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HamAndCheese82

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aihub_math_donut

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[ "$-2(x-1)-2(y+2)+1=0$", "$-2 x+2-2 y-4+1=0$", "$-2 x-2 y-1=0$", "$2 x+2 y-1=0$", "$\\displaystyle 2x+2y-1=0$ !!" ]

[ "$x^{2}+y^{2}-6 x+4 y=0 .$", "$(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=13 .$", "원의 중심이 $\\displaystyle (3,-2)$이므로", "$\\displaystyle a=-3, b=2$이다.", "반지름은 같으므로 $c=13$이다.", "$a+b+c=-3+2+13=12$", "$12$" ]

[ "$\\displaystyle y={x}^{2}-2ax+9={(x-a)}^{2}+9-{a}^{2}$의 꼭짓점의 좌표가", "$\\displaystyle (a,9-{a}^{2})$ 이므로 $\\displaystyle y$축에 대해 대칭이동한 점의 좌표는", "$\\displaystyle (-a, 9-{a}^{2})$이다. 따라서 ", "$9-a^{2}=-a+5$", "$a^{2}-a-4=0$", "이므로 $\\displaystyle a=\\frac{1 \\pm \\sqrt{17}}{2}$ 이다. $\\displaystyle a$는 양수이므로 $\\displaystyle a=\\frac{1+\\sqrt{17}}{2}$ 이다.", "$\\frac{1+\\sqrt{17}}{2}$" ]

[ "$\\displaystyle 5y=-2{x}^{2}+5$ 가 $\\displaystyle y$축에 대해 대칭이동한 도형은", "$5 y=-2(-x)^{2}+5$", "$=-2 x^{2}+5$", "$2 x^{2}+5 y-5=0$", "이다.", "$2 x^{2}+5 y-5=0$" ]

[ "$\\displaystyle 4y=4x+2$가 $\\displaystyle y=-x$에 대해 대칭이므로", "$\\displaystyle 4(-x) = 4(-y)+2 \\Rightarrow 4x=4y-2$ 이다.", "$4 x=4 y-2$" ]

[ "$x^{2}+y^{2}-10 x+8=0$", "$(x-5)^{2}+y^{2}=17$", "원의 중심은 $(5,0)$인데 $(3,1)$에 대칭이동하면", "$\\displaystyle ( 1,2)$이므로", "$(x-1)^2 +(y-2)^2 = 17$ 이다.", "$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=17$" ]

[ "$y=-2 x^{2}+8 x-2$", "$=-2\\left(x^{2}-4 x\\right)-2$", "$\\displaystyle =-2{(x-2)}^{2}+6$ $\\displaystyle \\to $ 꼭짓점 $\\displaystyle ( 2,6)$", "$\\displaystyle x$축으로 $\\displaystyle a+2, \\; y$축으로 $\\displaystyle a$만큼 평행이동", "하면, 꼭짓점은 $\\displaystyle (a+4, 6+a)$", "$\\displaystyle x$축 위에 있으므로 $\\displaystyle a = -6$.", "꼭짓점 좌표는 $\\displaystyle (-2, 0)$", "$(-2,0)$" ]

[ "$(a,-1) \\rightarrow(1,-a) \\rightarrow(-1,-a+1)=(-1, b)$", "$\\therefore a+b=1$", "$1$" ]

[ "$\\displaystyle (a,2)$와 $\\displaystyle (-1,b)$의 중점은 $\\displaystyle (4,-4)$ 이므로", "$\\frac{a-1}{2}=4 . \\quad \\frac{b+2}{2}=-4 .$", "$a=9, \\quad b=-10$", "$a b=-90$", "$-90$" ]

[ "원의 중심이 $(-3,-3)$ 이므로 $x$축에 대해 대칭이동 ", "하면 $\\displaystyle ( -3,3 ) $이 된다. 따라서 $\\displaystyle { ( x+3 ) }^{2}+{ ( y-3 ) }^{2} = 5$", "이다.", "$(x+3)^{2}+(y-3)^{2}=5$" ]

[ "$P(0, a)$", "점 $B$를 $y$축 대칭이동 했을 때의 점은 $B'$", "$\\displaystyle ( -1,4 ) $ 점 $\\displaystyle A,B'$ 를 지나는 직선의", "방정식 $\\displaystyle y=-x+3$", "$\\displaystyle P$는 $\\displaystyle y$축 위의 점이므로 $\\displaystyle (0,3)$", "$P(0,3)$" ]

