conversations
listlengths 2
2
|
|---|
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού \\(x\\) για τις οποίες ορίζεται η παράσταση:\n$$Α=\\ln{x}+\\ln{(x+6)}$$\nβ) Να λύσετε την εξίσωση:\n$$\\ln{x}+\\ln{(x+6)}=\\ln{7}$$"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η παράσταση \\(Α\\) ορίζεται για τις τιμές του πραγματικού αριθμού \\(x\\) για τις οποίες ισχύει:\n$$\\cases{ x>0 \\\\ \\text{και} \\\\ x+6 > 0 }$$\n$$\\Rightarrow \\cases { x > 0 \\\\ \\text{και} \\\\ x > -6 }$$\n$$\\Rightarrow x > 0$$\nβ) Γνωρίζουμε ότι για \\(α>0\\), \\(α≠1\\) και \\(x_{1},x_{2}>0\\) ισχύει η ισοδυναμία:\n$$\\log_{α}{x_{1}}=\\log_{α}{x_{2}}$$\n$$\\Leftrightarrow x_{1}=x_{2}$$\nΟπότε για \\(x>0\\) έχουμε:\n$$\\ln{x}+\\ln{(x+6)}=\\ln{7}$$\n$$\\Leftrightarrow \\ln{[x⋅(x+6)]}=\\ln{7}$$\n$$\\Leftrightarrow x⋅(x+6)=7$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+6x-7=0$$\n$$\\Leftrightarrow (x-1)⋅(x+7)=0$$\n$$\\Leftrightarrow x=1>0$$\nπου είναι δεκτή ή \\(x=-7\\) (απορρίπτεται).\nΤελικά η λύση της εξίσωσης είναι \\(x=1\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει γωνία \\(θ\\) ώστε \\(ημθ=\\dfrac{1}{2}\\) και \\(συνθ=\\dfrac{1}{2}\\).\nβ) Έστω \\(θ\\) μια γωνία με \\(θ∈(\\dfrac{3π}{2}, 2π)\\) για την οποία ισχύει \\(συνθ=\\dfrac{1}{2}\\). Να βρείτε το \\(ημθ\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει τέτοια γωνία, τότε από την ταυτότητα \\(ημ^{2}θ+συν^{2}θ=1\\) θα έχουμε:\n$$(\\dfrac{1}{2})^{2}+(\\dfrac{1}{2})^{2}=1$$\nδηλαδή\n$$\\dfrac{1}{4}+\\dfrac{1}{4}=1$$\nπου αποκλείεται. Επομένως δεν υπάρχει τέτοια γωνία.\nβ) Είναι:\n$$ημ^{2}θ=1-συν^{2}θ$$\n$$=1-\\dfrac{1}{4}=\\dfrac{3}{4}$$\nκαι επειδή \\(θ∈(\\dfrac{3π}{2},2π)\\), έχουμε \\(ημθ<0\\), οπότε\n$$ημθ=-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=2συν^{2}(π-x)-3ημ(\\dfrac{π}{2}+x)+α\\), με \\(α\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να δείξετε ότι \\(f(x)=2συν^{2}x-3συνx+α\\).\nβ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση \\(f\\) είναι άρτια ή περιττή.\nγ) Να βρείτε το \\(α\\) αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της \\(f\\) διέρχεται από το σημείο \\(Μ\\left(\\dfrac{π}{3},1\\right)\\).\nδ) Για \\(α=2\\) και \\(g(x)=2ημ^{2}x+9συνx-9\\), να εξετάσετε (αν υπάρχουν) κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$συν(π-x)=-συνx$$\nκαι:\n$$ημ(\\dfrac{π}{2}+x)=ημ(\\dfrac{π}{2}-(-x))$$\n$$=συν(-x)=συνx$$\nΆρα:\n$$f(x)=2συν^{2}(π-x)-3ημ(\\dfrac{π}{2}+x)+α$$\n$$=2συν^{2}x-3συνx+α$$\nβ) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(f\\) είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών \\(R\\).\nΆρα για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\) και \\(-x\\in \\mathbb{R}\\).\nΈχουμε:\n$$f(-x)=2συν^{2}(-x)-3συν(-x)+α$$\n$$=2συν^{2}x-3συνx+α=f(x)$$\nΆρα η συνάρτηση \\(f\\) είναι άρτια.\nγ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) διέρχεται από το σημείο \\(Μ\\left(\\dfrac{π}{3},1\\right)\\) αν και μόνον αν: $$f\\left(\\dfrac{π}{3}\\right)=1 $$\n$$\\Leftrightarrow 2συν^{2}\\dfrac{π}{3}-3συν\\dfrac{π}{3}+α=1 $$\n$$\\Leftrightarrow 2\\cdot \\dfrac{1}{4}-3\\cdot \\dfrac{1}{2}+α=1 $$\n$$\\Leftrightarrow α=2 $$\nδ) Με \\(a=2\\) έχουμε:\n$$f(x)=2συν^{2}x-3συνx+2$$\nΓια να βρούμε τις τετμημένες των κοινών σημείων των δύο γραφικών παραστάσεων λύνουμε την εξίσωση:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow 2συν^{2}x-3συνx+2=2ημ^{2}x+9συνx-9=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 2συν^{2}x-3συνx+2=2(1-συν^{2}x)+9συνx-9 $$\n$$\\Leftrightarrow 4συν^{2}x-12συνx+9=0 $$\n$$\\Leftrightarrow (2συνx-3)^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow συνx=\\dfrac{3}{2},\\ \\ \\text{αδύνατη}$$\nΑφού η παραπάνω εξίσωση είναι αδύνατη, δεν υπάρχουν σημεία τομής των δύο γραφικών παραστάσεων."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η παράσταση:\n$$Α=e^{\\ln{2}}+10^{2\\log{\\sqrt{5}}}$$\nΝα αποδείξετε ότι:\nα) \\(Α=7\\).\nβ) \\(0<\\log{Α}<1\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$ Α=e^{\\ln{2}}+10^{2\\log{\\sqrt{5}}} $$\n$$ =e^{\\ln{2}}+10^{\\log{(\\sqrt{5})^{2}}} $$\n$$ =e^{\\ln{2}}+10^{\\log{5}} $$\n$$ =2+5=7 $$\nβ) Είναι:\n$$1 < 7 < 10 $$\n$$\\Leftrightarrow \\log{1} < \\log{7} < \\log{1}0 $$\n$$\\Leftrightarrow 0 < \\log{Α} < 1$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(x∈ℝ\\) ορίζεται η εξίσωση:\n\\(\\log(x+1)=−\\log2−\\log(1−x)(1).\\)\nβ) Να λύσετε την εξίσωση \\(\\log(x+1)=\\log\\Big( \\dfrac{1}{2}\\Big)−\\log(1−x).\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Για να ορίζεται η εξίσωση (1) πρέπει να είναι \\(x+1>0 \\text{ και } 1−x>0.\\)\nΙσοδύναμα πρέπει \\(x>−1\\) και \\(x \\lt1.\\)\nΟπότε η εξίσωση ορίζεται για \\(x∈(−1,1).\\)\nβ) Για \\(x∈(−1,1)\\) η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα\n\\(\\log(x+1)=\\log \\Big( \\dfrac{1}{2} \\Big)−\\log(1−x)\\)\n\\(\\Leftrightarrow \\log(x+1)+\\log(1−x)=\\log(1)−\\log(2)\\)\n\\(\\Leftrightarrow \\log[(x+1)(1−x)]=\\log \\Big( \\dfrac{1}{2} \\Big)\\)\n\\(\\Leftrightarrow (x+1)(1−x)=\\dfrac{1}{2}\\)\n\\(\\Leftrightarrow 1−x^{2}=\\dfrac{1}{2}\\)\n\\(\\Leftrightarrow −x^{2}=\\dfrac{−1}{2}\\)\n\\(\\Leftrightarrow x^{2}=\\dfrac{1}{2}\\)\n\\(\\Leftrightarrow x=±\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}=±\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}∈(−1,1), \\text{ δεκτές και οι δύο λύσεις.}\\)"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται ότι \\(ημ18^{0}=\\dfrac{\\sqrt{5}-1}{4}\\). Να βρείτε τους ακόλουθους τριγωνομετρικούς αριθμούς, αιτιολογώντας την απάντησή σας.\nα) \\(συν72^{0}\\)\nβ) \\(συν108^{0}\\)\nγ) \\(ημ162^{0}\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "Αναγωγή στο \\(1^0\\) τεταρτημόριο:\nα) \\(συν72^{0}=συν(90^{0}-18^{0})=ημ18^{0}=\\dfrac{\\sqrt{5}-1}{4}\\).\nβ) \\(συν108^{0}= συν(90^{0}+18^{0})=-ημ18^{0}=\\dfrac{1-\\sqrt{5}}{4}\\).\nγ) \\(ημ162^{0}= ημ(180^{0}-18^{0})=ημ18^{0}=\\dfrac{\\sqrt{5}-1}{4}\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται ότι \\(ημθ=\\dfrac{ημ\\dfrac{2π}{3}-συν\\dfrac{π}{3}}{συν^{2}\\dfrac{π}{4}}\\).\nα) Να δείξετε ότι:\n\\(ημ\\dfrac{2π}{3}=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)\n\\(ημθ=\\sqrt{3}-1\\)\nβ) Αν για την γωνία \\(θ\\) έχουμε \\(θ∈(0,\\dfrac{π}{2})\\), να βρείτε το \\(συνθ\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α)\nΈχουμε\n$$ημ\\dfrac{2π}{3}=ημ(π-\\dfrac{π}{3})$$\n$$=ημ\\dfrac{π}{3}=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$$\nΈχουμε\n$$ημθ=\\dfrac{ημ\\dfrac{2π}{3}-συν\\dfrac{π}{3}}{συν^{2}\\dfrac{π}{4}}$$\n$$\\overset{i}{=}\\dfrac{\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}-\\dfrac{1}{2}}{(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2})^{2}}$$\n$$=\\dfrac{\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}-\\dfrac{1}{2}}{\\dfrac{1}{2}}=\\sqrt{3}-1$$\nβ) Έχουμε\n$$συνθ=±\\sqrt{1-ημ^{2}θ}$$\n$$=±\\sqrt{1-(\\sqrt{3}-1)^{2}}$$\n$$=±\\sqrt{2\\sqrt{3}-3}$$\n$$=\\sqrt{2\\sqrt{3}-3}$$\nδεδομένου ότι αν μια γωνία ανήκει στο \\(1ο\\) τεταρτημόριο το συνημίτονό της είναι θετικός αριθμός."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται τα πολυώνυμα:\n$$P(x)=-2x^3+4x^2+2(x^3-1)+9$$\nκαι\n$$Q(x)=αx^2+7,\\ α\\in \\Bbb{R}.$$\nα) Είναι το πολυώνυμο \\(P(x)\\) \\(3^\\text{ου}\\) βαθμού; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nβ) Να βρείτε την τιμή του \\(α\\), ώστε τα πολυώνυμα \\(P(x)\\) και \\(Q(x)\\) να είναι ίσα."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε:\n\\begin{align} P(x) & =-2x^3+4x^2+2(x^3-1)+9\\\\\nP(x) & =-2x^3+4x^2+2x^3-2+9 \\\\\nP(x) & =0x^3+4x^2+7 \\\\\nP(x) & =4x^2+7 \\end{align}\nΣυνεπώς το πολυώνυμο \\(P(x)\\) είναι \\(2^\\text{ου}\\) βαθμού.\nβ) Για να είναι τα πολυώνυμα \\(P(x)\\) και \\(Q(x)\\) ίσα, πρέπει να είναι ίδιου βαθμού και να έχουν τους αντίστοιχους συντελεστές ίσους. Άρα, πρέπει \\(α=4.\\)"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\log x\\), \\(x>0\\).\nα) Να υπολογίσετε τους αριθμούς \\(f(100)\\), \\(f(\\sqrt{10})\\)\nβ) Για \\(x>1\\), να επιλύσετε την εξίσωση \\(f(x+1)+f(x-1)=\\log10-\\log5\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) \\(f(100)=\\log100=2\\), διότι η βάση του λογαρίθμου είναι το 10, άρα από τον ορισμό έχουμε \\(10^{2}=100\\).\n\\(f(\\sqrt{10})=\\log(\\sqrt{10})=\\log(10^{\\frac{1}{2}})=\\dfrac{1}{2}\\)\nβ) Η εξίσωση γράφεται:\n$$\\log(x+1)+\\log(x-1)=\\log10-\\log5$$\n$$\\Leftrightarrow \\log[(x+1)(x - 1)]=\\log(\\dfrac{10}{5})$$\n$$\\Leftrightarrow \\log(x^{2}-1^{2})=\\log2$$\nΣυνεπώς: \\(x^{2}-1=2 \\Leftrightarrow x^{2}=3\\)\nΑλλά \\(x>1\\), οπότε \\(x=\\sqrt{3}\\). (H λύση \\(x=-\\sqrt{3}\\) απορρίπτεται)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται το πολυώνυμο \\(P(x)=2x^3+x^2-3x+1\\)\nα) Να αποδείξετε ότι το \\(1\\) και το \\(-1\\) δεν είναι ρίζες του πολυωνύμου.\nβ) Να κάνετε τη διαίρεση του \\(P(x): (x^2+x-1)\\) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι: \\(P(-1)=2\\cdot (-1)^3+(-1)^2-3(-1)+1=3\\neq0\\)\nκαι \\(P(1)=2\\cdot 1^3+1^2-3\\cdot 1 +1=1\\neq 0\\)\nΆρα το \\(1\\) και το \\(-1\\) δεν είναι ρίζες του πολυωνύμου.\nβ) Είναι:\nΆρα το πηλίκο της διαίρεσης των δύο πολυωνύμων είναι το \\(π(x)=2x-1\\) και το υπόλοιπο είναι \\(0\\).\nΕπομένως ισχύει: \\(P(x)=(x^2+x-1)\\cdot (2x-1)\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται το γραμμικό σύστημα:\n\\begin{cases} 3x+2y=8 \\\\\n2x-y=3\\end{cases}\nα) Να αιτιολογήσετε γιατί το ζεύγος \\((0,\\ 4)\\) δεν αποτελεί λύση του παραπάνω συστήματος.\nβ) Να λύσετε το παραπάνω σύστημα.\nγ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών \\((ε_1): 3x+2y=8\\) και \\((ε_2): 2x-y=3.\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Το ζεύγος \\((0,\\ 4)\\) επαληθεύει μόνο την εξίσωση \\(3x+2y=8\\) και όχι την εξίσωση \\(2x - y = 3\\), οπότε δεν αποτελεί λύση του συστήματος.\nβ) Από τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος έχουμε:\n$$2x - y = 3$$\n$$\\Leftrightarrow -y=-2x+3$$\n$$\\Leftrightarrow y = -2x +3$$\n$$\\Leftrightarrow y = 2x - 3$$\nκαι με αντικατάσταση στην εξίσωση \\(3x+ 2y = 8\\) έχουμε:\n$$3x + 2(2x -3) = 8$$\n$$3x +4x-6 = 8$$\n$$7x = 14$$\n$$x = 2.$$\nΓια \\(x=2\\) στην εξίσωση \\(2x-y=3\\) έχουμε \\(y = 1.\\)\nΣυνεπώς η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος \\((2, 1).\\)\nγ) οι συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών \\((ε_1),\\ (ε_2)\\) είναι η λύση του συστήματος:\n\\begin{cases} 3x+2y=8 \\\\\n2x-y=3\\end{cases}\nδηλαδή το ζεύγος \\((2, 1).\\)"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Σε τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) ισχύει \\(συνΑ = -\\dfrac{3}{5}.\\)\nα) Να αιτιολογήσετε γιατί το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. \nβ) Να βρείτε το \\(ημΑ.\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Ο αριθμός \\(Α\\) περιέχεται στο διάστημα \\((0,\\ π)\\) και επειδή ισχύει \\(συνΑ\\lt 0\\) έχουμε \\(\\dfrac{π}{2} \\lt A \\lt π.\\)\nΆρα, το τρίγωνο έχει τη γωνία \\(Α\\) αμβλεία, οπότε είναι αμβλυγώνιο.\nβ) Από τη βασική ταυτότητα \\(ημ^2Α +συν^2Α=1\\) με \\(συνΑ=-\\dfrac{3}{5}\\), παίρνουμε:\n$$ημ^2Α+\\dfrac{9}{25}=1$$\n$$\\Leftrightarrow ημ^2Α=1-\\dfrac{9}{25}$$\n$$\\Leftrightarrow ημ^2Α=\\dfrac{16}{25}$$\nΕπιπλέον, αφού \\(\\dfrac{π}{2} \\lt A \\lt π\\), έχουμε \\(ημΑ>0\\), οπότε:\n$$ημΑ=\\dfrac{4}{5}.$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται γωνία \\(ω\\), με \\(π<ω<\\dfrac{3π}{2}\\), για την οποία ισχύει \\(συνω=-\\dfrac{4}{5}\\).\nα) Να δείξετε ότι \\(ημω=-\\dfrac{3}{5}\\).\nβ) Να υπολογίστε την τιμή της παράστασης \\(Α=\\dfrac{ημω+συνω}{1+εφω}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Από την τριγωνομετρική ταυτότητα \\(ημ^2ω+συν^2ω=1\\) έχουμε ισοδύναμα:\n$$ημ^2ω+συν^2ω=1$$\n$$\\Leftrightarrow ημ^2ω+(-\\dfrac{4}{5})^2=1$$\n$$\\Leftrightarrow ημ^2ω= 1-\\dfrac{16}{25}$$\n$$\\Leftrightarrow ημ^2ω=\\dfrac{9}{25}$$\n$$\\Leftrightarrow ημ^2ω=\\pm{\\dfrac{3}{5}}$$\nΕπειδή \\(π<ω<\\dfrac{3π}{2}\\), \\(ημω=0\\), οπότε: \\(ημω=-\\dfrac{3}{5}\\).\nβ) Έχουμε \\(συνω=-\\dfrac{4}{5}\\) και \\(ημω=-\\dfrac{3}{5}\\), οπότε \\(εφω=\\dfrac{-\\dfrac{3}{5}}{-\\dfrac{7}{4}}=\\dfrac{3}{4}\\).\nΣυνεπώς η τιμή της παράστασης \\(Α\\) είναι:\n$$Α=\\dfrac{ημω+συνω}{1+εφω}$$\n$$=\\dfrac{-\\dfrac{3}{5}-\\dfrac{4}{5}}{1+\\dfrac{3}{4}}$$\n$$=\\dfrac{-\\dfrac{7}{5}}{\\dfrac{7}{4}}=-\\dfrac{4}{5}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι αριθμοί \\(α=\\ln{2}\\) και \\(β=\\ln{3}\\).\nα) Να αιτιολογήσετε γιατί \\(0<α<β\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(β-α<1\\).\nΔίνεται \\(e≃2.71\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι\n$$1<2<3$$\n$$\\Leftrightarrow \\ln{1}<\\ln{2}<\\ln{3}$$\n$$\\Leftrightarrow 0<α<β$$\nβ) Είναι\n$$β-α=\\ln{3}-\\ln{2}$$\n$$=\\ln{\\dfrac{3}{2}}<\\ln{e}=1$$\nοπότε πράγματι \\(β-α<1\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=3συν2x,\\ x\\in \\Bbb{R}.\\)\nα)\nΝα βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης \\(f.\\)\nΝα βρείτε την περίοδο της συνάρτησης \\(f.\\)\nβ) Να λύσετε την εξίσωση \\(f(x)=−3\\) στο \\(\\Bbb{R}.\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α)\nΗ συνάρτηση είναι της μορφής \\(f(x)=ρσυνωx,\\ ρ>0\\) με \\(ρ=3\\) και \\(ω=2\\), οπότε η μέγιστη τιμή της \\(f\\) είναι ίση με \\(3\\) και η ελάχιστη τιμή της \\(f\\) είναι ίση με \\(-3.\\)\nΗ περίοδος της \\(f\\) είναι \\(Τ=\\dfrac{2π}{ω}=π.\\)\nβ) \\(f(x)=−3\\) αν και μόνο αν\n$$3συν2x=-3$$\n$$\\Leftrightarrow συν2x=−1$$\n$$\\Leftrightarrow 2x=2κπ\\pm π$$\n$$\\Leftrightarrow x=κπ\\pm \\dfrac{π}{2},\\ κ\\in \\Bbb{Z}.$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(𝑓(𝑥)=𝑥^4+𝜅𝑥−1\\), με \\(𝜅\\in \\Bbb{R}.\\)\nα) Να βρείτε την τιμή του \\(𝜅\\in \\Bbb{R}\\) για την οποία \\(𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)\\), για κάθε \\(x\\in \\Bbb{R}.\\)\nβ) Για \\(𝜅=0\\),\nνα δείξετε ότι η συνάρτηση \\(𝑓\\) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα \\((−∞,0],\\)\nνα δείξετε ότι \\(𝑓(𝑥)≥−1\\) για κάθε \\(x\\in \\Bbb{R}\\)\nνα βρείτε τα \\(x\\in \\Bbb{R}\\) για τα οποία η γραφική παράσταση της \\(𝑓\\) βρίσκεται κάτω από τον άξονα \\(𝑥'𝑥.\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(𝑓\\) είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών \\(\\Bbb{R}.\\) Για τη συνάρτηση \\(𝑓\\) έχουμε:\n$$\\begin{align} & 𝑓(−𝑥)= 𝑓(𝑥) \\\\\n\\Leftrightarrow & (−𝑥)^4+𝜅(−𝑥)−1=𝑥^4+𝜅𝑥−1\\\\\n\\Leftrightarrow & 𝑥^4−𝜅𝑥−1=𝑥^4+𝜅𝑥−1\\\\\n\\Leftrightarrow & 2𝜅𝑥=0, \\text{ για κάθε } 𝑥\\in \\Bbb{R}.\\end{align}$$\nΆρα, το \\(2𝜅𝑥\\) είναι το μηδενικό πολυώνυμο, οπότε \\(2𝜅=0\\) και ισοδύναμα \\(𝜅=0.\\)\nβ) Για \\(𝜅=0\\), η συνάρτηση \\(𝑓\\) είναι: \\(𝑓(𝑥)=𝑥^4−1.\\)\nΜε \\(𝑥_1<𝑥_2≤0\\) ισοδύναμα είναι:\n$$𝑥_1^4>𝑥_2^4$$\n$$𝑥_1^4−1>𝑥_2^4−1$$\nΆρα: \\(𝑓(𝑥_1)> 𝑓(𝑥_2).\\)\nΕπομένως, η συνάρτηση \\(𝑓\\) είναι γνησίως φθίνουσα για \\(𝑥∈(−∞,0].\\)\nΈχουμε:\n$$𝑓(𝑥)≥−1\\Leftrightarrow 𝑥^4−1≥−1\\Leftrightarrow 𝑥^4≥0$$\nπου ισχύει για κάθε \\(𝑥\\in \\Bbb{R}.\\)\nΓια να βρούμε τα \\(𝑥\\in \\Bbb{R}\\) για τα οποία η γραφική παράσταση της \\(𝑓\\) βρίσκεται κάτω από τον άξονα \\(𝑥'𝑥\\), λύνουμε την ανίσωση:\n$$\\begin{align} & 𝑓(𝑥)\\lt 0 \\\\\n\\Leftrightarrow & 𝑥^4−1\\lt 0 \\\\\n\\Leftrightarrow & (𝑥^2−1)\\cdot (𝑥^2+1)\\lt 0 \\\\\n\\Leftrightarrow & 𝑥^2−1\\lt 0 \\\\\n\\overset{x^2+1>0}{\\Longleftrightarrow} & (𝑥−1)\\cdot (𝑥+1)\\lt 0.\\end{align}$$\nΆρα \\(𝑥\\in (−1,1).\\)\nΕπομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(𝑓\\) βρίσκεται κάτω από τον άξονα \\(𝑥'𝑥\\) για \\(𝑥\\in (−1,1).\\)"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η εξίσωση \\(log(x^2+1)=1+log3-log6.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση γράφεται \\(log(x^2+1)=log5.\\)\nβ) Να λύσετε την εξίσωση."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Από τις ιδιότητες των λογαρίθμων έχουμε:\n\\begin{align} 1+log3-log6 & =log10+log3-log6 \\\\\n& =log\\Big(\\dfrac{10\\cdot 3}{6}\\Big)\\\\\n&=log5\\end{align}\nOπότε η εξίσωση γράφεται: \\(log(x^2+1)=log5.\\)\nβ) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε \\(x\\in \\Bbb{R}\\), αφού \\(x^2+1>0.\\)\nΈτσι με \\(x\\in \\Bbb{R}\\) και με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) η εξίσωση γράφεται:\n$$log(x^2+1)=log5$$\n$$\\Leftrightarrow x^2+1=5$$\n$$\\Leftrightarrow x^2=4$$\n$$\\Leftrightarrow x=2 \\text{ ή } x=-2$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να λύσετε την εξίσωση: \\(\\ln{(x+1)}=\\ln{(2x)}\\).\nβ)Να λύσετε την ανίσωση: \\(\\ln{(x+1)}>\\ln{(2x)}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α)Γνωρίζουμε ότι για \\(α>0\\), \\(α≠1\\) και \\(x_{1},x_{2}>0\\) ισχύει η ισοδυναμία:\n$$\\log_{α}{x_{1}}=\\log_{α}{x_{2}}$$\n$$\\Leftrightarrow x_{1}=x_{2}$$\nΕπίσης η εξίσωση ορίζεται για:\n$$\\cases{x+1 > 0 \\\\ \\text{και} \\\\ 2x > 0}$$\n$$\\Rightarrow \\cases{x > -1 \\\\ \\text{και} \\\\ x>0}$$\n$$\\Rightarrow x > 0$$\nΟπότε έχουμε:\n$$\\ln{(x+1)}=\\ln{(2x)}$$\n$$\\Leftrightarrow x+1=2x$$\n$$\\Leftrightarrow x=1$$\nπου είναι δεκτή γιατί \\(x>0\\).\nβ) Η ανίσωση ορίζεται επίσης για \\(x>0\\). Οπότε έχουμε:\n$$\\ln{(x+1)}>\\ln{(2x)}$$\n$$\\Leftrightarrow x+1>2x$$\n$$\\Leftrightarrow x<1$$\nΕπειδή \\(x>0\\), η ανίσωση αληθεύει για \\(0<x<1\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται το πολυώνυμο \\(P(x)=2(x-1)^{20}-3(x-1)^{10}+5x^2-3x-2.\\)\nα) Να δείξετε ότι το πολυώνυμο \\(P(x)\\) έχει παράγοντα το \\(x-1\\).\nβ) i. Να υπολογίσετε την τιμή \\(P(0)\\).\nii. Είναι το \\(x\\) παράγοντας του πολυωνύμου \\(P(x)\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Ένα πολυώνυμο \\(P(x)\\) έχει παράγοντα το \\(x-ρ\\) αν και μόνο αν \\(P(ρ)=0\\). Έχουμε:\n$$P(1) = 2(1-1)^{20}-3(1-1)^{10}+5\\cdot 1^2 -3\\cdot 1-2=0$$\nΆρα, το \\(x-1\\) είναι παράγοντας του \\(P(x)\\).\nβ) i. Είναι:\n$$P(0) = 2(0-1)^{20}-3(0-1)^{10}+5\\cdot 0^2 -3\\cdot 0-2=-3$$\nii. Αφού \\(P(0)=-3\\neq 0\\), το \\(x\\) δεν είναι παράγοντας του πολυωνύμου \\(P(x)\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η παράσταση \\(A=2συν(\\dfrac{π}{2}-θ)+ημ(-θ)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(Α=ημθ\\).\nβ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης \\(Α\\), όταν \\(θ∈(\\dfrac{3π}{2},2π)\\) και \\(συνθ=\\dfrac{12}{13}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι γνωστό ότι \\(συν(\\dfrac{π}{2}-θ)=ημθ\\) και \\(ημ(-θ)=-ημθ\\), οπότε έχουμε:\n$$Α=2συν(\\dfrac{π}{2}-θ)+ημ(-θ)$$\n$$=2ημθ-ημθ=ημθ$$\nπου είναι το ζητούμενο.\nβ) Από την ταυτότητα \\(ημ^{2}θ+συν^{2}θ=1\\), με \\(συνθ=\\dfrac{12}{13}\\) έχουμε:\n$$ημ^{2}θ=1-συν^{2}θ$$\n$$=1-\\dfrac{144}{169}=\\dfrac{25}{169}$$\nΑλλά \\(θ∈(\\dfrac{3π}{2},2π)\\), οπότε \\(ημθ<0\\), άρα:\n$$ημθ=-\\sqrt{\\dfrac{25}{169}}=-\\dfrac{5}{13}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται το πολυώνυμο \\(P(x)=2x^{3}+x^{2}-8x-4\\).\nα) Να αποδείξετε ότι έχει παράγοντα το \\((x-2)\\).\nβ) Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο.\nγ) Να λύσετε την εξίσωση \\(P(x)=0\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Το πολυώνυμο έχει παράγοντα το \\((x-2)\\), μόνο όταν \\(P(2)=0\\).\nΠραγματικά,\n$$P(2)=2⋅8+4-8⋅2-4$$\n$$=16+4-16-4=0$$\nοπότε το \\((x-2)\\) είναι παράγοντας του πολυωνύμου.\nβ) Είναι:\n$$P(x)=2x^{3}+x^{2}-8x-4$$\n$$=2x^{3}-8x+x^{2}-4$$\n$$=2x(x^{2}-4)+(x^{2}-4)$$\n$$=(x^{2}-4)(2x+1)$$\n$$=(x-2)(x+2)(2x+1)$$\nγ) Ισχύει:\n$$P(x)=0$$\n$$\\Leftrightarrow (2x+1)(x-2)(x+2)=0$$\n$$\\Leftrightarrow x=-\\dfrac{1}{2}\\ \\text{ή}\\ x=2\\ \\text{ή}\\ x=-2$$\nΕπομένως η εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς \\(-\\dfrac{1}{2}\\), \\(2\\) και \\(-2\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Θεωρούμε τη συνάρτηση \\(𝑓(𝑥)=\\sqrt{2}\\cdot 𝜎𝜐𝜈𝑥,\\ 𝑥\\in \\Bbb{R}.\\)\nα)\ni. Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης.\nii. Να βρείτε την μέγιστη και ελάχιστη τιμής της.\nβ) Να υπολογίσετε τον αριθμό \\(𝑓(2025𝜋).\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Καθώς η συνάρτηση είναι της μορφής \\(g(x)=ρ\\cdot ημ(ωx)\\) με \\(ρ=\\sqrt{2},\\ ω=1\\), θα έχουμε:\ni. Η περίοδος της συνάρτησης είναι \\(𝛵=2πω=2π.\\)\nii. Η μέγιστη τιμή της είναι \\(|ρ|=\\sqrt{2}\\) και η ελάχιστη τιμή της \\(− |ρ|=− \\sqrt{2}.\\)\nβ)\n\\begin{align} 𝑓(2025𝜋) & =\\sqrt{2} \\cdot 𝜎𝜐𝜈(2\\cdot 1012 \\cdot𝜋+𝜋) \\\\\n& =\\sqrt{2} \\cdot 𝜎𝜐𝜈𝜋 \\\\\n& = − \\sqrt{2}.\\end{align}"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\ln(e^x-1).\\)\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της \\(f.\\)\nβ) Να λύσετε την εξίσωση: \\(f(x)=0\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) ορίζεται για όλες τις πραγματικές τιμές του \\(x\\) για τις οποίες ισχύει:\n$$\\begin{align} & e^x-1>0 \\\\\n\\Leftrightarrow & e^x>1 \\\\\n\\Leftrightarrow & e^x>e^0 \\\\\n\\Leftrightarrow & x>0 \\end{align}$$\nΣυνεπώς, το πεδίο ορισμού της \\(f\\) είναι το \\((0,+\\infty).\\)\nβ) Είναι\n$$\\begin{align} & f(x)=0 \\\\\n\\Leftrightarrow & \\ln(e^x-1)=\\ln1 \\\\\n\\Leftrightarrow & e^x-1=1\\\\\n\\Leftrightarrow & e^x=2\\\\\n\\Leftrightarrow & x=\\ln2 \\end{align}$$\nΗ λύση \\(\\ln2\\) είναι δεκτή, αφού \\(\\ln2>\\ln1\\Leftrightarrow \\ln2>0.\\)"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Σε έναν κύκλο ακτίνας \\(ρ\\) θεωρούμε ένα τόξο \\(AB\\) με μήκος ίσο με \\(2ρ\\).\nα) Να βρείτε πόσα ακτίνια είναι η αντίστοιχη στο τόξο \\(ΑΒ\\), επίκεντρη γωνία \\(ω\\).\nβ) Αν \\(ω=2\\) ακτίνια, να βρείτε πόσες μοίρες είναι η γωνία \\(ω\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Ένα ακτίνιο είναι το τόξο ενός κύκλου ακτίνας \\(ρ\\) που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα του κύκλου \\(ρ\\). Εφόσον το μήκος του τόξου \\(ΑΒ\\) είναι ίσο με δύο ακτίνες του κύκλου η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία θα είναι ίση με \\(2\\) ακτίνια.\nβ) Είναι γνωστό ότι \\(2π\\) ακτίνια είναι η γωνία η οποία είναι ίση με \\(360\\) μοίρες, άρα η γωνία \\(ω\\) που είναι \\(2\\) ακτίνια θα αντιστοιχεί σε \\(\\dfrac{360}{π}\\) μοίρες."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{x^{2}+1}{x}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.\nβ) Να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας το \\(Ο(0,0)\\).\nγ) Να υπολογίσετε την παράσταση \\(f(\\ln{2})+f(\\ln{\\dfrac{1}{2}})\\).\nδ) Να αποδείξετε ότι \\(f(ημθ)+f(ημ(π+θ))=0\\), για κάθε \\(θ∈R\\) με \\(ημθ≠0\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) ορίζεται για κάθε πραγματική τιμή του \\(x\\) για την οποία ισχύει \\(x≠0\\). Συνεπώς το πεδίο ορισμού της \\(f\\) είναι το \\(Α=(-∞,0)∪(0,+∞)\\).\nβ) Για κάθε \\(x∈Α\\) και \\(-x∈Α\\). Επίσης,\n$$\\begin{align} f(-x) &=\\dfrac{(-x)^{2}+1}{-x}\\\\\n\\\\&=-\\dfrac{x^{2}+1}{x}\\\\\n\\\\&=-f(x)\\end{align}$$\nγια κάθε \\(x∈Α\\), που σημαίνει ότι η συνάρτηση \\(f\\) είναι περιττή, δηλαδή η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας το \\(Ο(0,0)\\).\nγ) Είναι\n$$\\ln{\\dfrac{1}{2}}=\\ln{1}-\\ln{2}=-\\ln{2}$$\nκαι αφού \\(f\\) περιττή είναι\n$$f(\\ln{\\dfrac{1}{2}})=f(-\\ln{2})=-f(\\ln{2})$$\nδηλαδή\n$$f(\\ln{2})+f(\\ln{\\dfrac{1}{2}})=0$$\nδ) Για κάθε \\(θ∈R\\) είναι \\(ημ(π+θ)=-ημθ\\) και αφού \\(f\\) περιττή είναι\n$$f(ημ(π+θ))=f(-ημθ)=-f(ημθ)$$\nδηλαδή\n$$f(ημθ)+f(ημ(π+θ))=0$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=ημ\\left(\\dfrac{π}{2}-x\\right)+ημ(π+x),x\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(f(x)=συνx-ημx\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(-2\\le f(x)\\le 2\\). Κατόπιν να εξετάσετε αν ο αριθμός \\(2\\) είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης.\nγ) Να βρείτε:\nΤο σημείο τομής της γραφικής παράστασης \\(C_{f}\\) της f με τον άξονα \\(y'y\\).\nΔυο σημεία τομής της \\(C_{f}\\) με τον \\(x'x\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Επειδή \\(ημ\\left(\\dfrac{π}{2}-x\\right)=συνx\\) και \\(ημ(π+x)=-ημx\\), έχουμε: \\(f(x)=συνx-ημx\\), \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nβ) Για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\), έχουμε:\n$$-1\\le συνx\\le 1\\ \\ \\ \\ (1)$$\nκαι:\n$$-1\\le ημx\\le 1 $$\n$$\\Leftrightarrow -1\\le -ημx\\le 1\\ \\ \\ \\ (2)$$\nΜε πρόσθεση των \\((1)\\) και \\((2)\\) προκύπτει ότι:\n$$-2\\le συνx-ημx\\le 2$$\nδηλαδή:\n$$-2\\le f(x)\\le 2$$\nπου είναι το ζητούμενο.\nΑν υποθέσουμε ότι ο αριθμός \\(2\\) είναι η μέγιστη τιμή της \\(f\\), τότε για κάποιο \\(x_{o}\\in \\mathbb{R}\\) ισχύει \\(συνx_{o}=1\\) και \\(ημx_{o}=-1\\), οπότε\n$$ημ^{2}x_{o}+συν^{2}x_{o}=1+1=2$$\nπου είναι άτοπο. Άρα ο αριθμός \\(2\\) δεν είναι η μέγιστη τιμή της \\(f\\).\nγ)\nΜε \\(x=0\\) έχουμε:\n$$f(0)=συν0-ημ0$$\n$$=1-0=1$$\nοπότε η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στο σημείο \\((0,1)\\).\nΜε \\(y=0\\) δηλαδή \\(f(x)=0\\) έχουμε:\n$$συνx-ημx=0 $$\n$$\\Leftrightarrow συνx=ημx$$\nΜια προφανής λύση της εξίσωσης είναι ο αριθμός \\(\\dfrac{π}{4}\\) και επειδή:\n$$συν\\left(π+\\dfrac{π}{4}\\right)=-συν\\dfrac{π}{4}$$\n$$=-ημ\\dfrac{π}{4}$$\n$$=ημ\\left(π+\\dfrac{π}{4}\\right)$$\nμια άλλη λύση της είναι ο αριθμός:\n$$π+\\dfrac{π}{4}=\\dfrac{5π}{4}$$\nΆρα δυο κοινά σημεία της \\(C_{f}\\) με τον \\(x'x\\) είναι τα \\(\\left(\\dfrac{π}{4},0\\right)\\) και \\(\\left(\\dfrac{5π}{4},0\\right)\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η παράσταση:\n$$Α=2\\log{5}+2\\log{2}$$\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(Α=2\\).\nβ) Να βρεθεί η τιμή του \\(λ\\) για την οποία ισχύει ότι: \\(e^{λ}=Α\\).\nγ) Για την τιμή του \\(λ\\) που βρήκατε στο ερώτημα β), να αποδείξετε ότι: \\(\\ln{λ}<0\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$Α=2\\log{5}+2\\log{2}$$\n$$=\\log{5^{2}}+\\log{2^{2}}$$\n$$=\\log{2}5+\\log{4}$$\n$$=\\log{(}25\\cdot 4)$$\n$$=\\log{1}00=2$$\nβ) Είναι:\n$$e^{λ}=Α $$\n$$\\Leftrightarrow e^{λ}=2 $$\n$$\\Leftrightarrow λ=\\ln{2}$$\nγ) Είναι:\n$$ 2 < e $$\n$$\\Leftrightarrow \\ln{2}<\\ln{e} $$\n$$\\Leftrightarrow λ<1 $$\n$$\\Leftrightarrow \\ln{λ}<\\ln{1} $$\n$$\\Leftrightarrow \\ln{λ}<0$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι αριθμοί \\(α=ln2,\\ β=ln4,\\ γ=ln8.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι \\(2β=α+γ.\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(β+γ=5α.\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι\n\\begin{align} α+γ & =ln2+ln8 \\\\\n& = ln(2\\cdot 8) \\\\\n& = ln16 \\\\\n& = ln4^2 \\\\\n& = 2\\ ln4 \\\\\n& = 2 β \\end{align}\nβ) Είναι:\n\\begin{align} β+γ & =ln4+ln8 \\\\\n& = ln(4\\cdot 8) \\\\\n& = ln32 \\\\\n& = ln2^5 \\\\\n& = 5\\ ln2 \\\\\n& = 5α \\end{align}\nΣημείωση: Οι αριθμοί \\(2,\\ 4,\\ 8\\) είναι με αυτή τη σειρά διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αφού \\(4^2=2\\cdot 8\\), ενώ οι αριθμοί \\(α=ln2,\\ β=ln4,\\ γ=ln8\\) είναι με αυτή τη σειρά διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αφού όπως δείξαμε \\(2β=α+γ.\\)\nΓενικά αν \\(α,\\ β,\\ γ\\) είναι με αυτή τη σειρά θετικοί διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε οι αριθμοί \\(lnα,\\ lnβ,\\ lnγ\\) είναι με αυτή τη σειρά διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να γράψετε το πολυώνυμο \\(P(x)=2x^3+x^2−x\\) ως γινόμενο ενός πρωτοβάθμιου και ενός δευτεροβάθμιου πολυωνύμου.\nβ) Να λύσετε την εξίσωση \\(P(x)=0.\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Στο πολυώνυμο μπορούμε να εξάγουμε κοινό παράγοντα το \\(x\\) και έχουμε:\n$$P(x)=2x^3+x^2−x=x\\cdot (2x^2+x−1)$$\nπου είναι το ζητούμενο.\nβ) Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:\n$$P(x)=2x^3+x^2−x=0$$\n$$\\Leftrightarrow x\\cdot (2x^2+x−1)=0$$\n$$\\Leftrightarrow x\\cdot (2x−1) \\cdot (x+1)=0$$\n$$x=0 \\text{ ή } x=\\dfrac{1}{2} \\text{ ή } x=−1.$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Η διαίρεση ενός πολυωνύμου \\(P(x)\\) με το \\(x-3\\) έχει πηλίκο \\(x^2+2\\) και υπόλοιπο \\(4.\\)\nα) Να γράψετε την ταυτότητα της παραπάνω διαίρεσης.\nβ) Να δείξετε ότι \\(P(x)=x^3-3x^2+2x-2.\\)\nγ) Είναι το \\(x=3\\) ρίζα του πολυωνύμου \\(P(x)\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Σύμφωνα με την ταυτότητα της διαίρεσης είναι:\n$$P(x)=(x-3)(x^2+2)+4$$\nβ) Έχουμε\n$$P(x)=(x-3)(x^2+2)+4$$\n$$\\Leftrightarrow P(x)=x^3+2x-3x^2-6+4$$\nΤελικά \\(P(x)=x^3-3x^2+2x-2.\\)\nγ) Ο αριθμός \\(x=3\\) είναι ρίζα του πολυωνύμου \\(P(x)\\), αν η διαίρεσή του με το \\(x-3\\) έχει υπόλοιπο \\(0\\), που δεν συμβαίνει εδώ, αφού \\(P(3)=4\\), άρα το \\(x=3\\) δεν είναι ρίζα του πολυωνύμου."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται το πολυώνυμο \\(P(x)=2x^{3}-8x^{2}+7x-1\\).\nα) Να αποδείξετε ότι έχει ρίζα τον αριθμό \\(1\\).\nβ) Έστω \\(Q(x)\\) πολυώνυμο το οποίο δεν έχει ρίζα τον αριθμό \\(1\\).\ni.Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο \\(R_{1}(x)=P(x)+Q(x)\\) δεν έχει ρίζα τον αριθμό \\(1\\).\nii.Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο \\(R_{2}(x)=P(x)⋅Q(x)\\) έχει ρίζα τον αριθμό \\(1\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$P(1)=2⋅1^{3}-8⋅1^{2}+7⋅1-1$$\n$$=2-8+7-1=9-9=0$$\nοπότε το πολυώνυμο έχει ρίζα τον αριθμό \\(1\\).\nβ) Ισχύει: \\(Q(1)≠0\\), οπότε:\ni.Για το πολυώνυμο \\(R_{1}(x)\\) έχουμε:\n$$R_{1}(1)=P(1)+Q(1)$$\n$$=0+Q(1)≠0$$\nΆρα το πολυώνυμο \\(R_{1}(x)\\) δεν έχει ρίζα τον αριθμό \\(1\\).\nii.Για το πολυώνυμο \\(R_{2}(x)\\) έχουμε:\n$$R_{2}(1)=P(1)⋅Q(1)$$\n$$=0⋅Q(1)=0$$\nΆρα το πολυώνυμο \\(R_{2}(x)\\) έχει ρίζα τον αριθμό \\(1\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=2ημx+1\\), \\(x∈\\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης \\(f\\).\nβ)Για ποια τιμή του \\(x∈[0,2π]\\) η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή;"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Γνωρίζουμε ότι μια συνάρτηση της μορφής \\(g(x)=2ημx\\) έχει ελάχιστη τιμή \\(-2\\) και μέγιστη \\(2\\). Άρα, η συνάρτηση \\(f(x)=2ημx+1\\) έχει ελάχιστη τιμή \\(-2+1=-1\\) και μέγιστη \\(2+1=3\\).\nβ) Η τιμή του \\(x\\) για την οποία η συνάρτηση \\(f\\) παρουσιάζει μέγιστη τιμή είναι ηλύση της εξίσωσης:\n$$f(x)=3$$\n$$\\Leftrightarrow 2ημx+1=3$$\n$$\\Leftrightarrow 2ημx=2$$\n$$\\Leftrightarrow ημx=1$$\n$$\\Leftrightarrow ημx=ημ\\dfrac{π}{2}$$\n$$\\Leftrightarrow x=\\dfrac{π}{2}\\ \\text{ή}\\ x=π-\\dfrac{π}{2}=\\dfrac{π}{2}$$\nΆρα, η συνάρτηση \\(f\\) παρουσιάζει μέγιστη τιμή για \\(x=\\dfrac{π}{2}\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(𝑓(𝑥)=\\log (10^𝑥 − 1)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το διάστημα \\((0,+∞)\\).\nβ) Να βρείτε το διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(𝑓\\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \\(𝑥'𝑥\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι \\(𝑓(𝑥)+𝑥=\\log (10^{2𝑥} − 10^𝑥),\\ 𝑥>0\\).\nδ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μοναδικού κοινού σημείου της γραφικής παράστασης της \\(𝑓\\) και της ευθείας \\(𝑦= − 𝑥\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Καθώς υπάρχουν λογάριθμοι μόνο θετικών αριθμών, απαιτούμε\n$$\\begin{align} & 10^𝑥 − 1>0 \\\\\n\\Leftrightarrow & 10^𝑥>1 \\\\\n\\Leftrightarrow & 10^𝑥>10^0 \\\\\n\\Leftrightarrow & 𝑥>0\\end{align}$$\nαφού η συνάρτηση \\(𝑔(𝑥)=10^𝑥\\) είναι γνησίως αύξουσα στο \\(\\Bbb{R}\\).\nβ) Πρέπει\n$$\\begin{align} & 𝑓(𝑥)>0 \\\\\n\\Leftrightarrow & \\log(10^𝑥 − 1)>0 \\\\\n\\Leftrightarrow & \\log(10^𝑥 − 1)>\\log 1\\end{align}$$\nκαι καθώς η συνάρτηση \\(ℎ(𝑥)=\\log 𝑥\\) είναι γνησίως αύξουσα στο \\((0,+∞)\\) παίρνουμε:\n$$\\begin{align}& 10^𝑥 − 1>1 \\\\\n\\Leftrightarrow & 10^𝑥>2 \\\\\n\\Leftrightarrow & 10^𝑥>10 \\log 2\\\\\n\\Leftrightarrow & x> \\log 2\\end{align}$$\nΕπομένως \\(𝑥> \\log 2\\), δηλαδή \\(𝑥 \\in (\\log 2,+∞).\\)\nγ) Έχουμε:\n$$\\begin{align} 𝑓(𝑥)+𝑥 & =\\log (10^𝑥−1)+\\log 10^𝑥\\\\\n\\Leftrightarrow & =\\log [10^𝑥(10^𝑥−1)]\\\\\n\\Leftrightarrow & = \\log (10^𝑥\\cdot 10^𝑥 − 10^𝑥)\\\\\n\\Leftrightarrow & = \\log (10^{2𝑥} − 10^𝑥).\\end{align}$$\nδ) Πρέπει να λύσουμε την εξίσωση:\n$$\\begin{align} 𝑓(𝑥)= − 𝑥\\\\\n\\Leftrightarrow & 𝑓(𝑥)+𝑥= 0 \\\\\n\\Leftrightarrow & \\log(10^{2𝑥} − 10^𝑥)=0 \\\\\n\\Leftrightarrow & 10^{2𝑥} − 10^𝑥=1 \\\\\n\\Leftrightarrow & (10^𝑥)^2 − 10^𝑥 − 1=0.\\end{align}$$\nΘέτοντας \\(10^𝑥=𝑦>0\\), παίρνουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση \\(𝑦^2 – 𝑦 – 1=0\\) με διακρίνουσα \\(𝛥=(−1)^2− 4\\cdot 1\\cdot (−1)=5\\), οπότε\n$$\\begin{cases} 𝑦_1=\\dfrac{−(−1)+\\sqrt{5}}{2} =\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2} \\\\\n𝑦_2=\\dfrac{−(−1)-\\sqrt{5}}{2}=\\dfrac{1-\\sqrt{5}}{2}\\end{cases}$$\nΈτσι \\(𝑦=\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2}\\), αφού \\(𝑦>0\\).\nΤελικά\n$$10^𝑥=\\dfrac{\\sqrt{5}+1}{2}\\Leftrightarrow 𝑥=\\log \\left(\\dfrac{\\sqrt{5}+1}{2}\\right).$$\nΆρα το ζητούμενο σημείο είναι το\n$$\\left( \\log \\left(\\dfrac{\\sqrt{5}+1}{2}\\right), -\\log \\left(\\dfrac{\\sqrt{5}+1}{2}\\right) \\right)$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Ο Κώστας καταθέτει σε μια τράπεζα \\(15\\) χαρτονομίσματα των \\(20\\) € και \\(50\\) €. Συμβολίζουμε με \\(x\\) και \\(y\\) το πλήθος των χαρτονομισμάτων των \\(20\\) € και \\(50\\) € αντίστοιχα.\nα)\ni.Δίνονται οι εξισώσεις:\n\\(y=15 - x\\)\n\\(y-x=15\\)\nΝα επιλέξετε ποια από τις δύο παραπάνω εξισώσεις περιγράφει την σχέση των \\(x\\) και \\(y\\). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nii.Η συνολική αξία των χρημάτων είναι \\(480\\) €.\nΔίνονται, ακόμα, οι εξισώσεις:\n\\(50y-20x = 480\\)\n\\(20x+50y = 480\\)\nΝα επιλέξετε ποια από τις δύο παραπάνω εξισώσεις περιγράφει την συνολική αξία των χρημάτων σε σχέση με τα \\(x\\) και \\(y\\). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nβ) Επιλύοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων που επιλέξατε στα ερωτήματα αi) και αii) να βρείτε πόσα χαρτονομίσματα των \\(20\\) € και \\(50\\) € κατάθεσε ο Κώστας."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α)\ni.Όλα τα χαρτονομίσματα είναι \\(15\\), οπότε το άθροισμα των \\(x\\) και \\(y\\) είναι \\(15\\), δηλαδή σωστή είναι η εξίσωση 1: \\(y=15-x\\Leftrightarrow y+x=15\\).\nii.Τα \\(x\\) χαρτονομίσματα των \\(20\\) € έχουν αξία \\(20x\\) €. Αντίστοιχα τα \\(y\\) χαρτονομίσματα των \\(50\\) € έχουν αξία \\(50y\\) €. Η συνολική αξία είναι \\(480\\) €, οπότε σωστή είναι η εξίσωση 4: \\(20x+50y=480\\).\nβ) Επιλύουμε το σύστημα:\n$$\\begin{cases} y=15 - x \\\\ 20x+50y=480\\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} y=15 - x \\\\ 20x+50 (15-x) =480 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} y=15 - x \\\\ - 30x=480 - 750 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} y=15 - x \\\\ x=9 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} y=6 \\\\ x=9 \\end{cases}$$\nΣύμφωνα με την εκφώνηση \\(x=9\\) είναι τα χαρτονομίσματα των \\(20\\) € και \\(y=6\\) τα χαρτονομίσματα των \\(50\\) €."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(𝑓(𝑥)=\\ln(𝑥^2−2𝑥+3)\\), με \\(𝑥\\in \\Bbb{R}.\\)\nα) Να βρείτε το \\(𝑓(3).\\)\nβ) Να δείξετε ότι \\(\\ln 3+3\\ln2−𝑓(3)=\\ln 4.\\)\nγ) Να λύσετε την εξίσωση \\(𝑓(𝑥)=\\ln4.\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι \\(𝑓(3)=\\ln(3^2−2⋅3+3)=\\ln6.\\)\nβ) Είναι\n$$\\begin{align}\\ln3+3\\ln2−𝑓(3) & =\\ln3+\\ln2^3−\\ln6 \\\\\n& =\\ln\\dfrac{24}{6} \\\\\n& =\\ln4. \\end{align}$$\nγ) Με \\(𝑥\\in \\Bbb{R}\\), είναι:\n$$\\begin{align} & 𝑓(𝑥)=\\ln4 \\\\\n\\Leftrightarrow & \\ln(𝑥^2−2𝑥+3)=\\ln4 \\\\\n\\Leftrightarrow & 𝑥^2−2𝑥+3=4 \\\\\n\\Leftrightarrow & 𝑥^2−2𝑥−1=0.\\end{align}$$\nΗ διακρίνουσα του τριωνύμου \\(𝑥^2−2𝑥−1\\) είναι: \\(𝛥=4+4=8=4\\cdot 2\\) και οι ρίζες:\n$$ 𝑥_{1,2}=\\dfrac{2±2\\sqrt{2}}{2}=\\dfrac{2(1±\\sqrt{2})}{2}=1±\\sqrt{2}.$$\nΆρα: \\(𝑥_1=1+\\sqrt{2}\\) και \\(𝑥_2=1−\\sqrt{2}.\\)"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι ευθείες: \\(ε_{1}:\\ 2x+y=6\\) και \\(ε_{2}:\\ x-2y=-2\\).\nα) Να προσδιορίσετε αλγεβρικά το κοινό τους σημείο \\(M\\).\nβ) Να δείξετε ότι η ευθεία \\(ε_{3}:\\ 3x+y=8\\) διέρχεται από το \\(M\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Για να προσδιορίσουμε αλγεβρικά το κοινό σημείο \\(Μ\\) των ευθειών \\(ε_{1}:\\ 2x+y=6\\) και \\(ε_{2}:\\ x-2y=-2\\), θα λύσουμε το σύστημα (επιλέγουμε τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών):\n$$\\begin{cases} 2x+y=6 \\\\ x-2y=-2 \\end{cases} $$\n$$\\overset{(\\cdot 2)}{\\Leftrightarrow} \\begin{cases} 4x+2y=12 \\\\ x-2y=-2 \\end{cases}$$\n$$\\overset{(+)}{\\Leftrightarrow} \\begin{cases} 5x=10 \\\\ x-2y=-2 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=2 \\\\ 2-2y=-2 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=2 \\\\ -2y=-4 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=2 \\\\ y=2 \\end{cases}$$\nΆρα το ζητούμενο σημείο είναι το \\(Μ(2,2)\\).\nβ) Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες του σημείου \\(Μ\\) επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας \\(ε_{3}:\\ 3x+y=8\\), αφού \\(3 \\cdot 2+2=8\\). Άρα η ευθεία \\((ε_{3})\\) διέρχεται από το \\(Μ(2,2)\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η παράσταση \\(A=\\log_4 3+\\log_4α-\\log_4β\\), όπου \\(α, β\\) θετικοί αριθμοί.\nα) Να αποδείξετε ότι \\(Α=\\log_4 \\dfrac{3α}{β}\\)\nβ) Αν για τους αριθμούς \\(α, β\\) ισχύει \\(3α=16β\\), να βρείτε την τιμή της παράστασης \\(Α.\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Από τις ιδιότητες των λογαρίθμων, έχουμε:\n$$\\begin{align} A & = \\log_4 3+\\log_4 α + \\log_4 β \\\\\n&= \\log_4(3α)-\\log_4 β\\\\\n& = \\log_4 \\dfrac{3α}{β}\\end{align}$$\nβ) Η παράσταση \\(Α\\) με \\(3α=16β\\), γράφεται:\n$$\\begin{align} A & = \\log_4 \\dfrac{16β}{β} \\\\\n&= \\log_4 16\\\\\n& = \\log_4 4^2\\\\\n& = 2 \\log_4 4 \\\\\n& = 2 \\end{align}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=x^{2}-4x+5\\), \\(x∈\\mathbb{R}\\).\nα) Να δείξετε ότι η \\(f\\) γράφεται στη μορφή \\(f(x)=(x-2)^2+1\\).\nβ) Να αναφέρετε με ποιες μετατοπίσεις της \\(y(x)=x^{2}\\) προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\), την οποία και να χαράξετε στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α)Ο τύπος της συνάρτησης \\(f\\) διαδοχικά γράφεται:\n$$\\begin{align} f(x) &=x^{2}-4x+5 \\\\\n&=x^{2}-4x+4+1 \\\\\n&=x^{2}-2\\cdot 2\\cdot x+2^{2}+1 \\\\\n&=(x-2)^{2}+1 \\end{align}$$\nβ)Παρατηρούμε ότι \\(f(x)=y(x-2)+1\\). Άρα, ηγραφική παράσταση της \\(f\\) προκύπτει από μετατόπιση της γραφικής παράστασης της \\(y(x)=x^{2}\\) κατά δύο μονάδες δεξιά και μία μονάδα προς τα πάνω."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \\(f(x)=\\ln{(}x^{2}+4)\\) και \\(g(x)=\\ln{x}+\\ln{4}\\).\nα) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\).\nβ) Να λύσετε την εξίσωση \\(f(x)=g(x)\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Ισχύει \\(x^{2}+4>0\\) για κάθε πραγματικό αριθμό \\(x\\), οπότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(f\\) είναι το \\(Α_{f}=R\\). Η συνάρτηση \\(g\\) ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς \\(x\\) για τους οποίους ισχύει \\(x>0\\). Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(g\\) είναι το \\(Α_{g}=(0,+∞)\\).\nβ) Γνωρίζουμε ότι για \\(α>0\\), \\(α≠1\\) και \\(x_{1}\\), \\(x_{2}>0\\) ισχύει η ισοδυναμία:\n$$\\log_{α}{x_{1}}=\\log_{α}{x_{2}}$$\n$$\\Leftrightarrow x_{1}=x_{2}$$\nΟπότε έχουμε:\n$$f(x)=g(x)$$\n$$\\Leftrightarrow \\ln{(}x^{2}+4)=\\ln{x}+\\ln{4}$$\n$$\\Leftrightarrow \\ln{(}x^{2}+4)=\\ln{(4x)}$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+4=4x$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-4x+4=0$$\n$$\\Leftrightarrow (x-2)^{2}=0$$\n$$\\Leftrightarrow x=2>0\\text{,}\\ \\ \\text{δεκτή}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται το πολυώνυμο \\(P(x)=x^4-x^3-5x^2+7x-2.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός \\(1\\) είναι ρίζα του πολυωνύμου.\nβ) Να εξετάσετε αν το πολυώνυμο έχει και άλλη ακέραια ρίζα."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Επειδή\n\\begin{align} P(1) & =1^4-1^3-5\\cdot 1^2+7\\cdot 1-2 \\\\\n& = 1-1-5+7-2\\\\\n& =0 \\end{align}\nο αριθμός \\(1\\) είναι ρίζα του πολυωνύμου.\nβ) Οι πιθανές ακέραιες λύσεις του πολυωνύμου είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου του δηλαδή οι διαιρέτες του \\(2\\) που είναι οι αριθμοί \\(1,\\ 2,\\ -1,\\ -2.\\)\nΟ αριθμός \\(1\\) είδαμε ότι είναι ρίζα του πολυωνύμου. Εξετάζουμε αν κάποιος από τους άλλους αριθμούς είναι ρίζα.\nΕίναι:\n\\(P(2)=16-8-20+14-2=0\\)\n\\(P(-1)=1+1-5-7-2=-12\\neq 0\\)\n\\(P(-2)=16+8-20-14-2=-12\\neq 0\\)\nΕπομένως οι ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου είναι οι αριθμοί \\(1\\) και \\(2.\\)"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίδεται το πολυώνυμο \\(P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\\).\nα) Ποιος είναι ο βαθμός του πολυωνύμου \\(P(x)\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nβ) Ποιο είναι το πηλίκο \\(π(x)\\) και το υπόλοιπο \\(υ(x)\\) που προκύπτει από την διαίρεση \\(P(x):(x-2)\\);"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Γνωρίζουμε ότι ο βαθμός του γινομένου (μη-μηδενικών) πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών. Επομένως, ο βαθμός του πολυωνύμου \\(P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\\) είναι ίσος με \\(3\\), καθώς το \\(P(x)\\) είναι γινόμενο τριών πολυωνύμων βαθμού \\(1\\).\nβ)\n$$P(x):(x-2)=\\dfrac{P(x)}{x-2}$$\n$$=\\dfrac{(x-1)(x-2)(x-3)}{x-2}$$\n$$=(x-1)(x-3)$$\nΗ διαίρεση, επομένως, είναι τέλεια, άρα το υπόλοιπο είναι ίσο με μηδέν.\nΣυνεπώς:\n$$P(x)=(x-2)\\cdot \\underbrace{(x-1)(x-3)}_{π(x)}+\\underbrace{0}_{υ(x)}$$\nΆρα, \\(π(x)=(x-1)(x-3)\\) και \\(υ(x)=0\\).\nΣχόλιο:\nΤο θεώρημα «Ταυτότητα της Διαίρεσης» λέει ότι: για κάθε ζεύγος πολυωνύμων \\(Δ(x)\\) και \\(δ(x)\\) με \\(δ(x)\\ne 0\\) υπάρχουν δύο μοναδικά πολυώνυμα \\(π(x)\\) και \\(υ(x)\\) τέτοια ώστε \\(Δ(x)=δ(x)\\cdot π(x)+υ(x)\\) , όπου το \\(υ(x)\\) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του \\(δ(x)\\).\nΑπό την μοναδικότητα που εγγυάται το θεώρημα για τα πολυώνυμα \\(π(x)\\) και \\(υ(x)\\), προκύπτει ότι και μόνο η παρατήρηση ότι:\n$$P(x)=(x-2)\\cdot (x-1)(x-3)+0$$\nαρκεί για να βγει αμέσως το συμπέρασμα ότι \\(π(x)=(x-1)(x-3)\\) και \\(υ(x)=0\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\ln (e^x-1).\\)\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της \\(f\\).\nβ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τον άξονα \\(x'x\\).\nγ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(x\\) η γραφική παράσταση της \\(f\\) είναι κάτω από τον \\(x'x\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) ορίζεται για ολες τις πραγματικές τιμές του \\(x\\) για τις οποίες ισχύει:\n$$\\begin{align} & e^x-1>0\\\\\n\\Leftrightarrow & e^x>1\\\\\n\\Leftrightarrow & e^x>e^0\\\\\n\\Leftrightarrow & x>0\\end{align}$$\nΣυνεπώς το πεδίο ορισμού της \\(f\\) είναι το \\((0,+\\infty).\\)\nβ) Οι τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης \\(f\\) με τον άξονα \\(x'x\\), είναι οι λύσεις της εξίσωσης:\n$$\\begin{align} & f(x)=0\\\\\n\\Leftrightarrow & \\ln (e^x-1) = \\ln 1 \\\\\n\\Leftrightarrow & e^x-1=1 \\\\\n\\Leftrightarrow & e^x =2 \\\\\n\\Leftrightarrow & x= \\ln 2 \\end{align}$$\nΗ λύση \\(\\ln 2\\) είναι δεκτή αφού \\(\\ln 2>\\ln1\\Leftrightarrow \\ln2>0.\\)\nΣυνεπώς το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τον άξονα \\(x'x\\) είναι το \\((\\ln 2, 0).\\)\nγ) Η γραφική παράσταση της \\(f\\) είναι κάτω από τον άξονα \\(x'x\\), για όλες τις τιμές του \\(x\\) που είναι λύσεις της ανίσωσης:\n$$\\begin{align} & f(x)\\lt 0 \\\\\n\\Leftrightarrow & \\ln (e^x-1) \\lt \\ln 1 \\\\\n\\Leftrightarrow & (e^x-1) \\lt 1 \\\\\n\\Leftrightarrow & e^x \\lt 2 \\\\\n\\Leftrightarrow & x \\lt \\ln 2 \\end{align}$$\nΌμως πρέπει εξ αρχής \\(x>0\\), οπότε τελικά η γραφική παράσταση της \\(f\\) είναι κάτω από τον άξονα \\(x'x\\) όταν: \\(0\\lt x \\lt \\ln 2.\\)"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=1+2ημ(\\dfrac{πx}{2})\\), \\(x∈R\\).\nα) Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης \\(f\\).\nβ) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης \\(f\\).\nγ) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τον άξονα \\(xx'\\).\nδ) Να αποδείξετε ότι \\((f(x)-1)^{2}+(f(1-x)-1)^{2}=4\\), για κάθε \\(x∈R\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η περίοδος της συνάρτησης \\(f\\) είναι:\n$$Τ=\\dfrac{2π}{\\dfrac{π}{2}}=4$$\nβ) Για κάθε \\(x∈R\\) είναι:\n$$-1≤ημ(\\dfrac{πx}{2})≤1$$\nοπότε\n$$-2≤2ημ(\\dfrac{πx}{2})≤2$$\nοπότε\n$$-2+1≤1+2ημ(\\dfrac{πx}{2})≤2+1$$\nκαι τελικά\n$$-1≤f(x)≤3$$\nΕπίσης\n$$f(1)=1+2ημ(\\dfrac{π}{2})=3$$\nκαι\n$$f(3)=1+2ημ(\\dfrac{3π}{2})=-1$$\nΣυνεπώς η μέγιστη τιμή της \\(f\\) είναι το \\(3\\) και η ελάχιστη το \\(-1\\).\nγ) Οι τετμημένες των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τον άξονα \\(xx'\\) είναι οι λύσεις της εξίσωσης \\(f(x)=0\\). Είναι\n$$f(x)=0$$\n$$\\Leftrightarrow 1+2ημ(\\dfrac{πx}{2})=0$$\n$$\\Leftrightarrow ημ(\\dfrac{πx}{2})=-\\dfrac{1}{2}$$\n$$\\Leftrightarrow ημ(\\dfrac{πx}{2})=ημ(-\\dfrac{π}{6})$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} \\dfrac{πx}{2} =2κπ+ (-\\dfrac{π}{6}) \\\\ \\dfrac{πx}{2} =2κπ+π - (-\\dfrac{π}{6})\\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} \\dfrac{πx}{2} =2κπ - \\dfrac{π}{6} \\\\ \\dfrac{πx}{2} =2κπ+ \\dfrac{7π}{6} \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} \\dfrac{x}{2} =2κ - \\dfrac{1}{6} \\\\ \\dfrac{x}{2} =2κ+ \\dfrac{7}{6} \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=4κ - \\dfrac{1}{3} \\\\ x=4κ+ \\dfrac{7}{3} \\end{cases}\\ \\ ,\\ κ∈Z$$\nοπότε οι ζητούμενες τετμημένες είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί της μορφής \\(x=4κ-\\dfrac{1}{3}\\) ή \\(x=4κ+\\dfrac{7}{3}\\), όπου \\(κ∈Z\\).\nδ) Για κάθε \\(x∈R\\) είναι\n$$\\begin{align} f(1-x)&=1+2ημ(\\dfrac{π(1-x)}{2})\\\\\n\\\\&=1+2ημ(\\dfrac{π-πx}{2})\\\\\n\\\\&=1+2ημ(\\dfrac{π}{2}-\\dfrac{πx}{2})\\\\\n\\\\&=1+2συν(\\dfrac{πx}{2})\\end{align}$$\nοπότε\n$$\\begin{align}(f(x)-1)^{2}+(f(1-x)-1)^{2}&=(1+2ημ(\\dfrac{πx}{2})-1)^{2}+(1+2συν(\\dfrac{πx}{2})-1)^{2}\\\\\n\\\\&=4ημ^{2}(\\dfrac{πx}{2})+4συν^{2}(\\dfrac{πx}{2})\\\\\n\\\\&=4(ημ^{2}(\\dfrac{πx}{2})+συν^{2}(\\dfrac{πx}{2}))\\\\\n\\\\&=4 \\cdot 1=4\\end{align}$$\nδηλαδή \\((f(x)-1)^{2}+(f(1-x)-1)^{2}=4\\), για κάθε \\(x∈R\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Σύμφωνα με τον νόμο ψύξης του Νεύτωνα, η θερμοκρασία \\(θ\\), σε βαθμούς Κελσίου, ενός αντικειμένου μειώνεται με την πάροδο του χρόνου \\(t\\), σε λεπτά, σύμφωνα με τη συνάρτηση \\(θ(t)=T+(θ_{0}-Τ)e^{kt}\\), όπου \\(k\\) μια σταθερά με \\(k\\lt 0\\), \\(θ_{0}\\) η αρχική θερμοκρασία του αντικειμένου, ενώ \\(Τ\\) είναι η σταθερή θερμοκρασία του περιβάλλοντος μέσα στο οποίο τοποθετείται το αντικείμενο, με \\(θ_{0}>Τ\\).\nΈνα αντικείμενο έχει θερμανθεί στους \\(100^{ο}C\\) και στη συνέχεια αφήνεται να κρυώσει σε ένα δωμάτιο με σταθερή θερμοκρασία \\(30^{ο}C\\). Γνωρίζουμε ότι \\(5\\) λεπτά μετά την τοποθέτησή του αντικειμένου στο δωμάτιο, η θερμοκρασία του αντικειμένου είναι \\(80^{0}C.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι \\(k=-0,0672\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(θ(t)=30+70\\cdot \\Big(\\dfrac{5}{7}\\Big)^{\\dfrac{t}{5}}\\).\nγ) Να βρείτε, με προσέγγιση εκατοστού, τη θερμοκρασία του αντικειμένου μετά από 1 ώρα και 40 λεπτά.\nΔίνεται ότι \\(\\ln \\Big(\\dfrac{5}{7}\\Big)=-0,336\\) (προσεγγιστικά) και \\(\\Big(\\dfrac{5}{7} \\Big)^{10}≅0,034\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Με βάση τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε:\n\\(θ_{0}=100^{0}C\\), \\(T=30^{0}C\\), ενώ \\(θ(5)=80^{0}C.\\)\nΆρα \\(80^{0}=30^{0}+(100^{0}-30^{0})e^{k}\\), οπότε \\(e^{k}=\\dfrac{50}{70}=\\dfrac{5}{7}\\).\nΈτσι, θα έχουμε \\(5k=\\ln(\\dfrac{5}{7})\\).\nΤελικά, \\(k=\\dfrac{-0,336}{5}=-0,0672\\).\nβ) Στο προηγούμενο ερώτημα βρήκαμε ότι \\(e^{k}=\\dfrac{5}{7}\\) άρα \\((e^{k})^{5}=\\dfrac{5}{7}\\), οπότε \\(e^{k}=(\\dfrac{5}{7})^{\\dfrac{1}{5}}\\).\nΆρα:\n\\begin{align} θ(t) & =30+(100-30)(e^{k})^{t}\\\\\n& =30+70\\cdot \\Big[(\\frac{5}{7})^{\\frac{1}{5}}\\Big]^{t}\\\\\n& =30+70\\cdot \\Big(\\frac{5}{7}\\Big)^{\\frac{t}{5}}\\end{align}\nΕναλλακτικά:\n\\begin{align} θ(t) & =30+(100-30)e^{\\frac{5kt}{5}}\\\\\n& =30+70\\cdot (e^{5k})^{\\frac{t}{5}}\\\\\n& =30+70\\cdot (\\frac{5}{7})^{\\frac{t}{5}} \\end{align}\nγ) Ζητάμε τον αριθμό:\n\\begin{align} θ(100) & =30+70\\cdot (\\dfrac{5}{7})^{20} \\\\\n& =30+70\\cdot [(\\dfrac{5}{7})^{10}]^{2}\\\\\n& ≅30+70\\cdot (0,034)^{2} \\\\\n& =30+70\\cdot 0,001156\\\\\n& =30+0,08092≅30,08^{0}C.\\end{align}"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(𝑓(𝑥)=2𝜎𝜐𝜈(13𝜋+𝑥)−2𝜂𝜇\\left(\\dfrac{𝜋}{2}−𝑥\\right).\\)\nα) Να δείξετε ότι \\(𝜎𝜐𝜈(13𝜋+𝑥)=−𝜎𝜐𝜈𝑥.\\)\nβ) Να δείξετε ότι \\(𝑓(𝑥)=−4𝜎𝜐𝜈𝑥.\\)\nγ) Να λύσετε την εξίσωση \\(𝑓(𝑥)=−2.\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$\\begin{align} 𝜎𝜐𝜈(13𝜋+𝑥) & =𝜎𝜐𝜈(6⋅2𝜋+𝜋+𝑥) \\\\\n&=𝜎𝜐𝜈(𝜋+𝑥)\\\\ &=−𝜎𝜐𝜈𝑥.\\end{align}$$\nβ) Είναι\n$$𝜂𝜇\\left( \\dfrac{𝜋}{2}−𝑥\\right)=𝜎𝜐𝜈𝑥.$$\nΆρα \\(𝑓(𝑥)=−2𝜎𝜐𝜈𝑥−2𝜎𝜐𝜈𝑥=−4𝜎𝜐𝜈𝑥.\\)\nγ) Λύνουμε την εξίσωση:\n$$\\begin{align} & 𝑓(𝑥)=−2 \\\\\n\\Leftrightarrow & −4𝜎𝜐𝜈𝑥=−2 \\\\\n\\Leftrightarrow & 𝜎𝜐𝜈𝑥=\\dfrac{1}{2} \\\\\n\\Leftrightarrow & 𝜎𝜐𝜈𝑥=𝜎𝜐𝜈\\dfrac{𝜋}{3} \\\\\n\\Leftrightarrow & 𝑥=2𝜅𝜋±\\dfrac{𝜋}{3},\\ 𝜅\\in \\Bbb{Z}.\\end{align}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται μία συνάρτηση \\(f\\) για την οποία ισχύει ότι \\(f(-1)=2\\) και \\(f(1)=0\\). Να αιτιολογήσετε (αλγεβρικά ή γραφικά):\nα) γιατί η συνάρτηση \\(f\\) δεν είναι άρτια,\nβ) γιατί η συνάρτηση \\(f\\) δεν είναι περιττή,\nγ) γιατί η συνάρτηση \\(f\\) δεν είναι γνησίως αύξουσα."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι \\(f(-1)\\neq f(1)\\) οπότε η \\(f\\) δεν είναι άρτια.\nβ) Επίσης \\(f(-1)\\neq -f(1)\\) οπότε η \\(f\\) δεν είναι περιττή.\nγ) Είναι \\(f(1) \\lt f(-1)\\), που σημαίνει ότι η συνάρτηση \\(f\\) δεν είναι γνησίως αύξουσα, αφού αν ήταν, θα έπρεπε \\(f(-1) \\lt f(1)\\), που δεν ισχύει."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να αποδείξετε οτι \\(εφ500^0=εφ140^0\\).\nβ)\nΝα βρείτε το πρόσημο του τριγωνομετρικού αριθμού \\(εφ500^0\\)\nΝα βρείτε το πρόσημο της παράστασης \\(Α=εφ500^0\\cdot ημ250^0\\cdot συν300^0\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι γνωστό οτι \\(εφ(κ\\cdot 360°+ω)=εφω\\) για κάθε ακέραιο \\(κ\\).\nΕπομένως \\(εφ500^0=εφ(360^0+140^0)=εφ140^0\\).\nβ)\nΤο πρόσημο του τριγωνομετρικού αριθμού \\(εφ500^0\\) είναι το ίδιο με το πρόσημο του τριγωνομετρικού αριθμού \\(εφ140^0\\).\nΑφού \\(90^0<140^0<180^0\\), τότε η τελική πλευρά της γωνίας \\(140^0\\) βρίσκεται στο \\(2ο\\) τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου. Άρα \\(εφ140^0<0\\).\nΕίναι λοιπόν \\(Α=εφ140^0\\cdot ημ250^0\\cdot συν300^0\\).\nΑπό το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι \\(εφ140^0<0\\).\nΑφού \\(180^0<250^0<270^0\\), τότε η τελική πλευρά της γωνίας \\(250^0\\) βρίσκεται στο \\(3ο\\) τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου. Άρα \\(ημ250^0<0\\).\nΑφού \\(270^0<300^0<360^0\\), τότε η τελική πλευρά της γωνίας \\(300^0\\) βρίσκεται στο \\(4ο\\) τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου. Άρα \\(συν300^0>0\\).\nΕπομένως \\(Α>0\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Ένα μικρό γήπεδο μπάσκετ έχει δέκα σειρές καθισμάτων και κάθε επόμενη σειρά έχει τέσσερα καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη. Η έβδομη σειρά έχει \\(36\\) καθίσματα.\nα) Αποτελούν τα καθίσματα κάθε σειράς του γηπέδου όρους αριθμητικής προόδου; Αιτιολογήσετε τον συλλογισμό σας.\nβ) Να βρείτε το πλήθος των καθισμάτων της πρώτης σειράς.\nγ) Πόσα καθίσματα έχει το γήπεδο συνολικά;"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς προκύπτει από το πλήθος των καθισμάτων της προηγούμενης σειράς προσθέτοντας πάντα σταθερά τέσσερα καθίσματα.\nΈτσι σύμφωνα με τον ορισμό της αριθμητικής προόδου, το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς αποτελούν όρους αριθμητικής προόδου με διαφορά \\(ω=4\\).\nβ) Έχουμε:\n$$α_{7}=α_{1}+(7-1)\\cdot ω $$\n$$\\Leftrightarrow 36=α_{1}+24 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}=36-24 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}=12$$\nγ) Αφού το γήπεδο έχει δέκα σειρές, τότε το πλήθος των καθισμάτων συνολικά δίνεται από τον τύπο:\n$$S_{10}=\\dfrac{10}{2}\\cdot [2\\cdot 12+(10-1)\\cdot 4]$$\n$$=5\\cdot (24+36)$$\n$$=5\\cdot 60=300$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η παράσταση: \\(Α=|3x-6|+2\\), όπου ο \\(x\\) είναι πραγματικός αριθμός.\nα) Να αποδείξετε ότι:\nγια κάθε \\(x\\ge 2\\), \\(Α=3x-4\\).\nγια κάθε \\(x<2\\), \\(Α=8-3x\\)\nβ) Αν για τον \\(x\\) ισχύει ότι \\(x\\ge 2\\) να αποδείξετε ότι:\n$$\\dfrac{9x^{2}-16}{|3x-6|+2}=3x+4$$"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α)\nΙσχύει ότι:\n$$x\\ge 2$$\n$$\\Leftrightarrow 3x\\ge 3\\cdot 2$$\n$$\\Leftrightarrow 3x\\ge 6$$\n$$\\Leftrightarrow 3x-6\\ge 0$$\nΆρα \\(|3x-6|=3x-6\\).\nΤότε:\n$$Α=|3x-6|+2=3x-6+2=3x-4$$\nΙσχύει ότι:\n$$x<2$$\n$$\\Leftrightarrow 3x<3\\cdot 2$$\n$$\\Leftrightarrow 3x<6 $$\n$$\\Leftrightarrow 3x-6<0$$\nΆρα \\(|3x-6|=-(3x-6)=6-3x\\).\nΤότε:\n$$Α=|3x-6|+2=6-3x+2=8-3x$$\nβ) Για κάθε \\(x\\ge 2\\) είναι \\(|3x-6|=3x-6\\). Τότε:\n$$\\dfrac{9x^{2}-16}{|3x-6|+2}=\\dfrac{(3x)^{2}-4^{2}}{3x-6+2}=\\dfrac{(3x-4)(3x+4)}{3x-4}=3x+4$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Ένα κλειστό στάδιο έχει \\(25\\) σειρές καθισμάτων. Στην πρώτη σειρά έχει \\(12\\) καθίσματα και καθεμιά από τις επόμενες σειρές έχει δυο καθίσματα παραπάνω από την προηγούμενη.\nα) Να βρείτε πόσα καθίσματα έχει η μεσαία και πόσα η τελευταία σειρά.\nβ) Να υπολογίσετε τη χωρητικότητα του σταδίου.\nγ) Οι μαθητές ενός Λυκείου προκειμένου να παρακολουθήσουν μια εκδήλωση, κατέλαβαν όλα τα καθίσματα από την \\(7η\\) μέχρι και την \\(14η\\) σειρά. Να βρείτε το πλήθος των μαθητών του Λυκείου."
},
{
"from": "assistant",
"value": "Επειδή κάθε σειρά καθισμάτων έχει \\(2\\) καθίσματα παραπάνω από την προηγούμενη, ο αριθμός των καθισμάτων κάθε σειράς σχηματίζει αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο \\(α_{1}=12\\) και \\(ω=2\\).\nα) Η μεσαία σειρά έχει:\n$$α_{13}=α_{1}+12ω=12+12\\cdot 2=36\\ \\text{καθίσματα}$$\nκαι η τελευταία σειρά έχει:\n$$α_{25}=α_{1}+24ω=12+24\\cdot 2=60\\ \\text{καθίσματα}$$\nβ) Η χωρητικότητα του σταδίου είναι:\n$$S_{25}=\\dfrac{25}{2}(α_{1}+α_{25})$$\n$$=\\dfrac{25}{2}(12+60)$$\n$$=\\dfrac{25}{2}\\cdot 72$$\n$$=\\dfrac{1800}{2}$$\n$$=900\\ \\text{καθίσματα}$$\nγ) Το πλήθος των μαθητών του Λυκείου είναι:\n$$S=S_{14}-S_{6}$$\n$$=\\dfrac{14}{2}(2α_{1}+13ω)-\\dfrac{6}{2}(2α_{1}+5ω)$$\n$$=7(2\\cdot 12+13\\cdot 2)-3(2\\cdot 12+5\\cdot 2)$$\n$$=7\\cdot 50-3\\cdot 34$$\n$$=350-102=248$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=x^{2}+2x-15\\), \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να υπολογίσετε το άθροισμα: \\(f(-5)+f(0)+f(3)\\).\nβ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης της \\(f\\) με τους άξονες."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε:\n$$f(-5)=(-5)^{2}+2\\cdot (-5)-15=25-10-15=0$$\n$$f(0)=0^{2}+2\\cdot 0-15=-15$$\n$$f(3)=3^{2}+2\\cdot 3-15=9+6-15=0$$\nΆρα:\n$$f(-5)+f(0)+f(3)=0-15+0=-15$$\nβ) Για \\(x=0\\), έχουμε από το α) ερώτημα \\(f(0)=-15\\). Άρα η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τον \\(y'y\\) άξονα στο σημείο \\((0,-15)\\).\nΑπό το α) ερώτημα παρατηρούμε ότι \\(f(-5)=0\\) και \\(f(3)=0\\). Άρα η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τον \\(x'x\\) άξονα στα σημεία \\((-5,0)\\) και \\((3,0)\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Αν για τον πραγματικό αριθμό \\(x\\) ισχύει \\(|2x|<2\\), τότε:\nα) Να αποδείξετε ότι \\(-1 < x < 1\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι για κάθε \\(x\\in (-1,1)\\), ισχύει \\(x^{2}<1\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$|2x|<2 \\Rightarrow 2|x|<2$$\nδιαιρούμε τα μέλη της ανίσωσης με το \\(2\\) και έχουμε:\n$$|x| < 1 \\Rightarrow -1 < x < 1$$\nβ) H ανίσωση \\(x^{2}<1\\) ισχύει, αν και μόνο αν ισχύει η \\(\\sqrt{x^{2}}<1\\), που ισχύει αν και μόνο αν ισχύει η \\(|x|<1\\), που ισχύει αν και μόνο αν ισχύει \\(-1<x<1\\), δηλαδή \\(x\\in (-1,1)\\), που ισχύει.\nΆρα για κάθε \\(x\\in (-1,1)\\), ισχύει \\(x^{2}<1\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η παράσταση \\(A=\\sqrt{x^{2}+4}-\\sqrt{x-4}\\).\nα) Για ποιες τιμές του \\(x\\) ορίζεται η παράσταση \\(Α\\); Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του \\(x\\) σε μορφή διαστήματος.\nβ) Αν \\(x=4\\), να αποδείξετε ότι \\(A^{2}-A=2\\cdot (10-\\sqrt{5})\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Πρέπει:\n$$\\begin{cases} x^{2}+4\\ge 0 \\\\ \\text{και } x-4\\ge 0\\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x\\in \\mathbb{R}\\\\ \\text{και } x\\ge 4\\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow x\\ge 4$$\n$$\\Leftrightarrow x\\in [4,+\\infty)$$\nβ) Για \\(x=4\\) είναι:\n$$\\begin{align} A & =\\sqrt{4^{2}+4}-\\sqrt{4-4}\\\\\n& =\\sqrt{16+4}-\\sqrt{0} \\\\\n& =\\sqrt{20}\\end{align}$$\nΤότε:\n$$\\begin{align} A^{2}-A & =(\\sqrt{20})^{2}-\\sqrt{20}\\\\\n& =20-\\sqrt{20}\\\\\n& =20-\\sqrt{4\\cdot 5}\\\\\n&=20-\\sqrt{4}\\cdot \\sqrt{5}\\\\\n&=20-2\\cdot \\sqrt{5}\\\\\n&=2\\cdot (10-\\sqrt{5})\\end{align}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Σε μια αριθμητική πρόοδο \\((α_{ν})\\), ο \\(3^{ος}\\) όρος είναι \\(α_{3}=8\\) και ο \\(8^{ος}\\) όρος είναι \\(α_{8}=23\\).\nα) Να βρείτε τον \\(1^ο\\) όρο \\(α_{1}\\) και τη διαφορά \\(ω\\) της προόδου.\nΑν \\(α_{1}=2\\) και \\(ω=3\\),\nβ) Να υπολογίσετε τον \\(31^ο\\) όρο της προόδου.\nγ) Να υπολογίσετε το άθροισμα: \\(S=(α_{1}+1)+(α_{2}+2)+(α_{3}+3)+...+(α_{31}+31)\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε:\n$$\\begin{cases} α_{3}=8 \\\\ α_{8}=23 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} α_{1}+2ω=8 \\\\ α_{1}+7ω=23 \\end{cases}$$\n$$\\overset{(-)}{ \\Leftrightarrow }\\begin{cases} 5ω=15 \\\\ α_{1}+2ω=8 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} ω=3 \\\\ α_{1}+2\\cdot 3=8 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} ω=3 \\\\ α_{1}=2 \\end{cases}$$\nβ) Είναι:\n$$α_{31}=α_{1}+30ω$$\n$$=2+30\\cdot 3=92$$\nγ) Έχουμε:\n$$S=(α_{1}+1)+(α_{2}+2)+(α_{3}+3)+...+(α_{31}+31)$$\n$$=(α_{1}+α_{2}+α_{3}+...+α_{31})+(1+2+3+...+31)$$\n$$=\\dfrac{31}{2}\\cdot (2\\cdot 2+30\\cdot 3)+\\dfrac{31}{2}\\cdot (2\\cdot 1+30\\cdot 1)$$\n$$=\\dfrac{31}{2}\\cdot (94+32)$$\n$$=\\dfrac{31}{2}\\cdot 126=1953$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται πραγματικοί αριθμοί \\(α\\), \\(β\\) με \\(α > 0\\) και \\(β > 0\\). Να δείξετε ότι:\nα) \\(α+\\dfrac{4}{α}\\ge 4\\).\nβ) \\(\\left(α+\\dfrac{4}{α}\\right)\\left(β+\\dfrac{4}{β}\\right)\\ge 16\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$α+\\dfrac{4}{α}\\ge 4$$\n$$\\overset{α>0}{ \\Leftrightarrow } α^{2}+α\\cdot \\dfrac{4}{α}\\ge 4α$$\nοπότε:\n$$α^{2}+4\\ge 4α$$\nδηλαδή:\n$$α^{2}-4α+4\\ge 0$$\nκαι τελικά:\n$$(α-2)^{2}\\ge 0$$\nπου ισχύει.\nβ) Από το α) ερώτημα έχουμε ότι \\(α+\\dfrac{4}{α}\\ge 4\\) και ομοίως \\(β+\\dfrac{4}{β}\\ge 4\\). Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις δυο ανισότητες προκύπτει:\n$$\\left(α+\\dfrac{4}{α}\\right)\\left(β+\\dfrac{4}{β}\\right)\\ge 16$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=|3x-12|-|2x-8|-3|x^2-16|\\).\nΑν \\(|x|\\leq4\\), τότε:\nα) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης \\(f\\) χωρίς τις απόλυτες τιμές.\nβ) Αν \\(f(x)=3x^2-x-44\\).i. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(f\\) με τους άξονες.\nii. Αν το σημείο \\(Μ(μ+1,-20)\\) ανήκει στη γραφική παράσταση της \\(f\\), να βρείτε την ακέραια τιμή του \\(μ\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι \\(|x|\\leq4\\iff -4\\leq x\\leq 4\\).\nΟ τύπος της συνάρτησης γράφεται:\n\\begin{align}f(x)&=|3x-12|-|2x-8|-3|x^2-16|\\\\\n&=3|x-4|-2|x-4|-3|x^2-16|\\\\\n&=|x-4|-3|x^2-16|.\\end{align}\nΈχουμε\n\\begin{align}&x\\leq4\\\\\n\\iff &x-4\\leq 0\\\\\n\\iff &|x-4|=4-x.\\end{align}\nΕπιπλέον\n\\begin{align}&|x|\\leq4\\\\\n\\iff& |x|^2\\leq16\\\\\n\\iff& x^2-16\\leq 0\\\\\n\\iff& |x^2-16|=16-x^2.\\end{align}\nΆρα:\n\\begin{align}f(x)&=4-x-3(16-x^2)\\\\\n&=4-x-48+3x^2\\\\\n&=3x^2-x-44.\\end{align}\nβ) i. Για να βρούμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(f\\) με τον άξονα \\(x'x\\) λύνουμε την εξίσωση \\(f(x)=0\\), δηλαδή \\(3x^2-x-44=0\\).\nΗ διακρίνουσα του τριωνύμου είναι:\n$$Δ=1+4\\cdot 3\\cdot 44=529$$\nκαι οι ρίζες:\n$$x_{1,2}=\\frac{1\\pm23}{6}=\\begin{cases}x_1=\\frac{24}{6}=4\\\\x_2=-\\frac{22}{6}=-\\frac{11}{3}\\end{cases},$$\nοι οποίες είναι δεκτές γιατί ανήκουν στο διάστημα \\([-4,4]\\).\nΆρα τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(f\\) με τον άξονα \\(x'x\\) είναι \\(Α(4,0)\\) και \\(Β(-\\frac{11}{3},0)\\).\nΓια να βρούμε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(f\\) με τον άξονα \\(y'y\\), θέτουμε στον τύπο της \\(f\\) όπου \\(x=0\\) και βρίσκουμε \\(y=f(0)=-44\\).\nΆρα το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(f\\) με τον άξονα \\(y'y\\) είναι \\(Γ(0,-44)\\).ii. Αφού το σημείο \\(M(μ+1,-20)\\) με \\(μ\\) ακέραιο ανήκει στη γραφική παράσταση της \\(f\\) θα ισχύει \\(μ+1\\in[-4,4]\\) και \\(f(μ+1)=-20\\). Είναι:\n\\begin{align}&f(μ+1)=-20\\\\\n\\iff&3(μ+1)^2-μ-1-44=-20\\\\\n\\iff&3μ^2+6μ+3-μ-45+20=0\\\\\n\\iff&3μ^2+5μ-22=0.\\end{align}\nΗ διακρίνουσα του τριωνύμου είναι:\n$$Δ=25-4\\cdot 3\\cdot(-22)=289$$\nκαι οι ρίζες:\n$$μ_{1,2}=\\frac{-5\\pm17}{6}=\\begin{cases}μ_1=\\frac{12}{6}=2\\\\\nμ_2=-\\frac{22}{6}=-\\frac{11}{3}\\end{cases}.$$\nΑπό τις παραπάνω τιμές του \\(μ\\) δεκτή είναι η \\(μ=2\\) καθώς είναι ακέραια και επιπλέον \\((μ+1)\\in[-4,4]\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να δείξετε ότι: \\(3\\lt \\sqrt[3]{30} \\lt 4\\)\nβ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς \\(\\sqrt[3]{30}\\) και \\(6-\\sqrt{30}\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Ισοδύναμα και διαδοχικά βρίσκουμε:\n$$3 \\lt \\sqrt{30} \\lt 4$$\n$$\\Leftrightarrow \\sqrt[3]{3^{3}}\\lt \\sqrt[3]{30} \\lt \\sqrt[3]{4^{3}}$$\n$$\\Leftrightarrow \\sqrt[3]{27} \\lt \\sqrt[3]{30} \\lt \\sqrt[3]{64}$$\n$$\\Leftrightarrow 27\\lt 30\\lt 64$$\nτο οποίο ισχύει.\nβ) Έστω ότι \\(\\sqrt[3]{30} \\lt 6-\\sqrt[3]{30}\\), τότε:\n$$\\sqrt[3]{30} \\lt 6-\\sqrt[3]{30}$$\n$$\\Leftrightarrow 2\\sqrt[3]{30} \\lt 6$$\n$$\\Leftrightarrow \\sqrt[3]{30} \\lt 3$$\n$$\\Leftrightarrow (\\sqrt[3]{30})^{3} \\lt 3^{3}$$\n$$\\Leftrightarrow 30\\lt 27$$\nάτοπο.\nΆρα:\n$$\\sqrt[3]{30}>6-\\sqrt[3]{30}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Οι αριθμοί \\(x+6,\\ 5x+2,\\ 11x-6\\) είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο \\(α_{1}\\) και διαφορά \\(ω\\).\nα) Να βρείτε την τιμή του \\(x\\) και να αποδείξετε ότι \\(ω=4.\\)\nβ) Αν ο πρώτος όρος της προόδου είναι \\(α_{1}=0\\), να υπολογίσετε το άθροισμα \\(S_{8}\\) των \\(8\\) πρώτων όρων."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Οι αριθμοί \\(x + 6,\\ 5x + 2,\\ 11x – 6\\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν:\n$$5x+2=\\dfrac{x+6+11x-6}{2}$$\n$$\\Leftrightarrow 5x+2=\\dfrac{12x}{2}$$\n$$\\Leftrightarrow 5x+2=6x$$\n$$\\Leftrightarrow x=2$$\nΕίναι:\n\\begin{align} ω & =5x+2-(x+6)\\\\\n& =5x+2-x-6\\\\\n&=4x-4\\\\\n&=4\\cdot 2-4 \\\\\n&=4 \\end{align}\nβ) Ισχύει ότι:\n$$α_{8}=α_{1}+(8-1)ω=0+7\\cdot 4=28$$\nΤότε είναι:\n$$S_{8}=\\dfrac{8}{2}(α_{1}+α_{8})=4\\cdot (0+28)=4\\cdot 28=112$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος \\((α_{ν}),\\ ν\\in \\mathbb{N}^*\\) της οποίας οι τρεις πρώτοι όροι είναι:\n$$α_{1}=x$$\n$$α_{2}=2x^{2}-3x-4$$\n$$α_{3}=x^{2}-2$$\nμε \\(x\\) ακέραιο.\nα) Να αποδείξετε ότι \\(x=3\\).\nβ) Να βρείτε τον ν-οστό όρο της προόδου και να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει όρος της προόδου που να είναι ίσος με \\(2014\\).\nγ) Να υπολογίσετε το άθροισμα \\(S=α_{1}+α_{3}+α_{5}+...+α_{15}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Από τον ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε:\n$$α_{2}-α_{1}=α_{3}-α_{2} $$\n$$\\Leftrightarrow 2x^{2}-3x-4-x=x^{2}-2-(2x^{2}-3x-4)$$\n$$\\Leftrightarrow 3x^{2}-7x-6=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x=3\\ \\text{ή}\\ x=-\\dfrac{2}{3}$$\nΗ τιμή \\(x=-\\dfrac{2}{3}\\) απορρίπτεται διότι δεν είναι ακέραιος.\nβ) Η αριθμητική πρόοδος έχει πρώτο όρο \\(α_{1}=3\\) και διαφορά \\(ω=2\\). Άρα ο ν-οστός όρος της είναι: \\(α_{ν}=3+(ν-1)\\cdot 2=2ν+1\\).\nΈστω ότι κάποιος όρος της ακολουθίας είναι ίσος με \\(2014\\). Τότε η εξίσωση \\(α_{ν}=2014\\) έχει λύση θετικό ακέραιο αριθμό. Είναι:\n$$α_{ν}=2014 $$\n$$\\Leftrightarrow 2ν+1=2014 $$\n$$\\Leftrightarrow ν=\\dfrac{2013}{2}$$\nπου δεν είναι θετικός ακέραιος.\nΕπομένως δεν υπάρχει όρος της προόδου που είναι ίσος με \\(2014\\).\nγ) Είναι:\n$$S=α_{1}+α_{3}+α_{5}+...+α_{15}$$\n$$=3+7+11+...+31$$\nοπότε οι όροι του αθροίσματος σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο \\((β_{ν})\\) με πρώτο όρο \\(β_{1}=3\\) και διαφορά \\(ω'=4\\). Αν ν είναι το πλήθος των όρων του αθροίσματος, τότε έχουμε:\n$$β_{ν}=31 $$\n$$\\Leftrightarrow 3+(ν-1)\\cdot 4=31 $$\n$$\\Leftrightarrow 4ν=32 $$\n$$\\Leftrightarrow ν=8$$\nΕπομένως το πλήθος των όρων του αθροίσματος είναι \\(ν=8\\) και το ζητούμενο άθροισμα είναι\n$$S=S_{8}=\\dfrac{8}{2}[2\\cdot 3+(8-1)\\cdot 4]=136$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Οι πλευρές \\(x_1, x_2\\) ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης\n$$x^2-4\\Big(λ+\\frac{1}{λ}\\Big)x+16=0$$\nόπου \\(λ > 0\\).\nα) Να βρείτε: i. την περίμετρο \\(Π\\) του ορθογωνίου συναρτήσει του \\(λ\\).\n ii. το εμβαδόν \\(Ε\\) του ορθογωνίου.\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(Π\\geq 16\\), για κάθε \\(λ > 0\\).\nγ) Για ποια τιμή του \\(λ\\) η περίμετρος \\(Π\\) του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με \\(16\\); Τι μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο;"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Από τους τύπους για το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών εξίσωσης \\(2^\\text{ου}\\) βαθμού έχουμε:\n\\begin{align}S&=x_1+x_2\\\\\n&=-\\frac{β}{α}\\\\\n&=-\\frac{-4(λ+\\frac{1}{λ})}{1}\\\\\n&=4\\Big(λ+\\frac{1}{λ}\\Big)\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}P&=x_1\\cdot x_2\\\\\n&=\\frac{γ}{α}\\\\\n&=\\frac{16}{1}\\\\\n&=1.\\end{align}\nΑφού \\(P=x_1 \\cdot x_2 =16 > 0\\) και \\(S =x_1 + x_2= 4\\Big(λ+\\frac{1}{λ}\\Big)> 0\\) για κάθε \\(λ > 0\\), οι ρίζες \\(x_1, x_2\\) είναι θετικές και άρα μπορούν να αποτελούν πλευρές ορθογωνίου.\ni. Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι:\n\\begin{align}Π&=2x_1+2x_2\\\\\n&=2(x_1+x_2)\\\\\n&=2\\cdot 4\\Big(λ+\\frac{1}{λ}\\Big)\\\\\n&=8\\Big(λ+\\frac{1}{λ}\\Big).\\end{align}\nii. Το εμβαδόν είναι:\n$$E=x_1\\cdot x_2=16.$$\nβ) Έχουμε ισοδύναμα:\n\\begin{align}&Π\\geq 16\\\\\n\\iff&8\\left(λ+\\frac{1}{λ}\\right)\\geq 16\\\\\n\\iff&λ+\\frac{1}{λ}\\geq 2\\\\\n\\iff&λ+\\frac{1}{λ}-2\\geq 0\\\\\n\\iff&\\frac{λ^2-2λ+1}{λ}\\geq 0\\\\\n\\iff&\\frac{(λ-1)^2}{λ}\\geq 0,\\end{align}\nπου ισχύει για κάθε \\(λ > 0\\).\nγ) Ισοδύναμα βρίσκουμε:\n\\begin{align}&Π=16\\\\\n\\iff&\\frac{(λ-1)^2}{λ}=0\\\\\n\\iff&(λ-1)^2=0\\\\\n\\iff&λ=1.\\end{align}\nΓια \\(λ=1\\) η περίμετρος είναι \\(16\\) (δηλαδή \\(2(x_1+x_2)=16\\) και τελικά \\(x_1+x_2=8\\)) και το εμβαδόν είναι \\(16\\) (δηλαδή \\(x_1\\cdot x_2=16\\)), οπότε \\(x_1=x_2=4\\).\nΕπομένως, το ορθογώνιο είναι τετράγωνο."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η ανίσωση \\(|2x-5|<3\\).\nα) Να λύσετε την ανίσωση.\nβ) αν ο αριθμός \\(α\\) είναι μια λύση της ανίσωσης να βρείτε το πρόσημο του γινομένου:\n$$A=(α-1)(α-5)$$"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$|2x-5|<3 $$\n$$\\Leftrightarrow -3<2x-5<3 $$\n$$\\Leftrightarrow -3+5<2x<3+5 $$\n$$\\Leftrightarrow 2<2x<8 $$\n$$\\Leftrightarrow 1 < x < 4 $$\nΆρα, λύση της ανίσωσης είναι κάθε αριθμός \\(x\\), με \\(x\\in (1,4)\\).\nβ) Ο αριθμός \\(α\\) είναι λύση της ανίσωσης, οπότε \\(α\\in (1,4)\\). Έτσι έχουμε \\(α>1\\), οπότε \\(α-1>0\\) και \\(α<5\\), οπότε \\(α-5<0\\).\nΕπομένως οι παράγοντες του γινομένου \\((α-1)(α-5)\\) είναι ετερόσημοι, οπότε\n$$A=(α-1)(α-5)<0$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Θεωρούμε το τριώνυμο \\(f(x)=x^2-x-3\\).\nα) Να βρείτε τις ρίζες του \\(f(x)\\).\nβ) Να επιλύσετε την ανίσωση \\(-2\\cdot f(x) < 0\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι\n\\begin{align}Δ&=(-1)^2-4\\cdot 1\\cdot (-3)\\\\\n&=1+12\\\\\n&=13>0.\\end{align}\nΆρα το \\(f(x)\\) έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες\n$$x_1=\\frac{-β-\\sqrt{Δ}}{2α}=\\frac{-(-1)-\\sqrt{13}}{2\\cdot 1}=\\frac{1-\\sqrt{13}}{2}$$\nκαι\n$$x_1=\\frac{-β+\\sqrt{Δ}}{2α}=\\frac{-(-1)+\\sqrt{13}}{2\\cdot 1}=\\frac{1+\\sqrt{13}}{2}$$\nβ)\n\\begin{align}&-2\\cdot f(x) < 0\\\\\n\\iff&-2\\cdot \\Big(-\\frac{1}{2}\\Big)\\cdot f(x) > 0\\cdot \\Big(-\\frac{1}{2}\\Big)\\\\\n\\iff&f(x) > 0\\end{align}\nΚατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου του τριωνύμου, με βάση το (α) ερώτημα.\nΚαθώς είναι \\(α=1 > 0\\), παρατηρούμε ότι είναι \\(f(x) > 0\\) για\n$$x\\in\\Big(-\\infty,\\dfrac{1-\\sqrt{13}}{2}\\Big)\\cup\\Big(\\frac{1+\\sqrt{13}}{2},+\\infty\\Big)$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η ακολουθία \\((α_ν)\\) με γενικό τύπο \\(α_ν=10+3ν\\).\nα) i. Να δείξετε ότι η ακολουθία \\((α_ν)\\) είναι αριθμητική πρόοδος.\nii. Nα βρείτε τον πρώτο όρο της \\(α_1\\) και τη διαφορά \\(ω\\) της παραπάνω αριθμητικής προόδου.\nβ) Να βρείτε ποιοι όροι της \\((α_ν)\\) βρίσκονται ανάμεσα στους αριθμούς \\(14\\) και \\(401\\). Πόσοι είναι οι όροι αυτοί;\nγ) Να υπολογίσετε το άθροισμα των όρων που βρίσκονται ανάμεσα στους αριθμούς \\(14\\) και \\(401\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η ακολουθία \\((α_ν)\\) είναι αριθμητική πρόοδος, διότι η διαφορά δυο οποιωνδήποτε διαδοχικών όρων της είναι σταθερή:\n\\begin{align}α_{ν+1}-α_ν&=[10+3(ν+1)]-(10+3ν)\\\\\n&=10+3ν+3-10-3ν\\\\\n&=3.\\end{align}\nΟ πρώτος όρος της προόδου είναι \\(α_1=10+3\\cdot1=13\\) και η διαφορά \\(ω=3\\).\nβ) Πρέπει να βρούμε για ποιες τιμές του \\(ν\\in\\mathbb{N}\\) ισχύει:\n\\begin{align}&14<α_ν<401\\\\\n\\iff&14<10+3ν<401\\\\\n\\iff&4<3ν<391\\\\\n\\iff&\\frac{4}{3}<ν<\\frac{391}{3}\\\\\n\\iff&1.\\bar{3}<ν<130.\\bar{3}\\end{align}\nΟι όροι της αριθμητικής προόδου που είναι μεταξύ των αριθμών \\(14\\) και \\(401\\), είναι οι \\(α_1,α_2,\\dots,α_{130}\\) που είναι \\(129\\) όροι.\nγ) Έχουμε:\n\\begin{align}&α_2+α_3+\\dots+α_{130}\\\\\n=&S_{130}-α_1\\\\\n=&\\frac{130}{2}(2α_1+129ω)-α_1\\\\\n=&65(2\\cdot13+129\\cdot3)-13\\\\\n=&26832,\\end{align}\nή εναλλακτικά, αν θεωρήσουμε τον \\(α_2\\) πρώτο όρο, έχουμε άθροισμα \\(129\\) πρώτων όρων και:\n\\begin{align}&α_2+α_3+\\dots+α_{130}\\\\\n=&S_{129}\\\\\n=&\\frac{129}{2}(2α_2+128ω)\\\\\n=&129(α_2+64ω)\\\\\n=&129(α_1+ω+64ω)\\\\\n=&129(α_1+65ω)\\\\\n=&129(13+65\\cdot3)\\\\\n=&26832.\\end{align}"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι παραστάσεις \\(Α=|2x-4|\\) και \\(B=|x-3|\\), με \\(x\\) πραγματικό αριθμό.\nα) Να αποδείξετε ότι αν \\(2\\le x<3\\), τότε \\(Α+Β=x-1\\).\nβ) Υπάρχει \\(x\\in [2,3)\\) ώστε να ισχύει \\(Α+Β=2\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$2\\le x<3 $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x\\ge 2 \\\\ x<3 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} 2x\\ge 4 \\\\ x-3<0 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} 2x-4\\ge 0 \\\\ x-3<0 \\end{cases}$$\nΤότε:\n$$Α=|2x-4|=2x-4$$\nκαι:\n$$B=|x-3|=-(x-3)=3-x$$\nΕπομένως:\n$$Α+Β=2x-4 +3-x=x-1$$\nβ) Είναι:\n$$Α+Β=2 $$\n$$\\Leftrightarrow x-1=2 $$\n$$\\Leftrightarrow x=3$$\nτο οποίο είναι αδύνατο, διότι \\(x\\in [2,3)\\).\nΕπομένως, δεν υπάρχει \\(x\\in [2,3)\\) ώστε να ισχύει \\(Α+Β=2\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Εξαιτίας ενός ατυχήματος σε διυλιστήριο πετρελαίου, διαρρέει στη θάλασσα πετρέλαιο που στο τέλος της \\(1^\\text{ης}\\) ημέρας καλύπτει \\(3\\) τετραγωνικά μίλια (τ.μ.), στο τέλος της \\(2^\\text{ης}\\) ημέρας καλύπτει \\(6\\) τ.μ, στο τέλος της \\(3^\\text{ης}\\) ημέρας καλύπτει \\(12\\) τ.μ. και γενικά εξαπλώνεται έτσι ώστε στο τέλος κάθε ημέρας να καλύπτει επιφάνεια διπλάσια από αυτήν που κάλυπτε την προηγούμενη.\nα) Να βρείτε την επιφάνεια της θάλασσας που θα καλύπτει το πετρέλαιο στο τέλος της \\(5^\\text{ης}\\) ημέρας μετά από το ατύχημα.\nβ) Πόσες ημέρες μετά από τη στιγμή του ατυχήματος το πετρέλαιο θα καλύπτει \\(768\\) τ.μ.;\nγ) Στο τέλος της \\(9^\\text{ης}\\) ημέρας επεμβαίνει ο κρατικός μηχανισμός και αυτομάτως σταματάει η εξάπλωση του πετρελαίου. Στο τέλος της επόμενης ημέρας η επιφάνεια που καλύπτει το πετρέλαιο έχει μειωθεί κατά \\(6\\) τ.μ. και συνεχίζει να μειώνεται κατά \\(6\\) τ.μ. την ημέρα. Να βρείτε πόσες ημέρες μετά από τη στιγμή του ατυχήματος η θαλάσσια επιφάνεια που καλύπτεται από το πετρέλαιο θα έχει περιοριστεί στα \\(12\\) τ.μ."
},
{
"from": "assistant",
"value": "Η επιφάνεια σε τετραγωνικά μίλια που καλύπτει το πετρέλαιο στο τέλος κάθε ημέρας, είναι όροι γεωμετρικής προόδου με \\(α_{1}=3\\) και \\(λ=2\\). Στο τέλος της ν-οστής ημέρας θα έχει καλυφθεί επιφάνεια \\(α_{ν}=α_{1}\\cdot λ^{1}\\) τετραγωνικά μίλια (τ.μ.).\nα) Στο τέλος της \\(6^\\text{ης}\\) ημέρας θα έχει καλυφθεί επιφάνεια:\n$$α_{5}=3\\cdot 2^{5-1}$$\n$$=3\\cdot 2^{4}$$\n$$=3\\cdot 16=48\\ \\text{τ.μ.}$$\nβ) Δεδομένο είναι το \\(α_{ν}=768\\) και ζητούμενο είναι το \\(ν\\). Έχουμε ισοδύναμα:\n$$α_{ν}=768$$\n$$\\Rightarrow 3\\cdot 2^{ν-1}=768$$\n$$\\Rightarrow 2^{ν-1}=256$$\n$$\\Rightarrow 2^{ν-1}=2^{8}$$\n$$\\Rightarrow ν-1=8$$\n$$\\Rightarrow ν=9$$\nΟπότε στο τέλος της \\(9^\\text{ης}\\) ημέρας θα έχει καλυφθεί από πετρέλαιο θαλάσσια επιφάνεια \\(768\\) τ.μ.\nγ) Στο τέλος της \\(10^\\text{ης}\\) ημέρας η επιφάνεια της θάλασσας που έχει καλυφθεί από πετρέλαιο είναι \\(768-6=762\\) τ.μ. και κάθε επόμενη ημέρα θα μειώνεται κατά \\(6\\) τ.μ. Άρα η επιφάνεια σε τετραγωνικά μίλια που θα καλύπτει εφεξής το πετρέλαιο στο τέλος κάθε ημέρας, είναι όροι αριθμητικής προόδου \\((β_{ν})\\) με \\(β_{1}=762\\) και \\(ω=-6\\).\nΔεδομένο είναι ότι \\(β_{ν}=12\\) και ζητούμενο είναι το \\(ν\\). Έχουμε ισοδύναμα:\n$$β_{ν}=762$$\n$$\\Rightarrow 762+(ν-1)\\cdot (-6)=12$$\n$$\\Rightarrow 6ν=756$$\n$$\\Rightarrow ν=126$$\nΣυνεπώς στο τέλος της \\(126^\\text{ης}\\) ημέρας μετά από την κρατική παρέμβαση και συνολικά στο τέλος της \\(9+126=135^\\text{ης}\\) ημέρας μετά από τη στιγμή του ατυχήματος η θαλάσσια επιφάνεια που καλύπτεται από πετρέλαιο θα έχει περιοριστεί στα \\(12\\) τ.μ."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι ευθείες \\(ε_1:\\ y=(3α+4)x-4\\) και \\(ε_2:\\ y=(3-4α)x+4,\\ α\\in \\Bbb{R}\\).\nα) Αν \\(α=1\\), να βρείτε:\ni. Τις εξισώσεις των ευθειών.\nii. Το είδος της γωνίας που σχηματίζει καθεμιά από τις ευθείες με τον άξονα \\(x'x.\\)\nβ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(α\\) οι ευθείες \\(ε_1,ε_2\\) είναι παράλληλες."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α)\ni. Με \\(α=1\\) οι ευθείες είναι οι: \\(ε_1:\\ y=7x-4\\) και \\(ε_2:\\ y=-x+4\\)\nii. Η ευθεία \\(ε_1\\) έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(a_1=7>0,\\) οπότε σχηματίζει με τον άξονα \\(x'x\\) οξεία γωνία, ενώ η \\(ε_2\\) έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(α_2=-1\\lt0\\), οπότε σχηματίζει με τον άξονα \\(x'x\\) αμβλεία γωνία.\nβ) Οι ευθείες είναι παράλληλες μόνο όταν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, δηλαδή μόνο όταν ισχύει \\(3α+4=3-4α\\). Είναι:\n$$3α+4=3-4α \\Leftrightarrow 7α=-1 \\Leftrightarrow α=-\\frac{1}{7}$$\nΆρα η ευθείες είναι παράλληλες μόνο όταν \\(α=-\\dfrac{1}{7}\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να λυθεί η ανίσωση \\(|y – 3| < 1\\).\nβ) Αν \\(x\\), \\(y\\) είναι μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με \\(1 < x < 3\\) και \\(2 < y < 4\\) τότε να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών κυμαίνεται η τιμή του εμβαδού \\(Ε\\) του ορθογωνίου."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$|y - 3| < 1 $$\n$$\\Leftrightarrow - 1 < y - 3 < 1 $$\n$$\\Leftrightarrow - 1 + 3 < y - 3 + 3 < 1 + 3 $$\n$$\\Leftrightarrow 2 < y < 4$$\nβ) Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο: \\(Ε = xy\\).\nΠολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις ανισότητες \\(1 < x < 3\\) και \\(2 < y < 4\\) βρίσκουμε:\n$$1 \\cdot 2 < x \\cdot y < 3 \\cdot 4 $$\n$$\\Leftrightarrow 2 < E < 12$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Η θερμοκρασία \\(Τ\\) σε βαθμούς Κελσίου (\\(^0\\ C\\)), σε βάθος \\(x\\) χιλιομέτρων κάτω από την επιφάνεια της Γης, δίνεται κατά προσέγγιση από τη σχέση:\n$$T=15+25\\cdot x\\ \\ \\text{, όταν}\\ \\ 0\\le x\\le 200$$\nα) Να βρείτε τη θερμοκρασία ενός σημείου, το οποίο βρίσκεται \\(30\\) χιλιόμετρα κάτω από την επιφάνεια της Γης.\nβ) Να βρείτε το βάθος στο οποίο η θερμοκρασία είναι ίση με \\(290^{0}\\ C\\).\nγ) Σε ποιο βάθος μπορεί να βρίσκεται ένα σημείο, στο οποίο η θερμοκρασία είναι μεγαλύτερη από \\(440^{0}\\ C\\);"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Για να βρούμε τη θερμοκρασία ενός σημείου που βρίσκεται \\(30\\) χιλιόμετρα κάτω από την επιφάνεια της Γης θέτουμε στη δοθείσα σχέση \\(x=30\\) και βρίσκουμε:\n$$Τ=15+25\\cdot 30$$\n$$\\Rightarrow T=15+750$$\n$$\\Rightarrow T=765^{0}\\ C$$\nβ) Για να βρούμε σε ποιο βάθος η θερμοκρασία είναι ίση με \\(290^{0}\\ C\\) θέτουμε στη δοθείσα σχέση \\(Τ = 290\\) και βρίσκουμε ισοδύναμα:\n$$290=15+25\\cdot x $$\n$$\\Rightarrow 275=25x$$\n$$\\Rightarrow x=11\\ \\text{χιλιόμετρα}$$\nγ) Για να βρούμε σε ποιο βάθος η θερμοκρασία είναι μεγαλύτερη από \\(440^{0}\\ C\\) λύνουμε την ανίσωση:\n$$ T>440 $$\n$$\\Leftrightarrow 15+25\\cdot x>440 $$\n$$\\Leftrightarrow 25\\cdot x>425 $$\n$$\\Leftrightarrow x>17\\ \\text{χιλιόμετρα}$$\nΕπομένως η θερμοκρασία είναι μεγαλύτερη των \\(440^{0}\\ C\\) σε βάθος άνω των \\(17\\) χιλιομέτρων."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Σε αριθμητική πρόοδο \\((α_ν)\\) είναι \\(α_{1}=2\\) και \\(α_{5}=14\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η διαφορά \\(ω\\) της προόδου είναι ίση με \\(3\\).\nβ) Να βρείτε πόσους από τους πρώτους όρους της αριθμητικής προόδου \\((α_ν)\\) πρέπει να προσθέσουμε, ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με \\(77.\\)\n(Δίνεται: \\(\\sqrt{1849}=43\\) )."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$α_{5}=14$$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+(5–1)ω=14$$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+4ω=14$$\n$$\\Leftrightarrow 4ω=12$$\n$$\\Leftrightarrow ω=3$$\n**β)$ Έχουμε:\n$$S_{ν}=77$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{v}{2}[2α_{1}+(ν-1)ω]=77$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{v}{2}[2\\cdot 2+(ν-1)3]=77$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{v}{2}(4+3ν-3)=77$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{v}{2}(3ν+1)=77$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{3ν^{2}+ν}{2}=77$$\n$$\\Leftrightarrow 3ν^{2}+ν=154$$\n$$\\Leftrightarrow 3ν^{2}+ν-154=0,\\ (1)$$\nΗ εξίσωση έχει διακρίνουσα:\n$$Δ = β^2 – 4αγ = 12 – 4 3 (– 154) = 1 + 1848 = 1849 > 0.$$\nΆρα η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζες τις:\n\\begin{align} ν_{\\text{1,2}} & = \\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}\\\\\n&=\\dfrac{-1\\pm \\sqrt{1849}}{23}\\\\\n&=\\dfrac{-1\\pm 43}{6}\\\\\n& =\\begin{cases} \\dfrac{-1+43}{6}=7 \\\\ \\dfrac{-1-43}{6}=-\\dfrac{44}{6} \\end{cases} \\end{align}\nΗ τιμή \\(ν = – \\dfrac{44}{6}\\) απορρίπτεται, καθώς \\(ν\\in \\mathbb{Ν}\\). Άρα πρέπει να προσθέσουμε τους \\(7\\) πρώτους όρους της προόδου ώστε το άθροισμα να είναι ίσο με \\(77.\\)"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Για τη μέτρηση θερμοκρασιών χρησιμοποιούνται οι κλίμακες βαθμών Κελσίου (Celsius), Φαρενάιτ (Fahrenheit) και Κέλβιν (Kelvin). Οι μετατροπές της θερμοκρασίας από Κελσίου σε Φαρενάιτ και από Κελσίου σε Κέλβιν, περιγράφονται από τις προτάσεις \\(Π1\\) και \\(Π2\\):\n\\(Π1\\): Για να μετατρέψουμε τη θερμοκρασία από βαθμούς Κελσίου (\\(^οC\\)) σε βαθμούς Φαρενάιτ (\\(^οF\\)), πολλαπλασιάζουμε τους βαθμούς Κελσίου με \\(1,8\\) και προσθέτουμε \\(32\\).\n\\(Π2\\): Για να μετατρέψουμε τη θερμοκρασία από βαθμούς Κελσίου (\\(^οC\\)) σε βαθμούς Κέλβιν (\\(^οK\\)), προσθέτουμε στους βαθμούς Κελσίου (\\(^οC\\)) το \\(273\\).\nα) Να εκφράσετε συμβολικά τη σχέση που περιγράφει η κάθε πρόταση.\nβ) Να δείξετε ότι η εξίσωση που παριστάνει τη σχέση μεταξύ της θερμοκρασίας σε βαθμούς Κέλβιν (\\(^οK\\)) και της θερμοκρασίας σε βαθμούς Φαρενάιτ (\\(^οF\\)) είναι η:\n$$K=\\dfrac{F-32}{1,8}+273$$\nγ) Στη διάρκεια μιας νύχτας η θερμοκρασία σε μια πόλη κυμάνθηκε από \\(278\\ ^οK\\) μέχρι \\(283\\ ^οK\\). Να βρείτε το διάστημα μεταβολής της θερμοκρασίας σε \\(^οF\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η πρόταση \\(Π1\\) εκφράζεται συμβολικά με τη σχέση:\n$$F=1,8\\cdot C+32\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΗ πρόταση \\(Π2\\) εκφράζεται συμβολικά με τη σχέση:\n$$K=C+273\\ \\ \\ \\ (2)$$\nβ) Η ισότητα \\((1)\\) ισοδύναμα γράφεται:\n$$F=1,8\\cdot C+32 $$\n$$\\Leftrightarrow F-32=1,8\\cdot C $$\n$$\\Leftrightarrow C=\\dfrac{F-32}{1,8}\\ \\ \\ \\ (3)$$\nΤότε η ισότητα \\((2)\\) ισοδύναμα γράφεται:\n$$K=\\dfrac{F-32}{1,8}+273\\ \\ \\ \\ (4)$$\nγ) Ισοδύναμα και διαδοχικά βρίσκουμε:\n$$278\\le K\\le 283$$\n$$\\overset{(4)}{ \\Leftrightarrow} 278\\le \\dfrac{F-32}{1,8}+273\\le 283 $$\n$$\\Leftrightarrow 278-273\\le \\dfrac{F-32}{1,8}+273-273\\le 283-273 $$\n$$\\Leftrightarrow 5\\le \\dfrac{F-32}{1,8}\\le 10 $$\n$$\\Leftrightarrow 5\\cdot 1,8\\le 1,8\\cdot \\dfrac{F-32}{1,8}\\le 10\\cdot 1,8 $$\n$$\\Leftrightarrow 9\\le F-32\\le 18 $$\n$$\\Leftrightarrow 9+32\\le F-32+32\\le 18+32 $$\n$$\\Leftrightarrow 41\\le F\\le 50$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=(x-1)^2, x\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(f(\\sqrt{3})+f(-\\sqrt{3})=8\\).\nβ) Να βρείτε όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της \\(f\\), με συντεταγμένες ακέραιους αριθμούς, τα οποία βρίσκονται κάτω από την ευθεία \\(y=4\\).\nγ) Έστω \\(α, β\\) πραγματικοί αριθμοί με \\(α\\neq β\\) ώστε να ισχύει \\(f(α)=f(β)\\). Να αποδείξετε ότι \\(α+β=2\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n\\begin{align}&f(\\sqrt{3})+f(-\\sqrt{3})\\\\\n=&(\\sqrt{3}-1)^2+(-\\sqrt{3}-1)^2\\\\\n=&3+1-2\\sqrt{3}+3+1+2\\sqrt{3}\\\\\n=&4+4\\\\\n=&8\\end{align}\nβ) Ένα σημείο \\(Μ(x,f(x))\\) της γραφικής παράστασης της \\(f\\), βρίσκεται κάτω από την ευθεία \\(y=4\\) μόνο όταν ισχύει \\(f(x)< 4\\).\nΕίναι:\n\\begin{align}&f(x)< 4\\\\\n\\iff&(x-1)^2< 4\\\\\n\\iff&\\sqrt{(x-1)^2}< \\sqrt{4}\\\\\n\\iff&|x-1|< 2\\\\\n\\iff&-2< x-1< 2\\\\\n\\iff&-1< x< 3\\\\\n\\iff&x\\in(-1,3)\\end{align}\nΟι ακέραιοι που περιέχονται στο διάστημα \\((-1,3)\\) είναι οι: \\(0,1,2\\) και επειδή \\(f(0)=1,f(1)=0, f(2)=1\\), τα ζητούμενα σημεία είναι τα \\(A(0,1), B(1,0), Γ(2,1)\\).\nγ) Αν \\(f(α)=f(β)\\), τότε:\n\\begin{align}&(α-1)^2=(β-1)^2\\\\\n\\Rightarrow&(α-1)^2-(β-1)^2=0\\\\\n\\Rightarrow&(α-1+β-1)(α-1-β+1)=0\\\\\n\\Rightarrow&(α+β-2)(α-β)=0.\\end{align}\nΗ τελευταία ισότητα, με \\(α\\neq β\\) δίνει:\n$$α+β-2=0\\Rightarrow α+β=2$$\nπου είναι το ζητούμενο."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Ο Διονύσης γράφει στο τετράδιό του τους αριθμούς \\(3, 7, 11, 15,...\\) και συνεχίζει προσθέτοντας κάθε φορά το \\(4\\). Σταματάει όταν έχει γράψει τους \\(40\\) πρώτους από τους αριθμούς αυτούς.\nα) Είναι οι παραπάνω αριθμοί διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nβ) Να βρείτε το άθροισμα των \\(40\\) αυτών αριθμών.\nγ) Είναι ο αριθμός \\(120\\) ένας από αυτούς τους \\(40\\) αριθμούς; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nδ) Ο Γιώργος πήρε το τετράδιο του Διονύση και συνέχισε να γράφει διαδοχικούς όρους της ίδιας αριθμητικής προόδου, από εκεί που είχε σταματήσει ο Διονύσης μέχρι να εμφανιστεί ο αριθμός \\(235\\). Να βρείτε το άθροισμα των αριθμών που έγραψε ο Γιώργος."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Επειδή κάθε όρος που προστίθεται προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού, που είναι το \\(4\\), οι αριθμοί που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με \\(α_1 = 3\\) και \\(ω = 4\\).\nβ) Είναι:\n$$S_{40}=\\dfrac{[2\\cdot 3+(40-1)\\cdot 4]\\cdot 40}{2}$$\n$$=(6+39\\cdot 4)\\cdot 20=3240$$\nγ) Για να είναι ο αριθμός \\(120\\) ένας από τους \\(40\\) αυτούς αριθμούς, πρέπει και αρκεί να υπάρχει φυσικός αριθμός \\(ν\\), ώστε:\n$$α_{ν}=120 $$\n$$\\Leftrightarrow 3+(ν-1)\\cdot 4=120 $$\n$$\\Leftrightarrow 3+4ν-4=120 $$\n$$\\Leftrightarrow 4ν=121 $$\n$$\\Leftrightarrow ν=\\dfrac{121}{4}$$\nΟ αριθμός \\(\\dfrac{121}{4}\\) δεν είναι φυσικός και επομένως δεν μπορεί ο αριθμός \\(120\\) να είναι όρος της αριθμητικής προόδου.\nδ) Θα βρούμε ποιος όρος της προόδου είναι ο αριθμός \\(235\\). Είναι:\n$$α_{ν}=235 $$\n$$\\Leftrightarrow 3+(ν-1)\\cdot 4=235 $$\n$$\\Leftrightarrow 3+4ν-4=235 $$\n$$\\Leftrightarrow 4ν=236 $$\n$$\\Leftrightarrow ν=59$$\nΕίναι:\n$$S_{59}=\\dfrac{(α_{1}+α_{59})\\cdot 59}{2}$$\n$$=\\dfrac{(3+235)\\cdot 59}{2}=7021$$\nΤο ζητούμενο άθροισμα είναι:\n$$S=S_{59}-S_{40}$$\n$$=7021-3240=3781$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται το τριώνυμο \\(f(x)=-x^{2}+2x+3\\), \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε το πρόσημο του παραπάνω τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nβ) Να βρείτε, αιτιολογώντας την απάντησή σας, το πρόσημο του γινομένου:\n$$f(2,999)\\cdot f(-1,002)$$\nγ) Αν \\(-3<α<3\\), να βρείτε το πρόσημο του αριθμού \\(-α^{2}+2|α|+3\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Το τριώνυμο \\(f(x)=-x^{2}+2x+3\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=2^{2}-4\\cdot (-1)\\cdot 3$$\n$$=4+12=16>0$$\nΤο άθροισμα των ριζών του είναι:\n$$S=x_{1}+x_{2}$$\n$$=\\dfrac{-2}{-1}=2$$\nκαι το γινόμενό τους είναι:\n$$P=x_{1}\\cdot x_{2}=\\dfrac{3}{-1}=-3$$\nΆρα \\(x_{1}=3\\), \\(x_{2}=-1\\) και το πρόσημο του τριωνύμου είναι:\nΟπότε το τριώνυμο παίρνει θετικές τιμές για \\(x\\in (-1,3)\\) και αρνητικές τιμές για \\(x\\in (-\\infty ,-1)\\cup (3,+\\infty)\\).\nβ) Εφόσον \\(2,999\\in (-1,3)\\), από τον παραπάνω πίνακα προσήμου θα είναι \\(f(2,999)>0\\) και επειδή \\(-1,002<-1\\) θα είναι \\(f(-1,002)<0\\). Άρα:\n$$f(2,999)\\cdot f(-1,002)<0$$\nγ) Αν:\n$$-3<α<3 \\Leftrightarrow |α|<3$$\nδηλαδή \\(0\\le |α|<3\\), τότε ο αριθμός \\(-α^{2}+2|α|+3=-|α|^{2}+2|α|+3=f(|α|)\\) είναι θετικός, όπως προκύπτει από τον πίνακα προσήμου του τριωνύμου \\(f(x)=-x^{2}+2x+3\\) στο α) ερώτημα."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δύο φίλοι αποφασίζουν να συνεταιριστούν και ανοίγουν μια επιχείρηση που γεμίζει τόνερ (toner) για φωτοτυπικά μηχανήματα.\nΤα πάγια μηνιαία έξοδα της εταιρείας ανέρχονται στο ποσό των \\(6500\\) ευρώ (για ενοίκιο, παροχές, μισθούς, φόρους, κ.α.).\nΤο κόστος γεμίσματος ενός τόνερ είναι \\(15\\) ευρώ, η δε τιμή πώλησης του ενός τόνερ καθορίζεται σε \\(25\\) ευρώ.\nα) Να γράψετε μια σχέση που να περιγράφει το μηναίο κόστος \\(Κ(ν)\\) της επιχείρησης, εάν γεμίζει \\(ν\\) τόνερ το μήνα.\nβ) Να γράψετε μια σχέση που να περιγράφει τα μηναία έσοδα \\(Ε(ν)\\) της επιχείρησης από την πώληση \\(ν\\) τόνερ το μήνα.\nγ) Να βρείτε πόσα τόνερ πρέπει να πωλούνται κάθε μήνα ώστε η επιχείρηση\nνα μην έχει ζημιά.\nνα έχει μηνιαίο κέρδος τουλάχιστον \\(500\\) ευρώ."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Το μηναίο κόστος \\(Κ(ν)\\) της επιχείρησης, εάν γεμίζει \\(ν\\) τόνερ το μήνα, δίνεται από τη σχέση \\(Κ(ν)=6500+15ν\\) ευρώ, με \\(ν\\in N\\).\nβ) Τα μηναία έσοδα \\(Ε(ν)\\) της επιχείρησης από την πώληση \\(ν\\) τόνερ το μήνα, είναι \\(Ε(ν)=25ν\\), \\(ν\\in N\\).\nγ)\nΗ επιχείρηση δεν έχει ζημιά αν και μόνο αν \\(Κ(ν)\\le Ε(ν)\\), δηλαδή \\(6500+15ν\\le 25ν\\), οπότε \\(10ν\\ge 6500\\) και τελικά \\(ν\\ge 650\\). Οπότε πρέπει να πωλούνται τουλάχιστον \\(650\\) τόνερ κάθε μήνα ώστε η επιχείρηση να μην έχει ζημιά.\nΤο μηνιαίο κέρδος δίνεται από τη σχέση:\n\\(Ε(ν)-Κ(ν)=25ν-(6500+15ν)=10ν-6500\\). Η επιχείρηση έχει τουλάχιστον \\(500\\) ευρώ μηνιαίο κέρδος αν και μόνο αν:\n$$10ν-6500\\ge 500 $$\n$$\\Leftrightarrow 10ν\\ge 7000 $$\n$$\\Leftrightarrow ν\\ge 700$$\nΕπομένως η επιχείρηση πρέπει να πουλήσει τουλάχιστον \\(700\\) τόνερ το μήνα."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Αν \\(α\\), \\(β\\) πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:\n$$α+β=2\\ \\ \\text{και}\\ \\ α^{2}β+αβ^{2}=−30$$\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(α\\cdot β=−15\\).\nβ) Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς \\(α\\), \\(β\\) και να τους βρείτε."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$ α^{2}β+αβ^{2}=−30 $$\n$$\\Leftrightarrow αβ(α+β)=−30 $$\n$$\\Leftrightarrow αβ\\cdot 2=−30 $$\n$$\\Leftrightarrow αβ=−15 $$\nβ) Η ζητούμενη εξίσωση μπορεί να είναι της μορφής:\n$$x^{2}−Sx+P=0$$\nμε:\n$$S=α+β=2\\ \\ \\text{και}\\ \\ P=αβ=−15$$\nΤελικά, μία ζητούμενη εξίσωση είναι η:\n$$x^{2}−2x−15=0$$\nΤο τριώνυμο \\(x^{2}−2x−15\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}−4αγ$$\n$$=(−2)^{2}−4\\cdot 1\\cdot (−15)$$\n$$=4+60=64 > 0$$\nΟι ρίζες της εξίσωσης είναι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2a}$$\n$$=\\dfrac{-(-2)\\pm \\sqrt{64}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\dfrac{2\\pm 8}{2}=5\\ \\ \\text{ή}\\ \\ -3$$\nΆρα είναι \\(α=5\\) και \\(β=−3\\) ή \\(α=−3\\) και \\(β=5\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Έστω \\(α,β\\) πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει: \\(0<α<β.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι \\(\\dfrac{3}{β} \\lt \\dfrac{3}{α}\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(α^3+\\dfrac{3}{β}<β^3+\\dfrac{3}{α}.\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Με \\(0<α<β\\) έχουμε \\(\\dfrac{1}{α} \\gt \\dfrac{1}{β}\\), οπότε \\(\\dfrac{3}{α} \\gt \\dfrac{3}{β}\\).\nΕπομένως, \\(\\dfrac{3}{β} \\lt \\dfrac{3}{α}.\\)\nβ) Με \\(0<α<β\\) έχουμε \\(α^3<β^3.\\)\nΕπιπλέον, από το ερώτημα (α) είναι \\(\\dfrac{3}{β} \\lt \\dfrac{3}{α}\\), οπότε με πρόσθεση των δυο ανισοτήτων παίρνουμε: \\(α^3+\\dfrac{3}{β}<β^3+\\dfrac{3}{α}\\) που είναι το ζητούμενο."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση\n$$f(x)=\\frac{(x-2)(x^2-5x+4)}{x-1}.$$\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της, \\(A\\).\nβ) Να δείξετε ότι \\(f(x)=x^2-6x+8,\\ x\\in A\\).\nγ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(x\\) η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) δεν είναι πάνω από την ευθεία \\(y=3\\).\nδ) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(g\\) με \\(g(x)=x^4-6x-4\\) τέμνει την γραφική παράσταση της \\(f\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Πρέπει:\n$$x-1\\neq 0\\iff x\\neq 1$$\nκαι άρα \\(A=\\mathbb{R}-\\{1\\}\\).\nβ) Το τριώνυμο \\(x^2-5x+4\\) έχει ρίζες τις \\(1\\) και \\(4\\), οπότε είναι\n$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$$\nκαι επομένως:\n\\begin{align}f(x)&=\\frac{(x-2)(x-4)(x-1)}{x-1}\\\\\n&=(x-2)\\cdot (x-4)\\\\\n&=x^2-6x+8,\\ x\\in A.\\end{align}\nγ) Έχουμε:\n\\begin{align}&f(x)\\leq 3\\\\\n\\iff& x^2-6x+8\\leq 3\\\\\n\\iff& x^2-6x+5\\leq 0.\\end{align}\nΤο πρόσημο του τριωνύμου \\(x^2-6x+5\\) φαίνεται στον παραπάνω πίνακα και η ανίσωση \\(x^2-6x+5\\leq 0\\) αληθεύει για \\(x\\in[1,5]\\). Όμως \\(x\\neq 1\\), οπότε \\(x\\in(1,5]\\).\nδ) Οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της \\(g\\) με τη γραφική παράσταση της \\(f\\) είναι οι ρίζες της εξίσωσης:\n\\begin{align}&f(x)=g(x)\\\\\n\\iff&x^4-6x-4=x^2-6x+8\\\\\n\\iff&x^4-x^2-12=0,\\end{align}\nη οποία θέτοντας \\(x^2=ω\\) γίνεται \\(ω^2-ω-12=0\\) με ρίζες \\(ω=-3\\) (απορρίπτεται) και \\(ω=4\\) (δεκτή). Άρα\n$$x^2=4\\iff x=\\pm 2.$$\nΓια \\(x=-2\\) έχουμε\n\\begin{align}f(-2)&=(-2)^2-6\\cdot(-2)+8\\\\\n&=4+12+8\\\\\n&=24\\end{align}\nκαι για \\(x=2\\) έχουμε\n\\begin{align}f(2)&=2^2-6\\cdot 2+8\\\\\n&=4-12+8\\\\\n&=0.\\end{align}\nτελικά τα ζητούμενα κοινά σημεία είναι \\(Β(-2,24)\\) και \\(Γ(2,0)\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι αριθμοί: \\(A=\\dfrac{1}{5+\\sqrt{5}}\\), \\(B=\\dfrac{1}{5−\\sqrt{5}}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι:\ni) \\(A+B=\\dfrac{1}{2}\\)\ni) \\(A\\cdot B=\\dfrac{1}{20}\\)\nβ) Να κατασκευάσετε μία εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς \\(Α\\) και \\(Β\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α)\ni) Είναι:\n$$A+B=\\dfrac{1}{5+\\sqrt{5}}+\\dfrac{1}{5−\\sqrt{5}}$$\n$$ =\\dfrac{5−\\sqrt{5}}{(5+\\sqrt{5})(5−\\sqrt{5})}+\\dfrac{5+\\sqrt{5}}{(5+\\sqrt{5})(5−\\sqrt{5})}$$\n$$=\\dfrac{5−\\sqrt{5}+5+\\sqrt{5}}{(5+\\sqrt{5})(5−\\sqrt{5})}$$\n$$=\\dfrac{10}{5^{2}−\\sqrt{5}^{2}}=\\dfrac{10}{25−5}$$\n$$=\\dfrac{10}{20}=\\dfrac{1}{2}$$\nΙσχύει ότι:\n$$A \\cdot B = \\dfrac{1}{5+\\sqrt{5}}\\cdot \\dfrac{1}{1-\\sqrt{5}}$$\n$$= \\dfrac{1}{(5+\\sqrt{5})(5-\\sqrt{5})}$$\n$$= \\dfrac{1}{5^2-(\\sqrt{5})^2}$$\n$$=\\dfrac{1}{25−5}=\\dfrac{1}{20}$$\nβ) Μία ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής: \\(x^{2}−Sx+P=0,\\) με\n$$S=A+B=\\dfrac{1}{2}$$\nκαι\n$$P=A\\cdot B=\\dfrac{1}{20}$$\nΤελικά, μία ζητούμενη εξίσωση είναι η:\n$$x^2-\\dfrac{1}{2}x + \\dfrac{1}{20}=0$$\n$$\\Leftrightarrow 20x^2-10x+1=0$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Έστω μία αριθμητική πρόοδος \\((α_{ν})\\) με διαφορά \\(ω=3\\). Αν είναι γνωστό ότι στο διάστημα \\(Δ=[2,8]\\) υπάρχουν ακριβώς \\(3\\) διαδοχικοί όροι της αριθμητικής προόδου \\((α_{ν})\\),\nα) Να εξετάσετε αν ο αριθμός μηδέν είναι όρος της \\((α_{ν})\\).\nβ) Να βρείτε τους \\(3\\) διαδοχικούς όρους της \\((α_{ν})\\) που υπάρχουν στο \\(Δ=[2,8]\\).\nγ) Αν \\(α_{6}=14\\),\nνα βρείτε τον \\(α_{1}\\).\nνα βρείτε το ελάχιστο πλήθος πρώτων όρων της \\((α_{ν})\\) που πρέπει να προσθέσουμε ώστε το άθροισμα να είναι μεγαλύτερο του \\(186\\).\n(Δίνεται \\(\\sqrt{4489}=67\\))"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Αν ο μηδέν ήταν όρος της \\((α_{ν})\\), τότε δεδομένου ότι \\(ω=3\\), οι επόμενοι όροι της \\((α_{ν})\\) θα ήταν οι αριθμοί \\(3\\), \\(6\\), \\(9\\), πράγμα άτοπο διότι τότε δεν θα υπήρχαν στο διάστημα \\(Δ=[2,8]\\) ακριβώς \\(3\\) όροι της \\((α_{ν})\\). Συνεπώς ο αριθμός μηδέν δεν μπορεί να είναι όρος της \\((α_{ν})\\).\nβ) Αφού \\(ω=3\\), οι \\(3\\) ζητούμενοι όροι της \\((α_{ν})\\) θα είναι της μορφής \\(x\\), \\(x+3\\), \\(x+6\\) και για να ανήκουν στο διάστημα \\(Δ\\) πρέπει και αρκεί \\(2\\le x\\) και \\(x+6\\le 8 \\Leftrightarrow x\\le 2\\). Συνεπώς \\(2\\le x\\le 2\\) δηλαδή \\(x=2\\) και οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι \\(2\\), \\(5\\), \\(8\\).\nγ)\nΕίναι:\n$$α_{6}=α_{1}+(6-1)\\cdot ω $$\n$$\\Leftrightarrow 14=α_{1}+15 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}=-1$$\nΑναζητούμε τη μικρότερη τιμή του φυσικού αριθμού \\(ν\\) ώστε \\(S_{v}>186\\) δηλαδή ισοδύναμα\n$$\\dfrac{(2α_{1}+(ν-1)\\cdot ω)ν}{2}>186 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{(-2+(ν-1)\\cdot 3)ν}{2}>186 $$\n$$\\Leftrightarrow 3ν^{2}-5ν>372 $$\n$$\\Leftrightarrow 3ν^{2}-5ν-372>0$$\nΤο τριώνυμο \\(3ν^{2}-5ν-372\\) έχει ρίζες τους αριθμούς \\(12\\) και \\(-\\dfrac{31}{3}\\) και για να είναι θετικό θα πρέπει \\(ν>12\\) ή \\(ν<-\\dfrac{31}{3}\\).\nΣυνεπώς η μικρότερη τιμή του φυσικού αριθμού \\(ν\\) ώστε \\(S_{v}>186\\) είναι \\(13\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται ο πραγματικός αριθμός \\(x\\) για τον οποίο ισχύει \\(|x-3| < 5\\).\nα) Να δείξετε ότι \\(x\\in(-2,8)\\).\nβ) Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του \\(x\\) για τις οποίες ισχύει \\(|x-3| < 5\\).\nγ) Αν \\(A\\) το σύνολο που έχει στοιχεία τις ακέραιες τιμές του \\(x\\) που βρήκατε στο (β) ερώτημα και \\(B\\) το σύνολο με \\(B=\\{-3,-2,-1,0,3,4\\}\\), να παραστήσετε τα σύνολα \\(A\\cup B\\) και \\(A\\cap B\\) με αναγραφή των στοιχείων τους."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α)\n\\begin{align}&|x-3| < 5\\\\\n\\iff&-5 < x-3 <5\\\\\n\\iff&-2 < x < 8\\\\\n\\iff&x\\in(-2,8).\\end{align}\nβ) Οι ακέραιες τιμές του \\(x\\) για τις οποίες ισχύει \\(|x-3| < 5\\) είναι οι ακέραιοι αριθμοί που ανήκουν στο διάστημα \\((-2, 8)\\), δηλαδή οι:\n$$-1,\\ 0,\\ 1,\\ 2,\\ 3,\\ 4,\\ 5,\\ 6,\\ 7.$$\nγ) Είναι \\(A=\\{-1,0,1,2,3,4,5,6,7\\}\\) και \\(B=\\{-3,-2,-1,0,3,4\\}\\) οπότε:\n$$A\\cup B=\\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7\\}$$\nκαι\n$$A\\cap B=\\{-1,0,3,4\\}.$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται το τριώνυμο \\(2x^2+3x-5\\).\nα) Να εξετάσετε αν το \\(1\\), είναι ρίζα του τριωνύμου\nβ) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Παρατηρούμε ότι: \\(2\\cdot 1^2 + 3\\cdot 1 -5=2+3-5=0\\), οπότε το \\(x_1=1\\) είναι ρίζα του τριωνύμου.\nβ) Για να παραγοντοποιήσουμε το τριώνυμο, θα βρούμε και την δεύτερη ρίζα του χρησιμοποιώντας το γινόμενο των ριζών \\(x_1 \\cdot x_2=\\dfrac{-5}{2}=-\\dfrac{5}{2}\\).\nΟπότε:\n$$x_1 \\cdot x_2=-\\dfrac{5}{2}$$\n$$\\Leftrightarrow 1 \\cdot x_2=-\\dfrac{5}{2}$$\n$$x_2=-\\dfrac{5}{2}$$\nΆρα, το τριώνυμο \\(2x^{2} + 3x - 5\\) παραγοντοποιείται ως εξής:\n\\begin{align} 2x^{2} + 3x - 5 &= 2 (x - 1) \\bigg( x - \\Big( - \\dfrac{5}{2} \\Big) \\bigg) \\\\\n& = 2 (x - 1) \\bigg( x + \\dfrac{5}{2} \\bigg) \\\\\n& = (x-1) (2x+5) \\end{align}"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f\\), με \\(f(x)=\\dfrac{x^2-4}{x-2}.\\)\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού \\(A\\) της συνάρτησης \\(f\\).\nβ) Ανήκει το σημείο \\(M(1,\\ 3)\\) στη γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\);\nγ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y.\\)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς \\(x\\) για τους οποίους ισχύει: \\(x-2\\neq 0 \\Leftrightarrow x\\neq 2.\\)\nΣυνεπώς, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το \\(A=\\Bbb{R}-{2}.\\)\nβ) Το σημείο \\(M(1,3)\\) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\), γιατί \\(f(1)=\\dfrac{1-4}{1-2}=\\dfrac{-3}{-1}=3.\\)\nγ) Η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τον \\(y'y\\) άξονα στο σημείο \\((0,\\ 2)\\) και τον \\(x'x\\) άξονα στο σημείο \\((-2,0)\\), αφού\nγια \\(x=0\\), έχουμε:\n$$f(0)=\\dfrac{0-4}{0-2}=\\frac{-4}{-2}=2$$\nκαι για \\(y=f(x)=0\\), έχουμε:\n$$0=\\frac{x^2-4}{x-2}$$\n$$\\Leftrightarrow x^2-4=0$$\n$$\\Leftrightarrow (x+2)(x-2)=0$$\n$$\\Leftrightarrow x+2=0 \\text{ ή } x-2=0$$\n$$\\Leftrightarrow x=-2 \\text{(δεκτή) ή } x=2 \\text{(απορρίπτεται).}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Το άθροισμα των \\(ν\\) πρώτων διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας \\((α_ν)\\) είναι\n$$α_1+α_2+\\dots+α_ν=S_ν=2ν^2 + 3ν,$$\nμε \\(ν\\in\\mathbb{N}\\) και \\(ν\\geq 1\\).\nα) Να βρείτε τον πρώτο όρο \\(α_1\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι\n$$S_{ν-1} = 2ν^2-ν-1,\\ ν\\geq2.$$\nγ) Να αποδείξετε ότι\n$$α_ν=4ν+1,\\ ν\\geq1$$\nδ) Να αποδείξετε ότι αυτή η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος, της οποίας να βρείτε τη διαφορά \\(ω\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Προφανώς\n$$α_1=S_1=2\\cdot 1^2+3\\cdot 1=5.$$\nβ) Θέτοντας όπου \\(ν\\) το \\(ν-1\\), παίρνουμε:\n\\begin{align}S_ν−1&=2(ν-1)^2+3(ν-1)\\\\\n&= 2(ν^2-2ν+1)+3ν-3\\\\\n&=2ν^2-4ν+2+3ν-3\\\\\n&=2ν^2-ν-1\\end{align}\nγια κάθε \\(ν\\geq 2\\).\nγ) Για κάθε \\(ν\\geq 2\\), έχουμε\n\\begin{align}α_ν&=(α_1+α_2+\\dots+α_{ν-1}+α_ν)\\\\\n&\\phantom{=}-(α_1+α_2+\\dots+α_ν)\\\\\n&= S_ν-𝑆_{ν-1}\\\\\n&= 2ν^2 + 3ν - (2ν^2-ν-1)\\\\\n&= 2ν^2 + 3ν - 2ν^2+ν+1\\\\\n&= 4ν+1.\\end{align}\nΑλλά \\(α_1=5=4\\cdot 1+1\\). Ώστε \\(α_ν=4ν+1\\), για κάθε \\(ν\\geq 1\\).\nδ) Για να είναι η ακολουθία \\((α_ν)\\) αριθμητική πρόοδος, θα πρέπει η διαφορά δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών όρων να είναι σταθερή. Πράγματι:\n\\begin{align}α_{ν+1}-α_ν&=[4(ν+1)+1]-[4ν+1]\\\\\n&=4ν+4+1-4ν-1\\\\\n&=4.\\end{align}\nΆρα η διαφορά \\(ω\\) είναι ίση με \\(4\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=x+\\dfrac{1}{x},\\ \\ x\\ne 0\\).\nα) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \\(A=f(\\dfrac{1}{2})+f(1)−f(2)\\).\nβ) Να λύσετε την εξίσωση \\(f(x)=\\dfrac{5}{2}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Ισχύουν:\n$$f(\\dfrac{1}{2})=\\dfrac{1}{2}+\\dfrac{1}{\\dfrac{1}{2}}$$\n$$=\\dfrac{1}{2}+2=\\dfrac{1}{2}+\\dfrac{4}{2}=\\dfrac{5}{2}$$\n$$f(1)=1+\\dfrac{1}{1}$$\n$$=1+1=2$$\n$$f(2)=2+\\dfrac{1}{2}$$\n$$=\\dfrac{4}{2}+\\dfrac{1}{2}=\\dfrac{5}{2}$$\nΟπότε:\n$$A=f(\\dfrac{1}{2})+f(1)-f(2)$$\n$$=\\dfrac{5}{2}+2-\\dfrac{5}{2}=2$$\nβ) Ισχύει ότι:\n$$ f(x)=\\dfrac{5}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow x+\\dfrac{1}{x}=\\dfrac{5}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{x^{2}+1}{x}=\\dfrac{5}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow 2(x^{2}+1)=5x $$\n$$\\Leftrightarrow 2x^{2}+2=5x $$\n$$\\Leftrightarrow 2x^{2}-5x+2=0$$\nΤο τριώνυμο \\(2x^{2}-5x+2\\) έχει \\(α=2\\), \\(β=-5\\), \\(γ =2\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-5)^{2}-4\\cdot 2\\cdot 2$$\n$$=25-16=9>0$$\nΟι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2a}$$\n$$=\\dfrac{-(-5)\\pm \\sqrt{9}}{2\\cdot 2}$$\n$$=\\dfrac{5\\pm 3}{4}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{5+3}{4}=2 \\\\ \\dfrac{5-3}{4}= \\dfrac{1}{2} \\end{cases}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η εξίσωση \\((λ-1)x=λ^{2}-1\\), με παράμετρο \\(λ\\in \\mathbb{R},\\ (1)\\)\nα) Επιλέγοντας τρεις διαφορετικές τιμές για το \\(λ\\), να γράψετε τρεις εξισώσεις.\nβ)\ni. Να βρείτε την τιμή του \\(λ\\in \\mathbb{R}\\), ώστε η \\((1)\\) να έχει μια και μοναδική λύση.\nii. Να βρείτε την τιμή του \\(λ\\in \\mathbb{R}\\), ώστε η μοναδική λύση της εξίσωσης \\((1)\\) να ισούται με \\(4\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Για \\(λ=0\\), η εξίσωση γίνεται: \\(-1x=-1\\).\nΓια \\(λ=1\\), η εξίσωση γίνεται: \\(0x=0\\).\nΓια \\(λ=3\\), η εξίσωση γίνεται: \\(2x=8\\).\nβ)\ni. H \\((1)\\) έχει μια και μοναδική λύση αν και μόνο αν \\(λ-1\\ne 0\\), δηλαδή \\(λ\\ne 1\\).\nii. Για \\(λ\\ne 1\\), η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι: \\(x=\\dfrac{λ^{2}-1}{λ-1}=\\dfrac{(λ-1)(λ+1)}{λ-1}=λ+1\\)\nΗ λύση ισούται με \\(4\\), οπότε \\(λ+1=4 \\Leftrightarrow λ=3\\).\nΆρα, για \\(λ=3\\) η λύση της εξίσωσης ισούται με \\(4\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Αν οι αριθμοί \\(2α-1\\) και \\(β-1\\) είναι αντίστροφοι, με \\(α \\ne 1\\) και \\(β\\ne 1\\) να δείξετε ότι:\nα) \\(2α+β=2αβ\\).\nβ) Οι αριθμοί \\(x=α-β\\) και \\(y=α(1-2β)+2β\\) είναι αντίθετοι."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Εφόσον οι αριθμοί \\(2α-1\\) και \\(β-1\\) είναι αντίστροφοι με \\(α \\ne 1\\) και \\(β\\ne 1\\) έχουμε:\n$$(2α-1)(β-1)=1 $$\n$$\\Leftrightarrow 2αβ-β-2α+1=1 $$\n$$\\Leftrightarrow 2αβ=2α+β$$\nβ) Για να είναι οι αριθμοί \\(x\\) και \\(y\\) αντίθετοι αρκεί να δείξουμε ότι:\n$$x+y=0$$\nΣυνεπώς:\n$$x+y=(α-β)+α(1-2β)+2β$$\n$$=α-β+α-2αβ+2β$$\n$$=2α+β-2αβ=0$$\nΕπομένως είναι πράγματι αντίθετοι."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Σε ένα γυμναστήριο με \\(10\\) σειρές καθισμάτων, η πρώτη σειρά έχει \\(120\\) καθίσματα και κάθε σειρά έχει \\(20\\) καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη της.\nα) Να εκφράσετε με μια αριθμητική πρόοδο το πλήθος των καθισμάτων της \\(ν\\)-οστής σειράς.\nβ) Πόσα καθίσματα έχει η τελευταία σειρά;\nγ) Πόσα καθίσματα έχει το γυμναστήριο;"
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Από τα δεδομένα της άσκησης είναι \\(α_{1}=120\\) και \\(ω=20\\). Τότε:\n$$α_{ν}=α_{1}+(ν-1)ω $$\n$$\\Leftrightarrow α_{ν}=120+(ν-1)20 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{ν}=100+20ν$$\nβ) Η τελευταία σειρά έχει:\n$$α_{10}=100+20\\cdot 10 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{10}=100+200 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{10}=300\\ \\text{καθίσματα}$$\nγ) Το γυμναστήριο έχει συνολικά:\n$$S_{10}=\\dfrac{10}{2}(α_{1}+α_{10})$$\n$$=5(120+300)$$\n$$=5\\cdot 420$$\n$$=2100\\ \\text{καθίσματα}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να αποδείξετε ότι \\((2-\\sqrt{5})^{2}=9-4\\sqrt{5}\\) και να υπολογίσετε το ανάπτυγμα \\((2+\\sqrt{5})^{2}\\).\nβ) Να βρείτε τις τετραγωνικές ρίζες των αριθμών \\(9-4\\sqrt{5}\\) και \\(9+4\\sqrt{5}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n$$(2-\\sqrt{5})^{2}=4-4\\sqrt{5}+\\sqrt{5}^{2}$$\n$$=4-4\\sqrt{5}+5$$\n$$=9-4\\sqrt{5}$$\nΟμοίως έχουμε:\n$$(2+\\sqrt{5})^{2}=4+4\\sqrt{5}+\\sqrt{5}^{2}$$\n$$=4+4\\sqrt{5}+5$$\n$$=9+4\\sqrt{5}$$\nβ) Από το ερώτημα (α) έχουμε:\n$$\\sqrt{9-4\\sqrt{5}}=\\sqrt{(2-\\sqrt{5})^{2}}$$\n$$=|2-\\sqrt{5}|$$\n$$=\\sqrt{5}-2$$\nαφού ο αριθμός \\(2-\\sqrt{5}\\) είναι αρνητικός οπότε:\n$$|2-\\sqrt{5}|=\\sqrt{5}-2$$\nΕπίσης:\n$$\\sqrt{9+4\\sqrt{5}}=\\sqrt{(2+\\sqrt{5})^{2}}$$\n$$=|2+\\sqrt{5}|$$\n$$=2+\\sqrt{5}$$\nαφού ο αριθμός \\(2+\\sqrt{5}\\) είναι θετικός, οπότε:\n$$|2+\\sqrt{5}|=2+\\sqrt{5}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "α) Να λύσετε την εξίσωση: \\(2x^2 - x - 6=0\\ \\ \\ \\ (1)\\).\nβ) Να λύσετε την ανίσωση: \\(|x-1|<2\\ \\ \\ \\ (2)\\).\nγ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του \\(x\\) που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις σχέσεις \\((1)\\) και \\((2)\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Το τριώνυμο \\(2x^{2}–x–6\\) έχει \\(α=2\\), \\(β=–1\\), \\(γ=–6\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}–4αγ=(–1)^{2}–4\\cdot 2\\cdot (–6)=1+48=49>0$$\nΟι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:\n$$x_{1,2}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-(-1)\\pm \\sqrt{49}}{2\\cdot 2}$$\n$$=\\dfrac{1\\pm 7}{4}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{1+7}{4} =2 \\\\ \\dfrac{1-7}{4} = - \\dfrac{3}{2} \\end{cases} $$\nβ) Είναι:\n$$|x–1| < 2 $$\n$$\\Leftrightarrow –2 < x–1 < 2 $$\n$$\\Leftrightarrow –2+1 < x–1+1 < 2+1 $$\n$$\\Leftrightarrow –1 < x < 3 $$\nγ) Η τιμή του \\(x\\) που ικανοποιεί ταυτόχρονα τις σχέσεις \\((1)\\) και \\((2)\\) είναι η \\(x = 2\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \\(α,\\ β\\) για τους οποίους ισχύει \\(2\\leq α\\leq 3\\) και \\(-2\\leq β\\leq -1\\).\nα) Να δείξετε ότι \\(|α-3|=3-α\\) και \\(|β+2|=β+2\\).\nβ) Να δείξετε ότι \\(0\\leq α+β\\leq 2\\).\nγ) Να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης \\(|α+β|+|α-3|-|β+2|\\) είναι ίση με \\(1\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι \\(2\\leq α\\leq 3\\) οπότε \\(α-3\\leq 0\\) και άρα \\(|α-3|=3-α\\).\nΕπίσης είναι \\(-2\\leq β\\leq -1\\) οπότε \\(β+2\\geq 0\\) και άρα \\(|β+2|=β+2\\).\nβ) Με πρόσθεση κατά μέλη των \\(2\\leq α\\leq 3\\) και \\(-2\\leq β\\leq -1\\) έχουμε ότι \\(0\\leq α+β\\leq 2\\).\nγ) Από το (β) ερώτημα έχουμε ότι \\(0\\leq α+β\\leq 2\\) οπότε \\(|α+β|=α+β\\).\nΣυνεπώς η παράσταση γίνεται:\n\\begin{align}&\\phantom{=}|α+β|+|α-3|-|β+2|\\\\\n&=α+β+3-α-(β+2)\\\\\n&=α+β+3-α-β-2\\\\\n&=1.\\end{align}"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η εξίσωση:\n$$x^{2}-x-2=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nα) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό \\(-1\\).\nβ) Να βρείτε και τη δεύτερη ρίζα της εξίσωσης \\((1)\\).\nγ) Να απλοποιήσετε την παράσταση: \\(Α=\\dfrac{x^{2}-x-2}{x^{2}+x}\\), \\(x\\ne 0\\), \\(x\\ne -1\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Παρατηρούμε ότι \\((-1)^{2}-(-1)-2=1+1-2=0\\), οπότε ο αριθμός \\(-1\\) είναι ρίζα της εξίσωσης \\((1)\\).\nβ) Το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης ισούται με \\(\\dfrac{γ}{α}=\\dfrac{-2}{1}=-2\\) και η μια ρίζα της είναι \\(x_{1}=-1\\) Άρα για την δεύτερη ρίζα της εξίσωσης έχουμε:\n$$x_{1}\\cdot x_{2}=-2 $$\n$$\\Leftrightarrow -1\\cdot x_{2}=-2 $$\n$$\\Leftrightarrow x_{2}=2$$\nγ) Από τα προηγούμενα ερωτήματα οι ρίζες του τριωνύμου \\(x^{2}-x-2\\) είναι \\(x_{1}=-1\\) και \\(x_{2}=2\\). Οπότε παραγοντοποιείται ως εξής:\n$$x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)$$\nΗ παράσταση γίνεται:\n$$Α=\\dfrac{x^{2}-x-2}{x^{2}+x}$$\n$$=\\dfrac{(x-2)(x+1)}{x(x+1)}$$\n$$=\\dfrac{x-2}{x}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\sqrt{x-2}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.\nβ) Να βρείτε τις τιμές της συνάρτησης \\(f\\) για όποιους από τους αριθμούς \\(-1,\\ \\dfrac{\\sqrt{2}}{2},\\ 6\\) είναι αυτό δυνατό."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η συνάρτηση ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς \\(x\\), για τους οποίους ισχύει:\n$$x-2\\geq 0.$$\nΕπομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι \\(A=[2,+\\infty)\\).\nβ) Από τους αριθμούς \\(-1,\\ \\dfrac{\\sqrt{2}}{2},\\ 6\\) ισχύει ότι \\(6\\in A\\), οπότε είναι δυνατό να υπολογιστεί η τιμή της συνάρτησης\n$$f(6)=\\sqrt{6-2}=\\sqrt{4}=2.$$\nΌμως, \\(-1 < 2\\), άρα \\(-1\\) δεν ανήκει στο \\(A\\).\nΑκόμα \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2} < 2\\), διότι ισοδύναμα \\(\\sqrt{2} < 4\\).\nΣυνεπώς για τους αριθμούς \\(-1\\) και \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\) η συνάρτηση \\(f\\) δεν ορίζεται."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος \\((α_ν)\\), για την οποία ισχύει \\(\\dfrac{α_{5}}{α_{2}}=27\\).\nα) Να δείξετε ότι ο λόγος της προόδου είναι \\(λ = 3.\\)\nβ) Αν το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της προόδου είναι \\(200\\), να βρείτε τον πρώτο όρο \\(α_{1}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Είναι:\n\\begin{align} & \\dfrac{α_{5}}{α_{2}} = 27 \\\\\n\\Leftrightarrow & \\dfrac{α_{1}λ^{5-1}}{α_{1}λ^{2-1}} = 27 \\\\\n\\Leftrightarrow & \\dfrac{λ^{4}}{λ} = 27 \\\\\n\\Leftrightarrow & λ^3 = 27 \\\\\n\\Leftrightarrow & λ^3 = 3^3\\\\\n\\Leftrightarrow & λ = 3 \\end{align}\nβ) Ισχύει ότι:\n\\begin{align} & S_4 = 200 \\\\\n\\Leftrightarrow & α_1 \\dfrac{λ^{4}-1}{λ-1} = 200 \\\\\n\\Leftrightarrow & α_1 \\dfrac{3^{4}-1}{3-1} = 200 \\\\\n\\Leftrightarrow & α_1 \\dfrac{81-1}{2} = 200 \\\\\n\\Leftrightarrow & 40α_1 = 200 \\\\\n\\Leftrightarrow & α_1 = 5 \\end{align}"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνονται οι παραστάσεις: \\(A=\\sqrt{(x-2)^{2}}\\) και \\(B=\\sqrt[3]{(2-x)^{3}}\\), όπου \\(x\\) πραγματικός αριθμός.\nα) Για ποιες τιμές του \\(x\\) ορίζεται η παράσταση \\(A\\) ;\nβ) Για ποιες τιμές του \\(x\\) ορίζεται η παράσταση \\(B\\) ;\nγ) Να δείξετε ότι, για κάθε \\(x\\le 2\\), ισχύει \\(A=B\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η παράσταση \\(Α\\) ορίζεται για εκείνες τις τιμές του πραγματικού αριθμού \\(x\\) που ισχύει:\n$$(x–2)^{2}\\ge 0$$\n$$\\Leftrightarrow x\\in \\mathbb{R}$$\nβ) Η παράσταση \\(Β\\) ορίζεται για εκείνες τις τιμές του πραγματικού αριθμού \\(x\\) που ισχύει:\n$$(2–x)^{3}\\ge 0$$\n$$\\Leftrightarrow 2–x\\ge 0$$\n$$\\Leftrightarrow –x\\ge –2 $$\n$$\\Leftrightarrow x\\le 2$$\nγ) Για κάθε \\(x \\le 2\\), είναι:\n\\begin{align} A & =\\sqrt{(x-2)^{2}}\\\\\n&=|x–2|=–(x–2)=2–x \\end{align}\nκαι\n$$B=\\sqrt{(2-x)^{3}}=2-x$$\nΆρα \\(Α=Β\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται γεωμετρική πρόοδος \\((α_{ν})\\) με θετικό λόγο \\(λ\\), για την οποία ισχύει: \\(α_{3}=1\\) και \\(α_{5}=4\\).\nα) Να βρείτε τον λόγο \\(λ\\) της προόδου και τον πρώτο όρο της.\nβ) Να δείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι: \\(α_{ν}=2^{ν-3}\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Έχουμε:\n$$\\begin{cases} α_{3}=1 \\\\ α_{5}=4 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} α_{1}\\cdot λ^{2}=1 \\\\ α_{1}\\cdot λ^{4}=4 \\end{cases}$$\n$$\\overset{(:)}{ \\Leftrightarrow }\\begin{cases} λ^{2}=4 \\\\ α_{1}\\cdot λ^{2}=1 \\end{cases}$$\n$$\\overset{λ>0}{\\Leftrightarrow }\\begin{cases} λ=2 \\\\ α_{1}=\\dfrac{1}{4} \\end{cases}$$\nβ) Ο ν-οστός όρος μιας γεωμετρικής προόδουείναι: \\(α_{ν}=α_{1}\\cdot λ^{ν-1}\\), οπότε:\n$$α_{ν}=\\dfrac{1}{4}\\cdot 2^{1}$$\n$$=\\dfrac{1}{2^{2}}\\cdot 2^{ν-1}$$\n$$=\\dfrac{2^{ν-1}}{2^{2}}=2^{ν-3}$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Ο Θοδωρής γράφει διαδοχικά και επαναλαμβανόμενα τα γράμματα της λέξης «ΑΛΓΕΒΡΑ». Στην πρώτη θέση το \\(Α\\), στη δεύτερη το \\(Λ\\), κοκ. Έτσι, σχηματίζεται η διαδοχή γραμμάτων\n$$ΑΛΓΕΒΡΑΑΛΓΕΒΡΑΑΛΓΕΒΡΑΑΛΓΕΒΡΑ\\dots$$\nα) Να αποδείξετε ότι οι θέσεις, στην διαδοχή, όπου συναντάμε το γράμμα \\(Β\\) σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο \\(α_ν\\) με \\(α_1=5\\), και να βρείτε τη διαφορά της.\nβ) Να βρείτε σε ποια θέση της διαδοχής συναντάμε για \\(23^\\text{η}\\) φορά το γράμμα \\(Β\\).\nγ) Να βρείτε το γράμμα που βρίσκεται στην \\(200^\\text{η}\\) θέση στην παραπάνω διαδοχή."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Το γράμμα \\(Β\\) υπάρχει ακριβώς μια φορά στη λέξη «ΑΛΓΕΒΡΑ». Την πρώτη φορά που το συναντάμε είναι στην \\(5^\\text{η}\\) θέση της διαδοχής και επειδή η λέξη έχει \\(7\\) γράμματα, η δεύτερη εμφάνιση του γράμματος \\(Β\\) είναι στην \\(12^\\text{η}\\) θέση και κάθε εμφάνισή του είναι \\(7\\) θέσεις μετά την προηγούμενη. Έτσι, η ακολουθία που σχηματίζουν οι θέσεις που συναντάμε το γράμμα \\(Β\\) είναι αριθμητική πρόοδος με \\(α_1=5\\) και \\(ω=7\\).\nβ) Αρκεί να βρούμε τον \\(23^\\text{ο}\\) όρο της προόδου. Είναι:\n\\begin{align}α_{23}&=α_1+22ω\\\\\n&=5+22\\cdot 7\\\\\n&=159.\\end{align}\nΕπομένως, η \\(23^\\text{η}\\) φορά που συναντάμε το γράμμα \\(Β\\) είναι στην \\(159^\\text{η}\\) θέση.\nγ) Αν διαιρέσουμε τον αριθμό \\(200\\) με το \\(7\\), βρίσκουμε πηλίκο \\(28\\) και υπόλοιπο \\(4\\), οπότε \\(200=7\\cdot 28+4\\). Έτσι, μέχρι την \\(196^\\text{η}\\) θέση έχουμε \\(28\\) φορές επανάληψη της λέξης «ΑΛΓΕΒΡΑ» οπότε το γράμμα που βρίσκεται στην \\(200^\\text{η}\\) θέση είναι το \\(4^\\text{ο}\\) γράμμα της λέξης, δηλαδή είναι το γράμμα \\(Ε\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Για την ενοικίαση ενός συγκεκριμένου τύπου αυτοκινήτου για μια ημέρα, η εταιρία \\(Α\\) χρεώνει τους πελάτες της σύμφωνα με τον τύπο:\n$$y=60+0,20x$$\nΌπου \\(x\\) είναι η απόσταση που διανύθηκε σε \\(km\\) και \\(y\\) το ποσό της χρέωσης σε ευρώ.\nα) Τι ποσό θα πληρώσει ένας πελάτης της εταιρείας \\(Α\\) ο οποίος, σε μια ημέρα, ταξίδεψε \\(400\\ Km\\);\nβ) Πόσα χιλιόμετρα ταξίδεψε ένας πελάτης ο οποίος για μια ημέρα πλήρωσε \\(150\\) ευρώ;\nγ) Μια άλλη εταιρεία, η \\(Β\\), χρεώνει τους πελάτες της ανά ημέρα σύμφωνα με τον τύπο:\n$$y=80+0,10x$$\nόπου, όπως και προηγουμένως, \\(x\\) είναι η απόσταση που διανύθηκε σε \\(km\\) και \\(y\\) είναι το ποσό της χρέωσης σε ευρώ. Να εξετάσετε ποια από τις δύο εταιρείες μας συμφέρει να επιλέξουμε, ανάλογα με την απόσταση που σκοπεύουμε να διανύσουμε.\nδ) Αν:\n$$f(x)=60+0,20x\\ \\ \\text{και}\\ \\ g(x)=0,80+0,10x$$\nείναι οι συναρτήσεις που εκφράζουν τον τρόπο χρέωσης των εταιρειών \\(Α\\) και \\(Β\\) αντίστοιχα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\) και να εξηγήσετε τι εκφράζει η τιμή κάθε μιας από τις συντεταγμένες σε σχέση με το πρόβλημα το ερωτήματος γ)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Αντικαθιστούμε στον τύπο που δίνεται \\(x=400\\) και βρίσκουμε:\n$$y=60+0,20\\cdot 400=140\\ \\text{ευρώ}$$\nβ) Αντικαθιστούμε στον τύπο που δίνεται \\(y=150\\) και βρίσκουμε:\n$$150=60+0,20x $$\n$$\\Leftrightarrow 90=0,20x $$\n$$\\Leftrightarrow x=450\\ km$$\nγ) Η εταιρεία \\(Α\\) χρεώνει λιγότερα από την εταιρεία \\(Β\\) αν και μόνο αν:\n$$60+0,20x<80+0,10x $$\n$$\\Leftrightarrow 0,20x-0,10x<80-60 $$\n$$\\Leftrightarrow 0,10x<20 $$\n$$\\Leftrightarrow x<200\\ km$$\nΣυνεπώς η εταιρεία \\(Α\\) χρεώνει λιγότερα από την εταιρεία \\(Β\\) αν ο πελάτης διανύσει λιγότερα από \\(200\\ km\\). Με τον ίδιο συλλογισμό, συμπεραίνουμε ότι η εταιρεία \\(Β\\) χρεώνει λιγότερα από την εταιρεία \\(Α\\) αν ο πελάτης διανύσει περισσότερα από \\(200\\ km\\).\nδ) Επειδή o αριθμός \\(x\\) εκφράζει απόσταση θα πρέπει \\(x\\ge 0\\). Άρα, οι συναρτήσεις \\(f\\) και \\(g\\) έχουν πεδίο ορισμού το \\([0,+\\infty)\\). Οι τετμημένες των σημείων τομής προκύπτουν από τις λύσεις της εξίσωσης:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow 60+0,20x=80+0,10x $$\n$$\\Leftrightarrow 0,20x-0,10x=80-60 $$\n$$\\Leftrightarrow 0,10x=20 $$\n$$\\Leftrightarrow x=200>0\\ \\ \\text{αποδεκτή}$$\nΓια \\(x=200\\) είναι \\(f(200)=60+0,20\\cdot 200=60+40=100\\). Άρα, το σημείο τομής είναι το \\(Α(200,100)\\).\nΗ τετμημένη \\(x=200\\) του σημείου \\(Α\\) εκφράζει τα χιλιόμετρα που θα πρέπει να διανύσει κάποιος με το αυτοκίνητο ώστε να πληρώσει και στις δύο εταιρείες το ίδιο ποσό, που εκφράζει η τεταγμένη \\(y=100\\), έχοντας διανύσει τα ίδια χιλιόμετρα."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Οι αριθμοί \\(Α=1\\), \\(Β=x+4\\), \\(Γ=x+8\\), είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου \\((α_{ν})\\).\nα) Να βρείτε την τιμή του \\(x\\).\nβ) Αν \\(x=1\\) και ο αριθμός \\(Α\\) είναι ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου \\((α_{ν})\\).\ni. να υπολογίσετε τη διαφορά \\(ω\\).\nii. να υπολογίσετε τον εικοστό όρο της αριθμητικής προόδου."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Οι αριθμοί \\(Α\\), \\(Β\\), \\(Γ\\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν:\n$$Β=\\dfrac{Α+Γ}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow x+4=\\dfrac{1+x+8}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow 2(x+4)=9+x $$\n$$\\Leftrightarrow 2x+8=x+9 $$\n$$\\Leftrightarrow x=1$$\nβ)\ni. Για \\(x=1\\) είναι \\(Α=1\\), \\(Β=5\\) και \\(Γ=9\\). Τότε:\n$$ω=Β-Α=5-1=4$$\nii. Είναι:\n$$α_{20}=α_{1}+(20-1)ω $$\n$$\\Leftrightarrow α_{20}=1+19\\cdot 4 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{20}=1+76 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{20}=77$$"
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η αριθμητική πρόοδος \\((α_{ν})\\) με όρους \\(α_{2}=0\\), \\(α_{4}=4\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(ω=2\\) και \\(α_{1}=-2\\), όπου \\(ω\\) είναι η διαφορά της προόδου και \\(α_{1}\\) ο πρώτος όρος της.\nβ) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστος όρος της προόδου είναι ίσος με \\(α_{ν}=2ν-4\\), \\(ν\\in \\mathbb{N}^{*}\\) και να βρείτε ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με \\(98\\)."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Από τα δεδομένα της άσκησης βρίσκουμε:\n$$α_{2}=0$$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+(2-1)ω=0$$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+ω=0 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}=-ω,\\ (1)$$\nκαι\n$$α_{4}=4$$\n$$\\Leftrightarrow α_{4}+(4-1)ω=4$$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+3ω=4$$\n$$\\overset{(1)}{\\Leftrightarrow} -ω+3ω=4 $$\n$$\\Leftrightarrow 2ω=4$$\n$$\\Leftrightarrow ω=2$$\nΑντικαθιστούμε στην σχέση \\((1)\\) και βρίσκουμε:\n$$α_{1}=-2$$\nβ) Ο ν-οστός όρος της αριθμητικής προόδου είναι:\n$$α_{ν}=α_{1}+(ν-1)ω$$\n$$\\Leftrightarrow α_{ν}=-2+(ν-1)\\cdot 2$$\n$$\\Leftrightarrow α_{ν}=2ν-4$$\nΙσχύει επίσης ότι:\n$$α_{ν}=98$$\n$$\\Leftrightarrow 2ν-4=98$$\n$$\\Leftrightarrow 2ν=102 $$\n$$\\Leftrightarrow ν=51$$\nΆρα ο 51ος όρος της προόδου είναι ίσος με \\(98\\)."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "Δίνεται η εξίσωση \\(λx=x+λ^{2}-1\\), με παράμετρο \\(λ\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:\n$$(λ-1)x=(λ-1)(λ+1)\\ \\ \\text{,}\\ \\ λ\\in \\mathbb{R}$$\nβ) Να βρείτε τις τιμές του \\(λ\\) για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση την οποία και να βρείτε.\nγ) Για ποια τιμή του \\(λ\\) η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας."
},
{
"from": "assistant",
"value": "α) Η δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:\n$$λx=x+λ^{2}-1 $$\n$$\\Leftrightarrow λx-x=λ^{2}-1 $$\n$$\\Leftrightarrow (λ-1)x=(λ-1)(λ+1)$$\nβ) Η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική λύση αν και μόνο αν:\n$$λ-1\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ\\ne 1$$\nΗ μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η:\n$$(λ-1)x=(λ-1)(λ+1)$$\n$$\\overset{λ\\ne 1}{\\Leftrightarrow} \\dfrac{(λ-1)x}{λ-1}=\\dfrac{(λ-1)(λ+1)}{λ-1} $$\n$$\\Leftrightarrow x=λ+1$$\nγ) Η εξίσωση είναι ταυτότητα αν και μόνο αν:\n$$λ-1=0\\ \\ \\text{και}\\ \\ (λ-1)(λ+1)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ=1\\ \\ \\text{και}\\ \\ (1-1)(1+1)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ=1$$"
}
] |