zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_324.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} (n : ℕ+) (h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0) (h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F)
  (h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2) :
  let S1 := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n);
  let S2 := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂;
  let s1 := √(ADMM.τ E₁ E₂ F);
  s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2 → s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 → s1 ≠ 0 → s1 ≠ 0 := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
n : ℕ+
h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
h2 : s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
this : s1 ≠ 0
⊢ s1 ≠ 0

Tactic:
exact this

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_327.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} (n : ℕ+) (h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0) (h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F)
  (h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2) :
  let S1 := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n);
  let S2 := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂;
  let s1 := √(ADMM.τ E₁ E₂ F);
  s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2 →
    s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 →
      s1 ≠ 0 →
        ⟪S1, S2⟫_ℝ = ⟪s1 • S1, s1⁻¹ • S2⟫_ℝ →
          ‖s1 • S1‖ ^ 2 + ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 - -2 * ⟪s1 • S1, s1⁻¹ • S2⟫_ℝ =
              ‖s1 • S1‖ ^ 2 + 2 * ⟪s1 • S1, s1⁻¹ • S2⟫_ℝ + ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 →
            0 ≤ ‖s1 • S1 + s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
n : ℕ+
h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
h2 : s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
this✝ : s1 ≠ 0
h3 : ⟪S1, S2⟫_ℝ = ⟪s1 • S1, s1⁻¹ • S2⟫_ℝ
this :
  ‖s1 • S1‖ ^ 2 + ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 - -2 * ⟪s1 • S1, s1⁻¹ • S2⟫_ℝ =
    ‖s1 • S1‖ ^ 2 + 2 * ⟪s1 • S1, s1⁻¹ • S2⟫_ℝ + ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
⊢ 0 ≤ ‖s1 • S1 + s1⁻¹ • S2‖ ^ 2

Tactic:
apply pow_two_nonneg

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_345.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} (h1 : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F)
  (right : ADMM.τ E₁ E₂ F < (1 + √5) / 2) (h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1) : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F ∧ ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1 := sorry

Tactic state before:
case pos.h
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
h1 : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F
right✝ : ADMM.τ E₁ E₂ F < (1 + √5) / 2
h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1
⊢ 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F ∧ ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1

Tactic:
exact ⟨h1, h⟩

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_346.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} (h1 : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F) (h2 : ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1)
  (h_original_goal : ADMM.τ E₁ E₂ F ⊓ (1 + ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2) = ADMM.τ E₁ E₂ F) :
  ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1 + ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2 := sorry

Tactic state before:
case intro
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
h1 : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F
h2 : ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1
⊢ ADMM.τ E₁ E₂ F ⊓ (1 + ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2) = ADMM.τ E₁ E₂ F

Tactic:
apply min_eq_left

Tactic state after:
[case intro.h
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 h1 : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F
 h2 : ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1
 ⊢ ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1 + ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_347.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} (h : ADMM.τ E₁ E₂ F > 1)
  (h_original_goal :
    ADMM.τ E₁ E₂ F ⊓ (1 + ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2) = 1 + ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2) :
  1 + ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2 ≤ ADMM.τ E₁ E₂ F := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
h : ADMM.τ E₁ E₂ F > 1
⊢ ADMM.τ E₁ E₂ F ⊓ (1 + ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2) = 1 + ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2

Tactic:
apply min_eq_right

Tactic state after:
[case h
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 h : ADMM.τ E₁ E₂ F > 1
 ⊢ 1 + ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2 ≤ ADMM.τ E₁ E₂ F]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_348.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} (h1 : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F) (h2 : ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1)
  (h_original_goal : 1 ⊓ (1 + 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F) = 1) :
  1 ≤ 1 + 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F := sorry

Tactic state before:
case intro
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
h1 : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F
h2 : ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1
⊢ 1 ⊓ (1 + 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F) = 1

Tactic:
apply min_eq_left

Tactic state after:
[case intro.h
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 h1 : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F
 h2 : ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1
 ⊢ 1 ≤ 1 + 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_349.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} (h1 : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F) (h2 : ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1) :
  1 ≤ 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
h1 : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F
h2 : ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1
⊢ 1 ≤ 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F

Tactic:
apply one_le_one_div h1 h2

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_350.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} (h : ADMM.τ E₁ E₂ F > 1)
  (h_original_goal : 1 ⊓ (1 + 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F) = 1 + 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F) :
  1 + 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1 := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
h : ADMM.τ E₁ E₂ F > 1
⊢ 1 ⊓ (1 + 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F) = 1 + 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F

Tactic:
apply min_eq_right

Tactic state after:
[case h
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 h : ADMM.τ E₁ E₂ F > 1
 ⊢ 1 + 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_351.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} (h : ADMM.τ E₁ E₂ F > 1)
  (h_original_goal : 1 > 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) : 1⁻¹ > (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
h : ADMM.τ E₁ E₂ F > 1
⊢ 1 > 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F

Tactic:
rw [one_div, ← inv_one]

Tactic state after:
[E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 h : ADMM.τ E₁ E₂ F > 1
 ⊢ 1⁻¹ > (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_352 : 0 < 1 := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
h : ADMM.τ E₁ E₂ F > 1
⊢ 1⁻¹ > (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹

Tactic:
apply inv_strictAnti₀

Tactic state after:
[case hb
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 h : ADMM.τ E₁ E₂ F > 1
 ⊢ 0 < 1,
 case hba
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 h : ADMM.τ E₁ E₂ F > 1
 ⊢ 1 < ADMM.τ E₁ E₂ F]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_353.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} (h : ADMM.τ E₁ E₂ F > 1)
  (h_original_goal : 1⁻¹ > (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹) : 1 < ADMM.τ E₁ E₂ F := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
h : ADMM.τ E₁ E₂ F > 1
⊢ 1⁻¹ > (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹

Tactic:
apply inv_strictAnti₀

Tactic state after:
[case hb
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 h : ADMM.τ E₁ E₂ F > 1
 ⊢ 0 < 1,
 case hba
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 h : ADMM.τ E₁ E₂ F > 1
 ⊢ 1 < ADMM.τ E₁ E₂ F]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_354.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} (h : ADMM.τ E₁ E₂ F > 1) : 1 < ADMM.τ E₁ E₂ F := sorry

Tactic state before:
case hba
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
h : ADMM.τ E₁ E₂ F > 1
⊢ 1 < ADMM.τ E₁ E₂ F

Tactic:
exact h

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_355.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} (h1 : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F) (h2 : ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1)
  (h_original_goal : (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) = 1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) :
  1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1 - ADMM.τ E₁ E₂ F := sorry

Tactic state before:
case intro
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
h1 : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F
h2 : ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1
⊢ (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) = 1 - ADMM.τ E₁ E₂ F

Tactic:
apply max_eq_left

Tactic state after:
[case intro.h
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 h1 : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F
 h2 : ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1
 ⊢ 1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1 - ADMM.τ E₁ E₂ F]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_356.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} (h1 : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F) (h2 : ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1) :
  1 ≤ 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
h1 : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F
h2 : ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1
⊢ 1 ≤ 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F

Tactic:
apply one_le_one_div h1 h2

Tactic state after: