zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_282.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (hψ : KL_function ψ) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (z_ : WithLp 2 (E × F))
  (left : z_ ∈ closure (z '' univ)) (α : ℕ → ℕ) (monoa : StrictMono α) (conv : Tendsto (fun n => z (α n)) atTop (𝓝 z_))
  (ρ1 : ℝ) (ρ1pos : ρ1 > 0)
  (suff_des : ρ1 = (γ - 1) * ↑l ∧ ∀ (k : ℕ), ρ1 / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))
  (z_in : z_ ∈ limit_set z) (final : ∀ (m : ℕ), ∃ n, m ≤ α n)
  (psiconv : Tendsto (fun n => ψ (z (α n))) atTop (𝓝 (ψ z_))) (monopsi : ∀ (m n : ℕ), ψ (z (m + n)) ≤ ψ (z m)) (n_1 : ℕ)
  (eq : ψ (z (α n_1)) ≤ ψ z_) :
  let N := α n_1;
  (∀ i ≥ N, z (i + 1) = z i) →
    ∀ (n : ℕ),
      N < n → ∑ i ∈ Finset.range n \ Finset.range N, ‖z (i + 1) - z i‖ = 0 → 0 ≤ ∑ i ∈ ∅, ‖z (i + 1) - z i‖ := sorry

Tactic state before:
case neg
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
hψ : KL_function ψ
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
z_ : WithLp 2 (E × F)
left✝ : z_ ∈ closure (z '' univ)
α : ℕ → ℕ
monoa : StrictMono α
conv : Tendsto (fun n => z (α n)) atTop (𝓝 z_)
ρ1 : ℝ
ρ1pos : ρ1 > 0
suff_des : ρ1 = (γ - 1) * ↑l ∧ ∀ (k : ℕ), ρ1 / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1))
z_in : z_ ∈ limit_set z
final : ∀ (m : ℕ), ∃ n, m ≤ α n
psiconv : Tendsto (fun n => ψ (z (α n))) atTop (𝓝 (ψ z_))
monopsi : ∀ (m n : ℕ), ψ (z (m + n)) ≤ ψ (z m)
n✝ : ℕ
eq : ψ (z (α n✝)) ≤ ψ z_
N : ℕ := α n✝
eq0✝ : ∀ i ≥ N, z (i + 1) = z i
n : ℕ
nlen : N < n
eq0 : ∑ i ∈ Finset.range n \ Finset.range N, ‖z (i + 1) - z i‖ = 0
⊢ 0 ≤ ∑ i ∈ ∅, ‖z (i + 1) - z i‖

Tactic:
exact Preorder.le_refl 0

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_283.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (hψ : KL_function ψ) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ))
  (h_original_goal : ∃ z_, Tendsto z atTop (𝓝 z_)) : CauchySeq z := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
hψ : KL_function ψ
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
⊢ ∃ z_, Tendsto z atTop (𝓝 z_)

Tactic:
apply cauchySeq_tendsto_of_complete

Tactic state after:
[case H
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 hψ : KL_function ψ
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 ⊢ CauchySeq z]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_284.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (hψ : KL_function ψ) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ))
  (h_original_goal : CauchySeq z) : Summable fun n => dist (z n) (z n.succ) := sorry

Tactic state before:
case H
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
hψ : KL_function ψ
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
⊢ CauchySeq z

Tactic:
apply cauchySeq_of_summable_dist

Tactic state after:
[case H.h
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 hψ : KL_function ψ
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 ⊢ Summable fun n => dist (z n) (z n.succ)]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_285.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (hψ : KL_function ψ) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (M : ℝ)
  (sumle : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ≤ M)
  (h_original_goal : Summable fun n => dist (z n) (z n.succ)) (n : ℕ) : 0 ≤ dist (z n) (z n.succ) := sorry

Tactic state before:
case H.h.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
hψ : KL_function ψ
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
M : ℝ
sumle : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ≤ M
⊢ Summable fun n => dist (z n) (z n.succ)

Tactic:
apply @summable_of_sum_range_le _ M _ _

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 hψ : KL_function ψ
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 M : ℝ
 sumle : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ≤ M
 ⊢ ∀ (n : ℕ), 0 ≤ dist (z n) (z n.succ),
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 hψ : KL_function ψ
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 M : ℝ
 sumle : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ≤ M
 ⊢ ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, dist (z i) (z i.succ) ≤ M]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_286.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (hψ : KL_function ψ) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (M : ℝ)
  (sumle : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ≤ M)
  (h_original_goal : Summable fun n => dist (z n) (z n.succ)) (n : ℕ) :
  ∑ i ∈ Finset.range n, dist (z i) (z i.succ) ≤ M := sorry

Tactic state before:
case H.h.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
hψ : KL_function ψ
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
M : ℝ
sumle : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ≤ M
⊢ Summable fun n => dist (z n) (z n.succ)

Tactic:
apply @summable_of_sum_range_le _ M _ _

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 hψ : KL_function ψ
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 M : ℝ
 sumle : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ≤ M
 ⊢ ∀ (n : ℕ), 0 ≤ dist (z n) (z n.succ),
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 hψ : KL_function ψ
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 M : ℝ
 sumle : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ≤ M
 ⊢ ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, dist (z i) (z i.succ) ≤ M]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_287.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (hψ : KL_function ψ) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (z_ : WithLp 2 (E × F))
  (hzz : Tendsto z atTop (𝓝 z_)) (h_original_goal : z_ ∈ limit_set z) : ClusterPt z_ (map z atTop) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
hψ : KL_function ψ
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
z_ : WithLp 2 (E × F)
hzz : Tendsto z atTop (𝓝 z_)
⊢ z_ ∈ limit_set z

Tactic:
simp [limit_set, MapClusterPt]

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 hψ : KL_function ψ
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 z_ : WithLp 2 (E × F)
 hzz : Tendsto z atTop (𝓝 z_)
 ⊢ ClusterPt z_ (map z atTop)]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_288.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (hψ : KL_function ψ) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (z_ : WithLp 2 (E × F))
  (hzz : Tendsto z atTop (𝓝 z_)) : ClusterPt z_ (map z atTop) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
hψ : KL_function ψ
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
z_ : WithLp 2 (E × F)
hzz : Tendsto z atTop (𝓝 z_)
⊢ ClusterPt z_ (map z atTop)

Tactic:
exact ClusterPt.of_le_nhds hzz

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_289.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (hψ : KL_function ψ) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (z_ : WithLp 2 (E × F))
  (hzz : Tendsto z atTop (𝓝 z_)) (z_in : z_ ∈ limit_set z) : z_ ∈ critial_point ψ := sorry

Tactic state before:
case intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
hψ : KL_function ψ
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
z_ : WithLp 2 (E × F)
hzz : Tendsto z atTop (𝓝 z_)
z_in : z_ ∈ limit_set z
⊢ z_ ∈ critial_point ψ

Tactic:
apply (limitset_property_1 γ hγ ck dk bd lbdψ).2 z_in

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


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open BCD

theorem extracted_formal_statement_0.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : NormedAddCommGroup F] [inst_3 : InnerProductSpace ℝ F]
  {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ} (h : Differentiable ℝ H) (h_original_goal : Differentiable ℝ H) :
  Differentiable ℝ fun x => x := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
h : Differentiable ℝ H
⊢ Differentiable ℝ H

Tactic:
apply Differentiable.comp h

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝³ : NormedAddCommGroup E
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
 inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 h : Differentiable ℝ H
 ⊢ Differentiable ℝ fun x => x]
import Mathlib
import Optlib


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open BCD

theorem extracted_formal_statement_1.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : NormedAddCommGroup F] [inst_3 : InnerProductSpace ℝ F]
  {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ} (h : Differentiable ℝ H) (h_original_goal : Differentiable ℝ fun x => x) :
  IsBoundedLinearMap ℝ fun x => x := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
h : Differentiable ℝ H
⊢ Differentiable ℝ fun x => x

Tactic:
apply IsBoundedLinearMap.differentiable

Tactic state after:
[case h
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝³ : NormedAddCommGroup E
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
 inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 h : Differentiable ℝ H
 ⊢ IsBoundedLinearMap ℝ fun x => x]
import Mathlib
import Optlib


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open BCD

theorem extracted_formal_statement_2.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : NormedAddCommGroup F] [inst_3 : InnerProductSpace ℝ F]
  {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ} (h : Differentiable ℝ H) : IsBoundedLinearMap ℝ fun x => x := sorry

Tactic state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
h : Differentiable ℝ H
⊢ IsBoundedLinearMap ℝ fun x => x

Tactic:
exact instIsBoundedLinearMapL2equiv

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


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open BCD

theorem extracted_formal_statement_3.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : NormedAddCommGroup F] [inst_3 : InnerProductSpace ℝ F]
  {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ} (h : Differentiable ℝ H) (y : F) (h_original_goal : Differentiable ℝ fun x => H (x, y)) :
  Differentiable ℝ fun x => (x, y) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
h : Differentiable ℝ H
y : F
⊢ Differentiable ℝ fun x => H (x, y)

Tactic:
apply Differentiable.comp (diff_from_l2 h)

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝³ : NormedAddCommGroup E
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
 inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 h : Differentiable ℝ H
 y : F
 ⊢ Differentiable ℝ fun x => (x, y)]
import Mathlib
import Optlib


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open BCD

theorem extracted_formal_statement_4.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : NormedAddCommGroup F] [inst_3 : InnerProductSpace ℝ F]
  {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ} (h : Differentiable ℝ H) (y : F) : Differentiable ℝ fun x => (x, y) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
h : Differentiable ℝ H
y : F
⊢ Differentiable ℝ fun x => (x, y)

Tactic:
exact Differentiable.prodMk differentiable_id' (differentiable_const y)

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


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open BCD

theorem extracted_formal_statement_5.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : NormedAddCommGroup F] [inst_3 : InnerProductSpace ℝ F]
  {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ} (h : Differentiable ℝ H) (x : E) (h_original_goal : Differentiable ℝ fun y => H (x, y)) :
  Differentiable ℝ (Prod.mk x) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
h : Differentiable ℝ H
x : E
⊢ Differentiable ℝ fun y => H (x, y)

Tactic:
apply Differentiable.comp (diff_from_l2 h)

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝³ : NormedAddCommGroup E
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
 inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 h : Differentiable ℝ H
 x : E
 ⊢ Differentiable ℝ (Prod.mk x)]
import Mathlib
import Optlib


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open BCD

theorem extracted_formal_statement_6.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : NormedAddCommGroup F] [inst_3 : InnerProductSpace ℝ F]
  {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ} (h : Differentiable ℝ H) (x : E) : Differentiable ℝ (Prod.mk x) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
h : Differentiable ℝ H
x : E
⊢ Differentiable ℝ (Prod.mk x)

Tactic:
exact Differentiable.prodMk (differentiable_const x) differentiable_id'

Tactic state after: