import Mathlib
import Optlib


open Set Real

open Set Real PNat

theorem extracted_formal_statement_14.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {x0 : E} {f h : E → ℝ} {f' : E → E} {alg : Nesterov_second f h f' x0} {xm : E}
  (minφ : IsMinOn (f + h) univ xm) :
  let φ := fun z => f z + h z;
  (∀ (z : E), φ z = f z + h z) →
    (∀ (k : ℕ+),
        Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k • (Nesterov_second.y f h f' x0 (↑k - 1) - Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k) -
            Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k • f' (Nesterov_second.z f h f' x0 k) ∈
          SubderivAt (Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k • h) (Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k)) →
      (∀ (w : E) (k : ℕ+),
          Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k * h w ≥
            Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k * h (Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k) +
              inner
                (Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k •
                    (Nesterov_second.y f h f' x0 (↑k - 1) - Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k) -
                  Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k • f' (Nesterov_second.z f h f' x0 k))
                (w - Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k)) →
        ∀ (k : ℕ+),
          Convex ℝ univ →
            Nesterov_second.x f h f' x0 (↑k - 1) ∈ univ →
              Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k ∈ univ →
                Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k ≠ 1 →
                  1 - Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k > 0 →
                    h (Nesterov_second.x f h f' x0 ↑k) ≤
                        (1 - Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k) • h (Nesterov_second.x f h f' x0 (↑k - 1)) +
                          Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k • h (Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k) →
                      h (Nesterov_second.x f h f' x0 ↑k) ≤
                        (1 - Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k) * h (Nesterov_second.x f h f' x0 (↑k - 1)) +
                          Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k * h (Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k) := sorry

Tactic state before:
case neg
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
x0 : E
f h : E → ℝ
f' : E → E
alg : Nesterov_second f h f' x0
xm : E
minφ : IsMinOn (f + h) univ xm
φ : E → ℝ := fun z => f z + h z
φdef : ∀ (z : E), φ z = f z + h z
h1 :
  ∀ (k : ℕ+),
    Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k • (Nesterov_second.y f h f' x0 (↑k - 1) - Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k) -
        Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k • f' (Nesterov_second.z f h f' x0 k) ∈
      SubderivAt (Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k • h) (Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k)
hieq1 :
  ∀ (w : E) (k : ℕ+),
    Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k * h w ≥
      Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k * h (Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k) +
        inner
          (Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k • (Nesterov_second.y f h f' x0 (↑k - 1) - Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k) -
            Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k • f' (Nesterov_second.z f h f' x0 k))
          (w - Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k)
k : ℕ+
left✝ : Convex ℝ univ
mem1 : Nesterov_second.x f h f' x0 (↑k - 1) ∈ univ
mem2 : Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k ∈ univ
eq1 : Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k ≠ 1
pos : 1 - Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k > 0
fall :
  h (Nesterov_second.x f h f' x0 ↑k) ≤
    (1 - Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k) • h (Nesterov_second.x f h f' x0 (↑k - 1)) +
      Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k • h (Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k)
⊢ h (Nesterov_second.x f h f' x0 ↑k) ≤
    (1 - Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k) * h (Nesterov_second.x f h f' x0 (↑k - 1)) +
      Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k * h (Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k)

Tactic:
apply fall

Tactic state after: