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kowiki20220620

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1865년 맥스웰 자신에 의해 발표된 맥스웰 방정식의 원래 형태는 8개의 방정식으로 이루어진 것이었다

그러나, 오늘날에는 1884년 올리버 헤비사이드가 4개의 방정식으로 정리한 형태가 일반적으로 사용된다

조사이어 윌러드 기브스와 하인리히 루돌프 헤르츠 역시 헤비사이드와 동일한 작업을 한 바 있다

이 때문에 맥스웰 방정식은 헤르츠-헤비사이드 방정식으로 불리기도 한다

그러나 "맥스웰 방정식"이란 이름이 더 폭넓게 쓰이고 있다

1861년 맥스웰은 《물리적인 역선에 대해》에서 앙페르 회로 법칙을 설명하기 위해 방정식들을 열거하였다

맥스웰은 이 논문에서 앙페르 회로 법칙에 치환 전류를 덧붙였다

1865년 발표한 《전자기장의 역학 이론》에서는 전자기파 방정식을 기술하면서 빛이 전자기파임을 제시하였다

맥스웰의 이론은 1887년 하인리히 루돌프 헤르츠의 실험에 의해 증명되었다

"장"(場)이란 개념은 마이클 패러데이가 도입하였다

알베르트 아인슈타인은 맥스웰이 장 개념을 도입한 것에 대해 다음과 같이 평가하였다

당시 이 방정식은 헤르츠-헤비사이드 방정식 또는 멕스웰-헤비사이드 방정식이라고 불렸다

그러나 아인슈타인은 사이언스에의 기고문에서 이를 "맥스웰 방정식"이라 부르며, 이 방정식들이 이론물리학의 기초라고 설명하였다

맥스웰은 방정식을 정리하면서 헤비사이드의 전위와 벡터 위치 등 위치 요소를 중요한 개념으로 도입하였다

1884년 맥스웰은 전자기파의 전달을 중력과 같이 원격에서 상호작용하는 힘이 아닌 전자기장에서 빛의 속도로 전파되는 전위로 파악하였다

라디오 안테나에 대한 현대의 분석에서도 맥스웰의 백터와 스칼라 위키에 대한 수식만으로 서로 떨어져 있는 안테나 사이에 작용하는 전파의 영향을 모두 설명할 수 있다

오늘날 4개의 방정식으로 정리된 맥스웰의 방정식은 1861년 발표된 논문인 《물리적 역선에 대해》에 기반한 것이다

이 논문에는 전자기장에 대한 다수의 방정식이 실려있다

1855년 맥스웰은 케임브리지 철학 학회에서 《패러데이의 역선》을 발표하면서 formula_8와 formula_9 벡터의 차이점을 설명하였다

이 논문은 오늘날에도 패러데이 전자기 유도 법칙에 대한 가장 간결한 모형으로 인정받고 있다

여기서 맥스웰은 전류에 관한 모든 지식을 미분 방정식으로 나타내었다

1855년 맥스웰이 제안한 분자 와동의 바다란 개념은 1861년 《물리 역선에 대해》에서 보다 분명하게 소개되었다

이 논문에서는 자기장이 형성되는 분자 규모의 와동에서 formula_8의 밀도에 따라 formula_9의 순 와동 운동이 결정된다고 보았다

맥스웰은 와동의 밀도를 측정하기 위한 값으로 투자율 µ 을 정의하였다

이 논문에서 밝힌 맥스웰의 개념은 다음과 같다

이 때 formula_14는 전하 밀도이다

formula_8는 축을 이루어 회전하는 자기 전류이고 formula_9는 그 주위를 돌게 되는 자기력선의 자기 선속이다

투자율 µ는 결국 자기장 formula_8에 의해 유도되는 자기 선속 formula_9의 비가 된다

전류 방정식은 전하의 대류 전류가 선형적으로 움직이는 것을 보여준다

한편, 자기 방정식은 유도 전류의 회전에 의해 발생하는 자기를 나타내는 것으로 formula_8 벡터의 방향성으로 인해 비선형 방정식이 된다

따라서 자기 유도 전류는 역선으로 표현된다

자기력선은 역제곱 법칙에 의해 전류에서 멀어질수록 약해지게 된다

1864년 맥스웰은 《전자기장의 역학이론》을 출간하였다

맥스웰은 이 책에서 빛이 전자기파임을 제시하였다

이 책에서 맥스웰은 8개의 방정식을 전자기장에 대한 일반적인 방정식으로 제시하였다

이 때문에 훗날 "맥스웰 방정식"이라는 표현이 오늘날의 4개의 방정식을 가리키는 것인지 1864년 제시된 8개의 방정식을 가리키는 것인지를 혼동하기도 한다

따라서 오늘날의 4개로 구성된 방정식을 분명히 하기 위해 헤비사이드가 정리한 맥스웰 방정식(멕스웰-헤비사이드 방정식)이라는 표현이 사용된다

이 책에서 표현된 방정식 D는 로런츠 힘의 효과를 나타낸 것으로 1861년 논문의 방정식 77번을 보다 간략하게 표현한 것이다

또한, 맥스웰은 1865년 논문에서 전자기파 방정식을 정의하였는데 이 책의 방정식 D를 전자기 유도를 설명하기 위해 사용하였다

오늘날에는 방정식 D 대신 패러데이전자기 유도 법칙이 쓰인다

맥스웰은 전자기파 방정식을 연구하는 과정에서 방정식 D의 formula_36를 버렸다

formula_41는 발산 연산자(단위: 1 / 미터), formula_42는 회전 연산자(단위: 1 / 미터)이다

두 번째 방정식은 자기 홀극이 없음을 뜻한다

전기장과 자기장이 대전된 입자에 미치는 힘은 리엑턴스 힘에 따라 국제단위계에서 다음과 같다

여기서 formula_44는 입자의 전하량이고 formula_45는 입자의 속도다

(CGS 단위계에서는 자기장을 다르게 정의하므로, formula_45 대신 formula_47를 쓴다

위의 수식은 국제단위계로 표현되었지만, 다른 단위계에서도 맥스웰 방정식은 변하지 않거나, 약간의 상수 변화만이 있을 뿐이다

물리학과 공학에서 일반적으로 가장 널리 쓰이는 국제단위계 이외에도 특수한 경우 CGS 단위계가 쓰인다

초월수(超越數, )는 수학에서 대수학적이지 않은 수를 의미한다

어떤 다항 방정식의 해도 될 수 없는 복소수이자 유리수인 계수를 가진 유한한 0이 아닌 근을 의미한다

가장 잘 알려진 초월수는 (원주율)과 (자연로그의 밑)이다

현재까지는 적은 양의 초월수들만 알려져 있다

이는 어떤 주어진 수가 초월수인지 보여주는 것은 극히 어려울 수 있기 때문이다

실제로 대수적 수들이 가산 집합을 구성하는 반면 실수의 집합, 복소수의 집합은 모두 비가산 집합이므로 거의 모든 실수들과 복소수들은 초월적이다

또한 모든 유리수가 대수학적이기 때문에 모든 초월실수("실제 초월수" 또는 "초월무리수"라고도 함)는 무리수이다

그러나 모든 무리수가 초월적인 것은 아니다

따라서 실수의 집합은 겹치지 않는 유리수, 대수적인 무리수, 초월적인 실수로 구성된다

예를 들어 제곱근 2는 무리수이지만 다항식 의 근인 만큼 초월수는 아니다

황금비(formula_1 또는 formula_2로 표시됨)은 다항식 의 근으로서 초월적이지 않은 또다른 무리수이다

"초월적"이라는 이름은 라틴어로 "넘어오거나 넘어서거나"를 뜻하는 '트란스켄데레'(transcendĕre)에서 유래되었다

고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 1682년에 발표한 자신의 논문에서 수학적 개념을 처음 사용했는데 가 의 대수함수가 아니라는 것을 증명했다

레온하르트 오일러는 18세기에 "초월수"를 현대적 의미로 정의한 최초의 수학자로 여겨지고 있다

요한 람베르트는 1768년에 발표한 자신의 논문에서 (자연로그의 밑)와 (원주율) 둘 다 초월수라고 추측했고 무리수인 의 초월수 증명에 대한 대략적인 구성을 제안했다

조제프 리우빌은 1844년에 초월수의 존재를 처음으로 증명했고 1851년에 리우빌 수와 같은 초월수의 사례를 제시했다

이 ( 계승)인 경우에는 소수점 뒤의 번째 자리가 이고 그렇지 않은 경우에는 이다

즉 이 숫자 등일 경우에만 이 숫자의 번째 자릿수가 이다

리우빌은 이 숫자가 특정한 무리수인 대수적 수보다 유리수에 의해 보다 가깝게 근사할 수 있는 초월수의 종류에 속한다는 것을 보여주었고 이 종류의 숫자는 그의 이름을 따서 리우빌 수라고 불린다

리우빌은 모든 리우빌 수가 초월수라는 것을 증명했다

1873년에는 샤를 에르미트가 초월수의 존재를 증명하기 위해 가 특별히 구성되지 않은 초월수임을 증명했다

1874년에는 게오르크 칸토어가 대수적 수들은 셀 수 있고 실수는 셀 수 없다는 사실을 증명했다

그는 또한 초월수를 구성하는 새로운 방법을 제시했다

비록 이것이 대수적 수의 계산 가능성에 대한 그의 증명에 의해 이미 암시되었지만 칸토어는 실수들만큼 초월적인 숫자들이 있다는 것을 증명하는 구성을 공개했다

칸토어의 연구는 초월수의 보편성을 확립했다

1882년에는 페르디난트 폰 린데만이 의 초월성에 대한 최초의 증명을 담은 책을 출판했다

그는 먼저 가 0이 아닌 대수적 수일 경우 가 초월수라는 것을 증명했다

그렇다면 은 대수적이므로(오일러의 항등식 참조), 는 초월수이어야 한다

그러나 가 대수적 수이기 때문에 는 초월수이어야 한다

이러한 접근 방식은 카를 바이어슈트라스에 의해 일반화되었는데 오늘날에는 린데만-바이어슈트라스 정리로 알려져 있다

의 초월은 원적문제와 같이 가장 유명한 것을 포함하여 컴퍼스와 자 작도를 포함한 여러 고대 기하학 구조들이 갖고 있던 불가능성의 증거를 가능하게 했다

1900년에는 다비트 힐베르트가 힐베르트의 7번째 문제인 초월수에 대해 영향력 있는 질문을 던졌다

"가 0이나 1이 아닌 대수적 수이고 가 무리수인 대수적 수라면 반드시 은 초월수인가?" 이에 대한 해답은 1934년에 겔폰트-슈나이더 정리를 통해 제공되었다

이 연구는 1960년대에 앨런 베이커가 진행한 (대수 수) 로그에서 선형 형태의 하한에 대한 연구를 통해 확장되었다

유리수인 계수를 갖는 다항식은 셀 수 있고 각각의 다항식은 유한한 근을 가지기 때문에 대수적 수도 셀 수 있어야 한다

그러나 칸토어는 대각선 논법을 통해 실수가 (그리고 복소수또한) 셀 수 없다는 것을 증명했다

그리고 실수 집합은 대수적 수 집합과 초월수 집합의 합집합이기 때문에, 초월수 집합은 셀 수 없다

어떠한 유리수도 초월적이지 않고 모든 초월실수는 무리수이다

무리수는 2차 무리수 및 그 외의 형태를 가진 대수적 무리수를 포함하여 모든 실제 초월수와 대수적 수의 부분집합을 포함한다

단일 변수의 일정하지 않은 대수함수는 초월 인수에 적용될 때 초월 값을 산출한다

단일 변수의 대수함수에서 초월수는 다른 초월수에 대응된다

예를 들어 가 초월적이라는 것을 아는 것으로부터 과 같은 숫자들이 초월수임을 수 있다

그러나 여러 변수의 대수함수는 초월수에 적용될 때 대수적 수를 산출할 수 있다

예를 들어 와 는 둘 다 초월적이지만 은 그렇지 않다

예를 들어 가 초월적인지는 알 수 없지만, 와 가운데 적어도 하나는 초월적인 것이어야 한다

보다 일반적으로 어떤 2가지 초월수 와 의 경우 적어도 와 가운데 하나는 초월수여야 한다

그 이유는 다항식 을 고려해보면 알 수 있다

만약 와 가 둘 다 대수적이라면 이것은 대수적 계수를 갖는 다항식이 될 것이다

대수적 수는 대수적으로 닫힌 체를 형성하기 때문에 다항식인 와 의 근은 대수적이어야 한다는 것을 의미한다

따라서 적어도 하나의 계수가 초월적이라는 것을 알 수 있다

계산 불가능한 수는 초월수의 진부분집합이다

모든 리우빌 수는 초월적이지만 그 반대는 아니다