zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_136.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F]
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (ε : ℝ) (epos : 0 < ε)
  (h :
    ∀ (x : ℕ),
      ∃ x_1,
        x ≤ x_1 ∧
          (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal →
            ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)) :
  let W := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose (h 0)) fun n p => Classical.choose (h (p + 1));
  StrictMono W →
    ∀ z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ),
      ∀ (α : ℕ → ℕ),
        StrictMono α →
          Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_) →
            ClusterPt z_ (map z atTop) → map (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop ≤ map z atTop := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
ε : ℝ
epos : 0 < ε
h :
  ∀ (x : ℕ),
    ∃ x_1,
      x ≤ x_1 ∧
        (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal → ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)
W : ℕ → ℕ := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose ⋯) fun n p => Classical.choose ⋯
monoW : StrictMono W
z_ : WithLp 2 (E × F)
left✝ : z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ)
α : ℕ → ℕ
monoa : StrictMono α
conv : Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_)
⊢ ClusterPt z_ (map z atTop)

Tactic:
apply ClusterPt.mono (ClusterPt.of_le_nhds conv)

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 ε : ℝ
 epos : 0 < ε
 h :
   ∀ (x : ℕ),
     ∃ x_1,
       x ≤ x_1 ∧
         (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal → ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)
 W : ℕ → ℕ := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose ⋯) fun n p => Classical.choose ⋯
 monoW : StrictMono W
 z_ : WithLp 2 (E × F)
 left✝ : z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ)
 α : ℕ → ℕ
 monoa : StrictMono α
 conv : Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_)
 ⊢ map (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop ≤ map z atTop]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_137.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F]
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (ε : ℝ) (epos : 0 < ε)
  (h :
    ∀ (x : ℕ),
      ∃ x_1,
        x ≤ x_1 ∧
          (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal →
            ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)) :
  let W := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose (h 0)) fun n p => Classical.choose (h (p + 1));
  StrictMono W →
    ∀ z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ),
      ∀ (α : ℕ → ℕ),
        StrictMono α →
          Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_) →
            map (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop = map (fun n => (z ∘ W) n) (map α atTop) →
              map (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop = map ((fun n => (z ∘ W) n) ∘ α) atTop := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
ε : ℝ
epos : 0 < ε
h :
  ∀ (x : ℕ),
    ∃ x_1,
      x ≤ x_1 ∧
        (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal → ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)
W : ℕ → ℕ := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose ⋯) fun n p => Classical.choose ⋯
monoW : StrictMono W
z_ : WithLp 2 (E × F)
left✝ : z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ)
α : ℕ → ℕ
monoa : StrictMono α
conv : Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_)
⊢ map (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop = map (fun n => (z ∘ W) n) (map α atTop)

Tactic:
rw [map_map]

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 ε : ℝ
 epos : 0 < ε
 h :
   ∀ (x : ℕ),
     ∃ x_1,
       x ≤ x_1 ∧
         (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal → ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)
 W : ℕ → ℕ := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose ⋯) fun n p => Classical.choose ⋯
 monoW : StrictMono W
 z_ : WithLp 2 (E × F)
 left✝ : z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ)
 α : ℕ → ℕ
 monoa : StrictMono α
 conv : Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_)
 ⊢ map (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop = map ((fun n => (z ∘ W) n) ∘ α) atTop]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_138.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F]
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (ε : ℝ) (epos : 0 < ε)
  (h :
    ∀ (x : ℕ),
      ∃ x_1,
        x ≤ x_1 ∧
          (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal →
            ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)) :
  let W := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose (h 0)) fun n p => Classical.choose (h (p + 1));
  StrictMono W →
    ∀ z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ),
      ∀ (α : ℕ → ℕ),
        StrictMono α →
          Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_) →
            map (fun n => (z ∘ W) n) atTop ≤ map (fun n => z n) atTop →
              map z (map W atTop) ≤ map (fun n => z n) atTop := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
ε : ℝ
epos : 0 < ε
h :
  ∀ (x : ℕ),
    ∃ x_1,
      x ≤ x_1 ∧
        (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal → ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)
W : ℕ → ℕ := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose ⋯) fun n p => Classical.choose ⋯
monoW : StrictMono W
z_ : WithLp 2 (E × F)
left✝ : z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ)
α : ℕ → ℕ
monoa : StrictMono α
conv : Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_)
⊢ map (fun n => (z ∘ W) n) atTop ≤ map (fun n => z n) atTop

Tactic:
rw [← map_map]

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 ε : ℝ
 epos : 0 < ε
 h :
   ∀ (x : ℕ),
     ∃ x_1,
       x ≤ x_1 ∧
         (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal → ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)
 W : ℕ → ℕ := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose ⋯) fun n p => Classical.choose ⋯
 monoW : StrictMono W
 z_ : WithLp 2 (E × F)
 left✝ : z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ)
 α : ℕ → ℕ
 monoa : StrictMono α
 conv : Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_)
 ⊢ map z (map W atTop) ≤ map (fun n => z n) atTop]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_139.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F]
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (ε : ℝ) (epos : 0 < ε)
  (h :
    ∀ (x : ℕ),
      ∃ x_1,
        x ≤ x_1 ∧
          (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal →
            ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)) :
  let W := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose (h 0)) fun n p => Classical.choose (h (p + 1));
  StrictMono W →
    ∀ z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ),
      ∀ (α : ℕ → ℕ),
        StrictMono α →
          Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_) → map z (map W atTop) ≤ map (fun n => z n) atTop := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
ε : ℝ
epos : 0 < ε
h :
  ∀ (x : ℕ),
    ∃ x_1,
      x ≤ x_1 ∧
        (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal → ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)
W : ℕ → ℕ := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose ⋯) fun n p => Classical.choose ⋯
monoW : StrictMono W
z_ : WithLp 2 (E × F)
left✝ : z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ)
α : ℕ → ℕ
monoa : StrictMono α
conv : Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_)
⊢ map z (map W atTop) ≤ map (fun n => z n) atTop

Tactic:
apply map_mono (StrictMono.tendsto_atTop monoW)

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_141.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F]
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (ε : ℝ) (epos : 0 < ε)
  (h :
    ∀ (x : ℕ),
      ∃ x_1,
        x ≤ x_1 ∧
          (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal →
            ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)) :
  let W := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose (h 0)) fun n p => Classical.choose (h (p + 1));
  StrictMono W →
    ∀ z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ),
      ∀ (α : ℕ → ℕ),
        StrictMono α →
          Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_) →
            z_ ∈ limit_set z →
              (∀ᶠ (c : ℕ) in atTop, ε ≤ ((fun x => Metric.infDist x (limit_set z)) ∘ fun n => (z ∘ W) (α n)) c) →
                ∃ a, ∀ (b : ℕ), a ≤ b → ε ≤ Metric.infDist (z (W (α b))) (limit_set z) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
ε : ℝ
epos : 0 < ε
h :
  ∀ (x : ℕ),
    ∃ x_1,
      x ≤ x_1 ∧
        (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal → ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)
W : ℕ → ℕ := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose ⋯) fun n p => Classical.choose ⋯
monoW : StrictMono W
z_ : WithLp 2 (E × F)
left✝ : z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ)
α : ℕ → ℕ
monoa : StrictMono α
conv : Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_)
z_in : z_ ∈ limit_set z
⊢ ∀ᶠ (c : ℕ) in atTop, ε ≤ ((fun x => Metric.infDist x (limit_set z)) ∘ fun n => (z ∘ W) (α n)) c

Tactic:
simp

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 ε : ℝ
 epos : 0 < ε
 h :
   ∀ (x : ℕ),
     ∃ x_1,
       x ≤ x_1 ∧
         (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal → ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)
 W : ℕ → ℕ := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose ⋯) fun n p => Classical.choose ⋯
 monoW : StrictMono W
 z_ : WithLp 2 (E × F)
 left✝ : z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ)
 α : ℕ → ℕ
 monoa : StrictMono α
 conv : Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_)
 z_in : z_ ∈ limit_set z
 ⊢ ∃ a, ∀ (b : ℕ), a ≤ b → ε ≤ Metric.infDist (z (W (α b))) (limit_set z)]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_144.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F]
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (ε : ℝ) (epos : 0 < ε)
  (h :
    ∀ (x : ℕ),
      ∃ x_1,
        x ≤ x_1 ∧
          (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal →
            ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)) :
  let W := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose (h 0)) fun n p => Classical.choose (h (p + 1));
  StrictMono W →
    ∀ z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ),
      ∀ (α : ℕ → ℕ),
        StrictMono α →
          Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_) →
            z_ ∈ limit_set z →
              ∀ (n : ℕ),
                1 ≤ n →
                  -ε < (EMetric.infEdist (z (Classical.choose (h (W (α n - 1) + 1)))) (limit_set z)).toReal := sorry

Tactic state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
ε : ℝ
epos : 0 < ε
h :
  ∀ (x : ℕ),
    ∃ x_1,
      x ≤ x_1 ∧
        (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal → ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)
W : ℕ → ℕ := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose ⋯) fun n p => Classical.choose ⋯
monoW : StrictMono W
z_ : WithLp 2 (E × F)
left✝ : z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ)
α : ℕ → ℕ
monoa : StrictMono α
conv : Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_)
z_in : z_ ∈ limit_set z
n : ℕ
len : 1 ≤ n
⊢ -ε < (EMetric.infEdist (z (Classical.choose ⋯)) (limit_set z)).toReal

Tactic:
apply lt_of_le_of_lt' (ENNReal.toReal_nonneg) (neg_neg_iff_pos.mpr epos)

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_145.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F]
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (ε : ℝ) (epos : 0 < ε)
  (h :
    ∀ (x : ℕ),
      ∃ x_1,
        x ≤ x_1 ∧
          (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal →
            ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)) :
  let W := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose (h 0)) fun n p => Classical.choose (h (p + 1));
  StrictMono W →
    ∀ z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ),
      ∀ (α : ℕ → ℕ),
        StrictMono α →
          Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_) →
            z_ ∈ limit_set z →
              (EMetric.infEdist z_ (limit_set z)).toReal ≥ ε → EMetric.infEdist z_ (limit_set z) = 0 := sorry

Tactic state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
ε : ℝ
epos : 0 < ε
h :
  ∀ (x : ℕ),
    ∃ x_1,
      x ≤ x_1 ∧
        (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal → ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)
W : ℕ → ℕ := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose ⋯) fun n p => Classical.choose ⋯
monoW : StrictMono W
z_ : WithLp 2 (E × F)
left✝ : z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ)
α : ℕ → ℕ
monoa : StrictMono α
conv : Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_)
z_in : z_ ∈ limit_set z
z_ge : (EMetric.infEdist z_ (limit_set z)).toReal ≥ ε
⊢ ?m.1219085 = 0

Tactic:
exact EMetric.infEdist_zero_of_mem z_in

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_146.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (h_original_goal : IsCompact (limit_set z)) :
  IsClosed (limit_set z) := sorry

Tactic state before:
case left
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
⊢ IsCompact (limit_set z)

Tactic:
apply Metric.isCompact_of_isClosed_isBounded

Tactic state after:
[case left.hc
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 ⊢ IsClosed (limit_set z),
 case left.hb
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 ⊢ Bornology.IsBounded (limit_set z)]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_147.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (h_original_goal : IsCompact (limit_set z)) :
  Bornology.IsBounded (limit_set z) := sorry

Tactic state before:
case left
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
⊢ IsCompact (limit_set z)

Tactic:
apply Metric.isCompact_of_isClosed_isBounded

Tactic state after:
[case left.hc
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 ⊢ IsClosed (limit_set z),
 case left.hb
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 ⊢ Bornology.IsBounded (limit_set z)]