zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_118.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) ⦃z_ : WithLp 2 (E × F)⦄ (ha : z_ ∈ limit_set z)
  (φ : ℕ → ℕ) (monoφ : StrictMono φ) (conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)) (h_original_goal : z_ ∈ critial_point ψ) :
  0 ∈ subdifferential ψ z_ := sorry

Tactic state before:
case right.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
z_ : WithLp 2 (E × F)
ha : z_ ∈ limit_set z
φ : ℕ → ℕ
monoφ : StrictMono φ
conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)
⊢ z_ ∈ critial_point ψ

Tactic:
apply Set.mem_setOf.mpr

Tactic state after:
[case right.intro.intro
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 z_ : WithLp 2 (E × F)
 ha : z_ ∈ limit_set z
 φ : ℕ → ℕ
 monoφ : StrictMono φ
 conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)
 ⊢ 0 ∈ subdifferential ψ z_]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_119.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) ⦃z_ : WithLp 2 (E × F)⦄ (ha : z_ ∈ limit_set z)
  (φ : ℕ → ℕ) (monoφ : StrictMono φ) (conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_))
  (h_original_goal : 0 ∈ subdifferential ψ z_) :
  ∃ u,
    Tendsto u atTop (𝓝 z_) ∧
      Tendsto (fun n => ψ (u n)) atTop (𝓝 (ψ z_)) ∧
        ∃ v, ∀ (n : ℕ), v n ∈ f_subdifferential ψ (u n) ∧ Tendsto v atTop (𝓝 0) := sorry

Tactic state before:
case right.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
z_ : WithLp 2 (E × F)
ha : z_ ∈ limit_set z
φ : ℕ → ℕ
monoφ : StrictMono φ
conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)
⊢ 0 ∈ subdifferential ψ z_

Tactic:
rw [subdifferential, Set.mem_setOf]

Tactic state after:
[case right.intro.intro
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 z_ : WithLp 2 (E × F)
 ha : z_ ∈ limit_set z
 φ : ℕ → ℕ
 monoφ : StrictMono φ
 conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)
 ⊢ ∃ u,
     Tendsto u atTop (𝓝 z_) ∧
       Tendsto (fun n => ψ (u n)) atTop (𝓝 (ψ z_)) ∧
         ∃ v, ∀ (n : ℕ), v n ∈ f_subdifferential ψ (u n) ∧ Tendsto v atTop (𝓝 0)]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_121.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) ⦃z_ : WithLp 2 (E × F)⦄ (ha : z_ ∈ limit_set z)
  (φ : ℕ → ℕ) (monoφ : StrictMono φ) (conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)) (ρ : ℝ) (ρpos : ρ > 0)
  (ieq : ∀ (k : ℕ), ∃ dΨ ∈ f_subdifferential ψ (z (k + 1)), ‖dΨ‖ ≤ ρ * ‖z (k + 1) - z k‖) (q : ℕ) :
  Classical.choose (ieq (φ (q + 1) - 1)) ∈ f_subdifferential ψ (alg.x (φ (q + 1) - 1 + 1), alg.y (φ (q + 1) - 1 + 1)) ∧
    ‖Classical.choose (ieq (φ (q + 1) - 1))‖ ≤ ρ * ‖z (φ (q + 1) - 1 + 1) - z (φ (q + 1) - 1)‖ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
z_ : WithLp 2 (E × F)
ha : z_ ∈ limit_set z
φ : ℕ → ℕ
monoφ : StrictMono φ
conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
ieq : ∀ (k : ℕ), ∃ dΨ ∈ f_subdifferential ψ (z (k + 1)), ‖dΨ‖ ≤ ρ * ‖z (k + 1) - z k‖
v : ℕ → WithLp 2 (E × F) := fun q => Classical.choose ⋯
n q : ℕ
⊢ Classical.choose ⋯ ∈ f_subdifferential ψ (alg.x (φ (q + 1) - 1 + 1), alg.y (φ (q + 1) - 1 + 1)) ∧
    ‖Classical.choose ⋯‖ ≤ ρ * ‖z (φ (q + 1) - 1 + 1) - z (φ (q + 1) - 1)‖

Tactic:
apply Classical.choose_spec (ieq (φ (q + 1) - 1))

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_128.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) ⦃z_ : WithLp 2 (E × F)⦄ (ha : z_ ∈ limit_set z)
  (φ : ℕ → ℕ) (monoφ : StrictMono φ) (conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)) (ρ : ℝ) (ρpos : ρ > 0)
  (ieq_1 : ∀ (k : ℕ), ∃ dΨ ∈ f_subdifferential ψ (z (k + 1)), ‖dΨ‖ ≤ ρ * ‖z (k + 1) - z k‖) :
  let v := fun q => Classical.choose (ieq_1 (φ (q + 1) - 1));
  (∀ (q : ℕ), φ (q + 1) - 1 + 1 = φ (q + 1)) →
    (∀ (q : ℕ),
        v q ∈ f_subdifferential ψ (alg.x (φ (q + 1)), alg.y (φ (q + 1))) ∧
          ‖v q‖ ≤ ρ * ‖z (φ (q + 1)) - z (φ (q + 1) - 1)‖) →
      ∀ (ε : ℝ),
        0 < ε →
          ∀ (a : ℕ), (∀ (b : ℕ), a ≤ b → ‖z (b + 1) - z b‖ < ε / ρ) → ∀ (b : ℕ), a ≤ b → b ≤ φ (b + 1) - 1 := sorry

Tactic state before:
case a
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
z_ : WithLp 2 (E × F)
ha : z_ ∈ limit_set z
φ : ℕ → ℕ
monoφ : StrictMono φ
conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
ieq✝ : ∀ (k : ℕ), ∃ dΨ ∈ f_subdifferential ψ (z (k + 1)), ‖dΨ‖ ≤ ρ * ‖z (k + 1) - z k‖
v : ℕ → WithLp 2 (E × F) := fun q => Classical.choose ⋯
n : ℕ
subadd : ∀ (q : ℕ), φ (q + 1) - 1 + 1 = φ (q + 1)
key :
  ∀ (q : ℕ),
    v q ∈ f_subdifferential ψ (alg.x (φ (q + 1)), alg.y (φ (q + 1))) ∧ ‖v q‖ ≤ ρ * ‖z (φ (q + 1)) - z (φ (q + 1) - 1)‖
ε : ℝ
epos : 0 < ε
a : ℕ
ieq : ∀ (b : ℕ), a ≤ b → ‖z (b + 1) - z b‖ < ε / ρ
b : ℕ
aleb : a ≤ b
⊢ b ≤ φ (b + 1) - 1

Tactic:
exact Nat.sub_le_sub_right (StrictMono_nat φ monoφ (b + 1)) 1

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_129.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) ⦃z_ : WithLp 2 (E × F)⦄ (ha : z_ ∈ limit_set z)
  (φ : ℕ → ℕ) (monoφ : StrictMono φ) (conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)) (ρ : ℝ) (ρpos : ρ > 0)
  (ieq_1 : ∀ (k : ℕ), ∃ dΨ ∈ f_subdifferential ψ (z (k + 1)), ‖dΨ‖ ≤ ρ * ‖z (k + 1) - z k‖) :
  let v := fun q => Classical.choose (ieq_1 (φ (q + 1) - 1));
  (∀ (q : ℕ), φ (q + 1) - 1 + 1 = φ (q + 1)) →
    (∀ (q : ℕ),
        v q ∈ f_subdifferential ψ (alg.x (φ (q + 1)), alg.y (φ (q + 1))) ∧
          ‖v q‖ ≤ ρ * ‖z (φ (q + 1)) - z (φ (q + 1) - 1)‖) →
      ∀ (ε : ℝ),
        0 < ε →
          ∀ (a : ℕ),
            (∀ (b : ℕ), a ≤ b → ‖z (b + 1) - z b‖ < ε / ρ) →
              ∀ (b : ℕ),
                a ≤ b →
                  ‖z (φ (b + 1)) - z (φ (b + 1) - 1)‖ < ε / ρ → ‖z (φ (b + 1)) - z (φ (b + 1) - 1)‖ < ε / ρ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
z_ : WithLp 2 (E × F)
ha : z_ ∈ limit_set z
φ : ℕ → ℕ
monoφ : StrictMono φ
conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
ieq✝ : ∀ (k : ℕ), ∃ dΨ ∈ f_subdifferential ψ (z (k + 1)), ‖dΨ‖ ≤ ρ * ‖z (k + 1) - z k‖
v : ℕ → WithLp 2 (E × F) := fun q => Classical.choose ⋯
n : ℕ
subadd : ∀ (q : ℕ), φ (q + 1) - 1 + 1 = φ (q + 1)
key :
  ∀ (q : ℕ),
    v q ∈ f_subdifferential ψ (alg.x (φ (q + 1)), alg.y (φ (q + 1))) ∧ ‖v q‖ ≤ ρ * ‖z (φ (q + 1)) - z (φ (q + 1) - 1)‖
ε : ℝ
epos : 0 < ε
a : ℕ
ieq : ∀ (b : ℕ), a ≤ b → ‖z (b + 1) - z b‖ < ε / ρ
b : ℕ
aleb : a ≤ b
this : ‖z (φ (b + 1)) - z (φ (b + 1) - 1)‖ < ε / ρ
⊢ ‖z (φ (b + 1)) - z (φ (b + 1) - 1)‖ < ε / ρ

Tactic:
exact this

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_131.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F]
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ))
  (h_original_goal : Tendsto (fun n => (EMetric.infEdist (z n) (limit_set z)).toReal) atTop (𝓝 0)) (i : ℝ) :
  0 < i → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, (EMetric.infEdist (z x) (limit_set z)).toReal ∈ Ioo (0 - i) (0 + i) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
⊢ Tendsto (fun n => (EMetric.infEdist (z n) (limit_set z)).toReal) atTop (𝓝 0)

Tactic:
apply (nhds_basis_Ioo_pos 0).tendsto_right_iff.mpr

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 ⊢ ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, (EMetric.infEdist (z x) (limit_set z)).toReal ∈ Ioo (0 - i) (0 + i)]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_132.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F]
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (ε : ℝ) (epos : 0 < ε)
  (h :
    ∀ (x : ℕ),
      ∃ x_1,
        x ≤ x_1 ∧
          (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal →
            ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)) :
  let W := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose (h 0)) fun n p => Classical.choose (h (p + 1));
  StrictMono W →
    ∀ (k : WithLp 2 (E × F)), (k ∈ z ∘ W '' univ → k ∈ z '' univ) → ∀ (x : ℕ), z (W x) = k → ∃ y, z y = k := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
ε : ℝ
epos : 0 < ε
h :
  ∀ (x : ℕ),
    ∃ x_1,
      x ≤ x_1 ∧
        (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal → ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)
W : ℕ → ℕ := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose ⋯) fun n p => Classical.choose ⋯
monoW : StrictMono W
k : WithLp 2 (E × F)
⊢ k ∈ z ∘ W '' univ → k ∈ z '' univ

Tactic:
simp

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 ε : ℝ
 epos : 0 < ε
 h :
   ∀ (x : ℕ),
     ∃ x_1,
       x ≤ x_1 ∧
         (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal → ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)
 W : ℕ → ℕ := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose ⋯) fun n p => Classical.choose ⋯
 monoW : StrictMono W
 k : WithLp 2 (E × F)
 ⊢ ∀ (x : ℕ), z (W x) = k → ∃ y, z y = k]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_133.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F]
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (ε : ℝ) (epos : 0 < ε)
  (h :
    ∀ (x : ℕ),
      ∃ x_1,
        x ≤ x_1 ∧
          (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal →
            ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)) :
  let W := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose (h 0)) fun n p => Classical.choose (h (p + 1));
  StrictMono W → ∀ (k : WithLp 2 (E × F)) (x : ℕ), z (W x) = k → ∃ y, z y = k := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
ε : ℝ
epos : 0 < ε
h :
  ∀ (x : ℕ),
    ∃ x_1,
      x ≤ x_1 ∧
        (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal → ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)
W : ℕ → ℕ := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose ⋯) fun n p => Classical.choose ⋯
monoW : StrictMono W
k : WithLp 2 (E × F)
⊢ ∀ (x : ℕ), z (W x) = k → ∃ y, z y = k

Tactic:
exact fun x zk ↦ ⟨W x, zk⟩

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_134.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F]
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (ε : ℝ) (epos : 0 < ε)
  (h :
    ∀ (x : ℕ),
      ∃ x_1,
        x ≤ x_1 ∧
          (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal →
            ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)) :
  let W := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose (h 0)) fun n p => Classical.choose (h (p + 1));
  StrictMono W →
    IsSeqCompact (closure (z ∘ W '' univ)) →
      (∀ (n : ℕ), (z ∘ W) n ∈ closure (z ∘ W '' univ)) →
        ∃ z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ), ∃ α, StrictMono α ∧ Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
ε : ℝ
epos : 0 < ε
h :
  ∀ (x : ℕ),
    ∃ x_1,
      x ≤ x_1 ∧
        (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal → ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)
W : ℕ → ℕ := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose ⋯) fun n p => Classical.choose ⋯
monoW : StrictMono W
hcs : IsSeqCompact (closure (z ∘ W '' univ))
even : ∀ (n : ℕ), (z ∘ W) n ∈ closure (z ∘ W '' univ)
⊢ ∃ z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ), ∃ α, StrictMono α ∧ Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_)

Tactic:
apply hcs.subseq_of_frequently_in (Filter.Frequently.of_forall even)

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_135.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F]
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (ε : ℝ) (epos : 0 < ε)
  (h :
    ∀ (x : ℕ),
      ∃ x_1,
        x ≤ x_1 ∧
          (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal →
            ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)) :
  let W := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose (h 0)) fun n p => Classical.choose (h (p + 1));
  StrictMono W →
    ∀ z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ),
      ∀ (α : ℕ → ℕ),
        StrictMono α →
          Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_) → z_ ∈ limit_set z → ClusterPt z_ (map z atTop) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
ε : ℝ
epos : 0 < ε
h :
  ∀ (x : ℕ),
    ∃ x_1,
      x ≤ x_1 ∧
        (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal → ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)
W : ℕ → ℕ := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose ⋯) fun n p => Classical.choose ⋯
monoW : StrictMono W
z_ : WithLp 2 (E × F)
left✝ : z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ)
α : ℕ → ℕ
monoa : StrictMono α
conv : Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_)
⊢ z_ ∈ limit_set z

Tactic:
simp [limit_set, MapClusterPt]

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 ε : ℝ
 epos : 0 < ε
 h :
   ∀ (x : ℕ),
     ∃ x_1,
       x ≤ x_1 ∧
         (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal → ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)
 W : ℕ → ℕ := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose ⋯) fun n p => Classical.choose ⋯
 monoW : StrictMono W
 z_ : WithLp 2 (E × F)
 left✝ : z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ)
 α : ℕ → ℕ
 monoa : StrictMono α
 conv : Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_)
 ⊢ ClusterPt z_ (map z atTop)]