zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_187.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt]
  (fullrank₂ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₂ E₁)) (M : ℝ)
  (h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₂ E₁) ∘ e₂) «y» = x} ⊆ ball 0 M) (C : ℝ) (C_pos : C > 0)
  (h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₂ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖) ⦃x : E₂⦄ (n : ℕ) (eq : ADMM.x₂ E₁ F n = x)
  (A₂e₂_bd : ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ < M) : ‖ADMM.x₂ E₁ F n‖ = ‖ADMM.x₂ E₁ F n - admm_kkt.x₂ + admm_kkt.x₂‖ := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
fullrank₂ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₂ E₁)
M : ℝ
h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₂ E₁) ∘ e₂) «y» = x} ⊆ ball 0 M
C : ℝ
C_pos : C > 0
h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₂ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖
x : E₂
n : ℕ
eq : ADMM.x₂ E₁ F n = x
A₂e₂_bd : ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ < M
⊢ ‖ADMM.x₂ E₁ F n‖ = ‖ADMM.x₂ E₁ F n - admm_kkt.x₂ + admm_kkt.x₂‖

Tactic:
rw [add_comm, add_sub, add_comm, add_sub_assoc, sub_self, add_zero]

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_188.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt]
  (fullrank₂ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₂ E₁)) (M : ℝ)
  (h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₂ E₁) ∘ e₂) «y» = x} ⊆ ball 0 M) (C : ℝ) (C_pos : C > 0)
  (h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₂ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖) ⦃x : E₂⦄ (n : ℕ) (eq : ADMM.x₂ E₁ F n = x)
  (A₂e₂_bd : ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ < M) :
  ‖ADMM.x₂ E₁ F n - admm_kkt.x₂ + admm_kkt.x₂‖ ≤ ‖ADMM.x₂ E₁ F n - admm_kkt.x₂‖ + ‖admm_kkt.x₂‖ := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
fullrank₂ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₂ E₁)
M : ℝ
h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₂ E₁) ∘ e₂) «y» = x} ⊆ ball 0 M
C : ℝ
C_pos : C > 0
h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₂ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖
x : E₂
n : ℕ
eq : ADMM.x₂ E₁ F n = x
A₂e₂_bd : ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ < M
⊢ ‖ADMM.x₂ E₁ F n - admm_kkt.x₂ + admm_kkt.x₂‖ ≤ ‖ADMM.x₂ E₁ F n - admm_kkt.x₂‖ + ‖admm_kkt.x₂‖

Tactic:
apply norm_add_le

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_189.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt]
  (fullrank₂ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₂ E₁)) (M : ℝ)
  (h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₂ E₁) ∘ e₂) «y» = x} ⊆ ball 0 M) (C : ℝ) (C_pos : C > 0)
  (h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₂ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖) ⦃x : E₂⦄ (n : ℕ) (eq : ADMM.x₂ E₁ F n = x)
  (A₂e₂_bd : ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ < M) :
  ‖ADMM.x₂ E₁ F n - admm_kkt.x₂‖ + ‖admm_kkt.x₂‖ = ‖e₂ n‖ + ‖admm_kkt.x₂‖ := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
fullrank₂ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₂ E₁)
M : ℝ
h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₂ E₁) ∘ e₂) «y» = x} ⊆ ball 0 M
C : ℝ
C_pos : C > 0
h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₂ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖
x : E₂
n : ℕ
eq : ADMM.x₂ E₁ F n = x
A₂e₂_bd : ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ < M
⊢ ‖ADMM.x₂ E₁ F n - admm_kkt.x₂‖ + ‖admm_kkt.x₂‖ = ‖e₂ n‖ + ‖admm_kkt.x₂‖

Tactic:
rw [e₂]

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_190.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (M : ℝ)
  (h : {x | ∃ «y», ey «y» = x} ⊆ ball 0 M) ⦃x : F⦄ (hx : ∃ «y», ADMM.y E₁ E₂ «y» = x)
  (h_original_goal : x ∈ ball 0 (M + ‖admm_kkt.y‖)) : ‖x‖ < M + ‖admm_kkt.y‖ := sorry

Tactic state before:
case h
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
M : ℝ
h : {x | ∃ «y», ey «y» = x} ⊆ ball 0 M
x : F
hx : ∃ «y», ADMM.y E₁ E₂ «y» = x
⊢ x ∈ ball 0 (M + ‖admm_kkt.y‖)

Tactic:
simp

Tactic state after:
[case h
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 M : ℝ
 h : {x | ∃ «y», ey «y» = x} ⊆ ball 0 M
 x : F
 hx : ∃ «y», ADMM.y E₁ E₂ «y» = x
 ⊢ ‖x‖ < M + ‖admm_kkt.y‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_191.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (M : ℝ)
  (h : {x | ∃ «y», ey «y» = x} ⊆ ball 0 M) ⦃x : F⦄ (n : ℕ) (eq : ADMM.y E₁ E₂ n = x)
  (h_original_goal : ‖x‖ < M + ‖admm_kkt.y‖) : ‖ADMM.y E₁ E₂ n‖ < M + ‖admm_kkt.y‖ := sorry

Tactic state before:
case h.intro
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
M : ℝ
h : {x | ∃ «y», ey «y» = x} ⊆ ball 0 M
x : F
n : ℕ
eq : ADMM.y E₁ E₂ n = x
⊢ ‖x‖ < M + ‖admm_kkt.y‖

Tactic:
rw [← eq]

Tactic state after:
[case h.intro
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 M : ℝ
 h : {x | ∃ «y», ey «y» = x} ⊆ ball 0 M
 x : F
 n : ℕ
 eq : ADMM.y E₁ E₂ n = x
 ⊢ ‖ADMM.y E₁ E₂ n‖ < M + ‖admm_kkt.y‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_192.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (M : ℝ)
  (h : {x | ∃ «y», ey «y» = x} ⊆ ball 0 M) ⦃x : F⦄ (n : ℕ) (eq : ADMM.y E₁ E₂ n = x) :
  ey n ∈ {x | ∃ n, ey n = x} := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
M : ℝ
h : {x | ∃ «y», ey «y» = x} ⊆ ball 0 M
x : F
n : ℕ
eq : ADMM.y E₁ E₂ n = x
⊢ ey n ∈ {x | ∃ n, ey n = x}

Tactic:
simp

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_193.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (M : ℝ)
  (h : {x | ∃ «y», ey «y» = x} ⊆ ball 0 M) ⦃x : F⦄ (n : ℕ) (eq : ADMM.y E₁ E₂ n = x)
  (this_1 : ey n ∈ {x | ∃ n, ey n = x}) (this : ‖ey n‖ < M) : ‖ey n‖ < M := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
M : ℝ
h : {x | ∃ «y», ey «y» = x} ⊆ ball 0 M
x : F
n : ℕ
eq : ADMM.y E₁ E₂ n = x
this✝ : ey n ∈ {x | ∃ n, ey n = x}
this : ‖ey n‖ < M
⊢ ‖ey n‖ < M

Tactic:
exact this

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_194.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (M : ℝ)
  (h : {x | ∃ «y», ey «y» = x} ⊆ ball 0 M) ⦃x : F⦄ (n : ℕ) (eq : ADMM.y E₁ E₂ n = x) (ey_bd : ‖ey n‖ < M) :
  ‖ADMM.y E₁ E₂ n‖ = ‖ADMM.y E₁ E₂ n - admm_kkt.y + admm_kkt.y‖ := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
M : ℝ
h : {x | ∃ «y», ey «y» = x} ⊆ ball 0 M
x : F
n : ℕ
eq : ADMM.y E₁ E₂ n = x
ey_bd : ‖ey n‖ < M
⊢ ‖ADMM.y E₁ E₂ n‖ = ‖ADMM.y E₁ E₂ n - admm_kkt.y + admm_kkt.y‖

Tactic:
rw [add_comm, add_sub, add_comm, add_sub_assoc, sub_self, add_zero]

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_195.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (M : ℝ)
  (h : {x | ∃ «y», ey «y» = x} ⊆ ball 0 M) ⦃x : F⦄ (n : ℕ) (eq : ADMM.y E₁ E₂ n = x) (ey_bd : ‖ey n‖ < M) :
  ‖ADMM.y E₁ E₂ n - admm_kkt.y + admm_kkt.y‖ ≤ ‖ADMM.y E₁ E₂ n - admm_kkt.y‖ + ‖admm_kkt.y‖ := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
M : ℝ
h : {x | ∃ «y», ey «y» = x} ⊆ ball 0 M
x : F
n : ℕ
eq : ADMM.y E₁ E₂ n = x
ey_bd : ‖ey n‖ < M
⊢ ‖ADMM.y E₁ E₂ n - admm_kkt.y + admm_kkt.y‖ ≤ ‖ADMM.y E₁ E₂ n - admm_kkt.y‖ + ‖admm_kkt.y‖

Tactic:
apply norm_add_le

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_196.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (M : ℝ)
  (h : {x | ∃ «y», ey «y» = x} ⊆ ball 0 M) ⦃x : F⦄ (n : ℕ) (eq : ADMM.y E₁ E₂ n = x) (ey_bd : ‖ey n‖ < M) :
  ‖ADMM.y E₁ E₂ n - admm_kkt.y‖ + ‖admm_kkt.y‖ = ‖ey n‖ + ‖admm_kkt.y‖ := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
M : ℝ
h : {x | ∃ «y», ey «y» = x} ⊆ ball 0 M
x : F
n : ℕ
eq : ADMM.y E₁ E₂ n = x
ey_bd : ‖ey n‖ < M
⊢ ‖ADMM.y E₁ E₂ n - admm_kkt.y‖ + ‖admm_kkt.y‖ = ‖ey n‖ + ‖admm_kkt.y‖

Tactic:
rw [ey]

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_197.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F}
  (h_original_goal :
    (range fun n => (ADMM.x₁ E₂ F n, ADMM.x₂ E₁ F n, ADMM.y E₁ E₂ n)) ⊆
      range (ADMM.x₁ E₂ F) ×ˢ range (ADMM.x₂ E₁ F) ×ˢ range (ADMM.y E₁ E₂)) :
  {x | ∃ «y», (ADMM.x₁ E₂ F «y», ADMM.x₂ E₁ F «y», ADMM.y E₁ E₂ «y») = x} ⊆
    {x | ∃ «y», ADMM.x₁ E₂ F «y» = x} ×ˢ {x | ∃ «y», ADMM.x₂ E₁ F «y» = x} ×ˢ {x | ∃ «y», ADMM.y E₁ E₂ «y» = x} := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
⊢ (range fun n => (ADMM.x₁ E₂ F n, ADMM.x₂ E₁ F n, ADMM.y E₁ E₂ n)) ⊆
    range (ADMM.x₁ E₂ F) ×ˢ range (ADMM.x₂ E₁ F) ×ˢ range (ADMM.y E₁ E₂)

Tactic:
simp [range]

Tactic state after:
[E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 ⊢ {x | ∃ «y», (ADMM.x₁ E₂ F «y», ADMM.x₂ E₁ F «y», ADMM.y E₁ E₂ «y») = x} ⊆
     {x | ∃ «y», ADMM.x₁ E₂ F «y» = x} ×ˢ {x | ∃ «y», ADMM.x₂ E₁ F «y» = x} ×ˢ {x | ∃ «y», ADMM.y E₁ E₂ «y» = x}]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_198.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} ⦃x : E₁ × E₂ × F⦄ (hx : ∃ «y», (ADMM.x₁ E₂ F «y», ADMM.x₂ E₁ F «y», ADMM.y E₁ E₂ «y») = x)
  (h_original_goal :
    x ∈ {x | ∃ «y», ADMM.x₁ E₂ F «y» = x} ×ˢ {x | ∃ «y», ADMM.x₂ E₁ F «y» = x} ×ˢ {x | ∃ «y», ADMM.y E₁ E₂ «y» = x}) :
  (∃ «y», ADMM.x₁ E₂ F «y» = x.1) ∧ (∃ «y», ADMM.x₂ E₁ F «y» = x.2.1) ∧ ∃ «y», ADMM.y E₁ E₂ «y» = x.2.2 := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
x : E₁ × E₂ × F
hx : ∃ «y», (ADMM.x₁ E₂ F «y», ADMM.x₂ E₁ F «y», ADMM.y E₁ E₂ «y») = x
⊢ x ∈ {x | ∃ «y», ADMM.x₁ E₂ F «y» = x} ×ˢ {x | ∃ «y», ADMM.x₂ E₁ F «y» = x} ×ˢ {x | ∃ «y», ADMM.y E₁ E₂ «y» = x}

Tactic:
simp only [mem_prod, mem_setOf_eq]

Tactic state after:
[E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 x : E₁ × E₂ × F
 hx : ∃ «y», (ADMM.x₁ E₂ F «y», ADMM.x₂ E₁ F «y», ADMM.y E₁ E₂ «y») = x
 ⊢ (∃ «y», ADMM.x₁ E₂ F «y» = x.1) ∧ (∃ «y», ADMM.x₂ E₁ F «y» = x.2.1) ∧ ∃ «y», ADMM.y E₁ E₂ «y» = x.2.2]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_199.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} ⦃x : E₁ × E₂ × F⦄ (n : ℕ) (hn : (ADMM.x₁ E₂ F n, ADMM.x₂ E₁ F n, ADMM.y E₁ E₂ n) = x)
  (h1 : ADMM.x₁ E₂ F n = x.1) (h2 : ADMM.x₂ E₁ F n = x.2.1) (h3 : ADMM.y E₁ E₂ n = x.2.2) :
  (∃ «y», ADMM.x₁ E₂ F «y» = x.1) ∧ (∃ «y», ADMM.x₂ E₁ F «y» = x.2.1) ∧ ∃ «y», ADMM.y E₁ E₂ «y» = x.2.2 := sorry

Tactic state before:
case intro
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
x : E₁ × E₂ × F
n : ℕ
hn : (ADMM.x₁ E₂ F n, ADMM.x₂ E₁ F n, ADMM.y E₁ E₂ n) = x
h1 : ADMM.x₁ E₂ F n = x.1
h2 : ADMM.x₂ E₁ F n = x.2.1
h3 : ADMM.y E₁ E₂ n = x.2.2
⊢ (∃ «y», ADMM.x₁ E₂ F «y» = x.1) ∧ (∃ «y», ADMM.x₂ E₁ F «y» = x.2.1) ∧ ∃ «y», ADMM.y E₁ E₂ «y» = x.2.2

Tactic:
exact ⟨⟨n, h1⟩, ⟨n, h2⟩, ⟨n, h3⟩⟩

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_200.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} (fullrank₁ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₁ E₂))
  (fullrank₂ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₂ E₁)) :
  (range fun n => (ADMM.x₁ E₂ F n, ADMM.x₂ E₁ F n, ADMM.y E₁ E₂ n)) ⊆
    range (ADMM.x₁ E₂ F) ×ˢ range (ADMM.x₂ E₁ F) ×ˢ range (ADMM.y E₁ E₂) := sorry

Tactic state before:
case hs
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
fullrank₁ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₁ E₂)
fullrank₂ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₂ E₁)
⊢ (range fun n => (ADMM.x₁ E₂ F n, ADMM.x₂ E₁ F n, ADMM.y E₁ E₂ n)) ⊆
    range (ADMM.x₁ E₂ F) ×ˢ range (ADMM.x₂ E₁ F) ×ˢ range (ADMM.y E₁ E₂)

Tactic:
apply times_eq

Tactic state after: