Datasets:

cat-searcher

/

leandojo-benchmark-4-random

like 0

Algebra.intTrace_eq_trace

A : Type u_1 K : Type u_2 L : Type u_3 B : Type u_4 inst✝³⁰ : CommRing A inst✝²⁹ : CommRing B inst✝²⁸ : Algebra A B inst✝²⁷ : Field K inst✝²⁶ : Field L inst✝²⁵ : Algebra A K inst✝²⁴ : IsFractionRing A K inst✝²³ : Algebra B L inst✝²² : Algebra K L inst✝²¹ : Algebra A L inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L Aₘ : Type ?u.319125 Bₘ : Type ?u.319128 inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ inst✝¹³ : Algebra A Aₘ inst✝¹² : Algebra B Bₘ inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ M : Submonoid A inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ inst✝⁶ : IsDomain A inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A inst✝⁴ : IsDomain B inst✝³ : IsIntegrallyClosed B inst✝² : Module.Finite A B inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B inst✝ : Module.Free A B ⊢ intTrace A B = trace A B

ext x

case h A : Type u_1 K : Type u_2 L : Type u_3 B : Type u_4 inst✝³⁰ : CommRing A inst✝²⁹ : CommRing B inst✝²⁸ : Algebra A B inst✝²⁷ : Field K inst✝²⁶ : Field L inst✝²⁵ : Algebra A K inst✝²⁴ : IsFractionRing A K inst✝²³ : Algebra B L inst✝²² : Algebra K L inst✝²¹ : Algebra A L inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L Aₘ : Type ?u.319125 Bₘ : Type ?u.319128 inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ inst✝¹³ : Algebra A Aₘ inst✝¹² : Algebra B Bₘ inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ M : Submonoid A inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ inst✝⁶ : IsDomain A inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A inst✝⁴ : IsDomain B inst✝³ : IsIntegrallyClosed B inst✝² : Module.Finite A B inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B inst✝ : Module.Free A B x : B ⊢ (intTrace A B) x = (trace A B) x

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/IntegralRestrict.lean

Algebra.intTrace_eq_trace

case h A : Type u_1 K : Type u_2 L : Type u_3 B : Type u_4 inst✝³⁰ : CommRing A inst✝²⁹ : CommRing B inst✝²⁸ : Algebra A B inst✝²⁷ : Field K inst✝²⁶ : Field L inst✝²⁵ : Algebra A K inst✝²⁴ : IsFractionRing A K inst✝²³ : Algebra B L inst✝²² : Algebra K L inst✝²¹ : Algebra A L inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L Aₘ : Type ?u.319125 Bₘ : Type ?u.319128 inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ inst✝¹³ : Algebra A Aₘ inst✝¹² : Algebra B Bₘ inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ M : Submonoid A inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ inst✝⁶ : IsDomain A inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A inst✝⁴ : IsDomain B inst✝³ : IsIntegrallyClosed B inst✝² : Module.Finite A B inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B inst✝ : Module.Free A B x : B ⊢ (intTrace A B) x = (trace A B) x

haveI : <a>IsIntegralClosure</a> B A (<a>FractionRing</a> B) := <a>IsIntegralClosure.of_isIntegrallyClosed</a> _ _ _

case h A : Type u_1 K : Type u_2 L : Type u_3 B : Type u_4 inst✝³⁰ : CommRing A inst✝²⁹ : CommRing B inst✝²⁸ : Algebra A B inst✝²⁷ : Field K inst✝²⁶ : Field L inst✝²⁵ : Algebra A K inst✝²⁴ : IsFractionRing A K inst✝²³ : Algebra B L inst✝²² : Algebra K L inst✝²¹ : Algebra A L inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L Aₘ : Type ?u.319125 Bₘ : Type ?u.319128 inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ inst✝¹³ : Algebra A Aₘ inst✝¹² : Algebra B Bₘ inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ M : Submonoid A inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ inst✝⁶ : IsDomain A inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A inst✝⁴ : IsDomain B inst✝³ : IsIntegrallyClosed B inst✝² : Module.Finite A B inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B inst✝ : Module.Free A B x : B this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B) ⊢ (intTrace A B) x = (trace A B) x

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/IntegralRestrict.lean

Algebra.intTrace_eq_trace

case h A : Type u_1 K : Type u_2 L : Type u_3 B : Type u_4 inst✝³⁰ : CommRing A inst✝²⁹ : CommRing B inst✝²⁸ : Algebra A B inst✝²⁷ : Field K inst✝²⁶ : Field L inst✝²⁵ : Algebra A K inst✝²⁴ : IsFractionRing A K inst✝²³ : Algebra B L inst✝²² : Algebra K L inst✝²¹ : Algebra A L inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L Aₘ : Type ?u.319125 Bₘ : Type ?u.319128 inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ inst✝¹³ : Algebra A Aₘ inst✝¹² : Algebra B Bₘ inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ M : Submonoid A inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ inst✝⁶ : IsDomain A inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A inst✝⁴ : IsDomain B inst✝³ : IsIntegrallyClosed B inst✝² : Module.Finite A B inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B inst✝ : Module.Free A B x : B this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B) ⊢ (intTrace A B) x = (trace A B) x

haveI : <a>IsLocalization</a> (<a>Algebra.algebraMapSubmonoid</a> B A⁰) (<a>FractionRing</a> B) := <a>IsIntegralClosure.isLocalization</a> _ (<a>FractionRing</a> A) _ _

case h A : Type u_1 K : Type u_2 L : Type u_3 B : Type u_4 inst✝³⁰ : CommRing A inst✝²⁹ : CommRing B inst✝²⁸ : Algebra A B inst✝²⁷ : Field K inst✝²⁶ : Field L inst✝²⁵ : Algebra A K inst✝²⁴ : IsFractionRing A K inst✝²³ : Algebra B L inst✝²² : Algebra K L inst✝²¹ : Algebra A L inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L Aₘ : Type ?u.319125 Bₘ : Type ?u.319128 inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ inst✝¹³ : Algebra A Aₘ inst✝¹² : Algebra B Bₘ inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ M : Submonoid A inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ inst✝⁶ : IsDomain A inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A inst✝⁴ : IsDomain B inst✝³ : IsIntegrallyClosed B inst✝² : Module.Finite A B inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B inst✝ : Module.Free A B x : B this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B) this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B) ⊢ (intTrace A B) x = (trace A B) x

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/IntegralRestrict.lean

Algebra.intTrace_eq_trace

case h A : Type u_1 K : Type u_2 L : Type u_3 B : Type u_4 inst✝³⁰ : CommRing A inst✝²⁹ : CommRing B inst✝²⁸ : Algebra A B inst✝²⁷ : Field K inst✝²⁶ : Field L inst✝²⁵ : Algebra A K inst✝²⁴ : IsFractionRing A K inst✝²³ : Algebra B L inst✝²² : Algebra K L inst✝²¹ : Algebra A L inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L Aₘ : Type ?u.319125 Bₘ : Type ?u.319128 inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ inst✝¹³ : Algebra A Aₘ inst✝¹² : Algebra B Bₘ inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ M : Submonoid A inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ inst✝⁶ : IsDomain A inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A inst✝⁴ : IsDomain B inst✝³ : IsIntegrallyClosed B inst✝² : Module.Finite A B inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B inst✝ : Module.Free A B x : B this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B) this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B) ⊢ (intTrace A B) x = (trace A B) x

apply <a>IsFractionRing.injective</a> A (<a>FractionRing</a> A)

case h.a A : Type u_1 K : Type u_2 L : Type u_3 B : Type u_4 inst✝³⁰ : CommRing A inst✝²⁹ : CommRing B inst✝²⁸ : Algebra A B inst✝²⁷ : Field K inst✝²⁶ : Field L inst✝²⁵ : Algebra A K inst✝²⁴ : IsFractionRing A K inst✝²³ : Algebra B L inst✝²² : Algebra K L inst✝²¹ : Algebra A L inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L Aₘ : Type ?u.319125 Bₘ : Type ?u.319128 inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ inst✝¹³ : Algebra A Aₘ inst✝¹² : Algebra B Bₘ inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ M : Submonoid A inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ inst✝⁶ : IsDomain A inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A inst✝⁴ : IsDomain B inst✝³ : IsIntegrallyClosed B inst✝² : Module.Finite A B inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B inst✝ : Module.Free A B x : B this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B) this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B) ⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) ((intTrace A B) x) = (algebraMap A (FractionRing A)) ((trace A B) x)

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/IntegralRestrict.lean

Algebra.intTrace_eq_trace

case h.a A : Type u_1 K : Type u_2 L : Type u_3 B : Type u_4 inst✝³⁰ : CommRing A inst✝²⁹ : CommRing B inst✝²⁸ : Algebra A B inst✝²⁷ : Field K inst✝²⁶ : Field L inst✝²⁵ : Algebra A K inst✝²⁴ : IsFractionRing A K inst✝²³ : Algebra B L inst✝²² : Algebra K L inst✝²¹ : Algebra A L inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L Aₘ : Type ?u.319125 Bₘ : Type ?u.319128 inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ inst✝¹³ : Algebra A Aₘ inst✝¹² : Algebra B Bₘ inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ M : Submonoid A inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ inst✝⁶ : IsDomain A inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A inst✝⁴ : IsDomain B inst✝³ : IsIntegrallyClosed B inst✝² : Module.Finite A B inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B inst✝ : Module.Free A B x : B this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B) this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B) ⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) ((intTrace A B) x) = (algebraMap A (FractionRing A)) ((trace A B) x)

rw [<a>Algebra.algebraMap_intTrace_fractionRing</a>, <a>Algebra.trace_localization</a> A A⁰]

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/IntegralRestrict.lean

EisensteinSeries.vecMul_SL2_mem_gammaSet

N : ℕ a : Fin 2 → ZMod N v : Fin 2 → ℤ hv : v ∈ gammaSet N a γ : SL(2, ℤ) ⊢ v ᵥ* ↑γ ∈ gammaSet N (a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ))

refine ⟨?_, hv.2.<a>IsCoprime.vecMulSL</a> γ⟩

N : ℕ a : Fin 2 → ZMod N v : Fin 2 → ℤ hv : v ∈ gammaSet N a γ : SL(2, ℤ) ⊢ Int.cast ∘ (v ᵥ* ↑γ) = a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ)

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/Basic.lean

EisensteinSeries.vecMul_SL2_mem_gammaSet

N : ℕ a : Fin 2 → ZMod N v : Fin 2 → ℤ hv : v ∈ gammaSet N a γ : SL(2, ℤ) ⊢ Int.cast ∘ (v ᵥ* ↑γ) = a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ)

have := <a>RingHom.map_vecMul</a> (m := <a>Fin</a> 2) (n := <a>Fin</a> 2) (<a>Int.castRingHom</a> (<a>ZMod</a> N)) γ v

N : ℕ a : Fin 2 → ZMod N v : Fin 2 → ℤ hv : v ∈ gammaSet N a γ : SL(2, ℤ) this : ∀ (i : Fin 2), (Int.castRingHom (ZMod N)) ((v ᵥ* ↑γ) i) = (⇑(Int.castRingHom (ZMod N)) ∘ v ᵥ* (↑γ).map ⇑(Int.castRingHom (ZMod N))) i ⊢ Int.cast ∘ (v ᵥ* ↑γ) = a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ)

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/Basic.lean

EisensteinSeries.vecMul_SL2_mem_gammaSet

N : ℕ a : Fin 2 → ZMod N v : Fin 2 → ℤ hv : v ∈ gammaSet N a γ : SL(2, ℤ) this : ∀ (i : Fin 2), (Int.castRingHom (ZMod N)) ((v ᵥ* ↑γ) i) = (⇑(Int.castRingHom (ZMod N)) ∘ v ᵥ* (↑γ).map ⇑(Int.castRingHom (ZMod N))) i ⊢ Int.cast ∘ (v ᵥ* ↑γ) = a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ)

simp only [<a>eq_intCast</a>, <a>Int.coe_castRingHom</a>] at this

N : ℕ a : Fin 2 → ZMod N v : Fin 2 → ℤ hv : v ∈ gammaSet N a γ : SL(2, ℤ) this : ∀ (i : Fin 2), ↑((v ᵥ* ↑γ) i) = ((fun x => ↑x) ∘ v ᵥ* (↑γ).map fun x => ↑x) i ⊢ Int.cast ∘ (v ᵥ* ↑γ) = a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ)

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/Basic.lean

EisensteinSeries.vecMul_SL2_mem_gammaSet

N : ℕ a : Fin 2 → ZMod N v : Fin 2 → ℤ hv : v ∈ gammaSet N a γ : SL(2, ℤ) this : ∀ (i : Fin 2), ↑((v ᵥ* ↑γ) i) = ((fun x => ↑x) ∘ v ᵥ* (↑γ).map fun x => ↑x) i ⊢ Int.cast ∘ (v ᵥ* ↑γ) = a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ)

simp_rw [<a>Function.comp</a>, this, hv.1]

N : ℕ a : Fin 2 → ZMod N v : Fin 2 → ℤ hv : v ∈ gammaSet N a γ : SL(2, ℤ) this : ∀ (i : Fin 2), ↑((v ᵥ* ↑γ) i) = ((fun x => ↑x) ∘ v ᵥ* (↑γ).map fun x => ↑x) i ⊢ (fun x => (a ᵥ* (↑γ).map fun x => ↑x) x) = a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ)

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/Basic.lean

EisensteinSeries.vecMul_SL2_mem_gammaSet

N : ℕ a : Fin 2 → ZMod N v : Fin 2 → ℤ hv : v ∈ gammaSet N a γ : SL(2, ℤ) this : ∀ (i : Fin 2), ↑((v ᵥ* ↑γ) i) = ((fun x => ↑x) ∘ v ᵥ* (↑γ).map fun x => ↑x) i ⊢ (fun x => (a ᵥ* (↑γ).map fun x => ↑x) x) = a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ)

simp

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/Basic.lean

Matrix.toBlocks₂₂_diagonal

l : Type u_1 m : Type u_2 n : Type u_3 o : Type u_4 p : Type u_5 q : Type u_6 m' : o → Type u_7 n' : o → Type u_8 p' : o → Type u_9 R : Type u_10 S : Type u_11 α : Type u_12 β : Type u_13 inst✝² : DecidableEq l inst✝¹ : DecidableEq m inst✝ : Zero α v : l ⊕ m → α ⊢ (diagonal v).toBlocks₂₂ = diagonal fun i => v (Sum.inr i)

unfold <a>Matrix.toBlocks₂₂</a>

l : Type u_1 m : Type u_2 n : Type u_3 o : Type u_4 p : Type u_5 q : Type u_6 m' : o → Type u_7 n' : o → Type u_8 p' : o → Type u_9 R : Type u_10 S : Type u_11 α : Type u_12 β : Type u_13 inst✝² : DecidableEq l inst✝¹ : DecidableEq m inst✝ : Zero α v : l ⊕ m → α ⊢ (of fun i j => diagonal v (Sum.inr i) (Sum.inr j)) = diagonal fun i => v (Sum.inr i)

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Data/Matrix/Block.lean

Matrix.toBlocks₂₂_diagonal

l : Type u_1 m : Type u_2 n : Type u_3 o : Type u_4 p : Type u_5 q : Type u_6 m' : o → Type u_7 n' : o → Type u_8 p' : o → Type u_9 R : Type u_10 S : Type u_11 α : Type u_12 β : Type u_13 inst✝² : DecidableEq l inst✝¹ : DecidableEq m inst✝ : Zero α v : l ⊕ m → α ⊢ (of fun i j => diagonal v (Sum.inr i) (Sum.inr j)) = diagonal fun i => v (Sum.inr i)

funext i j

case h.h l : Type u_1 m : Type u_2 n : Type u_3 o : Type u_4 p : Type u_5 q : Type u_6 m' : o → Type u_7 n' : o → Type u_8 p' : o → Type u_9 R : Type u_10 S : Type u_11 α : Type u_12 β : Type u_13 inst✝² : DecidableEq l inst✝¹ : DecidableEq m inst✝ : Zero α v : l ⊕ m → α i j : m ⊢ of (fun i j => diagonal v (Sum.inr i) (Sum.inr j)) i j = diagonal (fun i => v (Sum.inr i)) i j

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Data/Matrix/Block.lean

Matrix.toBlocks₂₂_diagonal

case h.h l : Type u_1 m : Type u_2 n : Type u_3 o : Type u_4 p : Type u_5 q : Type u_6 m' : o → Type u_7 n' : o → Type u_8 p' : o → Type u_9 R : Type u_10 S : Type u_11 α : Type u_12 β : Type u_13 inst✝² : DecidableEq l inst✝¹ : DecidableEq m inst✝ : Zero α v : l ⊕ m → α i j : m ⊢ of (fun i j => diagonal v (Sum.inr i) (Sum.inr j)) i j = diagonal (fun i => v (Sum.inr i)) i j

simp only [<a>ne_eq</a>, Sum.inr.injEq, <a>Matrix.of_apply</a>, <a>Matrix.diagonal_apply</a>]

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Data/Matrix/Block.lean

CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.hη

C : Type u_1 inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C inst✝² : Preadditive C inst✝¹ : IsIdempotentComplete C inst✝ : HasFiniteCoproducts C ⊢ Compatibility.τ₀ = Compatibility.τ₁ isoN₁ isoΓ₀ N₁Γ₀

ext K : 3

case w.w.h C : Type u_1 inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C inst✝² : Preadditive C inst✝¹ : IsIdempotentComplete C inst✝ : HasFiniteCoproducts C K : ChainComplex C ℕ ⊢ Compatibility.τ₀.hom.app K = (Compatibility.τ₁ isoN₁ isoΓ₀ N₁Γ₀).hom.app K

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/EquivalencePseudoabelian.lean

CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.hη

case w.w.h C : Type u_1 inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C inst✝² : Preadditive C inst✝¹ : IsIdempotentComplete C inst✝ : HasFiniteCoproducts C K : ChainComplex C ℕ ⊢ Compatibility.τ₀.hom.app K = (Compatibility.τ₁ isoN₁ isoΓ₀ N₁Γ₀).hom.app K

simp only [<a>AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.τ₀_hom_app</a>, <a>AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.τ₁_hom_app</a>]

case w.w.h C : Type u_1 inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C inst✝² : Preadditive C inst✝¹ : IsIdempotentComplete C inst✝ : HasFiniteCoproducts C K : ChainComplex C ℕ ⊢ Preadditive.DoldKan.equivalence.counitIso.hom.app ((toKaroubiEquivalence (ChainComplex C ℕ)).functor.obj K) = Preadditive.DoldKan.equivalence.functor.map (isoΓ₀.hom.app K) ≫ isoN₁.hom.app (Γ.obj K) ≫ N₁Γ₀.hom.app K

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/EquivalencePseudoabelian.lean

CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.hη

case w.w.h C : Type u_1 inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C inst✝² : Preadditive C inst✝¹ : IsIdempotentComplete C inst✝ : HasFiniteCoproducts C K : ChainComplex C ℕ ⊢ Preadditive.DoldKan.equivalence.counitIso.hom.app ((toKaroubiEquivalence (ChainComplex C ℕ)).functor.obj K) = Preadditive.DoldKan.equivalence.functor.map (isoΓ₀.hom.app K) ≫ isoN₁.hom.app (Γ.obj K) ≫ N₁Γ₀.hom.app K

exact (<a>AlgebraicTopology.DoldKan.N₂Γ₂_compatible_with_N₁Γ₀</a> K).<a>Eq.trans</a> (by simp )

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/EquivalencePseudoabelian.lean

CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.hη

C : Type u_1 inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C inst✝² : Preadditive C inst✝¹ : IsIdempotentComplete C inst✝ : HasFiniteCoproducts C K : ChainComplex C ℕ ⊢ N₂Γ₂ToKaroubiIso.hom.app K ≫ N₁Γ₀.hom.app K = Preadditive.DoldKan.equivalence.functor.map (isoΓ₀.hom.app K) ≫ isoN₁.hom.app (Γ.obj K) ≫ N₁Γ₀.hom.app K

simp

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/EquivalencePseudoabelian.lean

Algebra.algebraMap_intTrace_fractionRing

A : Type u_1 K : Type u_2 L : Type u_3 B : Type u_4 inst✝²⁹ : CommRing A inst✝²⁸ : CommRing B inst✝²⁷ : Algebra A B inst✝²⁶ : Field K inst✝²⁵ : Field L inst✝²⁴ : Algebra A K inst✝²³ : IsFractionRing A K inst✝²² : Algebra B L inst✝²¹ : Algebra K L inst✝²⁰ : Algebra A L inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L Aₘ : Type ?u.292271 Bₘ : Type ?u.292274 inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ inst✝¹² : Algebra A Aₘ inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ M : Submonoid A inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ inst✝⁵ : IsDomain A inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A inst✝³ : IsDomain B inst✝² : IsIntegrallyClosed B inst✝¹ : Module.Finite A B inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B x : B ⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) ((intTrace A B) x) = (trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)

haveI : <a>IsIntegralClosure</a> B A (<a>FractionRing</a> B) := <a>IsIntegralClosure.of_isIntegrallyClosed</a> _ _ _

A : Type u_1 K : Type u_2 L : Type u_3 B : Type u_4 inst✝²⁹ : CommRing A inst✝²⁸ : CommRing B inst✝²⁷ : Algebra A B inst✝²⁶ : Field K inst✝²⁵ : Field L inst✝²⁴ : Algebra A K inst✝²³ : IsFractionRing A K inst✝²² : Algebra B L inst✝²¹ : Algebra K L inst✝²⁰ : Algebra A L inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L Aₘ : Type ?u.292271 Bₘ : Type ?u.292274 inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ inst✝¹² : Algebra A Aₘ inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ M : Submonoid A inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ inst✝⁵ : IsDomain A inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A inst✝³ : IsDomain B inst✝² : IsIntegrallyClosed B inst✝¹ : Module.Finite A B inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B x : B this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B) ⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) ((intTrace A B) x) = (trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/IntegralRestrict.lean

Algebra.algebraMap_intTrace_fractionRing

A : Type u_1 K : Type u_2 L : Type u_3 B : Type u_4 inst✝²⁹ : CommRing A inst✝²⁸ : CommRing B inst✝²⁷ : Algebra A B inst✝²⁶ : Field K inst✝²⁵ : Field L inst✝²⁴ : Algebra A K inst✝²³ : IsFractionRing A K inst✝²² : Algebra B L inst✝²¹ : Algebra K L inst✝²⁰ : Algebra A L inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L Aₘ : Type ?u.292271 Bₘ : Type ?u.292274 inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ inst✝¹² : Algebra A Aₘ inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ M : Submonoid A inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ inst✝⁵ : IsDomain A inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A inst✝³ : IsDomain B inst✝² : IsIntegrallyClosed B inst✝¹ : Module.Finite A B inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B x : B this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B) ⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) ((intTrace A B) x) = (trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)

haveI : <a>IsLocalization</a> (<a>Algebra.algebraMapSubmonoid</a> B A⁰) (<a>FractionRing</a> B) := <a>IsIntegralClosure.isLocalization</a> _ (<a>FractionRing</a> A) _ _

A : Type u_1 K : Type u_2 L : Type u_3 B : Type u_4 inst✝²⁹ : CommRing A inst✝²⁸ : CommRing B inst✝²⁷ : Algebra A B inst✝²⁶ : Field K inst✝²⁵ : Field L inst✝²⁴ : Algebra A K inst✝²³ : IsFractionRing A K inst✝²² : Algebra B L inst✝²¹ : Algebra K L inst✝²⁰ : Algebra A L inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L Aₘ : Type ?u.292271 Bₘ : Type ?u.292274 inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ inst✝¹² : Algebra A Aₘ inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ M : Submonoid A inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ inst✝⁵ : IsDomain A inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A inst✝³ : IsDomain B inst✝² : IsIntegrallyClosed B inst✝¹ : Module.Finite A B inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B x : B this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B) this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B) ⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) ((intTrace A B) x) = (trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/IntegralRestrict.lean

Algebra.algebraMap_intTrace_fractionRing

A : Type u_1 K : Type u_2 L : Type u_3 B : Type u_4 inst✝²⁹ : CommRing A inst✝²⁸ : CommRing B inst✝²⁷ : Algebra A B inst✝²⁶ : Field K inst✝²⁵ : Field L inst✝²⁴ : Algebra A K inst✝²³ : IsFractionRing A K inst✝²² : Algebra B L inst✝²¹ : Algebra K L inst✝²⁰ : Algebra A L inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L Aₘ : Type ?u.292271 Bₘ : Type ?u.292274 inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ inst✝¹² : Algebra A Aₘ inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ M : Submonoid A inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ inst✝⁵ : IsDomain A inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A inst✝³ : IsDomain B inst✝² : IsIntegrallyClosed B inst✝¹ : Module.Finite A B inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B x : B this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B) this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B) ⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) ((intTrace A B) x) = (trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)

haveI : <a>FiniteDimensional</a> (<a>FractionRing</a> A) (<a>FractionRing</a> B) := <a>Module.Finite_of_isLocalization</a> A B _ _ A⁰

A : Type u_1 K : Type u_2 L : Type u_3 B : Type u_4 inst✝²⁹ : CommRing A inst✝²⁸ : CommRing B inst✝²⁷ : Algebra A B inst✝²⁶ : Field K inst✝²⁵ : Field L inst✝²⁴ : Algebra A K inst✝²³ : IsFractionRing A K inst✝²² : Algebra B L inst✝²¹ : Algebra K L inst✝²⁰ : Algebra A L inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L Aₘ : Type ?u.292271 Bₘ : Type ?u.292274 inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ inst✝¹² : Algebra A Aₘ inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ M : Submonoid A inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ inst✝⁵ : IsDomain A inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A inst✝³ : IsDomain B inst✝² : IsIntegrallyClosed B inst✝¹ : Module.Finite A B inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B x : B this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B) this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B) this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B) ⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) ((intTrace A B) x) = (trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/IntegralRestrict.lean

Algebra.algebraMap_intTrace_fractionRing

A : Type u_1 K : Type u_2 L : Type u_3 B : Type u_4 inst✝²⁹ : CommRing A inst✝²⁸ : CommRing B inst✝²⁷ : Algebra A B inst✝²⁶ : Field K inst✝²⁵ : Field L inst✝²⁴ : Algebra A K inst✝²³ : IsFractionRing A K inst✝²² : Algebra B L inst✝²¹ : Algebra K L inst✝²⁰ : Algebra A L inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L Aₘ : Type ?u.292271 Bₘ : Type ?u.292274 inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ inst✝¹² : Algebra A Aₘ inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ M : Submonoid A inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ inst✝⁵ : IsDomain A inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A inst✝³ : IsDomain B inst✝² : IsIntegrallyClosed B inst✝¹ : Module.Finite A B inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B x : B this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B) this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B) this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B) ⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) ((intTrace A B) x) = (trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)

exact <a>Algebra.map_intTraceAux</a> x

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/IntegralRestrict.lean

edist_vsub_vsub_le

α : Type u_1 V : Type u_2 P : Type u_3 W : Type u_4 Q : Type u_5 inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P inst✝³ : NormedAddTorsor V P inst✝² : NormedAddCommGroup W inst✝¹ : MetricSpace Q inst✝ : NormedAddTorsor W Q p₁ p₂ p₃ p₄ : P ⊢ edist (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₄) ≤ edist p₁ p₃ + edist p₂ p₄

simp only [<a>edist_nndist</a>]

α : Type u_1 V : Type u_2 P : Type u_3 W : Type u_4 Q : Type u_5 inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P inst✝³ : NormedAddTorsor V P inst✝² : NormedAddCommGroup W inst✝¹ : MetricSpace Q inst✝ : NormedAddTorsor W Q p₁ p₂ p₃ p₄ : P ⊢ ↑(nndist (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₄)) ≤ ↑(nndist p₁ p₃) + ↑(nndist p₂ p₄)

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddTorsor.lean

edist_vsub_vsub_le

α : Type u_1 V : Type u_2 P : Type u_3 W : Type u_4 Q : Type u_5 inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P inst✝³ : NormedAddTorsor V P inst✝² : NormedAddCommGroup W inst✝¹ : MetricSpace Q inst✝ : NormedAddTorsor W Q p₁ p₂ p₃ p₄ : P ⊢ ↑(nndist (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₄)) ≤ ↑(nndist p₁ p₃) + ↑(nndist p₂ p₄)

norm_cast

α : Type u_1 V : Type u_2 P : Type u_3 W : Type u_4 Q : Type u_5 inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P inst✝³ : NormedAddTorsor V P inst✝² : NormedAddCommGroup W inst✝¹ : MetricSpace Q inst✝ : NormedAddTorsor W Q p₁ p₂ p₃ p₄ : P ⊢ nndist (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₄) ≤ nndist p₁ p₃ + nndist p₂ p₄

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddTorsor.lean

edist_vsub_vsub_le

α : Type u_1 V : Type u_2 P : Type u_3 W : Type u_4 Q : Type u_5 inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P inst✝³ : NormedAddTorsor V P inst✝² : NormedAddCommGroup W inst✝¹ : MetricSpace Q inst✝ : NormedAddTorsor W Q p₁ p₂ p₃ p₄ : P ⊢ nndist (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₄) ≤ nndist p₁ p₃ + nndist p₂ p₄

apply <a>dist_vsub_vsub_le</a>

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddTorsor.lean

Nat.mul_add_mod'

a✝ b✝ c✝ d m n k : ℕ p q : ℕ → Prop a b c : ℕ ⊢ (a * b + c) % b = c % b

rw [<a>Nat.mul_comm</a>, <a>Nat.mul_add_mod</a>]

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Data/Nat/Defs.lean

TopologicalSpace.isTopologicalBasis_of_subbasis

α : Type u β : Type u_1 t : TopologicalSpace α B : Set (Set α) s✝ : Set α s : Set (Set α) hs : t = generateFrom s ⊢ IsTopologicalBasis ((fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s})

subst t

α : Type u β : Type u_1 B : Set (Set α) s✝ : Set α s : Set (Set α) ⊢ IsTopologicalBasis ((fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s})

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Topology/Bases.lean

TopologicalSpace.isTopologicalBasis_of_subbasis

α : Type u β : Type u_1 B : Set (Set α) s✝ : Set α s : Set (Set α) ⊢ IsTopologicalBasis ((fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s})

letI := <a>TopologicalSpace.generateFrom</a> s

α : Type u β : Type u_1 B : Set (Set α) s✝ : Set α s : Set (Set α) this : TopologicalSpace α := generateFrom s ⊢ IsTopologicalBasis ((fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s})

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Topology/Bases.lean

TopologicalSpace.isTopologicalBasis_of_subbasis

α : Type u β : Type u_1 B : Set (Set α) s✝ : Set α s : Set (Set α) this : TopologicalSpace α := generateFrom s ⊢ IsTopologicalBasis ((fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s})

refine ⟨?_, ?_, <a>le_antisymm</a> (<a>le_generateFrom</a> ?_) <| <a>TopologicalSpace.generateFrom_anti</a> fun t ht => ?_⟩

case refine_1 α : Type u β : Type u_1 B : Set (Set α) s✝ : Set α s : Set (Set α) this : TopologicalSpace α := generateFrom s ⊢ ∀ t₁ ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, ∀ t₂ ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, ∀ x ∈ t₁ ∩ t₂, ∃ t₃ ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂ case refine_2 α : Type u β : Type u_1 B : Set (Set α) s✝ : Set α s : Set (Set α) this : TopologicalSpace α := generateFrom s ⊢ ⋃₀ ((fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}) = univ case refine_3 α : Type u β : Type u_1 B : Set (Set α) s✝ : Set α s : Set (Set α) this : TopologicalSpace α := generateFrom s ⊢ ∀ s_1 ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, IsOpen s_1 case refine_4 α : Type u β : Type u_1 B : Set (Set α) s✝ : Set α s : Set (Set α) this : TopologicalSpace α := generateFrom s t : Set α ht : t ∈ s ⊢ t ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Topology/Bases.lean

TopologicalSpace.isTopologicalBasis_of_subbasis

case refine_1 α : Type u β : Type u_1 B : Set (Set α) s✝ : Set α s : Set (Set α) this : TopologicalSpace α := generateFrom s ⊢ ∀ t₁ ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, ∀ t₂ ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, ∀ x ∈ t₁ ∩ t₂, ∃ t₃ ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂

rintro _ ⟨t₁, ⟨hft₁, ht₁b⟩, rfl⟩ _ ⟨t₂, ⟨hft₂, ht₂b⟩, rfl⟩ x h

case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u β : Type u_1 B : Set (Set α) s✝ : Set α s : Set (Set α) this : TopologicalSpace α := generateFrom s t₁ : Set (Set α) hft₁ : t₁.Finite ht₁b : t₁ ⊆ s t₂ : Set (Set α) hft₂ : t₂.Finite ht₂b : t₂ ⊆ s x : α h : x ∈ (fun f => ⋂₀ f) t₁ ∩ (fun f => ⋂₀ f) t₂ ⊢ ∃ t₃ ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ (fun f => ⋂₀ f) t₁ ∩ (fun f => ⋂₀ f) t₂

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Topology/Bases.lean

TopologicalSpace.isTopologicalBasis_of_subbasis

case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u β : Type u_1 B : Set (Set α) s✝ : Set α s : Set (Set α) this : TopologicalSpace α := generateFrom s t₁ : Set (Set α) hft₁ : t₁.Finite ht₁b : t₁ ⊆ s t₂ : Set (Set α) hft₂ : t₂.Finite ht₂b : t₂ ⊆ s x : α h : x ∈ (fun f => ⋂₀ f) t₁ ∩ (fun f => ⋂₀ f) t₂ ⊢ ∃ t₃ ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ (fun f => ⋂₀ f) t₁ ∩ (fun f => ⋂₀ f) t₂

exact ⟨_, ⟨_, ⟨hft₁.union hft₂, <a>Set.union_subset</a> ht₁b ht₂b⟩, <a>Set.sInter_union</a> t₁ t₂⟩, h, <a>Set.Subset.rfl</a>⟩

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Topology/Bases.lean

TopologicalSpace.isTopologicalBasis_of_subbasis

case refine_2 α : Type u β : Type u_1 B : Set (Set α) s✝ : Set α s : Set (Set α) this : TopologicalSpace α := generateFrom s ⊢ ⋃₀ ((fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}) = univ

rw [<a>Set.sUnion_image</a>, <a>Set.iUnion₂_eq_univ_iff</a>]

case refine_2 α : Type u β : Type u_1 B : Set (Set α) s✝ : Set α s : Set (Set α) this : TopologicalSpace α := generateFrom s ⊢ ∀ (a : α), ∃ i, ∃ (_ : i ∈ {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}), a ∈ ⋂₀ i

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Topology/Bases.lean

TopologicalSpace.isTopologicalBasis_of_subbasis

case refine_2 α : Type u β : Type u_1 B : Set (Set α) s✝ : Set α s : Set (Set α) this : TopologicalSpace α := generateFrom s ⊢ ∀ (a : α), ∃ i, ∃ (_ : i ∈ {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}), a ∈ ⋂₀ i

exact fun x => ⟨∅, ⟨<a>Set.finite_empty</a>, <a>Set.empty_subset</a> _⟩, sInter_empty.substr <| <a>Set.mem_univ</a> x⟩

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Topology/Bases.lean

TopologicalSpace.isTopologicalBasis_of_subbasis

case refine_3 α : Type u β : Type u_1 B : Set (Set α) s✝ : Set α s : Set (Set α) this : TopologicalSpace α := generateFrom s ⊢ ∀ s_1 ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, IsOpen s_1

rintro _ ⟨t, ⟨hft, htb⟩, rfl⟩

case refine_3.intro.intro.intro α : Type u β : Type u_1 B : Set (Set α) s✝ : Set α s : Set (Set α) this : TopologicalSpace α := generateFrom s t : Set (Set α) hft : t.Finite htb : t ⊆ s ⊢ IsOpen ((fun f => ⋂₀ f) t)

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Topology/Bases.lean

TopologicalSpace.isTopologicalBasis_of_subbasis

case refine_3.intro.intro.intro α : Type u β : Type u_1 B : Set (Set α) s✝ : Set α s : Set (Set α) this : TopologicalSpace α := generateFrom s t : Set (Set α) hft : t.Finite htb : t ⊆ s ⊢ IsOpen ((fun f => ⋂₀ f) t)

exact hft.isOpen_sInter fun s hs ↦ <a>TopologicalSpace.GenerateOpen.basic</a> _ <| htb hs

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Topology/Bases.lean

TopologicalSpace.isTopologicalBasis_of_subbasis

case refine_4 α : Type u β : Type u_1 B : Set (Set α) s✝ : Set α s : Set (Set α) this : TopologicalSpace α := generateFrom s t : Set α ht : t ∈ s ⊢ t ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}

rw [← <a>Set.sInter_singleton</a> t]

case refine_4 α : Type u β : Type u_1 B : Set (Set α) s✝ : Set α s : Set (Set α) this : TopologicalSpace α := generateFrom s t : Set α ht : t ∈ s ⊢ ⋂₀ {t} ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Topology/Bases.lean

TopologicalSpace.isTopologicalBasis_of_subbasis

case refine_4 α : Type u β : Type u_1 B : Set (Set α) s✝ : Set α s : Set (Set α) this : TopologicalSpace α := generateFrom s t : Set α ht : t ∈ s ⊢ ⋂₀ {t} ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}

exact ⟨{t}, ⟨<a>Set.finite_singleton</a> t, <a>Set.singleton_subset_iff</a>.2 ht⟩, <a>rfl</a>⟩

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Topology/Bases.lean

MeasureTheory.OuterMeasure.restrict_biInf

α : Type u_1 ι : Type u_2 I : Set ι hI : I.Nonempty s : Set α m : ι → OuterMeasure α ⊢ (restrict s) (⨅ i ∈ I, m i) = ⨅ i ∈ I, (restrict s) (m i)

haveI := hI.to_subtype

α : Type u_1 ι : Type u_2 I : Set ι hI : I.Nonempty s : Set α m : ι → OuterMeasure α this : Nonempty ↑I ⊢ (restrict s) (⨅ i ∈ I, m i) = ⨅ i ∈ I, (restrict s) (m i)

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean

MeasureTheory.OuterMeasure.restrict_biInf

α : Type u_1 ι : Type u_2 I : Set ι hI : I.Nonempty s : Set α m : ι → OuterMeasure α this : Nonempty ↑I ⊢ (restrict s) (⨅ i ∈ I, m i) = ⨅ i ∈ I, (restrict s) (m i)

rw [← <a>iInf_subtype''</a>, ← <a>iInf_subtype''</a>]

α : Type u_1 ι : Type u_2 I : Set ι hI : I.Nonempty s : Set α m : ι → OuterMeasure α this : Nonempty ↑I ⊢ (restrict s) (⨅ i, m ↑i) = ⨅ i, (restrict s) (m ↑i)

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean

MeasureTheory.OuterMeasure.restrict_biInf

α : Type u_1 ι : Type u_2 I : Set ι hI : I.Nonempty s : Set α m : ι → OuterMeasure α this : Nonempty ↑I ⊢ (restrict s) (⨅ i, m ↑i) = ⨅ i, (restrict s) (m ↑i)

exact <a>MeasureTheory.OuterMeasure.restrict_iInf</a> _ _

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean

Finset.disjoint_insert_right

α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 inst✝ : DecidableEq α s t u v : Finset α a b : α ⊢ _root_.Disjoint (insert a t) s ↔ a ∉ s ∧ _root_.Disjoint s t

rw [<a>Finset.disjoint_insert_left</a>, <a>disjoint_comm</a>]

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Data/Finset/Basic.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG ⊢ IsNoetherian R ↥N

let ⟨s, hs⟩ := hN

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N ⊢ IsNoetherian R ↥N

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N ⊢ IsNoetherian R ↥N

haveI := <a>Classical.decEq</a> M

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this : DecidableEq M ⊢ IsNoetherian R ↥N

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this : DecidableEq M ⊢ IsNoetherian R ↥N

haveI := <a>Classical.decEq</a> R

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝ : DecidableEq M this : DecidableEq R ⊢ IsNoetherian R ↥N

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝ : DecidableEq M this : DecidableEq R ⊢ IsNoetherian R ↥N

have : ∀ x ∈ s, x ∈ N := fun x hx => hs ▸ <a>Submodule.subset_span</a> hx

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N ⊢ IsNoetherian R ↥N

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N ⊢ IsNoetherian R ↥N

refine @<a>isNoetherian_of_surjective</a> R ((↑s : <a>Set</a> M) → R) N _ _ _ (<a>Pi.module</a> _ _ _) _ ?_ ?_ <a>isNoetherian_pi</a>

case refine_1 R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N ⊢ (↑↑s → R) →ₗ[R] ↥N case refine_2 R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N ⊢ LinearMap.range ?refine_1 = ⊤

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_1 R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N ⊢ (↑↑s → R) →ₗ[R] ↥N

fapply <a>LinearMap.mk</a>

case refine_1.toAddHom R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N ⊢ AddHom (↑↑s → R) ↥N case refine_1.map_smul' R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N ⊢ ∀ (m : R) (x : ↑↑s → R), ?refine_1.toAddHom.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • ?refine_1.toAddHom.toFun x

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_1.toAddHom R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N ⊢ AddHom (↑↑s → R) ↥N

fapply <a>AddHom.mk</a>

case refine_1.toAddHom.toFun R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N ⊢ (↑↑s → R) → ↥N case refine_1.toAddHom.map_add' R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N ⊢ ∀ (x y : ↑↑s → R), ?refine_1.toAddHom.toFun (x + y) = ?refine_1.toAddHom.toFun x + ?refine_1.toAddHom.toFun y

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_1.toAddHom.toFun R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N ⊢ (↑↑s → R) → ↥N

exact fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • i.1, N.sum_mem fun c _ => N.smul_mem _ <| this _ c.2⟩

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_1.toAddHom.map_add' R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N ⊢ ∀ (x y : ↑↑s → R), ⟨∑ i ∈ s.attach, (x + y) i • ↑i, ⋯⟩ = ⟨∑ i ∈ s.attach, x i • ↑i, ⋯⟩ + ⟨∑ i ∈ s.attach, y i • ↑i, ⋯⟩

intro f g

case refine_1.toAddHom.map_add' R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N f g : ↑↑s → R ⊢ ⟨∑ i ∈ s.attach, (f + g) i • ↑i, ⋯⟩ = ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩ + ⟨∑ i ∈ s.attach, g i • ↑i, ⋯⟩

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_1.toAddHom.map_add' R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N f g : ↑↑s → R ⊢ ⟨∑ i ∈ s.attach, (f + g) i • ↑i, ⋯⟩ = ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩ + ⟨∑ i ∈ s.attach, g i • ↑i, ⋯⟩

apply <a>Subtype.eq</a>

case refine_1.toAddHom.map_add'.a R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N f g : ↑↑s → R ⊢ ↑⟨∑ i ∈ s.attach, (f + g) i • ↑i, ⋯⟩ = ↑(⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩ + ⟨∑ i ∈ s.attach, g i • ↑i, ⋯⟩)

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_1.toAddHom.map_add'.a R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N f g : ↑↑s → R ⊢ ↑⟨∑ i ∈ s.attach, (f + g) i • ↑i, ⋯⟩ = ↑(⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩ + ⟨∑ i ∈ s.attach, g i • ↑i, ⋯⟩)

change (∑ i ∈ s.attach, (f i + g i) • _) = _

case refine_1.toAddHom.map_add'.a R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N f g : ↑↑s → R ⊢ ∑ i ∈ s.attach, (f i + g i) • ↑i = ↑(⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩ + ⟨∑ i ∈ s.attach, g i • ↑i, ⋯⟩)

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_1.toAddHom.map_add'.a R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N f g : ↑↑s → R ⊢ ∑ i ∈ s.attach, (f i + g i) • ↑i = ↑(⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩ + ⟨∑ i ∈ s.attach, g i • ↑i, ⋯⟩)

simp only [<a>add_smul</a>, <a>Finset.sum_add_distrib</a>]

case refine_1.toAddHom.map_add'.a R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N f g : ↑↑s → R ⊢ ∑ x ∈ s.attach, f x • ↑x + ∑ x ∈ s.attach, g x • ↑x = ↑(⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩ + ⟨∑ i ∈ s.attach, g i • ↑i, ⋯⟩)

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_1.toAddHom.map_add'.a R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N f g : ↑↑s → R ⊢ ∑ x ∈ s.attach, f x • ↑x + ∑ x ∈ s.attach, g x • ↑x = ↑(⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩ + ⟨∑ i ∈ s.attach, g i • ↑i, ⋯⟩)

rfl

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_1.map_smul' R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N ⊢ ∀ (m : R) (x : ↑↑s → R), { toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun x

intro c f

case refine_1.map_smul' R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N c : R f : ↑↑s → R ⊢ { toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun (c • f) = (RingHom.id R) c • { toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun f

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_1.map_smul' R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N c : R f : ↑↑s → R ⊢ { toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun (c • f) = (RingHom.id R) c • { toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun f

apply <a>Subtype.eq</a>

case refine_1.map_smul'.a R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N c : R f : ↑↑s → R ⊢ ↑({ toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun (c • f)) = ↑((RingHom.id R) c • { toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun f)

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_1.map_smul'.a R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N c : R f : ↑↑s → R ⊢ ↑({ toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun (c • f)) = ↑((RingHom.id R) c • { toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun f)

change (∑ i ∈ s.attach, (c • f i) • _) = _

case refine_1.map_smul'.a R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N c : R f : ↑↑s → R ⊢ ∑ i ∈ s.attach, (c • f i) • ↑i = ↑((RingHom.id R) c • { toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun f)

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_1.map_smul'.a R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N c : R f : ↑↑s → R ⊢ ∑ i ∈ s.attach, (c • f i) • ↑i = ↑((RingHom.id R) c • { toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun f)

simp only [<a>smul_eq_mul</a>, <a>MulAction.mul_smul</a>]

case refine_1.map_smul'.a R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N c : R f : ↑↑s → R ⊢ ∑ x ∈ s.attach, c • f x • ↑x = ↑((RingHom.id R) c • ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩)

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_1.map_smul'.a R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N c : R f : ↑↑s → R ⊢ ∑ x ∈ s.attach, c • f x • ↑x = ↑((RingHom.id R) c • ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩)

exact Finset.smul_sum.symm

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_2 R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N ⊢ LinearMap.range { toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } = ⊤

rw [<a>LinearMap.range_eq_top</a>]

case refine_2 R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N ⊢ Surjective ⇑{ toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_2 R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N ⊢ Surjective ⇑{ toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }

rintro ⟨n, hn⟩

case refine_2.mk R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N n : M hn : n ∈ N ⊢ ∃ a, { toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } a = ⟨n, hn⟩

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_2.mk R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N n : M hn : n ∈ N ⊢ ∃ a, { toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } a = ⟨n, hn⟩

rw [← hs, ← <a>Set.image_id</a> (s : <a>Set</a> M), <a>Finsupp.mem_span_image_iff_total</a>] at hn

case refine_2.mk R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N n : M hn✝ : n ∈ N hn : ∃ l ∈ Finsupp.supported R R ↑s, (Finsupp.total M M R id) l = n ⊢ ∃ a, { toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } a = ⟨n, hn✝⟩

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_2.mk R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N n : M hn✝ : n ∈ N hn : ∃ l ∈ Finsupp.supported R R ↑s, (Finsupp.total M M R id) l = n ⊢ ∃ a, { toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } a = ⟨n, hn✝⟩

rcases hn with ⟨l, hl1, hl2⟩

case refine_2.mk.intro.intro R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N n : M hn : n ∈ N l : M →₀ R hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑s hl2 : (Finsupp.total M M R id) l = n ⊢ ∃ a, { toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } a = ⟨n, hn⟩

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_2.mk.intro.intro R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N n : M hn : n ∈ N l : M →₀ R hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑s hl2 : (Finsupp.total M M R id) l = n ⊢ ∃ a, { toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } a = ⟨n, hn⟩

refine ⟨fun x => l x, <a>Subtype.ext</a> ?_⟩

case refine_2.mk.intro.intro R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N n : M hn : n ∈ N l : M →₀ R hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑s hl2 : (Finsupp.total M M R id) l = n ⊢ ↑({ toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } fun x => l ↑x) = ↑⟨n, hn⟩

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_2.mk.intro.intro R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N n : M hn : n ∈ N l : M →₀ R hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑s hl2 : (Finsupp.total M M R id) l = n ⊢ ↑({ toFun := fun f => ⟨∑ i ∈ s.attach, f i • ↑i, ⋯⟩, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } fun x => l ↑x) = ↑⟨n, hn⟩

change (∑ i ∈ s.attach, l i • (i : M)) = n

case refine_2.mk.intro.intro R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N n : M hn : n ∈ N l : M →₀ R hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑s hl2 : (Finsupp.total M M R id) l = n ⊢ ∑ i ∈ s.attach, l ↑i • ↑i = n

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_2.mk.intro.intro R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N n : M hn : n ∈ N l : M →₀ R hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑s hl2 : (Finsupp.total M M R id) l = n ⊢ ∑ i ∈ s.attach, l ↑i • ↑i = n

rw [s.sum_attach fun i ↦ l i • i, ← hl2, <a>Finsupp.total_apply</a>, <a>Finsupp.sum</a>, <a>eq_comm</a>]

case refine_2.mk.intro.intro R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N n : M hn : n ∈ N l : M →₀ R hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑s hl2 : (Finsupp.total M M R id) l = n ⊢ ∑ a ∈ l.support, l a • id a = ∑ x ∈ s, l x • x

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_2.mk.intro.intro R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N n : M hn : n ∈ N l : M →₀ R hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑s hl2 : (Finsupp.total M M R id) l = n ⊢ ∑ a ∈ l.support, l a • id a = ∑ x ∈ s, l x • x

refine <a>Finset.sum_subset</a> hl1 fun x _ hx => ?_

case refine_2.mk.intro.intro R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N n : M hn : n ∈ N l : M →₀ R hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑s hl2 : (Finsupp.total M M R id) l = n x : M x✝ : x ∈ s hx : x ∉ l.support ⊢ l x • id x = 0

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

isNoetherian_of_fg_of_noetherian

case refine_2.mk.intro.intro R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝² : Ring R inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : Module R M N : Submodule R M I : IsNoetherianRing R hN : N.FG s : Finset M hs : span R ↑s = N this✝¹ : DecidableEq M this✝ : DecidableEq R this : ∀ x ∈ s, x ∈ N n : M hn : n ∈ N l : M →₀ R hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑s hl2 : (Finsupp.total M M R id) l = n x : M x✝ : x ∈ s hx : x ∉ l.support ⊢ l x • id x = 0

rw [<a>Finsupp.not_mem_support_iff</a>.1 hx, <a>zero_smul</a>]

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

Ordnode.dual_rotateL

α : Type u_1 l : Ordnode α x : α r : Ordnode α ⊢ (l.rotateL x r).dual = r.dual.rotateR x l.dual

cases r <;> simp [<a>Ordnode.rotateL</a>, <a>Ordnode.rotateR</a>, <a>Ordnode.dual_node'</a>]

case node α : Type u_1 l : Ordnode α x : α size✝ : ℕ l✝ : Ordnode α x✝ : α r✝ : Ordnode α ⊢ (if l✝.size < ratio * r✝.size then l.node3L x l✝ x✝ r✝ else l.node4L x l✝ x✝ r✝).dual = if l✝.size < ratio * r✝.size then r✝.dual.node3R x✝ l✝.dual x l.dual else r✝.dual.node4R x✝ l✝.dual x l.dual

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean

Ordnode.dual_rotateL

case node α : Type u_1 l : Ordnode α x : α size✝ : ℕ l✝ : Ordnode α x✝ : α r✝ : Ordnode α ⊢ (if l✝.size < ratio * r✝.size then l.node3L x l✝ x✝ r✝ else l.node4L x l✝ x✝ r✝).dual = if l✝.size < ratio * r✝.size then r✝.dual.node3R x✝ l✝.dual x l.dual else r✝.dual.node4R x✝ l✝.dual x l.dual

split_ifs <;> simp [<a>Ordnode.dual_node3L</a>, <a>Ordnode.dual_node4L</a>, <a>Ordnode.node3R</a>, <a>add_comm</a>]

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean

LieSubalgebra.ofLe_eq_comap_incl

R : Type u L : Type v inst✝⁴ : CommRing R inst✝³ : LieRing L inst✝² : LieAlgebra R L L₂ : Type w inst✝¹ : LieRing L₂ inst✝ : LieAlgebra R L₂ f : L →ₗ⁅R⁆ L₂ K K' : LieSubalgebra R L K₂ : LieSubalgebra R L₂ h : K ≤ K' ⊢ ofLe h = comap K'.incl K

ext

case h R : Type u L : Type v inst✝⁴ : CommRing R inst✝³ : LieRing L inst✝² : LieAlgebra R L L₂ : Type w inst✝¹ : LieRing L₂ inst✝ : LieAlgebra R L₂ f : L →ₗ⁅R⁆ L₂ K K' : LieSubalgebra R L K₂ : LieSubalgebra R L₂ h : K ≤ K' x✝ : ↥K' ⊢ x✝ ∈ ofLe h ↔ x✝ ∈ comap K'.incl K

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean

LieSubalgebra.ofLe_eq_comap_incl

case h R : Type u L : Type v inst✝⁴ : CommRing R inst✝³ : LieRing L inst✝² : LieAlgebra R L L₂ : Type w inst✝¹ : LieRing L₂ inst✝ : LieAlgebra R L₂ f : L →ₗ⁅R⁆ L₂ K K' : LieSubalgebra R L K₂ : LieSubalgebra R L₂ h : K ≤ K' x✝ : ↥K' ⊢ x✝ ∈ ofLe h ↔ x✝ ∈ comap K'.incl K

rw [<a>LieSubalgebra.mem_ofLe</a>]

case h R : Type u L : Type v inst✝⁴ : CommRing R inst✝³ : LieRing L inst✝² : LieAlgebra R L L₂ : Type w inst✝¹ : LieRing L₂ inst✝ : LieAlgebra R L₂ f : L →ₗ⁅R⁆ L₂ K K' : LieSubalgebra R L K₂ : LieSubalgebra R L₂ h : K ≤ K' x✝ : ↥K' ⊢ ↑x✝ ∈ K ↔ x✝ ∈ comap K'.incl K

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean

LieSubalgebra.ofLe_eq_comap_incl

case h R : Type u L : Type v inst✝⁴ : CommRing R inst✝³ : LieRing L inst✝² : LieAlgebra R L L₂ : Type w inst✝¹ : LieRing L₂ inst✝ : LieAlgebra R L₂ f : L →ₗ⁅R⁆ L₂ K K' : LieSubalgebra R L K₂ : LieSubalgebra R L₂ h : K ≤ K' x✝ : ↥K' ⊢ ↑x✝ ∈ K ↔ x✝ ∈ comap K'.incl K

rfl

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean

parallelepiped_single

ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a : ι → ℝ ⊢ (parallelepiped fun i => Pi.single i (a i)) = uIcc 0 a

ext x

case h ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ ⊢ (x ∈ parallelepiped fun i => Pi.single i (a i)) ↔ x ∈ uIcc 0 a

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ ⊢ (x ∈ parallelepiped fun i => Pi.single i (a i)) ↔ x ∈ uIcc 0 a

simp_rw [<a>Set.uIcc</a>, <a>mem_parallelepiped_iff</a>, <a>Set.mem_Icc</a>, <a>Pi.le_def</a>, ← <a>forall_and</a>, <a>Pi.inf_apply</a>, <a>Pi.sup_apply</a>, ← <a>Pi.single_smul'</a>, <a>Pi.one_apply</a>, <a>Pi.zero_apply</a>, ← <a>Pi.smul_apply'</a>, <a>Finset.univ_sum_single</a> (_ : ι → ℝ)]

case h ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ ⊢ (∃ t, (∀ (x : ι), 0 ≤ t x ∧ t x ≤ 1) ∧ x = t • a) ↔ ∀ (x_1 : ι), 0 ⊓ a x_1 ≤ x x_1 ∧ x x_1 ≤ 0 ⊔ a x_1

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ ⊢ (∃ t, (∀ (x : ι), 0 ≤ t x ∧ t x ≤ 1) ∧ x = t • a) ↔ ∀ (x_1 : ι), 0 ⊓ a x_1 ≤ x x_1 ∧ x x_1 ≤ 0 ⊔ a x_1

constructor

case h.mp ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ ⊢ (∃ t, (∀ (x : ι), 0 ≤ t x ∧ t x ≤ 1) ∧ x = t • a) → ∀ (x_1 : ι), 0 ⊓ a x_1 ≤ x x_1 ∧ x x_1 ≤ 0 ⊔ a x_1 case h.mpr ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ ⊢ (∀ (x_1 : ι), 0 ⊓ a x_1 ≤ x x_1 ∧ x x_1 ≤ 0 ⊔ a x_1) → ∃ t, (∀ (x : ι), 0 ≤ t x ∧ t x ≤ 1) ∧ x = t • a

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mp ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ ⊢ (∃ t, (∀ (x : ι), 0 ≤ t x ∧ t x ≤ 1) ∧ x = t • a) → ∀ (x_1 : ι), 0 ⊓ a x_1 ≤ x x_1 ∧ x x_1 ≤ 0 ⊔ a x_1

rintro ⟨t, ht, rfl⟩ i

case h.mp.intro.intro ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a t : ι → ℝ ht : ∀ (x : ι), 0 ≤ t x ∧ t x ≤ 1 i : ι ⊢ 0 ⊓ a i ≤ (t • a) i ∧ (t • a) i ≤ 0 ⊔ a i

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mp.intro.intro ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a t : ι → ℝ ht : ∀ (x : ι), 0 ≤ t x ∧ t x ≤ 1 i : ι ⊢ 0 ⊓ a i ≤ (t • a) i ∧ (t • a) i ≤ 0 ⊔ a i

specialize ht i

case h.mp.intro.intro ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a t : ι → ℝ i : ι ht : 0 ≤ t i ∧ t i ≤ 1 ⊢ 0 ⊓ a i ≤ (t • a) i ∧ (t • a) i ≤ 0 ⊔ a i

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mp.intro.intro ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a t : ι → ℝ i : ι ht : 0 ≤ t i ∧ t i ≤ 1 ⊢ 0 ⊓ a i ≤ (t • a) i ∧ (t • a) i ≤ 0 ⊔ a i

simp_rw [<a>smul_eq_mul</a>, <a>Pi.mul_apply</a>]

case h.mp.intro.intro ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a t : ι → ℝ i : ι ht : 0 ≤ t i ∧ t i ≤ 1 ⊢ 0 ⊓ a i ≤ t i * a i ∧ t i * a i ≤ 0 ⊔ a i

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mp.intro.intro ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a t : ι → ℝ i : ι ht : 0 ≤ t i ∧ t i ≤ 1 ⊢ 0 ⊓ a i ≤ t i * a i ∧ t i * a i ≤ 0 ⊔ a i

rcases <a>le_total</a> (a i) 0 with hai | hai

case h.mp.intro.intro.inl ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a t : ι → ℝ i : ι ht : 0 ≤ t i ∧ t i ≤ 1 hai : a i ≤ 0 ⊢ 0 ⊓ a i ≤ t i * a i ∧ t i * a i ≤ 0 ⊔ a i case h.mp.intro.intro.inr ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a t : ι → ℝ i : ι ht : 0 ≤ t i ∧ t i ≤ 1 hai : 0 ≤ a i ⊢ 0 ⊓ a i ≤ t i * a i ∧ t i * a i ≤ 0 ⊔ a i

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mp.intro.intro.inl ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a t : ι → ℝ i : ι ht : 0 ≤ t i ∧ t i ≤ 1 hai : a i ≤ 0 ⊢ 0 ⊓ a i ≤ t i * a i ∧ t i * a i ≤ 0 ⊔ a i

rw [sup_eq_left.mpr hai, inf_eq_right.mpr hai]

case h.mp.intro.intro.inl ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a t : ι → ℝ i : ι ht : 0 ≤ t i ∧ t i ≤ 1 hai : a i ≤ 0 ⊢ a i ≤ t i * a i ∧ t i * a i ≤ 0

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mp.intro.intro.inl ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a t : ι → ℝ i : ι ht : 0 ≤ t i ∧ t i ≤ 1 hai : a i ≤ 0 ⊢ a i ≤ t i * a i ∧ t i * a i ≤ 0

exact ⟨<a>le_mul_of_le_one_left</a> hai ht.2, <a>mul_nonpos_of_nonneg_of_nonpos</a> ht.1 hai⟩

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mp.intro.intro.inr ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a t : ι → ℝ i : ι ht : 0 ≤ t i ∧ t i ≤ 1 hai : 0 ≤ a i ⊢ 0 ⊓ a i ≤ t i * a i ∧ t i * a i ≤ 0 ⊔ a i

rw [sup_eq_right.mpr hai, inf_eq_left.mpr hai]

case h.mp.intro.intro.inr ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a t : ι → ℝ i : ι ht : 0 ≤ t i ∧ t i ≤ 1 hai : 0 ≤ a i ⊢ 0 ≤ t i * a i ∧ t i * a i ≤ a i

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mp.intro.intro.inr ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a t : ι → ℝ i : ι ht : 0 ≤ t i ∧ t i ≤ 1 hai : 0 ≤ a i ⊢ 0 ≤ t i * a i ∧ t i * a i ≤ a i

exact ⟨<a>mul_nonneg</a> ht.1 hai, <a>mul_le_of_le_one_left</a> hai ht.2⟩

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mpr ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ ⊢ (∀ (x_1 : ι), 0 ⊓ a x_1 ≤ x x_1 ∧ x x_1 ≤ 0 ⊔ a x_1) → ∃ t, (∀ (x : ι), 0 ≤ t x ∧ t x ≤ 1) ∧ x = t • a

intro h

case h.mpr ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ h : ∀ (x_1 : ι), 0 ⊓ a x_1 ≤ x x_1 ∧ x x_1 ≤ 0 ⊔ a x_1 ⊢ ∃ t, (∀ (x : ι), 0 ≤ t x ∧ t x ≤ 1) ∧ x = t • a

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mpr ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ h : ∀ (x_1 : ι), 0 ⊓ a x_1 ≤ x x_1 ∧ x x_1 ≤ 0 ⊔ a x_1 ⊢ ∃ t, (∀ (x : ι), 0 ≤ t x ∧ t x ≤ 1) ∧ x = t • a

refine ⟨fun i => x i / a i, fun i => ?_, <a>funext</a> fun i => ?_⟩

case h.mpr.refine_1 ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ h : ∀ (x_1 : ι), 0 ⊓ a x_1 ≤ x x_1 ∧ x x_1 ≤ 0 ⊔ a x_1 i : ι ⊢ 0 ≤ (fun i => x i / a i) i ∧ (fun i => x i / a i) i ≤ 1 case h.mpr.refine_2 ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ h : ∀ (x_1 : ι), 0 ⊓ a x_1 ≤ x x_1 ∧ x x_1 ≤ 0 ⊔ a x_1 i : ι ⊢ x i = ((fun i => x i / a i) • a) i

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mpr.refine_1 ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ h : ∀ (x_1 : ι), 0 ⊓ a x_1 ≤ x x_1 ∧ x x_1 ≤ 0 ⊔ a x_1 i : ι ⊢ 0 ≤ (fun i => x i / a i) i ∧ (fun i => x i / a i) i ≤ 1

specialize h i

case h.mpr.refine_1 ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ i : ι h : 0 ⊓ a i ≤ x i ∧ x i ≤ 0 ⊔ a i ⊢ 0 ≤ (fun i => x i / a i) i ∧ (fun i => x i / a i) i ≤ 1

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mpr.refine_1 ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ i : ι h : 0 ⊓ a i ≤ x i ∧ x i ≤ 0 ⊔ a i ⊢ 0 ≤ (fun i => x i / a i) i ∧ (fun i => x i / a i) i ≤ 1

rcases <a>le_total</a> (a i) 0 with hai | hai

case h.mpr.refine_1.inl ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ i : ι h : 0 ⊓ a i ≤ x i ∧ x i ≤ 0 ⊔ a i hai : a i ≤ 0 ⊢ 0 ≤ (fun i => x i / a i) i ∧ (fun i => x i / a i) i ≤ 1 case h.mpr.refine_1.inr ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ i : ι h : 0 ⊓ a i ≤ x i ∧ x i ≤ 0 ⊔ a i hai : 0 ≤ a i ⊢ 0 ≤ (fun i => x i / a i) i ∧ (fun i => x i / a i) i ≤ 1

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mpr.refine_1.inl ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ i : ι h : 0 ⊓ a i ≤ x i ∧ x i ≤ 0 ⊔ a i hai : a i ≤ 0 ⊢ 0 ≤ (fun i => x i / a i) i ∧ (fun i => x i / a i) i ≤ 1

rw [sup_eq_left.mpr hai, inf_eq_right.mpr hai] at h

case h.mpr.refine_1.inl ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ i : ι h : a i ≤ x i ∧ x i ≤ 0 hai : a i ≤ 0 ⊢ 0 ≤ (fun i => x i / a i) i ∧ (fun i => x i / a i) i ≤ 1

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mpr.refine_1.inl ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ i : ι h : a i ≤ x i ∧ x i ≤ 0 hai : a i ≤ 0 ⊢ 0 ≤ (fun i => x i / a i) i ∧ (fun i => x i / a i) i ≤ 1

exact ⟨<a>div_nonneg_of_nonpos</a> h.2 hai, <a>div_le_one_of_ge</a> h.1 hai⟩

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mpr.refine_1.inr ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ i : ι h : 0 ⊓ a i ≤ x i ∧ x i ≤ 0 ⊔ a i hai : 0 ≤ a i ⊢ 0 ≤ (fun i => x i / a i) i ∧ (fun i => x i / a i) i ≤ 1

rw [sup_eq_right.mpr hai, inf_eq_left.mpr hai] at h

case h.mpr.refine_1.inr ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ i : ι h : 0 ≤ x i ∧ x i ≤ a i hai : 0 ≤ a i ⊢ 0 ≤ (fun i => x i / a i) i ∧ (fun i => x i / a i) i ≤ 1

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mpr.refine_1.inr ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ i : ι h : 0 ≤ x i ∧ x i ≤ a i hai : 0 ≤ a i ⊢ 0 ≤ (fun i => x i / a i) i ∧ (fun i => x i / a i) i ≤ 1

exact ⟨<a>div_nonneg</a> h.1 hai, <a>div_le_one_of_le</a> h.2 hai⟩

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mpr.refine_2 ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ h : ∀ (x_1 : ι), 0 ⊓ a x_1 ≤ x x_1 ∧ x x_1 ≤ 0 ⊔ a x_1 i : ι ⊢ x i = ((fun i => x i / a i) • a) i

specialize h i

case h.mpr.refine_2 ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ i : ι h : 0 ⊓ a i ≤ x i ∧ x i ≤ 0 ⊔ a i ⊢ x i = ((fun i => x i / a i) • a) i

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mpr.refine_2 ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ i : ι h : 0 ⊓ a i ≤ x i ∧ x i ≤ 0 ⊔ a i ⊢ x i = ((fun i => x i / a i) • a) i

simp only [<a>smul_eq_mul</a>, <a>Pi.mul_apply</a>]

case h.mpr.refine_2 ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ i : ι h : 0 ⊓ a i ≤ x i ∧ x i ≤ 0 ⊔ a i ⊢ x i = x i / a i * a i

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mpr.refine_2 ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ i : ι h : 0 ⊓ a i ≤ x i ∧ x i ≤ 0 ⊔ a i ⊢ x i = x i / a i * a i

rcases <a>eq_or_ne</a> (a i) 0 with hai | hai

case h.mpr.refine_2.inl ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ i : ι h : 0 ⊓ a i ≤ x i ∧ x i ≤ 0 ⊔ a i hai : a i = 0 ⊢ x i = x i / a i * a i case h.mpr.refine_2.inr ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ i : ι h : 0 ⊓ a i ≤ x i ∧ x i ≤ 0 ⊔ a i hai : a i ≠ 0 ⊢ x i = x i / a i * a i

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mpr.refine_2.inl ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ i : ι h : 0 ⊓ a i ≤ x i ∧ x i ≤ 0 ⊔ a i hai : a i = 0 ⊢ x i = x i / a i * a i

rw [hai, <a>inf_idem</a>, <a>sup_idem</a>, ← <a>le_antisymm_iff</a>] at h

case h.mpr.refine_2.inl ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ i : ι h : 0 = x i hai : a i = 0 ⊢ x i = x i / a i * a i

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mpr.refine_2.inl ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ i : ι h : 0 = x i hai : a i = 0 ⊢ x i = x i / a i * a i

rw [hai, ← h, <a>zero_div</a>, <a>MulZeroClass.zero_mul</a>]

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

parallelepiped_single

case h.mpr.refine_2.inr ι : Type u_1 ι' : Type u_2 E : Type u_3 F : Type u_4 inst✝⁶ : Fintype ι inst✝⁵ : Fintype ι' inst✝⁴ : AddCommGroup E inst✝³ : Module ℝ E inst✝² : AddCommGroup F inst✝¹ : Module ℝ F inst✝ : DecidableEq ι a x : ι → ℝ i : ι h : 0 ⊓ a i ≤ x i ∧ x i ≤ 0 ⊔ a i hai : a i ≠ 0 ⊢ x i = x i / a i * a i

rw [<a>div_mul_cancel₀</a> _ hai]

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean

Ordnode.dual_node3L

α : Type u_1 l : Ordnode α x : α m : Ordnode α y : α r : Ordnode α ⊢ (l.node3L x m y r).dual = r.dual.node3R y m.dual x l.dual

simp [<a>Ordnode.node3L</a>, <a>Ordnode.node3R</a>, <a>Ordnode.dual_node'</a>, <a>add_comm</a>]

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean

LinearMap.trace_eq_contract_of_basis'

R : Type u_1 inst✝⁸ : CommRing R M : Type u_2 inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M N : Type u_3 P : Type u_4 inst✝⁵ : AddCommGroup N inst✝⁴ : Module R N inst✝³ : AddCommGroup P inst✝² : Module R P ι : Type u_5 inst✝¹ : Fintype ι inst✝ : DecidableEq ι b : Basis ι R M ⊢ trace R M = contractLeft R M ∘ₗ ↑(dualTensorHomEquivOfBasis b).symm

simp [<a>LinearEquiv.eq_comp_toLinearMap_symm</a>, <a>LinearMap.trace_eq_contract_of_basis</a> b]

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean

map_ratCast_smul

α : Type u_1 R✝ : Type u_2 M : Type u_3 M₂ : Type u_4 inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : AddCommGroup M₂ F : Type u_5 inst✝⁵ : FunLike F M M₂ inst✝⁴ : AddMonoidHomClass F M M₂ f : F R : Type u_6 S : Type u_7 inst✝³ : DivisionRing R inst✝² : DivisionRing S inst✝¹ : Module R M inst✝ : Module S M₂ c : ℚ x : M ⊢ f (↑c • x) = ↑c • f x

rw [<a>Rat.cast_def</a>, <a>Rat.cast_def</a>, <a>div_eq_mul_inv</a>, <a>div_eq_mul_inv</a>, <a>MulAction.mul_smul</a>, <a>MulAction.mul_smul</a>, <a>map_intCast_smul</a> f R S, <a>map_inv_natCast_smul</a> f R S]

no goals

https://github.com/leanprover-community/mathlib4

29dcec074de168ac2bf835a77ef68bbe069194c5

Mathlib/Algebra/Module/Basic.lean