 $$\begin{aligned} \|u{\varphi}_N\|_{\infty}+\|u_x{\varphi}_N\|_{\infty} &\leq  C(\|u_0{\varphi}_N\|_{\infty}+\|{\partial}_xu_0{\varphi}_N\|_{\infty}) \nonumber \\  &\leq  C(\|u_0e^{\theta|x|}\|_{\infty}+\|{\partial}_xu_0e^{\theta|x|}\|_{\infty}).