zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_286.{u_3, u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {ι : Type u_3} [inst_2 : DecidableEq ι] {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧}
  [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] [inst_3 : Fintype ι] (X : ι → Ω → 𝓧) (hX : ∀ (i : ι), Measurable (X i))
  (hX' : iIndepFun X μ) (f : (ι → 𝓧) → ℝ) (c : ι → ℝ)
  (hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i) (hf' : Measurable f) (ε : ℝ)
  (hε : ε > 0) (t : ℝ) (ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1)
  (hmf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |(-f) x - (-f) (Function.update x i x')| ≤ c i) (hmf' : Measurable (-f))
  (ω : Ω)
  (this :
    ((-f) ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), ((-f) ∘ Function.swap X) a ∂μ =
      -((f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), (f ∘ Function.swap X) a ∂μ))
  (h_original_goal :
    (f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), (f ∘ Function.swap X) a ∂μ ≤ -ε ↔
      ((-f) ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), ((-f) ∘ Function.swap X) a ∂μ ≥ ε) :
  (f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), (f ∘ Function.swap X) a ∂μ ≤ -ε ↔
    -((f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), (f ∘ Function.swap X) a ∂μ) ≥ ε := sorry

Tactic state before:
case h.a
Ω : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
inst✝ : Fintype ι
X : ι → Ω → 𝓧
hX : ∀ (i : ι), Measurable (X i)
hX' : iIndepFun X μ
f : (ι → 𝓧) → ℝ
c : ι → ℝ
hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i
hf' : Measurable f
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1
hmf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |(-f) x - (-f) (Function.update x i x')| ≤ c i
hmf' : Measurable (-f)
ω : Ω
this :
  ((-f) ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), ((-f) ∘ Function.swap X) a ∂μ =
    -((f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), (f ∘ Function.swap X) a ∂μ)
⊢ (f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), (f ∘ Function.swap X) a ∂μ ≤ -ε ↔
    ((-f) ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), ((-f) ∘ Function.swap X) a ∂μ ≥ ε

Tactic:
rw [this]

Tactic state after:
[case h.a
 Ω : Type u_1
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 𝓧 : Type u_2
 ι : Type u_3
 inst✝¹ : DecidableEq ι
 m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
 hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
 inst✝ : Fintype ι
 X : ι → Ω → 𝓧
 hX : ∀ (i : ι), Measurable (X i)
 hX' : iIndepFun X μ
 f : (ι → 𝓧) → ℝ
 c : ι → ℝ
 hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i
 hf' : Measurable f
 ε : ℝ
 hε : ε > 0
 t : ℝ
 ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1
 hmf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |(-f) x - (-f) (Function.update x i x')| ≤ c i
 hmf' : Measurable (-f)
 ω : Ω
 this :
   ((-f) ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), ((-f) ∘ Function.swap X) a ∂μ =
     -((f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), (f ∘ Function.swap X) a ∂μ)
 ⊢ (f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), (f ∘ Function.swap X) a ∂μ ≤ -ε ↔
     -((f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), (f ∘ Function.swap X) a ∂μ) ≥ ε]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_287.{u_3, u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {ι : Type u_3} [inst_2 : DecidableEq ι] {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧}
  [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] [inst_3 : Fintype ι] (X : ι → Ω → 𝓧) (hX : ∀ (i : ι), Measurable (X i))
  (hX' : iIndepFun X μ) (f : (ι → 𝓧) → ℝ) (c : ι → ℝ)
  (hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i) (hf' : Measurable f) (ε : ℝ)
  (hε : ε > 0) (t : ℝ) (ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1)
  (hmf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |(-f) x - (-f) (Function.update x i x')| ≤ c i) (hmf' : Measurable (-f))
  (ω : Ω)
  (this :
    ((-f) ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), ((-f) ∘ Function.swap X) a ∂μ =
      -((f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), (f ∘ Function.swap X) a ∂μ)) :
  (f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), (f ∘ Function.swap X) a ∂μ ≤ -ε ↔
    -((f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), (f ∘ Function.swap X) a ∂μ) ≥ ε := sorry

Tactic state before:
case h.a
Ω : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
inst✝ : Fintype ι
X : ι → Ω → 𝓧
hX : ∀ (i : ι), Measurable (X i)
hX' : iIndepFun X μ
f : (ι → 𝓧) → ℝ
c : ι → ℝ
hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i
hf' : Measurable f
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1
hmf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |(-f) x - (-f) (Function.update x i x')| ≤ c i
hmf' : Measurable (-f)
ω : Ω
this :
  ((-f) ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), ((-f) ∘ Function.swap X) a ∂μ =
    -((f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), (f ∘ Function.swap X) a ∂μ)
⊢ (f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), (f ∘ Function.swap X) a ∂μ ≤ -ε ↔
    -((f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), (f ∘ Function.swap X) a ∂μ) ≥ ε

Tactic:
exact le_neg

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_288.{u_3, u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {ι : Type u_3} [inst_2 : DecidableEq ι] {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧}
  [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] [inst_3 : Fintype ι] (X : ι → Ω → 𝓧) (hX : ∀ (i : ι), Measurable (X i))
  (hX' : iIndepFun X μ) (f : (ι → 𝓧) → ℝ) (c : ι → ℝ)
  (hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i) (hf' : Measurable f) (ε : ℝ)
  (hε : ε > 0) (t : ℝ) (ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1)
  (hmf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |(-f) x - (-f) (Function.update x i x')| ≤ c i) (hmf' : Measurable (-f))
  (this :
    (fun ω => (f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), (f ∘ Function.swap X) a ∂μ ≤ -ε) = fun ω =>
      ((-f) ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), ((-f) ∘ Function.swap X) a ∂μ ≥ ε)
  (h_original_goal :
    (μ fun ω => (f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (x : Ω), (f ∘ Function.swap X) x ∂μ ≤ -ε).toReal ≤
      Real.exp (-2 * ε ^ 2 * t)) :
  (μ fun ω => ((-f) ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), ((-f) ∘ Function.swap X) a ∂μ ≥ ε).toReal ≤
    Real.exp (-2 * ε ^ 2 * t) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
inst✝ : Fintype ι
X : ι → Ω → 𝓧
hX : ∀ (i : ι), Measurable (X i)
hX' : iIndepFun X μ
f : (ι → 𝓧) → ℝ
c : ι → ℝ
hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i
hf' : Measurable f
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1
hmf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |(-f) x - (-f) (Function.update x i x')| ≤ c i
hmf' : Measurable (-f)
this :
  (fun ω => (f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), (f ∘ Function.swap X) a ∂μ ≤ -ε) = fun ω =>
    ((-f) ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), ((-f) ∘ Function.swap X) a ∂μ ≥ ε
⊢ (μ fun ω => (f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (x : Ω), (f ∘ Function.swap X) x ∂μ ≤ -ε).toReal ≤ Real.exp (-2 * ε ^ 2 * t)

Tactic:
rw [this]

Tactic state after:
[Ω : Type u_1
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 𝓧 : Type u_2
 ι : Type u_3
 inst✝¹ : DecidableEq ι
 m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
 hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
 inst✝ : Fintype ι
 X : ι → Ω → 𝓧
 hX : ∀ (i : ι), Measurable (X i)
 hX' : iIndepFun X μ
 f : (ι → 𝓧) → ℝ
 c : ι → ℝ
 hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i
 hf' : Measurable f
 ε : ℝ
 hε : ε > 0
 t : ℝ
 ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1
 hmf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |(-f) x - (-f) (Function.update x i x')| ≤ c i
 hmf' : Measurable (-f)
 this :
   (fun ω => (f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), (f ∘ Function.swap X) a ∂μ ≤ -ε) = fun ω =>
     ((-f) ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), ((-f) ∘ Function.swap X) a ∂μ ≥ ε
 ⊢ (μ fun ω => ((-f) ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), ((-f) ∘ Function.swap X) a ∂μ ≥ ε).toReal ≤
     Real.exp (-2 * ε ^ 2 * t)]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_289.{u_3, u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {ι : Type u_3} [inst_2 : DecidableEq ι] {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧}
  [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] [inst_3 : Fintype ι] (X : ι → Ω → 𝓧) (hX : ∀ (i : ι), Measurable (X i))
  (hX' : iIndepFun X μ) (f : (ι → 𝓧) → ℝ) (c : ι → ℝ)
  (hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i) (hf' : Measurable f) (ε : ℝ)
  (hε : ε > 0) (t : ℝ) (ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1)
  (hmf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |(-f) x - (-f) (Function.update x i x')| ≤ c i) (hmf' : Measurable (-f))
  (this :
    (fun ω => (f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), (f ∘ Function.swap X) a ∂μ ≤ -ε) = fun ω =>
      ((-f) ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), ((-f) ∘ Function.swap X) a ∂μ ≥ ε) :
  (μ fun ω => ((-f) ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), ((-f) ∘ Function.swap X) a ∂μ ≥ ε).toReal ≤
    Real.exp (-2 * ε ^ 2 * t) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
inst✝ : Fintype ι
X : ι → Ω → 𝓧
hX : ∀ (i : ι), Measurable (X i)
hX' : iIndepFun X μ
f : (ι → 𝓧) → ℝ
c : ι → ℝ
hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i
hf' : Measurable f
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1
hmf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |(-f) x - (-f) (Function.update x i x')| ≤ c i
hmf' : Measurable (-f)
this :
  (fun ω => (f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), (f ∘ Function.swap X) a ∂μ ≤ -ε) = fun ω =>
    ((-f) ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), ((-f) ∘ Function.swap X) a ∂μ ≥ ε
⊢ (μ fun ω => ((-f) ∘ Function.swap X) ω - ∫ (a : Ω), ((-f) ∘ Function.swap X) a ∂μ ≥ ε).toReal ≤
    Real.exp (-2 * ε ^ 2 * t)

Tactic:
apply mcdiarmid_inequality_pos X hX hX' (-f) c hmf hmf' ε hε t ht'

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_290.{u_3, u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {ι : Type u_3} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [inst_2 : Fintype ι]
  {X' : Ω → 𝓧} (hX'' : Measurable X') (S T : Finset ι) (hST : Disjoint T S) :
  IndepFun (fun ω t => X' (ω ↑t)) (fun ω s => X' (ω ↑s)) (Measure.pi fun x => μ) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
inst✝ : Fintype ι
X' : Ω → 𝓧
hX'' : Measurable X'
S T : Finset ι
hST : Disjoint T S
⊢ IndepFun (fun ω t => X' (ω ↑t)) (fun ω s => X' (ω ↑s)) (Measure.pi fun x => μ)

Tactic:
exact iIndepFun.indepFun_finset T S hST (pi_comp_eval_iIndepFun hX'') fun _ ↦ (by measurability)

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_291.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Ω → 𝓧} (hX'' : Measurable X') {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ} {c' : Fin m → ℝ}
  (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1) (i : Fin m) :
  Measurable fun ω => X' (ω i) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Ω → 𝓧
hX'' : Measurable X'
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε ≥ 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
i : Fin m
⊢ Measurable fun ω => X' (ω i)

Tactic:
apply hX''.comp (measurable_pi_apply i)

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_296.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Ω → 𝓧} (hX'' : Measurable X') {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ} {c' : Fin m → ℝ}
  (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1)
  (hX''' : ∀ (i : Fin m), Measurable fun ω => X' (ω i)) (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧) (i : Fin m) (h : ↑i < ↑k)
  (this_1 : ↑i < ↑k.succ) (this : ⟨↑i, this_1⟩ = ⟨↑i, h⟩.castSucc) :
  Fin.snoc Xk x ⟨↑i, h⟩.castSucc = Xk ⟨↑i, h⟩ := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Ω → 𝓧
hX'' : Measurable X'
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε ≥ 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
hX''' : ∀ (i : Fin m), Measurable fun ω => X' (ω i)
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ∫ (x : Fin m → Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' (ω i)) x ∂Measure.pi fun x => μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x,
      ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
          x_1 ∂Measure.pi fun x => μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x,
      ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
          x_1 ∂Measure.pi fun x => μ
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x : 𝓧
ω : Fin m → Ω
i : Fin m
h : ↑i < ↑k
this✝ : ↑i < ↑k.succ
this : ⟨↑i, this✝⟩ = ⟨↑i, h⟩.castSucc
⊢ Fin.snoc Xk x ⟨↑i, h⟩.castSucc = Xk ⟨↑i, h⟩

Tactic:
apply Fin.snoc_castSucc

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_301.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Ω → 𝓧} (hX'' : Measurable X') {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ} {c' : Fin m → ℝ}
  (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1)
  (hX''' : ∀ (i : Fin m), Measurable fun ω => X' (ω i)) (k i : Fin m) (h : ¬↑i < ↑k) (h2 : ↑i = ↑k)
  (this : ↑i < ↑k.succ) : ↑(Fin.last ↑k) = ↑i := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Ω → 𝓧
hX'' : Measurable X'
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε ≥ 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
hX''' : ∀ (i : Fin m), Measurable fun ω => X' (ω i)
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ∫ (x : Fin m → Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' (ω i)) x ∂Measure.pi fun x => μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x,
      ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
          x_1 ∂Measure.pi fun x => μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x,
      ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
          x_1 ∂Measure.pi fun x => μ
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x : 𝓧
ω : Fin m → Ω
i : Fin m
h : ¬↑i < ↑k
h2 : ↑i = ↑k
this : ↑i < ↑k.succ
⊢ ↑(Fin.last ↑k) = ↑i

Tactic:
exact id (Eq.symm h2)

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_303.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Ω → 𝓧} (hX'' : Measurable X') {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ} {c' : Fin m → ℝ}
  (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1)
  (hX''' : ∀ (i : Fin m), Measurable fun ω => X' (ω i)) (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧) (i : Fin m) (h : ¬↑i < ↑k)
  (h2 : ↑i = ↑k) (this_1 : ↑i < ↑k.succ) (this : ⟨↑i, this_1⟩ = Fin.last ↑k) : Fin.snoc Xk x (Fin.last ↑k) = x := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Ω → 𝓧
hX'' : Measurable X'
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε ≥ 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
hX''' : ∀ (i : Fin m), Measurable fun ω => X' (ω i)
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ∫ (x : Fin m → Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' (ω i)) x ∂Measure.pi fun x => μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x,
      ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
          x_1 ∂Measure.pi fun x => μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x,
      ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
          x_1 ∂Measure.pi fun x => μ
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x : 𝓧
ω : Fin m → Ω
i : Fin m
h : ¬↑i < ↑k
h2 : ↑i = ↑k
this✝ : ↑i < ↑k.succ
this : ⟨↑i, this✝⟩ = Fin.last ↑k
⊢ Fin.snoc Xk x (Fin.last ↑k) = x

Tactic:
apply Fin.snoc_last

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_304.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Ω → 𝓧} (hX'' : Measurable X') {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ} {c' : Fin m → ℝ}
  (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1)
  (hX''' : ∀ (i : Fin m), Measurable fun ω => X' (ω i)) (k i : Fin m) (h : ¬↑i < ↑k) (h2 : ¬↑i = ↑k)
  (h_original_goal : ¬↑i < ↑k.succ) : ↑k + 1 ≤ ↑i := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Ω → 𝓧
hX'' : Measurable X'
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε ≥ 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
hX''' : ∀ (i : Fin m), Measurable fun ω => X' (ω i)
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ∫ (x : Fin m → Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' (ω i)) x ∂Measure.pi fun x => μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x,
      ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
          x_1 ∂Measure.pi fun x => μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x,
      ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
          x_1 ∂Measure.pi fun x => μ
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x : 𝓧
ω : Fin m → Ω
i : Fin m
h : ¬↑i < ↑k
h2 : ¬↑i = ↑k
⊢ ¬↑i < ↑k.succ

Tactic:
simp only [Fin.val_succ, not_lt]

Tactic state after:
[Ω : Type u_1
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 𝓧 : Type u_2
 m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
 hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
 m : ℕ
 X' : Ω → 𝓧
 hX'' : Measurable X'
 f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
 c' : Fin m → ℝ
 hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
 hf'' : StronglyMeasurable f'
 ε : ℝ
 hε : ε ≥ 0
 t : ℝ
 ht : t ≥ 0
 ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
 hX''' : ∀ (i : Fin m), Measurable fun ω => X' (ω i)
 Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ∫ (x : Fin m → Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' (ω i)) x ∂Measure.pi fun x => μ
 A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨅ x,
       ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
         (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
           x_1 ∂Measure.pi fun x => μ
 B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨆ x,
       ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
         (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
           x_1 ∂Measure.pi fun x => μ
 k : Fin m
 Xk : Fin ↑k → 𝓧
 x : 𝓧
 ω : Fin m → Ω
 i : Fin m
 h : ¬↑i < ↑k
 h2 : ¬↑i = ↑k
 ⊢ ↑k + 1 ≤ ↑i]