zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_13.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (x : Fin n → Z) (x' : Z) (s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) (j : ι)
  (h_original_goal :
    |(↑n)⁻¹ * ∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))| =
      (↑n)⁻¹ * |∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))|) :
  |(↑n)⁻¹| * |∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))| =
    (↑n)⁻¹ * |∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))| := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
j : ι
⊢ |(↑n)⁻¹ * ∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))| =
    (↑n)⁻¹ * |∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))|

Tactic:
rw [abs_mul]

Tactic state after:
[Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
 j : ι
 ⊢ |(↑n)⁻¹| * |∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))| =
     (↑n)⁻¹ * |∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))|]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_14.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (x : Fin n → Z) (x' : Z) (s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) (j : ι) :
  |(↑n)⁻¹| * |∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))| =
    (↑n)⁻¹ * |∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))| := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
j : ι
⊢ |(↑n)⁻¹| * |∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))| =
    (↑n)⁻¹ * |∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))|

Tactic:
simp

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_15.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (x : Fin n → Z) (x' : Z) (s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) (j : ι) (pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b)
  (h_original_goal : |∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))| ≤ (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n) :
  |∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))| ≤ 2 * b := sorry

Tactic state before:
case refine_2
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
j : ι
pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b
⊢ |∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))| ≤ (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n

Tactic:
rw [pe]

Tactic state after:
[case refine_2
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
 j : ι
 pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b
 ⊢ |∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))| ≤ 2 * b]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_16.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (x : Fin n → Z) (x' : Z) (s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) (j : ι) (pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b) :
  |∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))| ≤ ∑ k, |f j (x k) - f j (Function.update x i x' k)| := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
j : ι
pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b
⊢ |∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))| ≤ ∑ k, |f j (x k) - f j (Function.update x i x' k)|

Tactic:
exact Finset.abs_sum_le_sum_abs (fun i_1 ↦ f j (x i_1) - f j (Function.update x i x' i_1)) Finset.univ

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_17.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (x : Fin n → Z) (x' : Z) (s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) (j : ι) (pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b)
  (h_original_goal :
    ∑ k, |f j (x k) - f j (Function.update x i x' k)| = ∑ k, |if i = k then f j (x k) - f j x' else 0|) :
  (fun k => |f j (x k) - f j (Function.update x i x' k)|) = fun k => |if i = k then f j (x k) - f j x' else 0| := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
j : ι
pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b
⊢ ∑ k, |f j (x k) - f j (Function.update x i x' k)| = ∑ k, |if i = k then f j (x k) - f j x' else 0|

Tactic:
apply congrArg

Tactic state after:
[case h
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
 j : ι
 pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b
 ⊢ (fun k => |f j (x k) - f j (Function.update x i x' k)|) = fun k => |if i = k then f j (x k) - f j x' else 0|]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_18.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (x : Fin n → Z) (x' : Z) (s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) (j : ι) (pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b)
  (k : Fin n)
  (h_original_goal : |f j (x k) - f j (Function.update x i x' k)| = |if i = k then f j (x k) - f j x' else 0|) :
  f j (x k) - f j (Function.update x i x' k) = if i = k then f j (x k) - f j x' else 0 := sorry

Tactic state before:
case h.h
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
j : ι
pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b
k : Fin n
⊢ |f j (x k) - f j (Function.update x i x' k)| = |if i = k then f j (x k) - f j x' else 0|

Tactic:
apply congrArg

Tactic state after:
[case h.h.h
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
 j : ι
 pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b
 k : Fin n
 ⊢ f j (x k) - f j (Function.update x i x' k) = if i = k then f j (x k) - f j x' else 0]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_19.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (x : Fin n → Z) (x' : Z) (s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) (j : ι) (pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b)
  (k : Fin n)
  (h_original_goal :
    f j (x k) - f j (if h : k = i then Eq.symm h ▸ x' else x k) = if i = k then f j (x k) - f j x' else 0) :
  f j (x k) - f j (if k = i then x' else x k) = if i = k then f j (x k) - f j x' else 0 := sorry

Tactic state before:
case h.h.h
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
j : ι
pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b
k : Fin n
⊢ f j (x k) - f j (if h : k = i then ⋯ ▸ x' else x k) = if i = k then f j (x k) - f j x' else 0

Tactic:
simp only [eq_rec_constant, dite_eq_ite, h, g]

Tactic state after:
[case h.h.h
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
 j : ι
 pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b
 k : Fin n
 ⊢ f j (x k) - f j (if k = i then x' else x k) = if i = k then f j (x k) - f j x' else 0]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_20.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (x : Fin n → Z) (x' : Z) (s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) (j : ι) (pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b)
  (k : Fin n)
  (h_original_goal : f j (x k) - f j (if k = i then x' else x k) = f j (x k) - if k = i then f j x' else f j (x k)) :
  f j (if k = i then x' else x k) = if k = i then f j x' else f j (x k) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
j : ι
pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b
k : Fin n
⊢ f j (x k) - f j (if k = i then x' else x k) = f j (x k) - if k = i then f j x' else f j (x k)

Tactic:
simp only [sub_right_inj, h, g]

Tactic state after:
[Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
 j : ι
 pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b
 k : Fin n
 ⊢ f j (if k = i then x' else x k) = if k = i then f j x' else f j (x k)]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_21.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (x : Fin n → Z) (x' : Z) (s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) (j : ι) (pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b)
  (k : Fin n) : f j (if k = i then x' else x k) = if k = i then f j x' else f j (x k) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
j : ι
pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b
k : Fin n
⊢ f j (if k = i then x' else x k) = if k = i then f j x' else f j (x k)

Tactic:
exact apply_ite (f j) (k = i) x' (x k)

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_22.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (x : Fin n → Z) (x' : Z) (s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) (j : ι) (pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b)
  (k : Fin n) :
  (f j (x k) - if k = i then f j x' else f j (x k)) =
    if k = i then f j (x k) - f j x' else f j (x k) - f j (x k) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
j : ι
pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b
k : Fin n
⊢ (f j (x k) - if k = i then f j x' else f j (x k)) = if k = i then f j (x k) - f j x' else f j (x k) - f j (x k)

Tactic:
exact sub_ite (k = i) (f j (x k)) (f j x') (f j (x k))

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_23.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (x : Fin n → Z) (x' : Z) (s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) (j : ι) (pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b)
  (k : Fin n)
  (h_original_goal :
    (if k = i then f j (x k) - f j x' else f j (x k) - f j (x k)) = if i = k then f j (x k) - f j x' else 0) :
  (if k = i then f j (x k) - f j x' else 0) = if i = k then f j (x k) - f j x' else 0 := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
j : ι
pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b
k : Fin n
⊢ (if k = i then f j (x k) - f j x' else f j (x k) - f j (x k)) = if i = k then f j (x k) - f j x' else 0

Tactic:
simp only [sub_self, h, g]

Tactic state after:
[Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
 j : ι
 pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b
 k : Fin n
 ⊢ (if k = i then f j (x k) - f j x' else 0) = if i = k then f j (x k) - f j x' else 0]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_24.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) (pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b) (k : Fin n) :
  i = k ↔ k = i := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
j : ι
pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b
k : Fin n
⊢ i = k ↔ k = i

Tactic:
exact eq_comm

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_25.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (x : Fin n → Z) (x' : Z) (s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) (j : ι) (pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b)
  (k : Fin n) (t : f j (x k) - f j (if k = i then x' else x k) = if i = k then f j (x k) - f j x' else 0) :
  f j (x k) - f j (if k = i then x' else x k) = if i = k then f j (x k) - f j x' else 0 := sorry

Tactic state before:
case h.h.h
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
j : ι
pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b
k : Fin n
t : f j (x k) - f j (if k = i then x' else x k) = if i = k then f j (x k) - f j x' else 0
⊢ f j (x k) - f j (if k = i then x' else x k) = if i = k then f j (x k) - f j x' else 0

Tactic:
exact t

Tactic state after: