zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import FoML


open scoped Topology

open MeasureTheory ProbabilityTheory BigOperators ENNReal Real Set Filter Asymptotics

theorem extracted_formal_statement_83.{u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] (μ : Measure Ω)
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {n : ℕ} {X : Fin n → Ω → ℝ} (hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i))
  (hXi : iIndepFun X μ) (hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1)
  (hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0) (σ : ℝ) (hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ)
  (ε τ : ℝ) (hτ : τ ≥ 0)
  (h_chernoff :
    Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
      (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ)
  (h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ)
  (h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t)
  (chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ)
  (h_exp_taylor : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, rexp (τ * X i ω) ≤ 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ))
  (i : Fin n) (h_single_integ1 : Integrable (fun ω => rexp (τ * X i ω)) μ)
  (h_single_integ2 : Integrable (fun ω => 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ)
  (h_exp_int : ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ)
  (h_const : Integrable (fun x => 1) μ) (hX_int : Integrable (fun ω => X i ω) μ)
  (h_mul' : Integrable (fun x => τ * X i x) μ) (this : HasFiniteIntegral ((fun x => 1) + fun x => τ * X i x) μ)
  (h_bound : ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ, X i a ^ 2 ≤ 1) (h_lbound : ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ, X i a ^ 2 ≥ 0) (a : Ω) (ha : X i a ^ 2 ≤ 1)
  (hlb : X i a ^ 2 ≥ 0) : X i a ^ 2 ≤ 1 := sorry

Tactic state before:
case h.right
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
n : ℕ
X : Fin n → Ω → ℝ
hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i)
hXi : iIndepFun X μ
hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1
hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0
σ : ℝ
hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ
ε τ : ℝ
hτ : τ ≥ 0
h_chernoff :
  Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
    (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ
h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ
h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t
chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ
h_exp_taylor : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, rexp (τ * X i ω) ≤ 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)
i : Fin n
h_single_integ1 : Integrable (fun ω => rexp (τ * X i ω)) μ
h_single_integ2 : Integrable (fun ω => 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ
h_exp_int : ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ
h_const : Integrable (fun x => 1) μ
hX_int : Integrable (fun ω => X i ω) μ
h_mul' : Integrable (fun x => τ * X i x) μ
this : HasFiniteIntegral ((fun x => 1) + fun x => τ * X i x) μ
h_bound : ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ, X i a ^ 2 ≤ 1
h_lbound : ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ, X i a ^ 2 ≥ 0
a : Ω
ha : X i a ^ 2 ≤ 1
hlb : X i a ^ 2 ≥ 0
⊢ X i a ^ 2 ≤ 1

Tactic:
exact ha

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


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open MeasureTheory ProbabilityTheory BigOperators ENNReal Real Set Filter Asymptotics

theorem extracted_formal_statement_85.{u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] (μ : Measure Ω)
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {n : ℕ} {X : Fin n → Ω → ℝ} (hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i))
  (hXi : iIndepFun X μ) (hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1)
  (hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0) (σ : ℝ) (hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ)
  (ε τ : ℝ) (hτ : τ ≥ 0)
  (h_chernoff :
    Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
      (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ)
  (h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ)
  (h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t)
  (chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ)
  (h_exp_taylor : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, rexp (τ * X i ω) ≤ 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ))
  (i : Fin n) (h_single_integ1 : Integrable (fun ω => rexp (τ * X i ω)) μ)
  (h_single_integ2 : Integrable (fun ω => 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ)
  (h_exp_int : ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ)
  (h_const : Integrable (fun x => 1) μ) (hX_int : Integrable (fun ω => X i ω) μ)
  (h_mul' : Integrable (fun x => τ * X i x) μ) (this : HasFiniteIntegral ((fun x => 1) + fun x => τ * X i x) μ)
  (h_int : Integrable (fun ω => X i ω ^ 2) μ) (h_mul'' : Integrable (fun x => X i x ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ) :
  Integrable (fun ω => X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ := sorry

Tactic state before:
case hg
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
n : ℕ
X : Fin n → Ω → ℝ
hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i)
hXi : iIndepFun X μ
hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1
hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0
σ : ℝ
hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ
ε τ : ℝ
hτ : τ ≥ 0
h_chernoff :
  Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
    (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ
h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ
h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t
chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ
h_exp_taylor : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, rexp (τ * X i ω) ≤ 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)
i : Fin n
h_single_integ1 : Integrable (fun ω => rexp (τ * X i ω)) μ
h_single_integ2 : Integrable (fun ω => 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ
h_exp_int : ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ
h_const : Integrable (fun x => 1) μ
hX_int : Integrable (fun ω => X i ω) μ
h_mul' : Integrable (fun x => τ * X i x) μ
this : HasFiniteIntegral ((fun x => 1) + fun x => τ * X i x) μ
h_int : Integrable (fun ω => X i ω ^ 2) μ
h_mul'' : Integrable (fun x => X i x ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ
⊢ Integrable (fun ω => X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ

Tactic:
exact h_mul''

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open scoped Topology

open MeasureTheory ProbabilityTheory BigOperators ENNReal Real Set Filter Asymptotics

theorem extracted_formal_statement_86.{u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] (μ : Measure Ω)
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {n : ℕ} {X : Fin n → Ω → ℝ} (hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i))
  (hXi : iIndepFun X μ) (hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1)
  (hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0) (σ : ℝ) (hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ)
  (ε τ : ℝ) (hτ : τ ≥ 0)
  (h_chernoff :
    Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
      (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ)
  (h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ)
  (h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t)
  (chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ)
  (h_exp_taylor : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, rexp (τ * X i ω) ≤ 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ))
  (i : Fin n) (h_single_integ1 : Integrable (fun ω => rexp (τ * X i ω)) μ)
  (h_single_integ2 : Integrable (fun ω => 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ)
  (h_exp_int : ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ)
  (h_int_decomp :
    ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ =
      ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), τ * X i ω ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ) :
  ∫ (ω : Ω), τ * X i ω ∂μ = τ * ∫ (ω : Ω), X i ω ∂μ := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
n : ℕ
X : Fin n → Ω → ℝ
hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i)
hXi : iIndepFun X μ
hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1
hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0
σ : ℝ
hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ
ε τ : ℝ
hτ : τ ≥ 0
h_chernoff :
  Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
    (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ
h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ
h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t
chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ
h_exp_taylor : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, rexp (τ * X i ω) ≤ 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)
i : Fin n
h_single_integ1 : Integrable (fun ω => rexp (τ * X i ω)) μ
h_single_integ2 : Integrable (fun ω => 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ
h_exp_int : ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ
h_int_decomp :
  ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ =
    ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), τ * X i ω ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ
⊢ ∫ (ω : Ω), τ * X i ω ∂μ = τ * ∫ (ω : Ω), X i ω ∂μ

Tactic:
rw [integral_mul_left]

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open scoped Topology

open MeasureTheory ProbabilityTheory BigOperators ENNReal Real Set Filter Asymptotics

theorem extracted_formal_statement_87.{u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] (μ : Measure Ω)
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {n : ℕ} {X : Fin n → Ω → ℝ} (hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i))
  (hXi : iIndepFun X μ) (hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1)
  (hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0) (σ : ℝ) (hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ)
  (ε τ : ℝ) (hτ : τ ≥ 0)
  (h_chernoff :
    Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
      (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ)
  (h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ)
  (h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t)
  (chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ)
  (h_exp_taylor : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, rexp (τ * X i ω) ≤ 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ))
  (i : Fin n) (h_single_integ1 : Integrable (fun ω => rexp (τ * X i ω)) μ)
  (h_single_integ2 : Integrable (fun ω => 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ)
  (h_exp_int : ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ)
  (h_tmp : ∫ (ω : Ω), τ * X i ω ∂μ = τ * ∫ (ω : Ω), X i ω ∂μ)
  (h_int_decomp :
    ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ =
      ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ) :
  ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ = 1 := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
n : ℕ
X : Fin n → Ω → ℝ
hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i)
hXi : iIndepFun X μ
hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1
hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0
σ : ℝ
hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ
ε τ : ℝ
hτ : τ ≥ 0
h_chernoff :
  Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
    (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ
h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ
h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t
chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ
h_exp_taylor : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, rexp (τ * X i ω) ≤ 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)
i : Fin n
h_single_integ1 : Integrable (fun ω => rexp (τ * X i ω)) μ
h_single_integ2 : Integrable (fun ω => 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ
h_exp_int : ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ
h_tmp : ∫ (ω : Ω), τ * X i ω ∂μ = τ * ∫ (ω : Ω), X i ω ∂μ
h_int_decomp :
  ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ =
    ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ
⊢ ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ = 1

Tactic:
simp [ENNReal.ofReal_mul, norm_eq_abs, abs_sq]

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open scoped Topology

open MeasureTheory ProbabilityTheory BigOperators ENNReal Real Set Filter Asymptotics

theorem extracted_formal_statement_90.{u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] (μ : Measure Ω)
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {n : ℕ} {X : Fin n → Ω → ℝ} (hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i))
  (hXi : iIndepFun X μ) (hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1)
  (hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0) (σ : ℝ) (hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ)
  (ε τ : ℝ) (hτ : τ ≥ 0)
  (h_chernoff :
    Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
      (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ)
  (h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ)
  (h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t)
  (chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ)
  (h_exp_taylor : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, rexp (τ * X i ω) ≤ 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ))
  (i : Fin n) (h_single_integ1 : Integrable (fun ω => rexp (τ * X i ω)) μ)
  (h_single_integ2 : Integrable (fun ω => 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ)
  (h_exp_int : ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ)
  (h_tmp : ∫ (ω : Ω), τ * X i ω ∂μ = τ * ∫ (ω : Ω), X i ω ∂μ)
  (h_int_decomp :
    ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ =
      ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ)
  (hmu : ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ = 1) (h : rexp τ - 1 - τ = 0) : (∫ (a : Ω), X i a ^ 2 ∂μ) * 0 = σ ^ 2 * 0 := sorry

Tactic state before:
case pos
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
n : ℕ
X : Fin n → Ω → ℝ
hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i)
hXi : iIndepFun X μ
hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1
hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0
σ : ℝ
hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ
ε τ : ℝ
hτ : τ ≥ 0
h_chernoff :
  Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
    (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ
h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ
h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t
chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ
h_exp_taylor : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, rexp (τ * X i ω) ≤ 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)
i : Fin n
h_single_integ1 : Integrable (fun ω => rexp (τ * X i ω)) μ
h_single_integ2 : Integrable (fun ω => 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ
h_exp_int : ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ
h_tmp : ∫ (ω : Ω), τ * X i ω ∂μ = τ * ∫ (ω : Ω), X i ω ∂μ
h_int_decomp :
  ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ =
    ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ
hmu : ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ = 1
h : rexp τ - 1 - τ = 0
⊢ (∫ (a : Ω), X i a ^ 2 ∂μ) * 0 = σ ^ 2 * 0

Tactic:
simp [mul_zero]

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open scoped Topology

open MeasureTheory ProbabilityTheory BigOperators ENNReal Real Set Filter Asymptotics

theorem extracted_formal_statement_92.{u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] (μ : Measure Ω)
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {n : ℕ} {X : Fin n → Ω → ℝ} (hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i))
  (hXi : iIndepFun X μ) (hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1)
  (hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0) (σ : ℝ) (hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ)
  (ε τ : ℝ) (hτ : τ ≥ 0)
  (h_chernoff :
    Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
      (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ)
  (h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ)
  (h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t)
  (chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ)
  (h_exp_taylor : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, rexp (τ * X i ω) ≤ 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ))
  (i : Fin n) (h_single_integ1 : Integrable (fun ω => rexp (τ * X i ω)) μ)
  (h_single_integ2 : Integrable (fun ω => 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ)
  (h_exp_int : ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ)
  (h_tmp : ∫ (ω : Ω), τ * X i ω ∂μ = τ * ∫ (ω : Ω), X i ω ∂μ)
  (h_int_decomp :
    ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ =
      ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ)
  (hmu : ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ = 1) (h : ¬rexp τ - 1 - τ = 0) (this : ∫ (a : Ω), X i a ^ 2 ∂μ = σ ^ 2) :
  ∫ (a : Ω), X i a ^ 2 ∂μ = σ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
n : ℕ
X : Fin n → Ω → ℝ
hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i)
hXi : iIndepFun X μ
hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1
hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0
σ : ℝ
hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ
ε τ : ℝ
hτ : τ ≥ 0
h_chernoff :
  Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
    (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ
h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ
h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t
chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ
h_exp_taylor : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, rexp (τ * X i ω) ≤ 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)
i : Fin n
h_single_integ1 : Integrable (fun ω => rexp (τ * X i ω)) μ
h_single_integ2 : Integrable (fun ω => 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ
h_exp_int : ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ
h_tmp : ∫ (ω : Ω), τ * X i ω ∂μ = τ * ∫ (ω : Ω), X i ω ∂μ
h_int_decomp :
  ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ =
    ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ
hmu : ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ = 1
h : ¬rexp τ - 1 - τ = 0
this : ∫ (a : Ω), X i a ^ 2 ∂μ = σ ^ 2
⊢ ∫ (a : Ω), X i a ^ 2 ∂μ = σ ^ 2

Tactic:
exact this

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open scoped Topology

open MeasureTheory ProbabilityTheory BigOperators ENNReal Real Set Filter Asymptotics

theorem extracted_formal_statement_93.{u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] (μ : Measure Ω)
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {n : ℕ} {X : Fin n → Ω → ℝ} (hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i))
  (hXi : iIndepFun X μ) (hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1)
  (hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0) (σ : ℝ) (hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ)
  (ε τ : ℝ) (hτ : τ ≥ 0)
  (h_chernoff :
    Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
      (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ)
  (h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ)
  (h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t)
  (chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ)
  (h_exp_taylor : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, rexp (τ * X i ω) ≤ 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ))
  (i : Fin n) (h_single_integ1 : Integrable (fun ω => rexp (τ * X i ω)) μ)
  (h_single_integ2 : Integrable (fun ω => 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ)
  (h_exp_int : ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ)
  (h_tmp : ∫ (ω : Ω), τ * X i ω ∂μ = τ * ∫ (ω : Ω), X i ω ∂μ)
  (h_int_decomp :
    ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ =
      ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ)
  (hmu : ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ = 1) (h : ¬rexp τ - 1 - τ = 0) (this : σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ) :
  ∫ (a : Ω), X i a ^ 2 ∂μ = σ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
case neg
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
n : ℕ
X : Fin n → Ω → ℝ
hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i)
hXi : iIndepFun X μ
hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1
hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0
σ : ℝ
hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ
ε τ : ℝ
hτ : τ ≥ 0
h_chernoff :
  Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
    (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ
h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ
h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t
chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ
h_exp_taylor : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, rexp (τ * X i ω) ≤ 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)
i : Fin n
h_single_integ1 : Integrable (fun ω => rexp (τ * X i ω)) μ
h_single_integ2 : Integrable (fun ω => 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ
h_exp_int : ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ
h_tmp : ∫ (ω : Ω), τ * X i ω ∂μ = τ * ∫ (ω : Ω), X i ω ∂μ
h_int_decomp :
  ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ =
    ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ
hmu : ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ = 1
h : ¬rexp τ - 1 - τ = 0
this : σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ
⊢ ∫ (a : Ω), X i a ^ 2 ∂μ = σ ^ 2

Tactic:
simp [this]

Tactic state after:
import Mathlib
import FoML


open scoped Topology

open MeasureTheory ProbabilityTheory BigOperators ENNReal Real Set Filter Asymptotics

theorem extracted_formal_statement_96.{u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] (μ : Measure Ω)
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {n : ℕ} {X : Fin n → Ω → ℝ} (hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i))
  (hXi : iIndepFun X μ) (hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1)
  (hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0) (σ : ℝ) (hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ)
  (ε τ : ℝ) (hτ : τ ≥ 0)
  (h_chernoff :
    Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
      (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ)
  (h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ)
  (h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t)
  (chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ)
  (this : ∀ (i : Fin n), ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ rexp (σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ))) (i : Fin n) :
  0 ≤ ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
n : ℕ
X : Fin n → Ω → ℝ
hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i)
hXi : iIndepFun X μ
hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1
hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0
σ : ℝ
hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ
ε τ : ℝ
hτ : τ ≥ 0
h_chernoff :
  Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
    (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ
h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ
h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t
chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ
this : ∀ (i : Fin n), ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ rexp (σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ))
i : Fin n
⊢ 0 ≤ ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ

Tactic:
exact integral_nonneg (fun ω => (exp_pos _).le)

Tactic state after: