zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_23.{u_2} {E : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : CompleteSpace E]
  [inst_2 : NormedSpace ℝ E] (c : E) : ENNReal.toReal 1 • c = c := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
c : E
this : μ Set.univ = 1
⊢ ENNReal.toReal 1 • c = c

Tactic:
simp

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_24.{u_5, u_4, u_3, u_2} {Ω : Type u_2} {ι : Type u_3} {ι' : Type u_4}
  {_mΩ : MeasurableSpace Ω} {μ : Measure Ω} {β : ι → Type u_5} {mβ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)}
  {f : (i : ι) → Ω → β i} {g : ι' → ι} (hg : Function.Injective g)
  (h : ∀ (s : Finset ι) {f_1 : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (f_1 i)) → μ (⋂ i ∈ s, f_1 i) = ∏ x ∈ s, μ (f_1 x))
  (s' : Finset ι') {f₁' : ι' → Set Ω} (h₁' : ∀ i ∈ s', MeasurableSet (f₁' i)) (i : ι) (y₁ y₂ : ι') (left : y₁ ∈ s')
  (hy₁ : g y₁ = i) (left_1 : y₂ ∈ s') (hy₂ : g y₂ = i) : y₁ = y₂ := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
β : ι → Type u_5
mβ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
g : ι' → ι
hg : Function.Injective g
h : ∀ (s : Finset ι) {f_1 : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (f_1 i)) → μ (⋂ i ∈ s, f_1 i) = ∏ x ∈ s, μ (f_1 x)
s' : Finset ι'
f₁' : ι' → Set Ω
h₁' : ∀ i ∈ s', MeasurableSet (f₁' i)
s : Finset ι := Finset.image g s'
i : ι
y₁ y₂ : ι'
left✝¹ : y₁ ∈ s'
hy₁ : g y₁ = i
left✝ : y₂ ∈ s'
hy₂ : g y₂ = i
⊢ y₁ = y₂

Tactic:
exact hg <| hy₁.trans hy₂.symm

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_25.{u_3, u_2} {𝓧 : Type u_2} {ι : Type u_3} [inst : DecidableEq ι] (f : (ι → 𝓧) → ℝ)
  (c : ι → ℝ) (h : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i) (i : ι) (xi : ι → 𝓧)
  (x' : 𝓧) : f xi - f (Function.update xi i x') ≤ c i := sorry

Tactic state before:
case mp
𝓧 : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → 𝓧) → ℝ
c : ι → ℝ
h : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i
i : ι
xi : ι → 𝓧
x' : 𝓧
⊢ f xi - f (Function.update xi i x') ≤ c i

Tactic:
exact le_of_max_le_left (h i xi x')

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_26.{u_3, u_2} {𝓧 : Type u_2} {ι : Type u_3} [inst : DecidableEq ι] (f : (ι → 𝓧) → ℝ)
  (c : ι → ℝ) (h : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), f x - f (Function.update x i x') ≤ c i) (i : ι) (xi : ι → 𝓧) (x' : 𝓧)
  (h_original_goal : |f xi - f (Function.update xi i x')| ≤ c i) :
  f xi - f (Function.update xi i x') ≤ c i ∧ f (Function.update xi i x') - f xi ≤ c i := sorry

Tactic state before:
case mpr
𝓧 : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → 𝓧) → ℝ
c : ι → ℝ
h : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), f x - f (Function.update x i x') ≤ c i
i : ι
xi : ι → 𝓧
x' : 𝓧
⊢ |f xi - f (Function.update xi i x')| ≤ c i

Tactic:
apply abs_sub_le_iff.mpr

Tactic state after:
[case mpr
 𝓧 : Type u_2
 ι : Type u_3
 inst✝ : DecidableEq ι
 f : (ι → 𝓧) → ℝ
 c : ι → ℝ
 h : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), f x - f (Function.update x i x') ≤ c i
 i : ι
 xi : ι → 𝓧
 x' : 𝓧
 ⊢ f xi - f (Function.update xi i x') ≤ c i ∧ f (Function.update xi i x') - f xi ≤ c i]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_27.{u_3, u_2} {𝓧 : Type u_2} {ι : Type u_3} [inst : DecidableEq ι] (f : (ι → 𝓧) → ℝ)
  (c : ι → ℝ) (h : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), f x - f (Function.update x i x') ≤ c i) (i : ι) (xi : ι → 𝓧)
  (x' : 𝓧) : f xi - f (Function.update xi i x') ≤ c i := sorry

Tactic state before:
case mpr.left
𝓧 : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → 𝓧) → ℝ
c : ι → ℝ
h : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), f x - f (Function.update x i x') ≤ c i
i : ι
xi : ι → 𝓧
x' : 𝓧
⊢ f xi - f (Function.update xi i x') ≤ c i

Tactic:
exact h i xi x'

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_28.{u_3, u_2} {𝓧 : Type u_2} {ι : Type u_3} [inst : DecidableEq ι] (f : (ι → 𝓧) → ℝ)
  (c : ι → ℝ) (h : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), f x - f (Function.update x i x') ≤ c i) (i : ι) (xi : ι → 𝓧)
  (x' : 𝓧) : xi = Function.update (Function.update xi i x') i (xi i) := sorry

Tactic state before:
𝓧 : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → 𝓧) → ℝ
c : ι → ℝ
h : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), f x - f (Function.update x i x') ≤ c i
i : ι
xi : ι → 𝓧
x' : 𝓧
⊢ xi = Function.update (Function.update xi i x') i (xi i)

Tactic:
simp only [Function.update_idem, Function.update_eq_self]

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_29.{u_3, u_2} {𝓧 : Type u_2} {ι : Type u_3} [inst : DecidableEq ι] (f : (ι → 𝓧) → ℝ)
  (c : ι → ℝ) (h : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), f x - f (Function.update x i x') ≤ c i) (i : ι) (xi : ι → 𝓧) (x' : 𝓧)
  (this : xi = Function.update (Function.update xi i x') i (xi i)) :
  f (Function.update xi i x') - f (Function.update (Function.update xi i x') i (xi i)) ≤ c i := sorry

Tactic state before:
case mpr.right
𝓧 : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → 𝓧) → ℝ
c : ι → ℝ
h : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), f x - f (Function.update x i x') ≤ c i
i : ι
xi : ι → 𝓧
x' : 𝓧
this : xi = Function.update (Function.update xi i x') i (xi i)
⊢ f (Function.update xi i x') - f (Function.update (Function.update xi i x') i (xi i)) ≤ c i

Tactic:
exact h i (Function.update xi i x') (xi i)

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_33.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Fin m → Ω → 𝓧} (hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)) (hIndep' : iIndepFun X' μ) {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ}
  {c' : Fin m → ℝ} (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1) (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧)
  (x : 𝓧) (i : Fin m) (h : ↑i < ↑k) (this_1 : ↑i < ↑k.succ) (this : ⟨↑i, this_1⟩ = ⟨↑i, h⟩.castSucc)
  (h_original_goal : Fin.snoc Xk x ⟨↑i, this_1⟩ = Xk ⟨↑i, h⟩) : Fin.snoc Xk x ⟨↑i, h⟩.castSucc = Xk ⟨↑i, h⟩ := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Fin m → Ω → 𝓧
hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
hIndep' : iIndepFun X' μ
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x : 𝓧
ω : Ω
i : Fin m
h : ↑i < ↑k
this✝ : ↑i < ↑k.succ
this : ⟨↑i, this✝⟩ = ⟨↑i, h⟩.castSucc
⊢ Fin.snoc Xk x ⟨↑i, this✝⟩ = Xk ⟨↑i, h⟩

Tactic:
rw [this]

Tactic state after:
[Ω : Type u_1
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 𝓧 : Type u_2
 m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
 hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
 m : ℕ
 X' : Fin m → Ω → 𝓧
 hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
 hIndep' : iIndepFun X' μ
 f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
 c' : Fin m → ℝ
 hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
 hf'' : StronglyMeasurable f'
 ε : ℝ
 hε : ε > 0
 t : ℝ
 ht : t ≥ 0
 ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
 Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
 A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 k : Fin m
 Xk : Fin ↑k → 𝓧
 x : 𝓧
 ω : Ω
 i : Fin m
 h : ↑i < ↑k
 this✝ : ↑i < ↑k.succ
 this : ⟨↑i, this✝⟩ = ⟨↑i, h⟩.castSucc
 ⊢ Fin.snoc Xk x ⟨↑i, h⟩.castSucc = Xk ⟨↑i, h⟩]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_34.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Fin m → Ω → 𝓧} (hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)) (hIndep' : iIndepFun X' μ) {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ}
  {c' : Fin m → ℝ} (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1) (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧)
  (x : 𝓧) (i : Fin m) (h : ↑i < ↑k) (this_1 : ↑i < ↑k.succ) (this : ⟨↑i, this_1⟩ = ⟨↑i, h⟩.castSucc) :
  Fin.snoc Xk x ⟨↑i, h⟩.castSucc = Xk ⟨↑i, h⟩ := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Fin m → Ω → 𝓧
hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
hIndep' : iIndepFun X' μ
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x : 𝓧
ω : Ω
i : Fin m
h : ↑i < ↑k
this✝ : ↑i < ↑k.succ
this : ⟨↑i, this✝⟩ = ⟨↑i, h⟩.castSucc
⊢ Fin.snoc Xk x ⟨↑i, h⟩.castSucc = Xk ⟨↑i, h⟩

Tactic:
apply Fin.snoc_castSucc

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_36.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Fin m → Ω → 𝓧} (hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)) (hIndep' : iIndepFun X' μ) {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ}
  {c' : Fin m → ℝ} (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1) (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧)
  (x : 𝓧) (ω : Ω) (i : Fin m) (h : ¬↑i < ↑k) (h2 : ↑i = ↑k) (this : ↑i < ↑k.succ)
  (h_original_goal : (if h : ↑i < ↑k.succ then Fin.snoc Xk x ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) = if ↑i = ↑k then x else X' i ω) :
  Fin.snoc Xk x ⟨↑i, this⟩ = x := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Fin m → Ω → 𝓧
hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
hIndep' : iIndepFun X' μ
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x : 𝓧
ω : Ω
i : Fin m
h : ¬↑i < ↑k
h2 : ↑i = ↑k
this : ↑i < ↑k.succ
⊢ (if h : ↑i < ↑k.succ then Fin.snoc Xk x ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) = if ↑i = ↑k then x else X' i ω

Tactic:
rw [dif_pos this, if_pos h2]

Tactic state after:
[Ω : Type u_1
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 𝓧 : Type u_2
 m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
 hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
 m : ℕ
 X' : Fin m → Ω → 𝓧
 hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
 hIndep' : iIndepFun X' μ
 f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
 c' : Fin m → ℝ
 hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
 hf'' : StronglyMeasurable f'
 ε : ℝ
 hε : ε > 0
 t : ℝ
 ht : t ≥ 0
 ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
 Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
 A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 k : Fin m
 Xk : Fin ↑k → 𝓧
 x : 𝓧
 ω : Ω
 i : Fin m
 h : ¬↑i < ↑k
 h2 : ↑i = ↑k
 this : ↑i < ↑k.succ
 ⊢ Fin.snoc Xk x ⟨↑i, this⟩ = x]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_37.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Fin m → Ω → 𝓧} (hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)) (hIndep' : iIndepFun X' μ) {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ}
  {c' : Fin m → ℝ} (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1) (k i : Fin m) (h : ¬↑i < ↑k)
  (h2 : ↑i = ↑k) (this : ↑i < ↑k.succ) (h_original_goal : ⟨↑i, this⟩ = Fin.last ↑k) : Fin.last ↑k = ⟨↑i, this⟩ := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Fin m → Ω → 𝓧
hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
hIndep' : iIndepFun X' μ
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x : 𝓧
ω : Ω
i : Fin m
h : ¬↑i < ↑k
h2 : ↑i = ↑k
this : ↑i < ↑k.succ
⊢ ⟨↑i, this⟩ = Fin.last ↑k

Tactic:
apply Eq.symm

Tactic state after:
[case h
 Ω : Type u_1
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 𝓧 : Type u_2
 m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
 hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
 m : ℕ
 X' : Fin m → Ω → 𝓧
 hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
 hIndep' : iIndepFun X' μ
 f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
 c' : Fin m → ℝ
 hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
 hf'' : StronglyMeasurable f'
 ε : ℝ
 hε : ε > 0
 t : ℝ
 ht : t ≥ 0
 ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
 Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
 A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 k : Fin m
 Xk : Fin ↑k → 𝓧
 x : 𝓧
 ω : Ω
 i : Fin m
 h : ¬↑i < ↑k
 h2 : ↑i = ↑k
 this : ↑i < ↑k.succ
 ⊢ Fin.last ↑k = ⟨↑i, this⟩]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_38.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Fin m → Ω → 𝓧} (hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)) (hIndep' : iIndepFun X' μ) {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ}
  {c' : Fin m → ℝ} (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1) (k i : Fin m) (h : ¬↑i < ↑k)
  (h2 : ↑i = ↑k) (this : ↑i < ↑k.succ) (h_original_goal : Fin.last ↑k = ⟨↑i, this⟩) : ↑(Fin.last ↑k) = ↑i := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Fin m → Ω → 𝓧
hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
hIndep' : iIndepFun X' μ
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x : 𝓧
ω : Ω
i : Fin m
h : ¬↑i < ↑k
h2 : ↑i = ↑k
this : ↑i < ↑k.succ
⊢ Fin.last ↑k = ⟨↑i, this⟩

Tactic:
apply Fin.eq_mk_iff_val_eq.mpr

Tactic state after:
[case h
 Ω : Type u_1
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 𝓧 : Type u_2
 m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
 hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
 m : ℕ
 X' : Fin m → Ω → 𝓧
 hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
 hIndep' : iIndepFun X' μ
 f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
 c' : Fin m → ℝ
 hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
 hf'' : StronglyMeasurable f'
 ε : ℝ
 hε : ε > 0
 t : ℝ
 ht : t ≥ 0
 ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
 Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
 A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 k : Fin m
 Xk : Fin ↑k → 𝓧
 x : 𝓧
 ω : Ω
 i : Fin m
 h : ¬↑i < ↑k
 h2 : ↑i = ↑k
 this : ↑i < ↑k.succ
 ⊢ ↑(Fin.last ↑k) = ↑i]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_39.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Fin m → Ω → 𝓧} (hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)) (hIndep' : iIndepFun X' μ) {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ}
  {c' : Fin m → ℝ} (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1) (k i : Fin m) (h : ¬↑i < ↑k)
  (h2 : ↑i = ↑k) (this : ↑i < ↑k.succ) : ↑(Fin.last ↑k) = ↑i := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Fin m → Ω → 𝓧
hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
hIndep' : iIndepFun X' μ
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x : 𝓧
ω : Ω
i : Fin m
h : ¬↑i < ↑k
h2 : ↑i = ↑k
this : ↑i < ↑k.succ
⊢ ↑(Fin.last ↑k) = ↑i

Tactic:
exact id (Eq.symm h2)

Tactic state after: