → •, lo que significa que estamos interesados en t cerca de 1. Por cada t consideramos la energía IVt(μ) funcional como en (1.7), y su minimizador μt. La medida de equilibrio dμt = Łt dx se caracteriza por el siguiente Euler-Lagrange condiciones variacionales: Hay una constante lt â € ~ R tal que log x− st(s) ds− Vt(x) + lt = 0, x suppμt, (2.44) log x− st(s) ds− Vt(x) + lt ≤ 0, x R \ supp μt. (2.45) Para t = 1, tenemos que el soporte de μV consiste en una unión finita de intervalos disjuntos, Véase [13], decir supp μV = [aj, bj] con a1 < b1 < a2 < · · · < ak < bk. Debido a la suposición de que la densidad de V de μV es Normalmente, tenemos la siguiente propuesta. Proposición 2.6 Por cada t en un intervalo de alrededor de 1, tenemos que la densidad?t de μt es regular, y que supp μt consiste en intervalos k, digamos supp μt = [aj(t), bj(t)] COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 19 con a1(t) < b1(t) < a2(t) < · · < ak(t) < bk(t). En este intervalo alrededor de 1, las funciones t 7→ aj(t) y t 7→ bj(t) son analíticas reales con a′j(t) < 0 y b′j(t) > 0. Prueba. Véase Teorema 1.3 iii) y Lemma 8.1 de [36]. â € € TM TM Para el resto de la prueba de Teorema 1.1 asumiremos que suppμV consiste en un intervalo. En el caso general (cuando el suppμV consiste en k ≥ 2 intervalos) se procede análogamente, pero la parametrix lejos de los puntos finales dados en la subsección 2.5.4 debe a continuación, en lugar de ser construido con la ayuda de la función de B-períodos para los dos- Superficie de Riemann y2 = Πkj=1[(z − aj)(z − bj)] obtenida pegando dos copias del plano de corte C \ j=1[aj, bj] de la manera estándar [14, 37]. Desde las fórmulas será más complicado en el caso multi-intervalo, pero no contribuir a la principal en el presente documento, optamos por dar la prueba completa sólo para el caso de una interval. 2.5 Análisis del descenso más profundo 2.5.1 Preliminares Asumimos a partir de ahora que k = 1, por lo que supp μV consiste en un intervalo que nos tomar como supp(μV ) = [a, 0], a < 0. A continuación, hay فارسى1 > 0 tal que μt se soporta en un intervalo [a, bt] para cada t (1-1, 1+1, y su densidad es regular. Por lo tanto, es positivo en (a, bt) y desaparece como una raíz cuadrada en los puntos finales, y toma la forma [14] ­t(x) = (bt − x) x− at)ht(x), para x • [at, bt], (2.46) donde ht es positivo en [at, bt], y analítico en el dominio de la analítica de V. Además, ht depende analíticamente de t â € (1− â € 1, 1 + â € 1). Vamos a utilizar la medida de equilibrio μt en la primera transformación de la RH problema. Observamos que en [8, 9, 10, 20] se utilizó una medida de equilibrio modificada en la análisis de descenso más pronunciado de un problema de RH en un punto crítico. Es probable que podamos han modificado la medida de equilibrio en la situación actual también, pero el enfoque con el μt sin modificar también funciona, como veremos, y elegimos usarlo en este artículo. En el caso de una interval se puede mostrar por cálculo explícito que a = − t(bt − at)ht(at) t(bt − at)ht(bt) , (2.47) que de hecho muestra que d a < 0 y bt > 0. De ello se deduce que bt > 0 para t â € (1, 1 + â € 1) y bt < 0 en el caso de t â € (1− â € 1, 1). En ambos casos tenemos < 0. Introdujimos dos funciones de la siguiente manera. Para z C \ (, bt] acostado en el dominio de la analítica de V (que podemos restringir a ser simplemente conectados, sin pérdida de la generalidad), ponemos t(z) = (s− bt(s− at))1/2ht(s) ds, (2.48) 20 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON y para z C \ [at,) también en el dominio de la analítica de V, t(z) = (s− bt(s− at)1/2ht(s) ds. (2.49) De ello se deduce (2.48) que t(z) = − en ht(bt)(z)− bt)3/2χt(z), (2.50) donde χt es analítico en un barrio de bt y χt(bt) = 1. Tomando ft(z) = t(z) − en ht(bt) (z − bt)χ2/3t (z), (2,51) Vemos que ft es analítico en un barrio de bt con ft(bt) = 0, f ′t(bt) = − en ht(bt) 6= 0, (2.52) y ft(z) real para valores reales de z. Por lo tanto, en particular, ft(0) > 0, si t < 1, f1(0) = 0, y ft(0) < 0, si t > 1. (2.53) Además, ft → f1 como t → 1, uniformemente en un barrio de 0. Elegimos un disco pequeño U (0) alrededor de 0 y Ł2 > 0 suficientemente pequeño, de modo que ft es un mapa conforme de U (0) en un barrio convexo de 0 por cada t â € (1− â € 2, 1 + â € 2). Del mismo modo, existe un disco U (a) centrado en un < 0, y un ♥3 > 0, de modo que fût(z) = t(z) (2.54) es un mapa conformal de U (a) a un barrio convexo de 0 por cada t â € (13, 1â € 3). Permitimos que se fijen los valores de 0 = min (1, 2 y 3) y que se fijen los valores de 1 °, 1 + 0 °). En lo que sigue también tomamos los barrios U (0) y U (a) como arriba. 2.5.2 Primera transformación Y 7→ T Presentamos la llamada función G: gt(z) = log(z − s) dμt(s) = log(z − s)?t(s) ds, z? C \ (, bt], (2.55) donde log denota la rama principal. Entonces gt es analítico en C \ (, bt]. Definir T por T (z) = e nltđ3 Y (z) e− nlt/23370/3 e−ngt(z) donde es la constante de (2.44)–(2.45). Por un cálculo sencillo entonces A continuación, T tiene la siguiente matriz de salto vT en R (orientada de izquierda a derecha): vT (x) = e−n(gt,+(x)−gt,−(x)) x2α en(gt,+(x)+gt,−(x)−Vt(x)+lt) 0 en(gt,+(x)−gt,−(x)) . (2.57) Debido a las identidades, ver [11, 14], gt,+(x) + gt,−(x)− Vt(x) + lt = −2Łt(x), para x > bt, (2.58) gt,+(x) + gt,−(x)− Vt(x) + lt = −2t(x), para x < a, (2.59) Vemos que el problema de RH para T es el siguiente. COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 21 Figura 3: Apertura de una lente alrededor [a, 0]. Riemann-Hilbert problema para T • T : C \ R → C2×2 es analítico. • T+(x) = T−(x) vT (x) para x • R, con vT (x) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 x2α e−2nt(x) , para x < en, (x) x2α 0 e2n°t,−(x) , para x â € (a, bt), 1 x2α e−2nŁt(x) , para x > bt. • T (z) = I +O(1/z) como z → فارسى. • Si α < 0, entonces T (z) = O 1 z2α 1 z2α como z → 0. Si α ≥ 0, entonces T (z) = O ( 1 11 1 ) como z → 0. 2.5.3 Segunda transformación T 7→ S La apertura de las lentes se basa en la siguiente factorización de vT on (at, bt): vT (x) = (x) x2α 0 e2n°t,−(x) x2α e2nŁt,−(x) 1 0 x2α x2α 0 x2α e2nŁt,+(x) 1 Introducir una lente alrededor del segmento [a, 0] como en la figura 3 (recuérdelo a < 0). En el disco U (0) alrededor de 0 tomamos el objetivo de tal manera que z 7→ • = ft(z)− ft(0), ver (2.51), mapea el partes de los labios superior e inferior de la lente que están en U (0) en los rayos arg y arg Ł = −2η/3, respectivamente. Del mismo modo, en el disco U (a) elegimos la lente para que z 7→ فارسى = fūt(z), ver (2.54), mapea las partes de los labios superior e inferior de la lente que son en U (a) en los rayos arg ­= η/3, y arg ­= /3, respectivamente. Las partes restantes de los labios de la lente son arbitrarios. Sin embargo, deben estar contenidos en el ámbito de la analítica de V, y los tomamos para que (c) < −c < 0 para z en los labios de la lente fuera de U (0) y U (a), con c > 0 independiente de t. Es importante tener en cuenta que la lente está alrededor [a, 0], y no alrededor [a, bt]. 22 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON Definir S por S(z) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * T (z), para z fuera de la lente, T (z) (−z)−2α e2nŁt(z) 1 , para z en la parte superior de la lente, T (z) (−z)−2α e2nŁt(z) 1 , para z en la parte inferior de la lente. (2.60) Aquí el mapa z 7→ (−z)−2α se define con un corte a lo largo del eje real positivo. Entonces, de (2.60) y el problema de RH para T, encontramos que S es la solución única de la siguiente Problema de RH. Riemann-Hilbert problema para S • S : C S → C2×2 es analítico, donde فارسىS consiste en la línea real y la superior y labios inferiores de la lente, con orientación como en la Figura 3. • S+(z) = S−(z) vS(z) para z â € ¬ S, donde vS se da como sigue. Para t < 1, de modo que bt < 0, tenemos vS(z) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 z2α e−2nt(z) , en el caso de z â € (â € € €, en, 0 z2α z2α 0 , en el caso de z.» (at, bt), 0 z2α e−2nŁt(z) z2α e2nŁt(z) 0 , en el caso de z.» (bt, 0), 1 z2α e−2nŁt(z) , en el caso de z â € (0, â €), (−z)−2α e2nŁt(z) 1 , para z en ambos labios de la lente, mientras que, para t ≥ 1, de modo que bt ≥ 0, tenemos vS(z) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 z2α e−2nt(z) , en el caso de z â € (â € € €, en, 0 z2α z2α 0 , en el caso de z â € (a, 0), e2nŁt,+(z) z2α 0 e2nŁt,−(z) , para z.» (0, bt), 1 z2α e−2nŁt(z) , en el caso de z â € (bt), (−z)−2α e2nŁt(z) 1 , para z en ambos labios de la lente. • S(z) = I +O(1/z) como z → فارسى. • Si α < 0, entonces S(z) = O 1 z2α 1 z2α como z → 0. Si α ≥ 0, entonces S(z) = O ( 1 11 1 ) como z → 0 desde fuera de la lente y S(z) = O z2α 1 z2α 1 como z → 0 desde el interior de la lente. COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 23 El siguiente paso es aproximar S por una parametrix P, que consta de tres partes P (­), P (a) y P (0): P (z) = P (0)(z), para z • U (0) \ • S, P (a)(z), para z (a) (u) (u) (u), (u), (u), (u), (u), (u), (u), (u), (u), (u), (u), (u), (u), (u), (u), (u,u), (u,u), (u,u) (u,u), (u,u,u), (u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u, C \ (U (0) • U (a) • • (a) (a, 0)), (2.61) donde U (a) y U (0) son pequeños discos centrados en a y 0, respectivamente, que han sido presentado antes. A continuación se construyen las paramétricas P (­), P (a) y P (0). 2.5.4 La parametrix P La parametrix P es una solución del siguiente problema de RH. Problema de Riemann-Hilbert para P • P () : C \ [at, 0] → C2×2 es analítico. • P (­)+ (x) = P − (x) 0 x2α x2α 0 para x (a, 0), orientado de izquierda a derecha. • P (­)(z) = I +O(1/z) como z → ­. El problema de RH para P (­) se puede resolver explícitamente como en [9]. Toma D(z) = zα 2z − a , para z • C \ [at, 0], (2.62) donde el mapa conformal de C \ [−1, 1] en el punto •(z) = z + (z − 1)1/2 (z + 1)1/2 es el mapa conformal de C \ [−1, 1] exterior del círculo de la unidad. Entonces D+(x)D−(x) = x2α para x (a, 0). De ello se deduce que El problema de RH normalizado con la matriz de salto ( 0 1-1 0 ) en (a, 0) (orientado de izquierda a derecha), cuya solución es bien conocida, véase, por ejemplo, [11, 14], y que lleva a P (l)(z) = D(l)(l)(l)3 (βt(z) + βt(z) −1) 1 (βt(z)− βt(z)−1) (βt(z)− βt(z)−1) 12 (βt(z) + βt(z) D(z)3, (2.63) en el caso de z C \ [at, 0], donde βt(z) = z − a , para z â € C \ [at, 0]. (2.64) 2.5.5 La parametrix P a) La parametrix P (a) se define en el disco U (a) alrededor de a, donde P (a) satisface lo siguiente: Problema de RH. 24 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON Problema de Riemann-Hilbert para P (a) • P (a) : U (a) \ فارسىS → C2×2 es analítico. • P (a)+ (z) = P − z) vS(z) para z • U (a) • • S. • P a) z) P (­)(z) = I + O(n−1), como n→ •, uniformemente para z • • U (a) \ • S. Buscamos P (a) en la forma P (a)(z) = P(a)(z) ent(z) donde (-z)® se define con una rama cortada a lo largo de [0,­)]. Entonces PÃ3r (a) satisface un problema de RH con saltos constantes y se puede construir en términos de la función Airy en un estándar manera; para más detalles vea la presentación en [11]. 2.5.6 La parametrix P (0) La parametrix P (0), definida en el disco U (0) alrededor de 0, debe satisfacer los siguientes RH problema. Riemann-Hilbert problema para P (0) • P (0) : U (0) \ S → C2×2 es continuo y analítico en U (0) \ ŁS. • P (0)+ (z) = P − z) vS(z) para z • • S • U (0) (con la misma orientación que • S). • P (0)(z) P (­)(z) = I+O(n−1/3), como n→, t→ 1 tal que n2/3(t−1) = O(1), uniformemente para z â € € ~ U (0) \ € ~ S. • P (0) tiene el mismo comportamiento cerca de 0 que S tiene (ver el problema de RH para S). La parametrix P (0) con estas propiedades se puede construir usando una solución de la problema del modelo RH de la subsección 1.2. La construcción se realiza en tres pasos. Paso 1: Transformación a saltos constantes. Buscamos P (0) en la forma P (0)(z) = PÃ3r (0)(z) enát(z)/23370/3 z3, para z à r U (0) \ à r S, (2.65) donde, como de costumbre, z denota la rama principal. A continuación, se desprende del problema de RH en el caso de P (0), que P® (0) debería satisfacer el siguiente problema de RH. Problema de Riemann-Hilbert para PÃ3 (0) • P • (0) : U (0) \ • S → C2×2 es continuo y analítico en U (0) \ • S. COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 25 • Para z # # S # U (0), tenemos + (z) = P − (z)× * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * , en el caso de z â € ¬ (0, € ·) U (0), e2'i 1 , para z en U (0) en el labio superior de la lente, , en el caso de z â € € TM €, ( â € €, 0) â € U (0), e - 2 - i 1 , para z en U (0) en el labio inferior de la lente. uniformemente para z â € € ~ U (0) \ € ~ S. • Si α < 0, entonces Pâ > (0)(z) = O z z z z como z → 0, mientras que si α ≥ 0 tenemos que Pâ > (0)(z) = O z z z z como z → 0 desde fuera de la lente, y Pâ > (0)(z) = O z z z z como z → 0 desde el interior de la lente. Tenga en cuenta que las matrices de salto de PÃ3 (0) no dependen de t. El lector puede notar las similitudes entre el problema de RH anterior para PÃ3 (0) y el Problema RH para de la subsección 1.2. En el siguiente paso mostramos cómo podemos utilizar para construir una solución del problema de RH para PÃ3 (0). Paso 2: La construcción de Pó (0) en términos de. Recordemos que en EE.UU. (0) fue tomada de tal manera que z 7→ ft(z)− ft(0) mapee el problema RH para, ver Subsección 1.2. Elegimos cualquier solución del problema del modelo RH y definimos (0) por Pâ > (0)(z) = E(z) 3 (ft(z)− ft(0));n 3 pies(0) , para z • U (0) \ • S, (2.66) donde E = En,N es analítico en U (0). Tomando P (0) como en (2.65) con P® (0) como en (2.66) encontramos que todas las condiciones del problema de RH para P (0) se cumplen, excepto para el emparejamiento afección P (0)(z) P (­)(z) = I +O(n−1/3), (2,67) tal que n2/3(t− 1) = O(1). 26 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON Paso 3: Coincidiendo con la condición. Para poder satisfacer (2.67) tenemos que tomar E en el siguiendo el camino E(z) = P (­)(z) z3 3 (ft(z)− ft(0)) •3/4 , para z • U (0) \ [at, 0], (2.68) donde ambas ramas se toman como principales. Claramente entonces E es analítica en U (0) \ [at, 0]. Resulta que E tiene continuación analítica a U (0). Esto es lo que sigue por cálculo directo, pero se basa en el hecho de que elegimos [en, 0] como el contorno de salto para P Con la opción (2.68) para E, ahora mostramos que (2.67) está satisfecho también. Por (2.65), (2.66), tenemos para z â € € ¢ U (0) \ â € S, P (0)(z) = E(z) 3 (ft(z)− ft(0));n 3 pies(0) - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. y estamos interesados en el comportamiento como n→, t→ 1 tal que n2/3(t− 1) = O(1). Primero mostramos que n2/3ft(0) permanece limitado. Lemma 2.7 Suponga n → فارسى, t → 1 tal que n2/3(t − 1) = O(1). Luego n2/3ft(0) se mantiene acotado. Más precisamente, si n2/3(t− 1) → L â € R, entonces n2/3ft(0) → −c2,V L = s, (2,69) donde c2,V = (c1,V ) 2/3dbt (2.70) y c1,V es la constante en (1.8). Prueba. De ello se deduce que: ft(0) = −att(bt) (−bt)χ2/3t (0) −ah1(0) (t− 1)dbt +O(t− 1)2) como t→ 1. Para (1.8) y (2.46), tenemos c1,V = −ah1(0), (2.71) de modo que (2.69)–(2.70) siga efectivamente si n2/3(t− 1) → L. Si usamos la fórmula (2.47) para el derivado t de bt en t = 1, entonces encontramos de (2.70) c2,V = 2(−a)−1/2 c−1/31,V. (2.72) Ahora continuamos con la prueba de (2.67). COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 27 Lemma 2.8 Supongamos que n → فارسى, t → 1 tal que n2/3(t − 1) = O(1). Entonces (2.67) Espera. Prueba. En la prueba todos los Términos O son para n→, t→ 1 tal que n2/3(t− 1) está limitado. Por Lemma 2.7 los valores n2/3ft(0) permanecen limitados. Desde la condición asintótica (c) en el problema de RH para es válido uniformemente para s en subconjuntos limitados de R, encontramos por (2.65), (2.66) y (2.68) P (0)(z) = E(z) 3 (ft(z)− ft(0)) ) 3/4 1 I +O(n−1/3) × exp (n2/3(ft(z)− ft(0));n2/3ft(0)) - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? = P ()(z)(I +O(n−1/3)) exp (n2/3(ft(z)− ft(0));n2/3ft(0))− (2.73) uniformemente para z â € € ¢ U (0). Al igual que antes denotamos el valor de la palabra "( ; s)" = 2 3/2 + s-1/2. El siguiente paso es evaluar la expresión en el factor exponencial. Tenemos (n2/3(ft(z)− ft(0));n2/3ft(0))− (ft(z)− ft(0))3/2 − (ft(z))3/2 + nft(0)(ft(z)− ft(0))1/2. Demostraremos que esto es O(n−1/3) uniformemente para z â € ¬ U (0). Con ese fin, basta con mostrar que F (t, z) := (ft(z)− ft(0))3/2 − (ft(z))3/2 + ft(0) (ft(z)− ft(0))1/2 = O(t− 1)2) como t→ 1, (2.74) uniformemente para z â € € ¢ U (0). Por (2.53), tenemos F (1, z) = 0. (2.75) Además, F (t, z) = (ft(z)− ft(0)) (ft(z)− ft(0)− (ft(z)) ft(z) ft(0) (ft(z)− ft(0)) ft(0) (ft(z)− ft(0)− (ft(z)− ft(0)). Dejar t = 1 y volver a utilizar (2.53) y (2.51). Debido a cancelaciones se encuentra F (1, z) = 0. (2.76) Dado que, además, F (t, z) es analítica en ambas variables y limitada con respecto a z en De una expansión de Taylor se deduce que F (t, z) = O (t− 1)2), como se afirma en (2,74). (n2/3(ft(z)− ft(0));n2/3ft(0))− no = O(n−1/3), 28 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON Figura 4: Contour para el problema de RH para R. por lo que (2.73) conduce a P (0)(z) = P (­)(z) I +O(n−1/3) uniformemente para z â € € ¢ U (0). Entonces (2.67) sigue desde P () (z) y su inversa están limitados en n y t, uniformemente para z â € ¬ U (0). â € € TM TM Esto completa la construcción de la parametrix P (0). Observación 2.9 La parametrix local P (0) se construye con la ayuda de una solución de el problema del modelo RH. Puesto que la solución no es única (ver Proposición 2.1), la la parametrix local no es única. En lo que sigue podemos tomar cualquier P (0) y no afectará los resultados finales (Teoremas 1.1 y 1.2). 2.5.7 Tercera transformación S 7→ R Tomamos P como en (2.61), P (a) y P (0), y luego definimos R(z) = S(z)P−1(z), para z â € € € € € € € € (0) € € € € € (a) € € € € S). (2.77) Puesto que S y P tienen las mismas matrices de salto en U (0)S, U (a)S y (a, 0)\(U (0)U (a)), Tenemos que R es analítica a través de estos contornos. Lo que queda son saltos para R en el contorno R se muestra en la Figura 4 con la orientación que también se muestra en la figura. Entonces, R satisface el siguiente problema de RH. Riemann-Hilbert problema para R • R : C \ ŁR → C2×2 es analítico. • R+(z) = R−(z) vR(z) para z (P (0))−1, el ­U (0), (P a) - 1), el día de la U (a), P (­) vS (­) (l)) − 1, el 1 ° R \ (l) U(0) U(a)). (2.78) • R(z) = I +O(1/z) como z → فارسى. Ahora vamos a n →, t → 1 tal que n2/3(t − 1) = O(1). A continuación, se desprende de la construcción de las paramétricas (véanse, en particular, los problemas de RH para P (0) y P (a)) I +O(n−1/3), el I +O(n−1), el ŁU (a). (2.79) COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 29 Además, por la regularidad de la densidad de valor propio, hay una constante c > 0 tal que En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, los vehículos de motor de encendido por chispa y los vehículos de motor de encendido por chispa y los remolques de encendido por chispa y de encendido por chispa de los vehículos de motor de encendido por chispa y de encendido por chispa de los vehículos de motor de encendido por chispa y de encendido por chispa de los vehículos de motor de encendido por chispa y de encendido por chispa de los vehículos de motor de encendido por chispa y de encendido por chispa de los vehículos de motor de encendido por chispa y de encendido por chispa de los vehículos de motor de encendido por chispa y de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de motor de encendido por compresión de los vehículos automóviles de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de encendido por compresión de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de encendido por compresión de encendido por compresión de encendido por compresión de encendido por compresión de los vehículos Re t(z) > c > 0, en el caso de z En el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, el valor de los vehículos de motor no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Esto implica (ver el problema de RH para S) que vS = I+O(e) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (a)), de modo que por (2.78) vR = I + O(e) − 2cn) el 1 de enero de 1999 (U (0) • U (a)). (2.80) Los términos O en (2.79) y (2.80) son uniformes en los contornos indicados. Además, sigue de (2.58), (2.59), (2.55), y la condición de crecimiento (1.2) en V que para cualquier C > 0 existe r = r(C) > 1 tal que Łt(x) ≥ C log x para x ≥ r, y t(x) ≥ C log x para x ≤ −r. Combinado con (2.80) esto implica que vR − IL2(?R\(?U (0)U (a))) = O(e −2cn), como n→ فارسى. (2.81) Por lo tanto, por (2.79)–(2.81), como n → y t → 1 tal que n2/3(t − 1) = O(1), el salto matriz para R está cerca de I en L2 y L vR − IL2(?R) L?R) = O(n−1/3). (2.82) Estimaciones estándar utilizando el límite L2 de los operadores C± sobre L 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. la correspondencia entre problemas de RH y ecuaciones integrales singulares implican ahora que R(z) = I +O(n−1/3), uniformemente para z â € C \ â € R, (2.83) tal que n2/3(t − 1) = O(1). Para conseguir el uniforme encuadernado (2.83) hasta el contorno uno necesita un argumento de deformación del contorno. Una vez más, ver la presentación en [11] para más detalles. Esto completa el análisis de descenso más pronunciado del problema de RH para Y. 2.6 Finalización de las pruebas del teorema 1.1 y 1.2 Habiendo completado el análisis de descenso más empinado, ahora estamos listos para las pruebas de Teorema. 1.1 y 1.2. Comenzamos reescribiendo el kernel (2.3) para x, y â € ¢ U (0) â € TM R de acuerdo con el transformaciones Y 7→ T 7→ S 7→ R que hicimos en el análisis de descenso más empinado. A declarar el resultado es conveniente introducir B = Bn,N como B(z) = R(z)E(z), para z • U (0), (2.84) donde E y R se definen en (2.68) y (2.77). También definimos para x, s R la columna vector (x; s) = 1(x; s) 2(x; s) ,+(x; s) , para x > 0, ,+(x; s)e iÔ3 , para x < 0, (2.85) cf. (1.12). Entonces tenemos el siguiente resultado. 30 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON Lemma 2.10 Let x, y â € U (0) â € € TM R. Entonces, Kn,N(x, y) = 2πi(x− y) 3 (ft(y)− pies(0));n 3 pies(0) ))T ( 0 1 × B−1(y)B(x) 3 (ft(x)− ft(0));n 3 pies(0) . (2.86) Prueba. Comenzamos desde la fórmula (2.3) para el núcleo de correlación de valor propio. Uso (2.56) obtenemos, para cualquier x, y â € R, Kn,N(x, y) = x e n(2gt,+(x)−Vt(x)+lt) y e 12n(2gt,+(y)−Vt(y)+lt) 2πi(x− y) T−1+ (y) T+(x) . (2.87) Usando (2.58) y el hecho de que gt,+ = gt,− en (bt,­), se sigue que 2gt − Vt + lt = −2 el (bt. Entonces, por la continuación analítica, 2gt,Vt+ lt = −2°t,+ en todo R. Por lo tanto podemos reescribir (2.87) como Kn,N(x, y) = x e−nŁt,+(x) y e−nŁt,+(y) 2πi(x− y) T−1+ (y) T+(x) (2.88) Ahora analizamos el efecto de las transformaciones T 7→ S 7→ R sobre la expresión xe−nŁt,+(x)T+(x) ( 10 ) en caso de x â € U (0) â € R. El resultado es que para x â € U (0) â € R, xe−nŁt,+(x)T+(x) = B(x),+ 3 (ft(x)− ft(0));n 3 pies(0) (2.89) en caso de x > 0, y xe−nŁt,+(x)T+(x) = B(x),+ 3 (ft(x)− ft(0));n 3 pies(0) eiÔ3 (2.90) en caso de x < 0. Dado que los cálculos para (2.89) son más fáciles, sólo vamos a mostrar cómo obtener (2.90). Si x U (0) R y x < 0, entonces se deduce de (2.60) que xe−nŁt,+(x)T+(x) = xe−nŁt,+(x)S+(x) x2αe2nŁt,+(x) = S+(x) xe−nŁt,+(x) . (2.91) De (2.77), (2.61), (2.65), (2.68) y (2.84), encontramos que S+(x) = B(x),+ 3 (ft(x)− ft(0));n 3ft(0) ent(x)x® Insertando esto en (2.91) y notando que x x = ei efectivamente obtenemos (2.90). De una manera similar, encontramos para y â € U (0) â € R, ye−nŁt,+(y) T−1+ (y) = 1α,+ 3 (ft(y)− pies(0));n 3ft(0) B−1(y), (2.92) COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 31 en caso de y > 0, y ye−nŁt,+(y) T−1+ (y) = e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-e- e- e- e- e-e-e-e- 3 (ft(y)− pies(0));n 3ft(0) B−1(y), (2.93) en caso de que y < 0. Para reescribir (2.92) y (2.93) utilizamos el siguiente hecho, que es fácil de Jaque. Si A es una matriz invertible de 2×2 que tiene determinante 1, entonces A−1 = . (2.94) Si aplicamos (2.94) a,+ en (2.92) y (2.93), entonces obtenemos ye−nŁt,+(y) T−1+ (y) = Tα,+ 3 (ft(y)− pies(0));n 3ft(0) B−1(y), (2.95) en caso de y > 0, y ye−nŁt,+(y) T−1+ (y) = *Tα,+ 3 (ft(y)− pies(0));n 3 pies(0) B−1(y), (2.96) en caso de que y < 0. Luego (2.86) sigue si introducimos (2.89), (2.90), (2.95) y (2.96) en (2.88) y utilice la definición (2.85). â € € TM TM Como en el Teorema 1.1 ahora fijamos x, y R. Definimos (c1n)2/3 , e yn = (c1n)2/3 (2.97) donde c1 es la constante de (1.8). Con el fin de tomar el límite de (c1n) -2/3Kn,N(xn, yn) necesitamos un lema más. Recordar que B = RE se define en (2,84). Lemma 2.11 Let n→ ­, t→ 1 tal que n2/3(t− 1) → L. Let x, y • R y let xn y yn definido como en (2.97), A continuación, la siguiente bodega. a) n2/3ft(0) → s, b) n2/3(ft(xn)− ft(0)) → x y n2/3(ft(yn)− ft(0)) → y, c) B−1(yn)B(xn) = I + O donde la constante implícita en el O-término es uniforme con respecto a x e y. Prueba. a) Esto se desprende de Lemma 2.7. (b) Para (1.8) y (2.46) tenemos c1 = −ah1(0), de modo que f ′1(0) = c 1 por (2.52). Tomando nota de las definiciones (2.97), entonces obtenemos parte (b), ya que pie → f1 uniformemente en U (0). 32 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON c) Tenemos R−1(yn)R(xn) = I + R −1(yn)(R(xn)− R(yn)) = I +R−1(yn) (xn − yn) R′(txn + (1− t)yn)dt. (2.98) Recordemos que R es analítico en U (0), y que R(z) = I + O(n−1/3) por (2.83), uniformemente en U (0). Desde el detR 1 nos encontramos con que R−1(yn) permanece limitado como n →. A continuación figura también: de (2.83) y el teorema de Cauchy, que R′(z) = O(n−1/3) para z en un barrio de la origen. Para (2.98) entonces obtenemos R−1(yn)R(xn) = I +O . (2.99) Utilizando la analítica de E en un barrio del origen con E(z) = O(n1/6), véase (2.68), y el hecho de que detE 1, obtenemos de la misma manera E−1(yn)E(xn) = I +O . (2.100) Las constantes implícitas en (2.99) y (2.100) son independientes de x e y. Usando (2.99), (2.100), y el hecho de que E(xn) = O(n 1/6) y E−1(yn) = O(n 1/6) obtener de (2.84) B−1(yn)B(xn) = E −1(yn) E(xn) = E−1(yn)E(xn) +O(n) 1/6)O O(n1/6) = I + O Esto completa la prueba de la parte (c). â € € TM TM Prueba de los teoremas 1.1 y 1.2. Dejamos n,N → فارسى, t = n/N → 1, de tal manera que n2/3(t− 1) → L. Luego por partes (a) y (b) de Lemma 2.11, tenemos (n) 2/3(ft(xn)− ft(0));n2/3ft(0)) → (x; s) y de manera similar si reemplazamos xn por yn. La existencia del límite (1.9) entonces sigue fácilmente de Lemma 2.10 y de la parte c) de Lemma 2.11, que prueba el teorema 1.1. También encontramos que el núcleo limitador Kedgeα (x, y; s) es dado por Kedgeα (x, y; s) = 2πi(x− y) (y;s) (x; s) y así (1.13) sigue debido a (2.85). El problema de la RH modelo es solvable para cada s R por la Proposición 2.4 y así también hemos probado el Teorema 1.2. â € € TM TM COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 33 S5 S6+ Figura 5: Contorno para el problema de RH para FN/. 3 Prueba de los teoremas 1.4 y 1.5 Demostramos el Teorema 1.4 y el Teorema 1.5 estableciendo primero, con la ayuda de [2], un conexión entre el problema del modelo RH y el problema de RH para Painlevé II en el forma debido a Flaschka y Newell [22]. Entonces podemos utilizar las propiedades conocidas de la RH problema para Painlevé II para probar los teoremas. 3.1 El problema de Painlevé II RH Revisamos el problema de RH para la ecuación de Painlevé II q′′(s) = sq+2q3, como se dio por primera vez por Flaschka y Newell [22], véase también [24] y [25]. Vamos a asumir que / > −1/2. El problema RH implica tres constantes complejas a1, a2, a3 satisfactorias a1 + a2 + a3 + a1a2a3 = −2i sin, (3.1) y ciertas matrices de conexión Ej. Que Sj = {w C 2j−36 η < argw < para j = 1,...., 6, y dejar que FN = C \ j Sj. Entonces FN consta de seis rayos FNj para j = 1,...., 6, todos elegidos orientados hacia el infinito como en la figura 5. El problema de RH es el siguiente. Problemas de Riemann-Hilbert • FN / : C \ • FN → C2×2 es analítico, • FN/,+ = FN/,− sobre el punto FN1, FN/,+ = sobre el punto FN2, FN/,+ = sobre el punto FN3, 34 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON FN/,+ = sobre el punto FN4, FN/,+ = sobre el punto FN5, FN/,+ = sobre el punto FN6. • FN/(w) = (I + O(1/w))e−i( w3+sw) • Si − 1 6° N0, entonces FN/(w) = B(w) Oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh Ej, para w Sj, (3.2) donde B es analítica. En caso de que el Tribunal de Primera Instancia haya incumplido las obligaciones que le incumben en virtud del apartado 1 del artículo 1 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos y por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establecen disposiciones de aplicación del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos y por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 22 de diciembre de 1971, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 + N0, entonces existe una constante FN/(w) = B(w) No obstante, el Tribunal de Primera Instancia consideró que, en el caso de autos, la Decisión impugnada no era compatible con el mercado interior ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior. Oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh Ej, para w • Sj, (3.3) donde B es analítica. La matriz de conexión E1 se da explícitamente en [24, Capítulo 5]. Se determina (arriba) a factores diagonales o triangulares superiores inesenciales) por v y los multiplicadores Stokes a1, a2, y a3, excepto en el caso especial + n, a1 = a2 = a3 = i(−1)n+1, n+Z, (3.4) donde se necesita un parámetro adicional c â € C â € € â € €. Por ejemplo, en el caso del artículo 6 § 1 + N0 y 1 + a1a2 6= 0, tenemos 0 d−1 ei − a2 1 + a1a2 −1 + a1a2 2 cos ei + a2 2 cos , (3.5) donde d 6= 0 es arbitrario. En el caso especial (3.4), cuando E1 depende de Parametro c C, por [24, Capitulo 5, (5.0.21)] podemos tomar E1 como , si c • C, mientras que E1 = si c = فارسى. (3.6) Suponiendo que los cortes de rama para las funciones en (3.2) y (3.3) se eligen a lo largo argw = /6, obtenemos las otras matrices de conexión de E1 a través de la fórmula Ej+1 = Ejv j, j = 1,..., 5, (3.7) donde vFNj es la matriz de salto en j. Nos referiremos a los multiplicadores Stokes a1, a2, y a3, y en el caso especial (3.4) también al parámetro adicional c, como la monodromia datos de Painlevé II. Tomamos nota de que en el caso especial (3.4) tenemos = 0 en (3.3). COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 35 El caso especial (3.4) tiene interpretación geométrica. De hecho, (3.4) describe el singular punto de la variedad algebraica (3.1), es decir, el punto en el que el (complejo) gradiente de el lado izquierdo de (3.1) desaparece. La singularidad puede ser eliminada adjuntando una copia de la esfera Riemann (véase también [30]). Los datos de la monodromia no dependen de s. El problema de RH es singularmente solvable, a excepción de un conjunto discreto de valores-s, y su solución depende de s a través del asymp- condición tótica en el infinito. Escribimos FN/ (w; s) si queremos enfatizar su dependencia en s. Si tomamos q(s) = 2i lim FN/ (w; s) w3+sw)Δ3, (3.8) entonces q satisface la ecuación de Painlevé II q′′ = sq + 2q3 − v. Por otra parte, el Tribunal de Primera Instancia decidió: Par laxo para Painlevé II * = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. (−4iw2 − i(s + 2q2) 4wq + 2ir + / 4wq − 2ir + / 4iw2 + i(s+ 2q2) , (3.9) P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = −iw q , (3.10) donde q = q(s) y r = r(s) = q′(s). De esta manera hay una correspondencia uno-a-uno entre los datos monodrómicos y las soluciones de Painlevé II. También necesitamos el comportamiento asintótico más preciso FN/ (w; s) = H(s) q(s) −q(s) −H(s) +O(1/w2) w3+sw)Δ3 (3.11) como w → فارسى, donde H(s) = (q′(s))2 − sq2(s)− q4(s) + 2(s) (3.12) es el hamiltoniano de Painlevé II. Tenga en cuenta que H ′ = −q2. Por último, observamos que la FN v.a. satisface la propiedad de la simetría. FN/(w; s) = El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. en los que 1 = ( 10 ). De hecho, mediante un cálculo sencillo (véase también [24, capítulo 5)) comprobamos que la función El Tribunal de Primera Instancia decidió: función FN/ (w; s). Solvabilidad única del problema de RH produce ecuación (3.13). 3.2 Conexión con La solución Hastings-McLeod de Painlevé II corresponde a los multiplicadores Stokes a1 = −ei, a2 = 0, y a3 = ei. Esta no es la solución que nos interesa aquí. Usamos en su lugar, la solución correspondiente a a1 = e i, a2 = −i, a3 = −ei. (3.14) Para estos Stokes multiplica (3.14) obtenemos de (3.5) la siguiente matriz de conexión E1 en el caso de que se trate de una sentencia de 12 + N0 (donde tomamos d = (e) i − i)/(2 cos )) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − - − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 2 cos iei + 1 2 cos −ei 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (3.15) 36 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON En el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia consideró que el artículo 2, apartado 1, letra a), del Reglamento n° 1408/71 no podía interpretarse en el sentido de que el artículo 2, apartado 1, letra a), del Reglamento n° 1408/71 no podía interpretarse en el sentido de que el artículo 2, apartado 1, del Reglamento n° 1408/71 no fuera aplicable a los trabajadores por cuenta ajena. + 2N0, se deduce de (3.14) y de las fórmulas de [24, capítulo 5, (5.0.18)] que podemos tomar . (3.16) En caso de que el Tribunal de Primera Instancia haya incumplido las obligaciones que le incumben en virtud del apartado 1 del artículo 1 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos y por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establecen disposiciones de aplicación del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos y por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 22 de diciembre de 1971, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 + 2N0, entonces estamos en el caso especial (3.4). Entonces elegimos c = i, para que para El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. + 2N0 tenemos datos de monodromia a1 = e i = −i, a2 = −i, a3 = −ei = −i, c = i. (3.17) Lemma 3.1 Para cualquier > −1/2, tenemos que (E2)21 = (E3)21 = 0. (3.18) Prueba. En todos los casos podemos comprobar desde (3.14), (3.15), (3.16), (3.17), y (3.6) que el la segunda fila de E1 está dada por −a1 1 . Así que por (3.7) tenemos que E2 = E1 ( a1 1 ) es superior triangular. Entonces también E3 = E2 ( 0 1 ) es triangular superior y por lo tanto (3.18) mantiene. â € € TM TM La siguiente propuesta sostiene para los datos de monodromia más generales, y fue estab- Sin embargo, en el caso de las importaciones procedentes de la República Popular China, las importaciones procedentes de la República Popular China procedentes de la República Popular China y de la República Popular China no fueron objeto de dumping por parte de la industria de la Unión ni de dumping por parte de la industria de la Unión, ni de dumping por parte de la industria de la Unión, ni de dumping por parte de la industria de la Unión, ni de dumping por parte de la industria de la Unión, ni de dumping por parte de la industria de la Unión, ni de perjuicio de la industria de la Unión ni de la industria de la Unión, ni de perjuicio de la industria de la Unión ni de la industria de la Unión ni de la industria de la Unión. Para la comodidad del lector presentamos una prueba detallada para nuestro caso particular. Proposición 3.2 (22) Para α > −1/2, que el FN2+1/2 sea la solución única del prob de RH. para Painlevé II con parámetro v = 2α + 1/2 y datos monodrómicos (3.14) en caso de α 6o N0 (por lo que se refiere al asunto 6o 12o + 2o N0) y a los datos de la monodromia (3.17) en el caso especial α ° N0. Entonces, para cualquier η = η(s), tenemos que ( ; s) = η(s) 1 3/4 e.i.o.o.e.i.o.o.e.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.o.e.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o. donde w = eđi/22-1/3­1/2 con Imw > 0, es una solución del problema del modelo RH para se indica en la subsección 1.2. Prueba. Debido a la Proposición (2.1) podemos tomar η(s) = 0 sin pérdida de generalidad. Claramente es analítico sobre C. La asintótica correcta es la siguiente: así como los saltos correctos a través de los números 1, 2 y 4. Un poco más de trabajo es necesario para verifique el salto a través de 3 ° = (+, 0) y el comportamiento en z = 0. Con el fin de analizar el salto a través de........................................................................ Entonces tenemos eso. w+ Łi/22-1/3/1/2+ = −w− − (< 0), COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 37 y por lo tanto por (3.19) y la propiedad de la simetría (3.13), ,+( ; s) = 3/4 (p+;−21/3s)eiđ3/4 3/4 (-;−21/3s)eiđ3/4 3/4 e.i.o.e.e.i.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e. 2-1/2(p–;−21/3s) 3/4 e.i.o.o.e.i.o.o.e.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o. 3/4 e.i.o.o.e.i.o.o.e.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o. =,−( ; s) Esto muestra que tiene el salto correcto a través de 3, y se sigue que satisface la partes a), b) y c) del problema del modelo RH. Considere ahora un barrio del punto • = 0. Recordamos que (3.2) o (3.3) mantiene con B(w) analytics a 0. Un corolario de la propiedad de la simetría (3.13) es la ecuación B(w) = En el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia considera que el artículo 2, apartado 1, letra b), del Reglamento n° 1408/71 no puede interpretarse en el sentido de que el artículo 2, apartado 1, letra b), del Reglamento n° 1408/71 no se opone a la aplicación de un régimen de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena. 1B(−w) 1 O(w2 v) as w → 0, si < > 1 + N0, que produce la fórmula (cf. [24, capítulo 5]) B(0)3 = 1B(0). La última relación, junto con detB(0) = 1, a su vez implica que B(0) puede ser representado en la forma B(0) = 0 b−1 , b 6= 0. En el caso de que se trate de una persona física o jurídica, se considerará que la persona física o jurídica de la que se trate es una persona física o jurídica. 1 2 3 4 3 4 1 2 Por lo tanto, para la función ( ; s) definida por la ecuación (3.19) con η(s) = 0, encontramos que (suponiendo que α 6+ 1 ( ; s) = 3/4 1 El presente Reglamento entrará en vigor a los veinte días de su publicación en el Diario Oficial de la Unión Europea. I +O(­1/2) 3/43(j) = 3/4 0 b−1 I +O(­1/2) 3/43(j) = 3/4 I +O(­1/2) 3/43 0 b−1 (j) = O(1)3 0 b−1 (j), como فارسى → 0 en j, (3.20) 38 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON donde hemos introducido la notación * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * e/23370/i/22−1/3 )(2­1/2)­3 iđ3/4. (3.21) A partir de (3.20) inmediatamente se sigue que ( ; s) = O ) como → 0, que es el comportamiento requerido en el problema del modelo RH si α < 0, o si α ≥ 0 y j {2, 3}. Si α ≥ 0 y j {1, 4}, a continuación η(j) {2, 3}, y se desprende de Lemma 3.1 y (3.21) que (j) Eη(j) Entonces (3.20) también produce el comportamiento requerido de ( ; s) como → 0 en El cálculo que lleva a (3.20) es válido para el asunto 6/95. +N0, o α6+12N0. De hecho, también lo es. válida si α â € N0, ya que entonces estamos en el caso especial (3.4) donde â € = 0 en (3.3) y así no aparecen términos logarítmicos. Los términos logarítmicos sólo aparecen si α â € 1 + N0, y luego un cálculo similar conduce a ( ; s) = O(1) 0 b−1 1 O(log) (j), con j otra vez dado por (3.21). Desde α > 0, el comportamiento requerido como • → 0 entonces sigue de una manera similar. Esto completa la prueba de la proposición. â € € TM TM 3.3 Ecuación diferencial Recordemos que la FNV tiene el par Lax (3.9) y (3.10). Entonces definido por (3.19) también satisface un sistema de ecuaciones diferenciales. Implicará la solución q de la ecuación de Painlevé II con el parámetro v = 2α + 1/2 y datos monodrómicos (3.14) o (3.17). Pusimos r = q′ y U(s) = q2(s) + r(s) + , (3.22) V (s) = q2(s)− r(s) + s . (3.23) Las funciones U y V satisfacen la ecuación Painlevé XXXIV en una forma similar a (1.19), es decir (cf. [24, capítulo 5]: U ′′(s) = (U ′(s)2 2U(s) + 2U2(s)− sU(s)− (2α) 2U(s) , (3.24) V ′′(s) = (V ′(s)2 2V s) + 2V 2 s)− sV (s)− (2α + 1) 2V s) . (3.25) Entonces obtenemos las siguientes ecuaciones diferenciales para. Lemma 3.3 Let ser dado por (3.19). (a) Si η 0, entonces satisface ( ; s) = A ( ; s), (3.26) ( ; s) = B ( ; s), (3.27) COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 39 donde −21/3q(−21/3s) + α i− i2−1/3U(−21/3s)1 −a + i2−1/3V (−21/3s) 21/3q(−21/3s)− α , (3.28) −21/3q(−21/3s) i - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - . (3.29) (b) Para general η tenemos que satisface ( ; s) = η(s) 1 (s) 1(s) ( ; s), (3.30) con A dado por (3.28). Prueba. Esto sigue por cálculos directos de (3.9), (3.10) y (3.19). â € € TM TM El par Lax (3.26)–(3.27), después de la sustitución 7→ • − s, se convierte en el par Lax a partir de [2, 35]. Las ecuaciones (3.24)–(3.25) también pueden derivarse directamente de la compatibilidad condiciones del par Lax (3.26)–(3.27) de una manera habitual. Es un hecho [33], que la solución q de la ecuación de Painlevé II (con parámetro Los datos de la monodromia (3.14) o (3.17) tienen un número infinito de polos en el línea real positiva, véase también (4.29) a continuación. Si −21/3s es un polo de este tipo entonces â € € TM FN2â € TM 1 / 2(·, â € TM TM 21/3s) no existe. Así que para ser precisos, si suponemos que η es analítica en R, entonces (3.19) no definir para los valores de s-R que pertenecen al conjunto discreto de valores s donde q(−21/3s) tiene postes. La relación (3.19) define para todos s R sólo si somos capaces de elegir η de modo que todos los polos en la línea real del lado derecho de (3.19) se cancelan. Tal elección de η exigiría η sí mismo tener polos en los polos de q(−21/3s). Describiremos dos opciones especiales para η. La primera opción es tal que (3.19) es igual a la solución especial (especifíquese) α, que se caracteriza por la condición asintótica (2.14). De la Proposición 2.4 sabemos que (especifíquese) α existe para todos s R, por lo que ya podemos concluir que la elección especial η = η(spec) tendrá polos en los polos de q(−21/3s), y que los polos reales del lado derecho de (3.19) ciertamente se cancelarán. La segunda opción de η se hace de modo que la ecuación diferencial (3.30) toma un agradable forma. Esto conducirá a la ecuación diferencial (1.21) para â € 1 y â € 2. Este η se denota η0, y se define por la fórmula simple η0(s) = i2 1/3q(−21/3s), (3.31) de la cual ya está claro que tiene polos en los polos de q(−21/3s). Para la elección (3.31) ya podemos comprobar que la ecuación diferencial (3.30) conduce a ( ; s) = A0 ( ; s) (3.32) donde 0 1 (α + iuη0)/ −iπ + i(v + η20) + η0(2α + iuη0)/­(α + iuη0)/ , (3.33) 40 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON u(s) = 2−1/3U(−21/3s), (3.34) v(s) = 2−1/3V (−21/3s). (3.35) 3.4 Opción especial η(especifíquese) Lemma 3.4 Que H sea el hamiltoniano para Painlevé II como en (3.12), con parámetro v = 2α + 1/2, y dejar η(espec(s) = i2-2/3 q(−21/3s) +H(−21/3s) . (3.36) A continuación, la elección η = η(spec) en (3.19) conduce a la solución especial (especifíquese) α del modelo RH problema caracterizado por (2.14). Prueba. Se deduce de (3.11) y (3.19) por cálculo directo, que ( ; s) = 3/4 (p; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n. n. n. n. n. n (especifíquese) 1 0 i2−2/3(H − q)−21/3s) + 3/4 e.i.o.e.o.e.o.e.o.e.o.e.o.e.o.e.o.e.o.e.o.e.o.e.o.e.o.e.o.e.o.o.e.o.e.o.e.o.o.e.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o. 3/4 × 3/4 1 3/3/2+s1/2/3 (3.37) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • A partir de (3.37) está claro que tenemos que tomar η = η(spec) para poder obtener (2.14). Así sigue el lema. â € € TM TM Del cálculo (3.37) también notamos que para cualquier solución del modelo RH problema que tenemos ( ; s)e (­) 3/2+s­1/2) 3 3/4 i2−2/3(H − q)−21/3s) +O(3/2) (3.38) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Esta propiedad se utilizará más adelante en la prueba de Teorema 1.4. Puesto que el lado izquierdo de (3.38) es analítico en s para s R, también se sigue de (3.38) que H − q no tiene polos en la línea real. Esta y propiedades similares se recogen en el siguiente lema. Recuerde que U es dada por (3.22). Lemma 3.5 La siguiente espera. a) H − q no tiene polos en la línea real. (b) U no tiene polos en la línea real. (c) U tiene un cero en cada uno de los polos reales de q y Uq no tiene polos en la línea real. (d) Uq toma el valor ν − 1/2 en cada uno de los polos reales de q. COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 41 Prueba. a) Observamos ya que la parte a) se deriva de (3.38). (b) Desde H ′ = −q2, tenemos que U(s) = q2(s) + q′(s) + s/2 = −(H − q)′(s) + s/2, (3.39) y así se deduce de la parte (a) que U no tiene polos en la línea real tampoco. c) Diferenciando (3.22), obtenemos U ′ = 2qq′ + q′′ + = 2qq′ + sq + 2q3 − + 1 = 2Uq − + 1 . (3.40) Así también Uq no tiene polos en la línea real, lo que significa que U tiene un cero en cada uno de los polos reales de q. d) Usando (3.40) (Uq − + 1 )q = (U ′ − Uq)q = (Uq)′ − U(q2 + q′) = (Uq)′ − U(U − s/2). (3.41) Puesto que el lado derecho de (3.41) es analítico en la línea real por partes (b) y (c), nosotros concluir que Uq 1 tiene un cero en cada uno de los polos reales de q. Esto demuestra parte d). â € € TM TM Es bien conocido y fácil de comprobar que cada polo de q es simple y tiene residuo +1 o −1. De hecho, la serie Laurent para q en un poste s0 tiene la forma q(s) = s− s0 + q1(s− s0) + · · · ·, donde q−1 1, 1}. Usando esto, uno verifica fácilmente que q2+ q′ o q2− q es analítico a s0 (dependiendo del signo del residuo q−1). Nuestro resultado es que U = q 2 + q′ + s/2 es análisis en R también se puede decir como sigue. Corollario 3.6 La solución q de la ecuación de Painlevé II con parámetro v = 2α + 1/2 y los datos monodrómicos (3.14) o (3.17) sólo tienen polos simples en la línea real, con residuo 3.5 Opción especial η0 Como ya se ha anunciado, también utilizaremos la opción especial η = η0 dada por (3.31). Para (3.31) y (3.36) tenemos que η0(s)− η(es)(s) = i2−2/3 q(−21/3s)−H(−21/3s) y así se deduce de la parte (a) de Lemma 3.5 que η0 − η(spec) es analítica en la línea real. Desde el 1 de enero de 2001 hasta el 31 de diciembre de 2001 (especifíquese) α existe para todos s R, se deduce que la solución del problema del modelo RH asociado con η0 existe para todos s â € R, así, y es analítico en s. La ecuación diferencial para con η = η0 se da por (3.32) con A0 como en (3.33). A continuación, se deduce que A0 es analítico en la línea real, y vamos a verificar explícitamente esto por reescribiendo sus entradas en términos de la función u a partir de (3.34) u(s) = 2−1/3U(−21/3s). 42 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON La analítica de u es inmediata desde (3.34) y parte (b) de Lemma 3.5. La capacidad de análisis de uη0 se deriva de (3.34), (3.31) y de la parte c) de Lemma 3.5. Usando también (3.40) obtenemos u′ = 2iuη0 + ν − 1/2 = 2iuη0 + 2α. (3.42) A continuación, se desprende de (3.22), (3.23), (3.34), (3.35) y (3.31) que v(s) + η0(s) 2 = −u(s)− s. (3.43) Podemos utilizar (3.42) y (3.43) para eliminar η0 y v de las entradas en A0, y obtenemos de (3.33) que u′/(2­) i− iu/­ − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . (3.44) 3.6 Prueba del teorema 1.4 y 1.5 Después de estos preparativos las pruebas de los teoremas 1.4 y 1.5 son cortas. Prueba de Teorema 1.4. De (3.24) y (3.34) se deduce que u satisface el Painlevé XXXIV ecuación en la forma (1.19). De (3.38) se desprende que ( ; s)e (­) 3/2+s­1/2) 3 3/4 = i2−2/3(H − q)−21/3s) que en vista de (3.39) y (3.34) conduce a (1.20). Esto demuestra Teorema 1.4. â € € TM TM Prueba de Teorema 1.5. Dejar ser la solución del problema del modelo RH dado por (3.19) con η = η0 como en (3.31). Entonces ( ; s) = A0 ( ; s), (3.45) con A0 dado por (3.44). La ecuación diferencial (3,45) es válida para el valor de C \. Podemos para obtener una ecuación diferencial para,+(x; s), con la misma matriz A0 (pero sustituida por x). Usando (1.12), obtenemos el diferencial ecuacion (1.21) para â € 1 y â € 2. Esto completa la prueba de Teorema 1.5. â € € TM TM 4 Observaciones finales 4.1 El caso α = 0 El caso α = 0 es clásico y bien entendido. Sabemos que K 0 (x, y; s) es la (desplazado) Airy kernel, véase (1.11). Vamos a mostrar aquí cómo esto sigue de los cálculos de la sección anterior. En el caso especial α = 0, tenemos ν = 1/2, y luego la ecuación de Painlevé II tiene soluciones especiales construidas con funciones Airy. Para ser precisos si Ai y Bi son el estándar Funciones aéreas, entonces para cualquier C1 y C2, no ambos cero, tenemos que q(s) = C1Ai(−2−1/3s) + C2Bi(−2−1/3s) (4.1) COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 43 es una solución de q′′ = sq + 2q3 − 1 . Estas son exactamente las soluciones que corresponden a la multiplicadores especiales Stokes a1 = a2 = a3 = −i. Las soluciones correspondientes al RH el problema fue dado por Flaschka y Newell [22, Sección 3F(iv)]. Por ejemplo, para w en sector S1 que tenemos (véase también [24, capítulo 11]) FN1/2 (w; s) = 1− iq(s)/w −2−1/3i/w 1 + iq(s)/w 2−1/3i/w Ai(z) Bi(z) Ai′(z) Bi′(z) (4.2) con z = −22/3w2 − 2−1/3s y α0 = 21/6 ............................................................................................................................................................................................................................................................... Las expresiones de «FN/(w; s)» en el otros sectores siguen multiplicando (4.2) por las matrices de salto apropiadas. Se deduce de (4.1) y (4.2) que el parámetro adicional c en los datos de la monodromia para (4.1) es iC1 − C2 C1 − iC2 . (4.3) Así que si tomamos c = i como en (3.17) entonces C2 = 0 y la solución correspondiente (4.1) es q(s) = log Ai(−2−1/3s) = −2−1/3Ai ′(−2−1/3s) Ai(−2−1/3s). (4.4) Tenga en cuenta que la solución (4.4) es especial entre todas las soluciones (4.1) en su comportamiento para s→. De hecho, del comportamiento asintótico para las funciones de Airy se desprende que para (4.4) nosotros q(s) 1(s) 2 − s)1/2 como s→ mientras que para las otras soluciones (4.1) tenemos q(s) • −1 2 − s)1/2 como s→. Así que de acuerdo con la Proposición 3.2 deberíamos usar q dado por (4.4) y luego definir 0, como en (3,19). Si se encuentra en el sector de la electricidad, entonces w = e En el sector S1, por ejemplo, en el sector S1, el número de personas que se encuentran en el sector S1 es de 1 a 2 y el número de personas que se encuentran en el sector S1 es de 1 a 3 a 1 y el número de personas que se encuentran en el sector S1 es de 1 a 3 a 1 a 3 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 3 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 3 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 3 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a (4.2) FN1/2 (w;−21/3s) = 1 + iη0(s) −1/2 1/2 1− iη0(s)1/2 1/2 (+ s) Bi(+ + s) Ai′(­ + s) Bi′(­ + s) donde η0(s) = i2 1/3q(−21/3) como en (3.31). A continuación (3.19) con η = η0 rendimientos para ­· · · · 3, (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + η0(s) 1 0-1/2 e.i.o.o. 3/4 1 + iη0(s) −1/2 1/2 1− iη0(s)1/2 1/2 (+ s) Bi(+ + s) Ai′(­ + s) Bi′(­ + s) eiđ3/4 e.i.o.o. 3/4 (+ s) Bi(+ + s) Ai′(­ + s) Bi′(­ + s) eiđ3/4 Ai(­+ s) + iBi(­+ s) −(­(­+ s)− iBi(­+ s)) −i(Ai′( + s) + iBi′( + s)) i(Ai′( + s)− iBi′( + s)) 44 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON Desde entonces (véase, por ejemplo, fórmula (10.4.9) en [1]) Ai(z)± iBi(z) = 2ei/3Ai(e2γi/3z) podemos escribir â € ¢0 en la forma más familiar (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + eπi/3Ai(e−2ηi/3(l+ s)) −ei/3Ai(e2ηi/3(l+ s)) −iei/3Ai′(e−2 , en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de de en lugar de en lugar de en lugar de de en lugar de en lugar de de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de, (4.5) En el caso de la letra • • • • 1 encontramos de una manera similar (o multiplicando (4.5) a la derecha por (1 1-1-1 0 )), que (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Ai( + s) eπi/3Ai(e−2 −iAi′( + s) −iei/3Ai′(e−2 , en nombre de la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República de Polonia, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República de Polonia. (4.6) Luego se sigue de (1.12) y (4.6) que para x > 0, 1(x; s) = 2ηAi(x+s), ­2(x; s) = − 2πiAi′(x+ s), (4.7) y un cálculo similar muestra que (4.7) también se mantiene para x < 0. Por lo tanto, por (1.13) 0 (x, y; s) = *2(x; s)*1(y; s)−*1(x; s)*2(y; s) 2πi(x− y) Ai(x+ s)Ai′(y + s)− Ai′(x+ s)Ai(y + s) x - y, (4.8) que es el grano de Airy. 4.2 El caso α = 1 El caso α = 1 se puede resolver explícitamente en términos de funciones de Airy también. Vamos a ser un solución del problema del modelo RH con parámetro α = 0. Luego para cualquier matriz X = X(s), es fácil comprobar que (I − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + X(s)+0(­ ; s) (4.9) cumple las condiciones (a), (b) y (c) del problema del modelo RH para α = 1. Para un especial elección de X tendremos que la condición (d) también está satisfecho. Vamos a tomar 0 dados por (4.6) para 1 ° ° ° ° ° °. A continuación, la condición (d) del modelo RH problema produce la siguiente condición en X (I − 1 X(s) Ai( + s) −iAi′( + s) = O(­), como ­ → 0. (4.10) La condición (4.10) se cumple si y sólo si tomamos X(s) = Ai′(s)2 − sAi(s)2 Ai(s) −iAi′(s) Ai′(s) −iAi(s) . (4.11) Tenga en cuenta que el denominador en (4.11) no puede ser cero para s R. De hecho, su derivado es −Ai(s)2, por lo que está disminuyendo para s â € R, y puesto que el límite para s → â € es igual a COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 45 0, se deduce que Ai′(s) − sAi(s)2 > 0 para todos los s+R. Tenga en cuenta también que si tomamos el límite x, y → 0 en (4.8), entonces 0 (0, 0; s) = Ai ′(s)2 − sAi(s)2. (4.12) Usando (1.12), (4.6), (4.9), (4.11) y (4.12), obtenemos que 1(x; s) = 2γAi(x+ s)− Ai(x+ s)Ai′(s)− Ai(s)Ai′(x+ s) x(Ai′(s)2 − sAi(s)2) Ai(s) Ai(x+ s)− K 0 (x, 0; s) 0 (0, 0; s) Ai(s) 2(x; s) = − 2ΔiAi′(x+ s) + Ai(x+ s)Ai′(s)−Ai(s)Ai′(x+ s) x(Ai′(s)2 − sAi(s)2) Ai Ai′(x+s)− K 0 (x, 0; s) 0 (0, 0; s) Ai′(s) 1 (x, y; s) = *2(x; s)*1(y; s)−*1(x; s)*2(y; s) 2πi(x− y) 0 (x, y; s)− 0 (x, 0; s)K 0 (y, 0; s) 0 (0, 0; s) . (4.13) Para calcular la solución relevante u de la ecuación Painlevé XXXIV para α = 1, puede suponer que hemos tomado............................................................................................................................................................................................................................................................ 0 en (4.9), y luego utilizar (1.20), (4.9), (2.14), y el hecho de que u 0 para α = 0, para obtener que u(s) = iX ′12(s), que por (4.11) conduce a u(s) = Ai(s)2 Ai′(s)2 − sAi(s)2 = − d 0 (0, 0; s). (4.14) Su gráfico se muestra en la Figura 6. Uno puede verificar a partir de las fórmulas asintóticas explícitamente conocidas para Ai que u(s) = +O(s−7/2) como s→ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (4.15) En el eje real negativo, u tiene un número infinito de ceros. Estos son los ceros de la Airy función Ai, y un número infinito de ceros adicionales que se entrelazan con los ceros de Ai. Las ecuaciones (4.9) y (4.14) constituyen el Schlesinger y (inducido por él) Bäcklund transformaciones, respectivamente, para el caso de Painlevé XXXIV y aplicadas a su cero solución de vacío (para la teoría general de las transformaciones de Schlesinger véase [31]; véase también [24, cap. 6]). 4.3 Caracterización asintótica de la función de Painlevé u(s) Finalmente queremos caracterizar la solución u de la ecuación Painlevé XXXIV por su propiedades asintóticas. Recuerde que u está conectado a la solución del Painlevé II Ecuación q′′ = sq + 2q3 − v con v = 2+ 1/2 por las fórmulas u(s) = 2−1/3U(−21/3s), U(s) = q2(s) + q′(s) + s . (4.16) 46 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 Figura 6: La solución de la ecuación Painlevé XXXIV para α = 1. Asumir que / > −1/2. Se muestra en [34] (véase también [24, Capítulos 5, 11]) que el solución q(s) de la ecuación Painlevé II correspondiente a los multiplicadores Stokes (3.14) muestra el siguiente comportamiento asintótico en el sector arg s • q(s) = [1/2] bn(−s)−3n/2 +O s−3[1/2]/2−1 + c+(−s)− (−s)3/2(1 +O(s−1/4) como s→, arg s , arg(−s) , (4.17) q(s) = [1/2] bn(−s)−3n/2 +O s−3[1/2]/2 + c−(−s)− (−s)3/2(1 +O(s−1/4) como s→, arg s , arg(−s) , (4.18) donde hemos utilizado la notación [r] para la parte entera del número positivo r, es decir. [r] N0, [r] ≤ r < [r] + 1. Los coeficientes c+ y c− de los términos exponenciales, que oscilan sobre los respectivos límites del sector , son dadas por las fórmulas c+ = − ( )i + 1 + /), (4.19) c− = − E() )i + 1 + /), (4.20) COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 47 donde فارسى denota la función Gamma. Por otra parte, o las relaciones (4.17), (4.19) o el las relaciones (4.18), (4.20) pueden tomarse como una caracterización de la solución q(s). Alternativamente, la solución q(s) se puede caracterizar por su comparación con el Boutroux solución tritronquea q(tri−tronq)(s) de la ecuación de Painlevée II, que se define como la solución única que satisface la condición asintótica q(tri−tronq(s) bn(−s)−3n/2, como s→ ­, arg • η + arg(−s) . (4.21) La solución q(s) con la que estamos trabajando es aquel cuyo comportamiento asintótico como s→ es dada por la ecuación q(s)− q(tri−tronq(s) = −e ( 1 )i + 1 × s 32 14 e− 2 s3/2(1 +O(s−1/4) , como s→ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (4.22) Los coeficientes bn de las series asintóticas en (4.17), (4.18) y (4.21) se determinan por sustitución en la ecuación de Painlevé II. De hecho, la siguiente relación de recurrencia se lleva a cabo b0 = 1, b1 = bn+2 = 9n2 − 1 bmbn+2−m − n + 2-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l- blbmbn+2−l−m. (4.23) Usando la relación (4.16) entre las funciones Painlevé II y Painlevé XXXIV llegamos a la caracterización asintótica de la función u(s) del Teorema 1.5. Proposición 4.1 La solución u(s) de la ecuación Painlevé XXXIV que aparece en El teorema 1.5 se caracteriza por una de las siguientes condiciones asintóticas u(s) = [2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + − 3n+1 s−3[2+1]/2−1 + d+s −3 − 1 1 +O(s−1/4) como s→, arg s , (4.24) u(s) = [2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + − 3n+1 s−3[2+1]/2−1 + d−s −3 − 1 1 +O(s−1/4) como s→, arg s , (4.25) 48 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON donde e±2°i − 1 2-6 3-(1 + 2α). (4.26) Alternativamente, la solución u(s) se puede caracterizar por la relación asintótica u(s)− u(tri−tronq(s) = −e 2 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 2-6 3-(1 + 2α) × s−3+ 12 e− 43s3/2 1 +O(s−1/4) , como s→ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (4.27) La solución tri-tronque de Painlevé XXXIV u(tri−tronq)(s) está determinada por la asintótica afección u(tri−tronq(s) − 3n+1 2, tal como se indica en el punto s.............................................................................................................. , η . (4.28) Por último, los coeficientes a de la serie asintótica anterior se pueden expresar en términos de la coeficientes bn definidos en (4.23), sustituidos por 2α + 1/2: 2 a = bn+1 − 3n− 2 k,m≥1;k+m=n+1 bkbm. Nota 4.2 Las asintóticas líderes de la función de Painlevé II q(s) como s → conocidos (véase [33]; véase también [24, capítulo 10]. Desafortunadamente, el término principal no es suficiente para derivar las asintóticas correspondientes como s → • de la función Painlevé XXXIV u(s). De hecho, la asintótica principal de q(s) como s→ es de la forma q(s) ­(s) s3/2 + χ , (4.29) (se conoce la fase χ) y se cancela en el lado derecho de la ecuación (3.22). Los mejor manera de estudiar la gran asintótica s negativa de la función u(s) es a través de la directa análisis del problema del modelo RH para. El caso α = 1 muestra que podríamos esperar comportamiento oscilante como s → â € (véase la Figura 6) y de hecho, asumiendo que 1/2 6 â € N0, somos capaces de demostrar que u(s) = (−s)3/2 − +O(1/s2), como s→ ®. (4.30) La prueba de (4.30) se presentará en una publicación futura. Por otra parte, conjeturamos que asintótica (4.30) determina la solución u(s) de forma única. Agradecimientos Alexander It fue apoyado en parte por la subvención NSF #DMS-0401009. Arno Kuijlaars es sup- Portado por el proyecto FWO-Flanders G.0455.04, por K.U. Subvención a la investigación de Lovaina OT/04/21, por el polaco belga de atracción interuniversitaria P06/02, por la Fundación Europea de la Ciencia Programa MISGAM, y mediante subvención del Ministerio de Educación y Ciencia de España, código del proyecto MTM2005-08648-C02-01. Jörgen Östensson cuenta con el apoyo de K.U. Subvención a la investigación de Lovaina OT/04/24. COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 49 Bibliografía [1] M. 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Anal. 20 (1989), 966–986. http://arxiv.org/abs/nlin/0410009 Introducción y exposición de los resultados Modelos unitarios de matriz aleatoria El problema del modelo RH Conexión con la ecuación Painlevé XXXIV Resumen del resto del documento Prueba del teorema 1.1 y 1.2 El problema Riemann-Hilbert para los polinomios ortogonales El problema del modelo RH Existencia de solución al problema del modelo RH Algunos preliminares sobre las medidas de equilibrio Análisis de descenso más profundo Preliminares Primera transformación Y T Segunda transformación T S La parametrix P() La parametrix P(a) La parametrix P(0) Tercera transformación S R Finalización de las pruebas del teorema 1.1 y 1.2 Prueba de los teoremas 1.4 y 1.5 El problema de Painlevé II RH Conexión con Ecuación diferencial Selección especial (especifíquese) Opción especial 0 Prueba del teorema 1.4 y 1.5 Observaciones finales El caso = 0 El caso = 1 Caracterización asintótica de la función de Painlevé u(s)

Describimos una nueva clase de universalidad para matriz aleatoria unitaria invariante Conjuntos. Surge en el límite de doble escala de conjuntos de $n al azar \tiempos n$Matrices hermitanas $Z_{n,N-1} det M2\alpha} e-N \Tr V(M)} dM$ con $\alpha > -1/2$, donde el factor $det M2\alpha}$ induce comportamiento crítico de autovalor cerca del origen. En el supuesto de que el limitar la densidad media del valor propio asociado con $V$ es regular, y que el origin es un punto final correcto de su soporte, calculamos el eigenvalue limitante kernel de correlación en el límite de escalado doble como $n, N \to \infty$ tal que (n/N-1) = O(1)$. Utilizamos el método de descenso más empinado de Deift-Zhou para el Riemann-Hilbert problema para polinomios en la línea ortogonal con respecto a el peso $x2\alpha} e-NV(x)}$. Nuestra atención principal está en el construcción de una parametrix local cerca del origen por medio de la $\psi$-funciones asociadas con una solución distinguida del Painleve XXXIV ecuación. Esta solución está relacionada con una solución particular del Painleve II. ecuación, que sin embargo es diferente de la solución usual Hastings-McLeod.

Introducción y declaración de resultados 1.1 Modelos unitarios de matriz aleatoria Para n + N, N > 0, y α > −1/2, consideramos el conjunto de matriz aleatoria unitaria Z−1n,N detM 2αe−N TrV (M) dM, (1.1) en el espacio M(n) de n× n matrices ermitañas M, donde V es analítica real y satisface V (x) log(x2 + 1) = â € ¬. (1.2) Este es un conjunto de matriz aleatoria unitaria en el sentido de que es invariante bajo conju- gation, M 7→ UMU−1, por matrices unitarias U. Como es bien sabido [11, 38], induce el después de la densidad de probabilidad en los n autovalores x1,. ............................................ P (n,N)(x1,. .................................................................................................. xj2αe−NV (xj) xi − xj 2. (1.3) La distribución del valor propio es determinante con el núcleo Kn,N construido fuera de los polinomios pj,N(x) = Łj,N x j + · · ·, ­j,N > 0, ortonormal con respecto al peso x2αe−NV (x) en R. De hecho, como lo muestran Dyson, Gaudin, y Mehta, ver e.g. [11, 21, 38], para cualquier m = 1,...., n− 1, la función de correlación de puntos m R(n,N)m (x1,. ............................................................... (N-m)! · · · P (n,N)(x1,. .., xn) dxm+1 · · · dxn (1.4) es dada por R(n,N)m (x1,. .., xm) = det (Kn,N(xi, xj))1≤i,j≤m, (1.5) donde Kn,N(x, y) = xye− N(V (x)+V (y)) pj,N(x) pj,N(y). (1.6) En el límite n,N → فارسى, n/N → 1, el régimen de valor propio global está determinado por V como sigue. La medida de equilibrio μV para V es el minimizador único de IV (μ) = x− ydμ(x)dμ(y) + V (x)dμ(x) (1.7) toma sobre todas las medidas de probabilidad Borel μ en R. Puesto que V es analítica real tenemos que μV se apoya en una unión finita de intervalos disjuntos [13], y tiene una densidad n.N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o 1 Kn,N(x, x) = V (x), x 6= 0. La densidad de valor propio medio limitante es independiente de α. COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 3 El factor detM 2α cambia el comportamiento local de autovalor cerca de 0. Esto se refleja en en los límites de escala local de Kn,N alrededor de 0 que dependen de α. Si 0 se encuentra en la mayor parte de el espectro y el V (0) > 0, entonces en lugar del núcleo sinusoidal habitual obtenemos un núcleo de Bessel dependiendo de α [37]. Si 0 es a granel y.V (0) =. V (0) = 0, V (0) > 0, luego el local límites de escala del núcleo cerca de 0 se asocian con la solución Hastings-McLeod de la ecuación de Painlevé II q′′ = sq + 2q3 − α [9]. En este trabajo estudiamos el efecto de α en el caso 0 es un punto final del espectro que es tal que la densidad V desaparece como una raíz cuadrada en 0. Para α = 0 el límite de escala es el conocido núcleo de Airy, ver los papeles [6, 26, 39, 42] y también [3, 12], y por lo tanto somos haciendo la pregunta: ¿Cuál es la generalización α del núcleo de Airy? Para α > −1/2, hemos encontrado una nueva familia de un parámetro de núcleos limitantes como se indica en Teorema 1.1 infra. En el Teorema 1.1 también suponemos que la densidad de valor propio regular, lo que significa lo siguiente. • La función x 7→ 2 log x − sV (s)ds − V (x) definido para x R, asume su valor máximo sólo en el soporte de?V. • La densidad V es positiva en el interior de su soporte. • La densidad V se desvanece como una raíz cuadrada en cada uno de los puntos finales de su soporte. Teorema 1.1 Por cada α > −1/2, existe una familia de un parámetro de núcleosKedgeα (x, y; s) tal que lo que sigue se mantiene. Let V ser un campo externo analítico real en R tal que su la densidad media de la limitación del valor autóctono V es regular. Supongamos que 0 es un punto final derecho de la soporte de V de modo que para alguna constante c1 = c1,V > 0 V (x) x1/2 como x→ 0−. (1.8) Entonces existe una segunda constante c2 = c2,V > 0 tal que n.N.e.p. (c1n)2/3 (c1n)2/3 (c1n)2/3 = Kedgeα (x, y; s) (1.9) cuando n,N → tal que = L + R (1,10) y s = −c2,V L. Para α = 0, los núcleos limitantes se reducen al núcleo 0 (x, y; s) = Ai(x+ s)Ai′(y + s)− Ai′(x+ s)Ai(y + s) x− y, (1.11) que es el núcleo Airy (desplazado) de la teoría de matriz aleatoria mencionada anteriormente, véase también Subsección 4.1 infra. Para α 6= 0, se necesita un nuevo tipo de funciones especiales para describir el núcleo limitador Kedgeα (x, y; s). Esta descripción se da en las subsecciones siguientes. 4 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON Figura 1: Contorno para el problema del modelo RH. 1.2 El problema del modelo RH Describimos Kedgeα (x, y; s) a través de la solución de un prob especial Riemann-Hilbert (RH) lem, que nos referiremos como el problema de RH modelo. El problema de la RH modelo se plantea en un contorno en un plano auxiliar, que consiste en cuatro rayos: 1 = {arg • = 0}, 2 = {arg • = 2η/3}, 3 = {arg • =, y 4 = {arg • = −2η/3} con orientación como se muestra en la Figura 1. Como es habitual en los problemas de RH, la orientación define un + y un − lado en cada parte del contorno, donde el +-lado está a la izquierda cuando atravesar el contorno de acuerdo a su orientación. Para una función f en C \ فارسى, utilizamos f± para denotar sus valores límite sobre el valor de referencia tomados del lado ±, a condición de que dichos valores límite existe. El contorno divide el plano complejo en cuatro sectores también se muestra en el Figura. El problema del modelo RH dice lo siguiente. Riemann-Hilbert problema para (a) : C \ فارسى → C2×2 es analítico. b),+(­) =,−(­) , en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de ,+(l) =,−(l) e2'i 1 , en nombre de la República Popular Democrática de Corea............................................................................................. ,+(l) =,−(l) , en nombre de la República Popular Democrática de Corea............................................................................................. ,+(l) =,−(l) e - 2 - i 1 , en nombre de la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de China, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República de Polonia, la República Eslovaca. c) () = 3/4 1 (I + O(1/+1/2))e−( 3/3/2+s-1/2)/3, en la forma siguiente:....................................................................................................................................................................................................................................................... Aquí 3 = ( 1 00 −1 ) es la tercera matriz pauli. d) () = O como فارسى → 0, si α < 0; y COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 5 () = • 0 con • • • • 1 • • • 4, • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • si α ≥ 0. Aquí, y en lo que sigue, los O-términos se toman en la entrada. Tenga en cuenta que el problema de RH depende de un parámetro s a través de la condición asintótica en el infinito. Si queremos enfatizar la dependencia de s escribiremos ( ; s) en lugar de (). El problema del modelo RH no es exclusivamente solvable. De hecho, si es una solución, entonces ( es también una solución para cualquier η = η(s), y resulta que esta es la única libertad lo tenemos (véase la Proposición 2.1). Teorema 1.2 El problema del modelo RH es solvable para cada s R. Let ser una solución del problema del modelo RH y poner 1(x; s) 2(x; s) ,+(x; s) , para x > 0, ,+(x; s)e iÔ3 , para x < 0. (1.12) Entonces el núcleo limitador Kedgeα (x, y; s) se puede escribir en la “forma integrable” Kedgeα (x, y; s) = *2(x; s)*1(y; s)−*1(x; s)*2(y; s) 2πi(x− y). (1.13) La función 2 depende de la elección particular de la solución al modelo RH problema. De hecho, para cualquier η tenemos que el mapeo 7→ # Hojas # # 1 invariante # y cambia 2 a 2 + 1. Sin embargo, esto no cambia la expresión (1.13) para el kernel Kedgeα (x, y; s). Se deduce de (1.12) y de la parte c) del problema del modelo RH que Comportamiento asintótico 1(x; s) = 2x1/4 x3/2−sx1/2(1 +O(x−1/2)), (1.14) 2(x; s) = ix1/4 x3/2−sx1/2(1 +O(x−1/2)), (1.15) como x→ â € TM, y 1(x; s) = 2x1/4 cos x3/2 − sx1/2 − π/4 +O(x−3/4), (1.16) 2(x; s) = −i 2x1/4 pecado x3/2 − sx1/2 − π/4 +O(x−1/4), (1.17) como x→ â € ¬. Observación 1.3 El núcleo Kedgeα (x, y; s) describe un efecto de borde para la matriz aleatoria conjunto (1.1). Si suponemos que 0 es el punto más a la derecha en el soporte de V, y si se da M dejamos que el valor máximo(M) denote su valor propio más grande, entonces sigue bajo las suposiciones de Teorema 1.1, en particular la hipótesis de límite (1.10), de que n.N.e.p. (c1n) 2/3max ≤ t = det 1 - Kα,s(t, , (1.18) 6 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON donde Kα,s(t,Ł) es el operador de la clase de trazas en L2(t,Ł) con kernel Kedgeα (x, y; s). A probar (1.18) uno debe demostrar que el operador con el núcleo 1 (c1n)2/3 (c1n)2/3 (c1n)2/3 Converge en la norma de la clase de traza en L2(t,­) al operador con kernel Kedgeα (x, y; s). Esto requiere buenas estimaciones sobre la tasa de convergencia en (1.9), que pueden establecerse como en [12]. Para α = 0, el núcleo es el núcleo Airy (desplazado), y el determinante Fredholm (1.18) tiene una expresión equivalente en términos de una solución especial de la ecuación Painlevé II. La distribución resultante es la famosa distribución Tracy-Widom [42, 43]. Lo sería. muy interesante para encontrar una expresión análoga para α general. La conexión con el modelo RH problema dado en Teorema 1.2 se puede utilizar para obtener tal expresión, siguiendo el enfoque de [5] y [27]. Estamos planeando abordar esta cuestión en un futuro. publicación. 1.3 Conexión con la ecuación Painlevé XXXIV El problema del modelo RH está relacionado con una solución especial de la ecuación número XXXIV de la lista de Painlevé y Gambier [29], u′′ = 4u2 + 2su+ (u′)2 − (2α)2 . (1.19) Todas las soluciones de (1.19) son meromórficas en el plano complejo. Teorema 1.4 Let ( ; s) ser una solución del problema del modelo RH. Entonces u(s) = −s − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ( ; s)e ( 23................................................................................................................................................... 3/2+s­1⁄2)­3 1­ 3/4 (1.20) existe y satisface (1.19). La función (1.20) es una solución global de (1.19) (es decir, lo hace no tienen polos en la línea real), y no depende de la solución particular de la El problema del modelo RH. La conexión con la ecuación Painlevé XXXIV lleva a los siguientes caracteres: zation de 1° y 2° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Teorema 1.5 Dejar ser la solución de Painlevé XXXIV dada por (1.20). Entonces, ahí está. existe una solución del problema del modelo RH de tal manera que las funciones â € 1 y â € 2 definido por (1.12) satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales lineales 1(x; s) 2(x; s) u′/(2x) i− iu/x −i(x+ s+ u+ ((u′)2 − (2α)2)/(4ux)) −u′/(2x) 1(x; s) 2(x; s) (1.21) y tienen asintótica (1.14)–(1.17). De hecho, vamos a demostrar que para C ( ; s) = u′/(2­) i− iu/­ −i( + s+ u+ ((u′)2 − (2α)2)/(4u)) −u′/(2Ł) ( ; s) (1.22) COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 7 de la cual (1.21) sigue fácilmente en vista de (1.12). Insistimos en que (1.21) y (1.22) mantener para una solución particular del problema del modelo RH. Cualquier otra solución( ( ; s) también satisface un sistema de ecuaciones diferenciales lineales, pero con la matriz u′/(2­) i− iu/­ −i( + s+ u+ ((u′)2 − (2α)2)/(4u)) −u′/(2Ł) . (1.23) Con el fin de hacer de Teorema 1.5 un auténtico, es decir, independiente del problema RH, caracterización de 1 y 2, necesitamos una caracterización independiente de la fórmula (1.20) de la solución u(s) de la ecuación (1.19). Esto se puede lograr indicando la asintótica Comportamiento de u(s) como s → فارسى, cf. la caracterización de la solución Hastings-McLeod de Ecuación Painlevé II [28]. Discutimos esta cuestión en detalle en la última sección del documento, Véase, en particular, la Propuesta 4.1 y el final de la Observación 4.2, donde la posible asintótica se dan las caracterizaciones de la solución u(s). 1.4 Resumen del resto del documento En la Sección 2 damos las pruebas de Teorema 1.1 y Teorema 1.2. Comenzamos por presentar el problema RH para los polinomios ortogonales en la línea [23]. La correlación del valor propio kernel Kn,N se puede expresar explícitamente en términos de la solución de este problema RH [11, 15]. Como en artículos anteriores, véase, por ejemplo. [3, 4, 8, 9, 14, 15], aplicamos el descenso más empinado de Deift-Zhou método para los problemas de RH, véase [16]. Para el análisis local cerca de 0, necesitamos el modelo RH problema para ( ; s) tal como se introdujo en la subsección 1.2. Mostramos, siguiendo la metodología de [25], que el problema de modelo RH tiene una solución para cada s R. A continuación, seguimos la pasos habituales en el análisis de descenso más empinado para problemas de RH, que nos llevan a las pruebas de Teorema 1.1 y 1.2. La sección 3 está dedicada a las pruebas de Teorema 1.4 y Teorema 1.5. Comenzamos por la discusión del problema de RH, en la forma debida a Flaschka y Newell, Painlevé II ecuación q′′ = sq+2q3− v. A continuación [2], mostramos que para una elección especial de datos monodrómicos el problema de Flaschka-Newell RH está relacionado con el problema de modelo RH. Los parámetros en las ecuaciones de Painlevé están relacionados por v = 2α + 1/2. La monodromia los datos corresponden a una solución de Painlevé II que es diferente de la Hastings-McLeod solución que ha aparecido más a menudo en la teoría de matriz aleatoria [4, 8, 9, 28, 42]. Los resultados conocidos (asintóticos, par laxista, etc.) para el problema de RH para Painlevé II son entonces transferido al problema del modelo RH, y luego utilizado para completar las pruebas de los teoremas 1.4 y 1.5. En particular da lugar a la solución especial u del Painlevé XXXIV ecuación definida por (1.20). En la sección 4 formulamos algunas observaciones finales. Para los casos especiales importantes α = 0 y α = 1, mostramos cómo el problema de RH modelo se puede resolver explícitamente en términos de Funciones aéreas, y cómo el núcleo limitador Kedgeα (x, y; s) así como el especial Painlevé XXXIV solución u se puede calcular explícitamente en ambos casos. Nuestras observaciones finales se refieren a la caracterización de u, en el caso de α general, a través de su comportamiento asintótico en El infinito. 8 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON 2 Prueba del teorema 1.1 y 1.2 2.1 El problema Riemann-Hilbert para los polinomios ortogonales El problema RH para polinomios ortogonales en la línea, para nuestro peso particular, es el a continuación (cf. [23]). Riemann-Hilbert problema para Y • Y : C \ R → C2×2 es analítico. • Y+(x) = Y−(x) 1 x2αe−NV (x) para x â € Râ € ¢ 0}, con R orientado de izquierda a derecha. • Y (z) = (I + O(1/z)) 0 z−n como z → فارسى. • Si α < 0, entonces Y (z) = O 1 z2α 1 z2α como z → 0. Si α ≥ 0, entonces Y (z) = O ( 1 11 1 ) como z → 0. El problema de RH tiene la solución única Y (z) = pn,N(z) 2lnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnsnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnsnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnsssssssssss pn,N(s)s2αe−NV(s) s− z ds −2ηi Łn−1,N pn−1,N(z) n−1,N pn−1,N(s)s2αe−NV(s) s− z ds , (2.1) donde pj,N(x) = Łj,N x j + · · · es el polinomio ortonormal con respecto al peso x2αe−NV (x). Por (1.6) y la fórmula Christoffel-Darboux para polinomios ortogonales, Tenemos Kn,N(x, y) = xye− N(V (x)+V (y))­n−1,N pn,N(x) pn−1,N(y)− pn−1,N(x) pn,N(y) x− y. (2.2) Por lo tanto, utilizando (2.1) y el hecho de que det Y • 1, podemos expresar la correlación de valor propio núcleo directamente en términos de Y : Kn,N(x, y) = (x− y) x ye− 12N(V (x)+V (y)) Y −1+ (y)Y+(x) . 2.3) La idea principal para la prueba de los teoremas 1.1 y 1.2 es aplicar el más fuerte empinado análisis de descenso para los problemas de RH de Deift y Zhou [16] al problema de RH satisfecho por Y. En el caso que nos ocupa consiste en construir una secuencia de transformaciones invertibles Y 7→ T 7→ S 7→ R, donde la función de valor de matriz R está cerca de la identidad. Por desarrollar las transformaciones anteriores asintóticas para Y y por lo tanto, en vista de (2.3), para Kn,N en varios regímenes puede ser derivado. Nuestra principal atención se dedicará a los locales comportamiento de Y cerca de 0. Alrededor de 0 construimos una parametrix local con la ayuda de la problema de RH modelo, que a continuación discutimos con más detalle. COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 9 2.2 El problema del modelo RH El problema del modelo RH no es exclusivamente solvable. Proposición 2.1 Que sea una solución del problema del modelo RH. Entonces lo siguiente Espera. a) det 1. (b) Para cualquier η R (que puede depender de s), tenemos que también resuelve el El problema del modelo RH. c) Dos soluciones están relacionadas, como en la parte b), es decir, si α y  α son dos soluciones del problema de la RH modelo, entonces α para algunos η = η(s). Prueba. (a) Tenemos que det es analítico en C \ {0}, ya que todas las matrices de salto tienen determinante uno. En caso de α < 0 obtenemos de la condición (d) del problema de RH que det() = O( 2α) como → 0. Desde 2α > −1 se deduce que la singularidad en el el origen es removible. En caso α ≥ 0 encontramos de la condición (d) del problema de RH que = O(1) como • → 0 en • 1 • • 4. Por lo tanto, la singularidad en el origen no puede ser un poste. Puesto que det = O( 2α) como → 0, no puede ser una singularidad esencial y por lo tanto la singularidad en el origen es removible también en este caso. Por lo tanto det es Todo. De la condición (c) del problema de la RH se deduce que det() → 1 como y así parte (a) de la proposición sigue del teorema de Liouville. b) Es evidente que cumple las condiciones (a), (b) y (d) del modelo RH problema. Para establecer (c) basta observar que 3/4 = 3/4 2-1/2 = 3/4 (I + O(1/+1/2)) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • c) Habida cuenta de lo dispuesto en la parte a), sabemos que α es invertible. Entonces... −1 es analítico en C \ {0} y, por argumentos similares a los de la prueba de la parte a), la singularidad en el origen es removible. Como • → • obtenemos de la condición (c) del problema del modelo RH • 2)α (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) α (­)) −1 = 3/4 (I + O(1/2)) 3/4 = I + O 1/2 1 1 1/2 La declaración se deriva ahora del teorema de Liouville. â € € TM TM En lo siguiente necesitaremos más información sobre el comportamiento en el origen de funciones que satisfacen las propiedades (a), (b) y (d) del problema del modelo RH. Lo siguiente: el resultado es similar a la Proposición 2.3 en [9]. Proposición 2.2 Dejemos que • satisfaga las condiciones (a), (b) y (d) del problema de RH para. Entonces, con todas las ramas siendo principales, la siguiente bodega. 10 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON • Si 1 /+ N0, existe una función analítica valorada por la matriz E y matrices constantes Aj tal que En el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. (2.4) Dejando que vj denote la matriz de salto para............................................................................................................. A1 = A4 v1, A1 = A2 v2, A3 = A4 v4, (2,5) 2 porque... 2 porque... −ei ei * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (2.6) • Si 1 N0, entonces tiene un comportamiento logarítmico en el origen: Existe un análisis matriz valorada función E y matrices constantes Aj tal que • (­) = E(­) # Log # 0 Aj, para Łj. (2.7) Dejando que vj denote la matriz de salto para............................................................................................................................... A1 = A4 v1, A1 = A2 v2, A3 = A4 v4, (2.8) 0 e3πi/4 e.i./4.e.i./4.e.i.i. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (2.9) • En todos los casos sostiene que detAj = 1 y (A1)21 = (A4)21 = 0. (2.10) Prueba. La declaración (2.10) es una consecuencia inmediata de las fórmulas explícitas para los Aj. Considere el caso 1 - N0. Definir E por (2.4), es decir, dejar E(­) = (­) (­) A−1j (­) 3, en el caso de la letra a) del apartado 2 del artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, en el caso de la letra a) del apartado 3 del artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, en el caso de la letra a) del apartado 3 del artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, en el caso de la letra a) del apartado 3 del artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, en el caso de la letra a) del apartado 3 del artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, en el caso de la letra a) del apartado 3 del artículo 3 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, en el caso de la letra a) del apartado 3 del artículo 3 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, en el caso de la letra a) del apartado 3 del artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1307/2013, en el caso de la letra b) del apartado 2 del artículo 3 del Reglamento (UE) n.o 1307/2013. con Aj como en (2.5), (2.6). Entonces E es analítica en C \ فارسى. Ahora demostramos que E es de hecho Todo. Las relaciones (2.5) y la condición (b) del problema del modelo RH implican que E es analítico también en #1 #2 #4 Por otra parte, el 3 de E−1− (­)E+(­) = ­ − A3 v3A Ahora, por (2.5), (2.6), y computación directa A3 v3A 2 = A2 v2 v 1 v4 v3A 2 = e 2o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° +. (2.12) COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 11 Por lo tanto, E es analítica también en Ł3, y por lo tanto en C \ {0}. A continuación mostramos que la singularidad en 0 es removible. Si α < 0, vemos de (2.11) y la condición (d) del problema del modelo RH, que como • → 0 E(­) = O 0 Oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh. 1 2α 1 2α por lo que (desde 2α > −1) la singularidad aislada en 0 es realmente extraíble. Si α ≥ 0 y  → 0 En el punto 1 encontramos de la misma manera (también usando (A1)21 = 0) que E(­) = O 0 Oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh. de modo que E está limitada cerca de 0 en Ł1 y por lo tanto 0 no puede ser un polo. Dado que 0 no puede ser un singularidad esencial, ya sea, concluimos que la singularidad es realmente removible. En caso α − 1 N0 la prueba es casi idéntica, sólo que ahora la ecuación (2.12) es sustituida por A3 v3A 2 = A2 v2 v 1 v4 v3A −1 −2i − 1 # Log # # Log # 0 . (2.13) 2.3 Existencia de solución al problema del modelo RH Necesitaremos que para s â € R el problema del modelo RH realmente tiene una solución. Para probar existencia de una solución al problema del modelo RH basta para probar la existencia de un (único) Solución (especifíquese) α al problema RH especial obtenido cuando la asintótica (c) en el infinito se sustituye por el texto siguiente: (especifíquese)α (especifíquese) = (I + O(1/ 3/4 1 3/3/2+s-1/2)- 3, (2.14) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Un elemento clave en la prueba de la solvabilidad única del problema de RH para (especifíquese) α es la después de la desaparición del lema (cf. [25]). Proposición 2.3 (lema disuasorio) 3/2+s1/2. Supongamos que Fα satisface las condiciones (a), (b) y (d) en el problema de RH para pero, en lugar de condición (c), tiene el siguiente comportamiento en el infinito: Fα(­) = O(1/­) 3/4 1 e()3, (2.15) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Entonces Fα 0. 12 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON Prueba. Las ideas de la prueba son similares en espíritu a las de Deift et al. [14]. Deja que Gα se definirá como sigue: Gα(­) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Fα(Ł)e • (e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e). , en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de Fα(Ł)e • (e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e). e2oe2oe(­) 1 , en nombre de la República Popular Democrática de Corea............................................................................................. Fα(Ł)e • (e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e). −e−2­ie2­(­) 1 , en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de Fα(Ł)e En lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de la parte de en lugar de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte de la parte, (2.16) Entonces Gα satisface el siguiente problema de RH. Riemann-Hilbert problema para Gα a) Gα : C \ R → C2×2 es analítico. (b) Gα,+(l) = Gα,−(l)vGα(l) en el caso de R \ {0}, donde vGα(­) = e - 2-(-) - 1 , en el caso de los vehículos de motor de la partida 8701, 1 -e2-ie2 (-) e-2oOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO , en el caso de los productos < 0. (2.17) c) Gα(­) = O(­) −3/4) como • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (d) Gα tiene el siguiente comportamiento cerca del origen: Si α < 0, Gα(­) = O , al igual que en la sección 0 → 0, (2.18) y si α ≥ 0, Gα(­) = como • → 0, Im • > 0, 0, Im • < 0. (2.19) Los saltos en (b) siguen de los cálculos directos que utiliza que () + () = 0 para < 0. El comportamiento (c) de Gα en el infinito (uniforme en cada sector) sigue directamente a partir de (2.15), (2.16), y el hecho de que Re...................................................................................................................................................................................................................................................... El comportamiento (2.18) en el origen es inmediata de la condición (d) del problema de RH para Fα, y así es el comportamiento (2.19) si • → 0 con • • • • • 1 • • • 4. Para probar (2.19) si • → 0 con Necesitamos la Proposición 2.2. Considerar en primer lugar el caso α − 12 / N0 y COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 13 Entonces tenemos, usando (2.16), (2.4), (2.5), y (2.10) Gα(­) = Fα(­)e • (e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e). e2oe2oe(­) 1 = E()3A2 e2'i 1 e.. (........................................................................................................................................ = E()3A2 e2'i 1 e(­)e3 = E()3A1 e(l)o3 = E(l)o3 e()3, donde ∗ denota una constante no especificada. Usando el límite de E y Ł en el origen, se encuentra (2.19) como • → 0 en el sector •2. Se trata de manera similar el caso................................................................................................................ Uso (2.7), (2.8) en lugar de (2.4), (2.5), el mismo argumento funciona en el caso α − 1 N0. Nota que a pesar de la entrada logarítmica en (2,8), no hay entradas logarítmicas en (2,19). Introducir la función matriz auxiliar valorada Hα(l) = Gα(l) (Gα(l)) ∗, C \ R. (2.20) Entonces Hα es analítico y Hα(­) = O(­) −3/2), como • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (2.21) De la condición (d) en el problema de RH para Gα se deduce que Hα tiene la siguiente comportamiento cercano al origen: Hα(­) = 2α 2α 2α 2α 0, en el caso de α < 0, en el caso de α ≥ 0, igual o superior a 0. (2.22) Desde α > −1/2, vemos de (2.21) y (2.22) que cada entrada de Hα,+ es integrable sobre la línea real, y por el teorema de Cauchy y (2.21) Hα,+() d = 0. (2.23) Es decir, por (2.20), Gα,+(l) (Gα,−(l)) * = 0. (2.24) Sumando (2.24) a su conjugado ermitaño y usando (2.17) obtenemos Gα,−(­) [vGα(­) + (vGα(­)) ∗] (Gα,−(l)) Gα,−(­) (Gα,−(فارسى)) * + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Gα,−(­) 2e−2o(­) 0 (Gα,−(فارسى)) * d.............................................................................................................................................................................................................................................................. (2.25) 14 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON Aquí también usamos que (­) = (­) iR para < 0, que se sostiene porque s es real. La identidad (2.25) implica que la primera columna de Gα,- desaparece idénticamente en R. Así, en vista de la forma de la matriz de salto en (2.17), la segunda columna de Gα,+ desaparece idénticamente en R también. Se deduce que la primera columna de Gα desaparece idénticamente en el semiplano inferior, y la segunda columna desaparece idénticamente en el semiplano superior. Para probar que la matriz completa Gα desaparece idénticamente en ambos semi-planos, utilizaremos un teorema tipo Phragmen-Lindelöf debido a Carlson [7, 41]. Definir para j = 1, 2, gj(­) = (Gα)j1(­), para Im • > 0, (Gα)j2(­), para Im......................................................................................................................................................................................................................................................... (2.26) Las condiciones del problema de RH para el rendimiento de Gα que tanto g1 y g2 tienen análisis contin- la evaluación a lo largo de (0,) y que ambas son soluciones del siguiente problema escalar RH. Riemann-Hilbert problema para g • g : C \ (, 0] → C es analítica con salto g+(­) = g−(­) e − 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 3o, 3o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, (2.27) • g() = O(3/4) como • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • g() = O( ) como • → 0. Vamos a demostrar que este problema de RH tiene sólo la solución trivial. Deja que g sea cualquier solución y definir por • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • g(­2), si se trata de Re­ ­ > 0, g(­2)e−2­ie−2( En el caso de los vehículos de motor de la partida 8701, el valor de los vehículos de motor de la partida 8701 no excederá del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. g(­2)e2­ie­−2( En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. (2.28) La propiedad de salto (2.27) asegura que • es analítica a través del eje imaginario. Ahora defina h(­) = 1 + فارسى En el caso de los Estados miembros, el importe total de la ayuda se calculará sobre la base de los importes consignados en el artículo 4, apartado 1, del Reglamento (UE) n.o 1308/2013. con (como de costumbre) las principales ramas de los poderes fraccionarios. Entonces se puede comprobar que h es analítica en Re • > 0, limitada para Re • ≥ 0, y satisface h() ≤ Ce−c4, en caso de iR, para algunas constantes positivas c y C. Por lo tanto, por el teorema de Carlson, h • 0 en Re • ≥ 0. Por lo tanto g 0, y así g1 y g2 son ambos idénticamente cero. De ello se deduce que la matriz completa Gα desaparece idénticamente en ambos semi-planos. Así Fα 0 por (2.16), y esto completa la prueba de la proposición. â € € TM TM Ahora mostramos cómo (única) solvabilidad del problema de RH para (especifíquese) α puede deducirse del lema de la desaparición de arriba. COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 15 Proposición 2.4 El problema de la RH para (especifíquese) α tiene una solución única para cada s R. Prueba. La idea de la prueba es la siguiente: Dada una solución (especifíquese) α a la prob RH anterior lem, mostramos cómo construir una solución mα a un cierto problema de RH normalizado (es decir, mα(­) → I as • → • •) caracterizado por una matriz de salto v en un contorno, y con- Versículosamente. Para probar la proposición basta, por lo tanto, probar (única) solvabilidad de la Problemas de RH normalizados. Esto se puede hacer utilizando la relación básica entre problemas RH normalizados y ecuaciones integrales singulares. Recordamos brevemente, en nuestro entorno, algunos hechos estándar con respecto a esta relación. Para más detalles, y pruebas, el lector se remite a los documentos [17, 18, 19, 44] y al apéndice de [32]. Deje C denotar el operador Cauchy Ch(­) = s− • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 2 (), C \, (2.30) y denotar por C±h(), , los límites de Ch( ′) como فارسى ′ → فارسى desde el lado (±) de. Los los operadores C± están delimitados en L 2(). Vamos. v(­) = (v−(­)) −1v+(), , (2.31) ser una factorización puntual de v(l) con v±(l) GL(2,C), y definir a través de v±(­) = I ± (­), . (2.32) Nuestra elección de la factorización implicará que L2() L(). La singular integral operador C. : L. 2() → L2(), definido por = C+(h) + C−(h), h L2(), (2.33) se delimita entonces en L2(). Además, tiene sentido estudiar la ecuación integral singular (1 - C-)μ = I (2,34) en el caso de μ I+L2(). Porque si escribimos μ = I + h, entonces (2.34) toma la forma (1 - C-)h = C-I-L2(). (2.35) Suponga que μ I + L2() es una solución de (2.34). Entonces, de hecho mα() = I + C(μ( + )))), C \, (2.36) resuelve el problema de RH normalizado. Por lo tanto, si podemos probar que el operador 1 − una biyección en L2(), entonces la solvabilidad del problema de RH para mα, y por lo tanto para (especifíquese) α, se ha establecido. La bijectividad de 1 − C­ en L2() se demuestra en dos pasos. Nosotros primera muestra que, para una elección apropiada de = (, ) en la factorización anterior, 1− Es Fredholm en L2() con índice 0. En segundo lugar, mostramos que el núcleo de 1 - C trivial. Ahora, es un hecho estándar que ker (1 - C-) = {0} si y sólo si el asociado problema de RH homogéneo (por ejemplo m0α) tiene sólo la solución trivial. Pero lo explícito relación entre los (especifíquese) α y mα también establece una relación entre las soluciones Fα y m 16 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON Figura 2: Contorno para el problema de RH para mα. de los problemas de RH homogéneos asociados. En vista de la Proposición 2.3, que dice que Fα 0, el segundo paso ya se ha logrado. Ahora establecemos la relación antes mencionada entre (especifíquese) α y mα, derivar el RH problema satisfecho por mα, y finalmente mostrar que una factorización de v puede ser elegido así que 1 - C- es Fredholm con índice 0, cf. [25]. Que D = C < 1}. Set ­(­) = 2 3/2 + s-1/2 y mα(­) = (especifíquese) α (­)A # Log # , en el caso de la letra d) del apartado 1 del artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, (especifíquese) α (­)e - (l)3 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 3/4, en lugar de la letra D) del apartado 2 del artículo 3 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013. (2.37) con {Aj}4j=1 siendo las matrices en la Proposición 2.2, y donde = 1 si 1/2 N0 y De lo contrario. Por la Proposición 2.2 se deduce que mα es analítica en D. Let = orientar los componentes de como en la Figura 2. Esto hace que un contorno completo, lo que significa que C se puede expresar como la unión de dos conjuntos discontinuos, C =, = que es el límite orientado positivamente de y el límite orientado negativamente de Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Let j = Las computaciones muestran que mα satisface el siguiente problema de RH normalizado. Al igual que en Proposición 2.2 usamos vj para denotar la matriz de saltos en el modelo de problema RH. Riemann-Hilbert problema para mα • mα : C \ → C2×2 es analítico. • mα,+(l) = mα,−(l)v(l) para , donde COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 17 v(­) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * I, por el Sr. D, 3/4 1 e3vje 3 1 3/4, en lugar de la letra D) del apartado 2 del artículo 3 del Reglamento (CE) n.o 1224/2009. {1, 2, 4}, I, para # # # # # 3 # D # Log # 0 3 1 3/4, para j, j {1, 3}, 3/4 1 e3A−1j # Log # , para j, j {2, 4}. • mα(­) = I + O(1/­) como • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • La analitica de mα en ­3 • D sigue desde (­) + (­) = 0 para < 0. Es importante tener en cuenta que v()− me decae exponencialmente a lo largo de. Siguiente observar que, en cualquiera de los puntos 0, A, B, C, D de auto-intersección de (véase la figura 2), precisamente cuatro contornos se unen. En un punto fijo de auto-intersección, digamos P, orden los contornos que se encuentran en P en sentido contrario a las agujas del reloj, a partir de cualquier contorno que está orientado hacia fuera de P. Denotando el valor límite de las matrices de salto sobre el contorno jth en P por v(j)(P ), entonces tenemos la relación cíclica v(1)P ) v(2)P ) v(3)P ) v(4)(P) = I. (2.38) Esto es trivial en el caso P = 0, y sigue por cálculo directo en los otros casos. Nosotros observación de que la relación cíclica (2.38) en C es una consecuencia de la relación (2.12) en el Caso α − 1/2 6o N0, y de (2.13) en el caso α − 1/2o N0 (véase la prueba de la Proposición 2.2). Fuera de los pequeños barrios de los puntos de auto-intersección elegimos lo trivial factorización v+ = v, v− = I en (2.31), de modo que = v − I, = 0 por (2.32). Usando el relaciones cíclicas (2.38), entonces somos capaces de elegir una factorización de v en el resto barrios de tal manera que es continuo a lo largo de la frontera de cada conectado componente de, y de manera similar, es continuo a lo largo del límite de cada conectado componente de. La decaimiento exponencial de v()− I como → asegura que L2()L(). Desde esto es lo que se deduce que 1 - C- es Fredholm en L2(). De hecho, set = I − v−1−, = v−1+ − I. (2.39) La elección de = (, ) está motivada por las relaciones = +, = −( + ). (2.40) Un cálculo directo, utilizando C+ − C− = 1 y (2.40), muestra que (1 - C-)(1 - Ce-) = 1 + T, (2.41) donde Tf = C+(C−[f( + )])) + C−((C+[f( + )])) (2.42) 18 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON para la letra f) del punto L2(). Cálculos estándar, utilizando la continuidad de las funciones resp. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * a lo largo del límite de cada componente conectado de resp. , mostrar que T es compacto en L2(). Cálculos similares muestran que (1 - Ce-)(1 - C-) = 1 + S, con S compacto en L2(). Así que 1- Ce- es un pseudoinverso para 1- C-, que es por lo tanto Fredholm en L2(). De la teoría general se deduce que el índice del operador 1 - C-C- es igual a la bobina número de det v a lo largo de, este último se define de la manera natural. Ahora, desde el punto de vista del v. Esto es trivialmente cero. Esto completa la prueba de la Proposición 2.4. â € € TM TM Observación 2.5 El problema de la RH (especifíquese) α es realmente solvable para todos s C \D, donde D es un conjunto discreto en C (desconectado de R según la Proposición 2.4), y la solución (especifíquese) es meromórfico en s con polos en D. Para ver esto, primero observamos que la factorización (2.31), (2.32) se puede hacer de tal manera que sean ambas analíticas en s. Se deduce que s 7→ 1−C un mapa analítico tomando valores en los operadores de Fredholm en L2(). Desde que sabemos que 1 - C- es invertible para s R, entonces obtenemos, por una versión del teorema de Fredholm analítico [44], que μ definido por (2.34) es meromórfico. Por lo tanto mα y por lo tanto (especifíquese) α es meromórfico en s. 2.4 Algunos preliminares sobre las medidas de equilibrio Antes de embarcarnos en el análisis de descenso más pronunciado para el problema de RH de la subsección 2.1, recordamos ciertas propiedades de las medidas de equilibrio, véase [11, 40]. Usamos lo siguiente: notación: , Vt(x) = V (x). (2.43) Como se explica en la Introducción, estamos interesados en el caso donde n/N → 1 como n,N → •, lo que significa que estamos interesados en t cerca de 1. Por cada t consideramos la energía IVt(μ) funcional como en (1.7), y su minimizador μt. La medida de equilibrio dμt = Łt dx se caracteriza por el siguiente Euler-Lagrange condiciones variacionales: Hay una constante lt â € ~ R tal que log x− st(s) ds− Vt(x) + lt = 0, x suppμt, (2.44) log x− st(s) ds− Vt(x) + lt ≤ 0, x R \ supp μt. (2.45) Para t = 1, tenemos que el soporte de μV consiste en una unión finita de intervalos disjuntos, Véase [13], decir supp μV = [aj, bj] con a1 < b1 < a2 < · · · < ak < bk. Debido a la suposición de que la densidad de V de μV es Normalmente, tenemos la siguiente propuesta. Proposición 2.6 Por cada t en un intervalo de alrededor de 1, tenemos que la densidad?t de μt es regular, y que supp μt consiste en intervalos k, digamos supp μt = [aj(t), bj(t)] COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 19 con a1(t) < b1(t) < a2(t) < · · < ak(t) < bk(t). En este intervalo alrededor de 1, las funciones t 7→ aj(t) y t 7→ bj(t) son analíticas reales con a′j(t) < 0 y b′j(t) > 0. Prueba. Véase Teorema 1.3 iii) y Lemma 8.1 de [36]. â € € TM TM Para el resto de la prueba de Teorema 1.1 asumiremos que suppμV consiste en un intervalo. En el caso general (cuando el suppμV consiste en k ≥ 2 intervalos) se procede análogamente, pero la parametrix lejos de los puntos finales dados en la subsección 2.5.4 debe a continuación, en lugar de ser construido con la ayuda de la función de B-períodos para los dos- Superficie de Riemann y2 = Πkj=1[(z − aj)(z − bj)] obtenida pegando dos copias del plano de corte C \ j=1[aj, bj] de la manera estándar [14, 37]. Desde las fórmulas será más complicado en el caso multi-intervalo, pero no contribuir a la principal en el presente documento, optamos por dar la prueba completa sólo para el caso de una interval. 2.5 Análisis del descenso más profundo 2.5.1 Preliminares Asumimos a partir de ahora que k = 1, por lo que supp μV consiste en un intervalo que nos tomar como supp(μV ) = [a, 0], a < 0. A continuación, hay فارسى1 > 0 tal que μt se soporta en un intervalo [a, bt] para cada t (1-1, 1+1, y su densidad es regular. Por lo tanto, es positivo en (a, bt) y desaparece como una raíz cuadrada en los puntos finales, y toma la forma [14] ­t(x) = (bt − x) x− at)ht(x), para x • [at, bt], (2.46) donde ht es positivo en [at, bt], y analítico en el dominio de la analítica de V. Además, ht depende analíticamente de t â € (1− â € 1, 1 + â € 1). Vamos a utilizar la medida de equilibrio μt en la primera transformación de la RH problema. Observamos que en [8, 9, 10, 20] se utilizó una medida de equilibrio modificada en la análisis de descenso más pronunciado de un problema de RH en un punto crítico. Es probable que podamos han modificado la medida de equilibrio en la situación actual también, pero el enfoque con el μt sin modificar también funciona, como veremos, y elegimos usarlo en este artículo. En el caso de una interval se puede mostrar por cálculo explícito que a = − t(bt − at)ht(at) t(bt − at)ht(bt) , (2.47) que de hecho muestra que d a < 0 y bt > 0. De ello se deduce que bt > 0 para t â € (1, 1 + â € 1) y bt < 0 en el caso de t â € (1− â € 1, 1). En ambos casos tenemos < 0. Introdujimos dos funciones de la siguiente manera. Para z C \ (, bt] acostado en el dominio de la analítica de V (que podemos restringir a ser simplemente conectados, sin pérdida de la generalidad), ponemos t(z) = (s− bt(s− at))1/2ht(s) ds, (2.48) 20 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON y para z C \ [at,) también en el dominio de la analítica de V, t(z) = (s− bt(s− at)1/2ht(s) ds. (2.49) De ello se deduce (2.48) que t(z) = − en ht(bt)(z)− bt)3/2χt(z), (2.50) donde χt es analítico en un barrio de bt y χt(bt) = 1. Tomando ft(z) = t(z) − en ht(bt) (z − bt)χ2/3t (z), (2,51) Vemos que ft es analítico en un barrio de bt con ft(bt) = 0, f ′t(bt) = − en ht(bt) 6= 0, (2.52) y ft(z) real para valores reales de z. Por lo tanto, en particular, ft(0) > 0, si t < 1, f1(0) = 0, y ft(0) < 0, si t > 1. (2.53) Además, ft → f1 como t → 1, uniformemente en un barrio de 0. Elegimos un disco pequeño U (0) alrededor de 0 y Ł2 > 0 suficientemente pequeño, de modo que ft es un mapa conforme de U (0) en un barrio convexo de 0 por cada t â € (1− â € 2, 1 + â € 2). Del mismo modo, existe un disco U (a) centrado en un < 0, y un ♥3 > 0, de modo que fût(z) = t(z) (2.54) es un mapa conformal de U (a) a un barrio convexo de 0 por cada t â € (13, 1â € 3). Permitimos que se fijen los valores de 0 = min (1, 2 y 3) y que se fijen los valores de 1 °, 1 + 0 °). En lo que sigue también tomamos los barrios U (0) y U (a) como arriba. 2.5.2 Primera transformación Y 7→ T Presentamos la llamada función G: gt(z) = log(z − s) dμt(s) = log(z − s)?t(s) ds, z? C \ (, bt], (2.55) donde log denota la rama principal. Entonces gt es analítico en C \ (, bt]. Definir T por T (z) = e nltđ3 Y (z) e− nlt/23370/3 e−ngt(z) donde es la constante de (2.44)–(2.45). Por un cálculo sencillo entonces A continuación, T tiene la siguiente matriz de salto vT en R (orientada de izquierda a derecha): vT (x) = e−n(gt,+(x)−gt,−(x)) x2α en(gt,+(x)+gt,−(x)−Vt(x)+lt) 0 en(gt,+(x)−gt,−(x)) . (2.57) Debido a las identidades, ver [11, 14], gt,+(x) + gt,−(x)− Vt(x) + lt = −2Łt(x), para x > bt, (2.58) gt,+(x) + gt,−(x)− Vt(x) + lt = −2t(x), para x < a, (2.59) Vemos que el problema de RH para T es el siguiente. COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 21 Figura 3: Apertura de una lente alrededor [a, 0]. Riemann-Hilbert problema para T • T : C \ R → C2×2 es analítico. • T+(x) = T−(x) vT (x) para x • R, con vT (x) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 x2α e−2nt(x) , para x < en, (x) x2α 0 e2n°t,−(x) , para x â € (a, bt), 1 x2α e−2nŁt(x) , para x > bt. • T (z) = I +O(1/z) como z → فارسى. • Si α < 0, entonces T (z) = O 1 z2α 1 z2α como z → 0. Si α ≥ 0, entonces T (z) = O ( 1 11 1 ) como z → 0. 2.5.3 Segunda transformación T 7→ S La apertura de las lentes se basa en la siguiente factorización de vT on (at, bt): vT (x) = (x) x2α 0 e2n°t,−(x) x2α e2nŁt,−(x) 1 0 x2α x2α 0 x2α e2nŁt,+(x) 1 Introducir una lente alrededor del segmento [a, 0] como en la figura 3 (recuérdelo a < 0). En el disco U (0) alrededor de 0 tomamos el objetivo de tal manera que z 7→ • = ft(z)− ft(0), ver (2.51), mapea el partes de los labios superior e inferior de la lente que están en U (0) en los rayos arg y arg Ł = −2η/3, respectivamente. Del mismo modo, en el disco U (a) elegimos la lente para que z 7→ فارسى = fūt(z), ver (2.54), mapea las partes de los labios superior e inferior de la lente que son en U (a) en los rayos arg ­= η/3, y arg ­= /3, respectivamente. Las partes restantes de los labios de la lente son arbitrarios. Sin embargo, deben estar contenidos en el ámbito de la analítica de V, y los tomamos para que (c) < −c < 0 para z en los labios de la lente fuera de U (0) y U (a), con c > 0 independiente de t. Es importante tener en cuenta que la lente está alrededor [a, 0], y no alrededor [a, bt]. 22 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON Definir S por S(z) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * T (z), para z fuera de la lente, T (z) (−z)−2α e2nŁt(z) 1 , para z en la parte superior de la lente, T (z) (−z)−2α e2nŁt(z) 1 , para z en la parte inferior de la lente. (2.60) Aquí el mapa z 7→ (−z)−2α se define con un corte a lo largo del eje real positivo. Entonces, de (2.60) y el problema de RH para T, encontramos que S es la solución única de la siguiente Problema de RH. Riemann-Hilbert problema para S • S : C S → C2×2 es analítico, donde فارسىS consiste en la línea real y la superior y labios inferiores de la lente, con orientación como en la Figura 3. • S+(z) = S−(z) vS(z) para z â € ¬ S, donde vS se da como sigue. Para t < 1, de modo que bt < 0, tenemos vS(z) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 z2α e−2nt(z) , en el caso de z â € (â € € €, en, 0 z2α z2α 0 , en el caso de z.» (at, bt), 0 z2α e−2nŁt(z) z2α e2nŁt(z) 0 , en el caso de z.» (bt, 0), 1 z2α e−2nŁt(z) , en el caso de z â € (0, â €), (−z)−2α e2nŁt(z) 1 , para z en ambos labios de la lente, mientras que, para t ≥ 1, de modo que bt ≥ 0, tenemos vS(z) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 z2α e−2nt(z) , en el caso de z â € (â € € €, en, 0 z2α z2α 0 , en el caso de z â € (a, 0), e2nŁt,+(z) z2α 0 e2nŁt,−(z) , para z.» (0, bt), 1 z2α e−2nŁt(z) , en el caso de z â € (bt), (−z)−2α e2nŁt(z) 1 , para z en ambos labios de la lente. • S(z) = I +O(1/z) como z → فارسى. • Si α < 0, entonces S(z) = O 1 z2α 1 z2α como z → 0. Si α ≥ 0, entonces S(z) = O ( 1 11 1 ) como z → 0 desde fuera de la lente y S(z) = O z2α 1 z2α 1 como z → 0 desde el interior de la lente. COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 23 El siguiente paso es aproximar S por una parametrix P, que consta de tres partes P (­), P (a) y P (0): P (z) = P (0)(z), para z • U (0) \ • S, P (a)(z), para z (a) (u) (u) (u), (u), (u), (u), (u), (u), (u), (u), (u), (u), (u), (u), (u), (u), (u), (u,u), (u,u), (u,u) (u,u), (u,u,u), (u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u, C \ (U (0) • U (a) • • (a) (a, 0)), (2.61) donde U (a) y U (0) son pequeños discos centrados en a y 0, respectivamente, que han sido presentado antes. A continuación se construyen las paramétricas P (­), P (a) y P (0). 2.5.4 La parametrix P La parametrix P es una solución del siguiente problema de RH. Problema de Riemann-Hilbert para P • P () : C \ [at, 0] → C2×2 es analítico. • P (­)+ (x) = P − (x) 0 x2α x2α 0 para x (a, 0), orientado de izquierda a derecha. • P (­)(z) = I +O(1/z) como z → ­. El problema de RH para P (­) se puede resolver explícitamente como en [9]. Toma D(z) = zα 2z − a , para z • C \ [at, 0], (2.62) donde el mapa conformal de C \ [−1, 1] en el punto •(z) = z + (z − 1)1/2 (z + 1)1/2 es el mapa conformal de C \ [−1, 1] exterior del círculo de la unidad. Entonces D+(x)D−(x) = x2α para x (a, 0). De ello se deduce que El problema de RH normalizado con la matriz de salto ( 0 1-1 0 ) en (a, 0) (orientado de izquierda a derecha), cuya solución es bien conocida, véase, por ejemplo, [11, 14], y que lleva a P (l)(z) = D(l)(l)(l)3 (βt(z) + βt(z) −1) 1 (βt(z)− βt(z)−1) (βt(z)− βt(z)−1) 12 (βt(z) + βt(z) D(z)3, (2.63) en el caso de z C \ [at, 0], donde βt(z) = z − a , para z â € C \ [at, 0]. (2.64) 2.5.5 La parametrix P a) La parametrix P (a) se define en el disco U (a) alrededor de a, donde P (a) satisface lo siguiente: Problema de RH. 24 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON Problema de Riemann-Hilbert para P (a) • P (a) : U (a) \ فارسىS → C2×2 es analítico. • P (a)+ (z) = P − z) vS(z) para z • U (a) • • S. • P a) z) P (­)(z) = I + O(n−1), como n→ •, uniformemente para z • • U (a) \ • S. Buscamos P (a) en la forma P (a)(z) = P(a)(z) ent(z) donde (-z)® se define con una rama cortada a lo largo de [0,­)]. Entonces PÃ3r (a) satisface un problema de RH con saltos constantes y se puede construir en términos de la función Airy en un estándar manera; para más detalles vea la presentación en [11]. 2.5.6 La parametrix P (0) La parametrix P (0), definida en el disco U (0) alrededor de 0, debe satisfacer los siguientes RH problema. Riemann-Hilbert problema para P (0) • P (0) : U (0) \ S → C2×2 es continuo y analítico en U (0) \ ŁS. • P (0)+ (z) = P − z) vS(z) para z • • S • U (0) (con la misma orientación que • S). • P (0)(z) P (­)(z) = I+O(n−1/3), como n→, t→ 1 tal que n2/3(t−1) = O(1), uniformemente para z â € € ~ U (0) \ € ~ S. • P (0) tiene el mismo comportamiento cerca de 0 que S tiene (ver el problema de RH para S). La parametrix P (0) con estas propiedades se puede construir usando una solución de la problema del modelo RH de la subsección 1.2. La construcción se realiza en tres pasos. Paso 1: Transformación a saltos constantes. Buscamos P (0) en la forma P (0)(z) = PÃ3r (0)(z) enát(z)/23370/3 z3, para z à r U (0) \ à r S, (2.65) donde, como de costumbre, z denota la rama principal. A continuación, se desprende del problema de RH en el caso de P (0), que P® (0) debería satisfacer el siguiente problema de RH. Problema de Riemann-Hilbert para PÃ3 (0) • P • (0) : U (0) \ • S → C2×2 es continuo y analítico en U (0) \ • S. COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 25 • Para z # # S # U (0), tenemos + (z) = P − (z)× * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * , en el caso de z â € ¬ (0, € ·) U (0), e2'i 1 , para z en U (0) en el labio superior de la lente, , en el caso de z â € € TM €, ( â € €, 0) â € U (0), e - 2 - i 1 , para z en U (0) en el labio inferior de la lente. uniformemente para z â € € ~ U (0) \ € ~ S. • Si α < 0, entonces Pâ > (0)(z) = O z z z z como z → 0, mientras que si α ≥ 0 tenemos que Pâ > (0)(z) = O z z z z como z → 0 desde fuera de la lente, y Pâ > (0)(z) = O z z z z como z → 0 desde el interior de la lente. Tenga en cuenta que las matrices de salto de PÃ3 (0) no dependen de t. El lector puede notar las similitudes entre el problema de RH anterior para PÃ3 (0) y el Problema RH para de la subsección 1.2. En el siguiente paso mostramos cómo podemos utilizar para construir una solución del problema de RH para PÃ3 (0). Paso 2: La construcción de Pó (0) en términos de. Recordemos que en EE.UU. (0) fue tomada de tal manera que z 7→ ft(z)− ft(0) mapee el problema RH para, ver Subsección 1.2. Elegimos cualquier solución del problema del modelo RH y definimos (0) por Pâ > (0)(z) = E(z) 3 (ft(z)− ft(0));n 3 pies(0) , para z • U (0) \ • S, (2.66) donde E = En,N es analítico en U (0). Tomando P (0) como en (2.65) con P® (0) como en (2.66) encontramos que todas las condiciones del problema de RH para P (0) se cumplen, excepto para el emparejamiento afección P (0)(z) P (­)(z) = I +O(n−1/3), (2,67) tal que n2/3(t− 1) = O(1). 26 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON Paso 3: Coincidiendo con la condición. Para poder satisfacer (2.67) tenemos que tomar E en el siguiendo el camino E(z) = P (­)(z) z3 3 (ft(z)− ft(0)) •3/4 , para z • U (0) \ [at, 0], (2.68) donde ambas ramas se toman como principales. Claramente entonces E es analítica en U (0) \ [at, 0]. Resulta que E tiene continuación analítica a U (0). Esto es lo que sigue por cálculo directo, pero se basa en el hecho de que elegimos [en, 0] como el contorno de salto para P Con la opción (2.68) para E, ahora mostramos que (2.67) está satisfecho también. Por (2.65), (2.66), tenemos para z â € € ¢ U (0) \ â € S, P (0)(z) = E(z) 3 (ft(z)− ft(0));n 3 pies(0) - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. y estamos interesados en el comportamiento como n→, t→ 1 tal que n2/3(t− 1) = O(1). Primero mostramos que n2/3ft(0) permanece limitado. Lemma 2.7 Suponga n → فارسى, t → 1 tal que n2/3(t − 1) = O(1). Luego n2/3ft(0) se mantiene acotado. Más precisamente, si n2/3(t− 1) → L â € R, entonces n2/3ft(0) → −c2,V L = s, (2,69) donde c2,V = (c1,V ) 2/3dbt (2.70) y c1,V es la constante en (1.8). Prueba. De ello se deduce que: ft(0) = −att(bt) (−bt)χ2/3t (0) −ah1(0) (t− 1)dbt +O(t− 1)2) como t→ 1. Para (1.8) y (2.46), tenemos c1,V = −ah1(0), (2.71) de modo que (2.69)–(2.70) siga efectivamente si n2/3(t− 1) → L. Si usamos la fórmula (2.47) para el derivado t de bt en t = 1, entonces encontramos de (2.70) c2,V = 2(−a)−1/2 c−1/31,V. (2.72) Ahora continuamos con la prueba de (2.67). COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 27 Lemma 2.8 Supongamos que n → فارسى, t → 1 tal que n2/3(t − 1) = O(1). Entonces (2.67) Espera. Prueba. En la prueba todos los Términos O son para n→, t→ 1 tal que n2/3(t− 1) está limitado. Por Lemma 2.7 los valores n2/3ft(0) permanecen limitados. Desde la condición asintótica (c) en el problema de RH para es válido uniformemente para s en subconjuntos limitados de R, encontramos por (2.65), (2.66) y (2.68) P (0)(z) = E(z) 3 (ft(z)− ft(0)) ) 3/4 1 I +O(n−1/3) × exp (n2/3(ft(z)− ft(0));n2/3ft(0)) - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? = P ()(z)(I +O(n−1/3)) exp (n2/3(ft(z)− ft(0));n2/3ft(0))− (2.73) uniformemente para z â € € ¢ U (0). Al igual que antes denotamos el valor de la palabra "( ; s)" = 2 3/2 + s-1/2. El siguiente paso es evaluar la expresión en el factor exponencial. Tenemos (n2/3(ft(z)− ft(0));n2/3ft(0))− (ft(z)− ft(0))3/2 − (ft(z))3/2 + nft(0)(ft(z)− ft(0))1/2. Demostraremos que esto es O(n−1/3) uniformemente para z â € ¬ U (0). Con ese fin, basta con mostrar que F (t, z) := (ft(z)− ft(0))3/2 − (ft(z))3/2 + ft(0) (ft(z)− ft(0))1/2 = O(t− 1)2) como t→ 1, (2.74) uniformemente para z â € € ¢ U (0). Por (2.53), tenemos F (1, z) = 0. (2.75) Además, F (t, z) = (ft(z)− ft(0)) (ft(z)− ft(0)− (ft(z)) ft(z) ft(0) (ft(z)− ft(0)) ft(0) (ft(z)− ft(0)− (ft(z)− ft(0)). Dejar t = 1 y volver a utilizar (2.53) y (2.51). Debido a cancelaciones se encuentra F (1, z) = 0. (2.76) Dado que, además, F (t, z) es analítica en ambas variables y limitada con respecto a z en De una expansión de Taylor se deduce que F (t, z) = O (t− 1)2), como se afirma en (2,74). (n2/3(ft(z)− ft(0));n2/3ft(0))− no = O(n−1/3), 28 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON Figura 4: Contour para el problema de RH para R. por lo que (2.73) conduce a P (0)(z) = P (­)(z) I +O(n−1/3) uniformemente para z â € € ¢ U (0). Entonces (2.67) sigue desde P () (z) y su inversa están limitados en n y t, uniformemente para z â € ¬ U (0). â € € TM TM Esto completa la construcción de la parametrix P (0). Observación 2.9 La parametrix local P (0) se construye con la ayuda de una solución de el problema del modelo RH. Puesto que la solución no es única (ver Proposición 2.1), la la parametrix local no es única. En lo que sigue podemos tomar cualquier P (0) y no afectará los resultados finales (Teoremas 1.1 y 1.2). 2.5.7 Tercera transformación S 7→ R Tomamos P como en (2.61), P (a) y P (0), y luego definimos R(z) = S(z)P−1(z), para z â € € € € € € € € (0) € € € € € (a) € € € € S). (2.77) Puesto que S y P tienen las mismas matrices de salto en U (0)S, U (a)S y (a, 0)\(U (0)U (a)), Tenemos que R es analítica a través de estos contornos. Lo que queda son saltos para R en el contorno R se muestra en la Figura 4 con la orientación que también se muestra en la figura. Entonces, R satisface el siguiente problema de RH. Riemann-Hilbert problema para R • R : C \ ŁR → C2×2 es analítico. • R+(z) = R−(z) vR(z) para z (P (0))−1, el ­U (0), (P a) - 1), el día de la U (a), P (­) vS (­) (l)) − 1, el 1 ° R \ (l) U(0) U(a)). (2.78) • R(z) = I +O(1/z) como z → فارسى. Ahora vamos a n →, t → 1 tal que n2/3(t − 1) = O(1). A continuación, se desprende de la construcción de las paramétricas (véanse, en particular, los problemas de RH para P (0) y P (a)) I +O(n−1/3), el I +O(n−1), el ŁU (a). (2.79) COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 29 Además, por la regularidad de la densidad de valor propio, hay una constante c > 0 tal que En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, los vehículos de motor de encendido por chispa y los vehículos de motor de encendido por chispa y los remolques de encendido por chispa y de encendido por chispa de los vehículos de motor de encendido por chispa y de encendido por chispa de los vehículos de motor de encendido por chispa y de encendido por chispa de los vehículos de motor de encendido por chispa y de encendido por chispa de los vehículos de motor de encendido por chispa y de encendido por chispa de los vehículos de motor de encendido por chispa y de encendido por chispa de los vehículos de motor de encendido por chispa y de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de motor de encendido por compresión de los vehículos automóviles de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de encendido por compresión de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de encendido por compresión de encendido por compresión de encendido por compresión de encendido por compresión de los vehículos Re t(z) > c > 0, en el caso de z En el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, el valor de los vehículos de motor no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Esto implica (ver el problema de RH para S) que vS = I+O(e) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (a)), de modo que por (2.78) vR = I + O(e) − 2cn) el 1 de enero de 1999 (U (0) • U (a)). (2.80) Los términos O en (2.79) y (2.80) son uniformes en los contornos indicados. Además, sigue de (2.58), (2.59), (2.55), y la condición de crecimiento (1.2) en V que para cualquier C > 0 existe r = r(C) > 1 tal que Łt(x) ≥ C log x para x ≥ r, y t(x) ≥ C log x para x ≤ −r. Combinado con (2.80) esto implica que vR − IL2(?R\(?U (0)U (a))) = O(e −2cn), como n→ فارسى. (2.81) Por lo tanto, por (2.79)–(2.81), como n → y t → 1 tal que n2/3(t − 1) = O(1), el salto matriz para R está cerca de I en L2 y L vR − IL2(?R) L?R) = O(n−1/3). (2.82) Estimaciones estándar utilizando el límite L2 de los operadores C± sobre L 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. la correspondencia entre problemas de RH y ecuaciones integrales singulares implican ahora que R(z) = I +O(n−1/3), uniformemente para z â € C \ â € R, (2.83) tal que n2/3(t − 1) = O(1). Para conseguir el uniforme encuadernado (2.83) hasta el contorno uno necesita un argumento de deformación del contorno. Una vez más, ver la presentación en [11] para más detalles. Esto completa el análisis de descenso más pronunciado del problema de RH para Y. 2.6 Finalización de las pruebas del teorema 1.1 y 1.2 Habiendo completado el análisis de descenso más empinado, ahora estamos listos para las pruebas de Teorema. 1.1 y 1.2. Comenzamos reescribiendo el kernel (2.3) para x, y â € ¢ U (0) â € TM R de acuerdo con el transformaciones Y 7→ T 7→ S 7→ R que hicimos en el análisis de descenso más empinado. A declarar el resultado es conveniente introducir B = Bn,N como B(z) = R(z)E(z), para z • U (0), (2.84) donde E y R se definen en (2.68) y (2.77). También definimos para x, s R la columna vector (x; s) = 1(x; s) 2(x; s) ,+(x; s) , para x > 0, ,+(x; s)e iÔ3 , para x < 0, (2.85) cf. (1.12). Entonces tenemos el siguiente resultado. 30 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON Lemma 2.10 Let x, y â € U (0) â € € TM R. Entonces, Kn,N(x, y) = 2πi(x− y) 3 (ft(y)− pies(0));n 3 pies(0) ))T ( 0 1 × B−1(y)B(x) 3 (ft(x)− ft(0));n 3 pies(0) . (2.86) Prueba. Comenzamos desde la fórmula (2.3) para el núcleo de correlación de valor propio. Uso (2.56) obtenemos, para cualquier x, y â € R, Kn,N(x, y) = x e n(2gt,+(x)−Vt(x)+lt) y e 12n(2gt,+(y)−Vt(y)+lt) 2πi(x− y) T−1+ (y) T+(x) . (2.87) Usando (2.58) y el hecho de que gt,+ = gt,− en (bt,­), se sigue que 2gt − Vt + lt = −2 el (bt. Entonces, por la continuación analítica, 2gt,Vt+ lt = −2°t,+ en todo R. Por lo tanto podemos reescribir (2.87) como Kn,N(x, y) = x e−nŁt,+(x) y e−nŁt,+(y) 2πi(x− y) T−1+ (y) T+(x) (2.88) Ahora analizamos el efecto de las transformaciones T 7→ S 7→ R sobre la expresión xe−nŁt,+(x)T+(x) ( 10 ) en caso de x â € U (0) â € R. El resultado es que para x â € U (0) â € R, xe−nŁt,+(x)T+(x) = B(x),+ 3 (ft(x)− ft(0));n 3 pies(0) (2.89) en caso de x > 0, y xe−nŁt,+(x)T+(x) = B(x),+ 3 (ft(x)− ft(0));n 3 pies(0) eiÔ3 (2.90) en caso de x < 0. Dado que los cálculos para (2.89) son más fáciles, sólo vamos a mostrar cómo obtener (2.90). Si x U (0) R y x < 0, entonces se deduce de (2.60) que xe−nŁt,+(x)T+(x) = xe−nŁt,+(x)S+(x) x2αe2nŁt,+(x) = S+(x) xe−nŁt,+(x) . (2.91) De (2.77), (2.61), (2.65), (2.68) y (2.84), encontramos que S+(x) = B(x),+ 3 (ft(x)− ft(0));n 3ft(0) ent(x)x® Insertando esto en (2.91) y notando que x x = ei efectivamente obtenemos (2.90). De una manera similar, encontramos para y â € U (0) â € R, ye−nŁt,+(y) T−1+ (y) = 1α,+ 3 (ft(y)− pies(0));n 3ft(0) B−1(y), (2.92) COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 31 en caso de y > 0, y ye−nŁt,+(y) T−1+ (y) = e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-e- e- e- e- e-e-e-e- 3 (ft(y)− pies(0));n 3ft(0) B−1(y), (2.93) en caso de que y < 0. Para reescribir (2.92) y (2.93) utilizamos el siguiente hecho, que es fácil de Jaque. Si A es una matriz invertible de 2×2 que tiene determinante 1, entonces A−1 = . (2.94) Si aplicamos (2.94) a,+ en (2.92) y (2.93), entonces obtenemos ye−nŁt,+(y) T−1+ (y) = Tα,+ 3 (ft(y)− pies(0));n 3ft(0) B−1(y), (2.95) en caso de y > 0, y ye−nŁt,+(y) T−1+ (y) = *Tα,+ 3 (ft(y)− pies(0));n 3 pies(0) B−1(y), (2.96) en caso de que y < 0. Luego (2.86) sigue si introducimos (2.89), (2.90), (2.95) y (2.96) en (2.88) y utilice la definición (2.85). â € € TM TM Como en el Teorema 1.1 ahora fijamos x, y R. Definimos (c1n)2/3 , e yn = (c1n)2/3 (2.97) donde c1 es la constante de (1.8). Con el fin de tomar el límite de (c1n) -2/3Kn,N(xn, yn) necesitamos un lema más. Recordar que B = RE se define en (2,84). Lemma 2.11 Let n→ ­, t→ 1 tal que n2/3(t− 1) → L. Let x, y • R y let xn y yn definido como en (2.97), A continuación, la siguiente bodega. a) n2/3ft(0) → s, b) n2/3(ft(xn)− ft(0)) → x y n2/3(ft(yn)− ft(0)) → y, c) B−1(yn)B(xn) = I + O donde la constante implícita en el O-término es uniforme con respecto a x e y. Prueba. a) Esto se desprende de Lemma 2.7. (b) Para (1.8) y (2.46) tenemos c1 = −ah1(0), de modo que f ′1(0) = c 1 por (2.52). Tomando nota de las definiciones (2.97), entonces obtenemos parte (b), ya que pie → f1 uniformemente en U (0). 32 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON c) Tenemos R−1(yn)R(xn) = I + R −1(yn)(R(xn)− R(yn)) = I +R−1(yn) (xn − yn) R′(txn + (1− t)yn)dt. (2.98) Recordemos que R es analítico en U (0), y que R(z) = I + O(n−1/3) por (2.83), uniformemente en U (0). Desde el detR 1 nos encontramos con que R−1(yn) permanece limitado como n →. A continuación figura también: de (2.83) y el teorema de Cauchy, que R′(z) = O(n−1/3) para z en un barrio de la origen. Para (2.98) entonces obtenemos R−1(yn)R(xn) = I +O . (2.99) Utilizando la analítica de E en un barrio del origen con E(z) = O(n1/6), véase (2.68), y el hecho de que detE 1, obtenemos de la misma manera E−1(yn)E(xn) = I +O . (2.100) Las constantes implícitas en (2.99) y (2.100) son independientes de x e y. Usando (2.99), (2.100), y el hecho de que E(xn) = O(n 1/6) y E−1(yn) = O(n 1/6) obtener de (2.84) B−1(yn)B(xn) = E −1(yn) E(xn) = E−1(yn)E(xn) +O(n) 1/6)O O(n1/6) = I + O Esto completa la prueba de la parte (c). â € € TM TM Prueba de los teoremas 1.1 y 1.2. Dejamos n,N → فارسى, t = n/N → 1, de tal manera que n2/3(t− 1) → L. Luego por partes (a) y (b) de Lemma 2.11, tenemos (n) 2/3(ft(xn)− ft(0));n2/3ft(0)) → (x; s) y de manera similar si reemplazamos xn por yn. La existencia del límite (1.9) entonces sigue fácilmente de Lemma 2.10 y de la parte c) de Lemma 2.11, que prueba el teorema 1.1. También encontramos que el núcleo limitador Kedgeα (x, y; s) es dado por Kedgeα (x, y; s) = 2πi(x− y) (y;s) (x; s) y así (1.13) sigue debido a (2.85). El problema de la RH modelo es solvable para cada s R por la Proposición 2.4 y así también hemos probado el Teorema 1.2. â € € TM TM COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 33 S5 S6+ Figura 5: Contorno para el problema de RH para FN/. 3 Prueba de los teoremas 1.4 y 1.5 Demostramos el Teorema 1.4 y el Teorema 1.5 estableciendo primero, con la ayuda de [2], un conexión entre el problema del modelo RH y el problema de RH para Painlevé II en el forma debido a Flaschka y Newell [22]. Entonces podemos utilizar las propiedades conocidas de la RH problema para Painlevé II para probar los teoremas. 3.1 El problema de Painlevé II RH Revisamos el problema de RH para la ecuación de Painlevé II q′′(s) = sq+2q3, como se dio por primera vez por Flaschka y Newell [22], véase también [24] y [25]. Vamos a asumir que / > −1/2. El problema RH implica tres constantes complejas a1, a2, a3 satisfactorias a1 + a2 + a3 + a1a2a3 = −2i sin, (3.1) y ciertas matrices de conexión Ej. Que Sj = {w C 2j−36 η < argw < para j = 1,...., 6, y dejar que FN = C \ j Sj. Entonces FN consta de seis rayos FNj para j = 1,...., 6, todos elegidos orientados hacia el infinito como en la figura 5. El problema de RH es el siguiente. Problemas de Riemann-Hilbert • FN / : C \ • FN → C2×2 es analítico, • FN/,+ = FN/,− sobre el punto FN1, FN/,+ = sobre el punto FN2, FN/,+ = sobre el punto FN3, 34 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON FN/,+ = sobre el punto FN4, FN/,+ = sobre el punto FN5, FN/,+ = sobre el punto FN6. • FN/(w) = (I + O(1/w))e−i( w3+sw) • Si − 1 6° N0, entonces FN/(w) = B(w) Oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh Ej, para w Sj, (3.2) donde B es analítica. En caso de que el Tribunal de Primera Instancia haya incumplido las obligaciones que le incumben en virtud del apartado 1 del artículo 1 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos y por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establecen disposiciones de aplicación del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos y por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 22 de diciembre de 1971, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 + N0, entonces existe una constante FN/(w) = B(w) No obstante, el Tribunal de Primera Instancia consideró que, en el caso de autos, la Decisión impugnada no era compatible con el mercado interior ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior. Oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh Ej, para w • Sj, (3.3) donde B es analítica. La matriz de conexión E1 se da explícitamente en [24, Capítulo 5]. Se determina (arriba) a factores diagonales o triangulares superiores inesenciales) por v y los multiplicadores Stokes a1, a2, y a3, excepto en el caso especial + n, a1 = a2 = a3 = i(−1)n+1, n+Z, (3.4) donde se necesita un parámetro adicional c â € C â € € â € €. Por ejemplo, en el caso del artículo 6 § 1 + N0 y 1 + a1a2 6= 0, tenemos 0 d−1 ei − a2 1 + a1a2 −1 + a1a2 2 cos ei + a2 2 cos , (3.5) donde d 6= 0 es arbitrario. En el caso especial (3.4), cuando E1 depende de Parametro c C, por [24, Capitulo 5, (5.0.21)] podemos tomar E1 como , si c • C, mientras que E1 = si c = فارسى. (3.6) Suponiendo que los cortes de rama para las funciones en (3.2) y (3.3) se eligen a lo largo argw = /6, obtenemos las otras matrices de conexión de E1 a través de la fórmula Ej+1 = Ejv j, j = 1,..., 5, (3.7) donde vFNj es la matriz de salto en j. Nos referiremos a los multiplicadores Stokes a1, a2, y a3, y en el caso especial (3.4) también al parámetro adicional c, como la monodromia datos de Painlevé II. Tomamos nota de que en el caso especial (3.4) tenemos = 0 en (3.3). COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 35 El caso especial (3.4) tiene interpretación geométrica. De hecho, (3.4) describe el singular punto de la variedad algebraica (3.1), es decir, el punto en el que el (complejo) gradiente de el lado izquierdo de (3.1) desaparece. La singularidad puede ser eliminada adjuntando una copia de la esfera Riemann (véase también [30]). Los datos de la monodromia no dependen de s. El problema de RH es singularmente solvable, a excepción de un conjunto discreto de valores-s, y su solución depende de s a través del asymp- condición tótica en el infinito. Escribimos FN/ (w; s) si queremos enfatizar su dependencia en s. Si tomamos q(s) = 2i lim FN/ (w; s) w3+sw)Δ3, (3.8) entonces q satisface la ecuación de Painlevé II q′′ = sq + 2q3 − v. Por otra parte, el Tribunal de Primera Instancia decidió: Par laxo para Painlevé II * = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. = L. (−4iw2 − i(s + 2q2) 4wq + 2ir + / 4wq − 2ir + / 4iw2 + i(s+ 2q2) , (3.9) P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = P = −iw q , (3.10) donde q = q(s) y r = r(s) = q′(s). De esta manera hay una correspondencia uno-a-uno entre los datos monodrómicos y las soluciones de Painlevé II. También necesitamos el comportamiento asintótico más preciso FN/ (w; s) = H(s) q(s) −q(s) −H(s) +O(1/w2) w3+sw)Δ3 (3.11) como w → فارسى, donde H(s) = (q′(s))2 − sq2(s)− q4(s) + 2(s) (3.12) es el hamiltoniano de Painlevé II. Tenga en cuenta que H ′ = −q2. Por último, observamos que la FN v.a. satisface la propiedad de la simetría. FN/(w; s) = El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. en los que 1 = ( 10 ). De hecho, mediante un cálculo sencillo (véase también [24, capítulo 5)) comprobamos que la función El Tribunal de Primera Instancia decidió: función FN/ (w; s). Solvabilidad única del problema de RH produce ecuación (3.13). 3.2 Conexión con La solución Hastings-McLeod de Painlevé II corresponde a los multiplicadores Stokes a1 = −ei, a2 = 0, y a3 = ei. Esta no es la solución que nos interesa aquí. Usamos en su lugar, la solución correspondiente a a1 = e i, a2 = −i, a3 = −ei. (3.14) Para estos Stokes multiplica (3.14) obtenemos de (3.5) la siguiente matriz de conexión E1 en el caso de que se trate de una sentencia de 12 + N0 (donde tomamos d = (e) i − i)/(2 cos )) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − - − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 2 cos iei + 1 2 cos −ei 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (3.15) 36 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON En el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia consideró que el artículo 2, apartado 1, letra a), del Reglamento n° 1408/71 no podía interpretarse en el sentido de que el artículo 2, apartado 1, letra a), del Reglamento n° 1408/71 no podía interpretarse en el sentido de que el artículo 2, apartado 1, del Reglamento n° 1408/71 no fuera aplicable a los trabajadores por cuenta ajena. + 2N0, se deduce de (3.14) y de las fórmulas de [24, capítulo 5, (5.0.18)] que podemos tomar . (3.16) En caso de que el Tribunal de Primera Instancia haya incumplido las obligaciones que le incumben en virtud del apartado 1 del artículo 1 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos y por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establecen disposiciones de aplicación del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos y por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 22 de diciembre de 1971, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 + 2N0, entonces estamos en el caso especial (3.4). Entonces elegimos c = i, para que para El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. + 2N0 tenemos datos de monodromia a1 = e i = −i, a2 = −i, a3 = −ei = −i, c = i. (3.17) Lemma 3.1 Para cualquier > −1/2, tenemos que (E2)21 = (E3)21 = 0. (3.18) Prueba. En todos los casos podemos comprobar desde (3.14), (3.15), (3.16), (3.17), y (3.6) que el la segunda fila de E1 está dada por −a1 1 . Así que por (3.7) tenemos que E2 = E1 ( a1 1 ) es superior triangular. Entonces también E3 = E2 ( 0 1 ) es triangular superior y por lo tanto (3.18) mantiene. â € € TM TM La siguiente propuesta sostiene para los datos de monodromia más generales, y fue estab- Sin embargo, en el caso de las importaciones procedentes de la República Popular China, las importaciones procedentes de la República Popular China procedentes de la República Popular China y de la República Popular China no fueron objeto de dumping por parte de la industria de la Unión ni de dumping por parte de la industria de la Unión, ni de dumping por parte de la industria de la Unión, ni de dumping por parte de la industria de la Unión, ni de dumping por parte de la industria de la Unión, ni de dumping por parte de la industria de la Unión, ni de perjuicio de la industria de la Unión ni de la industria de la Unión, ni de perjuicio de la industria de la Unión ni de la industria de la Unión ni de la industria de la Unión. Para la comodidad del lector presentamos una prueba detallada para nuestro caso particular. Proposición 3.2 (22) Para α > −1/2, que el FN2+1/2 sea la solución única del prob de RH. para Painlevé II con parámetro v = 2α + 1/2 y datos monodrómicos (3.14) en caso de α 6o N0 (por lo que se refiere al asunto 6o 12o + 2o N0) y a los datos de la monodromia (3.17) en el caso especial α ° N0. Entonces, para cualquier η = η(s), tenemos que ( ; s) = η(s) 1 3/4 e.i.o.o.e.i.o.o.e.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.o.e.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o. donde w = eđi/22-1/3­1/2 con Imw > 0, es una solución del problema del modelo RH para se indica en la subsección 1.2. Prueba. Debido a la Proposición (2.1) podemos tomar η(s) = 0 sin pérdida de generalidad. Claramente es analítico sobre C. La asintótica correcta es la siguiente: así como los saltos correctos a través de los números 1, 2 y 4. Un poco más de trabajo es necesario para verifique el salto a través de 3 ° = (+, 0) y el comportamiento en z = 0. Con el fin de analizar el salto a través de........................................................................ Entonces tenemos eso. w+ Łi/22-1/3/1/2+ = −w− − (< 0), COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 37 y por lo tanto por (3.19) y la propiedad de la simetría (3.13), ,+( ; s) = 3/4 (p+;−21/3s)eiđ3/4 3/4 (-;−21/3s)eiđ3/4 3/4 e.i.o.e.e.i.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e. 2-1/2(p–;−21/3s) 3/4 e.i.o.o.e.i.o.o.e.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o. 3/4 e.i.o.o.e.i.o.o.e.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.e.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o. =,−( ; s) Esto muestra que tiene el salto correcto a través de 3, y se sigue que satisface la partes a), b) y c) del problema del modelo RH. Considere ahora un barrio del punto • = 0. Recordamos que (3.2) o (3.3) mantiene con B(w) analytics a 0. Un corolario de la propiedad de la simetría (3.13) es la ecuación B(w) = En el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia considera que el artículo 2, apartado 1, letra b), del Reglamento n° 1408/71 no puede interpretarse en el sentido de que el artículo 2, apartado 1, letra b), del Reglamento n° 1408/71 no se opone a la aplicación de un régimen de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena. 1B(−w) 1 O(w2 v) as w → 0, si < > 1 + N0, que produce la fórmula (cf. [24, capítulo 5]) B(0)3 = 1B(0). La última relación, junto con detB(0) = 1, a su vez implica que B(0) puede ser representado en la forma B(0) = 0 b−1 , b 6= 0. En el caso de que se trate de una persona física o jurídica, se considerará que la persona física o jurídica de la que se trate es una persona física o jurídica. 1 2 3 4 3 4 1 2 Por lo tanto, para la función ( ; s) definida por la ecuación (3.19) con η(s) = 0, encontramos que (suponiendo que α 6+ 1 ( ; s) = 3/4 1 El presente Reglamento entrará en vigor a los veinte días de su publicación en el Diario Oficial de la Unión Europea. I +O(­1/2) 3/43(j) = 3/4 0 b−1 I +O(­1/2) 3/43(j) = 3/4 I +O(­1/2) 3/43 0 b−1 (j) = O(1)3 0 b−1 (j), como فارسى → 0 en j, (3.20) 38 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON donde hemos introducido la notación * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * e/23370/i/22−1/3 )(2­1/2)­3 iđ3/4. (3.21) A partir de (3.20) inmediatamente se sigue que ( ; s) = O ) como → 0, que es el comportamiento requerido en el problema del modelo RH si α < 0, o si α ≥ 0 y j {2, 3}. Si α ≥ 0 y j {1, 4}, a continuación η(j) {2, 3}, y se desprende de Lemma 3.1 y (3.21) que (j) Eη(j) Entonces (3.20) también produce el comportamiento requerido de ( ; s) como → 0 en El cálculo que lleva a (3.20) es válido para el asunto 6/95. +N0, o α6+12N0. De hecho, también lo es. válida si α â € N0, ya que entonces estamos en el caso especial (3.4) donde â € = 0 en (3.3) y así no aparecen términos logarítmicos. Los términos logarítmicos sólo aparecen si α â € 1 + N0, y luego un cálculo similar conduce a ( ; s) = O(1) 0 b−1 1 O(log) (j), con j otra vez dado por (3.21). Desde α > 0, el comportamiento requerido como • → 0 entonces sigue de una manera similar. Esto completa la prueba de la proposición. â € € TM TM 3.3 Ecuación diferencial Recordemos que la FNV tiene el par Lax (3.9) y (3.10). Entonces definido por (3.19) también satisface un sistema de ecuaciones diferenciales. Implicará la solución q de la ecuación de Painlevé II con el parámetro v = 2α + 1/2 y datos monodrómicos (3.14) o (3.17). Pusimos r = q′ y U(s) = q2(s) + r(s) + , (3.22) V (s) = q2(s)− r(s) + s . (3.23) Las funciones U y V satisfacen la ecuación Painlevé XXXIV en una forma similar a (1.19), es decir (cf. [24, capítulo 5]: U ′′(s) = (U ′(s)2 2U(s) + 2U2(s)− sU(s)− (2α) 2U(s) , (3.24) V ′′(s) = (V ′(s)2 2V s) + 2V 2 s)− sV (s)− (2α + 1) 2V s) . (3.25) Entonces obtenemos las siguientes ecuaciones diferenciales para. Lemma 3.3 Let ser dado por (3.19). (a) Si η 0, entonces satisface ( ; s) = A ( ; s), (3.26) ( ; s) = B ( ; s), (3.27) COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 39 donde −21/3q(−21/3s) + α i− i2−1/3U(−21/3s)1 −a + i2−1/3V (−21/3s) 21/3q(−21/3s)− α , (3.28) −21/3q(−21/3s) i - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - . (3.29) (b) Para general η tenemos que satisface ( ; s) = η(s) 1 (s) 1(s) ( ; s), (3.30) con A dado por (3.28). Prueba. Esto sigue por cálculos directos de (3.9), (3.10) y (3.19). â € € TM TM El par Lax (3.26)–(3.27), después de la sustitución 7→ • − s, se convierte en el par Lax a partir de [2, 35]. Las ecuaciones (3.24)–(3.25) también pueden derivarse directamente de la compatibilidad condiciones del par Lax (3.26)–(3.27) de una manera habitual. Es un hecho [33], que la solución q de la ecuación de Painlevé II (con parámetro Los datos de la monodromia (3.14) o (3.17) tienen un número infinito de polos en el línea real positiva, véase también (4.29) a continuación. Si −21/3s es un polo de este tipo entonces â € € TM FN2â € TM 1 / 2(·, â € TM TM 21/3s) no existe. Así que para ser precisos, si suponemos que η es analítica en R, entonces (3.19) no definir para los valores de s-R que pertenecen al conjunto discreto de valores s donde q(−21/3s) tiene postes. La relación (3.19) define para todos s R sólo si somos capaces de elegir η de modo que todos los polos en la línea real del lado derecho de (3.19) se cancelan. Tal elección de η exigiría η sí mismo tener polos en los polos de q(−21/3s). Describiremos dos opciones especiales para η. La primera opción es tal que (3.19) es igual a la solución especial (especifíquese) α, que se caracteriza por la condición asintótica (2.14). De la Proposición 2.4 sabemos que (especifíquese) α existe para todos s R, por lo que ya podemos concluir que la elección especial η = η(spec) tendrá polos en los polos de q(−21/3s), y que los polos reales del lado derecho de (3.19) ciertamente se cancelarán. La segunda opción de η se hace de modo que la ecuación diferencial (3.30) toma un agradable forma. Esto conducirá a la ecuación diferencial (1.21) para â € 1 y â € 2. Este η se denota η0, y se define por la fórmula simple η0(s) = i2 1/3q(−21/3s), (3.31) de la cual ya está claro que tiene polos en los polos de q(−21/3s). Para la elección (3.31) ya podemos comprobar que la ecuación diferencial (3.30) conduce a ( ; s) = A0 ( ; s) (3.32) donde 0 1 (α + iuη0)/ −iπ + i(v + η20) + η0(2α + iuη0)/­(α + iuη0)/ , (3.33) 40 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON u(s) = 2−1/3U(−21/3s), (3.34) v(s) = 2−1/3V (−21/3s). (3.35) 3.4 Opción especial η(especifíquese) Lemma 3.4 Que H sea el hamiltoniano para Painlevé II como en (3.12), con parámetro v = 2α + 1/2, y dejar η(espec(s) = i2-2/3 q(−21/3s) +H(−21/3s) . (3.36) A continuación, la elección η = η(spec) en (3.19) conduce a la solución especial (especifíquese) α del modelo RH problema caracterizado por (2.14). Prueba. Se deduce de (3.11) y (3.19) por cálculo directo, que ( ; s) = 3/4 (p; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n; n. n. n. n. n. n (especifíquese) 1 0 i2−2/3(H − q)−21/3s) + 3/4 e.i.o.e.o.e.o.e.o.e.o.e.o.e.o.e.o.e.o.e.o.e.o.e.o.e.o.e.o.e.o.o.e.o.e.o.e.o.o.e.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o.o. 3/4 × 3/4 1 3/3/2+s1/2/3 (3.37) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • A partir de (3.37) está claro que tenemos que tomar η = η(spec) para poder obtener (2.14). Así sigue el lema. â € € TM TM Del cálculo (3.37) también notamos que para cualquier solución del modelo RH problema que tenemos ( ; s)e (­) 3/2+s­1/2) 3 3/4 i2−2/3(H − q)−21/3s) +O(3/2) (3.38) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Esta propiedad se utilizará más adelante en la prueba de Teorema 1.4. Puesto que el lado izquierdo de (3.38) es analítico en s para s R, también se sigue de (3.38) que H − q no tiene polos en la línea real. Esta y propiedades similares se recogen en el siguiente lema. Recuerde que U es dada por (3.22). Lemma 3.5 La siguiente espera. a) H − q no tiene polos en la línea real. (b) U no tiene polos en la línea real. (c) U tiene un cero en cada uno de los polos reales de q y Uq no tiene polos en la línea real. (d) Uq toma el valor ν − 1/2 en cada uno de los polos reales de q. COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 41 Prueba. a) Observamos ya que la parte a) se deriva de (3.38). (b) Desde H ′ = −q2, tenemos que U(s) = q2(s) + q′(s) + s/2 = −(H − q)′(s) + s/2, (3.39) y así se deduce de la parte (a) que U no tiene polos en la línea real tampoco. c) Diferenciando (3.22), obtenemos U ′ = 2qq′ + q′′ + = 2qq′ + sq + 2q3 − + 1 = 2Uq − + 1 . (3.40) Así también Uq no tiene polos en la línea real, lo que significa que U tiene un cero en cada uno de los polos reales de q. d) Usando (3.40) (Uq − + 1 )q = (U ′ − Uq)q = (Uq)′ − U(q2 + q′) = (Uq)′ − U(U − s/2). (3.41) Puesto que el lado derecho de (3.41) es analítico en la línea real por partes (b) y (c), nosotros concluir que Uq 1 tiene un cero en cada uno de los polos reales de q. Esto demuestra parte d). â € € TM TM Es bien conocido y fácil de comprobar que cada polo de q es simple y tiene residuo +1 o −1. De hecho, la serie Laurent para q en un poste s0 tiene la forma q(s) = s− s0 + q1(s− s0) + · · · ·, donde q−1 1, 1}. Usando esto, uno verifica fácilmente que q2+ q′ o q2− q es analítico a s0 (dependiendo del signo del residuo q−1). Nuestro resultado es que U = q 2 + q′ + s/2 es análisis en R también se puede decir como sigue. Corollario 3.6 La solución q de la ecuación de Painlevé II con parámetro v = 2α + 1/2 y los datos monodrómicos (3.14) o (3.17) sólo tienen polos simples en la línea real, con residuo 3.5 Opción especial η0 Como ya se ha anunciado, también utilizaremos la opción especial η = η0 dada por (3.31). Para (3.31) y (3.36) tenemos que η0(s)− η(es)(s) = i2−2/3 q(−21/3s)−H(−21/3s) y así se deduce de la parte (a) de Lemma 3.5 que η0 − η(spec) es analítica en la línea real. Desde el 1 de enero de 2001 hasta el 31 de diciembre de 2001 (especifíquese) α existe para todos s R, se deduce que la solución del problema del modelo RH asociado con η0 existe para todos s â € R, así, y es analítico en s. La ecuación diferencial para con η = η0 se da por (3.32) con A0 como en (3.33). A continuación, se deduce que A0 es analítico en la línea real, y vamos a verificar explícitamente esto por reescribiendo sus entradas en términos de la función u a partir de (3.34) u(s) = 2−1/3U(−21/3s). 42 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON La analítica de u es inmediata desde (3.34) y parte (b) de Lemma 3.5. La capacidad de análisis de uη0 se deriva de (3.34), (3.31) y de la parte c) de Lemma 3.5. Usando también (3.40) obtenemos u′ = 2iuη0 + ν − 1/2 = 2iuη0 + 2α. (3.42) A continuación, se desprende de (3.22), (3.23), (3.34), (3.35) y (3.31) que v(s) + η0(s) 2 = −u(s)− s. (3.43) Podemos utilizar (3.42) y (3.43) para eliminar η0 y v de las entradas en A0, y obtenemos de (3.33) que u′/(2­) i− iu/­ − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . (3.44) 3.6 Prueba del teorema 1.4 y 1.5 Después de estos preparativos las pruebas de los teoremas 1.4 y 1.5 son cortas. Prueba de Teorema 1.4. De (3.24) y (3.34) se deduce que u satisface el Painlevé XXXIV ecuación en la forma (1.19). De (3.38) se desprende que ( ; s)e (­) 3/2+s­1/2) 3 3/4 = i2−2/3(H − q)−21/3s) que en vista de (3.39) y (3.34) conduce a (1.20). Esto demuestra Teorema 1.4. â € € TM TM Prueba de Teorema 1.5. Dejar ser la solución del problema del modelo RH dado por (3.19) con η = η0 como en (3.31). Entonces ( ; s) = A0 ( ; s), (3.45) con A0 dado por (3.44). La ecuación diferencial (3,45) es válida para el valor de C \. Podemos para obtener una ecuación diferencial para,+(x; s), con la misma matriz A0 (pero sustituida por x). Usando (1.12), obtenemos el diferencial ecuacion (1.21) para â € 1 y â € 2. Esto completa la prueba de Teorema 1.5. â € € TM TM 4 Observaciones finales 4.1 El caso α = 0 El caso α = 0 es clásico y bien entendido. Sabemos que K 0 (x, y; s) es la (desplazado) Airy kernel, véase (1.11). Vamos a mostrar aquí cómo esto sigue de los cálculos de la sección anterior. En el caso especial α = 0, tenemos ν = 1/2, y luego la ecuación de Painlevé II tiene soluciones especiales construidas con funciones Airy. Para ser precisos si Ai y Bi son el estándar Funciones aéreas, entonces para cualquier C1 y C2, no ambos cero, tenemos que q(s) = C1Ai(−2−1/3s) + C2Bi(−2−1/3s) (4.1) COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 43 es una solución de q′′ = sq + 2q3 − 1 . Estas son exactamente las soluciones que corresponden a la multiplicadores especiales Stokes a1 = a2 = a3 = −i. Las soluciones correspondientes al RH el problema fue dado por Flaschka y Newell [22, Sección 3F(iv)]. Por ejemplo, para w en sector S1 que tenemos (véase también [24, capítulo 11]) FN1/2 (w; s) = 1− iq(s)/w −2−1/3i/w 1 + iq(s)/w 2−1/3i/w Ai(z) Bi(z) Ai′(z) Bi′(z) (4.2) con z = −22/3w2 − 2−1/3s y α0 = 21/6 ............................................................................................................................................................................................................................................................... Las expresiones de «FN/(w; s)» en el otros sectores siguen multiplicando (4.2) por las matrices de salto apropiadas. Se deduce de (4.1) y (4.2) que el parámetro adicional c en los datos de la monodromia para (4.1) es iC1 − C2 C1 − iC2 . (4.3) Así que si tomamos c = i como en (3.17) entonces C2 = 0 y la solución correspondiente (4.1) es q(s) = log Ai(−2−1/3s) = −2−1/3Ai ′(−2−1/3s) Ai(−2−1/3s). (4.4) Tenga en cuenta que la solución (4.4) es especial entre todas las soluciones (4.1) en su comportamiento para s→. De hecho, del comportamiento asintótico para las funciones de Airy se desprende que para (4.4) nosotros q(s) 1(s) 2 − s)1/2 como s→ mientras que para las otras soluciones (4.1) tenemos q(s) • −1 2 − s)1/2 como s→. Así que de acuerdo con la Proposición 3.2 deberíamos usar q dado por (4.4) y luego definir 0, como en (3,19). Si se encuentra en el sector de la electricidad, entonces w = e En el sector S1, por ejemplo, en el sector S1, el número de personas que se encuentran en el sector S1 es de 1 a 2 y el número de personas que se encuentran en el sector S1 es de 1 a 3 a 1 y el número de personas que se encuentran en el sector S1 es de 1 a 3 a 1 a 3 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 3 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 3 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 3 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a (4.2) FN1/2 (w;−21/3s) = 1 + iη0(s) −1/2 1/2 1− iη0(s)1/2 1/2 (+ s) Bi(+ + s) Ai′(­ + s) Bi′(­ + s) donde η0(s) = i2 1/3q(−21/3) como en (3.31). A continuación (3.19) con η = η0 rendimientos para ­· · · · 3, (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + η0(s) 1 0-1/2 e.i.o.o. 3/4 1 + iη0(s) −1/2 1/2 1− iη0(s)1/2 1/2 (+ s) Bi(+ + s) Ai′(­ + s) Bi′(­ + s) eiđ3/4 e.i.o.o. 3/4 (+ s) Bi(+ + s) Ai′(­ + s) Bi′(­ + s) eiđ3/4 Ai(­+ s) + iBi(­+ s) −(­(­+ s)− iBi(­+ s)) −i(Ai′( + s) + iBi′( + s)) i(Ai′( + s)− iBi′( + s)) 44 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON Desde entonces (véase, por ejemplo, fórmula (10.4.9) en [1]) Ai(z)± iBi(z) = 2ei/3Ai(e2γi/3z) podemos escribir â € ¢0 en la forma más familiar (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + eπi/3Ai(e−2ηi/3(l+ s)) −ei/3Ai(e2ηi/3(l+ s)) −iei/3Ai′(e−2 , en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de de en lugar de en lugar de en lugar de de en lugar de en lugar de de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de, (4.5) En el caso de la letra • • • • 1 encontramos de una manera similar (o multiplicando (4.5) a la derecha por (1 1-1-1 0 )), que (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Ai( + s) eπi/3Ai(e−2 −iAi′( + s) −iei/3Ai′(e−2 , en nombre de la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular Democrática de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Corea, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República de Polonia, la República Popular de Polonia, la República Popular de Polonia, la República de Polonia. (4.6) Luego se sigue de (1.12) y (4.6) que para x > 0, 1(x; s) = 2ηAi(x+s), ­2(x; s) = − 2πiAi′(x+ s), (4.7) y un cálculo similar muestra que (4.7) también se mantiene para x < 0. Por lo tanto, por (1.13) 0 (x, y; s) = *2(x; s)*1(y; s)−*1(x; s)*2(y; s) 2πi(x− y) Ai(x+ s)Ai′(y + s)− Ai′(x+ s)Ai(y + s) x - y, (4.8) que es el grano de Airy. 4.2 El caso α = 1 El caso α = 1 se puede resolver explícitamente en términos de funciones de Airy también. Vamos a ser un solución del problema del modelo RH con parámetro α = 0. Luego para cualquier matriz X = X(s), es fácil comprobar que (I − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + X(s)+0(­ ; s) (4.9) cumple las condiciones (a), (b) y (c) del problema del modelo RH para α = 1. Para un especial elección de X tendremos que la condición (d) también está satisfecho. Vamos a tomar 0 dados por (4.6) para 1 ° ° ° ° ° °. A continuación, la condición (d) del modelo RH problema produce la siguiente condición en X (I − 1 X(s) Ai( + s) −iAi′( + s) = O(­), como ­ → 0. (4.10) La condición (4.10) se cumple si y sólo si tomamos X(s) = Ai′(s)2 − sAi(s)2 Ai(s) −iAi′(s) Ai′(s) −iAi(s) . (4.11) Tenga en cuenta que el denominador en (4.11) no puede ser cero para s R. De hecho, su derivado es −Ai(s)2, por lo que está disminuyendo para s â € R, y puesto que el límite para s → â € es igual a COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 45 0, se deduce que Ai′(s) − sAi(s)2 > 0 para todos los s+R. Tenga en cuenta también que si tomamos el límite x, y → 0 en (4.8), entonces 0 (0, 0; s) = Ai ′(s)2 − sAi(s)2. (4.12) Usando (1.12), (4.6), (4.9), (4.11) y (4.12), obtenemos que 1(x; s) = 2γAi(x+ s)− Ai(x+ s)Ai′(s)− Ai(s)Ai′(x+ s) x(Ai′(s)2 − sAi(s)2) Ai(s) Ai(x+ s)− K 0 (x, 0; s) 0 (0, 0; s) Ai(s) 2(x; s) = − 2ΔiAi′(x+ s) + Ai(x+ s)Ai′(s)−Ai(s)Ai′(x+ s) x(Ai′(s)2 − sAi(s)2) Ai Ai′(x+s)− K 0 (x, 0; s) 0 (0, 0; s) Ai′(s) 1 (x, y; s) = *2(x; s)*1(y; s)−*1(x; s)*2(y; s) 2πi(x− y) 0 (x, y; s)− 0 (x, 0; s)K 0 (y, 0; s) 0 (0, 0; s) . (4.13) Para calcular la solución relevante u de la ecuación Painlevé XXXIV para α = 1, puede suponer que hemos tomado............................................................................................................................................................................................................................................................ 0 en (4.9), y luego utilizar (1.20), (4.9), (2.14), y el hecho de que u 0 para α = 0, para obtener que u(s) = iX ′12(s), que por (4.11) conduce a u(s) = Ai(s)2 Ai′(s)2 − sAi(s)2 = − d 0 (0, 0; s). (4.14) Su gráfico se muestra en la Figura 6. Uno puede verificar a partir de las fórmulas asintóticas explícitamente conocidas para Ai que u(s) = +O(s−7/2) como s→ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (4.15) En el eje real negativo, u tiene un número infinito de ceros. Estos son los ceros de la Airy función Ai, y un número infinito de ceros adicionales que se entrelazan con los ceros de Ai. Las ecuaciones (4.9) y (4.14) constituyen el Schlesinger y (inducido por él) Bäcklund transformaciones, respectivamente, para el caso de Painlevé XXXIV y aplicadas a su cero solución de vacío (para la teoría general de las transformaciones de Schlesinger véase [31]; véase también [24, cap. 6]). 4.3 Caracterización asintótica de la función de Painlevé u(s) Finalmente queremos caracterizar la solución u de la ecuación Painlevé XXXIV por su propiedades asintóticas. Recuerde que u está conectado a la solución del Painlevé II Ecuación q′′ = sq + 2q3 − v con v = 2+ 1/2 por las fórmulas u(s) = 2−1/3U(−21/3s), U(s) = q2(s) + q′(s) + s . (4.16) 46 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 Figura 6: La solución de la ecuación Painlevé XXXIV para α = 1. Asumir que / > −1/2. Se muestra en [34] (véase también [24, Capítulos 5, 11]) que el solución q(s) de la ecuación Painlevé II correspondiente a los multiplicadores Stokes (3.14) muestra el siguiente comportamiento asintótico en el sector arg s • q(s) = [1/2] bn(−s)−3n/2 +O s−3[1/2]/2−1 + c+(−s)− (−s)3/2(1 +O(s−1/4) como s→, arg s , arg(−s) , (4.17) q(s) = [1/2] bn(−s)−3n/2 +O s−3[1/2]/2 + c−(−s)− (−s)3/2(1 +O(s−1/4) como s→, arg s , arg(−s) , (4.18) donde hemos utilizado la notación [r] para la parte entera del número positivo r, es decir. [r] N0, [r] ≤ r < [r] + 1. Los coeficientes c+ y c− de los términos exponenciales, que oscilan sobre los respectivos límites del sector , son dadas por las fórmulas c+ = − ( )i + 1 + /), (4.19) c− = − E() )i + 1 + /), (4.20) COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 47 donde فارسى denota la función Gamma. Por otra parte, o las relaciones (4.17), (4.19) o el las relaciones (4.18), (4.20) pueden tomarse como una caracterización de la solución q(s). Alternativamente, la solución q(s) se puede caracterizar por su comparación con el Boutroux solución tritronquea q(tri−tronq)(s) de la ecuación de Painlevée II, que se define como la solución única que satisface la condición asintótica q(tri−tronq(s) bn(−s)−3n/2, como s→ ­, arg • η + arg(−s) . (4.21) La solución q(s) con la que estamos trabajando es aquel cuyo comportamiento asintótico como s→ es dada por la ecuación q(s)− q(tri−tronq(s) = −e ( 1 )i + 1 × s 32 14 e− 2 s3/2(1 +O(s−1/4) , como s→ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (4.22) Los coeficientes bn de las series asintóticas en (4.17), (4.18) y (4.21) se determinan por sustitución en la ecuación de Painlevé II. De hecho, la siguiente relación de recurrencia se lleva a cabo b0 = 1, b1 = bn+2 = 9n2 − 1 bmbn+2−m − n + 2-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l- blbmbn+2−l−m. (4.23) Usando la relación (4.16) entre las funciones Painlevé II y Painlevé XXXIV llegamos a la caracterización asintótica de la función u(s) del Teorema 1.5. Proposición 4.1 La solución u(s) de la ecuación Painlevé XXXIV que aparece en El teorema 1.5 se caracteriza por una de las siguientes condiciones asintóticas u(s) = [2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + − 3n+1 s−3[2+1]/2−1 + d+s −3 − 1 1 +O(s−1/4) como s→, arg s , (4.24) u(s) = [2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + − 3n+1 s−3[2+1]/2−1 + d−s −3 − 1 1 +O(s−1/4) como s→, arg s , (4.25) 48 A.R. ITS, A.B.J. KUIJLAARS y J. ÖSTENSSON donde e±2°i − 1 2-6 3-(1 + 2α). (4.26) Alternativamente, la solución u(s) se puede caracterizar por la relación asintótica u(s)− u(tri−tronq(s) = −e 2 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 2-6 3-(1 + 2α) × s−3+ 12 e− 43s3/2 1 +O(s−1/4) , como s→ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (4.27) La solución tri-tronque de Painlevé XXXIV u(tri−tronq)(s) está determinada por la asintótica afección u(tri−tronq(s) − 3n+1 2, tal como se indica en el punto s.............................................................................................................. , η . (4.28) Por último, los coeficientes a de la serie asintótica anterior se pueden expresar en términos de la coeficientes bn definidos en (4.23), sustituidos por 2α + 1/2: 2 a = bn+1 − 3n− 2 k,m≥1;k+m=n+1 bkbm. Nota 4.2 Las asintóticas líderes de la función de Painlevé II q(s) como s → conocidos (véase [33]; véase también [24, capítulo 10]. Desafortunadamente, el término principal no es suficiente para derivar las asintóticas correspondientes como s → • de la función Painlevé XXXIV u(s). De hecho, la asintótica principal de q(s) como s→ es de la forma q(s) ­(s) s3/2 + χ , (4.29) (se conoce la fase χ) y se cancela en el lado derecho de la ecuación (3.22). Los mejor manera de estudiar la gran asintótica s negativa de la función u(s) es a través de la directa análisis del problema del modelo RH para. El caso α = 1 muestra que podríamos esperar comportamiento oscilante como s → â € (véase la Figura 6) y de hecho, asumiendo que 1/2 6 â € N0, somos capaces de demostrar que u(s) = (−s)3/2 − +O(1/s2), como s→ ®. (4.30) La prueba de (4.30) se presentará en una publicación futura. Por otra parte, conjeturamos que asintótica (4.30) determina la solución u(s) de forma única. Agradecimientos Alexander It fue apoyado en parte por la subvención NSF #DMS-0401009. Arno Kuijlaars es sup- Portado por el proyecto FWO-Flanders G.0455.04, por K.U. Subvención a la investigación de Lovaina OT/04/21, por el polaco belga de atracción interuniversitaria P06/02, por la Fundación Europea de la Ciencia Programa MISGAM, y mediante subvención del Ministerio de Educación y Ciencia de España, código del proyecto MTM2005-08648-C02-01. Jörgen Östensson cuenta con el apoyo de K.U. Subvención a la investigación de Lovaina OT/04/24. COMPORTAMIENTO CRÍTICO EN LOS ENSEMBLOS DE RANDOM MATRIX 49 Bibliografía [1] M. 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Widom, distribuciones de espaciado de nivel y el núcleo Airy, Comm. Matemáticas. Phys. 159 (1994), 151–174. [43] C. Tracy y H. Widom, Airy kernel y Painlevé II. En: Isomonodromic Deforma- ciones y Aplicaciones en Física, (J. Harnad y A. Its, eds), CRM Proc. Conferencia Notas, 31, Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 2002. pp. 85–96. [44] X. Zhou, El problema Riemann-Hilbert y la dispersión inversa, SIAM J. Matemáticas. Anal. 20 (1989), 966–986. http://arxiv.org/abs/nlin/0410009 Introducción y exposición de los resultados Modelos unitarios de matriz aleatoria El problema del modelo RH Conexión con la ecuación Painlevé XXXIV Resumen del resto del documento Prueba del teorema 1.1 y 1.2 El problema Riemann-Hilbert para los polinomios ortogonales El problema del modelo RH Existencia de solución al problema del modelo RH Algunos preliminares sobre las medidas de equilibrio Análisis de descenso más profundo Preliminares Primera transformación Y T Segunda transformación T S La parametrix P() La parametrix P(a) La parametrix P(0) Tercera transformación S R Finalización de las pruebas del teorema 1.1 y 1.2 Prueba de los teoremas 1.4 y 1.5 El problema de Painlevé II RH Conexión con Ecuación diferencial Selección especial (especifíquese) Opción especial 0 Prueba del teorema 1.4 y 1.5 Observaciones finales El caso = 0 El caso = 1 Caracterización asintótica de la función de Painlevé u(s)

Vibrational effects on low-temperature properties of molecular conductors

Efectos vibracionales sobre las propiedades de baja temperatura de los conductores moleculares Jernej Mravlje a,*, Anton Ramšak b,a, Rok Žitko a aJožef Stefan Institute, Jamova 39, Si-1000, Liubliana, Slovenija bFacultad de Matemáticas y Física, Universidad de Liubliana, Jadranska 19, Si-1000, Liubliana, Slovenija Resumen Calculamos las funciones de correlación características para el modelo Anderson con acoplamiento adicional asistido por fonon al impar canal de conducción. Este modelo describe, por ejemplo, el comportamiento de una molécula incrustada entre dos electrodos en experimentos de transporte donde la posición de la molécula con respecto a los cables afecta a las amplitudes de túnel. Usamos método de proyección-operador variable y método de grupo de renormalización numérica (NRG). El giro es Kondo tamizado o bien por canal de conducción par o impar, dependiendo del voltaje de la puerta y del acoplamiento electrón-fonón. Sin embargo, en todos los regímenes la puerta- La dependencia de tensión de la conducción de temperatura cero se encuentra cualitativamente igual que en el modelo sin acoplamiento al modo vibratorio. Palabras clave: efecto Kondo, conductores moleculares, ruptura de simetría dinámica PACS: 72.15.Qm,73.23.-b,73.22.-f En los últimos años los estudios de la impureza cuántica sys- Los Estados miembros han experimentado una recuperación considerable debido a la mejora de En el ámbito de las técnicas experimentales de medición de los elec- transporte de tron a través de puntos cuánticos y moléculas únicas, así como debido al desarrollo de la técnica DMFT que mapea los problemas de retícula que interactúan con la impu- problemas de ridad con una condición de auto-coherencia adicional. El modelo prototipo para esta clase de problemas es el modelo derson para una única impureza en un host metálico con Himp = Un↑n↓ + n, donde n = n↑ + n↓ es el número de electrones ocupando el orbital de impurezas con energía en relación con el potencial químico, y con el Coulomb repulsión U debido a la ocupación doble de la impureza orbital. Una clase importante de modelos de impureza cuántica incluyen acoplamiento a los grados bosónicos de libertad que describen el modos vibratorios de la molécula o los fonones a granel. Hay dos tipos básicos del acoplamiento electrón-fonón, i) el acoplamiento Holstein del formulario nx, donde n es el elec- tron densidad y x el desplazamiento del oscilador, y (ii) la Acoplamiento al término de salto de forma vx, donde v es el hop- operador de ping (hibridación) que une la impureza a la banda de conducción. Mientras que el tipo (i) es más relevante cuando la oscilación está relacionada con el cambio de volumen al que el electrón está confinado (modos de respiración), el tipo (ii) es rel- * Autor correspondiente. Dirección de correo electrónico: jernej.mmavlje@ijs.si, Fax: +38661 477-3724. evant cada vez que el desplazamiento modula el salto probabilidad. La adición del término Holstein a la AndersonHamil- toniano reduce eficazmente la repulsión de Coulomb y el hibridación. El efecto de los electrones sobre el fonón propagador también es interesante: cuando U efectivo cambia signo, un pico en el propagador de fonones a una frecuencia reducida cies (el ’modo suave’) emerge [1,2]. El modo suave es re- a la susceptibilidad de la carga, que se incrementa en este régimen [3]. Muy recientemente, se encontró un comportamiento similar también en el caso donde el término de acoplamiento electrón-fonón es de la forma Hel-ph = gxvodd, donde Vodd describe el salto desde impureza orbital al canal de conducción impar (antisym- combinación métrica de los orbitales de la no interacción parte del hamiltoniano) [4]. El modelo sin fonones consiste en Veven, que las parejas de la impureza sólo a la par canal de conducción (combinación simétrica de orbitales de la parte no interactuante de Hamiltonian). El mismo modelo (pero para la U finita en lugar de U → tratamiento de Ref. [4]) se analizó también con la varia- método de proyección-operador tional [5]. En este método la estado del suelo se expresa en términos del estado del suelo de un Hamiltoniano auxiliar que no interactúe [6]. Varios vari... se probaron las hormigas, con parámetros elegidos para permitir acoplamiento, (i) sólo a canal uniforme, (ii) sólo a canal impar, iii) una combinación de ambos. Método de variación aplicado a Preprint enviado a Elsevier octubre 26, 2018 http://arxiv.org/abs/0704.1973v1 0 0,5 1 iii) 0,25 0,5 c) d) x iii) Gráfico 1 Resultados variacionales [E/g = 5,E/D = 0,04,E = 2,5E; E/g es la frecuencia fonónica, D el ancho de banda.  = 0 (paneles izquierdos), g/U = 0,36 (paneles derecho)]: (a, b) Energía del estado del suelo variable. c) Las fluctuaciones de los desplazamientos y el desplazamiento para el iii). En i) y (ii) se mantiene la simetría de paridad, por lo que el desplazamiento desaparece. d) La conducta. variante iii) lleva en ciertos regímenes de parámetros a un motivo estado de simetría de paridad rota (véase Fig. 1 (a, b)), marcado por el valor de expectativa de desplazamiento no desvaneciente (Fig. (c), punteados finamente) y, por consiguiente, [5] considerablemente re- la conductancia inducida a través de una molécula (dibujado como un func- de salida del punto simétrico de los agujeros de partículas U/2 en la Fig. 1 d)). Como se explica a continuación, el estado del suelo debe tener una paridad bien definida, por lo tanto, sólo el vari- las hormigas i) y ii) del procedimiento variacional corresponden a el estado del suelo de la simetría correcta. Mientras que estaría en... structiva para implementar el método variacional de una manera que tuvo en cuenta correctamente el túnel entre los mínimos clásicamente degenerados del poten del oscilador- En la actualidad, parece que la aplicación exigir el cálculo de los elementos de la matriz entre dos distintos Hartree-Fock vacua, que impide el uso de la orem sobre el cual nuestra actual aplicación de la varia- El procedimiento cional se basa [6]. Presentamos así los resultados preliminares obtenidos con el El método NRG, que no sufre de este problema. La paridad en los resultados NRG no se rompe; la expectativa valores del desplazamiento y del término hopping vodd por lo tanto desaparezcan. In Fig. 2 a) se comparan las fluctuaciones de saltando a canales pares y extraños como una medida de la ’ac- dad» de los canales correspondientes. Para g lo suficientemente grande el los últimos son mayores, lo que corresponde al aumento de las fluctuaciones de el desplazamiento y la aparición del modo suave. Los el estado del sistema, como se ha visto en el renor del NRG- flujo de malización (no se muestra aquí) corresponde a la Fermi estado del suelo líquido del problema Kondo de un solo canal [7] con la fase característica de dispersión de cuasipartículas cambio de posición q.p  π/2 en el canal par o impar, dependiendo de si el acoplamiento eficaz mediado por el fonón al impar canal es más pequeño o más grande que el acoplamiento directo a la incluso canal. Cuando los acoplamientos coinciden (marcado en Fig. 2 b) por líneas verticales), un punto fijo inestable de las dos canal Kondo tipo de modelo se encuentra. 0 0,5 1 1,5 0 0,5 1 1,5 /U=0,5 /U=0,75 /U=1 Gráfico 2 Resultados NRG [U/­ = 25, D = U ]: a) fluctuaciones del lúpulo ping a canal par (completa) y impar (dashed), (b) fluctuaciones de desplazamiento. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 incluso Gráfico 3 Resultados de la NRG [U/l = 25, D = U,l/l = 1, g/l = 1,3]: Cero cambios de fase de dispersión de cuasipartículas de temperatura en pares (círculos) y canal impar (cuadrados) trazado versus salida de la simetría p-h calculado utilizando NRG. La conducta correspondiente también está planeada (dashed). Tenga en cuenta que los cambios de fase se definen módulo η. In Fig. 3 los cambios de fase de dispersión se trazan como un la función de ♥. El acoplamiento al canal asistido por fonón es elegido de modo que en el estado de la tierra la impureza gira es Proyectado por el canal impar para el pequeño, mientras que para el más grande está protegido por el canal par, como se ve en Łq.p.;even, odd # η/2, respectivamente. Más lejos del punto simétrico el modelo se sintoniza en el régimen fluctuante de valencia donde se suprime el efecto Kondo. Cuando el modelo es utilizado para describir una molécula (o un punto cuántico) incrustado entre dos pistas, la fase de dispersión cambia directamente de- termine la conductancia diferencial (Fig. 3 chasquidos). Los curva de conductancia es cualitativamente igual a la de el transistor genérico de un electrón en el canal único El régimen de Kondo, a pesar de que los efectos de Kondo se produce en diferentes canales a medida que el voltaje de la puerta se barre. El trabajo fue apoyado por SRA en virtud de la subvención Pl-0044. Bibliografía [1] A. C. Hewson y D. Meyer, J. Phys.: Condens. Materia 14, 427 (2002). [2] G. S. Jeon, T. Park, y H. Choi, Phys. Rev. B 68, 045106 (2003). [3] J. Mravlje, A. Ramšak, y T. Rejec, Phys. Rev. B 72, 121403(R) (2005). [4] C. A. Balseiro, P. S. Cornaglia, y D. R. Grempel, Phys. Rev. B 74, 235409 (2006). [5] J. Mravlje, A. Ramšak, y T. Rejec, Phys. Rev. B 74, 205320 (2006). [6] T. Rejec y A. Ramšak, Phys. Rev. B 68, 033306 (2003). [7] Para una revisión de la física de Kondo ver: A. C. Hewson, The Kondo Problem to Heavy Fermions, University Press, Cambridge, 1993. Bibliografía

Calculamos las funciones de correlación características para el modelo Anderson con acoplamiento adicional asistido por fonones al canal de conducción impar. Este modelo describe, por ejemplo, el comportamiento de una molécula incrustada entre dos electrodos en experimentos lineales de transporte donde la posición de la molécula con respecto a los cables afecta las amplitudes de túnel. Usamos variaciones método de proyección-operador y método de grupo de renormalización numérica (NRG). El giro es Kondo pantallado ya sea por canal de conducción par o impar dependiendo en el voltaje de la puerta y el acoplamiento electrón-fonón. Sin embargo, en todos los regímenes el la dependencia puerta-tensión de la conducción de la temperatura cero se encuentra para ser cualitativamente lo mismo que en el modelo sin acoplamiento a la vibración modo.

Efectos vibracionales sobre las propiedades de baja temperatura de los conductores moleculares Jernej Mravlje a,*, Anton Ramšak b,a, Rok Žitko a aJožef Stefan Institute, Jamova 39, Si-1000, Liubliana, Slovenija bFacultad de Matemáticas y Física, Universidad de Liubliana, Jadranska 19, Si-1000, Liubliana, Slovenija Resumen Calculamos las funciones de correlación características para el modelo Anderson con acoplamiento adicional asistido por fonon al impar canal de conducción. Este modelo describe, por ejemplo, el comportamiento de una molécula incrustada entre dos electrodos en experimentos de transporte donde la posición de la molécula con respecto a los cables afecta a las amplitudes de túnel. Usamos método de proyección-operador variable y método de grupo de renormalización numérica (NRG). El giro es Kondo tamizado o bien por canal de conducción par o impar, dependiendo del voltaje de la puerta y del acoplamiento electrón-fonón. Sin embargo, en todos los regímenes la puerta- La dependencia de tensión de la conducción de temperatura cero se encuentra cualitativamente igual que en el modelo sin acoplamiento al modo vibratorio. Palabras clave: efecto Kondo, conductores moleculares, ruptura de simetría dinámica PACS: 72.15.Qm,73.23.-b,73.22.-f En los últimos años los estudios de la impureza cuántica sys- Los Estados miembros han experimentado una recuperación considerable debido a la mejora de En el ámbito de las técnicas experimentales de medición de los elec- transporte de tron a través de puntos cuánticos y moléculas únicas, así como debido al desarrollo de la técnica DMFT que mapea los problemas de retícula que interactúan con la impu- problemas de ridad con una condición de auto-coherencia adicional. El modelo prototipo para esta clase de problemas es el modelo derson para una única impureza en un host metálico con Himp = Un↑n↓ + n, donde n = n↑ + n↓ es el número de electrones ocupando el orbital de impurezas con energía en relación con el potencial químico, y con el Coulomb repulsión U debido a la ocupación doble de la impureza orbital. Una clase importante de modelos de impureza cuántica incluyen acoplamiento a los grados bosónicos de libertad que describen el modos vibratorios de la molécula o los fonones a granel. Hay dos tipos básicos del acoplamiento electrón-fonón, i) el acoplamiento Holstein del formulario nx, donde n es el elec- tron densidad y x el desplazamiento del oscilador, y (ii) la Acoplamiento al término de salto de forma vx, donde v es el hop- operador de ping (hibridación) que une la impureza a la banda de conducción. Mientras que el tipo (i) es más relevante cuando la oscilación está relacionada con el cambio de volumen al que el electrón está confinado (modos de respiración), el tipo (ii) es rel- * Autor correspondiente. Dirección de correo electrónico: jernej.mmavlje@ijs.si, Fax: +38661 477-3724. evant cada vez que el desplazamiento modula el salto probabilidad. La adición del término Holstein a la AndersonHamil- toniano reduce eficazmente la repulsión de Coulomb y el hibridación. El efecto de los electrones sobre el fonón propagador también es interesante: cuando U efectivo cambia signo, un pico en el propagador de fonones a una frecuencia reducida cies (el ’modo suave’) emerge [1,2]. El modo suave es re- a la susceptibilidad de la carga, que se incrementa en este régimen [3]. Muy recientemente, se encontró un comportamiento similar también en el caso donde el término de acoplamiento electrón-fonón es de la forma Hel-ph = gxvodd, donde Vodd describe el salto desde impureza orbital al canal de conducción impar (antisym- combinación métrica de los orbitales de la no interacción parte del hamiltoniano) [4]. El modelo sin fonones consiste en Veven, que las parejas de la impureza sólo a la par canal de conducción (combinación simétrica de orbitales de la parte no interactuante de Hamiltonian). El mismo modelo (pero para la U finita en lugar de U → tratamiento de Ref. [4]) se analizó también con la varia- método de proyección-operador tional [5]. En este método la estado del suelo se expresa en términos del estado del suelo de un Hamiltoniano auxiliar que no interactúe [6]. Varios vari... se probaron las hormigas, con parámetros elegidos para permitir acoplamiento, (i) sólo a canal uniforme, (ii) sólo a canal impar, iii) una combinación de ambos. Método de variación aplicado a Preprint enviado a Elsevier octubre 26, 2018 http://arxiv.org/abs/0704.1973v1 0 0,5 1 iii) 0,25 0,5 c) d) x iii) Gráfico 1 Resultados variacionales [E/g = 5,E/D = 0,04,E = 2,5E; E/g es la frecuencia fonónica, D el ancho de banda.  = 0 (paneles izquierdos), g/U = 0,36 (paneles derecho)]: (a, b) Energía del estado del suelo variable. c) Las fluctuaciones de los desplazamientos y el desplazamiento para el iii). En i) y (ii) se mantiene la simetría de paridad, por lo que el desplazamiento desaparece. d) La conducta. variante iii) lleva en ciertos regímenes de parámetros a un motivo estado de simetría de paridad rota (véase Fig. 1 (a, b)), marcado por el valor de expectativa de desplazamiento no desvaneciente (Fig. (c), punteados finamente) y, por consiguiente, [5] considerablemente re- la conductancia inducida a través de una molécula (dibujado como un func- de salida del punto simétrico de los agujeros de partículas U/2 en la Fig. 1 d)). Como se explica a continuación, el estado del suelo debe tener una paridad bien definida, por lo tanto, sólo el vari- las hormigas i) y ii) del procedimiento variacional corresponden a el estado del suelo de la simetría correcta. Mientras que estaría en... structiva para implementar el método variacional de una manera que tuvo en cuenta correctamente el túnel entre los mínimos clásicamente degenerados del poten del oscilador- En la actualidad, parece que la aplicación exigir el cálculo de los elementos de la matriz entre dos distintos Hartree-Fock vacua, que impide el uso de la orem sobre el cual nuestra actual aplicación de la varia- El procedimiento cional se basa [6]. Presentamos así los resultados preliminares obtenidos con el El método NRG, que no sufre de este problema. La paridad en los resultados NRG no se rompe; la expectativa valores del desplazamiento y del término hopping vodd por lo tanto desaparezcan. In Fig. 2 a) se comparan las fluctuaciones de saltando a canales pares y extraños como una medida de la ’ac- dad» de los canales correspondientes. Para g lo suficientemente grande el los últimos son mayores, lo que corresponde al aumento de las fluctuaciones de el desplazamiento y la aparición del modo suave. Los el estado del sistema, como se ha visto en el renor del NRG- flujo de malización (no se muestra aquí) corresponde a la Fermi estado del suelo líquido del problema Kondo de un solo canal [7] con la fase característica de dispersión de cuasipartículas cambio de posición q.p  π/2 en el canal par o impar, dependiendo de si el acoplamiento eficaz mediado por el fonón al impar canal es más pequeño o más grande que el acoplamiento directo a la incluso canal. Cuando los acoplamientos coinciden (marcado en Fig. 2 b) por líneas verticales), un punto fijo inestable de las dos canal Kondo tipo de modelo se encuentra. 0 0,5 1 1,5 0 0,5 1 1,5 /U=0,5 /U=0,75 /U=1 Gráfico 2 Resultados NRG [U/­ = 25, D = U ]: a) fluctuaciones del lúpulo ping a canal par (completa) y impar (dashed), (b) fluctuaciones de desplazamiento. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 incluso Gráfico 3 Resultados de la NRG [U/l = 25, D = U,l/l = 1, g/l = 1,3]: Cero cambios de fase de dispersión de cuasipartículas de temperatura en pares (círculos) y canal impar (cuadrados) trazado versus salida de la simetría p-h calculado utilizando NRG. La conducta correspondiente también está planeada (dashed). Tenga en cuenta que los cambios de fase se definen módulo η. In Fig. 3 los cambios de fase de dispersión se trazan como un la función de ♥. El acoplamiento al canal asistido por fonón es elegido de modo que en el estado de la tierra la impureza gira es Proyectado por el canal impar para el pequeño, mientras que para el más grande está protegido por el canal par, como se ve en Łq.p.;even, odd # η/2, respectivamente. Más lejos del punto simétrico el modelo se sintoniza en el régimen fluctuante de valencia donde se suprime el efecto Kondo. Cuando el modelo es utilizado para describir una molécula (o un punto cuántico) incrustado entre dos pistas, la fase de dispersión cambia directamente de- termine la conductancia diferencial (Fig. 3 chasquidos). Los curva de conductancia es cualitativamente igual a la de el transistor genérico de un electrón en el canal único El régimen de Kondo, a pesar de que los efectos de Kondo se produce en diferentes canales a medida que el voltaje de la puerta se barre. El trabajo fue apoyado por SRA en virtud de la subvención Pl-0044. Bibliografía [1] A. C. Hewson y D. Meyer, J. Phys.: Condens. Materia 14, 427 (2002). [2] G. S. Jeon, T. Park, y H. Choi, Phys. Rev. B 68, 045106 (2003). [3] J. Mravlje, A. Ramšak, y T. Rejec, Phys. Rev. B 72, 121403(R) (2005). [4] C. A. Balseiro, P. S. Cornaglia, y D. R. Grempel, Phys. Rev. B 74, 235409 (2006). [5] J. Mravlje, A. Ramšak, y T. Rejec, Phys. Rev. B 74, 205320 (2006). [6] T. Rejec y A. Ramšak, Phys. Rev. B 68, 033306 (2003). [7] Para una revisión de la física de Kondo ver: A. C. Hewson, The Kondo Problem to Heavy Fermions, University Press, Cambridge, 1993. Bibliografía

Agile low phase noise radio-frequency sine wave generator applied to experiments on ultracold atoms

Generador de ondas sinusoidales ágiles de baja fase de ruido de radiofrecuencia aplicada a experimentos en átomos ultrafríos O. Morizot, J. de Lapeyre de Bellair, F. Wiotte, O. López, P.-E. Pottie y H. Perrin* Laboratoire de physique des lasers, Institut Galilée, Université Paris 13 y CNRS, Avenida J.-B. Clément, F-93430 Villetaneuse, Francia (Fecha: 31 de octubre de 2018) Informamos sobre el rendimiento de frecuencia de un bajo costo ($500) generación de ondas sinusoidales de radiofrecuencia- tor, utilizando síntesis digital directa (DDS) y una matriz de puerta programable en campo (FPGA). El resultado la frecuencia del dispositivo se puede cambiar dinámicamente a cualquier valor arbitrario que va desde DC a 10 MHz sin ningún deslizamiento de fase. Los efectos de muestreo se reducen considerablemente gracias a una elevada tasa de muestreo. hasta 1 MHz, y por una gran longitud de memoria, más de 2 × 105 muestras. Usando un ruido bajo oscilador externo para marcar el DDS, demostramos un ruido de fase tan bajo como el del maestro reloj, es decir, al nivel de −113 dB.rad2/Hz a 1 Hz del portador para una frecuencia de salida de 3,75 MHz. El dispositivo se utiliza con éxito para confinar una nube atómica ultrafría de rubidium 87 en un Trampa basada en RF, y no hay calefacción adicional de la fuente de RF. Números PACS: 39.25.+k, 06.30.Ft, 07.57.Hm I. INTRODUCCIÓN Los campos de radiofrecuencia (RF) se utilizan en átomos fríos ex- periments para diferentes fines: por ejemplo, evapo- el enfriamiento rativo realizado en una trampa magnética depende de Acoplamiento de campo RF entre los diferentes magnéticos atómicos indica [1, 2]. Esta técnica llevó a la primera observación la condensación de Bose-Einstein (BEC) [3, 4]. Además, Los pulsos RF se utilizan para disociar moléculas ultrafrías producido a partir de gases ultrafríos a través de nances [5]. Más recientemente, los campos RF se han utilizado para: gether con campos magnéticos estáticos para atrapar utrafrío átomos a una temperatura de unos pocos μK en geoma inusual- intenta [6, 7]. Hay un creciente interés por estos “RF- trampas basadas” entre los físicos atómicos, para crear dou- ble trampas de pozo en los chips de átomo [8, 9, 10] o proponer nuevas tipos de potenciales de confinación [11, 12, 13]. En ambos casos, una señal RF de frecuencia única debe ser barrida por frecuencia en algún rango, a menudo mayor que la frecuencia inicial, siguiendo una función de tiempo precisa que dura varios segundos. Por lo general, la frecuencia de RF varía entre 1 MHz y unas pocas decenas de MHz en 0,1 s a 10 s en la fase de rampa, y se mantiene en la frecuencia final durante segundos en la meseta escenario. Con fines de refrigeración, generadores comerciales de RF las necesidades de los físicos se ajusten razonablemente bien, incluso si un mejor res- olución en rampas de frecuencias arbitrarias sería ated. Sin embargo, en el caso de las trampas basadas en RF, la las necesidades son más fuertes. La principal diferencia entre estas dos situaciones son las siguientes: en refrigeración por evaporación la muestra atómica fría se encuentra lejos de la región de acoplamiento eficiente, mientras que en la trampa basada en RF esquema los átomos se sientan exactamente en el punto donde el RF campo tiene el efecto más grande. La calidad de la fuente RF es entonces mucho más importante que para el enfriamiento evaporativo. De hecho, la posición en la nube está directamente relacionada con el valor * Dirección electrónica: helene.perrin@galee.univ-paris13.fr de la frecuencia del campo RF, y de la fuerza de restauración de la trampa, o Equivalentemente la frecuencia de oscilación en el armónico aproximación, está vinculado a la amplitud de RF. Como un re- sulf, cualquier ruido de amplitud, ruido de frecuencia o ruido de fase de la señal RF durante la rampa o la meseta conduce a un calentamiento de la nube atómica fría. Esto motivó a la construcción de un sintetizador que se ajuste a nuestros requisitos. El presente documento está organizado de la siguiente manera. En la sección II dar expresiones explícitas para el calentamiento del átomo frío muestra para el ruido de frecuencia y amplitud en el caso de Trampa basada en RF. En la sección III, describimos nuestro RF sintetizador. Por último, la sección IV está dedicada a la experiencia resultados sobre su rendimiento y comparación entre las diferentes fuentes de RF probadas en el experimento BEC. II. REQUISITOS RELATIVOS A LA FUENTE DE RRF PARA LA TRAPARACIÓN CON BASE DE FRASCO En esta sección, nos centraremos en la trampa vestida con RF que producimos experimentalmente en el laboratorio [7]. La ampliación de las principales conclusiones a otros RF- Las geometrías de trampa vestidas son sencillas. La trampa confina los átomos en los tres espacios di- mensiones. La fuerza de captura surge del inter- acción entre el campo RF polarizado linealmente B(t) = BRF cos(2RFt) y los átomos en presencia de un in- campo magnético homogéneo. Esta interacción resulta en un confinamiento transversal de los átomos a la superficie de un elipsoide. Los átomos son libres de moverse a lo largo de la estafa. superficie de afinación, dando lugar a una especie de “trampa bubble” [6]. Debido a la gravedad, sin embargo, los átomos se concentran en la parte inferior del elipsoide. Su movimiento es péndulo- como en las direcciones horizontales, e impuesto por el RF interacción a lo largo del eje vertical z. Esta última dirección es por lo tanto la más sensible a las propiedades de campo RF (fre- quency / RF, amplitud BRF) y nos concentraremos en el movimiento vertical en el siguiente. A lo largo de esta direc... ciones, calor o pérdidas atómicas pueden derivarse de la frecuencia http://arxiv.org/abs/0704.1974v1 mailto:helene.perrin@galilee.univ-paris13.fr ruido de amplitud, lúpulo de fase o lúpulo de frecuencia repentina durante la rampa RF. A. Calefacción por excitación dipolar Muy generalmente, para los átomos en un har- Trampa mónica con una frecuencia de captura νz, cualquier efecto pro- inducir un nerviosismo en la posición z de la trampa resulta en lineal calentamiento a través de excitación dipolar. La energía media de la nube atómica fría E aumenta linealmente como [14]: El Tribunal de Primera Instancia decidió: donde z = 2z, M es la masa atómica y Sz es la Densidad espectral de potencia de un lado (PSD) de la posición fluctuaciones, definido como la transformación de Fourier de la función de correlación temporal [14] Sz( v) = 4 ......................................................................................................................................... 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Las variaciones de tiempo de la energía, E, y la temperatura, T, son relacionado por = /3kB. El factor 3 surge porque sólo un grado de libertad es responsable de la temperatura aumentar, como es el caso en nuestra trampa atómica. La vertical la posición z de la trampa está vinculada a la frecuencia RF /RF por z = Z( vRF) de tal manera que Sz es directamente proporcional a Sy, la PSD del ruido de frecuencia relativa de la fuente RF, a través de: Sz( v) = Sy( v). 3) La función Z depende de la geometría de la estática campo magnético. En un campo cuadripolar, por ejemplo, Z es lineal con vRF y su derivada es simplemente una constante. De Eqs. (1) y (3), inferimos que el calentamiento lineal la tasa es proporcional a Sy( vz). Para fijar órdenes de magnitud, dentro de la mag- campo neto de nuestra trampa Ioffe-Pritchard [7], νz puede ser ad- entre 600 y 1500 Hz y el típico tem- la peratura del frio rubidium 87 átomos oscila entre 0,5 a 5 μK. Para mantener una temperatura por debajo de la condensa- Umbral de cion por unos segundos, una temperatura lineal es necesario un aumento por debajo de 0,1 μK/s. Esta tasa corre... sponds to Sz(/z) = 0,27 nm/ Hz para un intermediario frecuencia de la trampa de 1000 Hz y /RF = 3 MHz, que en turn corresponde a una PSD unilateral de frecuencia relativa fluctuaciones de la fuente de RF Sy(vz) = −118 dB/Hz. B. Calefacción paramétrica Las fluctuaciones de la amplitud de campo RF BRF son re- esponsible para el calentamiento paramétrico en dirección vertical. La frecuencia de atrapamiento νz es inversamente proporcional a BRF [6]: 2F h̄ MγBRF . 4) Aquí, γ es la relación giromagnética del átomo y F es el giro atómico total (F = 2 para rubidium 87 en su parte superior hiperfino). Se supone que los átomos están polarizados. en su subestado mF = F extremo. La nube tempera... aumenta exponencialmente debido a la amplitud del ruido con a tipo de cambio......................................................................................................................................................................... * = 2/zSa(2/z) (5) y Sa es el PSD del ruido relativo de amplitud RF [14]. Con el fin de realizar experimentos con el BEC dentro de un escala de tiempo de unos pocos segundos, no debe exceder de 10−2 s−1. Una vez más, para una frecuencia de oscilación típica de 1000 Hz, este corresponde a Sa < −90 dB/Hz. Este requisito es el siguiente: bastante fácil de igualar y no limita la elección de la Fuente RF, como -110 dB/Hz se alcanza comúnmente. ¿Cómo...? siempre, debe tenerse especial cuidado en la elección y instalación del amplificador RF normalmente utilizado después de la fuente. C. lúpulo en fase El control de la fase de la fuente de RF no es el punto cial para el enfriamiento evaporativo, pero es un problema en el en caso de trampas basadas en RF, cuando esté asociada con trampas pérdidas. En esta última situación, el giro atómico sigue un campo magnético efectivo oscilando a la frecuencia RF. Un salto de fase resulta en un giro repentino de este campo efectivo, El giro atómico fue luego desalineado con el nuevo di- Rección del campo. Algunos de los átomos terminan con un giro orientado incorrectamente y escapar de la trampa. Por esta razón, debe evitarse el lúpulo en fase. Esto es difícil de lograr con un sintetizador analógico sobre un amplio barrido de frecuencia. Por el contrario, Direct Digital Syn- La tecnología de tesis (DDS) está bien adaptada a esta necesidad. mento [16]. D. Etapas de frecuencia El inconveniente de la tecnología DDS es que, aunque la fase es continua, la frecuencia es aumentada por N sucesivos pasos discretos. Un cambio súbito en la frecuencia de RF también resulta en pérdidas atómicas, a través de el mismo mecanismo que para el lúpulo de fase. El efecto... campo magnético tivo gira, como máximo, por el ángulo pequeño = 2γ /(γBRF/2) [15]. Para una rampa lineal sobre una fre- rango de quency = N, la fracción de átomos restantes después de la rampa completa es de orden (1− F2/2)N. Dado el expresión para, esto dice: NγBRF 1− F . 6) Así, para que la fracción restante sea mayor del 95%, el número de pasos de frecuencia debe ser mayor que 10F (4/γBRF) 2. Por ejemplo, para una rampa de 2 MHz con una amplitud típica de RF de 200 mG, N debe ser Más de 16.000. Además de este efecto de pérdida, un cambio repentino en el Frecuencia RF resulta en un cambio súbito de la posición de la trampa vestida de RF. Esto puede causar calentamiento dipolar de los átomos, especialmente si este cambio de frecuencia ocurre cada período de trampa. Por lo tanto, las etapas de frecuencia deben ser las siguientes: lo más pequeño posible, unas pocas decenas de Hz a cien Hz típicamente. III. DESCRIPCIÓN DEL DISPOSITIVO Nuestro experimento tiene los siguientes requisitos. En primer lugar, durante la rampa la brecha entre dos frecuencias sucesivas- ciones deben cumplir el criterio descrito en la sección IID. Sec- end, los criterios de adiabaticidad requieren un control, optimizado rampa. En tercer lugar, la duración de la rampa debe ser un experimento al otro en una escala de tiempo que va desde 50 ms a 10 s. Finalmente, ruido de frecuencia y amplitud debe ser lo suficientemente pequeño, como se ha señalado en la sección anterior. Dada la amplitud del barrido de frecuencia que necesitamos para realizar en nuestro experimento, la tecnología DDS aparece para ser una solución ideal. Anteriormente usábamos un com- Generador de RF basado en DDS mercial, el Stanford DS-345. Su longitud de memoria está limitada a 1.500 puntos de frecuencia para cada forma de onda con una duración de paso ajustable de 40 Msample/s/N, con N=1 a 234 − 1. El mayor in- comodidad de este dispositivo es que no es capaz de mantener la frecuencia final al final de la rampa. En su lugar, el El barrido de frecuencia se enrosca indefinidamente. Nos obligó a sacrificar la resolución de frecuencia durante la rampa o duración de la meseta. Beneficiarse de un bajo ruido Espectro RF durante la rampa y una frecuencia muy pequeña paso, y para mejorar las posibilidades de la fuente RF, diseñamos un sintetizador digital RF con un > 200, 000 longitud de memoria y gran agilidad, ajustados a nuestro experimento- los requisitos legales. Las principales características del sintetizador RF son como fol- Bajas. Es capaz de generar 262.144 ondas sinusoidales en una fila en la banda de radiofrecuencias (DC - 10 MHz), debido a su acceso aleatorio estático rápido asincrónico de 1 M-byte Memoria (SRAM). Cada frecuencia es un entero elegido por el usuario. Una característica clave del dispositivo es una variable frecuencia de la muestra a lo largo de la secuencia, como la duración de cada frecuencia generada se puede ajustar de 1 μs a 1 Hora. La arquitectura general del dispositivo se bosqueja en Fig. 1. Se compone de un kit de evaluación DDS tablero, y un "botiquín de arranque" Array de puerta programable de campo (FPGA) tabla. El dispositivo es administrado por un personal Computadora (PC). El DDS es registrado por un ultra-estable señal de referencia externa. La salida del DDS es un onda senoidal, filtrada a través de un filtro de paso bajo de 10 MHz. Los la síntesis de la rampa de frecuencia comienza cuando una señal TTL es enviado al dispositivo. Archivo *.txt Memoria Spartan-3 Frecuencia del reloj AD 9851 PC FPGA tablero DDS tablero Dispositivo DDS de arranque TTL filtro 10MHz Salida RF FIG. 1: Disposición del sistema. El tablero DDS combina parámetros digitales y una frecuencia de reloj de referencia analógica para generar un seno ola [16]. El corazón del tablero DDS es digitalmente pro- Dispositivo gramatical con tecnología DDS, el AD9851. Lo siento. tiene un acumulador de fase de 32 bits, una fase digital de 14 bits-a- Convertidor de amplitud y 10 bits Digital a Analog Con- verter (DAC). Su frecuencia máxima de reloj es de 180 MHz, y su frecuencia máxima de salida es de 70 MHz. Los la fase, relativa a la señal del reloj, está codificada en 5 bits, y es ajustable a cualquier valor de 0 a 2η. Estos resultados en una resolución de fase bastante pobre de 196 mrad. El tablero de la FPGA gestiona la memoria de 1 Mb, el tiempo ajustes y la entrada/salida del dispositivo a través de se- rial babor. El FPGA es un Xilinx spartan-3 XC3S200, proporcionar 200 000 puertas lógicas. Estas puertas lógicas son diseñado con VHDL [17]. Un síncrono universal Transmisor receptor (UART) y un microcon- troller son cargados en el FPGA, con el fin de comu- nicate a través de puerto serie al PC y cargar el Memoria a bordo. Escribimos nuestros propios scripts de VHDL para gestionar el tablero DDS y la memoria interna FPGA. El tablero de la FPGA se registra internamente a 50 MHz. Los la velocidad de salida de la muestra del dispositivo depende de la num- br de los ciclos de reloj ncycle entre los datos de frecuencia trans- ferred a la tabla de DDS. Ponemos ncycle = 50 para que ncycle/50 MHz = 1 μs, lo suficientemente grande para garantizar la seguridad funcionamiento de los datos de frecuencia. Software fue desarrollado en C con CVI Labwindows en para configurar el dispositivo. El usuario escribe un texto plano archivo que ordena todas las frecuencias de la frecuencia deseada rampa. El conjunto de frecuencias se separa en 10 grupos de longitud ajustable, con una tasa de muestreo determinada para cada uno. Las longitudes del grupo y la tasa de muestreo correspondiente son: cada uno traducido por el software en 4 bytes. Además, cada frecuencia en un grupo dado, un entero escrito como un número decimal, se traduce en 4 bytes (32 bits). Los el software envía estos bytes por puerto serie a la FPGA Tablero. La frecuencia del reloj fc y su nivel de ruido de fase son los puntos clave para establecer el rendimiento de frecuencia de la dispositivo. Cuanto menor sea el ruido de fase de la señal del reloj, el menor es el ruido de fase mínimo de la frecuencia de salida del dispositivo (ver sección IVA). La señal de reloj usada para el experimento, vea el siguiente sec- tion, es la señal de reloj de 10 MHz de un ultra-estable Oscilador de Cristal Controlado por Horno (OCXO) BVA-8600. Su fase de ruido PSD es −115 dB.rad2/Hz a 1 Hz. As Esta frecuencia de reloj está muy cerca de la maxi- frecuencia de salida de la madre ( 10 MHz, ver sección siguiente), y para cumplir el teorema de Shannon [18, 19], generamos un mayor frecuencia de reloj mediante el uso de la frecuencia interna multiplicador de reloj, a ×6, del tablero DDS. IV. RESULTADOS El dispositivo presentado en la sección III fue probado por primera vez para su rendimiento de estabilidad de frecuencia, tal como se describe en ión IVA y se resume en el cuadro I. Fue entonces en... Tegrado en un experimento de condensación de Bose-Einstein, ver sección IVB. A. Rendimiento de frecuencia del dispositivo 1. Error de cuantificación, truncación del acumulador de fase y Frecuencias “mágicas” Por construcción, la digitalización produce inexactitudes en síntesis de frecuencia. La frecuencia de salida de 32-bit res- olución DDS es dada por fRF = fc × donde w es una palabra de afinación binaria de 32 bits. La salida fre- quency puede, por lo tanto, diferir ligeramente de la frecuencia deseada. Como fc = 60 MHz, el error máximo de digitalización es 6× 107/232 = 0,014 Hz. Como nuestro software sólo toma frecuencias enteras como in- puesto, una frecuencia dada FRF se sintetizará sin error de muestreo si se puede escribir exactamente como un entero en la forma dada en Eq. (7). Esta condición está escrita w = n× 232−p (8) donde n es un entero positivo y p es la potencia de 2 en la factorización principal de la frecuencia del reloj fc. En nuestro caso, fc = 2 8 × 3 × 57 Hz y p = 8 para que cada frecuencia verificar fRF = n× 234375 Hz (9) no dará lugar a ningún error de digitalización. n debe ser inferior a 2p/3 para que la frecuencia deseada esté en el sintetizador rango (fc/3). Además, cuando el AD9851 convierte el calcu- fase lated a una amplitud de salida efectiva, sólo el primer más significativo 14 bits se utilizan, a pesar de que el AD9851 es un sintetizador de 32 bits, con el fin de número de entradas en una tabla de búsqueda. Truncando la fase resulta en errores en amplitud que son periódicos en el dominio de tiempo. Estos errores serán vistos como espuelas en el dominio de frecuencia. Sin embargo, para las frecuencias particulares que están exactamente codificados por los primeros 14 bits (el CUADRO I: Rendimiento del dispositivo con fc = 60 MHz. Los El ruido de frecuencia relativa se calcula a partir del ruido de fase datos, y dados para 3,75 MHz (frecuencia mágica) y 3 MHz (valor de ruido más grande). Parámetros Min. Max. Unidades Dinámica 0 10 MHz Ancho de línea - 30 mHz Error de digitalización 0 14 mHz Velocidad de muestreo ajustable 1 MHz Longitud de memoria 1 262.144 pts Ruido de fase@1Hz -113 -78 dB.rad2/Hz Rel. freq. ruido@1Hz -244 -207 dB/Hz Rel. ampl. ruido@1Hz - -120 dB/Hz Los últimos 18 bits son 0.), la fase no está truncada en absoluto, no dando ningún efecto espurio y el mejor PSD de la fase ruido. Esto ocurre para cada frecuencia satisfactoria fRF = n× fc/214 (10) con n un entero positivo. Como fc = 60 MHz, tenemos fRF = n × 3662.109375 Hz. La condición más estricta... tion siendo la primera, denotaremos las frecuencias satisfacción de Eq. 9) como “frecuencias mágicas”. Con el fin de il- lustre la diferencia entre una “frecuencia mágica” y otro, realizamos un conjunto de medición de ruido PSD- Para dos frecuencias: un primer conjunto para fRF = 3 MHz que no es una frecuencia “mágica”, y un segundo conjunto para fRF = 3,75 MHz, que es una frecuencia “mágica”. 2. Densidad espectral del ruido Grabamos la densidad espectral del ruido de nuestro syn- tesizer a una frecuencia fRF dada por el análisis FFT de la nota de ritmo a 0 Hz con un segundo ref- sintetizado erence señal. El banco de medición se bosqueja en Fig. 2. Con el fin de generar una señal de referencia el rango de RF usamos un sintetizador analógico, Rhode & Schwartz SML-01 (R&S), para sintetizar una señal en una alta frecuencia, y luego dividido por 100 para dar fRF para mezcla posterior. La nota de ritmo fue grabada y... alisado por un analizador digital FFT HP 3562A muestra en 256 kHz. La R&S, como todos los dispositivos de medición, fue cronometrado a 10 MHz por el cuarzo BVA-8600 ultraestable oscilador. Todas las parcelas mostradas en la Fig. 3 son espectros en bruto de la nota de ritmo. La propia señal de referencia (R&S) fue: caracterizado por hacer una nota de ritmo con un segundo iden- Síntesis basada en R&S tica. Esto corresponde a la línea etiquetado como “Referencia” en la Fig. 3. Afinando la diferencia de fase entre el sig- nal y la señal de referencia a η/2, grabamos fase ruido. En RFF = 3 MHz, el PSD del ruido de fase es −78 dB.rad2.Hz−1 a 1 Hz, que corresponde a una PSD de ruido de frecuencia relativa de −207 dB.Hz−1. Del datos notificados en la Fig. 3, y asumiendo una línea Lorentziana... forma para la nota de latido, el ancho de línea de la señal de RF, dado por F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F df Sy(f), (11) es tan pequeño como 30 mHz sobre un ancho de banda ­f = 100 kHz para una frecuencia de salida de 3 MHz [23]. Encontramos algo similar. resultados para frecuencias de salida de 1 a 5 MHz. En una Frecuencia “mágica”, como por ejemplo a 3,75 MHz, donde los efectos del truncado se cancelan, los resultados son aún mejores, con un PSD de ruido de fase tan bajo como −113 dB.rad2.Hz−1 a 1 Hz, sólo 2 dB más alto que el ruido de fase de el BVA 8600. El valor observado corresponde a el ruido final de fase del chip DDS especificado por el fabricante. El ruido relativo de la frecuencia es entonces −244 dB.Hz−1. El rendimiento del ruido de frecuencia está naturalmente relacionado con la calidad del oscilador maestro. Para ilustrar esto de hecho, las mismas mediciones se repitieron con el im- probado OCXO de un DS-345, el ERC EROS-750-SBR-4, como oscilador maestro. No hay cambios significativos en la fre- Las actuaciones de quency se notaron en frecuencias no mágicas. cies. A una frecuencia mágica, el PSD de ruido de fase en- a −100 dB.rad2/Hz, que es coherente con el Especificaciones de ruido de fase de este cuarzo. El PSD del ruido de amplitud relativa Sa fue registrado con el mismo banco de medición, afinando la fase a 0. La señal de referencia también fue entregada por R&S. El espectro registrado está muy cerca de la “Referencia” línea a nivel de −120 dB.Hz−1 a 1 Hz, cerca de el ruido de entrada del analizador FFT. Tenga en cuenta que para rele- las frecuencias de excitación < = 2 /z (mayores de 1,2 kHz), el PSD del ruido de amplitud es inferior a −130 dB. En la práctica, utilizamos en nuestro experimento BEC un pro- Atenuador de RF gramatical Minicircuito ZAS-3, impulsado por un canal de salida analógico de un PC de Instrumento Nacional tarjeta PCI-6713, con el fin de variar la amplitud RF enviado a la bobina RF. Repetimos las medidas descritas arriba con este atenuador y encontró un aumento de Sa, a partir de −115 dB.Hz−1 a 1 Hz, que corresponde a una cifra de ruido del atenuador programable de 5,1 dB. A la salida del atenuador, la señal de RF es am- plificado por un amplificador de clase A Kalmus 505 F. Su ganancia es 100SML-01 -8600 10 MHz ZAS-3 FIG. 2: Banco de medición del espectro sonoro. La ganancia en el mezclador fue instalado a la señal de salida, dependiendo de la fase entre las dos señales de latido. 1 10 100 1k 10k 100k -180 -160 -140. -120. -100. 1 10 100 1k 10k 100k -160 -140. -120. -100. 2 . Frecuencia (Hz) DDS 3,75 MHz DDS 3 MHz Referencia BVA 8600 FIG. 3: PSD de ruido de amplitud relativa, trama superior, y Ruido de fase, trama inferior. Average = 100. Muestreo de FFT frecuencia = 256 kHz. La frecuencia de corte del filtro de paso bajo de el mezclador se fijó en 200 kHz. La curva de referencia corresponde a a la nota de ritmo de dos sintetizadores de R&S idénticos. Trazado para la comparación son las especificaciones de ruido de fase del BVA Oscilador de cuarzo 8600, según lo indicado por el fabricante. 37 dB y su cifra de ruido es normalmente +10 dB según según las especificaciones del fabricante. B. Integración en el experimento En esta sección, presentamos el principal re- experimental los sulfatos relativos a la tasa de calentamiento de la muestra atómica. Como se describe en la sección II, la señal RF se utiliza para Produciendo la trampa de burbujas, donde el rubí ultrafrío... Los átomos de io se acumulan en el fondo de la superficie. La trampa es muy anisotrópica con un confinamiento más fuerte en dirección vertical [7]. Para la trampa de RF vestido a ser cargado eficientemente desde el Ioffe-Pritchard estándar Trampa magnética estática, descrita en [20], la frecuencia RF FRF tiene que aumentarse de 1 MHz a un fijo final frecuencia de fendRF que oscila entre 2 y 10 MHz. La estática campo magnético, necesario tanto para la captura magnética y Siempre está presente el atrapamiento inducido por la RF. Una rampa típica se muestra en la Fig. 4. La frecuencia es aumentada más lentamente. alrededor de 1,3 MHz, correspondiente a la frecuencia de resonancia en el centro de la trampa magnética donde la adiabaticidad de rotación de giro es más difícil de obtener. Al final de esta rampa, que puede durar entre 75 ms y 500 ms, la La frecuencia de RF se mantiene entre 0,1 y 10 s para la prueba de la vida útil y velocidad de calentamiento de los átomos en el RF-basado trampa. La señal RF se amplifica por 37 dB con una sola etapa amplificador, y el campo RF se produce por una pequeña circular antena. El campo RF está polarizado linealmente y su tude BRF se puede ajustar entre 70 y 700 mG. 0 50 100 150 200 Tiempo (ms) FIG. 4: Forma típica de una rampa de radiofrecuencia aplicada a la muestra atómica ultrafría. En el presente ejemplo fRF es aumentó de 1 a 3 MHz en 150 ms. Al final de este rampa, la frecuencia RF se mantiene en su valor final para algo de tiempo de espera en la trampa basada en RF, línea discontinua. registrar la temperatura atómica después de la rampa RF como un función del tiempo mientras los átomos están confinados en el RF- trampa basada. La temperatura se deduce de la nube tamaño a lo largo de z después de 7 ms de expansión balística. Lo mismo La medición se repitió con diferentes fuentes de RF. Primero, usamos un sintetizador Agilent 33250A con RF Amplitud superior a 500 mG para ambas frecuencias rampa y la frecuencia de retención final. Tal RF ana- sintetizadores de log operados en frecuencia fija muestran muy buena frecuencia relativa ruido en la mayoría de los casos, típicamente en el nivel de −180 dB/Hz o mejor. Sin embargo, como se ha mencionado por Colombe et al. [7] y confirmado por White et al. [21], el ruido relativo de la frecuencia aumenta en unas pocas décadas si la frecuencia de salida es accionada con un analógico externo Tensión. La frecuencia fue sin duda sintonizada a través de un ex- Control de tensión ternal proporcionado por la placa analógica del PC (NI 6713), de tal manera que la profundidad de modulación fue de ±1 MHz en una frecuencia central de 2 MHz. Obtuvimos ambos un vida útil corta, normalmente 400 ms a 1/e, y un fuerte lin- calentamiento del oído, como se muestra en la Fig. 5 círculos completos. La calefacción la velocidad se mide a 5,0 μK/s. Esta tasa, dada la RF amplitud, corresponde a un ruido de frecuencia relativa de Sy = −100 dB/Hz a la frecuencia de la trampa de 600 Hz. Esto ruido es bastante alto y está relacionado con el ruido de tensión en el control de frecuencia externo del sintetizador. Este efecto es fuerte en nuestro caso, ya que la frecuencia se varía con un profundidad de modulación grande (f/f = 1). También probamos un esquema de dos pasos, con una primera rampa realizado por un Stanford DS-345 DDS (1.500 frecuencia) los puntos), seguidos de las actividades de investigación y desarrollo mantenidas en quency para todo el tiempo de espera. Este esquema permite una para beneficiarse de la excelente estabilidad de frecuencia de la segundo dispositivo utilizado a frecuencia fija. Con esta configuración, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Agilent Nuestro dispositivo DDS tiempo de retención en la trampa (s) FIG. 5: Comparación del calentamiento de la nube atómica en el bub- ble trap: Agilent 33250A sintetizador, círculos completos, o presente dispositivo, diamantes abiertos, se utiliza para crear la rampa RF y el sistema de radiofrecuencia final. Observamos una tasa de calentamiento de 5,0 μK/s en el primer caso y 0,47 μK/s en el segundo, como dado por un ajuste lineal, líneas completas. calefacción durante la etapa de meseta parecía estar completamente Suprimida [7]. Sin embargo, se observó una gran dispersión en el número de átomos datos después de la conmutación, que pre- nos ventó de caracterizar la calefacción con mucha precisión. Esta dispersión se debe a un salto de fase al azar en el tiempo de conmutación entre los dos sintetizadores, resultando en pérdidas atómicas. Se estudió el efecto de la fase aleatoria salto en el número de átomo mediante la grabación, para cada experi- la diferencia de fase en el tiempo de conmutación con una osciloscopio de control. Los resultados se presentan en la Fig. 6, Círculos completos. Para el lúpulo de fase máxima, Los átomos están perdidos. Esta cifra depende del tem atómico. peratura, siendo las pérdidas más altas a temperatura más baja, y está bien reproducido por la teoría, como se muestra en la Fig. 6, Línea negra. La curva teórica se calcula para un RF amplitud de 470 mG promediando la probabilidad de pérdida sobre las posiciones de los átomos, tal como se deduce de distribución de mal a una temperatura de 4 μK. El hecho de que la trampa es capaz de sostener dos de los cinco componentes de giro se tiene en cuenta el estado de hiperfina F = 2. Finalmente, realizamos la tasa de calefacción y la vida útil mediciones con nuestro dispositivo DDS y una amplitud de 70 mG. Encontramos un aumento de la vida útil, hasta 9,6 s. Durante el primer segundo, la vertical “tempera- tura”, deducido del tamaño vertical de la nube tras el tiempo de vuelo, disminuciones debido a la termalización con el horizonte- grados de libertad que inicialmente tienen una energía más baja debido al procedimiento de carga: Fig. 5, diamantes abiertos. Después de 1 segundo, una velocidad de calentamiento lineal de 0,47 μK.s−1 es claramente observable. No hay calefacción paramétrica exponencial es mensurable. Creemos que el calor lineal restante... ing se debe a la excitación residual por la luz dispersa, que no estaba presente en el caso anterior. La misma calefacción -180 -150. -120. -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 6 ) lúpulo en fase de conmutación (grados) experimento teoría FIG. 6: Número de átomos que quedan después de cambiar entre los dos sintetizadores en función del lúpulo de fase. Exper... datos mentales, círculos completos, se comparan con un cálculo, línea, asumiendo una amplitud de RF de 470 mG y una temperatura de 4 μK. la velocidad fue efectivamente observada dentro de la trampa magnética estática, cuando la fuente RF estaba apagada. Calefacción directamente relacionada con la fuente RF no es observable. V. CONCLUSIÓN Construimos un generador de RF DDS de bajo costo, basado en un El chip DDS y su kit de evaluación. Es extremadamente ágil. ya que tenemos la capacidad de utilizar hasta 10 tiempos diferentes pasos durante la secuencia, permitiendo un uso eficiente de la Memoria FPGA a bordo. En contraste con Stanford DS-345 Sintetizadores de RF, la rampa de frecuencia no se repite en el final de la secuencia. La última frecuencia se mantiene hasta se procede a un nuevo pulso TTL para finalizar la secuencia. Su gran longitud de memoria, hasta 262.144 muestras de frecuencia, permite pasos de frecuencia muy pequeños, por lo tanto reduc- las pérdidas atómicas en nuestro experimento de trampas vestidas de RF. La tecnología DDS garantiza la continuidad de la fase. ous en toda la rampa de frecuencia, que es esencial para RF aplicaciones de captura. Aparte de estas características de alta resolución, el dispositivo presenta excelentes propiedades espectrales. La especificación de potencia... La densidad tral del ruido de fase es tan baja como-113 dB.rad2.Hz−1 a “frecuencias mágicas” bien escogidas, y en cualquier caso re- inferior a −78 dB.rad2.Hz−1 en el peor de los casos, dominado por troncamiento de fase. Este último valor da un ancho de línea de 30 mHz sobre un ancho de banda de 100 kHz. Los correspondientes El nivel de ruido relativo de frecuencia es de 90 dB por debajo de la de nuestro experimento de trampas vestidas de RF. El ruido de amplitud del sintetizador DDS es mea- estar por debajo de −130 dB.Hz−1 a frecuencias superiores 1 kHz. El ruido de amplitud resulta ser el ruido limitante presente en nuestra cadena de RF en el momento actual debido a la varias figuras de ruido dB de los atenuadores y amplificadores en uso en nuestro experimento. En realidad, aumentan la RF ruido de amplitud a −115 dB.Hz−1 a 1 kHz, que todavía sigue siendo 25 dB por debajo de nuestros requisitos de experimento. Todas estas características hacen que nuestro aparato DDS muy bien- adecuado para experimentos de átomos fríos. Puede utilizarse para: implementación optimizada de refrigeración por evaporación, con ar- Perfiles de rampas de frecuencias bitrarias, incluido un “RF- cuchillo”, en un experimento BEC estándar. Es de particular importancia importancia en el caso de experimentos con chips de átomo [22], donde la rampa de enfriamiento se realiza generalmente muy rápidamente (1 s) en general). También es ideal para el desarrollo de nuevos RF-basados trampas. En particular, la posibilidad de configurar la paso de tiempo, es decir, la duración de cada punto de frecuencia, es muy atractivo para nuestra aplicación. Esta característica es toda la más interesante en que la memoria se puede separar en varias zonas, a cada una se le asigna un número elegido de puntos y un paso de tiempo elegido, para que podamos dilatar o comprimir a tiempo la totalidad o una parte de la rampa, mientras que mantener la misma serie de frecuencias. Por ejemplo, si nosotros quiere lograr una rampa de valores de frecuencia N con un resolución de poco tiempo, digamos 10 μs, y luego mantener el final constante de frecuencia sobre diez segundos, tenemos la capacidad para abordar una primera zona de memoria con los primeros puntos N−1 y un paso de tiempo de 10 μs, y una segunda zona de memoria con el último valor de frecuencia y un paso de tiempo de 10 s. Un pecado... gle paso de tiempo sobre toda la secuencia habría forzado que sacrifiquemos la resolución de la rampa o la duración de la meseta final. El dispositivo fue implementado con éxito en nuestro ultra- experimento de átomos fríos. En primer lugar, establecemos la frontera específica- ciones sobre las actuaciones de la fuente de RF para la captura de exper- imentos con respecto a la tasa de calefacción y la vida útil. En el mismo forma, establecemos las condiciones en lúpulo fase máxima y la magnitud del paso de frecuencia. Con nuestro dispositivo casero, no se observó ningún calentamiento debido a la fuente de RF durante el Paso de meseta. La tasa de calentamiento restante fue de 0,47μK/s. idéntico al obtenido en la trampa magnética y fue limitado por otras fuentes de ruido, presumiblemente dispersos fotones. A pesar del gran número de frecuencias puntos, el calentamiento a lo largo del eje vertical todavía está presente dur- en la fase de carga de la trampa vestida con RF. Estamos en... este calentamiento a la deformación no adiabatica de la potencial de confinación durante el proceso de carga, que nosotros no podía hacer más lento debido a las otras fuentes de ruido. Mientras que las actuaciones reales del dispositivo son al- listo muy bien, algunas mejoras todavía son posibles. En primer lugar, la longitud de la memoria de la DDS es básicamente disua- minado por el tamaño de la memoria del FPGA en el tablero. Una más grande El tamaño de la muestra puede ser fácilmente implementado reemplazando el , siempre que se mejore la tasa de transferencia de datos mediante el uso de un puerto Ethernet o un puerto USB. Sec- end, la tasa de muestreo es de 1 MHz, limitada por los datos trans- fer tasa de la junta de la FPGA. Más alto FPGA reloj fre- quency, o más pequeño reloj cuenta ncycle, permitiría más alto Tasas de muestreo. El límite de frecuencia debido al AD-9851 El chip DDS en sí es de 3 MHz. Esta modificación im- probar la resolución temporal por un factor de 3. Por último, la frecuencia máxima de salida de 10 MHz puede ser muy fácilmente aumentada a 20 MHz sustituyendo el fil- de paso bajo ter. Al marcar el DDS con un reloj de 180 MHz, uno podría incluso alcanzar frecuencias de salida de hasta 60 MHz. Nota que con un chip DDS similar, el AD 9858, frecuencia los relojes tan alto como 1 GHz están permitidos, lo que hace possi- ble la síntesis de frecuencias RF hasta 330 MHz. Agradecimientos Estamos en deuda con R. J. Carnicero para una lectura crítica... > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >. > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Este trabajo contó con el apoyo de la Région Ile-de-France (número de contrato E1213) y por la Comunidad Europea a través del Centro de Investigación ing Red “FASTNet” en virtud del contrato No. HPRN-CT- 2002-00304 y Marie Curie Training Network “Atom Chips” en virtud del contrato No. MRTN-CT-2003-505032. Laboratoire de physique des lasers es UMR 7538 de CNRS y París 13 Universidad. La LPL es miembro del In- stitut Francilien de Recherche sur les Atomes Froids. [1] H. F. Hess, Phys. Rev. B 34, 3476 (1986). [2] N. Masuhara, J. M. Doyle, J. C. Sandberg, D. Kleppner, T. J. Greytak, H. F. Hess, y G. P. Kochanski, Phys. Rev. Lett. 61, 935 (1988). [3] E. A. Cornell y C. E. Wieman, Rev. Mod. Phys. 74, 875 (2002). [4] W. Ketterle, Rev. Mod. Phys. 74, 1131 (2002). [5] C. A. Regal, C. Ticknor, J. L. Bohn, y D. S. Jin, Na- 424, 47 (2003). [6] O. Zobay y B. M. Garraway, Phys. Rev. Lett. 86, 1195 (2001). [7] Y. Colombe, E. Knyazchyan, O. Morizot, B. Mercier, V. Lorent, y H. Perrin, Europhys. Lett. 67, 593 (2004). [8] T. Schumm, S. Hofferberth, L. M. Andersson, S. Wilder- Muth, S. Groth, I. Bar-Joseph, J. Schmiedmayer, y P. Krüger, Nature Physics 1, 57 (2005). [9] M. H. T. Extavour, L. J. Le Blanc, T. Schumm, B. Cies... Lak, S. Myrskog, A. Stummer, S. Aubin, y J. H. Thy- wissen, Actas de la Conferencia Internacional sobre Física Atómica, Física Atómica 20, 241 (2006). [10] G.-B. Jo, Y. Shin, T. A. Pasquini, M. Saba, W. Ketterle, y D. E. Pritchard, M. Vengalattore y M. Prentiss, Phys. Rev. Lett. 98, 030407 (2007). [11] I. Lesanovsky, T. Schumm, S. Hofferberth, L. M. Ander- sson, P. Krüger, y J. Schmiedmayer, Phys. Rev. A 73, 033619 (2006). [12] Ph. W. Courteille, B. Deh, J. Fortàgh, A. Günther, S. Kraft, C. Marzok, S. Slama, y C. Zimmermann, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 39, 1055 (2006). [13] O. Morizot, Y. Colombe, V. Lorent, H. Perrin, y B. M. Garraway, Phys. Rev. A 74, 023617 (2006). [14] M. E. Gehm, K. M. O’Hara, T. A. Savard, y J. E. Thomas, Phys. Rev. A 58, 3914 (1998). [15] El factor BRF/2 surge del hecho de que sólo la mitad de el poder del RF polarizado linealmente tiene un efecto sobre los átomos. [16] B.-G. Goldberg, Técnicas Digitales en Sintetismo de Frecuencia- hes, (Mac Graw-Hill, New-York, 1996). [17] Circuito de integración de muy alta velocidad Descrip- ión Lenguaje. [18] H. Nyquist, Trans. AIEE 47, 617 (1928); reimpresión como clas- sic paper in: Proc. IEEE, 90, 280 (2002). [19] C. E. Shannon, Proc. Instituto de Ingenieros de Radio 37, 10 (1949); reimpresión como papel clásico en: Proc. IEEE, 86, 447 (1998). [20] Y. Colombe, D. Kadio, M. Olshanii, B. Mercier, V. Lorent, y H. Perrin, J. de Opt. B: Quantum Semi- clase. Opt. 5, S155 (2003). [21] M. White, H. Gao, M. Pasienski, y B. DeMarco, Phys. Rev. A 74, 023616 (2006). [22] R. Folman, P. Krüger, J. Schmiedmayer, J. Denschlag, y C. Henkel, Adv. A. Mol. Opt. Phys. 48, 263 (2002). [23] D. Halford, Seminario de metrología de normas de frecuencia, 431-466 (1971).

Informamos sobre el rendimiento de frecuencia de una radiofrecuencia de bajo costo (~500$) Generador de ondas sinusales, utilizando síntesis digital directa (DDS) y una matriz de puerta programable en campo (FPGA). La frecuencia de salida del dispositivo puede ser cambiado dinámicamente a cualquier valor arbitrario que va desde DC a 10 MHz sin cualquier desliz de fase. Los efectos de muestreo se reducen sustancialmente por una muestra alta velocidad, hasta 1 MHz, y por una gran longitud de memoria, más de 2,10 ^ 5 muestras. Por utilizando un oscilador externo de bajo ruido para marcar el DDS, demostramos una fase ruido tan bajo como el del reloj maestro, es decir, al nivel de -113 dB.rad^2/Hz a 1 Hz del portador para una frecuencia de salida de 3,75 MHz. Los dispositivo se utiliza con éxito para confinar una nube atómica ultrafrío de rubidium 87 en una trampa basada en RF, y no hay calefacción adicional de la fuente de RF.

