zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_167 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2) (i : Fin ↑n)
  (aux : ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2) (h_original_goal : ||y i| - |x i|| ≤ |x i - y i|) :
  ||x i| - |y i|| ≤ |x i - y i| := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
i : Fin ↑n
aux : ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
⊢ ||y i| - |x i|| ≤ |x i - y i|

Tactic:
rw [abs_sub_comm]

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
 i : Fin ↑n
 aux : ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
 ⊢ ||x i| - |y i|| ≤ |x i - y i|]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_168 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2) (i : Fin ↑n)
  (aux : ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2) : ||x i| - |y i|| ≤ |x i - y i| := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
i : Fin ↑n
aux : ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
⊢ ||x i| - |y i|| ≤ |x i - y i|

Tactic:
apply abs_abs_sub_abs_le_abs_sub

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_169 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2) (i : Fin ↑n)
  (aux : |‖(x - y) i‖| ≤ |ε / ↑↑n / μ|) (h_original_goal : |ε / ↑↑n / μ| = ε / ↑↑n / μ) : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
i : Fin ↑n
aux : |‖(x - y) i‖| ≤ |ε / ↑↑n / μ|
⊢ |ε / ↑↑n / μ| = ε / ↑↑n / μ

Tactic:
rw [abs_eq_self]

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
 i : Fin ↑n
 aux : |‖(x - y) i‖| ≤ |ε / ↑↑n / μ|
 ⊢ 0 ≤ ε / ↑↑n / μ]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_170 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2) (i : Fin ↑n)
  (aux : |‖(x - y) i‖| ≤ |ε / ↑↑n / μ|) (this : |ε / ↑↑n / μ| = ε / ↑↑n / μ)
  (h_original_goal : ‖(x - y) i‖ ≤ ε / ↑↑n / μ) : ‖(x - y) i‖ ≤ |ε / ↑↑n / μ| := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
i : Fin ↑n
aux : |‖(x - y) i‖| ≤ |ε / ↑↑n / μ|
this : |ε / ↑↑n / μ| = ε / ↑↑n / μ
⊢ ‖(x - y) i‖ ≤ ε / ↑↑n / μ

Tactic:
rw [← this]

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
 i : Fin ↑n
 aux : |‖(x - y) i‖| ≤ |ε / ↑↑n / μ|
 this : |ε / ↑↑n / μ| = ε / ↑↑n / μ
 ⊢ ‖(x - y) i‖ ≤ |ε / ↑↑n / μ|]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_171 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2) (i : Fin ↑n) (this : |ε / ↑↑n / μ| = ε / ↑↑n / μ)
  (aux : |x i - y i| ≤ |ε / ↑↑n / μ|) : ‖(x - y) i‖ ≤ |ε / ↑↑n / μ| := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
i : Fin ↑n
this : |ε / ↑↑n / μ| = ε / ↑↑n / μ
aux : |x i - y i| ≤ |ε / ↑↑n / μ|
⊢ ‖(x - y) i‖ ≤ |ε / ↑↑n / μ|

Tactic:
exact aux

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_172 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ) (le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ)
  (h_original_goal : |μ * ∑ x_1, (|y x_1| - |x x_1|)| ≤ ε) : |μ| * |∑ x_1, (|y x_1| - |x x_1|)| ≤ ε := sorry

Tactic state before:
case h.right
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
⊢ |μ * ∑ x_1, (|y x_1| - |x x_1|)| ≤ ε

Tactic:
rw [abs_mul]

Tactic state after:
[case h.right
 n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
 le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
 ⊢ |μ| * |∑ x_1, (|y x_1| - |x x_1|)| ≤ ε]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_173 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ) (le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ)
  (h_original_goal : |μ| * |∑ i, (|y i| - |x i|)| ≤ |μ| * ∑ i, ||y i| - |x i||) :
  |∑ i, (|y i| - |x i|)| ≤ ∑ i, ||y i| - |x i|| := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
⊢ |μ| * |∑ i, (|y i| - |x i|)| ≤ |μ| * ∑ i, ||y i| - |x i||

Tactic:
rw [mul_le_mul_left]

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
 le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
 ⊢ |∑ i, (|y i| - |x i|)| ≤ ∑ i, ||y i| - |x i||,
 n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
 le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
 ⊢ 0 < |μ|]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_174 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ) (le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ)
  (h_original_goal : |μ| * |∑ i, (|y i| - |x i|)| ≤ |μ| * ∑ i, ||y i| - |x i||) : 0 < |μ| := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
⊢ |μ| * |∑ i, (|y i| - |x i|)| ≤ |μ| * ∑ i, ||y i| - |x i||

Tactic:
rw [mul_le_mul_left]

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
 le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
 ⊢ |∑ i, (|y i| - |x i|)| ≤ ∑ i, ||y i| - |x i||,
 n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
 le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
 ⊢ 0 < |μ|]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_175 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ) (le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ) (h_original_goal : 0 < |μ|) :
  ¬μ = 0 := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
⊢ 0 < |μ|

Tactic:
simp

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
 le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
 ⊢ ¬μ = 0]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_176 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ) (le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ)
  (h_original_goal : |μ| * ∑ i, ||y i| - |x i|| ≤ |μ| * (↑↑n * (ε / ↑↑n / μ))) :
  ∑ i, ||y i| - |x i|| ≤ ↑↑n * (ε / ↑↑n / μ) := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
⊢ |μ| * ∑ i, ||y i| - |x i|| ≤ |μ| * (↑↑n * (ε / ↑↑n / μ))

Tactic:
rw [mul_le_mul_left]

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
 le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
 ⊢ ∑ i, ||y i| - |x i|| ≤ ↑↑n * (ε / ↑↑n / μ),
 n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
 le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
 ⊢ 0 < |μ|]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_177 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ) (le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ)
  (h_original_goal : |μ| * ∑ i, ||y i| - |x i|| ≤ |μ| * (↑↑n * (ε / ↑↑n / μ))) : 0 < |μ| := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
⊢ |μ| * ∑ i, ||y i| - |x i|| ≤ |μ| * (↑↑n * (ε / ↑↑n / μ))

Tactic:
rw [mul_le_mul_left]

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
 le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
 ⊢ ∑ i, ||y i| - |x i|| ≤ ↑↑n * (ε / ↑↑n / μ),
 n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
 le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
 ⊢ 0 < |μ|]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_178 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ) (le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ)
  (h_original_goal : ∑ i, ||y i| - |x i|| ≤ ∑ x, ε / ↑↑n / μ) (i : Fin ↑n) :
  i ∈ Finset.univ → ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
⊢ ∑ i, ||y i| - |x i|| ≤ ∑ x, ε / ↑↑n / μ

Tactic:
apply Finset.sum_le_sum

Tactic state after:
[case h
 n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
 le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
 ⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_179 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ) (le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ) (i : Fin ↑n) :
  i ∈ Finset.univ → ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ := sorry

Tactic state before:
case h
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ

Tactic:
exact fun i _ => le i

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_180 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ) (le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ) :
  ∑ x, ε / ↑↑n / μ = ↑↑n * (ε / ↑↑n / μ) := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
⊢ ∑ x, ε / ↑↑n / μ = ↑↑n * (ε / ↑↑n / μ)

Tactic:
simp

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


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open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_181 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ) (le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ) (h_original_goal : 0 < |μ|) :
  ¬μ = 0 := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
⊢ 0 < |μ|

Tactic:
simp

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
 le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
 ⊢ ¬μ = 0]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_182 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ) (le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ)
  (h_original_goal : |μ| * (↑↑n * ε) = ε * (↑↑n * μ)) : ↑↑n * ε * |μ| = ↑↑n * ε * μ := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
⊢ |μ| * (↑↑n * ε) = ε * (↑↑n * μ)

Tactic:
rw [mul_comm, ← mul_assoc, mul_comm ε]

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
 le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
 ⊢ ↑↑n * ε * |μ| = ↑↑n * ε * μ]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_183 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ) (le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ)
  (h_original_goal : ↑↑n * ε * |μ| = ↑↑n * ε * μ) : 0 ≤ μ ∨ ε = 0 := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
⊢ ↑↑n * ε * |μ| = ↑↑n * ε * μ

Tactic:
simp

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : ‖x - y‖ ≤ ε / ↑↑n / μ
 le : ∀ (i : Fin ↑n), ||y i| - |x i|| ≤ ε / ↑↑n / μ
 ⊢ 0 ≤ μ ∨ ε = 0]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_184 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {b : Fin ↑m → ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ}
  {Ane0 : A ≠ 0} {x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)} (p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀) (h_original_goal : 0 < p.t) :
  0 < 1 / ↑p.L := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
⊢ 0 < p.t

Tactic:
rw [p.teq]

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 ⊢ 0 < 1 / ↑p.L]
import Mathlib
import Optlib


open Set Real Matrix Finset

open Set Real Matrix Finset NNReal

theorem extracted_formal_statement_185 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {b : Fin ↑m → ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ}
  {Ane0 : A ≠ 0} {x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)} (p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀) (h_original_goal : 0 < 1 / ↑p.L) :
  0 < p.L := sorry

Tactic state before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
⊢ 0 < 1 / ↑p.L

Tactic:
simp

Tactic state after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 ⊢ 0 < p.L]