zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_17.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y))
  (l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)) (k : ℕ)
  (hHf :
    H (alg.x (k + 1), alg.y k) + f (alg.x (k + 1)) ≤
      H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2) :
  let h := fun y => H (alg.x (k + 1), y);
  ∀ (y : F), DifferentiableAt ℝ h y → Differentiable ℝ H := sorry

Tactic state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
k : ℕ
hHf :
  H (alg.x (k + 1), alg.y k) + f (alg.x (k + 1)) ≤
    H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2
h : F → ℝ := fun y => H (alg.x (k + 1), y)
h' : F → F := fun y => grad_snd H (alg.x (k + 1)) y
y : F
⊢ DifferentiableAt ℝ h y

Tactic:
apply diff_prod₂

Tactic state after:
[case h.h
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
 l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
 l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
 k : ℕ
 hHf :
   H (alg.x (k + 1), alg.y k) + f (alg.x (k + 1)) ≤
     H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2
 h : F → ℝ := fun y => H (alg.x (k + 1), y)
 h' : F → F := fun y => grad_snd H (alg.x (k + 1)) y
 y : F
 ⊢ Differentiable ℝ H]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_18.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y))
  (l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)) (k : ℕ)
  (hHf :
    H (alg.x (k + 1), alg.y k) + f (alg.x (k + 1)) ≤
      H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2) :
  Differentiable ℝ H := sorry

Tactic state before:
case h.h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
k : ℕ
hHf :
  H (alg.x (k + 1), alg.y k) + f (alg.x (k + 1)) ≤
    H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2
h : F → ℝ := fun y => H (alg.x (k + 1), y)
h' : F → F := fun y => grad_snd H (alg.x (k + 1)) y
y : F
⊢ Differentiable ℝ H

Tactic:
apply ContDiff.differentiable alg.conf (by simp)

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_22.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y))
  (l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)) (k : ℕ)
  (hHf :
    H (alg.x (k + 1), alg.y k) + f (alg.x (k + 1)) ≤
      H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2) :
  let h := fun y => H (alg.x (k + 1), y);
  let h' := fun y => grad_snd H (alg.x (k + 1)) y;
  (∀ (y₁ : F), HasGradientAt h (h' y₁) y₁) →
    (alg.y (k + 1) ∈ prox_set (fun a => alg.d k * g a) (alg.y k - alg.d k • h' (alg.y k)) →
        h (alg.y (k + 1)) + g (alg.y (k + 1)) ≤
          h (alg.y k) + g (alg.y k) - 1 / 2 * (1 / alg.d k - ↑l) * ‖alg.y (k + 1) - alg.y k‖ ^ 2) →
      prox_prop (fun a => alg.d k * g a) (alg.y k - alg.d k • h' (alg.y k)) (alg.y (k + 1)) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
k : ℕ
hHf :
  H (alg.x (k + 1), alg.y k) + f (alg.x (k + 1)) ≤
    H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2
h : F → ℝ := fun y => H (alg.x (k + 1), y)
h' : F → F := fun y => grad_snd H (alg.x (k + 1)) y
h1 : ∀ (y₁ : F), HasGradientAt h (h' y₁) y₁
prop :
  alg.y (k + 1) ∈ prox_set (fun a => alg.d k * g a) (alg.y k - alg.d k • h' (alg.y k)) →
    h (alg.y (k + 1)) + g (alg.y (k + 1)) ≤
      h (alg.y k) + g (alg.y k) - 1 / 2 * (1 / alg.d k - ↑l) * ‖alg.y (k + 1) - alg.y k‖ ^ 2
⊢ prox_prop (fun a => alg.d k * g a) (alg.y k - alg.d k • h' (alg.y k)) (alg.y (k + 1))

Tactic:
exact (alg.s₂ k)

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_24.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y))
  (l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)) (k_1 : ℕ)
  (hHf :
    H (alg.x (k_1 + 1), alg.y k_1) + f (alg.x (k_1 + 1)) ≤
      H (alg.x k_1, alg.y k_1) + f (alg.x k_1) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k_1 + 1) - alg.x k_1‖ ^ 2)
  (hHg :
    H (alg.x (k_1 + 1), alg.y (k_1 + 1)) + g (alg.y (k_1 + 1)) ≤
      H (alg.x (k_1 + 1), alg.y k_1) + g (alg.y k_1) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.y (k_1 + 1) - alg.y k_1‖ ^ 2)
  (k : ℕ) (h_original_goal : ψ (z k) = H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) + g (alg.y k)) :
  f (z k).1 + g (z k).2 + H (z k) = H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) + g (alg.y k) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
k✝ : ℕ
hHf :
  H (alg.x (k✝ + 1), alg.y k✝) + f (alg.x (k✝ + 1)) ≤
    H (alg.x k✝, alg.y k✝) + f (alg.x k✝) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k✝ + 1) - alg.x k✝‖ ^ 2
hHg :
  H (alg.x (k✝ + 1), alg.y (k✝ + 1)) + g (alg.y (k✝ + 1)) ≤
    H (alg.x (k✝ + 1), alg.y k✝) + g (alg.y k✝) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.y (k✝ + 1) - alg.y k✝‖ ^ 2
k : ℕ
⊢ ψ (z k) = H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) + g (alg.y k)

Tactic:
rw [BCD.ψ]

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
 l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
 l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
 k✝ : ℕ
 hHf :
   H (alg.x (k✝ + 1), alg.y k✝) + f (alg.x (k✝ + 1)) ≤
     H (alg.x k✝, alg.y k✝) + f (alg.x k✝) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k✝ + 1) - alg.x k✝‖ ^ 2
 hHg :
   H (alg.x (k✝ + 1), alg.y (k✝ + 1)) + g (alg.y (k✝ + 1)) ≤
     H (alg.x (k✝ + 1), alg.y k✝) + g (alg.y k✝) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.y (k✝ + 1) - alg.y k✝‖ ^ 2
 k : ℕ
 ⊢ f (z k).1 + g (z k).2 + H (z k) = H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) + g (alg.y k)]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_25.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y))
  (l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)) (k_1 : ℕ)
  (hHf :
    H (alg.x (k_1 + 1), alg.y k_1) + f (alg.x (k_1 + 1)) ≤
      H (alg.x k_1, alg.y k_1) + f (alg.x k_1) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k_1 + 1) - alg.x k_1‖ ^ 2)
  (hHg :
    H (alg.x (k_1 + 1), alg.y (k_1 + 1)) + g (alg.y (k_1 + 1)) ≤
      H (alg.x (k_1 + 1), alg.y k_1) + g (alg.y k_1) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.y (k_1 + 1) - alg.y k_1‖ ^ 2)
  (k : ℕ) (h_original_goal : H (z k) + (f (z k).1 + g (z k).2) = H (alg.x k, alg.y k) + (f (alg.x k) + g (alg.y k))) :
  H (z k) = H (alg.x k, alg.y k) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
k✝ : ℕ
hHf :
  H (alg.x (k✝ + 1), alg.y k✝) + f (alg.x (k✝ + 1)) ≤
    H (alg.x k✝, alg.y k✝) + f (alg.x k✝) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k✝ + 1) - alg.x k✝‖ ^ 2
hHg :
  H (alg.x (k✝ + 1), alg.y (k✝ + 1)) + g (alg.y (k✝ + 1)) ≤
    H (alg.x (k✝ + 1), alg.y k✝) + g (alg.y k✝) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.y (k✝ + 1) - alg.y k✝‖ ^ 2
k : ℕ
⊢ H (z k) + (f (z k).1 + g (z k).2) = H (alg.x k, alg.y k) + (f (alg.x k) + g (alg.y k))

Tactic:
apply add_right_cancel_iff.2

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
 l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
 l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
 k✝ : ℕ
 hHf :
   H (alg.x (k✝ + 1), alg.y k✝) + f (alg.x (k✝ + 1)) ≤
     H (alg.x k✝, alg.y k✝) + f (alg.x k✝) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k✝ + 1) - alg.x k✝‖ ^ 2
 hHg :
   H (alg.x (k✝ + 1), alg.y (k✝ + 1)) + g (alg.y (k✝ + 1)) ≤
     H (alg.x (k✝ + 1), alg.y k✝) + g (alg.y k✝) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.y (k✝ + 1) - alg.y k✝‖ ^ 2
 k : ℕ
 ⊢ H (z k) = H (alg.x k, alg.y k)]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_29.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (ρ₁ : ℝ) (hρ₁ : ρ₁ > 0)
  (left : ρ₁ = (γ - 1) * ↑l) (k : ℕ) (h2 : ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))
  (h1 : ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1))) / ρ₁) :
  ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1))) / ρ₁ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
ρ₁ : ℝ
hρ₁ : ρ₁ > 0
left✝ : ρ₁ = (γ - 1) * ↑l
k : ℕ
h2 : ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1))
h1 : ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1))) / ρ₁
⊢ ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1))) / ρ₁

Tactic:
exact h1

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_30.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (ρ₁ : ℝ) (hρ₁ : ρ₁ > 0)
  (left : ρ₁ = (γ - 1) * ↑l) (h2 : ∀ (k : ℕ), ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))
  (hDescent' : ∀ (k : ℕ), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))) (d : ℕ)
  (hd : ∑ k ∈ Finset.range (d + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1))))
  (h_original_goal : ∑ k ∈ Finset.range (d + 1 + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1 + 1)))) :
  ∑ x ∈ Finset.range (d + 1), ‖z (x + 1) - z x‖ ^ 2 + ‖z (d + 1 + 1) - z (d + 1)‖ ^ 2 ≤
    2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1 + 1))) := sorry

Tactic state before:
case succ
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
ρ₁ : ℝ
hρ₁ : ρ₁ > 0
left✝ : ρ₁ = (γ - 1) * ↑l
h2 : ∀ (k : ℕ), ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1))
hDescent' : ∀ (k : ℕ), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))
d : ℕ
hd : ∑ k ∈ Finset.range (d + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1)))
⊢ ∑ k ∈ Finset.range (d + 1 + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1 + 1)))

Tactic:
rw [Finset.sum_range_succ _ (d + 1)]

Tactic state after:
[case succ
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 ρ₁ : ℝ
 hρ₁ : ρ₁ > 0
 left✝ : ρ₁ = (γ - 1) * ↑l
 h2 : ∀ (k : ℕ), ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1))
 hDescent' : ∀ (k : ℕ), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))
 d : ℕ
 hd : ∑ k ∈ Finset.range (d + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1)))
 ⊢ ∑ x ∈ Finset.range (d + 1), ‖z (x + 1) - z x‖ ^ 2 + ‖z (d + 1 + 1) - z (d + 1)‖ ^ 2 ≤
     2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1 + 1)))]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_32.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (ρ₁ : ℝ) (hρ₁ : ρ₁ > 0)
  (left : ρ₁ = (γ - 1) * ↑l) (h2 : ∀ (k : ℕ), ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))
  (hDescent' : ∀ (k : ℕ), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))) (d : ℕ)
  (hd : ∑ k ∈ Finset.range (d + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1))))
  (this :
    2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1 + 1))) =
      2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1))) + 2 / ρ₁ * (ψ (z (d + 1)) - ψ (z (d + 1 + 1)))) :
  ∑ x ∈ Finset.range (d + 1), ‖z (x + 1) - z x‖ ^ 2 + ‖z (d + 1 + 1) - z (d + 1)‖ ^ 2 ≤
    2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1))) + 2 / ρ₁ * (ψ (z (d + 1)) - ψ (z (d + 1 + 1))) := sorry

Tactic state before:
case succ
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
ρ₁ : ℝ
hρ₁ : ρ₁ > 0
left✝ : ρ₁ = (γ - 1) * ↑l
h2 : ∀ (k : ℕ), ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1))
hDescent' : ∀ (k : ℕ), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))
d : ℕ
hd : ∑ k ∈ Finset.range (d + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1)))
this :
  2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1 + 1))) =
    2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1))) + 2 / ρ₁ * (ψ (z (d + 1)) - ψ (z (d + 1 + 1)))
⊢ ∑ x ∈ Finset.range (d + 1), ‖z (x + 1) - z x‖ ^ 2 + ‖z (d + 1 + 1) - z (d + 1)‖ ^ 2 ≤
    2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1))) + 2 / ρ₁ * (ψ (z (d + 1)) - ψ (z (d + 1 + 1)))

Tactic:
apply add_le_add hd (hDescent' (d + 1))

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_33.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (ρ₁ : ℝ) (hρ₁ : ρ₁ > 0) (left : ρ₁ = (γ - 1) * ↑l)
  (h2 : ∀ (k : ℕ), ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))
  (hDescent' : ∀ (k : ℕ), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1))))
  (hne : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (n + 1)))) (ψ₀ : ℝ)
  (hψ₀ : ∀ (a : WithLp 2 (E × F)), ψ₀ ≤ ψ a) :
  let S := fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2;
  ∀ n ≥ 1,
    ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ₀) → S n ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ₀) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
ρ₁ : ℝ
hρ₁ : ρ₁ > 0
left✝ : ρ₁ = (γ - 1) * ↑l
h2 : ∀ (k : ℕ), ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1))
hDescent' : ∀ (k : ℕ), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))
hne : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (n + 1)))
ψ₀ : ℝ
hψ₀ : ∀ (a : WithLp 2 (E × F)), ψ₀ ≤ ψ a
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2
n : ℕ
nge1 : n ≥ 1
hne' : ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ₀)
⊢ S n ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ₀)

Tactic:
exact hne'

Tactic state after: