zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_72.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖) (cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0)
  (dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0)
  (h_original_goal : 1 / alg.c k * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ = 1 / alg.c k * ‖(z (k + 1) - z k).1‖) :
  1 / alg.c k * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ =
    1 / alg.c k * ‖((WithLp.equiv 2 (E × F)).symm (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - z k).1‖ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
⊢ 1 / alg.c k * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ = 1 / alg.c k * ‖(z (k + 1) - z k).1‖

Tactic:
rw [z]

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 k : ℕ
 lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
 cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
 dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
 a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
 ⊢ 1 / alg.c k * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ =
     1 / alg.c k * ‖((WithLp.equiv 2 (E × F)).symm (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - z k).1‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_73.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖) (cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0)
  (dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0)
  (h_original_goal :
    1 / alg.c k * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ =
      1 / alg.c k * ‖((WithLp.equiv 2 (E × F)).symm (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - z k).1‖) :
  ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ = ‖alg.x (k + 1) - (z k).1‖ ∨ alg.c k = 0 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
⊢ 1 / alg.c k * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ =
    1 / alg.c k * ‖((WithLp.equiv 2 (E × F)).symm (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - z k).1‖

Tactic:
simp

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 k : ℕ
 lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
 cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
 dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
 a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
 ⊢ ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ = ‖alg.x (k + 1) - (z k).1‖ ∨ alg.c k = 0]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_74.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖) (cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0)
  (dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0) (h_original_goal : ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ = ‖alg.x (k + 1) - (z k).1‖) :
  ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ = ‖alg.x (k + 1) - ((WithLp.equiv 2 (E × F)).symm (alg.x k, alg.y k)).1‖ := sorry

Tactic state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
⊢ ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ = ‖alg.x (k + 1) - (z k).1‖

Tactic:
rw [z]

Tactic state after:
[case h
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 k : ℕ
 lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
 cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
 dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
 a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
 ⊢ ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ = ‖alg.x (k + 1) - ((WithLp.equiv 2 (E × F)).symm (alg.x k, alg.y k)).1‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_75.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖) (cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0)
  (dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0) :
  ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ = ‖alg.x (k + 1) - ((WithLp.equiv 2 (E × F)).symm (alg.x k, alg.y k)).1‖ := sorry

Tactic state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
⊢ ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ = ‖alg.x (k + 1) - ((WithLp.equiv 2 (E × F)).symm (alg.x k, alg.y k)).1‖

Tactic:
simp

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_76.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖) (cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0)
  (dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0) (this : ‖(z (k + 1) - z k).1‖ ≤ ‖z (k + 1) - z k‖)
  (h_original_goal : 1 / alg.c k * ‖(z (k + 1) - z k).1‖ ≤ 1 / alg.c k * ‖z (k + 1) - z k‖) :
  (alg.c k)⁻¹ * ‖(z (k + 1)).1 - (z k).1‖ ≤ (alg.c k)⁻¹ * ‖z (k + 1) - z k‖ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
this : ‖(z (k + 1) - z k).1‖ ≤ ‖z (k + 1) - z k‖
⊢ 1 / alg.c k * ‖(z (k + 1) - z k).1‖ ≤ 1 / alg.c k * ‖z (k + 1) - z k‖

Tactic:
simp

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 k : ℕ
 lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
 cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
 dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
 a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
 this : ‖(z (k + 1) - z k).1‖ ≤ ‖z (k + 1) - z k‖
 ⊢ (alg.c k)⁻¹ * ‖(z (k + 1)).1 - (z k).1‖ ≤ (alg.c k)⁻¹ * ‖z (k + 1) - z k‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_77.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖) (cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0)
  (dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0) (this : ‖(z (k + 1) - z k).1‖ ≤ ‖z (k + 1) - z k‖) :
  (alg.c k)⁻¹ * ‖(z (k + 1)).1 - (z k).1‖ ≤ (alg.c k)⁻¹ * ‖z (k + 1) - z k‖ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
this : ‖(z (k + 1) - z k).1‖ ≤ ‖z (k + 1) - z k‖
⊢ (alg.c k)⁻¹ * ‖(z (k + 1)).1 - (z k).1‖ ≤ (alg.c k)⁻¹ * ‖z (k + 1) - z k‖

Tactic:
apply mul_le_mul_of_nonneg_left this cpos'

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_78.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖) (cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0)
  (dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0) (h_original_goal : 1 / alg.c k * ‖z (k + 1) - z k‖ = γ * ↑l * ‖z (k + 1) - z k‖) :
  1 / (1 / (γ * ↑l)) * ‖z (k + 1) - z k‖ = γ * ↑l * ‖z (k + 1) - z k‖ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
⊢ 1 / alg.c k * ‖z (k + 1) - z k‖ = γ * ↑l * ‖z (k + 1) - z k‖

Tactic:
rw [ck k]

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 k : ℕ
 lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
 cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
 dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
 a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
 ⊢ 1 / (1 / (γ * ↑l)) * ‖z (k + 1) - z k‖ = γ * ↑l * ‖z (k + 1) - z k‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_79.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖) (cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0)
  (dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0) : 1 / (1 / (γ * ↑l)) * ‖z (k + 1) - z k‖ = γ * ↑l * ‖z (k + 1) - z k‖ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
⊢ 1 / (1 / (γ * ↑l)) * ‖z (k + 1) - z k‖ = γ * ↑l * ‖z (k + 1) - z k‖

Tactic:
simp

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_80.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖) (cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0)
  (dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0) :
  let a := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1));
  ‖a‖ ≤ γ * ↑l * ‖z (k + 1) - z k‖ →
    ‖gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - gradient H (alg.x k, alg.y k)‖ ≤
      ↑l * ‖(alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - (alg.x k, alg.y k)‖ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
inequ₁ : ‖a‖ ≤ γ * ↑l * ‖z (k + 1) - z k‖
⊢ ‖gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - gradient H (alg.x k, alg.y k)‖ ≤
    ↑l * ‖(alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - (alg.x k, alg.y k)‖

Tactic:
apply lip

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_81.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖) (cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0)
  (dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0) :
  let a := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1));
  ‖a‖ ≤ γ * ↑l * ‖z (k + 1) - z k‖ →
    ↑l * ‖(alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - (alg.x k, alg.y k)‖ = ↑l * ‖z (k + 1) - z k‖ →
      ↑l * ‖(alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - (alg.x k, alg.y k)‖ =
        ↑l * ‖(WithLp.equiv 2 (E × F)).symm (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - z k‖ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
inequ₁ : ‖a‖ ≤ γ * ↑l * ‖z (k + 1) - z k‖
⊢ ↑l * ‖(alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - (alg.x k, alg.y k)‖ = ↑l * ‖z (k + 1) - z k‖

Tactic:
rw [z]

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 k : ℕ
 lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
 cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
 dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
 a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
 inequ₁ : ‖a‖ ≤ γ * ↑l * ‖z (k + 1) - z k‖
 ⊢ ↑l * ‖(alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - (alg.x k, alg.y k)‖ =
     ↑l * ‖(WithLp.equiv 2 (E × F)).symm (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - z k‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_82.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖) (cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0)
  (dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0) :
  let a := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1));
  ‖a‖ ≤ γ * ↑l * ‖z (k + 1) - z k‖ →
    ↑l * ‖(alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - (alg.x k, alg.y k)‖ =
        ↑l * ‖(WithLp.equiv 2 (E × F)).symm (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - z k‖ →
      ‖(alg.x (k + 1) - alg.x k, alg.y (k + 1) - alg.y k)‖ =
          ‖(WithLp.equiv 2 (E × F)).symm (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - z k‖ ∨
        l = 0 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
inequ₁ : ‖a‖ ≤ γ * ↑l * ‖z (k + 1) - z k‖
⊢ ↑l * ‖(alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - (alg.x k, alg.y k)‖ =
    ↑l * ‖(WithLp.equiv 2 (E × F)).symm (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - z k‖

Tactic:
simp

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 k : ℕ
 lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
 cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
 dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
 a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
 inequ₁ : ‖a‖ ≤ γ * ↑l * ‖z (k + 1) - z k‖
 ⊢ ‖(alg.x (k + 1) - alg.x k, alg.y (k + 1) - alg.y k)‖ =
       ‖(WithLp.equiv 2 (E × F)).symm (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - z k‖ ∨
     l = 0]