 M<span></span>thode A.G.M. pour les courbes ordinaires de genre $3$ non hyperelliptiques sur $\mathbb{F}_{2^N}$

We propose a A.G.M. algorithm for the determination of the characteristic polynomial of an ordinary non hyperelliptic curve of genus $3$ over $\mathbb{F}_{2^N}$.

Nous nous proposons dans la pr<span>é</span>sente note de donner un algorithme de calcul du polyn<span>ô</span>me caract<span>é</span>ristique de la jacobienne d'une courbe de genre $3$ ordinaire et non-hyperelliptique sur $k=\mathbb{F}_{2^N}$. Cet algorithme appartient <span>à</span> la cat<span>é</span>gorie des m<span>é</span>thodes dites A.G.M. pour le calcul du nombre de points introduites par J.-F. Mestre dans les cas hyperelliptiques (cf. @mestre1 et @mestre2). Nous illustrons son fonctionnement avec le calcul r<span>é</span>alis<span>é</span> sous MAGMA en $25$ heures pour une courbe sur $\mathbb{F}_{2^{72}}$. Une impl<span>é</span>mentation plus efficace (utilisant les m<span>é</span>thodes de multiplication rapide) est en cours. Les d<span>é</span>monstrations des r<span>é</span>sultats utilis<span>é</span>s seront disponibles dans la th<span>è</span>se de l'auteur. Notons enfin que la méthode analogue dans le cas réel permet sans doute le calcul d'une matrice de Riemann de la jacobienne d'une courbe réelle, imitant en cela l'A.G.M. classique de Gauss dans le cas des courbes de genre $1$.

M<span>é</span>thode A.G.M. {#para1}
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Etant donn<span>é</span>e une courbe $\tilde{C}$ de genre $g$ sur $k=\mathbb{F}_{2^N}$ ordinaire, la mise en œuvre d'une m<span>é</span>thode A.G.M. pour la d<span>é</span>termination du polyn<span>ô</span>me caract<span>é</span>ristique proc<span>è</span>de globalement de la mani<span>è</span>re suivante :

1.  on rel<span>è</span>ve la courbe sur une extension $K$ non ramifi<span>é</span>e de $\mathbb{Q}_2$. Ce rel<span>è</span>vement ne doit pas <span>ê</span>tre quelconque si l'on veut pouvoir effectuer les calculs dans une extension non ramifi<span>é</span>e. Nous donnerons dans le cas du genre $3$ au paragraphe \[bonmodele\], un bon mod<span>è</span>le sur une extension de degr<span>é</span> au plus $4 N$ de $\mathbb{Q}_2$.

2.  Une fois en caract<span>é</span>ristique $0$, par analogie avec le cas complexe, on calcule alors en fonction des coefficients de ce mod<span>è</span>le $2^g$ rapports de &lt;&lt;th<span>ê</span>ta constantes&gt;&gt; de la forme suivante $$\left(\frac{\theta {\left[ \begin{array}{c} f \\ e \end{array} \right]}(0)}{\theta {\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right]}(0)}\right)^2_{f,e \in
      (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^g}$$ dans le cas du genre $3$ les $8$ rapports qui nous int<span>é</span>r<span>è</span>ssent parmi les $2^{g-1}(2^g+1)=36$ non nulles sont exactement ceux pour lesquelles le rapport pr<span>é</span>c<span>é</span>dent est congru <span>à</span> $1$ modulo $8$. Ces derniers orientent en effet le noyau de l'isog<span>é</span>nie pour que celle-ci coincide avec celui du rel<span>è</span>vement du Verschiebung qui est un sous-espace totalement isotrope pour le couplage de Weil. Quitte <span>à</span> faire alors un changement de base symplectique on peut supposer que ceux-ci sont tels que $f=0$. On note ces rapports $(A_e^{(0)})_{e \in (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^g}.$\
    Il faut exprimer ces rapports en fonction des coefficients de la courbe. Dans le cas hyperelliptique, les relations sont donn<span>é</span>es par la formule de Thomae @mumford [livre II]. L'objet du paragraphe \[constante\] est de donner un analogue de ces formules pour le cas du genre $3$ non hyperelliptique. Alors que dans le cas hyperelliptique sont utilis<span>é</span>s des invariants binaires reli<span>é</span>s aux points de Weierstrass, on utilise ici des invariants ternaires bas<span>é</span>s sur des produits de d<span>é</span>terminants de bitangentes.

3.  On duplique ces constantes par une g<span>é</span>n<span>é</span>ralisation de la moyenne arithm<span>é</span>tico-g<span>é</span>om<span>é</span>trique pour le genre $1$ : $$A_e^{(i+1)}=\frac{1}{2^g} \sum_{f \in (\mathbb{Z}/2
      \mathbb{Z})^g} A_e^{(i)} \sqrt{\frac{A_{e+f}^{(i)}}{A_e^{(i)}}}$$ la racine carr<span>é</span>e de $x \in 1+8 \mathcal{O}$ <span>é</span>tant choisie comme celle congrue <span>à</span> $1$ modulo $4$.

4.  On peut alors montrer que $
          \left(A_e^{(N(n+1))}/A_e^{(N)}\right)$ converge vers $\alpha=\pm \pi_1\ldots\pi_g$ o<span>ù</span> les $\pi_i$ sont les $g$ racines du Frobenius inversibles modulo $2$ (@mestre2). Ce th<span>é</span>or<span>è</span>me peut <span>ê</span>tre d<span>é</span>montr<span>é</span> par la th<span>é</span>orie de la multiplication complexe, l'argument de convergence provenant d'un th<span>é</span>or<span>è</span>me de R. Carls (cf. @carls).

5.  On calcule alors le polyn<span>ô</span>me minimal de $\beta=\alpha+2^{gN}/\alpha$. Dans le cas $g=1,2$ on peut montrer que le polyn<span>ô</span>me minimal est essentiellement donn<span>é</span> par ce nombre unique qu'il suffit de conna<span>î</span>tre avec une pr<span>é</span>cision $N/2$ respectivement $N$ ce qui implique respectivement $3N/2$ et $2 N$ it<span>é</span>rations. Ce n'est plus le cas en genre $3$ : on utilise alors un analogue $2$-adique de la m<span>é</span>thode LLL pour la d<span>é</span>termination du polyn<span>ô</span>me minimal. L'utilisation brutale de cette m<span>é</span>thode semble toutefois n<span>é</span>cessiter la d<span>é</span>termination de $\alpha$ avec une pr<span>é</span>cision <span>é</span>gale <span>à</span> $11 N$.

6.  Lorsque $g \leq 3$ on montre alors que la connaissance de ce polyn<span>ô</span>me minimal permet de d<span>é</span>terminer le polyn<span>ô</span>me caract<span>é</span>ristique au signe pr<span>è</span>s. Ce n'est plus toujours vrai en genre sup<span>é</span>rieur (cf. @mestre2).

7.  Il reste alors <span>à</span> lever l'ambiguit<span>é</span> sur le signe. Cela peut se faire en effectuant un calcul dans la jacobienne (ce qui permet <span>é</span>galement de v<span>é</span>rifier l'algorithme) ou si l'on conna<span>î</span>t des points rationnels d'ordre $4$.

Les deux paragraphes suivants donnent dans le cas $g=3$ non hyperelliptique les principaux <span>é</span>l<span>é</span>ments qui permettent de mettre en œuvre la m<span>é</span>thode d<span>é</span>crite, en particulier la d<span>é</span>termination des th<span>ê</span>ta constantes et le choix d'un bon mod<span>è</span>le. Comme il a <span>é</span>t<span>é</span> dit, les justifications th<span>é</span>oriques seront donn<span>é</span>es ult<span>é</span>rieurement.

D<span>é</span>termination des th<span>ê</span>ta constantes {#constante}
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Soit $K$ est un corps alg<span>é</span>briquement clos de caract<span>é</span>ristique $0$ et $C/K$ une courbe de genre $3$ non hyperelliptique que l'on consid<span>è</span>re plong<span>é</span>e dans $\mathbb{P}^2$ comme une quartique lisse. Nous utilisons ici des travaux de Riemann et Weber (cf. @riemann et @weber). Ces derniers sont bas<span>é</span>s sur le calcul des $28$ bitangentes <span>à</span> $C$ (i.e les droites $l$ telles que $(l \cdot C)=2 P+2 Q$) que nous explicitons comme suit.\
On note $\Sigma=\{L \in \textrm{Pic}^2(C), L^2=\mathcal{K}\}$ l'ensemble des fibr<span>é</span>s th<span>ê</span>ta caract<span>é</span>ristiques (o<span>ù</span> $\mathcal{K}$ d<span>é</span>signe le fibr<span>é</span> canonique) qui se partagent en $\Sigma_0$ et $\Sigma_1$ sous-ensembles pour lesquels $\textrm{h}^0(L)=0$ (resp. $1$) et dits fibr<span>é</span>s pairs (resp. impairs). On montre alors que l'ensemble des bitangentes est canoniquement en bijection avec $\Sigma_1$.\
D'autre part, le choix d'une base symplectique de $\textrm{Jac}(C)[2]$ permet d'associer <span>à</span> chaque point de $2$-torsion une matrice $2
\times 3$ not<span>é</span>e ${\left[ \begin{array}{c} \ep \\ \ep' \end{array} \right]} $ <span>à</span> coefficients dans $\mathbb{F}_2$ (appel<span>é</span>e caract<span>é</span>ristique) et de r<span>é</span>aliser une bijection explicite avec $\Sigma$. On montre alors qu'<span>à</span> chaque bitangente est associ<span>é</span>e une caract<span>é</span>ristique impaire (i.e. pour laquelle $\ep \cdot \ep'=1$).\
Afin de mieux comprendre la combinatoire de ces caract<span>é</span>ristiques, on introduit un sous-ensemble de l'ensemble des caract<span>é</span>ristiques appel<span>é</span> ensemble principal not<span>é</span> $([i])_{i=1 \ldots 7}$ caract<span>é</span>ris<span>é</span> par les propri<span>é</span>t<span>é</span>s suivantes :

-   Toute caract<span>é</span>ristique impaire s'<span>é</span>crit soit $[i]$ soit $[i]+[j]$, $i \neq j$.

-   Toute caract<span>é</span>ristique paire s'<span>é</span>crit soit $[0]$ soit $[i]+[j]+[k]$ avec $i,j,k$ distincts.\

On a par exemple $$\begin{array}{cccc}
[1] =\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0&1 \end{array}\right]
&
[2] =\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1&1 \end{array}\right]
&
[3] =\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1&0 \end{array}\right]
&
[4] =\left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0&1 \end{array}\right]
\vspace{.2cm}
\\{}
[5] =\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0&0 \end{array}\right]
&
[6] =\left[ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1&1 \end{array}\right]
&
[7] =\left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1&0 \end{array}\right]
&
\end{array}$$ On note alors $\beta_i$ la bitangente associ<span>é</span>e <span>à</span> $[i]$ et $\beta_{ij}$ celle associ<span>é</span>e <span>à</span> $[i]+[j]$.\
Quitte <span>à</span> r<span>é</span>aliser une transformation lin<span>é</span>aire on peut supposer $$\begin{cases}
\beta_1 : x_1=0 & \beta_5=a_1 x_1 +a_2 x_2 +a_3 x_3 \\
\beta_2 : x_2=0 & \beta_6=a_1' x_1+a_2' x_2 +a_3' x_3 \\
\beta_3 : x_3=0 & \beta_7=a_1'' x_1+a_2'' x_2 +a_3'' x_3 \\
\beta_4 : x_1+x_2+x_3=0 &
\end{cases}$$ on a alors le r<span>é</span>sultat suivant d<span>û</span> <span>à</span> Riemann @riemann

\[theo1\] Il existe un plongement de $C$ dans $\mathbb{P}^2$ de la forme $$\sqrt{x_1 u_1}+\sqrt{x_2 u_2}+\sqrt{x_3 u_3}=0$$ o<span>ù</span> $u_1,u_2,u_3$ sont lin<span>é</span>aires en $x_1,x_2,x_3$ donn<span>é</span>s par $$\begin{cases}
u_1 + u_2 + u_3 +x_1 +x_2+x_3 =0 \\
\frac{u_1}{a_1} + \frac{u_2}{a_2} +\frac{u_3}{a_3}+k a_1 x_1 +k a_2
x_2+k a_3
x_3=0\\
\frac{u_1}{a_1'} + \frac{u_2}{a_2'} +\frac{u_3}{a_3'}+k' a_1' x_1 +k'
a_2' x_2+k' a_3'
x_3=0\\
\frac{u_1}{a_1''} + \frac{u_2}{a_2''} +\frac{u_3}{a_3''}+k'' a_1'' x_1
+k'' a_2''
x_2+k'' a_3'' 
x_3=0\\
\end{cases}$$ avec $k,k',k''$ solutions des deux syst<span>è</span>mes lin<span>é</span>aires suivants : $$\left( \begin{array}{ccc}
\frac{1}{a_1} & \frac{1}{a_1'} & \frac{1}{a_1''} \\
\frac{1}{a_2} & \frac{1}{a_2'} & \frac{1}{a_2''} \\
\frac{1}{a_3} & \frac{1}{a_3'} & \frac{1}{a_3''} \\
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \lambda\vphantom{\frac{1}{a_3''}} \\ \lambda'\vphantom{\frac{1}{a_3''}} \\ \lambda''\vphantom{\frac{1}{a_3''}}
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} -1 \vphantom{\frac{1}{a_3''}}\\ -1 \vphantom{\frac{1}{a_3''}} \\ -1 \vphantom{\frac{1}{a_3''}}
\end{array} \right),$$ $$\left( \begin{array}{ccc}
\lambda a_1 & \lambda' a_1' & \lambda'' {a_1''} \\
\lambda {a_2} & \lambda' {a_2'} & \lambda'' {a_2''} \\
\lambda {a_3} & \lambda' {a_3'} & \lambda'' {a_3''} \\
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} k \\ k' \\ k''
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ -1
\end{array} \right).$$

Sous cette forme une expression des $28$ bitangentes est alors donn<span>é</span>e par $$\begin{array}{ccc}
\beta_1 : x_1=0 & \beta_2 : x_2=0 & \beta_3 : x_3=0 \\
\beta_{23} : u_1=0 & \beta_{13}  : u_2=0 & \beta_{12} : u_3=0 \\
\end{array}$$ $$\begin{array}{cc}
\beta_4 : x_1+x_2+x_3=0  & \beta_5 : a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3=0 \\ 
\beta_6 : a_1' x_1+a_2' x_2 +a_3' x_3=0 & \beta_7 : a_1'' x_1 +a_2'' x_2 +a_3''
x_3=0 \\
\end{array}$$ $$\begin{array}{cc}
\beta_{14}: u_1+x_2+x_3=0 & \beta_{15}: 
\frac{u_1}{a_1}+k a_2 x_2+k a_3 x_3=0 \\
\beta_{16} :\frac{u_1}{a_1'} + k' a_2' x_2+ k' a_3' x_3=0 & \beta_{17} : \frac{u_1}{a_1''} + k'' a_2'' x_2+ k'' a_3'' x_3=0
\end{array}$$ $$\begin{array}{cc}
\beta_{24} :x_1+u_2+x_3=0 & \beta_{25} : k a_1 x_1+\frac{u_2}{a_2}+k a_3 x_3=0 \\
\beta_{26} : k' a_1' x_1+\frac{u_2}{a_2'}+ k' a_3' x_3=0 & \beta_{27} :
k'' a_1'' x_1+ \frac{u_2}{a_2''} + k'' a_3'' x_3=0 
\end{array}$$ $$\begin{array}{cc}
\beta_{34} : x_1+x_2+u_3=0 & \beta_{35} : k a_1 x_1+k a_2 x_2+ \frac{u_3}{a_3}=0 \\
\beta_{36} : k' a_1' x_1+k' a_2' x_2+ \frac{u_3}{a_3'}=0 & \beta_{37} :
k'' a_1'' x_1+ k'' a_2'' x_2+\frac{u_3}{a_3''}=0
\end{array}$$ $$\begin{array}{c}
\beta_{67} : \frac{u_1}{1-k a_2 a_3} +\frac{u_2}{1- k a_3 a_1} +
\frac{u_3}{1-k a_1 a_2}=0 \\
\beta_{57} : \frac{u_1}{1-k' a_2' a_3'} +\frac{u_2}{1- k' a_3' a_1'} +
\frac{u_3}{1-k' a_1' a_2'}=0 \\
\beta_{56} : \frac{u_1}{1-k'' a_2'' a_3''} +\frac{u_2}{1- k'' a_3'' a_1''} +
\frac{u_3}{1-k'' a_1'' a_2''}=0 \\
\end{array}$$ $$\begin{array}{c}
\beta_{45} : \frac{u_1}{a_1(1-k a_2 a_3)} +\frac{u_2}{a_2 (1- k a_3 a_1)} +
\frac{u_3}{a_3  (1-k a_1 a_2)}=0 \\
\beta_{46} : \frac{u_1}{a_1'(1-k' a_2' a_3')} +\frac{u_2}{a_2' (1- k' a_3'
a_1')}  +
\frac{u_3}{a_3'  (1-k' a_1' a_2')}=0 \\
\beta_{47} : \frac{u_1}{a_1''(1-k a_2'' a_3'')} +\frac{u_2}{a_2'' (1- k'' a_3''  a_1'')} +
\frac{u_3}{a_3''  (1-k'' a_1'' a_2'')}=0 \\
\end{array}$$

Si on se donne $C$ sous une forme $\sqrt{x_1 u_1}+\sqrt{x_2 u_2}+\sqrt{x_3 u_3}=0$ il nous reste <span>à</span> montrer comment d<span>é</span>terminer les $\beta_i$. On peut r<span>é</span>aliser cela au moyen du calcul suivant

1.  On calcule $D_1(\lambda)$, d<span>é</span>terminant de la hessienne de la famille de coniques suivante $$Q_1(\lambda)=\lambda ^2 (x_2 u_3)+ \lambda (x_1 u_1-x_2 u_2-x_3 u_3) + (x_3
    u_2).$$

2.  On calcule $R_1(x_1,x_2,x_3)=\textrm{Res}(D_1,Q_1,\lambda)$.

3.  On calcule de m<span>ê</span>me $R_2(x_1,x_2,x_3)$ avec la famille $$Q_2(\lambda)=\lambda ^2 (x_1 u_3)+ \lambda (x_2 u_2-x_1 u_1-x_3
      u_3) + (x_3 u_1).$$

4.  Enfin $R=\textrm{pgcd}(R_1,R_2)/(x_3 u_3)= \prod_{i=4}^7 \beta_i$.

La d<span>é</span>termination des bitangentes est essentielle au calcul des th<span>ê</span>ta constantes. On a en effet le r<span>é</span>sultat suivant essentiellement contenu dans Weber (cf. @weber)

\[th2\] Soit $[\chi]=[i]+[j]+[k]$. Alors $$\left( \frac{\vartheta[\chi](0)}{\vartheta(0)}
\right)^4=\frac{[\beta_{i},\beta_{j},\beta_{ij}] [\beta_{ik},\beta_{jk},\beta_{ij}] [\beta_{j},\beta_{jk},\beta_{k}] [\beta_{i},\beta_{ik},\beta_{k}]}{[\beta_{j},\beta_{jk},\beta_{ij}]
  [\beta_{i},\beta_{ik},\beta_{ij}]
[\beta_{i},\beta_{j},\beta_{k}] [\beta_{ik},\beta_{jk},\beta_{k}]}$$ o<span>ù</span> l'on note $[\beta_{l_1},\beta_{l_2},\beta_{l_3}]=\det(\beta_{l_1},\beta_{l_2},\beta_{l_3})$.

Bon mod<span>è</span>le {#bonmodele}
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On reprend ici les notations du paragraphe \[para1\]. Une courbe de genre $3$ non-hyperelliptique sur $k=\mathbb{F}_{2^N}$ a au plus $7$ bitangentes et le mod<span>è</span>le de Riemann $\sqrt{x_1 u_1}+\sqrt{x_2 u_2}+\sqrt{x_3
  u_3}=0$ n'est plus valable en caract<span>é</span>ristique $2$. On commence donc par chercher une description simple des courbes qui nous int<span>é</span>ressent

Toute courbe de genre $3$ ordinaire, non hyperelliptique sur $k$ est isomorphe <span>à</span> une courbe d'<span>é</span>quation $$\begin{aligned}
 \label{modele}
(a x^2+ b y^2+ c z^2+ d x y +e x z + f y z)^2-x y
z (x+y+z)=0\end{aligned}$$ avec la condition suivante $$a b c (a+b+d) (a+c+e) (b+c+f) (a+b+c+d+e+f+1) \ne 0.$$ Inversement toutes les courbes qui v<span>é</span>rifient ces conditions sont des courbes de genre $3$ ordinaires et non hyperelliptiques.\
De plus l'isomorphisme est d<span>é</span>fini sur une extension au plus cubique de $k$.

On consid<span>è</span>re donc $\tilde{C}$ donn<span>é</span>e par les coefficients $a,b,c,d,e,f$ ci-dessus. Nous voulons remonter ce mod<span>è</span>le sur une extension de $\mathbb{Q}_2$ non ramifi<span>é</span>e de telle sorte que ses bitangentes soient faciles <span>à</span> d<span>é</span>terminer, c'est-<span>à</span>-dire qu'elles soient d<span>é</span>finies par les formules du th<span>é</span>or<span>è</span>me \[theo1\]. Nous allons pour cela l<span>é</span>g<span>é</span>rement d<span>é</span>former le mod<span>è</span>le de Riemann.\
Tout comme la forme $y^2=x^3+a x+b$ doit <span>ê</span>tre transform<span>é</span>e en caract<span>é</span>ristique $2$ en $y^2+xy=x^3+ax+b$, nous allons transformer notre mod<span>è</span>le de Riemann en rajoutant des termes *<span>à</span> la* Artin-Schreier. Remarquons pour cela que le mod<span>è</span>le de Riemann $\sqrt{x_1 u_1}+\sqrt{x_2 u_2}+\sqrt{x_3 u_3}=0$ s'<span>é</span>crit <span>é</span>galement $$\begin{cases}
Y_1^2=x_1 u_1\\
Y_2^2=x_2 u_2\\
Y_3^2=x_3 u_3\\
Y_1+Y_2+Y_3=0
\end{cases}$$ Consid<span>é</span>rerons le mod<span>è</span>le suivant sur $k$ $$\begin{cases}
Y_1^2+l_1 Y_1=l_1 v_1 \\
Y_2^2+l_2 Y_2=l_2 v_2 \\
Y_3^2+l_3 Y_3=l_3 v_3 \\
l_1+l_2+l_3=0 \\
Y_1+Y_2+Y_3=l
\end{cases}$$ o<span>ù</span> $l_1,l_1,l_2,v_1,v_2,v_3$ et $l$ sont lin<span>é</span>aires. On a par exemple

\[propo1\] $\tilde{C}$ donn<span>é</span>e par le mod<span>è</span>le (\[modele\]) est isomorphe sur $k$ <span>à</span> la courbe donn<span>é</span>e par le mod<span>è</span>le ci-dessus avec $$\begin{cases}
l_1=x,l_2=y,l_3=x+y\\
l=z \\
v_1= b c y+(c+f) z \\
v_2= a c x + d c y + (c+f) z \\
v_3= a c x + (d+b) c y + (1+e+c+f) z
\end{cases}$$

On rel<span>è</span>ve alors les expressions obtenues sur $K$ <span>à</span> l'identique sauf pour $l_3=-2 z-x-y$ et on <span>é</span>crit $$\begin{cases}
(2 Y_1+l_1)^2=l_1(4 v_1+l_1) \\
(2 Y_2+l_2)^2=l_2(4 v_2+l_2) \\
(2 Y_3+l_3)^2=l_3(4 v_3+l_3) \\
(2 Y_1+u_1)+(2 Y_2+u_2)+(2 Y_3+u_3)=0
\end{cases}$$ Si on effectue le changement de coordonn<span>é</span>es $x=x_1,y=x_2,z=-(x_1+x_2+x_3)/2$ on a le mod<span>è</span>le de Riemann $$\label{mod2}
C  : \sqrt{x_1\vphantom{(l_1)} \smash{\underbrace{(4 v_1+l_1)}_{= u_1}}}
+\sqrt{x_2\vphantom{(l_1)} \smash{
  \underbrace{(4 v_2+l_2)}_{= u_2}}}+\sqrt{x_3 \vphantom{(l_1)} \smash{\underbrace{(4
  v_3+l_3)}_{=u_3}}}=0$$

Exemple
=======

On consid<span>è</span>re la courbe suivante : $$\tilde{C}:
(x^2+\omega^2 y^2+\omega^4 z^2+\omega x y+(\omega^2+1) x
z+(\omega^3+1) y z)^2-xyz(x+y+z)=0$$ d<span>é</span>finie sur $k=F_{2^{N}}$, $N=72$ o<span>ù</span> $\omega$ engendre le groupe multiplicatif $k^*$.\
Les calculs sont r<span>é</span>alis<span>é</span>s gr<span>â</span>ce au logiciel MAGMA version 2.9 sur un Pentium III <span>à</span> 1.13 Ghz avec 2 GigaOctets de m<span>é</span>moire centrale.\
On calcule alors les $v_1,v_2,v_3$ du mod<span>è</span>le de la proposition \[propo1\] $$\begin{aligned}
v_1 &=& \omega^6 y + (\omega^4 + \omega^3 + 1) z \\
v_2 &=&    \omega^4 x + \omega^5 y + (\omega^4 + \omega^2 + 1) z\\
v_3 &=&    \omega^4 x + (\omega^6 + \omega^5) y +  (\omega^4 + \omega^3 +
\omega^2 + 1) z\end{aligned}$$ On note $K$ l'extension de degr<span>é</span> $d$ non ramifi<span>é</span>e de $\mathbb{Q}_2$, $\mathcal{O}$ son anneau d'entiers et $w \in
\mathcal{O}$ qui se r<span>é</span>duit sur $\omega$. Le mod<span>è</span>le (\[mod2\]) de $C$ est d<span>é</span>fini par $$\begin{aligned}
u_1 &=&(-2 w^4 - 2 w^3 - 1) x_1 + (4 w^6 - 2 w^4 - 2 w^3 - 2) x_2 + (-2 w^4 - 
    2 w^3 - 2) x_3 \\
u_2 &=&
(2 w^4 - 2 w^2 - 2) x_1 + (4 w^5 - 2 w^4 - 2 w^2 - 1)x_2 + (-2 w^4 - 2
w^2 - 2) x_3 \\
 u_3&=&
(2 w^4 - 2 w^3 - 2 w^2 - 2) x_1 + (4 w^6 + 4 w^5 - 2 w^4 - 2 w^3 - 2 w^2 
    - 2) x_2 + \\ & & (-2 w^4 - 2 w^3 - 2 w^2 - 1) x_3\end{aligned}$$ On effectue le calcul des $4$ bitangentes qui nous manquent gr<span>â</span>ce <span>à</span> l'algorithme du paragraphe \[constante\] (temps : $1/2$ heure, elles sont d<span>é</span>finies sur $K$ dans notre cas) puis de l'ensemble des bitangentes et de tous les rapports non nuls $$\left(\frac{\theta {\left[ \begin{array}{c} f \\ e \end{array} \right]}(0)}{\theta {\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right]}(0)}\right)^4_{f,e \in
  (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^g}$$ gr<span>â</span>ce aux th<span>é</span>or<span>è</span>mes \[theo1\] et \[th2\]. On s<span>é</span>lectionne les $8$ rapports congrus <span>à</span> $1$ modulo $16$ et on calcule leur racine carr<span>é</span>e dans $K$ (temps : $15$ mn) $$\begin{cases}
 1 + O(2^4) \\
1 + (w^{16} + w^{14} + w^{12} + w^{11} + w^{9} + w^{5} + w^{4}) \cdot 2^3 +
O(2^4) \\
1 + (w^{16} + w^{14} + w^{12} + w^{11} + w^{10} + w^8 + w^4 + w^3)
\cdot 2^3 + O(2^4) \\
1 + (w^{10} + w^9 + w^8 + w^5 + w^3) \cdot 2^3 + O(2^4) \\
1 + (w^6 + w^4 + w^3) \cdot 2^3 + O(2^4) \\
1 + (w^{16} + w^{14} + w^{12} + w^{11} + w^9 + w^6 + w^5 + w^3) \cdot
2^3 + O(2^4) \\
 1 + (w^{16} + w^{14} + w^{12} + w^{11} + w^{10} + w^8 + w^6) \cdot 2^3 + O(2^4)
 \\
1 + (w^{10} + w^9 + w^8 + w^6 + w^5 + w^4) \cdot 2^3 + O(2^4)
\end{cases}$$

On effectue alors l'it<span>é</span>ration de la formule de duplication $12 N$ fois (temps : 24 heures) qui nous donne au signe pr<span>è</span>s la valeur du produit des racines inversibles du Frobenius modulo $2$ $$\beta=1 + 2^8 + 2^9 + 2^{11} + 2^{13} + 2^{15} +2^{16} + 2^{17} +
2^{18} +
 2^{21}
+ 2^{23} + 2^{24} + \ldots + 2^{787} + 2^{790} + 2^{791} + O(2^{793})$$ On trouve alors gr<span>â</span>ce <span>à</span> LLL (temps : $1$ seconde) le polyn<span>ô</span>me minimal de $\beta$ : $$\begin{aligned}
P_{\textrm{sym}}(x) &=&
 x^4- 
52767044410803560460262696266497 x^3- \\
& &
 78121277277710794719527572033891108646286909 \cdot 2^{72} x^2+ \\
& & 610161746623391968394415142270976679056928051874538813 \cdot 2^{2
 \cdot 72} x +\\
& &46918330565326150855288775851644884890720289023905899509851903489
 \cdot 2^{3 \cdot 72} \end{aligned}$$ D'o<span>ù</span> le polyn<span>ô</span>me caract<span>é</span>ristique au signe pr<span>è</span>s $$\begin{aligned}
P(x) &=&x^6- 9925657555 x^5+ 1108548370771462406931
x^4 \\
& & -146512229527151304651245280013057 x^3+
 1108548370771462406931 \cdot 2^{72} x^2 \\
& & - 9925657555 \cdot 2^{2 \cdot 72} x+2^{3
   \cdot 72}.\end{aligned}$$

Pour d<span>é</span>terminer le signe, on <span>é</span>tudie alors les points d'ordre $4$ de la jacobienne. Plus pr<span>é</span>cis<span>é</span>ment dans notre cas, $2^6$ divise $P(1)$ mais $16$ ne divise pas $P(-1)$. Il suffit donc que la jacobienne de $C$ poss<span>è</span>de un point d'ordre $4$ rationnel pour conclure que $P(X)$ est le &lt;&lt;bon&gt;&gt; polyn<span>ô</span>me. Consid<span>é</span>rons par exemple le point d'ordre $2$ $(P_1+Q_1-(P_2+Q_2))=\frac{1}{2}((x \cdot C)-(y \cdot C))$. On cherche un point de la jacobienne sous la forme $D=P+Q+R-3 P_2$ tel que $2 D=P_1+Q_1-(P_2+Q_2)$ ou encore $2(P+Q+R)-(P_1+Q_1+5 P_2-Q_2)=0$. En utilisant par exemple MAGMA, on montre que l'espace $L(P_1+Q_1+5
P_2-Q_2)$ qui est de dimension $4$, contient une fonction définie sur $\mathbb{F}_{2^{72}}$ ayant trois zéros d'ordre $2$, d'où l'existence d'un point d'ordre $4$ rationnel sur $\mathbb{F}_{2^{72}}$ (temps : $10$ secondes).\

A posteriori on constate que la pr<span>é</span>cision n<span>é</span>cessaire est seulement de $10 \cdot 72$, le calcul est alors r<span>é</span>alis<span>é</span> en $21$ heures. Il serait donc tr<span>è</span>s utile d'avoir une meilleure borne pour LLL.

<span>99</span> R. Carls : Approximation of canonical lifts, in preparation, 2002 disponible sur http://www.math.leidenuniv.nl/ carls/. J.-F. Mestre : lettre <span>à</span> Gaudry et Harley, disponible sur http://www.institut.math.jussieu.fr/, (2000). J.-F. Mestre : Algorithmes pour compter des points en petite caract<span>é</span>ristique en genre $1$ et $2$, disponible sur www.maths.univ-rennes1.fr/crypto/2001-02/mestre.ps. D. Mumford : *Tata Lectures on Theta*, Vol <span>**1,2**</span>, Birkh<span>ä</span>user, (1983). B. Riemann : sur la th<span>é</span>orie des fonctions ab<span>é</span>liennes, *Oeuvres de Riemann*, Paris : Gauthier-Villars, (1898), deuxi<span>è</span>me <span>é</span>dition, p. 487. H. Weber : *Theorie der abelschen Functionen vom Geschlecht 3*, (1876).

{'source': 'arXiv_out/math0303072'}