Generador de ondas sinusoidales ágiles de baja fase de ruido de radiofrecuencia aplicada a experimentos en átomos ultrafríos O. Morizot, J. de Lapeyre de Bellair, F. Wiotte, O. López, P.-E. Pottie y H. Perrin* Laboratoire de physique des lasers, Institut Galilée, Université Paris 13 y CNRS, Avenida J.-B. Clément, F-93430 Villetaneuse, Francia (Fecha: 31 de octubre de 2018) Informamos sobre el rendimiento de frecuencia de un bajo costo ($500) generación de ondas sinusoidales de radiofrecuencia- tor, utilizando síntesis digital directa (DDS) y una matriz de puerta programable en campo (FPGA). El resultado la frecuencia del dispositivo se puede cambiar dinámicamente a cualquier valor arbitrario que va desde DC a 10 MHz sin ningún deslizamiento de fase. Los efectos de muestreo se reducen considerablemente gracias a una elevada tasa de muestreo. hasta 1 MHz, y por una gran longitud de memoria, más de 2 × 105 muestras. Usando un ruido bajo oscilador externo para marcar el DDS, demostramos un ruido de fase tan bajo como el del maestro reloj, es decir, al nivel de −113 dB.rad2/Hz a 1 Hz del portador para una frecuencia de salida de 3,75 MHz. El dispositivo se utiliza con éxito para confinar una nube atómica ultrafría de rubidium 87 en un Trampa basada en RF, y no hay calefacción adicional de la fuente de RF. Números PACS: 39.25.+k, 06.30.Ft, 07.57.Hm I. INTRODUCCIÓN Los campos de radiofrecuencia (RF) se utilizan en átomos fríos ex- periments para diferentes fines: por ejemplo, evapo- el enfriamiento rativo realizado en una trampa magnética depende de Acoplamiento de campo RF entre los diferentes magnéticos atómicos indica [1, 2]. Esta técnica llevó a la primera observación la condensación de Bose-Einstein (BEC) [3, 4]. Además, Los pulsos RF se utilizan para disociar moléculas ultrafrías producido a partir de gases ultrafríos a través de nances [5]. Más recientemente, los campos RF se han utilizado para: gether con campos magnéticos estáticos para atrapar utrafrío átomos a una temperatura de unos pocos μK en geoma inusual- intenta [6, 7]. Hay un creciente interés por estos “RF- trampas basadas” entre los físicos atómicos, para crear dou- ble trampas de pozo en los chips de átomo [8, 9, 10] o proponer nuevas tipos de potenciales de confinación [11, 12, 13]. En ambos casos, una señal RF de frecuencia única debe ser barrida por frecuencia en algún rango, a menudo mayor que la frecuencia inicial, siguiendo una función de tiempo precisa que dura varios segundos. Por lo general, la frecuencia de RF varía entre 1 MHz y unas pocas decenas de MHz en 0,1 s a 10 s en la fase de rampa, y se mantiene en la frecuencia final durante segundos en la meseta escenario. Con fines de refrigeración, generadores comerciales de RF las necesidades de los físicos se ajusten razonablemente bien, incluso si un mejor res- olución en rampas de frecuencias arbitrarias sería ated. Sin embargo, en el caso de las trampas basadas en RF, la las necesidades son más fuertes. La principal diferencia entre estas dos situaciones son las siguientes: en refrigeración por evaporación la muestra atómica fría se encuentra lejos de la región de acoplamiento eficiente, mientras que en la trampa basada en RF esquema los átomos se sientan exactamente en el punto donde el RF campo tiene el efecto más grande. La calidad de la fuente RF es entonces mucho más importante que para el enfriamiento evaporativo. De hecho, la posición en la nube está directamente relacionada con el valor * Dirección electrónica: helene.perrin@galee.univ-paris13.fr de la frecuencia del campo RF, y de la fuerza de restauración de la trampa, o Equivalentemente la frecuencia de oscilación en el armónico aproximación, está vinculado a la amplitud de RF. Como un re- sulf, cualquier ruido de amplitud, ruido de frecuencia o ruido de fase de la señal RF durante la rampa o la meseta conduce a un calentamiento de la nube atómica fría. Esto motivó a la construcción de un sintetizador que se ajuste a nuestros requisitos. El presente documento está organizado de la siguiente manera. En la sección II dar expresiones explícitas para el calentamiento del átomo frío muestra para el ruido de frecuencia y amplitud en el caso de Trampa basada en RF. En la sección III, describimos nuestro RF sintetizador. Por último, la sección IV está dedicada a la experiencia resultados sobre su rendimiento y comparación entre las diferentes fuentes de RF probadas en el experimento BEC. II. REQUISITOS RELATIVOS A LA FUENTE DE RRF PARA LA TRAPARACIÓN CON BASE DE FRASCO En esta sección, nos centraremos en la trampa vestida con RF que producimos experimentalmente en el laboratorio [7]. La ampliación de las principales conclusiones a otros RF- Las geometrías de trampa vestidas son sencillas. La trampa confina los átomos en los tres espacios di- mensiones. La fuerza de captura surge del inter- acción entre el campo RF polarizado linealmente B(t) = BRF cos(2RFt) y los átomos en presencia de un in- campo magnético homogéneo. Esta interacción resulta en un confinamiento transversal de los átomos a la superficie de un elipsoide. Los átomos son libres de moverse a lo largo de la estafa. superficie de afinación, dando lugar a una especie de “trampa bubble” [6]. Debido a la gravedad, sin embargo, los átomos se concentran en la parte inferior del elipsoide. Su movimiento es péndulo- como en las direcciones horizontales, e impuesto por el RF interacción a lo largo del eje vertical z. Esta última dirección es por lo tanto la más sensible a las propiedades de campo RF (fre- quency / RF, amplitud BRF) y nos concentraremos en el movimiento vertical en el siguiente. A lo largo de esta direc... ciones, calor o pérdidas atómicas pueden derivarse de la frecuencia http://arxiv.org/abs/0704.1974v1 mailto:helene.perrin@galilee.univ-paris13.fr ruido de amplitud, lúpulo de fase o lúpulo de frecuencia repentina durante la rampa RF. A. Calefacción por excitación dipolar Muy generalmente, para los átomos en un har- Trampa mónica con una frecuencia de captura νz, cualquier efecto pro- inducir un nerviosismo en la posición z de la trampa resulta en lineal calentamiento a través de excitación dipolar. La energía media de la nube atómica fría E aumenta linealmente como [14]: El Tribunal de Primera Instancia decidió: donde z = 2z, M es la masa atómica y Sz es la Densidad espectral de potencia de un lado (PSD) de la posición fluctuaciones, definido como la transformación de Fourier de la función de correlación temporal [14] Sz( v) = 4 ......................................................................................................................................... 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Las variaciones de tiempo de la energía, E, y la temperatura, T, son relacionado por = /3kB. El factor 3 surge porque sólo un grado de libertad es responsable de la temperatura aumentar, como es el caso en nuestra trampa atómica. La vertical la posición z de la trampa está vinculada a la frecuencia RF /RF por z = Z( vRF) de tal manera que Sz es directamente proporcional a Sy, la PSD del ruido de frecuencia relativa de la fuente RF, a través de: Sz( v) = Sy( v). 3) La función Z depende de la geometría de la estática campo magnético. En un campo cuadripolar, por ejemplo, Z es lineal con vRF y su derivada es simplemente una constante. De Eqs. (1) y (3), inferimos que el calentamiento lineal la tasa es proporcional a Sy( vz). Para fijar órdenes de magnitud, dentro de la mag- campo neto de nuestra trampa Ioffe-Pritchard [7], νz puede ser ad- entre 600 y 1500 Hz y el típico tem- la peratura del frio rubidium 87 átomos oscila entre 0,5 a 5 μK. Para mantener una temperatura por debajo de la condensa- Umbral de cion por unos segundos, una temperatura lineal es necesario un aumento por debajo de 0,1 μK/s. Esta tasa corre... sponds to Sz(/z) = 0,27 nm/ Hz para un intermediario frecuencia de la trampa de 1000 Hz y /RF = 3 MHz, que en turn corresponde a una PSD unilateral de frecuencia relativa fluctuaciones de la fuente de RF Sy(vz) = −118 dB/Hz. B. Calefacción paramétrica Las fluctuaciones de la amplitud de campo RF BRF son re- esponsible para el calentamiento paramétrico en dirección vertical. La frecuencia de atrapamiento νz es inversamente proporcional a BRF [6]: 2F h̄ MγBRF . 4) Aquí, γ es la relación giromagnética del átomo y F es el giro atómico total (F = 2 para rubidium 87 en su parte superior hiperfino). Se supone que los átomos están polarizados. en su subestado mF = F extremo. La nube tempera... aumenta exponencialmente debido a la amplitud del ruido con a tipo de cambio......................................................................................................................................................................... * = 2/zSa(2/z) (5) y Sa es el PSD del ruido relativo de amplitud RF [14]. Con el fin de realizar experimentos con el BEC dentro de un escala de tiempo de unos pocos segundos, no debe exceder de 10−2 s−1. Una vez más, para una frecuencia de oscilación típica de 1000 Hz, este corresponde a Sa < −90 dB/Hz. Este requisito es el siguiente: bastante fácil de igualar y no limita la elección de la Fuente RF, como -110 dB/Hz se alcanza comúnmente. ¿Cómo...? siempre, debe tenerse especial cuidado en la elección y instalación del amplificador RF normalmente utilizado después de la fuente. C. lúpulo en fase El control de la fase de la fuente de RF no es el punto cial para el enfriamiento evaporativo, pero es un problema en el en caso de trampas basadas en RF, cuando esté asociada con trampas pérdidas. En esta última situación, el giro atómico sigue un campo magnético efectivo oscilando a la frecuencia RF. Un salto de fase resulta en un giro repentino de este campo efectivo, El giro atómico fue luego desalineado con el nuevo di- Rección del campo. Algunos de los átomos terminan con un giro orientado incorrectamente y escapar de la trampa. Por esta razón, debe evitarse el lúpulo en fase. Esto es difícil de lograr con un sintetizador analógico sobre un amplio barrido de frecuencia. Por el contrario, Direct Digital Syn- La tecnología de tesis (DDS) está bien adaptada a esta necesidad. mento [16]. D. Etapas de frecuencia El inconveniente de la tecnología DDS es que, aunque la fase es continua, la frecuencia es aumentada por N sucesivos pasos discretos. Un cambio súbito en la frecuencia de RF también resulta en pérdidas atómicas, a través de el mismo mecanismo que para el lúpulo de fase. El efecto... campo magnético tivo gira, como máximo, por el ángulo pequeño = 2γ /(γBRF/2) [15]. Para una rampa lineal sobre una fre- rango de quency = N, la fracción de átomos restantes después de la rampa completa es de orden (1− F2/2)N. Dado el expresión para, esto dice: NγBRF 1− F . 6) Así, para que la fracción restante sea mayor del 95%, el número de pasos de frecuencia debe ser mayor que 10F (4/γBRF) 2. Por ejemplo, para una rampa de 2 MHz con una amplitud típica de RF de 200 mG, N debe ser Más de 16.000. Además de este efecto de pérdida, un cambio repentino en el Frecuencia RF resulta en un cambio súbito de la posición de la trampa vestida de RF. Esto puede causar calentamiento dipolar de los átomos, especialmente si este cambio de frecuencia ocurre cada período de trampa. Por lo tanto, las etapas de frecuencia deben ser las siguientes: lo más pequeño posible, unas pocas decenas de Hz a cien Hz típicamente. III. DESCRIPCIÓN DEL DISPOSITIVO Nuestro experimento tiene los siguientes requisitos. En primer lugar, durante la rampa la brecha entre dos frecuencias sucesivas- ciones deben cumplir el criterio descrito en la sección IID. Sec- end, los criterios de adiabaticidad requieren un control, optimizado rampa. En tercer lugar, la duración de la rampa debe ser un experimento al otro en una escala de tiempo que va desde 50 ms a 10 s. Finalmente, ruido de frecuencia y amplitud debe ser lo suficientemente pequeño, como se ha señalado en la sección anterior. Dada la amplitud del barrido de frecuencia que necesitamos para realizar en nuestro experimento, la tecnología DDS aparece para ser una solución ideal. Anteriormente usábamos un com- Generador de RF basado en DDS mercial, el Stanford DS-345. Su longitud de memoria está limitada a 1.500 puntos de frecuencia para cada forma de onda con una duración de paso ajustable de 40 Msample/s/N, con N=1 a 234 − 1. El mayor in- comodidad de este dispositivo es que no es capaz de mantener la frecuencia final al final de la rampa. En su lugar, el El barrido de frecuencia se enrosca indefinidamente. Nos obligó a sacrificar la resolución de frecuencia durante la rampa o duración de la meseta. Beneficiarse de un bajo ruido Espectro RF durante la rampa y una frecuencia muy pequeña paso, y para mejorar las posibilidades de la fuente RF, diseñamos un sintetizador digital RF con un > 200, 000 longitud de memoria y gran agilidad, ajustados a nuestro experimento- los requisitos legales. Las principales características del sintetizador RF son como fol- Bajas. Es capaz de generar 262.144 ondas sinusoidales en una fila en la banda de radiofrecuencias (DC - 10 MHz), debido a su acceso aleatorio estático rápido asincrónico de 1 M-byte Memoria (SRAM). Cada frecuencia es un entero elegido por el usuario. Una característica clave del dispositivo es una variable frecuencia de la muestra a lo largo de la secuencia, como la duración de cada frecuencia generada se puede ajustar de 1 μs a 1 Hora. La arquitectura general del dispositivo se bosqueja en Fig. 1. Se compone de un kit de evaluación DDS tablero, y un "botiquín de arranque" Array de puerta programable de campo (FPGA) tabla. El dispositivo es administrado por un personal Computadora (PC). El DDS es registrado por un ultra-estable señal de referencia externa. La salida del DDS es un onda senoidal, filtrada a través de un filtro de paso bajo de 10 MHz. Los la síntesis de la rampa de frecuencia comienza cuando una señal TTL es enviado al dispositivo. Archivo *.txt Memoria Spartan-3 Frecuencia del reloj AD 9851 PC FPGA tablero DDS tablero Dispositivo DDS de arranque TTL filtro 10MHz Salida RF FIG. 1: Disposición del sistema. El tablero DDS combina parámetros digitales y una frecuencia de reloj de referencia analógica para generar un seno ola [16]. El corazón del tablero DDS es digitalmente pro- Dispositivo gramatical con tecnología DDS, el AD9851. Lo siento. tiene un acumulador de fase de 32 bits, una fase digital de 14 bits-a- Convertidor de amplitud y 10 bits Digital a Analog Con- verter (DAC). Su frecuencia máxima de reloj es de 180 MHz, y su frecuencia máxima de salida es de 70 MHz. Los la fase, relativa a la señal del reloj, está codificada en 5 bits, y es ajustable a cualquier valor de 0 a 2η. Estos resultados en una resolución de fase bastante pobre de 196 mrad. El tablero de la FPGA gestiona la memoria de 1 Mb, el tiempo ajustes y la entrada/salida del dispositivo a través de se- rial babor. El FPGA es un Xilinx spartan-3 XC3S200, proporcionar 200 000 puertas lógicas. Estas puertas lógicas son diseñado con VHDL [17]. Un síncrono universal Transmisor receptor (UART) y un microcon- troller son cargados en el FPGA, con el fin de comu- nicate a través de puerto serie al PC y cargar el Memoria a bordo. Escribimos nuestros propios scripts de VHDL para gestionar el tablero DDS y la memoria interna FPGA. El tablero de la FPGA se registra internamente a 50 MHz. Los la velocidad de salida de la muestra del dispositivo depende de la num- br de los ciclos de reloj ncycle entre los datos de frecuencia trans- ferred a la tabla de DDS. Ponemos ncycle = 50 para que ncycle/50 MHz = 1 μs, lo suficientemente grande para garantizar la seguridad funcionamiento de los datos de frecuencia. Software fue desarrollado en C con CVI Labwindows en para configurar el dispositivo. El usuario escribe un texto plano archivo que ordena todas las frecuencias de la frecuencia deseada rampa. El conjunto de frecuencias se separa en 10 grupos de longitud ajustable, con una tasa de muestreo determinada para cada uno. Las longitudes del grupo y la tasa de muestreo correspondiente son: cada uno traducido por el software en 4 bytes. Además, cada frecuencia en un grupo dado, un entero escrito como un número decimal, se traduce en 4 bytes (32 bits). Los el software envía estos bytes por puerto serie a la FPGA Tablero. La frecuencia del reloj fc y su nivel de ruido de fase son los puntos clave para establecer el rendimiento de frecuencia de la dispositivo. Cuanto menor sea el ruido de fase de la señal del reloj, el menor es el ruido de fase mínimo de la frecuencia de salida del dispositivo (ver sección IVA). La señal de reloj usada para el experimento, vea el siguiente sec- tion, es la señal de reloj de 10 MHz de un ultra-estable Oscilador de Cristal Controlado por Horno (OCXO) BVA-8600. Su fase de ruido PSD es −115 dB.rad2/Hz a 1 Hz. As Esta frecuencia de reloj está muy cerca de la maxi- frecuencia de salida de la madre ( 10 MHz, ver sección siguiente), y para cumplir el teorema de Shannon [18, 19], generamos un mayor frecuencia de reloj mediante el uso de la frecuencia interna multiplicador de reloj, a ×6, del tablero DDS. IV. RESULTADOS El dispositivo presentado en la sección III fue probado por primera vez para su rendimiento de estabilidad de frecuencia, tal como se describe en ión IVA y se resume en el cuadro I. Fue entonces en... Tegrado en un experimento de condensación de Bose-Einstein, ver sección IVB. A. Rendimiento de frecuencia del dispositivo 1. Error de cuantificación, truncación del acumulador de fase y Frecuencias “mágicas” Por construcción, la digitalización produce inexactitudes en síntesis de frecuencia. La frecuencia de salida de 32-bit res- olución DDS es dada por fRF = fc × donde w es una palabra de afinación binaria de 32 bits. La salida fre- quency puede, por lo tanto, diferir ligeramente de la frecuencia deseada. Como fc = 60 MHz, el error máximo de digitalización es 6× 107/232 = 0,014 Hz. Como nuestro software sólo toma frecuencias enteras como in- puesto, una frecuencia dada FRF se sintetizará sin error de muestreo si se puede escribir exactamente como un entero en la forma dada en Eq. (7). Esta condición está escrita w = n× 232−p (8) donde n es un entero positivo y p es la potencia de 2 en la factorización principal de la frecuencia del reloj fc. En nuestro caso, fc = 2 8 × 3 × 57 Hz y p = 8 para que cada frecuencia verificar fRF = n× 234375 Hz (9) no dará lugar a ningún error de digitalización. n debe ser inferior a 2p/3 para que la frecuencia deseada esté en el sintetizador rango (fc/3). Además, cuando el AD9851 convierte el calcu- fase lated a una amplitud de salida efectiva, sólo el primer más significativo 14 bits se utilizan, a pesar de que el AD9851 es un sintetizador de 32 bits, con el fin de número de entradas en una tabla de búsqueda. Truncando la fase resulta en errores en amplitud que son periódicos en el dominio de tiempo. Estos errores serán vistos como espuelas en el dominio de frecuencia. Sin embargo, para las frecuencias particulares que están exactamente codificados por los primeros 14 bits (el CUADRO I: Rendimiento del dispositivo con fc = 60 MHz. Los El ruido de frecuencia relativa se calcula a partir del ruido de fase datos, y dados para 3,75 MHz (frecuencia mágica) y 3 MHz (valor de ruido más grande). Parámetros Min. Max. Unidades Dinámica 0 10 MHz Ancho de línea - 30 mHz Error de digitalización 0 14 mHz Velocidad de muestreo ajustable 1 MHz Longitud de memoria 1 262.144 pts Ruido de fase@1Hz -113 -78 dB.rad2/Hz Rel. freq. ruido@1Hz -244 -207 dB/Hz Rel. ampl. ruido@1Hz - -120 dB/Hz Los últimos 18 bits son 0.), la fase no está truncada en absoluto, no dando ningún efecto espurio y el mejor PSD de la fase ruido. Esto ocurre para cada frecuencia satisfactoria fRF = n× fc/214 (10) con n un entero positivo. Como fc = 60 MHz, tenemos fRF = n × 3662.109375 Hz. La condición más estricta... tion siendo la primera, denotaremos las frecuencias satisfacción de Eq. 9) como “frecuencias mágicas”. Con el fin de il- lustre la diferencia entre una “frecuencia mágica” y otro, realizamos un conjunto de medición de ruido PSD- Para dos frecuencias: un primer conjunto para fRF = 3 MHz que no es una frecuencia “mágica”, y un segundo conjunto para fRF = 3,75 MHz, que es una frecuencia “mágica”. 2. Densidad espectral del ruido Grabamos la densidad espectral del ruido de nuestro syn- tesizer a una frecuencia fRF dada por el análisis FFT de la nota de ritmo a 0 Hz con un segundo ref- sintetizado erence señal. El banco de medición se bosqueja en Fig. 2. Con el fin de generar una señal de referencia el rango de RF usamos un sintetizador analógico, Rhode & Schwartz SML-01 (R&S), para sintetizar una señal en una alta frecuencia, y luego dividido por 100 para dar fRF para mezcla posterior. La nota de ritmo fue grabada y... alisado por un analizador digital FFT HP 3562A muestra en 256 kHz. La R&S, como todos los dispositivos de medición, fue cronometrado a 10 MHz por el cuarzo BVA-8600 ultraestable oscilador. Todas las parcelas mostradas en la Fig. 3 son espectros en bruto de la nota de ritmo. La propia señal de referencia (R&S) fue: caracterizado por hacer una nota de ritmo con un segundo iden- Síntesis basada en R&S tica. Esto corresponde a la línea etiquetado como “Referencia” en la Fig. 3. Afinando la diferencia de fase entre el sig- nal y la señal de referencia a η/2, grabamos fase ruido. En RFF = 3 MHz, el PSD del ruido de fase es −78 dB.rad2.Hz−1 a 1 Hz, que corresponde a una PSD de ruido de frecuencia relativa de −207 dB.Hz−1. Del datos notificados en la Fig. 3, y asumiendo una línea Lorentziana... forma para la nota de latido, el ancho de línea de la señal de RF, dado por F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F df Sy(f), (11) es tan pequeño como 30 mHz sobre un ancho de banda ­f = 100 kHz para una frecuencia de salida de 3 MHz [23]. Encontramos algo similar. resultados para frecuencias de salida de 1 a 5 MHz. En una Frecuencia “mágica”, como por ejemplo a 3,75 MHz, donde los efectos del truncado se cancelan, los resultados son aún mejores, con un PSD de ruido de fase tan bajo como −113 dB.rad2.Hz−1 a 1 Hz, sólo 2 dB más alto que el ruido de fase de el BVA 8600. El valor observado corresponde a el ruido final de fase del chip DDS especificado por el fabricante. El ruido relativo de la frecuencia es entonces −244 dB.Hz−1. El rendimiento del ruido de frecuencia está naturalmente relacionado con la calidad del oscilador maestro. Para ilustrar esto de hecho, las mismas mediciones se repitieron con el im- probado OCXO de un DS-345, el ERC EROS-750-SBR-4, como oscilador maestro. No hay cambios significativos en la fre- Las actuaciones de quency se notaron en frecuencias no mágicas. cies. A una frecuencia mágica, el PSD de ruido de fase en- a −100 dB.rad2/Hz, que es coherente con el Especificaciones de ruido de fase de este cuarzo. El PSD del ruido de amplitud relativa Sa fue registrado con el mismo banco de medición, afinando la fase a 0. La señal de referencia también fue entregada por R&S. El espectro registrado está muy cerca de la “Referencia” línea a nivel de −120 dB.Hz−1 a 1 Hz, cerca de el ruido de entrada del analizador FFT. Tenga en cuenta que para rele- las frecuencias de excitación < = 2 /z (mayores de 1,2 kHz), el PSD del ruido de amplitud es inferior a −130 dB. En la práctica, utilizamos en nuestro experimento BEC un pro- Atenuador de RF gramatical Minicircuito ZAS-3, impulsado por un canal de salida analógico de un PC de Instrumento Nacional tarjeta PCI-6713, con el fin de variar la amplitud RF enviado a la bobina RF. Repetimos las medidas descritas arriba con este atenuador y encontró un aumento de Sa, a partir de −115 dB.Hz−1 a 1 Hz, que corresponde a una cifra de ruido del atenuador programable de 5,1 dB. A la salida del atenuador, la señal de RF es am- plificado por un amplificador de clase A Kalmus 505 F. Su ganancia es 100SML-01 -8600 10 MHz ZAS-3 FIG. 2: Banco de medición del espectro sonoro. La ganancia en el mezclador fue instalado a la señal de salida, dependiendo de la fase entre las dos señales de latido. 1 10 100 1k 10k 100k -180 -160 -140. -120. -100. 1 10 100 1k 10k 100k -160 -140. -120. -100. 2 . Frecuencia (Hz) DDS 3,75 MHz DDS 3 MHz Referencia BVA 8600 FIG. 3: PSD de ruido de amplitud relativa, trama superior, y Ruido de fase, trama inferior. Average = 100. Muestreo de FFT frecuencia = 256 kHz. La frecuencia de corte del filtro de paso bajo de el mezclador se fijó en 200 kHz. La curva de referencia corresponde a a la nota de ritmo de dos sintetizadores de R&S idénticos. Trazado para la comparación son las especificaciones de ruido de fase del BVA Oscilador de cuarzo 8600, según lo indicado por el fabricante. 37 dB y su cifra de ruido es normalmente +10 dB según según las especificaciones del fabricante. B. Integración en el experimento En esta sección, presentamos el principal re- experimental los sulfatos relativos a la tasa de calentamiento de la muestra atómica. Como se describe en la sección II, la señal RF se utiliza para Produciendo la trampa de burbujas, donde el rubí ultrafrío... Los átomos de io se acumulan en el fondo de la superficie. La trampa es muy anisotrópica con un confinamiento más fuerte en dirección vertical [7]. Para la trampa de RF vestido a ser cargado eficientemente desde el Ioffe-Pritchard estándar Trampa magnética estática, descrita en [20], la frecuencia RF FRF tiene que aumentarse de 1 MHz a un fijo final frecuencia de fendRF que oscila entre 2 y 10 MHz. La estática campo magnético, necesario tanto para la captura magnética y Siempre está presente el atrapamiento inducido por la RF. Una rampa típica se muestra en la Fig. 4. La frecuencia es aumentada más lentamente. alrededor de 1,3 MHz, correspondiente a la frecuencia de resonancia en el centro de la trampa magnética donde la adiabaticidad de rotación de giro es más difícil de obtener. Al final de esta rampa, que puede durar entre 75 ms y 500 ms, la La frecuencia de RF se mantiene entre 0,1 y 10 s para la prueba de la vida útil y velocidad de calentamiento de los átomos en el RF-basado trampa. La señal RF se amplifica por 37 dB con una sola etapa amplificador, y el campo RF se produce por una pequeña circular antena. El campo RF está polarizado linealmente y su tude BRF se puede ajustar entre 70 y 700 mG. 0 50 100 150 200 Tiempo (ms) FIG. 4: Forma típica de una rampa de radiofrecuencia aplicada a la muestra atómica ultrafría. En el presente ejemplo fRF es aumentó de 1 a 3 MHz en 150 ms. Al final de este rampa, la frecuencia RF se mantiene en su valor final para algo de tiempo de espera en la trampa basada en RF, línea discontinua. registrar la temperatura atómica después de la rampa RF como un función del tiempo mientras los átomos están confinados en el RF- trampa basada. La temperatura se deduce de la nube tamaño a lo largo de z después de 7 ms de expansión balística. Lo mismo La medición se repitió con diferentes fuentes de RF. Primero, usamos un sintetizador Agilent 33250A con RF Amplitud superior a 500 mG para ambas frecuencias rampa y la frecuencia de retención final. Tal RF ana- sintetizadores de log operados en frecuencia fija muestran muy buena frecuencia relativa ruido en la mayoría de los casos, típicamente en el nivel de −180 dB/Hz o mejor. Sin embargo, como se ha mencionado por Colombe et al. [7] y confirmado por White et al. [21], el ruido relativo de la frecuencia aumenta en unas pocas décadas si la frecuencia de salida es accionada con un analógico externo Tensión. La frecuencia fue sin duda sintonizada a través de un ex- Control de tensión ternal proporcionado por la placa analógica del PC (NI 6713), de tal manera que la profundidad de modulación fue de ±1 MHz en una frecuencia central de 2 MHz. Obtuvimos ambos un vida útil corta, normalmente 400 ms a 1/e, y un fuerte lin- calentamiento del oído, como se muestra en la Fig. 5 círculos completos. La calefacción la velocidad se mide a 5,0 μK/s. Esta tasa, dada la RF amplitud, corresponde a un ruido de frecuencia relativa de Sy = −100 dB/Hz a la frecuencia de la trampa de 600 Hz. Esto ruido es bastante alto y está relacionado con el ruido de tensión en el control de frecuencia externo del sintetizador. Este efecto es fuerte en nuestro caso, ya que la frecuencia se varía con un profundidad de modulación grande (f/f = 1). También probamos un esquema de dos pasos, con una primera rampa realizado por un Stanford DS-345 DDS (1.500 frecuencia) los puntos), seguidos de las actividades de investigación y desarrollo mantenidas en quency para todo el tiempo de espera. Este esquema permite una para beneficiarse de la excelente estabilidad de frecuencia de la segundo dispositivo utilizado a frecuencia fija. Con esta configuración, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Agilent Nuestro dispositivo DDS tiempo de retención en la trampa (s) FIG. 5: Comparación del calentamiento de la nube atómica en el bub- ble trap: Agilent 33250A sintetizador, círculos completos, o presente dispositivo, diamantes abiertos, se utiliza para crear la rampa RF y el sistema de radiofrecuencia final. Observamos una tasa de calentamiento de 5,0 μK/s en el primer caso y 0,47 μK/s en el segundo, como dado por un ajuste lineal, líneas completas. calefacción durante la etapa de meseta parecía estar completamente Suprimida [7]. Sin embargo, se observó una gran dispersión en el número de átomos datos después de la conmutación, que pre- nos ventó de caracterizar la calefacción con mucha precisión. Esta dispersión se debe a un salto de fase al azar en el tiempo de conmutación entre los dos sintetizadores, resultando en pérdidas atómicas. Se estudió el efecto de la fase aleatoria salto en el número de átomo mediante la grabación, para cada experi- la diferencia de fase en el tiempo de conmutación con una osciloscopio de control. Los resultados se presentan en la Fig. 6, Círculos completos. Para el lúpulo de fase máxima, Los átomos están perdidos. Esta cifra depende del tem atómico. peratura, siendo las pérdidas más altas a temperatura más baja, y está bien reproducido por la teoría, como se muestra en la Fig. 6, Línea negra. La curva teórica se calcula para un RF amplitud de 470 mG promediando la probabilidad de pérdida sobre las posiciones de los átomos, tal como se deduce de distribución de mal a una temperatura de 4 μK. El hecho de que la trampa es capaz de sostener dos de los cinco componentes de giro se tiene en cuenta el estado de hiperfina F = 2. Finalmente, realizamos la tasa de calefacción y la vida útil mediciones con nuestro dispositivo DDS y una amplitud de 70 mG. Encontramos un aumento de la vida útil, hasta 9,6 s. Durante el primer segundo, la vertical “tempera- tura”, deducido del tamaño vertical de la nube tras el tiempo de vuelo, disminuciones debido a la termalización con el horizonte- grados de libertad que inicialmente tienen una energía más baja debido al procedimiento de carga: Fig. 5, diamantes abiertos. Después de 1 segundo, una velocidad de calentamiento lineal de 0,47 μK.s−1 es claramente observable. No hay calefacción paramétrica exponencial es mensurable. Creemos que el calor lineal restante... ing se debe a la excitación residual por la luz dispersa, que no estaba presente en el caso anterior. La misma calefacción -180 -150. -120. -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 6 ) lúpulo en fase de conmutación (grados) experimento teoría FIG. 6: Número de átomos que quedan después de cambiar entre los dos sintetizadores en función del lúpulo de fase. Exper... datos mentales, círculos completos, se comparan con un cálculo, línea, asumiendo una amplitud de RF de 470 mG y una temperatura de 4 μK. la velocidad fue efectivamente observada dentro de la trampa magnética estática, cuando la fuente RF estaba apagada. Calefacción directamente relacionada con la fuente RF no es observable. V. CONCLUSIÓN Construimos un generador de RF DDS de bajo costo, basado en un El chip DDS y su kit de evaluación. Es extremadamente ágil. ya que tenemos la capacidad de utilizar hasta 10 tiempos diferentes pasos durante la secuencia, permitiendo un uso eficiente de la Memoria FPGA a bordo. En contraste con Stanford DS-345 Sintetizadores de RF, la rampa de frecuencia no se repite en el final de la secuencia. La última frecuencia se mantiene hasta se procede a un nuevo pulso TTL para finalizar la secuencia. Su gran longitud de memoria, hasta 262.144 muestras de frecuencia, permite pasos de frecuencia muy pequeños, por lo tanto reduc- las pérdidas atómicas en nuestro experimento de trampas vestidas de RF. La tecnología DDS garantiza la continuidad de la fase. ous en toda la rampa de frecuencia, que es esencial para RF aplicaciones de captura. Aparte de estas características de alta resolución, el dispositivo presenta excelentes propiedades espectrales. La especificación de potencia... La densidad tral del ruido de fase es tan baja como-113 dB.rad2.Hz−1 a “frecuencias mágicas” bien escogidas, y en cualquier caso re- inferior a −78 dB.rad2.Hz−1 en el peor de los casos, dominado por troncamiento de fase. Este último valor da un ancho de línea de 30 mHz sobre un ancho de banda de 100 kHz. Los correspondientes El nivel de ruido relativo de frecuencia es de 90 dB por debajo de la de nuestro experimento de trampas vestidas de RF. El ruido de amplitud del sintetizador DDS es mea- estar por debajo de −130 dB.Hz−1 a frecuencias superiores 1 kHz. El ruido de amplitud resulta ser el ruido limitante presente en nuestra cadena de RF en el momento actual debido a la varias figuras de ruido dB de los atenuadores y amplificadores en uso en nuestro experimento. En realidad, aumentan la RF ruido de amplitud a −115 dB.Hz−1 a 1 kHz, que todavía sigue siendo 25 dB por debajo de nuestros requisitos de experimento. Todas estas características hacen que nuestro aparato DDS muy bien- adecuado para experimentos de átomos fríos. Puede utilizarse para: implementación optimizada de refrigeración por evaporación, con ar- Perfiles de rampas de frecuencias bitrarias, incluido un “RF- cuchillo”, en un experimento BEC estándar. Es de particular importancia importancia en el caso de experimentos con chips de átomo [22], donde la rampa de enfriamiento se realiza generalmente muy rápidamente (1 s) en general). También es ideal para el desarrollo de nuevos RF-basados trampas. En particular, la posibilidad de configurar la paso de tiempo, es decir, la duración de cada punto de frecuencia, es muy atractivo para nuestra aplicación. Esta característica es toda la más interesante en que la memoria se puede separar en varias zonas, a cada una se le asigna un número elegido de puntos y un paso de tiempo elegido, para que podamos dilatar o comprimir a tiempo la totalidad o una parte de la rampa, mientras que mantener la misma serie de frecuencias. Por ejemplo, si nosotros quiere lograr una rampa de valores de frecuencia N con un resolución de poco tiempo, digamos 10 μs, y luego mantener el final constante de frecuencia sobre diez segundos, tenemos la capacidad para abordar una primera zona de memoria con los primeros puntos N−1 y un paso de tiempo de 10 μs, y una segunda zona de memoria con el último valor de frecuencia y un paso de tiempo de 10 s. Un pecado... gle paso de tiempo sobre toda la secuencia habría forzado que sacrifiquemos la resolución de la rampa o la duración de la meseta final. El dispositivo fue implementado con éxito en nuestro ultra- experimento de átomos fríos. En primer lugar, establecemos la frontera específica- ciones sobre las actuaciones de la fuente de RF para la captura de exper- imentos con respecto a la tasa de calefacción y la vida útil. En el mismo forma, establecemos las condiciones en lúpulo fase máxima y la magnitud del paso de frecuencia. Con nuestro dispositivo casero, no se observó ningún calentamiento debido a la fuente de RF durante el Paso de meseta. La tasa de calentamiento restante fue de 0,47μK/s. idéntico al obtenido en la trampa magnética y fue limitado por otras fuentes de ruido, presumiblemente dispersos fotones. A pesar del gran número de frecuencias puntos, el calentamiento a lo largo del eje vertical todavía está presente dur- en la fase de carga de la trampa vestida con RF. Estamos en... este calentamiento a la deformación no adiabatica de la potencial de confinación durante el proceso de carga, que nosotros no podía hacer más lento debido a las otras fuentes de ruido. Mientras que las actuaciones reales del dispositivo son al- listo muy bien, algunas mejoras todavía son posibles. En primer lugar, la longitud de la memoria de la DDS es básicamente disua- minado por el tamaño de la memoria del FPGA en el tablero. Una más grande El tamaño de la muestra puede ser fácilmente implementado reemplazando el , siempre que se mejore la tasa de transferencia de datos mediante el uso de un puerto Ethernet o un puerto USB. Sec- end, la tasa de muestreo es de 1 MHz, limitada por los datos trans- fer tasa de la junta de la FPGA. Más alto FPGA reloj fre- quency, o más pequeño reloj cuenta ncycle, permitiría más alto Tasas de muestreo. El límite de frecuencia debido al AD-9851 El chip DDS en sí es de 3 MHz. Esta modificación im- probar la resolución temporal por un factor de 3. Por último, la frecuencia máxima de salida de 10 MHz puede ser muy fácilmente aumentada a 20 MHz sustituyendo el fil- de paso bajo ter. Al marcar el DDS con un reloj de 180 MHz, uno podría incluso alcanzar frecuencias de salida de hasta 60 MHz. Nota que con un chip DDS similar, el AD 9858, frecuencia los relojes tan alto como 1 GHz están permitidos, lo que hace possi- ble la síntesis de frecuencias RF hasta 330 MHz. Agradecimientos Estamos en deuda con R. J. Carnicero para una lectura crítica... > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >. > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Este trabajo contó con el apoyo de la Région Ile-de-France (número de contrato E1213) y por la Comunidad Europea a través del Centro de Investigación ing Red “FASTNet” en virtud del contrato No. HPRN-CT- 2002-00304 y Marie Curie Training Network “Atom Chips” en virtud del contrato No. MRTN-CT-2003-505032. Laboratoire de physique des lasers es UMR 7538 de CNRS y París 13 Universidad. La LPL es miembro del In- stitut Francilien de Recherche sur les Atomes Froids. [1] H. F. Hess, Phys. Rev. B 34, 3476 (1986). [2] N. Masuhara, J. M. Doyle, J. C. Sandberg, D. Kleppner, T. J. Greytak, H. F. Hess, y G. P. Kochanski, Phys. Rev. Lett. 61, 935 (1988). [3] E. A. Cornell y C. E. Wieman, Rev. Mod. Phys. 74, 875 (2002). [4] W. Ketterle, Rev. Mod. Phys. 74, 1131 (2002). [5] C. A. Regal, C. Ticknor, J. L. Bohn, y D. S. Jin, Na- 424, 47 (2003). [6] O. Zobay y B. M. Garraway, Phys. Rev. Lett. 86, 1195 (2001). [7] Y. Colombe, E. Knyazchyan, O. Morizot, B. Mercier, V. Lorent, y H. Perrin, Europhys. Lett. 67, 593 (2004). [8] T. Schumm, S. Hofferberth, L. M. Andersson, S. Wilder- Muth, S. Groth, I. Bar-Joseph, J. Schmiedmayer, y P. Krüger, Nature Physics 1, 57 (2005). [9] M. H. T. Extavour, L. J. Le Blanc, T. Schumm, B. Cies... Lak, S. Myrskog, A. Stummer, S. Aubin, y J. H. Thy- wissen, Actas de la Conferencia Internacional sobre Física Atómica, Física Atómica 20, 241 (2006). [10] G.-B. Jo, Y. Shin, T. A. Pasquini, M. Saba, W. Ketterle, y D. E. Pritchard, M. Vengalattore y M. Prentiss, Phys. Rev. Lett. 98, 030407 (2007). [11] I. Lesanovsky, T. Schumm, S. Hofferberth, L. M. Ander- sson, P. Krüger, y J. Schmiedmayer, Phys. Rev. A 73, 033619 (2006). [12] Ph. W. Courteille, B. Deh, J. Fortàgh, A. Günther, S. Kraft, C. Marzok, S. Slama, y C. Zimmermann, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 39, 1055 (2006). [13] O. Morizot, Y. Colombe, V. Lorent, H. Perrin, y B. M. Garraway, Phys. Rev. A 74, 023617 (2006). [14] M. E. Gehm, K. M. O’Hara, T. A. Savard, y J. E. Thomas, Phys. Rev. A 58, 3914 (1998). [15] El factor BRF/2 surge del hecho de que sólo la mitad de el poder del RF polarizado linealmente tiene un efecto sobre los átomos. [16] B.-G. Goldberg, Técnicas Digitales en Sintetismo de Frecuencia- hes, (Mac Graw-Hill, New-York, 1996). [17] Circuito de integración de muy alta velocidad Descrip- ión Lenguaje. [18] H. Nyquist, Trans. AIEE 47, 617 (1928); reimpresión como clas- sic paper in: Proc. IEEE, 90, 280 (2002). [19] C. E. Shannon, Proc. Instituto de Ingenieros de Radio 37, 10 (1949); reimpresión como papel clásico en: Proc. IEEE, 86, 447 (1998). [20] Y. Colombe, D. Kadio, M. Olshanii, B. Mercier, V. Lorent, y H. Perrin, J. de Opt. B: Quantum Semi- clase. Opt. 5, S155 (2003). [21] M. White, H. Gao, M. Pasienski, y B. DeMarco, Phys. Rev. A 74, 023616 (2006). [22] R. Folman, P. Krüger, J. Schmiedmayer, J. Denschlag, y C. Henkel, Adv. A. Mol. Opt. Phys. 48, 263 (2002). [23] D. Halford, Seminario de metrología de normas de frecuencia, 431-466 (1971).

Growth rates for geometric complexities and counting functions in polygonal billiards

TIPOS DE CRECIMIENTO DE LAS COMPLEJIDADES GEOMÉTRICAS Y FUNCIONES DE CONTINGENCIA EN POLYGONAL BILLIARS EUGENE GUTKIN Y MICHAL RAMS Resumen. Introducimos un nuevo método para estimar el crecimiento de diversas cantidades que surgen en los sistemas dinámicos. Aplicamos nuestro método de billar poligonal en superficies de curvatura constante. Por ejemplo, obtenemos límites de potencia de grado dos más epsilon para órbitas de billar entre casi todos los pares de puntos en un plano Polígono. Introducción y sinopsis La complejidad de un sistema dinámico se mide con respecto a un codificación de sus órbitas. La codificación, a su vez, se determina mediante la partición el espacio de fase del sistema en piezas elementales. Para dynami... sistemas de cal con singularidades, tales como billar poligonal, conectados los componentes en el complemento del conjunto singular producen un par natural Tition. Convexidad de sus átomos con respecto a la estructura geodésica en el espacio de fase impuesto por la óptica geométrica, es crucial en el estudio de complejidad del billar [7]. En el presente estudio, así como en [7], P es un polígono geodésico en una superficie de curvatura constante. Que, para la concreción, P sea un planar Polígono. Denotamos por fP (n) el número de palabras de longitud n gener- Atentado por órbitas de billar codificadas por dominios visitados de regularidad. Cuándo P es simplemente conectado, esto coincide con la codificación por los lados en P. se sabe que fP (n) es subexponencial en n [3, 6], y para general P No se conoce mejor atadura. Si P es un polígono racional (es decir, sus ángulos son conmensurables con η [4]), fP (n) = O(n) 3) [1, 7]. La corriente conjetura es que para cualquier polígono plano fP (n) = O(n) d) [5]. Con el fin de avanzar en la comprensión de la complejidad del billar, nosotros introducir la noción de complejidades parciales. Vamos a ser el espacio de fase, y dejar que P sea la partición que define. Iterando la dinámica que obtenemos una torre en aumento Pn de particiones; la complejidad completa es f(n) = Fecha: 31 de octubre de 2018. Palabras y frases clave. Polígono geodésico, mapa de billar, flujo de billar, complejo... ity, funciones de conteo, despliegue de órbitas, cubriendo el espacio, mapa exponencial. http://arxiv.org/abs/0704.1975v1 2 RAMS EUGENE GUTKIN Y MICHAL Pn. Si R Φ, que Pn(R) sea la torre inducida de sus particiones. Los complejidad parcial basada en R es fR(n) = Pn(R). Particular parcial las complejidades se han estudiado antes. Por ejemplo, en [8] obtuvimos polinomio límites en la complejidad de dirección, que es uno de los parciales complejidades investigadas aquí. En este trabajo introducimos un nuevo enfoque general para estimar las complejidades de tial. La configuración es la siguiente. Hay una familia de subconjuntos Refoliando el espacio de fase. Let fŁ(n) ser la complejidad parcial con base Rl. Dejad que la función de conteo sea la del billar singular o- bits a partir de R.O. Con arreglo a las hipótesis pertinentes, la letra f) n) y la letra g) n) tienen el mismo crecimiento, como n →. Véase la sección 4. Dejemos el parámetro espacio. Suponga que limitamos el promedio función de conteo G(n) = g-(n). La desigualdad de Tchebysheff y la la ley cero-una da los límites para la g.(n) individual válida para casi todos..................................................................................................................................................................................................................................................... Véase la sección 2. Combinadas con observaciones anteriores, estas estimaciones de rendimiento sobre complejidades parciales para casi todos los valores del parámetro. Este es el esquema general para nuestro enfoque de las complejidades parciales. Este trabajo implementa este esquema para el billar poligonal. Ahora lo haremos. describir el contenido del artículo con más detalle. En la sección 1 investigamos las funciones de conteo y sus promedios. Nosotros establecer el marco pertinente con suficiente generalidad, con el punto de vista hacia una amplia gama de aplicaciones geométricas-dinámicas. El principal los resultados son las Proposiciones 1 y 2, respectivamente. Estos rendimientos geométricos fórmulas para promedios de funciones de conteo que son válidas bajo leve suposiciones de tipo transversalidad. La sección 2 es analítica, y también bastante general. La configuración es la siguiente. Hay una familia de funciones positivas, gŁ(p), de argumento positivo (p.o N y p.o R+ en los casos discretos y continuos, respectivamente), dependiendo del parámetro................................................................................. Conjunto G(p) = g-p-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-e-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d- Desde arriba límites en G(p) se obtienen estimaciones en gää(p individual; son válidos para casi todos. Formulaciones precisas dependen de los detalles de la situación. Véanse las Proposiciones 3 y 4. La sección 3 establece el escenario para las aplicaciones a la dinámica del billar. Nuestro mesa de billar es un polígono geodésico, P, en una superficie simplemente conectada de curvatura constante. Hay dos versiones de la dinámica del billar: el flujo de billar y el mapa de billar. En nuestra discusión de la complejidades, es conveniente tratarlas por separado. En consecuencia, sección 3 consta de varias subsecciones; cada subsecciones trata de una particular complejidad parcial para un tipo particular de dinámica de billar. Utilizamos dos parámetros geométricos para complejidades parciales: la direc- sión y la posición. La complejidad de la dirección nos dice cómo el conjunto de COMPLEJIDAD, ETC 3 puntos de fase que comienzan en la misma dirección se divide después de rebotar fuera de los lados de P. La complejidad de dirección se define para polígonos planos. La complejidad de la posición nos habla de la división de vigas de billar órbitas que emanan de un punto de P. Se define en todos los casos. En cada una de las subsecciones de la sección 3 definimos una función de conteo y comprobar los supuestos de la sección 1; a continuación, evaluar la integral sobre el espacio de parámetro, es decir, calculamos el promedio de cuenta func- ciones. Resulta que tienen significados geométricos. Aquí hay una muestra. de los resultados de la sección 3. Que GP (l) sea la posición media contando función para el flujo de billar en un polígono geodésico P. gones tenemos GP (l) = c0(P)l 2. Véase el corolario 2 en la sección 3.2. Por polígonos en S2 tenemos GP (l) = c+(P)l + c +(P)f(l) donde f es un uni- función periódica inversa. Véase el corolario 3 en la sección 3.4. Para polígonos En H2 tenemos GP (l) = c−(P) cosh l. Ver el corolario 4 en la sección 3.5. Los coeficientes en estas fórmulas dependen de cuántas esquinas P tiene y sobre el número de obstáculos en su interior. La sección 4, de nuevo, es bastante general. En esta sección obtenemos relación- buques entre complejidades parciales con conjuntos de bases unidimensionales y funciones de conteo. El resultado principal de esta sección es la Proposición 5. Dice que si las bases son unidimensionales, entonces la diferencia será... entre la complejidad parcial y la función de conteo está limitada, como El tiempo va al infinito. Otras hipótesis sobre la base tienen que ver con convexidad en el espacio de fase. El marco de esta sección es el de transformaciones convexas a trozos [7]. En la sección 5 nos especializamos de nuevo en billar poligonal. Combinación de la material de las secciones anteriores, obtenemos límites en la posición y complejidades de dirección para el flujo de Billard y el mapa de billar. Aquí está. una muestra de nuestros resultados. Que P sea un polígono euclidiano. Vamos a S1 (resp. z • P ) ser cualquier dirección (resp. posición). Let fdŁ(n) (resp. hz(l) la complejidad de dirección para el mapa de billar (resp. complejidad de la posición para el flujo de billar). Entonces, para casi todas las direcciones. (resp. por casi todas las posiciones z) tenemos fdl(n) = O(n (resp. hz(l) = O(l) 2o)), en el que el valor de 0 es arbitrario. Véase el corolario 6 y el corolario 8. Ahora P ser un polígono esférico, y dejar hz(l) ser la complejidad de la posición para el flujo de billar en P. Entonces para casi cada z • P hay un C = C(z) y arbitrariamente grandes l tales que hz(l) ≤ Cl. Véase el corolario 10. Por any 0 y casi cada z P tenemos hz(l) = O(l 1o). Ver Corolario 11. En el estudio del billar poligonal el dispositivo de despliegue del billar las órbitas son indispensables [4]. Si P • M, y β es una órbita de billar en P, su despliegue es una geodésica en M. Varios argumentos en la sección 3 usar 4 RAMS EUGENE GUTKIN Y MICHAL la técnica de elevación de las órbitas de billar al espacio de cobertura universal de P.1 Esta noción no fue escrita en la literatura del billar. En nuestro En la sección 6 del apéndice se presentan las definiciones y propuestas pertinentes. La Propuesta 6 presenta la propiedad principal de la cobertura universal espacio de un polígono geodésico. Relaciona los despliegues y los levantamientos de órbitas de billar. Las pruebas en la sección 3 usan el corolario 13 de la Proposición 6, que se ocupa de los retrocesos de las medidas de lebesgue en el marco de los despliegues. Con el fin de poner nuestros resultados en perspectiva, vamos a ver la literatura sobre las complejidades del billar. El crecimiento subexponencial de la complejidad (plena) del billar para los polígonos de euclidiana arbitrarios se estab- Encabezado en [3] y [6]. Ambas pruebas son indirectas, en el sentido de que no rinden límites subexponenciales explícitos. Por otra parte, para la eu racional polígonos clidianos la complejidad es cúbica. Esto está contenido en [1] para convexo y en [7] para todos los polígonos racionales. Los argumentos expuestos en [1] y [7] se basan en un teorema en [11]; dice que el número de órbitas de billar entre cualquier par de esquinas en un polígono racional crece cuadráticamente en longitud. Desde nuestro punto de vista, esta es una declaración sobre la posición funciones de conteo gz(l). Dice que gz(l) = O(l) 2) si P • R2 es ra- P es una esquina. En comparación, nuestro corolario 8 y La Proposición 5 produce que gz(l) = O(l) > 0 y casi todos z â € P donde P â € R2 es un polígono arbitrario. La comunicación direccional se ha estudiado la plexidad fdŁ(n) en [8] y [9]. El trabajo [9] se refiere a la complejidad direccional para el billar en un polígono racional, plano P. Supongamos que P es convexo. Entonces [9] deriva una fórmula explícita para fdl(n), válido para las direcciones mínimas. (El conjunto de direc- ciones es contable.) Por esta fórmula, fdŁ(n) = O(n). Por otro lado mano, [8] muestra que fdŁ(n) = O(n) d) para cualquier P + R2 y una arbitrariedad - ¿Qué? - ¿Qué? - ¿Qué? El grado d en el encuadernado no depende de Ł. Nuestro corolario 6 estima la complejidad de un polígono arbitrario 2. Lo siento. dice que fdŁ(n) = O(n) 1 °) para cualquier • > 0 y casi todas las direcciones •. Es plausible que los límites como el corolario 8, el corolario 6, etc para cualquier punto z • P, cualquier dirección • • S1, etc. 1. Promedios de las funciones de conteo En esta sección introducimos el marco de las funciones de conteo en dinámicas diferenciables. Lo aplicaremos a la dinámica del billar Más tarde. Nuestros espacios de fase son “manifolds”. Con esto vamos a querer decir colectores compactos con límites, esquinas, y puntos singulares, en Generalidades. Nuestro entorno implica i) una foliación del espacio de fase por cerrado 1No debe confundirse con el concepto de espacio de cobertura universal en topología. COMPLEJIDAD, ETC 5 submanifolds que son fibras para una proyección en un colector de más pequeño dimensión; ii) un submanifold en el espacio de fase, transversal a la fibras; iii) una función de peso en el producto del espacio de fase y la hora. Vea los detalles a continuación. La dinámica en cuestión puede ser discreto o continuo. Vamos a exponer los dos casos por separado. Los dos subsecciones que siguen son paralelas, y los tratamientos difieren en detalles técnicos. 1.1. Dinámica discreta. Let T : X → X, T−1 : X → X ser por pieza difeomorfismos con los siguientes datos. 1. Hay una fibración η : X → • cuya base es un colector compacto y cuyas fibras R­ = η −1(l) son submanifolds compactos, de tal manera que dim(Rl) = dim(X)− dim(l). Usaremos la notación X = R. 2. Hay un submanifold cerrado, Y â € X, dim(Y ) = dim(â €, de tal manera que para k • −N2 los colectores T k(Y) son transversales a las fibras R­. 3. Hay una función de peso, es decir, una función continua, no negativa w(x, t) en X × N. La función w puede depender sólo del tiempo, por ejemplo, w = χn, la función indicadora de [0, n− 1]. Observación 1. La condición 2 puede debilitarse, como se indica a continuación. 2′. Hay un submanifold cerrado, Y â € TM X, y un conjunto â € € TM ex â € TM de medida zero tal que para k â â € € TM y â € â € € TM ex los colectores T k(Y) y R son transversales. Todos nuestros resultados siguen siendo válidos si reemplazamos la condición 2 por la condición más débil 2′. Sin embargo, en nuestras aplicaciones a poligonales billards, condición 2 no puede contener sólo para polígonos en superficies de curvatura positiva. Véase la sección 3.4. Para simplificar la exposición, vamos a Asumir en lo que sigue que.............................................................................................................................................. Teniendo en cuenta la condición 2, ­(­) = {­x, k): x ­ R­, k ­ N, T k(x) • Y } es un conjunto contable (a lo sumo). Los conjuntos ­k(­) = {(x, k) : x ­ R­, T k(x) â € Y } son finitos para todos los k de N, y para todos los k de N, y para todos los k de N. Definimos la función de conteo ponderado por 1) g(;w) = (x,k)(l) w(x, k). La función de conteo puro gn() corresponde al peso w = χn. Tenemos (2) gn(­) = k(). 2Por convención, N = 0, 1,.... 6 RAMS EUGENE GUTKIN Y MICHAL Proposición 1. Dejad, dy ser finitos, las medidas de clase de lebesgue en, Y respectivamente. Entonces para k â € N hay funciones rk(·) ≥ 0 en Y, determinado por los datos 1) y 2) por sí solo, de modo que g(l;l)d = w(T-k · y, k)rk(y) Prueba. Para cualquier k â € N set fk = η â € T −k : Y → فارسى. Por condiciones 1 y 2, fk es un difeomorfismo local. Por lo tanto f k (dŁ) = rk(y) dy. Basta establecer la ecuación (3) para el caso especial w(x, i) = 0 si i 6 = k. Un punto x + X contribuye a la integral en el lado izquierdo de la ecuación (3) if T k ·x â ¬ Y, o equivalente, η(x) = fk(y), y â € Y. Los La reclamación sigue a un cambio directo de variables. 1.2. Dinámica continua. Let bt : • → • ser un flujo de pedazos Difeomorfismos en un espacio de fase con los siguientes datos. 1. Hay una fibración q : • → Z con una base compacta y fibras q−1(z) = Rz â € ¬, transversal al flujo. Usaremos la notación * = * zá zá zá zá zá zá zá zá zá. 2. Hay un submanifold cerrado, M â € ¬, dim(M) = dim(Z) − 1, transversal al flujo, y de tal manera que N = bt · M es transversal a las fibras Rz. 3. Hay una función de peso, es decir, una función continua, no negativa w(x, t) en فارسى × R+. En un caso especial, w depende sólo del tiempo, por ejemplo, w = χl, la función indicadora de [0, l]. En vista de la condición 2, G(z) = {(x, t): x â Rz, 0 ≤ t, b t(x) â € M} es un conjunto contable (a lo sumo). Los conjuntos Gl(z) = {(x, t): x • Rz, 0 ≤ t ≤ l, bt(x) • M} son finitos para todos l • R+, y G(z) = • Gl(z). Definimos la función de conteo ponderado por (4) g(z;w) = (x,t)®G(z) w(x, t). La función de conteo puro gl(z) corresponde al peso w = χl. Tenemos (5) gl(z) = Gl(z). Proposición 2. Dejar dz, dm ser finito, lebesgue-clase medidas en Z,M respectivamente; que dt sea la medida de lebesgue en R. Entonces existe un 3Nuestros resultados siguen siendo válidos si el conjunto de parámetros Z Z donde la transversal- ity falla tiene la medida cero. Véase la Observación 1. En lo que sigue, por condición 2′ vamos a significa la condición debilitada 2 ya sea en el ajuste de la sección 1.2 o de la sección 1.1. COMPLEJIDAD, ETC 7 función positiva r(·) en M × R+, determinada por los datos 1) y 2), y de tal manera que g(z;w)dz = w(b-t ·m, t)r(m, t)dmdt Prueba. Definimos la asignación f : M × R+ → Z por f = q • b Por condiciones 1 y 2, f tiene rango completo casi en todas partes. El tirón... volver por f de dz es absolutamente continuo con respecto a dmdt, por lo tanto f*(dz) = r(m, t)dmdt. Para 0 < l set wl(x, t) = w(x, t)xl(t), y dejar que gl(z;w) sea el corre- función de conteo sponding. Establecer Il(w) = gl(z;w)dz. Un punto, x # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Un punto, x # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Contribuye a Il(w) if x (M× [0, l]). Bajo el cambio de variables dz = d(q â ¬ (m, t)) = r(m, t)dmdt, tenemos Il(w) = M×[0,l] w(b-t ·m, t)r(m, t)dmdt. En el límite l → فارسى, obtenemos la reclamación. 1.3. Casos especiales. Discutiremos algunos casos especiales de la Proposición 1 y Proposición 2. Primero, la versión discreta. La función gn() cuenta el número de visitas en Y de puntos x â € ¬ Râ durante la primera n pasos de su viaje. Set k = rk(y)dy, y Rn = k=0 lk. Entonces lk es el volumen de Yk = T −k(Y ) con respecto a la medida (d/23370/). Rendimientos de la propuesta 1 = Rn. En el caso continuo la función gl(z) cuenta el número de visitas en M de órbitas bt · x, x â € Rz, durante el período 0 ≤ t ≤ l. Dejar R(l) ser el volumen del colector Nl â ¬ con respecto a la medida q ∗ (dz). Proposición 2 rendimientos gl(z)dz = R(l). 2. Acoplamiento de funciones de conteo En esta sección analizamos la configuración de la sección 1 de la medida punto de vista teórico. Esto nos permite obtener límites superiores puntuales sobre el conteo de funciones en un amplio espectro de situaciones. Que X, μ sea un espacio de medida finita. Let f(x; t) (para t â € R+) be a familia de funciones L1 no negativas en X. Establecer (9) F (t) = f(x; t)dμ(x). 8 RAMS EUGENE GUTKIN Y MICHAL Lemma 1. Por casi cada x x x existe C = C(x) > 0 tal que en el caso de las cantidades arbitrariamente grandes de n+N hay t ≥ n que satisfacen f(x, t) < CF (t). Prueba. Para 0 < C y n° N let Bn(C) = {x • X : CF (t) < f(x; t) • t > n}, y conjunto B(C) = Bn(C). Integrando la desigualdad anterior, obtenemos μ(Bn(C)) ≤ C −1 para cualquier n. Por lo tanto, μ(B(C)) ≤ C−1 y, por lo tanto, μ(R+B(C)) = 0. Pero C+R+B(C) X es el complemento del conjunto de puntos x • X que satisface la hipo- la esis del lema. Que el ajuste sea como en Lemma 1. Además, suponemos que i) las funciones f(x; t) no disminuyen en t y ii) F (t) → فارسى. Lemma 2. Que فارسى > 0 sea arbitrario. Entonces por casi cada x x allí existe T = T (x, ) > 0 de tal manera que para todos t > T tenemos (10) f(x; t) ≤ F (t)(1 + log(1 + F (t)))1». Prueba. Denota por f(x; t−) (resp. F (t−) los límites de f(x; s) (resp. F (s)), como s → t por la izquierda. En el caso de n+N set tn = inf{t : F (t) ≥ 2 Entonces F (t(n+1) −) ≤ 2F (tn). Deja que An X sea el conjunto de puntos satisfactorios la desigualdad (11) f(x; t−n ) ≤ F (tn −) 1 + log(1 + F (tn −)))1. Basta con probar que el conjunto Ak tiene toda la medida. De hecho, para x â € TM an y t â € [tn, tn+1) tenemos f(x; t) ≤ f(x; t−n+1) ≤ F (tn+1 −) 1 + log(1 + F (tn+1 −))1 ≤ F (tn)(1 + log(1 + F (tn)) 1 ≤ F (t)(1 + log(1 + F (t)))1 ≤. Por lo tanto, los puntos x Ak tiene la ecuación de la propiedad (10). Si Bn X es cualquier secuencia de conjuntos, establecemos lim supnBn = Deja que Bn sea el complemento de Un inX. Entonces lim supnöBn es el com- la aplicación de la Ak. Queda por demostrar que μ(lim supn®Bn) = Por la desigualdad de Tchebysheff, tenemos (12) μ(Bn) ≤ 2 (1 + log(1 +) F (tn −)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) COMPLEJIDAD, ETC 9 Conjunto μn = μ(Bn). Supongamos primero que F es una función continua. Entonces F (tn −) = F (tn) = 2 n. Por ecuación (12) μn ≤ 2,1 + log(1 + 2 n))−(1 +), de ahí la serie μn converge. Desde μ(lim sup Bn) ≤ Por lo que se refiere a la cantidad no N, la reclamación figura a continuación. En general, F no necesita ser continua. Por lo tanto, es posible que tn = tn+1 para algunos n+N, lo que implica Bn = Bn+1. De la serie bajamos los términos μn de tal manera que Bn = Bn−1. Por ecuación (12), la los términos restantes satisfacen μn ≤ 2,1 + log(1 + 2 n-2)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Ahora se aplica el argumento anterior. En las secciones 3, 5 aplicaremos estos resultados en la configuración del billar. In sección 3 vamos a estimar la ecuación integrales (9), por lo tanto los límites lo proporcionado por Lemmas 1, 2 será más específico. Las propuestas que figuran a continuación anticipar estas aplicaciones. Proposición 3. Que el ajuste y las suposiciones sean como en Lemma 2. Que 0 <  sea arbitrario. 1. Let F (t) = O (tp) para 0 < p. Entonces para casi cada x X tenemos f(x; t) = O(tpa). 2. Dejar F (t) = O (comer) para 0 < a. Entonces por casi cada x x x que tenemos f(x; t) = O(e(a)t). Prueba. La primera reclamación es inmediata de Lemma 2 y (log t)1 = o(t/23370/). La segunda reclamación es la misma que la de t1o = o(eüt). Para las aplicaciones al mapa de billar necesitamos una contraparte de Proposi- tion 3 para el tiempo valorado en número entero. Lo declaramos abajo. Su prueba es análoga. a la prueba de la Proposición 3. Por otra parte, el caso de tiempo discreto puede ser formalmente reducido al caso de tiempo continuo. Dejamos los detalles a la lector. Que X, μ sea un espacio de medida finita. Que f(x;n), n â € N sea una secuencia de funciones no negativas L1 en X de tal manera que para cada x â € ~ X el nu- secuencia merical f(x;n) es no decreciente. Conjunto F (n) = f(x;n)dμ. Proposición 4. Que 0 <  sea arbitrario. A continuación, las siguientes afirmaciones: Espera. 10 RAMS EUGENE GUTKIN Y MICHAL 1. Let F (n) = O (np) para 0 < p. Entonces para casi cada x X tenemos f(x;n) = O(np®). 2. Dejar F (n) = O(ean) para 0 < a. Entonces por casi cada x x x que tenemos f(x;n) = O(e(a)n). Observación 2. Todos los límites f(·) = O(·) en proposiciones anteriores son equivalentes a los límites formalmente más fuertes f(·) = o(·). 3. Funciones de conteo para billar poligonal Ahora aplicaremos el material anterior a la dinámica del billar. Nuestra mesa de billar será un polígono geodésico ya sea en la euclidiana plano R2, o la esfera redonda S2, o el plano hiperbólico H2. Nos referimos a a [4], [7] y sección 6 para el fondo. 3.1. Funciones de conteo de dirección para mapas de billar en euclidiana Polígonos. Dejemos que P-R2 sea un polígono euclidiano, y dejemos que T: X(P) → X(P) sea el mapa de billar. Elementos del espacio de fase X = X(P) se orientan segmentos geodésicos en R2 con puntos finales en P. Una serie de sesiones x X que termina en una esquina de P es singular; el elemento Tx no está bien Definido. Una órbita de billar x, Tx,. .., T k−1x es una órbita singular de longitud k si T k−1x es el primer elemento singular de la secuencia. Asignando a x X su dirección, η(x) S1, obtenemos una fibración η : X → S1 con fibras R­ • X. Véase el gráfico 1. Definimos el conteo función gdŁ(n) para órbitas singulares en dirección  como el número de fase los puntos x Ã3 Rà que producen órbitas singulares de longitud k ≤ n. Teorema 1. Dejemos que P â € R2 sea un polígono arbitrario. Deja que K(P) sea el conjunto de sus esquinas. Dejar α(v) ser el ángulo de v • K(P ). Vamos a ser el medida de lebesgue en S1. Deje K â € K(P ). Entonces gdl(n; v)dl = Prueba. Basta con probar la reclamación de un singleton, K = {v}. Vamos. Y = Y (v) X ser el conjunto de segmentos x • X final en v. Let dy be la medida angular en Y. Estos datos se ajustan a la configuración de la sección 1.1, y gdŁ(n; v) es la función de conteo puro. Que B(z, α) sea un haz cónico de luz con ángulo ápice α que emita a partir de z â € R2. Después de reflejar en P, se divide en un número finito de Vigas B(zi, αi) satisfactorias αi = α. La preservación del volumen de la luz se debe a la planitud de la P. COMPLEJIDAD, ETC 11 Por comentario anterior, las funciones rk(·) de la Proposición 1 satisfacen rk(·) 1. La reclamación se deriva ahora del caso especial de la Proposición 1 considerado en la sección 1.3. Let p, q ser los números de las esquinas, obstáculos en P. Let (P ) = p+ 2q − 2. Por lo tanto, P es simplemente conectado iff q = 0 iff (P ) = p− 2. Corollario 1. Dejemos que P â € R2 sea un polígono arbitrario. Entonces gdl(n)dl = (P)n. Prueba. Sigue desde el Teorema 1 via k(P ) α(v) = (p+ 2q − 2) Gráfico 1 Conjuntos base para funciones de conteo de billar 12 RAMS EUGENE GUTKIN Y MICHAL 3.2. Funciones de conteo de posiciones para flujos de billar en euclidiana Polígonos. Dejemos que P o R2 sea un polígono, y dejemos que bt : • → • ser el flujo de billar. Véase la sección 6 para más detalles. Para z â € P y v â € K(P ) let gcz(l; v) ser el número de órbitas de flujo de billar que parten de z P y terminar en v por el tiempo l. Entonces gcz(l) = vK(P ) gcz(l; v) es el número de órbitas de billar singulares de longitud a lo sumo l a partir de z. Esto es la función de conteo de posición para el flujo de billar en P. Teorema 2. Dejemos que P-R2 sea un polígono euclidiano, y dejemos que dz sea el lebesgue medida en P. Entonces para cualquier K • K (P ) tenemos (15) 2 gcz(l; v)dz = Prueba. Basta con probar la reclamación de K = {v}. Vemos elementos de Z, de P es el punto de base, y de Z es la dirección. Let M = {(v, فارسى) : (v,) . Let q : • → P ser lo obvio proyección. Sus fibras Rz son los conjuntos base para las funciones de conteo gcz(l; v). Véase el gráfico 1. Set w = χl. Estos datos satisfacen las hipótesis de la Proposición 2, y gcz(l; v) es la función de conteo puro. Establecemos dm para ser la medida angular, y calcular la función r(m, t) en la ecuación (6). Por corolario 13 de la sección 6, r = tχl. Propo- La posición 2 implica la reclamación. Cuando K = K(P ), el lado izquierdo en la ecuación (15) es el promedio de la función de conteo de posiciones. El argumento de los rendimientos del corolario 1 lo siguiente. Corollario 2. Dejemos que P â € R2 sea un polígono arbitrario. Entonces 16) 2 gcz(l)dz = (P)l 3.3. Funciones de conteo de posiciones para mapas de billar en euclidiana Polígonos. Ahora vamos a discutir dos análogos del mapa de billar de la pre- cedemos el ejemplo. Dejemos que P-R2 sea un polígono euclidiano, y dejemos que T: X(P ) → X(P ) ser el mapa de billar. El espacio de fase X = X(P) se compone de pares (s, α) donde s es el parámetro arclentgh en ŁP, y 0 < α < η es el ángulo de salida. Véanse [4, 7] y la sección 6 para más detalles. Una órbita x, Tx,. ............................................................................................................................................................................................................................................................... último segmento termina en una esquina de P. Let â € € ¢ P, v â € K(P ). Definir GDs(n; v) como el conjunto de la fase puntos (s, α) X cuyas órbitas de longitud inferior o igual a n terminan en COMPLEJIDAD, ETC 13 v. Set gds(n; v) = GDs(n; v), dioses(n; v) = (s,α)­GD(n;v) sinα. Las expresiones gds(n) = vK(P) gds(n; v), dioses(n) = vK(P) dioses(n; v) son la función de conteo de posición pura y el conteo de posición óptica función para el mapa de billar en P. Deja que z R2 y dejar que γ R2 sea una curva C1 orientada a partir de piezas. Denotar por dzs la proyección de la forma ds de la longitud del arco de γ en el dirección perpendicular a la línea de z a s γ. La parte integral dzs = opt(γ, z) ≤ es la longitud óptica de γ vista desde z. Deje z â € P. Desplegar las órbitas de billar k-segmento que emanan de z, Obtenemos un conjunto de segmentos lineales en R2. Let Łz(P ; k) • R 2 ser el curva trazada por sus puntos finales. Decimos que "z" (P ; k) "R" 2 es la límite exterior de P, como se ve desde z, después de kiterates. Teorema 3. Deja que P sea un polígono euclidiano, y deja que K (P ) sea un conjunto de esquinas. Entonces gds(n; v)ds = v(P; k); dioses(n; v)ds = opt(v(P, k)). Prueba. Basta con probar las reclamaciones de un singleton, K = {v}. Let η : X → P ser la proyección natural. Usando la parametriz de longitud de arco... , identificamos P con el intervalo [0, P ] R. Para 0 ≤ s ≤ P dejar que Rs = η -1(s) -X ser la fibra. Entonces Rs son los conjuntos de base para las funciones de conteo gds(n; v), dioses(n; v). Véase el gráfico 1. Dejar Y = Y v) X será el conjunto de puntos de fase cuyas órbitas T−1 emanen de v. Se cumplen los supuestos de la sección 1.1. Las funciones de peso son w(s, α, t) = χn(t) y wo(s, α, t) = sinα n(t) para los dos casos en mano. Let ♥ ser el parámetro de ángulo en Y. Las medidas relativas a P y Y tienen densidades ds y ds respectivamente. Las integrales en el lado derecho de la ecuación (3) están sobre las curvas v(P ; k), 0 ≤ k ≤ n− 1. Los integrands son ds(­) y sinα · ds(­) = dvs() en los casos respectivos. Necesitaremos estimaciones de longitudes y longitudes ópticas. 14 RAMS DE EUGENE GUTKIN Y MICHAL Lemma 3. Para cualquier polígono P • R2 existen 0 < c1 < c2 < • tales que para n lo suficientemente grande opt(v(P, k)) ≤ c2n 2, c1n (v(P, k)). Prueba. Existen constantes positivas d1, d2 y m0 N, tales que para cualquier órbita γ del mapa de billar con m > segmentos m0, tenemos d1 ≤ m ≤ d2 [4]. Let v â € K(P ). Vamos a estimar opt(v(P, k)), as n →. Que el parámetro angular de las órbitas que emanen de v sea el de...................................................................................................................................................................................................................................................... let r() ser la longitud geométrica de la órbita. Supóngase que r1 ≤ r(­) ≤ r2. Entonces la longitud óptica en cuestión se intercala entre el longitudes de arcos circulares de radios r1, r2 de tamaño angular Por precedente observaciones, si k es suficientemente grande, los límites r1, r2 son proporcionales a k. El tamaño angular total no depende de k. Por lo tanto, para grandes k tenemos límites lineales superiores e inferiores en (p, k))(p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p). La otra desigualdad se deriva de opt(v(P, k)) ≤ v(P, k). 3.4. Funciones de conteo de posición para flujos de billar en esférico Polígonos. El estudio es análogo al caso planar discutido en el sec- sión 3.2; utilizaremos la misma notación siempre que esto no lleve a confusión. Denotamos por dz la medida de lebesgue en S2, y por α(v) el ángulo de una esquina de P. (20) (x) = 1− cosx− Teorema 4. Dejemos que P-S2 sea un polígono geodésico, y que K-K-P. gcz(l; v)dz = l+(l− l/) Prueba. Basta con probar la reclamación cuando K = {v}. Let M = M(v) ser como en la sección 3.2, y dejar dα ser la medida angular en él. Los suposiciones 1, 3 de la sección 1 se cumplen; la transversalidad de bt ·M y Rz puede fallar a lo sumo por un conjunto contable de parámetros Pex â € P. Ver Observación 3 en la sección 6. Por lo tanto, la condición 2′ está llena, y los resultados de la sección 1.2. La función gcz(l; v) es una función de conteo puro. La reclamación se deriva ahora de la Propuesta 2 y del Corollary 13. Dejemos que la letra P) sea como en la sección 3.1. COMPLEJIDAD, ETC 15 Corollario 3. Dejemos que P-S2 sea un polígono arbitrario. Entonces gcz(l)dz = ((P ) + área(P )) l + (l − l/) Prueba. Para un polígono esférico tenemos k(P ) α(v) = área(P ) + * (P ) Sustituir esto en ecuación (21). 3.5. Funciones de conteo de posiciones para flujos de billar en hiper- Polígonos bólicos. Nuestro tratamiento y nuestra notación están basados en sección 3.4. Denotamos por dz la medida de lebesgue en H2, y por α(v) los ángulos de las esquinas. Teorema 5. Dejemos que P o H2 sea un polígono geodésico, y que K o K (P ). gcz(l; v)dz = cosh l. Prueba. Repetimos literalmente la prueba del Teorema 4, y utilizar la reclamación 2 en Corolario 13. Dejemos que la letra P) sea como en la sección 3.1. Corolario 4. Dejemos que P Ã3 H2 sea un polà gono. Entonces gcz(l)dz = (­(P )π − area(P )) cosh l. Prueba. Repita el argumento del corolario 3; use la fórmula k(P) α(v) = Area(P)(P)relativa a los ángulos y al área de polígonos geodésicos en H2. 4. Relacionando complejidades parciales y funciones de conteo En esta sección establecemos un marco que nos permitirá estudiar la complejidad de una amplia clase de sistemas dinámicos. Nuestra motivación proviene de la dinámica del billar. De hecho, el billar poligonal es el objetivo de aplicaciones para nuestros resultados. El marco es más general, Sin embargo. Las siguientes observaciones sirvieron como principios rectores. En primer lugar, las particiones naturales de los sistemas de tipo billar están orientadas a la singularidades. En segundo lugar, la dinámica del billar satisface una cierta convexidad propiedad que es instrumental en el estudio de la complejidad. Estos princi- ples se manifiestan en el marco de las transformaciones convexas Hay dos enfoques para la dinámica del billar: El flujo del billar y el mapa de billar. Véase la sección 6. El marco de la convexa 16 RAMES EUGENE GUTKIN Y MICHAL las transformaciones están orientadas al mapa de billar. Comenzamos por establecer su contraparte para los flujos. 4.1. Transformaciones convexas por pieza y convexas por pieza los flujos. Una transformación convexa por partes es un triple (X,............................................................................................................. es un complejo celular convexo bidimensional, X es el gráfico formado por la unión de una célula, y T : X → X es un mapa invertible, regular en las dos celdas del complejo, y compatible con la estructura convexa Vamos a ser un colector compacto, con límites y esquinas, en general. Let bt : • → • ser un flujo, posiblemente con singularidades; let X • • ser una sección transversal. Vamos a asumir que el conjunto singular del flujo es contenido en X. Para z X let (z), (z) ser los tiempos cuando z primero llega a X bajo bt, b−t para 0 < t. Asumimos que para cualquier z hay 0 < ♥ = Ł(z) de tal manera que bt(z) es regular para t < ♥. Un flujo convexo por partes está determinado por los siguientes datos: Un flujo, bt :................................................................................................................................................... complejo en X, compatible con el mapa de poincare. Flujos de billar para Polígonos en superficies de curvatura constante son flujos convexos 4.2. Complejidades parciales para mapas y flujos. Let (X,?n, T n) ser las iteraciones de una transformación convexa por partes ( X,....................................................................................................................................................................................................................................................... ser el conjunto finito de las caras abiertas de la n; estas son las regiones de continuidad para T n. La función f(n) = F (n) es la complejidad (plena) de (X,, T ). Deja que R-X sea un subconjunto cerrado. Establecer FR(n) = {A) F (­) : A(R) 6=. Definición 1. La función fR(n) = FR(n) es la complejidad parcial de la transformación convexa por partes (X,......................................................................................................................................................................................................................................................... Let bt :.............................................................................................................................................................. conjunto convexo transversal al flujo. Para 0 < l dejar que OR(l) sea el conjunto de órbitas de flujo regulares de longitud l a partir de R. Dejar α0, α1 • OR(l). A homotopía es una familia continua de órbitas regulares αp • OR(l), 0 ≤ p ≤ 1, interpolando entre α0, α1. Diremos, por brevedad, que las órbitas α0, α1 son R-homotópicos. Denotamos por HR(l) el conjunto de R-homotopy clases. Definición 2. La función hR(l) = HR(l) es la complejidad parcial (basado en R) del flujo convexo por pieza bt : • → • •. 4 También son transformaciones convexas a trozos [7]. COMPLEJIDAD, ETC 17 Gráfico 2 Quitar un vértice en un gráfico 4.3. Complejidades parciales y funciones de conteo. En qué fol- bajos suponemos que R â € ¬ es un gráfico convexo sin vértices aislados. Para x R su valencia val(x) es el número de bordes de x menos uno. En particular, si x es un punto interior de un borde, entonces val(x) = 1. Establecer val(R) = maxx+R val(x). Dotamos R \ {x} con la estructura del gráfico donde x se sustituye por 1+val(x) vértices; cada uno de ellos es el punto final de un borde único. Si x, y, z,. R son puntos distintos, a continuación, la induc- estructura gráfica definida en R sin x, y, z,. .. no depende sobre el orden de eliminación de estos puntos. Denotaremos este gráfico por R \ {x, y, z,.. .}. Véase la figura 2 para una ilustración. Que E(R) y V (R) sean los conjuntos de bordes y vértices, y que c(R) ser el número de componentes conectados del gráfico. Let hi = hi(R) ser los números betti de R, y establecer χ(R) = V (R) − E(R). Entonces c(R) = h0, χ(R) = h0 − h1. Lemma 4. Dejar R ser un gráfico finito, y dejar x1,. ................................... puntos. Entonces (25) χ(R) + val(xi) ≤ c(R \ {x1,. .., xp}) ≤ c(R) + val(xi). Si R es un bosque, entonces el límite a la derecha en la ecuación (25) se convierte una igualdad. 18 RAMES EUGENE GUTKIN Y MICHAL Prueba. Basta con probar las afirmaciones cuando R está conectado, y nosotros Quitar un solo vértice, x. Ecuación (25) pasa a ser (26) χ(R) + val(x) ≤ c(R \ {x}) ≤ c(R) + val(x). Tenemos V (R \ {x}) = V (R) + val(x), E(R \ {x}) = E(R), y χ(R­x} = χ(R)+val(x). Equivalentemente, tenemos χ(R®x}) = h0(R)+ val(x)−h1(R) y h0(RÃ3x}) = h0(R)+val(x)+(h1(R \ {x})− h1(R)). El primero (resp. la identidad implica la izquierda (resp. derecho) en igualdad de condiciones ity en la ecuación (26). Cuando R es un árbol, tenemos c(R \ {x}) = c(R) + val(x), y la a continuación figura la reclamación restante. Vamos a introducir funciones de conteo para órbitas singulares del billar mapa y el flujo de billar. Por definición, una órbita α = {bt(z), 0 ≤ t ≤ l}, no pasa a través de puntos singulares en Ł. Es regular si no contiene ningún singu- puntos lar en ­; es singular si uno de sus puntos finales es singular. Los conjunto SR(l) de órbitas singulares de longitud como máximo l, basado en R, es finito. Las cantidades de gcR(l) = SR(l) y gdR(n) = R funciones de ing para órbitas singulares basadas en R para el flujo y el mapa respectivamente. Ahora relacionaremos complejidades parciales y funciones de conteo. Nosotros hacer esto para un flujo convexo a trozos bt : • → • y para un flujo convexo a trozos Transformación convexa (X,®, T ). En ambos casos la complejidad parcial es basado en un subconjunto 1-dimensional, decir R. Recordar que gcR(l), gdR(n) son las funciones de conteo respectivas, y hR(l), fR(n) son las respectivas complejidades. Nos referiremos a estas situaciones como el caso continuo y el caso discreto, respectivamente. Proposición 5. Dejemos que el ajuste sea como el anterior. Entonces el siguiente estado... Espera. 1. En el caso continuo existen h0 â € N y l0 â € R+ de tal manera que hR(l) = h0 + gcR(l) para l0 ≤ l. 2. En el caso discreto existe f0, n0 N tal que para n0 ≤ n tenemos fR(n) = f0 + gdR(n). Prueba. En ambos casos el gráfico R está equipado con una torre de conjuntos finitos, decir X(l) y Xn respectivamente. Dejemos que Xoa R sea su unión. Lo haremos. comparar el número de componentes conectados de los gráficos R\X(l), R\Xn con los cardenales de estos conjuntos. Consideramos el caso discreto, dejando el caso continuo a la lector. Dejar m < n ser cualquier par de números naturales. Por (la prueba de) COMPLEJIDAD, ETC 19 Lemma 4, c(R \Xn)− c(R \Xm) = [h1(R \Xn)− h1(R \Xm)] + X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X val(x). Tenemos h1(R \ Xn) ≤ h1(R \ Xm); la desigualdad mantiene iff Xn \ Xm rompe ciclos en R \ Xm. Puesto que la secuencia h1(R \ Xk) no aumenta, se estabiliza. Por lo tanto, existe n1 N tal que para n1 ≤ m < n tenemos h1(R \Xn) = h1(R \Xm). El conjunto de puntos x + R que satisface 1 < val(x) es finito. Por lo tanto, hay existe n2 â € N tal que si n2 ≤ k y x â € Xâ \Xk, entonces val(x) = 1. Set n0 = max(n1, n2). A continuación, para n0 ≤ m < n la ecuación anterior rendimientos c(R \Xn)− c(R \Xm) = Xn \Xm. Especializado en m = n0, nosotros obtener fR(n) = (fR(n0)− gdR(n0)) + gdR(n). 5. Ata sobre complejidades parciales para el billar Utilizaremos el material precedente para derivar límites en com- plexidades para el billar poligonal. 5.1. Complejidades de dirección para mapas de billar en poli-euclidiana Gons. Utilizamos la configuración y la notación de la sección 3.1. Para un polígono P y una dirección فارسى, denotamos la complejidad parcial con base Rl. Esta es la complejidad en la dirección. Corolario 5. Para el lebesgue casi todas las direcciones hay C = C(­) y hay arbitrariamente grandes n tales que fdŁ(n) ≤ Cn. Prueba. Cada R.O. es un gráfico convexo en el espacio de fase [7]. Por Lemma 1 y el corolario 1, las funciones de conteo gd corbatas. Por la segunda afirmación de la Proposición 5, las complejidades direccionales Hazlo también. Corolario 6. Para cualquier > 0 y casi todas las direcciones tenemos fdŁ(n) = O(n) 1o). Prueba. La prueba va a lo largo de la línea de la prueba del corolario 5. In- En lugar de Lemma 1, usamos la Proposición 4 (la primera afirmación). 5.2. Las complejidades de la posición para los flujos de billar en poli-euclidiana Gons. Que P sea un polígono euclidiano, y que z â € ¬ P sea cualquier punto. Nosotros considerar el flujo de billar en P, y utilizar el ajuste de la sección 3.2. Por lo tanto, gcz(l) es la función de conteo de posición para órbitas que emanan de z. Nosotros indicar por hz(l) la complejidad parcial correspondiente. Corolario 7. Para casi cada punto z hay un número positivo C = C(z) tal que hz(l) ≤ Cl 2 para arbitrariamente grande l. 20 RAMS EUGENE GUTKIN Y MICHAL Prueba. Los conjuntos Rz satisfacen los supuestos de la sección 4. La reclamación sigue de Lemma 1, corolario 2 y el caso continuo en Propo- Situación 5. Corolario 8. Para cualquier فارسى > 0 y casi cada z â € P tenemos hz(l) = O(l2o). Prueba. La prueba es similar al argumento anterior, y utilizamos el primera reclamación en la Proposición 3 en lugar de Lemma 1. 5.3. Las complejidades de la posición para los mapas de billar en poli-euclidiana Gons. Este es el análogo del mapa de billar del ejemplo anterior. Vamos. P ser un polígono euclidiano, y vamos a â € â € TM P. Usamos la configuración de sec- sión 3.3. Allí hemos definido las funciones de conteo gds(n), Gods(n). Que fs(n) sea la complejidad parcial correspondiente a gds(n). Esto es la complejidad de la posición para el mapa de billar. Corolario 9. Dejemos que P o R2 sea un polígono tal que k=1 v(P; k) tiene un límite superior cuadrático.5 Entonces para casi todos s â € € TM P tenemos fs(n) = O(n) 2 °C) para cualquier 0 < °C. Prueba. Los conjuntos Rs X satisfacen los supuestos de la sección 4. Usamos Teorema 3, Lemma 3, y aplicar la Proposición 5. La estimación del corolario 9 en fs(n) es condicional, ya que en No tenemos un límite superior eficiente. v(P; k). 5.4. Las complejidades de la posición para los flujos de billar en poliesférica Gons. Utilizamos la configuración de la sección 3.4. Para un polígono esférico, P • S2, y z • P, que hz(l) sea la complejidad de la posición. Corolario 10. Para casi todos los puntos z P hay C = C(z) y hay arbitrariamente grandes l tales que hz(l) ≤ Cl. Prueba. Los conjuntos Rz satisfacen los supuestos de la sección 4. Usamos Lemma 1, El corolario 3 y la Proposición 5. Corolario 11. Para cualquier فارسى > 0 y casi cada z â € P tenemos hz(l) = O(l1®). Prueba. Ver la prueba del corolario 8. 5Esto se sostiene si P es un polígono racional [11]. COMPLEJIDAD, ETC 21 5.5. Coloquios de posición para flujos de billar en poli-hiperbólicos Gons. Este material es la contraparte del plano hiperbólico de la sección 3.2, y usamos la configuración de la sección 3.5. Corollario 12. Let P â € TM TM H2 ser un polígono geodésico, let z â € TM P, y let hz(l) sea la complejidad de la posición. Entonces para casi todos los puntos z â € P nosotros tener hz(l) = O(e) (1o)l). Prueba. Verificamos que los conjuntos Rz satisfacen los supuestos de la sección 4, e imitamos la prueba del corolario 8; usamos el corolario 4, Proposición 3, y el caso continuo de la Proposición 5. 6. Apéndice: Espacios de cobertura para billar poligonal Dejar que M sea una superficie simplemente conectada de curvatura constante, y dejar que Es un polígono geodésico conectado. Normalizamos la métrica así que que la curvatura es cero (M = R2), o uno (M = S2), o menos uno (M = H2). Dejar A ser el conjunto de los lados en P. Denotaremos sus elementos por a, b,. ... Para un lado, decir un â € TM a, dejar sa â € TM a Iso(M) ser la geodésica correspondiente reflexión. Nos asociamos con el sistema P a Coxeter (G,A) [2]. Denotamos por a, b, · · · · G los elementos correspondientes a a, b,. A...................................................................................... Ellos generar G. Las relaciones definitorias son n(a,b) = 1; estos últimos surgen sólo para los lados a, b con una esquina común si el ángulo, Ł(a, b), entre ellos es π-racional. En este caso n(a, b) es la denominador de la letra a) y b). De lo contrario, n(a, b) = فارسى. A cualquier “poliedro generalizado” P corresponde un espacio topológico C dotado de varias estructuras, y un sistema Coxeter [2]. Nuestro la situación se ajusta al marco de [2], y aplicamos sus resultados. En primer lugar, C es una superficie diferenciable. En segundo lugar, C es alicatado por subconjuntos Pg, g G, etiquetados por elementos del grupo G de Coxeter; los llamamos los azulejos, y identificar Pe con P. El grupo G actúa en C adecuadamente discontinuamente, conservación del revestimiento: g · Ph = Pgh. Puesto que Pe se identifica con P-M, hereda de M a riemann- ia estructura. La acción de G es compatible con esta estructura, y se extiende a todo C. Esta estructura riemanniana generalmente tiene cono singularidades en los vértices del alicatado C = gGPg. 6 Alrededor de otros puntos Esta estructura riemanniana es isométrica a la de M ; en particular, ex- cept para puntos de cono, C tiene curvatura constante. El grupo G actúa sobre C por isometries. 6Cada vértice, v, corresponde a una esquina de P. La métrica en v es regular iff la ángulo de esquina es η/n, n = 2, 3,.... 22 RAMS DE EUGENE GUTKIN Y MICHAL Definición 3. El espacio C dotado de la estructura riemanniana, la acción isométrica de G y el alicate G-invariante C = espacio de cobertura universal del polígono geodésico P â € M. Si X es un colector riemanniano (con límites y singularidades, en general), denotamos por TX = xXTxX su conjunto tangente unidad. La construcción clásica del flujo geodésico, GtX : TX → TX, se extiende a múltiples con límites y singularidades. En particular, GtX hace sentido cuando X = M,P, o C. Otra construcción clásica, la expo- mapa sentimental, también se extiende a nuestra situación. Para x â € ¢ X como arriba, y (v, t) TxX × R+, establecemos expX(v, t) X como punto de base de G X v). Usaremos la notación expxX para indicar que estamos exponenciando desde el punto x. Si X no es singular, entonces expxX : TxX × R+ → X es un mapeo diferenciable. Para X con singularidades, como nuestro P y C, los mapas expxX se definen en subconjuntos adecuados de TxX × R+; estos Los subconjuntos tienen una medida de lebesgue completa. Generalmente, los mapas no se extienden por continuidad a todo el TxX × R+. Que X, Y sean colectores riemannianos singulares de la misma dimensión- sión; let : X → Y ser una isometría local. Induce un dif local... feomorfismo Φ : TX → TY desplazamientos con los flujos geodésicos: Φ GtX = G Y. Los mapas exponenciales se desplazan también:................................................................................................... Y, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx. Estas relaciones se mantienen, en particular, para cubrir colectores riemannianos no sengulares. Interpretados convenientemente, se extienden a revestimientos (ramados) de colectores de riemannio con límites, ners, y singularidades. En nuestro caso X = C, mientras que Y = M, o Y = P. Ahora definiremos las asignaciones f : C → P, F : TC → TP y * : C → M, Φ : TC → TM. La identificación Pe = P define f,  en Pe. Extenderlos a todos de C, utilizamos el alicatado C = GGPg y las acciones de G en C y M. Con el fin de distinguir entre estas acciones, vamos a denotar por g · x y g(x) respectivamente. Entonces hay un único x â € ¢ Pe tal que z = g · x. Se establece f(z) = x â € P y â € (z) = g(x) â € M. las propiedades de los grupos de Coxeter [2], las asignaciones f,  están bien definidas. Por otra parte, f : C → P y  : C → M son el único G-equivariante mapas que son idénticos en Pe. 7 Por construcción, ambos mapas son continuos; son difeomorfismos en el interior de cada baldosa, Pg C, y en el interior de la unión de cualquier par de baldosas adyacentes. El locus potencial de la no-diferenciabilidad para f y conjunto V de los vértices en el alicatado C = gGPg. Tenemos V = f −1(K(P)) donde K(P ) es el conjunto de las esquinas de P. Por equivarianza, (V ) = 7La acción de G sobre P es trivial. COMPLEJIDAD, ETC 23 Ggg(K(P)) M. 8 Hay dos tipos de puntos en V : vértices procedentes de las esquinas de P con ángulos racional e irracional. Sus ángulos de cono son múltiplos enteros de 2 Tily. Los vértices v • V con ángulo de cono 2η son, de hecho, puntos regulares en C, y los mapas f, ♥ son ambos regulares allí. Alrededor de un vértice v con el ángulo del cono 2k difeomorfismo; se conjuga localmente a z 7→ zk. Cerca de tal vértice, Es un cubrimiento ramificado de grado k. En un vértice con cono infinito ángulo, tiene ramificación infinita. Observación 3. El set (V) (M) es contable. (Es finito iff el grupo generado por reflexiones geodésicas en los lados de P es un finito Grupo Coxeter. Típicamente, el M es un conjunto denso y contable.) Dejar M = S2, y dejar z 7→ z′ denotar el mapa antípoda. Conjunto F = (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) Los puntos de F son excepcionales, en lo siguiente: sentido común. Dejad que z-P sea tal que el haz Rz de las órbitas de billar emanen- ing de z contiene un sub-haz enfocándose en una esquina de P. Entonces z â € F. Esto se desprende de la Proposición 6. Por lo tanto, F contiene todos los puntos z â € P para los que la transversalidad como- la suposición en la condición 2 de la sección 1.2 falla. Puesto que F es contable, la conjunto de parámetros excepcionales tiene la medida cero, y la condición 2′ es Satisfecho. Véase la Observación 1 en la sección 1. Además, los mapas f y ♥ son isometries locales. Lo son. Isometrías en cada ficha Pg C; tenemos f(Pg) = P, (Pg) = g(P) M. Dejar g · a ser un lado de Pg, dejar h = ♥ag y dejar Ph ser el adyacente azulejo. Los mapas f : Pg → P, Ph → P y  : Pg → g(P ), Ph → h(P ) son coherente alrededor del lado común (abierto) g · a. El mapa f nunca es un isometría en Pg • Ph; para • este es el caso if los interiores de g(P ), h(P ) son desarticulados en M. Este último falla generalmente para P no convexo. Por la coherencia de f y  a través de los lados que separan las baldosas adyacentes, los elevamos a los paquetes tangentes, obteniendo los mapas de la unidad tangentes F : TC → TP, Φ : TC → TM, que también se definen en vectores basados en los vértices del alicatado C = gGPg. Let v be a vértice, y dejar que α sea el ángulo de la esquina f(v) • K(P ). Entonces Φ: TvC → Tl(v)M es m-to-1 si α = mη/n y -to-1 si α es η-irracional. La geodésica γ(t) en C no puede ampliarse más (generalmente) una vez Llegan a un vértice. Todas las demás geodésicas en C se definen para < t < 8 La representación M = Ggg(P ) no es un alicate, en general. 24 RAMS DE EUGENE GUTKIN Y MICHAL Utilizando la inclusión P+M, identificamos TP con el subconjunto de TM que consiste en vectores tangentes M con puntos de base en P, y dirigidos en- Ward. Cualquier v-TP define la órbita del billar en P, β(t) = expP (tv), 0 ≤ t, y la geodésica en M, γ(t) = expM(tv), 0 ≤ t. Están relacionados por el despliegue canónico de órbitas de billar. Este es un pro- cedure que sustituye las reflexiones consecutivas sobre los lados de P por reflejos consecutivos de la “última mesa de billar” g(P) sobre el lado apropiado, dando la siguiente tabla de billar h(P), y continuando la geodésica recta a través del lado común de g(P) y h(P). Véase [4] en el caso plano y [7], sección 3.1, en el caso general. Let x â € TM P y dejar v • TxP. Denotamos por βv (resp. γv) la órbita del billar en P (resp. la geodésica en M) que emana de x en la dirección v. operador de despliegue, Ux : βv 7→ γv, conserva las parametrizaciones. Proposición 6. Let x â € P, v â € TxP. Identificar P y Pe C y dejar x Pe, v TxC sean los datos correspondientes. Entonces para t â € R+ tenemos (27) Ux(expP (v, t)) = (expC(v, t)). Prueba. Usaremos libremente la discusión anterior. Como t â € R+ va a infinito, expP (v, t) corre con la velocidad de la unidad a lo largo de una órbita de billar en P. La exp curva (v, t) es la geodésica en C definida por los datos (x, v), y (exp) (v, t)) es la geodésica en M que emana de x en la dirección v. La órbita del billar en P y la geodésica en M están relacionadas por el operador de despliegue. Para x • P dejar que ExP = TxP ×R+ sea el espacio tangente completo (o el espacio tangente completo) tangente cono) a x. Si S TxP es un segmento, que ESxP = S × R+ sea el subcono correspondiente. Utilizamos la notación análoga para x â € ¢ C en coordenadas polares (t, ♥) en R2 la medida de la lebesgue en ExP es dada por la densidad tdtd Corolario 13. Deja que x P M sea arbitrario, y deja que expxP : ExP → P ser el mapeo exponencial. La retirada por expxP de la lebesgue la medida en P a ExP es la medida suave con la densidad d v(t, ♥). 1. Cuando M = R2, tenemos d v = tdtd 2. Cuando M = H2, tenemos d v = sinh tdtd 3. Cuando M = S2, tenemos d v = sin tdtda. Prueba. Por la Proposición 6, la medida en cuestión coincide con la volver al espacio tangente ExM de la medida riemanniana en M por el mapa exponencial ExM → M. Este último es bien conocido. Señalamos que el material anterior tiene una versión de mapa de billar. Lo discutiremos brevemente ahora. Let β(t) = (z(t), COMPLEJIDAD, ETC 25 del flujo del billar. Obtenemos la correspondiente órbita del mapa de billar βd(k), k + Z, restringiendo β(t) a las veces consecutivas tk de tal manera que z(tk) â € ¬ P. La correspondencia β(·) 7→ βd(·) es invertible. Esto permite para formular las versiones del mapa de billar del espacio universal de cobertura, el levantamiento de las órbitas de los mapas de billar al espacio de cobertura universal, y relación entre los levantamientos y los despliegues, à là Proposición 6. Puesto que no estamos usando directamente este material en el cuerpo del papel, Nos ahorramos los detalles. Bibliografía [1] J. Cassaigne, P. Hubert y S. Troubetzkoy, Complejidad y crecimiento para Billar onal, Ann. Inst. Fourier 52 (2002), 835 – 847. [2] M.W. Davis, Grupos generados por reflexiones y colectores asféricos Reed por el espacio euclidiano, Ann. Matemáticas. 117 (1983), 293 – 324. [3] G. Galperin, T. Krüger y S. Troubetzkoy, Inestabilidad local de las órbitas en Billar onal y poliédrico, Comm. Matemáticas. Phys. 169 (1995), 463 – 473. [4] E. Gutkin, Billar en polígonos, Physica 19 D (1986), 311 – 333. [5] E. Gutkin, Dinámica del billar: Una encuesta con el énfasis en los problemas abiertos, Reg. & Chaot. Dyn. 8 (2003), 1 – 13. [6] E. Gutkin y N. Haydn, entropía topológica de intercambio de polígonos mociones y billares poligonales, Erg. Theo. & Dyn. Syst. 17 (1997), 849 – [7] E. Gutkin y S. Tabachnikov, Complejidad de la transformación convexa ciones en dos dimensiones, con aplicaciones al billar poligonal en superficies de curvatura constante, Moscú Matemáticas. J. 6 (2006), 673 – 701. [8] E. Gutkin y S. Troubetzkoy, Flujos direccionales y fuerte recurrencia para Billar poligonal, Pitman Res. No, no. Matemáticas. 362 (1996), 21 – 45. [9] P. Hubert, Complexité de suites définies par des billards rationnels, Bull. Soc. Matemáticas. Fr. 123 (1995), 257 – 270. [10] A. Katok y B. Hasselblatt, Introducción a la Teoría Moderna de la Dinámica Systems, Cambridge University Press, Cambridge 1995. [11] H. Masur, La tasa de crecimiento de trayectorias de un diferencial cuadrático, Erg. Theo. & Dyn. Syst. 10 (1990), 151 – 176. IMPA, Río de Janeiro, Brasil y UMK, Torun, Polonia; IMPAN, Warszawa, Polonia Dirección de correo electrónico: gutkin@impa.br,gutkin@mat.uni.torun.pl;rams@impan.gov.pl Introducción y sinopsis 1. Promedios de las funciones de conteo 1.1. Dinámica discreta 1.2. Dinámica continua 1.3. Casos especiales 2. Acoplamiento de funciones de conteo 3. Funciones de conteo para billar poligonal 3.1. Funciones de conteo de dirección para mapas de billar en polígonos euclidianos 3.2. Funciones de conteo de posiciones para flujos de billar en polígonos euclidianos 3.3. Funciones de conteo de posiciones para mapas de billar en polígonos euclidianos 3.4. Funciones de conteo de posiciones para flujos de billar en polígonos esféricos 3.5. Funciones de conteo de posiciones para flujos de billar en polígonos hiperbólicos 4. Relacionando complejidades parciales y funciones de conteo 4.1. Transformaciones convexas por pieza y flujos convexos por pieza 4.2. Complejidades parciales de los mapas y los flujos 4.3. Complejidades parciales y funciones de conteo 5. Ata sobre complejidades parciales para el billar 5.1. Complejidades de dirección para mapas de billar en polígonos euclidianos 5.2. Complejidades de posición para flujos de billar en polígonos de euclidia 5.3. Complejidades de posición para mapas de billar en polígonos euclidianos 5.4. Complejidades de posición para flujos de billar en polígonos esféricos 5.5. Coloque complejidades para flujos de billar en polígonos hiperbólicos 6. Apéndice: Espacios de cobertura para billar poligonal Bibliografía

Introducimos un nuevo método para estimar el crecimiento de varias cantidades emergido en sistemas dinámicos. Aplicamos nuestro método al billar poligonal en superficies de curvatura constante. Por ejemplo, obtenemos límites de poder de grado dos más epsilon en longitud para el número de órbitas de billar entre casi todos pares de puntos en un polígono plano.

Introducción y sinopsis La complejidad de un sistema dinámico se mide con respecto a un codificación de sus órbitas. La codificación, a su vez, se determina mediante la partición el espacio de fase del sistema en piezas elementales. Para dynami... sistemas de cal con singularidades, tales como billar poligonal, conectados los componentes en el complemento del conjunto singular producen un par natural Tition. Convexidad de sus átomos con respecto a la estructura geodésica en el espacio de fase impuesto por la óptica geométrica, es crucial en el estudio de complejidad del billar [7]. En el presente estudio, así como en [7], P es un polígono geodésico en una superficie de curvatura constante. Que, para la concreción, P sea un planar Polígono. Denotamos por fP (n) el número de palabras de longitud n gener- Atentado por órbitas de billar codificadas por dominios visitados de regularidad. Cuándo P es simplemente conectado, esto coincide con la codificación por los lados en P. se sabe que fP (n) es subexponencial en n [3, 6], y para general P No se conoce mejor atadura. Si P es un polígono racional (es decir, sus ángulos son conmensurables con η [4]), fP (n) = O(n) 3) [1, 7]. La corriente conjetura es que para cualquier polígono plano fP (n) = O(n) d) [5]. Con el fin de avanzar en la comprensión de la complejidad del billar, nosotros introducir la noción de complejidades parciales. Vamos a ser el espacio de fase, y dejar que P sea la partición que define. Iterando la dinámica que obtenemos una torre en aumento Pn de particiones; la complejidad completa es f(n) = Fecha: 31 de octubre de 2018. Palabras y frases clave. Polígono geodésico, mapa de billar, flujo de billar, complejo... ity, funciones de conteo, despliegue de órbitas, cubriendo el espacio, mapa exponencial. http://arxiv.org/abs/0704.1975v1 2 RAMS EUGENE GUTKIN Y MICHAL Pn. Si R Φ, que Pn(R) sea la torre inducida de sus particiones. Los complejidad parcial basada en R es fR(n) = Pn(R). Particular parcial las complejidades se han estudiado antes. Por ejemplo, en [8] obtuvimos polinomio límites en la complejidad de dirección, que es uno de los parciales complejidades investigadas aquí. En este trabajo introducimos un nuevo enfoque general para estimar las complejidades de tial. La configuración es la siguiente. Hay una familia de subconjuntos Refoliando el espacio de fase. Let fŁ(n) ser la complejidad parcial con base Rl. Dejad que la función de conteo sea la del billar singular o- bits a partir de R.O. Con arreglo a las hipótesis pertinentes, la letra f) n) y la letra g) n) tienen el mismo crecimiento, como n →. Véase la sección 4. Dejemos el parámetro espacio. Suponga que limitamos el promedio función de conteo G(n) = g-(n). La desigualdad de Tchebysheff y la la ley cero-una da los límites para la g.(n) individual válida para casi todos..................................................................................................................................................................................................................................................... Véase la sección 2. Combinadas con observaciones anteriores, estas estimaciones de rendimiento sobre complejidades parciales para casi todos los valores del parámetro. Este es el esquema general para nuestro enfoque de las complejidades parciales. Este trabajo implementa este esquema para el billar poligonal. Ahora lo haremos. describir el contenido del artículo con más detalle. En la sección 1 investigamos las funciones de conteo y sus promedios. Nosotros establecer el marco pertinente con suficiente generalidad, con el punto de vista hacia una amplia gama de aplicaciones geométricas-dinámicas. El principal los resultados son las Proposiciones 1 y 2, respectivamente. Estos rendimientos geométricos fórmulas para promedios de funciones de conteo que son válidas bajo leve suposiciones de tipo transversalidad. La sección 2 es analítica, y también bastante general. La configuración es la siguiente. Hay una familia de funciones positivas, gŁ(p), de argumento positivo (p.o N y p.o R+ en los casos discretos y continuos, respectivamente), dependiendo del parámetro................................................................................. Conjunto G(p) = g-p-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-e-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d- Desde arriba límites en G(p) se obtienen estimaciones en gää(p individual; son válidos para casi todos. Formulaciones precisas dependen de los detalles de la situación. Véanse las Proposiciones 3 y 4. La sección 3 establece el escenario para las aplicaciones a la dinámica del billar. Nuestro mesa de billar es un polígono geodésico, P, en una superficie simplemente conectada de curvatura constante. Hay dos versiones de la dinámica del billar: el flujo de billar y el mapa de billar. En nuestra discusión de la complejidades, es conveniente tratarlas por separado. En consecuencia, sección 3 consta de varias subsecciones; cada subsecciones trata de una particular complejidad parcial para un tipo particular de dinámica de billar. Utilizamos dos parámetros geométricos para complejidades parciales: la direc- sión y la posición. La complejidad de la dirección nos dice cómo el conjunto de COMPLEJIDAD, ETC 3 puntos de fase que comienzan en la misma dirección se divide después de rebotar fuera de los lados de P. La complejidad de dirección se define para polígonos planos. La complejidad de la posición nos habla de la división de vigas de billar órbitas que emanan de un punto de P. Se define en todos los casos. En cada una de las subsecciones de la sección 3 definimos una función de conteo y comprobar los supuestos de la sección 1; a continuación, evaluar la integral sobre el espacio de parámetro, es decir, calculamos el promedio de cuenta func- ciones. Resulta que tienen significados geométricos. Aquí hay una muestra. de los resultados de la sección 3. Que GP (l) sea la posición media contando función para el flujo de billar en un polígono geodésico P. gones tenemos GP (l) = c0(P)l 2. Véase el corolario 2 en la sección 3.2. Por polígonos en S2 tenemos GP (l) = c+(P)l + c +(P)f(l) donde f es un uni- función periódica inversa. Véase el corolario 3 en la sección 3.4. Para polígonos En H2 tenemos GP (l) = c−(P) cosh l. Ver el corolario 4 en la sección 3.5. Los coeficientes en estas fórmulas dependen de cuántas esquinas P tiene y sobre el número de obstáculos en su interior. La sección 4, de nuevo, es bastante general. En esta sección obtenemos relación- buques entre complejidades parciales con conjuntos de bases unidimensionales y funciones de conteo. El resultado principal de esta sección es la Proposición 5. Dice que si las bases son unidimensionales, entonces la diferencia será... entre la complejidad parcial y la función de conteo está limitada, como El tiempo va al infinito. Otras hipótesis sobre la base tienen que ver con convexidad en el espacio de fase. El marco de esta sección es el de transformaciones convexas a trozos [7]. En la sección 5 nos especializamos de nuevo en billar poligonal. Combinación de la material de las secciones anteriores, obtenemos límites en la posición y complejidades de dirección para el flujo de Billard y el mapa de billar. Aquí está. una muestra de nuestros resultados. Que P sea un polígono euclidiano. Vamos a S1 (resp. z • P ) ser cualquier dirección (resp. posición). Let fdŁ(n) (resp. hz(l) la complejidad de dirección para el mapa de billar (resp. complejidad de la posición para el flujo de billar). Entonces, para casi todas las direcciones. (resp. por casi todas las posiciones z) tenemos fdl(n) = O(n (resp. hz(l) = O(l) 2o)), en el que el valor de 0 es arbitrario. Véase el corolario 6 y el corolario 8. Ahora P ser un polígono esférico, y dejar hz(l) ser la complejidad de la posición para el flujo de billar en P. Entonces para casi cada z • P hay un C = C(z) y arbitrariamente grandes l tales que hz(l) ≤ Cl. Véase el corolario 10. Por any 0 y casi cada z P tenemos hz(l) = O(l 1o). Ver Corolario 11. En el estudio del billar poligonal el dispositivo de despliegue del billar las órbitas son indispensables [4]. Si P • M, y β es una órbita de billar en P, su despliegue es una geodésica en M. Varios argumentos en la sección 3 usar 4 RAMS EUGENE GUTKIN Y MICHAL la técnica de elevación de las órbitas de billar al espacio de cobertura universal de P.1 Esta noción no fue escrita en la literatura del billar. En nuestro En la sección 6 del apéndice se presentan las definiciones y propuestas pertinentes. La Propuesta 6 presenta la propiedad principal de la cobertura universal espacio de un polígono geodésico. Relaciona los despliegues y los levantamientos de órbitas de billar. Las pruebas en la sección 3 usan el corolario 13 de la Proposición 6, que se ocupa de los retrocesos de las medidas de lebesgue en el marco de los despliegues. Con el fin de poner nuestros resultados en perspectiva, vamos a ver la literatura sobre las complejidades del billar. El crecimiento subexponencial de la complejidad (plena) del billar para los polígonos de euclidiana arbitrarios se estab- Encabezado en [3] y [6]. Ambas pruebas son indirectas, en el sentido de que no rinden límites subexponenciales explícitos. Por otra parte, para la eu racional polígonos clidianos la complejidad es cúbica. Esto está contenido en [1] para convexo y en [7] para todos los polígonos racionales. Los argumentos expuestos en [1] y [7] se basan en un teorema en [11]; dice que el número de órbitas de billar entre cualquier par de esquinas en un polígono racional crece cuadráticamente en longitud. Desde nuestro punto de vista, esta es una declaración sobre la posición funciones de conteo gz(l). Dice que gz(l) = O(l) 2) si P • R2 es ra- P es una esquina. En comparación, nuestro corolario 8 y La Proposición 5 produce que gz(l) = O(l) > 0 y casi todos z â € P donde P â € R2 es un polígono arbitrario. La comunicación direccional se ha estudiado la plexidad fdŁ(n) en [8] y [9]. El trabajo [9] se refiere a la complejidad direccional para el billar en un polígono racional, plano P. Supongamos que P es convexo. Entonces [9] deriva una fórmula explícita para fdl(n), válido para las direcciones mínimas. (El conjunto de direc- ciones es contable.) Por esta fórmula, fdŁ(n) = O(n). Por otro lado mano, [8] muestra que fdŁ(n) = O(n) d) para cualquier P + R2 y una arbitrariedad - ¿Qué? - ¿Qué? - ¿Qué? El grado d en el encuadernado no depende de Ł. Nuestro corolario 6 estima la complejidad de un polígono arbitrario 2. Lo siento. dice que fdŁ(n) = O(n) 1 °) para cualquier • > 0 y casi todas las direcciones •. Es plausible que los límites como el corolario 8, el corolario 6, etc para cualquier punto z • P, cualquier dirección • • S1, etc. 1. Promedios de las funciones de conteo En esta sección introducimos el marco de las funciones de conteo en dinámicas diferenciables. Lo aplicaremos a la dinámica del billar Más tarde. Nuestros espacios de fase son “manifolds”. Con esto vamos a querer decir colectores compactos con límites, esquinas, y puntos singulares, en Generalidades. Nuestro entorno implica i) una foliación del espacio de fase por cerrado 1No debe confundirse con el concepto de espacio de cobertura universal en topología. COMPLEJIDAD, ETC 5 submanifolds que son fibras para una proyección en un colector de más pequeño dimensión; ii) un submanifold en el espacio de fase, transversal a la fibras; iii) una función de peso en el producto del espacio de fase y la hora. Vea los detalles a continuación. La dinámica en cuestión puede ser discreto o continuo. Vamos a exponer los dos casos por separado. Los dos subsecciones que siguen son paralelas, y los tratamientos difieren en detalles técnicos. 1.1. Dinámica discreta. Let T : X → X, T−1 : X → X ser por pieza difeomorfismos con los siguientes datos. 1. Hay una fibración η : X → • cuya base es un colector compacto y cuyas fibras R­ = η −1(l) son submanifolds compactos, de tal manera que dim(Rl) = dim(X)− dim(l). Usaremos la notación X = R. 2. Hay un submanifold cerrado, Y â € X, dim(Y ) = dim(â €, de tal manera que para k • −N2 los colectores T k(Y) son transversales a las fibras R­. 3. Hay una función de peso, es decir, una función continua, no negativa w(x, t) en X × N. La función w puede depender sólo del tiempo, por ejemplo, w = χn, la función indicadora de [0, n− 1]. Observación 1. La condición 2 puede debilitarse, como se indica a continuación. 2′. Hay un submanifold cerrado, Y â € TM X, y un conjunto â € € TM ex â € TM de medida zero tal que para k â â € € TM y â € â € € TM ex los colectores T k(Y) y R son transversales. Todos nuestros resultados siguen siendo válidos si reemplazamos la condición 2 por la condición más débil 2′. Sin embargo, en nuestras aplicaciones a poligonales billards, condición 2 no puede contener sólo para polígonos en superficies de curvatura positiva. Véase la sección 3.4. Para simplificar la exposición, vamos a Asumir en lo que sigue que.............................................................................................................................................. Teniendo en cuenta la condición 2, ­(­) = {­x, k): x ­ R­, k ­ N, T k(x) • Y } es un conjunto contable (a lo sumo). Los conjuntos ­k(­) = {(x, k) : x ­ R­, T k(x) â € Y } son finitos para todos los k de N, y para todos los k de N, y para todos los k de N. Definimos la función de conteo ponderado por 1) g(;w) = (x,k)(l) w(x, k). La función de conteo puro gn() corresponde al peso w = χn. Tenemos (2) gn(­) = k(). 2Por convención, N = 0, 1,.... 6 RAMS EUGENE GUTKIN Y MICHAL Proposición 1. Dejad, dy ser finitos, las medidas de clase de lebesgue en, Y respectivamente. Entonces para k â € N hay funciones rk(·) ≥ 0 en Y, determinado por los datos 1) y 2) por sí solo, de modo que g(l;l)d = w(T-k · y, k)rk(y) Prueba. Para cualquier k â € N set fk = η â € T −k : Y → فارسى. Por condiciones 1 y 2, fk es un difeomorfismo local. Por lo tanto f k (dŁ) = rk(y) dy. Basta establecer la ecuación (3) para el caso especial w(x, i) = 0 si i 6 = k. Un punto x + X contribuye a la integral en el lado izquierdo de la ecuación (3) if T k ·x â ¬ Y, o equivalente, η(x) = fk(y), y â € Y. Los La reclamación sigue a un cambio directo de variables. 1.2. Dinámica continua. Let bt : • → • ser un flujo de pedazos Difeomorfismos en un espacio de fase con los siguientes datos. 1. Hay una fibración q : • → Z con una base compacta y fibras q−1(z) = Rz â € ¬, transversal al flujo. Usaremos la notación * = * zá zá zá zá zá zá zá zá zá. 2. Hay un submanifold cerrado, M â € ¬, dim(M) = dim(Z) − 1, transversal al flujo, y de tal manera que N = bt · M es transversal a las fibras Rz. 3. Hay una función de peso, es decir, una función continua, no negativa w(x, t) en فارسى × R+. En un caso especial, w depende sólo del tiempo, por ejemplo, w = χl, la función indicadora de [0, l]. En vista de la condición 2, G(z) = {(x, t): x â Rz, 0 ≤ t, b t(x) â € M} es un conjunto contable (a lo sumo). Los conjuntos Gl(z) = {(x, t): x • Rz, 0 ≤ t ≤ l, bt(x) • M} son finitos para todos l • R+, y G(z) = • Gl(z). Definimos la función de conteo ponderado por (4) g(z;w) = (x,t)®G(z) w(x, t). La función de conteo puro gl(z) corresponde al peso w = χl. Tenemos (5) gl(z) = Gl(z). Proposición 2. Dejar dz, dm ser finito, lebesgue-clase medidas en Z,M respectivamente; que dt sea la medida de lebesgue en R. Entonces existe un 3Nuestros resultados siguen siendo válidos si el conjunto de parámetros Z Z donde la transversal- ity falla tiene la medida cero. Véase la Observación 1. En lo que sigue, por condición 2′ vamos a significa la condición debilitada 2 ya sea en el ajuste de la sección 1.2 o de la sección 1.1. COMPLEJIDAD, ETC 7 función positiva r(·) en M × R+, determinada por los datos 1) y 2), y de tal manera que g(z;w)dz = w(b-t ·m, t)r(m, t)dmdt Prueba. Definimos la asignación f : M × R+ → Z por f = q • b Por condiciones 1 y 2, f tiene rango completo casi en todas partes. El tirón... volver por f de dz es absolutamente continuo con respecto a dmdt, por lo tanto f*(dz) = r(m, t)dmdt. Para 0 < l set wl(x, t) = w(x, t)xl(t), y dejar que gl(z;w) sea el corre- función de conteo sponding. Establecer Il(w) = gl(z;w)dz. Un punto, x # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Un punto, x # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Contribuye a Il(w) if x (M× [0, l]). Bajo el cambio de variables dz = d(q â ¬ (m, t)) = r(m, t)dmdt, tenemos Il(w) = M×[0,l] w(b-t ·m, t)r(m, t)dmdt. En el límite l → فارسى, obtenemos la reclamación. 1.3. Casos especiales. Discutiremos algunos casos especiales de la Proposición 1 y Proposición 2. Primero, la versión discreta. La función gn() cuenta el número de visitas en Y de puntos x â € ¬ Râ durante la primera n pasos de su viaje. Set k = rk(y)dy, y Rn = k=0 lk. Entonces lk es el volumen de Yk = T −k(Y ) con respecto a la medida (d/23370/). Rendimientos de la propuesta 1 = Rn. En el caso continuo la función gl(z) cuenta el número de visitas en M de órbitas bt · x, x â € Rz, durante el período 0 ≤ t ≤ l. Dejar R(l) ser el volumen del colector Nl â ¬ con respecto a la medida q ∗ (dz). Proposición 2 rendimientos gl(z)dz = R(l). 2. Acoplamiento de funciones de conteo En esta sección analizamos la configuración de la sección 1 de la medida punto de vista teórico. Esto nos permite obtener límites superiores puntuales sobre el conteo de funciones en un amplio espectro de situaciones. Que X, μ sea un espacio de medida finita. Let f(x; t) (para t â € R+) be a familia de funciones L1 no negativas en X. Establecer (9) F (t) = f(x; t)dμ(x). 8 RAMS EUGENE GUTKIN Y MICHAL Lemma 1. Por casi cada x x x existe C = C(x) > 0 tal que en el caso de las cantidades arbitrariamente grandes de n+N hay t ≥ n que satisfacen f(x, t) < CF (t). Prueba. Para 0 < C y n° N let Bn(C) = {x • X : CF (t) < f(x; t) • t > n}, y conjunto B(C) = Bn(C). Integrando la desigualdad anterior, obtenemos μ(Bn(C)) ≤ C −1 para cualquier n. Por lo tanto, μ(B(C)) ≤ C−1 y, por lo tanto, μ(R+B(C)) = 0. Pero C+R+B(C) X es el complemento del conjunto de puntos x • X que satisface la hipo- la esis del lema. Que el ajuste sea como en Lemma 1. Además, suponemos que i) las funciones f(x; t) no disminuyen en t y ii) F (t) → فارسى. Lemma 2. Que فارسى > 0 sea arbitrario. Entonces por casi cada x x allí existe T = T (x, ) > 0 de tal manera que para todos t > T tenemos (10) f(x; t) ≤ F (t)(1 + log(1 + F (t)))1». Prueba. Denota por f(x; t−) (resp. F (t−) los límites de f(x; s) (resp. F (s)), como s → t por la izquierda. En el caso de n+N set tn = inf{t : F (t) ≥ 2 Entonces F (t(n+1) −) ≤ 2F (tn). Deja que An X sea el conjunto de puntos satisfactorios la desigualdad (11) f(x; t−n ) ≤ F (tn −) 1 + log(1 + F (tn −)))1. Basta con probar que el conjunto Ak tiene toda la medida. De hecho, para x â € TM an y t â € [tn, tn+1) tenemos f(x; t) ≤ f(x; t−n+1) ≤ F (tn+1 −) 1 + log(1 + F (tn+1 −))1 ≤ F (tn)(1 + log(1 + F (tn)) 1 ≤ F (t)(1 + log(1 + F (t)))1 ≤. Por lo tanto, los puntos x Ak tiene la ecuación de la propiedad (10). Si Bn X es cualquier secuencia de conjuntos, establecemos lim supnBn = Deja que Bn sea el complemento de Un inX. Entonces lim supnöBn es el com- la aplicación de la Ak. Queda por demostrar que μ(lim supn®Bn) = Por la desigualdad de Tchebysheff, tenemos (12) μ(Bn) ≤ 2 (1 + log(1 +) F (tn −)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) COMPLEJIDAD, ETC 9 Conjunto μn = μ(Bn). Supongamos primero que F es una función continua. Entonces F (tn −) = F (tn) = 2 n. Por ecuación (12) μn ≤ 2,1 + log(1 + 2 n))−(1 +), de ahí la serie μn converge. Desde μ(lim sup Bn) ≤ Por lo que se refiere a la cantidad no N, la reclamación figura a continuación. En general, F no necesita ser continua. Por lo tanto, es posible que tn = tn+1 para algunos n+N, lo que implica Bn = Bn+1. De la serie bajamos los términos μn de tal manera que Bn = Bn−1. Por ecuación (12), la los términos restantes satisfacen μn ≤ 2,1 + log(1 + 2 n-2)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Ahora se aplica el argumento anterior. En las secciones 3, 5 aplicaremos estos resultados en la configuración del billar. In sección 3 vamos a estimar la ecuación integrales (9), por lo tanto los límites lo proporcionado por Lemmas 1, 2 será más específico. Las propuestas que figuran a continuación anticipar estas aplicaciones. Proposición 3. Que el ajuste y las suposiciones sean como en Lemma 2. Que 0 <  sea arbitrario. 1. Let F (t) = O (tp) para 0 < p. Entonces para casi cada x X tenemos f(x; t) = O(tpa). 2. Dejar F (t) = O (comer) para 0 < a. Entonces por casi cada x x x que tenemos f(x; t) = O(e(a)t). Prueba. La primera reclamación es inmediata de Lemma 2 y (log t)1 = o(t/23370/). La segunda reclamación es la misma que la de t1o = o(eüt). Para las aplicaciones al mapa de billar necesitamos una contraparte de Proposi- tion 3 para el tiempo valorado en número entero. Lo declaramos abajo. Su prueba es análoga. a la prueba de la Proposición 3. Por otra parte, el caso de tiempo discreto puede ser formalmente reducido al caso de tiempo continuo. Dejamos los detalles a la lector. Que X, μ sea un espacio de medida finita. Que f(x;n), n â € N sea una secuencia de funciones no negativas L1 en X de tal manera que para cada x â € ~ X el nu- secuencia merical f(x;n) es no decreciente. Conjunto F (n) = f(x;n)dμ. Proposición 4. Que 0 <  sea arbitrario. A continuación, las siguientes afirmaciones: Espera. 10 RAMS EUGENE GUTKIN Y MICHAL 1. Let F (n) = O (np) para 0 < p. Entonces para casi cada x X tenemos f(x;n) = O(np®). 2. Dejar F (n) = O(ean) para 0 < a. Entonces por casi cada x x x que tenemos f(x;n) = O(e(a)n). Observación 2. Todos los límites f(·) = O(·) en proposiciones anteriores son equivalentes a los límites formalmente más fuertes f(·) = o(·). 3. Funciones de conteo para billar poligonal Ahora aplicaremos el material anterior a la dinámica del billar. Nuestra mesa de billar será un polígono geodésico ya sea en la euclidiana plano R2, o la esfera redonda S2, o el plano hiperbólico H2. Nos referimos a a [4], [7] y sección 6 para el fondo. 3.1. Funciones de conteo de dirección para mapas de billar en euclidiana Polígonos. Dejemos que P-R2 sea un polígono euclidiano, y dejemos que T: X(P) → X(P) sea el mapa de billar. Elementos del espacio de fase X = X(P) se orientan segmentos geodésicos en R2 con puntos finales en P. Una serie de sesiones x X que termina en una esquina de P es singular; el elemento Tx no está bien Definido. Una órbita de billar x, Tx,. .., T k−1x es una órbita singular de longitud k si T k−1x es el primer elemento singular de la secuencia. Asignando a x X su dirección, η(x) S1, obtenemos una fibración η : X → S1 con fibras R­ • X. Véase el gráfico 1. Definimos el conteo función gdŁ(n) para órbitas singulares en dirección  como el número de fase los puntos x Ã3 Rà que producen órbitas singulares de longitud k ≤ n. Teorema 1. Dejemos que P â € R2 sea un polígono arbitrario. Deja que K(P) sea el conjunto de sus esquinas. Dejar α(v) ser el ángulo de v • K(P ). Vamos a ser el medida de lebesgue en S1. Deje K â € K(P ). Entonces gdl(n; v)dl = Prueba. Basta con probar la reclamación de un singleton, K = {v}. Vamos. Y = Y (v) X ser el conjunto de segmentos x • X final en v. Let dy be la medida angular en Y. Estos datos se ajustan a la configuración de la sección 1.1, y gdŁ(n; v) es la función de conteo puro. Que B(z, α) sea un haz cónico de luz con ángulo ápice α que emita a partir de z â € R2. Después de reflejar en P, se divide en un número finito de Vigas B(zi, αi) satisfactorias αi = α. La preservación del volumen de la luz se debe a la planitud de la P. COMPLEJIDAD, ETC 11 Por comentario anterior, las funciones rk(·) de la Proposición 1 satisfacen rk(·) 1. La reclamación se deriva ahora del caso especial de la Proposición 1 considerado en la sección 1.3. Let p, q ser los números de las esquinas, obstáculos en P. Let (P ) = p+ 2q − 2. Por lo tanto, P es simplemente conectado iff q = 0 iff (P ) = p− 2. Corollario 1. Dejemos que P â € R2 sea un polígono arbitrario. Entonces gdl(n)dl = (P)n. Prueba. Sigue desde el Teorema 1 via k(P ) α(v) = (p+ 2q − 2) Gráfico 1 Conjuntos base para funciones de conteo de billar 12 RAMS EUGENE GUTKIN Y MICHAL 3.2. Funciones de conteo de posiciones para flujos de billar en euclidiana Polígonos. Dejemos que P o R2 sea un polígono, y dejemos que bt : • → • ser el flujo de billar. Véase la sección 6 para más detalles. Para z â € P y v â € K(P ) let gcz(l; v) ser el número de órbitas de flujo de billar que parten de z P y terminar en v por el tiempo l. Entonces gcz(l) = vK(P ) gcz(l; v) es el número de órbitas de billar singulares de longitud a lo sumo l a partir de z. Esto es la función de conteo de posición para el flujo de billar en P. Teorema 2. Dejemos que P-R2 sea un polígono euclidiano, y dejemos que dz sea el lebesgue medida en P. Entonces para cualquier K • K (P ) tenemos (15) 2 gcz(l; v)dz = Prueba. Basta con probar la reclamación de K = {v}. Vemos elementos de Z, de P es el punto de base, y de Z es la dirección. Let M = {(v, فارسى) : (v,) . Let q : • → P ser lo obvio proyección. Sus fibras Rz son los conjuntos base para las funciones de conteo gcz(l; v). Véase el gráfico 1. Set w = χl. Estos datos satisfacen las hipótesis de la Proposición 2, y gcz(l; v) es la función de conteo puro. Establecemos dm para ser la medida angular, y calcular la función r(m, t) en la ecuación (6). Por corolario 13 de la sección 6, r = tχl. Propo- La posición 2 implica la reclamación. Cuando K = K(P ), el lado izquierdo en la ecuación (15) es el promedio de la función de conteo de posiciones. El argumento de los rendimientos del corolario 1 lo siguiente. Corollario 2. Dejemos que P â € R2 sea un polígono arbitrario. Entonces 16) 2 gcz(l)dz = (P)l 3.3. Funciones de conteo de posiciones para mapas de billar en euclidiana Polígonos. Ahora vamos a discutir dos análogos del mapa de billar de la pre- cedemos el ejemplo. Dejemos que P-R2 sea un polígono euclidiano, y dejemos que T: X(P ) → X(P ) ser el mapa de billar. El espacio de fase X = X(P) se compone de pares (s, α) donde s es el parámetro arclentgh en ŁP, y 0 < α < η es el ángulo de salida. Véanse [4, 7] y la sección 6 para más detalles. Una órbita x, Tx,. ............................................................................................................................................................................................................................................................... último segmento termina en una esquina de P. Let â € € ¢ P, v â € K(P ). Definir GDs(n; v) como el conjunto de la fase puntos (s, α) X cuyas órbitas de longitud inferior o igual a n terminan en COMPLEJIDAD, ETC 13 v. Set gds(n; v) = GDs(n; v), dioses(n; v) = (s,α)­GD(n;v) sinα. Las expresiones gds(n) = vK(P) gds(n; v), dioses(n) = vK(P) dioses(n; v) son la función de conteo de posición pura y el conteo de posición óptica función para el mapa de billar en P. Deja que z R2 y dejar que γ R2 sea una curva C1 orientada a partir de piezas. Denotar por dzs la proyección de la forma ds de la longitud del arco de γ en el dirección perpendicular a la línea de z a s γ. La parte integral dzs = opt(γ, z) ≤ es la longitud óptica de γ vista desde z. Deje z â € P. Desplegar las órbitas de billar k-segmento que emanan de z, Obtenemos un conjunto de segmentos lineales en R2. Let Łz(P ; k) • R 2 ser el curva trazada por sus puntos finales. Decimos que "z" (P ; k) "R" 2 es la límite exterior de P, como se ve desde z, después de kiterates. Teorema 3. Deja que P sea un polígono euclidiano, y deja que K (P ) sea un conjunto de esquinas. Entonces gds(n; v)ds = v(P; k); dioses(n; v)ds = opt(v(P, k)). Prueba. Basta con probar las reclamaciones de un singleton, K = {v}. Let η : X → P ser la proyección natural. Usando la parametriz de longitud de arco... , identificamos P con el intervalo [0, P ] R. Para 0 ≤ s ≤ P dejar que Rs = η -1(s) -X ser la fibra. Entonces Rs son los conjuntos de base para las funciones de conteo gds(n; v), dioses(n; v). Véase el gráfico 1. Dejar Y = Y v) X será el conjunto de puntos de fase cuyas órbitas T−1 emanen de v. Se cumplen los supuestos de la sección 1.1. Las funciones de peso son w(s, α, t) = χn(t) y wo(s, α, t) = sinα n(t) para los dos casos en mano. Let ♥ ser el parámetro de ángulo en Y. Las medidas relativas a P y Y tienen densidades ds y ds respectivamente. Las integrales en el lado derecho de la ecuación (3) están sobre las curvas v(P ; k), 0 ≤ k ≤ n− 1. Los integrands son ds(­) y sinα · ds(­) = dvs() en los casos respectivos. Necesitaremos estimaciones de longitudes y longitudes ópticas. 14 RAMS DE EUGENE GUTKIN Y MICHAL Lemma 3. Para cualquier polígono P • R2 existen 0 < c1 < c2 < • tales que para n lo suficientemente grande opt(v(P, k)) ≤ c2n 2, c1n (v(P, k)). Prueba. Existen constantes positivas d1, d2 y m0 N, tales que para cualquier órbita γ del mapa de billar con m > segmentos m0, tenemos d1 ≤ m ≤ d2 [4]. Let v â € K(P ). Vamos a estimar opt(v(P, k)), as n →. Que el parámetro angular de las órbitas que emanen de v sea el de...................................................................................................................................................................................................................................................... let r() ser la longitud geométrica de la órbita. Supóngase que r1 ≤ r(­) ≤ r2. Entonces la longitud óptica en cuestión se intercala entre el longitudes de arcos circulares de radios r1, r2 de tamaño angular Por precedente observaciones, si k es suficientemente grande, los límites r1, r2 son proporcionales a k. El tamaño angular total no depende de k. Por lo tanto, para grandes k tenemos límites lineales superiores e inferiores en (p, k))(p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p). La otra desigualdad se deriva de opt(v(P, k)) ≤ v(P, k). 3.4. Funciones de conteo de posición para flujos de billar en esférico Polígonos. El estudio es análogo al caso planar discutido en el sec- sión 3.2; utilizaremos la misma notación siempre que esto no lleve a confusión. Denotamos por dz la medida de lebesgue en S2, y por α(v) el ángulo de una esquina de P. (20) (x) = 1− cosx− Teorema 4. Dejemos que P-S2 sea un polígono geodésico, y que K-K-P. gcz(l; v)dz = l+(l− l/) Prueba. Basta con probar la reclamación cuando K = {v}. Let M = M(v) ser como en la sección 3.2, y dejar dα ser la medida angular en él. Los suposiciones 1, 3 de la sección 1 se cumplen; la transversalidad de bt ·M y Rz puede fallar a lo sumo por un conjunto contable de parámetros Pex â € P. Ver Observación 3 en la sección 6. Por lo tanto, la condición 2′ está llena, y los resultados de la sección 1.2. La función gcz(l; v) es una función de conteo puro. La reclamación se deriva ahora de la Propuesta 2 y del Corollary 13. Dejemos que la letra P) sea como en la sección 3.1. COMPLEJIDAD, ETC 15 Corollario 3. Dejemos que P-S2 sea un polígono arbitrario. Entonces gcz(l)dz = ((P ) + área(P )) l + (l − l/) Prueba. Para un polígono esférico tenemos k(P ) α(v) = área(P ) + * (P ) Sustituir esto en ecuación (21). 3.5. Funciones de conteo de posiciones para flujos de billar en hiper- Polígonos bólicos. Nuestro tratamiento y nuestra notación están basados en sección 3.4. Denotamos por dz la medida de lebesgue en H2, y por α(v) los ángulos de las esquinas. Teorema 5. Dejemos que P o H2 sea un polígono geodésico, y que K o K (P ). gcz(l; v)dz = cosh l. Prueba. Repetimos literalmente la prueba del Teorema 4, y utilizar la reclamación 2 en Corolario 13. Dejemos que la letra P) sea como en la sección 3.1. Corolario 4. Dejemos que P Ã3 H2 sea un polà gono. Entonces gcz(l)dz = (­(P )π − area(P )) cosh l. Prueba. Repita el argumento del corolario 3; use la fórmula k(P) α(v) = Area(P)(P)relativa a los ángulos y al área de polígonos geodésicos en H2. 4. Relacionando complejidades parciales y funciones de conteo En esta sección establecemos un marco que nos permitirá estudiar la complejidad de una amplia clase de sistemas dinámicos. Nuestra motivación proviene de la dinámica del billar. De hecho, el billar poligonal es el objetivo de aplicaciones para nuestros resultados. El marco es más general, Sin embargo. Las siguientes observaciones sirvieron como principios rectores. En primer lugar, las particiones naturales de los sistemas de tipo billar están orientadas a la singularidades. En segundo lugar, la dinámica del billar satisface una cierta convexidad propiedad que es instrumental en el estudio de la complejidad. Estos princi- ples se manifiestan en el marco de las transformaciones convexas Hay dos enfoques para la dinámica del billar: El flujo del billar y el mapa de billar. Véase la sección 6. El marco de la convexa 16 RAMES EUGENE GUTKIN Y MICHAL las transformaciones están orientadas al mapa de billar. Comenzamos por establecer su contraparte para los flujos. 4.1. Transformaciones convexas por pieza y convexas por pieza los flujos. Una transformación convexa por partes es un triple (X,............................................................................................................. es un complejo celular convexo bidimensional, X es el gráfico formado por la unión de una célula, y T : X → X es un mapa invertible, regular en las dos celdas del complejo, y compatible con la estructura convexa Vamos a ser un colector compacto, con límites y esquinas, en general. Let bt : • → • ser un flujo, posiblemente con singularidades; let X • • ser una sección transversal. Vamos a asumir que el conjunto singular del flujo es contenido en X. Para z X let (z), (z) ser los tiempos cuando z primero llega a X bajo bt, b−t para 0 < t. Asumimos que para cualquier z hay 0 < ♥ = Ł(z) de tal manera que bt(z) es regular para t < ♥. Un flujo convexo por partes está determinado por los siguientes datos: Un flujo, bt :................................................................................................................................................... complejo en X, compatible con el mapa de poincare. Flujos de billar para Polígonos en superficies de curvatura constante son flujos convexos 4.2. Complejidades parciales para mapas y flujos. Let (X,?n, T n) ser las iteraciones de una transformación convexa por partes ( X,....................................................................................................................................................................................................................................................... ser el conjunto finito de las caras abiertas de la n; estas son las regiones de continuidad para T n. La función f(n) = F (n) es la complejidad (plena) de (X,, T ). Deja que R-X sea un subconjunto cerrado. Establecer FR(n) = {A) F (­) : A(R) 6=. Definición 1. La función fR(n) = FR(n) es la complejidad parcial de la transformación convexa por partes (X,......................................................................................................................................................................................................................................................... Let bt :.............................................................................................................................................................. conjunto convexo transversal al flujo. Para 0 < l dejar que OR(l) sea el conjunto de órbitas de flujo regulares de longitud l a partir de R. Dejar α0, α1 • OR(l). A homotopía es una familia continua de órbitas regulares αp • OR(l), 0 ≤ p ≤ 1, interpolando entre α0, α1. Diremos, por brevedad, que las órbitas α0, α1 son R-homotópicos. Denotamos por HR(l) el conjunto de R-homotopy clases. Definición 2. La función hR(l) = HR(l) es la complejidad parcial (basado en R) del flujo convexo por pieza bt : • → • •. 4 También son transformaciones convexas a trozos [7]. COMPLEJIDAD, ETC 17 Gráfico 2 Quitar un vértice en un gráfico 4.3. Complejidades parciales y funciones de conteo. En qué fol- bajos suponemos que R â € ¬ es un gráfico convexo sin vértices aislados. Para x R su valencia val(x) es el número de bordes de x menos uno. En particular, si x es un punto interior de un borde, entonces val(x) = 1. Establecer val(R) = maxx+R val(x). Dotamos R \ {x} con la estructura del gráfico donde x se sustituye por 1+val(x) vértices; cada uno de ellos es el punto final de un borde único. Si x, y, z,. R son puntos distintos, a continuación, la induc- estructura gráfica definida en R sin x, y, z,. .. no depende sobre el orden de eliminación de estos puntos. Denotaremos este gráfico por R \ {x, y, z,.. .}. Véase la figura 2 para una ilustración. Que E(R) y V (R) sean los conjuntos de bordes y vértices, y que c(R) ser el número de componentes conectados del gráfico. Let hi = hi(R) ser los números betti de R, y establecer χ(R) = V (R) − E(R). Entonces c(R) = h0, χ(R) = h0 − h1. Lemma 4. Dejar R ser un gráfico finito, y dejar x1,. ................................... puntos. Entonces (25) χ(R) + val(xi) ≤ c(R \ {x1,. .., xp}) ≤ c(R) + val(xi). Si R es un bosque, entonces el límite a la derecha en la ecuación (25) se convierte una igualdad. 18 RAMES EUGENE GUTKIN Y MICHAL Prueba. Basta con probar las afirmaciones cuando R está conectado, y nosotros Quitar un solo vértice, x. Ecuación (25) pasa a ser (26) χ(R) + val(x) ≤ c(R \ {x}) ≤ c(R) + val(x). Tenemos V (R \ {x}) = V (R) + val(x), E(R \ {x}) = E(R), y χ(R­x} = χ(R)+val(x). Equivalentemente, tenemos χ(R®x}) = h0(R)+ val(x)−h1(R) y h0(RÃ3x}) = h0(R)+val(x)+(h1(R \ {x})− h1(R)). El primero (resp. la identidad implica la izquierda (resp. derecho) en igualdad de condiciones ity en la ecuación (26). Cuando R es un árbol, tenemos c(R \ {x}) = c(R) + val(x), y la a continuación figura la reclamación restante. Vamos a introducir funciones de conteo para órbitas singulares del billar mapa y el flujo de billar. Por definición, una órbita α = {bt(z), 0 ≤ t ≤ l}, no pasa a través de puntos singulares en Ł. Es regular si no contiene ningún singu- puntos lar en ­; es singular si uno de sus puntos finales es singular. Los conjunto SR(l) de órbitas singulares de longitud como máximo l, basado en R, es finito. Las cantidades de gcR(l) = SR(l) y gdR(n) = R funciones de ing para órbitas singulares basadas en R para el flujo y el mapa respectivamente. Ahora relacionaremos complejidades parciales y funciones de conteo. Nosotros hacer esto para un flujo convexo a trozos bt : • → • y para un flujo convexo a trozos Transformación convexa (X,®, T ). En ambos casos la complejidad parcial es basado en un subconjunto 1-dimensional, decir R. Recordar que gcR(l), gdR(n) son las funciones de conteo respectivas, y hR(l), fR(n) son las respectivas complejidades. Nos referiremos a estas situaciones como el caso continuo y el caso discreto, respectivamente. Proposición 5. Dejemos que el ajuste sea como el anterior. Entonces el siguiente estado... Espera. 1. En el caso continuo existen h0 â € N y l0 â € R+ de tal manera que hR(l) = h0 + gcR(l) para l0 ≤ l. 2. En el caso discreto existe f0, n0 N tal que para n0 ≤ n tenemos fR(n) = f0 + gdR(n). Prueba. En ambos casos el gráfico R está equipado con una torre de conjuntos finitos, decir X(l) y Xn respectivamente. Dejemos que Xoa R sea su unión. Lo haremos. comparar el número de componentes conectados de los gráficos R\X(l), R\Xn con los cardenales de estos conjuntos. Consideramos el caso discreto, dejando el caso continuo a la lector. Dejar m < n ser cualquier par de números naturales. Por (la prueba de) COMPLEJIDAD, ETC 19 Lemma 4, c(R \Xn)− c(R \Xm) = [h1(R \Xn)− h1(R \Xm)] + X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X val(x). Tenemos h1(R \ Xn) ≤ h1(R \ Xm); la desigualdad mantiene iff Xn \ Xm rompe ciclos en R \ Xm. Puesto que la secuencia h1(R \ Xk) no aumenta, se estabiliza. Por lo tanto, existe n1 N tal que para n1 ≤ m < n tenemos h1(R \Xn) = h1(R \Xm). El conjunto de puntos x + R que satisface 1 < val(x) es finito. Por lo tanto, hay existe n2 â € N tal que si n2 ≤ k y x â € Xâ \Xk, entonces val(x) = 1. Set n0 = max(n1, n2). A continuación, para n0 ≤ m < n la ecuación anterior rendimientos c(R \Xn)− c(R \Xm) = Xn \Xm. Especializado en m = n0, nosotros obtener fR(n) = (fR(n0)− gdR(n0)) + gdR(n). 5. Ata sobre complejidades parciales para el billar Utilizaremos el material precedente para derivar límites en com- plexidades para el billar poligonal. 5.1. Complejidades de dirección para mapas de billar en poli-euclidiana Gons. Utilizamos la configuración y la notación de la sección 3.1. Para un polígono P y una dirección فارسى, denotamos la complejidad parcial con base Rl. Esta es la complejidad en la dirección. Corolario 5. Para el lebesgue casi todas las direcciones hay C = C(­) y hay arbitrariamente grandes n tales que fdŁ(n) ≤ Cn. Prueba. Cada R.O. es un gráfico convexo en el espacio de fase [7]. Por Lemma 1 y el corolario 1, las funciones de conteo gd corbatas. Por la segunda afirmación de la Proposición 5, las complejidades direccionales Hazlo también. Corolario 6. Para cualquier > 0 y casi todas las direcciones tenemos fdŁ(n) = O(n) 1o). Prueba. La prueba va a lo largo de la línea de la prueba del corolario 5. In- En lugar de Lemma 1, usamos la Proposición 4 (la primera afirmación). 5.2. Las complejidades de la posición para los flujos de billar en poli-euclidiana Gons. Que P sea un polígono euclidiano, y que z â € ¬ P sea cualquier punto. Nosotros considerar el flujo de billar en P, y utilizar el ajuste de la sección 3.2. Por lo tanto, gcz(l) es la función de conteo de posición para órbitas que emanan de z. Nosotros indicar por hz(l) la complejidad parcial correspondiente. Corolario 7. Para casi cada punto z hay un número positivo C = C(z) tal que hz(l) ≤ Cl 2 para arbitrariamente grande l. 20 RAMS EUGENE GUTKIN Y MICHAL Prueba. Los conjuntos Rz satisfacen los supuestos de la sección 4. La reclamación sigue de Lemma 1, corolario 2 y el caso continuo en Propo- Situación 5. Corolario 8. Para cualquier فارسى > 0 y casi cada z â € P tenemos hz(l) = O(l2o). Prueba. La prueba es similar al argumento anterior, y utilizamos el primera reclamación en la Proposición 3 en lugar de Lemma 1. 5.3. Las complejidades de la posición para los mapas de billar en poli-euclidiana Gons. Este es el análogo del mapa de billar del ejemplo anterior. Vamos. P ser un polígono euclidiano, y vamos a â € â € TM P. Usamos la configuración de sec- sión 3.3. Allí hemos definido las funciones de conteo gds(n), Gods(n). Que fs(n) sea la complejidad parcial correspondiente a gds(n). Esto es la complejidad de la posición para el mapa de billar. Corolario 9. Dejemos que P o R2 sea un polígono tal que k=1 v(P; k) tiene un límite superior cuadrático.5 Entonces para casi todos s â € € TM P tenemos fs(n) = O(n) 2 °C) para cualquier 0 < °C. Prueba. Los conjuntos Rs X satisfacen los supuestos de la sección 4. Usamos Teorema 3, Lemma 3, y aplicar la Proposición 5. La estimación del corolario 9 en fs(n) es condicional, ya que en No tenemos un límite superior eficiente. v(P; k). 5.4. Las complejidades de la posición para los flujos de billar en poliesférica Gons. Utilizamos la configuración de la sección 3.4. Para un polígono esférico, P • S2, y z • P, que hz(l) sea la complejidad de la posición. Corolario 10. Para casi todos los puntos z P hay C = C(z) y hay arbitrariamente grandes l tales que hz(l) ≤ Cl. Prueba. Los conjuntos Rz satisfacen los supuestos de la sección 4. Usamos Lemma 1, El corolario 3 y la Proposición 5. Corolario 11. Para cualquier فارسى > 0 y casi cada z â € P tenemos hz(l) = O(l1®). Prueba. Ver la prueba del corolario 8. 5Esto se sostiene si P es un polígono racional [11]. COMPLEJIDAD, ETC 21 5.5. Coloquios de posición para flujos de billar en poli-hiperbólicos Gons. Este material es la contraparte del plano hiperbólico de la sección 3.2, y usamos la configuración de la sección 3.5. Corollario 12. Let P â € TM TM H2 ser un polígono geodésico, let z â € TM P, y let hz(l) sea la complejidad de la posición. Entonces para casi todos los puntos z â € P nosotros tener hz(l) = O(e) (1o)l). Prueba. Verificamos que los conjuntos Rz satisfacen los supuestos de la sección 4, e imitamos la prueba del corolario 8; usamos el corolario 4, Proposición 3, y el caso continuo de la Proposición 5. 6. Apéndice: Espacios de cobertura para billar poligonal Dejar que M sea una superficie simplemente conectada de curvatura constante, y dejar que Es un polígono geodésico conectado. Normalizamos la métrica así que que la curvatura es cero (M = R2), o uno (M = S2), o menos uno (M = H2). Dejar A ser el conjunto de los lados en P. Denotaremos sus elementos por a, b,. ... Para un lado, decir un â € TM a, dejar sa â € TM a Iso(M) ser la geodésica correspondiente reflexión. Nos asociamos con el sistema P a Coxeter (G,A) [2]. Denotamos por a, b, · · · · G los elementos correspondientes a a, b,. A...................................................................................... Ellos generar G. Las relaciones definitorias son n(a,b) = 1; estos últimos surgen sólo para los lados a, b con una esquina común si el ángulo, Ł(a, b), entre ellos es π-racional. En este caso n(a, b) es la denominador de la letra a) y b). De lo contrario, n(a, b) = فارسى. A cualquier “poliedro generalizado” P corresponde un espacio topológico C dotado de varias estructuras, y un sistema Coxeter [2]. Nuestro la situación se ajusta al marco de [2], y aplicamos sus resultados. En primer lugar, C es una superficie diferenciable. En segundo lugar, C es alicatado por subconjuntos Pg, g G, etiquetados por elementos del grupo G de Coxeter; los llamamos los azulejos, y identificar Pe con P. El grupo G actúa en C adecuadamente discontinuamente, conservación del revestimiento: g · Ph = Pgh. Puesto que Pe se identifica con P-M, hereda de M a riemann- ia estructura. La acción de G es compatible con esta estructura, y se extiende a todo C. Esta estructura riemanniana generalmente tiene cono singularidades en los vértices del alicatado C = gGPg. 6 Alrededor de otros puntos Esta estructura riemanniana es isométrica a la de M ; en particular, ex- cept para puntos de cono, C tiene curvatura constante. El grupo G actúa sobre C por isometries. 6Cada vértice, v, corresponde a una esquina de P. La métrica en v es regular iff la ángulo de esquina es η/n, n = 2, 3,.... 22 RAMS DE EUGENE GUTKIN Y MICHAL Definición 3. El espacio C dotado de la estructura riemanniana, la acción isométrica de G y el alicate G-invariante C = espacio de cobertura universal del polígono geodésico P â € M. Si X es un colector riemanniano (con límites y singularidades, en general), denotamos por TX = xXTxX su conjunto tangente unidad. La construcción clásica del flujo geodésico, GtX : TX → TX, se extiende a múltiples con límites y singularidades. En particular, GtX hace sentido cuando X = M,P, o C. Otra construcción clásica, la expo- mapa sentimental, también se extiende a nuestra situación. Para x â € ¢ X como arriba, y (v, t) TxX × R+, establecemos expX(v, t) X como punto de base de G X v). Usaremos la notación expxX para indicar que estamos exponenciando desde el punto x. Si X no es singular, entonces expxX : TxX × R+ → X es un mapeo diferenciable. Para X con singularidades, como nuestro P y C, los mapas expxX se definen en subconjuntos adecuados de TxX × R+; estos Los subconjuntos tienen una medida de lebesgue completa. Generalmente, los mapas no se extienden por continuidad a todo el TxX × R+. Que X, Y sean colectores riemannianos singulares de la misma dimensión- sión; let : X → Y ser una isometría local. Induce un dif local... feomorfismo Φ : TX → TY desplazamientos con los flujos geodésicos: Φ GtX = G Y. Los mapas exponenciales se desplazan también:................................................................................................... Y, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx, dx. Estas relaciones se mantienen, en particular, para cubrir colectores riemannianos no sengulares. Interpretados convenientemente, se extienden a revestimientos (ramados) de colectores de riemannio con límites, ners, y singularidades. En nuestro caso X = C, mientras que Y = M, o Y = P. Ahora definiremos las asignaciones f : C → P, F : TC → TP y * : C → M, Φ : TC → TM. La identificación Pe = P define f,  en Pe. Extenderlos a todos de C, utilizamos el alicatado C = GGPg y las acciones de G en C y M. Con el fin de distinguir entre estas acciones, vamos a denotar por g · x y g(x) respectivamente. Entonces hay un único x â € ¢ Pe tal que z = g · x. Se establece f(z) = x â € P y â € (z) = g(x) â € M. las propiedades de los grupos de Coxeter [2], las asignaciones f,  están bien definidas. Por otra parte, f : C → P y  : C → M son el único G-equivariante mapas que son idénticos en Pe. 7 Por construcción, ambos mapas son continuos; son difeomorfismos en el interior de cada baldosa, Pg C, y en el interior de la unión de cualquier par de baldosas adyacentes. El locus potencial de la no-diferenciabilidad para f y conjunto V de los vértices en el alicatado C = gGPg. Tenemos V = f −1(K(P)) donde K(P ) es el conjunto de las esquinas de P. Por equivarianza, (V ) = 7La acción de G sobre P es trivial. COMPLEJIDAD, ETC 23 Ggg(K(P)) M. 8 Hay dos tipos de puntos en V : vértices procedentes de las esquinas de P con ángulos racional e irracional. Sus ángulos de cono son múltiplos enteros de 2 Tily. Los vértices v • V con ángulo de cono 2η son, de hecho, puntos regulares en C, y los mapas f, ♥ son ambos regulares allí. Alrededor de un vértice v con el ángulo del cono 2k difeomorfismo; se conjuga localmente a z 7→ zk. Cerca de tal vértice, Es un cubrimiento ramificado de grado k. En un vértice con cono infinito ángulo, tiene ramificación infinita. Observación 3. El set (V) (M) es contable. (Es finito iff el grupo generado por reflexiones geodésicas en los lados de P es un finito Grupo Coxeter. Típicamente, el M es un conjunto denso y contable.) Dejar M = S2, y dejar z 7→ z′ denotar el mapa antípoda. Conjunto F = (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) • (V ) Los puntos de F son excepcionales, en lo siguiente: sentido común. Dejad que z-P sea tal que el haz Rz de las órbitas de billar emanen- ing de z contiene un sub-haz enfocándose en una esquina de P. Entonces z â € F. Esto se desprende de la Proposición 6. Por lo tanto, F contiene todos los puntos z â € P para los que la transversalidad como- la suposición en la condición 2 de la sección 1.2 falla. Puesto que F es contable, la conjunto de parámetros excepcionales tiene la medida cero, y la condición 2′ es Satisfecho. Véase la Observación 1 en la sección 1. Además, los mapas f y ♥ son isometries locales. Lo son. Isometrías en cada ficha Pg C; tenemos f(Pg) = P, (Pg) = g(P) M. Dejar g · a ser un lado de Pg, dejar h = ♥ag y dejar Ph ser el adyacente azulejo. Los mapas f : Pg → P, Ph → P y  : Pg → g(P ), Ph → h(P ) son coherente alrededor del lado común (abierto) g · a. El mapa f nunca es un isometría en Pg • Ph; para • este es el caso if los interiores de g(P ), h(P ) son desarticulados en M. Este último falla generalmente para P no convexo. Por la coherencia de f y  a través de los lados que separan las baldosas adyacentes, los elevamos a los paquetes tangentes, obteniendo los mapas de la unidad tangentes F : TC → TP, Φ : TC → TM, que también se definen en vectores basados en los vértices del alicatado C = gGPg. Let v be a vértice, y dejar que α sea el ángulo de la esquina f(v) • K(P ). Entonces Φ: TvC → Tl(v)M es m-to-1 si α = mη/n y -to-1 si α es η-irracional. La geodésica γ(t) en C no puede ampliarse más (generalmente) una vez Llegan a un vértice. Todas las demás geodésicas en C se definen para < t < 8 La representación M = Ggg(P ) no es un alicate, en general. 24 RAMS DE EUGENE GUTKIN Y MICHAL Utilizando la inclusión P+M, identificamos TP con el subconjunto de TM que consiste en vectores tangentes M con puntos de base en P, y dirigidos en- Ward. Cualquier v-TP define la órbita del billar en P, β(t) = expP (tv), 0 ≤ t, y la geodésica en M, γ(t) = expM(tv), 0 ≤ t. Están relacionados por el despliegue canónico de órbitas de billar. Este es un pro- cedure que sustituye las reflexiones consecutivas sobre los lados de P por reflejos consecutivos de la “última mesa de billar” g(P) sobre el lado apropiado, dando la siguiente tabla de billar h(P), y continuando la geodésica recta a través del lado común de g(P) y h(P). Véase [4] en el caso plano y [7], sección 3.1, en el caso general. Let x â € TM P y dejar v • TxP. Denotamos por βv (resp. γv) la órbita del billar en P (resp. la geodésica en M) que emana de x en la dirección v. operador de despliegue, Ux : βv 7→ γv, conserva las parametrizaciones. Proposición 6. Let x â € P, v â € TxP. Identificar P y Pe C y dejar x Pe, v TxC sean los datos correspondientes. Entonces para t â € R+ tenemos (27) Ux(expP (v, t)) = (expC(v, t)). Prueba. Usaremos libremente la discusión anterior. Como t â € R+ va a infinito, expP (v, t) corre con la velocidad de la unidad a lo largo de una órbita de billar en P. La exp curva (v, t) es la geodésica en C definida por los datos (x, v), y (exp) (v, t)) es la geodésica en M que emana de x en la dirección v. La órbita del billar en P y la geodésica en M están relacionadas por el operador de despliegue. Para x • P dejar que ExP = TxP ×R+ sea el espacio tangente completo (o el espacio tangente completo) tangente cono) a x. Si S TxP es un segmento, que ESxP = S × R+ sea el subcono correspondiente. Utilizamos la notación análoga para x â € ¢ C en coordenadas polares (t, ♥) en R2 la medida de la lebesgue en ExP es dada por la densidad tdtd Corolario 13. Deja que x P M sea arbitrario, y deja que expxP : ExP → P ser el mapeo exponencial. La retirada por expxP de la lebesgue la medida en P a ExP es la medida suave con la densidad d v(t, ♥). 1. Cuando M = R2, tenemos d v = tdtd 2. Cuando M = H2, tenemos d v = sinh tdtd 3. Cuando M = S2, tenemos d v = sin tdtda. Prueba. Por la Proposición 6, la medida en cuestión coincide con la volver al espacio tangente ExM de la medida riemanniana en M por el mapa exponencial ExM → M. Este último es bien conocido. Señalamos que el material anterior tiene una versión de mapa de billar. Lo discutiremos brevemente ahora. Let β(t) = (z(t), COMPLEJIDAD, ETC 25 del flujo del billar. Obtenemos la correspondiente órbita del mapa de billar βd(k), k + Z, restringiendo β(t) a las veces consecutivas tk de tal manera que z(tk) â € ¬ P. La correspondencia β(·) 7→ βd(·) es invertible. Esto permite para formular las versiones del mapa de billar del espacio universal de cobertura, el levantamiento de las órbitas de los mapas de billar al espacio de cobertura universal, y relación entre los levantamientos y los despliegues, à là Proposición 6. Puesto que no estamos usando directamente este material en el cuerpo del papel, Nos ahorramos los detalles. Bibliografía [1] J. Cassaigne, P. Hubert y S. Troubetzkoy, Complejidad y crecimiento para Billar onal, Ann. Inst. Fourier 52 (2002), 835 – 847. [2] M.W. Davis, Grupos generados por reflexiones y colectores asféricos Reed por el espacio euclidiano, Ann. Matemáticas. 117 (1983), 293 – 324. [3] G. Galperin, T. Krüger y S. Troubetzkoy, Inestabilidad local de las órbitas en Billar onal y poliédrico, Comm. Matemáticas. Phys. 169 (1995), 463 – 473. [4] E. Gutkin, Billar en polígonos, Physica 19 D (1986), 311 – 333. [5] E. Gutkin, Dinámica del billar: Una encuesta con el énfasis en los problemas abiertos, Reg. & Chaot. Dyn. 8 (2003), 1 – 13. [6] E. Gutkin y N. Haydn, entropía topológica de intercambio de polígonos mociones y billares poligonales, Erg. Theo. & Dyn. Syst. 17 (1997), 849 – [7] E. Gutkin y S. Tabachnikov, Complejidad de la transformación convexa ciones en dos dimensiones, con aplicaciones al billar poligonal en superficies de curvatura constante, Moscú Matemáticas. J. 6 (2006), 673 – 701. [8] E. Gutkin y S. Troubetzkoy, Flujos direccionales y fuerte recurrencia para Billar poligonal, Pitman Res. No, no. Matemáticas. 362 (1996), 21 – 45. [9] P. Hubert, Complexité de suites définies par des billards rationnels, Bull. Soc. Matemáticas. Fr. 123 (1995), 257 – 270. [10] A. Katok y B. Hasselblatt, Introducción a la Teoría Moderna de la Dinámica Systems, Cambridge University Press, Cambridge 1995. [11] H. Masur, La tasa de crecimiento de trayectorias de un diferencial cuadrático, Erg. Theo. & Dyn. Syst. 10 (1990), 151 – 176. IMPA, Río de Janeiro, Brasil y UMK, Torun, Polonia; IMPAN, Warszawa, Polonia Dirección de correo electrónico: gutkin@impa.br,gutkin@mat.uni.torun.pl;rams@impan.gov.pl Introducción y sinopsis 1. Promedios de las funciones de conteo 1.1. Dinámica discreta 1.2. Dinámica continua 1.3. Casos especiales 2. Acoplamiento de funciones de conteo 3. Funciones de conteo para billar poligonal 3.1. Funciones de conteo de dirección para mapas de billar en polígonos euclidianos 3.2. Funciones de conteo de posiciones para flujos de billar en polígonos euclidianos 3.3. Funciones de conteo de posiciones para mapas de billar en polígonos euclidianos 3.4. Funciones de conteo de posiciones para flujos de billar en polígonos esféricos 3.5. Funciones de conteo de posiciones para flujos de billar en polígonos hiperbólicos 4. Relacionando complejidades parciales y funciones de conteo 4.1. Transformaciones convexas por pieza y flujos convexos por pieza 4.2. Complejidades parciales de los mapas y los flujos 4.3. Complejidades parciales y funciones de conteo 5. Ata sobre complejidades parciales para el billar 5.1. Complejidades de dirección para mapas de billar en polígonos euclidianos 5.2. Complejidades de posición para flujos de billar en polígonos de euclidia 5.3. Complejidades de posición para mapas de billar en polígonos euclidianos 5.4. Complejidades de posición para flujos de billar en polígonos esféricos 5.5. Coloque complejidades para flujos de billar en polígonos hiperbólicos 6. Apéndice: Espacios de cobertura para billar poligonal Bibliografía

Information-Based Asset Pricing

Precios de activos basados en la información Dorje C. Brody*, Lane P. Hughston†, y Andrea Macrina† *Blackett Laboratory, Imperial College, Londres SW7 2BZ, Reino Unido †Departamento de Matemáticas, King’s College de Londres, The Strand, Londres WC2R 2LS, Reino Unido Resumen. Se introduce un nuevo marco para la dinámica de los precios de los activos en el que el concepto de información ruidosa sobre los flujos de efectivo futuros se utiliza para los procesos de precios. En este marco, un activo se define por su estructura de flujo de caja. Cada flujo de caja está modelado por una variable aleatoria que puede expresarse como una función de una colección de variables aleatorias independientes llamadas factores de mercado. Con cada uno tal “factor X” asociamos un proceso de información de mercado, cuyos valores asumir que son accesibles a los participantes en el mercado. Cada proceso de información consta de: una suma de dos términos; uno contiene información verdadera sobre el valor de los asociados factor de mercado, y el otro representa “ruido”. El término ruido es modelado por un puente Browniano independiente que abarca el intervalo desde el presente hasta el momento en que se revela el valor del factor. Se supone que la filtración del mercado es la siguiente: generado por el agregado de los procesos de información independientes. El precio de un activo es dado por la expectativa de los flujos de efectivo descontados en el riesgo neutral medida, condicionada a la información proporcionada por la filtración del mercado. En el en caso de que los flujos de efectivo sean los pagos de dividendos asociados a acciones, una se obtiene un modelo explícito para el proceso del precio de las acciones. El crecimiento del dividendo se toma en tener en cuenta mediante la introducción de una estructura adecuada en los factores del mercado. Los precios de Se obtienen opciones sobre los activos que pagan dividendos. Notablemente, la fórmula resultante para el precio de una opción de llamada de estilo europeo es del tipo Black-Scholes-Merton. Nosotros considerar tanto el caso en el que el tipo de información que se revela al mercado es constante, y el caso en que la tasa de información varía en el tiempo. Fijación de precios de las opciones Las fórmulas se obtienen para ambos casos. El marco basado en la información genera un explicación natural del origen de la volatilidad estocástica en los mercados financieros, con la necesidad de especificar de forma ad hoc la dinámica de la volatilidad. Palabras clave: Precios de activos; información parcial; volatilidad estocástica; correla- crecimiento idend; puente browniano; filtrado no lineal; microestructura de mercado Documento de trabajo. Versión original: 5 de diciembre de 2005. Esta versión: 22 de octubre, 2018. Correo electrónico: dorje@imperial.ac.uk, lane.hughston@kcl.ac.uk, andrea.macrina@kcl.ac.uk I. INTRODUCCIÓN En el precio de los derivados, el punto de partida suele ser la especificación de un modelo para el el proceso de precio del activo subyacente. Estos modelos tienden a ser de carácter ad hoc. Por ejemplo, en la teoría de Black-Scholes-Merton-Merton, el activo subyacente tiene una http://arxiv.org/abs/0704.1976v1 Movimiento browniano como su proceso de precios. En términos más generales, la economía está a menudo modelada por un espacio de probabilidad equipado con la filtración generada por un browniano multidimensional movimiento, y se supone que los precios de los activos se adaptan a esta filtración. Este ejemplo es Por supuesto, el modelo “estándar” dentro del cual se ha llevado a cabo una gran cantidad de ingeniería financiera llevado a cabo. El problema básico con el modelo estándar (y lo mismo se aplica a generalizaciones de los mismos) es que la filtración del mercado es fija, y no se ofrecen comentarios sobre la cuestión de “de dónde viene”. En otras palabras, la filtración, que representa la la revelación de información a los participantes en el mercado, se modeliza en primer lugar, de manera ad hoc, y entonces se asume que los procesos de precios de los activos se adaptan a él. Pero no se da ninguna indicación sobre la naturaleza de esta “información”, y no es obvio, a priori, por qué el Brownian la filtración, por ejemplo, debe considerarse que proporciona información en lugar de ruido. En un mercado completo hay un sentido en el que la filtración browniana no proporciona información pertinente. Es decir, en un mercado completo basado en una filtración browniana los movimientos de precios de los activos reflejan el contenido de información de la filtración. Sin embargo, la noción de que la filtración del mercado debe ser “prespecificada” es insatisfactoria en modelización financiera. La intuición detrás del enfoque de “filtración preespecificada” es que el filtración representa el desenvolvimiento en el tiempo de una sucesión de eventos aleatorios que “influencen” los mercados, haciendo que los precios cambien. Por ejemplo, el mal tiempo en América del Sur resulta en una disminución en la oferta de granos de café y por lo tanto un aumento en el precio del café. O, digamos, una ola de malos acuerdos derivados causa una caída en la confianza en los bancos, y por lo tanto un reducción de las proyecciones de ingresos y, por lo tanto, una caída de sus precios. La idea es que uno “abstracta” estas influencias en forma de una filtración de fondo preespecificada a la que los procesos de precios se adaptan. Lo insatisfactorio de esto es que se da poca estructura a la filtración: los movimientos de precios se comportan como si fueran espontáneos. En realidad, nosotros espera que el proceso de formación de precios muestre más estructura. En el contexto actual, estaría fuera de lugar tratar de dar cuenta del proceso. de la formación de precios. Sin embargo, podemos mejorar el enfoque “preespecificado”. En eso espíritu procedemos de la siguiente manera. Observamos que los cambios en los precios provienen de dos fuentes. Los el primero es el resultado de los cambios en las preferencias de los agentes, es decir, los cambios en la kernel de precios. Los movimientos en el núcleo de precios están asociados con (a) cambios en el inversor actitudes hacia el riesgo, y b) cambios en la “impaciencia” del inversor, el descuento subjetivo de futuros flujos de efectivo. Igualmente importantes son los cambios en el precio resultantes de la revelación de información sobre los futuros flujos de efectivo derivados de un activo determinado. Cuando un agente del mercado decide comprar o vender un activo, la decisión se toma de acuerdo con la información a disposición del agente en relación con los flujos de efectivo futuros probables asociados con el activo. A cambio en la información disponible para el agente sobre un flujo de efectivo futuro tendrá típicamente un efecto en el precio al que están dispuestos a comprar o vender, incluso si las preferencias del agente Permanecer sin cambios. Considere la situación en la que uno está pensando en comprar un artículo en un precio que parece atractivo. Pero entonces, uno lee un artículo señalando un indeseable función del producto. Después de la reflexión, uno decide que el precio es demasiado alto, dado el deficiencias de las que ahora uno es consciente. Como resultado, uno decide no comprar, no a ese precio, y eventualmente —porque otros individuos habrán leído el mismo informe— el precio baja. Por consiguiente, el movimiento del precio de un activo debe considerarse como un fenómeno. Para poner el asunto de otra manera, el proceso de precios de un activo debe ser visto como resultado de (en lugar de una aportación a) las decisiones adoptadas en relación con acciones en el activo, y estas decisiones deben entenderse como inducidas principalmente por el flujo de información a los participantes en el mercado. Teniendo en cuenta esta observación, proponer en el presente documento un nuevo marco para la fijación de precios de los activos basado en la modelización del flujo de información de mercado. La información es la relativa a los valores de los futuros flujos de efectivo asociado con los activos dados. Por ejemplo, si el activo representa una participación en una empresa que hará una sola distribución en alguna fecha acordada, entonces hay un único flujo de caja. Si la activo es un bono de descuento riesgo-crédito, entonces el flujo de efectivo futuro es el pago de la fianza en el momento de la madurez. En cada caso, sobre la base de la información disponible relativa a los pagos probables del instrumento financiero dado, los participantes en el mercado determinan las estimaciones del valor de el derecho a los flujos de efectivo inminentes. Estas estimaciones dan lugar a la adopción de decisiones relativas a: transacciones que desencadenan movimientos en el precio. En este artículo presentamos una clase de modelos que capturan la esencia del escenario descrito arriba. En la construcción del marco tenemos en mente varios criterios que nos gustaría ver Satisfecho. El primero de ellos es que nuestro modelo para el flujo de información de mercado debe ser intuitivamente atractivo, y debe permitir una cuenta razonablemente sofisticada de agregado comportamiento de los inversores. Al mismo tiempo, el modelo debe ser lo suficientemente simple como para permitir que uno obtener expresiones explícitas para los procesos de precios de los activos así inducidos, en una gama adecuadamente rica de ejemplos, así como para varios procesos de precios derivados asociados. El marco También debe ser lo suficientemente flexible como para permitir la modelización de activos con flujo de caja complejo estructuras. Además, debería ser adecuado para su aplicación práctica. El marco debe ser matemáticamente sano, y manifiestamente libre de arbitraje. En lo que sigue mostramos cómo nuestro marco de modelización contribuye en gran medida a la satisfacción de estos criterios. Durante mucho tiempo se ha apreciado el papel de la información en la elaboración de modelos financieros, en particular en la teoría de la microestructura del mercado (véase, por ejemplo, Back [1], Back y Baruch [2], O’Hara [20], y las referencias que en él se citan). El marco actual está quizás más estrechamente relacionado con el la línea de investigación representada, por ejemplo, en Cetin et al. [5], Duffie y Lando [8], Giesecke [10], Giesecke y Goldberg [11], Guo et al. [13], y Jarrow y Protter [14]. El trabajo en este papel, en particular, desarrolla lo descrito en Brody et al. [3] y Macrina [19], donde Aparecen relatos preliminares de parte de este material (ver también Rutkowski y Yu [22]). El documento se organiza de la siguiente manera. En las secciones II, III y IV ilustramos el marco para los precios basados en la información, teniendo en cuenta el escenario en el que hay un solo azar flujo de efectivo. Se presenta un modelo elemental de información de mercado, basado en la un proceso compuesto por dos partes: un componente de “señal” que contenga información verdadera sobre el próximo flujo de caja, y un componente independiente de “ruido” que modelamos en un De manera específica. Una expresión cerrada para el precio de los activos se obtiene en términos del mercado información disponible en el momento en que se especifica el precio. Este resultado se resume en: Proposición 1. En la sección V mostramos que el proceso de precio de los activos resultante está impulsado por un Movimiento browniano, una expresión para la que se puede obtener en términos de la información de mercado ciones: esta construcción indica en términos explícitos el sentido en que el proceso de precios puede ser visto como un fenómeno “emergente”. En la Sección VI mostramos que el valor de un La opción de llamada de tipo europeo, en el caso de un activo con un único flujo de caja, admite un simple fórmula análoga a la del modelo Black-Scholes-Merton. En la Sección VII derivamos fórmulas de precios para la situación cuando la variable aleatoria asociada con el efectivo único el flujo tiene una distribución exponencial o, más generalmente, una distribución gamma. Se establece la ampliación del marco a los activos asociados con múltiples flujos de efectivo en la sección VIII. Demostramos que una vez que los flujos de efectivo pertinentes se descomponen en términos de un recogida de factores independientes de mercado, a continuación, una expresión cerrada para el precio de los activos se puede obtener una estructura de flujo de efectivo compleja. En la Sección IX mostramos cómo el modelo de movimiento browniano geométrico estándar se puede derivar en una base de información ajuste. Este notable resultado motiva la elección específica del proceso de información dado en Ecuación (4). En la Sección X presentamos un modelo simple para el crecimiento de dividendos. En la sección XI Demostramos que al permitir que activos distintos compartan uno o más factores comunes del mercado en el determinación de uno o más de sus flujos de efectivo respectivos obtenemos una correlación natural estructura para los procesos de precios de los activos asociados. Este método para introducir la correlación en los movimientos de precios de los activos contrasta con el enfoque ad hoc adoptado en la mayoría de los casos modelización. En la sección XII demostramos que si dos o más factores de mercado afectan a la futuros flujos de efectivo de un activo, entonces el proceso de precios correspondiente se mostrará inalterable volatilidad estocástica. Este resultado es notable ya que incluso para la clase de relativamente simple modelos considerados aquí es posible identificar un candidato para el origen de la estocástica en volatilidad de precios, así como la forma que debe tomar, que se da en la Proposición 2. En las secciones restantes del documento se considera el caso en el que la tasa de la información relativa al valor real de un flujo de caja inminente se revela es el tiempo • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • La introducción de una tasa de información dependiente del tiempo añade flexibilidad adicional al marco de modelización, y abre la puerta a la posibilidad de calibrar el modelo a los precios de mercado de las opciones. Consideramos el caso de un solo factor primero, y obtenemos un cierre- expresión de la forma para la expectativa condicional del flujo de caja. El resultado se indica primero en la Sección XIII como Proposición 3, y la derivación se da entonces en las dos secciones que Sígueme. En la sección XIV introducimos una nueva medida apropiada para el examen de una Puente browniano con deriva aleatoria, que se utiliza en la Sección XV para obtener una expresión para la densidad de probabilidad condicional del flujo de caja aleatorio. La coherencia de la el proceso de precios resultante se establece en la sección XVI. Demostramos, en particular, que, para el proceso de información dado, si reinicializamos el modelo en algún momento futuro especificado, el la dinámica del modelo que avanza a partir de ese momento puede ser representada por un proceso de información reinicializado. La declaración de este resultado se da en la Proposición 4. La ecuación dinámica satisfecha por el proceso de precios se analiza en la sección XVII, donde demostramos en la Proposición 5 que el proceso de conducción es un movimiento browniano, al igual que en el caso del parámetro constante. En la Sección XVIII derivamos el precio de una llamada de estilo europeo opción en el caso de que la tasa de información dependa del tiempo. Nuestro enfoque se basa en la idea de que primero uno modela los flujos de efectivo, luego el in- procesos de formación, luego la filtración, y finalmente los precios. En la Sección XIX, resolvemos el problema “inverso” correspondiente. El resultado se declara en la Proposición 6. A partir de la dinámica de la distribución condicional de los beneficios inminentes, que es impulsada por un Movimiento browniano adaptado a la filtración del mercado, construimos (a) la variable aleatoria que representa el factor de mercado pertinente, y b) un puente browniano independiente enviar información irrelevante. Estos dos se combinan para generar la filtración del mercado. Nosotros concluir en la sección XX con una extensión general multifactorial de la configuración dependiente del tiempo, para lo cual la dinámica de los procesos de precios resultantes se da en las Proposiciones 7 y 8. II. EL MARCO MODELADOR En la fijación de precios de los activos necesitamos tres ingredientes: (a) los flujos de efectivo, (b) el inversor prefiere- y c) el flujo de información a los participantes en el mercado. Traducido a matemático lenguaje, estos ingredientes equivalen a lo siguiente: (a′) los flujos de efectivo se modelan como aleatorios variables; (b′) las preferencias de los inversores se modelan con la determinación de un núcleo de precios; y (c′) el flujo de información de mercado se modeliza con la especificación de una filtración. Como nosotros han indicado anteriormente, la teoría de la fijación de precios de los activos fija convencionalmente más peso a (a) y b) que a c). En este documento destacamos la importancia de los ingredientes (c). Nuestra teoría se basará en la modelización del flujo de información accesible al mercado. ticipantes relativos a los futuros flujos de efectivo asociados a una posición en un activo financiero. Comenzamos por introducir la notación y los supuestos empleados en este documento. Nosotros modelamos los mercados financieros con la especificación de un espacio de probabilidad strating {Ft}0≤t se construirá. La medida de probabilidad Q se entiende como la medida de riesgo neutral, y la filtración {Ft} se entiende como la filtración del mercado. Todos procesos de precios de los activos y otros procesos de suministro de información accesibles al mercado ipants se adaptará a {Ft}. Se harán varios supuestos de simplificación que nos permitirán concentrar nuestra esfuerzos sobre los problemas relacionados con el flujo de información de mercado. El primero de ellos los supuestos son el uso de la medida neutra en función del riesgo. La medida de probabilidad “real” no entrar en la presente investigación. La expectativa en la medida Q se denotará por E[−]. Nuestra segunda suposición es que tomamos el sistema de tasas de interés por defecto para Sé determinista. La ausencia de arbitraje implica entonces que el sistema correspondiente de funciones de descuento {PtT }0≤t≤T pueden escribirse en la forma PtT = P0T/P0t para t ≤ T, donde {P0t}0≤t es la función de descuento inicial, que tomamos para ser parte de los datos iniciales de el modelo. La función {P0t}0≤t se supone que es diferenciable y estrictamente decreciente, y para satisfacer 0 < P0t ≤ 1 y limitar P0t = 0. También suponemos, por simplicidad, que los flujos de efectivo se producen en fechas predeterminadas. Ahora claramente para algunos fines nos gustaría permitir que los flujos de efectivo se produzcan efectivamente al azar tiempos, en particular, en los tiempos de parada asociados con la filtración del mercado. Pero en el presente exposición queremos evitar la idea de una filtración “prespecificada” con respecto a que se definen los tiempos de parada. Consideramos que la filtración del mercado es una “derivada” concepto, generado por la información sobre los próximos flujos de efectivo, y por los valores de efectivo fluye cuando ocurren. Por lo tanto, consideraremos que un flujo de caja “aleatorio” es un conjunto de flujos de efectivo aleatorios que se producen en varios momentos, y con una función de distribución conjunta que asegura que sólo uno de estos flujos no sea cero. Por lo tanto, en nuestra opinión, la condición ontológica de un flujo de efectivo es que su tiempo es definido, sólo la cantidad es aleatoria — y que los flujos de efectivo que se producen en diferentes momentos son, por su naturaleza, diferentes flujos de efectivo. III. MODELANDO LOS FLUJOS DE EFECTIVO Primero consideramos el caso de un activo que proporciona un único flujo de efectivo aislado que ocurre en el tiempo T, representado por una variable aleatoria DT. Asumimos que DT ≥ 0. El valor St de el flujo de caja en cualquier momento anterior t en el intervalo 0 ≤ t < T es dado entonces por el descuento expectativas condicionales de DT : St = PtTE [DT Ft]. 1).......................................................................................................................................................... De esta manera modelamos el proceso de precios {St}0≤t<T de un activo de responsabilidad limitada que paga un dividendo único DT en el momento T. La construcción del proceso de precios aquí se lleva a cabo en de tal manera que se garantice un mercado libre de arbitraje si otros activos se cotizan por el mismo método (véase Davis [7] para un punto de vista estrechamente relacionado). Usaremos los términos “flujo de efectivo” y “dividendo” más o menos indistintamente. Si un uso más específico de uno de estos términos Es necesario, entonces esto será evidente desde el contexto. Aprobamos la convención que cuando el dividendo se paga el precio del activo va “ex-dividendo” inmediatamente. Por lo tanto, en el ejemplo arriba tenemos limt→T St = DT y ST = 0. En el caso de que el activo pague una secuencia de dividendos DTk (k = 1, 2,..., n) en el Fechas Tk el precio (para t < T1) es dado por PtTkE [DTk Ft]. 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Más generalmente, para todos los t ≥ 0, y teniendo en cuenta el comportamiento ex-dividendo, tenemos 1{t<Tk}PtTkE [DTk Ft]. 3) Será útil si adoptamos el convenio que un bono de descuento también va ex-dividendo en su fecha de vencimiento. Por lo tanto, en el caso de un bono de descuento asumimos que el precio de la el bono se da, para las fechas anteriores a la fecha de vencimiento, por el producto del principal y el factor de descuento pertinente. Pero al vencimiento (cuando se paga el principal) el valor de la la unión cae a cero. En el caso de un bono de cupón, también hay un salto hacia abajo en el precio del bono en el momento en que se paga un cupón (el valor perdido puede ser capturado de nuevo en la forma de un pago de “intereses devengados”). De esta manera obtenemos un tratamiento consistente del comportamiento de “exdividendo” de todos los procesos de precios de los activos objeto de examen. Con esta convención se deduce que los procesos de precios son correctos y continuos con los límites de la izquierda. IV. MODELIZACIÓN DEL FLOW DE INFORMACIÓN Ahora presentamos un modelo simple para el flujo de información de mercado, siguiendo Brody et al. [3]. Consideramos en primer lugar el caso de una sola distribución, que ocurre en el momento T, y asumir que los participantes en el mercado sólo dispongan de información parcial sobre el próximo flujo de caja DT. Se supone que la información disponible en el mercado sobre el flujo de caja está contenida en un proceso t}0≤t≤T definido por: T = TDT + βtT. 4) Llamamos a t} el proceso de información de mercado. Este proceso se compone de dos partes. Los el término tDT contiene la “verdadera información” sobre el dividendo, y crece en magnitud como t aumentos. El proceso tT}0≤t≤T es un puente browniano estándar durante el intervalo de tiempo [0, T] Así tT } es Gaussian, β0T = 0, βTT = 0, la variable aleatoria βtT tiene media cero, y la covarianza de βsT y βtT para s ≤ t es s(T − t)/T. Asumimos que DT y tT } son independientes. Por lo tanto, la información contenida en el proceso del puente es “ruido puro”. Asumimos que la filtración del mercado {Ft} es generada por el proceso de información del mercado: Ft = (s}0≤s≤t). Por lo tanto, el dividendo DT es FT - mensurable, pero no Ft-mensurable para t < T. Por lo tanto, el valor de DT se convierte en "conocido" en el momento T, pero no antes. Los proceso puente tT } no está adaptado a {Ft} y por lo tanto no es directamente accesible al mercado participantes. Esto refleja el hecho de que hasta que se pague el dividendo a los participantes en el mercado no puede distinguir la “información verdadera” del “ruido” en el mercado. Introducción del puente browniano modela el hecho de que las percepciones del mercado, sean o no válidas, juegan un papel en la determinación de los precios de los activos. Inicialmente, toda la información disponible se utiliza para determinar la distribución de probabilidad a priori para DT. El parámetro  representa la velocidad a la que la información sobre el verdadero valor de la DT se revela a medida que avanza el tiempo. Si  es bajo, el valor de DT se oculta efectivamente hasta muy cerca del momento del pago del dividendo; alto, entonces el valor del flujo de efectivo es para todos los propósitos prácticos revelados rápidamente. En el ejemplo que se examina, hemos hecho algunas suposiciones de simplificación que se refieren a: la estructura de la información. Por ejemplo, asumimos que  es constante. En la sección XIII, Sin embargo, consideramos un flujo de información dependiente del tiempo. También hemos supuesto que el dividendo aleatorio DT entra directamente en la estructura del proceso de información, y entra linealmente. Como indicaremos más adelante, una configuración más general y natural es dejar que el proceso de información depende de una variable aleatoria XT que llamamos un “factor de mercado”; a continuación, el dividendo se considera una función del factor de mercado. Este acuerdo tiene el ad- que se generaliza fácilmente a la situación en la que un flujo de caja puede depender de varios factores independientes del mercado, o, de hecho, cuando los flujos de efectivo asociados con los instrumentos tienen uno o más factores en común. Dada la estructura de información de mercado descrita anteriormente para un flujo de caja único, procedemos construir la dinámica de precios asociada. El proceso de precios {St} para una acción en la empresa El pago del dividendo especificado se realiza mediante la fórmula (1). Se supone que el a priori Se conoce la distribución de probabilidad del dividendo DT. Esta distribución se considera parte integrante de los datos iniciales del problema, que en algunos casos pueden ser calibrados a partir del conocimiento del precio inicial del activo junto con otros datos de precios. El problema general de cómo la distribución a priori se obtiene es uno importante — cualquier modelo de fijación de precios de activos tiene que Enfrentar esta cuestión, que aplazamos para su posterior consideración. La distribución inicial no es a ser entendido como determinado “absolutamente”, sino que representa la “mejor estimación” para la distribución dados los datos disponibles en ese momento, de acuerdo con podría llamar a un punto de vista bayesiano. Observamos el hecho de que el proceso de información t} es Markovian (véase Brody et al. [3], y Rutkowski y Yu [22]. Haciendo uso de esta propiedad junto con el hecho de que DT es FT - mensurable deducimos que St = 1{t<T}PtTE [DT t]. 5) Si la variable aleatoria DT que representa el pago tiene una distribución continua, entonces el la expectativa condicional en (5) puede expresarse en la forma E [DT t] = xπt(x) dx. 6) Aquí es la densidad de probabilidad condicional para la variable aleatoria DT: ηt(x) = Q(DT ≤ xt). 7).................................................................................................................................................. Asumimos implícitamente las condiciones técnicas apropiadas para la distribución del dividendo que bastará para garantizar la existencia de las expresiones que se examinan. También, para... venience utilizamos una notación apropiada para distribuciones continuas, aunque correspondientes resultados pueden ser inferidos para distribuciones discretas, o distribuciones más generales, por ligeramente modificar los supuestos y conclusiones enunciados. Teniendo en cuenta estos puntos, observamos que el proceso de densidad de probabilidad condicional para el dividendo se puede calcular mediante el uso de una forma de la fórmula Bayes: ηt(x) = p(x)/23370/(tDT = x) p(x)/23370/(tDT = x)dx . (8) Aquí p(x) denota la densidad de probabilidad a priori para DT, que suponemos se conoce como un condición inicial, y Ł(tDT = x) denota la densidad condicional para la variable aleatoria Teniendo en cuenta que DT = x. Puesto que βtT es una variable aleatoria gaussiana con media cero y varianza t(T − t)/T, deducimos que la densidad de probabilidad condicional para (DT = x) = 2πt(T − t) − (t-tx) 2t(T − t) . (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Insertando esta expresión en la fórmula Bayes obtenemos ηt(x) = p(x) exp T−t(­xát − 2x2t) p(x) exp T−t(­xát − 2x2t) . (10) Así obtenemos el siguiente resultado para el precio del activo: Proposición 1. El proceso de precios basado en la información {St}0≤t≤T de un activo de responsabilidad limitada que paga un único dividendo DT en el momento T con distribución a priori Q(DT ≤ y) = p(x) dx (11) es dada por St = 1{t<T}PtT xp(x) exp T−t(­xát − 2x2t) p(x) exp T−t(­xát − 2x2t) , (12) donde la información sobre el mercado es la información sobre el mercado. V. DINÁMICA DEL PRECIO DEL ACTIVO EN EL CASO DE UN FLORO DE EFECTIVO ÚNICO Con el fin de analizar las propiedades del proceso de precios deducido anteriormente, y para poder para compararlo con otros modelos, tenemos que trabajar en la dinámica de {St}. Uno de los ventajas del modelo considerado es que tenemos una expresión explícita para el precio a nuestra disposición. Así en la obtención de la dinámica necesitamos encontrar el estocástico ecuación diferencial de la cual {St} es la solución. Esto resulta ser un interesante ejercicio porque ofrece algunas ideas sobre lo que entendemos por la afirmación de que el mercado La dinámica de los precios debe considerarse un “fenómeno emergente”. Para obtener la dinámica asociado con el proceso de precios {St} de un activo de pago unidividendo nos deja escribir DTT = E[DT t]. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Evidentemente, DTT puede expresarse en la forma DTT = D(t, t), donde D(, t) está definido por D(, t) = xp(x) exp T−t( 2x2t) p(x) exp T−t( 2x2t) . (14) Un cálculo sencillo haciendo uso de las reglas Ito muestra que la ecuación dinámica para {DtT} es dado por dDtT = T − t T − t - TDT-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T. dd + d ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° . (15) Aquí Vt es la varianza condicional del dividendo: Vt = Et (DT − Et[DT ])2 x2πt(x) dx− xπt(x) dx . 16) Por lo tanto, si definimos un nuevo proceso {Wt}0≤t<T mediante la configuración Wt = t − T − s TDtT − ds, (17) encontramos, después de algún reordenamiento, que dDtT = T − t VtdWt. (18) Para la dinámica del precio de los activos tenemos dSt = rtStdt + ŁtTdWt, (19) donde rt = −d lnP0t/dt es el tipo de cambio corto, y la volatilidad absoluta de los precios • tT = PtT T − t Vt. (20) Una forma ligeramente diferente de llegar a este resultado es la siguiente. Comenzamos con la condi- probabili­dad ηt(x). Entonces, usando la notación anterior, por su dinámica obtenemos dπt(x) = T − t (x-DtT ) (21) Puesto que según (5) el precio del activo es dado por St = 1{t<T}PtT xπt(x) dx, (22) podemos inferir la dinámica de {St} de la dinámica de la probabilidad condicional t(x)}, una vez que tengamos en cuenta la fórmula (16) para la varianza condicional. Como demostraremos más adelante, el proceso {Wt} definido en (17) es un {Ft}-Brownian movimiento. Por lo tanto, desde el punto de vista del mercado es el proceso {Wt} que impulsa la dinámica de precios de los activos. De esta manera nuestro marco resuelve el punto de vista paradójico generalmente adoptado en la modelización financiera en la que {Wt} se considera, por una parte, como "ruido", y sin embargo, por otro lado, también genera el flujo de información del mercado. Y por lo tanto, en su lugar de la hipótesis de la existencia de un proceso impulsor para la dinámica de los mercados, somos capaz, desde la perspectiva de la información, de deducir la existencia de tal proceso. El parámetro flujo de información  determina la magnitud global de la volatilidad. De hecho,  juega un papel análogo al parámetro similar en el Black-Scholes- Teoría Merton. Por lo tanto, podemos decir que la velocidad a la que la información se revela en el el mercado determina la magnitud de la volatilidad. Todo lo demás siendo lo mismo, si nosotros aumentar la tasa de flujo de información, a continuación, la volatilidad del mercado también aumentará. De acuerdo a este punto de vista, aquellos mecanismos que uno podría haber pensado estaban destinados a hacer que los mercados sean más eficientes, por ejemplo, la globalización de los mercados financieros, la reducción del comercio las barreras, la mejora de las comunicaciones, un entorno regulador sólido, etc. el efecto del aumento de la volatilidad del mercado y, por tanto, del riesgo del mercado, en lugar de reducirla. VI. OPCIONES DE LLAMADAS DE ESTILO EUROPEO Antes de pasar a la consideración de flujos de efectivo más generales e información de mercado estructuras, consideremos el precio de un derivado en un activo para el que el proceso de precios se rige por (19). Específicamente, consideramos la valoración de una opción de llamada europea en tal activo, con el precio de huelga K, y ejercitable en una fecha fija t. La opción está escrita en un activo que paga un único dividendo DT en el momento T > t. El valor inicial de la opción es C0 = P0tE (St −K)+ . 23) Insertando la expresión para St derivada en la sección anterior en esta fórmula, obtenemos C0 = P0t E x πt(x)dx−K . (24) Para mayor comodidad escribimos la probabilidad condicional πt(x) en la forma ηt(x) = pt(x) pt(x)dx , (25) donde la densidad “no normalizada” pt(x) está definida por pt(x) = p(x) exp T − t - 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- . 26) Sustituyendo (26) por (24) encontramos que el valor de la opción es C0 = P0tE (PtTx−K) pt(x)dx , (27) donde pt(x)dx. (28) La variable aleatoria 1/Φt se puede utilizar para introducir una medida B en (l,Ft), a la que llamamos la “medida puente”. El precio de la opción se puede escribir: C0 = P0tE (PtTx−K) pt(x)dx . 29).............................................................................................................................................................................................................................................................. La característica especial de la medida del puente, como establecemos en la Sección XIV en un más general context, es que la variable aleatoria t es gaussiana bajo B. En particular, bajo B encontramos que t} tiene media 0 y varianza t(T − t)/T. Puesto que pt(x) se puede expresar como una función Cuando calculamos la expectativa en (29) obtenemos una fórmula traqueable para C0. Para determinar el valor de la opción definimos una constante (el valor crítico) por el condición siguiente: (PtTx−K) p(x) exp T − t - 1 2x2t dx = 0. (30) Entonces la expectativa en (29) se puede realizar y encontramos que el precio de la opción es C0 = P0T x p(x)N − z* + x dx− P0tK p(x)N − z* + x dx, (31) donde N(x) es la función normal de distribución estándar, y T − t , z* = t(T − t) . (32) Vemos que se obtiene una expresión tratable del tipo Black-Scholes-Merton-Merton. Los problema de precios de opción, incluso para p(x) general, se reduce a un problema numérico elemental. Es interesante notar que aunque la distribución de probabilidad para el precio St no es de un tipo “estándar”, sin embargo, el problema de la valoración de las opciones sigue siendo solucionable. VII. EJEMPLOS DE ESTRUCTURAS DE DIVIDENCIA ESPECÍFICAS En esta sección consideramos la dinámica de activos con varias estructuras de dividendos. Primero nos fijamos en un activo simple para el cual el flujo de caja se distribuye exponencialmente. El a priori densidad de probabilidad para DT es así de la forma p(x) = exp (−x/♥), (33) donde ♥ es una constante. Podemos considerar la idea de un pago distribuido exponencialmente como un modelo para la situación donde poco se sabe sobre la distribución de probabilidad de la dividendo, aparte de su media. Entonces de la fórmula (12) encontramos que el precio del activo es: St = 1{t<T}PtT x exp(−x/) exp T−t(­xát − 2x2t) exp(−x/) exp T−t(­xát − 2x2t) . (34) Observamos que S0 = P0T ♥, por lo que podemos calibrar ♥ por el uso del precio inicial. Las integrales en el numerador y denominador en la expresión anterior se puede elaborar explícitamente. Por lo tanto, obtenemos una expresión de forma cerrada para el precio en el caso de un activo simple con un flujo de caja distribuido exponencialmente: St = 1{t<T}PtT B2t /At En N(Bt/ , (35) donde A = 2tT/(T − t) y Bt = TÃ3t/(T − t)− 1. A continuación consideramos el caso de un activo por el que el dividendo único pagado en T es gamma- distribuido. Más específicamente, suponemos que la densidad de probabilidad es de la forma p(x) = (n− 1)! xn−1 exp(x), (36) donde ♥ es un número real positivo y n es un número entero positivo. Esta opción para la probabilidad la densidad también conduce a una expresión de forma cerrada para el precio de la acción. Nos encontramos con que St = 1{t<T}PtT t Fk(−Bt/ k−n+1 n−k−1 t Fk(−Bt/ , (37) donde At y Bt están como arriba, y Fk(x) = zk exp dz. 38) Se puede elaborar una fórmula de recursión para la función Fk(x). Esto es dado por (k + 1)Fk(x) = Fk+2(x)− xk+1 exp , (39) de la cual se deduce que F0(x) = 2γN(−x), F1(x) = e− x2, F2(x) = xe 2γN(−x), F3(x) = (x) 2 + 2)e− x2, y así sucesivamente. En general, las partes polinómicas de {Fk(x)}k=0,1,2,... son relacionados con los polinomios de Legendre. VIII. FACTORES DE MERCADO Y FLUJOS DE EFECTIVO MULTIPLE En esta sección procedemos a considerar la situación más general donde el activo paga múltiples dividendos. Esto nos permitirá considerar una gama más amplia de instrumentos financieros. Escribamos DTk (k = 1,..., n) para un conjunto de dividendos aleatorios pagados en el pre-designado fechas Tk (k = 1,..., n). Posesión del activo en el momento t da derecho al portador al efectivo flujos que ocurren a veces Tk > t. Para la simplicidad asumimos n es finito. Para cada valor de k introducimos un conjunto de variables aleatorias independientes XαTk (α = 1,..., mk), a las que llamamos factores de mercado o factores X. Para cada valor de α suponemos que el factor de mercado XαTk es FTk-mesurable, donde {Ft} es la filtración del mercado. Para cada valor de k, los factores de mercado {XαTj}j≤k representan los elementos independientes que determinar el flujo de caja que se produce en el momento Tk. Por lo tanto para cada valor de k el flujo de caja DTk es se supone que tiene la siguiente estructura: DTk = Tk(X , XαT2,..., X ), (40) donde ŁTk(X , XαT2,..., X ) es una función de j=1mj variables. Por cada flujo de efectivo que es, así que para hablar, el trabajo del analista financiero (o actuario) para determinar el los factores de mercado, y la forma de la función de flujo de efectivo •Tk para cada flujo de efectivo. Con cada uno factor de mercado XαTk asociamos un proceso de información }0≤t≤Tk del formulario tTk = XαTkt+ β . 41) Aquí Tk es un parámetro, y } es un puente browniano estándar sobre el intervalo [0, Tk]. Asumimos que los factores X y los procesos del puente browniano son todos independientes. Los parámetro â € ¢Tk determina la velocidad a la que el factor de mercadoX se revela. El browniano puente representa el ruido asociado. Asumimos que la filtración del mercado {Ft} es gener- atendido por la totalidad de los procesos de información independientes tTk}0≤t≤Tk para k = 1, 2,..., n y α = 1, 2,..., mk. Por lo tanto, el precio del activo es dado por 1{t<Tk}PtTkEt [DTk]. (42) IX. MODELO GEOMÉTRICO DE MOCIÓN BROWNIA La aplicación más simple de la técnica del factor X surge en el caso de la ceja geométrica- Nian modelos de movimiento. Consideramos una compañía de responsabilidad limitada que hace un solo efectivo distribución ST en el tiempo T. Asumimos que ST tiene una distribución log-normal bajo Q, y puede ser escrito en la forma ST = S0 exp rT + / TXT - 12/ , (43) donde el factor de mercado XT se distribuye normalmente con la media cero y la varianza uno, y r > 0 y > 0 son constantes. El proceso de información t} se toma para ser de la forma T = TXT + βtT, (44) donde el puente Browniano tT} es independiente de XT, y donde el caudal de información es de la forma especial . (45) Por el uso de la fórmula Bayes encontramos que la densidad de probabilidad condicional es de la Gaussian forma: ηt(x) = 2η(T − t) 2 T − t) Tx− át , (46) y tiene la siguiente dinámica: dπt(x) = T − t Tx− át ηt(x)dÃ3t. (47) Un breve cálculo muestra entonces que el valor del activo en el tiempo t < T es dado por St = e −r(T−t) Et[ST] = e−r(T−t) Tx− 1 /2Tl(x)dx = S0 exp rt+ t − 12 / . (48) El hecho sorprendente en este ejemplo es que t} en sí mismo resulta ser el proceso de innovación. De hecho, no es demasiado difícil verificar que t} es un movimiento {Ft}-browniano. Por lo tanto, el establecimiento Para 0 ≤ t < T se obtiene el modelo de movimiento browniano geométrico estándar: St = S0 exp rt+ /Wt − 12 / . (49) Vemos por lo tanto que a partir de un proceso de información de la forma (44) somos capaces de recuperar la dinámica familiar de precios de los activos dada por (49). Un punto importante a notar aquí es que el proceso del puente browniano tT } aparece bastante naturalmente en este contexto. De hecho, si empezamos con (49) entonces podemos hacer uso de la siguiente la descomposición ortogonal del movimiento browniano (véase, por ejemplo, Yor [24]: . (50) El segundo término de la derecha, independientemente del primer término de la derecha, es una norma representación para un proceso de puente browniano: βtT = Wt − WT. (51) Así pues, escribiendo XT = WT/ T y  = 1/ T nos encontramos con que el lado derecho de (50) es de hecho la información de mercado. En otras palabras, formulado en el marco basado en la información, el La teoría estándar de Black-Scholes-Merton se puede expresar en términos de una distribución normal Factor X y un proceso independiente de ruido de puente browniano. X. CRECIMIENTO DIVIDENTE Como un ejemplo elemental de una estructura multi-dividendos, vamos a mirar un crecimiento simple modelo de dividendos en los mercados de valores. Consideramos un activo que paga una secuencia de dividendos DTk, donde cada fecha de dividendo tiene un factor X asociado. Que {XTk}k=1,...,n sea un conjunto de factores X independientes, distribuidos de forma idéntica, cada uno con una media de 1 + g. El dividendo estructura se supone que es de la forma DTk = D0 XTj, (52) donde D0 es una constante. El parámetro g puede interpretarse como el factor de crecimiento del dividendo, y D0 puede entenderse que representan el dividendo más reciente antes del tiempo cero. Por el precio del activo que tenemos: St = D0 1{t<Tk}PtTkEt . (53) Dado que los factores X son independientes, la expectativa condicional del producto que aparece en esta expresión se factoriza en un producto de las expectativas condicionales, y cada uno de la expectativa ditional puede ser escrita en la forma de una expresión del tipo que ya tenemos considerándolo. En consecuencia, se nos lleva a una familia tratable de modelos de crecimiento de dividendos. XI. ACTIVOS CON FACTORES COMUNES El modelo de fijación de precios de activos multidividendos introducido en la sección VIII puede ampliarse en una forma muy natural de llegar a la situación en la que se están valorando dos o más activos. En este caso se considera una colección de activos N con procesos de precio {S(i)t }i=1,2,...,N. Con número de activo (i) asociamos los flujos de efectivo {D(i)Tk} pagados en las fechas {Tk}k=1,2,...,n. Observamos que las fechas {Tk}k=1,2,...,n no están vinculados a ningún activo específico, sino que representan la totalidad de posibles Fechas de flujo de efectivo de cualquiera de los activos dados. Si un activo en particular no tiene flujo de caja en una de las fechas, a continuación, se le asigna un flujo de caja cero para esa fecha. A partir de este punto, la teoría procede exactamente como en el caso de un solo activo. Es decir, con cada valor de k asociamos un conjunto de Factores X XαTk (α = 1, 2,..., mk), y un sistema de procesos de información de mercado }. Los Los factores X y los procesos de información no están vinculados a ningún activo en particular. Flujo de caja que se produzca en el momento Tk para el número de activo (i) viene dado por una función de flujo de caja del formulario (XαT1, X ,..., XαTk). (54) En otras palabras, para cada activo cada flujo de efectivo puede depender de todos los factores X que tienen “activado” en ese momento. Por lo tanto, para el modelo general multi-activo tenemos lo siguiente sistema de proceso de precios: 1{t<Tk}PtTkEt . (55) En general, es posible que dos o más activos “compartir” un factor X en asociación con uno o más de los flujos de efectivo de cada uno de los activos. Esto a su vez implica que los diversos activos tendrán al menos un movimiento browniano en común en la dinámica de su precio procesos. Así obtenemos un modelo natural para las estructuras de correlación en los precios de estos activos. La intuición es que a medida que entra nueva información (ya sea “verdadera” o “bogus”) habrá varios activos diferentes todos afectados por las noticias, y como consecuencia ser un movimiento correlacionado en sus precios. XII. ORIGEN DE LA VOLATIDAD ESTOCÁSTICA INMEDIATA Basados en el modelo general introducido en las secciones anteriores, ahora estamos en una posición hacer una observación sobre la naturaleza de la volatilidad estocástica en los mercados de valores. En particular, vamos a mostrar cómo surge un marco natural para la volatilidad estocástica en el marco basado en la información. Esto se logra sin la necesidad de hipótesis ad hoc relativa a la dinámica de la volatilidad estocástica. De hecho, un modelo dinámico muy específico para la volatilidad estocástica se obtiene—llevando así a un posible medio por el cual la teoría propuesta aquí podría ser probado. Resolveremos la volatilidad asociada con la dinámica del proceso de precios de los activos {St} dada por (42). El resultado se da en la Proposición 2. En primer lugar, como un ejemplo, nosotros considerar la dinámica de un activo que paga un único dividendo DT en T. dividendo depende de los factores de mercado {XαT 1,...,m. Para t < T tenemos entonces: St = PtTE X1T,. X • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ............................................. = PtT · · · T (x 1,...., xm) η1tT (x1) · ·?mtT (xm) dx1 · · ·dxm. (56) Aquí las diversas funciones de densidad de probabilidad condicional â € tT (x) para α = 1,..., m son • tT (x) = pα(x) exp • x tT − 12 α)2 x2t pα(x) exp • x tT − 12()2 x2t , (57) donde pα(x) denota la función de densidad de probabilidad a priori para el factor XαT. La deriva de {St}0≤t<T se da por la tasa corta. Esto se debe a que Q es la medida neutral de riesgo, y no dividendo se paga antes de T. Por lo tanto, nos quedamos con el problema de determinar la volatilidad de {St}. Encontramos que para t < T la ecuación dinámica de {St} asume la forma: dSt = rtStdt + • tTdW t. (58) Aquí el término de volatilidad asociado con el número de factor α es dado por TDT = TDT = TDT = TDT = TDT = TDT = TDT = TDT = TDT T − t PtT Cov X1T,. X , XαT , (59) y {W αt} denota el movimiento browniano asociado con el proceso de información t }, como definido en (17). La volatilidad absoluta de {St} es de la forma ( tT ) . (60) Para la dinámica de un activo pagador de un solo dividendo multifactor podemos escribir dSt = rtStdttdZt, donde el movimiento {Ft}-Brownian {Zt} que impulsa el proceso activo-precio es # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # s. (61) El punto a tener en cuenta aquí es que en el caso de un modelo de múltiples factores obtenemos un unhedgeable volatilidad estocástica. Es decir, aunque el precio de los activos está en efecto impulsado por una sola Movimiento browniano, su volatilidad en general depende de una multiplicidad de movimientos brownianos. Esto significa que, en general, una posición de opción no puede cubrirse con una posición en la activos subyacentes. Los componentes del vector de volatilidad son dados por las covarianzas de el flujo de caja y los factores independientes del mercado. Así pues, la volatilidad estocástica inalterable Surge de la multiplicidad de elementos inciertos en el mercado que afectan el valor de el futuro flujo de caja. Como consecuencia vemos que en este marco obtenemos un explicación del origen de la volatilidad estocástica. Este resultado puede ser contrastado con, por ejemplo, el modelo Heston [12], que a pesar de su popularidad sufre del hecho de que es de naturaleza ad hoc. Lo mismo se puede decir de los diversos generalizaciones del modelo Heston utilizado en aplicaciones comerciales. El enfoque de la La volatilidad estocástica propuesta en el presente documento es, por lo tanto, de un nuevo carácter. Expresión (58) generaliza el caso en el que el activo paga un conjunto de dividendos DTk (k = 1,..., n), y para cada k el dividendo depende de los factores X α=1,...,mj j=1,...,k }. El resultado puede ser Se resume de la siguiente manera. Proposición 2. El proceso de precios de un activo multidividendo tiene la siguiente dinámica: dSt = rt St dt + 1{t<Tk} *KTk* Tk − t PtTk Cov DTk, X dW αkt DTkd1{t<Tk}, (62) donde DTk = فارسىTk(X , XαT2, · · ·, X ) es el dividendo en el momento Tk (k = 1, 2,..., n). XIII. FLUJO DE INFORMACIÓN TIEMPODEPENDIENTE Ahora consideramos una generalización del material anterior a la situación en la que la La tasa de flujo de información varía en el tiempo. El problema que depende del tiempo es de importancia para muchos circunstancias. Por ejemplo, normalmente habrá más actividad en un mercado durante el día que por la noche — tal consideración es importante para las inversiones a corto plazo. Alternativamente, puede ser que el informe anual de una empresa vaya a publicarse en un día determinado — en En este caso se puede disponer de mucha más información sobre el futuro de la empresa en ese día de lo normal. Comenzamos nuestro análisis del caso dependiente del tiempo considerando la situación donde hay un único flujo de caja DT que ocurre en T, y el factor de mercado asociado es el efectivo fluir por sí mismo. De esta manera podemos centrar nuestra atención en los problemas matemáticos que surgen de la dependencia del tiempo del caudal de información. Una vez que se han tratado estas cuestiones, nosotros tendrá en cuenta estructuras de flujo de efectivo más complicadas. Para el proceso de información de mercado proponemos una expresión de la forma • t = DT sds+ βtT, (63) donde la función s}o≤s≤T se considera determinista y no negativa. Asumimos que 2sds < فارسى. El proceso de precio {St} del activo es entonces dado por St = 1{t<T}PtTE [DT Ft ]. (64) donde la filtración del mercado se supone, como en las secciones anteriores, que es generada por el proceso de información. Nuestra primera tarea es elaborar la expectativa condicional en (64). Esto puede lograrse mediante una técnica de cambio de medidas, que se describirá en la sección XIV. Lo hará. ser útil, sin embargo, para indicar el resultado en primer lugar. Definimos la densidad de probabilidad condicional proceso t(x)} mediante el ajuste ηt(x) = Q (DT ≤ x Ft). (65) Se obtiene el siguiente resultado: Proposición 3. Que el proceso de información t} sea dado por (63). Entonces el condicional proceso de densidad de probabilidad t(x)} para la variable aleatoria DT es dada por ηt(x) = p(x) e x( 1T−t sds+ - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - - - - - - - - - - - 1; - 1; - 1; - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - 1 - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - sds) 2sds p(x) e x( 1T−t sds+ - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - - - - - - - - - - - 1; - 1; - 1; - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - 1 - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - sds) 2sds . (66) Deducimos inmediatamente de la Proposición 3 que la expectativa condicional del azar variable DT es DTT = xp(x) e x( 1T−t sds+ - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - - - - - - - - - - - 1; - 1; - 1; - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - 1 - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - sds) 2sds p(x) e x( 1T−t sds+ - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - - - - - - - - - - - 1; - 1; - 1; - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - 1 - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - sds) 2sds . (67) El proceso de precios asociado {St} es dado por St = 1{t<T}PtTDtT. XIV. CAMBIOS EN LA MEDIDA DE LOS PUERTOS BROWNIAN Dado que el proceso de información es un puente browniano con una deriva aleatoria, vamos a requerir fórmulas relativas a un puente browniano con deriva en una medida a un puente browniano estándar en otra medida para establecer la Proposición 3. Procedemos de la siguiente manera. Primero recordamos un pozo... representación integral conocida para el puente browniano. Deje que el espacio de probabilidad (................................................................................................................. ser dado, con una filtración {Gt}0≤t, y dejar que {Bt} sea un movimiento estándar {Gt}-browniano. Entonces el proceso tT}, definido por βtT = (T − t) T − s dBs, (68) para 0 ≤ t < T, y por βtT = 0 para t = T, es un puente browniano estándar sobre el intervalo [0, T] Expresión (68) converge a cero como t → T ; véase, por ejemplo, Karatzas y Shreve [16], Protter [21]). La filtración {Gt} es mayor que la filtración del mercado {Ft}. En particular, ya que tT} está adaptado a {Gt} podemos pensar en {Gt} como la filtración que describe la información disponible para un “insider” que puede distinguir entre lo que es ruido y lo que no lo es. Dejar que DT sea una variable aleatoria en (.......................................................................................................................................................................................................................................................... Asumimos que el DT es mensurable y que DT es independiente de tT}. Por lo tanto, el valor de DT se conoce “todo el tiempo” al iniciado, pero no al típico participante en el mercado. Para la simplicidad en lo que sigue suponemos que DT es limitado; esta condición se puede relajar con la introducción de un adecuado tipo Novikov condición; pero no vamos a seguir la situación más general aquí. Definir el determinista proceso no negativo t}0≤t≤T por vt = t + T − t sds, (69) y dejar que t} se defina como en (63). Definimos el proceso t}0≤t<T por la relación = exp vsdBs − 12D /2sds . (70) Con estos elementos en la mano, fijamos un horizonte temporal U â € (0, T ) e introducimos una probabilidad medida B sobre GU por la relación dB = 1U dQ. (71) Entonces tenemos los siguientes hechos: (i) El proceso {W ∗t }0≤t<U definido por W ∗t = DT vsds+Bt (72) es un movimiento B-Browniano. (ii) El proceso t} definido por (63) es un puente B-Brownian y es independiente de DT. iii) La variable aleatoria DT tiene la misma ley de probabilidad con el respeto de B y Q. iv) La expectativa condicional de cualquier función integrable f (DT ) de la variable aleatoria DT se puede expresar en la forma Q[f(DT )F t ] = f (DT ) # F # t # # F # t # ]. (73) Observamos que la medida B es independiente de la elección específica del horizonte temporal U en la sensación de que si B se define en GU ′ para algunos U ′ > U, entonces la restricción de esa medida a GU está de acuerdo con la medida B tal como ya se ha definido. Cuando decimos que t} es un puente B-Brownian lo que queremos decir, más precisamente, es que 0 = 0, que t} es B-Gaussian, que EB[t] = 0, y que B[st] = s(T − t) para 0 ≤ s ≤ t ≤ U. Así, con respecto a la medida B, el proceso t}0≤t≤U tiene la propiedades de un estándar [0, T ]-Brownian puente que ha sido truncado en el momento U. El hecho que t} es un puente B-Brownian puede ser verificado de la siguiente manera. Para (63), (68) y (72) tenemos • t = DT sds+ (T − t) T − s sds+ (T − t) T − s (dW ∗ −DT vsds) (T − t) T − s + (T − t) T − s dW*s = (T − t) T − s dW*s, (75) donde en el paso final usamos la relación T − s vsds = T − t - Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí., sí, sí., sí., sí., sí., sí, sí, sí., sí., sí, sí., sí.., sí.., sí..., sí...., sí...., sí......,..................................................................... (76) Esta fórmula se puede verificar explícitamente por diferenciación, que luego nos da (69). En (75) Vemos que a t} se le ha dado la representación integral estándar de un puente browniano. Observamos, por cierto, que (73) se puede pensar en una variación del Kallianpur-Striebel fórmula que aparece en la literatura de filtrado no lineal (véase, por ejemplo, Bucy y José [4], Davis y Marcus [7], Fujisaki y otros. [9], Kallianpur y Striebel [15], Krishnan [17], Liptser y Shiryaev [18]). XV. DERIVACIÓN DE LA DENSIDAD CONDICIONAL Hemos introducido la idea de los cambios de medida asociados con los puentes brownianos en para introducir la fórmula (73), que implica el proceso de densidad t}, que en (70) es definido en términos del movimiento Q-Browniano {Bt}. Por otro lado, las expectativas en (73) son condicionales con respecto a la información generada por t}. Por lo tanto, será conveniente para expresar t} en términos de t}. Para hacer esto sustituimos (72) en (70) para obtener Øt = exp − 12D /2sds . (77) Entonces observamos, diferenciando (75), que • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • T − t dt+ dW*t. (78) Sustituyendo esta relación en (77) obtenemos Øt = exp & sdès + T − s Asunto C-372/99 Comisión / Reino de los Países Bajos /2sds . (79) En principio, en este punto todo lo que tenemos que hacer es sustituir (69) por (79) para obtener la resultado para t}. En la práctica, puede lograrse una mayor simplificación. Con este fin, tomamos nota que tomando el diferencial del coeficiente de DT en el exponente de (79) obtenemos & sdès + T − s Asunto C-372/99 Comisión / Reino de los Países Bajos dÃ3t + T − t T − t dÃ3t + T − t T − t sds+ sdós . (80) A continuación, la integración de ambos lados de (80) obtenemos: & sdès + T − s Asunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos T − t sds+ ........................................................................................................................................................................... (81) Del mismo modo, tomando el diferencial del coeficiente de −1 D2T en el exponente de (79) y haciendo uso de (69), encontramos v2t dt = 2t + 2 T − t sds+ (T − t)2 T − t 2sds . (82) Por lo tanto, al integrar ambos lados de (82) obtenemos una identidad para el coeficiente de −1 D2T. Se sigue en virtud de las dos identidades acaba de obtener que t} se puede expresar en términos de t}. Más explícitamente, tenemos Øt = exp T-t-ñ-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t- sds+ sdós 2sds . (83) Tenga en cuenta que al transformar (79) en (83) hemos eliminado un término que tiene t} en el Integrand, logrando así una simplificación considerable. La Proposición 3 puede entonces deducirse si usamos la ecuación (76) y la relación básica Q (DT ≤ x Ft) = EQ 1{DT≤x} . (84) En particular, dado que DT y t} son independientes bajo la medida puente, en virtud de (73), (83) y (84) obtenemos Q (DT ≤ x Ft) = p(y) e y( 1T−t sds+ - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - - - - - - - - - - - 1; - 1; - 1; - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - 1 - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - sds) 2sds p(y) e y( 1T−t sds+ - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - - - - - - - - - - - 1; - 1; - 1; - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - 1 - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - sds) 2sds , (85) de la cual inferimos inmediatamente la Proposición 3 por diferenciación con respecto a x. Concluimos esta sección señalando que una expresión alternativa para t(x)}, escrita en términos de {W ∗t }, es dada por ηt(x) = p(x) exp u − 12x /2udu p(x) exp - 12x2 /2udu . (86) XVI. RELACIONES DE CONSISTENCIA Antes de proceder a analizar en detalle la dinámica del proceso de precios {St}, primero nos establecerá una relación de coherencia dinámica útil satisfecha por los precios obtenidos en el marco basado en la información. Por “coherencia” tenemos en mente lo siguiente. Supón que reiniciamos el proceso de información en un momento intermedio s • (0, T ) especificando el valor de la información en ese momento. Para que el marco sea dinámicamente coherente, Exigimos que el resto del período [s, T] admita una representación en términos de un proceso de información “renormalizado” adecuado. Concretamente, tenemos: Proposición 4. Deja que 0 ≤ s ≤ t ≤ T. La probabilidad condicional πt(x) se puede escribir en términos de la probabilidad condicional intermedia ηs(x) en la forma ηt(x) = ηs(x) e x( 1T−t ηt udu+ udnu)− 1 udu) 2udu ηs(x) e x( 1T−t ηt udu+ udnu)− 1 udu) 2udu , (87) donde u = u + T − s vdv (88) es el índice de flujo de información del mercado reinicializado, y ηt = t − T − t T − s • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • es el proceso de información reinicializado. El hecho de que t}s≤t≤T representa el proceso de información actualizada que conecta el intervalo [s, T] se puede ver como sigue. Primero observamos que ηs = 0 y que ηT = T. Sustitución (63) en (89) encontramos que ηt = DT udu+ γtT, (90) donde u es tal como se define en (88), y γtT = βtT − T − t T − s βsT. 91) Un cálculo haciendo uso de la covarianza del puente browniano tT} muestra que el El proceso gaussiano tT}s≤t≤T es un puente browniano estándar sobre el intervalo [s, T ]. Por lo tanto, sigue que t} es el puente de información interpolando el intervalo [s, T ]. Para verificar (87) observamos que (86) se puede escribir en la forma ηt(x) = ηs(x) exp u − 12x /2udu ηs(x) exp - 12x2 /2udu . (92) La identidad (80) implica entonces que T − t udu+ Ôudóu + T − t T − s T − t udu+ udηu, (93) donde hemos hecho uso de (88) y (89). Del mismo modo, (81) implica que /2udu = T − t T − s 2udu T − t udu 2udu. (94) La sustitución de (93) y (94) por (92) establece (87). En particular, la forma de (87) es idéntico a la fórmula original (66), modulo de la renormalización indicada de los informes el proceso de toma de decisiones y el índice de flujo de información asociado. XVII. DIVIDENCIA ESPERADA El objetivo de las secciones XIII, XIV y XV era obtener una expresión para el expectación (13) en el caso de un activo monodividendo en el caso de un activo dependiente del tiempo tasa de flujo de información. Por lo tanto, en el análisis del proceso de precios asociado será útil para elaborar la dinámica de la expectativa condicional del dividendo. En particular, una aplicación de la regla de Ito a (67), después de algún reordenamiento, muestra que dDtT = νtVt T − t - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. ddt+ vtVtdÃ3t, (95) donde {Vt} es la varianza condicional de la variable aleatoria DT, dada por (16). Déjanos definir un nuevo proceso {Wt} por Wt = t + T − s â € ¢sdsâ â € € TM - DsTds. (96) Nos referimos a {Wt} como el “proceso de innovación”. De la definición de {Wt} se desprende que dDtT = νtVt dWt. (97) Dado que {DtT } es un {Ft}-martingale nos llevan a conjeturar que {Wt} también debe ser un {Ft}-martingale. De hecho, tenemos el siguiente resultado: Proposición 5. El proceso {Wt} definido por (96) es un movimiento {Ft}-browniano bajo Q. Prueba. Tenemos que establecer que (i) {Wt} es un {Ft}-martingale, y que (ii) (dWt)2 = dt. Escribiendo Et[−] = EQ[Ft] y dejando t ≤ u tenemos Et [Wu] = Et [u] + Et T − s /DsTds . (98) Dividir los dos segundos términos a la derecha en integrales entre 0 y t, y entre t y u, obtenemos Et [Wu] = Et[u] + T − s â € ¢sdsâ â € € TM /DsTds T − s Et[s]ds− \ ~ ~ Et[DsT]ds. ~. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ (99) La propiedad martingale de la expectativa condicional implica que Et[DsT ] = DtT para t ≤ s, que nos permite simplificar el último término. Para simplificar la expresión de la expectativa Para t ≤ s utilizamos la propiedad de la torre: Et[βsT ] = Et[E[βsT HT, βtT ]] = Et[E[βsT tT ]]. (100) Para calcular la expectativa interna E[βsT tT ] aquí utilizamos el hecho de que la variable aleatoria βsT/(T − s)− βtT/(T − t) es independiente de βtT y deduce que E[βsT tT] = T − s T − t βtT, (101) de la cual se deduce que Et [βsT] = T − s T − t Et[βtT]. (102) Como resultado obtenemos Et[s] = DtT vdv + T − s T − t Et[βtT]. (103) También recordamos la definición de {Wt} dada por (96), que implica que T − s â € ¢sdsâ â € € TM /sDsTds = Wt −......................................................................................................................................................................................................................................................... (104) Por lo tanto, sustituyendo (103) y (104) en (99) obtenemos Et [Wu] = DTT sds+Wt − ­t +DtT T − s ds−DtT +Et[βtT ]. (105) A continuación dividimos el primer término en una integral de 0 a t y una integral de t a u, y nos insertar la definición (69) de t} en el quinto término. El resultado es: Et [Wu] = Wt +DtT sds+ Et[βtT]− فارسىt. (106) Por último, si hacemos uso del hecho de que t = Et[t], y por lo tanto que • t = DTT sds+ Et[βtT ], (107) Vemos que {Wt} satisface la condición martingale. Por otra parte, en virtud de (96) tenemos (dWt) 2 = dt. Concluimos que {Wt} es un movimiento {Ft}-browniano bajo Q. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. XVIII. PRECIOS DE ACTIVO Y PRECIOS DERIVADOS Ahora estamos en condiciones de considerar con más detalle la dinámica del proceso de precios de un activo que paga un único dividendo DT en el caso de un flujo de información dependiente del tiempo. Por {St} tenemos St = 1{t<T}PtTDtT, o equivalente St = 1{t<T}PtT xp(x) e x( 1T−t sds+ - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - - - - - - - - - - - 1; - 1; - 1; - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - 1 - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - sds) 2sds p(x) e x( 1T−t sds+ - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - - - - - - - - - - - 1; - 1; - 1; - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - 1 - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - sds) 2sds . (108) Un cálculo haciendo uso de (97) muestra que para la dinámica del precio que tenemos dSt = rtStdt + ŁtTdWt, (109) donde la volatilidad de los precios de los activos es dada por ­tT = νtPtTVt, donde Vt es la varianza condicional del dividendo, dado por (16). Debe ser evidente en virtud de su definición que {Vt} es un supermartingale. Más específicamente, para la dinámica de {Vt} obtenemos dVt = 2t V 2t dt+ νtldWt, (110) donde ­t denota el tercer momento condicional de DT, dado por ­t = Et [(DT −DtT )3]. Aunque hemos derivado (108) asumiendo que el proceso de precios es inducido por el información de mercado t}, el resultado a mostrar en la sección XIX demuestra que podemos considerar la ecuación dinámica (109) para el proceso de precios como dado, y luego deducir el estructura de la información subyacente. La interpretación basada en la información del mod- elling marco, sin embargo, es más atractivo. De acuerdo con esta interpretación hay un flujo de información de mercado, que está a disposición de todos los participantes en el mercado y está representado por la filtración generada por t}. Dada esta información, cada participante "actuará", en nuestra interpretación, con el fin de minimizar la varianza futura de P&L ajustada al riesgo asociada con el flujo de caja considerado. El futuro P&L está determinado por el valor de DT, y la estimación de DT que minimiza su varianza se da efectivamente por la expectativa condicional (13). Al descontar esta expectativa con PtT recuperamos el proceso de precio {St}. Observamos que tT } es “infinitamente estocástico” en el sentido de que todo el orden superior volatilidades (la volatilidad de la volatilidad, y así sucesivamente) son estocásticos. Estos de orden superior las volatilidades tienen una interpretación natural: la volatilidad del precio de los activos está determinada por la varianza del flujo de caja aleatorio; la volatilidad de la volatilidad es determinada por el sesgo de DT ; su volatilidad está determinada por la kurtosis de DT ; y así sucesivamente. El hecho de que el precio de los activos en la medida puente es dada por una función de un Gaussian variable aleatoria significa que el precio de los derivados es numéricamente sencillo. Nosotros han visto esto en el caso de un flujo de información constante, pero el resultado se mantiene en el caso dependiente del tiempo también. Por ejemplo, considere una opción de convocatoria al estilo europeo con huelga K y vencimiento t, donde t ≤ T, para el cual el valor es (23). Si expresamos el precio de los activos St en la fecha de vencimiento de la opción en términos de la moción B-Brownian {W *t } encontramos C0 = P0tE (PtTx−K)p(x) exp − 12x /2sds , (111) donde p(x) exp − 12x /2sds dx. (112) Para proceder, utilizaremos el factor 1/Φt en (111) para hacer un cambio de medida en. La idea es la siguiente. Fijamos un horizonte de tiempo u en o más allá de la opción de vencimiento pero antes el vencimiento del bono, así t ≤ u < T, y definir un proceso t}0≤t≤u mediante el uso de la expresión (112), donde ahora dejamos variar en el rango [0, u]. Mediante una aplicación de Ito cálculo en (112) Vemos que dΦt = νtDtTΦt dW t. Por otra parte, se deduce de (78) y (96) que la El movimiento B-Browniano {W *t } y el movimiento Q-Browniano {Wt} están relacionados por dW ∗t = dWt + νtDtTdt. (113) Por lo tanto, en términos de {Wt} tenemos dΦt = / tTΦttdt + νtDtTΦt dWt, (114) de la cual se deduce que d1t = tDtT1t dWt. (115) En la integración deducimos 1t = exp DsT dWs − 12 sT ds . (116) Puesto que sDsT} está limitado, y s ≤ u < T, vemos que 1s }0≤s≤u es un Q-martingale con EQ[1t ] = 1, donde t es la fecha de vencimiento de la opción. Por lo tanto, el factor 1/Φt en (111) puede ser utilizado para efectuar un cambio de la medida Q → B en (­, Ft). Observamos que mientras que en el espacio (l,Gt) es el proceso t} introducido en (70) que define el cambio de medida de B y Q, en (l,Ft) es Φt = EQ[tFt] que define el cambio de medida pertinente. En consecuencia, por cambiar la medida en (111) obtenemos C0 = P0tE (PtTx−K)p(x) exp − 12x /2sds . (117) Este resultado debe compararse con (27). Observamos que en el puente medir la expresión s es una variable aleatoria gaussiana con media cero y varianza 2t = /2sds = T − t 2sds. (118) Aquí hemos usado la relación (82). Por lo tanto, si nos fijamos Y = 1t s, (119) De ahí se deduce que Y es B-Gaussian. Por el precio de la llamada que tenemos C0 = P0tE (PtTx−K)p(x)e•txY− 2t x , (120) y, por lo tanto, C0 = P0t (PtTx−K)p(x)e•txy− 2t x dy. (121) Observamos que existe un valor crítico y = y* tal que el argumento del “plus” función desaparece en la expresión de arriba. Así y* es dado por (PtTx−K)p(x) eŁtxy 2t x dx = 0. (122) Como consecuencia, el precio de la llamada se puede escribir C0 = P0t (PtTx−K)p(x)e•txy− 2t x dy. (123) La integración en la variable y se puede realizar, y se deduce el siguiente represen- para el precio de la llamada: C0 = P0t (PtTx−K)p(x)N(­tx− y*)dx. (124) Cuando el flujo de caja está representado por una variable aleatoria discreta y el flujo de información tasa es constante, este resultado se reduce a una expresión equivalente a la fórmula de precios de opción derivados en Brody et al. [3]. Si el flujo de caja es una variable aleatoria continua y la flujo de información es constante y luego recuperamos la expresión (31) dada en la sección IV (ver también Rutkowski y Yu [22]). Concluimos esta sección con la observación de que la simulación de {St} es sencilla. Primero, generamos una trayectoria browniana, y formamos el puente browniano asociado tT ()}. A continuación, seleccionamos un valor para DT por un método consistente con la densidad de probabilidad a priori p(x), y sustitúyalos en la fórmula ­t(­) = DT (­) sds + βtT (­) para alguna elección de t}. Finalmente, la sustitución de t()} en (108) nos da una ruta simulada {St()}. Los estadísticas del proceso {St} se obtienen repitiendo este procedimiento, cuyos resultados puede ser utilizado para precios derivados, o para calibrar la tasa de flujo de información t}. XIX. EXISTENCIA DEL PROCESO DE INFORMACIÓN Ahora consideramos lo que podría llamarse el “problema inverso” de los activos basados en la información precios. La idea es comenzar con el proceso de densidad condicional t(x)} y construir de él los grados independientes de libertad representados por el factor X DT y el ruido tT}. La configuración es la siguiente. En el espacio de probabilidad (,F,Q) dejar {Wt} ser un browniano movimiento y dejar que {Ft} sea la filtración generada por {Wt}. Que DT sea FT - mensurable, y que t(x)} denote el proceso de densidad de probabilidad condicional asociado. Asumimos que t(x)} satisface la ecuación diferencial estocástica (x) = (x-DtT)(x) dWt, (125) con la condición inicial η0(x) = p(x), donde t} es dada por (69), y donde DTT = xπt(x) dx. (126) Definimos el proceso t} como sigue: T = (T − t) T − s dWs + vsDsTds . (127) Entonces tenemos el siguiente resultado: Proposición 6. Las variables aleatorias DT y βtT = •t − DT Los ♥sds son independientes de Q para todos los t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t Además, el proceso tT} es un puente Q-Brownian. Prueba. Para establecer la independencia de DT y βtT basta con verificar que Q[exβtT+yDT] = EQ[exβtT]EQ[eyDT] (128) para x arbitraria, y. Usando la propiedad de la torre que tenemos Q[exβtT+yDT] = EQ exât E e(y−x sds)DT , (129) donde hemos insertado la definición de βtT dada en la declaración de la Proposición. Nosotros considera primero la expectativa interior. De la ecuación (73) para la expectativa condicional de una función de DT deducimos que e(y−x sds)DT = 1t p(z) e(y−x sds)z ez u− 12z /2ududz, (130) donde el proceso t} es definido por (112). Ahora cambiamos la medida de probabilidad de Q a B, de modo que el término 1t que aparece en (130) cae para darnos exât E e(y−x sds)DT p(z) e(y−x sds)z ez u− 12 z /2ududz p(z)EB ex (T-t) dW*s +(y−x sds)z+z s − 12 z /2sds p(z) e(y−x z− 1 v2sds+ α2sds E − 12 α2sds dz, (131) donde αs = x(T − t)/(T − s) + zvs, y por lo tanto Q[exβtT+yDT] = p(z) e(y−x z− 1 v2sds+ α2sdsdz (132) Además, haciendo uso de la relación (76) que tenemos sds− 12z v2sds + α2sds = exp t(T − t) . (133) En consecuencia, de (132) se desprende que exβtT+yDT p(z) eyzdz t(T − t) . (134) Esto establece la independencia de tT} y DT. La factorización (134) también muestra que el proceso tT } es Q-Gaussian, con media cero y varianza t(T − t)/T. Para establecer que tT} es un puente browniano, debemos demostrar que para s ≤ t la covarianza de βsT y βtT se da por s(T − t)/T. Alternativamente, basta con analizar la función de generación de momento E[exβsT+yβtT ]. Procedemos de la siguiente manera. En primer lugar, el uso de la propiedad de la torre que tenemos exβsT+yβtT exás+yát−(x udu+y udu)DT exáaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa udu+y udu)DT . (135) A continuación, por el uso de la fórmula (73), la expectativa interior se puede llevar a cabo para dar exβs+yβtT + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + p(z) e−(x udu+y udu)z ez u− 12z /2ududz .(136) Si cambiamos la medida de probabilidad a B la variable aleatoria Φt en las caídas del denominador fuera, y tenemos exβs+yβtT p(z) e−(x udu+y udu)z− 1 /2udu E + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + dz. (137) Consideremos primero la expectativa interior. Al definir au = x(T − s)/(T − u) y bu = y(T − t)/(T − u) + z vu podemos escribir + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + . (138) Sin embargo, puesto que {W ∗t } es un movimiento B-Brownian, utilizando las propiedades de Gaussian aleatorio variable encontramos que = exp a2udu+ b2udu+ 2 aubudu . (139) Sustitución de las definiciones de {au} y {bu} por el lado derecho de (139) y combinación de la resultado con los términos restantes en el exponente del lado derecho de (137) encontramos que el términos que implican la variable de integración z abandonar, y nos quedamos con la integral de la función de densidad p(z), que es unidad. Reunir los términos restantes que obtenemos exβsT+yβtT = exp s(T − s) t(T − t) + 2xy s(T − t) . 140) De ello se deduce que la covarianza de βsT y βtT para s ≤ t está dada por exβsT+yβtT x=y=0 s(T − t) . (141) Esto establece la afirmación de que tT} es un puente Q-Brownian. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. El resultado anterior muestra que, para la clase de procesos de precios que estamos considerando, incluso si al principio tomamos el punto de vista “usual” en la modelización financiera, y consideramos el precio proceso del activo como adaptado a alguna filtración “prespecificada”, sin embargo es posible deducir la estructura del modelo basado en la información subyacente. XX. MODELOS MULTI-FACTOR CON UNA INFORMACIÓN DEPENDIENTE DEL TIEMPO RÉGIMEN DE FLUJO Pasemos ahora a considerar el caso de un único flujo de cajaDT que depende de unamultiplicidad de factores de mercado {XαTk} α=1,...,mk k=1,...,n, donde tenemos las fechas de información pre-designadas n {Tk}k=1,2,...,n, y donde para cada valor de k tenemos un conjunto de factores de mercado de mk. Para simplificar establecemos T = Tn. Cada factor de mercado X está asociado con un proceso de información tTk = X â € TM sTkds+ β , (142) donde XαTk y } son independientes. Debe ser evidente que aunque el azar variable DT que representa el flujo de caja es FT - mensurable, los valores de algunos de los factores X de la cual depende puede ser revelado en épocas anteriores. Es decir, las incertidumbres derivados de algunos de los elementos económicos que afectan al valor del flujo de caja en el momento T puede resolverse antes de ese momento. Dado que los factores X son independientes, se deduce que, para cada factor de mercado, el el proceso de densidad condicional â € tTk(x) toma la forma dada en (66), y el correspondiente ecuación dinámica es dada por Asunto C-372/99 Comisión / Reino de los Países Bajos xαk − EQ XαTk Ft # tTk dW # t. (143) La función "tTk" que aparece aquí está dada por una expresión de la forma (69): tTk =  Tk − t # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (144) El proceso de innovación {W αkt } se define en términos de tTk} a través de una relación de la forma W αkt = Tk − s sTkds− # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # TkX # # ds. (145) La expectativa condicional EQ[DT Ft] es así dada por la integral multidimensional DTT = · · · T (x 1,..., x 1,. .., x n,. .., x * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 ) · · tn(x1n) · · tn(xmnn ) dx11 · · · dx 1 · · · dx1n · · dxmnn, (146) y el precio del activo para t < T es St = PtTDtT. Una aplicación directa de Ito a continuación, la regla establece el siguiente resultado: Proposición 7. El proceso de precios {St}0≤t<T de un activo que paga un único dividendo DT en el momento T (= Tn) dependiendo de los factores de mercado {XαTk} α=1,2,...,mk k=1,2,...n, satisface la dinámica ecuación dSt = rtStdt+ TkCovt[DT, X ] dW αkt, (147) donde DT = T XαT1,. X . (148) Aquí Covt[DT, X ] denota la covarianza entre el flujo de caja DT y el factor de mercado XαTk, condicionado a la información Ft generada por los procesos de información }0≤s≤t. En el caso más general de un activo que paga múltiples dividendos (véase la sección VIII) precio es dado por 1{t<Tk}PtTkE {XαTj} α=1,2,...,mj j=1,...,k . (149) Proposición 8. El proceso de precios {St} de un activo que paga los dividendos aleatorios DTk en las fechas Tk (k = 1,..., n) satisface la ecuación dinámica dSt = rtStdt+ 1{t<Tk Covt[DTk, X ] dW αkt Tkd1{t<T}, (150) donde DTk = ­Tk {XαTj} α=1,...,mj j=1,...,k . (151) Aquí Covt[DTk, X ] denota la covarianza entre el dividendo DTk y el factor de mercado XαTk, condicionado a la información de mercado Ft. Llegamos a la conclusión de que la situación multifactorial, multidividendo es totalmente tratable cuando el Los tipos de flujo de información asociados a los diversos factores del mercado dependen del tiempo. A la simple extensión de la Proposición 8 nos permite formular la dinámica de precios conjunta de un sistema de activos, cuyos flujos de dividendos asociados pueden depender del mercado común factores. En consecuencia, surge un modelo específico de volatilidad y correlación estocástica para un sistema de activos de este tipo, y es una de las principales conclusiones de este documento que un modelo puede ser formulado. El enfoque basado en la información “factor X” presentado aquí por lo tanto ofrece una nueva visión de la naturaleza de la volatilidad y la correlación, y como tal puede encontrar aplicaciones en una serie de ámbitos diferentes de análisis del riesgo financiero. Tenemos en mente, en en particular, aplicaciones a carteras de acciones, carteras de crédito y seguros, todos ellos presentar efectos de correlación intertemporales en el mercado. También tenemos en mente el problema de la una amplia gestión de riesgos y una asignación óptima de capital para las entidades bancarias. Agradecimientos. Los autores agradecen a T. Bielecki, T. Björk, I. Buckley, H. Bühlmann, S. Carter, I. Constantinou, M. Davis, J. Dear, A. Elizalde, B. Flesaker, H. Geman, V. Hen- Derson, D. Hobson, T. Hurd, M. Jeanblanc, A. Lokka, J. Mao, B. Meister, M. Monoyios, M. Pistorius, M. Rutkowski, D. Taylor, y M. Zervos para estimular las discusiones. Los autores también agradecen los comentarios útiles hechos por los participantes en el seminario en reuniones en las que se han presentado partes de este trabajo, entre ellas: Conferencia sobre finanzas cuantitativas, julio de 2005, Isaac Newton Institute, Cambridge; ematics in Finance, agosto de 2005, Kruger National Park, RSA; la Escuela de Matemáticas computacionales y aplicadas, Universidad de Witwatersrand, RSA, agosto 2005; CEMFI (Centro de Estudios Monetarios y Financieros), Madrid, octubre de 2005; Departamento de Matemáticas y Estadística Actuariales, Universidad de Heriot-Watt, diciembre 2005; el Departamento de Matemáticas, King’s College de Londres, diciembre de 2005; el Banco de Japón, Tokio, diciembre de 2005; y Nomura Securities, Tokio, diciembre de 2005. DCB reconoce el apoyo de la Royal Society; LPH y AM reconocen el apoyo de EPSRC (subvención número GR/S22998/01); AM agradece a la Autoridad de Educación Pública de la Cantón de Berna, Suiza, y el sistema de ORS de las universidades del Reino Unido, para apoyo. Referencias. [1] K. Atrás, “Insider trading in continuum time”, Rev. Fin. Estudios 5, 387-407 (1992). [2] K. Back y S. Baruch, “Información en los mercados de valores: Kyle conoce a Glosten y Milgrom”, Econometrica 72, 433-465 (2004). [3] D. C. Brody, L. P. Hughston y A. Macrina, “Más allá de las tasas de riesgo: un nuevo marco para la modelización del riesgo de crédito”, en Avances en Finanzas Matemáticas: Festschrift Volume en honor de Dilip Madan (Basilea: Birkhäuser, 2007). [4] R. S. Bucy y P. D. Joseph, Filtrado para procesos estocásticos con aplicaciones para orientación (Nueva York: Interscience Publishers, 1968). [5] U. Cetin, R. Jarrow, P. Protter, y Y. 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Yor, Algunos aspectos del movimiento browniano, Parte II: Algunos problemas recientes de Martingale (Basilea: Birkhäuser, 1996). Introducción El marco de modelización Modelización de los flujos de efectivo Modelización del flujo de información Dinámica de los precios de los activos en el caso de un flujo de caja único Opciones de llamada de estilo europeo Ejemplos de estructuras específicas de dividendos Factores de mercado y múltiples flujos de efectivo Modelo geométrico de movimiento browniano Crecimiento de los dividendos Activos con factores comunes Origen de la volatilidad estocástica inalterable Flujo de información dependiente del tiempo Cambios de medida para puentes brownianos Derivación de la densidad condicional Relaciones de coherencia Dividendo previsto Precios de los activos y precios de los derivados Existencia del proceso de información Modelos multifactor con un caudal de información dependiente del tiempo

Se introduce un nuevo marco para la dinámica de los precios de los activos en el que el concepto de información ruidosa sobre futuros flujos de efectivo se utiliza para obtener el precio procesos. En este marco, un activo se define por su estructura de flujo de caja. Cada flujo de caja es modelado por una variable aleatoria que se puede expresar como un función de una colección de variables aleatorias independientes llamadas factores de mercado. Con cada "factor X" asociamos un proceso de información de mercado, los valores de los cuales son accesibles a los agentes del mercado. Cada proceso de información es una suma de dos términos; uno contiene información verdadera sobre el valor del factor de mercado; el otro representa "ruido". El término ruido es modelado por un independiente Puente browniano. La filtración del mercado se supone que es la generada por el el conjunto de los procesos de información independientes. El precio de un activo es en el caso de los flujos de caja descontados en el margen de riesgo medida, condicionada a la información proporcionada por la filtración del mercado. Cuándo los flujos de efectivo son los pagos de dividendos asociados a acciones, un modelo se obtiene para el precio de acción, y los precios de las opciones en los activos que pagan dividendos se derivan. Notablemente, la fórmula resultante para el El precio de una opción de llamada europea es del tipo Black-Scholes-Merton. Los El marco basado en la información también genera una explicación natural del origen de volatilidad estocástica.

Introducción del puente browniano modela el hecho de que las percepciones del mercado, sean o no válidas, juegan un papel en la determinación de los precios de los activos. Inicialmente, toda la información disponible se utiliza para determinar la distribución de probabilidad a priori para DT. El parámetro  representa la velocidad a la que la información sobre el verdadero valor de la DT se revela a medida que avanza el tiempo. Si  es bajo, el valor de DT se oculta efectivamente hasta muy cerca del momento del pago del dividendo; alto, entonces el valor del flujo de efectivo es para todos los propósitos prácticos revelados rápidamente. En el ejemplo que se examina, hemos hecho algunas suposiciones de simplificación que se refieren a: la estructura de la información. Por ejemplo, asumimos que  es constante. En la sección XIII, Sin embargo, consideramos un flujo de información dependiente del tiempo. También hemos supuesto que el dividendo aleatorio DT entra directamente en la estructura del proceso de información, y entra linealmente. Como indicaremos más adelante, una configuración más general y natural es dejar que el proceso de información depende de una variable aleatoria XT que llamamos un “factor de mercado”; a continuación, el dividendo se considera una función del factor de mercado. Este acuerdo tiene el ad- que se generaliza fácilmente a la situación en la que un flujo de caja puede depender de varios factores independientes del mercado, o, de hecho, cuando los flujos de efectivo asociados con los instrumentos tienen uno o más factores en común. Dada la estructura de información de mercado descrita anteriormente para un flujo de caja único, procedemos construir la dinámica de precios asociada. El proceso de precios {St} para una acción en la empresa El pago del dividendo especificado se realiza mediante la fórmula (1). Se supone que el a priori Se conoce la distribución de probabilidad del dividendo DT. Esta distribución se considera parte integrante de los datos iniciales del problema, que en algunos casos pueden ser calibrados a partir del conocimiento del precio inicial del activo junto con otros datos de precios. El problema general de cómo la distribución a priori se obtiene es uno importante — cualquier modelo de fijación de precios de activos tiene que Enfrentar esta cuestión, que aplazamos para su posterior consideración. La distribución inicial no es a ser entendido como determinado “absolutamente”, sino que representa la “mejor estimación” para la distribución dados los datos disponibles en ese momento, de acuerdo con podría llamar a un punto de vista bayesiano. Observamos el hecho de que el proceso de información t} es Markovian (véase Brody et al. [3], y Rutkowski y Yu [22]. Haciendo uso de esta propiedad junto con el hecho de que DT es FT - mensurable deducimos que St = 1{t<T}PtTE [DT t]. 5) Si la variable aleatoria DT que representa el pago tiene una distribución continua, entonces el la expectativa condicional en (5) puede expresarse en la forma E [DT t] = xπt(x) dx. 6) Aquí es la densidad de probabilidad condicional para la variable aleatoria DT: ηt(x) = Q(DT ≤ xt). 7).................................................................................................................................................. Asumimos implícitamente las condiciones técnicas apropiadas para la distribución del dividendo que bastará para garantizar la existencia de las expresiones que se examinan. También, para... venience utilizamos una notación apropiada para distribuciones continuas, aunque correspondientes resultados pueden ser inferidos para distribuciones discretas, o distribuciones más generales, por ligeramente modificar los supuestos y conclusiones enunciados. Teniendo en cuenta estos puntos, observamos que el proceso de densidad de probabilidad condicional para el dividendo se puede calcular mediante el uso de una forma de la fórmula Bayes: ηt(x) = p(x)/23370/(tDT = x) p(x)/23370/(tDT = x)dx . (8) Aquí p(x) denota la densidad de probabilidad a priori para DT, que suponemos se conoce como un condición inicial, y Ł(tDT = x) denota la densidad condicional para la variable aleatoria Teniendo en cuenta que DT = x. Puesto que βtT es una variable aleatoria gaussiana con media cero y varianza t(T − t)/T, deducimos que la densidad de probabilidad condicional para (DT = x) = 2πt(T − t) − (t-tx) 2t(T − t) . (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Insertando esta expresión en la fórmula Bayes obtenemos ηt(x) = p(x) exp T−t(­xát − 2x2t) p(x) exp T−t(­xát − 2x2t) . (10) Así obtenemos el siguiente resultado para el precio del activo: Proposición 1. El proceso de precios basado en la información {St}0≤t≤T de un activo de responsabilidad limitada que paga un único dividendo DT en el momento T con distribución a priori Q(DT ≤ y) = p(x) dx (11) es dada por St = 1{t<T}PtT xp(x) exp T−t(­xát − 2x2t) p(x) exp T−t(­xát − 2x2t) , (12) donde la información sobre el mercado es la información sobre el mercado. V. DINÁMICA DEL PRECIO DEL ACTIVO EN EL CASO DE UN FLORO DE EFECTIVO ÚNICO Con el fin de analizar las propiedades del proceso de precios deducido anteriormente, y para poder para compararlo con otros modelos, tenemos que trabajar en la dinámica de {St}. Uno de los ventajas del modelo considerado es que tenemos una expresión explícita para el precio a nuestra disposición. Así en la obtención de la dinámica necesitamos encontrar el estocástico ecuación diferencial de la cual {St} es la solución. Esto resulta ser un interesante ejercicio porque ofrece algunas ideas sobre lo que entendemos por la afirmación de que el mercado La dinámica de los precios debe considerarse un “fenómeno emergente”. Para obtener la dinámica asociado con el proceso de precios {St} de un activo de pago unidividendo nos deja escribir DTT = E[DT t]. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Evidentemente, DTT puede expresarse en la forma DTT = D(t, t), donde D(, t) está definido por D(, t) = xp(x) exp T−t( 2x2t) p(x) exp T−t( 2x2t) . (14) Un cálculo sencillo haciendo uso de las reglas Ito muestra que la ecuación dinámica para {DtT} es dado por dDtT = T − t T − t - TDT-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T. dd + d ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° . (15) Aquí Vt es la varianza condicional del dividendo: Vt = Et (DT − Et[DT ])2 x2πt(x) dx− xπt(x) dx . 16) Por lo tanto, si definimos un nuevo proceso {Wt}0≤t<T mediante la configuración Wt = t − T − s TDtT − ds, (17) encontramos, después de algún reordenamiento, que dDtT = T − t VtdWt. (18) Para la dinámica del precio de los activos tenemos dSt = rtStdt + ŁtTdWt, (19) donde rt = −d lnP0t/dt es el tipo de cambio corto, y la volatilidad absoluta de los precios • tT = PtT T − t Vt. (20) Una forma ligeramente diferente de llegar a este resultado es la siguiente. Comenzamos con la condi- probabili­dad ηt(x). Entonces, usando la notación anterior, por su dinámica obtenemos dπt(x) = T − t (x-DtT ) (21) Puesto que según (5) el precio del activo es dado por St = 1{t<T}PtT xπt(x) dx, (22) podemos inferir la dinámica de {St} de la dinámica de la probabilidad condicional t(x)}, una vez que tengamos en cuenta la fórmula (16) para la varianza condicional. Como demostraremos más adelante, el proceso {Wt} definido en (17) es un {Ft}-Brownian movimiento. Por lo tanto, desde el punto de vista del mercado es el proceso {Wt} que impulsa la dinámica de precios de los activos. De esta manera nuestro marco resuelve el punto de vista paradójico generalmente adoptado en la modelización financiera en la que {Wt} se considera, por una parte, como "ruido", y sin embargo, por otro lado, también genera el flujo de información del mercado. Y por lo tanto, en su lugar de la hipótesis de la existencia de un proceso impulsor para la dinámica de los mercados, somos capaz, desde la perspectiva de la información, de deducir la existencia de tal proceso. El parámetro flujo de información  determina la magnitud global de la volatilidad. De hecho,  juega un papel análogo al parámetro similar en el Black-Scholes- Teoría Merton. Por lo tanto, podemos decir que la velocidad a la que la información se revela en el el mercado determina la magnitud de la volatilidad. Todo lo demás siendo lo mismo, si nosotros aumentar la tasa de flujo de información, a continuación, la volatilidad del mercado también aumentará. De acuerdo a este punto de vista, aquellos mecanismos que uno podría haber pensado estaban destinados a hacer que los mercados sean más eficientes, por ejemplo, la globalización de los mercados financieros, la reducción del comercio las barreras, la mejora de las comunicaciones, un entorno regulador sólido, etc. el efecto del aumento de la volatilidad del mercado y, por tanto, del riesgo del mercado, en lugar de reducirla. VI. OPCIONES DE LLAMADAS DE ESTILO EUROPEO Antes de pasar a la consideración de flujos de efectivo más generales e información de mercado estructuras, consideremos el precio de un derivado en un activo para el que el proceso de precios se rige por (19). Específicamente, consideramos la valoración de una opción de llamada europea en tal activo, con el precio de huelga K, y ejercitable en una fecha fija t. La opción está escrita en un activo que paga un único dividendo DT en el momento T > t. El valor inicial de la opción es C0 = P0tE (St −K)+ . 23) Insertando la expresión para St derivada en la sección anterior en esta fórmula, obtenemos C0 = P0t E x πt(x)dx−K . (24) Para mayor comodidad escribimos la probabilidad condicional πt(x) en la forma ηt(x) = pt(x) pt(x)dx , (25) donde la densidad “no normalizada” pt(x) está definida por pt(x) = p(x) exp T − t - 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- . 26) Sustituyendo (26) por (24) encontramos que el valor de la opción es C0 = P0tE (PtTx−K) pt(x)dx , (27) donde pt(x)dx. (28) La variable aleatoria 1/Φt se puede utilizar para introducir una medida B en (l,Ft), a la que llamamos la “medida puente”. El precio de la opción se puede escribir: C0 = P0tE (PtTx−K) pt(x)dx . 29).............................................................................................................................................................................................................................................................. La característica especial de la medida del puente, como establecemos en la Sección XIV en un más general context, es que la variable aleatoria t es gaussiana bajo B. En particular, bajo B encontramos que t} tiene media 0 y varianza t(T − t)/T. Puesto que pt(x) se puede expresar como una función Cuando calculamos la expectativa en (29) obtenemos una fórmula traqueable para C0. Para determinar el valor de la opción definimos una constante (el valor crítico) por el condición siguiente: (PtTx−K) p(x) exp T − t - 1 2x2t dx = 0. (30) Entonces la expectativa en (29) se puede realizar y encontramos que el precio de la opción es C0 = P0T x p(x)N − z* + x dx− P0tK p(x)N − z* + x dx, (31) donde N(x) es la función normal de distribución estándar, y T − t , z* = t(T − t) . (32) Vemos que se obtiene una expresión tratable del tipo Black-Scholes-Merton-Merton. Los problema de precios de opción, incluso para p(x) general, se reduce a un problema numérico elemental. Es interesante notar que aunque la distribución de probabilidad para el precio St no es de un tipo “estándar”, sin embargo, el problema de la valoración de las opciones sigue siendo solucionable. VII. EJEMPLOS DE ESTRUCTURAS DE DIVIDENCIA ESPECÍFICAS En esta sección consideramos la dinámica de activos con varias estructuras de dividendos. Primero nos fijamos en un activo simple para el cual el flujo de caja se distribuye exponencialmente. El a priori densidad de probabilidad para DT es así de la forma p(x) = exp (−x/♥), (33) donde ♥ es una constante. Podemos considerar la idea de un pago distribuido exponencialmente como un modelo para la situación donde poco se sabe sobre la distribución de probabilidad de la dividendo, aparte de su media. Entonces de la fórmula (12) encontramos que el precio del activo es: St = 1{t<T}PtT x exp(−x/) exp T−t(­xát − 2x2t) exp(−x/) exp T−t(­xát − 2x2t) . (34) Observamos que S0 = P0T ♥, por lo que podemos calibrar ♥ por el uso del precio inicial. Las integrales en el numerador y denominador en la expresión anterior se puede elaborar explícitamente. Por lo tanto, obtenemos una expresión de forma cerrada para el precio en el caso de un activo simple con un flujo de caja distribuido exponencialmente: St = 1{t<T}PtT B2t /At En N(Bt/ , (35) donde A = 2tT/(T − t) y Bt = TÃ3t/(T − t)− 1. A continuación consideramos el caso de un activo por el que el dividendo único pagado en T es gamma- distribuido. Más específicamente, suponemos que la densidad de probabilidad es de la forma p(x) = (n− 1)! xn−1 exp(x), (36) donde ♥ es un número real positivo y n es un número entero positivo. Esta opción para la probabilidad la densidad también conduce a una expresión de forma cerrada para el precio de la acción. Nos encontramos con que St = 1{t<T}PtT t Fk(−Bt/ k−n+1 n−k−1 t Fk(−Bt/ , (37) donde At y Bt están como arriba, y Fk(x) = zk exp dz. 38) Se puede elaborar una fórmula de recursión para la función Fk(x). Esto es dado por (k + 1)Fk(x) = Fk+2(x)− xk+1 exp , (39) de la cual se deduce que F0(x) = 2γN(−x), F1(x) = e− x2, F2(x) = xe 2γN(−x), F3(x) = (x) 2 + 2)e− x2, y así sucesivamente. En general, las partes polinómicas de {Fk(x)}k=0,1,2,... son relacionados con los polinomios de Legendre. VIII. FACTORES DE MERCADO Y FLUJOS DE EFECTIVO MULTIPLE En esta sección procedemos a considerar la situación más general donde el activo paga múltiples dividendos. Esto nos permitirá considerar una gama más amplia de instrumentos financieros. Escribamos DTk (k = 1,..., n) para un conjunto de dividendos aleatorios pagados en el pre-designado fechas Tk (k = 1,..., n). Posesión del activo en el momento t da derecho al portador al efectivo flujos que ocurren a veces Tk > t. Para la simplicidad asumimos n es finito. Para cada valor de k introducimos un conjunto de variables aleatorias independientes XαTk (α = 1,..., mk), a las que llamamos factores de mercado o factores X. Para cada valor de α suponemos que el factor de mercado XαTk es FTk-mesurable, donde {Ft} es la filtración del mercado. Para cada valor de k, los factores de mercado {XαTj}j≤k representan los elementos independientes que determinar el flujo de caja que se produce en el momento Tk. Por lo tanto para cada valor de k el flujo de caja DTk es se supone que tiene la siguiente estructura: DTk = Tk(X , XαT2,..., X ), (40) donde ŁTk(X , XαT2,..., X ) es una función de j=1mj variables. Por cada flujo de efectivo que es, así que para hablar, el trabajo del analista financiero (o actuario) para determinar el los factores de mercado, y la forma de la función de flujo de efectivo •Tk para cada flujo de efectivo. Con cada uno factor de mercado XαTk asociamos un proceso de información }0≤t≤Tk del formulario tTk = XαTkt+ β . 41) Aquí Tk es un parámetro, y } es un puente browniano estándar sobre el intervalo [0, Tk]. Asumimos que los factores X y los procesos del puente browniano son todos independientes. Los parámetro â € ¢Tk determina la velocidad a la que el factor de mercadoX se revela. El browniano puente representa el ruido asociado. Asumimos que la filtración del mercado {Ft} es gener- atendido por la totalidad de los procesos de información independientes tTk}0≤t≤Tk para k = 1, 2,..., n y α = 1, 2,..., mk. Por lo tanto, el precio del activo es dado por 1{t<Tk}PtTkEt [DTk]. (42) IX. MODELO GEOMÉTRICO DE MOCIÓN BROWNIA La aplicación más simple de la técnica del factor X surge en el caso de la ceja geométrica- Nian modelos de movimiento. Consideramos una compañía de responsabilidad limitada que hace un solo efectivo distribución ST en el tiempo T. Asumimos que ST tiene una distribución log-normal bajo Q, y puede ser escrito en la forma ST = S0 exp rT + / TXT - 12/ , (43) donde el factor de mercado XT se distribuye normalmente con la media cero y la varianza uno, y r > 0 y > 0 son constantes. El proceso de información t} se toma para ser de la forma T = TXT + βtT, (44) donde el puente Browniano tT} es independiente de XT, y donde el caudal de información es de la forma especial . (45) Por el uso de la fórmula Bayes encontramos que la densidad de probabilidad condicional es de la Gaussian forma: ηt(x) = 2η(T − t) 2 T − t) Tx− át , (46) y tiene la siguiente dinámica: dπt(x) = T − t Tx− át ηt(x)dÃ3t. (47) Un breve cálculo muestra entonces que el valor del activo en el tiempo t < T es dado por St = e −r(T−t) Et[ST] = e−r(T−t) Tx− 1 /2Tl(x)dx = S0 exp rt+ t − 12 / . (48) El hecho sorprendente en este ejemplo es que t} en sí mismo resulta ser el proceso de innovación. De hecho, no es demasiado difícil verificar que t} es un movimiento {Ft}-browniano. Por lo tanto, el establecimiento Para 0 ≤ t < T se obtiene el modelo de movimiento browniano geométrico estándar: St = S0 exp rt+ /Wt − 12 / . (49) Vemos por lo tanto que a partir de un proceso de información de la forma (44) somos capaces de recuperar la dinámica familiar de precios de los activos dada por (49). Un punto importante a notar aquí es que el proceso del puente browniano tT } aparece bastante naturalmente en este contexto. De hecho, si empezamos con (49) entonces podemos hacer uso de la siguiente la descomposición ortogonal del movimiento browniano (véase, por ejemplo, Yor [24]: . (50) El segundo término de la derecha, independientemente del primer término de la derecha, es una norma representación para un proceso de puente browniano: βtT = Wt − WT. (51) Así pues, escribiendo XT = WT/ T y  = 1/ T nos encontramos con que el lado derecho de (50) es de hecho la información de mercado. En otras palabras, formulado en el marco basado en la información, el La teoría estándar de Black-Scholes-Merton se puede expresar en términos de una distribución normal Factor X y un proceso independiente de ruido de puente browniano. X. CRECIMIENTO DIVIDENTE Como un ejemplo elemental de una estructura multi-dividendos, vamos a mirar un crecimiento simple modelo de dividendos en los mercados de valores. Consideramos un activo que paga una secuencia de dividendos DTk, donde cada fecha de dividendo tiene un factor X asociado. Que {XTk}k=1,...,n sea un conjunto de factores X independientes, distribuidos de forma idéntica, cada uno con una media de 1 + g. El dividendo estructura se supone que es de la forma DTk = D0 XTj, (52) donde D0 es una constante. El parámetro g puede interpretarse como el factor de crecimiento del dividendo, y D0 puede entenderse que representan el dividendo más reciente antes del tiempo cero. Por el precio del activo que tenemos: St = D0 1{t<Tk}PtTkEt . (53) Dado que los factores X son independientes, la expectativa condicional del producto que aparece en esta expresión se factoriza en un producto de las expectativas condicionales, y cada uno de la expectativa ditional puede ser escrita en la forma de una expresión del tipo que ya tenemos considerándolo. En consecuencia, se nos lleva a una familia tratable de modelos de crecimiento de dividendos. XI. ACTIVOS CON FACTORES COMUNES El modelo de fijación de precios de activos multidividendos introducido en la sección VIII puede ampliarse en una forma muy natural de llegar a la situación en la que se están valorando dos o más activos. En este caso se considera una colección de activos N con procesos de precio {S(i)t }i=1,2,...,N. Con número de activo (i) asociamos los flujos de efectivo {D(i)Tk} pagados en las fechas {Tk}k=1,2,...,n. Observamos que las fechas {Tk}k=1,2,...,n no están vinculados a ningún activo específico, sino que representan la totalidad de posibles Fechas de flujo de efectivo de cualquiera de los activos dados. Si un activo en particular no tiene flujo de caja en una de las fechas, a continuación, se le asigna un flujo de caja cero para esa fecha. A partir de este punto, la teoría procede exactamente como en el caso de un solo activo. Es decir, con cada valor de k asociamos un conjunto de Factores X XαTk (α = 1, 2,..., mk), y un sistema de procesos de información de mercado }. Los Los factores X y los procesos de información no están vinculados a ningún activo en particular. Flujo de caja que se produzca en el momento Tk para el número de activo (i) viene dado por una función de flujo de caja del formulario (XαT1, X ,..., XαTk). (54) En otras palabras, para cada activo cada flujo de efectivo puede depender de todos los factores X que tienen “activado” en ese momento. Por lo tanto, para el modelo general multi-activo tenemos lo siguiente sistema de proceso de precios: 1{t<Tk}PtTkEt . (55) En general, es posible que dos o más activos “compartir” un factor X en asociación con uno o más de los flujos de efectivo de cada uno de los activos. Esto a su vez implica que los diversos activos tendrán al menos un movimiento browniano en común en la dinámica de su precio procesos. Así obtenemos un modelo natural para las estructuras de correlación en los precios de estos activos. La intuición es que a medida que entra nueva información (ya sea “verdadera” o “bogus”) habrá varios activos diferentes todos afectados por las noticias, y como consecuencia ser un movimiento correlacionado en sus precios. XII. ORIGEN DE LA VOLATIDAD ESTOCÁSTICA INMEDIATA Basados en el modelo general introducido en las secciones anteriores, ahora estamos en una posición hacer una observación sobre la naturaleza de la volatilidad estocástica en los mercados de valores. En particular, vamos a mostrar cómo surge un marco natural para la volatilidad estocástica en el marco basado en la información. Esto se logra sin la necesidad de hipótesis ad hoc relativa a la dinámica de la volatilidad estocástica. De hecho, un modelo dinámico muy específico para la volatilidad estocástica se obtiene—llevando así a un posible medio por el cual la teoría propuesta aquí podría ser probado. Resolveremos la volatilidad asociada con la dinámica del proceso de precios de los activos {St} dada por (42). El resultado se da en la Proposición 2. En primer lugar, como un ejemplo, nosotros considerar la dinámica de un activo que paga un único dividendo DT en T. dividendo depende de los factores de mercado {XαT 1,...,m. Para t < T tenemos entonces: St = PtTE X1T,. X • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ............................................. = PtT · · · T (x 1,...., xm) η1tT (x1) · ·?mtT (xm) dx1 · · ·dxm. (56) Aquí las diversas funciones de densidad de probabilidad condicional â € tT (x) para α = 1,..., m son • tT (x) = pα(x) exp • x tT − 12 α)2 x2t pα(x) exp • x tT − 12()2 x2t , (57) donde pα(x) denota la función de densidad de probabilidad a priori para el factor XαT. La deriva de {St}0≤t<T se da por la tasa corta. Esto se debe a que Q es la medida neutral de riesgo, y no dividendo se paga antes de T. Por lo tanto, nos quedamos con el problema de determinar la volatilidad de {St}. Encontramos que para t < T la ecuación dinámica de {St} asume la forma: dSt = rtStdt + • tTdW t. (58) Aquí el término de volatilidad asociado con el número de factor α es dado por TDT = TDT = TDT = TDT = TDT = TDT = TDT = TDT = TDT T − t PtT Cov X1T,. X , XαT , (59) y {W αt} denota el movimiento browniano asociado con el proceso de información t }, como definido en (17). La volatilidad absoluta de {St} es de la forma ( tT ) . (60) Para la dinámica de un activo pagador de un solo dividendo multifactor podemos escribir dSt = rtStdttdZt, donde el movimiento {Ft}-Brownian {Zt} que impulsa el proceso activo-precio es # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # s. (61) El punto a tener en cuenta aquí es que en el caso de un modelo de múltiples factores obtenemos un unhedgeable volatilidad estocástica. Es decir, aunque el precio de los activos está en efecto impulsado por una sola Movimiento browniano, su volatilidad en general depende de una multiplicidad de movimientos brownianos. Esto significa que, en general, una posición de opción no puede cubrirse con una posición en la activos subyacentes. Los componentes del vector de volatilidad son dados por las covarianzas de el flujo de caja y los factores independientes del mercado. Así pues, la volatilidad estocástica inalterable Surge de la multiplicidad de elementos inciertos en el mercado que afectan el valor de el futuro flujo de caja. Como consecuencia vemos que en este marco obtenemos un explicación del origen de la volatilidad estocástica. Este resultado puede ser contrastado con, por ejemplo, el modelo Heston [12], que a pesar de su popularidad sufre del hecho de que es de naturaleza ad hoc. Lo mismo se puede decir de los diversos generalizaciones del modelo Heston utilizado en aplicaciones comerciales. El enfoque de la La volatilidad estocástica propuesta en el presente documento es, por lo tanto, de un nuevo carácter. Expresión (58) generaliza el caso en el que el activo paga un conjunto de dividendos DTk (k = 1,..., n), y para cada k el dividendo depende de los factores X α=1,...,mj j=1,...,k }. El resultado puede ser Se resume de la siguiente manera. Proposición 2. El proceso de precios de un activo multidividendo tiene la siguiente dinámica: dSt = rt St dt + 1{t<Tk} *KTk* Tk − t PtTk Cov DTk, X dW αkt DTkd1{t<Tk}, (62) donde DTk = فارسىTk(X , XαT2, · · ·, X ) es el dividendo en el momento Tk (k = 1, 2,..., n). XIII. FLUJO DE INFORMACIÓN TIEMPODEPENDIENTE Ahora consideramos una generalización del material anterior a la situación en la que la La tasa de flujo de información varía en el tiempo. El problema que depende del tiempo es de importancia para muchos circunstancias. Por ejemplo, normalmente habrá más actividad en un mercado durante el día que por la noche — tal consideración es importante para las inversiones a corto plazo. Alternativamente, puede ser que el informe anual de una empresa vaya a publicarse en un día determinado — en En este caso se puede disponer de mucha más información sobre el futuro de la empresa en ese día de lo normal. Comenzamos nuestro análisis del caso dependiente del tiempo considerando la situación donde hay un único flujo de caja DT que ocurre en T, y el factor de mercado asociado es el efectivo fluir por sí mismo. De esta manera podemos centrar nuestra atención en los problemas matemáticos que surgen de la dependencia del tiempo del caudal de información. Una vez que se han tratado estas cuestiones, nosotros tendrá en cuenta estructuras de flujo de efectivo más complicadas. Para el proceso de información de mercado proponemos una expresión de la forma • t = DT sds+ βtT, (63) donde la función s}o≤s≤T se considera determinista y no negativa. Asumimos que 2sds < فارسى. El proceso de precio {St} del activo es entonces dado por St = 1{t<T}PtTE [DT Ft ]. (64) donde la filtración del mercado se supone, como en las secciones anteriores, que es generada por el proceso de información. Nuestra primera tarea es elaborar la expectativa condicional en (64). Esto puede lograrse mediante una técnica de cambio de medidas, que se describirá en la sección XIV. Lo hará. ser útil, sin embargo, para indicar el resultado en primer lugar. Definimos la densidad de probabilidad condicional proceso t(x)} mediante el ajuste ηt(x) = Q (DT ≤ x Ft). (65) Se obtiene el siguiente resultado: Proposición 3. Que el proceso de información t} sea dado por (63). Entonces el condicional proceso de densidad de probabilidad t(x)} para la variable aleatoria DT es dada por ηt(x) = p(x) e x( 1T−t sds+ - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - - - - - - - - - - - 1; - 1; - 1; - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - 1 - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - sds) 2sds p(x) e x( 1T−t sds+ - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - - - - - - - - - - - 1; - 1; - 1; - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - 1 - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - sds) 2sds . (66) Deducimos inmediatamente de la Proposición 3 que la expectativa condicional del azar variable DT es DTT = xp(x) e x( 1T−t sds+ - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - - - - - - - - - - - 1; - 1; - 1; - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - 1 - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - sds) 2sds p(x) e x( 1T−t sds+ - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - - - - - - - - - - - 1; - 1; - 1; - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - 1 - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - sds) 2sds . (67) El proceso de precios asociado {St} es dado por St = 1{t<T}PtTDtT. XIV. CAMBIOS EN LA MEDIDA DE LOS PUERTOS BROWNIAN Dado que el proceso de información es un puente browniano con una deriva aleatoria, vamos a requerir fórmulas relativas a un puente browniano con deriva en una medida a un puente browniano estándar en otra medida para establecer la Proposición 3. Procedemos de la siguiente manera. Primero recordamos un pozo... representación integral conocida para el puente browniano. Deje que el espacio de probabilidad (................................................................................................................. ser dado, con una filtración {Gt}0≤t, y dejar que {Bt} sea un movimiento estándar {Gt}-browniano. Entonces el proceso tT}, definido por βtT = (T − t) T − s dBs, (68) para 0 ≤ t < T, y por βtT = 0 para t = T, es un puente browniano estándar sobre el intervalo [0, T] Expresión (68) converge a cero como t → T ; véase, por ejemplo, Karatzas y Shreve [16], Protter [21]). La filtración {Gt} es mayor que la filtración del mercado {Ft}. En particular, ya que tT} está adaptado a {Gt} podemos pensar en {Gt} como la filtración que describe la información disponible para un “insider” que puede distinguir entre lo que es ruido y lo que no lo es. Dejar que DT sea una variable aleatoria en (.......................................................................................................................................................................................................................................................... Asumimos que el DT es mensurable y que DT es independiente de tT}. Por lo tanto, el valor de DT se conoce “todo el tiempo” al iniciado, pero no al típico participante en el mercado. Para la simplicidad en lo que sigue suponemos que DT es limitado; esta condición se puede relajar con la introducción de un adecuado tipo Novikov condición; pero no vamos a seguir la situación más general aquí. Definir el determinista proceso no negativo t}0≤t≤T por vt = t + T − t sds, (69) y dejar que t} se defina como en (63). Definimos el proceso t}0≤t<T por la relación = exp vsdBs − 12D /2sds . (70) Con estos elementos en la mano, fijamos un horizonte temporal U â € (0, T ) e introducimos una probabilidad medida B sobre GU por la relación dB = 1U dQ. (71) Entonces tenemos los siguientes hechos: (i) El proceso {W ∗t }0≤t<U definido por W ∗t = DT vsds+Bt (72) es un movimiento B-Browniano. (ii) El proceso t} definido por (63) es un puente B-Brownian y es independiente de DT. iii) La variable aleatoria DT tiene la misma ley de probabilidad con el respeto de B y Q. iv) La expectativa condicional de cualquier función integrable f (DT ) de la variable aleatoria DT se puede expresar en la forma Q[f(DT )F t ] = f (DT ) # F # t # # F # t # ]. (73) Observamos que la medida B es independiente de la elección específica del horizonte temporal U en la sensación de que si B se define en GU ′ para algunos U ′ > U, entonces la restricción de esa medida a GU está de acuerdo con la medida B tal como ya se ha definido. Cuando decimos que t} es un puente B-Brownian lo que queremos decir, más precisamente, es que 0 = 0, que t} es B-Gaussian, que EB[t] = 0, y que B[st] = s(T − t) para 0 ≤ s ≤ t ≤ U. Así, con respecto a la medida B, el proceso t}0≤t≤U tiene la propiedades de un estándar [0, T ]-Brownian puente que ha sido truncado en el momento U. El hecho que t} es un puente B-Brownian puede ser verificado de la siguiente manera. Para (63), (68) y (72) tenemos • t = DT sds+ (T − t) T − s sds+ (T − t) T − s (dW ∗ −DT vsds) (T − t) T − s + (T − t) T − s dW*s = (T − t) T − s dW*s, (75) donde en el paso final usamos la relación T − s vsds = T − t - Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí., sí, sí., sí., sí., sí., sí, sí, sí., sí., sí, sí., sí.., sí.., sí..., sí...., sí...., sí......,..................................................................... (76) Esta fórmula se puede verificar explícitamente por diferenciación, que luego nos da (69). En (75) Vemos que a t} se le ha dado la representación integral estándar de un puente browniano. Observamos, por cierto, que (73) se puede pensar en una variación del Kallianpur-Striebel fórmula que aparece en la literatura de filtrado no lineal (véase, por ejemplo, Bucy y José [4], Davis y Marcus [7], Fujisaki y otros. [9], Kallianpur y Striebel [15], Krishnan [17], Liptser y Shiryaev [18]). XV. DERIVACIÓN DE LA DENSIDAD CONDICIONAL Hemos introducido la idea de los cambios de medida asociados con los puentes brownianos en para introducir la fórmula (73), que implica el proceso de densidad t}, que en (70) es definido en términos del movimiento Q-Browniano {Bt}. Por otro lado, las expectativas en (73) son condicionales con respecto a la información generada por t}. Por lo tanto, será conveniente para expresar t} en términos de t}. Para hacer esto sustituimos (72) en (70) para obtener Øt = exp − 12D /2sds . (77) Entonces observamos, diferenciando (75), que • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • T − t dt+ dW*t. (78) Sustituyendo esta relación en (77) obtenemos Øt = exp & sdès + T − s Asunto C-372/99 Comisión / Reino de los Países Bajos /2sds . (79) En principio, en este punto todo lo que tenemos que hacer es sustituir (69) por (79) para obtener la resultado para t}. En la práctica, puede lograrse una mayor simplificación. Con este fin, tomamos nota que tomando el diferencial del coeficiente de DT en el exponente de (79) obtenemos & sdès + T − s Asunto C-372/99 Comisión / Reino de los Países Bajos dÃ3t + T − t T − t dÃ3t + T − t T − t sds+ sdós . (80) A continuación, la integración de ambos lados de (80) obtenemos: & sdès + T − s Asunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos T − t sds+ ........................................................................................................................................................................... (81) Del mismo modo, tomando el diferencial del coeficiente de −1 D2T en el exponente de (79) y haciendo uso de (69), encontramos v2t dt = 2t + 2 T − t sds+ (T − t)2 T − t 2sds . (82) Por lo tanto, al integrar ambos lados de (82) obtenemos una identidad para el coeficiente de −1 D2T. Se sigue en virtud de las dos identidades acaba de obtener que t} se puede expresar en términos de t}. Más explícitamente, tenemos Øt = exp T-t-ñ-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t- sds+ sdós 2sds . (83) Tenga en cuenta que al transformar (79) en (83) hemos eliminado un término que tiene t} en el Integrand, logrando así una simplificación considerable. La Proposición 3 puede entonces deducirse si usamos la ecuación (76) y la relación básica Q (DT ≤ x Ft) = EQ 1{DT≤x} . (84) En particular, dado que DT y t} son independientes bajo la medida puente, en virtud de (73), (83) y (84) obtenemos Q (DT ≤ x Ft) = p(y) e y( 1T−t sds+ - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - - - - - - - - - - - 1; - 1; - 1; - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - 1 - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - sds) 2sds p(y) e y( 1T−t sds+ - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - - - - - - - - - - - 1; - 1; - 1; - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - 1 - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - sds) 2sds , (85) de la cual inferimos inmediatamente la Proposición 3 por diferenciación con respecto a x. Concluimos esta sección señalando que una expresión alternativa para t(x)}, escrita en términos de {W ∗t }, es dada por ηt(x) = p(x) exp u − 12x /2udu p(x) exp - 12x2 /2udu . (86) XVI. RELACIONES DE CONSISTENCIA Antes de proceder a analizar en detalle la dinámica del proceso de precios {St}, primero nos establecerá una relación de coherencia dinámica útil satisfecha por los precios obtenidos en el marco basado en la información. Por “coherencia” tenemos en mente lo siguiente. Supón que reiniciamos el proceso de información en un momento intermedio s • (0, T ) especificando el valor de la información en ese momento. Para que el marco sea dinámicamente coherente, Exigimos que el resto del período [s, T] admita una representación en términos de un proceso de información “renormalizado” adecuado. Concretamente, tenemos: Proposición 4. Deja que 0 ≤ s ≤ t ≤ T. La probabilidad condicional πt(x) se puede escribir en términos de la probabilidad condicional intermedia ηs(x) en la forma ηt(x) = ηs(x) e x( 1T−t ηt udu+ udnu)− 1 udu) 2udu ηs(x) e x( 1T−t ηt udu+ udnu)− 1 udu) 2udu , (87) donde u = u + T − s vdv (88) es el índice de flujo de información del mercado reinicializado, y ηt = t − T − t T − s • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • es el proceso de información reinicializado. El hecho de que t}s≤t≤T representa el proceso de información actualizada que conecta el intervalo [s, T] se puede ver como sigue. Primero observamos que ηs = 0 y que ηT = T. Sustitución (63) en (89) encontramos que ηt = DT udu+ γtT, (90) donde u es tal como se define en (88), y γtT = βtT − T − t T − s βsT. 91) Un cálculo haciendo uso de la covarianza del puente browniano tT} muestra que el El proceso gaussiano tT}s≤t≤T es un puente browniano estándar sobre el intervalo [s, T ]. Por lo tanto, sigue que t} es el puente de información interpolando el intervalo [s, T ]. Para verificar (87) observamos que (86) se puede escribir en la forma ηt(x) = ηs(x) exp u − 12x /2udu ηs(x) exp - 12x2 /2udu . (92) La identidad (80) implica entonces que T − t udu+ Ôudóu + T − t T − s T − t udu+ udηu, (93) donde hemos hecho uso de (88) y (89). Del mismo modo, (81) implica que /2udu = T − t T − s 2udu T − t udu 2udu. (94) La sustitución de (93) y (94) por (92) establece (87). En particular, la forma de (87) es idéntico a la fórmula original (66), modulo de la renormalización indicada de los informes el proceso de toma de decisiones y el índice de flujo de información asociado. XVII. DIVIDENCIA ESPERADA El objetivo de las secciones XIII, XIV y XV era obtener una expresión para el expectación (13) en el caso de un activo monodividendo en el caso de un activo dependiente del tiempo tasa de flujo de información. Por lo tanto, en el análisis del proceso de precios asociado será útil para elaborar la dinámica de la expectativa condicional del dividendo. En particular, una aplicación de la regla de Ito a (67), después de algún reordenamiento, muestra que dDtT = νtVt T − t - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. ddt+ vtVtdÃ3t, (95) donde {Vt} es la varianza condicional de la variable aleatoria DT, dada por (16). Déjanos definir un nuevo proceso {Wt} por Wt = t + T − s â € ¢sdsâ â € € TM - DsTds. (96) Nos referimos a {Wt} como el “proceso de innovación”. De la definición de {Wt} se desprende que dDtT = νtVt dWt. (97) Dado que {DtT } es un {Ft}-martingale nos llevan a conjeturar que {Wt} también debe ser un {Ft}-martingale. De hecho, tenemos el siguiente resultado: Proposición 5. El proceso {Wt} definido por (96) es un movimiento {Ft}-browniano bajo Q. Prueba. Tenemos que establecer que (i) {Wt} es un {Ft}-martingale, y que (ii) (dWt)2 = dt. Escribiendo Et[−] = EQ[Ft] y dejando t ≤ u tenemos Et [Wu] = Et [u] + Et T − s /DsTds . (98) Dividir los dos segundos términos a la derecha en integrales entre 0 y t, y entre t y u, obtenemos Et [Wu] = Et[u] + T − s â € ¢sdsâ â € € TM /DsTds T − s Et[s]ds− \ ~ ~ Et[DsT]ds. ~. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ (99) La propiedad martingale de la expectativa condicional implica que Et[DsT ] = DtT para t ≤ s, que nos permite simplificar el último término. Para simplificar la expresión de la expectativa Para t ≤ s utilizamos la propiedad de la torre: Et[βsT ] = Et[E[βsT HT, βtT ]] = Et[E[βsT tT ]]. (100) Para calcular la expectativa interna E[βsT tT ] aquí utilizamos el hecho de que la variable aleatoria βsT/(T − s)− βtT/(T − t) es independiente de βtT y deduce que E[βsT tT] = T − s T − t βtT, (101) de la cual se deduce que Et [βsT] = T − s T − t Et[βtT]. (102) Como resultado obtenemos Et[s] = DtT vdv + T − s T − t Et[βtT]. (103) También recordamos la definición de {Wt} dada por (96), que implica que T − s â € ¢sdsâ â € € TM /sDsTds = Wt −......................................................................................................................................................................................................................................................... (104) Por lo tanto, sustituyendo (103) y (104) en (99) obtenemos Et [Wu] = DTT sds+Wt − ­t +DtT T − s ds−DtT +Et[βtT ]. (105) A continuación dividimos el primer término en una integral de 0 a t y una integral de t a u, y nos insertar la definición (69) de t} en el quinto término. El resultado es: Et [Wu] = Wt +DtT sds+ Et[βtT]− فارسىt. (106) Por último, si hacemos uso del hecho de que t = Et[t], y por lo tanto que • t = DTT sds+ Et[βtT ], (107) Vemos que {Wt} satisface la condición martingale. Por otra parte, en virtud de (96) tenemos (dWt) 2 = dt. Concluimos que {Wt} es un movimiento {Ft}-browniano bajo Q. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. XVIII. PRECIOS DE ACTIVO Y PRECIOS DERIVADOS Ahora estamos en condiciones de considerar con más detalle la dinámica del proceso de precios de un activo que paga un único dividendo DT en el caso de un flujo de información dependiente del tiempo. Por {St} tenemos St = 1{t<T}PtTDtT, o equivalente St = 1{t<T}PtT xp(x) e x( 1T−t sds+ - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - - - - - - - - - - - 1; - 1; - 1; - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - 1 - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - sds) 2sds p(x) e x( 1T−t sds+ - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - 1; - 1; - 1; - - 1; - - - - - - - - - - - 1; - 1; - 1; - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - - - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - 1 - - - - - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - sds) 2sds . (108) Un cálculo haciendo uso de (97) muestra que para la dinámica del precio que tenemos dSt = rtStdt + ŁtTdWt, (109) donde la volatilidad de los precios de los activos es dada por ­tT = νtPtTVt, donde Vt es la varianza condicional del dividendo, dado por (16). Debe ser evidente en virtud de su definición que {Vt} es un supermartingale. Más específicamente, para la dinámica de {Vt} obtenemos dVt = 2t V 2t dt+ νtldWt, (110) donde ­t denota el tercer momento condicional de DT, dado por ­t = Et [(DT −DtT )3]. Aunque hemos derivado (108) asumiendo que el proceso de precios es inducido por el información de mercado t}, el resultado a mostrar en la sección XIX demuestra que podemos considerar la ecuación dinámica (109) para el proceso de precios como dado, y luego deducir el estructura de la información subyacente. La interpretación basada en la información del mod- elling marco, sin embargo, es más atractivo. De acuerdo con esta interpretación hay un flujo de información de mercado, que está a disposición de todos los participantes en el mercado y está representado por la filtración generada por t}. Dada esta información, cada participante "actuará", en nuestra interpretación, con el fin de minimizar la varianza futura de P&L ajustada al riesgo asociada con el flujo de caja considerado. El futuro P&L está determinado por el valor de DT, y la estimación de DT que minimiza su varianza se da efectivamente por la expectativa condicional (13). Al descontar esta expectativa con PtT recuperamos el proceso de precio {St}. Observamos que tT } es “infinitamente estocástico” en el sentido de que todo el orden superior volatilidades (la volatilidad de la volatilidad, y así sucesivamente) son estocásticos. Estos de orden superior las volatilidades tienen una interpretación natural: la volatilidad del precio de los activos está determinada por la varianza del flujo de caja aleatorio; la volatilidad de la volatilidad es determinada por el sesgo de DT ; su volatilidad está determinada por la kurtosis de DT ; y así sucesivamente. El hecho de que el precio de los activos en la medida puente es dada por una función de un Gaussian variable aleatoria significa que el precio de los derivados es numéricamente sencillo. Nosotros han visto esto en el caso de un flujo de información constante, pero el resultado se mantiene en el caso dependiente del tiempo también. Por ejemplo, considere una opción de convocatoria al estilo europeo con huelga K y vencimiento t, donde t ≤ T, para el cual el valor es (23). Si expresamos el precio de los activos St en la fecha de vencimiento de la opción en términos de la moción B-Brownian {W *t } encontramos C0 = P0tE (PtTx−K)p(x) exp − 12x /2sds , (111) donde p(x) exp − 12x /2sds dx. (112) Para proceder, utilizaremos el factor 1/Φt en (111) para hacer un cambio de medida en. La idea es la siguiente. Fijamos un horizonte de tiempo u en o más allá de la opción de vencimiento pero antes el vencimiento del bono, así t ≤ u < T, y definir un proceso t}0≤t≤u mediante el uso de la expresión (112), donde ahora dejamos variar en el rango [0, u]. Mediante una aplicación de Ito cálculo en (112) Vemos que dΦt = νtDtTΦt dW t. Por otra parte, se deduce de (78) y (96) que la El movimiento B-Browniano {W *t } y el movimiento Q-Browniano {Wt} están relacionados por dW ∗t = dWt + νtDtTdt. (113) Por lo tanto, en términos de {Wt} tenemos dΦt = / tTΦttdt + νtDtTΦt dWt, (114) de la cual se deduce que d1t = tDtT1t dWt. (115) En la integración deducimos 1t = exp DsT dWs − 12 sT ds . (116) Puesto que sDsT} está limitado, y s ≤ u < T, vemos que 1s }0≤s≤u es un Q-martingale con EQ[1t ] = 1, donde t es la fecha de vencimiento de la opción. Por lo tanto, el factor 1/Φt en (111) puede ser utilizado para efectuar un cambio de la medida Q → B en (­, Ft). Observamos que mientras que en el espacio (l,Gt) es el proceso t} introducido en (70) que define el cambio de medida de B y Q, en (l,Ft) es Φt = EQ[tFt] que define el cambio de medida pertinente. En consecuencia, por cambiar la medida en (111) obtenemos C0 = P0tE (PtTx−K)p(x) exp − 12x /2sds . (117) Este resultado debe compararse con (27). Observamos que en el puente medir la expresión s es una variable aleatoria gaussiana con media cero y varianza 2t = /2sds = T − t 2sds. (118) Aquí hemos usado la relación (82). Por lo tanto, si nos fijamos Y = 1t s, (119) De ahí se deduce que Y es B-Gaussian. Por el precio de la llamada que tenemos C0 = P0tE (PtTx−K)p(x)e•txY− 2t x , (120) y, por lo tanto, C0 = P0t (PtTx−K)p(x)e•txy− 2t x dy. (121) Observamos que existe un valor crítico y = y* tal que el argumento del “plus” función desaparece en la expresión de arriba. Así y* es dado por (PtTx−K)p(x) eŁtxy 2t x dx = 0. (122) Como consecuencia, el precio de la llamada se puede escribir C0 = P0t (PtTx−K)p(x)e•txy− 2t x dy. (123) La integración en la variable y se puede realizar, y se deduce el siguiente represen- para el precio de la llamada: C0 = P0t (PtTx−K)p(x)N(­tx− y*)dx. (124) Cuando el flujo de caja está representado por una variable aleatoria discreta y el flujo de información tasa es constante, este resultado se reduce a una expresión equivalente a la fórmula de precios de opción derivados en Brody et al. [3]. Si el flujo de caja es una variable aleatoria continua y la flujo de información es constante y luego recuperamos la expresión (31) dada en la sección IV (ver también Rutkowski y Yu [22]). Concluimos esta sección con la observación de que la simulación de {St} es sencilla. Primero, generamos una trayectoria browniana, y formamos el puente browniano asociado tT ()}. A continuación, seleccionamos un valor para DT por un método consistente con la densidad de probabilidad a priori p(x), y sustitúyalos en la fórmula ­t(­) = DT (­) sds + βtT (­) para alguna elección de t}. Finalmente, la sustitución de t()} en (108) nos da una ruta simulada {St()}. Los estadísticas del proceso {St} se obtienen repitiendo este procedimiento, cuyos resultados puede ser utilizado para precios derivados, o para calibrar la tasa de flujo de información t}. XIX. EXISTENCIA DEL PROCESO DE INFORMACIÓN Ahora consideramos lo que podría llamarse el “problema inverso” de los activos basados en la información precios. La idea es comenzar con el proceso de densidad condicional t(x)} y construir de él los grados independientes de libertad representados por el factor X DT y el ruido tT}. La configuración es la siguiente. En el espacio de probabilidad (,F,Q) dejar {Wt} ser un browniano movimiento y dejar que {Ft} sea la filtración generada por {Wt}. Que DT sea FT - mensurable, y que t(x)} denote el proceso de densidad de probabilidad condicional asociado. Asumimos que t(x)} satisface la ecuación diferencial estocástica (x) = (x-DtT)(x) dWt, (125) con la condición inicial η0(x) = p(x), donde t} es dada por (69), y donde DTT = xπt(x) dx. (126) Definimos el proceso t} como sigue: T = (T − t) T − s dWs + vsDsTds . (127) Entonces tenemos el siguiente resultado: Proposición 6. Las variables aleatorias DT y βtT = •t − DT Los ♥sds son independientes de Q para todos los t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t-t Además, el proceso tT} es un puente Q-Brownian. Prueba. Para establecer la independencia de DT y βtT basta con verificar que Q[exβtT+yDT] = EQ[exβtT]EQ[eyDT] (128) para x arbitraria, y. Usando la propiedad de la torre que tenemos Q[exβtT+yDT] = EQ exât E e(y−x sds)DT , (129) donde hemos insertado la definición de βtT dada en la declaración de la Proposición. Nosotros considera primero la expectativa interior. De la ecuación (73) para la expectativa condicional de una función de DT deducimos que e(y−x sds)DT = 1t p(z) e(y−x sds)z ez u− 12z /2ududz, (130) donde el proceso t} es definido por (112). Ahora cambiamos la medida de probabilidad de Q a B, de modo que el término 1t que aparece en (130) cae para darnos exât E e(y−x sds)DT p(z) e(y−x sds)z ez u− 12 z /2ududz p(z)EB ex (T-t) dW*s +(y−x sds)z+z s − 12 z /2sds p(z) e(y−x z− 1 v2sds+ α2sds E − 12 α2sds dz, (131) donde αs = x(T − t)/(T − s) + zvs, y por lo tanto Q[exβtT+yDT] = p(z) e(y−x z− 1 v2sds+ α2sdsdz (132) Además, haciendo uso de la relación (76) que tenemos sds− 12z v2sds + α2sds = exp t(T − t) . (133) En consecuencia, de (132) se desprende que exβtT+yDT p(z) eyzdz t(T − t) . (134) Esto establece la independencia de tT} y DT. La factorización (134) también muestra que el proceso tT } es Q-Gaussian, con media cero y varianza t(T − t)/T. Para establecer que tT} es un puente browniano, debemos demostrar que para s ≤ t la covarianza de βsT y βtT se da por s(T − t)/T. Alternativamente, basta con analizar la función de generación de momento E[exβsT+yβtT ]. Procedemos de la siguiente manera. En primer lugar, el uso de la propiedad de la torre que tenemos exβsT+yβtT exás+yát−(x udu+y udu)DT exáaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa udu+y udu)DT . (135) A continuación, por el uso de la fórmula (73), la expectativa interior se puede llevar a cabo para dar exβs+yβtT + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + p(z) e−(x udu+y udu)z ez u− 12z /2ududz .(136) Si cambiamos la medida de probabilidad a B la variable aleatoria Φt en las caídas del denominador fuera, y tenemos exβs+yβtT p(z) e−(x udu+y udu)z− 1 /2udu E + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + dz. (137) Consideremos primero la expectativa interior. Al definir au = x(T − s)/(T − u) y bu = y(T − t)/(T − u) + z vu podemos escribir + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + . (138) Sin embargo, puesto que {W ∗t } es un movimiento B-Brownian, utilizando las propiedades de Gaussian aleatorio variable encontramos que = exp a2udu+ b2udu+ 2 aubudu . (139) Sustitución de las definiciones de {au} y {bu} por el lado derecho de (139) y combinación de la resultado con los términos restantes en el exponente del lado derecho de (137) encontramos que el términos que implican la variable de integración z abandonar, y nos quedamos con la integral de la función de densidad p(z), que es unidad. Reunir los términos restantes que obtenemos exβsT+yβtT = exp s(T − s) t(T − t) + 2xy s(T − t) . 140) De ello se deduce que la covarianza de βsT y βtT para s ≤ t está dada por exβsT+yβtT x=y=0 s(T − t) . (141) Esto establece la afirmación de que tT} es un puente Q-Brownian. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. El resultado anterior muestra que, para la clase de procesos de precios que estamos considerando, incluso si al principio tomamos el punto de vista “usual” en la modelización financiera, y consideramos el precio proceso del activo como adaptado a alguna filtración “prespecificada”, sin embargo es posible deducir la estructura del modelo basado en la información subyacente. XX. MODELOS MULTI-FACTOR CON UNA INFORMACIÓN DEPENDIENTE DEL TIEMPO RÉGIMEN DE FLUJO Pasemos ahora a considerar el caso de un único flujo de cajaDT que depende de unamultiplicidad de factores de mercado {XαTk} α=1,...,mk k=1,...,n, donde tenemos las fechas de información pre-designadas n {Tk}k=1,2,...,n, y donde para cada valor de k tenemos un conjunto de factores de mercado de mk. Para simplificar establecemos T = Tn. Cada factor de mercado X está asociado con un proceso de información tTk = X â € TM sTkds+ β , (142) donde XαTk y } son independientes. Debe ser evidente que aunque el azar variable DT que representa el flujo de caja es FT - mensurable, los valores de algunos de los factores X de la cual depende puede ser revelado en épocas anteriores. Es decir, las incertidumbres derivados de algunos de los elementos económicos que afectan al valor del flujo de caja en el momento T puede resolverse antes de ese momento. Dado que los factores X son independientes, se deduce que, para cada factor de mercado, el el proceso de densidad condicional â € tTk(x) toma la forma dada en (66), y el correspondiente ecuación dinámica es dada por Asunto C-372/99 Comisión / Reino de los Países Bajos xαk − EQ XαTk Ft # tTk dW # t. (143) La función "tTk" que aparece aquí está dada por una expresión de la forma (69): tTk =  Tk − t # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (144) El proceso de innovación {W αkt } se define en términos de tTk} a través de una relación de la forma W αkt = Tk − s sTkds− # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # TkX # # ds. (145) La expectativa condicional EQ[DT Ft] es así dada por la integral multidimensional DTT = · · · T (x 1,..., x 1,. .., x n,. .., x * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 ) · · tn(x1n) · · tn(xmnn ) dx11 · · · dx 1 · · · dx1n · · dxmnn, (146) y el precio del activo para t < T es St = PtTDtT. Una aplicación directa de Ito a continuación, la regla establece el siguiente resultado: Proposición 7. El proceso de precios {St}0≤t<T de un activo que paga un único dividendo DT en el momento T (= Tn) dependiendo de los factores de mercado {XαTk} α=1,2,...,mk k=1,2,...n, satisface la dinámica ecuación dSt = rtStdt+ TkCovt[DT, X ] dW αkt, (147) donde DT = T XαT1,. X . (148) Aquí Covt[DT, X ] denota la covarianza entre el flujo de caja DT y el factor de mercado XαTk, condicionado a la información Ft generada por los procesos de información }0≤s≤t. En el caso más general de un activo que paga múltiples dividendos (véase la sección VIII) precio es dado por 1{t<Tk}PtTkE {XαTj} α=1,2,...,mj j=1,...,k . (149) Proposición 8. El proceso de precios {St} de un activo que paga los dividendos aleatorios DTk en las fechas Tk (k = 1,..., n) satisface la ecuación dinámica dSt = rtStdt+ 1{t<Tk Covt[DTk, X ] dW αkt Tkd1{t<T}, (150) donde DTk = ­Tk {XαTj} α=1,...,mj j=1,...,k . (151) Aquí Covt[DTk, X ] denota la covarianza entre el dividendo DTk y el factor de mercado XαTk, condicionado a la información de mercado Ft. Llegamos a la conclusión de que la situación multifactorial, multidividendo es totalmente tratable cuando el Los tipos de flujo de información asociados a los diversos factores del mercado dependen del tiempo. A la simple extensión de la Proposición 8 nos permite formular la dinámica de precios conjunta de un sistema de activos, cuyos flujos de dividendos asociados pueden depender del mercado común factores. En consecuencia, surge un modelo específico de volatilidad y correlación estocástica para un sistema de activos de este tipo, y es una de las principales conclusiones de este documento que un modelo puede ser formulado. El enfoque basado en la información “factor X” presentado aquí por lo tanto ofrece una nueva visión de la naturaleza de la volatilidad y la correlación, y como tal puede encontrar aplicaciones en una serie de ámbitos diferentes de análisis del riesgo financiero. Tenemos en mente, en en particular, aplicaciones a carteras de acciones, carteras de crédito y seguros, todos ellos presentar efectos de correlación intertemporales en el mercado. También tenemos en mente el problema de la una amplia gestión de riesgos y una asignación óptima de capital para las entidades bancarias. Agradecimientos. Los autores agradecen a T. Bielecki, T. Björk, I. Buckley, H. Bühlmann, S. Carter, I. Constantinou, M. Davis, J. Dear, A. Elizalde, B. Flesaker, H. Geman, V. Hen- Derson, D. Hobson, T. Hurd, M. Jeanblanc, A. Lokka, J. Mao, B. Meister, M. Monoyios, M. Pistorius, M. Rutkowski, D. Taylor, y M. Zervos para estimular las discusiones. Los autores también agradecen los comentarios útiles hechos por los participantes en el seminario en reuniones en las que se han presentado partes de este trabajo, entre ellas: Conferencia sobre finanzas cuantitativas, julio de 2005, Isaac Newton Institute, Cambridge; ematics in Finance, agosto de 2005, Kruger National Park, RSA; la Escuela de Matemáticas computacionales y aplicadas, Universidad de Witwatersrand, RSA, agosto 2005; CEMFI (Centro de Estudios Monetarios y Financieros), Madrid, octubre de 2005; Departamento de Matemáticas y Estadística Actuariales, Universidad de Heriot-Watt, diciembre 2005; el Departamento de Matemáticas, King’s College de Londres, diciembre de 2005; el Banco de Japón, Tokio, diciembre de 2005; y Nomura Securities, Tokio, diciembre de 2005. DCB reconoce el apoyo de la Royal Society; LPH y AM reconocen el apoyo de EPSRC (subvención número GR/S22998/01); AM agradece a la Autoridad de Educación Pública de la Cantón de Berna, Suiza, y el sistema de ORS de las universidades del Reino Unido, para apoyo. Referencias. [1] K. Atrás, “Insider trading in continuum time”, Rev. Fin. Estudios 5, 387-407 (1992). [2] K. Back y S. Baruch, “Información en los mercados de valores: Kyle conoce a Glosten y Milgrom”, Econometrica 72, 433-465 (2004). [3] D. C. Brody, L. P. Hughston y A. Macrina, “Más allá de las tasas de riesgo: un nuevo marco para la modelización del riesgo de crédito”, en Avances en Finanzas Matemáticas: Festschrift Volume en honor de Dilip Madan (Basilea: Birkhäuser, 2007). [4] R. S. Bucy y P. D. Joseph, Filtrado para procesos estocásticos con aplicaciones para orientación (Nueva York: Interscience Publishers, 1968). [5] U. Cetin, R. Jarrow, P. Protter, y Y. 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Yor, Algunos aspectos del movimiento browniano, Parte II: Algunos problemas recientes de Martingale (Basilea: Birkhäuser, 1996). Introducción El marco de modelización Modelización de los flujos de efectivo Modelización del flujo de información Dinámica de los precios de los activos en el caso de un flujo de caja único Opciones de llamada de estilo europeo Ejemplos de estructuras específicas de dividendos Factores de mercado y múltiples flujos de efectivo Modelo geométrico de movimiento browniano Crecimiento de los dividendos Activos con factores comunes Origen de la volatilidad estocástica inalterable Flujo de información dependiente del tiempo Cambios de medida para puentes brownianos Derivación de la densidad condicional Relaciones de coherencia Dividendo previsto Precios de los activos y precios de los derivados Existencia del proceso de información Modelos multifactor con un caudal de información dependiente del tiempo

The Jumping Phenomenon of Hodge Numbers

7 El fenómeno de salto de los números Hodge 24 de octubre de 2018 XuanmingYe Resumen Dejemos que X sea un complejo colector compacto, consideremos un pequeño defor- Mation : X → B de X, la dimensión de la cohomología Dolbeault grupos Hq(Xt, ) pueden variar en función de esta desintegración. Este documento estudiará tales fenómenos mediante el estudio de las obstrucciones para deformar una clase en Hq(X, X) con el parámetro t y obtener la fórmula para el obstrucciones. 1 Introducción Let X ser un complejo compacto y multiples : X → B ser una familia de complejos colectores tales que 1(0) = X. Vamos a Xt = −1(t) denotar la Fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de poliésteres de fibras de fibras de fibras de fibras de poliésteres de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de poliésteres de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de poliéster de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de poliéster de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de poliéster de poliéster de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de poliéster de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras Nosotros denotamos por OX y por PX las gavillas de gérmenes de X de funciones holomórficas y p-formas, respectivamente. Recordar hp,q = dimCH q(X, X) y Pm = dimH 0(X, (nX) m) donde n = dimCX. S.Iitaka propuso un problema si todos los Pm son invariantes de deformación [1]. Este problema fue resuelto por Iku Nakamura en su artículo [2], y en realidad nos dio algunos ejemplos de pequeñas deformaciones de complejos paralelizados multiple (por un complejo multiple paralelisable nos referimos a un complejo compacto colector con la tangente holomórfica trivial) de tal manera que la manguera los números de la fibra de la familia saltan en estas deformaciones. http://arxiv.org/abs/0704.1977v1 En este trabajo, vamos a estudiar tales fenómenos desde el punto de vista de teoría de la obstrucción. Más precisamente, para una cierta pequeña deformación X de X parametrizado por una base B y una cierta clase [α] de la cohomología Dolbeaut grupo Hq(X, X), vamos a tratar de averiguar la obstrucción a extenderlo a un elemento del grupo de cohomología relativo Dolbeaut Hq(X, ). Nosotros se llamará a aquellos elementos que tienen obstrucción no trivial el obstruido elementos. En §2 resumiremos los resultados de los Teoremas de Imagen Directa de Grauert y trataremos de explicar por qué tenemos que considerar los elementos obstruidos. En realidad, veremos que estos elementos jugarán un papel importante cuando Estudiamos el fenómeno de salto de los números de Hodge. Porque vamos a ver que la existencia de los elementos obstruidos es necesaria y suficiente condición para la variación del diamante Hodge. En el § 3 conseguiremos una fórmula para la obstrucción de la extensión que los hombres- ciones arriba. Teorema 3.3 Let : X → B ser una deformación de 1(0) = X, donde X es un colector compacto y complejo. Let ηn : Xn → Bn ser la deformación del orden nth de X. Para arbitrario [α] pertenece a Hq(X,♥p), supongamos que podemos extender [α] a orden n − 1 en Hq(Xn−1,pXn−1/Bn−1). Denota este elemento por [αn−1]. Los la obstrucción de la extensión de [α] a la orden nth viene dada por: el,n−1(α) = dXn−1/Bn−1 (αn−1) + ­nx­dXn−1/Bn−1 (αn−1), donde el n o orden Kodaira-Spencer clase y dXn−1/Bn−1 es el relativo operador diferencial de la deformación de n− 1o orden. En §4 usaremos esta fórmula para estudiar cuidadosamente el ejemplo dado por Iku Nakamura, es decir. la pequeña deformación de la multiplicidad de Iwasama y discutir algunos fenómenos. Agradecimiento. La investigación contó con el apoyo parcial de China-Francia. Subvención de colaboración en matemáticas rusas, No. 34000-3275100, de Sun Yat- Sen University. El autor también quisiera dar las gracias a ENS, París por su hos- pitalidad durante los años académicos 2005-2007. Por último, pero la mayoría, el autor Me gustaría dar las gracias a la profesora Voisin por su ayuda paciente y valiosa sug- gesciones. 2 Teoremas de imagen directa de Grauert y de- teoría de la formación En esta sección, vamos a revisar primero algunos resultados generales de la deformación teoría. Deja que X sea un colector complejo compacto. El multiple X tiene un estructura diferencial subyacente, pero dada esta estructura subyacente fija puede haber muchas estructuras complejas diferentes en X. En particular, puede ser una gama de estructuras complejas en X que varían de una manera analítica. Este es el objeto que vamos a estudiar. Definición 1.0 Una deformación de X consiste en un morfismo adecuado suave * : X → B, donde X y B están conectados espacios complejos, y un isomor- phism X 1(0), donde 0 B es un punto distinguido. Llamamos a X → B a familia de complejos colectores. Aunque B no es necesariamente un múltiple, y puede ser singular, reducible, o no reducido (por ejemplo: B = SpecC[l]/(l2)), ya que el problema que vamos investigar es el fenómeno del salto de la cohomología Dolbeaut, podemos asumir que X y B son complejos colectores. Con el fin de estudiar el salto de la cohomología Dolbeaut, necesitamos la siguiendo un teorema importante (uno de los teoremas de imagen directa de Grauert). Teorema 1.1 Let X, Y ser espacios complejos, η : X → Y un holomor propio- phic map. Supongamos que Y es Stein, y dejar que F sea una capa analítica coherente en X. Dejar Y0 ser un conjunto abierto relativamente compacto en Y. Entonces, hay un entero N > 0 tal que la siguiente bodega. I. Existe un complejo E · :...→ E−1 → E0 →...→ ES → 0 de OY0-módulos finitamente generados localmente en Y0 de tal manera que para cualquier Stein set abierto W â € TM ¢ Y0, tenemos Hq((W, E ·)) (W,Rq(F)) Hq(1(W ),F) II. (Teorema de cambio de base). Asumir, además, que F es η-flat [i.e. X, el tallo F es plana sobre como un módulo sobre OY,(x)]. Entonces, allí existe un complejo E · : 0 → E0 → E1 →...→ ES → 0 de OY0-sheaves Ep generadas finitamente localmente con la siguiente propiedad: Let S be a Stein space and f : S → Y a holomorphic map. Let X ′ = X ×Y S y f ′ → X y : X ′ → S serán las dos proyecciones. Entonces, si T es un subconjunto abierto de Stein de f−1(Y0), tenemos, para todos q Hq((T, f*(E ·))) (T,Rq(F) )) Hq(1(T),F ′) donde F ′ = (f ′)∗(F). Que X,Y sean espacios complejos, η : X → Y un mapa adecuado. Deja que F sea un η-flat Cosecha coherente en X. Para y â € Y, denotar por Mi la OY -vaina de los gérmenes de funciones holomorfas ”vanishing at y”: el tallo de My at y es el máximo ideal de OY,y; que en t 6= y” es OY,t. Establecemos F(y) = restricción analítica de F a 1(y) = F (OY /My). Ya que sólo tenemos que estudiar el local propiedades, podemos suponer, en vista de Teorema 1.0, parte II, que hay un complejo E · : 0 // OP0Y // OP1Y //... d // OPNY con la propiedad de cambio de base en Teorema 1.0, parte II. En particular, si # Y, tenemos # Hq(1(y),F(y)) Hq(E · (OY/My)). Aplique lo que hemos discutido anteriormente a nuestro caso : X → B, obtenemos el siguiente- ing. Hay un complejo de paquetes de vectores sobre la base B, cuya cohomología grupos en el punto se identifica a los grupos de cohomología de la fibra Xb con valores en el paquete vectorial considerado en X, restringido a Xb. Por lo tanto, para Arbitraria p, existe un complejo de paquetes vectoriales (E·, d·), tal que para Arbitraria t â € B, Hq(Xt,♥pXt) = H q(E·t) = Ker(d q)/Im(dq−1). A través de una trivialización local del paquete Ei, el diferencial del complejo E· están representados por matrices con coeficientes holomórficos, y sigue de la semicontinuidad inferior del rango de una matriz con coeficientes variables , es fácil comprobar que la función dimCKer(d q) y −dimCIm(dq) son semicontinuo superior en B. Por lo tanto, la función dimCH q(E·t) también es superior semicontinua. Parece que o bien el aumento de dimCIm(d q−1) o la disminución de dimCKer(d) q) causará el salto de dimCH q(E·t), sin embargo, debido a la siguiente secuencia exacta: 0 → Ker(dq)t → Eqt → Im(dq)t → 0 lo que significa que la variación de-dimCIm(dq) es exactamente la variación de dimCKer(dq), sólo tenemos que considerar la variación de dimCKer(d q) para todos los q. Para estudiar la variación de dimCKer(d q), tenemos que considerar la siguiente problema. Dejar α ser un elemento de Ker(dq) en t = 0, tratamos de encontrar fuera de la obstrucción para extenderlo a un elemento que pertenece a Ker(dq) en un barrio de 0. Este tipo de extensión puede ser estudiado orden por Orden. Que E q0 sea el tallo de la vaina associada de Eq a 0. Dejad en paz a los demás. la idea máxima de OB,0. Para el intergal positivo arbitrario n, ya que dq puede ser representado por matrices con coeficientes holomórficos, no es difícil de control dq(E q0 OB,0 mn0 ) E 0 OB,0 mn0. Por lo tanto, el complejo del vector los bultos (E·, d·) inducen el siguiente complejo: 0 → E00OB,0OB,0/mn0 d0→ E10OB,0OB,0/mn0 d1→... d → EN0 OB,0OB,0/mn0 dN→ 0. Definición 2.2 Los elementos de H ·(E·0) que no pueden ampliarse son: llamada la primera clase de elementos obstruidos. A continuación, vamos a mostrar las obstrucciones de la extensión que hemos mencionado anteriormente. Para la simplicidad, mi puede suponer que dimCB = 1, supongamos que α se puede extender a un elemento αn−1 tal que j q(αn−1))(t) = 0, entonces αn−1 puede ser con- sidered como la extensión de orden n−1 de α. Aquí jn−10 (dq(αn−1))(t) es el n−1 chorro de dq(αn−1) a 0. Definir un mapa oqn : H q(E ·0 OB,0 OB,0/mn0 ) → Hq+1(E·0) por [αn−1] 7 [jn0 (dq(αn−1))(t)/tn]. Al principio, tenemos que comprobar que el oqn está bien definido. Así que tenemos que demostrar que [jn0 (d q(αn−1))(t)/t n] es dq+1-cerrado. A través de una trivialización local de los paquetes Ei, los diferenciales del complejo E· están representados por matrices con holo- coeficientes mórficos, y de la semi-continuidad inferior del rango de un matriz con coeficientes variables, podemos asumir que siempre existe 1,..., l ) que son secciones de E q+1 de tal manera que 1 t=0,...,  l t=0) forma una base de Ker(dq+1 : E 0 → E 0 ) y Ker(d) q+1 : Eq+1 → Eq+2) Spanq+1j }. Así que podemos escribir dq(αn−1) = j fj Desde jn−10 (d q(αn−1))(t)=0, tenemos fj = 0 y = 0, i = 1.n− 1. (dq(αn−1))=0 = j t=0+...+ j )t=0 = j t=0, por lo tanto dq+1( (dq(α))t=0) = dq+1( j t=0) = 0, lo que significa (dq(αn−1))t=0 es dq+1-cerrado. A continuación vamos a mostrar que la clase equivalente de (dq(αn−1))t=0 en Hq+1(E·0) depende sólo de j 0 (αn−1)(t). Let ( 1,..., k) ser una base de Eq, sólo tenemos que demostrar que si jn−10 (αn−1)(t) = 0, entonces (dq(αn−1))t=0 pertenece a Im(dq : Eq → Eq+1). De hecho, podemos escribir αn−1 = j fj j mientras fj(0) = 0, = 0, i = 1...n− 1, entonces, (dq(αn−1)) = i )) = i )+...+ (dq( i )). Por lo tanto, (dq())t=0 = i )t=0, que pertenece a Im(dq : Eq → Eq+1). Por fin, vamos a mostrar que la clase equivalente de (dq())t=0 en Hq+1(E·0) depende únicamente de la clase equivalente de αn−1 en H q(E ·0 OB,0 OB,0/mn0). En realidad, sólo tenemos que demostrar que si αn−1 pertenece a Im(dq−1 : E q-10 OB,0 OB,0/mn0 → E 0 OB,0 OB,0/mn0 ), tendremos (dq(αn−1))t=0 pertenece a Im(dq : Eq → Eq+1). De hecho, vamos a n−1 = dq−1( j fj j ) tales que jn−10 (α n−1)(t) = j 0 (αn−1)(t). De la discusión de arriba, tenemos (dq(αn−1))=0 = (dq(α) n−1))t=0 = (dq(dq−1( j ))) = 0 en Hq(E·). Observación Parece que jn0 (d q(αn−1))(t)/t n depende de la conexión de Eq+1. Pero, utilizando un argumento de inducción, no es difícil probar que si ji0(d) q(αn−1))(t) = 0, Łi < n, luego jn0 (dq(αn−1))(t) es independiente de la elección de la conexión de Eq+1. Hay un mapa natural. i : H q(E·0) → Hq(E ·0 OB,0 OB,0/m 0 ) dado por [l] 7 [l], l[l] Hq(E·0). Denote el mapa i oqn : Hq(E ·0OB,0OB,0/mn0 ) → Hq+1(E ·0OB,0OB,0/mi+10 ), ♥i ≤ n por o A continuación vamos a mostrar que, para arbitrario i, 0 < i ≤ n, αn−1 se puede ampliar a αn que es la extensión de orden nth de α tal que j 0 (αn â € n−1)(t) = 0 si y sólo si o n,n−i([αn−1)] es trivial. En el caso de la necesidad, (αnó­n−1)(t)/ti es sup- planteado para ser la preimagen de o n,n−i([αn−1)], así o n,n−i([αn−1)] es trivial. Ahí... Por lo tanto, sólo tenemos que comprobar si es suficiente. De hecho, si o n,n−i([αn−1)] es trivial, entonces existe una sección β de E ·0 OB,0 OB,0/mi+10 tal que dq(β) = o n,n−i([αn−1)]. Entonces no es difícil comprobar que αn−1 − ti es una extensión de orden n th de α que necesitamos, donde es una extensión de β en el barrio de 0. Por lo tanto, tenemos la siguiente propuesta. Proposición 2.3 Que αn−1 sea una extensión de orden n−1 de α, para arbitraria i, 0 < i ≤ n, αn−1 puede ampliarse a αn, que es la extensión de orden n de α Tal que ji−10 (αn − αn−1)(t) = 0 si y sólo si o n,n−i([αn−1)] = 0. En lo siguiente, mostraremos que las obstrucciones oqn([αn−1)] también juegan un papel importante cuando consideramos el salto de dimCIm (d q). Nota que dimCIm(d q) salta si y sólo si existe una sección β de dimCKer(d q+1), Tal que β0 no es exacto mientras que βt es exacto para t 6= 0. Definición 2.4 Los elementos no triviales de H ·(E·0) que siempre pueden ser extendido a una sección que es sólo exacta en t 6= 0 se llaman la segunda clase elementos obstruidos. Tenga en cuenta que si α es exacto en t = 0, se puede extender a un elemento que es exacta en cada punto. Así que la definición anterior no depende del elemento de una clase equivalente fija. Proposición 2.5 Que [β] sea un elemento no trivial de Hq+1(E·0). Entonces [β] es un elemento obstruido de segunda clase si y sólo si existen n ≥ 0 y αn−1 en Hq(E ·0 OB,0 OB,0/mn0 ) tal que oqn([αn−1)] = [β]. Prueba. Si oqn([αn−1)] = [β], entonces j q(αn−1))(t)/t n es la extensión que necesitamos. Por el contrario, si [β] es un elemento obstruido de segunda clase. Existen Tal que t, t 6= 0 es exacto. Entonces (dq)−1() es una sección meromórfica que tiene un polo en t = 0. Que n sea el grado de (dq)-1(). Entonces deja que αn−1 = t n(dq)−1(). Es fácil comprobar que oqn([αn−1)] = [β]. Proposición 2.6 Que αn−1 sea un elemento de H q(E ·0 OB,0 OB,0/mn0 ) tales que oqn([αn−1)] 6= 0. Entonces existe n ′ ≤ n y ® ser un elemento de Hq(E ·0 OB,0 OB,0/mn 0 ), de forma que oqn([αn−1)] = o ]) 6= 0. Prueba. Si o n,n−1([αn−1)] 6= 0, luego n = n y α = αn−1. De lo contrario, no hay existe α 1, tal que d 1) = * oqn([αn−1)]. Nótese que o n−1,n−2([α 1]) = n−2 oqn([αn−1)] = o n,n−2([αn−1)]. Si vamos paso a paso como arriba, siempre puede obtener la n y α porque hay al menos una de las n,i([αn−1)] es no trivial. Esta proposición nos dice que aunquet oqn([αn−1]) 6= 0 no significa que n,n−1([αn−1]) 6= 0, siempre podemos encontrar α tal que oqn([αn−1)] proviene de obstuciones como o n,n−1([α ............................................................................................................................................................................................................................................................... Por lo tanto podemos obtener el siguiente corolario inmediatamente de la Proposición 2.5 y de la Proposición 2.6. Corollario 2.7 Dejar [β] ser un elemento no trivial de Hq+1(E·0). Entonces [β] es un elemento obstruido de segunda clase si y sólo si existen n ≥ 0 y αn−1 en Hq(E ·0 OB,0 OB,0/mn0 ) de manera que o n,n−1([αn−1)] = n−1([β]). Volvamos a nuestro problema, supongamos que α se puede extender a un elemento αn−1 tal que j q(αn−1))(t) = 0, ya que lo que nos importa es si α se puede extender a un elemento que pertenece a Ker(dq) en un barrio de 0. Por lo tanto, si tenemos una extensión de orden nth αn de α, no es necesario que ji−10 (αnÃ3n−1)(t) = 0, ♥i, 1 < i < n. Lo que necesitamos es j00(αnÃ3n−1)(t) = 0 que significa αn es una extensión de α. Así que las obstrucciones “reales” vienen de n,n−1([αn−1)]. Puesto que estas obstrucciones son tan importantes cuando consideramos la problema de variación de números de hodge, vamos a tratar de encontrar un explícito cálculo de tales obstrucciones en la siguiente sección. 3 La fórmula de las obstrucciones Vamos a probar en esta sección una fórmula explícita (Teorema 3.3) para las obstrucciones abstractas descritas anteriormente. Let η : X → B ser una deformación de 1(0) = X, donde X es un colector complejo compacto. Por cada entero n ≥ 0, denotar por Bn = SPECOB,0/mn+10 el n o orden infinitesimal vecino- capó del punto cerrado 0 ° B de la base B. Que Xn X sea el complejo espacio sobre Bn. Let ηn : Xn → Bn ser la deformación del orden n o de X. In para estudiar el fenómeno de salto de los grupos de cohomología Dolbeaut, para arbitrario [α] pertenece a Hq(X,♥p), supongamos que podemos extender [α] al orden n−1 en Hq(Xn−1, Xn−1/Bn−1 ). Denota este elemento por [αn−1]. En lo siguiente: tratamos de averiguar la obstrucción de la extensión de [αn−1] a la orden nth. Denota (m0) por M0. Considere la secuencia exacta 0 → Mn0/Mn+10 X0/B0 Xn/Bn Xn−1/Bn−1 que induce una larga secuencia exacta 0 → H0(X,Mn0/Mn+10 X0/B0 ) → H0(Xn,pXn/Bn) → H 0(Xn−1, Xn−1/Bn−1 → H1(X,Mn0/Mn+10 X0/B0 ) →.... La obstrucción para [αn−1] proviene de la imagen no trivial de la conexión homomorfismo : Hq(Xn−1, Xn−1/Bn−1 ) → Hq+1(X,Mn0/Mn+10 X0/B0 Lo calcularemos por el cálculo de Cóñez. Cubrir X por conjuntos abiertos Ui tal que, para i arbitrario, Ui es lo suficientemente pequeño. Más precisamente, Ui es stein y las siguientes secuencias exactas se dividen 0 → n(Bn(Ui) → Xn(Ui) → Xn/Bn(Ui) → 0. Por lo que tenemos un mapa de : ♥Xn/Bn(Ui) → ♥Xn(Ui), de tal manera que, n(lBn)(Ui) # # # # # # Xn (Ui). # # # # # # # Xn (Ui). # # # # # # # # # # Xn (Ui). # # # # # # # # # Xn (Ui). # # # # # # # # # # # # # # # # # # Xn (Ui). # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Xn (Ui) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Denotar por i, 1i la inclusión de n(lBn)(Ui) a Xn (UI) y su inversa. Definir d Xn/Bn por el Sr. DXn/Bn, y el Sr. DBn, por el Sr. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A continuación, determina una descomposición local de la dif- ferencia dXn en  dXn = d + diXn/Bn. Denote el conjunto de cocadenas q alternadas β con valores en F por Cq(U,F), es decir. a cada q+1-tupla, i0 < i1... < iq, β asigna una sección β(i0, i1,..., iq) de F sobre Ui0 Ui1 Ui1 Uiq. Sigamos usando el siguiente mapa. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * )................................................................................................................... Xn/Bn (Ui) → p+rXn (Ui) En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo, sino superior o igual al 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Definir : Cq(U, n( Xn/Bn ) → Cq(U,p+rXn ) por *(β)(i0, i1,..., iq)=*(β(i0, i1,..., iq)) Xn/Bn donde i0 < i1... < iq. Definir el derivado total de Lie con respecto a Bn LBn : Cq(U, ) → Cq(U,p+1Xn ) LBn(β)(i0, i1,..., iq) = d (β(i0, i1,..., iq)) donde i0 < i1... < iq. Definir, para cada Ui, el producto interior total con respecto a Bn, I (Ui) → pXn(Ui) por I i(μdg1 • dg2 •... • dgp) = μ ddg1 ...­dgj−1­dBn(gj)­dgj+1­dgj+1­dgp. Cuando p = 0, ponemos I i = 0. Definir : Cq(U,♥pXn) → C q+1(U, ()(i0,..., iq+1) = (I i0 − I i1)β(i1,..., iq+1) Cq(U,pXn). Lemma 3.0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * mod. n() )..................................................................................................................... Prueba. Definir J : Cq(U, Xn/Bn ) → Cq(U), (J(β))(i0,..., iq+1) = (−1)(Łi0 − Łi1)(β(i1,..., iq+1), donde i0 < i1 <... < iq+1. Para β arbitrario pertenece a C q(U, Xn/Bn En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. (−1)jŁ(β)(i0,..., îj,..., iq+1) = ♥i1(β)(i1,..., iq+1) (−1)jŁi0(β)(i0,..., îj,..., iq+1), mientras En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. (−1)j(β)i0,..., îj,..., iq+1)) (−1)jŁi0(β)(i0,..., îj,..., iq+1). Por lo que tenemos........................................... Arreglar (i0,..., iq+1) y dejar que • = β(i1,..., iq+1). Tenemos que demostrar que (I Ii1) (­) (­1) (­1) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) () () () () () (­) () () (­) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () (­) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ( . Por linealidad, podemos Supóngase que el valor de la sustancia problema es el valor de la sustancia problema (por ejemplo, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema o la sustancia problema. Entonces •i0 = μd Xn/Bn g1) •... • di0Xn/Bn(gp) = μ(dg1 − di Xn/Bn g1))... (dgp − di0Xn/Bn(gp)) = μdg1 •... • dgp − μdg1 ­...dgj−1 • di0Bn(gj • dgj+1 •... • dgp +términos en n )..................................................................................................................... Por lo tanto, se trata de un artículo que se refiere a la definición de la noción de «compensación» en el sentido del artículo 4, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 1308/2013. n(l+2Bn) , y I i1 â € ¬ i1 = 0. lo que significa " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ", " " " "; " " " " ", " " ", " " ", " " ", " " ", " ", " "; " " " "; " ". n(l+2Bn) Ahora estamos listos para calcular la fórmula para las obstrucciones. Let be un elemento de Cq(U, Xn/Bn ) de tal manera que su imagen cociente en Cq(U, Xn−1/Bn−1 es αn−1. Entonces... ∗([αn−1])= [()] que es un elemento deH q+1(X,Mn0/Mn+10 X0/B0 ) = mn0/mn+10 Hq+1(X, X0/B0 Denote rXn la restricción al espacio complejo Xn. Con el fin de dar la obstrucciones un cálculo explícito, tenemos que considerar el siguiente mapa Hq(X,Mn0/Mn+10 X0/B0 ) → Hq(Xn−1, n−1( Xn−1/Bn−1 que se define por l[l] = [1 rXn−1 LBn (l)]. Lemma 3.1 El mapa:.. : Hq(X,Mn0/Mn+10................................................................................................................................................................................................................................................... X0/B0 Hq(Xn−1, n−1(BnBn−1) Xn−1/Bn−1 ) está bien definido. Prueba. Al principio, tenemos que demostrar que si Se cierra el plazo, lo que equivale a demostrar que se cierra el plazo de validez de la orden LBn, LBn, LBn, LBn, LBn, LBnn, LBnn, LBnn, LBnn, LBnn, LBnnn, LBnnn, LBnnnn, LBnnnn, LBnnnn, LBnnnnn, LBnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn mod. n−1( BnBn−1 )...................................................................................................... XnXn−1 Nótese que dXn • • = • dXn. Entonces * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = -rXn−1 - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) Xn/Bn # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Desde LBn # # # # LBn # # LBn # # LBn # # LBn # # LBn # # LBn # # LBn # # LBn # # LBn # # # LBn # # # LBn # # LBn # # # LBn # # # LBn # # # LBn # # # LBn # # # LBn # # # LBn # # # LBn # # # LBn # # # LBn # # # # # LBn # # # # LBn # # # # LBn # # # # LBn # # # # # LBn # # LBn # # # # # # # # # LBn # # # LBn # # LBn # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # LBn # # # LBn # # # # LBn # # # # # # # # # # # # LBn # # # # # # # # # # # LBn # # # # # # # # LBn # # # # # # # LBn # # # # # # # # LBn # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # rXn−1 â € € € € d·Xn/Bn + d Xn/Bn # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # tenemos فارسى rXn−1 LBn () 0 mod. n−1(l+2BnBn−1) XnXn−1 A continuación, tenemos que demostrar que si es de Cq(U,Mn0/Mn+10 X0/B0 entonces 1 rXn−1 LBn De hecho, como el cálculo anterior: rXn−1 #LBn # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Xn/Bn * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * rXn−1 • LBn • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • En general, el mapa no es inyector. Sin embargo, como hemos mencionado en final de la sección anterior. Las obstrucciones “reales” son o n,n−1([αn−1)], pero no oqn([αn−1)]. Por lo tanto, no necesitamos ser inyectores. En lo siguiente, vamos a explíquele que Ł([l()]) es exactamente las obstrucciones “reales” que necesitamos. De hecho, Hq(Xn−1, n−1(BnBn−1) Xn−1/Bn−1 ) = (lBnBn−1)OBn−1H q(Xn−1, Xn−1/Bn−1 Let m = dimCB, let ti, i = 0...m ser las coordenadas locales de B. Entonces Se puede escribir como: i=0 dti i, donde i Hq(Xn−1, Xn−1/Bn−1 Para una cierta dirección , supongamos que i 6= 0. Entonces por un simple cálculo, no es difícil comprobar que i = constante[l()/ti] en H q(Xn−1, Xn−1/Bn−1 Mientras que [l'()/ti] es exactamente la obstrucción o n,n−1([αn−1)] en la dirección de lo mencionamos en la sección anterior. Ahora considere la siguiente secuencia exacta. El homomor de conexión... phism de la secuencia exacta asociada larga da la clase Kodaira-Spencer del orden n [4 1.3.2], 0 → n−1(BnBn−1) → XnXn−1 → Xn−1/Bn−1 → 0. Por la cuña de la secuencia exacta anterior con  Xn−1/Bn−1 , tenemos una nueva exacta secuencia. El homomorfismo de conexión de tal secuencia exacta nos da un mapa desde Hq(Xn−1, Xn−1/Bn−1 ) a Hq+1(Xn−1, η *(lBnBn−1).......................................................................................................................................................................................................................................................... Xn−1/Bn−1 Denote tal mapa por Łnx, porque tal mapa es simplemente el producto interior con el Kodaira-Spencer clase de orden n. Por la definición y simplemente el cálculo No es difícil probar el siguiente lema. Lemma 3.2 Vamos a ser un elemento de Hq(Xn−1, Xn−1/Bn−1 ), que ser un elemento de Cq(U, Xn/Bn ) de tal manera que su imagen cociente es. Entonces [lnxl] es igual a [1 • rXn−1 • • • • • • ()]. Volvamos al problema que discutimos, tenemos rXn−1 â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. € € € € € € € €. € €. € €. € €. € € €. € € €. € €. € €. € €. € €. € €. €. €. €. € €. €. €. €. €. €. €. €. €. € €.. €. €. €. €. € €.. €. € €.. € €. € € € € €.. € €. € €. € € € € € €. €.... €. € € €....... € €. € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. € € € € € € € > € € € € > > > € € > € € € € € € € € € > > € € € > > > > > > > > > > € > > > > € > > > € € € € € € € • rXn−1 • LBn • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • −rXn−1 • (d·Xn/Bn • • • • • • d Xn/Bn • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • −rXn−1 • (d·Xn/Bn • • • • • • d Xn/Bn ).................................................................................................. # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Por lo tanto [rXn−1 â € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. [rXn−1 € LBn € € € € € € € € € € € €. [rXn−1 € LBn € € € € € > € € € € > € € € € € € € € € € €. [rXn−1 € € € €. Xn/Bn )............................................................................................ = −[d·Xn−1/Bn−1 • rXn−1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Xn/Bn # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # = −[d·Xn−1/Bn−1 -1 -1 -1 -1 -() +rXn−1 • • • • • dXn/Bn()] = − [­ • • dXn−1/Bn−1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1/Bn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 = −[dXn−1/Bn−1 â € € € € € TM nxαn−1 + € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. De la discusión anterior, obtenemos el teorema principal de este documento. Teorema 3.3 Let : X → B ser una deformación de 1(0) = X, donde X es un colector compacto y complejo. Let ηn : Xn → Bn ser la deformación del orden nth de X. Para arbitrario [α] pertenece a Hq(X,♥p), supongamos que podemos extender [α] a orden n − 1 en Hq(Xn−1,pXn−1/Bn−1). Denota este elemento por [αn−1]. Los la obstrucción de la extensión de [α] a la orden nth viene dada por: en,n−1(αn−1) = dXn−1/Bn−1 donde el n o orden Kodaira-Spencer clase y dXn−1/Bn−1 es el relativo operador diferencial de la deformación de n− 1o orden. Desde el teorema, podemos obtener el siguiente corolario inmediatamente. Corollary 3.4 Let : X → B ser una deformación de 1(0) = X, donde X es un complejo colector compacto. Supongamos que hasta el orden n, el d1 de la La secuencia espectral de Frölicher desaparece. Por arbitrario [α] pertenece a Hq(X, se puede extender al orden n + 1 en Hq(Xn+1, Xn+1/Bn+1 4 Un ejemplo En esta sección, vamos a utilizar la fórmula en la sección anterior para estudiar la salto de los números Hodge hp,q de pequeñas deformaciones del hombre Iwasawa- Ifold. Fue Kodaira quien calculó por primera vez pequeñas deformaciones de Iwasawa multiple [2]. En la primera parte de esta sección, recordemos su resultado. 1 z2 z3 0 1 z1 0 0 1 ; zi C = C3 1 2 3 0 1 1 1 0 0 1 * Z+ Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z La multiplicación se define por 1 z2 z3 0 1 z1 0 0 1 1 2 3 0 1 1 1 0 0 1 1 z2 + •2 z3 + •2z1 + •3 0 1 z1 + •1 0 0 1 X = G/­ se llama Iwasawa multiple. Podemos considerar X = C3/. g # # # # # # # g # # # opera en C3 de la siguiente manera: z′1 = z1 + Ł1, z 2 = z2 + Ł2, z 3 = z3 + 1z2 + 3 donde g = (+1, +2, +3) y z ′ = z · g. Existen 1-froms holomórficos En todos los puntos de la X y se dan los siguientes datos: *1 = dz1, *2 = dz2, *3 = dz3 − z1dz2, para que d............................................................................................................................................................................................................................................................... Por otro lado tenemos campos vectoriales holomórficos........................................................................................................................................................................................................................................................ , 2 ° = , ­3 = Es fácil ver que [­1, ­2] = −[­2, ­1] = ­3, [­1, ­3] = [­2, ­3] = 0. en vista del teorema 3 en [2], H1(X,O) se extiende por. Ya que.................................................................................................................. isomórfico a O3, H1(X, TX) se extiende por i, i = 1, 2, 3, ♥ = 1, 2. La pequeña deformación o f X es dada por (t) = tiit− (t11t22 − t21t12) Resumimos los caracteres numéricos de las deformaciones. Las deformaciones se dividen en las tres clases siguientes: i) t11 = t12 = t21 = t22 = 0, Xt es un colector paralelisable. ii) t11t22−t21t12 = 0 y (t11, t12, t21, t22) 6= (0, 0, 0, 0),Xt no es paralelisable. iii) t11t22 − t21t12 6= 0, Xt no es paralelisable. h1,0 h0,1 h2,0 h1,1 h0,2 h3,0 h2,1 h1,2 h3,0 i) 3 2 3 6 2 1 6 6 1 ii) 2 2 2 5 2 1 5 5 1 iii) 2 2 1 5 2 1 4 4 1 Ahora vamos a explicar el fenómeno de salto del número de Hodge por utilizando la fórmula de obstrucción. Del corolario 4.3 en [6], se deduce que el Los grupos de cohomología Dolbeault son: H0(X,♥) = Span{[l), [l}, [l}, [l}, H1(X,O) = Span{[ H0(X, H1(X,♥) = Span{[l ]}, i = 1, 2, 3, ♥ = 1, 2, H2(X,O) = Span{[ H0(X, H1(X,­2) = Espadín{[­i ­­­j ­­]}, i, j = 1, 2, 3, i < j, ­ ­ = 1, 2 H2(X,l+1) = Espadín{[l+i+ + 2+ + 3}, [l+j+ 1+ + 3}}, i, j = 1, 2, 3, H3(X,O) = Span{[­1 Por ejemplo, consideremos primero h2,0, en la clase ii) de deformación. Los La clase de Kodaira-Spencer de esta deformación es 1(t) = 1 = 1 tii, con t11t22−t21t12 = 0. Es fácil comprobar que el o1 (12) = (int(1(t)))(1 (t11t22 −) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • t21t12)),3,3,2 = 0, y o1 (2,3,3) = −t21+1 (1,3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0, o1(­1 ­1 ­3) = −t11 ­1 ­1 ­2 ­2 ­1 ­2 ­1 ­1 ­1 ­1 ­2 ­2 ­2. Por lo tanto, hemos demostrado que para un elemento del subespacio Span{[­12], [t11­23− t21­13]}, la obstrucción de primer orden es trivial, mientras que, desde (t11, t12, t21, t22) 6= (0, 0, 0, 0), por lo menos una de las obstrucciones o1(­2 ­­·3), o1(­1­· ·3) no es trivial que en parte explicar por qué el Hodge número h2,0 salta de 3 a 2. Por otro. ejemplo, consideremos h1,2, en la clase ii) de deformación. Es fácil de comprobar que para un elemento del subespacio (la dimensión de dicho subespacio) es 5) Span{[i3], [t12323− t11313]}, i = 1, 2, ♥ = 1, 2, la obstrucción de primer orden es trivial, mientras que al menos una de las obstrucciones o1(­3.­2.­3.­3), o1(­3.­3.­1.­3.­3) no es trivial. Observación 1 Es fácil ver que, en la clase ii) o iii) de deformación, la la obstrucción de primer orden para cualquier elemento en H1(X,♥) es trivial. La razón de El salto de Hodge número h1,1 de 6 a 5 viene de la existencia de la elementos obstruidos de segunda clase o1(­3). Después de un simple cálculo, no es difícil obtener la ecuación de estructura de Xt, t 6= 0. d-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0-(0)-(0)-(0-0)-(0)-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0 d-[2] = 0, • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • que puede considerarse un ejemplo de la propuesta 2.5. Observación 2 Del ejemplo que hemos discutido anteriormente, no es difícil averiguar el siguiente hecho. Que X sea un complejo no-Kähler nilpotente par- colector alelisable cuya dimensión es más de 2, y فارسى : X → B ser el familia de deformación inversa de X. Entonces el Hodge número h1,0 saltará en un barrio de 0o B. De hecho, dejar que Łi, i = 1...n, n = dimC(X) sea linealmente 1-formas holomórficas independientes de X. Por el teorema 3 de [2], H1(X,O) es que se extiende por un subconjunto de i}, i = 1..n. Así que tenemos : H1(X,O) → H1(X, es trivial, lo que significa un término de la obstrucción de primer orden del holomor- phic 1-formas desaparece. Let Łi, i = 1...n ser el dual de Łi, que son linealmente campos de vectores holomórficos independientes. Dado que X no es Kähler, lo que significa X no es un toro, existe tal que i 6= 0. Ya que X es nilpotente, hay exist Łj tal que j = 0. Asumir que i = AŁk Ł Łl +... con A 6= 0. Consideremos el tema de la salud y la salud en H. 1 (X, TX). Es fácil de comprobar que o1(i, kŁj) 6= 0. Bibliografía [1] S. Iitaka, Plurigenera y clasificación de variedades algebraicas, Sugaku 24 (1972), 14-27. [2] Nakamura, I (1975). Complejos colectores paralelizados y sus pequeños deformaciones, J.Differential Geom. 10, 85-112. [3] C. Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I, Cambridge University Press 2002. [4] C. Voisin, Symétrie miroir, Société Mathématique de France, París, 1996. [5] Bell S. y Narasimhan R., Cartografías holomorfas adecuadas de complejos espacios, Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, Varios Vari Complejo- powers VI, Springer Verlag, pp. 1-38, 1991. [6] Cordero, L. A., Fernández, Gray, A. y Ugate, L.(1999). Frölicher Secuencia espectral de nilmanifolds compactos con complejo nilpotente Estructura. Nuevos desarrollos en geometría diferencial, Budapest 1996, 77-102, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht. Introducción Teoremas de imagen directa de Grauert y teoría de la deformación La fórmula para las obstrucciones Un ejemplo

Que $X$ sea un colector complejo compacto, considere una pequeña deformación $\phi: \mathcal{X} \to B$ de $X$, la dimensión de los grupos de cohomología Dolbeault $H^q(X_t,\Omega_{X_tÍp)$ puede variar bajo esta desinformación. Este documento será estudiar tales fenómenos mediante el estudio de las obstrucciones para deformar una clase en $H^q(X,\Omega_X^p)$ con el parámetro $t$ y obtener la fórmula para el obstrucciones.

Introducción Let X ser un complejo compacto y multiples : X → B ser una familia de complejos colectores tales que 1(0) = X. Vamos a Xt = −1(t) denotar la Fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de poliésteres de fibras de fibras de fibras de fibras de poliésteres de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de poliésteres de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de poliéster de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de poliéster de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de poliéster de poliéster de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de poliéster de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras de fibras Nosotros denotamos por OX y por PX las gavillas de gérmenes de X de funciones holomórficas y p-formas, respectivamente. Recordar hp,q = dimCH q(X, X) y Pm = dimH 0(X, (nX) m) donde n = dimCX. S.Iitaka propuso un problema si todos los Pm son invariantes de deformación [1]. Este problema fue resuelto por Iku Nakamura en su artículo [2], y en realidad nos dio algunos ejemplos de pequeñas deformaciones de complejos paralelizados multiple (por un complejo multiple paralelisable nos referimos a un complejo compacto colector con la tangente holomórfica trivial) de tal manera que la manguera los números de la fibra de la familia saltan en estas deformaciones. http://arxiv.org/abs/0704.1977v1 En este trabajo, vamos a estudiar tales fenómenos desde el punto de vista de teoría de la obstrucción. Más precisamente, para una cierta pequeña deformación X de X parametrizado por una base B y una cierta clase [α] de la cohomología Dolbeaut grupo Hq(X, X), vamos a tratar de averiguar la obstrucción a extenderlo a un elemento del grupo de cohomología relativo Dolbeaut Hq(X, ). Nosotros se llamará a aquellos elementos que tienen obstrucción no trivial el obstruido elementos. En §2 resumiremos los resultados de los Teoremas de Imagen Directa de Grauert y trataremos de explicar por qué tenemos que considerar los elementos obstruidos. En realidad, veremos que estos elementos jugarán un papel importante cuando Estudiamos el fenómeno de salto de los números de Hodge. Porque vamos a ver que la existencia de los elementos obstruidos es necesaria y suficiente condición para la variación del diamante Hodge. En el § 3 conseguiremos una fórmula para la obstrucción de la extensión que los hombres- ciones arriba. Teorema 3.3 Let : X → B ser una deformación de 1(0) = X, donde X es un colector compacto y complejo. Let ηn : Xn → Bn ser la deformación del orden nth de X. Para arbitrario [α] pertenece a Hq(X,♥p), supongamos que podemos extender [α] a orden n − 1 en Hq(Xn−1,pXn−1/Bn−1). Denota este elemento por [αn−1]. Los la obstrucción de la extensión de [α] a la orden nth viene dada por: el,n−1(α) = dXn−1/Bn−1 (αn−1) + ­nx­dXn−1/Bn−1 (αn−1), donde el n o orden Kodaira-Spencer clase y dXn−1/Bn−1 es el relativo operador diferencial de la deformación de n− 1o orden. En §4 usaremos esta fórmula para estudiar cuidadosamente el ejemplo dado por Iku Nakamura, es decir. la pequeña deformación de la multiplicidad de Iwasama y discutir algunos fenómenos. Agradecimiento. La investigación contó con el apoyo parcial de China-Francia. Subvención de colaboración en matemáticas rusas, No. 34000-3275100, de Sun Yat- Sen University. El autor también quisiera dar las gracias a ENS, París por su hos- pitalidad durante los años académicos 2005-2007. Por último, pero la mayoría, el autor Me gustaría dar las gracias a la profesora Voisin por su ayuda paciente y valiosa sug- gesciones. 2 Teoremas de imagen directa de Grauert y de- teoría de la formación En esta sección, vamos a revisar primero algunos resultados generales de la deformación teoría. Deja que X sea un colector complejo compacto. El multiple X tiene un estructura diferencial subyacente, pero dada esta estructura subyacente fija puede haber muchas estructuras complejas diferentes en X. En particular, puede ser una gama de estructuras complejas en X que varían de una manera analítica. Este es el objeto que vamos a estudiar. Definición 1.0 Una deformación de X consiste en un morfismo adecuado suave * : X → B, donde X y B están conectados espacios complejos, y un isomor- phism X 1(0), donde 0 B es un punto distinguido. Llamamos a X → B a familia de complejos colectores. Aunque B no es necesariamente un múltiple, y puede ser singular, reducible, o no reducido (por ejemplo: B = SpecC[l]/(l2)), ya que el problema que vamos investigar es el fenómeno del salto de la cohomología Dolbeaut, podemos asumir que X y B son complejos colectores. Con el fin de estudiar el salto de la cohomología Dolbeaut, necesitamos la siguiendo un teorema importante (uno de los teoremas de imagen directa de Grauert). Teorema 1.1 Let X, Y ser espacios complejos, η : X → Y un holomor propio- phic map. Supongamos que Y es Stein, y dejar que F sea una capa analítica coherente en X. Dejar Y0 ser un conjunto abierto relativamente compacto en Y. Entonces, hay un entero N > 0 tal que la siguiente bodega. I. Existe un complejo E · :...→ E−1 → E0 →...→ ES → 0 de OY0-módulos finitamente generados localmente en Y0 de tal manera que para cualquier Stein set abierto W â € TM ¢ Y0, tenemos Hq((W, E ·)) (W,Rq(F)) Hq(1(W ),F) II. (Teorema de cambio de base). Asumir, además, que F es η-flat [i.e. X, el tallo F es plana sobre como un módulo sobre OY,(x)]. Entonces, allí existe un complejo E · : 0 → E0 → E1 →...→ ES → 0 de OY0-sheaves Ep generadas finitamente localmente con la siguiente propiedad: Let S be a Stein space and f : S → Y a holomorphic map. Let X ′ = X ×Y S y f ′ → X y : X ′ → S serán las dos proyecciones. Entonces, si T es un subconjunto abierto de Stein de f−1(Y0), tenemos, para todos q Hq((T, f*(E ·))) (T,Rq(F) )) Hq(1(T),F ′) donde F ′ = (f ′)∗(F). Que X,Y sean espacios complejos, η : X → Y un mapa adecuado. Deja que F sea un η-flat Cosecha coherente en X. Para y â € Y, denotar por Mi la OY -vaina de los gérmenes de funciones holomorfas ”vanishing at y”: el tallo de My at y es el máximo ideal de OY,y; que en t 6= y” es OY,t. Establecemos F(y) = restricción analítica de F a 1(y) = F (OY /My). Ya que sólo tenemos que estudiar el local propiedades, podemos suponer, en vista de Teorema 1.0, parte II, que hay un complejo E · : 0 // OP0Y // OP1Y //... d // OPNY con la propiedad de cambio de base en Teorema 1.0, parte II. En particular, si # Y, tenemos # Hq(1(y),F(y)) Hq(E · (OY/My)). Aplique lo que hemos discutido anteriormente a nuestro caso : X → B, obtenemos el siguiente- ing. Hay un complejo de paquetes de vectores sobre la base B, cuya cohomología grupos en el punto se identifica a los grupos de cohomología de la fibra Xb con valores en el paquete vectorial considerado en X, restringido a Xb. Por lo tanto, para Arbitraria p, existe un complejo de paquetes vectoriales (E·, d·), tal que para Arbitraria t â € B, Hq(Xt,♥pXt) = H q(E·t) = Ker(d q)/Im(dq−1). A través de una trivialización local del paquete Ei, el diferencial del complejo E· están representados por matrices con coeficientes holomórficos, y sigue de la semicontinuidad inferior del rango de una matriz con coeficientes variables , es fácil comprobar que la función dimCKer(d q) y −dimCIm(dq) son semicontinuo superior en B. Por lo tanto, la función dimCH q(E·t) también es superior semicontinua. Parece que o bien el aumento de dimCIm(d q−1) o la disminución de dimCKer(d) q) causará el salto de dimCH q(E·t), sin embargo, debido a la siguiente secuencia exacta: 0 → Ker(dq)t → Eqt → Im(dq)t → 0 lo que significa que la variación de-dimCIm(dq) es exactamente la variación de dimCKer(dq), sólo tenemos que considerar la variación de dimCKer(d q) para todos los q. Para estudiar la variación de dimCKer(d q), tenemos que considerar la siguiente problema. Dejar α ser un elemento de Ker(dq) en t = 0, tratamos de encontrar fuera de la obstrucción para extenderlo a un elemento que pertenece a Ker(dq) en un barrio de 0. Este tipo de extensión puede ser estudiado orden por Orden. Que E q0 sea el tallo de la vaina associada de Eq a 0. Dejad en paz a los demás. la idea máxima de OB,0. Para el intergal positivo arbitrario n, ya que dq puede ser representado por matrices con coeficientes holomórficos, no es difícil de control dq(E q0 OB,0 mn0 ) E 0 OB,0 mn0. Por lo tanto, el complejo del vector los bultos (E·, d·) inducen el siguiente complejo: 0 → E00OB,0OB,0/mn0 d0→ E10OB,0OB,0/mn0 d1→... d → EN0 OB,0OB,0/mn0 dN→ 0. Definición 2.2 Los elementos de H ·(E·0) que no pueden ampliarse son: llamada la primera clase de elementos obstruidos. A continuación, vamos a mostrar las obstrucciones de la extensión que hemos mencionado anteriormente. Para la simplicidad, mi puede suponer que dimCB = 1, supongamos que α se puede extender a un elemento αn−1 tal que j q(αn−1))(t) = 0, entonces αn−1 puede ser con- sidered como la extensión de orden n−1 de α. Aquí jn−10 (dq(αn−1))(t) es el n−1 chorro de dq(αn−1) a 0. Definir un mapa oqn : H q(E ·0 OB,0 OB,0/mn0 ) → Hq+1(E·0) por [αn−1] 7 [jn0 (dq(αn−1))(t)/tn]. Al principio, tenemos que comprobar que el oqn está bien definido. Así que tenemos que demostrar que [jn0 (d q(αn−1))(t)/t n] es dq+1-cerrado. A través de una trivialización local de los paquetes Ei, los diferenciales del complejo E· están representados por matrices con holo- coeficientes mórficos, y de la semi-continuidad inferior del rango de un matriz con coeficientes variables, podemos asumir que siempre existe 1,..., l ) que son secciones de E q+1 de tal manera que 1 t=0,...,  l t=0) forma una base de Ker(dq+1 : E 0 → E 0 ) y Ker(d) q+1 : Eq+1 → Eq+2) Spanq+1j }. Así que podemos escribir dq(αn−1) = j fj Desde jn−10 (d q(αn−1))(t)=0, tenemos fj = 0 y = 0, i = 1.n− 1. (dq(αn−1))=0 = j t=0+...+ j )t=0 = j t=0, por lo tanto dq+1( (dq(α))t=0) = dq+1( j t=0) = 0, lo que significa (dq(αn−1))t=0 es dq+1-cerrado. A continuación vamos a mostrar que la clase equivalente de (dq(αn−1))t=0 en Hq+1(E·0) depende sólo de j 0 (αn−1)(t). Let ( 1,..., k) ser una base de Eq, sólo tenemos que demostrar que si jn−10 (αn−1)(t) = 0, entonces (dq(αn−1))t=0 pertenece a Im(dq : Eq → Eq+1). De hecho, podemos escribir αn−1 = j fj j mientras fj(0) = 0, = 0, i = 1...n− 1, entonces, (dq(αn−1)) = i )) = i )+...+ (dq( i )). Por lo tanto, (dq())t=0 = i )t=0, que pertenece a Im(dq : Eq → Eq+1). Por fin, vamos a mostrar que la clase equivalente de (dq())t=0 en Hq+1(E·0) depende únicamente de la clase equivalente de αn−1 en H q(E ·0 OB,0 OB,0/mn0). En realidad, sólo tenemos que demostrar que si αn−1 pertenece a Im(dq−1 : E q-10 OB,0 OB,0/mn0 → E 0 OB,0 OB,0/mn0 ), tendremos (dq(αn−1))t=0 pertenece a Im(dq : Eq → Eq+1). De hecho, vamos a n−1 = dq−1( j fj j ) tales que jn−10 (α n−1)(t) = j 0 (αn−1)(t). De la discusión de arriba, tenemos (dq(αn−1))=0 = (dq(α) n−1))t=0 = (dq(dq−1( j ))) = 0 en Hq(E·). Observación Parece que jn0 (d q(αn−1))(t)/t n depende de la conexión de Eq+1. Pero, utilizando un argumento de inducción, no es difícil probar que si ji0(d) q(αn−1))(t) = 0, Łi < n, luego jn0 (dq(αn−1))(t) es independiente de la elección de la conexión de Eq+1. Hay un mapa natural. i : H q(E·0) → Hq(E ·0 OB,0 OB,0/m 0 ) dado por [l] 7 [l], l[l] Hq(E·0). Denote el mapa i oqn : Hq(E ·0OB,0OB,0/mn0 ) → Hq+1(E ·0OB,0OB,0/mi+10 ), ♥i ≤ n por o A continuación vamos a mostrar que, para arbitrario i, 0 < i ≤ n, αn−1 se puede ampliar a αn que es la extensión de orden nth de α tal que j 0 (αn â € n−1)(t) = 0 si y sólo si o n,n−i([αn−1)] es trivial. En el caso de la necesidad, (αnó­n−1)(t)/ti es sup- planteado para ser la preimagen de o n,n−i([αn−1)], así o n,n−i([αn−1)] es trivial. Ahí... Por lo tanto, sólo tenemos que comprobar si es suficiente. De hecho, si o n,n−i([αn−1)] es trivial, entonces existe una sección β de E ·0 OB,0 OB,0/mi+10 tal que dq(β) = o n,n−i([αn−1)]. Entonces no es difícil comprobar que αn−1 − ti es una extensión de orden n th de α que necesitamos, donde es una extensión de β en el barrio de 0. Por lo tanto, tenemos la siguiente propuesta. Proposición 2.3 Que αn−1 sea una extensión de orden n−1 de α, para arbitraria i, 0 < i ≤ n, αn−1 puede ampliarse a αn, que es la extensión de orden n de α Tal que ji−10 (αn − αn−1)(t) = 0 si y sólo si o n,n−i([αn−1)] = 0. En lo siguiente, mostraremos que las obstrucciones oqn([αn−1)] también juegan un papel importante cuando consideramos el salto de dimCIm (d q). Nota que dimCIm(d q) salta si y sólo si existe una sección β de dimCKer(d q+1), Tal que β0 no es exacto mientras que βt es exacto para t 6= 0. Definición 2.4 Los elementos no triviales de H ·(E·0) que siempre pueden ser extendido a una sección que es sólo exacta en t 6= 0 se llaman la segunda clase elementos obstruidos. Tenga en cuenta que si α es exacto en t = 0, se puede extender a un elemento que es exacta en cada punto. Así que la definición anterior no depende del elemento de una clase equivalente fija. Proposición 2.5 Que [β] sea un elemento no trivial de Hq+1(E·0). Entonces [β] es un elemento obstruido de segunda clase si y sólo si existen n ≥ 0 y αn−1 en Hq(E ·0 OB,0 OB,0/mn0 ) tal que oqn([αn−1)] = [β]. Prueba. Si oqn([αn−1)] = [β], entonces j q(αn−1))(t)/t n es la extensión que necesitamos. Por el contrario, si [β] es un elemento obstruido de segunda clase. Existen Tal que t, t 6= 0 es exacto. Entonces (dq)−1() es una sección meromórfica que tiene un polo en t = 0. Que n sea el grado de (dq)-1(). Entonces deja que αn−1 = t n(dq)−1(). Es fácil comprobar que oqn([αn−1)] = [β]. Proposición 2.6 Que αn−1 sea un elemento de H q(E ·0 OB,0 OB,0/mn0 ) tales que oqn([αn−1)] 6= 0. Entonces existe n ′ ≤ n y ® ser un elemento de Hq(E ·0 OB,0 OB,0/mn 0 ), de forma que oqn([αn−1)] = o ]) 6= 0. Prueba. Si o n,n−1([αn−1)] 6= 0, luego n = n y α = αn−1. De lo contrario, no hay existe α 1, tal que d 1) = * oqn([αn−1)]. Nótese que o n−1,n−2([α 1]) = n−2 oqn([αn−1)] = o n,n−2([αn−1)]. Si vamos paso a paso como arriba, siempre puede obtener la n y α porque hay al menos una de las n,i([αn−1)] es no trivial. Esta proposición nos dice que aunquet oqn([αn−1]) 6= 0 no significa que n,n−1([αn−1]) 6= 0, siempre podemos encontrar α tal que oqn([αn−1)] proviene de obstuciones como o n,n−1([α ............................................................................................................................................................................................................................................................... Por lo tanto podemos obtener el siguiente corolario inmediatamente de la Proposición 2.5 y de la Proposición 2.6. Corollario 2.7 Dejar [β] ser un elemento no trivial de Hq+1(E·0). Entonces [β] es un elemento obstruido de segunda clase si y sólo si existen n ≥ 0 y αn−1 en Hq(E ·0 OB,0 OB,0/mn0 ) de manera que o n,n−1([αn−1)] = n−1([β]). Volvamos a nuestro problema, supongamos que α se puede extender a un elemento αn−1 tal que j q(αn−1))(t) = 0, ya que lo que nos importa es si α se puede extender a un elemento que pertenece a Ker(dq) en un barrio de 0. Por lo tanto, si tenemos una extensión de orden nth αn de α, no es necesario que ji−10 (αnÃ3n−1)(t) = 0, ♥i, 1 < i < n. Lo que necesitamos es j00(αnÃ3n−1)(t) = 0 que significa αn es una extensión de α. Así que las obstrucciones “reales” vienen de n,n−1([αn−1)]. Puesto que estas obstrucciones son tan importantes cuando consideramos la problema de variación de números de hodge, vamos a tratar de encontrar un explícito cálculo de tales obstrucciones en la siguiente sección. 3 La fórmula de las obstrucciones Vamos a probar en esta sección una fórmula explícita (Teorema 3.3) para las obstrucciones abstractas descritas anteriormente. Let η : X → B ser una deformación de 1(0) = X, donde X es un colector complejo compacto. Por cada entero n ≥ 0, denotar por Bn = SPECOB,0/mn+10 el n o orden infinitesimal vecino- capó del punto cerrado 0 ° B de la base B. Que Xn X sea el complejo espacio sobre Bn. Let ηn : Xn → Bn ser la deformación del orden n o de X. In para estudiar el fenómeno de salto de los grupos de cohomología Dolbeaut, para arbitrario [α] pertenece a Hq(X,♥p), supongamos que podemos extender [α] al orden n−1 en Hq(Xn−1, Xn−1/Bn−1 ). Denota este elemento por [αn−1]. En lo siguiente: tratamos de averiguar la obstrucción de la extensión de [αn−1] a la orden nth. Denota (m0) por M0. Considere la secuencia exacta 0 → Mn0/Mn+10 X0/B0 Xn/Bn Xn−1/Bn−1 que induce una larga secuencia exacta 0 → H0(X,Mn0/Mn+10 X0/B0 ) → H0(Xn,pXn/Bn) → H 0(Xn−1, Xn−1/Bn−1 → H1(X,Mn0/Mn+10 X0/B0 ) →.... La obstrucción para [αn−1] proviene de la imagen no trivial de la conexión homomorfismo : Hq(Xn−1, Xn−1/Bn−1 ) → Hq+1(X,Mn0/Mn+10 X0/B0 Lo calcularemos por el cálculo de Cóñez. Cubrir X por conjuntos abiertos Ui tal que, para i arbitrario, Ui es lo suficientemente pequeño. Más precisamente, Ui es stein y las siguientes secuencias exactas se dividen 0 → n(Bn(Ui) → Xn(Ui) → Xn/Bn(Ui) → 0. Por lo que tenemos un mapa de : ♥Xn/Bn(Ui) → ♥Xn(Ui), de tal manera que, n(lBn)(Ui) # # # # # # Xn (Ui). # # # # # # # Xn (Ui). # # # # # # # # # # Xn (Ui). # # # # # # # # # Xn (Ui). # # # # # # # # # # # # # # # # # # Xn (Ui). # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Xn (Ui) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Denotar por i, 1i la inclusión de n(lBn)(Ui) a Xn (UI) y su inversa. Definir d Xn/Bn por el Sr. DXn/Bn, y el Sr. DBn, por el Sr. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A continuación, determina una descomposición local de la dif- ferencia dXn en  dXn = d + diXn/Bn. Denote el conjunto de cocadenas q alternadas β con valores en F por Cq(U,F), es decir. a cada q+1-tupla, i0 < i1... < iq, β asigna una sección β(i0, i1,..., iq) de F sobre Ui0 Ui1 Ui1 Uiq. Sigamos usando el siguiente mapa. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * )................................................................................................................... Xn/Bn (Ui) → p+rXn (Ui) En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo, sino superior o igual al 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Definir : Cq(U, n( Xn/Bn ) → Cq(U,p+rXn ) por *(β)(i0, i1,..., iq)=*(β(i0, i1,..., iq)) Xn/Bn donde i0 < i1... < iq. Definir el derivado total de Lie con respecto a Bn LBn : Cq(U, ) → Cq(U,p+1Xn ) LBn(β)(i0, i1,..., iq) = d (β(i0, i1,..., iq)) donde i0 < i1... < iq. Definir, para cada Ui, el producto interior total con respecto a Bn, I (Ui) → pXn(Ui) por I i(μdg1 • dg2 •... • dgp) = μ ddg1 ...­dgj−1­dBn(gj)­dgj+1­dgj+1­dgp. Cuando p = 0, ponemos I i = 0. Definir : Cq(U,♥pXn) → C q+1(U, ()(i0,..., iq+1) = (I i0 − I i1)β(i1,..., iq+1) Cq(U,pXn). Lemma 3.0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * mod. n() )..................................................................................................................... Prueba. Definir J : Cq(U, Xn/Bn ) → Cq(U), (J(β))(i0,..., iq+1) = (−1)(Łi0 − Łi1)(β(i1,..., iq+1), donde i0 < i1 <... < iq+1. Para β arbitrario pertenece a C q(U, Xn/Bn En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. (−1)jŁ(β)(i0,..., îj,..., iq+1) = ♥i1(β)(i1,..., iq+1) (−1)jŁi0(β)(i0,..., îj,..., iq+1), mientras En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. (−1)j(β)i0,..., îj,..., iq+1)) (−1)jŁi0(β)(i0,..., îj,..., iq+1). Por lo que tenemos........................................... Arreglar (i0,..., iq+1) y dejar que • = β(i1,..., iq+1). Tenemos que demostrar que (I Ii1) (­) (­1) (­1) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) () () () () () (­) () () (­) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () (­) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ( . Por linealidad, podemos Supóngase que el valor de la sustancia problema es el valor de la sustancia problema (por ejemplo, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema, la sustancia problema o la sustancia problema. Entonces •i0 = μd Xn/Bn g1) •... • di0Xn/Bn(gp) = μ(dg1 − di Xn/Bn g1))... (dgp − di0Xn/Bn(gp)) = μdg1 •... • dgp − μdg1 ­...dgj−1 • di0Bn(gj • dgj+1 •... • dgp +términos en n )..................................................................................................................... Por lo tanto, se trata de un artículo que se refiere a la definición de la noción de «compensación» en el sentido del artículo 4, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 1308/2013. n(l+2Bn) , y I i1 â € ¬ i1 = 0. lo que significa " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ", " " " "; " " " " ", " " ", " " ", " " ", " " ", " ", " "; " " " "; " ". n(l+2Bn) Ahora estamos listos para calcular la fórmula para las obstrucciones. Let be un elemento de Cq(U, Xn/Bn ) de tal manera que su imagen cociente en Cq(U, Xn−1/Bn−1 es αn−1. Entonces... ∗([αn−1])= [()] que es un elemento deH q+1(X,Mn0/Mn+10 X0/B0 ) = mn0/mn+10 Hq+1(X, X0/B0 Denote rXn la restricción al espacio complejo Xn. Con el fin de dar la obstrucciones un cálculo explícito, tenemos que considerar el siguiente mapa Hq(X,Mn0/Mn+10 X0/B0 ) → Hq(Xn−1, n−1( Xn−1/Bn−1 que se define por l[l] = [1 rXn−1 LBn (l)]. Lemma 3.1 El mapa:.. : Hq(X,Mn0/Mn+10................................................................................................................................................................................................................................................... X0/B0 Hq(Xn−1, n−1(BnBn−1) Xn−1/Bn−1 ) está bien definido. Prueba. Al principio, tenemos que demostrar que si Se cierra el plazo, lo que equivale a demostrar que se cierra el plazo de validez de la orden LBn, LBn, LBn, LBn, LBn, LBnn, LBnn, LBnn, LBnn, LBnn, LBnnn, LBnnn, LBnnnn, LBnnnn, LBnnnn, LBnnnnn, LBnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn mod. n−1( BnBn−1 )...................................................................................................... XnXn−1 Nótese que dXn • • = • dXn. Entonces * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = -rXn−1 - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) Xn/Bn # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Desde LBn # # # # LBn # # LBn # # LBn # # LBn # # LBn # # LBn # # LBn # # LBn # # LBn # # # LBn # # # LBn # # LBn # # # LBn # # # LBn # # # LBn # # # LBn # # # LBn # # # LBn # # # LBn # # # LBn # # # LBn # # # # # LBn # # # # LBn # # # # LBn # # # # LBn # # # # # LBn # # LBn # # # # # # # # # LBn # # # LBn # # LBn # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # LBn # # # LBn # # # # LBn # # # # # # # # # # # # LBn # # # # # # # # # # # LBn # # # # # # # # LBn # # # # # # # LBn # # # # # # # # LBn # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # rXn−1 â € € € € d·Xn/Bn + d Xn/Bn # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # tenemos فارسى rXn−1 LBn () 0 mod. n−1(l+2BnBn−1) XnXn−1 A continuación, tenemos que demostrar que si es de Cq(U,Mn0/Mn+10 X0/B0 entonces 1 rXn−1 LBn De hecho, como el cálculo anterior: rXn−1 #LBn # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Xn/Bn * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * rXn−1 • LBn • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • En general, el mapa no es inyector. Sin embargo, como hemos mencionado en final de la sección anterior. Las obstrucciones “reales” son o n,n−1([αn−1)], pero no oqn([αn−1)]. Por lo tanto, no necesitamos ser inyectores. En lo siguiente, vamos a explíquele que Ł([l()]) es exactamente las obstrucciones “reales” que necesitamos. De hecho, Hq(Xn−1, n−1(BnBn−1) Xn−1/Bn−1 ) = (lBnBn−1)OBn−1H q(Xn−1, Xn−1/Bn−1 Let m = dimCB, let ti, i = 0...m ser las coordenadas locales de B. Entonces Se puede escribir como: i=0 dti i, donde i Hq(Xn−1, Xn−1/Bn−1 Para una cierta dirección , supongamos que i 6= 0. Entonces por un simple cálculo, no es difícil comprobar que i = constante[l()/ti] en H q(Xn−1, Xn−1/Bn−1 Mientras que [l'()/ti] es exactamente la obstrucción o n,n−1([αn−1)] en la dirección de lo mencionamos en la sección anterior. Ahora considere la siguiente secuencia exacta. El homomor de conexión... phism de la secuencia exacta asociada larga da la clase Kodaira-Spencer del orden n [4 1.3.2], 0 → n−1(BnBn−1) → XnXn−1 → Xn−1/Bn−1 → 0. Por la cuña de la secuencia exacta anterior con  Xn−1/Bn−1 , tenemos una nueva exacta secuencia. El homomorfismo de conexión de tal secuencia exacta nos da un mapa desde Hq(Xn−1, Xn−1/Bn−1 ) a Hq+1(Xn−1, η *(lBnBn−1).......................................................................................................................................................................................................................................................... Xn−1/Bn−1 Denote tal mapa por Łnx, porque tal mapa es simplemente el producto interior con el Kodaira-Spencer clase de orden n. Por la definición y simplemente el cálculo No es difícil probar el siguiente lema. Lemma 3.2 Vamos a ser un elemento de Hq(Xn−1, Xn−1/Bn−1 ), que ser un elemento de Cq(U, Xn/Bn ) de tal manera que su imagen cociente es. Entonces [lnxl] es igual a [1 • rXn−1 • • • • • • ()]. Volvamos al problema que discutimos, tenemos rXn−1 â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. € € € € € € € €. € €. € €. € €. € € €. € € €. € €. € €. € €. € €. € €. €. €. €. € €. €. €. €. €. €. €. €. €. € €.. €. €. €. €. € €.. €. € €.. € €. € € € € €.. € €. € €. € € € € € €. €.... €. € € €....... € €. € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. € € € € € € € > € € € € > > > € € > € € € € € € € € € > > € € € > > > > > > > > > > € > > > > € > > > € € € € € € € • rXn−1 • LBn • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • −rXn−1 • (d·Xn/Bn • • • • • • d Xn/Bn • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • −rXn−1 • (d·Xn/Bn • • • • • • d Xn/Bn ).................................................................................................. # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Por lo tanto [rXn−1 â € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. [rXn−1 € LBn € € € € € € € € € € € €. [rXn−1 € LBn € € € € € > € € € € > € € € € € € € € € € €. [rXn−1 € € € €. Xn/Bn )............................................................................................ = −[d·Xn−1/Bn−1 • rXn−1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Xn/Bn # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # = −[d·Xn−1/Bn−1 -1 -1 -1 -1 -() +rXn−1 • • • • • dXn/Bn()] = − [­ • • dXn−1/Bn−1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1/Bn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 +rXn−1 = −[dXn−1/Bn−1 â € € € € € TM nxαn−1 + € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. De la discusión anterior, obtenemos el teorema principal de este documento. Teorema 3.3 Let : X → B ser una deformación de 1(0) = X, donde X es un colector compacto y complejo. Let ηn : Xn → Bn ser la deformación del orden nth de X. Para arbitrario [α] pertenece a Hq(X,♥p), supongamos que podemos extender [α] a orden n − 1 en Hq(Xn−1,pXn−1/Bn−1). Denota este elemento por [αn−1]. Los la obstrucción de la extensión de [α] a la orden nth viene dada por: en,n−1(αn−1) = dXn−1/Bn−1 donde el n o orden Kodaira-Spencer clase y dXn−1/Bn−1 es el relativo operador diferencial de la deformación de n− 1o orden. Desde el teorema, podemos obtener el siguiente corolario inmediatamente. Corollary 3.4 Let : X → B ser una deformación de 1(0) = X, donde X es un complejo colector compacto. Supongamos que hasta el orden n, el d1 de la La secuencia espectral de Frölicher desaparece. Por arbitrario [α] pertenece a Hq(X, se puede extender al orden n + 1 en Hq(Xn+1, Xn+1/Bn+1 4 Un ejemplo En esta sección, vamos a utilizar la fórmula en la sección anterior para estudiar la salto de los números Hodge hp,q de pequeñas deformaciones del hombre Iwasawa- Ifold. Fue Kodaira quien calculó por primera vez pequeñas deformaciones de Iwasawa multiple [2]. En la primera parte de esta sección, recordemos su resultado. 1 z2 z3 0 1 z1 0 0 1 ; zi C = C3 1 2 3 0 1 1 1 0 0 1 * Z+ Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z* Z La multiplicación se define por 1 z2 z3 0 1 z1 0 0 1 1 2 3 0 1 1 1 0 0 1 1 z2 + •2 z3 + •2z1 + •3 0 1 z1 + •1 0 0 1 X = G/­ se llama Iwasawa multiple. Podemos considerar X = C3/. g # # # # # # # g # # # opera en C3 de la siguiente manera: z′1 = z1 + Ł1, z 2 = z2 + Ł2, z 3 = z3 + 1z2 + 3 donde g = (+1, +2, +3) y z ′ = z · g. Existen 1-froms holomórficos En todos los puntos de la X y se dan los siguientes datos: *1 = dz1, *2 = dz2, *3 = dz3 − z1dz2, para que d............................................................................................................................................................................................................................................................... Por otro lado tenemos campos vectoriales holomórficos........................................................................................................................................................................................................................................................ , 2 ° = , ­3 = Es fácil ver que [­1, ­2] = −[­2, ­1] = ­3, [­1, ­3] = [­2, ­3] = 0. en vista del teorema 3 en [2], H1(X,O) se extiende por. Ya que.................................................................................................................. isomórfico a O3, H1(X, TX) se extiende por i, i = 1, 2, 3, ♥ = 1, 2. La pequeña deformación o f X es dada por (t) = tiit− (t11t22 − t21t12) Resumimos los caracteres numéricos de las deformaciones. Las deformaciones se dividen en las tres clases siguientes: i) t11 = t12 = t21 = t22 = 0, Xt es un colector paralelisable. ii) t11t22−t21t12 = 0 y (t11, t12, t21, t22) 6= (0, 0, 0, 0),Xt no es paralelisable. iii) t11t22 − t21t12 6= 0, Xt no es paralelisable. h1,0 h0,1 h2,0 h1,1 h0,2 h3,0 h2,1 h1,2 h3,0 i) 3 2 3 6 2 1 6 6 1 ii) 2 2 2 5 2 1 5 5 1 iii) 2 2 1 5 2 1 4 4 1 Ahora vamos a explicar el fenómeno de salto del número de Hodge por utilizando la fórmula de obstrucción. Del corolario 4.3 en [6], se deduce que el Los grupos de cohomología Dolbeault son: H0(X,♥) = Span{[l), [l}, [l}, [l}, H1(X,O) = Span{[ H0(X, H1(X,♥) = Span{[l ]}, i = 1, 2, 3, ♥ = 1, 2, H2(X,O) = Span{[ H0(X, H1(X,­2) = Espadín{[­i ­­­j ­­]}, i, j = 1, 2, 3, i < j, ­ ­ = 1, 2 H2(X,l+1) = Espadín{[l+i+ + 2+ + 3}, [l+j+ 1+ + 3}}, i, j = 1, 2, 3, H3(X,O) = Span{[­1 Por ejemplo, consideremos primero h2,0, en la clase ii) de deformación. Los La clase de Kodaira-Spencer de esta deformación es 1(t) = 1 = 1 tii, con t11t22−t21t12 = 0. Es fácil comprobar que el o1 (12) = (int(1(t)))(1 (t11t22 −) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • t21t12)),3,3,2 = 0, y o1 (2,3,3) = −t21+1 (1,3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0, o1(­1 ­1 ­3) = −t11 ­1 ­1 ­2 ­2 ­1 ­2 ­1 ­1 ­1 ­1 ­2 ­2 ­2. Por lo tanto, hemos demostrado que para un elemento del subespacio Span{[­12], [t11­23− t21­13]}, la obstrucción de primer orden es trivial, mientras que, desde (t11, t12, t21, t22) 6= (0, 0, 0, 0), por lo menos una de las obstrucciones o1(­2 ­­·3), o1(­1­· ·3) no es trivial que en parte explicar por qué el Hodge número h2,0 salta de 3 a 2. Por otro. ejemplo, consideremos h1,2, en la clase ii) de deformación. Es fácil de comprobar que para un elemento del subespacio (la dimensión de dicho subespacio) es 5) Span{[i3], [t12323− t11313]}, i = 1, 2, ♥ = 1, 2, la obstrucción de primer orden es trivial, mientras que al menos una de las obstrucciones o1(­3.­2.­3.­3), o1(­3.­3.­1.­3.­3) no es trivial. Observación 1 Es fácil ver que, en la clase ii) o iii) de deformación, la la obstrucción de primer orden para cualquier elemento en H1(X,♥) es trivial. La razón de El salto de Hodge número h1,1 de 6 a 5 viene de la existencia de la elementos obstruidos de segunda clase o1(­3). Después de un simple cálculo, no es difícil obtener la ecuación de estructura de Xt, t 6= 0. d-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0-(0)-(0)-(0)-(0)-(0)-(0-(0)-(0)-(0-0)-(0)-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0 d-[2] = 0, • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • que puede considerarse un ejemplo de la propuesta 2.5. Observación 2 Del ejemplo que hemos discutido anteriormente, no es difícil averiguar el siguiente hecho. Que X sea un complejo no-Kähler nilpotente par- colector alelisable cuya dimensión es más de 2, y فارسى : X → B ser el familia de deformación inversa de X. Entonces el Hodge número h1,0 saltará en un barrio de 0o B. De hecho, dejar que Łi, i = 1...n, n = dimC(X) sea linealmente 1-formas holomórficas independientes de X. Por el teorema 3 de [2], H1(X,O) es que se extiende por un subconjunto de i}, i = 1..n. Así que tenemos : H1(X,O) → H1(X, es trivial, lo que significa un término de la obstrucción de primer orden del holomor- phic 1-formas desaparece. Let Łi, i = 1...n ser el dual de Łi, que son linealmente campos de vectores holomórficos independientes. Dado que X no es Kähler, lo que significa X no es un toro, existe tal que i 6= 0. Ya que X es nilpotente, hay exist Łj tal que j = 0. Asumir que i = AŁk Ł Łl +... con A 6= 0. Consideremos el tema de la salud y la salud en H. 1 (X, TX). Es fácil de comprobar que o1(i, kŁj) 6= 0. Bibliografía [1] S. Iitaka, Plurigenera y clasificación de variedades algebraicas, Sugaku 24 (1972), 14-27. [2] Nakamura, I (1975). Complejos colectores paralelizados y sus pequeños deformaciones, J.Differential Geom. 10, 85-112. [3] C. Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I, Cambridge University Press 2002. [4] C. Voisin, Symétrie miroir, Société Mathématique de France, París, 1996. [5] Bell S. y Narasimhan R., Cartografías holomorfas adecuadas de complejos espacios, Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, Varios Vari Complejo- powers VI, Springer Verlag, pp. 1-38, 1991. [6] Cordero, L. A., Fernández, Gray, A. y Ugate, L.(1999). Frölicher Secuencia espectral de nilmanifolds compactos con complejo nilpotente Estructura. Nuevos desarrollos en geometría diferencial, Budapest 1996, 77-102, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht. Introducción Teoremas de imagen directa de Grauert y teoría de la deformación La fórmula para las obstrucciones Un ejemplo

Strange dibaryon resonance in the anti-KNN--piYN system

Extraña resonancia dibaryon en el sistema K̄NN-ňY N Y. Ikeda y T. Sato* Departamento de Física, Escuela de Posgrado de Ciencias, Universidad de Osaka, Toyonaka, Osaka 560-0043, Japón (Fecha: 4 de noviembre de 2018) Resumen Las resonancias de tres cuerpos en el sistema K̄NN se han estudiado en un marco de la K̄NN − Ecuación de Faddeev de canal acoplado N. Al resolver la ecuación de tres cuerpos, el en- ergy dependencia de la amplitud resonante K̄N se tiene plenamente en cuenta. El poste de S-matriz tiene se ha investigado a partir del valor propio del núcleo con la continuación analítica de la dispersión Amplitud en la hoja antifísica de Riemann. La interacción K̄N se construye a partir de la término de orden del chiral Lagrangian usando cinemática relativista. La resonancia de 1405 es dy- Námicamente generada en este modelo, donde los parámetros de interacción K̄N se ajustan a los datos de la dispersión de la longitud. Como resultado encontramos una resonancia de tres cuerpos del extraño sistema dibaryon con energía de unión, B â € 79 MeV, y ancho, â € € TM 74 MeV. La energía de la resonancia de tres cuerpos es encontrado ser sensible al modelo de la interacción I = 0 K̄N. Números PACS: 11.30.Rd, 11.80.Jy, 13.75.Jz * Dirección electrónica: ikeda@kern.phys.sci.osaka-u.ac.jp, tsato@scis.sci.osaka-u.ac.jp. http://arxiv.org/abs/0704.1978v2 mailto:ikeda@kern.phys.sci.osaka-u.ac.jp, tsato@phys.sci.osaka-u.ac.jp I. INTRODUCCIÓN El análisis de los átomos kaónicos [1] reveló una atractiva interacción K̄-núcleo. Al- aunque la fuerza de la atracción depende de la parametrización de la densidad de- pendencia del potencial óptico [1] y el estudio teórico del potencial óptico de K̄ sugiere un potencial poco profundo [2], ha habido un gran interés en las posibilidades de los estados de K̄-núcleo unidos en los últimos años. Akaishi y Yamazaki [3, 4] estudiaron el kaon estados unidos en núcleos de luz y se encontraron estados caónicos profundamente unidos, por ejemplo, B + 100 MeV para 3 H. En su estudio, los estados nucleares kaónicos fueron investigados usando el K̄ potencial óptico, que se construye mediante el plegado de la matriz g con una densidad nuclear de ensayo. El modelo potencial de interacción K̄N − está determinado a reproducir el Ł(1405) y la longitud de dispersión. Los estados nucleares kaónicos se estudian más a fondo utilizando un método de Dinámica molecular antisimmetrada [5] utilizando la matriz K̄N g. Entre el estado del núcleo más simple de K̄, el estado K-pp, que tiene extrañeza S = −1, total impulso angular y paridad Jη = 0−, e isospin I = 1/2 dibaryon estado, se espera que tienen el componente más grande de la I = 0 K̄N. Una señal experimental del estado de unión K-pp es reportada por la Colaboración FINUDA a partir del análisis de la distribución de masa invariante • − p en la reacción de absorción de K− en los núcleos [6]. El valor central comunicado de la energía de unión, B, y la anchura,.... (B,.................................................................................................................................................................................................................................................... energía de umbral. Estos datos pueden ser comparados con los valores predichos (B,•) = (48, 61) MeV in Ref. [4]. Sin embargo, se señaló que los datos pueden ser entendidos por los dos absorción nucleónica de K− en los núcleos junto con la interacción en el estado final de la salida bariones [7]. En la interacción atractiva del kaón en los núcleos, la resonancia ­(1405) en la onda s y I = 0 canal K̄N estado de dispersión juega un papel esencial. La energía de los 1405 es por debajo del umbral K̄N y fuertemente parejas con el estado. Aunque la energía nuclear caónica los estados han sido estudiados hasta ahora mediante el uso de la matriz de K̄N g o potencial óptico, podría ser muy importante para examinar el cálculo dinámico completo del sistema K̄N tomando en cuenta la dependencia energética de la matriz de resonancia t y el acoplamiento con el K̄N canal explícitamente. Tal estudio teórico puede ser posible en los núcleos caónicos más simples con sistema barión número B = 2. En este trabajo, estudiamos el extraño sistema dibaryon por teniendo en cuenta la dinámica de tres cuerpos usando el K̄NNNN (K̄NNY N) Ecuación de Faddeev de canal acoplado con cinemática relativista y no relativista. Los métodos para investigar las resonancias en el sistema de tres cuerpos se han desarrollado en el estudios de los tres neutrones [8, 9], dibaryon ηNN [10, 11] y hipernúcleos ηNN [10, 12, 13]. En este trabajo, utilizamos un método iniciado por Glöckle [8] y Möller [9] y desarrollado por Matsuyama y Yazaki, Afnan, Pearce y Gibson [10, 12, 13] para encontrar un polo de la matriz S en el plano de energía no físico del valor propio del núcleo de la ecuación de Faddeev. Para continuar analíticamente la amplitud de dispersión en la hoja antifísica, el camino de el impulso integral debe ser cuidadosamente deformado en el plano complejo para evitar posibles singularidades. La interacción más importante para el estudio del extraño sistema dibaryon es para el I = 0 estados K̄N. La estructura interna de la «(1405)» ha sido de larga data es la siguiente: Sue. El enfoque chiral Lagrangian [14, 15, 16] puede describir bien la baja energía K̄N reacción con la dinámica meson-baryon. Una auténtica imagen q3 de la «(1405)» acoplada con meson-baryon [17] todavía no puede ser excluido. Aunque los estudios anteriores de la K̄NN sistema utilizado modelos fenomenológicos de los potenciales K̄N, utilizamos s-onda meson-baryon Potenciales de canales acoplados guiados por el chiral Lagrangian de orden más bajo. Con este modelo, la fuerza de los potenciales y la fuerza relativa de los potenciales entre los diversos los canales meson-baryon no son parámetros, sino que se determinan a partir de la estructura SU(3) de El chiral Lagrangian. En este modelo, el «(1405)» es un «estado ligado inestable», cuyo polo en la hoja antifísica se convertirá en el estado consolidado de K̄N cuando el acoplamiento entre el K̄N y la Y está apagada. Examinamos un modelo relativista, así como un modelo no relativista modelo para dar cuenta de la energía relativista de pión en el estado de N. Explicamos brevemente nuestras ecuaciones de canales acoplados K̄NN − N y N y el procedimiento para buscar la resonancia de tres cuerpos en la sección 2. El modelo de las interacciones de dos cuerpos en este trabajo se explica en la sección 3. Luego informamos de nuestros resultados sobre el K̄NN resonancia dibariona en la sección 4. Este trabajo es la extensión de la versión temprana de nuestro análisis notificada en Ref. [18]. Recientemente Shevchenko et al. [19] realizó un estudio similar de la K̄NN sistema usando la ecuación de Faddeev a partir de la interacción fenomenológica K̄N dentro un marco no relativista. La comparación de nuestros resultados con los de ellos será discutida en sección 4. II. PAPEL DE EQUILIBRACIÓN Y RESONACIÓN DEL FADDEEV DE CANAL AMPLIADO Partimos de la ecuación Alt-Grassberger-Sandhas(AGS) [20] para el scat de tres cuerpos- problema de tering. Los operadores Ui,j de la dispersión de tres cuerpos satisfacen la ecuación AGS Ui,j = (1− Łi,j)G−10 + n 6=i tnG0Un,j. 1).......................................................................................................................................................... Aquí etiquetamos el par de partículas j, k por la partícula del espectador i = 1, 2, 3. Los dos cuerpos. t matriz ti de partículas j, k con la partícula espectador i es dada por la solución de la Ecuación Lippmann-Schwinger: ti = vi + viG0ti. 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Aquí G0 = 1/(W −H0 + i®) es la función del verde libre de las tres partículas, y W es la energía total del sistema de tres cuerpos. Cuando las interacciones de dos cuerpos vi se administran en forma separable con el factor de forma vértice gi > y la constante de acoplamiento γi como vi = gi > γi < gi, (3) el AGS-ecuación de Eq. (1) está escrito en la forma Xi,j(~pi, ~pj,W ) = (1− Łi,j)Zi,j(~pi, ~pj,W ) + n 6=i d~pnZi,n(~pi, ~pn,W )?n(W )Xn,j(~pn, ~pj,W ). La amplitud Xi,j se define por el elemento de matriz de Ui,j entre vectores de estado G0pi, gi > Xi,j(~pi, ~pj,W ) = < ~pi, giG0Ui,jG0pj, gj >. 5) El vector de estado pi, gi > representa un estado de onda plana del espectador i y el vector de estado gi > del par que interactúa. El término de conducción Zi, j de Eq. (4) se muestra en la Fig. 1(a) es dada por el intercambio de partículas mecanismo definido como Zi,j(~pi, ~pj,W ) = < ~pi, giG0pj, gj > (6) g*(~qi)g(~qj) W −Ei(~pi)−Ej(~pj)−Ek(~pk) . 7).................................................................................................................................................. FIG. 1: Representación gráfica de (a) una interacción de intercambio de partículas Zi,j(~pi, ~pj,W) y (b) T-matriz de dos cuerpos Łi(W ). El momento relativo de las partículas que interactúan es dado por ~qi para partícula del espectador i. Aquí el momento de la partícula intercambiada k( 6=i, j) se da como ~pk = pi − ~pj y g(~qi) es el factor de forma vértice de la interacción de dos cuerpos g(~qi) =< giqi >. La energía Ei(~pi) es dado por Ei(~pi) = mi + ~p i /2mi para el modelo no relativista y Ei(~pi) = m2i + ~p i para el Modelo relativista. El momento relativo es dado por ~qi = (mk~pj −mj~pk)/(mj +mk) para el modelo no relativista, mientras que definimos qi = qi para el modelo relativista como W 2i +m j −m2k )2 −m2j, (8) (Ej(~pj) + Ek(~pk))2 − ~p2i. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. La matriz t de dos cuerpos se puede resolver para la interacción separable como ti = gi > Łi(W ) < gi. (10) Aquí el propagador "isobar", ilustrado en la Fig. 1 b), se da como ♥i(W ) = [1/γi − gi(~qi)2 W ~Ei(~pi)− Ejk(~pi, ~qi) − 1. (11) La matriz t de dos cuerpos depende de la energía Ei(~pi) de la partícula del espectador. Aquí está Ejk. la energía del par de interacción dada como Ejk(~pi, ~qi) = mj +mk + ~p i /(mj +mk) + ~q i/μi para el modelo no relativista, mientras que Ejk(~pi, ~qi) = (Ej(~qi) + Ek(~qi))2 + ~p i para el relativista modelo. La masa reducida se define como μi = mjmk/(mj +mk). Siguiendo el método estándar de expansión angular del impulso [21], la ecuación AGS se reduce a las siguientes ecuaciones integrales acopladas manteniendo sólo estados de onda s: Xi,j(pi, pj,W ) = Zi,j(pi, pj,W ) + × Ki,n(pi, pn,W)Xn,j(pn, pj,W). (12) Aquí usamos una notación simplificada para el núcleo K = Z., que se puede escribir como Ki,n(pi, pn,W ) = 2 d(pa'i · p'n) g*(qi)g(qn) W −Ei(pi)− Ej(pn)− Ek(~pi + ~pn) (W ). (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Las fórmulas dadas arriba son válidas para las partículas sin spin y distinguibles sin acoplamiento de canal entre los vectores Fock-space. En nuestro problema de resonancia K̄NN, tenemos incluye los siguientes estados K̄NN y N: a > = N1, N2, K̄3 >, (14) b > = N1, Y2, γ3 >, (15) c > = Y1, N2, γ3 >, (16) con Yi es?i o?i. Después de anti-simetría de la amplitud para partículas idénticas de nucle- ens [11], obtenemos las siguientes formas de las ecuaciones acopladas AGS, XYK,YK XYπ,YK Xd,YK XN*,YK ZYK, YK Zd,YK - ZYK, YK, YK, ZYK, YK, YK, 2ZYK, 0 0 0 −ZYπ,NN*,N* Zd. YK. YK. YK. Zd. YK. YK. Y. 0 - ZN*, YYl, YK - ZN*, YYl, Yl 0 0 XYK,YK XYπ,YK Xd,YK XN*,YK . (17) Aquí hemos suprimido los números cuánticos de spin-isospin, el impulso del espectador pj y la energía total del sistema de tres cuerpos W en Z, X y ♥ para la simplicidad. El conciso notación de YK, Yη, d y N * Representa los 'isobars' y sus canales de decadencia. La decadencia canales de isobars YK, Yη, d y N * son K̄N(I = 0, 1), (I = 0, 1) y (I = 1), NN(I = 1) y ηN(I = 1/2, 3/2), respectivamente. Aquí estoy isobar isospin. Esos índices Especifíquense exclusivamente los estados de tres cuerpos de X y Z, excepto N* que muestren N* y N*. Por lo tanto tenemos una ecuación acoplada de nueve canales de Eq. (17) para spin singlet, s-wave tres- sistema corporal. La forma explícita de Eq. (7) cuando incluimos spin-isospin se resume en el apéndice. El componente espacial dominante Fock se espera que sea K̄NN >, y por lo tanto la las amplitudes más importantes son XYK, YK y Xd, YK. Se unen el uno al otro a través de el intercambio de kaon ZYK, YK y el intercambio de nucleones ZYK, D mecanismos. No obstante, cabe señalar que El componente N también está implícitamente incluido en el YYK, YK cuando resolvemos el K̄N de dos cuerpos. Ecuaciones de canales acoplados. Los componentes N, XY, YK y XN*, YK, pareja con los componentes K̄NN a través del mecanismo de intercambio de piones ZN*,Y «isobars» ŁN*,N*, El mecanismo de intercambio de iones puede desempeñar un papel importante en el anchura de la resonancia. En este trabajo, no hemos incluido la interacción débil Y N. Lo fue. encontrado en Ref. [19] que la interacción Y N juega un papel menor en este extraño dibaryon sistema. Para encontrar la energía de resonancia del sistema de tres cuerpos usando la ecuación AGS de Eq. (17), seguimos el método utilizado en Refs. [8, 9, 10, 12, 13]. La ecuación AGS de Eq. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. es una ecuación integral tipo Fredholm con el núcleo K = Z. Usando el valor propio ηa(W ) y la función propia a(W) > del núcleo para la energía dada W, a(W ) > = ηa(W )a(W ) >, (18) la amplitud de dispersión X se puede escribir como * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1− ηa(W ) . (19) En la energía W = Wp donde ηa(Wp) = 1, la amplitud tiene un polo, y por lo tanto Wp da el estado de unión o la energía de resonancia. Puesto que un polo de resonancia aparece en la hoja de energía antifísica de Riemann, necesitamos análisis continuación de la amplitud de dispersión. Utilizamos aquí el modelo no relativista para explicar un método de continuación analítica, que se basa en Refs. [9, 10]. Al principio examinamos la singularidades del núcleo de Eq. (13). Por encima del umbral de energía de la ruptura de tres cuerpos up W > mi+mj+mk, Z(pi, pn,W) tiene singularidades logarítmicas. Los puntos de rama aparecen FIG. 2: Las singularidades de la interacción de intercambio de una partícula Z (pi, pn, W ) en el complejo pn plano en W = E + iÃ3 y el pi real. en pn = ±pZ1,2, donde pZ1 = − 2μjWth − p2i, (20) pZ2 = + 2μjWth − p2i, (21) mi +mk mj(mi +mk) mi +mj +mk Wth = W −mi −mj −mk. Para pi dado > 0, los cortes corren de pZ1 a pZ2 por encima del eje real positivo de pn complejo plano y de −pZ1 a −pZ2 por debajo del eje real negativo como se muestra en la Fig. 2, mientras que el integración del impulso pn en Eq. (13) está a lo largo del eje positivo real. Consideremos el caso cuando W tiene una parte imaginaria negativa. Para pi dado > 0, la corte de pZ1 a pZ2 se mueve en el cuarto cuadrante a través del contorno de integración de pn. Asumiendo el integrand de Eq. (12) es una función analítica alrededor de pn positivo real, uno puede realizar una continuación analítica de las amplitudes deformando el contorno de integración a lo largo de la singularidad logarítmica como se muestra en la Fig. 3 y entonces obtenemos amplitudes en el hoja antifísica de Riemann. FIG. 3: El contorno de la integración C y la singularidad de Z en W = E − i. 2 y el valor real de pi. En principio, podría ser posible resolver la ecuación AGS manteniendo el va- capaz real y teniendo en cuenta la discontinuidad a través del corte. El movimiento logarítmico singularidades dependiendo de pi hacen difícil resolver la ecuación integral. Superar este problema deformamos el contorno de integración de pi, pn, en el cuarto cuadrante de la un plano de impulso complejo para que tengamos en cuenta la contribución de los recortes. Como un ejemplo de nuestro problema K̄NN − N, elegimos el contorno de integración de pn como se muestra en línea sólida en la Fig. 4. Aquí tomamos la energía W = 10 − i35 +m está por debajo de la masa de K̄NN y por encima de la N ηY. La región sombreada en la Fig. 4 muestra la cortes de ’Z’ para el mecanismo de intercambio de piones. Los recortes se convierten en ’regiones prohibidas’ porque la posición de los cortes depende de pi, que corre el mismo contorno de integración que pn. In nuestro cálculo numérico, estudiamos todas las ’regiones prohibidas’ para el intercambio η,N y K y determinó el contorno de integración. Con el contorno de integración C en la Fig. 4, elegimos la hoja física de K̄NN. Las singularidades del propagador de isobars (W) surgen de la función de los tres cuerpos de Green En el integrand de la ciudad. Los polos están en qn = ± 2μjWth − μjηj p i. Desde qs = (pZ1+pZ2)/2, podemos continuar analíticamente en la misma hoja antifísica como el caso en Z siempre y cuando conservamos el mismo contorno deformado que el usado en Z. Otra singularidad que tenemos que la preocupación es la singularidad debido a la resonancia de dos cuerpos. Desde nuestro sistema K̄N − tiene la resonancia de dos cuerpos ((1405), el corte comienza desde la energía de resonancia de dos cuerpos en el complejo plano de energía. Para examinar esto, escribimos la dependencia de energía aproximada FIG. 4: Las singularidades logarítmicas del mecanismo de intercambio Z(pi, pn, Z) en Wth = 10− i35 MeV en el complejo plano Pn. C es el contorno de integración de pn y pi. de la Ley sobre la igualdad de oportunidades entre hombres y mujeres * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * W − p − E −mN . (22).............................................................................................................................................................................................................................................................. Aquí pN y mN son el impulso y la masa del nucleón del espectador. La masa reducida del espectador nucleón con el par isobar K̄N o se denota como ηN y E es el energía de los polos de 1405. En W = + E +mN con pN en el contorno C en Figs. 5 b), la matriz t de dos cuerpos tiene una singularidad, que se traza como una línea sólida en la Fig. 5 a). Nosotros ilustran las trayectorias típicas del polo de resonancia de tres cuerpos W = Wp como curvas A y B in Fig. 5. Si las trayectorias de polo A y B interceptan el corte de dos cuerpos N.o 1405, entonces debe examinarse la continuación analítica de la hoja de energía no física de la N.o 1405. Los La misma situación del plano pN se muestra en la Fig. 5 b). El impulso p ∗ correspondientes a la energía Wp de la resonancia de tres cuerpos está determinada por p* = ± 2ηN(Wp − E −mN). 23) Si p* intercepta el contorno C, tenemos que cuidar de la continuación analítica de la Pizarra de energía N­(1405). Como se verá en la sección 4, las trayectorias de los tres cuerpos resonancia en nuestro cálculo seguir la línea A de la Fig. 5 a) y no interceptar la singularidad de la resonancia de dos cuerpos. FIG. 5: Las singularidades debidas a la resonancia de los tres cuerpos y el "(1405)" en (a) el complejo plano de energía y (b) el plano de impulso. III. MODELO DE LAS INTERACCIONES DE LOS DOS ÓRGANOS Tomamos en cuenta las interacciones K̄N en Jη = 1/2−, I = 0 e I = 1 estados, el Interacciones con NN en los estados I = 1/2-, I = 1/2 y 3/2 y la interacción con NN en I = 0,1 S0 Estado. Nuestra interacción s-onda meson-baryon es guiada por el quiral efectivo de orden líder Lagrangian para el octeto baryon B y los campos pseudoescalar meson Lint = 8F 2η tr(Bγ μ[, ], B]). (24) El potencial meson-baryon derivado del chiral Lagrangian puede ser escrito como < ~p′, VBM p, α > = −Cβ,α (2l)38F 2l mβ +mα 4Eβ(~p′)Eα(~p) × gβ(~p′)gα(~p). (25) Aquí ~p y ~p′ son el impulso del mesón en el estado inicial α y el estado final β. La fuerza del potencial a cero impulso no es una constante arbitraria, pero es determinado por la constante decaimiento del pion Fη. La fuerza relativa entre el meson-baryon los estados son controlados por las constantes Cβ,α que son básicamente determinados por el sabor SU(3) estructura del chiral Lagrangian. El parámetro de nuestro modelo es el corte de la función vértice introducida fenomenológicamente gα(~p) = α/(~p 2 + 2α) La interacción más importante para el estudio del sistema K̄NN es la I = 0 K̄N interacción. Describimos la interacción K̄N por el modelo de canal acoplado de la K̄N y los estados. Las constantes Cβ,α para este canal se dan como CK̄N−K̄N = 6, CK̄N = 6 y C = 8. El corte se determina mediante el ajuste de la longitud de dispersión a −1,70 + i0,68 fm de Ref. [22]. Los valores de Ł son alrededor de 1 GeV y se dan como modelo a) en los cuadros I y II para los modelos no relativistas y relativistas. En general, la forma los factores de los modelos relativistas son difíciles comparados con los de los modelos no relativistas debido a la débil energía cinética relativista. Encontramos un poste de resonancia en W = 1420-i30 MeV para los modelos no relativistas y relativistas. La cinemática relativista podría ser importante en la descripción del canal γY debido a la pequeña masa de piones. Elegimos esto. modelo (a) como parámetro estándar de la interacción K̄N. Las longitudes de dispersión K̄N no están muy bien limitadas de los datos. Los rangos de la Las longitudes de dispersión K̄N se estudian dentro del modelo unitario quiral en Ref. [23]. En este trabajo, simplemente examinamos modelos con la longitud de dispersión aI=0 = (−1,70±0,10)+ i(0,68±0,10) fm con el fin de examinar la sensibilidad de la energía de la resonancia de tres cuerpos en la entrada modelo de la interacción de dos cuerpos. Los cortes de estos modelos se dan como modelos (b)- e) de los cuadros I y II. Los valores de la energía de resonancia son alrededor de 1415 - 1425 MeV, y la anchura 50 + 70 MeV, que están cerca de los valores del modelo quiral en Ref. [16]. Uno puede notar que hay una correlación entre la parte real (imaginaria) de la energía del polo de la parte imaginaria (real) de la longitud de dispersión. Esas resonancias las energías son ligeramente más grandes que la energía de los polos reportada en Ref. [24]. Por lo tanto, como último modelo, modelo (f) reproduce la energía de resonancia más profunda 1406− i25 MeV de Ref. [24]. Los la longitud de dispersión de este modelo es −1.72 + i0.44 fm, que es, sin embargo, algo diferente del valor −1,54 + i0,74 fm en Ref. [24]. La interacción I = 1 K̄N es descrita por el modelo de canal acoplado K̄N − −. Las constantes de acoplamiento Cβ,α son CK̄N−K̄N = 2, CK̄N = −2, CK̄N = − 6, C = 4 y C = C = 0. Los cortes están determinados a adaptarse a la parte imaginaria de la longitud de dispersión de Ref. [22], que se presentan como modelo (A) en los cuadros III y IV para los modelos relativistas y relativistas. La parte real de la longitud de dispersión de esos modelos es mayor que aI=1 = 0,37+ i0,60 fm de Ref. [22]. La longitud de dispersión de K-p predicho desde modelo (aA), que es el modelo (a) para I = 0 y modelo (A) para I = 1 interacciones, es entre los valores centrales de los dos datos de hidrógeno kaónico [25, 26, 27]. Para estudiar la sensibilidad de los modelos de I = 1 interacción K̄N a la energía de resonancia del sistema K-pp, construimos modelo (B) que figura en los cuadros III y IV. Un modelo similar de interacción K̄N se desarrolla para estudio K-d dispersión[28]. El rango del factor de forma vértice encontrado en Ref. [28], que es el factor de forma monopolo con la masa de corte 880MeV, es comparable al nuestro. Las secciones transversales totales de las reacciones de K-p predichos de nuestros modelos (aA), (aB) y (fA) se muestran en la Fig. 6 junto con los datos [29, 30, 31, 32, 33]. Los modelos (aA) y (aB) describir bien el K−p → K−p(Fig. 6a), K−p → (Fig. 6b) y K−p → (Fig. 6c) reacciones, en las que tanto las interacciones I = 0 como I = 1 contribuyen a la sección transversal. Los los modelos de I = 0 (I = 1) pueden ser probados a partir de K-p → 6d) (K−p → 6e)) reacciones, donde los modelos ’a’ y ’A/B’ describen bien las secciones transversales. El modelo (fA) tiende a dar secciones transversales más pequeñas. Se nota, sin embargo, como veremos, que la resonancia la energía del sistema K-pp es más sensible a la interacción I = 0 K̄N y menos sensible a I = 1 interacciones, mientras que tanto I = 0 e I = 1 interacciones son igualmente importantes para describir secciones transversales de K-p y datos de hidrógeno kaónico. K̄N(MeV) (MeV) Scattering Longitud(fm) Energía de resonancia (MeV) a) 1095 1450 - 1,70 + i0,68 1419,8 - i29,4 b) 1105 1550 −1,60 + i0,68 1422,2 − i33,7 c) 1085 1350 − 1,80 + i0,68 1418,5 − i25,0 d) 1120 1340 − 1,70 + i0.59 1414,6 − i29,4 e) 1070 1540 −1,70 + i0,78 1424,3 − i28,3 f) 1160 1100 −1,72 + i0,44 1405,8 − i25,2 CUADRO I: Parámetros de corte, longitud de dispersión y polo de resonancia de los modelos relativistas de I=0 K̄N − interacción. La forma de las interacciones de onda s-s-n se toma como Eq. (25). La constante Cα,β es 4 para I = 1/2 y −2 para I = 3/2 estados. Se determinan los parámetros de los potenciales mediante el ajuste de la longitud de dispersión y los cambios de fase de baja energía. Para I = 1/2 estado, el la fuerza del potencial se modifica como Cβ,α mediante la introducción de un factor fenomenológico describir los datos de la longitud de dispersión (0.1788±0.0050)m−1η [34] y los cambios de fase [35]. En el cuadro V, junto con la longitud de dispersión, se muestran los parámetros instalados: K̄N(MeV) (MeV) Scattering Longitud(fm) Energía de resonancia (MeV) a) 946 988 −1,70 + i0,68 1420,1 − i30,1 b) 954 1035 −1,60 + i0,68 1422,4 − i34,7 c) 940 944 − 1,80 + i0,68 1418,7 − i26,0 d) 968 933 −1,70 + i0.58 1414,3 − i30,5 e) 927 1031 −1,70 + i0,78 1424,7 − i29,0 f) 1.000 800 −1,72 + i0,43 1404,8 − i25,5 CUADRO II: Parámetros de corte, longitud de dispersión y polo de resonancia de lo no relativista modelos de I=0 K̄N − interacción. K̄N(MeV) (MeV) (MeV) Longitud de dispersión (fm) A) 1100 850 1250 0,68 + i0,60 (B) 950 800 1250 0,65 + i0,46 CUADRO III: Parámetros de corte, longitud de dispersión de los modelos relativistas de I=1 K̄N − interacción. calculados utilizando los modelos. Los modelos describen bien la fase S11 cambia hasta 1.2 GeV como se muestra en la Fig. 7. Para la dispersión I = 3/2 ηN, el potencial ηN se construye de modo que se reproduzca el longitud de dispersión (−0,0927 ± 0,0093)m−1η [34] y los datos de los movimientos de fase de onda parcial S31. Aquí introdujimos un factor de forma dipolo modificado como g(~p) = (~p2 + Ł2)2 × (1 + a~p2). 26) K̄N(MeV) (MeV) (MeV) Longitud de dispersión (fm) A) 920 960 640 0,72 + i0,59 (B) 800 940 660 0.68 + i0.45 CUADRO IV: Parámetros de corte, longitud de dispersión de los modelos no relativistas de I=1 K̄NY interacción. FIG. 6: La sección transversal total de (a) K−p → K−p, (b) K−p → (c) K−p → (d) K−p → η0­0 y (e) K−p → η0­ reacciones en el modelo relativista. El sólido (aplastado, punteado) la curva muestra el resultado utilizando el modelo (aA) (aB), (fA)). Los datos son tomados de Ref. [29, 30, 31, 32, 33]. (MeV) longitud de dispersión Relativista 0,90 800 0,175m−1 No relativista 0,85 800 0,177m−1 CUADRO V: Parámetros y longitud de dispersión para el modelo relativista y no relativista de I=1/2 Interacción con N. Los parámetros del modelo son un factor de forma y un parámetro de fuerza. Los parámetros obtenidos se resumen en la Tabla VI. El modelo relativista puede describir bien la fase se desplaza hasta 1.2 GeV como se muestra en la Fig. 7; sin embargo, el modelo no relativista comienza a desviarse de los datos en torno a 1.1 GeV. Usamos una interacción separable tipo Yamaguchi para el potencial nucleón-nucleón. A tener en cuenta la interacción atractiva de largo alcance y la repulsión de corto alcance de la Interacción de dos nucleones, usamos un potencial separable de dos términos, < ~pVBBp > = CRgR(~p′)gR(~p)− CAgA(~p′)gA(~p). (27) (MeV) a(fm)2 longitud de dispersión Relativista 2,7 618 0,50 −0,095m−1 No relativista 3,0 628 0,30 −0,101m−1 CUADRO VI: Parámetros y longitud de dispersión para el modelo relativista y no relativista de I=3/2 Interacción con N. FIG. 7: El cambio de fase de la dispersión de ηN para S11 (a), y S31 (b) ondas parciales. El sólido la curva muestra el modelo relativista y la curva tachada muestra el modelo no relativista. Los datos son tomado de Ref. [35]. Aquí CR (CA) es la fuerza de acoplamiento del potencial repulsivo (atractivo). gR(~p) (gA(~p)) es el factor de forma, cuya forma se da como gR(~p) = R/(~p 2 + 2R) (gA(~p) = A/(~p 2 + 2A)), en el que Ł es un corte del potencial nucleón-nucleón. Los parámetros ajustables en nuestra El potencial de nucleón-nucleón se determina mediante ajustes a los datos de los cambios de fase 1S0 [36]. Los parámetros más adecuados se resumen en el cuadro VI. Los cambios de fase de baja energía del 1S0 el estado se muestra en la Fig. 8. R(MeV ) A(MeV ) CR(MeV fm 3) CA(MeV fm Relativista 1144 333 5,33 5,61 No relativista 1215 352 5,05 5,84 CUADRO VII: Nuestros parámetros del modelo relativista y no relativista para la dispersión NN. FIG. 8: Desplazamientos de fase de la dispersión NN para el estado 1S0. La curva sólida muestra el modelo relativista y la curva estriada muestra el modelo no relativista. Los cambios de fase calculados a partir del modelo de Ref. [36] se muestran en triángulos. IV. RESULTADOS Y DEBATE La resonancia dibariona con Jη = 0−, S = −1, I = 1/2 se estudia utilizando un formalismo de la ecuación de Faddeev como se explica en la sección 2. Asumimos todo el impulso angular estar en un estado de onda s y el estado spin singlet SBB = 0 para los dos estados baryon. Nosotros han incluido los componentes dominantes K̄NN, N y N Fock-space, cuyo isospin Las funciones de onda son [K [NN]I=1]I=1/2, [ [­N]I=1/2,3/2]I=1/2 y [ [­N]I=1/2]I=1/2. Un aproximación dentro de este modelo es que la interacción débil Y N no está incluida. Comencemos a examinar la energía de resonancia de tres cuerpos teniendo en cuenta sólo las interacciones K̄N v I=0,1 K̄N−K̄N descuidando el espacio de Fock. En este caso, el se espera que el polo estatal se acueste en la hoja física de Riemann por debajo de mK + 2mN si el K̄N la atracción es lo suficientemente fuerte. Por lo tanto, no es necesario utilizar la continuación analítica de la amplitud con el contorno deformado discutido en la sección 2, por lo que simplemente utilizamos la integral sobre el impulso pi en el eje real. Los resultados se muestran en la Fig. 9 marcados por a y a para los modelos ‘relativistas’ y ‘no relativistas’. Aquí usamos los parámetros ‘estándar’ (aA) de la interacción K̄N con la cinemática no relativista y relativista. La unión las energías son alrededor de 18 MeV. La interacción de K̄N incluida en Z es lo suficientemente fuerte como para atar el sistema K̄NN, donde la interacción I = 0 K̄N juega un papel dominante. Nosotros entonces. tener en cuenta la interacción NN. Entonces la energía de unión aumentó además a 25.1 MeV (22.8 MeV) se muestra como b (b′) para el modelo ’relativista’ (’no relativista’). Note que FIG. 9: Las trayectorias de los polos de la amplitud de dispersión de K̄NN ~ N N para el Jη = 0− y I = 1/2 estado. La curva sólida y los círculos llenos (curva y triángulos llenos) muestran la resultados del modelo relativista (no relativista) (aA). Aquí WKNN = mK + 2mN. si descuidamos el componente repulsivo de la interacción NN, obtenemos mucho más profundamente Estado atado. En el siguiente paso, gradualmente incluimos las interacciones N, mientras que el pion-intercambio El diagrama Z aún no está incluido. Para hacer esto, multiplicamos por factor x las constantes de acoplamiento Cα,β de las interacciones K̄N − ηY y ηY − ηY como xCα,β. Cuando el parámetro es cero, x = 0, el πY está desconectado de K̄N y cuando toma el valor 1, x = 1, nos recuperamos el modelo completo. Variando el parámetro x de 0 a 1, podemos seguir la trayectoria de el polo de resonancia del polo de estado atado. Ahora el estado atado K̄NN decae en el canal N y el polo de estado atado se mueven hacia la hoja antifísica. Desde el K̄NN estado unido se encontró por encima del umbral N, el polo de resonancia puede estar en el N N unphysical y K̄NN fisical Riemann hoja, que hemos discutido en la sección 2. Los resultados de las trayectorias de los polos se muestran por las curvas sólidas y discontinuas en la Fig. 9 correspondientes a los modelos relativista y no relativista. Incrementando el acoplamiento hasta el canal de N γY causa el ancho, así como la energía de unión de la resonancia aumenta. Para mayor energía de unión Re(Wpole − WKNN) < −60 MeV el ancho comienza a disminuir debido al espacio de fase decreciente para el decaimiento en el estado N. La pole position es −82− i29 MeV (−91−28i) para el modelo relativista (no relativista) que se muestra como c(c′). Lo siento. se nota que el método numérico para seguir las trayectorias de polo nos ayuda a encontrar si FIG. 10: Las trayectorias de los polos de la resonancia de los tres cuerpos (curva sólida) y curva) utilizando el modelo no relativista de (aA). nos encontramos con singularidades o no. Como ejemplo, el polo de la resonancia de tres cuerpos es mostrado por la línea sólida en la Fig. 10 para 0 < x < 1. El polo de la "(1405)" también se muestra por la curva divisoria. La trayectoria de la resonancia K̄NN es similar al caso A en la Fig. 5, y el contorno de integración no intercepta la singularidad que surge de los dos cuerpos resonancia (1405). Finalmente incluimos el mecanismo de intercambio en términos de dispersión de dos cuerpos Z y N en ♥, que añade otro mecanismo para la desintegración de la K̄NN en N y es importante para el ancho de la resonancia de tres cuerpos. Los resultados finales de los polos de resonancia K̄NNY N se indican por d y d′ en la Fig. 9. Este mecanismo aumenta el ancho de los tres cuerpos resonancia por alrededor de 14 MeV, mientras que el efecto en la parte real es pequeño. La cancelación entre la interacción atractiva I = 1/2 ηN y la interacción repulsiva I = 3/2 ηN puede conducir a los pequeños efectos en la parte real de la energía de resonancia. Los efectos de N canal es pequeño que aumenta la energía de unión y medio ancho como máximo por 1MeV. El poste la posición de la resonancia de los tres cuerpos es W = M − i-/2 = 2mN +mK − 79,3 − i37,1 MeV (2mN +mK − 92,2− i35,4 MeV) para el modelo relativista (no relativista) mostrado como d y d′. El modelo de dependencia de nuestros resultados en la resonancia de tres cuerpos se resume en Tablas VIII y IX. El polo de resonancia K̄NN − N ηY se encuentra en el K̄NN físico y ηY N lámina antifísica con la energía de unión, B + 60 − 95 MeV, y la anchura, + 45 − 80 MeV, usando modelos relativistas. Todos nuestros modelos predicen energías de resonancia por encima del N umbral. La dependencia relativamente grande del modelo de nuestros resultados se debe a la incertidumbre en los modelos de I = 0 K̄N − interacción. Comparación de los resultados del modelo (A) con Modelo (A) Modelo (B) a) −79,3− i37,1 −79,3− i37,3 b) −93,3− i27,4 −93,3− i27,6 c) −57,2− i38,6 −56,9− i38,6 d) −72,4− i31,7 −72,2− i31,9 e) −87,1− i40,8 −87,1− i41,0 f) −63,3− i22,2 −63,2− i22,3 CUADRO VIII: La energía de los polos (Wpole −mK − 2mN) de la resonancia de los tres cuerpos mediante el uso relativista modelos. Las energías de polo enumeradas en MeV pueden estar relacionadas con la energía de unión B y el ancho de Wpole − mK − 2mN = − B − i Modelo (A) Modelo (B) a) −92,2 − i35,4 −92,3− i35,6 b) −101,6 − i20,7 −101,6 − i20,7 c) − 72,7 − i53,9 − 72,5 − i54,9 d) −83,0 − i33,3 −83,0 − i33,6 e) −98,1 − i33,2 −98,2− i33,3 f) −66.5 − i24.4 −66.3− i24.4 CUADRO IX: La energía del polo de la resonancia de tres cuerpos. Igual que el cuadro VIII, pero para el modelos no relativistas. modelo (B), podemos ver que la posición de polo de tres cuerpos es casi independiente de los parámetros de la interacción I = 1 K̄N − πY. Variando la parte real(imaginaria) de la instalación longitud de dispersión por ±0,1 fm, la energía de unión de la resonancia de tres cuerpos se ve afectada por • ±14(8) MeV. Siguiendo otra forma de construir el modelo, los parámetros del modelo f) se ajusten a la energía de los polos de la zona 1405. Este modelo predice la longitud de dispersión −1,72+ i0,44 fm. La energía de la resonancia de tres cuerpos se encuentra en B = 63 MeV con un ancho bastante pequeño, = 44 MeV, en comparación con los modelos (a-e), que ya puede ser visto en la pequeña parte imaginaria de la longitud de dispersión en el modelo (f). Comparemos brevemente nuestros resultados con los de los otros estudios teóricos del K-pp resonancia, que utilizan un enfoque no relativista. Nuestra resonancia tiene una energía de unión más profunda y una anchura similar en comparación con las de Ref. [4]. Sin embargo, no es sencillo para comparar con la energía de los polos de Ref. [4] debido a las diferencias en el método para obtener la energía de resonancia de tres cuerpos y en el modelo para la interacción K̄N. Sus El potencial de K̄N es más fuerte y tiene un rango corto que el nuestro. Recientemente Shevchenko, Gal y Mares [19] estudió el sistema K-pp usando la ecuación Faddeev de canal acoplado no relativista. Aunque los detalles de su método no se describen en Ref. [19], parece que su enfoque es bastante similar a nuestro presente estudio. Emplearon un modelo potencial fenomenológico K̄N, e informó de B â € 55 - 70 MeV y â € 95 - 110 MeV. Su resultado es consistente con nuestro resultados del modelo no relativista. Especialmente nuestro resultado utilizando el modelo (c) da un bastante energía de resonancia y anchura similares. En resumen hemos estudiado la existencia y las propiedades de una extraña resonancia dibaryon usando la ecuación de K̄NN − N del canal acoplado de N Faddeev. Resolviendo los tres cuerpos ecuación la dependencia de energía de la amplitud resonante K̄N se tiene plenamente en cuenta. El polo de resonancia se ha investigado a partir del valor propio del núcleo con el análisis continuación de la amplitud de dispersión en la hoja antifísica de Riemann. El modelo de la interacción K̄NY se construye del término de orden principal del lagrangiano chiral tiene en cuenta la cinemática relativista. Los parámetros de interacción K̄N se ajustan a la longitud de dispersión dada por Martin. Encontramos un poste de resonancia en B + 79 MeV y * 74 MeV en el modelo relativista (aA). Sin embargo, como la interacción K̄N no está muy bien limitado por los datos, estudiamos un posible rango de las energías de resonancia al considerar diferentes conjuntos de parámetros de la interacción K̄N Y. La energía de unión y la anchura completa puede estar en el rango de B • 60 − 95 MeV y • 45 − 80 MeV cuando se calcula en el Modelo relativista. Con el fin de conectar la resonancia encontrada en este trabajo a la experimental la señal, estudios teóricos adicionales sobre el mecanismo de producción y el deterioro ulterior de la resonancia especialmente al p canal son necesarios. Agradecimientos Los autores agradecen al Prof. A. Matsuyama sus útiles discusiones sobre los tres temas: resonancia corporal. También damos las gracias a los Dres. B. Juliá-Dáz, T.-S. H. Lee y Prof. A. Gal debates. Esta labor cuenta con el apoyo de una subvención para la investigación científica sobre prioridades Áreas (MEXT), Japón con No. 18042003. APÉNDICE El coeficiente de acoplamiento spin-isospin de la interacción de intercambio de partículas Z es brevemente explicada. El coeficiente dado en Eq. 1.181) de Ref. [21] puede simplificarse para la onda s estados. El estado de tres cuerpos con giro total e isospin (Stot, Itot), que parejas con baryon ’isobar’ con spin e isospin (S, I) y el espectador baryon Bi(Si,Ii), se da como [[M3(S3,I3) Bj(Sj,Ij)](S,I) Bi(Si,Ii)](Stot,Itot) >. (A.1) Aquí baryon i, j representa la partícula 1 o 2, y el mesón siempre se asigna como el tercero partícula. La función de onda del estado de tres cuerpos, que se une con dibaryon ’isobar’ y el espectador meson M3, se da como [[B1(S1,I1) B2(S2,I2)](S,I) M3(S3,I3)](Stot,Itot) >. (A.2) Luego Eq. (7) se extiende para incluir los grados de spin-isospin de la libertad. El intercambio de partículas interacción para los espectadores l, m, los isobars f ′, f con spin-isospin (S ′, I ′) y (S, I) y la partícula intercambiada n puede expresarse de la siguiente manera: Zl,f ′(S′,I′),m,f(S,I)(pl, pm,W) = Rl,f ′(S′,I′),m,f(S,I) d(pÃ3l · pÃ3m) 2γgf ′(S′,I′)(ql)gf(S,I)(qm) W −El(pl)−Em(pm)−En(~pl + ~pm) (A.3) donde f representa isobar YK, Yη, d y N Rl,f ′(S′,I′),m,f(S,I) viene dada por la superposición de las funciones de la onda de giro-isospin inicial y final. En el caso del mecanismo de intercambio meson(M3), se indica que Ri,f ′(S′,I′),j,f(S,I) es: Ri,f ′(S′,I′),j,f(S,I) = < [[M3(S3,I3) Bj(Sj,Ij)](S′,I′) Bi(Si,Ii)](Stot,Itot) [[M3(S3,I3) Bi(Si,Ii)](S,I) Bj(Sj,Ij)](Stot,Itot) > = (−1)S+SS3−StotW (Si, S3, Stot, Sj;S, S ′) (2S + 1)(2S ′ + 1) ×(−1)I+II3−ItotW (Ii, I3, Itot, Ij ; I, I ′) (2I + 1)(2I ′ + 1). (A.4) Para el mecanismo de intercambio baryon(Bj), Ri,f ′(S′,I′),3,f(S,I) se indica como, Ri,f ′(S′,I′),3,f(S,I) = < [[M3(S3,I3) Bj(Sj,Ij)](S′,I′) Bi(Si,Ii)](Stot,Itot) [[B1(S1,I1) B2(S2,I2)](S,I) M3(S3,I3)](Stot,Itot) > = (−1)S3+S−Stot+I3+I−ItotW (S3, Sj, Stot, Si;S ′, S) (2S ′ + 1)(2S + 1) ×W (I3, Ij, Itot, II; I ′, I) (2I ′ + 1)(2I + 1) ×(­i,2­j,1 + ­i,1­j,2(­1)Si+Sj­S+Ii+Ij­I). (A.5) Cuando anti-simmetrizamos la ecuación AGS, el último factor en el soporte en Eq. (A.5) Proyecta los dos estados anti-simétricos de los nucleones. Esto se puede ver explícitamente comparando el intercambio de nucleón 2 Z2,YK(S′,I′),3,d(S,I) y nucleón 1 Z1,YK(S′,I′),3,d(S,I) interacciones. Uso Eq. (A.5), esas interacciones están relacionadas como R1,YK(S′,I′),3,d(S,I) = (−1)S+IR2,YK(S′,I′),3,d(S,I), (A.6) que lleva a Eq. (17) como XYK,YK = (1− (−1)S+I)ZYK,dŁd,dXd,YK + · · ·. (A.7) [1] J. Mares, E. Friedman y A. Gal, Nucl. Phys. A770, 84 (2006). [2] L. Tolós, A. Ramos y E. Oset, Phys. Rev. C 74, 015203 (2006). [3] Y. Akaishi y T. Yamazaki, Phys. Rev. C 65, 044005 (2002). [4] T. Yamazaki e Y. Akaishi, Phys. Lett. B535, 70 (2002). [5] A. Dote, H. Horiuchi, Y. Akaishi y T. Yamazaki, Phys. Rev. C 70, 044313 (2004). [6] M. Agnello et al., Phys. Rev. Lett. 94, 212303 (2005). [7] V.K. Magas, E. Oset, A. Ramos y H. Toki, Phys. Rev. C 74, 025206 (2006). [8] W. Glöckle, Phys. Rev. C 18, 564 (1978). [9] K. Möller, checo. J. Phys. 32, 291 (1982). [10] A. Matsuyama y K. Yazaki, Nucl. Phys. A534, 620 (1991). R: Matsuyama, Phys. Lett. B408, 25 (1997). [11] I.R. Afnan y A.W. Thomas, Phys. Rev. C 10, 109 (1974). [12] B.C. Pearce e I.R. Afnan, Phys. Rev, C 30, 2022 (1984). [13] I.R. Afnan y B.F. Gibson, Phys. Rev. C 47, 1000 (1993). [14] J.A. Oller y U.-G. Meissner, Phys. Lett. B500, 263 (2001). [15] D. Jido y otros, Nucl. Phys. A725, 181 (2003). [16] B. Borasoy, R. Nißler y W. Weise, Eur. Phys. J. A 25, 79 (2005). [17] T. Hamaie, M. Arima y K. Masutani, Nucl. Phys. A591, 675 (1995). [18] Y. Ikeda y T. Sato, arXive:nucl-th/0701001. [19] N.V. Shevchenko, A. Gal y J. Mares, Phys. Rev. Lett. 98, 082301 (2007). [20] E.O. Alt, P. Grassberger y W. Sandhas, Nucl. Phys. B2, 167 (1967). [21] I.R. Afnan y A.W. Thomas, en Modern Three-Hadron Physics, editado por A.W. Thomas (Springer, Berlín, 1977), cap. 1. [22] A.D. Martin, Nucl. Phys. B179, 33 (1981). [23] B. Borasoy, U.-G. Meißner y R. Nißler, Phys. Rev. C 74, 055201 (2006). [24] R.H. Dalitz y A. Deloff, J. Phys. G 17, 289 (1991). [25] M. Iwasaki y otros, Phys. Rev. Lett. 78, 3067 (1997). [26] T.M. Ito et al., Phys. Rev. C 58, 2366 (1998). [27] G. Beer et al., Phys. Rev. Lett. 94, 212302 (2005). [28] A. Bahaoui, C. Fayard, T. Mizutani y B. Saghai, Phys. Rev. C 68, 064001 (2003). [29] W.E. Humphrey y R.R. Ross, Phys. Rev, 127, 1305 (1962). [30] M. Sakitt et al., Phys. Rev. 139, B719 (1965). [31] J.K. Kim, Phys. Rev. Lett. 14, 29 (1965). [32] W. Kittel, G. Otter e I. Wacek, Phys. Lett. B21, 349 (1966). [33] D. Evans et al., J. Phys. G 9, 885 (1983). [34] H.-Ch. Schröder et al., Phys. Lett. B469, 25 (1999). [35] R.A. Arndt, I.I. Strakovsky, R.L. Trabajador y M.M. Pavan, Phys. Rev. C 52, 2120 (1995). R.A. Arndt, I.I. Strakovsky y R.L. Trabajador, Int. J. Mod. Phys. A 18, 449 (2003). [36] V.G.J. Stoks, R.A.M. Klomp, C.P.F. Terheggen y J.J. de Swart, Phys. Rev. C 49, 2950 (1994). http://arxiv.org/abs/nucl-th/0701001 Introducción Ecuación de Faddeev de canal acoplado y polo de resonancia Modelo de las interacciones de dos cuerpos Resultados y Discusión Agradecimientos Bibliografía

Las resonancias de tres cuerpos en el sistema \bar{K}NN se han estudiado dentro de un marco de la ecuación \bar{K}NN-\pi YN acoplado Hannel Faddeev. Resolviendo la ecuación de tres cuerpos la dependencia energética del resonante \bar{K}N La amplitud se tiene plenamente en cuenta. El polo S-matrix ha sido investigado. desde el valor propio del núcleo con la continuación analítica de la la amplitud de dispersión en la hoja antifísica de Riemann. La interacción \barKN es construido del término de orden principal del chiral Lagrangian utilizando cinemática relativista. La resonancia \Lambda(1405) se genera dinámicamente en este modelo, donde los parámetros de interacción \bar{K}N se ajustan a los datos de longitud de dispersión. Como resultado encontramos una resonancia de tres cuerpos de lo extraño sistema dibaryon con energía de unión, B~79 MeV, y ancho, \Gamma~74 MeV. Los energía de la resonancia de tres cuerpos se encuentra ser sensible al modelo de la I=0 \barKN interacción.

Introducción Ecuación de Faddeev de canal acoplado y polo de resonancia Modelo de las interacciones de dos cuerpos Resultados y Discusión Agradecimientos Bibliografía

SU(2) and SU(4) Kondo effect in double quantum dots

SU(2) y SU(4) Efecto Kondo en doble cuántico Jernej Mravlje*, Anton Ramšak†,* y Tomaž Rejec†,* *Jožef Stefan Institute, Jamova 39, Liubliana (Eslovenia) † Facultad de Matemáticas y Física, Universidad de Liubliana, Jadranska 19, Liubliana, Eslovenia Resumen. Investigamos sistemas de doble punto cuántico serie con interacción in situ e inter-situ mediante el método de proyección-operador Schönhammer-Gunnarsson. El estado del suelo está establecido por la competencia entre fases Kondo extendidas y fases individuales localizadas en spin y cobrar grados de libertad. Presentamos y discutimos diferentes fases, según se discierne por características funciones de correlación. Discutimos también cómo se verían las diferentes fases en el transporte lineal medidas. Palabras clave: efecto Kondo, doble punto cuántico, conductancia PACS: 73.23.-b, 73.63.Kv, 72.15.Qm INTRODUCCIÓN En la última década los avances en técnicas experimentales permitieron la exploración de intrigantes efectos de muchos cuerpos que ocurren en sistemas de estado sólido como el Kondo efecto [1] mediante la medición de la conducción de circuitos eléctricos a nanoescala. Tiny grupos de electrones definidos por electrodos – puntos cuánticos (QD) – constituyen artificiales átomos/moléculas. Puertas adicionales permiten la afinación de los niveles orbitales, así como el tasas de tunelización, lo que hace que la exploración sistemática de diversos efectos experimentalmente accesible. El efecto Kondo es esencialmente el aumento de la tasa de dispersión (con cambios de fase cerca de γ/2) a bajas temperaturas debido a las impurezas magnéticas en los metales del huésped. En el transporte experimentos a través de puntos cuánticos se ve en otro disfraz: se discierne como la amplificación de la conductancia hacia el límite unitario. Interesante manera de proceder más allá es analizar las consecuencias de la interacción entre las impurezas mediante la transporte a través de sistemas de doble punto cuántico (DQD). La característica de la física de Kondo de dos impurezas es que las dos impurezas o bien forman un singlet inter-impuridad, que está virtualmente desconectado de la conducción elec- trons o forman un estado de Kondo doble SU(2)×SU(2), en el que cada giro caracterizado por el grupo de simetría SU(2) es examinado por los electrones de conducción [2] dependiendo en las escalas de las energías de la formación singlet inter-impuridad J y Kondo estado formación TK. Cuando la simetría del Hamiltoniano es más grande la temperatura de Kondo se realza. Para puntos cuánticos dobles, que tienen la interacción capacitativa V sintonizado cerca del valor de la interacción sobre el punto U, se produce el efecto SU(4) Kondo [3]. Aquí informamos de nuestros resultados sobre la competencia entre Kondo extendido y localizado fases singlet en sistemas DQD serie con interacción entre puntos en el punto de partículas- simetría de agujeros [4] y discutir también las fases que ocurren fuera de este punto. El SU(4) La fase Kondo no puede explorarse directamente mediante un experimento de transporte a través de un DQD como http://arxiv.org/abs/0704.1979v1 la conductancia es pequeña, independientemente de si el sistema se encuentra en el estado SU(4) Kondo O no. Sin embargo, la escala de la energía de condensación SU(4) puede ser estimada por afinando el sistema desde el punto de simetría SU(4) hasta el estado SU(4) Kondo se derrumba. El límite es fácil de discernir a partir de los datos de conducción como la conducción es unidad cada vez que el cruce entre las fases tiene lugar. MODELO Y MÉTODO Modelamos DQDs por la dos impureza Anderson Hamiltonian H = Hd +Hl, donde Hd corresponde a los puntos aislados Hd = فارسى i=1,2 (lni +Uni↑ni↓)+Vn1n2 − t (c†1 c2 +h.c.), con ni = nini↓, ni = c i.............................................................................................................. Los puntos están acoplados por un elemento de matriz de túnel t y un término capacitivo V. Se toman las energías in situ y la repulsión de Hubbard U igual para ambos puntos. Hl describe los cables de unión apretada izquierda y derecha no interactuantes con el parámetro de salto t0 y el acoplamiento de los conduce a la DQD. Denotamos el velocidad de tunelización característica de un electrón aislado desde el punto hasta el plomo por • = t ′2/t0, donde t ′ es el parámetro que caracteriza el salto del punto-líder. Para calcular el estado de suelo del sistema utilizamos el Schönhammer y Gunnarsson Base del operador de la proyección [5, 6] = P , que consiste en los proyectores P/23370/ i; P0i = 1−ni↑ 1−ni↓ , P1i = ni (1−ni ), P2i = ni↑ni↓ y operadores adicionales implicar a los operadores en pistas. Usamos hasta 100 combinaciones adicionales de operadores consistentes, por ejemplo, en P3i =P0ivÃ3P1i, donde vÃ3 denota el túnel hacia/desde punto I. Estos operadores se aplican al Estado , que es el estado de base de la auxiliar no interactuante DQD Hamiltoniano de la misma forma que H, pero con U,V = 0, Parámetros renormalizados, t, t ′ →, t a saltar de punto izquierdo a plomo derecho y viceversa que aunque ausente en el original Hamiltonian está presente en el Hamiltonian efectivo en algunos regímenes de parámetros. La conductancia se calcula utilizando la fórmula seno [7], G = G0 sin 2[(E+ − E−)/4t0L], donde G0 = 2e 2/h y E± son las energías del estado del suelo de un gran auxiliar anillo formado por L sitios no interactuantes y un DQD integrado, con periódicos y condiciones límite antiperiódicas, respectivamente. ESTADO TERRENO Y CONDUCCIÓN DEL DQD CON INTERACCIÓN INTERMEDIA DQDs separados El punto de partida para la comprensión del estado del suelo de las DQD son los propiedades de llenado de DQD aislados (es decir, del Heitler-Londres o del Hubbard de dos emplazamientos modelo). El primer electrón se añade cuando فارسى = t, y el segundo cuando فارسى =−t +J+[(U + V )U −V ]/2, donde J = [U −V (U −V )2 +16t2]/2 es la diferencia entre energías singlet y trillitas. Cuando n = 2 el estado del suelo es [α( ) (20) 02)]/ 2, donde α/β = 4t/(V −U + (U −V )2 +16t2). El rango de ♥ donde solo la ocupación es favorable se disminuye progresivamente cuando V 6 = U. Para t o at grandes (y cerca) V = U los orbitales de unión molecular y anti-bonos se forman como se ve aquí a partir de α ≤ β. DQD y conducción adjuntas Como adherimos DQDs a los plomos el estado del suelo es o no es reminiscente de la estado de suelo del sistema aislado. Aquí esta última posibilidad se debe siempre a algún tipo de del efecto Kondo. En los paneles superiores de la Fig. 1 se presenta el estado del suelo de los DQD con pictogramas para V = 0,U a la izquierda y derecha, respectivamente. La división casi vertical líneas corresponden a valores de parámetros donde el estado del suelo del sistema aislado es Degenerado debido a la combinación de energías de los estados con diferentes ocupaciones, por ejemplo, la línea más a la derecha corresponde a E(0) = 0= E(1) = t. La línea horizontal en forma de U es dada por J = 2.2TK, donde se estima la escala de la energía de condensación de Kondo por TK = U./2exp(( +U)/2) para U. = 15. GRÁFICO 1. – Paneles superiores: fases de DQD serie para V = 0 (izquierda) y V = U (derecha). La ocupación de el DQD cae de izquierda a derecha. Fases extendidas de Kondo (con leads en pictogramas) y singlet localizado se producen fases (sin plomos en pictogramas). – Paneles inferiores: Dirección y correlación spin-spin de la DQD para t arriba (líneas completas y punteadas para V = 0; líneas completas, punteadas y punteadas para V = U ) y por debajo de la Umbral de formación individual localizado. Nótese la aproximación de S1 ·S2 hacia −3/8 para la indicación t grande la formación del singlet orbital. Para n= 0,4 interacción entre electrones (u agujeros) no es importante, por lo tanto el suelo El estado no es interesante. Para n = 1,3 el estado del suelo del DQD aislado es un giro libre en orbital (anti)de unión, que es, cuando los cables están unidos, a bajas temperaturas Procesado por electrones de conducción como en el modelo ’ordinario’ de impureza única Anderson. Los la parte más interesante de los diagramas corresponde a n â € 2. Aquí el estado del suelo de el sistema aislado es un singlet no degenerado pero el túnel a los cables se rompe este singlet cada vez que aproximadamente el doble de la energía de condensación Kondo supera el trillizo energía de excitación J. En el caso de V â € ¢ U la J se aumenta por lo tanto el área correspondiente a SU(2)×SU(2) Kondo está disminuido. Cerca del punto simétrico, sin embargo, otro tipo del efecto Kondo surge para V â € ¢ U como consecuencia de una mayor simetría de la V = U Hamiltonian, que restaura parcialmente la aparición de la fase Kondo. Simetrías El efecto Kondo se produce como consecuencia de la degeneración de los estados de iso- impurezas tardías. Si uno mira el estado del suelo de dos impurezas aisladas acopladas por un término capacitativo (pero no túnel) V = U, uno ve que los 6 estados 1 20 y 02 son degenerados. De hecho, mediante la introducción del operador pseudospin [8] T 1/2′ll′=1,2 c ll′cl, donde Yo soy las matrices Pauli, y el giro combinado... los operadores de pseudospin W i j = SiTū j, uno ve que el Hamiltoniano es SU(4) simétrico. Mientras los términos de ruptura de la simetría SU(4) sean suficientemente pequeños V −U, t. TK[SU(4)], el estado del suelo es un SU(4) ’spin’ seleccionado por los electrones en los cables. Representación orbital Una manera complementaria es reescribir el Hamiltoniano en la base de los operadores orbitales cb,a = (c1 ± c2)/ Hd = فارسى α=a,b nα + No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. nae nbe + Cflip−Sflip donde se usa la notación ā = b, b̄ = a. El último término de Hd consiste en isospin-flip Cflip = T+a T b +h.c. y spin-flip Sflip = S b +h.c. operadores, donde S  = c c = (S † son spin y T = cc = (T † Operadores de descenso y elevación de isospin para los orbitales  = b,a (o sitios  = 1,2). El álgebra de giro completo (isospin) se cierra con los operadores Sz/23370/ = (nn)/2 y T  = (n/23370/ −1)/2, respectivamente. Cuando V = U, los términos spin- e isospin-flip en Hd están ausentes: el Hamiltoniano es mapeado exactamente al Hamiltoniano de dos niveles con interacción intra- e inter-nivel U con los niveles de unión y anti-vinculación acoplados a canales de transmisión pares e impares, respectivamente. Cuando V 6= U esta asignación ya no es estrictamente válida: los electrones intentan evitar la repulsión internivel ocupando estados de rotación alineados en diferentes orbitales, y los términos isospin-flip inducen las fluctuaciones de la carga entre orbitales. Ambas cosas. los mecanismos prohíben que los electrones ocupen los estados orbitales bien definidos. GRÁFICO 2. Fases de DQD en el punto de simetría de agujeros de partículas. Los límites entre Kondo y Las fases individuales localizadas son dadas por picos en conducción y cambios bruscos en las funciones de correlación. Los límites del estado spin singlet orbital están dados por S1 ·S2 = −3/16 y ­n21 = ­n2b en la parte superior e inferior, respectivamente. Nótese la extensión de la fase Kondo detrás de la línea J = 2.2TK (dashed) en V. U.............................................................................................................. Resultados numéricos En los paneles inferiores de la Fig. 1 las correlaciones de conducción e inter-punto spin-spin son Conspirado. Tenga en cuenta que la imagen orbital es de hecho más robusta para el caso V = U, como se indica por las amplias mesetas en conducción correspondientes al efecto SU(2) Kondo de una rotación que residan en los orbitales (anti-)vinculantes. Por otra parte, J se mejora en comparación con el V = 0 caso: ausencia de fase singlet señalizada por ningún pico con conducción unitaria y menor correlación spin-spin para todos los ♥ se produce sólo para t más pequeño. Tenga en cuenta también que la conductancia es pequeño cuando el estado del suelo es prácticamente geométricamente separable en partes. In que el flujo puede ser transportado fuera del anillo auxiliar a través del límite entre las partes, dando cero conducción en nuestro enfoque [7]. In Fig. 2 indicamos las fases en el plano (J/TK,V/U). Los detalles se dan en Ref. [4]. AGRADECIMIENTOS Reconocemos el apoyo de SRA en virtud de la subvención Pl-0044. REFERENCIAS 1. A. C. Hewson, The Kondo Problem to Heavy Fermions, Cambridge University Press, 1993. 2. B. A. Jones, C. M. Varma, y J. W. Wilkins, Phys. Rev. Lett. 61, 125–128 (1988). 3. M. R. Galpin, D. E. Logan, y H. R. Krishnamurthy, Phys. Rev. Lett. 94, 186406 (2005). 4. J. Mravlje, A. Ramšak, y T. Rejec, Phys. Rev. B 73, 241305(R) (2006). 5. K. Schönhammer, Phys. Rev. B 13, 4336 (1976). 6. O. Gunnarsson, y K. Schönhammer, Phys. Rev. B 31, 4815 (1985). 7. T. Rejec, y A. Ramšak, Phys. Rev. B 68, 035342 (2003). 8. L. D. Leo, y M. Fabrizio, Phys. Rev. B 69, 245114 (2004). INTRODUCCIÓN MODELO Y MÉTODO ESTADO TERRENO Y CONDUCCIÓN DEL DQD CON INTERACCIÓN INTERMEDIA DQDs separados DQD y conducción adjuntas Simetrías Representación orbital Resultados numéricos

Investigamos sistemas de doble punto cuántico en serie con sistemas in situ e inter-situ interacción por medio del método de proyección-operador Sch\"onhammer-Gunnarsson. El estado del suelo está establecido por la competencia entre Kondo extendido fases y fases individuales localizadas en spi$ grados de libertad. Presentamos y discutir las diferentes fases, tal como se discierne por las funciones de correlación características. Discutimos también cómo se verían las diferentes fases en el transporte lineal medidas.

SU(2) y SU(4) Efecto Kondo en doble cuántico Jernej Mravlje*, Anton Ramšak†,* y Tomaž Rejec†,* *Jožef Stefan Institute, Jamova 39, Liubliana (Eslovenia) † Facultad de Matemáticas y Física, Universidad de Liubliana, Jadranska 19, Liubliana, Eslovenia Resumen. Investigamos sistemas de doble punto cuántico serie con interacción in situ e inter-situ mediante el método de proyección-operador Schönhammer-Gunnarsson. El estado del suelo está establecido por la competencia entre fases Kondo extendidas y fases individuales localizadas en spin y cobrar grados de libertad. Presentamos y discutimos diferentes fases, según se discierne por características funciones de correlación. Discutimos también cómo se verían las diferentes fases en el transporte lineal medidas. Palabras clave: efecto Kondo, doble punto cuántico, conductancia PACS: 73.23.-b, 73.63.Kv, 72.15.Qm INTRODUCCIÓN En la última década los avances en técnicas experimentales permitieron la exploración de intrigantes efectos de muchos cuerpos que ocurren en sistemas de estado sólido como el Kondo efecto [1] mediante la medición de la conducción de circuitos eléctricos a nanoescala. Tiny grupos de electrones definidos por electrodos – puntos cuánticos (QD) – constituyen artificiales átomos/moléculas. Puertas adicionales permiten la afinación de los niveles orbitales, así como el tasas de tunelización, lo que hace que la exploración sistemática de diversos efectos experimentalmente accesible. El efecto Kondo es esencialmente el aumento de la tasa de dispersión (con cambios de fase cerca de γ/2) a bajas temperaturas debido a las impurezas magnéticas en los metales del huésped. En el transporte experimentos a través de puntos cuánticos se ve en otro disfraz: se discierne como la amplificación de la conductancia hacia el límite unitario. Interesante manera de proceder más allá es analizar las consecuencias de la interacción entre las impurezas mediante la transporte a través de sistemas de doble punto cuántico (DQD). La característica de la física de Kondo de dos impurezas es que las dos impurezas o bien forman un singlet inter-impuridad, que está virtualmente desconectado de la conducción elec- trons o forman un estado de Kondo doble SU(2)×SU(2), en el que cada giro caracterizado por el grupo de simetría SU(2) es examinado por los electrones de conducción [2] dependiendo en las escalas de las energías de la formación singlet inter-impuridad J y Kondo estado formación TK. Cuando la simetría del Hamiltoniano es más grande la temperatura de Kondo se realza. Para puntos cuánticos dobles, que tienen la interacción capacitativa V sintonizado cerca del valor de la interacción sobre el punto U, se produce el efecto SU(4) Kondo [3]. Aquí informamos de nuestros resultados sobre la competencia entre Kondo extendido y localizado fases singlet en sistemas DQD serie con interacción entre puntos en el punto de partículas- simetría de agujeros [4] y discutir también las fases que ocurren fuera de este punto. El SU(4) La fase Kondo no puede explorarse directamente mediante un experimento de transporte a través de un DQD como http://arxiv.org/abs/0704.1979v1 la conductancia es pequeña, independientemente de si el sistema se encuentra en el estado SU(4) Kondo O no. Sin embargo, la escala de la energía de condensación SU(4) puede ser estimada por afinando el sistema desde el punto de simetría SU(4) hasta el estado SU(4) Kondo se derrumba. El límite es fácil de discernir a partir de los datos de conducción como la conducción es unidad cada vez que el cruce entre las fases tiene lugar. MODELO Y MÉTODO Modelamos DQDs por la dos impureza Anderson Hamiltonian H = Hd +Hl, donde Hd corresponde a los puntos aislados Hd = فارسى i=1,2 (lni +Uni↑ni↓)+Vn1n2 − t (c†1 c2 +h.c.), con ni = nini↓, ni = c i.............................................................................................................. Los puntos están acoplados por un elemento de matriz de túnel t y un término capacitivo V. Se toman las energías in situ y la repulsión de Hubbard U igual para ambos puntos. Hl describe los cables de unión apretada izquierda y derecha no interactuantes con el parámetro de salto t0 y el acoplamiento de los conduce a la DQD. Denotamos el velocidad de tunelización característica de un electrón aislado desde el punto hasta el plomo por • = t ′2/t0, donde t ′ es el parámetro que caracteriza el salto del punto-líder. Para calcular el estado de suelo del sistema utilizamos el Schönhammer y Gunnarsson Base del operador de la proyección [5, 6] = P , que consiste en los proyectores P/23370/ i; P0i = 1−ni↑ 1−ni↓ , P1i = ni (1−ni ), P2i = ni↑ni↓ y operadores adicionales implicar a los operadores en pistas. Usamos hasta 100 combinaciones adicionales de operadores consistentes, por ejemplo, en P3i =P0ivÃ3P1i, donde vÃ3 denota el túnel hacia/desde punto I. Estos operadores se aplican al Estado , que es el estado de base de la auxiliar no interactuante DQD Hamiltoniano de la misma forma que H, pero con U,V = 0, Parámetros renormalizados, t, t ′ →, t a saltar de punto izquierdo a plomo derecho y viceversa que aunque ausente en el original Hamiltonian está presente en el Hamiltonian efectivo en algunos regímenes de parámetros. La conductancia se calcula utilizando la fórmula seno [7], G = G0 sin 2[(E+ − E−)/4t0L], donde G0 = 2e 2/h y E± son las energías del estado del suelo de un gran auxiliar anillo formado por L sitios no interactuantes y un DQD integrado, con periódicos y condiciones límite antiperiódicas, respectivamente. ESTADO TERRENO Y CONDUCCIÓN DEL DQD CON INTERACCIÓN INTERMEDIA DQDs separados El punto de partida para la comprensión del estado del suelo de las DQD son los propiedades de llenado de DQD aislados (es decir, del Heitler-Londres o del Hubbard de dos emplazamientos modelo). El primer electrón se añade cuando فارسى = t, y el segundo cuando فارسى =−t +J+[(U + V )U −V ]/2, donde J = [U −V (U −V )2 +16t2]/2 es la diferencia entre energías singlet y trillitas. Cuando n = 2 el estado del suelo es [α( ) (20) 02)]/ 2, donde α/β = 4t/(V −U + (U −V )2 +16t2). El rango de ♥ donde solo la ocupación es favorable se disminuye progresivamente cuando V 6 = U. Para t o at grandes (y cerca) V = U los orbitales de unión molecular y anti-bonos se forman como se ve aquí a partir de α ≤ β. DQD y conducción adjuntas Como adherimos DQDs a los plomos el estado del suelo es o no es reminiscente de la estado de suelo del sistema aislado. Aquí esta última posibilidad se debe siempre a algún tipo de del efecto Kondo. En los paneles superiores de la Fig. 1 se presenta el estado del suelo de los DQD con pictogramas para V = 0,U a la izquierda y derecha, respectivamente. La división casi vertical líneas corresponden a valores de parámetros donde el estado del suelo del sistema aislado es Degenerado debido a la combinación de energías de los estados con diferentes ocupaciones, por ejemplo, la línea más a la derecha corresponde a E(0) = 0= E(1) = t. La línea horizontal en forma de U es dada por J = 2.2TK, donde se estima la escala de la energía de condensación de Kondo por TK = U./2exp(( +U)/2) para U. = 15. GRÁFICO 1. – Paneles superiores: fases de DQD serie para V = 0 (izquierda) y V = U (derecha). La ocupación de el DQD cae de izquierda a derecha. Fases extendidas de Kondo (con leads en pictogramas) y singlet localizado se producen fases (sin plomos en pictogramas). – Paneles inferiores: Dirección y correlación spin-spin de la DQD para t arriba (líneas completas y punteadas para V = 0; líneas completas, punteadas y punteadas para V = U ) y por debajo de la Umbral de formación individual localizado. Nótese la aproximación de S1 ·S2 hacia −3/8 para la indicación t grande la formación del singlet orbital. Para n= 0,4 interacción entre electrones (u agujeros) no es importante, por lo tanto el suelo El estado no es interesante. Para n = 1,3 el estado del suelo del DQD aislado es un giro libre en orbital (anti)de unión, que es, cuando los cables están unidos, a bajas temperaturas Procesado por electrones de conducción como en el modelo ’ordinario’ de impureza única Anderson. Los la parte más interesante de los diagramas corresponde a n â € 2. Aquí el estado del suelo de el sistema aislado es un singlet no degenerado pero el túnel a los cables se rompe este singlet cada vez que aproximadamente el doble de la energía de condensación Kondo supera el trillizo energía de excitación J. En el caso de V â € ¢ U la J se aumenta por lo tanto el área correspondiente a SU(2)×SU(2) Kondo está disminuido. Cerca del punto simétrico, sin embargo, otro tipo del efecto Kondo surge para V â € ¢ U como consecuencia de una mayor simetría de la V = U Hamiltonian, que restaura parcialmente la aparición de la fase Kondo. Simetrías El efecto Kondo se produce como consecuencia de la degeneración de los estados de iso- impurezas tardías. Si uno mira el estado del suelo de dos impurezas aisladas acopladas por un término capacitativo (pero no túnel) V = U, uno ve que los 6 estados 1 20 y 02 son degenerados. De hecho, mediante la introducción del operador pseudospin [8] T 1/2′ll′=1,2 c ll′cl, donde Yo soy las matrices Pauli, y el giro combinado... los operadores de pseudospin W i j = SiTū j, uno ve que el Hamiltoniano es SU(4) simétrico. Mientras los términos de ruptura de la simetría SU(4) sean suficientemente pequeños V −U, t. TK[SU(4)], el estado del suelo es un SU(4) ’spin’ seleccionado por los electrones en los cables. Representación orbital Una manera complementaria es reescribir el Hamiltoniano en la base de los operadores orbitales cb,a = (c1 ± c2)/ Hd = فارسى α=a,b nα + No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. nae nbe + Cflip−Sflip donde se usa la notación ā = b, b̄ = a. El último término de Hd consiste en isospin-flip Cflip = T+a T b +h.c. y spin-flip Sflip = S b +h.c. operadores, donde S  = c c = (S † son spin y T = cc = (T † Operadores de descenso y elevación de isospin para los orbitales  = b,a (o sitios  = 1,2). El álgebra de giro completo (isospin) se cierra con los operadores Sz/23370/ = (nn)/2 y T  = (n/23370/ −1)/2, respectivamente. Cuando V = U, los términos spin- e isospin-flip en Hd están ausentes: el Hamiltoniano es mapeado exactamente al Hamiltoniano de dos niveles con interacción intra- e inter-nivel U con los niveles de unión y anti-vinculación acoplados a canales de transmisión pares e impares, respectivamente. Cuando V 6= U esta asignación ya no es estrictamente válida: los electrones intentan evitar la repulsión internivel ocupando estados de rotación alineados en diferentes orbitales, y los términos isospin-flip inducen las fluctuaciones de la carga entre orbitales. Ambas cosas. los mecanismos prohíben que los electrones ocupen los estados orbitales bien definidos. GRÁFICO 2. Fases de DQD en el punto de simetría de agujeros de partículas. Los límites entre Kondo y Las fases individuales localizadas son dadas por picos en conducción y cambios bruscos en las funciones de correlación. Los límites del estado spin singlet orbital están dados por S1 ·S2 = −3/16 y ­n21 = ­n2b en la parte superior e inferior, respectivamente. Nótese la extensión de la fase Kondo detrás de la línea J = 2.2TK (dashed) en V. U.............................................................................................................. Resultados numéricos En los paneles inferiores de la Fig. 1 las correlaciones de conducción e inter-punto spin-spin son Conspirado. Tenga en cuenta que la imagen orbital es de hecho más robusta para el caso V = U, como se indica por las amplias mesetas en conducción correspondientes al efecto SU(2) Kondo de una rotación que residan en los orbitales (anti-)vinculantes. Por otra parte, J se mejora en comparación con el V = 0 caso: ausencia de fase singlet señalizada por ningún pico con conducción unitaria y menor correlación spin-spin para todos los ♥ se produce sólo para t más pequeño. Tenga en cuenta también que la conductancia es pequeño cuando el estado del suelo es prácticamente geométricamente separable en partes. In que el flujo puede ser transportado fuera del anillo auxiliar a través del límite entre las partes, dando cero conducción en nuestro enfoque [7]. In Fig. 2 indicamos las fases en el plano (J/TK,V/U). Los detalles se dan en Ref. [4]. AGRADECIMIENTOS Reconocemos el apoyo de SRA en virtud de la subvención Pl-0044. REFERENCIAS 1. A. C. Hewson, The Kondo Problem to Heavy Fermions, Cambridge University Press, 1993. 2. B. A. Jones, C. M. Varma, y J. W. Wilkins, Phys. Rev. Lett. 61, 125–128 (1988). 3. M. R. Galpin, D. E. Logan, y H. R. Krishnamurthy, Phys. Rev. Lett. 94, 186406 (2005). 4. J. Mravlje, A. Ramšak, y T. Rejec, Phys. Rev. B 73, 241305(R) (2006). 5. K. Schönhammer, Phys. Rev. B 13, 4336 (1976). 6. O. Gunnarsson, y K. Schönhammer, Phys. Rev. B 31, 4815 (1985). 7. T. Rejec, y A. Ramšak, Phys. Rev. B 68, 035342 (2003). 8. L. D. Leo, y M. Fabrizio, Phys. Rev. B 69, 245114 (2004). INTRODUCCIÓN MODELO Y MÉTODO ESTADO TERRENO Y CONDUCCIÓN DEL DQD CON INTERACCIÓN INTERMEDIA DQDs separados DQD y conducción adjuntas Simetrías Representación orbital Resultados numéricos

V-cycle optimal convergence for DCT-III matrices

7 Convergencia óptima del ciclo V para DCT-III trices C. Tablino Possio Dedicado a Georg Heinig Resumen. El artículo analiza una red de dos y un método multigrid para matrices perteneciente al álgebra DCT-III y generada por un símbolo polinomio. Los el objetivo es demostrar que la tasa de convergencia del método multigrid considerado (ciclo V) es constante independiente del tamaño de la matriz dada. Numérica ejemplos de ecuaciones diferenciales e integrales se consideran para ilustrar las propiedades de convergencia alegadas. Clasificación de Materias Matemáticas (2000). Primaria 65F10, 65F15, 15A12. Palabras clave. álgebra DCT-III, iteración de dos redes y multiredes, multi-iterativa métodos. 1. Introducción En las últimas dos décadas, un trabajo intensivo se ha referido a la solución numérica de sistemas lineales estructurados de grandes dimensiones [6, 14, 16]. Muchos problemas tienen se ha resuelto principalmente mediante el uso de solucionadores iterativos (precondicionados). Sin embargo, en el ajuste de varios niveles, se ha demostrado que el álgebra de matriz más popular los preacondicionadores no pueden trabajar en general (véanse [23, 26, 20] y sus referencias). Por otro lado, las estructuras multinivel a menudo son las más interesantes en aplicaciones prácticas. Por lo tanto, muy recientemente, se ha centrado más la atención (véase [1, 2, 7, 5, 27, 9, 12, 10, 13, 22, 25, 19]) sobre la solución multigrid de multinivel estructurados (Toeplitz, circulantes, Hartley, seno (de clase) y coseno álgebras) lineales sistemas en los que la matriz de coeficientes se agrupa en un sentido multinivel y positivo Definido. La razón se debe al hecho de que estas técnicas son muy eficientes, el coste total para llegar a la solución dentro de una precisión preasignada siendo lineal como las dimensiones de los sistemas lineales implicados. El trabajo del autor fue parcialmente apoyado por el MIUR, subvención número 2006017542. http://arxiv.org/abs/0704.1980v1 2 C. Tablino Possio En este artículo nos ocupamos del caso de matrices generadas por un símbolo polinomio y perteneciente al álgebra DCT-III. Este tipo de matrices aparecen en la solución de ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales, véase por ejemplo [4, 18, 24]. In en particular, surgen directamente en ciertos problemas de restauración de la imagen o pueden ser utilizados como preacondicionadores para problemas más complicados en el mismo campo de aplicación [17, 18]. En [7] se ha propuesto un Método de Dos Grid (TGM)/Multigrid (MGM) y el análisis teórico de la TGM se ha realizado en términos de teoría multigrid bráica desarrollada por Ruge y Stüben [21]. En este caso, el objetivo es proporcionar condiciones generales en las que el MGM propuesto resultados para ser óptimamente convergente con una tasa de convergencia independiente de la di- mension y realizar el análisis teórico correspondiente. Más precisamente, para MGM queremos decir la versión más simple (y menos costosa) de la familia numerosa de métodos multigrid, es decir el procedimiento del ciclo V. Para una breve descripción... ciones de la TGM y de la MGM (ciclo V estándar) nos referimos a §2. Un extenso el tratamiento puede encontrarse en [11], y especialmente en [28]. En todos los casos considerados, los resultados de la MGM son óptimos en el sentido de Defi- nición 1.1, es decir, el problema de resolver un sistema lineal con matriz de coeficiente Am es asintóticamente del mismo costo que el problema directo de multiplicar Am por un vector. Definición 1.1. [3] Que {Amxm = bm} sea una secuencia dada de sistemas lineales de el aumento de las dimensiones. Un método iterativo es óptimo si 1. el coste aritmético de cada iteración es a lo sumo proporcional a la complejidad de un producto vectorial de matriz con matriz Am, 2. el número de iteraciones para llegar a la solución dentro de una precisión fija puede estar limitada desde arriba por una constante independiente de m. De hecho, el coste total de la MGM propuesta será de O(m) operaciones ya que para cualquier nivel grueso s podemos encontrar un operador de proyección P ss+1 tal que • el producto vectorial de la matriz que implica P ss+1 costes O(ms) operaciones dondems = m/2s; • la matriz de cuadrícula gruesa Ams+1 = P ss+1Ams(P ss+1)T es también una matriz en el DCT III álgebra generada por un símbolo polinomio y se puede formar dentro operaciones con O(ms); • la tasa de convergencia del MGM es independiente de m. El documento se organiza de la siguiente manera. En §2 informamos brevemente de las principales herramientas re- el ajuste a la teoría de la convergencia de los métodos multigrid algebraicos [21]. En §3 nosotros considerar el TGM para matrices pertenecientes al álgebra DCT-III con referencia a algunas propiedades de convergencia óptimas, mientras que §4 se dedica a la convergencia anal ysis de su extensión natural como ciclo-V. En el artículo 5 las pruebas numéricas de la demandada los resultados se discuten y §6 trata de cuestiones de complejidad y conclusiones. Convergencia óptima del ciclo V para matrices DCT-III 3 2. Métodos de dos redes y de varias redes En esta sección informamos brevemente de los principales resultados relativos a la convergencia. teoría de métodos algebraicos multigrid. Consideremos el sistema lineal genérico Amxm = bm, donde Am Cm×m es un Hermiciano matriz definida positiva y xm, bm • Cm. Deje m0 = m > m1 >. > > ms >. .. > msmin y dejar P s+1 • Cms+1×ms ser una matriz de rango completo dada para cualquier s. Por último, vamos a denotar por Vs una clase de métodos iterativos para sistemas lineales de dimensión ms. Según [11], el método algebraico de dos granos (TGM) es un método iterativo cuyo paso genérico se define como sigue. xouts = T GM(s, xins, bs) xpres = V s,pre(x) s ) Iteraciones antes de suavizar rs = Asx s − bs rs+1 = P s+1rs As+1 = P s+1As(P Resuelve As+1ys+1 = rs+1 = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x − (P ss+1)Hys+1 Corrección exacta de la cuadrícula gruesa xouts = V /post s,post(xás) iteraciones posteriores a la suavizaciÃ3n donde la dimensión ms se denota en resumen por el subíndice s. En los primeros y últimos pasos, una iteración pre-smoothing y una iteración post-smoothing se aplican respectivamente νpre times y νpost times, de acuerdo con la iterativa elegida método en la clase Vs. Por otra parte, los pasos intermedios definen la llamada exacta Operador de corrección de red gruesa, que depende del operador de proyector considerado P ss+1. La matriz de iteración global del TGM es entonces dada por TGM = V /post s,postCGCsV s,pre, (2.1) CGCs = Is − (P ss+1)HA−1s+1P s+1As As+1 = P s+1As(P H, (2.2) donde Vs,pre y Vs,post, respectivamente, denotan el pre-smoothing y post-smoothing matrices de iteración. 4 C. Tablino Possio Por medio de un procedimiento recursivo, el TGM da lugar a un Multi-Grid Método (MGM): el ciclo V estándar se define como sigue. xouts = MGM(s, xins, bs) si s ≤ smin entonces Resuelve Asx s = bs Solución exacta xpres = V s,pre(x) s ) Iteraciones antes de suavizar rs = Asx s − bs rs+1 = P s+1rs ys+1 = MGM(s+1,0s+1, rs+1) = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x − (P ss+1)Hys+1 Corrección de cuadrícula gruesa xouts = V /post s,post(xás) iteraciones posteriores a la suavizaciÃ3n Observe que en MGM las matrices As+1 = P s+1As(P H son más rentables formado en la llamada fase de configuración con el fin de reducir los costos computacionales. La matriz de iteración global del MGM se puede definir recursivamente como MGMsmin = O • Csmin×smin, MGM = V /post s,post Es − (P ss+1)H (Is+1 −MGMs+1)A−1s+1P ss+1As s,pre, s = smin − 1,.......................................................................................................... Algunas condiciones generales que aseguran la convergencia de una TGM algebraica y MGM se deben a Ruge y Stüben [21]. En adelante, por 2 denotamos la norma euclidiana en Cm y el asociado inducido norma de matriz sobre Cm×m. Si X es positiva definida, â € â € € TM = â € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM Norma euclidiana ponderada por X en Cm y la norma de matriz inducida asociada. Finalmente, si X e Y son matrices ermitañas, entonces la notación X ≤ Y significa que Y − X es no negativo definido. Teorema 2.1 (convergencia TGM [21]). Dejar m0, m1 ser enteros tales que m0 > m1 > 0, dejar que A • Cm0×m0 sea una matriz definida positiva. Que V0 sea una clase de iterativo métodos para sistemas lineales de dimensión m0 y dejar P 1 Cm1×m0 debe ser un total Matriz de rango. Supongamos que existe αpre > 0 y αpost > 0 independiente de m0 Convergencia óptima del ciclo V para matrices DCT-III 5 de tal manera que «V0,pre x+2A ≤ x+2A − αpre+V0,pre x+2AD−1A para cualquier x+ C m0 (2,3a) • V0, puesto x • 2A ≤ • x • 2A − α post • x • 2AD - 1A para cualquier x • C m0 (2.3b) (donde D denota la diagonal principal de A) y que existe γ > 0 independiente de m0 de tal manera que y*Cm1 x- (P 01 )Hyâ > 2D ≤ xâ > 2A para cualquier x â € Cm0. (2.4) Entonces, γ ≥ αpost y TGM0A ≤ 1− αpost/γ 1 + αpre/γ . (2.5) Cabe destacar que en el teorema 2.1 la matriz D de Cm0×m0 puede ser substi- protegida por cualquier Hermitan positivo definida matriz X : claramente la elección X = puedo dar lugar a valiosas simplificaciones [1]. A primera vista, los requisitos de convergencia MGM son más severos desde el las matrices de suavización y iteración del CGC están vinculadas en las mismas desigualdades que se han declarado abajo. Teorema 2.2 (convergencia del MMG [21]). Dejar m0 = m > m1 > m2 >. .. > ms > . .. > msmin y dejar A • Cm×m ser una matriz definida positiva. Dejar P ss+1 • Cms+1×ms ser matrices de rango completo para cualquier nivel s. Suponga que existe ♥pre > 0 y ♥post > 0 de tal manera que V /pres, prex ≤ x + 2A − pre CGCsV s,prex para cualquier x • Cms (2.6a) V /posts, posrx ≤ x x 2A − post CGCsx para cualquier x • Cms (2.6b) ambos para cada s = 0,......, smin − 1, luego ­post ≤ 1 y MGM0A 6 1- • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1 + pre < 1. (2.7) En virtud del Teorema 2.2, la secuencia {x(k)m}kN convergerá a la solución de el sistema lineal Amxm = bm y dentro de una constante reducción de errores no dependiendo sobre m y smin si al menos uno de los dos puntos es independiente de m y smin. Sin embargo, como también se sugiere en [21], las desigualdades (2.6a) y (2.6b) pueden dividirse, respectivamente, como V /pres, prex ≤ x 2A − α V s,prex®AsD−1s As CGCsx2As ≤ γ pre = α/γ (2.8) y V /posts, postx ≤ ≤ x + 2 As − β x CGCs x ≤ 2 As ≤ γ ° x ° post = β/γ (2.9) 6 C. Tablino Possio donde Ds es la parte diagonal de As (de nuevo, el AD −1A-norm no es obligatorio [1] y el A2-norm será considerado en el siguiente) y donde, lo que es más importante, los coeficientes α, β y γ pueden diferir en cada nivel de recursión s desde el paso de (2.8) a (2.6a) y de (2.9) a (2.6b) son puramente algebraicas y no afectan a la prueba del teorema 2.2. Por lo tanto, para probar la convergencia óptima del ciclo V, es posible tener en cuenta las desigualdades V /pres, prex ≤ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + s,prex para cualquier x • Cms (2.10a) V /posts, postx ≤ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + para cualquier x • Cms (2.10b) CGCsx2As ≤ γs para cualquier x • Cms. (2.10c) donde es necesario que αs, βs, γs ≥ 0 para cada s = 0,...., smin − 1 y pre = min 0≤s<smin , post = min 0≤s<smin . (2.11) Nos referimos a (2.10a) como la propiedad pre-smoothing, (2.10b) como el post-smoothing propiedad y (2.10c) como la propiedad de aproximación (véase [21]). Un beneficio evidente al considerar las desigualdades (2.10a)-(2.10c) depende de hecho de que el análisis de las iteraciones suavizantes se distingue de la más difícil análisis del operador del proyector. Además, las propiedades de suavizado MGM (2.10a) y (2.10b) no son nada más que las propiedades de suavizado TGM (2.3a) y (2.3b) con D sustituida por I, de acuerdo con el razonamiento anterior (véase [1]). 3. Métodos de dos redes y multiredes para matrices DCT III Dejar Cm = {Cm Rm×mCm = QmDmQTm} la matriz de coseno uninivel DCT-III álgebra, es decir, el álgebra de matrices que se diagonalizan simultáneamente por el Transformación ortogonal 2− Łj,1 i − 1) j − 1/2) i,j=1 (3.1) con el símbolo Kronecker. Dejar f ser un valor real incluso trigonométrico polinomio de grado k y período 2 Entonces, la matriz DCT III de orden m generada por f se define como Cm(f) = QmDm(f)Q m, Dm(f) = diag1≤j≤m f (j − 1) Claramente, Cm(f) es una matriz de banda simétrica de ancho de banda 2k+1. En lo siguiente: denotamos en breve con Cs = Cms(gs) la matriz DCT III del tamaño ms generado por la función gs. Método algebraico TGM/MGM para matrices DCT III (multinivel) generadas por en [7] se ha propuesto un polinomio trigonométrico incluso de valor real. Aquí, nosotros Convergencia óptima del ciclo V para matrices DCT-III 7 informe brevemente de los resultados pertinentes con respecto al análisis de convergencia de los GRT, el objetivo es demostrar en §4 la convergencia óptima del ciclo V en condiciones adecuadas. De hecho, el operador del proyector P ss+1 es elegido como P ss+1 = T s+1Cs(ps) donde T ss+1 + Rms+1×ms, ms+1 = ms/2, es el operador de corte definido como T ss+1 2 {2i− 1, 2i}, i = 1,...,ms+1, De lo contrario. (3.2) y Cs(ps) es la matriz de coseno DCT-III de tamaño ms generada por un par adecuado polinomio trigonométrico ps. Aquí, el escalado por un factor 1/ 2 se introduce con el fin de normalizar la matriz T ss+1 con respecto a la norma euclidiana. Desde el punto de vista de un algebraico multigrid esta es una opción natural, mientras que en una multigrid geométrica es más natural considerar sólo una escala por 1/2 en el proyector, para obtener un valor medio. El operador de corte desempeña un papel de liderazgo en la preservación tanto de la estructura como de la propiedades espectrales de la matriz proyectada Cs+1: de hecho, garantiza un enlace espectral entre el espacio de las frecuencias de tamaño ms y el espacio correspondiente de frecuencias de tamaño ms+1, de acuerdo con el Lemma siguiente. Lemma 3.1. [7] Que Qs • Rms×ms y T ss+1 • Rms+1×ms se dé como en (3.1) y (3.2) respectivamente. Entonces T ss+1Qs = Qs+1[Φs+1,Φs+1Πs+1], (3.3) donde Φs+1 = diagj=1,...,ms+1 (j − 1) , (3.4a) * + 1 = diagj=1,...,ms+1 − Cos , (3.4b) y Πs+1 • Rms+1×ms+1 es la matriz de permutación (1, 2,...,ms+1) 7→ (1,ms+1,ms+1 − 2,..., 2). Como consecuencia, dejar que As = Cs(fs) sea la matriz DCT-III generada por fs, entonces As+1 = P s+1As(P T = Cs+1(fs+1) donde fs+1(x) = cos (3.5) + cos2 η − x/2 η − x η − x , x â € [0, η]. Por otro lado, se garantiza la convergencia del TGM propuesto en el tamaño ms eligiendo el polinomio de la siguiente manera. 8 C. Tablino Possio Definición 3.2. Let x0 â € [0, η) un cero de la función generadora fs. El polinomio ps es elegido para que p2s(π − x) fs(x) <, (3.6a) p2s(x) + p s( − x) > 0. (3.6b) En el caso especial x0 = η, el requisito (3.6a) se sustituye por el texto siguiente: x→x0= p2s(π − x) fs(x) < â € € TM. (3.7a) Si fs tiene más de un cero en [0, ], entonces ps será el producto de los polinomios el cumplimiento de la condición (3.6a) (o (3.7a)) por cada cero y globalmente afección (3.6b). Es evidente de la definición citada que el polinomio ps debe tener ceros de orden adecuado en cualquier punto de espejo x+0 =  − x0, donde x0 es un ceros de fs. Vale la pena destacar que las condiciones (3.6a) y (3.6b) están en perfecto acuerdo con el caso de otras estructuras tales como , el Toeplitz simétrico y las matrices circulares (véase, por ejemplo, [22, 25]), mientras que la condición (3.7a) es propia del álgebra DCT III y corresponde a un empeoramiento de los requisitos de convergencia. Por otra parte, como se acaba de sugerir en [7], en el caso x0 = 0 la condición (3.6a) también puede se debilitan como x→x0=0 p2s(π − x) fs(x) < â € € TM. 3,8a) Observamos que si fs es un polinomio trigonométrico de grado k, entonces fs puede tener un cero de orden a lo sumo 2k. Si ninguna de las raíces de fs están en η, entonces por (3.6a) la grado de ps tiene que ser menor o igual a k/2». Si η es una de las raíces de fs, a continuación, el grado de ps es menor o igual a (k + 1)/2». Observe también que de (3.5), es fácil obtener los coeficientes de Fourier de fs+1 y por lo tanto las entradas no cero de As+1 = Cs+1(fs+1). Además, podemos obtener el raíces de fs+1 y sus órdenes mediante el conocimiento de las raíces de fs y sus órdenes. Lemma 3.3. [7] Si 0 ≤ x0 ≤ η/2 es un cero de fs, entonces por (3.6a), ps(π − x0) = 0 y por lo tanto por (3.5), fs+1(2x) 0) = 0, es decir, y0 = 2x0 es un cero de fs+1. Además, porque ps(π − x0) = 0, por (3.6b), ps(x0) > 0 y por lo tanto los órdenes de x0 e y0 son lo mismo. Similarmente, η/2 ≤ x0 < η, entonces y0 = 2(η − x0) es una raíz de fs+1 con el mismo orden que x0. Finalmente, si x0 = , entonces y0 = 0 con orden es igual a la orden de x0 más dos. En [7] el método Richardson ha sido considerado como la opción más natural para la iteración suavizante, desde la matriz de iteración correspondiente Vm := Im − Cm×m pertenece al álgebra DCT-III, también. Otras observaciones sobre este tema un tipo de suavizado iteraciones y la afinación del parámetro [25, 2]. Convergencia óptima del ciclo V para matrices DCT-III 9 Teorema 3.4. [7] Dejar Am0 = Cm0(f0) con f0 siendo un trigonométrico no negativo polinomio y dejar que Vm0 = Im0 − Am0 con • = 2/f0 y • = 1/f0, respectivamente para la iteración previa y posterior a la iteración. Entonces, bajo los supuestos y definiciones citados, las desigualdades (2.3a), (2.3b), y (2.4) mantener la verdad y el TGM propuesto converge linealmente. Aquí, podría ser interesante volver a algunos pasos clave en la prueba de el citado Teorema 3.4 con el fin de destacar la estructura con respecto a cualquier punto y su punto espejo de acuerdo con las anotaciones consideradas. Al referirse a una técnica de prueba desarrollada en [22], se obtiene la tesis alegada al demostrar que el lado derecho de las desigualdades γ ≥ 1 ds(x) η − x p2s(π − x) fs(x) , (3.9a) γ ≥ 1 ds(x) η − x p2s(π − x) fs(x) + cos2 ) p2s(x) fs(π − x) , (3.9b) ds(x) = cos p2s(x) + cos η − x p2s(π − x) (3,9c) están unidos uniformemente en todo el dominio de modo que γ es una constante universal. Es evidente que (3.9a) está implícito en (3.9b). Por otra parte, ambos términos en (3.9b) y en ds(x) se pueden intercambiar entre sí, hasta el cambio de variable y = π − x. Por lo tanto, si x0 6= η es evidente que la definición 3.2 asegura el uniforme requerido límites desde la condición p2s(x) + p s( − x) > 0 implica ds(x) > 0. En el caso de x0 = η, la desigualdad (3.9b) puede ser reescrita como γ ≥ 1 p2s(x) p2s(π − x) p2s(π − x) fs(x) p2s(x) fs(π − x) (3.10) así que motivar el caso especial en la definición 3.2. 4. Convergencia óptima del ciclo V En esta sección proponemos una modificación adecuada de la definición 3.2 con respecto a la elección del polinomio involucrado en el proyector, que nos permite demostrar la convergencia óptima del ciclo V según la verificación de las desigualdades (2.10a)-(2.10c) y el requisito (2.11). Vale la pena destacar que las propiedades de suavizado MGM no requieren un verdadero verificación, ya que (2.10a) y (2.10b) son exactamente las propiedades de suavizado TGM (2.3a) y (2.3b) (con D = I). Proposición 4.1. Let As = Cms(fs) para cualquier s = 0,...., smin, con fs ≥ 0, y Vamos a ser tal que 0 <.»s ≤ 2/fs. Si elegimos αs y βs tales que αs ≤ 10 C. Tablino Possio فارسىsmin 2, (2-)(1−)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()( y βs 6+s(2 − sfs) a continuación para cualquier x â € TM Cm las desigualdades •Vs,pre x+2As ≤ •x • − αs â € TM ~ Vs,pre xâ € ~ 2As (4.1) Vs, puesto x ≤ 2 As ≤ × x × - βs x 2As (4.2) Mantente fiel. Note, por ejemplo, que la mejor unión a βs es dada por 1/fs y es obtenido mediante la toma de s = 1/fs [25, 2]. En cuanto al análisis de la condición de aproximación (2.10c) consideramos aquí el caso de una función generadora f0 con un único cero en x 0. En tal caso, la elección del polinomio en el proyector es más severa con respecto al caso de TGM. Definición 4.2. Let x0 â € [0, η) un cero de la función generadora fs. El polinomio ps se elige de tal manera que ps(π − x) fs(x) <, (4.3a) p2s(x) + p s( − x) > 0. (4.3b) En el caso especial x0 = η, el requisito (4.3a) se sustituye por el texto siguiente: x→x0= ps(π − x) fs(x) < â € € TM. (4.4a) Note también que en el caso especial x0 = 0 el requisito (4.3a) puede ser debilitado x→x0=0 ps(π − x) fs(x) < â € € TM. (4.5a) Proposición 4.3. Let As = Cms(fs) para cualquier s = 0,...., smin, con fs ≥ 0. Vamos. P ss+1 = T s+1Cs(ps), donde ps(x) cumple (4.3a) (o (4.4a)) y (4.3b). Entonces, para cualquier s = 0,...., smin − 1, existe γs > 0 independiente de ms tal que CGCsx2As ≤ γs para cualquier x • Cms, (4.6) donde los CGCs se definen como en (2.2). Prueba. Desde CGCs = Is − (P ss+1)T (P ss+1As(P ss+1)T )−1P ss+1As es un proyector unitario, sostiene que CGCTs As CGCs = As CGCs. Por lo tanto, el la desigualdad objetivo (4.6) se puede simplificar y simetría, dando lugar a la matriz desigualdad CûGCs = Is −A1/2s (P ss+1)T (P ss+1As(P ss+1)T )−1P ss+1A1/2s ≤ γsAs. (4.7) Convergencia óptima del ciclo V para matrices DCT-III 11 Por lo tanto, invocando Lemma 3.1, los QTs CūGCsQs pueden ser permutados en un bloque de 2 × 2 matriz diagonal cuyo bloque jth, j = 1,...,ms+1, es dada por la matriz de rango-1 (véase [8] para el caso análogo c2j + s c2j cjsj cjsj s donde cj = cos p2f(x j ) sj = − cos η − x[ms]j p2f( − x[ms]j ). Como en la prueba de la convergencia TGM, debido a la continuidad de fs y ps, (4.7) se demuestra si el lado derecho en las desigualdades dсs(x) η − x p2sfs(π − x) fs(x) (4.8a) dсs(x) η − x p2sfs(π − x) fs(x) + cos2 ) p2sfs(x) fs(π − x) (4,8b) dūs(x) = cos p2sfs(x) + cos η − x p2sf(π − x) (4,8c) están unidos uniformemente en todo el dominio de modo que γs son constantes universales. Una vez más, es evidente que (4.8a) está implícito en (4.8b). Por otra parte, ambos términos en 4,8b) y en dūs(x) pueden intercambiarse entre sí, hasta el cambio de la variable y = π − x. Por lo tanto, si x0 6= η, 4,8b) puede ser reescrito como dáños(x) η − x p2s(π − x) f2s (x) + cos2 ) p2s(x) f2s (π − x) (4.9) donde dÃ3s(x) = cos ) p2s(x) fs(π − x) + cos2 η − x p2s(π − x) fs(x) de modo que la definición 4.2 garantice el nivel de uniformidad requerido. En el caso de x0 = η, la desigualdad (4.8b) puede ser reescrita como p2s(x) fs(π − x) p2s(π − x) fs(x) p2s(π − x) f2s (x) p2s(x) f2s (π − x) (4.10) así que motivar el caso especial en la definición 4.2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 12 C. Tablino Possio Observación 4.4. Nótese que en el caso de las iteraciones previas a la suavización y bajo el suposición Vs, pre nonsingular, la condición de aproximación CGCsV /pres,prex ≤ γs V /pres,prex para cualquier x • Cms, (4.11) es equivalente a la condición, en forma de matriz, de CūGCs ≤ γsAs obtenida en Propo- Situación 4.3. En las Proposiciones 4.1 y 4.3 hemos obtenido que para cada s (independientemente de m = m0) las constantes αs, βs y γs son valores absolutos no dependiendo de m = m0, pero sólo dependiendo de las funciones fs y ps. Sin embargo, con el fin de demostrar la convergencia óptima MGM de acuerdo con Teorema 2.2, debemos verificar al menos una entre las siguientes condiciones inf–min [1]: pre = inf 0≤s≤log2(m0) > 0, post = inf 0≤s≤log2(m0) > 0. (4.12) En primer lugar, consideramos el requisito de inf-min (4.12) analizando el caso de un gen- función de borrado fœ0 con un único cero en x 0 = 0. Cabe destacar que, en tal caso, la matriz DCT-III Ãm0 = Cm0(f gular ya que 0 pertenece al conjunto de puntos de cuadrícula x j = (j − 1)η/m0, j = 1,...,m0. Por lo tanto, la matriz Ãm0 se sustituye por Am0 = Cm0(f0) = Cm0(f con e = [1,............................................................................................................................................................................................................................................................ Corrección por estiramiento [29]. Equivalentemente, la función generadora se sustituye por la siguiente: f0 = f­0 + f­0 1 +2ηZ > 0, (4.13) donde χX es la función característica del conjunto X y w 1 = x 0 = 0. En Lemma 4.5 se informa de la ley a la que se someten las funciones generadoras en los niveles más gruesos. Con respecto a este objetivo, es útil considerar lo siguiente: resultado de la factorización: dejar que f ≥ 0 sea un polinomio trigonométrico con un único cero en x0 del orden 2q. Entonces, existe un polinomio trigonométrico positivo tal que f(x) = [1− cos(x− x0)]q (x). (4.14) Observe también que, según Lemma 3.3, la ubicación del cero nunca se desplaza a los niveles siguientes. Lemma 4.5. Let f0(x) = fœ0(x) + c0χ2πZ(x), con fœ0(x) = [1− cos(x)]q­0(x), q siendo un número entero positivo y +0 siendo un polinomio trigonométrico positivo y con c0 = fœ0 . Let ps(x) = [1+cos(x)] q para cualquier s = 0,...., smin− 1. Entonces, bajo las mismas suposiciones de Lemma 3.1, cada función generadora fs es dada por fs(x) = fûs(x) + csχ2πZ(x), fûs(x) = [1− cos(x)]qûs(x). Convergencia óptima del ciclo V para matrices DCT-III 13 Las secuencias s} y {cs} se definen como • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • s(0), s = 0,...., smin − 1, donde Φq,p es un operador tal que [Φq,p(­)] (x) = (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l)) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) () (l) (l) (l) (l) (l) (l) () (l) (l) () (l) () (l) (l) () ) () (l) (l) (l) () ) () () () () () () () () () () ) () () () () () () () () ) ) () () () () + (­p­) η − x , (4.15) con (x) = 1 + cos(x). Por otra parte, cada fûs es un polinomio trigonométrico que desaparece sólo a 2ηZ con el mismo orden 2q que fœ0. Prueba. La reclamación es consecuencia directa de Lemma 3.1. Por otra parte, desde el func- es positivo por suposición, lo mismo es cierto para cada función. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. A continuación, hacemos uso de las siguientes anotaciones: para una función dada f, nosotros escribirá Mf = supx f, mf = infx f y (f) = Mf/mf. Ahora, si x â ¬ (0, 2η) podemos dar un límite superior para el lado izquierdo R(x) en (4.9), ya que sostiene que R(x) = p2s(x) f2s (π − x) p2s(π − x) f2s (x) p2s(x) fs(π − x) p2s(π − x) fs(x) 2 ° ° ° ° − x ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° •2s(x) ps(x) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ps(π − x) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ≤ M ps(x) + cos2 ps(π − x) ≤ M podemos considerar γs = Más/m . En el caso x = 0, ya que ps(0) = 0, se mantiene R(0) = 1/fs(l), de modo que también tenemos que requerir 1/fs(l) ≤ γs. Sin embargo, desde 1/fs(η) ≤Mós/m2ós, tomamos γ s =Más/m como el mejor valor. En (2.9), al elegir s = fs1, simplemente encontramos s = fs1 ≥ 1/(2qMs) y como consecuencia, obtenemos 2qMÃ3s 2qμ2°() . (4.16) Una relación similar se puede encontrar en el caso de una iteración previa a la amortiguación. Nunca... menos, ya que es suficiente para probar uno entre las condiciones de inf-min, nos centramos en a la atención a condición (4.16). Por lo tanto, para hacer cumplir la condición de inf-min (4.12), es suficiente para probar la existencia de una constante absoluta L tal que (s) 6 L < uniformemente con el fin de deducir que «MGM0»A0 6 1− (2qL2)−1 < 1. 14 C. Tablino Possio Proposición 4.6. Bajo las mismas suposiciones de Lemma 4.5, definamos s = [Φps,q] s(­) para cada s(­) N, donde Φp,q es el operador lineal definido como en (4.15). Entonces, existe un polinomio positivo de grado q tal que s uniformemente convergen a, y por otra parte existe un número real L positivo tal que 6 L para cualquier s N. Prueba. Debido a la periodicidad y a las expansiones coseno de todos los involucrados funciones, el operador Φq,p en (4.15) puede ser reescrito como [Φq,p(­)] (x) = (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l)) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) () (l) (l) (l) (l) (l) (l) () (l) (l) () (l) () (l) (l) () ) () (l) (l) (l) () ) () () () () () () () () () () ) () () () () () () () () ) ) () () () () + (­p­) . (4.17) La representación de Φq,p en la base de Fourier (ver Proposición 4.8 en [1]) conduce a un operador de Rm(q) a Rm(q), m(q) constante adecuada dependiendo sólo de q, que es idéntico a la matriz no negativa irreductible q en la ecuación (4.14) de [1], con q + 1 en lugar de q. En consecuencia, la tesis alegada se refiere al Perron-Frobenius. teorema [15, 30] según la misma técnica de prueba considerada en [1]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por último, teniendo en cuenta todos los resultados anteriores, podemos reclamar el optimalidad de la MGM propuesta. Teorema 4.7. Que fœ0 sea un polinomio trigonométrico incluso no negativo que desaparece en 0 con orden 2q. Deje m0 = m > m1 >. . > ms >. .. > msmin, ms+1 = ms/2. Por cualquier s = 0,...,msmin−1, dejar que P ss+1 sea como en la Proposición 4.3 con ps(x) = [1+cos(x)]q, y dejar que Vs, post = Ims − Ams/fs. Si fijamos Am0 = Cm0(fœ0 + c0χ2ηZ) con c0 = fœ0(w 2 ) y consideramos b • Cm0, a continuación, el MGM (ciclo V estándar ) Converge a la solución de Am0x = b y es óptima (en el sentido de la definición 1.1). Prueba. De acuerdo con las suposiciones citadas, se sostiene que fœ0(x) = [1− cos(x)]q ­0(x) para algunos polinomios positivos 0(x). Por lo tanto, es suficiente observar que el la convergencia óptima de MGM como se indica en el Teorema 2.2 está implícita por el inf-min condición (4.12). Gracias a (4.16), este último está garantizado si las cantidades (s) están limitada uniformemente y esto es cierto de acuerdo con la Proposición 4.6. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora, consideramos el caso de una función generadora f0 con un cero único en x0 = η, esto es particularmente importante en las aplicaciones desde la discretización de ciertas ecuaciones integrales conduce a matrices que pertenecen a esta clase. Por ejemplo, la restauración de la señal conduce al caso de f0(l) = 0, mientras que para la super-resolución problema y restauración de la imagen f0(l, η) = 0 se encuentra [5]. En virtud de Lemma 3.3 simplemente tenemos que la función generadora f1 relacionado a la primera matriz proyectada se desvanece exclusivamente en 0, es decir. en el primer nivel de la MGM proyecta un problema integral discretizado, en otro que es espectralmente y Equivalente estructuralmente a un problema diferencial discontinuo. Con respecto a la convergencia óptima, tenemos que Teorema 2.2 es cierto con ♥ = min0, ya que los resultados de ♥ a ser una constante e independiente de m0. Convergencia óptima del ciclo V para matrices DCT-III 15 Más precisamente, Ł0 está directamente relacionado con el nivel más fino y es dado por el condición inf-min del problema diferencial obtenido en los niveles más gruesos. Los último valor constante se ha mostrado anteriormente, mientras que el primero se puede probar como a continuación: estamos tratando con f0(x) = (1+cos(x)) qâ € 0(x) y de acuerdo con la definición 4.2 elegimos pœ0(x) = p0(x) + d0χ2γZ con p0(x) = (1 + cos(x)) q+1 y d0 = Por lo tanto, se obtiene un límite superior para el lado izquierdo Rū(x) en (4.10) como R(x) ≤ i.e. podemos considerar γ0 = MÃ3r0/m y de modo que un valor ­0 independiente de m0 es Lo encontré. 5. Experimentos numéricos A partir de ahora, damos pruebas numéricas de las propiedades de convergencia reclamadas en las secciones anteriores, tanto en el caso de la propuesta TGM como de la MGM (estándar Ciclo V), para dos tipos de sistemas DCT-III con funciones generadoras que tienen cero a 0 (problemas de tipo diferencial) y a η (problemas de tipo integrado). Los proyectores P ss+1 se eligen como se describe en el §3 en el §4 y el Las iteraciones se utilizan dos veces en cada iteración con: respectivamente. El procedimiento iterativo se realiza hasta la norma euclidiana del residuo relativo en la dimensión m0 es superior a 10 −7. Además, en el ciclo V, la solución exacta del sistema se encuentra por un solucionador directo cuando la cuadrícula gruesa dimensión igual a 16 (162 en los ensayos adicionales de dos niveles). 5.1. Caso x0 = 0 (problemas de tipo diferencial) En primer lugar, consideramos el caso Am = Cm(f0) con f0(x) = [2 − 2 cos(x)]q, es decir. con una cero único a x0 = 0 del orden 2q. Como se señaló anteriormente, la matriz Cm(f0) es singular, por lo que la solución de se considera el sistema corregido de rango-1, cuya matriz es dada por Cm(f0) + (f0(l/m)/m)ee T, con e = [1,..., 1]T. Desde la posición del cero x0 = 0 en la los niveles más gruesos nunca se desplazan, entonces la función ps(x) = [2− 2 cos( los proyectores son los mismos en todos los niveles posteriores s. Para probar la convergencia lineal TGM/MGM con velocidad independientemente del tamaño m0 probado para diferentes r: de acuerdo con (3.6a), debemos elegir r al menos igual a 1 si q = 1 y al menos igual a 2 si q = 2, 3, mientras que de acuerdo con (4.3a) siempre debemos elegir r igual a q. Los resultados se presentan en la Tabla 1. Mediante el uso de argumentos tensores, los resultados anteriores se extienden claramente al multinivel caso. En la Tabla 2 consideramos el caso de la función generadora f0(x, y) = f0(x) + f0(y), que surge en la diferencia finita uniforme discretización de la constante elíptica coeficiente de ecuaciones diferenciales en un cuadrado con condiciones de frontera Neumann, Véase, por ejemplo, [24]. 16 C. Tablino Possio Cuadro 1 Twogrid/Multigrid - 1D Caso: f0(x) = [2 − 2 cos(x)]q y p(x) = [2− 2 cos( − x)]r. q = 1 q = 2 q = 3 m0 r = 1 r = 1 r = 2 r = 2 r = 3 16 7 15 13 34 32 32 7 16 15 35 34 64 7 16 16 35 35 128 7 16 16 35 35 256 7 16 16 35 35 512 7 16 16 35 35 q = 1 q = 2 q = 3 m0 r = 1 r = 1 r = 2 r = 2 r = 3 16 1 1 1 1 1 32 7 16 15 34 32 64 7 17 16 35 34 128 7 18 16 35 35 256 7 18 16 35 35 512 7 18 16 35 35 Cuadro 2 Twogrid/Multigrid - 2D Caso: f0(x, y) = [2 − 2 cos(x)]q + [2 − 2 cos(y)]q y p(x, y) = [2 − 2 cos( [2− 2 cos( − y)]r. q = 1 q = 2 q = 3 m0 r = 1 r = 1 r = 2 r = 2 r = 3 162 15 34 30 – – 322 16 36 35 71 67 642 16 36 36 74 73 1282 16 36 36 74 73 2562 16 36 36 74 73 5122 16 36 36 74 73 q = 1 q = 2 q = 3 m0 r = 1 r = 1 r = 2 r = 2 r = 3 162 1 1 1 1 1 322 16 36 35 71 67 642 16 36 36 74 73 1282 16 36 36 74 73 2562 16 37 36 74 73 5122 16 37 36 74 73 5.2. Caso x0 = η (problemas de tipo integrador) Matrices DCT III Am0 = Cm0(f0) cuya función generadora muestra un cero único at x0 =  se encuentran en la resolución de ecuaciones integrales, por ejemplo en la imagen problemas de restauración con Neumann (reflejando) condiciones límite [18]. De acuerdo con Lemma 3.3, si x0 = η, entonces la función generadora f1 de la más gruesa matriz Am1 = Cm1(f1), m1 = m0/2 tiene un cero único en 0, cuyo orden es igual a el orden de x0 = η con respecto a f0 más dos. Cabe destacar que, en tal caso, el proyector en el primer nivel es tan singular que que se considera su corrección de rango-1 Strang. Esta elección da lugar a una forma a la corrección de rango-1 considerada en §5.1. Por otra parte, a partir de la segunda nivel más grueso, la nueva ubicación del cero nunca se cambia de 0. En la Tabla 3 se reportan los resultados numéricos tanto en el uninivel como en dos niveles. caso. 6. Costes computacionales y conclusiones Se requieren algunas observaciones sobre los costos computacionales para resaltar la optimización del procedimiento propuesto. Convergencia óptima del ciclo V para matrices DCT-III 17 Cuadro 3 Twogrid/Multigrid - 1D Caso: f0(x) = 2+2 cos(x) y p0(x) = 2 − 2 cos( − x) y 2D Caso: f0(x, y) = 4 + 2 cos(x) + 2 cos(y) y p0(x, y) = 4− 2 cos( 1D TGM MGM 16 15 1 32 14 14 64 12 13 128 11 13 256 10 12 512 8 10 2D TGM MGM 162 7 1 322 7 7 642 7 7 1282 7 6 2562 7 6 5122 7 6 Puesto que la matriz Cms(p) aparece en la definición de P s+1 está anillado, el costo de un producto vectorial de matriz que implica P ss+1 es O(ms). Por lo tanto, la primera condición en la definición 1.1 se cumple. Además, note que las matrices en todos los niveles (excepto el más grueso) nunca se forman ya que sólo necesitamos almacenar el O(1) coeficientes de Fourier no cero de la función generadora relacionada en cada nivel para Multiplicaciones matriz-vector. Por lo tanto, los requisitos de memoria también son muy bajos. Con respecto a la segunda condición de la definición 1.1, destacamos que la La envío de Ams+1 = Cms+1(fs+1) puede obtenerse formalmente en operaciones O(1) en virtud de (3.5). Además, se obtienen las raíces de fs+1 y sus órdenes de acuerdo con Lemma 3.3 por conocer las raíces de fs y sus órdenes. Por último, cada uno iteración de los costes de TGM O(m0) operaciones como Am0 se marca. En conclusión, cada uno iteración de la TGM propuesta requiere O(m0) operaciones. Con respecto a la MGM, se alcanza la optimalidad ya que hemos demostrado que existe Es independiente tanto de m como de smin, por lo que el número de iteraciones requeridas resultados unidos uniformemente por una constante independientemente del tamaño del problema. En addi- ciones, ya que cada iteración tiene un coste computacional proporcional a la matriz-vector producto, Definición 1.1 establece que tal tipo de MGM es óptimo. Como conclusión, observamos que las pruebas numéricas reportadas en el §5 muestran que los requisitos del orden de cero en el proyector podrían debilitarse. Futuro los trabajos se ocuparán de este tema y de la extensión del análisis de convergencia en el caso de una ubicación general de los ceros de la función generadora. Bibliografía [1] A. Aricò, M. Donatelli, S. Serra-Capizzano, V-ciclo óptima convergencia para ciertos Sistemas lineales estructurados (multiniveles). SIAM J. Matrix Anal. Appl. 26 (2004), No. 1, 186–214. [2] A. Aricò, M. Donatelli, Un ciclo en V Multigrid para álgebras de matriz multinivel: prueba de optimalidad. Numer. Matemáticas. 105 (2007), no. 4, 511-547 (DOI 10.1007/s00211-006-0049- 18 C. Tablino Possio [3] O. Axelsson, M. Neytcheva, Los métodos de iteración multinivel algebraica — teoría y aplicaciones. En las Actas del Segundo Coloquio Internacional sobre Números Análisis (Plovdiv, 1993), 13 a 23, VSP, 1994. [4] R.H. Chan, T.F. Chan, C. 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Tablino Possio Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università di Milano Bicocca, via Cozzi 53 20125 Milano Italia Correo electrónico: cristina.tablinopossio@unimib.it 1. Introducción 2. Métodos de dos redes y de varias redes 3. Métodos de dos redes y multiredes para matrices DCT III 4. Convergencia óptima del ciclo V 5. Experimentos numéricos 5.1. Caso x0=0 (problemas de tipo diferencial) 5.2. Caso x0= (problemas de tipo integrador) 6. Costes computacionales y conclusiones Bibliografía

El artículo analiza una red de dos y un método multigrid para matrices que pertenecen a al álgebra DCT-III y generada por un símbolo polinomio. El objetivo es: demostrar que la tasa de convergencia del método multigrid considerado (ciclo V) es constante independiente del tamaño de la matriz dada. Ejemplos numéricos de Ecuaciones diferenciales e integrales se consideran para ilustrar el alegado propiedades de convergencia.

Introducción En las últimas dos décadas, un trabajo intensivo se ha referido a la solución numérica de sistemas lineales estructurados de grandes dimensiones [6, 14, 16]. Muchos problemas tienen se ha resuelto principalmente mediante el uso de solucionadores iterativos (precondicionados). Sin embargo, en el ajuste de varios niveles, se ha demostrado que el álgebra de matriz más popular los preacondicionadores no pueden trabajar en general (véanse [23, 26, 20] y sus referencias). Por otro lado, las estructuras multinivel a menudo son las más interesantes en aplicaciones prácticas. Por lo tanto, muy recientemente, se ha centrado más la atención (véase [1, 2, 7, 5, 27, 9, 12, 10, 13, 22, 25, 19]) sobre la solución multigrid de multinivel estructurados (Toeplitz, circulantes, Hartley, seno (de clase) y coseno álgebras) lineales sistemas en los que la matriz de coeficientes se agrupa en un sentido multinivel y positivo Definido. La razón se debe al hecho de que estas técnicas son muy eficientes, el coste total para llegar a la solución dentro de una precisión preasignada siendo lineal como las dimensiones de los sistemas lineales implicados. El trabajo del autor fue parcialmente apoyado por el MIUR, subvención número 2006017542. http://arxiv.org/abs/0704.1980v1 2 C. Tablino Possio En este artículo nos ocupamos del caso de matrices generadas por un símbolo polinomio y perteneciente al álgebra DCT-III. Este tipo de matrices aparecen en la solución de ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales, véase por ejemplo [4, 18, 24]. In en particular, surgen directamente en ciertos problemas de restauración de la imagen o pueden ser utilizados como preacondicionadores para problemas más complicados en el mismo campo de aplicación [17, 18]. En [7] se ha propuesto un Método de Dos Grid (TGM)/Multigrid (MGM) y el análisis teórico de la TGM se ha realizado en términos de teoría multigrid bráica desarrollada por Ruge y Stüben [21]. En este caso, el objetivo es proporcionar condiciones generales en las que el MGM propuesto resultados para ser óptimamente convergente con una tasa de convergencia independiente de la di- mension y realizar el análisis teórico correspondiente. Más precisamente, para MGM queremos decir la versión más simple (y menos costosa) de la familia numerosa de métodos multigrid, es decir el procedimiento del ciclo V. Para una breve descripción... ciones de la TGM y de la MGM (ciclo V estándar) nos referimos a §2. Un extenso el tratamiento puede encontrarse en [11], y especialmente en [28]. En todos los casos considerados, los resultados de la MGM son óptimos en el sentido de Defi- nición 1.1, es decir, el problema de resolver un sistema lineal con matriz de coeficiente Am es asintóticamente del mismo costo que el problema directo de multiplicar Am por un vector. Definición 1.1. [3] Que {Amxm = bm} sea una secuencia dada de sistemas lineales de el aumento de las dimensiones. Un método iterativo es óptimo si 1. el coste aritmético de cada iteración es a lo sumo proporcional a la complejidad de un producto vectorial de matriz con matriz Am, 2. el número de iteraciones para llegar a la solución dentro de una precisión fija puede estar limitada desde arriba por una constante independiente de m. De hecho, el coste total de la MGM propuesta será de O(m) operaciones ya que para cualquier nivel grueso s podemos encontrar un operador de proyección P ss+1 tal que • el producto vectorial de la matriz que implica P ss+1 costes O(ms) operaciones dondems = m/2s; • la matriz de cuadrícula gruesa Ams+1 = P ss+1Ams(P ss+1)T es también una matriz en el DCT III álgebra generada por un símbolo polinomio y se puede formar dentro operaciones con O(ms); • la tasa de convergencia del MGM es independiente de m. El documento se organiza de la siguiente manera. En §2 informamos brevemente de las principales herramientas re- el ajuste a la teoría de la convergencia de los métodos multigrid algebraicos [21]. En §3 nosotros considerar el TGM para matrices pertenecientes al álgebra DCT-III con referencia a algunas propiedades de convergencia óptimas, mientras que §4 se dedica a la convergencia anal ysis de su extensión natural como ciclo-V. En el artículo 5 las pruebas numéricas de la demandada los resultados se discuten y §6 trata de cuestiones de complejidad y conclusiones. Convergencia óptima del ciclo V para matrices DCT-III 3 2. Métodos de dos redes y de varias redes En esta sección informamos brevemente de los principales resultados relativos a la convergencia. teoría de métodos algebraicos multigrid. Consideremos el sistema lineal genérico Amxm = bm, donde Am Cm×m es un Hermiciano matriz definida positiva y xm, bm • Cm. Deje m0 = m > m1 >. > > ms >. .. > msmin y dejar P s+1 • Cms+1×ms ser una matriz de rango completo dada para cualquier s. Por último, vamos a denotar por Vs una clase de métodos iterativos para sistemas lineales de dimensión ms. Según [11], el método algebraico de dos granos (TGM) es un método iterativo cuyo paso genérico se define como sigue. xouts = T GM(s, xins, bs) xpres = V s,pre(x) s ) Iteraciones antes de suavizar rs = Asx s − bs rs+1 = P s+1rs As+1 = P s+1As(P Resuelve As+1ys+1 = rs+1 = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x − (P ss+1)Hys+1 Corrección exacta de la cuadrícula gruesa xouts = V /post s,post(xás) iteraciones posteriores a la suavizaciÃ3n donde la dimensión ms se denota en resumen por el subíndice s. En los primeros y últimos pasos, una iteración pre-smoothing y una iteración post-smoothing se aplican respectivamente νpre times y νpost times, de acuerdo con la iterativa elegida método en la clase Vs. Por otra parte, los pasos intermedios definen la llamada exacta Operador de corrección de red gruesa, que depende del operador de proyector considerado P ss+1. La matriz de iteración global del TGM es entonces dada por TGM = V /post s,postCGCsV s,pre, (2.1) CGCs = Is − (P ss+1)HA−1s+1P s+1As As+1 = P s+1As(P H, (2.2) donde Vs,pre y Vs,post, respectivamente, denotan el pre-smoothing y post-smoothing matrices de iteración. 4 C. Tablino Possio Por medio de un procedimiento recursivo, el TGM da lugar a un Multi-Grid Método (MGM): el ciclo V estándar se define como sigue. xouts = MGM(s, xins, bs) si s ≤ smin entonces Resuelve Asx s = bs Solución exacta xpres = V s,pre(x) s ) Iteraciones antes de suavizar rs = Asx s − bs rs+1 = P s+1rs ys+1 = MGM(s+1,0s+1, rs+1) = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x − (P ss+1)Hys+1 Corrección de cuadrícula gruesa xouts = V /post s,post(xás) iteraciones posteriores a la suavizaciÃ3n Observe que en MGM las matrices As+1 = P s+1As(P H son más rentables formado en la llamada fase de configuración con el fin de reducir los costos computacionales. La matriz de iteración global del MGM se puede definir recursivamente como MGMsmin = O • Csmin×smin, MGM = V /post s,post Es − (P ss+1)H (Is+1 −MGMs+1)A−1s+1P ss+1As s,pre, s = smin − 1,.......................................................................................................... Algunas condiciones generales que aseguran la convergencia de una TGM algebraica y MGM se deben a Ruge y Stüben [21]. En adelante, por 2 denotamos la norma euclidiana en Cm y el asociado inducido norma de matriz sobre Cm×m. Si X es positiva definida, â € â € € TM = â € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM Norma euclidiana ponderada por X en Cm y la norma de matriz inducida asociada. Finalmente, si X e Y son matrices ermitañas, entonces la notación X ≤ Y significa que Y − X es no negativo definido. Teorema 2.1 (convergencia TGM [21]). Dejar m0, m1 ser enteros tales que m0 > m1 > 0, dejar que A • Cm0×m0 sea una matriz definida positiva. Que V0 sea una clase de iterativo métodos para sistemas lineales de dimensión m0 y dejar P 1 Cm1×m0 debe ser un total Matriz de rango. Supongamos que existe αpre > 0 y αpost > 0 independiente de m0 Convergencia óptima del ciclo V para matrices DCT-III 5 de tal manera que «V0,pre x+2A ≤ x+2A − αpre+V0,pre x+2AD−1A para cualquier x+ C m0 (2,3a) • V0, puesto x • 2A ≤ • x • 2A − α post • x • 2AD - 1A para cualquier x • C m0 (2.3b) (donde D denota la diagonal principal de A) y que existe γ > 0 independiente de m0 de tal manera que y*Cm1 x- (P 01 )Hyâ > 2D ≤ xâ > 2A para cualquier x â € Cm0. (2.4) Entonces, γ ≥ αpost y TGM0A ≤ 1− αpost/γ 1 + αpre/γ . (2.5) Cabe destacar que en el teorema 2.1 la matriz D de Cm0×m0 puede ser substi- protegida por cualquier Hermitan positivo definida matriz X : claramente la elección X = puedo dar lugar a valiosas simplificaciones [1]. A primera vista, los requisitos de convergencia MGM son más severos desde el las matrices de suavización y iteración del CGC están vinculadas en las mismas desigualdades que se han declarado abajo. Teorema 2.2 (convergencia del MMG [21]). Dejar m0 = m > m1 > m2 >. .. > ms > . .. > msmin y dejar A • Cm×m ser una matriz definida positiva. Dejar P ss+1 • Cms+1×ms ser matrices de rango completo para cualquier nivel s. Suponga que existe ♥pre > 0 y ♥post > 0 de tal manera que V /pres, prex ≤ x + 2A − pre CGCsV s,prex para cualquier x • Cms (2.6a) V /posts, posrx ≤ x x 2A − post CGCsx para cualquier x • Cms (2.6b) ambos para cada s = 0,......, smin − 1, luego ­post ≤ 1 y MGM0A 6 1- • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1 + pre < 1. (2.7) En virtud del Teorema 2.2, la secuencia {x(k)m}kN convergerá a la solución de el sistema lineal Amxm = bm y dentro de una constante reducción de errores no dependiendo sobre m y smin si al menos uno de los dos puntos es independiente de m y smin. Sin embargo, como también se sugiere en [21], las desigualdades (2.6a) y (2.6b) pueden dividirse, respectivamente, como V /pres, prex ≤ x 2A − α V s,prex®AsD−1s As CGCsx2As ≤ γ pre = α/γ (2.8) y V /posts, postx ≤ ≤ x + 2 As − β x CGCs x ≤ 2 As ≤ γ ° x ° post = β/γ (2.9) 6 C. Tablino Possio donde Ds es la parte diagonal de As (de nuevo, el AD −1A-norm no es obligatorio [1] y el A2-norm será considerado en el siguiente) y donde, lo que es más importante, los coeficientes α, β y γ pueden diferir en cada nivel de recursión s desde el paso de (2.8) a (2.6a) y de (2.9) a (2.6b) son puramente algebraicas y no afectan a la prueba del teorema 2.2. Por lo tanto, para probar la convergencia óptima del ciclo V, es posible tener en cuenta las desigualdades V /pres, prex ≤ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + s,prex para cualquier x • Cms (2.10a) V /posts, postx ≤ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + para cualquier x • Cms (2.10b) CGCsx2As ≤ γs para cualquier x • Cms. (2.10c) donde es necesario que αs, βs, γs ≥ 0 para cada s = 0,...., smin − 1 y pre = min 0≤s<smin , post = min 0≤s<smin . (2.11) Nos referimos a (2.10a) como la propiedad pre-smoothing, (2.10b) como el post-smoothing propiedad y (2.10c) como la propiedad de aproximación (véase [21]). Un beneficio evidente al considerar las desigualdades (2.10a)-(2.10c) depende de hecho de que el análisis de las iteraciones suavizantes se distingue de la más difícil análisis del operador del proyector. Además, las propiedades de suavizado MGM (2.10a) y (2.10b) no son nada más que las propiedades de suavizado TGM (2.3a) y (2.3b) con D sustituida por I, de acuerdo con el razonamiento anterior (véase [1]). 3. Métodos de dos redes y multiredes para matrices DCT III Dejar Cm = {Cm Rm×mCm = QmDmQTm} la matriz de coseno uninivel DCT-III álgebra, es decir, el álgebra de matrices que se diagonalizan simultáneamente por el Transformación ortogonal 2− Łj,1 i − 1) j − 1/2) i,j=1 (3.1) con el símbolo Kronecker. Dejar f ser un valor real incluso trigonométrico polinomio de grado k y período 2 Entonces, la matriz DCT III de orden m generada por f se define como Cm(f) = QmDm(f)Q m, Dm(f) = diag1≤j≤m f (j − 1) Claramente, Cm(f) es una matriz de banda simétrica de ancho de banda 2k+1. En lo siguiente: denotamos en breve con Cs = Cms(gs) la matriz DCT III del tamaño ms generado por la función gs. Método algebraico TGM/MGM para matrices DCT III (multinivel) generadas por en [7] se ha propuesto un polinomio trigonométrico incluso de valor real. Aquí, nosotros Convergencia óptima del ciclo V para matrices DCT-III 7 informe brevemente de los resultados pertinentes con respecto al análisis de convergencia de los GRT, el objetivo es demostrar en §4 la convergencia óptima del ciclo V en condiciones adecuadas. De hecho, el operador del proyector P ss+1 es elegido como P ss+1 = T s+1Cs(ps) donde T ss+1 + Rms+1×ms, ms+1 = ms/2, es el operador de corte definido como T ss+1 2 {2i− 1, 2i}, i = 1,...,ms+1, De lo contrario. (3.2) y Cs(ps) es la matriz de coseno DCT-III de tamaño ms generada por un par adecuado polinomio trigonométrico ps. Aquí, el escalado por un factor 1/ 2 se introduce con el fin de normalizar la matriz T ss+1 con respecto a la norma euclidiana. Desde el punto de vista de un algebraico multigrid esta es una opción natural, mientras que en una multigrid geométrica es más natural considerar sólo una escala por 1/2 en el proyector, para obtener un valor medio. El operador de corte desempeña un papel de liderazgo en la preservación tanto de la estructura como de la propiedades espectrales de la matriz proyectada Cs+1: de hecho, garantiza un enlace espectral entre el espacio de las frecuencias de tamaño ms y el espacio correspondiente de frecuencias de tamaño ms+1, de acuerdo con el Lemma siguiente. Lemma 3.1. [7] Que Qs • Rms×ms y T ss+1 • Rms+1×ms se dé como en (3.1) y (3.2) respectivamente. Entonces T ss+1Qs = Qs+1[Φs+1,Φs+1Πs+1], (3.3) donde Φs+1 = diagj=1,...,ms+1 (j − 1) , (3.4a) * + 1 = diagj=1,...,ms+1 − Cos , (3.4b) y Πs+1 • Rms+1×ms+1 es la matriz de permutación (1, 2,...,ms+1) 7→ (1,ms+1,ms+1 − 2,..., 2). Como consecuencia, dejar que As = Cs(fs) sea la matriz DCT-III generada por fs, entonces As+1 = P s+1As(P T = Cs+1(fs+1) donde fs+1(x) = cos (3.5) + cos2 η − x/2 η − x η − x , x â € [0, η]. Por otro lado, se garantiza la convergencia del TGM propuesto en el tamaño ms eligiendo el polinomio de la siguiente manera. 8 C. Tablino Possio Definición 3.2. Let x0 â € [0, η) un cero de la función generadora fs. El polinomio ps es elegido para que p2s(π − x) fs(x) <, (3.6a) p2s(x) + p s( − x) > 0. (3.6b) En el caso especial x0 = η, el requisito (3.6a) se sustituye por el texto siguiente: x→x0= p2s(π − x) fs(x) < â € € TM. (3.7a) Si fs tiene más de un cero en [0, ], entonces ps será el producto de los polinomios el cumplimiento de la condición (3.6a) (o (3.7a)) por cada cero y globalmente afección (3.6b). Es evidente de la definición citada que el polinomio ps debe tener ceros de orden adecuado en cualquier punto de espejo x+0 =  − x0, donde x0 es un ceros de fs. Vale la pena destacar que las condiciones (3.6a) y (3.6b) están en perfecto acuerdo con el caso de otras estructuras tales como , el Toeplitz simétrico y las matrices circulares (véase, por ejemplo, [22, 25]), mientras que la condición (3.7a) es propia del álgebra DCT III y corresponde a un empeoramiento de los requisitos de convergencia. Por otra parte, como se acaba de sugerir en [7], en el caso x0 = 0 la condición (3.6a) también puede se debilitan como x→x0=0 p2s(π − x) fs(x) < â € € TM. 3,8a) Observamos que si fs es un polinomio trigonométrico de grado k, entonces fs puede tener un cero de orden a lo sumo 2k. Si ninguna de las raíces de fs están en η, entonces por (3.6a) la grado de ps tiene que ser menor o igual a k/2». Si η es una de las raíces de fs, a continuación, el grado de ps es menor o igual a (k + 1)/2». Observe también que de (3.5), es fácil obtener los coeficientes de Fourier de fs+1 y por lo tanto las entradas no cero de As+1 = Cs+1(fs+1). Además, podemos obtener el raíces de fs+1 y sus órdenes mediante el conocimiento de las raíces de fs y sus órdenes. Lemma 3.3. [7] Si 0 ≤ x0 ≤ η/2 es un cero de fs, entonces por (3.6a), ps(π − x0) = 0 y por lo tanto por (3.5), fs+1(2x) 0) = 0, es decir, y0 = 2x0 es un cero de fs+1. Además, porque ps(π − x0) = 0, por (3.6b), ps(x0) > 0 y por lo tanto los órdenes de x0 e y0 son lo mismo. Similarmente, η/2 ≤ x0 < η, entonces y0 = 2(η − x0) es una raíz de fs+1 con el mismo orden que x0. Finalmente, si x0 = , entonces y0 = 0 con orden es igual a la orden de x0 más dos. En [7] el método Richardson ha sido considerado como la opción más natural para la iteración suavizante, desde la matriz de iteración correspondiente Vm := Im − Cm×m pertenece al álgebra DCT-III, también. Otras observaciones sobre este tema un tipo de suavizado iteraciones y la afinación del parámetro [25, 2]. Convergencia óptima del ciclo V para matrices DCT-III 9 Teorema 3.4. [7] Dejar Am0 = Cm0(f0) con f0 siendo un trigonométrico no negativo polinomio y dejar que Vm0 = Im0 − Am0 con • = 2/f0 y • = 1/f0, respectivamente para la iteración previa y posterior a la iteración. Entonces, bajo los supuestos y definiciones citados, las desigualdades (2.3a), (2.3b), y (2.4) mantener la verdad y el TGM propuesto converge linealmente. Aquí, podría ser interesante volver a algunos pasos clave en la prueba de el citado Teorema 3.4 con el fin de destacar la estructura con respecto a cualquier punto y su punto espejo de acuerdo con las anotaciones consideradas. Al referirse a una técnica de prueba desarrollada en [22], se obtiene la tesis alegada al demostrar que el lado derecho de las desigualdades γ ≥ 1 ds(x) η − x p2s(π − x) fs(x) , (3.9a) γ ≥ 1 ds(x) η − x p2s(π − x) fs(x) + cos2 ) p2s(x) fs(π − x) , (3.9b) ds(x) = cos p2s(x) + cos η − x p2s(π − x) (3,9c) están unidos uniformemente en todo el dominio de modo que γ es una constante universal. Es evidente que (3.9a) está implícito en (3.9b). Por otra parte, ambos términos en (3.9b) y en ds(x) se pueden intercambiar entre sí, hasta el cambio de variable y = π − x. Por lo tanto, si x0 6= η es evidente que la definición 3.2 asegura el uniforme requerido límites desde la condición p2s(x) + p s( − x) > 0 implica ds(x) > 0. En el caso de x0 = η, la desigualdad (3.9b) puede ser reescrita como γ ≥ 1 p2s(x) p2s(π − x) p2s(π − x) fs(x) p2s(x) fs(π − x) (3.10) así que motivar el caso especial en la definición 3.2. 4. Convergencia óptima del ciclo V En esta sección proponemos una modificación adecuada de la definición 3.2 con respecto a la elección del polinomio involucrado en el proyector, que nos permite demostrar la convergencia óptima del ciclo V según la verificación de las desigualdades (2.10a)-(2.10c) y el requisito (2.11). Vale la pena destacar que las propiedades de suavizado MGM no requieren un verdadero verificación, ya que (2.10a) y (2.10b) son exactamente las propiedades de suavizado TGM (2.3a) y (2.3b) (con D = I). Proposición 4.1. Let As = Cms(fs) para cualquier s = 0,...., smin, con fs ≥ 0, y Vamos a ser tal que 0 <.»s ≤ 2/fs. Si elegimos αs y βs tales que αs ≤ 10 C. Tablino Possio فارسىsmin 2, (2-)(1−)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()( y βs 6+s(2 − sfs) a continuación para cualquier x â € TM Cm las desigualdades •Vs,pre x+2As ≤ •x • − αs â € TM ~ Vs,pre xâ € ~ 2As (4.1) Vs, puesto x ≤ 2 As ≤ × x × - βs x 2As (4.2) Mantente fiel. Note, por ejemplo, que la mejor unión a βs es dada por 1/fs y es obtenido mediante la toma de s = 1/fs [25, 2]. En cuanto al análisis de la condición de aproximación (2.10c) consideramos aquí el caso de una función generadora f0 con un único cero en x 0. En tal caso, la elección del polinomio en el proyector es más severa con respecto al caso de TGM. Definición 4.2. Let x0 â € [0, η) un cero de la función generadora fs. El polinomio ps se elige de tal manera que ps(π − x) fs(x) <, (4.3a) p2s(x) + p s( − x) > 0. (4.3b) En el caso especial x0 = η, el requisito (4.3a) se sustituye por el texto siguiente: x→x0= ps(π − x) fs(x) < â € € TM. (4.4a) Note también que en el caso especial x0 = 0 el requisito (4.3a) puede ser debilitado x→x0=0 ps(π − x) fs(x) < â € € TM. (4.5a) Proposición 4.3. Let As = Cms(fs) para cualquier s = 0,...., smin, con fs ≥ 0. Vamos. P ss+1 = T s+1Cs(ps), donde ps(x) cumple (4.3a) (o (4.4a)) y (4.3b). Entonces, para cualquier s = 0,...., smin − 1, existe γs > 0 independiente de ms tal que CGCsx2As ≤ γs para cualquier x • Cms, (4.6) donde los CGCs se definen como en (2.2). Prueba. Desde CGCs = Is − (P ss+1)T (P ss+1As(P ss+1)T )−1P ss+1As es un proyector unitario, sostiene que CGCTs As CGCs = As CGCs. Por lo tanto, el la desigualdad objetivo (4.6) se puede simplificar y simetría, dando lugar a la matriz desigualdad CûGCs = Is −A1/2s (P ss+1)T (P ss+1As(P ss+1)T )−1P ss+1A1/2s ≤ γsAs. (4.7) Convergencia óptima del ciclo V para matrices DCT-III 11 Por lo tanto, invocando Lemma 3.1, los QTs CūGCsQs pueden ser permutados en un bloque de 2 × 2 matriz diagonal cuyo bloque jth, j = 1,...,ms+1, es dada por la matriz de rango-1 (véase [8] para el caso análogo c2j + s c2j cjsj cjsj s donde cj = cos p2f(x j ) sj = − cos η − x[ms]j p2f( − x[ms]j ). Como en la prueba de la convergencia TGM, debido a la continuidad de fs y ps, (4.7) se demuestra si el lado derecho en las desigualdades dсs(x) η − x p2sfs(π − x) fs(x) (4.8a) dсs(x) η − x p2sfs(π − x) fs(x) + cos2 ) p2sfs(x) fs(π − x) (4,8b) dūs(x) = cos p2sfs(x) + cos η − x p2sf(π − x) (4,8c) están unidos uniformemente en todo el dominio de modo que γs son constantes universales. Una vez más, es evidente que (4.8a) está implícito en (4.8b). Por otra parte, ambos términos en 4,8b) y en dūs(x) pueden intercambiarse entre sí, hasta el cambio de la variable y = π − x. Por lo tanto, si x0 6= η, 4,8b) puede ser reescrito como dáños(x) η − x p2s(π − x) f2s (x) + cos2 ) p2s(x) f2s (π − x) (4.9) donde dÃ3s(x) = cos ) p2s(x) fs(π − x) + cos2 η − x p2s(π − x) fs(x) de modo que la definición 4.2 garantice el nivel de uniformidad requerido. En el caso de x0 = η, la desigualdad (4.8b) puede ser reescrita como p2s(x) fs(π − x) p2s(π − x) fs(x) p2s(π − x) f2s (x) p2s(x) f2s (π − x) (4.10) así que motivar el caso especial en la definición 4.2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 12 C. Tablino Possio Observación 4.4. Nótese que en el caso de las iteraciones previas a la suavización y bajo el suposición Vs, pre nonsingular, la condición de aproximación CGCsV /pres,prex ≤ γs V /pres,prex para cualquier x • Cms, (4.11) es equivalente a la condición, en forma de matriz, de CūGCs ≤ γsAs obtenida en Propo- Situación 4.3. En las Proposiciones 4.1 y 4.3 hemos obtenido que para cada s (independientemente de m = m0) las constantes αs, βs y γs son valores absolutos no dependiendo de m = m0, pero sólo dependiendo de las funciones fs y ps. Sin embargo, con el fin de demostrar la convergencia óptima MGM de acuerdo con Teorema 2.2, debemos verificar al menos una entre las siguientes condiciones inf–min [1]: pre = inf 0≤s≤log2(m0) > 0, post = inf 0≤s≤log2(m0) > 0. (4.12) En primer lugar, consideramos el requisito de inf-min (4.12) analizando el caso de un gen- función de borrado fœ0 con un único cero en x 0 = 0. Cabe destacar que, en tal caso, la matriz DCT-III Ãm0 = Cm0(f gular ya que 0 pertenece al conjunto de puntos de cuadrícula x j = (j − 1)η/m0, j = 1,...,m0. Por lo tanto, la matriz Ãm0 se sustituye por Am0 = Cm0(f0) = Cm0(f con e = [1,............................................................................................................................................................................................................................................................ Corrección por estiramiento [29]. Equivalentemente, la función generadora se sustituye por la siguiente: f0 = f­0 + f­0 1 +2ηZ > 0, (4.13) donde χX es la función característica del conjunto X y w 1 = x 0 = 0. En Lemma 4.5 se informa de la ley a la que se someten las funciones generadoras en los niveles más gruesos. Con respecto a este objetivo, es útil considerar lo siguiente: resultado de la factorización: dejar que f ≥ 0 sea un polinomio trigonométrico con un único cero en x0 del orden 2q. Entonces, existe un polinomio trigonométrico positivo tal que f(x) = [1− cos(x− x0)]q (x). (4.14) Observe también que, según Lemma 3.3, la ubicación del cero nunca se desplaza a los niveles siguientes. Lemma 4.5. Let f0(x) = fœ0(x) + c0χ2πZ(x), con fœ0(x) = [1− cos(x)]q­0(x), q siendo un número entero positivo y +0 siendo un polinomio trigonométrico positivo y con c0 = fœ0 . Let ps(x) = [1+cos(x)] q para cualquier s = 0,...., smin− 1. Entonces, bajo las mismas suposiciones de Lemma 3.1, cada función generadora fs es dada por fs(x) = fûs(x) + csχ2πZ(x), fûs(x) = [1− cos(x)]qûs(x). Convergencia óptima del ciclo V para matrices DCT-III 13 Las secuencias s} y {cs} se definen como • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • s(0), s = 0,...., smin − 1, donde Φq,p es un operador tal que [Φq,p(­)] (x) = (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l)) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) () (l) (l) (l) (l) (l) (l) () (l) (l) () (l) () (l) (l) () ) () (l) (l) (l) () ) () () () () () () () () () () ) () () () () () () () () ) ) () () () () + (­p­) η − x , (4.15) con (x) = 1 + cos(x). Por otra parte, cada fûs es un polinomio trigonométrico que desaparece sólo a 2ηZ con el mismo orden 2q que fœ0. Prueba. La reclamación es consecuencia directa de Lemma 3.1. Por otra parte, desde el func- es positivo por suposición, lo mismo es cierto para cada función. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. A continuación, hacemos uso de las siguientes anotaciones: para una función dada f, nosotros escribirá Mf = supx f, mf = infx f y (f) = Mf/mf. Ahora, si x â ¬ (0, 2η) podemos dar un límite superior para el lado izquierdo R(x) en (4.9), ya que sostiene que R(x) = p2s(x) f2s (π − x) p2s(π − x) f2s (x) p2s(x) fs(π − x) p2s(π − x) fs(x) 2 ° ° ° ° − x ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° •2s(x) ps(x) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ps(π − x) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ≤ M ps(x) + cos2 ps(π − x) ≤ M podemos considerar γs = Más/m . En el caso x = 0, ya que ps(0) = 0, se mantiene R(0) = 1/fs(l), de modo que también tenemos que requerir 1/fs(l) ≤ γs. Sin embargo, desde 1/fs(η) ≤Mós/m2ós, tomamos γ s =Más/m como el mejor valor. En (2.9), al elegir s = fs1, simplemente encontramos s = fs1 ≥ 1/(2qMs) y como consecuencia, obtenemos 2qMÃ3s 2qμ2°() . (4.16) Una relación similar se puede encontrar en el caso de una iteración previa a la amortiguación. Nunca... menos, ya que es suficiente para probar uno entre las condiciones de inf-min, nos centramos en a la atención a condición (4.16). Por lo tanto, para hacer cumplir la condición de inf-min (4.12), es suficiente para probar la existencia de una constante absoluta L tal que (s) 6 L < uniformemente con el fin de deducir que «MGM0»A0 6 1− (2qL2)−1 < 1. 14 C. Tablino Possio Proposición 4.6. Bajo las mismas suposiciones de Lemma 4.5, definamos s = [Φps,q] s(­) para cada s(­) N, donde Φp,q es el operador lineal definido como en (4.15). Entonces, existe un polinomio positivo de grado q tal que s uniformemente convergen a, y por otra parte existe un número real L positivo tal que 6 L para cualquier s N. Prueba. Debido a la periodicidad y a las expansiones coseno de todos los involucrados funciones, el operador Φq,p en (4.15) puede ser reescrito como [Φq,p(­)] (x) = (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l)) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) () (l) (l) (l) (l) (l) (l) () (l) (l) () (l) () (l) (l) () ) () (l) (l) (l) () ) () () () () () () () () () () ) () () () () () () () () ) ) () () () () + (­p­) . (4.17) La representación de Φq,p en la base de Fourier (ver Proposición 4.8 en [1]) conduce a un operador de Rm(q) a Rm(q), m(q) constante adecuada dependiendo sólo de q, que es idéntico a la matriz no negativa irreductible q en la ecuación (4.14) de [1], con q + 1 en lugar de q. En consecuencia, la tesis alegada se refiere al Perron-Frobenius. teorema [15, 30] según la misma técnica de prueba considerada en [1]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por último, teniendo en cuenta todos los resultados anteriores, podemos reclamar el optimalidad de la MGM propuesta. Teorema 4.7. Que fœ0 sea un polinomio trigonométrico incluso no negativo que desaparece en 0 con orden 2q. Deje m0 = m > m1 >. . > ms >. .. > msmin, ms+1 = ms/2. Por cualquier s = 0,...,msmin−1, dejar que P ss+1 sea como en la Proposición 4.3 con ps(x) = [1+cos(x)]q, y dejar que Vs, post = Ims − Ams/fs. Si fijamos Am0 = Cm0(fœ0 + c0χ2ηZ) con c0 = fœ0(w 2 ) y consideramos b • Cm0, a continuación, el MGM (ciclo V estándar ) Converge a la solución de Am0x = b y es óptima (en el sentido de la definición 1.1). Prueba. De acuerdo con las suposiciones citadas, se sostiene que fœ0(x) = [1− cos(x)]q ­0(x) para algunos polinomios positivos 0(x). Por lo tanto, es suficiente observar que el la convergencia óptima de MGM como se indica en el Teorema 2.2 está implícita por el inf-min condición (4.12). Gracias a (4.16), este último está garantizado si las cantidades (s) están limitada uniformemente y esto es cierto de acuerdo con la Proposición 4.6. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora, consideramos el caso de una función generadora f0 con un cero único en x0 = η, esto es particularmente importante en las aplicaciones desde la discretización de ciertas ecuaciones integrales conduce a matrices que pertenecen a esta clase. Por ejemplo, la restauración de la señal conduce al caso de f0(l) = 0, mientras que para la super-resolución problema y restauración de la imagen f0(l, η) = 0 se encuentra [5]. En virtud de Lemma 3.3 simplemente tenemos que la función generadora f1 relacionado a la primera matriz proyectada se desvanece exclusivamente en 0, es decir. en el primer nivel de la MGM proyecta un problema integral discretizado, en otro que es espectralmente y Equivalente estructuralmente a un problema diferencial discontinuo. Con respecto a la convergencia óptima, tenemos que Teorema 2.2 es cierto con ♥ = min0, ya que los resultados de ♥ a ser una constante e independiente de m0. Convergencia óptima del ciclo V para matrices DCT-III 15 Más precisamente, Ł0 está directamente relacionado con el nivel más fino y es dado por el condición inf-min del problema diferencial obtenido en los niveles más gruesos. Los último valor constante se ha mostrado anteriormente, mientras que el primero se puede probar como a continuación: estamos tratando con f0(x) = (1+cos(x)) qâ € 0(x) y de acuerdo con la definición 4.2 elegimos pœ0(x) = p0(x) + d0χ2γZ con p0(x) = (1 + cos(x)) q+1 y d0 = Por lo tanto, se obtiene un límite superior para el lado izquierdo Rū(x) en (4.10) como R(x) ≤ i.e. podemos considerar γ0 = MÃ3r0/m y de modo que un valor ­0 independiente de m0 es Lo encontré. 5. Experimentos numéricos A partir de ahora, damos pruebas numéricas de las propiedades de convergencia reclamadas en las secciones anteriores, tanto en el caso de la propuesta TGM como de la MGM (estándar Ciclo V), para dos tipos de sistemas DCT-III con funciones generadoras que tienen cero a 0 (problemas de tipo diferencial) y a η (problemas de tipo integrado). Los proyectores P ss+1 se eligen como se describe en el §3 en el §4 y el Las iteraciones se utilizan dos veces en cada iteración con: respectivamente. El procedimiento iterativo se realiza hasta la norma euclidiana del residuo relativo en la dimensión m0 es superior a 10 −7. Además, en el ciclo V, la solución exacta del sistema se encuentra por un solucionador directo cuando la cuadrícula gruesa dimensión igual a 16 (162 en los ensayos adicionales de dos niveles). 5.1. Caso x0 = 0 (problemas de tipo diferencial) En primer lugar, consideramos el caso Am = Cm(f0) con f0(x) = [2 − 2 cos(x)]q, es decir. con una cero único a x0 = 0 del orden 2q. Como se señaló anteriormente, la matriz Cm(f0) es singular, por lo que la solución de se considera el sistema corregido de rango-1, cuya matriz es dada por Cm(f0) + (f0(l/m)/m)ee T, con e = [1,..., 1]T. Desde la posición del cero x0 = 0 en la los niveles más gruesos nunca se desplazan, entonces la función ps(x) = [2− 2 cos( los proyectores son los mismos en todos los niveles posteriores s. Para probar la convergencia lineal TGM/MGM con velocidad independientemente del tamaño m0 probado para diferentes r: de acuerdo con (3.6a), debemos elegir r al menos igual a 1 si q = 1 y al menos igual a 2 si q = 2, 3, mientras que de acuerdo con (4.3a) siempre debemos elegir r igual a q. Los resultados se presentan en la Tabla 1. Mediante el uso de argumentos tensores, los resultados anteriores se extienden claramente al multinivel caso. En la Tabla 2 consideramos el caso de la función generadora f0(x, y) = f0(x) + f0(y), que surge en la diferencia finita uniforme discretización de la constante elíptica coeficiente de ecuaciones diferenciales en un cuadrado con condiciones de frontera Neumann, Véase, por ejemplo, [24]. 16 C. Tablino Possio Cuadro 1 Twogrid/Multigrid - 1D Caso: f0(x) = [2 − 2 cos(x)]q y p(x) = [2− 2 cos( − x)]r. q = 1 q = 2 q = 3 m0 r = 1 r = 1 r = 2 r = 2 r = 3 16 7 15 13 34 32 32 7 16 15 35 34 64 7 16 16 35 35 128 7 16 16 35 35 256 7 16 16 35 35 512 7 16 16 35 35 q = 1 q = 2 q = 3 m0 r = 1 r = 1 r = 2 r = 2 r = 3 16 1 1 1 1 1 32 7 16 15 34 32 64 7 17 16 35 34 128 7 18 16 35 35 256 7 18 16 35 35 512 7 18 16 35 35 Cuadro 2 Twogrid/Multigrid - 2D Caso: f0(x, y) = [2 − 2 cos(x)]q + [2 − 2 cos(y)]q y p(x, y) = [2 − 2 cos( [2− 2 cos( − y)]r. q = 1 q = 2 q = 3 m0 r = 1 r = 1 r = 2 r = 2 r = 3 162 15 34 30 – – 322 16 36 35 71 67 642 16 36 36 74 73 1282 16 36 36 74 73 2562 16 36 36 74 73 5122 16 36 36 74 73 q = 1 q = 2 q = 3 m0 r = 1 r = 1 r = 2 r = 2 r = 3 162 1 1 1 1 1 322 16 36 35 71 67 642 16 36 36 74 73 1282 16 36 36 74 73 2562 16 37 36 74 73 5122 16 37 36 74 73 5.2. Caso x0 = η (problemas de tipo integrador) Matrices DCT III Am0 = Cm0(f0) cuya función generadora muestra un cero único at x0 =  se encuentran en la resolución de ecuaciones integrales, por ejemplo en la imagen problemas de restauración con Neumann (reflejando) condiciones límite [18]. De acuerdo con Lemma 3.3, si x0 = η, entonces la función generadora f1 de la más gruesa matriz Am1 = Cm1(f1), m1 = m0/2 tiene un cero único en 0, cuyo orden es igual a el orden de x0 = η con respecto a f0 más dos. Cabe destacar que, en tal caso, el proyector en el primer nivel es tan singular que que se considera su corrección de rango-1 Strang. Esta elección da lugar a una forma a la corrección de rango-1 considerada en §5.1. Por otra parte, a partir de la segunda nivel más grueso, la nueva ubicación del cero nunca se cambia de 0. En la Tabla 3 se reportan los resultados numéricos tanto en el uninivel como en dos niveles. caso. 6. Costes computacionales y conclusiones Se requieren algunas observaciones sobre los costos computacionales para resaltar la optimización del procedimiento propuesto. Convergencia óptima del ciclo V para matrices DCT-III 17 Cuadro 3 Twogrid/Multigrid - 1D Caso: f0(x) = 2+2 cos(x) y p0(x) = 2 − 2 cos( − x) y 2D Caso: f0(x, y) = 4 + 2 cos(x) + 2 cos(y) y p0(x, y) = 4− 2 cos( 1D TGM MGM 16 15 1 32 14 14 64 12 13 128 11 13 256 10 12 512 8 10 2D TGM MGM 162 7 1 322 7 7 642 7 7 1282 7 6 2562 7 6 5122 7 6 Puesto que la matriz Cms(p) aparece en la definición de P s+1 está anillado, el costo de un producto vectorial de matriz que implica P ss+1 es O(ms). Por lo tanto, la primera condición en la definición 1.1 se cumple. Además, note que las matrices en todos los niveles (excepto el más grueso) nunca se forman ya que sólo necesitamos almacenar el O(1) coeficientes de Fourier no cero de la función generadora relacionada en cada nivel para Multiplicaciones matriz-vector. Por lo tanto, los requisitos de memoria también son muy bajos. Con respecto a la segunda condición de la definición 1.1, destacamos que la La envío de Ams+1 = Cms+1(fs+1) puede obtenerse formalmente en operaciones O(1) en virtud de (3.5). Además, se obtienen las raíces de fs+1 y sus órdenes de acuerdo con Lemma 3.3 por conocer las raíces de fs y sus órdenes. Por último, cada uno iteración de los costes de TGM O(m0) operaciones como Am0 se marca. En conclusión, cada uno iteración de la TGM propuesta requiere O(m0) operaciones. Con respecto a la MGM, se alcanza la optimalidad ya que hemos demostrado que existe Es independiente tanto de m como de smin, por lo que el número de iteraciones requeridas resultados unidos uniformemente por una constante independientemente del tamaño del problema. En addi- ciones, ya que cada iteración tiene un coste computacional proporcional a la matriz-vector producto, Definición 1.1 establece que tal tipo de MGM es óptimo. Como conclusión, observamos que las pruebas numéricas reportadas en el §5 muestran que los requisitos del orden de cero en el proyector podrían debilitarse. Futuro los trabajos se ocuparán de este tema y de la extensión del análisis de convergencia en el caso de una ubicación general de los ceros de la función generadora. Bibliografía [1] A. Aricò, M. Donatelli, S. Serra-Capizzano, V-ciclo óptima convergencia para ciertos Sistemas lineales estructurados (multiniveles). SIAM J. Matrix Anal. Appl. 26 (2004), No. 1, 186–214. [2] A. Aricò, M. Donatelli, Un ciclo en V Multigrid para álgebras de matriz multinivel: prueba de optimalidad. Numer. Matemáticas. 105 (2007), no. 4, 511-547 (DOI 10.1007/s00211-006-0049- 18 C. Tablino Possio [3] O. Axelsson, M. Neytcheva, Los métodos de iteración multinivel algebraica — teoría y aplicaciones. En las Actas del Segundo Coloquio Internacional sobre Números Análisis (Plovdiv, 1993), 13 a 23, VSP, 1994. [4] R.H. Chan, T.F. Chan, C. 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Tablino Possio Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università di Milano Bicocca, via Cozzi 53 20125 Milano Italia Correo electrónico: cristina.tablinopossio@unimib.it 1. Introducción 2. Métodos de dos redes y de varias redes 3. Métodos de dos redes y multiredes para matrices DCT III 4. Convergencia óptima del ciclo V 5. Experimentos numéricos 5.1. Caso x0=0 (problemas de tipo diferencial) 5.2. Caso x0= (problemas de tipo integrador) 6. Costes computacionales y conclusiones Bibliografía

Improved Measurement of the Positive Muon Lifetime and Determination of the Fermi Constant

Medición mejorada de la vida útil del muón positivo y Determinación de la Constante de Fermi D.B. Chitwood,1 T.I. Banks,2 M.J. Barnes,3 S. Battu,4 R.M. Carey,5 S. Cheekatmalla,4 S.M. Clayton,1 J. Crnkovic,1 K.M. Crowe, 2 P.T. Debevec,1 S. Dhamija,4 W. Earle,5 A. Gafarov,5 K. Giovanetti,6 T.P. Gorringe,4 F.E. Gris,1,2 M. Hance,5 D.W. Hertzog,1 M.F. Hare,5 P. Kammel,1 B. Kiburg,1 J. Kunkle,1 B. Lauss,2 I. Logashenko,5 K.R. Lynch,5 R. McNabb,1 J.P. Miller,5 F. Mulhauser,1 C.J.G. Onderwater,1, 7 C.S. Özben,1 Q. Peng,5 C.C. Polly,1 S. Rath,4 B.L. Roberts, 5 V. Tishchenko, 4 G.D. Espera, 3 J. Wasserman, 5 D.M. Webber, 1 P. Winter, 1 P.A. Oo lnierczuk4 (Colaboración MuLan) Departamento de Física, Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, Urbana, IL 61801, EE.UU. Departamento de Física, Universidad de California, Berkeley, CA 94720, EE.UU. TRIUMF, Vancouver, BC, V6T 2A3, Canadá Departamento de Física y Astronomía, Universidad de Kentucky, Lexington, KY 40506, EE.UU. Departamento de Física, Universidad de Boston, Boston, MA 02215, EE.UU. Departamento de Física, Universidad James Madison, Harrisonburg, VA 22807, EE.UU. Kernfysisch Versneller Instituut, Universidad de Groningen, NL 9747 AA Groningen, Países Bajos La vida media del muón positivo se ha medido con una precisión de 11 ppm utilizando un energía, haz de muones pulsado se detuvo en un objetivo ferromagnético, que estaba rodeado por un centelleador Detector de la matriz. El resultado, = 2.197 013(24) μs, está en excelente acuerdo con el mundo anterior promedio. El nuevo promedio mundial = 2.197 019(21) μs determina la constante Fermi GF = 1.166 371(6)× 10-5 GeV−2 (5 ppm). Además, la medición de precisión del muón positivo se necesita vida útil para determinar el acoplamiento pseudoescalario nucleón gP. El poder predictivo del modelo estándar se basa en mediciones de precisión de sus parámetros de entrada. Impres... ejemplo de la constante de la estructura fina [1], el Masa Z [2] y constante de Fermi [3], con relación precisións de 0,0007, 23 y 9 ppm, respectivamente. La constante Fermi GF está relacionada [3] con el electrodebil Acoplamiento de gálibo g por (1 + r), (1) en el que Łr representa el nivel arbóreo mediado por el bosón débil y las correcciones radiativas, que se han calculado segundo orden [4]. Comparación de la constante de Fermi ex- tratado a partir de varias mediciones prueba rigurosamente el universalidad de la fuerza de la interacción débil [5]. La determinación más precisa del GF se basa en el vida media del muón positivo,. Ha sido por mucho tiempo que en la teoría de Fermi, el QED radiative cor- las recciones son finitos al primer orden en GF y a todas las órdenes en la constante de acoplamiento electromagnético, α [6]. Esta pro- forma parte de un marco [3] para la extracción de GF de, 192/93 (1 + q), (2) donde q es la suma del espacio de fase y tanto QED y correcciones radiativas hadrónicas, que se han conocido en el orden más bajo desde la década de 1950 [7]. La relación 2 no depende de las características específicas del electrodébil subyacente modelo. Hasta hace poco, la incertidumbre sobre la extracción de GF de fue limitado por la incertidumbre en la QED de orden superior correcciones, en lugar de medirlas. En 1999, van Ritbergen y Stuart calculan el segundo pedido Las correcciones de QED [3] redujeron el valor teórico relativo no- seguridad en la determinación de GF a menos de 0,3 ppm. La incertidumbre dominante es actualmente de, que motiva este trabajo. Mientras que el objetivo final de nuestra experiencia... Es una incertidumbre de 1 ppm sobre, informamos aquí una re- sulf con una precisión de 11 ppm-2,5 veces mejor que cualquier medición anterior [8], basada en los datos obtenidos en 2004, el período de puesta en marcha. El diseño experimental es conceptualmente simple. Lon... Muones polarizados gitudinalmente de la línea de haz ηE3 a el Instituto Paul Scherrer se detiene en un ferro delgado- objetivo magnético. Un interruptor rápido impone un ciclo en el haz continuo, constituido por un haz de 5 μs período de acumulación de muón detenido, TA, seguido de una Período de medición del haz de 22 μs, TM. El muón se detectan positrones de desintegración en una matriz de centelleadores que rodea el objetivo. Un espectro de tiempo de desintegración para un sub- el conjunto de los detectores se muestra en la Fig. 1. Antecedentes nivel es indicativo de la “extinción” del haz durante TM, causada por el pateador. La línea de viga está sintonizada para transportar 28.8 muones MeV/c de los piones que decaen en reposo cerca de la superficie de la objetivo de producción. Dos curvas de 60 grados opuestos levantan la haz desde el nivel del suelo hasta la zona experimental, donde se dirige paralelamente al eje óptico a través de un ~E × ~B Separador de velocidad que elimina la contaminación e+. Los muones continúan sin ser defraudados a través de la (sin carga) Kicker y se centran en una altura de 1,2 cm por 6,5 cm de ancho apertura. El pateador activado (cargado) induce un Deflexión vertical de 36 mrad, que hace que la viga a http://arxiv.org/abs/0704.1981v2 Tiempo relativo a la transición de Kicker [ns] -5000 0 5000 10000 15000 20000 Nivel de antecedentes Período de medición Período de acumulación Tiempo [ct] 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 FIG. 1: Datos de un subconjunto de los detectores MuLan, ilus- la transformación de los períodos de acumulación y medición y la los antecedentes causados principalmente por la extinción incompleta. El ajuste región utilizada para todo el conjunto de datos se indica como un rojo grueso línea. Los residuos divididos por su incertidumbre (es decir, en las desviaciones de dard) se muestran en el panel de entrada superior. estar bloqueado en la abertura. En 2004, el promedio de La tasa de muones pateados se limitó a 2 MHz; aproximadamente 10 muones fueron acumulados por ciclo, de los cuales 4 re- mained indecayed cuando TM comenzó. El pateador se describe en detalle en Ref. [9]. Brevemente, consta de dos pares de placas de electrodos sesgadas a pro- producir una diferencia potencial de hasta VK = 25 kV, con un terreno virtual en el medio del avión. Moduladores, utilizando MOSFETs conectados en serie que funcionan en modo push-pull, cargar o descargar las placas. En 2004, un sistema parcial ha alcanzado una extinción media del haz de • = 260 con una Tiempo de conmutación de 60 ns [10]. Durante TM, VK cambió por menos de 0,25 V. Una dependencia temporal de VK a este nivel, junto con una extinción dependiente de la tensión, da lugar a a un error sistemático de 3,5 ppm en la vida útil del muón. La correlación paridad-violación entre el muón orientación de giro y la dirección de emisión de su de- cay positron puede conducir a un cambio sistemático en el ex- vida útil, por las siguientes razones: Suponga de- el tector A en la posición (el, el) cuenta positrones a la tasa ~Pμ) exp(−t/), donde ~Pμ es la polarización de la Detuvieron a los muones. Si ~Pμ varía con el tiempo debido a la relajación sión o rotación de giro causada por campos magnéticos, así lo hará ~Pμ). Una variación temporal que es larga en comparación con se manifestará como una distorsión no observada a la vida útil del detector. El sistema relacionado con los giros... la incertidumbre ática en se minimiza a través de ambos detectores simetría y elección del objetivo: los detectores de positrones son dispuestos como una bola simétrica que cubre un gran ángulo sólido, y todos los detectores A en la posición (el, el) se refleja por un- otros detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores. En la medida en que: los pares detectores tienen la misma aceptación geométrica FIG. 2: Diagrama del experimento con varios detectores el- Ementos eliminados. Los muones entran a través de la vac- uum ventana y atravesar el EMC y una bolsa de helio (no antes de detenerse en el objetivo AK-3. Positrones en descomposición son registrados por la coincidencia de centelleadores internos y externos en un segmento triangular; los centelleadores exteriores son visibles. Se muestran dos trayectorias de desintegración de ejemplo. y la eficiencia NA • NA(~Pμ)+N®(~Pμ) es independiente del valor de ~Pμ, y por lo tanto también su variación del tiempo. Por último, un objetivo que posee un alto campo magnético interno se utiliza de tal manera que el período de precesión de la vuelta del muón es . Como se muestra en la Fig. 2, el rayo muón sale de su vac- tubo uum a través de un diámetro de 9,3-cm, de 76 μm de espesor Mylar ventana, luego pasa a través de un fino, de alta velocidad multi-hilo cámara de muón de entrada (EMC), que registra el tiempo y la posición de los muones que entran en el detector. Aproximadamente 1 en 104 muones se detienen en el EMC. Sus giros preceden en el campo de una matriz magnética permanente, que tiene una media Campo transversal de 11 mT en el centro EMC. El terreno orientación se revirtió regularmente a lo largo de los datos tak- ing. La región entre la salida del EMC y el objetivo se extiende por un globo lleno de helio (en lugar de aire) para minimizar las paradas de muones y la dispersión. El objetivo de parada es un diame de 0,5 mm de espesor, 50 cm de diámetro- disco ter de ArnokromeTM III (AK-3) [11], con un campo magnético ternal de aproximadamente 0,4 T, orientado transversal al eje de rotación de muones. La dirección sobre el terreno fue: se invierten a intervalos regulares. Medida específica de μSR- En una muestra de AK-3 se observa una oscilación de 18 ns período con una gran asimetría inicial que se relaja con una constante de tiempo de 14 ns. Estos tiempos son considerablemente menor que el período de acumulación, TA. Usando el dif- espectro de diferencias de los recuentos de los detectores espejo ver- tiempo; por ejemplo, NA, los componentes a más largo plazo son Se ha demostrado que es insignificante. Los positrones de desintegración son registrados por 170 detectores el- ements, cada uno de ellos formado por una capa interior y exterior de Escintillador plástico BC-404 de 3 mm de espesor. Cada triángulo- El centelleador en forma se lee con una guía de luz montado en 90°, que se acopla a una foto de 29 mm- tubo multiplicador (PMT). Los 170 elementos están organizados en grupos de seis y cinco para formar el 20 hexágono y 10 caras pentagonales de un icosaedro truncado (dos plumas se omiten los tagones para la entrada del haz y simétrica salida). La distancia desde el centro de la diana a un... tilator es de 40,5 cm. La aceptación total es del 64%, tomando teniendo en cuenta la reducción de la cobertura geométrica de 70% del rango de positrones y aniquilación en el objetivo y materiales detectores. Una línea de clip reconfigura el ancho natural del pulso PMT hasta una anchura total del 20% como máximo de 9 ns. Estos sig- nals se encaminan a discriminadores de vanguardia que tienen 10 ns anchos de salida. Por término medio, un positron da una señal de 70 fotoelectrones, produciendo una altura de pulso de 400 mV. La toma de datos se dividió al- la más uniforme entre períodos de 80-mV y 200-mV dis- umbrales de criminator. La hora de llegada de un positrón se mide con respecto a la transición de patada por a CAEN V767 128 canales, TDC multihit. Un Agi... sintetizador de frecuencia E4400B prestado, que funciona a imately 190.2 MHz, sirve como el reloj maestro. Su abso- la frecuencia de laúd es exacta a 10-8 y su valor central no ha cambiado a este nivel a lo largo de la carrera. Un reloj de bajada y el sistema de distribución proporciona un 23.75 MHz onda cuadrada como el reloj de entrada para cada TDC. La frecuencia del reloj maestro fue ocultada... en 250 ppm a partir de 190,2 MHz. Los analizadores Añadió una compensación de ajuste a al informar intermedi- Comieron los resultados. Sólo después de que el análisis fue completado fue el frecuencia oscilante exacta revelada, y el desplazamiento de ajuste removido, para obtener la vida. Los datos brutos consisten en tiempos de éxito del centelleador individual para cada ciclo. La transición de patadas define un común (global) t = 0, utilizando la resolución de 1.32 ns proporcionada por las 32 subdivisiones del período del oscilador de entrada TDC. Para evitar problemas con las no linealidades diferenciales en el Circuito de división del período de reloj TDC, ventanas de coincidencia, los tiempos muertos artificiales, y los anchos del cubo del histograma del decaimiento eran siempre establecido en múltiplos enteros de la entrada indivisa período de reloj (42 ns). Acontecimientos se pierden si un positron pasa a través de un detec- tor durante el tiempo muerto impuesto por el software o electrónico después de un suceso registrado en el mismo detector. Con Tasas máximas en detectores individuales de 7 kHz, el “pileup” la probabilidad para un tiempo muerto de 42-ns es < 3 × 10−4. Si no... , esto lleva a un cambio de 67 ppm en el ajuste ted. Pileup se puede alojar mediante la inclusión de un exp(−2t/) término en la función de ajuste, pero esto duplica la incertidumbre sobre el instalado. En su lugar, un artificial espectro de acumulación, construido a partir de impactos secundarios ocurren- anillo en una ventana de tiempo de ancho fijo que se compensa de una primaria, se añade de nuevo al espectro en bruto, por lo tanto restaurar, en promedio, los golpes perdidos. El procedimiento es el siguiente: repetido utilizando una amplia gama de periodos de tiempo muerto artificial y offsets, y los espectros corregidos todos dan consistente De por vida. La incertidumbre sistemática de este procedimiento Dure es 2 ppm. Preliminar se ajusta a los espectros de tiempo de decaimiento utilizando el función N(t) = N0 exp(−t/) + B mostró un estructura en los residuos en los primeros tiempos, independiente de condición experimental o detector. La estructura es causado por un defecto intrínseco en el TDC, que no perder eventos pero puede cambiarlos en el tiempo en ±25 ps. Esto el comportamiento se caracterizó en extensas pruebas de laboratorio utilizando fuentes de ruido blanco y de frecuencia fija, en conjunto con señales que simulan las transiciones kicker. Por una tiempo de inicio adecuado de tstart = 1 μs, la respuesta TDC se establece en un patrón simple que puede ser descrito bien por un modificación del espectro temporal de desintegración por un factor I(t′) = 1 + A cos(2 donde t′ = t − tstart, y con valores típicos de A = 5 × 10−4, TDC = 600 ns, y T = 370 ns. Un espectro de 1011 eventos de ruido blanco se ajustaban a una función constante, modificado por I(t′), logrando una buena χ2 y sin estructura residuos. La función utilizada para adaptarse a los espectros de tiempo de desintegración es N(t′) = I(t′) · [N0 exp(−t′/) + B]. 4) Debido a que la frecuencia del reloj fue cegada durante el anal- ysis, T y TDC en I(t) ′) no se pudo fijar en los ajustes. Con la frecuencia del reloj revelado, estos parámetros son ha demostrado ser coherente con los valores de laboratorio. En una prueba importante de la idoneidad de la Eq. 4, el instalado se encuentra a ser independiente del tiempo de inicio más allá del ajuste el tstart mínimo = 1,05 μs. La incertidumbre sistemática para la respuesta TDC es 1 ppm. Después de la ejecución de 2004, digitalizadores de forma de onda (WFDs) sustituyó al discriminador y a los sistemas de temporización TDC- Tem. Las DMA establecen la estabilidad de la ganancia PMT versus el tiempo durante la TM. Un cambio de ganancia, junto con un Umbral discriminador fijo (como en 2004), aparecerá como una eficiencia dependiente del tiempo. El análisis de la PMT obtener estabilidad en una gama de velocidades instantáneas indi- cates un efecto sistemático de menos de 1,8 ppm en. Una potente prueba de consistencia se realiza agrupando datos de detectores que tienen un ángulo azimutal común (véase la Fig. 2), que se ajusten a cada grupo de forma independiente, y la clasificación los resultados de la vida útil por el cos.......................................................................................................................................................................................................................................................... Para los datos AK-3, la distribución de por vida es plana Cos Ł (χ2/dof = 17.9.19). Para los datos tomados con un 20-cm objetivo de azufre de diámetro, rodeado por un mag- permanente matriz neta, la misma distribución no es plana (χ2/dof = 8.0). La causa en este último caso es una fracción más alta de muones que se pierda el objetivo y se detenga río abajo a lo largo del interior Detector de paredes. El programa SRIM [13] encuentra que el 0,55% de los muones pierden el objetivo de azufre más pequeño, mientras que sólo 0,07% no alcanza el objetivo AK-3. En ambos casos, el 0,11% suf- fer scatters de gran ángulo en el EMC o el backscatter de el objetivo, parando en las paredes del detector aguas arriba. Sim... espectros de desintegración celular para todos los muones “errantes” Parado de la distribución de muones predicho por SRIM y en- la aceptación de elementos del detector, muon inicial po- larización, y la relajación - se utilizaron para determinar la distorsión esperada a la vida. El procedimiento fue el siguiente: probados con un conjunto de datos especiales en el que todos los datos entrantes muones fueron detenidos en una placa de plástico colocada a mitad de camino entre el EMC y el objetivo. La distribución de las vidas con cos fueron reproducidas con éxito. Por el objetivo AK-3, una distorsión tan grande como 1 ppm podría Es de esperar. Sin embargo, un cambio negativo en la gama de 4 − 12 ppm está implícito para el azufre, principalmente debido a la fracción 8 veces mayor de muón aguas abajo se detiene. La incertidumbre sobre una corrección de esta magnitud podría ser tan grande como el 100%, superando los 15 ppm estadísticos precisión de la muestra de datos de azufre. Por lo tanto, elegimos no usar los datos de azufre en nuestros resultados reportados—un deci- sión hecha antes de desencender la frecuencia del reloj—incluso aunque tal corrección traería la vida útil de azufre... tiempo en excelente acuerdo con el encontrado para AK-3. Asignamos de forma conservadora una incertidumbre sistemática de 2 ppm a este procedimiento para el conjunto de datos AK-3. Otras pequeñas incertidumbres sistemáticas se enumeran en Ta- ble I. Los controles de integridad de los datos indican una pequeña fracción de hits (6 × 10−6) que pueden ser duplicados de hits anteriores. Cuando se eliminan los duplicados, se desplaza hacia arriba por 2 ppm. Puesto que el estado de estos golpes es incierto, un corrección de +1 ppm se aplica a con una sistemática incertidumbre de 1 ppm. Un error sistemático de hacer cola Las pérdidas en el buffer de un solo canal de TDC se calculan de manera que ser inferior a 0,7 ppm. El error sistemático de la sincronización cambios inducidos por golpes anteriores en un canal durante el el período de medición es inferior a 0,8 ppm. El resultado final se basa en un ajuste usando Eq. 4 a la 1.8 × 1010 eventos en el espectro AK-3 resumido, dando (MuLan) = 2,197 013(21)(11) μs (11,0 ppm) con una χ2/dof = 452,5/484. El primer error es estadístico y la segunda es la suma de la cuadratura de la sistemática incertidumbres en el cuadro I. En la figura 1 se indica el rango de la región instalada y el conjunto muestran los residuos di- por su incertidumbre en unidades de desviaciones típicas del encajonamiento. La consistencia de se comprobó contra condiciones experimentales, incluido el detector, el umbral, objetivo y la orientación del imán, factor de extinción, pateador Tensión, y número de ejecución. Sólo un subgrupo de carreras en el inicio del período de producción exhibió un anoma- Lous vida en comparación con la suma. Cuando todo corre, en grupos de 10, se ajustan a una constante, una χ2/dof = 108/102 es sugerente de que la fluctuación del subgrupo fue estadística. Nuestra vida útil está en excelente acuerdo con el media mundial, 2,197 03(4) μs, que se basa en cuatro pre- CUADRO I: Incertidumbres sistemáticas. Tamaño de la fuente (ppm) Estabilidad de la extinción 3.5 Corrección en tiempo muerto 2.0 Respuesta de la Comisión de Comercio y Desarrollo 1,0 Ganar estabilidad 1,8 Muon errant se detiene 2.0 Duplicar palabras (+1 ppm shift) 1,0 Pérdida de cola 0,7 Múltiples cambios de tiempo de golpe 0.8 Total 5,2 medidas anteriores [8]. El promedio mundial mejorado es (W.A.) = 2,197 019(21) μs (9,6 ppm). Suponiendo el valor del modelo estándar de la rametro η = 0, y neutrinos ligeros, determina el Fermi constante GF = 1,166 371(6)× 10-5 GeV−2 (5 ppm). En una carta compañera [14], una nueva determinación de la se indica el acoplamiento pseudoescalario inducido gP. Depende. principalmente en una comparación de muón negativo y positivo vidas, esta última cantidad se informa aquí. Reconocemos el generoso apoyo de PSI y la asistencia de sus grupos de aceleradores y detectores. Agradecemos a W. Bertl, J. Blackburn, K. Gabathuler, K. Dieters, J. Doornbos, J. Egger, W.J. Marciano, D. Renker, U. Rohrer, R. Scheuermann, R. G. Stuart y E. Thorsland para debates y asistencia. Esto el trabajo fue apoyado en parte por el Departamento de La energía, la Fundación Nacional de Ciencia de los EE.UU. Fundación John Simon Guggenheim (DWH). [1] G.Gabrielse, D.Hanneke, T.Kinoshita, M.Nio, y B.Odom, Phys. Rev. Lett. 97, 030802 (2006). [2] S. Schael y otros, Phys. Rept. 427, 257 (2006). [3] T. van Ritbergen y R.G. Stuart, Nucl. Phys. B564, 343 (2000); T. van Ritbergen y R. G. Stuart, Phys. Lett. B437, 201 (1998); T. van Ritbergen y R.G. Stuart, Phys. Rev. Lett. 82, 488 (1999). [4] M.Awramik, M. Czakon, A. Freitas, y G.Weiglein, Phys. Rev. D69, 053006 (2004). [5] W.J. Marciano, Phys. Rev. D60, 093006 (1999). [6] S.M. Berman y A. Sirlin, Ann. Phys. 20, 20 (1962). [7] S.M. Berman, Phys. Rev. 112, 267 (1958); T. Kinoshita y A. Sirlin, Phys. Rev. 113, 1652 (1959). [8] G. Bardin et al., Phys. Lett. B137, 135 (1984); K. Gio- vanetti et al., Phys. Rev. D29, 343 (1984); M.P. Balandin et al., Sov. Phys. JETP 40, 811 (1974); y J. Duclos et Al., Phys. Lett. B47, 491 (1973). [9] M.J. Barnes y G.D.Wait, IEEE Trans. Plasma Sci. 32, 1932 (2004); R.B. Armenta, M.J. Barnes, G.D. Espera, Proc. del 15o IEEE Int. Poder pulsado Conf., 13 de junio- 17 2005, Monterey, USA. [10] Usando el sistema completo (cuatro moduladores en lugar de dos), Se obtiene un valor de 800 con un tiempo de conmutación de 45 ns. [11] ArnokromeTM III (AK-3) es una aleación de Co y • 60% Fe. Arnold Engineering Co., Alnico Prod... Ucts Division, 300 N. West Street, Marengo, IL 60152. [12] E. Morenzoni y H. Luetkens, comunicación privada. [13] J.F. Ziegler, J.P. Biersack y U.Littmark, El Detener y alcance de los iones en la materia, Pergamon Press, Nueva York, (2003). [14] Colaboración MuCap: V.A. Andreev et al., Este volumen.

La vida media del muón positivo se ha medido con una precisión de 11 ppm utilizando un haz de muones de baja energía, pulsado, detenido en un objetivo ferromagnético, que estaba rodeado por una matriz de detectores de centelleadores. El resultado, tau_mu = 2.197013(24) nosotros, está en excelente acuerdo con la media mundial anterior. Los nuevo mundo promedio tau_mu = 2.197019(21) nos determina la constante Fermi G_F = 1.166371(6) x 10^-5 GeV^-2 (5 ppm). Además, la medición de precisión de la vida útil del muón positivo es necesaria para determinar el pseudoescalar del nucleón acoplamiento g_P.

Medición mejorada de la vida útil del muón positivo y Determinación de la Constante de Fermi D.B. Chitwood,1 T.I. Banks,2 M.J. Barnes,3 S. Battu,4 R.M. Carey,5 S. Cheekatmalla,4 S.M. Clayton,1 J. Crnkovic,1 K.M. Crowe, 2 P.T. Debevec,1 S. Dhamija,4 W. Earle,5 A. Gafarov,5 K. Giovanetti,6 T.P. Gorringe,4 F.E. Gris,1,2 M. Hance,5 D.W. Hertzog,1 M.F. Hare,5 P. Kammel,1 B. Kiburg,1 J. Kunkle,1 B. Lauss,2 I. Logashenko,5 K.R. Lynch,5 R. McNabb,1 J.P. Miller,5 F. Mulhauser,1 C.J.G. Onderwater,1, 7 C.S. Özben,1 Q. Peng,5 C.C. Polly,1 S. Rath,4 B.L. Roberts, 5 V. Tishchenko, 4 G.D. Espera, 3 J. Wasserman, 5 D.M. Webber, 1 P. Winter, 1 P.A. Oo lnierczuk4 (Colaboración MuLan) Departamento de Física, Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, Urbana, IL 61801, EE.UU. Departamento de Física, Universidad de California, Berkeley, CA 94720, EE.UU. TRIUMF, Vancouver, BC, V6T 2A3, Canadá Departamento de Física y Astronomía, Universidad de Kentucky, Lexington, KY 40506, EE.UU. Departamento de Física, Universidad de Boston, Boston, MA 02215, EE.UU. Departamento de Física, Universidad James Madison, Harrisonburg, VA 22807, EE.UU. Kernfysisch Versneller Instituut, Universidad de Groningen, NL 9747 AA Groningen, Países Bajos La vida media del muón positivo se ha medido con una precisión de 11 ppm utilizando un energía, haz de muones pulsado se detuvo en un objetivo ferromagnético, que estaba rodeado por un centelleador Detector de la matriz. El resultado, = 2.197 013(24) μs, está en excelente acuerdo con el mundo anterior promedio. El nuevo promedio mundial = 2.197 019(21) μs determina la constante Fermi GF = 1.166 371(6)× 10-5 GeV−2 (5 ppm). Además, la medición de precisión del muón positivo se necesita vida útil para determinar el acoplamiento pseudoescalario nucleón gP. El poder predictivo del modelo estándar se basa en mediciones de precisión de sus parámetros de entrada. Impres... ejemplo de la constante de la estructura fina [1], el Masa Z [2] y constante de Fermi [3], con relación precisións de 0,0007, 23 y 9 ppm, respectivamente. La constante Fermi GF está relacionada [3] con el electrodebil Acoplamiento de gálibo g por (1 + r), (1) en el que Łr representa el nivel arbóreo mediado por el bosón débil y las correcciones radiativas, que se han calculado segundo orden [4]. Comparación de la constante de Fermi ex- tratado a partir de varias mediciones prueba rigurosamente el universalidad de la fuerza de la interacción débil [5]. La determinación más precisa del GF se basa en el vida media del muón positivo,. Ha sido por mucho tiempo que en la teoría de Fermi, el QED radiative cor- las recciones son finitos al primer orden en GF y a todas las órdenes en la constante de acoplamiento electromagnético, α [6]. Esta pro- forma parte de un marco [3] para la extracción de GF de, 192/93 (1 + q), (2) donde q es la suma del espacio de fase y tanto QED y correcciones radiativas hadrónicas, que se han conocido en el orden más bajo desde la década de 1950 [7]. La relación 2 no depende de las características específicas del electrodébil subyacente modelo. Hasta hace poco, la incertidumbre sobre la extracción de GF de fue limitado por la incertidumbre en la QED de orden superior correcciones, en lugar de medirlas. En 1999, van Ritbergen y Stuart calculan el segundo pedido Las correcciones de QED [3] redujeron el valor teórico relativo no- seguridad en la determinación de GF a menos de 0,3 ppm. La incertidumbre dominante es actualmente de, que motiva este trabajo. Mientras que el objetivo final de nuestra experiencia... Es una incertidumbre de 1 ppm sobre, informamos aquí una re- sulf con una precisión de 11 ppm-2,5 veces mejor que cualquier medición anterior [8], basada en los datos obtenidos en 2004, el período de puesta en marcha. El diseño experimental es conceptualmente simple. Lon... Muones polarizados gitudinalmente de la línea de haz ηE3 a el Instituto Paul Scherrer se detiene en un ferro delgado- objetivo magnético. Un interruptor rápido impone un ciclo en el haz continuo, constituido por un haz de 5 μs período de acumulación de muón detenido, TA, seguido de una Período de medición del haz de 22 μs, TM. El muón se detectan positrones de desintegración en una matriz de centelleadores que rodea el objetivo. Un espectro de tiempo de desintegración para un sub- el conjunto de los detectores se muestra en la Fig. 1. Antecedentes nivel es indicativo de la “extinción” del haz durante TM, causada por el pateador. La línea de viga está sintonizada para transportar 28.8 muones MeV/c de los piones que decaen en reposo cerca de la superficie de la objetivo de producción. Dos curvas de 60 grados opuestos levantan la haz desde el nivel del suelo hasta la zona experimental, donde se dirige paralelamente al eje óptico a través de un ~E × ~B Separador de velocidad que elimina la contaminación e+. Los muones continúan sin ser defraudados a través de la (sin carga) Kicker y se centran en una altura de 1,2 cm por 6,5 cm de ancho apertura. El pateador activado (cargado) induce un Deflexión vertical de 36 mrad, que hace que la viga a http://arxiv.org/abs/0704.1981v2 Tiempo relativo a la transición de Kicker [ns] -5000 0 5000 10000 15000 20000 Nivel de antecedentes Período de medición Período de acumulación Tiempo [ct] 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 FIG. 1: Datos de un subconjunto de los detectores MuLan, ilus- la transformación de los períodos de acumulación y medición y la los antecedentes causados principalmente por la extinción incompleta. El ajuste región utilizada para todo el conjunto de datos se indica como un rojo grueso línea. Los residuos divididos por su incertidumbre (es decir, en las desviaciones de dard) se muestran en el panel de entrada superior. estar bloqueado en la abertura. En 2004, el promedio de La tasa de muones pateados se limitó a 2 MHz; aproximadamente 10 muones fueron acumulados por ciclo, de los cuales 4 re- mained indecayed cuando TM comenzó. El pateador se describe en detalle en Ref. [9]. Brevemente, consta de dos pares de placas de electrodos sesgadas a pro- producir una diferencia potencial de hasta VK = 25 kV, con un terreno virtual en el medio del avión. Moduladores, utilizando MOSFETs conectados en serie que funcionan en modo push-pull, cargar o descargar las placas. En 2004, un sistema parcial ha alcanzado una extinción media del haz de • = 260 con una Tiempo de conmutación de 60 ns [10]. Durante TM, VK cambió por menos de 0,25 V. Una dependencia temporal de VK a este nivel, junto con una extinción dependiente de la tensión, da lugar a a un error sistemático de 3,5 ppm en la vida útil del muón. La correlación paridad-violación entre el muón orientación de giro y la dirección de emisión de su de- cay positron puede conducir a un cambio sistemático en el ex- vida útil, por las siguientes razones: Suponga de- el tector A en la posición (el, el) cuenta positrones a la tasa ~Pμ) exp(−t/), donde ~Pμ es la polarización de la Detuvieron a los muones. Si ~Pμ varía con el tiempo debido a la relajación sión o rotación de giro causada por campos magnéticos, así lo hará ~Pμ). Una variación temporal que es larga en comparación con se manifestará como una distorsión no observada a la vida útil del detector. El sistema relacionado con los giros... la incertidumbre ática en se minimiza a través de ambos detectores simetría y elección del objetivo: los detectores de positrones son dispuestos como una bola simétrica que cubre un gran ángulo sólido, y todos los detectores A en la posición (el, el) se refleja por un- otros detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores, en el caso de los detectores. En la medida en que: los pares detectores tienen la misma aceptación geométrica FIG. 2: Diagrama del experimento con varios detectores el- Ementos eliminados. Los muones entran a través de la vac- uum ventana y atravesar el EMC y una bolsa de helio (no antes de detenerse en el objetivo AK-3. Positrones en descomposición son registrados por la coincidencia de centelleadores internos y externos en un segmento triangular; los centelleadores exteriores son visibles. Se muestran dos trayectorias de desintegración de ejemplo. y la eficiencia NA • NA(~Pμ)+N®(~Pμ) es independiente del valor de ~Pμ, y por lo tanto también su variación del tiempo. Por último, un objetivo que posee un alto campo magnético interno se utiliza de tal manera que el período de precesión de la vuelta del muón es . Como se muestra en la Fig. 2, el rayo muón sale de su vac- tubo uum a través de un diámetro de 9,3-cm, de 76 μm de espesor Mylar ventana, luego pasa a través de un fino, de alta velocidad multi-hilo cámara de muón de entrada (EMC), que registra el tiempo y la posición de los muones que entran en el detector. Aproximadamente 1 en 104 muones se detienen en el EMC. Sus giros preceden en el campo de una matriz magnética permanente, que tiene una media Campo transversal de 11 mT en el centro EMC. El terreno orientación se revirtió regularmente a lo largo de los datos tak- ing. La región entre la salida del EMC y el objetivo se extiende por un globo lleno de helio (en lugar de aire) para minimizar las paradas de muones y la dispersión. El objetivo de parada es un diame de 0,5 mm de espesor, 50 cm de diámetro- disco ter de ArnokromeTM III (AK-3) [11], con un campo magnético ternal de aproximadamente 0,4 T, orientado transversal al eje de rotación de muones. La dirección sobre el terreno fue: se invierten a intervalos regulares. Medida específica de μSR- En una muestra de AK-3 se observa una oscilación de 18 ns período con una gran asimetría inicial que se relaja con una constante de tiempo de 14 ns. Estos tiempos son considerablemente menor que el período de acumulación, TA. Usando el dif- espectro de diferencias de los recuentos de los detectores espejo ver- tiempo; por ejemplo, NA, los componentes a más largo plazo son Se ha demostrado que es insignificante. Los positrones de desintegración son registrados por 170 detectores el- ements, cada uno de ellos formado por una capa interior y exterior de Escintillador plástico BC-404 de 3 mm de espesor. Cada triángulo- El centelleador en forma se lee con una guía de luz montado en 90°, que se acopla a una foto de 29 mm- tubo multiplicador (PMT). Los 170 elementos están organizados en grupos de seis y cinco para formar el 20 hexágono y 10 caras pentagonales de un icosaedro truncado (dos plumas se omiten los tagones para la entrada del haz y simétrica salida). La distancia desde el centro de la diana a un... tilator es de 40,5 cm. La aceptación total es del 64%, tomando teniendo en cuenta la reducción de la cobertura geométrica de 70% del rango de positrones y aniquilación en el objetivo y materiales detectores. Una línea de clip reconfigura el ancho natural del pulso PMT hasta una anchura total del 20% como máximo de 9 ns. Estos sig- nals se encaminan a discriminadores de vanguardia que tienen 10 ns anchos de salida. Por término medio, un positron da una señal de 70 fotoelectrones, produciendo una altura de pulso de 400 mV. La toma de datos se dividió al- la más uniforme entre períodos de 80-mV y 200-mV dis- umbrales de criminator. La hora de llegada de un positrón se mide con respecto a la transición de patada por a CAEN V767 128 canales, TDC multihit. Un Agi... sintetizador de frecuencia E4400B prestado, que funciona a imately 190.2 MHz, sirve como el reloj maestro. Su abso- la frecuencia de laúd es exacta a 10-8 y su valor central no ha cambiado a este nivel a lo largo de la carrera. Un reloj de bajada y el sistema de distribución proporciona un 23.75 MHz onda cuadrada como el reloj de entrada para cada TDC. La frecuencia del reloj maestro fue ocultada... en 250 ppm a partir de 190,2 MHz. Los analizadores Añadió una compensación de ajuste a al informar intermedi- Comieron los resultados. Sólo después de que el análisis fue completado fue el frecuencia oscilante exacta revelada, y el desplazamiento de ajuste removido, para obtener la vida. Los datos brutos consisten en tiempos de éxito del centelleador individual para cada ciclo. La transición de patadas define un común (global) t = 0, utilizando la resolución de 1.32 ns proporcionada por las 32 subdivisiones del período del oscilador de entrada TDC. Para evitar problemas con las no linealidades diferenciales en el Circuito de división del período de reloj TDC, ventanas de coincidencia, los tiempos muertos artificiales, y los anchos del cubo del histograma del decaimiento eran siempre establecido en múltiplos enteros de la entrada indivisa período de reloj (42 ns). Acontecimientos se pierden si un positron pasa a través de un detec- tor durante el tiempo muerto impuesto por el software o electrónico después de un suceso registrado en el mismo detector. Con Tasas máximas en detectores individuales de 7 kHz, el “pileup” la probabilidad para un tiempo muerto de 42-ns es < 3 × 10−4. Si no... , esto lleva a un cambio de 67 ppm en el ajuste ted. Pileup se puede alojar mediante la inclusión de un exp(−2t/) término en la función de ajuste, pero esto duplica la incertidumbre sobre el instalado. En su lugar, un artificial espectro de acumulación, construido a partir de impactos secundarios ocurren- anillo en una ventana de tiempo de ancho fijo que se compensa de una primaria, se añade de nuevo al espectro en bruto, por lo tanto restaurar, en promedio, los golpes perdidos. El procedimiento es el siguiente: repetido utilizando una amplia gama de periodos de tiempo muerto artificial y offsets, y los espectros corregidos todos dan consistente De por vida. La incertidumbre sistemática de este procedimiento Dure es 2 ppm. Preliminar se ajusta a los espectros de tiempo de decaimiento utilizando el función N(t) = N0 exp(−t/) + B mostró un estructura en los residuos en los primeros tiempos, independiente de condición experimental o detector. La estructura es causado por un defecto intrínseco en el TDC, que no perder eventos pero puede cambiarlos en el tiempo en ±25 ps. Esto el comportamiento se caracterizó en extensas pruebas de laboratorio utilizando fuentes de ruido blanco y de frecuencia fija, en conjunto con señales que simulan las transiciones kicker. Por una tiempo de inicio adecuado de tstart = 1 μs, la respuesta TDC se establece en un patrón simple que puede ser descrito bien por un modificación del espectro temporal de desintegración por un factor I(t′) = 1 + A cos(2 donde t′ = t − tstart, y con valores típicos de A = 5 × 10−4, TDC = 600 ns, y T = 370 ns. Un espectro de 1011 eventos de ruido blanco se ajustaban a una función constante, modificado por I(t′), logrando una buena χ2 y sin estructura residuos. La función utilizada para adaptarse a los espectros de tiempo de desintegración es N(t′) = I(t′) · [N0 exp(−t′/) + B]. 4) Debido a que la frecuencia del reloj fue cegada durante el anal- ysis, T y TDC en I(t) ′) no se pudo fijar en los ajustes. Con la frecuencia del reloj revelado, estos parámetros son ha demostrado ser coherente con los valores de laboratorio. En una prueba importante de la idoneidad de la Eq. 4, el instalado se encuentra a ser independiente del tiempo de inicio más allá del ajuste el tstart mínimo = 1,05 μs. La incertidumbre sistemática para la respuesta TDC es 1 ppm. Después de la ejecución de 2004, digitalizadores de forma de onda (WFDs) sustituyó al discriminador y a los sistemas de temporización TDC- Tem. Las DMA establecen la estabilidad de la ganancia PMT versus el tiempo durante la TM. Un cambio de ganancia, junto con un Umbral discriminador fijo (como en 2004), aparecerá como una eficiencia dependiente del tiempo. El análisis de la PMT obtener estabilidad en una gama de velocidades instantáneas indi- cates un efecto sistemático de menos de 1,8 ppm en. Una potente prueba de consistencia se realiza agrupando datos de detectores que tienen un ángulo azimutal común (véase la Fig. 2), que se ajusten a cada grupo de forma independiente, y la clasificación los resultados de la vida útil por el cos.......................................................................................................................................................................................................................................................... Para los datos AK-3, la distribución de por vida es plana Cos Ł (χ2/dof = 17.9.19). Para los datos tomados con un 20-cm objetivo de azufre de diámetro, rodeado por un mag- permanente matriz neta, la misma distribución no es plana (χ2/dof = 8.0). La causa en este último caso es una fracción más alta de muones que se pierda el objetivo y se detenga río abajo a lo largo del interior Detector de paredes. El programa SRIM [13] encuentra que el 0,55% de los muones pierden el objetivo de azufre más pequeño, mientras que sólo 0,07% no alcanza el objetivo AK-3. En ambos casos, el 0,11% suf- fer scatters de gran ángulo en el EMC o el backscatter de el objetivo, parando en las paredes del detector aguas arriba. Sim... espectros de desintegración celular para todos los muones “errantes” Parado de la distribución de muones predicho por SRIM y en- la aceptación de elementos del detector, muon inicial po- larización, y la relajación - se utilizaron para determinar la distorsión esperada a la vida. El procedimiento fue el siguiente: probados con un conjunto de datos especiales en el que todos los datos entrantes muones fueron detenidos en una placa de plástico colocada a mitad de camino entre el EMC y el objetivo. La distribución de las vidas con cos fueron reproducidas con éxito. Por el objetivo AK-3, una distorsión tan grande como 1 ppm podría Es de esperar. Sin embargo, un cambio negativo en la gama de 4 − 12 ppm está implícito para el azufre, principalmente debido a la fracción 8 veces mayor de muón aguas abajo se detiene. La incertidumbre sobre una corrección de esta magnitud podría ser tan grande como el 100%, superando los 15 ppm estadísticos precisión de la muestra de datos de azufre. Por lo tanto, elegimos no usar los datos de azufre en nuestros resultados reportados—un deci- sión hecha antes de desencender la frecuencia del reloj—incluso aunque tal corrección traería la vida útil de azufre... tiempo en excelente acuerdo con el encontrado para AK-3. Asignamos de forma conservadora una incertidumbre sistemática de 2 ppm a este procedimiento para el conjunto de datos AK-3. Otras pequeñas incertidumbres sistemáticas se enumeran en Ta- ble I. Los controles de integridad de los datos indican una pequeña fracción de hits (6 × 10−6) que pueden ser duplicados de hits anteriores. Cuando se eliminan los duplicados, se desplaza hacia arriba por 2 ppm. Puesto que el estado de estos golpes es incierto, un corrección de +1 ppm se aplica a con una sistemática incertidumbre de 1 ppm. Un error sistemático de hacer cola Las pérdidas en el buffer de un solo canal de TDC se calculan de manera que ser inferior a 0,7 ppm. El error sistemático de la sincronización cambios inducidos por golpes anteriores en un canal durante el el período de medición es inferior a 0,8 ppm. El resultado final se basa en un ajuste usando Eq. 4 a la 1.8 × 1010 eventos en el espectro AK-3 resumido, dando (MuLan) = 2,197 013(21)(11) μs (11,0 ppm) con una χ2/dof = 452,5/484. El primer error es estadístico y la segunda es la suma de la cuadratura de la sistemática incertidumbres en el cuadro I. En la figura 1 se indica el rango de la región instalada y el conjunto muestran los residuos di- por su incertidumbre en unidades de desviaciones típicas del encajonamiento. La consistencia de se comprobó contra condiciones experimentales, incluido el detector, el umbral, objetivo y la orientación del imán, factor de extinción, pateador Tensión, y número de ejecución. Sólo un subgrupo de carreras en el inicio del período de producción exhibió un anoma- Lous vida en comparación con la suma. Cuando todo corre, en grupos de 10, se ajustan a una constante, una χ2/dof = 108/102 es sugerente de que la fluctuación del subgrupo fue estadística. Nuestra vida útil está en excelente acuerdo con el media mundial, 2,197 03(4) μs, que se basa en cuatro pre- CUADRO I: Incertidumbres sistemáticas. Tamaño de la fuente (ppm) Estabilidad de la extinción 3.5 Corrección en tiempo muerto 2.0 Respuesta de la Comisión de Comercio y Desarrollo 1,0 Ganar estabilidad 1,8 Muon errant se detiene 2.0 Duplicar palabras (+1 ppm shift) 1,0 Pérdida de cola 0,7 Múltiples cambios de tiempo de golpe 0.8 Total 5,2 medidas anteriores [8]. El promedio mundial mejorado es (W.A.) = 2,197 019(21) μs (9,6 ppm). Suponiendo el valor del modelo estándar de la rametro η = 0, y neutrinos ligeros, determina el Fermi constante GF = 1,166 371(6)× 10-5 GeV−2 (5 ppm). En una carta compañera [14], una nueva determinación de la se indica el acoplamiento pseudoescalario inducido gP. Depende. principalmente en una comparación de muón negativo y positivo vidas, esta última cantidad se informa aquí. Reconocemos el generoso apoyo de PSI y la asistencia de sus grupos de aceleradores y detectores. Agradecemos a W. Bertl, J. Blackburn, K. Gabathuler, K. Dieters, J. Doornbos, J. Egger, W.J. Marciano, D. Renker, U. Rohrer, R. Scheuermann, R. G. Stuart y E. Thorsland para debates y asistencia. Esto el trabajo fue apoyado en parte por el Departamento de La energía, la Fundación Nacional de Ciencia de los EE.UU. Fundación John Simon Guggenheim (DWH). [1] G.Gabrielse, D.Hanneke, T.Kinoshita, M.Nio, y B.Odom, Phys. Rev. Lett. 97, 030802 (2006). [2] S. Schael y otros, Phys. Rept. 427, 257 (2006). [3] T. van Ritbergen y R.G. Stuart, Nucl. Phys. B564, 343 (2000); T. van Ritbergen y R. G. Stuart, Phys. Lett. B437, 201 (1998); T. van Ritbergen y R.G. Stuart, Phys. Rev. Lett. 82, 488 (1999). [4] M.Awramik, M. Czakon, A. Freitas, y G.Weiglein, Phys. Rev. D69, 053006 (2004). [5] W.J. Marciano, Phys. Rev. D60, 093006 (1999). [6] S.M. Berman y A. Sirlin, Ann. Phys. 20, 20 (1962). [7] S.M. Berman, Phys. Rev. 112, 267 (1958); T. Kinoshita y A. Sirlin, Phys. Rev. 113, 1652 (1959). [8] G. Bardin et al., Phys. Lett. B137, 135 (1984); K. Gio- vanetti et al., Phys. Rev. D29, 343 (1984); M.P. Balandin et al., Sov. Phys. JETP 40, 811 (1974); y J. Duclos et Al., Phys. Lett. B47, 491 (1973). [9] M.J. Barnes y G.D.Wait, IEEE Trans. Plasma Sci. 32, 1932 (2004); R.B. Armenta, M.J. Barnes, G.D. Espera, Proc. del 15o IEEE Int. Poder pulsado Conf., 13 de junio- 17 2005, Monterey, USA. [10] Usando el sistema completo (cuatro moduladores en lugar de dos), Se obtiene un valor de 800 con un tiempo de conmutación de 45 ns. [11] ArnokromeTM III (AK-3) es una aleación de Co y • 60% Fe. Arnold Engineering Co., Alnico Prod... Ucts Division, 300 N. West Street, Marengo, IL 60152. [12] E. Morenzoni y H. Luetkens, comunicación privada. [13] J.F. Ziegler, J.P. Biersack y U.Littmark, El Detener y alcance de los iones en la materia, Pergamon Press, Nueva York, (2003). [14] Colaboración MuCap: V.A. Andreev et al., Este volumen.

Universal 2+1-Dimensional Plane Equations in General Relativity and Evolutions of Disk Nebula

Microsoft Word - EvoluGRG.doc Ecuaciones Universales de Plano 2+1-Dimensionales en General Relatividad y evolución de la nebulosa del disco Yi-Fang Chang Departamento de Física, Universidad de Yunnan, Kunming, 650091, China (dirección electrónica: yifangchang1030@hotmail.com) RESUMEN La relatividad general es la base para cualquier teoría evolutiva exacta de gran escala estructuras. Calculamos las ecuaciones planas universales 2+1-dimensionales de campo gravitacional en la relatividad general. Basado en las ecuaciones, las evoluciones del disco Se discuten las nebulosas. Un sistema de nebulosa puede formar estrellas binarias o una sola estrella para condiciones diferentes. Mientras que cualquier teoría lineal simplificada forma sólo una estrella sistema. Se demuestra que las interacciones no lineales son muy generales, por lo que las estrellas binarias También son comunes. Palabras clave: relatividad general, evolución, nebulosa de disco, estrellas binarias. PACS: 04.20. q; 97.10. Cv; 98.38. Ly; 97.80. d. En la actualidad la relatividad general con una formulación precisa de la teoría es la mejor teoría astronómica para varias estructuras a gran escala del espacio-tiempo [1,2]. Desde las soluciones generales de Einstein ̄s fi el d equati ons son ver y co mpl ex, hasta ahora, algunas soluciones exactas [1,2,3], incluyendo desde la solución Schwarzschild, la solución Eddington-Robertson, y varias soluciones Kerr a la lente gravitacional en teorías métricas de la gravedad [4], espacio-tiempos esféricamente simétricos en gravedad masiva [5], y todas las soluciones estáticas de fluidos perfectos circularmente simétricos de gravedad 2+1 [6]. Son en su mayoría algunas soluciones estáticas. Por otro lado, las evoluciones de varios cuerpos celestes existen ampliamente en el universo. In particular, los astrónomos observaron que los sistemas estelares binarios son muy comunes a partir de 1989 [7,8]. Los se propone la generalidad de la estrella binaria. De hecho, Spyrou presentó los resultados de un estudio sistemático de mecánica celeste relativista de las estrellas binarias en la aproximación post-Newtoniana (PNA) de relatividad general [9], y los modelos de estrellas propuestos determinaron las masas inerciales y de reposo de binarios estrellas [10]. Itoh, et al., discutió la ecuación del movimiento para los binarios compactos relativistas con el campo fuerte [11]. Alvi y Liu estudiaron la dinámica de un grupo de partículas sin colisiones en órbita agujero negro no rotativo, que es parte de un binario circular ampliamente separado, y encontró que el la mayoría de las órbitas estables están cerca del plano orbital del compañero y retrógradas con respecto al órbita de compañero [12]. Guóro y Letelier estudiaron sistemas binarios alrededor de un agujero negro [13]. Hansen discutió el movimiento del sistema binario compuesto de una oscilación y rotación disco polvoriento coplanar y un objeto puntual [14]. La teoría evolutiva celestial más exacta debería basarse en la relatividad general. Wilson y Mathews [15,16] reportaron resultados preliminares obtenidos con una evolución numérica relativista código. Sus cálculos dinámicos sugieren que las estrellas de neutrones pueden colapsar a agujeros negros antes a la fusión. Baumgarte, et al., estudiaron el modelo cuasiequilibrio en estrellas de neutrones binarios en general relatividad [17]. Luego presentaron un nuevo método numérico para la construcción de formulación de cuasiequilibrio de los binarios de estrellas de agujero negro-neutrón, y resolvió la restricción ecuaciones de relatividad general, y resuelto estas ecuaciones acopladas en la métrica de fondo de un Agujero negro Kerr-Schild, que representa el compañero del agujero negro de la estrella de neutrones [18]. Taniguchi, et al., presentaron nuevas secuencias de relativista general, cuasiequilibrio negro Los binarios de estrellas de neutrón. Resolvieron las ecuaciones de campo gravitacional acopladas a las ecuaciones de Equilibrio hidrostático relativista para un fluido perfecto [19]. Shibata, et al., presentaron una nueva implementación para simulaciones magnetohidrodinámicas (MHD) en relatividad general completa (involucrando espacio-tiempos dinámicos) y simulaciones numéricas realizadas para el ensayo estándar problemas en el MHD relativista, incluyendo choques magnetizados relativistas especiales, relativistas generales Bondi magnetizado en el espacio-tiempo estacionario, y una evolución a largo plazo para la auto-gravitación sistema compuesto por una estrella de neutrones y un disco magnetizado en plena relatividad general [20]. Faber, et al., calculó las evoluciones dinámicas de la fusión de los binarios de estrellas de agujero negro-neutrón que construyen la combinación de la estrella de agujero negro-neutrón espacio-tiempo en un marco relativista general. Trataron. la métrica en la aproximación de la planicidad conformal, y supone que la masa del agujero negro es suficientemente grande en comparación con la estrella de neutrones para que el agujero negro permanezca fijo en el espacio [21]. Una de las teorías más exitosas de la formación de estrellas binarias es la fragmentación propuesta por Boss, et al.[22-24], que supone que las estrellas binarias nacen durante el protostelar fase de colapso bajo su propia gravedad. Usando simulación computarizada obtuvieron que una inicial nube esférica en rotación rápida colapsa y se aplana en un disco, que más tarde se fragmenta en un sistema binario. Basados en las ecuaciones básicas de un disco giratorio en la nebulosa, utilizamos la análisis de la teoría de la ecuación no lineal y obtener un modelo dinámico no lineal de la formación de estrellas binarias [25]. Bajo ciertas condiciones un par de puntos singulares resulta en el curso de evolución, que corresponde a las estrellas binarias. Bajo otras condiciones estas ecuaciones dan un un solo punto central, que corresponde a una sola estrella. Este nuevo método y modelo puede ser extendido y desarrollado. Steinitz y Farbiash establecieron la correlación entre los giros (velocidades rotacionales) en binarios, y mostrar que el grado de correlación de giros es independiente de la separación de los componentes. Tal resultado podría estar relacionado, por ejemplo, con el modelo no lineal para la formación de estrellas binarias desde una nebulosa [26]. Hasta ahora, la relatividad general se aplica principalmente a los binarios estrella-neutrón de neutrones, o negro Los binarios de estrellas de neutrón. Wilson, et al., eligieron el 3-métrico para ser consistentemente plano [15,16]. In Coordenadas cartesianas el elemento de línea se puede escribir [17] )(4222 dtdxddxddts jjiiij. 1).......................................................................................................................................................... En casos más generales, para una nebulosa de disco aplanado tomamos un plano universal 2+1-dimensional métrica en forma diagonal con 2+1-parameros 2 ), ( drtfdredxedxdxgds vkiik. 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. donde ),( rtvv y ),( rt. Denotando por 210,, xxx, respectivamente, el (2+1)-plano dimensional coordenadas ct, r,, tenemos para los componentes no cero de la métrica tensor de las expresiones [27]: ),(, 221100 rtfgegeg , (3) y 1221100, fgeg v. (4) Con estos valores el cálculo conduce a los siguientes símbolos Christoffel: 00 vvev (5a) v (5b) 11 fef (5c) f (5d) 11 fef . (5e) Aquí el primer significa diferenciación con respecto a r, mientras que un punto en un símbolo significa diferenciación con respecto a ct. Todos los demás componentes son cero. Por lo tanto, podemos derivar la componentes de las ecuaciones de campo: ''''2[ (6a) (6b) [ ]]'(''''2] vvveG v (6c) (7a) (7b) (7c) Estas ecuaciones pueden poseer varias soluciones. El tensor de energía-momento del fluido perfecto es [3] abbaab pguupT ). (8) Asumir que b 0 y d 0, así que 1 vdf , (9a) )''''2('' ''''2[ 2 vvvdvfb , (9b) )2[] f (9c) Aquí bbbb 321 y dddd 321. Para las evoluciones de la nebulosa de disco, consideramos un sistema sólo con el tiempo. Dejar yffdtfdx // (ln,, las ecuaciones (9a) se convierten en xxvxy , (10a) Yyvxy , (10b) De dx/dt=0 y dy/dt=0 derivamos cuatro soluciones: (),0,(),,0(),0,0(),( vvyx. (11) Utilizando una teoría de análisis cualitativo de las ecuaciones no lineales, la matriz característica de la ecuaciones (10) es 2/2/2 2/ 2/2/2/ yvbxby dxxvdy . (12) Su ecuación característica es 02 DT. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Mientras que DT 42. Para un punto singular (0,0), 0,04/, 1 11 vDvT. (14) Es un punto nodal crítico. Para un punto singular (0, v ), 1 (0,0) T. (15) Es una silla de montar. Para un punto singular ( v,0), 1 (0,0) T. (16) También es una silla de montar. Para un punto singular ) .1))1(4[ )1)(1( 11112 vdbdb . (17) En el caso habitual es un punto nodal. Cuando 11db >1, es decir, T<0, el punto es un fregadero estable, este sistema pueden formar las estrellas binarias. Cuando 11db <1, es decir, T>0 y D<0, el punto es un punto de sillín, este sistema forma una sola estrella para (0,0) singularidad. Parecen corresponder a nebulosas delgadas y densas. nebulosa, respectivamente. Cuando la singularidad es un punto nodal, ffyx /, puede estar representado por )0(, 11 khbeyaex . Así que en, 0 11 ktht ebydtfeaxdt es también un punto nodal. Las ecuaciones (6) se simplifican a (18a) 2 aTf (18b) 2 ]2[ aTve v. (18c) Entonces 04 aTexy , y las ecuaciones (18b) y (18c) se convierten en aTexxv , (19a) aTeyyv , (19b) De dx/dt=0 y dy/dt=0 derivamos soluciones: 2,1 XvaTevvx , (20a) 2,1 YvaTevvy . (20 b) Utilizando una teoría de análisis cualitativo, la matriz característica de las ecuaciones (19) es 6 2/ 0 . (21) Su ecuación característica es (13). En este caso, para un punto singular ),( 11 yx, 111 YXXYDYXT. (22a) Es un punto nodal, y es un fregadero estable. Para un punto singular ),( 21 yx, 222 YXXYDYXT. (22b) Es una silla de montar. Para un punto singular ),( 12 yx, 333 YXXYDYXT. (22c) También es una silla de montar. Para un punto singular ),( 22 yx, 444 YXXYDYXT. (22d) Es un punto nodal, y es una fuente inestable. Para las ecuaciones lineales de simplificado (10) o (19), sólo la singularidad (0,0) es un punto nodal, y forma sólo un sistema estelar único. Basado en las ecuaciones planas universales 2+1-dimensionales del campo gravitacional en general relatividad, las evoluciones de la nebulosa de disco se discuten. Un sistema de nebulosa puede formar estrellas binarias o una sola estrella para diferentes condiciones. Aquí las interacciones no lineales juegan un papel importante. Ellos son condiciones necesarias para la formación de estrellas binarias, pero no son condiciones suficientes. Generalmente, cualquier estrella estable debe ser un punto fijo estable en el proceso evolutivo en Astrofísica. Supongamos que una ecuación evolutiva es y=f(x), que corresponde a una ecuación de el punto invariante x*=f(x*). Por lo tanto, si f(x) es una función no lineal n-orden, habrá posiblemente múltiples (estables o inestables) puntos invariantes. Mientras que f(x)=ax+b es una función lineal, hay será sólo un punto invariante x*=b/(1-a), es decir, puede formar una sola estrella. Desde el Las interacciones no lineales son muy generales, las estrellas binarias y múltiples también son comunes. Bibliografía 1.Hawking, S.W. & Ellis, G.F.R., 1973. La estructura a gran escala del espacio-tiempo. Cambridge La prensa universitaria. 2. Misner, C.W., Thorne. K.S. & Wheeler, J.A., 1973. Gravitación. W.H. Freeman y Compañía. San Francisco. 3.Kramer, D., Stephani, H., Herlt, E., & MacCallum, M., 1980. Soluciones exactas de Einstein ̄s Fi el d Ecuaciones. La prensa de la Universidad de Cambridge. Cambridge. 4.Sereno, M., 2003. Phys.Rev. D67.064007. 5.Damour, T., Kogan, I.I., & Papazoglou, A., 2003. Phys.Rev. D67,064009. 6.Garcia, A.A., & Campuzano, C., 2003. Phys.Rev. D67,064014. 7.Leiner, C., & Haas, M., 1989. 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ApJ., 439.224. 23.Boss, A.P., & Yorke, H.W., 1993. ApJ.Lett., 411, L99; 1995. ApJ.Lett., 439, L55. 24.Boss, A.P., & Myhill, E.A., 1995. ApJ,439,224;451,218. 25.Zhang, Y.F., 2000. Aston chino.Astophys. 24.269. 26.Steinitz, R., & Farbiash, N., 2003. Solución espectroscópica y espacial de los componentes de estrellas binarias cercanas. Serie de conferencias ASP. en Dubrovnik, Croacia, 20-24 de octubre de 2003. 27. Landau, L.D., & Lifshitz, E.M., 1975. La Teoría Clásica del Campo. Prensa Pérgamo. Oxford.

La relatividad general es la base para cualquier teoría evolutiva exacta de grandes estructuras de escala. Calculamos las ecuaciones planas universales 2+1-dimensionales de campo gravitacional en la relatividad general. Basado en las ecuaciones, el se discuten las evoluciones de la nebulosa de disco. Un sistema de nebulosa puede formar binario estrellas o una sola estrella para diferentes condiciones. Mientras que cualquier lineal simplificado La teoría forma sólo un sistema estelar. Se demuestra que el no lineal Las interacciones son muy generales, por lo que las estrellas binarias también son comunes.

Microsoft Word - EvoluGRG.doc Ecuaciones Universales de Plano 2+1-Dimensionales en General Relatividad y evolución de la nebulosa del disco Yi-Fang Chang Departamento de Física, Universidad de Yunnan, Kunming, 650091, China (dirección electrónica: yifangchang1030@hotmail.com) RESUMEN La relatividad general es la base para cualquier teoría evolutiva exacta de gran escala estructuras. Calculamos las ecuaciones planas universales 2+1-dimensionales de campo gravitacional en la relatividad general. Basado en las ecuaciones, las evoluciones del disco Se discuten las nebulosas. Un sistema de nebulosa puede formar estrellas binarias o una sola estrella para condiciones diferentes. Mientras que cualquier teoría lineal simplificada forma sólo una estrella sistema. Se demuestra que las interacciones no lineales son muy generales, por lo que las estrellas binarias También son comunes. Palabras clave: relatividad general, evolución, nebulosa de disco, estrellas binarias. PACS: 04.20. q; 97.10. Cv; 98.38. Ly; 97.80. d. En la actualidad la relatividad general con una formulación precisa de la teoría es la mejor teoría astronómica para varias estructuras a gran escala del espacio-tiempo [1,2]. Desde las soluciones generales de Einstein ̄s fi el d equati ons son ver y co mpl ex, hasta ahora, algunas soluciones exactas [1,2,3], incluyendo desde la solución Schwarzschild, la solución Eddington-Robertson, y varias soluciones Kerr a la lente gravitacional en teorías métricas de la gravedad [4], espacio-tiempos esféricamente simétricos en gravedad masiva [5], y todas las soluciones estáticas de fluidos perfectos circularmente simétricos de gravedad 2+1 [6]. Son en su mayoría algunas soluciones estáticas. Por otro lado, las evoluciones de varios cuerpos celestes existen ampliamente en el universo. In particular, los astrónomos observaron que los sistemas estelares binarios son muy comunes a partir de 1989 [7,8]. Los se propone la generalidad de la estrella binaria. De hecho, Spyrou presentó los resultados de un estudio sistemático de mecánica celeste relativista de las estrellas binarias en la aproximación post-Newtoniana (PNA) de relatividad general [9], y los modelos de estrellas propuestos determinaron las masas inerciales y de reposo de binarios estrellas [10]. Itoh, et al., discutió la ecuación del movimiento para los binarios compactos relativistas con el campo fuerte [11]. Alvi y Liu estudiaron la dinámica de un grupo de partículas sin colisiones en órbita agujero negro no rotativo, que es parte de un binario circular ampliamente separado, y encontró que el la mayoría de las órbitas estables están cerca del plano orbital del compañero y retrógradas con respecto al órbita de compañero [12]. Guóro y Letelier estudiaron sistemas binarios alrededor de un agujero negro [13]. Hansen discutió el movimiento del sistema binario compuesto de una oscilación y rotación disco polvoriento coplanar y un objeto puntual [14]. La teoría evolutiva celestial más exacta debería basarse en la relatividad general. Wilson y Mathews [15,16] reportaron resultados preliminares obtenidos con una evolución numérica relativista código. Sus cálculos dinámicos sugieren que las estrellas de neutrones pueden colapsar a agujeros negros antes a la fusión. Baumgarte, et al., estudiaron el modelo cuasiequilibrio en estrellas de neutrones binarios en general relatividad [17]. Luego presentaron un nuevo método numérico para la construcción de formulación de cuasiequilibrio de los binarios de estrellas de agujero negro-neutrón, y resolvió la restricción ecuaciones de relatividad general, y resuelto estas ecuaciones acopladas en la métrica de fondo de un Agujero negro Kerr-Schild, que representa el compañero del agujero negro de la estrella de neutrones [18]. Taniguchi, et al., presentaron nuevas secuencias de relativista general, cuasiequilibrio negro Los binarios de estrellas de neutrón. Resolvieron las ecuaciones de campo gravitacional acopladas a las ecuaciones de Equilibrio hidrostático relativista para un fluido perfecto [19]. Shibata, et al., presentaron una nueva implementación para simulaciones magnetohidrodinámicas (MHD) en relatividad general completa (involucrando espacio-tiempos dinámicos) y simulaciones numéricas realizadas para el ensayo estándar problemas en el MHD relativista, incluyendo choques magnetizados relativistas especiales, relativistas generales Bondi magnetizado en el espacio-tiempo estacionario, y una evolución a largo plazo para la auto-gravitación sistema compuesto por una estrella de neutrones y un disco magnetizado en plena relatividad general [20]. Faber, et al., calculó las evoluciones dinámicas de la fusión de los binarios de estrellas de agujero negro-neutrón que construyen la combinación de la estrella de agujero negro-neutrón espacio-tiempo en un marco relativista general. Trataron. la métrica en la aproximación de la planicidad conformal, y supone que la masa del agujero negro es suficientemente grande en comparación con la estrella de neutrones para que el agujero negro permanezca fijo en el espacio [21]. Una de las teorías más exitosas de la formación de estrellas binarias es la fragmentación propuesta por Boss, et al.[22-24], que supone que las estrellas binarias nacen durante el protostelar fase de colapso bajo su propia gravedad. Usando simulación computarizada obtuvieron que una inicial nube esférica en rotación rápida colapsa y se aplana en un disco, que más tarde se fragmenta en un sistema binario. Basados en las ecuaciones básicas de un disco giratorio en la nebulosa, utilizamos la análisis de la teoría de la ecuación no lineal y obtener un modelo dinámico no lineal de la formación de estrellas binarias [25]. Bajo ciertas condiciones un par de puntos singulares resulta en el curso de evolución, que corresponde a las estrellas binarias. Bajo otras condiciones estas ecuaciones dan un un solo punto central, que corresponde a una sola estrella. Este nuevo método y modelo puede ser extendido y desarrollado. Steinitz y Farbiash establecieron la correlación entre los giros (velocidades rotacionales) en binarios, y mostrar que el grado de correlación de giros es independiente de la separación de los componentes. Tal resultado podría estar relacionado, por ejemplo, con el modelo no lineal para la formación de estrellas binarias desde una nebulosa [26]. Hasta ahora, la relatividad general se aplica principalmente a los binarios estrella-neutrón de neutrones, o negro Los binarios de estrellas de neutrón. Wilson, et al., eligieron el 3-métrico para ser consistentemente plano [15,16]. In Coordenadas cartesianas el elemento de línea se puede escribir [17] )(4222 dtdxddxddts jjiiij. 1).......................................................................................................................................................... En casos más generales, para una nebulosa de disco aplanado tomamos un plano universal 2+1-dimensional métrica en forma diagonal con 2+1-parameros 2 ), ( drtfdredxedxdxgds vkiik. 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. donde ),( rtvv y ),( rt. Denotando por 210,, xxx, respectivamente, el (2+1)-plano dimensional coordenadas ct, r,, tenemos para los componentes no cero de la métrica tensor de las expresiones [27]: ),(, 221100 rtfgegeg , (3) y 1221100, fgeg v. (4) Con estos valores el cálculo conduce a los siguientes símbolos Christoffel: 00 vvev (5a) v (5b) 11 fef (5c) f (5d) 11 fef . (5e) Aquí el primer significa diferenciación con respecto a r, mientras que un punto en un símbolo significa diferenciación con respecto a ct. Todos los demás componentes son cero. Por lo tanto, podemos derivar la componentes de las ecuaciones de campo: ''''2[ (6a) (6b) [ ]]'(''''2] vvveG v (6c) (7a) (7b) (7c) Estas ecuaciones pueden poseer varias soluciones. El tensor de energía-momento del fluido perfecto es [3] abbaab pguupT ). (8) Asumir que b 0 y d 0, así que 1 vdf , (9a) )''''2('' ''''2[ 2 vvvdvfb , (9b) )2[] f (9c) Aquí bbbb 321 y dddd 321. Para las evoluciones de la nebulosa de disco, consideramos un sistema sólo con el tiempo. Dejar yffdtfdx // (ln,, las ecuaciones (9a) se convierten en xxvxy , (10a) Yyvxy , (10b) De dx/dt=0 y dy/dt=0 derivamos cuatro soluciones: (),0,(),,0(),0,0(),( vvyx. (11) Utilizando una teoría de análisis cualitativo de las ecuaciones no lineales, la matriz característica de la ecuaciones (10) es 2/2/2 2/ 2/2/2/ yvbxby dxxvdy . (12) Su ecuación característica es 02 DT. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Mientras que DT 42. Para un punto singular (0,0), 0,04/, 1 11 vDvT. (14) Es un punto nodal crítico. Para un punto singular (0, v ), 1 (0,0) T. (15) Es una silla de montar. Para un punto singular ( v,0), 1 (0,0) T. (16) También es una silla de montar. Para un punto singular ) .1))1(4[ )1)(1( 11112 vdbdb . (17) En el caso habitual es un punto nodal. Cuando 11db >1, es decir, T<0, el punto es un fregadero estable, este sistema pueden formar las estrellas binarias. Cuando 11db <1, es decir, T>0 y D<0, el punto es un punto de sillín, este sistema forma una sola estrella para (0,0) singularidad. Parecen corresponder a nebulosas delgadas y densas. nebulosa, respectivamente. Cuando la singularidad es un punto nodal, ffyx /, puede estar representado por )0(, 11 khbeyaex . Así que en, 0 11 ktht ebydtfeaxdt es también un punto nodal. Las ecuaciones (6) se simplifican a (18a) 2 aTf (18b) 2 ]2[ aTve v. (18c) Entonces 04 aTexy , y las ecuaciones (18b) y (18c) se convierten en aTexxv , (19a) aTeyyv , (19b) De dx/dt=0 y dy/dt=0 derivamos soluciones: 2,1 XvaTevvx , (20a) 2,1 YvaTevvy . (20 b) Utilizando una teoría de análisis cualitativo, la matriz característica de las ecuaciones (19) es 6 2/ 0 . (21) Su ecuación característica es (13). En este caso, para un punto singular ),( 11 yx, 111 YXXYDYXT. (22a) Es un punto nodal, y es un fregadero estable. Para un punto singular ),( 21 yx, 222 YXXYDYXT. (22b) Es una silla de montar. Para un punto singular ),( 12 yx, 333 YXXYDYXT. (22c) También es una silla de montar. Para un punto singular ),( 22 yx, 444 YXXYDYXT. (22d) Es un punto nodal, y es una fuente inestable. Para las ecuaciones lineales de simplificado (10) o (19), sólo la singularidad (0,0) es un punto nodal, y forma sólo un sistema estelar único. Basado en las ecuaciones planas universales 2+1-dimensionales del campo gravitacional en general relatividad, las evoluciones de la nebulosa de disco se discuten. Un sistema de nebulosa puede formar estrellas binarias o una sola estrella para diferentes condiciones. Aquí las interacciones no lineales juegan un papel importante. Ellos son condiciones necesarias para la formación de estrellas binarias, pero no son condiciones suficientes. Generalmente, cualquier estrella estable debe ser un punto fijo estable en el proceso evolutivo en Astrofísica. Supongamos que una ecuación evolutiva es y=f(x), que corresponde a una ecuación de el punto invariante x*=f(x*). Por lo tanto, si f(x) es una función no lineal n-orden, habrá posiblemente múltiples (estables o inestables) puntos invariantes. Mientras que f(x)=ax+b es una función lineal, hay será sólo un punto invariante x*=b/(1-a), es decir, puede formar una sola estrella. Desde el Las interacciones no lineales son muy generales, las estrellas binarias y múltiples también son comunes. Bibliografía 1.Hawking, S.W. & Ellis, G.F.R., 1973. La estructura a gran escala del espacio-tiempo. Cambridge La prensa universitaria. 2. Misner, C.W., Thorne. K.S. & Wheeler, J.A., 1973. Gravitación. W.H. Freeman y Compañía. San Francisco. 3.Kramer, D., Stephani, H., Herlt, E., & MacCallum, M., 1980. Soluciones exactas de Einstein ̄s Fi el d Ecuaciones. La prensa de la Universidad de Cambridge. Cambridge. 4.Sereno, M., 2003. Phys.Rev. D67.064007. 5.Damour, T., Kogan, I.I., & Papazoglou, A., 2003. Phys.Rev. D67,064009. 6.Garcia, A.A., & Campuzano, C., 2003. Phys.Rev. D67,064014. 7.Leiner, C., & Haas, M., 1989. ApJ.Lett.342,L39. 8.Duquennoy, M., & Mayor, M., 1991. A.Ap.248.485. 9.Spyrou, N., 1981. General Rel.Grav., 13.473. 10.Spyrou, N., 1981. Gen.Rel.Grav., 13.487. 11.Itoh, Y., Futamase, T., & Asada, S., 2000. Phys.Rev., D62.064002. 12. Alvi, K. & Liu, Y.T., 2002. General Rel.Grav., 34,1067. 13.Guárro, E. & Letelier, P.S., 2004. General Rel.Grav., 36.2107. 14.Hansen, D., 2005. Grav., 37,1781. 15.Wilson, J. R. & Mathews, G. J., 1995, Phys.Rev.Lett. 75, 4161. 16.Wilson, J. R., Mathews, G. J. & Marronetti, P., 1996, Phys.Rev. D 54, 1317. 17.Baumgarte, T.W., G.B.Cook, M.A.Scheel, et al., 1997, Phys.Rev.Lett., 79.1182. 18.Baumgarte, T.W., Skoge, M.L.& Shapiro, S.L., 2004, Phys.Rev. D 70, 064040. 19. Taniguchi, K., Baumgarte, T.W., Faber, J.A. & Shapiro,S.L., 2005, Phys.Rev. D72, 044008. 20.Shibata, M. & Sekiguchi,Y., 2005, Phy.Rev. D72,044014. 21. Faber, J.A., Baumgarte, T.W., Shapiro, S.L., et al., 2006, Phys.Rev. D73, 024012. 22.Boss, A.P., 1991. Nature, 351.298; 1993. ApJ., 410.157; 1995. ApJ., 439.224. 23.Boss, A.P., & Yorke, H.W., 1993. ApJ.Lett., 411, L99; 1995. ApJ.Lett., 439, L55. 24.Boss, A.P., & Myhill, E.A., 1995. ApJ,439,224;451,218. 25.Zhang, Y.F., 2000. Aston chino.Astophys. 24.269. 26.Steinitz, R., & Farbiash, N., 2003. Solución espectroscópica y espacial de los componentes de estrellas binarias cercanas. Serie de conferencias ASP. en Dubrovnik, Croacia, 20-24 de octubre de 2003. 27. Landau, L.D., & Lifshitz, E.M., 1975. La Teoría Clásica del Campo. Prensa Pérgamo. Oxford.

Electromagnetic Higgs production

arXiv:0704.1985v2 [hep-ph] 13 Nov 2007 Preprint typeset en estilo JHEP - HYPER VERSION Diciembre 8, 2021 Producción de Higgs electromagnéticos J. Miller Departamento de Física de Partículas, Escuela de Física y Astronomía Raymond y Beverley Sackler Facultad de Ciencias Exactas Universidad de Tel Aviv, Tel Aviv, 69978, Israel Resumen: Se calcula la sección transversal para la producción de Higgs difractivos centrales, para el rango LHC de energías. Los gráficos para los posibles mecanismos para la producción de Higgs, a través de la fusión de pomerones y Las fusiones de fotones se calculan para todas las posibilidades permitidas por el modelo estándar. La sección transversal de La producción de Higgs difractivo central a través de la fusión de pomerones, debe multiplicarse por un factor de supervivencia. probabilidad, para aislar la señal de Higgs y reducir el fondo. Debido al pequeño valor de la supervivencia probabilidad 4 × 10−3 , las secciones transversales para la producción diffractiva central de Higgs, en los dos casos para fusión de pomeron y fusión de fotones, son competitivos. Palabras clave: bosón Higgs, pomeron BFKL, producción difractiva, LHC, Higgs electromagnéticos producción, fusión de fotones, fusión de pomeron pomeron, probabilidad de supervivencia, modelo estándar. Correo electrónico: jeremymi@post.tau.ac.il; http://arxiv.org/abs/0704.1985v2 http://jhep.sissa.it/stdsearch http://jhep.sissa.it/stdsearch Sumario 1. INTRODUCCIÓN 1 2. Producción doble difractiva de Higgs en el LHC 4 3. Producción de Higgs electromagnéticos en el LHC 8 3.1 El subproceso del triángulo del fermión para la producción de Higgs en la fusión 9 3.2 Subprocesos del bucle de Boson para la producción de Higgs en la fusión 12 3.3 Sección transversal para la producción exclusiva central de Higgs a través de la fusión 15 4. Conclusión 15 5. Agradecimientos 15 A. Apéndice 16 A-1 Evaluación de la integral sobre las dimensiones anómalas γ1 y γ2 del impulso Q en la función de densidad de gluón 16 A-2 Reglas de Feynman para la teoría estándar de la electrodebilidad 19 A-3 Evaluación de la integral sobre el impulso en el bucle triángulo fermión 19 1. Introducción El proceso más prometedor para la observación del bosón de Higgs en el LHC es la producción difractiva central de los Higgs, con grandes brechas de rapidez ( LRG ) entre los Higgs y los dos protones emergentes, después de Dispersión. Es decir, p + p → p + [LRG ] + H + [LRG ] + p (1.1) Las grandes brechas de rapidez a ambos lados del Higgs reduce el fondo, por lo que la señal de Higgs será más fácil de aislar en la producción exclusiva central. Por lo tanto, este proceso da la mejor firma experimental – 1 – para la detección de los Higgs en el LHC, y es muy interesante para los experimentos en la búsqueda del bosón de Higgs. En este artículo, se comparan dos mecanismos para la producción exclusiva central de Higgs; (1) γ γ fusión, a saber pp → γ γ → H y (2) intercambio de pomeron, a saber pp → IP → H, donde IP denota un Pomeron. Para la fusión γ γ, no hay re-dispersión difícil de los fotones para llenar los huecos de rapidez, de modo que grandes brechas de rapidez están presentes automáticamente. La motivación para considerar IP IP → H, es la observación que para la fusión gluon gluon, es decir, el proceso gg → H el flujo de color induce muchos secundarios parten duchas que llenan las brechas de rapidez. En su lugar, el proceso IP IP → H es un intercambio de color singlet, donde se examina el flujo de color y se preservan los grandes huecos de rapidez. Sin embargo, en el caso de la fusión IPIP, hay correcciones redispersivas duras, dando inelástico adicional scattering, que dará la emisión de llenar las brechas de rapidez (véase ref. [1]). Para garantizar la presencia de grandes brechas de velocidad después de la dispersión en la producción exclusiva central, en el caso de la fusión IPIP, uno tiene que multiplicar por la probabilidad de supervivencia. Esta es la probabilidad de que grandes brechas de rapidez, entre los Higgs bosón y los protones emergentes, estarán presentes después de la dispersión. El motivo de este artículo, fue impulsado por el valor potencialmente pequeño para la probabilidad de supervivencia, a saber: < S2 > = 4 × 10−3, calculado en ref. [1] para la producción exclusiva central de Higgs mediante fusión IPIP. Esto es un orden de magnitud inferior a las estimaciones anteriores, a saber, < S2 > 0,02 para las energías LHC (véase ref. [2]). Por lo tanto, los cálculos anteriores en ref. [2] de la sección transversal para la producción exclusiva central de Higgs a través de La fusión IPIP, que incluía un factor para la probabilidad de supervivencia de < S2 > 0,02, dio para la exclusiva sección transversal excIP IP ( pp→ p+H + P ) = 3 fb. Dado que la probabilidad de supervivencia se predice en ref. [1] Debe ser un orden de magnitud menor, se deduce que la sección transversal excIP IP ( pp→ p+H + P ) para la exclusiva central La producción de Higgs también será un orden de magnitud menor. También se deduce que esta sección transversal será competitivo con la sección transversal para la producción exclusiva central de Higgs vía fusión γ γ, que se predice en ref. [2] debe ser «excá» (p+ p→ p+H + p) = 0,1fb. Para ilustrar eso para el proceso de Eq. (1.1), las secciones transversales serán competitivas para la fusión y fusión IPIP, es instructivo considerar los diagramas para estos procesos. La notación utilizada para el los acoplamientos en el modelo estándar son los siguientes. – 2 – valor de expresión constante de acoplamiento ( GeV / c2 ) 1.17 × 10−5 v gw 80 2o v2 120 ) g2s(M2H) donde la masa del bosón de Higgs, se deriva del valor de expectativa de vacío del Higgs SU (2) débil isodoblet, que es , donde v = , y μ y  son parámetros en el El potencial de Higgs, que se introduce en el modelo estándar en la ruptura espontánea de la simetría de SUL ( 2) × UY ( 1) → UEM ( 1), que es responsable de dar lugar a las masas de bosón W y Z. En el caso de fusión de â ¬ que se muestra en la Fig. 3, hay cuatro vértices proporcionales a αem acoplamiento de los fotones a la dos protones y los fotones a cada lado del subproceso para • → H. Un factor de g2w = 4 2GF m También debe incluirse, para dar cuenta del acoplamiento débil de los Higgs al sub-proceso, representado por el área sombreada en la Fig. 3. Así que se espera que la sección transversal sea proporcional a ( p+ p→ p+H + P ) 4 2GF m em = 0,6 fb (1,2) donde las unidades se definen como 1GeV−2 = 0,3893 mb. En producción exclusiva central de Higgs para el caso para la fusión, todos los acoplamientos de los fotones mostrados en la Fig. 3 son constantes conocidas, a saber, son proporcional a αem. Por lo tanto, la sección transversal para este diagrama se puede calcular exactamente. Por otro lado mano, al considerar la producción exclusiva central de Higgs para el caso de fusión IPIP que se muestra en la Fig. 1, los acoplamientos de los gluones no son constantes. In Fig. 1 hay cuatro acoplamientos de gluón con los protones, aportar una contribución a la sección transversal proporcional a α4s , donde Q2 es el impulso transferido a lo largo del pomeron, y se supone que αs • 0,2. También hay dos acoplamientos gluon con el subproceso para IPIP → H, dando una contribución a la sección transversal proporcional a α2s . Tomando la masa de los Higgs a ser MH 100GeV, entonces se espera que αs 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. También en el caso de fusión IPIP, un factor de g2w = 4 2GF m w también debe incluirse, para tener en cuenta el acoplamiento débil del Higgs al subproceso que se muestra en la Fig. 1. Para la fusión IPIP, este subproceso es el triángulo quark subproceso mostrado en la Fig. 2. Puesto que el gluon en sí se une débilmente al bosón de Higgs, sólo la contribución del subproceso del triángulo quark se tiene en cuenta. La amplitud para el subproceso triángulo quark, es – 3 – derivado en la sección 3.1 para el caso electromagnético, donde αs sustituye a αem. Después de multiplicar por un factor para la probabilidad de supervivencia, que incluye la probabilidad de supervivencia < S2 > = 4× 10−3 que toma a la cuenta de re-dispersión dura del pomeron, y < S2 > = 5× 10−2 que tiene en cuenta la suavidad re-dispersión del pomeron, entonces se obtiene para la sección transversal exclusiva para la exclusiva central Higgs producción, en el caso de la fusión IPIP, el valor ΔexcIP IP ( p+ p→ p+H + p) 4 2GF m < S2hard S soft = 0,9 fb (1,3) Comparando las estimaciones de Eq. (1.2) y Eq. (1.3), se espera que el excó (p+ p→ p+H + p) y La IP de ExcIP (p+ p→ p+H + p) será competitiva. Esta es la motivación de este documento que reexamina (p+ p→ p+H + p) para la producción de Higgs electromagnéticos. Este documento se organiza de la siguiente manera. En la sección 2, los detalles del cálculo de la cruz sección para la producción exclusiva central de Higgs en el caso de la fusión IPIP se explica en detalle. La cruz sección que se obtiene, se multiplica por el factor para la probabilidad de supervivencia en ref. [1], para dar la exclusiva sección transversal. En la sección 3, la sección transversal para la producción exclusiva central de Higgs, en el caso de la fusión se calcula. El mecanismo • → H procede a través del triángulo fermión y el bucle Boson subprocesos ilustrados en la Fig. 4 y Fig. 5. La sección transversal total para la producción exclusiva central de Higgs, en el caso de la fusión se calcula tomando la suma sobre todas las contribuciones para estos subprocesos para el mecanismo H. Finalmente, en la conclusión, los resultados encontrados en la sección 2 y en la sección 3, son: comparación. Todos los cálculos en este artículo, se basan en las reglas de Feynman para la teoría estándar de la electrodebilidad, administrado en la Fig. 6, que se encuentra en el apéndice. 2. Producción doble difractiva de Higgs en el LHC En esta sección, se deriva una expresión explícita para la amplitud Born para el doble diffractive Higgs pro- ión (véase la Fig. 1). Las parejas Higgs débilmente al gluon, por lo que la contribución principal viene de la subproceso de triángulo de quark (véase Fig. 2), y se tienen en cuenta los seis sabores de quarks. El segundo t gluón de canal en la Fig. 1 está incluido. Esto es debido a la gran rapidez (LRG) brecha entre los Higgs y el protón, que exige que en el canal t, uno tiene intercambio incoloro. De hecho, si el LRG no estaba presente entre los protones, entonces el Higgs simplemente podría ser producido a partir de la fusión gluon gluon en un solo canal. Sin embargo, el flujo de color inducido por un único proceso de intercambio de canales, podría producir muchas partículas secundarias. Estas partículas secundarias podrían llenar el LRG. Para examinar el flujo de color, es necesario intercambiar un segundo gluón de canal t. En el orden más bajo en αs, este gluon se une sólo a la Líneas de quark entrantes. La amplitud de Born para la producción de Higgs doble difractivo por intercambio de gluon, es dado por la expresión [3, 4] – 4 – Bremstrahlung gluón Higgs t−canal cribado gluón Q Gluones BFKL Gluones BFKL Figura 1: Producción de Higgs doble difractivo en la aproximación del Born A~k1 · ~k2 ~k1T ~k2T ~k1T ~k2T (2.1) donde ~k1 k2 = ha sido utilizado. En Eq. (2.1), el enfoque Weizsäcker - Williams, explicado en ref. [5] se ha utilizado. El factor A~k1 · ~k2 es la amplitud para el subproceso del triángulo quark de la Fig. 2, donde A toma el valor, [6, 7, 8, 9] (2.2) La amplitud del Born se muestra en la Fig. 1, se extiende a la dispersión de protones en lugar de simplemente dispersión quark Aquí. El momento típico transferido, t1 = ( q1 −Q) 2 y t2 = ( q2 −Q) 2, son bastante pequeños y de la orden de 1 , donde b es la pendiente del factor de forma gluon - protón, y se puede estimar que es b = 5.5GeV 2. Por lo tanto, se tienen en cuenta los acoplamientos de protones a la escalera de gluón (véase Fig. 1), incluyendo la factores de forma de protones en la forma gaussiana bt1 − donde t1 = ( q1 −Q)2 y t2 = ( q2 −Q)2 (2.3) – 5 – Higgs Figura 2: Subproceso del triángulo de Quark para la producción de Higgs en la fusión de gluon gluon describir la dependencia del impulso transferido. Si la transferencia de impulso es pequeña, puede se supone que k1 â € k2 â € Q. Por lo tanto, con la definición de Eq. (2.3), t1 → 0 y t2 → 0. Por lo tanto, los factores de forma de protones e− bt1 y e− bt2 tienden a 1, y se puede tomar fuera de la integral, y el Born la amplitud se comporta como bt1e− (2.4) Para considerar el proceso exclusivo solamente, con la condición de LRG, bremsstrahlung gluons debe ser Suprimida. Los gluones bremsstrahlung se muestran por las líneas discontinuas en la Fig. 1, que son suprimidos por multiplicando por el factor de forma Sudakov Fs = e −S(k2 ) (2,5) Fs es la probabilidad de no emitir gluones bremsstrahlung. S es la multiplicidad media de Bremsstrahlung gluones administrados como k2, E (2.6) En segundo lugar, la evolución de los gluones de escalera BFKL entre los dos canales (véase Fig. 1), debe ser tomado en cuenta. Para la dispersión de protones en lugar de la dispersión de quark, el acoplamiento ingenuo de los gluones al exterior – 6 – Los quarks deben ser sustituidos por un acoplamiento de los gluones a las líneas externas de protones. Para incluir ambos modificaciones, la densidad ingenua de gluón de los quarks se sustituye por la densidad de los protones por la siguiente: sustitución (2.7) donde f x, k2 es la densidad de gluón no integrada del protón. Después de incluir la forma Sudakov factor de Eq. (2.1), y la función de densidad de gluón de Eq. (2.7), la amplitud en Eq. (2.1) pasa a ser IP MIP (p+p → p+H+p) = Aγ3s e-S(k) x1, Q x2, Q (2.8) donde para las densidades de gluón f (x1,2) = 2 γ1,2e ( γ1,2) ln (2.9) donde γ1,2 son las dimensiones anómalas y el coeficiente numérico 2 en Eq. (2.9) puede tomarse de parametrizaciones MRST-2002-NLO. Usando Eq. (2.9), la integración sobre Q y sobre γ1 y γ2 puede ser evaluado. Resulta que el integrand de Eq. (2.8) tiene un punto de sillín dado por ln Q2 = ( γ1 + γ2 − 1), y los valores esenciales de γ1 y γ2 se aproximan a 12. Por lo tanto, el típico Q es bastante grande, y depende de la masa de los Higgs. Después de integrar sobre γ1 y γ2 y q, el final resultado para la amplitud PMI IP ( p+p → p+H+p) se deriva en el apéndice (ver sección A-1), y el final el resultado se da en Eq. (A-1-16) IP MIP (p+p → p+H+p) =− 2Aη4s «( 12) ln s1 «( 12) ln s1 + • ” En s1 ) (2.10) Ahora que se conoce la amplitud, el IP (p+p → p+H+p) para la producción central de Higgs puede ser cal- culado para el caso de fusión IPIP. Para obtener la sección transversal para la producción exclusiva central de Higgs, uno tiene que multiplicarse por un factor que tenga en cuenta la probabilidad de supervivencia para grandes brechas de rapidez < S2 > = 0,004, para suprimir el re-esparcimiento duro. Por lo tanto, la sección transversal de la excIP IP ( p+p → p+H+p), para la producción exclusiva central de Higgs, sin ningún otro redispersión dura para el caso de la fusión IPIP, toma el valor < S2hard > IP ( p+p → p+H+p) = IP IP ( p+p → p+H+p) = 0,47 fb (2,11) – 7 – 3. Producción de Higgs electromagnéticos en el LHC En el caso de la producción exclusiva central de Higgs para el caso de la fusión, se muestra en la Fig. 3, no hay difícil re-dispersión para tener en cuenta, y todos los acoplamientos se conocen con precisión. El área sombreada en la Fig. 3 representa el subproceso para el mecanismo • → H. Los posibles mecanismos se ilustran en la Fig. 4 y Fig. 5, y sus contribuciones a la amplitud se calculan en esta sección. La invarianza de medida requiere que la contribución de un subproceso para el mecanismo • → H, toma la forma fotón fotón Higgs + qq= Figura 3: Producción difusa de Higgs en un solo canal de intercambio de fotones. A. = A.................................................................................................................. (3.1) donde A es una constante, dependiendo del subproceso en particular. Resulta que para el caso de cuando el subproceso es el triángulo del fermión que se muestra en la Fig. 4, resumido en los seis sabores de quarks, y los tres sabores de leptón, entonces la expresión de la amplitud toma la forma de Eq. (3.1). Sin embargo, en el caso de cuando el subproceso es uno de los bucles de Boson mostrados en la Fig. 5, la expresión para la amplitud no es de la forma de Eq. (3.1). La declaración correcta es que la suma sobre todas las amplitudes para los subprocesos se muestra en la Fig. 5, da un indicador invariante expresión de la forma de Eq. (3.1). La amplitud del diagrama de la Fig. 3, donde el proceso • → H procede a través de la suma sobre el triángulo de fermión que se muestra en la Fig. 4, y los bucles de Boson se muestran en la Fig. 5, es dada por (p+p → p+H+p) = − 4o.m. AFA + A (3.2) donde A • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • denota la amplitud del triángulo quark/anti-quark subpro- cesto, resumido en los seis sabores de quark/anti-cuarco (q, /q̄ = u/ū, d/d̄, s/s̄, c/c̄, t/t̄, b/b̄) y todos – 8 – tres aromas de leptón/antileptón (L± = e±,, ), mostrados en la Fig. 4, y Ab. = Ab. denota la amplitud de la suma en todos los subprocesos del bucle Boson que se muestran en la Fig. 5. En este punto, el Weizsacker - Fórmula Williams se utiliza, como se explica en refs. [3, 5, 4]. En este enfoque, la sustitución 2A• = − 2SM2 Se usa 2A®. En la notación utilizada en este artículo, q 1 y q 2 denota dos dimensiones- vectores sisionales, en el plano transversal a la dirección de la momenta de los dos protones entrantes p 1 y p. 2.......................................................................... Por lo tanto, la amplitud de Eq. (3.2) puede ser escrito como (p+p → p+H+p) = − 4o.m. AFA + A (3.3) Para calcular la sección transversal, uno tiene que integrar la amplitud cuadrada sobre todo el transversal momenta q1 y q2. Para la producción exclusiva central de Higgs en el caso de la fusión, se requiere que los límites inferiores de integración son: qmin1 qmin2 = m2p , donde mp es la masa de protones, que es En este documento se supone que es 1 GeV. Los límites superiores de la integración, se toman del electromagnético factores de forma para el protón, a saber, Gp ”, a partir de la cual los límites superiores de la integración se derivan a ser ( qmax1 ) = ( qmax1 ) = 0,72. ( p+p → p+H+p) = (Af + Ab) (3.4) donde y = ln s es la brecha de rapidez entre los dos protones entrantes en la Fig. 3, y m es el protón masa, se supone que es 1 GeV. Este cálculo es para la producción exclusiva central de Higgs en el LHC, donde se espera que s = 14000GeV, que da para el valor de la brecha de rapidez y = 19. 3.1 El subproceso del triángulo del fermión para la producción de Higgs en la fusión Producción exclusiva central de Higgs para el caso de fusión, puede proceder a través del subproceso triángulo de fermión → H se muestra en la Fig. 4, donde los fermiones incluyen los seis sabores de quarks y anti quarks (u, d, s, c, t, b) y los tres sabores de leptón y antileptón (e, μ, Una derivación de la amplitud para el triángulo del fermión, se puede encontrar en refs. [6, 9, 10] para el caso en que la masa del fermión en el triángulo es mucho más grande que la masa de Higgs. En esta sección, la amplitud del fermión triángulo se deriva tomando la suma sobre todos los fermiones que podrían contribuir, incluyendo los seis quark sabores y los tres sabores de leptón. El acoplamiento H → f f vértice, es proporcional a la masa mf de el fermión en el vértice, de modo que la amplitud del subproceso del triángulo del fermión sea proporcional a la masa del fermión en el triángulo. Se supone que las masas de fermión toman los siguientes valores: en el cuadro que figura a continuación. – 9 – masa de fermión ( GeV / c2 ) quarks u 3 × 10−3 d 6 × 10−3 s 1.3 c 0,1 t 175 b 4.3 fermiones e 5.11 × 10−4 μ 0,106 1-7771 Por lo tanto, estos valores indican que la contribución más significativa a la amplitud vendrá de el triángulo quark superior. Higgs pH pH Figura 4: Subproceso del triángulo de Fermion para la producción de Higgs a través de la fusión Deducir explícitamente la amplitud del subproceso Fig. 4, el etiquetado de momentánea mostrado en el – 10 – se utiliza el diagrama, y se introduce la siguiente notación. D1 = l 2 −m2f D2 = (l − q1) 2 −m2f D3 = (l + q2) 2 −m2f (3.1.1) donde mf denota la masa del fermión que forma el triángulo, que podría ser uno de los quark sabores o uno de los sabores de leptón. Entonces la amplitud para el subproceso del triángulo del fermión, resumido sobre todas las posibilidades de los sabores quark y anti-cuark, y los sabores leptón y anti-leptón toman la forma A.q. = 4o.m. D1D2D3 donde L = e, μ, 3.1.2) donde q denota la suma de los seis sabores quark q = u, d, s, c, t, b y L=e, μ, ♥ denota la suma correspondiente a los tres sabores de leptón L = e, μ, . En el RHS de Eq. 3.1.2), d es el espacio-tiempo dimensión, y al final f el cálculo, d → 4 se impone. La razón para no especificar esto en el en principio, es porque será necesario utilizar la regularización dimensional para cancelar las divergencias, que requiere integración sobre las dimensiones d + •, en el límite que d → 4 y • → 0. Usando la notación mostrada en el diagrama de la Fig. 4 para el flujo de momenta en los triángulos quark y anti - quark, el trazo término es dada por lx + q x + mf l +mfγ l-q-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l- −lx + q1x +mf −l +mf −Io − q2o +mf = 8mf 2 + 4l μl/ + 2 (lμq/ 1 − l/q 2 )− g ~q1 · ~q2 + l2 −m2f 3.1.3) donde ~q1 y ~q2 denota cuatro vectores dimensionales. La primera línea en el RHS de Eq. 3.1.3) corresponde a a la contribución dada por el triángulo formado por los fermiones, (es decir. quarks q = (u, d, s, c, t, b ) y leptons cargados negativamente L− = ( e−, , ), y la segunda línea corresponde a la contribución dado por el triángulo formado por los anti-fermiones (es decir. anti - quarks q̄ = (ū, d̄, s̄, c̄, t̄, b̄ ) y posi- L+ = ( e+, , ) ). Presentación de los parámetros de Feynman para reescribir el cociente (D1D2D3) en una forma más conveniente, Eq. 3.1.2) simplifica la 4o.m. dd l ∫ 1−x 8mf I lû2 f ( x, y) en la que f = m f − M2H x y y l = lμ − x q v1 + y q 2 3.1.4) Nota en el último paso, se asumió que q21+ q22+ M2H,m2f para que estos términos puedan ser ignorados. De la cinemática mostrada en el diagrama de la Fig. 3, y Fig. 4, está claro que 2~q1 · ~q2 = M2H. El rastro – 11 – Término I se administró en Eq. 3.1.3) en términos del impulso desconocido lμ en el triángulo del fermión en la Fig. 4. En términos de la nueva variable l, el término traza toma la forma 2 + 4l μ l − 4q v1q 2x y − g ~q1 · ~q2 (1− 2x y)−m2f + l (3.1.5) Los detalles de la integración a lo largo del impulso en el RHS de Eq. 3.1.4) figuran en la sección A-3 del apéndice (véase Eq. (A-3-1) - Eq. (A-3-4)). Aquí, se utiliza la regularización dimensional, una técnica donde se integra sobre d + • dimensiones, y después d → 4 y • → 0. Esto elimina el no calibrador términos invariantes, en el numerador del integrand en el RHS de Eq. 3.1.4). De esta manera, se obtiene el después del resultado invariante del calibrador para el RHS de Eq. 3.1.4). 2αemG Si (3.1.6) donde f =u, d, s, c, t, b, e, μ, ∫ 1−x 1− 4xy f ( x, y) en los que ­f ( x, y) = m f −M2Hxy (3.1.7) La integral Si se evalúa en la sección A-3 del apéndice (véase Eq. (A-3-5) Eq. (A-3-13) ). Se gira. que, debido a la dependencia del factor para el acoplamiento H → f f vértice en la masa del fermión mf, que el único triángulo de fermión que da una contribución significativa a la amplitud es para el caso donde mf MH. Desde la mesa, esto es cierto sólo para el quark mt superior. Por lo tanto, resulta que el sólo el triángulo de fermión que es necesario tomar en, es el triángulo quark superior, y las contribuciones de el resto de los subprocesos triángulo formados por el resto de los quarks, y los leptones pueden ser descuidados. Utilizando este resultado, la amplitud para la contribución del triángulo del fermión tiene la expresión = Af (q) 2 − g (~q1 · ~q2)) donde Af = − (3.1.8) 3.2 Subprocesos del bucle de Boson para la producción de Higgs en la fusión Para la producción exclusiva central de Higgs, el Higgs también se puede producir a través del subproceso • → lazo de bosón → H, donde los lazos de bosón posibles se muestran en la Fig. 5 (tomado de ref. [7]). H− en la Fig. 5 es un bosón antifísico, cargado Higgs, y es un fantasma Fadeev-Popov. El formalismo para el cálculo la amplitud de cada diagrama en la Fig. 5, es similar al enfoque utilizado para calcular la amplitud de la triángulo de fermión superior, en la sección 3.1. Similarmente aquí, después de la integración sobre el momento desconocido l en el bucle de cada diagrama en la Fig. 5, y después de la integración sobre los parámetros de Feynman, la expresión para cada El diagrama toma la forma general [7] – 12 – (+ C) (3.2.1) donde d es la dimensión del espacio-tiempo. Términos proporcionales a q21 y q 2 se suponía que desaparecía, y de la cinemática que se muestra en la Fig. 3, se asumió que ~q1 · ~q2 = . En el límite que d → 4, el Término proporcional a en el RHS de Eq. (3.2.1) tiende al infinito. Sin embargo, cuando se suman más de las contribuciones a la amplitud dadas por todos los subprocesos de bosón mostrados en la Fig. 5, estas divergencias cancelar exactamente (véase la tabla siguiente). Se requiere también, que esta suma sobre todas las amplitudes para el bosón subprocesos de bucle mostrados en la Fig. 5, cumple la condición C = − D (3.2.2) tal que la amplitud de la suma es calibrado invariante. En ref. [7], esta suma fue tomada y el resultado fue una casi calibrado invariante expresión, ya que términos proporcionales a y más arriba fueron descuidados. En el cálculo que conducen a los resultados en este artículo, el resultado da una expresión invariante de calibre exactamente, después de utilizar la regularización dimensional para eliminar los términos que no satisfacen la condición de invarianza del calibrador. Gráfico B C D a + cruzado 3 (d− 1) −4 5 b + cruzado −2 (d−1) 0 2m c + d + cruzado −1 (d - 1) − 4 2 e + cruzado 0 0 −m f + cruzado 0 0 1 g + h + cruzado 1 0 0 i + cruzado −2 0 0 2j + cruzado −1 suma 1 d) 2 - 8 8 Por lo tanto, enchufar los resultados mostrados en la tabla para los coeficientes en Eq. (3.2.1), el resultado de la la suma sobre las amplitudes de los subprocesos que se muestran en la Fig. 5 da un indicador de la expresión invariante, y en el límite que d→ 4, las divergencias cancelan exactamente, tal que la expresión de Eq. (3.2.1) se reduce a donde Ab = 4 (3.2.3) – 13 – Higgs Figura 5: Subproceso del bucle de Boson para la producción de Higgs en la fusión Cabe destacar los resultados de la amplitud del subproceso de la Fig. 5 a), el subproceso • → triángulo W → H, interfiere destructivamente con el subproceso • → triángulo fermión → H se muestra en Fig. 4. – 14 – 3.3 Sección transversal para la producción exclusiva central de Higgs a través de la fusión Ahora que las amplitudes para los sub-procesos • → triángulo de fermión → H y • → bucle de bosón → H se han calculado, los resultados se pueden conectar a Eq. (3.4) para derivar la sección transversal, para central producción exclusiva de Higgs a través de la fusión. El resultado, teniendo en cuenta todos los subprocesos posibles se muestra en la Fig. 4 y Fig. 5 se encuentra para ser (p+p → p+H+p) = 0,1 fb (3.3.1) 4. Conclusión Los resultados de este documento se resumen en el cuadro que figura a continuación. Ôexc es la sección transversal exclusiva, que incluye la multiplicación por un factor para la probabilidad de supervivencia, para la producción exclusiva central de Higgs. Los los resultados se dan para los mecanismos pp → • → H y → IPIP → H. Tenga en cuenta que en estos resultados, el sección transversal para la producción exclusiva central de Higgs en el caso de la fusión, se multiplica por un factor para el probabilidad de supervivencia de 1. Esto se debe a que en el caso del intercambio de fotones, no hay re-dispersión difícil para suprimir, y las grandes brechas de rapidez entre el Higgs y los dos protones emergentes son automáticamente presente. proceso < S2 > exc (fb) IPIP 0,023 2,7 IPIP 0,004 0,47 • 1 0,1 Los resultados muestran que, tomando la probabilidad de supervivencia a 0.02, que es el valor utilizado en ref. [2], entonces el resultado para ÔexcIP IP para la producción exclusiva central de Higgs en el LHC, está casi de acuerdo con la predicción de ref. [2] (que era de 3 fb). Sin embargo, si la probabilidad de supervivencia es un orden de magnitud menor como se predijo en ref. [1] entonces la IP de ExcIP será un orden de magnitud más pequeño y, se convierte en competitivo con • para el período comprendido entre el 1 de enero de 2000 y el 31 de diciembre de 2000; producción exclusiva central de Higgs en el LHC. 5. Agradecimientos Este artículo está dedicado a la memoria del abuelo Herman, el Pindenjara 15 de abril de 1924 - 2 de enero 2007. Me gustaría dar las gracias a E. Levin por su útil consejo al escribir este documento. También me gustaría dar las gracias a E. Gotsman, A. Kormilitzin, A. Prygarin para discusiones fructíferas sobre el tema. Esta investigación recibió apoyo en parte por la Fundación Científica Israelí, fundada por la Academia Israelí de Ciencias y Humanidades, subvención del Ministerio de Ciencia, Cultura y Deporte de Israel y de la Fundación Rusa para la investigación básica de la Federación de Rusia, y por la subvención BSF 20004019. – 15 – A. Apéndice A-1 Evaluación de la integral sobre las dimensiones anómalas γ1 y γ2 del impulso Q2 en la función de densidad de gluón La amplitud del Born fue calculada en Eq. (2.8), en términos de la densidad de gluón en función de la anómala dimensiones γ1 y γ2, para las dos escaleras gluon en la Fig. 1. Ahora es necesario integrar más de γ1 y γ2, y También sobre el impulso en el gluon del canal t, a saber Q. En conjunto, las integraciones necesarias toman la MIP IP ( p+p → p+H+p) = Aγ3s dγ1dγ2 e-S(k) x1, Q x2, Q (A-1-1) En primer lugar, la integral sobre Q se evalúa utilizando la técnica de descenso más empinada. La densidad de gluón es dado por Q2, x1,2 )γ1,2 (γ1,2) ln s0 (A-1-2) donde , donde s0 • 1GeV. Esto viene del intercambio de gluon de la escalera BFKL (véase la Fig. 1), mientras que el coeficiente se tomó de los datos de MRST - NLO - 2002 (véase Ref/[?]). (γ1,2) es el kernel BFKL definido como (γ1,2) = sχ (γ1,2) = s (γ1,2) − (γ1,2) − (γ1,2) − ( 1− γ1,2) ) (A-1-3) en la que la letra f) es la función dagamma y la letra f) = d-( f) . En Eq. (A-1-2), S k2, E es el Sudakov factor de forma con el valor típico [3, 4] S Q2, E = 3αs , en la notación que E = Usando esta Eq de sustitución. (A-1-1) entonces se convierte en PIM IP ( p+p → p+H+p) = 4Aη3s dγ1dγ2 × exp • ( γ1) ln + (γ2) ln (A-1-4) donde ♥ − (γ1 + γ2 − 1) lnQ2 (A-1-5) Diferenciando el lado derecho de Eq. (A-1-5) con respecto a ln Q2, se ve que ♥ tiene una silla de montar punto en ln Q2 = ln (γ1 + γ2 − 1). Por lo tanto, cambiar la variable de integración a u = ln Q2, y expandiéndose alrededor de la silla de montar, Eq. (A-1-4) puede escribirse como – 16 – MIP IP ( p+p → p+H+p) = 4Aη3se(u0) dγ1dγ2 (u-u0)2 d2o(u0) *( γ1) ln ( γ2) ln (A-1-6) donde u0 = ln (γ1 + γ2 − 1) (A-1-7) Ahora el lado derecho de Eq. (A-1-6) se ha reducido a una integral gaussiana sobre u, que puede ser evaluado por la técnica de descenso más empinada, para dar la expresión PIM IP ( p+p → p+H+p) =4Aη4s dγ1dγ2 exp (γ1 + γ2 − 1) (γ1 + γ2 − 1) + ln × exp • ( γ1) ln + (γ2) ln (A-1-8) La función BFKL (γ) tiene un punto de sillín en γ = 1 . Cerca de este punto se puede escribir como * (γ1,2) = * γ1,2 − (A-1-9) Por lo tanto, utilizando Eq. (A-1-9), Eq. (A-1-8) puede reducirse a PIM IP ( p+p → p+H+p) =4Aη4s dγ1dγ2 exp ( f ( γ1, γ2) ) ( A-1-10) donde la función f ( γ1, γ2) tiene la forma f (γ1, γ2) = + (γ1 + γ2 − 1) (γ1 + γ2 − 1) + ln (A-1-11) Esta función tiene un punto de sillín con respecto a γ1 dado por (γ2 − 1)− En s1 + • ” En s1 ) (A-1-12) Por lo tanto, la expansión f ( γ1, γ2) alrededor de γ 1, la integración sobre γ1 se evalúa utilizando el descenso más pronunciado técnica para dar la expresión – 17 – PIM IP ( p+p → p+H+p) =2Aη4s exp ( f (γ) 1, γ2)) + • ” En s1 (A-1-13) Ahora la función f (γ 1, γ2) tiene un punto de sillín con respecto a γ2 dado por En s1 ln s1s2 + • ” ln s1s2 1 + 4η En s1 (A-1-14) Aquí, en la segunda línea, se asume que s1+ s2. Para grandes s1 y s2, γsp2 es aproximadamente . Uso el mismo método que el anterior, expandiendo f ( γ 1, γ2) en torno a γ 2, la integración sobre γ2 se evalúa utilizando la técnica de descenso más empinada para Eq. (A-1-13), para dar el resultado MIP IP ( p+p → p+H+p) = Aγ4s 2 − 2 exp 1, γ 2 â € 12 + • ” En s1 ) (A-1-15) donde f ( γ 1, γ 2 ) = − En s1 En s1 (A-1-16) – 18 – A-2 Reglas de Feynman para la teoría estándar de la electrodebilidad wmwg w w H μ No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Figura 6: Figura 7: Las reglas de Feynman en la teoría de electrodebilidad estándar A-3 Evaluación de la integral sobre el impulso en el bucle del triángulo del fermión La amplitud para el subproceso del triángulo del fermión, resumido sobre todos los sabores de quark q = (u, d, s, c, t, b ) – 19 – y aromas de leptón L = ( e, μ,  ), para el mecanismo de triángulo de fermión → H se encontró en la ecuación Eq. 3.1.4) tomar la forma 4o.m. ∫ 1−x ( 1 - 2 x y) − 2 x y M g-(+m2) l­2 f (x, y) 4o.m. ∫ 1−x 4IOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO lû2 f ( x, y) donde •f = m f − M2H xy y L = e, μ, (A-3-1) donde q denota la suma de los seis sabores quark q = u, d, s, c, t, b y L = e, μ, suma de los tres sabores de leptón L = e, μ, . Del numerador del integrand, en el RHS de Eq. (A-3-1), se puede ver que hay un indicador Término invariante ( 1 - 4x y), y el numerador en el integrand de la segunda línea en el RHS da una contribución desapareciendo a la integración a lo largo de l贸, para d → 4. Sin embargo, todavía queda uno. con los términos −2xyM g-(+) m2 En el numerador del integrand, que ciertamente no son de calibre invariante. Sin embargo, convenientemente esta pieza invariante no calibradora es exactamente igual a f (x, y) introducido en Eq. 3.1.2). Para hacer frente a esta pieza invariante no calibradora, es útil utilizar la regularización dimensional, cuando se integra sobre el término lû2 en el numerador del integrand en la segunda línea. En este enfoque, uno inicialmente integra sobre d + las dimensiones en el límite que 0 y d→ 4. De esta manera el no calibrador Los términos invariantes desaparecen. Por lo tanto, la evaluación de la integral sobre lс en el RHS de Eq. (A-3-1) da 4o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° (−1)3 3 − d ( 3 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ∫ 1−x ( 1 - 4 x y) + (x, y) f (x, y) + 2 lim 4o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° (−1)3+1 3 − d 2o ( 3) ( 4o) ∫ 1−x dy 8m2f ( 4g - (d+) g-) (A-3-2) En el límite que • → 0 y d → 4, la función gamma • 3 - d y el RHS de Eq. (A-3-2) se reduce a 4o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 2 ( 4η) ∫ 1−x ( 1 - 4 x y) + (x, y) f ( x, y) 4o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 2 ( 4η) ∫ 1−x dy 8m2f • (A-3-3) – 20 – Por lo tanto, después de la cancelación de en el numerador y el denominador en la segunda línea en el RHS de Eq. (A- 3-3), la segunda línea cancela exactamente la parte invariante no calibradora del integrand en la primera línea. Por lo tanto, uno se deja con la expresión invariante puramente calibrador A­q = −2 Si (A-3-4) donde Si es la única integral restante a evaluar, que toma la forma f =u, d, s, c, t, b, e, μ, ∫ 1−x 1− 4xy f (x, y) en la que Łf (x, y) = m f −M2Hxy (A-3-5) Para evaluar esta integral, se trata de dos casos a considerar, a saber, (1) cuando m2 M2H, que es cierto para el quark superior cuando mf = mt = 175GeV, y (2) cuando m M2H, que es cierto para todo el resto de los fermiones enumerados en la tabla. Por lo tanto f Si se puede separar en dos partes, a saber: Si = Lo + f 6= t Si (A-3-6) Para el caso (1), donde mf = mt MH, se puede escribir de una manera más conveniente como ∫ 1−x 1− 4xy ∫ 1−x 4 + 1 - 4 m ) ∫ 1 x ( 1 - x) ) ∫ 1 ( 1 - x) + x ( 1− x)2 + x2 ( 1− x)3 +..... (A-3-7) donde en el último paso, el logaritmo se expandió en una serie de Taylor alrededor de x = 0. Evaluación de la integral sobre x, y puesto que se supone que M2H m2t, manteniendo los términos no más pequeños que , el RHS de Eq. (A-3-7) pasa a ser +.... (A-3-8) – 21 – Para el caso (2), donde mf â € MH que incluye todos los fermiones en la tabla, excepto el quark superior, hay dos posibles regiones de integración, a saber (I) cuando M2H x y > m y (II) cuando M2H x y < m En la región donde M2H x y > m f, el RHS de Eq. (A-3-5) se reduce a f 6= t región (I) f 6= t ∫ 1−x 1− 4xy f 6= t x ( 1 - x) f 6= t 1− x − f 6= t polilog ( 2, x = 1) − f 6= t polilog 2, x = f 6= t (A-3-9) En la región (II) donde M2H x y < m , el RHS de Eq. (A-3-5) se reduce a f 6= t región (II) f 6= t ( 1 – 4xy) f 6= t f 6= t (A-3-10) Por lo tanto, añadir las contribuciones de Eq. (A-3-9) y Eq. (A-3-10) para las contribuciones de la región (I) y región (II) de la integral, da el resultado f 6= t Si = − f 6= t f 6= t polilog ( 2, x = 1) − polilog 2, x = (A-3-11) f 6= t MH (A-3-12) De Eq. (A-3-12) y Eq. (A-3-8), el resultado para la evaluación de la integral Si tiene su principal contribución del triángulo quark superior, de tal manera que – 22 – En caso de que el valor de referencia sea igual o superior al valor de referencia, se considerará que el valor de referencia es igual o superior al valor de referencia del valor de referencia. MH (A-3-13) Conectando este resultado a Eq. (A-3-4) da la expresión final para la amplitud del triángulo del fermión subproceso mostrado en la Fig. 4, para la suma de todas las contribuciones quark q = ( u, d, s, c, t, b ) y leptón contribuciones L = e, μ, donde Af = − (A-3-14) Bibliografía [1] J.S. Miller, “Probabilidad de supervivencia para la producción difractiva de Higgs en QCD de alta densidad” (en prensa) arxiv: hep-ph/0610427 [2] V.A. Khoze A.D.Martin M.G. Ryskin “Prospectos de nuevas observaciones físicas en procesos difractivos en el LHC y Tevatron” Eur. Phys. J. C23 311 - 327 (2002) arxiv: hep-ph/0111078 [3] V. Khoze, A.Martin, M.Ryskin, “El espacio de rapidez Higgs señal en el LHC” Phys. Lett. B401 (191997) 330 a 336 arXiv:hep-ph/9701419 [4] V.Khoze, A.Martin, M.Ryskin, “Dijet hadroproduction with rapidity gaps and QCD double logaritmic effects” Phys. Rev. D56 (191997) 5867-5874 arXiv:hep-ph/9705258 [5] G.Altarelli, G.Parisi, Nucl. Phys. B126 (191977) 298 [6] Thomas G. Rizzo, “Los estados finales de Gluon en la decadencia de Higgs - Boson”, Phys. Rev. D22 (191980) 178, Adición-ibíd. Phys. Rev. D22 (191980) 1824-1825 [7] J. Ellis et al., “Higgs boson” Nucl. Phys. B106 326- 331 (1976) [8] J. Ellis et al., “Perfil fenomenológico del bosón de Higgs” Nucl. Phys. B106 (191976) 326-331 [9] S. Dawson, “Correcciones radiativas a la producción de bosones de Higgs” Nucl. Phys. B359 (191991) 283-300 [10] S. Bentvelsen, E. Laenen, P. Motylinski, “Producción de Higgs a través de la fusión de gluon en el orden principal” NIKHEF 2005 - 007 – 23 –

Se calcula la sección transversal para la producción de Higgs difractivos centrales, para el rango de energías LHC. Los gráficos de los posibles mecanismos para Higgs la producción, a través de la fusión de pomerones y las fusiones de fotones se calculan para todos posibilidades permitidas por el modelo estándar. La sección transversal para central la producción difractiva de Higgs a través de la fusión de pomerones, debe multiplicarse por una factor para la probabilidad de supervivencia, para aislar la señal de Higgs y reducir la antecedentes. Debido al pequeño valor de la probabilidad de supervivencia $\Lb 4 \times 10°-3°Rb $, las secciones transversales para la producción de Higgs difractivos centrales, en los dos casos para la fusión de pomerones y la fusión de fotones, son competitivos.

Introducción El proceso más prometedor para la observación del bosón de Higgs en el LHC es la producción difractiva central de los Higgs, con grandes brechas de rapidez ( LRG ) entre los Higgs y los dos protones emergentes, después de Dispersión. Es decir, p + p → p + [LRG ] + H + [LRG ] + p (1.1) Las grandes brechas de rapidez a ambos lados del Higgs reduce el fondo, por lo que la señal de Higgs será más fácil de aislar en la producción exclusiva central. Por lo tanto, este proceso da la mejor firma experimental – 1 – para la detección de los Higgs en el LHC, y es muy interesante para los experimentos en la búsqueda del bosón de Higgs. En este artículo, se comparan dos mecanismos para la producción exclusiva central de Higgs; (1) γ γ fusión, a saber pp → γ γ → H y (2) intercambio de pomeron, a saber pp → IP → H, donde IP denota un Pomeron. Para la fusión γ γ, no hay re-dispersión difícil de los fotones para llenar los huecos de rapidez, de modo que grandes brechas de rapidez están presentes automáticamente. La motivación para considerar IP IP → H, es la observación que para la fusión gluon gluon, es decir, el proceso gg → H el flujo de color induce muchos secundarios parten duchas que llenan las brechas de rapidez. En su lugar, el proceso IP IP → H es un intercambio de color singlet, donde se examina el flujo de color y se preservan los grandes huecos de rapidez. Sin embargo, en el caso de la fusión IPIP, hay correcciones redispersivas duras, dando inelástico adicional scattering, que dará la emisión de llenar las brechas de rapidez (véase ref. [1]). Para garantizar la presencia de grandes brechas de velocidad después de la dispersión en la producción exclusiva central, en el caso de la fusión IPIP, uno tiene que multiplicar por la probabilidad de supervivencia. Esta es la probabilidad de que grandes brechas de rapidez, entre los Higgs bosón y los protones emergentes, estarán presentes después de la dispersión. El motivo de este artículo, fue impulsado por el valor potencialmente pequeño para la probabilidad de supervivencia, a saber: < S2 > = 4 × 10−3, calculado en ref. [1] para la producción exclusiva central de Higgs mediante fusión IPIP. Esto es un orden de magnitud inferior a las estimaciones anteriores, a saber, < S2 > 0,02 para las energías LHC (véase ref. [2]). Por lo tanto, los cálculos anteriores en ref. [2] de la sección transversal para la producción exclusiva central de Higgs a través de La fusión IPIP, que incluía un factor para la probabilidad de supervivencia de < S2 > 0,02, dio para la exclusiva sección transversal excIP IP ( pp→ p+H + P ) = 3 fb. Dado que la probabilidad de supervivencia se predice en ref. [1] Debe ser un orden de magnitud menor, se deduce que la sección transversal excIP IP ( pp→ p+H + P ) para la exclusiva central La producción de Higgs también será un orden de magnitud menor. También se deduce que esta sección transversal será competitivo con la sección transversal para la producción exclusiva central de Higgs vía fusión γ γ, que se predice en ref. [2] debe ser «excá» (p+ p→ p+H + p) = 0,1fb. Para ilustrar eso para el proceso de Eq. (1.1), las secciones transversales serán competitivas para la fusión y fusión IPIP, es instructivo considerar los diagramas para estos procesos. La notación utilizada para el los acoplamientos en el modelo estándar son los siguientes. – 2 – valor de expresión constante de acoplamiento ( GeV / c2 ) 1.17 × 10−5 v gw 80 2o v2 120 ) g2s(M2H) donde la masa del bosón de Higgs, se deriva del valor de expectativa de vacío del Higgs SU (2) débil isodoblet, que es , donde v = , y μ y  son parámetros en el El potencial de Higgs, que se introduce en el modelo estándar en la ruptura espontánea de la simetría de SUL ( 2) × UY ( 1) → UEM ( 1), que es responsable de dar lugar a las masas de bosón W y Z. En el caso de fusión de â ¬ que se muestra en la Fig. 3, hay cuatro vértices proporcionales a αem acoplamiento de los fotones a la dos protones y los fotones a cada lado del subproceso para • → H. Un factor de g2w = 4 2GF m También debe incluirse, para dar cuenta del acoplamiento débil de los Higgs al sub-proceso, representado por el área sombreada en la Fig. 3. Así que se espera que la sección transversal sea proporcional a ( p+ p→ p+H + P ) 4 2GF m em = 0,6 fb (1,2) donde las unidades se definen como 1GeV−2 = 0,3893 mb. En producción exclusiva central de Higgs para el caso para la fusión, todos los acoplamientos de los fotones mostrados en la Fig. 3 son constantes conocidas, a saber, son proporcional a αem. Por lo tanto, la sección transversal para este diagrama se puede calcular exactamente. Por otro lado mano, al considerar la producción exclusiva central de Higgs para el caso de fusión IPIP que se muestra en la Fig. 1, los acoplamientos de los gluones no son constantes. In Fig. 1 hay cuatro acoplamientos de gluón con los protones, aportar una contribución a la sección transversal proporcional a α4s , donde Q2 es el impulso transferido a lo largo del pomeron, y se supone que αs • 0,2. También hay dos acoplamientos gluon con el subproceso para IPIP → H, dando una contribución a la sección transversal proporcional a α2s . Tomando la masa de los Higgs a ser MH 100GeV, entonces se espera que αs 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. + 0.12. También en el caso de fusión IPIP, un factor de g2w = 4 2GF m w también debe incluirse, para tener en cuenta el acoplamiento débil del Higgs al subproceso que se muestra en la Fig. 1. Para la fusión IPIP, este subproceso es el triángulo quark subproceso mostrado en la Fig. 2. Puesto que el gluon en sí se une débilmente al bosón de Higgs, sólo la contribución del subproceso del triángulo quark se tiene en cuenta. La amplitud para el subproceso triángulo quark, es – 3 – derivado en la sección 3.1 para el caso electromagnético, donde αs sustituye a αem. Después de multiplicar por un factor para la probabilidad de supervivencia, que incluye la probabilidad de supervivencia < S2 > = 4× 10−3 que toma a la cuenta de re-dispersión dura del pomeron, y < S2 > = 5× 10−2 que tiene en cuenta la suavidad re-dispersión del pomeron, entonces se obtiene para la sección transversal exclusiva para la exclusiva central Higgs producción, en el caso de la fusión IPIP, el valor ΔexcIP IP ( p+ p→ p+H + p) 4 2GF m < S2hard S soft = 0,9 fb (1,3) Comparando las estimaciones de Eq. (1.2) y Eq. (1.3), se espera que el excó (p+ p→ p+H + p) y La IP de ExcIP (p+ p→ p+H + p) será competitiva. Esta es la motivación de este documento que reexamina (p+ p→ p+H + p) para la producción de Higgs electromagnéticos. Este documento se organiza de la siguiente manera. En la sección 2, los detalles del cálculo de la cruz sección para la producción exclusiva central de Higgs en el caso de la fusión IPIP se explica en detalle. La cruz sección que se obtiene, se multiplica por el factor para la probabilidad de supervivencia en ref. [1], para dar la exclusiva sección transversal. En la sección 3, la sección transversal para la producción exclusiva central de Higgs, en el caso de la fusión se calcula. El mecanismo • → H procede a través del triángulo fermión y el bucle Boson subprocesos ilustrados en la Fig. 4 y Fig. 5. La sección transversal total para la producción exclusiva central de Higgs, en el caso de la fusión se calcula tomando la suma sobre todas las contribuciones para estos subprocesos para el mecanismo H. Finalmente, en la conclusión, los resultados encontrados en la sección 2 y en la sección 3, son: comparación. Todos los cálculos en este artículo, se basan en las reglas de Feynman para la teoría estándar de la electrodebilidad, administrado en la Fig. 6, que se encuentra en el apéndice. 2. Producción doble difractiva de Higgs en el LHC En esta sección, se deriva una expresión explícita para la amplitud Born para el doble diffractive Higgs pro- ión (véase la Fig. 1). Las parejas Higgs débilmente al gluon, por lo que la contribución principal viene de la subproceso de triángulo de quark (véase Fig. 2), y se tienen en cuenta los seis sabores de quarks. El segundo t gluón de canal en la Fig. 1 está incluido. Esto es debido a la gran rapidez (LRG) brecha entre los Higgs y el protón, que exige que en el canal t, uno tiene intercambio incoloro. De hecho, si el LRG no estaba presente entre los protones, entonces el Higgs simplemente podría ser producido a partir de la fusión gluon gluon en un solo canal. Sin embargo, el flujo de color inducido por un único proceso de intercambio de canales, podría producir muchas partículas secundarias. Estas partículas secundarias podrían llenar el LRG. Para examinar el flujo de color, es necesario intercambiar un segundo gluón de canal t. En el orden más bajo en αs, este gluon se une sólo a la Líneas de quark entrantes. La amplitud de Born para la producción de Higgs doble difractivo por intercambio de gluon, es dado por la expresión [3, 4] – 4 – Bremstrahlung gluón Higgs t−canal cribado gluón Q Gluones BFKL Gluones BFKL Figura 1: Producción de Higgs doble difractivo en la aproximación del Born A~k1 · ~k2 ~k1T ~k2T ~k1T ~k2T (2.1) donde ~k1 k2 = ha sido utilizado. En Eq. (2.1), el enfoque Weizsäcker - Williams, explicado en ref. [5] se ha utilizado. El factor A~k1 · ~k2 es la amplitud para el subproceso del triángulo quark de la Fig. 2, donde A toma el valor, [6, 7, 8, 9] (2.2) La amplitud del Born se muestra en la Fig. 1, se extiende a la dispersión de protones en lugar de simplemente dispersión quark Aquí. El momento típico transferido, t1 = ( q1 −Q) 2 y t2 = ( q2 −Q) 2, son bastante pequeños y de la orden de 1 , donde b es la pendiente del factor de forma gluon - protón, y se puede estimar que es b = 5.5GeV 2. Por lo tanto, se tienen en cuenta los acoplamientos de protones a la escalera de gluón (véase Fig. 1), incluyendo la factores de forma de protones en la forma gaussiana bt1 − donde t1 = ( q1 −Q)2 y t2 = ( q2 −Q)2 (2.3) – 5 – Higgs Figura 2: Subproceso del triángulo de Quark para la producción de Higgs en la fusión de gluon gluon describir la dependencia del impulso transferido. Si la transferencia de impulso es pequeña, puede se supone que k1 â € k2 â € Q. Por lo tanto, con la definición de Eq. (2.3), t1 → 0 y t2 → 0. Por lo tanto, los factores de forma de protones e− bt1 y e− bt2 tienden a 1, y se puede tomar fuera de la integral, y el Born la amplitud se comporta como bt1e− (2.4) Para considerar el proceso exclusivo solamente, con la condición de LRG, bremsstrahlung gluons debe ser Suprimida. Los gluones bremsstrahlung se muestran por las líneas discontinuas en la Fig. 1, que son suprimidos por multiplicando por el factor de forma Sudakov Fs = e −S(k2 ) (2,5) Fs es la probabilidad de no emitir gluones bremsstrahlung. S es la multiplicidad media de Bremsstrahlung gluones administrados como k2, E (2.6) En segundo lugar, la evolución de los gluones de escalera BFKL entre los dos canales (véase Fig. 1), debe ser tomado en cuenta. Para la dispersión de protones en lugar de la dispersión de quark, el acoplamiento ingenuo de los gluones al exterior – 6 – Los quarks deben ser sustituidos por un acoplamiento de los gluones a las líneas externas de protones. Para incluir ambos modificaciones, la densidad ingenua de gluón de los quarks se sustituye por la densidad de los protones por la siguiente: sustitución (2.7) donde f x, k2 es la densidad de gluón no integrada del protón. Después de incluir la forma Sudakov factor de Eq. (2.1), y la función de densidad de gluón de Eq. (2.7), la amplitud en Eq. (2.1) pasa a ser IP MIP (p+p → p+H+p) = Aγ3s e-S(k) x1, Q x2, Q (2.8) donde para las densidades de gluón f (x1,2) = 2 γ1,2e ( γ1,2) ln (2.9) donde γ1,2 son las dimensiones anómalas y el coeficiente numérico 2 en Eq. (2.9) puede tomarse de parametrizaciones MRST-2002-NLO. Usando Eq. (2.9), la integración sobre Q y sobre γ1 y γ2 puede ser evaluado. Resulta que el integrand de Eq. (2.8) tiene un punto de sillín dado por ln Q2 = ( γ1 + γ2 − 1), y los valores esenciales de γ1 y γ2 se aproximan a 12. Por lo tanto, el típico Q es bastante grande, y depende de la masa de los Higgs. Después de integrar sobre γ1 y γ2 y q, el final resultado para la amplitud PMI IP ( p+p → p+H+p) se deriva en el apéndice (ver sección A-1), y el final el resultado se da en Eq. (A-1-16) IP MIP (p+p → p+H+p) =− 2Aη4s «( 12) ln s1 «( 12) ln s1 + • ” En s1 ) (2.10) Ahora que se conoce la amplitud, el IP (p+p → p+H+p) para la producción central de Higgs puede ser cal- culado para el caso de fusión IPIP. Para obtener la sección transversal para la producción exclusiva central de Higgs, uno tiene que multiplicarse por un factor que tenga en cuenta la probabilidad de supervivencia para grandes brechas de rapidez < S2 > = 0,004, para suprimir el re-esparcimiento duro. Por lo tanto, la sección transversal de la excIP IP ( p+p → p+H+p), para la producción exclusiva central de Higgs, sin ningún otro redispersión dura para el caso de la fusión IPIP, toma el valor < S2hard > IP ( p+p → p+H+p) = IP IP ( p+p → p+H+p) = 0,47 fb (2,11) – 7 – 3. Producción de Higgs electromagnéticos en el LHC En el caso de la producción exclusiva central de Higgs para el caso de la fusión, se muestra en la Fig. 3, no hay difícil re-dispersión para tener en cuenta, y todos los acoplamientos se conocen con precisión. El área sombreada en la Fig. 3 representa el subproceso para el mecanismo • → H. Los posibles mecanismos se ilustran en la Fig. 4 y Fig. 5, y sus contribuciones a la amplitud se calculan en esta sección. La invarianza de medida requiere que la contribución de un subproceso para el mecanismo • → H, toma la forma fotón fotón Higgs + qq= Figura 3: Producción difusa de Higgs en un solo canal de intercambio de fotones. A. = A.................................................................................................................. (3.1) donde A es una constante, dependiendo del subproceso en particular. Resulta que para el caso de cuando el subproceso es el triángulo del fermión que se muestra en la Fig. 4, resumido en los seis sabores de quarks, y los tres sabores de leptón, entonces la expresión de la amplitud toma la forma de Eq. (3.1). Sin embargo, en el caso de cuando el subproceso es uno de los bucles de Boson mostrados en la Fig. 5, la expresión para la amplitud no es de la forma de Eq. (3.1). La declaración correcta es que la suma sobre todas las amplitudes para los subprocesos se muestra en la Fig. 5, da un indicador invariante expresión de la forma de Eq. (3.1). La amplitud del diagrama de la Fig. 3, donde el proceso • → H procede a través de la suma sobre el triángulo de fermión que se muestra en la Fig. 4, y los bucles de Boson se muestran en la Fig. 5, es dada por (p+p → p+H+p) = − 4o.m. AFA + A (3.2) donde A • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • denota la amplitud del triángulo quark/anti-quark subpro- cesto, resumido en los seis sabores de quark/anti-cuarco (q, /q̄ = u/ū, d/d̄, s/s̄, c/c̄, t/t̄, b/b̄) y todos – 8 – tres aromas de leptón/antileptón (L± = e±,, ), mostrados en la Fig. 4, y Ab. = Ab. denota la amplitud de la suma en todos los subprocesos del bucle Boson que se muestran en la Fig. 5. En este punto, el Weizsacker - Fórmula Williams se utiliza, como se explica en refs. [3, 5, 4]. En este enfoque, la sustitución 2A• = − 2SM2 Se usa 2A®. En la notación utilizada en este artículo, q 1 y q 2 denota dos dimensiones- vectores sisionales, en el plano transversal a la dirección de la momenta de los dos protones entrantes p 1 y p. 2.......................................................................... Por lo tanto, la amplitud de Eq. (3.2) puede ser escrito como (p+p → p+H+p) = − 4o.m. AFA + A (3.3) Para calcular la sección transversal, uno tiene que integrar la amplitud cuadrada sobre todo el transversal momenta q1 y q2. Para la producción exclusiva central de Higgs en el caso de la fusión, se requiere que los límites inferiores de integración son: qmin1 qmin2 = m2p , donde mp es la masa de protones, que es En este documento se supone que es 1 GeV. Los límites superiores de la integración, se toman del electromagnético factores de forma para el protón, a saber, Gp ”, a partir de la cual los límites superiores de la integración se derivan a ser ( qmax1 ) = ( qmax1 ) = 0,72. ( p+p → p+H+p) = (Af + Ab) (3.4) donde y = ln s es la brecha de rapidez entre los dos protones entrantes en la Fig. 3, y m es el protón masa, se supone que es 1 GeV. Este cálculo es para la producción exclusiva central de Higgs en el LHC, donde se espera que s = 14000GeV, que da para el valor de la brecha de rapidez y = 19. 3.1 El subproceso del triángulo del fermión para la producción de Higgs en la fusión Producción exclusiva central de Higgs para el caso de fusión, puede proceder a través del subproceso triángulo de fermión → H se muestra en la Fig. 4, donde los fermiones incluyen los seis sabores de quarks y anti quarks (u, d, s, c, t, b) y los tres sabores de leptón y antileptón (e, μ, Una derivación de la amplitud para el triángulo del fermión, se puede encontrar en refs. [6, 9, 10] para el caso en que la masa del fermión en el triángulo es mucho más grande que la masa de Higgs. En esta sección, la amplitud del fermión triángulo se deriva tomando la suma sobre todos los fermiones que podrían contribuir, incluyendo los seis quark sabores y los tres sabores de leptón. El acoplamiento H → f f vértice, es proporcional a la masa mf de el fermión en el vértice, de modo que la amplitud del subproceso del triángulo del fermión sea proporcional a la masa del fermión en el triángulo. Se supone que las masas de fermión toman los siguientes valores: en el cuadro que figura a continuación. – 9 – masa de fermión ( GeV / c2 ) quarks u 3 × 10−3 d 6 × 10−3 s 1.3 c 0,1 t 175 b 4.3 fermiones e 5.11 × 10−4 μ 0,106 1-7771 Por lo tanto, estos valores indican que la contribución más significativa a la amplitud vendrá de el triángulo quark superior. Higgs pH pH Figura 4: Subproceso del triángulo de Fermion para la producción de Higgs a través de la fusión Deducir explícitamente la amplitud del subproceso Fig. 4, el etiquetado de momentánea mostrado en el – 10 – se utiliza el diagrama, y se introduce la siguiente notación. D1 = l 2 −m2f D2 = (l − q1) 2 −m2f D3 = (l + q2) 2 −m2f (3.1.1) donde mf denota la masa del fermión que forma el triángulo, que podría ser uno de los quark sabores o uno de los sabores de leptón. Entonces la amplitud para el subproceso del triángulo del fermión, resumido sobre todas las posibilidades de los sabores quark y anti-cuark, y los sabores leptón y anti-leptón toman la forma A.q. = 4o.m. D1D2D3 donde L = e, μ, 3.1.2) donde q denota la suma de los seis sabores quark q = u, d, s, c, t, b y L=e, μ, ♥ denota la suma correspondiente a los tres sabores de leptón L = e, μ, . En el RHS de Eq. 3.1.2), d es el espacio-tiempo dimensión, y al final f el cálculo, d → 4 se impone. La razón para no especificar esto en el en principio, es porque será necesario utilizar la regularización dimensional para cancelar las divergencias, que requiere integración sobre las dimensiones d + •, en el límite que d → 4 y • → 0. Usando la notación mostrada en el diagrama de la Fig. 4 para el flujo de momenta en los triángulos quark y anti - quark, el trazo término es dada por lx + q x + mf l +mfγ l-q-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l- −lx + q1x +mf −l +mf −Io − q2o +mf = 8mf 2 + 4l μl/ + 2 (lμq/ 1 − l/q 2 )− g ~q1 · ~q2 + l2 −m2f 3.1.3) donde ~q1 y ~q2 denota cuatro vectores dimensionales. La primera línea en el RHS de Eq. 3.1.3) corresponde a a la contribución dada por el triángulo formado por los fermiones, (es decir. quarks q = (u, d, s, c, t, b ) y leptons cargados negativamente L− = ( e−, , ), y la segunda línea corresponde a la contribución dado por el triángulo formado por los anti-fermiones (es decir. anti - quarks q̄ = (ū, d̄, s̄, c̄, t̄, b̄ ) y posi- L+ = ( e+, , ) ). Presentación de los parámetros de Feynman para reescribir el cociente (D1D2D3) en una forma más conveniente, Eq. 3.1.2) simplifica la 4o.m. dd l ∫ 1−x 8mf I lû2 f ( x, y) en la que f = m f − M2H x y y l = lμ − x q v1 + y q 2 3.1.4) Nota en el último paso, se asumió que q21+ q22+ M2H,m2f para que estos términos puedan ser ignorados. De la cinemática mostrada en el diagrama de la Fig. 3, y Fig. 4, está claro que 2~q1 · ~q2 = M2H. El rastro – 11 – Término I se administró en Eq. 3.1.3) en términos del impulso desconocido lμ en el triángulo del fermión en la Fig. 4. En términos de la nueva variable l, el término traza toma la forma 2 + 4l μ l − 4q v1q 2x y − g ~q1 · ~q2 (1− 2x y)−m2f + l (3.1.5) Los detalles de la integración a lo largo del impulso en el RHS de Eq. 3.1.4) figuran en la sección A-3 del apéndice (véase Eq. (A-3-1) - Eq. (A-3-4)). Aquí, se utiliza la regularización dimensional, una técnica donde se integra sobre d + • dimensiones, y después d → 4 y • → 0. Esto elimina el no calibrador términos invariantes, en el numerador del integrand en el RHS de Eq. 3.1.4). De esta manera, se obtiene el después del resultado invariante del calibrador para el RHS de Eq. 3.1.4). 2αemG Si (3.1.6) donde f =u, d, s, c, t, b, e, μ, ∫ 1−x 1− 4xy f ( x, y) en los que ­f ( x, y) = m f −M2Hxy (3.1.7) La integral Si se evalúa en la sección A-3 del apéndice (véase Eq. (A-3-5) Eq. (A-3-13) ). Se gira. que, debido a la dependencia del factor para el acoplamiento H → f f vértice en la masa del fermión mf, que el único triángulo de fermión que da una contribución significativa a la amplitud es para el caso donde mf MH. Desde la mesa, esto es cierto sólo para el quark mt superior. Por lo tanto, resulta que el sólo el triángulo de fermión que es necesario tomar en, es el triángulo quark superior, y las contribuciones de el resto de los subprocesos triángulo formados por el resto de los quarks, y los leptones pueden ser descuidados. Utilizando este resultado, la amplitud para la contribución del triángulo del fermión tiene la expresión = Af (q) 2 − g (~q1 · ~q2)) donde Af = − (3.1.8) 3.2 Subprocesos del bucle de Boson para la producción de Higgs en la fusión Para la producción exclusiva central de Higgs, el Higgs también se puede producir a través del subproceso • → lazo de bosón → H, donde los lazos de bosón posibles se muestran en la Fig. 5 (tomado de ref. [7]). H− en la Fig. 5 es un bosón antifísico, cargado Higgs, y es un fantasma Fadeev-Popov. El formalismo para el cálculo la amplitud de cada diagrama en la Fig. 5, es similar al enfoque utilizado para calcular la amplitud de la triángulo de fermión superior, en la sección 3.1. Similarmente aquí, después de la integración sobre el momento desconocido l en el bucle de cada diagrama en la Fig. 5, y después de la integración sobre los parámetros de Feynman, la expresión para cada El diagrama toma la forma general [7] – 12 – (+ C) (3.2.1) donde d es la dimensión del espacio-tiempo. Términos proporcionales a q21 y q 2 se suponía que desaparecía, y de la cinemática que se muestra en la Fig. 3, se asumió que ~q1 · ~q2 = . En el límite que d → 4, el Término proporcional a en el RHS de Eq. (3.2.1) tiende al infinito. Sin embargo, cuando se suman más de las contribuciones a la amplitud dadas por todos los subprocesos de bosón mostrados en la Fig. 5, estas divergencias cancelar exactamente (véase la tabla siguiente). Se requiere también, que esta suma sobre todas las amplitudes para el bosón subprocesos de bucle mostrados en la Fig. 5, cumple la condición C = − D (3.2.2) tal que la amplitud de la suma es calibrado invariante. En ref. [7], esta suma fue tomada y el resultado fue una casi calibrado invariante expresión, ya que términos proporcionales a y más arriba fueron descuidados. En el cálculo que conducen a los resultados en este artículo, el resultado da una expresión invariante de calibre exactamente, después de utilizar la regularización dimensional para eliminar los términos que no satisfacen la condición de invarianza del calibrador. Gráfico B C D a + cruzado 3 (d− 1) −4 5 b + cruzado −2 (d−1) 0 2m c + d + cruzado −1 (d - 1) − 4 2 e + cruzado 0 0 −m f + cruzado 0 0 1 g + h + cruzado 1 0 0 i + cruzado −2 0 0 2j + cruzado −1 suma 1 d) 2 - 8 8 Por lo tanto, enchufar los resultados mostrados en la tabla para los coeficientes en Eq. (3.2.1), el resultado de la la suma sobre las amplitudes de los subprocesos que se muestran en la Fig. 5 da un indicador de la expresión invariante, y en el límite que d→ 4, las divergencias cancelan exactamente, tal que la expresión de Eq. (3.2.1) se reduce a donde Ab = 4 (3.2.3) – 13 – Higgs Figura 5: Subproceso del bucle de Boson para la producción de Higgs en la fusión Cabe destacar los resultados de la amplitud del subproceso de la Fig. 5 a), el subproceso • → triángulo W → H, interfiere destructivamente con el subproceso • → triángulo fermión → H se muestra en Fig. 4. – 14 – 3.3 Sección transversal para la producción exclusiva central de Higgs a través de la fusión Ahora que las amplitudes para los sub-procesos • → triángulo de fermión → H y • → bucle de bosón → H se han calculado, los resultados se pueden conectar a Eq. (3.4) para derivar la sección transversal, para central producción exclusiva de Higgs a través de la fusión. El resultado, teniendo en cuenta todos los subprocesos posibles se muestra en la Fig. 4 y Fig. 5 se encuentra para ser (p+p → p+H+p) = 0,1 fb (3.3.1) 4. Conclusión Los resultados de este documento se resumen en el cuadro que figura a continuación. Ôexc es la sección transversal exclusiva, que incluye la multiplicación por un factor para la probabilidad de supervivencia, para la producción exclusiva central de Higgs. Los los resultados se dan para los mecanismos pp → • → H y → IPIP → H. Tenga en cuenta que en estos resultados, el sección transversal para la producción exclusiva central de Higgs en el caso de la fusión, se multiplica por un factor para el probabilidad de supervivencia de 1. Esto se debe a que en el caso del intercambio de fotones, no hay re-dispersión difícil para suprimir, y las grandes brechas de rapidez entre el Higgs y los dos protones emergentes son automáticamente presente. proceso < S2 > exc (fb) IPIP 0,023 2,7 IPIP 0,004 0,47 • 1 0,1 Los resultados muestran que, tomando la probabilidad de supervivencia a 0.02, que es el valor utilizado en ref. [2], entonces el resultado para ÔexcIP IP para la producción exclusiva central de Higgs en el LHC, está casi de acuerdo con la predicción de ref. [2] (que era de 3 fb). Sin embargo, si la probabilidad de supervivencia es un orden de magnitud menor como se predijo en ref. [1] entonces la IP de ExcIP será un orden de magnitud más pequeño y, se convierte en competitivo con • para el período comprendido entre el 1 de enero de 2000 y el 31 de diciembre de 2000; producción exclusiva central de Higgs en el LHC. 5. Agradecimientos Este artículo está dedicado a la memoria del abuelo Herman, el Pindenjara 15 de abril de 1924 - 2 de enero 2007. Me gustaría dar las gracias a E. Levin por su útil consejo al escribir este documento. También me gustaría dar las gracias a E. Gotsman, A. Kormilitzin, A. Prygarin para discusiones fructíferas sobre el tema. Esta investigación recibió apoyo en parte por la Fundación Científica Israelí, fundada por la Academia Israelí de Ciencias y Humanidades, subvención del Ministerio de Ciencia, Cultura y Deporte de Israel y de la Fundación Rusa para la investigación básica de la Federación de Rusia, y por la subvención BSF 20004019. – 15 – A. Apéndice A-1 Evaluación de la integral sobre las dimensiones anómalas γ1 y γ2 del impulso Q2 en la función de densidad de gluón La amplitud del Born fue calculada en Eq. (2.8), en términos de la densidad de gluón en función de la anómala dimensiones γ1 y γ2, para las dos escaleras gluon en la Fig. 1. Ahora es necesario integrar más de γ1 y γ2, y También sobre el impulso en el gluon del canal t, a saber Q. En conjunto, las integraciones necesarias toman la MIP IP ( p+p → p+H+p) = Aγ3s dγ1dγ2 e-S(k) x1, Q x2, Q (A-1-1) En primer lugar, la integral sobre Q se evalúa utilizando la técnica de descenso más empinada. La densidad de gluón es dado por Q2, x1,2 )γ1,2 (γ1,2) ln s0 (A-1-2) donde , donde s0 • 1GeV. Esto viene del intercambio de gluon de la escalera BFKL (véase la Fig. 1), mientras que el coeficiente se tomó de los datos de MRST - NLO - 2002 (véase Ref/[?]). (γ1,2) es el kernel BFKL definido como (γ1,2) = sχ (γ1,2) = s (γ1,2) − (γ1,2) − (γ1,2) − ( 1− γ1,2) ) (A-1-3) en la que la letra f) es la función dagamma y la letra f) = d-( f) . En Eq. (A-1-2), S k2, E es el Sudakov factor de forma con el valor típico [3, 4] S Q2, E = 3αs , en la notación que E = Usando esta Eq de sustitución. (A-1-1) entonces se convierte en PIM IP ( p+p → p+H+p) = 4Aη3s dγ1dγ2 × exp • ( γ1) ln + (γ2) ln (A-1-4) donde ♥ − (γ1 + γ2 − 1) lnQ2 (A-1-5) Diferenciando el lado derecho de Eq. (A-1-5) con respecto a ln Q2, se ve que ♥ tiene una silla de montar punto en ln Q2 = ln (γ1 + γ2 − 1). Por lo tanto, cambiar la variable de integración a u = ln Q2, y expandiéndose alrededor de la silla de montar, Eq. (A-1-4) puede escribirse como – 16 – MIP IP ( p+p → p+H+p) = 4Aη3se(u0) dγ1dγ2 (u-u0)2 d2o(u0) *( γ1) ln ( γ2) ln (A-1-6) donde u0 = ln (γ1 + γ2 − 1) (A-1-7) Ahora el lado derecho de Eq. (A-1-6) se ha reducido a una integral gaussiana sobre u, que puede ser evaluado por la técnica de descenso más empinada, para dar la expresión PIM IP ( p+p → p+H+p) =4Aη4s dγ1dγ2 exp (γ1 + γ2 − 1) (γ1 + γ2 − 1) + ln × exp • ( γ1) ln + (γ2) ln (A-1-8) La función BFKL (γ) tiene un punto de sillín en γ = 1 . Cerca de este punto se puede escribir como * (γ1,2) = * γ1,2 − (A-1-9) Por lo tanto, utilizando Eq. (A-1-9), Eq. (A-1-8) puede reducirse a PIM IP ( p+p → p+H+p) =4Aη4s dγ1dγ2 exp ( f ( γ1, γ2) ) ( A-1-10) donde la función f ( γ1, γ2) tiene la forma f (γ1, γ2) = + (γ1 + γ2 − 1) (γ1 + γ2 − 1) + ln (A-1-11) Esta función tiene un punto de sillín con respecto a γ1 dado por (γ2 − 1)− En s1 + • ” En s1 ) (A-1-12) Por lo tanto, la expansión f ( γ1, γ2) alrededor de γ 1, la integración sobre γ1 se evalúa utilizando el descenso más pronunciado técnica para dar la expresión – 17 – PIM IP ( p+p → p+H+p) =2Aη4s exp ( f (γ) 1, γ2)) + • ” En s1 (A-1-13) Ahora la función f (γ 1, γ2) tiene un punto de sillín con respecto a γ2 dado por En s1 ln s1s2 + • ” ln s1s2 1 + 4η En s1 (A-1-14) Aquí, en la segunda línea, se asume que s1+ s2. Para grandes s1 y s2, γsp2 es aproximadamente . Uso el mismo método que el anterior, expandiendo f ( γ 1, γ2) en torno a γ 2, la integración sobre γ2 se evalúa utilizando la técnica de descenso más empinada para Eq. (A-1-13), para dar el resultado MIP IP ( p+p → p+H+p) = Aγ4s 2 − 2 exp 1, γ 2 â € 12 + • ” En s1 ) (A-1-15) donde f ( γ 1, γ 2 ) = − En s1 En s1 (A-1-16) – 18 – A-2 Reglas de Feynman para la teoría estándar de la electrodebilidad wmwg w w H μ No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Figura 6: Figura 7: Las reglas de Feynman en la teoría de electrodebilidad estándar A-3 Evaluación de la integral sobre el impulso en el bucle del triángulo del fermión La amplitud para el subproceso del triángulo del fermión, resumido sobre todos los sabores de quark q = (u, d, s, c, t, b ) – 19 – y aromas de leptón L = ( e, μ,  ), para el mecanismo de triángulo de fermión → H se encontró en la ecuación Eq. 3.1.4) tomar la forma 4o.m. ∫ 1−x ( 1 - 2 x y) − 2 x y M g-(+m2) l­2 f (x, y) 4o.m. ∫ 1−x 4IOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO lû2 f ( x, y) donde •f = m f − M2H xy y L = e, μ, (A-3-1) donde q denota la suma de los seis sabores quark q = u, d, s, c, t, b y L = e, μ, suma de los tres sabores de leptón L = e, μ, . Del numerador del integrand, en el RHS de Eq. (A-3-1), se puede ver que hay un indicador Término invariante ( 1 - 4x y), y el numerador en el integrand de la segunda línea en el RHS da una contribución desapareciendo a la integración a lo largo de l贸, para d → 4. Sin embargo, todavía queda uno. con los términos −2xyM g-(+) m2 En el numerador del integrand, que ciertamente no son de calibre invariante. Sin embargo, convenientemente esta pieza invariante no calibradora es exactamente igual a f (x, y) introducido en Eq. 3.1.2). Para hacer frente a esta pieza invariante no calibradora, es útil utilizar la regularización dimensional, cuando se integra sobre el término lû2 en el numerador del integrand en la segunda línea. En este enfoque, uno inicialmente integra sobre d + las dimensiones en el límite que 0 y d→ 4. De esta manera el no calibrador Los términos invariantes desaparecen. Por lo tanto, la evaluación de la integral sobre lс en el RHS de Eq. (A-3-1) da 4o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° (−1)3 3 − d ( 3 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ∫ 1−x ( 1 - 4 x y) + (x, y) f (x, y) + 2 lim 4o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° (−1)3+1 3 − d 2o ( 3) ( 4o) ∫ 1−x dy 8m2f ( 4g - (d+) g-) (A-3-2) En el límite que • → 0 y d → 4, la función gamma • 3 - d y el RHS de Eq. (A-3-2) se reduce a 4o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 2 ( 4η) ∫ 1−x ( 1 - 4 x y) + (x, y) f ( x, y) 4o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 2 ( 4η) ∫ 1−x dy 8m2f • (A-3-3) – 20 – Por lo tanto, después de la cancelación de en el numerador y el denominador en la segunda línea en el RHS de Eq. (A- 3-3), la segunda línea cancela exactamente la parte invariante no calibradora del integrand en la primera línea. Por lo tanto, uno se deja con la expresión invariante puramente calibrador A­q = −2 Si (A-3-4) donde Si es la única integral restante a evaluar, que toma la forma f =u, d, s, c, t, b, e, μ, ∫ 1−x 1− 4xy f (x, y) en la que Łf (x, y) = m f −M2Hxy (A-3-5) Para evaluar esta integral, se trata de dos casos a considerar, a saber, (1) cuando m2 M2H, que es cierto para el quark superior cuando mf = mt = 175GeV, y (2) cuando m M2H, que es cierto para todo el resto de los fermiones enumerados en la tabla. Por lo tanto f Si se puede separar en dos partes, a saber: Si = Lo + f 6= t Si (A-3-6) Para el caso (1), donde mf = mt MH, se puede escribir de una manera más conveniente como ∫ 1−x 1− 4xy ∫ 1−x 4 + 1 - 4 m ) ∫ 1 x ( 1 - x) ) ∫ 1 ( 1 - x) + x ( 1− x)2 + x2 ( 1− x)3 +..... (A-3-7) donde en el último paso, el logaritmo se expandió en una serie de Taylor alrededor de x = 0. Evaluación de la integral sobre x, y puesto que se supone que M2H m2t, manteniendo los términos no más pequeños que , el RHS de Eq. (A-3-7) pasa a ser +.... (A-3-8) – 21 – Para el caso (2), donde mf â € MH que incluye todos los fermiones en la tabla, excepto el quark superior, hay dos posibles regiones de integración, a saber (I) cuando M2H x y > m y (II) cuando M2H x y < m En la región donde M2H x y > m f, el RHS de Eq. (A-3-5) se reduce a f 6= t región (I) f 6= t ∫ 1−x 1− 4xy f 6= t x ( 1 - x) f 6= t 1− x − f 6= t polilog ( 2, x = 1) − f 6= t polilog 2, x = f 6= t (A-3-9) En la región (II) donde M2H x y < m , el RHS de Eq. (A-3-5) se reduce a f 6= t región (II) f 6= t ( 1 – 4xy) f 6= t f 6= t (A-3-10) Por lo tanto, añadir las contribuciones de Eq. (A-3-9) y Eq. (A-3-10) para las contribuciones de la región (I) y región (II) de la integral, da el resultado f 6= t Si = − f 6= t f 6= t polilog ( 2, x = 1) − polilog 2, x = (A-3-11) f 6= t MH (A-3-12) De Eq. (A-3-12) y Eq. (A-3-8), el resultado para la evaluación de la integral Si tiene su principal contribución del triángulo quark superior, de tal manera que – 22 – En caso de que el valor de referencia sea igual o superior al valor de referencia, se considerará que el valor de referencia es igual o superior al valor de referencia del valor de referencia. MH (A-3-13) Conectando este resultado a Eq. (A-3-4) da la expresión final para la amplitud del triángulo del fermión subproceso mostrado en la Fig. 4, para la suma de todas las contribuciones quark q = ( u, d, s, c, t, b ) y leptón contribuciones L = e, μ, donde Af = − (A-3-14) Bibliografía [1] J.S. Miller, “Probabilidad de supervivencia para la producción difractiva de Higgs en QCD de alta densidad” (en prensa) arxiv: hep-ph/0610427 [2] V.A. Khoze A.D.Martin M.G. Ryskin “Prospectos de nuevas observaciones físicas en procesos difractivos en el LHC y Tevatron” Eur. Phys. J. C23 311 - 327 (2002) arxiv: hep-ph/0111078 [3] V. 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Pure inductive limit state and Kolmogorov's property

arXiv:0704.1987v1 [math.OA] 16 Abr 2007 Estado límite inductivo puro y propiedad de Kolmogorov Anilesh Mohari S.N.Bose Centro de Ciencias Básicas, Bloque JD, Sector-3, Calcuta-98 Correo electrónico: anilesh@boson.bose.res.in Resumen Let (B,?t,?) ser un C • sistema dinámico en el que (lt: t • IT+) sea un sistema semi- el grupo de endomorfismo inyector y el grupo de endomorfismo inyector y el grupo de endomorfismo invariante en el grupo de endomorfismo inyector en el grupo de endomorfismo inyector en el grupo de endomorfismo inyector en el grupo de endomorfismo inyector en el grupo de endomorfismo inyector, y subalgebra B e IT+ son números enteros no negativos o números reales. Los objetivo central de esta exposición es encontrar un criterio útil para el límite inductivo estado B t B canónicamente asociado con para ser puro. Logramos esto por explorar el mínimo débil hacia adelante y hacia atrás Markov procesos associ- ated con el semigrupo Markov en la esquina von-Neumann álgebra de la apoyar la proyección del estado para probar que la propiedad de Kolmogorov [Mo2] del semigrupo Markov es una condición suficiente para el estado inductivo a Sé puro. Como aplicación de estos criterios encontramos una condición suficiente para un traducción invariante factor estado en una cadena dimensional de giro cuántico a Sé puro. Este criterio en cierto sentido complementa los criterios obtenidos en [BJKW,Mo2] como podríamos ir más allá de los estados simétricos de celosía. http://arxiv.org/abs/0704.1987v1 1 Introducción: Ser un semigrupo de identidad que preserve completamente positivo mapas [Da1,Da2,BR] en un álgebra von-Neumann A0 actuando en un espacio Hilbert H0, donde o bien el parámetro t â € R+, el conjunto de números reales positivos o t Z+, el conjunto de números enteros positivos. Asumimos además que el mapa es normal para cada t ≥ 0 y el mapa t → t(x) es débil * Contínuo para cada una de ellas. x A0. Decimos que una proyección p • A0 es sub-armónica y armónica si •t(p) ≥ p y t(p) = p para todas las t ≥ 0, respectivamente. Para una proyección sub-armónica p, nosotros definir el semigrupo dinámico cuántico reducido ( t ) sobre el von-Neumann álgebra pA0p por t (x) = pt(x)p donde t ≥ 0 y x • A 0. 1 es una parte superior En el caso de los operadores positivos en aumento, t(p), t ≥ 0. Por lo tanto existe un operador 0 ≤ y ≤ 1 de modo que y = s.limtt(p). Un estado normal se llama................................................................................................................................... invariante para (­t) si ­­0­0t(x) = ­0(x) para todas las x · A0 y t ≥ 0. El apoyo p de un estado invariante normal es una proyección sub-armónica y 0, la restricción de 0 a A 0 es un estado invariante normal fiel para t ). Así asintótico propiedades ( ergódicas, mezcla ) de la dinámica ( A0, por las propiedades asintóticas (ergódicas, mezcla respectivamente ) de la dinámica (A) t, ♥ 0) siempre y = 1. Para más detalles nos referimos a [Mo1]. En el caso de que la letra 0 sea fiel, normal e invariante, recordamos [Mo1] que G = El subálgebra von-Neumann de F = {x t(x) = x, t ≥ 0} es el subálgebra von-Neumann de F = {x A0 : *)(x) = (x) * x), x (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e)e (x)e (x)e)e (x)e (x)e)e (x)e (x)e)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e)e (x)e (x)e)e (x)e (x)e)e (x)e (x)e) *) = t(xx) ∗) t ≥ 0} y la igualdad G = IC es una condición suficiente para que la mezcla sea fuerte en el caso de la mezcla de 0 °. Desde el reverso proceso [AM] está relacionado con el proceso de avance a través de un operador anti-unitario Notamos que ­0 está mezclando fuertemente para (­t) si y sólo si la misma bodega para (­t). Nosotros también puede comprobar este hecho explorando la fidelidad de Ł0 y la relación contigua [OP]. Por lo tanto IC Gū Fū y la igualdad IC = Gū es también una condición suficiente para mezcla fuerte donde Fû y Gû son álgebras de von-Neumann asociadas con (t). Por lo tanto, encontramos dos criterios de competencia para la mezcla fuerte. Sin embargo, es recto reenvíe si F = F­ o G = G­. Dado que dada una dinámica es difícil describir (t) explícitamente y por lo tanto este criterio G = IC es más bien no transparente. Demostramos en la sección 2 que G = {x F : en la que el grupo modular de automorfismo de Tomita [BR,OP] asociado con Ł0. Así que G es el máximo von-Neumann sub-álgebra de A0, donde es un endomorfismo ∗ [Ar], invariante por el grupo modular de automorfismo (ls). Por otra parte, en el caso de todos los t ≥ 0, el valor de G para todos los s R y t(G) = G para todos los t ≥ 0. Por lo tanto, por una teorema de Takesaki [OP], existe una norma una proyección IEG de A0 a G que preserve 0 i.e. 0IE = 0E. Explorando el hecho de que t(G) = G, nosotros Además, concluye que la expectativa condicional IEG se traslada con (­t). Esto nos permite demostrar que (A0, ­T, ­T0) es ergódico (fuertemente mezclado) si y sólo si Es ergódica (fuertemente mezclada). Sin embargo, la igualdad es igual para todos los t ≥ 0. puede no sostenerse en general. Como sea que lo hayamos hecho. t(G) = t(G) en los que Gū = {x A0 : Łt(t(x)) = x, t ≥ 0}. G = Gū se mantiene si y sólo si (G) = G, t(G") = G® para todos los t ≥ 0. Así G0 = t≥0 t(G) es el máximo von-Neumann sub-álgebra invariante por el automorfismo modular de modo que (G0,?t,?0) es un automorfismos con (G0, t,?0) como es la dinámica inversa. Una vez más existe una expectativa condicional IEG0 : A0 → A0 en G0 Conmutación con (el t). Esto garantiza que (A0, Łt, Ł0) sea ergódica (fuertemente mezclada) si y sólo si (G0, Łt, Ł0) es ergódica (fuerte mezcla). Ahora está claro que G0 = Gœ0, por lo tanto G0 = IC, un criterio para la mezcla fuerte, es simétrico o tiempo- reversible. Como aplicación en probabilidad clásica podemos encontrar un criterio fácil para un estocásticamente completo Brownian fluye [Mo5] en una variedad Riemanniana impulsado por una familia de campos vectoriales completos para ser una mezcla fuerte. Explorando el criterio G0 = IC también demostramos que para un factor de tipo I A0 con centro completamente atómico, la mezcla fuerte es equivalente a la ergodicidad cuando la variable de tiempo es continua, es decir, R+ (Teorema 3.4). Este resultado, en particular, extiende un resultado demostrado por Arveson [Ar] para el factor finito tipo I. En general, para la dinámica discreta del tiempo (A0, , 0), la ergodicidad no implica una mezcla fuerte propiedad (no es un hecho sorpresa ya que tenemos muchos casos clásicos). También probamos que ♥ en un tipo-I von-Neumann álgebra A0 con centro completamente atómico es mezcla fuerte si y sólo si es ergódica y el espectro de puntos de círculo de unidad, es decir, {w • S1 : • (x) = wx para algunos non cero x • A0} es trivial. El último resultado en cierto sentido da una prueba directa de un resultado obtenido en la sección 7 de [BJKW] sin estar involucrado con la dilatación de Popescu. En la sección 3 consideramos lo único hasta el isomorfismo mínimo hacia adelante Markov débil [AM,Mo1,Mo4] proceso estacionario {jt(x), t • IT, x • A0} asso- ciada con (A0, ­t, ­0). Hemos establecido una familia de álgebras isomórficas de von-Neumann {A[t : t IT} generada por el proceso de avance de modo que A[t A[s siempre que s ≤ t. En este marco construimos una equivalencia unitaria de módulo única dilatación mínima (A[0, αt, t ≥ 0, ), donde α = (αt : t ≥ 0) es un semigrupo de endomorfismo en un álgebra von-Neumann A[0 actuando en un espacio Hilbert H[0 con un estado invariante normal ♥ y una proyección P en A[0 de modo que a) PA[0P = η(A0) b) H[0 es un vector unitario de modo que فارسى(X) =< b) Pαt(X)P = η(l(PXP )) para t ≥ 0, X • A[0; αt3(PX3P )αt2(PX2P )αt1(PX1P ) tn, n ≥ 1}, Xi A[0} es total en H[0, donde  es la representación GNS de A0 asociado con el estado ♥0. In caso 0 es también fiel, consideramos el proceso atrasado (j t ) definido en [AM] asociación con el KMS contiguo Markov semigrupo y demostrar que conmutante de A[t es igual a A t] = {j s(x) : x • A0, s ≤ t} ′′ para cualquier solución t â € TM TM. Como aplicación de nuestro resultado sobre el comportamiento asintótico de un Markov semi- grupo, también se estudia una familia de endomorfismo (B, Łt) en un von-Neumann álgebra. A continuación Powers [Po2] un endomorfismo αt : B0 → B0 se llama cambio t≥0 αt(B) es trivial. En general, tal cambio puede no admitir un estado invariante [BJP]. Aquí suponemos que Łt admite un estado invariante y abordar cómo el propiedad de cambio está relacionado con la propiedad de Kolmogorov del canónico Markov semigrupo (A0, Łt, Ł) en la proyección de apoyo sobre el álgebra de von-Neumann (B) ′′ del estado vectorial del estado en el espacio GNS (H (B). Como primer paso aquí demostramos que la propiedad de turno de Powers es equivalente a la propiedad de Kolmogorov del semigrupo contiguo de Markov (t). Sin embargo, en la última sección mostramos que la propiedad de Kolmogorov de un semigrupo de Markov no debe ser equivalente a la propiedad de Kolmogorov del KMS contiguo Markov semigrupo. Por lo tanto, el cambio de propiedad de las Potencias en general no es equivalente a Kol- propiedad de mogorov del semigrupo Markov asociado. La sección 4 incluye el principal resultado matemático al demostrar un criterio para el estado límite inductivo, asociado con un estado invariante de una inyección endomorfismo en un álgebra C*, para ser puro. Con ese fin, exploramos el mínimo débil Markov proceso asociado con la reducción de Markov semigrupo en el esquina álgebra de la proyección de soporte y demostrar que el límite inductivo el estado es puro si el semigrupo Markov satisface la propiedad de Kolmogorov. Más para un estado de factor simétrico de celosía, la propiedad de Kolmogorov también es necesaria para la pureza del estado límite inductivo. La última sección trata de una aplicación de nuestros principales resultados sobre la traducción estado invariante en la cadena de giro cuántica. Damos un criterio simple para tal estado de factor para ser puro y encontrar su relación con la propiedad de Kolmogorov. Toma. También nos ocupamos del estado de temperatura único, es decir. El estado de KMS en Cuntz alge... para ilustrar que la propiedad de Powers shift no es equivalente a la de Kolmogorov propiedad del mapa canónico asociado Markov en la proyección de soporte. In hecho esto demuestra que la propiedad de Kolmogorov es una noción apropiada para describir pureza del estado inductivo. 2 Semigrupo temporal de Markov y propiedades asintóticas: En esta sección trataremos un álgebra von-Neumann A y un mapa positivo de tales mapas en A. Nosotros Asumir además que existe un estado normal invariante......................................................................................................................................................................................................................................................... investigar las propiedades asintóticas del mapa de Markov. Decimos (A0,?t,?0) es ergódico si {x : ­t(x) = x, t ≥ 0} = {zI, z • IC} y decimos mezcla si (x) → (x) en los débiles * topología como t→ • para todas las x • A0. Por el momento asumimos que 0 es fiel y recordamos seguir [OP,AM], el mapa único de Markov en A0 que satisface la siguiente relación contigua En el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, el valor nominal de los vehículos de motor no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. para todos los elementos de análisis x, y, A0 para el automorfismo modular de la Tomita Asociada a un estado invariante normal fiel para un Markov mapa  en A0. Para más detalles nos remitimos a la monografía [OP]. También citamos Ahora [OP, Proposición 8.4] la siguiente proposición sin pruebas. PROPUESTA 2.1: Seamos un mapa normal unitario completamente positivo en un álgebra de von-Neumann A0 y Ł0 ser un estado invariante normal fiel para *............................................................................ A continuación, las siguientes condiciones son equivalentes para x â € A0: a) (x*x) = (x*)(x)(x) y (e)(x)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e); (b) (x) = x. Por otra parte, se limita a la sub-álgebra {x : (x) = x} es un isomorfismo en el sub-álgebra {x â € ¬ A0 : ¬ (x) = x} en el que ( morfismo en A0 asociado con فارسى0. A continuación se investiga la situación más a fondo. PROPUESTA 2.2: Ser un sistema dinámico cuántico y Sed fieles en el estado normal invariante para (el t). A continuación, la siguiente espera: a) G = x A0 : * x) = t(x) *)(x), (xx)(xx)(xx)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)()(x)(x)(x()(x)(x)(x)(x)()()(x()()()()()()()()()(x()()()()()()()()()(*()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()(()()()()()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()()(()()((((((((()(((()()()()()()()()()()()()()((()(()()()()()()(( *) = x (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ∗), s(l(x)) = La variación y el desplazamiento de los datos de los datos de los ensayos de homologación de tipo se efectuarán con arreglo a lo dispuesto en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo. con  = (­t: t ≥ 0) en G. Además para todas las t ≥ 0, t(G) = G y expectación condicionalEG : A0 → A0 en G0 se desplaza con (t). b) Existe un álgebra máxima única von-Neumann G0 G Por lo que se refiere a la cuestión de los derechos de autor, la Comisión considera que, en el caso de autos, los derechos de autor no son los mismos que los derechos de autor. t(G0) = G0 para todos los t+R y (G0, +t, +0) es un automorfismo en el que para cualquier t ≥ 0, tt = tt = 1 en G0. Además la expectativa condicional EG0 : A0 → A0 en G0 se desplaza con (t) y (t). PRUEBA: La primera parte de (a) es una consecuencia trivial de la Proposición 2.1 una vez Notamos que G se cierra bajo la acción x → x*. Para la segunda parte recordamos [Mo1] que فارسى0(x ∗JxJ) − 0(l(x ∗)Jelt(x)J) está aumentando monótonamente con t y, por lo tanto, para cualquier fijación t ≥ 0 si tl(x) = x entonces sl(x) = x para todos los 0 ≤ s ≤ t. Por lo tanto, la secuencia Gt = {x â € A0 : â € € TM t(x) = x} de von-Neumann sub-álgebras Disminución a G a medida que t aumenta a • i.e. G = t≥0 Gt. Similarmente también tenemos t≥0 Gśt. Desde Gût monótonamente disminuye a Gû como t aumenta a infinito para cualquier s ≥ 0 afirmamos que t≥0 s(G) t ), donde hemos utilizado el símbolo A1 = x A: x = 1} para un álgebra von-Neumann A. Vamos a probar el inclusión no trivial. Para ese fin vamos a x t≥0 s(G) t ) es decir, para cada t ≥ 0 allí existe yt G t de modo que Łs(yt) = x. Por débil * Compacidad de la bola de unidad de A0, extraemos una subsecuencia tn → • para que ytn → y como tn → • para algunos y • A0. Los álgebras de von-Neumann Gūt están disminuyendo monótonamente, por cada m ≥ 1, ytn Gûtm para todos los n ≥ m. Gûtm siendo un álgebra de von-Neumann, obtenemos y Gûtm. Como esto se mantiene para cada m ≥ 1, obtenemos y â € € TM G. Sin embargo, por la normalidad del mapa También tenemos "x" = "s" (y). Por lo tanto, x • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Ahora lo verificamos. s≥r t≥0 s+t(G) t ) = s≥r s+t(G t ) = 0≤s≤t t(G) s ), en el que hemos utilizado t ) = G Es isomórfico. Desde Gt están disminuyendo monótonamente con t también notamos que 0≤s≤t t(G) s ) = t(G Por lo tanto para cualquier r ≥ 0 s(G) 1) = GØ1 (2.2) De (2.2) con r = 0 obtenemos G 1) para todos los t ≥ 0. Para cualquier t ≥ 0 también tener t(G) s≥t 1) = GØ1. Por lo tanto, concluimos: 1) = GØ1 para cualquier t ≥ 0. Ahora podemos eliminar fácilmente la restricción para mostrar que por linealidad. Por simetría t(G) = G para cualquier t ≥ 0. Dado que G es invariante bajo el automorfismo modular por un teorema de Takesaki [AC] existe una norma una proyección EG : A → A con alcance igual a G. Nosotros afirmamos que EG se desplaza con (?t). Para ello verificamos cualquier x A0 y y G las siguientes equivalencias: < JGyJG­0,EG(­t(x))­0 > = < J0yJ0­0, ­t(x)­0 > = < JG t(y)J0­0, x­0 > = < JG t(y)JG­0,EG(x)­0 > = < JGyJG­0, ­t(EG(x))­0) > donde usamos el hecho de que (G) = G para la tercera igualdad y rango de IEG es de hecho G se utiliza para la última igualdad. Esto completa la prueba de (a). Ahora para cualquier s ≥ 0, es obvio que s(Gś) t≥s s(Gūt). En lo siguiente: probamos la igualdad en la relación anterior. Let x â € € TM TM t≥s s(Gūt) es decir, existe los elementos yt de modo que x = s(yt) para todos t ≥ s. Si es así, entonces tenemos ♥s(x) = yt para todos los t ≥ s como G­t G­s. Por lo tanto, para cualquier t ≥ s, yt = ys â € € € TM y x â € € € TM € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM Ahora verificamos las siguientes relaciones elementales: t≥s sŁt(Gt) = t≥s s/23370/s(­t−s(Gt)) = t≥s t−s(Gt) = t≥0 t(Gs+t) en el que hemos utilizado la hecho de que ­t−s(Gt) Gs. Así que tenemos s≥0 s(G) s≥0 s(G). Por el doble simetría, concluimos la inclusión inversa y por lo tanto s(G) = s(G) (2.3) Ponemos von-Neumann álgebra G0 = s≥0 s(G). Así G0 G y también G0 Gû por (2.3) y para cada t ≥ 0 tenemos tt = tt = 1 en G0. Desde el punto de vista de la letra G) está disminuyendo monótonamente, también notamos que Łt(G0) = s≥0 s+t(G) = G0. Del mismo modo t(G0) = G0 por (2.3). Que G0 es invariante por el grupo modular sigue ya que G es invariante por Lo mismo también es cierto para (t) por (2.3). Por el teorema de Takesaki [AC] una vez más garantizar que existe una expectativa condicionalEG0 : A0 → A0 con rango igual a G0. Desde t(G0) = G0, una vez más repitiendo el argumento anterior Concluir que EG0Łt = ŁtEG0 en A0. Por simetría del argumento, EG0 es también conmutando con = (t) Tenemos el siguiente teorema de reducción. TEOREMA 2.3: Que (A0, Łt, Ł0) sea como en la Proposición 2.2. Entonces el siguiente... Las declaraciones ing son equivalentes: a) (A0,?t,?0) se mezcla ( ergódica ); b ) ( G, t, 0 ) se mezcla ( ergódica ); c ) ( G0,.t,........................................................................................................................................................................................................................................................ PRUEBA: Eso (a) implica (b) es obvio. Por la Proposición 2.2. EG/23370/t(x) = tEG(x) para cualquier x • A0 y t ≥ 0. Arregla cualquier x â € A0. Vamos a ser x............................................................................................................................................................................................................................................................. punto límite débil* de la red Łt(x) como t→ فارسى que es un elemento en G [Mo1]. In El caso (b) es cierto, encontramos que x- = = EG(x-) = ­0(EG(x)) = ­0(x)1. Por lo tanto, 0(x)1 es el punto límite único, por lo tanto débil* límite de Los la declaración de equivalencia para la ergodicidad también sigue a lo largo de la misma línea desde el expectación condicionalEI en el álgebra von-Neumann I = {x : ­t(x) = x, t ≥ 0} se desplaza con (­t) y por lo tanto satisface EIEG = EGEI = IE. Esto completa la prueba de que las letras a) y b) son equivalentes. Que las letras b) y c) son: equivalente sigue esencialmente a lo largo de la misma línea ya que una vez más existe un expectativas condicionales de G a G0 conmutando con (t) y cualquier débil ∗ Límite el punto de la red Łt(x) ya que t diverge hacia el infinito pertenece a Łs(G) para cada s ≥ 0, Así pues, en G0. Omitimos los detalles. Ahora investigamos el comportamiento asintótico para el sistema dinámico cuántico Abandonando la suposición de que 0 es fiel. Let p ser la proyección de soporte del estado normal de 0 en A0. Por lo tanto, tenemos ­0(p­?t(1­ p)p) = 0 para todos los t ≥ 0, p siendo la proyección de soporte tenemos p-t(1- p)p = 0 es decir. p es una sub-armónica Proyección en A0 para (­t) i.e. Para todos los t ≥ 0, p ≥ p. Entonces es fácil de comprobar que (A t, ♥ 0) es un semigrupo dinámico cuántico donde A 0 = pA0p y ♥ t (x) = pŁt(pxp)p para x (A) 0 y 0 0(x) = 0(pxp) es fiel en A 0. In Teorema 3.6 y Teorema 3.12 en [Mo1] hemos explorado cómo la ergodicidad y la mezcla fuerte de la dinámica original (A0, ­t, ­0) puede ser determinada por de la dinámica reducida (A) t, ♥ 0). Aquí añadimos un resultado más en esa línea de investigación. TEOREM 2.4: Ser un sistema dinámico cuántico con una el estado invariante normal 0 y p será una proyección sub-armónica para (-t). Si s-limittt(p) = 1 entonces las siguientes declaraciones son equivalentes: (a) t − 0 → 0 como t→ para cualquier estado normal en  en A0. b) pl t − ♥ 0 → 0 como t→ • para cualquier estado normal • p on A PRUEBA: Eso (a) implica (b) es trivial. Para lo contrario escribimos = supx: x1t(x) − 0(x) ≤ sup{x: x1t(pxp) − 0(pxp) + Sup{x:x1t(pxp * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * xp). Desde el punto de vista de los débiles ((1 − p)x) → 0 * topología y t(xp )2 ≤ t(xx ∗)(l(p) )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) ) es lo suficientemente bueno si verificamos que (a) es equivalente a sup{x:x1t(pxp) − 0(pxp) → 0 como t → فارسى. Con ese fin primero notamos que limsuptÃ3supx:x1(lÃ3s+t(pxp))− Ã30(pxp) es independiente de s ≥ 0 elegimos. Por otro lado, escribimos Łs+t(pxp) = Łs(pŁt(pxp)p) + En el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. (p t(pxp)p)s(p t(pxp)p ) y utilizar el hecho para cualquier ni- mal estado tenemos limsuptÃ3supx:x1(lÃ3s(zlà t(pxp)p ) ≤ z (s(p) para todos los z â € A0. Por lo tanto, por nuestra hipótesis sobre la proyección de apoyo concluimos que (a) mantener siempre que (b) es verdad. En caso de que la variable de tiempo es continua y el álgebra de von-Neumann es el conjunto de operadores lineales delimitados en una dimensión finita Hilbert espacio H0, por explorando la representación de Lindblad [Li], Arveson [Ar] muestra que un semigrupo dinámico con un estado invariante normal fiel es ergódico si y sólo si la dinámica se está mezclando. En lo siguiente demostramos un resultado más general explorar los criterios que hemos obtenido en Teorema 2.3. Nota al pie de la página punto que ni siquiera necesitamos el generador del semigrupo de Markov para ser un operador limitado para el que la representación de Lindblad todavía no se entiende con toda la generalidad [CE]. TEOREM 2.5: Que A0 sea tipo-I con centro completamente atómico y t R) admite un estado invariante normal 0. Entonces (A0,?t,?0) es una mezcla fuerte si y sólo si (A0, Łt, Ł0) es ergódico. PRUEBA: Primero suponemos que el 0 es también fiel. Verificaremos ahora el criterios de que G0 es trivial cuando (e) es ergódico. Puesto que G0 es invariante por el grupo modular de automorfismo asociado con el estado normal fiel........................................................................................................................................................................................................................................................ un teorema de Takesaki [Ta] existe una norma normal fiel una proyección De A0 a G0. Ahora ya que A0 es un álgebra von-Neumann de tipo-I con centro completamente atómica, un resultado de E. Stormer [Así que] dice que G0 es también tipo-I con centro completamente atómico. Que Q sea una proyección central en G0. Puesto que Łt(Q) es también una proyección central y Qt(Q) → Q como t → 0 concluimos que Qt(Q) = Q para todos los t ≥ 0 (centro de G siendo completamente atómica y variable de tiempo t es continua ). Por lo tanto, por ergodicidad concluimos que Q = 0 o 1. Por lo tanto, G0 puede identificarse con B(K) para un espacio separable Hilbert K. Ya que (­t) en B(K) es un automorfismo que encontramos un operador autoadjunto H en K, de modo que t(x) = e itHxe−itH para cualquier x B(K). Puesto que admite un estado normal fiel ergódico, por [Fr, Mo1] llegamos a la conclusión de que {x • B(K) : xeitH = eitHx, t • R} = IC, que se mantiene si y sólo si K es uno dimensional. Por lo tanto G0 = IC. Ahora nos ocupamos de la situación general. Let p ser la proyección de soporte de 0 en A0 y A0 siendo un álgebra tipo I von-Neumann con centro completamente atómico, el centro de A 0 = pA0p es igual a la esquina del centro de A0 i.e. pA0 A′0p, es también un tipo-I von-Neumann álgebra con completamente atómica centro. Por ser ergódicos, tenemos a Łt(p) ↑ 1 como t ↑ فارسى en los débiles. topología y (A) t, ♥ 0) es ergódico. Así, por la primera parte del argumento, t, ♥ 0) se mezcla fuertemente. Por lo tanto, por Teorema 3.12 en [Mo1] concluimos que (A0,?t,?0) también es una mezcla fuerte. Esto completa la prueba. Terminamos esta sección con otra simple aplicación de Teorema 2.3 por la prueba de un resultado originado en [FNW1,FNW2,BJKW]. TEOREM 2.6: Dejar A0 ser un tipo-I von-Neumann álgebra con centro completamente atómico y ser un mapa completamente positivo con una normalidad fiel Estado invariante 0. A continuación, los siguientes son equivalentes: a) es una mezcla fuerte. b) (a0, n, n) es ergódico y 1, (x) = wx, para algunos no cerox A0} = {1}, donde S 1 = {w IC : w = 1}. PRUEBA: Que «a) implica (b)» es bastante simple y cierto en general para cualquier álgebra de von-Neumann. Para ese fin dejar que Ł(x) = wx para algunos x 6= 0 y w = 1. Entonces Łn(x) = wnx y puesto que la secuencia wn tiene un punto límite decir z, z = 1 concluimos por la mezcla fuerte que zx = 0(x)I. Por lo tanto x es un escalador y por lo tanto x = (x), x 6= 0. Así que w = 1 y x = 0(x)I. La propiedad ergódica también sigue por mezcla fuerte como x = 0(x)I para cualquier x para el cual ♥(x) = x. Ahora para lo contrario vamos a utilizar nuestra hipótesis de que......................................................................................................................................................................................................................................................... es un álgebra tipo-I von-Neumann con completamente atómica. Con ese fin planeamos para verificar que G0 consiste únicamente en escaladores y apelar al Teorema 2.3 para mezcla. Dado que existe una expectativa condicional de A0 a G0, por un orem de Stormer [So] G0 es una vez más un tipo-I von-Neumann álgebra con centro completamente atómico. Dejar E ser una proyección atómica no cero en el centro de G0. Se trata de un automorfismo en G0, cada elemento en la secuencia k(E): k ≥ 0} es una proyección atómica en el centro de G0. En caso de que no se disponga de la información necesaria para la aplicación de la presente Decisión, el Estado miembro de que se trate informará de ello a la autoridad competente del Estado miembro de que se trate. (E) 6= 0 y n ≥ m nos encontramos con que Łm(?n−m(E) E) 6= 0 y por lo tanto por fiel e invariante prop- De 0 a 0, obtenemos 1 (N-m(E) E) > 0. Una vez más por fidelidad encontramos que n−m(E) E 6= 0. Por lo tanto, por la propiedad atómica de E y E-n-m(E) nosotros con- o bien los elementos en la secuencia infinita E, E (E),...., n (E).... son todos ortogonales mutuamente o existe un mínimo pos- número entero itivo n ≥ 1 de modo que las proyecciones E, E, E,.., N−1(E) sean mutuamente ortogonal y E. Sin embargo, para una secuencia tan infinita con mutu- Proyección ortogonal aliada tenemos 1 = 0(I) ≤ 0( 0≤n≤m−1 n(E)) = m­0(E) para todos los m ≥ 1. Por lo tanto, 0(E) = 0 contradiciendo que E es distinto de cero y 0 es Fiel. Por lo tanto, para cualquier w S1 con wn = 1, tenemos ♥(x) = wx, donde x = 0≤k≤n−1w kŁk(E) 6= 0. Por (b) tenemos w = 1. Por lo tanto n = 1. En los demás palabras que tenemos para cualquier proyección atómica en el centro de G0. Ahora por ergodicidad tenemos E = I. Así G0 es un factor tipo-I decir isomórfico a B(K) para un poco de espacio Hilbert K y (x) = uxu* para algún elemento unitario u en G0. Ya que (G0, ln, l0) es ergódico que tenemos {u, u ′′ = B(K), que se mantiene si y sólo si K es una dimensión (verifique si hay una prueba alternativa de que ♥(u) = u, por lo tanto u = I por ergodicidad y por lo tanto Por lo tanto G0 = IC. Esto completar la prueba de que (b) implica (a). 3 Endomorfismos mínimos y Markov semi- grupos : Un E0-semigrupo (αt) es un débil *-continuo un parámetro semigrupo de unidades unitarias *-endomorfismos en un álgebra von-Neumann A actuando en un espacio Hilbert H. Después de [Po1,Po2,Ar] decimos (αt) es un cambio si t≥0 αt(A) = IC. Para cada una de ellas t ≥ 0, siendo αt un endomorfismo, αt(A) es en sí mismo un álgebra de von-Neumann y t≥0 αt(A) es un límite de una secuencia de álgebras von-Neumann decrecientes. Explorando esta propiedad Arveson demostró que (αt) es puro si y sólo si 1αt− • 2αt → 0 como t→ • para cualquiera de los dos estados normales • 1, • 2 en A. Estos criterios son los siguientes: más simplificado en caso de que (αt) admita un estado invariante normal tener (αt) es un cambio (en su terminología se llama puro, aquí preferimos el la terminología, ya que la última sección ilustrará un cambio no tiene por qué ser pura en su límite inductivo ) si y sólo si t0 → 0 como t→ • para cualquier estado normal - Sí, sí, sí, sí. En tal caso, â € 0 es el estado invariante normal único. Sin embargo, un cambio (αt) en general no puede admitir un estado invariante normal [Po2,BJP] y este problema es es un problema interesante. Una cuestión natural que deseamos abordar aquí es si un resultado similar es también cierto para un semigrupo de Markov definido sobre un arbitrario von-Neumann álgebra A0. Esta cuestión ya se ha investigado en [Ar], donde A0 = B(H) y el semigrupo se supone que es continuo en la topología del operador fuerte. Exploró la dilatación mínima asociada a un E0-semigrupos y así hacer posible demostrar que el grupo E0-semigrupo asociado es un cambio si y sólo si • 0 como t → • • • para cualquiera de los dos estados normales • 1, • 2 en A0. En caso de que (lt) admite un estado invariante normal los criterios se simplifican una vez más. In en esta sección vamos a investigar más a fondo este tema para un von-Neumann arbitrario álgebra suponiendo que es admite un estado invariante normal فارسى0. Con ese fin, consideramos [Mo1] el mínimo estacionario débil Markov para- proceso de selección (H, Ft], jt, (A0, Łt, Ł0) y establecer A[t para ser el álgebra de von-Neumann generada por el familia de operadores {js(x): t ≤ s < Recordamos que js+t(x) = S t js(x)St, t, s R y por lo tanto αt(A[0) A[0 cuando t ≥ 0. Por lo tanto (αt, t ≥ 0) es un E0-semigrupo en A[0 con un estado normal invariante js(Łt−s(x)) = Fs]αt(jt−s(x))Fs] (3.1) para todos los x â € A0. Consideramos que el espacio GNS Hilbert (H0, 0(A0), 0) como- sociada con (A0, ­0) y definida un semigrupo de Markov (­) t ) el η(A0) por t (η(x)) = η(üt(x). Por otra parte, ahora identificamos H-0 como el subespacio de H por la prescripción 0(x)­0 → j0(x)­. En tal caso, se identifica como j0(x) y el objetivo es verificar en cualquier t ≥ 0 que t (PXP ) = Pαt(X)P (3.2) para todos los X A[0 donde P es la proyección de H en el espacio GNS. Nosotros utilizar inducción en n ≥ 1. Si X = js(x) para algunos s ≥ 0, (4.2) sigue de (4.1). Ahora asumimos que (3.2) es cierto para cualquier elemento de la forma js1(x1)...jsn(xn) para cualquier s1, s2,..., sn ≥ 0 y xi â € A0 para 1 ≤ i ≤ n. Fijar cualquier s1, s2, sn, sn+1 ≥ 0 y considerar X = js1(x1)...jsn+1(xn+1). Por lo tanto Pαt(X)P = j0(1)js1+t(x1)...jsn+t(xn+1)j0(1). Si sn+1 ≥ sn usamos (3.1) para conclusión (3.2) por nuestra hipótesis de inducción. Ahora supongamos sn+1 ≤ sn. In ese caso si sn−1 ≤ sn apelamos a (3.1) e hipótesis de inducción para verificar (3.2) para X. Por lo tanto, se deja considerar el caso donde sn+1 ≤ sn ≤ sn−1 y repitiendo este argumento se nos deja comprobar sólo el caso donde sn+1 ≤ sn ≤ sn−1 ≤.. ≤ s1. Pero s1 ≥ 0 = s0 así podemos apelar a (3.1) al final de la cadena y concluir que nuestra reclamación es cierta para todos los elementos en el álgebra generada por estos elementos de todo orden. Por lo tanto, el resultado sigue por el teorema de densidad de von-Neumann. También notamos que P = t (1) es un proyección subarmónica [Mo1] para (αt: t ≥ 0), es decir, αt(P ) ≥ P para todos los t ≥ 0. PROPUESTA 3.1: Ser un semigrupo dinámico cuántico con un estado invariante normal para (el t). Entonces el espacio GNS H0 asociado con el estado normal de A0 se puede realizar como un subespacio cerrado de un único Hilbert espacio H[0 hasta el isomorfismo de modo que la siguiente bodega: a) Existe un álgebra von-Neumann A[0 que actúa sobre H[0 y una unidad ∗- endomorfismo (αt, t ≥ 0) en A[0 con un estado vectorial puro En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. b) El PAP es isomórfico con η(A0) donde P es la proyección en H0 ; c) Pαt(X)P = t (PXP ) para todas las t ≥ 0 y X ≤ A[0; (d) El espacio cerrado generado por los vectores tn(PXnP )....αt1(PX1P ) 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤.. ≤ tk ≤....tn, X1,.., Xn A[0, n ≥ 1} es H[0. PRUEBA: La singularidad hasta el isomorfismo se deriva de la minimalidad prop- erty (d). Siguiendo la literatura [Vi,Sa,BhP] sobre la dilatación decimos (A[0, αt, mínimo E0-semigrupo asociado con (A0, Por un teorema [Ar, Proposi- de la resolución 1.1] llegamos a la conclusión de que t≥0 αt(A[0) = IC si y sólo si para cualquier estado normal • en A[0, t − 0 → 0 como t→ •, donde •0(X) = •, X • > para X • A0]. En la siguiente proposición exploramos ese hecho de que P es una sub-armónica proyección para (αt) y por nuestra construcción αt(P) = Ft] ↑ 1 como t→. PROPUESTA 3.2: t − 0 → 0 como t → para todo el estado normal A[0 si y sólo si t − donde η es el espacio GNS asociado con (A0, ­0). PRUEBA: Desde Fs] ↑ 1 en la topología del operador fuerte por nuestra construcción y η(A0) es isomórfico a F0]A[0F0], obtenemos el resultado mediante una simple aplicación de Teorema 2.4. TEOREMA 3.3: Ser débil (t, t ≥ 0) * Markov continuo semi- grupo en A0 con un estado normal invariante ­0. Entonces existe un débil E0-semigrupo continuo α = (αt, t ≥ 0) en un álgebra von-Neumann A[0 actuando en un espacio Hilbert H para que Pαt(X)P = t (PXP ), t ≥ 0 para todos los X A[0, donde P es una proyección sub-armónica para (αt) tal que αt(P) ↑ I. Además, las siguientes declaraciones son equivalentes: t≥0 αt(A[0) =C (b) t − فارسى0 → 0 como t→ • para cualquier estado normal • en η(A0) PRUEBA: Para comodidad de la notación denotamos η(A0) ′′ como A0 en el siguiente prueba. Que las letras a) y b) son equivalentes seguidas por un teorema de Arveson [Ar] y Proposición 3.2. Siguiendo [AM,Mo1] decimos (H, St, Ft], limtFt] = . También recordamos aquí que la propiedad de cambio de Kolmogorov se mantiene si y solo si el valor de la suma de x, y el valor de la suma de A0 es igual o superior al valor de la cantidad total de x, y In tal caso A = B(H) (véase el párrafo anterior al Teorema 3.9 en [Mo1] ). En caso de que no se disponga de la información necesaria para la aplicación de la presente Decisión, se considerará que la información facilitada por la autoridad competente es conforme con el artículo 2, apartado 1, letra a), del Reglamento (UE) n.o 1303/2013. es fiel entonces A0 y A0 (A0) son isomórficos, por lo tanto t≥0 αt(A[0) =C si y solo Si t − فارسى0 → 0 como t→ • para cualquier estado normal • en A0. Semejante propiedad es a menudo llamada propiedad ergódica fuerte. Nuestro siguiente resultado dice que hay una dualidad entre la fuerte ergodicidad y la propiedad de cambio de Kolmogorov. Con ese fin, nosotros recordar el proceso hacia atrás (H, jbt, F[t,♥) tal como se define en [AcM,Mo1] donde Ft] ser la proyección en el subespacio generado por los vectores : IR → A0 : soporte de  (, t]} y para cualquier x A0, j t (x) es la extensión trivial de es la acción en Ft] que toma un vector típico......................................................................................................................................................................................................................................................... ′ donde (s) = (s) para cualquier s < t y (t) = x). Para cualquier elemento analítico x para el automorfismo grupo, comprobamos primero que jbt es de hecho una isometría si x es así. Ahora nos extendemos como Los elementos analíticos son débiles* densos para todos los isométricos y se extienden por linealidad a todos elementos de A0. Recordamos aquí que tenemos la propiedad de Markov hacia atrás para el proceso (jbs) como F[tj s(x)F[t = j t (t−s(x)) para todos los t ≥ s en los que (A0, t, t ≥ 0, el semigrupo de Markov dual definido en (3.1). Al igual que en el proceso de avance que tenemos ahora F[tA t]F[t = j t (A0) donde para cada t • IR establecemos A t] para el von-Neumann álgebra {jbs(x): s ≤ t, x • A0} TEOREM 3.4: Vamos a ser (A0, A0, A0) un semigrupo de Markov con un fiel Estado invariante normal............................................................................................................................................................................................................................................................ A continuación, los siguientes son equivalentes: a) 0(t(x)t(y)) → 0(x) (b) t − فارسى0 → 0 como t→ • para cualquier estado normal • en A0. PRUEBA: Para cada t R dejar Abt] ser el álgebra de von-Neumann generada por el procesos hacia atrás {jbs(x) : < s ≤ t} [Mo1]. Asumir a). Por el teorema 3.9 y Teorema 4.1 en [Mo1] verificamos que el t] es B(H). Puesto que para cada t R el conmutante de Abt] contiene A[t concluimos que Eso es trivial. Por lo tanto (b) sigue una vez que apelamos al Teorema 3.3. Por la inversa, es suficiente si verificamos que Ł0(t(x)Jt(y)J) → Ł0(x)Ł0(y) como t→ • para cualquier x, y • A0 con y ≥ 0 y •0(y) = 1. Con ese fin comprobamos el que sigue pasos sencillos (0(t(x)Jt(y)J) = 0(t(t(x))JyJ) y para cualquier normal En el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. Por lo tanto el resultado sigue una vez que notamos que فارسى definido por Ł(x) = فارسى0(xJyJ) es un normal Estado. TEOREMA 3.5: Ser un semigrupo de Markov con un in- Estado de la variante 0. Considere las siguientes declaraciones: (a) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e). (b) el fuerte limtFt] = . c) A = B(H) Entonces (a) y (b) son declaraciones equivalentes y en tal caso (c) es también Cierto. Si también es fiel (c) es equivalente a (a) (y por lo tanto (b)). PRUEBA: Que (a) y (b) son equivalentes no es nada más que una reafirmación de Teorema 3.9 en [Mo1]. Que (b) implica (c) es obvio ya que la proyección [A], donde A′ es el conmutante de A, es el soporte del estado vectorial en A. Demostraremos ahora (c) implica (a). En el caso A = B(H), tenemos t] =C, por lo tanto, en particular t≤0 αt(A 0]) = C. Por lo tanto, por Teorema 3.3 solicitado para el endomorfismo tiempo-reverso verificamos que t− 0 → 0 como t→. Ahora (a) sigue una vez que apelamos al teorema 3.4 para los semigrupos contiguos desde t = Łt. TEOREM 3.6: Seamos (A0, ­t, ­0) como en el Teorema 3.1. Entonces lo siguiente mantener: a) Si (A0, Łt, Ł0) se está mezclando, entonces αt(X) B es la terminación C* del álgebra ∗ generada por {jt(x) : t • IR, x • A0}. b) Si (A0, Łt, Ł0) se está mezclando y A es un factor de tipo I, entonces A = B(H). Prueba: Para (a) nos referimos a [AM, Mo1]. Por nuestra hipótesis A es un tipo-I von-Neumann y, por lo tanto, existe una representación irreductible de B en un espacio Hilbert Hη casi equivalente a. Existe una matriz de densidad En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Por lo tanto existe un unitario representación t→ Ut en Hη de modo que Utη(X)U t = γ(αt(X)) para todos los t • IR y X • B. Desde el punto de vista B también tenemos U t?Ut =?. Nosotros Alegan que... es una proyección dimensional. Supongamos que no y luego existe al menos dos vectores unitarios característicos f1, f2 para ♥ de modo que f1, f2 sean caracteres- vector istico para representación unitaria Ut. Por lo tanto tenemos < fi, η(X)fi = < fi, η(αt(X))fi > para todos los t • IR e i = 1, 2. Al tomar el límite concluimos por (a) que < fi, η(X)fi > = l(X) < fi, fi = l(X) para i = 1, 2 para todas las X ° B. Esto violetas irreductibilidad de la representación. PROPUESTA 3.7: Que (A0, Fiel. Entonces el conmutante de A[t es A t] para cada t • IR. Prueba: Es obvio que A[0 es un subconjunto del conmutante de A 0]. Nota también que F[0 es un elemento en A 0] que se desplaza con todos los elementos de A[0. As un primer paso nota que es lo suficientemente bueno si mostramos que F[0(A ′F[0 = F[0A[0F[0. En cuanto a algunos X â € (Ab0]) A[0 si tenemos XF[0 = F[0XF[0 = F[0Y F[0 = Y F[0 entonces verificamos que XZf = Y Zf donde f es cualquier vector de modo que F[0f = f y Z Ab0] y así como tales vectores son totales en H obtenemos X = Y ). Por lo tanto todo lo que necesitamos para mostrar que F[0(A ′F[0 F[0A[0F[0 como inclusión en otros la dirección es obvia. Vamos a explorar en seguir la relación que F0]F[0 = F[0F0] = F{0} es decir, la proyección en la fibra a 0 repetidamente. Una prueba sencilla sigue una vez que usamos fórmulas explícitas para F0] y F[0 dadas en [Mo1]. Ahora pretendemos probar que F[0A [0F[0 F[0A] 0]F[0. Let X â € F[0A [0F[0 y verificar que Xe = XF0]l = F0]XF0]l = F{0}XF{0 [j 0(A0) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * En el other-hand notamos por Markov propiedad del proceso atrasado (jbt ) que 0]F[0 = j b(A0) ′′. Por lo tanto existe un elemento Y Ab0] de modo que X. = Y. Por lo tanto XZel = Y Zel para todos los Z A[0 como Z se desplaza con X e Y. Desde {Z.} : Z.} A[0} se extiende F[0, obtenemos la inclusión requerida. Desde su inclusión en el otra dirección es trivial como F[0 â € A [0 concluimos que F[0A [0F[0 = F[0A 0]F[0. F[0 siendo una proyección en A 0] verificamos que F[0(A ′F[0 (F[0A) 0]F[0) ′ y así que también tenemos F[0(A ′F[0 (F[0A) [0F[0] ′ como Ab0] A [0. Por lo tanto, es suficiente si Demostramos que [0F[0 = [F[0A[0F[0] Verificaremos la inclusión no trivial de esta igualdad. Dejemos que X (F[0A[0F[0) ′ entonces Xe = XF0] = F0]XF0] = F{0}XF{0 [j 0(A0)♥]. Por lo tanto existe un elemento Y â € F[0A [0F[0 de modo que X. = Y. Por lo tanto, para cualquier Z â € A[0 tenemos XZe = Y Ze y asíXF[0 = Y F[0. Por lo tanto X = Y F[0A [0F[0. Por lo tanto Obtenemos la inclusión requerida. Ahora para cualquier valor de t • IR recordamos que αt(A[0) = A[t y αt(A[0) [0), αt ser un automorfismo. Esto completa la prueba como αt(A) 0]) = A por nuestra construcción. Un problema interesante que planteamos en [Mo1] si Kolmogorov propiedad es tiempo reversible es decir. Si Ft] → como t → si y sólo si F[t → como t → فارسى. Que es cierto en el caso clásico sigue por Kolmogorov-Sinai-Rohlin teoría sobre la entropía dinámica para el asociado Cambio de Markov [Pa]. En la actual configuración general, es cierto si A0 es un tipo-I von- álgebra Neumann con centro atómico [Mo1]. Es obviamente cierto si el Markov semigrupo es KMS simétrico. Pero en general es falso. En la última sección dará una clase de contra ejemplo. Esto indica que el contador cuántico parte de la propiedad de Kolmogorov es poco probable que sea capturado por una noción adecuada de Entropía dinámica cuántica con propiedad Kolmogorov-Sinai-Rohlin. 4 Estado límite inductivo y pureza: Ser un endomorfismo unitario con una normalidad invariante en un álgebra von-Neumann B0 actuando en un espacio Hilbert H. Let P ser la proyección de apoyo para................................................................................................................. Se establece A0 = PBP, un álgebra de von-Neumann Actuando en H0, el subespacio cerrado P, y Łt(x) = P/23370/t(PxP )P, para cualquier x • A0 y t ≥ 0. Dado que el valor de P ≥ P, es fácil verificar [Mo1] que (A0,?t,?0) es un semigrupo dinámico cuántico con un estado invariante normal fiel •0(x) = •(PxP) para x •A0. Ahora establecemos j0(x) = PxP y jt(x) = t(j0(x)) para t ≥ 0 y x ≤ A0. Una verificación de rutina dice que Fs]jt(x)Fs] = js(Łt−s(x)) en el caso de 0 ≤ s ≤ t, donde Fs] = Fs(P), s ≥ 0. Que A[0 sea el álgebra de von-Neumann {jt(x): t ≥ 0, x • A0} ′′. Al igual que en la sección 4 comprobamos que Pαt(X)P = Łt(PXP ) para todos los X-A[0. Sin embargo, estos son estos vectores tn(PXnP )...................................................................................................................................................................................................................................................... H0, 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤.. ≤ tk ≤.. tn, X1,.., Xn ≤ B0, n ≥ 1} total en H? As un contra ejemplo en tiempo discreto consideramos un endomorfismo en B(H) [BJP] con un estado de mezcla pura y tenga en cuenta que A0 es sólo escaladores. Por lo tanto, la espacio cíclico generado por el proceso (jt) en el estado puro es en sí mismo. Por lo tanto el problema es bastante delicado incluso cuando el álgebra de von-Neumann es el álgebra de todos los operadores limitados en K. No abordaremos este problema Aquí. Desde el punto de vista de los datos (p )tn(pXnP )...­t1(pXP )H0 = ­tn(pXnP )...­t1(pXP ) t ≥ tn, limtt(P) = 1 es una condición necesaria para la propiedad cíclica. Lo mismo contra ejemplo muestra que no es suficiente. En lo siguiente exploramos el hecho de que la proyección de apoyo P es de hecho un elemento en el von-Neumann álgebra A generada por el proceso (kt(x): t ≥ 0, x + A0) y asintótico el límite del endomorfismo (B0, endomorfismo (A[0, αt, t ≥ 0 En lo siguiente consideramos una situación un poco más general. Deja que B0 sea un C álgebra, ser un semigrupo de endomorfismos inyectores y ser un estado invariante para (­t: t ≥ 0). Nos extendemos a un automorfismo en la C álgebra Bâ del límite inductivo t B0 → t B0 y extender también el estado a Bó mediante la necesidad de la invarianza. Por lo tanto, hay existe un conjunto dirigido (es decir, indexado por TI, por inclusión B[−s B[−t si y solamente si t ≥ s) de C*-subálgebras B[t de B® de modo que el cierre uniforme de B[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] es B[. Además existe un isomorfismo i0 : B0 → B[0 ( nos referimos a [Sa] para los hechos generales sobre el límite inductivo de C*-álgebras). Es simple. tener en cuenta que es un isomorfismo de B0 en B[t y it = En B0. Que (Hl, l,l) sea el espacio de GNS asociado con (B[, ] y (l) ser la extensión normal única a ′′. Así, el estado vectorial (X) =< Es un estado invariante para el automorfismo. Como B[0] B[0 para todos t ≥ 0, (η(B[0) ", "t", t ≥ 0, ) es una dinámica cuántica de los endomorfismos. Vamos. Ft] ser la proyección de soporte del estado vectorial normal  en el von-Neumann subálgebra η(B[t) ′′. Ft] π(B[t) ′′ η(B[) ′′ es una disminución monótona secuencia de proyecciones como t → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Que la proyección Q sea el límite. Por lo tanto Q ≥ [ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Así que Q = asegura que en B puro. Nuestro objetivo es investigar cuando Q es puro, es decir. Q = . Con ese fin establecemos von-Neumann álgebra N0 = F0] ′′F0] y definir familia {kt : N0 → ", de los homomorfismos por kt(x) = t(F0]xF0], x N0 Se trata de un trabajo de rutina para comprobar que (kt : t - IT ) es el único hasta isomor- phism (en el espacio cíclico del vector  generado por el von-Neumann álgebra {kt(x): t IT, x N0} ) hacia adelante débil proceso Markov associ- atendido con (N0, ηt, +0) donde ηt(x) = F0]αt(F0]xF0])F0] para todos los t ≥ 0. Lo es. mínimo una vez restringido al espacio cíclico generado por el proceso. Por lo tanto Q = cuando se limita al subespacio cíclico del proceso si y sólo • 0(n(x)n(y)) → • 0(x) • 0(y) como t→ • para todas las x, y • N0. PROPUESTA 4.1: Dejar G0] ser el subespacio cíclico del vector γ(B[0). a) G0] π η(B[0) ′ y el mapa h : η(B[0) ′′ → G0]η(B[0) ′′G0] definido por X → G0]XG0] es un homomorfismo y el rango es isomórfico a η0(B0) ′′, donde (Hn0, n0) es el espacio GNS asociado con (B0, nó). b) Determinación del intervalo de h con η0(B0) ′′ tenemos h • t(X) = • t(h(X)) para todos los X+(B[0) ′′ y t ≥ 0. (c) Que P sea la proyección de apoyo del estado en el álgebra de von-Neumann η0(B0) ′′ y A0 = Pη0(B0) ′′P. Fijamos Łt(x) = P/23370/t(PxP)P para todos los t ≥ 0, x A0 y â € € € = â € € (PxP ) para x â € € A0. Entonces i) h(F0]) = P y h(N0) = A0; ii) h(ηt(x)) = t(h(x)) para todos los t ≥ 0. PRUEBA: El mapa η(X)­ → η0(X)­0 tiene una extensión unitaria que en tertwines la representación GNS (H0, η0) con la sub-representación de B[0 en el subespacio cíclico G0]. Así, a) sigue. (b) es una consecuencia simple como i0 : B0 → B[0 es un C ∗ isomorfismo que covariante con respecto a (e) para todos t ≥ 0, es decir, ti0(x) = i0(t(x)) para todas las x B0. Que h(F0) = P es simple como h es un isomorfismo y por lo tanto también un mapa normal que toma la proyección de soporte F0] de el Estado de la Región en la Región (B[0) "apoyar la proyección P del Estado" en η0(B0) ′′. Ahora por propiedad del homomorfismo del mapa h y la propiedad de la conmutación con ( También comprobamos que h(N0) = h(F0)(B[0) ′′F0]) = Pη0(B0) ′′P = A0 y h(ηt(x)) = h(F0])t(h(F0])h(x)h(F0]) = Pt(Ph(x)P )P = t(h(x)) para todos los t ≥ 0. TEOREMA 4.2: Q es puro si y sólo si l0(l(x)­t(y)) → l0(x)­0(y) como t→ • para todas las x, y • A0. PRUEBA: Para cualquier solución t+ IT desde kt(A0) = Ft](B[t) "Ft], para cualquier X" B[t Tenemos QXe = QFt]XFt]e = Qkt(x)e para algunos x â € A0. Por lo tanto Q = Si y sólo si Q = en el subespacio cíclico generado por {kt(x), t(x), x(A0}. Teorema 3.5 dice ahora que Q = si y sólo • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • phism y hηt(x) = t(h(x)), también tenemos h(ηt(x))ηt(y)) = Desde el punto de vista de la prueba, completamos la prueba. COROLLARY 4.3: [ es un estado puro, si 0(l(x)t(y)) → 0(x)0(y) como t→ • para todas las x, y • A0. Prueba: El teorema 4.2 es el siguiente: Q ≤ [ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Nuestro análisis anterior puso muy poca luz si la condición suficiente En el corolario 4.3 también es necesario para la pureza. Llegaremos a este punto en siguiente sección donde trataremos con una clase de ejemplos. 5 propiedad de Kolmogorov y pura transla- ciones invariantes: Let • Ser un estado invariante de la traducción en UHFd álgebra A = ZZMd y ser la restricción de Ł a álgebra UHFd B0 = INMd. Hay uno a uno correspondencia entre un estado invariante de la traducción ) estado invariante en álgebra UHFd INMd. Los criterios [Po] de las potencias fácilmente los rendimientos que es un estado factorial si y sólo si es un estado factorial. Una pregunta que viene naturalmente aquí qué propiedad de se relaciona con la pureza de - ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Un relato sistemático de esta cuestión se inició en [BJKW] inspirado en Se obtiene el éxito inicial de [FNW1,FNW2,BJP] y una condición suficiente. In un artículo reciente [Mo2] esta línea de investigación fue explorada y nosotros obtuvo una condición necesaria y suficiente para una celosía invariante de la traducción estado del factor simétrico para ser puro y los criterios pueden ser descritos en términos de elementos Popescu canónicamente asociados con la representación de Cuntz. Que el estado es simétrica retícula jugó un papel importante en el argumento de la dualidad utilizado en la prueba. Aquí como una aplicación de nuestro resultado general, nos proponemos ahora encontrar uno más criterios útiles para un estado de factor invariante de la traducción cadena de giro cuántica ZZMd para ser puro. También demostramos que la pureza de una celosía traducción simétrica invariante del estado es equivalente a la propiedad de Kolmogorov de un semigrupo de Markov canónicamente asociado con فارسى. Primero recordamos que el álgebra de Cuntz Od(d {2, 3,.., }) es el universal C*-álgebra generada por los elementos {s1, s2,..., sd} sujetos a las relaciones: s*i sj = 1≤i≤d i = 1. Existe una acción canónica del grupo U(d) de matrices unitarias d× d en Od dado por βg(si) = 1≤j≤d para g = ((gij) • U(d). En particular, la acción del gálibo está definida por: βz(si) = zsi, z • IT = S 1 = {z IC : z = 1}. Si UHFd es el subalgebra de punto fijo bajo la acción del gálibo, entonces UHFd es el cierre del espacio lineal de todos los monomios ordenados por mecha de la forma Si1...siks ...s*j1 que también es isomórfico al álgebra UHFd Md. = para que el isomorfismo lleve la mecha ordenada monomial arriba en el elemento matricial (1) ei2j2(2).... e (k) 1 1.... y la restricción de βg a UHFd se lleva a cabo Ad(g)Ad(g) Ad(g).... También definimos el endomorfismo canónico en Od por (x) = 1≤i≤d y el isomorfismo lleva  restringido a UHFd en el cambio unilateral Y1 y2 ...→ 1 y1 y2.... el 1 Md. Nótese que g = βg♥ en UHFd. Let d {2, 3,..,..} y ZZd ser un conjunto de elementos d. Yo soy el conjunto de finitos secuencias I = (i1, i2,..., im) en las que ik • ZZd y m ≥ 1. También incluimos vacío set I y set s. = 1 = s •, sI = si1......sim • Od y s I = s ... s*i1 • Od. Deja que sea un estado invariante de la traducción en A = ZZMd donde Md es (d × d) matrices con entradas complejas. Identificando INMd con UHFd encontramos uno a una relación de un estado invariante en UHFd con la de un cambio de un lado estado invariante en AR = INMd. Vamos. ′ ser un estado invariante en el UHFd sub-álgebra de Od. Después de [BJKW, sección 7], consideramos el conjunto K = : es un estado en Od tal que y UHFd = Al tomar la media invariante en una extensión de a Od, verificamos que K no es vacío y K es claramente convexo y compacto en la topología débil. En caso de que es un estado ergódico (estado extremal) K es una cara en los estados invariantes. Antes de recordar la Proposición 7.4 de [BJKW] en la siguiente proposición. PROPUESTA 5.1: Seamos ergódicos. Entonces # # # K es un punto extremo # en K si y sólo si es un estado de factor y por otra parte cualquier otro punto extremo en K tienen la forma z para algunos z IT. Fijamos cualquier punto de K y consideramos el sistema Popescu asociado (K,M, vk,) descrito como en la Proposición 2.4. Una simple aplicación del Teorema 3.6 en [Mo2] dice que el estado límite inductivo en el límite inductivo (Od, ) → (Od, ) →  (Od, ) es puro si فارسى0(ln(x)ln(y)) → فارسى0(x)l0(y) para todos x, y â € M as n→ â € €. Este criterio es de uso limitado en la determinación de la pureza de a menos que tengamos (UHFd) ′′ = (Od) ′′. Demostramos un criterio más poderoso en la sección siguiente, completando una condición necesaria y suficiente obtenida por [Mo2], para una traducción invariante estado factor de ser puro. A tal fin, tenga en cuenta que el álgebra von-Neumann {SIS] J: I = J < actúa sobre el subespacio cíclico de H generado por el vector ♥. Esto es iso- morfo con la representación de GNS asociada con (B0, ′). Lo inductivo límite (B, ) [Sa] descrito como en la Proposición 3.6 en [Mo2] asociado con (B0, n, n ≥ 0,  ′) es el álgebra UHFd ZZMd y el estado límite inductivo es فارسى. Que Q sea la proyección de soporte del estado en η0(B0) ′′ y A0 = Qη(B0) ′′Q. Desde ((X)) = (X) para todas las X (UHFd) ", "(Q)" (UHFd) " y "(Q)" ≥ Q [Mo1]. Por lo tanto, Q?(I − Q)Q = 0 y tenemos (I − Q)S*kQ = 0 para todos los 1 ≤ k ≤ d. El mapa reducido de Markov η : A0 → A0 es definido por η(x) = QŁ(QxQ)Q (5.1) para todas las x A0 que admite un estado normal fiel *0(x) = (QxQ), x (A0) (5.2) En particular, ↑ I como n → ↑. Por lo tanto {Si : I <, Qf = f, f H es total en H. Establecemos lk = QSkQ, donde lk no necesita ser un elemento en A0. Sin embargo J A0 proporcionado I = J <. Sin embargo, tenemos Q.................................................................................... verificar que (sI) J) = , SIS < , QSIS JQe > = ♥, ll l para todos, J, J. En particular, tenemos (sI) J) = 0(ll l para todos I = J . Para cada n ≥ 1 observamos que {SIS J : I = J ≤ n} (en lo sucesivo, «UHFd») (UHFd) ′′ y por lo tanto (UHFd) ′′ ( n≥1­n((UHFd) ′′)′. Por lo tanto (en lo sucesivo, «UHFd») ′′) (UHFd) (UHFd) ′. (5.3) Ahora por Proposición 1.1 en [Ar, vea también Mo2] n − → 0 como n → فارسى para cualquier estado normal en (UHFd) ′′ si es un estado de factor. Así que tenemos llegó al siguiente resultado bien conocido de R. T. Powers [Pow1,BR]. TEOREM 5.2: Que sea un estado invariante de ♥ en UHFd INMd. Entonces el las siguientes declaraciones son equivalentes: a) es un estado factorial; b) Para cualquier estado normal en A0, n − 0 → 0 como n→ فارسى; c) Para cualquier x • UHFd INMd Supy1 ′(xn(y)− فارسى ′(x)(y) → 0 como n→ فارسى; d) (xln(y)) → ′(x)(y) como n→ • para todas las x, y • UHFd INMd; PRUEBA: Para cualquier estado normal en A0 notamos que P (X) = PXP ) es un estado normal en (UHFd) ′′ y n − 0 ≤ Pn −. Por lo tanto, por el el argumento a) implica b). Que (c) implica (d) y (d) implica (a) son Es obvio. Demostraremos que (b) implica (c). Tenga en cuenta que para (c) es lo suficientemente bueno si verificamos para todos los no negativos x • UHFd con soporte finito y • ′(x) = 1. En tal caso para los valores grandes de n el mapa (y) → ′(xn(y)) determina un Estado normal en (UHFd) ′′. Por lo tanto, c) sigue cada vez que b) se mantiene. COROLLARY 5.3: Vamos a ser un estado invariante de traducción en UHFd ZZMd. A continuación, los siguientes son equivalentes: a) Es un estado factorial; b) Para todos los tipos de x, y para todos los tipos de UHFd ZZMd; PRUEBA: En primer lugar recordamos que es un estado factorial si y sólo si es un punto extremo en el estado invariante de la traducción, es decir, Es un estado ergódico para la traducción mapa. Dado que la propiedad del grupo (b) implica ergodicidad, a) sigue. Por la Comisión conversa nota de que es un estado ergódico para el mapa de traducción si y sólo si es ergódico para  en UHFd INMd. Por lo tanto, por Teorema 3.2 llegamos a la conclusión de que declaración (b) mantener para cualquier elemento local x, y • UHFd ZZMd. Ahora usamos el hecho de que los elementos locales son densos en la norma C* para completar la prueba. PROPOSICIÓN 5.4: Seamos una traducción invariante estado extremal en A y ser un punto extremo en K. A continuación, la siguiente espera: a) H = {z S1 : z = es un subgrupo cerrado de S 1 y η(Od) H = η(UHFd) ′′. Además tenemos n((Od) ′′) = η(Od) ′′ η(UHFd)′; b) Si H = S1 entonces η(Od) ′′ η(UHFd)′ = CI; c) Que (H, Proyección del Estado en la región de Od ′′. Luego, P.O.O. (U.H.F.D.) ′′ es también el apoyo Proyección del Estado en el Reino Unido (UHFd) PRUEBA: La primera parte de (a) no es más que una reafirmación de la Proposición 2.5 en [Mo2] módulo la propiedad factorial de η(UHFd) ′′. Para una prueba del factor propiedad nos referimos a Lemma 7.11 en [BJKW] modulo una modificación descrita en la Proposición 3.2 en [Mo2]. Ahora pretendemos demostrar que n≥1 n((Od) ′′) = η(Od) ′′ η(UHFd)′. Lo es. obvio por Cuntz relación que n((Od) ′′) π(Od) ′′ η(UHFd)′. Por el letX converso (Od) η(UHFd) ′ y fijar cualquier n ≥ 1 y establecer Yn = S con I = n. Desde X (UHFd) ′ verificamos que S*IXSI = S IXSIS JSJ = S*ISIS JXSJ = S JXSJ para cualquier J = n. Así Yn es independiente de la multi- índice que elegimos. Ganancia una vez como X π (UHFd) ′ también comprobamos que Łn(Yn) = J :J =n SJS IXSIS J = X. Por lo tanto X n≥1 n((Od) Ahora (UHFd) ′′ siendo un factor, un resultado general en [BJKW, Lemma 7.12] dice que π(Od) (OHd) ′ es un álgebra conmutativa von-Neumann generada por una operador unitario u de modo que βz(u) = γ(z)u para todos z H y algún carácter γ de H. Además existe un z0 H para que βz0(x) = uxu ∗ para todos los x • η (Od) Así también tenemos βz0(u) = u = γ(z0)u. Así que tenemos γ(z0) = 1. H ser S 1 los el carácter se puede escribir como γ(z) = zk todos z â € H y para algunos k ≥ 1. Por lo tanto ukx(uk)* = βzk (x) = x. ′′ ser un factor uk es un escalador. Multiplicando un factor adecuado podemos elegir una u unitaria..... (Od) η(UHFd) ′ de modo que uk = 1. Sin embargo, también comprobamos que para todos z S1 tenemos βz(u k) = γ(z)kuk i.e. γ(z)k = 1 para todos los z • S1 como uk = 1. Por lo tanto, γ(z) = 1 para todos los z • S1. Por lo tanto βz(u) = u para todos los z + S 1 y u es escalador, ya que u es también un elemento en η(UHFd) ′′ por la primera parte. η(UHFd) ′′ siendo un factor concluimos que u es un escalador. Por lo tanto (Od) ′′ (UHFd)′ es trivial. Esto completa la prueba de (b). Es obvio que βz(P ) = P para todos z â € H y por lo tanto por (a) P â ¬ (UHFd) y, por lo tanto, también la proyección de apoyo en η(UHFd) " del Estado ". (c) es un simple consecuencia de la letra a) y del corolario 4.3. THEOREM 5.4: Seamos un estado invariante de traducción en UHFd ZZMd y P sea la proyección de apoyo de K en π(Od) ′′. Más aún dejar que A0 sea el von-Neumann álgebra Pγ(UHFd) "P actuando en el subespacio P y completamente mapa positivo : A0 → A0 definido por ♥(x) = P/23370/(PxP )P, es decir. (x) = k lkxl ser el mapa completamente positivo en A0 donde lk = Pγ(sk)P para todos los 1 ≤ k ≤ d. A continuación, la siguiente espera: a) En caso de que la letra a) del apartado 1 del artículo 4 no se aplique a los casos en que la letra b) del apartado 1 del artículo 6 no se aplique a los casos en que la letra b) del apartado 1 del artículo 6 no se aplique a los casos en que la letra b) del apartado 1 del artículo 6 no se aplique a los casos en que la letra b) del apartado 1 del artículo 6 no se aplique a los casos en que la letra c) del apartado 1 del artículo 6 no se aplique a los casos en que la letra c) del apartado 1 del artículo 6 no se aplique a los casos en que la letra c) del apartado 1 del artículo 6 no se aplique a los casos en que la letra c) del apartado 1 del artículo 6 no se aplique a los casos en que la letra c) del apartado 1 del artículo 6 no se aplique a los casos en que la letra c) del apartado 1 del artículo 6 no se aplique a) n(x)­n(y)) → ­0(x)­0(y) como n→ · para todas las x, y · A0 entonces · es puro; b) Si H = S1 entonces n − فارسى0 → 0 como n→ فارسى para cualquier estado normal en A0; PROOF: (a) seguido por una fácil aplicación del corolario 4.3. Para una prueba de (b) apelamos a [Ar, Proposición 1.1] y a la última declaración en Proposición 5.3 a). Por un argumento de dualidad, Teorema 3.4 en [Mo2], n − 0 → 0 como n→ para cualquier estado normal, si y sólo si 0(n(x)n(y)) → 0(x)0(y) como n → • para cualquier x, y • A0, donde (A0,, •0) el semigrupo KMS-adjunto Markov [OP,AcM,Mo1] de (A0, η, ­0). Recordamos el estado único de KMS = en Od donde β = ln(d) es un el estado del factor y K donde ′ es el único rastro en UHFd. Para una prueba que H = S1 para nos referimos a [BR]. Es el único rastro en A y también lo es un estado de factor. Por lo tanto por la Proposición 5.4 (d) tenemos (Od) ′′ (UHFd)′ es trivial. Por lo tanto n≥1o((Od) ′′) = IC. En particular n≥1 n((UHFd) ′′) = IC. Por otro lado siendo fiel, la proyección de apoyo es la identidad operador y, por lo tanto, canónico Markov semigrupo de........................................................................................................................................................................................................................................................ endomorfismo y siendo fieles, fácilmente verificamos que no admite Propiedad de Kolmogorov. Por otro lado H = S1 y así por la Proposición 5.4 (d) n0 → 0 como n→ • para cualquier estado normal • en A0. Este ejemplo a diferencia de en el caso clásico muestra que la propiedad de Kolmogorov de un El sistema dinámico en general no es reversible en el tiempo. REFERENCIAS • [AM] Accardi, L., Mohari, A.: El tiempo refleja los procesos de Markov. Infin. Dimens. Anal. Cuántum Probab. Relate. Top., vol-2, no-3, 397-425 (1999). • [Ar] Arveson, W.: Puro E0-semigrupos y estados absorbentes, Comm. Matemáticas. 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Que $(\clb,\lambda_t,\psi)$ sea un sistema dinámico $C^*$ donde $(\lambda_t: t \en \IT_+) $ ser un semigrupo de endomorfismo inyector y $\psi$ ser un $(\lambda_t)$ estado invariante en el $C^*$ subalgebra $\clb$ y $\IT_+$ es o bien números enteros no negativos o números reales. El objetivo central de este programa es el siguiente: exposición es encontrar un criterio útil para el estado límite inductivo $\clb \rarolambda_t} \clb$ canónicamente asociado con $\psi$ para ser puro. Nosotros lograr esto explorando el mínimo débil hacia adelante y hacia atrás Markov procesos asociados con el semigrupo Markov en la esquina von-Neumann álgebra de la proyección de apoyo del estado $\psi$ para demostrar que La propiedad de Kolmogorov [Mo2] del semigrupo Markov es una condición suficiente para que el estado inductivo sea puro. Como aplicación de estos criterios encontramos una condición suficiente para un estado de factor invariante de la traducción en uno cadena cuántica de giro dimensional para ser pura. Este criterio, en cierto sentido, complementa criterios obtenidos en [BJKW,Mo2] ya que podríamos ir más allá de los estados simétricos de celosía.

Introducción: Ser un semigrupo de identidad que preserve completamente positivo mapas [Da1,Da2,BR] en un álgebra von-Neumann A0 actuando en un espacio Hilbert H0, donde o bien el parámetro t â € R+, el conjunto de números reales positivos o t Z+, el conjunto de números enteros positivos. Asumimos además que el mapa es normal para cada t ≥ 0 y el mapa t → t(x) es débil * Contínuo para cada una de ellas. x A0. Decimos que una proyección p • A0 es sub-armónica y armónica si •t(p) ≥ p y t(p) = p para todas las t ≥ 0, respectivamente. Para una proyección sub-armónica p, nosotros definir el semigrupo dinámico cuántico reducido ( t ) sobre el von-Neumann álgebra pA0p por t (x) = pt(x)p donde t ≥ 0 y x • A 0. 1 es una parte superior En el caso de los operadores positivos en aumento, t(p), t ≥ 0. Por lo tanto existe un operador 0 ≤ y ≤ 1 de modo que y = s.limtt(p). Un estado normal se llama................................................................................................................................... invariante para (­t) si ­­0­0t(x) = ­0(x) para todas las x · A0 y t ≥ 0. El apoyo p de un estado invariante normal es una proyección sub-armónica y 0, la restricción de 0 a A 0 es un estado invariante normal fiel para t ). Así asintótico propiedades ( ergódicas, mezcla ) de la dinámica ( A0, por las propiedades asintóticas (ergódicas, mezcla respectivamente ) de la dinámica (A) t, ♥ 0) siempre y = 1. Para más detalles nos referimos a [Mo1]. En el caso de que la letra 0 sea fiel, normal e invariante, recordamos [Mo1] que G = El subálgebra von-Neumann de F = {x t(x) = x, t ≥ 0} es el subálgebra von-Neumann de F = {x A0 : *)(x) = (x) * x), x (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e)e (x)e (x)e)e (x)e (x)e)e (x)e (x)e)e (x)e (x)e (x)e (x)e (x)e)e (x)e (x)e)e (x)e (x)e)e (x)e (x)e) *) = t(xx) ∗) t ≥ 0} y la igualdad G = IC es una condición suficiente para que la mezcla sea fuerte en el caso de la mezcla de 0 °. Desde el reverso proceso [AM] está relacionado con el proceso de avance a través de un operador anti-unitario Notamos que ­0 está mezclando fuertemente para (­t) si y sólo si la misma bodega para (­t). Nosotros también puede comprobar este hecho explorando la fidelidad de Ł0 y la relación contigua [OP]. Por lo tanto IC Gū Fū y la igualdad IC = Gū es también una condición suficiente para mezcla fuerte donde Fû y Gû son álgebras de von-Neumann asociadas con (t). Por lo tanto, encontramos dos criterios de competencia para la mezcla fuerte. Sin embargo, es recto reenvíe si F = F­ o G = G­. Dado que dada una dinámica es difícil describir (t) explícitamente y por lo tanto este criterio G = IC es más bien no transparente. Demostramos en la sección 2 que G = {x F : en la que el grupo modular de automorfismo de Tomita [BR,OP] asociado con Ł0. Así que G es el máximo von-Neumann sub-álgebra de A0, donde es un endomorfismo ∗ [Ar], invariante por el grupo modular de automorfismo (ls). Por otra parte, en el caso de todos los t ≥ 0, el valor de G para todos los s R y t(G) = G para todos los t ≥ 0. Por lo tanto, por una teorema de Takesaki [OP], existe una norma una proyección IEG de A0 a G que preserve 0 i.e. 0IE = 0E. Explorando el hecho de que t(G) = G, nosotros Además, concluye que la expectativa condicional IEG se traslada con (­t). Esto nos permite demostrar que (A0, ­T, ­T0) es ergódico (fuertemente mezclado) si y sólo si Es ergódica (fuertemente mezclada). Sin embargo, la igualdad es igual para todos los t ≥ 0. puede no sostenerse en general. Como sea que lo hayamos hecho. t(G) = t(G) en los que Gū = {x A0 : Łt(t(x)) = x, t ≥ 0}. G = Gū se mantiene si y sólo si (G) = G, t(G") = G® para todos los t ≥ 0. Así G0 = t≥0 t(G) es el máximo von-Neumann sub-álgebra invariante por el automorfismo modular de modo que (G0,?t,?0) es un automorfismos con (G0, t,?0) como es la dinámica inversa. Una vez más existe una expectativa condicional IEG0 : A0 → A0 en G0 Conmutación con (el t). Esto garantiza que (A0, Łt, Ł0) sea ergódica (fuertemente mezclada) si y sólo si (G0, Łt, Ł0) es ergódica (fuerte mezcla). Ahora está claro que G0 = Gœ0, por lo tanto G0 = IC, un criterio para la mezcla fuerte, es simétrico o tiempo- reversible. Como aplicación en probabilidad clásica podemos encontrar un criterio fácil para un estocásticamente completo Brownian fluye [Mo5] en una variedad Riemanniana impulsado por una familia de campos vectoriales completos para ser una mezcla fuerte. Explorando el criterio G0 = IC también demostramos que para un factor de tipo I A0 con centro completamente atómico, la mezcla fuerte es equivalente a la ergodicidad cuando la variable de tiempo es continua, es decir, R+ (Teorema 3.4). Este resultado, en particular, extiende un resultado demostrado por Arveson [Ar] para el factor finito tipo I. En general, para la dinámica discreta del tiempo (A0, , 0), la ergodicidad no implica una mezcla fuerte propiedad (no es un hecho sorpresa ya que tenemos muchos casos clásicos). También probamos que ♥ en un tipo-I von-Neumann álgebra A0 con centro completamente atómico es mezcla fuerte si y sólo si es ergódica y el espectro de puntos de círculo de unidad, es decir, {w • S1 : • (x) = wx para algunos non cero x • A0} es trivial. El último resultado en cierto sentido da una prueba directa de un resultado obtenido en la sección 7 de [BJKW] sin estar involucrado con la dilatación de Popescu. En la sección 3 consideramos lo único hasta el isomorfismo mínimo hacia adelante Markov débil [AM,Mo1,Mo4] proceso estacionario {jt(x), t • IT, x • A0} asso- ciada con (A0, ­t, ­0). Hemos establecido una familia de álgebras isomórficas de von-Neumann {A[t : t IT} generada por el proceso de avance de modo que A[t A[s siempre que s ≤ t. En este marco construimos una equivalencia unitaria de módulo única dilatación mínima (A[0, αt, t ≥ 0, ), donde α = (αt : t ≥ 0) es un semigrupo de endomorfismo en un álgebra von-Neumann A[0 actuando en un espacio Hilbert H[0 con un estado invariante normal ♥ y una proyección P en A[0 de modo que a) PA[0P = η(A0) b) H[0 es un vector unitario de modo que فارسى(X) =< b) Pαt(X)P = η(l(PXP )) para t ≥ 0, X • A[0; αt3(PX3P )αt2(PX2P )αt1(PX1P ) tn, n ≥ 1}, Xi A[0} es total en H[0, donde  es la representación GNS de A0 asociado con el estado ♥0. In caso 0 es también fiel, consideramos el proceso atrasado (j t ) definido en [AM] asociación con el KMS contiguo Markov semigrupo y demostrar que conmutante de A[t es igual a A t] = {j s(x) : x • A0, s ≤ t} ′′ para cualquier solución t â € TM TM. Como aplicación de nuestro resultado sobre el comportamiento asintótico de un Markov semi- grupo, también se estudia una familia de endomorfismo (B, Łt) en un von-Neumann álgebra. A continuación Powers [Po2] un endomorfismo αt : B0 → B0 se llama cambio t≥0 αt(B) es trivial. En general, tal cambio puede no admitir un estado invariante [BJP]. Aquí suponemos que Łt admite un estado invariante y abordar cómo el propiedad de cambio está relacionado con la propiedad de Kolmogorov del canónico Markov semigrupo (A0, Łt, Ł) en la proyección de apoyo sobre el álgebra de von-Neumann (B) ′′ del estado vectorial del estado en el espacio GNS (H (B). Como primer paso aquí demostramos que la propiedad de turno de Powers es equivalente a la propiedad de Kolmogorov del semigrupo contiguo de Markov (t). Sin embargo, en la última sección mostramos que la propiedad de Kolmogorov de un semigrupo de Markov no debe ser equivalente a la propiedad de Kolmogorov del KMS contiguo Markov semigrupo. Por lo tanto, el cambio de propiedad de las Potencias en general no es equivalente a Kol- propiedad de mogorov del semigrupo Markov asociado. La sección 4 incluye el principal resultado matemático al demostrar un criterio para el estado límite inductivo, asociado con un estado invariante de una inyección endomorfismo en un álgebra C*, para ser puro. Con ese fin, exploramos el mínimo débil Markov proceso asociado con la reducción de Markov semigrupo en el esquina álgebra de la proyección de soporte y demostrar que el límite inductivo el estado es puro si el semigrupo Markov satisface la propiedad de Kolmogorov. Más para un estado de factor simétrico de celosía, la propiedad de Kolmogorov también es necesaria para la pureza del estado límite inductivo. La última sección trata de una aplicación de nuestros principales resultados sobre la traducción estado invariante en la cadena de giro cuántica. Damos un criterio simple para tal estado de factor para ser puro y encontrar su relación con la propiedad de Kolmogorov. Toma. También nos ocupamos del estado de temperatura único, es decir. El estado de KMS en Cuntz alge... para ilustrar que la propiedad de Powers shift no es equivalente a la de Kolmogorov propiedad del mapa canónico asociado Markov en la proyección de soporte. In hecho esto demuestra que la propiedad de Kolmogorov es una noción apropiada para describir pureza del estado inductivo. 2 Semigrupo temporal de Markov y propiedades asintóticas: En esta sección trataremos un álgebra von-Neumann A y un mapa positivo de tales mapas en A. Nosotros Asumir además que existe un estado normal invariante......................................................................................................................................................................................................................................................... investigar las propiedades asintóticas del mapa de Markov. Decimos (A0,?t,?0) es ergódico si {x : ­t(x) = x, t ≥ 0} = {zI, z • IC} y decimos mezcla si (x) → (x) en los débiles * topología como t→ • para todas las x • A0. Por el momento asumimos que 0 es fiel y recordamos seguir [OP,AM], el mapa único de Markov en A0 que satisface la siguiente relación contigua En el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, el valor nominal de los vehículos de motor no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. para todos los elementos de análisis x, y, A0 para el automorfismo modular de la Tomita Asociada a un estado invariante normal fiel para un Markov mapa  en A0. Para más detalles nos remitimos a la monografía [OP]. También citamos Ahora [OP, Proposición 8.4] la siguiente proposición sin pruebas. PROPUESTA 2.1: Seamos un mapa normal unitario completamente positivo en un álgebra de von-Neumann A0 y Ł0 ser un estado invariante normal fiel para *............................................................................ A continuación, las siguientes condiciones son equivalentes para x â € A0: a) (x*x) = (x*)(x)(x) y (e)(x)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e); (b) (x) = x. Por otra parte, se limita a la sub-álgebra {x : (x) = x} es un isomorfismo en el sub-álgebra {x â € ¬ A0 : ¬ (x) = x} en el que ( morfismo en A0 asociado con فارسى0. A continuación se investiga la situación más a fondo. PROPUESTA 2.2: Ser un sistema dinámico cuántico y Sed fieles en el estado normal invariante para (el t). A continuación, la siguiente espera: a) G = x A0 : * x) = t(x) *)(x), (xx)(xx)(xx)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)()(x)(x)(x()(x)(x)(x)(x)()()(x()()()()()()()()()(x()()()()()()()()()(*()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()(()()()()()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()()(()()((((((((()(((()()()()()()()()()()()()()((()(()()()()()()(( *) = x (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ° (x) ∗), s(l(x)) = La variación y el desplazamiento de los datos de los datos de los ensayos de homologación de tipo se efectuarán con arreglo a lo dispuesto en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo. con  = (­t: t ≥ 0) en G. Además para todas las t ≥ 0, t(G) = G y expectación condicionalEG : A0 → A0 en G0 se desplaza con (t). b) Existe un álgebra máxima única von-Neumann G0 G Por lo que se refiere a la cuestión de los derechos de autor, la Comisión considera que, en el caso de autos, los derechos de autor no son los mismos que los derechos de autor. t(G0) = G0 para todos los t+R y (G0, +t, +0) es un automorfismo en el que para cualquier t ≥ 0, tt = tt = 1 en G0. Además la expectativa condicional EG0 : A0 → A0 en G0 se desplaza con (t) y (t). PRUEBA: La primera parte de (a) es una consecuencia trivial de la Proposición 2.1 una vez Notamos que G se cierra bajo la acción x → x*. Para la segunda parte recordamos [Mo1] que فارسى0(x ∗JxJ) − 0(l(x ∗)Jelt(x)J) está aumentando monótonamente con t y, por lo tanto, para cualquier fijación t ≥ 0 si tl(x) = x entonces sl(x) = x para todos los 0 ≤ s ≤ t. Por lo tanto, la secuencia Gt = {x â € A0 : â € € TM t(x) = x} de von-Neumann sub-álgebras Disminución a G a medida que t aumenta a • i.e. G = t≥0 Gt. Similarmente también tenemos t≥0 Gśt. Desde Gût monótonamente disminuye a Gû como t aumenta a infinito para cualquier s ≥ 0 afirmamos que t≥0 s(G) t ), donde hemos utilizado el símbolo A1 = x A: x = 1} para un álgebra von-Neumann A. Vamos a probar el inclusión no trivial. Para ese fin vamos a x t≥0 s(G) t ) es decir, para cada t ≥ 0 allí existe yt G t de modo que Łs(yt) = x. Por débil * Compacidad de la bola de unidad de A0, extraemos una subsecuencia tn → • para que ytn → y como tn → • para algunos y • A0. Los álgebras de von-Neumann Gūt están disminuyendo monótonamente, por cada m ≥ 1, ytn Gûtm para todos los n ≥ m. Gûtm siendo un álgebra de von-Neumann, obtenemos y Gûtm. Como esto se mantiene para cada m ≥ 1, obtenemos y â € € TM G. Sin embargo, por la normalidad del mapa También tenemos "x" = "s" (y). Por lo tanto, x • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Ahora lo verificamos. s≥r t≥0 s+t(G) t ) = s≥r s+t(G t ) = 0≤s≤t t(G) s ), en el que hemos utilizado t ) = G Es isomórfico. Desde Gt están disminuyendo monótonamente con t también notamos que 0≤s≤t t(G) s ) = t(G Por lo tanto para cualquier r ≥ 0 s(G) 1) = GØ1 (2.2) De (2.2) con r = 0 obtenemos G 1) para todos los t ≥ 0. Para cualquier t ≥ 0 también tener t(G) s≥t 1) = GØ1. Por lo tanto, concluimos: 1) = GØ1 para cualquier t ≥ 0. Ahora podemos eliminar fácilmente la restricción para mostrar que por linealidad. Por simetría t(G) = G para cualquier t ≥ 0. Dado que G es invariante bajo el automorfismo modular por un teorema de Takesaki [AC] existe una norma una proyección EG : A → A con alcance igual a G. Nosotros afirmamos que EG se desplaza con (?t). Para ello verificamos cualquier x A0 y y G las siguientes equivalencias: < JGyJG­0,EG(­t(x))­0 > = < J0yJ0­0, ­t(x)­0 > = < JG t(y)J0­0, x­0 > = < JG t(y)JG­0,EG(x)­0 > = < JGyJG­0, ­t(EG(x))­0) > donde usamos el hecho de que (G) = G para la tercera igualdad y rango de IEG es de hecho G se utiliza para la última igualdad. Esto completa la prueba de (a). Ahora para cualquier s ≥ 0, es obvio que s(Gś) t≥s s(Gūt). En lo siguiente: probamos la igualdad en la relación anterior. Let x â € € TM TM t≥s s(Gūt) es decir, existe los elementos yt de modo que x = s(yt) para todos t ≥ s. Si es así, entonces tenemos ♥s(x) = yt para todos los t ≥ s como G­t G­s. Por lo tanto, para cualquier t ≥ s, yt = ys â € € € TM y x â € € € TM € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM Ahora verificamos las siguientes relaciones elementales: t≥s sŁt(Gt) = t≥s s/23370/s(­t−s(Gt)) = t≥s t−s(Gt) = t≥0 t(Gs+t) en el que hemos utilizado la hecho de que ­t−s(Gt) Gs. Así que tenemos s≥0 s(G) s≥0 s(G). Por el doble simetría, concluimos la inclusión inversa y por lo tanto s(G) = s(G) (2.3) Ponemos von-Neumann álgebra G0 = s≥0 s(G). Así G0 G y también G0 Gû por (2.3) y para cada t ≥ 0 tenemos tt = tt = 1 en G0. Desde el punto de vista de la letra G) está disminuyendo monótonamente, también notamos que Łt(G0) = s≥0 s+t(G) = G0. Del mismo modo t(G0) = G0 por (2.3). Que G0 es invariante por el grupo modular sigue ya que G es invariante por Lo mismo también es cierto para (t) por (2.3). Por el teorema de Takesaki [AC] una vez más garantizar que existe una expectativa condicionalEG0 : A0 → A0 con rango igual a G0. Desde t(G0) = G0, una vez más repitiendo el argumento anterior Concluir que EG0Łt = ŁtEG0 en A0. Por simetría del argumento, EG0 es también conmutando con = (t) Tenemos el siguiente teorema de reducción. TEOREMA 2.3: Que (A0, Łt, Ł0) sea como en la Proposición 2.2. Entonces el siguiente... Las declaraciones ing son equivalentes: a) (A0,?t,?0) se mezcla ( ergódica ); b ) ( G, t, 0 ) se mezcla ( ergódica ); c ) ( G0,.t,........................................................................................................................................................................................................................................................ PRUEBA: Eso (a) implica (b) es obvio. Por la Proposición 2.2. EG/23370/t(x) = tEG(x) para cualquier x • A0 y t ≥ 0. Arregla cualquier x â € A0. Vamos a ser x............................................................................................................................................................................................................................................................. punto límite débil* de la red Łt(x) como t→ فارسى que es un elemento en G [Mo1]. In El caso (b) es cierto, encontramos que x- = = EG(x-) = ­0(EG(x)) = ­0(x)1. Por lo tanto, 0(x)1 es el punto límite único, por lo tanto débil* límite de Los la declaración de equivalencia para la ergodicidad también sigue a lo largo de la misma línea desde el expectación condicionalEI en el álgebra von-Neumann I = {x : ­t(x) = x, t ≥ 0} se desplaza con (­t) y por lo tanto satisface EIEG = EGEI = IE. Esto completa la prueba de que las letras a) y b) son equivalentes. Que las letras b) y c) son: equivalente sigue esencialmente a lo largo de la misma línea ya que una vez más existe un expectativas condicionales de G a G0 conmutando con (t) y cualquier débil ∗ Límite el punto de la red Łt(x) ya que t diverge hacia el infinito pertenece a Łs(G) para cada s ≥ 0, Así pues, en G0. Omitimos los detalles. Ahora investigamos el comportamiento asintótico para el sistema dinámico cuántico Abandonando la suposición de que 0 es fiel. Let p ser la proyección de soporte del estado normal de 0 en A0. Por lo tanto, tenemos ­0(p­?t(1­ p)p) = 0 para todos los t ≥ 0, p siendo la proyección de soporte tenemos p-t(1- p)p = 0 es decir. p es una sub-armónica Proyección en A0 para (­t) i.e. Para todos los t ≥ 0, p ≥ p. Entonces es fácil de comprobar que (A t, ♥ 0) es un semigrupo dinámico cuántico donde A 0 = pA0p y ♥ t (x) = pŁt(pxp)p para x (A) 0 y 0 0(x) = 0(pxp) es fiel en A 0. In Teorema 3.6 y Teorema 3.12 en [Mo1] hemos explorado cómo la ergodicidad y la mezcla fuerte de la dinámica original (A0, ­t, ­0) puede ser determinada por de la dinámica reducida (A) t, ♥ 0). Aquí añadimos un resultado más en esa línea de investigación. TEOREM 2.4: Ser un sistema dinámico cuántico con una el estado invariante normal 0 y p será una proyección sub-armónica para (-t). Si s-limittt(p) = 1 entonces las siguientes declaraciones son equivalentes: (a) t − 0 → 0 como t→ para cualquier estado normal en  en A0. b) pl t − ♥ 0 → 0 como t→ • para cualquier estado normal • p on A PRUEBA: Eso (a) implica (b) es trivial. Para lo contrario escribimos = supx: x1t(x) − 0(x) ≤ sup{x: x1t(pxp) − 0(pxp) + Sup{x:x1t(pxp * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * xp). Desde el punto de vista de los débiles ((1 − p)x) → 0 * topología y t(xp )2 ≤ t(xx ∗)(l(p) )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) ) es lo suficientemente bueno si verificamos que (a) es equivalente a sup{x:x1t(pxp) − 0(pxp) → 0 como t → فارسى. Con ese fin primero notamos que limsuptÃ3supx:x1(lÃ3s+t(pxp))− Ã30(pxp) es independiente de s ≥ 0 elegimos. Por otro lado, escribimos Łs+t(pxp) = Łs(pŁt(pxp)p) + En el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. (p t(pxp)p)s(p t(pxp)p ) y utilizar el hecho para cualquier ni- mal estado tenemos limsuptÃ3supx:x1(lÃ3s(zlà t(pxp)p ) ≤ z (s(p) para todos los z â € A0. Por lo tanto, por nuestra hipótesis sobre la proyección de apoyo concluimos que (a) mantener siempre que (b) es verdad. En caso de que la variable de tiempo es continua y el álgebra de von-Neumann es el conjunto de operadores lineales delimitados en una dimensión finita Hilbert espacio H0, por explorando la representación de Lindblad [Li], Arveson [Ar] muestra que un semigrupo dinámico con un estado invariante normal fiel es ergódico si y sólo si la dinámica se está mezclando. En lo siguiente demostramos un resultado más general explorar los criterios que hemos obtenido en Teorema 2.3. Nota al pie de la página punto que ni siquiera necesitamos el generador del semigrupo de Markov para ser un operador limitado para el que la representación de Lindblad todavía no se entiende con toda la generalidad [CE]. TEOREM 2.5: Que A0 sea tipo-I con centro completamente atómico y t R) admite un estado invariante normal 0. Entonces (A0,?t,?0) es una mezcla fuerte si y sólo si (A0, Łt, Ł0) es ergódico. PRUEBA: Primero suponemos que el 0 es también fiel. Verificaremos ahora el criterios de que G0 es trivial cuando (e) es ergódico. Puesto que G0 es invariante por el grupo modular de automorfismo asociado con el estado normal fiel........................................................................................................................................................................................................................................................ un teorema de Takesaki [Ta] existe una norma normal fiel una proyección De A0 a G0. Ahora ya que A0 es un álgebra von-Neumann de tipo-I con centro completamente atómica, un resultado de E. Stormer [Así que] dice que G0 es también tipo-I con centro completamente atómico. Que Q sea una proyección central en G0. Puesto que Łt(Q) es también una proyección central y Qt(Q) → Q como t → 0 concluimos que Qt(Q) = Q para todos los t ≥ 0 (centro de G siendo completamente atómica y variable de tiempo t es continua ). Por lo tanto, por ergodicidad concluimos que Q = 0 o 1. Por lo tanto, G0 puede identificarse con B(K) para un espacio separable Hilbert K. Ya que (­t) en B(K) es un automorfismo que encontramos un operador autoadjunto H en K, de modo que t(x) = e itHxe−itH para cualquier x B(K). Puesto que admite un estado normal fiel ergódico, por [Fr, Mo1] llegamos a la conclusión de que {x • B(K) : xeitH = eitHx, t • R} = IC, que se mantiene si y sólo si K es uno dimensional. Por lo tanto G0 = IC. Ahora nos ocupamos de la situación general. Let p ser la proyección de soporte de 0 en A0 y A0 siendo un álgebra tipo I von-Neumann con centro completamente atómico, el centro de A 0 = pA0p es igual a la esquina del centro de A0 i.e. pA0 A′0p, es también un tipo-I von-Neumann álgebra con completamente atómica centro. Por ser ergódicos, tenemos a Łt(p) ↑ 1 como t ↑ فارسى en los débiles. topología y (A) t, ♥ 0) es ergódico. Así, por la primera parte del argumento, t, ♥ 0) se mezcla fuertemente. Por lo tanto, por Teorema 3.12 en [Mo1] concluimos que (A0,?t,?0) también es una mezcla fuerte. Esto completa la prueba. Terminamos esta sección con otra simple aplicación de Teorema 2.3 por la prueba de un resultado originado en [FNW1,FNW2,BJKW]. TEOREM 2.6: Dejar A0 ser un tipo-I von-Neumann álgebra con centro completamente atómico y ser un mapa completamente positivo con una normalidad fiel Estado invariante 0. A continuación, los siguientes son equivalentes: a) es una mezcla fuerte. b) (a0, n, n) es ergódico y 1, (x) = wx, para algunos no cerox A0} = {1}, donde S 1 = {w IC : w = 1}. PRUEBA: Que «a) implica (b)» es bastante simple y cierto en general para cualquier álgebra de von-Neumann. Para ese fin dejar que Ł(x) = wx para algunos x 6= 0 y w = 1. Entonces Łn(x) = wnx y puesto que la secuencia wn tiene un punto límite decir z, z = 1 concluimos por la mezcla fuerte que zx = 0(x)I. Por lo tanto x es un escalador y por lo tanto x = (x), x 6= 0. Así que w = 1 y x = 0(x)I. La propiedad ergódica también sigue por mezcla fuerte como x = 0(x)I para cualquier x para el cual ♥(x) = x. Ahora para lo contrario vamos a utilizar nuestra hipótesis de que......................................................................................................................................................................................................................................................... es un álgebra tipo-I von-Neumann con completamente atómica. Con ese fin planeamos para verificar que G0 consiste únicamente en escaladores y apelar al Teorema 2.3 para mezcla. Dado que existe una expectativa condicional de A0 a G0, por un orem de Stormer [So] G0 es una vez más un tipo-I von-Neumann álgebra con centro completamente atómico. Dejar E ser una proyección atómica no cero en el centro de G0. Se trata de un automorfismo en G0, cada elemento en la secuencia k(E): k ≥ 0} es una proyección atómica en el centro de G0. En caso de que no se disponga de la información necesaria para la aplicación de la presente Decisión, el Estado miembro de que se trate informará de ello a la autoridad competente del Estado miembro de que se trate. (E) 6= 0 y n ≥ m nos encontramos con que Łm(?n−m(E) E) 6= 0 y por lo tanto por fiel e invariante prop- De 0 a 0, obtenemos 1 (N-m(E) E) > 0. Una vez más por fidelidad encontramos que n−m(E) E 6= 0. Por lo tanto, por la propiedad atómica de E y E-n-m(E) nosotros con- o bien los elementos en la secuencia infinita E, E (E),...., n (E).... son todos ortogonales mutuamente o existe un mínimo pos- número entero itivo n ≥ 1 de modo que las proyecciones E, E, E,.., N−1(E) sean mutuamente ortogonal y E. Sin embargo, para una secuencia tan infinita con mutu- Proyección ortogonal aliada tenemos 1 = 0(I) ≤ 0( 0≤n≤m−1 n(E)) = m­0(E) para todos los m ≥ 1. Por lo tanto, 0(E) = 0 contradiciendo que E es distinto de cero y 0 es Fiel. Por lo tanto, para cualquier w S1 con wn = 1, tenemos ♥(x) = wx, donde x = 0≤k≤n−1w kŁk(E) 6= 0. Por (b) tenemos w = 1. Por lo tanto n = 1. En los demás palabras que tenemos para cualquier proyección atómica en el centro de G0. Ahora por ergodicidad tenemos E = I. Así G0 es un factor tipo-I decir isomórfico a B(K) para un poco de espacio Hilbert K y (x) = uxu* para algún elemento unitario u en G0. Ya que (G0, ln, l0) es ergódico que tenemos {u, u ′′ = B(K), que se mantiene si y sólo si K es una dimensión (verifique si hay una prueba alternativa de que ♥(u) = u, por lo tanto u = I por ergodicidad y por lo tanto Por lo tanto G0 = IC. Esto completar la prueba de que (b) implica (a). 3 Endomorfismos mínimos y Markov semi- grupos : Un E0-semigrupo (αt) es un débil *-continuo un parámetro semigrupo de unidades unitarias *-endomorfismos en un álgebra von-Neumann A actuando en un espacio Hilbert H. Después de [Po1,Po2,Ar] decimos (αt) es un cambio si t≥0 αt(A) = IC. Para cada una de ellas t ≥ 0, siendo αt un endomorfismo, αt(A) es en sí mismo un álgebra de von-Neumann y t≥0 αt(A) es un límite de una secuencia de álgebras von-Neumann decrecientes. Explorando esta propiedad Arveson demostró que (αt) es puro si y sólo si 1αt− • 2αt → 0 como t→ • para cualquiera de los dos estados normales • 1, • 2 en A. Estos criterios son los siguientes: más simplificado en caso de que (αt) admita un estado invariante normal tener (αt) es un cambio (en su terminología se llama puro, aquí preferimos el la terminología, ya que la última sección ilustrará un cambio no tiene por qué ser pura en su límite inductivo ) si y sólo si t0 → 0 como t→ • para cualquier estado normal - Sí, sí, sí, sí. En tal caso, â € 0 es el estado invariante normal único. Sin embargo, un cambio (αt) en general no puede admitir un estado invariante normal [Po2,BJP] y este problema es es un problema interesante. Una cuestión natural que deseamos abordar aquí es si un resultado similar es también cierto para un semigrupo de Markov definido sobre un arbitrario von-Neumann álgebra A0. Esta cuestión ya se ha investigado en [Ar], donde A0 = B(H) y el semigrupo se supone que es continuo en la topología del operador fuerte. Exploró la dilatación mínima asociada a un E0-semigrupos y así hacer posible demostrar que el grupo E0-semigrupo asociado es un cambio si y sólo si • 0 como t → • • • para cualquiera de los dos estados normales • 1, • 2 en A0. En caso de que (lt) admite un estado invariante normal los criterios se simplifican una vez más. In en esta sección vamos a investigar más a fondo este tema para un von-Neumann arbitrario álgebra suponiendo que es admite un estado invariante normal فارسى0. Con ese fin, consideramos [Mo1] el mínimo estacionario débil Markov para- proceso de selección (H, Ft], jt, (A0, Łt, Ł0) y establecer A[t para ser el álgebra de von-Neumann generada por el familia de operadores {js(x): t ≤ s < Recordamos que js+t(x) = S t js(x)St, t, s R y por lo tanto αt(A[0) A[0 cuando t ≥ 0. Por lo tanto (αt, t ≥ 0) es un E0-semigrupo en A[0 con un estado normal invariante js(Łt−s(x)) = Fs]αt(jt−s(x))Fs] (3.1) para todos los x â € A0. Consideramos que el espacio GNS Hilbert (H0, 0(A0), 0) como- sociada con (A0, ­0) y definida un semigrupo de Markov (­) t ) el η(A0) por t (η(x)) = η(üt(x). Por otra parte, ahora identificamos H-0 como el subespacio de H por la prescripción 0(x)­0 → j0(x)­. En tal caso, se identifica como j0(x) y el objetivo es verificar en cualquier t ≥ 0 que t (PXP ) = Pαt(X)P (3.2) para todos los X A[0 donde P es la proyección de H en el espacio GNS. Nosotros utilizar inducción en n ≥ 1. Si X = js(x) para algunos s ≥ 0, (4.2) sigue de (4.1). Ahora asumimos que (3.2) es cierto para cualquier elemento de la forma js1(x1)...jsn(xn) para cualquier s1, s2,..., sn ≥ 0 y xi â € A0 para 1 ≤ i ≤ n. Fijar cualquier s1, s2, sn, sn+1 ≥ 0 y considerar X = js1(x1)...jsn+1(xn+1). Por lo tanto Pαt(X)P = j0(1)js1+t(x1)...jsn+t(xn+1)j0(1). Si sn+1 ≥ sn usamos (3.1) para conclusión (3.2) por nuestra hipótesis de inducción. Ahora supongamos sn+1 ≤ sn. In ese caso si sn−1 ≤ sn apelamos a (3.1) e hipótesis de inducción para verificar (3.2) para X. Por lo tanto, se deja considerar el caso donde sn+1 ≤ sn ≤ sn−1 y repitiendo este argumento se nos deja comprobar sólo el caso donde sn+1 ≤ sn ≤ sn−1 ≤.. ≤ s1. Pero s1 ≥ 0 = s0 así podemos apelar a (3.1) al final de la cadena y concluir que nuestra reclamación es cierta para todos los elementos en el álgebra generada por estos elementos de todo orden. Por lo tanto, el resultado sigue por el teorema de densidad de von-Neumann. También notamos que P = t (1) es un proyección subarmónica [Mo1] para (αt: t ≥ 0), es decir, αt(P ) ≥ P para todos los t ≥ 0. PROPUESTA 3.1: Ser un semigrupo dinámico cuántico con un estado invariante normal para (el t). Entonces el espacio GNS H0 asociado con el estado normal de A0 se puede realizar como un subespacio cerrado de un único Hilbert espacio H[0 hasta el isomorfismo de modo que la siguiente bodega: a) Existe un álgebra von-Neumann A[0 que actúa sobre H[0 y una unidad ∗- endomorfismo (αt, t ≥ 0) en A[0 con un estado vectorial puro En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. b) El PAP es isomórfico con η(A0) donde P es la proyección en H0 ; c) Pαt(X)P = t (PXP ) para todas las t ≥ 0 y X ≤ A[0; (d) El espacio cerrado generado por los vectores tn(PXnP )....αt1(PX1P ) 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤.. ≤ tk ≤....tn, X1,.., Xn A[0, n ≥ 1} es H[0. PRUEBA: La singularidad hasta el isomorfismo se deriva de la minimalidad prop- erty (d). Siguiendo la literatura [Vi,Sa,BhP] sobre la dilatación decimos (A[0, αt, mínimo E0-semigrupo asociado con (A0, Por un teorema [Ar, Proposi- de la resolución 1.1] llegamos a la conclusión de que t≥0 αt(A[0) = IC si y sólo si para cualquier estado normal • en A[0, t − 0 → 0 como t→ •, donde •0(X) = •, X • > para X • A0]. En la siguiente proposición exploramos ese hecho de que P es una sub-armónica proyección para (αt) y por nuestra construcción αt(P) = Ft] ↑ 1 como t→. PROPUESTA 3.2: t − 0 → 0 como t → para todo el estado normal A[0 si y sólo si t − donde η es el espacio GNS asociado con (A0, ­0). PRUEBA: Desde Fs] ↑ 1 en la topología del operador fuerte por nuestra construcción y η(A0) es isomórfico a F0]A[0F0], obtenemos el resultado mediante una simple aplicación de Teorema 2.4. TEOREMA 3.3: Ser débil (t, t ≥ 0) * Markov continuo semi- grupo en A0 con un estado normal invariante ­0. Entonces existe un débil E0-semigrupo continuo α = (αt, t ≥ 0) en un álgebra von-Neumann A[0 actuando en un espacio Hilbert H para que Pαt(X)P = t (PXP ), t ≥ 0 para todos los X A[0, donde P es una proyección sub-armónica para (αt) tal que αt(P) ↑ I. Además, las siguientes declaraciones son equivalentes: t≥0 αt(A[0) =C (b) t − فارسى0 → 0 como t→ • para cualquier estado normal • en η(A0) PRUEBA: Para comodidad de la notación denotamos η(A0) ′′ como A0 en el siguiente prueba. Que las letras a) y b) son equivalentes seguidas por un teorema de Arveson [Ar] y Proposición 3.2. Siguiendo [AM,Mo1] decimos (H, St, Ft], limtFt] = . También recordamos aquí que la propiedad de cambio de Kolmogorov se mantiene si y solo si el valor de la suma de x, y el valor de la suma de A0 es igual o superior al valor de la cantidad total de x, y In tal caso A = B(H) (véase el párrafo anterior al Teorema 3.9 en [Mo1] ). En caso de que no se disponga de la información necesaria para la aplicación de la presente Decisión, se considerará que la información facilitada por la autoridad competente es conforme con el artículo 2, apartado 1, letra a), del Reglamento (UE) n.o 1303/2013. es fiel entonces A0 y A0 (A0) son isomórficos, por lo tanto t≥0 αt(A[0) =C si y solo Si t − فارسى0 → 0 como t→ • para cualquier estado normal • en A0. Semejante propiedad es a menudo llamada propiedad ergódica fuerte. Nuestro siguiente resultado dice que hay una dualidad entre la fuerte ergodicidad y la propiedad de cambio de Kolmogorov. Con ese fin, nosotros recordar el proceso hacia atrás (H, jbt, F[t,♥) tal como se define en [AcM,Mo1] donde Ft] ser la proyección en el subespacio generado por los vectores : IR → A0 : soporte de  (, t]} y para cualquier x A0, j t (x) es la extensión trivial de es la acción en Ft] que toma un vector típico......................................................................................................................................................................................................................................................... ′ donde (s) = (s) para cualquier s < t y (t) = x). Para cualquier elemento analítico x para el automorfismo grupo, comprobamos primero que jbt es de hecho una isometría si x es así. Ahora nos extendemos como Los elementos analíticos son débiles* densos para todos los isométricos y se extienden por linealidad a todos elementos de A0. Recordamos aquí que tenemos la propiedad de Markov hacia atrás para el proceso (jbs) como F[tj s(x)F[t = j t (t−s(x)) para todos los t ≥ s en los que (A0, t, t ≥ 0, el semigrupo de Markov dual definido en (3.1). Al igual que en el proceso de avance que tenemos ahora F[tA t]F[t = j t (A0) donde para cada t • IR establecemos A t] para el von-Neumann álgebra {jbs(x): s ≤ t, x • A0} TEOREM 3.4: Vamos a ser (A0, A0, A0) un semigrupo de Markov con un fiel Estado invariante normal............................................................................................................................................................................................................................................................ A continuación, los siguientes son equivalentes: a) 0(t(x)t(y)) → 0(x) (b) t − فارسى0 → 0 como t→ • para cualquier estado normal • en A0. PRUEBA: Para cada t R dejar Abt] ser el álgebra de von-Neumann generada por el procesos hacia atrás {jbs(x) : < s ≤ t} [Mo1]. Asumir a). Por el teorema 3.9 y Teorema 4.1 en [Mo1] verificamos que el t] es B(H). Puesto que para cada t R el conmutante de Abt] contiene A[t concluimos que Eso es trivial. Por lo tanto (b) sigue una vez que apelamos al Teorema 3.3. Por la inversa, es suficiente si verificamos que Ł0(t(x)Jt(y)J) → Ł0(x)Ł0(y) como t→ • para cualquier x, y • A0 con y ≥ 0 y •0(y) = 1. Con ese fin comprobamos el que sigue pasos sencillos (0(t(x)Jt(y)J) = 0(t(t(x))JyJ) y para cualquier normal En el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. Por lo tanto el resultado sigue una vez que notamos que فارسى definido por Ł(x) = فارسى0(xJyJ) es un normal Estado. TEOREMA 3.5: Ser un semigrupo de Markov con un in- Estado de la variante 0. Considere las siguientes declaraciones: (a) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e). (b) el fuerte limtFt] = . c) A = B(H) Entonces (a) y (b) son declaraciones equivalentes y en tal caso (c) es también Cierto. Si también es fiel (c) es equivalente a (a) (y por lo tanto (b)). PRUEBA: Que (a) y (b) son equivalentes no es nada más que una reafirmación de Teorema 3.9 en [Mo1]. Que (b) implica (c) es obvio ya que la proyección [A], donde A′ es el conmutante de A, es el soporte del estado vectorial en A. Demostraremos ahora (c) implica (a). En el caso A = B(H), tenemos t] =C, por lo tanto, en particular t≤0 αt(A 0]) = C. Por lo tanto, por Teorema 3.3 solicitado para el endomorfismo tiempo-reverso verificamos que t− 0 → 0 como t→. Ahora (a) sigue una vez que apelamos al teorema 3.4 para los semigrupos contiguos desde t = Łt. TEOREM 3.6: Seamos (A0, ­t, ­0) como en el Teorema 3.1. Entonces lo siguiente mantener: a) Si (A0, Łt, Ł0) se está mezclando, entonces αt(X) B es la terminación C* del álgebra ∗ generada por {jt(x) : t • IR, x • A0}. b) Si (A0, Łt, Ł0) se está mezclando y A es un factor de tipo I, entonces A = B(H). Prueba: Para (a) nos referimos a [AM, Mo1]. Por nuestra hipótesis A es un tipo-I von-Neumann y, por lo tanto, existe una representación irreductible de B en un espacio Hilbert Hη casi equivalente a. Existe una matriz de densidad En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Por lo tanto existe un unitario representación t→ Ut en Hη de modo que Utη(X)U t = γ(αt(X)) para todos los t • IR y X • B. Desde el punto de vista B también tenemos U t?Ut =?. Nosotros Alegan que... es una proyección dimensional. Supongamos que no y luego existe al menos dos vectores unitarios característicos f1, f2 para ♥ de modo que f1, f2 sean caracteres- vector istico para representación unitaria Ut. Por lo tanto tenemos < fi, η(X)fi = < fi, η(αt(X))fi > para todos los t • IR e i = 1, 2. Al tomar el límite concluimos por (a) que < fi, η(X)fi > = l(X) < fi, fi = l(X) para i = 1, 2 para todas las X ° B. Esto violetas irreductibilidad de la representación. PROPUESTA 3.7: Que (A0, Fiel. Entonces el conmutante de A[t es A t] para cada t • IR. Prueba: Es obvio que A[0 es un subconjunto del conmutante de A 0]. Nota también que F[0 es un elemento en A 0] que se desplaza con todos los elementos de A[0. As un primer paso nota que es lo suficientemente bueno si mostramos que F[0(A ′F[0 = F[0A[0F[0. En cuanto a algunos X â € (Ab0]) A[0 si tenemos XF[0 = F[0XF[0 = F[0Y F[0 = Y F[0 entonces verificamos que XZf = Y Zf donde f es cualquier vector de modo que F[0f = f y Z Ab0] y así como tales vectores son totales en H obtenemos X = Y ). Por lo tanto todo lo que necesitamos para mostrar que F[0(A ′F[0 F[0A[0F[0 como inclusión en otros la dirección es obvia. Vamos a explorar en seguir la relación que F0]F[0 = F[0F0] = F{0} es decir, la proyección en la fibra a 0 repetidamente. Una prueba sencilla sigue una vez que usamos fórmulas explícitas para F0] y F[0 dadas en [Mo1]. Ahora pretendemos probar que F[0A [0F[0 F[0A] 0]F[0. Let X â € F[0A [0F[0 y verificar que Xe = XF0]l = F0]XF0]l = F{0}XF{0 [j 0(A0) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * En el other-hand notamos por Markov propiedad del proceso atrasado (jbt ) que 0]F[0 = j b(A0) ′′. Por lo tanto existe un elemento Y Ab0] de modo que X. = Y. Por lo tanto XZel = Y Zel para todos los Z A[0 como Z se desplaza con X e Y. Desde {Z.} : Z.} A[0} se extiende F[0, obtenemos la inclusión requerida. Desde su inclusión en el otra dirección es trivial como F[0 â € A [0 concluimos que F[0A [0F[0 = F[0A 0]F[0. F[0 siendo una proyección en A 0] verificamos que F[0(A ′F[0 (F[0A) 0]F[0) ′ y así que también tenemos F[0(A ′F[0 (F[0A) [0F[0] ′ como Ab0] A [0. Por lo tanto, es suficiente si Demostramos que [0F[0 = [F[0A[0F[0] Verificaremos la inclusión no trivial de esta igualdad. Dejemos que X (F[0A[0F[0) ′ entonces Xe = XF0] = F0]XF0] = F{0}XF{0 [j 0(A0)♥]. Por lo tanto existe un elemento Y â € F[0A [0F[0 de modo que X. = Y. Por lo tanto, para cualquier Z â € A[0 tenemos XZe = Y Ze y asíXF[0 = Y F[0. Por lo tanto X = Y F[0A [0F[0. Por lo tanto Obtenemos la inclusión requerida. Ahora para cualquier valor de t • IR recordamos que αt(A[0) = A[t y αt(A[0) [0), αt ser un automorfismo. Esto completa la prueba como αt(A) 0]) = A por nuestra construcción. Un problema interesante que planteamos en [Mo1] si Kolmogorov propiedad es tiempo reversible es decir. Si Ft] → como t → si y sólo si F[t → como t → فارسى. Que es cierto en el caso clásico sigue por Kolmogorov-Sinai-Rohlin teoría sobre la entropía dinámica para el asociado Cambio de Markov [Pa]. En la actual configuración general, es cierto si A0 es un tipo-I von- álgebra Neumann con centro atómico [Mo1]. Es obviamente cierto si el Markov semigrupo es KMS simétrico. Pero en general es falso. En la última sección dará una clase de contra ejemplo. Esto indica que el contador cuántico parte de la propiedad de Kolmogorov es poco probable que sea capturado por una noción adecuada de Entropía dinámica cuántica con propiedad Kolmogorov-Sinai-Rohlin. 4 Estado límite inductivo y pureza: Ser un endomorfismo unitario con una normalidad invariante en un álgebra von-Neumann B0 actuando en un espacio Hilbert H. Let P ser la proyección de apoyo para................................................................................................................. Se establece A0 = PBP, un álgebra de von-Neumann Actuando en H0, el subespacio cerrado P, y Łt(x) = P/23370/t(PxP )P, para cualquier x • A0 y t ≥ 0. Dado que el valor de P ≥ P, es fácil verificar [Mo1] que (A0,?t,?0) es un semigrupo dinámico cuántico con un estado invariante normal fiel •0(x) = •(PxP) para x •A0. Ahora establecemos j0(x) = PxP y jt(x) = t(j0(x)) para t ≥ 0 y x ≤ A0. Una verificación de rutina dice que Fs]jt(x)Fs] = js(Łt−s(x)) en el caso de 0 ≤ s ≤ t, donde Fs] = Fs(P), s ≥ 0. Que A[0 sea el álgebra de von-Neumann {jt(x): t ≥ 0, x • A0} ′′. Al igual que en la sección 4 comprobamos que Pαt(X)P = Łt(PXP ) para todos los X-A[0. Sin embargo, estos son estos vectores tn(PXnP )...................................................................................................................................................................................................................................................... H0, 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤.. ≤ tk ≤.. tn, X1,.., Xn ≤ B0, n ≥ 1} total en H? As un contra ejemplo en tiempo discreto consideramos un endomorfismo en B(H) [BJP] con un estado de mezcla pura y tenga en cuenta que A0 es sólo escaladores. Por lo tanto, la espacio cíclico generado por el proceso (jt) en el estado puro es en sí mismo. Por lo tanto el problema es bastante delicado incluso cuando el álgebra de von-Neumann es el álgebra de todos los operadores limitados en K. No abordaremos este problema Aquí. Desde el punto de vista de los datos (p )tn(pXnP )...­t1(pXP )H0 = ­tn(pXnP )...­t1(pXP ) t ≥ tn, limtt(P) = 1 es una condición necesaria para la propiedad cíclica. Lo mismo contra ejemplo muestra que no es suficiente. En lo siguiente exploramos el hecho de que la proyección de apoyo P es de hecho un elemento en el von-Neumann álgebra A generada por el proceso (kt(x): t ≥ 0, x + A0) y asintótico el límite del endomorfismo (B0, endomorfismo (A[0, αt, t ≥ 0 En lo siguiente consideramos una situación un poco más general. Deja que B0 sea un C álgebra, ser un semigrupo de endomorfismos inyectores y ser un estado invariante para (­t: t ≥ 0). Nos extendemos a un automorfismo en la C álgebra Bâ del límite inductivo t B0 → t B0 y extender también el estado a Bó mediante la necesidad de la invarianza. Por lo tanto, hay existe un conjunto dirigido (es decir, indexado por TI, por inclusión B[−s B[−t si y solamente si t ≥ s) de C*-subálgebras B[t de B® de modo que el cierre uniforme de B[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] s[s] es B[. Además existe un isomorfismo i0 : B0 → B[0 ( nos referimos a [Sa] para los hechos generales sobre el límite inductivo de C*-álgebras). Es simple. tener en cuenta que es un isomorfismo de B0 en B[t y it = En B0. Que (Hl, l,l) sea el espacio de GNS asociado con (B[, ] y (l) ser la extensión normal única a ′′. Así, el estado vectorial (X) =< Es un estado invariante para el automorfismo. Como B[0] B[0 para todos t ≥ 0, (η(B[0) ", "t", t ≥ 0, ) es una dinámica cuántica de los endomorfismos. Vamos. Ft] ser la proyección de soporte del estado vectorial normal  en el von-Neumann subálgebra η(B[t) ′′. Ft] π(B[t) ′′ η(B[) ′′ es una disminución monótona secuencia de proyecciones como t → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Que la proyección Q sea el límite. Por lo tanto Q ≥ [ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Así que Q = asegura que en B puro. Nuestro objetivo es investigar cuando Q es puro, es decir. Q = . Con ese fin establecemos von-Neumann álgebra N0 = F0] ′′F0] y definir familia {kt : N0 → ", de los homomorfismos por kt(x) = t(F0]xF0], x N0 Se trata de un trabajo de rutina para comprobar que (kt : t - IT ) es el único hasta isomor- phism (en el espacio cíclico del vector  generado por el von-Neumann álgebra {kt(x): t IT, x N0} ) hacia adelante débil proceso Markov associ- atendido con (N0, ηt, +0) donde ηt(x) = F0]αt(F0]xF0])F0] para todos los t ≥ 0. Lo es. mínimo una vez restringido al espacio cíclico generado por el proceso. Por lo tanto Q = cuando se limita al subespacio cíclico del proceso si y sólo • 0(n(x)n(y)) → • 0(x) • 0(y) como t→ • para todas las x, y • N0. PROPUESTA 4.1: Dejar G0] ser el subespacio cíclico del vector γ(B[0). a) G0] π η(B[0) ′ y el mapa h : η(B[0) ′′ → G0]η(B[0) ′′G0] definido por X → G0]XG0] es un homomorfismo y el rango es isomórfico a η0(B0) ′′, donde (Hn0, n0) es el espacio GNS asociado con (B0, nó). b) Determinación del intervalo de h con η0(B0) ′′ tenemos h • t(X) = • t(h(X)) para todos los X+(B[0) ′′ y t ≥ 0. (c) Que P sea la proyección de apoyo del estado en el álgebra de von-Neumann η0(B0) ′′ y A0 = Pη0(B0) ′′P. Fijamos Łt(x) = P/23370/t(PxP)P para todos los t ≥ 0, x A0 y â € € € = â € € (PxP ) para x â € € A0. Entonces i) h(F0]) = P y h(N0) = A0; ii) h(ηt(x)) = t(h(x)) para todos los t ≥ 0. PRUEBA: El mapa η(X)­ → η0(X)­0 tiene una extensión unitaria que en tertwines la representación GNS (H0, η0) con la sub-representación de B[0 en el subespacio cíclico G0]. Así, a) sigue. (b) es una consecuencia simple como i0 : B0 → B[0 es un C ∗ isomorfismo que covariante con respecto a (e) para todos t ≥ 0, es decir, ti0(x) = i0(t(x)) para todas las x B0. Que h(F0) = P es simple como h es un isomorfismo y por lo tanto también un mapa normal que toma la proyección de soporte F0] de el Estado de la Región en la Región (B[0) "apoyar la proyección P del Estado" en η0(B0) ′′. Ahora por propiedad del homomorfismo del mapa h y la propiedad de la conmutación con ( También comprobamos que h(N0) = h(F0)(B[0) ′′F0]) = Pη0(B0) ′′P = A0 y h(ηt(x)) = h(F0])t(h(F0])h(x)h(F0]) = Pt(Ph(x)P )P = t(h(x)) para todos los t ≥ 0. TEOREMA 4.2: Q es puro si y sólo si l0(l(x)­t(y)) → l0(x)­0(y) como t→ • para todas las x, y • A0. PRUEBA: Para cualquier solución t+ IT desde kt(A0) = Ft](B[t) "Ft], para cualquier X" B[t Tenemos QXe = QFt]XFt]e = Qkt(x)e para algunos x â € A0. Por lo tanto Q = Si y sólo si Q = en el subespacio cíclico generado por {kt(x), t(x), x(A0}. Teorema 3.5 dice ahora que Q = si y sólo • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • phism y hηt(x) = t(h(x)), también tenemos h(ηt(x))ηt(y)) = Desde el punto de vista de la prueba, completamos la prueba. COROLLARY 4.3: [ es un estado puro, si 0(l(x)t(y)) → 0(x)0(y) como t→ • para todas las x, y • A0. Prueba: El teorema 4.2 es el siguiente: Q ≤ [ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Nuestro análisis anterior puso muy poca luz si la condición suficiente En el corolario 4.3 también es necesario para la pureza. Llegaremos a este punto en siguiente sección donde trataremos con una clase de ejemplos. 5 propiedad de Kolmogorov y pura transla- ciones invariantes: Let • Ser un estado invariante de la traducción en UHFd álgebra A = ZZMd y ser la restricción de Ł a álgebra UHFd B0 = INMd. Hay uno a uno correspondencia entre un estado invariante de la traducción ) estado invariante en álgebra UHFd INMd. Los criterios [Po] de las potencias fácilmente los rendimientos que es un estado factorial si y sólo si es un estado factorial. Una pregunta que viene naturalmente aquí qué propiedad de se relaciona con la pureza de - ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Un relato sistemático de esta cuestión se inició en [BJKW] inspirado en Se obtiene el éxito inicial de [FNW1,FNW2,BJP] y una condición suficiente. In un artículo reciente [Mo2] esta línea de investigación fue explorada y nosotros obtuvo una condición necesaria y suficiente para una celosía invariante de la traducción estado del factor simétrico para ser puro y los criterios pueden ser descritos en términos de elementos Popescu canónicamente asociados con la representación de Cuntz. Que el estado es simétrica retícula jugó un papel importante en el argumento de la dualidad utilizado en la prueba. Aquí como una aplicación de nuestro resultado general, nos proponemos ahora encontrar uno más criterios útiles para un estado de factor invariante de la traducción cadena de giro cuántica ZZMd para ser puro. También demostramos que la pureza de una celosía traducción simétrica invariante del estado es equivalente a la propiedad de Kolmogorov de un semigrupo de Markov canónicamente asociado con فارسى. Primero recordamos que el álgebra de Cuntz Od(d {2, 3,.., }) es el universal C*-álgebra generada por los elementos {s1, s2,..., sd} sujetos a las relaciones: s*i sj = 1≤i≤d i = 1. Existe una acción canónica del grupo U(d) de matrices unitarias d× d en Od dado por βg(si) = 1≤j≤d para g = ((gij) • U(d). En particular, la acción del gálibo está definida por: βz(si) = zsi, z • IT = S 1 = {z IC : z = 1}. Si UHFd es el subalgebra de punto fijo bajo la acción del gálibo, entonces UHFd es el cierre del espacio lineal de todos los monomios ordenados por mecha de la forma Si1...siks ...s*j1 que también es isomórfico al álgebra UHFd Md. = para que el isomorfismo lleve la mecha ordenada monomial arriba en el elemento matricial (1) ei2j2(2).... e (k) 1 1.... y la restricción de βg a UHFd se lleva a cabo Ad(g)Ad(g) Ad(g).... También definimos el endomorfismo canónico en Od por (x) = 1≤i≤d y el isomorfismo lleva  restringido a UHFd en el cambio unilateral Y1 y2 ...→ 1 y1 y2.... el 1 Md. Nótese que g = βg♥ en UHFd. Let d {2, 3,..,..} y ZZd ser un conjunto de elementos d. Yo soy el conjunto de finitos secuencias I = (i1, i2,..., im) en las que ik • ZZd y m ≥ 1. También incluimos vacío set I y set s. = 1 = s •, sI = si1......sim • Od y s I = s ... s*i1 • Od. Deja que sea un estado invariante de la traducción en A = ZZMd donde Md es (d × d) matrices con entradas complejas. Identificando INMd con UHFd encontramos uno a una relación de un estado invariante en UHFd con la de un cambio de un lado estado invariante en AR = INMd. Vamos. ′ ser un estado invariante en el UHFd sub-álgebra de Od. Después de [BJKW, sección 7], consideramos el conjunto K = : es un estado en Od tal que y UHFd = Al tomar la media invariante en una extensión de a Od, verificamos que K no es vacío y K es claramente convexo y compacto en la topología débil. En caso de que es un estado ergódico (estado extremal) K es una cara en los estados invariantes. Antes de recordar la Proposición 7.4 de [BJKW] en la siguiente proposición. PROPUESTA 5.1: Seamos ergódicos. Entonces # # # K es un punto extremo # en K si y sólo si es un estado de factor y por otra parte cualquier otro punto extremo en K tienen la forma z para algunos z IT. Fijamos cualquier punto de K y consideramos el sistema Popescu asociado (K,M, vk,) descrito como en la Proposición 2.4. Una simple aplicación del Teorema 3.6 en [Mo2] dice que el estado límite inductivo en el límite inductivo (Od, ) → (Od, ) →  (Od, ) es puro si فارسى0(ln(x)ln(y)) → فارسى0(x)l0(y) para todos x, y â € M as n→ â € €. Este criterio es de uso limitado en la determinación de la pureza de a menos que tengamos (UHFd) ′′ = (Od) ′′. Demostramos un criterio más poderoso en la sección siguiente, completando una condición necesaria y suficiente obtenida por [Mo2], para una traducción invariante estado factor de ser puro. A tal fin, tenga en cuenta que el álgebra von-Neumann {SIS] J: I = J < actúa sobre el subespacio cíclico de H generado por el vector ♥. Esto es iso- morfo con la representación de GNS asociada con (B0, ′). Lo inductivo límite (B, ) [Sa] descrito como en la Proposición 3.6 en [Mo2] asociado con (B0, n, n ≥ 0,  ′) es el álgebra UHFd ZZMd y el estado límite inductivo es فارسى. Que Q sea la proyección de soporte del estado en η0(B0) ′′ y A0 = Qη(B0) ′′Q. Desde ((X)) = (X) para todas las X (UHFd) ", "(Q)" (UHFd) " y "(Q)" ≥ Q [Mo1]. Por lo tanto, Q?(I − Q)Q = 0 y tenemos (I − Q)S*kQ = 0 para todos los 1 ≤ k ≤ d. El mapa reducido de Markov η : A0 → A0 es definido por η(x) = QŁ(QxQ)Q (5.1) para todas las x A0 que admite un estado normal fiel *0(x) = (QxQ), x (A0) (5.2) En particular, ↑ I como n → ↑. Por lo tanto {Si : I <, Qf = f, f H es total en H. Establecemos lk = QSkQ, donde lk no necesita ser un elemento en A0. Sin embargo J A0 proporcionado I = J <. Sin embargo, tenemos Q.................................................................................... verificar que (sI) J) = , SIS < , QSIS JQe > = ♥, ll l para todos, J, J. En particular, tenemos (sI) J) = 0(ll l para todos I = J . Para cada n ≥ 1 observamos que {SIS J : I = J ≤ n} (en lo sucesivo, «UHFd») (UHFd) ′′ y por lo tanto (UHFd) ′′ ( n≥1­n((UHFd) ′′)′. Por lo tanto (en lo sucesivo, «UHFd») ′′) (UHFd) (UHFd) ′. (5.3) Ahora por Proposición 1.1 en [Ar, vea también Mo2] n − → 0 como n → فارسى para cualquier estado normal en (UHFd) ′′ si es un estado de factor. Así que tenemos llegó al siguiente resultado bien conocido de R. T. Powers [Pow1,BR]. TEOREM 5.2: Que sea un estado invariante de ♥ en UHFd INMd. Entonces el las siguientes declaraciones son equivalentes: a) es un estado factorial; b) Para cualquier estado normal en A0, n − 0 → 0 como n→ فارسى; c) Para cualquier x • UHFd INMd Supy1 ′(xn(y)− فارسى ′(x)(y) → 0 como n→ فارسى; d) (xln(y)) → ′(x)(y) como n→ • para todas las x, y • UHFd INMd; PRUEBA: Para cualquier estado normal en A0 notamos que P (X) = PXP ) es un estado normal en (UHFd) ′′ y n − 0 ≤ Pn −. Por lo tanto, por el el argumento a) implica b). Que (c) implica (d) y (d) implica (a) son Es obvio. Demostraremos que (b) implica (c). Tenga en cuenta que para (c) es lo suficientemente bueno si verificamos para todos los no negativos x • UHFd con soporte finito y • ′(x) = 1. En tal caso para los valores grandes de n el mapa (y) → ′(xn(y)) determina un Estado normal en (UHFd) ′′. Por lo tanto, c) sigue cada vez que b) se mantiene. COROLLARY 5.3: Vamos a ser un estado invariante de traducción en UHFd ZZMd. A continuación, los siguientes son equivalentes: a) Es un estado factorial; b) Para todos los tipos de x, y para todos los tipos de UHFd ZZMd; PRUEBA: En primer lugar recordamos que es un estado factorial si y sólo si es un punto extremo en el estado invariante de la traducción, es decir, Es un estado ergódico para la traducción mapa. Dado que la propiedad del grupo (b) implica ergodicidad, a) sigue. Por la Comisión conversa nota de que es un estado ergódico para el mapa de traducción si y sólo si es ergódico para  en UHFd INMd. Por lo tanto, por Teorema 3.2 llegamos a la conclusión de que declaración (b) mantener para cualquier elemento local x, y • UHFd ZZMd. Ahora usamos el hecho de que los elementos locales son densos en la norma C* para completar la prueba. PROPOSICIÓN 5.4: Seamos una traducción invariante estado extremal en A y ser un punto extremo en K. A continuación, la siguiente espera: a) H = {z S1 : z = es un subgrupo cerrado de S 1 y η(Od) H = η(UHFd) ′′. Además tenemos n((Od) ′′) = η(Od) ′′ η(UHFd)′; b) Si H = S1 entonces η(Od) ′′ η(UHFd)′ = CI; c) Que (H, Proyección del Estado en la región de Od ′′. Luego, P.O.O. (U.H.F.D.) ′′ es también el apoyo Proyección del Estado en el Reino Unido (UHFd) PRUEBA: La primera parte de (a) no es más que una reafirmación de la Proposición 2.5 en [Mo2] módulo la propiedad factorial de η(UHFd) ′′. Para una prueba del factor propiedad nos referimos a Lemma 7.11 en [BJKW] modulo una modificación descrita en la Proposición 3.2 en [Mo2]. Ahora pretendemos demostrar que n≥1 n((Od) ′′) = η(Od) ′′ η(UHFd)′. Lo es. obvio por Cuntz relación que n((Od) ′′) π(Od) ′′ η(UHFd)′. Por el letX converso (Od) η(UHFd) ′ y fijar cualquier n ≥ 1 y establecer Yn = S con I = n. Desde X (UHFd) ′ verificamos que S*IXSI = S IXSIS JSJ = S*ISIS JXSJ = S JXSJ para cualquier J = n. Así Yn es independiente de la multi- índice que elegimos. Ganancia una vez como X π (UHFd) ′ también comprobamos que Łn(Yn) = J :J =n SJS IXSIS J = X. Por lo tanto X n≥1 n((Od) Ahora (UHFd) ′′ siendo un factor, un resultado general en [BJKW, Lemma 7.12] dice que π(Od) (OHd) ′ es un álgebra conmutativa von-Neumann generada por una operador unitario u de modo que βz(u) = γ(z)u para todos z H y algún carácter γ de H. Además existe un z0 H para que βz0(x) = uxu ∗ para todos los x • η (Od) Así también tenemos βz0(u) = u = γ(z0)u. Así que tenemos γ(z0) = 1. H ser S 1 los el carácter se puede escribir como γ(z) = zk todos z â € H y para algunos k ≥ 1. Por lo tanto ukx(uk)* = βzk (x) = x. ′′ ser un factor uk es un escalador. Multiplicando un factor adecuado podemos elegir una u unitaria..... (Od) η(UHFd) ′ de modo que uk = 1. Sin embargo, también comprobamos que para todos z S1 tenemos βz(u k) = γ(z)kuk i.e. γ(z)k = 1 para todos los z • S1 como uk = 1. Por lo tanto, γ(z) = 1 para todos los z • S1. Por lo tanto βz(u) = u para todos los z + S 1 y u es escalador, ya que u es también un elemento en η(UHFd) ′′ por la primera parte. η(UHFd) ′′ siendo un factor concluimos que u es un escalador. Por lo tanto (Od) ′′ (UHFd)′ es trivial. Esto completa la prueba de (b). Es obvio que βz(P ) = P para todos z â € H y por lo tanto por (a) P â ¬ (UHFd) y, por lo tanto, también la proyección de apoyo en η(UHFd) " del Estado ". (c) es un simple consecuencia de la letra a) y del corolario 4.3. THEOREM 5.4: Seamos un estado invariante de traducción en UHFd ZZMd y P sea la proyección de apoyo de K en π(Od) ′′. Más aún dejar que A0 sea el von-Neumann álgebra Pγ(UHFd) "P actuando en el subespacio P y completamente mapa positivo : A0 → A0 definido por ♥(x) = P/23370/(PxP )P, es decir. (x) = k lkxl ser el mapa completamente positivo en A0 donde lk = Pγ(sk)P para todos los 1 ≤ k ≤ d. A continuación, la siguiente espera: a) En caso de que la letra a) del apartado 1 del artículo 4 no se aplique a los casos en que la letra b) del apartado 1 del artículo 6 no se aplique a los casos en que la letra b) del apartado 1 del artículo 6 no se aplique a los casos en que la letra b) del apartado 1 del artículo 6 no se aplique a los casos en que la letra b) del apartado 1 del artículo 6 no se aplique a los casos en que la letra c) del apartado 1 del artículo 6 no se aplique a los casos en que la letra c) del apartado 1 del artículo 6 no se aplique a los casos en que la letra c) del apartado 1 del artículo 6 no se aplique a los casos en que la letra c) del apartado 1 del artículo 6 no se aplique a los casos en que la letra c) del apartado 1 del artículo 6 no se aplique a los casos en que la letra c) del apartado 1 del artículo 6 no se aplique a) n(x)­n(y)) → ­0(x)­0(y) como n→ · para todas las x, y · A0 entonces · es puro; b) Si H = S1 entonces n − فارسى0 → 0 como n→ فارسى para cualquier estado normal en A0; PROOF: (a) seguido por una fácil aplicación del corolario 4.3. Para una prueba de (b) apelamos a [Ar, Proposición 1.1] y a la última declaración en Proposición 5.3 a). Por un argumento de dualidad, Teorema 3.4 en [Mo2], n − 0 → 0 como n→ para cualquier estado normal, si y sólo si 0(n(x)n(y)) → 0(x)0(y) como n → • para cualquier x, y • A0, donde (A0,, •0) el semigrupo KMS-adjunto Markov [OP,AcM,Mo1] de (A0, η, ­0). Recordamos el estado único de KMS = en Od donde β = ln(d) es un el estado del factor y K donde ′ es el único rastro en UHFd. Para una prueba que H = S1 para nos referimos a [BR]. Es el único rastro en A y también lo es un estado de factor. Por lo tanto por la Proposición 5.4 (d) tenemos (Od) ′′ (UHFd)′ es trivial. Por lo tanto n≥1o((Od) ′′) = IC. En particular n≥1 n((UHFd) ′′) = IC. Por otro lado siendo fiel, la proyección de apoyo es la identidad operador y, por lo tanto, canónico Markov semigrupo de........................................................................................................................................................................................................................................................ endomorfismo y siendo fieles, fácilmente verificamos que no admite Propiedad de Kolmogorov. Por otro lado H = S1 y así por la Proposición 5.4 (d) n0 → 0 como n→ • para cualquier estado normal • en A0. Este ejemplo a diferencia de en el caso clásico muestra que la propiedad de Kolmogorov de un El sistema dinámico en general no es reversible en el tiempo. REFERENCIAS • [AM] Accardi, L., Mohari, A.: El tiempo refleja los procesos de Markov. Infin. Dimens. Anal. Cuántum Probab. Relate. Top., vol-2, no-3, 397-425 (1999). • [Ar] Arveson, W.: Puro E0-semigrupos y estados absorbentes, Comm. Matemáticas. 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Classical nucleation theory in ordering alloys precipitating with L12 structure

Teoría clásica de la nucleación al ordenar aleaciones precipitando con la estructura L12. Emmanuel Clouet* y Maylise Nastar Service de Recherches de Métallurgie Physique, CEA/Saclay, 91191 Gif-sur-Yvette, Francia (Fecha: 28 de octubre de 2018) Por medio de expansiones de baja temperatura (LTE), la energía libre de nuclea- la energía libre de interfaz de tate se expresa como funciones del límite de solubilidad para las aleaciones que conducen a la precipitación de un compuesto estequiométrico L12 como las aleaciones Al-Sc o Al-Zr. Clásica nu- se utiliza entonces para obtener una simple expresión de la tasa de nucleación cuya validez es demostrado por una comparación con simulaciones atómicas. Los LTE también explican por qué el campo medio simple aproximación como la aproximación Bragg-Williams falla en predecir las tasas correctas de nucleación en tal una aleación ordenante. Desde su formulación inicial en 1927 por Volmer, We- ber y Farkas y su modificación en 1935 por Becker y Döring la teoría clásica de la nucleación (CNT)1,2,3 ha sido una herramienta adecuada para modelar la etapa de nucleación en las transformaciones de fase. El éxito de esta teoría re- se basa en su simplicidad y en los pocos parámetros requeridos para predecir la tasa de nucleación. Últimamente, el uso de com- Las simulaciones de putero han permitido evaluar la aplicabilidad de la teoría para las transformaciones de fase sólida 4.5,6,7. Gracias a un control preciso de las condiciones de simulación, es es posible obtener estimaciones precisas de los parámetros de CNT y así hacer una comparación directa entre la teoría predicciones y cantidades observadas durante las simulaciones. Se obtiene así una comprensión más profunda de la validez de las diferentes suposiciones utilizadas por la CNT. Estudios previos han demostrado que el capilar aprox. la imaginación, en la que CNT confía, da una descripción precisa de la termodinámica de racimos. Dentro de esta aproximación, la energía libre de un núcleo se escribe como la suma de un contribución de volumen, la energía libre de nucleación, y un contribución de superficie correspondiente al coste de la energía crear una interfaz entre el núcleo y el disolvente. Para que CNT esté de acuerdo con las simulaciones atómicas, el cuidado tiene que ser tomados en la forma en que estas dos contribuciones enérgicas se obtienen. En particular, hemos demostrado que uno tiene tener en cuenta el orden de corto plazo al calcular la energía libre de nucleación en una aleación de pedido4. Usual aproximaciones termodinámicas, como el sólido ideal así- la contaminación o la aproximación Bragg-Williams, no puede de- escriba orden de corto alcance y por lo tanto puede predecir los valores de la distribución del tamaño de los racimos y de la tasa de nucleación mal por varios órdenes de magnitud. Esto es a contraste. con aproximaciones de campo medio más sofisticadas como el método de variación del cluster (CVM) que proporciona predicciones de la tasa de nucleación4. Sin embargo, un uso fácil de la CNT y una clara determinación de la falta de los dients en aproximaciones simples de campo medio requiere un enfoque analítico que CVM no puede proporcionar. Semejante un enfoque tiene que conducir a expresiones exactas de la Los parámetros de entrada de CNT con el fin de hacer la teoría predic- tiva sin ningún ajuste de sus parámetros. En esta carta, utilizamos expansiones de baja temperatura (LTE)8,9 para obtener una formulación analítica de los nucle- energía libre y la interfaz de energía libre en un binario sistema como Al-Sc o Al-Zr, es decir, un Al-X supersaturado solución sólida que conduce a la nucleación de un estoquiomet- ric compuesto Al3X con la estructura L12. Esta estructura... tura corresponde a un pedido de la celosía fcc con átomos de laúd X que yacen en uno de los cuatro sublattices cúbicos8. LTE son muy adecuados para describir el orden de corto alcance en solución sólida diluida y casi estequiométrica ordenada compuestos10,11,12,13,14 como compuesto Al3X. El uso de este método en el marco de CNT permite obtener un modelización analítica cuyos únicos parámetros materiales son: el límite de solubilidad y el coeficiente de difusión del soluto. Para ello, partimos de la misma difusión atómica. modelo previamente desarrollado para el sistema Al-Sc-Zr4,15. Esto modelo se basa en una celosía rígida con interacciones entre primer y segundo vecinos más cercanos y utiliza un mecanismo activado de intercambio de vacío atómico para describir difusión. A pesar de su simplicidad, se ha demostrado que llevar a las predicciones en buen acuerdo con experimental datos15,16,17. Dentro de este modelo atómico, los átomos son... tensado para tumbarse en una celosía de fcc y las configuraciones de una aleación Al-X binaria es completamente descrita por el átomo de soluto número de ocupación pn con pn = 1 si el lugar n es occu- Pied por un átomo de soluto y pn = 0 de lo contrario. La energía por átomo de una configuración dada de las aleaciones Al-X es a continuación, dado por E = UAl + (UX − UAl) (1 - pn) pm (1 - pn) pm (1) donde la primera y la segunda suma, respectivamente, se ejecutan en todos primer y segundo pares de vecinos más cercanos de sitios, Ns es el número de sitios de celosía, UAl (respectivamente UX) es el ergy por átomo cuando sólo los átomos Al (respectivamente X) se encuentran sobre la celosía de fcc y AlX y فارسى AlX son los primeros y el segundo vecino más cercano a las energías de orden. Al-Sc y Al- La termodinámica de Zr se caracteriza por el orden diez- dency entre los primeros vecinos más cercanos Alx < 0) y la tendencia de mezcla entre los vecinos segundos más cercanos AlX > 0). Eq. 1 es una reescritura para las aleaciones binarias de la modelo atómico desarrollado en Refs.4,15 cuando se descuida contribuciones para vacantes. http://arxiv.org/abs/0704.1988v1 La energía libre de nucleación que entra en CNT está definida por Gnuc(x0X) = μAl(x X )− μAl(x X )− μX(x , (2) donde μAl(xX) y μX(xX) son los componentes Al y X potenciales químicos en una solución sólida de concentración xX y x X y x X las concentraciones del equilibrio y solución sólida supersaturada. LTE son más fáciles de manejar en semi-grand-canónico conjunto donde todas las cantidades se escriben como funciones de el potencial efectivo μ = (μAl − μX) /2. Definición de la energía libre de nucleación entonces se convierte Gnuc(μ) = A(μeq)−A(μ) + (μeq − μ), (3) donde μeq es el potencial efectivo correspondiente a equi- librio entre la solución sólida de Al y el Al3X L12 compuesto. Hemos definido en Eq. 3 la solución sólida energía libre semigrand canónica A = (μAl + μX) /2 = F (x) + (1− 2x)μ, siendo F (x) la habitual libre canónica energía. Un LTE consiste en desarrollar la función de partición del sistema alrededor de un estado de referencia, manteniendo en el sólo los estados excitados de las energías más bajas. Utilización de el teorema de cluster vinculado8,9 permite entonces expresar el energía canónica libre semigrand correspondiente como A(μ) = A0(μ)− kT gi,n exp (Ei,n(μ)/kT), (4) donde la energía del estado del suelo es A0(μ) = UAl para la solución sólida Al y A0(μ) = 3/4 UAl+1/4 UX+ AlX/2 para el compuesto Al3X L12. En la suma ap- peraing en Eq. 4, los estados excitados se han reunido de acuerdo con su estado de energía i y el número n de sitios de celosía involucrados. Parámetros LTE correspondientes a los estados excitados con las energías más bajas son dados en Tab. I. Todas las energías de excitación sólo implican un conjunto de iso- átomos tardíos o en la segunda posición vecina más cercana desde volteando dos átomos en la posición vecina más cercana produce un estado excitado con una energía mucho más alta. Se obtiene la concentración de soluto en una fase dada teniendo en cuenta el derivado de la Gran energía canónica libre. Para la solución sólida, una xX(μ) = A(μ) ngi,n exp (Ei,n(μ)/kT ). 5) La solución sólida y el compuesto L12 están en equi- librio cuando ambas fases tienen el mismo semi-grand Energía libre canónica. Considerando el tercer orden LTE CUADRO I: Coeficiente de entrada a baja temperatura ex- pansion (Eq. 4). Los primeros siete estados excitados son considerados para la solución sólida y los tres primeros estados excitados para el Compuesto Al3X L12. El potencial efectivo está escrito como μ = (UX − UAl)/2 + 6 AlX +. Compuesto de solución sólida L12 i n Ei,n(μ) gi,n Ei,n(μ) gi,n 1 1 6 AlX − 2 1 6 AlX + 2 1/4 2 2 10 AlX − 4 3 10 AlX + 4 3/4 3 2 12 AlX − 4 −19/2 12 AlX + 4 −7/8 4 3 14 AlX − 6 15 5 4 16 AlX − 8 3 5, 3, 16, 17, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, AlX − 6 −96 6 4 18 AlX − 8 83 6 3 18 AlX − 6 −774 7 5 20 AlX − 10 48 7 4 + 20 AlX − 8 −1569/2 (i = 3), esto ocurre para el potencial efectivo μeq = (UX − UAl)/2 + 6 exp (−6•(2)AlX/kT ) + 3 exp (−10• AlX/kT ) exp (−12•(2)AlX/kT ) , (6) correspondiente a la solubilidad X = exp −6•(2)AlX/kT + 6 exp −10•(2)AlX/kT − 16 exp −12•(2)AlX/kT . 7).................................................................................................................................................. Como estas expresiones tienen que ser consistentes con el ex- pansion de A, términos con argumentos exponenciales más grandes se descartan los −12•(2)AlX. Para las fases de equilibrio, uno no es necesario ir más lejos en la expansión que el Tercera orden. De hecho, las propiedades termodinámicas son al- listo bien convergente como la solución sólida y el L12 compuesto en equilibrio sólo ligeramente se desvían de su los respectivos Estados de base. Por otro lado, fig. 1 muestra que una expansión más allá del tercer orden de la energía canónica libre semigrand A(μ) de la supersat- solución sólida urada y del concen- xX(μ) mejora la convergencia de los nucle- Energia libre de formación. Cuando sólo el primer estado excitado se incluye en la expansión, LTE conduce a la misma valor de la energía libre de nucleación como el sólido ideal modelo de solución. Como estado más excitado están incluidos en la expansión, el valor deducido de LTE convergen a la calculada con CVM en el tetraedro- aproximación al octaedro4. Esto es en contraste con el Bragg-Williams aproximación que conduce a un peor predicción de la energía libre de nucleación que el ideal Modelo de solución sólida. 0 0,5 1 1,5 Solución sólida ideal Bragg-Williams LTE : 1er pedido Tercer orden Séptimo orden FIG. 1: Variación con la concentración nominal x0Zr de la energía libre de nucleación Gnuc en T = 723 K obtenida con diferentes aproximaciones termodinámicas: CVM, ideal solución sólida, Bragg-Williams y expan- iones (LTE) a diferentes órdenes. Para entender por qué Bragg-Williams aproxima... tion hace tan mal, que vale la pena volver a la canónica Ensamblaje. Al considerar sólo el tercer orden LTE, Las cantidades termodinámicas pueden expresarse como funciones concentración nominal de la solución sólida x0X. En par- ticular, la energía libre de nucleación es dada por GnucLTE(x X) = kT q (x0X)− q (x + exp de 3kT AlX/kT q (x0X) 2 − q (xeqX ) q (x0X) − En [q (xeqX)] , (8) donde hemos definido la función q (x) = 1 + 4x 6 exp AlX/kT . (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Esta expresión se desarrolló al primer orden en la concentración ciones x0X y x X conduce a GnucLTE(x kT ln 1− xeqX 1 - x0X kT ln 1 + 6e2 x0X − x . (10) Hacer el mismo desarrollo para la nucleación energía libre calculada dentro de los Bragg-Williams Aproximación4, obtenemos GnucBW(x kT ln 1− xeqX 1 - x0X kT ln AlX + 3 x0X − x . (11) Comparando Eq. 10 con Eq. 11, vemos que estos dos Las aproximaciones termodinámicas se desvían del ideal modelo de solución sólida por un término lineal distinto. En el LTE (Eq. 10), la energía libre de nucleación es sólo de- en espera de la segunda interacción vecina más cercana y el coeficiente frente a la diferencia de concentración es positivo. Por otro lado, los Bragg-Williams ap- proximación (Eq. 11) incorpora tanto la primera como la segunda ond interacciones vecinas más cercanas en un parámetro global AlX = 6 AlX + 3 Alx. Esto conduce a una corrección lineal con un coeficiente que puede ser negativo debido a la os- la naturaleza cilante de las interacciones. En particular, esto es el caso de las aleaciones binarias Al-Zr y Al-Sc4. Bragg... La aproximación de Williams conduce así a una corrección incorrecta del modelo ideal porque no considera adecuadamente orden de corto alcance. En el caso de un L12 ordenado com- libra que precipita de la solución sólida yace sobre el fcc enrejado, no se puede utilizar tal aproximación a calcu- tarde la energía libre de nucleación. Por otro lado, Eq. 8 es una buena aproximación y se puede utilizar para calcular la energía libre de nucleación incluso cuando el segundo más cercano interacción con el vecino AlX no se conoce. De hecho, este pa- rameter puede deducirse del límite de solubilidad x invertir Eq. 7, lo que lleva a la relación AlX = − kT ln (x X ) + kT 2/3 − . (12) Esta relación combinada con Eq. 8 proporciona un poderoso forma de calcular la energía libre de nucleación de la solubilidad sólida. LTE también se puede utilizar para calcular la interfaz de plano energía libre 100 correspondiente a una dirección [100]. Sumas adeudadas a la inhomogeneidad perpendicular a la interfaz, el principal contribución surge de enlaces rotos y emocionado estados, cuyas energías son más bajas que en fases a granel, sólo traer una pequeña corrección. Uno por lo tanto no necesita ir más allá de la segunda orden en la expansión. A 0 K, la interfaz isotrópica de energía libre se obtiene por mul- Tipplying 100 con el factor geométrico (6/η) corre... saltando a un perfecto [100] facetado de los precipitados. Para temperaturas bajas, esta es una buena aproximación a asumir que la misma relación lineal se mantiene entre ambos cantidades4. La interfaz isotrópica libre de energía dada por LTE es entonces a2 = (6/η) AlX − 2kT exp (−4 AlX/kT ) − kT exp (−6•(2)AlX/kT ) , (13) donde a es el parámetro de celosía fcc. LTE permite así calcular todos los parámetros de entrada de CNT del conocimiento del límite de solubilidad. El nucle... la tasa de ración se obtiene a partir de la ecuación J st(x0X) = −16Ns Gnuc(x0X) kTa2 (a2)3 kT [Gnuc(x0X)] , (14) 21.510.5 T = 723 K T = 773 K T = 823 K T = 873 K T = 723 K T = 773 K T = 823 K T = 873 K T = 723 K T = 773 K T = 823 K T = 723 K T = 773 K T = 823 K FIG. 2: Variación con concentración nominal y tempera- de la tasa de nucleación en estado estacionario Jst para Al3Zr (arriba) y Precipitaciones de Al3Sc (de abajo). Los símbolos corresponden a Simulación cinética de Monte Carlo y líneas a nucleo clásico Teoría de la formación donde DX es el coeficiente de difusión de impurezas X en Al. Nosotros así obtener una expresión totalmente analítica de la nucleación tasa. Usando los mismos datos experimentales, es decir. solubilidad límites y coeficientes de difusión, como los utilizados para adaptarse el modelo de difusión atómica de la cinética Monte Carlo simu- laciones, podemos comparar las predicciones de la CNT con la nucleación tasa observada en simulaciones4. Un buen acuerdo es ob- En el caso de las aleaciones binarias de Al-Zr y Al-Sc (Fig. 2). La combinación de LTE con CNT permite así construir un modelado cuantitativo de la nucleación basado en un número limitado de parámetros de material. Semejante modelo se puede aplicar directamente a las aleaciones de aluminio donde un L12 los precipitados compuestos de un sólido supersaturado así- la contaminación, como es el caso de Zr, Sc u otras tierras raras elementos como Er, Tm, Yb y Lu18. Li demasiado precipita en aluminio con una estructura L12, pero este sistema requiere otra aproximación estadística que LTE. De hecho, este el enfoque basado en LTE, requiere que el precipitamiento fase sólo ligeramente se desvía de su perfecto estoquioma- intentar y que la solubilidad del soluto permanezca baja. Suministrado estas condiciones se cumplen, podría aplicarse a al- otras aleaciones de aluminio. Más en general, LTE demostrar que la naturaleza oscilante de los interac- ciones en una aleación con una tendencia a ordenar tiene que ser que la CNT tenga en cuenta y requiere una mejor descripción estadística que el Bragg-Williams aproxi- miento que trata todas las interacciones en pie de igualdad. Los autores desean dar las gracias a Y. Le Bouar y A. Finel para discusiones útiles sobre LTE, y B. Legrand, F. Soisson y G. Martin por su inestimable ayuda. * Dirección electrónica: emmanuel.clouet@cea.fr 1 G. Martin, en la transformación de la fase de estado sólido en Met- als y Aleaciones (Les Éditions de Physique, Orsay, Francia, 1978), pp. 337–406. 2 K. F. Kelton, en Física de Estado Sólido, editado por H. Ehren- reich y D. Turnbull (Academic Press, 1991), vol. 45, pp. 75–177. 3 D. Kashchiev, Nucleación : teoría básica con aplicaciones (Butterworth Heinemann, Oxford, 2000). 4 E. Clouet, M. Nastar, y C. Sigli, Phys. Rev. B 69, 064109 (2004). 5 V. A. Shneidman, K. A. Jackson, y K. M. Beatty, Phys. Rev. B 59, 3579 (1999). 6 F. Soisson y G. Martin, Phys. Rev. B 62, 203 (2000). 7 F. Berthier, B. Legrand, J. Creuze, y R. Tétot, J. Elec- Troanal. Chem. 561, 37 (2004); 562, 127 (2004). 8 F. Ducastelle, orden y estabilidad gradual en las Holanda, Amsterdam, 1991). 9 C. Domb y M. S. Green, eds., Fase de Transición y Fenómenos críticos, vol. 3 (Academic Press, Londres, 1974). 10 C. Woodward, M. Asta, G. Kresse, y J. Hafner, Phys. Rev. B 63, 094103 (2001). 11 A. F. Kohan, P. D. Tepesch, G. Ceder y C. Wolverton, Comput. Mater. Sci. 9, 389 (1998). 12 M. Asta, S. M. Foiles, y A. A. Quong, Phys. Rev. B 57, 11265 (1998). 13 R. W. Hyland, M. Asta, S. M. Foiles, y C. L. Rohrer, Acta Mater. 46, 3667 (1998). 14 Y. Le Bouar, A. Loiseau, y A. Finel, Phys. Rev. B 68, 224203 (2003). 15 E. Clouet, L. Laé, T. Épicier, W. Lefebvre, M. Nastar, and A. Deschamps, Nat. Mater. 5, 482 (2006). 16 E. Clouet, A. Barbu, L. Laé y G. Martin, Acta Mater. 53, 2313 (2005). 17 E. Clouet y A. Barbu, Acta Mater. 55, 391 (2007). 18 K. E. Knipling, D. C. Dunand, y D. N. Seidman, Z. Metallkd. 2006, 246 (2006). mailto:emmanuel.clouet@cea.fr

Por medio de expansiones de baja temperatura (LTE), la energía libre de nucleación y la energía libre de interfaz precipitada se expresa como funciones de la límite de solubilidad para las aleaciones que conducen a la precipitación de un estoquiométrico Compuesto L12 como aleaciones Al-Sc o Al-Zr. La teoría clásica de la nucleación es entonces utilizado para obtener una simple expresión de la tasa de nucleación cuya validez es demostrado por una comparación con simulaciones atómicas. Los TEL también explican por qué simple aproximación de campo medio como la aproximación Bragg-Williams falla en predecir las tasas correctas de nucleación en una aleación de este tipo.

Teoría clásica de la nucleación al ordenar aleaciones precipitando con la estructura L12. Emmanuel Clouet* y Maylise Nastar Service de Recherches de Métallurgie Physique, CEA/Saclay, 91191 Gif-sur-Yvette, Francia (Fecha: 28 de octubre de 2018) Por medio de expansiones de baja temperatura (LTE), la energía libre de nuclea- la energía libre de interfaz de tate se expresa como funciones del límite de solubilidad para las aleaciones que conducen a la precipitación de un compuesto estequiométrico L12 como las aleaciones Al-Sc o Al-Zr. Clásica nu- se utiliza entonces para obtener una simple expresión de la tasa de nucleación cuya validez es demostrado por una comparación con simulaciones atómicas. Los LTE también explican por qué el campo medio simple aproximación como la aproximación Bragg-Williams falla en predecir las tasas correctas de nucleación en tal una aleación ordenante. Desde su formulación inicial en 1927 por Volmer, We- ber y Farkas y su modificación en 1935 por Becker y Döring la teoría clásica de la nucleación (CNT)1,2,3 ha sido una herramienta adecuada para modelar la etapa de nucleación en las transformaciones de fase. El éxito de esta teoría re- se basa en su simplicidad y en los pocos parámetros requeridos para predecir la tasa de nucleación. Últimamente, el uso de com- Las simulaciones de putero han permitido evaluar la aplicabilidad de la teoría para las transformaciones de fase sólida 4.5,6,7. Gracias a un control preciso de las condiciones de simulación, es es posible obtener estimaciones precisas de los parámetros de CNT y así hacer una comparación directa entre la teoría predicciones y cantidades observadas durante las simulaciones. Se obtiene así una comprensión más profunda de la validez de las diferentes suposiciones utilizadas por la CNT. Estudios previos han demostrado que el capilar aprox. la imaginación, en la que CNT confía, da una descripción precisa de la termodinámica de racimos. Dentro de esta aproximación, la energía libre de un núcleo se escribe como la suma de un contribución de volumen, la energía libre de nucleación, y un contribución de superficie correspondiente al coste de la energía crear una interfaz entre el núcleo y el disolvente. Para que CNT esté de acuerdo con las simulaciones atómicas, el cuidado tiene que ser tomados en la forma en que estas dos contribuciones enérgicas se obtienen. En particular, hemos demostrado que uno tiene tener en cuenta el orden de corto plazo al calcular la energía libre de nucleación en una aleación de pedido4. Usual aproximaciones termodinámicas, como el sólido ideal así- la contaminación o la aproximación Bragg-Williams, no puede de- escriba orden de corto alcance y por lo tanto puede predecir los valores de la distribución del tamaño de los racimos y de la tasa de nucleación mal por varios órdenes de magnitud. Esto es a contraste. con aproximaciones de campo medio más sofisticadas como el método de variación del cluster (CVM) que proporciona predicciones de la tasa de nucleación4. Sin embargo, un uso fácil de la CNT y una clara determinación de la falta de los dients en aproximaciones simples de campo medio requiere un enfoque analítico que CVM no puede proporcionar. Semejante un enfoque tiene que conducir a expresiones exactas de la Los parámetros de entrada de CNT con el fin de hacer la teoría predic- tiva sin ningún ajuste de sus parámetros. En esta carta, utilizamos expansiones de baja temperatura (LTE)8,9 para obtener una formulación analítica de los nucle- energía libre y la interfaz de energía libre en un binario sistema como Al-Sc o Al-Zr, es decir, un Al-X supersaturado solución sólida que conduce a la nucleación de un estoquiomet- ric compuesto Al3X con la estructura L12. Esta estructura... tura corresponde a un pedido de la celosía fcc con átomos de laúd X que yacen en uno de los cuatro sublattices cúbicos8. LTE son muy adecuados para describir el orden de corto alcance en solución sólida diluida y casi estequiométrica ordenada compuestos10,11,12,13,14 como compuesto Al3X. El uso de este método en el marco de CNT permite obtener un modelización analítica cuyos únicos parámetros materiales son: el límite de solubilidad y el coeficiente de difusión del soluto. Para ello, partimos de la misma difusión atómica. modelo previamente desarrollado para el sistema Al-Sc-Zr4,15. Esto modelo se basa en una celosía rígida con interacciones entre primer y segundo vecinos más cercanos y utiliza un mecanismo activado de intercambio de vacío atómico para describir difusión. A pesar de su simplicidad, se ha demostrado que llevar a las predicciones en buen acuerdo con experimental datos15,16,17. Dentro de este modelo atómico, los átomos son... tensado para tumbarse en una celosía de fcc y las configuraciones de una aleación Al-X binaria es completamente descrita por el átomo de soluto número de ocupación pn con pn = 1 si el lugar n es occu- Pied por un átomo de soluto y pn = 0 de lo contrario. La energía por átomo de una configuración dada de las aleaciones Al-X es a continuación, dado por E = UAl + (UX − UAl) (1 - pn) pm (1 - pn) pm (1) donde la primera y la segunda suma, respectivamente, se ejecutan en todos primer y segundo pares de vecinos más cercanos de sitios, Ns es el número de sitios de celosía, UAl (respectivamente UX) es el ergy por átomo cuando sólo los átomos Al (respectivamente X) se encuentran sobre la celosía de fcc y AlX y فارسى AlX son los primeros y el segundo vecino más cercano a las energías de orden. Al-Sc y Al- La termodinámica de Zr se caracteriza por el orden diez- dency entre los primeros vecinos más cercanos Alx < 0) y la tendencia de mezcla entre los vecinos segundos más cercanos AlX > 0). Eq. 1 es una reescritura para las aleaciones binarias de la modelo atómico desarrollado en Refs.4,15 cuando se descuida contribuciones para vacantes. http://arxiv.org/abs/0704.1988v1 La energía libre de nucleación que entra en CNT está definida por Gnuc(x0X) = μAl(x X )− μAl(x X )− μX(x , (2) donde μAl(xX) y μX(xX) son los componentes Al y X potenciales químicos en una solución sólida de concentración xX y x X y x X las concentraciones del equilibrio y solución sólida supersaturada. LTE son más fáciles de manejar en semi-grand-canónico conjunto donde todas las cantidades se escriben como funciones de el potencial efectivo μ = (μAl − μX) /2. Definición de la energía libre de nucleación entonces se convierte Gnuc(μ) = A(μeq)−A(μ) + (μeq − μ), (3) donde μeq es el potencial efectivo correspondiente a equi- librio entre la solución sólida de Al y el Al3X L12 compuesto. Hemos definido en Eq. 3 la solución sólida energía libre semigrand canónica A = (μAl + μX) /2 = F (x) + (1− 2x)μ, siendo F (x) la habitual libre canónica energía. Un LTE consiste en desarrollar la función de partición del sistema alrededor de un estado de referencia, manteniendo en el sólo los estados excitados de las energías más bajas. Utilización de el teorema de cluster vinculado8,9 permite entonces expresar el energía canónica libre semigrand correspondiente como A(μ) = A0(μ)− kT gi,n exp (Ei,n(μ)/kT), (4) donde la energía del estado del suelo es A0(μ) = UAl para la solución sólida Al y A0(μ) = 3/4 UAl+1/4 UX+ AlX/2 para el compuesto Al3X L12. En la suma ap- peraing en Eq. 4, los estados excitados se han reunido de acuerdo con su estado de energía i y el número n de sitios de celosía involucrados. Parámetros LTE correspondientes a los estados excitados con las energías más bajas son dados en Tab. I. Todas las energías de excitación sólo implican un conjunto de iso- átomos tardíos o en la segunda posición vecina más cercana desde volteando dos átomos en la posición vecina más cercana produce un estado excitado con una energía mucho más alta. Se obtiene la concentración de soluto en una fase dada teniendo en cuenta el derivado de la Gran energía canónica libre. Para la solución sólida, una xX(μ) = A(μ) ngi,n exp (Ei,n(μ)/kT ). 5) La solución sólida y el compuesto L12 están en equi- librio cuando ambas fases tienen el mismo semi-grand Energía libre canónica. Considerando el tercer orden LTE CUADRO I: Coeficiente de entrada a baja temperatura ex- pansion (Eq. 4). Los primeros siete estados excitados son considerados para la solución sólida y los tres primeros estados excitados para el Compuesto Al3X L12. El potencial efectivo está escrito como μ = (UX − UAl)/2 + 6 AlX +. Compuesto de solución sólida L12 i n Ei,n(μ) gi,n Ei,n(μ) gi,n 1 1 6 AlX − 2 1 6 AlX + 2 1/4 2 2 10 AlX − 4 3 10 AlX + 4 3/4 3 2 12 AlX − 4 −19/2 12 AlX + 4 −7/8 4 3 14 AlX − 6 15 5 4 16 AlX − 8 3 5, 3, 16, 17, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, AlX − 6 −96 6 4 18 AlX − 8 83 6 3 18 AlX − 6 −774 7 5 20 AlX − 10 48 7 4 + 20 AlX − 8 −1569/2 (i = 3), esto ocurre para el potencial efectivo μeq = (UX − UAl)/2 + 6 exp (−6•(2)AlX/kT ) + 3 exp (−10• AlX/kT ) exp (−12•(2)AlX/kT ) , (6) correspondiente a la solubilidad X = exp −6•(2)AlX/kT + 6 exp −10•(2)AlX/kT − 16 exp −12•(2)AlX/kT . 7).................................................................................................................................................. Como estas expresiones tienen que ser consistentes con el ex- pansion de A, términos con argumentos exponenciales más grandes se descartan los −12•(2)AlX. Para las fases de equilibrio, uno no es necesario ir más lejos en la expansión que el Tercera orden. De hecho, las propiedades termodinámicas son al- listo bien convergente como la solución sólida y el L12 compuesto en equilibrio sólo ligeramente se desvían de su los respectivos Estados de base. Por otro lado, fig. 1 muestra que una expansión más allá del tercer orden de la energía canónica libre semigrand A(μ) de la supersat- solución sólida urada y del concen- xX(μ) mejora la convergencia de los nucle- Energia libre de formación. Cuando sólo el primer estado excitado se incluye en la expansión, LTE conduce a la misma valor de la energía libre de nucleación como el sólido ideal modelo de solución. Como estado más excitado están incluidos en la expansión, el valor deducido de LTE convergen a la calculada con CVM en el tetraedro- aproximación al octaedro4. Esto es en contraste con el Bragg-Williams aproximación que conduce a un peor predicción de la energía libre de nucleación que el ideal Modelo de solución sólida. 0 0,5 1 1,5 Solución sólida ideal Bragg-Williams LTE : 1er pedido Tercer orden Séptimo orden FIG. 1: Variación con la concentración nominal x0Zr de la energía libre de nucleación Gnuc en T = 723 K obtenida con diferentes aproximaciones termodinámicas: CVM, ideal solución sólida, Bragg-Williams y expan- iones (LTE) a diferentes órdenes. Para entender por qué Bragg-Williams aproxima... tion hace tan mal, que vale la pena volver a la canónica Ensamblaje. Al considerar sólo el tercer orden LTE, Las cantidades termodinámicas pueden expresarse como funciones concentración nominal de la solución sólida x0X. En par- ticular, la energía libre de nucleación es dada por GnucLTE(x X) = kT q (x0X)− q (x + exp de 3kT AlX/kT q (x0X) 2 − q (xeqX ) q (x0X) − En [q (xeqX)] , (8) donde hemos definido la función q (x) = 1 + 4x 6 exp AlX/kT . (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Esta expresión se desarrolló al primer orden en la concentración ciones x0X y x X conduce a GnucLTE(x kT ln 1− xeqX 1 - x0X kT ln 1 + 6e2 x0X − x . (10) Hacer el mismo desarrollo para la nucleación energía libre calculada dentro de los Bragg-Williams Aproximación4, obtenemos GnucBW(x kT ln 1− xeqX 1 - x0X kT ln AlX + 3 x0X − x . (11) Comparando Eq. 10 con Eq. 11, vemos que estos dos Las aproximaciones termodinámicas se desvían del ideal modelo de solución sólida por un término lineal distinto. En el LTE (Eq. 10), la energía libre de nucleación es sólo de- en espera de la segunda interacción vecina más cercana y el coeficiente frente a la diferencia de concentración es positivo. Por otro lado, los Bragg-Williams ap- proximación (Eq. 11) incorpora tanto la primera como la segunda ond interacciones vecinas más cercanas en un parámetro global AlX = 6 AlX + 3 Alx. Esto conduce a una corrección lineal con un coeficiente que puede ser negativo debido a la os- la naturaleza cilante de las interacciones. En particular, esto es el caso de las aleaciones binarias Al-Zr y Al-Sc4. Bragg... La aproximación de Williams conduce así a una corrección incorrecta del modelo ideal porque no considera adecuadamente orden de corto alcance. En el caso de un L12 ordenado com- libra que precipita de la solución sólida yace sobre el fcc enrejado, no se puede utilizar tal aproximación a calcu- tarde la energía libre de nucleación. Por otro lado, Eq. 8 es una buena aproximación y se puede utilizar para calcular la energía libre de nucleación incluso cuando el segundo más cercano interacción con el vecino AlX no se conoce. De hecho, este pa- rameter puede deducirse del límite de solubilidad x invertir Eq. 7, lo que lleva a la relación AlX = − kT ln (x X ) + kT 2/3 − . (12) Esta relación combinada con Eq. 8 proporciona un poderoso forma de calcular la energía libre de nucleación de la solubilidad sólida. LTE también se puede utilizar para calcular la interfaz de plano energía libre 100 correspondiente a una dirección [100]. Sumas adeudadas a la inhomogeneidad perpendicular a la interfaz, el principal contribución surge de enlaces rotos y emocionado estados, cuyas energías son más bajas que en fases a granel, sólo traer una pequeña corrección. Uno por lo tanto no necesita ir más allá de la segunda orden en la expansión. A 0 K, la interfaz isotrópica de energía libre se obtiene por mul- Tipplying 100 con el factor geométrico (6/η) corre... saltando a un perfecto [100] facetado de los precipitados. Para temperaturas bajas, esta es una buena aproximación a asumir que la misma relación lineal se mantiene entre ambos cantidades4. La interfaz isotrópica libre de energía dada por LTE es entonces a2 = (6/η) AlX − 2kT exp (−4 AlX/kT ) − kT exp (−6•(2)AlX/kT ) , (13) donde a es el parámetro de celosía fcc. LTE permite así calcular todos los parámetros de entrada de CNT del conocimiento del límite de solubilidad. El nucle... la tasa de ración se obtiene a partir de la ecuación J st(x0X) = −16Ns Gnuc(x0X) kTa2 (a2)3 kT [Gnuc(x0X)] , (14) 21.510.5 T = 723 K T = 773 K T = 823 K T = 873 K T = 723 K T = 773 K T = 823 K T = 873 K T = 723 K T = 773 K T = 823 K T = 723 K T = 773 K T = 823 K FIG. 2: Variación con concentración nominal y tempera- de la tasa de nucleación en estado estacionario Jst para Al3Zr (arriba) y Precipitaciones de Al3Sc (de abajo). Los símbolos corresponden a Simulación cinética de Monte Carlo y líneas a nucleo clásico Teoría de la formación donde DX es el coeficiente de difusión de impurezas X en Al. Nosotros así obtener una expresión totalmente analítica de la nucleación tasa. Usando los mismos datos experimentales, es decir. solubilidad límites y coeficientes de difusión, como los utilizados para adaptarse el modelo de difusión atómica de la cinética Monte Carlo simu- laciones, podemos comparar las predicciones de la CNT con la nucleación tasa observada en simulaciones4. Un buen acuerdo es ob- En el caso de las aleaciones binarias de Al-Zr y Al-Sc (Fig. 2). La combinación de LTE con CNT permite así construir un modelado cuantitativo de la nucleación basado en un número limitado de parámetros de material. Semejante modelo se puede aplicar directamente a las aleaciones de aluminio donde un L12 los precipitados compuestos de un sólido supersaturado así- la contaminación, como es el caso de Zr, Sc u otras tierras raras elementos como Er, Tm, Yb y Lu18. Li demasiado precipita en aluminio con una estructura L12, pero este sistema requiere otra aproximación estadística que LTE. De hecho, este el enfoque basado en LTE, requiere que el precipitamiento fase sólo ligeramente se desvía de su perfecto estoquioma- intentar y que la solubilidad del soluto permanezca baja. Suministrado estas condiciones se cumplen, podría aplicarse a al- otras aleaciones de aluminio. Más en general, LTE demostrar que la naturaleza oscilante de los interac- ciones en una aleación con una tendencia a ordenar tiene que ser que la CNT tenga en cuenta y requiere una mejor descripción estadística que el Bragg-Williams aproxi- miento que trata todas las interacciones en pie de igualdad. Los autores desean dar las gracias a Y. Le Bouar y A. Finel para discusiones útiles sobre LTE, y B. Legrand, F. Soisson y G. Martin por su inestimable ayuda. * Dirección electrónica: emmanuel.clouet@cea.fr 1 G. Martin, en la transformación de la fase de estado sólido en Met- als y Aleaciones (Les Éditions de Physique, Orsay, Francia, 1978), pp. 337–406. 2 K. F. Kelton, en Física de Estado Sólido, editado por H. Ehren- reich y D. Turnbull (Academic Press, 1991), vol. 45, pp. 75–177. 3 D. Kashchiev, Nucleación : teoría básica con aplicaciones (Butterworth Heinemann, Oxford, 2000). 4 E. Clouet, M. Nastar, y C. Sigli, Phys. Rev. B 69, 064109 (2004). 5 V. A. Shneidman, K. A. Jackson, y K. M. Beatty, Phys. Rev. B 59, 3579 (1999). 6 F. Soisson y G. Martin, Phys. Rev. B 62, 203 (2000). 7 F. Berthier, B. Legrand, J. Creuze, y R. Tétot, J. Elec- Troanal. Chem. 561, 37 (2004); 562, 127 (2004). 8 F. Ducastelle, orden y estabilidad gradual en las Holanda, Amsterdam, 1991). 9 C. Domb y M. S. Green, eds., Fase de Transición y Fenómenos críticos, vol. 3 (Academic Press, Londres, 1974). 10 C. Woodward, M. Asta, G. Kresse, y J. Hafner, Phys. Rev. B 63, 094103 (2001). 11 A. F. Kohan, P. D. Tepesch, G. Ceder y C. Wolverton, Comput. Mater. Sci. 9, 389 (1998). 12 M. Asta, S. M. Foiles, y A. A. Quong, Phys. Rev. B 57, 11265 (1998). 13 R. W. Hyland, M. Asta, S. M. Foiles, y C. L. Rohrer, Acta Mater. 46, 3667 (1998). 14 Y. Le Bouar, A. Loiseau, y A. Finel, Phys. Rev. B 68, 224203 (2003). 15 E. Clouet, L. Laé, T. Épicier, W. Lefebvre, M. Nastar, and A. Deschamps, Nat. Mater. 5, 482 (2006). 16 E. Clouet, A. Barbu, L. Laé y G. Martin, Acta Mater. 53, 2313 (2005). 17 E. Clouet y A. Barbu, Acta Mater. 55, 391 (2007). 18 K. E. Knipling, D. C. Dunand, y D. N. Seidman, Z. Metallkd. 2006, 246 (2006). mailto:emmanuel.clouet@cea.fr

Jones index of a quantum dynamical semigroup

arXiv:0704.1989v1 [math.OA] 16 Abr 2007 Índice Jones de un semigrupo dinámico cuántico Anilesh Mohari S.N.Bose Centro de Ciencias Básicas, Bloque JD, Sector-3, Calcuta-98 Correo electrónico: anilesh@boson.bose.res.in Resumen En este artículo se considera un mapa completamente positivo. estado invariante normal de full en un tipo II1 factor A0 y proponer una teoría de índice. Lo logramos a través de un tipo de construcción más general de Kolmogorov para la estación- ary Markov procesos que asocian naturalmente un isomórfico anidado von-Neumann álgebras. En particular esta construcción generaliza la conocida construcción de Jones asociado con un subfactor de factor tipo II1. http://arxiv.org/abs/0704.1989v1 1 Introducción: Que  = (­t, t ≥ 0) sea un semigrupo de identidad que preserve la normalidad completamente positiva mapas [Da,BR] en un álgebra von-Neumann A0 actuando en un espacio separable Hilbert H0, donde o bien el parámetro t â € R+, el conjunto de números reales positivos o Z +, el conjunto de números enteros positivos. En el caso de t+R, es decir, continuo, suponemos que para cada uno x A0 el mapa t→ ♥t(x) es continuo en el débil * topología. Por lo tanto, variable t • IT+ donde sea IR o IN. Asumimos además que admite una invariante normal Estado 0, es decir, En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Como primer paso después de la conocida construcción de Kolmogorov Procesos Markov, utilizamos el método GNS para construir un Hilbert espacio H y un Torre creciente de tipo isomórfico von-Neumann-II factores {A[t : t R o Z} generado por el proceso débil de Markov (H, jt, Ft], t â € € € TM R o Z, € TM) [BP, AM] donde jt : A0 → A[t es un homomorfismo inyector de A0 a A[0 para que la proyección Ft] = jt(I) es el espacio cíclico de La torre de álgebras isomórficas crecientes de von-Neumann {A[t, t R o Z} son En efecto, un factor de tipo II, si y sólo si no es un endomorfismo. En cualquier caso, el proyección j0(I) es una proyección finita en A[−t para todos t ≤ 0. En particular, también encontramos una torre en aumento de factores de tipo II1 {Mt: t ≥ 0} definida por Mt = j0(I)A[−tj0(I). Así, los índices Jones {[Mt : Ms]: 0 ≤ s ≤ t} son invariantes para el semigrupo Markov (A0, Łt, t ≥ 0, فارسى0) y posteriormente el mapa (t, s) → [Mt : Ms] no es continuo si el variable (t, s) son continuas, es decir, en caso de que el valor de la sustancia problema sea inferior o igual al valor de la sustancia problema, el valor de la sustancia problema será igual o superior al valor de la sustancia problema. En tiempo discreto dinámico sistema encontramos una secuencia de invarianza {[Mn+1 : Mn] : n ≥ 0} canónicamente asociada con la expectativa canónica condicional sobre un subfactor B0 de un factor A0 de tipo II1 donde Ł0 es el único rastro normal en A0. Sin embargo, a diferencia de Jones construcción que tienen [Mn+1 : Mn] = d 2 donde d = [A0 : B0]. Esto demuestra que nuestra construcción en un sentido generaliza la construcción de Jones de dos pasos en tiempo discreto. Un estudio detallado, hay que hacer para explorar esta nueva invarianza, que parece ser una interesante ¡Problema! Agradecimiento: El autor aprovecha la oportunidad para reconocer al Prof. Luigi Accardi para una invitación a visitar Centro Vito Volterra, Universidad de Roma, Tor Vergata durante el verano de 2005. El autor agradece además al Prof. Roberto Longo y el Prof. Francesco Fidaleo por una valiosa discusión que ayudó el autor para darse cuenta de que la torre de sub-factores tipo II1 de hecho generaliza bien Construcción conocida de Jones. 2 Procesos estacionarios de Markov y cambio de Markov: Una familia de un parámetro con mapas completamente positivos en una C (t, t ≥ 0) * álgebra o un subálgebra von-Neumann A0 se denomina semigrupo dinámico cuántico si En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Además, si se trata de un semigrupo de Markov (I) = I, t ≥ 0, se le llama semigrupo de Markov. Decimos un estado. en A0 es invariante para (­t) si •0(­t(x)) = •0(x) •t ≥ 0. Arreglamos un semigrupo de Markov (A0, Łt, t ≥ 0) y también un estado invariante (Łt)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e). En lo siguiente recordamos brevemente [AM] la construcción básica del mínimo procesos de Markov hacia delante débiles asociados con (A0, Łt, t ≥ 0, Ł0). La construcción va a lo largo de la línea de Kolmogorov construcción de procesos estacionarios de Markov o Cambio de Markov con una modificación [Sa,BP] que se ocupa del hecho de que A0 necesita no ser un álgebra conmutativa. Aquí revisamos la construcción dada en [AM] en orden de fijar las anotaciones y las propiedades importantes. Consideramos la clase M de A0 funciones valoradas x : IT → A0 para que xr 6= I para finitamente muchos puntos y equipar con la multiplicación de puntos (xy)r = xryr. Nosotros definir el mapa L : (M,M) → IC por L(x, y) = 0(x) - 1 - rn(x (...x*r2­r1­r2(x yr1)yr2)...yrn−1)yrn) (2.1) donde r = (r1, r2,..rn) r1 ≤ r2 ≤.. ≤ rn es la recogida de puntos en el TI cuando o bien x o y no son iguales a I. Que este núcleo está bien definido sigue de nuestra hipótesis que el valor de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia. El completo positiveness de (t) implica que el mapa L es una forma definida no negativa en M. Así existe un espacio de Hilbert H y un mapa : M → H tal que < l(x), l(y) = L(x, y). A menudo vamos a omitir el símbolo ♥ para simplificar nuestras anotaciones a menos que más que uno tal los mapas están involucrados. Utilizamos el símbolo  para el elemento único en H asociado con x = (xr = I, r • IR) y • para el estado vectorial asociado • en B(H) definido por • (X) =< Ł,Xl >. Para cada t • IR definimos el operador de turno St : H → H por la siguiente prescripción: (Stx)r = xr+t (2.2) Es simple observar que S = ((St, t • IR)) es un grupo unitario de operadores en H con Como un elemento invariante. Para cualquier t â € TM ~ IR que establecemos Mt] = {x â € M, xr = I?r > t} y Ft] para la proyección en Ht], el lapso lineal cerrado de (Mt])}. Para cualquier x A0 y t IT también establecemos los elementos it(x),® M definido por it(x)r = x, si r = t Yo, de lo contrario Así que el mapa V+ : H0 → H definido por V+x = i0(x) es una isometría del espacio GNS {x :< x, y 0= فارسى0(x ♪y)} en H y un simple El cálculo muestra que < y, V StV+x 0= y, Łt(x) 0. Por lo tanto P 0t = V +StV+, t ≥ 0 donde P 0t x = t(x) es un semigrupo contrác- tivo de operadores en el espacio GNS asso- ciated con 0 libras esterlinas. También tomamos nota de que (x) Mt] y establecer los homomorfismos j 0 : A0 → B(H0]) definido por j00(x)y = i0(x)y para todos y â € M0]. Que está bien definido sigue de (2.1) una vez que verificamos que conserva el producto interior cuando x es una isometría. Para cualquier elemento arbitrario nos extendemos por linealidad. Ahora definimos j 0 : A → B(H) por 0 (x) = j 0(x)F0]. 2.3) Por lo tanto j 0 (x) es una realización de A0 en el momento t = 0 con j 0 (I) = F0]. Ahora usamos el cambiar (St) para obtener el proceso j f = (j) t : A0 → B(H), t • IR) y filtración hacia delante F = (Ft], t • IR) definido por la siguiente prescripción: t (x) = Stj 0 (x)S t Ft] = StF0]S t, t • IR. (2.4) Así que sigue por nuestra construcción que jfr1(y1)j (y2)...j (yn) = y donde yr = yri, si r = ri si no I, (r1 ≤ r2 ≤.. ≤ rn). Por lo tanto es un vector cíclico para el álgebra von-Neumann A generada por {jfr (x), r • IR, x • A0}. De (2.4) también concluimos que StXS A cada vez que X A y por lo tanto podemos establecer una familia de automorfismo (αt) en A definido por αt(X) = StXS Dado que  es un elemento invariante para (St),  es un estado invariante para (αt). Ahora nuestro objetivo es demostrar que el sistema reversible (A, αt, ) satisface (1.1) con j0 tal como se define en (2.4), para una elección adecuada de IE0]. Para ese fin, para cualquier elemento x â € ¢ M, verificamos por la relación < y,Ft]x =< y, x > para todos y Mt] que (Ft]x)r = xr, si r < t; (...), si r = t I, si r > t donde r1 ≤.. ≤ rk ≤ t ≤.. ≤ rn es el soporte de x. También afirmamos que t (x)Fs] = j s (­t−s(x)) s ≤ t. (­2.5) Para ello, elegimos los dos elementos y, y′ (Ms)) y comprobamos lo siguiente: pasos con la ayuda de (2.2): < y,Fs]j t (x)Fs]y ′ = < y, it(x)y = < y, is(?t−s(x))y ′) >. Puesto que el término "(Ms)" abarca a Hs] completa la prueba de nuestra reclamación. También verificamos que < z, V j t (x)V+y 0= فارسى0(z t(x)y), por lo tanto V j t (x)V+ = t(x), t ≥ 0. (2.6) Para cualquier solución t • IT dejó A[t ser el álgebra de von-Neumann generada por la familia de operadores {js(x): t ≤ s < Recordamos que js+t(x) = S t js(x)St, t, s y por lo tanto αt(A[0) A[0 cuando t ≥ 0. Por lo tanto (αt, t ≥ 0) es un E0-semigrupo en A[0 con un estado normal invariante js(Łt−s(x)) = Fs]αt(jt−s(x))Fs] (2,7) para todos los x â € A0. Consideramos el espacio GNS Hilbert (H0, 0(A0), 0) associ- y definir un semigrupo de Markov t ) el η(A0) por l t ((x)) = η(­)t(x). Además, ahora identificamos a H-0 como el subespacio de H por la prescripción 0(x)­0 → j0(x)­. En tal caso, se identifica a η(x) como j0(x) y su objetivo es verificar cualquier t ≥ 0 que t (PXP ) = Pαt(X)P (2.8) para todos los X A[0 donde P es la proyección de [A[0♥] en el espacio GNS [j 0 (A0) que se identifica con el espacio GNS asociado con (A0, ­0). Es suficiente si verificamos para los elementos típicos X = js1(x1)...jsn(xn) para cualquier s1, s2,..., sn ≥ 0 y xi 1 ≤ i ≤ n y n ≥ 1. Utilizamos inducción en n ≥ 1. Si X = js(x) para algunos s ≥ 0, (2.8) sigue de (2.5). Ahora suponemos que (2.8) es cierto para cualquier elemento de la forma js1(x1)...jsn(xn) para cualquier s1, s2,..., sn ≥ 0 y xi • A0 para 1 ≤ i ≤ n. Fix cualquier s1, s2,, sn, sn+1 ≥ 0 y considerar X = js1(x1)...jsn+1(xn+1). Así Pαt(X)P = j0(1)js1+t(x1)...jsn+t(xn+1)j0(1). Si sn+1 ≥ sn, utilizamos (2.5) para concluir (2.8) por nuestra hipótesis de inducción. Ahora supongamos sn+1 ≤ sn. En tal caso, si sn−1 ≤ sn apelamos una vez más a (2.5) e hipótesis de inducción para verificar (2.8) para X. Así nos quedamos considerar el caso donde sn+1 ≤ sn ≤ sn−1 y repitiendo este argumento estamos izquierda para comprobar únicamente el caso en el que sn+1 ≤ sn ≤ sn−1 ≤.. ≤ s1. Pero s1 ≥ 0 = s0 por lo tanto podemos apelar a (2.5) al final de la cadena y concluir que nuestra reclamación es cierta para cualquier elemento típico X y por lo tanto verdadero para todos los elementos en el álgebra generada por estos elementos de todo orden. Así, el resultado sigue por la densidad de von-Neumann teorema. También observamos que P es una proyección subarmónica [Mo1] para (αt : t ≥ 0) i.e. αt(P ) ≥ P para todos los t ≥ 0 y αt(P ) ↑ [A[0 TEOREMA 2.1: Ser un semigrupo de Markov y ser invariante estado en un C* álgebra A0. A continuación, el espacio GNS [ realizado como un subespacio cerrado de un espacio único Hilbert H[0 hasta el isomorfismo así que se mantenga lo siguiente: a) Existe un álgebra von-Neumann A[0 que actúa sobre H[0 y una unidad ∗- endomorfismo (αt, t ≥ 0) en A[0 con un estado vectorial invariante para (αt: t ≥ 0). b) La PA[0P es isomórfica con γ(A0) ′′ donde P es la proyección de [A[0]. [jf (A0)l]; c) Pαt(X)P = t (PXP ) para todas las t ≥ 0 y X ≤ A[0; (d) El intervalo cerrado generado por los vectores «tn» (PXnP )....αt1 (PX1P ) siguientes : 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤.. ≤ tk ≤....tn,X1,Xn ≤ A[0, n ≥ 1} es H[0. PRUEBA: La singularidad hasta el isomorfismo se deriva de la propiedad de la minimalidad Siguiendo la literatura [Vi,Sa,BhP,Bh] sobre la dilatación decimos (A[0, αt, imal E0semigrupo asociado con (A0, Hemos estudiado extensamente asymp- comportamiento tótico de la dinámica (A0, Łt, Ł0) en [AM] y la propiedad de Kolmogorov de el semigrupo de Markov introducido en [Mo1] fue explorado para el comportamiento asintótico de la dinámica (A[0, αt, ♥). En particular, esto da lugar a un criterio para el límite inductivo estado canónicamente asociado con (A[0, αt, ♥) para ser puro. La noción es íntima. conectado con la noción de un E0-semigrupo puro introducido en [Po,Ar]. Para más información detalles que nos referimos a [Mo2]. 3 Semigrupo doble de Markov y Time Reverse Markov procesos: Ahora somos más específicos y asumir que A0 es un álgebra de von-Neumann y cada uno El mapa de Markov es normal y para cada x • A0 el mapa t → • t(x) es continuo en la topología débil*. Suponemos además que la letra 0 también es fiel. Después de [AM2], En lo que sigue, recordamos brevemente el proceso de inversión temporal asociado con el sistema de gestión de la información y las comunicaciones (KMS). Semigrupo dinámico cuántico contiguo (o Petz-adjunto ) (A, t, 0). Seamos un estado fiel y sin pérdida de generalidad que sea también (A0, A0) en el formulario estándar (A0, J,P, +0) [BR] donde +0 + H0, un ciclo y separación vector para A0, de modo que ­0(x) = ­0, x­0 > y el más cercano del operador cercano S0 : x+0 → x 0, S posee una descomposición polar S = J 1/2 con el auto-doble cono positivo P como el cierre de {JxJx+0 : x ® A0} en H0. Teorema [BR] de Tomita dice que â € TM TM TM a â TM a â TM a â TM a −es = A0, t • IR y JA0J = A 0, donde A 0 es el conmutante de A0. Definimos el grupo modular de automorfismo t(x) =  itxit. Además, para cualquier estado normal en A0 existe un vector único de modo que •(x) = •, x • >. Nótese que J (x) J (y) 2η(y*) 2η(x) (y*) = (y) 2η(x*) 2-OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO Así el mapa de la Tomita x → J η(x)J es una representación anti-lineal ∗-homomorfismo de A0. Esta observación conduce a una noción llamada procesos Markov atrasados débiles [AM]. Para ello consideramos el único semigrupo de Markov ( ′t) en el conmutante A′0 de A0, de modo que (t(x)y) = t(y) para todas las x â € A0 y y â € A 0. Definimos débil Semigrupo continuo de Markov (t) en A0 por t(x) = J t(JxJ)J. Así tenemos el siguiendo la relación contigua En el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, el valor nominal de los vehículos de motor no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. para todas las x, y, A0, elementos analíticos para (t). Uno puede también describir el contiguo semigrupo como Hilbert espacio contiguo de un parámetro contractivo semigrupo (Pt) en un espacio de Hilbert definido por Pt : 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 1 / 4 ° t(x) ° 0. Para más detalles nos remitimos a [Ci]. También tomamos nota de que (x) M[t y conjunto de los anti-homomorfismos j 0 : A0 → B(H[0) definido por jb0(x)y = yi0( i x*) para todos y â € M[0. Que está bien definido sigue de (2.1) una vez que verificamos por KMS relación que preserva el producto interior cuando x es una isometría. Para cualquier elemento arbitrario se extiende por linealidad. Ahora definimos jb0 : A → B(H) por jb0(x) = j 0(x)F[0. (3.2) Por lo tanto jb0(x) es una realización de A0 en el tiempo t = 0 con j 0(I) = F[0. Ahora usamos el cambiar (St) para obtener el proceso j b = (jbt : A0 → B(H), t • IR) y filtración hacia delante F = (F[t, t+ IR) definido por la siguiente prescripción: jbt (x) = Stj 0(x)S t F[t = StF[0S t, t • IR. (3.3) Un cálculo simple muestra para < s ≤ t que s(x)F[t = j t (t−s(x)) (3.4) para todos los x â € A0. También se sigue por nuestra construcción que j y1)j (y2)...j (yn) = y) donde yr = yri, si r = ri de lo contrario I, (r1 ≥ r2 ≥.. ≥ rn). Por lo tanto, es un cíclico vector para el álgebra von-Neumann Ab generado por {jbr(x), r • IR, x • A0} ′′. Nosotros también von-Neumann álgebra Ab generado por {jbr(x), r ≤ t, x ≤ A0} ′′. Lo siguiente: teoremas dicen que hay una dualidad entre el hacia adelante y hacia atrás débil Markov procesos. TEOREM 3.1: [AM] Consideramos el débil Markov procesos (A,H, Ft], F[t, St, j t, j t • IR, •) asociados con (A0, • t, t ≥ 0, • 0) y los procesos débiles de Markov (Ã, Hс, Fсt], Fс[t, Sсt, jс t, j t, t • IR, ) asociado con (A0, t, t ≥ 0, ­0). Existe un operador anti-unitario único U0 : H → H a) U0- = ; b) U0StU 0 = St para todos los t IR; c) U0j t (x)U 0 = j −t(x), U0J t (x)U0 = j −t(x) para todos los t • IR; d) U0Ft]U 0 = F‡[−t, U0F[tU 0 = Ft] para todos los t IR; TEOREM 3.2: Que (A0,?t,?0) sea como en Teorema 3.1 con?0 como fiel. Entonces el conmutante de A[t es A para cada t • IR. Prueba: Es obvio que A[0 es un subconjunto del conmutante de A . Nota también que F[0 es un elemento en A que se desplaza con todos los elementos en A[0. As a primer paso tenga en cuenta que es lo suficientemente bueno si mostramos que F[0(A )′F[0 = F[0A[0F[0. As para algunos X â € (Ab )′ e Y A[0 si tenemos XF[0 = F[0XF[0 = F[0Y F[0 = Y F[0 entonces verificamos que XZf = Y Zf donde f es cualquier vector de modo que F[0f = f y Z A y así como tales vectores son totales en H obtenemos X = Y ). Por lo tanto, todo lo que necesitamos mostrar que F[0(A) )′F[0 F[0A[0F[0 como inclusión en otra dirección es obvio. Lo haremos. explore al seguir la relación que F0]F[0 = F[0F0] = F{0} es decir. la proyección en la fibra a 0 repetidamente. Una prueba simple sigue una vez que utilizamos fórmulas explícitas para F0] y F[0 en [Mo1]. Ahora pretendemos probar que F[0A F[0 F[0A F[0. Let X â € F[0A F[0 y verificar que X. = X.F.0;......................................................................................................................................................................................................................................................... 0(A0) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * En la otra mano notamos por Markov propiedad del proceso hacia atrás (jbt ) que F[0A F[0 = j b(A0) Por lo tanto existe un elemento Y Ab por lo que Xe = Ye. Por lo tanto XZe = Y Ze para todos los Z A[0 como Z se desplaza con X e Y. Desde {Zl} : Zl} A[0} spans F[0, obtenemos la inclusión requerida. Puesto que la inclusión en la otra dirección es trivial como F[0 + A] concluimos que F[0A F[0 = F[0A F[0 siendo una proyección en A verificamos que F[0(A) )′F[0 (F[0A ′ y así También tenemos F[0(A) )′F[0 (F[0A ′ como Ab . Por lo tanto, es suficiente si probamos [0F[0 = [F[0A[0F[0] Verificaremos la inclusión no trivial de esta igualdad. Let X+ (F[0A[0F[0) entonces X. = X.F.0.......................................................................................................................................................................................................................................................... 0(A0)♥]. Por lo tanto, existe un elemento Y â € F[0A F[0 de modo que X. = Y. Por lo tanto, para cualquier Z A[0 tenemos XZel = Y Zel y por lo tanto XF[0 = Y F[0. Por lo tanto X = Y F[0A F[0. Por lo tanto, tenemos la la inclusión necesaria. Ahora para cualquier valor de t • IR recordamos que αt(A[0) = A[t y αt(A[0) ′ = αt(A) αt ser un automorfismo. Esto completa la prueba como αt(A) ) = Ab por nuestro construcción. 4 Subfactores: En esta sección investigaremos más la secuencia de álgebra de von-Neumann {A[t : t • IR} definido en la última sección con una suposición adicional de que ­0 es también fiel y por lo tanto también tenemos en nuestra mano hacia atrás von-Neumann álgebras : t • IR}. PROPUESTA 4.1: Ser un semigrupo de Markov con un fiel Estado invariante normal............................................................................................................................................................................................................................................................ Si A0 es un factor, entonces A[0 es un factor. En tal caso, el a continuación también se mantiene: a) A0 es tipo-I (tipo-II, tipo-III) si y sólo si A[0 es tipo-I (tipo -II, tipo-III) respectivamente; b) H es separable si y sólo si H0 es separable; (c) Si H0 es separable entonces A0 es hiper-finito si y sólo si A[0 es hiper-finito. PRUEBA: Primero mostramos la propiedad factorial de A[0. Tenga en cuenta que el álgebra de von-Neumann generado por el proceso reverso {jbs(x): s ≤ 0, x • A0} es una sub-álgebra de A′ , el conmutante de A[0. Arreglamos cualquier X A[0 en el centro. Entonces para any y A0 verificamos que Xj0(y) = XF0]j0(y) = F0]XF0]j0(y) para algunos x â € A0. Desde Xj0(y) = j0(y)X también tenemos j0(xy) Por fidelidad del estado 0 concluimos xy = yx por lo tanto x debe ser un escalador. Por lo tanto, tener Xj0(y)♥ = cj0(y) para algunos escaladores c • IC. Ahora usamos la propiedad que X se desplaza con el proceso de avance jt(x): x â € A0, t ≥ 0 y así como el reverso procesos {jbt (x), t ≤ 0} para llegar a la conclusión de que X.(t, x) = c.(t, x). Por lo tanto X = c. Así A[0 es un factor. Ahora si A0 es un factor tipo-I, entonces existe una proyección mínima no cero p â € A0. En tal caso afirmamos que j0(p) es también una proyección mínima en A[0. A ese extremo deja que X sea cualquier proyección en A[0 para que X ≤ j0(p). Desde F0]A[0F0] = j0(A0) concluimos que F0]XF0] = j0(x) para algunos x â € A0. Por lo tanto X = j0(p)Xj0(p) = F0]Xj0(p) = j0(xp) = j0(px) Por lo tanto, por fidelidad del estado فارسى0 concluimos que px = xp. Por lo tanto X = j0(q) donde q es una proyección más pequeña entonces igual a p. Desde p es una proyección mínima en A0, q = p o q = 0 es decir. X = j0(p) o 0. Así que j0(p) es también una proyección mínima. Por lo tanto A[0 es un factor de tipo I. Para la declaración contraria nosotros rastrear el argumento en la dirección contraria. Dejar p ser una proyección no cero en A0 y afirma que existe una proyección mínima q â € A0 de modo que 0 < q ≤ p. Ahora desde j0(p) es una proyección no cero en un factor de tipo I A[0 existe una proyección no cero X que es mínimo en A[0 de modo que 0 < X ≤ j0(p). Ahora repetimos el argumento a concluir que X = j0(q) para alguna proyección q. Desde X 6= 0 y mínimo, q 6= 0 y mínimo en A0. Esto completa la prueba para el caso tipo I. Vamos a probar ahora el el caso del tipo II. Dejar A[0 ser tipo-II entonces existe una proyección finita X ≤ F0]. Una vez más. X = F0]XF0] = j0(x) para alguna proyección x + A0. Afirmamos que x es finito. A ese extremo deja q ser otra proyección de modo que q ≤ x y q = uu* y u*u = x. Entonces j0(q) ≤ j0(x) = X y j0(q) = j0(u)j0(u) * y j0(x) = j0(u) ∗j0(u). Ya que X es finito en A[0 concluimos que j0(q) = j0(x). Por la fidelidad de 0 llegamos a la conclusión de que q = x, por lo tanto x es una proyección finita. Puesto que A0 no es tipo-I, es tipo-II. Por la Comisión Conversa, deja que A0 sea tipo-II. Así que A[0 es tipo-II o tipo-III. Lo descartaremos. la posibilidad del tipo III. Supongamos que no, es decir. si A[0 es tipo-III, para cada proyección p 6 = 0, existe u A[0 de modo que j0(p) = uu * y F0] = u ∗u. En tal caso j0(p)u = uF0]. Establecer j0(v) = F0]uF0] para algunos v â € A0. Así j0(pv) = j0(v). Una vez más por la fidelidad del estado normal, concluimos pv = v. Así que j0(v) = uF0]. Por lo tanto j0(v *v) = F0]. Por lo tanto v ∗v = 1 por fidelidad de 0 libras. Puesto que esto es cierto para cualquier proyección no cero p en A0, A0 es tipo-III, que es una contradicción. Ahora nos quedamos. para mostrar la declaración para el tipo-III, que es cierto ya que cualquier factor tiene que ser o bien de estos tres tipos. Esto completa la prueba de (a). (b) es obvio si es ZZ. En caso de IT = IR, utilizamos nuestra hipótesis de que el mapa (t, x) → t(x) es secuencialmente continuo con respecto a los débiles * topología. Para (c) primero recordamos de [Co] que la propiedad de hiper-finiteness, siendo equivalente a propiedad inyectable de álgebra de von-Neumann, es estable bajo conmutante y contable operación de intersección cuando están actuando en un espacio separable Hilbert. Deja que A0 ser hiper-finito y H0 ser separable. Primero probaremos que A[0 es hiper-finito cuando IT = ZZ, es decir. variable de tiempo son enteros. En este caso para cada n ≥ 0, jn es inyectable, jn(A0) ′′ = {j0(x) : x ® A0} ′′ es un álgebra hiper-finita de von-Neumann. Por lo tanto A[0 = {jn(A0) ′′ : n ≥ 0 es también hiper-finito, ya que están actuando sobre un separable Espacio Hilbert. En caso IT = IR, para cada n ≥ 1 se establecen sub-álgebras de von-Neumann A[0 generado por los elementos {jt(A0) ′′ : t = r , 0 ≤ r ≤ n2n}. Por lo tanto cada An es hiper-finito. Desde A′ n≥0(A) )′ por débil* continuidad del mapa t → t(x), concluimos que A[0 es también hiper-finito siendo generado por una familia contable de aumento de álgebras hiper-finitas von-Neumann. Para lo contrario recordamos por un factorM actuando en un Hilbert spaceH, Tomiyama’s propiedad (es decir, existe una norma una proyección E : B(H) → M, véase [BR1] página- 151 para más detalles ) es equivalente a la propiedad hiper-finita. Para un factor A hiper-finito[0, j0(A0) es un factor en el espacio GNS identificado con el subespacio F0]. Deja que E sea el norma una proyección de B(H[0) en A[0 y verificar que el mapa completamente positivo E0 : B(H0) → A0 definido por E0(X) = F0]E(F0]XF0]F0] es una proyección de una norma de B(F0) a A0. Esto completa la prueba de (b). PROPUESTA 4.2: Que (A0, Łt, Ł0) sea un sistema dinámico como en la Proposición 4.1. Si A[0 es un factor tipo II1 que admite una normalización única fiel normal el estado racial entonces la siguiente celebración: a) Ft] = I para todos los t • IR; (b) ♥ = (­) es un semigrupo de endomorfismos. c) A[0 = j0(A0). PRUEBA: Que tr0 sea el único rastro normal de normalidad fiel en A[0. Para cualquier solución t ≥ 0 establecemos un estado normal en A[0 por ♥t(x) = tr0(αt(x)). Es fácil de comprobar. que también es un fiel rastro normal. Puesto que αt(I) = I, por unicidad ­t = tr0. En particular tr0(F0]) = tr0(αt(F0]) = tr0(Ft]), por propiedad fiel Ft] = F0] para todos t ≥ 0. Desde Ft] ↑ 1 como t→ فارسى tenemos F0] = I. Por lo tanto, Ft] = αt(F0]) = I para todos los t • IR. Esto demuestra (a). En el caso de (b) y (c) recordamos que F0]jt(x)F0] = j0(t(x)) para todos los t ≥ 0 y jt : A0 → A[t es un homomorfismo inyector. Desde Ft] = F0] = I tenemos jt(x) = F0]jt(x)F0] = j0(t(x)). Por lo tanto, A[0 = j0(A0) y j0(?t(x)?t(y)) = j0(?t(xy)) para todas las x, y â € A0. Ahora por la propiedad inyectora de j0, verificamos (b). Esto completa el prueba. Fijamos un tipo II1 factor A0 que admite una normalización única fiel normal El estado racial. Puesto que A[0 es un factor tipo-II siempre que A0 es así, concluimos que A[0 es un factor de tipo-II. Siempre que no sea un endomorfismo en un factor de tipo-II1. La siguiente propuesta dice mucho más. PROPUESTA 4.3: Dejar que A0 sea un factor de tipo II1 con una normalidad normal única ser un sistema dinámico como en la Proposición 4.1. Entonces lo siguiente mantener: a) j0(I) es una proyección finita en A[−t para todos los t ≥ 0. b) Para cada t ≥ 0 Mt = j0(I)A[−tj0(I) es un factor de tipo II1 y M0 Ms... Mt .., t ≥ s ≥ 0 están actuando en el espacio Hilbert F0] donde M0 = j0(A0). PRUEBA: Por la Proposición 4.1 A[0 es un factor tipo II. Así A[0 es tipo-II1 o tipo II. En caso de que sea tipo-II1, la Proposición 4.2 dice que A[−t es j0(A0), de ahí la las declaraciones (a) y (b) son verdaderas con Mt = j0(A0). Por lo tanto, es bastante bueno si nosotros probar (a) y (b) cuando A[0 es efectivamente un factor de tipo II. Con este fin para cualquier fijación t ≥ 0 fijamos un rastro fiel normal tr en A[−t y consideramos el mapa normal x→ j0(x) y por lo tanto, un rastro normal en A0 definido por x→ tr(j0(x)) para x â € A0. Es normal. traza fiel en A0 y por lo tanto es un escalador múltiplo de la traza única en A0. A0 siendo un factor tipo-II1, j0(I) es una proyección finita en A[−t. Ahora la teoría general sobre álgebra von-Neumann [Sa] garantiza que Mt es factor de tipo II1 e inclusión sigue como A−s] A−t] cuando t ≥ s. Que j0(A0) = j0(I)A[0j0(I) sigue de Proposición 4.1. Ahora tenemos un resultado simple pero útil. COROLLARY 4.4: Vamos a ser (A0,?t,?0) como en la Proposición 4.1. Entonces uno de los las siguientes declaraciones son falsas: a) A = B(H) b) El factor A0 es un factor de tipo II1. Prueba : Supongamos que ambos (a) y (b) son verdaderos. Vamos a ser el único rastro normalizado en Mt. Como están actuando en el mismo espacio de Hilbert, notamos por singularidad que es una extensión de Łs para t ≥ s. Por lo tanto existe una extensión normal de (Łt) a débil finalización M de t≥0 Mt (aquí podemos utilizar Lemma 13 página 131 [Sc] ). Sin embargo, si A = B(H), M es igual a B(H0). H0] siendo un espacio de Hilbert dimensional infinito Llegamos a una contradicción. En el caso M en el corolario 4.4 es un factor tipo II1, por la singularidad de la afirmamos que (t)/23370/(s) = (t + s) donde (t) = tr(F−t]) para todos los t ≥ 0. Los la reclamación sigue como von-Neumann álgebra M es isomórfica con t(M), que es igual a F−t]MF−t]. El mapa t → (t) siendo continuo obtenemos (t) = exp(t) para algunos  ≤ 0. Si por la propiedad fiel del rastro obtenemos F-t] = F0] todos t ≥ 0. Por lo tanto, concluimos que es una familia de endomorfismos por Proposición 4.2. Ahora para  < 0 tenemos tr(F−t]) → 0 como t → فارسى. Como F−t] ≥ para todos t ≥ 0, dibujamos una contradicción. Por lo tanto, la débil* finalización de t≥0 Mt es un tipo-II1 factor si y sólo si es una familia de endomorfismo. En otras palabras, si no lo es una familia de endomorfismo a continuación, la débil* finalización de t≥0 Mt no es un tipo II1 factor y el estado racial aunque existe en M no es único. 5 Jones índice de un semigrupo dinámico cuántico en Factor II1: Primero recordamos el índice de Jones de un subfactor originado para entender la estructura de inclusiones de von Neumann factores de tipo II1. Que N sea un subfactor de un factor finito M. M actúa naturalmente como la multiplicación izquierda en L2(M, tr), donde tr ser la normalización Rastro normal. Proyección E0 = [N.O.] N.O. ′, en el que فارسى es el vector de traza de unidad, es decir, tr(x) = > >, x > para x > M, determina una expectativa condicional E(x) = E0xE0 en N. Si el conmutante N ′ no es un factor finito, definimos el índice [M : N ] a Ser infinito. En el caso N ′ es también un factor finito, que actúa sobre L2(M, tr), a continuación, el índice [M : N ] de los subfactores se define como tr(E0) −1, que es el Murray-von Neumann constante de acoplamiento [MuN] de N en la representación estándar L2(M, tr). Claramente. índice es una invarianza para los subfactores. Jones probó [M : N ] {4 cos2(l/n) : n = 3, 4, · · â € € ~ [4, â € ~ ] con todos los valores que se realizan para alguna inclusión N M. En esta sección continuamos nuestra investigación en el marco general de la sección 4 y estudiar el caso cuando A0 es tipo-II1 que admite una normalización única fiel el estado tracial normal y no es un endomorfismo en un factor de tipo II1. Por Proposición 4.3 A[0 es un factor de tipo II y (Mt : t ≥ 0) es una familia de crecimiento factor tipo II1, donde Mt = j0(I)A[−tj0(I) para todos los t ≥ 0. Antes de que probemos ser discretos Dinámica del tiempo aquí discutimos brevemente el caso continuo. Así el mapa I : (t, s) → [Mt: Ms], 0 ≤ s ≤ t es una invarianza para el semigrupo Markov (A0, Por nuestro definición I(t, t) = 1 para todos t ≥ 0 y rango de valores El índice de Jones también dice que el mapa (s, t) → I(s, t) no es continuo en (s, s) para todos los s ≥ 0. Ser discontinuo mapa que también reclamamos el mapa (s, t) → I(s, t) no es tiempo homogéneo, es decir. I(s, t) 6= I(0, t − s) para unos 0 ≤ s ≤ t. En caso contrario podríamos tener I(0, s + t) = I(0, s)I(s, s + t) = I(0, s)I(0, t), es decir, I(0, t) = exp( Los La falta de homogeneidad sugiere que estoy lejos de ser simple. Dedicamos el resto de la sección discutir un ejemplo muy simple en la dinámica discreta del tiempo. Con ese fin repasamos ahora la construcción de Jones [Jo, OhP]. Deja que A0 sea un tipo... El factor II1 es el único que normaliza el rastro normal. El álgebra A0 actúa sobre L2(A0, ­0) por multiplicación izquierda η0(y)x = yx para x · L 2-A0, 0-0). Vamos a ser el vector de traza cíclico y de separación en L2(A0, ­0). La proyección E0 = [B0 un rastro de la expectativa condicional que conserva: a → E0aE0 de A0 en B0. Por lo tanto E0η0(y)E0 = E0η0(E(y))E0 para todos los años A0. Que A1 sea el álgebra de von-Neumann 0(A0), E0} ′′. A1 es también un factor tipo-II1 y A0 A1, donde hemos identificado η0(A0) con A0. Jones demostró que [A1 : A0] = [A0 : B0]. Ahora repitiendo esto método canónico obtenemos una torre en aumento de los factores tipo-II1 A1 A2... de modo que [Ak+1 : Ak] = [A0 : B0] para todos los k ≥ 0. Así es la pregunta natural: Es la torre Jones A0 A1 ... Ak... relacionado con la torre M0 M1... Mk Mk+1 definido en ¿Proposición 4.3 asociada con la dinámica (A0, A tal fin recordar los subfactores von-Neumann M0 M1 y los inducidos representación de M1 en el subespacio H[−1,0] de Hilbert generada por {j0(x0)j−1(x−1) x0, x−1 A0}.  es el vector de traza para M0 i.e. *0(x) =< ♥, j0(x) Sin embargo el estado vectorial dado por  no es el vector de traza para M1 como M1 6= M0 ( Si es así comprobar por oligopropiedad que el valor de 0(l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) cualquier x, y, z â € ¢ A0 y así â € € (zx) = â € € € TM para todos los z, x â € € TM A0. Por lo tanto, por la Proposición 4.2 tenemos M1 = M0. Sin embargo, siendo M1 un factor tipo-II1 existe un normalizar el rastro en M1. PROPUESTA 5.1: M1 A2 y [M1 : M0] = d 2 donde d = [A0 : B0]. PRUEBA: Dejar que el 1 ser el único normalizar el rastro normal en A1 y H1 = L 2 (A1,............................................................................................................................................................... Consideramos la acción izquierda η1(x) : y → xy de A1 en H1. Por lo tanto, η0(A0) también está actuando sobre H1. Puesto que E0η0(x)E0 = E0 E0X = E0η0(x) para algunos x â € A0. Por lo tanto η1(E0) es la proyección en el subespacio {E0η0(x): x {A0}. Para cualquier y â € A0 que establecemos a) k−1(y) en el subespacio Extiéndalo a H1 trivialmente. Que k−1(y) está bien definido y una isometría para una isometría y sigue de las siguientes identidades: ((E0η0(yz)) ∗E0η0(yx)) = 1(η0(z) ∗y*)E0η0(yx)) = 1(E0η0(yx)η0(z) ∗y∗)) por objeto de rastreo = ­1(E0)­0(l0(yx)­0(z) *y*)) siendo un rastro, y *1(E0η0(x)) = *1(E0)­0(η0(x)) = 1(E0)0(η0(z) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = 1((E0η0(z)) ∗E0η0(x)) b) k0(y)x = Por lo tanto y → k0(y) es una representación inyectora* de A0 en L 2 (A1,............................................................................................................................................................... Para y, z â € ¢ A0 verificamos que < E0η0(y), k−1(1)k0(x)k−1(1)E0η0(z) >1=< E0η0(y), E0η0(x)E0η0(z) >1 = < E0η0(y), E0η0(l(x))E0η0(z) >1 = < E0η0(y), E0η0(l(x))η0(z) >1 Por lo tanto k−1(1)k0(x)k−1(1) = k−1( Tenga en cuenta que k−1(1) = π1(E0) y el operador de identidad en H1 es un vector cíclico para el álgebra de von-Neumann {k0(x), k−1(x), x • A0} ′′. Hemos tomado nota antes de que el vector no tiene por qué ser el vector tracial para M1 y también verificar por un cálculo directo que el espacio {k0(y)k−1(x)1 : x, y â € A0} es igual a {yE0x : y, x â € A0} que es un subespacio adecuado de L2(A1,........................................................................................................................................................................ Ahora afirmamos que el factor tipo II1 M1 es isomórfico al von-Neumann álgebra {k−1(x), k0(x), x ® A0)} ′′. Para ello definimos un operador unitario de L2(A1) a L 2(M1, tr1) tomando un elemento kt1(x1)..ktn(xn) a jt1(x1)..jtn(xn), donde tk son 0 o −1. Que es un operador unitario seguido por el tracial propiedad de los estados respectivos y la débil propiedad de Markov de los homomorfismos. Dejamos los detalles y sin perder la generalidad identificamos a estos dos débiles Markov procesos. Desde k−1(1) = η1(E0), concluimos que η1(A1) M1. De hecho, es estricto la inclusión se mantiene a menos que B0 = A0. Sin embargo, por nuestra construcción A1 = η0(A0) E0 está actuando en L 2 (A0, A0) y A2 = η1(A1) • E1 está actuando en L 2 (A1, Ł1) donde E1 es el subespacio cíclico de 1 generado por η1(η0(A0)), es decir, E1 = [η1(η0(A0))1]. De (a) también tenemos k−1(y)η1(E0)E1 = η1(E0)k0(y)E1 (5.1) para todos y â € A0. Por relación Temperley-Lieb [Jo] tenemos η1(E0)E1η1(E0) = η1(E0) y, por lo tanto, después de multiplicar (5.1) por η1(E0) tenemos k−1(y)η1(E0) = η1(E0)k0(y)E1η1(E0) (5.2) Así que ahora está claro que k−1(y) â ¬1(A1) â € E1 para todos y â € A0. Por lo tanto η1(A1) M1 η1(A1) •E1 = A2. Alegamos también que E1+M1. Demostraremos que cualquier ele unitario... Conmutar con M1 también es conmutar con E1. Por (5.2) tenemos η1(E0)k0(y)(uE1u ∗ − E1)η1(E0) = 0 para todos los años. Tomando contiguo tenemos η1(E0)(uE1u ∗ − E1)k0(y) Puesto que A1 = η0(A0) E0 concluimos por la cinicidad del vector traza que η1(E0)(uE1u * − E1) = 0. Así que tenemos E1η1(E0)uE1u * = E1η1(E0)E1 = E1 por Temperley-Lieb rela- tion. Así que u*E1uη1(E0) = u *E1η1(E0)uE1u *U = u*E1u Tomando contiguo obtenemos η1(E0)u *E1u = u * E1u. Ya que lo mismo es cierto para u *, concluimos que u*E1u = E1 para cualquier u unitaria â € M′1. Por lo tanto, E1+M1. Por lo tanto M1 = A2. Desde [M1 : M0] = [M1 : A1] [A1 : M0] y [A1 : A0] = [A0 : B0] = d, concluimos el resultado. TEOREMA 5.2: mmm, A2m para todos los m ≥ 1. Prueba: La Proposición 5.1 da una prueba para m = 1. La prueba es esencialmente la siguiente: los mismos pasos que en la Proposición 5.1. Utilizamos método de inducción para m ≥ 1. Supón que lo es. true para 1, 2,.m. Ahora considere el espacio Hilbert L2(A2m+1, tr2m+1), m ≥ 1 y nosotros establecer homomorfismo k−1, k0 de A2m a B(L 2, A2m+1, tr2m+1)) en lo siguiente: a) k0(x)y = xy para todos y â € A2m+1 y x â € A2m b) η2m+1(E2m) es la proyección en el subespacio {E2my : y A2m} y k−1(x) definido en el subespacio E2m por k−1(x)E2my = E2mxy para todos los x + A2m e y + A2m. Que k−1 es un homomorfismo sigue como en la Proposición 5.1. Así, una fácil adaptación de la Proposición 5.1 dice que M = {k0(x), k−1(x) : x A2m} ′′ es un factor tipo II1 y la prueba será completa una vez que mostremos que es isomórfico a Mm+1. Con ese fin comprobamos como en la Proposición 5.1 que k−1(E2m) = k−1(I), k−1(I)k0(x)k−1(I) = k−1(E2mxE2m) para todos los x + A2m y k−1(x)E2m = E2mk0(x)E2m+1 donde E2m+1 es el espacio cíclico del vector traza generado por A2m. Así que siguiendo la Proposición 5.1 verificamos ahora que tipo-II1 factor M = {k0(x), k−1(I), E2m+1, x {A2m} ′′ es isomórfico a Mm+1 = {J−1(x), J0(x) x ′′, donde usamos la notación J−1(x) = x para todos x Am, J0(x) = SJ−1(x)S * Para todos los x A2m donde hemos identificado A2m con {jk(x),−m − 1 ≤ k ≤ −1, x • A0} ′′ y S es el turno de Markov (derecha). Esto completa la prueba. REFERENCIAS • [AM] Accardi, L., Mohari, A.: El tiempo refleja los procesos de Markov. Infin. Dimens. Anal. Cuántum Probab. Relate. Top., vol-2, no-3, 397-425 (1999). • [Ar] Arveson, W.: Puro E0-semigrupos y estados absorbentes, Comm. Matemáticas. Phys. 187, no.1, 19-43, (1997) • [Bh] Bhat, B.V.R.: Una teoría de índice para semigrupos dinámicos cuánticos, Trans. Amer. Matemáticas. 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En este artículo consideramos un semigrupo de mapas completamente positivos $\tau=(\tau_t,t \ge 0)$ con un estado invariante normal fiel $\phi$ en un type-$II_1$ factor $\cla_0$ y proponer una teoría de índice. Nosotros :alcanzamos esto a través de un más general tipo de construcción de Kolmogorov para procesos estacionarios de Markov que asocian naturalmente a álgebras isomórficas anidadas de von-Neumann. In particular esta construcción generaliza la conocida construcción de Jones asociado con un subfactor de tipo II $_1$ factor.

Introducción: Que  = (­t, t ≥ 0) sea un semigrupo de identidad que preserve la normalidad completamente positiva mapas [Da,BR] en un álgebra von-Neumann A0 actuando en un espacio separable Hilbert H0, donde o bien el parámetro t â € R+, el conjunto de números reales positivos o Z +, el conjunto de números enteros positivos. En el caso de t+R, es decir, continuo, suponemos que para cada uno x A0 el mapa t→ ♥t(x) es continuo en el débil * topología. Por lo tanto, variable t • IT+ donde sea IR o IN. Asumimos además que admite una invariante normal Estado 0, es decir, En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Como primer paso después de la conocida construcción de Kolmogorov Procesos Markov, utilizamos el método GNS para construir un Hilbert espacio H y un Torre creciente de tipo isomórfico von-Neumann-II factores {A[t : t R o Z} generado por el proceso débil de Markov (H, jt, Ft], t â € € € TM R o Z, € TM) [BP, AM] donde jt : A0 → A[t es un homomorfismo inyector de A0 a A[0 para que la proyección Ft] = jt(I) es el espacio cíclico de La torre de álgebras isomórficas crecientes de von-Neumann {A[t, t R o Z} son En efecto, un factor de tipo II, si y sólo si no es un endomorfismo. En cualquier caso, el proyección j0(I) es una proyección finita en A[−t para todos t ≤ 0. En particular, también encontramos una torre en aumento de factores de tipo II1 {Mt: t ≥ 0} definida por Mt = j0(I)A[−tj0(I). Así, los índices Jones {[Mt : Ms]: 0 ≤ s ≤ t} son invariantes para el semigrupo Markov (A0, Łt, t ≥ 0, فارسى0) y posteriormente el mapa (t, s) → [Mt : Ms] no es continuo si el variable (t, s) son continuas, es decir, en caso de que el valor de la sustancia problema sea inferior o igual al valor de la sustancia problema, el valor de la sustancia problema será igual o superior al valor de la sustancia problema. En tiempo discreto dinámico sistema encontramos una secuencia de invarianza {[Mn+1 : Mn] : n ≥ 0} canónicamente asociada con la expectativa canónica condicional sobre un subfactor B0 de un factor A0 de tipo II1 donde Ł0 es el único rastro normal en A0. Sin embargo, a diferencia de Jones construcción que tienen [Mn+1 : Mn] = d 2 donde d = [A0 : B0]. Esto demuestra que nuestra construcción en un sentido generaliza la construcción de Jones de dos pasos en tiempo discreto. Un estudio detallado, hay que hacer para explorar esta nueva invarianza, que parece ser una interesante ¡Problema! Agradecimiento: El autor aprovecha la oportunidad para reconocer al Prof. Luigi Accardi para una invitación a visitar Centro Vito Volterra, Universidad de Roma, Tor Vergata durante el verano de 2005. El autor agradece además al Prof. Roberto Longo y el Prof. Francesco Fidaleo por una valiosa discusión que ayudó el autor para darse cuenta de que la torre de sub-factores tipo II1 de hecho generaliza bien Construcción conocida de Jones. 2 Procesos estacionarios de Markov y cambio de Markov: Una familia de un parámetro con mapas completamente positivos en una C (t, t ≥ 0) * álgebra o un subálgebra von-Neumann A0 se denomina semigrupo dinámico cuántico si En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Además, si se trata de un semigrupo de Markov (I) = I, t ≥ 0, se le llama semigrupo de Markov. Decimos un estado. en A0 es invariante para (­t) si •0(­t(x)) = •0(x) •t ≥ 0. Arreglamos un semigrupo de Markov (A0, Łt, t ≥ 0) y también un estado invariante (Łt)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e). En lo siguiente recordamos brevemente [AM] la construcción básica del mínimo procesos de Markov hacia delante débiles asociados con (A0, Łt, t ≥ 0, Ł0). La construcción va a lo largo de la línea de Kolmogorov construcción de procesos estacionarios de Markov o Cambio de Markov con una modificación [Sa,BP] que se ocupa del hecho de que A0 necesita no ser un álgebra conmutativa. Aquí revisamos la construcción dada en [AM] en orden de fijar las anotaciones y las propiedades importantes. Consideramos la clase M de A0 funciones valoradas x : IT → A0 para que xr 6= I para finitamente muchos puntos y equipar con la multiplicación de puntos (xy)r = xryr. Nosotros definir el mapa L : (M,M) → IC por L(x, y) = 0(x) - 1 - rn(x (...x*r2­r1­r2(x yr1)yr2)...yrn−1)yrn) (2.1) donde r = (r1, r2,..rn) r1 ≤ r2 ≤.. ≤ rn es la recogida de puntos en el TI cuando o bien x o y no son iguales a I. Que este núcleo está bien definido sigue de nuestra hipótesis que el valor de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia de la diferencia entre el valor de referencia y el valor de referencia. El completo positiveness de (t) implica que el mapa L es una forma definida no negativa en M. Así existe un espacio de Hilbert H y un mapa : M → H tal que < l(x), l(y) = L(x, y). A menudo vamos a omitir el símbolo ♥ para simplificar nuestras anotaciones a menos que más que uno tal los mapas están involucrados. Utilizamos el símbolo  para el elemento único en H asociado con x = (xr = I, r • IR) y • para el estado vectorial asociado • en B(H) definido por • (X) =< Ł,Xl >. Para cada t • IR definimos el operador de turno St : H → H por la siguiente prescripción: (Stx)r = xr+t (2.2) Es simple observar que S = ((St, t • IR)) es un grupo unitario de operadores en H con Como un elemento invariante. Para cualquier t â € TM ~ IR que establecemos Mt] = {x â € M, xr = I?r > t} y Ft] para la proyección en Ht], el lapso lineal cerrado de (Mt])}. Para cualquier x A0 y t IT también establecemos los elementos it(x),® M definido por it(x)r = x, si r = t Yo, de lo contrario Así que el mapa V+ : H0 → H definido por V+x = i0(x) es una isometría del espacio GNS {x :< x, y 0= فارسى0(x ♪y)} en H y un simple El cálculo muestra que < y, V StV+x 0= y, Łt(x) 0. Por lo tanto P 0t = V +StV+, t ≥ 0 donde P 0t x = t(x) es un semigrupo contrác- tivo de operadores en el espacio GNS asso- ciated con 0 libras esterlinas. También tomamos nota de que (x) Mt] y establecer los homomorfismos j 0 : A0 → B(H0]) definido por j00(x)y = i0(x)y para todos y â € M0]. Que está bien definido sigue de (2.1) una vez que verificamos que conserva el producto interior cuando x es una isometría. Para cualquier elemento arbitrario nos extendemos por linealidad. Ahora definimos j 0 : A → B(H) por 0 (x) = j 0(x)F0]. 2.3) Por lo tanto j 0 (x) es una realización de A0 en el momento t = 0 con j 0 (I) = F0]. Ahora usamos el cambiar (St) para obtener el proceso j f = (j) t : A0 → B(H), t • IR) y filtración hacia delante F = (Ft], t • IR) definido por la siguiente prescripción: t (x) = Stj 0 (x)S t Ft] = StF0]S t, t • IR. (2.4) Así que sigue por nuestra construcción que jfr1(y1)j (y2)...j (yn) = y donde yr = yri, si r = ri si no I, (r1 ≤ r2 ≤.. ≤ rn). Por lo tanto es un vector cíclico para el álgebra von-Neumann A generada por {jfr (x), r • IR, x • A0}. De (2.4) también concluimos que StXS A cada vez que X A y por lo tanto podemos establecer una familia de automorfismo (αt) en A definido por αt(X) = StXS Dado que  es un elemento invariante para (St),  es un estado invariante para (αt). Ahora nuestro objetivo es demostrar que el sistema reversible (A, αt, ) satisface (1.1) con j0 tal como se define en (2.4), para una elección adecuada de IE0]. Para ese fin, para cualquier elemento x â € ¢ M, verificamos por la relación < y,Ft]x =< y, x > para todos y Mt] que (Ft]x)r = xr, si r < t; (...), si r = t I, si r > t donde r1 ≤.. ≤ rk ≤ t ≤.. ≤ rn es el soporte de x. También afirmamos que t (x)Fs] = j s (­t−s(x)) s ≤ t. (­2.5) Para ello, elegimos los dos elementos y, y′ (Ms)) y comprobamos lo siguiente: pasos con la ayuda de (2.2): < y,Fs]j t (x)Fs]y ′ = < y, it(x)y = < y, is(?t−s(x))y ′) >. Puesto que el término "(Ms)" abarca a Hs] completa la prueba de nuestra reclamación. También verificamos que < z, V j t (x)V+y 0= فارسى0(z t(x)y), por lo tanto V j t (x)V+ = t(x), t ≥ 0. (2.6) Para cualquier solución t • IT dejó A[t ser el álgebra de von-Neumann generada por la familia de operadores {js(x): t ≤ s < Recordamos que js+t(x) = S t js(x)St, t, s y por lo tanto αt(A[0) A[0 cuando t ≥ 0. Por lo tanto (αt, t ≥ 0) es un E0-semigrupo en A[0 con un estado normal invariante js(Łt−s(x)) = Fs]αt(jt−s(x))Fs] (2,7) para todos los x â € A0. Consideramos el espacio GNS Hilbert (H0, 0(A0), 0) associ- y definir un semigrupo de Markov t ) el η(A0) por l t ((x)) = η(­)t(x). Además, ahora identificamos a H-0 como el subespacio de H por la prescripción 0(x)­0 → j0(x)­. En tal caso, se identifica a η(x) como j0(x) y su objetivo es verificar cualquier t ≥ 0 que t (PXP ) = Pαt(X)P (2.8) para todos los X A[0 donde P es la proyección de [A[0♥] en el espacio GNS [j 0 (A0) que se identifica con el espacio GNS asociado con (A0, ­0). Es suficiente si verificamos para los elementos típicos X = js1(x1)...jsn(xn) para cualquier s1, s2,..., sn ≥ 0 y xi 1 ≤ i ≤ n y n ≥ 1. Utilizamos inducción en n ≥ 1. Si X = js(x) para algunos s ≥ 0, (2.8) sigue de (2.5). Ahora suponemos que (2.8) es cierto para cualquier elemento de la forma js1(x1)...jsn(xn) para cualquier s1, s2,..., sn ≥ 0 y xi • A0 para 1 ≤ i ≤ n. Fix cualquier s1, s2,, sn, sn+1 ≥ 0 y considerar X = js1(x1)...jsn+1(xn+1). Así Pαt(X)P = j0(1)js1+t(x1)...jsn+t(xn+1)j0(1). Si sn+1 ≥ sn, utilizamos (2.5) para concluir (2.8) por nuestra hipótesis de inducción. Ahora supongamos sn+1 ≤ sn. En tal caso, si sn−1 ≤ sn apelamos una vez más a (2.5) e hipótesis de inducción para verificar (2.8) para X. Así nos quedamos considerar el caso donde sn+1 ≤ sn ≤ sn−1 y repitiendo este argumento estamos izquierda para comprobar únicamente el caso en el que sn+1 ≤ sn ≤ sn−1 ≤.. ≤ s1. Pero s1 ≥ 0 = s0 por lo tanto podemos apelar a (2.5) al final de la cadena y concluir que nuestra reclamación es cierta para cualquier elemento típico X y por lo tanto verdadero para todos los elementos en el álgebra generada por estos elementos de todo orden. Así, el resultado sigue por la densidad de von-Neumann teorema. También observamos que P es una proyección subarmónica [Mo1] para (αt : t ≥ 0) i.e. αt(P ) ≥ P para todos los t ≥ 0 y αt(P ) ↑ [A[0 TEOREMA 2.1: Ser un semigrupo de Markov y ser invariante estado en un C* álgebra A0. A continuación, el espacio GNS [ realizado como un subespacio cerrado de un espacio único Hilbert H[0 hasta el isomorfismo así que se mantenga lo siguiente: a) Existe un álgebra von-Neumann A[0 que actúa sobre H[0 y una unidad ∗- endomorfismo (αt, t ≥ 0) en A[0 con un estado vectorial invariante para (αt: t ≥ 0). b) La PA[0P es isomórfica con γ(A0) ′′ donde P es la proyección de [A[0]. [jf (A0)l]; c) Pαt(X)P = t (PXP ) para todas las t ≥ 0 y X ≤ A[0; (d) El intervalo cerrado generado por los vectores «tn» (PXnP )....αt1 (PX1P ) siguientes : 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤.. ≤ tk ≤....tn,X1,Xn ≤ A[0, n ≥ 1} es H[0. PRUEBA: La singularidad hasta el isomorfismo se deriva de la propiedad de la minimalidad Siguiendo la literatura [Vi,Sa,BhP,Bh] sobre la dilatación decimos (A[0, αt, imal E0semigrupo asociado con (A0, Hemos estudiado extensamente asymp- comportamiento tótico de la dinámica (A0, Łt, Ł0) en [AM] y la propiedad de Kolmogorov de el semigrupo de Markov introducido en [Mo1] fue explorado para el comportamiento asintótico de la dinámica (A[0, αt, ♥). En particular, esto da lugar a un criterio para el límite inductivo estado canónicamente asociado con (A[0, αt, ♥) para ser puro. La noción es íntima. conectado con la noción de un E0-semigrupo puro introducido en [Po,Ar]. Para más información detalles que nos referimos a [Mo2]. 3 Semigrupo doble de Markov y Time Reverse Markov procesos: Ahora somos más específicos y asumir que A0 es un álgebra de von-Neumann y cada uno El mapa de Markov es normal y para cada x • A0 el mapa t → • t(x) es continuo en la topología débil*. Suponemos además que la letra 0 también es fiel. Después de [AM2], En lo que sigue, recordamos brevemente el proceso de inversión temporal asociado con el sistema de gestión de la información y las comunicaciones (KMS). Semigrupo dinámico cuántico contiguo (o Petz-adjunto ) (A, t, 0). Seamos un estado fiel y sin pérdida de generalidad que sea también (A0, A0) en el formulario estándar (A0, J,P, +0) [BR] donde +0 + H0, un ciclo y separación vector para A0, de modo que ­0(x) = ­0, x­0 > y el más cercano del operador cercano S0 : x+0 → x 0, S posee una descomposición polar S = J 1/2 con el auto-doble cono positivo P como el cierre de {JxJx+0 : x ® A0} en H0. Teorema [BR] de Tomita dice que â € TM TM TM a â TM a â TM a â TM a −es = A0, t • IR y JA0J = A 0, donde A 0 es el conmutante de A0. Definimos el grupo modular de automorfismo t(x) =  itxit. Además, para cualquier estado normal en A0 existe un vector único de modo que •(x) = •, x • >. Nótese que J (x) J (y) 2η(y*) 2η(x) (y*) = (y) 2η(x*) 2-OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO Así el mapa de la Tomita x → J η(x)J es una representación anti-lineal ∗-homomorfismo de A0. Esta observación conduce a una noción llamada procesos Markov atrasados débiles [AM]. Para ello consideramos el único semigrupo de Markov ( ′t) en el conmutante A′0 de A0, de modo que (t(x)y) = t(y) para todas las x â € A0 y y â € A 0. Definimos débil Semigrupo continuo de Markov (t) en A0 por t(x) = J t(JxJ)J. Así tenemos el siguiendo la relación contigua En el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, el valor nominal de los vehículos de motor no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. para todas las x, y, A0, elementos analíticos para (t). Uno puede también describir el contiguo semigrupo como Hilbert espacio contiguo de un parámetro contractivo semigrupo (Pt) en un espacio de Hilbert definido por Pt : 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 = 1/4x-0 1 / 4 ° t(x) ° 0. Para más detalles nos remitimos a [Ci]. También tomamos nota de que (x) M[t y conjunto de los anti-homomorfismos j 0 : A0 → B(H[0) definido por jb0(x)y = yi0( i x*) para todos y â € M[0. Que está bien definido sigue de (2.1) una vez que verificamos por KMS relación que preserva el producto interior cuando x es una isometría. Para cualquier elemento arbitrario se extiende por linealidad. Ahora definimos jb0 : A → B(H) por jb0(x) = j 0(x)F[0. (3.2) Por lo tanto jb0(x) es una realización de A0 en el tiempo t = 0 con j 0(I) = F[0. Ahora usamos el cambiar (St) para obtener el proceso j b = (jbt : A0 → B(H), t • IR) y filtración hacia delante F = (F[t, t+ IR) definido por la siguiente prescripción: jbt (x) = Stj 0(x)S t F[t = StF[0S t, t • IR. (3.3) Un cálculo simple muestra para < s ≤ t que s(x)F[t = j t (t−s(x)) (3.4) para todos los x â € A0. También se sigue por nuestra construcción que j y1)j (y2)...j (yn) = y) donde yr = yri, si r = ri de lo contrario I, (r1 ≥ r2 ≥.. ≥ rn). Por lo tanto, es un cíclico vector para el álgebra von-Neumann Ab generado por {jbr(x), r • IR, x • A0} ′′. Nosotros también von-Neumann álgebra Ab generado por {jbr(x), r ≤ t, x ≤ A0} ′′. Lo siguiente: teoremas dicen que hay una dualidad entre el hacia adelante y hacia atrás débil Markov procesos. TEOREM 3.1: [AM] Consideramos el débil Markov procesos (A,H, Ft], F[t, St, j t, j t • IR, •) asociados con (A0, • t, t ≥ 0, • 0) y los procesos débiles de Markov (Ã, Hс, Fсt], Fс[t, Sсt, jс t, j t, t • IR, ) asociado con (A0, t, t ≥ 0, ­0). Existe un operador anti-unitario único U0 : H → H a) U0- = ; b) U0StU 0 = St para todos los t IR; c) U0j t (x)U 0 = j −t(x), U0J t (x)U0 = j −t(x) para todos los t • IR; d) U0Ft]U 0 = F‡[−t, U0F[tU 0 = Ft] para todos los t IR; TEOREM 3.2: Que (A0,?t,?0) sea como en Teorema 3.1 con?0 como fiel. Entonces el conmutante de A[t es A para cada t • IR. Prueba: Es obvio que A[0 es un subconjunto del conmutante de A . Nota también que F[0 es un elemento en A que se desplaza con todos los elementos en A[0. As a primer paso tenga en cuenta que es lo suficientemente bueno si mostramos que F[0(A )′F[0 = F[0A[0F[0. As para algunos X â € (Ab )′ e Y A[0 si tenemos XF[0 = F[0XF[0 = F[0Y F[0 = Y F[0 entonces verificamos que XZf = Y Zf donde f es cualquier vector de modo que F[0f = f y Z A y así como tales vectores son totales en H obtenemos X = Y ). Por lo tanto, todo lo que necesitamos mostrar que F[0(A) )′F[0 F[0A[0F[0 como inclusión en otra dirección es obvio. Lo haremos. explore al seguir la relación que F0]F[0 = F[0F0] = F{0} es decir. la proyección en la fibra a 0 repetidamente. Una prueba simple sigue una vez que utilizamos fórmulas explícitas para F0] y F[0 en [Mo1]. Ahora pretendemos probar que F[0A F[0 F[0A F[0. Let X â € F[0A F[0 y verificar que X. = X.F.0;......................................................................................................................................................................................................................................................... 0(A0) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * En la otra mano notamos por Markov propiedad del proceso hacia atrás (jbt ) que F[0A F[0 = j b(A0) Por lo tanto existe un elemento Y Ab por lo que Xe = Ye. Por lo tanto XZe = Y Ze para todos los Z A[0 como Z se desplaza con X e Y. Desde {Zl} : Zl} A[0} spans F[0, obtenemos la inclusión requerida. Puesto que la inclusión en la otra dirección es trivial como F[0 + A] concluimos que F[0A F[0 = F[0A F[0 siendo una proyección en A verificamos que F[0(A) )′F[0 (F[0A ′ y así También tenemos F[0(A) )′F[0 (F[0A ′ como Ab . Por lo tanto, es suficiente si probamos [0F[0 = [F[0A[0F[0] Verificaremos la inclusión no trivial de esta igualdad. Let X+ (F[0A[0F[0) entonces X. = X.F.0.......................................................................................................................................................................................................................................................... 0(A0)♥]. Por lo tanto, existe un elemento Y â € F[0A F[0 de modo que X. = Y. Por lo tanto, para cualquier Z A[0 tenemos XZel = Y Zel y por lo tanto XF[0 = Y F[0. Por lo tanto X = Y F[0A F[0. Por lo tanto, tenemos la la inclusión necesaria. Ahora para cualquier valor de t • IR recordamos que αt(A[0) = A[t y αt(A[0) ′ = αt(A) αt ser un automorfismo. Esto completa la prueba como αt(A) ) = Ab por nuestro construcción. 4 Subfactores: En esta sección investigaremos más la secuencia de álgebra de von-Neumann {A[t : t • IR} definido en la última sección con una suposición adicional de que ­0 es también fiel y por lo tanto también tenemos en nuestra mano hacia atrás von-Neumann álgebras : t • IR}. PROPUESTA 4.1: Ser un semigrupo de Markov con un fiel Estado invariante normal............................................................................................................................................................................................................................................................ Si A0 es un factor, entonces A[0 es un factor. En tal caso, el a continuación también se mantiene: a) A0 es tipo-I (tipo-II, tipo-III) si y sólo si A[0 es tipo-I (tipo -II, tipo-III) respectivamente; b) H es separable si y sólo si H0 es separable; (c) Si H0 es separable entonces A0 es hiper-finito si y sólo si A[0 es hiper-finito. PRUEBA: Primero mostramos la propiedad factorial de A[0. Tenga en cuenta que el álgebra de von-Neumann generado por el proceso reverso {jbs(x): s ≤ 0, x • A0} es una sub-álgebra de A′ , el conmutante de A[0. Arreglamos cualquier X A[0 en el centro. Entonces para any y A0 verificamos que Xj0(y) = XF0]j0(y) = F0]XF0]j0(y) para algunos x â € A0. Desde Xj0(y) = j0(y)X también tenemos j0(xy) Por fidelidad del estado 0 concluimos xy = yx por lo tanto x debe ser un escalador. Por lo tanto, tener Xj0(y)♥ = cj0(y) para algunos escaladores c • IC. Ahora usamos la propiedad que X se desplaza con el proceso de avance jt(x): x â € A0, t ≥ 0 y así como el reverso procesos {jbt (x), t ≤ 0} para llegar a la conclusión de que X.(t, x) = c.(t, x). Por lo tanto X = c. Así A[0 es un factor. Ahora si A0 es un factor tipo-I, entonces existe una proyección mínima no cero p â € A0. En tal caso afirmamos que j0(p) es también una proyección mínima en A[0. A ese extremo deja que X sea cualquier proyección en A[0 para que X ≤ j0(p). Desde F0]A[0F0] = j0(A0) concluimos que F0]XF0] = j0(x) para algunos x â € A0. Por lo tanto X = j0(p)Xj0(p) = F0]Xj0(p) = j0(xp) = j0(px) Por lo tanto, por fidelidad del estado فارسى0 concluimos que px = xp. Por lo tanto X = j0(q) donde q es una proyección más pequeña entonces igual a p. Desde p es una proyección mínima en A0, q = p o q = 0 es decir. X = j0(p) o 0. Así que j0(p) es también una proyección mínima. Por lo tanto A[0 es un factor de tipo I. Para la declaración contraria nosotros rastrear el argumento en la dirección contraria. Dejar p ser una proyección no cero en A0 y afirma que existe una proyección mínima q â € A0 de modo que 0 < q ≤ p. Ahora desde j0(p) es una proyección no cero en un factor de tipo I A[0 existe una proyección no cero X que es mínimo en A[0 de modo que 0 < X ≤ j0(p). Ahora repetimos el argumento a concluir que X = j0(q) para alguna proyección q. Desde X 6= 0 y mínimo, q 6= 0 y mínimo en A0. Esto completa la prueba para el caso tipo I. Vamos a probar ahora el el caso del tipo II. Dejar A[0 ser tipo-II entonces existe una proyección finita X ≤ F0]. Una vez más. X = F0]XF0] = j0(x) para alguna proyección x + A0. Afirmamos que x es finito. A ese extremo deja q ser otra proyección de modo que q ≤ x y q = uu* y u*u = x. Entonces j0(q) ≤ j0(x) = X y j0(q) = j0(u)j0(u) * y j0(x) = j0(u) ∗j0(u). Ya que X es finito en A[0 concluimos que j0(q) = j0(x). Por la fidelidad de 0 llegamos a la conclusión de que q = x, por lo tanto x es una proyección finita. Puesto que A0 no es tipo-I, es tipo-II. Por la Comisión Conversa, deja que A0 sea tipo-II. Así que A[0 es tipo-II o tipo-III. Lo descartaremos. la posibilidad del tipo III. Supongamos que no, es decir. si A[0 es tipo-III, para cada proyección p 6 = 0, existe u A[0 de modo que j0(p) = uu * y F0] = u ∗u. En tal caso j0(p)u = uF0]. Establecer j0(v) = F0]uF0] para algunos v â € A0. Así j0(pv) = j0(v). Una vez más por la fidelidad del estado normal, concluimos pv = v. Así que j0(v) = uF0]. Por lo tanto j0(v *v) = F0]. Por lo tanto v ∗v = 1 por fidelidad de 0 libras. Puesto que esto es cierto para cualquier proyección no cero p en A0, A0 es tipo-III, que es una contradicción. Ahora nos quedamos. para mostrar la declaración para el tipo-III, que es cierto ya que cualquier factor tiene que ser o bien de estos tres tipos. Esto completa la prueba de (a). (b) es obvio si es ZZ. En caso de IT = IR, utilizamos nuestra hipótesis de que el mapa (t, x) → t(x) es secuencialmente continuo con respecto a los débiles * topología. Para (c) primero recordamos de [Co] que la propiedad de hiper-finiteness, siendo equivalente a propiedad inyectable de álgebra de von-Neumann, es estable bajo conmutante y contable operación de intersección cuando están actuando en un espacio separable Hilbert. Deja que A0 ser hiper-finito y H0 ser separable. Primero probaremos que A[0 es hiper-finito cuando IT = ZZ, es decir. variable de tiempo son enteros. En este caso para cada n ≥ 0, jn es inyectable, jn(A0) ′′ = {j0(x) : x ® A0} ′′ es un álgebra hiper-finita de von-Neumann. Por lo tanto A[0 = {jn(A0) ′′ : n ≥ 0 es también hiper-finito, ya que están actuando sobre un separable Espacio Hilbert. En caso IT = IR, para cada n ≥ 1 se establecen sub-álgebras de von-Neumann A[0 generado por los elementos {jt(A0) ′′ : t = r , 0 ≤ r ≤ n2n}. Por lo tanto cada An es hiper-finito. Desde A′ n≥0(A) )′ por débil* continuidad del mapa t → t(x), concluimos que A[0 es también hiper-finito siendo generado por una familia contable de aumento de álgebras hiper-finitas von-Neumann. Para lo contrario recordamos por un factorM actuando en un Hilbert spaceH, Tomiyama’s propiedad (es decir, existe una norma una proyección E : B(H) → M, véase [BR1] página- 151 para más detalles ) es equivalente a la propiedad hiper-finita. Para un factor A hiper-finito[0, j0(A0) es un factor en el espacio GNS identificado con el subespacio F0]. Deja que E sea el norma una proyección de B(H[0) en A[0 y verificar que el mapa completamente positivo E0 : B(H0) → A0 definido por E0(X) = F0]E(F0]XF0]F0] es una proyección de una norma de B(F0) a A0. Esto completa la prueba de (b). PROPUESTA 4.2: Que (A0, Łt, Ł0) sea un sistema dinámico como en la Proposición 4.1. Si A[0 es un factor tipo II1 que admite una normalización única fiel normal el estado racial entonces la siguiente celebración: a) Ft] = I para todos los t • IR; (b) ♥ = (­) es un semigrupo de endomorfismos. c) A[0 = j0(A0). PRUEBA: Que tr0 sea el único rastro normal de normalidad fiel en A[0. Para cualquier solución t ≥ 0 establecemos un estado normal en A[0 por ♥t(x) = tr0(αt(x)). Es fácil de comprobar. que también es un fiel rastro normal. Puesto que αt(I) = I, por unicidad ­t = tr0. En particular tr0(F0]) = tr0(αt(F0]) = tr0(Ft]), por propiedad fiel Ft] = F0] para todos t ≥ 0. Desde Ft] ↑ 1 como t→ فارسى tenemos F0] = I. Por lo tanto, Ft] = αt(F0]) = I para todos los t • IR. Esto demuestra (a). En el caso de (b) y (c) recordamos que F0]jt(x)F0] = j0(t(x)) para todos los t ≥ 0 y jt : A0 → A[t es un homomorfismo inyector. Desde Ft] = F0] = I tenemos jt(x) = F0]jt(x)F0] = j0(t(x)). Por lo tanto, A[0 = j0(A0) y j0(?t(x)?t(y)) = j0(?t(xy)) para todas las x, y â € A0. Ahora por la propiedad inyectora de j0, verificamos (b). Esto completa el prueba. Fijamos un tipo II1 factor A0 que admite una normalización única fiel normal El estado racial. Puesto que A[0 es un factor tipo-II siempre que A0 es así, concluimos que A[0 es un factor de tipo-II. Siempre que no sea un endomorfismo en un factor de tipo-II1. La siguiente propuesta dice mucho más. PROPUESTA 4.3: Dejar que A0 sea un factor de tipo II1 con una normalidad normal única ser un sistema dinámico como en la Proposición 4.1. Entonces lo siguiente mantener: a) j0(I) es una proyección finita en A[−t para todos los t ≥ 0. b) Para cada t ≥ 0 Mt = j0(I)A[−tj0(I) es un factor de tipo II1 y M0 Ms... Mt .., t ≥ s ≥ 0 están actuando en el espacio Hilbert F0] donde M0 = j0(A0). PRUEBA: Por la Proposición 4.1 A[0 es un factor tipo II. Así A[0 es tipo-II1 o tipo II. En caso de que sea tipo-II1, la Proposición 4.2 dice que A[−t es j0(A0), de ahí la las declaraciones (a) y (b) son verdaderas con Mt = j0(A0). Por lo tanto, es bastante bueno si nosotros probar (a) y (b) cuando A[0 es efectivamente un factor de tipo II. Con este fin para cualquier fijación t ≥ 0 fijamos un rastro fiel normal tr en A[−t y consideramos el mapa normal x→ j0(x) y por lo tanto, un rastro normal en A0 definido por x→ tr(j0(x)) para x â € A0. Es normal. traza fiel en A0 y por lo tanto es un escalador múltiplo de la traza única en A0. A0 siendo un factor tipo-II1, j0(I) es una proyección finita en A[−t. Ahora la teoría general sobre álgebra von-Neumann [Sa] garantiza que Mt es factor de tipo II1 e inclusión sigue como A−s] A−t] cuando t ≥ s. Que j0(A0) = j0(I)A[0j0(I) sigue de Proposición 4.1. Ahora tenemos un resultado simple pero útil. COROLLARY 4.4: Vamos a ser (A0,?t,?0) como en la Proposición 4.1. Entonces uno de los las siguientes declaraciones son falsas: a) A = B(H) b) El factor A0 es un factor de tipo II1. Prueba : Supongamos que ambos (a) y (b) son verdaderos. Vamos a ser el único rastro normalizado en Mt. Como están actuando en el mismo espacio de Hilbert, notamos por singularidad que es una extensión de Łs para t ≥ s. Por lo tanto existe una extensión normal de (Łt) a débil finalización M de t≥0 Mt (aquí podemos utilizar Lemma 13 página 131 [Sc] ). Sin embargo, si A = B(H), M es igual a B(H0). H0] siendo un espacio de Hilbert dimensional infinito Llegamos a una contradicción. En el caso M en el corolario 4.4 es un factor tipo II1, por la singularidad de la afirmamos que (t)/23370/(s) = (t + s) donde (t) = tr(F−t]) para todos los t ≥ 0. Los la reclamación sigue como von-Neumann álgebra M es isomórfica con t(M), que es igual a F−t]MF−t]. El mapa t → (t) siendo continuo obtenemos (t) = exp(t) para algunos  ≤ 0. Si por la propiedad fiel del rastro obtenemos F-t] = F0] todos t ≥ 0. Por lo tanto, concluimos que es una familia de endomorfismos por Proposición 4.2. Ahora para  < 0 tenemos tr(F−t]) → 0 como t → فارسى. Como F−t] ≥ para todos t ≥ 0, dibujamos una contradicción. Por lo tanto, la débil* finalización de t≥0 Mt es un tipo-II1 factor si y sólo si es una familia de endomorfismo. En otras palabras, si no lo es una familia de endomorfismo a continuación, la débil* finalización de t≥0 Mt no es un tipo II1 factor y el estado racial aunque existe en M no es único. 5 Jones índice de un semigrupo dinámico cuántico en Factor II1: Primero recordamos el índice de Jones de un subfactor originado para entender la estructura de inclusiones de von Neumann factores de tipo II1. Que N sea un subfactor de un factor finito M. M actúa naturalmente como la multiplicación izquierda en L2(M, tr), donde tr ser la normalización Rastro normal. Proyección E0 = [N.O.] N.O. ′, en el que فارسى es el vector de traza de unidad, es decir, tr(x) = > >, x > para x > M, determina una expectativa condicional E(x) = E0xE0 en N. Si el conmutante N ′ no es un factor finito, definimos el índice [M : N ] a Ser infinito. En el caso N ′ es también un factor finito, que actúa sobre L2(M, tr), a continuación, el índice [M : N ] de los subfactores se define como tr(E0) −1, que es el Murray-von Neumann constante de acoplamiento [MuN] de N en la representación estándar L2(M, tr). Claramente. índice es una invarianza para los subfactores. Jones probó [M : N ] {4 cos2(l/n) : n = 3, 4, · · â € € ~ [4, â € ~ ] con todos los valores que se realizan para alguna inclusión N M. En esta sección continuamos nuestra investigación en el marco general de la sección 4 y estudiar el caso cuando A0 es tipo-II1 que admite una normalización única fiel el estado tracial normal y no es un endomorfismo en un factor de tipo II1. Por Proposición 4.3 A[0 es un factor de tipo II y (Mt : t ≥ 0) es una familia de crecimiento factor tipo II1, donde Mt = j0(I)A[−tj0(I) para todos los t ≥ 0. Antes de que probemos ser discretos Dinámica del tiempo aquí discutimos brevemente el caso continuo. Así el mapa I : (t, s) → [Mt: Ms], 0 ≤ s ≤ t es una invarianza para el semigrupo Markov (A0, Por nuestro definición I(t, t) = 1 para todos t ≥ 0 y rango de valores El índice de Jones también dice que el mapa (s, t) → I(s, t) no es continuo en (s, s) para todos los s ≥ 0. Ser discontinuo mapa que también reclamamos el mapa (s, t) → I(s, t) no es tiempo homogéneo, es decir. I(s, t) 6= I(0, t − s) para unos 0 ≤ s ≤ t. En caso contrario podríamos tener I(0, s + t) = I(0, s)I(s, s + t) = I(0, s)I(0, t), es decir, I(0, t) = exp( Los La falta de homogeneidad sugiere que estoy lejos de ser simple. Dedicamos el resto de la sección discutir un ejemplo muy simple en la dinámica discreta del tiempo. Con ese fin repasamos ahora la construcción de Jones [Jo, OhP]. Deja que A0 sea un tipo... El factor II1 es el único que normaliza el rastro normal. El álgebra A0 actúa sobre L2(A0, ­0) por multiplicación izquierda η0(y)x = yx para x · L 2-A0, 0-0). Vamos a ser el vector de traza cíclico y de separación en L2(A0, ­0). La proyección E0 = [B0 un rastro de la expectativa condicional que conserva: a → E0aE0 de A0 en B0. Por lo tanto E0η0(y)E0 = E0η0(E(y))E0 para todos los años A0. Que A1 sea el álgebra de von-Neumann 0(A0), E0} ′′. A1 es también un factor tipo-II1 y A0 A1, donde hemos identificado η0(A0) con A0. Jones demostró que [A1 : A0] = [A0 : B0]. Ahora repitiendo esto método canónico obtenemos una torre en aumento de los factores tipo-II1 A1 A2... de modo que [Ak+1 : Ak] = [A0 : B0] para todos los k ≥ 0. Así es la pregunta natural: Es la torre Jones A0 A1 ... Ak... relacionado con la torre M0 M1... Mk Mk+1 definido en ¿Proposición 4.3 asociada con la dinámica (A0, A tal fin recordar los subfactores von-Neumann M0 M1 y los inducidos representación de M1 en el subespacio H[−1,0] de Hilbert generada por {j0(x0)j−1(x−1) x0, x−1 A0}.  es el vector de traza para M0 i.e. *0(x) =< ♥, j0(x) Sin embargo el estado vectorial dado por  no es el vector de traza para M1 como M1 6= M0 ( Si es así comprobar por oligopropiedad que el valor de 0(l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) cualquier x, y, z â € ¢ A0 y así â € € (zx) = â € € € TM para todos los z, x â € € TM A0. Por lo tanto, por la Proposición 4.2 tenemos M1 = M0. Sin embargo, siendo M1 un factor tipo-II1 existe un normalizar el rastro en M1. PROPUESTA 5.1: M1 A2 y [M1 : M0] = d 2 donde d = [A0 : B0]. PRUEBA: Dejar que el 1 ser el único normalizar el rastro normal en A1 y H1 = L 2 (A1,............................................................................................................................................................... Consideramos la acción izquierda η1(x) : y → xy de A1 en H1. Por lo tanto, η0(A0) también está actuando sobre H1. Puesto que E0η0(x)E0 = E0 E0X = E0η0(x) para algunos x â € A0. Por lo tanto η1(E0) es la proyección en el subespacio {E0η0(x): x {A0}. Para cualquier y â € A0 que establecemos a) k−1(y) en el subespacio Extiéndalo a H1 trivialmente. Que k−1(y) está bien definido y una isometría para una isometría y sigue de las siguientes identidades: ((E0η0(yz)) ∗E0η0(yx)) = 1(η0(z) ∗y*)E0η0(yx)) = 1(E0η0(yx)η0(z) ∗y∗)) por objeto de rastreo = ­1(E0)­0(l0(yx)­0(z) *y*)) siendo un rastro, y *1(E0η0(x)) = *1(E0)­0(η0(x)) = 1(E0)0(η0(z) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = 1((E0η0(z)) ∗E0η0(x)) b) k0(y)x = Por lo tanto y → k0(y) es una representación inyectora* de A0 en L 2 (A1,............................................................................................................................................................... Para y, z â € ¢ A0 verificamos que < E0η0(y), k−1(1)k0(x)k−1(1)E0η0(z) >1=< E0η0(y), E0η0(x)E0η0(z) >1 = < E0η0(y), E0η0(l(x))E0η0(z) >1 = < E0η0(y), E0η0(l(x))η0(z) >1 Por lo tanto k−1(1)k0(x)k−1(1) = k−1( Tenga en cuenta que k−1(1) = π1(E0) y el operador de identidad en H1 es un vector cíclico para el álgebra de von-Neumann {k0(x), k−1(x), x • A0} ′′. Hemos tomado nota antes de que el vector no tiene por qué ser el vector tracial para M1 y también verificar por un cálculo directo que el espacio {k0(y)k−1(x)1 : x, y â € A0} es igual a {yE0x : y, x â € A0} que es un subespacio adecuado de L2(A1,........................................................................................................................................................................ Ahora afirmamos que el factor tipo II1 M1 es isomórfico al von-Neumann álgebra {k−1(x), k0(x), x ® A0)} ′′. Para ello definimos un operador unitario de L2(A1) a L 2(M1, tr1) tomando un elemento kt1(x1)..ktn(xn) a jt1(x1)..jtn(xn), donde tk son 0 o −1. Que es un operador unitario seguido por el tracial propiedad de los estados respectivos y la débil propiedad de Markov de los homomorfismos. Dejamos los detalles y sin perder la generalidad identificamos a estos dos débiles Markov procesos. Desde k−1(1) = η1(E0), concluimos que η1(A1) M1. De hecho, es estricto la inclusión se mantiene a menos que B0 = A0. Sin embargo, por nuestra construcción A1 = η0(A0) E0 está actuando en L 2 (A0, A0) y A2 = η1(A1) • E1 está actuando en L 2 (A1, Ł1) donde E1 es el subespacio cíclico de 1 generado por η1(η0(A0)), es decir, E1 = [η1(η0(A0))1]. De (a) también tenemos k−1(y)η1(E0)E1 = η1(E0)k0(y)E1 (5.1) para todos y â € A0. Por relación Temperley-Lieb [Jo] tenemos η1(E0)E1η1(E0) = η1(E0) y, por lo tanto, después de multiplicar (5.1) por η1(E0) tenemos k−1(y)η1(E0) = η1(E0)k0(y)E1η1(E0) (5.2) Así que ahora está claro que k−1(y) â ¬1(A1) â € E1 para todos y â € A0. Por lo tanto η1(A1) M1 η1(A1) •E1 = A2. Alegamos también que E1+M1. Demostraremos que cualquier ele unitario... Conmutar con M1 también es conmutar con E1. Por (5.2) tenemos η1(E0)k0(y)(uE1u ∗ − E1)η1(E0) = 0 para todos los años. Tomando contiguo tenemos η1(E0)(uE1u ∗ − E1)k0(y) Puesto que A1 = η0(A0) E0 concluimos por la cinicidad del vector traza que η1(E0)(uE1u * − E1) = 0. Así que tenemos E1η1(E0)uE1u * = E1η1(E0)E1 = E1 por Temperley-Lieb rela- tion. Así que u*E1uη1(E0) = u *E1η1(E0)uE1u *U = u*E1u Tomando contiguo obtenemos η1(E0)u *E1u = u * E1u. Ya que lo mismo es cierto para u *, concluimos que u*E1u = E1 para cualquier u unitaria â € M′1. Por lo tanto, E1+M1. Por lo tanto M1 = A2. Desde [M1 : M0] = [M1 : A1] [A1 : M0] y [A1 : A0] = [A0 : B0] = d, concluimos el resultado. TEOREMA 5.2: mmm, A2m para todos los m ≥ 1. Prueba: La Proposición 5.1 da una prueba para m = 1. La prueba es esencialmente la siguiente: los mismos pasos que en la Proposición 5.1. Utilizamos método de inducción para m ≥ 1. Supón que lo es. true para 1, 2,.m. Ahora considere el espacio Hilbert L2(A2m+1, tr2m+1), m ≥ 1 y nosotros establecer homomorfismo k−1, k0 de A2m a B(L 2, A2m+1, tr2m+1)) en lo siguiente: a) k0(x)y = xy para todos y â € A2m+1 y x â € A2m b) η2m+1(E2m) es la proyección en el subespacio {E2my : y A2m} y k−1(x) definido en el subespacio E2m por k−1(x)E2my = E2mxy para todos los x + A2m e y + A2m. Que k−1 es un homomorfismo sigue como en la Proposición 5.1. Así, una fácil adaptación de la Proposición 5.1 dice que M = {k0(x), k−1(x) : x A2m} ′′ es un factor tipo II1 y la prueba será completa una vez que mostremos que es isomórfico a Mm+1. Con ese fin comprobamos como en la Proposición 5.1 que k−1(E2m) = k−1(I), k−1(I)k0(x)k−1(I) = k−1(E2mxE2m) para todos los x + A2m y k−1(x)E2m = E2mk0(x)E2m+1 donde E2m+1 es el espacio cíclico del vector traza generado por A2m. Así que siguiendo la Proposición 5.1 verificamos ahora que tipo-II1 factor M = {k0(x), k−1(I), E2m+1, x {A2m} ′′ es isomórfico a Mm+1 = {J−1(x), J0(x) x ′′, donde usamos la notación J−1(x) = x para todos x Am, J0(x) = SJ−1(x)S * Para todos los x A2m donde hemos identificado A2m con {jk(x),−m − 1 ≤ k ≤ −1, x • A0} ′′ y S es el turno de Markov (derecha). Esto completa la prueba. REFERENCIAS • [AM] Accardi, L., Mohari, A.: El tiempo refleja los procesos de Markov. Infin. Dimens. Anal. Cuántum Probab. Relate. Top., vol-2, no-3, 397-425 (1999). • [Ar] Arveson, W.: Puro E0-semigrupos y estados absorbentes, Comm. Matemáticas. Phys. 187, no.1, 19-43, (1997) • [Bh] Bhat, B.V.R.: Una teoría de índice para semigrupos dinámicos cuánticos, Trans. Amer. Matemáticas. 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Vacuum Polarization by a Magnetic Flux Tube at Finite Temperature in the Cosmic String Spacetime

arXiv:0704.1990v2 [hep-th] 3 Abr 2008 Polarización de vacío por un tubo de flujo magnético en Temperatura Finita en el Espacio Tiempo de Cuerdas Cósmicas J. Spinelly1 ∗ y E. R. Bezerra de Mello2 † 1.Departamento de Fsica-CCT Universidade Estadual da Parba Juvêncio Arruda S/N, C. Grande, PB 2.Departamento de Fsica-CCEN Universidade Federal da Parba 58.059-970, J. Pessoa, PB C. Postal 5.008 Brasil 11 de noviembre de 2018 Resumen En este artículo analizamos el efecto producido por la temperatura en el vacío polarización asociada con el campo escalar sin masa cargado en presencia de Tubo de flujo en el espacio-tiempo de cadena cósmica. Tres configuraciones diferentes de magnético se tienen en cuenta los campos: i) un campo homogéneo dentro del tubo, ii) un campo proporcional a 1/r y (iii) una carcasa cilíndrica con función . En estos tres los casos, el eje del tubo infinitamente largo del radio R coincide con el cósmico cuerda. Debido a la complejidad de este análisis en la región dentro del tubo, considerar el efecto térmico en la región exterior. Para desarrollar este análisis, construimos la función verde térmica asociada con este sistema para los tres situaciones antes mencionadas considerando puntos en la región fuera del tubo. Nosotros calcular explícitamente en el límite de alta temperatura, la media térmica del campo cuadrado y el tensor de energía-momento. Números PACS: 98.80.Cq, 11.27. + d, 04.62. + v 1 Introducción Es bien sabido que diferentes tipos de defectos topológicos pueden haber sido creados en el Universo temprano después del tiempo de Planck por la transición de fase de vacío [1, 2]. Entre ellos se incluyen los siguientes: muros de dominio, cuerdas cósmicas y monopolos. Entre ellos cuerda cósmica y monopolo parecen ser los mejores candidatos a ser detectados. * Correo electrónico: jspinelly@uepb.edu.br †E-mail: emello@fisica.ufpb.br http://arxiv.org/abs/0704.1990v2 Hace muchos años Nielsen y Olesen propusieron un modelo teórico compuesto por Higgs y campos de calibrado, que por una ruptura espontánea de la simetría de calibrador produce defecto lógico que lleva un flujo magnético llamado vórtice [3]. Unos años después, Garfinkle investigó la influencia de este objeto topológico en la geometría del espacio-tiempo [4]. Acoplamiento del tensor de energía-momento asociado con el sistema al Einstein ecuaciones, encontró soluciones estáticas cilíndricas simétricas. El autor también demostró que: asintóticamente el espacio tiempo alrededor del vórtice es un Minkowiski uno menos una cuña. Los núcleo del vórtice tiene un espesor no cero y el flujo magnético en el interior. Dos años después. Linet [5] obtuvo, bajo alguna condición específica, soluciones exactas para el conjunto completo de ecuación diferencial. Fue capaz de demostrar que la estructura del espacio-tiempo respectivo corresponde a una cónica, con el parámetro de conicidad expresado en términos de la energía por unidad de longitud del vórtice.1 En artículos recientes, hemos investigado los efectos de polarización del vacío asociados con campos escalares sin masa [7, 8] y fermiónicos [9, 10], en presencia de tubos de flujo magnético de radio finito en la cadena cósmica espacio tiempo a cero temperatura. En estos análisis considerábamos que los campos magnéticos están confinados en un tubo de radio infinitamente largo R alrededor de la cuerda cósmica. Tres configuraciones diferentes del campo magnético, H(r), son: teniendo en cuenta en nuestro análisis: i) H(r) = (R− r), campo homogéneo en el interior, (1) ii) H(r) = 2o Rr (R− r), campo proporcional a 1/r en el interior, (2) iii) H(r) = (r − R), carcasa cilíndrica, (3) donde R es la extensión del radio del tubo, • es la función del Heaviside y Φ es la flujo magnético total.2 La relación del flujo con el flujo cuántico Φo, se puede expresar por  = Φ/Φ0 = N + γ, donde N es la parte entera y 0 < γ < 1. En el marco de la teoría cuántica de campos a temperatura finita, un cantidad es la función térmica verde, Gβ(x, x ′). Para el campo escalar debe ser periódico en el tiempo imaginario con el período β, que es proporcional a la inversa del temperamento- ature. Debido a que estamos interesados en obtener la función verde térmica, es conveniente para trabajar en la continuación analítica euclidiana de la función verde que realiza un Wick rotación en la coordinación de tiempo, t → i♥. Por lo tanto, trabajaremos en la versión euclidiana de el espacio-tiempo de cadena cósmica idealizado, que en coordenadas cilíndricas, se puede describir por el elemento de línea a continuación: ds2 = d 2 + dr2 + α2r2dŁ2 + dz2, (4) donde α es un parámetro más pequeño que la unidad que codifica la presencia de dos cónicas superficie (r, ).3 1El análisis completo sobre el comportamiento del medidor y los campos de materia cerca del núcleo de la cadena cósmica sólo se puede obtener numéricamente. Algunos análisis numéricos recientes [6] sobre la estructura de supermasivos Las cuerdas cósmicas muestran que existen dos tipos diferentes de soluciones para el tensor métrico. 2Las configuraciones para el flujo magnético proporcionan el mismo flujo magnético en la perpendicular de dos superficies al eje z en el sistema de coordenadas definido en (4). 3Para una Teoría Unificada típica, α = 1−O(10−6). Los efectos de polarización del vacío asociados con un campo escalar cargado debido a un mag- campo netic confinado en un tubo de radio finito en el espacio-tiempo de Minkowski se ha analizado por primera vez por Serebryanyi [11]. Unos años más tarde este análisis, para un espacio de cuerda cósmica idealizado- tiempo, ha sido considerado por Guimarães y Linet [12]; sin embargo, el flujo magnético fue considerado como una línea que corre a través de la cadena. El efecto de la temperatura sobre Esta polarización del vacío también fue investigada por Guimarães en [13]. En este contexto, inspirados en nuestro trabajo anterior [7, 8], decidimos investigar el efecto del temperamento- ature sobre los efectos de polarización del vacío asociados con el campo escalar sin masa cargado en presencia de un tubo de flujo magnético en el espacio-tiempo de la cadena cósmica, considerando los tres dif- configuraciones feroces del campo magnético dado antes. El procedimiento estándar a desarrollar este análisis es mediante el cálculo de la respectiva función verde euclidiana térmica. Esto puede se haga para un espacio-tiempo ultrastático4 conociendo la función verde a cero tempera- tura. Análisis de los efectos térmicos sobre los efectos de polarización del vacío asociados con campos bosónicos y fermónicos sin masa en el espacio tiempo monopolo global considerado en [14, 15, 16] hace pocos años. Este artículo está organizado de la siguiente manera: En la sección 2 calculamos el euclidiano térmico Función verde asociada con el sistema para los tres modelos diferentes de campos. Utilizando los resultados obtenidos, calculamos en las secciones 3 y 4, el valor de expectativa de vacío renormalizado del cuadrado de campo y el momentum de energía tensor, respectivamente. Dejamos para la sección 4 nuestras conclusiones. 2 La función verde térmica euclidiana La función verde asociada con el campo escalar sin masa cargado a temperatura cero en presencia de un campo electromagnético, debe obedecer a los siguientes no homogéneos ecuación diferencial de segundo orden Asunto C-352/98 Comisión / Reino de los Países Bajos Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas G(x, x ) = (4)(x− x′), (5) donde Dμ = − ieAμ, siendo Aμ el potencial de cuatro vectores. Para reproducir las configuraciones de los campos magnéticos a lo largo de la dirección z dada por (1)-(3), escribimos el potencial vectorial por Aμ = (0, 0, A(r), 0), con A(r) = a(r). 6) Para los dos primeros modelos considerados, podemos representar la función radial a(r) por: a(r) = f(r)•(R− r) + (r − R), (7) f(r) = r2/R2, para el modelo i) y r/R, para el modelo ii). Para el tercer modelo, a(r) = (R− r). (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. 4Un espacio tiempo ultrastático admite un sistema de coordenadas definido globalmente en el que los componentes de la El tensor métrico es independiente del tiempo y las condiciones g00 = 1 y g0i = 0 mantienen Como hemos mencionado, en este trabajo continuaremos en la misma línea de investigación. comenzó en [7, 8], calculando en este momento, la contribución térmica en el efectos de ización en la región fuera del tubo magnético para los tres campos magnéticos bajo consideración. El verde euclidiano funciona para puntos fuera del tubo de flujo magnético a cero- la temperatura se indica a continuación: • Para los modelos i) y ii), T=0(x, x eiN 8γ2αrr′ sinh u0 ei sinh(γu0/α) + sinh[(1− γ)u0/α] cosh(u0/α)− cos dJ0 ()2 + (z)2 einDjn(lR)K(lr)K(lr ′), j = 1, 2, (10) donde n−N− γ , (11) cosh uo = r2 + r + ()2 + (z)2 Djn(­R) = H ′j(R)I(­R)−Hj(R)I (­R) Hj(R)K (­R)­H ′j(R)K(­R) . (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. En las ecuaciones anteriores las funciones Hj(r) son dadas por: H1(r) = M.O.E.L.A. , (14) con 1 = ( − 2R2α )/2 y 1 = n/2α, y H2(r) = M.e.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m. con 2 = (­2 + ­2R2α2)­1/2, ­2 = n/α y ­ = (­2 + ­2R2α2)1/2. Además, Me, es la función Whittaker, mientras que I e K son las funciones de Bessel modificadas [17]. • Para el modelo (iii), tenemos T=0(x, x 8γ2αrr′ sinh u0 sinh(u0/α) cosh(uo/α)− cos dJ0 ()2 + (z)2 einDn(­R)Kn/(­r)Kn/(­r) ′). 16) donde Dn(­R) = (R)In/(R)−I(R)I n/α(R) I(R)K n/α(R)− I (I R)Kn/α(I R) . (17) Podemos observar que el primer término en el lado derecho de (10) es, hasta un calibre transformación, equivalente al resultado presentado por Guimarães y Linet [12] para una campo escalar sin masa en presencia de un flujo magnético que corre a través de la cuerda cósmica; y en cuanto a (16), su primer término corresponde a los resultados encontrados por Smith [18] y por Linet en [19] para un campo escalar sin masa sin carga. Sin embargo, los segundos términos de las expresiones de cabinas representan correcciones en las respectivas funciones verdes debidas a un radio no desvaneciente R atribuido al flujo magnético; fuera de curso estas correcciones desaparecen cuando tomamos R → 0. Según la prescripción dada en los artículos por Braden [20] y página [21], el función verde térmica, GT (x, x ′), puede expresarse en términos de la suma GT (x, x GT=0(x, x ′ − l), (18) donde es el vector unitario de tiempo "Euclidiano" y β = 1/kBT, siendo kB el Boltz- Mann constante y T la temperatura absoluta. De acuerdo con las ecuaciones (10), (16) y (18), las funciones térmicas verdes asociado con el campo escalar sin masa en el espacio-tiempo de cadena cósmica y en la presencia del campo magnético, están dadas por: • Para los modelos i) y ii), T (x, x ′) = G T (x, x dJ0 ( + lβ)2 + (z)2 einDjn(lR)K(lr)K(lr ′), j = 1, 2. (19) • Para el modelo iii), T (x, x ′) = GT (x, x dJ0 ( + lβ)2 + (z)2 einDn(­R)Kn/α(­r)Kn/α(­r) ′). (20) Las funciones térmicas Verde G T (x, x ′) y GT (x, x ′) que aparecen en (19) y (20) han sido obtenidos hace unos años por Guimarães [13] y Linet [22], respectivamente. Por lo tanto, nosotros no se repetirán. De hecho, lo que realmente nos interesa en este artículo es analizar la términos segundos en estas funciones verdes, que corresponden a las contribuciones térmicas debido al espesor finito admitido para el tubo de flujo magnético. 3 La Computación de (x)(x)Ren. en No Cero Tem- peratura El objetivo principal de esta sección es investigar los efectos producidos por la temperatura en el valor de expectativa de vacío renormalizado del cuadrado del escalar sin masa cargado campo, (x)(x), en presencia de un tubo de flujo magnético de radio finito. Formalmente esto cantidad se da tomando el límite de coincidencia de la función verde: (x)(x)T = lim GT (x, x ′). (21) Sin embargo, este procedimiento ofrece un resultado divergente y la divergencia viene exclusivamente desde los primeros términos del lado derecho de (19) y (20)5. Con el fin de obtener un finito y resultado bien definido, debemos aplicar algún procedimiento de renormalización. Aquí adoptaremos el punto-dividir la renormalización uno. Se ha observado que el comportamiento singular de la función verde tiene la misma estructura que la dada por el Hadamard, que en la otra mano se puede escribir en términos del cuadrado de la distancia geodésica entre dos puntos. Por lo tanto, aquí vamos a adoptar la siguiente prescripción: restamos del verde función el Hadamard uno antes de aplicar el límite de coincidencia como se muestra a continuación: (x)(x)T,Ren. = lim [GT (x, x ′)−GH(x, x′)]. (22).............................................................................................................................................................................................................................................................. Podemos escribir el resultado como: (x)(x)T,Ren. = (x)(x)T,Reg. + (x)(x)CT=0 + (x)(x)CT. 23) El primer término en el lado derecho de la expresión anterior, representa, para el modelos (i) y (ii), la contribución térmica procedente de la interacción entre carga campo escalar sin masa con un flujo magnético considerado como una línea que corre a lo largo del cósmico cuerda. Del documento de Guimarães [13], este término es: (x)(x)T,Reg. = 16η2° ° ° r r cosh u/2 cosh u/2 F (γ)α (u, 0) du, (24) donde F (γ)α (u, 0) = −2 sin [/α] cos [u (1− γ) /α] + sin [u (1− γ) /α] cos [/α] cosh u/ cosγ/α . (25) Para el modelo (iii) una expresión análoga se puede obtener de la anterior, por tomando γ = 06. (Un aspecto interesante de estos resultados es que las polarizaciones del vacío depende sólo de la parte fraccional de la ración del flujo magnético por el cuántico, En el límite de alta temperatura (β → 0), Guimarães demostró que, (x)(x)T,Reg. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * M (γ) , (26) donde la constante M (γ) es dada por M (γ) = 16η2α F (γ)α (u, 0) cosh(u/2) du, (27) 5Una característica especial de estas funciones verdes es que la corrección debido al radio del tubo magnético es finito en el límite de coincidencia. 6 Véase el documento [22]. y en el límite de temperatura cero (β → فارسى), (x)(x)T,Reg. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * , (28) con γ(γ) dada por (γ) = − 1 γ − 1 . 29).............................................................................................................................................................................................................................................................. Los dos últimos términos en (23) son correcciones en la polarización del vacío debido a espesor del radio del tubo magnético y temperatura no cero. El término 2(x)+CT=0, corresponde a la corrección debido al espesor finito del radio del tubo solamente, se dio en [7, 8]. Para los dos primeros modelos las correcciones son similares. Se les da por el componente l = 0 in (19), y debe decir (2η)2α Din(ŁR)K * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (30) Porque estamos principalmente interesados en estudiar la polarización del vacío para puntos muy lejanos de la cuerda cósmica, vamos a considerar R/r â € 1. Comparando el comportamiento de Din(?R) con el comportamiento de K2(r), hemos demostrado que podemos aproximar el integrand de (30) asumiendo al coeficiente Djn su expansión de primer orden en R, que dice: Djn(­R) = − *( + 1)*() wnj − znj wnj + znj )2 , (31) donde wn1 = N-N-N-N-O-N-O-N-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O Mlnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn Mγ1,l/α, (32) zn1 = M wn2 = N-N-N-N-O-N-O-N-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O M.e.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.m.,.m.m.,.m.m.,.m.,.m.,.m.,.m.m.,.m.,.m.m.,.m.,.m.m.,.m. Mγ2......................................................................................................................................................... zn2 = M­2,­1(2­°/α), (35) γ1 = (n+2α)/2α, γ2 = (n)/α y = N-N-N-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T . Las contribuciones más importantes en (30) proviene del componente n = N en la suma. De esta manera, considerando Únicamente el término dominante, las correcciones se efectuarán mediante: (x)(x)CT=0 = − (2η)2r2 α(2γ + α) wNj − (γ/α)zNj wNj + (γ/α)z )2γ/α . (36) Como podemos ver las correcciones presentan dependencia adicional de la coordenada radial, conse- quently son apreciables sólo en la región cerca del tubo. En cuanto al tercer modelo ocurre un fenómeno muy interesante. Para n 6= 0, la El coeficiente Dn(­R) en (16) desaparece al menos tan rápido como (­R) 2n/α cuando R → 0. En el Por otra parte, D0(R) desaparece sólo con la inversa del logaritmo, tan lentamente. In de esta manera la contribución más relevante a la suma proviene de n = 0. Para esto D0(­R) = + C − α/ , (37) donde C es la constante Euler. En [8] hemos demostrado explícitamente que la corrección en el efecto de polarización del vacío para el tercer modelo, consecuencia de un radio de el flujo magnético viene dado principalmente por: (x)(x)CT=0 = − 8γ2αr2 ln e-C/ ). 38) También hemos demostrado que para α = 0.99 y  = 0.2 este término es del mismo orden de la valor de expectativa de vacío estándar del cuadrado de campo en ausencia de flujo magnético, arriba a la distancia r que excede el radio del Universo observable. Como ya hemos mencionado, el último término en (23), (x)(x)CT, es consecuencia de efectos combinados del espesor no desvaneciente del tubo magnético y de la temperatura. Se trata de una nueva contribución y nos centraremos en ella. Para los dos primeros modelos, este término puede ser expresado por (x)(x)CT = 2γ2αr2 dvvJ0 (vÃ3l) Djn(vR/r)K (v), j = 1, 2, (39) con • = β/r. En la expresión anterior hemos introducido una variable adimensional v = Łr. Como en el análisis de temperatura cero, porque estamos considerando R/r â € 1, la mayoría contribución importante para el resumen anterior proviene del componente n = N. Así que, sobre la base de lo que ya hemos discutido para puntos muy lejos de la cadena, ecuación (39) puede ser aproximado a (x)(x)CT = − (2η)2αr2 *(γ/α + 1)*(γ/α) wNj − (γ/α)zNj wNj + (γ/α)z )2γ/α dvv1+2γ/αJ0 (vÃ3l)K /(v), j = 1, 2. (40) De la expresión anterior podemos observar que el contenido térmico de esta corrección figura en el resumen S que figura a continuación: S(­) = dvv1+2γ/αJ0 (vÃ3l)K /(v). 41) Por desgracia, no es posible obtener una expresión cerrada a este término, y proporcionar un información completa sobre el comportamiento térmico de (40); por otro lado, es posible para dar su información principal. Con el fin de hacer eso dividiremos la integral arriba en dos partes: a partir de [0, 2η/l] y a partir de [2η/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l). Debido a la fuerte decadencia exponencial de la función modificada de Bessel para un argumento amplio, la contribución en el intervalo [2 puede ser descuidado en el régimen de alta temperatura, es decir, para 1; además, utilizando la serie propiedades de la función Bessel [17], J0(vÃ3l) = − , 0 < v < 2 (41) se puede aproximar a S(­) = −1 dvv1+2γ/αK2/(v) + dvv2γ/αK2/(v). (43) En el límite de alta temperatura la contribución más relevante es dada por el segundo término. Adopción del mismo criterio de aproximación para descartar la integral val [2], podemos evaluar la integral tomando su límite superior va al infinito. In De esta manera, la contribución más relevante al efecto de polarización del vacío térmico es [17]7: S(­) = 22−2γ/α 2 (1/2 + γ/α) 1/2 + 2γ/α) * (1 + 2γ/α) . (44) En consecuencia, en el régimen de alta temperatura el término de corrección, (x)(x)CT, es dom- Inaugurado por: (x)(x)CT = − (γ,α,R) )2γ/α , j = 1, 2, (45) (γ,α,R) 4η3/2α 2 (1/2 + γ/α) 1/2 + 2γ/α) * (1 + 2γ/α) *(1 + γ/α) *(γ/α) wNj − (γ/α)zNj wNj + (γ/α)z Por lo tanto, la expresión para el valor de expectativa de vacío renormalizado del cuadrado de la campo escalar sin masa cargado, en el límite de alta temperatura, está dada por (x)(x)T,Ren. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * M (γ) (γ,α,R) )2γ/α . (46) De esta expresión podemos observar que las dos contribuciones sub-dominantes son de la el mismo orden de magnitud para los puntos cercanos al tubo. Para el tercer modelo, (x)(x)CT, se da por la expresión siguiente: (x)(x)CT = 2γ2αr2 dvvJ0 (vÃ3l) Dn(vR/r)K n/α(v). (47) Una vez más, como en el análisis de temperatura cero del efecto de polarización del vacío, el la contribución más relevante proviene del componente n = 0 de la suma anterior para R/r â € 1. El coeficiente correspondiente es: D0(vR/r) = ln (v/qr) , (48) donde e-C/♥. (49) De esta manera (47) puede ser escrito por: (x)(x)CT = 2γ2αr2 S̄(Ł), (50) 7Por análisis numérico, en [24] hemos llegado a S(l), el mismo comportamiento que se encuentra aquí, es decir, S(l). donde S̄(­) = dvvJ0 (vÃ3l) D0 (vR/r) K 0 v). (51) Aplicando la propiedad de sumación anterior a las funciones de Bessel, en régimen de temperatura, (51) puede ser dado por S̄(­) = − dvvD0(vR/r)K 0 v) + dvD0(vR/r)K 0 v). (52) Por lo que se refiere a la primera parte, la contribución más relevante a S̄ se da por segundo término; además, en este límite podemos obtener unas expresiones aproximadas para él tomando el límite superior de la integral va al infinito. De esta manera (52) puede ser evaluado por S̄() K20 (v) ln(v)− ln(qr) . (53) Desafortunadamente esta expresión presenta un polo para v = qr. Sin embargo, este polo es... secuencia de la aproximación adoptada y está situada en la región en la que La aproximación ya no es válida8. De hecho, la expresión completa a D0(vR/r) no tiene singu- Larity. D0 es una función poco a poco creciente de v. Como hemos mencionado, la expresión completa hasta el coeficiente D0 desaparece con la inversa del logaritmo para v 0, y crece menos más lento que e2vR/r para v grande. El cuadrado de la función modificada de Bessel, K20, proporciona una divergencia logarítmica integrable para un argumento pequeño, y decae con e−2v para un argumento grande argumentación. Excepto por el muy pequeño valor de v, donde la contribución dominante a D0 es dado por 1/ ln(v), D0 puede ser bien aproximado por 9-1/ ln(qr). En la figura 1, este argumento también está justificada numéricamente. Allí, se exhibe el comportamiento del integrand exacto de S(l), y su expresión aproximada descartando el factor ln(v) en el denominador, para valores específicos de los parámetros. Aceptando los argumentos anteriores, podemos representar la contribución principal a (53) mediante: S̄(­) = − 1 * ln(qr) dvK20(v), (54) Consecuentemente obtenemos (x)(x)CT = − 8 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° e-C/ ]. (55) Ahora para este modelo, la expresión al efecto de polarización del vacío renormalizado en valores límite de alta temperatura (x)(x)T,Ren. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * M (γ) 8 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° e-C/ ]. (56) 8Para γ = 0,2, N = 0 y α = 0,99, qr = 2r eCâ € / € es de orden 105 para r / R = 103, por lo que vR / r = 102 consecuentemente más grande que la unidad. 9En [23], B. Allen en absoluto adoptó un procedimiento similar para proporcionar una expresión aproximada a la valor de expectativa de vacío del cuadrado de campo en la cadena cósmica espacio-tiempo considerando una estructura general a su núcleo; en [8] este procedimiento también se ha adoptado para calcular el. 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 Figura 1: La curva discontinua corresponde exactamente al integrand del segundo término de la lado derecho de (52), y la línea sólida la expresión aproximada que descarta ln(v) en el denominador de (53). En el análisis numérico hemos utilizado α = 0,99, γ = 0,2, N = 0 y r/R = 103. Sobre la base de la discusión anterior sobre el efecto de polarización del vacío a cero ature, podemos concluir que aunque es sub-dominante, la corrección térmica debido a el radio de no desaparición del tubo de flujo magnético, es tan relevante como el término estándar pro- porcionado a 1/βr, para puntos a una distancia muy grande de la cadena cósmica. En consecuencia, puede considerarse un efecto de largo alcance. 4 La Computación de "Táñe (x)"Ren. en No Cero Tem- peratura El tensor de energy-momentum, TŁ(x), es una función bilineal de los campos, por lo que podemos evaluar su valor de expectación de vacío, â € € TM t(x)â €, por el método estándar utilizando el verde función [25]. El promedio de vacío térmico, por lo tanto, también puede obtenerse mediante el uso de la función verde térmica. El valor de expectativa de vacío renormalizado del tensor de energía-momento a non- la temperatura cero para el sistema adoptado aquí puede calcularse mediante: "Tócalo" "Tócalo", "Ren". = lim μ(α,)GT (x, x ′)−D(1,0)GH(x, x′)], (57) en la que el Tribunal de Primera Instancia decidió: μ(α) es un operador diferencial no local de segundo orden en presencia de un campo neto y cadena cósmica, definido por μ(α,) = (1− 2)DμD (DμD/D/+D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D 2 − 1 DÔD , (58) • ser el acoplamiento de curvatura no mínima. En la expresión anterior consideramos que D♥ = ieA♥, con siendo el derivado gravitacional covariante y la barra denotando conjugado complejo. Volveremos a considerar la configuración del campo magnético dada por (7) y (8) para los dos primeros modelos, y por (9) para el tercer modelo. Las correspondientes aguas termales Función verde, GT (x ′, x), se dan por (19) y (20), respectivamente. Debido a la forma de la función verde, podemos expresar (57) por Tócalo (x) T, Ren. = Tó (x)T, Reg. + Tó (x)CT=0 + Tó (x)CT. (59) El primer y segundo término del lado derecho de la expresión anterior ya tiene se calculó en [13] y [8], respectivamente. En cuanto al primer término, Guimarães ha mostrado Tócalo (x) T, Reg. = diag(−3, 1, 1, 1) + donde el segundo término en el lado derecho se da en términos de cinco integrales. Sin embargo, el autor pudo demostrar que en el límite de alta temperatura (β → 0), este término es proporcional a 1/βr3, y en el límite de la temperatura cero (β → فارسى) Tó (x)T,Ren. es proporcional a 1/r4. El segundo término en (59), "Tó" (x)" CT=0, es consecuencia de un no- radio de desaparición al flujo magnético. Para los dos primeros modelos, su la contribución es proporcional a (1/r4)(R/r)2γ/α, por lo que sólo es pertinente en la región cerca del tubo magnético; por otro lado, para el tercer modelo este término presenta un largo efecto de rango, similar a lo que sucede en el valor de expectativa de vacío del cuadrado de campo. La nueva contribución, "Táñe (x)''CT", es consecuencia de un radio no evasivo atribuido a el tubo de flujo magnético y la temperatura. Para los dos primeros modelos este término es dado por # Tó # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # μ(α,)G C, j) T (x, x ′), (61) C, j) T (x, x l 6=0 dJ0 ( + lβ)2 + (z)2 einDjn(lR)K(lr)K(lr ′), j = 1, 2. (62) De acuerdo con el mismo procedimiento adoptado en la última sección, examinaremos únicamente la n = componente N en la suma. Sustituyendo (62) por (61), y utilizando la expresión inmatada al coeficiente D N, después de largo cálculo llegamos a la siguiente resultado: # Tó # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4γ2αr4 * (γ/α) * (1 + γ/α) wNj − (γ/α)zNj wNj + (γ/α)z )2γ/α 0, a 1, a 2, a donde 0 = (4° − 1) 3 + I 1 − 2(γ/α)I 2 + 2 (γ/α) 1 = I 1 − 2 (γ/α + 2+) I 2 + 4°(γ/α)I 4 - I 2 = 2(γ/α) (γ/ 2) I 4 + 4 °I (4o − 1) 3 + I 1 − 2(γ/α)I 2 + 2 (γ/α) 3 = 2I 5 + (4° − 1) 3 + I 1 − 2(γ/α)I 2 + 2 (γ/α) dvv3+2γ/αJ0 (vÃ3l)K γ/1(v), (64) dvv2+2γ/αJ0 (vÃ3l)Kγ/Ã1Kγ/α(v), (65) dvv3+2γ/αJ0 (vÃ3l)K γ/α(v), (66) dvv1+2γ/αJ0 (vÃ3l)K γ/1(v) (67) dvv2+2γ/α J1 (v.l.) K2γ/α(v). (68) Con el fin de proporcionar la contribución más relevante a (64)-(67), adoptamos el mismo pro- ceduro adoptado en la última sección: dividimos el intervalo de integración en dos partes, desde [0, 2η/l] y a partir de [2η/l/l/l/l/l). Una vez más, en el régimen de alta temperatura, en el segundo intervalo se puede descuidar debido a la decadencia exponencial del Bessel modificado función. Por último, utilizando las propiedades de la serie para la función Bessel [17], y después de algunos pasos intermedios, obtenemos: # Tó # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # γ,α,R )2γ/α 0, b 1, b 2, b , j = 1, 2, (69) donde γ,α,R (1 + 2γ/α) 2η3/2α 2 (1/2 + γ/α) 1/2 + 2γ/α) * (3 + 2γ/α) * (1 + γ/α) * (3 + 2γ/α) * (1 + γ/α) * (3 + 2γ/α) * (1 + γ/α) * (3 + 2γ/α) * (1 + γ/α) * (3 + 2γ/α) * (1 + γ/α) wNj − (γ/α)zNj wNj + (γ/α)z ser • 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 1 + 5(γ/α) + 8 (γ/α) + 4 (γ/α) 1 + 4(γ/α)− 8 1 + 3(γ/α) + 2 (γ/α) 2 = − 4 + 5(γ/α)− 4 (γ/α)2 − 8 1 + 4(γ/α) + 5 (γ/α) + 2 (γ/α) 3 = − 1 + 4(γ/α) + 8 (γ/α) + 8 (γ/α) 1 + 5(γ/α) + 8 (γ/α) + 4 (γ/α) Analizando el resultado podemos observar que el TCT se vuelve relevante en la región cercana al Tubo magnético. En esta región, es del mismo orden de magnitud que el sub-dominante contribución obtenida en [13] en el límite de alta temperatura. También es posible comprobar que para el factor de conformación • = 1/6, el rastro de la corrección desaparece, es decir, • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Para el tercer modelo, la nueva contribución está dada por: # Tó # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # μ(α,)G C, (3) T (x, x ′), (70) donde C, (3) T (x, x l 6=0 dJ0 ( + lβ)2 + (z)2 einDn(­R)Kn/α(­r)Kn/α(­r) ′). (71) Utilizando el mismo procedimiento adoptado para calcular la media térmica del cuadrado de campo, consideraremos solamente el componente n = 0 en la función verde térmica anterior. Substi- (71) en (70), utilizando la expresión aproximada al coeficiente D0, y tomando a tener en cuenta las mismas consideraciones para superar el problema integral que se encuentra en (53), obtener: "Tócalo" "Tócalo", "Ren". = − 4η2αr4 ln (q/r) 0, a 1, a 2, a , (72) donde los coeficientes a(0)μ son dados por las expresiones encontradas en el análisis precedente por tomando γ = 0. Por otra parte, en el régimen de alta temperatura ( 1), obtenemos: "Tócalo" "Tócalo", "Ren". = − 8 ° ° r 3 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° e-C/ Diagnóstico(b) 0, b 1, b 2, b 3 ). (73) Aquí también observamos que un efecto de largo alcance aparece, por lo tanto es tan relevante como la contribución subdominante proporcional a 1/βr3 para los puntos a gran distancia de la tubo. 5 Observaciones finales En este trabajo hemos analizado los efectos térmicos sobre la expectativa de vacío renormalizada valor del cuadrado de un campo escalar sin masa cargado,, y en el momentum de energía tensor, en el espacio-tiempo de cadena cósmica considerando la presencia de un flujo magnético de radio finito. Se han considerado tres configuraciones específicas de archivos magnéticos. Por podríamos expresar estos efectos de polarización del vacío como la suma de tres diferentes los términos siguientes: • La primera representa la contribución térmica que viene de la interacción ser- entre el campo cargado con un flujo magnético considerado como una línea que corre a lo largo del cuerda cósmica. Esta contribución se ha calculado exactamente en [13]. • El segundo término es la contribución de cero temperatura en la polarización del vacío debido al radio de no desaparición del tubo de flujo magnético. Esta contribución ha se analizó en detalle en [8]. • La tercera contribución es la nueva. Proviene de la combinación del non radio de desaparición del tubo de flujo magnético y la temperatura. Va a cero para R → 0 y para T → 0. Lamentablemente, esta nueva contribución no puede expresarse en términos de análisis función. Con el fin de proporcionar la información cuantitativa más importante sobre la mala conducta de esta contribución, adoptamos un procedimiento aproximado. Consideramos que este término en el régimen de alta temperatura. Haciendo esto fue posible, usando la serie propiedad de la función Bessel, para obtener una expresión analítica a esta corrección. Aparte de la contribución térmica homogénea a las polarizaciones del vacío, hay aparece en los cálculos de la media térmica del cuadrado de campo y el momentum de energía tensor, correcciones debidas a la geometría del espacio-tiempo, y debido al no-desavanecimiento flujo magnético. Este último presenta dos partes: una se da como el flujo magnético ser una línea correr a lo largo de la cadena, la contribución estándar, y la otra consecuencia de un finito radio transversal. Estas correcciones son sub-dominantes y dependen de la distancia a la cuerda. Para los dos primeros modelos para los campos magnéticos, las correcciones en el promedio debido al radio finito, son muy similares y sólo relevante en las regiones cercanas el tubo; en cuanto al tercer modelo, se convierte en tan importante como el estándar para grandes distancia. Aunque la estructura del campo magnético producida por una cadena cósmica de calibre U(1) no puede ser presentado por ninguna función analítica, su influencia en el vacío térmico los efectos de polarización de los campos de materia cargados tienen lugar sin duda. Así que en este caso, el las interacciones geométricas y magnéticas aportan contribuciones. La cuestión física pertinente Es lo importante que son. Al tratar de aclarar esta importante cuestión, adoptamos configuraciones de campos que nos permiten desarrollar un procedimiento analítico: asumimos que la extensión del campo magnético R es mucho más grande que el radio de la cadena cósmica considerado aquí 10 Así que nuestra conclusión principal es que: aunque la estructura de la campo no se puede entender muy bien, su influencia en la polarización del vacío térmico efecto puede ser tan relevante como la influencia de la gravitación archivada por sí misma. Una cuerda cósmica real estaría inmersa en un baño de radiación de calor primordial. Los comportamiento de los detectores de partículas cerca de cuerdas rectas inmersos en la radiación térmica, en espacio libre o pasando por agujeros negros, se ha analizado en [26]. La influencia de un campo magnético que rodea la cadena en este detector, se puede evaluar mediante el uso de la funciones térmicas correspondientes de Green calculadas en este artículo. Además, algunos resultados puede arrojar luz sobre los efectos de polarización del vacío inducidos por un configuración del vórtice en cosmología temprana, donde la temperatura del Universo era realmente Alto. Por estos resultados, podemos ver que las contribuciones térmicas a la expectativa de vacío 10De hecho, para la U(1)-gauge cadena cósmica la extensión del campo magnético es de aproximadamente 1 mientras que el radio de la cadena cósmica . Así que estamos considerando el caso donde >> 1. valor del cuadrado de campo y el tensor de energía-momento, modificar la temperatura cero las cantidades en esa época. Debido a esto, deben tenerse en cuenta en, para ex- amplia, la teoría de la formación de la estructura. Reconocimiento Uno de nosotros (ERBM) quiere agradecer a Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnológico (CNPq.) para un apoyo financiero parcial, FAPESQ-PB/CNPq. (PRONEX) y FAPES-ES/CNPq. (PRONEX). Bibliografía [1] Kibble T W, J. Phys. A 9, 1387 (1976). [2] A. Vilenkin, Phys. Rep., 121, 263 (1985). [3] N. B. Nielsen y P. Olesen, Nucl. Phys. B61, 45 (1973). [4] D. Garfinkle, Phys. Rev. D 32, 1323 (1985). [5] B. Linet, Phys. Lett. B 124, 240 (1987). [6] M. Christensen, A. L. Larsen e Y. Verbin, Phys. Rojo. D 60, 125012 (1999); Y. Brihaye y M. Lubo, ibíd., 62, 085005 (2000). [7] J. Spinelly y E. R. Bezerra de Mello, Int. J. Mod. Phys. A 17, 4375 (2002). [8] J. Spinelly y E. R. Bezerra de Mello, Class. 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En este artículo analizamos el efecto producido por la temperatura en el vacío polarización asociada con el campo escalar sin masa cargado en presencia de Tubo de flujo magnético en el espacio-tiempo de cadena cósmica. Tres diferentes las configuraciones de los campos magnéticos se tienen en cuenta: $(i)$ una homogénea campo dentro del tubo, $(ii)$ un campo proporcional a $1/r$ y $(iii)$ a carcasa cilíndrica con función $\delta$. En estos tres casos, el eje de la tubo infinitamente largo de radio $R$ coincide con la cuerda cósmica. Porque la complejidad de este análisis en la región dentro del tubo, consideramos la efecto térmico en la región exterior. Con el fin de desarrollar este análisis, construir la función térmica verde asociada a este sistema para los tres situaciones antes mencionadas considerando puntos en la región fuera del tubo. Calculamos explícitamente en el límite de alta temperatura, la media térmica de el cuadrado de campo y el tensor de energía-momento.

Introducción Es bien sabido que diferentes tipos de defectos topológicos pueden haber sido creados en el Universo temprano después del tiempo de Planck por la transición de fase de vacío [1, 2]. Entre ellos se incluyen los siguientes: muros de dominio, cuerdas cósmicas y monopolos. Entre ellos cuerda cósmica y monopolo parecen ser los mejores candidatos a ser detectados. * Correo electrónico: jspinelly@uepb.edu.br †E-mail: emello@fisica.ufpb.br http://arxiv.org/abs/0704.1990v2 Hace muchos años Nielsen y Olesen propusieron un modelo teórico compuesto por Higgs y campos de calibrado, que por una ruptura espontánea de la simetría de calibrador produce defecto lógico que lleva un flujo magnético llamado vórtice [3]. Unos años después, Garfinkle investigó la influencia de este objeto topológico en la geometría del espacio-tiempo [4]. Acoplamiento del tensor de energía-momento asociado con el sistema al Einstein ecuaciones, encontró soluciones estáticas cilíndricas simétricas. El autor también demostró que: asintóticamente el espacio tiempo alrededor del vórtice es un Minkowiski uno menos una cuña. Los núcleo del vórtice tiene un espesor no cero y el flujo magnético en el interior. Dos años después. Linet [5] obtuvo, bajo alguna condición específica, soluciones exactas para el conjunto completo de ecuación diferencial. Fue capaz de demostrar que la estructura del espacio-tiempo respectivo corresponde a una cónica, con el parámetro de conicidad expresado en términos de la energía por unidad de longitud del vórtice.1 En artículos recientes, hemos investigado los efectos de polarización del vacío asociados con campos escalares sin masa [7, 8] y fermiónicos [9, 10], en presencia de tubos de flujo magnético de radio finito en la cadena cósmica espacio tiempo a cero temperatura. En estos análisis considerábamos que los campos magnéticos están confinados en un tubo de radio infinitamente largo R alrededor de la cuerda cósmica. Tres configuraciones diferentes del campo magnético, H(r), son: teniendo en cuenta en nuestro análisis: i) H(r) = (R− r), campo homogéneo en el interior, (1) ii) H(r) = 2o Rr (R− r), campo proporcional a 1/r en el interior, (2) iii) H(r) = (r − R), carcasa cilíndrica, (3) donde R es la extensión del radio del tubo, • es la función del Heaviside y Φ es la flujo magnético total.2 La relación del flujo con el flujo cuántico Φo, se puede expresar por  = Φ/Φ0 = N + γ, donde N es la parte entera y 0 < γ < 1. En el marco de la teoría cuántica de campos a temperatura finita, un cantidad es la función térmica verde, Gβ(x, x ′). Para el campo escalar debe ser periódico en el tiempo imaginario con el período β, que es proporcional a la inversa del temperamento- ature. Debido a que estamos interesados en obtener la función verde térmica, es conveniente para trabajar en la continuación analítica euclidiana de la función verde que realiza un Wick rotación en la coordinación de tiempo, t → i♥. Por lo tanto, trabajaremos en la versión euclidiana de el espacio-tiempo de cadena cósmica idealizado, que en coordenadas cilíndricas, se puede describir por el elemento de línea a continuación: ds2 = d 2 + dr2 + α2r2dŁ2 + dz2, (4) donde α es un parámetro más pequeño que la unidad que codifica la presencia de dos cónicas superficie (r, ).3 1El análisis completo sobre el comportamiento del medidor y los campos de materia cerca del núcleo de la cadena cósmica sólo se puede obtener numéricamente. Algunos análisis numéricos recientes [6] sobre la estructura de supermasivos Las cuerdas cósmicas muestran que existen dos tipos diferentes de soluciones para el tensor métrico. 2Las configuraciones para el flujo magnético proporcionan el mismo flujo magnético en la perpendicular de dos superficies al eje z en el sistema de coordenadas definido en (4). 3Para una Teoría Unificada típica, α = 1−O(10−6). Los efectos de polarización del vacío asociados con un campo escalar cargado debido a un mag- campo netic confinado en un tubo de radio finito en el espacio-tiempo de Minkowski se ha analizado por primera vez por Serebryanyi [11]. Unos años más tarde este análisis, para un espacio de cuerda cósmica idealizado- tiempo, ha sido considerado por Guimarães y Linet [12]; sin embargo, el flujo magnético fue considerado como una línea que corre a través de la cadena. El efecto de la temperatura sobre Esta polarización del vacío también fue investigada por Guimarães en [13]. En este contexto, inspirados en nuestro trabajo anterior [7, 8], decidimos investigar el efecto del temperamento- ature sobre los efectos de polarización del vacío asociados con el campo escalar sin masa cargado en presencia de un tubo de flujo magnético en el espacio-tiempo de la cadena cósmica, considerando los tres dif- configuraciones feroces del campo magnético dado antes. El procedimiento estándar a desarrollar este análisis es mediante el cálculo de la respectiva función verde euclidiana térmica. Esto puede se haga para un espacio-tiempo ultrastático4 conociendo la función verde a cero tempera- tura. Análisis de los efectos térmicos sobre los efectos de polarización del vacío asociados con campos bosónicos y fermónicos sin masa en el espacio tiempo monopolo global considerado en [14, 15, 16] hace pocos años. Este artículo está organizado de la siguiente manera: En la sección 2 calculamos el euclidiano térmico Función verde asociada con el sistema para los tres modelos diferentes de campos. Utilizando los resultados obtenidos, calculamos en las secciones 3 y 4, el valor de expectativa de vacío renormalizado del cuadrado de campo y el momentum de energía tensor, respectivamente. Dejamos para la sección 4 nuestras conclusiones. 2 La función verde térmica euclidiana La función verde asociada con el campo escalar sin masa cargado a temperatura cero en presencia de un campo electromagnético, debe obedecer a los siguientes no homogéneos ecuación diferencial de segundo orden Asunto C-352/98 Comisión / Reino de los Países Bajos Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas G(x, x ) = (4)(x− x′), (5) donde Dμ = − ieAμ, siendo Aμ el potencial de cuatro vectores. Para reproducir las configuraciones de los campos magnéticos a lo largo de la dirección z dada por (1)-(3), escribimos el potencial vectorial por Aμ = (0, 0, A(r), 0), con A(r) = a(r). 6) Para los dos primeros modelos considerados, podemos representar la función radial a(r) por: a(r) = f(r)•(R− r) + (r − R), (7) f(r) = r2/R2, para el modelo i) y r/R, para el modelo ii). Para el tercer modelo, a(r) = (R− r). (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. 4Un espacio tiempo ultrastático admite un sistema de coordenadas definido globalmente en el que los componentes de la El tensor métrico es independiente del tiempo y las condiciones g00 = 1 y g0i = 0 mantienen Como hemos mencionado, en este trabajo continuaremos en la misma línea de investigación. comenzó en [7, 8], calculando en este momento, la contribución térmica en el efectos de ización en la región fuera del tubo magnético para los tres campos magnéticos bajo consideración. El verde euclidiano funciona para puntos fuera del tubo de flujo magnético a cero- la temperatura se indica a continuación: • Para los modelos i) y ii), T=0(x, x eiN 8γ2αrr′ sinh u0 ei sinh(γu0/α) + sinh[(1− γ)u0/α] cosh(u0/α)− cos dJ0 ()2 + (z)2 einDjn(lR)K(lr)K(lr ′), j = 1, 2, (10) donde n−N− γ , (11) cosh uo = r2 + r + ()2 + (z)2 Djn(­R) = H ′j(R)I(­R)−Hj(R)I (­R) Hj(R)K (­R)­H ′j(R)K(­R) . (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. En las ecuaciones anteriores las funciones Hj(r) son dadas por: H1(r) = M.O.E.L.A. , (14) con 1 = ( − 2R2α )/2 y 1 = n/2α, y H2(r) = M.e.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m. con 2 = (­2 + ­2R2α2)­1/2, ­2 = n/α y ­ = (­2 + ­2R2α2)1/2. Además, Me, es la función Whittaker, mientras que I e K son las funciones de Bessel modificadas [17]. • Para el modelo (iii), tenemos T=0(x, x 8γ2αrr′ sinh u0 sinh(u0/α) cosh(uo/α)− cos dJ0 ()2 + (z)2 einDn(­R)Kn/(­r)Kn/(­r) ′). 16) donde Dn(­R) = (R)In/(R)−I(R)I n/α(R) I(R)K n/α(R)− I (I R)Kn/α(I R) . (17) Podemos observar que el primer término en el lado derecho de (10) es, hasta un calibre transformación, equivalente al resultado presentado por Guimarães y Linet [12] para una campo escalar sin masa en presencia de un flujo magnético que corre a través de la cuerda cósmica; y en cuanto a (16), su primer término corresponde a los resultados encontrados por Smith [18] y por Linet en [19] para un campo escalar sin masa sin carga. Sin embargo, los segundos términos de las expresiones de cabinas representan correcciones en las respectivas funciones verdes debidas a un radio no desvaneciente R atribuido al flujo magnético; fuera de curso estas correcciones desaparecen cuando tomamos R → 0. Según la prescripción dada en los artículos por Braden [20] y página [21], el función verde térmica, GT (x, x ′), puede expresarse en términos de la suma GT (x, x GT=0(x, x ′ − l), (18) donde es el vector unitario de tiempo "Euclidiano" y β = 1/kBT, siendo kB el Boltz- Mann constante y T la temperatura absoluta. De acuerdo con las ecuaciones (10), (16) y (18), las funciones térmicas verdes asociado con el campo escalar sin masa en el espacio-tiempo de cadena cósmica y en la presencia del campo magnético, están dadas por: • Para los modelos i) y ii), T (x, x ′) = G T (x, x dJ0 ( + lβ)2 + (z)2 einDjn(lR)K(lr)K(lr ′), j = 1, 2. (19) • Para el modelo iii), T (x, x ′) = GT (x, x dJ0 ( + lβ)2 + (z)2 einDn(­R)Kn/α(­r)Kn/α(­r) ′). (20) Las funciones térmicas Verde G T (x, x ′) y GT (x, x ′) que aparecen en (19) y (20) han sido obtenidos hace unos años por Guimarães [13] y Linet [22], respectivamente. Por lo tanto, nosotros no se repetirán. De hecho, lo que realmente nos interesa en este artículo es analizar la términos segundos en estas funciones verdes, que corresponden a las contribuciones térmicas debido al espesor finito admitido para el tubo de flujo magnético. 3 La Computación de (x)(x)Ren. en No Cero Tem- peratura El objetivo principal de esta sección es investigar los efectos producidos por la temperatura en el valor de expectativa de vacío renormalizado del cuadrado del escalar sin masa cargado campo, (x)(x), en presencia de un tubo de flujo magnético de radio finito. Formalmente esto cantidad se da tomando el límite de coincidencia de la función verde: (x)(x)T = lim GT (x, x ′). (21) Sin embargo, este procedimiento ofrece un resultado divergente y la divergencia viene exclusivamente desde los primeros términos del lado derecho de (19) y (20)5. Con el fin de obtener un finito y resultado bien definido, debemos aplicar algún procedimiento de renormalización. Aquí adoptaremos el punto-dividir la renormalización uno. Se ha observado que el comportamiento singular de la función verde tiene la misma estructura que la dada por el Hadamard, que en la otra mano se puede escribir en términos del cuadrado de la distancia geodésica entre dos puntos. Por lo tanto, aquí vamos a adoptar la siguiente prescripción: restamos del verde función el Hadamard uno antes de aplicar el límite de coincidencia como se muestra a continuación: (x)(x)T,Ren. = lim [GT (x, x ′)−GH(x, x′)]. (22).............................................................................................................................................................................................................................................................. Podemos escribir el resultado como: (x)(x)T,Ren. = (x)(x)T,Reg. + (x)(x)CT=0 + (x)(x)CT. 23) El primer término en el lado derecho de la expresión anterior, representa, para el modelos (i) y (ii), la contribución térmica procedente de la interacción entre carga campo escalar sin masa con un flujo magnético considerado como una línea que corre a lo largo del cósmico cuerda. Del documento de Guimarães [13], este término es: (x)(x)T,Reg. = 16η2° ° ° r r cosh u/2 cosh u/2 F (γ)α (u, 0) du, (24) donde F (γ)α (u, 0) = −2 sin [/α] cos [u (1− γ) /α] + sin [u (1− γ) /α] cos [/α] cosh u/ cosγ/α . (25) Para el modelo (iii) una expresión análoga se puede obtener de la anterior, por tomando γ = 06. (Un aspecto interesante de estos resultados es que las polarizaciones del vacío depende sólo de la parte fraccional de la ración del flujo magnético por el cuántico, En el límite de alta temperatura (β → 0), Guimarães demostró que, (x)(x)T,Reg. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * M (γ) , (26) donde la constante M (γ) es dada por M (γ) = 16η2α F (γ)α (u, 0) cosh(u/2) du, (27) 5Una característica especial de estas funciones verdes es que la corrección debido al radio del tubo magnético es finito en el límite de coincidencia. 6 Véase el documento [22]. y en el límite de temperatura cero (β → فارسى), (x)(x)T,Reg. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * , (28) con γ(γ) dada por (γ) = − 1 γ − 1 . 29).............................................................................................................................................................................................................................................................. Los dos últimos términos en (23) son correcciones en la polarización del vacío debido a espesor del radio del tubo magnético y temperatura no cero. El término 2(x)+CT=0, corresponde a la corrección debido al espesor finito del radio del tubo solamente, se dio en [7, 8]. Para los dos primeros modelos las correcciones son similares. Se les da por el componente l = 0 in (19), y debe decir (2η)2α Din(ŁR)K * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (30) Porque estamos principalmente interesados en estudiar la polarización del vacío para puntos muy lejanos de la cuerda cósmica, vamos a considerar R/r â € 1. Comparando el comportamiento de Din(?R) con el comportamiento de K2(r), hemos demostrado que podemos aproximar el integrand de (30) asumiendo al coeficiente Djn su expansión de primer orden en R, que dice: Djn(­R) = − *( + 1)*() wnj − znj wnj + znj )2 , (31) donde wn1 = N-N-N-N-O-N-O-N-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O Mlnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn Mγ1,l/α, (32) zn1 = M wn2 = N-N-N-N-O-N-O-N-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O M.e.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.,.m.m.,.m.m.,.m.m.,.m.,.m.,.m.,.m.m.,.m.,.m.m.,.m.,.m.m.,.m. Mγ2......................................................................................................................................................... zn2 = M­2,­1(2­°/α), (35) γ1 = (n+2α)/2α, γ2 = (n)/α y = N-N-N-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T . Las contribuciones más importantes en (30) proviene del componente n = N en la suma. De esta manera, considerando Únicamente el término dominante, las correcciones se efectuarán mediante: (x)(x)CT=0 = − (2η)2r2 α(2γ + α) wNj − (γ/α)zNj wNj + (γ/α)z )2γ/α . (36) Como podemos ver las correcciones presentan dependencia adicional de la coordenada radial, conse- quently son apreciables sólo en la región cerca del tubo. En cuanto al tercer modelo ocurre un fenómeno muy interesante. Para n 6= 0, la El coeficiente Dn(­R) en (16) desaparece al menos tan rápido como (­R) 2n/α cuando R → 0. En el Por otra parte, D0(R) desaparece sólo con la inversa del logaritmo, tan lentamente. In de esta manera la contribución más relevante a la suma proviene de n = 0. Para esto D0(­R) = + C − α/ , (37) donde C es la constante Euler. En [8] hemos demostrado explícitamente que la corrección en el efecto de polarización del vacío para el tercer modelo, consecuencia de un radio de el flujo magnético viene dado principalmente por: (x)(x)CT=0 = − 8γ2αr2 ln e-C/ ). 38) También hemos demostrado que para α = 0.99 y  = 0.2 este término es del mismo orden de la valor de expectativa de vacío estándar del cuadrado de campo en ausencia de flujo magnético, arriba a la distancia r que excede el radio del Universo observable. Como ya hemos mencionado, el último término en (23), (x)(x)CT, es consecuencia de efectos combinados del espesor no desvaneciente del tubo magnético y de la temperatura. Se trata de una nueva contribución y nos centraremos en ella. Para los dos primeros modelos, este término puede ser expresado por (x)(x)CT = 2γ2αr2 dvvJ0 (vÃ3l) Djn(vR/r)K (v), j = 1, 2, (39) con • = β/r. En la expresión anterior hemos introducido una variable adimensional v = Łr. Como en el análisis de temperatura cero, porque estamos considerando R/r â € 1, la mayoría contribución importante para el resumen anterior proviene del componente n = N. Así que, sobre la base de lo que ya hemos discutido para puntos muy lejos de la cadena, ecuación (39) puede ser aproximado a (x)(x)CT = − (2η)2αr2 *(γ/α + 1)*(γ/α) wNj − (γ/α)zNj wNj + (γ/α)z )2γ/α dvv1+2γ/αJ0 (vÃ3l)K /(v), j = 1, 2. (40) De la expresión anterior podemos observar que el contenido térmico de esta corrección figura en el resumen S que figura a continuación: S(­) = dvv1+2γ/αJ0 (vÃ3l)K /(v). 41) Por desgracia, no es posible obtener una expresión cerrada a este término, y proporcionar un información completa sobre el comportamiento térmico de (40); por otro lado, es posible para dar su información principal. Con el fin de hacer eso dividiremos la integral arriba en dos partes: a partir de [0, 2η/l] y a partir de [2η/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l/l). Debido a la fuerte decadencia exponencial de la función modificada de Bessel para un argumento amplio, la contribución en el intervalo [2 puede ser descuidado en el régimen de alta temperatura, es decir, para 1; además, utilizando la serie propiedades de la función Bessel [17], J0(vÃ3l) = − , 0 < v < 2 (41) se puede aproximar a S(­) = −1 dvv1+2γ/αK2/(v) + dvv2γ/αK2/(v). (43) En el límite de alta temperatura la contribución más relevante es dada por el segundo término. Adopción del mismo criterio de aproximación para descartar la integral val [2], podemos evaluar la integral tomando su límite superior va al infinito. In De esta manera, la contribución más relevante al efecto de polarización del vacío térmico es [17]7: S(­) = 22−2γ/α 2 (1/2 + γ/α) 1/2 + 2γ/α) * (1 + 2γ/α) . (44) En consecuencia, en el régimen de alta temperatura el término de corrección, (x)(x)CT, es dom- Inaugurado por: (x)(x)CT = − (γ,α,R) )2γ/α , j = 1, 2, (45) (γ,α,R) 4η3/2α 2 (1/2 + γ/α) 1/2 + 2γ/α) * (1 + 2γ/α) *(1 + γ/α) *(γ/α) wNj − (γ/α)zNj wNj + (γ/α)z Por lo tanto, la expresión para el valor de expectativa de vacío renormalizado del cuadrado de la campo escalar sin masa cargado, en el límite de alta temperatura, está dada por (x)(x)T,Ren. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * M (γ) (γ,α,R) )2γ/α . (46) De esta expresión podemos observar que las dos contribuciones sub-dominantes son de la el mismo orden de magnitud para los puntos cercanos al tubo. Para el tercer modelo, (x)(x)CT, se da por la expresión siguiente: (x)(x)CT = 2γ2αr2 dvvJ0 (vÃ3l) Dn(vR/r)K n/α(v). (47) Una vez más, como en el análisis de temperatura cero del efecto de polarización del vacío, el la contribución más relevante proviene del componente n = 0 de la suma anterior para R/r â € 1. El coeficiente correspondiente es: D0(vR/r) = ln (v/qr) , (48) donde e-C/♥. (49) De esta manera (47) puede ser escrito por: (x)(x)CT = 2γ2αr2 S̄(Ł), (50) 7Por análisis numérico, en [24] hemos llegado a S(l), el mismo comportamiento que se encuentra aquí, es decir, S(l). donde S̄(­) = dvvJ0 (vÃ3l) D0 (vR/r) K 0 v). (51) Aplicando la propiedad de sumación anterior a las funciones de Bessel, en régimen de temperatura, (51) puede ser dado por S̄(­) = − dvvD0(vR/r)K 0 v) + dvD0(vR/r)K 0 v). (52) Por lo que se refiere a la primera parte, la contribución más relevante a S̄ se da por segundo término; además, en este límite podemos obtener unas expresiones aproximadas para él tomando el límite superior de la integral va al infinito. De esta manera (52) puede ser evaluado por S̄() K20 (v) ln(v)− ln(qr) . (53) Desafortunadamente esta expresión presenta un polo para v = qr. Sin embargo, este polo es... secuencia de la aproximación adoptada y está situada en la región en la que La aproximación ya no es válida8. De hecho, la expresión completa a D0(vR/r) no tiene singu- Larity. D0 es una función poco a poco creciente de v. Como hemos mencionado, la expresión completa hasta el coeficiente D0 desaparece con la inversa del logaritmo para v 0, y crece menos más lento que e2vR/r para v grande. El cuadrado de la función modificada de Bessel, K20, proporciona una divergencia logarítmica integrable para un argumento pequeño, y decae con e−2v para un argumento grande argumentación. Excepto por el muy pequeño valor de v, donde la contribución dominante a D0 es dado por 1/ ln(v), D0 puede ser bien aproximado por 9-1/ ln(qr). En la figura 1, este argumento también está justificada numéricamente. Allí, se exhibe el comportamiento del integrand exacto de S(l), y su expresión aproximada descartando el factor ln(v) en el denominador, para valores específicos de los parámetros. Aceptando los argumentos anteriores, podemos representar la contribución principal a (53) mediante: S̄(­) = − 1 * ln(qr) dvK20(v), (54) Consecuentemente obtenemos (x)(x)CT = − 8 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° e-C/ ]. (55) Ahora para este modelo, la expresión al efecto de polarización del vacío renormalizado en valores límite de alta temperatura (x)(x)T,Ren. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * M (γ) 8 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° e-C/ ]. (56) 8Para γ = 0,2, N = 0 y α = 0,99, qr = 2r eCâ € / € es de orden 105 para r / R = 103, por lo que vR / r = 102 consecuentemente más grande que la unidad. 9En [23], B. Allen en absoluto adoptó un procedimiento similar para proporcionar una expresión aproximada a la valor de expectativa de vacío del cuadrado de campo en la cadena cósmica espacio-tiempo considerando una estructura general a su núcleo; en [8] este procedimiento también se ha adoptado para calcular el. 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 Figura 1: La curva discontinua corresponde exactamente al integrand del segundo término de la lado derecho de (52), y la línea sólida la expresión aproximada que descarta ln(v) en el denominador de (53). En el análisis numérico hemos utilizado α = 0,99, γ = 0,2, N = 0 y r/R = 103. Sobre la base de la discusión anterior sobre el efecto de polarización del vacío a cero ature, podemos concluir que aunque es sub-dominante, la corrección térmica debido a el radio de no desaparición del tubo de flujo magnético, es tan relevante como el término estándar pro- porcionado a 1/βr, para puntos a una distancia muy grande de la cadena cósmica. En consecuencia, puede considerarse un efecto de largo alcance. 4 La Computación de "Táñe (x)"Ren. en No Cero Tem- peratura El tensor de energy-momentum, TŁ(x), es una función bilineal de los campos, por lo que podemos evaluar su valor de expectación de vacío, â € € TM t(x)â €, por el método estándar utilizando el verde función [25]. El promedio de vacío térmico, por lo tanto, también puede obtenerse mediante el uso de la función verde térmica. El valor de expectativa de vacío renormalizado del tensor de energía-momento a non- la temperatura cero para el sistema adoptado aquí puede calcularse mediante: "Tócalo" "Tócalo", "Ren". = lim μ(α,)GT (x, x ′)−D(1,0)GH(x, x′)], (57) en la que el Tribunal de Primera Instancia decidió: μ(α) es un operador diferencial no local de segundo orden en presencia de un campo neto y cadena cósmica, definido por μ(α,) = (1− 2)DμD (DμD/D/+D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D/D 2 − 1 DÔD , (58) • ser el acoplamiento de curvatura no mínima. En la expresión anterior consideramos que D♥ = ieA♥, con siendo el derivado gravitacional covariante y la barra denotando conjugado complejo. Volveremos a considerar la configuración del campo magnético dada por (7) y (8) para los dos primeros modelos, y por (9) para el tercer modelo. Las correspondientes aguas termales Función verde, GT (x ′, x), se dan por (19) y (20), respectivamente. Debido a la forma de la función verde, podemos expresar (57) por Tócalo (x) T, Ren. = Tó (x)T, Reg. + Tó (x)CT=0 + Tó (x)CT. (59) El primer y segundo término del lado derecho de la expresión anterior ya tiene se calculó en [13] y [8], respectivamente. En cuanto al primer término, Guimarães ha mostrado Tócalo (x) T, Reg. = diag(−3, 1, 1, 1) + donde el segundo término en el lado derecho se da en términos de cinco integrales. Sin embargo, el autor pudo demostrar que en el límite de alta temperatura (β → 0), este término es proporcional a 1/βr3, y en el límite de la temperatura cero (β → فارسى) Tó (x)T,Ren. es proporcional a 1/r4. El segundo término en (59), "Tó" (x)" CT=0, es consecuencia de un no- radio de desaparición al flujo magnético. Para los dos primeros modelos, su la contribución es proporcional a (1/r4)(R/r)2γ/α, por lo que sólo es pertinente en la región cerca del tubo magnético; por otro lado, para el tercer modelo este término presenta un largo efecto de rango, similar a lo que sucede en el valor de expectativa de vacío del cuadrado de campo. La nueva contribución, "Táñe (x)''CT", es consecuencia de un radio no evasivo atribuido a el tubo de flujo magnético y la temperatura. Para los dos primeros modelos este término es dado por # Tó # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # μ(α,)G C, j) T (x, x ′), (61) C, j) T (x, x l 6=0 dJ0 ( + lβ)2 + (z)2 einDjn(lR)K(lr)K(lr ′), j = 1, 2. (62) De acuerdo con el mismo procedimiento adoptado en la última sección, examinaremos únicamente la n = componente N en la suma. Sustituyendo (62) por (61), y utilizando la expresión inmatada al coeficiente D N, después de largo cálculo llegamos a la siguiente resultado: # Tó # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4γ2αr4 * (γ/α) * (1 + γ/α) wNj − (γ/α)zNj wNj + (γ/α)z )2γ/α 0, a 1, a 2, a donde 0 = (4° − 1) 3 + I 1 − 2(γ/α)I 2 + 2 (γ/α) 1 = I 1 − 2 (γ/α + 2+) I 2 + 4°(γ/α)I 4 - I 2 = 2(γ/α) (γ/ 2) I 4 + 4 °I (4o − 1) 3 + I 1 − 2(γ/α)I 2 + 2 (γ/α) 3 = 2I 5 + (4° − 1) 3 + I 1 − 2(γ/α)I 2 + 2 (γ/α) dvv3+2γ/αJ0 (vÃ3l)K γ/1(v), (64) dvv2+2γ/αJ0 (vÃ3l)Kγ/Ã1Kγ/α(v), (65) dvv3+2γ/αJ0 (vÃ3l)K γ/α(v), (66) dvv1+2γ/αJ0 (vÃ3l)K γ/1(v) (67) dvv2+2γ/α J1 (v.l.) K2γ/α(v). (68) Con el fin de proporcionar la contribución más relevante a (64)-(67), adoptamos el mismo pro- ceduro adoptado en la última sección: dividimos el intervalo de integración en dos partes, desde [0, 2η/l] y a partir de [2η/l/l/l/l/l). Una vez más, en el régimen de alta temperatura, en el segundo intervalo se puede descuidar debido a la decadencia exponencial del Bessel modificado función. Por último, utilizando las propiedades de la serie para la función Bessel [17], y después de algunos pasos intermedios, obtenemos: # Tó # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # γ,α,R )2γ/α 0, b 1, b 2, b , j = 1, 2, (69) donde γ,α,R (1 + 2γ/α) 2η3/2α 2 (1/2 + γ/α) 1/2 + 2γ/α) * (3 + 2γ/α) * (1 + γ/α) * (3 + 2γ/α) * (1 + γ/α) * (3 + 2γ/α) * (1 + γ/α) * (3 + 2γ/α) * (1 + γ/α) * (3 + 2γ/α) * (1 + γ/α) wNj − (γ/α)zNj wNj + (γ/α)z ser • 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 1 + 5(γ/α) + 8 (γ/α) + 4 (γ/α) 1 + 4(γ/α)− 8 1 + 3(γ/α) + 2 (γ/α) 2 = − 4 + 5(γ/α)− 4 (γ/α)2 − 8 1 + 4(γ/α) + 5 (γ/α) + 2 (γ/α) 3 = − 1 + 4(γ/α) + 8 (γ/α) + 8 (γ/α) 1 + 5(γ/α) + 8 (γ/α) + 4 (γ/α) Analizando el resultado podemos observar que el TCT se vuelve relevante en la región cercana al Tubo magnético. En esta región, es del mismo orden de magnitud que el sub-dominante contribución obtenida en [13] en el límite de alta temperatura. También es posible comprobar que para el factor de conformación • = 1/6, el rastro de la corrección desaparece, es decir, • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Para el tercer modelo, la nueva contribución está dada por: # Tó # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # μ(α,)G C, (3) T (x, x ′), (70) donde C, (3) T (x, x l 6=0 dJ0 ( + lβ)2 + (z)2 einDn(­R)Kn/α(­r)Kn/α(­r) ′). (71) Utilizando el mismo procedimiento adoptado para calcular la media térmica del cuadrado de campo, consideraremos solamente el componente n = 0 en la función verde térmica anterior. Substi- (71) en (70), utilizando la expresión aproximada al coeficiente D0, y tomando a tener en cuenta las mismas consideraciones para superar el problema integral que se encuentra en (53), obtener: "Tócalo" "Tócalo", "Ren". = − 4η2αr4 ln (q/r) 0, a 1, a 2, a , (72) donde los coeficientes a(0)μ son dados por las expresiones encontradas en el análisis precedente por tomando γ = 0. Por otra parte, en el régimen de alta temperatura ( 1), obtenemos: "Tócalo" "Tócalo", "Ren". = − 8 ° ° r 3 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° e-C/ Diagnóstico(b) 0, b 1, b 2, b 3 ). (73) Aquí también observamos que un efecto de largo alcance aparece, por lo tanto es tan relevante como la contribución subdominante proporcional a 1/βr3 para los puntos a gran distancia de la tubo. 5 Observaciones finales En este trabajo hemos analizado los efectos térmicos sobre la expectativa de vacío renormalizada valor del cuadrado de un campo escalar sin masa cargado,, y en el momentum de energía tensor, en el espacio-tiempo de cadena cósmica considerando la presencia de un flujo magnético de radio finito. Se han considerado tres configuraciones específicas de archivos magnéticos. Por podríamos expresar estos efectos de polarización del vacío como la suma de tres diferentes los términos siguientes: • La primera representa la contribución térmica que viene de la interacción ser- entre el campo cargado con un flujo magnético considerado como una línea que corre a lo largo del cuerda cósmica. Esta contribución se ha calculado exactamente en [13]. • El segundo término es la contribución de cero temperatura en la polarización del vacío debido al radio de no desaparición del tubo de flujo magnético. Esta contribución ha se analizó en detalle en [8]. • La tercera contribución es la nueva. Proviene de la combinación del non radio de desaparición del tubo de flujo magnético y la temperatura. Va a cero para R → 0 y para T → 0. Lamentablemente, esta nueva contribución no puede expresarse en términos de análisis función. Con el fin de proporcionar la información cuantitativa más importante sobre la mala conducta de esta contribución, adoptamos un procedimiento aproximado. Consideramos que este término en el régimen de alta temperatura. Haciendo esto fue posible, usando la serie propiedad de la función Bessel, para obtener una expresión analítica a esta corrección. Aparte de la contribución térmica homogénea a las polarizaciones del vacío, hay aparece en los cálculos de la media térmica del cuadrado de campo y el momentum de energía tensor, correcciones debidas a la geometría del espacio-tiempo, y debido al no-desavanecimiento flujo magnético. Este último presenta dos partes: una se da como el flujo magnético ser una línea correr a lo largo de la cadena, la contribución estándar, y la otra consecuencia de un finito radio transversal. Estas correcciones son sub-dominantes y dependen de la distancia a la cuerda. Para los dos primeros modelos para los campos magnéticos, las correcciones en el promedio debido al radio finito, son muy similares y sólo relevante en las regiones cercanas el tubo; en cuanto al tercer modelo, se convierte en tan importante como el estándar para grandes distancia. Aunque la estructura del campo magnético producida por una cadena cósmica de calibre U(1) no puede ser presentado por ninguna función analítica, su influencia en el vacío térmico los efectos de polarización de los campos de materia cargados tienen lugar sin duda. Así que en este caso, el las interacciones geométricas y magnéticas aportan contribuciones. La cuestión física pertinente Es lo importante que son. Al tratar de aclarar esta importante cuestión, adoptamos configuraciones de campos que nos permiten desarrollar un procedimiento analítico: asumimos que la extensión del campo magnético R es mucho más grande que el radio de la cadena cósmica considerado aquí 10 Así que nuestra conclusión principal es que: aunque la estructura de la campo no se puede entender muy bien, su influencia en la polarización del vacío térmico efecto puede ser tan relevante como la influencia de la gravitación archivada por sí misma. Una cuerda cósmica real estaría inmersa en un baño de radiación de calor primordial. Los comportamiento de los detectores de partículas cerca de cuerdas rectas inmersos en la radiación térmica, en espacio libre o pasando por agujeros negros, se ha analizado en [26]. La influencia de un campo magnético que rodea la cadena en este detector, se puede evaluar mediante el uso de la funciones térmicas correspondientes de Green calculadas en este artículo. Además, algunos resultados puede arrojar luz sobre los efectos de polarización del vacío inducidos por un configuración del vórtice en cosmología temprana, donde la temperatura del Universo era realmente Alto. Por estos resultados, podemos ver que las contribuciones térmicas a la expectativa de vacío 10De hecho, para la U(1)-gauge cadena cósmica la extensión del campo magnético es de aproximadamente 1 mientras que el radio de la cadena cósmica . Así que estamos considerando el caso donde >> 1. valor del cuadrado de campo y el tensor de energía-momento, modificar la temperatura cero las cantidades en esa época. Debido a esto, deben tenerse en cuenta en, para ex- amplia, la teoría de la formación de la estructura. Reconocimiento Uno de nosotros (ERBM) quiere agradecer a Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnológico (CNPq.) para un apoyo financiero parcial, FAPESQ-PB/CNPq. (PRONEX) y FAPES-ES/CNPq. (PRONEX). Bibliografía [1] Kibble T W, J. Phys. A 9, 1387 (1976). [2] A. Vilenkin, Phys. Rep., 121, 263 (1985). [3] N. B. Nielsen y P. Olesen, Nucl. Phys. B61, 45 (1973). [4] D. Garfinkle, Phys. Rev. D 32, 1323 (1985). [5] B. Linet, Phys. Lett. B 124, 240 (1987). [6] M. Christensen, A. L. Larsen e Y. Verbin, Phys. Rojo. D 60, 125012 (1999); Y. Brihaye y M. Lubo, ibíd., 62, 085005 (2000). [7] J. Spinelly y E. R. Bezerra de Mello, Int. J. Mod. Phys. A 17, 4375 (2002). [8] J. Spinelly y E. R. Bezerra de Mello, Class. 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Single pion electro-- and neutrinoproduction on heavy targets

arXiv:0704.1991v1 [hep-ph] 16 Abr 2007 Preimpresión tipográfica en estilo JHEP - HYPER VERSION DO-TH 07/05 LPSC 07-29 SMU-HEP 07-07 Producción de electro- y neutrinos de un solo pión sobre piezas pesadas objetivos E. A. Paschos Theoretische Physik III, Universidad de Dortmund, D-44221 Dortmund, Alemania Correo electrónico: paschos@physik.uni-dortmund.de I. Schienbein Laboratoire de Physique Subatomique et de Cosmologie, Université Joseph Fourier/CNRS-IN2P3, 53 Avenue des Martyrs, F-38026 Grenoble, Francia Correo electrónico: schien@lpsc.in2p3.fr J.-Y. Yu Universidad Metodista del Sur, Dallas, Texas 75275, EE.UU. Correo electrónico: yu@physics.smu.edu Resumen: Presentamos un cálculo de secciones transversales de electroproducción de un solo pión en objetivos pesados en la región cinemática de la resonancia de......................................................................................................................................................................................................................................................... Estado final de las interacciones de los piones se tienen en cuenta utilizando el modelo de dispersión múltiple pion de Adler, Nussinov y Paschos (modelo ANP). Para la electroproducción y las reacciones de corriente neutra obtenemos resultados para objetivos de carbono, oxígeno, argón y hierro y encontrar una reducción significativa de la W-espectra para η0 en comparación con el caso de nucleón libre. Por otro lado, el acusado Los espectros pion están muy poco afectados por las interacciones del estado final. Medición de dicha cruz secciones con el detector CLAS en JLAB podrían ayudar a mejorar nuestra comprensión de pion Rescatar efectos y servir como entrada importante/valuable para los cálculos de un solo pión neutrinoproducción sobre objetivos pesados relevantes para el neutrino de larga duración actual y futuro experimentos. Dos proporciones, en Eq. (3.8) y (3.10), probarán las propiedades importantes de la modelo. Palabras clave: producción de un solo pion, efectos nucleares, experimentos de larga base. http://arxiv.org/abs/0704.1991v1 mailto:paschos@physik.uni-dortmund.de mailto:schien@lpsc.in2p3.fr mailto:yu@physics.smu.edu http://jhep.sissa.it/stdsearch Sumario 1. INTRODUCCIÓN 1 2. Secciones transversales libres de nucleones 3 3. Secciones transversales para objetivos pesados 5 3.1 Redispersión de piones en el modelo ANP 5 3.2 Resultados de las diversas metas 7 3.2.1 Neutrinoproducción 7 3.2.2 Electroproducción 7 4. Resumen 9 A. Matrices de cambio de carga en la aproximación del doble promedio 11 B. Matrices de cambio de carga para diversas cantidades de absorción de piones 11 C. Matrices de cambio de carga hacia adelante y hacia atrás 12 1. Introducción Las interacciones de neutrinos en energías bajas y medianas están atrayendo la atención porque se medirán con precisión en la nueva generación de experimentos [1, 2]. Uno de los objetivos de la experimentos es medir la forma precisa de las secciones transversales y su dependencia sobre los parámetros de entrada. De esta manera comprobamos sus acoplamientos y comparamos el funcionamiento dependencia de los factores de forma, donde las desviaciones de la dependencia dipolo ya han se han establecido (véase, por ejemplo, Figura 1 en [3] y referencias en ella). Desviación del estándar las predicciones del modelo pueden surgir de las propiedades de los neutrinos o de los nuevos acoplamientos de los bosones del medidor a las partículas en el objetivo. Otro objetivo de los experimentos es establecer las propiedades de los neutrinos, incluidas sus masas, mezclas y sus fermiones naturaleza (partículas Dirac o Majorana). Este programa requiere una buena comprensión de la secciones transversales, lo que motivó una nueva generación de cálculos. Desde que los experimentos utilizan objetivos nucleares, como C12, O16, Ar40, Fe56,... es necesario entender las modificaciones provocados por los objetivos. Los cálculos muy antiguos para la dispersión cuasi-elástica y excitación de resonancia en libre nucleones [4, 5] han sido sustituidos por nuevos resultados cuando los acoplamientos y los factores de forma son ahora mejor decidido. Para las comparaciones de acoplamientos vectoriales con datos de electroproducción han sido muy útiles [3, 6]. Los acoplamientos axiales son frecuentemente determinados por PCAC. Ahí está. ya son mejoras y controles de los modelos quark anteriores [7]. Comparaciones con – 1 – datos experimentales también están disponibles a pesar de que los resultados experimentales no siempre son concordantes [8, 9, 10] pero hay planes de mejoras que resolverán las diferencias [1, 2]. En cuanto a las reacciones sobre objetivos nucleares, se han producido modificaciones por parte de la sión de las partículas producidas en el medio nuclear. Implican la absorción de partículas, restricciones de bloqueo Pauli, movimiento Fermi y redispersiones de cambio de carga. Uno grupo de papeles utiliza potenciales nucleares para la propagación de las partículas [11]. Otros usos una teoría del transporte de las partículas finales, incluidos los canales acoplados entre sí [12]. Estos grupos adquirieron experiencia mediante el análisis de reacciones con haces de electrones (electroproducción) y adoptaron sus métodos de reacción a los neutrinos [12]. Nuestro grupo investigó la producción de 1 piñón en objetivos medianos y pesados que empleaban el modelo de dispersión múltiple de piones de Adler, Nussinov y Paschos [13] que fue desarrollado con el fin de comprender las interacciones de neutrinos de corriente neutra con los núcleos. Este modelo era útil en el descubrimiento de corrientes neutras y se ha aplicado para predecir la inducción de neutrinos Producción única de piones en objetivos de oxígeno, argón e hierro [14, 15, 16] que se utilizan en experimentos de larga línea de base (LBL). Entre sus características se encuentra la importancia de reacciones de intercambio que modifican el : η0 : ratios del neutrino-núcleo original interacción a través de su dispersión dentro de los núcleos. La presencia de este efecto ha sido confirmado por experimentos [17]. Observamos aquí que nuestros resultados son válidos para objetivos isoescalares. Para objetivos no isoescalares como el plomo, utilizado en el experimento OPERA, es posible extender el modelo ANP [18], que se puede hacer en el futuro. En este artículo tomamos una ruta inversa y utilizamos nuestro cálculo en reacciones de neutrino a volver a la electroproducción de piones en nucleones libres y núcleos pesados. El plan de el papel es el siguiente. En la sección 2 se resumen las secciones transversales de producción de neutrinos en los nucleones libres y en la región de resonancia. Este tema ha sido descrito por varios grupos en los últimos años. Presentamos el diferencial de secciones transversales en varias variables Eη, Q 2 y W. Prestamos especial atención al espectro d error que encontramos en nuestro cálculo anterior [14]. Luego obtenemos la cruz de electroproducción sección fijando el acoplamiento axial igual a cero y reescalando, adecuadamente, el vector contribución actual. El contenido principal del artículo aparece en la sección 3 donde se describe lo más destacado características y resultados del modelo ANP. Este modelo tiene la propiedad agradable que puede ser escrito en forma analítica, incluyendo el intercambio de cargas y la absorción de piones. Por aquí. puede rastrear el origen de los efectos y formular cantidades que prueban términos específicos y parámetros. Como hemos mencionado anteriormente varias características ya han sido probados, y nosotros desea utilizar datos de electroproducción para determinar la exactitud de las predicciones. Presentamos resultados numéricos para diferentes materiales objetivo, y estudiamos la calidad de la aproximación media e incertidumbres del modelo ANP debido a la absorción de piones ef- - Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí.., sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí...., sí......., sí., sí....,......,.,............,. Discutimos cómo la forma de la sección transversal de absorción de piones (por nucleón), un importante y casi sin restricciones ingrediente del modelo ANP, se puede delinear a partir de una medición de la fracción total de piones absorbidos. Finalmente, en Sec. 4 se resume la principales resultados. Matrices de redispersión promedio para objetivos de carbono, oxígeno, argón y hierro y para diferentes cantidades de absorción de piones se han recogido en los apéndices y – 2 – útil para estimaciones simples de los efectos de redispersión. 2. Secciones cruzadas libres de nucleones En las secciones siguientes, la producción de piones leptonicos en objetivos nucleares se recalifica como un dos proceso escalonado. En el primer paso, los piones se producen a partir de los nucleones constituyentes en el objetivo con secciones transversales libres de leptón y nucleón [13]. En el segundo paso los piones producidos someterse a una interacción nuclear descrita por una matriz de transporte. Por supuesto, las resonancias se propagan en el medio nuclear antes de que decaigan, un efecto que investigar en el futuro. La producción leptonica de piones en la región de la resonancia está teóricamente disponible y bastante bien entendido como se describe en los artículos para los productos electro- y neutrino- sión, cuando las comparaciones con los datos disponibles estén de acuerdo [3, 6, 7, 19, 12]. Los datos disponibles se describen con precisión con las parametrizaciones propuestas. Los Los factores de forma vectorial son dipolos modificados [3] que reproducen las amplitudes de la helicitud mea- segura en experimentos de electroproducción en el Laboratorio Jefferson [7]. El acoplamiento en el Los factores de forma axial son determinados por el PCAC y los datos. Su dependencia funcional en Q2 se determina mediante el ajuste de la d distribuciones. Para los factores de forma vectorial el magnético dominio del dipolo para CV3 (q 2) y CV4 (q) 2) da una descripción precisa de los datos. ¿Cómo...? siempre, desviaciones con un CV5 no cero (q 2) también se han establecido [7]. De esta manera un pequeño (5%) se reproduce la amplitud isoescalar. Para la propuesta de este artículo utilizaremos una relación de escala que conecte neutrino- a electroproducción. La débil corriente vectorial está en el mismo isospin multiplicado con el La corriente electromagnética y las dos están relacionadas de la siguiente manera: < V p >= 3 < JI=1em p = 3 < 0JI=1em n >. Teniendo en cuenta los factores isospin Clebsch-Gordan para las ramificaciones de.................................................................................................................................................................................................................................................... encuentra las siguientes contribuciones de la resonancia a las secciones transversales para ep → epη0, ep → en, en → ep y en → enη0 dđem,I=1 dQ2dW dQ2dW * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * : pη0 : n : p : nη0 (2.1) donde dV dQ2dW indica la sección transversal para la contribución vectorial solamente a la reacción νp → p. Las secciones transversales libres de nucleón en Eq. (2.1) se utilizará en nuestro número análisis. Llamaremos a esto la fórmula electromagnética reducida. Su precisión fue probada en la figura (5) de ref. [3]. Más comparaciones se pueden encontrar en [20]. Para estudios de las distribuciones angulares pion (o lo que es lo mismo de la energía pion el espectro en el marco del laboratorio) comenzamos con la triple sección transversal diferencial para – 3 – producción de neutrinos dQ2dWd cos 16ηM2 KiW?i − KiDi(3 cos 2 − 1) (2.2) con Ki siendo factores cinemáticos de W y Q 2 y las funciones de la estructura Wсi(Q) 2, W ) y 2,W ) que representa la dinámica del proceso. Todos ellos se encuentran en ref. [5]. El ángulo es el ángulo polar del pion en el marco CM con cos = ECMSη + Eη p CMSπ 2.3) donde p CMSπ = (ECMSη ) 2 − m2η con ECMSη = W 2 +m2η −M2N (2.4) y el resto de las variables definidas como W 2 +Q2 −M2N , γ = / +MN ..................................................... v2 +Q2 . (2.5) Ahora es directo para convertir el diferencial de sección transversal en el ángulo sólido a la un diferencial en la energía de laboratorio del pion, Eη, p CMSπ # Sí # # # Sí # # Sí # # Sí # # Sí # # Sí # # Sí # # Sí # # Sí # # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # . (2.6) Después de haber expresado todas las cantidades en (2.2) y (2.5) en términos de W, Q2 y E para calcular el espectro de energía pion ∫ Wmax ∫ Q2max dQ2dWdE * (fis). (2.7) Los límites de la integración se dan como Q2min = 0, Q max = (S − W 2) (S − M2N ) Wmin = MN +mη, Wmax 1,6 GeV (2,8) donde S = M2N + 2MNE1 es la energía del centro de la masa al cuadrado con E1 la energía de la leptón entrante en el sistema LAB. La función-de-la-se encarga de las limitaciones de el espacio de fase. Hemos integrado la sección transversal para E v = 1 GeV y mostrar el espectro en las figuras 1 a 3. En nuestra publicación anterior [14] el espectro para Eη era incorrecto porque No hemos impuesto correctamente las restricciones de espacio de fase. El espectro pion para carga En la figura (4), ref. [21]. La discrepancia en ref. [14] se ha señalado para las corrientes neutras en ref [12]. Las secciones transversales neutrino-nucleón y electrón-nucleón se usarán en el resto de este artículo con el fin de calcular y probar los efectos de las correcciones nucleares. Deducimos el secciones transversales de electroproducción de la producción de neutrinos como en Eq. (2.1). Para el triple – 4 – sección transversal diferencial seguimos el mismo procedimiento estableciendo los factores de forma axial a cero y utilizando la relación dđem,I=1 dQ2dWdE dQ2dWdE * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * : ep → epη0 : ep → en : en → ep : en → en (2.9) Se omite una pequeña parte isoescalar en la sección transversal electromagnética, ya que no lo hace. contribuir a la resonancia, pero sólo al fondo, que para W < 1.3 GeV es pequeño y contribuye para 1,3 GeV < W < 1,4 GeV. 3. Secciones transversales para objetivos pesados En lo siguiente nos ocuparemos de la producción de resonancia de un solo pion en la dispersión de un Lepton l fuera de un objetivo nuclear T (6C) 12, 8O 16, 18Ar 40, 26Fe 56), es decir, con las reacciones l + T → l′ + T ′ +,0 (3.1) donde l′ es el leptón saliente y T′ un estado nuclear final. Además, en nuestro análisis de los efectos reesparcibles nucleares nos limitaremos a la región de la resonancia de 1232, 1.1 GeV < W < 1,4 GeV, y a objetivos isoescalares con igual número de protones y neutrones. 3.1 Redispersión de piones en el modelo ANP De acuerdo con el modelo ANP [13, 22] las secciones transversales finales para piones (, η0, )f estar relacionado con las secciones transversales iniciales (, η0, )i para un objetivo libre de nucleón en el simple forma * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d(ZT) A;) dQ2dW d(ZT) A;η0) dQ2dW d(ZT) A;) dQ2dW * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = M [T ;Q2,W] * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d(NT ; dQ2dW d(NT ; dQ2dW d(NT ; dQ2dW * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (3.2) d(NT;±0) dQ2dW d(p;±0) dQ2dW + (A− Z)d(n;±0) dQ2dW (3.3) donde las secciones transversales libres de nucleón se promedian sobre el impulso Fermi de los nucle- ons.1 Para un objetivo isoescalar, la matriz M se describe mediante tres parámetros independientes Ap, d, y c en la forma siguiente [13] M = Ap 1− c− d d c d 1 - 2 d d c d 1 - c - d , (3.4) Sin embargo, el movimiento Fermi tiene un efecto muy pequeño en la distribución W y lo descuidamos en nuestra análisis numérico. Por otra parte, los efectos del principio de exclusión Pauli han sido absorbidos en el matriz M y se tienen en cuenta. – 5 – donde Ap(Q) 2,W ) = g(Q2,W ) × f(1,W ). Aquí, g(Q2,W) es el factor de supresión Pauli y f(1,W) es una función de transporte para poblaciones iguales de, η0, que depende de la sección transversal de absorción de los piones en el núcleo. Los parámetros c y d describen la contribución de intercambio de cargas. Los rendimientos finales de los η dependen del material objetivo y las variables cinemáticas del estado final, es decir, M = M [T ;Q2,W ]. Con el fin de simplificar el problema es útil integrar la doble cruz diferencial secciones de Eq. (3.2) sobre W en la región de resonancia (3, 3), por ejemplo, mp +mη ≤ W ≤ 1.4 GeV. En este caso Eq. (3.2) puede ser reemplazado por una ecuación de forma idéntica * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d(ZT) A;) d(ZT) A;η0) d(ZT) A;) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = M [T;Q2] * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d(NT ; d(NT ; d(NT ; * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (3.5) donde la matriz M [T ;Q2] puede obtenerse promediando la matriz M [T ;Q2,W ] sobre W con la principal W -dependencia proveniente de la contribución de resonancia. Por otra parte, nosotros espera que la matriz M sea una función que varíe lentamente de Q2 (para Q2 y 0.3 GeV2). Para esto Razón por la que introducimos un segundo promedio sobre Q2 y definimos la matriz mediada doble M [T] que es particularmente útil para dar una descripción simple de los efectos de cambio de carga en diferentes objetivos nucleares. En la aproximación de doble alimentación (AV2) la cruz final las secciones que incluyen correcciones nucleares se expresan como sigue: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d(ZT) A;) dQ2dW d(ZT) A;η0) dQ2dW d(ZT) A;) dQ2dW * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = M [T] * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d(NT ; dQ2dW d(NT ; dQ2dW d(NT ; dQ2dW * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * . (3.6) Observamos que las secciones transversales son diferenciales en dos variables mientras que la matriz M [T] es el promedio sobre estas variables. La discusión anterior se utilizará para una descripción fenomenológica de la recuperación nuclear. efectos tering. Por otro lado, en Ref. [13] se ha desarrollado un modelo dinámico para calcular la matriz de intercambio de carga M. Como ejemplo, para el oxígeno la matriz resultante en la aproximación de doble apalancamiento está dada por 16) = Ap 0,788 0,158 0,0537 0,158 0,684 0,158 0,0537 0,158 0,788 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (3.7) con Ap = 0,766, que contiene el factor de supresión promedio Pauli y absorción de piones en el núcleo. Hay varios modelos de absorción descritos en el artículo original. Dos de ellos se distinguen por la dependencia energética de la sección transversal de absorción más allá de la región de Al-Qaida. En el modelo [A], la absorción aumenta a medida que W aumenta mientras que en [B] – 6 – Disminuye para los grandes W’s (más allá de la región). Comparación de las dos absorciones los modelos (A) y (B) pueden encontrarse en [22]. Puesto que la fracción de piones absorbidos es todavía en los apéndices de las matrices ANP para diferentes cantidades de absorción. Estas matrices son útiles para obtener una banda de incertidumbre para el correcciones nucleares. 3.2 Resultados para varios objetivos En esta sección presentamos resultados numéricos para 1-pion leptoproducción diferencial cruz , incluidas las correcciones nucleares utilizando el modelo ANP esbozado en la sección anterior tion. 3.2.1 Producción de Neutrino Comenzamos con una discusión de las correcciones nucleares a los espectros de energía pion en neutrino scattering mostrado en Figs. 1–3, donde las curvas son reacciones de corriente neutra. El punteado líneas son los espectros de las secciones transversales libres de nucleón. Las líneas discontinuas incluyen el efecto de la supresión Pauli (en el paso uno del proceso de dos pasos), mientras que la línea sólida en la adición tiene en cuenta la dispersión múltiple pion. Estas curvas corrigen las figs. 8 a 16 en Ref. [14]. Curvas similares han sido obtenidas recientemente por Leitner et al. [12] que también notó el error en [14]. A pesar de que los modelos difieren en la matriz de transporte, ambos incluyen efectos de cambio de carga. Por ejemplo, ambos encuentran que para las reacciones donde la carga de los piones es la misma con la carga de la corriente el rendimiento de piones muestra un disminución sustancial. 3.2.2 Electroproducción Pasamos ahora a la electroproducción. Para ser específicos, nuestro análisis se realizará bajo el condiciones del Espectrómetro de Gran Aceptación de Cebaf (CLAS) en Jefferson Lab (JLAB). El detector CLAS [23] cubre una gran fracción de todo el ángulo sólido con neutro eficiente y la detección de partículas cargadas. Por lo tanto, es muy adecuado para realizar una alta estadística medición de diversos objetivos nucleares ligeros y pesados y para probar las ideas de pion múltiples modelos de dispersión. En el futuro, estas mediciones pueden compararse con los resultados en la producción de neutrinos del experimento Minerva [1] utilizando el Numi de alta intensidad haz de neutrinos. Si no se indica lo contrario, utilizamos una energía electrónica Ee = 2.7 GeV en orden acercarse lo más posible al rango de baja energía pertinente de los experimentos LBL. Para la transferencia de impulso tomamos los valores Q2 = 0.4, 0.8 GeV2 con el fin de evitar la experimental y teóricamente más problemática región en muy bajo Q2. Resultados para mayores Q2 y energías más grandes, dicen Ee = 10 GeV, son cualitativamente muy similares. En la figura 4 se muestra la sección transversal de doble diferencial d/dQ2dW para y η0 produc- ión versus W para un objetivo de oxígeno. Las líneas sólidas se han obtenido con ayuda de Eq. (3.2) incluyendo las correcciones nucleares. Las líneas discontinuas muestran el resultado de la doble- promedio de aproximación según Eq. (3.6) utilizando la matriz ANP en Eq. (3.7). Los línea punteada es la sección transversal libre en Eq. (3.3). Uno ve, el doble-ahorrador aproxima- y el cálculo exacto dan resultados muy similares de tal manera que el primero es adecuado para estimaciones simples a una precisión del 10% de los efectos de rescatación de piones. Observamos que – 7 – las secciones transversales para la producción η0 se reducen en gran medida en alrededor de un 40% debido a la energía nuclear correcciones. Esto se puede entender, ya que las secciones transversales más grandes η0 son reducidas por ab- efectos de sorción y efectos de cambio de carga. Por otro lado, las secciones transversales son incluso ligeramente agrandado, ya que la reducción debida a la absorción de piones se compensa con un aumento debido al cambio de cargos. La compensación es sustancial, ya que los rendimientos η0 son dominante. In Fig. 5 secciones transversales de doble diferencial por nucleón para diferentes materiales diana se presentan. La energía electrónica y la transferencia de impulso se han elegido como Ee = 2,7 GeV y Q 2 = 0,4 GeV2, respectivamente. Los resultados de la recuperación de piones las correcciones se han obtenido dentro de la aproximación de doble apalancamiento (3.6) que permite una comparación simple de la dependencia del material objetivo en términos de la matrices M [T] que se pueden encontrar en Eq. (3.7) y App. A. Para la comparación el nucleón libre sección transversal (3.3) (isoscalar ) también se muestra. Como era de esperar, las correcciones nucleares se hacen más grandes con el aumento del número atómico del carbono al hierro. Una de las cantidades de entrada para el cálculo de la función de transporte f(l) en el ANP el modelo es la sección transversal de absorción de piones abs(W ) que describe la probabilidad de que el pion se absorbe en un único proceso de redispersión. El artículo de la ANP informó resultados para ♥abs(W ) para dos parametrizaciones, modelos A y B, tomados de Refs. [24, 25] que tienen muy diferente W -dependencia y normalización. Sin embargo, las predicciones del modelo ANP en la aproximación de la doble alimentación son principalmente sensibles a la normalización de la sección transversal de absorción de piones en W m [22]. Usando datos de Merenyi et al. [26] para una objetivo de neón se encontró que alrededor del 25% ± 5% de los piones se absorben haciendo posible la la determinación de la normalización de abs(W) con una precisión del 20%. Con el fin de investigar la incertidumbre teórica debido a los efectos de absorción pion mostrar en Fig. 6 secciones transversales de doble diferencial d/dQ2dW para y η0 producción vs W para las diferentes cantidades de absorción de piones en oxígeno: 25% (línea sólida), 20% (línea dorsal), 30% (línea punteada). Los espectros η0 y se han calculado en el doble-average aproximación (3.6) utilizando las matrices en la aplicación. B. Las tres curvas representan la incertidumbre teórica debido a los efectos de absorción de piones. Para la comparación, el nucleón libre sección transversal (3.3) también se muestra. Aunque las predicciones del modelo ANP son principalmente sensibles a Sería interesante obtener más información sobre la forma detallada de W. La fracción de piones absorbidos se puede determinar midiendo la cruz de producción de piones inclusivos secciones de un objetivo nuclear divididas por las secciones transversales libres de nucleones, Abs(Q2,W) = 1− k=0,± d(ZT) A;lk) dQ2dW j=0,± d(NT; dQ2dW = 1−Ap(Q2,W), (3.8) donde se ha introducido Ap en (3.4). Esta cantidad está relacionada con ♥abs(W) como se puede ver mediante la linealización de la función de transporte f(,W ) [16, 22] Abs(Q2,W) 1 L0 × ♥abs(W). (3.9) – 8 – Aquí L̄ es la longitud efectiva del núcleo promediado sobre los parámetros de impacto y densidad de carga en el centro. Como ejemplo, para el oxígeno se encuentra L̄ 1.9R con radio R 1,833 fm y l0 = 0,141 fm−3. Por lo tanto, la W -dependencia de đabs(W) puede ser reconstruida a partir de la fracción de piones absorbidos, es decir, Abs(Q2,W). Resumiendo sobre el tres piones cargados eliminan los efectos de cambio de carga. Para verificar la aproximación lineal en Eq. (3.9), se muestra en la Fig. 7 la ANP modelo de predicción para Abs(Q2,W) para objetivos de oxígeno y hierro con Q2 = 0,3 GeV2. Esto la predicción depende en gran medida de la forma de la sección transversal ♥abs(W) para la que utilizamos modelo B de Refs. [25]. abs(W) multiplicado por un factor de normalización libre para el oxígeno y hierro, respectivamente, es representado por las líneas discontinuas. Obviamente, Eq. (3.9) está bastante bien satisfecho para el oxígeno y todavía razonablemente bueno para el hierro. Finalmente, la línea punteada muestra la resultado de la aproximación del promedio. Llegamos a la conclusión de que ♥abs(W) se puede extraer con ayuda de Eqs. (3.8) y (3.9). Para completar, mencionamos que la absorción de piones en los núcleos se reporta en varios artículos [27]. Para las comparaciones se debe tener cuidado porque las secciones transversales de absorción en pi-núcleo y en neutrino-núcleo las reacciones son diferentes, en el primer caso es una superficie efecto mientras que en este último ocurre en todas partes en el núcleo. Una prueba útil de los efectos de cambio de carga es proporcionada por la doble relación DR(Q2,W ) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (3.10) donde (l)i)A representa la sección transversal doblemente diferencial d/dQ 2dW para la producción de un pión en la dispersión de eA. Se espera que este observable sea bastante sólido con respeto a las correcciones radiativas y a las diferencias de aceptación entre los piones neutros y cargados.2 In Fig. 8 se muestra la doble proporción para un objetivo de carbono en dependencia de W para un Q2 fijo = 0.4 GeV2. La dependencia de Q2 es débil y los resultados de otros valores de Q2 son muy similares. La línea sólida muestra el resultado exacto, mientras que las líneas punteadas se han obtenido en el aproximación de doble promedio con cantidades mínimas y máximas de absorción de piones. Como se puede ver, los resultados son bastante insensibles a la cantidad exacta de absorción de piones. Sin efectos de cambio de carga (y suponiendo una absorción similar de piones) la doble proporción estaría cerca de la unidad. Como se puede ver, el modelo ANP predice una relación doble menor que 0,6 en la región W 1,2 GeV. Una confirmación de esto la expectativa sería una señal clara de intercambio de carga pion predominantemente regido por isospin simetría. En este caso sería interesante ir un paso más allá y estudiar proporciones similares para las distribuciones angulares de piones. 4. Resumen Las reacciones inducidas por el lepton en los núcleos medio y pesado incluyen la redispersión de Piones dentro de los núcleos. Esto es especialmente notable en la región de la resonancia, donde la produjo decaimientos de resonancia en un nucleón y un pión. En la introducción y en la sección Estamos agradecidos a S. Manly por llamar nuestra atención a la doble proporción. – 9 – 2 hemos revisado los progresos realizados en los cálculos de los neutrinos inducidos reacciones sobre protones y neutrones libres, porque los necesitábamos para seguir los cálculos. Para varias resonancias los factores de forma vectorial se han determinado recientemente mediante el uso de resultados de electroproducción en Jefferson Laboratory [7]. Para los factores de forma axial modificados los dipolos dan una descripción precisa de los datos. A los efectos del presente artículo (estudios de las correcciones nucleares) basta con deducir las secciones transversales de la electroproducción a través de Eqs. (2.1) y (2.9). La principal contribución de este artículo está contenida en la sección 3, donde se describe Características importantes del modelo ANP y definición del transporte medio único y doble matrices. Se destacan dos aspectos importantes de la redispersión: i) la absorción de la piones y (ii) intercambio de carga que ocurre en la dispersión múltiple, donde hemos mostrado que las características especiales de los datos se atribuyen a cada uno de ellos. Por último, proponemos medidas específicas. relación de las reacciones de electroproducción que son sensibles a la sección transversal de absorción y para cargar efectos de cambio. Utilizando el modelo calculamos la matriz de transporte para varios sec- ciones y núcleos y presentar los resultados en el apéndice A. También calculamos la energía pion espectros con y sin correcciones nucleares. Los resultados aparecen en las figuras 1-3 y pueden ser en comparación con otros cálculos [12]. Comparación de la aproximación media doble con el cálculo exacto de ANP muestra pequeñas diferencias (figura 4). Como ya se ha mencionado, Los datos de la electroproducción son muy útiles para probar varios aspectos del modelo y su pre- dictions. Para la sección transversal de absorción se propone en Eq. (3.8) una proporción que depende sólo de en Ap(Q) 2,W ) = g(Q2,W )f(1,W ). Ya que consideramos objetivos isoescalares y suma sobre el los cargos de los piones, los términos de cambio de cargo se eliminan. Esto deja sobre el depósito... dence sobre los efectos independientes de la carga, como el factor Pauli y la absorción media; esto es de hecho la absorción media de los piones e incluso incluye la absorción de la resonancia a sí mismo. Otra relación (DR(Q2,W)) es sensible a los efectos de cambio de carga. En la relación doble la dependencia de Ap(Q) 2,W ) abandona y los términos que sobreviven son dependientes de isospin. Nuestro cálculo muestra que la relación depende de W con la mayor reducción que se produce en la región 1.1 < W < 1,25 GeV. Por último, el (1232) es una resonancia bruscamente pico, donde la interacción resonante, tiene lugar en pequeños rangos de las variables cinemáticas, de modo que promedio sobre ellos da aproximaciones exactas. Esto es análogo a una anchura estrecha aproximación. Varias comparaciones en este artículo confirman la expectativa de que promediod las cantidades dan aproximaciones bastante precisas de los cálculos más extensos. Agradecimientos Queremos dar las gracias a W. Brooks y S. Manly por muchas discusiones útiles, su interés y ánimo. El trabajo de J. Y. Yu es apoyado por la Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) a través de Grant No. YU 118/1-1. – 10 – Apéndice A. Matrices de cambio de carga en la aproximación del doble promedio Carbono: 12) = Ap 0,826 0,136 0,038 0,136 0,728 0,136 0,038 0,136 0,826 (A.1) con Ap = 0,791. Argon: M(18Ar 40) = Ap 0,733 0,187 0,080 0,187 0,626 0,187 0,080 0,187 0,733 (A.2) con Ap = 0,657. Hierro: M (26Fe 56) = Ap 0,720 0,194 0,086 0,194 0,613 0,194 0,086 0,194 0,720 (A.3) con Ap = 0,631. B. Matrices de cambio de carga para diversas cantidades de absorción de piones Carbono: 15% de absorción 12) = Ap 0,817 0,141 0,041 0,141 0,718 0,141 0,041 0,141 0,817 (B.1) con Ap = 0,831. 20% de absorción 12) = Ap 0,829 0,134 0,037 0,134 0,731 0,134 0,037 0,134 0,829 (B.2) con Ap = 0,782. – 11 – 25 % de absorción 12) = Ap 0,840 0,127 0,032 0,127 0,745 0,127 0,032 0,127 0,840 (B.3) con Ap = 0,734. Oxígeno: 15% de absorción 16) = Ap 0,771 0,167 0,062 0,167 0,665 0,167 0,062 0,167 0,771 (B.4) con Ap = 0,833. 20% de absorción 16) = Ap 0,783 0,161 0,056 0,161 0,679 0,161 0,056 0,161 0,783 (B.5) con Ap = 0,784. 25 % de absorción 16) = Ap 0,797 0,153 0,050 0,153 0,693 0,153 0,050 0,153 0,797 (B.6) con Ap = 0,735. 30 % de absorción 16) = Ap 0,810 0,146 0,044 0,146 0,709 0,146 0,044 0,146 0,810 (B.7) con Ap = 0,687. C. Matrices de cambio de carga hacia adelante y hacia atrás Carbono: 15% de absorción M+(6C) 12) = Ap+ 0,870 0,100 0,029 0,100 0,799 0,100 0,029 0,100 0,870 ,M−(6C12) = Ap− 0,675 0,251 0,074 0,251 0,498 0,251 0,074 0,251 0,675 (C.1) – 12 – con Ap+ = 0,606 y Ap− = 0,225. 20% de absorción M+(6C) 12) = Ap+ 0,880 0,094 0,026 0,094 0,811 0,094 0,026 0,094 0,880 ,M−(6C12) = Ap− 0,685 0,247 0,068 0,247 0,505 0,247 0,068 0,247 0,685 (C.2) con Ap+ = 0,578 y Ap− = 0,204. 25 % de absorción M+(6C) 12) = Ap+ 0,889 0,088 0,022 0,088 0,823 0,088 0,022 0,088 0,889 ,M−(6C12) = Ap− 0,695 0,243 0,062 0,243 0,513 0,243 0,062 0,243 0,695 (C.3) con Ap+ = 0,549 y Ap− = 0,184. Oxígeno: 15% de absorción M+(8O 16) = Ap+ 0,829 0,125 0,046 0,125 0,750 0,125 0,046 0,125 0,829 ,M−(8O16) = Ap− 0,635 0,265 0,100 0,265 0,470 0,265 0,100 0,265 0,635 (C.4) con Ap+ = 0,581 y Ap− = 0,252. 20% de absorción M+(8O 16) = Ap+ 0,840 0,119 0,041 0,119 0,762 0,119 0,041 0,119 0,840 ,M−(8O16) = Ap− 0,646 0,262 0,092 0,262 0,477 0,262 0,092 0,262 0,646 (C.5) con Ap+ = 0,554 y Ap− = 0,23. 25 % de absorción M+(8O 16) = Ap+ 0,852 0,112 0,036 0,112 0,776 0,112 0,036 0,112 0,852 ,M−(8O16) = Ap− 0,657 0,258 0,085 0,258 0,485 0,257 0,085 0,258 0,657 (C.6) con Ap+ = 0,527 y Ap− = 0,208. – 13 – 30 % de absorción M+(8O 16) = Ap+ 0,863 0,105 0,031 0,105 0,789 0,105 0,031 0,105 0,863 ,M−(8O16) = Ap− 0,669 0,253 0,078 0,253 0,493 0,253 0,078 0,253 0,669 (C.7) con Ap+ = 0,499 y Ap− = 0,187. Bibliografía [1] D. Drakoulakos et al., Miner v.a Collaboration (2004), hep-ex/0405002. [2] K. B. M. Mahn, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 159, 237 (2006). H. Gallagher, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 159, 229 (2006). 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Las curvas corresponden a reacciones de corriente neutra. – 16 – ig Eη (GeV) 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 η0 ig Eη (GeV) 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 η- ig Eη (GeV) 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Figura 2: Lo mismo que en el fig. 1 para argón. – 17 – ig Eη(GeV) 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 η0 ig Eη(GeV) 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 η- ig Eη(GeV) 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Figura 3: Lo mismo que en el fig. 1 por hierro. – 18 – Q2 = 0,4 GeV2 η0 f (exacto) η0 f (av. app.) W(GeV) 1,1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 Q2 = 0,4 GeV2 f (exacto) f (av. app.) W(GeV) 1,1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 Q2 = 0,8 GeV2 η0 f (exacto) η0 f (av. app.) W(GeV) 1,1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 Q2 = 0,8 GeV2 f (exacto) f (av. app.) W(GeV) 1,1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 Figura 4: Secciones transversales diferenciales dobles para la electroproducción de un solo pilón para un objetivo de oxígeno en dependencia de W. Spectra para la producción η0 y se muestran para Q2 = 0,4 GeV2 y Q2 = 0,8 GeV2 utilizando una energía electrónica E = 2.7 GeV. Las líneas sólidas y punteadas se han obtenido de acuerdo con (3.2) utilizando la matriz ANP exacta M(W,Q2) y (3.6) utilizando la matriz ANP de doble promedio M en (3.7), respectivamente. Las líneas discontinuas muestran la sección transversal libre de nucleones (3.3). Q2 = 0,4 GeV2 η0 f (8O) η0 f (6C) η0 f (18Ar) η0 f (26Fe) W(GeV) 1,1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 Q2 = 0,4 GeV2 f (8O) f (6C) f (18Ar) f (26Fe) W(GeV) 1,1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 Figura 5: Secciones transversales diferenciales dobles por nucleón para electroproducción de un solo piñón para diferentes materiales objetivo. W -espectra para la producción de η0 y se muestran para Q2 = 0.4 GeV2 utilizando un electrón energía E = 2.7 GeV. Las correcciones de redispersión de piones se han calculado en el doble average aproximación (3.6) utilizando las matrices ANP en (3.7) y App. A. Para la comparación, el nucleón libre se muestra la sección transversal (3.3). – 19 – Q2 = 0,8 GeV2 η0 f (Abs. 25%) η0 f (Abs. 20%) η0 f (Abs. 30%) W(GeV) 1,1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 Q2 = 0,8 GeV2 f (Abs. 25%) f (Abs. 20%) f (Abs. 30%) W(GeV) 1,1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 Figura 6: Secciones transversales diferenciales dobles por nucleón para electroproducción de un solo pilón para oxígeno con 20% (línea de puntos), 25% (línea sólida) y 30% (línea punteada) absorción de piones. Además, Q2 = 0,8 GeV2 y E = 2.7 GeV. Los espectros η0 y se han calculado en la aproximación de doble apalancamiento (3.6) utilizando las matrices de la aplicación. B. Para la comparación, la sección transversal libre de nucleones (3.3) se muestra como Bueno. exacta Av. Aprox. N * sigabs(W) W(GeV) 1,1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 1,45 Figura 7: La fracción de piones absorbidos, Abs(Q2,W), en dependencia de W para el oxígeno y el hierro objetivos para Q2 = 0,3 GeV2. También se muestra la sección transversal abs(W) (modelo B) multiplicada por libre factores de normalización (líneas de calado). Las líneas punteadas son el resultado para Abs(Q2,W) en el promedio aproximación. – 20 – Q2 = 0,4 GeV2 W(GeV) 1,1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 Figura 8: Doble relación de secciones transversales de electroproducción de un solo pión en dependencia de W para las secciones fijas Q2 = 0,4 GeV2 tal como se define en Eq. (3.10). Las líneas punteadas muestran resultados en el doble promedio aproximación con diferentes cantidades de absorción. – 21 –

Presentamos un cálculo de secciones transversales de electroproducción de un solo pión en objetivos pesados en la región cinemática del Delta (1232) resonancia. Estado final las interacciones de los piones se tienen en cuenta utilizando el pion múltiplo modelo de dispersión de Adler, Nussinov y Paschos (modelo ANP). Por electroproducción y reacciones de corriente neutra obtenemos resultados para carbono, Oxígeno, argón y objetivos de hierro y encontrar una reducción significativa de la W-espectra para pi^0 en comparación con el caso de nucleón libre. Por otra parte, la Los espectros de piones cargados son muy poco afectados por las interacciones del estado final. Las mediciones de estas secciones transversales con el detector CLAS en JLAB podrían ayudar para mejorar nuestra comprensión de los efectos rescattering pion y servir como insumo importante/valorable para los cálculos de la producción de neutrinos de un solo pion objetivos pesados pertinentes para el neutrino de larga duración actual y futuro experimentos. Dos proporciones, en Eq. (3.8) y (3.10), se pondrán a prueba importantes propiedades del modelo.

Introducción Las interacciones de neutrinos en energías bajas y medianas están atrayendo la atención porque se medirán con precisión en la nueva generación de experimentos [1, 2]. Uno de los objetivos de la experimentos es medir la forma precisa de las secciones transversales y su dependencia sobre los parámetros de entrada. De esta manera comprobamos sus acoplamientos y comparamos el funcionamiento dependencia de los factores de forma, donde las desviaciones de la dependencia dipolo ya han se han establecido (véase, por ejemplo, Figura 1 en [3] y referencias en ella). Desviación del estándar las predicciones del modelo pueden surgir de las propiedades de los neutrinos o de los nuevos acoplamientos de los bosones del medidor a las partículas en el objetivo. Otro objetivo de los experimentos es establecer las propiedades de los neutrinos, incluidas sus masas, mezclas y sus fermiones naturaleza (partículas Dirac o Majorana). Este programa requiere una buena comprensión de la secciones transversales, lo que motivó una nueva generación de cálculos. Desde que los experimentos utilizan objetivos nucleares, como C12, O16, Ar40, Fe56,... es necesario entender las modificaciones provocados por los objetivos. Los cálculos muy antiguos para la dispersión cuasi-elástica y excitación de resonancia en libre nucleones [4, 5] han sido sustituidos por nuevos resultados cuando los acoplamientos y los factores de forma son ahora mejor decidido. Para las comparaciones de acoplamientos vectoriales con datos de electroproducción han sido muy útiles [3, 6]. Los acoplamientos axiales son frecuentemente determinados por PCAC. Ahí está. ya son mejoras y controles de los modelos quark anteriores [7]. Comparaciones con – 1 – datos experimentales también están disponibles a pesar de que los resultados experimentales no siempre son concordantes [8, 9, 10] pero hay planes de mejoras que resolverán las diferencias [1, 2]. En cuanto a las reacciones sobre objetivos nucleares, se han producido modificaciones por parte de la sión de las partículas producidas en el medio nuclear. Implican la absorción de partículas, restricciones de bloqueo Pauli, movimiento Fermi y redispersiones de cambio de carga. Uno grupo de papeles utiliza potenciales nucleares para la propagación de las partículas [11]. Otros usos una teoría del transporte de las partículas finales, incluidos los canales acoplados entre sí [12]. Estos grupos adquirieron experiencia mediante el análisis de reacciones con haces de electrones (electroproducción) y adoptaron sus métodos de reacción a los neutrinos [12]. Nuestro grupo investigó la producción de 1 piñón en objetivos medianos y pesados que empleaban el modelo de dispersión múltiple de piones de Adler, Nussinov y Paschos [13] que fue desarrollado con el fin de comprender las interacciones de neutrinos de corriente neutra con los núcleos. Este modelo era útil en el descubrimiento de corrientes neutras y se ha aplicado para predecir la inducción de neutrinos Producción única de piones en objetivos de oxígeno, argón e hierro [14, 15, 16] que se utilizan en experimentos de larga línea de base (LBL). Entre sus características se encuentra la importancia de reacciones de intercambio que modifican el : η0 : ratios del neutrino-núcleo original interacción a través de su dispersión dentro de los núcleos. La presencia de este efecto ha sido confirmado por experimentos [17]. Observamos aquí que nuestros resultados son válidos para objetivos isoescalares. Para objetivos no isoescalares como el plomo, utilizado en el experimento OPERA, es posible extender el modelo ANP [18], que se puede hacer en el futuro. En este artículo tomamos una ruta inversa y utilizamos nuestro cálculo en reacciones de neutrino a volver a la electroproducción de piones en nucleones libres y núcleos pesados. El plan de el papel es el siguiente. En la sección 2 se resumen las secciones transversales de producción de neutrinos en los nucleones libres y en la región de resonancia. Este tema ha sido descrito por varios grupos en los últimos años. Presentamos el diferencial de secciones transversales en varias variables Eη, Q 2 y W. Prestamos especial atención al espectro d error que encontramos en nuestro cálculo anterior [14]. Luego obtenemos la cruz de electroproducción sección fijando el acoplamiento axial igual a cero y reescalando, adecuadamente, el vector contribución actual. El contenido principal del artículo aparece en la sección 3 donde se describe lo más destacado características y resultados del modelo ANP. Este modelo tiene la propiedad agradable que puede ser escrito en forma analítica, incluyendo el intercambio de cargas y la absorción de piones. Por aquí. puede rastrear el origen de los efectos y formular cantidades que prueban términos específicos y parámetros. Como hemos mencionado anteriormente varias características ya han sido probados, y nosotros desea utilizar datos de electroproducción para determinar la exactitud de las predicciones. Presentamos resultados numéricos para diferentes materiales objetivo, y estudiamos la calidad de la aproximación media e incertidumbres del modelo ANP debido a la absorción de piones ef- - Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí.., sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí...., sí......., sí., sí....,......,.,............,. Discutimos cómo la forma de la sección transversal de absorción de piones (por nucleón), un importante y casi sin restricciones ingrediente del modelo ANP, se puede delinear a partir de una medición de la fracción total de piones absorbidos. Finalmente, en Sec. 4 se resume la principales resultados. Matrices de redispersión promedio para objetivos de carbono, oxígeno, argón y hierro y para diferentes cantidades de absorción de piones se han recogido en los apéndices y – 2 – útil para estimaciones simples de los efectos de redispersión. 2. Secciones cruzadas libres de nucleones En las secciones siguientes, la producción de piones leptonicos en objetivos nucleares se recalifica como un dos proceso escalonado. En el primer paso, los piones se producen a partir de los nucleones constituyentes en el objetivo con secciones transversales libres de leptón y nucleón [13]. En el segundo paso los piones producidos someterse a una interacción nuclear descrita por una matriz de transporte. Por supuesto, las resonancias se propagan en el medio nuclear antes de que decaigan, un efecto que investigar en el futuro. La producción leptonica de piones en la región de la resonancia está teóricamente disponible y bastante bien entendido como se describe en los artículos para los productos electro- y neutrino- sión, cuando las comparaciones con los datos disponibles estén de acuerdo [3, 6, 7, 19, 12]. Los datos disponibles se describen con precisión con las parametrizaciones propuestas. Los Los factores de forma vectorial son dipolos modificados [3] que reproducen las amplitudes de la helicitud mea- segura en experimentos de electroproducción en el Laboratorio Jefferson [7]. El acoplamiento en el Los factores de forma axial son determinados por el PCAC y los datos. Su dependencia funcional en Q2 se determina mediante el ajuste de la d distribuciones. Para los factores de forma vectorial el magnético dominio del dipolo para CV3 (q 2) y CV4 (q) 2) da una descripción precisa de los datos. ¿Cómo...? siempre, desviaciones con un CV5 no cero (q 2) también se han establecido [7]. De esta manera un pequeño (5%) se reproduce la amplitud isoescalar. Para la propuesta de este artículo utilizaremos una relación de escala que conecte neutrino- a electroproducción. La débil corriente vectorial está en el mismo isospin multiplicado con el La corriente electromagnética y las dos están relacionadas de la siguiente manera: < V p >= 3 < JI=1em p = 3 < 0JI=1em n >. Teniendo en cuenta los factores isospin Clebsch-Gordan para las ramificaciones de.................................................................................................................................................................................................................................................... encuentra las siguientes contribuciones de la resonancia a las secciones transversales para ep → epη0, ep → en, en → ep y en → enη0 dđem,I=1 dQ2dW dQ2dW * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * : pη0 : n : p : nη0 (2.1) donde dV dQ2dW indica la sección transversal para la contribución vectorial solamente a la reacción νp → p. Las secciones transversales libres de nucleón en Eq. (2.1) se utilizará en nuestro número análisis. Llamaremos a esto la fórmula electromagnética reducida. Su precisión fue probada en la figura (5) de ref. [3]. Más comparaciones se pueden encontrar en [20]. Para estudios de las distribuciones angulares pion (o lo que es lo mismo de la energía pion el espectro en el marco del laboratorio) comenzamos con la triple sección transversal diferencial para – 3 – producción de neutrinos dQ2dWd cos 16ηM2 KiW?i − KiDi(3 cos 2 − 1) (2.2) con Ki siendo factores cinemáticos de W y Q 2 y las funciones de la estructura Wсi(Q) 2, W ) y 2,W ) que representa la dinámica del proceso. Todos ellos se encuentran en ref. [5]. El ángulo es el ángulo polar del pion en el marco CM con cos = ECMSη + Eη p CMSπ 2.3) donde p CMSπ = (ECMSη ) 2 − m2η con ECMSη = W 2 +m2η −M2N (2.4) y el resto de las variables definidas como W 2 +Q2 −M2N , γ = / +MN ..................................................... v2 +Q2 . (2.5) Ahora es directo para convertir el diferencial de sección transversal en el ángulo sólido a la un diferencial en la energía de laboratorio del pion, Eη, p CMSπ # Sí # # # Sí # # Sí # # Sí # # Sí # # Sí # # Sí # # Sí # # Sí # # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # Sí # . (2.6) Después de haber expresado todas las cantidades en (2.2) y (2.5) en términos de W, Q2 y E para calcular el espectro de energía pion ∫ Wmax ∫ Q2max dQ2dWdE * (fis). (2.7) Los límites de la integración se dan como Q2min = 0, Q max = (S − W 2) (S − M2N ) Wmin = MN +mη, Wmax 1,6 GeV (2,8) donde S = M2N + 2MNE1 es la energía del centro de la masa al cuadrado con E1 la energía de la leptón entrante en el sistema LAB. La función-de-la-se encarga de las limitaciones de el espacio de fase. Hemos integrado la sección transversal para E v = 1 GeV y mostrar el espectro en las figuras 1 a 3. En nuestra publicación anterior [14] el espectro para Eη era incorrecto porque No hemos impuesto correctamente las restricciones de espacio de fase. El espectro pion para carga En la figura (4), ref. [21]. La discrepancia en ref. [14] se ha señalado para las corrientes neutras en ref [12]. Las secciones transversales neutrino-nucleón y electrón-nucleón se usarán en el resto de este artículo con el fin de calcular y probar los efectos de las correcciones nucleares. Deducimos el secciones transversales de electroproducción de la producción de neutrinos como en Eq. (2.1). Para el triple – 4 – sección transversal diferencial seguimos el mismo procedimiento estableciendo los factores de forma axial a cero y utilizando la relación dđem,I=1 dQ2dWdE dQ2dWdE * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * : ep → epη0 : ep → en : en → ep : en → en (2.9) Se omite una pequeña parte isoescalar en la sección transversal electromagnética, ya que no lo hace. contribuir a la resonancia, pero sólo al fondo, que para W < 1.3 GeV es pequeño y contribuye para 1,3 GeV < W < 1,4 GeV. 3. Secciones transversales para objetivos pesados En lo siguiente nos ocuparemos de la producción de resonancia de un solo pion en la dispersión de un Lepton l fuera de un objetivo nuclear T (6C) 12, 8O 16, 18Ar 40, 26Fe 56), es decir, con las reacciones l + T → l′ + T ′ +,0 (3.1) donde l′ es el leptón saliente y T′ un estado nuclear final. Además, en nuestro análisis de los efectos reesparcibles nucleares nos limitaremos a la región de la resonancia de 1232, 1.1 GeV < W < 1,4 GeV, y a objetivos isoescalares con igual número de protones y neutrones. 3.1 Redispersión de piones en el modelo ANP De acuerdo con el modelo ANP [13, 22] las secciones transversales finales para piones (, η0, )f estar relacionado con las secciones transversales iniciales (, η0, )i para un objetivo libre de nucleón en el simple forma * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d(ZT) A;) dQ2dW d(ZT) A;η0) dQ2dW d(ZT) A;) dQ2dW * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = M [T ;Q2,W] * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d(NT ; dQ2dW d(NT ; dQ2dW d(NT ; dQ2dW * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (3.2) d(NT;±0) dQ2dW d(p;±0) dQ2dW + (A− Z)d(n;±0) dQ2dW (3.3) donde las secciones transversales libres de nucleón se promedian sobre el impulso Fermi de los nucle- ons.1 Para un objetivo isoescalar, la matriz M se describe mediante tres parámetros independientes Ap, d, y c en la forma siguiente [13] M = Ap 1− c− d d c d 1 - 2 d d c d 1 - c - d , (3.4) Sin embargo, el movimiento Fermi tiene un efecto muy pequeño en la distribución W y lo descuidamos en nuestra análisis numérico. Por otra parte, los efectos del principio de exclusión Pauli han sido absorbidos en el matriz M y se tienen en cuenta. – 5 – donde Ap(Q) 2,W ) = g(Q2,W ) × f(1,W ). Aquí, g(Q2,W) es el factor de supresión Pauli y f(1,W) es una función de transporte para poblaciones iguales de, η0, que depende de la sección transversal de absorción de los piones en el núcleo. Los parámetros c y d describen la contribución de intercambio de cargas. Los rendimientos finales de los η dependen del material objetivo y las variables cinemáticas del estado final, es decir, M = M [T ;Q2,W ]. Con el fin de simplificar el problema es útil integrar la doble cruz diferencial secciones de Eq. (3.2) sobre W en la región de resonancia (3, 3), por ejemplo, mp +mη ≤ W ≤ 1.4 GeV. En este caso Eq. (3.2) puede ser reemplazado por una ecuación de forma idéntica * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d(ZT) A;) d(ZT) A;η0) d(ZT) A;) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = M [T;Q2] * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d(NT ; d(NT ; d(NT ; * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (3.5) donde la matriz M [T ;Q2] puede obtenerse promediando la matriz M [T ;Q2,W ] sobre W con la principal W -dependencia proveniente de la contribución de resonancia. Por otra parte, nosotros espera que la matriz M sea una función que varíe lentamente de Q2 (para Q2 y 0.3 GeV2). Para esto Razón por la que introducimos un segundo promedio sobre Q2 y definimos la matriz mediada doble M [T] que es particularmente útil para dar una descripción simple de los efectos de cambio de carga en diferentes objetivos nucleares. En la aproximación de doble alimentación (AV2) la cruz final las secciones que incluyen correcciones nucleares se expresan como sigue: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d(ZT) A;) dQ2dW d(ZT) A;η0) dQ2dW d(ZT) A;) dQ2dW * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = M [T] * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d(NT ; dQ2dW d(NT ; dQ2dW d(NT ; dQ2dW * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * . (3.6) Observamos que las secciones transversales son diferenciales en dos variables mientras que la matriz M [T] es el promedio sobre estas variables. La discusión anterior se utilizará para una descripción fenomenológica de la recuperación nuclear. efectos tering. Por otro lado, en Ref. [13] se ha desarrollado un modelo dinámico para calcular la matriz de intercambio de carga M. Como ejemplo, para el oxígeno la matriz resultante en la aproximación de doble apalancamiento está dada por 16) = Ap 0,788 0,158 0,0537 0,158 0,684 0,158 0,0537 0,158 0,788 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (3.7) con Ap = 0,766, que contiene el factor de supresión promedio Pauli y absorción de piones en el núcleo. Hay varios modelos de absorción descritos en el artículo original. Dos de ellos se distinguen por la dependencia energética de la sección transversal de absorción más allá de la región de Al-Qaida. En el modelo [A], la absorción aumenta a medida que W aumenta mientras que en [B] – 6 – Disminuye para los grandes W’s (más allá de la región). Comparación de las dos absorciones los modelos (A) y (B) pueden encontrarse en [22]. Puesto que la fracción de piones absorbidos es todavía en los apéndices de las matrices ANP para diferentes cantidades de absorción. Estas matrices son útiles para obtener una banda de incertidumbre para el correcciones nucleares. 3.2 Resultados para varios objetivos En esta sección presentamos resultados numéricos para 1-pion leptoproducción diferencial cruz , incluidas las correcciones nucleares utilizando el modelo ANP esbozado en la sección anterior tion. 3.2.1 Producción de Neutrino Comenzamos con una discusión de las correcciones nucleares a los espectros de energía pion en neutrino scattering mostrado en Figs. 1–3, donde las curvas son reacciones de corriente neutra. El punteado líneas son los espectros de las secciones transversales libres de nucleón. Las líneas discontinuas incluyen el efecto de la supresión Pauli (en el paso uno del proceso de dos pasos), mientras que la línea sólida en la adición tiene en cuenta la dispersión múltiple pion. Estas curvas corrigen las figs. 8 a 16 en Ref. [14]. Curvas similares han sido obtenidas recientemente por Leitner et al. [12] que también notó el error en [14]. A pesar de que los modelos difieren en la matriz de transporte, ambos incluyen efectos de cambio de carga. Por ejemplo, ambos encuentran que para las reacciones donde la carga de los piones es la misma con la carga de la corriente el rendimiento de piones muestra un disminución sustancial. 3.2.2 Electroproducción Pasamos ahora a la electroproducción. Para ser específicos, nuestro análisis se realizará bajo el condiciones del Espectrómetro de Gran Aceptación de Cebaf (CLAS) en Jefferson Lab (JLAB). El detector CLAS [23] cubre una gran fracción de todo el ángulo sólido con neutro eficiente y la detección de partículas cargadas. Por lo tanto, es muy adecuado para realizar una alta estadística medición de diversos objetivos nucleares ligeros y pesados y para probar las ideas de pion múltiples modelos de dispersión. En el futuro, estas mediciones pueden compararse con los resultados en la producción de neutrinos del experimento Minerva [1] utilizando el Numi de alta intensidad haz de neutrinos. Si no se indica lo contrario, utilizamos una energía electrónica Ee = 2.7 GeV en orden acercarse lo más posible al rango de baja energía pertinente de los experimentos LBL. Para la transferencia de impulso tomamos los valores Q2 = 0.4, 0.8 GeV2 con el fin de evitar la experimental y teóricamente más problemática región en muy bajo Q2. Resultados para mayores Q2 y energías más grandes, dicen Ee = 10 GeV, son cualitativamente muy similares. En la figura 4 se muestra la sección transversal de doble diferencial d/dQ2dW para y η0 produc- ión versus W para un objetivo de oxígeno. Las líneas sólidas se han obtenido con ayuda de Eq. (3.2) incluyendo las correcciones nucleares. Las líneas discontinuas muestran el resultado de la doble- promedio de aproximación según Eq. (3.6) utilizando la matriz ANP en Eq. (3.7). Los línea punteada es la sección transversal libre en Eq. (3.3). Uno ve, el doble-ahorrador aproxima- y el cálculo exacto dan resultados muy similares de tal manera que el primero es adecuado para estimaciones simples a una precisión del 10% de los efectos de rescatación de piones. Observamos que – 7 – las secciones transversales para la producción η0 se reducen en gran medida en alrededor de un 40% debido a la energía nuclear correcciones. Esto se puede entender, ya que las secciones transversales más grandes η0 son reducidas por ab- efectos de sorción y efectos de cambio de carga. Por otro lado, las secciones transversales son incluso ligeramente agrandado, ya que la reducción debida a la absorción de piones se compensa con un aumento debido al cambio de cargos. La compensación es sustancial, ya que los rendimientos η0 son dominante. In Fig. 5 secciones transversales de doble diferencial por nucleón para diferentes materiales diana se presentan. La energía electrónica y la transferencia de impulso se han elegido como Ee = 2,7 GeV y Q 2 = 0,4 GeV2, respectivamente. Los resultados de la recuperación de piones las correcciones se han obtenido dentro de la aproximación de doble apalancamiento (3.6) que permite una comparación simple de la dependencia del material objetivo en términos de la matrices M [T] que se pueden encontrar en Eq. (3.7) y App. A. Para la comparación el nucleón libre sección transversal (3.3) (isoscalar ) también se muestra. Como era de esperar, las correcciones nucleares se hacen más grandes con el aumento del número atómico del carbono al hierro. Una de las cantidades de entrada para el cálculo de la función de transporte f(l) en el ANP el modelo es la sección transversal de absorción de piones abs(W ) que describe la probabilidad de que el pion se absorbe en un único proceso de redispersión. El artículo de la ANP informó resultados para ♥abs(W ) para dos parametrizaciones, modelos A y B, tomados de Refs. [24, 25] que tienen muy diferente W -dependencia y normalización. Sin embargo, las predicciones del modelo ANP en la aproximación de la doble alimentación son principalmente sensibles a la normalización de la sección transversal de absorción de piones en W m [22]. Usando datos de Merenyi et al. [26] para una objetivo de neón se encontró que alrededor del 25% ± 5% de los piones se absorben haciendo posible la la determinación de la normalización de abs(W) con una precisión del 20%. Con el fin de investigar la incertidumbre teórica debido a los efectos de absorción pion mostrar en Fig. 6 secciones transversales de doble diferencial d/dQ2dW para y η0 producción vs W para las diferentes cantidades de absorción de piones en oxígeno: 25% (línea sólida), 20% (línea dorsal), 30% (línea punteada). Los espectros η0 y se han calculado en el doble-average aproximación (3.6) utilizando las matrices en la aplicación. B. Las tres curvas representan la incertidumbre teórica debido a los efectos de absorción de piones. Para la comparación, el nucleón libre sección transversal (3.3) también se muestra. Aunque las predicciones del modelo ANP son principalmente sensibles a Sería interesante obtener más información sobre la forma detallada de W. La fracción de piones absorbidos se puede determinar midiendo la cruz de producción de piones inclusivos secciones de un objetivo nuclear divididas por las secciones transversales libres de nucleones, Abs(Q2,W) = 1− k=0,± d(ZT) A;lk) dQ2dW j=0,± d(NT; dQ2dW = 1−Ap(Q2,W), (3.8) donde se ha introducido Ap en (3.4). Esta cantidad está relacionada con ♥abs(W) como se puede ver mediante la linealización de la función de transporte f(,W ) [16, 22] Abs(Q2,W) 1 L0 × ♥abs(W). (3.9) – 8 – Aquí L̄ es la longitud efectiva del núcleo promediado sobre los parámetros de impacto y densidad de carga en el centro. Como ejemplo, para el oxígeno se encuentra L̄ 1.9R con radio R 1,833 fm y l0 = 0,141 fm−3. Por lo tanto, la W -dependencia de đabs(W) puede ser reconstruida a partir de la fracción de piones absorbidos, es decir, Abs(Q2,W). Resumiendo sobre el tres piones cargados eliminan los efectos de cambio de carga. Para verificar la aproximación lineal en Eq. (3.9), se muestra en la Fig. 7 la ANP modelo de predicción para Abs(Q2,W) para objetivos de oxígeno y hierro con Q2 = 0,3 GeV2. Esto la predicción depende en gran medida de la forma de la sección transversal ♥abs(W) para la que utilizamos modelo B de Refs. [25]. abs(W) multiplicado por un factor de normalización libre para el oxígeno y hierro, respectivamente, es representado por las líneas discontinuas. Obviamente, Eq. (3.9) está bastante bien satisfecho para el oxígeno y todavía razonablemente bueno para el hierro. Finalmente, la línea punteada muestra la resultado de la aproximación del promedio. Llegamos a la conclusión de que ♥abs(W) se puede extraer con ayuda de Eqs. (3.8) y (3.9). Para completar, mencionamos que la absorción de piones en los núcleos se reporta en varios artículos [27]. Para las comparaciones se debe tener cuidado porque las secciones transversales de absorción en pi-núcleo y en neutrino-núcleo las reacciones son diferentes, en el primer caso es una superficie efecto mientras que en este último ocurre en todas partes en el núcleo. Una prueba útil de los efectos de cambio de carga es proporcionada por la doble relación DR(Q2,W ) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (3.10) donde (l)i)A representa la sección transversal doblemente diferencial d/dQ 2dW para la producción de un pión en la dispersión de eA. Se espera que este observable sea bastante sólido con respeto a las correcciones radiativas y a las diferencias de aceptación entre los piones neutros y cargados.2 In Fig. 8 se muestra la doble proporción para un objetivo de carbono en dependencia de W para un Q2 fijo = 0.4 GeV2. La dependencia de Q2 es débil y los resultados de otros valores de Q2 son muy similares. La línea sólida muestra el resultado exacto, mientras que las líneas punteadas se han obtenido en el aproximación de doble promedio con cantidades mínimas y máximas de absorción de piones. Como se puede ver, los resultados son bastante insensibles a la cantidad exacta de absorción de piones. Sin efectos de cambio de carga (y suponiendo una absorción similar de piones) la doble proporción estaría cerca de la unidad. Como se puede ver, el modelo ANP predice una relación doble menor que 0,6 en la región W 1,2 GeV. Una confirmación de esto la expectativa sería una señal clara de intercambio de carga pion predominantemente regido por isospin simetría. En este caso sería interesante ir un paso más allá y estudiar proporciones similares para las distribuciones angulares de piones. 4. Resumen Las reacciones inducidas por el lepton en los núcleos medio y pesado incluyen la redispersión de Piones dentro de los núcleos. Esto es especialmente notable en la región de la resonancia, donde la produjo decaimientos de resonancia en un nucleón y un pión. En la introducción y en la sección Estamos agradecidos a S. Manly por llamar nuestra atención a la doble proporción. – 9 – 2 hemos revisado los progresos realizados en los cálculos de los neutrinos inducidos reacciones sobre protones y neutrones libres, porque los necesitábamos para seguir los cálculos. Para varias resonancias los factores de forma vectorial se han determinado recientemente mediante el uso de resultados de electroproducción en Jefferson Laboratory [7]. Para los factores de forma axial modificados los dipolos dan una descripción precisa de los datos. A los efectos del presente artículo (estudios de las correcciones nucleares) basta con deducir las secciones transversales de la electroproducción a través de Eqs. (2.1) y (2.9). La principal contribución de este artículo está contenida en la sección 3, donde se describe Características importantes del modelo ANP y definición del transporte medio único y doble matrices. Se destacan dos aspectos importantes de la redispersión: i) la absorción de la piones y (ii) intercambio de carga que ocurre en la dispersión múltiple, donde hemos mostrado que las características especiales de los datos se atribuyen a cada uno de ellos. Por último, proponemos medidas específicas. relación de las reacciones de electroproducción que son sensibles a la sección transversal de absorción y para cargar efectos de cambio. Utilizando el modelo calculamos la matriz de transporte para varios sec- ciones y núcleos y presentar los resultados en el apéndice A. También calculamos la energía pion espectros con y sin correcciones nucleares. Los resultados aparecen en las figuras 1-3 y pueden ser en comparación con otros cálculos [12]. Comparación de la aproximación media doble con el cálculo exacto de ANP muestra pequeñas diferencias (figura 4). Como ya se ha mencionado, Los datos de la electroproducción son muy útiles para probar varios aspectos del modelo y su pre- dictions. Para la sección transversal de absorción se propone en Eq. (3.8) una proporción que depende sólo de en Ap(Q) 2,W ) = g(Q2,W )f(1,W ). Ya que consideramos objetivos isoescalares y suma sobre el los cargos de los piones, los términos de cambio de cargo se eliminan. Esto deja sobre el depósito... dence sobre los efectos independientes de la carga, como el factor Pauli y la absorción media; esto es de hecho la absorción media de los piones e incluso incluye la absorción de la resonancia a sí mismo. Otra relación (DR(Q2,W)) es sensible a los efectos de cambio de carga. En la relación doble la dependencia de Ap(Q) 2,W ) abandona y los términos que sobreviven son dependientes de isospin. Nuestro cálculo muestra que la relación depende de W con la mayor reducción que se produce en la región 1.1 < W < 1,25 GeV. Por último, el (1232) es una resonancia bruscamente pico, donde la interacción resonante, tiene lugar en pequeños rangos de las variables cinemáticas, de modo que promedio sobre ellos da aproximaciones exactas. Esto es análogo a una anchura estrecha aproximación. Varias comparaciones en este artículo confirman la expectativa de que promediod las cantidades dan aproximaciones bastante precisas de los cálculos más extensos. Agradecimientos Queremos dar las gracias a W. Brooks y S. Manly por muchas discusiones útiles, su interés y ánimo. El trabajo de J. Y. Yu es apoyado por la Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) a través de Grant No. YU 118/1-1. – 10 – Apéndice A. Matrices de cambio de carga en la aproximación del doble promedio Carbono: 12) = Ap 0,826 0,136 0,038 0,136 0,728 0,136 0,038 0,136 0,826 (A.1) con Ap = 0,791. Argon: M(18Ar 40) = Ap 0,733 0,187 0,080 0,187 0,626 0,187 0,080 0,187 0,733 (A.2) con Ap = 0,657. Hierro: M (26Fe 56) = Ap 0,720 0,194 0,086 0,194 0,613 0,194 0,086 0,194 0,720 (A.3) con Ap = 0,631. B. Matrices de cambio de carga para diversas cantidades de absorción de piones Carbono: 15% de absorción 12) = Ap 0,817 0,141 0,041 0,141 0,718 0,141 0,041 0,141 0,817 (B.1) con Ap = 0,831. 20% de absorción 12) = Ap 0,829 0,134 0,037 0,134 0,731 0,134 0,037 0,134 0,829 (B.2) con Ap = 0,782. – 11 – 25 % de absorción 12) = Ap 0,840 0,127 0,032 0,127 0,745 0,127 0,032 0,127 0,840 (B.3) con Ap = 0,734. Oxígeno: 15% de absorción 16) = Ap 0,771 0,167 0,062 0,167 0,665 0,167 0,062 0,167 0,771 (B.4) con Ap = 0,833. 20% de absorción 16) = Ap 0,783 0,161 0,056 0,161 0,679 0,161 0,056 0,161 0,783 (B.5) con Ap = 0,784. 25 % de absorción 16) = Ap 0,797 0,153 0,050 0,153 0,693 0,153 0,050 0,153 0,797 (B.6) con Ap = 0,735. 30 % de absorción 16) = Ap 0,810 0,146 0,044 0,146 0,709 0,146 0,044 0,146 0,810 (B.7) con Ap = 0,687. C. Matrices de cambio de carga hacia adelante y hacia atrás Carbono: 15% de absorción M+(6C) 12) = Ap+ 0,870 0,100 0,029 0,100 0,799 0,100 0,029 0,100 0,870 ,M−(6C12) = Ap− 0,675 0,251 0,074 0,251 0,498 0,251 0,074 0,251 0,675 (C.1) – 12 – con Ap+ = 0,606 y Ap− = 0,225. 20% de absorción M+(6C) 12) = Ap+ 0,880 0,094 0,026 0,094 0,811 0,094 0,026 0,094 0,880 ,M−(6C12) = Ap− 0,685 0,247 0,068 0,247 0,505 0,247 0,068 0,247 0,685 (C.2) con Ap+ = 0,578 y Ap− = 0,204. 25 % de absorción M+(6C) 12) = Ap+ 0,889 0,088 0,022 0,088 0,823 0,088 0,022 0,088 0,889 ,M−(6C12) = Ap− 0,695 0,243 0,062 0,243 0,513 0,243 0,062 0,243 0,695 (C.3) con Ap+ = 0,549 y Ap− = 0,184. Oxígeno: 15% de absorción M+(8O 16) = Ap+ 0,829 0,125 0,046 0,125 0,750 0,125 0,046 0,125 0,829 ,M−(8O16) = Ap− 0,635 0,265 0,100 0,265 0,470 0,265 0,100 0,265 0,635 (C.4) con Ap+ = 0,581 y Ap− = 0,252. 20% de absorción M+(8O 16) = Ap+ 0,840 0,119 0,041 0,119 0,762 0,119 0,041 0,119 0,840 ,M−(8O16) = Ap− 0,646 0,262 0,092 0,262 0,477 0,262 0,092 0,262 0,646 (C.5) con Ap+ = 0,554 y Ap− = 0,23. 25 % de absorción M+(8O 16) = Ap+ 0,852 0,112 0,036 0,112 0,776 0,112 0,036 0,112 0,852 ,M−(8O16) = Ap− 0,657 0,258 0,085 0,258 0,485 0,257 0,085 0,258 0,657 (C.6) con Ap+ = 0,527 y Ap− = 0,208. – 13 – 30 % de absorción M+(8O 16) = Ap+ 0,863 0,105 0,031 0,105 0,789 0,105 0,031 0,105 0,863 ,M−(8O16) = Ap− 0,669 0,253 0,078 0,253 0,493 0,253 0,078 0,253 0,669 (C.7) con Ap+ = 0,499 y Ap− = 0,187. Bibliografía [1] D. Drakoulakos et al., Miner v.a Collaboration (2004), hep-ex/0405002. [2] K. B. M. Mahn, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 159, 237 (2006). H. Gallagher, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 159, 229 (2006). 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Las curvas corresponden a reacciones de corriente neutra. – 16 – ig Eη (GeV) 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 η0 ig Eη (GeV) 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 η- ig Eη (GeV) 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Figura 2: Lo mismo que en el fig. 1 para argón. – 17 – ig Eη(GeV) 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 η0 ig Eη(GeV) 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 η- ig Eη(GeV) 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Figura 3: Lo mismo que en el fig. 1 por hierro. – 18 – Q2 = 0,4 GeV2 η0 f (exacto) η0 f (av. app.) W(GeV) 1,1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 Q2 = 0,4 GeV2 f (exacto) f (av. app.) W(GeV) 1,1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 Q2 = 0,8 GeV2 η0 f (exacto) η0 f (av. app.) W(GeV) 1,1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 Q2 = 0,8 GeV2 f (exacto) f (av. app.) W(GeV) 1,1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 Figura 4: Secciones transversales diferenciales dobles para la electroproducción de un solo pilón para un objetivo de oxígeno en dependencia de W. Spectra para la producción η0 y se muestran para Q2 = 0,4 GeV2 y Q2 = 0,8 GeV2 utilizando una energía electrónica E = 2.7 GeV. Las líneas sólidas y punteadas se han obtenido de acuerdo con (3.2) utilizando la matriz ANP exacta M(W,Q2) y (3.6) utilizando la matriz ANP de doble promedio M en (3.7), respectivamente. Las líneas discontinuas muestran la sección transversal libre de nucleones (3.3). Q2 = 0,4 GeV2 η0 f (8O) η0 f (6C) η0 f (18Ar) η0 f (26Fe) W(GeV) 1,1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 Q2 = 0,4 GeV2 f (8O) f (6C) f (18Ar) f (26Fe) W(GeV) 1,1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 Figura 5: Secciones transversales diferenciales dobles por nucleón para electroproducción de un solo piñón para diferentes materiales objetivo. W -espectra para la producción de η0 y se muestran para Q2 = 0.4 GeV2 utilizando un electrón energía E = 2.7 GeV. Las correcciones de redispersión de piones se han calculado en el doble average aproximación (3.6) utilizando las matrices ANP en (3.7) y App. A. Para la comparación, el nucleón libre se muestra la sección transversal (3.3). – 19 – Q2 = 0,8 GeV2 η0 f (Abs. 25%) η0 f (Abs. 20%) η0 f (Abs. 30%) W(GeV) 1,1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 Q2 = 0,8 GeV2 f (Abs. 25%) f (Abs. 20%) f (Abs. 30%) W(GeV) 1,1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 Figura 6: Secciones transversales diferenciales dobles por nucleón para electroproducción de un solo pilón para oxígeno con 20% (línea de puntos), 25% (línea sólida) y 30% (línea punteada) absorción de piones. Además, Q2 = 0,8 GeV2 y E = 2.7 GeV. Los espectros η0 y se han calculado en la aproximación de doble apalancamiento (3.6) utilizando las matrices de la aplicación. B. Para la comparación, la sección transversal libre de nucleones (3.3) se muestra como Bueno. exacta Av. Aprox. N * sigabs(W) W(GeV) 1,1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 1,45 Figura 7: La fracción de piones absorbidos, Abs(Q2,W), en dependencia de W para el oxígeno y el hierro objetivos para Q2 = 0,3 GeV2. También se muestra la sección transversal abs(W) (modelo B) multiplicada por libre factores de normalización (líneas de calado). Las líneas punteadas son el resultado para Abs(Q2,W) en el promedio aproximación. – 20 – Q2 = 0,4 GeV2 W(GeV) 1,1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 Figura 8: Doble relación de secciones transversales de electroproducción de un solo pión en dependencia de W para las secciones fijas Q2 = 0,4 GeV2 tal como se define en Eq. (3.10). Las líneas punteadas muestran resultados en el doble promedio aproximación con diferentes cantidades de absorción. – 21 –

Yukawa's Pion, Low-Energy QCD and Nuclear Chiral Dynamics

arXiv:0704.1992v1 [nucl-th] 16 Abr 2007 Pión de Yukawa, QCD de baja energía y dinámica quiral nuclear Wolfram Weise Physik-Department, Technische Universität München, D-85747 Garching, Alemania Una encuesta se da de la evolución de la obra temprana de Yukawa, a través de la comprensión de el pion como un bosón de Nambu-Goldstone de simetría quiral rota espontáneamente en QCD, desarrollos modernos en la teoría del núcleo basado en la teoría de campo eficaz quiral representar QCD en su límite de baja energía. § 1. Los comienzos Una de las documentaciones más notables en la historia de la ciencia moderna es la serie de artículos que forman los primeros volúmenes del Suplemento del Progreso de Física teórica. Estos documentos recopilados sobre la teoría del mesón1) celebraron la veinte años de la obra pionera de Yukawa2, que sentó las bases para nuestra comprensión de la fuerza fuerte entre los nucleones. En aquellos primeros días de La física nuclear muy poco se sabía de esta fuerza. El “Platzwechsel” de Heisenberg la interacción entre protón y neutrones dio una primera imagen intuitiva, y algunos intentos infructuosos se habían hecho para conectar la teoría de Fermi de la desintegración beta con interacciones nucleares. El artículo de Yukawa de 1935 introdujo el marco conceptual para una aproximación a la interacción nucleón-nucleón. Su entonces postulado “campo U” no sin embargo, tienen los números cuánticos correctos de lo que más tarde se convirtió en el pion*), pero tenía ya algunas de sus características principales. Proporciona el mecanismo básico de carga intercambio entre protón y neutrones. De la forma del potencial, er/r, y del alcance estimado de la fuerza nuclear, la masa de la partícula U fue predicho que será alrededor de 200 veces la del electrón. Esta partícula U fue erróneamente identificado con el muón descubierto en 1937 casi simultáneamente por Anderson y por Nishina y sus colaboradores. El meson “real” fue descubierto una década más tarde3) en los rayos cósmicos y luego producido por primera vez4) en el ciclotrón de Berkeley. Su naturaleza pseudoescalar fue pronto establecida. En 1949 el premio Nobel fue otorgado a Yukawa. Siguiendo los pasos de la obra original de Yukawa, la década siguiente vio una impres- esfuerzo coherente de la próxima generación de teóricos japoneses. Una piedra angular de estos desarrollos fueron el diseño conceptual visionario de Taketani et al.5) de la dentro de la jerarquía de escalas que gobiernan la interacción nucleón-nucleón, bosquejada En la figura 1. La región de larga distancia I está determinada por el intercambio de un pion. Contin- En el interior de la región de distancia intermedia II dominada por el intercambio de dos piones. La idea básica era construir el potencial de NN en las regiones I y II mediante el cálculo de los procesos de intercambio η y 2η, mientras que el comportamiento detallado de la *) Agradezco al Profesor H. Miyazawa sus instructivas comunicaciones sobre este punto. typeset usando PTPTEX.cls http://arxiv.org/abs/0704.1992v1 2 W. Weise la interacción en la región de corta distancia III sigue sin resolverse escalas características de la física nuclear. Esta parte de corta distancia se da una adecuada forma parametrizada. Los parámetros se fijan en comparación con los datos de dispersión. 1 2 3 IIIIII r [1] Intercambio de un solo piñón dos-piones intercambio corto distancia un pitón intercambio dos-piones intercambio Fig. 1. Jerarquía de las escalas que gobiernan el potencial nucleón-nucleón (adaptado de Taketani6). La distancia r se da en unidades de la longitud de onda del pion Compton 1 1.4 fm. El cuadro de Taketani, aunque no universalmente aceptado en ese momento por el la comunidad internacional de teóricos, resultó ser inmensamente útil. Hoy Esta estrategia es la que llevan a cabo los enfoques modernos y eficaces de la teoría de campo. Lo es. increíble lo lejos que este programa ya había sido desarrollado por teóricos japoneses en a finales de los cincuenta. Un ejemplo es el cálculo pionero de la bolsa de dos piones potencial7) utilizando técnicas de relación de dispersión y conocimiento temprano8 del resonante amplitud pion-núcleo que anticipó los modelos isobar de las últimas décadas. § 2. El Pión en el contexto del QCD de baja energía La teoría actual de la interacción fuerte es la Cromodinámica Cuántica (QCD). Existen dos situaciones limitantes en las que QCD es accesible con ap- Proximaciones. En escalas de impulso superiores a varios GeV (correspondiente a corto distancias, r < 0,1 fm), QCD es una teoría de quarks y gluones débilmente interactuantes. En básculas de bajo impulso considerablemente menores que 1 GeV (correspondiente a r > 1 fm), QCD se rige por el confinamiento de color y un vacío no trivial: el estado del suelo de QCD hospeda condensados fuertes de quark-antiquark pares y gluones. El confinamiento implica la ruptura dinámica de una simetría global que es exacta en el límite de quarks sin masa: simetría quiral. Simetría quiral espontánea romper a su vez implica la existencia de bosones pseudoescalares Nambu-Goldstone. Por dos sabores de quark (Nf = 2) con (casi) u sin masa y d quarks, estos Goldstone Los bosones se identifican con el trillizo isospin de los piones. A baja energía, Goldstone Los bosones interactúan débilmente entre sí o con cualquier partícula masiva. Baja energía QCD se realiza así como una teoría de campo eficaz en la que estos bosones Goldstone son los grados activos y ligeros de libertad. 2.1. Simetría quiral y modelo NJL ¿Cómo figura el pion de Yukawa en el marco del QCD? Históricamente, el founda- ciones para entender el pion como un bosón Nambu-Goldstone9), 10) de forma espontánea Pión de Yukawa, QCD de baja energía y dinámica quiral nuclear 3 la simetría quiral rota se inició en la década de 1960, culminando en el PCAC y enfoques actuales de álgebra11) de la era anterior al QCD. Un trabajo muy inspirador de este periodo temprano es el de Nambu y Jona-Lasinio10) (NJL). Igual que el modelo BCS la comprensión del mecanismo básico detrás de la superconductividad, la El modelo NJL ayudó a aclarar la dinámica que impulsa la simetría quiral espontánea la ruptura y la formación de piones como bosones de Goldstone. Considerar como punto de partida la corriente de color conservada de quarks, Jaμ = t donde ta (a = 1,..., 8) son los generadores del grupo de gálibo SU(Nc = 3) y los campos de quark con componentes 4NcNf que representan su giro, color y sabor grados de libertad. Esta pareja actual a los campos de gluon. Cualquiera de los dos quarks interactúa a través de múltiples intercambios de gluones. Supongamos que la distancia sobre qué color las propagaciones están restringidas a una longitud de correlación corta lc. Entonces la interacción expe- rienced por quarks de bajo momentum puede ser visto esquemáticamente como un acoplamiento local entre sus corrientes de color: Lint = −Gc Jaμ(x)Jμa(x), (2.1) donde Gc 2 l2c es una fuerza de acoplamiento efectiva de longitud de dimensión2 que codifica el acoplamiento QCD, promediado a lo largo de las escalas de distancia pertinentes, en combinación con la longitud de correlación cuadrada, l2c. Ahora adopte la interacción local (2.1) y escriba el siguiente modelo Lagrangian para los campos de quark (x): L = (x) (i −m0)(x) + Lint(, ). (2.2) En esencia, al “integrar” los grados de libertad gluon y absorberlos en la interacción de cuatro fermiones Lint, la simetría local SU(Nc) del calibrador de QCD es ahora reemplazado por una simetría SU(Nc) global. El confinamiento está obviamente perdido, pero todos los demás Se mantienen las simetrías de QCD. La matriz de masa m0 incorpora pequeño “bare” Masas de quark. En el límite m0 → 0, el lagrangiano (2.2) tiene una simetría quiral de quarks de derecha e izquierda, SU(Nf)R×SU(Nf)L, que comparte con el original QCD Lagrangian para sabores de quark sin masa Nf. Una transformación Fierz de la interacción corriente-corriente de color (2.1) produce un conjunto de los términos de intercambio que actúan en canales quark-antiquark. Para el caso Nf = 2: Lint → ()2 + ( iγ5 +..., (2.3) con las matrices de Pauli SU(2) de la isospina ♥ = (1, 2 y 3 de la isospina). Para la brevedad no tenemos muestra una serie de términos con combinaciones de vectores y corrientes de vectores axiales, ambos en color singlet y color octeto canales. La constante G es proporcional al color Resistencia de acoplamiento Gc. La relación de estas dos constantes está determinada por Nc y Nf. Los pasos que se acaban de esbozar pueden ser vistos como una forma contemporánea de introducir el modelo NJL con antigüedad10. Este modelo se ha desarrollado aún más y ap- plied12), 13) a una variedad de problemas en la física de hadrones. La virtud de este esquema modelo es su simplicidad en la ilustración del mecanismo básico de la simbiosis quiral espontánea Se rompe la metría, como se indica a continuación. En el campo medio (Hartree) aproximación de la ecuación 4 W. Weise de movimiento derivado del Lagrangian (2.2) conduce a una ecuación de brecha M = m0 −G, (2.4) que vincula la generación dinámica de una masa de quark M constituyente a la apariencia- El contenido del quark quiral = −Tr lim x→ 0+ # T #(0)(x) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (2η)4 M-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(----)-)-(-)-(-(-)-(--(----------------------------------------------------------------------------------------(-----------------------------(--(----------------------------------------------------------------------------- p2 −M2 + i . (2.5) Este condensado juega el papel de un parámetro de orden de simetría quiral espontánea- Intenta romper. A partir de m0 = 0 una masa quark no cero se desarrolla dinámicamente, junto con un condensado quiral no evasivo, una vez que G supera un valor crítico de pedir Gcrit 10 GeV−2. El procedimiento requiere un corte de impulso allá donde la interacción es “apagada”. Nótese que el fuerte no-perturbativo las interacciones, polarizando el vacío y convirtiéndolo en un condensado de quark- pares antiquark, transmutar un quark inicialmente puntiagudo con su pequeña masa desnuda m0 en una cuasipartícula masiva con un tamaño de orden (2M)−1. 2.2. El Espectro del Meson Pseudoscalar El modelo NJL demuestra lúcidamente la aparición de Nambu-Goldstone Bosones. Resolviendo las ecuaciones Bethe-Salpeter en el color singlet quark-antiquark chan- nels genera los mesones más ligeros como excitaciones quark-antiquark de la correlación Estado de tierra QCD con su estructura condensada. Varios de estos cálculos han sido: realizado en el pasado con Nf = 3 sabores quark 12)-14). Tal modelo tiene un un- quería que la simetría U(3)R×U(3)L comenzara con, pero la anomalía axial U(1)A reduce esta simetría a SU(3)R × SU(3)L × U(1)V. En QCD, se consideran instantones responsable de la ruptura de U(1)A. En el modelo NJL, estos interac- ciones se incorporan en la forma de un determinante del sabor15 det[i(1± γ5)]. Esto interacción implica los tres sabores u, d, s simultáneamente en un genuino tres-cuerpo término. Fig. 2. Patrón de ruptura de la simetría en la nonet pseudoescalar calculada en el triple sabor NJL model14). El patrón de ruptura de simetría resultante de tal cálculo es aparente en el espectro pseudoescalar del meson de la Fig.2. A partir de u, d y s sin masa Pión de Yukawa, QCD de baja energía y dinámica quiral nuclear 5 quarks, el octeto pseudoescalar emerge como un conjunto de bosones sin masa de Goldstone SU(3) × SU(3) roto espontáneamente, mientras que U(1)A unidades de rotura de la singlet η0 lejos del sector del bosón Goldstone. Las masas de quark finitos desplazan el Jη = 0− nonet en su posición empíricamente observada, incluyendo la mezcla η-. La naturaleza muy especial del pion como bosón de Nambu-Goldstone se manifiesta en una relación famosa16) derivada del álgebra actual y PCAC: m2η f η = − (mu +md)O(m2u,d). (2.6) Involucra la constante de decaimiento pion, fη 0,09 GeV, definida por el elemento matricial que conecta el pión con el vacío QCD a través de la corriente vectorial axial, A 5 0Aμi (x = 0)i(p) = ip μfη. (2.7) Al igual que el condensado quiral, la constante de decaimiento pional es una medida de espontáneo simetría quiral de ruptura expresada en términos de una escala característica 4 La masa de piones no cero, m rompiendo por las pequeñas masas de quark, con m2 Hay que señalar que el masas de quark mu,d y el condensado son ambas cantidades dependientes de la escala. Sólo su producto es independiente de la escala, es decir. invariante bajo la renormalización grupo. A una escala de renormalización de aproximadamente 1 GeV, una masa media típica de quark (mu +md) 7 MeV implica (0.3 GeV)3. 2.3. Scales y patrones de ruptura de simetría Las masas de quark son los únicos parámetros que establecen escalas primarias en QCD. Sus la clasificación en sectores de quarks “luz” y “pesados” determina muy diferente Fenómenos de física. Mientras que los quarks pesados (es decir. la t, b y - dentro de los límites - la c los quarks) ofrecen un “pequeño parámetro” natural en términos de sus masas recíprocas, tales que aproximaciones no relativistas (expansiones de observables en poderes de m−1t,b,c) tienden a trabajar cada vez mejor con el aumento de la masa quark, el sector de la luz quarks (es decir, la u, d quarks y - hasta cierto punto - el s quark) se rige por principios y reglas muy diferentes. Evidentemente, las masas de quark son ahora “pequeños parámetros”, a comparar con una escala característica “grande” de dinámica origen. Esta gran escala es visible como una característica brecha de masa de aproximadamente 1 GeV que separa el vacío QCD de casi todas sus excitaciones, con la excepción de el octeto pseudoescalar meson de piones, kaons y el eta meson. Esta brecha de masa es a su vez comparable a 4ηfη, la escala asociada con la simetría quiral espontánea irrumpiendo en QCD. En este contexto también es instructivo echar un vistazo al patrón espectroscópico de mesons pseudoescalares y vectores, a partir de pares de quark-antiquark de luz pesada en 1S0 y 3S1 estados y siguiendo esos estados hacia abajo en la masa del quark. Esto se ilustra en la Fig.3 donde mostramos las masas de mesones compuestos de b, c, s o u quark con un anti-d-quark unido. Masas de quark desprovistas se restan de las masas mesones en esta trama con el fin de demostrar directamente la evolución de la separación hiperfina perturbativa en los sistemas pesados a la no perturbativa brecha de masa en las luces. En los mesons B̄ y B, el quark d̄ está firmemente atado 6 W. Weise Fig. 3. Evolución de la división entre spin singlet (inferior) y triplet (superior) quark-antiquark estados (los pseudoescalares (Jη = 0−) y los vectores (Jη = 1−) mesones) con masa variable de uno de los quarks. Las masas de quark desnudo se restan de las masas de mesón físico para conveniencia de la demostración. a b quark pesado a una distancia media pequeña, dentro del rango donde El QCD es aplicable. La interacción spin-spin está bien aproximada por la perturbación intercambio de un gluón, resultando en una pequeña división de hiperfina. Moviéndose hacia abajo en masa a los sistemas D y D*, con el quark b sustituido por un quark c, el hiperfino la división aumenta, pero sigue siendo preocupante en magnitud. A medida que evoluciona este patrón en el sector de la luz-cuarco, sufre un cambio cualitativo a través de la diferencia de masa de K̄ y K a la brecha de masa no-perturbativa en el sistema de, reflejando la naturaleza del bosón de Goldstone del pion. 2.4. Teoría de campo eficaz quiral QCD de baja energía es la física de sistemas de quarks de luz en energía y momen- escalas de tum más pequeñas que la brecha de masa de 1 GeV observada en el espectro de hadrones. Esto 1 escala GeV establecida por 4ηfη ofrece una separación natural entre "luz" y "pesado" (o, correspondientemente, “rápido” y “lento”) grados de libertad. La idea básica de un teoría de campo eficaz es introducir las partículas de luz activa como grados colectivos de libertad, mientras que las partículas pesadas son congeladas y tratadas como (casi) fuentes estáticas. La dinámica es descrita por un eficaz lagrangiano que incorpora todas las vant simetrías de la teoría fundamental subyacente. En QCD, confinamiento y ruptura espontánea de la simetría quiral implica que los grados “rápidos” de libertad son los bosones Nambu-Goldstone. Con el pion de Yukawa en mente, nos limitamos a Nf = 2. Primero resumimos brevemente los pasos17), 18) requeridos en el sector del mesón puro (barion número B = 0) y posteriormente para el sector pion-nucleón (B = 1). Un campo quiral se introduce como U(x) = ei con los campos de piones de Goldstone normalizados por la constante decaimiento de piones en el límite quiral (mη → 0). El QCD Lagrangian es reemplazado por un Lagrangian que implica U(x) y sus derivados: LQCD → Leff (U, U,...). (2.9) Los bosones Goldstone interactúan sólo cuando llevan un impulso no cero, por lo que la baja- Pión de Yukawa, QCD de baja energía y dinámica quiral nuclear 7 expansión de energía de (2.9) es un orden en los poderes de U. Permisos de invarianza de Lorentz sólo números pares de derivados. Uno escribe Leff = L(2) + L(4) +..., (2.10) omitiendo una constante irrelevante. El término principal (el modelo sigma no lineal) implica dos derivados: L(2) = f Tr[U U ]. (2.11) En el cuarto orden, los términos permitidos por las simetrías son (aparte de un Atribución de la anomalía del QCD, no incluida aquí): L(4) = (Tr[U U ])2 + Tr[U U]Tr[ μU U ], (2.12) Y así sucesivamente. Las constantes l1, l2 (después de las anotaciones canónicas 18)) debe ser disuasorio. minado por experimento. La simetría que rompe el término de masa es pequeña, por lo que puede ser manejada pertur- bativamente, junto con la serie de energía en impulso. La contribución principal introduce un término lineal en la matriz de masa de quark m = diag(mu,md): L(2) = f Tr[U U ] + B0 Tr[m(U + U †)], (2.13) con B0 = /2fη El cuarto término de orden L(4) también recibe ruptura de simetría contribuciones con constantes adicionales li. En la medida en que el Lagrangian efectivo incluye todos los términos dictados por Metries de QCD, la teoría de campo eficaz quiral es el equivalente de baja energía19, 20) del QCD Lagrangian original. Dado el eficaz Lagrangian, el marco para los cálculos perturbativos sistemáticos de la matriz S con bosones Goldstone, La Teoría de la Perturbación Chiral (ChPT), se define entonces por las siguientes reglas: Recoge todos los diagramas de Feynman generados por Leff. Clasificar todos los términos de acuerdo a poderes de una pequeña cantidad Q que se encuentra genéricamente para tres-momento o energía del bosón de Goldstone, o para la masa de piones. El parámetro de pequeña expansión es Q/4lnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn Los bucles están sujetos a regularización dimensional y renormalización. 2.5. Pion-Pion Scattering Cuando se utiliza la relación Gell-Mann, Oakes, Renner (GOR) (2.6) para conducir orden en la masa de quark, se asume tácitamente que el condensado quiral es grande en magnitud y juega el papel de un parámetro de orden para la simetría quiral espontánea Rompiendo. Este escenario básico debe ser confirmado. De hecho, ha sido probado por un análisis cuantitativo detallado de la dispersión pion-pion, el proceso más exacto y estudiado extensamente utilizando ChPT. Considere la dispersión de la onda s a muy baja energía. Las longitudes de dispersión en el isospina I = 0, 2 canales, calculados a orden quiral principal, are21) 32ηf2η , a2 = − 16lf2l , (2.14) 8 W. Weise mostrando que la interacción se desvanece correctamente en el límite quiral, mγ → 0. Los orden siguiente a líder introduce iteraciones de un bucle de la parte principal L(2) de la eficaz Lagrangian, así como piezas generadas por L(4). En ese nivel entra en la constante renormalizada l̄3 que también determina la corrección al orden principal Relación GOR: m2η = 32η2f2 η + O( η), (2 donde η = − mu +md (2.16) implica la masa de quark en orden de dirección. Aquí f es la constante decaimiento pion en el límite quiral. Una determinación precisa de la I = 0 s-onda de la longitud de dispersión por lo tanto, proporciona una restricción para l̄3 que, a su vez, establece un límite para el siguiente-a-liderazgo corrección de orden a la relación GOR. Tal investigación se ha realizado22 utilizando cambios de fase de baja energía........................................................................................................................................................................................................................................................ extraído del análisis detallado del estado final de la decaimiento K → • + e v. Los resultado, cuando se traduce en una declaración sobre el término no líder que entra (2.15), implica que la diferencia entre m2η y la expresión GOR principal (2 .16) es menos del 5 por ciento. De ahí el escenario “fuerte condensado” del quiral espontáneo parece confirmarse la ruptura de la simetría en el QCD*). 2.6. El Pion en celosía QCD También se observa la relación de orden principal m2 mq23) en la retícula QCD hasta sorprendentemente grandes masas de quark. Un análisis reciente detallado24 se muestra en Fig.4. Dentro de los errores estadísticos, los datos para masa de pion cuadrada versus masa de quark Túmbate en una recta. Los resultados de la celosía son notablemente compatibles con el quiral de un bucle la teoría de la perturbación hasta mη. 0,5 GeV. Fig. 4. Resultados de simulación QCD de celosía24) para la masa cuadrada de piones m2η en función del quark masa m en unidades de espaciamiento de la celosía a. Masas de piones convertidos a unidades físicas se unen a los puntos de datos de celosía. Un ajuste lineal (dashed) se muestra en comparación con el siguiente-a-liderazgo ordenar el resultado ChPT (curva sólida). *) Cabe señalar, sin embargo, que esta conclusión se extrae al nivel de QCD con sólo Nf = 2 sabores. Todavía pueden surgir correcciones adicionales cuando se tienen en cuenta quarks extraños. Pión de Yukawa, QCD de baja energía y dinámica quiral nuclear 9 2.7. Pion-Núcleo Efectivo Lagrangiano El papel prominente desempeñado por el pion como un bosón de Goldstone de forma espontánea simetría quiral rota tiene su impacto en la estructura y dinámica de baja energía 25) Al sondear el nucleón con electrodebil de longitud de onda larga y campos fuertes, una parte sustancial de la respuesta proviene de la nube de piones, el Superficie “suave” del nucleón. El marco de cálculo para esto, baryon chiral la teoría de la perturbación26), 27) se ha aplicado con bastante éxito a una variedad de procesos energéticos (como dispersión de nucleones de pión de baja energía, foto de pión de umbral y la electroproducción y la dispersión de Compton en el nucleón). Consideremos ahora el sector con el número de barión B = 1 y la física del pion- Sistema de nucleón. El nucleón está representado por un doblete de isospin-1/2, Dirac spinor campo N (x) = (p, n) T de protón y neutrones. El campo libre Lagrangian LN0 = N (i −M0)N (2.17) incluye la masa de nucleón en el límite quiral, M0. Hay que tener en cuenta que el nucleón, a diferencia del pión, tiene una gran masa del mismo orden que la simetría quiral rompiendo báscula 4ηfη, que sobrevive en el límite de la desaparición de masas de quark desnudo, mu,d → 0. El mesón Lagrangian Leff anterior ahora es reemplazado por Leff (U, U,N,...) que también incluye el campo nucleón. El término adicional que implica el nucleón, de- notado por LNeff, se expande de nuevo en poderes de derivados (momento externo) de la Campo de bosón de oro y de las masas de quark: LNeff = L ηN + L ηN... (2 En el término principal, L(1)ηN hay un reemplazo de por un covariante quiral deriva- tivo que introduce acoplamientos de corriente vectorial entre los piones y el nucleón. En segundo lugar, hay un acoplamiento vectorial axial. Esta estructura de la ηN eficaz La- El grangiano es dictado de nuevo por la simetría quiral. Tenemos L(1)ηN = N [i(♥] μ − iVμ) + 5 Aμ −M0] con cantidades vectoriales y axiales que involucran los campos de bosón de Goldstone (pión) en la forma = Vμ = i ( + ) = − 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * c +..., (2.20) ( − ) = − a +..., (2.21) donde los últimos pasos resultan al expandir Vμ y Aμ a un orden de plomo en el pion campos. Hasta ahora, los únicos parámetros que entran son la masa de nucleón, M0, y el pión constante decaimiento, fη, ambos tomados en el límite quiral. El nucleón tiene su propia estructura intrínseca que conduce a una modificación de la término de acoplamiento vectorial axial en (2.19). El análisis de la desintegración beta de neutrones revela que el término 5 debe ser multiplicado por la constante de acoplamiento vectorial axial gA, con el valor empírico gA 1.27. 10 W. Weise En el orden siguiente a líder (L(2)?N ), entra el término de masa de quark de ruptura de simetría. Tiene el efecto de desplazar la masa de nucleón de su valor en el límite quiral a la Físico: MN =M0 + N. (2.22) El término sigma N = mq = N mq(ūu+ d̄d)N (2.23) medidas la contribución de la masa de quark no evasiva, mq = (mú+md), a la masa de nucleón MN. Su valor empírico se encuentra en el rango N (45 − 55) MeV y tiene ha sido deducido37) por una sofisticada extrapolación de datos de ion-nucleón de baja energía utilizando técnicas de relación de dispersión. Hasta este punto, el efectivo Lagrangian, expandido a segundo orden en el campo pion, tiene la forma LNeff = N (i −MN) # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. # # N # N # N # # # # # # # # N # N # N # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.nn.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n. 2 +..., donde no hemos mostrado una serie de términos adicionales de orden ()2 incluidos en la L(2)ηN completa. Estos términos vienen con más constantes de baja energía codificando física a distancias más pequeñas y energías más altas. Estas constantes necesitan ser instaladas. a datos experimentales, por ejemplo. de la dispersión pion-nucleón. La "eficacia" de una teoría de campo tan eficaz se basa en la identificación de los grados activos de baja energía de la libertad. Se conoce la dispersión de ion-nucleones para ser dominado por la resonancia p-wave (1232) con spin e isospin 3/2. Los energía de excitación de esta resonancia, dada por la diferencia de masa M = MMN, es no grande, sólo el doble de la masa de piones. Si se absorbe la física de la "(1232)" en constantes de baja energía de una teoría eficaz que trabaja con piones y nucleones sólo (como se hace comúnmente en el caso del barion pesado ChPT), los límites de aplicabilidad de una teoría se reduce claramente a un rango de energía-momento pequeño comparado a M. El B = 1 chiral efectivo Lagrangian es por lo tanto a menudo extendido28 incorporar el isobar como un grado explícito de libertad. § 3. Termodinámica quiral y bosones Goldstone en la materia Antes de recurrir a la dinámica quiral en los sistemas nucleares de muchos cuerpos, es instructivo para hacer una breve digresión y tocar cuestiones más generales de la simetría quiral en temperatura finita y densidad de bariones no cero. 3.1. El Parámetro de la Orden Quiral Como se indica en las secciones anteriores, el estado de tierra QCD (el vacío) es caracterizado por la presencia del fuerte condensado quiral. Los hadrones de la luz son excitaciones cuasipartículas de este estado de suelo condensado, con el pion de Yukawa desempeñar un papel muy especial como Nambu-Goldstone bosón de quiral roto espontáneamente Simetría. Una pregunta clave33) es entonces la siguiente: ¿cómo hacen las cantidades básicas y Pión de Yukawa, QCD de baja energía y dinámica quiral nuclear 11 escalas asociadas con este patrón de ruptura de simetría (el condensado quiral, el masa de pion y constante de descomposición) evolucionan con condiciones termodinámicas cambiantes (temperatura, densidad bariónica)? Asumir un medio hadrónico homogéneo en un volumen V a temperatura T y considerar la presión P (T, V, μ) = lnZ = T En Tr exp d3x (H − ) . (3.1) Aquí μ denota el potencial químico, la densidad bariónica. El hamiltoniano densidad H de QCD se expresa en términos de los grados pertinentes de libertad en el fase hadronica, derivada del eficaz chiral Lagrangian Leff. El Nf = 2 El hamiltoniano tiene un término de masa, H = m = mu ūu+md d̄d, de modo que H = H0 + H, con H0 que representa el límite sin masa. Ahora tome la derivada de la presión con respeto a la masa de quark y utilizar la relación GOR (2.6) para derivar el condensado T, en T finita y densidad, o más bien su relación con el condensado. en T = μ = 0, # # T, # # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # T, # # # T, # # T, # # # T, # # # # T, # # # # # # T, # # # T, # # T, # # # # # T, # T, # # T, # T, # # # # # # # # # # T, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 0 = 1 + dP (T, μ) f2π dm . (3.2) La dependencia T de este condensado, a cero potencial químico, se muestra en compar- ion con la celosía de dos sabores QCD resultados en la Fig.5. Su comportamiento refleja un continuo transición cruzada a una temperatura crítica Tc 0,2 GeV que se convierte en un sec- ond fase de orden transición en el límite quiral de quarks sin masa. Por encima de Tc quiral se restablece la simetría y el pion deja de realizarse como un modo Nambu-Goldstone. Por lo tanto, el condensado quiral tiene las características de un parámetro de orden. Sin embargo, no es observable directamente. Una cantidad medible relacionada es la constante de descomposición de piones. Su dependencia de temperatura y densidad es, de hecho, un indicador de las tendencias hacia restauración de simetría quiral, en el siguiente sentido. La relación GOR (2.6) continúa manteniéndose en la materia a temperatura finita T < Tc y densidad, cuando se reduce a una declaración sobre el componente de tiempo, A De la corriente axial. Podemos introducir el decaimiento de los piones en medio constante, f(T, ♥) a través del elemento de la matriz térmica A0T, análogo de eq.(2.7). Uno encuentra f(T, l) 2m(T, l) 2 = − mu +md T,♥ +... (3.3) a dirigir el orden en la masa de quark. La masa de piones in-medium m (más precisamente: el promedio de las masas y ) está protegido por el bosón de oro del pion naturaleza y poco afectado por el ambiente térmico. La “fundición” de la Condensado por calor o compresión se traduce principalmente en el cambio in-medio de la constante de descomposición de piones. El comportamiento principal32), 33) del condensado pion y, en consecuencia, del Pion constante decaimiento, con aumento de temperatura y densidad es: f(T, l) # # T, # # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # T, # # # T, # # T, # # # T, # # # # T, # # # # # # T, # # # T, # # T, # # # # # T, # T, # # T, # T, # # # # # # # # # # T, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 0 = 1− T 8 f2η m2η f . (3.4) 12 W. Weise Fig. 5. La dependencia de temperatura del chi- condensado ral a cero potencial químico. La curva resulta de un cálculo30) basado en un modelo NJL extendido con la inclusión de la dinámica del bucle Polyakov (la Modelo PNJL). Los puntos de datos son Nf = 2 resultados del QCD de retícula tomados de ref.31). Fig. 6. Pion constante decaimiento como función de la temperatura T y la densidad bariónica. culation29) basado en el modelo PNJL. Densidad normal de la materia nuclear: 0 = 0,16 fm−3 está indicado para la orientación. Se muestra un resultado típico para el comportamiento en medio de la constante decaimiento del pion En la figura 6. Cabe señalar que el descenso de la magnitud del condensado con la densidad es significativamente más pronunciada que su dependencia de la temperatura. Los Disminución de la “brecha quiral” 4ηf(T, l) con condiciones termodinámicas cambiantes Esto implica cambios observables en la dinámica de baja energía de los piones en la materia densa. 3.2. Interacciones Pion-Núcleo de baja energía El teorema de Goldstone implica que los piones de bajo momentum interactúan débilmente. Esto es generalmente cierto también para los piones de bajo momentum que interactúan con muchos-cuerpos nucleares sistemas. Como punto de partida, considerar la materia nuclear homogénea con un carácter cero. atura con densidad de protones p y densidad de neutrones n.c.o.p. Una ola de piones en la materia tiene su energía e impulso ~q relacionados por la ecuación de dispersión •2 − ~q 2 −m2 (3.5) La función de polarización, o pion auto-energía Π, resume todas las interacciones de la pion con el medio. A baja densidad, Π(±)(•, ~q ; ­p, ­n) = −T+(•, ~q ) T−(•, ~q ) , (3.6) en términos de isospin-even (T+) e isospin-odd (T−) pion-nucleon scat- amplitudes de tering, con l = p + n y = p − n. Ahora hemos especificado el self-energgies Π(±) para un o, respectivamente. Aplicaciones a los sistemas finitos, en particular para los interac- ciones34), 35) relevantes para los átomos piónicos, comúnmente hacen uso de una energía independiente potencial eficaz. Este potencial equivalente se construye36 mediante la ampliación de la la función de polarización para la era física. viejo, = mη y q = 0. En comparación con la ecuación Klein-Gordon para el Pión de Yukawa, QCD de baja energía y dinámica quiral nuclear 13 función de onda de pion (~r) en el espacio de coordenadas, 2 m2 m2 + 2 m2 U(~r) (~r ) = 0, (3.7) el potencial (independiente de la energía) U(~r) se identifica de la siguiente manera: 2mηU(~r ) = )−1 [ Π(mη, 0) − q 2 , (3.8) con todos los derivados tomados en el punto de umbral. La renormalización de la función de onda factor (1 − /2)−1 codifica la dependencia energética de la función de polarización Π (, ~q ) en el potencial equivalente independiente de la energía (3.8). Este potencial es ex- prensado en términos de distribuciones de densidad local?p,n(~r) para protones y neutrones, y la prescripción estándar ~q 2f(l) → f(l(~r)) se utiliza para la ~q 2- dependiente partes. En cálculos prácticos de átomos piónicos, el potencial de Coulomb Vc está en • Vc(~r), y correcciones de orden superior más allá de la se añaden los términos principales (3.6), resultantes de la doble dispersión y absorción. 3.3. Los estados profundamente atados de átomos piónicos Datos exactos sobre los estados de 1s de un pion cargado negativamente unido a Pb y Sn los isótopos41, 42) han establecido nuevas normas y limitaciones para el análisis detallado de Interacciones de iones de onda s con núcleos. Tales estados piónicos profundamente ligados deben sus existencia, con vidas relativamente largas, a un sutil equilibrio entre el atractivo La fuerza de Coulomb y la fuerte interacción repulsiva -nucleus en la mayor parte de la núcleo. Como consecuencia, la función de la onda 1s del pion atado se empuja hacia el borde de la superficie nuclear. Su superposición con la distribución de la densidad nuclear es pequeño, de modo que el estándar pn→ nn mecanismo de absorción se suprime fuertemente. El tema de las interacciones nucleo-pión de onda s de baja energía tiene una larga 34, 35) historia. Inspirado por las medidas de los átomos piónicos profundamente unidos que ha sido recientemente re-investigado38) desde el punto de vista de la dependencia energética distinta de la Operador de polarización pion-nuclear en cálculos basados en el sistema in-mediano teoría de la perturbación quiral39, 40). Considerar un pion cargado negativamente interactuando con la materia nuclear y recordar el auto-energía de Eq.(3.6). En el límite de longitud de onda larga (~q → 0), simetría quiral (el teorema de baja energía Tomozawa-Weinberg) implica T−(­) = ­/(2f2η) + O(­3). Junto con la desaparición aproximada observada del umbral de isospin-even am- plitud T+( = mη), está claro que 1s estados de piones unidos a pesados, ricos en neutrones Los núcleos son una fuente sensible de información para la dinámica quiral en medio. Términos de orden no dominante en la densidad (doble dispersión (Pauli) correcciones del orden 4/3, efectos de absorción del orden............................................................................................................................................................................................................................................................ son importantes y se incorporan sistemáticamente. Los efectos de absorción y las correspondientes correcciones dispersivas aparecen en el bucle de tres nivel y a través de dinámicas de corta distancia parametrizadas por los términos de contacto explícitamente calculable dentro de la teoría efectiva de baja energía. Las partes imaginarias como... sociated con estos términos están bien limitados por la sistemática de anchos observados de los niveles de átomo piónico en toda la tabla periódica. Con estos ingredientes la ecuación Klein-Gordon para el campo nuclear pion tiene se ha resuelto con la energía auto-energía explícitamente dependiente de la energía que se acaba de describir. As 14 W. Weise un ejemplo mostramos predicciones38) para encuadernar energías y anchos para estados piónicos 1s unido a una serie de isótopos Sn. Estos cálculos incluyen una evaluación cuidadosa de incertidumbres en las distribuciones de neutrones. Los resultados se muestran en la Fig.7 en comparación con datos experimentales.41) Fig. 7. Energías de unión (panel superior) y anchuras (panel inferior) de los estados piónicos 1s en Sn iso- Topes. Las curvas muestran predicciones38) basadas en la onda piónica s explícitamente dependiente de la energía operador de polarización calculado en la teoría de la perturbación quiral de dos lados en medio. Superior y superior curvas más bajas dan una impresión de las incertidumbres relacionadas con el término ηN sigma. Datos de ref.41) La pregunta se ha planteado43), 44) si uno puede realmente “observar” el dedo- huellas de restauración de simetría quiral (parcial) en los datos de alta precisión de átomos piónicos unidos. Los cálculos de átomos piónicos generalmente se hacen con energía inde- potenciales ópticos fenomenológicos pendentarios en lugar de depender explícitamente de la energía funciones de polarización piónica. La conexión es proporcionada por Eq.(3.8). Considerar un impulso cero en la materia de baja densidad. Su orden de liderazgo dependiente de la energía El operador de la polarización es Π(l) = −T+(l) (lp + ln) + T−(l) (ln-lp), y el Ecuación de dispersión media en ~q = 0 es ­2­m2­m2­ (­) = 0. El chiral de baja energía la expansión de la amplitud off-shell T+() en ~q = 0 implica términos principales de la forma T+() = (N − β Ł2)/f2η, con β N/m2η necesario para producir el empírico T+( = mη) 0. Usando Eq.(3.8) se encuentra para el efectivo (independiente de la energía) Potencial de onda s - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4 f2η 1 - N-N-N-N-N-N-N-N-N-N-N-N-N-N-O-N-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O m2η f - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4 f* (l) , (3.9) con la sustitución de la constante de decaimiento del pion que representa el in- renormalización de la función de onda media. La expresión (3.9) es sólo la que se propone previamente en ref.43) basado en la relación (3.4) entre los cambios in-medianos de la condensado quiral y constante de decaimiento del pion asociado con el componente de tiempo de la corriente axial. La dinámica quiral explícitamente dependiente de la energía representada por Π() “sabe” acerca de estos efectos de renormalización. Su traducción a un Equivalente, potencial independiente de la energía implica fη → f(l) tal como se da en eq. (3.9). Este razonamiento heurístico ha sido recientemente subrayado por una derivación más profunda en ref.45). El análisis de los datos de átomos piónicos profundamente ligados41 a lo largo de estas líneas llega a Pión de Yukawa, QCD de baja energía y dinámica quiral nuclear 15 la conclusión de que, cuando se extrapolan a la densidad de la materia nuclear....................................................................................................................................................................................................................................................... f(l0) 0.8 fη, (3.10) que es compatible con la predicción teórica f(l0) 2 m2η f 0, (3.11) Asumiendo el valor de 50 MeV. Es bastante notable que un potencial óptico se ajuste a los recientes las medidas de precisión de las secciones transversales diferenciales y en el más bajo posible energía (Tη = 21,5 MeV) en una variedad de núcleos llega a una conclusión similar, 46) a saber: f(l0) 0.83 fη, aunque dentro de un procedimiento diferente. Con la interpretación (3.9), la tendencia a la restauración quiral en un medio nuclear, como sugiere Eq.(3.4) parece ser visible - al menos cualitativamente - en el hiponucleo de baja energía interacciones. § 4. Dinámica quiral nuclear Ahora abordamos una pregunta básica en el origen de la física nuclear moderna: ¿Hay un camino desde QCD a través de su representación de baja energía, campo quiral eficaz teoría, a la sistemática observada de la carta nuclear? O equivalentemente: ¿cómo lo hace Pión de Yukawa y su realización como una figura bosón de Nambu-Goldstone en la energía nuclear ¿Problemas con el cuerpo? Los grados piónicos de libertad en los núcleos han estado en el foco desde el principio. nings. El campo de las corrientes de intercambio en los núcleos, con el pion como el agente principal, fue comenzó ya a principios de los años cincuenta47 e investigó en gran amplitud en el siete- corbatas. En el volumen II de la ref. 48 se ofrece una visión general instructiva de estos acontecimientos. El importante papel desempeñado por el intercambio de un solo pilón y su fuerte fuerza tensora en el deuteron49) es un hecho conocido y bien establecido desde hace mucho tiempo. La descripción de la radiación np captura (n + p → d + γ) en términos de la corriente de intercambio de pion magnético50) fue una clave para establecer el pión como un grado observable de libertad en el deuterón. Para los núcleos más pesados, por otro lado, el papel del pión no es tan directamente Evidente. El intercambio de un piñón no contribuye a la media a granel nuclear (Hartree) campo cuando se promedia sobre los giros de nucleón. Términos de intercambio de fock que implican un solo pión El intercambio es relativamente pequeño. El papel de los piones en la unión del núcleo es manifiesto principalmente en el rango intermedio fuerza atractiva generada por el intercambio de dos piones procesos. Durante décadas, los modelos de campo de medios nucleares prefirieron reemplazar la complejidad de tales procesos por un campo “sigma” escalar-isoscalar fenomenológico, aunque el tratamiento más detallado de la interacción nucleón-nucleón de intercambio de dos piones ya se ha conocido anteriormente (véase, por ejemplo, ref.51) y volumen I de ref.48)). Acontecimientos recientes volver a estos conceptos básicos mediante la introducción de la teoría de campo eficaz quiral como una sistemática marco para el tratamiento de las interacciones de NN y de los sistemas nucleares, después de la ref.52) Para una revisión actualizada véase ref.53) 16 W. Weise 4.1. Teoría de la perturbación quiral in-medio y materia nuclear En materia nuclear la escala de impulso relevante es el impulso Fermi kF. Alrededor del punto de saturación empírica con k F 0,26 GeV 2mη, el Fermi impulso y la masa de piones son escalas de magnitud comparable. Esto implica que en las densidades de interés en la física nuclear, 3/3γ2 0,16 fm−3 0.45m3η, los piones deben incluirse como grados explícitos de libertad: su propagación en la materia está “resuelta” en las escalas de impulso relevantes alrededor del impulso Fermi. Al mismo tiempo, kF y mη son pequeños en comparación con el quiral característico báscula, 4 En consecuencia, los métodos de la teoría de la perturbación quiral son ex- se ha seleccionado para ser aplicable a la materia nuclear al menos en una determinada ventana en torno a k En ese rango, la densidad de energía E(kF ) = E(kF ) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (4.1) entonces se debe dar como una serie de energía convergente en el impulso Fermi. Esto es la hipótesis de trabajo. Más precisamente, la energía por partícula tiene una expansión E(kF ) Fn(kF /mη) knF. (4.2) Los coeficientes de expansión Fn son, en general, funciones no triviales de kF /m relación adimensional de las dos escalas pertinentes. Obviamente, estas funciones no deben se amplíen aún más. Además de la kF y la mη, una tercera escala “pequeña” relevante es la diferencia de masa ­M = M­N­MN 0,3 GeV entre el ­(1232) y el nucleón. La fuerte transición de spin-isospin del nucleón al isobar es por lo tanto ser incluido como un ingrediente importante adicional en los cálculos nucleares de muchos cuerpos, de modo que el Fn se convierta en funciones tanto de kF /m La teoría de la perturbación quiral in-medio es el marco para el tratamiento del pion ex- cambiar los procesos en presencia de un mar Fermi lleno de nucleones. El pion chiral... nucleón eficaz Lagrangian, con sus constantes de baja energía limitada por pion- dispersión de nucleones observables en vacío, se utiliza para construir la jerarquía de NN términos de interacción como se ilustra en la figura 8. Procesos de intercambio de 1 y 2 piones (como así como aquellos que implican excitaciones de baja energía de los agujeros de partículas) se tratan explícitamente. Regulan las interacciones de largo alcance a escalas de distancia d > 1/kF fm relevantes para el problema nuclear de muchos cuerpos, mientras que los mecanismos de corto alcance, con el canal t funciones espectrales que involucran masas mucho más allá de las de dos piones, no se resuelven en detalle a escalas de impulso nuclear de Fermi y puede ser subsumido en contacto interac- ciones y sus derivados. Este argumento de “separación de escalas” hace estrategias de la teoría de campo eficaz quiral trabajan incluso para los problemas nucleares, con las escalas “pequeñas” (kF,mη, M) distintos de los “grandes” (4ηfη,MN ). En esencia, este es el mod- la realización del programa de Taketani mencionado al principio. Estrecha relación las consideraciones del grupo de la renormalización han motivado la construcción de un interacción NN de bajo momento V(bajo k)54) desde potenciales NN equivalentes de desplazamiento de fase de tal manera que desaparezcan las ambigüedades asociadas con partes de corta distancia no resueltas. Pión de Yukawa, QCD de baja energía y dinámica quiral nuclear 17 Fig. 8. Amplitud NN en campo quiral efectivo teoría: (superior:) un-pión de intercambio, dos- intercambio de iones (incluido el isobar interorganismos) mediate states) y (inferior:) términos de contacto que representan la dinámica de corta distancia. Fig. 9. Densidad de energía a partir de chi-in-mediano teoría de la perturbación ral en tres bucles o- der. Las líneas rotas muestran piones. Cada uno (sólido) nucleón línea significa la inserción de la Propagador in-mediano (4.4). Dos- y términos de tres cuerpos que implican contacto inter- también se muestran las acciones. La interacción de intercambio de dos piones tiene como sus piezas más prominentes la segunda la fuerza del tensor del orden y los estados intermedios......................................................................................................................................................................................................................................................... polarización isospina del nucleón. Este último produce un Van der Waals - como NN interacción. A distancias largas e intermedias se comporta as55) V2η(r) ­ − e−2mηr P (mηr), (4.3) donde P es un polinomio en mür. En el límite quiral (mη → 0), este V2η se aproxima la dependencia característica r-6 de un potencial no relativista de Van der Waals. La fuerza de intercambio de dos piones es la principal fuente de atracción de rango intermedio que se une a los núcleos. Esta no es, por supuesto, una nueva observación. Por ejemplo, la el papel importante de la fuerza tensora de segundo orden del intercambio iterado de piones hace mucho tiempo56), así como la estrecha conexión de la fuerza nuclear con la fuerte polarización spin-isospin del nucleón.57) El nuevo elemento que tiene en la discusión más recientemente es la sistemática proporcionada por quiral eficaz teoría de campo en el tratamiento de estos fenómenos. Con estos ingredientes, los cálculos in-medio ChPT de nuclear y neutrones la materia se han realizado58), 59) hasta el orden de tres bucles en la densidad de energía, como ilustrada en la Fig.9. Cada línea de nucleón en estos diagramas representa el in-mediano propagador (γ · p+MN ) p2 −M2N + i − 2(p2 −M2N)•(p0)•(kF − p ) . (4.4) La regularización de algunos bucles divergentes introduce una escala que es equilibrada por contratérminos (interacciones de contacto) para que el resultado sea independiente de escala de ularización.60) Un número limitado y pequeño de constantes en estos términos de contacto 18 W. Weise la información empírica, como la densidad de equilibrio de la energía nuclear materia. Estabilización y saturación de la materia nuclear en equilibrio de manera no trivial e independiente del modelo: el principio Pauli que actúa sobre el nucleón Los estados intermedios en los procesos de intercambio de dos piones producen un término repulsivo pro- porciónal a 4/3 en la energía por partícula. Este bloqueo parcial de Pauli contrarresta la atracción principal del término lineal en. Las fuerzas de tres cuerpos surgen necesariamente y naturalmente en este enfoque. Sus contribuciones no son grandes en el ámbito nuclear normal. densidad de materia, lo que indica una jerarquía convergente de términos en los poderes de los Fermi impulso siempre y cuando la densidad del barión no supere aproximadamente el doble de la densidad de equilibrio de la materia nuclear. Por lo tanto, la unión y saturación de la materia nuclear puede verse, en este enfoque, como una combinación de fenómenos y efectos que se relacionan con los nombres Yukawa, Van der Waals y Pauli. Entonces tal vez no sea una sorpresa que el resultado ecuación de la materia clara del estado, ver Fig.10, es reminscent de una ecuación de Van der Waals de estado. El líquido nuclear se convierte en un gas a una temperatura crítica Tc 15 MeV, bastante cerca del rango empírico comúnmente aceptado Tc â € 16− 18 MeV. Fig. 10. La ecuación de estado de la materia nuclear: presión frente a densidad bariónica calculada en tres- La teoría de la perturbación quiral in-mediano.59) Se muestran son isotermas con temperaturas indi- Gato. 4.2. Núcleos finitos: estrategias funcionales de densidad Una descripción de los núcleos finitos en una amplia gama, desde 16O a la muy pesada uno, se logra con éxito utilizando un (relativista) densidad de energía universal funcional guiados por los resultados de la materia nuclear. La energía como funcional de densidad está escrita E[l] = Ekin + E(0)(l) + Eexc(l) + Ecoul, (4.5) donde Ekin y Ecoul son las contribuciones cinéticas y Coulomb energía. El ba- sic idea61), 62) es construir Eexc a partir de la teoría de la perturbación quiral en medio cálculos discutidos anteriormente, que representan las fluctuaciones piónicas construidas en el vacío QCD no perturbativo en presencia de bariones. Encuadernación y saturación, Pión de Yukawa, QCD de baja energía y dinámica quiral nuclear 19 en la materia nuclear, así como en los núcleos finitos, es impulsado principalmente por el intercambio de dos piones mecanismos en combinación con el principio Pauli incluido en Eexc. Al mismo tiempo, el vacío QCD está poblado por condensados fuertes. Los E(0) parte de la densidad energética incorpora los principales cambios de estos condensados en el potencial químico finito de los bariones (o densidad). Como se indica en el ref.61), 62) y En consecuencia, las reglas de la suma QCD a una densidad no cero de bariones sugieren que estas densidades los cambios dependientes de condensados generan fuertes campos medios escalares y vectoriales con signos opuestos: a densidades a granel nuclear, varios cientos de MeV de atracción escalar son compensados por una cantidad casi igual de repulsión vectorial, de tal manera que el neto efecto del condensado campos medios casi desaparece y es apenas visible en infinito, materia nuclear homogénea. Sin embargo, en los núcleos finitos, el efecto coherente de la fuertes campos de escalar y vector media produce la gran división de spin-órbita observada empíricamente. Cálculos en esta línea, utilizando el marco de dinámica pion-nuclear y las limitaciones del patrón de ruptura de la simetría de baja energía, han sido per- formado en refs61), 62) a lo largo de toda la carta nuclear. Los resultados de la unión nuclear Las energías y los radios son comparables en precisión con los de los mejores fenomenólogos. ic modelos de campo medios relativistas disponibles. Ejemplos se muestran en las Figs.11, 12 y Fig. 11. Desviaciones (en %) de energías de unión calculadas (panel superior) y r.m.s. radios de carga (panel inferior) a partir de valores medidos para una serie de núcleos de A = 16 a A = 210. Para más detalles de los cálculos véase ref.62) De particular interés es la sistemática a través de cadenas de isótopos deformados núcleos, aumentando el número de neutrones por una unidad en cada paso y cambiando el patrón de deformación a lo largo del camino. Los resultados son sensibles al isóspino detallado dependencia de la interacción nuclear. Dinámica de piones quiral y su predicción para la estructura isospin de la fuerza de intercambio de dos piones NN en el medio nuclear parece dar cuenta con éxito de las propiedades observadas de estas cadenas isotópicas. §5. Observaciones finales El campo U original de Yukawa que luego se convirtió en el pion es todavía, más de setenta años después de su primera liberación, un punto de partida genérico para nuestra comprensión de la 20 W. Weise Fig. 12. Factor de forma de carga de 48Ca. Calcu... en comparación con experi- datos mentales. Fig. 13. Desviaciones (en %) de las calculadas a partir de energía de unión medida para una serie de cadenas isotópicas de Nd a Pt. Para más detalles de los cálculos véase ref.62) sistemas e interacciones. Su propiedad como bosón de Nambu-Goldstone de forma espontánea simetría quiral rota está en el origen de una teoría de campo eficaz de éxito que representa el QCD en su bajo límite de energía. Las indicaciones hasta ahora son prometedoras de que marco, limitado por el patrón de rotura de la simetría de baja energía QCD, puede servir de base para una teoría moderna del núcleo. Generando el nucleón... La interacción de los nucleones directamente desde el QCD sigue siendo un reto importante. Recientes celosías QCD resultados,63) aunque todavía se toman en grandes masas de piones en comparación con el En primer lugar, señalar acontecimientos muy interesantes en un futuro próximo. Agradecimientos Es un gran placer dar las gracias al profesor Taichiro Kugo y a sus colegas por su hospitalidad en Kyoto y para organizar un Simposio muy inspirador. Avraham Se agradece la lectura cuidadosa del manuscrito por parte de Gal. Bibliografía 1) Prog. Teor. Phys. Suppl., Volúmenes 1 y 2 (1955). 2) H. Yukawa, Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan 17 (1935), 48. 3) G. Occhialini, C.F. Powell, C.M.G. Lattes y H. Muirhead, Nature 159 (1947), 186.694. 4) E. Gardner y C.M.G. Lattes, Science 107 (1948), 270. 5) M. Taketani, S. Nakamura y M. Sasaki, Prog. Teor. Phys. 6 (1951), 581. 6) M. Taketani, Prog. Teor. Phys. Suppl. 3 (1956), 1. 7) M. Konuma, H. Miyazawa y S. Otsuki, Phys. 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Una encuesta se da de la evolución desde el trabajo temprano de Yukawa, a través de la comprensión del pión como un bosón de Nambu-Goldstone de ruptura espontánea simetría quiral en QCD, a los desarrollos modernos en la teoría del núcleo basado en la teoría de campo quiral efectivo que representa QCD en su baja energía límite.

arXiv:0704.1992v1 [nucl-th] 16 Abr 2007 Pión de Yukawa, QCD de baja energía y dinámica quiral nuclear Wolfram Weise Physik-Department, Technische Universität München, D-85747 Garching, Alemania Una encuesta se da de la evolución de la obra temprana de Yukawa, a través de la comprensión de el pion como un bosón de Nambu-Goldstone de simetría quiral rota espontáneamente en QCD, desarrollos modernos en la teoría del núcleo basado en la teoría de campo eficaz quiral representar QCD en su límite de baja energía. § 1. Los comienzos Una de las documentaciones más notables en la historia de la ciencia moderna es la serie de artículos que forman los primeros volúmenes del Suplemento del Progreso de Física teórica. Estos documentos recopilados sobre la teoría del mesón1) celebraron la veinte años de la obra pionera de Yukawa2, que sentó las bases para nuestra comprensión de la fuerza fuerte entre los nucleones. En aquellos primeros días de La física nuclear muy poco se sabía de esta fuerza. El “Platzwechsel” de Heisenberg la interacción entre protón y neutrones dio una primera imagen intuitiva, y algunos intentos infructuosos se habían hecho para conectar la teoría de Fermi de la desintegración beta con interacciones nucleares. El artículo de Yukawa de 1935 introdujo el marco conceptual para una aproximación a la interacción nucleón-nucleón. Su entonces postulado “campo U” no sin embargo, tienen los números cuánticos correctos de lo que más tarde se convirtió en el pion*), pero tenía ya algunas de sus características principales. Proporciona el mecanismo básico de carga intercambio entre protón y neutrones. De la forma del potencial, er/r, y del alcance estimado de la fuerza nuclear, la masa de la partícula U fue predicho que será alrededor de 200 veces la del electrón. Esta partícula U fue erróneamente identificado con el muón descubierto en 1937 casi simultáneamente por Anderson y por Nishina y sus colaboradores. El meson “real” fue descubierto una década más tarde3) en los rayos cósmicos y luego producido por primera vez4) en el ciclotrón de Berkeley. Su naturaleza pseudoescalar fue pronto establecida. En 1949 el premio Nobel fue otorgado a Yukawa. Siguiendo los pasos de la obra original de Yukawa, la década siguiente vio una impres- esfuerzo coherente de la próxima generación de teóricos japoneses. Una piedra angular de estos desarrollos fueron el diseño conceptual visionario de Taketani et al.5) de la dentro de la jerarquía de escalas que gobiernan la interacción nucleón-nucleón, bosquejada En la figura 1. La región de larga distancia I está determinada por el intercambio de un pion. Contin- En el interior de la región de distancia intermedia II dominada por el intercambio de dos piones. La idea básica era construir el potencial de NN en las regiones I y II mediante el cálculo de los procesos de intercambio η y 2η, mientras que el comportamiento detallado de la *) Agradezco al Profesor H. Miyazawa sus instructivas comunicaciones sobre este punto. typeset usando PTPTEX.cls http://arxiv.org/abs/0704.1992v1 2 W. Weise la interacción en la región de corta distancia III sigue sin resolverse escalas características de la física nuclear. Esta parte de corta distancia se da una adecuada forma parametrizada. Los parámetros se fijan en comparación con los datos de dispersión. 1 2 3 IIIIII r [1] Intercambio de un solo piñón dos-piones intercambio corto distancia un pitón intercambio dos-piones intercambio Fig. 1. Jerarquía de las escalas que gobiernan el potencial nucleón-nucleón (adaptado de Taketani6). La distancia r se da en unidades de la longitud de onda del pion Compton 1 1.4 fm. El cuadro de Taketani, aunque no universalmente aceptado en ese momento por el la comunidad internacional de teóricos, resultó ser inmensamente útil. Hoy Esta estrategia es la que llevan a cabo los enfoques modernos y eficaces de la teoría de campo. Lo es. increíble lo lejos que este programa ya había sido desarrollado por teóricos japoneses en a finales de los cincuenta. Un ejemplo es el cálculo pionero de la bolsa de dos piones potencial7) utilizando técnicas de relación de dispersión y conocimiento temprano8 del resonante amplitud pion-núcleo que anticipó los modelos isobar de las últimas décadas. § 2. El Pión en el contexto del QCD de baja energía La teoría actual de la interacción fuerte es la Cromodinámica Cuántica (QCD). Existen dos situaciones limitantes en las que QCD es accesible con ap- Proximaciones. En escalas de impulso superiores a varios GeV (correspondiente a corto distancias, r < 0,1 fm), QCD es una teoría de quarks y gluones débilmente interactuantes. En básculas de bajo impulso considerablemente menores que 1 GeV (correspondiente a r > 1 fm), QCD se rige por el confinamiento de color y un vacío no trivial: el estado del suelo de QCD hospeda condensados fuertes de quark-antiquark pares y gluones. El confinamiento implica la ruptura dinámica de una simetría global que es exacta en el límite de quarks sin masa: simetría quiral. Simetría quiral espontánea romper a su vez implica la existencia de bosones pseudoescalares Nambu-Goldstone. Por dos sabores de quark (Nf = 2) con (casi) u sin masa y d quarks, estos Goldstone Los bosones se identifican con el trillizo isospin de los piones. A baja energía, Goldstone Los bosones interactúan débilmente entre sí o con cualquier partícula masiva. Baja energía QCD se realiza así como una teoría de campo eficaz en la que estos bosones Goldstone son los grados activos y ligeros de libertad. 2.1. Simetría quiral y modelo NJL ¿Cómo figura el pion de Yukawa en el marco del QCD? Históricamente, el founda- ciones para entender el pion como un bosón Nambu-Goldstone9), 10) de forma espontánea Pión de Yukawa, QCD de baja energía y dinámica quiral nuclear 3 la simetría quiral rota se inició en la década de 1960, culminando en el PCAC y enfoques actuales de álgebra11) de la era anterior al QCD. Un trabajo muy inspirador de este periodo temprano es el de Nambu y Jona-Lasinio10) (NJL). Igual que el modelo BCS la comprensión del mecanismo básico detrás de la superconductividad, la El modelo NJL ayudó a aclarar la dinámica que impulsa la simetría quiral espontánea la ruptura y la formación de piones como bosones de Goldstone. Considerar como punto de partida la corriente de color conservada de quarks, Jaμ = t donde ta (a = 1,..., 8) son los generadores del grupo de gálibo SU(Nc = 3) y los campos de quark con componentes 4NcNf que representan su giro, color y sabor grados de libertad. Esta pareja actual a los campos de gluon. Cualquiera de los dos quarks interactúa a través de múltiples intercambios de gluones. Supongamos que la distancia sobre qué color las propagaciones están restringidas a una longitud de correlación corta lc. Entonces la interacción expe- rienced por quarks de bajo momentum puede ser visto esquemáticamente como un acoplamiento local entre sus corrientes de color: Lint = −Gc Jaμ(x)Jμa(x), (2.1) donde Gc 2 l2c es una fuerza de acoplamiento efectiva de longitud de dimensión2 que codifica el acoplamiento QCD, promediado a lo largo de las escalas de distancia pertinentes, en combinación con la longitud de correlación cuadrada, l2c. Ahora adopte la interacción local (2.1) y escriba el siguiente modelo Lagrangian para los campos de quark (x): L = (x) (i −m0)(x) + Lint(, ). (2.2) En esencia, al “integrar” los grados de libertad gluon y absorberlos en la interacción de cuatro fermiones Lint, la simetría local SU(Nc) del calibrador de QCD es ahora reemplazado por una simetría SU(Nc) global. El confinamiento está obviamente perdido, pero todos los demás Se mantienen las simetrías de QCD. La matriz de masa m0 incorpora pequeño “bare” Masas de quark. En el límite m0 → 0, el lagrangiano (2.2) tiene una simetría quiral de quarks de derecha e izquierda, SU(Nf)R×SU(Nf)L, que comparte con el original QCD Lagrangian para sabores de quark sin masa Nf. Una transformación Fierz de la interacción corriente-corriente de color (2.1) produce un conjunto de los términos de intercambio que actúan en canales quark-antiquark. Para el caso Nf = 2: Lint → ()2 + ( iγ5 +..., (2.3) con las matrices de Pauli SU(2) de la isospina ♥ = (1, 2 y 3 de la isospina). Para la brevedad no tenemos muestra una serie de términos con combinaciones de vectores y corrientes de vectores axiales, ambos en color singlet y color octeto canales. La constante G es proporcional al color Resistencia de acoplamiento Gc. La relación de estas dos constantes está determinada por Nc y Nf. Los pasos que se acaban de esbozar pueden ser vistos como una forma contemporánea de introducir el modelo NJL con antigüedad10. Este modelo se ha desarrollado aún más y ap- plied12), 13) a una variedad de problemas en la física de hadrones. La virtud de este esquema modelo es su simplicidad en la ilustración del mecanismo básico de la simbiosis quiral espontánea Se rompe la metría, como se indica a continuación. En el campo medio (Hartree) aproximación de la ecuación 4 W. Weise de movimiento derivado del Lagrangian (2.2) conduce a una ecuación de brecha M = m0 −G, (2.4) que vincula la generación dinámica de una masa de quark M constituyente a la apariencia- El contenido del quark quiral = −Tr lim x→ 0+ # T #(0)(x) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (2η)4 M-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(----)-)-(-)-(-(-)-(--(----------------------------------------------------------------------------------------(-----------------------------(--(----------------------------------------------------------------------------- p2 −M2 + i . (2.5) Este condensado juega el papel de un parámetro de orden de simetría quiral espontánea- Intenta romper. A partir de m0 = 0 una masa quark no cero se desarrolla dinámicamente, junto con un condensado quiral no evasivo, una vez que G supera un valor crítico de pedir Gcrit 10 GeV−2. El procedimiento requiere un corte de impulso allá donde la interacción es “apagada”. Nótese que el fuerte no-perturbativo las interacciones, polarizando el vacío y convirtiéndolo en un condensado de quark- pares antiquark, transmutar un quark inicialmente puntiagudo con su pequeña masa desnuda m0 en una cuasipartícula masiva con un tamaño de orden (2M)−1. 2.2. El Espectro del Meson Pseudoscalar El modelo NJL demuestra lúcidamente la aparición de Nambu-Goldstone Bosones. Resolviendo las ecuaciones Bethe-Salpeter en el color singlet quark-antiquark chan- nels genera los mesones más ligeros como excitaciones quark-antiquark de la correlación Estado de tierra QCD con su estructura condensada. Varios de estos cálculos han sido: realizado en el pasado con Nf = 3 sabores quark 12)-14). Tal modelo tiene un un- quería que la simetría U(3)R×U(3)L comenzara con, pero la anomalía axial U(1)A reduce esta simetría a SU(3)R × SU(3)L × U(1)V. En QCD, se consideran instantones responsable de la ruptura de U(1)A. En el modelo NJL, estos interac- ciones se incorporan en la forma de un determinante del sabor15 det[i(1± γ5)]. Esto interacción implica los tres sabores u, d, s simultáneamente en un genuino tres-cuerpo término. Fig. 2. Patrón de ruptura de la simetría en la nonet pseudoescalar calculada en el triple sabor NJL model14). El patrón de ruptura de simetría resultante de tal cálculo es aparente en el espectro pseudoescalar del meson de la Fig.2. A partir de u, d y s sin masa Pión de Yukawa, QCD de baja energía y dinámica quiral nuclear 5 quarks, el octeto pseudoescalar emerge como un conjunto de bosones sin masa de Goldstone SU(3) × SU(3) roto espontáneamente, mientras que U(1)A unidades de rotura de la singlet η0 lejos del sector del bosón Goldstone. Las masas de quark finitos desplazan el Jη = 0− nonet en su posición empíricamente observada, incluyendo la mezcla η-. La naturaleza muy especial del pion como bosón de Nambu-Goldstone se manifiesta en una relación famosa16) derivada del álgebra actual y PCAC: m2η f η = − (mu +md)O(m2u,d). (2.6) Involucra la constante de decaimiento pion, fη 0,09 GeV, definida por el elemento matricial que conecta el pión con el vacío QCD a través de la corriente vectorial axial, A 5 0Aμi (x = 0)i(p) = ip μfη. (2.7) Al igual que el condensado quiral, la constante de decaimiento pional es una medida de espontáneo simetría quiral de ruptura expresada en términos de una escala característica 4 La masa de piones no cero, m rompiendo por las pequeñas masas de quark, con m2 Hay que señalar que el masas de quark mu,d y el condensado son ambas cantidades dependientes de la escala. Sólo su producto es independiente de la escala, es decir. invariante bajo la renormalización grupo. A una escala de renormalización de aproximadamente 1 GeV, una masa media típica de quark (mu +md) 7 MeV implica (0.3 GeV)3. 2.3. Scales y patrones de ruptura de simetría Las masas de quark son los únicos parámetros que establecen escalas primarias en QCD. Sus la clasificación en sectores de quarks “luz” y “pesados” determina muy diferente Fenómenos de física. Mientras que los quarks pesados (es decir. la t, b y - dentro de los límites - la c los quarks) ofrecen un “pequeño parámetro” natural en términos de sus masas recíprocas, tales que aproximaciones no relativistas (expansiones de observables en poderes de m−1t,b,c) tienden a trabajar cada vez mejor con el aumento de la masa quark, el sector de la luz quarks (es decir, la u, d quarks y - hasta cierto punto - el s quark) se rige por principios y reglas muy diferentes. Evidentemente, las masas de quark son ahora “pequeños parámetros”, a comparar con una escala característica “grande” de dinámica origen. Esta gran escala es visible como una característica brecha de masa de aproximadamente 1 GeV que separa el vacío QCD de casi todas sus excitaciones, con la excepción de el octeto pseudoescalar meson de piones, kaons y el eta meson. Esta brecha de masa es a su vez comparable a 4ηfη, la escala asociada con la simetría quiral espontánea irrumpiendo en QCD. En este contexto también es instructivo echar un vistazo al patrón espectroscópico de mesons pseudoescalares y vectores, a partir de pares de quark-antiquark de luz pesada en 1S0 y 3S1 estados y siguiendo esos estados hacia abajo en la masa del quark. Esto se ilustra en la Fig.3 donde mostramos las masas de mesones compuestos de b, c, s o u quark con un anti-d-quark unido. Masas de quark desprovistas se restan de las masas mesones en esta trama con el fin de demostrar directamente la evolución de la separación hiperfina perturbativa en los sistemas pesados a la no perturbativa brecha de masa en las luces. En los mesons B̄ y B, el quark d̄ está firmemente atado 6 W. Weise Fig. 3. Evolución de la división entre spin singlet (inferior) y triplet (superior) quark-antiquark estados (los pseudoescalares (Jη = 0−) y los vectores (Jη = 1−) mesones) con masa variable de uno de los quarks. Las masas de quark desnudo se restan de las masas de mesón físico para conveniencia de la demostración. a b quark pesado a una distancia media pequeña, dentro del rango donde El QCD es aplicable. La interacción spin-spin está bien aproximada por la perturbación intercambio de un gluón, resultando en una pequeña división de hiperfina. Moviéndose hacia abajo en masa a los sistemas D y D*, con el quark b sustituido por un quark c, el hiperfino la división aumenta, pero sigue siendo preocupante en magnitud. A medida que evoluciona este patrón en el sector de la luz-cuarco, sufre un cambio cualitativo a través de la diferencia de masa de K̄ y K a la brecha de masa no-perturbativa en el sistema de, reflejando la naturaleza del bosón de Goldstone del pion. 2.4. Teoría de campo eficaz quiral QCD de baja energía es la física de sistemas de quarks de luz en energía y momen- escalas de tum más pequeñas que la brecha de masa de 1 GeV observada en el espectro de hadrones. Esto 1 escala GeV establecida por 4ηfη ofrece una separación natural entre "luz" y "pesado" (o, correspondientemente, “rápido” y “lento”) grados de libertad. La idea básica de un teoría de campo eficaz es introducir las partículas de luz activa como grados colectivos de libertad, mientras que las partículas pesadas son congeladas y tratadas como (casi) fuentes estáticas. La dinámica es descrita por un eficaz lagrangiano que incorpora todas las vant simetrías de la teoría fundamental subyacente. En QCD, confinamiento y ruptura espontánea de la simetría quiral implica que los grados “rápidos” de libertad son los bosones Nambu-Goldstone. Con el pion de Yukawa en mente, nos limitamos a Nf = 2. Primero resumimos brevemente los pasos17), 18) requeridos en el sector del mesón puro (barion número B = 0) y posteriormente para el sector pion-nucleón (B = 1). Un campo quiral se introduce como U(x) = ei con los campos de piones de Goldstone normalizados por la constante decaimiento de piones en el límite quiral (mη → 0). El QCD Lagrangian es reemplazado por un Lagrangian que implica U(x) y sus derivados: LQCD → Leff (U, U,...). (2.9) Los bosones Goldstone interactúan sólo cuando llevan un impulso no cero, por lo que la baja- Pión de Yukawa, QCD de baja energía y dinámica quiral nuclear 7 expansión de energía de (2.9) es un orden en los poderes de U. Permisos de invarianza de Lorentz sólo números pares de derivados. Uno escribe Leff = L(2) + L(4) +..., (2.10) omitiendo una constante irrelevante. El término principal (el modelo sigma no lineal) implica dos derivados: L(2) = f Tr[U U ]. (2.11) En el cuarto orden, los términos permitidos por las simetrías son (aparte de un Atribución de la anomalía del QCD, no incluida aquí): L(4) = (Tr[U U ])2 + Tr[U U]Tr[ μU U ], (2.12) Y así sucesivamente. Las constantes l1, l2 (después de las anotaciones canónicas 18)) debe ser disuasorio. minado por experimento. La simetría que rompe el término de masa es pequeña, por lo que puede ser manejada pertur- bativamente, junto con la serie de energía en impulso. La contribución principal introduce un término lineal en la matriz de masa de quark m = diag(mu,md): L(2) = f Tr[U U ] + B0 Tr[m(U + U †)], (2.13) con B0 = /2fη El cuarto término de orden L(4) también recibe ruptura de simetría contribuciones con constantes adicionales li. En la medida en que el Lagrangian efectivo incluye todos los términos dictados por Metries de QCD, la teoría de campo eficaz quiral es el equivalente de baja energía19, 20) del QCD Lagrangian original. Dado el eficaz Lagrangian, el marco para los cálculos perturbativos sistemáticos de la matriz S con bosones Goldstone, La Teoría de la Perturbación Chiral (ChPT), se define entonces por las siguientes reglas: Recoge todos los diagramas de Feynman generados por Leff. Clasificar todos los términos de acuerdo a poderes de una pequeña cantidad Q que se encuentra genéricamente para tres-momento o energía del bosón de Goldstone, o para la masa de piones. El parámetro de pequeña expansión es Q/4lnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn Los bucles están sujetos a regularización dimensional y renormalización. 2.5. Pion-Pion Scattering Cuando se utiliza la relación Gell-Mann, Oakes, Renner (GOR) (2.6) para conducir orden en la masa de quark, se asume tácitamente que el condensado quiral es grande en magnitud y juega el papel de un parámetro de orden para la simetría quiral espontánea Rompiendo. Este escenario básico debe ser confirmado. De hecho, ha sido probado por un análisis cuantitativo detallado de la dispersión pion-pion, el proceso más exacto y estudiado extensamente utilizando ChPT. Considere la dispersión de la onda s a muy baja energía. Las longitudes de dispersión en el isospina I = 0, 2 canales, calculados a orden quiral principal, are21) 32ηf2η , a2 = − 16lf2l , (2.14) 8 W. Weise mostrando que la interacción se desvanece correctamente en el límite quiral, mγ → 0. Los orden siguiente a líder introduce iteraciones de un bucle de la parte principal L(2) de la eficaz Lagrangian, así como piezas generadas por L(4). En ese nivel entra en la constante renormalizada l̄3 que también determina la corrección al orden principal Relación GOR: m2η = 32η2f2 η + O( η), (2 donde η = − mu +md (2.16) implica la masa de quark en orden de dirección. Aquí f es la constante decaimiento pion en el límite quiral. Una determinación precisa de la I = 0 s-onda de la longitud de dispersión por lo tanto, proporciona una restricción para l̄3 que, a su vez, establece un límite para el siguiente-a-liderazgo corrección de orden a la relación GOR. Tal investigación se ha realizado22 utilizando cambios de fase de baja energía........................................................................................................................................................................................................................................................ extraído del análisis detallado del estado final de la decaimiento K → • + e v. Los resultado, cuando se traduce en una declaración sobre el término no líder que entra (2.15), implica que la diferencia entre m2η y la expresión GOR principal (2 .16) es menos del 5 por ciento. De ahí el escenario “fuerte condensado” del quiral espontáneo parece confirmarse la ruptura de la simetría en el QCD*). 2.6. El Pion en celosía QCD También se observa la relación de orden principal m2 mq23) en la retícula QCD hasta sorprendentemente grandes masas de quark. Un análisis reciente detallado24 se muestra en Fig.4. Dentro de los errores estadísticos, los datos para masa de pion cuadrada versus masa de quark Túmbate en una recta. Los resultados de la celosía son notablemente compatibles con el quiral de un bucle la teoría de la perturbación hasta mη. 0,5 GeV. Fig. 4. Resultados de simulación QCD de celosía24) para la masa cuadrada de piones m2η en función del quark masa m en unidades de espaciamiento de la celosía a. Masas de piones convertidos a unidades físicas se unen a los puntos de datos de celosía. Un ajuste lineal (dashed) se muestra en comparación con el siguiente-a-liderazgo ordenar el resultado ChPT (curva sólida). *) Cabe señalar, sin embargo, que esta conclusión se extrae al nivel de QCD con sólo Nf = 2 sabores. Todavía pueden surgir correcciones adicionales cuando se tienen en cuenta quarks extraños. Pión de Yukawa, QCD de baja energía y dinámica quiral nuclear 9 2.7. Pion-Núcleo Efectivo Lagrangiano El papel prominente desempeñado por el pion como un bosón de Goldstone de forma espontánea simetría quiral rota tiene su impacto en la estructura y dinámica de baja energía 25) Al sondear el nucleón con electrodebil de longitud de onda larga y campos fuertes, una parte sustancial de la respuesta proviene de la nube de piones, el Superficie “suave” del nucleón. El marco de cálculo para esto, baryon chiral la teoría de la perturbación26), 27) se ha aplicado con bastante éxito a una variedad de procesos energéticos (como dispersión de nucleones de pión de baja energía, foto de pión de umbral y la electroproducción y la dispersión de Compton en el nucleón). Consideremos ahora el sector con el número de barión B = 1 y la física del pion- Sistema de nucleón. El nucleón está representado por un doblete de isospin-1/2, Dirac spinor campo N (x) = (p, n) T de protón y neutrones. El campo libre Lagrangian LN0 = N (i −M0)N (2.17) incluye la masa de nucleón en el límite quiral, M0. Hay que tener en cuenta que el nucleón, a diferencia del pión, tiene una gran masa del mismo orden que la simetría quiral rompiendo báscula 4ηfη, que sobrevive en el límite de la desaparición de masas de quark desnudo, mu,d → 0. El mesón Lagrangian Leff anterior ahora es reemplazado por Leff (U, U,N,...) que también incluye el campo nucleón. El término adicional que implica el nucleón, de- notado por LNeff, se expande de nuevo en poderes de derivados (momento externo) de la Campo de bosón de oro y de las masas de quark: LNeff = L ηN + L ηN... (2 En el término principal, L(1)ηN hay un reemplazo de por un covariante quiral deriva- tivo que introduce acoplamientos de corriente vectorial entre los piones y el nucleón. En segundo lugar, hay un acoplamiento vectorial axial. Esta estructura de la ηN eficaz La- El grangiano es dictado de nuevo por la simetría quiral. Tenemos L(1)ηN = N [i(♥] μ − iVμ) + 5 Aμ −M0] con cantidades vectoriales y axiales que involucran los campos de bosón de Goldstone (pión) en la forma = Vμ = i ( + ) = − 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * c +..., (2.20) ( − ) = − a +..., (2.21) donde los últimos pasos resultan al expandir Vμ y Aμ a un orden de plomo en el pion campos. Hasta ahora, los únicos parámetros que entran son la masa de nucleón, M0, y el pión constante decaimiento, fη, ambos tomados en el límite quiral. El nucleón tiene su propia estructura intrínseca que conduce a una modificación de la término de acoplamiento vectorial axial en (2.19). El análisis de la desintegración beta de neutrones revela que el término 5 debe ser multiplicado por la constante de acoplamiento vectorial axial gA, con el valor empírico gA 1.27. 10 W. Weise En el orden siguiente a líder (L(2)?N ), entra el término de masa de quark de ruptura de simetría. Tiene el efecto de desplazar la masa de nucleón de su valor en el límite quiral a la Físico: MN =M0 + N. (2.22) El término sigma N = mq = N mq(ūu+ d̄d)N (2.23) medidas la contribución de la masa de quark no evasiva, mq = (mú+md), a la masa de nucleón MN. Su valor empírico se encuentra en el rango N (45 − 55) MeV y tiene ha sido deducido37) por una sofisticada extrapolación de datos de ion-nucleón de baja energía utilizando técnicas de relación de dispersión. Hasta este punto, el efectivo Lagrangian, expandido a segundo orden en el campo pion, tiene la forma LNeff = N (i −MN) # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. # # N # N # N # # # # # # # # N # N # N # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.nn.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n. 2 +..., donde no hemos mostrado una serie de términos adicionales de orden ()2 incluidos en la L(2)ηN completa. Estos términos vienen con más constantes de baja energía codificando física a distancias más pequeñas y energías más altas. Estas constantes necesitan ser instaladas. a datos experimentales, por ejemplo. de la dispersión pion-nucleón. La "eficacia" de una teoría de campo tan eficaz se basa en la identificación de los grados activos de baja energía de la libertad. Se conoce la dispersión de ion-nucleones para ser dominado por la resonancia p-wave (1232) con spin e isospin 3/2. Los energía de excitación de esta resonancia, dada por la diferencia de masa M = MMN, es no grande, sólo el doble de la masa de piones. Si se absorbe la física de la "(1232)" en constantes de baja energía de una teoría eficaz que trabaja con piones y nucleones sólo (como se hace comúnmente en el caso del barion pesado ChPT), los límites de aplicabilidad de una teoría se reduce claramente a un rango de energía-momento pequeño comparado a M. El B = 1 chiral efectivo Lagrangian es por lo tanto a menudo extendido28 incorporar el isobar como un grado explícito de libertad. § 3. Termodinámica quiral y bosones Goldstone en la materia Antes de recurrir a la dinámica quiral en los sistemas nucleares de muchos cuerpos, es instructivo para hacer una breve digresión y tocar cuestiones más generales de la simetría quiral en temperatura finita y densidad de bariones no cero. 3.1. El Parámetro de la Orden Quiral Como se indica en las secciones anteriores, el estado de tierra QCD (el vacío) es caracterizado por la presencia del fuerte condensado quiral. Los hadrones de la luz son excitaciones cuasipartículas de este estado de suelo condensado, con el pion de Yukawa desempeñar un papel muy especial como Nambu-Goldstone bosón de quiral roto espontáneamente Simetría. Una pregunta clave33) es entonces la siguiente: ¿cómo hacen las cantidades básicas y Pión de Yukawa, QCD de baja energía y dinámica quiral nuclear 11 escalas asociadas con este patrón de ruptura de simetría (el condensado quiral, el masa de pion y constante de descomposición) evolucionan con condiciones termodinámicas cambiantes (temperatura, densidad bariónica)? Asumir un medio hadrónico homogéneo en un volumen V a temperatura T y considerar la presión P (T, V, μ) = lnZ = T En Tr exp d3x (H − ) . (3.1) Aquí μ denota el potencial químico, la densidad bariónica. El hamiltoniano densidad H de QCD se expresa en términos de los grados pertinentes de libertad en el fase hadronica, derivada del eficaz chiral Lagrangian Leff. El Nf = 2 El hamiltoniano tiene un término de masa, H = m = mu ūu+md d̄d, de modo que H = H0 + H, con H0 que representa el límite sin masa. Ahora tome la derivada de la presión con respeto a la masa de quark y utilizar la relación GOR (2.6) para derivar el condensado T, en T finita y densidad, o más bien su relación con el condensado. en T = μ = 0, # # T, # # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # T, # # # T, # # T, # # # T, # # # # T, # # # # # # T, # # # T, # # T, # # # # # T, # T, # # T, # T, # # # # # # # # # # T, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 0 = 1 + dP (T, μ) f2π dm . (3.2) La dependencia T de este condensado, a cero potencial químico, se muestra en compar- ion con la celosía de dos sabores QCD resultados en la Fig.5. Su comportamiento refleja un continuo transición cruzada a una temperatura crítica Tc 0,2 GeV que se convierte en un sec- ond fase de orden transición en el límite quiral de quarks sin masa. Por encima de Tc quiral se restablece la simetría y el pion deja de realizarse como un modo Nambu-Goldstone. Por lo tanto, el condensado quiral tiene las características de un parámetro de orden. Sin embargo, no es observable directamente. Una cantidad medible relacionada es la constante de descomposición de piones. Su dependencia de temperatura y densidad es, de hecho, un indicador de las tendencias hacia restauración de simetría quiral, en el siguiente sentido. La relación GOR (2.6) continúa manteniéndose en la materia a temperatura finita T < Tc y densidad, cuando se reduce a una declaración sobre el componente de tiempo, A De la corriente axial. Podemos introducir el decaimiento de los piones en medio constante, f(T, ♥) a través del elemento de la matriz térmica A0T, análogo de eq.(2.7). Uno encuentra f(T, l) 2m(T, l) 2 = − mu +md T,♥ +... (3.3) a dirigir el orden en la masa de quark. La masa de piones in-medium m (más precisamente: el promedio de las masas y ) está protegido por el bosón de oro del pion naturaleza y poco afectado por el ambiente térmico. La “fundición” de la Condensado por calor o compresión se traduce principalmente en el cambio in-medio de la constante de descomposición de piones. El comportamiento principal32), 33) del condensado pion y, en consecuencia, del Pion constante decaimiento, con aumento de temperatura y densidad es: f(T, l) # # T, # # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # # T, # # T, # # # T, # # T, # # # T, # # # # T, # # # # # # T, # # # T, # # T, # # # # # T, # T, # # T, # T, # # # # # # # # # # T, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 0 = 1− T 8 f2η m2η f . (3.4) 12 W. Weise Fig. 5. La dependencia de temperatura del chi- condensado ral a cero potencial químico. La curva resulta de un cálculo30) basado en un modelo NJL extendido con la inclusión de la dinámica del bucle Polyakov (la Modelo PNJL). Los puntos de datos son Nf = 2 resultados del QCD de retícula tomados de ref.31). Fig. 6. Pion constante decaimiento como función de la temperatura T y la densidad bariónica. culation29) basado en el modelo PNJL. Densidad normal de la materia nuclear: 0 = 0,16 fm−3 está indicado para la orientación. Se muestra un resultado típico para el comportamiento en medio de la constante decaimiento del pion En la figura 6. Cabe señalar que el descenso de la magnitud del condensado con la densidad es significativamente más pronunciada que su dependencia de la temperatura. Los Disminución de la “brecha quiral” 4ηf(T, l) con condiciones termodinámicas cambiantes Esto implica cambios observables en la dinámica de baja energía de los piones en la materia densa. 3.2. Interacciones Pion-Núcleo de baja energía El teorema de Goldstone implica que los piones de bajo momentum interactúan débilmente. Esto es generalmente cierto también para los piones de bajo momentum que interactúan con muchos-cuerpos nucleares sistemas. Como punto de partida, considerar la materia nuclear homogénea con un carácter cero. atura con densidad de protones p y densidad de neutrones n.c.o.p. Una ola de piones en la materia tiene su energía e impulso ~q relacionados por la ecuación de dispersión •2 − ~q 2 −m2 (3.5) La función de polarización, o pion auto-energía Π, resume todas las interacciones de la pion con el medio. A baja densidad, Π(±)(•, ~q ; ­p, ­n) = −T+(•, ~q ) T−(•, ~q ) , (3.6) en términos de isospin-even (T+) e isospin-odd (T−) pion-nucleon scat- amplitudes de tering, con l = p + n y = p − n. Ahora hemos especificado el self-energgies Π(±) para un o, respectivamente. Aplicaciones a los sistemas finitos, en particular para los interac- ciones34), 35) relevantes para los átomos piónicos, comúnmente hacen uso de una energía independiente potencial eficaz. Este potencial equivalente se construye36 mediante la ampliación de la la función de polarización para la era física. viejo, = mη y q = 0. En comparación con la ecuación Klein-Gordon para el Pión de Yukawa, QCD de baja energía y dinámica quiral nuclear 13 función de onda de pion (~r) en el espacio de coordenadas, 2 m2 m2 + 2 m2 U(~r) (~r ) = 0, (3.7) el potencial (independiente de la energía) U(~r) se identifica de la siguiente manera: 2mηU(~r ) = )−1 [ Π(mη, 0) − q 2 , (3.8) con todos los derivados tomados en el punto de umbral. La renormalización de la función de onda factor (1 − /2)−1 codifica la dependencia energética de la función de polarización Π (, ~q ) en el potencial equivalente independiente de la energía (3.8). Este potencial es ex- prensado en términos de distribuciones de densidad local?p,n(~r) para protones y neutrones, y la prescripción estándar ~q 2f(l) → f(l(~r)) se utiliza para la ~q 2- dependiente partes. En cálculos prácticos de átomos piónicos, el potencial de Coulomb Vc está en • Vc(~r), y correcciones de orden superior más allá de la se añaden los términos principales (3.6), resultantes de la doble dispersión y absorción. 3.3. Los estados profundamente atados de átomos piónicos Datos exactos sobre los estados de 1s de un pion cargado negativamente unido a Pb y Sn los isótopos41, 42) han establecido nuevas normas y limitaciones para el análisis detallado de Interacciones de iones de onda s con núcleos. Tales estados piónicos profundamente ligados deben sus existencia, con vidas relativamente largas, a un sutil equilibrio entre el atractivo La fuerza de Coulomb y la fuerte interacción repulsiva -nucleus en la mayor parte de la núcleo. Como consecuencia, la función de la onda 1s del pion atado se empuja hacia el borde de la superficie nuclear. Su superposición con la distribución de la densidad nuclear es pequeño, de modo que el estándar pn→ nn mecanismo de absorción se suprime fuertemente. El tema de las interacciones nucleo-pión de onda s de baja energía tiene una larga 34, 35) historia. Inspirado por las medidas de los átomos piónicos profundamente unidos que ha sido recientemente re-investigado38) desde el punto de vista de la dependencia energética distinta de la Operador de polarización pion-nuclear en cálculos basados en el sistema in-mediano teoría de la perturbación quiral39, 40). Considerar un pion cargado negativamente interactuando con la materia nuclear y recordar el auto-energía de Eq.(3.6). En el límite de longitud de onda larga (~q → 0), simetría quiral (el teorema de baja energía Tomozawa-Weinberg) implica T−(­) = ­/(2f2η) + O(­3). Junto con la desaparición aproximada observada del umbral de isospin-even am- plitud T+( = mη), está claro que 1s estados de piones unidos a pesados, ricos en neutrones Los núcleos son una fuente sensible de información para la dinámica quiral en medio. Términos de orden no dominante en la densidad (doble dispersión (Pauli) correcciones del orden 4/3, efectos de absorción del orden............................................................................................................................................................................................................................................................ son importantes y se incorporan sistemáticamente. Los efectos de absorción y las correspondientes correcciones dispersivas aparecen en el bucle de tres nivel y a través de dinámicas de corta distancia parametrizadas por los términos de contacto explícitamente calculable dentro de la teoría efectiva de baja energía. Las partes imaginarias como... sociated con estos términos están bien limitados por la sistemática de anchos observados de los niveles de átomo piónico en toda la tabla periódica. Con estos ingredientes la ecuación Klein-Gordon para el campo nuclear pion tiene se ha resuelto con la energía auto-energía explícitamente dependiente de la energía que se acaba de describir. As 14 W. Weise un ejemplo mostramos predicciones38) para encuadernar energías y anchos para estados piónicos 1s unido a una serie de isótopos Sn. Estos cálculos incluyen una evaluación cuidadosa de incertidumbres en las distribuciones de neutrones. Los resultados se muestran en la Fig.7 en comparación con datos experimentales.41) Fig. 7. Energías de unión (panel superior) y anchuras (panel inferior) de los estados piónicos 1s en Sn iso- Topes. Las curvas muestran predicciones38) basadas en la onda piónica s explícitamente dependiente de la energía operador de polarización calculado en la teoría de la perturbación quiral de dos lados en medio. Superior y superior curvas más bajas dan una impresión de las incertidumbres relacionadas con el término ηN sigma. Datos de ref.41) La pregunta se ha planteado43), 44) si uno puede realmente “observar” el dedo- huellas de restauración de simetría quiral (parcial) en los datos de alta precisión de átomos piónicos unidos. Los cálculos de átomos piónicos generalmente se hacen con energía inde- potenciales ópticos fenomenológicos pendentarios en lugar de depender explícitamente de la energía funciones de polarización piónica. La conexión es proporcionada por Eq.(3.8). Considerar un impulso cero en la materia de baja densidad. Su orden de liderazgo dependiente de la energía El operador de la polarización es Π(l) = −T+(l) (lp + ln) + T−(l) (ln-lp), y el Ecuación de dispersión media en ~q = 0 es ­2­m2­m2­ (­) = 0. El chiral de baja energía la expansión de la amplitud off-shell T+() en ~q = 0 implica términos principales de la forma T+() = (N − β Ł2)/f2η, con β N/m2η necesario para producir el empírico T+( = mη) 0. Usando Eq.(3.8) se encuentra para el efectivo (independiente de la energía) Potencial de onda s - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4 f2η 1 - N-N-N-N-N-N-N-N-N-N-N-N-N-N-O-N-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O m2η f - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4 f* (l) , (3.9) con la sustitución de la constante de decaimiento del pion que representa el in- renormalización de la función de onda media. La expresión (3.9) es sólo la que se propone previamente en ref.43) basado en la relación (3.4) entre los cambios in-medianos de la condensado quiral y constante de decaimiento del pion asociado con el componente de tiempo de la corriente axial. La dinámica quiral explícitamente dependiente de la energía representada por Π() “sabe” acerca de estos efectos de renormalización. Su traducción a un Equivalente, potencial independiente de la energía implica fη → f(l) tal como se da en eq. (3.9). Este razonamiento heurístico ha sido recientemente subrayado por una derivación más profunda en ref.45). El análisis de los datos de átomos piónicos profundamente ligados41 a lo largo de estas líneas llega a Pión de Yukawa, QCD de baja energía y dinámica quiral nuclear 15 la conclusión de que, cuando se extrapolan a la densidad de la materia nuclear....................................................................................................................................................................................................................................................... f(l0) 0.8 fη, (3.10) que es compatible con la predicción teórica f(l0) 2 m2η f 0, (3.11) Asumiendo el valor de 50 MeV. Es bastante notable que un potencial óptico se ajuste a los recientes las medidas de precisión de las secciones transversales diferenciales y en el más bajo posible energía (Tη = 21,5 MeV) en una variedad de núcleos llega a una conclusión similar, 46) a saber: f(l0) 0.83 fη, aunque dentro de un procedimiento diferente. Con la interpretación (3.9), la tendencia a la restauración quiral en un medio nuclear, como sugiere Eq.(3.4) parece ser visible - al menos cualitativamente - en el hiponucleo de baja energía interacciones. § 4. Dinámica quiral nuclear Ahora abordamos una pregunta básica en el origen de la física nuclear moderna: ¿Hay un camino desde QCD a través de su representación de baja energía, campo quiral eficaz teoría, a la sistemática observada de la carta nuclear? O equivalentemente: ¿cómo lo hace Pión de Yukawa y su realización como una figura bosón de Nambu-Goldstone en la energía nuclear ¿Problemas con el cuerpo? Los grados piónicos de libertad en los núcleos han estado en el foco desde el principio. nings. El campo de las corrientes de intercambio en los núcleos, con el pion como el agente principal, fue comenzó ya a principios de los años cincuenta47 e investigó en gran amplitud en el siete- corbatas. En el volumen II de la ref. 48 se ofrece una visión general instructiva de estos acontecimientos. El importante papel desempeñado por el intercambio de un solo pilón y su fuerte fuerza tensora en el deuteron49) es un hecho conocido y bien establecido desde hace mucho tiempo. La descripción de la radiación np captura (n + p → d + γ) en términos de la corriente de intercambio de pion magnético50) fue una clave para establecer el pión como un grado observable de libertad en el deuterón. Para los núcleos más pesados, por otro lado, el papel del pión no es tan directamente Evidente. El intercambio de un piñón no contribuye a la media a granel nuclear (Hartree) campo cuando se promedia sobre los giros de nucleón. Términos de intercambio de fock que implican un solo pión El intercambio es relativamente pequeño. El papel de los piones en la unión del núcleo es manifiesto principalmente en el rango intermedio fuerza atractiva generada por el intercambio de dos piones procesos. Durante décadas, los modelos de campo de medios nucleares prefirieron reemplazar la complejidad de tales procesos por un campo “sigma” escalar-isoscalar fenomenológico, aunque el tratamiento más detallado de la interacción nucleón-nucleón de intercambio de dos piones ya se ha conocido anteriormente (véase, por ejemplo, ref.51) y volumen I de ref.48)). Acontecimientos recientes volver a estos conceptos básicos mediante la introducción de la teoría de campo eficaz quiral como una sistemática marco para el tratamiento de las interacciones de NN y de los sistemas nucleares, después de la ref.52) Para una revisión actualizada véase ref.53) 16 W. Weise 4.1. Teoría de la perturbación quiral in-medio y materia nuclear En materia nuclear la escala de impulso relevante es el impulso Fermi kF. Alrededor del punto de saturación empírica con k F 0,26 GeV 2mη, el Fermi impulso y la masa de piones son escalas de magnitud comparable. Esto implica que en las densidades de interés en la física nuclear, 3/3γ2 0,16 fm−3 0.45m3η, los piones deben incluirse como grados explícitos de libertad: su propagación en la materia está “resuelta” en las escalas de impulso relevantes alrededor del impulso Fermi. Al mismo tiempo, kF y mη son pequeños en comparación con el quiral característico báscula, 4 En consecuencia, los métodos de la teoría de la perturbación quiral son ex- se ha seleccionado para ser aplicable a la materia nuclear al menos en una determinada ventana en torno a k En ese rango, la densidad de energía E(kF ) = E(kF ) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (4.1) entonces se debe dar como una serie de energía convergente en el impulso Fermi. Esto es la hipótesis de trabajo. Más precisamente, la energía por partícula tiene una expansión E(kF ) Fn(kF /mη) knF. (4.2) Los coeficientes de expansión Fn son, en general, funciones no triviales de kF /m relación adimensional de las dos escalas pertinentes. Obviamente, estas funciones no deben se amplíen aún más. Además de la kF y la mη, una tercera escala “pequeña” relevante es la diferencia de masa ­M = M­N­MN 0,3 GeV entre el ­(1232) y el nucleón. La fuerte transición de spin-isospin del nucleón al isobar es por lo tanto ser incluido como un ingrediente importante adicional en los cálculos nucleares de muchos cuerpos, de modo que el Fn se convierta en funciones tanto de kF /m La teoría de la perturbación quiral in-medio es el marco para el tratamiento del pion ex- cambiar los procesos en presencia de un mar Fermi lleno de nucleones. El pion chiral... nucleón eficaz Lagrangian, con sus constantes de baja energía limitada por pion- dispersión de nucleones observables en vacío, se utiliza para construir la jerarquía de NN términos de interacción como se ilustra en la figura 8. Procesos de intercambio de 1 y 2 piones (como así como aquellos que implican excitaciones de baja energía de los agujeros de partículas) se tratan explícitamente. Regulan las interacciones de largo alcance a escalas de distancia d > 1/kF fm relevantes para el problema nuclear de muchos cuerpos, mientras que los mecanismos de corto alcance, con el canal t funciones espectrales que involucran masas mucho más allá de las de dos piones, no se resuelven en detalle a escalas de impulso nuclear de Fermi y puede ser subsumido en contacto interac- ciones y sus derivados. Este argumento de “separación de escalas” hace estrategias de la teoría de campo eficaz quiral trabajan incluso para los problemas nucleares, con las escalas “pequeñas” (kF,mη, M) distintos de los “grandes” (4ηfη,MN ). En esencia, este es el mod- la realización del programa de Taketani mencionado al principio. Estrecha relación las consideraciones del grupo de la renormalización han motivado la construcción de un interacción NN de bajo momento V(bajo k)54) desde potenciales NN equivalentes de desplazamiento de fase de tal manera que desaparezcan las ambigüedades asociadas con partes de corta distancia no resueltas. Pión de Yukawa, QCD de baja energía y dinámica quiral nuclear 17 Fig. 8. Amplitud NN en campo quiral efectivo teoría: (superior:) un-pión de intercambio, dos- intercambio de iones (incluido el isobar interorganismos) mediate states) y (inferior:) términos de contacto que representan la dinámica de corta distancia. Fig. 9. Densidad de energía a partir de chi-in-mediano teoría de la perturbación ral en tres bucles o- der. Las líneas rotas muestran piones. Cada uno (sólido) nucleón línea significa la inserción de la Propagador in-mediano (4.4). Dos- y términos de tres cuerpos que implican contacto inter- también se muestran las acciones. La interacción de intercambio de dos piones tiene como sus piezas más prominentes la segunda la fuerza del tensor del orden y los estados intermedios......................................................................................................................................................................................................................................................... polarización isospina del nucleón. Este último produce un Van der Waals - como NN interacción. A distancias largas e intermedias se comporta as55) V2η(r) ­ − e−2mηr P (mηr), (4.3) donde P es un polinomio en mür. En el límite quiral (mη → 0), este V2η se aproxima la dependencia característica r-6 de un potencial no relativista de Van der Waals. La fuerza de intercambio de dos piones es la principal fuente de atracción de rango intermedio que se une a los núcleos. Esta no es, por supuesto, una nueva observación. Por ejemplo, la el papel importante de la fuerza tensora de segundo orden del intercambio iterado de piones hace mucho tiempo56), así como la estrecha conexión de la fuerza nuclear con la fuerte polarización spin-isospin del nucleón.57) El nuevo elemento que tiene en la discusión más recientemente es la sistemática proporcionada por quiral eficaz teoría de campo en el tratamiento de estos fenómenos. Con estos ingredientes, los cálculos in-medio ChPT de nuclear y neutrones la materia se han realizado58), 59) hasta el orden de tres bucles en la densidad de energía, como ilustrada en la Fig.9. Cada línea de nucleón en estos diagramas representa el in-mediano propagador (γ · p+MN ) p2 −M2N + i − 2(p2 −M2N)•(p0)•(kF − p ) . (4.4) La regularización de algunos bucles divergentes introduce una escala que es equilibrada por contratérminos (interacciones de contacto) para que el resultado sea independiente de escala de ularización.60) Un número limitado y pequeño de constantes en estos términos de contacto 18 W. Weise la información empírica, como la densidad de equilibrio de la energía nuclear materia. Estabilización y saturación de la materia nuclear en equilibrio de manera no trivial e independiente del modelo: el principio Pauli que actúa sobre el nucleón Los estados intermedios en los procesos de intercambio de dos piones producen un término repulsivo pro- porciónal a 4/3 en la energía por partícula. Este bloqueo parcial de Pauli contrarresta la atracción principal del término lineal en. Las fuerzas de tres cuerpos surgen necesariamente y naturalmente en este enfoque. Sus contribuciones no son grandes en el ámbito nuclear normal. densidad de materia, lo que indica una jerarquía convergente de términos en los poderes de los Fermi impulso siempre y cuando la densidad del barión no supere aproximadamente el doble de la densidad de equilibrio de la materia nuclear. Por lo tanto, la unión y saturación de la materia nuclear puede verse, en este enfoque, como una combinación de fenómenos y efectos que se relacionan con los nombres Yukawa, Van der Waals y Pauli. Entonces tal vez no sea una sorpresa que el resultado ecuación de la materia clara del estado, ver Fig.10, es reminscent de una ecuación de Van der Waals de estado. El líquido nuclear se convierte en un gas a una temperatura crítica Tc 15 MeV, bastante cerca del rango empírico comúnmente aceptado Tc â € 16− 18 MeV. Fig. 10. La ecuación de estado de la materia nuclear: presión frente a densidad bariónica calculada en tres- La teoría de la perturbación quiral in-mediano.59) Se muestran son isotermas con temperaturas indi- Gato. 4.2. Núcleos finitos: estrategias funcionales de densidad Una descripción de los núcleos finitos en una amplia gama, desde 16O a la muy pesada uno, se logra con éxito utilizando un (relativista) densidad de energía universal funcional guiados por los resultados de la materia nuclear. La energía como funcional de densidad está escrita E[l] = Ekin + E(0)(l) + Eexc(l) + Ecoul, (4.5) donde Ekin y Ecoul son las contribuciones cinéticas y Coulomb energía. El ba- sic idea61), 62) es construir Eexc a partir de la teoría de la perturbación quiral en medio cálculos discutidos anteriormente, que representan las fluctuaciones piónicas construidas en el vacío QCD no perturbativo en presencia de bariones. Encuadernación y saturación, Pión de Yukawa, QCD de baja energía y dinámica quiral nuclear 19 en la materia nuclear, así como en los núcleos finitos, es impulsado principalmente por el intercambio de dos piones mecanismos en combinación con el principio Pauli incluido en Eexc. Al mismo tiempo, el vacío QCD está poblado por condensados fuertes. Los E(0) parte de la densidad energética incorpora los principales cambios de estos condensados en el potencial químico finito de los bariones (o densidad). Como se indica en el ref.61), 62) y En consecuencia, las reglas de la suma QCD a una densidad no cero de bariones sugieren que estas densidades los cambios dependientes de condensados generan fuertes campos medios escalares y vectoriales con signos opuestos: a densidades a granel nuclear, varios cientos de MeV de atracción escalar son compensados por una cantidad casi igual de repulsión vectorial, de tal manera que el neto efecto del condensado campos medios casi desaparece y es apenas visible en infinito, materia nuclear homogénea. Sin embargo, en los núcleos finitos, el efecto coherente de la fuertes campos de escalar y vector media produce la gran división de spin-órbita observada empíricamente. Cálculos en esta línea, utilizando el marco de dinámica pion-nuclear y las limitaciones del patrón de ruptura de la simetría de baja energía, han sido per- formado en refs61), 62) a lo largo de toda la carta nuclear. Los resultados de la unión nuclear Las energías y los radios son comparables en precisión con los de los mejores fenomenólogos. ic modelos de campo medios relativistas disponibles. Ejemplos se muestran en las Figs.11, 12 y Fig. 11. Desviaciones (en %) de energías de unión calculadas (panel superior) y r.m.s. radios de carga (panel inferior) a partir de valores medidos para una serie de núcleos de A = 16 a A = 210. Para más detalles de los cálculos véase ref.62) De particular interés es la sistemática a través de cadenas de isótopos deformados núcleos, aumentando el número de neutrones por una unidad en cada paso y cambiando el patrón de deformación a lo largo del camino. Los resultados son sensibles al isóspino detallado dependencia de la interacción nuclear. Dinámica de piones quiral y su predicción para la estructura isospin de la fuerza de intercambio de dos piones NN en el medio nuclear parece dar cuenta con éxito de las propiedades observadas de estas cadenas isotópicas. §5. Observaciones finales El campo U original de Yukawa que luego se convirtió en el pion es todavía, más de setenta años después de su primera liberación, un punto de partida genérico para nuestra comprensión de la 20 W. Weise Fig. 12. Factor de forma de carga de 48Ca. Calcu... en comparación con experi- datos mentales. Fig. 13. Desviaciones (en %) de las calculadas a partir de energía de unión medida para una serie de cadenas isotópicas de Nd a Pt. Para más detalles de los cálculos véase ref.62) sistemas e interacciones. Su propiedad como bosón de Nambu-Goldstone de forma espontánea simetría quiral rota está en el origen de una teoría de campo eficaz de éxito que representa el QCD en su bajo límite de energía. Las indicaciones hasta ahora son prometedoras de que marco, limitado por el patrón de rotura de la simetría de baja energía QCD, puede servir de base para una teoría moderna del núcleo. Generando el nucleón... La interacción de los nucleones directamente desde el QCD sigue siendo un reto importante. Recientes celosías QCD resultados,63) aunque todavía se toman en grandes masas de piones en comparación con el En primer lugar, señalar acontecimientos muy interesantes en un futuro próximo. Agradecimientos Es un gran placer dar las gracias al profesor Taichiro Kugo y a sus colegas por su hospitalidad en Kyoto y para organizar un Simposio muy inspirador. Avraham Se agradece la lectura cuidadosa del manuscrito por parte de Gal. Bibliografía 1) Prog. Teor. Phys. Suppl., Volúmenes 1 y 2 (1955). 2) H. Yukawa, Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan 17 (1935), 48. 3) G. Occhialini, C.F. Powell, C.M.G. Lattes y H. Muirhead, Nature 159 (1947), 186.694. 4) E. Gardner y C.M.G. Lattes, Science 107 (1948), 270. 5) M. Taketani, S. Nakamura y M. Sasaki, Prog. Teor. Phys. 6 (1951), 581. 6) M. Taketani, Prog. Teor. Phys. Suppl. 3 (1956), 1. 7) M. Konuma, H. Miyazawa y S. Otsuki, Phys. 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Competition between local and nonlocal dissipation effects in two-dimensional quantum Josephson junction arrays

Competencia entre empresas al y nonlo al disipación e e ts en dos dimensiones quantum Josephson jun arrays de tion T. P. Polak Consiglio Nazionale delle Ri er he - Istituto Nazionale per la Fisi a della Materia, Complexo Universitario Monte S. Angelo, 80126 Nápoles, Italia y Istituto di Ciberneti a E. Caianiello del CNR, Via Campi Flegrei 34, I-80078 Pozzuoli, Italia. T. K. Kope¢ Instituto de Baja Temperatura y Stru ión Resear h, Polaco A ademy de S ien es, POB 1410, 50-950 Wro ley 2, Polonia Estamos de acuerdo. uss el lo al y nonlo al disipación e e ts en el existente e de la fase mundial oher- en e transiciones en dos dimensiones Josephson- oupled jun ciones. Las transiciones de fase cuántica también se examinan para varios latti e geometrías: cuadrada, triangular y miel Omb. La T = 0 super ondu transición fase tor-isulador se analiza como una diversión sión de varios parámetros de ontrol why h in lude auto- apa itanes e y jun ión apa itanes e y ambos lo al y nonlo al disipación e e ts. Hemos encontrado el riti valor al del nonlo al parámetro de disipación α1 depende de una geometría del latti e. El riti valor al del estado normal ondu tan Parece que está bien. ult a obtener experimentalmente si tomamos en en la sideración di erent amortiguandome Hanisms why h se presentan en fisico real Al systems. Números PACS: 74.50.+r, 67.40.Db, 73.23.Hk I. INTRODUCCIÓN Ma ros opi quantum e e e ts en dos dimensiones Josephson jun ciones (JJA's) han sido ex- teoreti estudiado de forma tensa ally 1,2,3,4,5,6,7 experimentalmente 8,9,10 durante los últimos años. El quan- naturaleza de la fase de un super ondu orden de comercialización parámetro es re e en las transiciones de fase en JJA's. In JJA no disipativo es la dos energía principal s ales se establecen por el Josephson oupling EJ entre super ondu ión islas y la ele trostati energía CE derivada de la al desviaciones de Gran neutralidad. La relación CE/EJ determina el releván e de la cantidad u teations y cuando está en reases por encima de a riti al valor, la fase orden se destruye y la matriz se convierte en el aislante. Para grandes apa itive oupling CE • EJ el sistema an ser modelado por un renormalizado lassi al bidimensional (2D) Modelo XY. En el límite opuesto, la energía ost para la transferencia harges entre las islas vecinas en la matriz es tan alta que Harges tienden a ser lo Alized. Mientras que la naturaleza de la lassi al modelo 2D XY es bien entendido, su generalización cuántica sigue planteando problemas no resueltos. Fabri moderna ación te hniques permiten a uno hacer ar- rayos de ultrapequeños super ondu islas separadas por Aisladores. In su h sistemas el fa importante tor whi h tiene un profundo impa t en el estado del suelo de la JJA's es disipación ausentado por Ohmi resistencias desviando la jun ciones 11,12,13 o cuasiparti el túnel a través de la jun ciones. 14,15,16 A pesar de varios experimentos con 2D JJA's 17,18 y super ondu lms granulares exis- diez e de la transición impulsada por la disipación y riti al valor del estado normal ondu tan e es al menos ques- tionable. Diagramas de fase en JJA cuántica conmigo ha- nismos de disipación Ohmi y cuasiparti Le estaban los sementales... ied teoreti Ally de Zaikin. Cal ulaciones realizadas en el interior el marco del instanton te hnique revelar un cero diagrama de fase de temperatura con dos fases disipativas transiciones. El autor laims hay regiones en el diagrama de fase donde la fase desordenada y el Lassi... al Josephson e e t puede tomar pla e. Cu oli et al. presentó un analyti al estudio basado en la e ciones de investigación y desarrollo en el ámbito de la salud y la seguridad en el trabajo, así como en el ámbito de la salud y la seguridad en el lugar de trabajo, la salud y la seguridad en el trabajo, la salud y la salud en el lugar de trabajo, la salud y la seguridad en el trabajo y la salud en el lugar de trabajo, la salud y la salud en el lugar de trabajo, la salud y la salud en el lugar de trabajo, la salud en el lugar de trabajo y la salud en el lugar de trabajo, la salud en el lugar de trabajo y la salud en el lugar de trabajo, la salud en el lugar de trabajo y la salud en el lugar de trabajo, la salud en el lugar de trabajo y la salud en el lugar de trabajo, la salud en el lugar de trabajo y la salud en el lugar de trabajo, la salud en el lugar de trabajo, la salud en el lugar de trabajo y la salud en el lugar de trabajo. tendial approa h. Propusieron un modelo en h dos los tiempos de relajación conducen a la ondu tan e Matriz con derivaciones resistivas al suelo y entre islas. A pesar de estos un urate analyti al estudio del problema de un teoreti explicación de los diagramas de fase en JJA's en ambiente disipativo todavía está abierto. Nuestro teoreti anterior al trabajo en whi h la atención era fo utilizado en lo al disipación e e ts, predi dad a la ex- isten e de la riti al valor del parámetro de disipación α = 2 independiente sobre la geometría de un latti e y mag- neti Eld. Otros teoreti estudios 11,12,23,24 Sugerir un bastante amplia gama de la riti valores al de la disipación parámetro α = 0,5, 0,84, 1, 2 Wh h depende de la di- mensión del sistema y de mí Hanismo de la disipación. Parece que una medida experimental inequívoca: de la Comisión de las Comunidades Europeas riti valor al del estado normal ondu tan e es elusivo. Varios grupos 17,18,25,26,27,28,29 Uso de di erent experimental te Hniques obtenidas varias riti valores al de α = 0,5, 0,8, 1. Para explicar estos teoreti al y ex- perimental di ulties proponemos un modelo en whi h lo al ( utilizado por resistencias de derivación onne de las islas a un tierra) y nonlo al (resistencias de derivación en paralelo al jun ciones) disipación e e e ts son ensidered. El objetivo de este trabajo es investigar la fase trans- Situaciones a temperatura cero en dos dimensiones apa i- tily super oupled ondu con énfasis en http://arxiv.org/abs/0704.1993v1 la ompetición de lo al α0 y nonlo al α1 disipación e e ts. Límite de la fase detallada ru ially depende sobre la relación de mutuo a uno mismo apa itanes es C1/C0 y spe i geometría plana de la matriz. Consciente de ello fa t nosotros ONSIDER apa matriz itiva Cij dentro del rango de Parámetros C1/C0 h un ajuste a la exper- muestras mentales. Analizamos diagramas de fase para tres di erent latti es: cuadrado ( ), triangular (­) y miel- omb (H). Queremos enfatizar que nuestra aproximación annot ser utilizado para el análisis de la Berezinski-Kosterlitz- Las transiciones de miles de pecados e sólo es apropiado para phys- i sistemas en los que aparece un orden de largo alcance. El esquema del resto del artículo es el siguiente: Se . II we de ne el modelo Hamiltoniano, seguido por su formulación integral del camino en términos de la dimensionalidad dependiente no media- eld como approa h. In Se III presentar los resultados del diagrama de fase de cero temperaturas para Las geometrías de JJA. Por último, en Se . IV nos dis uss nuestros resultados y su relevan e a otros teoreti al y trabajos experimentales. II. MODELO Nosotros un Josephson de dos dimensiones jun ión ar- rayo con latti e sitios i, hara terilizado por super ondu ión la fase Ii en el ambiente disipativo. Los ocorrespondiente Eu lideano a El texto de la resolución es el siguiente: S = SC + SJ + SD, (1) donde # # # I, j # # # # # I, j # # # # I, j # # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # I, j # # # I, j # # I, j # # # I, j # # I, j # d­Jij {1­ cos [­i (­) ­j (­)]}, (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) y es el tiempo imaginario de Matsubara (0 ≤ ♥ ≤ 1/kBT β); T es la temperatura y kB el Boltzmann onstant (~ = 1). La primera parte de la sión (2) de- nes the ele trostati energía donde Cij es el apa i- tan e matriz h es un geometri propiedad de la matriz. Esta matriz se suele aproximar como una diagonal (auto- apa itanes e C0) y una mutua C1 entre la más cercana vecinos. Nosotros escribir una expresión general para el Cij en la forma siguiente: Cij = C0 + zC1 para i = j −C1 para los vecinos más cercanos why h Holds for periodi stru ciones en cualquier dimensión; z es oordination number of the network. El se odd término es la energía de Josephson EJ (Jij EJ para i− j = d y cero de lo contrario). El ve tor d forma un conjunto de z latti e traducción tors, onne de un sitio dado a su casi- Estos vecinos. El Fourier transformó la onda-ve Tor de- pendent Josephson ouplings Jk son diferentes para varios latti es. La tercera parte de la tion SD des ribes la disipación e e e ts y αij (-) es una disipación ma- Trix. Nosotros Hoose dos independientes que me amortiguan hanisms, el lugar y el vecino más cercano, ause generalmente, el amortiguación es des acanalado en términos de resistencias de derivación R0 on- ne las islas a un suelo y las resistencias de derivación en paralelo al jun ciones relacionadas con R1. Nosotros una escritura matriz de disipación similar a Eq. (3) en un más Perdidos forma: αij = (α0 + zα1) ♥ij − α1 * i, j+d (4) con la ve Tor D corriendo por encima de la vecina más cercana es... tierras. Parámetros adimensionales , α1 = . 5) des la fuerza del ribe de la lo al y nonlo al disipación respe ticularmente, donde RQ = 1/4e es resistencia cuántica e. A. Método La mayor parte del analyti existente al trabaja en la JJA cuántica han empleado diferentes tipos de media-eld-como aproxi- mations why h no son fiables para el tratamiento espacial y fase cuántica temporal u teations. El modelo en Eq. 2 en odes la fase u álgebra de tuación dada por Eu- grupo lidiano E2 de ned por relaciones de ommutación ser- tween parti le Li y los operadores de fase Pj, Pj = e ................................................................ [Li, Pj] = −Pieij, Li, P i Łij, [Pi, Pj] = 0, (6) con la onserved quantity (invariante del álgebra E2) i-P xi + P yi = 1. 7).................................................................................................................................................. El teoreti apropiado al tratamiento de la JJA cuántica debe mantener el onstraint en Eq. 7. Una formulación del problema en términos de los spheri al modelo iniciado por Kope¢ y José nos lleva a introdu e el auxiliar ompplex eld omplex eld omplex omplex eld omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex h repla es el operador original Pi. Además, relajando la rigidez original onstraint y imponer el spheri más débil al ondition: i = N. (8) donde N es el número de latti e sitios, nos permite im- la aplicación de los spheri al onstraint: [D.]............................................................................................................... i2 −N e-SJ[­] [Dl] e-SC+D[l] * [Rezái − Pxi (......] [Imáši − Pyi (­)].................................................................................................................................................................................... (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. donde [D] = Derivados no expresados ni comprendidos en otra parte iDodi. Lo es. on- veniente a emplear la diversión Representación de Fourier de la diversión de la cional a fin de garantizar el cumplimiento de los objetivos fijados en el apartado 1 del artículo 2 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 y en el apartado 2 del artículo 2 del artículo 2 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de junio de 1971, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos y por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos y por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos e el spheri al onstraint in Eq. (8):  [x ()] = ∫ +i d(l)x(l), (10) why h introdu es el multiplicador de Lagrange Añadiendo un quadrati (en ald) a la ciones en Eq. 2). La evaluación de la e tiva a en términos de la * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * orden ond en i da la diversión de la partición ciones de el spheri cuántico modelo al (QSM) ZQSM = [D.]............................................................................................................... i2 −N e-S[­](11) donde la e e tiva a El texto de la resolución es el siguiente: S[­] = # # # I, j # # # # # I, j # # # # I, j # # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # I, j # # # I, j # # I, j # # # I, j # # I, j # ............................................................................................................................................................................................................................................................... + W−1ij ′)−  () + N­(­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) ) (—) (—) (—) (—) ) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) ) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (— (12) Además, Wij (­, ­, ′) = [Dl] ei[l(l)j(l] ′)]e−SC+D[], (13) es la fase diversión orrelation ión con statisti al [Dl] e-SC+D[l], (14) donde a es sólo una suma de ele trostati y términos disipativos en Eq. 2). Después de la introducción > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >. > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > Transformación de Fourier del oldo En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, −i(nkri) con Łn = 2ηn/β, (n = 0,±1,±2,...) siendo el Bose Matsubara frequen ies. De Eq. (13) la fase de fase diversión orrelation El texto de la resolución es el siguiente: W (l, l′) = exp 1− cos [­n (­ • • • • ′)] 2n + . 16) Los el parámetro de energía de arraigo que entra en Eq. 16) es η (C0 + 4C1) C0 + 4C1 donde K (x) es el elipti integral del tipo rst32. Además, introdu e Cantidades E0 = e 2/2C0 y E1 = e 2/2C1 relacionado con la isla y jun ión apa i- tan es. El parámetro disipativo α y puede ser explicado itly por escrito como 1 = lim α0 + zα1 − 2α1Ek donde Ek es una dispersión y tiene forma diferente para varios latti es. En el presente documento o sider tres di erent geometrías del latti e: cuadrado ( ), triangular (­) y miel Omb (H): = cos kx + cos ky, = cos kx + 2 cos . (19) con el latti e spa Set de ing a 1. Los resultados de la suma over wave ve Tors en Eq. 18 son pla ed en el apéndice B. Por último, para pequeñas frecuencias es, α0 ≤ 2 y α1 ≤ 1 inversa de diversión orrelation ciones (16) ser omes: W−1 (n) = 2n + n para n 6= 0 0 de lo contrario Para determinar el multijugador de Lagrange, ob- servir eso en el termodinami límite (N → des empinadas ent method be omes exa t. La ondition el integrand en Eq. (11) tiene un punto de sillín conduce a un impli ecuacion para el valor 0: G (k, Łn), (21) donde G−1 (k, ­n) = ­0 − Jk + 2n + n. (22).............................................................................................................................................................................................................................................................. Los emergentes e de la riti Al punto en el modelo es sig- naled por el ondition G−1 (k = 0, ­n = 0) why h xes el punto de silla de montar del multiplicador Lagrange 0 dentro de la fase ordenada. 0 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 Figura 1: Diagrama de fase de cero temperaturas para el total Harg- Energía de ing EJ/EC vs parámetro de disipación αi (i = 1 si α0 = 0 e i = 0 si α1 = 0) en el caso de los triangulares (; α 1 = 2/3), cuadrado ( ; αcrit1 = 1) y miel omb (H ; α 1 = 4/3) lat- ti e. Aislamiento (super ondu ting) está por debajo (arriba) de la Urvas. III. DIÁGRAMOS DE FASE Una transformación de Fourier de la diversión verde ciones en Eq. (22).............................................................................................................................................................................................................................................................. permite escribir el spheri al onstraint (21) explicación - ¡No! - ¡No! itly como: - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! # EJ + 18CE # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # . (24) donde ­ (­) = es la densidad de los estados. Nosotros ver fácilmente que el solu- sión del modelo requiere el conocimiento de la DOS para un spe i latti e con la superposición de la auto- onsisten y ondición para la riti Al línea en Eq. (24). Un Josephson-jun red de array de tion es hara terilizado para el período comprendido entre el 1 de enero de 2000 y el 31 de diciembre de 2001 di erent latti es por el vecino más cercano Josephson ou- ploling EJ con la siguiente onda-ve tor dependen e = EJE k = EJEk = EJEHk (26) donde Ek's son dados por Eq. 19. La transformación de Fourier de la apa itanes e (disipativo) matri es para un triangular y miel omb latti e una figura también en el apéndice 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 a a0 1 0= = A0 2, a1 1 PCSdiss PCSdiss E EJ0 / E EJ1 / crit crit Figura 2: Diagrama de fase de cero temperaturas para el cuadrado 2D JJA con uno mismo C0 = e 2/2E0 y mutua C1 = e 2/2E1 a- pa itanes e (Eq. 17) para dos valores de al y nonlo al dis- Parámetro de sipación α0 = α1 = 0 y α0 = 2 y α1 = 1 (véase el apéndice). Nosotros una distinción de tres áreas: fase oher- En el estado (PCS) donde las fases en las islas están bien desenvueltas. Estado aislante (IS) h puede ser conducido a la fase o- Estado herentino por e e ts de la disipación (PCSdiss). Por último, estado aislante, donde super ondu la fase de tinte es perturbada por fuerte punto cero cuántico u teaciones debidas a Coulomb blo k- ade que lo alizes Harge Arries a las islas. Sin embargo sys- tem un ser conducido a la fase Estado original (PCScritdiss), pero sólo por riti valores de los parámetros de disipación (αcrit0 2 y αcrit1 1). Sustituyendo el valor de Ł0 = Jmax donde Jmax denota el valor máximo de la spe trum Jk, y después realizar la suma sobre Matsubara frequen ies, En T → 0 límite obtenemos el siguiente resultado: - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! )2 − JmaxEJ )2 − JmaxEJ )2 − JmaxEJ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (27) Los riti valores al del nonlo al disipation param- Los eters tienen un agrio. e en propiedades de baja temperatura de los JJA's diversión orrelation ciones en el entorno de disipación (Apéndice A). Los dependientes e de la riti valor al α1 depi ed en Fig. 1 es un desastre. t resultado de la divergen e esta fase-fase Orrelator. La Fig. 2 y Fig. 3 puntos fuera del gran di eren e en valores del uno mismo C0 y mutuo C1 apa itanes e y ompetición entre diversas dis- pation me Los hanismos tienen un impa grave t en la fase dia- gramos. In typi situaciones reales mutuas apa itanes e an ser por lo menos dos órdenes de magnitud más grande que el auto- apa itanes e qué indi las muestras son pla ed muy perder frente al eje E1/EJ en la Fig. 2. JJA carece de disipación e e e ts a ser en dos fases: Fase de aislamiento (IS) y fase Estado oherent (PCS). Sin embargo oupling sistema al medio ambiente que somos capaces de 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 a0 PCSdiss Figura 3: Diagrama de fase de cero temperaturas para el cuadrado 2D JJA está en el spa. e de lo al α0 y nonlo al α1 disipación pa- rameters para varios valores de la relación C1/C0. Desde el principio C1/C0 = 1,25, 1,67, 2,5, 5, 10, 50. Aislamiento (super ondu t- ing) a continuación (arriba) la Urvas. para conducir arrays en PCS, incluso si lo alization de la Harge arriers debido a Coulomb blo kade es fuerte y domina propiedades del sistema. Por otra parte, en el caso de los Estados miembros: h geometría del latti Sí, las hay. riti valores al de la disipación parámetros que llevan los arrays a la situación (Fig. 2) donde fases en las islas son bien de ned y cuántica u - ¡No! - ¡No! teations no perturban a un super ondu en la fase final - región des Ribe como PCScritdiss. No obstante, entre estos dos las situaciones fronterizas hay una región en la fase dia- Gramo en Fig. 2 donde el la situación de rete depende de la valores de los parámetros. En esta área sistema PCSdiss un ser conducido al PCS, pero en el medio ambiente. no tiene que ser tan fuerte como en PCScritdiss Ase. IV. RESULTADOS Hasta ahora sólo tres papeles onsidered e e ts con ambos a mí Hanismos de la disipación. 11,20,21 El más in- teresting es Cu obra de oli donde los autores introdu ed lleno ondu tan e Matriz para lat triangular y cuadrada- ti es. Parece que sus resultados mejoran la - ¡No! - ¡No! ura y; sin embargo, el problema de los teoreti al explana- ión del diagrama de fase de JJA's en el entorno disipativo- Por lo tanto, está abierto. Un modelo de una matriz ordenada de resistivamente desviada Josephson jun Además, la Comisión ha adoptado una serie de medidas destinadas a mejorar la calidad de los servicios prestados por los Estados miembros en el ámbito de la salud y la seguridad en el lugar de trabajo. ensidered por Chakravarty et. al. y se simplifican en varios puntos. Asumieron que apa itanes e Matriz es diagonal Cij = C/23370/ij. El au- tors laim los resultados no dependen sensiblemente de de- forma de cola de Cij. Por otra parte, la matriz αij = h/4e donde Rij es la resistencia de derivación e entre granos i y j es redu ed a la forma en whi h la información sobre la geometría del latti e no está en Luded. Los obtenidos diagrama de fase de cero temperatura revela la fa t que el riti al valor de la disipación existe y es proporcional a la inversa de la dimensión del sistema h da nosotros riti valor al α = 1/2 para un latti cuadrado e, pero espe... ially a bajas temperaturas, los métodos variacionales no son pre ise suficiente para por eive su h una transición sutil. En nuestro modelo el riti valor al del nonlo al dissipa- El parámetro α1 se comporta de manera similar. Depende de la valor máximo de la spe Jk trum. Ser ause Jk exhibitions di erent hara ters para varios latti es hen e we ould observar el fenómeno su h como nonmonotoni dependen e de la riti valor al del nonlo al parámetro de disipación para varias geometrías de la matriz (ver Fig. 1). Cuándo Asumimos la forma diagonal αij = α0đij entonces obviamente nuestra los resultados no lo harán colgar cuando nos colgar la geometría de el latti e simplemente ser ausen las resistencias de derivación onne ión las islas a tierra son las mismas para ea h isla. Activar la otra mano si tomamos en sideración α0 = 0 y sólo α1 está presente, la situación colgadas ause ahora los valores de la matriz disipativa dependen fuertemente de la Jk spe trum whi h indi ate varios valores de la matriz αij depende de la geometría del stru tura. Esto ase está presente en matrices con resistencias de derivación en paralelo a la jun ciones. Una forma estándar de estudiar modelos con sólo diagonal Energías de arraigo Cij = Cđij ocorrespondiente a a om- plete absen e de s reenhance por las otras islas en el Array. Noti e las mutuas apa itanes e a ser, al menos, dos órdenes de magnitud más grande que el auto- apa itanes e C1 102C0. Proponemos un más realista. modelo en whi h tanto el uno mismo como el mutuo apa itanes Es no cero. Para ver cómo signi ant esto La sideración es que analizaremos la Fig. 3. Si asumimos, que C1/C0 50 (ver la línea más baja en Fig. 3) nosotros un ver la riti valores al de la disipación parámetros hange dramati ally de lo al α0 = 2 y nonlo al α1 = 1 (Apéndice A) obtenido por menos isti ases C1/C0 = 1 en peso h las dos apa itanes es son Ombligo. En el límite (C1 6= 0, C0 = 0) el latti e modelo es equivalente al modelo de gas Coulomb con rit- i propiedades no plenamente comprendidas en la actualidad. Sin embargo Tenemos que enfatizar que la gama de la Coulomb ma- trix be omes en nite cuando C0 se establece igual a cero. Los límite de fase en la Fig. 3 cambio hacia abajo con en desprendimiento relación C1/C0 ser ause menor valor de la Coulomb inter- a entre los vecinos más cercanos redu Es fuerte quan- fase tum u en las telecomunicaciones y en las telecomunicaciones onsequen y observamos un crecimiento de la fase de largo alcance oheren e. Yagi et al. experimentado con el super ondu tor- transición aislante en la red bidimensional de Josephson jun ciones en detalle, variando el jun ciones- área. Se observó la riti al tuneling resistan e exhibido signi ant jun area de cion depende de e. El comportamiento de baja temperatura del total Energía de apalancamiento EJ/CE como diversión RQ/Rn, donde Rn es el túnel- ing resistan e exhibe el mismo comportamiento que la urve obtenido de nuestra teoría para el latti cuadrado es (véase la figura 1) en el absen e de lo al disipación e e ts α0 = 0. El límite de fase observado, h se está doblando... y la riti valor al del nonlo al disipación parámetro αcrit1 = 1 está en ex Ellent a ordan e con nuestro resultados. Con el fin de investigar la e e ts de quantum u tu- aciones y disipación en JJA's, otro grupo arrays bidimensionales de jun pequeño ciones con varios EJ/CE y resistencias h disipación utilizada e e e ts. El valor de EJ fue ontrolled por la variación del túnel resistan e. Ea h isla era onne Ted al vecino... ing por una resistencia de derivación, así como el túnel jun - ¡No! - ¡No! tion. La resistencia e de las resistencias de derivación fue sintonizado por variando su longitud. Estados de base de 2D Josephson ar- rayo en EJ/EC -RQ/Rs parámetros spa e revelar lo mismo comportamiento como resultados experimentales anteriores, pero hay un di eren e in riti valor al de las RQ/Rs 0,5 Wh h también de valor αcrit1 obtenido en este documento. Estos... repan ciones entre experimentos a se explicará en el marco de nuestro modelo mediante la adopción de una ount di er- ent valor de la relación jun tion-to-self apa itanes es whi h redu es el riti valor al de las RQ/Rs y onsidering que no sólo nonlo al dissipation me El hanismo está presente α0 6= 0 una obtención de RQ/Rs 0,5 valor (véase la Figura 3). Los números reales dependen fuertemente de las propiedades de la jun ciones utilizadas en experimentos. V. RESUMEN Tenemos al diagramas cuánticos de fase de dos- dimensional Josephson jun Arrays de tion usando el spher- i Aproximación del modelo. Los al ulaciones fueron por- formados para sistemas que utilizan ge- ometries para los arrays su nosotros cuadrados, triangulares y miel Omb. El estado de la tierra de los Josephson oupled matriz con un latti triangular e parece ser más estable contra el Coulomb e e e ts. Esta geometría es también la ase in whi h a nivel mundial estado emergió cuando el valor del nonlo al parámetro de disipación α1 es el Lo más bajo. En JJA's we observar la fase oheren e transición h es ausentado por ele trostati y dissipa- tivo e e ts. Los diagramas de fase detallados ru lially de- pluma en la relación jun tion-to-self apa itanes es, C1/C0 y ambos me disipan El hanismo tiene un gran impa t en límites de fase. Los términos no diagonales en apa itive y el matri disipativo es an colgar los diagramas de fase del sistema drasti Ally. No lo es. Essary para llevarlos en en las sideraciones cuando tenemos agridulce Es de des- sipation su nos shunt resistencias onne de las islas a un suelo y las resistencias de derivación en paralelo al jun ciones. La observación experimental de una resistencia universal e umbral para el inicio de la oherent state parece posible, pero parece ser que ult. A Conocimientos Uno de los autores quiere agradecer al Dr. Ettore Sarnelli en lugar de están leyendo manus ritt y fruct ussions. Este trabajo fue apoyado por el TRN DeQUACS y algunas partes se hicieron en Max-Plan k-Institut für DOS â € H Jmax/EJ 3 Cuadro I: Valores máximos de la escala trum J (k) para tres dif- ferent geometrías del latti es: triangular (), miel omb (H) y cuadrado ( ) Physik komplexer Systeme, Nöthnitzer Straÿe 38, 01187 Dresden, Alemania. Apéndice A: ALGUNAS PROPIEDADES DEL CORRELATOR Supongamos que α0 = 0 escribimos expresión para la fase- fase diversión orrelation (similar a la ecuación utilizada en una anterior al ulaciones pero modi ed por disipativo ma- trix) en forma: W (­) = exp 1 - cos (-) 2n + . (A1) Es fácil ver la suma sobre n es symmetri cuando nosotros hange n → n. La clave para obtener la solución es a al la suma o la integral en el marco de la exposición nent en Eq. (A1). Ser ause vamos a investigar propiedades de baja temperatura de la diversión orrelation ciones de la Unión Europea Podría escribir d. En eso ase (obtención librado de abdominales) para un gran valor W (­) = exp 1 - co (-) •2 + α1 exp −2γEJ α1JkEC )2EJ/α1Jk donde γ = 0,57721 es el Euler-Mas heroni Onstant. Finalmente, después de la transformación de Fourier vemos que orrelator W­1 (­m) ­ m2EJ/α1Jmax­1 a temperatura cero α1 ≥ 2EJ/Jmax. Cantidad Jmax/EJ significa el valor máximo del Jk whi h di ers para varios latti es (véase el cuadro I). Apéndice B: PARAMETRO DE DISIPACIÓN PARA CONSIDERANDO LAS LATICES En este apéndice damos la explicación las fórmulas para el Parámetro de disipación dis ussed in Se . II y III. 1. Latti cuadrado e η (α0 + 4α1) α0 + 4α1 donde K (x) = ∫ /2 1− x2 sin2 , (B2) es la elipti integral del tipo rst y la etapa de la unidad diversión ión es de la siguiente manera: (x) = 1 para x > 0 0 para x ≤ 0 . (B3) Para valores pequeños de la α1 una disipación de escritura pa- rameter para latti cuadrado e como: α = α0 + 3α1 − , (B4) para los valores de valores grandes del α1: 3− 2 2. Lati triangular e 1 = K (Ł) (B6) donde (2t+3) 1/2 − 1 [ ]3/2 [ (2t+3) 4 (2t+3) (2t+3) 1/2 − 1 [ ]3/2 [ (2t+3) con t = (α0 + 6α1) /2α1. 3. Cariño. omb latti e 1H = α0 + 3α1 K () (B9) donde (2t− 1)3/2 (2t+ 3)1/2 (B10) 41/4 (2t) (2t− 1)3/2 (2t+ 3)1/2 (B11) con t = (α0 + 3α1) /2α1. Apéndice C: DOS DE LAS LATICES CONSIDERADAS En este apéndice damos la explicación las fórmulas para el densidad de los estados ussed in Se . II y III. 1. Latti cuadrado e ­ (­) = , (C1) 2. Lati triangular e () = ( − 3) donde 3 + 2 3 + 2 − 2 ( + 1) 3 + 2 + (+ + 1) (+ − 3), (C3) 1 ° = 4 3 + 2 ( + 1) 3 + 2 3 + 2 − 2 [­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) () (—) () () (—) () () (. () () () () () () () (—) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()(C4) 3. Cariño. omb latti e H () = 4 3 - 4 â € 2 . (C5) Ele troni Dirección: polak si a. Ib.na. nr.it Ele troni Dirección: kope int.pan.wro .pl Simánek, Comunidad de Estado Sólido. 31, 419 (1979). S. Donia H, Phys. Rev. B 24, 5063 (1981). D. M. Wood y D. Stroud, Phys. Rev. B 25, 1600 (1982). T. K. Kope¢ y J. V. José, Phys. Rev. B 63, 064504 (2001). J. V. José, Phys. Rev. B 29, R2836 (1984); L. Ja obs, J. V. José y M. A. Novotny, Phys. Rev. Lett. 53, 2177 (1984). T. K. Kope¢ y T. P. Polak, Phys. Rev. B 66, 094517 (2002). V. Ambegaokar, U. E kern y G. S hön, Phys. Rev. Lett. 48, 1745 (1982). R. F. Voss y R. A. Webb, Phys. Rev B 25, R3446 (1982). B. J. van Wees, H. S. J. van der Zant, y J. E. Mooij, Phys. Rev. B 35, R7291 (1987). H. S. J. van der Zant, W. J. Elion, L. J. Geerligs y J. E. Mooij, Phys. Rev. B 54, 10081 (1996). S. Chakravarty, G. L. Ingold, S. Kivelson, y A. Luther, Phys. Rev. Lett. 56, 2303 (1986); S. Chakravarty, G. L. Ingold, S. Kivelson, y G. Zimányi, Phys. Rev. B 37, 3283 (1988). M. P. A. Fisher, Phys. Rev. Lett. 57, 885 (1986); S. Chakravarty, S. 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Discutimos los efectos de disipación locales y no locales sobre la existencia de la transiciones de coherencia de fase global en dos dimensiones acopladas a Josephson Uniones. Las transiciones de fase cuántica también se examinan para varias celosías geometrías: cuadrada, triangular y panal de miel. El superconductor-isulador T=0 transición de fase se analiza en función de varios parámetros de control que incluyen la autocapacidad y la capacidad de unión y tanto local como no local efectos de disipación. Encontramos el valor crítico de la disipación no local parámetro \alpha_{1} depende de una geometría de la celosía. El valor crítico de la conducta normal del estado parece ser difícil de obtener experimentalmente si tenemos en cuenta diferentes mecanismos de amortiguación que se presentan en sistemas físicos reales.

Competencia entre empresas al y nonlo al disipación e e ts en dos dimensiones quantum Josephson jun arrays de tion T. P. Polak Consiglio Nazionale delle Ri er he - Istituto Nazionale per la Fisi a della Materia, Complexo Universitario Monte S. Angelo, 80126 Nápoles, Italia y Istituto di Ciberneti a E. Caianiello del CNR, Via Campi Flegrei 34, I-80078 Pozzuoli, Italia. T. K. Kope¢ Instituto de Baja Temperatura y Stru ión Resear h, Polaco A ademy de S ien es, POB 1410, 50-950 Wro ley 2, Polonia Estamos de acuerdo. uss el lo al y nonlo al disipación e e ts en el existente e de la fase mundial oher- en e transiciones en dos dimensiones Josephson- oupled jun ciones. Las transiciones de fase cuántica también se examinan para varios latti e geometrías: cuadrada, triangular y miel Omb. La T = 0 super ondu transición fase tor-isulador se analiza como una diversión sión de varios parámetros de ontrol why h in lude auto- apa itanes e y jun ión apa itanes e y ambos lo al y nonlo al disipación e e ts. Hemos encontrado el riti valor al del nonlo al parámetro de disipación α1 depende de una geometría del latti e. El riti valor al del estado normal ondu tan Parece que está bien. ult a obtener experimentalmente si tomamos en en la sideración di erent amortiguandome Hanisms why h se presentan en fisico real Al systems. Números PACS: 74.50.+r, 67.40.Db, 73.23.Hk I. INTRODUCCIÓN Ma ros opi quantum e e e ts en dos dimensiones Josephson jun ciones (JJA's) han sido ex- teoreti estudiado de forma tensa ally 1,2,3,4,5,6,7 experimentalmente 8,9,10 durante los últimos años. El quan- naturaleza de la fase de un super ondu orden de comercialización parámetro es re e en las transiciones de fase en JJA's. In JJA no disipativo es la dos energía principal s ales se establecen por el Josephson oupling EJ entre super ondu ión islas y la ele trostati energía CE derivada de la al desviaciones de Gran neutralidad. La relación CE/EJ determina el releván e de la cantidad u teations y cuando está en reases por encima de a riti al valor, la fase orden se destruye y la matriz se convierte en el aislante. Para grandes apa itive oupling CE • EJ el sistema an ser modelado por un renormalizado lassi al bidimensional (2D) Modelo XY. En el límite opuesto, la energía ost para la transferencia harges entre las islas vecinas en la matriz es tan alta que Harges tienden a ser lo Alized. Mientras que la naturaleza de la lassi al modelo 2D XY es bien entendido, su generalización cuántica sigue planteando problemas no resueltos. Fabri moderna ación te hniques permiten a uno hacer ar- rayos de ultrapequeños super ondu islas separadas por Aisladores. In su h sistemas el fa importante tor whi h tiene un profundo impa t en el estado del suelo de la JJA's es disipación ausentado por Ohmi resistencias desviando la jun ciones 11,12,13 o cuasiparti el túnel a través de la jun ciones. 14,15,16 A pesar de varios experimentos con 2D JJA's 17,18 y super ondu lms granulares exis- diez e de la transición impulsada por la disipación y riti al valor del estado normal ondu tan e es al menos ques- tionable. Diagramas de fase en JJA cuántica conmigo ha- nismos de disipación Ohmi y cuasiparti Le estaban los sementales... ied teoreti Ally de Zaikin. Cal ulaciones realizadas en el interior el marco del instanton te hnique revelar un cero diagrama de fase de temperatura con dos fases disipativas transiciones. El autor laims hay regiones en el diagrama de fase donde la fase desordenada y el Lassi... al Josephson e e t puede tomar pla e. Cu oli et al. presentó un analyti al estudio basado en la e ciones de investigación y desarrollo en el ámbito de la salud y la seguridad en el trabajo, así como en el ámbito de la salud y la seguridad en el lugar de trabajo, la salud y la seguridad en el trabajo, la salud y la salud en el lugar de trabajo, la salud y la seguridad en el trabajo y la salud en el lugar de trabajo, la salud y la salud en el lugar de trabajo, la salud y la salud en el lugar de trabajo, la salud en el lugar de trabajo y la salud en el lugar de trabajo, la salud en el lugar de trabajo y la salud en el lugar de trabajo, la salud en el lugar de trabajo y la salud en el lugar de trabajo, la salud en el lugar de trabajo y la salud en el lugar de trabajo, la salud en el lugar de trabajo y la salud en el lugar de trabajo, la salud en el lugar de trabajo, la salud en el lugar de trabajo y la salud en el lugar de trabajo. tendial approa h. Propusieron un modelo en h dos los tiempos de relajación conducen a la ondu tan e Matriz con derivaciones resistivas al suelo y entre islas. A pesar de estos un urate analyti al estudio del problema de un teoreti explicación de los diagramas de fase en JJA's en ambiente disipativo todavía está abierto. Nuestro teoreti anterior al trabajo en whi h la atención era fo utilizado en lo al disipación e e ts, predi dad a la ex- isten e de la riti al valor del parámetro de disipación α = 2 independiente sobre la geometría de un latti e y mag- neti Eld. Otros teoreti estudios 11,12,23,24 Sugerir un bastante amplia gama de la riti valores al de la disipación parámetro α = 0,5, 0,84, 1, 2 Wh h depende de la di- mensión del sistema y de mí Hanismo de la disipación. Parece que una medida experimental inequívoca: de la Comisión de las Comunidades Europeas riti valor al del estado normal ondu tan e es elusivo. Varios grupos 17,18,25,26,27,28,29 Uso de di erent experimental te Hniques obtenidas varias riti valores al de α = 0,5, 0,8, 1. Para explicar estos teoreti al y ex- perimental di ulties proponemos un modelo en whi h lo al ( utilizado por resistencias de derivación onne de las islas a un tierra) y nonlo al (resistencias de derivación en paralelo al jun ciones) disipación e e e ts son ensidered. El objetivo de este trabajo es investigar la fase trans- Situaciones a temperatura cero en dos dimensiones apa i- tily super oupled ondu con énfasis en http://arxiv.org/abs/0704.1993v1 la ompetición de lo al α0 y nonlo al α1 disipación e e ts. Límite de la fase detallada ru ially depende sobre la relación de mutuo a uno mismo apa itanes es C1/C0 y spe i geometría plana de la matriz. Consciente de ello fa t nosotros ONSIDER apa matriz itiva Cij dentro del rango de Parámetros C1/C0 h un ajuste a la exper- muestras mentales. Analizamos diagramas de fase para tres di erent latti es: cuadrado ( ), triangular (­) y miel- omb (H). Queremos enfatizar que nuestra aproximación annot ser utilizado para el análisis de la Berezinski-Kosterlitz- Las transiciones de miles de pecados e sólo es apropiado para phys- i sistemas en los que aparece un orden de largo alcance. El esquema del resto del artículo es el siguiente: Se . II we de ne el modelo Hamiltoniano, seguido por su formulación integral del camino en términos de la dimensionalidad dependiente no media- eld como approa h. In Se III presentar los resultados del diagrama de fase de cero temperaturas para Las geometrías de JJA. Por último, en Se . IV nos dis uss nuestros resultados y su relevan e a otros teoreti al y trabajos experimentales. II. MODELO Nosotros un Josephson de dos dimensiones jun ión ar- rayo con latti e sitios i, hara terilizado por super ondu ión la fase Ii en el ambiente disipativo. Los ocorrespondiente Eu lideano a El texto de la resolución es el siguiente: S = SC + SJ + SD, (1) donde # # # I, j # # # # # I, j # # # # I, j # # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # I, j # # # I, j # # I, j # # # I, j # # I, j # d­Jij {1­ cos [­i (­) ­j (­)]}, (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) y es el tiempo imaginario de Matsubara (0 ≤ ♥ ≤ 1/kBT β); T es la temperatura y kB el Boltzmann onstant (~ = 1). La primera parte de la sión (2) de- nes the ele trostati energía donde Cij es el apa i- tan e matriz h es un geometri propiedad de la matriz. Esta matriz se suele aproximar como una diagonal (auto- apa itanes e C0) y una mutua C1 entre la más cercana vecinos. Nosotros escribir una expresión general para el Cij en la forma siguiente: Cij = C0 + zC1 para i = j −C1 para los vecinos más cercanos why h Holds for periodi stru ciones en cualquier dimensión; z es oordination number of the network. El se odd término es la energía de Josephson EJ (Jij EJ para i− j = d y cero de lo contrario). El ve tor d forma un conjunto de z latti e traducción tors, onne de un sitio dado a su casi- Estos vecinos. El Fourier transformó la onda-ve Tor de- pendent Josephson ouplings Jk son diferentes para varios latti es. La tercera parte de la tion SD des ribes la disipación e e e ts y αij (-) es una disipación ma- Trix. Nosotros Hoose dos independientes que me amortiguan hanisms, el lugar y el vecino más cercano, ause generalmente, el amortiguación es des acanalado en términos de resistencias de derivación R0 on- ne las islas a un suelo y las resistencias de derivación en paralelo al jun ciones relacionadas con R1. Nosotros una escritura matriz de disipación similar a Eq. (3) en un más Perdidos forma: αij = (α0 + zα1) ♥ij − α1 * i, j+d (4) con la ve Tor D corriendo por encima de la vecina más cercana es... tierras. Parámetros adimensionales , α1 = . 5) des la fuerza del ribe de la lo al y nonlo al disipación respe ticularmente, donde RQ = 1/4e es resistencia cuántica e. A. Método La mayor parte del analyti existente al trabaja en la JJA cuántica han empleado diferentes tipos de media-eld-como aproxi- mations why h no son fiables para el tratamiento espacial y fase cuántica temporal u teations. El modelo en Eq. 2 en odes la fase u álgebra de tuación dada por Eu- grupo lidiano E2 de ned por relaciones de ommutación ser- tween parti le Li y los operadores de fase Pj, Pj = e ................................................................ [Li, Pj] = −Pieij, Li, P i Łij, [Pi, Pj] = 0, (6) con la onserved quantity (invariante del álgebra E2) i-P xi + P yi = 1. 7).................................................................................................................................................. El teoreti apropiado al tratamiento de la JJA cuántica debe mantener el onstraint en Eq. 7. Una formulación del problema en términos de los spheri al modelo iniciado por Kope¢ y José nos lleva a introdu e el auxiliar ompplex eld omplex eld omplex omplex eld omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex omplex h repla es el operador original Pi. Además, relajando la rigidez original onstraint y imponer el spheri más débil al ondition: i = N. (8) donde N es el número de latti e sitios, nos permite im- la aplicación de los spheri al onstraint: [D.]............................................................................................................... i2 −N e-SJ[­] [Dl] e-SC+D[l] * [Rezái − Pxi (......] [Imáši − Pyi (­)].................................................................................................................................................................................... (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. donde [D] = Derivados no expresados ni comprendidos en otra parte iDodi. Lo es. on- veniente a emplear la diversión Representación de Fourier de la diversión de la cional a fin de garantizar el cumplimiento de los objetivos fijados en el apartado 1 del artículo 2 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 y en el apartado 2 del artículo 2 del artículo 2 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de junio de 1971, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos y por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos y por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos e el spheri al onstraint in Eq. (8):  [x ()] = ∫ +i d(l)x(l), (10) why h introdu es el multiplicador de Lagrange Añadiendo un quadrati (en ald) a la ciones en Eq. 2). La evaluación de la e tiva a en términos de la * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * orden ond en i da la diversión de la partición ciones de el spheri cuántico modelo al (QSM) ZQSM = [D.]............................................................................................................... i2 −N e-S[­](11) donde la e e tiva a El texto de la resolución es el siguiente: S[­] = # # # I, j # # # # # I, j # # # # I, j # # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # I, j # # # I, j # # I, j # # # I, j # # I, j # ............................................................................................................................................................................................................................................................... + W−1ij ′)−  () + N­(­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) ) (—) (—) (—) (—) ) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) ) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (— (12) Además, Wij (­, ­, ′) = [Dl] ei[l(l)j(l] ′)]e−SC+D[], (13) es la fase diversión orrelation ión con statisti al [Dl] e-SC+D[l], (14) donde a es sólo una suma de ele trostati y términos disipativos en Eq. 2). Después de la introducción > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >. > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > Transformación de Fourier del oldo En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, −i(nkri) con Łn = 2ηn/β, (n = 0,±1,±2,...) siendo el Bose Matsubara frequen ies. De Eq. (13) la fase de fase diversión orrelation El texto de la resolución es el siguiente: W (l, l′) = exp 1− cos [­n (­ • • • • ′)] 2n + . 16) Los el parámetro de energía de arraigo que entra en Eq. 16) es η (C0 + 4C1) C0 + 4C1 donde K (x) es el elipti integral del tipo rst32. Además, introdu e Cantidades E0 = e 2/2C0 y E1 = e 2/2C1 relacionado con la isla y jun ión apa i- tan es. El parámetro disipativo α y puede ser explicado itly por escrito como 1 = lim α0 + zα1 − 2α1Ek donde Ek es una dispersión y tiene forma diferente para varios latti es. En el presente documento o sider tres di erent geometrías del latti e: cuadrado ( ), triangular (­) y miel Omb (H): = cos kx + cos ky, = cos kx + 2 cos . (19) con el latti e spa Set de ing a 1. Los resultados de la suma over wave ve Tors en Eq. 18 son pla ed en el apéndice B. Por último, para pequeñas frecuencias es, α0 ≤ 2 y α1 ≤ 1 inversa de diversión orrelation ciones (16) ser omes: W−1 (n) = 2n + n para n 6= 0 0 de lo contrario Para determinar el multijugador de Lagrange, ob- servir eso en el termodinami límite (N → des empinadas ent method be omes exa t. La ondition el integrand en Eq. (11) tiene un punto de sillín conduce a un impli ecuacion para el valor 0: G (k, Łn), (21) donde G−1 (k, ­n) = ­0 − Jk + 2n + n. (22).............................................................................................................................................................................................................................................................. Los emergentes e de la riti Al punto en el modelo es sig- naled por el ondition G−1 (k = 0, ­n = 0) why h xes el punto de silla de montar del multiplicador Lagrange 0 dentro de la fase ordenada. 0 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 Figura 1: Diagrama de fase de cero temperaturas para el total Harg- Energía de ing EJ/EC vs parámetro de disipación αi (i = 1 si α0 = 0 e i = 0 si α1 = 0) en el caso de los triangulares (; α 1 = 2/3), cuadrado ( ; αcrit1 = 1) y miel omb (H ; α 1 = 4/3) lat- ti e. Aislamiento (super ondu ting) está por debajo (arriba) de la Urvas. III. DIÁGRAMOS DE FASE Una transformación de Fourier de la diversión verde ciones en Eq. (22).............................................................................................................................................................................................................................................................. permite escribir el spheri al onstraint (21) explicación - ¡No! - ¡No! itly como: - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! # EJ + 18CE # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # . (24) donde ­ (­) = es la densidad de los estados. Nosotros ver fácilmente que el solu- sión del modelo requiere el conocimiento de la DOS para un spe i latti e con la superposición de la auto- onsisten y ondición para la riti Al línea en Eq. (24). Un Josephson-jun red de array de tion es hara terilizado para el período comprendido entre el 1 de enero de 2000 y el 31 de diciembre de 2001 di erent latti es por el vecino más cercano Josephson ou- ploling EJ con la siguiente onda-ve tor dependen e = EJE k = EJEk = EJEHk (26) donde Ek's son dados por Eq. 19. La transformación de Fourier de la apa itanes e (disipativo) matri es para un triangular y miel omb latti e una figura también en el apéndice 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 a a0 1 0= = A0 2, a1 1 PCSdiss PCSdiss E EJ0 / E EJ1 / crit crit Figura 2: Diagrama de fase de cero temperaturas para el cuadrado 2D JJA con uno mismo C0 = e 2/2E0 y mutua C1 = e 2/2E1 a- pa itanes e (Eq. 17) para dos valores de al y nonlo al dis- Parámetro de sipación α0 = α1 = 0 y α0 = 2 y α1 = 1 (véase el apéndice). Nosotros una distinción de tres áreas: fase oher- En el estado (PCS) donde las fases en las islas están bien desenvueltas. Estado aislante (IS) h puede ser conducido a la fase o- Estado herentino por e e ts de la disipación (PCSdiss). Por último, estado aislante, donde super ondu la fase de tinte es perturbada por fuerte punto cero cuántico u teaciones debidas a Coulomb blo k- ade que lo alizes Harge Arries a las islas. Sin embargo sys- tem un ser conducido a la fase Estado original (PCScritdiss), pero sólo por riti valores de los parámetros de disipación (αcrit0 2 y αcrit1 1). Sustituyendo el valor de Ł0 = Jmax donde Jmax denota el valor máximo de la spe trum Jk, y después realizar la suma sobre Matsubara frequen ies, En T → 0 límite obtenemos el siguiente resultado: - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! )2 − JmaxEJ )2 − JmaxEJ )2 − JmaxEJ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (27) Los riti valores al del nonlo al disipation param- Los eters tienen un agrio. e en propiedades de baja temperatura de los JJA's diversión orrelation ciones en el entorno de disipación (Apéndice A). Los dependientes e de la riti valor al α1 depi ed en Fig. 1 es un desastre. t resultado de la divergen e esta fase-fase Orrelator. La Fig. 2 y Fig. 3 puntos fuera del gran di eren e en valores del uno mismo C0 y mutuo C1 apa itanes e y ompetición entre diversas dis- pation me Los hanismos tienen un impa grave t en la fase dia- gramos. In typi situaciones reales mutuas apa itanes e an ser por lo menos dos órdenes de magnitud más grande que el auto- apa itanes e qué indi las muestras son pla ed muy perder frente al eje E1/EJ en la Fig. 2. JJA carece de disipación e e e ts a ser en dos fases: Fase de aislamiento (IS) y fase Estado oherent (PCS). Sin embargo oupling sistema al medio ambiente que somos capaces de 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 a0 PCSdiss Figura 3: Diagrama de fase de cero temperaturas para el cuadrado 2D JJA está en el spa. e de lo al α0 y nonlo al α1 disipación pa- rameters para varios valores de la relación C1/C0. Desde el principio C1/C0 = 1,25, 1,67, 2,5, 5, 10, 50. Aislamiento (super ondu t- ing) a continuación (arriba) la Urvas. para conducir arrays en PCS, incluso si lo alization de la Harge arriers debido a Coulomb blo kade es fuerte y domina propiedades del sistema. Por otra parte, en el caso de los Estados miembros: h geometría del latti Sí, las hay. riti valores al de la disipación parámetros que llevan los arrays a la situación (Fig. 2) donde fases en las islas son bien de ned y cuántica u - ¡No! - ¡No! teations no perturban a un super ondu en la fase final - región des Ribe como PCScritdiss. No obstante, entre estos dos las situaciones fronterizas hay una región en la fase dia- Gramo en Fig. 2 donde el la situación de rete depende de la valores de los parámetros. En esta área sistema PCSdiss un ser conducido al PCS, pero en el medio ambiente. no tiene que ser tan fuerte como en PCScritdiss Ase. IV. RESULTADOS Hasta ahora sólo tres papeles onsidered e e ts con ambos a mí Hanismos de la disipación. 11,20,21 El más in- teresting es Cu obra de oli donde los autores introdu ed lleno ondu tan e Matriz para lat triangular y cuadrada- ti es. Parece que sus resultados mejoran la - ¡No! - ¡No! ura y; sin embargo, el problema de los teoreti al explana- ión del diagrama de fase de JJA's en el entorno disipativo- Por lo tanto, está abierto. Un modelo de una matriz ordenada de resistivamente desviada Josephson jun Además, la Comisión ha adoptado una serie de medidas destinadas a mejorar la calidad de los servicios prestados por los Estados miembros en el ámbito de la salud y la seguridad en el lugar de trabajo. ensidered por Chakravarty et. al. y se simplifican en varios puntos. Asumieron que apa itanes e Matriz es diagonal Cij = C/23370/ij. El au- tors laim los resultados no dependen sensiblemente de de- forma de cola de Cij. Por otra parte, la matriz αij = h/4e donde Rij es la resistencia de derivación e entre granos i y j es redu ed a la forma en whi h la información sobre la geometría del latti e no está en Luded. Los obtenidos diagrama de fase de cero temperatura revela la fa t que el riti al valor de la disipación existe y es proporcional a la inversa de la dimensión del sistema h da nosotros riti valor al α = 1/2 para un latti cuadrado e, pero espe... ially a bajas temperaturas, los métodos variacionales no son pre ise suficiente para por eive su h una transición sutil. En nuestro modelo el riti valor al del nonlo al dissipa- El parámetro α1 se comporta de manera similar. Depende de la valor máximo de la spe Jk trum. Ser ause Jk exhibitions di erent hara ters para varios latti es hen e we ould observar el fenómeno su h como nonmonotoni dependen e de la riti valor al del nonlo al parámetro de disipación para varias geometrías de la matriz (ver Fig. 1). Cuándo Asumimos la forma diagonal αij = α0đij entonces obviamente nuestra los resultados no lo harán colgar cuando nos colgar la geometría de el latti e simplemente ser ausen las resistencias de derivación onne ión las islas a tierra son las mismas para ea h isla. Activar la otra mano si tomamos en sideración α0 = 0 y sólo α1 está presente, la situación colgadas ause ahora los valores de la matriz disipativa dependen fuertemente de la Jk spe trum whi h indi ate varios valores de la matriz αij depende de la geometría del stru tura. Esto ase está presente en matrices con resistencias de derivación en paralelo a la jun ciones. Una forma estándar de estudiar modelos con sólo diagonal Energías de arraigo Cij = Cđij ocorrespondiente a a om- plete absen e de s reenhance por las otras islas en el Array. Noti e las mutuas apa itanes e a ser, al menos, dos órdenes de magnitud más grande que el auto- apa itanes e C1 102C0. Proponemos un más realista. modelo en whi h tanto el uno mismo como el mutuo apa itanes Es no cero. Para ver cómo signi ant esto La sideración es que analizaremos la Fig. 3. Si asumimos, que C1/C0 50 (ver la línea más baja en Fig. 3) nosotros un ver la riti valores al de la disipación parámetros hange dramati ally de lo al α0 = 2 y nonlo al α1 = 1 (Apéndice A) obtenido por menos isti ases C1/C0 = 1 en peso h las dos apa itanes es son Ombligo. En el límite (C1 6= 0, C0 = 0) el latti e modelo es equivalente al modelo de gas Coulomb con rit- i propiedades no plenamente comprendidas en la actualidad. Sin embargo Tenemos que enfatizar que la gama de la Coulomb ma- trix be omes en nite cuando C0 se establece igual a cero. Los límite de fase en la Fig. 3 cambio hacia abajo con en desprendimiento relación C1/C0 ser ause menor valor de la Coulomb inter- a entre los vecinos más cercanos redu Es fuerte quan- fase tum u en las telecomunicaciones y en las telecomunicaciones onsequen y observamos un crecimiento de la fase de largo alcance oheren e. Yagi et al. experimentado con el super ondu tor- transición aislante en la red bidimensional de Josephson jun ciones en detalle, variando el jun ciones- área. Se observó la riti al tuneling resistan e exhibido signi ant jun area de cion depende de e. El comportamiento de baja temperatura del total Energía de apalancamiento EJ/CE como diversión RQ/Rn, donde Rn es el túnel- ing resistan e exhibe el mismo comportamiento que la urve obtenido de nuestra teoría para el latti cuadrado es (véase la figura 1) en el absen e de lo al disipación e e ts α0 = 0. El límite de fase observado, h se está doblando... y la riti valor al del nonlo al disipación parámetro αcrit1 = 1 está en ex Ellent a ordan e con nuestro resultados. Con el fin de investigar la e e ts de quantum u tu- aciones y disipación en JJA's, otro grupo arrays bidimensionales de jun pequeño ciones con varios EJ/CE y resistencias h disipación utilizada e e e ts. El valor de EJ fue ontrolled por la variación del túnel resistan e. Ea h isla era onne Ted al vecino... ing por una resistencia de derivación, así como el túnel jun - ¡No! - ¡No! tion. La resistencia e de las resistencias de derivación fue sintonizado por variando su longitud. Estados de base de 2D Josephson ar- rayo en EJ/EC -RQ/Rs parámetros spa e revelar lo mismo comportamiento como resultados experimentales anteriores, pero hay un di eren e in riti valor al de las RQ/Rs 0,5 Wh h también de valor αcrit1 obtenido en este documento. Estos... repan ciones entre experimentos a se explicará en el marco de nuestro modelo mediante la adopción de una ount di er- ent valor de la relación jun tion-to-self apa itanes es whi h redu es el riti valor al de las RQ/Rs y onsidering que no sólo nonlo al dissipation me El hanismo está presente α0 6= 0 una obtención de RQ/Rs 0,5 valor (véase la Figura 3). Los números reales dependen fuertemente de las propiedades de la jun ciones utilizadas en experimentos. V. RESUMEN Tenemos al diagramas cuánticos de fase de dos- dimensional Josephson jun Arrays de tion usando el spher- i Aproximación del modelo. Los al ulaciones fueron por- formados para sistemas que utilizan ge- ometries para los arrays su nosotros cuadrados, triangulares y miel Omb. El estado de la tierra de los Josephson oupled matriz con un latti triangular e parece ser más estable contra el Coulomb e e e ts. Esta geometría es también la ase in whi h a nivel mundial estado emergió cuando el valor del nonlo al parámetro de disipación α1 es el Lo más bajo. En JJA's we observar la fase oheren e transición h es ausentado por ele trostati y dissipa- tivo e e ts. Los diagramas de fase detallados ru lially de- pluma en la relación jun tion-to-self apa itanes es, C1/C0 y ambos me disipan El hanismo tiene un gran impa t en límites de fase. Los términos no diagonales en apa itive y el matri disipativo es an colgar los diagramas de fase del sistema drasti Ally. No lo es. Essary para llevarlos en en las sideraciones cuando tenemos agridulce Es de des- sipation su nos shunt resistencias onne de las islas a un suelo y las resistencias de derivación en paralelo al jun ciones. La observación experimental de una resistencia universal e umbral para el inicio de la oherent state parece posible, pero parece ser que ult. A Conocimientos Uno de los autores quiere agradecer al Dr. Ettore Sarnelli en lugar de están leyendo manus ritt y fruct ussions. Este trabajo fue apoyado por el TRN DeQUACS y algunas partes se hicieron en Max-Plan k-Institut für DOS â € H Jmax/EJ 3 Cuadro I: Valores máximos de la escala trum J (k) para tres dif- ferent geometrías del latti es: triangular (), miel omb (H) y cuadrado ( ) Physik komplexer Systeme, Nöthnitzer Straÿe 38, 01187 Dresden, Alemania. Apéndice A: ALGUNAS PROPIEDADES DEL CORRELATOR Supongamos que α0 = 0 escribimos expresión para la fase- fase diversión orrelation (similar a la ecuación utilizada en una anterior al ulaciones pero modi ed por disipativo ma- trix) en forma: W (­) = exp 1 - cos (-) 2n + . (A1) Es fácil ver la suma sobre n es symmetri cuando nosotros hange n → n. La clave para obtener la solución es a al la suma o la integral en el marco de la exposición nent en Eq. (A1). Ser ause vamos a investigar propiedades de baja temperatura de la diversión orrelation ciones de la Unión Europea Podría escribir d. En eso ase (obtención librado de abdominales) para un gran valor W (­) = exp 1 - co (-) •2 + α1 exp −2γEJ α1JkEC )2EJ/α1Jk donde γ = 0,57721 es el Euler-Mas heroni Onstant. Finalmente, después de la transformación de Fourier vemos que orrelator W­1 (­m) ­ m2EJ/α1Jmax­1 a temperatura cero α1 ≥ 2EJ/Jmax. Cantidad Jmax/EJ significa el valor máximo del Jk whi h di ers para varios latti es (véase el cuadro I). Apéndice B: PARAMETRO DE DISIPACIÓN PARA CONSIDERANDO LAS LATICES En este apéndice damos la explicación las fórmulas para el Parámetro de disipación dis ussed in Se . II y III. 1. Latti cuadrado e η (α0 + 4α1) α0 + 4α1 donde K (x) = ∫ /2 1− x2 sin2 , (B2) es la elipti integral del tipo rst y la etapa de la unidad diversión ión es de la siguiente manera: (x) = 1 para x > 0 0 para x ≤ 0 . (B3) Para valores pequeños de la α1 una disipación de escritura pa- rameter para latti cuadrado e como: α = α0 + 3α1 − , (B4) para los valores de valores grandes del α1: 3− 2 2. Lati triangular e 1 = K (Ł) (B6) donde (2t+3) 1/2 − 1 [ ]3/2 [ (2t+3) 4 (2t+3) (2t+3) 1/2 − 1 [ ]3/2 [ (2t+3) con t = (α0 + 6α1) /2α1. 3. Cariño. omb latti e 1H = α0 + 3α1 K () (B9) donde (2t− 1)3/2 (2t+ 3)1/2 (B10) 41/4 (2t) (2t− 1)3/2 (2t+ 3)1/2 (B11) con t = (α0 + 3α1) /2α1. Apéndice C: DOS DE LAS LATICES CONSIDERADAS En este apéndice damos la explicación las fórmulas para el densidad de los estados ussed in Se . II y III. 1. Latti cuadrado e ­ (­) = , (C1) 2. Lati triangular e () = ( − 3) donde 3 + 2 3 + 2 − 2 ( + 1) 3 + 2 + (+ + 1) (+ − 3), (C3) 1 ° = 4 3 + 2 ( + 1) 3 + 2 3 + 2 − 2 [­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) () (—) () () (—) () () (. () () () () () () () (—) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()(C4) 3. Cariño. omb latti e H () = 4 3 - 4 â € 2 . (C5) Ele troni Dirección: polak si a. Ib.na. nr.it Ele troni Dirección: kope int.pan.wro .pl Simánek, Comunidad de Estado Sólido. 31, 419 (1979). S. Donia H, Phys. Rev. B 24, 5063 (1981). D. M. Wood y D. Stroud, Phys. Rev. B 25, 1600 (1982). T. K. Kope¢ y J. V. José, Phys. Rev. B 63, 064504 (2001). J. V. José, Phys. Rev. B 29, R2836 (1984); L. Ja obs, J. V. José y M. A. Novotny, Phys. Rev. Lett. 53, 2177 (1984). T. K. Kope¢ y T. P. Polak, Phys. Rev. B 66, 094517 (2002). V. Ambegaokar, U. E kern y G. S hön, Phys. Rev. Lett. 48, 1745 (1982). R. F. Voss y R. A. Webb, Phys. Rev B 25, R3446 (1982). B. J. van Wees, H. S. J. van der Zant, y J. E. Mooij, Phys. Rev. B 35, R7291 (1987). H. S. J. van der Zant, W. J. Elion, L. J. Geerligs y J. E. Mooij, Phys. Rev. B 54, 10081 (1996). S. Chakravarty, G. L. Ingold, S. Kivelson, y A. Luther, Phys. Rev. Lett. 56, 2303 (1986); S. Chakravarty, G. L. Ingold, S. Kivelson, y G. Zimányi, Phys. Rev. B 37, 3283 (1988). M. P. A. Fisher, Phys. Rev. Lett. 57, 885 (1986); S. Chakravarty, S. 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Substrate-induced bandgap in graphene on hexagonal boron nitride

Bandgap inducido por sustrato en grafeno sobre nitruro de boro hexagonal Gianluca Giovannetti1,2, Petr A. Khomyakov2, Geert Brocks2, Paul J. Kelly2 y Jeroen van den Brink1 Instituut-Lorentz para Física Teórica, Universiteit Leiden, P.O. Box 9506, 2300 RA Leiden, Países Bajos Facultad de Ciencia y Tecnología e Instituto de Nanotecnología MESA+, Universidad de Twente, P.O. Box 217, 7500 AE Enschede, Países Bajos. (Fecha: 22 de octubre de 2018) Determinamos la estructura electrónica de una hoja de grafeno en la parte superior de una celosía hexagonal Sustrato de nitruro de boro (h-BN) utilizando cálculos funcionales de densidad ab initio. El más estable configuración tiene un átomo de carbono en la parte superior de un átomo de boro, el otro centrado sobre un anillo BN. La inequivalencia resultante de los dos sitios de carbono conduce a la apertura de una brecha de 53 meV en el Puntos dirac del grafeno y a las masas finitas para los fermiones dirac. Orientaciones alternativas de la La hoja de grafeno en el sustrato de BN genera huecos de banda y masas similares. La brecha de banda inducida por la superficie de BN puede mejorar en gran medida las características de pellizco a temperatura ambiente de la base de grafeno transistores de efecto campo. Números PACS: 71.20.-b, 73.22.-f, 73.20.-r Introducción Hace menos de 3 años fue descubierto que el grafeno – una hoja de carbono de un átomo de espesor – puede ser depositada en una superficie de óxido de silicio por micromecánica escote de grafito de alta calidad [1]. Los copos de grafeno son micrómetros de tamaño, lo suficientemente grandes tactos unidos para construir transistores de efecto de campo (FETs). Mediciones de transporte eléctrico aclaradas que a temperatura ambiente el grafeno tiene un electrón mo- capacidad de al menos 10 000 cm2/Vs, un valor diez veces superior que la movilidad de las obleas de silicio utilizadas en microprocesamientos sors [1, 2, 3]. La alta movilidad no se ve muy afectada por un exceso de electrones o agujeros inducidos por el campo. Una hoja de grafeno tiene una estructura de panal de miel con dos átomos cristalográficamente equivalentes en su unidad primitiva Celda. Dos bandas con carácter pz pertenecientes a diferentes representaciones irreductibles cruzan precisamente en el Fermi energía en los puntos K y K ′ en el espacio de impulso. As un grafeno deshecho resultado es un semiconductor de cero gap. La dispersión lineal de las bandas resulta en cuasiparti- con masa cero, los llamados fermiones Dirac. Energias cerca del punto de degeneración la forma de estados electrónicos perfectos conos Dirac. La ausencia de una brecha, previniendo los fermiones Dirac de alcanzar una masa finita y com- el uso de grafeno en dispositivos electrónicos [4], relacionado con la equivalencia de los dos sublattices de carbono de grafeno. La naturaleza relativista de los fermiones Dirac da subir a fenómenos contraintuitivos. Uno, conocido como el Klein paradoja, es que los electrones relativistas exhiben por- la transmisión a través de una alta y amplia barreras tentiales. Este efecto está relacionado con un no deseado características de las FET de grafeno, a saber, que pellizque-off está lejos de completarse [5]. Si se aplica una tensión de puerta para que los agujeros o electrones se inyecten en el hoja de grafeno, la FET está abierta y su conductividad Alto. Uno puede entonces tratar de bloquear la corriente por tun- el voltaje de la puerta para mover la capa de grafeno hacia el punto de neutralidad de la carga donde la energía Fermi co- incide con los puntos Dirac; a esta energía la densidad de los estados desaparece y nominalmente no hay portadores presente. Sin embargo, resulta que a pesar de la falta de estados electrónicos la conductividad no desaparece en este caso. Por el contrario, asume el valor mínimo min = 4e donde h es constante de Planck y e la unidad de carga. Por lo tanto, incluso cuando se pellizcó hasta su máximo la FET todavía soporta una corriente eléctrica apreciable, que es intrínsecas al grafeno y relacionadas con el hecho de que Los fermiones dirac no tienen masa [2, 3, 4, 5, 6, 7]. Induciendo una brecha El pobre pellizco sólo puede ser reme- murió generando una masa para los fermiones Dirac. A existen muchas posibilidades de hacerlo. Uno es usar grafeno de dos capas que tendrá un espacio si la parte superior y las capas inferiores se hacen inequivalentes, por ejemplo por ap- la aplicación de un potencial de sesgo [5]. Otro es el uso del grafeno nanoribbons, donde las brechas surgen de la sión de los electrones en la cinta. El tamaño de la brecha entonces depende de la estructura detallada de la cinta bordes [8, 9, 10]. Investigamos una posibilidad alternativa y considerar el grafeno en un sustrato que hace que los dos Sublatices de carbono inequivalentes. Esto rompe el sublat... simetría directa, generando una simetría intrínseca y robusta masa para los fermiones Dirac. Como sustrato, el nitruro de boro hexagonal (h-BN) es un elección adecuada [11]. Esta amplia brecha aislante tiene una capa estructura muy similar a la del grafeno, pero los dos los átomos en la célula de la unidad son químicamente inequivalentes. Colocado en la parte superior de h-BN los dos sublattices de carbono del grafeno se vuelven inequivalentes como resultado de la interacción con el sustrato. Nuestros cálculos de la estructura de la banda en el La aproximación de la densidad local muestra que una brecha de al menos 53 meV – una energía aproximadamente el doble de grande que kBT en temperatura ambiente – se induce. Esto se puede comparar a grafeno en una superficie metálica de cobre (111) donde brecha se encuentra para ser mucho más pequeño e incluso puede desaparecer, dependiendo de la orientación de la hoja de grafeno. Estructura estable El desajuste celosía del grafeno con http://arxiv.org/abs/0704.1994v2 boro carbonnitrógeno FIG. 1: (Color online) Las tres orientaciones inequivalentes de grafeno de una sola capa en una superficie h-BN. Izquierda: vista lateral, a la derecha: topview. El nitruro de boro hexagonal es inferior al 2%. Como en grafito, la interacción entre las capas adyacentes de BN es Debil. Las capas h-BN tienen un apilamiento AA′: el boro los átomos de la capa A están directamente por encima de los átomos de nitrógeno en la capa A′. Dentro de la aproximación de densidad local (LDA) separación mínima de energía de las capas adyacentes se encuentra en 3.24 Å, que está razonablemente cerca de la valor experimental de 3,33 Å. Debido a la generalización gra... los cálculos de aproximación de dients (GGA) dan esencialmente sin conexión entre aviones BN y conduce a un exceso de grandes valores de c [12], optamos por la estructura electrónica cal- culaciones dentro de la LDA. Electrónicamente, h-BN es un amplio Aislador de brecha, con una brecha experimental de 5,97 eV [13]. Esta brecha está subestimada por alrededor del 33% en LDA. A corrección GW cuasi-partícula en la parte superior de la LDA trae en un acuerdo muy estrecho con el experimento [14, 15] y reinterpreta el experimento en términos de una brecha indirecta. Por la capa de grafeno compuesto en la parte superior del sistema h-BN, nosotros utilizar el parámetro de celosía LDA para el grafeno, a = 2.445 Sobre la base de esta información estructural, concluimos: estructura una célula unitaria con 4 capas de h-BN y un grafeno 0,25 0,15 0,05 −0,05 3.9 3,7 3,5 3,3 3,1 2,9 2,7 2,5 d ( °A) FIG. 2: (Color en línea) Energía total E de grafeno en h-BN superficie para las tres configuraciones (a), (b) y (c) la distancia entre la hoja de grafeno y la parte superior Capa h-BN. capa superior. Representamos el vacío sobre el grafeno con un espacio vacío de 12 a 15 Å. Los resultados a presentar a continuación convergen rápidamente en función del número de h- Capas BN y la anchura del espacio de vacío, consistentes con interacciones entre capas débiles. No hay diferencias significativas. por lo que en los resultados finales se encontraron 6 capas de h-BN fueron utilizados. La periodicidad en el plano es la de un solo hoja de grafeno con una célula de unidad hexagonal que contiene dos átomos de carbono. Consideramos que tres orientaciones inequivalentes... ciones de la hoja de grafeno con respecto a la h-BN, véase Fig. 1: - la configuración (a) con un carbono sobre B, el otro carbono sobre N. - la configuración (b) con un carbono sobre N, el otro carbono centrado sobre un hexágono h-BN. - la configuración (c) con un carbono sobre B, el otro carbono centrado sobre un hexágono h-BN. Los cálculos auto-consistentes se realizaron con el paquete de simulación de Viena Ab-initio (VASP) [16, 17] utilizando una base de ondas planas y un corte de energía cinética de 600 eV. Los resúmenes de la zona de Brillouin (BZ) fueron: con el método del tetraedro y un 36× 36× 1 la cuadrícula que incluía los puntos ­, K y M. Un dipolo corrección evita interacciones entre imágenes periódicas de la losa a lo largo de la dirección z [18]. Se muestran las energías totales de las tres configuraciones en función de la distancia entre la superficie h-BN y la hoja de grafeno en la Fig. 2. Para todas las distancias, el configuración de menor energía es (c) con un carbono en la parte superior de un átomo de boro y el otro sobre un anillo h-BN. Los separación de equilibrio de 3,22 Å para la configuración (c) es menos de 3,50 Å para la configuración (a) y 3,40 Å para configuración (b). Para las tres configuraciones la energía paisaje es visto como muy plano alrededor de la energía min- imum. Aunque la simetría no requiere inequivalente Bandas DOS C B N K M FIG. 3: (Color en línea) La estructura de la banda a lo largo de la K y KM direcciones en el espacio recíproco, densidades totales y proyectadas de los estados (DOS) para la estructura relajada (c) del grafeno en h- BN. Se muestran los DOS proyectados de carbono, boro y nitrógeno, con una proyección en los estados p en el plano (rojo/gris grueso líneas) y fuera del plano (líneas azules/grises delgadas). El inset es una ampliación de las bandas alrededor del punto K, donde el Se abre una brecha. átomos de carbono que deben ser equidistantes de la capa BN, en practicar la rigidez de la hoja de grafeno previene cualquier un pandeo significativo. Estructura de banda Con las estructuras estables en la mano, calculamos las estructuras de banda electrónica correspondientes y densidades proyectadas de los estados que se muestran en la Fig. 3 para la configuración (c). Para las bandas derivadas de h-BN un hueco de 4.7 eV en el punto K se encuentra, que es casi idéntico al valor de brecha LDA en este punto particular de la Zona de louin encontrada para el volumen h-BN [15]. Dentro de este boro brecha de nitruro, las bandas tienen carácter de carbono como esperada sobre la base de las interacciones entre capas débiles tanto en h-BN a granel como en grafito. En el electrón-voltio escala de la Fig. 3 aparece el cono Dirac alrededor del punto K se conservará. Sin embargo, haciendo zoom en ese punto en el BZ (ver inset) revela que se abre una brecha de 53 meV y la dispersión alrededor de los puntos Dirac es cuadrática. Los huecos de banda para las tres configuraciones diferentes se muestran en la Fig. 4 en función de la distancia entre la hoja de grafeno y la superficie de h-BN. Disminución Esta distancia aumenta la distancia, como se espera para un phys- Imagen ica basada en un sustrato que rompe la simetría potencial. Los huecos de banda que se abren en el equi- las geometrías de librio de las configuraciones (a) y (b) son 56 meV y 46 meV, respectivamente, que son ble a la brecha de banda obtenida para la configuración (c). Los mayor brecha se encuentra para la (a) configuración con una átomo de carbono por encima de un átomo de boro y el otro por encima un átomo de nitrógeno. Una vez más, esto se espera para la brecha abierta- ing inducidos por romper la simetría de los dos carbonos FIG. 4: (Color en línea) Los valores de las brechas para los tres configuraciones (a), (b) y (c) en función de la distancia entre la hoja de grafeno y la capa superior de h-BN. Los Las separaciones de equilibrio calculadas se indican por vertical flechas. átomos. Dado que la LDA subestima generalmente la brecha, la los valores que obtenemos ponen un límite más bajo en el inducido brechas de banda, que por lo tanto nos encontramos con que son significativamente más grandes que kBT a temperatura ambiente. Aunque el desfase de celosía entre grafeno y Las constantes de h-BN son inferiores al 2% y pueden descuidarse en una primera aproximación, en un sistema real inconmensurable ity ocurrirá y esperamos el fuerte enlace en el plano- el grafeno y h-BN para prevalecer sobre los débiles enlace inter-plano. Para el grafeno en Ir(111) donde el El desfase entre retículas es del 10%, los patrones de Moiré han sido ob- servida en imágenes STM [19]. Allí, los primeros-principios calcu- las regiones en las que se pueden identificar las regiones en las que grafeno estuvo en el registro con el sustrato subyacente en configuraciones de alta simetría análogas a las (a), (b) y (c) configuraciones examinadas anteriormente, y transición regiones con poca o ninguna simetría [19]. El grafeno la separación del sustrato variaba a través de la superficie conduce a la flexión de la hoja de grafeno. Si pudiéramos... tener en cuenta el desfase entre celosías en un gran super- de una manera similar, algunas áreas de grafeno serían forzada a las configuraciones de energía superior (a) y (b) con separaciones más grandes al sustrato BN. Sin embargo, los huecos de banda correspondientes son todos del orden de la 50 meV que encontramos para la menor energía (c) configuración, o Más alto. Parece razonable llegar a la conclusión de que la amplia ening resultante del desajuste de celosía no reducirá el desfase sustancial. Cu(111) sustrato La situación cambia notablemente para grafeno en una superficie Cu(111). La capa superficial de cobre forma una celosía triangular, que coincide con la del grafeno a mejor que 4%. Consideramos dos configuraciones de grafeno en Cu(111). O el centro de cada coche... bon hexágono está en la parte superior de un átomo Cu, que llamamos el configuración simétrica en la siguiente, o en cada seg- átomo de carbono está en la parte superior de un átomo de Cu, que llamamos la configuración asimétrica. Para el sistema asimétrico y configuraciones simétricas, cálculos LDA rendimiento equi- Separaciones de líbrico de 3,3 Å y 3,4 Å, que son ble a los de grafeno en h-BN (Fig. 2). El total diferencia de energía entre las dos configuraciones es sólo alrededor de 9 meV. En la configuración asimétrica un pequeño se abre un espacio de 11 meV en la estructura de la banda de grafeno, mientras que en la configuración simétrica la brecha permanece muy cerca de cero. En ambos casos encontramos muy poca mezcla... Entre los estados de cobre y carbono. La diferencia entre las diferencias pueden explicarse por el hecho de que el la configuración simétrica preserva la simetría de grafeno- intentar en la capa superior de la superficie Cu, mientras que la simetría está roto en la configuración asimétrica. El efecto de Esta ruptura de simetría es pequeña, sin embargo, y la re- la brecha de la banda es mucho más pequeña que la inducida por h-BN y comparable al ensanchamiento térmico típico en experimentos [2, 4]. Teniendo en cuenta la grafeno-Cu desajuste de celosía en, por ejemplo, una super celda el cálculo [19] no cambiará esta conclusión. Para ambas configuraciones de grafeno en Cu, una carga reordenamiento en la interfaz se encuentra que mueve el Nivel de Fermi lejos de la brecha inducida [20] por mucho más que la magnitud de la brecha misma. Esto está en contraste con un sustrato h-BN, donde el nivel de Fermi re- red en la brecha inducida. Alrededor del nivel de Fermi de grafeno en Cu la dispersión de la banda sigue siendo lineal. Con- secuencialmente, las propiedades características del grafeno que debe conservarse el resultado de la dispersión lineal. In Por ejemplo, experimentos de túnel que requieren adsorp- ión de grafeno en un sustrato metálico (Cu) [21] uno debe seguir siendo capaz de observar los valores lineales intrínsecos estructura tronica del grafeno cerca de la energía Fermi, pero ya no en los puntos de Dirac. Conclusiones Nuestros cálculos funcionales de densidad muestran que los átomos de carbono de una hoja de grafeno preferentemente se orientan directamente por encima de los átomos de boro de un Sustrato de h-BN, con un sublattice de carbono por encima del boro sublattice y el otro carbono centrado por encima de un h- Anillo BN. Aunque el grafeno sólo interactúa débilmente con el sustrato h-BN, incluso cuando unos pocos angstroms lejos la presencia de h-BN induce una brecha de banda de 53 meV, generar una masa efectiva para los fermiones Dirac de 4.7·10−3 yo, donde yo es la masa de electrones. La brecha que abre en los puntos de Dirac es considerablemente más grande que el uno para el grafeno en Cu(111). Otras cuasipartículas interacciones, por ejemplo, tenidas en cuenta en aGW , aumentará el valor de la brecha. La apertura de una brecha de banda en grafeno en h-BN ofrece el potencial mejorar las características de las TFE basadas en grafeno, disminución de la conducta mínima por órdenes de magni- Tude. Otras características interesantes como el grado del valle libertad, que está relacionada con la degeneración de la K y K ′ puntos en la zona de Brillouin, permanecen intactos y todavía puede utilizarse para controlar un dispositivo electrónico [22]. También el efecto de Hall cuántico medio-integer – un carácter peculiar- teristica del grafeno – permanece inalterada [2, 23, 24]. Este trabajo fue apoyado financieramente por “NanoNed”, un programa de nanotecnología del Ministerio neerlandés de Asuntos económicos y por la “Organisatie Nederlandse” voor Wetenschappelijk Onderzoek (NWO)” a través de la re- programas de búsqueda de “Chemische Wetenschappen (CW)” y el “Stichting voor Fundamenteeel Onderzoek der Materie (FOM)”. Parte de los cálculos se realizaron con una concesión de tiempo de la computadora de la “Stichting Na- tionale Computerfaciliteiten (NCF)”. [1] K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, y A. A. Firsov, Science 306, 666 (2004). [2] K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, M. I. Katsnelson, I. V. Grigorieva, S. V. Dubonos, y A. A. Firsov, Nature 438, 197 (2005). [3] Y. B. Zhang, Y. W. Tan, H. L. Stormer y P. Kim, Nature 438, 201 (2005). [4] A. K. Geim y K. S. Novoselov, Nature Materials 6, 183 (2007). [5] M. I. Katsnelson, K. S. Novoselov, y A. K. Geim, Na- ión Física 2, 620 (2006). [6] H. B. Heersche, P. Jarillo-Herrero, J. B. Oostinga, L. M. K. Vandersypen, y A. F. Morpurgo, Nature 446, 56 (2007). [7] J. van den Brink, Nanotechnology Nature, 2, 199 (2007). [8] Y. W. Son, M. L. Cohen, y S. G. Louie, Phys. Rev. Lett. 97, 216803 (2006). [9] M. Y. Han, B. Ozyilmaz, Y. Zhang, y P. Kim, cond- mat/0702511. [10] Y. M. L. Z. Chen, R. J. Rooks, y P. Avouris, cond- mat/0701599. [11] K. Suenaga, C. Colliex, N. Demoncy, A. Loiseau, H. Pas- y F. Willaime, Science 278, 653 (1997). [12] G. Kern, G. Kresse, y J. Hafner, Phys. Rev. B 59, 8551 (1999). [13] K. Watanabe, T. Taniguchi, y H. Kanda, Nature Ma- terials 3, 404 (2004). [14] X. Blase, A. Rubio, S. G. Louie, y M. L. Cohen, Phys. Rev. B 51, 6868 (1995). [15] B. Arnaud, S. Lebegue, P. Rabiller, y M. Alouani, Phys. Rev. Lett. 96, 026402 (2006). [16] G. Kresse y J. Furthmuller, Phys. Rev. B 54, 11169 (1996). [17] G. Kresse y J. Furthmuller, Comp. Mat. Sci. 6, 15 (1996). [18] J. Neugebauer y M. Scheffler, Phys. Rev. B 46, 16067 (1992). [19] A. T. N’Diaye, S. Bleikamp, P. J. Feibelman, y T. Michely, Phys. Rev. Lett. 97, 215501 (2006). [20] G. Giovannetti, P. A. Khomyakov, G. Brocks, J. van den Brink, P.J. Kelly, se publicará. [21] C. Oshima y A. Nagashima, J. Phys.: Condens. Mat- ter. 9, 1 (1997). [22] A. Rycerz, J. Tworzydlo, y C. W. J. Beenakker, Nature Física 3, 172 (2007). [23] N.M.R. Peres, F. Guinea y A. H. Castro Neto, Phys. Rev. B 73, 125411 (2006). [24] V. P. Gusynin y S. G. Sharapov, Phys. Rev. Lett. 95, 146801 (2005).

Determinamos la estructura electrónica de una hoja de grafeno en la parte superior de una Sustrato de nitruro de boro hexagonal (h-BN) emparejado con celosía utilizando ab initio cálculos funcionales de densidad. La configuración más estable tiene un carbono átomo en la parte superior de un átomo de boro, el otro centrado sobre un anillo BN. El resultado inequivalencia de los dos sitios de carbono conduce a la apertura de una brecha de 53 meV en los puntos Dirac de grafeno y a las masas finitas para los fermiones Dirac. Las orientaciones alternativas de la hoja de grafeno en el sustrato de BN generan brechas de banda y masas similares. La brecha de banda inducida por la superficie de BN puede mejorar en gran medida las características de pellizco a temperatura ambiente a base de grafeno transistores de efecto campo.

Introducción Hace menos de 3 años fue descubierto que el grafeno – una hoja de carbono de un átomo de espesor – puede ser depositada en una superficie de óxido de silicio por micromecánica escote de grafito de alta calidad [1]. Los copos de grafeno son micrómetros de tamaño, lo suficientemente grandes tactos unidos para construir transistores de efecto de campo (FETs). Mediciones de transporte eléctrico aclaradas que a temperatura ambiente el grafeno tiene un electrón mo- capacidad de al menos 10 000 cm2/Vs, un valor diez veces superior que la movilidad de las obleas de silicio utilizadas en microprocesamientos sors [1, 2, 3]. La alta movilidad no se ve muy afectada por un exceso de electrones o agujeros inducidos por el campo. Una hoja de grafeno tiene una estructura de panal de miel con dos átomos cristalográficamente equivalentes en su unidad primitiva Celda. Dos bandas con carácter pz pertenecientes a diferentes representaciones irreductibles cruzan precisamente en el Fermi energía en los puntos K y K ′ en el espacio de impulso. As un grafeno deshecho resultado es un semiconductor de cero gap. La dispersión lineal de las bandas resulta en cuasiparti- con masa cero, los llamados fermiones Dirac. Energias cerca del punto de degeneración la forma de estados electrónicos perfectos conos Dirac. La ausencia de una brecha, previniendo los fermiones Dirac de alcanzar una masa finita y com- el uso de grafeno en dispositivos electrónicos [4], relacionado con la equivalencia de los dos sublattices de carbono de grafeno. La naturaleza relativista de los fermiones Dirac da subir a fenómenos contraintuitivos. Uno, conocido como el Klein paradoja, es que los electrones relativistas exhiben por- la transmisión a través de una alta y amplia barreras tentiales. Este efecto está relacionado con un no deseado características de las FET de grafeno, a saber, que pellizque-off está lejos de completarse [5]. Si se aplica una tensión de puerta para que los agujeros o electrones se inyecten en el hoja de grafeno, la FET está abierta y su conductividad Alto. Uno puede entonces tratar de bloquear la corriente por tun- el voltaje de la puerta para mover la capa de grafeno hacia el punto de neutralidad de la carga donde la energía Fermi co- incide con los puntos Dirac; a esta energía la densidad de los estados desaparece y nominalmente no hay portadores presente. Sin embargo, resulta que a pesar de la falta de estados electrónicos la conductividad no desaparece en este caso. Por el contrario, asume el valor mínimo min = 4e donde h es constante de Planck y e la unidad de carga. Por lo tanto, incluso cuando se pellizcó hasta su máximo la FET todavía soporta una corriente eléctrica apreciable, que es intrínsecas al grafeno y relacionadas con el hecho de que Los fermiones dirac no tienen masa [2, 3, 4, 5, 6, 7]. Induciendo una brecha El pobre pellizco sólo puede ser reme- murió generando una masa para los fermiones Dirac. A existen muchas posibilidades de hacerlo. Uno es usar grafeno de dos capas que tendrá un espacio si la parte superior y las capas inferiores se hacen inequivalentes, por ejemplo por ap- la aplicación de un potencial de sesgo [5]. Otro es el uso del grafeno nanoribbons, donde las brechas surgen de la sión de los electrones en la cinta. El tamaño de la brecha entonces depende de la estructura detallada de la cinta bordes [8, 9, 10]. Investigamos una posibilidad alternativa y considerar el grafeno en un sustrato que hace que los dos Sublatices de carbono inequivalentes. Esto rompe el sublat... simetría directa, generando una simetría intrínseca y robusta masa para los fermiones Dirac. Como sustrato, el nitruro de boro hexagonal (h-BN) es un elección adecuada [11]. Esta amplia brecha aislante tiene una capa estructura muy similar a la del grafeno, pero los dos los átomos en la célula de la unidad son químicamente inequivalentes. Colocado en la parte superior de h-BN los dos sublattices de carbono del grafeno se vuelven inequivalentes como resultado de la interacción con el sustrato. Nuestros cálculos de la estructura de la banda en el La aproximación de la densidad local muestra que una brecha de al menos 53 meV – una energía aproximadamente el doble de grande que kBT en temperatura ambiente – se induce. Esto se puede comparar a grafeno en una superficie metálica de cobre (111) donde brecha se encuentra para ser mucho más pequeño e incluso puede desaparecer, dependiendo de la orientación de la hoja de grafeno. Estructura estable El desajuste celosía del grafeno con http://arxiv.org/abs/0704.1994v2 boro carbonnitrógeno FIG. 1: (Color online) Las tres orientaciones inequivalentes de grafeno de una sola capa en una superficie h-BN. Izquierda: vista lateral, a la derecha: topview. El nitruro de boro hexagonal es inferior al 2%. Como en grafito, la interacción entre las capas adyacentes de BN es Debil. Las capas h-BN tienen un apilamiento AA′: el boro los átomos de la capa A están directamente por encima de los átomos de nitrógeno en la capa A′. Dentro de la aproximación de densidad local (LDA) separación mínima de energía de las capas adyacentes se encuentra en 3.24 Å, que está razonablemente cerca de la valor experimental de 3,33 Å. Debido a la generalización gra... los cálculos de aproximación de dients (GGA) dan esencialmente sin conexión entre aviones BN y conduce a un exceso de grandes valores de c [12], optamos por la estructura electrónica cal- culaciones dentro de la LDA. Electrónicamente, h-BN es un amplio Aislador de brecha, con una brecha experimental de 5,97 eV [13]. Esta brecha está subestimada por alrededor del 33% en LDA. A corrección GW cuasi-partícula en la parte superior de la LDA trae en un acuerdo muy estrecho con el experimento [14, 15] y reinterpreta el experimento en términos de una brecha indirecta. Por la capa de grafeno compuesto en la parte superior del sistema h-BN, nosotros utilizar el parámetro de celosía LDA para el grafeno, a = 2.445 Sobre la base de esta información estructural, concluimos: estructura una célula unitaria con 4 capas de h-BN y un grafeno 0,25 0,15 0,05 −0,05 3.9 3,7 3,5 3,3 3,1 2,9 2,7 2,5 d ( °A) FIG. 2: (Color en línea) Energía total E de grafeno en h-BN superficie para las tres configuraciones (a), (b) y (c) la distancia entre la hoja de grafeno y la parte superior Capa h-BN. capa superior. Representamos el vacío sobre el grafeno con un espacio vacío de 12 a 15 Å. Los resultados a presentar a continuación convergen rápidamente en función del número de h- Capas BN y la anchura del espacio de vacío, consistentes con interacciones entre capas débiles. No hay diferencias significativas. por lo que en los resultados finales se encontraron 6 capas de h-BN fueron utilizados. La periodicidad en el plano es la de un solo hoja de grafeno con una célula de unidad hexagonal que contiene dos átomos de carbono. Consideramos que tres orientaciones inequivalentes... ciones de la hoja de grafeno con respecto a la h-BN, véase Fig. 1: - la configuración (a) con un carbono sobre B, el otro carbono sobre N. - la configuración (b) con un carbono sobre N, el otro carbono centrado sobre un hexágono h-BN. - la configuración (c) con un carbono sobre B, el otro carbono centrado sobre un hexágono h-BN. Los cálculos auto-consistentes se realizaron con el paquete de simulación de Viena Ab-initio (VASP) [16, 17] utilizando una base de ondas planas y un corte de energía cinética de 600 eV. Los resúmenes de la zona de Brillouin (BZ) fueron: con el método del tetraedro y un 36× 36× 1 la cuadrícula que incluía los puntos ­, K y M. Un dipolo corrección evita interacciones entre imágenes periódicas de la losa a lo largo de la dirección z [18]. Se muestran las energías totales de las tres configuraciones en función de la distancia entre la superficie h-BN y la hoja de grafeno en la Fig. 2. Para todas las distancias, el configuración de menor energía es (c) con un carbono en la parte superior de un átomo de boro y el otro sobre un anillo h-BN. Los separación de equilibrio de 3,22 Å para la configuración (c) es menos de 3,50 Å para la configuración (a) y 3,40 Å para configuración (b). Para las tres configuraciones la energía paisaje es visto como muy plano alrededor de la energía min- imum. Aunque la simetría no requiere inequivalente Bandas DOS C B N K M FIG. 3: (Color en línea) La estructura de la banda a lo largo de la K y KM direcciones en el espacio recíproco, densidades totales y proyectadas de los estados (DOS) para la estructura relajada (c) del grafeno en h- BN. Se muestran los DOS proyectados de carbono, boro y nitrógeno, con una proyección en los estados p en el plano (rojo/gris grueso líneas) y fuera del plano (líneas azules/grises delgadas). El inset es una ampliación de las bandas alrededor del punto K, donde el Se abre una brecha. átomos de carbono que deben ser equidistantes de la capa BN, en practicar la rigidez de la hoja de grafeno previene cualquier un pandeo significativo. Estructura de banda Con las estructuras estables en la mano, calculamos las estructuras de banda electrónica correspondientes y densidades proyectadas de los estados que se muestran en la Fig. 3 para la configuración (c). Para las bandas derivadas de h-BN un hueco de 4.7 eV en el punto K se encuentra, que es casi idéntico al valor de brecha LDA en este punto particular de la Zona de louin encontrada para el volumen h-BN [15]. Dentro de este boro brecha de nitruro, las bandas tienen carácter de carbono como esperada sobre la base de las interacciones entre capas débiles tanto en h-BN a granel como en grafito. En el electrón-voltio escala de la Fig. 3 aparece el cono Dirac alrededor del punto K se conservará. Sin embargo, haciendo zoom en ese punto en el BZ (ver inset) revela que se abre una brecha de 53 meV y la dispersión alrededor de los puntos Dirac es cuadrática. Los huecos de banda para las tres configuraciones diferentes se muestran en la Fig. 4 en función de la distancia entre la hoja de grafeno y la superficie de h-BN. Disminución Esta distancia aumenta la distancia, como se espera para un phys- Imagen ica basada en un sustrato que rompe la simetría potencial. Los huecos de banda que se abren en el equi- las geometrías de librio de las configuraciones (a) y (b) son 56 meV y 46 meV, respectivamente, que son ble a la brecha de banda obtenida para la configuración (c). Los mayor brecha se encuentra para la (a) configuración con una átomo de carbono por encima de un átomo de boro y el otro por encima un átomo de nitrógeno. Una vez más, esto se espera para la brecha abierta- ing inducidos por romper la simetría de los dos carbonos FIG. 4: (Color en línea) Los valores de las brechas para los tres configuraciones (a), (b) y (c) en función de la distancia entre la hoja de grafeno y la capa superior de h-BN. Los Las separaciones de equilibrio calculadas se indican por vertical flechas. átomos. Dado que la LDA subestima generalmente la brecha, la los valores que obtenemos ponen un límite más bajo en el inducido brechas de banda, que por lo tanto nos encontramos con que son significativamente más grandes que kBT a temperatura ambiente. Aunque el desfase de celosía entre grafeno y Las constantes de h-BN son inferiores al 2% y pueden descuidarse en una primera aproximación, en un sistema real inconmensurable ity ocurrirá y esperamos el fuerte enlace en el plano- el grafeno y h-BN para prevalecer sobre los débiles enlace inter-plano. Para el grafeno en Ir(111) donde el El desfase entre retículas es del 10%, los patrones de Moiré han sido ob- servida en imágenes STM [19]. Allí, los primeros-principios calcu- las regiones en las que se pueden identificar las regiones en las que grafeno estuvo en el registro con el sustrato subyacente en configuraciones de alta simetría análogas a las (a), (b) y (c) configuraciones examinadas anteriormente, y transición regiones con poca o ninguna simetría [19]. El grafeno la separación del sustrato variaba a través de la superficie conduce a la flexión de la hoja de grafeno. Si pudiéramos... tener en cuenta el desfase entre celosías en un gran super- de una manera similar, algunas áreas de grafeno serían forzada a las configuraciones de energía superior (a) y (b) con separaciones más grandes al sustrato BN. Sin embargo, los huecos de banda correspondientes son todos del orden de la 50 meV que encontramos para la menor energía (c) configuración, o Más alto. Parece razonable llegar a la conclusión de que la amplia ening resultante del desajuste de celosía no reducirá el desfase sustancial. Cu(111) sustrato La situación cambia notablemente para grafeno en una superficie Cu(111). La capa superficial de cobre forma una celosía triangular, que coincide con la del grafeno a mejor que 4%. Consideramos dos configuraciones de grafeno en Cu(111). O el centro de cada coche... bon hexágono está en la parte superior de un átomo Cu, que llamamos el configuración simétrica en la siguiente, o en cada seg- átomo de carbono está en la parte superior de un átomo de Cu, que llamamos la configuración asimétrica. Para el sistema asimétrico y configuraciones simétricas, cálculos LDA rendimiento equi- Separaciones de líbrico de 3,3 Å y 3,4 Å, que son ble a los de grafeno en h-BN (Fig. 2). El total diferencia de energía entre las dos configuraciones es sólo alrededor de 9 meV. En la configuración asimétrica un pequeño se abre un espacio de 11 meV en la estructura de la banda de grafeno, mientras que en la configuración simétrica la brecha permanece muy cerca de cero. En ambos casos encontramos muy poca mezcla... Entre los estados de cobre y carbono. La diferencia entre las diferencias pueden explicarse por el hecho de que el la configuración simétrica preserva la simetría de grafeno- intentar en la capa superior de la superficie Cu, mientras que la simetría está roto en la configuración asimétrica. El efecto de Esta ruptura de simetría es pequeña, sin embargo, y la re- la brecha de la banda es mucho más pequeña que la inducida por h-BN y comparable al ensanchamiento térmico típico en experimentos [2, 4]. Teniendo en cuenta la grafeno-Cu desajuste de celosía en, por ejemplo, una super celda el cálculo [19] no cambiará esta conclusión. Para ambas configuraciones de grafeno en Cu, una carga reordenamiento en la interfaz se encuentra que mueve el Nivel de Fermi lejos de la brecha inducida [20] por mucho más que la magnitud de la brecha misma. Esto está en contraste con un sustrato h-BN, donde el nivel de Fermi re- red en la brecha inducida. Alrededor del nivel de Fermi de grafeno en Cu la dispersión de la banda sigue siendo lineal. Con- secuencialmente, las propiedades características del grafeno que debe conservarse el resultado de la dispersión lineal. In Por ejemplo, experimentos de túnel que requieren adsorp- ión de grafeno en un sustrato metálico (Cu) [21] uno debe seguir siendo capaz de observar los valores lineales intrínsecos estructura tronica del grafeno cerca de la energía Fermi, pero ya no en los puntos de Dirac. Conclusiones Nuestros cálculos funcionales de densidad muestran que los átomos de carbono de una hoja de grafeno preferentemente se orientan directamente por encima de los átomos de boro de un Sustrato de h-BN, con un sublattice de carbono por encima del boro sublattice y el otro carbono centrado por encima de un h- Anillo BN. Aunque el grafeno sólo interactúa débilmente con el sustrato h-BN, incluso cuando unos pocos angstroms lejos la presencia de h-BN induce una brecha de banda de 53 meV, generar una masa efectiva para los fermiones Dirac de 4.7·10−3 yo, donde yo es la masa de electrones. La brecha que abre en los puntos de Dirac es considerablemente más grande que el uno para el grafeno en Cu(111). Otras cuasipartículas interacciones, por ejemplo, tenidas en cuenta en aGW , aumentará el valor de la brecha. La apertura de una brecha de banda en grafeno en h-BN ofrece el potencial mejorar las características de las TFE basadas en grafeno, disminución de la conducta mínima por órdenes de magni- Tude. Otras características interesantes como el grado del valle libertad, que está relacionada con la degeneración de la K y K ′ puntos en la zona de Brillouin, permanecen intactos y todavía puede utilizarse para controlar un dispositivo electrónico [22]. También el efecto de Hall cuántico medio-integer – un carácter peculiar- teristica del grafeno – permanece inalterada [2, 23, 24]. Este trabajo fue apoyado financieramente por “NanoNed”, un programa de nanotecnología del Ministerio neerlandés de Asuntos económicos y por la “Organisatie Nederlandse” voor Wetenschappelijk Onderzoek (NWO)” a través de la re- programas de búsqueda de “Chemische Wetenschappen (CW)” y el “Stichting voor Fundamenteeel Onderzoek der Materie (FOM)”. Parte de los cálculos se realizaron con una concesión de tiempo de la computadora de la “Stichting Na- tionale Computerfaciliteiten (NCF)”. [1] K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, y A. A. Firsov, Science 306, 666 (2004). [2] K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, M. I. Katsnelson, I. V. Grigorieva, S. V. Dubonos, y A. A. Firsov, Nature 438, 197 (2005). [3] Y. B. Zhang, Y. W. Tan, H. L. Stormer y P. Kim, Nature 438, 201 (2005). [4] A. K. Geim y K. S. Novoselov, Nature Materials 6, 183 (2007). [5] M. I. Katsnelson, K. S. Novoselov, y A. K. Geim, Na- ión Física 2, 620 (2006). [6] H. B. Heersche, P. Jarillo-Herrero, J. B. Oostinga, L. M. K. Vandersypen, y A. F. Morpurgo, Nature 446, 56 (2007). [7] J. van den Brink, Nanotechnology Nature, 2, 199 (2007). [8] Y. W. Son, M. L. Cohen, y S. G. Louie, Phys. Rev. Lett. 97, 216803 (2006). [9] M. Y. Han, B. Ozyilmaz, Y. Zhang, y P. Kim, cond- mat/0702511. [10] Y. M. L. Z. Chen, R. J. Rooks, y P. Avouris, cond- mat/0701599. [11] K. Suenaga, C. Colliex, N. Demoncy, A. Loiseau, H. Pas- y F. Willaime, Science 278, 653 (1997). [12] G. Kern, G. Kresse, y J. Hafner, Phys. Rev. B 59, 8551 (1999). [13] K. Watanabe, T. Taniguchi, y H. Kanda, Nature Ma- terials 3, 404 (2004). [14] X. Blase, A. Rubio, S. G. Louie, y M. L. Cohen, Phys. Rev. B 51, 6868 (1995). [15] B. Arnaud, S. Lebegue, P. Rabiller, y M. Alouani, Phys. Rev. Lett. 96, 026402 (2006). [16] G. Kresse y J. Furthmuller, Phys. Rev. B 54, 11169 (1996). [17] G. Kresse y J. Furthmuller, Comp. Mat. Sci. 6, 15 (1996). [18] J. Neugebauer y M. Scheffler, Phys. Rev. B 46, 16067 (1992). [19] A. T. N’Diaye, S. Bleikamp, P. J. Feibelman, y T. Michely, Phys. Rev. Lett. 97, 215501 (2006). [20] G. Giovannetti, P. A. Khomyakov, G. Brocks, J. van den Brink, P.J. Kelly, se publicará. [21] C. Oshima y A. Nagashima, J. Phys.: Condens. Mat- ter. 9, 1 (1997). [22] A. Rycerz, J. Tworzydlo, y C. W. J. Beenakker, Nature Física 3, 172 (2007). [23] N.M.R. Peres, F. Guinea y A. H. Castro Neto, Phys. Rev. B 73, 125411 (2006). [24] V. P. Gusynin y S. G. Sharapov, Phys. Rev. Lett. 95, 146801 (2005).

Coherent dynamics of domain formation in the Bose Ferromagnet

Dinámica coherente de la formación de dominios en el Bose Ferromagnet Qiang Gu1,2, Haibo Qiu1,3 Departamento de Física, Universidad de Ciencia y Tecnología de Beijing, Beijing 100083, China Institut für Laser-Physik, Universität Hamburg, Luruper Chaussee 149, 22761 Hamburgo, Alemania Instituto de Física Teórica, Universidad de Lanzhou, Lanzhou 730000, China (Fecha: 20 de noviembre de 2018) Presentamos una teoría para describir la formación de dominios observada muy recientemente en un 87Rb apagado gas, un típico sistema espinoso ferromagnético Bose. Se introduce un factor de superposición para caracterizar la rotura de simetría de MF = ±1 componentes para el condensado ferromagnético F = 1. Nosotros demostrar que la formación de dominio es un co-efecto de la coherencia cuántica y la Relajación. Durante el proceso dinámico se observa una oscilación cuántica mejorada térmicamente de la formación del dominio. Y la separación espacial de los dominios conduce a la decadencia significativa de la MF = fracción de componente 0 en un condensado inicial de MF = 0. Números PACS: 05.30.JP, 03.75.Kk, 03.75.Mn Muy recientemente, el grupo de Berkeley observó esponta- se rompe la simetría neous en condensados de spinor de 87Rb [1]. Los dominios ferromagnéticos y los muros de dominio eran claramente se muestra utilizando una imagen en fase de contraste in situ. Este ap- peras la primera imagen de la estructura del dominio en un Bose Ferromagnet. Aunque el ferromagnetismo ha sido inten- estudiados en el contexto de la física de la materia condensada y es considerado como uno de los fenomas mejor entendidos- en la naturaleza [2], la descripción del ferromagnetismo es aún no se ha completado. Los ferromagnets convencionales son se consideran por lo general se componen de cualquiera de las partes clásicas (ferromagnets aislantes) o fermiones romagnets) mientras que los sistemas Bose rara vez se tocan [3]. La realización de gases fríos espinores 87Rb [4], un sistema ferromagnético Bose, ha proporcionado una oportunidad estudiar los ferromagnets de Bose y por lo tanto abre una manera de una comprensión integral del ferromagnetismo en todos tipo de asuntos condensados. El espinoso ferromagnético Bose gas ha atraído nu- mero interés teórico [5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,] 14, 15]. Por un lado, los investigadores esperan que muestre algunas propiedades generales como lo hacen los ferromagnets convencionales. Ho [5], Ohmi y Machida [6] señalaron que este sistema Tem tiene un estado de tierra espontáneo roto por simetría y un espectro normal de excitaciones de ondas giratorias a pequeña escala vector de onda k, •s = csk 2. Por otro lado, los investigadores El objetivo es explorar las distintas características del sistema. Estudios sobre la termodinámica y las transiciones de fase han revelado que el espinoso ferromagnético Bose gas muestra un bastante diagrama de fase sorprendente. Su punto Curie puede ser más grande por magnitudes que la escala de energía de los interacción neta entre los bosones, y nunca por debajo de la Punto de condensación de Bose-Einstein [7, 8]. Significa que una vez que el gas de Bose se condensa, ya es espontáneamente magnetizado. Un ferromagnet convencional por lo general tiene algún dominio estructura por debajo del punto Curie, como se ilustra en la Fig. 1a. Pero si es cierto para una ferromagnet Bose sigue siendo algo... Qué controversial. Uno incluso se pregunta si hay existe un punto Curie en los gases de Bose ferromagnético [9, 10], como el gas atómico frío en condiciones experimentales es generalmente no en el límite termodinámico mientras la fase El diagrama mencionado anteriormente se deriva de la equilibrio gran conjunto canónico [7, 8]. Nunca... sin embargo, una serie de trabajos teóricos han discutido la posibilidad de la formación del dominio [3, 13, 14, 15]. Dentro de la teoría del campo medio, Zhang et al. lo averigüó. que el condensado ferromagnético tiene un efecto dinámico en estabilidad que conduce a la formación espontánea de dominios en un gas Bose magnetizado inicialmente [13]. Además, Mur-Petit et al. muestra que una estructura multi-spin-dominio mani- Las fiestas en 87Rb se condensan a temperaturas finitas[14]. Los El experimento de Berkeley confirma que la ferromagnet de Bose En efecto, pueden formar estructuras de dominio al menos bajo ciertas condiciones [1]. Entonces vienen nuevas preguntas, es el proceso de la formación de dominio similar a la del interior de un conven- ferromagnet tional, y cómo se forma el dominio ¿Afectar la dinámica de giros? Intentamos responder a estas preguntas... ciones en la presente carta. Comenzamos con el Hamiltoniano para un sistema F = 1 en el siguiente formulario [5] * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Fab · Fa′bbb donde Ła(r) es el operador de aniquilación de campo para un átomo en el estado MF = a en el punto r, μ es el potencial químico y U es el potencial de captura. g0 y g2 son el giro- una interacción de campo medio independiente y dependiente de los giros, respectivamente. Para sistemas Bose macroscópicos ocupados es común reemplazar el operador de aniquilación de campo para el componente ath spin por su valor de expectativa, es decir, En el caso de los condensados de espinos, el valor de los condensados de espinos es igual al de los condensados de espinos. http://arxiv.org/abs/0704.1995v2 d) c) b) a) FIG. 1: Estructura esquemática del dominio dentro de un Ferromagnet. a) El material a granel no muestra magnetismo porque los dominios están orientados al azar. b) La configuración de varios dominios es la siguiente: a menudo simplificado a una estructura de dos dominios con signo opuesto de magnetización para comodidad teórica. La región gris denota el muro de dominio. c) Estructura de dos dominios para Espinor magnético condensado Bose-Einstein. Distinguido, desbaratado y líneas sólidas representan las distribuciones de partículas normalizadas de MF = 1, MF = −1 y MF = 0 bosones, respectivamente. d) En un sistema homogéneo, la distribución normalizada de partículas se toma como una constante en cada dominio; para MF = 0 bosones sigue siendo una constante a través de todo el sistema. se expresa convenientemente como A(r, t) = Na(t)ηa(r, t)e i.a.r.t. 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Aquí Na(t) es el número de partículas condensadas, ηa(r, t) denota la distribución normalizada de partículas con d3rηa = 1 y Ła(r, t) la fase. El multiplicador de Na y ηa se refiere a la densidad de partículas condensadas del componente a, y la densidad total de partículas es (r, t) = Na(t)ηa(r, t). Suponemos que la partícula distribución puede ser diferente para componentes distintos en nuestro enfoque. Descuidando las excitaciones, el Hamiltoniano es simplificado a H = H0 + Hu + Hs, con Naηa(a)2 (U − μ)Naηa + NaηaNaa′ − − 2N+N +2N0η0(N +N) + 4N0 N+N0 cos , (3) donde = + − 2­0 es la fase relativa. En caso de que el estado del suelo del condensado sea simetría-roto, cierta estructura de dominio magnético es se formó espontáneamente. Dentro de cada dominio el atómico los momentos magnéticos se alinean en un direc- tion. Una consecuencia directa de la formación de dominios es que los componentes MF = 1 y MF = −1 son separada, como se muestra en la Fig. 1c. La parte integral d3r mide el alcance de la superposición entre el dos, que se llama el factor de superposición en adelante. In general, deberían introducirse varios “factores de superposición” a Eqs.(3), por ejemplo, α0± = V d3rη2±, α1 = V d3r, α2± = V d3rη0 y α3 = V d3rη0 , donde V es el volumen del sistema. Tratamiento de la fase relativa Como una constante espacialmente independiente como la teoría anterior hizo [11, 12, 13, 14, 15], el término de Hs en Eqs. 3) es reescrito como + + α0−N − − 2α1N+N− +2N0(α2+N+ + α2−N−) + 4α3N0 N+N−cos . 4) De acuerdo con su definición, estos factores de superposición son: no totalmente independiente el uno del otro y el número de los independientes se pueden reducir aún más. Para la simplic... ity, consideramos un gas espinoso homogéneo Bose con un estructura de dos dominios, como se muestra en la Fig. 1d, y abandono el muro de dominio. En este caso, derivamos, después de algunos in- tegración y manipulación algebraica, que sólo hay un factor de superposición independiente y la ecuación anterior se reduce a (2- α)(N2+ +N2−)− 2αN+N− + 2N0(N+ +N−) + 4 N+N−cos , (5) donde el factor de superposición reducido se da sólo por α = d3r. Nuestro modelo permite que el factor α varíe de uno a cero, correspondiente al caso de que los dos com- Los ponents son de mezcla completa a sep- Agradecido. Para un sistema homogéneo, el término de gradiente La H0 puede ser dopada. El término spin-irrelevant Hu permanece una constante ya que la distribución de densidad total es apenas sensible a la evolución de la estructura del dominio [1, 15], (r, t) (r, 0). Así, la dinámica de la formación de dominios sólo está determinado por el hamiltoniano expresado en Eq. El experimento de Berkeley consideró un spinor puro... Densate inicialmente preparado en el estado no magnetizado. Lo siento. es importante enfatizar que el giro total es con- servido en un gas cuántico atómico bajo experimental condiciones[16, 17, 18]. Por lo tanto, los números de partículas de MF = 1 y −1 componente son siempre iguales, N+ = N−. Tal sistema es descrito por el hamiltoniano Hs = −(1− α)(1 − n0)2 − 2n0(1− n0) αcose............................................................................................................................................................................................................................................................. Aquí Hs = Hs/(N g22 ) con número total de partículas N = N+ + N− + N0; na = Na/N es la fracción de MF = a componente. n0 y  forman un par de variables conjugadas 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 FIG. 2: Contour parcela de la superficie de energía en el plano Ł-n0 con el factor de superposición α = 0,5 (a) y α = 0,1 (b). c) muestra la fracción de MF = 0 átomos en el mínimo, n̄0, como un función de α. y sus ecuaciones de movimiento son dadas por n0 = −2 αn0(1− n0)sinoe, (7a) * = 2(1− α)(1 − n0) −2(1− 2n0) αcose............................................................................................................................................................................................................................................................. . (7b) La dinámica de la población representa el proceso de formación principal; y la magnetización de la mains se define como m = N −N. Una serie de trabajos teóricos han investigado la spin dynamics of the 87Rb spinor condensate [11, 12, 13]. Observamos que las teorías anteriores generalmente trataban a los tres componentes mezclados, ya que comparten el mismo espacio función de onda, que se conoce como el modo único aprox- imation. Por lo tanto, la estructura de dominio está manchada y por lo tanto la característica ferromagnética no era suficiente de la que se ocupa. Esas teorías corresponden al caso especial de α = 1 en esta carta. Los comportamientos dinámicos de Eqs. (7) puede ser visual- por el retrato de fase-espacio con energía constante líneas. Las figuras 2a y 2b trazan las líneas de contorno de en- ergy con el factor de superposición α = 0,5 y 0,1, respec- Tily. En caso de α = 1, hay mínimos de energía a lo largo n0 = 1/2 en  = 2nη [11, 12, 13] y todo el contorno las líneas son bucles cerrados alrededor de esos mínimos. Como dominios 0 30 60 90 120 0 30 60 90 120 0 30 60 90 120 0 30 60 90 1200,0 0 30 60 90 1200,0 0 30 60 90 120 1,0 f) e) d) c) b) a) FIG. 3: Dinámica de la formación de dominio para los sistemas de Bose con el factor de superposición α = 0,1 y TR = 20, 10 y 2 desde arriba al fondo. La columna izquierda muestra las fracciones de partículas de MF = 0 (n0, líneas sólidas) y MF = ±1 (n±, líneas punteadas) componentes. La columna derecha muestra la magnetización de dominios magnéticos, m. La configuración de estado inicial es (n+ = 0,005, n0 = 0,99, n− = 0,005). construir, el valor de α cae hacia abajo y dos aparentes los cambios tienen lugar, vistos en la Fig. 2a y 2b. i) Allí existen dos regímenes distintos en el diagrama espacial de fase. El régimen recién aparecido se encuentra en la región alta de las figuras, que consiste en un conjunto de curvas abiertas. Cada uno línea corresponde a un tipo de rotación de la solución, en la que la fase relativa es "correr" con el tiempo. Los órbitas cerradas, situadas en la región inferior, representan tipo de solución, en la que  oscila alrededor de la mínimo. ii) Las posiciones de esos mínimos pasan a: a valores menores de n0. Los puntos mínimos son conectado al estado de tierra del sistema. Figura 2c muestra la fracción de partículas MF = 0 en los mínimos, No. No. Cuanto menos α es, el n̄0 más pequeño es. Significa que la formación de dominio tiende a reducir el número de MF = 0 átomos. Este punto también ha sido afirmado por Mur-Petit et al. que obtuvo un estado con equipamiento en poblaciones, (n+ 1/3, n0 1/3, n− 1/3), a partir de un estado inicial (0,005,0,99,0.005) [14]. Nos derivamos de que n0 = n+ = n− = 1/3 cuando α cae a 0,25. En el límite caso de α = 0, n0 = 0 y n+ = n− = 0,5. El estado del condensado MF apagado = 0 es visto como un punto situado en la región superior de la fase diagrama de espacio (Fig. 2a o 2c), cuando Eqs. 7) producir un auto- solución de atrapamiento[19]. Este movimiento refleja el cuántico naturaleza mecánica del condensado de Bose-Einstein. Los la amplitud oscilante de n0 es muy pequeña y el resultado magnetización m es tan baja en magnitud que es difícil de ser sondeado experimentalmente durante esta etapa[1]. El yo... el efecto de atrapamiento impide el crecimiento de los dominios magnéticos. Este caso es similar a la clásica precesión de Larmor de un giro alrededor del campo magnético: gira todo el tiempo, pero la dirección de giro nunca puede ser paralela al campo sin disipación de energía. Entonces uno tiene que tomar en consideración el efecto de agitación térmica, que puede cambiar la energía de la sistema y conducir el sistema en equilibrio térmico. Por lo tanto, si n0 se aparta de su equilibrio térmico valor n̄0, se relaja a n̄0 exponencialmente con un charac- escala de tiempo TR, llamada el tiempo de relajación. Assum... ing que la velocidad de relajación es proporcional a n̄0-n0, No se aplica al texto en español, pero no se aplica al texto en español. (7a) puede sustituirse por el fol- la bajada de uno [20], n0 = −2 αn0(1− n0)sin n̄0 − n0 . (8) TR escala cualitativamente la tasa de disipación térmica. Un TR más largo denota una agitación térmica más débil. La figura 3 muestra la población de MF = 0 y ± 1 los componentes, así como la magnetización m. la contaminación de n0 y m refleja el proceso dinámico de la formación de dominios. Como se muestra en la Fig. 3a y 3b, n0 de- pliegues oscilatoriamente con el tiempo impulsado por la térmica agitación, y mientras tanto m surge. Una muy interesante re- sult es que la amplitud de la oscilación aumenta a medida que el sys- Tem se relaja. Generalmente, la agitación térmica suprime la coherencia cuántica macroscópica, y por lo tanto tiende a matar oscilaciones de la población, mientras que aquí vemos que la oscilación se realza. Además, la magnetiza... ión persiste en oscilar durante un período de tiempo muy largo después de que la amplitud alcance su máximo. Este resultado es cualitativamente consistentes con el obser del grupo de Berkeley la elevación del modo de magnetización inestable[1]. Si la agitación térmica se hace más fuerte, la oscilación será mejorado primero, y luego suprimido, como se muestra en Fig. 3c y 3d. Correspondientemente, dividimos el conjunto proceso en dos períodos con respecto al dominio para- • el período de crecimiento y el período de estabilización. In el último período, n0 y m oscilan alrededor de su los valores de equilibrio y las amplitudes disminuyen ally, entonces tenemos una estructura de dominio estable eventualmente. Si se dibuja la solución en el diagrama de espacio de fase, una puede encontrar que el período de crecimiento está representado por el la trayectoria en el régimen de la libración, y las soluciones para el El período de estabilización reside en el régimen de rotación. Basado en Este entendimiento, Fig. 3a y 3b muestran sólo el crecimiento- período. Dada la agitación térmica lo suficientemente fuerte, la característica mecánica cuántica se untará hacia fuera en ambos períodos, como Fig. 3e y 3f indicar. De acuerdo con las discusiones anteriores, el presente modelo puede describir cualitativamente el proceso dinámico de formación principal en un condensado MF apagado = 0. Sig... , demostramos que la separación espacial de mag- dominios netic produce muchos efectos no triviales en el dinámica de giro del condensado ferromagnético. Para conseguir un descripción cuantitativa, más detalles locales de la partícula Debe considerarse la distribución y la fase relativa. En conclusión, hemos investigado la dinámica de do- formación principal en un espinor ferromagnético Bose-Einstein se condensan, teniendo en cuenta la simetría rotura de los componentes MF = 1 y −1. Magnético los dominios se desarrollan con la separación de MF = ±1 compo- nents. Nuestros resultados sugieren que el componente MF = 0 en el condensado puede decaer significativamente a un muy pequeño valor, mucho menos de 1/2 como predijeron las teorías anteriores. La estructura del dominio se forma y estabiliza con el ayuda de la disipación térmica. Una potencia térmicamente mejorada la oscilación cuántica se observa durante el proceso. Este trabajo cuenta con el apoyo de la National Natural Sci- En consecuencia, la Fundación de China (Grant No. 10504002), el Fok Yin-Tung Education Foundation, China (Grant) No. 101008), y el Ministerio de Educación de China (NCET-05-0098). Q.G. reconoce debates útiles con K. Sengstock, K. Bongs y L. Usted y el apoyo de la Deutsche Forschungsgemeinschaft a través de la Graduiertenkolleg No. 463. [1] L.E. Sadleret al., Nature 443, 312(2006). [2] P. Mohn, Magnetismo en el Estado Sólido: Una Introducción (Springer-Verlag, Berlín, 2003). [3] Q. Gu, Capítulo 6 En Progreso en el Ferromagnetismo Re- Busca, Ed. por V.N. Murray, (Nova Science Publishers, Inc., Nueva York, 2006). [4] J. Stenger et al., Nature 396, 345 (1998). [5] T.-L. Ho, Phys. Rev. Lett. 81, 742 (1998). [6] T. Ohmi y K. Machida, J. Phys. Soc. Jpn. 67, 1822 (1998). [7] Q. Gu y R. A. Klemm, Phys. Rev. A 68, 031604(R) (2003); Q. Gu, K. Bongs, y K. Sengstock, Phys. Rev. A 70, 063609 (2004). [8] K. Kis-Szabo, P. Szepfalussy, y G. Szirmai, Phys. Rev. A 72, 023617 (2005); G. Szirmai, K. Kis-Szabo, y P. Szepfalussy, Eur. Phys. J. D 36, 281 (2005). [9] T. Isoshima, T. Ohmi, y K. Machida, J. Phys. Soc. Jpn. 69, 3864 (2000). [10] W. Zhang, S. Yi y L. You, Phys. Rev. A 70, 043611 (2004). [11] H. Schmaljohann y otros, Appl. Phys. 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Presentamos una teoría para describir la formación de dominios observada muy recientemente en un gas Rb-87 apagado, un sistema típico espinoso ferromagnético Bose. Un solapamiento factor se introduce para caracterizar la ruptura de simetría de M_F=\pm 1 componentes para el condensado ferromagnético F=1. Demostramos que el dominio la formación es un co-efecto de la coherencia cuántica y la relajación térmica. A oscilación cuántica mejorada térmicamente se observa durante el proceso dinámico de la formación del dominio. Y la separación espacial de los dominios conduce a decaimiento significativo de la fracción de componente M_F=0 en un M_F=0 inicial condensar.

Introducción (Springer-Verlag, Berlín, 2003). [3] Q. Gu, Capítulo 6 En Progreso en el Ferromagnetismo Re- Busca, Ed. por V.N. Murray, (Nova Science Publishers, Inc., Nueva York, 2006). [4] J. Stenger et al., Nature 396, 345 (1998). [5] T.-L. Ho, Phys. Rev. Lett. 81, 742 (1998). [6] T. Ohmi y K. Machida, J. Phys. Soc. Jpn. 67, 1822 (1998). [7] Q. Gu y R. A. Klemm, Phys. Rev. A 68, 031604(R) (2003); Q. Gu, K. Bongs, y K. Sengstock, Phys. Rev. A 70, 063609 (2004). [8] K. Kis-Szabo, P. Szepfalussy, y G. Szirmai, Phys. Rev. A 72, 023617 (2005); G. Szirmai, K. Kis-Szabo, y P. Szepfalussy, Eur. Phys. J. D 36, 281 (2005). [9] T. Isoshima, T. Ohmi, y K. Machida, J. Phys. Soc. Jpn. 69, 3864 (2000). [10] W. Zhang, S. Yi y L. You, Phys. Rev. A 70, 043611 (2004). [11] H. Schmaljohann y otros, Appl. Phys. B: Lasers Opt. 79, 1001 (2004); D. R. Romano y E. J. V. de Passos, Phys. Rev. A 70, 043614 (2004). [12] M.-S. Chang y otros, Nature Physics 1, 111 (2005). [13] W. Zhang et al., Phys. Rev. Lett. 95, 180403 (2005). [14] J. Mur-Petit et al., Phys. Rev. A 73, 013629 (2006). [15] T. Isoshima, K. Machida, y T. Ohmi, Phys. Rev. A 60, 4857 (1999). [16] M.-S. Chang et al., Phys. Rev. Lett. 92, 140403 (2004). [17] J. Kronjäger y otros, Phys. Rev. A 72, 063619 (2005). [18] H. Schmaljohann et al., Phys. Rev. Lett. 92, 040402 (2004). [19] A. Smerzi et al. Phys. Rev. Lett. 79, 4950 (1997). [20] F. Bloch, Phys. Rev. 70, 460 (1946). Bibliografía

A Wave-function for Stringy Universes

LPTENS–07/16 Abril de 2007 Una función de onda para universos de cuerdas* Costas Kounnas,1 Nicolaos Toumbas2 y Jan Troost1 1 Laboratoire de Physique Théorique, Ecole Normale Supérieure,† 24 rue Lhomond, F–75231 Paris Cedex 05, Francia 2 Departamento de Física, Universidad de Chipre, Nicosia 1678, Chipre. Resumen Definimos una función de onda para los fondos cosmológicos de la teoría de cuerdas. Damos una prescripción para calcular su norma después de un análisis anterior en general relatividad. Bajo la continuación euclidiana, las cosmologías que discutimos en este artículo se describen en términos de sistemas compactos de hojas mundiales parafermiónicas. Para definir la función de onda proporcionamos una descripción en T de la conformación parafermiónica teoría de campo, y de la cosmología de cuerdas correspondiente. En ejemplos específicos, nosotros calcular la norma de la función de onda y comentar su comportamiento como una función de moduli. * Investigación apoyada parcialmente por la UE en el marco de los contratos MRTN-CT-2004-005104, MRTN- CT-2004-512194 y ANR (CNRS-USAR) no 05-BLAN-0079-01 (01/12/05). † Unité mixte du CNRS et de l’Ecole Normale Supérieure associatée à l’université Pierre et Marie Curie 6, UMR 8549. http://arxiv.org/abs/0704.1996v3 1 Introducción Nuestro objetivo en este documento es incluir la propuesta de Hartle-Hawking sin límites para una ola- descripción de la función del estado cuántico del universo [1][2] en un marco teórico de cadena- trabajo. La propuesta de Hartle-Hawking se refiere en particular a los universos similares a los de Sitter en relatividad general. Una lista parcial de trabajos recientes interesantes sobre temas relacionados es [3][4][5] [6][7][8]. Una motivación para integrar la propuesta de Hartle-Hawking en la teoría de cuerdas es que nos proporciona una cantidad calculable en compactaciones similares a las de Sitter de una teoría cuántica de gravedad. Estas cantidades son difíciles de conseguir (véase, por ejemplo, [9][10] y sus referencias). Dos propiedades esenciales que un fondo cosmológico debe cumplir para admitir una descripción de la función de onda en la propuesta sin fronteras son los siguientes. En primer lugar, la cosmología debe ser espacialmente cerrado. Lo que es más importante, la cosmología debería admitir un... a una geometría euclidiana definida positiva que es compacta y no tiene límites o singularidades. El ejemplo más familiar es el caso de n-dimensional de Sitter space, dSn, donde estas propiedades están satisfechas. En coordenadas globales, la métrica dSn es dada por ds2 = R2(−dt2 + cosh2 t dŁ2), (1) donde d2 es la métrica en una unidad redonda (n − 1)-esfera y R es el radio de curvatura. Las secciones espaciales del tiempo constante t son (n− 1)-esferas de radio R cosh t. Podemos rotar a Firma euclidiana mediante el ajuste t = i. = i....................................................................................................................................................................................................................................................... radio R. La continuación euclidiana es un colector compacto y liso. En un marco teórico de campo, el estado cuántico de una cosmología de Sitter puede ser ex- como una función de los campos, incluyendo tanto los campos de materia y las fluctuaciones métricas, en un rebanada espacial de simetría tiempo-reversal. Para la reversión t→ −t, esta es la rebanada t = 0 en la de Sitter space dSn. Esa rebanada es también el ecuador de la correspondiente Euclidiana. esfera Sn. Imagine cortar el espacio de Sitter a lo largo de esta rebanada y pegar suavemente la mitad de a la mitad de una esfera Sn. Bajo la propuesta de Hartle-Hawking, expresamos la función de onda como una ruta euclidiana integral sobre la mitad de la esfera Sn con la condición de que la gij métrica y los campos de la materia, denotados colectivamente por ecuador  = η/2: •(hij, ­0) = [dg][dz]e−SE(g,z). 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. No es necesario especificar ninguna otra condición de límite debido a la compacidad del euclidiano multiple. Aquí, SE es la acción gravitacional euclidiana en presencia de campos de materia y una constante cosmológica positiva. La norma de la función de onda está dada por la integral completa de la trayectoria euclidiana en Sn. Puede calcular en la aproximación semiclásica mediante la evaluación de la acción euclidiana para dada solución a las ecuaciones clásicas del movimiento. Una solución es espacio vacío de Sitter de radio R 1/2. En esta aproximación, y en el caso de cuatro dimensiones, la norma es dado por [1]: # # HH # # 2 # e # 3o, 3o, 3o donde el parámetro adimensional  es proporcional a la constante cosmológica:  = 2G­/9η. La compacidad del colector euclidiano garantiza que el camino integral esté libre de cualquier divergencia infrarroja. Sin embargo, la teoría de campo en cuestión es no-renormalizable, y para ir más allá de la aproximación semiclásica, tenemos que imponer un corte ultravioleta. Uno manera de lidiar con las ambigüedades ultravioletas es incrustar el cálculo en una cadena teórica marco, en el que esperamos que las divergencias ultravioletas estén ausentes. Desafortunadamente allí. no son soluciones clásicas conocidas de Sitter en la teoría de cuerdas para empezar. Por lo tanto, buscamos otros fondos cosmológicos que son soluciones exactas a la teoría de cuerdas y para los que puede generalizar el cálculo Hartle-Hawking. Con este fin, tenga en cuenta que cualquier fondo de cadena euclidiana libre de taquiones, compacto proporciona nosotros con una cantidad finita, calculable, es decir, la función de partición de cadena Zstring. Asociados al fondo de la cadena clásica es una teoría de campo conformal de hoja de mundo bidimensional (CFT). En el nivel perturbador, la función de partición de cadena puede ser computada como de costumbre. una suma de amplitudes de vacío CFT sobre hojas de mundo compactas de todas las topologías. Nuestra propuesta Es que cuando tales fondos de cuerda euclidiana admiten una continuación a un cosmol Lorentziano- ogy, la construcción Hartle-Hawking se puede generalizar con la norma de la función de onda dado por cosm.2 = eZstring. 4) Motivaremos esta fórmula elaborando ejemplos específicos en la teoría de la perturbación de las cuerdas. Como explicaremos, la función de partición de cadena relevante tiene que ser térmica. Dada la discusión anterior, un primer candidato a considerar es un modelo euclidiano para el cual el CFT bidimensional es de la forma SU(2)k × K, el primer factor que corresponde a un SU(2) Modelo Wess-Zumino-Witten (WZW) a nivel k y el segundo factor K correspondiente a una teoría de campo conformal compacta interna adecuada. El factor WZW es equivalente a un sigma modelo en una 3-esfera de radio (kÃ3)1/2 y con k unidades de flujo de NSNS 3-forma a través la esfera. El campo dilaton es constante y al elegir esto para ser pequeño podemos aplicar Teoría de la perturbación de las cuerdas. Desafortunadamente, sin embargo, la continuación de la firma Lorentziana resulta en una cosmología dS3 con flujo imaginario, y no está claro si tal Lorentziano el fondo es físico. (Véase [11] para un modelo alternativo de Liouville no compacto, similar al modelo temporal para el cual el factor SU(2) WZW describe el espacio interno.) El único ejemplo de teoría de cuerdas conocido que satisface todos los criterios que hemos descrito hasta ahora es basado en el modelo de coset parafermiónico SU(2)k/U(1) [12], que se puede realizar como un calibre SU(2) Modelo WZW a nivel k. Consideramos fondos euclidianos correspondientes a un dos- CFT dimensional de la forma SU(2)k/U(1) × K donde K es de nuevo un compacto interno teoría de campo conformal. Tal fondo euclidiano admite una continuación lorenziana a un fondo cosmológico perteneciente a una clase de modelos estudiados en [13][14], y que: descrito por los CFT bidimensionales de la forma SL(2, R)k/U(1) × K. Para evitar tener para hacer frente a las inestabilidades taquiónicas de la teoría de cuerdas bosónicas, consideramos soluciones de este forma en la teoría de supercadenas. La carga central total debe ser ctot = 15 ( = 10) con el fin de anomalías gravitacionales de la hoja del mundo (super-) para cancelar. Cuando arreglamos la conformación interna teoría de campo K, el nivel k es determinado por la cancelación de anomalía. La no-trivial dependencia del tiempo de la cosmología necesariamente rompe el espacio-tiempo super- Simetría. Al igual que en el caso de Sitter, la ruta euclidiana integral puede interpretarse como un Conjunto térmico. Así, desde el punto de vista de la euclidiana N = 2 hoja de mundo super- sistema conforme, supersimetría espacio-tiempo se romperá por condiciones límite específicas, análogo a los cociclos térmicos que aparecen en la función de partición de la supercadena el- ories en el espacio plano a temperatura finita [15]. Para el nivel grande k, la temperatura efectiva de los modelos son de orden T â € 1/ k [14][28]. En este artículo, vamos a explorar algunos niveles bajos k modelos. Para que la función de onda cosmológica correspondiente sea computable en teoría de la perturbación de la cadena, la temperatura efectiva debe estar por debajo del Hagedorn tempera- tura. Una temperatura Hagedorn señalaría una transición de fase, como se propone en [15] [16] [17]. Construiremos explícitamente bajo nivel k modelos para los cuales la temperatura efectiva está por debajo la temperatura de Hagedorn y así la teoría de la perturbación de las cuerdas se puede aplicar. Es bien sabido que el modelo geométrico sigma acercamiento al coset parafermiónico modelo (y a la cosmología Lorentziana correspondiente) conduce a una métrica con curvatura singularidades y fuerte acoplamiento. Sin embargo, el CFT subyacente se comporta perfectamente bien en estas regiones aparentemente singulares, y mediante el uso de T-dualidad una descripción débilmente acoplada de estas regiones pueden obtenerse [18]. Usando este hecho, construimos una casi geométrica Descripción del CFT en términos de un T-fold compacto, no-singular [19][20] con un pozo– función de partición definida. Estas consideraciones nos permiten definir la función de onda de la Cosmología lorenziana. Nuestro documento está organizado de la siguiente manera. En la sección 2, revisamos las propiedades de la bidimensionalidad SL(2, R)k/U(1) × K teoría de campo conformal que corresponde a una espalda cosmológica- tierra. Es el análogo del universo de Sitter. En la sección 3, describimos cómo ana- líticamente continuar la cosmología a un espacio-tiempo euclidiano compacto descrito en la cadena nivel por un modelo parafermiónico bidimensional de la forma SU(2)k/U(1) × K. Entonces, nosotros discutir en la sección 4 cómo obtener una descripción casi geométrica de estos fondos en términos de T-folds. Discutimos en las secciones 5 y 6 cómo calcular una función de onda y su norma para la cosmología. En la sección 7 discutimos la naturaleza térmica de la función de onda. In sección 8 aplicamos la definición de la función de onda a algunos modelos compactos particulares y para que la teoría de la perturbación se puede utilizar para calcular su norma. Por fin discutimos. interpretaciones de los resultados en las secciones finales. 2 La solución cosmológica En esta sección, revisamos con cierto detalle la solución cosmológica de la teoría de cuerdas que es basado en un modelo WZW calibrado SL(2, R)/U(1) de nivel k [13]. Podemos definir una teoría de campo conforme WZW en el grupo múltiple SL(2, R), al menos clásicamente. La acción de la hoja del mundo es dada por d2zTr(g−1/23370/gg−1g) + Tr(g−1dg ­g−1dg ­g−1dg ­g−1dg), (5) donde Ł es la superficie de la hoja del mundo Riemann, M es un 3-manifold cuyo límite es ♥ y g es un elemento de SL(2, R). Para la concretividad, parametrizamos el colector de grupo SL(2, R) de la siguiente manera: con ab+ uv = 1. La teoría del campo conformal tiene una simetría global SL(2, R)×SL(2, R). Elegimos medir un subgrupo axial U(1) bajo el cual g → hgh. En particular, consideramos que el subgrupo U(1) no compacto generado por G = G = G = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M g + â € g . 7).................................................................................................................................................. Infinitesimalmente, tenemos las transformaciones A = 2A, B = −2B, U = Łv = 0. Para medir Esta simetría U(1), introducimos un campo de calibre Abeliano y hacemos la acción invariante. La acción es cuadrática y no derivativa en el campo del calibrador, por lo que se puede integrar de una manera directa [21]. En la región 1-uv > 0, podemos utilizar la libertad del calibrador para establecer a = b e integrar la campo de medición. La acción resultante se expresa en términos de grados invariantes de calibrador de la libertad sólo, y resulta ser S = − k * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 - uv , (8) mientras que se genera un acoplamiento no trivial a la curvatura de la hoja del mundo correspondiente a un fondo dilaton [21]. Esta acción se puede identificar con una acción modelo sigma no lineal con métrica de fondo ds2 = −kÃ3r dudv 1 - uv . (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. El dilatón no trivial es dado por e2Φ = 1 - uv . (10) La métrica (9) es una métrica Lorentziana cuya estructura causal precisa, sin embargo, depende en el signo de k. Para el nivel positivo k, u y v son Kruskal-como coordenadas nulas de un 2 agujero negro dimensional. En este caso, la coordenada temporal es dada por u + v, y la métrica tiene singularidades espaciales en tiempos futuros y pasados en uv = 1. Para el nivel negativo k, se obtiene una solución cosmológica [13]. Consiste en una singularidad- región libre de cono-luz, y hay (aparente) singularidades temporales en las regiones fuera de los horizontes del cono-luz. De hecho, para el nivel negativo k podemos establecer u = −T +X y v = T +X y la métrica se convierte en ds2 = kdT 2 + dX2 1 + T 2 −X2 . (11) Las superficies del tiempo constante T intersecan las singularidades en X = ± 1 + T 2. A pesar de que las singularidades siguen trayectorias aceleradas, su distancia adecuada sigue siendo finito con respeto a la métrica del marco de cadena L = (k) 1+T 2 1+T 2 1 + T 2 −X2 = π(k) 2. (12) Así que con respecto a las sondas de cuerda, la cosmología está espacialmente cerrada. La región del cono luminoso libre de singularidad es la región T 2 − X2 ≥ 0 (o uv ≤ 0). Los futuro de esta región describe una geometría expansiva, asintóticamente plana con el Enganche de cadena que desaparece en los últimos tiempos. Véase, por ejemplo, [11] [13] [14] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] algunas discusiones de este tipo de modelos. Para ver esto, parametrizamos la región uv ≤ 0 con coordenadas (x, t) tales que u = −tex, v = te−x (13) y la métrica se convierte en ds2 = kdt 2 + t2dx2 1 + t2 , (14) mientras que el campo dilaton se convierte e2Φ = 1 + t2 . (15) La curvatura escalar es dada por k(1 + t2) . 16) Inicialmente la curvatura es fijada por el nivel k y es positiva. No importa lo pequeño que sea el nivel k es, asintóticamente la curvatura escalar desaparece. Un observador en esta región nunca encuentra las singularidades. Estos están ocultos detrás de los horizontes visibles en T = ±X. Sin embargo las señales de las singularidades pueden propagarse en la región uv < 0, y por lo tanto influir en su evolución futura. Así, cuando k es pequeño la región primitiva del universo t 0 es altamente curvada, con curvatura de orden la escala de la cadena. En este sentido, es similar a una cosmología big-bang. A pesar de la regiones de gran curvatura, este fondo cosmológico tiene una descripción CFT bien definida y puede ser descrito en un marco teórico de cuerdas. El fondo cosmológico también se puede realizar como una solución de la teoría de supercadenas por generalizar la teoría de la hoja del mundo a un modelo SL(2, R)/U(1) superconformal. La central la carga del modelo SL(2, R)/U(1) superconformal a nivel negativo k, viene dada por c = 3− 6 k 2 , • = 2− 4 k 2 En teoría de supercadenas, debemos tensarlo con otras teorías de campo conformal para satisfacer la condición tot = 10 para que se cancelen las anomalías gravitacionales de la hoja del mundo. Un caso interesante considerado en [13] es el caso en el que añadimos dos grandes (sin embargo com- pacto) supercoordenadas libres (y, z) junto con un CFT compacto, superconformal de central carga = 6 + 4/(k + 2). El fondo resultante es un cosmológico de cuatro dimensiones fondo cuya métrica en el marco de Einstein es dada por ds2E = k(−dt2 + t2dx2) + (1 + t2)(R2ydy2 +R2zdz2). (18) Esta es una cosmología anisótropa que, sin embargo, en los últimos tiempos, y para el gran Ry Rz, asymptotes a una cosmología plana isotrópica Friedman-Robertson. La región cosmológica t2 = −uv ≥ 0 es no compacta, y cuando Ry,z son grandes tiene la interpretación cuatridimensional deseada. Esto es así independientemente de lo pequeño que es el nivel k. In la región uv > 0 (t2 < 0), las singularidades temporales del modelo sigma aparecen en uv = 1 (t2 = −1). Como proponemos más adelante en este trabajo, estas singularidades se resuelven a nivel de cuerdas, ya que el La estructura del colector espacio-tiempo es reemplazada por una T-fold no-singular. La función de partición de cadena depende crucialmente del supercon extra = 6+4/(k2) sistema formal, que se considera compacto. En contraste con la parte de cuatro dimensiones definida por (t, x, y, z), para el sistema interno, Euclidiana = 6+4/(k2), el ingenuo seis-dimensional interpretación, que es válida para el nivel grande k con las correcciones de curvatura del orden 1/(k), no es válido para valores pequeños de k [18]. Por ejemplo, para k = 2, el sistema se puede tomar para ser un toro de siete dimensiones. En general, pequeño k implica que las curvaturas generalizadas (es decir. incluyendo los gradientes de dilaton, etcétera) son grandes y los modulos/radios son pequeños. Recordamos el lector del ejemplo del modelo SU(2)k=1 Wess-Zumino-Witten que es equivalente a un bosón compacto (undimensional) en un radio dual. Para el nivel grande k, sin embargo, el El modelo sigma multiple es una gran esfera tridimensional con flujo de 3 formas NSNS. 3 La continuación euclidiana Consideremos la región 1− uv ≥ 0 de la cosmología bidimensional, y establezcamos u = −T + X, v = T + X. Podemos girar a la firma euclidiana configurando T → −iTE. El euclidiano continuación es un disco de radio de coordenadas unitario parametrizado por Z = X+ iTE, Z̄ = X− iTE Tal que Z2 ≤ 1. La métrica (9) se convierte en ds2 = k dZdZ̄ 1− ZZ̄ = kdl 2 +............................................................................................................................................................................................................................................................. 1 - 2 y el dilaton e2Φ = 1− ZZ̄ 1 - 2 , (20) donde también hemos establecido Z =?ei? con 0 ≤?? ≤ 1. La singularidad se convierte en el límite círculo ♥ = 1. La distancia radial del centro al límite del disco es finita, pero la circunvalación la ferencia del círculo de frontera en ♥ = 1 es infinita. Geométricamente el espacio parece una campana. Este fondo euclidiano corresponde a una teoría de campo conformal de hoja de mundo bien definida basado en un modelo WZW calibrado SU(2)/U(1) a nivel k. Desde el punto de vista de la teoría de la hoja del mundo WZW, la continuación euclidiana puede ser entendido como una doble continuación analítica de la siguiente manera. Parametrizamos el SL(2, R) grupo múltiple como en la ecuación (6). Configuremos también a = X. − T., b = X. + T. para que el grupo elemento se convierte en X. X. T. X. T. -X -T-X-+-T- X­2 +X2 − T­2 − T 2 = 1. (22).............................................................................................................................................................................................................................................................. Esta parametrización muestra que el múltiple de grupo SL(2, R) es un hiper- Boloide. Entonces está claro que sobre la doble continuación analítica T → −iTE, T el elemento de grupo se convierte en la siguiente matriz SU(2) −Z̄ W̄ con WW̄ + ZZ̄ = 1. Después de la continuación analítica también tenemos que un → W = X iTûE, b→ W̄ = Xś − iTûE. Una parametrización útil del colector de grupo SU(2) para nuestros propósitos es W = cos ­eiχ, Z = sin ­eï (24) y la métrica en S3 en estas coordenadas se convierte ds2 = dl °2 + sin2 °d °2 + cos2 °dx2. (25) Los rangos de los ángulos son los siguientes: 0 ≤ La simetría SL(2, R) × SL(2, R) global original continúa naturalmente a la SU(2) × SU(2) simetría global del modelo SU(2) WZW resultante. El U(1) axial no compacto subgrupo de simetría que calculamos continúa a un subgrupo compacto U(1) generado por * g = i............................................................................................................................................................................................................................................................. g + i+g , (26) lo que equivale a las siguientes transformaciones infinitesimales: * Z = Z} = 0. En la parametrización (24), la simetría U(1) corresponde a los cambios de la ángulo χ. Medir esta simetría resulta en el modelo de coset SU(2)/U(1). En el Euclidiano set-up, tomamos el nivel k para ser un entero para el modelo WZW a ser bien definido. Después de la continuación analítica descrita, terminamos con la acción (véase, por ejemplo. [31] para una revisión): d2z + tan2 +cos2 ( + tan2 + Az)( tan2 Az̄). En la teoría euclidiana la libertad del calibrador se puede fijar estableciendo la parte imaginaria de W (equivalente al ángulo χ) a cero. Las ecuaciones de movimiento para el campo de calibrador pueden entonces se utilizará para integrar el campo de medición hacia fuera. Esto equivale a fijar el último término en (27) a cero y producir un dilaton e2Φ = e2Φ0/ cos2 ♥. Terminamos con un modelo de acción sigma con métrica ds2 = k(d que es equivalente a la métrica (19) después de la transformación de coordenadas Z = sin. La singularidad de la curvatura se produce en  = η/2. El procedimiento de fijación del gálibo χ = 0 y el uso de las ecuaciones de movimiento para integrar el campo de medición hacia fuera no es válido cerca de ya que resulta en configuraciones de campo singulares en la hoja mundial. Sin embargo, la acción plena (27) está perfectamente bien comportado en Para ver esto, ampliamos el Lagrangian en (27) alrededor de  = η/2. Configurando, obtenemos eso. d2z/23370/Fzz̄ +O() 2), (29) donde expresamos la acción en términos de grados manifiestamente invariantes de libertad. El término principal en esta expansión describe una teoría topológica simple, que muestra que una descripción alternativa, no geométrica de la teoría puede ser dada incluyendo la región cerca de π = η/2. Volvemos a este punto más adelante. A partir de la forma de la acción cerca de ♥ = η/2, también aprendemos que la simetría U(1) cor- responder a los cambios del ángulo es cuánticamente rota mecánicamente a una simetría discreta Zókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókó Esto se debe a que las hojas de mundo compactas pueden soportar configuraciones de campo de calibrador para las cuales Fzz̄ = 2ηin, con n un entero, y tales configuraciones deben resumirse en el completo camino integral. Es claro entonces que el camino integral es solamente invariante bajo los cambios discretos de el ángulo: = 2πm/k. Esta ruptura de la clásica U(1) simetría a Zk está de acuerdo con el algebraico descripción del coset SU(2)/U(1) en términos de un sistema de corrientes parafermiónicas Zk l(z), l = 0, 1......................................................................................................................................................................................................................................................... l(k − l)/k (véase también [32]). Estos satisfacen las relaciones de la OPI l(z)l′(0) = cll′z −2ll′/k(l+l′(0) +. .. ) * * * l(z) * l (0) = z −2hl(1 + 2hlz 2T (0)/c+. ............................................................................... los cuales son invariantes bajo la simetría global de Zk:...................................................................................................................................................................................................................................................... Aquí T es la energía tensor de impulso de las parafermiones, c la carga central (que es la misma que la central la carga del modelo de coset) y los coeficientes cll′ son las constantes de fusión parafermiónica [12]. En el nivel infinito k límite, los pesos conformales de los campos de parafermión se convierten en enteros. En este límite la métrica del modelo sigma es plana, y recuperamos la invarianza rotacional completa de espacio plano [33]. El sistema también se puede generalizar a un sistema superconformal N = 2 por el tensor de las parafermiones de Zk con un bosón compacto libre como se describe en [36]. Por último, podemos comprobar que la carga central sigue siendo la misma después de la analítica continua- En el caso de los Estados miembros, la evaluación se realizará en el plazo de dos meses a partir de la fecha en que se haya presentado la solicitud. De hecho, es el mismo hecho de que la carga central de la teoría de campo conformal es menor que la carga central correspondiente a dos dimensiones planas macroscópicas que codifican la naturaleza de Sitter de la cosmología bidimensional. 4 El pliegue cosmológico en T El parafermiónico T-fold Es interesante echar un vistazo más de cerca a la geometría que asociamos a la parafermiónica modelo SU(2)k/U(1). Como ya hemos discutido, lo describimos en términos de una métrica y perfil de dilaton: ds2 = k(d cos ♥ , (31) en el que Ł 2η y ♥ toma valores en el intervalo [0, γ/2]. Esta descripción se descompone cerca  = η/2. Sin embargo, la teoría de campo conformal parafermiónica está perfectamente bien comportada, y podemos preguntarnos si hay una descripción más apropiada, casi geométrica. Nosotros argumentan que tal descripción existe en términos de un T-fold. Para obtenerlo, realizamos una T-dualidad a lo largo de la dirección angular de la geometría descrita anteriormente: ds2 = kdŁ2 + cot2 pecado . (32) Al cambiar variables = ds2 = kd2 + tan2 d2 cos . 33) Esta descripción está por lo tanto en curvatura débil (aparte de una singularidad orbifold-como) y Acoplamiento débil cerca de  = η/2. Por otra parte, podemos identificarlo como un Zk orbifold de un vectorialmente (o axialmente) coset SU(2)/U(1) medido. De hecho, es cierto para la teoría parafermiónica que el T-dual y el Zk orbifold dan dos modelos con espectro idéntico debido al coset identidad del carácter χj,m = χj,−m (véase, por ejemplo, [30][31] para los exámenes). Ahora usamos estos hechos para dar una descripción casi geométrica de la parafermiónica teoría, en términos de un T-fold [19] [20]. Utilizamos la descripción en términos de la primera geometría (31) cerca de Ł = 0. Lo cortamos justo más allá de ♥ = η/4, donde el radio del círculo es k. Lo pegamos a la geometría T-dual que consideramos cerca de = 0, o cortamos justo más allá de = η/4, donde tenemos radio /k. Pegamos los círculos (y sus ambientes) utilizando la transformación T-dualidad descrita anteriormente. En el proceso de encolado, es crucial darse cuenta de que pegamos un parche con una dirección de aumento de radio a un T-dual parche que en la misma dirección tiene un radio decreciente. Eso nos da la parafermiónica T-doble. La función de partición asociada es (ver, por ejemplo. [31] para una revisión) : χj,m(­)χj,m( ). (34) Un aspecto del modelo que se manifiesta por la descripción de la T-fold es la ruptura de la simetría de rotación U(1) a una simetría Zk discreta, debido a la orbifolding Zk. Esto es consistente con nuestra anterior discusión de la ruptura debido a los instantons de la hoja del mundo. Los T- plegado produce una imagen casi geométrica de la rotura de la simetría. La descripción de la T-fold es de hecho en todas partes módulo regular una singularidad benigna o bifold. El pliegue cosmológico en T En el caso de la cosmología bidimensional también, podemos obtener un t-fold de- la inscripción del espacio objetivo de la teoría de campo conformal. Recordamos que bajo T-dualidad (la métrica se puede obtener mediante la continuación analítica de la métrica (32) en la dirección ), el cono-luz y las singularidades se intercambian. Considera la cosmología, y córtala en una hipérbola en radio k, entre el cono de luz y las singularidades del tiempo en el diagrama de Penrosa (ver la parte superior de la figura 1). Considera entonces su T-dual, y córtala a lo largo de una línea similar. Pega las dos partes de las cosmologías T-dual a lo largo de estos cortes para obtener la cosmología del T-fold. La descripción que obtenemos es particularmente agradable ya que ya no necesitamos un origen microscópico de una posible fuente asociada a las singularidades temporales, ni tampoco Tenemos que definir las condiciones de frontera asociadas a ellos. No hay singularidad en, ni ¿Hay un límite a la cosmología del T-fold? De hecho, la descripción casi geométrica es muy parecido a dS2, que podemos pensar como un hiperboloide incrustado en tres dimensiones espacio. La diferencia es que la cosmología del T-fold tiene dos parches pegados juntos a través de un Figura 1: La continuación analítica del T-fold. La parte superior del diagrama muestra las dos descripciones T-dual de la cosmología en la que el horizonte y el (aparente) pecado- gularidades se intercambian (en negrita azul). El corte (negro rayado) a lo largo del cual están pegados está indicado, así como la línea (negro delgado) a lo largo de la cual se corta la cosmología para obtener un rebanada similar al espacio (ver más adelante). A continuación, la continuación analítica da lugar a la parte inferior de la figura, en la que hemos esbozado la descripción en T-fold del campo conformal parafermiónico teoría. En azul negrita tenemos el centro y el límite del disco, y (en rayas negras) los círculos T-dual a lo largo de los cuales pegamos. Transformación de la T-dualidad (en lugar de una transformación de coordenadas ordinaria en el caso de espacio bidimensional de Sitter). En la figura 1 mostramos cómo la descripción de los parafermios y la bidimensional la cosmología continúa entre sí después de la continuación analítica. 5 Definir la función de onda del universo Más adelante, vamos a considerar los fondos de la teoría de cuerdas que son modelos de productos y en los que un factor consiste en la cosmología bidimensional discutida en las secciones 2, 3 y 4. Por estos modelos, queremos definir una función de onda del universo en la teoría de cuerdas siguiendo ideas de [1] que definen una función de onda de los universos dSn dentro de un contexto teórico de campo. Consideramos una rebanada simétrica simétrica del espacio de la cosmología, dentro de los límites. aries de las singularidades (parecer). Véase el gráfico 2. Esta es la rebanada T = 0. En el pasado de la rebanada espacial, pegamos la mitad del espacio objetivo de un campo conformal de coset SU(2)/U(1) teoría – medio disco. Por la continuación analítica discutida en la sección anterior, este Figura 2: El encolado continuo de la mitad del disco en la cosmología, al cortar el cos- a lo largo de una rebanada parecida al espacio, y continuando analíticamente. La cifra debe considerarse como una versión simplificada de la imagen anterior en T-fold. el encolado es continuo en los campos de fondos, y además en el campo conformal exacto descripción de la teoría. Una característica crucial de la propuesta de [1] para la definición de la función de universo es que el espacio euclidiano correspondiente está sin límites. En nuestra configuración como Bueno, la teoría de campo conformacional euclidiana tiene un objetivo sin límite. Es importante en este sentido que hemos obtenido una descripción casi geométrica de la parafermiónica teoría de campo conformal1. Es intuitivamente claro de la descripción de T-fold dada en el anterior sección que la teoría parafermiónica no tiene un límite2. Cuando cortamos el euclidiano T-doble en la mitad, está claro (de la figura 1) que podemos pegar el límite de esa mitad-T-doble en la superficie inicial del pliegue cosmológico en T. Así hemos determinado el encolado preciso de los pliegues T necesarios para definir un función de onda dependiendo de los datos iniciales. Ahora definimos la función de onda del universo por realizar una “mitad T-fold” integral de la trayectoria euclidiana en todos los campos espaciales de destino con valores en el límite: * [hz,,. .......................................................... [dg][dl]. .. e−S(g,­,... ), (35) donde la ruta integral es tal que la métrica, el dilaton y todos los otros campos espacio-tiempo 1Una descripción tradicional del espacio objetivo como un disco, que es singular, llevaría a la conclusión errónea que el espacio objetivo tiene un límite. 2 Dado que un T-fold no es geométrico, es necesario definir el concepto de frontera con precisión. Creemos que una definición razonable coincidirá con nuestra intuición. satisfacer g = h.,......................................................................... .. en el límite de la mitad de T-doblado que pegamos en el solución cosmológica. El camino integral anterior puede en principio ser realizado fuera de la cáscara, en un segundo contexto de la teoría de campo de cadena cuantificada, donde también podemos expresarlo como una integral sobre un solo campo de cadena Φ. (Véase, por ejemplo, [34] para una revisión concisa). Seamos más específicos. La primera rebanada espacial de la cosmología del T-fold tiene dos parches. En cada parche, definimos un límite métrico h1 y h2, y de manera similar para otros campos. Las métricas de límite satisfacen la condición de que en la superposición de los parches, que coinciden hasta una transformación de T-dualidad, simbólicamente: h1 T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) - ¡No, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no! ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Este es el camino. en el que podemos especificar datos de límite con precisión. En lo siguiente, no enfatizamos esto: parte importante de la definición de la ruta integral más, para no desordenar las fórmulas. En principio, una integral de ruta T-fold se puede calcular de la siguiente manera. Considere de nuevo los dos parches. Cada parche tiene una descripción geométrica no-singular. Sobre cada parche de la ruta integral se reduce a una teoría de campo ordinario camino integral, y se puede realizar en el habitual forma que da lugar a un funcionamiento de datos de límites. El camino integral completo se puede obtener por integrar las dos funciones juntas sobre los datos que pertenecen al límite común de los dos parches. Puesto que en el límite común de los parches sus campos están relacionados por una transformación de T-dualidad, para hacer la integral final que necesitaríamos para realizar una T-dualidad transformación en una de las dos funciones. Observamos aquí que esta característica particular de las definiciones de integrales de trayectoria sobre T-folds con límites es genérico. La descripción anterior se extiende fácilmente a una descripción genérica de datos de límites de T-fold. Aunque no necesitamos una receta general en este artículo, creemos que sería interesante desarrollar el formalismo integral camino para los T-folds con límite más allá. La prescripción para la función de onda del universo que hemos esbozado anteriormente debe tener un analógico, a través de la relación entre osciladores de cadena y los campos espaciales de destino, a una primera Prescripción cuantificada. Tenga en cuenta que los datos de tiempo inicial permiten la configuración de cadena multicerrada- ciones. Resumiendo historias que conducen a ellos, permitirían hojas de mundo con límites (y otras características de topología), incluidas las desconectadas. La función de onda tomaría el formulario * [Xl, l, l] = [Xl, l, l] = topologías [dX]e−S[X( donde las integrales de ruta de worldsheet se realizan a través de configuraciones de cadena X( satisfacer una condición límite especificada a valores dados de los modos cero de la cadena con- la figuración, es decir, en una posición dada del espacio objetivo. La equivalencia de estas descripciones está lejos de ser obvio, pero se hace plausible por el hecho de que para la cadena bidimensional worldsheets, la primera descripción cuantificada viene automáticamente con una receta para el ponderación adecuada de los vértices de interacción. Las configuraciones de cadena cerradas de tiempo inicial podrían se especificarán en términos de operadores de bucles macroscópicos mencionados, por ejemplo, en [35]. La primera La prescripción cuantificada considera fluctuaciones alrededor de un fondo dado. Un segundo completo La prescripción cuantificada también se integra sobre fondos como en la relatividad general [1]. La función de onda así definida es difícil de calcular, aunque se puede obtener presumiblemente para condiciones límite muy particulares. Un ejemplo serían las condiciones de frontera que se fijan tomando un Z2 orbifold que se pliega sobre el disco en sí mismo - en ese caso, uno puede ser capaz de calcular el valor de la función de onda para un argumento particular. Con el fin de entender mejor algunas propiedades globales, de nuevo seguimos [1] y nos concentramos en el cálculo la norma de la función de onda. 6 La norma de la función de onda La norma de la función de onda es más fácil de calcular. Se calcula de la siguiente manera: 2 = [d] medio T-doble [dΦ]e−S(Φ) × conj mitad T−fold [dΦ]e−S(Φ) T-fold [dΦ]e−S(Φ), (37) donde lo hemos expresado como un campo de cadena teoría camino integral en términos de un campo de cadena Φ. La integral final es una integral sobre todas las configuraciones de campo de cadena posibles en la Euclidiana T-doble. No es necesario especificar las condiciones de los límites. Podemos hacer este cálculo considerando las fluctuaciones alrededor de una cadena cerrada on-shell antecedentes, en un primer formalismo cuantificado: 2 = topologías [dX]e−S[X( donde X(.o,.o) es cualquier mapeo desde la hoja del mundo de la cadena hacia el espacio de destino. La suma está sobre todas las topologías de hojas de mundo cerradas, e incluye una suma sobre diagramas desconectados. In hecho es igual a la siguiente exponencial de una suma de diagramas conectados: 2 = exp(Ztotal), (39) donde la función Ztotal es la función de partición de teoría de cadena total, que se define como un suma sobre las topologías de la hoja mundial euclidiana: Ztotal = ZS2 + ZT 2 + g sZgenus=2 + g2g−2s Zgenus=g. (40) Por lo tanto, para evaluar la norma de la función de onda perturbativamente, necesitamos evaluar la función de partición para la teoría de cuerdas en las superficies de Riemann del género 0, 1, 2,... y añadir sus contribuciones con la potencia apropiada de la constante de acoplamiento de cuerdas. Los primera contribución es similar a la contribución a nivel de árbol en la gravedad ordinaria, la segunda a la Contribución de un solo bucle, etc. 7 Naturaleza térmica de la función de onda Una forma natural de realizar la ruta euclidiana integral en ecuación (35) sobre la mitad del espacio es el siguiente. El origen X = 0 en un parche de T-fold (y similarmente para el otro), divide la T = 0 rebanada en dos mitades: la mitad izquierda correspondiente a X < 0 y la parte derecha correspondiente a X > 0. Denotamos los datos de límite en X < 0 por L y en X > 0 por R. Véase el gráfico 3. Dividindo el espacio en cuñas angulares que abarcan un ángulo total igual a η, podemos evaluar la integral de ruta en términos del generador de rotaciones angulares. Esto generador es dado por la continuación analítica de iH. Donde H. = i es el Hamiltoniano conjugado con el tiempo “Rindler” en la región uv > 0 de la cosmología lorentziana. De hecho, en esta región, podemos establecer u =........................................................................................................................................................................................................................................................... ds2 = k • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 1 - 2 e2Φ = 1 - 2 . 41) En este parche, la métrica de fondo es estática, invariante bajo traducciones a tiempo, y la El campo de dilaton es como el espacio. La rotación a la firma euclidiana equivale a la configuración de la letra • = −i. Figura 3: La interpretación térmica de la función de onda se obtiene pensando en el ruta integral como se realiza a lo largo de cuñas angulares de una inicial (derecha) a una final (izquierda) configuración. Así que las traducciones de tiempo de Rindler corresponden a rotaciones angulares en el espacio euclidiano. As ya hemos discutido, sólo las rotaciones angulares discretas son verdaderas simetrías de la cadena antecedentes teóricos. Los datos del límite pueden entonces ser vistos como especificando las condiciones iniciales y finales para el trayectoria de evolución integral. Esto se revisa claramente para el caso de espacio plano Rindler y negro espacios huecos en [37]. En particular, la trayectoria integral mide el solapamiento entre los datos A la derecha, R, evolucionó durante un tiempo Euclidiano, y los datos especificados a la izquierda, L (véase Figura 3), y puede ser escrito como una amplitud (L, R) = L, H, R. (42) Si integramos a más de 1 °L obtenemos una matriz de densidad térmica apropiada para el Rindler observador [37] [d­L]­(­L, ­R) *(l, l) R) = Re−2 con una temperatura adimensional T­ = 1/2η. La norma de la función de onda es dada por el traza 2 = Tre−2 y por lo tanto se puede interpretar como una función de partición espacio-tiempo térmico. La cadena del género 1 la contribución es una amplitud térmica de un bucle. En la ecuación integral completa del camino euclidiano (37), las contribuciones de los campos fermiónicos son positivos. Para realizar el camino integral completo sobre todo el T-fold, lo dividimos en angular cuñas que abarcan un ángulo igual a 2η. Puesto que el espacio no tiene ciclos no contractuales, la espacio-tiempo los campos fermiónicos tienen que ser tomados antiperiódicos en la variable angular y contribuir positivamente a la trayectoria integral. Los parches de T-fold se pegan a lo largo de la hipérbola 2 (ver sección 4). Cerca de esto región, la curvatura es baja para el nivel suficientemente grande k. Así para el nivel grande k, podemos utilizar el ecuación métrica (41) para llegar a la conclusión de que los observadores que se mueven cerca de la región 2 medidas una temperatura adecuada T + 1/(2η) k). En la región cosmológica uv ≤ 0, también hay un temperatura efectiva del mismo orden como resultado de la producción de partículas [14] [28]. Para pequeños nivel k, necesitamos un cálculo de cadena para deducir la temperatura apropiada del sistema. 8 Ejemplos específicos Como discutimos anteriormente con el fin de derivar la función de onda de la cosmología, necesitamos calcular la función de partición de cadena total para el fondo euclidiano correspondiente. Cuando las teorías de campo conformal son compactas, la contribución del género cero a la cadena total función de partición desaparece. Esto se debe a que la función de partición de cadena esférica se divide por el volumen infinito del grupo de matanza conformal. Este hecho es una primera diferencia importante con el cálculo en relatividad general donde la contribución clásica no es cero. In la teoría de la cuerda perturbativa la contribución principal es la amplitud del género-1. Los ejemplos euclidianos que describiremos aquí en detalle pertenecen a la familia de = 10 sistemas superconformales y compactos. Con el fin de que admitan una continuación lorentziana a un fondo cosmológico (dependiente del tiempo), supersimetría espacio-tiempo debe romperse. Además, los modelos deben estar libres de taquiones. La presencia de modos taquiónicos indicar que el sistema se somete a una transición de fase. Los únicos ejemplos conocidos con el las propiedades anteriores son de la forma SU(2)k × K SL(2, R)k × K, (45) donde indicamos la continuación analítica de la Euclidiana al espacio Lorentziano- Tiempo. El nivel k se puede tomar para ser pequeño. Como ya hemos comentado, la amplitud de cadena relevante del género 1 tiene que ser térmica. Los modelo supercadena total tiene carga central transversal igual a c = 12 (o = 8). As a consecuencia, tiene una transición Hagedorn en el radio fermiónico RH = 2o.............................................................................................................................................. Con el fin de la amplitud de cadena del género-1 para ser finito, la temperatura física del modelo tiene que ser por debajo de la temperatura de Hagedorn: T < TH = 1/(2 2o). Vamos a dar un argumento de que esto se puede realizar para cualquier k ≥ 2. Al escribir la norma de la función de onda como un espacio térmico- función de partición de tiempo, el papel del Hamiltoniano es asumido por el generador de rotaciones en el disco. Para el modelo superconformal SU(2)/U(1), la corriente U(1) correspondiente es en el nivel k + 2 [36]. Por lo tanto, esperamos que la temperatura física del modelo se fije por el radio asociado a este generador de isometría, a saber: (k 2). Los correspondientes la temperatura es dada por (k 2) y está por debajo de la temperatura de Hagedorn para cualquier nivel positivo (integer) k. Vamos a encontrar que esta temperatura surge naturalmente en el nivel k = 2 modelo debajo. En el nivel k = 0, donde el modelo mínimo tiene carga central cero, y consiste sólo en el operador de identidad (y estado), la cosmología desaparece. Cuando llegamos a la transición Hagedorn, la cosmología se vuelve tan altamente curvo que ya no está presente en el fondo de la teoría de cuerdas. 8.1 Modelos compactos En una primera clase de ejemplos específicos que discutiremos en esta sección, elegimos el nivel k = 2, y tomamos la teoría interna del campo conformal K para ser: K = T 2 × i=1,...,7 SU(2)ki donde todos los ki’s son tomados igual a 2, de modo que •K = 9 (representando el equivalente de carga central de nueve direcciones planas). En la secuela, establecemos = 1. Para esta elección, los caracteres supersimétricos de todo el sistema se definen en términos de ocho niveles k = 2 sistemas parafermiónicos (que no son más que ocho fermiones reales ocho bosones compactados en el radio auto-dual R = 1), y también un complejo fermión T y un bosón complejo ΦT para el toro T 2. Los N = 2 operadores superconformales TF, J son: i=0,1,...7 I+I+I+T+T i=0,1,...7 i T T. (48) Es conveniente emparejar los sistemas (0, 1), (2, 3), (4, 5), (6, 7) respectivamente para obtener cuatro copias de = 2 sistemas. Para la primera copia definimos los bosones H0, H1 en radio 2 (o R = 1 , puntos fermónicos T-dual): (H0 +H1), 1 = (H0 − H1) (49) y de manera similar para los demás. Entonces las corrientes son dadas por i=0,2,6 i(Hi+Hi+1) + i+1 e i(Hi−Hi+1) + iT e J = iŁH0 + i/23370/H2 + i/23370/H4 + i/23370/H6 + i/23370/HT, (50) en el que se define también en el punto fermiónico. Observe que el N = 2 corriente se da en términos de H0, H2, H4, H6 y HT solamente y se normaliza correctamente para un sistema con = 10. Los N = 2 caracteres que se mueven a la izquierda de un sistema particular de • = 2 (por ejemplo, el que contiene H0), se expresan en términos de las funciones habituales de nivel 2 (de categoría 2): η(l)3 2 H0 +2H0 2G0 γ0−2H0 Entre 0 y 2G0 3γ0-4H0 3-4-0-4G0 donde los argumentos (γ0, Ł0) y (4H0, 4G0) son enteros. El último ejemplifica el quiral Zk+2-simetría de los caracteres parafermiónicos superconformales (k + 2 = 4 en nuestro caso). Expresiones similares se obtienen para los otros tres sistemas parafermiónicos • = 2 sustituyendo (γ0, Ł0) con (γi, Łi), y (H0, G0) por (Hi, Gi), i = 1, 2, 3. La existencia global de la simetría mundial superconformal N = 2 y, por lo tanto, la la existencia de la supersimetría espacio-tiempo de izquierda implica (HT, GT ) + i=0,1,2,3 (Hola, Gi) = «Mod 2», (52) 3Nuestra convención para la función de nivel-2 es [ i(n+ )2+2iη(n+ y de manera similar para la supersimetría correcta. Los argumentos (, ) definen la quiralidad de la spinors espacio-tiempo. Una opción simple es establecer (HT, GT ) = (0, 0), (Hi, Gi) = (H,G) para i = 0, 1 y (Hola, Gi) = (−H,−G) para i = 2, 3 (e igualmente para los argumentos correctos). Entonces si (, ) = (1, 1), la supersimetría espacio-tiempo está rota. Para las otras opciones hay algunas cantidad de supersimetría conservada. En esta clase de modelos la única posibilidad restante consistente con la superparametrización global N = 2 consiste en cambios en ΦT de la T Torus. Modelos Z4 orbifold Utilizando la simetría chiral Z4 definida anteriormente y sus subgrupos, podemos obtener cuatro clases de modelos: (H,G) = (h, g), donde (h, g) = enteros, M = 1, 2, 3, 4. (53) En particular, si orbifold por Z4 (M = 1 o M = 3 ), el +0 desacoplamiento de parafermión de el resto, especialmente a partir de 1. Esto está claro ya que en este caso, los argumentos de 0 y 1 e independentízate. Inicialmente, se considera que los argumentos (γi, Łi) son idénticos para el movimiento de izquierda y derecha. caracteres. En este caso se manifiesta la invarianza modular de la función de partición. De hecho, uso de la propiedad de periodicidad de las funciones # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # y orbifolding por Z4, (M = 1), la función de partición invariante modular del género-1 se convierte en: - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (Im.)2 η()12()12 h,g=0,1,2,3 γ0,­0 γ0−h2 (+) ≤0− g2 γ1,e1 γ1−h2 • 1− g2 γ2............................................................................................................................................................................................................................................................. γ3.3 (α,β) eil() (,) eiÿ() g . (55) Los argumentos (α, β) y (, ) son los asociados a la N = 2 izquierda y derecha-movimiento supercorrientes. Si (, ) = (1, 1), la supersimetría se rompe. Para todas las otras opciones esta partición función es idénticamente cero y hay cierta cantidad de supersimetría preservada. Para obtener el resultado anterior hemos utilizado el hecho de que la contribución de los fantasmas superconformales cancelar las contribuciones osciladoras de las supercoordenadas T 2 (ΦT,ΦT ). Esta es la razón para la elección de la Z4 para no actuar en la T, habiendo establecido (HT, GT ) = (0, 0). El único remanente de la contribución del toro es la retícula de 2,2, que puede ser desplazada por (Lh/2, Lg/2) con o bien L = 0 o L = 1, 2, 3 (como veremos más adelante). Para proceder necesitamos identificar e insertar el co-ciclo térmico S q, ( ) p, () asociado a la dirección temporal de la cosmología: q, () p, () = eiγ( p()+ q()), (56) donde p y q son las cargas de celosía asociadas al tiempo euclidiano compactado. Aquí, Fα = (α + ) y Fβ = (β + ) definen el giro de las partículas espacio-tiempo: Fα = 1 módulo 2 para los fermiones y Fα = 0 módulo 2 para los bosones. Para imponer esta inserción de co-ciclo, es necesario para reescribir la función de partición en una forma que revela la red de carga (p, q) de la dirección temporal euclidiana. Con este fin, es conveniente separar la función de partición en el “sector no torcido” (h, g) = (0, 0) y “sector retorcido” (h, g) 6= (0, 0), - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (Im.)2 Zunt + (h,g)6=(0,0) Ztwist * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (57) Para aislar la retícula de carga relevante (p, q), utilizamos la identidad * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (m,n) 2 mn (mÃ3nÃ3nÃ3nmn), R2 = . (58) Aunque en la identidad anterior el radio se fija al punto fermiónico R2 = 1/2, notamos que las propiedades de transformación modular son las mismas para cualquier R2, y en particular para el punto doble-fermiónico con R2 = 2. Usando la identidad anterior para el bloque conformal que involucra a las parafermions Campo H1, obtenemos (γ,l) 0,1 [ 2 H1 [ (γ,l) (m1,n1),(m2,n2) m1n1 R22 m2n2 (m1 + m2)(n1 + n2)(m1 + m2 n2)(59) donde R21 = R 2 = R 2 = 1/2. Dado que los argumentos (γ, ) no aparecen en otra parte (en la ecuación (55)), sumando sobre ellos fuerzas (m1+m2) y (n1+n2) para ser enteros pares. Esta restricción puede ser resuelto si tomamos m1 = p1 + p2, m2 = p1 − p2, n1 = q1 + q2, n2 = q1 − q2 (60) para que, (γ,l) 0,1 [ 2 H1 [ = 1,1(R+) 1,1(R−) = (p1,q1) 2 R+ e R2+ p1q1 (p2,q2) 2 R− e R2− p2q2 (61) con R2+ = R − = 2R 2 = 1. Por lo tanto, la función de partición de la parte bosónica de las parafermiones factorizan en dos retículas de 1,1, ambas con el doble del radio inicial al cuadrado. Las retículas de carga (p1, q1) y (p2, q2) están asociadas a las parafermiones â € 0 y â € 1. Podemos ver esto de la siguiente manera. Considere los operadores de carga izquierda que están bien definidos en el Sector sin torcer: Q+ = i dz(­0­01 + ­H1), Q­ = i dz(­0­0­1 − ­H1) (62) y de manera similar para los que se mueven a la derecha (Q). Entonces, (Q + Q̄)+ = m1 + m2 = 2p1, (Q− Q̄)+ = n1 + n2 = 2q1 (Q+ Q̄)− = m1 −m2 = 2p2, (Q− Q̄)− = n1 − n2 = 2q2 (63) donde hemos utilizado la restricción (60). Identificamos los cargos (p1, q1) como el momentoa que entran en el co-ciclo térmico, y asocian la celosía a la dirección de tiempo euclidiana. Antes de seguir adelante, insistamos en el siguiente punto. Empezamos con una diagonal combinación modular invariante y con radio R21 inicial = R 2 = R 2 = 1/2. El antidiagonal elección implica que los valores iniciales para los radios se encuentran en los puntos T-dual fermónicos, a saber: R21 = R 2 = R 2 = 2. Nótese que en total realizamos dos T-dualidades simultáneamente para que nos quedamos en la misma teoría tipo II. Por lo tanto, el bloque conformal, ecuación (59), puede ser sustituida por la T-dual con R2 = 2,4 Para la elección antidiagonal, los radios de la Las celosías factorizadas correspondientes son dadas por R2+ = R − = 4 en lugar de unidad para la diagonal combinación. Por lo tanto, en el sector no trenzado, Zunt tiene que ser sustituido por Zunt Zthermalunt = (p1,q1) (α,β),(,) Zthermalunt q1, p1, eiγ(p1()+q1()). (64) Realizar una factorización similar para las tres copias restantes de • = 2 superconformales bloques parafermiónicos, podemos escribir la contribución térmica sin torsión en una forma compacta: Zthermalunt = Imâr9,9 η1212 (α,β),(,) •1,1(R+) eil() eiÿ() El factor de retícula de 9,9 se compone de un producto de retículas: la retícula inicial de 2,2 de la torus T 2 con radio Ry, Rz, la celosía â ¬1,1 del primer bloque parafermiónico en radio R−, y el producto de tres pares ­1,1(R +)-1,1(R -) para los otros tres bloques parafermiónicos. Los La retícula es la retícula desplazada térmicamente. •1,1(R+) (p1,q1) 2 R+ e R2+ p1q1 Imđ eiγ(()p1+()q1). (66) Su acoplamiento con la estructura de rotación espacio-tiempo rompe la supersimetría espacio-tiempo de modo que ambos bosones y fermiones dan contribuciones positivas a la función de partición térmica. Los radio R+ establece la temperatura del sistema: 2ηT = 1/R+. La forma de la térmica el acoplamiento en la ecuación (65) es similar al que aparece en el familiar tipo plano II teorías de supercadenas a temperatura finita. La diferencia aquí es que la temperatura es Arreglado. Ya que hemos tenido éxito en factorizar la celosía térmica, ahora podemos tratar a todos los demás radii parametrizando la retícula ­9,9 como modulo independiente. Para obtener las cuatro dimensiones 4En el formalismo de Gepner [36] la combinación antidiagonal corresponde al intercambio (m, m̄)→ (m,-m̄). interpretación que discutimos en la sección 2, tomamos el radio Ry,z para ser grande manteniendo todos los demás uno pequeño. Como ya hemos comentado, sólo hay dos opciones consistentes con la cosmología interpretación de la función de partición correspondiente a los dos valores del radio R+. Para la opción diagonal tenemos un radio R2+ = 1 correspondiente a una temperatura 2ηT = 1/R+ superior a Hagedorn: 2γTH = 1/RH = 1/ 2. Este modelo es taquiónico y tan inestable en Teoría de la perturbación. Para la segunda opción antidiagonal R2+ = 4, y la temperatura es Por debajo de Hagedorn: 2ηT = 1/2 < 2ηTH. Esta es precisamente la temperatura que recogimos. de los argumentos generales, ecuación (46) para el nivel k = 2. Ese modelo da lugar a un pozo función de partición definida, integrable y una norma finita para la función de onda en un bucle. La integral es difícil de realizar analíticamente, pero se puede estimar. No vamos a llevar fuera de este cálculo aquí. La parte restante consiste en los sectores retorcidos de la teoría, (h, g) 6= 0. Aquí lo haremos. encontrar nuevos fenómenos de cuerda asociados con el hecho de que estamos orfoldeando el Euclidiano círculo de tiempo. Dado que esto es retorcido, el co-ciclo térmico tiene que ser extendido consistentemente. Lo siento. adopta la forma general, válida tanto para los sectores sin torcer como para los sectores torcidos: (q+h), () (p+g), () = eiγ( (p+g)()+ (q+h)() ). (67) Es decir, la celosía relevante es aumentada por los números cuánticos (g, h) que etiquetan la sectores retorcidos. Una vez más, el co-ciclo térmico asegura que los fermiones contribuyen positivamente a la función de partición. En los sectores retorcidos, no hay carga de impulso y podemos establecer (p, q) = (0, 0). En los sectores retorcidos, cada uno de los dos bloques superconformales es equivalente a un sistema descrito por un bosón complejo libre y un fermión complejo libre retorcido por Z4. Esta equivalencia implica identidades topológicas para cada bloque superconformal retorcido N = 2 [38][39]: 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 (γi,đi) γi−h2 •i− g2 = 22 sin2( (h, g) en los casos en que el valor de la letra h), g) = el valor de la letra g), h) dependa del sector con torsión (h, g). (h, g) = 2 cuando (h, g) =(0,2), (2,0) y (2,2) mientras que para los 12 sectores restantes retorcidos (h, g) = 1. Aunque lo anterior expresiones orbifold se derivan en el punto fermiónico, siguen siendo válidos para cualquier otro punto del espacio de modulos sin torcer. Usando la identidad orbifold anterior, la parte “twisted” de la función de partición térmica simplifica: Zthermaltwist = (α,β,,) (h,g)6=(0,0) Im.............................................................................................................................................................. () () () () () () () () () ()h) × 28 sin8( (h, g) g . (69) Además, mediante el uso de las identidades de izquierda (y derecha) Jacobi (α,β) eil() = , (70) la parte retorcida de la función de partición térmica simplifica aún más: Zthermaltwist = (h,g)6=(0,0) Im................................................................................................................................................................ 8 sin8( (h, g) ) (g, h), (, )). (71) El factor depende de la elección inicial de los coeficientes de quiralidad izquierda y derecha (g, h), (, ) = (1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1) (1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1) . (72) Cabe señalar que la expresión (71) tiene una interpretación teórica de campo en términos de retícula de impulso solamente. Si el modelo no térmico inicial no era supersimétrico, = = 1, entonces el número de bosones y fermiones sin masa no serán iguales, nb 6 = nf. Para todas las demás opciones nb = nf. Esta situación se refleja en el factor (g, h), (, )), que distingue los cuatro diferentes posibilidades. En el caso no supersimétrico hay una contribución no evasiva a la función de partición, incluso en ausencia del cociclo térmico. Esto es equivalente, en teoría de campo, a la contribución de la temperatura cero de un bucle a la acción efectiva. Esto contribución es cero en teorías supersimétricas. En los casos posteriores, las correcciones están llegando de los enormes bosones térmicos y fermiones más una contribución de los bosones sin masa. Nosotros muestra aquí una serie de ejemplos típicos. La primera clase es cuando la retícula de 2,2 es unshifted por (h, g) y por lo que factoriza fuera de la suma sobre (g, h). Retícula no desplazada de 2,2 € En el caso no desplazado, la suma sobre (g, h) se puede realizar fácilmente de modo que el único restante dependencia es la de,. Obtenemos [40] [41], Sthermaltwist = - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (Im.)2 Zthermaltwist = −C[, ] log (T )4 (U)4 ImT ImUμ2 donde μ2 es un corte infrarrojo y T, U parametriza la estructura compleja y Kähler módulo del torso T 2 del espacio de destino. El coeficiente C[, ] depende de las quiralidades iniciales de los espinos: C[1, 1] = 240, C[1, 0] = C[0, 1] = 32, C[0, 0] = 64. (74) En realidad, C[, ] no es nada más que el número de los grados bosónicos sin masa de la libertad de la teoría. Ecuación (73) es invariante bajo el grupo de T-dualidad del espacio objetivo completo que actúa en la T y U moduli por separado. Para un gran volumen, ImT 1, el comportamiento principal es lineal en ImT, RyRz. Suponiendo iU Ry/Rz fijo y μ2 γ/RyRz, tenemos Sthermaltwist = C[, ] RyRz − registro γ (U)4 ImU . (75) Tenga en cuenta que en el gran límite de volumen, la contribución del sector retorcido a la amplitud de un bucle depende tanto del módulo Kähler como de la estructura compleja. Retícula desplazada Otro ejemplo ilustrativo es cuando la acción Z4 cambia la retícula de 2,2 al mismo tiempo con el giro que describimos antes. En este caso la celosía es reemplazada por una celosía desplazada de 2,2. La retícula desplazada (Lh/2, Lg/2), L = 1, 2, 3, está dada por 5: (R) = (m,n) 2 (4m+Lg)+(4n+Lh) Im.. s............................................................................................ (76) Aquí, vamos a examinar con más detalle el caso L = 1 que corresponde a un 1/4-desplazado Enrejado. 5Para la brevedad hemos dado la expresión para la retícula desplazada de 1,1 pero la generalización a la 2,2 La celosía es sencilla. Cuando (, ) = (1, 1), la contribución del sector retorcido a la función de partición pasa a ser [39][42]: Sthermaltwist = 240 - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (Im.)2 2,2[T, U]− 2,2[4T, 4U] . (77) Para obtener la expresión anterior hemos utilizado las identidades (h, g) = 2,2(T, U), 2,2[ 0 ] = 2,2[4T, 4U] (78) y restamos la contribución del sector sin torcer, (g, h) = (0, 0). Integración excesiva * Obtenemos [39] [42] Sthermaltwist = − 60 log (T)16(U)16 (4T)4(4U)4 ImT 3 ImU3μ6 . (79) No hay factor de volumen en el gran límite de ImT (y esto es genérico en el caso de libre actuar o bifolds [39] [42]). Así que para ImT grande, (y el ajuste de ImTμ2 γ), obtenemos Sthermaltwist = −60 log (U)16 (4U)4 . (80) En el gran límite de volumen, Sthermaltwist sólo depende del módulo de estructura complejo de la Torus. Observaciones La amplitud total de un bucle euclidiano en los casos de retícula desplazada y no desplazada es dado por: Esthermal = Sthermalunt + S térmica torsión (81) El Sthermalunt no es más que una cuarta parte de la función de partición térmica del tipo II super- teoría de cuerdas en S1 × T 9 con los nueve radios espaciales arbitrarios, mientras que la de tiempo euclidiano fijado por la temperatura: 2ηT = 1/R+ = 1/2. Al exponer S termal, con el retorcido contribuciones del sector en nuestros ejemplos dados por las ecuaciones (75) y (80), obtenemos las normas de las funciones cosmológicas de onda correspondientes como funciones de todos los modulos. La diferencia entre el modelo desplazado y el modelo ordinario discutido anteriormente puede ser , entendido como sigue: Se sabe que los oblicuos que actúan libremente están relacionados con la gravedad y calcule fondos de campo con flujos [43]. Esto indica las diferentes interpretaciones de los dos modelos cosmológicos con desplazado y unshifted 2,2. En el modelo desplazado hay los flujos magnéticos no evasivos [43], mientras que en el caso no desplazado tales flujos están ausentes. Resaltemos aquí que el Z4-orbifold térmico descrito implica una torsión que deja dos modulos parametrizando una celosía de 2,2, que en el gran límite de modulos nos da los cuatro modelo cosmológico dimensional discutido en la sección 2. Muchos otros modelos tipo orbifold se puede construir, que puede factorizar celosías más grandes, admitiendo una dimensión superior interpretación. En todos esos casos, la función de partición es computable como una función de la moduli. Sin embargo, su forma analítica en términos del modulo en varios límites depende crucialmente sobre si el orbifold es libre, o incluso parcialmente libre de actuar (o en otras palabras, sobre el estructura diferente de los flujos magnéticos). Los modelos basados en orbifolds asimétricos también pueden ser construido dando lugar a una rica familia de modelos calculables. Un análisis más detallado sería ser interesante para entender la clasificación de las cosmologías de bajo nivel, así como la dependencia característica de la norma de la función de onda en las diversas características de la gran clase de modelos. Para ilustrar los puntos anteriores, ofrecemos un ejemplo más simple basado en un Z2 en lugar del Z4 orbifold. Modelos Z2 orbifold En los modelos Z2 orbifold (M = 2 en la ecuación (53)), la factorización de la cosmología El factor CFT no es tan explícito como en los ejemplos de Z4. Sin embargo, el cosmológico La interpretación sigue siendo la misma. Para el sector sin torcer, la contribución del género 1 Sthermalunt es ahora la mitad de la función de partición de la teoría de tipo II en S1 × T 9. Procedemos a analizar el sector retorcido contribución a la amplitud del género 1. Siguiendo pasos similares a los del caso Z4 orbifold, y ahora ajuste (2H, 2G) = (h, g) para ser enteros definido módulo 2, obtenemos para el caso (, ) = (0, 0) Sthermaltwist = - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (Im.)2 (h,g)6=(0,0) 28 Im............................................................................................................... (82) Para llegar a la nota de resultado que ya que los caracteres (h, g) se definen como enteros modulo 2, el factor de 1/4 en la primera línea de la ecuación (55) ahora se convierte en 1/2; ninguna otra modificación en esta fórmula son necesarios. Todos los demás pasos pasan como antes. Aquí también podemos clasificar los modelos en dos clases; en la primera clase la celosía se toma para ser sin cambiar, mientras que en la segunda clase el â € 2,2 es medio-desplazado. Usaremos la definición: (R) = (m,n) 2 (2m+Lg)+(2n+Lh) Im.. s............................................................................................ (83) Para el modelo de Z2 sin cambiar, y cuando (, ) = (0, 0), obtenemos: Sthermaltwist = −384 log (T )4 (U)4 ImT ImUμ2 . (84) Al igual que en los modelos Z4, para un gran volumen, ImT 1, el comportamiento principal es lineal en ImT RyRz. Asumiendo iU Ry/Rz fijo y μ2 γ/RyRz tenemos: Sthermaltwist = 384 RyRz − registro γ (U)4 ImU . (85) El modelo Z2 con retícula semidesplazada, +2,2[ g ], (g, h = 0, 1), rendimientos [39] [42] Sthermaltwist = 384 - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (Im.)2 2,2[T, U]− 2,2[ 2T, 2U] . (86) Aquí también se resta la contribución procedente del sector no torcido (h, g) = (0, 0). Para obtener la expresión anterior hemos utilizado las identidades (h, g) 2,2 €[ g ] = 2,2[T, U], 2,2[ 0 ] = 2,2 [ 2T, 2U ]. (87) Integrando más de... obtenemos: Sthermaltwist = −192 log (T)8(U)8 (2T)4(2U)4 ImT ImUμ2 . (88) No hay factor de volumen en el límite grande de ImT. Por lo tanto, para la gran ImT, (y el ajuste de ImTμ2 γ), obtenemos para el medio-desplazado retícula contribución a Sthermaltwist : Sthermaltwist = −192 log γ (U)8 (2U)4 . (89) Como vemos, podemos obtener expresiones explícitas para la aproximación del género-1 a la norma de la función de onda para estos modelos Z2 en particular. Se concede una contribución distorsionada al sector explícitamente por ecuaciones (88) y (89). En la anterior familia de modelos, siempre hemos considerado una cosmología bidimensional a pequeña escala. Esa elección se debe principalmente a dos obstrucciones que son difíciles (pero no necesariamente imposible) de eludir. Uno está asociado a la dificultad de continuar desde Firma Lorenziana a Euclidiana en presencia de flujos eléctricos. La otra es que lo es. difícil de construir modelos compactos con déficit de carga central positivo (negativamente curvado Fondos euclidianos) en teoría de cuerdas, o alternativamente, una versión compacta de dilaton lineal modelos de tipo. En la siguiente sección formulamos algunas observaciones adicionales al respecto. 8.2 Modelos tipo Liouville Considere los fondos cosmológicos de teoría de cuerdas basados en CFTs de hoja de mundo de la forma (ver e.g. [13][22][14][23][25][26][27][28][29]: SL(2, R)k SL(2, R)k4 ×K. (90) Una característica agradable de tales modelos es que la carga central combinada de los dos SL(2, R)/U(1) factores es independiente de k, y por lo tanto esto puede ser tomado como un param independiente, variando eter. Aunque se conoce la función de partición del fondo del cigarro euclidiano [44], nosotros necesidad de tratar primero con el hecho de que para tal fondo la función de la onda cosmológica es no normalizable debido al volumen infinito del factor puro SL(2, R)k/U(1). Para producir una función de onda normalizable debemos enfrentar el problema de la compactación consistente factor, como se aludió al final de la sección anterior. Por otra parte, sería interesante obtener un esquema de compactación que deja k un parámetro libre. Compactar el cigarro equivaldría a discriminar sus modos continuos manteniendo al mismo tiempo la unidad y la invarianza modular de la función de partición del toro intacta. Un aspecto interesante de estos modelos es que ahora la contribución de la esfera a la cadena función de partición es finito ya que el volumen del grupo conformal Matar cancela contra el volumen del SL(2, R)k/U(1) factor de teoría de campo conformal. Sin embargo, podemos ver que la contribución del toro domina (en cualquier acoplamiento de cadena finita) debido al volumen divergencia. Si se encuentra una forma consistente de cortar el volumen del cigarro, podríamos interpretar la contribución del toro como una corrección térmica finita a la contribución a nivel de árbol, realizar una versión rígida del cálculo en [5][7][45]. Otra sugerencia para desarrollar nuestro formalismo en espacios lineales de dilaton, es ver la función de onda del universo como también dependiendo de una condición límite en el espacio- como dilato lineal de la dirección del cigarro, con el fin de obtener un dilato lineal holográfico interpretación [46]. Parte de la interpretación de la función de onda del universo sería entonces sería como en la imagen de Hartle-Hawking, y parte sería holográfica. Por último, en estos modelos supersimetría se puede restaurar asintóticamente en el gran límite k, haciendo contacto con modelos de dilaton lineal en direcciones nulas (véase, por ejemplo, [47] para los progresos recientes). 9 Debate Hemos esbozado un marco que generaliza la propuesta de Hartle-Hawking la función de onda del universo a los fondos cosmológicos de la teoría de cuerdas. La clase de las cosmologías de ejemplo consideradas aquí son descritas por las teorías del campo conformal de la hoja del mundo de la forma general SL(2, R)k/U(1) × K, donde K es un CFT interno y compacto. In para definir el análogo de la función de onda Hartle-Hawking, tuvimos que superar el obstáculo técnico de darse cuenta de que tales cosmologías (como la correspondiente Euclidiana Parafermion teorías) tienen una descripción casi geométrica en términos de un compacto no- singular T-fold. Luego definimos la función de onda del universo a través de una cadena euclidiana campo teoría camino integral (generalización de la propuesta sin fronteras). Para ejemplos específicos nosotros computar la norma de la función de onda a la dirección de orden en la teoría de la perturbación de la cadena, como una función de los parámetros de modulo. Hay muchos ejemplos similares interesantes a los que nosotros puede generalizar nuestro análisis. En una interpretación probabilística, con una función de onda normalizable a la mano, uno puede tratar de calcular valores de expectativa de vacío para cantidades físicas particulares en diversas modelos cosmológicos, y analizar sus propiedades en varias regiones del espacio modulo. Nuestro el propósito de este documento era proporcionar el marco para ese debate, que promete para ser interesante. En particular, es un problema abierto identificar las regiones preferidas en el espacio modoli en la gran clase de modelos a los que se aplica nuestro análisis. Más concretamente, creemos que nuestra construcción señala el buen uso que se puede hacer de T-folds, y la geometría generalizada, en cosmologías de cuerda (permitiendo evadir varios no-go teoremas en geometría pura). Por otra parte, hemos sido capaces de definir un cálculo razonable en una compactación de la teoría de cuerdas similar a la de Sitter, después de continuar analíticamente Teoría euclidiana. Estos cálculos son genéricamente difíciles de conseguir en la gravedad de Sitter después de la cuantificación, por lo que cualquier cantidad cosmológica bien definida, como la norma de la onda- función de los universos de cuerda, merece el escrutinio. Finalmente, calculamos una cantidad similar a un Enredo entropía en el espacio de Sitter, y demostró que sólo consigue contribuciones a partir de en un bucle, y le dimos su origen microscópico. Agradecimientos Agradecemos a Constantin Bachas, James Bedford, Ben Craps, John Iliopoulos, Dieter Luest, Hervé Partouche, Anastasios Petkou, Giuseppe Policastro y Marios Petropoulos para su utilidad debates. N. T. agradece a la Ecole Normale Supérieure y C. K. y J. T. agradece a la Universidad de Chipre para la hospitalidad. Este trabajo fue apoyado en parte por la UE en el marco de los contratos MRTN-CT-2004-005104, MRTN-CT-2004-512194 y ANR (CNRS-USAR) contrato no 05-BLAN-0079-01 (01/12/05). Bibliografía [1] J. B. Hartle y S. W. Hawking, “Función de la Ola del Universo”, Phys. Rev. D 28 (1983) 2960. [2] A. Vilenkin, “Cantum Creación de Universos,” Phys. Rev. D 30 (1984) 509. [3] H. Ooguri, C. Vafa y E. P. Verlinde, “Función de la onda Hartle-Hawking para el flujo com- pactificaciones”, Lett. 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Definimos una función de onda para los fondos cosmológicos de la teoría de cuerdas. Damos una prescripción para calcular su norma después de un análisis anterior dentro de relatividad general. Bajo la continuación euclidiana, las cosmologías que discutimos en Este artículo se describe en términos de sistemas compactos de hojas de mundo parafermiónicas. Para definir la función de onda proporcionamos una descripción de T-fold de la teoría de campo conformal parafermiónica, y de la cadena correspondiente cosmología. En ejemplos específicos, calculamos la norma de la función de onda y comentar sobre su comportamiento en función del modulo.

Introducción Nuestro objetivo en este documento es incluir la propuesta de Hartle-Hawking sin límites para una ola- descripción de la función del estado cuántico del universo [1][2] en un marco teórico de cadena- trabajo. La propuesta de Hartle-Hawking se refiere en particular a los universos similares a los de Sitter en relatividad general. Una lista parcial de trabajos recientes interesantes sobre temas relacionados es [3][4][5] [6][7][8]. Una motivación para integrar la propuesta de Hartle-Hawking en la teoría de cuerdas es que nos proporciona una cantidad calculable en compactaciones similares a las de Sitter de una teoría cuántica de gravedad. Estas cantidades son difíciles de conseguir (véase, por ejemplo, [9][10] y sus referencias). Dos propiedades esenciales que un fondo cosmológico debe cumplir para admitir una descripción de la función de onda en la propuesta sin fronteras son los siguientes. En primer lugar, la cosmología debe ser espacialmente cerrado. Lo que es más importante, la cosmología debería admitir un... a una geometría euclidiana definida positiva que es compacta y no tiene límites o singularidades. El ejemplo más familiar es el caso de n-dimensional de Sitter space, dSn, donde estas propiedades están satisfechas. En coordenadas globales, la métrica dSn es dada por ds2 = R2(−dt2 + cosh2 t dŁ2), (1) donde d2 es la métrica en una unidad redonda (n − 1)-esfera y R es el radio de curvatura. Las secciones espaciales del tiempo constante t son (n− 1)-esferas de radio R cosh t. Podemos rotar a Firma euclidiana mediante el ajuste t = i. = i....................................................................................................................................................................................................................................................... radio R. La continuación euclidiana es un colector compacto y liso. En un marco teórico de campo, el estado cuántico de una cosmología de Sitter puede ser ex- como una función de los campos, incluyendo tanto los campos de materia y las fluctuaciones métricas, en un rebanada espacial de simetría tiempo-reversal. Para la reversión t→ −t, esta es la rebanada t = 0 en la de Sitter space dSn. Esa rebanada es también el ecuador de la correspondiente Euclidiana. esfera Sn. Imagine cortar el espacio de Sitter a lo largo de esta rebanada y pegar suavemente la mitad de a la mitad de una esfera Sn. Bajo la propuesta de Hartle-Hawking, expresamos la función de onda como una ruta euclidiana integral sobre la mitad de la esfera Sn con la condición de que la gij métrica y los campos de la materia, denotados colectivamente por ecuador  = η/2: •(hij, ­0) = [dg][dz]e−SE(g,z). 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. No es necesario especificar ninguna otra condición de límite debido a la compacidad del euclidiano multiple. Aquí, SE es la acción gravitacional euclidiana en presencia de campos de materia y una constante cosmológica positiva. La norma de la función de onda está dada por la integral completa de la trayectoria euclidiana en Sn. Puede calcular en la aproximación semiclásica mediante la evaluación de la acción euclidiana para dada solución a las ecuaciones clásicas del movimiento. Una solución es espacio vacío de Sitter de radio R 1/2. En esta aproximación, y en el caso de cuatro dimensiones, la norma es dado por [1]: # # HH # # 2 # e # 3o, 3o, 3o donde el parámetro adimensional  es proporcional a la constante cosmológica:  = 2G­/9η. La compacidad del colector euclidiano garantiza que el camino integral esté libre de cualquier divergencia infrarroja. Sin embargo, la teoría de campo en cuestión es no-renormalizable, y para ir más allá de la aproximación semiclásica, tenemos que imponer un corte ultravioleta. Uno manera de lidiar con las ambigüedades ultravioletas es incrustar el cálculo en una cadena teórica marco, en el que esperamos que las divergencias ultravioletas estén ausentes. Desafortunadamente allí. no son soluciones clásicas conocidas de Sitter en la teoría de cuerdas para empezar. Por lo tanto, buscamos otros fondos cosmológicos que son soluciones exactas a la teoría de cuerdas y para los que puede generalizar el cálculo Hartle-Hawking. Con este fin, tenga en cuenta que cualquier fondo de cadena euclidiana libre de taquiones, compacto proporciona nosotros con una cantidad finita, calculable, es decir, la función de partición de cadena Zstring. Asociados al fondo de la cadena clásica es una teoría de campo conformal de hoja de mundo bidimensional (CFT). En el nivel perturbador, la función de partición de cadena puede ser computada como de costumbre. una suma de amplitudes de vacío CFT sobre hojas de mundo compactas de todas las topologías. Nuestra propuesta Es que cuando tales fondos de cuerda euclidiana admiten una continuación a un cosmol Lorentziano- ogy, la construcción Hartle-Hawking se puede generalizar con la norma de la función de onda dado por cosm.2 = eZstring. 4) Motivaremos esta fórmula elaborando ejemplos específicos en la teoría de la perturbación de las cuerdas. Como explicaremos, la función de partición de cadena relevante tiene que ser térmica. Dada la discusión anterior, un primer candidato a considerar es un modelo euclidiano para el cual el CFT bidimensional es de la forma SU(2)k × K, el primer factor que corresponde a un SU(2) Modelo Wess-Zumino-Witten (WZW) a nivel k y el segundo factor K correspondiente a una teoría de campo conformal compacta interna adecuada. El factor WZW es equivalente a un sigma modelo en una 3-esfera de radio (kÃ3)1/2 y con k unidades de flujo de NSNS 3-forma a través la esfera. El campo dilaton es constante y al elegir esto para ser pequeño podemos aplicar Teoría de la perturbación de las cuerdas. Desafortunadamente, sin embargo, la continuación de la firma Lorentziana resulta en una cosmología dS3 con flujo imaginario, y no está claro si tal Lorentziano el fondo es físico. (Véase [11] para un modelo alternativo de Liouville no compacto, similar al modelo temporal para el cual el factor SU(2) WZW describe el espacio interno.) El único ejemplo de teoría de cuerdas conocido que satisface todos los criterios que hemos descrito hasta ahora es basado en el modelo de coset parafermiónico SU(2)k/U(1) [12], que se puede realizar como un calibre SU(2) Modelo WZW a nivel k. Consideramos fondos euclidianos correspondientes a un dos- CFT dimensional de la forma SU(2)k/U(1) × K donde K es de nuevo un compacto interno teoría de campo conformal. Tal fondo euclidiano admite una continuación lorenziana a un fondo cosmológico perteneciente a una clase de modelos estudiados en [13][14], y que: descrito por los CFT bidimensionales de la forma SL(2, R)k/U(1) × K. Para evitar tener para hacer frente a las inestabilidades taquiónicas de la teoría de cuerdas bosónicas, consideramos soluciones de este forma en la teoría de supercadenas. La carga central total debe ser ctot = 15 ( = 10) con el fin de anomalías gravitacionales de la hoja del mundo (super-) para cancelar. Cuando arreglamos la conformación interna teoría de campo K, el nivel k es determinado por la cancelación de anomalía. La no-trivial dependencia del tiempo de la cosmología necesariamente rompe el espacio-tiempo super- Simetría. Al igual que en el caso de Sitter, la ruta euclidiana integral puede interpretarse como un Conjunto térmico. Así, desde el punto de vista de la euclidiana N = 2 hoja de mundo super- sistema conforme, supersimetría espacio-tiempo se romperá por condiciones límite específicas, análogo a los cociclos térmicos que aparecen en la función de partición de la supercadena el- ories en el espacio plano a temperatura finita [15]. Para el nivel grande k, la temperatura efectiva de los modelos son de orden T â € 1/ k [14][28]. En este artículo, vamos a explorar algunos niveles bajos k modelos. Para que la función de onda cosmológica correspondiente sea computable en teoría de la perturbación de la cadena, la temperatura efectiva debe estar por debajo del Hagedorn tempera- tura. Una temperatura Hagedorn señalaría una transición de fase, como se propone en [15] [16] [17]. Construiremos explícitamente bajo nivel k modelos para los cuales la temperatura efectiva está por debajo la temperatura de Hagedorn y así la teoría de la perturbación de las cuerdas se puede aplicar. Es bien sabido que el modelo geométrico sigma acercamiento al coset parafermiónico modelo (y a la cosmología Lorentziana correspondiente) conduce a una métrica con curvatura singularidades y fuerte acoplamiento. Sin embargo, el CFT subyacente se comporta perfectamente bien en estas regiones aparentemente singulares, y mediante el uso de T-dualidad una descripción débilmente acoplada de estas regiones pueden obtenerse [18]. Usando este hecho, construimos una casi geométrica Descripción del CFT en términos de un T-fold compacto, no-singular [19][20] con un pozo– función de partición definida. Estas consideraciones nos permiten definir la función de onda de la Cosmología lorenziana. Nuestro documento está organizado de la siguiente manera. En la sección 2, revisamos las propiedades de la bidimensionalidad SL(2, R)k/U(1) × K teoría de campo conformal que corresponde a una espalda cosmológica- tierra. Es el análogo del universo de Sitter. En la sección 3, describimos cómo ana- líticamente continuar la cosmología a un espacio-tiempo euclidiano compacto descrito en la cadena nivel por un modelo parafermiónico bidimensional de la forma SU(2)k/U(1) × K. Entonces, nosotros discutir en la sección 4 cómo obtener una descripción casi geométrica de estos fondos en términos de T-folds. Discutimos en las secciones 5 y 6 cómo calcular una función de onda y su norma para la cosmología. En la sección 7 discutimos la naturaleza térmica de la función de onda. In sección 8 aplicamos la definición de la función de onda a algunos modelos compactos particulares y para que la teoría de la perturbación se puede utilizar para calcular su norma. Por fin discutimos. interpretaciones de los resultados en las secciones finales. 2 La solución cosmológica En esta sección, revisamos con cierto detalle la solución cosmológica de la teoría de cuerdas que es basado en un modelo WZW calibrado SL(2, R)/U(1) de nivel k [13]. Podemos definir una teoría de campo conforme WZW en el grupo múltiple SL(2, R), al menos clásicamente. La acción de la hoja del mundo es dada por d2zTr(g−1/23370/gg−1g) + Tr(g−1dg ­g−1dg ­g−1dg ­g−1dg), (5) donde Ł es la superficie de la hoja del mundo Riemann, M es un 3-manifold cuyo límite es ♥ y g es un elemento de SL(2, R). Para la concretividad, parametrizamos el colector de grupo SL(2, R) de la siguiente manera: con ab+ uv = 1. La teoría del campo conformal tiene una simetría global SL(2, R)×SL(2, R). Elegimos medir un subgrupo axial U(1) bajo el cual g → hgh. En particular, consideramos que el subgrupo U(1) no compacto generado por G = G = G = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M = M g + â € g . 7).................................................................................................................................................. Infinitesimalmente, tenemos las transformaciones A = 2A, B = −2B, U = Łv = 0. Para medir Esta simetría U(1), introducimos un campo de calibre Abeliano y hacemos la acción invariante. La acción es cuadrática y no derivativa en el campo del calibrador, por lo que se puede integrar de una manera directa [21]. En la región 1-uv > 0, podemos utilizar la libertad del calibrador para establecer a = b e integrar la campo de medición. La acción resultante se expresa en términos de grados invariantes de calibrador de la libertad sólo, y resulta ser S = − k * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 - uv , (8) mientras que se genera un acoplamiento no trivial a la curvatura de la hoja del mundo correspondiente a un fondo dilaton [21]. Esta acción se puede identificar con una acción modelo sigma no lineal con métrica de fondo ds2 = −kÃ3r dudv 1 - uv . (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. El dilatón no trivial es dado por e2Φ = 1 - uv . (10) La métrica (9) es una métrica Lorentziana cuya estructura causal precisa, sin embargo, depende en el signo de k. Para el nivel positivo k, u y v son Kruskal-como coordenadas nulas de un 2 agujero negro dimensional. En este caso, la coordenada temporal es dada por u + v, y la métrica tiene singularidades espaciales en tiempos futuros y pasados en uv = 1. Para el nivel negativo k, se obtiene una solución cosmológica [13]. Consiste en una singularidad- región libre de cono-luz, y hay (aparente) singularidades temporales en las regiones fuera de los horizontes del cono-luz. De hecho, para el nivel negativo k podemos establecer u = −T +X y v = T +X y la métrica se convierte en ds2 = kdT 2 + dX2 1 + T 2 −X2 . (11) Las superficies del tiempo constante T intersecan las singularidades en X = ± 1 + T 2. A pesar de que las singularidades siguen trayectorias aceleradas, su distancia adecuada sigue siendo finito con respeto a la métrica del marco de cadena L = (k) 1+T 2 1+T 2 1 + T 2 −X2 = π(k) 2. (12) Así que con respecto a las sondas de cuerda, la cosmología está espacialmente cerrada. La región del cono luminoso libre de singularidad es la región T 2 − X2 ≥ 0 (o uv ≤ 0). Los futuro de esta región describe una geometría expansiva, asintóticamente plana con el Enganche de cadena que desaparece en los últimos tiempos. Véase, por ejemplo, [11] [13] [14] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] algunas discusiones de este tipo de modelos. Para ver esto, parametrizamos la región uv ≤ 0 con coordenadas (x, t) tales que u = −tex, v = te−x (13) y la métrica se convierte en ds2 = kdt 2 + t2dx2 1 + t2 , (14) mientras que el campo dilaton se convierte e2Φ = 1 + t2 . (15) La curvatura escalar es dada por k(1 + t2) . 16) Inicialmente la curvatura es fijada por el nivel k y es positiva. No importa lo pequeño que sea el nivel k es, asintóticamente la curvatura escalar desaparece. Un observador en esta región nunca encuentra las singularidades. Estos están ocultos detrás de los horizontes visibles en T = ±X. Sin embargo las señales de las singularidades pueden propagarse en la región uv < 0, y por lo tanto influir en su evolución futura. Así, cuando k es pequeño la región primitiva del universo t 0 es altamente curvada, con curvatura de orden la escala de la cadena. En este sentido, es similar a una cosmología big-bang. A pesar de la regiones de gran curvatura, este fondo cosmológico tiene una descripción CFT bien definida y puede ser descrito en un marco teórico de cuerdas. El fondo cosmológico también se puede realizar como una solución de la teoría de supercadenas por generalizar la teoría de la hoja del mundo a un modelo SL(2, R)/U(1) superconformal. La central la carga del modelo SL(2, R)/U(1) superconformal a nivel negativo k, viene dada por c = 3− 6 k 2 , • = 2− 4 k 2 En teoría de supercadenas, debemos tensarlo con otras teorías de campo conformal para satisfacer la condición tot = 10 para que se cancelen las anomalías gravitacionales de la hoja del mundo. Un caso interesante considerado en [13] es el caso en el que añadimos dos grandes (sin embargo com- pacto) supercoordenadas libres (y, z) junto con un CFT compacto, superconformal de central carga = 6 + 4/(k + 2). El fondo resultante es un cosmológico de cuatro dimensiones fondo cuya métrica en el marco de Einstein es dada por ds2E = k(−dt2 + t2dx2) + (1 + t2)(R2ydy2 +R2zdz2). (18) Esta es una cosmología anisótropa que, sin embargo, en los últimos tiempos, y para el gran Ry Rz, asymptotes a una cosmología plana isotrópica Friedman-Robertson. La región cosmológica t2 = −uv ≥ 0 es no compacta, y cuando Ry,z son grandes tiene la interpretación cuatridimensional deseada. Esto es así independientemente de lo pequeño que es el nivel k. In la región uv > 0 (t2 < 0), las singularidades temporales del modelo sigma aparecen en uv = 1 (t2 = −1). Como proponemos más adelante en este trabajo, estas singularidades se resuelven a nivel de cuerdas, ya que el La estructura del colector espacio-tiempo es reemplazada por una T-fold no-singular. La función de partición de cadena depende crucialmente del supercon extra = 6+4/(k2) sistema formal, que se considera compacto. En contraste con la parte de cuatro dimensiones definida por (t, x, y, z), para el sistema interno, Euclidiana = 6+4/(k2), el ingenuo seis-dimensional interpretación, que es válida para el nivel grande k con las correcciones de curvatura del orden 1/(k), no es válido para valores pequeños de k [18]. Por ejemplo, para k = 2, el sistema se puede tomar para ser un toro de siete dimensiones. En general, pequeño k implica que las curvaturas generalizadas (es decir. incluyendo los gradientes de dilaton, etcétera) son grandes y los modulos/radios son pequeños. Recordamos el lector del ejemplo del modelo SU(2)k=1 Wess-Zumino-Witten que es equivalente a un bosón compacto (undimensional) en un radio dual. Para el nivel grande k, sin embargo, el El modelo sigma multiple es una gran esfera tridimensional con flujo de 3 formas NSNS. 3 La continuación euclidiana Consideremos la región 1− uv ≥ 0 de la cosmología bidimensional, y establezcamos u = −T + X, v = T + X. Podemos girar a la firma euclidiana configurando T → −iTE. El euclidiano continuación es un disco de radio de coordenadas unitario parametrizado por Z = X+ iTE, Z̄ = X− iTE Tal que Z2 ≤ 1. La métrica (9) se convierte en ds2 = k dZdZ̄ 1− ZZ̄ = kdl 2 +............................................................................................................................................................................................................................................................. 1 - 2 y el dilaton e2Φ = 1− ZZ̄ 1 - 2 , (20) donde también hemos establecido Z =?ei? con 0 ≤?? ≤ 1. La singularidad se convierte en el límite círculo ♥ = 1. La distancia radial del centro al límite del disco es finita, pero la circunvalación la ferencia del círculo de frontera en ♥ = 1 es infinita. Geométricamente el espacio parece una campana. Este fondo euclidiano corresponde a una teoría de campo conformal de hoja de mundo bien definida basado en un modelo WZW calibrado SU(2)/U(1) a nivel k. Desde el punto de vista de la teoría de la hoja del mundo WZW, la continuación euclidiana puede ser entendido como una doble continuación analítica de la siguiente manera. Parametrizamos el SL(2, R) grupo múltiple como en la ecuación (6). Configuremos también a = X. − T., b = X. + T. para que el grupo elemento se convierte en X. X. T. X. T. -X -T-X-+-T- X­2 +X2 − T­2 − T 2 = 1. (22).............................................................................................................................................................................................................................................................. Esta parametrización muestra que el múltiple de grupo SL(2, R) es un hiper- Boloide. Entonces está claro que sobre la doble continuación analítica T → −iTE, T el elemento de grupo se convierte en la siguiente matriz SU(2) −Z̄ W̄ con WW̄ + ZZ̄ = 1. Después de la continuación analítica también tenemos que un → W = X iTûE, b→ W̄ = Xś − iTûE. Una parametrización útil del colector de grupo SU(2) para nuestros propósitos es W = cos ­eiχ, Z = sin ­eï (24) y la métrica en S3 en estas coordenadas se convierte ds2 = dl °2 + sin2 °d °2 + cos2 °dx2. (25) Los rangos de los ángulos son los siguientes: 0 ≤ La simetría SL(2, R) × SL(2, R) global original continúa naturalmente a la SU(2) × SU(2) simetría global del modelo SU(2) WZW resultante. El U(1) axial no compacto subgrupo de simetría que calculamos continúa a un subgrupo compacto U(1) generado por * g = i............................................................................................................................................................................................................................................................. g + i+g , (26) lo que equivale a las siguientes transformaciones infinitesimales: * Z = Z} = 0. En la parametrización (24), la simetría U(1) corresponde a los cambios de la ángulo χ. Medir esta simetría resulta en el modelo de coset SU(2)/U(1). En el Euclidiano set-up, tomamos el nivel k para ser un entero para el modelo WZW a ser bien definido. Después de la continuación analítica descrita, terminamos con la acción (véase, por ejemplo. [31] para una revisión): d2z + tan2 +cos2 ( + tan2 + Az)( tan2 Az̄). En la teoría euclidiana la libertad del calibrador se puede fijar estableciendo la parte imaginaria de W (equivalente al ángulo χ) a cero. Las ecuaciones de movimiento para el campo de calibrador pueden entonces se utilizará para integrar el campo de medición hacia fuera. Esto equivale a fijar el último término en (27) a cero y producir un dilaton e2Φ = e2Φ0/ cos2 ♥. Terminamos con un modelo de acción sigma con métrica ds2 = k(d que es equivalente a la métrica (19) después de la transformación de coordenadas Z = sin. La singularidad de la curvatura se produce en  = η/2. El procedimiento de fijación del gálibo χ = 0 y el uso de las ecuaciones de movimiento para integrar el campo de medición hacia fuera no es válido cerca de ya que resulta en configuraciones de campo singulares en la hoja mundial. Sin embargo, la acción plena (27) está perfectamente bien comportado en Para ver esto, ampliamos el Lagrangian en (27) alrededor de  = η/2. Configurando, obtenemos eso. d2z/23370/Fzz̄ +O() 2), (29) donde expresamos la acción en términos de grados manifiestamente invariantes de libertad. El término principal en esta expansión describe una teoría topológica simple, que muestra que una descripción alternativa, no geométrica de la teoría puede ser dada incluyendo la región cerca de π = η/2. Volvemos a este punto más adelante. A partir de la forma de la acción cerca de ♥ = η/2, también aprendemos que la simetría U(1) cor- responder a los cambios del ángulo es cuánticamente rota mecánicamente a una simetría discreta Zókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókókó Esto se debe a que las hojas de mundo compactas pueden soportar configuraciones de campo de calibrador para las cuales Fzz̄ = 2ηin, con n un entero, y tales configuraciones deben resumirse en el completo camino integral. Es claro entonces que el camino integral es solamente invariante bajo los cambios discretos de el ángulo: = 2πm/k. Esta ruptura de la clásica U(1) simetría a Zk está de acuerdo con el algebraico descripción del coset SU(2)/U(1) en términos de un sistema de corrientes parafermiónicas Zk l(z), l = 0, 1......................................................................................................................................................................................................................................................... l(k − l)/k (véase también [32]). Estos satisfacen las relaciones de la OPI l(z)l′(0) = cll′z −2ll′/k(l+l′(0) +. .. ) * * * l(z) * l (0) = z −2hl(1 + 2hlz 2T (0)/c+. ............................................................................... los cuales son invariantes bajo la simetría global de Zk:...................................................................................................................................................................................................................................................... Aquí T es la energía tensor de impulso de las parafermiones, c la carga central (que es la misma que la central la carga del modelo de coset) y los coeficientes cll′ son las constantes de fusión parafermiónica [12]. En el nivel infinito k límite, los pesos conformales de los campos de parafermión se convierten en enteros. En este límite la métrica del modelo sigma es plana, y recuperamos la invarianza rotacional completa de espacio plano [33]. El sistema también se puede generalizar a un sistema superconformal N = 2 por el tensor de las parafermiones de Zk con un bosón compacto libre como se describe en [36]. Por último, podemos comprobar que la carga central sigue siendo la misma después de la analítica continua- En el caso de los Estados miembros, la evaluación se realizará en el plazo de dos meses a partir de la fecha en que se haya presentado la solicitud. De hecho, es el mismo hecho de que la carga central de la teoría de campo conformal es menor que la carga central correspondiente a dos dimensiones planas macroscópicas que codifican la naturaleza de Sitter de la cosmología bidimensional. 4 El pliegue cosmológico en T El parafermiónico T-fold Es interesante echar un vistazo más de cerca a la geometría que asociamos a la parafermiónica modelo SU(2)k/U(1). Como ya hemos discutido, lo describimos en términos de una métrica y perfil de dilaton: ds2 = k(d cos ♥ , (31) en el que Ł 2η y ♥ toma valores en el intervalo [0, γ/2]. Esta descripción se descompone cerca  = η/2. Sin embargo, la teoría de campo conformal parafermiónica está perfectamente bien comportada, y podemos preguntarnos si hay una descripción más apropiada, casi geométrica. Nosotros argumentan que tal descripción existe en términos de un T-fold. Para obtenerlo, realizamos una T-dualidad a lo largo de la dirección angular de la geometría descrita anteriormente: ds2 = kdŁ2 + cot2 pecado . (32) Al cambiar variables = ds2 = kd2 + tan2 d2 cos . 33) Esta descripción está por lo tanto en curvatura débil (aparte de una singularidad orbifold-como) y Acoplamiento débil cerca de  = η/2. Por otra parte, podemos identificarlo como un Zk orbifold de un vectorialmente (o axialmente) coset SU(2)/U(1) medido. De hecho, es cierto para la teoría parafermiónica que el T-dual y el Zk orbifold dan dos modelos con espectro idéntico debido al coset identidad del carácter χj,m = χj,−m (véase, por ejemplo, [30][31] para los exámenes). Ahora usamos estos hechos para dar una descripción casi geométrica de la parafermiónica teoría, en términos de un T-fold [19] [20]. Utilizamos la descripción en términos de la primera geometría (31) cerca de Ł = 0. Lo cortamos justo más allá de ♥ = η/4, donde el radio del círculo es k. Lo pegamos a la geometría T-dual que consideramos cerca de = 0, o cortamos justo más allá de = η/4, donde tenemos radio /k. Pegamos los círculos (y sus ambientes) utilizando la transformación T-dualidad descrita anteriormente. En el proceso de encolado, es crucial darse cuenta de que pegamos un parche con una dirección de aumento de radio a un T-dual parche que en la misma dirección tiene un radio decreciente. Eso nos da la parafermiónica T-doble. La función de partición asociada es (ver, por ejemplo. [31] para una revisión) : χj,m(­)χj,m( ). (34) Un aspecto del modelo que se manifiesta por la descripción de la T-fold es la ruptura de la simetría de rotación U(1) a una simetría Zk discreta, debido a la orbifolding Zk. Esto es consistente con nuestra anterior discusión de la ruptura debido a los instantons de la hoja del mundo. Los T- plegado produce una imagen casi geométrica de la rotura de la simetría. La descripción de la T-fold es de hecho en todas partes módulo regular una singularidad benigna o bifold. El pliegue cosmológico en T En el caso de la cosmología bidimensional también, podemos obtener un t-fold de- la inscripción del espacio objetivo de la teoría de campo conformal. Recordamos que bajo T-dualidad (la métrica se puede obtener mediante la continuación analítica de la métrica (32) en la dirección ), el cono-luz y las singularidades se intercambian. Considera la cosmología, y córtala en una hipérbola en radio k, entre el cono de luz y las singularidades del tiempo en el diagrama de Penrosa (ver la parte superior de la figura 1). Considera entonces su T-dual, y córtala a lo largo de una línea similar. Pega las dos partes de las cosmologías T-dual a lo largo de estos cortes para obtener la cosmología del T-fold. La descripción que obtenemos es particularmente agradable ya que ya no necesitamos un origen microscópico de una posible fuente asociada a las singularidades temporales, ni tampoco Tenemos que definir las condiciones de frontera asociadas a ellos. No hay singularidad en, ni ¿Hay un límite a la cosmología del T-fold? De hecho, la descripción casi geométrica es muy parecido a dS2, que podemos pensar como un hiperboloide incrustado en tres dimensiones espacio. La diferencia es que la cosmología del T-fold tiene dos parches pegados juntos a través de un Figura 1: La continuación analítica del T-fold. La parte superior del diagrama muestra las dos descripciones T-dual de la cosmología en la que el horizonte y el (aparente) pecado- gularidades se intercambian (en negrita azul). El corte (negro rayado) a lo largo del cual están pegados está indicado, así como la línea (negro delgado) a lo largo de la cual se corta la cosmología para obtener un rebanada similar al espacio (ver más adelante). A continuación, la continuación analítica da lugar a la parte inferior de la figura, en la que hemos esbozado la descripción en T-fold del campo conformal parafermiónico teoría. En azul negrita tenemos el centro y el límite del disco, y (en rayas negras) los círculos T-dual a lo largo de los cuales pegamos. Transformación de la T-dualidad (en lugar de una transformación de coordenadas ordinaria en el caso de espacio bidimensional de Sitter). En la figura 1 mostramos cómo la descripción de los parafermios y la bidimensional la cosmología continúa entre sí después de la continuación analítica. 5 Definir la función de onda del universo Más adelante, vamos a considerar los fondos de la teoría de cuerdas que son modelos de productos y en los que un factor consiste en la cosmología bidimensional discutida en las secciones 2, 3 y 4. Por estos modelos, queremos definir una función de onda del universo en la teoría de cuerdas siguiendo ideas de [1] que definen una función de onda de los universos dSn dentro de un contexto teórico de campo. Consideramos una rebanada simétrica simétrica del espacio de la cosmología, dentro de los límites. aries de las singularidades (parecer). Véase el gráfico 2. Esta es la rebanada T = 0. En el pasado de la rebanada espacial, pegamos la mitad del espacio objetivo de un campo conformal de coset SU(2)/U(1) teoría – medio disco. Por la continuación analítica discutida en la sección anterior, este Figura 2: El encolado continuo de la mitad del disco en la cosmología, al cortar el cos- a lo largo de una rebanada parecida al espacio, y continuando analíticamente. La cifra debe considerarse como una versión simplificada de la imagen anterior en T-fold. el encolado es continuo en los campos de fondos, y además en el campo conformal exacto descripción de la teoría. Una característica crucial de la propuesta de [1] para la definición de la función de universo es que el espacio euclidiano correspondiente está sin límites. En nuestra configuración como Bueno, la teoría de campo conformacional euclidiana tiene un objetivo sin límite. Es importante en este sentido que hemos obtenido una descripción casi geométrica de la parafermiónica teoría de campo conformal1. Es intuitivamente claro de la descripción de T-fold dada en el anterior sección que la teoría parafermiónica no tiene un límite2. Cuando cortamos el euclidiano T-doble en la mitad, está claro (de la figura 1) que podemos pegar el límite de esa mitad-T-doble en la superficie inicial del pliegue cosmológico en T. Así hemos determinado el encolado preciso de los pliegues T necesarios para definir un función de onda dependiendo de los datos iniciales. Ahora definimos la función de onda del universo por realizar una “mitad T-fold” integral de la trayectoria euclidiana en todos los campos espaciales de destino con valores en el límite: * [hz,,. .......................................................... [dg][dl]. .. e−S(g,­,... ), (35) donde la ruta integral es tal que la métrica, el dilaton y todos los otros campos espacio-tiempo 1Una descripción tradicional del espacio objetivo como un disco, que es singular, llevaría a la conclusión errónea que el espacio objetivo tiene un límite. 2 Dado que un T-fold no es geométrico, es necesario definir el concepto de frontera con precisión. Creemos que una definición razonable coincidirá con nuestra intuición. satisfacer g = h.,......................................................................... .. en el límite de la mitad de T-doblado que pegamos en el solución cosmológica. El camino integral anterior puede en principio ser realizado fuera de la cáscara, en un segundo contexto de la teoría de campo de cadena cuantificada, donde también podemos expresarlo como una integral sobre un solo campo de cadena Φ. (Véase, por ejemplo, [34] para una revisión concisa). Seamos más específicos. La primera rebanada espacial de la cosmología del T-fold tiene dos parches. En cada parche, definimos un límite métrico h1 y h2, y de manera similar para otros campos. Las métricas de límite satisfacen la condición de que en la superposición de los parches, que coinciden hasta una transformación de T-dualidad, simbólicamente: h1 T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) = T (h) - ¡No, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no! ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Este es el camino. en el que podemos especificar datos de límite con precisión. En lo siguiente, no enfatizamos esto: parte importante de la definición de la ruta integral más, para no desordenar las fórmulas. En principio, una integral de ruta T-fold se puede calcular de la siguiente manera. Considere de nuevo los dos parches. Cada parche tiene una descripción geométrica no-singular. Sobre cada parche de la ruta integral se reduce a una teoría de campo ordinario camino integral, y se puede realizar en el habitual forma que da lugar a un funcionamiento de datos de límites. El camino integral completo se puede obtener por integrar las dos funciones juntas sobre los datos que pertenecen al límite común de los dos parches. Puesto que en el límite común de los parches sus campos están relacionados por una transformación de T-dualidad, para hacer la integral final que necesitaríamos para realizar una T-dualidad transformación en una de las dos funciones. Observamos aquí que esta característica particular de las definiciones de integrales de trayectoria sobre T-folds con límites es genérico. La descripción anterior se extiende fácilmente a una descripción genérica de datos de límites de T-fold. Aunque no necesitamos una receta general en este artículo, creemos que sería interesante desarrollar el formalismo integral camino para los T-folds con límite más allá. La prescripción para la función de onda del universo que hemos esbozado anteriormente debe tener un analógico, a través de la relación entre osciladores de cadena y los campos espaciales de destino, a una primera Prescripción cuantificada. Tenga en cuenta que los datos de tiempo inicial permiten la configuración de cadena multicerrada- ciones. Resumiendo historias que conducen a ellos, permitirían hojas de mundo con límites (y otras características de topología), incluidas las desconectadas. La función de onda tomaría el formulario * [Xl, l, l] = [Xl, l, l] = topologías [dX]e−S[X( donde las integrales de ruta de worldsheet se realizan a través de configuraciones de cadena X( satisfacer una condición límite especificada a valores dados de los modos cero de la cadena con- la figuración, es decir, en una posición dada del espacio objetivo. La equivalencia de estas descripciones está lejos de ser obvio, pero se hace plausible por el hecho de que para la cadena bidimensional worldsheets, la primera descripción cuantificada viene automáticamente con una receta para el ponderación adecuada de los vértices de interacción. Las configuraciones de cadena cerradas de tiempo inicial podrían se especificarán en términos de operadores de bucles macroscópicos mencionados, por ejemplo, en [35]. La primera La prescripción cuantificada considera fluctuaciones alrededor de un fondo dado. Un segundo completo La prescripción cuantificada también se integra sobre fondos como en la relatividad general [1]. La función de onda así definida es difícil de calcular, aunque se puede obtener presumiblemente para condiciones límite muy particulares. Un ejemplo serían las condiciones de frontera que se fijan tomando un Z2 orbifold que se pliega sobre el disco en sí mismo - en ese caso, uno puede ser capaz de calcular el valor de la función de onda para un argumento particular. Con el fin de entender mejor algunas propiedades globales, de nuevo seguimos [1] y nos concentramos en el cálculo la norma de la función de onda. 6 La norma de la función de onda La norma de la función de onda es más fácil de calcular. Se calcula de la siguiente manera: 2 = [d] medio T-doble [dΦ]e−S(Φ) × conj mitad T−fold [dΦ]e−S(Φ) T-fold [dΦ]e−S(Φ), (37) donde lo hemos expresado como un campo de cadena teoría camino integral en términos de un campo de cadena Φ. La integral final es una integral sobre todas las configuraciones de campo de cadena posibles en la Euclidiana T-doble. No es necesario especificar las condiciones de los límites. Podemos hacer este cálculo considerando las fluctuaciones alrededor de una cadena cerrada on-shell antecedentes, en un primer formalismo cuantificado: 2 = topologías [dX]e−S[X( donde X(.o,.o) es cualquier mapeo desde la hoja del mundo de la cadena hacia el espacio de destino. La suma está sobre todas las topologías de hojas de mundo cerradas, e incluye una suma sobre diagramas desconectados. In hecho es igual a la siguiente exponencial de una suma de diagramas conectados: 2 = exp(Ztotal), (39) donde la función Ztotal es la función de partición de teoría de cadena total, que se define como un suma sobre las topologías de la hoja mundial euclidiana: Ztotal = ZS2 + ZT 2 + g sZgenus=2 + g2g−2s Zgenus=g. (40) Por lo tanto, para evaluar la norma de la función de onda perturbativamente, necesitamos evaluar la función de partición para la teoría de cuerdas en las superficies de Riemann del género 0, 1, 2,... y añadir sus contribuciones con la potencia apropiada de la constante de acoplamiento de cuerdas. Los primera contribución es similar a la contribución a nivel de árbol en la gravedad ordinaria, la segunda a la Contribución de un solo bucle, etc. 7 Naturaleza térmica de la función de onda Una forma natural de realizar la ruta euclidiana integral en ecuación (35) sobre la mitad del espacio es el siguiente. El origen X = 0 en un parche de T-fold (y similarmente para el otro), divide la T = 0 rebanada en dos mitades: la mitad izquierda correspondiente a X < 0 y la parte derecha correspondiente a X > 0. Denotamos los datos de límite en X < 0 por L y en X > 0 por R. Véase el gráfico 3. Dividindo el espacio en cuñas angulares que abarcan un ángulo total igual a η, podemos evaluar la integral de ruta en términos del generador de rotaciones angulares. Esto generador es dado por la continuación analítica de iH. Donde H. = i es el Hamiltoniano conjugado con el tiempo “Rindler” en la región uv > 0 de la cosmología lorentziana. De hecho, en esta región, podemos establecer u =........................................................................................................................................................................................................................................................... ds2 = k • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 1 - 2 e2Φ = 1 - 2 . 41) En este parche, la métrica de fondo es estática, invariante bajo traducciones a tiempo, y la El campo de dilaton es como el espacio. La rotación a la firma euclidiana equivale a la configuración de la letra • = −i. Figura 3: La interpretación térmica de la función de onda se obtiene pensando en el ruta integral como se realiza a lo largo de cuñas angulares de una inicial (derecha) a una final (izquierda) configuración. Así que las traducciones de tiempo de Rindler corresponden a rotaciones angulares en el espacio euclidiano. As ya hemos discutido, sólo las rotaciones angulares discretas son verdaderas simetrías de la cadena antecedentes teóricos. Los datos del límite pueden entonces ser vistos como especificando las condiciones iniciales y finales para el trayectoria de evolución integral. Esto se revisa claramente para el caso de espacio plano Rindler y negro espacios huecos en [37]. En particular, la trayectoria integral mide el solapamiento entre los datos A la derecha, R, evolucionó durante un tiempo Euclidiano, y los datos especificados a la izquierda, L (véase Figura 3), y puede ser escrito como una amplitud (L, R) = L, H, R. (42) Si integramos a más de 1 °L obtenemos una matriz de densidad térmica apropiada para el Rindler observador [37] [d­L]­(­L, ­R) *(l, l) R) = Re−2 con una temperatura adimensional T­ = 1/2η. La norma de la función de onda es dada por el traza 2 = Tre−2 y por lo tanto se puede interpretar como una función de partición espacio-tiempo térmico. La cadena del género 1 la contribución es una amplitud térmica de un bucle. En la ecuación integral completa del camino euclidiano (37), las contribuciones de los campos fermiónicos son positivos. Para realizar el camino integral completo sobre todo el T-fold, lo dividimos en angular cuñas que abarcan un ángulo igual a 2η. Puesto que el espacio no tiene ciclos no contractuales, la espacio-tiempo los campos fermiónicos tienen que ser tomados antiperiódicos en la variable angular y contribuir positivamente a la trayectoria integral. Los parches de T-fold se pegan a lo largo de la hipérbola 2 (ver sección 4). Cerca de esto región, la curvatura es baja para el nivel suficientemente grande k. Así para el nivel grande k, podemos utilizar el ecuación métrica (41) para llegar a la conclusión de que los observadores que se mueven cerca de la región 2 medidas una temperatura adecuada T + 1/(2η) k). En la región cosmológica uv ≤ 0, también hay un temperatura efectiva del mismo orden como resultado de la producción de partículas [14] [28]. Para pequeños nivel k, necesitamos un cálculo de cadena para deducir la temperatura apropiada del sistema. 8 Ejemplos específicos Como discutimos anteriormente con el fin de derivar la función de onda de la cosmología, necesitamos calcular la función de partición de cadena total para el fondo euclidiano correspondiente. Cuando las teorías de campo conformal son compactas, la contribución del género cero a la cadena total función de partición desaparece. Esto se debe a que la función de partición de cadena esférica se divide por el volumen infinito del grupo de matanza conformal. Este hecho es una primera diferencia importante con el cálculo en relatividad general donde la contribución clásica no es cero. In la teoría de la cuerda perturbativa la contribución principal es la amplitud del género-1. Los ejemplos euclidianos que describiremos aquí en detalle pertenecen a la familia de = 10 sistemas superconformales y compactos. Con el fin de que admitan una continuación lorentziana a un fondo cosmológico (dependiente del tiempo), supersimetría espacio-tiempo debe romperse. Además, los modelos deben estar libres de taquiones. La presencia de modos taquiónicos indicar que el sistema se somete a una transición de fase. Los únicos ejemplos conocidos con el las propiedades anteriores son de la forma SU(2)k × K SL(2, R)k × K, (45) donde indicamos la continuación analítica de la Euclidiana al espacio Lorentziano- Tiempo. El nivel k se puede tomar para ser pequeño. Como ya hemos comentado, la amplitud de cadena relevante del género 1 tiene que ser térmica. Los modelo supercadena total tiene carga central transversal igual a c = 12 (o = 8). As a consecuencia, tiene una transición Hagedorn en el radio fermiónico RH = 2o.............................................................................................................................................. Con el fin de la amplitud de cadena del género-1 para ser finito, la temperatura física del modelo tiene que ser por debajo de la temperatura de Hagedorn: T < TH = 1/(2 2o). Vamos a dar un argumento de que esto se puede realizar para cualquier k ≥ 2. Al escribir la norma de la función de onda como un espacio térmico- función de partición de tiempo, el papel del Hamiltoniano es asumido por el generador de rotaciones en el disco. Para el modelo superconformal SU(2)/U(1), la corriente U(1) correspondiente es en el nivel k + 2 [36]. Por lo tanto, esperamos que la temperatura física del modelo se fije por el radio asociado a este generador de isometría, a saber: (k 2). Los correspondientes la temperatura es dada por (k 2) y está por debajo de la temperatura de Hagedorn para cualquier nivel positivo (integer) k. Vamos a encontrar que esta temperatura surge naturalmente en el nivel k = 2 modelo debajo. En el nivel k = 0, donde el modelo mínimo tiene carga central cero, y consiste sólo en el operador de identidad (y estado), la cosmología desaparece. Cuando llegamos a la transición Hagedorn, la cosmología se vuelve tan altamente curvo que ya no está presente en el fondo de la teoría de cuerdas. 8.1 Modelos compactos En una primera clase de ejemplos específicos que discutiremos en esta sección, elegimos el nivel k = 2, y tomamos la teoría interna del campo conformal K para ser: K = T 2 × i=1,...,7 SU(2)ki donde todos los ki’s son tomados igual a 2, de modo que •K = 9 (representando el equivalente de carga central de nueve direcciones planas). En la secuela, establecemos = 1. Para esta elección, los caracteres supersimétricos de todo el sistema se definen en términos de ocho niveles k = 2 sistemas parafermiónicos (que no son más que ocho fermiones reales ocho bosones compactados en el radio auto-dual R = 1), y también un complejo fermión T y un bosón complejo ΦT para el toro T 2. Los N = 2 operadores superconformales TF, J son: i=0,1,...7 I+I+I+T+T i=0,1,...7 i T T. (48) Es conveniente emparejar los sistemas (0, 1), (2, 3), (4, 5), (6, 7) respectivamente para obtener cuatro copias de = 2 sistemas. Para la primera copia definimos los bosones H0, H1 en radio 2 (o R = 1 , puntos fermónicos T-dual): (H0 +H1), 1 = (H0 − H1) (49) y de manera similar para los demás. Entonces las corrientes son dadas por i=0,2,6 i(Hi+Hi+1) + i+1 e i(Hi−Hi+1) + iT e J = iŁH0 + i/23370/H2 + i/23370/H4 + i/23370/H6 + i/23370/HT, (50) en el que se define también en el punto fermiónico. Observe que el N = 2 corriente se da en términos de H0, H2, H4, H6 y HT solamente y se normaliza correctamente para un sistema con = 10. Los N = 2 caracteres que se mueven a la izquierda de un sistema particular de • = 2 (por ejemplo, el que contiene H0), se expresan en términos de las funciones habituales de nivel 2 (de categoría 2): η(l)3 2 H0 +2H0 2G0 γ0−2H0 Entre 0 y 2G0 3γ0-4H0 3-4-0-4G0 donde los argumentos (γ0, Ł0) y (4H0, 4G0) son enteros. El último ejemplifica el quiral Zk+2-simetría de los caracteres parafermiónicos superconformales (k + 2 = 4 en nuestro caso). Expresiones similares se obtienen para los otros tres sistemas parafermiónicos • = 2 sustituyendo (γ0, Ł0) con (γi, Łi), y (H0, G0) por (Hi, Gi), i = 1, 2, 3. La existencia global de la simetría mundial superconformal N = 2 y, por lo tanto, la la existencia de la supersimetría espacio-tiempo de izquierda implica (HT, GT ) + i=0,1,2,3 (Hola, Gi) = «Mod 2», (52) 3Nuestra convención para la función de nivel-2 es [ i(n+ )2+2iη(n+ y de manera similar para la supersimetría correcta. Los argumentos (, ) definen la quiralidad de la spinors espacio-tiempo. Una opción simple es establecer (HT, GT ) = (0, 0), (Hi, Gi) = (H,G) para i = 0, 1 y (Hola, Gi) = (−H,−G) para i = 2, 3 (e igualmente para los argumentos correctos). Entonces si (, ) = (1, 1), la supersimetría espacio-tiempo está rota. Para las otras opciones hay algunas cantidad de supersimetría conservada. En esta clase de modelos la única posibilidad restante consistente con la superparametrización global N = 2 consiste en cambios en ΦT de la T Torus. Modelos Z4 orbifold Utilizando la simetría chiral Z4 definida anteriormente y sus subgrupos, podemos obtener cuatro clases de modelos: (H,G) = (h, g), donde (h, g) = enteros, M = 1, 2, 3, 4. (53) En particular, si orbifold por Z4 (M = 1 o M = 3 ), el +0 desacoplamiento de parafermión de el resto, especialmente a partir de 1. Esto está claro ya que en este caso, los argumentos de 0 y 1 e independentízate. Inicialmente, se considera que los argumentos (γi, Łi) son idénticos para el movimiento de izquierda y derecha. caracteres. En este caso se manifiesta la invarianza modular de la función de partición. De hecho, uso de la propiedad de periodicidad de las funciones # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # y orbifolding por Z4, (M = 1), la función de partición invariante modular del género-1 se convierte en: - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (Im.)2 η()12()12 h,g=0,1,2,3 γ0,­0 γ0−h2 (+) ≤0− g2 γ1,e1 γ1−h2 • 1− g2 γ2............................................................................................................................................................................................................................................................. γ3.3 (α,β) eil() (,) eiÿ() g . (55) Los argumentos (α, β) y (, ) son los asociados a la N = 2 izquierda y derecha-movimiento supercorrientes. Si (, ) = (1, 1), la supersimetría se rompe. Para todas las otras opciones esta partición función es idénticamente cero y hay cierta cantidad de supersimetría preservada. Para obtener el resultado anterior hemos utilizado el hecho de que la contribución de los fantasmas superconformales cancelar las contribuciones osciladoras de las supercoordenadas T 2 (ΦT,ΦT ). Esta es la razón para la elección de la Z4 para no actuar en la T, habiendo establecido (HT, GT ) = (0, 0). El único remanente de la contribución del toro es la retícula de 2,2, que puede ser desplazada por (Lh/2, Lg/2) con o bien L = 0 o L = 1, 2, 3 (como veremos más adelante). Para proceder necesitamos identificar e insertar el co-ciclo térmico S q, ( ) p, () asociado a la dirección temporal de la cosmología: q, () p, () = eiγ( p()+ q()), (56) donde p y q son las cargas de celosía asociadas al tiempo euclidiano compactado. Aquí, Fα = (α + ) y Fβ = (β + ) definen el giro de las partículas espacio-tiempo: Fα = 1 módulo 2 para los fermiones y Fα = 0 módulo 2 para los bosones. Para imponer esta inserción de co-ciclo, es necesario para reescribir la función de partición en una forma que revela la red de carga (p, q) de la dirección temporal euclidiana. Con este fin, es conveniente separar la función de partición en el “sector no torcido” (h, g) = (0, 0) y “sector retorcido” (h, g) 6= (0, 0), - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (Im.)2 Zunt + (h,g)6=(0,0) Ztwist * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (57) Para aislar la retícula de carga relevante (p, q), utilizamos la identidad * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (m,n) 2 mn (mÃ3nÃ3nÃ3nmn), R2 = . (58) Aunque en la identidad anterior el radio se fija al punto fermiónico R2 = 1/2, notamos que las propiedades de transformación modular son las mismas para cualquier R2, y en particular para el punto doble-fermiónico con R2 = 2. Usando la identidad anterior para el bloque conformal que involucra a las parafermions Campo H1, obtenemos (γ,l) 0,1 [ 2 H1 [ (γ,l) (m1,n1),(m2,n2) m1n1 R22 m2n2 (m1 + m2)(n1 + n2)(m1 + m2 n2)(59) donde R21 = R 2 = R 2 = 1/2. Dado que los argumentos (γ, ) no aparecen en otra parte (en la ecuación (55)), sumando sobre ellos fuerzas (m1+m2) y (n1+n2) para ser enteros pares. Esta restricción puede ser resuelto si tomamos m1 = p1 + p2, m2 = p1 − p2, n1 = q1 + q2, n2 = q1 − q2 (60) para que, (γ,l) 0,1 [ 2 H1 [ = 1,1(R+) 1,1(R−) = (p1,q1) 2 R+ e R2+ p1q1 (p2,q2) 2 R− e R2− p2q2 (61) con R2+ = R − = 2R 2 = 1. Por lo tanto, la función de partición de la parte bosónica de las parafermiones factorizan en dos retículas de 1,1, ambas con el doble del radio inicial al cuadrado. Las retículas de carga (p1, q1) y (p2, q2) están asociadas a las parafermiones â € 0 y â € 1. Podemos ver esto de la siguiente manera. Considere los operadores de carga izquierda que están bien definidos en el Sector sin torcer: Q+ = i dz(­0­01 + ­H1), Q­ = i dz(­0­0­1 − ­H1) (62) y de manera similar para los que se mueven a la derecha (Q). Entonces, (Q + Q̄)+ = m1 + m2 = 2p1, (Q− Q̄)+ = n1 + n2 = 2q1 (Q+ Q̄)− = m1 −m2 = 2p2, (Q− Q̄)− = n1 − n2 = 2q2 (63) donde hemos utilizado la restricción (60). Identificamos los cargos (p1, q1) como el momentoa que entran en el co-ciclo térmico, y asocian la celosía a la dirección de tiempo euclidiana. Antes de seguir adelante, insistamos en el siguiente punto. Empezamos con una diagonal combinación modular invariante y con radio R21 inicial = R 2 = R 2 = 1/2. El antidiagonal elección implica que los valores iniciales para los radios se encuentran en los puntos T-dual fermónicos, a saber: R21 = R 2 = R 2 = 2. Nótese que en total realizamos dos T-dualidades simultáneamente para que nos quedamos en la misma teoría tipo II. Por lo tanto, el bloque conformal, ecuación (59), puede ser sustituida por la T-dual con R2 = 2,4 Para la elección antidiagonal, los radios de la Las celosías factorizadas correspondientes son dadas por R2+ = R − = 4 en lugar de unidad para la diagonal combinación. Por lo tanto, en el sector no trenzado, Zunt tiene que ser sustituido por Zunt Zthermalunt = (p1,q1) (α,β),(,) Zthermalunt q1, p1, eiγ(p1()+q1()). (64) Realizar una factorización similar para las tres copias restantes de • = 2 superconformales bloques parafermiónicos, podemos escribir la contribución térmica sin torsión en una forma compacta: Zthermalunt = Imâr9,9 η1212 (α,β),(,) •1,1(R+) eil() eiÿ() El factor de retícula de 9,9 se compone de un producto de retículas: la retícula inicial de 2,2 de la torus T 2 con radio Ry, Rz, la celosía â ¬1,1 del primer bloque parafermiónico en radio R−, y el producto de tres pares ­1,1(R +)-1,1(R -) para los otros tres bloques parafermiónicos. Los La retícula es la retícula desplazada térmicamente. •1,1(R+) (p1,q1) 2 R+ e R2+ p1q1 Imđ eiγ(()p1+()q1). (66) Su acoplamiento con la estructura de rotación espacio-tiempo rompe la supersimetría espacio-tiempo de modo que ambos bosones y fermiones dan contribuciones positivas a la función de partición térmica. Los radio R+ establece la temperatura del sistema: 2ηT = 1/R+. La forma de la térmica el acoplamiento en la ecuación (65) es similar al que aparece en el familiar tipo plano II teorías de supercadenas a temperatura finita. La diferencia aquí es que la temperatura es Arreglado. Ya que hemos tenido éxito en factorizar la celosía térmica, ahora podemos tratar a todos los demás radii parametrizando la retícula ­9,9 como modulo independiente. Para obtener las cuatro dimensiones 4En el formalismo de Gepner [36] la combinación antidiagonal corresponde al intercambio (m, m̄)→ (m,-m̄). interpretación que discutimos en la sección 2, tomamos el radio Ry,z para ser grande manteniendo todos los demás uno pequeño. Como ya hemos comentado, sólo hay dos opciones consistentes con la cosmología interpretación de la función de partición correspondiente a los dos valores del radio R+. Para la opción diagonal tenemos un radio R2+ = 1 correspondiente a una temperatura 2ηT = 1/R+ superior a Hagedorn: 2γTH = 1/RH = 1/ 2. Este modelo es taquiónico y tan inestable en Teoría de la perturbación. Para la segunda opción antidiagonal R2+ = 4, y la temperatura es Por debajo de Hagedorn: 2ηT = 1/2 < 2ηTH. Esta es precisamente la temperatura que recogimos. de los argumentos generales, ecuación (46) para el nivel k = 2. Ese modelo da lugar a un pozo función de partición definida, integrable y una norma finita para la función de onda en un bucle. La integral es difícil de realizar analíticamente, pero se puede estimar. No vamos a llevar fuera de este cálculo aquí. La parte restante consiste en los sectores retorcidos de la teoría, (h, g) 6= 0. Aquí lo haremos. encontrar nuevos fenómenos de cuerda asociados con el hecho de que estamos orfoldeando el Euclidiano círculo de tiempo. Dado que esto es retorcido, el co-ciclo térmico tiene que ser extendido consistentemente. Lo siento. adopta la forma general, válida tanto para los sectores sin torcer como para los sectores torcidos: (q+h), () (p+g), () = eiγ( (p+g)()+ (q+h)() ). (67) Es decir, la celosía relevante es aumentada por los números cuánticos (g, h) que etiquetan la sectores retorcidos. Una vez más, el co-ciclo térmico asegura que los fermiones contribuyen positivamente a la función de partición. En los sectores retorcidos, no hay carga de impulso y podemos establecer (p, q) = (0, 0). En los sectores retorcidos, cada uno de los dos bloques superconformales es equivalente a un sistema descrito por un bosón complejo libre y un fermión complejo libre retorcido por Z4. Esta equivalencia implica identidades topológicas para cada bloque superconformal retorcido N = 2 [38][39]: 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 (γi,đi) γi−h2 •i− g2 = 22 sin2( (h, g) en los casos en que el valor de la letra h), g) = el valor de la letra g), h) dependa del sector con torsión (h, g). (h, g) = 2 cuando (h, g) =(0,2), (2,0) y (2,2) mientras que para los 12 sectores restantes retorcidos (h, g) = 1. Aunque lo anterior expresiones orbifold se derivan en el punto fermiónico, siguen siendo válidos para cualquier otro punto del espacio de modulos sin torcer. Usando la identidad orbifold anterior, la parte “twisted” de la función de partición térmica simplifica: Zthermaltwist = (α,β,,) (h,g)6=(0,0) Im.............................................................................................................................................................. () () () () () () () () () ()h) × 28 sin8( (h, g) g . (69) Además, mediante el uso de las identidades de izquierda (y derecha) Jacobi (α,β) eil() = , (70) la parte retorcida de la función de partición térmica simplifica aún más: Zthermaltwist = (h,g)6=(0,0) Im................................................................................................................................................................ 8 sin8( (h, g) ) (g, h), (, )). (71) El factor depende de la elección inicial de los coeficientes de quiralidad izquierda y derecha (g, h), (, ) = (1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1) (1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1) . (72) Cabe señalar que la expresión (71) tiene una interpretación teórica de campo en términos de retícula de impulso solamente. Si el modelo no térmico inicial no era supersimétrico, = = 1, entonces el número de bosones y fermiones sin masa no serán iguales, nb 6 = nf. Para todas las demás opciones nb = nf. Esta situación se refleja en el factor (g, h), (, )), que distingue los cuatro diferentes posibilidades. En el caso no supersimétrico hay una contribución no evasiva a la función de partición, incluso en ausencia del cociclo térmico. Esto es equivalente, en teoría de campo, a la contribución de la temperatura cero de un bucle a la acción efectiva. Esto contribución es cero en teorías supersimétricas. En los casos posteriores, las correcciones están llegando de los enormes bosones térmicos y fermiones más una contribución de los bosones sin masa. Nosotros muestra aquí una serie de ejemplos típicos. La primera clase es cuando la retícula de 2,2 es unshifted por (h, g) y por lo que factoriza fuera de la suma sobre (g, h). Retícula no desplazada de 2,2 € En el caso no desplazado, la suma sobre (g, h) se puede realizar fácilmente de modo que el único restante dependencia es la de,. Obtenemos [40] [41], Sthermaltwist = - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (Im.)2 Zthermaltwist = −C[, ] log (T )4 (U)4 ImT ImUμ2 donde μ2 es un corte infrarrojo y T, U parametriza la estructura compleja y Kähler módulo del torso T 2 del espacio de destino. El coeficiente C[, ] depende de las quiralidades iniciales de los espinos: C[1, 1] = 240, C[1, 0] = C[0, 1] = 32, C[0, 0] = 64. (74) En realidad, C[, ] no es nada más que el número de los grados bosónicos sin masa de la libertad de la teoría. Ecuación (73) es invariante bajo el grupo de T-dualidad del espacio objetivo completo que actúa en la T y U moduli por separado. Para un gran volumen, ImT 1, el comportamiento principal es lineal en ImT, RyRz. Suponiendo iU Ry/Rz fijo y μ2 γ/RyRz, tenemos Sthermaltwist = C[, ] RyRz − registro γ (U)4 ImU . (75) Tenga en cuenta que en el gran límite de volumen, la contribución del sector retorcido a la amplitud de un bucle depende tanto del módulo Kähler como de la estructura compleja. Retícula desplazada Otro ejemplo ilustrativo es cuando la acción Z4 cambia la retícula de 2,2 al mismo tiempo con el giro que describimos antes. En este caso la celosía es reemplazada por una celosía desplazada de 2,2. La retícula desplazada (Lh/2, Lg/2), L = 1, 2, 3, está dada por 5: (R) = (m,n) 2 (4m+Lg)+(4n+Lh) Im.. s............................................................................................ (76) Aquí, vamos a examinar con más detalle el caso L = 1 que corresponde a un 1/4-desplazado Enrejado. 5Para la brevedad hemos dado la expresión para la retícula desplazada de 1,1 pero la generalización a la 2,2 La celosía es sencilla. Cuando (, ) = (1, 1), la contribución del sector retorcido a la función de partición pasa a ser [39][42]: Sthermaltwist = 240 - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (Im.)2 2,2[T, U]− 2,2[4T, 4U] . (77) Para obtener la expresión anterior hemos utilizado las identidades (h, g) = 2,2(T, U), 2,2[ 0 ] = 2,2[4T, 4U] (78) y restamos la contribución del sector sin torcer, (g, h) = (0, 0). Integración excesiva * Obtenemos [39] [42] Sthermaltwist = − 60 log (T)16(U)16 (4T)4(4U)4 ImT 3 ImU3μ6 . (79) No hay factor de volumen en el gran límite de ImT (y esto es genérico en el caso de libre actuar o bifolds [39] [42]). Así que para ImT grande, (y el ajuste de ImTμ2 γ), obtenemos Sthermaltwist = −60 log (U)16 (4U)4 . (80) En el gran límite de volumen, Sthermaltwist sólo depende del módulo de estructura complejo de la Torus. Observaciones La amplitud total de un bucle euclidiano en los casos de retícula desplazada y no desplazada es dado por: Esthermal = Sthermalunt + S térmica torsión (81) El Sthermalunt no es más que una cuarta parte de la función de partición térmica del tipo II super- teoría de cuerdas en S1 × T 9 con los nueve radios espaciales arbitrarios, mientras que la de tiempo euclidiano fijado por la temperatura: 2ηT = 1/R+ = 1/2. Al exponer S termal, con el retorcido contribuciones del sector en nuestros ejemplos dados por las ecuaciones (75) y (80), obtenemos las normas de las funciones cosmológicas de onda correspondientes como funciones de todos los modulos. La diferencia entre el modelo desplazado y el modelo ordinario discutido anteriormente puede ser , entendido como sigue: Se sabe que los oblicuos que actúan libremente están relacionados con la gravedad y calcule fondos de campo con flujos [43]. Esto indica las diferentes interpretaciones de los dos modelos cosmológicos con desplazado y unshifted 2,2. En el modelo desplazado hay los flujos magnéticos no evasivos [43], mientras que en el caso no desplazado tales flujos están ausentes. Resaltemos aquí que el Z4-orbifold térmico descrito implica una torsión que deja dos modulos parametrizando una celosía de 2,2, que en el gran límite de modulos nos da los cuatro modelo cosmológico dimensional discutido en la sección 2. Muchos otros modelos tipo orbifold se puede construir, que puede factorizar celosías más grandes, admitiendo una dimensión superior interpretación. En todos esos casos, la función de partición es computable como una función de la moduli. Sin embargo, su forma analítica en términos del modulo en varios límites depende crucialmente sobre si el orbifold es libre, o incluso parcialmente libre de actuar (o en otras palabras, sobre el estructura diferente de los flujos magnéticos). Los modelos basados en orbifolds asimétricos también pueden ser construido dando lugar a una rica familia de modelos calculables. Un análisis más detallado sería ser interesante para entender la clasificación de las cosmologías de bajo nivel, así como la dependencia característica de la norma de la función de onda en las diversas características de la gran clase de modelos. Para ilustrar los puntos anteriores, ofrecemos un ejemplo más simple basado en un Z2 en lugar del Z4 orbifold. Modelos Z2 orbifold En los modelos Z2 orbifold (M = 2 en la ecuación (53)), la factorización de la cosmología El factor CFT no es tan explícito como en los ejemplos de Z4. Sin embargo, el cosmológico La interpretación sigue siendo la misma. Para el sector sin torcer, la contribución del género 1 Sthermalunt es ahora la mitad de la función de partición de la teoría de tipo II en S1 × T 9. Procedemos a analizar el sector retorcido contribución a la amplitud del género 1. Siguiendo pasos similares a los del caso Z4 orbifold, y ahora ajuste (2H, 2G) = (h, g) para ser enteros definido módulo 2, obtenemos para el caso (, ) = (0, 0) Sthermaltwist = - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (Im.)2 (h,g)6=(0,0) 28 Im............................................................................................................... (82) Para llegar a la nota de resultado que ya que los caracteres (h, g) se definen como enteros modulo 2, el factor de 1/4 en la primera línea de la ecuación (55) ahora se convierte en 1/2; ninguna otra modificación en esta fórmula son necesarios. Todos los demás pasos pasan como antes. Aquí también podemos clasificar los modelos en dos clases; en la primera clase la celosía se toma para ser sin cambiar, mientras que en la segunda clase el â € 2,2 es medio-desplazado. Usaremos la definición: (R) = (m,n) 2 (2m+Lg)+(2n+Lh) Im.. s............................................................................................ (83) Para el modelo de Z2 sin cambiar, y cuando (, ) = (0, 0), obtenemos: Sthermaltwist = −384 log (T )4 (U)4 ImT ImUμ2 . (84) Al igual que en los modelos Z4, para un gran volumen, ImT 1, el comportamiento principal es lineal en ImT RyRz. Asumiendo iU Ry/Rz fijo y μ2 γ/RyRz tenemos: Sthermaltwist = 384 RyRz − registro γ (U)4 ImU . (85) El modelo Z2 con retícula semidesplazada, +2,2[ g ], (g, h = 0, 1), rendimientos [39] [42] Sthermaltwist = 384 - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (Im.)2 2,2[T, U]− 2,2[ 2T, 2U] . (86) Aquí también se resta la contribución procedente del sector no torcido (h, g) = (0, 0). Para obtener la expresión anterior hemos utilizado las identidades (h, g) 2,2 €[ g ] = 2,2[T, U], 2,2[ 0 ] = 2,2 [ 2T, 2U ]. (87) Integrando más de... obtenemos: Sthermaltwist = −192 log (T)8(U)8 (2T)4(2U)4 ImT ImUμ2 . (88) No hay factor de volumen en el límite grande de ImT. Por lo tanto, para la gran ImT, (y el ajuste de ImTμ2 γ), obtenemos para el medio-desplazado retícula contribución a Sthermaltwist : Sthermaltwist = −192 log γ (U)8 (2U)4 . (89) Como vemos, podemos obtener expresiones explícitas para la aproximación del género-1 a la norma de la función de onda para estos modelos Z2 en particular. Se concede una contribución distorsionada al sector explícitamente por ecuaciones (88) y (89). En la anterior familia de modelos, siempre hemos considerado una cosmología bidimensional a pequeña escala. Esa elección se debe principalmente a dos obstrucciones que son difíciles (pero no necesariamente imposible) de eludir. Uno está asociado a la dificultad de continuar desde Firma Lorenziana a Euclidiana en presencia de flujos eléctricos. La otra es que lo es. difícil de construir modelos compactos con déficit de carga central positivo (negativamente curvado Fondos euclidianos) en teoría de cuerdas, o alternativamente, una versión compacta de dilaton lineal modelos de tipo. En la siguiente sección formulamos algunas observaciones adicionales al respecto. 8.2 Modelos tipo Liouville Considere los fondos cosmológicos de teoría de cuerdas basados en CFTs de hoja de mundo de la forma (ver e.g. [13][22][14][23][25][26][27][28][29]: SL(2, R)k SL(2, R)k4 ×K. (90) Una característica agradable de tales modelos es que la carga central combinada de los dos SL(2, R)/U(1) factores es independiente de k, y por lo tanto esto puede ser tomado como un param independiente, variando eter. Aunque se conoce la función de partición del fondo del cigarro euclidiano [44], nosotros necesidad de tratar primero con el hecho de que para tal fondo la función de la onda cosmológica es no normalizable debido al volumen infinito del factor puro SL(2, R)k/U(1). Para producir una función de onda normalizable debemos enfrentar el problema de la compactación consistente factor, como se aludió al final de la sección anterior. Por otra parte, sería interesante obtener un esquema de compactación que deja k un parámetro libre. Compactar el cigarro equivaldría a discriminar sus modos continuos manteniendo al mismo tiempo la unidad y la invarianza modular de la función de partición del toro intacta. Un aspecto interesante de estos modelos es que ahora la contribución de la esfera a la cadena función de partición es finito ya que el volumen del grupo conformal Matar cancela contra el volumen del SL(2, R)k/U(1) factor de teoría de campo conformal. Sin embargo, podemos ver que la contribución del toro domina (en cualquier acoplamiento de cadena finita) debido al volumen divergencia. Si se encuentra una forma consistente de cortar el volumen del cigarro, podríamos interpretar la contribución del toro como una corrección térmica finita a la contribución a nivel de árbol, realizar una versión rígida del cálculo en [5][7][45]. Otra sugerencia para desarrollar nuestro formalismo en espacios lineales de dilaton, es ver la función de onda del universo como también dependiendo de una condición límite en el espacio- como dilato lineal de la dirección del cigarro, con el fin de obtener un dilato lineal holográfico interpretación [46]. Parte de la interpretación de la función de onda del universo sería entonces sería como en la imagen de Hartle-Hawking, y parte sería holográfica. Por último, en estos modelos supersimetría se puede restaurar asintóticamente en el gran límite k, haciendo contacto con modelos de dilaton lineal en direcciones nulas (véase, por ejemplo, [47] para los progresos recientes). 9 Debate Hemos esbozado un marco que generaliza la propuesta de Hartle-Hawking la función de onda del universo a los fondos cosmológicos de la teoría de cuerdas. La clase de las cosmologías de ejemplo consideradas aquí son descritas por las teorías del campo conformal de la hoja del mundo de la forma general SL(2, R)k/U(1) × K, donde K es un CFT interno y compacto. In para definir el análogo de la función de onda Hartle-Hawking, tuvimos que superar el obstáculo técnico de darse cuenta de que tales cosmologías (como la correspondiente Euclidiana Parafermion teorías) tienen una descripción casi geométrica en términos de un compacto no- singular T-fold. Luego definimos la función de onda del universo a través de una cadena euclidiana campo teoría camino integral (generalización de la propuesta sin fronteras). Para ejemplos específicos nosotros computar la norma de la función de onda a la dirección de orden en la teoría de la perturbación de la cadena, como una función de los parámetros de modulo. Hay muchos ejemplos similares interesantes a los que nosotros puede generalizar nuestro análisis. En una interpretación probabilística, con una función de onda normalizable a la mano, uno puede tratar de calcular valores de expectativa de vacío para cantidades físicas particulares en diversas modelos cosmológicos, y analizar sus propiedades en varias regiones del espacio modulo. Nuestro el propósito de este documento era proporcionar el marco para ese debate, que promete para ser interesante. En particular, es un problema abierto identificar las regiones preferidas en el espacio modoli en la gran clase de modelos a los que se aplica nuestro análisis. Más concretamente, creemos que nuestra construcción señala el buen uso que se puede hacer de T-folds, y la geometría generalizada, en cosmologías de cuerda (permitiendo evadir varios no-go teoremas en geometría pura). Por otra parte, hemos sido capaces de definir un cálculo razonable en una compactación de la teoría de cuerdas similar a la de Sitter, después de continuar analíticamente Teoría euclidiana. Estos cálculos son genéricamente difíciles de conseguir en la gravedad de Sitter después de la cuantificación, por lo que cualquier cantidad cosmológica bien definida, como la norma de la onda- función de los universos de cuerda, merece el escrutinio. Finalmente, calculamos una cantidad similar a un Enredo entropía en el espacio de Sitter, y demostró que sólo consigue contribuciones a partir de en un bucle, y le dimos su origen microscópico. Agradecimientos Agradecemos a Constantin Bachas, James Bedford, Ben Craps, John Iliopoulos, Dieter Luest, Hervé Partouche, Anastasios Petkou, Giuseppe Policastro y Marios Petropoulos para su utilidad debates. N. T. agradece a la Ecole Normale Supérieure y C. K. y J. T. agradece a la Universidad de Chipre para la hospitalidad. Este trabajo fue apoyado en parte por la UE en el marco de los contratos MRTN-CT-2004-005104, MRTN-CT-2004-512194 y ANR (CNRS-USAR) contrato no 05-BLAN-0079-01 (01/12/05). Bibliografía [1] J. B. Hartle y S. W. Hawking, “Función de la Ola del Universo”, Phys. Rev. D 28 (1983) 2960. [2] A. Vilenkin, “Cantum Creación de Universos,” Phys. Rev. D 30 (1984) 509. [3] H. Ooguri, C. Vafa y E. P. Verlinde, “Función de la onda Hartle-Hawking para el flujo com- pactificaciones”, Lett. 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Query on Negative Temperature, Internal Interactions and Decrease of Entropy

Microsoft Word - negEntr.doc Consulta sobre temperatura negativa, interna Interacciones y disminución de la entropía Yi-Fang Chang Departamento de Física, Universidad de Yunnan, Kunming, 650091, China (dirección electrónica: yifangchang1030@hotmail.com) Resumen: Después de que se renueve la temperatura negativa, encontramos que se derivará necesariamente disminución de la entropía. Temperatura negativa se basa en la escala Kelvin y la condición dU>0 y dS<0. Por el contrario, también hay temperatura negativa para dU<0 y dS>0. Pero, la temperatura negativa es contradicción con el significado habitual de temperatura y con algunos conceptos básicos de física y matemáticas. Es una pregunta. en termodinámica de nonequilibrio. Propusimos una posibilidad de disminución de la entropía debido a la fluctuación aumentada e interacciones internas en algunos sistemas aislados. Desde Este es el caso de algunos ejemplos y teorías posibles. Palabras Clave: entropía; temperatura negativa; no equilibrio. PACS: 05.70.-a, 05.20.-y 1.Restatement de la temperatura negativa En la termodinámica la temperatura negativa es una idea bien conocida propuesta y expuestos por Ramsey [1] y Landau [2], et al. Ramsey discutió la termodinámica y la mecánica estadística de los negativos temperaturas absolutas de manera detallada y fundamental [1]. Él probó que si la entropía de un sistema termodinámico no es una función monótonamente creciente de su energía interna, posee una temperatura negativa cuando XUS )/( negativo. Las temperaturas negativas son más calientes que la temperatura positiva. Señaló lo siguiente: desde un punto de vista termodinámico el único requisito para la existencia de un temperatura negativa es que la entropía S no debe restringirse a un monótono aumento de la función de la energía interna U. En la ecuación termodinámica relacionada TdS y dU, una temperatura es )/( XUST. 1).......................................................................................................................................................... Una suposición, la entropía S aumenta monótonamente con U, no es necesario en el derivación de muchos teoremas termodinámicos. Las temperaturas negativas son más calientes que temperatura infinita. La temperatura negativa es desafortunada y engañosa. Si la función de temperatura se había elegido como 1/T, entonces la temperatura más fría sería corresponde a - para esta función, temperaturas infinitas en la escala convencional se correspondería con 0, y las temperaturas negativas en la escala convencional corresponden a valores positivos de esta función. Ramsey propuso: Una de las formulaciones estándar de la segunda ley de la termodinámica debe ser alterada a lo siguiente: Es imposible construir un motor que funcionará en un ciclo cerrado y demostrará que no tiene otro efecto que (a) el extracción de calor de un depósito de temperatura positiva con el rendimiento de un cantidad equivalente de trabajo o b) el rechazo del calor a una temperatura negativa depósito con el trabajo correspondiente que se está realizando en el motor. Un termodinámico sistema que está en equilibrio termodinámico interno, que es esencialmente aislados. Las temperaturas negativas se aplican a algún giro nuclear mutuamente interactuante sistema. Klein justificó los criterios de Ramsey para sistemas capaces de temperaturas [3]. La única premisa de la declaración de Ramsey es la definición Kelvin (1). Incluso él insinuó que la entropía podría disminuir con U, es decir, en una definición original de temperatura T=dU/dS, (2) cuando dU>0 y dS<0, T<0. Intuitivamente, el significado físico de la temperatura es que describe si un el cuerpo está caliente o frío [4]. Definición de temperatura termodinámica absoluta la escala es proporcional a la cantidad de calor. Maxwell s definición es que la temperatura de un cuerpo es su estado térmico considerado con referencia a su poder de comunicación de calor a otros cuerpos, que se adoptó sustancialmente sin cambios por Planck y Poincare [5]. En la termodinámica microscópica las temperaturas están relacionadas con los estados de los movimientos moleculares. La escala de temperatura de Kelvin está definida por la relación (1). Es un poco diferente que Landau demostró una temperatura negativa. En el libro de Landau <Fisica estadística> [2] La temperatura negativa fue declarada como sigue: considerar algunos efectos peculiares relacionados con las propiedades de los dieléctricos paramagnéticos. Aquí la interacción de estos momentos produce un nuevo espectro magnético, que está superpuesto en el espectro ordinario. De esto es la entropía En nnmag EE gNS, (3) donde N es el número de átomos, g es el número de posibles orientaciones de un momento individual relativo a la celosía, nE son los niveles de energía del sistema de momentos de interacción, y nE es el promedio como la media aritmética ordinaria. Esto deberán tener en cuenta los momentos magnéticos atómicos fijados en los lugares de retícula e interactuar el uno con el otro como un único sistema aislado. Además, tiene el interesante resultado que el sistema de momentos de interacción puede tener un positivo o un negativo temperatura. En T=0, el sistema está en su estado cuántico inferior, y su entropía es cero [2]. De hecho, la temperatura T=0 (cero absoluto) es imposible de alcanzar. As the aumento de la temperatura, la energía y la entropía del sistema aumentan monótonamente. En T=, la energía es nE y la entropía alcanza su valor máximo Nlng; estos los valores corresponden a una distribución con igual probabilidad sobre todos los estados cuánticos de el sistema, que es el límite de la distribución de Gibbs como T. La declaración de temperatura negativa original se basa en las dos premisas: entropía del sistema aumentar monótonamente, y la distribución de Gibbs se mantiene. De esto un poco extraño se obtienen argumentos [2]: a). La temperatura T=- es físicamente idéntico con T= ; los dos valores dar la misma distribución y los mismos valores de las cantidades termodinámicas para el sistema. Según la definición general, la temperatura no puede ser infinita, ya que la cantidad de calor o movimiento molecular no puede ser infinita. Temperatura negativa, incluso la temperatura infinita negativa es más extraña. En el mismo libro < Física estadística >, Landau demostró ser un resultado muy importante que la temperatura debe ser positiva: T>0 [2]. Además, T= =- está excluido por las matemáticas. b). Un nuevo aumento de la energía del sistema corresponde a un aumento de la temperatura de T=, y la entropía disminuye monótonamente. c). En T=0- la energía alcanza su mayor valor y la entropía vuelve a cero, el sistema entonces está en su estado cuántico más alto. Esto obedece al teorema de Nernst, pero en la que la cantidad de calor es cero en T=0, mientras que en T=0- posee más alto ¡Estado cuántico! No sé si T=0=T=0- tiene o no. d). La región de temperatura negativa no se encuentra por debajo del cero absoluto, sino por encima infinito, es decir, las temperaturas negativas son más altas que las positivas. 2.Query sobre la temperatura negativa y la disminución de la entropía En un artículo anterior [6], demostramos que ya que las fluctuaciones se pueden magnificar debido a a las interacciones internas bajo una determinada condición, la igualdad de probabilidad no se mantiene. La entropía se definiría como rr tPtPktS ) ln(). 4) A partir de esto o lnkS en un proceso interno condensado, posible disminución de se calcula la entropía. Si varios mecanismos e interacciones internos complejos no pueden un estado con menor entropía (por ejemplo, estructuras auto-organizadas) ser capaz de aparecer. En estos casos, las estadísticas y la segunda ley de la termodinámica debe ser diferente, en particular, para la termodinámica no equilibrada [7,8]. Porque las interacciones internas provocan la inaplicabilidad de la independencia estadística, la disminución de la entropía debido a las interacciones internas en el sistema aislado es causada posiblemente. Esta posibilidad es investigada para procesos atractivos, energía interna, entropía del sistema y interacciones no lineales, etc [6]. De hecho, la temperatura negativa deriva necesariamente una disminución de la entropía. Pensamos, T= =- es sólo una temperatura umbral finita cT, que corresponde a un valor de entropía de aumento a disminución, y esta entropía es un Nlng máximo. De acuerdo a la ecuación básica de la termodinámica, es decir, la ecuación de Euler [9], S. (5) Si la energía es invariante, la temperatura correspondiente debe ser . 6) Este valor debe ser verificable y medible. Tal temperatura y energía aumentan continuamente, y la entropía disminuye al mínimo, pero no puede ser cero. Por supuesto, la energía pasa necesariamente del sistema de temperatura negativa a temperatura positiva sistema. A continuación, la distribución de Gibbs es nAew /. 7).................................................................................................................................................. Esto encuentra la probabilidad nw de un estado de todo el sistema tal que el cuerpo está en un estado cuántico definido (con energía nE ), es decir, microscópicamente estado definido, y es adecuado que el sistema se supone que está en equilibrio [2]. Siempre y cuando asuma que el agujero de distribución Gibbs siempre, es necesario para negativo temperatura. Pero, en el ejemplo anterior y láser que es otro ejemplo aplicado temperatura negativa, estos estados ya son inestables o metaestable nonequilibrio estados con mayor energía. Cuerpos de temperatura negativa también son completamente inestables y no puede existir en la Naturaleza [2]. La entropía de un cuerpo es una función sólo de su interior energía [2]. En los estados con temperatura negativa, el cristal se magnetiza en un fuerte campo magnético, entonces la dirección del campo se invierte tan rápidamente que los giros no puede seguirlo [2]. Este sistema está en un estado de no equilibrio, y su energía interna y la entropía son diferentes. Láser debe ser un proceso de pedido con disminución de Entropía. Generalmente, la distribución de Gibbs para un número variable de partículas es [2] nNAew /(),, (8) donde es el potencial termodinámico. De esto las distribuciones son diferentes para el número N de partículas. El número N debe ser diferente en el campo magnético con dirección invertida. La declaración anterior de la temperatura negativa demuestra que la entropía es capaz de disminución con interacciones internas en un sistema aislado. El estudio experimental requiere que el sistema de rotación esté bien aislado del sistema de celosía [1]. Esto el aislamiento es posible si la relación entre los tiempos de relajación de la espinilla y los tiempos de relajación de la espinilla es grande [2]. Esto puede describir la figura 1, que es a saber, Fig.1 [1] y Fig.10 [2], en la que el valor umbral finito cT corresponde sólo a un punto máximo dS/dE=0. Fig.1 Temperatura negativa Según Eq.(1) o Eq.(2), cuando la condición dU>0 y dS<0 mantienen, negativo se obtendrá la temperatura. Por el contrario, si dU<0 y dS>0, también derivaremos temperatura negativa. Pero, Eq.(2) proviene de Clausius entropy dS=dQ/T, así que si las condiciones anteriores podrían mantenerse o no? Según Eq.5), si ii NYX = 0, T=U/S. En la figura 1, desde U>0 (E>0) y S>0, luego T>0. De este caso, no podemos obtener una temperatura negativa, y gNET cc ln/. En otro libro < Principios de la Termodinámica General > [5], Kelvin la temperatura (1) del sistema termodinámico puede ser positiva o negativa, según si, a medida que el sistema pasa por estados estables con parámetros fijos, la entropía aumenta o disminuye con el aumento de la energía. Esto es diferente con La declaración de Landau. De hecho, esta afirmación parece implicar que la negativa la temperatura es innecesaria, siempre y cuando la entropía disminuya con el aumento de la energía. Un sistema normal puede asumir sólo temperaturas Kelvin positivas. ± Un sistema en una La temperatura negativa de Kelvin está en un estado especial. Porque si esto no fuera cierto podríamos, por la definición, trabajar en el sistema adiabaticamente y demostrar que el sistema estaba en un temperatura Kelvin positiva. Un sistema es capaz de alcanzar Kelvin negativo temperaturas si para algunos de sus estados estables la entropía disminuye para aumentar energía a valores fijos de los parámetros. Además, como ejemplos, la entropía para un gas monatómico es dada por «lnln)2/3( SRTRS. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Basado en esto, T y la densidad no puede ser negativo. Los sistemas son un giro nuclear. unos en un fluoruro de litio puro (LiF) los tiempos de relajación de la retícula giratoria de cristal eran tan grandes como 5 minutos a temperatura ambiente mientras que el tiempo de relajación de giro-giro fue menor que segundos. Los sistemas pierden energía interna a medida que ganan entropía, y la inversión la desviación corresponde a inducir la radiación. La inversión repentina del campo magnético produce una temperatura negativa para la distribución de Boltzmann [10]. A continuación, este libro [5] discutió el flujo de calor entre dos sistemas A y B a temperaturas desiguales, y deriva AdQ. (10) Aquí dejar que una cantidad de calor AdQ fluya en A desde B, por lo que debe haber 0AB TT, que también es coherente con la desigualdad (10). Además, según una eficiencia de motores de calor . (11) Aquí si cualquiera de las dos temperaturas es negativa, la eficiencia será mayor que la unidad. Supongamos que eso es posible, esto será testificado e infinitamente meritorio y beneficioso actos. Los resultados llegados para las temperaturas negativas que son extraños para nuestro La intuición no tiene importancia práctica en el campo de la producción de energía. Pero, °syst e m a temperaturas Kelvin negativas obedecer la segunda ley y sus muchos corolarios. Por supuesto, sería inútil consumir el trabajo con el fin de producir un depósito a una temperatura negativa que se puede utilizar para operar un calor muy eficiente motor [5]. Por lo tanto, esto parece implicar que la temperatura negativa se introduce sólo para obedecer la segunda ley de la termodinámica. Existe la misma eficiencia de un motor Carnot aplicado por Ramsey [1]: . (12) Aquí varios resultados de la existencia de la máquina fueron discutidos con el fin de no estar en contradicción con el principio de entropía creciente. Para un proceso de temperatura igual, hay un resultado simple: dS=(dU+PdV)/T, (13) donde U es la energía interna del sistema. Un caso general es (dU+PdV)>0, dS>0 para temperatura normal T>0; dS<0 si T<0. Además, si T>0 y (dU+PdV)<0, por ejemplo, un proceso contractivo es dV<0, dS<0 es posible [6]. De hecho, mientras dS<0, la temperatura negativa es innecesaria. De lo contrario, una de las formulaciones estándar de la segunda ley de la termodinámica debe ser Alterado a lo siguiente: Es imposible construir un motor que funcione en un ciclo cerrado y no demostrar ningún efecto que no sea (1) la extracción de calor de una Depósito de temperatura positiva con la realización de una cantidad equivalente de trabajo o (2) el rechazo de calor en un depósito de temperatura negativa con el el trabajo correspondiente que se está realizando en el motor. El estudio experimental requiere que: el sistema de giro está bien aislado del sistema de celosía. Este aislamiento es posible si la relación entre los tiempos de espine-lattice y los tiempos de espin-spin-spin es grande [1]. La condición en la que hay más sistemas atómicos en la parte superior de dos energía niveles que en la más baja, por lo que la emisión estimulada predominará sobre estimulada absorción. Esta condición puede describirse como una temperatura negativa. En una palabra, la temperatura negativa es una pregunta notable, en particular, para termodinámica del nonequilibrio. ¿Es una falacia? A partir de la escala Kelvin uno obtenido temperatura infinita y temperatura negativa, que es inconsistente con otros definición de la temperatura, y con algunos conceptos básicos de la física y las matemáticas. Además, la temperatura negativa se confunde fácilmente con un cero absoluto definido Por lo general por negativo 273.16C. 3. Algunos ejemplos posibles de disminución de la entropía Para una mezcla de los gases ideales, la entropía aumentada es jj xRndS En. (14) Si no se pueden descuidar las interacciones de dos gases mixtos, el cambio de la la energía será [9]: 7 212211 )lnln( xxxxxRTGG si, (15) donde )/( 2111 nnnx, etc. Entonces el cambio de la entropía de la mezcla será ]/([)lnln(]/([ 212211 TxxxxxxRTdGdS. 16) Cuando >0, es decir, la interacción es una fuerza atractiva, probablemente hay dS<0. Por por ejemplo, para 21 xx 1/2, dS Rln2 )4/( T. (17) Cuando >(4Rln2)T, dS<0 es posible [8]. Muchos protones se mezclan con electrones para formar átomos de hidrógeno, un par de positivos y iones negativos forman un átomo, y varias reacciones de neutralización entre ácidos y Los alcalinos forman diferentes sales. Estos procesos no lineales de equilibrio lejano forman algunos nuevos auto-organizar estructuras debido a interacciones electromagnéticas. Deberían ser capaces de aumento o disminución de la entropía en sistemas aislados. La tasa total de producción de entropía es [11]: Total . (18) Si la corriente de calor QJ > 0, la tasa total será dS/dt>0 para 21 TT, y dS/dt<0 para 21 TT. Discutimos un proceso atractivo basado en una energía potencial U i, (19) en la que la entropía disminuye [6]. Usando un método similar de la teoría de la estructura disipativa en el no-equilibrio termodinámica, derivamos una fórmula generalizada, en la que la entropía puede aumentar o disminución, la entropía total en un sistema aislado es [6]: ia dSdSdSdS, (20) en la que el adS es una parte aditiva de la entropía, y el idS es una parte interactuante de Entropía. Además, la teoría se puede desarrollar como la teoría de la estructura disipativa. Barbera discutió el principio de la producción mínima de entropía, cuyas ecuaciones de campo no están de acuerdo con las ecuaciones de equilibrio de masa, impulso y energía en dos casos particulares. Los procesos considerados son: conducción de calor en un fluido en reposo, y flujo de corte y conducción de calor en un fluido incomprimible [13]. Eq.(4) es similar a una generalización de la entropía de Boltzmann-Gibbs funcional propuesta por Tsallis [14], que dada por una fórmula: iq PPkS ln. (21) donde iP es la probabilidad del microestado ith, el parámetro q es cualquier número real, )0(),1()1(ln 11 ffqf qq (22) Cuando q 1, se reduce a ii PPkS ln. ( 23) La entropía del sistema compuesto BA verifica )()()1()()()( BSASqBSASBAS qqqq. (24) Nuestras conclusiones son consistentes cuantitativamente con la teoría del sistema [6], en que hay [15] )()()( 21 SLV. (25) Esto corresponde a la entropía de Tsallis [14]: q, (26) que no es extenso para Eq.(26) cuando q>1. Ambos parecen mostrar disminución de entropía con algunas interacciones internas. Para casos más generales, la independencia estadística en matemáticas corresponde a la independencia de la probabilidad, es decir, la adición de probabilidades es ipP. Pero, la adición de probabilidades dependientes es .)....()1(.....) )())....( AAApAAAp AApApaAAAP (27) Por lo tanto, de la independencia a la interrelación, la probabilidad disminuye necesariamente, la cantidad es determinada por la fuerza de interacción. Correspondientemente, la entropía en la mezcla de los diferentes sistemas deben disminuir. De hecho, cualquier interacción interna en un sistema aumenta ya la relatividad y el orden. En la teoría actual, el helio superfluido y su efecto fuente deben suponer que el helio no lleva entropía, por lo que la segunda ley de la termodinámica no es violado [9]. Muestra que los superfluidos poseen cero entropía, pero no puede sostener porque cero-entropía corresponde a cero absoluto de acuerdo con la tercera ley de termodinámica. Para el líquido o sólido 3He la diferencia de entropía [9] es sl SSS > 0 (para temperaturas más altas), = 0 (para T=0,3K), < 0 (para temperaturas más bajas). Tal estado sólido con mayor entropía debe ser trastorno que un estado líquido en menor ¡Temperatura! De lo contrario, en la termodinámica química, la entropía de la formación es una variante con presión. En general, cualquier reacción química puede tener lugar en cualquier dirección. En una palabra, según la segunda ley de la termodinámica, todos los sistemas en la naturaleza tenderá a calentar la muerte [16], mientras que el producto será imposible. Pero, el mundo no lo es pesimista siempre. Las interacciones gravitacionales producen varias estrellas estables ordenadas y cuerpos celestes. Las interacciones electromagnéticas producen varios cristales y átomos. Los átomos estables están determinados por la interacción electromagnética y cuántica Mecánica. Según la segunda ley de la termodinámica, deben ser inestables. Las interacciones fuertes producen varios núcleos y partículas estables. Un protón libre es estable, lo que demuestra que algunos quarks pueden formar una estructura por una interacción fuerte. Estas estabilidades dependen principalmente de diversas interacciones internas y auto-organizaciones. Estas interacciones atractivas corresponden a la disminución de la entropía en nuestra teoría [6]. El aumento de la entropía corresponde al electromagnético repulsivo interacciones con los mismos cambios e interacciones débiles. Cualquier objeto estable y sus formaciones de partículas a estrellas se acompañan con interacciones internas en el interior estos objetos, que han implicado una posibilidad de disminución de la entropía. La estabilidad en La naturaleza espera nuestro estudio e investigación. Bibliografía 1.Ramsey, N. Termodinámica y Mecánica Estadística a Temperaturas Absolutas Negativas. Phys.Rev. 1956, 103,1,20-28. 2.Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. Statistical Physics. Prensa Pérgamo. 1980. 3.Klein, M.J. Temperaturas Absolutas negativas. Phys.Rev. 1956, 104.3.589. 4.Holman, J.P. Termodinámica. Tercera edición. McGraw-Hill. 1980. 5. Hatsopoulos, G.N.; Keenan, J.H. Principios de la Termodinámica General. Nueva York: Robert E. Krieger Publishing Company, Inc. 1981. 6.Chang Yi-Fang. Entropía, aumento de la fluctuación e interacciones internas. Entropía. 2005, 7,3,190-198. 7.Chang, Yi-Fang. En Entropía, Información e Intersección de la Ciencia. Yu C.Z., Ed. Yunnan Univ. Presiona. 1994. p53-60. 8.Chang Yi-Fang. Posible Disminución de la Entropía debido a Interacciones Internas en Sistemas Aislados. Apeiron, 1997, 4,497-99. 9.Reichl, L.E. Un Curso Moderno de Física Estadística. Unidad de Prensa de Texas. 1980. 10. Purcell, E.M.; Pound, R.V. Un sistema de giro nuclear a temperatura negativa. Phys.Rev. 1951,81,1.279-280. 11.Lee, J.F., Sears, F.W. y Turcotte, D.L., Termodinámica estadística. Addison- Wesley Publishing Company, Inc. 1963. 12.Gioev, D.; Klich, I. Entropía del enredo de los Fermiones en cualquier dimensión y el Widom Conjetura. Phys. Rev. Lett. 2006, 96.100503. 13.Barbera, E. Sobre el principio de la mínima producción de entropía para los fluidos Navier-Stokes-Fourier. Cont.Mecha.Ther. 1999,11.5.327-330. 14.Tsallis, C. Posible generalización de las estadísticas Boltzmann-Gibbs. J.Stat. 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Después de que la temperatura negativa se vuelva a repetir, encontramos que se derivará necesariamente disminución de la entropía. Temperatura negativa se basa en el Kelvin escala y la condición dU>0 y dS<0. Por el contrario, también hay negativos temperatura para dU<0 y dS>0. Pero, la temperatura negativa es la contradicción con sentido habitual de la temperatura y con algunos conceptos básicos de la física y matemáticas. Es una pregunta en la termodinámica del nonequilibrio. Nosotros propusimos un posibilidad de disminución de la entropía debido a la fluctuación aumentada e interna interacciones en algunos sistemas aislados. A partir de esto discutimos algunos posibles ejemplos y teorías.

Microsoft Word - negEntr.doc Consulta sobre temperatura negativa, interna Interacciones y disminución de la entropía Yi-Fang Chang Departamento de Física, Universidad de Yunnan, Kunming, 650091, China (dirección electrónica: yifangchang1030@hotmail.com) Resumen: Después de que se renueve la temperatura negativa, encontramos que se derivará necesariamente disminución de la entropía. Temperatura negativa se basa en la escala Kelvin y la condición dU>0 y dS<0. Por el contrario, también hay temperatura negativa para dU<0 y dS>0. Pero, la temperatura negativa es contradicción con el significado habitual de temperatura y con algunos conceptos básicos de física y matemáticas. Es una pregunta. en termodinámica de nonequilibrio. Propusimos una posibilidad de disminución de la entropía debido a la fluctuación aumentada e interacciones internas en algunos sistemas aislados. Desde Este es el caso de algunos ejemplos y teorías posibles. Palabras Clave: entropía; temperatura negativa; no equilibrio. PACS: 05.70.-a, 05.20.-y 1.Restatement de la temperatura negativa En la termodinámica la temperatura negativa es una idea bien conocida propuesta y expuestos por Ramsey [1] y Landau [2], et al. Ramsey discutió la termodinámica y la mecánica estadística de los negativos temperaturas absolutas de manera detallada y fundamental [1]. Él probó que si la entropía de un sistema termodinámico no es una función monótonamente creciente de su energía interna, posee una temperatura negativa cuando XUS )/( negativo. Las temperaturas negativas son más calientes que la temperatura positiva. Señaló lo siguiente: desde un punto de vista termodinámico el único requisito para la existencia de un temperatura negativa es que la entropía S no debe restringirse a un monótono aumento de la función de la energía interna U. En la ecuación termodinámica relacionada TdS y dU, una temperatura es )/( XUST. 1).......................................................................................................................................................... Una suposición, la entropía S aumenta monótonamente con U, no es necesario en el derivación de muchos teoremas termodinámicos. Las temperaturas negativas son más calientes que temperatura infinita. La temperatura negativa es desafortunada y engañosa. Si la función de temperatura se había elegido como 1/T, entonces la temperatura más fría sería corresponde a - para esta función, temperaturas infinitas en la escala convencional se correspondería con 0, y las temperaturas negativas en la escala convencional corresponden a valores positivos de esta función. Ramsey propuso: Una de las formulaciones estándar de la segunda ley de la termodinámica debe ser alterada a lo siguiente: Es imposible construir un motor que funcionará en un ciclo cerrado y demostrará que no tiene otro efecto que (a) el extracción de calor de un depósito de temperatura positiva con el rendimiento de un cantidad equivalente de trabajo o b) el rechazo del calor a una temperatura negativa depósito con el trabajo correspondiente que se está realizando en el motor. Un termodinámico sistema que está en equilibrio termodinámico interno, que es esencialmente aislados. Las temperaturas negativas se aplican a algún giro nuclear mutuamente interactuante sistema. Klein justificó los criterios de Ramsey para sistemas capaces de temperaturas [3]. La única premisa de la declaración de Ramsey es la definición Kelvin (1). Incluso él insinuó que la entropía podría disminuir con U, es decir, en una definición original de temperatura T=dU/dS, (2) cuando dU>0 y dS<0, T<0. Intuitivamente, el significado físico de la temperatura es que describe si un el cuerpo está caliente o frío [4]. Definición de temperatura termodinámica absoluta la escala es proporcional a la cantidad de calor. Maxwell s definición es que la temperatura de un cuerpo es su estado térmico considerado con referencia a su poder de comunicación de calor a otros cuerpos, que se adoptó sustancialmente sin cambios por Planck y Poincare [5]. En la termodinámica microscópica las temperaturas están relacionadas con los estados de los movimientos moleculares. La escala de temperatura de Kelvin está definida por la relación (1). Es un poco diferente que Landau demostró una temperatura negativa. En el libro de Landau <Fisica estadística> [2] La temperatura negativa fue declarada como sigue: considerar algunos efectos peculiares relacionados con las propiedades de los dieléctricos paramagnéticos. Aquí la interacción de estos momentos produce un nuevo espectro magnético, que está superpuesto en el espectro ordinario. De esto es la entropía En nnmag EE gNS, (3) donde N es el número de átomos, g es el número de posibles orientaciones de un momento individual relativo a la celosía, nE son los niveles de energía del sistema de momentos de interacción, y nE es el promedio como la media aritmética ordinaria. Esto deberán tener en cuenta los momentos magnéticos atómicos fijados en los lugares de retícula e interactuar el uno con el otro como un único sistema aislado. Además, tiene el interesante resultado que el sistema de momentos de interacción puede tener un positivo o un negativo temperatura. En T=0, el sistema está en su estado cuántico inferior, y su entropía es cero [2]. De hecho, la temperatura T=0 (cero absoluto) es imposible de alcanzar. As the aumento de la temperatura, la energía y la entropía del sistema aumentan monótonamente. En T=, la energía es nE y la entropía alcanza su valor máximo Nlng; estos los valores corresponden a una distribución con igual probabilidad sobre todos los estados cuánticos de el sistema, que es el límite de la distribución de Gibbs como T. La declaración de temperatura negativa original se basa en las dos premisas: entropía del sistema aumentar monótonamente, y la distribución de Gibbs se mantiene. De esto un poco extraño se obtienen argumentos [2]: a). La temperatura T=- es físicamente idéntico con T= ; los dos valores dar la misma distribución y los mismos valores de las cantidades termodinámicas para el sistema. Según la definición general, la temperatura no puede ser infinita, ya que la cantidad de calor o movimiento molecular no puede ser infinita. Temperatura negativa, incluso la temperatura infinita negativa es más extraña. En el mismo libro < Física estadística >, Landau demostró ser un resultado muy importante que la temperatura debe ser positiva: T>0 [2]. Además, T= =- está excluido por las matemáticas. b). Un nuevo aumento de la energía del sistema corresponde a un aumento de la temperatura de T=, y la entropía disminuye monótonamente. c). En T=0- la energía alcanza su mayor valor y la entropía vuelve a cero, el sistema entonces está en su estado cuántico más alto. Esto obedece al teorema de Nernst, pero en la que la cantidad de calor es cero en T=0, mientras que en T=0- posee más alto ¡Estado cuántico! No sé si T=0=T=0- tiene o no. d). La región de temperatura negativa no se encuentra por debajo del cero absoluto, sino por encima infinito, es decir, las temperaturas negativas son más altas que las positivas. 2.Query sobre la temperatura negativa y la disminución de la entropía En un artículo anterior [6], demostramos que ya que las fluctuaciones se pueden magnificar debido a a las interacciones internas bajo una determinada condición, la igualdad de probabilidad no se mantiene. La entropía se definiría como rr tPtPktS ) ln(). 4) A partir de esto o lnkS en un proceso interno condensado, posible disminución de se calcula la entropía. Si varios mecanismos e interacciones internos complejos no pueden un estado con menor entropía (por ejemplo, estructuras auto-organizadas) ser capaz de aparecer. En estos casos, las estadísticas y la segunda ley de la termodinámica debe ser diferente, en particular, para la termodinámica no equilibrada [7,8]. Porque las interacciones internas provocan la inaplicabilidad de la independencia estadística, la disminución de la entropía debido a las interacciones internas en el sistema aislado es causada posiblemente. Esta posibilidad es investigada para procesos atractivos, energía interna, entropía del sistema y interacciones no lineales, etc [6]. De hecho, la temperatura negativa deriva necesariamente una disminución de la entropía. Pensamos, T= =- es sólo una temperatura umbral finita cT, que corresponde a un valor de entropía de aumento a disminución, y esta entropía es un Nlng máximo. De acuerdo a la ecuación básica de la termodinámica, es decir, la ecuación de Euler [9], S. (5) Si la energía es invariante, la temperatura correspondiente debe ser . 6) Este valor debe ser verificable y medible. Tal temperatura y energía aumentan continuamente, y la entropía disminuye al mínimo, pero no puede ser cero. Por supuesto, la energía pasa necesariamente del sistema de temperatura negativa a temperatura positiva sistema. A continuación, la distribución de Gibbs es nAew /. 7).................................................................................................................................................. Esto encuentra la probabilidad nw de un estado de todo el sistema tal que el cuerpo está en un estado cuántico definido (con energía nE ), es decir, microscópicamente estado definido, y es adecuado que el sistema se supone que está en equilibrio [2]. Siempre y cuando asuma que el agujero de distribución Gibbs siempre, es necesario para negativo temperatura. Pero, en el ejemplo anterior y láser que es otro ejemplo aplicado temperatura negativa, estos estados ya son inestables o metaestable nonequilibrio estados con mayor energía. Cuerpos de temperatura negativa también son completamente inestables y no puede existir en la Naturaleza [2]. La entropía de un cuerpo es una función sólo de su interior energía [2]. En los estados con temperatura negativa, el cristal se magnetiza en un fuerte campo magnético, entonces la dirección del campo se invierte tan rápidamente que los giros no puede seguirlo [2]. Este sistema está en un estado de no equilibrio, y su energía interna y la entropía son diferentes. Láser debe ser un proceso de pedido con disminución de Entropía. Generalmente, la distribución de Gibbs para un número variable de partículas es [2] nNAew /(),, (8) donde es el potencial termodinámico. De esto las distribuciones son diferentes para el número N de partículas. El número N debe ser diferente en el campo magnético con dirección invertida. La declaración anterior de la temperatura negativa demuestra que la entropía es capaz de disminución con interacciones internas en un sistema aislado. El estudio experimental requiere que el sistema de rotación esté bien aislado del sistema de celosía [1]. Esto el aislamiento es posible si la relación entre los tiempos de relajación de la espinilla y los tiempos de relajación de la espinilla es grande [2]. Esto puede describir la figura 1, que es a saber, Fig.1 [1] y Fig.10 [2], en la que el valor umbral finito cT corresponde sólo a un punto máximo dS/dE=0. Fig.1 Temperatura negativa Según Eq.(1) o Eq.(2), cuando la condición dU>0 y dS<0 mantienen, negativo se obtendrá la temperatura. Por el contrario, si dU<0 y dS>0, también derivaremos temperatura negativa. Pero, Eq.(2) proviene de Clausius entropy dS=dQ/T, así que si las condiciones anteriores podrían mantenerse o no? Según Eq.5), si ii NYX = 0, T=U/S. En la figura 1, desde U>0 (E>0) y S>0, luego T>0. De este caso, no podemos obtener una temperatura negativa, y gNET cc ln/. En otro libro < Principios de la Termodinámica General > [5], Kelvin la temperatura (1) del sistema termodinámico puede ser positiva o negativa, según si, a medida que el sistema pasa por estados estables con parámetros fijos, la entropía aumenta o disminuye con el aumento de la energía. Esto es diferente con La declaración de Landau. De hecho, esta afirmación parece implicar que la negativa la temperatura es innecesaria, siempre y cuando la entropía disminuya con el aumento de la energía. Un sistema normal puede asumir sólo temperaturas Kelvin positivas. ± Un sistema en una La temperatura negativa de Kelvin está en un estado especial. Porque si esto no fuera cierto podríamos, por la definición, trabajar en el sistema adiabaticamente y demostrar que el sistema estaba en un temperatura Kelvin positiva. Un sistema es capaz de alcanzar Kelvin negativo temperaturas si para algunos de sus estados estables la entropía disminuye para aumentar energía a valores fijos de los parámetros. Además, como ejemplos, la entropía para un gas monatómico es dada por «lnln)2/3( SRTRS. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Basado en esto, T y la densidad no puede ser negativo. Los sistemas son un giro nuclear. unos en un fluoruro de litio puro (LiF) los tiempos de relajación de la retícula giratoria de cristal eran tan grandes como 5 minutos a temperatura ambiente mientras que el tiempo de relajación de giro-giro fue menor que segundos. Los sistemas pierden energía interna a medida que ganan entropía, y la inversión la desviación corresponde a inducir la radiación. La inversión repentina del campo magnético produce una temperatura negativa para la distribución de Boltzmann [10]. A continuación, este libro [5] discutió el flujo de calor entre dos sistemas A y B a temperaturas desiguales, y deriva AdQ. (10) Aquí dejar que una cantidad de calor AdQ fluya en A desde B, por lo que debe haber 0AB TT, que también es coherente con la desigualdad (10). Además, según una eficiencia de motores de calor . (11) Aquí si cualquiera de las dos temperaturas es negativa, la eficiencia será mayor que la unidad. Supongamos que eso es posible, esto será testificado e infinitamente meritorio y beneficioso actos. Los resultados llegados para las temperaturas negativas que son extraños para nuestro La intuición no tiene importancia práctica en el campo de la producción de energía. Pero, °syst e m a temperaturas Kelvin negativas obedecer la segunda ley y sus muchos corolarios. Por supuesto, sería inútil consumir el trabajo con el fin de producir un depósito a una temperatura negativa que se puede utilizar para operar un calor muy eficiente motor [5]. Por lo tanto, esto parece implicar que la temperatura negativa se introduce sólo para obedecer la segunda ley de la termodinámica. Existe la misma eficiencia de un motor Carnot aplicado por Ramsey [1]: . (12) Aquí varios resultados de la existencia de la máquina fueron discutidos con el fin de no estar en contradicción con el principio de entropía creciente. Para un proceso de temperatura igual, hay un resultado simple: dS=(dU+PdV)/T, (13) donde U es la energía interna del sistema. Un caso general es (dU+PdV)>0, dS>0 para temperatura normal T>0; dS<0 si T<0. Además, si T>0 y (dU+PdV)<0, por ejemplo, un proceso contractivo es dV<0, dS<0 es posible [6]. De hecho, mientras dS<0, la temperatura negativa es innecesaria. De lo contrario, una de las formulaciones estándar de la segunda ley de la termodinámica debe ser Alterado a lo siguiente: Es imposible construir un motor que funcione en un ciclo cerrado y no demostrar ningún efecto que no sea (1) la extracción de calor de una Depósito de temperatura positiva con la realización de una cantidad equivalente de trabajo o (2) el rechazo de calor en un depósito de temperatura negativa con el el trabajo correspondiente que se está realizando en el motor. El estudio experimental requiere que: el sistema de giro está bien aislado del sistema de celosía. Este aislamiento es posible si la relación entre los tiempos de espine-lattice y los tiempos de espin-spin-spin es grande [1]. La condición en la que hay más sistemas atómicos en la parte superior de dos energía niveles que en la más baja, por lo que la emisión estimulada predominará sobre estimulada absorción. Esta condición puede describirse como una temperatura negativa. En una palabra, la temperatura negativa es una pregunta notable, en particular, para termodinámica del nonequilibrio. ¿Es una falacia? A partir de la escala Kelvin uno obtenido temperatura infinita y temperatura negativa, que es inconsistente con otros definición de la temperatura, y con algunos conceptos básicos de la física y las matemáticas. Además, la temperatura negativa se confunde fácilmente con un cero absoluto definido Por lo general por negativo 273.16C. 3. Algunos ejemplos posibles de disminución de la entropía Para una mezcla de los gases ideales, la entropía aumentada es jj xRndS En. (14) Si no se pueden descuidar las interacciones de dos gases mixtos, el cambio de la la energía será [9]: 7 212211 )lnln( xxxxxRTGG si, (15) donde )/( 2111 nnnx, etc. Entonces el cambio de la entropía de la mezcla será ]/([)lnln(]/([ 212211 TxxxxxxRTdGdS. 16) Cuando >0, es decir, la interacción es una fuerza atractiva, probablemente hay dS<0. Por por ejemplo, para 21 xx 1/2, dS Rln2 )4/( T. (17) Cuando >(4Rln2)T, dS<0 es posible [8]. Muchos protones se mezclan con electrones para formar átomos de hidrógeno, un par de positivos y iones negativos forman un átomo, y varias reacciones de neutralización entre ácidos y Los alcalinos forman diferentes sales. Estos procesos no lineales de equilibrio lejano forman algunos nuevos auto-organizar estructuras debido a interacciones electromagnéticas. Deberían ser capaces de aumento o disminución de la entropía en sistemas aislados. La tasa total de producción de entropía es [11]: Total . (18) Si la corriente de calor QJ > 0, la tasa total será dS/dt>0 para 21 TT, y dS/dt<0 para 21 TT. Discutimos un proceso atractivo basado en una energía potencial U i, (19) en la que la entropía disminuye [6]. Usando un método similar de la teoría de la estructura disipativa en el no-equilibrio termodinámica, derivamos una fórmula generalizada, en la que la entropía puede aumentar o disminución, la entropía total en un sistema aislado es [6]: ia dSdSdSdS, (20) en la que el adS es una parte aditiva de la entropía, y el idS es una parte interactuante de Entropía. Además, la teoría se puede desarrollar como la teoría de la estructura disipativa. Barbera discutió el principio de la producción mínima de entropía, cuyas ecuaciones de campo no están de acuerdo con las ecuaciones de equilibrio de masa, impulso y energía en dos casos particulares. Los procesos considerados son: conducción de calor en un fluido en reposo, y flujo de corte y conducción de calor en un fluido incomprimible [13]. Eq.(4) es similar a una generalización de la entropía de Boltzmann-Gibbs funcional propuesta por Tsallis [14], que dada por una fórmula: iq PPkS ln. (21) donde iP es la probabilidad del microestado ith, el parámetro q es cualquier número real, )0(),1()1(ln 11 ffqf qq (22) Cuando q 1, se reduce a ii PPkS ln. ( 23) La entropía del sistema compuesto BA verifica )()()1()()()( BSASqBSASBAS qqqq. (24) Nuestras conclusiones son consistentes cuantitativamente con la teoría del sistema [6], en que hay [15] )()()( 21 SLV. (25) Esto corresponde a la entropía de Tsallis [14]: q, (26) que no es extenso para Eq.(26) cuando q>1. Ambos parecen mostrar disminución de entropía con algunas interacciones internas. Para casos más generales, la independencia estadística en matemáticas corresponde a la independencia de la probabilidad, es decir, la adición de probabilidades es ipP. Pero, la adición de probabilidades dependientes es .)....()1(.....) )())....( AAApAAAp AApApaAAAP (27) Por lo tanto, de la independencia a la interrelación, la probabilidad disminuye necesariamente, la cantidad es determinada por la fuerza de interacción. Correspondientemente, la entropía en la mezcla de los diferentes sistemas deben disminuir. De hecho, cualquier interacción interna en un sistema aumenta ya la relatividad y el orden. En la teoría actual, el helio superfluido y su efecto fuente deben suponer que el helio no lleva entropía, por lo que la segunda ley de la termodinámica no es violado [9]. Muestra que los superfluidos poseen cero entropía, pero no puede sostener porque cero-entropía corresponde a cero absoluto de acuerdo con la tercera ley de termodinámica. Para el líquido o sólido 3He la diferencia de entropía [9] es sl SSS > 0 (para temperaturas más altas), = 0 (para T=0,3K), < 0 (para temperaturas más bajas). Tal estado sólido con mayor entropía debe ser trastorno que un estado líquido en menor ¡Temperatura! De lo contrario, en la termodinámica química, la entropía de la formación es una variante con presión. En general, cualquier reacción química puede tener lugar en cualquier dirección. En una palabra, según la segunda ley de la termodinámica, todos los sistemas en la naturaleza tenderá a calentar la muerte [16], mientras que el producto será imposible. Pero, el mundo no lo es pesimista siempre. Las interacciones gravitacionales producen varias estrellas estables ordenadas y cuerpos celestes. Las interacciones electromagnéticas producen varios cristales y átomos. Los átomos estables están determinados por la interacción electromagnética y cuántica Mecánica. Según la segunda ley de la termodinámica, deben ser inestables. Las interacciones fuertes producen varios núcleos y partículas estables. Un protón libre es estable, lo que demuestra que algunos quarks pueden formar una estructura por una interacción fuerte. Estas estabilidades dependen principalmente de diversas interacciones internas y auto-organizaciones. Estas interacciones atractivas corresponden a la disminución de la entropía en nuestra teoría [6]. El aumento de la entropía corresponde al electromagnético repulsivo interacciones con los mismos cambios e interacciones débiles. Cualquier objeto estable y sus formaciones de partículas a estrellas se acompañan con interacciones internas en el interior estos objetos, que han implicado una posibilidad de disminución de la entropía. La estabilidad en La naturaleza espera nuestro estudio e investigación. Bibliografía 1.Ramsey, N. Termodinámica y Mecánica Estadística a Temperaturas Absolutas Negativas. Phys.Rev. 1956, 103,1,20-28. 2.Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. Statistical Physics. Prensa Pérgamo. 1980. 3.Klein, M.J. Temperaturas Absolutas negativas. Phys.Rev. 1956, 104.3.589. 4.Holman, J.P. Termodinámica. Tercera edición. McGraw-Hill. 1980. 5. Hatsopoulos, G.N.; Keenan, J.H. Principios de la Termodinámica General. Nueva York: Robert E. Krieger Publishing Company, Inc. 1981. 6.Chang Yi-Fang. Entropía, aumento de la fluctuación e interacciones internas. 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Absence of the Fifth Force Problem in a Model with Spontaneously Broken Dilatation Symmetry

Ausencia del problema de la quinta fuerza en un modelo con Simetría de dilatación espontáneamente rota E. I. Guendelman y A. B. Kaganovich Departamento de Física, Universidad Ben Gurion del Negev, Beer Sheva 84105, Israel (Fecha: 3 de agosto de 2021) Resumen Se estudia un modelo de escala invariante que contiene dilaton y polvo (como modelo de materia) donde la simetría de desplazamiento  →  + const. se rompe espontáneamente en el nivel clásico debido a la características del modelo. El dilatón a la materia acoplamiento “constante” f parece ser dependiente de la densidad de la materia. En condiciones normales, es decir, cuando la densidad de energía de la materia es de muchos órdenes de magnitud mayor que la contribución del dilaton a la densidad de energía oscura, f se convierte en menor que el proporción de la “masa del vacío” en el volumen ocupado por la materia a la masa de Planck. Los modelo produce este tipo de “arquimedes ley” sin ninguna elección especial (destinada a esto) de la acción subyacente y sin ajuste fino de los parámetros. El modelo no sólo explica por qué todos intentos de descubrir una corrección de fuerza escalar a la gravedad newtoniana no tuvieron éxito hasta ahora, pero también predice que en el futuro cercano no hay posibilidad de detectar tales correcciones en la astronómica mediciones, así como en los experimentos de quinta fuerza diseñados especialmente en (como milímetro) e incluso rangos ultracortos (unos pocos nanómetros). Esta predicción es alternativa a predicciones de otros modelos conocidos. Palabras clave: Quinta fuerza; Simetría de dilatación espontaneamente rota; Acoplamiento dependiendo de la densidad de materia. Números PACS: 04.50.+h; 04.80.Cc; 95.36.+x; 95.35.+d http://arxiv.org/abs/0704.1998v3 I. INTRODUCCIÓN Posible acoplamiento de la materia a un campo escalar puede ser el origen de una fuerza de largo alcance si el La masa de las partículas escalares es muy pequeña. Es bien conocido desde la aparición de los Brans- Modelo Dicke[1] que tal fuerza “quinta” podría afectar los resultados de las pruebas de Relatividad General (GR). En casos más generales puede suponer una violación del principio de equivalencia de Einstein. Una posible existencia de partículas escalares de luz que interactúan con la materia también podría dar lugar a Consecuencias probables en un rango intermedio o submilimétrico o incluso más corto dependiendo en la masa escalar. Numerosos, muchos años de duración, experimentos especialmente diseñados, ver por ejemplo [2]-[10], no han revelado hasta ahora ninguna de las posibles manifestaciones de la quinta fuerza. Este hecho, en cada etapa de la secuencia de experimentos, se trata como un nuevo, más fuerte limitación de los parámetros (como constante de acoplamiento y masa) con la esperanza de que el siguiente generación de experimentos será capaz de descubrir una fuerza escalar modificando el Newtonian gravedad. Esta es la esencia del problema de la quinta fuerza en el “sentido estrecho”[47]. En este documento demostramos que es muy posible que el problema de la quinta fuerza en El sentido estrecho no existe. Es decir, vamos a presentar un modelo donde la fuerza de la dilaton a acoplamiento de materia medida en los intentos experimentales de detectar una corrección a la La gravedad newtoniana resulta tan pequeña que al menos los experimentos futuros no podrán para revelarlo. Por otro lado, si la materia está muy diluida entonces su acoplamiento al dilaton puede no ser débil. Pero este último se realiza en condiciones no compatibles con el diseño de los experimentos de la quinta fuerza. La idea de la existencia de un escalar ligero acoplado a la materia tiene un teo- suelo retical, por ejemplo en la teoría de cuerdas[11] y en modelos con rotos espontáneamente Simetría de dilatación[12],[13]. El problema de la quinta fuerza ha adquirido una actualidad especial en la la última década cuando la quintaesencia[14] y sus diferentes modificaciones, por ejemplo acopladas la quintaesencia[15], k-essence[16], fueron reconocidos como modelos exitosos de la energía oscura[17]. Si el sorprendente hecho observacional[18] de que la densidad de energía oscura es aproximadamente dos veces mayor que la densidad (oscura) de la materia en la época cosmológica actual no es una moneda accidental- la cidencia, pero es más bien una característica durante el período suficientemente largo de la evolución, entonces la explicación de este fenómeno sugiere que hay un intercambio de energía entre materia oscura y energía oscura. Se han construido varios modelos con el objetivo de describir este intercambio, ver por ejemplo[15], [19]-[26] y referencias en él. En el contexto de los modelos de campo escalar de la energía oscura, la disponibilidad de este intercambio de energía implica la existencia de un acoplamiento del campo escalar a la materia oscura. Entonces inmediatamente la pregunta surge por qué un acoplamiento similar a la materia visible se suprime muy fuertemente de acuerdo con los datos astronómicos actuales[10]. Por lo tanto, la resolución del problema de la quinta fuerza en su mod- el tratamiento debe consistir, al parecer, en explicaciones simultáneas, sobre la base de una teoría fundamental, tanto de la supresión muy fuerte del acoplamiento de campo escalar a la materia visible y la ausencia de una supresión similar de su acoplamiento a la materia oscura. Uno de los enfoques interesantes para resolver el problema de la quinta fuerza conocido desde 1994 como “el principio de menor acoplamiento” basado en la idea[27] de utilizar cuerdas no perturbativas efectos de bucle para explicar por qué el dilatón sin masa puede desvincularse de la materia. De hecho, sí. se demostró que bajo ciertas suposiciones sobre la estructura del dilaton (desconocido) funciones de acoplamiento en la acción eficaz de baja energía resultante de tener en cuenta el expansión completa del bucle de cadena no-perturbativa, el dilaton de cadena es cosmológicamente atraído hacia valores donde desaparece su acoplamiento efectivo a la materia. Los efectos astrofísicos de la dependencia de la densidad de materia del dilatón a la materia cou- pling fue estudiado en 1989 en el contexto de un modelo con dilatación espontánea rota simetría en Ref. [13]. Sin embargo, en este modelo el efecto es demasiado débil para ser observado ahora. Otra manera de describir la influencia de la densidad de materia en la quinta fuerza se utiliza en el Modelo camaleón[28] formulado en 2004. El punto clave aquí es el hecho de que el escalar el potencial efectivo del campo depende de la densidad de materia local m si el acoplamiento directo de el campo escalar al tensor métrico en el Lagrangian subyacente se asume como en anterior modelos [29],[30]. Por lo tanto, la posición del mínimo del potencial efectivo y el la masa de las pequeñas fluctuaciones resulta ser dependiente de la m. En las regiones espaciales de la materia “alta” densidad como en la Tierra o en otros objetos compactos, la masa efectiva de la escalar campo se vuelve tan grande que el campo escalar puede penetrar sólo en una capa superficial delgada del objeto compacto. Como resultado de esto, parece ser posible realizar una situación donde a pesar de la elección de un escalar a la materia acoplamiento de la unidad de orden, la violación de la principio de equivalencia se suprime exponencialmente. Sin embargo, para los objetos de menor densidad, la la quinta fuerza puede ser detectable y se hacen las predicciones correspondientes. Cabe señalar que el modelo de Ref. [31] con la dependencia de la densidad de materia de la El dilatón efectivo para el acoplamiento de materia se construyó en 2001 sin conjeturas específicas en la acción subyacente destinada a resolver el problema de la quinta fuerza[48]. La resolución de la Conferencia de las Naciones Unidas sobre Comercio y Desarrollo problema de la quinta fuerza aparece como un resultado que dice: 1) El acoplamiento local eficaz Yukawa de el dilatón a los fermiones en condiciones normales de laboratorio equivale prácticamente a cero automáticamente, sin ningún ajuste fino de los parámetros. El término condiciones normales de laboratorio significa que la densidad de energía del fermión local es muchos órdenes de magnitud más grande que el dilaton contribución a la densidad de energía oscura. 2) Bajo las mismas condiciones, el GR de Einstein se reproduce. Uno de los principales ingredientes del modelo[31] consiste en la realización de la idea [33] que el problema de la quinta fuerza podría ser resuelto si la teoría poseyera el aproximado simetría del cambio global del campo escalar • → const. 1).......................................................................................................................................................... En el modelo [31],[32], la simetría del cambio global (1) se rompe espontáneamente de tal manera que el potencial efectivo depende de sólo a través de M4e−2/Mp donde M es una integración constante de la dimensionalidad de la masa que aparece como resultado de la desintegración espontánea de la simetría de desplazamiento (1). Aquí α > 0 es un parámetro del orden de la unidad y Mp = (8ηG)-1/2. Esta es una manera en que el modelo [31],[32] evita el problema con la realización de la la simetría global del cambio (1) en el contexto de los modelos de tipo de quintaesencia en los que el potencial no es invariante bajo el cambio de Ł. El modelo con tales características fue construido en el marco de la teoría de campo de dos medidas (TMT) [34]-[41]. En el presente documento se muestra que los principales resultados relativos al desacoplamiento y la la restauración del GR de Einstein en el modelo [31],[32] para los fermiones (que es más bien com- ), sigue siendo también cierto en una descripción macroscópica de la materia (que es significativamente más simple). Esto debería dejar más claro el modo de resolver el problema de la quinta fuerza en modelos de TMT invariantes de escala. Nuestro modelo subyacente implica el acoplamiento del dilaton Al polvo en una forma tal que los lagrangianos son bastante habituales, sin ningún término exótico, y la acción es invariante bajo las transformaciones de escala acompañadas de un desplazamiento correspondiente (1) del dilaton. Después de la ruptura espontánea de la simetría (SSB), la imagen efectiva en el El marco Einstein difiere mucho en general del GR de Einstein. Pero si el asunto local densidad es muchos órdenes de magnitud más grande que la densidad de energía de vacío entonces Einstein GR se reproduce, y el dilaton a la materia acoplamiento prácticamente desaparece sin multa afinación de los parámetros. II. FUNDAMENTO DE LAS DOS MEDIDAS SOBRE EL TERRITORIO EL MODELO DE INVARIACIÓN DE ESCALA A. Ideas principales de la teoría de campo de las dos medidas TMT es una teoría generalmente coordin invariante donde toda la diferencia con el estándar la teoría del campo en el espacio-tiempo curvo consiste solamente en las tres suposiciones adicionales siguientes: 1. La primera suposición es la hipótesis de que la acción efectiva en las energías de abajo la escala Planck tiene que ser de la forma[34]-[41] −gd4x (2) incluyendo dos Lagrangians L1 y L2 y dos medidas de integración -g y Φ. Uno es la medida habitual de integración −g en el colector espacial-temporal de 4 dimensiones equipado con la métrica g. Otra es la nueva medida de integración Φ en la misma 4-dimensional espacio-tiempo múltiple. La medida Φ es una densidad escalar y un derivado total puede ser definido por ejemplo[49] por medio de cuatro campos escalares (a = 1, 2, 3, 4) Φ = abcdabcd. 3) Para proporcionar la conservación de la paridad se puede elegir, por ejemplo, uno de los de Doscalar. 2. Genéricamente se permite que L1 y L2 sean funciones de todos los campos de materia, el campo dilaton, la métrica, la conexión, pero no de los “campos de medida” En tal caso, i.e. cuando los campos de medida entran en la teoría sólo a través de la medida Φ, la acción (2) posee una simetría dimensional infinita........................................................................................................................................................................................................................................................... funciones de L1 (ver detalles en Ref. [35]). Se puede esperar que esta simetría prevenga la aparición de una dependencia de campos de medida en L1 y L2 después de los efectos cuánticos cuenta. 3. Importante característica de TMT que es responsable de muchos interesantes y deseables los resultados de los modelos de teoría de campo estudiados hasta ahora[31],[32],[34]-[41] consisten en la suposición que todos los campos, incluyendo también la métrica, la conexión y los campos de medida son independientes variables dinámicas. Todas las relaciones entre ellos son resultados de ecuaciones de movimiento. In particular, la independencia de la métrica y la conexión significa que procedemos en el formalismo de primer orden y la relación entre conexión y métrica no es a priori de acuerdo con la geometría Riemanniana. Queremos subrayar una vez más que, a excepción de los tres supuestos enumerados, no hacemos cualquier cambio en comparación con los principios de la teoría de campo estándar en el espacio-tiempo curvo. En otras palabras, toda la libertad en la construcción de diferentes modelos en el marco de TMT consiste en la elección del contenido de materia concreta y los lagrangianos L1 y L2 que es bastante similar a la teoría de campo estándar. Puesto que Φ es una derivada total, un cambio de L1 por una constante, L1 → L1 + const, no tiene efecto sobre las ecuaciones del movimiento. Similar cambio de L2 conduciría al cambio de la constante parte del Lagrangian acoplado al elemento de volumen −gd4x. En el estándar GR, este término constante es la constante cosmológica. Sin embargo en TMT la relación entre el término constante de L2 y la constante cosmológica física es muy no trivial y este hace posible[35],[31],[32],[41] resolver el problema cosmológico constante[50]. Variando los campos de la medida, obtenemos BμaL1 = 0 donde B a =  abcdbcd. 4) Desde Det(Bμa ) = Φ3 se deduce que si Φ 6= 0, L1 = sM 4 = const (5) donde s = ±1 y M es una constante de integración con la dimensión de masa. En qué a continuación hacemos la elección s = 1. Uno debe notar las diferencias muy importantes de TMT de las teorías escalar-tensor con Enganche no mínimo: a) En general, la densidad lagrangiana L1 (acoplado a la medida Φ) puede contener no sólo el término curvatura escalar (o término de gravedad más general), pero también todos los campos de materia posibles términos. Esto significa que TMT modifica en general tanto el sector gravitacional como el sector de la materia; b) Si el campo Φ fuera el fundamental (no compuesto) entonces en lugar de (5), la variación de Φ resultaría en la ecuación L1 = 0 y, por lo tanto, la constante de integración dimensional M4 no aparecería en la teoría. Aplicando el formalismo Palatini en TMT se puede mostrar (ver por ejemplo [35]) que en Además de los coeficientes habituales de Christoffel, la relación resultante entre métrica y con- nección incluye también el gradiente de la relación de las dos medidas * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * que es un campo escalar. Esto significa que con el conjunto de variables utilizadas en el subyacente acción (2) (y, en particular, con la métrica g.o) el espacio-tiempo no es Riemanniano. Los las ecuaciones de campo de gravedad y materia obtenidas por medio del formalismo de primer orden contienen y su gradiente. Resulta que al menos en el nivel clásico, los campos de medida A afectar a la teoría sólo a través del campo escalar. Variación con respecto a los rendimientos métricos como de costumbre las ecuaciones gravitacionales. Pero en Además, si L1 implica un término de curvatura escalar entonces Eq.(5) nos proporciona un adicional ecuación de tipo gravitacional, independiente de la primera. Tomando rastro de la gravitación ecuaciones y excluyendo la curvatura escalar de estas ecuaciones independientes obtenemos un condición de consistencia que tiene la forma de una restricción que determina •(x) como una función de los campos de materia. Es muy importante que ni la constante de Newton ni la curvatura aparezcan en esta restricción lo que significa que el campo escalar geométrico (x) está determinado por otros configuración de campos local y directa (es decir, sin interacción gravitacional). Por un cambio apropiado de las variables dinámicas que incluye una redefinición de la métrica, se puede formular la teoría en un espacio-tiempo Riemanniano. El marco correspondiente llamamos “el marco Einstein”. La gran ventaja de TMT es que en una clase muy amplia de los modelos, la gravedad y todos los campos de la materia ecuaciones de movimiento toman forma canónica GR en el marco de Einstein. Toda la novedad de TMT en el marco de Einstein en comparación con el GR estándar se revela sólo en una estructura inusual de los campos escalares potencial eficaz, masas de partículas y sus interacciones con los campos escalares, así como en la estructura inusual la contribución de la materia al tensor de la energía-momento: todas estas cantidades parecen ser • dependiente. Esta es la razón por la que el campo escalar (x) determinado por la restricción en función de campos de materia, tiene un papel clave en la dinámica de los modelos de TMT. Tenga en cuenta que si asumimos que por algunas razones los efectos de gravedad son insignificantes y optar por trabajar en el Minkowski espacio-tiempo desde el principio, entonces perderíamos la restricción, y el resultado sería ser muy diferente de la obtenida de acuerdo con las prescripciones de TMT con tomar el límite plano espacio-tiempo al final. Esto significa que la gravedad en TMT juega el papel más esencial que en lo habitual (es decir, sólo con la medida de integración −g) campo teoría en el espacio-tiempo curvo. B. Modelo de escala invariante En el marco original (donde la métrica es g.o), un contenido de materia de nuestro modelo TMT representado en la forma de la acción (2), es un polvo y un campo escalar (dilato). El dilaton permite realizar una invarianza espontánea de escala global rota[36],[37],[31],[32] y juntos con esto puede gobernar la evolución del universo en diferentes etapas: en el universo primitivo ♥ juega el papel de Inflaton y en el universo de los últimos tiempos se transforma en una parte de la energía oscura (para más detalles, véase Refs. [31],[32],[41]). Nosotros postulamos que la teoría es invariante en el marco de las transformaciones a escala mundial: .................................................................................... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * donde det(lab) = e 2° y ° = const. Mantener la estructura general (2), es conveniente representar la acción en la forma siguiente: S = Sg + S/23370/ + Sm (8) Sg = − (Φ + bg −g)R(, g)e/Mpd4x; e/Mp (Φ + b - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. ΦV1 + e/Mp d4x; (Φ + bm −g)Lmd4x, donde R(­, g) = g­ ................................................................................................................... y el lagrangiano para la materia, como colección de partículas, que proporciona la escala en- varianza de Sm lee Lm = −m /Mp 4(x− xi(l)) d-(9) donde ♥ es un parámetro arbitrario. Para la simplicidad consideramos la colección de las partículas con el mismo parámetro de masa m. Asumimos además que xi( las transformaciones de escala (7). En la acción (8) hay dos tipos de los términos gravitacionales y del ”cinético- términos similares” que respetan la invarianza de escala : los términos de un tipo acoplado a la medida Φ y las del otro tipo acopladas a la medida −g. Usando la libertad en normalización de los campos de medida A establecemos la constante de acoplamiento de la curvatura escalar a la medida Φ será − 1 . Normalizar todos los campos de tal manera que sus acoplamientos a la la medida Φ no tienen factores adicionales, en general no somos capaces de proporcionar lo mismo en términos que describan los acoplamientos adecuados a la medida −g. Este hecho explica el necesidad de introducir los parámetros reales adimensionales bg, bel y bm. Sólo asumiremos que son positivos, tienen los mismos o muy cercanos órdenes de magnitud bg. b.. b.. b. m. (10) y además bm > bg. El parámetro positivo real α se supone que es del orden de la unidad. Como de costumbre, = 16ηG y utilizamos Mp = (8ηG) −1/2. También cabe señalar la posibilidad de introducir dos prepotenciales diferentes que: son funciones exponenciales del dilaton........................................................................................................................................................................................................................................................... −g con factores V1 y V2. Tal dependencia proporciona la simetría de escala (7). Veremos a continuación cómo el potencial efectivo dilaton se genera como resultado de SSB de la invarianza de la escala y la transformación al marco de Einstein. De acuerdo con las prescripciones generales de la TMT, tenemos que empezar a estudiar la auto- sistema de gravedad consistente (g-g-métrica y conexión •), la medida Φ grados de libertad, el campo dilaton y las partículas de materia coordinan x i (l), procedimiento seguido el formalismo de primera orden. Para el propósito de este trabajo nos limitamos a un gas de cero temperatura de partículas, i.e. Vamos a asumir que d~xi/d/23370/ 0 para todas las partículas. Es conveniente proceder en el marco donde g0l = 0, l = 1, 2, 3. Entonces la densidad de partículas se define por n(~x) = •g(3) * 3) ~ x − ~ ~xi(l)) (11) donde g(3) = det(gkl) y Sm = −m d4x(Φ + bm −g)n(~x) e /Mp (12) Siguiendo el procedimiento descrito en la subsección anterior tenemos que escribir todos ecuaciones de movimiento, encontrar la condición de consistencia (la restricción que determina el campo como una función de otros campos y materia) y hacer una transformación al marco de Einstein. Nos saltaremos la mayoría de los resultados intermedios y en la próxima subsección presentaremos el resultado ecuaciones en el marco de Einstein. Sin embargo, tenemos que hacer aquí dos exclusiones. El primero se refiere al importante efecto observable en la variación de Sm con respecto a g..................................................................................................................................... −g mn(~x) e /Mp g00, (13) Φmn(~x) e /Mp gkl. (14) Esta última ecuación muestra que debido a la medida Φ, el gas de temperatura cero genéricamente posee una presión. Como veremos, esta presión desaparece automáticamente junto con el quinta fuerza como la materia densidad de energía es muchos órdenes de magnitud más grande que la oscuridad densidad de energía, que es evidentemente cierto en todos los fenómenos físicos probados experimentalmente. La segunda es la noción relativa al papel de Eq. 5) como resultado de la variación de los campos de medida Ła. Con la acción (8), donde el Lagrangian L1 es la suma de términos acoplado a la medida Φ, Eq. (5) describe un desglose espontáneo de la escala mundial simetría (7). III. EQUACIONES DE MOCIÓN EN EL FRAME DE EINSTEIN. Resulta que cuando se trabaja con la nueva métrica ( sigue siendo el mismo) g = e /Mp( + bg)g, (15) que llamamos el marco Einstein, la conexión se convierte en Riemannian. Puesto que g es invari- ant bajo las transformaciones de escala (7), ruptura espontánea de la simetría de escala (por medios de Eq.(5)) se reduce en el marco de Einstein a la ruptura espontánea del cambio simetría (1). Tenga en cuenta que el teorema de Goldstone no es aplicable genéricamente en este tipo de modelos[37]. La transformación (15) causa la transformación de la densidad de partículas ñ(~x) = ( + bg) −3/2 e− /Mp n(~x) (16) Después del cambio de variables al marco Einstein (15) y algo de álgebra simple, el ecuaciones gravitacionales toman la forma estándar GR Gl(g) = T ef-facifíquese (17) donde G(g) es el tensor Einstein en el espacio-tiempo Riemanniano con la métrica g. Los componentes del tensor de energía-momento efectivo son los siguientes: # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # B # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # • • + bg 2 − g­00X + g­00 Veff(­; ­, M)­ * * bg * * bg * bg * bg * bg * bg * bg * • • + bg 3oo + bm + 2bg • • + bg # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # B # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # • • + bg (l) g­klX) (19) + gūkl Veff(­; ­, M)­ * * bg * * bg * bg * bg * bg * bg * bg * • • + bg - bm + 2bg • • + bg Aquí se han utilizado las siguientes nociones: X • 1 g,,β y ♥ = bg − b y la función Veff(­; ­) se define por Veff (­ > > ) = M4e−2/Mp + V1 ( + bg)2 La ecuación de campo de dilaton en el marco de Einstein es la siguiente: # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # B # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # • • + bg −g?g?g? ( + bg)M 4e−2/Mp − (• − bg)V1 − 2V2 − ­bg(• + bg)X ( + bg)2 - bm + 2bg • • + bg mñ (22) En las ecuaciones anteriores, el campo escalar se determina como una función de la siguiente restricción (de la que se ha hablado en la sección 2.1): (bg − •) M4e−2/Mp + V1 − 2V2 ( + bg)2 − bgX • bgX • bgX • bgX • bgX • bgX · bgX · bgX · bgX · bgX · bgX · bgX · bgX · bgX · bgX · bgX · bgX · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx · bgx • • + bg - bm + 2bg • • + bg Aplicando la restricción (23) a Eq.(22) se puede reducir este último a la forma # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # B # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # • • + bg −g?g?g? − 2 ( + bg)2Mp M4e−2/Mp = 0, (24) donde • es una solución de la restricción (23). Uno debe señalar dos características muy importantes del modelo. En primer lugar, la dependencia de en todas las ecuaciones de movimiento (incluyendo la restricción) emerge sólo en la forma M4e−2/Mp donde M es la constante de integración, es decir. debido al desglose espontáneo de la escala simetría (7) (o la simetría de desplazamiento (1) en el marco de Einstein). En segundo lugar, la restricción (23) es la ecuación algebraica de quinto grado con respecto a • + bg y, por lo tanto, genéricamente una función complicada de Ł, X y ñ. Por lo tanto, genéricamente cada uno de los términos dependientes en Eqs. (18)-(22) y (24) describen el acoplamiento muy no trivial del dilato a la materia. IV. LA ENERGÍA DE LA OSCURIDAD EN LA AUSENCIA DE LA IMPORTACIÓN Vale la pena iniciar la investigación de las características de nuestro modelo desde el caso más simple cuando la densidad de partículas del polvo es cero: ñ(x) فارسى 0. Entonces el dilaton es el único materia que en el universo primitivo juega el papel del infladón mientras que en el universo tardío es la energía oscura. El modelo adecuado en el contexto de las soluciones cosmológicas ha sido: estudiados en detalle en Ref. [41]. Aquí presentamos sólo algunas de las ecuaciones que necesitaremos para los objetivos del presente documento y una lista de los principales resultados. En ausencia de las partículas de la materia, el escalar puede ser fácilmente encontrado a partir de la restricción (23): (ñ=0) = bg − 2 V2 +  · b2gX M4e−2/Mp + V1 +  · bgX En el caso espacialmente homogéneo X ≥ 0. Entonces el tensor de energía-momento eficaz puede estar representado en una forma de la de un fluido perfecto = ( p)uμu/ − pg, donde uμ = (2X)1/2 con las siguientes densidades de energía y presión obtenidas después de insertar (25) en la ponentes del tensor de energía-momento (18), (19) donde ahora ñ(x) فارسى 0 (,X;M) (ñ=0) (27) = X + (M4e−2/Mp + V1) 2 - 2-bg(M4e−2/Mp + V1)X - 3-2b2gX2 4[bg(M4e−2/Mp + V1)− V2] p(l,X ;M) p(ñ=0) = X − M4e−2/Mp + V1 + bgX 4[bg(M4e−2/Mp + V1)− V2] . (28) Sustitución de (25) a Eq. (24) produce la ecuación con dinámicas muy interesantes. Los la aparición de la dependencia no lineal X a pesar de la ausencia de tal no linealidad en la acción subyacente significa que nuestro modelo representa un ejemplo explícito de k-essence[16] como resultado de los primeros principios. La acción k-essence eficaz tiene la forma Seff = −g­d4x R(g) + p (­,X ;M) , (29) donde p(­,X ;M) es dada por Eq.(28). En el contexto de la cosmología espacialmente plana FRW, en ausencia de las partículas de materia (i.e. ñ(x) فارسى 0), el modelo TMT en estudio[41] muestra una serie de resultados interesantes dependiendo de la elección de las regiones en el espacio de parámetros (pero sin ajuste fino): a) Ausencia de singularidad inicial de la curvatura mientras que su derivada temporal es singular. Esto es una especie de singularidades “de repente” estudiadas por Barrow en terrenos puramente cinemáticos[44]. b) Inflación de la ley del poder en la etapa posterior de la evolución. Dependiendo de la región en el espacio del parámetro la inflación termina con una salida elegante ya sea en el estado con cero constante cosmológica (CC) o en el estado impulsado tanto por un pequeño CC y el campo un potencial de quintaesencia. c) Posibilidad de resolución del antiguo problema CC. Desde el punto de vista del TMT, es... es claro por qué el viejo problema de CC no se puede resolver (sin ajuste fino) en convencional teorías de campo. d) La TMT permite dos formas de lograr una pequeña CC sin afinar la dimensión de la rameters: bien por un mecanismo de tipo balancín o debido a un principio de correspondencia entre TMT y teorías de campo convencionales (es decir, teorías con sólo la medida de la integración en la acción). e) Existe una amplia gama de parámetros en los que la dinámica del campo escalar, jugando el papel de la energía oscura en el universo tardío, permite cruzar la división fantasma, es decir. la ecuation-of-state w = p/l puede ser w < −1 y w asymptotically (como t → −1 desde abajo. Uno puede mostrar que en el marco original utilizado en la acción subyacente (8), este régimen corresponde al signo negativo de la medida de integración −g de la término cinético de dilaton [51]. Este efecto dinámico que emerge aquí en lugar de poner el término cinético signo incorrecto a mano en el modelo fantasma[46], se discutirá en detalle en Otro periódico. Teniendo en cuenta que en el universo de los últimos tiempos la contribución de X a los enfoques cero, se puede ver que la densidad de energía oscura es positiva para cualquier bgV1 ≥ V2 (30) Entonces se deduce de (25) que (ñ=0) bg. 31) Esto será útil en la siguiente sección. V. CONDICIONES NORMALES: REPRODUCCIÓN DE LA BRUTA Y LA ABSENCIA DE EINSTEIN DEL QUINTA PROBLEMA DE LA FUERZA Ahora hay que prestar atención al interesante resultado de que la dependencia explícita ñ que impliquen la misma forma de dependencia - bm + 2bg • • + bg mñ (32) aparece simultáneamente[52] en la contribución del polvo a la presión (a lo largo del último trimestre en Eq. (19)), en el dilaton efectivo al acoplamiento del polvo (en la r.h.s. de Eq. 22) y en el r.h.s. de la restricción (23). Analicemos las consecuencias de esta maravillosa coincidencia en el caso cuando el asunto la densidad de energía (modelado por el polvo) es mucho mayor que la contribución del dilaton a la oscuridad densidad de energía en la región espacial ocupada por esta materia. Evidentemente esta es la condición bajo el cual se cumplen todas las pruebas del GR de Einstein, incluida la cuestión de la quinta fuerza. Por lo tanto, si se cumple esta condición, diremos que el asunto se encuentra en condiciones normales. La existencia de la quinta fuerza se convierte en un problema en condiciones normales. Todo lo contrario. la situación puede realizarse (véase Refs. [31],[32]) si la materia se diluye hasta una magnitud de la densidad de energía macroscópica comparable con la contribución del dilaton a la oscuridad densidad de energía. En este caso decimos que la materia está en el estado de la energía cosmo-baja física (CLEP). Es evidente que la quinta fuerza que actúa sobre el asunto en el estado CLEP no pueden ser detectados ahora y en un futuro próximo, y por lo tanto no parece ser un problema. Pero los efectos del CLEP pueden ser importantes en la cosmología, ver Ref. [32]. Los últimos términos en eqs. (18) y (19), siendo la materia las contribuciones a la energía densidad (­m) y presión (­pm) respectivamente, generalmente tienen el mismo orden de magnitud. Pero si el polvo está en las condiciones normales hay una posibilidad de proporcionar la característica deseable del polvo en GR: debe ser sin presión. Esto se realiza siempre y cuando que en condiciones normales (n.c.) la siguiente igualdad se mantiene con una precisión extremadamente alta: * (n.c.) * bm − 2bg (33) Recuerde que hemos asumido bm > bg. Entonces... (n.c.) + bg > 0, y la transformación (15) y las ecuaciones subsecuentes en el marco de Einstein están bien definidas. Insertar (33) en el el último período de Eq. (18) obtenemos la densidad efectiva de energía del polvo en condiciones normales (n.c.)m = 2 bm − bg mñ (34) Sustitución de (33) en el resto de los términos de los componentes del momentum energético el tensor (18) y (19) da la contribución del dilaton a la energía oscura que tiene los órdenes de magnitud cercanos a aquellos en ausencia de caso de materia, Eqs. (27) y (28). Esta última declaración puede comprobarse fácilmente utilizando Eqs. (25),(31),(33) y (10). Nótese que Eq. (33) no es sólo una opción para proporcionar una contribución cero de polvo a la presión. De hecho, es el resultado de analizar las ecuaciones de movimiento junto con la restricción (23). En el Apéndice se presenta el análisis detallado que da este resultado. Pero en esta sección han comenzado desde el uso de este resultado con el fin de hacer el significado físico más distinto. Teniendo en cuenta nuestra suposición (10) y Eq. (31) inferimos que • (n.c.) y • (ñ=0) (en la ausencia de caso, Eq. (25)) tienen órdenes de magnitudes cercanas. Entonces es fácil de ver (haciendo uso de la desigualdad (30)) que los l.h.s. de la restricción (23), como (n.c.), tiene la orden de magnitud cercano al de la densidad de energía oscura (ñ=0) en ausencia de materia caso examinado en Sec. 4. Así pues, en el caso que se examina, la limitación (23) describe un equilibrio entre la presión del polvo en condiciones normales, por un lado, y densidad de energía de vacío, por otro lado. Este equilibrio se realiza debido a la condición (33). Además de reproducir las ecuaciones de Einstein cuando el campo escalar y el polvo (en diciones) son fuentes de la gravedad, la condición (33) proporciona automáticamente un desaparición del dilatón efectivo al acoplamiento de la materia. De hecho, la inserción (33) en el Ecuación escrita en la forma (24) y en el Veff, Eq. (21), se puede ver inmediatamente que sólo la fuerza de la fuerza de la autointeracción de la energía oscura está presente en este caso. Nótese que esta fuerza es una fuerza total que implica tanto la autointeracción del dilaton como su interacción con el polvo en condiciones normales. Además, de esta manera uno puede ver explícitamente que debido al factor M4e−2/Mp, esta fuerza total puede obtener un adicional, exponencial dumping ya que en el contexto cosmológico se examina en breve en Sec. 4 (véanse los detalles en Ref. ([41])) un escenario, donde en el universo de los tiempos tardíos, parece ser el más atractivo. Otra manera de ver la ausencia del problema de la quinta fuerza en las condiciones normales es ver la Ecuación en la forma (22) y estimar la constante de acoplamiento de tipo Yukawa en los r.h.s. de esta ecuación. De hecho, utilizando la restricción (23) y representando la partícula densidad en la forma ñ N/OU donde N es el número de partículas en un volumen, se puede hacer la siguiente estimación para el dilatón efectivo al acoplamiento de la materia “constante” f definido por el tipo Yukawa interacción término f (si fueramos a inventar una acción eficaz la variación con respecto a la letra a) daría lugar a Eq. 22): f.................................................................................................................................................. - bm + 2bg • • + bg - bm + 2bg bm − bg - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! Así llegamos a la conclusión de que el acoplamiento eficaz “constante” del dilatón a la materia en el normal condiciones es del orden de la relación de la “masa del vacío” en el volumen ocupado por el asunto a la masa de Planck tomada N veces. En cierto sentido, este resultado se parece a la La ley de Arquímedes. Al mismo tiempo Eq. (35) nos da una estimación de la exactitud de la condición (33). VI. DEBATE Y CONCLUSIÓN En el presente trabajo, la idea de construir un modelo con dilatación espontáneamente rota invarianza donde la dependencia dilaton en todas las ecuaciones de movimiento resulta sólo de la La SSB de la simetría de cambios (1), se aplica desde los primeros principios en el marco de Aunque el modelo de polvo estudiado en este artículo es un modelo muy crudo de la materia, es bastante suficiente para estudiar el problema de la quinta fuerza. De hecho, todos los experimentos que buscan la quinta fuerza se refiere a los cuerpos macroscópicos que, en la aproximación de orden cero, ser considerados como colecciones de partículas inmóviles no interactuantes, similares a puntos con densidad de número de partículas ñ(x). Genéricamente el modelo estudiado en el presente trabajo es diferente del GR de Einstein. Por permite la fuerza escalar de largo alcance y una presión no cero del polvo frío. Sin embargo, la magnitud de la densidad del número de partículas resulta ser la muy importante factor que influye en la resistencia del dilaton al acoplamiento de la materia. Esto sucede debido a la restricción (23) que no es más que la condición de consistencia de las ecuaciones de movimiento. El análisis de la limitación presentada en el Apéndice muestra que describe genéricamente un equilibrio entre la densidad de materia y la densidad de energía oscura. Resulta que en el caso de un cuerpo macroscópico, que está en condiciones normales, la restricción permite este equilibrio sólo de tal manera que el dilaton prácticamente se desacopla de la materia y del GR de Einstein se restaura automáticamente. Así, nuestro modelo no sólo explica por qué todos los intentos de descubrir una corrección de la fuerza escalar a la gravedad newtoniana no tuvo éxito hasta ahora, pero también predice que en el futuro cercano no hay posibilidad de detectar tales correcciones en la astronómica mediciones, así como en los experimentos de quinta fuerza diseñados especialmente en el caso de los experimentos intermedios, rangos cortos (como milímetro) e incluso ultracortos (unos pocos nanómetros). Esta predicción es alternativa a las predicciones de otros modelos conocidos. Formalmente se puede considerar el caso de una materia muy diluida cuando la materia energía densidad es del orden de magnitud comparable con la densidad de energía oscura, que es el caso opuesto a las condiciones normales. Sólo en este caso el equilibrio dictado por la restricción implica la existencia de un acoplamiento de dilaton no pequeño a la materia, así como un posibilidad de otras distinciones del GR de Einstein. Sin embargo, estos efectos no pueden ser detectados. en experimentos de quinta fuerza ahora y en un futuro próximo. También hay que señalar aquí que en el marco del presente modelo basado en la consideración de las partículas puntuales, la baja densidad El límite, estrictamente hablando, no puede ser definido satisfactoriamente. Un ejemplo de la límite de baja densidad (estado CLEP) se realizó utilizando un modelo de teoría de campo en Ref. [32] mientras que las conclusiones para la materia en las condiciones normales fueron muy similares a los resultados del presente papel. Posibles efectos cosmológicos y astrofísicos cuando las condiciones normales no son satisfactorias. fied puede ser muy interesante. En particular, teniendo en cuenta que toda la materia oscura conocida en el universo actual tiene la densidad de energía macroscópica muchos órdenes de magnitud más pequeños que la densidad de energía de los cuerpos macroscópicos visibles, esperamos que la naturaleza de la oscuridad materia puede entenderse como un estado opuesto a las condiciones normales estudiadas en el presente papel. VII. Apéndice. Cuando el asunto se encuentre en condiciones normales Como mencionamos en Sec. 3, las soluciones de la restricción (23) son generi- funciones muy complicadas. Sin embargo, imaginemos que resolvemos la limitación, sustituyéndolo en eqs. (18), (19), (22) y resolverlos con cierto límite o/y condiciones iniciales. Inserción de las soluciones obtenidas de nuevo en Se obtiene una dependencia espacio-tiempo del campo escalar. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Analicemos los posibles regímenes para el Ł(x) teniendo en cuenta sus posibles valores numéricos. Como hemos visto al final de Sec. 4, en el vacío (ñ=0) bg. Uno puede empezar a preguntar la siguiente pregunta: ¿cuál es el efecto de la inserción de polvo (en un vacío) en la magnitud de (x) en comparación con (ñ=0)? Uno puede pensar en tres regímenes posibles: (x) puede llegar a ser significativamente más grande que bg, puede mantener el mismo orden de magnitud el vacío y puede llegar a ser significativamente inferior a bg. Considere cada una de estas posibilidades. 1. (x) (x) (bg) Empecemos por la noción de que, si formalmente) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (# #) (#) (# #) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (# #) (# #) (# # #) (# # #) (# #) (# #) (# #) (#) (# #) (#) (#) (#) (# #) (# #) (#) (#) (#) (#) (#) (#) (#) densidad de partículas ñ 6= 0, l.h.s. de la restricción (23) se aproxima a cero mientras que la r.h.s. se acerca al infinito. Por lo tanto, un régimen en el que • → • es imposible. Consideremos ahora el caso de Bg (x) con finito. Partimos de las estimaciones del orden de magnitud de dos términos de Veff(­; ­), Eq. (21), en el vacío, es decir, Veff (; )(ñ=0). Usando Eq. (31) tenemos M4e−2/Mp + V1 ( + bg)2 M4e−2/Mp + V1 ( + bg)2 En la presencia de polvo, en el régimen de Bg (x) tenemos respectivamente: M4e−2/Mp + V1 ( + bg)2 ñ 6=0 4e−2/Mp + V1 4e−2/Mp + V1 ( + bg)2 ñ 6=0 # # # V2 # # # # # V2 # # Por lo tanto, genéricamente Veff (; )6=0 Veff(; )vac (40) donde hemos ignorado los posibles diferentes valores de la.... en el vacío y en el interior de la materia[53]. Además, proceder de la misma manera con la restricción (23) y utilizando las estimaciones anteriores, es fácil ver que en el régimen (x) bg, el valor absoluto de los l.h.s. de la restricción (23) es mucho menor que la energía de vacío densidad. Pero los r.h.s. de la restricción (23) es del orden de la contribución de polvo a la densidad de energía (véase el último término de Eq. (18) en el régimen. Por lo tanto en condiciones normales (gran ñ) la restricción (23) no permite que el régimen ((x) bg. 2. En este caso los l.h.s. de la restricción (23) tiene el orden del vacío densidad de energía. Comencemos desde la suposición de que (x), siendo (x) bg, es diferenciÃ3n del valor à ° = bm − 2bg. Luego los r.h.s. de la restricción (23), siendo igual a la contribución del polvo a la presión (el último término de Eq. (19)), también el orden de magnitud de la contribución del polvo a la densidad de energía (el último término de Eq. (18)). Por lo tanto, en condiciones normales (grande ñ) la restricción (23) no puede ser satisfecho si el valor فارسى está lejos de bm−2bg. La única manera de satisfacer la restricción (23) en el régimen (x) bg cuando el polvo está en condiciones normales es la igualdad (33). Las consecuencias de esta condición se discuten en Sec. 5. 3. En este caso los l.h.s. de la restricción (23) tiene de nuevo el orden de la densidad de energía de vacío. Pero los r.h.s. de la restricción (23) tiene genéricamente la misma orden de magnitud como la contribución del polvo a la densidad de energía (el último término en Eq. (18)). Por lo tanto, en condiciones normales, la restricción permite el equilibrio (en orden de magnitud) entre la densidad de energía oscura (en los l.h.s. de la limitación) y los r.h.s. de la restricción proporcionó una afinación de los parámetros bm 2bg. Por lo tanto, la (x) bg es un caso particular de la solución (33) si la relación entre el los parámetros bg y bm es aproximadamente bm 2bg. [1] C. Brans y R.H. Dicke, Phys. Rev. 124, 925 (1961). [2] L. Eötvös, D. Pekkar y F. Fekete. Ann. Phys. 68, 11 (1922). [3] 8. P.G. Roll, R. Krotkov y R.H. Dicke. Ann. Phys. (NY) bf 26, 442 (1964). [4] 9. V.B. Braginsky, V.I. Panov, ZhETF 61, 873 (1971); traducción al inglés: Sov. Phys. JETP 34 463 (1972). [5] C. Will, Theory and Experiments in Gravitational Physics Cambridge U.P., Cambridge, 1981. [6] S.C. Holding, F. D. Stacey, G.J. Tuck, Phys.Rev. D33, 3487 (1986); F. D. Stacey, G.J. Tuck, G.I. Moore, S.C. Holding, B.D. Goodwin y R. Zhou, Rev. Mod. Phys. 59, 157 (1987). [7] E. Fischbach, D.E. 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[48] La descripción más detallada del modelo [31] y sus resultados, incluyendo nuevos efectos como neutrino energía oscura que aparecen cuando la densidad del fermión es muy baja, se presentan en Ref. [32]. [49] En Ref. [40]. Es interesante que la idea de T.D. Lee sobre la posibilidad de coordenadas dinámicas[42] puede estar relacionado con la medir los campos también. Otra posibilidad consiste en el uso de un tres totalmente antisimétrico campo índice [40]. [50] Otra forma de construir una medida de integración que es una derivada total fue recientemente estudiado por Comelli en Ref. [43]. Usando un campo vectorial (en lugar de cuatro campos escalares TMT) y procediendo en el formalismo de segundo orden, se demostró en [43] que es posible para superar el problema cosmológico constante. [51] Tenga en cuenta que, según la definición (3), la medida Φ no es definitiva positiva. En la teoría de la medida la medida definida no positiva se conoce como “Medida firmada”, véase, por ejemplo, Ref. [45]. [52] Nótese que el resultado análogo se ha observado anteriormente en el modelo[31],[32] donde fue fermónico la materia ha sido estudiada en lugar de la materia macroscópica (polvo) en el presente modelo. [53] Si V1 > 0, entonces en el universo tardío, M4e−2/Mp V1 y el universo es impulsado[41] principalmente por la constante cosmológica = V 21 /[4(bgV1 − V2)]. Introducción Base de Dos Medidas Teoría de Campo y Formulación del Modelo Invariante de Escala Ideas principales de la teoría de campo de las dos medidas Modelo de escala invariante Ecuaciones de movimiento en el marco de Einstein. Energía Oscura en la Ausencia de la Materia Condiciones Normales: Reproducción del GR de Einstein y Ausencia del Problema de la Quinta Fuerza Discusión y conclusión Apéndice. x) cuando la materia se encuentre en condiciones normales Bibliografía

Un modelo de escala invariante que contiene dilaton $\phi$ y polvo (como modelo de materia) se estudia donde la simetría de desplazamiento $\phi\to\phi +const.$ es espontáneamente roto en el nivel clásico debido a las características intrínsecas de la modelo. El dilatón a la materia acoplamiento "constante" $f$ parece ser dependiente de la densidad de la materia. En condiciones normales, es decir, cuando la densidad de energía de la materia es muchos órdenes de magnitud más grande que la contribución del dilaton a la oscuridad densidad de energía, $f$ se convierte en menor que la relación de la "masa del vacío" en el volumen ocupado por la materia a la masa de Planck. El modelo da lugar a esto tipo de "arquimedes ley" sin ninguna elección especial (previsto para esto) de la acción subyacente y sin ajuste fino de los parámetros. El modelo no sólo explica por qué todos los intentos de descubrir una corrección de fuerza escalar a Newtonian gravedad no han tenido éxito hasta ahora, pero también predice que en un futuro próximo no hay posibilidad de detectar tales correcciones en las mediciones astronómicas así como en los experimentos de quinta fuerza diseñados especialmente para los experimentos intermedios, rangos cortos (como milímetro) e incluso ultracortos (unos pocos nanómetros). Esto la predicción es alternativa a las predicciones de otros modelos conocidos.

Introducción Base de Dos Medidas Teoría de Campo y Formulación del Modelo Invariante de Escala Ideas principales de la teoría de campo de las dos medidas Modelo de escala invariante Ecuaciones de movimiento en el marco de Einstein. Energía Oscura en la Ausencia de la Materia Condiciones Normales: Reproducción del GR de Einstein y Ausencia del Problema de la Quinta Fuerza Discusión y conclusión Apéndice. x) cuando la materia se encuentre en condiciones normales Bibliografía

Dark matter caustics and the enhancement of self-annihilation flux

Proyecto de versión 16 de noviembre de 2018 Tipografía preimpresa utilizando el estilo LATEX emulapj v. 11/26/04 CÁUSTICOS DE LA OSCURIDAD Y MEJORA DEL FLUJO DE AUTOANNIHILACIÓN Roya C. Mohayaee , Sergei Shandarin , Joseph Silk Proyecto de versión 16 de noviembre de 2018 RESUMEN Los haloes fríos de materia oscura están poblados por cáusticos, que aún no se han resuelto en el cuerpo-N simulaciones u observadas en el Universo. El modelo de caída secundaria proporciona un paradigma para el estudio de la causalidad en haloes típicos suponiendo que no han tenido grandes fusiones y han crecido sólo por acreción suave. Esta es una característica particular de la oscuridad más pequeña haloes de materia de aproximadamente 10-5 millones, que aunque atípicos no contienen subestructuras y podría haber sobrevivido hasta ahora sin grandes fusiones. Por lo tanto, utilizando este modelo como el primero Guidline, evaluamos el flujo de autoaniquilación neutralino para estos haloes. Nuestros resultados muestran que la causalidad podría dejar una clara firma de aserrado en el diferencial y acumulativo flujos provenientes de las regiones exteriores de estos haloes. La señal de aniquilación total de la Las regiones alejadas del centro pueden ser impulsadas por cerca de cuarenta por ciento. Títulos temáticos: haloes de materia oscura, cáusticos, detección de materia oscura 1. INTRODUCCIÓN Evidencia de las curvas de rotación de galaxias, lente gravitacional, fondo de microondas radi- sión, campos de velocidad peculiares, y muchos otros ob- los servicios indican que la masa visible, en la forma de estrellas y gas caliente, es sólo una pequeña fracción de la contenido total del Universo. La naturaleza de la la masa perdida, la materia oscura, sigue siendo desconocida pero se presume que es débilmente Interactuante Partículas masivas (WIMPs), tales como el más ligero su- partículas persimétricas, que aún no se han detectado en aceleradores de partículas (Jungman, Kamionkowski, & Griest 1996 ; Bertone, Hooper & Silk 2004). Las búsquedas aceleradoras se complementan con la grandes esfuerzos experimentales para detectar estas partículas en nuestra galaxia y en galaxias cercanas que se creen para ser incrustado en haloes de materia oscura (Ostriker & Peebles 1973). Tales técnicas complementarias actualmente implica la detección directa en fondo bajo Detectores de laboratorio (Goodman & Witten 1985) detección indirecta a través de la observación de neutrinos, rayos gamma y otros productos de autoaniquilación de partículas de materia oscura (Silk & Srednicki 1984). La tasa de eventos para la auto-aniquilación depende Cuadráticamente en la densidad local de materia oscura, que se cae con la distancia del centro de la Halo. Perfil de densidad media de halo obtenido en diversas simulaciones numéricas divergen en el cén- tre pero es por lo demás suave y a menudo se ajusta con a(n asintóticamente) doble ley de poder (Navarro, Frenk & White 1996, Moore et al 1998). Sin embargo, una sensus sobre los valores precisos de los exponentes de poder, el tamaño del núcleo central y la resolución de la multa Todavía no se han logrado estructuras de alta densidad. Los estructuras finas, los causales, son resultados inevitables 1 Institut d’astrophysique de Paris, 98 bis boulevard Arago (Francia) 2 Departamento de Física y Astronomía, Universidad de Kansas, KS 66045, U.S.A. 3 Universidad de Oxford, Astrofísica, Keble Road, Oxford OX1 3RH, U.K. de la evolución de un sistema de auto-gravitación sin colisiones Tem descrito por el Jeans-Vlassov-Poisson equa- (para un resultado numérico unidimensional véase Alard & Colombi 2005). Formalmente, en tres dimensiones. sions, las causas más comunes son superficies de cero espesores sobre los que diverge la densidad. 4 Ow- siempre, un corte máximo a su densidad es fijado por la dispersión finita de velocidad no despreciable de la oscuridad partículas de materia. Su densidad, sin embargo, permanece muy alto y por lo tanto pueden ser significativos para la oscuridad experimentos de búsqueda de materia (Sikivie & Ipser 1992, Sikivie et al 1997, Natarajan 2007). El efecto de dispersión de velocidad en el frotis de los cáusticos es se espera que domine sobre otros efectos tales como par- ticle discreta que también suavizaría la causa- tics pero en un grado mucho menor. Fusiones de haloes can también manchar a cabo los causales sustancialmente y debido a este hecho limitamos nuestro estudio a los haloes que tienen crecido por acreción lenta y suave. Sin embargo, los cáusticos son robustos, en que mientras que pueden romperse en micro-causas, permanecen en la escala fina halo subestructura y contribuir así a la El aumento de la grumedad eral de cualquier señal de aniquilación. Estudios analíticos de la formación de haloes y se han llevado a cabo principalmente bajo vari- la simplificación de las suposiciones, como la simetría esférica metría, auto-similaridad, y frío y suave acre- (Gott 1975, Gunn 1977, Fillmore & Goldreich) 1984, Bertschinger 1985). En un Einstein-de Sit- ter Universo una sobredensidad esférica se expande y luego se da la vuelta para colapsar. Después del colapso y en tiempos tardíos, el movimiento fluido se vuelve auto-similar: su forma permanece inalterada cuando su longitud es re- escalado en términos del radio, rta, del caparazón que se encuentra actualmente a la vuelta de la marcha y está cayendo en la 4 La teoría general de las singularidades (Arnol’d, Shandarin& Zel’dovich 1982) también predice singularidades en líneas y en puntos. A pesar de la mayor concentración de masa en estos las singularidades que probablemente juegan un papel menos importante en el tasa de aniquilación total porque contienen un considerablemente menor cantidad de masa. Sin embargo, esto no se ha estudiado. en detalle. http://arxiv.org/abs/0704.1999v1 galaxia por primera vez. Físicamente, auto-similaridad surge porque la gravedad es libre de escala y porque la masa las cáscaras fuera de la sobredensidad inicial también están atadas y dar la vuelta sucesivamente en tiempos posteriores. Auto... soluciones similares dan perfiles de densidad de la ley de poder en la escala del halo que proporciona una explicación para el aplanamiento de las curvas de rotación de las galaxias. Sin embargo, en escalas más pequeñas el perfil de densidad tiene muchos picos (es decir. causales) de densidad infinita. La posición y el tiempo de formación de estos tics se encuentran entre las muchas propiedades que han sido establecido en el marco de la auto-similar in- modelo de otoño (Fillmore & Goldreich 1984, Bertschinger 1985). En realidad, la materia oscura tiene una pequeña velocidad la persión y los haloes sufren de grandes fusiones y no-esfericidad. Sin embargo, hasta que se produzca un simulacro numérico las laciones alcanzan una resolución suficiente, la auto-similar modelo de acreción proporciona una guía útil para los haloes que no han sido objeto de grandes fusiones. Aquí, usamos el modelo auto-similar de halo para- y una mayor elaboración, que incluye: la dispersión de velocidad de la materia oscura (Mohayaee & Shandarin 2006) como primera guidline para describir la evolución de los haloes más pequeños que tienen sur- Vivió una gran fusión y disrupción hasta ahora y han crecido sólo por acreción lenta. La aplicación de un modelo auto-similar a los haloes pueden ser vistos desde dos ángulos contradictorios. Uno podría suponer que se espera que los minihaloes En el caso de que se trate de una empresa de servicios de inversión, el importe de la ayuda que se concede en virtud del artículo 107, apartado 1, letra b), del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea a la que se refiere el artículo 107, apartado 1, letra b), del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea será inferior al importe de la ayuda concedida en virtud del artículo 107, apartado 1, letra c), del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea, de conformidad con el artículo 108, apartado 1, del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea, de conformidad con el artículo 108, apartado 2, del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea, de conformidad con el artículo 108, apartado 2, del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea, de conformidad con el artículo 108, apartado 2, del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea, de conformidad con el artículo 108, apartado 2, del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea, de conformidad con el artículo 108, apartado 2, del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea, de conformidad con el artículo 108, apartado 2, del Tratado de la Unión Europea, Sin subestructuras, no han sido objeto de fusión y crecer muy lentamente sólo por la masa suave acre- tion. Por otro lado, los minihaloes no son típicos haloes y modelo de acreción autosimilar está formulado para describir la evolución de un halo característico. Teniendo en cuenta estos dos temas, utilizamos la auto- modelo similar sólo como una primera guidline para el evolu- ciones de minihaloes. Un gran número de ellos tienen se han encontrado en simulaciones (Diemand et al 2005). Las simulaciones estiman el tamaño de estos haloes ser de aproximadamente 0,01 pc (radio de la mitad de la masa) y sus masa de 10-6M® a z = 26. Debido a la resolución Lems, estas simulaciones se detienen en este corrimiento al rojo. y la evolución típica de los haloes de escala galáctica es ex- tendió a los minihalos y la conclusión se extrae que alrededor de 1015 de estos haloes podrían existir en el Halo de MilkWay hoy. Asumimos que al menos una fracción de estos haloes han evolucionado por el lento ac- modelo de creación de z = 26 hasta ahora y utilizar el modelo autosimilar para evaluar su radio y masa a z = 0, que son respectivamente 1 pc y 10-5 Más. Para estos haloes y el trabajo auto-consistente dentro de nuestro modelo, incluyendo la contribución de los cáusticos, demostramos que en el exterior re- gions de estos haloes cáustics pueden aumentar el annihi- La señal de la ración en alrededor del 40 %. 2. MODELO SEGUNDO-INFALIDAD CON VELOCIDAD DISPERSIÓN Los haloes considerados en esta obra crecen por acreción suave y lenta. Un buen ejemplo son: los haloes tierra-masa que se resolvieron recientemente (a z=26) en simulaciones numéricas (Diemand et al. Fig. 1.— Una trama de contorno de superficie de la densidad cáustica. En el modelo auto-similar, los cáusticos forman conchas concéntricas de aumento de la densidad y disminución de los espesores y separaciones mientras nos acercamos al centro del halo. 2005) y que, aunque se espera que sean pequeñas, tienen cáusticos esféricos limpios. Esperamos que en al menos una fracción de estos haloes han sobrevivido disrup- sión y la fusión y el crecimiento de forma auto-similar. modelo de creación a un radio virial de aproximadamente 1 pc y un masa de entre 10 y 5 millones de °C. Para cumplir con el requisito de acreción lenta, fijamos el valor del parámetro â € en la guarida inicial- perturbación de la sidad, donde Mi es la inicial masa, a la unidad. Enfatizamos que la auto-similar modelo tiene como objetivo describir la evolución de un tipo de Cal halo. Los haloes típicos tienen varianza de masa ((M) que varía como M−(n+3)/6, que establece = (n+3)/6, donde n es el índice del espectro de potencia. Un típico La fluctuación (M) crece como t2/(3». Minihaloes cor- responder al límite n → −3 parte del espectro. Para esta parte del espectro, hay fluc- de amplitud comparable en todas las escalas y En consecuencia, la invarianza adiabática no se aplica a tales fluctuaciones. Por lo tanto, utilizamos el modelo auto-similar sólo como un primera guidline para el crecimiento de minihaloes. Nosotros como... sume que los minihalos de masa 10-6M® han crecido por acreción muy pequeña de z = 26 a z = 0. Una vez una vez más, la acreción lenta corresponde al caso de 1 en la obra de Fillmore y Goldreich (1984), por lo tanto, adoptaremos este valor para.................................................................................................................. El perfil de densidad auto-similar es dado por (Bertschinger 1985) (−1) jexp donde es la densidad crítica y es el radio adimensional y r es el radio físico dius y i = ln(t/tta) es el tiempo sin dimensiones dado en términos del tiempo de respuesta, tta, de la partícula que se encuentra en el punto j, donde Bertschinger 1985 para más explicaciones). La densidad (1) se evalúa numéricamente y la ed en Fig. 2 después de un corte adecuado de la causa- tics que se discutirán ahora. En principio, el 0,06 0,1 0,2 1e+02 1e+03 1e+04 1e+05 1e+06 2a cáustica 1a cáustica Axión Neutralino *2 *1 *2 *1 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 * *2 * *2 * 2 * 2 * 2 * 2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Fig. 2.— La trama se hace resolviendo numéricamente (1) y cortar los cáusticos usando (3). La densidad de halos (dividido por la densidad crítica ) se puede aumentar significativamente en el Caustics. Esta mejora es mucho más grande para las axiones (puntos púas violetas) que para neutros (línea negra continua). El número de los arroyos aumenta al centro del halo que explica el rápido crecimiento del componente suave de el perfil de densidad y la contribución cáustica al halo la densidad disminuye. La línea roja punteada marcada con un punto marcado es el perfil aproximado de densidad autosimilar dado por (6). Los inset muestra una vista ampliada de la segunda y tercera causalidad para los neutralinos. la densidad en la causa diverge si la velocidad dis- la persión de la materia oscura es cero. En presencia de un dispersión a pequeña velocidad de la densidad máxima y espesor de las cáscaras cáusticas y su densidad pro- los archivos han sido evaluados (Mohayaee & Shandarin 2006). La densidad máxima en los cáusticos y su perfil son dados por Cústico,k = k # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * donde k es el radio no-dimensional de la kth cáustico contado hacia el interior y −2k e−2®k/3 y el espesor de la cáscara cáustica es dado por k = (3η)2/3e5­k/9­k t (t) , (5) donde t es la era del Universo,  es el presente- dispersión de la velocidad del día de partículas de materia oscura , que es el desacoplamiento reescalado con el ex- factor de pansión. Los valores de estos parámetros varían De un cáustico a otro (véase el cuadro 1 de Hayaee & Shandarin 2006 para los primeros diez cáusticos). El perfil (1) junto con el corte adecuado dado por (3) está trazado en la Fig. 2. El perfil de densidad máximo dado por (1) y mostrado en Fig. 2 tiene que ser evaluado numéricamente. Sin embargo, como es evidente en la Fig. 2 un perfil “semejante”5 es 5 Este perfil también puede ser adecuado por una ley de poder y un corte exponencial alcanzado con el que encajamos .......................................................................................................................... 2.89/4 (1 + 3/4)2 , (6) como se muestra en la Fig. 2 por la línea roja puntiaguda, marcado como "ss". El radio de giro, rta ahora puede ser evaluado considerando que en el radio virial la densidad es alrededor de 200 veces la densidad de fondo, y se administra por rta 4rvir, que corresponde a el perfil de densidad dado por (6). Este aproximado perfil ha demostrado ser un buen ajuste también a la perfil de masa (véase Mohayaee y Shandarin 2006). In en la siguiente sección vamos a mostrar que utilizando este perfil que ignora la causa produciría un bajo- valor estimado para el flujo. Tanto la extrapolación numérica y la aprox- Perfiles de densidad imate mostrados en la Fig. 2 formalmente di- en el centro. Sin embargo, debido a la oscuridad finita dispersión de la velocidad de la materia, los haloes pueden desarrollar núcleos tral. Se espera que los haloes de materia oscura tengan núcleos centrales debido a la velocidad de dispersión de la materia oscura sión, auto-aniquilaciones en el centro, mo- mentum, mareas y otros efectos. El núcleo puede ser muy pequeño y la escala mínima asso- ciada con un historial genérico de fusión de materia oscura conservaría rastros de los núcleos originales en el subestructura inicial. Estos deben ser de orden el masa de flujo libre como, por ejemplo, computada en Bertschinger (2006). En principio, para los tamaños de núcleos pequeños, el flujo total de todo el halo está dominado por el annihi- en el centro del halo y el impulso debido a causa de la causa es insignificante. Sin embargo, vamos a mostrar en la siguiente sección que el diferencial (similarmente cu- ) el flujo se caracterizaría claramente por el cáustica y tendrá un patrón de aserrín y el Contribución al flujo total de la región exterior de estos haloes por los cáusticos es significativo y puede producir un factor de aumento de alrededor del 40%. 3. EL FLUJO DE LA AUTOANNIHILACIÓN INCLUIDO EL EFECTO DE LA CAUSTICA Causas si se detectan serían evidencia clara de la existencia de materia oscura y podría descartar al- modelos alternativos de gravedad. Dos métodos principales para su detección son a través de lentes gravitacionales (véase, por ejemplo, Gavazzi et al 2006) y el flujo de oscuridad producto de aniquilación de materia que se espera que ser mejorados significativamente por los cáusticos. Aquí vamos. debatirá el segundo método. El flujo del producto de auto-aniquilación (e.g. γ- radios) es dada por F lux 2(4ηr2) dr, (7) cuando el coeficiente de proporcionalidad sea una función de masa de partículas de materia oscura, sección transversal de interacción y el número de fotones producidos por annihila- tion. El flujo diferencial y acumulativo (es decir, el in- tegrand en expresión (7) y la integral evaluada a partir de rta hacia el interior) para el neutrino ( = 0,03 cm/s) y un minihalo de rta = 3,24 pc (que corresponde a a un radio virial de aproximadamente 0,8 pc) se muestra en la Fig. 0,3 0,5 1 r (pc) 1e+02 1e+04 1e+06 aproximadamente [" eq. 6)] numérica [" eq. 1)] 0,14 0,29 0,57 1,1 r (pc) 1e+03 1e+04 1e+05 1e+06 1e+07 para los minihalos neutros de r ~1 pc; M~10  =0,03 cm/s ▼=0,0003 cm/s Fig. 3.- El flujo acumulado se obtiene sumando el flujo hacia el interior: es decir, desde el primer cáustico exterior hacia el la mayoría interior (es decir, la integral (7) evaluada hacia el interior). El flujo se muestra para dos valores diferentes de la dispersión de velocidad. La línea roja discontinua muestra el flujo acumulado obtenido por usando nuestra expresión analítica aproximada para la densidad (6) que descuida la contribución de los cáusticos y puede subestimar considerablemente el flujo de aniquilación e ignorar los distintos dientes de sierra característicos de los cáusticos. El conjunto muestra el flujo diferencial (integración y de expresión (7)) utilizando el perfil de densidad completa (1) como lo muestra el sólido negro puntiagudo línea y el perfil aproximado (6) como se muestra por línea roja punteada. El patrón de dientes de sierra es una vez más descuidado en el uso del perfil posterior. 3. Las fluctuaciones, debido a la causalidad, se vuelven menos prominentes a medida que vamos hacia el centro. Disminución la dispersión de la velocidad aumentaría tanto el am- plitud de los picos en el perfil de densidad y el fluctuaciones en el flujo, como se muestra en las figs. 2 y 3. Usando nuestra solución numérica para (1) y aprox- imation (6), ahora podemos determinar el flujo a partir de los neutrino minihaloes (Diemand y otros 2005) y su mejora debido a los primeros veinte cáusticos. Claramente el flujo total de todo el halo es dom- por la emisión procedente del centro, en el que La densidad de los cáusticos llega a la guarida de fondo. sity (véase también. Sin embargo, en las regiones exteriores donde los primeros veinte cáusticos dominan, como se muestra en la Fig. 2 la relación del flujo utilizando la densidad autosimilar perfil dado por (6) y el perfil de densidad completo (1) da un factor de impulso de alrededor de Impulso = 1,4 (8) Por lo tanto, no sólo esperamos una firma distinta en el flujo acumulado y (similarmente diferencial) debido a la causa, como se destaca esquemáticamente en la Fig. 1 y se muestra numéricamente en la Fig. 3, también esperamos que la flujo total de la región del halo exterior, incluida la las primeras veinte causas que se incrementarán en aproximadamente un %40. Los trabajos cuantitativos sobre el flujo de rayos gamma no es llevado a cabo aquí, ya que requiere un modelo más realista que el modelo auto-similar que puede en el mejor de los casos ex- el crecimiento de un halo típico. Los minihalos son atípico en el sentido de que evolucionan en aislamiento, casi no hay masa. En conclusión, hemos modelado la materia oscura haloes por una versión ampliada de la caída secundaria modelo para incluir la dispersión de velocidad no discontinua. Hemos demostrado que el diferencial y cumula- los flujos tivos tendrían un patrón de aserrado distinto debido a los cáusticos. Hemos demostrado que los causales puede aumentar el flujo total de aniquilación en alrededor del 40% Porcentajes en las regiones exteriores de los haloes más pequeños de alrededor de 10-5 millones de libras esterlinas. En cuanto a la perspectiva de detección cáusticos, los minihalos más cercanos podrían ser detectables en rayos gamma por movimientos apropiados observados con GLAST (Koushiappas 2006), y debe mostrar un Subestructura parecida a la cáustica. Uno esperaría encontrar una serie de cáusticos, detectables como arcos. El pre- los espaciados dictados podrían utilizarse como plantilla para excavar más profundamente en el fondo ruidoso. Reconocimiento: S.S. reconoce el apoyo de LANL T8, CITA e IAP durante el período sabático año 2005-06 cuando se realizó la mayor parte de este estudio. Nosotros Gracias a M. Kuhlen y J. Diemand por las discusiones. REFERENCIAS Alard C.& Colombi S. 2005, MNRAS 359, 123 Arnol’d V.I., Shandarin S., Zel’dovich Ya.-B 1982, Dinámica de fluidos geofísicos y astrofísicos, 20, 111 Arnol’d V.I. 1990, Singularidades de la causalidad y la ola Kluwer Editores académicos, Matemáticas y sus aplicaciones (serie soviética) volumen 62. Bertone G., Hooper D., Silk J. 2004, Phys. Rep. 405, 279 Bertschinger E. 1985, ApJ 58, 39 Bertschinger E. 2006, Phys. Rev. D74, 3509 Diemand J., Moore B., Stadel J. 2005, Nature 433, 389 Fillmore J.A., Goldreich P. 1984, ApJ 281, 1 Gavazzi R., Mohayaee R. & Fort B. 2006, A&A 445, 43; y erratum: Gavazzi R., Mohayaee R. & Fort B. 2006, A&A 454, 715 Gott J.R. 1975, ApJ 201, 296 Gunn J.E. 1977, ApJ 218, 592 Jungman G., Kamionkowski M., Griest K. 1996, Phys. Rep. 267, 195 Koushiappas, S. 2006, Phys. Rev. Lett. (en prensa), astrof/0606208. Mohayaee R., Shandarin S 2006, MNRAS 366, 1217 Moore B., Governato F., Quinn T., Stadel J., Lake G. 1998, ApJ 499, L5 Natarajan, A, aniquilación WIMP en cáusticos, astrof/0703704 Navarro J.F., Frenk C.S., White S.D.M. 1996, ApJ 462, 563 Ostriker J.P., Peebles P.J.E. 1973, ApJ 186, 4670 Sikivie P., Tkachev I.I., Wang Y. 1997, Phys. Rev. D 56, Sikivie P., Ipser J.R. 1992, Phys. Lett 291, 288 Silk, J. y Srednicki, M. 1985, Phys. Rev. Lett. 53 624. http://arxiv.org/abs/astro-ph/0606208 http://arxiv.org/abs/astro-ph/0703704

Los haloes fríos de materia oscura están poblados por cáusticos, que aún no han sido resuelto en simulaciones de cuerpo-N u observado en el Universo. Fallo secundario modelo proporciona un paradigma para el estudio de la causalidad en haloes "típicos" Asumiendo que no han tenido grandes fusiones y han crecido sólo por acreción. Esta es una característica particular de la materia oscura más pequeña haloes de alrededor de 10o-5o Mo, que aunque "atípico" no contienen subestructuras y podría haber sobrevivido hasta ahora sin grandes fusiones. Por lo tanto, utilizando este modelo como la primera guidline, evaluamos el flujo de auto-aniquilación neutralino para Estos haloes. Nuestros resultados muestran que la causa podría dejar un diente de sierra distinto firma sobre los flujos diferenciales y acumulativos procedentes del exterior regiones de estos haloes. La señal de aniquilación total de las regiones alejadas desde el centro se puede aumentar en cerca de cuarenta por ciento.

Proyecto de versión 16 de noviembre de 2018 Tipografía preimpresa utilizando el estilo LATEX emulapj v. 11/26/04 CÁUSTICOS DE LA OSCURIDAD Y MEJORA DEL FLUJO DE AUTOANNIHILACIÓN Roya C. Mohayaee , Sergei Shandarin , Joseph Silk Proyecto de versión 16 de noviembre de 2018 RESUMEN Los haloes fríos de materia oscura están poblados por cáusticos, que aún no se han resuelto en el cuerpo-N simulaciones u observadas en el Universo. El modelo de caída secundaria proporciona un paradigma para el estudio de la causalidad en haloes típicos suponiendo que no han tenido grandes fusiones y han crecido sólo por acreción suave. Esta es una característica particular de la oscuridad más pequeña haloes de materia de aproximadamente 10-5 millones, que aunque atípicos no contienen subestructuras y podría haber sobrevivido hasta ahora sin grandes fusiones. Por lo tanto, utilizando este modelo como el primero Guidline, evaluamos el flujo de autoaniquilación neutralino para estos haloes. Nuestros resultados muestran que la causalidad podría dejar una clara firma de aserrado en el diferencial y acumulativo flujos provenientes de las regiones exteriores de estos haloes. La señal de aniquilación total de la Las regiones alejadas del centro pueden ser impulsadas por cerca de cuarenta por ciento. Títulos temáticos: haloes de materia oscura, cáusticos, detección de materia oscura 1. INTRODUCCIÓN Evidencia de las curvas de rotación de galaxias, lente gravitacional, fondo de microondas radi- sión, campos de velocidad peculiares, y muchos otros ob- los servicios indican que la masa visible, en la forma de estrellas y gas caliente, es sólo una pequeña fracción de la contenido total del Universo. La naturaleza de la la masa perdida, la materia oscura, sigue siendo desconocida pero se presume que es débilmente Interactuante Partículas masivas (WIMPs), tales como el más ligero su- partículas persimétricas, que aún no se han detectado en aceleradores de partículas (Jungman, Kamionkowski, & Griest 1996 ; Bertone, Hooper & Silk 2004). Las búsquedas aceleradoras se complementan con la grandes esfuerzos experimentales para detectar estas partículas en nuestra galaxia y en galaxias cercanas que se creen para ser incrustado en haloes de materia oscura (Ostriker & Peebles 1973). Tales técnicas complementarias actualmente implica la detección directa en fondo bajo Detectores de laboratorio (Goodman & Witten 1985) detección indirecta a través de la observación de neutrinos, rayos gamma y otros productos de autoaniquilación de partículas de materia oscura (Silk & Srednicki 1984). La tasa de eventos para la auto-aniquilación depende Cuadráticamente en la densidad local de materia oscura, que se cae con la distancia del centro de la Halo. Perfil de densidad media de halo obtenido en diversas simulaciones numéricas divergen en el cén- tre pero es por lo demás suave y a menudo se ajusta con a(n asintóticamente) doble ley de poder (Navarro, Frenk & White 1996, Moore et al 1998). Sin embargo, una sensus sobre los valores precisos de los exponentes de poder, el tamaño del núcleo central y la resolución de la multa Todavía no se han logrado estructuras de alta densidad. Los estructuras finas, los causales, son resultados inevitables 1 Institut d’astrophysique de Paris, 98 bis boulevard Arago (Francia) 2 Departamento de Física y Astronomía, Universidad de Kansas, KS 66045, U.S.A. 3 Universidad de Oxford, Astrofísica, Keble Road, Oxford OX1 3RH, U.K. de la evolución de un sistema de auto-gravitación sin colisiones Tem descrito por el Jeans-Vlassov-Poisson equa- (para un resultado numérico unidimensional véase Alard & Colombi 2005). Formalmente, en tres dimensiones. sions, las causas más comunes son superficies de cero espesores sobre los que diverge la densidad. 4 Ow- siempre, un corte máximo a su densidad es fijado por la dispersión finita de velocidad no despreciable de la oscuridad partículas de materia. Su densidad, sin embargo, permanece muy alto y por lo tanto pueden ser significativos para la oscuridad experimentos de búsqueda de materia (Sikivie & Ipser 1992, Sikivie et al 1997, Natarajan 2007). El efecto de dispersión de velocidad en el frotis de los cáusticos es se espera que domine sobre otros efectos tales como par- ticle discreta que también suavizaría la causa- tics pero en un grado mucho menor. Fusiones de haloes can también manchar a cabo los causales sustancialmente y debido a este hecho limitamos nuestro estudio a los haloes que tienen crecido por acreción lenta y suave. Sin embargo, los cáusticos son robustos, en que mientras que pueden romperse en micro-causas, permanecen en la escala fina halo subestructura y contribuir así a la El aumento de la grumedad eral de cualquier señal de aniquilación. Estudios analíticos de la formación de haloes y se han llevado a cabo principalmente bajo vari- la simplificación de las suposiciones, como la simetría esférica metría, auto-similaridad, y frío y suave acre- (Gott 1975, Gunn 1977, Fillmore & Goldreich) 1984, Bertschinger 1985). En un Einstein-de Sit- ter Universo una sobredensidad esférica se expande y luego se da la vuelta para colapsar. Después del colapso y en tiempos tardíos, el movimiento fluido se vuelve auto-similar: su forma permanece inalterada cuando su longitud es re- escalado en términos del radio, rta, del caparazón que se encuentra actualmente a la vuelta de la marcha y está cayendo en la 4 La teoría general de las singularidades (Arnol’d, Shandarin& Zel’dovich 1982) también predice singularidades en líneas y en puntos. A pesar de la mayor concentración de masa en estos las singularidades que probablemente juegan un papel menos importante en el tasa de aniquilación total porque contienen un considerablemente menor cantidad de masa. Sin embargo, esto no se ha estudiado. en detalle. http://arxiv.org/abs/0704.1999v1 galaxia por primera vez. Físicamente, auto-similaridad surge porque la gravedad es libre de escala y porque la masa las cáscaras fuera de la sobredensidad inicial también están atadas y dar la vuelta sucesivamente en tiempos posteriores. Auto... soluciones similares dan perfiles de densidad de la ley de poder en la escala del halo que proporciona una explicación para el aplanamiento de las curvas de rotación de las galaxias. Sin embargo, en escalas más pequeñas el perfil de densidad tiene muchos picos (es decir. causales) de densidad infinita. La posición y el tiempo de formación de estos tics se encuentran entre las muchas propiedades que han sido establecido en el marco de la auto-similar in- modelo de otoño (Fillmore & Goldreich 1984, Bertschinger 1985). En realidad, la materia oscura tiene una pequeña velocidad la persión y los haloes sufren de grandes fusiones y no-esfericidad. Sin embargo, hasta que se produzca un simulacro numérico las laciones alcanzan una resolución suficiente, la auto-similar modelo de acreción proporciona una guía útil para los haloes que no han sido objeto de grandes fusiones. Aquí, usamos el modelo auto-similar de halo para- y una mayor elaboración, que incluye: la dispersión de velocidad de la materia oscura (Mohayaee & Shandarin 2006) como primera guidline para describir la evolución de los haloes más pequeños que tienen sur- Vivió una gran fusión y disrupción hasta ahora y han crecido sólo por acreción lenta. La aplicación de un modelo auto-similar a los haloes pueden ser vistos desde dos ángulos contradictorios. Uno podría suponer que se espera que los minihaloes En el caso de que se trate de una empresa de servicios de inversión, el importe de la ayuda que se concede en virtud del artículo 107, apartado 1, letra b), del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea a la que se refiere el artículo 107, apartado 1, letra b), del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea será inferior al importe de la ayuda concedida en virtud del artículo 107, apartado 1, letra c), del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea, de conformidad con el artículo 108, apartado 1, del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea, de conformidad con el artículo 108, apartado 2, del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea, de conformidad con el artículo 108, apartado 2, del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea, de conformidad con el artículo 108, apartado 2, del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea, de conformidad con el artículo 108, apartado 2, del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea, de conformidad con el artículo 108, apartado 2, del Tratado de Funcionamiento de la Unión Europea, de conformidad con el artículo 108, apartado 2, del Tratado de la Unión Europea, Sin subestructuras, no han sido objeto de fusión y crecer muy lentamente sólo por la masa suave acre- tion. Por otro lado, los minihaloes no son típicos haloes y modelo de acreción autosimilar está formulado para describir la evolución de un halo característico. Teniendo en cuenta estos dos temas, utilizamos la auto- modelo similar sólo como una primera guidline para el evolu- ciones de minihaloes. Un gran número de ellos tienen se han encontrado en simulaciones (Diemand et al 2005). Las simulaciones estiman el tamaño de estos haloes ser de aproximadamente 0,01 pc (radio de la mitad de la masa) y sus masa de 10-6M® a z = 26. Debido a la resolución Lems, estas simulaciones se detienen en este corrimiento al rojo. y la evolución típica de los haloes de escala galáctica es ex- tendió a los minihalos y la conclusión se extrae que alrededor de 1015 de estos haloes podrían existir en el Halo de MilkWay hoy. Asumimos que al menos una fracción de estos haloes han evolucionado por el lento ac- modelo de creación de z = 26 hasta ahora y utilizar el modelo autosimilar para evaluar su radio y masa a z = 0, que son respectivamente 1 pc y 10-5 Más. Para estos haloes y el trabajo auto-consistente dentro de nuestro modelo, incluyendo la contribución de los cáusticos, demostramos que en el exterior re- gions de estos haloes cáustics pueden aumentar el annihi- La señal de la ración en alrededor del 40 %. 2. MODELO SEGUNDO-INFALIDAD CON VELOCIDAD DISPERSIÓN Los haloes considerados en esta obra crecen por acreción suave y lenta. Un buen ejemplo son: los haloes tierra-masa que se resolvieron recientemente (a z=26) en simulaciones numéricas (Diemand et al. Fig. 1.— Una trama de contorno de superficie de la densidad cáustica. En el modelo auto-similar, los cáusticos forman conchas concéntricas de aumento de la densidad y disminución de los espesores y separaciones mientras nos acercamos al centro del halo. 2005) y que, aunque se espera que sean pequeñas, tienen cáusticos esféricos limpios. Esperamos que en al menos una fracción de estos haloes han sobrevivido disrup- sión y la fusión y el crecimiento de forma auto-similar. modelo de creación a un radio virial de aproximadamente 1 pc y un masa de entre 10 y 5 millones de °C. Para cumplir con el requisito de acreción lenta, fijamos el valor del parámetro â € en la guarida inicial- perturbación de la sidad, donde Mi es la inicial masa, a la unidad. Enfatizamos que la auto-similar modelo tiene como objetivo describir la evolución de un tipo de Cal halo. Los haloes típicos tienen varianza de masa ((M) que varía como M−(n+3)/6, que establece = (n+3)/6, donde n es el índice del espectro de potencia. Un típico La fluctuación (M) crece como t2/(3». Minihaloes cor- responder al límite n → −3 parte del espectro. Para esta parte del espectro, hay fluc- de amplitud comparable en todas las escalas y En consecuencia, la invarianza adiabática no se aplica a tales fluctuaciones. Por lo tanto, utilizamos el modelo auto-similar sólo como un primera guidline para el crecimiento de minihaloes. Nosotros como... sume que los minihalos de masa 10-6M® han crecido por acreción muy pequeña de z = 26 a z = 0. Una vez una vez más, la acreción lenta corresponde al caso de 1 en la obra de Fillmore y Goldreich (1984), por lo tanto, adoptaremos este valor para.................................................................................................................. El perfil de densidad auto-similar es dado por (Bertschinger 1985) (−1) jexp donde es la densidad crítica y es el radio adimensional y r es el radio físico dius y i = ln(t/tta) es el tiempo sin dimensiones dado en términos del tiempo de respuesta, tta, de la partícula que se encuentra en el punto j, donde Bertschinger 1985 para más explicaciones). La densidad (1) se evalúa numéricamente y la ed en Fig. 2 después de un corte adecuado de la causa- tics que se discutirán ahora. En principio, el 0,06 0,1 0,2 1e+02 1e+03 1e+04 1e+05 1e+06 2a cáustica 1a cáustica Axión Neutralino *2 *1 *2 *1 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 * *2 * *2 * 2 * 2 * 2 * 2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Fig. 2.— La trama se hace resolviendo numéricamente (1) y cortar los cáusticos usando (3). La densidad de halos (dividido por la densidad crítica ) se puede aumentar significativamente en el Caustics. Esta mejora es mucho más grande para las axiones (puntos púas violetas) que para neutros (línea negra continua). El número de los arroyos aumenta al centro del halo que explica el rápido crecimiento del componente suave de el perfil de densidad y la contribución cáustica al halo la densidad disminuye. La línea roja punteada marcada con un punto marcado es el perfil aproximado de densidad autosimilar dado por (6). Los inset muestra una vista ampliada de la segunda y tercera causalidad para los neutralinos. la densidad en la causa diverge si la velocidad dis- la persión de la materia oscura es cero. En presencia de un dispersión a pequeña velocidad de la densidad máxima y espesor de las cáscaras cáusticas y su densidad pro- los archivos han sido evaluados (Mohayaee & Shandarin 2006). La densidad máxima en los cáusticos y su perfil son dados por Cústico,k = k # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * donde k es el radio no-dimensional de la kth cáustico contado hacia el interior y −2k e−2®k/3 y el espesor de la cáscara cáustica es dado por k = (3η)2/3e5­k/9­k t (t) , (5) donde t es la era del Universo,  es el presente- dispersión de la velocidad del día de partículas de materia oscura , que es el desacoplamiento reescalado con el ex- factor de pansión. Los valores de estos parámetros varían De un cáustico a otro (véase el cuadro 1 de Hayaee & Shandarin 2006 para los primeros diez cáusticos). El perfil (1) junto con el corte adecuado dado por (3) está trazado en la Fig. 2. El perfil de densidad máximo dado por (1) y mostrado en Fig. 2 tiene que ser evaluado numéricamente. Sin embargo, como es evidente en la Fig. 2 un perfil “semejante”5 es 5 Este perfil también puede ser adecuado por una ley de poder y un corte exponencial alcanzado con el que encajamos .......................................................................................................................... 2.89/4 (1 + 3/4)2 , (6) como se muestra en la Fig. 2 por la línea roja puntiaguda, marcado como "ss". El radio de giro, rta ahora puede ser evaluado considerando que en el radio virial la densidad es alrededor de 200 veces la densidad de fondo, y se administra por rta 4rvir, que corresponde a el perfil de densidad dado por (6). Este aproximado perfil ha demostrado ser un buen ajuste también a la perfil de masa (véase Mohayaee y Shandarin 2006). In en la siguiente sección vamos a mostrar que utilizando este perfil que ignora la causa produciría un bajo- valor estimado para el flujo. Tanto la extrapolación numérica y la aprox- Perfiles de densidad imate mostrados en la Fig. 2 formalmente di- en el centro. Sin embargo, debido a la oscuridad finita dispersión de la velocidad de la materia, los haloes pueden desarrollar núcleos tral. Se espera que los haloes de materia oscura tengan núcleos centrales debido a la velocidad de dispersión de la materia oscura sión, auto-aniquilaciones en el centro, mo- mentum, mareas y otros efectos. El núcleo puede ser muy pequeño y la escala mínima asso- ciada con un historial genérico de fusión de materia oscura conservaría rastros de los núcleos originales en el subestructura inicial. Estos deben ser de orden el masa de flujo libre como, por ejemplo, computada en Bertschinger (2006). En principio, para los tamaños de núcleos pequeños, el flujo total de todo el halo está dominado por el annihi- en el centro del halo y el impulso debido a causa de la causa es insignificante. Sin embargo, vamos a mostrar en la siguiente sección que el diferencial (similarmente cu- ) el flujo se caracterizaría claramente por el cáustica y tendrá un patrón de aserrín y el Contribución al flujo total de la región exterior de estos haloes por los cáusticos es significativo y puede producir un factor de aumento de alrededor del 40%. 3. EL FLUJO DE LA AUTOANNIHILACIÓN INCLUIDO EL EFECTO DE LA CAUSTICA Causas si se detectan serían evidencia clara de la existencia de materia oscura y podría descartar al- modelos alternativos de gravedad. Dos métodos principales para su detección son a través de lentes gravitacionales (véase, por ejemplo, Gavazzi et al 2006) y el flujo de oscuridad producto de aniquilación de materia que se espera que ser mejorados significativamente por los cáusticos. Aquí vamos. debatirá el segundo método. El flujo del producto de auto-aniquilación (e.g. γ- radios) es dada por F lux 2(4ηr2) dr, (7) cuando el coeficiente de proporcionalidad sea una función de masa de partículas de materia oscura, sección transversal de interacción y el número de fotones producidos por annihila- tion. El flujo diferencial y acumulativo (es decir, el in- tegrand en expresión (7) y la integral evaluada a partir de rta hacia el interior) para el neutrino ( = 0,03 cm/s) y un minihalo de rta = 3,24 pc (que corresponde a a un radio virial de aproximadamente 0,8 pc) se muestra en la Fig. 0,3 0,5 1 r (pc) 1e+02 1e+04 1e+06 aproximadamente [" eq. 6)] numérica [" eq. 1)] 0,14 0,29 0,57 1,1 r (pc) 1e+03 1e+04 1e+05 1e+06 1e+07 para los minihalos neutros de r ~1 pc; M~10  =0,03 cm/s ▼=0,0003 cm/s Fig. 3.- El flujo acumulado se obtiene sumando el flujo hacia el interior: es decir, desde el primer cáustico exterior hacia el la mayoría interior (es decir, la integral (7) evaluada hacia el interior). El flujo se muestra para dos valores diferentes de la dispersión de velocidad. La línea roja discontinua muestra el flujo acumulado obtenido por usando nuestra expresión analítica aproximada para la densidad (6) que descuida la contribución de los cáusticos y puede subestimar considerablemente el flujo de aniquilación e ignorar los distintos dientes de sierra característicos de los cáusticos. El conjunto muestra el flujo diferencial (integración y de expresión (7)) utilizando el perfil de densidad completa (1) como lo muestra el sólido negro puntiagudo línea y el perfil aproximado (6) como se muestra por línea roja punteada. El patrón de dientes de sierra es una vez más descuidado en el uso del perfil posterior. 3. Las fluctuaciones, debido a la causalidad, se vuelven menos prominentes a medida que vamos hacia el centro. Disminución la dispersión de la velocidad aumentaría tanto el am- plitud de los picos en el perfil de densidad y el fluctuaciones en el flujo, como se muestra en las figs. 2 y 3. Usando nuestra solución numérica para (1) y aprox- imation (6), ahora podemos determinar el flujo a partir de los neutrino minihaloes (Diemand y otros 2005) y su mejora debido a los primeros veinte cáusticos. Claramente el flujo total de todo el halo es dom- por la emisión procedente del centro, en el que La densidad de los cáusticos llega a la guarida de fondo. sity (véase también. Sin embargo, en las regiones exteriores donde los primeros veinte cáusticos dominan, como se muestra en la Fig. 2 la relación del flujo utilizando la densidad autosimilar perfil dado por (6) y el perfil de densidad completo (1) da un factor de impulso de alrededor de Impulso = 1,4 (8) Por lo tanto, no sólo esperamos una firma distinta en el flujo acumulado y (similarmente diferencial) debido a la causa, como se destaca esquemáticamente en la Fig. 1 y se muestra numéricamente en la Fig. 3, también esperamos que la flujo total de la región del halo exterior, incluida la las primeras veinte causas que se incrementarán en aproximadamente un %40. Los trabajos cuantitativos sobre el flujo de rayos gamma no es llevado a cabo aquí, ya que requiere un modelo más realista que el modelo auto-similar que puede en el mejor de los casos ex- el crecimiento de un halo típico. Los minihalos son atípico en el sentido de que evolucionan en aislamiento, casi no hay masa. En conclusión, hemos modelado la materia oscura haloes por una versión ampliada de la caída secundaria modelo para incluir la dispersión de velocidad no discontinua. Hemos demostrado que el diferencial y cumula- los flujos tivos tendrían un patrón de aserrado distinto debido a los cáusticos. Hemos demostrado que los causales puede aumentar el flujo total de aniquilación en alrededor del 40% Porcentajes en las regiones exteriores de los haloes más pequeños de alrededor de 10-5 millones de libras esterlinas. En cuanto a la perspectiva de detección cáusticos, los minihalos más cercanos podrían ser detectables en rayos gamma por movimientos apropiados observados con GLAST (Koushiappas 2006), y debe mostrar un Subestructura parecida a la cáustica. Uno esperaría encontrar una serie de cáusticos, detectables como arcos. El pre- los espaciados dictados podrían utilizarse como plantilla para excavar más profundamente en el fondo ruidoso. Reconocimiento: S.S. reconoce el apoyo de LANL T8, CITA e IAP durante el período sabático año 2005-06 cuando se realizó la mayor parte de este estudio. Nosotros Gracias a M. Kuhlen y J. Diemand por las discusiones. REFERENCIAS Alard C.& Colombi S. 2005, MNRAS 359, 123 Arnol’d V.I., Shandarin S., Zel’dovich Ya.-B 1982, Dinámica de fluidos geofísicos y astrofísicos, 20, 111 Arnol’d V.I. 1990, Singularidades de la causalidad y la ola Kluwer Editores académicos, Matemáticas y sus aplicaciones (serie soviética) volumen 62. Bertone G., Hooper D., Silk J. 2004, Phys. Rep. 405, 279 Bertschinger E. 1985, ApJ 58, 39 Bertschinger E. 2006, Phys. Rev. D74, 3509 Diemand J., Moore B., Stadel J. 2005, Nature 433, 389 Fillmore J.A., Goldreich P. 1984, ApJ 281, 1 Gavazzi R., Mohayaee R. & Fort B. 2006, A&A 445, 43; y erratum: Gavazzi R., Mohayaee R. & Fort B. 2006, A&A 454, 715 Gott J.R. 1975, ApJ 201, 296 Gunn J.E. 1977, ApJ 218, 592 Jungman G., Kamionkowski M., Griest K. 1996, Phys. Rep. 267, 195 Koushiappas, S. 2006, Phys. Rev. Lett. (en prensa), astrof/0606208. Mohayaee R., Shandarin S 2006, MNRAS 366, 1217 Moore B., Governato F., Quinn T., Stadel J., Lake G. 1998, ApJ 499, L5 Natarajan, A, aniquilación WIMP en cáusticos, astrof/0703704 Navarro J.F., Frenk C.S., White S.D.M. 1996, ApJ 462, 563 Ostriker J.P., Peebles P.J.E. 1973, ApJ 186, 4670 Sikivie P., Tkachev I.I., Wang Y. 1997, Phys. Rev. D 56, Sikivie P., Ipser J.R. 1992, Phys. Lett 291, 288 Silk, J. y Srednicki, M. 1985, Phys. Rev. Lett. 53 624. http://arxiv.org/abs/astro-ph/0606208 http://arxiv.org/abs/astro-ph/0703704

Search for a Higgs boson produced in association with a Z boson in ppbar collisions

FERMILAB-PUB-07/076-E Búsqueda de un bosón Higgs producido en asociación con un bosón Z en pp colisiones V.M. Abazov,35 B. Abbott,75 M. Abolins,65 B.S. Acharya,28 M. Adams,51 T. Adams,49 E. Aguilo,5 S.H. Ahn,30 M. Ahsan,59 G.D. Alexeev,35 G. Alkhazov,39 A. Alton,64,* G. Alverson,63 G.A. Alves,2 M. Anastasoaie,34 L.S. Ancu,34 T. Andeen,53 S. Anderson,45 B. Andrieu,16 M.S. Anzelc,53 Y. Arnoud,13 M. Arov,60 M. Arthaud,17 A. Askew,49 B. Åsman,40 A.C.S. Assis Jesus,3 O. Atramentov,49 C. Autermann,20 C. Avila,7 C. Ay,23 F. Badaud,12 A. Baden,61 L. Bagby,52 B. Baldin,50 D.V. Bandurin,59 P. Banerjee,28 S. Banerjee,28 E. Barberis,63 A.-F. Barfuss,14 P. Bargassa,80 P. Baringer,58 J. Barreto,2 J.F. Bartlett,50 U. Bassler,16 D. Bauer,43 S. Beale,5 A. Bean,58 M. Begalli,3 M. Begel,71 C. Belanger-Champagne,40 L. Bellantoni,50 A. Bellavance,50 J.A. Benítez,65 S.B. Beri,26 G. Bernardi,16 R. Bernhard,22 L. Berntzon,14 I. Bertram,42 M. Besançon,17 R. Beuselinck,43 V.A. Bezzubov,38 P.C. Bhat,50 V. Bhatnagar,26 C. Biscarat,19 G. Blazey,52 F. Blekman,43 S. Bendición,49 D. Bloch,18 K. Bloom,67 A. Boehnlein,50 D. Boline,62 T.A. Bolton,59 G. Borissov,42 K. Bos,33 T. Bose,77 A. Brandt,78 R. Brock,65 G. Brooijmans,70 A. Bross,50 D. Brown,78 N.J. Buchanan,49 D. Buchholz,53 M. Buehler,81 V. Buescher,21 S. Burdin,42,¶ S. Burke,45 T.H. Burnett, 82 C.P. Buszello, 43 J.M. Butler,62 P. Calfayan,24 S. Calvet,14 J. Cammin,71 S. Caron,33 W. Carvalho,3 B.C.K. Casey,77 N.M. Cason,55 H. Castilla-Valdez,32 S. Chakrabarti,17 D. Chakraborty, 52 K. Chan, 5 K.M. Chan,55 A. Chandra,48 F. Charles,18 E. Cheu,45 F. Chevallier,13 D.K. Cho,62 S. Choi,31 B. Choudhary,27 L. Christofek,77 T. Christoudias,43 S. Cihangir,50 D. Claes,67 B. Clément,18 C. Clément,40 Y. Coadou,5 M. Cooke,80 W.E. Cooper,50 M. Corcoran,80 F. Couderc,17 M.-C. Cousinou,14 S. Crépé-Renaudin,13 D. Cutts,77 M. Ćwiok,29 H. da Motta,2 A. Das,62 G. Davies,43 K. De,78 P. de Jong,33 S.J. de Jong,34 E. De La Cruz-Burelo,64 C. De Oliveira Martins,3 J.D. Degenhardt,64 F. Deliot,17 M. Demarteau,50 R. Demina,71 D. Denisov,50 S.P. Denisov,38 S. Desai,50 H.T. Diehl,50 M. Diesburg,50 A. Domínguez,67 H. Dong,72 L.V. Dudko,37 L. Duflot,15 S.R. Dugad,28 D. Duggan,49 A. Duperrin,14 J. Dyer,65 A. Dyshkant,52 M. Eads,67 D. Edmunds,65 J. Ellison,48 V.D. Elvira,50 Y. Enari,77 S. Eno,61 P. Ermolov,37 H. Evans,54 A. Evdokimov,73 V.N. Evdokimov,38 A.V. Ferapontov,59 T. Ferbel,71 F. Fiedler,24 F. Filthaut,34 W. Fisher,50 H.E. Fisk,50 M. Ford,44 M. Fortner,52 H. Fox,22 S. Fu,50 S. Fuess,50 T. Gadfort,82 C.F. Galea,34 E. Gallas,50 E. Galyaev,55 C. Garcia,71 A. Garcia-Bellido,82 V. Gavrilov,36 P. Gay,12 W. Geist,18 D. Gelé,18 E.C. Gerber,51 Y. Gershtein,49 D. Gillberg,5 G. Ginther,71 N. Gollub,40 B. Gómez,7 A. Goussiou,55 P.D. Grannis, 72 H. Greenlee, 50 Z.D. Greenwood, 60 E.M. Gregores,4 G. Grenier,19 Ph. Gris,12 J.-F. Grivaz,15 A. Grohsjean,24 S. Grünendahl,50 M.W. Grünewald,29 F. Guo,72 J. Guo,72 G. Gutierrez,50 P. Gutierrez,75 A. Haas,70 N.J. Hadley,61 P. Haefner,24 S. Hagopian,49 J. Haley, 68 I. Hall, 75 R.E. Hall,47 L. Han,6 K. Hanagaki,50 P. Hansson,40 K. Harder,44 A. Harel,71 R. Harrington, 63 J.M. Hauptman,57 R. Hauser,65 J. Hays,43 T. Hebbeker,20 D. Hedin,52 J.G. Hegeman,33 J.M. Heinmiller, 51 A.P. Heinson,48 U. Heintz,62 C. Hensel,58 K. Herner,72 G. Hesketh,63 M.D. Hildreth,55 R. Hirosky,81 J.D. Hobbs,72 B. Hoeneisen,11 H. Hoeth,25 M. Hohlfeld,21 S.J. Hong,30 R. Hooper,77 S. Hossain,75 P. Houben,33 Y. Hu,72 Z. Hubacek,9 V. Hynek,8 I. Iashvili,69 R. Illingworth,50 A.S. Ito,50 S. Jabeen,62 M. Jaffré,15 S. Jain,75 K. Jakobs,22 C. Jarvis,61 R. Jesik,43 K. Johns,45 C. Johnson,70 M. Johnson,50 A. Jonckheere,50 P. Jonsson,43 A. Juste,50 D. Käfer,20 S. Kahn,73 E. Kajfasz,14 A.M. Kalinin,35 J.M. Kalk,60 J.R. Kalk,65 S. Kappler,20 D. Karmanov,37 J. Kasper,62 P. Kasper,50 I. Katsanos,70 D. Kau,49 R. Kaur,26 V. Kaushik,78 R. Kehoe,79 S. Kermiche,14 N. Khalatyan,38 A. Khanov,76 A. Kharchilava,69 Y.M. Kharzheev,35 D. Khatidze,70 H. Kim,31 T.J. Kim,30 M.H. Kirby,34 M. Kirsch,20 B. Klima,50 J.M. Kohli,26 J.-P. Konrath,22 M. Kopal,75 V.M. Korablev,38 B. Kothari,70 A.V. Kozelov,38 D. Krop,54 A. Kryemadhi,81 T. Kuhl,23 A. Kumar,69 S. Kunori,61 A. Kupco,10 T. Kurča,19 J. Kvita,8 D. Lam,55 S. Lammers,70 G. Landsberg,77 J. Lazoflores,49 P. Lebrun,19 W.M. Lee,50 A. Leflat,37 F. Lehner,41 J. Lellouch,16 V. Lesne,12 J. Leveque,45 P. Lewis,43 J. Li,78 L. Li,48 Q.Z. Li,50 S.M. Lietti,4 J.G.R. Lima,52 D. Lincoln,50 J. Linnemann,65 V.V. Lipaev,38 R. Lipton,50 Y. Liu,6 Z. Liu,5 L. Lobo,43 A. Lobodenko,39 M. Lokajicek,10 A. Lounis,18 P. Love,42 H.J. Lubatti,82 A.L. Lyon,50 A.K.A. Maciel,2 D. Mackin,80 R.J. Madaras,46 P. Mättig,25 C. Magass,20 A. Magerkurth,64 N. Makovec,15 P.K. Mal, 55 H.B. Malbouisson,3 S. Malik,67 V.L. Malyshev, 35 H.S. Mao,50 Y. Maravin,59 B. Martin,13 R. McCarthy,72 A. Melnitchouk,66 A. Mendes,14 L. Mendoza,7 P.G. Mercadante,4 M. Merkin,37 K.W. Merritt,50 A. Meyer,20 J. Meyer,21 M. Michaut,17 T. Millet,19 J. Mitrevski,70 J. Molina,3 R.K. Mommsen,44 N.K. Mondal,28 R.W. Moore,5 T. Moulik,58 G.S. Muanza,19 M. Mulders,50 M. Mulhearn,70 O. Mundal,21 L. Mundim,3 E. Nagy,14 M. Naimuddin,50 M. Narain,77 N.A. Naumann, 34 H.A. Neal,64 J.P. Negret,7 P. Neustroev,39 H. Nilsen,22 http://arxiv.org/abs/0704.2000v1 C. Noeding22 A. Nomerotski,50 S.F. Novaes,4 T. Nunnemann,24 V. O’Dell,50 D.C. O’Neil,5 G. Obrant,39 C. Ochando,15 D. Onoprienko,59 N. Oshima,50 J. Osta,55 R. Otec,9 G.J. Otero y Garzón,51 M. Owen,44 P. Padley,80 M. Pangilinan,77 N. Parashar,56 S.-J. Park, 71 S.K. Park,30 J. Parsons,70 R. Partridge,77 N. Parua,54 A. Patwa,73 G. Pawloski,80 P.M. Perea,48 K. Peters,44 Y. Peters,25 P. Pétroff,15 M. Petteni,43 R. Piegaia,1 J. Piper,65 M.-A. Pleier, 21 P.L.M. Podesta-Lerma, 32, § V.M. Podstavkov,50 Y. Pogorelov,55 M.-E. Pol,2 A. Pompoš,75 B.G. Pope, 65 A.V. Popov, 38 C. Potter, 5 W.L. Prado da Silva,3 H.B. Prosper,49 S. Protopopescu,73 J. Qian,64 A. Quadt,21 B. Quinn,66 A. Rakitine,42 M.S. Rangel, 2 K.J. Rani, 28 K. Ranjan, 27 P.N. Ratoff,42 P. Renkel,79 S. Reucroft,63 P. Rich,44 M. Rijssenbeek,72 I. Ripp-Baudot,18 F. Rizatdinova,76 S. Robinson,43 R.F. Rodrigues,3 C. Royon,17 P. Rubinov,50 R. Ruchti,55 G. Safronov,36 G. Sajot,13 A. Sánchez-Hernández,32 M.P. Sanders, 16 A. Santoro,3 G. Savage,50 L. Sawyer,60 T. Scanlon,43 D. Schaile,24 R.D. Schamberger,72 Y. Scheglov,39 H. Schellman,53 P. Schieferdecker,24 T. Schliephake,25 C. Schmitt,25 C. Schwanenberger,44 A. Schwartzman,68 R. Schwienhorst,65 J. Sekaric,49 S. Sengupta,49 H. Severini,75 E. Shabalina,51 M. Shamim,59 V. Shary,17 A.A. Shchukin,38 R.K. Shivpuri,27 D. Shpakov,50 V. Siccardi,18 V. Simak,9 V. Sirotenko,50 P. Skubic,75 P. Slattery,71 D. Smirnov,55 R.P. Smith, 50 G.R. Snow,67 J. Snow,74 S. Snyder,73 S. Söldner-Rembold,44 L. Sonnenschein,16 A. Sopczak,42 M. Sosebee,78 K. Soustruznik,8 M. Souza,2 B. Spurlock,78 J. Stark,13 J. Steele,60 V. Stolin,36 A. Stone, 51 D.A. Stoyanova,38 J. Strandberg,64 S. Strandberg,40 M.A. Strang,69 M. Strauss,75 R. Ströhmer,24 D. Strom,53 M. Strovink,46 L. Stutte,50 S. Sumowidagdo,49 P. Svoisky,55 A. Sznajder,3 M. Talby,14 P. Tamburello,45 A. Tanasijczuk,1 W. Taylor,5 P. Telford,44 J. Temple,45 B. Tiller,24 F. Tissandier,12 M. Titov,17 V.V. Tokmenin,35 M. Tomoto,50 T. Toole,61 I. Torchiani,22 T. Trefzger,23 D. Tsybychev,72 B. Tuchming,17 C. Tully,68 P.M. Tuts,70 R. Unalan,65 L. Uvarov,39 S. Uvarov,39 S. Uzunyan,52 B. Vachon,5 P.J. van den Berg,33 B. van Eijk,35 R. Van Kooten,54 W.M. van Leeuwen,33 N. Varelas,51 E.W. Varnes,45 A. Vartapetian,78 I.A. Vasilyev,38 M. Vaupel,25 P. Verdier,19 L.S. Vertogradov,35 M. Verzocchi,50 F. Villeneuve-Seguier,43 P. Vint,43 E. Von Toerne,59 M. Voutilainen,67,‡ M. Vreeswijk,33 R. Wagner,68 H.D. Wahl,49 L. Wang,61 M.H.L.S Wang,50 J. Warchol,55 G. Watts,82 M. Wayne,55 G. Weber,23 M. Weber,50 H. Weerts,65 A. Wenger,22,# N. Wermes,21 M. Wetstein,61 A. White,78 D. Wicke,25 G.W. Wilson,58 S.J. Wimpenny,48 M. Wobisch,60 D.R. Wood, 63 T.R. Wyatt,44 Y. Xie,77 S. Yacoob,53 R. Yamada,50 M. Yan,61 T. Yasuda,50 Y.A. Yatsunenko, 35 K. Yip,73 H.D. Yoo,77 S.W. Youn,53 C. Yu,13 J. Yu,78 A. Yurkewicz,72 A. Zatserklyaniy,52 C. Zeitnitz,25 D. Zhang,50 T. Zhao,82 B. Zhou,64 J. Zhu,72 M. Zielinski,71 D. Zieminska,54 A. Zieminski,54 L. Zivkovic,70 V. Zutshi,52 y E.G. Zverev37 (Colaboración DØ) 1Universidad de Buenos Aires, Buenos Aires, Argentina 2LAFEX, Centro Brasileiro de Pesquisas Fsicas, Río de Janeiro, Brasil 3Universidade do Estado do Río de Janeiro, Río de Janeiro, Brasil 4Instituto de Física Teórica, Universidade Estadual Paulista, São Paulo, Brasil 5Universidad de Alberta, Edmonton, Alberta, Canadá, Universidad Simon Fraser, Burnaby, Columbia Británica, Canadá, Universidad de York, Toronto, Ontario, Canadá, y Universidad McGill, Montreal, Quebec, Canadá 6Universidad de Ciencia y Tecnología de China, Hefei, República Popular China 7Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia 8Centro de Física de Partículas, Universidad Charles, Praga, República Checa 9Universidad Técnica Checa, Praga (República Checa) 10Centro de Física de Partículas, Instituto de Física, Academia de Ciencias de la República Checa, Praga (República Checa) 11Universidad San Francisco de Quito, Quito, Ecuador 12Laboratoire de Physique Corpusculaire, IN2P3-CNRS, Université Blaise Pascal, Clermont-Ferrand, Francia 13Laboratoire de Physique Subatomique et de Cosmologie, IN2P3-CNRS, Universite de Grenoble 1, Grenoble, Francia 14CPPM, IN2P3-CNRS, Université de la Méditerranée, Marsella (Francia) 15Laboratoire de l’Accélérateur Linéaire, IN2P3-CNRS et Université Paris-Sud, Orsay, Francia 16LPNHE, IN2P3-CNRS, Universités Paris VI y VII, París, Francia 17DAPNIA/Service de Physique des Particules, CEA, Saclay, Francia 18IPHC, Université Louis Pasteur et Université de Haute Alsacia, CNRS, IN2P3, Estrasburgo, Francia 19IPNL, Université Lyon 1, CNRS/IN2P3, Villeurbanne, Francia y Université de Lyon, Lyon, Francia 20III. Physikalisches Institut A, RWTH Aachen, Aachen, Alemania 21Physikalisches Institut, Universität Bonn, Bonn (Alemania) 22Physikalisches Institut, Universität Freiburg, Friburgo, Alemania 23Institut für Physik, Universität Mainz, Mainz, Alemania 24Ludwig-Maximilians-Universität München, München, Alemania 25Fachbereich Physik, Universidad de Wuppertal, Wuppertal, Alemania 26Universidad de Panjab, Chandigarh (India) 27Delhi University, Delhi (India) 28Tata Institute of Fundamental Research, Mumbai (India) 29University College Dublin, Dublin, Irlanda 30Corea Detector Laboratory, Universidad de Corea, Seúl, Corea 31SungKyunKwan University, Suwon, Corea 32CINVESTAV, Ciudad de México, México 33FOM-Instituto NIKHEF y Universidad de Amsterdam/NIKHEF, Amsterdam, Países Bajos 34Radboud University Nijmegen/NIKHEF, Nijmegen, Países Bajos 35Instituto Conjunto de Investigación Nuclear, Dubna (Rusia) 36Instituto de Física Teórica y Experimental, Moscú, Rusia 37Universidad Estatal de Moscú, Rusia 38Instituto de Física de Alta Energía, Protvino, Rusia 39Petersburg Nuclear Physics Institute, San Petersburgo (Rusia) 40Lund University, Lund, Suecia, Real Instituto de Tecnología y Universidad de Estocolmo, Estocolmo, Suecia, y Universidad de Uppsala, Uppsala, Suecia 41Physik Institut der Universität Zürich, Zürich, Suiza 42Lancaster University, Lancaster, Reino Unido 43Imperial College, Londres (Reino Unido) 44Universidad de Manchester, Manchester, Reino Unido 45Universidad de Arizona, Tucson, Arizona 85721, EE.UU. 46Lawrence Berkeley National Laboratory and University of California, Berkeley, California 94720, USA 47California State University, Fresno, California 93740, EE.UU. 48Universidad de California, Riverside, California 92521, EE.UU. 49Florida State University, Tallahassee, Florida 32306, USA 50Fermi National Accelerator Laboratory, Batavia, Illinois 60510, EE.UU. 51Universidad de Illinois en Chicago, Chicago, Illinois 60607, EE.UU. 52Northern Illinois University, DeKalb, Illinois 60115, EE.UU. 53Northwestern University, Evanston, Illinois 60208, EE.UU. 54Indiana University, Bloomington, Indiana 47405, USA 55Universidad de Notre Dame, Notre Dame, Indiana 46556, EE.UU. 56Purdue University Calumet, Hammond, Indiana 46323, EE.UU. 57Iowa State University, Ames, Iowa 50011, EE.UU. 58Universidad de Kansas, Lawrence, Kansas 66045, EE.UU. 59Kansas State University, Manhattan, Kansas 66506, EE.UU. 60Louisiana Tech University, Ruston, Louisiana 71272, EE.UU. 61Universidad de Maryland, College Park, Maryland 20742, EE.UU. 62Boston University, Boston, Massachusetts 02215, EE.UU. 63Noreste University, Boston, Massachusetts 02115, EE.UU. 64Universidad de Michigan, Ann Arbor, Michigan 48109, EE.UU. 65Michigan State University, East Lansing, Michigan 48824, EE.UU. 66Universidad de Mississippi, Universidad, Mississippi 38677, EE.UU. 67Universidad de Nebraska, Lincoln, Nebraska 68588, EE.UU. 68Princeton University, Princeton, New Jersey 08544, USA 69Universidad Estatal de Nueva York, Buffalo, Nueva York 14260, EE.UU. 70Columbia University, Nueva York, Nueva York 10027, EE.UU. 71Universidad de Rochester, Rochester, Nueva York 14627, EE.UU. 72State University of New York, Stony Brook, New York 11794, USA 73Brookhaven National Laboratory, Upton, Nueva York 11973, EE.UU. 74Langston University, Langston, Oklahoma 73050, EE.UU. 75Universidad de Oklahoma, Norman, Oklahoma 73019, EE.UU. 76Oklahoma State University, Stillwater, Oklahoma 74078, EE.UU. 77Brown University, Providence, Rhode Island 02912, USA 78Universidad de Texas, Arlington, Texas 76019, EE.UU. 79Southern Methodist University, Dallas, Texas 75275, EE.UU. 80Rice University, Houston, Texas 77005, EE.UU. 81Universidad de Virginia, Charlottesville, Virginia 22901, EE.UU. 82Universidad de Washington, Seattle, Washington 98195, EE.UU. (Fecha: 16 de abril de 2007) Describimos una búsqueda para el modelo estándar bosón Higgs con una masa de 105 GeV/c2 a 145 GeV/c2 en los datos correspondientes a una luminosidad integrada de aproximadamente 450 pb−1 recogidos con el D0 detector en el colisionador Fermilab Tevatron pp a una energía del centro de la masa de 1,96 TeV. Los Higgs bosón se requiere para ser producido en asociación con un bosón Z, y el bosón Z se requiere para Decaimiento a electrones o muones con el bosón de Higgs decayendo a un par de bb. Los datos están bien. descrito por los antecedentes esperados, lo que conduce a un nivel de confianza del 95% transversal de los límites superiores (pp → ZH)×B(H → bb) en el rango de 3,1 pb a 4,4 pb. Números PACS: 13.85.Ni, 13.85.Qk, 13.85Rm A lo largo de las dos últimas décadas, cada vez más precisa exper- resultados mentales han validado repetidamente el estándar modelo (SM) y la relación entre calibrador invari- ance y las fuerzas de acoplamiento embebidas. Para los masivos Los bosones W y Z, la invarianza del calibre del Lagrangian es preservado a través del mecanismo de Higgs, pero el Higgs bosón (H) aún no se ha observado. El nivel actual más bajo atado a la masa del bosón de Higgs de directo ex- búsquedas perimentales es MH = 114,4 GeV/c 2 en el 95% nivel de confianza [1]. Búsquedas para pp → WH → e(μ)vbb, pp → WH → WWW ∗, y pp → ZH → bb han se ha informado recientemente [2, 3, 4]. El CDF colabora- los resultados obtenidos en las pp → WH → l/ y pp → ZH → l+l−bb (l = e, μ) canales con significa- conjuntos de datos relativamente pequeños [5, 6, 7]. Esta carta proporciona los primeros resultados del experimento D0 de búsquedas un bosón Higgs producido en asociación con un bosón Z, que luego decae a un par de electrones o a un muón par. El Higgs se supone que decae a un par bb con un fracción ramificada dada por el SM. El Z(→ l+l−)H Los canales mencionados en la presente carta comprenden los principales nents de la búsqueda de un bosón de Higgs en el Tevatron Collider. Los bosones Z son reconstruidos e identificados a través de pares de aislados, electrones o muones con grandes momen- Componentes tum transversales a la dirección del haz (pT ) tener una masa invariante consistente con la de la Z bo- Hijo. Los eventos son necesarios para tener exactamente dos jets iden- tificado como derivado de b quarks (b jets). El resultado los datos se examinan para la presencia de un (H → bb̄) sig- nal en la distribución de la masa del dijet b-etiquetado. Un eficiente Algoritmo de identificación b con baja tasa de identificación errónea y buena resolución de masa de chorro son esenciales para mejorar señal relativa a los fondos. El análisis de la di- El canal del electrón [8] (dimuón [9]) se basa en 450±27 pb−1 (370± 23 pb−1) de los datos registrados por el experimento D0 entre 2002 y 2004. El detector D0 [10, 11] tiene un sistema de seguimiento central. tem consistente en un rastreador de microstrip de silicio (SMT) y un rastreador central de fibra (CFT), ambos situados en a Imán solenoidal superconductor de 2 T, con de- Señales optimizadas para el seguimiento y vértice de la cubierta pseudorapididades < 3 y < 2,5, respectivamente (η = − ln[tan( la dirección del haz de protones). Central y para... los detectores preshower de la sala están colocados justo fuera de la bobina superconductora. Un argón líquido y uranio el calorímetro tiene una sección central (CC) que cubre pseudo- Velocidades de hasta 1,1 y dos calorímetros finales (CE) que extienden la cobertura a 4.2, con los tres alojados en criostatos separados [11]. Un sistema de muones exterior, cubierta... ing < 2, consiste en una capa de detectores de rastreo y contadores de disparo de centelleo delante de 1,8 T toroids, seguido de dos capas similares detrás de los toroides [12]. La luminosidad se mide utilizando matrices de centelleadores de plástico colocado delante de los criostatos CE [13]. El fondo primario de la señal de Higgs es el como- producción sociada de un bosón Z con chorros derivados de la radiación gluon, entre la cual la producción de Z+bb̄ es un irre- fondo ducible. Las otras fuentes de antecedentes son: producción, producción de diboson (ZZ y WZ), y eventos de producción multijet que se identifican erróneamente como si contuviera bosones Z. Los fondos se agrupan en dos categorías con la primera categoría, llamada física fondos, que contienen eventos con bosones Z o W aris- ing a partir de procesos SM: inclusión de la producción Z + bb̄, in- clusive Z + jj producción en la que j es un chorro sin b los eventos de sabor, tt̄, ZZ, y WZ. Este fondo es estimado a partir de la simulación como se describe a continuación. La segunda parte, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la categoría ond, llamado fondo instrumental, contiene los eventos de la producción multijet que tienen dos chorros Se han identificado erróneamente como electrones aislados o muones que ap- Pera para surgir de la descomposición del bosón Z. Este contexto se modela utilizando muestras de datos de control y el procedimiento que se describe a continuación. Los fondos de física se simulan utilizando el líder ordenar generadores de eventos alpgen [14] y pitia [15], con la orden principal cteq5l [16] utilizada como parten distri- funciones de bution. El deterioro y la fragmentación de las los hadrones del sabor se hacen a través de evtgen [17]. El simulado los eventos se pasan a través de un detector D0 detallado simula- programa de ciones basado en geant [18] y se reconstruyen utilizando el mismo programa de software utilizado para reconstruir el datos del colisionador. La señal ZH, para un rango de masas de Higgs, también se simula utilizando la pitia con el mismo procesamiento como se aplica a los datos. Determinación del instrumento los antecedentes y la normalización de la física los motivos se examinan a continuación. Los eventos del candidato Z → ee se seleccionan utilizando un combi- nación de disparadores de un solo electrón. Los eventos aceptados deben tener dos clusters electromagnéticos aislados (EM) recon- structed fuera de línea en el calorímetro. El aislamiento se define como I = (E) (0.4) Total − E (0.2) (0.2) en la que E (0.4) total es el total energía del calorímetro dentro de la R < 0,4 del electrón direc- y E (0.2) es la energía en el por- ión del calorímetro dentro de la R < 0,2 del electrón dirección. Los electrones candidatos deben satisfacer I < 0,15. Cada clúster EM debe tener pT > 20 GeV/c y det < 1.1 o 1.5 < det < 2.5, donde ηdet es el pseu- dorapididad medida en relación con el centro del detector, con al menos un cluster que satisfaga det < 1.1. En... la forma de la ducha lateral y longitudinal de la energía debe ser coherente con lo que se espera de electrones. Al menos uno de los dos clusters EM es también Requerido para tener una pista reconstruida que coincida con la po- Situación de la energía del clúster EM. Acontecimientos con un dielectrón Masa de 75 < Mee < 105 GeV/c 2 forma el bosón Z puede- muestra de didato en el canal de dielectrón. Los eventos del candidato Z → se seleccionan usando un conjunto de desencadenantes de un solo muón. Los eventos aceptados deben tener dos Muones aislados reconstruidos fuera de línea. Los muones deben tienen carga opuesta, pT > 15 GeV/c, y < 2.0 con trayectorias muon coincidentes con pistas en el centro sistema de seguimiento (es decir, el SMT y el CFT), donde la vía central deberá contener al menos una medida SMT: mento. Además, las vías centrales deben tener una distancia de aproximación más cercana al vértice de interacción en el plano transversal inferior a 0,25 cm. Muon iso... ración se basa en la suma de la energía medida en el calorímetro alrededor del candidato muón y la suma de el pT de las pistas dentro de la línea R = ()2 + ()2 = 0,5 de el candidato muón normalizado por el impulso muón. La distribución de esta variable en fondo multi- hadron eventos se convierte en una distribución de probabilidad De tal manera que una probabilidad baja corresponde a un aislado Muon. El producto de las probabilidades para ambos muones en un evento se calcula, y el evento se mantiene si el el producto es inferior a 0.02. Candidatos Z bosones aceptados debe tener el ángulo de apertura del sistema de dimuón en el plano transversal (azimut) de > 0,4, e invari- masa de la hormiga 65 GeV/c2 < Más < 115 GeV/c 2. Esta masa rango difiere de la de los dielectrones debido a la diferencia en las resoluciones de energías de electrones y muones Momenta. Después de seleccionar los eventos candidatos Z, definimos un Muestra Z+dijet que, además de satisfacer la Z requisitos de selección de candidatos, tiene al menos dos jets en cada caso. Los chorros se reconstruyen a partir de la energía en torres de calorímetro utilizando el algoritmo de cono Run II con R = 0,5 [19] con torres definidas como no superpuestas, regiones adyacentes del calorímetro = 0,1× 0,1 en tamaño. El impulso transversal de cada jet es cor- rectificado para múltiples interacciones pp, ruido calorímetro, out- ducha de cono en el calorímetro, y la respuesta energética del calorímetro determinado a partir del mo- desequilibrio mentum en eventos foton+jet [20, 21]. Sólo jets que superan los requisitos de calidad estándar y satisfacen En este análisis se utilizan pT > 20 GeV/c y < 2,5 hermana. Los requisitos de calidad se basan en el patrón de deposición de energía dentro de un chorro y consistencia con la deposición de energía medida por el sistema de activación. Para el canal Z → ee, las normalizacións de la los fondos tt más pequeños, WZ y ZZ se calculan utilizando eventos simulados y la siguiente al primer orden (NLO) cruz secciones. Eficiencia del disparador, identificación de electrones (ID) se derivan factores de corrección de la eficiencia y la resolución a partir de comparaciones de muestras de control de datos y simuladas Acontecimientos. Contribuciones de antecedentes de Z+jj, Z+bj y Z + procesos bb se normalizan a los observados El rendimiento de los datos de Z+dijet se redujo por la contribución esperada ciones de la física más pequeña y de la espalda instrumental- - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Las fracciones relativas del Z + jj, Z + bj y Se determinan los fondos Z+bb en la muestra Z+dijet de las eficiencias de aceptación y selección multiplicadas por las proporciones de las secciones transversales de la ONL para estos procesos calculado usando el programa mcfm [22] y el siguiente orden principal cteq6m [23] funciones de distribución de parten. Para el canal Z →, todos los fondos de la física son determinado utilizando eventos simulados con NLO cruz sec- ciones aplicadas. Eficiencia de activación, eficiencia de identificación de muones, y los factores de corrección de resolución se derivan de la comparación de las muestras de control de datos y de los eventos simulados. Los fondos instrumentales en ambos canales son disuasorios. minado mediante el ajuste de las distribuciones de masa invariantes del dilepton a una suma de contribuciones de bosones no Z y Z. La Z boson lineshape se modela utilizando un ditri- Breit-Wigner butión enredado con un detector Gaussiano que representa resolución. El fondo no Z, que consiste en una suma de eventos de la producción de Drell-Yan y fondo, se modela utilizando exponenciales. La proporción de La producción de bosón Z a Drell-Yan no resonante es fija por el modelo estándar. Los (dos) chorros que surgen de la desintegración del bosón de Higgs deben contienen quarks con sabor a b (b jets), mientras que el fondo de Z+jets tiene relativamente pocos eventos con b jets. Por... prueban la relación señal-fondo, dos de los chorros en los acontecimientos de la muestra Z+dijet son necesarios para ex- propiedades de inhibición compatibles con las de los chorros que contienen b quarks. El mismo algoritmo de identificación de b-jet [24] es utilizado para las muestras de dielectrón y dimuón. Se basa en en la vida finita de b hadrones dando un bajo probabil- ity que estas pistas parecen surgir de la primaria vértice y considera todas las vías centrales asociadas con un jet. Una pequeña probabilidad corresponde a chorros con pistas con un parámetro de gran impacto, como se espera en b hadron se decae. La eficiencia para etiquetar un jet b de Higgs de- cay es aproximadamente el 50%, determinado según se describe en el siguiente párrafo. La probabilidad de identificar erróneamente un jet surgida de un quark encanto como un jet b es aproximadamente 20%. La probabilidad de identificar erróneamente un chorro que surge de una luz quark (u, d, s) o gluon como un chorro b es aproximadamente 4%. Esto elección de la eficiencia y la pureza optimiza la sensibilidad del análisis. El sabor relativamente grande de la luz por chorro tasa de identificación errónea se puede tener en cuenta porque dos jets etiquetados son necesarios en cada evento. Para rendimientos de fondo determinados a partir de simulados los eventos, la probabilidad en función de jet pT y η que un chorro de un sabor dado se identificaría (etiquetado) como un b jet se aplica a cada jet en un evento. La probabilidad las funciones se derivan de muestras de datos de control. Para chorros en los eventos simulados, el sabor se determina a partir de un conocimiento previo de la parten que da lugar al jet. La probabilidad de tener dos chorros b-etiquetados está definida por convolución de las probabilidades por chorro suponiendo que hay )2Masa de chorro (GeV/c) 0 50 100 150 200 250 Antecedentes Señal x10 -1, 370-450 pbOD FIG. 1: La distribución de masa invariante dijet en doble– eventos Z+dijet etiquetados. La señal de Higgs corresponde a MH = 115 GeV/c 2. (Las incertidumbres son sólo estadísticas.) no hay correlaciones jet-to-jet introducidas por la b-tag requieren- mento. El número observado de eventos de z+2 b-jet y el Los niveles de fondo previstos se muestran en la Tabla I. La masa invariante de los dos chorros b en el chorro Z + 2 b la muestra se muestra en la Fig. 1. Se busca esta distribución por un exceso de eventos. La posición de pico en el dijet Se espera que el espectro de masa sea a un valor inferior al la hipotética masa de Higgs porque la energía de chorro es corregido para reflejar la energía de partículas en el cono de chorro sin corrección general de la respuesta de chorro b inferior en comparación con los chorros ligeros. Si un muón está dentro de la R < 0.5 del chorro, luego se añade el doble del impulso muón al impulso del jet. Esta es una aproximación a la energía tanto del muón como del neutrino que lo acompaña. La contribución esperada de la producción de bosón de Higgs se muestra en la Fig. 1 corresponde a MH = 115 GeV/c Incertidumbres sistemáticas para la señal y el fondo de una variedad de fuentes, incluidas las incertidumbres sobre la eficiencia de activación, en las correcciones por diferencias entre los datos y la simulación para la reconstrucción de leptón y eficiencias de identificación, resolución de energía de leptón, eficiencias de reconstrucción de chorros y determinación de energía, b- eficacia de la identificación, incertidumbres de la teoría y funciones de distribución de partón para secciones transversales utilizadas para sucesos simulados e incertidumbres sobre el método utilizado para las estimaciones instrumentales de antecedentes. La incertidumbre... En el cuadro II se muestran los vínculos de estas fuentes. Estos son evaluados variando cada una de las correcciones por ±1 la comparación de diferentes métodos (para el ) y variando la función de distribución de ciones entre los 20 conjuntos de errores proporcionados como parte de la Biblioteca cteq6l. Las variaciones observadas para diferentes pro- nes para una incertidumbre dada surgen a causa de las diferencias entre los diversos procesos de base y debido a diferencias intrínsecas en los espectros cinemáticos de ent Hipótesis de masa de Higgs. El rendimiento observado es consistente con los antecedentes pre- dictions. Límites superiores de la producción de ZH ión se derivan a un nivel de confianza del 95% utilizando los CLs método [25], un procedimiento frecuente modificado, con un log- Clasificación de la relación de probabilidad. Las formas de dijet invariante- espectros de masa de la señal y el fondo se utilizan para la probabilidad de que los datos sean coherentes con el hipótesis sólo de fondo o con un fondo más hipótesis de señal. Se doblan las incertidumbres sistemáticas en las probabilidades a través de la distribución gaussiana, con corre- las laciones mantenidas durante todo el tiempo. El rendimiento de los datos, predicho se muestran los antecedentes y los límites esperados y observados en el cuadro III para cinco masas hipotéticas de Higgs. Límites también se muestran en la Fig. 2. En resumen, hemos llevado a cabo una búsqueda de asociados Producción de ZH en eventos con dos electrones de alta pT o muones y dos chorros identificados como derivados de quarks b. La coherencia se encuentra entre los datos y los antecedentes pre- dictions. Un límite superior de confianza del 95% en el Higgs bosón sección transversal (pp → ZH) × B(H → bb) se establece entre 4,4 pb y 3,1 pb para bosones de Higgs con masa entre 105 GeV/c2 y 145 GeV/c2, respectivamente. )2Masa de Higgs (GeV/c) 100 110 120 130 140 150 210 -1, 370-450 pbOD 95% C.L. límite superior ( --- límite previsto) modelo estándar FIG. 2: Los límites esperados y observados de la sección transversal son: se muestra en función de la masa de Higgs. La sección transversal basada en el SM se muestra para la comparación. Damos las gracias al personal de Fermilab y colaboramos en y agradecen el apoyo de la EOD y NSF (EE.UU.); CEA y CNRS/IN2P3 (Francia); FASI, Rosatom y RFBR (Rusia); CAPES, CNPq, FAPERJ, FAPESP y FUNDUNESP (Brasil); DAE y DST (India); Colciencias (Colombia); CONACyT (México); KRF y KOSEF (Corea); CONICET y UBACYT (Argentina); FOM (Países Bajos); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América). Reino Unido); MSMT y GACR (República Checa); CRC Programa, CFI, NSERC y Proyecto WestGrid (Canadá); BMBF y DFG (Alemania); SFI (Irlanda); Consejo de Investigación (Suecia); CAS y CNSF (China); Fundación Alexander von Humboldt; y la Marie CUADRO I: Número de acontecimientos de antecedentes observados y previstos. Z+ ≥ 2 chorros 2 etiquetas b Estado final Z → ee Z → Z → l+l− Z → ee Z → Z → l+l− Zbb 9,1 8,3 17,4 2,0 1,3 3,3 Zjj 414 437 851 1,2 2,6 3,8 tt̄ 2,7 9,6 12,3 0,80 3,1 3,9 ZZ + WZ 9,2 21,4 30,6 0,32 0,42 0,74 Instrumental 28,0 16,1 44,1 0,18 0,41 0,59 Total de antecedentes 463 493 956 4,5 7,8 12,3 Acontecimientos observados 463 545 1008 5 10 15 CUADRO II: Incertidumbre sistemática en el fondo y la señal predicciones dadas como la incertidumbre fraccional sobre el evento Totales. Los rangos corresponden a las variaciones introducidas por diferentes procesos (fondo), la ventana de masa de chorro re- requisitos (fondo y señal) y diferencias intrínsecas en cinemáticas derivadas de diferentes masas hipotetizadas de Higgs (señal). Señal de fondo de la fuente Eficiencias de ID de Lepton 11% – 16% 11% – 12% Resolución de Lepton 2% 2% Eficiencia de ID de Jet 5% – 11% 8% Jet Energy Reconstruction 10% 7% b-jet ID Eficiencia 10% – 12% 9% Secciones transversales 6% – 19% 7% Eficiencia del disparador 1% 1% Fondo instrumental 2% (ee) 12% () Programa Curie. [*] Visitante de Augustana College, Sioux Falls, SD, EE.UU. [¶] Visitante de la Universidad de Liverpool, Liverpool, Reino Unido. [§] Visitante de ICN-UNAM, Ciudad de México, México. [‡] Visitante del Instituto de Física de Helsinki, Helsinki, Fin- tierra. [#] Visitante de la Universität Zürich, Zúrich, Suiza. [1] Colaboraciones ALEPH, DELPHI, L3 y OPAL, Phys. Lett. B 565, 61 (2003). [2] V.M. Abazov, et al. (D0 Collaboration), Phys. Rev. Lett. 94, 091802 (2005). [3] V.M. Abazov, et al. (D0 Collaboration), Phys. Rev. Lett. 97, 151804 (2006). [4] V.M. Abazov, et al. (D0 Collaboration), Phys. Rev. Lett 97, 161803 (2006). [5] F. Abe et al. (Colaboración CDF), Phys. Rev. Lett. 79, 3819 (1997). [6] F. Abe et al. (Colaboración CDF), Phys. Rev. Lett. 81, 5748 (1998). [7] D. Acosta et al. (Colaboración CDF), Phys. Rev. Lett. 95, 051801 (2005). [8] J.M. Heinmiller, Ph.D. Disertation, University of Illinois en Chicago, Fermilab-Thesis-2006-30 (2006). [9] H. Dong, Ph.D. Disertation, Universidad de Stony Brook, en preparación. [10] V.M. Abazov, et al. (D0 Collaboration), Nucl. Instrum. y Métodos A 565, 463 (2006). [11] S. Abachi y otros (Colaboración D0), Nucl. Instrum. Métodos A 338, 185 (1994). [12] V.M. Abazov et al. (D0 Collaboration), Nucl. Instrum. y Métodos A 552, 372 (2005). [13] T. Andeen y otros, FERMILAB-TM-2365-E (2006), en preparación. [14] M.L. Mangano, M. Moretti, F. Piccinini, R. Pittau, y A. Polosa, J. Phys de alta energía. 07, 001 (2003). [15] T. Sjöstrand y otros, Comput. Phys. Comun. 135, 238 (2001). [16] H.L. Lai et al., Phys. Rev. D 55, 1280 (1997). [17] D.J. Lange, Nucl. Instrum. y Métodos A 462, 152 (2001). [18] R. Brun y F. Carminati, CERN Program Library Long Escribir W5013 (1993). [19] G.C. Blazey et al., hep-ex/0005012. [20] V.M. Abazov et al. (D0 Collaboration), hep-ex/0612040, presentado a Phys. Rev. D. [21] V.M. Abazov et al. (Colaboración D0), hep-ex/0702018, presentado a Phys. Rev. D. [22] J. Campbell y K. Ellis, http://mcfm.fnal.gov/ [23] J. Pumplin y otros, J. Phys de alta energía. 07, 12 (2002). [24] S. Greder, Ph.D. disertación, Universidad Louis Pasteur, Estrasburgo, FERMILAB-THESIS-2004-28. [25] T. Junk, Nucl. Instrum. Métodos A 434, 435 (1999), A. Leer, actas del “Primer Taller sobre Confianza Limits”, editado por L. Lyons, Y. Perrin y F. James, Informe del CERN 2000-005 (2000). http://arxiv.org/abs/hep-ex/0005012 http://arxiv.org/abs/hep-ex/0612040 http://arxiv.org/abs/hep-ex/0702018 http://mcfm.fnal.gov/ CUADRO III: Número de acontecimientos de fondo y de señales previstos y rendimiento observado después de todos los requisitos de selección, incluidos los siguientes: la adición de una ventana de masa de chorro. La ventana de masa se centra en la media de la masa de Higgs reconstruida en simulado ZH eventos y tiene una anchura de ±1.5 Los los límites superiores difieren ligeramente entre los eventos Z → ee y Z → debido a diferentes resoluciones. Se aplica la ventana para ilustrar, mostrando los rendimientos en la región de mayor relación de señal a fondo predicho. También se muestran los esperados y los límites superiores observados en la sección transversal para el análisis combinado a un nivel de confianza del 95% calculados como se describe en el texto (sin la ventana de masa, pero ponderado por la relación entre la señal y el fondo). MH = 105 GeV/c MH = 115 GeV/c MH = 125 GeV/c EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE Ventana de masa (GeV/c2) [65, 113] [65, 118] [72, 125] [70, 128] [75, 136] [78, 137] Señal predicha 0,07 0,06 0,05 0,05 0,04 0,03 Antecedentes 1.4 3.1 1.3 3.1 1.4 2.8 Datos 2 3 1 3 1 4 Previstas 95 4,2 pb 4,1 pb 3,4 pb Observado 95 4,4 pb 4,0 pb 3,3 pb MH = 135 GeV/c MH = 145 GeV/c EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE Ventana de masa (GeV/c2) [82, 143] [84, 147] [87, 156] [92, 160] Señal predicha 0,027 0,022 0,015 0,01 Antecedentes Datos 1 5 0 6 Previstas 95 2,8 pb 2,6 pb Observado 95 3,1 pb 3,4 pb Bibliografía

Describimos una búsqueda para el modelo estándar bosón Higgs con una masa de 105 GeV/c^2 a 145 GeV/c^2 en datos correspondientes a una luminosidad integrada de aproximadamente 450 pb®-1} recogidos con el detector D0 en el Fermilab Colisionador de ppbar Tevatron en un centro de energía de masa de 1,96 TeV. El bosón de Higgs se requiere para ser producido en asociación con un bosón Z, y el bosón Z es necesario para decaer a los electrones o muones con el bosón de Higgs decayendo a un par de bbbar. Los datos están bien descritos por los antecedentes esperados, Nivel de confianza del 95% en la sección superior sigma(\ppbar\to ZH)x B(H\to\bbbar) en el rango de 3,1 pb a 4,4 pb.

FERMILAB-PUB-07/076-E Búsqueda de un bosón Higgs producido en asociación con un bosón Z en pp colisiones V.M. Abazov,35 B. Abbott,75 M. Abolins,65 B.S. Acharya,28 M. Adams,51 T. Adams,49 E. Aguilo,5 S.H. Ahn,30 M. Ahsan,59 G.D. Alexeev,35 G. Alkhazov,39 A. Alton,64,* G. Alverson,63 G.A. Alves,2 M. Anastasoaie,34 L.S. Ancu,34 T. Andeen,53 S. Anderson,45 B. Andrieu,16 M.S. Anzelc,53 Y. Arnoud,13 M. Arov,60 M. Arthaud,17 A. Askew,49 B. Åsman,40 A.C.S. Assis Jesus,3 O. Atramentov,49 C. Autermann,20 C. Avila,7 C. Ay,23 F. Badaud,12 A. Baden,61 L. Bagby,52 B. Baldin,50 D.V. Bandurin,59 P. Banerjee,28 S. Banerjee,28 E. Barberis,63 A.-F. Barfuss,14 P. Bargassa,80 P. Baringer,58 J. Barreto,2 J.F. Bartlett,50 U. Bassler,16 D. Bauer,43 S. Beale,5 A. Bean,58 M. Begalli,3 M. Begel,71 C. Belanger-Champagne,40 L. Bellantoni,50 A. Bellavance,50 J.A. Benítez,65 S.B. Beri,26 G. Bernardi,16 R. Bernhard,22 L. Berntzon,14 I. Bertram,42 M. Besançon,17 R. Beuselinck,43 V.A. Bezzubov,38 P.C. Bhat,50 V. Bhatnagar,26 C. Biscarat,19 G. Blazey,52 F. Blekman,43 S. Bendición,49 D. Bloch,18 K. Bloom,67 A. Boehnlein,50 D. Boline,62 T.A. Bolton,59 G. Borissov,42 K. Bos,33 T. Bose,77 A. Brandt,78 R. Brock,65 G. Brooijmans,70 A. Bross,50 D. Brown,78 N.J. Buchanan,49 D. Buchholz,53 M. Buehler,81 V. Buescher,21 S. Burdin,42,¶ S. Burke,45 T.H. Burnett, 82 C.P. Buszello, 43 J.M. Butler,62 P. Calfayan,24 S. Calvet,14 J. Cammin,71 S. Caron,33 W. Carvalho,3 B.C.K. Casey,77 N.M. Cason,55 H. Castilla-Valdez,32 S. Chakrabarti,17 D. Chakraborty, 52 K. Chan, 5 K.M. Chan,55 A. Chandra,48 F. Charles,18 E. Cheu,45 F. Chevallier,13 D.K. Cho,62 S. Choi,31 B. Choudhary,27 L. Christofek,77 T. Christoudias,43 S. Cihangir,50 D. Claes,67 B. Clément,18 C. Clément,40 Y. Coadou,5 M. Cooke,80 W.E. Cooper,50 M. Corcoran,80 F. Couderc,17 M.-C. Cousinou,14 S. Crépé-Renaudin,13 D. Cutts,77 M. Ćwiok,29 H. da Motta,2 A. Das,62 G. Davies,43 K. De,78 P. de Jong,33 S.J. de Jong,34 E. De La Cruz-Burelo,64 C. De Oliveira Martins,3 J.D. Degenhardt,64 F. Deliot,17 M. Demarteau,50 R. Demina,71 D. Denisov,50 S.P. Denisov,38 S. Desai,50 H.T. Diehl,50 M. Diesburg,50 A. Domínguez,67 H. Dong,72 L.V. Dudko,37 L. Duflot,15 S.R. Dugad,28 D. Duggan,49 A. Duperrin,14 J. Dyer,65 A. Dyshkant,52 M. Eads,67 D. Edmunds,65 J. Ellison,48 V.D. Elvira,50 Y. Enari,77 S. Eno,61 P. Ermolov,37 H. Evans,54 A. Evdokimov,73 V.N. Evdokimov,38 A.V. Ferapontov,59 T. Ferbel,71 F. Fiedler,24 F. Filthaut,34 W. Fisher,50 H.E. Fisk,50 M. Ford,44 M. Fortner,52 H. Fox,22 S. Fu,50 S. Fuess,50 T. Gadfort,82 C.F. Galea,34 E. Gallas,50 E. Galyaev,55 C. Garcia,71 A. Garcia-Bellido,82 V. Gavrilov,36 P. Gay,12 W. Geist,18 D. Gelé,18 E.C. Gerber,51 Y. Gershtein,49 D. Gillberg,5 G. Ginther,71 N. Gollub,40 B. Gómez,7 A. Goussiou,55 P.D. Grannis, 72 H. Greenlee, 50 Z.D. Greenwood, 60 E.M. Gregores,4 G. Grenier,19 Ph. Gris,12 J.-F. Grivaz,15 A. Grohsjean,24 S. Grünendahl,50 M.W. Grünewald,29 F. Guo,72 J. Guo,72 G. Gutierrez,50 P. Gutierrez,75 A. Haas,70 N.J. Hadley,61 P. Haefner,24 S. Hagopian,49 J. Haley, 68 I. Hall, 75 R.E. Hall,47 L. Han,6 K. Hanagaki,50 P. Hansson,40 K. Harder,44 A. Harel,71 R. Harrington, 63 J.M. Hauptman,57 R. Hauser,65 J. Hays,43 T. Hebbeker,20 D. Hedin,52 J.G. Hegeman,33 J.M. Heinmiller, 51 A.P. Heinson,48 U. Heintz,62 C. Hensel,58 K. Herner,72 G. Hesketh,63 M.D. Hildreth,55 R. Hirosky,81 J.D. Hobbs,72 B. Hoeneisen,11 H. Hoeth,25 M. Hohlfeld,21 S.J. Hong,30 R. Hooper,77 S. Hossain,75 P. Houben,33 Y. Hu,72 Z. Hubacek,9 V. Hynek,8 I. Iashvili,69 R. Illingworth,50 A.S. Ito,50 S. Jabeen,62 M. Jaffré,15 S. Jain,75 K. Jakobs,22 C. Jarvis,61 R. Jesik,43 K. Johns,45 C. Johnson,70 M. Johnson,50 A. Jonckheere,50 P. Jonsson,43 A. Juste,50 D. Käfer,20 S. Kahn,73 E. Kajfasz,14 A.M. Kalinin,35 J.M. Kalk,60 J.R. Kalk,65 S. Kappler,20 D. Karmanov,37 J. Kasper,62 P. Kasper,50 I. Katsanos,70 D. Kau,49 R. Kaur,26 V. Kaushik,78 R. Kehoe,79 S. Kermiche,14 N. Khalatyan,38 A. Khanov,76 A. Kharchilava,69 Y.M. Kharzheev,35 D. Khatidze,70 H. Kim,31 T.J. Kim,30 M.H. Kirby,34 M. Kirsch,20 B. Klima,50 J.M. Kohli,26 J.-P. Konrath,22 M. Kopal,75 V.M. Korablev,38 B. Kothari,70 A.V. Kozelov,38 D. Krop,54 A. Kryemadhi,81 T. Kuhl,23 A. Kumar,69 S. Kunori,61 A. Kupco,10 T. Kurča,19 J. Kvita,8 D. Lam,55 S. Lammers,70 G. Landsberg,77 J. Lazoflores,49 P. Lebrun,19 W.M. Lee,50 A. Leflat,37 F. Lehner,41 J. Lellouch,16 V. Lesne,12 J. Leveque,45 P. Lewis,43 J. Li,78 L. Li,48 Q.Z. Li,50 S.M. Lietti,4 J.G.R. Lima,52 D. Lincoln,50 J. Linnemann,65 V.V. Lipaev,38 R. Lipton,50 Y. Liu,6 Z. Liu,5 L. Lobo,43 A. Lobodenko,39 M. Lokajicek,10 A. Lounis,18 P. Love,42 H.J. Lubatti,82 A.L. Lyon,50 A.K.A. Maciel,2 D. Mackin,80 R.J. Madaras,46 P. Mättig,25 C. Magass,20 A. Magerkurth,64 N. Makovec,15 P.K. Mal, 55 H.B. Malbouisson,3 S. Malik,67 V.L. Malyshev, 35 H.S. Mao,50 Y. Maravin,59 B. Martin,13 R. McCarthy,72 A. Melnitchouk,66 A. Mendes,14 L. Mendoza,7 P.G. Mercadante,4 M. Merkin,37 K.W. Merritt,50 A. Meyer,20 J. Meyer,21 M. Michaut,17 T. Millet,19 J. Mitrevski,70 J. Molina,3 R.K. Mommsen,44 N.K. Mondal,28 R.W. Moore,5 T. Moulik,58 G.S. Muanza,19 M. Mulders,50 M. Mulhearn,70 O. Mundal,21 L. Mundim,3 E. Nagy,14 M. Naimuddin,50 M. Narain,77 N.A. Naumann, 34 H.A. Neal,64 J.P. Negret,7 P. Neustroev,39 H. Nilsen,22 http://arxiv.org/abs/0704.2000v1 C. Noeding22 A. Nomerotski,50 S.F. Novaes,4 T. Nunnemann,24 V. O’Dell,50 D.C. O’Neil,5 G. Obrant,39 C. Ochando,15 D. Onoprienko,59 N. Oshima,50 J. Osta,55 R. Otec,9 G.J. Otero y Garzón,51 M. Owen,44 P. Padley,80 M. Pangilinan,77 N. Parashar,56 S.-J. Park, 71 S.K. Park,30 J. Parsons,70 R. Partridge,77 N. Parua,54 A. Patwa,73 G. Pawloski,80 P.M. Perea,48 K. Peters,44 Y. Peters,25 P. Pétroff,15 M. Petteni,43 R. Piegaia,1 J. Piper,65 M.-A. Pleier, 21 P.L.M. Podesta-Lerma, 32, § V.M. Podstavkov,50 Y. Pogorelov,55 M.-E. Pol,2 A. Pompoš,75 B.G. Pope, 65 A.V. Popov, 38 C. Potter, 5 W.L. Prado da Silva,3 H.B. Prosper,49 S. Protopopescu,73 J. Qian,64 A. Quadt,21 B. Quinn,66 A. Rakitine,42 M.S. Rangel, 2 K.J. Rani, 28 K. Ranjan, 27 P.N. Ratoff,42 P. Renkel,79 S. Reucroft,63 P. Rich,44 M. Rijssenbeek,72 I. Ripp-Baudot,18 F. Rizatdinova,76 S. Robinson,43 R.F. Rodrigues,3 C. Royon,17 P. Rubinov,50 R. Ruchti,55 G. Safronov,36 G. Sajot,13 A. Sánchez-Hernández,32 M.P. Sanders, 16 A. Santoro,3 G. Savage,50 L. Sawyer,60 T. Scanlon,43 D. Schaile,24 R.D. Schamberger,72 Y. Scheglov,39 H. Schellman,53 P. Schieferdecker,24 T. Schliephake,25 C. Schmitt,25 C. Schwanenberger,44 A. Schwartzman,68 R. Schwienhorst,65 J. Sekaric,49 S. Sengupta,49 H. Severini,75 E. Shabalina,51 M. Shamim,59 V. Shary,17 A.A. Shchukin,38 R.K. Shivpuri,27 D. Shpakov,50 V. Siccardi,18 V. Simak,9 V. Sirotenko,50 P. Skubic,75 P. Slattery,71 D. Smirnov,55 R.P. Smith, 50 G.R. Snow,67 J. Snow,74 S. Snyder,73 S. Söldner-Rembold,44 L. Sonnenschein,16 A. Sopczak,42 M. Sosebee,78 K. Soustruznik,8 M. Souza,2 B. Spurlock,78 J. Stark,13 J. Steele,60 V. Stolin,36 A. Stone, 51 D.A. Stoyanova,38 J. Strandberg,64 S. Strandberg,40 M.A. Strang,69 M. Strauss,75 R. Ströhmer,24 D. Strom,53 M. Strovink,46 L. Stutte,50 S. Sumowidagdo,49 P. Svoisky,55 A. Sznajder,3 M. Talby,14 P. Tamburello,45 A. Tanasijczuk,1 W. Taylor,5 P. Telford,44 J. Temple,45 B. Tiller,24 F. Tissandier,12 M. Titov,17 V.V. Tokmenin,35 M. Tomoto,50 T. Toole,61 I. Torchiani,22 T. Trefzger,23 D. Tsybychev,72 B. Tuchming,17 C. Tully,68 P.M. Tuts,70 R. Unalan,65 L. Uvarov,39 S. Uvarov,39 S. Uzunyan,52 B. Vachon,5 P.J. van den Berg,33 B. van Eijk,35 R. Van Kooten,54 W.M. van Leeuwen,33 N. Varelas,51 E.W. Varnes,45 A. Vartapetian,78 I.A. Vasilyev,38 M. Vaupel,25 P. Verdier,19 L.S. Vertogradov,35 M. Verzocchi,50 F. Villeneuve-Seguier,43 P. Vint,43 E. Von Toerne,59 M. Voutilainen,67,‡ M. Vreeswijk,33 R. Wagner,68 H.D. Wahl,49 L. Wang,61 M.H.L.S Wang,50 J. Warchol,55 G. Watts,82 M. Wayne,55 G. Weber,23 M. Weber,50 H. Weerts,65 A. Wenger,22,# N. Wermes,21 M. Wetstein,61 A. White,78 D. Wicke,25 G.W. Wilson,58 S.J. Wimpenny,48 M. Wobisch,60 D.R. Wood, 63 T.R. Wyatt,44 Y. Xie,77 S. Yacoob,53 R. Yamada,50 M. Yan,61 T. Yasuda,50 Y.A. Yatsunenko, 35 K. Yip,73 H.D. Yoo,77 S.W. Youn,53 C. Yu,13 J. Yu,78 A. Yurkewicz,72 A. Zatserklyaniy,52 C. Zeitnitz,25 D. Zhang,50 T. Zhao,82 B. Zhou,64 J. Zhu,72 M. Zielinski,71 D. Zieminska,54 A. Zieminski,54 L. Zivkovic,70 V. Zutshi,52 y E.G. Zverev37 (Colaboración DØ) 1Universidad de Buenos Aires, Buenos Aires, Argentina 2LAFEX, Centro Brasileiro de Pesquisas Fsicas, Río de Janeiro, Brasil 3Universidade do Estado do Río de Janeiro, Río de Janeiro, Brasil 4Instituto de Física Teórica, Universidade Estadual Paulista, São Paulo, Brasil 5Universidad de Alberta, Edmonton, Alberta, Canadá, Universidad Simon Fraser, Burnaby, Columbia Británica, Canadá, Universidad de York, Toronto, Ontario, Canadá, y Universidad McGill, Montreal, Quebec, Canadá 6Universidad de Ciencia y Tecnología de China, Hefei, República Popular China 7Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia 8Centro de Física de Partículas, Universidad Charles, Praga, República Checa 9Universidad Técnica Checa, Praga (República Checa) 10Centro de Física de Partículas, Instituto de Física, Academia de Ciencias de la República Checa, Praga (República Checa) 11Universidad San Francisco de Quito, Quito, Ecuador 12Laboratoire de Physique Corpusculaire, IN2P3-CNRS, Université Blaise Pascal, Clermont-Ferrand, Francia 13Laboratoire de Physique Subatomique et de Cosmologie, IN2P3-CNRS, Universite de Grenoble 1, Grenoble, Francia 14CPPM, IN2P3-CNRS, Université de la Méditerranée, Marsella (Francia) 15Laboratoire de l’Accélérateur Linéaire, IN2P3-CNRS et Université Paris-Sud, Orsay, Francia 16LPNHE, IN2P3-CNRS, Universités Paris VI y VII, París, Francia 17DAPNIA/Service de Physique des Particules, CEA, Saclay, Francia 18IPHC, Université Louis Pasteur et Université de Haute Alsacia, CNRS, IN2P3, Estrasburgo, Francia 19IPNL, Université Lyon 1, CNRS/IN2P3, Villeurbanne, Francia y Université de Lyon, Lyon, Francia 20III. Physikalisches Institut A, RWTH Aachen, Aachen, Alemania 21Physikalisches Institut, Universität Bonn, Bonn (Alemania) 22Physikalisches Institut, Universität Freiburg, Friburgo, Alemania 23Institut für Physik, Universität Mainz, Mainz, Alemania 24Ludwig-Maximilians-Universität München, München, Alemania 25Fachbereich Physik, Universidad de Wuppertal, Wuppertal, Alemania 26Universidad de Panjab, Chandigarh (India) 27Delhi University, Delhi (India) 28Tata Institute of Fundamental Research, Mumbai (India) 29University College Dublin, Dublin, Irlanda 30Corea Detector Laboratory, Universidad de Corea, Seúl, Corea 31SungKyunKwan University, Suwon, Corea 32CINVESTAV, Ciudad de México, México 33FOM-Instituto NIKHEF y Universidad de Amsterdam/NIKHEF, Amsterdam, Países Bajos 34Radboud University Nijmegen/NIKHEF, Nijmegen, Países Bajos 35Instituto Conjunto de Investigación Nuclear, Dubna (Rusia) 36Instituto de Física Teórica y Experimental, Moscú, Rusia 37Universidad Estatal de Moscú, Rusia 38Instituto de Física de Alta Energía, Protvino, Rusia 39Petersburg Nuclear Physics Institute, San Petersburgo (Rusia) 40Lund University, Lund, Suecia, Real Instituto de Tecnología y Universidad de Estocolmo, Estocolmo, Suecia, y Universidad de Uppsala, Uppsala, Suecia 41Physik Institut der Universität Zürich, Zürich, Suiza 42Lancaster University, Lancaster, Reino Unido 43Imperial College, Londres (Reino Unido) 44Universidad de Manchester, Manchester, Reino Unido 45Universidad de Arizona, Tucson, Arizona 85721, EE.UU. 46Lawrence Berkeley National Laboratory and University of California, Berkeley, California 94720, USA 47California State University, Fresno, California 93740, EE.UU. 48Universidad de California, Riverside, California 92521, EE.UU. 49Florida State University, Tallahassee, Florida 32306, USA 50Fermi National Accelerator Laboratory, Batavia, Illinois 60510, EE.UU. 51Universidad de Illinois en Chicago, Chicago, Illinois 60607, EE.UU. 52Northern Illinois University, DeKalb, Illinois 60115, EE.UU. 53Northwestern University, Evanston, Illinois 60208, EE.UU. 54Indiana University, Bloomington, Indiana 47405, USA 55Universidad de Notre Dame, Notre Dame, Indiana 46556, EE.UU. 56Purdue University Calumet, Hammond, Indiana 46323, EE.UU. 57Iowa State University, Ames, Iowa 50011, EE.UU. 58Universidad de Kansas, Lawrence, Kansas 66045, EE.UU. 59Kansas State University, Manhattan, Kansas 66506, EE.UU. 60Louisiana Tech University, Ruston, Louisiana 71272, EE.UU. 61Universidad de Maryland, College Park, Maryland 20742, EE.UU. 62Boston University, Boston, Massachusetts 02215, EE.UU. 63Noreste University, Boston, Massachusetts 02115, EE.UU. 64Universidad de Michigan, Ann Arbor, Michigan 48109, EE.UU. 65Michigan State University, East Lansing, Michigan 48824, EE.UU. 66Universidad de Mississippi, Universidad, Mississippi 38677, EE.UU. 67Universidad de Nebraska, Lincoln, Nebraska 68588, EE.UU. 68Princeton University, Princeton, New Jersey 08544, USA 69Universidad Estatal de Nueva York, Buffalo, Nueva York 14260, EE.UU. 70Columbia University, Nueva York, Nueva York 10027, EE.UU. 71Universidad de Rochester, Rochester, Nueva York 14627, EE.UU. 72State University of New York, Stony Brook, New York 11794, USA 73Brookhaven National Laboratory, Upton, Nueva York 11973, EE.UU. 74Langston University, Langston, Oklahoma 73050, EE.UU. 75Universidad de Oklahoma, Norman, Oklahoma 73019, EE.UU. 76Oklahoma State University, Stillwater, Oklahoma 74078, EE.UU. 77Brown University, Providence, Rhode Island 02912, USA 78Universidad de Texas, Arlington, Texas 76019, EE.UU. 79Southern Methodist University, Dallas, Texas 75275, EE.UU. 80Rice University, Houston, Texas 77005, EE.UU. 81Universidad de Virginia, Charlottesville, Virginia 22901, EE.UU. 82Universidad de Washington, Seattle, Washington 98195, EE.UU. (Fecha: 16 de abril de 2007) Describimos una búsqueda para el modelo estándar bosón Higgs con una masa de 105 GeV/c2 a 145 GeV/c2 en los datos correspondientes a una luminosidad integrada de aproximadamente 450 pb−1 recogidos con el D0 detector en el colisionador Fermilab Tevatron pp a una energía del centro de la masa de 1,96 TeV. Los Higgs bosón se requiere para ser producido en asociación con un bosón Z, y el bosón Z se requiere para Decaimiento a electrones o muones con el bosón de Higgs decayendo a un par de bb. Los datos están bien. descrito por los antecedentes esperados, lo que conduce a un nivel de confianza del 95% transversal de los límites superiores (pp → ZH)×B(H → bb) en el rango de 3,1 pb a 4,4 pb. Números PACS: 13.85.Ni, 13.85.Qk, 13.85Rm A lo largo de las dos últimas décadas, cada vez más precisa exper- resultados mentales han validado repetidamente el estándar modelo (SM) y la relación entre calibrador invari- ance y las fuerzas de acoplamiento embebidas. Para los masivos Los bosones W y Z, la invarianza del calibre del Lagrangian es preservado a través del mecanismo de Higgs, pero el Higgs bosón (H) aún no se ha observado. El nivel actual más bajo atado a la masa del bosón de Higgs de directo ex- búsquedas perimentales es MH = 114,4 GeV/c 2 en el 95% nivel de confianza [1]. Búsquedas para pp → WH → e(μ)vbb, pp → WH → WWW ∗, y pp → ZH → bb han se ha informado recientemente [2, 3, 4]. El CDF colabora- los resultados obtenidos en las pp → WH → l/ y pp → ZH → l+l−bb (l = e, μ) canales con significa- conjuntos de datos relativamente pequeños [5, 6, 7]. Esta carta proporciona los primeros resultados del experimento D0 de búsquedas un bosón Higgs producido en asociación con un bosón Z, que luego decae a un par de electrones o a un muón par. El Higgs se supone que decae a un par bb con un fracción ramificada dada por el SM. El Z(→ l+l−)H Los canales mencionados en la presente carta comprenden los principales nents de la búsqueda de un bosón de Higgs en el Tevatron Collider. Los bosones Z son reconstruidos e identificados a través de pares de aislados, electrones o muones con grandes momen- Componentes tum transversales a la dirección del haz (pT ) tener una masa invariante consistente con la de la Z bo- Hijo. Los eventos son necesarios para tener exactamente dos jets iden- tificado como derivado de b quarks (b jets). El resultado los datos se examinan para la presencia de un (H → bb̄) sig- nal en la distribución de la masa del dijet b-etiquetado. Un eficiente Algoritmo de identificación b con baja tasa de identificación errónea y buena resolución de masa de chorro son esenciales para mejorar señal relativa a los fondos. El análisis de la di- El canal del electrón [8] (dimuón [9]) se basa en 450±27 pb−1 (370± 23 pb−1) de los datos registrados por el experimento D0 entre 2002 y 2004. El detector D0 [10, 11] tiene un sistema de seguimiento central. tem consistente en un rastreador de microstrip de silicio (SMT) y un rastreador central de fibra (CFT), ambos situados en a Imán solenoidal superconductor de 2 T, con de- Señales optimizadas para el seguimiento y vértice de la cubierta pseudorapididades < 3 y < 2,5, respectivamente (η = − ln[tan( la dirección del haz de protones). Central y para... los detectores preshower de la sala están colocados justo fuera de la bobina superconductora. Un argón líquido y uranio el calorímetro tiene una sección central (CC) que cubre pseudo- Velocidades de hasta 1,1 y dos calorímetros finales (CE) que extienden la cobertura a 4.2, con los tres alojados en criostatos separados [11]. Un sistema de muones exterior, cubierta... ing < 2, consiste en una capa de detectores de rastreo y contadores de disparo de centelleo delante de 1,8 T toroids, seguido de dos capas similares detrás de los toroides [12]. La luminosidad se mide utilizando matrices de centelleadores de plástico colocado delante de los criostatos CE [13]. El fondo primario de la señal de Higgs es el como- producción sociada de un bosón Z con chorros derivados de la radiación gluon, entre la cual la producción de Z+bb̄ es un irre- fondo ducible. Las otras fuentes de antecedentes son: producción, producción de diboson (ZZ y WZ), y eventos de producción multijet que se identifican erróneamente como si contuviera bosones Z. Los fondos se agrupan en dos categorías con la primera categoría, llamada física fondos, que contienen eventos con bosones Z o W aris- ing a partir de procesos SM: inclusión de la producción Z + bb̄, in- clusive Z + jj producción en la que j es un chorro sin b los eventos de sabor, tt̄, ZZ, y WZ. Este fondo es estimado a partir de la simulación como se describe a continuación. La segunda parte, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la segunda, la categoría ond, llamado fondo instrumental, contiene los eventos de la producción multijet que tienen dos chorros Se han identificado erróneamente como electrones aislados o muones que ap- Pera para surgir de la descomposición del bosón Z. Este contexto se modela utilizando muestras de datos de control y el procedimiento que se describe a continuación. Los fondos de física se simulan utilizando el líder ordenar generadores de eventos alpgen [14] y pitia [15], con la orden principal cteq5l [16] utilizada como parten distri- funciones de bution. El deterioro y la fragmentación de las los hadrones del sabor se hacen a través de evtgen [17]. El simulado los eventos se pasan a través de un detector D0 detallado simula- programa de ciones basado en geant [18] y se reconstruyen utilizando el mismo programa de software utilizado para reconstruir el datos del colisionador. La señal ZH, para un rango de masas de Higgs, también se simula utilizando la pitia con el mismo procesamiento como se aplica a los datos. Determinación del instrumento los antecedentes y la normalización de la física los motivos se examinan a continuación. Los eventos del candidato Z → ee se seleccionan utilizando un combi- nación de disparadores de un solo electrón. Los eventos aceptados deben tener dos clusters electromagnéticos aislados (EM) recon- structed fuera de línea en el calorímetro. El aislamiento se define como I = (E) (0.4) Total − E (0.2) (0.2) en la que E (0.4) total es el total energía del calorímetro dentro de la R < 0,4 del electrón direc- y E (0.2) es la energía en el por- ión del calorímetro dentro de la R < 0,2 del electrón dirección. Los electrones candidatos deben satisfacer I < 0,15. Cada clúster EM debe tener pT > 20 GeV/c y det < 1.1 o 1.5 < det < 2.5, donde ηdet es el pseu- dorapididad medida en relación con el centro del detector, con al menos un cluster que satisfaga det < 1.1. En... la forma de la ducha lateral y longitudinal de la energía debe ser coherente con lo que se espera de electrones. Al menos uno de los dos clusters EM es también Requerido para tener una pista reconstruida que coincida con la po- Situación de la energía del clúster EM. Acontecimientos con un dielectrón Masa de 75 < Mee < 105 GeV/c 2 forma el bosón Z puede- muestra de didato en el canal de dielectrón. Los eventos del candidato Z → se seleccionan usando un conjunto de desencadenantes de un solo muón. Los eventos aceptados deben tener dos Muones aislados reconstruidos fuera de línea. Los muones deben tienen carga opuesta, pT > 15 GeV/c, y < 2.0 con trayectorias muon coincidentes con pistas en el centro sistema de seguimiento (es decir, el SMT y el CFT), donde la vía central deberá contener al menos una medida SMT: mento. Además, las vías centrales deben tener una distancia de aproximación más cercana al vértice de interacción en el plano transversal inferior a 0,25 cm. Muon iso... ración se basa en la suma de la energía medida en el calorímetro alrededor del candidato muón y la suma de el pT de las pistas dentro de la línea R = ()2 + ()2 = 0,5 de el candidato muón normalizado por el impulso muón. La distribución de esta variable en fondo multi- hadron eventos se convierte en una distribución de probabilidad De tal manera que una probabilidad baja corresponde a un aislado Muon. El producto de las probabilidades para ambos muones en un evento se calcula, y el evento se mantiene si el el producto es inferior a 0.02. Candidatos Z bosones aceptados debe tener el ángulo de apertura del sistema de dimuón en el plano transversal (azimut) de > 0,4, e invari- masa de la hormiga 65 GeV/c2 < Más < 115 GeV/c 2. Esta masa rango difiere de la de los dielectrones debido a la diferencia en las resoluciones de energías de electrones y muones Momenta. Después de seleccionar los eventos candidatos Z, definimos un Muestra Z+dijet que, además de satisfacer la Z requisitos de selección de candidatos, tiene al menos dos jets en cada caso. Los chorros se reconstruyen a partir de la energía en torres de calorímetro utilizando el algoritmo de cono Run II con R = 0,5 [19] con torres definidas como no superpuestas, regiones adyacentes del calorímetro = 0,1× 0,1 en tamaño. El impulso transversal de cada jet es cor- rectificado para múltiples interacciones pp, ruido calorímetro, out- ducha de cono en el calorímetro, y la respuesta energética del calorímetro determinado a partir del mo- desequilibrio mentum en eventos foton+jet [20, 21]. Sólo jets que superan los requisitos de calidad estándar y satisfacen En este análisis se utilizan pT > 20 GeV/c y < 2,5 hermana. Los requisitos de calidad se basan en el patrón de deposición de energía dentro de un chorro y consistencia con la deposición de energía medida por el sistema de activación. Para el canal Z → ee, las normalizacións de la los fondos tt más pequeños, WZ y ZZ se calculan utilizando eventos simulados y la siguiente al primer orden (NLO) cruz secciones. Eficiencia del disparador, identificación de electrones (ID) se derivan factores de corrección de la eficiencia y la resolución a partir de comparaciones de muestras de control de datos y simuladas Acontecimientos. Contribuciones de antecedentes de Z+jj, Z+bj y Z + procesos bb se normalizan a los observados El rendimiento de los datos de Z+dijet se redujo por la contribución esperada ciones de la física más pequeña y de la espalda instrumental- - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Las fracciones relativas del Z + jj, Z + bj y Se determinan los fondos Z+bb en la muestra Z+dijet de las eficiencias de aceptación y selección multiplicadas por las proporciones de las secciones transversales de la ONL para estos procesos calculado usando el programa mcfm [22] y el siguiente orden principal cteq6m [23] funciones de distribución de parten. Para el canal Z →, todos los fondos de la física son determinado utilizando eventos simulados con NLO cruz sec- ciones aplicadas. Eficiencia de activación, eficiencia de identificación de muones, y los factores de corrección de resolución se derivan de la comparación de las muestras de control de datos y de los eventos simulados. Los fondos instrumentales en ambos canales son disuasorios. minado mediante el ajuste de las distribuciones de masa invariantes del dilepton a una suma de contribuciones de bosones no Z y Z. La Z boson lineshape se modela utilizando un ditri- Breit-Wigner butión enredado con un detector Gaussiano que representa resolución. El fondo no Z, que consiste en una suma de eventos de la producción de Drell-Yan y fondo, se modela utilizando exponenciales. La proporción de La producción de bosón Z a Drell-Yan no resonante es fija por el modelo estándar. Los (dos) chorros que surgen de la desintegración del bosón de Higgs deben contienen quarks con sabor a b (b jets), mientras que el fondo de Z+jets tiene relativamente pocos eventos con b jets. Por... prueban la relación señal-fondo, dos de los chorros en los acontecimientos de la muestra Z+dijet son necesarios para ex- propiedades de inhibición compatibles con las de los chorros que contienen b quarks. El mismo algoritmo de identificación de b-jet [24] es utilizado para las muestras de dielectrón y dimuón. Se basa en en la vida finita de b hadrones dando un bajo probabil- ity que estas pistas parecen surgir de la primaria vértice y considera todas las vías centrales asociadas con un jet. Una pequeña probabilidad corresponde a chorros con pistas con un parámetro de gran impacto, como se espera en b hadron se decae. La eficiencia para etiquetar un jet b de Higgs de- cay es aproximadamente el 50%, determinado según se describe en el siguiente párrafo. La probabilidad de identificar erróneamente un jet surgida de un quark encanto como un jet b es aproximadamente 20%. La probabilidad de identificar erróneamente un chorro que surge de una luz quark (u, d, s) o gluon como un chorro b es aproximadamente 4%. Esto elección de la eficiencia y la pureza optimiza la sensibilidad del análisis. El sabor relativamente grande de la luz por chorro tasa de identificación errónea se puede tener en cuenta porque dos jets etiquetados son necesarios en cada evento. Para rendimientos de fondo determinados a partir de simulados los eventos, la probabilidad en función de jet pT y η que un chorro de un sabor dado se identificaría (etiquetado) como un b jet se aplica a cada jet en un evento. La probabilidad las funciones se derivan de muestras de datos de control. Para chorros en los eventos simulados, el sabor se determina a partir de un conocimiento previo de la parten que da lugar al jet. La probabilidad de tener dos chorros b-etiquetados está definida por convolución de las probabilidades por chorro suponiendo que hay )2Masa de chorro (GeV/c) 0 50 100 150 200 250 Antecedentes Señal x10 -1, 370-450 pbOD FIG. 1: La distribución de masa invariante dijet en doble– eventos Z+dijet etiquetados. La señal de Higgs corresponde a MH = 115 GeV/c 2. (Las incertidumbres son sólo estadísticas.) no hay correlaciones jet-to-jet introducidas por la b-tag requieren- mento. El número observado de eventos de z+2 b-jet y el Los niveles de fondo previstos se muestran en la Tabla I. La masa invariante de los dos chorros b en el chorro Z + 2 b la muestra se muestra en la Fig. 1. Se busca esta distribución por un exceso de eventos. La posición de pico en el dijet Se espera que el espectro de masa sea a un valor inferior al la hipotética masa de Higgs porque la energía de chorro es corregido para reflejar la energía de partículas en el cono de chorro sin corrección general de la respuesta de chorro b inferior en comparación con los chorros ligeros. Si un muón está dentro de la R < 0.5 del chorro, luego se añade el doble del impulso muón al impulso del jet. Esta es una aproximación a la energía tanto del muón como del neutrino que lo acompaña. La contribución esperada de la producción de bosón de Higgs se muestra en la Fig. 1 corresponde a MH = 115 GeV/c Incertidumbres sistemáticas para la señal y el fondo de una variedad de fuentes, incluidas las incertidumbres sobre la eficiencia de activación, en las correcciones por diferencias entre los datos y la simulación para la reconstrucción de leptón y eficiencias de identificación, resolución de energía de leptón, eficiencias de reconstrucción de chorros y determinación de energía, b- eficacia de la identificación, incertidumbres de la teoría y funciones de distribución de partón para secciones transversales utilizadas para sucesos simulados e incertidumbres sobre el método utilizado para las estimaciones instrumentales de antecedentes. La incertidumbre... En el cuadro II se muestran los vínculos de estas fuentes. Estos son evaluados variando cada una de las correcciones por ±1 la comparación de diferentes métodos (para el ) y variando la función de distribución de ciones entre los 20 conjuntos de errores proporcionados como parte de la Biblioteca cteq6l. Las variaciones observadas para diferentes pro- nes para una incertidumbre dada surgen a causa de las diferencias entre los diversos procesos de base y debido a diferencias intrínsecas en los espectros cinemáticos de ent Hipótesis de masa de Higgs. El rendimiento observado es consistente con los antecedentes pre- dictions. Límites superiores de la producción de ZH ión se derivan a un nivel de confianza del 95% utilizando los CLs método [25], un procedimiento frecuente modificado, con un log- Clasificación de la relación de probabilidad. Las formas de dijet invariante- espectros de masa de la señal y el fondo se utilizan para la probabilidad de que los datos sean coherentes con el hipótesis sólo de fondo o con un fondo más hipótesis de señal. Se doblan las incertidumbres sistemáticas en las probabilidades a través de la distribución gaussiana, con corre- las laciones mantenidas durante todo el tiempo. El rendimiento de los datos, predicho se muestran los antecedentes y los límites esperados y observados en el cuadro III para cinco masas hipotéticas de Higgs. Límites también se muestran en la Fig. 2. En resumen, hemos llevado a cabo una búsqueda de asociados Producción de ZH en eventos con dos electrones de alta pT o muones y dos chorros identificados como derivados de quarks b. La coherencia se encuentra entre los datos y los antecedentes pre- dictions. Un límite superior de confianza del 95% en el Higgs bosón sección transversal (pp → ZH) × B(H → bb) se establece entre 4,4 pb y 3,1 pb para bosones de Higgs con masa entre 105 GeV/c2 y 145 GeV/c2, respectivamente. )2Masa de Higgs (GeV/c) 100 110 120 130 140 150 210 -1, 370-450 pbOD 95% C.L. límite superior ( --- límite previsto) modelo estándar FIG. 2: Los límites esperados y observados de la sección transversal son: se muestra en función de la masa de Higgs. La sección transversal basada en el SM se muestra para la comparación. Damos las gracias al personal de Fermilab y colaboramos en y agradecen el apoyo de la EOD y NSF (EE.UU.); CEA y CNRS/IN2P3 (Francia); FASI, Rosatom y RFBR (Rusia); CAPES, CNPq, FAPERJ, FAPESP y FUNDUNESP (Brasil); DAE y DST (India); Colciencias (Colombia); CONACyT (México); KRF y KOSEF (Corea); CONICET y UBACYT (Argentina); FOM (Países Bajos); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América); PPARC (Estados Unidos de América). Reino Unido); MSMT y GACR (República Checa); CRC Programa, CFI, NSERC y Proyecto WestGrid (Canadá); BMBF y DFG (Alemania); SFI (Irlanda); Consejo de Investigación (Suecia); CAS y CNSF (China); Fundación Alexander von Humboldt; y la Marie CUADRO I: Número de acontecimientos de antecedentes observados y previstos. Z+ ≥ 2 chorros 2 etiquetas b Estado final Z → ee Z → Z → l+l− Z → ee Z → Z → l+l− Zbb 9,1 8,3 17,4 2,0 1,3 3,3 Zjj 414 437 851 1,2 2,6 3,8 tt̄ 2,7 9,6 12,3 0,80 3,1 3,9 ZZ + WZ 9,2 21,4 30,6 0,32 0,42 0,74 Instrumental 28,0 16,1 44,1 0,18 0,41 0,59 Total de antecedentes 463 493 956 4,5 7,8 12,3 Acontecimientos observados 463 545 1008 5 10 15 CUADRO II: Incertidumbre sistemática en el fondo y la señal predicciones dadas como la incertidumbre fraccional sobre el evento Totales. Los rangos corresponden a las variaciones introducidas por diferentes procesos (fondo), la ventana de masa de chorro re- requisitos (fondo y señal) y diferencias intrínsecas en cinemáticas derivadas de diferentes masas hipotetizadas de Higgs (señal). Señal de fondo de la fuente Eficiencias de ID de Lepton 11% – 16% 11% – 12% Resolución de Lepton 2% 2% Eficiencia de ID de Jet 5% – 11% 8% Jet Energy Reconstruction 10% 7% b-jet ID Eficiencia 10% – 12% 9% Secciones transversales 6% – 19% 7% Eficiencia del disparador 1% 1% Fondo instrumental 2% (ee) 12% () Programa Curie. [*] Visitante de Augustana College, Sioux Falls, SD, EE.UU. [¶] Visitante de la Universidad de Liverpool, Liverpool, Reino Unido. [§] Visitante de ICN-UNAM, Ciudad de México, México. [‡] Visitante del Instituto de Física de Helsinki, Helsinki, Fin- tierra. [#] Visitante de la Universität Zürich, Zúrich, Suiza. [1] Colaboraciones ALEPH, DELPHI, L3 y OPAL, Phys. Lett. B 565, 61 (2003). [2] V.M. Abazov, et al. (D0 Collaboration), Phys. Rev. Lett. 94, 091802 (2005). [3] V.M. Abazov, et al. (D0 Collaboration), Phys. Rev. Lett. 97, 151804 (2006). [4] V.M. Abazov, et al. (D0 Collaboration), Phys. Rev. Lett 97, 161803 (2006). [5] F. Abe et al. (Colaboración CDF), Phys. Rev. Lett. 79, 3819 (1997). [6] F. Abe et al. (Colaboración CDF), Phys. Rev. Lett. 81, 5748 (1998). [7] D. Acosta et al. (Colaboración CDF), Phys. Rev. Lett. 95, 051801 (2005). [8] J.M. Heinmiller, Ph.D. Disertation, University of Illinois en Chicago, Fermilab-Thesis-2006-30 (2006). [9] H. Dong, Ph.D. Disertation, Universidad de Stony Brook, en preparación. [10] V.M. Abazov, et al. (D0 Collaboration), Nucl. Instrum. y Métodos A 565, 463 (2006). [11] S. Abachi y otros (Colaboración D0), Nucl. Instrum. Métodos A 338, 185 (1994). [12] V.M. Abazov et al. (D0 Collaboration), Nucl. Instrum. y Métodos A 552, 372 (2005). [13] T. Andeen y otros, FERMILAB-TM-2365-E (2006), en preparación. [14] M.L. Mangano, M. Moretti, F. Piccinini, R. Pittau, y A. Polosa, J. Phys de alta energía. 07, 001 (2003). [15] T. Sjöstrand y otros, Comput. Phys. Comun. 135, 238 (2001). [16] H.L. Lai et al., Phys. Rev. D 55, 1280 (1997). [17] D.J. Lange, Nucl. Instrum. y Métodos A 462, 152 (2001). [18] R. Brun y F. Carminati, CERN Program Library Long Escribir W5013 (1993). [19] G.C. Blazey et al., hep-ex/0005012. [20] V.M. Abazov et al. (D0 Collaboration), hep-ex/0612040, presentado a Phys. Rev. D. [21] V.M. Abazov et al. (Colaboración D0), hep-ex/0702018, presentado a Phys. Rev. D. [22] J. Campbell y K. Ellis, http://mcfm.fnal.gov/ [23] J. Pumplin y otros, J. Phys de alta energía. 07, 12 (2002). [24] S. Greder, Ph.D. disertación, Universidad Louis Pasteur, Estrasburgo, FERMILAB-THESIS-2004-28. [25] T. Junk, Nucl. Instrum. Métodos A 434, 435 (1999), A. Leer, actas del “Primer Taller sobre Confianza Limits”, editado por L. Lyons, Y. Perrin y F. James, Informe del CERN 2000-005 (2000). http://arxiv.org/abs/hep-ex/0005012 http://arxiv.org/abs/hep-ex/0612040 http://arxiv.org/abs/hep-ex/0702018 http://mcfm.fnal.gov/ CUADRO III: Número de acontecimientos de fondo y de señales previstos y rendimiento observado después de todos los requisitos de selección, incluidos los siguientes: la adición de una ventana de masa de chorro. La ventana de masa se centra en la media de la masa de Higgs reconstruida en simulado ZH eventos y tiene una anchura de ±1.5 Los los límites superiores difieren ligeramente entre los eventos Z → ee y Z → debido a diferentes resoluciones. Se aplica la ventana para ilustrar, mostrando los rendimientos en la región de mayor relación de señal a fondo predicho. También se muestran los esperados y los límites superiores observados en la sección transversal para el análisis combinado a un nivel de confianza del 95% calculados como se describe en el texto (sin la ventana de masa, pero ponderado por la relación entre la señal y el fondo). MH = 105 GeV/c MH = 115 GeV/c MH = 125 GeV/c EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE Ventana de masa (GeV/c2) [65, 113] [65, 118] [72, 125] [70, 128] [75, 136] [78, 137] Señal predicha 0,07 0,06 0,05 0,05 0,04 0,03 Antecedentes 1.4 3.1 1.3 3.1 1.4 2.8 Datos 2 3 1 3 1 4 Previstas 95 4,2 pb 4,1 pb 3,4 pb Observado 95 4,4 pb 4,0 pb 3,3 pb MH = 135 GeV/c MH = 145 GeV/c EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE Ventana de masa (GeV/c2) [82, 143] [84, 147] [87, 156] [92, 160] Señal predicha 0,027 0,022 0,015 0,01 Antecedentes Datos 1 5 0 6 Previstas 95 2,8 pb 2,6 pb Observado 95 3,1 pb 3,4 pb Bibliografía