import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_344.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt]
  (htau : 1 < ADMM.τ E₁ E₂ F) (n : ℕ+) :
  let x_diff := ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n;
  let r_n := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂;
  let r_n_1 :=
    (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) - OptProblem.b E₁ E₂;
  let e_sum := (OptProblem.A₁ E₂) (e₁ ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n);
  let e_sum_1 := (OptProblem.A₁ E₂) (e₁ (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1));
  let a₁ := 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey ↑n‖ ^ 2;
  let a₂ := 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey (↑n + 1)‖ ^ 2;
  let b₁ := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2;
  let b₂ := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2;
  let c₁ := (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖e_sum‖ ^ 2;
  let c₂ := (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖e_sum_1‖ ^ 2;
  let d₁ := (1 + ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) x_diff‖ ^ 2;
  let d₂ := (1 + 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖r_n_1‖ ^ 2;
  2 * M (n + 1) ≤
      (ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) x_diff‖ ^ 2 +
        (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖r_n‖ ^ 2 →
    1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey ↑n‖ ^ 2 - 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey (↑n + 1)‖ ^ 2 -
                    ((1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖e_sum_1‖ ^ 2 +
                      (1 + 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖r_n_1‖ ^ 2) +
                  (ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) x_diff‖ ^ 2 +
                (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖e_sum‖ ^ 2 -
              ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) x_diff‖ ^ 2 -
            ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2 +
          ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2 ≥
        0 →
      r_n_1 = e_sum_1 →
        r_n = e_sum →
          (2 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖e_sum_1‖ ^ 2 =
              (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖e_sum_1‖ ^ 2 +
                (1 + 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖r_n_1‖ ^ 2 →
            a₁ - a₂ - (c₂ + d₂) +
                          (ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) x_diff‖ ^ 2 +
                        c₁ -
                      ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) x_diff‖ ^ 2 -
                    b₂ +
                  b₁ ≥
                0 →
              a₁ - a₂ - (c₂ + d₂) -
                          (1 + ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) x_diff‖ ^ 2 +
                        c₁ -
                      b₂ +
                    b₁ ≥
                  0 →
                a₁ - a₂ - (c₂ + d₂) - d₁ + c₁ - b₂ + b₁ ≥ 0 →
                  a₁ + b₁ + c₁ - (a₂ + b₂ + c₂) ≥ d₂ + d₁ →
                    1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey ↑n‖ ^ 2 +
                            ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2 +
                          (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
                            ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2 -
                        (1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey (↑n + 1)‖ ^ 2 +
                            ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2 +
                          (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
                            ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2) ≥
                      (1 + 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
                          ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) -
                                OptProblem.b E₁ E₂‖ ^
                            2 +
                        (1 + ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
                          ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)‖ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
htau : 1 < ADMM.τ E₁ E₂ F
n : ℕ+
x_diff : E₂ := ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n
r_n : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
r_n_1 : F :=
  (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) - OptProblem.b E₁ E₂
e_sum : F := (OptProblem.A₁ E₂) (e₁ ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)
e_sum_1 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (e₁ (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))
a₁ : ℝ := 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey ↑n‖ ^ 2
a₂ : ℝ := 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey (↑n + 1)‖ ^ 2
b₁ : ℝ := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2
b₂ : ℝ := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2
c₁ : ℝ := (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖e_sum‖ ^ 2
c₂ : ℝ := (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖e_sum_1‖ ^ 2
d₁ : ℝ := (1 + ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) x_diff‖ ^ 2
d₂ : ℝ := (1 + 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖r_n_1‖ ^ 2
M_inequ :
  2 * M (n + 1) ≤
    (ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) x_diff‖ ^ 2 +
      (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖r_n‖ ^ 2
H :
  1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey ↑n‖ ^ 2 - 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey (↑n + 1)‖ ^ 2 -
                ((1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖e_sum_1‖ ^ 2 +
                  (1 + 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖r_n_1‖ ^ 2) +
              (ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) x_diff‖ ^ 2 +
            (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖e_sum‖ ^ 2 -
          ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) x_diff‖ ^ 2 -
        ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2 +
      ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2 ≥
    0
rw_rn_1 : r_n_1 = e_sum_1
rw_rn : r_n = e_sum
H_split :
  (2 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖e_sum_1‖ ^ 2 =
    (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖e_sum_1‖ ^ 2 +
      (1 + 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖r_n_1‖ ^ 2
H_simp :
  a₁ - a₂ - (c₂ + d₂) + (ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) x_diff‖ ^ 2 + c₁ -
          ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) x_diff‖ ^ 2 -
        b₂ +
      b₁ ≥
    0
H_simp' :
  a₁ - a₂ - (c₂ + d₂) - (1 + ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) x_diff‖ ^ 2 +
          c₁ -
        b₂ +
      b₁ ≥
    0
H_simp'' : a₁ - a₂ - (c₂ + d₂) - d₁ + c₁ - b₂ + b₁ ≥ 0
rel_simp : a₁ + b₁ + c₁ - (a₂ + b₂ + c₂) ≥ d₂ + d₁
⊢ 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey ↑n‖ ^ 2 + ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2 +
        (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2 -
      (1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey (↑n + 1)‖ ^ 2 +
          ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2 +
        (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
          ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2) ≥
    (1 + 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
        ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) - OptProblem.b E₁ E₂‖ ^
          2 +
      (1 + ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
        ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)‖ ^ 2

Tactic:
apply rel_simp

Tactic state after: