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open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_216.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Fin m → Ω → 𝓧} (hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)) (hIndep' : iIndepFun X' μ) {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ}
  {c' : Fin m → ℝ} (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {ε : ℝ} (hε : ε > 0) {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1) :
  let Y := fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ;
  let A := fun k Xk =>
    ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ;
  let B := fun k Xk =>
    ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ;
  (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
      Y k.succ (Fin.snoc Xk x) =
        ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ) →
    ∀ (x₀ : 𝓧),
      let bdf := |f' fun x => x₀| + ∑ i, c' i;
      (∀ (xi : Fin m → 𝓧), |f' xi| ≤ bdf) →
        (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
            Integrable (fun a => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i a) μ) →
          (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧), A k Xk ≤ Y k.succ (Fin.snoc Xk x)) →
            (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧),
                𝓧 →
                  BddAbove
                    (Set.range fun x =>
                      ∫ (a : Ω),
                        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω)
                          a ∂μ)) →
              (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧), B k Xk ≥ Y k.succ (Fin.snoc Xk x)) →
                (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), B k Xk ≤ A k Xk + c' k) →
                  (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), ∫ (ω : Ω), Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' k ω)) ∂μ = Y k.castSucc Xk) →
                    (∀ (k : Fin m.succ), Measurable (Y k)) →
                      (∀ (k : Fin m.succ) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), |Y k Xk| ≤ bdf) →
                        let V := fun k Xk ω => Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' k ω)) - Y k.castSucc Xk;
                        let t'' := 4 * ε * t;
                        t'' ≥ 0 →
                          (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧),
                              ∫ (ω : Ω), Real.exp (t'' * V k Xk ω) ∂μ ≤ Real.exp (t'' ^ 2 * c' k ^ 2 / 8)) →
                            let E := Y 0 fun x => x₀;
                            (∀ (k : ℕ) (h : k ≤ m),
                                Integrable
                                  (fun x =>
                                    Real.exp
                                      (t'' * ((Y ⟨k, Nat.lt_add_one_of_le h⟩ fun i => X' (Fin.castLE h i) x) - E)))
                                  μ) →
                              ∀ (k : ℕ),
                                (∀ (h : k ≤ m),
                                    ∫ (ω : Ω),
                                        Real.exp
                                          (t'' *
                                            ((Y ⟨k, Nat.lt_add_one_of_le h⟩ fun i => X' (Fin.castLE h i) ω) - E)) ∂μ ≤
                                      Real.exp ((t'' ^ 2 * ∑ i, c' (Fin.castLE h i) ^ 2) / 8)) →
                                  ∀ (h : k + 1 ≤ m),
                                    ∫ (ω : Ω),
                                          Real.exp
                                            (t'' *
                                              ((Y ⟨k, Nat.lt_add_one_of_le (Nat.le_of_succ_le h)⟩ fun i =>
                                                  X' (Fin.castLE (Nat.le_of_succ_le h) i) ω) -
                                                E)) ∂μ ≤
                                        Real.exp ((t'' ^ 2 * ∑ i, c' (Fin.castLE (Nat.le_of_succ_le h) i) ^ 2) / 8) →
                                      Integrable
                                          (fun x =>
                                            Real.exp
                                              (t'' *
                                                ((Y ⟨k, Nat.lt_add_one_of_le (Nat.le_of_succ_le h)⟩ fun i =>
                                                    X' (Fin.castLE (Nat.le_of_succ_le h) i) x) -
                                                  E)))
                                          μ →
                                        ((fun ω =>
                                              Real.exp
                                                  (t'' *
                                                    ((Y ⟨k, Nat.lt_succ_of_lt h⟩ fun i => X' (Fin.castLE h ↑↑i) ω) -
                                                      E)) *
                                                ∫ (ω' : Ω),
                                                  Real.exp (t'' * V ⟨k, h⟩ (fun i => X' (Fin.castLE h ↑↑i) ω) ω') ∂μ) =
                                            fun ω =>
                                            (∫ (ω' : Ω),
                                                Real.exp (t'' * V ⟨k, h⟩ (fun i => X' (Fin.castLE h ↑↑i) ω) ω') ∂μ) *
                                              Real.exp
                                                (t'' *
                                                  ((Y ⟨k, Nat.lt_succ_of_lt h⟩ fun i => X' (Fin.castLE h ↑↑i) ω) -
                                                    E))) →
                                          ∀ (ω ω' : Ω),
                                            |Real.exp (t'' * V ⟨k, h⟩ (fun i => X' (Fin.castLE h ↑↑i) ω) ω')| ≤
                                                Real.exp (t'' * (bdf + bdf)) →
                                              Real.exp (t'' * V ⟨k, h⟩ (fun i => X' (Fin.castLE h ↑↑i) ω) ω') ≤
                                                Real.exp (t'' * (bdf + bdf)) := sorry

Tactic state before:
case h.h.h
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Fin m → Ω → 𝓧
hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
hIndep' : iIndepFun X' μ
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
AB_rw :
  ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
    Y k.succ (Fin.snoc Xk x) =
      ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
x₀ : 𝓧
bdf : ℝ := |f' fun x => x₀| + ∑ i, c' i
hfbdd : ∀ (xi : Fin m → 𝓧), |f' xi| ≤ bdf
hintegrableAB :
  ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
    Integrable (fun a => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i a) μ
hAY : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧), A k Xk ≤ Y k.succ (Fin.snoc Xk x)
hBddAbove :
  ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧),
    𝓧 →
      BddAbove
        (Set.range fun x =>
          ∫ (a : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) a ∂μ)
hYB : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧), B k Xk ≥ Y k.succ (Fin.snoc Xk x)
hAB : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), B k Xk ≤ A k Xk + c' k
hmartigale : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), ∫ (ω : Ω), Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' k ω)) ∂μ = Y k.castSucc Xk
hmeasurableY : ∀ (k : Fin m.succ), Measurable (Y k)
hYbdd : ∀ (k : Fin m.succ) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), |Y k Xk| ≤ bdf
V : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → Ω → ℝ := fun k Xk ω => Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' k ω)) - Y k.castSucc Xk
t'' : ℝ := 4 * ε * t
ht'' : t'' ≥ 0
hhoefdding :
  ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), ∫ (ω : Ω), Real.exp (t'' * V k Xk ω) ∂μ ≤ Real.exp (t'' ^ 2 * c' k ^ 2 / 8)
E : ℝ := Y 0 fun x => x₀
hintegrablelefts :
  ∀ (k : ℕ) (h : k ≤ m), Integrable (fun x => Real.exp (t'' * ((Y ⟨k, ⋯⟩ fun i => X' (Fin.castLE h i) x) - E))) μ
k : ℕ
ih✝ :
  ∀ (h : k ≤ m),
    ∫ (ω : Ω), Real.exp (t'' * ((Y ⟨k, ⋯⟩ fun i => X' (Fin.castLE h i) ω) - E)) ∂μ ≤
      Real.exp ((t'' ^ 2 * ∑ i, c' (Fin.castLE h i) ^ 2) / 8)
h : k + 1 ≤ m
ih :
  ∫ (ω : Ω), Real.exp (t'' * ((Y ⟨k, ⋯⟩ fun i => X' (Fin.castLE ⋯ i) ω) - E)) ∂μ ≤
    Real.exp ((t'' ^ 2 * ∑ i, c' (Fin.castLE ⋯ i) ^ 2) / 8)
hintegrableleft : Integrable (fun x => Real.exp (t'' * ((Y ⟨k, ⋯⟩ fun i => X' (Fin.castLE ⋯ i) x) - E))) μ
this :
  (fun ω =>
      Real.exp (t'' * ((Y ⟨k, ⋯⟩ fun i => X' (Fin.castLE h ↑↑i) ω) - E)) *
        ∫ (ω' : Ω), Real.exp (t'' * V ⟨k, h⟩ (fun i => X' (Fin.castLE h ↑↑i) ω) ω') ∂μ) =
    fun ω =>
    (∫ (ω' : Ω), Real.exp (t'' * V ⟨k, h⟩ (fun i => X' (Fin.castLE h ↑↑i) ω) ω') ∂μ) *
      Real.exp (t'' * ((Y ⟨k, ⋯⟩ fun i => X' (Fin.castLE h ↑↑i) ω) - E))
ω ω' : Ω
⊢ |Real.exp (t'' * V ⟨k, h⟩ (fun i => X' (Fin.castLE h ↑↑i) ω) ω')| ≤ Real.exp (t'' * (bdf + bdf))

Tactic:
rw [Real.abs_exp]

Tactic state after:
[case h.h.h
 Ω : Type u_1
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 𝓧 : Type u_2
 m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
 hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
 m : ℕ
 X' : Fin m → Ω → 𝓧
 hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
 hIndep' : iIndepFun X' μ
 f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
 c' : Fin m → ℝ
 hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
 hf'' : StronglyMeasurable f'
 ε : ℝ
 hε : ε > 0
 t : ℝ
 ht : t ≥ 0
 ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
 Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
 A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 AB_rw :
   ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
     Y k.succ (Fin.snoc Xk x) =
       ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 x₀ : 𝓧
 bdf : ℝ := |f' fun x => x₀| + ∑ i, c' i
 hfbdd : ∀ (xi : Fin m → 𝓧), |f' xi| ≤ bdf
 hintegrableAB :
   ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
     Integrable (fun a => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i a) μ
 hAY : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧), A k Xk ≤ Y k.succ (Fin.snoc Xk x)
 hBddAbove :
   ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧),
     𝓧 →
       BddAbove
         (Set.range fun x =>
           ∫ (a : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) a ∂μ)
 hYB : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧), B k Xk ≥ Y k.succ (Fin.snoc Xk x)
 hAB : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), B k Xk ≤ A k Xk + c' k
 hmartigale : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), ∫ (ω : Ω), Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' k ω)) ∂μ = Y k.castSucc Xk
 hmeasurableY : ∀ (k : Fin m.succ), Measurable (Y k)
 hYbdd : ∀ (k : Fin m.succ) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), |Y k Xk| ≤ bdf
 V : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → Ω → ℝ := fun k Xk ω => Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' k ω)) - Y k.castSucc Xk
 t'' : ℝ := 4 * ε * t
 ht'' : t'' ≥ 0
 hhoefdding :
   ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), ∫ (ω : Ω), Real.exp (t'' * V k Xk ω) ∂μ ≤ Real.exp (t'' ^ 2 * c' k ^ 2 / 8)
 E : ℝ := Y 0 fun x => x₀
 hintegrablelefts :
   ∀ (k : ℕ) (h : k ≤ m), Integrable (fun x => Real.exp (t'' * ((Y ⟨k, ⋯⟩ fun i => X' (Fin.castLE h i) x) - E))) μ
 k : ℕ
 ih✝ :
   ∀ (h : k ≤ m),
     ∫ (ω : Ω), Real.exp (t'' * ((Y ⟨k, ⋯⟩ fun i => X' (Fin.castLE h i) ω) - E)) ∂μ ≤
       Real.exp ((t'' ^ 2 * ∑ i, c' (Fin.castLE h i) ^ 2) / 8)
 h : k + 1 ≤ m
 ih :
   ∫ (ω : Ω), Real.exp (t'' * ((Y ⟨k, ⋯⟩ fun i => X' (Fin.castLE ⋯ i) ω) - E)) ∂μ ≤
     Real.exp ((t'' ^ 2 * ∑ i, c' (Fin.castLE ⋯ i) ^ 2) / 8)
 hintegrableleft : Integrable (fun x => Real.exp (t'' * ((Y ⟨k, ⋯⟩ fun i => X' (Fin.castLE ⋯ i) x) - E))) μ
 this :
   (fun ω =>
       Real.exp (t'' * ((Y ⟨k, ⋯⟩ fun i => X' (Fin.castLE h ↑↑i) ω) - E)) *
         ∫ (ω' : Ω), Real.exp (t'' * V ⟨k, h⟩ (fun i => X' (Fin.castLE h ↑↑i) ω) ω') ∂μ) =
     fun ω =>
     (∫ (ω' : Ω), Real.exp (t'' * V ⟨k, h⟩ (fun i => X' (Fin.castLE h ↑↑i) ω) ω') ∂μ) *
       Real.exp (t'' * ((Y ⟨k, ⋯⟩ fun i => X' (Fin.castLE h ↑↑i) ω) - E))
 ω ω' : Ω
 ⊢ Real.exp (t'' * V ⟨k, h⟩ (fun i => X' (Fin.castLE h ↑↑i) ω) ω') ≤ Real.exp (t'' * (bdf + bdf))]