Q
stringlengths 0
980
| S
stringlengths 56
5.48k
| A
stringlengths 8
16
|
|---|---|---|
<img src="/get_file?id=66720" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Через концы <i>A</i>, <i>B</i> дуги окружности в 62° проведены касательные <i>AC</i> и <i>BC</i>. Найдите угол <i>ACB</i>. Ответ дайте в градусах. | Угол между касательной и хордой равен половине заключенной между ними дуги. В треугольнике <i>ABC:</i>$\angle ACB=180 градусов минус левая круглая скобка \angle BAC плюс \angle CBA правая круглая скобка =180 градусов минус \cup AB=180 градусов минус 62 градусов =118 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 118. | Ответ: 118 |
<img src="/get_file?id=66720" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Касательные <i>CA</i> и <i>CB</i> к окружности образуют угол <i>ACB</i>, равный 122°. Найдите величину меньшей дуги <i>AB</i>, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах. | Треугольник <i>АВС</i> равнобедренный, так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Следовательно, угол <i>ВAC</i> равен 0,5(180° − 122°) = 29°. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине заключенной между ними дуги, поэтому искомая дуга равна 2 · 29° = 58°. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 58. <b>Приведем другое решение.</b> Пусть искомая длина меньшей дуги <i>АВ</i> равна <i>х</i>, тогда длина большей дуги <i>АВ</i> равна 360° − <i>х</i>. Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен половине высекаемых ими дуг, откуда имеем: 0,5(360° − 2<i>x</i>) = 122°. Тогда <i>x</i> = 58°. | Ответ: 58 |
<img src="/get_file?id=66716" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдите угол <i>ACO</i>, если его сторона <i>CA</i> касается окружности, <i>O</i> — центр окружности, сторона <i>CO</i> пересекает окружность в точке <i>B</i>, дуга <i>АВ</i> окружности, заключённая внутри этого угла равна 64°. Ответ дайте в градусах. | Касательная к окружности перпендикулярна радиусу; центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Следовательно, треугольник <i>OAC</i> прямоугольный и в нём$\angle ACO=90 градусов минус \angle AOC=90 градусов минус \cup AB=90 градусов минус 64 градусов =26 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 26. | Ответ: 26 |
<img src="/get_file?id=66716" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Угол <i>ACO</i> равен 28°, где <i>O</i> — центр окружности. Его сторона <i>CA</i> касается окружности. Найдите величину меньшей дуги <i>AB</i> окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах. | Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, приведённому в точку касания. Поэтому треугольник <i>AOC</i> прямоугольный. Его острый угол <i>O</i> равен 90° − 28° = 62°. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Поэтому он также равен 62°. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 62. | Ответ: 62 |
<img src="/get_file?id=66717" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдите угол <i>ACO</i>, если его сторона <i>CA</i> касается окружности, <i>O</i> — центр окружности, сторона <i>CO</i> пересекает окружность в точках <i>B</i> и <i>D</i>, а дуга <i>AD</i> окружности, заключенная внутри этого угла, равна 116°. Ответ дайте в градусах. | Заметим, что <i>DB</i> — диаметр окружности, поэтому дуга <i>AB</i>, не содержащая точки <i>D</i>, равна 180° − 116° = 64°. На эту дугу опирается центральный угол <i>AOB</i>, поэтому он равен 64°. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательным, поэтому треугольник <i>AOC</i> прямоугольный. Тогда $\angle ACO = 90 градусов минус \angle COA = 90 градусов минус 64 градусов = 26 градусов.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 26. <b>Приведем решение Расиля Садыкова.</b>Угол <i>AOD</i> — центральный угол, равен дуге, на которую опирается, следовательно, ∠<i>AOD</i> = 116°. Угол <i>AOD</i> является внешним углом треугольника <i>AOC</i>, следовательно, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: ∠<i>AOD</i> = ∠<i>OAC</i> + ∠<i>ACO</i>. Угол <i>OAC</i> равен 90° как угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, тогда ∠<i>ACO</i> = ∠<i>AOD</i> − ∠<i>OAC</i> = 116° − 90° = 26°. | Ответ: 26 |
<img src="/get_file?id=66717" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Угол <i>ACO</i> равен 24°. Его сторона <i>CA</i> касается окружности с центром в точке <i>О</i>. Сторона <i>CO</i> пересекает окружность в точках <i>B</i> и <i>D</i> (см. рис.). Найдите градусную меру дуги <i>AD</i> окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах. | Заметим, что <i>DB</i> — диаметр окружности. Тогда точка <i>A</i> делит дугу <i>DB</i> на дуги <i>x</i> и 180° − <i>x</i>. Угол между двумя секущими (или между секущей и касательной) равен полуразности высекаемых ими дуг:$ дробь: числитель: x минус левая круглая скобка 180 градусов минус x правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =24 градусов равносильно 2x минус 180 градусов=48 градусов равносильно x=114 градусов. $ <i>Приведём другое решение:</i>Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, центральный угол равен дуге, на которую он опирается, значит, треугольник <i>OAC</i> — прямоугольный и $\cup AD=\angle DOA=180 градусов минус \angle AOB=180 градусов минус левая круглая скобка 90 градусов минус \angle ACO правая круглая скобка =180 градусов минус 66 градусов =114 градусов $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 114. | Ответ: 114 |
<img src="/get_file?id=113272" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника. | Площадь треугольника равна произведению его полупериметра (<i>p</i>) на радиус вписанной окружности (<i>r</i>):$S=pr=6 умножить на 1=6.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6. | Ответ: 6 |
<img src="/get_file?id=113273" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Площадь треугольника равна 24, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите периметр этого треугольника. | Из формулы $S=pr,$ где <i>p</i> — полупериметр, находим, что периметр описанного многоугольника равен отношению удвоенной площади к радиусу вписанной окружности:$P= дробь: числитель: 2S, знаменатель: r конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на 24, знаменатель: 2 конец дроби =24. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 24. | Ответ: 24 |
<img src="/get_file?id=113275" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь. | Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру. Пусть площадь равна <i>S</i>, полупериметр равен <i>p</i>, радиус окружности равен <i>R</i>. Тогда $S=Rp=3 умножить на дробь: числитель: 20, знаменатель: 2 конец дроби =30. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30. | Ответ: 30 |
<img src="/get_file?id=113450" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6. | Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен одной трети высоты. Поэтому он равен 2. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 2. | Ответ: 2 |
<img src="/get_file?id=113449" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника. | Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру:$r= дробь: числитель: 2S_ABC, знаменатель: P_ABC конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC в квадрате синус 60 градусов , знаменатель: 3AC конец дроби = дробь: числитель: AC синус 60 градусов , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: h, знаменатель: синус 60 градусов конец дроби умножить на дробь: числитель: синус 60 градусов , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: h, знаменатель: 3 конец дроби , $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 18. <b>Приведем другое решение.</b>Высота правильного треугольника равна 3 радиусам вписанной окружности, поэтому она равна 18. | Ответ: 18 |
<img src="/get_file?id=113448" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Сторона правильного треугольника равна $ корень из 3.$ Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. | Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади к полупериметру: $r= дробь: числитель: S_ABC, знаменатель: p_ABC конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB в квадрате синус A, знаменатель: дробь: числитель: 3AB, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: корень из 3 синус 60 градусов , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби =0,5. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0,5. <b>Примечание</b>Другой способ решения состоит в использовании формулы, выражающей радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник через его сторону: $r= дробь: числитель: a корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби . $ | Ответ: 0,5 |
<img src="/get_file?id=113279" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен $ дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 6 конец дроби . $ Найдите сторону этого треугольника. | Известно, что $r = дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 6 конец дроби a, $ а по условию $r = дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 6 конец дроби . $ Следовательно, $ дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 6 конец дроби a= дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 6 конец дроби , $ поэтому длина стороны треугольника $a=1.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. | Ответ: 1 |
<img src="/get_file?id=113379" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Сторона ромба равна 1, острый угол равен $30 градусов.$ Найдите радиус вписанной окружности этого ромба. | <img src="/get_file?id=113380" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Радиус <i>r</i> вписанной в ромб окружности вдвое меньше его высоты <i>d</i>. Поэтому$r= дробь: числитель: d, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: DH, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: AD синус A, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =0,25. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0,25. <b>Приведем решение Артёма Малахвея.</b>Проведем высоту ромба. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, поэтому высота ромба равна $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =0,5.$ Радиус вписанной окружности равен половине высоты, то есть 0,25. | Ответ: 0,25 |
<img src="/get_file?id=113381" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Острый угол ромба равен 30°. Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 2. Найдите сторону ромба. | <img src="/get_file?id=113382" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Радиус <i>r</i> вписанной в ромб окружности вдвое меньше его высоты <i>d</i>. Поэтому $AD= дробь: числитель: DH, знаменатель: синус A конец дроби = дробь: числитель: d, знаменатель: синус A конец дроби = дробь: числитель: 2r, знаменатель: синус A конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: синус 30 градусов конец дроби =8. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 8. <b>Приведем решение Ильи Суслова.</b>Треугольник <i>ADH</i> прямоугольный, <i>DH</i> = 2<i>r</i> = 4. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, следовательно, <i>AD</i> = 2 · 4 = 8. | Ответ: 8 |
<img src="/get_file?id=113281" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен $ корень из 3.$ | <img src="/get_file?id=113282" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Пусть точка <i>О</i> — центр окружности. Треугольник <i>АОВ</i> является равнобедренным с углом при вершине 60° (см. рис.), поэтому этот треугольник равносторонний. Радиус <i>ОН</i> вписанной в шестиугольник окружности является высотой, биссектрисой и медианой треугольника <i>АОВ</i>, поэтому: $AB=2HB= 2OH тангенс \widehatHOB = 2 корень из 3 тангенс 30 градусов=2.$<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. | Ответ: 2 |
<img src="/get_file?id=113336" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $ корень из 3.$ | <img src="/get_file?id=113335" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/><b>Приведем другое решение.</b>Соединим центр <i>O</i> вписанной окружности с вершинами шестиугольника, при этом шестиугольник будет разбит на 6 равных треугольников. Рассмотрим треугольник <i>AOB</i>. Он равнобедренный, угол при вершине равен $ дробь: числитель: 360 градусов , знаменатель: 6 конец дроби =60 градусов, $ следовательно, треугольник является равносторонним со стороной $ корень из 3.$ Радиус вписанной окружности является биссектрисой, медианой и высотой этого треугольника, следовательно, по теореме Пифагора$r= корень из левая круглая скобка AO правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = корень из 3 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби = корень из дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби =1,5. $ | Ответ: 1,5 |
<img src="/get_file?id=113355" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны $2 плюс корень из 2.$ Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. | Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: $r= дробь: числитель: a плюс b минус c, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 2a минус a корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: a левая круглая скобка 2 минус корень из 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка 2 плюс корень из 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус корень из 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =1. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. <b>Приведём другое решение.</b>Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его удвоенной площади к периметру. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Тем самым, для катетов $a=b=2 плюс корень из 2 $ и гипотенузы $с= корень из a в квадрате плюс b в квадрате =a корень из 2 $ имеем:$r= дробь: числитель: 2S, знаменатель: P конец дроби = дробь: числитель: ab, знаменатель: a плюс b плюс c конец дроби = дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 2a плюс a корень из 2 конец дроби = дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: a левая круглая скобка 2 плюс корень из 2 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: a, знаменатель: 2 плюс корень из 2 конец дроби = дробь: числитель: 2 плюс корень из 2, знаменатель: 2 плюс корень из 2 конец дроби =1. $ | Ответ: 1 |
<img src="/get_file?id=113356" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В треугольнике <i>ABC</i> стороны <i>AC</i> = 4, <i>BC</i> = 3, угол <i>C</i> равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности. | Имеем:$r= дробь: числитель: AC плюс BC минус AB, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: AC плюс BC минус корень из AC в квадрате плюс BC в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 7 минус корень из 25, знаменатель: 2 конец дроби =1. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. <b>Приведем решение Айши Гучиговой.</b>Найдем гипотенузу треугольника: $AB в квадрате = корень из AC в квадрате плюс BC в квадрате = корень из 3 в квадрате плюс 4 в квадрате =5.$Площадь треугольника <i>ABC</i> равна $S_ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AC умножить на BC. $ С другой стороны, $S_ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на P_ABC умножить на r, $ откуда$r= дробь: числитель: AC умножить на BC, знаменатель: P_ABC конец дроби = дробь: числитель: 3 умножить на 4, знаменатель: 3 плюс 4 плюс 5 конец дроби =1. $ | Ответ: 1 |
<img src="/get_file?id=113286" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности. | Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:Тогда <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1,5. <b>Приведем решение Лены Кисловой.</b>Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади найдем высоту равнобедренного треугольника:$h= корень из AC в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = корень из 5 в квадрате минус 3 в квадрате =4, $ тогда $S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB умножить на h= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 умножить на 4 = 12. $Тогда | Ответ: 1,5 |
<img src="/get_file?id=113287" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника. | <img src="/get_file?id=113288" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Пусть точки <i>H</i> и <i>K</i> являются точками касания окружности со сторонами <i>AB</i> и <i>СВ</i> соответственно. Треугольники <i>HOB</i> и <i>KOB</i> равны, т. к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, $HB=KB=3.$$P_ABC=AC плюс CB плюс AH плюс HB=2CB плюс 2HB=16 плюс 6=22.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 22. | Ответ: 22 |
<img src="/get_file?id=113455" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции. | <img src="/get_file?id=113185" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда $AB плюс CD=BC плюс AD,$$MK= дробь: числитель: DC плюс AB, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: AD плюс BC, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 2 конец дроби =4. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4. | Ответ: 4 |
<img src="/get_file?id=113456" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите длину её средней линии. | <img src="/get_file?id=113186" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда $AB плюс CD=BC плюс AD,$$MK= дробь: числитель: DC плюс AB, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: P_ABCD, знаменатель: 4 конец дроби =10. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 10. | Ответ: 10 |
<img src="/get_file?id=115301" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности. | Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен половине ее высоты, то есть половине стороны <i>AD</i>. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Каждая из этих сумм равна половине периметра четырехугольника, поэтому $AD плюс BC=11.$ Тогда $AD = 11 минус 7=4,$ и $r= дробь: числитель: AD, знаменатель: 2 конец дроби =2. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. | Ответ: 2 |
<img src="/get_file?id=113454" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В четырехугольник <i>ABCD</i> вписана окружность, <i>AB</i> = 10, <i>CD</i> = 16. Найдите периметр четырехугольника <i>ABCD</i>. | В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда <i>AB + CD = BC + AD</i>. Тогда$P_ABCD=AB плюс CD плюс BC плюс DA=2 левая круглая скобка AB плюс CD правая круглая скобка =52.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 52. | Ответ: 52 |
<img src="/get_file?id=113290" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 24, две его стороны равны 5 и 6. Найдите большую из оставшихся сторон. | В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. В этом случае периметр четырехугольника вдвое больше суммы длин противоположных сторон, следовательно, в данном четырехугольнике сумма длин противоположных сторон равна 12, а значит, стороны длиной 5 и 6 не могут быть противоположными и являются смежными. Напротив стороны длиной 5 лежит сторона длиной 12 − 5 = 7. Напротив стороны длиной 6 лежит сторона длиной 12 − 6 = 6. Большая из этих двух сторон имеет длину 7. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 7. | Ответ: 7 |
<img src="/get_file?id=113291" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В четырехугольник <i>ABCD</i> вписана окружность, <i>AB</i> = 10, <i>BC</i> = 11 и <i>CD</i> = 15. Найдите четвертую сторону четырехугольника. | В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда <i>AB + CD = BC + AD,</i> значит, $AD= левая круглая скобка AB плюс CD правая круглая скобка минус BC=14.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 14. | Ответ: 14 |
<img src="/get_file?id=113292" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>К окружности, вписанной в треугольник <i>ABC</i>, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника. | Покажем, что сумма периметров отсеченных треугольников равна сумме длин сторон треугольника <i>АВС</i>, то есть равна его периметру. Отрезки касательных, проведенных к окружности из точек <i>K</i>, <i>H</i>, <i>O</i>, <i>F</i>, <i>N</i>, <i>M</i> соответственно равны друг другу (см. рис., равные отрезки выделены одинаковыми цветами). Поэтому$P_CKM = CQ плюс CR, P_AHO = AQ плюс AS, P_BFN = BS плюс BR.$<img src="/get_file?id=114418" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Сложим правые части полученных равенств: $ левая круглая скобка CQ плюс CR правая круглая скобка плюс левая круглая скобка AQ плюс AS правая круглая скобка плюс левая круглая скобка BS плюс BR правая круглая скобка = AB плюс BC плюс AC = P_ABC.$ Следовательно,$P_ABC =P_AOH плюс P_KCM плюс P_FNB=24.$<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 24. | Ответ: 24 |
<img src="/get_file?id=113358" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдите радиус <i>r</i> окружности, вписанной в четырехугольник $ABCD.$ Считайте, что стороны квадратных клеток равны 1. В ответе укажите $r корень из 10.$ | Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.$r= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из 3 в квадрате плюс 1 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из 10, знаменатель: 2 конец дроби . $ $r корень из 10= дробь: числитель: корень из 10, знаменатель: 2 конец дроби умножить на корень из 10= дробь: числитель: 10, знаменатель: 2 конец дроби =5 $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5. | Ответ: 5 |
<img src="/get_file?id=113357" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> известно, что $АС = 36,ВС = 15,$ а угол $\angle C=90 градусов.$ Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности. | Найдём гипотенузу <i>AB</i>: $AB= корень из 36 в квадрате плюс 15 в квадрате = корень из 1296 плюс 225= корень из 1521=39.$ Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: $r= дробь: числитель: a плюс b минус c, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 36 плюс 15 минус 39, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: 2 конец дроби =6. $<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 6. | Ответ: 6 |
<img src="/get_file?id=113359" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В четырёхугольник <i>ABCD</i>, периметр которого равен 54, вписана окружность, <i>AB</i> = 18. Найдите длину стороны <i>CD</i>. | В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда $AB плюс CD=BC плюс AD,$ отсюда$2 умножить на левая круглая скобка 18 плюс CD правая круглая скобка =54 равносильно 18 плюс CD=27 равносильно CD=9.$<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 9. | Ответ: 9 |
<img src="/get_file?id=29050" style="float:right; margin:10px"/>Точки <i>A</i>, <i>B</i>, <i>C</i>, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника <i>ABC</i>. Ответ дайте в градусах. | Пусть меньшая часть окружности равна <i>x</i>, тогда$x плюс 3x плюс 5x=360 градусов равносильно x=40 градусов .$Больший угол опирается на большую дугу; вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Следовательно, искомый угол равен половине от 5 · 40° или 100°. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 100. | Ответ: 100 |
<img src="/get_file?id=113196" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Угол <i>A</i> четырехугольника <i>ABCD</i>, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол <i>C</i> этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. | Cумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°, поэтому$\angle C=180 градусов минус \angle A=180 градусов минус 58 градусов =122 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 122. <b>Приведём другое решение.</b>Угол <i>A</i> вписанный и опирается на дугу <i>BCD</i>, следовательно, он равен половине дуги <i>BCD</i>, значит, градусная мера дуги <i>BCD</i> равна 116°. Градусная мера дуги <i>BAD</i> равна <nobr>360° − 116° = 244°.</nobr> Угол <i>C</i> вписанный и опирается на дугу <i>BAD</i>, следовательно, он равен половине дуги <i>BAD</i>, то есть 122°. | Ответ: 122 |
<img src="/get_file?id=113197" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Стороны четырехугольника <i>ABCD</i> <i>AB</i>, <i>BC</i>, <i>CD</i> и <i>AD</i> стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно $95 градусов,$ $49 градусов,$ $71 градусов,$ $145 градусов.$ Найдите угол <i>B</i> этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. | вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит$\angle B= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \cup ADC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 145 градусов плюс 71 градусов правая круглая скобка =108 градусов . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 108. | Ответ: 108 |
<img src="/get_file?id=113198" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Точки <i>A</i>, <i>B</i>, <i>C</i>, <i>D</i>, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги <i>AB</i>, <i>BC</i>, <i>CD</i> и <i>AD</i>, градусные величины которых относятся соответственно как 4 : 2 : 3 : 6. Найдите угол <i>A</i> четырехугольника <i>ABCD</i>. Ответ дайте в градусах. | Пусть дуга <i>AB</i> равна 4<i>x</i>, тогда $4x плюс 2x плюс 3x плюс 6x=360 градусов равносильно x=24 градусов .$ Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно, $\angle A= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \cup BC плюс \cup CD правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 2x плюс 3x правая круглая скобка = дробь: числитель: 120 градусов , знаменатель: 2 конец дроби =60 градусов . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 60. | Ответ: 60 |
<img src="/get_file?id=113200" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Четырехугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность. Угол <i>ABD</i> равен 75°, угол <i>CAD</i> равен 35°. Найдите угол <i>ABC</i>. Ответ дайте в градусах. | вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит,$\angle ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \cup ADC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \cup AD плюс \cup CD правая круглая скобка =\angle ABD плюс \angle CAD=110 градусов . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 110. | Ответ: 110 |
<img src="/get_file?id=113201" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Четырехугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность. Угол <i>ABC</i> равен 110°, угол <i>ABD</i> равен 70°. Найдите угол <i>CAD</i>. Ответ дайте в градусах. | Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно,$\angle CAD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \cup CD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \cup ADC минус \cup AD правая круглая скобка =\angle ABC минус \angle ABD=40 градусов . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 40. | Ответ: 40 |
<img src="/get_file?id=66698" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Сторона правильного треугольника равна $ корень из 3.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. | Треугольник <i>ABC</i> правильный, значит, все его углы равны 60°. Тогда$R= дробь: числитель: AC, знаменатель: 2 синус B конец дроби = дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 синус 60 градусов конец дроби = дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из 3 конец дроби =1. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. <b>Приведем другое решение.</b>Радиус <i>R</i> окружности, описанной вокруг правильного треугольника, и сторона <i>a</i> этого треугольника связаны соотношением:$R= дробь: числитель: a корень из 3, знаменатель: 3 конец дроби , $тогда $R= дробь: числитель: корень из 3 умножить на корень из 3, знаменатель: 3 конец дроби =1. $ <b>Приведем еще одно решение.</b>Центр окружности, описанной вокруг правильного треугольника, находится в точке пересечения его медиан (биссектрис, высот). Треугольник <i>ABC</i> правильный, значит, все его углы равны 60°, тогда его высота <i>h</i> равна:$h=a синус 60 градусов= корень из 3 умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби . $Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, тогда$R= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби h = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби =1. $ | Ответ: 1 |
<img src="/get_file?id=66698" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен $ корень из 3.$ Найдите сторону этого треугольника. | Треугольник <i>ABC</i> правильный, значит, все его углы равны 60°. Тогда$CB=2R синус A=2 корень из 3 синус 60 градусов =2 корень из 3 умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби =3. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 3. | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=66699" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Высота правильного треугольника равна 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. | Треугольник <i>ABC</i> правильный, значит, все углы равны по $60 градусов .$ По теореме синусов имеем:$R= дробь: числитель: AC, знаменатель: 2 синус B конец дроби = дробь: числитель: CH, знаменатель: 2 синус A умножить на синус B конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 синус в квадрате 60 градусов конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби =2. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. <b>Приведём другое решение.</b>В правильном треугольнике радиус описанной окружности равен двум третьим высоты. Поэтому он равен 2. | Ответ: 2 |
<img src="/get_file?id=66699" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту этого треугольника. | Треугольник <i>ABC</i> правильный, значит, все его углы равны по 60°. Имеем:$CH=AC синус A=2R синус B синус A=2 умножить на 3 синус в квадрате 60 градусов =6 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби =4,5. $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4,5. <b>Приведем другое решение.</b>Центр окружности, описанной вокруг треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Если треугольник правильный, в этой же точке пересекаются медианы треугольника (они же биссектрисы и высоты). Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, $OC : OH =2 : 1,$ откуда:$OH= дробь: числитель: OC, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби =1,5. $ Тогда <i>CH</i> = <i>CO</i> + <i>OH</i> = 3 + 1,5 = 4,5. | Ответ: 4,5 |
<img src="/get_file?id=66649" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. | вписанный угол опирающийся на диаметр окружности, является прямым, значит, <i>AB</i> − диаметр.$R= дробь: числитель: D, знаменатель: 2 конец дроби =6. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6. | Ответ: 6 |
<img src="/get_file?id=66649" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу этого треугольника. | Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым, значит, <i>AB</i> — диаметр.$AB=D=2R=8.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 8. | Ответ: 8 |
<img src="/get_file?id=66649" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В треугольнике <i>ABC</i> <i>AC</i> = 4, <i>BC</i> = 3, угол <i>C</i> равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. | Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. Поэтому$R= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из AC в квадрате плюс BC в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби =2,5. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2,5. | Ответ: 2,5 |
<img src="/get_file?id=29572" style="float:right;margin:10px"/> Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника. | Сумма двух равных углов при основании треугольника равна 60°, поэтому каждый из них равен 30°. Тогда по теореме синусов $d= дробь: числитель: BC, знаменатель: синус A конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: синус 30 градусов конец дроби =2. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. | Ответ: 2 |
<img src="/get_file?id=29574" style="float:right;margin:10px"/> Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6? | <img src="/get_file?id=29573" style="float:right;margin:10px"/> Заметим, что $\angle AOB= дробь: числитель: 360 градусов , знаменатель: 6 конец дроби =60 градусов. $ Значит, треугольник <i>AOB</i> — равносторонний. Тогда$AB=AO=R=6.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6. | Ответ: 6 |
<img src="/get_file?id=66701" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Сторона <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> равна 1. Противолежащий ей угол <i>C</i> равен 30°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. | По теореме синусов имеем: $R= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 синус \angle C конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 синус 30 градусов конец дроби =1. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. | Ответ: 1 |
<img src="/get_file?id=35247" style="float:right;margin:10px"/> Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите острый угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах | По теореме синусов $R= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 синус C конец дроби = дробь: числитель: R, знаменатель: 2 синус C конец дроби , $тогда <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30. <b>Приведём другое решение.</b><img src="/get_file?id=35248" style="float:right;margin:10px"/>Пусть <i>O</i> — центр окружности. Рассмотрим равносторонний треугольник <i>AOB</i>, все его углы равны 60°. Угол <i>AOB</i> — центральный и опирается на дугу <i>AB</i>, значит, градусная мера дуги <i>AB</i> равна 60°. Угол <i>ACB</i> — вписанный и опирается на дугу <i>AB</i>, следовательно, его градусная мера равна половине градусной меры дуги <i>AB</i>, то есть равна 30°. | Ответ: 30 |
<img src="/get_file?id=66701" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Угол <i>C</i> треугольника <i>ABC</i>, вписанного в окружность радиуса 3, равен 30°. Найдите сторону <i>AB</i> этого треугольника. | По теореме синусов:$AB=2R синус C=2 умножить на 3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =3. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 3. | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=47348" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Сторона <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> равна 1. Противолежащий ей угол <i>C</i> равен 150°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. | Используем теорему синусов:$R= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 синус \angle C конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 синус 150 градусов конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби =1. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. | Ответ: 1 |
<img src="/get_file?id=66657" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Сторона <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> c тупым углом <i>C</i> равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол <i>C</i>. Ответ дайте в градусах. | По теореме синусов:$ синус \angle C = дробь: числитель: AB, знаменатель: 2R конец дроби = дробь: числитель: R, знаменатель: 2R конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . $Поскольку угол <i>C</i> тупой, а его синус равен $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , $ это угол 150°. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 150. <b>Приведём другое решение.</b>Пусть точка <i>О</i> — центр окружности, тогда <i>ОА</i> и <i>ОВ</i> — ее радиусы. Треугольник <i>АОВ</i> равносторонний, поэтому угол <i>АОВ</i> равен 60°. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается, поэтому дуга <i>АСВ</i> равна 60°. Следовательно, вписанный угол <i>АСВ</i> опирается на дугу 360° − 60° = 300°. Тем самым угол <i>АСВ</i> равен 150°. | Ответ: 150 |
<img src="/get_file?id=10708" style="float:right;margin:10px"/> В треугольнике <i>ABC</i> <i>EF</i> — средняя линия. Площадь треугольника <i>BEF</i> равна 4. Найдите площадь треугольника <i>ABC</i>. | Т. к. <i>EF</i> — средняя линия, <i>AC=2EF, CB=2EB, AB=2FB,</i> следовательно, треугольники <i>ABC</i> и <i>EFB</i> подобны, коэффициент подобия равен 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, тогда $S_ABC=4S_EFB=4 умножить на 4 =16.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 16. | Ответ: 16 |
<img src="/get_file?id=29775" style="float:right;margin:10px"/> Периметр равнобедренного треугольника равен 25. Боковая сторона равна 7. Найдите основание. | В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, поэтому их сумма равна 14. Основание равно разности периметра и суммы боковых сторон, поэтому оно равно 11. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 11. | Ответ: 11 |
<img src="/get_file?id=29775" style="float:right;margin:10px"/> Периметр равнобедренного треугольника равен 22. Основание равно 10. Найдите боковую сторону. | В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. Их сумма равна разности периметра и основания треугольника, то есть 12. Следовательно, каждая из боковых сторон равна 6. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6. | Ответ: 6 |
<img src="/get_file?id=11489" style="float:right;margin:10px" width="150"/> Отрезок <i>DE</i> — средняя линия треугольника <i>ABC</i>, параллельная стороне <i>AB</i>. Периметр треугольника <i>CDE</i> равен 7. Найдите периметр треугольника <i>ABC</i>. | Треугольники <i>ABC</i> и <i>CDE</i> подобны с коэффициентом подобия 2, поэтому периметр <i>ABC</i> вдвое больше периметра <i>CDE</i>. Тем самым, он равен 14. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 14. | Ответ: 14 |
Точки <i>D</i>, <i>E</i>, <i>F</i> − середины сторон треугольника <i>ABC</i>. Периметр треугольника <i>DEF</i> равен 5. Найти периметр треугольника <i>ABC</i>. | Стороны треугольника <i>FED</i> являются средними линиями треугольника <i>ABC</i>, поэтому длины сторон треугольника <i>ABC</i> вдвое больше длин сторон треугольника <i>FED</i>. Следовательно, периметр треугольника <i>ABC</i> вдвое больше периметра треугольника <i>FED</i>, поэтому он равен 10. | Ответ: 10 |
<img src="/get_file?id=19087" style="float:right;margin:10px"/>В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> с основанием <i>AB</i> угол <i>С</i> равен 48°. Найдите угол между стороной <i>AB</i> и высотой <i>АН</i> этого треугольника. | Угол <i>СВА</i> равен (180° − 48°) : 2 = 66°, поэтому искомый угол <i>ВАН</i> равен 90° − 66° = 24°. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 24. | Ответ: 24 |
<img src="/get_file?id=19095" style="float:right;margin:10px"/>В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> с основанием <i>AB</i> угол <i>В</i> равен 27°. Найдите угол между стороной <i>АС</i> и высотой <i>АН</i> этого треугольника. | В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому угол <i>CAB</i> равен углу <i>CBA</i> и равен 27°. Рассмотрим треугольник <i>ABH</i>, он прямоугольный, сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, откуда ∠<i>BAH</i> = 90° − 27° = 63°. Следовательно, искомый угол <i>CAH</i> равен 63° − 27° = 36°. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 36. | Ответ: 36 |
<img src="/get_file?id=108694" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $ax плюс d=0.$ | <img src="/get_file?id=108721" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В любом из случаев раскрытия модуля получаем линейную функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс l,$ где угловой коэффициент $k=a плюс |b|$ или $k=a минус |b|, $ а свободный член $l=d плюс |c|$ или $l=d минус |c|.$ Очевидно, что $a плюс |b| больше или равно a минус |b|,$ значит, большему значению углового коэффициента соответствует $k=a плюс |b|,$ а меньшему — $k=a минус |b|.$ Аналогично большему значению свободного члена соответствует $l=d плюс |c|,$ а меньшему — $l=d минус |c|.$По рисунку определяем, что $a плюс |b|=3,$ $a минус |b|= минус 1,$ $d плюс |c|=3,$ $d минус |c|= минус 5.$ Значит, $a=1,$ $d= минус 1.$ Решим уравнение $ax плюс d=0:$$x минус 1=0 равносильно x=1$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 1. | Ответ: 1 |
<img src="/get_file?id=108697" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $bx плюс c=0.$ | Заметим, что $|bx плюс c|=0$ в точке излома, т. е. при $x=2.$ Значит, корнем уравнения $bx плюс c=0$ является число 2. | Ответ: 2 |
<img src="/get_file?id=108698" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $ax плюс d=0.$ | <img src="/get_file?id=108722" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В любом из случаев раскрытия модуля получаем линейную функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс l,$ где угловой коэффициент $k=a плюс |b|$ или $k=a минус |b|, $ а свободный член $l=d плюс |c|$ или $l=d минус |c|.$ Очевидно, что $a плюс |b| больше или равно a минус |b|,$ значит, большему значению углового коэффициента соответствует $k=a плюс |b|,$ а меньшему — $k=a минус |b|.$ Аналогично большему значению свободного члена соответствует $l=d плюс |c|,$ а меньшему — $l=d минус |c|.$По рисунку определяем, что $a плюс |b|=3,$ $a минус |b|=1,$ $d плюс |c|= минус 2,$ $d минус |c|= минус 8.$ Значит, $a=2,$ $d= минус 5.$ Решим уравнение $ax плюс d=0:$$2x минус 5=0 равносильно x=2,5$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 2,5. | Ответ: 2,5 |
<img src="/get_file?id=108699" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $bx плюс c=0.$ | Заметим, что $|bx плюс c|=0$ в точке излома, т. е. при $x=3.$ Значит, корнем уравнения $bx плюс c=0$ является число 3. | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=108711" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $ax плюс d=0.$ | <img src="/get_file?id=108723" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Ясно, что $b не равно 0,$ иначе $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс |c| плюс d,$ а тогда графиком функции была бы прямая. Излом графика находится в точке $x = минус дробь: числитель: c, знаменатель: b конец дроби ,$ а потому, раскрывая модуль, получаем:$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = система выражений k_1x плюс l_1, при x больше или равно минус дробь: числитель: c, знаменатель: b конец дроби , k_2x плюс l_2, при x меньше минус дробь: числитель: c, знаменатель: b конец дроби . конец системы .$Горизонтальная прямая, содержащая правую ветвь графика, задается уравнением $y = минус 5.$ Тангенс угла наклона левой части графика к оси абсцисс равен −4, а продолжение левой части графика пересекает ось ординат в точке −7. Поэтому$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = система выражений 0x минус 5, при x больше или равно минус дробь: числитель: c, знаменатель: b конец дроби , минус 4x минус 7, при x меньше минус дробь: числитель: c, знаменатель: b конец дроби . конец системы . \qquad левая круглая скобка * правая круглая скобка $С другой стороны, в любом из случаев раскрытия модуля получаем линейную функцию, угловой коэффициент которой $a плюс |b|$ или $a минус |b|,$ а свободный член $d плюс |c|$ или $d минус |c|.$ Очевидно, что $a плюс |b| больше или равно a минус |b|,$ значит, большему значению углового коэффициента соответствует $k_1=a плюс |b|,$ а меньшему — $k_2=a минус |b|.$ Аналогично большему значению свободного члена соответствует $l_1=d плюс |c|,$ а меньшему соответствует $l_2=d минус |c|.$ Итак,$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = система выражений левая круглая скобка a плюс |b| правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка d плюс |c| правая круглая скобка , при x больше или равно минус дробь: числитель: c, знаменатель: b конец дроби , левая круглая скобка a минус |b| правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка d минус |c| правая круглая скобка , при x меньше минус дробь: числитель: c, знаменатель: b конец дроби . конец системы . \qquad левая круглая скобка ** правая круглая скобка $Сравнивая (⁎) и (⁎⁎), получаем систему уравнений: $a плюс |b|=0,$ $a минус |b|= минус 4,$ $d плюс |c|= минус 5,$ $d минус |c|= минус 7.$ Сложим первые два и последние два уравнения системы, получим $2a= минус 4,$ $2d= минус 12.$ Тогда $a= минус 2,$ $d= минус 6,$ откуда для уравнения $ax плюс d=0$ получаем$ минус 2x минус 6=0 равносильно x= минус 3.$<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −3. | Ответ: -3 |
<img src="/get_file?id=108714" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $bx плюс c=0.$ | Заметим, что $|bx плюс c|=0$ в точке излома. найдём её. Левее точки излома функция задается уравнением $y= минус 4x минус 7,$ правее точки излома — уравнением $y= минус 5.$ Решим уравнение$ минус 4x минус 7= минус 5 равносильно x= минус 0,5.$ | Ответ: -0,5 |
<img src="/get_file?id=108716" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax минус |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $ax плюс d=0.$ | <img src="/get_file?id=108715" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В любом из случаев раскрытия модуля получаем линейную функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс l,$ где угловой коэффициент $k=a плюс |b|$ или $k=a минус |b|, $ а свободный член $l=d плюс |c|$ или $l=d минус |c|.$ Очевидно, что $a плюс |b| больше или равно a минус |b|,$ значит, большему значению углового коэффициента соответствует $k=a плюс |b|,$ а меньшему — $k=a минус |b|.$ Аналогично большему значению свободного члена соответствует $l=d плюс |c|,$ а меньшему — $l=d минус |c|.$ По рисунку определяем, что $a плюс |b|=4,$ $a минус |b|= минус 2,$ $d плюс |c|=5,$ $d минус |c|= минус 1.$ Значит, $a=1,$ $d=2.$ Решим уравнение $ax плюс d=0:$$x плюс 2=0 равносильно x= минус 2$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −2. | Ответ: -2 |
<img src="/get_file?id=108718" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $ax плюс d=0.$ | <img src="/get_file?id=108717" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В любом из случаев раскрытия модуля получаем линейную функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс l,$ где угловой коэффициент $k=a плюс |b|$ или $k=a минус |b|, $ а свободный член $l=d плюс |c|$ или $l=d минус |c|.$ Очевидно, что $a плюс |b| больше или равно a минус |b|,$ значит, большему значению углового коэффициента соответствует $k=a плюс |b|,$ а меньшему — $k=a минус |b|.$ Аналогично большему значению свободного члена соответствует $l=d плюс |c|,$ а меньшему — $l=d минус |c|.$По рисунку определяем, что $a плюс |b|=2,$ $a минус |b|= минус 4,$ $d плюс |c|=5,$ $d минус |c|= минус 1.$ Значит, $a= минус 1,$ $d=2.$ Решим уравнение $ax плюс d=0:$$ минус x плюс 2=0 равносильно x=2$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 2. | Ответ: 2 |
<img src="/get_file?id=108719" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $ax плюс d=10.$ | <img src="/get_file?id=108720" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В любом из случаев раскрытия модуля получаем линейную функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс l,$ где угловой коэффициент $k=a плюс |b|$ или $k=a минус |b|, $ а свободный член $l=d плюс |c|$ или $l=d минус |c|.$ Очевидно, что $a плюс |b| больше или равно a минус |b|,$ значит, большему значению углового коэффициента соответствует $k=a плюс |b|,$ а меньшему — $k=a минус |b|.$ Аналогично большему значению свободного члена соответствует $l=d плюс |c|,$ а меньшему — $l=d минус |c|.$По рисунку определяем, что $a плюс |b|= минус 1,$ $a минус |b|= минус 5,$ $d плюс |c|=8,$ $d минус |c|=0.$ Значит, $a= минус 3,$ $d=4.$ Решим уравнение $ax плюс d=10:$$ минус 3x плюс 4=10 равносильно x= минус 2$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −2. | Ответ: -2 |
<img src="/get_file?id=108725" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax минус |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $ax плюс d=19.$ | <img src="/get_file?id=108724" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В любом из случаев раскрытия модуля получаем линейную функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс l,$ где угловой коэффициент $k=a плюс |b|$ или $k=a минус |b|, $ а свободный член $l=d плюс |c|$ или $l=d минус |c|.$ Очевидно, что $a плюс |b| больше или равно a минус |b|,$ значит, большему значению углового коэффициента соответствует $k=a плюс |b|,$ а меньшему — $k=a минус |b|.$ Аналогично большему значению свободного члена соответствует $l=d плюс |c|,$ а меньшему — $l=d минус |c|.$По рисунку определяем, что $a плюс |b|= минус 1,$ $a минус |b|= минус 5,$ $d плюс |c|=8,$ $d минус |c|=0.$ Значит, $a= минус 3,$ $d=4.$ Решим уравнение $ax плюс d=19:$$ минус 3x плюс 4=19 равносильно x= минус 5$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −5. | Ответ: -5 |
<img src="/get_file?id=108756" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax минус |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $ax плюс d=0.$ | <img src="/get_file?id=108755" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В любом из случаев раскрытия модуля получаем линейную функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс l,$ где угловой коэффициент $k=a плюс |b|$ или $k=a минус |b|, $ а свободный член $l=d плюс |c|$ или $l=d минус |c|.$ Очевидно, что $a плюс |b| больше или равно a минус |b|,$ значит, большему значению углового коэффициента соответствует $k=a плюс |b|,$ а меньшему — $k=a минус |b|.$ Аналогично большему значению свободного члена соответствует $l=d плюс |c|,$ а меньшему — $l=d минус |c|.$По рисунку определяем, что $a плюс |b|=0,$ $a минус |b|= минус 2,$ $d плюс |c|=8,$ $d минус |c|=2.$ Значит, $a= минус 1,$ $d=5.$ Решим уравнение $ax плюс d=0:$$ минус x плюс 5=0 равносильно x=5$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 5. | Ответ: 5 |
<img src="/get_file?id=108760" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax минус |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $ax=d.$ | <img src="/get_file?id=108759" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В любом из случаев раскрытия модуля получаем линейную функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс l,$ где угловой коэффициент $k=a плюс |b|$ или $k=a минус |b|, $ а свободный член $l=d плюс |c|$ или $l=d минус |c|.$ Очевидно, что $a плюс |b| больше или равно a минус |b|,$ значит, большему значению углового коэффициента соответствует $k=a плюс |b|,$ а меньшему — $k=a минус |b|.$ Аналогично большему значению свободного члена соответствует $l=d плюс |c|,$ а меньшему — $l=d минус |c|.$По рисунку определяем, что $a плюс |b|= минус 2,$ $a минус |b|= минус 4,$ $d плюс |c|=8,$ $d минус |c|=4.$ Значит, $a= минус 3,$ $d=6.$ Решим уравнение $ax=d:$$ минус 3x=6 равносильно x= минус 2$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −2. | Ответ: -2 |
<img src="/get_file?id=108761" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax минус |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $ax=d.$ | В любом из случаев раскрытия модуля получаем линейную функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс l,$ где угловой коэффициент $k=a плюс |b|$ или $k=a минус |b|, $ а свободный член $l=d плюс |c|$ или $l=d минус |c|.$ Очевидно, что $a плюс |b| больше или равно a минус |b|,$ значит, большему значению углового коэффициента соответствует $k=a плюс |b|,$ а меньшему — $k=a минус |b|.$ Аналогично большему значению свободного члена соответствует $l=d плюс |c|,$ а меньшему — $l=d минус |c|.$По рисунку определяем, что $a плюс |b|=5,$ $a минус |b|= минус 1,$ $d плюс |c|=5,$ $d минус |c|=5.$ Значит, $a=2,$ $d=5.$ Решим уравнение $ax=d:$$2x=5 равносильно x=2,5$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 2,5. | Ответ: 2,5 |
<img src="/get_file?id=66170" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="19%"/> На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён вписанный в окружность угол <i>ABC</i>. Найдите его градусную величину. | $\angle ABC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \overset\frownAC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 45 градусов=22,5 градусов$ | Ответ: 22,5 |
<img src="/get_file?id=66176" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На клетчатой бумаге с размером клетки $ дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из Пи конец дроби см \times дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из Пи конец дроби см $ изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. | <img src="/get_file?id=66175" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Отрежем от закрашенной фигуры сектор, отмеченный синим цветом, и добавим к ней сектор, выделенный красным цветом. Указанные секторы равны, поэтому площадь фигуры не изменилась. Следовательно, она равна трём четвертям площади круга, радиус которого $ дробь: числитель: 4, знаменатель: конец дроби корень из Пи $ см. Поэтому$S= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби Пи R в квадрате = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби Пи умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из Пи конец дроби правая круглая скобка в квадрате =12 $ см<sup>2</sup>. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 12. | Ответ: 12 |
<img src="/get_file?id=66335" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="21%"/>На клетчатой бумаге с размером клетки 1 $\times$ 1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. | Треугольник прямоугольный, значит, радиус описанной вокруг него окружности равен половине гипотенузы. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2,5. | Ответ: 2,5 |
<img src="/get_file?id=66336" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см изображено кольцо. Найдите его площадь. В ответ запишите площадь, делённую на $ Пи .$ Ответ дайте в квадратных сантиметрах. | <img src="/get_file?id=66337" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Площадь кольца равна разности площади большого и малого кругов. Радиус большого круга равен 2, а малого — 1, откуда$S= Пи умножить на 2 в квадрате минус Пи умножить на 1 в квадрате =3 Пи .$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 3. | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=66323" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На клетчатой бумаге с размером клетки $ дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из Пи конец дроби см \times дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из Пи конец дроби см $ изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. | <img src="/get_file?id=66325" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/><img src="/get_file?id=66324" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Выполним дополнительное построение и из прямоугольного треугольника с катетами 2 и 4 найдем квадрат радиуса круга: $R в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из Пи конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из Пи конец дроби правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 20, знаменатель: Пи конец дроби $ см<sup>2</sup> (см. рис. 1). Площадь фигуры равна трем восьмым площади этого круга (см. рис. 2). Поэтому <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 7,5. <b>Примечание.</b>В открытом банке это задание и аналогичные ему являются клонами к заданию 27562. | Ответ: 7,5 |
<img src="/get_file?id=66339" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см изображено кольцо. Найдите его площадь. В ответ запишите площадь, делённую на $ Пи .$ Ответ дайте в квадратных сантиметрах. | <img src="/get_file?id=66340" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Площадь кольца <i>S</i><sub>к</sub> равна разности площади большого и малого кругов. Радиус малого круга равен 2 см, его квадрат равен 4 см<sup>2</sup>. Квадрат радиуса большого круга найдем по теореме Пифагора для треугольника с катетами 1 см и 3 см: $R в квадрате =1 в квадрате плюс 3 в квадрате =10$ см<sup>2</sup>. Тогда для искомой площади имеем: $S_к = 10 Пи минус 4 Пи = 6 Пи $ см<sup>2</sup>, тем самым $ дробь: числитель: S, знаменатель: Пи конец дроби =6 $ см<sup>2</sup>. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 6.НЕ УБИРАТЬ ИЗ КАТАЛОГА | Ответ: 6 |
<img src="/get_file?id=66350" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 51. Найдите площадь заштрихованной фигуры. | Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга вдвое больше радиуса меньшего круга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего. Следовательно, она равна 204. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 204 − 51 = 153. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ:</span> 153. | Ответ: 153 |
<img src="/get_file?id=66368" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры. | Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Радиус внешнего круга равен 6 клеток, радиус внутреннего равен 3 клетки. Поскольку радиус большего круга вдвое больше радиуса меньшего круга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего. Следовательно, она равна 4. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 4 − 1 = 3. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ:</span> 3. | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=66378" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры. | Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга равен четырем третьим радиуса меньшего круга, площадь большего круга составляет шестнадцать девятых площади меньшего. Следовательно, она равна 16. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 16 − 9 = 7. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ:</span> 7. | Ответ: 7 |
<img src="/get_file?id=66386" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На клетчатой бумаге изображен круг площадью 48. Найдите площадь заштрихованного сектора. | Площадь заштрихованного сектора равна половине площади всего круга. Следовательно, его площадь равна 0,5·48 = 24. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ:</span>24. | Ответ: 24 |
<img src="/get_file?id=66389" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 32? | <img src="/get_file?id=66390" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Заметим, что $ косинус P'OP = дробь: числитель: P'O, знаменатель: OP конец дроби = дробь: числитель: P'O, знаменатель: OM конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . $ Тогда $\angle P'OP=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ поэтому $\angle POM=120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Поэтому площадь сектора равна $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби $ от площади круга. Следовательно, площадь круга равна 3 · 32 = 96. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ:</span>96. | Ответ: 96 |
<img src="/get_file?id=66394" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности. | <img src="/get_file?id=66395" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Изображенная на рисунке окружность вписана в квадрат со стороной 5, поэтому радиус этой окружности равен 2,5. Но при чём тут вписанный треугольник? <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 2,5. | Ответ: 2,5 |
<img src="/get_file?id=66350" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 34. Найдите площадь закрашенной фигуры. | Площадь круга определяется по формуле $S= Пи r в квадрате .$ Т. к. из рисунка видно, что радиус внешнего круга в 2 раза больше внутреннего, значит, его площадь в 4 раза больше площади внутреннего круга и равна 136. Площадь закрашенной фигуры равна разности площади внешнего круга и площади внутреннего и равна 136 − 34 = 102. | Ответ: 102 |
<img src="/get_file?id=66404" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдите величину угла <i>ABC</i>. Ответ дайте в градусах. | Угол <i>ABC</i> опирается на четверть окружности, то есть на дугу 90°. Вписанный угол равен половине дуги, поэтому он равен 45°. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 45. | Ответ: 45 |
<img src="/get_file?id=66402" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдите градусную величину дуги <i>AC</i> окружности, на которую опирается угол <i>ABC.</i> Ответ дайте в градусах. | <img src="/get_file?id=66403" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Искомая дуга окружности равна опирающемуся на нее центральному углу. Пусть точка <i>О</i> — центр окружности. Поставим на меньшую дугу <i>ВС</i> окружности точку <i>D</i> симметрично относительно <i>ОС</i> (см. рис.) и соединим точки <i>A</i> и <i>D</i> с точкой <i>О</i>. Центральный угол <i>AОD</i> равен 90°, поэтому дуга <i>AD</i>, на которую он опирается, тоже равна 90°. Дуга <i>AC</i> равна половине дуги <i>AD</i>, поэтому она равна 45°. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 45. | Ответ: 45 |
<img src="/get_file?id=42072" style="float:right;margin:10px"/>Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки <nobr>1 см × 1 см (см. рис.).</nobr> Ответ дайте в квадратных сантиметрах. | <img src="/get_file?id=42073" style="float:right;margin:10px"/>Площадь трапеции равна разности площади большого прямоугольника и трех прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому $S=7 умножить на 8 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 умножить на 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3 умножить на 3 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 7 умножить на 7=25 см в квадрате . $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 25. | Ответ: 25 |
Площадь треугольника <i>ABC</i> равна 12. <i>DE</i> ― средняя линия этого треугольника, параллельная стороне <i>AB</i>. Найдите площадь трапеции <i>ABDE</i>. | Средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь отсеченного треугольника вчетверо меньше: она равна 3. Тогда искомая площадь трапеции равна 12 − 3 = 9. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 9. | Ответ: 9 |
<img src="/get_file?id=109325" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 12 правая круглая скобка .$ | График функции имеет горизонтальную асимптоту <i>y</i> = 1, значит, <i>a</i> = 1. По графику <i>f</i>(3) = 2, тогда $ дробь: числитель: k, знаменатель: 3 конец дроби плюс 1=2 равносильно k=3. $ Таким образом, $f левая круглая скобка минус 12 правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: минус 12 конец дроби плюс 1= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 1= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби =0,75. $<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 0,75. | Ответ: 0,75 |
<img src="/get_file?id=109326" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a.$ Найдите, при каком значении <i>x</i> значение функции равно 0,8. | График функции имеет горизонтальную асимптоту <i>y</i> = 1, значит, <i>a</i> = 1. По графику <i>f</i>(3) = 2, тогда $ дробь: числитель: k, знаменатель: 3 конец дроби плюс 1=2 равносильно k=3. $ Таким образом, $ дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби плюс 1=0,8 равносильно x= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 0,2 конец дроби = минус 15. $<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −15. | Ответ: -15 |
