zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_176.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt]
  (fullrank₁ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₁ E₂)) (M : ℝ)
  (h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₁ E₂) ∘ e₁) «y» = x} ⊆ ball 0 M) (C : ℝ) (C_pos : C > 0)
  (h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₁ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖) ⦃x : E₁⦄ (n : ℕ) (eq : ADMM.x₁ E₂ F n = x) :
  (OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) ∈ {x | ∃ n, (OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) = x} := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
fullrank₁ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₁ E₂)
M : ℝ
h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₁ E₂) ∘ e₁) «y» = x} ⊆ ball 0 M
C : ℝ
C_pos : C > 0
h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₁ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖
x : E₁
n : ℕ
eq : ADMM.x₁ E₂ F n = x
⊢ (OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) ∈ {x | ∃ n, (OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) = x}

Tactic:
simp

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_177.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt]
  (fullrank₁ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₁ E₂)) (M : ℝ)
  (h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₁ E₂) ∘ e₁) «y» = x} ⊆ ball 0 M) (C : ℝ) (C_pos : C > 0)
  (h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₁ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖) ⦃x : E₁⦄ (n : ℕ) (eq : ADMM.x₁ E₂ F n = x)
  (this_1 : (OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) ∈ {x | ∃ n, (OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) = x})
  (this : ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖ < M) : ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖ < M := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
fullrank₁ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₁ E₂)
M : ℝ
h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₁ E₂) ∘ e₁) «y» = x} ⊆ ball 0 M
C : ℝ
C_pos : C > 0
h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₁ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖
x : E₁
n : ℕ
eq : ADMM.x₁ E₂ F n = x
this✝ : (OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) ∈ {x | ∃ n, (OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) = x}
this : ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖ < M
⊢ ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖ < M

Tactic:
exact this

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_178.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt]
  (fullrank₁ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₁ E₂)) (M : ℝ)
  (h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₁ E₂) ∘ e₁) «y» = x} ⊆ ball 0 M) (C : ℝ) (C_pos : C > 0)
  (h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₁ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖) ⦃x : E₁⦄ (n : ℕ) (eq : ADMM.x₁ E₂ F n = x)
  (A₁e₁_bd : ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖ < M) (h_original_goal : x ∈ ball 0 (C * M + ‖admm_kkt.x₁‖)) :
  ADMM.x₁ E₂ F n ∈ ball 0 (C * M + ‖admm_kkt.x₁‖) := sorry

Tactic state before:
case h.intro
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
fullrank₁ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₁ E₂)
M : ℝ
h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₁ E₂) ∘ e₁) «y» = x} ⊆ ball 0 M
C : ℝ
C_pos : C > 0
h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₁ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖
x : E₁
n : ℕ
eq : ADMM.x₁ E₂ F n = x
A₁e₁_bd : ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖ < M
⊢ x ∈ ball 0 (C * M + ‖admm_kkt.x₁‖)

Tactic:
rw [← eq]

Tactic state after:
[case h.intro
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 fullrank₁ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₁ E₂)
 M : ℝ
 h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₁ E₂) ∘ e₁) «y» = x} ⊆ ball 0 M
 C : ℝ
 C_pos : C > 0
 h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₁ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖
 x : E₁
 n : ℕ
 eq : ADMM.x₁ E₂ F n = x
 A₁e₁_bd : ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖ < M
 ⊢ ADMM.x₁ E₂ F n ∈ ball 0 (C * M + ‖admm_kkt.x₁‖)]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_179.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt]
  (fullrank₁ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₁ E₂)) (M : ℝ)
  (h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₁ E₂) ∘ e₁) «y» = x} ⊆ ball 0 M) (C : ℝ) (C_pos : C > 0)
  (h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₁ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖) ⦃x : E₁⦄ (n : ℕ) (eq : ADMM.x₁ E₂ F n = x)
  (A₁e₁_bd : ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖ < M) (h_original_goal : ADMM.x₁ E₂ F n ∈ ball 0 (C * M + ‖admm_kkt.x₁‖)) :
  ‖ADMM.x₁ E₂ F n‖ < C * M + ‖admm_kkt.x₁‖ := sorry

Tactic state before:
case h.intro
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
fullrank₁ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₁ E₂)
M : ℝ
h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₁ E₂) ∘ e₁) «y» = x} ⊆ ball 0 M
C : ℝ
C_pos : C > 0
h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₁ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖
x : E₁
n : ℕ
eq : ADMM.x₁ E₂ F n = x
A₁e₁_bd : ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖ < M
⊢ ADMM.x₁ E₂ F n ∈ ball 0 (C * M + ‖admm_kkt.x₁‖)

Tactic:
simp

Tactic state after:
[case h.intro
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 fullrank₁ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₁ E₂)
 M : ℝ
 h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₁ E₂) ∘ e₁) «y» = x} ⊆ ball 0 M
 C : ℝ
 C_pos : C > 0
 h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₁ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖
 x : E₁
 n : ℕ
 eq : ADMM.x₁ E₂ F n = x
 A₁e₁_bd : ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖ < M
 ⊢ ‖ADMM.x₁ E₂ F n‖ < C * M + ‖admm_kkt.x₁‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_180.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt]
  (fullrank₁ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₁ E₂)) (M : ℝ)
  (h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₁ E₂) ∘ e₁) «y» = x} ⊆ ball 0 M) (C : ℝ) (C_pos : C > 0)
  (h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₁ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖) ⦃x : E₁⦄ (n : ℕ) (eq : ADMM.x₁ E₂ F n = x)
  (A₁e₁_bd : ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖ < M) : ‖ADMM.x₁ E₂ F n‖ = ‖ADMM.x₁ E₂ F n - admm_kkt.x₁ + admm_kkt.x₁‖ := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
fullrank₁ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₁ E₂)
M : ℝ
h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₁ E₂) ∘ e₁) «y» = x} ⊆ ball 0 M
C : ℝ
C_pos : C > 0
h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₁ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖
x : E₁
n : ℕ
eq : ADMM.x₁ E₂ F n = x
A₁e₁_bd : ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖ < M
⊢ ‖ADMM.x₁ E₂ F n‖ = ‖ADMM.x₁ E₂ F n - admm_kkt.x₁ + admm_kkt.x₁‖

Tactic:
rw [add_comm, add_sub, add_comm, add_sub_assoc, sub_self, add_zero]

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_181.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt]
  (fullrank₁ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₁ E₂)) (M : ℝ)
  (h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₁ E₂) ∘ e₁) «y» = x} ⊆ ball 0 M) (C : ℝ) (C_pos : C > 0)
  (h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₁ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖) ⦃x : E₁⦄ (n : ℕ) (eq : ADMM.x₁ E₂ F n = x)
  (A₁e₁_bd : ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖ < M) :
  ‖ADMM.x₁ E₂ F n - admm_kkt.x₁ + admm_kkt.x₁‖ ≤ ‖ADMM.x₁ E₂ F n - admm_kkt.x₁‖ + ‖admm_kkt.x₁‖ := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
fullrank₁ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₁ E₂)
M : ℝ
h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₁ E₂) ∘ e₁) «y» = x} ⊆ ball 0 M
C : ℝ
C_pos : C > 0
h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₁ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖
x : E₁
n : ℕ
eq : ADMM.x₁ E₂ F n = x
A₁e₁_bd : ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖ < M
⊢ ‖ADMM.x₁ E₂ F n - admm_kkt.x₁ + admm_kkt.x₁‖ ≤ ‖ADMM.x₁ E₂ F n - admm_kkt.x₁‖ + ‖admm_kkt.x₁‖

Tactic:
apply norm_add_le

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_182.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt]
  (fullrank₁ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₁ E₂)) (M : ℝ)
  (h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₁ E₂) ∘ e₁) «y» = x} ⊆ ball 0 M) (C : ℝ) (C_pos : C > 0)
  (h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₁ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖) ⦃x : E₁⦄ (n : ℕ) (eq : ADMM.x₁ E₂ F n = x)
  (A₁e₁_bd : ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖ < M) :
  ‖ADMM.x₁ E₂ F n - admm_kkt.x₁‖ + ‖admm_kkt.x₁‖ = ‖e₁ n‖ + ‖admm_kkt.x₁‖ := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
fullrank₁ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₁ E₂)
M : ℝ
h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₁ E₂) ∘ e₁) «y» = x} ⊆ ball 0 M
C : ℝ
C_pos : C > 0
h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₁ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖
x : E₁
n : ℕ
eq : ADMM.x₁ E₂ F n = x
A₁e₁_bd : ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n)‖ < M
⊢ ‖ADMM.x₁ E₂ F n - admm_kkt.x₁‖ + ‖admm_kkt.x₁‖ = ‖e₁ n‖ + ‖admm_kkt.x₁‖

Tactic:
rw [e₁]

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_183.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt]
  (fullrank₂ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₂ E₁)) (M : ℝ)
  (h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₂ E₁) ∘ e₂) «y» = x} ⊆ ball 0 M) (C : ℝ) (C_pos : C > 0)
  (h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₂ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖) ⦃x : E₂⦄ (n : ℕ) (eq : ADMM.x₂ E₁ F n = x) :
  (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n) ∈ {x | ∃ n, (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n) = x} := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
fullrank₂ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₂ E₁)
M : ℝ
h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₂ E₁) ∘ e₂) «y» = x} ⊆ ball 0 M
C : ℝ
C_pos : C > 0
h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₂ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖
x : E₂
n : ℕ
eq : ADMM.x₂ E₁ F n = x
⊢ (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n) ∈ {x | ∃ n, (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n) = x}

Tactic:
simp

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_184.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt]
  (fullrank₂ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₂ E₁)) (M : ℝ)
  (h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₂ E₁) ∘ e₂) «y» = x} ⊆ ball 0 M) (C : ℝ) (C_pos : C > 0)
  (h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₂ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖) ⦃x : E₂⦄ (n : ℕ) (eq : ADMM.x₂ E₁ F n = x)
  (this_1 : (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n) ∈ {x | ∃ n, (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n) = x})
  (this : ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ < M) : ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ < M := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
fullrank₂ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₂ E₁)
M : ℝ
h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₂ E₁) ∘ e₂) «y» = x} ⊆ ball 0 M
C : ℝ
C_pos : C > 0
h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₂ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖
x : E₂
n : ℕ
eq : ADMM.x₂ E₁ F n = x
this✝ : (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n) ∈ {x | ∃ n, (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n) = x}
this : ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ < M
⊢ ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ < M

Tactic:
exact this

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_185.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt]
  (fullrank₂ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₂ E₁)) (M : ℝ)
  (h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₂ E₁) ∘ e₂) «y» = x} ⊆ ball 0 M) (C : ℝ) (C_pos : C > 0)
  (h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₂ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖) ⦃x : E₂⦄ (n : ℕ) (eq : ADMM.x₂ E₁ F n = x)
  (A₂e₂_bd : ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ < M) (h_original_goal : x ∈ ball 0 (C * M + ‖admm_kkt.x₂‖)) :
  ADMM.x₂ E₁ F n ∈ ball 0 (C * M + ‖admm_kkt.x₂‖) := sorry

Tactic state before:
case h.intro
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
fullrank₂ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₂ E₁)
M : ℝ
h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₂ E₁) ∘ e₂) «y» = x} ⊆ ball 0 M
C : ℝ
C_pos : C > 0
h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₂ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖
x : E₂
n : ℕ
eq : ADMM.x₂ E₁ F n = x
A₂e₂_bd : ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ < M
⊢ x ∈ ball 0 (C * M + ‖admm_kkt.x₂‖)

Tactic:
rw [← eq]

Tactic state after:
[case h.intro
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 fullrank₂ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₂ E₁)
 M : ℝ
 h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₂ E₁) ∘ e₂) «y» = x} ⊆ ball 0 M
 C : ℝ
 C_pos : C > 0
 h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₂ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖
 x : E₂
 n : ℕ
 eq : ADMM.x₂ E₁ F n = x
 A₂e₂_bd : ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ < M
 ⊢ ADMM.x₂ E₁ F n ∈ ball 0 (C * M + ‖admm_kkt.x₂‖)]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_186.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt]
  (fullrank₂ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₂ E₁)) (M : ℝ)
  (h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₂ E₁) ∘ e₂) «y» = x} ⊆ ball 0 M) (C : ℝ) (C_pos : C > 0)
  (h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₂ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖) ⦃x : E₂⦄ (n : ℕ) (eq : ADMM.x₂ E₁ F n = x)
  (A₂e₂_bd : ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ < M) (h_original_goal : ADMM.x₂ E₁ F n ∈ ball 0 (C * M + ‖admm_kkt.x₂‖)) :
  ‖ADMM.x₂ E₁ F n‖ < C * M + ‖admm_kkt.x₂‖ := sorry

Tactic state before:
case h.intro
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
fullrank₂ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₂ E₁)
M : ℝ
h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₂ E₁) ∘ e₂) «y» = x} ⊆ ball 0 M
C : ℝ
C_pos : C > 0
h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₂ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖
x : E₂
n : ℕ
eq : ADMM.x₂ E₁ F n = x
A₂e₂_bd : ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ < M
⊢ ADMM.x₂ E₁ F n ∈ ball 0 (C * M + ‖admm_kkt.x₂‖)

Tactic:
simp

Tactic state after:
[case h.intro
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 fullrank₂ : Function.Injective ⇑(OptProblem.A₂ E₁)
 M : ℝ
 h₁ : {x | ∃ «y», (⇑(OptProblem.A₂ E₁) ∘ e₂) «y» = x} ⊆ ball 0 M
 C : ℝ
 C_pos : C > 0
 h₂ : ∀ (n : ℕ), ‖e₂ n‖ ≤ C * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖
 x : E₂
 n : ℕ
 eq : ADMM.x₂ E₁ F n = x
 A₂e₂_bd : ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ < M
 ⊢ ‖ADMM.x₂ E₁ F n‖ < C * M + ‖admm_kkt.x₂‖]