zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Filter Topology Set InnerProductSpace Finset

open Finset

theorem extracted_formal_statement_0.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {G : NNReal} (hf : ConvexOn ℝ Set.univ f) (hc : ContinuousOn f Set.univ)
  (h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G) (x gx : E) (hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x) (hx : ‖gx‖ ≤ ↑G) :
  ‖gx‖ ≤ ↑G := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
G : NNReal
hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
hc : ContinuousOn f Set.univ
h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
x y gx : E
hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
hx : ‖gx‖ ≤ ↑G
⊢ ‖gx‖ ≤ ↑G

Tactic:
apply hx

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Filter Topology Set InnerProductSpace Finset

open Finset

theorem extracted_formal_statement_1.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {G : NNReal} (hf : ConvexOn ℝ Set.univ f) (hc : ContinuousOn f Set.univ)
  (h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G) (x y gx : E) (hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x) (hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G)
  (hx₂ : f y ≥ ⟪gx, y - x⟫_ℝ + f x) (this : f x ≤ f y + ⟪gx, x - y⟫_ℝ) : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
G : NNReal
hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
hc : ContinuousOn f Set.univ
h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
x y gx : E
hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
hx₂ : f y ≥ ⟪gx, y - x⟫_ℝ + f x
this : f x ≤ f y + ⟪gx, x - y⟫_ℝ
⊢ f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ

Tactic:
exact sub_left_le_of_le_add this

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Filter Topology Set InnerProductSpace Finset

open Finset

theorem extracted_formal_statement_2.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {G : NNReal} (hf : ConvexOn ℝ Set.univ f) (hc : ContinuousOn f Set.univ)
  (h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G) (x y gx : E) (hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x) (hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G)
  (hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ) (hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ) (gy : E) (hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y)
  (hy : ‖gy‖ ≤ ↑G) : ‖gy‖ ≤ ↑G := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
G : NNReal
hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
hc : ContinuousOn f Set.univ
h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
x y gx : E
hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ
hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ
gy : E
hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y
hy : ‖gy‖ ≤ ↑G
⊢ ‖gy‖ ≤ ↑G

Tactic:
apply hy

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Filter Topology Set InnerProductSpace Finset

open Finset

theorem extracted_formal_statement_3.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {G : NNReal} (hf : ConvexOn ℝ Set.univ f) (hc : ContinuousOn f Set.univ)
  (h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G) (x y gx : E) (hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x) (hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G)
  (hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ) (hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ) (gy : E) (hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y)
  (hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G) (hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ) : f x - f y ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ - f y := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
G : NNReal
hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
hc : ContinuousOn f Set.univ
h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
x y gx : E
hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ
hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ
gy : E
hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y
hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G
hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ
⊢ f x - f y ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ - f y

Tactic:
apply sub_le_sub_right hy₂

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Filter Topology Set InnerProductSpace Finset

open Finset

theorem extracted_formal_statement_4.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {G : NNReal} (hf : ConvexOn ℝ Set.univ f) (hc : ContinuousOn f Set.univ)
  (h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G) (x y gx : E) (hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x) (hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G)
  (hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ) (hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ) (gy : E) (hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y)
  (hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G) (hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ) (hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ) :
  ↑G = ENNReal.ofReal ↑G := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
G : NNReal
hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
hc : ContinuousOn f Set.univ
h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
x y gx : E
hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ
hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ
gy : E
hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y
hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G
hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ
hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ
⊢ ↑G = ENNReal.ofReal ↑G

Tactic:
simp

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Filter Topology Set InnerProductSpace Finset

open Finset

theorem extracted_formal_statement_5.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {G : NNReal} (hf : ConvexOn ℝ Set.univ f) (hc : ContinuousOn f Set.univ)
  (h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G) (x y gx : E) (hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x) (hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G)
  (hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ) (hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ) (gy : E) (hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y)
  (hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G) (hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ) (hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ) (hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G)
  (h_original_goal : edist (f x) (f y) ≤ ↑G * edist x y) :
  ENNReal.ofReal (dist (f x) (f y)) ≤ ENNReal.ofReal ↑G * ENNReal.ofReal (dist x y) := sorry

Tactic state before:
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
G : NNReal
hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
hc : ContinuousOn f Set.univ
h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
x y gx : E
hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ
hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ
gy : E
hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y
hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G
hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ
hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ
hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G
⊢ edist (f x) (f y) ≤ ↑G * edist x y

Tactic:
rw [edist_dist, edist_dist, hG₁]

Tactic state after:
[case intro.intro
 E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 G : NNReal
 hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
 hc : ContinuousOn f Set.univ
 h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
 x y gx : E
 hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
 hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
 hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ
 hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ
 gy : E
 hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y
 hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G
 hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ
 hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ
 hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G
 ⊢ ENNReal.ofReal (dist (f x) (f y)) ≤ ENNReal.ofReal ↑G * ENNReal.ofReal (dist x y)]
import Mathlib
import Optlib


open Filter Topology Set InnerProductSpace Finset

open Finset

theorem extracted_formal_statement_6.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {G : NNReal} (hf : ConvexOn ℝ Set.univ f) (hc : ContinuousOn f Set.univ)
  (h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G) (x y gx : E) (hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x) (hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G)
  (hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ) (hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ) (gy : E) (hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y)
  (hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G) (hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ) (hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ) (hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G)
  (h_original_goal : ENNReal.ofReal (↑G * dist x y) = ENNReal.ofReal ↑G * ENNReal.ofReal (dist x y)) : 0 ≤ ↑G := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
G : NNReal
hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
hc : ContinuousOn f Set.univ
h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
x y gx : E
hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ
hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ
gy : E
hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y
hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G
hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ
hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ
hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G
⊢ ENNReal.ofReal (↑G * dist x y) = ENNReal.ofReal ↑G * ENNReal.ofReal (dist x y)

Tactic:
apply ENNReal.ofReal_mul

Tactic state after:
[case hp
 E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 G : NNReal
 hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
 hc : ContinuousOn f Set.univ
 h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
 x y gx : E
 hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
 hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
 hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ
 hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ
 gy : E
 hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y
 hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G
 hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ
 hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ
 hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G
 ⊢ 0 ≤ ↑G]
import Mathlib
import Optlib


open Filter Topology Set InnerProductSpace Finset

open Finset

theorem extracted_formal_statement_7.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {G : NNReal} (hf : ConvexOn ℝ Set.univ f) (hc : ContinuousOn f Set.univ)
  (h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G) (x y gx : E) (hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x) (hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G)
  (hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ) (hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ) (gy : E) (hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y)
  (hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G) (hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ) (hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ) (hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G) :
  0 ≤ ↑G := sorry

Tactic state before:
case hp
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
G : NNReal
hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
hc : ContinuousOn f Set.univ
h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
x y gx : E
hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ
hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ
gy : E
hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y
hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G
hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ
hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ
hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G
⊢ 0 ≤ ↑G

Tactic:
simp

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Filter Topology Set InnerProductSpace Finset

open Finset

theorem extracted_formal_statement_8.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {G : NNReal} (hf : ConvexOn ℝ Set.univ f) (hc : ContinuousOn f Set.univ)
  (h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G) (x y gx : E) (hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x) (hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G)
  (hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ) (hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ) (gy : E) (hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y)
  (hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G) (hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ) (hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ) (hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G)
  (hG₂ : ENNReal.ofReal (↑G * dist x y) = ENNReal.ofReal ↑G * ENNReal.ofReal (dist x y)) (hG₃ : 0 ≤ ↑G * dist x y)
  (h_original_goal : ENNReal.ofReal (dist (f x) (f y)) ≤ ENNReal.ofReal (↑G * dist x y)) :
  dist (f x) (f y) ≤ ↑G * dist x y := sorry

Tactic state before:
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
G : NNReal
hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
hc : ContinuousOn f Set.univ
h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
x y gx : E
hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ
hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ
gy : E
hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y
hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G
hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ
hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ
hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G
hG₂ : ENNReal.ofReal (↑G * dist x y) = ENNReal.ofReal ↑G * ENNReal.ofReal (dist x y)
hG₃ : 0 ≤ ↑G * dist x y
⊢ ENNReal.ofReal (dist (f x) (f y)) ≤ ENNReal.ofReal (↑G * dist x y)

Tactic:
apply (ENNReal.ofReal_le_ofReal_iff hG₃).mpr

Tactic state after:
[case intro.intro
 E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 G : NNReal
 hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
 hc : ContinuousOn f Set.univ
 h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
 x y gx : E
 hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
 hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
 hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ
 hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ
 gy : E
 hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y
 hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G
 hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ
 hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ
 hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G
 hG₂ : ENNReal.ofReal (↑G * dist x y) = ENNReal.ofReal ↑G * ENNReal.ofReal (dist x y)
 hG₃ : 0 ≤ ↑G * dist x y
 ⊢ dist (f x) (f y) ≤ ↑G * dist x y]
import Mathlib
import Optlib


open Filter Topology Set InnerProductSpace Finset

open Finset

theorem extracted_formal_statement_9.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {G : NNReal} (hf : ConvexOn ℝ Set.univ f) (hc : ContinuousOn f Set.univ)
  (h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G) (x y gx : E) (hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x) (hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G)
  (hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ) (hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ) (gy : E) (hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y)
  (hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G) (hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ) (hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ) (hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G)
  (hG₂ : ENNReal.ofReal (↑G * dist x y) = ENNReal.ofReal ↑G * ENNReal.ofReal (dist x y)) (hG₃ : 0 ≤ ↑G * dist x y)
  (h₁ : dist (f x) (f y) = |f x - f y|) (h_original_goal : dist (f x) (f y) ≤ ↑G * dist x y) :
  |f x - f y| ≤ ↑G * ‖x - y‖ := sorry

Tactic state before:
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
G : NNReal
hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
hc : ContinuousOn f Set.univ
h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
x y gx : E
hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ
hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ
gy : E
hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y
hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G
hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ
hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ
hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G
hG₂ : ENNReal.ofReal (↑G * dist x y) = ENNReal.ofReal ↑G * ENNReal.ofReal (dist x y)
hG₃ : 0 ≤ ↑G * dist x y
h₁ : dist (f x) (f y) = |f x - f y|
⊢ dist (f x) (f y) ≤ ↑G * dist x y

Tactic:
rw [h₁, dist_eq_norm x y]

Tactic state after:
[case intro.intro
 E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 G : NNReal
 hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
 hc : ContinuousOn f Set.univ
 h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
 x y gx : E
 hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
 hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
 hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ
 hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ
 gy : E
 hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y
 hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G
 hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ
 hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ
 hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G
 hG₂ : ENNReal.ofReal (↑G * dist x y) = ENNReal.ofReal ↑G * ENNReal.ofReal (dist x y)
 hG₃ : 0 ≤ ↑G * dist x y
 h₁ : dist (f x) (f y) = |f x - f y|
 ⊢ |f x - f y| ≤ ↑G * ‖x - y‖]
import Mathlib
import Optlib


open Filter Topology Set InnerProductSpace Finset

open Finset

theorem extracted_formal_statement_10.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {G : NNReal} (hf : ConvexOn ℝ Set.univ f) (hc : ContinuousOn f Set.univ)
  (h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G) (x y gx : E) (hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x) (hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G)
  (hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ) (hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ) (gy : E) (hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y)
  (hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G) (hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ) (hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ) (hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G)
  (hG₂ : ENNReal.ofReal (↑G * dist x y) = ENNReal.ofReal ↑G * ENNReal.ofReal (dist x y)) (hG₃ : 0 ≤ ↑G * dist x y)
  (h₁ : dist (f x) (f y) = |f x - f y|) (h_original_goal : |f x - f y| ≤ ↑G * ‖x - y‖) :
  -(↑G * ‖x - y‖) ≤ f x - f y ∧ f x - f y ≤ ↑G * ‖x - y‖ := sorry

Tactic state before:
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
G : NNReal
hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
hc : ContinuousOn f Set.univ
h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
x y gx : E
hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ
hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ
gy : E
hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y
hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G
hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ
hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ
hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G
hG₂ : ENNReal.ofReal (↑G * dist x y) = ENNReal.ofReal ↑G * ENNReal.ofReal (dist x y)
hG₃ : 0 ≤ ↑G * dist x y
h₁ : dist (f x) (f y) = |f x - f y|
⊢ |f x - f y| ≤ ↑G * ‖x - y‖

Tactic:
apply abs_le.mpr

Tactic state after:
[case intro.intro
 E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 G : NNReal
 hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
 hc : ContinuousOn f Set.univ
 h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
 x y gx : E
 hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
 hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
 hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ
 hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ
 gy : E
 hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y
 hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G
 hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ
 hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ
 hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G
 hG₂ : ENNReal.ofReal (↑G * dist x y) = ENNReal.ofReal ↑G * ENNReal.ofReal (dist x y)
 hG₃ : 0 ≤ ↑G * dist x y
 h₁ : dist (f x) (f y) = |f x - f y|
 ⊢ -(↑G * ‖x - y‖) ≤ f x - f y ∧ f x - f y ≤ ↑G * ‖x - y‖]
import Mathlib
import Optlib


open Filter Topology Set InnerProductSpace Finset

open Finset

theorem extracted_formal_statement_11.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {G : NNReal} (hf : ConvexOn ℝ Set.univ f) (hc : ContinuousOn f Set.univ)
  (h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G) (x y gx : E) (hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x) (hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G)
  (hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ) (hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ) (gy : E) (hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y)
  (hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G) (hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ) (hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ) (hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G)
  (hG₂ : ENNReal.ofReal (↑G * dist x y) = ENNReal.ofReal ↑G * ENNReal.ofReal (dist x y)) (hG₃ : 0 ≤ ↑G * dist x y)
  (h₁ : dist (f x) (f y) = |f x - f y|) (h_original_goal : ⟪gy, x - y⟫_ℝ ≥ -(‖gy‖ * ‖x - y‖)) :
  -⟪gy, x - y⟫_ℝ ≤ ‖gy‖ * ‖x - y‖ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
G : NNReal
hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
hc : ContinuousOn f Set.univ
h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
x y gx : E
hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ
hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ
gy : E
hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y
hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G
hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ
hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ
hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G
hG₂ : ENNReal.ofReal (↑G * dist x y) = ENNReal.ofReal ↑G * ENNReal.ofReal (dist x y)
hG₃ : 0 ≤ ↑G * dist x y
h₁ : dist (f x) (f y) = |f x - f y|
⊢ ⟪gy, x - y⟫_ℝ ≥ -(‖gy‖ * ‖x - y‖)

Tactic:
apply neg_le_of_neg_le

Tactic state after:
[case a
 E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 G : NNReal
 hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
 hc : ContinuousOn f Set.univ
 h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
 x y gx : E
 hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
 hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
 hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ
 hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ
 gy : E
 hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y
 hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G
 hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ
 hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ
 hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G
 hG₂ : ENNReal.ofReal (↑G * dist x y) = ENNReal.ofReal ↑G * ENNReal.ofReal (dist x y)
 hG₃ : 0 ≤ ↑G * dist x y
 h₁ : dist (f x) (f y) = |f x - f y|
 ⊢ -⟪gy, x - y⟫_ℝ ≤ ‖gy‖ * ‖x - y‖]
import Mathlib
import Optlib


open Filter Topology Set InnerProductSpace Finset

open Finset

theorem extracted_formal_statement_12.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {G : NNReal} (hf : ConvexOn ℝ Set.univ f) (hc : ContinuousOn f Set.univ)
  (h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G) (x y gx : E) (hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x) (hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G)
  (hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ) (hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ) (gy : E) (hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y)
  (hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G) (hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ) (hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ) (hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G)
  (hG₂ : ENNReal.ofReal (↑G * dist x y) = ENNReal.ofReal ↑G * ENNReal.ofReal (dist x y)) (hG₃ : 0 ≤ ↑G * dist x y)
  (h₁ : dist (f x) (f y) = |f x - f y|) (h_original_goal : -⟪gy, x - y⟫_ℝ ≤ ‖gy‖ * ‖x - y‖) :
  ⟪gy, y - x⟫_ℝ ≤ ‖gy‖ * ‖y - x‖ := sorry

Tactic state before:
case a
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
G : NNReal
hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
hc : ContinuousOn f Set.univ
h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
x y gx : E
hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ
hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ
gy : E
hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y
hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G
hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ
hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ
hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G
hG₂ : ENNReal.ofReal (↑G * dist x y) = ENNReal.ofReal ↑G * ENNReal.ofReal (dist x y)
hG₃ : 0 ≤ ↑G * dist x y
h₁ : dist (f x) (f y) = |f x - f y|
⊢ -⟪gy, x - y⟫_ℝ ≤ ‖gy‖ * ‖x - y‖

Tactic:
rw [← inner_neg_right, neg_sub, norm_sub_rev]

Tactic state after:
[case a
 E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 G : NNReal
 hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
 hc : ContinuousOn f Set.univ
 h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
 x y gx : E
 hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
 hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
 hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ
 hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ
 gy : E
 hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y
 hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G
 hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ
 hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ
 hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G
 hG₂ : ENNReal.ofReal (↑G * dist x y) = ENNReal.ofReal ↑G * ENNReal.ofReal (dist x y)
 hG₃ : 0 ≤ ↑G * dist x y
 h₁ : dist (f x) (f y) = |f x - f y|
 ⊢ ⟪gy, y - x⟫_ℝ ≤ ‖gy‖ * ‖y - x‖]
import Mathlib
import Optlib


open Filter Topology Set InnerProductSpace Finset

open Finset

theorem extracted_formal_statement_13.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {G : NNReal} (hf : ConvexOn ℝ Set.univ f) (hc : ContinuousOn f Set.univ)
  (h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G) (x y gx : E) (hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x) (hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G)
  (hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ) (hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ) (gy : E) (hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y)
  (hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G) (hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ) (hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ) (hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G)
  (hG₂ : ENNReal.ofReal (↑G * dist x y) = ENNReal.ofReal ↑G * ENNReal.ofReal (dist x y)) (hG₃ : 0 ≤ ↑G * dist x y)
  (h₁ : dist (f x) (f y) = |f x - f y|) : ⟪gy, y - x⟫_ℝ ≤ ‖gy‖ * ‖y - x‖ := sorry

Tactic state before:
case a
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
G : NNReal
hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
hc : ContinuousOn f Set.univ
h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
x y gx : E
hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ
hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ
gy : E
hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y
hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G
hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ
hy₄ : f x - f y ≥ ⟪gy, x - y⟫_ℝ
hG₁ : ↑G = ENNReal.ofReal ↑G
hG₂ : ENNReal.ofReal (↑G * dist x y) = ENNReal.ofReal ↑G * ENNReal.ofReal (dist x y)
hG₃ : 0 ≤ ↑G * dist x y
h₁ : dist (f x) (f y) = |f x - f y|
⊢ ⟪gy, y - x⟫_ℝ ≤ ‖gy‖ * ‖y - x‖

Tactic:
apply real_inner_le_norm

Tactic state after: