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Check out the configuration reference at https://huggingface.co/docs/hub/spaces-config-reference
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| 5 |
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<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
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<title>Progressão Aritmética - Sofia Rosa</title>
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| 7 |
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<script src="https://cdn.tailwindcss.com"></script>
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| 8 |
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<link rel="stylesheet" href="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/font-awesome/6.4.0/css/all.min.css">
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<style>
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| 10 |
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| 11 |
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background: linear-gradient(135deg, #f5f7fa 0%, #c3cfe2 100%);
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| 12 |
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}
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| 13 |
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.card-hover:hover {
|
| 14 |
+
transform: translateY(-5px);
|
| 15 |
+
box-shadow: 0 10px 25px rgba(0, 0, 0, 0.1);
|
| 16 |
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}
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| 17 |
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| 18 |
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background-color: #f8f9fa;
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|
| 20 |
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scroll-behavior: smooth;
|
| 23 |
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}
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.highlight {
|
| 25 |
+
background-color: rgba(79, 70, 229, 0.1);
|
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|
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|
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<!-- Header -->
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<header class="bg-indigo-600 text-white shadow-lg">
|
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<div class="container mx-auto px-4 py-6">
|
| 34 |
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<div class="flex flex-col md:flex-row justify-between items-center">
|
| 35 |
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<div class="flex items-center mb-4 md:mb-0">
|
| 36 |
+
<i class="fas fa-chart-line text-3xl mr-3"></i>
|
| 37 |
+
<h1 class="text-2xl md:text-3xl font-bold">Progressão Aritmética</h1>
|
| 38 |
+
</div>
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| 39 |
+
<div class="text-sm md:text-base">
|
| 40 |
+
<span class="font-semibold">Por Sofia Rosa</span>
|
| 41 |
+
</div>
|
| 42 |
+
</div>
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| 43 |
+
</div>
|
| 44 |
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</header>
|
| 45 |
+
|
| 46 |
+
<!-- Main Content -->
|
| 47 |
+
<main class="container mx-auto px-4 py-8">
|
| 48 |
+
<!-- Introduction Section -->
|
| 49 |
+
<section class="mb-12">
|
| 50 |
+
<div class="bg-white rounded-xl shadow-md overflow-hidden p-6 card-hover transition-all duration-300">
|
| 51 |
+
<div class="flex items-center mb-4">
|
| 52 |
+
<i class="fas fa-graduation-cap text-indigo-500 text-2xl mr-3"></i>
|
| 53 |
+
<h2 class="text-xl md:text-2xl font-bold text-gray-800">Resumo Didático: Progressão Aritmética (PA)</h2>
|
| 54 |
+
</div>
|
| 55 |
+
<p class="text-gray-600 mb-4">Olá, Sofia! Vamos aprender juntos sobre progressão aritmética. Vou explicar de forma simples, com exemplos do cotidiano, para você entender de vez!</p>
|
| 56 |
+
<div class="border-t border-gray-200 my-4"></div>
|
| 57 |
+
<div class="flex items-start">
|
| 58 |
+
<i class="fas fa-lightbulb text-yellow-400 mt-1 mr-3"></i>
|
| 59 |
+
<div>
|
| 60 |
+
<h3 class="text-lg font-semibold text-gray-800 mb-2">O que é Progressão Aritmética?</h3>
|
| 61 |
+
<p class="text-gray-600">É uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a um número fixo, chamado de razão (r).</p>
|
| 62 |
+
</div>
|
| 63 |
+
</div>
|
| 64 |
+
</div>
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| 65 |
+
</section>
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+
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| 67 |
+
<!-- Formula Section -->
|
| 68 |
+
<section class="mb-12">
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| 69 |
+
<div class="bg-white rounded-xl shadow-md overflow-hidden p-6 card-hover transition-all duration-300">
|
| 70 |
+
<h2 class="text-xl md:text-2xl font-bold text-gray-800 mb-4 flex items-center">
|
| 71 |
+
<i class="fas fa-square-root-alt text-indigo-500 mr-3"></i>
|
| 72 |
+
Fórmula do Termo Geral
|
| 73 |
+
</h2>
|
| 74 |
+
<div class="formula-box p-4 rounded mb-6">
|
| 75 |
+
<p class="text-center text-xl font-mono font-bold text-indigo-700">
|
| 76 |
+
a<sub>n</sub> = a<sub>1</sub> + (n - 1) × r
|
| 77 |
+
</p>
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| 78 |
+
</div>
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| 79 |
+
<div class="grid grid-cols-1 md:grid-cols-2 gap-6">
|
| 80 |
+
<div class="highlight p-4 rounded-lg">
|
| 81 |
+
<h3 class="font-semibold text-gray-800 mb-2">Onde:</h3>
|
| 82 |
+
<ul class="space-y-2 text-gray-600">
|
| 83 |
+
<li><span class="font-bold">a<sub>n</sub>:</span> termo que você quer achar</li>
|
| 84 |
+
<li><span class="font-bold">a<sub>1</sub>:</span> primeiro termo da sequência</li>
|
| 85 |
+
<li><span class="font-bold">n:</span> posição do termo</li>
|
| 86 |
+
<li><span class="font-bold">r:</span> razão (quanto aumenta ou diminui)</li>
|
| 87 |
+
</ul>
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| 88 |
+
</div>
|
| 89 |
+
<div class="bg-indigo-50 p-4 rounded-lg">
|
| 90 |
+
<h3 class="font-semibold text-gray-800 mb-2">Exemplo do cotidiano:</h3>
|
| 91 |
+
<p class="text-gray-600 mb-2">Imagine que você ganha uma mesada de R$ 50,00 e todo mês sua mãe aumenta R$ 10,00.</p>
|
| 92 |
+
<ul class="list-disc list-inside text-gray-600 space-y-1">
|
| 93 |
+
<li>1º mês: R$ 50,00</li>
|
| 94 |
+
<li>2º mês: R$ 60,00</li>
|
| 95 |
+
<li>3º mês: R$ 70,00</li>
|
| 96 |
+
<li>4º mês: R$ 80,00</li>
|
| 97 |
+
</ul>
|
| 98 |
+
<p class="text-gray-600 mt-2">Aqui, a razão é 10, pois todo mês soma-se 10 ao valor anterior.</p>
|
| 99 |
+
</div>
|
| 100 |
+
</div>
|
| 101 |
+
<div class="mt-6 bg-blue-50 p-4 rounded-lg border border-blue-100">
|
| 102 |
+
<div class="flex items-start">
|
| 103 |
+
<i class="fas fa-brain text-blue-500 mt-1 mr-3"></i>
|
| 104 |
+
<div>
|
| 105 |
+
<h4 class="font-semibold text-gray-800 mb-1">Analogia:</h4>
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| 106 |
+
<p class="text-gray-600">É como subir uma escada, onde cada degrau tem sempre a mesma altura.</p>
|
| 107 |
+
</div>
|
| 108 |
+
</div>
|
| 109 |
+
</div>
|
| 110 |
+
</div>
|
| 111 |
+
</section>
|
| 112 |
+
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| 113 |
+
<!-- Practical Examples Section -->
|
| 114 |
+
<section class="mb-12">
|
| 115 |
+
<div class="bg-white rounded-xl shadow-md overflow-hidden p-6 card-hover transition-all duration-300">
|
| 116 |
+
<h2 class="text-xl md:text-2xl font-bold text-gray-800 mb-6 flex items-center">
|
| 117 |
+
<i class="fas fa-clipboard-list text-indigo-500 mr-3"></i>
|
| 118 |
+
Exemplos Práticos para Sofia
|
| 119 |
+
</h2>
|
| 120 |
+
|
| 121 |
+
<div class="grid grid-cols-1 md:grid-cols-2 lg:grid-cols-3 gap-6">
|
| 122 |
+
<!-- Example 1 -->
|
| 123 |
+
<div class="border border-gray-200 rounded-lg p-4 hover:border-indigo-300 transition-colors">
|
| 124 |
+
<div class="flex items-center mb-3">
|
| 125 |
+
<div class="bg-indigo-100 p-2 rounded-full mr-3">
|
| 126 |
+
<i class="fas fa-money-bill-wave text-indigo-600"></i>
|
| 127 |
+
</div>
|
| 128 |
+
<h3 class="font-semibold">Mesada Crescente</h3>
|
| 129 |
+
</div>
|
| 130 |
+
<p class="text-gray-600 mb-3">Sofia recebe R$ 100,00 de mesada com aumento mensal de R$ 20,00:</p>
|
| 131 |
+
<ul class="text-sm text-gray-600 space-y-1">
|
| 132 |
+
<li>1º mês: R$ 100,00</li>
|
| 133 |
+
<li>2º mês: R$ 120,00</li>
|
| 134 |
+
<li>3º mês: R$ 140,00</li>
|
| 135 |
+
<li>4º mês: R$ 160,00</li>
|
| 136 |
+
<li>5º mês: R$ 180,00</li>
|
| 137 |
+
</ul>
|
| 138 |
+
<div class="mt-3 text-xs bg-indigo-50 text-indigo-700 p-2 rounded">
|
| 139 |
+
<span class="font-bold">Razão (r):</span> R$ 20,00
|
| 140 |
+
</div>
|
| 141 |
+
</div>
|
| 142 |
+
|
| 143 |
+
<!-- Example 2 -->
|
| 144 |
+
<div class="border border-gray-200 rounded-lg p-4 hover:border-indigo-300 transition-colors">
|
| 145 |
+
<div class="flex items-center mb-3">
|
| 146 |
+
<div class="bg-indigo-100 p-2 rounded-full mr-3">
|
| 147 |
+
<i class="fas fa-piggy-bank text-indigo-600"></i>
|
| 148 |
+
</div>
|
| 149 |
+
<h3 class="font-semibold">Economia para Celular</h3>
|
| 150 |
+
</div>
|
| 151 |
+
<p class="text-gray-600 mb-3">Sofia economiza R$ 50,00 por semana para comprar um celular:</p>
|
| 152 |
+
<ul class="text-sm text-gray-600 space-y-1">
|
| 153 |
+
<li>1ª semana: R$ 50,00</li>
|
| 154 |
+
<li>2ª semana: R$ 100,00</li>
|
| 155 |
+
<li>3ª semana: R$ 150,00</li>
|
| 156 |
+
<li>4ª semana: R$ 200,00</li>
|
| 157 |
+
</ul>
|
| 158 |
+
<div class="mt-3 text-xs bg-indigo-50 text-indigo-700 p-2 rounded">
|
| 159 |
+
<span class="font-bold">Razão (r):</span> R$ 50,00
|
| 160 |
+
</div>
|
| 161 |
+
</div>
|
| 162 |
+
|
| 163 |
+
<!-- Example 3 -->
|
| 164 |
+
<div class="border border-gray-200 rounded-lg p-4 hover:border-indigo-300 transition-colors">
|
| 165 |
+
<div class="flex items-center mb-3">
|
| 166 |
+
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| 167 |
+
</html>
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Crie sobre Progressão Aritmética By Sofia Rosa, com o seguinte conteúdo: Progressão Aritimética Resumo Didático: Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG) Olá, Sofia! Vamos aprender juntos sobre progressão aritmética e progressão geométrica. Vou explicar de forma simples, com exemplos do cotidiano, para você entender de vez! ________________________________________ Progressão Aritmética (PA) O que é? É uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a um número fixo, chamado de razão (r)237. Fórmula do termo geral: an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)ran=a1+(n−1)r • ana_nan: termo que você quer achar • a1a_1a1: primeiro termo da sequência • nnn: posição do termo • rrr: razão (quanto aumenta ou diminui de um termo para o outro) Exemplo do cotidiano: Imagine que você ganha uma mesada de R$ 50,00 e todo mês sua mãe aumenta R$ 10,00. • 1º mês: R$ 50,00 • 2º mês: R$ 60,00 • 3º mês: R$ 70,00 • 4º mês: R$ 80,00 Aqui, a razão é 10, pois todo mês soma-se 10 ao valor anterior. Analogia: É como subir uma escada, onde cada degrau tem sempre a mesma altura. ________________________________________ Progressão Geométrica (PG) O que é? É uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo, chamado de razão (q)4567. Fórmula do termo geral: an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}an=a1⋅qn−1 • ana_nan: termo que você quer achar • a1a_1a1: primeiro termo da sequência • qqq: razão (quanto multiplica de um termo para o outro) • nnn: posição do termo Exemplo do cotidiano: Imagine que você tem uma plantinha que dobra de tamanho a cada semana. • 1ª semana: 1 cm • 2ª semana: 2 cm • 3ª semana: 4 cm • 4ª semana: 8 cm Aqui, a razão é 2, pois cada semana multiplica por 2 o tamanho anterior. Analogia: É como colocar dinheiro em uma poupança que rende juros compostos: o valor cresce cada vez mais rápido, porque sempre multiplica pelo mesmo fator. ________________________________________ Comparação PA vs PG Característica Progressão Aritmética (PA) Progressão Geométrica (PG) Regra Soma do mesmo valor (r) Multiplica pelo mesmo valor (q) Exemplo numérico 2, 4, 6, 8, 10... (r = 2) 3, 6, 12, 24... (q = 2) Analogia Subir degraus de uma escada Dobrar o tamanho de algo ________________________________________ Dicas para não confundir • Se a sequência soma ou subtrai sempre o mesmo valor → PA. • Se a sequência multiplica ou divide sempre pelo mesmo valor → PG. ________________________________________ Exercício Prático • PA: Se você economiza R$ 20,00 por semana, quanto terá após 5 semanas? o Resposta: a5=20+(5−1)×20=20+80=100a_5 = 20 + (5-1) \times 20 = 20 + 80 = 100a5=20+(5−1)×20=20+80=100 • PG: Se você começa com 1 bactéria e ela se multiplica por 3 a cada hora, quantas terá após 4 horas? o Resposta: a4=1×33=1×27=27a_4 = 1 \times 3^{3} = 1 \times 27 = 27a4=1×33=1×27=27 ________________________________________ Como Aplicar a Progressão Aritmética em Situações do Cotidiano Sofia, a progressão aritmética (PA) está muito presente no nosso dia a dia, mesmo quando não percebemos! Vou te mostrar exemplos práticos e explicar como usar a PA para resolver problemas reais. ________________________________________ Exemplos do Cotidiano • Economias e Poupança: Se você decide guardar R$ 100,00 todo mês, sem tirar nem aumentar o valor, o total acumulado ao longo dos meses segue uma PA. Cada mês, o valor guardado aumenta sempre R$ 100,00 em relação ao mês anterior135. • Planejamento de Orçamento Familiar: Ao planejar despesas mensais que crescem de forma constante (por exemplo, a conta de luz aumenta R$ 20,00 todo mês), você pode prever quanto gastará daqui a alguns meses usando a PA15. • Treinamento Esportivo: Imagine um corredor que aumenta 500 metros no treino a cada dia, começando com 3 km. O total percorrido a cada dia forma uma PA, pois sempre soma a mesma distância ao treino anterior3. • Construção Civil: Na construção, a disposição dos tijolos em fileiras pode seguir uma PA, caso cada fileira tenha sempre o mesmo aumento de tijolos em relação à anterior5. • Crescimento de Plantas: Se uma planta cresce 2 cm por semana, a altura dela a cada semana forma uma PA, pois sempre soma o mesmo valor ao anterior5. ________________________________________ Como Usar a PA para Resolver Problemas Para aplicar a PA, basta identificar: • O valor inicial (primeiro termo, a1a_1a1) • O quanto aumenta ou diminui a cada passo (razão, rrr) A fórmula para encontrar qualquer termo é: an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot ran=a1+(n−1)⋅r Exemplo prático: Você quer comprar um carro de R$ 30.000, já tem R$ 5.000 guardados e pode juntar R$ 1.000 por mês. • a1=5.000a_1 = 5.000a1=5.000 (valor inicial) • r=1.000r = 1.000r=1.000 (quanto aumenta por mês) • Para saber em quantos meses você alcança R$ 30.000, basta usar a fórmula da PA e resolver para nnn3. ________________________________________ Resumo das Aplicações • Medir distâncias em treinos ou corridas13 • Planejar economias e investimentos135 • Prever gastos ou rendimentos mensais15 • Organizar assentos ou fileiras em eventos5 • Calcular crescimento populacional ou de plantas15 ________________________________________ Dica Final Sempre que você perceber que algo aumenta ou diminui de forma constante, pode usar a progressão aritmética para prever valores futuros ou entender padrões. Isso facilita o planejamento e a tomada de decisões no dia a dia! Apostila de Progressão Aritmética (PA) para Sofia O que é Progressão Aritmética? A Progressão Aritmética (PA) é uma sequência de números onde cada termo é obtido somando-se um valor fixo ao termo anterior. Esse valor fixo é chamado de razão (r). ________________________________________ Fórmula do termo geral an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)ran=a1+(n−1)r • ana_nan: termo que você quer encontrar • a1a_1a1: primeiro termo • nnn: posição do termo • rrr: razão (quanto aumenta ou diminui de um termo para o outro) ________________________________________ Exemplos do cotidiano para uma adolescente de classe média no Rio de Janeiro 1. Mesada: Sofia recebe uma mesada de R$ 100,00 e sua mãe aumenta R$ 20,00 a cada mês. o 1º mês: R$ 100,00 o 2º mês: R$ 120,00 o 3º mês: R$ 140,00 o 4º mês: R$ 160,00 o 5º mês: R$ 180,00 2. Economia para comprar um celular: Sofia economiza R$ 50,00 por semana para comprar um celular novo. o 1ª semana: R$ 50,00 o 2ª semana: R$ 100,00 o 3ª semana: R$ 150,00 o 4ª semana: R$ 200,00 3. Treino de corrida: Sofia aumenta 500 metros no treino a cada dia, começando com 2 km. o 1º dia: 2 km o 2º dia: 2,5 km o 3º dia: 3 km o 4º dia: 3,5 km ________________________________________ Dicas para usar a PA • Identifique o valor inicial (a1a_1a1). • Identifique a razão (rrr), que é o quanto aumenta ou diminui. • Use a fórmula para calcular qualquer termo da sequência. ________________________________________ Visualização da progressão da mesada de Sofia  ________________________________________ Como exportar Este conteúdo foi estruturado em formato de apostila e pode ser exportado como PDF, incluindo o gráfico ilustrativo da mesada de Sofia. O arquivo gerado se chama apostila_sofia.pdf e está pronto para ser impresso ou estudado digitalmente. Se precisar de mais exemplos ou quiser adaptar para outras situações do seu dia a dia, é só pedir! ________________________________________ Visualização da Progressão da Mesada de Sofia O gráfico que você enviou mostra exatamente como funciona uma progressão aritmética na prática! Análise do Gráfico • Eixo X (horizontal): Representa os meses (1 a 5). • Eixo Y (vertical): Representa o valor da mesada em reais (R$). • Linha azul: Mostra o crescimento da mesada mês a mês. • Pontos marcados: Cada ponto indica o valor recebido em cada mês. O que o gráfico mostra? • No 1º mês, Sofia recebe R$ 100,00. • A cada mês, a mesada aumenta R$ 20,00. • O gráfico é uma linha reta crescente, característica das progressões aritméticas, pois o aumento é sempre igual. Tabela Resumida Mês Valor da Mesada (R$) 1 100 2 120 3 140 4 160 5 180 Como interpretar: • Se você quiser saber quanto Sofia vai receber no 6º mês, basta continuar a sequência: R$ 180,00 + R$ 20,00 = R$ 200,00 ________________________________________ Resumo Este gráfico é uma ótima forma visual de entender como a progressão aritmética funciona no dia a dia. Sempre que o aumento (ou diminuição) for constante, você pode usar a PA para prever valores futuros, como fizemos com a mesada de Sofia ! Explicação da Fórmula da Progressão Aritmética (PA) — Passo a Passo Vamos entender a fórmula da progressão aritmética usando o exemplo da mesada da Sofia, que está representado no gráfico. ________________________________________ Fórmula da PA an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot ran=a1+(n−1)⋅r Onde: • ana_nan: valor da mesada no mês que você quer calcular (n-ésimo termo) • a1a_1a1: valor da mesada no 1º mês (primeiro termo) • nnn: número do mês (posição na sequência) • rrr: razão, ou seja, quanto a mesada aumenta a cada mês ________________________________________ Passo a Passo 1. Identifique o primeiro termo (a1a_1a1) No exemplo, Sofia recebe R$ 100,00 no 1º mês. • a1=100a_1 = 100a1=100 2. Descubra a razão (rrr) A cada mês, a mesada aumenta R$ 20,00. • r=20r = 20r=20 3. Escolha o termo que quer calcular (nnn) Por exemplo, para saber o valor no 4º mês, n=4n = 4n=4. 4. Substitua os valores na fórmula an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot ran=a1+(n−1)⋅r Para o 4º mês: a4=100+(4−1)⋅20a_4 = 100 + (4-1) \cdot 20a4=100+(4−1)⋅20 5. Calcule o valor dentro do parêntese 4−1=34-1 = 34−1=3 6. Multiplique pelo valor da razão 3⋅20=603 \cdot 20 = 603⋅20=60 7. Some ao primeiro termo 100+60=160100 + 60 = 160100+60=160 ________________________________________ Resultado No 4º mês, Sofia receberá R$ 160,00. ________________________________________ Resumo Visual Mês (nnn) Cálculo Valor da Mesada (ana_nan) 1 100+(1−1)⋅20=100100 + (1-1) \cdot 20 = 100100+(1−1)⋅20=100 100 2 100+(2−1)⋅20=120100 + (2-1) \cdot 20 = 120100+(2−1)⋅20=120 120 3 100+(3−1)⋅20=140100 + (3-1) \cdot 20 = 140100+(3−1)⋅20=140 140 4 100+(4−1)⋅20=160100 + (4-1) \cdot 20 = 160100+(4−1)⋅20=160 160 5 100+(5−1)⋅20=180100 + (5-1) \cdot 20 = 180100+(5−1)⋅20=180 180 ________________________________________ Dica Final Sempre que quiser saber o valor da mesada em qualquer mês, basta seguir esses passos e usar a fórmula! O gráfico que você enviou mostra exatamente esses valores, formando uma linha reta, porque o aumento é sempre igual. ________________________________________ Para entender cada item da fórmula matemática da progressão aritmética (PA) que você escreveu na imagem, siga estes passos específicos: ________________________________________ 1. Identifique cada elemento da fórmula A fórmula da imagem é: an=an−1+ra_n = a_{n-1} + ran=an−1+r • ana_nan: É o termo que você quer calcular, ou seja, o valor da sequência na posição nnn. • an−1a_{n-1}an−1: É o termo anterior ao que você quer calcular, ou seja, o valor da sequência na posição n−1n-1n−1. • rrr: É a razão da PA, ou seja, o valor fixo que é somado de um termo para o próximo268. ________________________________________ 2. Entenda o que significa cada item • ana_nan: Se você quer saber, por exemplo, o valor do 5º termo, então n=5n = 5n=5 e ana_nan é o 5º termo. • an−1a_{n-1}an−1: É o termo imediatamente anterior ao que você está calculando. Se n=5n = 5n=5, então an−1=a4a_{n-1} = a_4an−1=a4, o 4º termo. • rrr: É sempre o mesmo valor, pois em uma PA a diferença entre os termos é constante. Você pode calcular rrr subtraindo qualquer termo pelo anterior: r=a2−a1r = a_2 - a_1r=a2−a1, r=a3−a2r = a_3 - a_2r=a3−a2, etc38. ________________________________________ 3. Como calcular usando a fórmula Passo a passo: 1. Descubra o termo anterior (an−1a_{n-1}an−1) Veja qual é o valor do termo anterior ao que você quer calcular. 2. Some a razão (rrr) Adicione o valor da razão ao termo anterior. 3. Encontre o termo desejado (ana_nan) O resultado é o termo que você queria achar. ________________________________________ Exemplo prático Imagine uma PA onde o primeiro termo é 10 e a razão é 3: • a1=10a_1 = 10a1=10 • r=3r = 3r=3 Para calcular o 2º termo: a2=a1+r=10+3=13a_2 = a_1 + r = 10 + 3 = 13a2=a1+r=10+3=13 Para calcular o 3º termo: a3=a2+r=13+3=16a_3 = a_2 + r = 13 + 3 = 16a3=a2+r=13+3=16 E assim por diante. ________________________________________ Resumo dos passos 1. Identifique o termo anterior ao que você quer calcular. 2. Some a razão a esse termo. 3. O resultado é o próximo termo da sequência. 4. Repita o processo para encontrar termos seguintes. ________________________________________ Para entender cada item da fórmula que você escreveu na imagem, an=an−1+ra_n = a_{n-1} + ran=an−1+r, é importante conhecer alguns conceitos básicos sobre progressão aritmética (PA). Veja o que você precisa saber antes de cada parte da fórmula: ________________________________________ 1. O que é uma Progressão Aritmética (PA)? • Uma PA é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando um valor fixo (chamado de razão) ao termo anterior23457. • Exemplo: 2, 5, 8, 11, 14... (a razão é 3, pois 5 - 2 = 3, 8 - 5 = 3, etc.)457. ________________________________________ 2. Conceitos Básicos Antes de Cada Item da Fórmula Item da Fórmula Conceito Básico Necessário ana_nan Termo geral: É o termo que você quer calcular, ou seja, o valor da sequência na posição nnn57. an−1a_{n-1}an−1 Termo anterior: É o termo imediatamente anterior ao que você quer calcular, ou seja, o valor na posição n−1n-1n−157. rrr Razão da PA: É o valor fixo que você soma para passar de um termo para o próximo. Pode ser positivo, negativo ou zero23457. ________________________________________ 3. Como cada item se encaixa na sequência • ana_nan: Para encontrar qualquer termo da PA, você precisa saber o termo anterior e a razão. • an−1a_{n-1}an−1: Sempre olhe para o termo que vem antes na sequência. • rrr: Descubra a razão subtraindo qualquer termo pelo anterior: r=a2−a1r = a_2 - a_1r=a2−a1 ou r=a4−a3r = a_4 - a_3r=a4−a3, por exemplo3457. ________________________________________ 4. O que você precisa saber para aplicar a fórmula • A PA pode ser crescente (razão positiva), decrescente (razão negativa) ou constante (razão zero)67. • Para usar a fórmula, você deve conhecer pelo menos o termo anterior e a razão. • Com essa fórmula, você pode calcular cada termo da sequência passo a passo, sempre somando a razão ao termo anterior23457. ________________________________________ Resumo Visual Imagine a PA como uma escada: • Cada degrau é um termo (ana_nan). • O degrau anterior é an−1a_{n-1}an−1. • A altura entre os degraus é a razão (rrr). Subindo cada degrau, você sempre soma o mesmo valor (a razão) para chegar ao próximo termo. ________________________________________ Se precisar de exemplos práticos ou quiser ver como calcular termos de uma PA real, posso te ajudar! Citations: 1. https://pplx-res.cloudinary.com/image/private/user_uploads/61177731/408422d2-0ae3-4793-8cb1-19ca8d6ad94b/Imagem-do-WhatsApp-de-2025-05-19-a-s-16.35.49_45eee07c.jpg 2. https://blog.stoodi.com.br/blog/matematica/formulas-pa-e-pg/ 3. https://querobolsa.com.br/enem/matematica/pa-progressao-aritmetica 4. https://www.teachy.com.br/resumos/ensino-medio/1ano/matematica/progressao-aritmetica-conceitos-e-aplicacoes-Expositiva-f63b 5. https://www.todamateria.com.br/progressao-aritmetica/ 6. https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm 7. https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/progressao-aritmetica.htm 8. https://www.todamateria.com.br/pa-e-pg/ 9. https://vestibulares.estrategia.com/portal/materias/matematica/progressao-aritmetica/ 10. https://www.youtube.com/watch?v=x8ME-V0wyts 11. https://www.centralexatas.com.br/matematica/progressao-aritmetica/420517 ________________________________________ Se quiser calcular um termo mais distante sem precisar calcular todos os anteriores, use a fórmula geral: an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot ran=a1+(n−1)⋅r Assim, você pode ir direto ao termo desejado237. Se precisar de mais exemplos ou quiser praticar, é só avisar! Citations: 1. https://pplx-res.cloudinary.com/image/private/user_uploads/61177731/408422d2-0ae3-4793-8cb1-19ca8d6ad94b/Imagem-do-WhatsApp-de-2025-05-19-a-s-16.35.49_45eee07c.jpg 2. https://www.todamateria.com.br/progressao-aritmetica/ 3. https://www.todamateria.com.br/pa-e-pg/ 4. https://matexpl.com/progressao-aritmetica-guia-completo-exemplos-exercicios/ 5. https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm 6. https://blog.stoodi.com.br/blog/matematica/formulas-pa-e-pg/ 7. https://www.terra.com.br/noticias/educacao/entenda-o-que-e-progressao-aritmetica-e-como-funciona,b2e239ae0c6a4361474409a3c9da4ffa3egioxl2.html 8. https://querobolsa.com.br/enem/matematica/pa-progressao-aritmetica 9. https://www.youtube.com/watch?v=Q_tHELEwVN0 10. https://www.youtube.com/shorts/qpYeAtj7iM4 11. https://www.youtube.com/watch?v=x8ME-V0wyts ________________________________________
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Crie sobre Progressão Aritmética By Sofia Rosa, com o seguinte conteúdo: Progressão Aritimética Resumo Didático: Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG) Olá, Sofia! Vamos aprender juntos sobre progressão aritmética e progressão geométrica. Vou explicar de forma simples, com exemplos do cotidiano, para você entender de vez! ________________________________________ Progressão Aritmética (PA) O que é? É uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a um número fixo, chamado de razão (r)237. Fórmula do termo geral: an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)ran=a1+(n−1)r • ana_nan: termo que você quer achar • a1a_1a1: primeiro termo da sequência • nnn: posição do termo • rrr: razão (quanto aumenta ou diminui de um termo para o outro) Exemplo do cotidiano: Imagine que você ganha uma mesada de R$ 50,00 e todo mês sua mãe aumenta R$ 10,00. • 1º mês: R$ 50,00 • 2º mês: R$ 60,00 • 3º mês: R$ 70,00 • 4º mês: R$ 80,00 Aqui, a razão é 10, pois todo mês soma-se 10 ao valor anterior. Analogia: É como subir uma escada, onde cada degrau tem sempre a mesma altura. ________________________________________ Progressão Geométrica (PG) O que é? É uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo, chamado de razão (q)4567. Fórmula do termo geral: an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}an=a1⋅qn−1 • ana_nan: termo que você quer achar • a1a_1a1: primeiro termo da sequência • qqq: razão (quanto multiplica de um termo para o outro) • nnn: posição do termo Exemplo do cotidiano: Imagine que você tem uma plantinha que dobra de tamanho a cada semana. • 1ª semana: 1 cm • 2ª semana: 2 cm • 3ª semana: 4 cm • 4ª semana: 8 cm Aqui, a razão é 2, pois cada semana multiplica por 2 o tamanho anterior. Analogia: É como colocar dinheiro em uma poupança que rende juros compostos: o valor cresce cada vez mais rápido, porque sempre multiplica pelo mesmo fator. ________________________________________ Comparação PA vs PG Característica Progressão Aritmética (PA) Progressão Geométrica (PG) Regra Soma do mesmo valor (r) Multiplica pelo mesmo valor (q) Exemplo numérico 2, 4, 6, 8, 10... (r = 2) 3, 6, 12, 24... (q = 2) Analogia Subir degraus de uma escada Dobrar o tamanho de algo ________________________________________ Dicas para não confundir • Se a sequência soma ou subtrai sempre o mesmo valor → PA. • Se a sequência multiplica ou divide sempre pelo mesmo valor → PG. ________________________________________ Exercício Prático • PA: Se você economiza R$ 20,00 por semana, quanto terá após 5 semanas? o Resposta: a5=20+(5−1)×20=20+80=100a_5 = 20 + (5-1) \times 20 = 20 + 80 = 100a5=20+(5−1)×20=20+80=100 • PG: Se você começa com 1 bactéria e ela se multiplica por 3 a cada hora, quantas terá após 4 horas? o Resposta: a4=1×33=1×27=27a_4 = 1 \times 3^{3} = 1 \times 27 = 27a4=1×33=1×27=27 ________________________________________ Como Aplicar a Progressão Aritmética em Situações do Cotidiano Sofia, a progressão aritmética (PA) está muito presente no nosso dia a dia, mesmo quando não percebemos! Vou te mostrar exemplos práticos e explicar como usar a PA para resolver problemas reais. ________________________________________ Exemplos do Cotidiano • Economias e Poupança: Se você decide guardar R$ 100,00 todo mês, sem tirar nem aumentar o valor, o total acumulado ao longo dos meses segue uma PA. Cada mês, o valor guardado aumenta sempre R$ 100,00 em relação ao mês anterior135. • Planejamento de Orçamento Familiar: Ao planejar despesas mensais que crescem de forma constante (por exemplo, a conta de luz aumenta R$ 20,00 todo mês), você pode prever quanto gastará daqui a alguns meses usando a PA15. • Treinamento Esportivo: Imagine um corredor que aumenta 500 metros no treino a cada dia, começando com 3 km. O total percorrido a cada dia forma uma PA, pois sempre soma a mesma distância ao treino anterior3. • Construção Civil: Na construção, a disposição dos tijolos em fileiras pode seguir uma PA, caso cada fileira tenha sempre o mesmo aumento de tijolos em relação à anterior5. • Crescimento de Plantas: Se uma planta cresce 2 cm por semana, a altura dela a cada semana forma uma PA, pois sempre soma o mesmo valor ao anterior5. ________________________________________ Como Usar a PA para Resolver Problemas Para aplicar a PA, basta identificar: • O valor inicial (primeiro termo, a1a_1a1) • O quanto aumenta ou diminui a cada passo (razão, rrr) A fórmula para encontrar qualquer termo é: an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot ran=a1+(n−1)⋅r Exemplo prático: Você quer comprar um carro de R$ 30.000, já tem R$ 5.000 guardados e pode juntar R$ 1.000 por mês. • a1=5.000a_1 = 5.000a1=5.000 (valor inicial) • r=1.000r = 1.000r=1.000 (quanto aumenta por mês) • Para saber em quantos meses você alcança R$ 30.000, basta usar a fórmula da PA e resolver para nnn3. ________________________________________ Resumo das Aplicações • Medir distâncias em treinos ou corridas13 • Planejar economias e investimentos135 • Prever gastos ou rendimentos mensais15 • Organizar assentos ou fileiras em eventos5 • Calcular crescimento populacional ou de plantas15 ________________________________________ Dica Final Sempre que você perceber que algo aumenta ou diminui de forma constante, pode usar a progressão aritmética para prever valores futuros ou entender padrões. Isso facilita o planejamento e a tomada de decisões no dia a dia! Apostila de Progressão Aritmética (PA) para Sofia O que é Progressão Aritmética? A Progressão Aritmética (PA) é uma sequência de números onde cada termo é obtido somando-se um valor fixo ao termo anterior. Esse valor fixo é chamado de razão (r). ________________________________________ Fórmula do termo geral an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)ran=a1+(n−1)r • ana_nan: termo que você quer encontrar • a1a_1a1: primeiro termo • nnn: posição do termo • rrr: razão (quanto aumenta ou diminui de um termo para o outro) ________________________________________ Exemplos do cotidiano para uma adolescente de classe média no Rio de Janeiro 1. Mesada: Sofia recebe uma mesada de R$ 100,00 e sua mãe aumenta R$ 20,00 a cada mês. o 1º mês: R$ 100,00 o 2º mês: R$ 120,00 o 3º mês: R$ 140,00 o 4º mês: R$ 160,00 o 5º mês: R$ 180,00 2. Economia para comprar um celular: Sofia economiza R$ 50,00 por semana para comprar um celular novo. o 1ª semana: R$ 50,00 o 2ª semana: R$ 100,00 o 3ª semana: R$ 150,00 o 4ª semana: R$ 200,00 3. Treino de corrida: Sofia aumenta 500 metros no treino a cada dia, começando com 2 km. o 1º dia: 2 km o 2º dia: 2,5 km o 3º dia: 3 km o 4º dia: 3,5 km ________________________________________ Dicas para usar a PA • Identifique o valor inicial (a1a_1a1). • Identifique a razão (rrr), que é o quanto aumenta ou diminui. • Use a fórmula para calcular qualquer termo da sequência. ________________________________________ Visualização da progressão da mesada de Sofia  ________________________________________ Como exportar Este conteúdo foi estruturado em formato de apostila e pode ser exportado como PDF, incluindo o gráfico ilustrativo da mesada de Sofia. O arquivo gerado se chama apostila_sofia.pdf e está pronto para ser impresso ou estudado digitalmente. Se precisar de mais exemplos ou quiser adaptar para outras situações do seu dia a dia, é só pedir! ________________________________________ Visualização da Progressão da Mesada de Sofia O gráfico que você enviou mostra exatamente como funciona uma progressão aritmética na prática! Análise do Gráfico • Eixo X (horizontal): Representa os meses (1 a 5). • Eixo Y (vertical): Representa o valor da mesada em reais (R$). • Linha azul: Mostra o crescimento da mesada mês a mês. • Pontos marcados: Cada ponto indica o valor recebido em cada mês. O que o gráfico mostra? • No 1º mês, Sofia recebe R$ 100,00. • A cada mês, a mesada aumenta R$ 20,00. • O gráfico é uma linha reta crescente, característica das progressões aritméticas, pois o aumento é sempre igual. Tabela Resumida Mês Valor da Mesada (R$) 1 100 2 120 3 140 4 160 5 180 Como interpretar: • Se você quiser saber quanto Sofia vai receber no 6º mês, basta continuar a sequência: R$ 180,00 + R$ 20,00 = R$ 200,00 ________________________________________ Resumo Este gráfico é uma ótima forma visual de entender como a progressão aritmética funciona no dia a dia. Sempre que o aumento (ou diminuição) for constante, você pode usar a PA para prever valores futuros, como fizemos com a mesada de Sofia ! Explicação da Fórmula da Progressão Aritmética (PA) — Passo a Passo Vamos entender a fórmula da progressão aritmética usando o exemplo da mesada da Sofia, que está representado no gráfico. ________________________________________ Fórmula da PA an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot ran=a1+(n−1)⋅r Onde: • ana_nan: valor da mesada no mês que você quer calcular (n-ésimo termo) • a1a_1a1: valor da mesada no 1º mês (primeiro termo) • nnn: número do mês (posição na sequência) • rrr: razão, ou seja, quanto a mesada aumenta a cada mês ________________________________________ Passo a Passo 1. Identifique o primeiro termo (a1a_1a1) No exemplo, Sofia recebe R$ 100,00 no 1º mês. • a1=100a_1 = 100a1=100 2. Descubra a razão (rrr) A cada mês, a mesada aumenta R$ 20,00. • r=20r = 20r=20 3. Escolha o termo que quer calcular (nnn) Por exemplo, para saber o valor no 4º mês, n=4n = 4n=4. 4. Substitua os valores na fórmula an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot ran=a1+(n−1)⋅r Para o 4º mês: a4=100+(4−1)⋅20a_4 = 100 + (4-1) \cdot 20a4=100+(4−1)⋅20 5. Calcule o valor dentro do parêntese 4−1=34-1 = 34−1=3 6. Multiplique pelo valor da razão 3⋅20=603 \cdot 20 = 603⋅20=60 7. Some ao primeiro termo 100+60=160100 + 60 = 160100+60=160 ________________________________________ Resultado No 4º mês, Sofia receberá R$ 160,00. ________________________________________ Resumo Visual Mês (nnn) Cálculo Valor da Mesada (ana_nan) 1 100+(1−1)⋅20=100100 + (1-1) \cdot 20 = 100100+(1−1)⋅20=100 100 2 100+(2−1)⋅20=120100 + (2-1) \cdot 20 = 120100+(2−1)⋅20=120 120 3 100+(3−1)⋅20=140100 + (3-1) \cdot 20 = 140100+(3−1)⋅20=140 140 4 100+(4−1)⋅20=160100 + (4-1) \cdot 20 = 160100+(4−1)⋅20=160 160 5 100+(5−1)⋅20=180100 + (5-1) \cdot 20 = 180100+(5−1)⋅20=180 180 ________________________________________ Dica Final Sempre que quiser saber o valor da mesada em qualquer mês, basta seguir esses passos e usar a fórmula! O gráfico que você enviou mostra exatamente esses valores, formando uma linha reta, porque o aumento é sempre igual. ________________________________________ Para entender cada item da fórmula matemática da progressão aritmética (PA) que você escreveu na imagem, siga estes passos específicos: ________________________________________ 1. Identifique cada elemento da fórmula A fórmula da imagem é: an=an−1+ra_n = a_{n-1} + ran=an−1+r • ana_nan: É o termo que você quer calcular, ou seja, o valor da sequência na posição nnn. • an−1a_{n-1}an−1: É o termo anterior ao que você quer calcular, ou seja, o valor da sequência na posição n−1n-1n−1. • rrr: É a razão da PA, ou seja, o valor fixo que é somado de um termo para o próximo268. ________________________________________ 2. Entenda o que significa cada item • ana_nan: Se você quer saber, por exemplo, o valor do 5º termo, então n=5n = 5n=5 e ana_nan é o 5º termo. • an−1a_{n-1}an−1: É o termo imediatamente anterior ao que você está calculando. Se n=5n = 5n=5, então an−1=a4a_{n-1} = a_4an−1=a4, o 4º termo. • rrr: É sempre o mesmo valor, pois em uma PA a diferença entre os termos é constante. Você pode calcular rrr subtraindo qualquer termo pelo anterior: r=a2−a1r = a_2 - a_1r=a2−a1, r=a3−a2r = a_3 - a_2r=a3−a2, etc38. ________________________________________ 3. Como calcular usando a fórmula Passo a passo: 1. Descubra o termo anterior (an−1a_{n-1}an−1) Veja qual é o valor do termo anterior ao que você quer calcular. 2. Some a razão (rrr) Adicione o valor da razão ao termo anterior. 3. Encontre o termo desejado (ana_nan) O resultado é o termo que você queria achar. ________________________________________ Exemplo prático Imagine uma PA onde o primeiro termo é 10 e a razão é 3: • a1=10a_1 = 10a1=10 • r=3r = 3r=3 Para calcular o 2º termo: a2=a1+r=10+3=13a_2 = a_1 + r = 10 + 3 = 13a2=a1+r=10+3=13 Para calcular o 3º termo: a3=a2+r=13+3=16a_3 = a_2 + r = 13 + 3 = 16a3=a2+r=13+3=16 E assim por diante. ________________________________________ Resumo dos passos 1. Identifique o termo anterior ao que você quer calcular. 2. Some a razão a esse termo. 3. O resultado é o próximo termo da sequência. 4. Repita o processo para encontrar termos seguintes. ________________________________________ Para entender cada item da fórmula que você escreveu na imagem, an=an−1+ra_n = a_{n-1} + ran=an−1+r, é importante conhecer alguns conceitos básicos sobre progressão aritmética (PA). Veja o que você precisa saber antes de cada parte da fórmula: ________________________________________ 1. O que é uma Progressão Aritmética (PA)? • Uma PA é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando um valor fixo (chamado de razão) ao termo anterior23457. • Exemplo: 2, 5, 8, 11, 14... (a razão é 3, pois 5 - 2 = 3, 8 - 5 = 3, etc.)457. ________________________________________ 2. Conceitos Básicos Antes de Cada Item da Fórmula Item da Fórmula Conceito Básico Necessário ana_nan Termo geral: É o termo que você quer calcular, ou seja, o valor da sequência na posição nnn57. an−1a_{n-1}an−1 Termo anterior: É o termo imediatamente anterior ao que você quer calcular, ou seja, o valor na posição n−1n-1n−157. rrr Razão da PA: É o valor fixo que você soma para passar de um termo para o próximo. Pode ser positivo, negativo ou zero23457. ________________________________________ 3. Como cada item se encaixa na sequência • ana_nan: Para encontrar qualquer termo da PA, você precisa saber o termo anterior e a razão. • an−1a_{n-1}an−1: Sempre olhe para o termo que vem antes na sequência. • rrr: Descubra a razão subtraindo qualquer termo pelo anterior: r=a2−a1r = a_2 - a_1r=a2−a1 ou r=a4−a3r = a_4 - a_3r=a4−a3, por exemplo3457. ________________________________________ 4. O que você precisa saber para aplicar a fórmula • A PA pode ser crescente (razão positiva), decrescente (razão negativa) ou constante (razão zero)67. • Para usar a fórmula, você deve conhecer pelo menos o termo anterior e a razão. • Com essa fórmula, você pode calcular cada termo da sequência passo a passo, sempre somando a razão ao termo anterior23457. ________________________________________ Resumo Visual Imagine a PA como uma escada: • Cada degrau é um termo (ana_nan). • O degrau anterior é an−1a_{n-1}an−1. • A altura entre os degraus é a razão (rrr). Subindo cada degrau, você sempre soma o mesmo valor (a razão) para chegar ao próximo termo. ________________________________________ Se precisar de exemplos práticos ou quiser ver como calcular termos de uma PA real, posso te ajudar! Citations: 1. https://pplx-res.cloudinary.com/image/private/user_uploads/61177731/408422d2-0ae3-4793-8cb1-19ca8d6ad94b/Imagem-do-WhatsApp-de-2025-05-19-a-s-16.35.49_45eee07c.jpg 2. https://blog.stoodi.com.br/blog/matematica/formulas-pa-e-pg/ 3. https://querobolsa.com.br/enem/matematica/pa-progressao-aritmetica 4. https://www.teachy.com.br/resumos/ensino-medio/1ano/matematica/progressao-aritmetica-conceitos-e-aplicacoes-Expositiva-f63b 5. https://www.todamateria.com.br/progressao-aritmetica/ 6. https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm 7. https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/progressao-aritmetica.htm 8. https://www.todamateria.com.br/pa-e-pg/ 9. https://vestibulares.estrategia.com/portal/materias/matematica/progressao-aritmetica/ 10. https://www.youtube.com/watch?v=x8ME-V0wyts 11. https://www.centralexatas.com.br/matematica/progressao-aritmetica/420517 ________________________________________ Se quiser calcular um termo mais distante sem precisar calcular todos os anteriores, use a fórmula geral: an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot ran=a1+(n−1)⋅r Assim, você pode ir direto ao termo desejado237. Se precisar de mais exemplos ou quiser praticar, é só avisar! Citations: 1. https://pplx-res.cloudinary.com/image/private/user_uploads/61177731/408422d2-0ae3-4793-8cb1-19ca8d6ad94b/Imagem-do-WhatsApp-de-2025-05-19-a-s-16.35.49_45eee07c.jpg 2. https://www.todamateria.com.br/progressao-aritmetica/ 3. https://www.todamateria.com.br/pa-e-pg/ 4. https://matexpl.com/progressao-aritmetica-guia-completo-exemplos-exercicios/ 5. https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm 6. https://blog.stoodi.com.br/blog/matematica/formulas-pa-e-pg/ 7. https://www.terra.com.br/noticias/educacao/entenda-o-que-e-progressao-aritmetica-e-como-funciona,b2e239ae0c6a4361474409a3c9da4ffa3egioxl2.html 8. https://querobolsa.com.br/enem/matematica/pa-progressao-aritmetica 9. https://www.youtube.com/watch?v=Q_tHELEwVN0 10. https://www.youtube.com/shorts/qpYeAtj7iM4 11. https://www.youtube.com/watch?v=x8ME-V0wyts ________________________________________
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Crie sobre Progressão Aritmética By Sofia Rosa, com o seguinte conteúdo: Progressão Aritimética Resumo Didático: Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG) Olá, Sofia! Vamos aprender juntos sobre progressão aritmética e progressão geométrica. Vou explicar de forma simples, com exemplos do cotidiano, para você entender de vez! ________________________________________ Progressão Aritmética (PA) O que é? É uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a um número fixo, chamado de razão (r)237. Fórmula do termo geral: an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)ran=a1+(n−1)r • ana_nan: termo que você quer achar • a1a_1a1: primeiro termo da sequência • nnn: posição do termo • rrr: razão (quanto aumenta ou diminui de um termo para o outro) Exemplo do cotidiano: Imagine que você ganha uma mesada de R$ 50,00 e todo mês sua mãe aumenta R$ 10,00. • 1º mês: R$ 50,00 • 2º mês: R$ 60,00 • 3º mês: R$ 70,00 • 4º mês: R$ 80,00 Aqui, a razão é 10, pois todo mês soma-se 10 ao valor anterior. Analogia: É como subir uma escada, onde cada degrau tem sempre a mesma altura. ________________________________________ Progressão Geométrica (PG) O que é? É uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo, chamado de razão (q)4567. Fórmula do termo geral: an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}an=a1⋅qn−1 • ana_nan: termo que você quer achar • a1a_1a1: primeiro termo da sequência • qqq: razão (quanto multiplica de um termo para o outro) • nnn: posição do termo Exemplo do cotidiano: Imagine que você tem uma plantinha que dobra de tamanho a cada semana. • 1ª semana: 1 cm • 2ª semana: 2 cm • 3ª semana: 4 cm • 4ª semana: 8 cm Aqui, a razão é 2, pois cada semana multiplica por 2 o tamanho anterior. Analogia: É como colocar dinheiro em uma poupança que rende juros compostos: o valor cresce cada vez mais rápido, porque sempre multiplica pelo mesmo fator. ________________________________________ Comparação PA vs PG Característica Progressão Aritmética (PA) Progressão Geométrica (PG) Regra Soma do mesmo valor (r) Multiplica pelo mesmo valor (q) Exemplo numérico 2, 4, 6, 8, 10... (r = 2) 3, 6, 12, 24... (q = 2) Analogia Subir degraus de uma escada Dobrar o tamanho de algo ________________________________________ Dicas para não confundir • Se a sequência soma ou subtrai sempre o mesmo valor → PA. • Se a sequência multiplica ou divide sempre pelo mesmo valor → PG. ________________________________________ Exercício Prático • PA: Se você economiza R$ 20,00 por semana, quanto terá após 5 semanas? o Resposta: a5=20+(5−1)×20=20+80=100a_5 = 20 + (5-1) \times 20 = 20 + 80 = 100a5=20+(5−1)×20=20+80=100 • PG: Se você começa com 1 bactéria e ela se multiplica por 3 a cada hora, quantas terá após 4 horas? o Resposta: a4=1×33=1×27=27a_4 = 1 \times 3^{3} = 1 \times 27 = 27a4=1×33=1×27=27 ________________________________________ Como Aplicar a Progressão Aritmética em Situações do Cotidiano Sofia, a progressão aritmética (PA) está muito presente no nosso dia a dia, mesmo quando não percebemos! Vou te mostrar exemplos práticos e explicar como usar a PA para resolver problemas reais. ________________________________________ Exemplos do Cotidiano • Economias e Poupança: Se você decide guardar R$ 100,00 todo mês, sem tirar nem aumentar o valor, o total acumulado ao longo dos meses segue uma PA. Cada mês, o valor guardado aumenta sempre R$ 100,00 em relação ao mês anterior135. • Planejamento de Orçamento Familiar: Ao planejar despesas mensais que crescem de forma constante (por exemplo, a conta de luz aumenta R$ 20,00 todo mês), você pode prever quanto gastará daqui a alguns meses usando a PA15. • Treinamento Esportivo: Imagine um corredor que aumenta 500 metros no treino a cada dia, começando com 3 km. O total percorrido a cada dia forma uma PA, pois sempre soma a mesma distância ao treino anterior3. • Construção Civil: Na construção, a disposição dos tijolos em fileiras pode seguir uma PA, caso cada fileira tenha sempre o mesmo aumento de tijolos em relação à anterior5. • Crescimento de Plantas: Se uma planta cresce 2 cm por semana, a altura dela a cada semana forma uma PA, pois sempre soma o mesmo valor ao anterior5. ________________________________________ Como Usar a PA para Resolver Problemas Para aplicar a PA, basta identificar: • O valor inicial (primeiro termo, a1a_1a1) • O quanto aumenta ou diminui a cada passo (razão, rrr) A fórmula para encontrar qualquer termo é: an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot ran=a1+(n−1)⋅r Exemplo prático: Você quer comprar um carro de R$ 30.000, já tem R$ 5.000 guardados e pode juntar R$ 1.000 por mês. • a1=5.000a_1 = 5.000a1=5.000 (valor inicial) • r=1.000r = 1.000r=1.000 (quanto aumenta por mês) • Para saber em quantos meses você alcança R$ 30.000, basta usar a fórmula da PA e resolver para nnn3. ________________________________________ Resumo das Aplicações • Medir distâncias em treinos ou corridas13 • Planejar economias e investimentos135 • Prever gastos ou rendimentos mensais15 • Organizar assentos ou fileiras em eventos5 • Calcular crescimento populacional ou de plantas15 ________________________________________ Dica Final Sempre que você perceber que algo aumenta ou diminui de forma constante, pode usar a progressão aritmética para prever valores futuros ou entender padrões. Isso facilita o planejamento e a tomada de decisões no dia a dia! Apostila de Progressão Aritmética (PA) para Sofia O que é Progressão Aritmética? A Progressão Aritmética (PA) é uma sequência de números onde cada termo é obtido somando-se um valor fixo ao termo anterior. Esse valor fixo é chamado de razão (r). ________________________________________ Fórmula do termo geral an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)ran=a1+(n−1)r • ana_nan: termo que você quer encontrar • a1a_1a1: primeiro termo • nnn: posição do termo • rrr: razão (quanto aumenta ou diminui de um termo para o outro) ________________________________________ Exemplos do cotidiano para uma adolescente de classe média no Rio de Janeiro 1. Mesada: Sofia recebe uma mesada de R$ 100,00 e sua mãe aumenta R$ 20,00 a cada mês. o 1º mês: R$ 100,00 o 2º mês: R$ 120,00 o 3º mês: R$ 140,00 o 4º mês: R$ 160,00 o 5º mês: R$ 180,00 2. Economia para comprar um celular: Sofia economiza R$ 50,00 por semana para comprar um celular novo. o 1ª semana: R$ 50,00 o 2ª semana: R$ 100,00 o 3ª semana: R$ 150,00 o 4ª semana: R$ 200,00 3. Treino de corrida: Sofia aumenta 500 metros no treino a cada dia, começando com 2 km. o 1º dia: 2 km o 2º dia: 2,5 km o 3º dia: 3 km o 4º dia: 3,5 km ________________________________________ Dicas para usar a PA • Identifique o valor inicial (a1a_1a1). • Identifique a razão (rrr), que é o quanto aumenta ou diminui. • Use a fórmula para calcular qualquer termo da sequência. ________________________________________ Visualização da progressão da mesada de Sofia  ________________________________________ Como exportar Este conteúdo foi estruturado em formato de apostila e pode ser exportado como PDF, incluindo o gráfico ilustrativo da mesada de Sofia. O arquivo gerado se chama apostila_sofia.pdf e está pronto para ser impresso ou estudado digitalmente. Se precisar de mais exemplos ou quiser adaptar para outras situações do seu dia a dia, é só pedir! ________________________________________ Visualização da Progressão da Mesada de Sofia O gráfico que você enviou mostra exatamente como funciona uma progressão aritmética na prática! Análise do Gráfico • Eixo X (horizontal): Representa os meses (1 a 5). • Eixo Y (vertical): Representa o valor da mesada em reais (R$). • Linha azul: Mostra o crescimento da mesada mês a mês. • Pontos marcados: Cada ponto indica o valor recebido em cada mês. O que o gráfico mostra? • No 1º mês, Sofia recebe R$ 100,00. • A cada mês, a mesada aumenta R$ 20,00. • O gráfico é uma linha reta crescente, característica das progressões aritméticas, pois o aumento é sempre igual. Tabela Resumida Mês Valor da Mesada (R$) 1 100 2 120 3 140 4 160 5 180 Como interpretar: • Se você quiser saber quanto Sofia vai receber no 6º mês, basta continuar a sequência: R$ 180,00 + R$ 20,00 = R$ 200,00 ________________________________________ Resumo Este gráfico é uma ótima forma visual de entender como a progressão aritmética funciona no dia a dia. Sempre que o aumento (ou diminuição) for constante, você pode usar a PA para prever valores futuros, como fizemos com a mesada de Sofia ! Explicação da Fórmula da Progressão Aritmética (PA) — Passo a Passo Vamos entender a fórmula da progressão aritmética usando o exemplo da mesada da Sofia, que está representado no gráfico. ________________________________________ Fórmula da PA an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot ran=a1+(n−1)⋅r Onde: • ana_nan: valor da mesada no mês que você quer calcular (n-ésimo termo) • a1a_1a1: valor da mesada no 1º mês (primeiro termo) • nnn: número do mês (posição na sequência) • rrr: razão, ou seja, quanto a mesada aumenta a cada mês ________________________________________ Passo a Passo 1. Identifique o primeiro termo (a1a_1a1) No exemplo, Sofia recebe R$ 100,00 no 1º mês. • a1=100a_1 = 100a1=100 2. Descubra a razão (rrr) A cada mês, a mesada aumenta R$ 20,00. • r=20r = 20r=20 3. Escolha o termo que quer calcular (nnn) Por exemplo, para saber o valor no 4º mês, n=4n = 4n=4. 4. Substitua os valores na fórmula an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot ran=a1+(n−1)⋅r Para o 4º mês: a4=100+(4−1)⋅20a_4 = 100 + (4-1) \cdot 20a4=100+(4−1)⋅20 5. Calcule o valor dentro do parêntese 4−1=34-1 = 34−1=3 6. Multiplique pelo valor da razão 3⋅20=603 \cdot 20 = 603⋅20=60 7. Some ao primeiro termo 100+60=160100 + 60 = 160100+60=160 ________________________________________ Resultado No 4º mês, Sofia receberá R$ 160,00. ________________________________________ Resumo Visual Mês (nnn) Cálculo Valor da Mesada (ana_nan) 1 100+(1−1)⋅20=100100 + (1-1) \cdot 20 = 100100+(1−1)⋅20=100 100 2 100+(2−1)⋅20=120100 + (2-1) \cdot 20 = 120100+(2−1)⋅20=120 120 3 100+(3−1)⋅20=140100 + (3-1) \cdot 20 = 140100+(3−1)⋅20=140 140 4 100+(4−1)⋅20=160100 + (4-1) \cdot 20 = 160100+(4−1)⋅20=160 160 5 100+(5−1)⋅20=180100 + (5-1) \cdot 20 = 180100+(5−1)⋅20=180 180 ________________________________________ Dica Final Sempre que quiser saber o valor da mesada em qualquer mês, basta seguir esses passos e usar a fórmula! O gráfico que você enviou mostra exatamente esses valores, formando uma linha reta, porque o aumento é sempre igual. ________________________________________ Para entender cada item da fórmula matemática da progressão aritmética (PA) que você escreveu na imagem, siga estes passos específicos: ________________________________________ 1. Identifique cada elemento da fórmula A fórmula da imagem é: an=an−1+ra_n = a_{n-1} + ran=an−1+r • ana_nan: É o termo que você quer calcular, ou seja, o valor da sequência na posição nnn. • an−1a_{n-1}an−1: É o termo anterior ao que você quer calcular, ou seja, o valor da sequência na posição n−1n-1n−1. • rrr: É a razão da PA, ou seja, o valor fixo que é somado de um termo para o próximo268. ________________________________________ 2. Entenda o que significa cada item • ana_nan: Se você quer saber, por exemplo, o valor do 5º termo, então n=5n = 5n=5 e ana_nan é o 5º termo. • an−1a_{n-1}an−1: É o termo imediatamente anterior ao que você está calculando. Se n=5n = 5n=5, então an−1=a4a_{n-1} = a_4an−1=a4, o 4º termo. • rrr: É sempre o mesmo valor, pois em uma PA a diferença entre os termos é constante. Você pode calcular rrr subtraindo qualquer termo pelo anterior: r=a2−a1r = a_2 - a_1r=a2−a1, r=a3−a2r = a_3 - a_2r=a3−a2, etc38. ________________________________________ 3. Como calcular usando a fórmula Passo a passo: 1. Descubra o termo anterior (an−1a_{n-1}an−1) Veja qual é o valor do termo anterior ao que você quer calcular. 2. Some a razão (rrr) Adicione o valor da razão ao termo anterior. 3. Encontre o termo desejado (ana_nan) O resultado é o termo que você queria achar. ________________________________________ Exemplo prático Imagine uma PA onde o primeiro termo é 10 e a razão é 3: • a1=10a_1 = 10a1=10 • r=3r = 3r=3 Para calcular o 2º termo: a2=a1+r=10+3=13a_2 = a_1 + r = 10 + 3 = 13a2=a1+r=10+3=13 Para calcular o 3º termo: a3=a2+r=13+3=16a_3 = a_2 + r = 13 + 3 = 16a3=a2+r=13+3=16 E assim por diante. ________________________________________ Resumo dos passos 1. Identifique o termo anterior ao que você quer calcular. 2. Some a razão a esse termo. 3. O resultado é o próximo termo da sequência. 4. Repita o processo para encontrar termos seguintes. ________________________________________ Para entender cada item da fórmula que você escreveu na imagem, an=an−1+ra_n = a_{n-1} + ran=an−1+r, é importante conhecer alguns conceitos básicos sobre progressão aritmética (PA). Veja o que você precisa saber antes de cada parte da fórmula: ________________________________________ 1. O que é uma Progressão Aritmética (PA)? • Uma PA é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando um valor fixo (chamado de razão) ao termo anterior23457. • Exemplo: 2, 5, 8, 11, 14... (a razão é 3, pois 5 - 2 = 3, 8 - 5 = 3, etc.)457. ________________________________________ 2. Conceitos Básicos Antes de Cada Item da Fórmula Item da Fórmula Conceito Básico Necessário ana_nan Termo geral: É o termo que você quer calcular, ou seja, o valor da sequência na posição nnn57. an−1a_{n-1}an−1 Termo anterior: É o termo imediatamente anterior ao que você quer calcular, ou seja, o valor na posição n−1n-1n−157. rrr Razão da PA: É o valor fixo que você soma para passar de um termo para o próximo. Pode ser positivo, negativo ou zero23457. ________________________________________ 3. Como cada item se encaixa na sequência • ana_nan: Para encontrar qualquer termo da PA, você precisa saber o termo anterior e a razão. • an−1a_{n-1}an−1: Sempre olhe para o termo que vem antes na sequência. • rrr: Descubra a razão subtraindo qualquer termo pelo anterior: r=a2−a1r = a_2 - a_1r=a2−a1 ou r=a4−a3r = a_4 - a_3r=a4−a3, por exemplo3457. ________________________________________ 4. O que você precisa saber para aplicar a fórmula • A PA pode ser crescente (razão positiva), decrescente (razão negativa) ou constante (razão zero)67. • Para usar a fórmula, você deve conhecer pelo menos o termo anterior e a razão. • Com essa fórmula, você pode calcular cada termo da sequência passo a passo, sempre somando a razão ao termo anterior23457. ________________________________________ Resumo Visual Imagine a PA como uma escada: • Cada degrau é um termo (ana_nan). • O degrau anterior é an−1a_{n-1}an−1. • A altura entre os degraus é a razão (rrr). Subindo cada degrau, você sempre soma o mesmo valor (a razão) para chegar ao próximo termo. ________________________________________ Se precisar de exemplos práticos ou quiser ver como calcular termos de uma PA real, posso te ajudar! Citations: 1. https://pplx-res.cloudinary.com/image/private/user_uploads/61177731/408422d2-0ae3-4793-8cb1-19ca8d6ad94b/Imagem-do-WhatsApp-de-2025-05-19-a-s-16.35.49_45eee07c.jpg 2. https://blog.stoodi.com.br/blog/matematica/formulas-pa-e-pg/ 3. https://querobolsa.com.br/enem/matematica/pa-progressao-aritmetica 4. https://www.teachy.com.br/resumos/ensino-medio/1ano/matematica/progressao-aritmetica-conceitos-e-aplicacoes-Expositiva-f63b 5. https://www.todamateria.com.br/progressao-aritmetica/ 6. https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm 7. https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/progressao-aritmetica.htm 8. https://www.todamateria.com.br/pa-e-pg/ 9. https://vestibulares.estrategia.com/portal/materias/matematica/progressao-aritmetica/ 10. https://www.youtube.com/watch?v=x8ME-V0wyts 11. https://www.centralexatas.com.br/matematica/progressao-aritmetica/420517 ________________________________________ Se quiser calcular um termo mais distante sem precisar calcular todos os anteriores, use a fórmula geral: an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot ran=a1+(n−1)⋅r Assim, você pode ir direto ao termo desejado237. Se precisar de mais exemplos ou quiser praticar, é só avisar! Citations: 1. https://pplx-res.cloudinary.com/image/private/user_uploads/61177731/408422d2-0ae3-4793-8cb1-19ca8d6ad94b/Imagem-do-WhatsApp-de-2025-05-19-a-s-16.35.49_45eee07c.jpg 2. https://www.todamateria.com.br/progressao-aritmetica/ 3. https://www.todamateria.com.br/pa-e-pg/ 4. https://matexpl.com/progressao-aritmetica-guia-completo-exemplos-exercicios/ 5. https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm 6. https://blog.stoodi.com.br/blog/matematica/formulas-pa-e-pg/ 7. https://www.terra.com.br/noticias/educacao/entenda-o-que-e-progressao-aritmetica-e-como-funciona,b2e239ae0c6a4361474409a3c9da4ffa3egioxl2.html 8. https://querobolsa.com.br/enem/matematica/pa-progressao-aritmetica 9. https://www.youtube.com/watch?v=Q_tHELEwVN0 10. https://www.youtube.com/shorts/qpYeAtj7iM4 11. https://www.youtube.com/watch?v=x8ME-V0wyts ________________________________________
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