zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_0.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (a : ι)
  (h_original_goal : ∫ (x : Ω), |f a (X x)| ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), b ∂μ) : Integrable (fun a_1 => |f a (X a_1)|) μ := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
a : ι
⊢ ∫ (x : Ω), |f a (X x)| ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), b ∂μ

Tactic:
apply integral_mono

Tactic state after:
[case hf
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 a : ι
 ⊢ Integrable (fun a_1 => |f a (X a_1)|) μ,
 case hg
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 a : ι
 ⊢ Integrable (fun a => b) μ,
 case h
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 a : ι
 ⊢ (fun a_1 => |f a (X a_1)|) ≤ fun a => b]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_1.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (a : ι)
  (h_original_goal : ∫ (x : Ω), |f a (X x)| ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), b ∂μ) : Integrable (fun a => b) μ := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
a : ι
⊢ ∫ (x : Ω), |f a (X x)| ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), b ∂μ

Tactic:
apply integral_mono

Tactic state after:
[case hf
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 a : ι
 ⊢ Integrable (fun a_1 => |f a (X a_1)|) μ,
 case hg
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 a : ι
 ⊢ Integrable (fun a => b) μ,
 case h
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 a : ι
 ⊢ (fun a_1 => |f a (X a_1)|) ≤ fun a => b]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_2.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (a : ι)
  (h_original_goal : ∫ (x : Ω), |f a (X x)| ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), b ∂μ) : (fun a_1 => |f a (X a_1)|) ≤ fun a => b := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
a : ι
⊢ ∫ (x : Ω), |f a (X x)| ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), b ∂μ

Tactic:
apply integral_mono

Tactic state after:
[case hf
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 a : ι
 ⊢ Integrable (fun a_1 => |f a (X a_1)|) μ,
 case hg
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 a : ι
 ⊢ Integrable (fun a => b) μ,
 case h
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 a : ι
 ⊢ (fun a_1 => |f a (X a_1)|) ≤ fun a => b]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_3.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (a : ι) (a_1 : Ω) :
  0 ≤ |f a (X a_1)| := sorry

Tactic state before:
case hf.right.h.h.left
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
a : ι
a_1 : Ω
⊢ ?hf.right.a ≤ |f a (X a_1)|

Tactic:
exact abs_nonneg (f a (X a_1))

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_4.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (a : ι) (a_1 : Ω) :
  |f a (X a_1)| ≤ b := sorry

Tactic state before:
case hf.right.h.h.right
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
a : ι
a_1 : Ω
⊢ |f a (X a_1)| ≤ ?hf.right.b

Tactic:
apply hf'

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_5.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) :
  Integrable (fun a => b) μ := sorry

Tactic state before:
case hg
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
a : ι
⊢ Integrable (fun a => b) μ

Tactic:
exact integrable_const b

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_6.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (a : ι) :
  (fun a_1 => |f a (X a_1)|) ≤ fun a => b := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
a : ι
⊢ (fun a_1 => |f a (X a_1)|) ≤ fun a => b

Tactic:
exact fun i ↦ hf' a (X i)

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_7.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) :
  ∫ (x : Ω), b ∂μ = b := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
a : ι
⊢ ∫ (x : Ω), b ∂μ = b

Tactic:
simp

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_8.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (x : Fin n → Z) (x' : Z) (s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) (j : ι) :
  |(↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (x k) - ∫ (x : Ω), f j (X x) ∂μ -
        ((↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f j (X x) ∂μ)| =
    |(↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (x k) - (↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (Function.update x i x' k)| := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
j : ι
⊢ |(↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (x k) - ∫ (x : Ω), f j (X x) ∂μ -
        ((↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f j (X x) ∂μ)| =
    |(↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (x k) - (↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (Function.update x i x' k)|

Tactic:
rw [sub_sub_sub_cancel_right]

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_9.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (x : Fin n → Z) (x' : Z) (s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) (j : ι)
  (h_original_goal :
    |(↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (x k) - (↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (Function.update x i x' k)| =
      |(↑n)⁻¹ * (∑ k, f j (x k) - ∑ k, f j (Function.update x i x' k))|) :
  (↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (x k) - (↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (Function.update x i x' k) =
    (↑n)⁻¹ * (∑ k, f j (x k) - ∑ k, f j (Function.update x i x' k)) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
j : ι
⊢ |(↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (x k) - (↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (Function.update x i x' k)| =
    |(↑n)⁻¹ * (∑ k, f j (x k) - ∑ k, f j (Function.update x i x' k))|

Tactic:
apply congrArg

Tactic state after:
[case h
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
 j : ι
 ⊢ (↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (x k) - (↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (Function.update x i x' k) =
     (↑n)⁻¹ * (∑ k, f j (x k) - ∑ k, f j (Function.update x i x' k))]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_10.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (x : Fin n → Z) (x' : Z) (s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) (j : ι) :
  (↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (x k) - (↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (Function.update x i x' k) =
    (↑n)⁻¹ * (∑ k, f j (x k) - ∑ k, f j (Function.update x i x' k)) := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
j : ι
⊢ (↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (x k) - (↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (Function.update x i x' k) =
    (↑n)⁻¹ * (∑ k, f j (x k) - ∑ k, f j (Function.update x i x' k))

Tactic:
exact
  Eq.symm (mul_sub_left_distrib (↑n)⁻¹ (∑ k : Fin n, f j (x k)) (∑ k : Fin n, f j (Function.update x i x' k)))

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_11.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (x : Fin n → Z) (x' : Z) (s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) (j : ι)
  (h_original_goal :
    |(↑n)⁻¹ * (∑ k, f j (x k) - ∑ k, f j (Function.update x i x' k))| =
      |(↑n)⁻¹ * ∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))|) :
  (↑n)⁻¹ * (∑ k, f j (x k) - ∑ k, f j (Function.update x i x' k)) =
    (↑n)⁻¹ * ∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k)) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
j : ι
⊢ |(↑n)⁻¹ * (∑ k, f j (x k) - ∑ k, f j (Function.update x i x' k))| =
    |(↑n)⁻¹ * ∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))|

Tactic:
apply congrArg

Tactic state after:
[case h
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
 j : ι
 ⊢ (↑n)⁻¹ * (∑ k, f j (x k) - ∑ k, f j (Function.update x i x' k)) =
     (↑n)⁻¹ * ∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_12.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (x : Fin n → Z) (x' : Z) (s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) (j : ι) :
  (↑n)⁻¹ * (∑ k, f j (x k) - ∑ k, f j (Function.update x i x' k)) =
    (↑n)⁻¹ * ∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k)) := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
j : ι
⊢ (↑n)⁻¹ * (∑ k, f j (x k) - ∑ k, f j (Function.update x i x' k)) =
    (↑n)⁻¹ * ∑ k, (f j (x k) - f j (Function.update x i x' k))

Tactic:
rw [Finset.sum_sub_distrib]

Tactic state after: