Q:

“Я знаю (то), что ты обманула меня.” 

Насколько я понимаю, классические правила русского языка запрещают опускать слово то в предложениях вроде

Я знаю то, что ты обманула меня. 

Правда ли, что опускать здесь то стало современной литературной нормой?  Я всегда так делал, и начал сомневаться только после знакомства с правилами. 

A:

Это предложение грамматически верно как с "то", так и без него.  Стилистически вне контекста без "то" оно звучит лучше. " То" уместно, если есть цель сделать акцент на второй части предложения, привлечь внимание слушателя к тому, что сейчас последует. 

Я не знаю, какими благими намерениями ты руководствовалась.  Я знаю то,
что ты обманула меня.  Вот что для меня имеет значение. 
Я понял то, что те, кто меня любят по-настоящему, не что-то
выдуманное, а меня, они любят меня не потому, что я хороший, а потому,
что они прекрасны. ( Е. Гришковец)

Такое применение можно сравнить с использованием глагола "to do" в предложении "I do know that you lied to me." 
Необходимым "то" становится в сложноподчиненных предложениях, в которых придаточная часть выносится в начало. 

То, что вы накануне были у дома убитого, видели горничная и дворник. 

A:

В данном случае правильно будет как раз без "то", потому что второстепенное предложение отвечает на вопрос главного:

- Я знаю что? 
- Что ты обманула меня. 

"То" необходимо в другом случае, например: "Я знаю то, чего не должен знать". 

- Я знаю что? 
- То, чего не должен знать. 

Если написать "Я знаю то, чего не должен знать", без "то", смысл получится совсем другой:

- Я знаю что? 
- Чего (я) не должен знать. 

В первом случае говорящий владеет какой-то излишней информацией ("Я владею информацией, которой, по идее, владеть не должен").  А во втором - знает список вещей, которых он не должен знать ("Я знаю, какой информацией я не должен владеть").  Допустим, я каким-то образом узнала новую секретную технологию создания сверхмощного оружия, которая является государственной тайной и точно не должна быть известна мне, простому обывателю.  В этом случае я могу сказать: "Я знаю то, чего не должна знать".  А может быть совсем другая ситуация: я не знаю самой технологии, но зато точно знаю, что она засекречена, и если я ее каким-то образом узнаю, у меня будут неприятности.  А кроме этого, есть и другие вещи, которых я также не должна знать, по тем или иным причинам.  Например, я не должна знать пин-код от чужой банковской карты, не должна знать медицинский диагноз моего знакомого (если он не хочет его раскрывать), не должна знать подробностей чужой личной жизни, и т.д.  Все знания такого рода я могу выразить предложением "Я знаю, чего не должна знать." ( при этом не важно, владею ли я на самом деле этими излишними знаниями, или нет). 
Именно Ваше предложение будет понятно и сохранит смысл и с "то", хоть и будет звучать несколько неестественно.  Но во многих случаях "то" существенно меняет смысл. 

Еще несколько примеров, где "то" существенно влияет на смысл предложения:
1) Представьте, что вы заходите на кухню и видите на столе миску с яблоками.  Вы можете сказать:

Я вижу, где лежат яблоки. 

А теперь представьте, что миска с яблоками закрыта крышкой.  Самих яблок вы не видите (хоть и знаете, где они), только миску.  Поэтому предыдущее предложение вы сказать не можете.  Зато можете сказать: "Я вижу миску, где лежат яблоки."  Или, если вы забыли слово "миска", либо яблоки лежат в какой-то посуде, названия которой вы не знаете, вы можете сказать:

Я вижу то, где лежат яблоки. 

В данном случае все внимание сконцентрировано на посуде, а видите вы яблоки или нет - не важно. 

2) Художник может сказать:

Я рисую, где живу. 

Это значит, что он работает (рисует) у себя дома.  Содержание его картин в данном случае не имеет значения.  Значение такое же, как если бы он сказал: "Я рисую там же, где живу".  Но также он может сказать:

Я рисую то, где живу. 

Здесь смысл совсем другой - художник рисует интерьер своего дома, и все равно, где он сам при этом находится. 

3) Девушка может сказать:

Я знаю того, за кого хочу выйти замуж. 

Это то же самое, что "Я знакома с тем человеком, за которого хочу выйти замуж".  Но есть и другой вариант, она может сказать:

Я знаю, за кого хочу выйти замуж. 

В этом случае она просто знает, чего хочет от будущего мужа, но неизвестно, знакома ли она на данный момент с подходящим человеком, и существует ли он вообще.