zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_0.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] {s : Set E} (hs : s.Nonempty)
  (x : E) (xs : x ∈ s) (this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x)
  (h_original_goal : ENNReal.ofReal ‖x‖ ≥ EMetric.infEdist 0 s) :
  ENNReal.ofReal (dist 0 x) ≥ EMetric.infEdist 0 s := sorry

Tactic state before:
case neg
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : Set E
hs : s.Nonempty
x : E
xs : x ∈ s
this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
⊢ ENNReal.ofReal ‖x‖ ≥ EMetric.infEdist 0 s

Tactic:
rw [← dist_zero_left]

Tactic state after:
[case neg
 E : Type u_1
 inst✝ : NormedAddCommGroup E
 s : Set E
 hs : s.Nonempty
 x : E
 xs : x ∈ s
 this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
 ⊢ ENNReal.ofReal (dist 0 x) ≥ EMetric.infEdist 0 s]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_1.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] {s : Set E} (hs : s.Nonempty)
  (x : E) (xs : x ∈ s) (this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x)
  (h_original_goal : ENNReal.ofReal (dist 0 x) ≥ EMetric.infEdist 0 s) :
  (EMetric.infEdist 0 s).toReal ≤ dist 0 x := sorry

Tactic state before:
case neg
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : Set E
hs : s.Nonempty
x : E
xs : x ∈ s
this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
⊢ ENNReal.ofReal (dist 0 x) ≥ EMetric.infEdist 0 s

Tactic:
apply (ENNReal.le_ofReal_iff_toReal_le _ _).2

Tactic state after:
[case neg
 E : Type u_1
 inst✝ : NormedAddCommGroup E
 s : Set E
 hs : s.Nonempty
 x : E
 xs : x ∈ s
 this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
 ⊢ (EMetric.infEdist 0 s).toReal ≤ dist 0 x,
 E : Type u_1
 inst✝ : NormedAddCommGroup E
 s : Set E
 hs : s.Nonempty
 x : E
 xs : x ∈ s
 this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
 ⊢ EMetric.infEdist 0 s ≠ ⊤,
 E : Type u_1
 inst✝ : NormedAddCommGroup E
 s : Set E
 hs : s.Nonempty
 x : E
 xs : x ∈ s
 this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
 ⊢ 0 ≤ dist 0 x]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_2.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] {s : Set E} (hs : s.Nonempty)
  (x : E) (xs : x ∈ s) (this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x)
  (h_original_goal : ENNReal.ofReal (dist 0 x) ≥ EMetric.infEdist 0 s) : EMetric.infEdist 0 s ≠ ⊤ := sorry

Tactic state before:
case neg
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : Set E
hs : s.Nonempty
x : E
xs : x ∈ s
this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
⊢ ENNReal.ofReal (dist 0 x) ≥ EMetric.infEdist 0 s

Tactic:
apply (ENNReal.le_ofReal_iff_toReal_le _ _).2

Tactic state after:
[case neg
 E : Type u_1
 inst✝ : NormedAddCommGroup E
 s : Set E
 hs : s.Nonempty
 x : E
 xs : x ∈ s
 this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
 ⊢ (EMetric.infEdist 0 s).toReal ≤ dist 0 x,
 E : Type u_1
 inst✝ : NormedAddCommGroup E
 s : Set E
 hs : s.Nonempty
 x : E
 xs : x ∈ s
 this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
 ⊢ EMetric.infEdist 0 s ≠ ⊤,
 E : Type u_1
 inst✝ : NormedAddCommGroup E
 s : Set E
 hs : s.Nonempty
 x : E
 xs : x ∈ s
 this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
 ⊢ 0 ≤ dist 0 x]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_3.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] {s : Set E} (hs : s.Nonempty)
  (x : E) (xs : x ∈ s) (this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x)
  (h_original_goal : ENNReal.ofReal (dist 0 x) ≥ EMetric.infEdist 0 s) : 0 ≤ dist 0 x := sorry

Tactic state before:
case neg
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : Set E
hs : s.Nonempty
x : E
xs : x ∈ s
this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
⊢ ENNReal.ofReal (dist 0 x) ≥ EMetric.infEdist 0 s

Tactic:
apply (ENNReal.le_ofReal_iff_toReal_le _ _).2

Tactic state after:
[case neg
 E : Type u_1
 inst✝ : NormedAddCommGroup E
 s : Set E
 hs : s.Nonempty
 x : E
 xs : x ∈ s
 this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
 ⊢ (EMetric.infEdist 0 s).toReal ≤ dist 0 x,
 E : Type u_1
 inst✝ : NormedAddCommGroup E
 s : Set E
 hs : s.Nonempty
 x : E
 xs : x ∈ s
 this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
 ⊢ EMetric.infEdist 0 s ≠ ⊤,
 E : Type u_1
 inst✝ : NormedAddCommGroup E
 s : Set E
 hs : s.Nonempty
 x : E
 xs : x ∈ s
 this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
 ⊢ 0 ≤ dist 0 x]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_4.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] {s : Set E} (hs : s.Nonempty)
  (x : E) (xs : x ∈ s) (this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x) : (EMetric.infEdist 0 s).toReal ≤ dist 0 x := sorry

Tactic state before:
case neg
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : Set E
hs : s.Nonempty
x : E
xs : x ∈ s
this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
⊢ (EMetric.infEdist 0 s).toReal ≤ dist 0 x

Tactic:
exact ENNReal.toReal_le_of_le_ofReal dist_nonneg (edist_dist 0 x ▸ this)

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_5.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] {s : Set E} (hs : s.Nonempty)
  (x : E) (xs : x ∈ s) (this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x) : EMetric.infEdist 0 s ≠ ⊤ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : Set E
hs : s.Nonempty
x : E
xs : x ∈ s
this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
⊢ EMetric.infEdist 0 s ≠ ⊤

Tactic:
exact Metric.infEdist_ne_top hs

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_6.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] {s : Set E} (hs : s.Nonempty)
  (x : E) (xs : x ∈ s) (this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x) : 0 ≤ dist 0 x := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : Set E
hs : s.Nonempty
x : E
xs : x ∈ s
this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
⊢ 0 ≤ dist 0 x

Tactic:
simp

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_7.{u_2, u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] {F : Type u_2}
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : NormedAddCommGroup F] [inst_3 : InnerProductSpace ℝ F] {f : E → ℝ}
  {g : F → ℝ} {x u : E} {y v : F} (hf : u ∈ f_subdifferential f x) (hg : v ∈ f_subdifferential g y)
  (h_original_goal : (u, v) ∈ f_subdifferential (fun z => f z.1 + g z.2) (x, y)) (ε : ℝ) :
  ε > 0 →
    ∀ᶠ (y_1 : WithLp 2 (E × F)) in 𝓝 (x, y),
      f y_1.1 + g y_1.2 - (f (x, y).1 + g (x, y).2) - inner (u, v) (y_1 - (x, y)) ≥ -ε * ‖y_1 - (x, y)‖ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
F : Type u_2
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
x u : E
y v : F
hf : u ∈ f_subdifferential f x
hg : v ∈ f_subdifferential g y
⊢ (u, v) ∈ f_subdifferential (fun z => f z.1 + g z.2) (x, y)

Tactic:
rw [has_f_subdiff_iff] at *

Tactic state after:
[E : Type u_1
 inst✝³ : NormedAddCommGroup E
 F : Type u_2
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
 inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 x u : E
 y v : F
 hf : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, f y - f x - inner u (y - x) ≥ -ε * ‖y - x‖
 hg : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y_1 : F) in 𝓝 y, g y_1 - g y - inner v (y_1 - y) ≥ -ε * ‖y_1 - y‖
 ⊢ ∀ ε > 0,
     ∀ᶠ (y_1 : WithLp 2 (E × F)) in 𝓝 (x, y),
       f y_1.1 + g y_1.2 - (f (x, y).1 + g (x, y).2) - inner (u, v) (y_1 - (x, y)) ≥ -ε * ‖y_1 - (x, y)‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_8.{u_2, u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] {F : Type u_2}
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : NormedAddCommGroup F] [inst_3 : InnerProductSpace ℝ F] {f : E → ℝ}
  {g : F → ℝ} {x u : E} {y v : F} (hf : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, f y - f x - inner u (y - x) ≥ -ε * ‖y - x‖)
  (hg : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y_1 : F) in 𝓝 y, g y_1 - g y - inner v (y_1 - y) ≥ -ε * ‖y_1 - y‖) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0)
  (ε2pos : 0 < ε / 2) (z : WithLp 2 (E × F)) (hfz : f z.1 - f x - inner u (z.1 - x) ≥ -(ε / 2) * ‖z.1 - x‖)
  (hyz : g z.2 - g y - inner v (z.2 - y) ≥ -(ε / 2) * ‖z.2 - y‖)
  (h_original_goal : f z.1 + g z.2 - (f x + g y) - inner (u, v) (z - (x, y)) ≥ -ε * ‖z - (x, y)‖) :
  f z.1 + g z.2 - (f x + g y) - (inner (u, v).1 (z - (x, y)).1 + inner (u, v).2 (z - (x, y)).2) ≥
    -ε * ‖z - (x, y)‖ := sorry

Tactic state before:
case h
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
F : Type u_2
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
x u : E
y v : F
hf : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, f y - f x - inner u (y - x) ≥ -ε * ‖y - x‖
hg : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y_1 : F) in 𝓝 y, g y_1 - g y - inner v (y_1 - y) ≥ -ε * ‖y_1 - y‖
ε : ℝ
εpos : ε > 0
ε2pos : 0 < ε / 2
z : WithLp 2 (E × F)
hfz : f z.1 - f x - inner u (z.1 - x) ≥ -(ε / 2) * ‖z.1 - x‖
hyz : g z.2 - g y - inner v (z.2 - y) ≥ -(ε / 2) * ‖z.2 - y‖
⊢ f z.1 + g z.2 - (f x + g y) - inner (u, v) (z - (x, y)) ≥ -ε * ‖z - (x, y)‖

Tactic:
rw [WithLp.prod_inner_apply]

Tactic state after:
[case h
 E : Type u_1
 inst✝³ : NormedAddCommGroup E
 F : Type u_2
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
 inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 x u : E
 y v : F
 hf : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, f y - f x - inner u (y - x) ≥ -ε * ‖y - x‖
 hg : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y_1 : F) in 𝓝 y, g y_1 - g y - inner v (y_1 - y) ≥ -ε * ‖y_1 - y‖
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 ε2pos : 0 < ε / 2
 z : WithLp 2 (E × F)
 hfz : f z.1 - f x - inner u (z.1 - x) ≥ -(ε / 2) * ‖z.1 - x‖
 hyz : g z.2 - g y - inner v (z.2 - y) ≥ -(ε / 2) * ‖z.2 - y‖
 ⊢ f z.1 + g z.2 - (f x + g y) - (inner (u, v).1 (z - (x, y)).1 + inner (u, v).2 (z - (x, y)).2) ≥ -ε * ‖z - (x, y)‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_9.{u_2, u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] {F : Type u_2}
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : NormedAddCommGroup F] [inst_3 : InnerProductSpace ℝ F] {f : E → ℝ}
  {g : F → ℝ} {x u : E} {y v : F} (hf : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, f y - f x - inner u (y - x) ≥ -ε * ‖y - x‖)
  (hg : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y_1 : F) in 𝓝 y, g y_1 - g y - inner v (y_1 - y) ≥ -ε * ‖y_1 - y‖) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0)
  (ε2pos : 0 < ε / 2) (z : WithLp 2 (E × F)) (hfz : f z.1 - f x - inner u (z.1 - x) ≥ -(ε / 2) * ‖z.1 - x‖)
  (hyz : g z.2 - g y - inner v (z.2 - y) ≥ -(ε / 2) * ‖z.2 - y‖)
  (h_original_goal :
    f z.1 + g z.2 - (f x + g y) - (inner (u, v).1 (z - (x, y)).1 + inner (u, v).2 (z - (x, y)).2) ≥ -ε * ‖z - (x, y)‖) :
  f z.1 + g z.2 - (f x + g y) - (inner u (z.1 - x) + inner v (z.2 - y)) ≥ -ε * ‖z - (x, y)‖ := sorry

Tactic state before:
case h
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
F : Type u_2
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
x u : E
y v : F
hf : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, f y - f x - inner u (y - x) ≥ -ε * ‖y - x‖
hg : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y_1 : F) in 𝓝 y, g y_1 - g y - inner v (y_1 - y) ≥ -ε * ‖y_1 - y‖
ε : ℝ
εpos : ε > 0
ε2pos : 0 < ε / 2
z : WithLp 2 (E × F)
hfz : f z.1 - f x - inner u (z.1 - x) ≥ -(ε / 2) * ‖z.1 - x‖
hyz : g z.2 - g y - inner v (z.2 - y) ≥ -(ε / 2) * ‖z.2 - y‖
⊢ f z.1 + g z.2 - (f x + g y) - (inner (u, v).1 (z - (x, y)).1 + inner (u, v).2 (z - (x, y)).2) ≥ -ε * ‖z - (x, y)‖

Tactic:
simp only [WithLp.sub_fst, WithLp.sub_snd]

Tactic state after:
[case h
 E : Type u_1
 inst✝³ : NormedAddCommGroup E
 F : Type u_2
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
 inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 x u : E
 y v : F
 hf : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, f y - f x - inner u (y - x) ≥ -ε * ‖y - x‖
 hg : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y_1 : F) in 𝓝 y, g y_1 - g y - inner v (y_1 - y) ≥ -ε * ‖y_1 - y‖
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 ε2pos : 0 < ε / 2
 z : WithLp 2 (E × F)
 hfz : f z.1 - f x - inner u (z.1 - x) ≥ -(ε / 2) * ‖z.1 - x‖
 hyz : g z.2 - g y - inner v (z.2 - y) ≥ -(ε / 2) * ‖z.2 - y‖
 ⊢ f z.1 + g z.2 - (f x + g y) - (inner u (z.1 - x) + inner v (z.2 - y)) ≥ -ε * ‖z - (x, y)‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_10.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y))
  (l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)) (k : ℕ) :
  let h := fun x => H (x, alg.y k);
  let h' := fun x => grad_fst H (alg.y k) x;
  ∀ (x : E), HasGradientAt h (h' x) x → DifferentiableAt ℝ h x := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
k : ℕ
h : E → ℝ := fun x => H (x, alg.y k)
h' : E → E := fun x => grad_fst H (alg.y k) x
x : E
⊢ HasGradientAt h (h' x) x

Tactic:
apply DifferentiableAt.hasGradientAt

Tactic state after:
[case h
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
 l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
 l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
 k : ℕ
 h : E → ℝ := fun x => H (x, alg.y k)
 h' : E → E := fun x => grad_fst H (alg.y k) x
 x : E
 ⊢ DifferentiableAt ℝ h x]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_11.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y))
  (l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)) (k : ℕ) :
  let h := fun x => H (x, alg.y k);
  ∀ (x : E), DifferentiableAt ℝ h x → Differentiable ℝ H := sorry

Tactic state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
k : ℕ
h : E → ℝ := fun x => H (x, alg.y k)
h' : E → E := fun x => grad_fst H (alg.y k) x
x : E
⊢ DifferentiableAt ℝ h x

Tactic:
apply diff_prod₁

Tactic state after:
[case h.h
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
 l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
 l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
 k : ℕ
 h : E → ℝ := fun x => H (x, alg.y k)
 h' : E → E := fun x => grad_fst H (alg.y k) x
 x : E
 ⊢ Differentiable ℝ H]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_12.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y))
  (l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)) : Differentiable ℝ H := sorry

Tactic state before:
case h.h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
k : ℕ
h : E → ℝ := fun x => H (x, alg.y k)
h' : E → E := fun x => grad_fst H (alg.y k) x
x : E
⊢ Differentiable ℝ H

Tactic:
apply ContDiff.differentiable alg.conf (by simp)

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_14.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y))
  (l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)) (k : ℕ) :
  let h := fun x => H (x, alg.y k);
  let h' := fun x => grad_fst H (alg.y k) x;
  (∀ (x₁ : E), HasGradientAt h (h' x₁) x₁) →
    (alg.x (k + 1) ∈ prox_set (fun a => alg.c k * f a) (alg.x k - alg.c k • h' (alg.x k)) →
        h (alg.x (k + 1)) + f (alg.x (k + 1)) ≤
          h (alg.x k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (1 / alg.c k - ↑l) * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2) →
      prox_prop (fun a => alg.c k * f a) (alg.x k - alg.c k • h' (alg.x k)) (alg.x (k + 1)) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
k : ℕ
h : E → ℝ := fun x => H (x, alg.y k)
h' : E → E := fun x => grad_fst H (alg.y k) x
h1 : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt h (h' x₁) x₁
prop :
  alg.x (k + 1) ∈ prox_set (fun a => alg.c k * f a) (alg.x ?m.83803 - alg.c k • h' (alg.x ?m.83803)) →
    h (alg.x (k + 1)) + f (alg.x (k + 1)) ≤
      h (alg.x ?m.83803) + f (alg.x ?m.83803) - 1 / 2 * (1 / alg.c k - ↑l) * ‖alg.x (k + 1) - alg.x ?m.83803‖ ^ 2
⊢ prox_prop (fun a => alg.c k * f a) (alg.x ?m.83803 - alg.c k • h' (alg.x ?m.83803)) (alg.x (k + 1))

Tactic:
exact (alg.s₁ k)

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_16.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y))
  (l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)) (k : ℕ)
  (hHf :
    H (alg.x (k + 1), alg.y k) + f (alg.x (k + 1)) ≤
      H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2) :
  let h := fun y => H (alg.x (k + 1), y);
  let h' := fun y => grad_snd H (alg.x (k + 1)) y;
  ∀ (y : F), HasGradientAt h (h' y) y → DifferentiableAt ℝ h y := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
k : ℕ
hHf :
  H (alg.x (k + 1), alg.y k) + f (alg.x (k + 1)) ≤
    H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2
h : F → ℝ := fun y => H (alg.x (k + 1), y)
h' : F → F := fun y => grad_snd H (alg.x (k + 1)) y
y : F
⊢ HasGradientAt h (h' y) y

Tactic:
apply DifferentiableAt.hasGradientAt

Tactic state after:
[case h
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
 l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
 l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
 k : ℕ
 hHf :
   H (alg.x (k + 1), alg.y k) + f (alg.x (k + 1)) ≤
     H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2
 h : F → ℝ := fun y => H (alg.x (k + 1), y)
 h' : F → F := fun y => grad_snd H (alg.x (k + 1)) y
 y : F
 ⊢ DifferentiableAt ℝ h y]