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abstract: 'Le principe de Mazur fournit des conditions simples pour qu’une $\overline \Fm_l$-représentation irréductible non ramifiée provenant d’une forme modulaire de niveau $\Gamma_0(Np)$ provienne aussi d’une forme de niveau $\Gamma_0(N)$. L’objectif de ce travail est de proposer une généralisation de ce principe en dimension supérieure pour le groupe $U(n,1)$ via la cohomologie des variétés de Shimura dites de Kottwitz-Harris-Taylor.' 
address:
- |
    Université Paris 13, Sorbonne Paris Cité\
    LAGA, CNRS, UMR 7539\
    F-93430, Villetaneuse (France)\
    PerCoLaTor: ANR-14-CE25
- |
    Université Paris 13, Sorbonne Paris Cité\
    LAGA, CNRS, UMR 7539\
    F-93430, Villetaneuse (France)\
    PerCoLaTor: ANR-14-CE25
author:
- Boyer Pascal
- Deng Taiwang
bibliography:
- 'bib-ok.bib'
title: 'Augmentation du niveau pour $U(n,1)$'
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\[smfthm\][Proposition-Définition]{} \[smfthm\][Notations]{} \[smfthm\][Notation]{} \[smfthm\][Définitions]{} \[smfthm\][Hypothèse]{}

\#1 \#1 \#1\#2[\^[\#1]{}-\#2]{} \#1\#2[\_[\#1]{}-\#2]{} \#1\#2\#3 [\_[\#1]{}\^[\#2]{} -\#3]{}

=

==

==

[^1]

The Mazur principle give simple conditions for an irreducible unramified $\overline \Fm_l$-representation coming from a modular form of level $\Gamma_0(Np)$ to come for some modular form of level $\Gamma_0(N)$. The aim of this work is to give a generalization of this principle en higher dimension for the group $U(n,1)$ studying the cohomology of Shimura varieties of Kottwitz-Harris-Taylor type. 

Introduction
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Dans la théorie classique des formes modulaires, la détermination optimale du niveau à partir duquel une représentation galoisienne modulo $l$ est modulaire, est cruciale, que l’on pense par exemple à son application à la preuve du grand théorème de Fermat.  Les conjectures de Serre, désormais prouvées par Khare et Wintenberger dans [@KW], fournissent un cadre précis pour cette question dans le cas de $GL_2$. Avant [@KW], le principe de Mazur rappelé ci-après était l’ingrédient principal, cf.  par exemple le théorème de Ribet. 

**(Principe de Mazur cf. [ @ribet] théorème 6.1)**\
Soient $N$ un entier, $p$ un nombre premier ne divisant pas $N$ et $\bar \rho: \gal(\bar \Qm_/\Qm)
\longrightarrow GL_2(\bar \Fm_l)$ une représentation galoisienne provenant d’une forme modulaire de niveau $\Gamma_0(Np)$. On suppose que

-   $p \neq l$,

-   $\bar \rho$ est irréductible et non ramifiée en $p$ et

-   $l$ ne divise pas $p-1$.

Alors $\bar \rho$ provient d’une forme modulaire de niveau $\Gamma_0(N)$.

Dans ce travail, nous proposons une généralisation du principe de Mazur pour le groupe $U(1,d-1)$ en utilisant d’après [@boyer-compositio] et [@boyer-imj], la cohomologie des variétés de Shimura dites de Kottwitz-Harris-Taylor.  Afin d’énoncer notre théorème principal, rappelons les objets concernés. 

-   Comme dans [@h-t], on choisit un groupe de similitudes $G/\Qm$ associé à une algèbre à division $B$ sur une extension CM $F/\Qm$, tel que les invariants de $G(\Rm)$ sont $(1,d-1) \times (0,d) \times \cdots \times (0,d)$ et si $w$ est une place de $F$ telle que $w_{|\Qm}$ est totalement décomposée dans $F$ alors $B_w^\times \simeq
    GL_d(F_w)$.

-   On note $(X_I)_{I \in \IC}$ le système projectif des variétés de Shimura dites de Kottwitz-Harris-Taylor indexée par un certain ensemble $\IC$ de sous-groupe compacts ouverts de $G(\Am^\oo)$ où $\Am^\oo$ désigne les adèles finies de $\Qm$.

-   Pour un tel $I$, on note $\spl(I)$ l’ensemble des places $w$ de $F$ telles que $p_w:=w_{|\Qm}$ est décomposée dans $F$ et la composante locale $I_w$ de $I$ à la place $w$ est isomorphe à $GL_d(\OC_w)$. On associe à $I$ l’algèbre de Hecke $$\Tm_I=\Zm_l \Bigl [ T_{w}^{(i)}: w \in \spl(I),~i=1,\cdots d \Bigr ],$$ où $T_w^{(i)}=\diag(\overbrace{p_w,\cdots,p_w}^{i}, \overbrace{1,\cdots,1}^{d-i} ) \times 1 \in 
    GL_d(\Qm_{p_w}) \times \Zm_{p_w}$.

-   On fixe alors une place $v$ de $F$ telle que $p:=v_{|\Qm}$ est décomposé dans $F$ et $B_v^\times \simeq GL_d(F_v)$. Les sous-groupes compacts ouverts $I \in \IC$ considérés sont supposés être de la forme suivante: il existe une partition $$d=m_1+\cdots+m_r \quad \hbox{avec} \quad m_1 \geq m_2 \geq \cdots \geq m_r \geq 1,$$ telle que modulo l’uniformisante $\varpi_v$ de l’anneau des entiers $\OC_v$ de $F_v$, la composante $I_v$ est un parabolique standard de Lévi isomorphe à $GL_{m_1} \times GL_{m_2} \times \cdots \times GL_{m_r}$.

-   Étant donnée une représentation algébrique irréductible $\xi$ de $G(\Qm)$, on note $V_{\xi,\overline \Zm_l}$ un réseau stable du système local associé à $\xi$ sur $(X_I)_{I \in \IC}$.

Soit alors $\widetilde{\mathfrak m}$ un idéal premier minimal de $\Tm_I$ qui soit $\xi$-cohomologique, i.e. tel qu’il existe une $\bar \Qm_l$-représentation automorphe $\xi$-cohomologique $\Pi$ de $G(\Am)$ possédant des vecteurs non nuls fixes sous $I$ et tel que pour tout $w \in \spl(I)$, les paramètres de Satake de $\Pi_{p_w}$ sont donnés par les images des $T_w^{(i)} \in K_{\widetilde{\mathfrak m}}:=(\Tm_I \otimes_{\Zm_l} \Qm_l)/\widetilde{\mathfrak m}$, où $K_{\widetilde{\mathfrak m}}$ est une extension finie de $\Qm_l$. Un tel $\Pi$ n’est pas nécessairement unique mais définit une unique classe d’équivalence proche au sens de [@y-t] que l’on notera $\Pi_{\widetilde{\mathfrak m}}$. On note $$\rho_{\widetilde{\mathfrak m},\overline \Qm_l}:\gal(\bar F/F) \longrightarrow GL_d(\overline \Qm_l)$$ la représentation galoisienne associée à un tel $\Pi$ d’après [@h-t] et [@y-t], laquelle est, d’après le théorème de Cebotarev, définie à isomorphisme sur $K_{\widetilde{\mathfrak m}}$, i.e. $\rho_{\widetilde{\mathfrak m},\overline \Qm_l} \simeq \rho_{\widetilde{\mathfrak m}} 
\otimes_{K_{\widetilde{\mathfrak m}}} \overline \Qm_l$. Pour une place $v$ de $F$, la restriction de $\rho_{\widetilde{\mathfrak m}}$ au groupe de Galois local en $v$ s’identifie à une représentation de Weil-Deligne $(\sigma_{\widetilde{\mathfrak m},v},N_{\widetilde{\mathfrak m},v})$ où $N_{\widetilde{\mathfrak m},v}$ est le logarithme de la partie unipotente de la monodromie locale.  Notons que cet opérateur nilpotent est défini à l’aide de la série formelle $\ln(1-x)=- \sum_{k \geq 1} \frac{x^k}{k}$ que l’on peut tronquer en $k \leq d-1$. En particulier

-   si $\rho_{\widetilde{\mathfrak m}}$ est entière, i.e. s’il existe une réseau stable $\Gamma$ et si $l \geq d$, alors l’opérateur $N_{\widetilde{\mathfrak m},v}$ est défini sur $\Gamma$ et on note $\overline N_{\widetilde{\mathfrak m},v,\Gamma}$ sa réduction modulo l’idéal maximal $(\varpi_{\widetilde{\mathfrak m}})$ de l’anneau des entiers de $K_{\widetilde{\mathfrak m}}$.

-   Si en outre la réduction modulo $\varpi_{\widetilde{\mathfrak m}}$ de $\rho_{\widetilde{\mathfrak m}}$ est irréductible alors tous les réseaux stables $\Gamma$ son homothétiques et on notera simplement $\overline N_{\widetilde{\mathfrak m},v}$.

Étant donné un idéal maximal $\mathfrak m$ de $\Tm_I$, pour tout idéal premier minimal $\widetilde{\mathfrak m} \subset \mathfrak m$, la réduction modulo $\varpi_{\widetilde{\mathfrak m}}$ de $\rho_{\widetilde{\mathfrak m}}$, bien définie à semi-simplification près, ne dépend que de $\mathfrak m$, on note $\overline \rho_{\mathfrak m}: G_F \longrightarrow GL_d(\overline \Fm_l)$ son extension des scalaires à $\overline \Fm_l$: ses paramètres de Satake modulo $l$ en $w \in \spl(I)$ sont donnés par le multi-ensemble $$S_{\mathfrak m}(w)=\Bigl \{ \frac{\overline{T_w^{(i)}}}{\overline{T_w^{(i-1)}}} \in \Tm_I/\mathfrak m, ~i=1,
\cdots,d \Bigr \}.$$ Pour $l>d$, on note aussi $\overline N_{\mathfrak m,v}$ l’opérateur de monodromie associé. 

un multi-ensemble est un couple $(E,m)$ avec $E$ un ensemble et $m:E \longrightarrow \Nm$ la fonction multiplicité.  Par définition le cardinal du multi-ensemble $(E,m)$ est $\sum_{e \in E} m(e)$.

À l’instar du principe de Mazur, l’augmentation du niveau que nous proposons, nécessite un certain nombre d’hypothèses. 

\[hypo\] Soit $I \in \IC$ un sous-groupe compact ouvert tel que modulo $\varpi_v$, la composante $I_v$ de $I$ à la place $v$ est conjuguée au parabolique standard de Lévi $GL_{m_1} \times GL_{m_2} \times \cdots \times GL_{m_r}$ de $GL_d$ avec $m_1 \geq m_2 \geq \cdots \geq m_r$ et $r>1$. Soit $\mathfrak m$ un idéal maximal de $\Tm_I$, tel qu’il existe un idéal premier minimal $\widetilde{\mathfrak m} \subset \mathfrak m$ ainsi qu’une représentation automorphe irréductible $\Pi \in \Pi_{\widetilde{\mathfrak m}}$ possédant des vecteurs non nuls invariants sous $I$. On suppose en outre que:

1)  $\mathfrak m$ vérifie l’une des conditions suivantes:

    a)  $\Pi$ est $\xi$-cohomologique pour $\xi$ un paramètre suffisamment régulier au sens de [@lan-suh]. 

    b)  il existe $w \in \spl(I)$ tel que pour tout $\alpha \in S_{\mathfrak m}(w)$, $q_w \alpha \not \in
        S_{\mathfrak m}(w)$.

    c)  $\overline \rho_{\mathfrak m}$ est induit d’un caractère de $G_K$ pour $K/F$ une extension galoisienne cyclique et $l>d+2$.

    d)  $l \geq d+2$ et $SL_n(k) \subset \overline \rho_{\mathfrak m}(G_F) \subset \overline \Fm_l^\times
        GL_n(k)$ pour un sous-corps $k \subset \overline \Fm_l$.

2)  $\overline \rho_{\mathfrak m}$ est irréductible,

3)  l’indice de nilpotence de $\overline N_{\mathfrak m,v}$ est $\leq r-1$, i.e. $\overline N_{\mathfrak m,v}^{r-1}=0$,

4)  le multi-ensemble $V_{\mathfrak m}(v)$ des valeurs propres de $\overline \rho_{\mathfrak m}(\frob_v)$ vérifie les deux conditions suivantes:

    i)  les multiplicités dans $V_{\mathfrak m}(v)$ sont égales à $1$, i.e. $V_{\mathfrak m}(v)$ est un ensemble de cardinal $d$,

    ii) $V_{\mathfrak m}(v) \cap q_v^{r-1} V_{\mathfrak m}(v)$ est de cardinal $\leq m_r$.

Faisons quelques remarques sur ces hypothèses et notamment leurs liens avec celles du principe de Mazur:

-   la condition 4-i) impose en particulier que $l \geq d$.

-   Les hypothèses de 1) servent à s’assurer que la cohomologie de la variété de Shimura de Kottwitz-Harris-Taylor associée à $G$ est sans torsion concentrée en degré médian: dans la littérature on trouve parfois la notion non pseudo-Eisenstein .  On peut bien entendu remplacer 1) par cette notion. 

-   Comme $l \geq d$ et $\overline \rho_{\mathfrak m}$ est irréductible, $\overline N_{\mathfrak m,v}$ est bien défini indépendamment du réseau stable; la condition 3) est alors la généralisation de l’hypothèse non ramifiée dans le principe de Mazur.  Nous verrons, cf.  la première remarque du §\[para-preuve\], qu’une telle condition est trivialement nécessaire. 

-   Les conditions de 4) sont techniques et au coeur de la preuve. 

\[theo-principal\] Sous les hypothèses précédentes, il existe un parahorique $I'_v$ contenant strictement $I_v$ ainsi qu’un idéal maximal $\xi$-cohomologique[^2] $\mathfrak m'$ de $\Tm_{I'}$, où $I':=I'_v I^v$, tel que $$\overline \rho_{\mathfrak m'} \simeq \overline \rho_{\mathfrak m},$$ autrement dit $\overline \rho_{\mathfrak m}$ provient d’une représentation automorphe de niveau $I'$.

en revanche il est délicat d’itérer ce résultat quand bien même on aurait $\overline N_{\mathfrak m,v}=0$ car la condition 4-ii) n’est rapidement plus vérifiée.  Par exemple pour $d=3$ si $\overline \rho_{\mathfrak m}$ est de niveau $I=I^vI_v$ avec $I_v$ le parahorique standard associé à la partition $3=1+1+1$ alors nécessairement $\sharp V_{\mathfrak m}(v) \cap q V_{\mathfrak m}(v) \geq 2$ ce qui ne permet plus d’appliquer le théorème pour le parahorique associé à la partition $3=2+1$.

Ce travail est largement inspiré d’un preprint non publié [@helm] de David Helm sur le même sujet.  Nous remercions aussi V. Sécherre pour nous avoir expliqué le lemme \[lem-secherre\]. 

Rappels
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Géométrie des variétés de Kottwitz-Harris-Taylor
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Dans la suite $l$ et $p$ désigneront deux nombres premiers distincts.  Soit $F=F^+ E$ un corps CM avec $E/\Qm$ quadratique imaginaire, dont on fixe un plongement réel $\tau:F^+ \hookrightarrow \Rm$ et tel que $l$ est non ramifié dans $E$. Pour $v$ une place de $F$, on notera

-   $F_v$ le complété du localisé de $F$ en $v$,

-   $\OC_v$ l’anneau des entiers de $F_v$,

-   $\varpi_v$ une uniformisante et

-   $q_v$ le cardinal du corps résiduel $\kappa(v)=\OC_v/(\varpi_v)$.

Soit $B$ une algèbre à division centrale sur $F$ de dimension $d^2$ telle qu’en toute place $x$ de $F$, $B_x$ est soit décomposée soit une algèbre à division et on suppose $B$ munie d’une involution de seconde espèce $*$ telle que $*_{|F}$ est la conjugaison complexe $c$. Pour $\beta \in B^{*=-1}$, on note $\sharp_\beta$ l’involution $x \mapsto x^{\sharp_\beta}=\beta x^*
\beta^{-1}$ et $G/\Qm$ le groupe de similitudes, noté $G_\tau$ dans [@h-t], défini pour toute $\Qm$-algèbre $R$ par $$G(R)  \simeq   \{ (\lambda,g) \in R^\times \times (B^{op} \otimes_\Qm R)^\times  \hbox{ tel que } 
gg^{\sharp_\beta}=\lambda \}$$ avec $B^{op}=B \otimes_{F,c} F$. Si $x$ est une place de $\Qm$ décomposée $x=yy^c$ dans $E$ alors $$G(\Qm_x) \simeq (B_y^{op})^\times \times \Qm_x^\times \simeq \Qm_x^\times \times
\prod_{z_i} (B_{z_i}^{op})^\times,$$ où, en identifiant les places de $F^+$ au dessus de $x$ avec les places de $F$ au dessus de $y$, $x=\prod_i z_i$ dans $F^+$. Dans [@h-t], les auteurs justifient l’existence d’un $G$ comme ci-dessus tel qu’en outre:

-   si $x$ est une place de $\Qm$ qui n’est pas décomposée dans $E$ alors $G(\Qm_x)$ est quasi-déployé;

-   les invariants de $G(\Rm)$ sont $(1,d-1)$ pour le plongement $\tau$ et $(0,d)$ pour les autres. 

*On fixe* à présent un nombre premier $p=uu^c$ décomposé dans $E$ tel qu’il existe une place $v$ de $F$ au dessus de $u$ telle qu’avec un abus de notation coupable $$G(F_v):=(B_v^{op})^\times \simeq GL_d(F_v).$$

Pour tout sous-groupe compact $U^p$ de $G(\Am^{\oo,p})$ et $m=(m_1,\cdots,m_r) \in \Zm_{\geq 0}^r$, on pose $$U^v(m)=U^p \times \Zm_p^\times \times \prod_{i=2}^r 
\ker \bigl ( \OC_{B_{v_i}}^\times \longto (\OC_{B_{v_i}}/\PC_{v_i}^{m_i})^\times \bigr ).$$

Soit $\IC$ l’ensemble des sous-groupes compacts ouverts assez petits [^3] de $G(\Am^\oo)$, de la forme $U^v(m)K_v$. Pour un tel $I \in \IC$, on note $$X_I  \longrightarrow \spec \OC_v$$ la variété de Shimura de [@h-t] dite de Kottwitz-Harris-Taylor associée à $G$.

$X_I$ est un schéma projectif sur $\spec \OC_v$ tel que $(X_I)_{I \in \IC}$ forme un système projectif dont les morphismes de transition sont finis et plats.  Quand $m_1=m_1'$ alors $X_{U^p(m)} \longrightarrow X_{U^p(m')}$ est étale.  Ce système projectif est par ailleurs muni d’une action de $G(\Am^\oo) \times \Zm$ telle que l’action d’un élément $w_v$ du groupe de Weil $W_v$ de $F_v$ est donnée par celle de $-\deg (w_v) \in \Zm$, où $\deg=\val \circ \art^{-1}$ où $\art^{-1}:W_v^{ab} \simeq F_v^\times$ est l’isomorphisme d’Artin qui envoie les Frobenius géométriques sur les uniformisantes. 

(cf. [ @boyer-invent2] §1.3) Pour $I \in \IC$, on note:

-   $X_{I,s_v}$ la fibre spéciale de $X_I$ en $v$ et $X_{I,\bar s_v}:=X_{I,s_v} 
    \times \spec \bar \Fm_p$ la fibre spéciale géométrique. 

-   Pour tout $1 \leq h \leq d$, $X_{I,\bar s_v}^{\geq h}$ (resp.  $X_{I,\bar s_v}^{=h}$) désigne la strate fermée (resp.  ouverte) de Newton de hauteur $h$, i.e. le sous-schéma dont la partie connexe du groupe de Barsotti-Tate en chacun de ses points géométriques est de rang $\geq h$ (resp.  égal à $h$). 

Pour tout $1 \leq h <d$, nous utiliserons les notations suivantes: $$i_{h+1}:X^{\geq h+1}_{I,\bar s_v} \hookrightarrow X^{\geq h}_{I,\bar s_v}, \quad
j^{\geq h}: X^{=h}_{I,\bar s_v} \hookrightarrow X^{\geq h}_{I,\bar s_v}.$$

On notera $\IC w(v)$ le sous-ensemble de $\IC$ dont les éléments sont de la forme $U^v(m)K_v$ où $K_v$ est un sous-groupe parahorique de $GL_d(\OC_v)$ i.e. tel que la réduction modulo $\varpi_v$ de $K_v$ est un sous-groupe parabolique standard.  Pour un tel $I \in \IC w(v)$, on notera $I^v:=U^v(m) \in \IC$.

Pour $I \in \IC w(v)$ dont la réduction modulo $\varpi_v$ est le sous-groupe parabolique standard de Lévi $GL_{m_1} \times \cdots \times GL_{m_r}$, le morphisme $X_{I} \longrightarrow X_{I^v}$ correspond à la donnée d’une chaine d’isogénies $$\GC_A=\GC_0 \rightarrow \GC_1 \rightarrow \cdots \rightarrow \GC_r=\GC_A/\GC_A[\varpi_v]$$ de $\OC_v$-modules de Barsotti-Tate où:

-   pour tout $i=1,\cdots, r$, l’isogénie $\GC_{i-1} \longrightarrow \GC_i$ est de degré $q^i$ et

-   le composé de ces $r$ isogénies est égal à l’application canonique $\GC_A \longrightarrow \GC_A/\GC_A[\varpi_v]$,

où $\GC_A$ est le module de Barsotti-Tate associé à la variété abélienne universelle sur $X_{I^v}$.

\[nota-iwahori\] Pour tout $1 \leq i \leq r$, on note $Y_{I,i}$ le sous-schéma fermé de $X_{I,\bar s_v}$ sur lequel $\GC_{i-1}
\longrightarrow \GC_i$ a un noyau connexe.  Pour tout $S \subset \{ 1,\cdots, r \}$, on note $$Y_{I,S}=\bigcap_{i \in S} Y_{I,i}, \qquad Y^0_{I,S}=Y_{I,S}-\bigcup_{S \subsetneq T} Y_{I,T}.$$

De la théorie du modèle local de Rapoport-Zink, on déduit la description suivante. 

Le schéma $X_I$ est de pure dimension $d$ et a réduction semi-stable sur $\OC_v$, i.e. pour tout point fermé $x$ de $X_{I,\bar s_v}$, il existe un voisinage étale $V \longrightarrow X_I$ de $x$ et un $\OC_v$-morphisme étale $$V \longrightarrow \spec \OC_v[T_1,\cdots,T_n]/(T_1 \cdots T_m-\varpi_v)$$ pour $1 \leq m \leq n$. Le schéma $X_I$ est régulier et le morphisme de restriction du niveau $X_I \longrightarrow X_{I^v}$ est fini et plat. 

-   Tous les $Y_{I,S}$ sont lisses sur $\spec \kappa(w)$ de pure dimension $d-\sharp S$ avec $$X_{I,\bar s_v}=\bigcup_{i=1}^r Y_{I,i}$$ où pour $i \neq j$, les schémas $Y_{I,i}$ et $Y_{I,j}$ n’ont pas de composante connexe en commun. 

-   Pour tout $1 \leq h \leq r$, on a $$X^{\geq h}_{I,\bar s_v}=\bigcup_{\sharp S \geq h} Y_{I,S}, \qquad
    X^{=h}_{I,\bar s_v}=\bigcup_{\sharp S=h} Y^0_{I,S}.$$

Cohomologie d’un système local
------------------------------

Fixons un plongement $\sigma_0:E \hookrightarrow
\bar{\Qm}_l$ et notons $\Phi$ l’ensemble des plongements $\sigma:F \hookrightarrow
\bar \Qm_l$ dont la restriction à $E$ est $\sigma_0$. On rappelle alors qu’il existe une bijection explicite entre les représentations algébriques irréductibles $\xi$ de $G$ sur $\bar \Qm_l$ et les $(d+1)$-uplets $$\bigl ( a_0, (\overrightarrow{a_\sigma})_{\sigma \in \Phi} \bigr )$$ où $a_0 \in \Zm$ et pour tout $\sigma \in \Phi$, on a $\overrightarrow{a_\sigma}=
(a_{\sigma,1} \leq \cdots \leq a_{\sigma,d} )$.  D’après le théorème de Baire, il existe une extension finie $K$ de $\Qm_l$ telle que la représentation $\iota^{-1} \circ \xi$ de plus haut poids $\bigl ( a_0, (\overrightarrow{a_\sigma})_{\sigma \in \Phi} \bigr )$, est définie sur $K$. On note $W_{\xi,K}$ l’espace de cette représentation et $W_{\xi,\OC}$ un réseau stable où $\OC$ désigne l’anneau des entiers de $K$.

si on suppose que $\xi$ est $l$-petit, i.e. que pour tout $\sigma \in \Phi$ et pour tout $1 \leq i < j \leq n$, on a $0 \leq a_{\tau,j}-a_{\tau,i} < l$, alors un tel réseau stable est unique à homothétie près. 

Notons $\lambda$ une uniformisante de $\OC$ et soit pour $n \geq 1$, un sous-groupe distingué $I_n \in \IC$ de $I \in \IC$, compact ouvert agissant trivialement sur $W_{\xi,\OC/\lambda^n}:=W_{\xi,\OC} 
\otimes_{\OC} \OC/\lambda^n$. On note alors $V_{\xi,\OC/\lambda^n}$ le faisceau sur $X_{I}$ dont les sections sur un ouvert étale $T \longrightarrow X_{I}$ sont les fonctions $$f:\pi_0 \big ( X_{I_n} \times_{X_I} T \bigr ) \longrightarrow W_{\xi,\OC/\lambda^n}$$ telles que pour tout $k \in I$ et $C \in \pi_0 \big ( X_{I_n} \times_{X_I} T \bigr )$, on a la relation $f(Ck)=k^{-1} f(C)$.

On pose alors $$V_{\xi,\OC}=\lim_{{\ensuremath{\genfrac..{0pt}{1}{\leftarrow}{n}}}} V_{\xi,\OC/\lambda^n} \hbox{ et }
V_{\xi,K}=V_{\xi,\OC} \otimes_{\OC} K.$$ On utilisera aussi la notation $V_{\xi,\bar \Zm_l}$ et $V_{\xi,\bar \Qm_l}$ pour les versions sur $\bar \Zm_l$ et $\bar \Qm_l$ respectivement. 

\[defi-reg\] La représentation $\xi$ est dite *régulière* si son paramètre $\bigl ( a_0, (\overrightarrow{a_\sigma})_{\sigma \in \Phi} \bigr )$ est tel que pour tout $\sigma \in \Phi$, on a $a_{\sigma,1} < \cdots < a_{\sigma,d}$. Elle est dite *très régulière* si elle vérifie les conditions de la définition 7.18 de [@lan-suh]. 

\[defi-automorphe\]Une $\Cm$-représentation irréductible $\Pi_{\oo}$ de $G(\Am_{\oo})$ est dite $\xi$-cohomologique s’il existe un entier $i$ tel que $$H^i((\lie G(\Rm)) \otimes_\Rm \Cm,U_\tau,\Pi_\oo \otimes \xi^\vee) \neq (0)$$ où $U_\tau$ est un sous-groupe compact modulo le centre de $G(\Rm)$, maximal, cf. [ @h-t] p.92.  On notera $d_\xi^i(\Pi_\oo)$ la dimension de ce groupe de cohomologie.  Une $\bar \Qm_{l}$-représentation irréductible $\Pi^{\oo}$ de $G(\Am^{\oo})$ sera dit automorphe $\xi$-cohomologique s’il existe une $\Cm$-représentation $\xi$-cohomologique $\Pi_\oo$ de $G(\Am_\oo)$ telle que $\iota_{l}\Bigl ( \Pi^{\oo} \Bigr ) \otimes \Pi_{\oo}$ est une $\Cm$-représentation automorphe de $G(\Am)$.

Localisation de la cohomologie et torsion
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(cf. [ @lan-suh]) \[theo1\] Soit $I \in \IC$ maximal en $l$ et $\xi$ un paramètre très régulier au sens de la définition 7.18 de [@lan-suh].  Si $l$ est bon au sens de la définition 2.3 de [@lan-suh], et donc suffisamment grand relativement au poids de $\xi$, alors la cohomologie de $V_{\xi,\overline \Zm_l}$ est concentrée en degré médian et sans torsion, i.e. $H^i(X_{I,\bar s_v},V_{\xi,\overline \Zm_l})=(0)$ pour tout $i \neq d-1$ et sans torsion pour $i=d-1$.

Comme expliqué dans [@boyer-imj], pour attraper d’autres cas, par exemple le système local trivial ou alors des cas où le niveau de $I$ en $l$ n’est plus maximal, il est raisonnable de localiser la cohomologie en un idéal maximal de l’algèbre de Hecke. 

\[nota-spl\]

-   Pour $I \in \IC$, on note $\spl(I)$ l’ensemble des places $w$ de $F$ telles que

    -   $w$ ne divise pas le niveau $I$ et

    -   $p_w:=w_{|\Qm}$ est décomposé dans $F$ et distinct de $l$, avec $$G(\Qm_{p_w}) \simeq \Qm_{p_w}^\times \times GL_d(F_w) \times \prod_{i=2}^r (B_{w_i}^{op})^\times,$$ où $p_w=w.\prod_{i=2}^r w_i$ dans $F^+$.

-   Pour $i=0,\cdots, d$, on pose $$T_{w,i}:=\diag(\overbrace{p_v,\cdots,p_w}^{i}, \overbrace{1,\cdots,1}^{d-i} ) \times 1 \in 
    GL_d(\Qm_{p_w}) \times \Zm,$$ et on note $$\Tm_I:=\Zm_l \bigl [T_{w,i}:~w \in \spl(I) \hbox{ et } i=1,\cdots,d \bigr ],$$ l’algèbre de Hecke associée à $\spl(I)$.

-   Pour $\mathfrak m$ un idéal maximal de $\Tm_I$, on note $$S_{\mathfrak{m}}(w)=\bigl \{ \frac{\overline{T_{w,i}}}{\overline{T_{w,i-1}}} \in \Tm_I/\mathfrak m,~
    i=1,\cdots,d \bigr \}$$ le multi-ensemble des paramètres de Satake modulo $l$ en $w$ associé à $\mathfrak m$, i.e. on garde en mémoire la multiplicité des paramètres. 

\[theo2\] (cf.  le théorème 4.4 de [@boyer-imj]) S’il existe $w \in \spl(I)$ vérifiant la propriété suivante $$\alpha \in S_{\mathfrak{m}}(w) \Rightarrow q_w \alpha \not \in S_{\mathfrak{m}}(w),$$ alors la localisation en $\mathfrak m$ de la cohomologie de $V_{\xi,\overline \Zm_l}$ est concentrée en degré médian et sans torsion, i.e. $H^i(X_{I,\bar s_v},V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}=(0)$ pour tout $i \neq d-1$ et sans torsion pour $i=d-1$.

Fixons un idéal maximal $\mathfrak m$ de $\Tm_I$. Rappelons que les idéaux premiers minimaux de $\Tm_I$ sont les idéaux premiers de $\Tm_I$ au dessus de l’idéal nul de $\Zm_l$ et sont donc en bijection naturelle avec les idéaux premiers de $\Tm_I \otimes_{\Zm_l} \Qm_l$. Ainsi pour $\widetilde{\mathfrak m} \subset \mathfrak m$ un tel idéal premier minimal, $(\Tm_I \otimes_{\Zm_l} \Qm_l)
/\widetilde{\mathfrak m}$ est une extension finie $K_{\widetilde{\mathfrak m}}$ de $\Qm_l$.

On dit que $\widetilde{\mathfrak m}$ est $\xi$-cohomologique s’il existe une représentation automorphe irréductible $\Pi$ de $G(\Am)$ qui est $\xi$-cohomologique, dont les paramètres de Satake $S_{\widetilde{\mathfrak m}}(w)$ de $\Pi_{p_w}$ pour tout $w \in \spl(I)$ sont donnés par les images des $\frac{\overline{T_{w,i}}}{\overline{T_{w,i-1}}} \in (\Tm_I \otimes_{\Zm_l} \Qm_l)/ \widetilde{\mathfrak m}$. L’idéal maximal $\mathfrak m$ sera dit $\xi$-cohomologique s’il contient un idéal premier minimal qui le soit. 

la surjection $\Tm_I/\widetilde{\mathfrak m} \twoheadrightarrow \Tm_I/\mathfrak m$ se relève en une injection $\Tm_I/\widetilde{\mathfrak m} \hookrightarrow \OC_{\widetilde{\mathfrak m}}$ où $\OC_{\widetilde{\mathfrak m}}$ désigne l’anneau des entiers de $K_{\widetilde{\mathfrak m}}$. On peut ainsi parler de la réduction modulo $\mathfrak m$ des paramètres de Satake $S_{\widetilde{\mathfrak m}}(w)$ lesquels ne dépendent donc que de $\mathfrak m$ et sont donc donnés par le multi-ensemble $$S_{\mathfrak m}(w)=\Bigl \{ \frac{\overline{T_w^{(i)}}}{\overline{T_w^{(i-1)}}} \in \Tm_I/\mathfrak m, ~i=1,
\cdots,d \Bigr \}.$$

À un idéal premier minimal $\widetilde{\mathfrak m}$ qui est $\xi$-cohomologique, est associé une classe d’équivalence proche $\Pi_{\widetilde{\mathfrak m}}$ au sens de [@y-t], i.e. un ensemble fini de représentation automorphe irréductible $\Pi$ comme précédemment.  On note $$\rho_{\widetilde{\mathfrak m},\overline \Qm_l}:\gal(\bar F/F) \longrightarrow GL_d(\overline \Qm_l)$$ la représentation galoisienne associée à un tel $\Pi$ d’après [@h-t] et [@y-t], laquelle est nécessairement bien définie à isomorphisme près d’après le théorème de Cebotarev.  Cette représentation est en fait définie sur $K_{\widetilde{\mathfrak m}}$, i.e. $\rho_{\widetilde{\mathfrak m},\overline \Qm_l} \simeq \rho_{\widetilde{\mathfrak m}} 
\otimes_{K_{\widetilde{\mathfrak m}}} \overline \Qm_l$. Pour tout idéal premier minimal $\widetilde{\mathfrak m} \subset \mathfrak m$, la réduction modulo l’idéal maximal $(\varpi_{\widetilde{\mathfrak m}})$ de $\rho_{\widetilde{\mathfrak m}}$, bien définie à semi-simplification près, ne dépend que de $\mathfrak m$, on note $\overline \rho_{\mathfrak m}: G_F \longrightarrow GL_d(\overline \Fm_l)$ l’extension des scalaires à $\overline \Fm_l$. Les valeurs propres de $\frob_w$ sont alors données par le multi-ensemble $S_{\mathfrak m}(w)$.

On dira d’une représentation irréductible $$\overline \rho:\gal(\bar F/F) \longrightarrow GL_d(\overline \Qm_l)$$ qu’elle est de niveau $I \in \IC$, s’il existe un idéal maximal $\mathfrak m$ de $\Tm_I$ tel que $\overline \rho \simeq \overline \rho_{\mathfrak m}$.

\[theo3\] (cf.  le théorème 4.14 de [@boyer-imj]) Supposons que $\overline \rho_{\mathfrak m}$ vérifie une des deux hypothèses suivantes:

-   soit $\overline \rho_{\mathfrak m}$ est induit d’un caractère de $G_K$ pour $K/F$ une extension galoisienne cyclique;

-   soit $l \geq d$ et $SL_n(k) \subset \overline \rho_{\mathfrak m}(G_F) \subset \overline \Fm_l^\times
    GL_n(k)$ pour un sous-corps $k \subset \overline \Fm_l$.

Alors pour $l \geq d+2$, les $H^i(X_{I,\bar \eta},V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$ sont sans torsion. 

dans [@boyer-imj], la conclusion du théorème précédent est valide pourvu que $\overline \rho_{\mathfrak m}$ vérifie l’hypothèse 4.13 de loc.  cit.  reliée à la relation de congruence vérifiée par nos variétés de Shimura et prouvée dans [@wed]. 

Pour une place $v$ de $F$, la restriction de $\rho_{\widetilde{\mathfrak m}}$ au groupe de Galois local en $v$ s’identifie à une représentation de Weil-Deligne $(\sigma_{\widetilde{\mathfrak m},v},N_{\widetilde{\mathfrak m},v})$ où $N_{\widetilde{\mathfrak m},v}$ est le logarithme de la partie unipotente de la monodromie locale.  Notons que cet opérateur nilpotent est défini à l’aide de la série formelle $\ln(1-x)=- \sum_{k \geq 1} \frac{x^k}{k}$ que l’on peut tronquer en $k \leq d-1$. En particulier:

-   si $l \geq d$, l’opérateur $N_{\widetilde{\mathfrak m},v}$ est défini sur l’anneau des entiers $\OC_{\widetilde{\mathfrak m}}$ de $K_{\widetilde{\mathfrak m}}$ et on note $\overline N_{\widetilde{\mathfrak m},v}$ sa réduction modulo $\varpi_{\widetilde{\mathfrak m}}$.

-   Si $\mathfrak m$ est un idéal maximal de $\Tm_I$ tel que $\overline \rho_{\mathfrak m}$ est irréductible, alors comme la réduction modulo $\varpi_{\widetilde{\mathfrak m}}$ de $\rho_{\widetilde{\mathfrak m}}$ est isomorphe[^4] après extension des scalaires à $\overline \Fm_l$, à $\overline \rho_{\mathfrak m}$, l’opérateur de monodromie $\overline N_{\widetilde{\mathfrak m},v}$ ne dépend que de $\mathfrak m$, on le note simplement $\overline N_{\mathfrak m,v}$.

Augmentation du niveau
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Suite spectrale de Rapoport-Zink
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On considère à présent un niveau $I \in \IC w(v)$ tel que modulo $\varpi_v$, la composante $I_v$ de $I$ à la place $v$ est conjugué au parabolique standard de Lévi $GL_{m_1} \times GL_{m_2} \times \cdots \times GL_{m_r}$ de $GL_d$ avec $m_1 \geq m_2 \geq \cdots \geq m_r$. Avec les notations de \[nota-iwahori\], la suite spectrale de Rapoport-Zink s’écrit $$\label{eq-RZ}
E_1^{p,q}=\bigoplus_{i \geq \max \{ 0, - p \} } \bigoplus_{\sharp S=p+2i+1} H^{q-2i} (Y_{I,S},
V_{\xi,\overline \Zm_l}(-i)) \Rightarrow H^{p+q}(X_{I,\bar s_v},V_{\xi,\overline \Zm_l}).$$ Rappelons que sur $\overline \Qm_l$, cette suite spectrale dégénère en $E_2$ et si $\widetilde N_v:E_1^{p,q} \longrightarrow E_1^{p+2,q-2}(-1)$ est défini comme l’identité sur tous les facteurs présents à la fois dans $E_1^{p,q}$ et $E_1^{p+2,q-2}(-1)$ et nul sur les autres, alors l’endomorphisme induit par $\widetilde N_v$ sur l’aboutissement de cette suite spectrale est l’opérateur de monodromie de $H^{p+q}(X_{I,\bar s_v},V_{\xi,\overline \Zm_l})$, lequel est donc entier. 

Fixons un idéal maximal $\mathfrak m$ de $\Tm_I$ tel qu’il existe un idéal premier minimal $\widetilde{\mathfrak m} \subset \mathfrak m$ ainsi qu’une représentation automorphe irréductible $\Pi \in \Pi_{\widetilde{\mathfrak m}}$ possédant des vecteurs non nuls invariants sous $I$. On note $\widetilde N_{v,\mathfrak m}$ le localisé de $\widetilde N_v$ ainsi que $\overline{\widetilde N_{v,\mathfrak m}}$ sa réduction modulo l’idéal maximal de $\overline \Zm_l$.

\[prop1\] On suppose vérifiés les points 1), 2) et 3) de \[hypo\].  Alors l’indice de nilpotence de $\overline{\widetilde N_{v,\mathfrak m}}$ est $\leq r-1$, i.e. $\overline{\widetilde N_{v,\mathfrak m}}^{r-1}=0$.

Notons $\Lambda:=H^{d-1}(X_{I,\bar s_v},V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$. D’après le théorème \[theo3\], $\Lambda$ est un $\overline \Zm_l$-module libre de type fini muni d’une action de $\Tm_{I,\mathfrak m}[\gal(\bar F/F)]$ telle que $$\Lambda \otimes_{\overline \Zm_l} \overline \Qm_l \simeq \bigoplus_{\widetilde{\mathfrak m} \subset 
\mathfrak m} \bigoplus_{i=1}^{\mu_{\widetilde{\mathfrak m}}} \rho_{\widetilde{\mathfrak m},i},$$ avec $ \mu_{\widetilde{\mathfrak m}} \in \Nm$ et où chacun des $ \rho_{\widetilde{\mathfrak m},i}$ est isomorphe à $ \rho_{\widetilde{\mathfrak m},\overline \Qm_l}$, l’action de $\Tm_{I,\mathfrak m}$ se factorisant par $\Tm_{I,\mathfrak m}/\widetilde{\mathfrak m}$. Pour tout $\widetilde{\mathfrak m}$ et $1 \leq i \leq
\mu_{\widetilde{\mathfrak m}}$, notons $$\rho_{\widetilde{\mathfrak m},i,\Lambda}:=\rho_{\widetilde{\mathfrak m},i} \cap \Lambda \hookrightarrow 
\Lambda$$ qui est donc un $\Tm_{I,\mathfrak m}[\gal(\bar F/F)]$-module tel que la réduction $\overline{\rho}_{\widetilde{\mathfrak m},i,\Lambda}$ de $\rho_{\widetilde{\mathfrak m},i,\Lambda}$ modulo l’idéal maximal $\mathfrak p_l$ de $\overline \Zm_l$ est isomorphe à $\overline \rho_{\mathfrak m}$. On obtient alors une inclusion $\overline{\rho}_{\widetilde{\mathfrak m},i,\Lambda}
\hookrightarrow \Lambda/\mathfrak p_l$ et on en déduit en particulier que $\Lambda/\mathfrak p_l$ s’écrit comme une somme finie $\sum_{j \in J} V_j$ de sous-modules simples $V_j \simeq \overline \rho_{\mathfrak m}$. Classiquement cette somme est nécessairement directe.  En effet considérons un sous-ensemble $J' \subset J$ maximal pour que la somme $\sum_{j \in J'} V_j$ soit directe et supposons par l’absurde l’existence de $j_0 \in J  \backslash J'$: comme $V_{j_0}$ est simple, on a $V_{j_0} \cap \bigl ( \sum_{j \in J'} V_j \bigr )=\{ 0 \}$ et donc $V_{j_0} +  \bigl ( \sum_{j \in J'} V_j \bigr )$ est direct contredisant la maximalité de $J'$. Le résultat découle alors directement du fait que $\overline N_{v,\mathfrak m}$ est d’indice de nilpotence $\leq r-1$.

Preuve du théorème principal {#para-preuve}
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Soit $I \in \IC$ un sous-groupe ouvert compact tel que modulo $\varpi_v$ la composante $I_v$ de $I$ à la place $v$ est conjuguée au parabolique standard de Lévi $GL_{m_1} \times GL_{m_2} \times \cdots \times GL_{m_r}$ de $GL_d$ avec $m_1 \geq m_2 \geq \cdots \geq m_r$ et $r>1$. On suppose que $\mathfrak m$, un idéal maximal de $\Tm_I$, est $\xi$-cohomologique. 

pour tout $\widetilde{\mathfrak m} \subset \mathfrak m$, l’interprétation géométrique de l’opérateur de monodromie $N_{\widetilde{\mathfrak m},v}$ donnée par la suite spectrale de Rapoport-Zink (\[eq-RZ\]), impose clairement que l’indice de nilpotence de $N_{\widetilde{\mathfrak m},v}$ est inférieur ou égal à $r$.

\[lem-secherre\] Soit $\pi_v\simeq \st_{t_1}(\chi_1) \times \cdots \times \st_{t_s}(\chi_s)$ avec $t_1+\cdots+t_s=d$ et où $\chi_1,\cdots,\chi_s$ sont des caractères de $F_v^\times$. L’ensemble des parahoriques standards $P_v$

-   contenus entre l’Iwahori standard $\Iw_v$ et le compact maximal $GL_d(\OC_v)$ et

-   tels que $\pi_v$ ait des vecteurs non nuls $P_v$-fixes,

admet un plus grand élément dont les tailles des blocs sont $t_1,\cdots,t_s$.

Notons $K_v=GL_d(\OC_v)$ le compact maximal de $GL_d(F_v)$, puis $K_v(1)$ son pro-$p$ radical.  Rappelons que $\pi_v$ a des vecteurs non nuls $P_v$-fixes si et seulement si l’espace $K_v(\pi_v)$ des vecteurs non nuls $K_v(1)$-fixes de $\pi_v$ vu comme représentation de $K_v/K_v(1)$ a des vecteurs non nuls fixes par $P_v':=P_v/K_v(1)$, c’est-à-dire si $K_v(\pi_v)^{U_v'}$, où $U_v'$ le radical unipotent de $P_v'$, contient le caractère trivial de $M_v'=P_v'/U_v'$.

En appliquant l’involution de Zelevinski $Z$, on se ramène à la propriété que $K_v(Z(\pi_v))^{U_v'}$ contient un facteur non dégénéré, c’est-à-dire au fait que $Z(\pi_v)$ est $\lambda$-dégénérée, où $\lambda$ désigne la partition de $d$ donnée par les blocs de $M_v'$, au sens de la théorie des modèles de Whittaker dégénérés, cf. [ @vigneras-induced] §V.5.  Le résultat découle alors de loc.  cit. 

Pour $\widetilde{\mathfrak m}$ un idéal premier minimal de $\Tm_I$, on note $V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v)$ (resp.  $V_{\mathfrak m}(v)$) le multi-ensemble des valeurs propres de $\rho_{\widetilde{\mathfrak m}}(\frob_v)$ (resp.  de $\overline \rho_{\mathfrak m}(\frob_v)$). 

\[lem-1\] On suppose que pour tout sous-groupe parahorique $I'_v$ contenant strictement $I_v$, la représentation galoisienne $\overline \rho_{\mathfrak m}$ n’est pas de niveau $I':=I^vI'_v$. Alors pour tout idéal premier minimal $\widetilde{\mathfrak m} \subset \mathfrak m \subset \Tm_I$, on a $$\sharp V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v) \cap q_v^{r-1} V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v) \geq m_r.$$

Par hypothèse pour tout idéal premier minimal $\widetilde{\mathfrak m} \subset \mathfrak m$ de $\Tm_I$, pour toute $\overline \Qm_l$-représentation automorphe $\Pi \in \Pi_{\widetilde{\mathfrak m}}$ et pour tout sous-groupe $I' \subsetneq I \in \IC$ comme dans l’énoncé, $\Pi_v$ a des vecteurs non nuls invariants sous $I_v$ mais pas sous $I'_v$.

Rappelons qu’une représentation irréductible admissible de $GL_d(F_v)$ ramifiée ayant des vecteurs non nuls invariants sous un sous-groupe parahorique est de la forme $\st_{t_1}(\chi_1) \times \cdots \times \st_{t_s}(\chi_s)$ avec $t_1+\cdots+t_s=d$ et où $\chi_1,\cdots,\chi_s$ sont des caractères de $F_v^\times$. D’après le lemme précédent pour que $\Pi_v$ possède des vecteurs non nuls invariants sous $I_v$ et pas par un sous-groupe strict, on doit avoir $$\Pi_v \simeq \bigl ( \st_r(\chi_1) \times \cdots \times \st_r(\chi_{m_r}) \bigr ) \times \bigl ( \st_{r-1}(\chi'_1)
\times \cdots \times \st_{r-1}(\chi'_{m_{r-1}-m_r}) \bigr ) \times \cdots$$ Comme les valeurs propres de $\frob_v$ sur $\rho_{\widetilde{\mathfrak m}}$ sont données, par la correspondance locale de Langlands, par $$\Bigl \{ \chi_1(\varpi_v) q_v^{\frac{1-r}{2}},\cdots, \chi_1(\varpi_v)q_v^{\frac{r-1}{2}}, \cdots,
\chi_{m_r}(\varpi_v)q_v^{\frac{1-r}{2}},\cdots,\chi_{m_r}(\varpi_v)q_v^{\frac{r-1}{2}},\cdots \Bigr \}$$ on obtient bien la minoration de l’énoncé. 

On reprend les hypothèses du lemme précédent et on suppose en outre que $V_{\mathfrak m}(v) \cap q_v^{r-1} V_{\mathfrak m}(v)$ est de cardinal $\leq m_r$. Alors pour tout idéal premier minimal $\widetilde{\mathfrak m} \subset \mathfrak m$, le multi-ensemble $V_{\mathfrak m}(v) \cap q_v^{r-1} V_{\mathfrak m}(v)$ est la réduction modulo $\varpi_{\widetilde{\mathfrak m}}$ de $V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v) \cap q_v^{r-1} V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v)$.

Rappelons que $V_{\mathfrak m}(v)$ s’obtient comme la réduction modulo $\mathfrak m$ de $V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v)$ pour tout idéal premier minimal $\widetilde{\mathfrak m} \subset
\mathfrak m$ via la surjection canonique $\Tm_I/\widetilde{\mathfrak m} \twoheadrightarrow \Tm_I/\mathfrak m$. Le résultat découle alors simplement du lemme \[lem-1\] et de l’hypothèse $\sharp V_{\mathfrak m}(v) \cap q_v^{r-1} V_{\mathfrak m}(v) \leq m_r$.

*Preuve du théorème \[theo-principal\]*: on reprend les hypothèses des lemmes précédents en supposant en outre que $V_{\mathfrak m}(v)$ est un ensemble, i.e. que les multiplicités dans $V_{\mathfrak m}(v)$ sont égales à $1$. Il s’agit alors d’aboutir à une contradiction, i.e. il est absurde de supposer qu’il n’existe aucun $I'=I^vI'_v$ avec $I'_v \subsetneq I_v$ tel que $\overline \rho_{\mathfrak m}$ est de niveau $I'$.

Avec les notations de la suite spectrale de Rapoport-Zink (\[eq-RZ\]), de la proposition \[prop1\] on en déduit que le localisé $E_{1,\mathfrak m}^{r,d-r-1}$ du terme $E_1^{r,d-r-1}$ est contenu dans $\mathfrak m H^{d-1}(X_{I,\bar s_v},V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$ ce qui fournit une surjection $$\label{eq-1}
H^{d-1}(X_{I,\bar s_v},V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}/ E_{1,\mathfrak m}^{r,d-r-1}
\twoheadrightarrow H^{d-1}(X_{I,\bar s_v},V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m} / \mathfrak m
 H^{d-1}(X_{I,\bar s_v},V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}.$$

D’après le lemme précédent, l’ensemble $V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v) \cap q_v^{r-1} V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v)$ est de cardinal $m_r$. Par ailleurs tout sous-$\gal(\bar F/F)$-quotient irréductible $V_{\widetilde{\mathfrak m}}$ de $H^{d-1}(X_{I,\bar s_v},V_{\xi,\overline \Qm_l})_{\widetilde{\mathfrak m}}$ est facteur direct, isomorphe à $\rho_{\widetilde{\mathfrak m},\overline \Qm_l}$ et $V_{\widetilde{\mathfrak m}} \cap 
E_{1,\widetilde{\mathfrak m}}^{r,d-r-1}$ est une sous-$\gal(\bar F_v/F_v)$-représentation de dimension $m_r$ d’après le lemme \[lem-secherre\], dont les valeurs propres de $\frob_v$ appartiennent à $V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v) \cap q_v^{r-1} V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v)$. On en déduit ainsi que les valeurs propres de $\frob_v$ sur $E_{1,\widetilde{\mathfrak m}}^{r,d-r-1}$ sont exactement celles de $V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v)$ qui appartiennent à $V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v) \cap q_v^{r-1} V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v)$, i.e. les valeurs propres de $\frob_v$ sur $H^{d-1}(X_{I,\bar s_v},V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\widetilde{\mathfrak m}}/ 
E_{1,\widetilde{\mathfrak m}}^{r,d-r-1}$ sont dans $V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v) - \bigl (
V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v) \cap q^{r-1} V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v) \bigr )$. 

Ainsi d’après le lemme précédent, les images modulo $\mathfrak m$ des valeurs propres de $\frob_v$ sur $H^{d-1}(X_{I,\bar s_v},V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}/E_{1,\mathfrak m}^{r,d-r-1}$, appartiennent à $V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v) - \Bigl (V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v) \cap q_v^{r-1} 
V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v) \Bigr )$.  De la surjection (\[eq-1\]), on en déduit alors que $$V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v) \subset V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v) - 
\Bigl (V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v) \cap q_v^{r-1} V_{\widetilde{\mathfrak m}}(v) \Bigr )$$ ce qui contredit l’hypothèse que $V_{\mathfrak m}(v)$ est un ensemble de cardinal $d$.

[^1]: Les auteurs remercient l’ANR pour son soutien dans le cadre du projet PerCoLaTor 14-CE25. 

[^2]: i.e. il existe un idéal premier minimal $\widetilde{\mathfrak m'} \subset \mathfrak m'$ qui soit $\xi$-cohomologique

[^3]: tel qu’il existe une place $x$ pour laquelle la projection de $U^v$ sur $G(\Qm_x)$ ne contienne aucun élément d’ordre fini autre que l’identité, cf. [ @h-t] bas de la page 90

[^4]: La condition à semi-simplification près n’a plus lieu dans cette situation.