zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology

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open BCD

theorem extracted_formal_statement_22.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ} {l : NNReal}
  (h : Differentiable ℝ H) (hl : LipschitzWith l (gradient H))
  (h_original_goal : LipschitzWith l fun z => grad_fst H z.2 z.1) (x y : WithLp 2 (E × F)) :
  ‖grad_fst H x.2 x.1 - grad_fst H y.2 y.1‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
l : NNReal
h : Differentiable ℝ H
hl : LipschitzWith l (gradient H)
⊢ LipschitzWith l fun z => grad_fst H z.2 z.1

Tactic:
rw [lipschitzWith_iff_norm_sub_le] at *

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 l : NNReal
 h : Differentiable ℝ H
 hl : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
 ⊢ ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖grad_fst H x.2 x.1 - grad_fst H y.2 y.1‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖]
import Mathlib
import Optlib


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open BCD

theorem extracted_formal_statement_23.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ} {l : NNReal}
  (h : Differentiable ℝ H) (hl : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖)
  (z z' : WithLp 2 (E × F)) :
  ‖grad_fst H z.2 z.1 - grad_fst H z'.2 z'.1‖ = ‖(gradient H z).1 - (gradient H z').1‖ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
l : NNReal
h : Differentiable ℝ H
hl : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
z z' : WithLp 2 (E × F)
⊢ ‖grad_fst H z.2 z.1 - grad_fst H z'.2 z'.1‖ = ‖(gradient H z).1 - (gradient H z').1‖

Tactic:
rw [grad_fst_eq h, grad_fst_eq h]

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


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open BCD

theorem extracted_formal_statement_24.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ} {l : NNReal}
  (h : Differentiable ℝ H) (hl : LipschitzWith l (gradient H))
  (h_original_goal : LipschitzWith l fun z => grad_snd H z.1 z.2) (x y : WithLp 2 (E × F)) :
  ‖grad_snd H x.1 x.2 - grad_snd H y.1 y.2‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
l : NNReal
h : Differentiable ℝ H
hl : LipschitzWith l (gradient H)
⊢ LipschitzWith l fun z => grad_snd H z.1 z.2

Tactic:
rw [lipschitzWith_iff_norm_sub_le] at *

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 l : NNReal
 h : Differentiable ℝ H
 hl : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
 ⊢ ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖grad_snd H x.1 x.2 - grad_snd H y.1 y.2‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖]
import Mathlib
import Optlib


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open BCD

theorem extracted_formal_statement_25.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ} {l : NNReal}
  (h : Differentiable ℝ H) (hl : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖)
  (z z' : WithLp 2 (E × F)) :
  ‖grad_snd H z.1 z.2 - grad_snd H z'.1 z'.2‖ = ‖(gradient H z).2 - (gradient H z').2‖ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
l : NNReal
h : Differentiable ℝ H
hl : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
z z' : WithLp 2 (E × F)
⊢ ‖grad_snd H z.1 z.2 - grad_snd H z'.1 z'.2‖ = ‖(gradient H z).2 - (gradient H z').2‖

Tactic:
rw [grad_snd_eq h, grad_snd_eq h]

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


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open BCD

theorem extracted_formal_statement_26 {a b : ℝ} (h_original_goal : a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)) : a ^ 2 ≤ a ^ 2 + b ^ 2 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : ProperSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : ProperSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
x : E
y : F
r : ℝ
h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
a b : ℝ
⊢ a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)

Tactic:
apply Real.le_sqrt_of_sq_le

Tactic state after:
[case h
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : ProperSpace E
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : CompleteSpace F
 inst✝ : ProperSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 x : E
 y : F
 r : ℝ
 h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
 a b : ℝ
 ⊢ a ^ 2 ≤ a ^ 2 + b ^ 2]
import Mathlib
import Optlib


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open BCD

theorem extracted_formal_statement_27.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : CompleteSpace E] [inst_2 : ProperSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F] [inst_4 : CompleteSpace F]
  [inst_5 : ProperSpace F] (x : E) (y : F) (r : ℝ) (h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r))
  (x' : E) (y' : F) (hball : (x', y') ∈ Metric.closedBall (x, y) r)
  (h_original_goal : (x', y') ∈ Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r) :
  (x', y').1 ∈ Metric.closedBall x r ∧ (x', y').2 ∈ Metric.closedBall y r := sorry

Tactic state before:
case mk
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : ProperSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : ProperSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
x : E
y : F
r : ℝ
h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
x' : E
y' : F
hball : (x', y') ∈ Metric.closedBall (x, y) r
⊢ (x', y') ∈ Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r

Tactic:
rw [mem_prod]

Tactic state after:
[case mk
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : ProperSpace E
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : CompleteSpace F
 inst✝ : ProperSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 x : E
 y : F
 r : ℝ
 h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
 this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
 x' : E
 y' : F
 hball : (x', y') ∈ Metric.closedBall (x, y) r
 ⊢ (x', y').1 ∈ Metric.closedBall x r ∧ (x', y').2 ∈ Metric.closedBall y r]
import Mathlib
import Optlib


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open BCD

theorem extracted_formal_statement_28.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : CompleteSpace E] [inst_2 : ProperSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F] [inst_4 : CompleteSpace F]
  [inst_5 : ProperSpace F] (x : E) (y : F) (r : ℝ) (h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r))
  (x' : E) (y' : F) (hball : (x', y') ∈ Metric.closedBall (x, y) r)
  (h_original_goal : (x', y').1 ∈ Metric.closedBall x r ∧ (x', y').2 ∈ Metric.closedBall y r) :
  ‖x' - x‖ ≤ r ∧ ‖y' - y‖ ≤ r := sorry

Tactic state before:
case mk
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : ProperSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : ProperSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
x : E
y : F
r : ℝ
h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
x' : E
y' : F
hball : (x', y') ∈ Metric.closedBall (x, y) r
⊢ (x', y').1 ∈ Metric.closedBall x r ∧ (x', y').2 ∈ Metric.closedBall y r

Tactic:
simp only [mem_closedBall_iff_norm, WithLp.prod_norm_eq_of_L2] at *

Tactic state after:
[case mk
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : ProperSpace E
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : CompleteSpace F
 inst✝ : ProperSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 x : E
 y : F
 r : ℝ
 h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
 this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
 x' : E
 y' : F
 hball : √(‖((x', y') - (x, y)).1‖ ^ 2 + ‖((x', y') - (x, y)).2‖ ^ 2) ≤ r
 ⊢ ‖x' - x‖ ≤ r ∧ ‖y' - y‖ ≤ r]
import Mathlib
import Optlib


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open BCD

theorem extracted_formal_statement_29.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : CompleteSpace E] [inst_2 : ProperSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F] [inst_4 : CompleteSpace F]
  [inst_5 : ProperSpace F] (x : E) (y : F) (r : ℝ) (h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r))
  (x' : E) (y' : F) (hball : √(‖((x', y') - (x, y)).1‖ ^ 2 + ‖((x', y') - (x, y)).2‖ ^ 2) ≤ r) : ‖x' - x‖ ≤ r := sorry

Tactic state before:
case mk.left
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : ProperSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : ProperSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
x : E
y : F
r : ℝ
h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
x' : E
y' : F
hball : √(‖((x', y') - (x, y)).1‖ ^ 2 + ‖((x', y') - (x, y)).2‖ ^ 2) ≤ r
⊢ ‖x' - x‖ ≤ r

Tactic:
exact le_trans this hball

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


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open BCD

theorem extracted_formal_statement_30.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : CompleteSpace E] [inst_2 : ProperSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F] [inst_4 : CompleteSpace F]
  [inst_5 : ProperSpace F] (x : E) (y : F) (r : ℝ) (h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r))
  (x' : E) (y' : F) (hball : √(‖((x', y') - (x, y)).1‖ ^ 2 + ‖((x', y') - (x, y)).2‖ ^ 2) ≤ r) : ‖y' - y‖ ≤ r := sorry

Tactic state before:
case mk.right
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : ProperSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : ProperSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
x : E
y : F
r : ℝ
h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
x' : E
y' : F
hball : √(‖((x', y') - (x, y)).1‖ ^ 2 + ‖((x', y') - (x, y)).2‖ ^ 2) ≤ r
⊢ ‖y' - y‖ ≤ r

Tactic:
exact le_trans this ((add_comm (‖x' - x‖ ^ 2) _) ▸ hball)

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


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open BCD

theorem extracted_formal_statement_31.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : CompleteSpace E] [inst_2 : ProperSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F] [inst_4 : CompleteSpace F]
  [inst_5 : ProperSpace F] (x : E) (y : F) (r : ℝ) (h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r))
  (hsub : Metric.closedBall (x, y) r ⊆ Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r) :
  IsCompact (Metric.closedBall (x, y) r) := sorry

Tactic state before:
case mk
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : ProperSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : ProperSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
x : E
y : F
r : ℝ
h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
hsub : Metric.closedBall (x, y) r ⊆ Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r
⊢ IsCompact (Metric.closedBall (x, y) r)

Tactic:
apply IsCompact.of_isClosed_subset h (@Metric.isClosed_closedBall (WithLp 2 (E × F)) _ _ _) hsub

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


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open BCD

theorem extracted_formal_statement_32.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (k : ℕ) (ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (h_original_goal : 0 < alg.c k) : 0 < 1 / (γ * ↑l) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
k : ℕ
ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
⊢ 0 < alg.c k

Tactic:
rw [ck]

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 k : ℕ
 ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 ⊢ 0 < 1 / (γ * ↑l)]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open BCD

theorem extracted_formal_statement_33 : 0 < 1 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
k : ℕ
ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
⊢ 0 < 1 / (γ * ↑l)

Tactic:
apply div_pos

Tactic state after:
[case ha
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 k : ℕ
 ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 ⊢ 0 < 1,
 case hb
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 k : ℕ
 ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 ⊢ 0 < γ * ↑l]
import Mathlib
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open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open BCD

theorem extracted_formal_statement_34.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (k : ℕ) (ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (h_original_goal : 0 < 1 / (γ * ↑l)) : 0 < γ * ↑l := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
k : ℕ
ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
⊢ 0 < 1 / (γ * ↑l)

Tactic:
apply div_pos

Tactic state after:
[case ha
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 k : ℕ
 ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 ⊢ 0 < 1,
 case hb
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 k : ℕ
 ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 ⊢ 0 < γ * ↑l]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open BCD

theorem extracted_formal_statement_35.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (k : ℕ) (ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (h_original_goal : 0 < γ * ↑l) : 0 < γ := sorry

Tactic state before:
case hb
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
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g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
k : ℕ
ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
⊢ 0 < γ * ↑l

Tactic:
apply mul_pos

Tactic state after:
[case hb.ha
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
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 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
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 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 k : ℕ
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 ⊢ 0 < γ,
 case hb.hb
 E : Type u_1
 F : Type u_2
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 k : ℕ
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import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology

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open BCD

theorem extracted_formal_statement_36.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
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  (h_original_goal : 0 < γ * ↑l) : 0 < ↑l := sorry

Tactic state before:
case hb
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
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hγ : γ > 1
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ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
⊢ 0 < γ * ↑l

Tactic:
apply mul_pos

Tactic state after:
[case hb.ha
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
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 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 k : ℕ
 ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 ⊢ 0 < γ,
 case hb.hb
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 k : ℕ
 ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 ⊢ 0 < ↑l]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open BCD

theorem extracted_formal_statement_37.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (k : ℕ) (ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) :
  0 < ↑l := sorry

Tactic state before:
case hb.hb
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
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γ : ℝ
hγ : γ > 1
k : ℕ
ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
⊢ 0 < ↑l

Tactic:
apply alg.lpos

Tactic state after: