zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_36.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (ρ₁ : ℝ) (hρ₁ : ρ₁ > 0) (left : ρ₁ = (γ - 1) * ↑l)
  (h2 : ∀ (k : ℕ), ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))
  (hDescent' : ∀ (k : ℕ), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1))))
  (hne : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (n + 1)))) (ψ₀ : ℝ)
  (hψ₀ : ∀ (a : WithLp 2 (E × F)), ψ₀ ≤ ψ a)
  (hne' : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ₀)) :
  let S := fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2;
  (∀ n ≥ 1, S n ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ₀)) →
    let M₁ := S 0 ⊔ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ₀);
    M₁ = S 0 ⊔ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ₀) → ∀ (n : ℕ), 0 < n → S n ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ₀) := sorry

Tactic state before:
case neg.h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
ρ₁ : ℝ
hρ₁ : ρ₁ > 0
left✝ : ρ₁ = (γ - 1) * ↑l
h2 : ∀ (k : ℕ), ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1))
hDescent' : ∀ (k : ℕ), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))
hne : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (n + 1)))
ψ₀ : ℝ
hψ₀ : ∀ (a : WithLp 2 (E × F)), ψ₀ ≤ ψ a
hne' : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ₀)
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2
hne'' : ∀ n ≥ 1, S n ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ₀)
M₁ : ℝ := S 0 ⊔ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ₀)
hₘ : M₁ = S 0 ⊔ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ₀)
n : ℕ
h0 : 0 < n
⊢ S n ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ₀)

Tactic:
exact hne'' n (by linarith [h0])

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_37.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (A : ℝ)
  (hA : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε)
  (h_original_goal : Tendsto (fun k => ‖z (k + 1) - z k‖) atTop (𝓝 0)) (ε : ℝ) :
  ε > 0 → ∃ N, ∀ n ≥ N, dist ‖z (n + 1) - z n‖ 0 < ε := sorry

Tactic state before:
case intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
A : ℝ
hA : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε
⊢ Tendsto (fun k => ‖z (k + 1) - z k‖) atTop (𝓝 0)

Tactic:
rw [Metric.tendsto_atTop]

Tactic state after:
[case intro
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 A : ℝ
 hA : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε
 ⊢ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist ‖z (n + 1) - z n‖ 0 < ε]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_38.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (A : ℝ)
  (hA : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε)
  (h_original_goal : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist ‖z (n + 1) - z n‖ 0 < ε) (ε : ℝ) :
  0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖z (n + 1) - z n‖ < ε := sorry

Tactic state before:
case intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
A : ℝ
hA : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε
⊢ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist ‖z (n + 1) - z n‖ 0 < ε

Tactic:
simp [dist_zero_right]

Tactic state after:
[case intro
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 A : ℝ
 hA : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε
 ⊢ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖z (n + 1) - z n‖ < ε]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_39.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (A ε : ℝ) (εge0 : 0 < ε)
  (hA : 0 < ε / 2 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2) (N : ℕ)
  (hNεhalf : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2) (n : ℕ) (ngeN : N ≤ n)
  (h_original_goal :
    ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
      ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A - (∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A)) :
  ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
    ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - (A - A) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
A ε : ℝ
εge0 : 0 < ε
hA : 0 < ε / 2 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
N : ℕ
hNεhalf : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
n : ℕ
ngeN : N ≤ n
⊢ ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
    ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A - (∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A)

Tactic:
rw [sub_sub_sub_comm]

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 A ε : ℝ
 εge0 : 0 < ε
 hA : 0 < ε / 2 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
 N : ℕ
 hNεhalf : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
 n : ℕ
 ngeN : N ≤ n
 ⊢ ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
     ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - (A - A)]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_40.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (A ε : ℝ) (εge0 : 0 < ε)
  (hA : 0 < ε / 2 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2) (N : ℕ)
  (hNεhalf : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2) (n : ℕ) (ngeN : N ≤ n)
  (h_original_goal :
    ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
      ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - (A - A)) :
  ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
    ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
A ε : ℝ
εge0 : 0 < ε
hA : 0 < ε / 2 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
N : ℕ
hNεhalf : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
n : ℕ
ngeN : N ≤ n
⊢ ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
    ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - (A - A)

Tactic:
simp

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 A ε : ℝ
 εge0 : 0 < ε
 hA : 0 < ε / 2 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
 N : ℕ
 hNεhalf : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
 n : ℕ
 ngeN : N ≤ n
 ⊢ ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
     ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_41.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (A ε : ℝ) (εge0 : 0 < ε)
  (hA : 0 < ε / 2 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2) (N : ℕ)
  (hNεhalf : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2) (n : ℕ) (ngeN : N ≤ n) :
  ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
    ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
A ε : ℝ
εge0 : 0 < ε
hA : 0 < ε / 2 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
N : ℕ
hNεhalf : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
n : ℕ
ngeN : N ≤ n
⊢ ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
    ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2

Tactic:
rw [Finset.sum_range_succ_sub_sum]

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_42.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (A ε : ℝ) (εge0 : 0 < ε)
  (hA : 0 < ε / 2 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2) (N : ℕ)
  (hNεhalf : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2) (n : ℕ) (ngeN : N ≤ n)
  (eq' :
    ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
      ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A - (∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A))
  (hNεhalf' :
    -(ε / 2) < ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A ∧
      ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A < ε / 2) :
  ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A < ε / 2 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
A ε : ℝ
εge0 : 0 < ε
hA : 0 < ε / 2 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
N : ℕ
hNεhalf : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
n : ℕ
ngeN : N ≤ n
eq' :
  ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
    ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A - (∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A)
hNεhalf' :
  -(ε / 2) < ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A ∧
    ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A < ε / 2
⊢ ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A < ε / 2

Tactic:
exact hNεhalf'.right

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_43.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (A ε : ℝ) (εge0 : 0 < ε)
  (hA : 0 < ε / 2 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2) (N n : ℕ)
  (ngeN : N ≤ n)
  (eq' :
    ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
      ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A - (∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A))
  (hNεhalf' : |∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2)
  (hNεhalf1 : ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A < ε / 2)
  (hNεhalf :
    -(ε / 2) < ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A ∧
      ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A < ε / 2) :
  ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A > -(ε / 2) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
A ε : ℝ
εge0 : 0 < ε
hA : 0 < ε / 2 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
N n : ℕ
ngeN : N ≤ n
eq' :
  ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
    ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A - (∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A)
hNεhalf' : |∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
hNεhalf1 : ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A < ε / 2
hNεhalf :
  -(ε / 2) < ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A ∧ ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A < ε / 2
⊢ ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A > -(ε / 2)

Tactic:
exact hNεhalf.left

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_45.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ) (h_original_goal : subdiff k ∈ f_subdifferential ψ (z (k + 1))) :
  A_k k ∈ f_subdifferential (fun z => f z.1 + g z.2) (z (k + 1)) := sorry

Tactic state before:
case h.left
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
⊢ subdiff k ∈ f_subdifferential ψ (z (k + 1))

Tactic:
apply f_subdiff_add_smooth

Tactic state after:
[case h.left.h
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 k : ℕ
 ⊢ A_k k ∈ f_subdifferential (fun z => f z.1 + g z.2) (z (k + 1)),
 case h.left.hg
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 k : ℕ
 ⊢ HasGradientAt H (gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1))) (z (k + 1))]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_46.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ) (h_original_goal : subdiff k ∈ f_subdifferential ψ (z (k + 1))) :
  HasGradientAt H (gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1))) (z (k + 1)) := sorry

Tactic state before:
case h.left
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
⊢ subdiff k ∈ f_subdifferential ψ (z (k + 1))

Tactic:
apply f_subdiff_add_smooth

Tactic state after:
[case h.left.h
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 k : ℕ
 ⊢ A_k k ∈ f_subdifferential (fun z => f z.1 + g z.2) (z (k + 1)),
 case h.left.hg
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 k : ℕ
 ⊢ HasGradientAt H (gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1))) (z (k + 1))]