[ "점 $\\displaystyle A(5,3)$을 $\\displaystyle x$축 쪽으로 $a$ 만큼, $y$축 쪽으로 $-5$ 만큼", "평행이동한 점 $\\displaystyle B(5+a,-2)$에 대해", "$\\overline{OA}=\\sqrt{5^{2}+3^{2}}=\\sqrt{34}$", "$\\overline{O B}=\\sqrt{(5+a)^{2}+(-2)^{2}}=3 \\sqrt{34}$", "이므로 $(a+5)^{2}+4=306$이다. 따라서", "$(a+5)^{2}=302$", "$a=\\sqrt{302}-5(\\because a>0)$", "이다.", "$\\sqrt{302}-5$" ]

[ "$x \\rightarrow x-2,\\quad y \\rightarrow y-m$", "$\\displaystyle y-m = x-4 \\; \\gets ( 0,3 ) $ 지남", "$3-m=0-4, \\quad m=7$", "$x \\rightarrow x-7$", "$\\displaystyle y=-(x-n)+1 \\; \\leftarrow (0,3)$ 지남", "$3=-(-n)+1, \\quad n=2$", "$m \\times n=7 \\times 2=14$", "$14$" ]

[ "$(3,-1)$에서 $(-3,2)$로 평행이동이 되려면", "$\\displaystyle x$축 방향으로 $\\displaystyle -6,y$축 방향으로 $\\displaystyle 3$만큼 이동해야 한다. 따라서", "$\\displaystyle (2,6) \\to (-4,9)$로 이동한다.", "$(-4,9)$" ]

[ "$x^{2}+y^{2}-6 x+8 y+2=0$", "$(x-3)^{2}+(y+4)^{2}+2-9-16=0$", "$(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=23$", "이므로 $\\displaystyle a=-3,b=4,c=23$으로 $\\displaystyle a+b+c=24$이다.", "$24$" ]

[ "$\\sqrt{(5-1)^{2}+(7-10)^{2}}=16+9=\\sqrt{25}=5$", "$\\displaystyle \\overline{\\text{AP}}+\\overline{\\text{BP}}$의 최솟값은 $\\displaystyle 5$이다", "$5$ !!" ]

[ "$\\displaystyle \\overline{\\text{O\\text{A}}}=\\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}=\\sqrt{34}$ 이므로, 옮겨진 점 $\\displaystyle A'(5+a,$", "$\\displaystyle -3$)에 대해", "$\\overline{O A}^{2}=(5+a)^{2}+9=(3 \\sqrt{34})^{2}=306$", "$(5+a)^{2}=297$", "$a=-5+\\sqrt{33}(\\because a>0)$", "이다.", "$-5+\\sqrt{33}$" ]

[ "$P$", "$\\sqrt{1+4}=\\sqrt{5}$", "ok", "good.", "$\\sqrt{5}$" ]

[ "$\\displaystyle \\overline{\\text{OA}}=\\sqrt{{5}^{2}+{2}^{2}}=\\sqrt{29}$ 이므로, 옮겨진 점을 $\\displaystyle A'$라고", "하면 $\\displaystyle \\text{A}^\\prime (5+a,-2)$에 대해 $\\displaystyle \\overline{\\text{OA}'}=3\\sqrt{29}$이다. 따라서", "$(5+a)^{2}+4=261 \\rightarrow 5+a=\\sqrt{257}(\\because a>0$", "$a=-5+\\sqrt{257}$", "이다.", "$-5+\\sqrt{257}$" ]

[ "$y=-x$에 대칭이동하면", "$\\displaystyle x$ 대신 $\\displaystyle -y$, $\\displaystyle y$ 대신 $\\displaystyle -x$를 대입한다.", "$(-1,-9)$", "$(-1,-9)$" ]

[ "P의 좌표는 $\\displaystyle (2,4)$이고", "$\\displaystyle Q$의 좌표는 $\\displaystyle (-4,2)$이다.", "$\\overline{PQ}=\\sqrt{(2+4)^{2}+(4-2)^{2}}=\\sqrt{40}$", "$\\sqrt{40}$" ]

[ "x 방향 $\\displaystyle -4 \\; \\; : \\; \\; \\; x \\to x+4$", "$\\displaystyle y$방향 $\\displaystyle 2$ : $\\displaystyle y \\to y-2$", "$y-2=-(x+4)^{2}+3(x+4)+2$", "$y=-x^{2}-8 x-16+3 x+12+2+2$", "$=-x^{2}-5 x$", "$y=-x^{2}=5 x$" ]

[ "$y=\\left(x^{2}+4 x+4\\right)-9=(x+2)^{2}-9$", "$x \\rightarrow x+y$", "$y\\rightarrow y-3$", "$y-3=(x+6)^{2}-9$", "$y=(x+6)^{2}-6$", "$(a, b)=(-6,-6)$", "$a-b=0$", "$0$" ]

[ "$x$축 대칭은 $y$좌표의 부호를 반대로하므로", "$(0,5) \\rightarrow(0,-5)$", "이다.", "$(0,-5)$" ]

[ "이동된 원의 중심이 $\\displaystyle (4,a)$이므로", "$\\frac{|12+2 a-7|}{\\sqrt{3^{2}+2^{2}}}=\\sqrt{13} \\Rightarrow|12+2 a-7|=13$", "$ 2a=8$ 또는 $ 2a=-18$", "$a=4(\\because a>0)$", "이다.", "$4$" ]

[ "$\\displaystyle (a,2)$와 $\\displaystyle (-2,b)$의 중점이 $\\displaystyle (5,-1)$이므로", "$\\frac{a-2}{2}=\\frac{1}{5}, \\quad \\frac{b+2}{2}=-1$", "$a-2=10 \\quad b+2=-2$", "$a=12 \\quad b=-4$", "$a b=-48$", "$-48$." ]

[ "$(2,0) \\rightarrow (-4,4)$는 $x$축 방향으로 $-6$, $y$축 방향으로", "$\\displaystyle 4$만큼 평행이동하는 것이므로 $\\displaystyle (2,6)$ 은 $\\displaystyle (-4,10)$으로 옮겨", "진다.", "$(-4,10)$" ]

[ "$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=-a+2$", "$(x+a)^{2}+(y-5)^{2}=-a+2$", "ok", "평행이동", "원의 중심 $\\displaystyle ( -4,5 ) = ( b,5 ) $", "$b=-4,\\quad -a+2=4 \\quad a=-2$", "$\\displaystyle a+b=-6$", "$-6$" ]

[ "$(6,-3)$", "$P(6,3)$", "$Q(-3,6)$", "$\\sqrt{(6+3)^{2}+(3-6)^{2}}=\\sqrt{81+9}=3 \\sqrt{10}$", "$3\\sqrt{10}$" ]

[ "점 $(-7, 5)$를 $y=x$ 대칭이동하면 $(5,-7)$이다. 이후", "원점 대칭하면 $\\displaystyle (-5,7)$이 된다. 이는 $\\displaystyle y = -x$ 대칭과 같다.", "따라서 $3x+2y-3=0$을 $y=-x$에 대해 대칭이동하면", "$3(-y)+2(-x)-3=0$", "$2 x+3 y+3=0$", "이다.", "$2 x+3 y+3=0$" ]

[ "직선 $\\displaystyle 2x+2y+k=0$을 원점에 대해 대칭이동하면", "$2(-x)+2(-y)+k=0$", "$2 x+2 y-k=0$", "이다. 한편 원 $\\displaystyle {(x-5)}^{2}+{(y-1)}^{2}=4$의 중심의 좌표는", "$(5,1),$ 반지름은 $2$이므로,", "$\\frac{|2 \\times 5+2 \\times 1-k|}{\\sqrt{2^{2}+2^{2}}}=2$", " $|12-k|=4 \\sqrt{2}$", "$k=12 \\pm 4 \\sqrt{2}$", "이다. 따라서 $\\displaystyle (12+4\\sqrt{2})+(12-4\\sqrt{2)}=24$이다.", "24" ]

[ "어떤 직선은 $\\displaystyle (-4,4)$를 지나므로", "$ y = -x$ 에 대한 대칭이동이다.", "띠라서, $\\displaystyle x$대신 $\\displaystyle -y$, $\\displaystyle y$대신 $\\displaystyle -x$를", "대입하면", "$-3 y-3 x-4=0$", "$3 x+3 y+4=0$" ]

[ "$\\displaystyle y = 5 {x}^{2}+5 x+1$ 이 $\\displaystyle y = -x $에 대하여 대칭이동한 도형의 ", "방정식은 $\\displaystyle -x=-5 {y}^{2}-5 y+1$", "$\\displaystyle x=5 {y}^{2}+5 y-1$ 이다.", "왜냐하면 $\\displaystyle y=-x$에 대칭이동하면 $\\displaystyle (x,y) \\to (-y,-x)$가", "되기 때문이다. ", "$y=5 y^{2}+5 y-1$" ]

[ "$\\displaystyle x$축으로 $\\displaystyle -2, \\; y$축으로 $\\displaystyle 3$만큼 평행이동하면,", "$y-3=-(x+2)^{2}+4(x+2)-1$", "$y=-x^{2}+6$", "$y=-x^{2}+6$" ]

[ "원을 대칭이동하면 반지름은 그대로이되 중심의 좌표만", "바뀌므로, 중심의 좌표가 $(-2,4)$이고 반지름이 $k$인 원이", "원을 대칭이동하면 반지름은 그대로이되 중심의 좌표만 바뀌므로, 중심의 좌표가 $\\displaystyle (-2, 4)$이고 반지름이 $\\displaystyle k$인 원이 된다. 따라서\n$\\displaystyle {(x+2)}^{2}+{(y-4)}^{2}={k}^{2}$\n인데, 이 원이 점 $\\displaystyle (-2, -5)$를 지나므로\n$\\displaystyle {0}^{2}+{(-9)}^{2}={k}^{2}$\n\n$\\displaystyle \\Rightarrow k=9$ 이다.\n\n$\\displaystyle \\therefore k = 9$", "$(x+2)^{2}+(y-4)^{2}=k^{2}$", "인데, 이 원이 점 $\\displaystyle ( -2,-5 ) $를 지나므로", "$0^{2}+(-9)^{2}=k^{2}$", "$k=q$", "이다.", "9" ]

[ "$\\displaystyle x$축", "$(18,10)$", "대칭이동", "$(18,-10)$", "$(18,-10)$" ]

[ "$\\displaystyle {x}^{2}+{y}^{2}-2x-2y+a=0$ 이므로", "$(x-1)^2+(y-1)^2+a-2=0$이다. 따라서 원의", "중심은 $\\displaystyle (1,1)$에서 $\\displaystyle (-2,4)$로 옮겨지므로", "$2-a=25 \\rightarrow a=-23$", "$b=-2$", "이므로 $\\displaystyle a+b=-25$이다.", "$-25$" ]

[ "$\\displaystyle y$대신 $\\displaystyle -y$를 대입하면,", "$-6 y=6 x^{2}-x+1$", "$y=-x^{2}+\\frac{1}{6} x-\\frac{1}{6}$", "$y=-x^{2}+\\frac{1}{6} x-\\frac{1}{6}$" ]

[ "$a=-8, \\quad 8=-1$", "그래프를 그려보면 예상이 조금 될까요?", "$\\displaystyle x$와 $\\displaystyle y$ 값이 반대로 감을", "알 수 있을까요?" ]

[ "$4 x+y-6=0$", "$4(x+5)+(y-4)-6=0$", "$4 x+y+10=0$", "이므로 $p=1$, $q=10$으로 $p+q = 11$이다.", "11" ]

[ "$(a, 2) \\quad(-1, b)$", "$\\frac{a-1}{2}=2, a-1=4, a=5 .$", "$\\frac{2+b}{2}=-5,2+b=-10, b=-12$", "$a \\times b=5 \\times(-12)=60$", "$-60$" ]

[ "원 $\\displaystyle {(x+1)}^{2}+{(y+5)}^{2}=1$의 중심은 $\\displaystyle (-1,-5)$이므로", "$\\displaystyle x$축에 대해 대칭이동하면 $\\displaystyle (-1,5)$이다. 따라서", "$(x+1)^{2}+(y-5)^{2}=1$", "이다.", "$(x+1)^{2}+(y-5)^{2}=1$" ]

[ "$y=(x-4)-2+m$", "$ y=-(x-n)+1 \\quad $의 교점이 $ (0,3)$이므로", "$3=-3+m, m=6$", "$3=n+1 \\quad n=2$ .", "$mn=12$", "$12$" ]

[ "점 $\\displaystyle A(4,-1)$을 $\\displaystyle x$축 방향으로 $\\displaystyle a$, $\\displaystyle y$축 방향으로 $\\displaystyle -6$만큼", "평행이동한 점 $\\displaystyle \\text{A}' ( 4+a, -7 ) $에 대해", "$\\overline{O A}=\\sqrt{4^{2}+1^{2}}=\\sqrt{17}$", "이므로 $\\displaystyle \\overline{OA'}=3\\sqrt{17}$이다. 따라서", "$(a+4)^{2}+49=9 \\times 17=153$", "$(a+4)^{2}=104$", "$a+4=2 \\sqrt{26}(\\because a>0)$", "$a=2 \\sqrt{26}-4$", "이다.", "$2 \\sqrt{26}-4$" ]

[ "$2 X-2 B=2 A+4 B$", "$5.$", "$X=A+3 B$", "정리 good!", "$=7x^{2}+xy+6 y^{2}+3(-3x^{2}+5xy $", "$\\left.+6 4^{2}\\right)$", "$=-2 x^{2}+16 x y+24 y^{2}$", "계산 잘 하셨어요!" ]

[ "⑫ $x^{4}+5x^{3}+11x^{2}+15x+9=A\\left(x^{2}+3x+4\\right)+4x+5$", "$x^{4}+5 x^{3}+11 x^{2}+11 x+4=A\\left(x^{2}+3 x+4\\right) .$", "$A=x^{2}+2 x+1$" ]

[ "문제 $\\displaystyle 3$", "Good!!", "$5 x-5 x^{2}-2+17 x^{3}$", "$17 x^{3}-5 x^{2}+5 x-2$", "답:$\\displaystyle 17{x}^{3}-5{x}^{2}+5x-2$" ]

[ "문제 $\\displaystyle 7$", "perfect!!", "$(3 x-2)(3 x+2)\\left(3^2 x^{2}+2^{2}\\right)\\left(3^{4} x^{4}+2^{4}\\right)=\\left(3^{2} x^{2}-2^{2}\\right)\\left(3^2 x^2+2^{2}\\right)\\left(3^4 x^{4}+2^{4}\\right)=\\left(3^4x^4-2^4\\right)\\left(3^{4} x^{4}+2^{4}\\right)=$", "$\\displaystyle ({3}^{2}{x}^{2}-{2}^{3})={3}^{9}-{2}^{8}=19683-19427$ 답:$\\displaystyle 19+27$" ]

[ "식의 계수를 꼼꼼히 봅시다.", "49. ① $-16ab(4a+4b-4c)$", "$=-64 a^{2} b-64 a b^{2}+64 a b c$", "② $\\displaystyle {(4 a)}^{3}+{(4 b)}^{3}+{(-4 c)}^{3}-3(-64 a b c)$", "$=64 a^{3}+64 b^{3}-64 c^{3}+192 a b c$", "$\\text{①}+\\text{②} = 64 a^3 + 64b^3 - 64c^3 - 64a^2b$", "$-64 a b^{2}+236 a b c$" ]

[ "$x^{3}+\\frac{1}{x^{3}}=\\left(x+\\frac{1}{x}\\right)^{3}-3\\left(x+\\frac{1}{x}\\right)$", "$x^{2}+\\frac{1}{x^{2}}=\\left(x+\\frac{1}{x}\\right)^{2}-2=12$", "$\\left(x+\\frac{1}{x}\\right)^{2}=14, ~~x+\\frac{1}{x}=\\sqrt{14} .$", "$x^{3}+\\frac{1}{x^{3}}=14 \\sqrt{14}-3 \\sqrt{14}$", "Perfect!!", "$=11 \\sqrt{14}$", "$11 \\sqrt{14}$" ]

[ "㊷", "$x^{3}-9 x^{2}+20 x-12$", "Good!" ]

[ "6. $(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$", "$=a^{2}+2 a b+b^{2}-4 a b$", "good", "$=(a+b)^{2}-4 a b$", "$=16+40=56$", "잘 정리하였습 니다!" ]

[ "good.", "9. $\\displaystyle {x}^{3}-{y}^{3}=(x-y)({x}^{2}+xy+{y}^{2})$", "$=2 \\sqrt{7}\\left\\{(3+\\sqrt{7})^{2}+2+(3-\\sqrt{7})^{2}\\right\\}$", "$=2 \\sqrt{7} \\times 34$", "$=68 \\sqrt{7}$" ]

[ "$8$. $\\displaystyle x^{3} + \\frac{1}{x^3} = {\\left(x+\\frac{1}{x}\\right)}^3 - 3 \\left(x+\\frac{1}{x}\\right)$", "good!", "$=27-9$", "$=18$" ]

[ "$x^{3}-y^{3}=(x-y)^{3}+3 x y(x-y)$", "$x-y=5+\\sqrt{7}-(5-\\sqrt{7})=2 \\sqrt{7}$", "$x y=(5+\\sqrt{7})(5-\\sqrt{7})=25-7=18$", "$=(2 \\sqrt{7})^{3}+3 \\cdot 18 \\cdot 2 \\sqrt{7}$", "$=56 \\sqrt{7}+108 \\sqrt{7}$", "$=164 \\sqrt{7}$", "잘했어요~!", "$164 \\sqrt{7}$" ]

[ "20. $A \\ast B = 9A - 9B$", "$9\\left(x^{2}+2 x+9y+1\\right)-9(-2 x-y-8)$", "$=9 x^{2}+18 x+81y+9+18 x+9y+72$", "$=9 x^{2}+36 x+90y+81$", "잘 계산했어요!" ]

[ "$x+y=1, \\quad x y=-3$", "$x^{2}-x y+y^{2}=(x+y)^{2}-3 x y$", "$=1^{2}-3 \\times(-3)$", "$=1+9$", "잘했어요~", "$=10$", "$10$" ]

[ "$\\frac{x^{4}+5 x^{3}+12 x^{2}+20 x+7}{A}$", "$\\doteq x^{2}+3 x+1 \\quad \\cdots \\quad 3 x+2$", "$x^{4}+5 x^{3}+12 x^{2}+20 x+7$", "$=(\\text{나누는 다항식}) \\times \\text{몫} + \\text{나머지}$ .", "어떤 개념 이용해야 하는지", "모르겠어요", "다시 한 번 풀어 보세요 ." ]

[ "45. $ (x-y)^{2}=x^{2}-2 x y+{y}^{2}$에서", "$16=8-2 x y$", ": 대입 잘 했어요.", "$x y=-4$", "$x^{3}-y^{3}=(x-y)\\left(x^{2}+x y+y^{2}\\right)$", "$=-4(8-4)$", "$=-16$" ]

[ "$P(x)=\\left(x^{2}-2 x+1\\right)(x-2)-3 x+6$", "$=x^{3}-2 x^{2}-2 x^{2}-4 x+x-2-3 x+6$", "$$", "$=x^{3}-4 x^{2}-6 x+4$", "$=x^{3}-4 x^{2}+2 x+4$", "$x^{3}-4 x^{2}-6 x+4$" ]

[ "Good!\n", "문제 $\\displaystyle 6$", "$=\\frac{(1+5)(1-5)\\left(1^{2}+5^{2}\\right)\\left(1^{4}+5^{4}\\right)}{4}=\\frac{\\left(1^{2}-5^{2}\\right)\\left(1^{2}+5^{2}\\right)\\left(1^{4}+5^{4}\\right)}{4}=\\frac{\\left(1^{4}-5^{4}\\right)(1^4+5^4)}{4}= \\frac{\\left(1^{8}-5^{8}\\right)}{4}=-\\frac{\\left(5^{8}-1^{8}\\right)}{4}$", "perfect!", "답: $97656$", "$=\\frac{390625-1}{4}=\\frac{390624}{4} =97656$" ]

[ "3)", "$(x-y)^{2}=x^{2}-2 x y+y^{2}$", "$1=9-2 x y$", "$\\therefore x y=4$", "$(x-y)^{3}=x^{3}-y^{3}-3 x y(x-y)$", "$1=x^{3}-y^{3}-12$", "$\\therefore x^{3}-y^{3}=13$" ]

[ "$c-a=-(a-b+b-c)=-5$", "$a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a=$", "$\\frac{1}{2}\\left\\{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\\right\\}$", "$=\\frac{1}{2}\\left\\{9+4+(-5)^{2}\\right\\}$", "$=\\frac{1}{2}\\{9+4+25\\}$", "Perfect!!", "$=\\frac{1}{2} \\times 38$", "$=19$", "$19$" ]

[ "$x+y=-7, \\quad xy=7$", "$x^{2}-x y+y^{2}=(x+y)^{2}-3 x y$", "$x^{2}-x y+y^{2}=49-21=28$", "Good !", "$28$" ]

[ "내림차순$\\displaystyle \\to $차수가 큰 항부터.", "$7 x^{3}-8 x^{2}+7 x-4$", "good!", "$7 x^{3}-8 x^{2}+7 x-4$" ]

[ "$7 x-8 x^{2}-5+14 x^{3}=14 x^{3}-8 x^{2}+7 x-5$", "$14 x^{3}-8 x^{2}+7 x-5$" ]

[ "$\\left(x^{2}+y\\right)^{2}(x-y)+x^{2} y-x y^{2}$", "$8 \\times(-6)$" ]

[ "1) $a+b+c=0$", "$2>\\quad a^{2}+b^{2}+c^{2}=10$", "$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a b+b c+(a)$", "$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(a b+b c+c a)$", "$-\\frac{1}{2}(10\\quad =-2(a b+b c+c a))$", "$-5=a b+b c+c a$", "$a^{4}+b^{4}+c^{4}=\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)^{2}$", "$=10^{2}$", "$=100$", "답$\\displaystyle :100$" ]

[ "$\\left(4 a^{2}+25 b^{2}+c^{2}+10 a b+5 b c+2 a c\\right)$", "$\\left(4 a^{2}+25 b^{2}+c^{2}+5 b c-10 a b-2 a c\\right)$", "$\\left(4 a^{2}+25 b^{2}+c^{2}-10 a b-5 b c+2 a c\\right)$", "$\\left(4 a^{2}+25 b^{2}+c^{2}+10 a b-5 b c-2 a c\\right)$", "$=16 a^{2}+100 b^{2}+4 c^{2}$", "좋아요! 좋은 풀이에요!", "$16 a^{2}+100 b^{2}+4 c^{2}$" ]

[ "문제 $\\displaystyle 1$", "$5 x+2\\left(2 x^{2}-x y+4 y^{2}\\right)=-3\\left(3 x-2 x y+6 y^{2}\\right)$", "Perfect!!", "$5 x+4 x^{2}-2x y+8 y^{2}=-9 x^{2}+6 x y-18 y^{2}$", "$5 x=-13 x^{2}+8 x y-26 y^{2}$", "$x=\\frac{-13}{5} x^2+\\frac{8}{5} x y-\\frac{26}{5} y^{2} \\quad$ 답 $: \\frac{-13}{5} x^{2}+\\frac{8}{5} x y-\\frac{26}{5} y^{2}$" ]

[ "$(3 x+2) \\times(3 x+2)$", "$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$", "$9 x^{2}+12 x+4$", "좋아요!", "좋은 풀이에요!", "$9 x^{2}+12 x+4$" ]

[ "Hi my name is yundo!", "$81 a^{2}+45 a-45 a$", "good!", "$81 a^{2}-25$" ]

[ "문제 $\\displaystyle 4$", "$\\displaystyle (9x+3)(x-8)$을 분배법칙을 이용하여 풀면 $\\displaystyle 9{x}^{2}+(-72+3)x-24 \\; , \\; 9{x}^{2}-69x-24$이다.", "Perfect!!", "답: $\\displaystyle 9{x}^{2}-69x-24$" ]

[ "46. $\\displaystyle (6 a+2 b-2 c)(36 {a}^{2}+4 {b}^{2}+4 {c}^{2}-12 a b$", "$4 b c+12 a c)=216 a^{2}+8 b^{2}-8 c^{2}$", "$\\displaystyle +72abc$ 에서", "$-12 a b(6 a+2 b-2 c)$", "$=-72 a^{2} b-24 a b^{2}+24 a b c$", "$\\therefore 216 a^{2}+8 b^{2}-8 c^{2}-72 a^{2} b-24 a b^{2}+$", "$96 a b c$", "문제를 잘 못 보셨습니다." ]

[ "$A-2 A+2 B+C$", "$=-A+2 B+C$", "$=-\\left(2 x^{3}+8 x^{2}+3 x+4\\right)$", "$2\\left(-7 x^{2}+x-2\\right)$", "$-x^{3}+3 x^{2}-4 x-1$", "$=-2 x^{3}-8 x^{2}-3 x-4$", "끝까지 계산해봐요!", "$-14 x^{2}+2 x-4$" ]

[ "$\\left(2 x^{2}-x-8\\right)\\left(x^{2}-2 x+k\\right)$", "$\\displaystyle x$의 계수 $\\displaystyle : -k + 16 = 6$", "$\\therefore k=10$", "Good!", "$10$" ]

[ "㊵", "$-35 a b-2 a b=-37 a b$", "$-37$", "Good!" ]

[ "$(7x+3)(4x-5)=28x^{2}+(-35+12)x-15$", "$28x^2 + (-35+12)x-15$", "Perfect!", "$28x^{2}-23 x-15$" ]

[ "다항식 $\\displaystyle 10 x-3 {x}^{2}-17+4 {x}^{3}$ 을", "$\\displaystyle x$에 대한 오름 차순으로 정리하시오", "$4 x^{3}-3 x^{2}+10 x-17$", "용어 때문에 햇갈렸던 것 같아요!", "$4 x^{3}-3 x^{2}+10 x-17$" ]

[ "$(x-3)(x+3)(x-8)$", "$\\left(x^{2}-9\\right)(x-8)$", "$x^{3}-8 x^{2}-9 x+7=$", "잘했어요!", "$a-b =$", "$x^{3}-8 x^{2}-9 x+72$" ]

[ "$-k x+36 x=2$", "$k=34$", "좋아요! 좋은 풀이에요.", "$34$" ]

[ "$-5\\left(x^{2}+2 x-54+1\\right)+5(3 x-y+6)$", "$-5 x^{2}-10 x+254-5+15 x-54+30$", "$=-5 x^{2}+5 x+209+25$", "좋아요,좋은 풀이에요.", "$-5 x^{2}+5 x+20y+25$" ]

[ "42. $\\displaystyle {x}^{2}+5 x-1=0$", "정리 잘 했습니다.", "$x-\\frac{1}{x}=-5$", "$x^{3}-\\frac{1}{x^{3}}=\\left(x-\\frac{1}{x}\\right)^{3}+3\\left(x-\\frac{1}{x}\\right)$", "$=-125-15$", "$=-140$" ]

[ "$7 x-2 x^{2}-15+5 x^{3}$", "$-15+7 x-2 x^{2}+5 x^{3}$", "잘했어요!", "$-15+7x-2 x^{2}+5 x^{3}$" ]

[ "$\\left(x^{2}+y^{2}\\right)(x-y)=x^{3}-y^{3}$", "$6 \\times 5=30$", "다시 한 번 풀어볼래요?", "알고 있는 공식을 활용해 봐요.", "$30$" ]

[ "$(-x-1)(-x-2)(-x-3) \\cdots(-x-10)$", "12.", "$\\displaystyle x^9$의 계수:$\\displaystyle 1+2+3 \\cdots +10\n$", "$=11 \\times 5=55$", "잘 계산했어요!" ]

[ "$x+y=-9 \\quad x y=7 $", "$x^{2}-x y+y^{2}=(x-y)^{2}+x y$", "$=81+7$", "$=88$" ]

[ "$10x-{x}^{2}-16+3 {x}^{3}$을 오름차순으로 정리", "의미를 다시", "$3 x^{3}-x^{2}+10 x-16$", "생각해보세요!", "내림차순", "$ 3x^{3}-x^{2}+10x-16$" ]

[ "$\\displaystyle x$의 계수가 $\\displaystyle 11$을 넘는 수를 빼면", "$\\displaystyle {(1+x+2{x}^{2}+ \\cdots +10{x}^{10})}^{2}$이 된다.", "그중 $x$의 계수가 $10$일 수 있도록 하게 조합하면", "$10x^{10}+\\left(9 x^{9} \\times x\\right)+\\left(8 x^{2} \\times 2 x^{8}\\right) \\cdots+\\left(x \\times 9x^{9}\\right) \\times$", "$\\displaystyle 10{x}^{10}$이다.", "그러므로 $\\displaystyle (10{x}^{10}+9{x}^{10}+16{x}^{10}+21{x}^{10}+24{x}^{10}+25{x}^{10}+$", "$24 x^{10}+21x^{10}+16 x^{10}+9 x^{10}+10 x^{10})$", "$=185 x^{10}$", "Good!" ]

[ "$x+y=-3$", "$x y=7$", "식 변형을 아주 잘했어요!", "$x^{2}-x y+y^{2}=(x+y)^{2}-3 x y$", "$9-21=-12$", "$-12$" ]

[ "$(11x+3)(3 x-5)$", "$=33 x^{2}-55 x+9 x-15$", "$=33 x^{2}-46 x-15$", "Good!!", "$33 x^{2}-46 x-15$" ]

[ "$16 x^{2}+40 x+25$", "큰 패드", "깔끔", "$16 x^{2}+40 x+25$" ]

[ "$9 a^{2}+12 a b-12 a c$", "$12 a b+16 b^{2}-16 b c$", "$12 a c+16 b c-16 c^{2}$", "$=9 a^{2}+16 b^{2}-16 c^{2}+24 a b$", "좋아요!", "좋은 풀이여요." ]

[ "$\\displaystyle x$차수: $\\displaystyle 1$ 상수 $\\displaystyle k$", "$(2 x^{2}-x+2)(x^2-4x+k)= \\cdots -kx-8x,\\quad -k-8=5,\\quad k =-13$", "good!", "$\\therefore k=-13$", "$k=-13$" ]

[ "$\\displaystyle x$에 대한 항등식이므로", "$a=5, b=-2, c=-3 .$", "$a+b+c=0 .$", "$0$" ]

[ "$\\displaystyle P(x)=(x-6)Q(x)+1$ 이므로", "$(x+4) P(x)=(x-6)(x+4) Q(x)+x+4$", "$=(x-6)(x+4) Q(x)+x-6+10$", "$=(x-6)\\{(x+4) Q(x)+1\\}+10$", "이다. 따라서 나머지는 $10$이다." ]

[ "$\\displaystyle x$에 대한 항등식이므로", "$a=4, b=-4, \\quad c=-1 .$", "$a+b+c=-1$", "$-1$" ]

[ "$(x-1)^{54}=x Q(x)+R$", "$\\displaystyle x=0$을 대입하면, $\\displaystyle R=1$.", "$\\displaystyle x= \\; 472$를 대입하면,", "$471^{54}=472 Q(472)+1 .$", "$\\displaystyle \\therefore {471}^{54}$를 $\\displaystyle 472$로 나누었을 때의", "나머지는 $\\displaystyle 1$.", "$1 .$" ]

[ "$P(x)=(x+3) Q(x)+4$", "$Q(x)=(x-2) Q^{\\prime}(x)+5$", "$P(2)=5 \\times Q(2)+4$", "$Q(2)=5$", "$P(2)=25+4=29$", "29" ]

[ "$ k$에 관계없이 $ x=1$ 이므로 ,", "1) $k=5$일 때 $x^{2}+9_{m+n}+4=0 \\to 9_{m+n} = -5$", "2) $\\displaystyle k = -4$ 일때 $\\displaystyle {x}^{2}-9x + n +4 = 0 \\to n =4$", "$\\displaystyle \\therefore 9m=-9 \\to m=-1$이므로 $\\displaystyle mn=-4$이다.", "$-4$" ]