<img src="/get_file?id=108643" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> — целые. Найдите $f левая круглая скобка 13 правая круглая скобка .$ | График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=2,$ значит, $c=2.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=3,$ значит, $b= минус 3.$По графику $f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =1,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 2 минус 3 конец дроби плюс 2=1 равносильно a=1. $Таким образом, $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: x минус 3 конец дроби плюс 2. $ Найдём $f левая круглая скобка 13 правая круглая скобка .$$f левая круглая скобка 13 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 13 минус 3 конец дроби плюс 2=2,1. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 2,1. | Ответ: 2,1 |
<img src="/get_file?id=108644" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> — целые. Найдите $f левая круглая скобка 9 правая круглая скобка .$ | График функции имеет горизонтальную асимптоту $y= минус 1,$ значит, $c= минус 1.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=5,$ значит, $b= минус 5.$По графику $f левая круглая скобка 6 правая круглая скобка =0,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 6 минус 5 конец дроби минус 1=0 равносильно a=1. $Таким образом, $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: x минус 5 конец дроби минус 1. $ Найдём $f левая круглая скобка 9 правая круглая скобка .$$f левая круглая скобка 9 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 минус 5 конец дроби минус 1= минус 0,75. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −0,75. | Ответ: -0,75 |
<img src="/get_file?id=108692" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> — целые. Найдите $f левая круглая скобка минус 13 правая круглая скобка .$ | График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=3,$ значит, $c=3.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=3,$ значит, $b= минус 3.$По графику $f левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =4,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 5 минус 3 конец дроби плюс 3=4 равносильно a=2. $Таким образом, $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 2, знаменатель: x минус 3 конец дроби плюс 3. $ Найдём $f левая круглая скобка минус 13 правая круглая скобка .$$f левая круглая скобка минус 13 правая круглая скобка = дробь: числитель: 2, знаменатель: минус 13 минус 3 конец дроби плюс 3=2,875. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 2,875. | Ответ: 2,875 |
<img src="/get_file?id=108647" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> — целые. Найдите $f левая круглая скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$ | График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=4,$ значит, $c=4.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=3,$ значит, $b= минус 3.$По графику $f левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =2,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 4 минус 3 конец дроби плюс 4=2 равносильно a= минус 2. $Таким образом, $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: минус 2, знаменатель: x минус 3 конец дроби плюс 4. $ Найдём $f левая круглая скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$$f левая круглая скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: минус 2, знаменатель: дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби минус 3 конец дроби плюс 4=10. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 10. | Ответ: 10 |
<img src="/get_file?id=108648" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> — целые. Найдите $f левая круглая скобка 10 правая круглая скобка .$ | График функции имеет горизонтальную асимптоту $y= минус 4,$ значит, $c= минус 4.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=2,$ значит, $b= минус 2.$По графику $f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус 5,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: минус 1 минус 2 конец дроби минус 4= минус 5 равносильно a=3. $Таким образом, $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: x минус 2 конец дроби минус 4. $ Найдём $f левая круглая скобка 10 правая круглая скобка .$$f левая круглая скобка 10 правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 10 минус 2 конец дроби минус 4= минус 3,625. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −3,625. | Ответ: -3,625 |
<img src="/get_file?id=108663" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> — целые. Найдите $f левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$ | График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=5,$ значит, $c=5.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=2,$ значит, $b= минус 2.$По графику $f левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =4,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 5 минус 2 конец дроби плюс 5=4 равносильно a= минус 3. $Таким образом, $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: минус 3, знаменатель: x минус 2 конец дроби плюс 5. $ Найдём $f левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$$f левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: минус 3, знаменатель: дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби минус 2 конец дроби плюс 5=9,5. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 9,5. | Ответ: 9,5 |
<img src="/get_file?id=108664" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> — целые. Найдите $f левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$ | График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=2,$ значит, $c=2.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x= минус 2,$ значит, $b=2.$По графику $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =4,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 0 плюс 2 конец дроби плюс 2=4 равносильно a=4. $Таким образом, $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 4, знаменатель: x плюс 2 конец дроби плюс 2. $ Найдём $f левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$$f левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 4, знаменатель: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 конец дроби плюс 2=3,5. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 3,5. | Ответ: 3,5 |
<img src="/get_file?id=108665" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> — целые. Найдите $f левая круглая скобка 10 правая круглая скобка .$ | График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=1,$ значит, $c=1.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=5,$ значит, $b= минус 5.$По графику $f левая круглая скобка 7 правая круглая скобка = минус 1,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 7 минус 5 конец дроби плюс 1= минус 1 равносильно a= минус 4. $Таким образом, $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: минус 4, знаменатель: x минус 5 конец дроби плюс 1. $ Найдём $f левая круглая скобка 10 правая круглая скобка .$$f левая круглая скобка 10 правая круглая скобка = дробь: числитель: минус 4, знаменатель: 10 минус 5 конец дроби плюс 1=0,2. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 0,2. | Ответ: 0,2 |
<img src="/get_file?id=108667" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> — целые. Найдите $f левая круглая скобка 4 правая круглая скобка .$ | График функции имеет горизонтальную асимптоту $y= минус 1,$ значит, $c= минус 1.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x= минус 1,$ значит, $b=1.$По графику $f левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка =0,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: минус 4 плюс 1 конец дроби минус 1=0 равносильно a= минус 3. $Таким образом, $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: минус 3, знаменатель: x плюс 1 конец дроби минус 1. $ Найдём $f левая круглая скобка 4 правая круглая скобка .$$f левая круглая скобка 4 правая круглая скобка = дробь: числитель: минус 3, знаменатель: 4 плюс 1 конец дроби минус 1= минус 1,6. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −1,6. | Ответ: -1,6 |
<img src="/get_file?id=108668" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> — целые. Найдите $f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$ | График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=4,$ значит, $c=4.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x= минус 2,$ значит, $b=2.$По графику $f левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка =5,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: минус 3 плюс 2 конец дроби плюс 4=5 равносильно a= минус 1. $Таким образом, $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: минус 1, знаменатель: x плюс 2 конец дроби плюс 4. $ Найдём $f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$$f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: минус 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 конец дроби плюс 4=3,6. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 3,6. | Ответ: 3,6 |
Subsets and Splits