zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_12.{u_1} {E : Type u_1} {xm : E} {f : E → ℝ} {g : ℕ → E}
  (mono : ∀ (k : ℕ), f (g (k + 1)) ≤ f (g k)) (j : ℕ)
  (a : f (g (j + 1)) - f xm ≤ (∑ k ∈ Finset.range (j + 1), (f (g (k + 1)) - f xm)) / (↑j + 1))
  (h_original_goal :
    (∑ k ∈ Finset.range (j.succ + 1), f (g (k + 1))) / (↑j + 2) - f xm * ((↑j + 2) / (↑j + 2)) + f xm =
      (∑ k ∈ Finset.range (j.succ + 1), f (g (k + 1)) - (↑j + 1 + 1) * f xm) / (↑j + 1 + 1) + f xm) :
  (∑ k ∈ Finset.range (j + 1 + 1), f (g (k + 1))) / (↑j + 2) - f xm * ((↑j + 2) / (↑j + 2)) =
    (∑ k ∈ Finset.range (j + 1 + 1), f (g (k + 1)) - (↑j + 1 + 1) * f xm) / (↑j + 1 + 1) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
xm : E
f : E → ℝ
g : ℕ → E
mono : ∀ (k : ℕ), f (g (k + 1)) ≤ f (g k)
j : ℕ
a✝ : f (g (j + 1)) - f xm ≤ (∑ k ∈ Finset.range (j + 1), (f (g (k + 1)) - f xm)) / (↑j + 1)
⊢ (∑ k ∈ Finset.range (j.succ + 1), f (g (k + 1))) / (↑j + 2) - f xm * ((↑j + 2) / (↑j + 2)) + f xm =
    (∑ k ∈ Finset.range (j.succ + 1), f (g (k + 1)) - (↑j + 1 + 1) * f xm) / (↑j + 1 + 1) + f xm

Tactic:
simp

Tactic state after:
[E : Type u_1
 xm : E
 f : E → ℝ
 g : ℕ → E
 mono : ∀ (k : ℕ), f (g (k + 1)) ≤ f (g k)
 j : ℕ
 a✝ : f (g (j + 1)) - f xm ≤ (∑ k ∈ Finset.range (j + 1), (f (g (k + 1)) - f xm)) / (↑j + 1)
 ⊢ (∑ k ∈ Finset.range (j + 1 + 1), f (g (k + 1))) / (↑j + 2) - f xm * ((↑j + 2) / (↑j + 2)) =
     (∑ k ∈ Finset.range (j + 1 + 1), f (g (k + 1)) - (↑j + 1 + 1) * f xm) / (↑j + 1 + 1)]
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_13.{u_1} {E : Type u_1} {xm : E} {f : E → ℝ} {g : ℕ → E}
  (mono : ∀ (k : ℕ), f (g (k + 1)) ≤ f (g k)) (j : ℕ)
  (a : f (g (j + 1)) - f xm ≤ (∑ k ∈ Finset.range (j + 1), (f (g (k + 1)) - f xm)) / (↑j + 1)) :
  (∑ k ∈ Finset.range (j + 1 + 1), f (g (k + 1))) / (↑j + 2) - f xm * ((↑j + 2) / (↑j + 2)) =
    (∑ k ∈ Finset.range (j + 1 + 1), f (g (k + 1)) - (↑j + 1 + 1) * f xm) / (↑j + 1 + 1) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
xm : E
f : E → ℝ
g : ℕ → E
mono : ∀ (k : ℕ), f (g (k + 1)) ≤ f (g k)
j : ℕ
a✝ : f (g (j + 1)) - f xm ≤ (∑ k ∈ Finset.range (j + 1), (f (g (k + 1)) - f xm)) / (↑j + 1)
⊢ (∑ k ∈ Finset.range (j + 1 + 1), f (g (k + 1))) / (↑j + 2) - f xm * ((↑j + 2) / (↑j + 2)) =
    (∑ k ∈ Finset.range (j + 1 + 1), f (g (k + 1)) - (↑j + 1 + 1) * f xm) / (↑j + 1 + 1)

Tactic:
rw [← one_add_one_eq_two, ← add_assoc, mul_div, mul_comm, ← sub_div]

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_14.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {x₀ : E} [p : Gradient_Descent_fix_stepsize f f' x₀] (k : ℕ) :
  (fun x => Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀) k > 0 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
x₀ : E
p : Gradient_Descent_fix_stepsize f f' x₀
⊢ ∀ (k : ℕ), (fun x => Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀) k > 0

Tactic:
simp [p.step₁]

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_15.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {l : NNReal} {a : ℝ} (h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁)
  (h₂ : ↑l > 0) (ha₁ : ↑l ≤ 1 / a) (ha₂ : a > 0) (h₃ : LipschitzWith l f') (x : E)
  (h_original_goal :
    f x + ⟪f' x, x - a • f' x - x⟫_ℝ + ↑l / 2 * ‖x - a • f' x - x‖ ^ 2 = f x + (↑l / 2 * a * a - a) * ‖f' x‖ ^ 2) :
  f x + -⟪f' x, a • f' x⟫_ℝ + ↑l / 2 * ‖a • f' x‖ ^ 2 = f x + (↑l / 2 * a * a - a) * ‖f' x‖ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
l : NNReal
a : ℝ
h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
h₂ : ↑l > 0
ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
ha₂ : a > 0
h₃ : LipschitzWith l f'
x : E
⊢ f x + ⟪f' x, x - a • f' x - x⟫_ℝ + ↑l / 2 * ‖x - a • f' x - x‖ ^ 2 = f x + (↑l / 2 * a * a - a) * ‖f' x‖ ^ 2

Tactic:
simp

Tactic state after:
[E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 l : NNReal
 a : ℝ
 h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
 h₂ : ↑l > 0
 ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
 ha₂ : a > 0
 h₃ : LipschitzWith l f'
 x : E
 ⊢ f x + -⟪f' x, a • f' x⟫_ℝ + ↑l / 2 * ‖a • f' x‖ ^ 2 = f x + (↑l / 2 * a * a - a) * ‖f' x‖ ^ 2]
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_16.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {l : NNReal} {a : ℝ} (h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁)
  (h₂ : ↑l > 0) (ha₁ : ↑l ≤ 1 / a) (ha₂ : a > 0) (h₃ : LipschitzWith l f') (x : E)
  (h_original_goal :
    f x - ⟪f' x, a • f' x⟫_ℝ + ↑l * ‖a • f' x‖ ^ 2 * (1 / 2) =
      f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * (1 / 2) - a * ‖f' x‖ ^ 2)) :
  f x - ⟪f' x, a • f' x⟫_ℝ + ↑l * ‖a • f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
l : NNReal
a : ℝ
h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
h₂ : ↑l > 0
ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
ha₂ : a > 0
h₃ : LipschitzWith l f'
x : E
⊢ f x - ⟪f' x, a • f' x⟫_ℝ + ↑l * ‖a • f' x‖ ^ 2 * (1 / 2) = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * (1 / 2) - a * ‖f' x‖ ^ 2)

Tactic:
simp

Tactic state after:
[E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 l : NNReal
 a : ℝ
 h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
 h₂ : ↑l > 0
 ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
 ha₂ : a > 0
 h₃ : LipschitzWith l f'
 x : E
 ⊢ f x - ⟪f' x, a • f' x⟫_ℝ + ↑l * ‖a • f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2)]
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_17.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {l : NNReal} {a : ℝ} (h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁)
  (h₂ : ↑l > 0) (ha₁ : ↑l ≤ 1 / a) (ha₂ : a > 0) (h₃ : LipschitzWith l f') (x : E)
  (h_original_goal :
    f x - ⟪f' x, a • f' x⟫_ℝ + ↑l * ‖a • f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2)) :
  f x - a * ‖f' x‖ ^ 2 + ↑l * (‖a‖ * ‖f' x‖) ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
l : NNReal
a : ℝ
h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
h₂ : ↑l > 0
ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
ha₂ : a > 0
h₃ : LipschitzWith l f'
x : E
⊢ f x - ⟪f' x, a • f' x⟫_ℝ + ↑l * ‖a • f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2)

Tactic:
rw [real_inner_smul_right, real_inner_self_eq_norm_sq, norm_smul]

Tactic state after:
[E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 l : NNReal
 a : ℝ
 h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
 h₂ : ↑l > 0
 ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
 ha₂ : a > 0
 h₃ : LipschitzWith l f'
 x : E
 ⊢ f x - a * ‖f' x‖ ^ 2 + ↑l * (‖a‖ * ‖f' x‖) ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2)]
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_18.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {l : NNReal} {a : ℝ} (h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁)
  (h₂ : ↑l > 0) (ha₁ : ↑l ≤ 1 / a) (ha₂ : a > 0) (h₃ : LipschitzWith l f') (x : E)
  (h_original_goal :
    f x - a * ‖f' x‖ ^ 2 + ↑l * (‖a‖ * ‖f' x‖) ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2)) :
  f x - a * ‖f' x‖ ^ 2 + ↑l * (|a| * ‖f' x‖) ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
l : NNReal
a : ℝ
h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
h₂ : ↑l > 0
ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
ha₂ : a > 0
h₃ : LipschitzWith l f'
x : E
⊢ f x - a * ‖f' x‖ ^ 2 + ↑l * (‖a‖ * ‖f' x‖) ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2)

Tactic:
simp

Tactic state after:
[E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 l : NNReal
 a : ℝ
 h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
 h₂ : ↑l > 0
 ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
 ha₂ : a > 0
 h₃ : LipschitzWith l f'
 x : E
 ⊢ f x - a * ‖f' x‖ ^ 2 + ↑l * (|a| * ‖f' x‖) ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2)]
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_19.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {l : NNReal} {a : ℝ} (h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁)
  (h₂ : ↑l > 0) (ha₁ : ↑l ≤ 1 / a) (ha₂ : a > 0) (h₃ : LipschitzWith l f') (x : E)
  (h_original_goal :
    f x - a * ‖f' x‖ ^ 2 + ↑l * (|a| * ‖f' x‖) ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2)) :
  f x - a * ‖f' x‖ ^ 2 + ↑l * (a * ‖f' x‖) ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
l : NNReal
a : ℝ
h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
h₂ : ↑l > 0
ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
ha₂ : a > 0
h₃ : LipschitzWith l f'
x : E
⊢ f x - a * ‖f' x‖ ^ 2 + ↑l * (|a| * ‖f' x‖) ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2)

Tactic:
rw [abs_of_pos ha₂]

Tactic state after:
[E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 l : NNReal
 a : ℝ
 h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
 h₂ : ↑l > 0
 ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
 ha₂ : a > 0
 h₃ : LipschitzWith l f'
 x : E
 ⊢ f x - a * ‖f' x‖ ^ 2 + ↑l * (a * ‖f' x‖) ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2)]
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_20.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {l : NNReal} {a : ℝ} (h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁)
  (h₂ : ↑l > 0) (ha₁ : ↑l ≤ 1 / a) (ha₂ : a > 0) (h₃ : LipschitzWith l f') (x : E)
  (h_original_goal : f x + (↑l / 2 * a * a - a) * ‖f' x‖ ^ 2 ≤ f x + -a / 2 * ‖f' x‖ ^ 2) :
  (↑l / 2 * a * a - a) * ‖f' x‖ ^ 2 ≤ -a / 2 * ‖f' x‖ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
l : NNReal
a : ℝ
h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
h₂ : ↑l > 0
ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
ha₂ : a > 0
h₃ : LipschitzWith l f'
x : E
⊢ f x + (↑l / 2 * a * a - a) * ‖f' x‖ ^ 2 ≤ f x + -a / 2 * ‖f' x‖ ^ 2

Tactic:
simp only [add_le_add_iff_left, gt_iff_lt, norm_pos_iff, ne_eq]

Tactic state after:
[E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 l : NNReal
 a : ℝ
 h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
 h₂ : ↑l > 0
 ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
 ha₂ : a > 0
 h₃ : LipschitzWith l f'
 x : E
 ⊢ (↑l / 2 * a * a - a) * ‖f' x‖ ^ 2 ≤ -a / 2 * ‖f' x‖ ^ 2]
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_21.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {l : NNReal} {a : ℝ} (h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁)
  (h₂ : ↑l > 0) (ha₁ : ↑l ≤ 1 / a) (ha₂ : a > 0) (h₃ : LipschitzWith l f') (x : E)
  (h_original_goal : (↑l / 2 * a * a - a) * ‖f' x‖ ^ 2 ≤ -a / 2 * ‖f' x‖ ^ 2) : ↑l / 2 * a * a - a ≤ -a / 2 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
l : NNReal
a : ℝ
h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
h₂ : ↑l > 0
ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
ha₂ : a > 0
h₃ : LipschitzWith l f'
x : E
⊢ (↑l / 2 * a * a - a) * ‖f' x‖ ^ 2 ≤ -a / 2 * ‖f' x‖ ^ 2

Tactic:
apply mul_le_mul_of_nonneg_right

Tactic state after:
[case h
 E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 l : NNReal
 a : ℝ
 h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
 h₂ : ↑l > 0
 ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
 ha₂ : a > 0
 h₃ : LipschitzWith l f'
 x : E
 ⊢ ↑l / 2 * a * a - a ≤ -a / 2,
 case a0
 E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 l : NNReal
 a : ℝ
 h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
 h₂ : ↑l > 0
 ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
 ha₂ : a > 0
 h₃ : LipschitzWith l f'
 x : E
 ⊢ 0 ≤ ‖f' x‖ ^ 2]
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_22.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {l : NNReal} {a : ℝ} (h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁)
  (h₂ : ↑l > 0) (ha₁ : ↑l ≤ 1 / a) (ha₂ : a > 0) (h₃ : LipschitzWith l f') (x : E)
  (h_original_goal : (↑l / 2 * a * a - a) * ‖f' x‖ ^ 2 ≤ -a / 2 * ‖f' x‖ ^ 2) : 0 ≤ ‖f' x‖ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
l : NNReal
a : ℝ
h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
h₂ : ↑l > 0
ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
ha₂ : a > 0
h₃ : LipschitzWith l f'
x : E
⊢ (↑l / 2 * a * a - a) * ‖f' x‖ ^ 2 ≤ -a / 2 * ‖f' x‖ ^ 2

Tactic:
apply mul_le_mul_of_nonneg_right

Tactic state after:
[case h
 E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 l : NNReal
 a : ℝ
 h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
 h₂ : ↑l > 0
 ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
 ha₂ : a > 0
 h₃ : LipschitzWith l f'
 x : E
 ⊢ ↑l / 2 * a * a - a ≤ -a / 2,
 case a0
 E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 l : NNReal
 a : ℝ
 h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
 h₂ : ↑l > 0
 ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
 ha₂ : a > 0
 h₃ : LipschitzWith l f'
 x : E
 ⊢ 0 ≤ ‖f' x‖ ^ 2]
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_23.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {l : NNReal} {a : ℝ} (h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁)
  (h₂ : ↑l > 0) (ha₁ : ↑l ≤ 1 / a) (ha₂ : a > 0) (h₃ : LipschitzWith l f')
  (h_original_goal : ↑l / 2 * a * a - a ≤ -a / 2) : ↑l / 2 * a * a ≤ -a / 2 + a := sorry

Tactic state before:
case h
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
l : NNReal
a : ℝ
h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
h₂ : ↑l > 0
ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
ha₂ : a > 0
h₃ : LipschitzWith l f'
x : E
⊢ ↑l / 2 * a * a - a ≤ -a / 2

Tactic:
simp

Tactic state after:
[case h
 E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 l : NNReal
 a : ℝ
 h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
 h₂ : ↑l > 0
 ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
 ha₂ : a > 0
 h₃ : LipschitzWith l f'
 x : E
 ⊢ ↑l / 2 * a * a ≤ -a / 2 + a]
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_24.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {l : NNReal} {a : ℝ} (h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁)
  (h₂ : ↑l > 0) (ha₁ : ↑l ≤ 1 / a) (ha₂ : a > 0) (h₃ : LipschitzWith l f')
  (h_original_goal : ↑l * a * (a / 2) ≤ 1 * (a / 2)) : ↑l * a ≤ 1 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
l : NNReal
a : ℝ
h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
h₂ : ↑l > 0
ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
ha₂ : a > 0
h₃ : LipschitzWith l f'
x : E
⊢ ↑l * a * (a / 2) ≤ 1 * (a / 2)

Tactic:
apply mul_le_mul_of_nonneg _ (by linarith) (by positivity) (by linarith)

Tactic state after:
[E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 l : NNReal
 a : ℝ
 h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
 h₂ : ↑l > 0
 ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
 ha₂ : a > 0
 h₃ : LipschitzWith l f'
 x : E
 ⊢ ↑l * a ≤ 1]
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_25.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {l : NNReal} {a : ℝ} (h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁)
  (h₂ : ↑l > 0) (ha₁ : ↑l ≤ 1 / a) (ha₂ : a > 0) (h₃ : LipschitzWith l f') : ↑l * a ≤ 1 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
l : NNReal
a : ℝ
h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
h₂ : ↑l > 0
ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
ha₂ : a > 0
h₃ : LipschitzWith l f'
x : E
⊢ ↑l * a ≤ 1

Tactic:
exact (le_div_iff₀ ha₂).mp ha₁

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_26.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {l : NNReal} {a : ℝ} (h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁)
  (h₂ : ↑l > 0) (ha₁ : ↑l ≤ 1 / a) (ha₂ : a > 0) (h₃ : LipschitzWith l f') (x : E) : 0 ≤ ‖f' x‖ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
case a0
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
l : NNReal
a : ℝ
h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
h₂ : ↑l > 0
ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
ha₂ : a > 0
h₃ : LipschitzWith l f'
x : E
⊢ 0 ≤ ‖f' x‖ ^ 2

Tactic:
exact sq_nonneg ‖f' x‖

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_27.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {xm x₀ : E} {alg : Gradient_Descent_fix_stepsize f f' x₀}
  (hfun : ConvexOn ℝ univ f)
  (step₂ : Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ ≤ 1 / ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀))
  (h_original_goal : ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀) ≤ 1 / Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀) :
  0 < ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
xm x₀ : E
alg : Gradient_Descent_fix_stepsize f f' x₀
hfun : ConvexOn ℝ univ f
step₂ : Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ ≤ 1 / ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀)
⊢ ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀) ≤ 1 / Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀

Tactic:
rw [le_one_div alg.step₁] at step₂

Tactic state after:
[E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 xm x₀ : E
 alg : Gradient_Descent_fix_stepsize f f' x₀
 hfun : ConvexOn ℝ univ f
 step₂ : ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀) ≤ 1 / Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀
 ⊢ ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀) ≤ 1 / Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀,
 E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 xm x₀ : E
 alg : Gradient_Descent_fix_stepsize f f' x₀
 hfun : ConvexOn ℝ univ f
 step₂ : Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ ≤ 1 / ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀)
 ⊢ 0 < ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀)]
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_28.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {xm x₀ : E} {alg : Gradient_Descent_fix_stepsize f f' x₀}
  (hfun : ConvexOn ℝ univ f)
  (step₂_1 : Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ ≤ 1 / ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀))
  (step₂ : ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀) ≤ 1 / Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀)
  (this_1 : LipschitzWith (Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀) f')
  (this : Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀ > 0)
  (h_original_goal : Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ * (Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀)⁻¹ = 1) :
  Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ ≠ 0 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
xm x₀ : E
alg : Gradient_Descent_fix_stepsize f f' x₀
hfun : ConvexOn ℝ univ f
step₂✝ : Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ ≤ 1 / ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀)
step₂ : ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀) ≤ 1 / Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀
k : ℕ
this✝ : LipschitzWith (Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀) f'
this : Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀ > 0
x : E
⊢ Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ * (Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀)⁻¹ = 1

Tactic:
apply mul_inv_cancel₀

Tactic state after:
[case h
 E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 xm x₀ : E
 alg : Gradient_Descent_fix_stepsize f f' x₀
 hfun : ConvexOn ℝ univ f
 step₂✝ : Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ ≤ 1 / ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀)
 step₂ : ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀) ≤ 1 / Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀
 k : ℕ
 this✝ : LipschitzWith (Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀) f'
 this : Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀ > 0
 x : E
 ⊢ Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ ≠ 0]