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open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_205 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {b : Fin ↑m → ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ}
  {Ane0 : A ≠ 0} {x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)} {alg : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀} (k : ℕ+)
  (h₁ :
    alg.f (alg.x ↑k) + alg.h (alg.x ↑k) - alg.f alg.xm - alg.h alg.xm =
      alg.f (proximal_gradient_method.x alg.f alg.h alg.f' x₀ ↑k) +
            alg.h (proximal_gradient_method.x alg.f alg.h alg.f' x₀ ↑k) -
          alg.f (proximal_gradient_method.xm alg.f alg.h alg.f' x₀) -
        alg.h (proximal_gradient_method.xm alg.f alg.h alg.f' x₀))
  (h₂ :
    1 / (2 * ↑↑k * alg.t) * ‖x₀ - alg.xm‖ ^ 2 =
      1 / (2 * ↑↑k * proximal_gradient_method.t alg.f alg.h alg.f' x₀) *
        ‖x₀ - proximal_gradient_method.xm alg.f alg.h alg.f' x₀‖ ^ 2)
  (h₃ : ↑alg.L / (2 * ↑↑k) = 1 / (2 * ↑↑k * alg.t))
  (h_original_goal :
    alg.f (alg.x ↑k) + alg.h (alg.x ↑k) - alg.f alg.xm - alg.h alg.xm ≤ ↑alg.L / (2 * ↑↑k) * ‖x₀ - alg.xm‖ ^ 2) :
  alg.f (proximal_gradient_method.x alg.f alg.h alg.f' x₀ ↑k) +
          alg.h (proximal_gradient_method.x alg.f alg.h alg.f' x₀ ↑k) -
        alg.f (proximal_gradient_method.xm alg.f alg.h alg.f' x₀) -
      alg.h (proximal_gradient_method.xm alg.f alg.h alg.f' x₀) ≤
    1 / (2 * ↑↑k * proximal_gradient_method.t alg.f alg.h alg.f' x₀) *
      ‖x₀ - proximal_gradient_method.xm alg.f alg.h alg.f' x₀‖ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
alg : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
k : ℕ+
h₁ :
  alg.f (alg.x ↑k) + alg.h (alg.x ↑k) - alg.f alg.xm - alg.h alg.xm =
    alg.f (proximal_gradient_method.x alg.f alg.h alg.f' x₀ ↑k) +
          alg.h (proximal_gradient_method.x alg.f alg.h alg.f' x₀ ↑k) -
        alg.f (proximal_gradient_method.xm alg.f alg.h alg.f' x₀) -
      alg.h (proximal_gradient_method.xm alg.f alg.h alg.f' x₀)
h₂ :
  1 / (2 * ↑↑k * alg.t) * ‖x₀ - alg.xm‖ ^ 2 =
    1 / (2 * ↑↑k * proximal_gradient_method.t alg.f alg.h alg.f' x₀) *
      ‖x₀ - proximal_gradient_method.xm alg.f alg.h alg.f' x₀‖ ^ 2
h₃ : ↑alg.L / (2 * ↑↑k) = 1 / (2 * ↑↑k * alg.t)
⊢ alg.f (alg.x ↑k) + alg.h (alg.x ↑k) - alg.f alg.xm - alg.h alg.xm ≤ ↑alg.L / (2 * ↑↑k) * ‖x₀ - alg.xm‖ ^ 2

Tactic:
rw [h₁, h₃, h₂]

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 alg : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 k : ℕ+
 h₁ :
   alg.f (alg.x ↑k) + alg.h (alg.x ↑k) - alg.f alg.xm - alg.h alg.xm =
     alg.f (proximal_gradient_method.x alg.f alg.h alg.f' x₀ ↑k) +
           alg.h (proximal_gradient_method.x alg.f alg.h alg.f' x₀ ↑k) -
         alg.f (proximal_gradient_method.xm alg.f alg.h alg.f' x₀) -
       alg.h (proximal_gradient_method.xm alg.f alg.h alg.f' x₀)
 h₂ :
   1 / (2 * ↑↑k * alg.t) * ‖x₀ - alg.xm‖ ^ 2 =
     1 / (2 * ↑↑k * proximal_gradient_method.t alg.f alg.h alg.f' x₀) *
       ‖x₀ - proximal_gradient_method.xm alg.f alg.h alg.f' x₀‖ ^ 2
 h₃ : ↑alg.L / (2 * ↑↑k) = 1 / (2 * ↑↑k * alg.t)
 ⊢ alg.f (proximal_gradient_method.x alg.f alg.h alg.f' x₀ ↑k) +
           alg.h (proximal_gradient_method.x alg.f alg.h alg.f' x₀ ↑k) -
         alg.f (proximal_gradient_method.xm alg.f alg.h alg.f' x₀) -
       alg.h (proximal_gradient_method.xm alg.f alg.h alg.f' x₀) ≤
     1 / (2 * ↑↑k * proximal_gradient_method.t alg.f alg.h alg.f' x₀) *
       ‖x₀ - proximal_gradient_method.xm alg.f alg.h alg.f' x₀‖ ^ 2]