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open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_111 {ε : ℝ} (hε : ε > 0) : 0 ≤ 4 * ε := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Fin m → Ω → 𝓧
hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
hIndep' : iIndepFun X' μ
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
AB_rw :
  ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
    Y k.succ (Fin.snoc Xk x) =
      ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
x₀ : 𝓧
bdf : ℝ := |f' fun x => x₀| + ∑ i, c' i
hfbdd : ∀ (xi : Fin m → 𝓧), |f' xi| ≤ bdf
hintegrableAB :
  ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
    Integrable (fun a => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i a) μ
hAY : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧), A k Xk ≤ Y k.succ (Fin.snoc Xk x)
hBddAbove :
  ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧),
    𝓧 →
      BddAbove
        (Set.range fun x =>
          ∫ (a : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) a ∂μ)
hYB : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧), B k Xk ≥ Y k.succ (Fin.snoc Xk x)
hAB : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), B k Xk ≤ A k Xk + c' k
hmartigale : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), ∫ (ω : Ω), Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' k ω)) ∂μ = Y k.castSucc Xk
hmeasurableY : ∀ (k : Fin m.succ), Measurable (Y k)
hYbdd : ∀ (k : Fin m.succ) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), |Y k Xk| ≤ bdf
V : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → Ω → ℝ := fun k Xk ω => Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' k ω)) - Y k.castSucc Xk
t'' : ℝ := 4 * ε * t
⊢ t'' ≥ 0

Tactic:
apply mul_nonneg

Tactic state after:
[case ha
 Ω : Type u_1
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 𝓧 : Type u_2
 m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
 hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
 m : ℕ
 X' : Fin m → Ω → 𝓧
 hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
 hIndep' : iIndepFun X' μ
 f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
 c' : Fin m → ℝ
 hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
 hf'' : StronglyMeasurable f'
 ε : ℝ
 hε : ε > 0
 t : ℝ
 ht : t ≥ 0
 ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
 Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
 A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 AB_rw :
   ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
     Y k.succ (Fin.snoc Xk x) =
       ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 x₀ : 𝓧
 bdf : ℝ := |f' fun x => x₀| + ∑ i, c' i
 hfbdd : ∀ (xi : Fin m → 𝓧), |f' xi| ≤ bdf
 hintegrableAB :
   ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
     Integrable (fun a => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i a) μ
 hAY : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧), A k Xk ≤ Y k.succ (Fin.snoc Xk x)
 hBddAbove :
   ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧),
     𝓧 →
       BddAbove
         (Set.range fun x =>
           ∫ (a : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) a ∂μ)
 hYB : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧), B k Xk ≥ Y k.succ (Fin.snoc Xk x)
 hAB : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), B k Xk ≤ A k Xk + c' k
 hmartigale : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), ∫ (ω : Ω), Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' k ω)) ∂μ = Y k.castSucc Xk
 hmeasurableY : ∀ (k : Fin m.succ), Measurable (Y k)
 hYbdd : ∀ (k : Fin m.succ) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), |Y k Xk| ≤ bdf
 V : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → Ω → ℝ := fun k Xk ω => Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' k ω)) - Y k.castSucc Xk
 t'' : ℝ := 4 * ε * t
 ⊢ 0 ≤ 4 * ε,
 case hb
 Ω : Type u_1
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 𝓧 : Type u_2
 m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
 hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
 m : ℕ
 X' : Fin m → Ω → 𝓧
 hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
 hIndep' : iIndepFun X' μ
 f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
 c' : Fin m → ℝ
 hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
 hf'' : StronglyMeasurable f'
 ε : ℝ
 hε : ε > 0
 t : ℝ
 ht : t ≥ 0
 ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
 Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
 A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 AB_rw :
   ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
     Y k.succ (Fin.snoc Xk x) =
       ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 x₀ : 𝓧
 bdf : ℝ := |f' fun x => x₀| + ∑ i, c' i
 hfbdd : ∀ (xi : Fin m → 𝓧), |f' xi| ≤ bdf
 hintegrableAB :
   ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
     Integrable (fun a => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i a) μ
 hAY : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧), A k Xk ≤ Y k.succ (Fin.snoc Xk x)
 hBddAbove :
   ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧),
     𝓧 →
       BddAbove
         (Set.range fun x =>
           ∫ (a : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) a ∂μ)
 hYB : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧), B k Xk ≥ Y k.succ (Fin.snoc Xk x)
 hAB : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), B k Xk ≤ A k Xk + c' k
 hmartigale : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), ∫ (ω : Ω), Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' k ω)) ∂μ = Y k.castSucc Xk
 hmeasurableY : ∀ (k : Fin m.succ), Measurable (Y k)
 hYbdd : ∀ (k : Fin m.succ) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), |Y k Xk| ≤ bdf
 V : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → Ω → ℝ := fun k Xk ω => Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' k ω)) - Y k.castSucc Xk
 t'' : ℝ := 4 * ε * t
 ⊢ 0 ≤ t]