zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_145 {n : ℕ+} {t μ : ℝ} {h : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n) → ℝ}
  (lasso : h = fun y => μ • ∑ i, ‖y i‖) (x xm : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (tpos : 0 < t) (μpos : 0 < μ)
  (minpoint : ∀ (i : Fin ↑n), xm i = sign (x i) * ((|x i| - t * μ) ⊔ 0)) :
  let g := (t * μ) • fun x => ∑ i, ‖x i‖;
  g = t • h →
    0 < t * μ →
      ∀ i ∈ Finset.univ,
        xm i = 0 ∧ SubderivAt abs (xm i) = Set.Icc (-1) 1 ∨ ¬xm i = 0 ∧ SubderivAt abs (xm i) = {sign (xm i)} →
          ¬xm i = 0 → SubderivAt abs (xm i) = Set.Icc (-1) 1 → xm i ≠ 0 := sorry

Tactic state before:
case neg
n : ℕ+
t μ : ℝ
h : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n) → ℝ
lasso : h = fun y => μ • ∑ i, ‖y i‖
x xm : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
tpos : 0 < t
μpos : 0 < μ
minpoint : ∀ (i : Fin ↑n), xm i = sign (x i) * ((|x i| - t * μ) ⊔ 0)
g : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n) → ℝ := (t * μ) • fun x => ∑ i, ‖x i‖
geqth : g = t • h
tμpos : 0 < t * μ
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
i : Fin ↑n
a✝ : i ∈ Finset.univ
abs_subg : xm i = 0 ∧ SubderivAt abs (xm i) = Set.Icc (-1) 1 ∨ ¬xm i = 0 ∧ SubderivAt abs (xm i) = {sign (xm i)}
hxm : ¬xm i = 0
hxm' : SubderivAt abs (xm i) = Set.Icc (-1) 1
⊢ xm i ≠ 0

Tactic:
exact hxm

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_146 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {b : Fin ↑m → ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ}
  {Ane0 : A ≠ 0} {x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)} (p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀)
  (h_original_goal : ∀ (x₁ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)), HasGradientAt p.f (p.f' x₁) x₁)
  (x₁ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) :
  HasGradientAt (fun x => 1 / 2 * ‖A *ᵥ x - b‖ ^ 2) ((fun x => Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ x - b)) x₁) x₁ := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
⊢ ∀ (x₁ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)), HasGradientAt p.f (p.f' x₁) x₁

Tactic:
rw [p.feq, p.f'eq]

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 ⊢ ∀ (x₁ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)),
     HasGradientAt (fun x => 1 / 2 * ‖A *ᵥ x - b‖ ^ 2) ((fun x => Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ x - b)) x₁) x₁]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_147 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {b : Fin ↑m → ℝ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x₁ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) :
  HasGradientAt (fun x => 1 / 2 * ‖A *ᵥ x - b‖ ^ 2) ((fun x => Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ x - b)) x₁) x₁ := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
⊢ ∀ (x₁ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)),
    HasGradientAt (fun x => 1 / 2 * ‖A *ᵥ x - b‖ ^ 2) ((fun x => Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ x - b)) x₁) x₁

Tactic:
exact (fun x => affine_sq_gradient x)

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_148 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {b : Fin ↑m → ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ}
  {Ane0 : A ≠ 0} {x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)} (p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀)
  (h_original_goal : LipschitzWith p.L p.f') (x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) :
  ‖p.f' x - p.f' y‖ ≤ ↑p.L * ‖x - y‖ := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
⊢ LipschitzWith p.L p.f'

Tactic:
rw [lipschitzWith_iff_norm_sub_le]

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 ⊢ ∀ (x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)), ‖p.f' x - p.f' y‖ ≤ ↑p.L * ‖x - y‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_149 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {b : Fin ↑m → ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ}
  {Ane0 : A ≠ 0} {x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)} (p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀) (x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (h_original_goal : ‖p.f' x - p.f' y‖ ≤ ↑p.L * ‖x - y‖) :
  ‖(fun x => Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ x - b)) x - (fun x => Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ x - b)) y‖ ≤ ↑p.L * ‖x - y‖ := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
⊢ ‖p.f' x - p.f' y‖ ≤ ↑p.L * ‖x - y‖

Tactic:
rw [p.f'eq]

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ⊢ ‖(fun x => Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ x - b)) x - (fun x => Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ x - b)) y‖ ≤ ↑p.L * ‖x - y‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_150 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {b : Fin ↑m → ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ}
  {Ane0 : A ≠ 0} {x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)} (p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀) (x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (h_original_goal : ‖(fun x => Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ x - b)) x - (fun x => Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ x - b)) y‖ ≤ ↑p.L * ‖x - y‖) :
  ‖Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ x - b) - Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ y - b)‖ ≤ ↑p.L * ‖x - y‖ := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
⊢ ‖(fun x => Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ x - b)) x - (fun x => Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ x - b)) y‖ ≤ ↑p.L * ‖x - y‖

Tactic:
simp

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ⊢ ‖Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ x - b) - Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ y - b)‖ ≤ ↑p.L * ‖x - y‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_151 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {b : Fin ↑m → ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ}
  {Ane0 : A ≠ 0} {x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)} (p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀) (x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (h_original_goal : ‖Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ x - b) - Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ y - b)‖ ≤ ↑p.L * ‖x - y‖) :
  ‖Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ x - A *ᵥ y)‖ ≤ ↑p.L * ‖x - y‖ := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
⊢ ‖Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ x - b) - Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ y - b)‖ ≤ ↑p.L * ‖x - y‖

Tactic:
rw [← Matrix.mulVec_sub, ← sub_add, sub_add_eq_add_sub, sub_add_cancel]

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ⊢ ‖Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ x - A *ᵥ y)‖ ≤ ↑p.L * ‖x - y‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_152 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {b : Fin ↑m → ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ}
  {Ane0 : A ≠ 0} {x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)} (p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀) (x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (h_original_goal : ‖Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ x - A *ᵥ y)‖ ≤ ↑p.L * ‖x - y‖) : ‖Aᵀ *ᵥ A *ᵥ (x - y)‖ ≤ ↑p.L * ‖x - y‖ := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
⊢ ‖Aᵀ *ᵥ (A *ᵥ x - A *ᵥ y)‖ ≤ ↑p.L * ‖x - y‖

Tactic:
rw [← Matrix.mulVec_sub]

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ⊢ ‖Aᵀ *ᵥ A *ᵥ (x - y)‖ ≤ ↑p.L * ‖x - y‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_153 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {b : Fin ↑m → ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ}
  {Ane0 : A ≠ 0} {x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)} (p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀) (x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (h_original_goal : ‖Aᵀ *ᵥ A *ᵥ (x - y)‖ ≤ ↑p.L * ‖x - y‖) :
  ‖Aᵀ *ᵥ A *ᵥ (x - y)‖ ≤ ↑‖(toEuclideanLin ≪≫ₗ LinearMap.toContinuousLinearMap) (Aᵀ * A)‖₊ * ‖x - y‖ := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
⊢ ‖Aᵀ *ᵥ A *ᵥ (x - y)‖ ≤ ↑p.L * ‖x - y‖

Tactic:
rw [p.Leq]

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ⊢ ‖Aᵀ *ᵥ A *ᵥ (x - y)‖ ≤ ↑‖(toEuclideanLin ≪≫ₗ LinearMap.toContinuousLinearMap) (Aᵀ * A)‖₊ * ‖x - y‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_154 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (h_original_goal :
    ‖Aᵀ *ᵥ A *ᵥ (x - y)‖ ≤ ↑‖(toEuclideanLin ≪≫ₗ LinearMap.toContinuousLinearMap) (Aᵀ * A)‖₊ * ‖x - y‖) :
  ‖(Aᵀ * A) *ᵥ (x - y)‖ ≤ ‖LinearMap.toContinuousLinearMap (toEuclideanLin (Aᵀ * A))‖ * ‖x - y‖ := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
⊢ ‖Aᵀ *ᵥ A *ᵥ (x - y)‖ ≤ ↑‖(toEuclideanLin ≪≫ₗ LinearMap.toContinuousLinearMap) (Aᵀ * A)‖₊ * ‖x - y‖

Tactic:
simp

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ⊢ ‖(Aᵀ * A) *ᵥ (x - y)‖ ≤ ‖LinearMap.toContinuousLinearMap (toEuclideanLin (Aᵀ * A))‖ * ‖x - y‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_155 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) :
  ‖(Aᵀ * A) *ᵥ (x - y)‖ ≤ ‖LinearMap.toContinuousLinearMap (toEuclideanLin (Aᵀ * A))‖ * ‖x - y‖ := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
⊢ ‖(Aᵀ * A) *ᵥ (x - y)‖ ≤ ‖LinearMap.toContinuousLinearMap (toEuclideanLin (Aᵀ * A))‖ * ‖x - y‖

Tactic:
apply Matrix.l2_opNorm_mulVec (Aᵀ * A)

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_156 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {b : Fin ↑m → ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ}
  {Ane0 : A ≠ 0} {x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)} (p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀)
  (h_original_goal : ContinuousOn p.h Set.univ) (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) :
  x ∈ Set.univ → ContinuousWithinAt p.h Set.univ x := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
⊢ ContinuousOn p.h Set.univ

Tactic:
rw [ContinuousOn]

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 ⊢ ∀ x ∈ Set.univ, ContinuousWithinAt p.h Set.univ x]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_157 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {b : Fin ↑m → ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ}
  {Ane0 : A ≠ 0} {x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)} (p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀) (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (a : x ∈ Set.univ) (h_original_goal : ContinuousWithinAt p.h Set.univ x) (ε : ℝ) :
  ε > 0 → ∃ δ > 0, ∀ (x' : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)), ‖x - x'‖ ≤ δ → ‖p.h x' - p.h x‖ ≤ ε := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
⊢ ContinuousWithinAt p.h Set.univ x

Tactic:
rw [continuousWithinAt_univ, ContinuousAt_iff_Convergence]

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ⊢ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ (x' : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)), ‖x - x'‖ ≤ δ → ‖p.h x' - p.h x‖ ≤ ε]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_158 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (h_original_goal : 0 < ε / ↑↑n / μ) :
  0 < ε / ↑↑n := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ 0 < ε / ↑↑n / μ

Tactic:
apply div_pos

Tactic state after:
[case ha
 n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 ⊢ 0 < ε / ↑↑n,
 case hb
 n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 ⊢ 0 < μ]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_159 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (h_original_goal : 0 < ε / ↑↑n / μ) :
  0 < μ := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ 0 < ε / ↑↑n / μ

Tactic:
apply div_pos

Tactic state after:
[case ha
 n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 ⊢ 0 < ε / ↑↑n,
 case hb
 n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 ⊢ 0 < μ]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_160 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {b : Fin ↑m → ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ}
  {Ane0 : A ≠ 0} {x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)} (p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀) (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ)
  (h_original_goal : ‖p.h y - p.h x‖ ≤ ε) : ‖(fun y => μ • ∑ i, ‖y i‖) y - (fun y => μ • ∑ i, ‖y i‖) x‖ ≤ ε := sorry

Tactic state before:
case h.right
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
⊢ ‖p.h y - p.h x‖ ≤ ε

Tactic:
rw [p.heq]

Tactic state after:
[case h.right
 n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
 ⊢ ‖(fun y => μ • ∑ i, ‖y i‖) y - (fun y => μ • ∑ i, ‖y i‖) x‖ ≤ ε]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_161 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ) (h_original_goal : ‖(fun y => μ • ∑ i, ‖y i‖) y - (fun y => μ • ∑ i, ‖y i‖) x‖ ≤ ε) :
  |μ * ∑ x, |y x| - μ * ∑ x_1, |x x_1|| ≤ ε := sorry

Tactic state before:
case h.right
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
⊢ ‖(fun y => μ • ∑ i, ‖y i‖) y - (fun y => μ • ∑ i, ‖y i‖) x‖ ≤ ε

Tactic:
simp

Tactic state after:
[case h.right
 n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
 ⊢ |μ * ∑ x, |y x| - μ * ∑ x_1, |x x_1|| ≤ ε]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_162 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ) (h_original_goal : |μ * ∑ x, |y x| - μ * ∑ x_1, |x x_1|| ≤ ε) :
  |μ * ∑ x_1, (|y x_1| - |x x_1|)| ≤ ε := sorry

Tactic state before:
case h.right
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
⊢ |μ * ∑ x, |y x| - μ * ∑ x_1, |x x_1|| ≤ ε

Tactic:
rw [← mul_sub, ← sum_sub_distrib]

Tactic state after:
[case h.right
 n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
 ⊢ |μ * ∑ x_1, (|y x_1| - |x x_1|)| ≤ ε]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_163 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2) (i : Fin ↑n) :
  ‖(x - y) i‖ ^ 2 = ∑ i ∈ {i}, ‖(x - y) i‖ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
i : Fin ↑n
⊢ ‖(x - y) i‖ ^ 2 = ∑ i ∈ {i}, ‖(x - y) i‖ ^ 2

Tactic:
simp

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_164 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2) (i : Fin ↑n)
  (h_original_goal : ∑ i ∈ {i}, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2) : {i} ⊆ Finset.univ := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
i : Fin ↑n
⊢ ∑ i ∈ {i}, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2

Tactic:
apply sum_le_sum_of_subset_of_nonneg

Tactic state after:
[case h
 n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
 i : Fin ↑n
 ⊢ {i} ⊆ Finset.univ,
 case hf
 n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
 i : Fin ↑n
 ⊢ ∀ i_1 ∈ Finset.univ, i_1 ∉ {i} → 0 ≤ ‖(x - y) i_1‖ ^ 2]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_165 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2) (i j : Fin ↑n) (a_1 : j ∈ Finset.univ)
  (a_2 : j ∉ {i}) : 0 ≤ ‖(x - y) j‖ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
case hf
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝² : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
i j : Fin ↑n
a✝¹ : j ∈ Finset.univ
a✝ : j ∉ {i}
⊢ 0 ≤ ‖(x - y) j‖ ^ 2

Tactic:
apply sq_nonneg

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_166 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2) (i : Fin ↑n)
  (aux : ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2) (h_original_goal : ||y i| - |x i|| ≤ ‖(x - y) i‖) :
  ||y i| - |x i|| ≤ |x i - y i| := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
i : Fin ↑n
aux : ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
⊢ ||y i| - |x i|| ≤ ‖(x - y) i‖

Tactic:
simp

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
 i : Fin ↑n
 aux : ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
 ⊢ ||y i| - |x i|| ≤ |x i - y i|]