zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_315.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} (n : ℕ+) (h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0) (h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F)
  (h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2) :
  let S1 := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n);
  let s1 := √(ADMM.τ E₁ E₂ F);
  s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1‖ ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
n : ℕ+
h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
⊢ s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1‖ ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2

Tactic:
simp only [Real.norm_eq_abs, sq_abs]

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_316.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} (n : ℕ+) (h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0) (h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F)
  (h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2) :
  let S1 := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n);
  let S2 := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂;
  let s1 := √(ADMM.τ E₁ E₂ F);
  s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2 →
    s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 → s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹‖ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
n : ℕ+
h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
⊢ s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2

Tactic:
rw [norm_smul, mul_pow]

Tactic state after:
[E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 n : ℕ+
 h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
 h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
 h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
 S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
 S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
 s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
 h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
 ⊢ s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹‖ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_317.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} (n : ℕ+) (h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0) (h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F)
  (h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2) :
  let S1 := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n);
  let S2 := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂;
  let s1 := √(ADMM.τ E₁ E₂ F);
  s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2 → s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹‖ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
n : ℕ+
h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
⊢ s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹‖ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2

Tactic:
simp only [inv_pow, norm_inv, Real.norm_eq_abs, sq_abs]

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_318.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} (n : ℕ+) (h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0) (h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F)
  (h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2) :
  let S1 := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n);
  let S2 := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂;
  let s1 := √(ADMM.τ E₁ E₂ F);
  s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2 →
    s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 → s1 = √(ADMM.τ E₁ E₂ F) → s1 ≠ 0 → √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ≠ 0 := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
n : ℕ+
h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
h2 : s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
h₃ : s1 = √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
⊢ s1 ≠ 0

Tactic:
rw [h₃]

Tactic state after:
[E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 n : ℕ+
 h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
 h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
 h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
 S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
 S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
 s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
 h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
 h2 : s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
 h₃ : s1 = √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
 ⊢ √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ≠ 0]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_319.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} (n : ℕ+) (h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0) (h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F)
  (h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2) :
  let S1 := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n);
  let S2 := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂;
  let s1 := √(ADMM.τ E₁ E₂ F);
  s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2 →
    s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 → s1 = √(ADMM.τ E₁ E₂ F) → √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ≠ 0 → 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
n : ℕ+
h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
h2 : s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
h₃ : s1 = √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
⊢ √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ≠ 0

Tactic:
apply Real.sqrt_ne_zero'.mpr

Tactic state after:
[E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 n : ℕ+
 h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
 h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
 h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
 S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
 S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
 s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
 h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
 h2 : s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
 h₃ : s1 = √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
 ⊢ 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_320.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} (n : ℕ+) (h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0) (h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F)
  (h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2) :
  let S1 := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n);
  let S2 := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂;
  let s1 := √(ADMM.τ E₁ E₂ F);
  s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2 →
    s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 →
      s1 ≠ 0 → ⟪S1, S2⟫_ℝ = ⟪s1 • S1, s1⁻¹ • S2⟫_ℝ → ⟪S1, S2⟫_ℝ = (starRingEnd ℝ) s1 * (s1⁻¹ * ⟪S1, S2⟫_ℝ) := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
n : ℕ+
h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
h2 : s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
this : s1 ≠ 0
⊢ ⟪S1, S2⟫_ℝ = ⟪s1 • S1, s1⁻¹ • S2⟫_ℝ

Tactic:
rw [inner_smul_left, inner_smul_right]

Tactic state after:
[E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 n : ℕ+
 h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
 h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
 h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
 S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
 S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
 s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
 h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
 h2 : s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
 this : s1 ≠ 0
 ⊢ ⟪S1, S2⟫_ℝ = (starRingEnd ℝ) s1 * (s1⁻¹ * ⟪S1, S2⟫_ℝ)]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_321.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} (n : ℕ+) (h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0) (h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F)
  (h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2) :
  let S1 := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n);
  let S2 := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂;
  let s1 := √(ADMM.τ E₁ E₂ F);
  s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2 →
    s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 →
      s1 ≠ 0 →
        ⟪S1, S2⟫_ℝ = (starRingEnd ℝ) s1 * (s1⁻¹ * ⟪S1, S2⟫_ℝ) →
          ⟪S1, S2⟫_ℝ = (starRingEnd ℝ) s1 * s1⁻¹ * ⟪S1, S2⟫_ℝ := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
n : ℕ+
h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
h2 : s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
this : s1 ≠ 0
⊢ ⟪S1, S2⟫_ℝ = (starRingEnd ℝ) s1 * (s1⁻¹ * ⟪S1, S2⟫_ℝ)

Tactic:
rw [← mul_assoc]

Tactic state after:
[E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 n : ℕ+
 h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
 h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
 h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
 S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
 S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
 s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
 h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
 h2 : s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
 this : s1 ≠ 0
 ⊢ ⟪S1, S2⟫_ℝ = (starRingEnd ℝ) s1 * s1⁻¹ * ⟪S1, S2⟫_ℝ]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_322.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} (n : ℕ+) (h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0) (h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F)
  (h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2) :
  let S1 := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n);
  let S2 := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂;
  let s1 := √(ADMM.τ E₁ E₂ F);
  s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2 →
    s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 →
      s1 ≠ 0 → ⟪S1, S2⟫_ℝ = (starRingEnd ℝ) s1 * s1⁻¹ * ⟪S1, S2⟫_ℝ → ⟪S1, S2⟫_ℝ = s1 * s1⁻¹ * ⟪S1, S2⟫_ℝ := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
n : ℕ+
h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
h2 : s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
this : s1 ≠ 0
⊢ ⟪S1, S2⟫_ℝ = (starRingEnd ℝ) s1 * s1⁻¹ * ⟪S1, S2⟫_ℝ

Tactic:
simp

Tactic state after:
[E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 n : ℕ+
 h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
 h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
 h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
 S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
 S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
 s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
 h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
 h2 : s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
 this : s1 ≠ 0
 ⊢ ⟪S1, S2⟫_ℝ = s1 * s1⁻¹ * ⟪S1, S2⟫_ℝ]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_323.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} (n : ℕ+) (h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0) (h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F)
  (h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2) :
  let S1 := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n);
  let S2 := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂;
  let s1 := √(ADMM.τ E₁ E₂ F);
  s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2 →
    s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 → s1 ≠ 0 → ⟪S1, S2⟫_ℝ = s1 * s1⁻¹ * ⟪S1, S2⟫_ℝ → s1 ≠ 0 := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
n : ℕ+
h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
h2 : s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
this : s1 ≠ 0
⊢ ⟪S1, S2⟫_ℝ = s1 * s1⁻¹ * ⟪S1, S2⟫_ℝ

Tactic:
rw [mul_inv_cancel₀, one_mul]

Tactic state after:
[E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 n : ℕ+
 h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
 h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
 h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
 S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
 S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
 s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
 h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
 h2 : s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
 this : s1 ≠ 0
 ⊢ s1 ≠ 0]