zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_82.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω) (σ : Signs n)
  (a : σ ∈ Finset.univ) (h : Nonempty ι) (h_original_goal : 0 ≤ ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|) :
  0 ≤ |∑ k, ↑↑(σ k) * f (Classical.choice h) (X (ω k))| := sorry

Tactic state before:
case pos
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
σ : Signs n
a✝ : σ ∈ Finset.univ
h : Nonempty ι
⊢ 0 ≤ ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|

Tactic:
apply le_ciSup_of_le _ (Classical.choice h)

Tactic state after:
[case pos
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 σ : Signs n
 a✝ : σ ∈ Finset.univ
 h : Nonempty ι
 ⊢ 0 ≤ |∑ k, ↑↑(σ k) * f (Classical.choice h) (X (ω k))|,
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 σ : Signs n
 a✝ : σ ∈ Finset.univ
 h : Nonempty ι
 ⊢ BddAbove (Set.range fun i => |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_83.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω) (σ : Signs n)
  (a : σ ∈ Finset.univ) (h : Nonempty ι) (h_original_goal : 0 ≤ ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|) :
  BddAbove (Set.range fun i => |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|) := sorry

Tactic state before:
case pos
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
σ : Signs n
a✝ : σ ∈ Finset.univ
h : Nonempty ι
⊢ 0 ≤ ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|

Tactic:
apply le_ciSup_of_le _ (Classical.choice h)

Tactic state after:
[case pos
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 σ : Signs n
 a✝ : σ ∈ Finset.univ
 h : Nonempty ι
 ⊢ 0 ≤ |∑ k, ↑↑(σ k) * f (Classical.choice h) (X (ω k))|,
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 σ : Signs n
 a✝ : σ ∈ Finset.univ
 h : Nonempty ι
 ⊢ BddAbove (Set.range fun i => |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_84.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω) (σ : Signs n)
  (a : σ ∈ Finset.univ) (h : Nonempty ι) : 0 ≤ |∑ k, ↑↑(σ k) * f (Classical.choice h) (X (ω k))| := sorry

Tactic state before:
case pos
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
σ : Signs n
a✝ : σ ∈ Finset.univ
h : Nonempty ι
⊢ 0 ≤ |∑ k, ↑↑(σ k) * f (Classical.choice h) (X (ω k))|

Tactic:
simp

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_85.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω) (σ : Signs n)
  (a : σ ∈ Finset.univ) (h : Nonempty ι) : BddAbove (Set.range fun i => |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
σ : Signs n
a✝ : σ ∈ Finset.univ
h : Nonempty ι
⊢ BddAbove (Set.range fun i => |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)

Tactic:
apply bdd_above_aux' hf' σ ω

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_86.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω) (σ : Signs n)
  (a : σ ∈ Finset.univ) (h : IsEmpty ι) : 0 ≤ ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))| := sorry

Tactic state before:
case neg
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
σ : Signs n
a✝ : σ ∈ Finset.univ
h : IsEmpty ι
⊢ 0 ≤ ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|

Tactic:
simp

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_87.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω)
  (h_original_goal : ∑ σ, ⨆ i, |(|∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)| ≤ ∑ σ, ⨆ i, ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)
  (i : Signs n) :
  i ∈ Finset.univ → ⨆ i_1, |(|∑ k, ↑↑(i k) * f i_1 (X (ω k))|)| ≤ ⨆ i_1, ∑ k, |↑↑(i k) * f i_1 (X (ω k))| := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
⊢ ∑ σ, ⨆ i, |(|∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)| ≤ ∑ σ, ⨆ i, ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|

Tactic:
apply Finset.sum_le_sum

Tactic state after:
[case h
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 ⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, ⨆ i_1, |(|∑ k, ↑↑(i k) * f i_1 (X (ω k))|)| ≤ ⨆ i_1, ∑ k, |↑↑(i k) * f i_1 (X (ω k))|]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_88.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω) (σ : Signs n)
  (a : σ ∈ Finset.univ)
  (h_original_goal : ⨆ i, |(|∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)| ≤ ⨆ i, ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|) :
  BddAbove (Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|) := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
σ : Signs n
a✝ : σ ∈ Finset.univ
⊢ ⨆ i, |(|∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)| ≤ ⨆ i, ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|

Tactic:
apply ciSup_mono

Tactic state after:
[case h.B
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 σ : Signs n
 a✝ : σ ∈ Finset.univ
 ⊢ BddAbove (Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|),
 case h.H
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 σ : Signs n
 a✝ : σ ∈ Finset.univ
 ⊢ ∀ (x : ι), |(|∑ k, ↑↑(σ k) * f x (X (ω k))|)| ≤ ∑ k, |↑↑(σ k) * f x (X (ω k))|]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_89.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω) (σ : Signs n)
  (a : σ ∈ Finset.univ)
  (h_original_goal : ⨆ i, |(|∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)| ≤ ⨆ i, ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|) (x : ι) :
  |(|∑ k, ↑↑(σ k) * f x (X (ω k))|)| ≤ ∑ k, |↑↑(σ k) * f x (X (ω k))| := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
σ : Signs n
a✝ : σ ∈ Finset.univ
⊢ ⨆ i, |(|∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)| ≤ ⨆ i, ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|

Tactic:
apply ciSup_mono

Tactic state after:
[case h.B
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 σ : Signs n
 a✝ : σ ∈ Finset.univ
 ⊢ BddAbove (Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|),
 case h.H
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 σ : Signs n
 a✝ : σ ∈ Finset.univ
 ⊢ ∀ (x : ι), |(|∑ k, ↑↑(σ k) * f x (X (ω k))|)| ≤ ∑ k, |↑↑(σ k) * f x (X (ω k))|]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_90.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω) (σ : Signs n)
  (a : σ ∈ Finset.univ) : BddAbove (Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|) := sorry

Tactic state before:
case h.B
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
σ : Signs n
a✝ : σ ∈ Finset.univ
⊢ BddAbove (Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)

Tactic:
apply bdd_above_aux hf'

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_91.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω) (σ : Signs n)
  (a : σ ∈ Finset.univ) (i : ι)
  (h_original_goal : |(|∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)| ≤ ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|) :
  |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))| ≤ ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))| := sorry

Tactic state before:
case h.H
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
σ : Signs n
a✝ : σ ∈ Finset.univ
i : ι
⊢ |(|∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)| ≤ ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|

Tactic:
simp only [Int.reduceNeg, abs_abs]

Tactic state after:
[case h.H
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 σ : Signs n
 a✝ : σ ∈ Finset.univ
 i : ι
 ⊢ |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))| ≤ ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_92.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω) (σ : Signs n)
  (a : σ ∈ Finset.univ) (i : ι) : |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))| ≤ ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))| := sorry

Tactic state before:
case h.H
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
σ : Signs n
a✝ : σ ∈ Finset.univ
i : ι
⊢ |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))| ≤ ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|

Tactic:
apply Finset.abs_sum_le_sum_abs

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_93.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω)
  (h_original_goal : ∑ σ, ⨆ i, ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ 2 ^ n * (↑n * b)) : ⨆ i, ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ ↑n * b := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
⊢ ∑ σ, ⨆ i, ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ 2 ^ n * (↑n * b)

Tactic:
simp only [Finset.sum_const, Finset.card_univ, Signs.card, nsmul_eq_mul, Nat.cast_pow, Nat.cast_ofNat,
  Nat.ofNat_pos, pow_pos, mul_le_mul_left]

Tactic state after:
[Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 ⊢ ⨆ i, ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ ↑n * b]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_94.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω) (h : Nonempty ι)
  (h_original_goal : ⨆ i, ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ ↑n * b) (x : ι) : ∑ k, |f x (X (ω k))| ≤ ↑n * b := sorry

Tactic state before:
case pos
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
h : Nonempty ι
⊢ ⨆ i, ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ ↑n * b

Tactic:
apply ciSup_le

Tactic state after:
[case pos.H
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 h : Nonempty ι
 ⊢ ∀ (x : ι), ∑ k, |f x (X (ω k))| ≤ ↑n * b]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_95.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω) (h : Nonempty ι) (i : ι)
  (this : ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ ∑ k, b) (h_original_goal : ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ ↑n * b) : ∑ k, b ≤ ↑n * b := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
h : Nonempty ι
i : ι
this : ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ ∑ k, b
⊢ ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ ↑n * b

Tactic:
apply le_trans this _

Tactic state after:
[Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 h : Nonempty ι
 i : ι
 this : ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ ∑ k, b
 ⊢ ∑ k, b ≤ ↑n * b]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_96.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω) (h : Nonempty ι) (i : ι)
  (this : ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ ∑ k, b) (h_original_goal : ∑ k, b ≤ ↑n * b) : ∑ k, b = ↑n * b := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
h : Nonempty ι
i : ι
this : ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ ∑ k, b
⊢ ∑ k, b ≤ ↑n * b

Tactic:
apply le_of_eq

Tactic state after:
[case hab
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 h : Nonempty ι
 i : ι
 this : ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ ∑ k, b
 ⊢ ∑ k, b = ↑n * b]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_97.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω) (h : Nonempty ι) (i : ι)
  (this : ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ ∑ k, b) : ∑ k, b = ↑n * b := sorry

Tactic state before:
case hab
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
h : Nonempty ι
i : ι
this : ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ ∑ k, b
⊢ ∑ k, b = ↑n * b

Tactic:
simp only [Finset.sum_const, Finset.card_univ, Fintype.card_fin, nsmul_eq_mul]

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_98.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω) (h : Nonempty ι) (i : ι) :
  ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ ∑ k, b := sorry

Tactic state before:
case pos.H
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
h : Nonempty ι
i : ι
⊢ ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ ∑ k, b

Tactic:
exact Finset.sum_le_sum fun k _ ↦ hf' i (X (ω k))

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_99.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω) (h : IsEmpty ι)
  (h_original_goal : ⨆ i, ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ ↑n * b) : 0 ≤ ↑n * b := sorry

Tactic state before:
case neg
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
h : IsEmpty ι
⊢ ⨆ i, ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ ↑n * b

Tactic:
simp only [iSup_of_isEmpty]

Tactic state after:
[case neg
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 h : IsEmpty ι
 ⊢ 0 ≤ ↑n * b]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_100.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {b : ℝ}
  (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (h : IsEmpty ι) : 0 ≤ ↑n * b := sorry

Tactic state before:
case neg
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
h : IsEmpty ι
⊢ 0 ≤ ↑n * b

Tactic:
exact mul_nonneg (Nat.cast_nonneg n) hb

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_101.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] [inst_2 : Countable ι] {X : Ω → Z}
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (h_original_goal :
    Integrable (fun ω => (↑(Fintype.card (Signs n)))⁻¹ * ∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω.1 k))|)
      ((Measure.pi fun x => μ).prod (Measure.pi fun x => μ))) :
  MemLp (fun ω => (↑(Fintype.card (Signs n)))⁻¹ * ∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω.1 k))|) 1
    ((Measure.pi fun x => μ).prod (Measure.pi fun x => μ)) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
⊢ Integrable (fun ω => (↑(Fintype.card (Signs n)))⁻¹ * ∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω.1 k))|)
    ((Measure.pi fun x => μ).prod (Measure.pi fun x => μ))

Tactic:
rw [← memLp_one_iff_integrable]

Tactic state after:
[Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
 inst✝ : Countable ι
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ⊢ MemLp (fun ω => (↑(Fintype.card (Signs n)))⁻¹ * ∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω.1 k))|) 1
     ((Measure.pi fun x => μ).prod (Measure.pi fun x => μ))]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_102.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] [inst_2 : Countable ι] {X : Ω → Z}
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (h_original_goal :
    MemLp (fun ω => (↑(Fintype.card (Signs n)))⁻¹ * ∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω.1 k))|) 1
      ((Measure.pi fun x => μ).prod (Measure.pi fun x => μ))) :
  ∀ᵐ (x : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)) ∂(Measure.pi fun x => μ).prod (Measure.pi fun x => μ),
    ‖(↑(Fintype.card (Signs n)))⁻¹ * ∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (x.1 k))|‖ ≤ ↑n * b := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
⊢ MemLp (fun ω => (↑(Fintype.card (Signs n)))⁻¹ * ∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω.1 k))|) 1
    ((Measure.pi fun x => μ).prod (Measure.pi fun x => μ))

Tactic:
apply MemLp.of_bound (measurable_aux2 hf).aestronglyMeasurable (n * b)

Tactic state after:
[Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
 inst✝ : Countable ι
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ⊢ ∀ᵐ (x : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)) ∂(Measure.pi fun x => μ).prod (Measure.pi fun x => μ),
     ‖(↑(Fintype.card (Signs n)))⁻¹ * ∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (x.1 k))|‖ ≤ ↑n * b]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_103.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] [inst_2 : Countable ι] {X : Ω → Z}
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (ω : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω))
  (h_original_goal : ‖(↑(Fintype.card (Signs n)))⁻¹ * ∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω.1 k))|‖ ≤ ↑n * b) :
  (2 ^ n)⁻¹ * |∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω.1 k))|| ≤ ↑n * b := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)
⊢ ‖(↑(Fintype.card (Signs n)))⁻¹ * ∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω.1 k))|‖ ≤ ↑n * b

Tactic:
simp only [Signs.card, Nat.cast_pow, Nat.cast_ofNat, Int.reduceNeg, norm_mul, norm_inv, norm_pow,
  norm_ofNat, norm_eq_abs]

Tactic state after:
[case h
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
 inst✝ : Countable ι
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)
 ⊢ (2 ^ n)⁻¹ * |∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω.1 k))|| ≤ ↑n * b]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_104.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] [inst_2 : Countable ι] {X : Ω → Z}
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (ω : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω))
  (h_original_goal : (2 ^ n)⁻¹ * |∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω.1 k))|| ≤ ↑n * b) :
  |∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω.1 k))|| ≤ ↑n * b * 2 ^ n := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)
⊢ (2 ^ n)⁻¹ * |∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω.1 k))|| ≤ ↑n * b

Tactic:
rw [inv_mul_le_iff₀' (by simp)]

Tactic state after:
[case h
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
 inst✝ : Countable ι
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)
 ⊢ |∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω.1 k))|| ≤ ↑n * b * 2 ^ n]