zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_40.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Fin m → Ω → 𝓧} (hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)) (hIndep' : iIndepFun X' μ) {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ}
  {c' : Fin m → ℝ} (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1) (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧)
  (x : 𝓧) (i : Fin m) (h : ¬↑i < ↑k) (h2 : ↑i = ↑k) (this_1 : ↑i < ↑k.succ) (this : ⟨↑i, this_1⟩ = Fin.last ↑k)
  (h_original_goal : Fin.snoc Xk x ⟨↑i, this_1⟩ = x) : Fin.snoc Xk x (Fin.last ↑k) = x := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Fin m → Ω → 𝓧
hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
hIndep' : iIndepFun X' μ
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x : 𝓧
ω : Ω
i : Fin m
h : ¬↑i < ↑k
h2 : ↑i = ↑k
this✝ : ↑i < ↑k.succ
this : ⟨↑i, this✝⟩ = Fin.last ↑k
⊢ Fin.snoc Xk x ⟨↑i, this✝⟩ = x

Tactic:
rw [this]

Tactic state after:
[Ω : Type u_1
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 𝓧 : Type u_2
 m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
 hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
 m : ℕ
 X' : Fin m → Ω → 𝓧
 hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
 hIndep' : iIndepFun X' μ
 f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
 c' : Fin m → ℝ
 hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
 hf'' : StronglyMeasurable f'
 ε : ℝ
 hε : ε > 0
 t : ℝ
 ht : t ≥ 0
 ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
 Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
 A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 k : Fin m
 Xk : Fin ↑k → 𝓧
 x : 𝓧
 ω : Ω
 i : Fin m
 h : ¬↑i < ↑k
 h2 : ↑i = ↑k
 this✝ : ↑i < ↑k.succ
 this : ⟨↑i, this✝⟩ = Fin.last ↑k
 ⊢ Fin.snoc Xk x (Fin.last ↑k) = x]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_41.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Fin m → Ω → 𝓧} (hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)) (hIndep' : iIndepFun X' μ) {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ}
  {c' : Fin m → ℝ} (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1) (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧)
  (x : 𝓧) (i : Fin m) (h : ¬↑i < ↑k) (h2 : ↑i = ↑k) (this_1 : ↑i < ↑k.succ) (this : ⟨↑i, this_1⟩ = Fin.last ↑k) :
  Fin.snoc Xk x (Fin.last ↑k) = x := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Fin m → Ω → 𝓧
hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
hIndep' : iIndepFun X' μ
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x : 𝓧
ω : Ω
i : Fin m
h : ¬↑i < ↑k
h2 : ↑i = ↑k
this✝ : ↑i < ↑k.succ
this : ⟨↑i, this✝⟩ = Fin.last ↑k
⊢ Fin.snoc Xk x (Fin.last ↑k) = x

Tactic:
apply Fin.snoc_last

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_42.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Fin m → Ω → 𝓧} (hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)) (hIndep' : iIndepFun X' μ) {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ}
  {c' : Fin m → ℝ} (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1) (k i : Fin m) (h : ¬↑i < ↑k)
  (h2 : ¬↑i = ↑k) (h_original_goal : ¬↑i < ↑k.succ) : ↑k + 1 ≤ ↑i := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Fin m → Ω → 𝓧
hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
hIndep' : iIndepFun X' μ
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x : 𝓧
ω : Ω
i : Fin m
h : ¬↑i < ↑k
h2 : ¬↑i = ↑k
⊢ ¬↑i < ↑k.succ

Tactic:
simp only [Fin.val_succ, not_lt]

Tactic state after:
[Ω : Type u_1
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 𝓧 : Type u_2
 m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
 hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
 m : ℕ
 X' : Fin m → Ω → 𝓧
 hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
 hIndep' : iIndepFun X' μ
 f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
 c' : Fin m → ℝ
 hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
 hf'' : StronglyMeasurable f'
 ε : ℝ
 hε : ε > 0
 t : ℝ
 ht : t ≥ 0
 ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
 Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
 A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 k : Fin m
 Xk : Fin ↑k → 𝓧
 x : 𝓧
 ω : Ω
 i : Fin m
 h : ¬↑i < ↑k
 h2 : ¬↑i = ↑k
 ⊢ ↑k + 1 ≤ ↑i]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_43.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Fin m → Ω → 𝓧} (hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)) (hIndep' : iIndepFun X' μ) {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ}
  {c' : Fin m → ℝ} (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1) (k i : Fin m) (h2 : ¬↑i = ↑k)
  (h : k ≤ i) (h_original_goal : ↑k + 1 ≤ ↑i) : k < i := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Fin m → Ω → 𝓧
hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
hIndep' : iIndepFun X' μ
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x : 𝓧
ω : Ω
i : Fin m
h2 : ¬↑i = ↑k
h : k ≤ i
⊢ ↑k + 1 ≤ ↑i

Tactic:
apply Fin.val_add_one_le_of_lt

Tactic state after:
[case h
 Ω : Type u_1
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 𝓧 : Type u_2
 m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
 hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
 m : ℕ
 X' : Fin m → Ω → 𝓧
 hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
 hIndep' : iIndepFun X' μ
 f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
 c' : Fin m → ℝ
 hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
 hf'' : StronglyMeasurable f'
 ε : ℝ
 hε : ε > 0
 t : ℝ
 ht : t ≥ 0
 ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
 Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
 A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 k : Fin m
 Xk : Fin ↑k → 𝓧
 x : 𝓧
 ω : Ω
 i : Fin m
 h2 : ¬↑i = ↑k
 h : k ≤ i
 ⊢ k < i]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_44.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Fin m → Ω → 𝓧} (hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)) (hIndep' : iIndepFun X' μ) {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ}
  {c' : Fin m → ℝ} (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1) (k i : Fin m) (h2 : ¬↑i = ↑k)
  (h : k ≤ i) : k < i := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Fin m → Ω → 𝓧
hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
hIndep' : iIndepFun X' μ
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x : 𝓧
ω : Ω
i : Fin m
h2 : ¬↑i = ↑k
h : k ≤ i
⊢ k < i

Tactic:
exact lt_of_le_of_ne h fun a => h2 (congrArg Fin.val (id (Eq.symm a)))

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_45.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Fin m → Ω → 𝓧} (hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)) (hIndep' : iIndepFun X' μ) {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ}
  {c' : Fin m → ℝ} (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1) (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧)
  (x : 𝓧) (ω : Ω) (i : Fin m) (h : ¬↑i < ↑k) (h2 : ¬↑i = ↑k) (this : ¬↑i < ↑k.succ) :
  (if h : ↑i < ↑k.succ then Fin.snoc Xk x ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) = if ↑i = ↑k then x else X' i ω := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Fin m → Ω → 𝓧
hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
hIndep' : iIndepFun X' μ
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x : 𝓧
ω : Ω
i : Fin m
h : ¬↑i < ↑k
h2 : ¬↑i = ↑k
this : ¬↑i < ↑k.succ
⊢ (if h : ↑i < ↑k.succ then Fin.snoc Xk x ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) = if ↑i = ↑k then x else X' i ω

Tactic:
rw [dif_neg this, if_neg h2]

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_48.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Fin m → Ω → 𝓧} (hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)) (hIndep' : iIndepFun X' μ) {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ}
  {c' : Fin m → ℝ} (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1) :
  let Y := fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ;
  (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
      Y k.succ (Fin.snoc Xk x) =
        ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ) →
    ∀ (x₀ : 𝓧),
      let bdf := |f' fun x => x₀| + ∑ i, c' i;
      (∀ (xi : Fin m → 𝓧), |f' xi| ≤ bdf) →
        ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x_1 : 𝓧) (i : Fin m) (h₀ : ↑i < ↑k) (x : Ω),
          (if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x_1 else X' i x) = Xk ⟨↑i, h₀⟩ := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Fin m → Ω → 𝓧
hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
hIndep' : iIndepFun X' μ
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
AB_rw :
  ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
    Y k.succ (Fin.snoc Xk x) =
      ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
x₀ : 𝓧
bdf : ℝ := |f' fun x => x₀| + ∑ i, c' i
hfbdd : ∀ (xi : Fin m → 𝓧), |f' xi| ≤ bdf
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x✝ : 𝓧
i : Fin m
h₀ : ↑i < ↑k
x : Ω
⊢ (if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x✝ else X' i x) = Xk ⟨↑i, h₀⟩

Tactic:
rw [dif_pos h₀]

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_50.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Fin m → Ω → 𝓧} (hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)) (hIndep' : iIndepFun X' μ) {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ}
  {c' : Fin m → ℝ} (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1) :
  let Y := fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ;
  (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
      Y k.succ (Fin.snoc Xk x) =
        ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ) →
    ∀ (x₀ : 𝓧),
      let bdf := |f' fun x => x₀| + ∑ i, c' i;
      (∀ (xi : Fin m → 𝓧), |f' xi| ≤ bdf) →
        ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧) (i : Fin m) (h₀ : ↑i < ↑k),
          ((fun x_1 => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i x_1) = fun x => Xk ⟨↑i, h₀⟩) →
            Measurable fun x => Xk ⟨↑i, h₀⟩ := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Fin m → Ω → 𝓧
hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
hIndep' : iIndepFun X' μ
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
AB_rw :
  ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
    Y k.succ (Fin.snoc Xk x) =
      ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
x₀ : 𝓧
bdf : ℝ := |f' fun x => x₀| + ∑ i, c' i
hfbdd : ∀ (xi : Fin m → 𝓧), |f' xi| ≤ bdf
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x : 𝓧
i : Fin m
h₀ : ↑i < ↑k
this : (fun x_1 => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i x_1) = fun x => Xk ⟨↑i, h₀⟩
⊢ Measurable fun x => Xk ⟨↑i, h₀⟩

Tactic:
exact measurable_const

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_51.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Fin m → Ω → 𝓧} (hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)) (hIndep' : iIndepFun X' μ) {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ}
  {c' : Fin m → ℝ} (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1) :
  let Y := fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ;
  (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
      Y k.succ (Fin.snoc Xk x) =
        ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ) →
    ∀ (x₀ : 𝓧),
      let bdf := |f' fun x => x₀| + ∑ i, c' i;
      (∀ (xi : Fin m → 𝓧), |f' xi| ≤ bdf) →
        ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x_1 : 𝓧) (i : Fin m),
          ¬↑i < ↑k →
            ↑i = ↑k → ∀ (x : Ω), (if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x_1 else X' i x) = x_1 := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Fin m → Ω → 𝓧
hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
hIndep' : iIndepFun X' μ
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
AB_rw :
  ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
    Y k.succ (Fin.snoc Xk x) =
      ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
x₀ : 𝓧
bdf : ℝ := |f' fun x => x₀| + ∑ i, c' i
hfbdd : ∀ (xi : Fin m → 𝓧), |f' xi| ≤ bdf
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x✝ : 𝓧
i : Fin m
h₀ : ¬↑i < ↑k
h₁ : ↑i = ↑k
x : Ω
⊢ (if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x✝ else X' i x) = x✝

Tactic:
rw [dif_neg h₀, if_pos h₁]

Tactic state after: