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akjadhav
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leandojo-lean4-formal-informal-strings-split

Dataset card Viewer Files Community
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41
427k
informal
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1 value
Ordinal.bsup_eq_blsub_iff_succ ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o : Ordinal.{u} f : (a : Ordinal.{u}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u v} ⊒ bsup o f = blsub o f ↔ βˆ€ (a : Ordinal.{max u v}), a < blsub o f β†’ succ a < blsub o f ** rw [← sup_eq_bsup, ← lsub_eq_blsub] ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o : Ordinal.{u} f : (a : Ordinal.{u}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u v} ⊒ sup (familyOfBFamily o f) = lsub (familyOfBFamily o f) ↔ βˆ€ (a : Ordinal.{max u v}), a < lsub (familyOfBFamily o f) β†’ succ a < lsub (familyOfBFamily o f) ** apply sup_eq_lsub_iff_succ ** Qed
Ordinal.bsup_eq_blsub_iff_lt_bsup ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o : Ordinal.{u} f : (a : Ordinal.{u}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u v} h : bsup o f = blsub o f i : Ordinal.{u} ⊒ βˆ€ (hi : i < o), f i hi < bsup o f ** rw [h] ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o : Ordinal.{u} f : (a : Ordinal.{u}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u v} h : bsup o f = blsub o f i : Ordinal.{u} ⊒ βˆ€ (hi : i < o), f i hi < blsub o f ** apply lt_blsub ** Qed
Ordinal.bsup_eq_blsub_of_lt_succ_limit ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o : Ordinal.{u} ho : IsLimit o f : (a : Ordinal.{u}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u v} hf : βˆ€ (a : Ordinal.{u}) (ha : a < o), f a ha < f (succ a) (_ : succ a < o) ⊒ bsup o f = blsub o f ** rw [bsup_eq_blsub_iff_lt_bsup] ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o : Ordinal.{u} ho : IsLimit o f : (a : Ordinal.{u}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u v} hf : βˆ€ (a : Ordinal.{u}) (ha : a < o), f a ha < f (succ a) (_ : succ a < o) ⊒ βˆ€ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi < bsup o f ** exact fun i hi => (hf i hi).trans_le (le_bsup f _ _) ** Qed
Ordinal.blsub_eq_zero_iff ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o : Ordinal.{u_4} f : (a : Ordinal.{u_4}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u_5 u_4} ⊒ blsub o f = 0 ↔ o = 0 ** rw [← lsub_eq_blsub, lsub_eq_zero_iff] ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o : Ordinal.{u_4} f : (a : Ordinal.{u_4}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u_5 u_4} ⊒ IsEmpty (Quotient.out o).Ξ± ↔ o = 0 ** exact out_empty_iff_eq_zero ** Qed
Ordinal.blsub_zero ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop f : (a : Ordinal.{u_4}) β†’ a < 0 β†’ Ordinal.{max u_4 u_5} ⊒ blsub 0 f = 0 ** rw [blsub_eq_zero_iff] ** Qed
Ordinal.blsub_type ** α✝ : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r✝ : α✝ β†’ α✝ β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop Ξ± : Type u r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop inst✝ : IsWellOrder Ξ± r f : (a : Ordinal.{u}) β†’ a < type r β†’ Ordinal.{max u v} o : Ordinal.{max u v} ⊒ blsub (type r) f ≀ o ↔ (lsub fun a => f (typein r a) (_ : typein r a < type r)) ≀ o ** rw [blsub_le_iff, lsub_le_iff] ** α✝ : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r✝ : α✝ β†’ α✝ β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop Ξ± : Type u r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop inst✝ : IsWellOrder Ξ± r f : (a : Ordinal.{u}) β†’ a < type r β†’ Ordinal.{max u v} o : Ordinal.{max u v} ⊒ (βˆ€ (i : Ordinal.{u}) (h : i < type r), f i h < o) ↔ βˆ€ (i : Ξ±), f (typein r i) (_ : typein r i < type r) < o ** exact ⟨fun H b => H _ _, fun H i h => by simpa only [typein_enum] using H (enum r i h)⟩ ** α✝ : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r✝ : α✝ β†’ α✝ β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop Ξ± : Type u r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop inst✝ : IsWellOrder Ξ± r f : (a : Ordinal.{u}) β†’ a < type r β†’ Ordinal.{max u v} o : Ordinal.{max u v} H : βˆ€ (i : Ξ±), f (typein r i) (_ : typein r i < type r) < o i : Ordinal.{u} h : i < type r ⊒ f i h < o ** simpa only [typein_enum] using H (enum r i h) ** Qed
Ordinal.blsub_le_of_brange_subset ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o : Ordinal.{u} o' : Ordinal.{v} f : (a : Ordinal.{u}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max (max u v) w} g : (a : Ordinal.{v}) β†’ a < o' β†’ Ordinal.{max (max u v) w} h : brange o f βŠ† brange o' g a : Ordinal.{max (max u v) w} x✝ : a ∈ brange o fun a ha => succ (f a ha) b : Ordinal.{u} hb : b < o hb' : (fun a ha => succ (f a ha)) b hb = a ⊒ a ∈ brange o' fun a ha => succ (g a ha) ** obtain ⟨c, hc, hc'⟩ := h ⟨b, hb, rfl⟩ ** case intro.intro Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o : Ordinal.{u} o' : Ordinal.{v} f : (a : Ordinal.{u}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max (max u v) w} g : (a : Ordinal.{v}) β†’ a < o' β†’ Ordinal.{max (max u v) w} h : brange o f βŠ† brange o' g a : Ordinal.{max (max u v) w} x✝ : a ∈ brange o fun a ha => succ (f a ha) b : Ordinal.{u} hb : b < o hb' : (fun a ha => succ (f a ha)) b hb = a c : Ordinal.{v} hc : c < o' hc' : g c hc = f b hb ⊒ a ∈ brange o' fun a ha => succ (g a ha) ** simp_rw [← hc'] at hb' ** case intro.intro Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o : Ordinal.{u} o' : Ordinal.{v} f : (a : Ordinal.{u}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max (max u v) w} g : (a : Ordinal.{v}) β†’ a < o' β†’ Ordinal.{max (max u v) w} h : brange o f βŠ† brange o' g a : Ordinal.{max (max u v) w} x✝ : a ∈ brange o fun a ha => succ (f a ha) b : Ordinal.{u} hb : b < o c : Ordinal.{v} hc : c < o' hc' : g c hc = f b hb hb' : succ (g c hc) = a ⊒ a ∈ brange o' fun a ha => succ (g a ha) ** exact ⟨c, hc, hb'⟩ ** Qed
Ordinal.bsup_comp ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o o' : Ordinal.{max u v} f : (a : Ordinal.{max u v}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u v w} hf : βˆ€ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≀ j β†’ f i hi ≀ f j hj g : (a : Ordinal.{max u v}) β†’ a < o' β†’ Ordinal.{max u v} hg : blsub o' g = o a : Ordinal.{max u v} ha : a < o' ⊒ g a ha < o ** rw [← hg] ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o o' : Ordinal.{max u v} f : (a : Ordinal.{max u v}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u v w} hf : βˆ€ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≀ j β†’ f i hi ≀ f j hj g : (a : Ordinal.{max u v}) β†’ a < o' β†’ Ordinal.{max u v} hg : blsub o' g = o a : Ordinal.{max u v} ha : a < o' ⊒ g a ha < blsub o' g ** apply lt_blsub ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o o' : Ordinal.{max u v} f : (a : Ordinal.{max u v}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u v w} hf : βˆ€ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≀ j β†’ f i hi ≀ f j hj g : (a : Ordinal.{max u v}) β†’ a < o' β†’ Ordinal.{max u v} hg : blsub o' g = o ⊒ (bsup o' fun a ha => f (g a ha) (_ : g a ha < o)) = bsup o f ** apply le_antisymm <;> refine' bsup_le fun i hi => _ ** case a Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o o' : Ordinal.{max u v} f : (a : Ordinal.{max u v}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u v w} hf : βˆ€ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≀ j β†’ f i hi ≀ f j hj g : (a : Ordinal.{max u v}) β†’ a < o' β†’ Ordinal.{max u v} hg : blsub o' g = o i : Ordinal.{max u v} hi : i < o' ⊒ f (g i hi) (_ : g i hi < o) ≀ bsup o f ** apply le_bsup ** case a Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o o' : Ordinal.{max u v} f : (a : Ordinal.{max u v}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u v w} hf : βˆ€ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≀ j β†’ f i hi ≀ f j hj g : (a : Ordinal.{max u v}) β†’ a < o' β†’ Ordinal.{max u v} hg : blsub o' g = o i : Ordinal.{max u v} hi : i < o ⊒ f i hi ≀ bsup o' fun a ha => f (g a ha) (_ : g a ha < o) ** rw [← hg, lt_blsub_iff] at hi ** case a Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o o' : Ordinal.{max u v} f : (a : Ordinal.{max u v}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u v w} hf : βˆ€ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≀ j β†’ f i hi ≀ f j hj g : (a : Ordinal.{max u v}) β†’ a < o' β†’ Ordinal.{max u v} hg : blsub o' g = o i : Ordinal.{max u v} hi✝ : i < o hi : βˆƒ i_1 hi, i ≀ g i_1 hi ⊒ f i hi✝ ≀ bsup o' fun a ha => f (g a ha) (_ : g a ha < o) ** rcases hi with ⟨j, hj, hj'⟩ ** case a.intro.intro Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o o' : Ordinal.{max u v} f : (a : Ordinal.{max u v}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u v w} hf : βˆ€ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≀ j β†’ f i hi ≀ f j hj g : (a : Ordinal.{max u v}) β†’ a < o' β†’ Ordinal.{max u v} hg : blsub o' g = o i : Ordinal.{max u v} hi : i < o j : Ordinal.{max u v} hj : j < o' hj' : i ≀ g j hj ⊒ f i hi ≀ bsup o' fun a ha => f (g a ha) (_ : g a ha < o) ** exact (hf _ _ hj').trans (le_bsup _ _ _) ** Qed
Ordinal.blsub_comp ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o o' : Ordinal.{max u v} f : (a : Ordinal.{max u v}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u v w} hf : βˆ€ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≀ j β†’ f i hi ≀ f j hj g : (a : Ordinal.{max u v}) β†’ a < o' β†’ Ordinal.{max u v} hg : blsub o' g = o a : Ordinal.{max u v} ha : a < o' ⊒ g a ha < o ** rw [← hg] ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o o' : Ordinal.{max u v} f : (a : Ordinal.{max u v}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u v w} hf : βˆ€ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≀ j β†’ f i hi ≀ f j hj g : (a : Ordinal.{max u v}) β†’ a < o' β†’ Ordinal.{max u v} hg : blsub o' g = o a : Ordinal.{max u v} ha : a < o' ⊒ g a ha < blsub o' g ** apply lt_blsub ** Qed
Ordinal.IsNormal.bsup_eq ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop f : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{max u v} H : IsNormal f o : Ordinal.{u} h : IsLimit o ⊒ (Ordinal.bsup o fun x x_1 => f x) = f o ** rw [← IsNormal.bsup.{u, u, v} H (fun x _ => x) h.1, bsup_id_limit h.2] ** Qed
Ordinal.IsNormal.blsub_eq ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop f : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{max u v} H : IsNormal f o : Ordinal.{u} h : IsLimit o ⊒ (blsub o fun x x_1 => f x) = f o ** rw [← IsNormal.bsup_eq.{u, v} H h, bsup_eq_blsub_of_lt_succ_limit h] ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop f : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{max u v} H : IsNormal f o : Ordinal.{u} h : IsLimit o ⊒ βˆ€ (a : Ordinal.{u}), a < o β†’ f a < f (succ a) ** exact fun a _ => H.1 a ** Qed
Ordinal.isNormal_iff_lt_succ_and_bsup_eq ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop f : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{max u v} x✝ : (βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)) ∧ βˆ€ (o : Ordinal.{u}), IsLimit o β†’ (bsup o fun x x_1 => f x) = f o h₁ : βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a) hβ‚‚ : βˆ€ (o : Ordinal.{u}), IsLimit o β†’ (bsup o fun x x_1 => f x) = f o o : Ordinal.{u} ho : IsLimit o a : Ordinal.{max u v} ⊒ f o ≀ a ↔ βˆ€ (b : Ordinal.{u}), b < o β†’ f b ≀ a ** rw [← hβ‚‚ o ho] ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop f : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{max u v} x✝ : (βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)) ∧ βˆ€ (o : Ordinal.{u}), IsLimit o β†’ (bsup o fun x x_1 => f x) = f o h₁ : βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a) hβ‚‚ : βˆ€ (o : Ordinal.{u}), IsLimit o β†’ (bsup o fun x x_1 => f x) = f o o : Ordinal.{u} ho : IsLimit o a : Ordinal.{max u v} ⊒ (bsup o fun x x_1 => f x) ≀ a ↔ βˆ€ (b : Ordinal.{u}), b < o β†’ f b ≀ a ** exact bsup_le_iff ** Qed
Ordinal.isNormal_iff_lt_succ_and_blsub_eq ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop f : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{max u v} ⊒ IsNormal f ↔ (βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)) ∧ βˆ€ (o : Ordinal.{u}), IsLimit o β†’ (blsub o fun x x_1 => f x) = f o ** rw [isNormal_iff_lt_succ_and_bsup_eq.{u, v}, and_congr_right_iff] ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop f : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{max u v} ⊒ (βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)) β†’ ((βˆ€ (o : Ordinal.{u}), IsLimit o β†’ (bsup o fun x x_1 => f x) = f o) ↔ βˆ€ (o : Ordinal.{u}), IsLimit o β†’ (blsub o fun x x_1 => f x) = f o) ** intro h ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop f : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{max u v} h : βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a) ⊒ (βˆ€ (o : Ordinal.{u}), IsLimit o β†’ (bsup o fun x x_1 => f x) = f o) ↔ βˆ€ (o : Ordinal.{u}), IsLimit o β†’ (blsub o fun x x_1 => f x) = f o ** constructor <;> intro H o ho <;> have := H o ho <;> rwa [← bsup_eq_blsub_of_lt_succ_limit ho fun a _ => h a] at * ** Qed
Ordinal.IsNormal.eq_iff_zero_and_succ ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop f g : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{u} hf : IsNormal f hg : IsNormal g h : f = g ⊒ f 0 = g 0 ∧ βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a = g a β†’ f (succ a) = g (succ a) ** simp [h] ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop f g : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{u} hf : IsNormal f hg : IsNormal g x✝ : f 0 = g 0 ∧ βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a = g a β†’ f (succ a) = g (succ a) h₁ : f 0 = g 0 hβ‚‚ : βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a = g a β†’ f (succ a) = g (succ a) a : Ordinal.{u} ⊒ f a = g a ** induction' a using limitRecOn with _ _ _ ho H ** case H₁ Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop f g : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{u} hf : IsNormal f hg : IsNormal g x✝ : f 0 = g 0 ∧ βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a = g a β†’ f (succ a) = g (succ a) h₁ : f 0 = g 0 hβ‚‚ : βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a = g a β†’ f (succ a) = g (succ a) ⊒ f 0 = g 0 case Hβ‚‚ Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop f g : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{u} hf : IsNormal f hg : IsNormal g x✝ : f 0 = g 0 ∧ βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a = g a β†’ f (succ a) = g (succ a) h₁ : f 0 = g 0 hβ‚‚ : βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a = g a β†’ f (succ a) = g (succ a) o✝ : Ordinal.{u} a✝ : f o✝ = g o✝ ⊒ f (succ o✝) = g (succ o✝) case H₃ Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop f g : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{u} hf : IsNormal f hg : IsNormal g x✝ : f 0 = g 0 ∧ βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a = g a β†’ f (succ a) = g (succ a) h₁ : f 0 = g 0 hβ‚‚ : βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a = g a β†’ f (succ a) = g (succ a) o✝ : Ordinal.{u} ho : IsLimit o✝ H : βˆ€ (o' : Ordinal.{u}), o' < o✝ β†’ f o' = g o' ⊒ f o✝ = g o✝ ** any_goals solve_by_elim ** case H₃ Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop f g : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{u} hf : IsNormal f hg : IsNormal g x✝ : f 0 = g 0 ∧ βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a = g a β†’ f (succ a) = g (succ a) h₁ : f 0 = g 0 hβ‚‚ : βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a = g a β†’ f (succ a) = g (succ a) o✝ : Ordinal.{u} ho : IsLimit o✝ H : βˆ€ (o' : Ordinal.{u}), o' < o✝ β†’ f o' = g o' ⊒ f o✝ = g o✝ ** rw [← IsNormal.bsup_eq.{u, u} hf ho, ← IsNormal.bsup_eq.{u, u} hg ho] ** case H₃ Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop f g : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{u} hf : IsNormal f hg : IsNormal g x✝ : f 0 = g 0 ∧ βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a = g a β†’ f (succ a) = g (succ a) h₁ : f 0 = g 0 hβ‚‚ : βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a = g a β†’ f (succ a) = g (succ a) o✝ : Ordinal.{u} ho : IsLimit o✝ H : βˆ€ (o' : Ordinal.{u}), o' < o✝ β†’ f o' = g o' ⊒ (Ordinal.bsup o✝ fun x x_1 => f x) = Ordinal.bsup o✝ fun x x_1 => g x ** congr ** case H₃.e_f Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop f g : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{u} hf : IsNormal f hg : IsNormal g x✝ : f 0 = g 0 ∧ βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a = g a β†’ f (succ a) = g (succ a) h₁ : f 0 = g 0 hβ‚‚ : βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a = g a β†’ f (succ a) = g (succ a) o✝ : Ordinal.{u} ho : IsLimit o✝ H : βˆ€ (o' : Ordinal.{u}), o' < o✝ β†’ f o' = g o' ⊒ (fun x x_1 => f x) = fun x x_1 => g x ** ext b hb ** case H₃.e_f.h.h Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop f g : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{u} hf : IsNormal f hg : IsNormal g x✝ : f 0 = g 0 ∧ βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a = g a β†’ f (succ a) = g (succ a) h₁ : f 0 = g 0 hβ‚‚ : βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a = g a β†’ f (succ a) = g (succ a) o✝ : Ordinal.{u} ho : IsLimit o✝ H : βˆ€ (o' : Ordinal.{u}), o' < o✝ β†’ f o' = g o' b : Ordinal.{u} hb : b < o✝ ⊒ f b = g b ** exact H b hb ** case H₃ Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop f g : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{u} hf : IsNormal f hg : IsNormal g x✝ : f 0 = g 0 ∧ βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a = g a β†’ f (succ a) = g (succ a) h₁ : f 0 = g 0 hβ‚‚ : βˆ€ (a : Ordinal.{u}), f a = g a β†’ f (succ a) = g (succ a) o✝ : Ordinal.{u} ho : IsLimit o✝ H : βˆ€ (o' : Ordinal.{u}), o' < o✝ β†’ f o' = g o' ⊒ f o✝ = g o✝ ** solve_by_elim ** Qed
Ordinal.lt_blsubβ‚‚ ** case h.e'_3 Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o₁ : Ordinal.{u_4} oβ‚‚ : Ordinal.{u_5} op : {a : Ordinal.{u_4}} β†’ a < o₁ β†’ {b : Ordinal.{u_5}} β†’ b < oβ‚‚ β†’ Ordinal.{max (max u_4 u_5) u_6} a : Ordinal.{u_4} b : Ordinal.{u_5} ha : a < o₁ hb : b < oβ‚‚ ⊒ op ha hb = (fun {a} => op) (_ : typein (fun x x_1 => x < x_1) (enum (fun x x_1 => x < x_1) a (_ : a < type fun x x_1 => x < x_1), enum (fun x x_1 => x < x_1) b (_ : b < type fun x x_1 => x < x_1)).1 < o₁) (_ : typein (fun x x_1 => x < x_1) (enum (fun x x_1 => x < x_1) a (_ : a < type fun x x_1 => x < x_1), enum (fun x x_1 => x < x_1) b (_ : b < type fun x x_1 => x < x_1)).2 < oβ‚‚) ** simp only [typein_enum] ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o₁ : Ordinal.{u_4} oβ‚‚ : Ordinal.{u_5} op : {a : Ordinal.{u_4}} β†’ a < o₁ β†’ {b : Ordinal.{u_5}} β†’ b < oβ‚‚ β†’ Ordinal.{max (max u_4 u_5) u_6} a : Ordinal.{u_4} b : Ordinal.{u_5} ha : a < o₁ hb : b < oβ‚‚ ⊒ a < type fun x x_1 => x < x_1 ** rwa [type_lt] ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o₁ : Ordinal.{u_4} oβ‚‚ : Ordinal.{u_5} op : {a : Ordinal.{u_4}} β†’ a < o₁ β†’ {b : Ordinal.{u_5}} β†’ b < oβ‚‚ β†’ Ordinal.{max (max u_4 u_5) u_6} a : Ordinal.{u_4} b : Ordinal.{u_5} ha : a < o₁ hb : b < oβ‚‚ ⊒ b < type fun x x_1 => x < x_1 ** rwa [type_lt] ** Qed
Ordinal.le_mex_of_forall ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop ΞΉ : Type u f : ΞΉ β†’ Ordinal.{max u v} a : Ordinal.{max u v} H : βˆ€ (b : Ordinal.{max u v}), b < a β†’ βˆƒ i, f i = b ⊒ a ≀ mex f ** by_contra' h ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop ΞΉ : Type u f : ΞΉ β†’ Ordinal.{max u v} a : Ordinal.{max u v} H : βˆ€ (b : Ordinal.{max u v}), b < a β†’ βˆƒ i, f i = b h : mex f < a ⊒ False ** exact mex_not_mem_range f (H _ h) ** Qed
Ordinal.ne_mex ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop ΞΉ : Type u f : ΞΉ β†’ Ordinal.{max u v} ⊒ βˆ€ (i : ΞΉ), f i β‰  mex f ** simpa using mex_not_mem_range.{_, v} f ** Qed
Ordinal.mex_le_of_ne ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop ΞΉ : Type u_4 f : ΞΉ β†’ Ordinal.{max u_5 u_4} a : Ordinal.{max u_5 u_4} ha : βˆ€ (i : ΞΉ), f i β‰  a ⊒ a ∈ (range f)ᢜ ** simp [ha] ** Qed
Ordinal.exists_of_lt_mex ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop ΞΉ : Type u_4 f : ΞΉ β†’ Ordinal.{max u_5 u_4} a : Ordinal.{max u_4 u_5} ha : a < mex f ⊒ βˆƒ i, f i = a ** by_contra' ha' ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop ΞΉ : Type u_4 f : ΞΉ β†’ Ordinal.{max u_5 u_4} a : Ordinal.{max u_4 u_5} ha : a < mex f ha' : βˆ€ (i : ΞΉ), f i β‰  a ⊒ False ** exact ha.not_le (mex_le_of_ne ha') ** Qed
Ordinal.mex_monotone ** α✝ : Type u_1 β✝ : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : α✝ β†’ α✝ β†’ Prop s : β✝ β†’ β✝ β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop Ξ± Ξ² : Type u f : Ξ± β†’ Ordinal.{max u v} g : Ξ² β†’ Ordinal.{max u v} h : range f βŠ† range g ⊒ mex f ≀ mex g ** refine' mex_le_of_ne fun i hi => _ ** α✝ : Type u_1 β✝ : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : α✝ β†’ α✝ β†’ Prop s : β✝ β†’ β✝ β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop Ξ± Ξ² : Type u f : Ξ± β†’ Ordinal.{max u v} g : Ξ² β†’ Ordinal.{max u v} h : range f βŠ† range g i : Ξ± hi : f i = mex g ⊒ False ** cases' h ⟨i, rfl⟩ with j hj ** case intro α✝ : Type u_1 β✝ : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : α✝ β†’ α✝ β†’ Prop s : β✝ β†’ β✝ β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop Ξ± Ξ² : Type u f : Ξ± β†’ Ordinal.{max u v} g : Ξ² β†’ Ordinal.{max u v} h : range f βŠ† range g i : Ξ± hi : f i = mex g j : Ξ² hj : g j = f i ⊒ False ** rw [← hj] at hi ** case intro α✝ : Type u_1 β✝ : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : α✝ β†’ α✝ β†’ Prop s : β✝ β†’ β✝ β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop Ξ± Ξ² : Type u f : Ξ± β†’ Ordinal.{max u v} g : Ξ² β†’ Ordinal.{max u v} h : range f βŠ† range g i : Ξ± j : Ξ² hi : g j = mex g hj : g j = f i ⊒ False ** exact ne_mex g j hi ** Qed
Ordinal.mex_lt_ord_succ_mk ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop ΞΉ : Type u f : ΞΉ β†’ Ordinal.{u} ⊒ mex f < ord (succ #ΞΉ) ** by_contra' h ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop ΞΉ : Type u f : ΞΉ β†’ Ordinal.{u} h : ord (succ #ΞΉ) ≀ mex f ⊒ False ** apply (lt_succ #ΞΉ).not_le ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop ΞΉ : Type u f : ΞΉ β†’ Ordinal.{u} h : ord (succ #ΞΉ) ≀ mex f ⊒ succ #ΞΉ ≀ #ΞΉ ** have H := fun a => exists_of_lt_mex ((typein_lt_self a).trans_le h) ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop ΞΉ : Type u f : ΞΉ β†’ Ordinal.{u} h : ord (succ #ΞΉ) ≀ mex f H : βˆ€ (a : (Quotient.out (ord (succ #ΞΉ))).Ξ±), βˆƒ i, f i = typein (fun x x_1 => x < x_1) a ⊒ succ #ΞΉ ≀ #ΞΉ ** let g : (succ #ΞΉ).ord.out.Ξ± β†’ ΞΉ := fun a => Classical.choose (H a) ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop ΞΉ : Type u f : ΞΉ β†’ Ordinal.{u} h : ord (succ #ΞΉ) ≀ mex f H : βˆ€ (a : (Quotient.out (ord (succ #ΞΉ))).Ξ±), βˆƒ i, f i = typein (fun x x_1 => x < x_1) a g : (Quotient.out (ord (succ #ΞΉ))).Ξ± β†’ ΞΉ := fun a => choose (_ : βˆƒ i, f i = typein (fun x x_1 => x < x_1) a) hg : Injective g ⊒ succ #ΞΉ ≀ #ΞΉ ** convert Cardinal.mk_le_of_injective hg ** case h.e'_3 Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop ΞΉ : Type u f : ΞΉ β†’ Ordinal.{u} h : ord (succ #ΞΉ) ≀ mex f H : βˆ€ (a : (Quotient.out (ord (succ #ΞΉ))).Ξ±), βˆƒ i, f i = typein (fun x x_1 => x < x_1) a g : (Quotient.out (ord (succ #ΞΉ))).Ξ± β†’ ΞΉ := fun a => choose (_ : βˆƒ i, f i = typein (fun x x_1 => x < x_1) a) hg : Injective g ⊒ succ #ΞΉ = #(Quotient.out (ord (succ #ΞΉ))).Ξ± ** rw [Cardinal.mk_ord_out (succ #ΞΉ)] ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop ΞΉ : Type u f : ΞΉ β†’ Ordinal.{u} h : ord (succ #ΞΉ) ≀ mex f H : βˆ€ (a : (Quotient.out (ord (succ #ΞΉ))).Ξ±), βˆƒ i, f i = typein (fun x x_1 => x < x_1) a g : (Quotient.out (ord (succ #ΞΉ))).Ξ± β†’ ΞΉ := fun a => choose (_ : βˆƒ i, f i = typein (fun x x_1 => x < x_1) a) a b : (Quotient.out (ord (succ #ΞΉ))).Ξ± h' : g a = g b Hf : βˆ€ (x : (Quotient.out (ord (succ #ΞΉ))).Ξ±), f (g x) = typein (fun x x_1 => x < x_1) x ⊒ a = b ** apply_fun f at h' ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop ΞΉ : Type u f : ΞΉ β†’ Ordinal.{u} h : ord (succ #ΞΉ) ≀ mex f H : βˆ€ (a : (Quotient.out (ord (succ #ΞΉ))).Ξ±), βˆƒ i, f i = typein (fun x x_1 => x < x_1) a g : (Quotient.out (ord (succ #ΞΉ))).Ξ± β†’ ΞΉ := fun a => choose (_ : βˆƒ i, f i = typein (fun x x_1 => x < x_1) a) a b : (Quotient.out (ord (succ #ΞΉ))).Ξ± Hf : βˆ€ (x : (Quotient.out (ord (succ #ΞΉ))).Ξ±), f (g x) = typein (fun x x_1 => x < x_1) x h' : f (g a) = f (g b) ⊒ a = b ** rwa [Hf, Hf, typein_inj] at h' ** Qed
Ordinal.bmex_not_mem_brange ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o : Ordinal.{u_4} f : (a : Ordinal.{u_4}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u_4 u_5} ⊒ Β¬bmex o f ∈ brange o f ** rw [← range_familyOfBFamily] ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o : Ordinal.{u_4} f : (a : Ordinal.{u_4}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u_4 u_5} ⊒ Β¬bmex o f ∈ range (familyOfBFamily o f) ** apply mex_not_mem_range ** Qed
Ordinal.le_bmex_of_forall ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o : Ordinal.{u_4} f : (a : Ordinal.{u_4}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u_4 u_5} a : Ordinal.{max u_4 u_5} H : βˆ€ (b : Ordinal.{max u_4 u_5}), b < a β†’ βˆƒ i hi, f i hi = b ⊒ a ≀ bmex o f ** by_contra' h ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o : Ordinal.{u_4} f : (a : Ordinal.{u_4}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u_4 u_5} a : Ordinal.{max u_4 u_5} H : βˆ€ (b : Ordinal.{max u_4 u_5}), b < a β†’ βˆƒ i hi, f i hi = b h : bmex o f < a ⊒ False ** exact bmex_not_mem_brange f (H _ h) ** Qed
Ordinal.ne_bmex ** case h.e'_2.h.e'_1 Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o : Ordinal.{u} f : (a : Ordinal.{u}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u v} i : Ordinal.{u} hi : i < o ⊒ i = typein (fun x x_1 => x < x_1) (enum (fun x x_1 => x < x_1) i (_ : i < type fun x x_1 => x < x_1)) ** rw [typein_enum] ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o : Ordinal.{u} f : (a : Ordinal.{u}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u v} i : Ordinal.{u} hi : i < o ⊒ i < type fun x x_1 => x < x_1 ** rwa [type_lt] ** Qed
Ordinal.exists_of_lt_bmex ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o : Ordinal.{u_4} f : (a : Ordinal.{u_4}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u_4 u_5} a : Ordinal.{max u_5 u_4} ha : a < bmex o f ⊒ βˆƒ i hi, f i hi = a ** cases' exists_of_lt_mex ha with i hi ** case intro Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o : Ordinal.{u_4} f : (a : Ordinal.{u_4}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u_4 u_5} a : Ordinal.{max u_5 u_4} ha : a < bmex o f i : (Quotient.out o).Ξ± hi : familyOfBFamily o f i = a ⊒ βˆƒ i hi, f i hi = a ** exact ⟨_, typein_lt_self i, hi⟩ ** Qed
Ordinal.bmex_monotone ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o o' : Ordinal.{u} f : (a : Ordinal.{u}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{max u v} g : (a : Ordinal.{u}) β†’ a < o' β†’ Ordinal.{max u v} h : brange o f βŠ† brange o' g ⊒ range (familyOfBFamily o f) βŠ† range (familyOfBFamily o' g) ** rwa [range_familyOfBFamily, range_familyOfBFamily] ** Qed
Ordinal.bmex_lt_ord_succ_card ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o : Ordinal.{u} f : (a : Ordinal.{u}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{u} ⊒ bmex o f < ord (succ (card o)) ** rw [← mk_ordinal_out] ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ³ : Type u_3 r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop s : Ξ² β†’ Ξ² β†’ Prop t : Ξ³ β†’ Ξ³ β†’ Prop o : Ordinal.{u} f : (a : Ordinal.{u}) β†’ a < o β†’ Ordinal.{u} ⊒ bmex o f < ord (succ #(Quotient.out o).Ξ±) ** exact mex_lt_ord_succ_mk (familyOfBFamily o f) ** Qed
Ordinal.enumOrd_mem_aux ** S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S o : Ordinal.{u} ⊒ enumOrd S o ∈ S ∩ Ici (blsub o fun c x => enumOrd S c) ** rw [enumOrd_def'] ** S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S o : Ordinal.{u} ⊒ sInf (S ∩ Ici (blsub o fun a x => enumOrd S a)) ∈ S ∩ Ici (blsub o fun c x => enumOrd S c) ** exact csInf_mem (enumOrd_def'_nonempty hS _) ** Qed
Ordinal.enumOrd_def ** S : Set Ordinal.{u} o : Ordinal.{u} ⊒ enumOrd S o = sInf (S ∩ {b | βˆ€ (c : Ordinal.{u}), c < o β†’ enumOrd S c < b}) ** rw [enumOrd_def'] ** S : Set Ordinal.{u} o : Ordinal.{u} ⊒ sInf (S ∩ Ici (blsub o fun a x => enumOrd S a)) = sInf (S ∩ {b | βˆ€ (c : Ordinal.{u}), c < o β†’ enumOrd S c < b}) ** congr ** case e_a.e_a S : Set Ordinal.{u} o : Ordinal.{u} ⊒ Ici (blsub o fun a x => enumOrd S a) = {b | βˆ€ (c : Ordinal.{u}), c < o β†’ enumOrd S c < b} ** ext ** case e_a.e_a.h S : Set Ordinal.{u} o x✝ : Ordinal.{u} ⊒ x✝ ∈ Ici (blsub o fun a x => enumOrd S a) ↔ x✝ ∈ {b | βˆ€ (c : Ordinal.{u}), c < o β†’ enumOrd S c < b} ** exact ⟨fun h a hao => (lt_blsub.{u, u} _ _ hao).trans_le h, blsub_le⟩ ** Qed
Ordinal.enumOrd_range ** S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u_1} β†’ Ordinal.{u_1} hf : StrictMono f o : Ordinal.{u_1} ⊒ enumOrd (range f) o = f o ** apply Ordinal.induction o ** S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u_1} β†’ Ordinal.{u_1} hf : StrictMono f o : Ordinal.{u_1} ⊒ βˆ€ (j : Ordinal.{u_1}), (βˆ€ (k : Ordinal.{u_1}), k < j β†’ enumOrd (range f) k = f k) β†’ enumOrd (range f) j = f j ** intro a H ** S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u_1} β†’ Ordinal.{u_1} hf : StrictMono f o a : Ordinal.{u_1} H : βˆ€ (k : Ordinal.{u_1}), k < a β†’ enumOrd (range f) k = f k ⊒ enumOrd (range f) a = f a ** rw [enumOrd_def a] ** S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u_1} β†’ Ordinal.{u_1} hf : StrictMono f o a : Ordinal.{u_1} H : βˆ€ (k : Ordinal.{u_1}), k < a β†’ enumOrd (range f) k = f k ⊒ sInf (range f ∩ {b | βˆ€ (c : Ordinal.{u_1}), c < a β†’ enumOrd (range f) c < b}) = f a ** have Hfa : f a ∈ range f ∩ { b | βˆ€ c, c < a β†’ enumOrd (range f) c < b } := ⟨mem_range_self a, fun b hb => by rw [H b hb] exact hf hb⟩ ** S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u_1} β†’ Ordinal.{u_1} hf : StrictMono f o a : Ordinal.{u_1} H : βˆ€ (k : Ordinal.{u_1}), k < a β†’ enumOrd (range f) k = f k Hfa : f a ∈ range f ∩ {b | βˆ€ (c : Ordinal.{u_1}), c < a β†’ enumOrd (range f) c < b} ⊒ sInf (range f ∩ {b | βˆ€ (c : Ordinal.{u_1}), c < a β†’ enumOrd (range f) c < b}) = f a ** refine' (csInf_le' Hfa).antisymm ((le_csInf_iff'' ⟨_, Hfa⟩).2 _) ** S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u_1} β†’ Ordinal.{u_1} hf : StrictMono f o a : Ordinal.{u_1} H : βˆ€ (k : Ordinal.{u_1}), k < a β†’ enumOrd (range f) k = f k Hfa : f a ∈ range f ∩ {b | βˆ€ (c : Ordinal.{u_1}), c < a β†’ enumOrd (range f) c < b} ⊒ βˆ€ (b : Ordinal.{u_1}), b ∈ range f ∩ {b | βˆ€ (c : Ordinal.{u_1}), c < a β†’ enumOrd (range f) c < b} β†’ f a ≀ b ** rintro _ ⟨⟨c, rfl⟩, hc : βˆ€ b < a, enumOrd (range f) b < f c⟩ ** case intro.intro S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u_1} β†’ Ordinal.{u_1} hf : StrictMono f o a : Ordinal.{u_1} H : βˆ€ (k : Ordinal.{u_1}), k < a β†’ enumOrd (range f) k = f k Hfa : f a ∈ range f ∩ {b | βˆ€ (c : Ordinal.{u_1}), c < a β†’ enumOrd (range f) c < b} c : Ordinal.{u_1} hc : βˆ€ (b : Ordinal.{u_1}), b < a β†’ enumOrd (range f) b < f c ⊒ f a ≀ f c ** rw [hf.le_iff_le] ** case intro.intro S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u_1} β†’ Ordinal.{u_1} hf : StrictMono f o a : Ordinal.{u_1} H : βˆ€ (k : Ordinal.{u_1}), k < a β†’ enumOrd (range f) k = f k Hfa : f a ∈ range f ∩ {b | βˆ€ (c : Ordinal.{u_1}), c < a β†’ enumOrd (range f) c < b} c : Ordinal.{u_1} hc : βˆ€ (b : Ordinal.{u_1}), b < a β†’ enumOrd (range f) b < f c ⊒ a ≀ c ** contrapose! hc ** case intro.intro S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u_1} β†’ Ordinal.{u_1} hf : StrictMono f o a : Ordinal.{u_1} H : βˆ€ (k : Ordinal.{u_1}), k < a β†’ enumOrd (range f) k = f k Hfa : f a ∈ range f ∩ {b | βˆ€ (c : Ordinal.{u_1}), c < a β†’ enumOrd (range f) c < b} c : Ordinal.{u_1} hc : c < a ⊒ βˆƒ b, b < a ∧ f c ≀ enumOrd (range f) b ** exact ⟨c, hc, (H c hc).ge⟩ ** S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u_1} β†’ Ordinal.{u_1} hf : StrictMono f o a : Ordinal.{u_1} H : βˆ€ (k : Ordinal.{u_1}), k < a β†’ enumOrd (range f) k = f k b : Ordinal.{u_1} hb : b < a ⊒ enumOrd (range f) b < f a ** rw [H b hb] ** S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u_1} β†’ Ordinal.{u_1} hf : StrictMono f o a : Ordinal.{u_1} H : βˆ€ (k : Ordinal.{u_1}), k < a β†’ enumOrd (range f) k = f k b : Ordinal.{u_1} hb : b < a ⊒ f b < f a ** exact hf hb ** Qed
Ordinal.enumOrd_univ ** S : Set Ordinal.{u} ⊒ enumOrd Set.univ = id ** rw [← range_id] ** S : Set Ordinal.{u} ⊒ enumOrd (range id) = id ** exact enumOrd_range strictMono_id ** Qed
Ordinal.enumOrd_zero ** S : Set Ordinal.{u} ⊒ enumOrd S 0 = sInf S ** rw [enumOrd_def] ** S : Set Ordinal.{u} ⊒ sInf (S ∩ {b | βˆ€ (c : Ordinal.{u}), c < 0 β†’ enumOrd S c < b}) = sInf S ** simp [Ordinal.not_lt_zero] ** Qed
Ordinal.enumOrd_succ_le ** S : Set Ordinal.{u} a b : Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S ha : a ∈ S hb : enumOrd S b < a ⊒ enumOrd S (succ b) ≀ a ** rw [enumOrd_def] ** S : Set Ordinal.{u} a b : Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S ha : a ∈ S hb : enumOrd S b < a ⊒ sInf (S ∩ {b_1 | βˆ€ (c : Ordinal.{u}), c < succ b β†’ enumOrd S c < b_1}) ≀ a ** exact csInf_le' ⟨ha, fun c hc => ((enumOrd_strictMono hS).monotone (le_of_lt_succ hc)).trans_lt hb⟩ ** Qed
Ordinal.enumOrd_le_of_subset ** S✝ : Set Ordinal.{u} S T : Set Ordinal.{u_1} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S hST : S βŠ† T a : Ordinal.{u_1} ⊒ enumOrd T a ≀ enumOrd S a ** apply Ordinal.induction a ** S✝ : Set Ordinal.{u} S T : Set Ordinal.{u_1} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S hST : S βŠ† T a : Ordinal.{u_1} ⊒ βˆ€ (j : Ordinal.{u_1}), (βˆ€ (k : Ordinal.{u_1}), k < j β†’ enumOrd T k ≀ enumOrd S k) β†’ enumOrd T j ≀ enumOrd S j ** intro b H ** S✝ : Set Ordinal.{u} S T : Set Ordinal.{u_1} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S hST : S βŠ† T a b : Ordinal.{u_1} H : βˆ€ (k : Ordinal.{u_1}), k < b β†’ enumOrd T k ≀ enumOrd S k ⊒ enumOrd T b ≀ enumOrd S b ** rw [enumOrd_def] ** S✝ : Set Ordinal.{u} S T : Set Ordinal.{u_1} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S hST : S βŠ† T a b : Ordinal.{u_1} H : βˆ€ (k : Ordinal.{u_1}), k < b β†’ enumOrd T k ≀ enumOrd S k ⊒ sInf (T ∩ {b_1 | βˆ€ (c : Ordinal.{u_1}), c < b β†’ enumOrd T c < b_1}) ≀ enumOrd S b ** exact csInf_le' ⟨hST (enumOrd_mem hS b), fun c h => (H c h).trans_lt (enumOrd_strictMono hS h)⟩ ** Qed
Ordinal.enumOrd_surjective ** S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S s : Ordinal.{u} hs : s ∈ S ⊒ enumOrd S (sSup {a | enumOrd S a ≀ s}) = s ** apply le_antisymm ** case a S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S s : Ordinal.{u} hs : s ∈ S ⊒ enumOrd S (sSup {a | enumOrd S a ≀ s}) ≀ s ** rw [enumOrd_def] ** case a S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S s : Ordinal.{u} hs : s ∈ S ⊒ sInf (S ∩ {b | βˆ€ (c : Ordinal.{u}), c < sSup {a | enumOrd S a ≀ s} β†’ enumOrd S c < b}) ≀ s ** refine' csInf_le' ⟨hs, fun a ha => _⟩ ** case a S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S s : Ordinal.{u} hs : s ∈ S a : Ordinal.{u} ha : a < sSup {a | enumOrd S a ≀ s} ⊒ enumOrd S a < s ** have : enumOrd S 0 ≀ s := by rw [enumOrd_zero] exact csInf_le' hs ** case a S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S s : Ordinal.{u} hs : s ∈ S a : Ordinal.{u} ha : a < sSup {a | enumOrd S a ≀ s} this : enumOrd S 0 ≀ s ⊒ enumOrd S a < s ** rcases flip exists_lt_of_lt_csSup ha ⟨0, this⟩ with ⟨b, hb, hab⟩ ** case a.intro.intro S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S s : Ordinal.{u} hs : s ∈ S a : Ordinal.{u} ha : a < sSup {a | enumOrd S a ≀ s} this : enumOrd S 0 ≀ s b : Ordinal.{u} hb : b ∈ {a | enumOrd S a ≀ s} hab : a < b ⊒ enumOrd S a < s ** exact (enumOrd_strictMono hS hab).trans_le hb ** S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S s : Ordinal.{u} hs : s ∈ S a : Ordinal.{u} ha : a < sSup {a | enumOrd S a ≀ s} ⊒ enumOrd S 0 ≀ s ** rw [enumOrd_zero] ** S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S s : Ordinal.{u} hs : s ∈ S a : Ordinal.{u} ha : a < sSup {a | enumOrd S a ≀ s} ⊒ sInf S ≀ s ** exact csInf_le' hs ** case a S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S s : Ordinal.{u} hs : s ∈ S ⊒ s ≀ enumOrd S (sSup {a | enumOrd S a ≀ s}) ** by_contra' h ** case a S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S s : Ordinal.{u} hs : s ∈ S h : enumOrd S (sSup {a | enumOrd S a ≀ s}) < s ⊒ False ** exact (le_csSup ⟨s, fun a => (lt_wf.self_le_of_strictMono (enumOrd_strictMono hS) a).trans⟩ (enumOrd_succ_le hS hs h)).not_lt (lt_succ _) ** Qed
Ordinal.range_enumOrd ** S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S ⊒ range (enumOrd S) = S ** rw [range_eq_iff] ** S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S ⊒ (βˆ€ (a : Ordinal.{u}), enumOrd S a ∈ S) ∧ βˆ€ (b : Ordinal.{u}), b ∈ S β†’ βˆƒ a, enumOrd S a = b ** exact ⟨enumOrd_mem hS, enumOrd_surjective hS⟩ ** Qed
Ordinal.eq_enumOrd ** S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S ⊒ StrictMono f ∧ range f = S ↔ f = enumOrd S ** constructor ** case mp S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S ⊒ StrictMono f ∧ range f = S β†’ f = enumOrd S ** rintro ⟨h₁, hβ‚‚βŸ© ** case mp.intro S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S h₁ : StrictMono f hβ‚‚ : range f = S ⊒ f = enumOrd S ** rwa [← lt_wf.eq_strictMono_iff_eq_range h₁ (enumOrd_strictMono hS), range_enumOrd hS] ** case mpr S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S ⊒ f = enumOrd S β†’ StrictMono f ∧ range f = S ** rintro rfl ** case mpr S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S ⊒ StrictMono (enumOrd S) ∧ range (enumOrd S) = S ** exact ⟨enumOrd_strictMono hS, range_enumOrd hS⟩ ** Qed
Ordinal.one_add_nat_cast ** m : β„• ⊒ 1 + ↑m = ↑(succ m) ** rw [← Nat.cast_one, ← Nat.cast_add, add_comm] ** m : β„• ⊒ ↑(m + 1) = ↑(succ m) ** rfl ** Qed
Ordinal.nat_cast_mul ** m : β„• ⊒ ↑(m * 0) = ↑m * ↑0 ** simp ** m n : β„• ⊒ ↑(m * (n + 1)) = ↑m * ↑(n + 1) ** rw [Nat.mul_succ, Nat.cast_add, nat_cast_mul m n, Nat.cast_succ, mul_add_one] ** Qed
Ordinal.nat_cast_le ** m n : β„• ⊒ ↑m ≀ ↑n ↔ m ≀ n ** rw [← Cardinal.ord_nat, ← Cardinal.ord_nat, Cardinal.ord_le_ord, Cardinal.natCast_le] ** Qed
Ordinal.nat_cast_lt ** m n : β„• ⊒ ↑m < ↑n ↔ m < n ** simp only [lt_iff_le_not_le, nat_cast_le] ** Qed
Ordinal.nat_cast_inj ** m n : β„• ⊒ ↑m = ↑n ↔ m = n ** simp only [le_antisymm_iff, nat_cast_le] ** Qed
Ordinal.nat_cast_sub ** m n : β„• ⊒ ↑(m - n) = ↑m - ↑n ** cases' le_total m n with h h ** case inl m n : β„• h : m ≀ n ⊒ ↑(m - n) = ↑m - ↑n ** rw [tsub_eq_zero_iff_le.2 h, Ordinal.sub_eq_zero_iff_le.2 (nat_cast_le.2 h)] ** case inl m n : β„• h : m ≀ n ⊒ ↑0 = 0 ** rfl ** case inr m n : β„• h : n ≀ m ⊒ ↑(m - n) = ↑m - ↑n ** apply (add_left_cancel n).1 ** case inr m n : β„• h : n ≀ m ⊒ ↑n + ↑(m - n) = ↑n + (↑m - ↑n) ** rw [← Nat.cast_add, add_tsub_cancel_of_le h, Ordinal.add_sub_cancel_of_le (nat_cast_le.2 h)] ** Qed
Ordinal.nat_cast_div ** m n : β„• ⊒ ↑(m / n) = ↑m / ↑n ** rcases eq_or_ne n 0 with (rfl | hn) ** case inl m : β„• ⊒ ↑(m / 0) = ↑m / ↑0 ** simp ** case inr m n : β„• hn : n β‰  0 ⊒ ↑(m / n) = ↑m / ↑n ** have hn' := nat_cast_ne_zero.2 hn ** case inr m n : β„• hn : n β‰  0 hn' : ↑n β‰  0 ⊒ ↑(m / n) = ↑m / ↑n ** apply le_antisymm ** case inr.a m n : β„• hn : n β‰  0 hn' : ↑n β‰  0 ⊒ ↑(m / n) ≀ ↑m / ↑n ** rw [le_div hn', ← nat_cast_mul, nat_cast_le, mul_comm] ** case inr.a m n : β„• hn : n β‰  0 hn' : ↑n β‰  0 ⊒ m / n * n ≀ m ** apply Nat.div_mul_le_self ** case inr.a m n : β„• hn : n β‰  0 hn' : ↑n β‰  0 ⊒ ↑m / ↑n ≀ ↑(m / n) ** rw [div_le hn', ← add_one_eq_succ, ← Nat.cast_succ, ← nat_cast_mul, nat_cast_lt, mul_comm, ← Nat.div_lt_iff_lt_mul (Nat.pos_of_ne_zero hn)] ** case inr.a m n : β„• hn : n β‰  0 hn' : ↑n β‰  0 ⊒ m / n < Nat.succ (m / n) ** apply Nat.lt_succ_self ** Qed
Ordinal.nat_cast_mod ** m n : β„• ⊒ ↑(m % n) = ↑m % ↑n ** rw [← add_left_cancel, div_add_mod, ← nat_cast_div, ← nat_cast_mul, ← Nat.cast_add, Nat.div_add_mod] ** Qed
Ordinal.lift_nat_cast ** ⊒ lift.{u, v} ↑0 = ↑0 ** simp ** n : β„• ⊒ lift.{u, v} ↑(n + 1) = ↑(n + 1) ** simp [lift_nat_cast n] ** Qed
Cardinal.ord_aleph0 ** o : Ordinal.{u} h : o < Ο‰ ⊒ o < ord β„΅β‚€ ** rcases Ordinal.lt_lift_iff.1 h with ⟨o, rfl, h'⟩ ** case intro.intro o : Ordinal.{0} h' : o < type fun x x_1 => x < x_1 h : Ordinal.lift.{u, 0} o < Ο‰ ⊒ card (typein (fun x x_1 => x < x_1) (enum (fun x x_1 => x < x_1) o h')) < β„΅β‚€ ** exact lt_aleph0_iff_fintype.2 ⟨Set.fintypeLTNat _⟩ ** Qed
Cardinal.add_one_of_aleph0_le ** c : Cardinal.{u_1} h : β„΅β‚€ ≀ c ⊒ c + 1 = c ** rw [add_comm, ← card_ord c, ← card_one, ← card_add, one_add_of_omega_le] ** c : Cardinal.{u_1} h : β„΅β‚€ ≀ c ⊒ Ο‰ ≀ ord c ** rwa [← ord_aleph0, ord_le_ord] ** Qed
Ordinal.lt_add_of_limit ** a b c : Ordinal.{u} h : IsLimit c ⊒ a < b + c ↔ βˆƒ c', c' < c ∧ a < b + c' ** have := IsNormal.bsup_eq.{u, u} (add_isNormal b) h ** a b c : Ordinal.{u} h : IsLimit c this : (bsup c fun x x_1 => (fun x x_2 => x + x_2) b x) = (fun x x_1 => x + x_1) b c ⊒ a < b + c ↔ βˆƒ c', c' < c ∧ a < b + c' ** dsimp only at this ** a b c : Ordinal.{u} h : IsLimit c this : (bsup c fun x x_1 => b + x) = b + c ⊒ a < b + c ↔ βˆƒ c', c' < c ∧ a < b + c' ** rw [← this, lt_bsup, bex_def] ** Qed
Ordinal.lt_omega ** o : Ordinal.{u_1} ⊒ o < Ο‰ ↔ βˆƒ n, o = ↑n ** simp_rw [← Cardinal.ord_aleph0, Cardinal.lt_ord, lt_aleph0, card_eq_nat] ** Qed
Ordinal.one_lt_omega ** ⊒ 1 < Ο‰ ** simpa only [Nat.cast_one] using nat_lt_omega 1 ** Qed
Ordinal.omega_isLimit ** o : Ordinal.{u_1} h : o < Ο‰ ⊒ succ o < Ο‰ ** let ⟨n, e⟩ := lt_omega.1 h ** o : Ordinal.{u_1} h : o < Ο‰ n : β„• e : o = ↑n ⊒ succ o < Ο‰ ** rw [e] ** o : Ordinal.{u_1} h : o < Ο‰ n : β„• e : o = ↑n ⊒ succ ↑n < Ο‰ ** exact nat_lt_omega (n + 1) ** Qed
Ordinal.omega_le ** o : Ordinal.{u_1} H : βˆ€ (n : β„•), ↑n ≀ o a : Ordinal.{u_1} h : a < Ο‰ ⊒ a < o ** let ⟨n, e⟩ := lt_omega.1 h ** o : Ordinal.{u_1} H : βˆ€ (n : β„•), ↑n ≀ o a : Ordinal.{u_1} h : a < Ο‰ n : β„• e : a = ↑n ⊒ a < o ** rw [e, ← succ_le_iff] ** o : Ordinal.{u_1} H : βˆ€ (n : β„•), ↑n ≀ o a : Ordinal.{u_1} h : a < Ο‰ n : β„• e : a = ↑n ⊒ succ ↑n ≀ o ** exact H (n + 1) ** Qed
Ordinal.isLimit_iff_omega_dvd ** a : Ordinal.{u_1} ⊒ IsLimit a ↔ a β‰  0 ∧ Ο‰ ∣ a ** refine' ⟨fun l => ⟨l.1, ⟨a / Ο‰, le_antisymm _ (mul_div_le _ _)⟩⟩, fun h => _⟩ ** case refine'_1 a : Ordinal.{u_1} l : IsLimit a ⊒ a ≀ Ο‰ * (a / Ο‰) ** refine' (limit_le l).2 fun x hx => le_of_lt _ ** case refine'_1 a : Ordinal.{u_1} l : IsLimit a x : Ordinal.{u_1} hx : x < a ⊒ x < Ο‰ * (a / Ο‰) ** rw [← div_lt omega_ne_zero, ← succ_le_iff, le_div omega_ne_zero, mul_succ, add_le_of_limit omega_isLimit] ** case refine'_1 a : Ordinal.{u_1} l : IsLimit a x : Ordinal.{u_1} hx : x < a ⊒ βˆ€ (b' : Ordinal.{u_1}), b' < Ο‰ β†’ Ο‰ * (x / Ο‰) + b' ≀ a ** intro b hb ** case refine'_1 a : Ordinal.{u_1} l : IsLimit a x : Ordinal.{u_1} hx : x < a b : Ordinal.{u_1} hb : b < Ο‰ ⊒ Ο‰ * (x / Ο‰) + b ≀ a ** rcases lt_omega.1 hb with ⟨n, rfl⟩ ** case refine'_1.intro a : Ordinal.{u_1} l : IsLimit a x : Ordinal.{u_1} hx : x < a n : β„• hb : ↑n < Ο‰ ⊒ Ο‰ * (x / Ο‰) + ↑n ≀ a ** exact (add_le_add_right (mul_div_le _ _) _).trans (lt_sub.1 <| nat_lt_limit (sub_isLimit l hx) _).le ** case refine'_2 a : Ordinal.{u_1} h : a β‰  0 ∧ Ο‰ ∣ a ⊒ IsLimit a ** rcases h with ⟨a0, b, rfl⟩ ** case refine'_2.intro.intro b : Ordinal.{u_1} a0 : Ο‰ * b β‰  0 ⊒ IsLimit (Ο‰ * b) ** refine' mul_isLimit_left omega_isLimit (Ordinal.pos_iff_ne_zero.2 <| mt _ a0) ** case refine'_2.intro.intro b : Ordinal.{u_1} a0 : Ο‰ * b β‰  0 ⊒ b = 0 β†’ Ο‰ * b = 0 ** intro e ** case refine'_2.intro.intro b : Ordinal.{u_1} a0 : Ο‰ * b β‰  0 e : b = 0 ⊒ Ο‰ * b = 0 ** simp only [e, mul_zero] ** Qed
Ordinal.add_mul_limit_aux ** a b c : Ordinal.{u_1} ba : b + a = a l : IsLimit c IH : βˆ€ (c' : Ordinal.{u_1}), c' < c β†’ (a + b) * succ c' = a * succ c' + b c' : Ordinal.{u_1} h : c' < c ⊒ (a + b) * c' ≀ a * c ** apply (mul_le_mul_left' (le_succ c') _).trans ** a b c : Ordinal.{u_1} ba : b + a = a l : IsLimit c IH : βˆ€ (c' : Ordinal.{u_1}), c' < c β†’ (a + b) * succ c' = a * succ c' + b c' : Ordinal.{u_1} h : c' < c ⊒ (a + b) * succ c' ≀ a * c ** rw [IH _ h] ** a b c : Ordinal.{u_1} ba : b + a = a l : IsLimit c IH : βˆ€ (c' : Ordinal.{u_1}), c' < c β†’ (a + b) * succ c' = a * succ c' + b c' : Ordinal.{u_1} h : c' < c ⊒ a * succ c' + b ≀ a * c ** apply (add_le_add_left _ _).trans ** a b c : Ordinal.{u_1} ba : b + a = a l : IsLimit c IH : βˆ€ (c' : Ordinal.{u_1}), c' < c β†’ (a + b) * succ c' = a * succ c' + b c' : Ordinal.{u_1} h : c' < c ⊒ a * succ c' + ?m.434798 ≀ a * c ** rw [← mul_succ] ** a b c : Ordinal.{u_1} ba : b + a = a l : IsLimit c IH : βˆ€ (c' : Ordinal.{u_1}), c' < c β†’ (a + b) * succ c' = a * succ c' + b c' : Ordinal.{u_1} h : c' < c ⊒ a * succ (succ c') ≀ a * c ** exact mul_le_mul_left' (succ_le_of_lt <| l.2 _ h) _ ** a b c : Ordinal.{u_1} ba : b + a = a l : IsLimit c IH : βˆ€ (c' : Ordinal.{u_1}), c' < c β†’ (a + b) * succ c' = a * succ c' + b c' : Ordinal.{u_1} h : c' < c ⊒ b ≀ a ** rw [← ba] ** a b c : Ordinal.{u_1} ba : b + a = a l : IsLimit c IH : βˆ€ (c' : Ordinal.{u_1}), c' < c β†’ (a + b) * succ c' = a * succ c' + b c' : Ordinal.{u_1} h : c' < c ⊒ b ≀ b + a ** exact le_add_right _ _ ** Qed
Ordinal.add_mul_succ ** a b c : Ordinal.{u_1} ba : b + a = a ⊒ (a + b) * succ c = a * succ c + b ** induction c using limitRecOn with | H₁ => simp only [succ_zero, mul_one] | Hβ‚‚ c IH => rw [mul_succ, IH, ← add_assoc, add_assoc _ b, ba, ← mul_succ] | H₃ c l IH => rw [mul_succ, add_mul_limit_aux ba l IH, mul_succ, add_assoc] ** case H₁ a b : Ordinal.{u_1} ba : b + a = a ⊒ (a + b) * succ 0 = a * succ 0 + b ** simp only [succ_zero, mul_one] ** case Hβ‚‚ a b : Ordinal.{u_1} ba : b + a = a c : Ordinal.{u_1} IH : (a + b) * succ c = a * succ c + b ⊒ (a + b) * succ (succ c) = a * succ (succ c) + b ** rw [mul_succ, IH, ← add_assoc, add_assoc _ b, ba, ← mul_succ] ** case H₃ a b : Ordinal.{u_1} ba : b + a = a c : Ordinal.{u_1} l : IsLimit c IH : βˆ€ (o' : Ordinal.{u_1}), o' < c β†’ (a + b) * succ o' = a * succ o' + b ⊒ (a + b) * succ c = a * succ c + b ** rw [mul_succ, add_mul_limit_aux ba l IH, mul_succ, add_assoc] ** Qed
Ordinal.add_le_of_forall_add_lt ** a b c : Ordinal.{u_1} hb : 0 < b h : βˆ€ (d : Ordinal.{u_1}), d < b β†’ a + d < c ⊒ a + b ≀ c ** have H : a + (c - a) = c := Ordinal.add_sub_cancel_of_le (by rw [← add_zero a] exact (h _ hb).le) ** a b c : Ordinal.{u_1} hb : 0 < b h : βˆ€ (d : Ordinal.{u_1}), d < b β†’ a + d < c H : a + (c - a) = c ⊒ a + b ≀ c ** rw [← H] ** a b c : Ordinal.{u_1} hb : 0 < b h : βˆ€ (d : Ordinal.{u_1}), d < b β†’ a + d < c H : a + (c - a) = c ⊒ a + b ≀ a + (c - a) ** apply add_le_add_left _ a ** a b c : Ordinal.{u_1} hb : 0 < b h : βˆ€ (d : Ordinal.{u_1}), d < b β†’ a + d < c H : a + (c - a) = c ⊒ b ≀ c - a ** by_contra' hb ** a b c : Ordinal.{u_1} hb✝ : 0 < b h : βˆ€ (d : Ordinal.{u_1}), d < b β†’ a + d < c H : a + (c - a) = c hb : c - a < b ⊒ False ** exact (h _ hb).ne H ** a b c : Ordinal.{u_1} hb : 0 < b h : βˆ€ (d : Ordinal.{u_1}), d < b β†’ a + d < c ⊒ a ≀ c ** rw [← add_zero a] ** a b c : Ordinal.{u_1} hb : 0 < b h : βˆ€ (d : Ordinal.{u_1}), d < b β†’ a + d < c ⊒ a + 0 ≀ c ** exact (h _ hb).le ** Qed
Ordinal.IsNormal.apply_omega ** f : Ordinal.{u} β†’ Ordinal.{u} hf : IsNormal f ⊒ Ordinal.sup (f ∘ Nat.cast) = f Ο‰ ** rw [← sup_nat_cast, IsNormal.sup.{0, u, u} hf] ** Qed
Ordinal.sup_mul_nat ** o : Ordinal.{u_1} ⊒ (sup fun n => o * ↑n) = o * Ο‰ ** rcases eq_zero_or_pos o with (rfl | ho) ** case inl ⊒ (sup fun n => 0 * ↑n) = 0 * Ο‰ ** rw [zero_mul] ** case inl ⊒ (sup fun n => 0 * ↑n) = 0 ** exact sup_eq_zero_iff.2 fun n => zero_mul (n : Ordinal) ** case inr o : Ordinal.{u_1} ho : 0 < o ⊒ (sup fun n => o * ↑n) = o * Ο‰ ** exact (mul_isNormal ho).apply_omega ** Qed
Acc.rank_eq ** Ξ± : Type u r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop a b : Ξ± h : Acc r a ⊒ rank h = sup fun b => succ (rank (_ : Acc r ↑b)) ** change (Acc.intro a fun _ => h.inv).rank = _ ** Ξ± : Type u r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop a b : Ξ± h : Acc r a ⊒ rank (_ : Acc (fun x => r x) a) = sup fun b => succ (rank (_ : Acc r ↑b)) ** rfl ** Qed
Acc.rank_lt_of_rel ** Ξ± : Type u r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop a b : Ξ± hb : Acc r b h : r a b ⊒ succ (rank (_ : Acc r a)) ≀ rank hb ** rw [hb.rank_eq] ** Ξ± : Type u r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop a b : Ξ± hb : Acc r b h : r a b ⊒ succ (rank (_ : Acc r a)) ≀ sup fun b_1 => succ (rank (_ : Acc r ↑b_1)) ** refine' le_trans _ (Ordinal.le_sup _ ⟨a, h⟩) ** Ξ± : Type u r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop a b : Ξ± hb : Acc r b h : r a b ⊒ succ (rank (_ : Acc r a)) ≀ succ (rank (_ : Acc r ↑{ val := a, property := h })) ** rfl ** Qed
WellFounded.rank_eq ** Ξ± : Type u r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop a b : Ξ± hwf : WellFounded r ⊒ rank hwf a = sup fun b => succ (rank hwf ↑b) ** rw [rank, Acc.rank_eq] ** Ξ± : Type u r : Ξ± β†’ Ξ± β†’ Prop a b : Ξ± hwf : WellFounded r ⊒ (sup fun b => succ (Acc.rank (_ : Acc r ↑b))) = sup fun b => succ (rank hwf ↑b) ** rfl ** Qed
TopCat.Presheaf.stalkToFiber_surjective ** X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X ⊒ Function.Surjective (stalkToFiber F x) ** apply TopCat.stalkToFiber_surjective ** case w X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X ⊒ βˆ€ (t : stalk F x), βˆƒ U f x_1, f { val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } = t ** intro t ** case w X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X t : stalk F x ⊒ βˆƒ U f x_1, f { val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } = t ** obtain ⟨U, m, s, rfl⟩ := F.germ_exist _ t ** case w.intro.intro.intro X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U : Opens ↑X m : x ∈ U s : (forget (Type v)).obj (F.obj (op U)) ⊒ βˆƒ U_1 f x_1, f { val := x, property := (_ : x ∈ U_1.obj) } = ↑(germ F { val := x, property := m }) s ** use ⟨U, m⟩ ** case h X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U : Opens ↑X m : x ∈ U s : (forget (Type v)).obj (F.obj (op U)) ⊒ βˆƒ f x_1, f { val := x, property := (_ : x ∈ { obj := U, property := m }.obj) } = ↑(germ F { val := x, property := m }) s ** fconstructor ** case h.w X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U : Opens ↑X m : x ∈ U s : (forget (Type v)).obj (F.obj (op U)) ⊒ (y : { x_1 // x_1 ∈ { obj := U, property := m }.obj }) β†’ stalk F ↑y ** exact fun y => F.germ y s ** case h.h X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U : Opens ↑X m : x ∈ U s : (forget (Type v)).obj (F.obj (op U)) ⊒ βˆƒ x_1, germ F { val := x, property := (_ : x ∈ { obj := U, property := m }.obj) } s = ↑(germ F { val := x, property := m }) s ** exact ⟨PrelocalPredicate.sheafifyOf ⟨s, fun _ => rfl⟩, rfl⟩ ** Qed
TopCat.Presheaf.stalkToFiber_injective ** X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X ⊒ Function.Injective (stalkToFiber F x) ** apply TopCat.stalkToFiber_injective ** case w X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X ⊒ βˆ€ (U V : OpenNhds x) (fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y), PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU β†’ βˆ€ (fV : (y : { x_2 // x_2 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y), PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV β†’ fU { val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } = fV { val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } β†’ βˆƒ W iU iV, βˆ€ (w : { x_4 // x_4 ∈ W.obj }), fU ((fun x_4 => { val := ↑x_4, property := (_ : ↑x_4 ∈ ↑U.obj) }) w) = fV ((fun x_4 => { val := ↑x_4, property := (_ : ↑x_4 ∈ ↑V.obj) }) w) ** intro U V fU hU fV hV e ** case w X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV e : fU { val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } = fV { val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } ⊒ βˆƒ W iU iV, βˆ€ (w : { x_1 // x_1 ∈ W.obj }), fU ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑U.obj) }) w) = fV ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑V.obj) }) w) ** rcases hU ⟨x, U.2⟩ with ⟨U', mU, iU, gU, wU⟩ ** case w.intro.intro.intro.intro X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV e : fU { val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } = fV { val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } U' : Opens ↑X mU : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } ∈ U' iU : U' ⟢ U.obj gU : F.obj (op U') wU : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ U' }), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑U.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gU ⊒ βˆƒ W iU iV, βˆ€ (w : { x_1 // x_1 ∈ W.obj }), fU ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑U.obj) }) w) = fV ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑V.obj) }) w) ** rcases hV ⟨x, V.2⟩ with ⟨V', mV, iV, gV, wV⟩ ** case w.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV e : fU { val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } = fV { val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } U' : Opens ↑X mU : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } ∈ U' iU : U' ⟢ U.obj gU : F.obj (op U') wU : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ U' }), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑U.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gU V' : Opens ↑X mV : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } ∈ V' iV : V' ⟢ V.obj gV : F.obj (op V') wV : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ V' }), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑V.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gV ⊒ βˆƒ W iU iV, βˆ€ (w : { x_1 // x_1 ∈ W.obj }), fU ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑U.obj) }) w) = fV ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑V.obj) }) w) ** have wUx := wU ⟨x, mU⟩ ** case w.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV e : fU { val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } = fV { val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } U' : Opens ↑X mU : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } ∈ U' iU : U' ⟢ U.obj gU : F.obj (op U') wU : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ U' }), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑U.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gU V' : Opens ↑X mV : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } ∈ V' iV : V' ⟢ V.obj gV : F.obj (op V') wV : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ V' }), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑V.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gV wUx : (fun x_1 => fU ((fun x_2 => { val := ↑x_2, property := (_ : ↑x_2 ∈ ↑U.obj) }) x_1)) { val := x, property := mU } = germ F { val := x, property := mU } gU ⊒ βˆƒ W iU iV, βˆ€ (w : { x_1 // x_1 ∈ W.obj }), fU ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑U.obj) }) w) = fV ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑V.obj) }) w) ** dsimp at wUx ** case w.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV e : fU { val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } = fV { val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } U' : Opens ↑X mU : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } ∈ U' iU : U' ⟢ U.obj gU : F.obj (op U') wU : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ U' }), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑U.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gU V' : Opens ↑X mV : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } ∈ V' iV : V' ⟢ V.obj gV : F.obj (op V') wV : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ V' }), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑V.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gV wUx : fU { val := x, property := (_ : ↑{ val := x, property := mU } ∈ ↑U.obj) } = germ F { val := x, property := mU } gU ⊒ βˆƒ W iU iV, βˆ€ (w : { x_1 // x_1 ∈ W.obj }), fU ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑U.obj) }) w) = fV ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑V.obj) }) w) ** erw [wUx] at e ** case w.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV U' : Opens ↑X mU : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } ∈ U' iU : U' ⟢ U.obj gU : F.obj (op U') e : germ F { val := x, property := mU } gU = fV { val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } wU : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ U' }), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑U.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gU V' : Opens ↑X mV : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } ∈ V' iV : V' ⟢ V.obj gV : F.obj (op V') wV : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ V' }), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑V.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gV wUx : fU { val := x, property := (_ : ↑{ val := x, property := mU } ∈ ↑U.obj) } = germ F { val := x, property := mU } gU ⊒ βˆƒ W iU iV, βˆ€ (w : { x_1 // x_1 ∈ W.obj }), fU ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑U.obj) }) w) = fV ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑V.obj) }) w) ** clear wUx ** case w.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV U' : Opens ↑X mU : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } ∈ U' iU : U' ⟢ U.obj gU : F.obj (op U') e : germ F { val := x, property := mU } gU = fV { val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } wU : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ U' }), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑U.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gU V' : Opens ↑X mV : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } ∈ V' iV : V' ⟢ V.obj gV : F.obj (op V') wV : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ V' }), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑V.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gV ⊒ βˆƒ W iU iV, βˆ€ (w : { x_1 // x_1 ∈ W.obj }), fU ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑U.obj) }) w) = fV ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑V.obj) }) w) ** have wVx := wV ⟨x, mV⟩ ** case w.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV U' : Opens ↑X mU : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } ∈ U' iU : U' ⟢ U.obj gU : F.obj (op U') e : germ F { val := x, property := mU } gU = fV { val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } wU : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ U' }), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑U.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gU V' : Opens ↑X mV : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } ∈ V' iV : V' ⟢ V.obj gV : F.obj (op V') wV : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ V' }), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑V.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gV wVx : (fun x_1 => fV ((fun x_2 => { val := ↑x_2, property := (_ : ↑x_2 ∈ ↑V.obj) }) x_1)) { val := x, property := mV } = germ F { val := x, property := mV } gV ⊒ βˆƒ W iU iV, βˆ€ (w : { x_1 // x_1 ∈ W.obj }), fU ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑U.obj) }) w) = fV ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑V.obj) }) w) ** dsimp at wVx ** case w.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV U' : Opens ↑X mU : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } ∈ U' iU : U' ⟢ U.obj gU : F.obj (op U') e : germ F { val := x, property := mU } gU = fV { val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } wU : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ U' }), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑U.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gU V' : Opens ↑X mV : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } ∈ V' iV : V' ⟢ V.obj gV : F.obj (op V') wV : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ V' }), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑V.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gV wVx : fV { val := x, property := (_ : ↑{ val := x, property := mV } ∈ ↑V.obj) } = germ F { val := x, property := mV } gV ⊒ βˆƒ W iU iV, βˆ€ (w : { x_1 // x_1 ∈ W.obj }), fU ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑U.obj) }) w) = fV ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑V.obj) }) w) ** erw [wVx] at e ** case w.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV U' : Opens ↑X mU : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } ∈ U' iU : U' ⟢ U.obj gU : F.obj (op U') wU : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ U' }), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑U.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gU V' : Opens ↑X mV : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } ∈ V' iV : V' ⟢ V.obj gV : F.obj (op V') e : germ F { val := x, property := mU } gU = germ F { val := x, property := mV } gV wV : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ V' }), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑V.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gV wVx : fV { val := x, property := (_ : ↑{ val := x, property := mV } ∈ ↑V.obj) } = germ F { val := x, property := mV } gV ⊒ βˆƒ W iU iV, βˆ€ (w : { x_1 // x_1 ∈ W.obj }), fU ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑U.obj) }) w) = fV ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑V.obj) }) w) ** clear wVx ** case w.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV U' : Opens ↑X mU : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } ∈ U' iU : U' ⟢ U.obj gU : F.obj (op U') wU : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ U' }), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑U.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gU V' : Opens ↑X mV : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } ∈ V' iV : V' ⟢ V.obj gV : F.obj (op V') e : germ F { val := x, property := mU } gU = germ F { val := x, property := mV } gV wV : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ V' }), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑V.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gV ⊒ βˆƒ W iU iV, βˆ€ (w : { x_1 // x_1 ∈ W.obj }), fU ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑U.obj) }) w) = fV ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑V.obj) }) w) ** rcases F.germ_eq x mU mV gU gV e with ⟨W, mW, iU', iV', (e' : F.map iU'.op gU = F.map iV'.op gV)⟩ ** case w.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV U' : Opens ↑X mU : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } ∈ U' iU : U' ⟢ U.obj gU : F.obj (op U') wU : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ U' }), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑U.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gU V' : Opens ↑X mV : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } ∈ V' iV : V' ⟢ V.obj gV : F.obj (op V') e : germ F { val := x, property := mU } gU = germ F { val := x, property := mV } gV wV : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ V' }), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑V.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gV W : Opens ↑X mW : x ∈ W iU' : W ⟢ U' iV' : W ⟢ V' e' : F.map iU'.op gU = F.map iV'.op gV ⊒ βˆƒ W iU iV, βˆ€ (w : { x_1 // x_1 ∈ W.obj }), fU ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑U.obj) }) w) = fV ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑V.obj) }) w) ** use ⟨W βŠ“ (U' βŠ“ V'), ⟨mW, mU, mV⟩⟩ ** case h X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV U' : Opens ↑X mU : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } ∈ U' iU : U' ⟢ U.obj gU : F.obj (op U') wU : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ U' }), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑U.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gU V' : Opens ↑X mV : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } ∈ V' iV : V' ⟢ V.obj gV : F.obj (op V') e : germ F { val := x, property := mU } gU = germ F { val := x, property := mV } gV wV : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ V' }), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑V.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gV W : Opens ↑X mW : x ∈ W iU' : W ⟢ U' iV' : W ⟢ V' e' : F.map iU'.op gU = F.map iV'.op gV ⊒ βˆƒ iU iV, βˆ€ (w : { x_1 // x_1 ∈ { obj := W βŠ“ (U' βŠ“ V'), property := (_ : x ∈ ↑W ∧ x ∈ ↑(U' βŠ“ V')) }.obj }), fU ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑U.obj) }) w) = fV ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑V.obj) }) w) ** refine' ⟨_, _, _⟩ ** case h.refine'_1 X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV U' : Opens ↑X mU : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } ∈ U' iU : U' ⟢ U.obj gU : F.obj (op U') wU : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ U' }), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑U.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gU V' : Opens ↑X mV : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } ∈ V' iV : V' ⟢ V.obj gV : F.obj (op V') e : germ F { val := x, property := mU } gU = germ F { val := x, property := mV } gV wV : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ V' }), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑V.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gV W : Opens ↑X mW : x ∈ W iU' : W ⟢ U' iV' : W ⟢ V' e' : F.map iU'.op gU = F.map iV'.op gV ⊒ { obj := W βŠ“ (U' βŠ“ V'), property := (_ : x ∈ ↑W ∧ x ∈ ↑(U' βŠ“ V')) } ⟢ U ** change W βŠ“ (U' βŠ“ V') ⟢ U.obj ** case h.refine'_1 X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV U' : Opens ↑X mU : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } ∈ U' iU : U' ⟢ U.obj gU : F.obj (op U') wU : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ U' }), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑U.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gU V' : Opens ↑X mV : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } ∈ V' iV : V' ⟢ V.obj gV : F.obj (op V') e : germ F { val := x, property := mU } gU = germ F { val := x, property := mV } gV wV : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ V' }), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑V.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gV W : Opens ↑X mW : x ∈ W iU' : W ⟢ U' iV' : W ⟢ V' e' : F.map iU'.op gU = F.map iV'.op gV ⊒ W βŠ“ (U' βŠ“ V') ⟢ U.obj ** exact Opens.infLERight _ _ ≫ Opens.infLELeft _ _ ≫ iU ** case h.refine'_2 X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV U' : Opens ↑X mU : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } ∈ U' iU : U' ⟢ U.obj gU : F.obj (op U') wU : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ U' }), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑U.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gU V' : Opens ↑X mV : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } ∈ V' iV : V' ⟢ V.obj gV : F.obj (op V') e : germ F { val := x, property := mU } gU = germ F { val := x, property := mV } gV wV : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ V' }), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑V.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gV W : Opens ↑X mW : x ∈ W iU' : W ⟢ U' iV' : W ⟢ V' e' : F.map iU'.op gU = F.map iV'.op gV ⊒ { obj := W βŠ“ (U' βŠ“ V'), property := (_ : x ∈ ↑W ∧ x ∈ ↑(U' βŠ“ V')) } ⟢ V ** change W βŠ“ (U' βŠ“ V') ⟢ V.obj ** case h.refine'_2 X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV U' : Opens ↑X mU : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } ∈ U' iU : U' ⟢ U.obj gU : F.obj (op U') wU : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ U' }), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑U.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gU V' : Opens ↑X mV : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } ∈ V' iV : V' ⟢ V.obj gV : F.obj (op V') e : germ F { val := x, property := mU } gU = germ F { val := x, property := mV } gV wV : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ V' }), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑V.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gV W : Opens ↑X mW : x ∈ W iU' : W ⟢ U' iV' : W ⟢ V' e' : F.map iU'.op gU = F.map iV'.op gV ⊒ W βŠ“ (U' βŠ“ V') ⟢ V.obj ** exact Opens.infLERight _ _ ≫ Opens.infLERight _ _ ≫ iV ** case h.refine'_3 X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV U' : Opens ↑X mU : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } ∈ U' iU : U' ⟢ U.obj gU : F.obj (op U') wU : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ U' }), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑U.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gU V' : Opens ↑X mV : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } ∈ V' iV : V' ⟢ V.obj gV : F.obj (op V') e : germ F { val := x, property := mU } gU = germ F { val := x, property := mV } gV wV : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ V' }), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑V.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gV W : Opens ↑X mW : x ∈ W iU' : W ⟢ U' iV' : W ⟢ V' e' : F.map iU'.op gU = F.map iV'.op gV ⊒ βˆ€ (w : { x_1 // x_1 ∈ { obj := W βŠ“ (U' βŠ“ V'), property := (_ : x ∈ ↑W ∧ x ∈ ↑(U' βŠ“ V')) }.obj }), fU ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑U.obj) }) w) = fV ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑V.obj) }) w) ** intro w ** case h.refine'_3 X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV U' : Opens ↑X mU : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } ∈ U' iU : U' ⟢ U.obj gU : F.obj (op U') wU : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ U' }), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑U.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gU V' : Opens ↑X mV : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } ∈ V' iV : V' ⟢ V.obj gV : F.obj (op V') e : germ F { val := x, property := mU } gU = germ F { val := x, property := mV } gV wV : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ V' }), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑V.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gV W : Opens ↑X mW : x ∈ W iU' : W ⟢ U' iV' : W ⟢ V' e' : F.map iU'.op gU = F.map iV'.op gV w : { x_1 // x_1 ∈ { obj := W βŠ“ (U' βŠ“ V'), property := (_ : x ∈ ↑W ∧ x ∈ ↑(U' βŠ“ V')) }.obj } ⊒ fU ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑U.obj) }) w) = fV ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑V.obj) }) w) ** specialize wU ⟨w.1, w.2.2.1⟩ ** case h.refine'_3 X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV U' : Opens ↑X mU : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } ∈ U' iU : U' ⟢ U.obj gU : F.obj (op U') V' : Opens ↑X mV : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } ∈ V' iV : V' ⟢ V.obj gV : F.obj (op V') e : germ F { val := x, property := mU } gU = germ F { val := x, property := mV } gV wV : βˆ€ (x_1 : { x // x ∈ V' }), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => { val := ↑x_3, property := (_ : ↑x_3 ∈ ↑V.obj) }) x_2)) x_1 = germ F x_1 gV W : Opens ↑X mW : x ∈ W iU' : W ⟢ U' iV' : W ⟢ V' e' : F.map iU'.op gU = F.map iV'.op gV w : { x_1 // x_1 ∈ { obj := W βŠ“ (U' βŠ“ V'), property := (_ : x ∈ ↑W ∧ x ∈ ↑(U' βŠ“ V')) }.obj } wU : (fun x_1 => fU ((fun x_2 => { val := ↑x_2, property := (_ : ↑x_2 ∈ ↑U.obj) }) x_1)) { val := ↑w, property := (_ : ↑w ∈ ↑U') } = germ F { val := ↑w, property := (_ : ↑w ∈ ↑U') } gU ⊒ fU ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑U.obj) }) w) = fV ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑V.obj) }) w) ** specialize wV ⟨w.1, w.2.2.2⟩ ** case h.refine'_3 X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV U' : Opens ↑X mU : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } ∈ U' iU : U' ⟢ U.obj gU : F.obj (op U') V' : Opens ↑X mV : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } ∈ V' iV : V' ⟢ V.obj gV : F.obj (op V') e : germ F { val := x, property := mU } gU = germ F { val := x, property := mV } gV W : Opens ↑X mW : x ∈ W iU' : W ⟢ U' iV' : W ⟢ V' e' : F.map iU'.op gU = F.map iV'.op gV w : { x_1 // x_1 ∈ { obj := W βŠ“ (U' βŠ“ V'), property := (_ : x ∈ ↑W ∧ x ∈ ↑(U' βŠ“ V')) }.obj } wU : (fun x_1 => fU ((fun x_2 => { val := ↑x_2, property := (_ : ↑x_2 ∈ ↑U.obj) }) x_1)) { val := ↑w, property := (_ : ↑w ∈ ↑U') } = germ F { val := ↑w, property := (_ : ↑w ∈ ↑U') } gU wV : (fun x_1 => fV ((fun x_2 => { val := ↑x_2, property := (_ : ↑x_2 ∈ ↑V.obj) }) x_1)) { val := ↑w, property := (_ : ↑w ∈ ↑V') } = germ F { val := ↑w, property := (_ : ↑w ∈ ↑V') } gV ⊒ fU ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑U.obj) }) w) = fV ((fun x_1 => { val := ↑x_1, property := (_ : ↑x_1 ∈ ↑V.obj) }) w) ** dsimp at wU wV ⊒ ** case h.refine'_3 X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X U V : OpenNhds x fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) β†’ stalk F ↑y hU : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fU fV : (y : { x_1 // x_1 ∈ V.obj }) β†’ stalk F ↑y hV : PrelocalPredicate.pred (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate fV U' : Opens ↑X mU : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } ∈ U' iU : U' ⟢ U.obj gU : F.obj (op U') V' : Opens ↑X mV : ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ V.obj) } ∈ V' iV : V' ⟢ V.obj gV : F.obj (op V') e : germ F { val := x, property := mU } gU = germ F { val := x, property := mV } gV W : Opens ↑X mW : x ∈ W iU' : W ⟢ U' iV' : W ⟢ V' e' : F.map iU'.op gU = F.map iV'.op gV w : { x_1 // x_1 ∈ { obj := W βŠ“ (U' βŠ“ V'), property := (_ : x ∈ ↑W ∧ x ∈ ↑(U' βŠ“ V')) }.obj } wU : fU { val := ↑w, property := (_ : ↑{ val := ↑w, property := (_ : ↑w ∈ ↑U') } ∈ ↑U.obj) } = germ F { val := ↑w, property := (_ : ↑w ∈ ↑U') } gU wV : fV { val := ↑w, property := (_ : ↑{ val := ↑w, property := (_ : ↑w ∈ ↑V') } ∈ ↑V.obj) } = germ F { val := ↑w, property := (_ : ↑w ∈ ↑V') } gV ⊒ fU { val := ↑w, property := (_ : ↑w ∈ ↑U.obj) } = fV { val := ↑w, property := (_ : ↑w ∈ ↑V.obj) } ** erw [wU, ← F.germ_res iU' ⟨w, w.2.1⟩, wV, ← F.germ_res iV' ⟨w, w.2.1⟩, CategoryTheory.types_comp_apply, CategoryTheory.types_comp_apply, e'] ** Qed
Nat.card_eq_of_equiv_fin ** α✝ : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ± : Type u_3 n : β„• f : Ξ± ≃ Fin n ⊒ Nat.card Ξ± = n ** simpa only [card_eq_fintype_card, Fintype.card_fin] using card_congr f ** Qed
Nat.card_of_subsingleton ** α : Type u_1 β : Type u_2 a : α inst✝ : Subsingleton α ⊒ Nat.card α = 1 ** letI := Fintype.ofSubsingleton a ** α : Type u_1 β : Type u_2 a : α inst✝ : Subsingleton α this : Fintype α := Fintype.ofSubsingleton a ⊒ Nat.card α = 1 ** rw [card_eq_fintype_card, Fintype.card_ofSubsingleton a] ** Qed
Nat.card_of_isEmpty ** α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : IsEmpty α ⊒ Nat.card α = 0 ** simp ** Qed
Nat.card_sum ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 inst✝¹ : Finite Ξ± inst✝ : Finite Ξ² ⊒ Nat.card (Ξ± βŠ• Ξ²) = Nat.card Ξ± + Nat.card Ξ² ** have := Fintype.ofFinite Ξ± ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 inst✝¹ : Finite Ξ± inst✝ : Finite Ξ² this : Fintype Ξ± ⊒ Nat.card (Ξ± βŠ• Ξ²) = Nat.card Ξ± + Nat.card Ξ² ** have := Fintype.ofFinite Ξ² ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 inst✝¹ : Finite Ξ± inst✝ : Finite Ξ² this✝ : Fintype Ξ± this : Fintype Ξ² ⊒ Nat.card (Ξ± βŠ• Ξ²) = Nat.card Ξ± + Nat.card Ξ² ** simp_rw [Nat.card_eq_fintype_card, Fintype.card_sum] ** Qed
Nat.card_prod ** α✝ : Type u_1 β✝ : Type u_2 Ξ± : Type u_3 Ξ² : Type u_4 ⊒ Nat.card (Ξ± Γ— Ξ²) = Nat.card Ξ± * Nat.card Ξ² ** simp only [Nat.card, mk_prod, toNat_mul, toNat_lift] ** Qed
Nat.card_pi ** Ξ± : Type u_1 β✝ : Type u_2 Ξ² : Ξ± β†’ Type u_3 inst✝ : Fintype Ξ± ⊒ Nat.card ((a : Ξ±) β†’ Ξ² a) = ∏ a : Ξ±, Nat.card (Ξ² a) ** simp_rw [Nat.card, mk_pi, prod_eq_of_fintype, toNat_lift, toNat_finset_prod] ** Qed
Nat.card_fun ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 inst✝ : Finite Ξ± ⊒ Nat.card (Ξ± β†’ Ξ²) = Nat.card Ξ² ^ Nat.card Ξ± ** haveI := Fintype.ofFinite Ξ± ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 inst✝ : Finite Ξ± this : Fintype Ξ± ⊒ Nat.card (Ξ± β†’ Ξ²) = Nat.card Ξ² ^ Nat.card Ξ± ** rw [Nat.card_pi, Finset.prod_const, Finset.card_univ, ← Nat.card_eq_fintype_card] ** Qed
Nat.card_zmod ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 n : β„• ⊒ Nat.card (ZMod n) = n ** cases n ** case zero Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 ⊒ Nat.card (ZMod zero) = zero ** exact @Nat.card_eq_zero_of_infinite _ Int.infinite ** case succ Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 n✝ : β„• ⊒ Nat.card (ZMod (succ n✝)) = succ n✝ ** rw [Nat.card_eq_fintype_card, ZMod.card] ** Qed
PartENat.card_sum ** α✝ : Type u_1 β✝ : Type u_2 Ξ± : Type u_3 Ξ² : Type u_4 ⊒ card (Ξ± βŠ• Ξ²) = card Ξ± + card Ξ² ** simp only [PartENat.card, Cardinal.mk_sum, map_add, Cardinal.toPartENat_lift] ** Qed
Cardinal.natCast_le_toPartENat_iff ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 n : β„• c : Cardinal.{u_3} ⊒ ↑n ≀ ↑toPartENat c ↔ ↑n ≀ c ** rw [← toPartENat_cast n, toPartENat_le_iff_of_le_aleph0 (le_of_lt (nat_lt_aleph0 n))] ** Qed
Cardinal.toPartENat_le_natCast_iff ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 c : Cardinal.{u_3} n : β„• ⊒ ↑toPartENat c ≀ ↑n ↔ c ≀ ↑n ** rw [← toPartENat_cast n, toPartENat_le_iff_of_lt_aleph0 (nat_lt_aleph0 n)] ** Qed
Cardinal.natCast_eq_toPartENat_iff ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 n : β„• c : Cardinal.{u_3} ⊒ ↑n = ↑toPartENat c ↔ ↑n = c ** rw [le_antisymm_iff, le_antisymm_iff, Cardinal.toPartENat_le_natCast_iff, Cardinal.natCast_le_toPartENat_iff] ** Qed
Cardinal.toPartENat_eq_natCast_iff ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 c : Cardinal.{u_3} n : β„• ⊒ ↑toPartENat c = ↑n ↔ c = ↑n ** rw [eq_comm, Cardinal.natCast_eq_toPartENat_iff, eq_comm] ** Qed
Cardinal.natCast_lt_toPartENat_iff ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 n : β„• c : Cardinal.{u_3} ⊒ ↑n < ↑toPartENat c ↔ ↑n < c ** simp only [← not_le, Cardinal.toPartENat_le_natCast_iff] ** Qed
Cardinal.toPartENat_lt_natCast_iff ** Ξ± : Type u_1 Ξ² : Type u_2 n : β„• c : Cardinal.{u_3} ⊒ ↑toPartENat c < ↑n ↔ c < ↑n ** simp only [← not_le, Cardinal.natCast_le_toPartENat_iff] ** Qed
PartENat.card_eq_zero_iff_empty ** α✝ : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ± : Type u_3 ⊒ card Ξ± = 0 ↔ IsEmpty Ξ± ** rw [← Cardinal.mk_eq_zero_iff] ** α✝ : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ± : Type u_3 ⊒ card Ξ± = 0 ↔ #Ξ± = 0 ** conv_rhs => rw [← Nat.cast_zero] ** α✝ : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ± : Type u_3 ⊒ card Ξ± = 0 ↔ #Ξ± = ↑0 ** simp only [← Cardinal.toPartENat_eq_natCast_iff] ** α✝ : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ± : Type u_3 ⊒ card Ξ± = 0 ↔ ↑toPartENat #Ξ± = ↑0 ** simp only [PartENat.card, Nat.cast_zero] ** Qed
PartENat.card_le_one_iff_subsingleton ** α✝ : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ± : Type u_3 ⊒ card Ξ± ≀ 1 ↔ Subsingleton Ξ± ** rw [← le_one_iff_subsingleton] ** α✝ : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ± : Type u_3 ⊒ card Ξ± ≀ 1 ↔ #Ξ± ≀ 1 ** conv_rhs => rw [← Nat.cast_one] ** α✝ : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ± : Type u_3 ⊒ card Ξ± ≀ 1 ↔ #Ξ± ≀ ↑1 ** rw [← Cardinal.toPartENat_le_natCast_iff] ** α✝ : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ± : Type u_3 ⊒ card Ξ± ≀ 1 ↔ ↑toPartENat #Ξ± ≀ ↑1 ** simp only [PartENat.card, Nat.cast_one] ** Qed
PartENat.one_lt_card_iff_nontrivial ** α✝ : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ± : Type u_3 ⊒ 1 < card Ξ± ↔ Nontrivial Ξ± ** rw [← Cardinal.one_lt_iff_nontrivial] ** α✝ : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ± : Type u_3 ⊒ 1 < card Ξ± ↔ 1 < #Ξ± ** conv_rhs => rw [← Nat.cast_one] ** α✝ : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ± : Type u_3 ⊒ 1 < card Ξ± ↔ ↑1 < #Ξ± ** rw [← natCast_lt_toPartENat_iff] ** α✝ : Type u_1 Ξ² : Type u_2 Ξ± : Type u_3 ⊒ 1 < card Ξ± ↔ ↑1 < ↑toPartENat #Ξ± ** simp only [PartENat.card, Nat.cast_one] ** Qed