zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_58.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (C : ℝ)
  (bd : ∀ (n : ℕ), Φ n < C) ⦃x : ℝ⦄ (hx : x ∈ range Φ) (h_original_goal : x ∈ ball 0 C) : |x| < C := sorry

Tactic state before:
case h
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
C : ℝ
bd : ∀ (n : ℕ), Φ n < C
x : ℝ
hx : x ∈ range Φ
⊢ x ∈ ball 0 C

Tactic:
simp

Tactic state after:
[case h
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 C : ℝ
 bd : ∀ (n : ℕ), Φ n < C
 x : ℝ
 hx : x ∈ range Φ
 ⊢ |x| < C]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_59.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (C : ℝ)
  (bd : ∀ (n : ℕ), Φ n < C) ⦃x : ℝ⦄ (n : ℕ) (eq : Φ n = x) (h_original_goal : |x| < C) : Φ n < C := sorry

Tactic state before:
case h.intro
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
C : ℝ
bd : ∀ (n : ℕ), Φ n < C
x : ℝ
n : ℕ
eq : Φ n = x
⊢ |x| < C

Tactic:
rw [← eq, abs_eq_self.2]

Tactic state after:
[case h.intro
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 C : ℝ
 bd : ∀ (n : ℕ), Φ n < C
 x : ℝ
 n : ℕ
 eq : Φ n = x
 ⊢ Φ n < C,
 case h.intro
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 C : ℝ
 bd : ∀ (n : ℕ), Φ n < C
 x : ℝ
 n : ℕ
 eq : Φ n = x
 ⊢ 0 ≤ Φ n]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_60.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (C : ℝ)
  (bd : ∀ (n : ℕ), Φ n < C) ⦃x : ℝ⦄ (n : ℕ) (eq : Φ n = x) (h_original_goal : |x| < C) : 0 ≤ Φ n := sorry

Tactic state before:
case h.intro
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
C : ℝ
bd : ∀ (n : ℕ), Φ n < C
x : ℝ
n : ℕ
eq : Φ n = x
⊢ |x| < C

Tactic:
rw [← eq, abs_eq_self.2]

Tactic state after:
[case h.intro
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 C : ℝ
 bd : ∀ (n : ℕ), Φ n < C
 x : ℝ
 n : ℕ
 eq : Φ n = x
 ⊢ Φ n < C,
 case h.intro
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 C : ℝ
 bd : ∀ (n : ℕ), Φ n < C
 x : ℝ
 n : ℕ
 eq : Φ n = x
 ⊢ 0 ≤ Φ n]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_61.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (C : ℝ)
  (bd : ∀ (n : ℕ), Φ n < C) ⦃x : ℝ⦄ (n : ℕ) (eq : Φ n = x) : 0 ≤ Φ n := sorry

Tactic state before:
case h.intro
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
C : ℝ
bd : ∀ (n : ℕ), Φ n < C
x : ℝ
n : ℕ
eq : Φ n = x
⊢ 0 ≤ Φ n

Tactic:
apply Φ_is_nonneg

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_62.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (r : ℝ)
  (Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r) ⦃x : F⦄ (hx : x ∈ range ey)
  (h_original_goal : x ∈ ball 0 √(ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * r)) :
  ‖x‖ < √(ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * r) := sorry

Tactic state before:
case h
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
r : ℝ
Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r
x : F
hx : x ∈ range ey
⊢ x ∈ ball 0 √(ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * r)

Tactic:
simp

Tactic state after:
[case h
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 r : ℝ
 Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r
 x : F
 hx : x ∈ range ey
 ⊢ ‖x‖ < √(ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * r)]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_63.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (r : ℝ)
  (Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r) ⦃x : F⦄ (n : ℕ) (eq : ey n = x)
  (h_original_goal : ‖x‖ < √(ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * r)) :
  ‖ey n‖ < √(ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * r) := sorry

Tactic state before:
case h.intro
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
r : ℝ
Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r
x : F
n : ℕ
eq : ey n = x
⊢ ‖x‖ < √(ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * r)

Tactic:
rw [← eq]

Tactic state after:
[case h.intro
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 r : ℝ
 Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r
 x : F
 n : ℕ
 eq : ey n = x
 ⊢ ‖ey n‖ < √(ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * r)]
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_64.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (r : ℝ)
  (Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r) ⦃x : F⦄ (n : ℕ) (eq : ey n = x) (h₁ : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F)
  (right : ADMM.τ E₁ E₂ F < (1 + √5) / 2) : ADMM.τ E₁ E₂ F > 0 := sorry

Tactic state before:
case intro
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
r : ℝ
Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r
x : F
n : ℕ
eq : ey n = x
h₁ : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F
right✝ : ADMM.τ E₁ E₂ F < (1 + √5) / 2
⊢ ADMM.τ E₁ E₂ F > 0

Tactic:
exact h₁

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_65.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (r : ℝ)
  (Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r) ⦃x : F⦄ (n : ℕ) (eq : ey n = x) (hτ : ADMM.τ E₁ E₂ F > 0) :
  ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0 := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
r : ℝ
Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r
x : F
n : ℕ
eq : ey n = x
hτ : ADMM.τ E₁ E₂ F > 0
⊢ ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0

Tactic:
exact admm.hrho

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_66.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (r : ℝ)
  (Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r) ⦃x : F⦄ (n : ℕ) (eq : ey n = x) (hτ : ADMM.τ E₁ E₂ F > 0)
  (hρ : ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0) : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0 := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
r : ℝ
Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r
x : F
n : ℕ
eq : ey n = x
hτ : ADMM.τ E₁ E₂ F > 0
hρ : ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0
⊢ ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0

Tactic:
apply mul_pos hτ hρ

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_67.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (r : ℝ)
  (Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r) ⦃x : F⦄ (n : ℕ) (eq : ey n = x) (hτ : ADMM.τ E₁ E₂ F > 0) (hρ : ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0)
  (τ_mul_ρ' : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0) : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F ≥ 0 := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
r : ℝ
Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r
x : F
n : ℕ
eq : ey n = x
hτ : ADMM.τ E₁ E₂ F > 0
hρ : ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0
τ_mul_ρ' : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0
⊢ ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F ≥ 0

Tactic:
apply le_of_lt (mul_pos hτ hρ)

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_72.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (r : ℝ)
  (Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r) ⦃x : F⦄ (n : ℕ) (eq : ey n = x) (hτ : ADMM.τ E₁ E₂ F > 0) (hρ : ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0)
  (τ_mul_ρ' : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0) (τ_mul_ρ : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F ≥ 0) :
  ADMM.ρ E₁ E₂ F ≠ 0 := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
r : ℝ
Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r
x : F
n✝ : ℕ
eq : ey n✝ = x
hτ : ADMM.τ E₁ E₂ F > 0
hρ : ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0
τ_mul_ρ' : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0
τ_mul_ρ : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F ≥ 0
n : ℕ
⊢ ADMM.ρ E₁ E₂ F ≠ 0

Tactic:
apply ne_of_gt hρ

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_93.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (n : ℕ) :
  ‖1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey n‖ ^ 2 + ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
        ((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
          ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2‖ =
    ‖1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey n‖ ^ 2 + ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
        ((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
          ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2‖ := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
⊢ ∀ (n : ℕ),
    ‖1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey n‖ ^ 2 + ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
          ((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
            ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2‖ =
      ‖1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey n‖ ^ 2 + ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
          ((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
            ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2‖

Tactic:
simp

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_94.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
⊢ 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F

Tactic:
apply ADMM.htau.1

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_95.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} : 0 < ADMM.ρ E₁ E₂ F := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
⊢ 0 < ADMM.ρ E₁ E₂ F

Tactic:
exact ADMM.hrho

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter Bornology Metric Real

theorem extracted_formal_statement_96.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
⊢ 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F

Tactic:
exact mul_pos tau_pos rho_pos

Tactic state after: