zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_369.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)) (i : Signs n) (hi : i ∈ Finset.univ) (i_1 : ι)
  (h_original_goal : |(|∑ k, ↑↑(i k) * f i_1 (X (a.2 k))|)| ≤ ↑n * b) :
  |∑ k, ↑↑(i k) * f i_1 (X (a.2 k))| ≤ ↑n * b := sorry

Tactic state before:
case h.hf
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)
i : Signs n
hi : i ∈ Finset.univ
i_1 : ι
⊢ |(|∑ k, ↑↑(i k) * f i_1 (X (a.2 k))|)| ≤ ↑n * b

Tactic:
simp only [Int.reduceNeg, abs_abs]

Tactic state after:
[case h.hf
 Ω : Type u
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)
 i : Signs n
 hi : i ∈ Finset.univ
 i_1 : ι
 ⊢ |∑ k, ↑↑(i k) * f i_1 (X (a.2 k))| ≤ ↑n * b]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_370.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)) (i : Signs n) (hi : i ∈ Finset.univ) (i_1 : ι) :
  |∑ k, ↑↑(i k) * f i_1 (X (a.2 k))| ≤ ∑ k, |↑↑(i k) * f i_1 (X (a.2 k))| := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)
i : Signs n
hi : i ∈ Finset.univ
i_1 : ι
⊢ |∑ k, ↑↑(i k) * f i_1 (X (a.2 k))| ≤ ∑ k, |↑↑(i k) * f i_1 (X (a.2 k))|

Tactic:
apply Finset.abs_sum_le_sum_abs

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_371.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)) (i : Signs n) (hi : i ∈ Finset.univ) (i_1 : ι) (i_2 : Fin n)
  (hi_2 : i_2 ∈ Finset.univ) (h_original_goal : |↑↑(i i_2) * f i_1 (X (a.2 i_2))| ≤ b) :
  |↑↑(i i_2)| * |f i_1 (X (a.2 i_2))| ≤ b := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)
i : Signs n
hi : i ∈ Finset.univ
i_1 : ι
i_2 : Fin n
hi_2 : i_2 ∈ Finset.univ
⊢ |↑↑(i i_2) * f i_1 (X (a.2 i_2))| ≤ b

Tactic:
rw [abs_mul]

Tactic state after:
[case h
 Ω : Type u
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)
 i : Signs n
 hi : i ∈ Finset.univ
 i_1 : ι
 i_2 : Fin n
 hi_2 : i_2 ∈ Finset.univ
 ⊢ |↑↑(i i_2)| * |f i_1 (X (a.2 i_2))| ≤ b]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_372.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)) (i : Signs n) (hi : i ∈ Finset.univ) (i_1 : ι) (i_2 : Fin n)
  (hi_2 : i_2 ∈ Finset.univ) (h_original_goal : |↑↑(i i_2)| * |f i_1 (X (a.2 i_2))| ≤ b) :
  1 * |f i_1 (X (a.2 i_2))| ≤ b := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)
i : Signs n
hi : i ∈ Finset.univ
i_1 : ι
i_2 : Fin n
hi_2 : i_2 ∈ Finset.univ
⊢ |↑↑(i i_2)| * |f i_1 (X (a.2 i_2))| ≤ b

Tactic:
rw [abs_sigma (i i_2)]

Tactic state after:
[case h
 Ω : Type u
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)
 i : Signs n
 hi : i ∈ Finset.univ
 i_1 : ι
 i_2 : Fin n
 hi_2 : i_2 ∈ Finset.univ
 ⊢ 1 * |f i_1 (X (a.2 i_2))| ≤ b]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_373.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)) (i : Signs n) (hi : i ∈ Finset.univ) (i_1 : ι) (i_2 : Fin n)
  (hi_2 : i_2 ∈ Finset.univ) (h_original_goal : 1 * |f i_1 (X (a.2 i_2))| ≤ b) : |f i_1 (X (a.2 i_2))| ≤ b := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)
i : Signs n
hi : i ∈ Finset.univ
i_1 : ι
i_2 : Fin n
hi_2 : i_2 ∈ Finset.univ
⊢ 1 * |f i_1 (X (a.2 i_2))| ≤ b

Tactic:
simp only [one_mul, ge_iff_le]

Tactic state after:
[case h
 Ω : Type u
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)
 i : Signs n
 hi : i ∈ Finset.univ
 i_1 : ι
 i_2 : Fin n
 hi_2 : i_2 ∈ Finset.univ
 ⊢ |f i_1 (X (a.2 i_2))| ≤ b]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_374.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)) (i : Signs n) (hi : i ∈ Finset.univ) (i_1 : ι) (i_2 : Fin n)
  (hi_2 : i_2 ∈ Finset.univ) : |f i_1 (X (a.2 i_2))| ≤ b := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)
i : Signs n
hi : i ∈ Finset.univ
i_1 : ι
i_2 : Fin n
hi_2 : i_2 ∈ Finset.univ
⊢ |f i_1 (X (a.2 i_2))| ≤ b

Tactic:
exact hf' i_1 (X (a.2 i_2))

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_375.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (i : Signs n) (hi : i ∈ Finset.univ) : ∑ k, b ≤ ↑n * b := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)
i : Signs n
hi : i ∈ Finset.univ
i_1 : ι
⊢ ∑ k, b ≤ ↑n * b

Tactic:
simp

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_376.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)) (i : Signs n) (hi : i ∈ Finset.univ) (i_1 : ι)
  (l1 : |∑ k, ↑↑(i k) * f i_1 (X (a.2 k))| ≤ ↑n * b) : |∑ k, ↑↑(i k) * f i_1 (X (a.2 k))| ≤ ↑n * b := sorry

Tactic state before:
case h.hf
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)
i : Signs n
hi : i ∈ Finset.univ
i_1 : ι
l1 : |∑ k, ↑↑(i k) * f i_1 (X (a.2 k))| ≤ ↑n * b
⊢ |∑ k, ↑↑(i k) * f i_1 (X (a.2 k))| ≤ ↑n * b

Tactic:
exact l1

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_377.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) :
  ∑ σ, ↑n * b = ↑(Fintype.card (Signs n)) * (↑n * b) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)
⊢ ∑ σ, ↑n * b = ↑(Fintype.card (Signs n)) * (↑n * b)

Tactic:
simp

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_378.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) :
  ↑(Fintype.card (Signs n)) * (↑n * b) = 2 ^ n * (↑n * b) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)
⊢ ↑(Fintype.card (Signs n)) * (↑n * b) = 2 ^ n * (↑n * b)

Tactic:
simp

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_379.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) :
  0 < 2 ^ n := sorry

Tactic state before:
case right.h
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
a : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)
⊢ 0 < 2 ^ n

Tactic:
simp

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_380.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : ι)
  (j : Fin n) : Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
⊢ ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ)

Tactic:
apply integrable_aux0 hf hf'

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_381.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ)) (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n)
  (y : ℝ) (i : ι) (hi : f i (X (ω k)) = y) (h_original_goal : y ≤ b) : f i (X (ω k)) ≤ b := sorry

Tactic state before:
case intro
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω✝ : Fin n → Ω
hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ)
ω : Fin n → Ω
k : Fin n
y : ℝ
i : ι
hi : f i (X (ω k)) = y
⊢ y ≤ b

Tactic:
rw [← hi]

Tactic state after:
[case intro
 Ω : Type u
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω✝ : Fin n → Ω
 hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ)
 ω : Fin n → Ω
 k : Fin n
 y : ℝ
 i : ι
 hi : f i (X (ω k)) = y
 ⊢ f i (X (ω k)) ≤ b]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_382.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ)) (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n)
  (y : ℝ) (i : ι) (hi : f i (X (ω k)) = y) : f i (X (ω k)) ≤ b := sorry

Tactic state before:
case intro
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω✝ : Fin n → Ω
hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ)
ω : Fin n → Ω
k : Fin n
y : ℝ
i : ι
hi : f i (X (ω k)) = y
⊢ f i (X (ω k)) ≤ b

Tactic:
exact le_of_max_le_left (hf' i (X (ω k)))

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_383.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ))
  (hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C) (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n)
  (y : ℝ) (i : ι) (hi : f i (X (ω k)) = y) (h_original_goal : -b ≤ y) : -b ≤ f i (X (ω k)) := sorry

Tactic state before:
case intro
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω✝ : Fin n → Ω
hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ)
hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
ω : Fin n → Ω
k : Fin n
y : ℝ
i : ι
hi : f i (X (ω k)) = y
⊢ -b ≤ y

Tactic:
rw [← hi]

Tactic state after:
[case intro
 Ω : Type u
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω✝ : Fin n → Ω
 hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ)
 hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
 ω : Fin n → Ω
 k : Fin n
 y : ℝ
 i : ι
 hi : f i (X (ω k)) = y
 ⊢ -b ≤ f i (X (ω k))]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_384.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ))
  (hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C) (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n)
  (y : ℝ) (i : ι) (hi : f i (X (ω k)) = y) : -b ≤ f i (X (ω k)) := sorry

Tactic state before:
case intro
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω✝ : Fin n → Ω
hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ)
hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
ω : Fin n → Ω
k : Fin n
y : ℝ
i : ι
hi : f i (X (ω k)) = y
⊢ -b ≤ f i (X (ω k))

Tactic:
exact neg_le_of_abs_le (hf' i (X (ω k)))

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_385.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ))
  (hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C)
  (hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y) (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n)
  (h_original_goal : BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)))) :
  ∃ x, ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ x := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω✝ : Fin n → Ω
hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ)
hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y
ω : Fin n → Ω
k : Fin n
⊢ BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)))

Tactic:
rw [bddAbove_def]

Tactic state after:
[Ω : Type u
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω✝ : Fin n → Ω
 hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ)
 hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
 hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y
 ω : Fin n → Ω
 k : Fin n
 ⊢ ∃ x, ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ x]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_386.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ))
  (hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C)
  (hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y) (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n)
  (x : ℝ) (i : ι) (hi : (fun i => f i (X (ω k))) i = x) (h_original_goal : x ≤ b) :
  (fun i => f i (X (ω k))) i ≤ b := sorry

Tactic state before:
case h.intro
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω✝ : Fin n → Ω
hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ)
hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y
ω : Fin n → Ω
k : Fin n
x : ℝ
i : ι
hi : (fun i => f i (X (ω k))) i = x
⊢ x ≤ b

Tactic:
rw [← hi]

Tactic state after:
[case h.intro
 Ω : Type u
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω✝ : Fin n → Ω
 hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ)
 hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
 hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y
 ω : Fin n → Ω
 k : Fin n
 x : ℝ
 i : ι
 hi : (fun i => f i (X (ω k))) i = x
 ⊢ (fun i => f i (X (ω k))) i ≤ b]