zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_124.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} [inst_1 : Countable ι] {X : Ω → Z} (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) (σ : Signs n)
  (a : σ ∈ Finset.univ) (i : ι) (k : Fin n) (a_1 : k ∈ Finset.univ) : Measurable fun a => f i (X (a k).1) := sorry

Tactic state before:
case hf.hf.hf
Ω : Type u
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
σ : Signs n
a✝¹ : σ ∈ Finset.univ
i : ι
k : Fin n
a✝ : k ∈ Finset.univ
⊢ Measurable fun a => f i (X (a k).1)

Tactic:
apply (hf i).comp (measurable_pi_apply k).fst

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_125.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} [inst_1 : Countable ι] {X : Ω → Z} (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) (σ : Signs n)
  (a : σ ∈ Finset.univ) (i : ι) (k : Fin n) (a_1 : k ∈ Finset.univ) : Measurable fun a => f i (X (a k).2) := sorry

Tactic state before:
case hf.hf.hg
Ω : Type u
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
σ : Signs n
a✝¹ : σ ∈ Finset.univ
i : ι
k : Fin n
a✝ : k ∈ Finset.univ
⊢ Measurable fun a => f i (X (a k).2)

Tactic:
apply (hf i).comp (measurable_pi_apply k).snd

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_126.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  [inst : Countable ι] (X : Ω → Z) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω)
  (h_original_goal : BddAbove (Set.range fun i => ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|))) :
  ∃ x, ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|), y ≤ x := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
⊢ BddAbove (Set.range fun i => ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|))

Tactic:
rw [bddAbove_def]

Tactic state after:
[Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 inst✝ : Countable ι
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω × Ω
 ⊢ ∃ x, ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|), y ≤ x]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_127.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  [inst : Countable ι] (X : Ω → Z) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω) (y : ℝ)
  (hy : ∃ y_1, ∑ k, (|f y_1 (X (ω k).1)| + |f y_1 (X (ω k).2)|) = y) (i : ι)
  (hi : ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|) = y) (h_original_goal : y ≤ ↑n * (b + b)) :
  ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|) ≤ ↑n * (b + b) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
y : ℝ
hy : ∃ y_1, ∑ k, (|f y_1 (X (ω k).1)| + |f y_1 (X (ω k).2)|) = y
i : ι
hi : ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|) = y
⊢ y ≤ ↑n * (b + b)

Tactic:
rw [← hi]

Tactic state after:
[Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 inst✝ : Countable ι
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω × Ω
 y : ℝ
 hy : ∃ y_1, ∑ k, (|f y_1 (X (ω k).1)| + |f y_1 (X (ω k).2)|) = y
 i : ι
 hi : ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|) = y
 ⊢ ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|) ≤ ↑n * (b + b)]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_128.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  [inst : Countable ι] (X : Ω → Z) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω) (y : ℝ)
  (hy : ∃ y_1, ∑ k, (|f y_1 (X (ω k).1)| + |f y_1 (X (ω k).2)|) = y) (i : ι)
  (hi : ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|) = y) (k : Fin n) (a : k ∈ Finset.univ) :
  |f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)| ≤ b + b := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
y : ℝ
hy : ∃ y_1, ∑ k, (|f y_1 (X (ω k).1)| + |f y_1 (X (ω k).2)|) = y
i : ι
hi : ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|) = y
k : Fin n
a✝ : k ∈ Finset.univ
⊢ |f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)| ≤ b + b

Tactic:
exact add_le_add (hf' i (X (ω k).1)) (hf' i (X (ω k).2))

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_129.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  [inst : Countable ι] (X : Ω → Z) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω) (y : ℝ)
  (hy : ∃ y_1, ∑ k, (|f y_1 (X (ω k).1)| + |f y_1 (X (ω k).2)|) = y) (i : ι)
  (hi : ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|) = y) (h_original_goal : ∑ k, (b + b) ≤ ↑n * (b + b)) :
  ∑ k, (b + b) = ↑n * (b + b) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
y : ℝ
hy : ∃ y_1, ∑ k, (|f y_1 (X (ω k).1)| + |f y_1 (X (ω k).2)|) = y
i : ι
hi : ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|) = y
⊢ ∑ k, (b + b) ≤ ↑n * (b + b)

Tactic:
apply le_of_eq

Tactic state after:
[case hab
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 inst✝ : Countable ι
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω × Ω
 y : ℝ
 hy : ∃ y_1, ∑ k, (|f y_1 (X (ω k).1)| + |f y_1 (X (ω k).2)|) = y
 i : ι
 hi : ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|) = y
 ⊢ ∑ k, (b + b) = ↑n * (b + b)]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_130.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  [inst : Countable ι] (X : Ω → Z) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω) (y : ℝ)
  (hy : ∃ y_1, ∑ k, (|f y_1 (X (ω k).1)| + |f y_1 (X (ω k).2)|) = y) (i : ι)
  (hi : ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|) = y) (h_original_goal : ∑ k, (b + b) = ↑n * (b + b)) :
  ↑n * b + ↑n * b = ↑n * (b + b) := sorry

Tactic state before:
case hab
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
y : ℝ
hy : ∃ y_1, ∑ k, (|f y_1 (X (ω k).1)| + |f y_1 (X (ω k).2)|) = y
i : ι
hi : ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|) = y
⊢ ∑ k, (b + b) = ↑n * (b + b)

Tactic:
simp only [Finset.sum_const, Finset.card_univ, Fintype.card_fin, smul_add, nsmul_eq_mul]

Tactic state after:
[case hab
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 inst✝ : Countable ι
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω × Ω
 y : ℝ
 hy : ∃ y_1, ∑ k, (|f y_1 (X (ω k).1)| + |f y_1 (X (ω k).2)|) = y
 i : ι
 hi : ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|) = y
 ⊢ ↑n * b + ↑n * b = ↑n * (b + b)]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_131.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  [inst : Countable ι] (X : Ω → Z) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω) (σ : Signs n)
  (h_original_goal : BddAbove (Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|)) :
  ∃ x, ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ x := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
σ : Signs n
⊢ BddAbove (Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|)

Tactic:
rw [bddAbove_def]

Tactic state after:
[Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 inst✝ : Countable ι
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω × Ω
 σ : Signs n
 ⊢ ∃ x, ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ x]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_132.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  [inst : Countable ι] (X : Ω → Z) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω) (σ : Signs n)
  (y : ℝ) (hy : ∃ y_1, ∑ k, |↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y) (i : ι)
  (hi : ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y) (h_original_goal : y ≤ ↑n * (b + b)) :
  ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| ≤ ↑n * (b + b) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
σ : Signs n
y : ℝ
hy : ∃ y_1, ∑ k, |↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y
i : ι
hi : ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y
⊢ y ≤ ↑n * (b + b)

Tactic:
rw [← hi]

Tactic state after:
[Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 inst✝ : Countable ι
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω × Ω
 σ : Signs n
 y : ℝ
 hy : ∃ y_1, ∑ k, |↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y
 i : ι
 hi : ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y
 ⊢ ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| ≤ ↑n * (b + b)]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_133.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  [inst : Countable ι] (X : Ω → Z) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω) (σ : Signs n)
  (y : ℝ) (hy : ∃ y_1, ∑ k, |↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y) (i : ι)
  (hi : ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y) (k : Fin n) :
  |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = |f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2)| := sorry

Tactic state before:
case e_f.h
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
σ : Signs n
y : ℝ
hy : ∃ y_1, ∑ k, |↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y
i : ι
hi : ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y
k : Fin n
⊢ |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = |f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2)|

Tactic:
simp only [Int.reduceNeg, abs_mul, Signs.apply_abs', one_mul]

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_134.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  [inst : Countable ι] (X : Ω → Z) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω) (σ : Signs n)
  (y : ℝ) (hy : ∃ y_1, ∑ k, |↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y) (i : ι)
  (hi : ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y) (k : Fin n) (a : k ∈ Finset.univ) :
  |f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2)| ≤ |f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)| := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
σ : Signs n
y : ℝ
hy : ∃ y_1, ∑ k, |↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y
i : ι
hi : ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y
k : Fin n
a✝ : k ∈ Finset.univ
⊢ |f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2)| ≤ |f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|

Tactic:
exact abs_sub (f i (X (ω k).1)) (f i (X (ω k).2))

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_135.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  [inst : Countable ι] (X : Ω → Z) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω) (σ : Signs n)
  (y : ℝ) (hy : ∃ y_1, ∑ k, |↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y) (i : ι)
  (hi : ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y) (k : Fin n) (a : k ∈ Finset.univ) :
  |f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)| ≤ b + b := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
σ : Signs n
y : ℝ
hy : ∃ y_1, ∑ k, |↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y
i : ι
hi : ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y
k : Fin n
a✝ : k ∈ Finset.univ
⊢ |f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)| ≤ b + b

Tactic:
exact add_le_add (hf' i (X (ω k).1)) (hf' i (X (ω k).2))

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_136.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  [inst : Countable ι] (X : Ω → Z) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω) (σ : Signs n)
  (y : ℝ) (hy : ∃ y_1, ∑ k, |↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y) (i : ι)
  (hi : ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y) (h_original_goal : ∑ k, (b + b) ≤ ↑n * (b + b)) :
  ∑ k, (b + b) = ↑n * (b + b) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
σ : Signs n
y : ℝ
hy : ∃ y_1, ∑ k, |↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y
i : ι
hi : ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y
⊢ ∑ k, (b + b) ≤ ↑n * (b + b)

Tactic:
apply le_of_eq

Tactic state after:
[case hab
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 inst✝ : Countable ι
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω × Ω
 σ : Signs n
 y : ℝ
 hy : ∃ y_1, ∑ k, |↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y
 i : ι
 hi : ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y
 ⊢ ∑ k, (b + b) = ↑n * (b + b)]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_137.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  [inst : Countable ι] (X : Ω → Z) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω) (σ : Signs n)
  (y : ℝ) (hy : ∃ y_1, ∑ k, |↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y) (i : ι)
  (hi : ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y) (h_original_goal : ∑ k, (b + b) = ↑n * (b + b)) :
  ↑n * b + ↑n * b = ↑n * (b + b) := sorry

Tactic state before:
case hab
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
σ : Signs n
y : ℝ
hy : ∃ y_1, ∑ k, |↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y
i : ι
hi : ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y
⊢ ∑ k, (b + b) = ↑n * (b + b)

Tactic:
simp only [Finset.sum_const, Finset.card_univ, Fintype.card_fin, smul_add, nsmul_eq_mul]

Tactic state after:
[case hab
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 inst✝ : Countable ι
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω × Ω
 σ : Signs n
 y : ℝ
 hy : ∃ y_1, ∑ k, |↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y
 i : ι
 hi : ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y
 ⊢ ↑n * b + ↑n * b = ↑n * (b + b)]
import Mathlib
import FoML


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theorem extracted_formal_statement_138.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  [inst : Countable ι] {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω) (σ : Signs n)
  (this : ∃ x, ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ x) (z : ℝ)
  (hz : ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ z)
  (h_original_goal : BddAbove (Set.range fun i => |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|)) :
  ∃ x, ∀ y ∈ Set.range fun i => |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ x := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
σ : Signs n
this : ∃ x, ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ x
z : ℝ
hz : ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ z
⊢ BddAbove (Set.range fun i => |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|)

Tactic:
rw [bddAbove_def]

Tactic state after:
[Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 inst✝ : Countable ι
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω × Ω
 σ : Signs n
 this : ∃ x, ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ x
 z : ℝ
 hz : ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ z
 ⊢ ∃ x, ∀ y ∈ Set.range fun i => |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ x]
import Mathlib
import FoML


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theorem extracted_formal_statement_139.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  [inst : Countable ι] {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω) (σ : Signs n)
  (this : ∃ x, ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ x) (z : ℝ)
  (hz : ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ z) (y : ℝ)
  (hy : ∃ y_1, |∑ k, ↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y) (i : ι)
  (hi : |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y) (h_original_goal : y ≤ z) :
  |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| ≤ z := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
σ : Signs n
this : ∃ x, ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ x
z : ℝ
hz : ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ z
y : ℝ
hy : ∃ y_1, |∑ k, ↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y
i : ι
hi : |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y
⊢ y ≤ z

Tactic:
rw [← hi]

Tactic state after:
[Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 inst✝ : Countable ι
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω × Ω
 σ : Signs n
 this : ∃ x, ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ x
 z : ℝ
 hz : ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ z
 y : ℝ
 hy : ∃ y_1, |∑ k, ↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y
 i : ι
 hi : |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y
 ⊢ |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| ≤ z]
import Mathlib
import FoML


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theorem extracted_formal_statement_140.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  [inst : Countable ι] {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω) (σ : Signs n)
  (this : ∃ x, ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ x) (z : ℝ)
  (hz : ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ z) (y : ℝ)
  (hy : ∃ y_1, |∑ k, ↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y) (i : ι)
  (hi : |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y) :
  |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| ≤ ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
σ : Signs n
this : ∃ x, ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ x
z : ℝ
hz : ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ z
y : ℝ
hy : ∃ y_1, |∑ k, ↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y
i : ι
hi : |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y
⊢ |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| ≤ ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|

Tactic:
apply Finset.abs_sum_le_sum_abs

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


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theorem extracted_formal_statement_141.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  [inst : Countable ι] {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω) (σ : Signs n)
  (this : ∃ x, ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ x) (z : ℝ)
  (hz : ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ z) (y : ℝ)
  (hy : ∃ y_1, |∑ k, ↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y) (i : ι)
  (hi : |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y)
  (h_original_goal : ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| ≤ z) :
  ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| ∈
    Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
σ : Signs n
this : ∃ x, ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ x
z : ℝ
hz : ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ z
y : ℝ
hy : ∃ y_1, |∑ k, ↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y
i : ι
hi : |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y
⊢ ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| ≤ z

Tactic:
apply hz

Tactic state after:
[case a
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 inst✝ : Countable ι
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω × Ω
 σ : Signs n
 this : ∃ x, ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ x
 z : ℝ
 hz : ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ z
 y : ℝ
 hy : ∃ y_1, |∑ k, ↑↑(σ k) * (f y_1 (X (ω k).1) - f y_1 (X (ω k).2))| = y
 i : ι
 hi : |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| = y
 ⊢ ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| ∈
     Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|]