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Polynomial.degree_map_eq_of_leadingCoeff_ne_zero

R : Type u S : Type v T : Type w ι : Type y a b : R m n : ℕ inst✝¹ : Semiring R p q r : R[X] inst✝ : Semiring S f✝ f : R →+* S hf : f p.leadingCoeff ≠ 0 hp0 : p ≠ 0 ⊢ (map f p).coeff p.natDegree ≠ 0

rw [<a>Polynomial.coeff_map</a>]

R : Type u S : Type v T : Type w ι : Type y a b : R m n : ℕ inst✝¹ : Semiring R p q r : R[X] inst✝ : Semiring S f✝ f : R →+* S hf : f p.leadingCoeff ≠ 0 hp0 : p ≠ 0 ⊢ f (p.coeff p.natDegree) ≠ 0

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Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean

Polynomial.degree_map_eq_of_leadingCoeff_ne_zero

R : Type u S : Type v T : Type w ι : Type y a b : R m n : ℕ inst✝¹ : Semiring R p q r : R[X] inst✝ : Semiring S f✝ f : R →+* S hf : f p.leadingCoeff ≠ 0 hp0 : p ≠ 0 ⊢ f (p.coeff p.natDegree) ≠ 0

exact hf

no goals

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Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean

abs_le_max_abs_abs

α : Type u_1 inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α a b c d : α hab : a ≤ b hbc : b ≤ c ⊢ b ≤ max |a| |c|

simp [hbc.trans (<a>le_abs_self</a> c)]

no goals

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Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean

abs_le_max_abs_abs

α : Type u_1 inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α a b c d : α hab : a ≤ b hbc : b ≤ c ⊢ -b ≤ max |a| |c|

simp [((@<a>neg_le_neg_iff</a> α ..).<a>Iff.mpr</a> hab).<a>LE.le.trans</a> (<a>neg_le_abs</a> a)]

no goals

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Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean

CompleteLattice.IsCompactElement.exists_finset_of_le_iSup

ι✝ : Sort u_1 α : Type u_2 inst✝ : CompleteLattice α f✝ : ι✝ → α k : α hk : IsCompactElement k ι : Type u_3 f : ι → α h : k ≤ ⨆ i, f i ⊢ ∃ s, k ≤ ⨆ i ∈ s, f i

let g : <a>Finset</a> ι → α := fun s => ⨆ i ∈ s, f i

ι✝ : Sort u_1 α : Type u_2 inst✝ : CompleteLattice α f✝ : ι✝ → α k : α hk : IsCompactElement k ι : Type u_3 f : ι → α h : k ≤ ⨆ i, f i g : Finset ι → α := fun s => ⨆ i ∈ s, f i ⊢ ∃ s, k ≤ ⨆ i ∈ s, f i

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Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean

CompleteLattice.IsCompactElement.exists_finset_of_le_iSup

ι✝ : Sort u_1 α : Type u_2 inst✝ : CompleteLattice α f✝ : ι✝ → α k : α hk : IsCompactElement k ι : Type u_3 f : ι → α h : k ≤ ⨆ i, f i g : Finset ι → α := fun s => ⨆ i ∈ s, f i h1 : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (range g) ⊢ ∃ s, k ≤ ⨆ i ∈ s, f i

have h2 : k ≤ <a>SupSet.sSup</a> (<a>Set.range</a> g) := h.trans (<a>iSup_le</a> fun i => <a>le_sSup_of_le</a> ⟨{i}, <a>rfl</a>⟩ (<a>le_iSup_of_le</a> i (<a>le_iSup_of_le</a> (<a>Finset.mem_singleton_self</a> i) <a>le_rfl</a>)))

ι✝ : Sort u_1 α : Type u_2 inst✝ : CompleteLattice α f✝ : ι✝ → α k : α hk : IsCompactElement k ι : Type u_3 f : ι → α h : k ≤ ⨆ i, f i g : Finset ι → α := fun s => ⨆ i ∈ s, f i h1 : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (range g) h2 : k ≤ sSup (range g) ⊢ ∃ s, k ≤ ⨆ i ∈ s, f i

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Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean

CompleteLattice.IsCompactElement.exists_finset_of_le_iSup

ι✝ : Sort u_1 α : Type u_2 inst✝ : CompleteLattice α f✝ : ι✝ → α k : α hk : IsCompactElement k ι : Type u_3 f : ι → α h : k ≤ ⨆ i, f i g : Finset ι → α := fun s => ⨆ i ∈ s, f i h1 : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (range g) h2 : k ≤ sSup (range g) ⊢ ∃ s, k ≤ ⨆ i ∈ s, f i

obtain ⟨-, ⟨s, rfl⟩, hs⟩ := (<a>CompleteLattice.isCompactElement_iff_le_of_directed_sSup_le</a> α k).<a>Iff.mp</a> hk (<a>Set.range</a> g) (<a>Set.range_nonempty</a> g) h1 h2

case intro.intro.intro ι✝ : Sort u_1 α : Type u_2 inst✝ : CompleteLattice α f✝ : ι✝ → α k : α hk : IsCompactElement k ι : Type u_3 f : ι → α h : k ≤ ⨆ i, f i g : Finset ι → α := fun s => ⨆ i ∈ s, f i h1 : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (range g) h2 : k ≤ sSup (range g) s : Finset ι hs : k ≤ g s ⊢ ∃ s, k ≤ ⨆ i ∈ s, f i

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Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean

CompleteLattice.IsCompactElement.exists_finset_of_le_iSup

case intro.intro.intro ι✝ : Sort u_1 α : Type u_2 inst✝ : CompleteLattice α f✝ : ι✝ → α k : α hk : IsCompactElement k ι : Type u_3 f : ι → α h : k ≤ ⨆ i, f i g : Finset ι → α := fun s => ⨆ i ∈ s, f i h1 : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (range g) h2 : k ≤ sSup (range g) s : Finset ι hs : k ≤ g s ⊢ ∃ s, k ≤ ⨆ i ∈ s, f i

exact ⟨s, hs⟩

no goals

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Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean

CompleteLattice.IsCompactElement.exists_finset_of_le_iSup

ι✝ : Sort u_1 α : Type u_2 inst✝ : CompleteLattice α f✝ : ι✝ → α k : α hk : IsCompactElement k ι : Type u_3 f : ι → α h : k ≤ ⨆ i, f i g : Finset ι → α := fun s => ⨆ i ∈ s, f i ⊢ DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (range g)

rintro - ⟨s, rfl⟩ - ⟨t, rfl⟩

case intro.intro ι✝ : Sort u_1 α : Type u_2 inst✝ : CompleteLattice α f✝ : ι✝ → α k : α hk : IsCompactElement k ι : Type u_3 f : ι → α h : k ≤ ⨆ i, f i g : Finset ι → α := fun s => ⨆ i ∈ s, f i s t : Finset ι ⊢ ∃ z ∈ range g, (fun x x_1 => x ≤ x_1) (g s) z ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (g t) z

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Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean

CompleteLattice.IsCompactElement.exists_finset_of_le_iSup

case intro.intro ι✝ : Sort u_1 α : Type u_2 inst✝ : CompleteLattice α f✝ : ι✝ → α k : α hk : IsCompactElement k ι : Type u_3 f : ι → α h : k ≤ ⨆ i, f i g : Finset ι → α := fun s => ⨆ i ∈ s, f i s t : Finset ι ⊢ ∃ z ∈ range g, (fun x x_1 => x ≤ x_1) (g s) z ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (g t) z

exact ⟨g (s ∪ t), ⟨s ∪ t, <a>rfl</a>⟩, <a>iSup_le_iSup_of_subset</a> <a>Finset.subset_union_left</a>, <a>iSup_le_iSup_of_subset</a> <a>Finset.subset_union_right</a>⟩

no goals

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Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean

Finset.exists_le_card_fiber_of_nsmul_le_card_of_maps_to

α : Type u β : Type v M : Type w inst✝¹ : DecidableEq β s : Finset α t : Finset β f : α → β w : α → M b : M n : ℕ inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t ht : t.Nonempty hb : t.card • b ≤ ↑s.card ⊢ ∃ y ∈ t, b ≤ ↑(filter (fun x => f x = y) s).card

simp_rw [<a>Finset.cast_card</a>] at hb ⊢

α : Type u β : Type v M : Type w inst✝¹ : DecidableEq β s : Finset α t : Finset β f : α → β w : α → M b : M n : ℕ inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t ht : t.Nonempty hb : t.card • b ≤ ∑ a ∈ s, 1 ⊢ ∃ y ∈ t, b ≤ ∑ a ∈ filter (fun x => f x = y) s, 1

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Mathlib/Combinatorics/Pigeonhole.lean

Finset.exists_le_card_fiber_of_nsmul_le_card_of_maps_to

α : Type u β : Type v M : Type w inst✝¹ : DecidableEq β s : Finset α t : Finset β f : α → β w : α → M b : M n : ℕ inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t ht : t.Nonempty hb : t.card • b ≤ ∑ a ∈ s, 1 ⊢ ∃ y ∈ t, b ≤ ∑ a ∈ filter (fun x => f x = y) s, 1

exact <a>Finset.exists_le_sum_fiber_of_maps_to_of_nsmul_le_sum</a> hf ht hb

no goals

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Mathlib/Combinatorics/Pigeonhole.lean

Finset.disjoint_of_erase_right

α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : DecidableEq α s t u v : Finset α a b : α ha : a ∉ s hst : _root_.Disjoint s (t.erase a) ⊢ _root_.Disjoint s t

rw [← <a>Finset.erase_insert</a> ha, <a>Finset.disjoint_erase_comm</a>, <a>Finset.disjoint_insert_left</a>]

α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : DecidableEq α s t u v : Finset α a b : α ha : a ∉ s hst : _root_.Disjoint s (t.erase a) ⊢ a ∉ t.erase a ∧ _root_.Disjoint s (t.erase a)

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Mathlib/Data/Finset/Basic.lean

Finset.disjoint_of_erase_right

α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : DecidableEq α s t u v : Finset α a b : α ha : a ∉ s hst : _root_.Disjoint s (t.erase a) ⊢ a ∉ t.erase a ∧ _root_.Disjoint s (t.erase a)

exact ⟨<a>Finset.not_mem_erase</a> _ _, hst⟩

no goals

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Mathlib/Data/Finset/Basic.lean