zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set Real

open Set Real PNat

theorem extracted_formal_statement_3.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {x0 : E} {f h : E → ℝ} {f' : E → E} {alg : Nesterov_second f h f' x0} {xm : E}
  (minφ : IsMinOn (f + h) univ xm) :
  let φ := fun z => f z + h z;
  (∀ (z : E), φ z = f z + h z) →
    ∀ (k : ℕ+),
      prox_prop ((Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k / Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k) • h)
          (Nesterov_second.y f h f' x0 (↑k - 1) -
            (Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k / Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k) • f' (Nesterov_second.z f h f' x0 k))
          (Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k) →
        ConvexOn ℝ univ ((Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k / Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k) • h) := sorry

Tactic state before:
case hfun
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
x0 : E
f h : E → ℝ
f' : E → E
alg : Nesterov_second f h f' x0
xm : E
minφ : IsMinOn (f + h) univ xm
φ : E → ℝ := fun z => f z + h z
φdef : ∀ (z : E), φ z = f z + h z
k : ℕ+
h1 :
  prox_prop ((Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k / Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k) • h)
    (Nesterov_second.y f h f' x0 (↑k - 1) -
      (Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k / Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k) • f' (Nesterov_second.z f h f' x0 k))
    (Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k)
⊢ ConvexOn ℝ univ ((Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k / Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k) • h)

Tactic:
apply ConvexOn.smul
    apply div_nonneg
    linarith [(alg.tbound k).1]
    linarith [(alg.γbound k).1]
    exact alg.convh

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Real

open Set Real PNat

theorem extracted_formal_statement_18.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f h : E → ℝ} {f' : E → E} {x0 : E} [p : Nesterov_second_fix_stepsize f h f' x0] (n : ℕ+) :
  (1 + (↑↑n + 1) - 2) * (1 + (↑↑n + 1)) ^ 2 / ((1 + (↑↑n + 1)) * ↑(Nesterov_second_fix_stepsize.l f h f' x0) * 2 ^ 2) ≤
    (1 + ↑↑n) ^ 2 / (↑(Nesterov_second_fix_stepsize.l f h f' x0) * 2 ^ 2) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ h✝ : E → ℝ
f'✝ : E → E
x0✝ : E
f h : E → ℝ
f' : E → E
x0 : E
p : Nesterov_second_fix_stepsize f h f' x0
n : ℕ+
⊢ (1 + (↑↑n + 1) - 2) * (1 + (↑↑n + 1)) ^ 2 / ((1 + (↑↑n + 1)) * ↑(Nesterov_second_fix_stepsize.l f h f' x0) * 2 ^ 2) ≤
    (1 + ↑↑n) ^ 2 / (↑(Nesterov_second_fix_stepsize.l f h f' x0) * 2 ^ 2)

Tactic:
rw [← div_div, ← div_div, ← div_div]
    repeat apply div_le_div_of_nonneg_right _ (by positivity)
    rw [pow_two, ← mul_assoc, mul_div_assoc, div_self, mul_one]
    ·
  calc
    _ = n ^ 2 + (2 : ℝ) * n := by ring_nf
    _ ≤ 1 + (2 : ℝ) * n + n ^ 2 := by linarith
    _ = (1 + n) ^ 2 := by rw [add_pow_two]; simp
    · linarith

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Real

open Set Real PNat

theorem extracted_formal_statement_19.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f h : E → ℝ} {f' : E → E} {x0 : E} {alg : Nesterov_second_fix_stepsize f h f' x0} {xm : E}
  (minφ : IsMinOn (f + h) univ xm) (k : ℕ)
  (h_original_goal :
    Nesterov_second_fix_stepsize.γ f h f' x0 (k + 1) ^ 2 / (2 * Nesterov_second_fix_stepsize.t f h f' x0 (k + 1)) *
        ‖x0 - xm‖ ^ 2 ≤
      2 * ↑(Nesterov_second_fix_stepsize.l f h f' x0) / (↑k + 2) ^ 2 * ‖x0 - xm‖ ^ 2) :
  2 * 2 * ↑(Nesterov_second_fix_stepsize.l f h f' x0) / (↑k + 2) ^ 2 / 2 ≤
    2 * ↑(Nesterov_second_fix_stepsize.l f h f' x0) / (↑k + 2) ^ 2 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f h : E → ℝ
f' : E → E
x0 : E
alg : Nesterov_second_fix_stepsize f h f' x0
xm : E
minφ : IsMinOn (f + h) univ xm
k : ℕ
⊢ Nesterov_second_fix_stepsize.γ f h f' x0 (k + 1) ^ 2 / (2 * Nesterov_second_fix_stepsize.t f h f' x0 (k + 1)) *
      ‖x0 - xm‖ ^ 2 ≤
    2 * ↑(Nesterov_second_fix_stepsize.l f h f' x0) / (↑k + 2) ^ 2 * ‖x0 - xm‖ ^ 2

Tactic:
apply mul_le_mul_of_nonneg_right _ (sq_nonneg _)
    rw [alg.γeq (k + 1), alg.teq (k + 1)]
    field_simp
    rw [pow_two, add_comm]
    rw [add_assoc, one_add_one_eq_two, ← div_div]

Tactic state after:
[E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f h : E → ℝ
 f' : E → E
 x0 : E
 alg : Nesterov_second_fix_stepsize f h f' x0
 xm : E
 minφ : IsMinOn (f + h) univ xm
 k : ℕ
 ⊢ 2 * 2 * ↑(Nesterov_second_fix_stepsize.l f h f' x0) / (↑k + 2) ^ 2 / 2 ≤
     2 * ↑(Nesterov_second_fix_stepsize.l f h f' x0) / (↑k + 2) ^ 2]
import Mathlib
import Optlib


open Set

theorem extracted_formal_statement_0.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {m : ℝ} {f' : E → E} {x_1 y : E} {l : NNReal} (mp : m > 0)
  (hf : ∀ (x : E), HasGradientAt f (f' x) x) (h₂ : LipschitzWith l f') (hl : ↑l > 0) (cov : Convex ℝ univ)
  (hsc :
    ∀ ⦃x : E⦄,
      x ∈ univ →
        ∀ ⦃y : E⦄,
          y ∈ univ →
            ∀ ⦃a b : ℝ⦄,
              0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y - a * b * (m / 2 * ‖x - y‖ ^ 2)) :
  let phi := fun x => ↑l / 2 * ‖x‖ ^ 2 - f x;
  ConvexOn ℝ univ phi →
    let g := fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2;
    let g' := fun x => f' x - m • x;
    ∀ (x : E), HasGradientAt g (g' x) x := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
m : ℝ
f' : E → E
x✝ y : E
l : NNReal
mp : m > 0
hf : ∀ (x : E), HasGradientAt f (f' x) x
h₂ : LipschitzWith l f'
hl : ↑l > 0
cov : Convex ℝ univ
hsc :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ univ →
      ∀ ⦃y : E⦄,
        y ∈ univ →
          ∀ ⦃a b : ℝ⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y - a * b * (m / 2 * ‖x - y‖ ^ 2)
phi : E → ℝ := fun x => ↑l / 2 * ‖x‖ ^ 2 - f x
convphi : ConvexOn ℝ univ phi
g : E → ℝ := fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2
g' : E → E := fun x => f' x - m • x
h : E → ℝ := fun x => (↑l - m) / 2 * ‖x‖ ^ 2 - g x
x : E
⊢ HasGradientAt g (g' x) x

Tactic:
apply sub_normsquare_gradient
    show ∀ x ∈ univ, HasGradientAt f (f' x) x
    simp
    apply hf
    simp

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set

theorem extracted_formal_statement_1.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {m : ℝ} {f' : E → E} {x y : E} {l : NNReal} (mp : m > 0)
  (hf : ∀ (x : E), HasGradientAt f (f' x) x) (h₂ : LipschitzWith l f') (hl : ↑l > 0) (cov : Convex ℝ univ)
  (hsc :
    ∀ ⦃x : E⦄,
      x ∈ univ →
        ∀ ⦃y : E⦄,
          y ∈ univ →
            ∀ ⦃a b : ℝ⦄,
              0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y - a * b * (m / 2 * ‖x - y‖ ^ 2)) :
  let phi := fun x => ↑l / 2 * ‖x‖ ^ 2 - f x;
  ConvexOn ℝ univ phi →
    let g := fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2;
    let g' := fun x => f' x - m • x;
    let h := fun x => (↑l - m) / 2 * ‖x‖ ^ 2 - g x;
    (∀ (x : E), HasGradientAt g (g' x) x) →
      ConvexOn ℝ univ g →
        ConvexOn ℝ univ h → 0 < ↑l - m → inner (g' x - g' y) (x - y) ≥ 1 / (↑l - m) * ‖g' x - g' y‖ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
m : ℝ
f' : E → E
x y : E
l : NNReal
mp : m > 0
hf : ∀ (x : E), HasGradientAt f (f' x) x
h₂ : LipschitzWith l f'
hl : ↑l > 0
cov : Convex ℝ univ
hsc :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ univ →
      ∀ ⦃y : E⦄,
        y ∈ univ →
          ∀ ⦃a b : ℝ⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y - a * b * (m / 2 * ‖x - y‖ ^ 2)
phi : E → ℝ := fun x => ↑l / 2 * ‖x‖ ^ 2 - f x
convphi : ConvexOn ℝ univ phi
g : E → ℝ := fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2
g' : E → E := fun x => f' x - m • x
h : E → ℝ := fun x => (↑l - m) / 2 * ‖x‖ ^ 2 - g x
gderiv : ∀ (x : E), HasGradientAt g (g' x) x
convg : ConvexOn ℝ univ g
convh : ConvexOn ℝ univ h
coef : 0 < ↑l - m
⊢ inner (g' x - g' y) (x - y) ≥ 1 / (↑l - m) * ‖g' x - g' y‖ ^ 2

Tactic:
apply convex_to_lower gderiv
    show ConvexOn ℝ univ h
    apply convh
    apply coef
    apply convg

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set

theorem extracted_formal_statement_2.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {m : ℝ} {f' : E → E} {x y : E} {l : NNReal} (mp : m > 0)
  (hf : ∀ (x : E), HasGradientAt f (f' x) x) (h₂ : LipschitzWith l f') (hl : ↑l > 0) (cov : Convex ℝ univ)
  (hsc :
    ∀ ⦃x : E⦄,
      x ∈ univ →
        ∀ ⦃y : E⦄,
          y ∈ univ →
            ∀ ⦃a b : ℝ⦄,
              0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y - a * b * (m / 2 * ‖x - y‖ ^ 2)) :
  let phi := fun x => ↑l / 2 * ‖x‖ ^ 2 - f x;
  ConvexOn ℝ univ phi →
    let g := fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2;
    let g' := fun x => f' x - m • x;
    let h := fun x => (↑l - m) / 2 * ‖x‖ ^ 2 - g x;
    (∀ (x : E), HasGradientAt g (g' x) x) →
      ConvexOn ℝ univ g →
        ConvexOn ℝ univ h →
          0 < ↑l - m →
            inner (g' x - g' y) (x - y) ≥ 1 / (↑l - m) * ‖g' x - g' y‖ ^ 2 →
              let alpha := f' x - f' y;
              let beta := x - y;
              g' x - g' y = alpha - m • beta := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
m : ℝ
f' : E → E
x y : E
l : NNReal
mp : m > 0
hf : ∀ (x : E), HasGradientAt f (f' x) x
h₂ : LipschitzWith l f'
hl : ↑l > 0
cov : Convex ℝ univ
hsc :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ univ →
      ∀ ⦃y : E⦄,
        y ∈ univ →
          ∀ ⦃a b : ℝ⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y - a * b * (m / 2 * ‖x - y‖ ^ 2)
phi : E → ℝ := fun x => ↑l / 2 * ‖x‖ ^ 2 - f x
convphi : ConvexOn ℝ univ phi
g : E → ℝ := fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2
g' : E → E := fun x => f' x - m • x
h : E → ℝ := fun x => (↑l - m) / 2 * ‖x‖ ^ 2 - g x
gderiv : ∀ (x : E), HasGradientAt g (g' x) x
convg : ConvexOn ℝ univ g
convh : ConvexOn ℝ univ h
coef : 0 < ↑l - m
eq1 : inner (g' x - g' y) (x - y) ≥ 1 / (↑l - m) * ‖g' x - g' y‖ ^ 2
alpha : E := f' x - f' y
beta : E := x - y
⊢ g' x - g' y = alpha - m • beta

Tactic:
simp [g']
    rw [smul_sub]
    rw [← sub_add, ← sub_add]
    simp
    rw [sub_right_comm]

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_0.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {l : NNReal} {a : ℝ} (h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁)
  (h₂ : ↑l > 0) (ha₁ : ↑l ≤ 1 / a) (ha₂ : a > 0) (h₃ : LipschitzWith l f') (x : E)
  (h_original_goal :
    f x + ⟪f' x, x - a • f' x - x⟫_ℝ + ↑l / 2 * ‖x - a • f' x - x‖ ^ 2 = f x + (↑l / 2 * a * a - a) * ‖f' x‖ ^ 2) :
  f x - a * ‖f' x‖ ^ 2 + ↑l * (|a| * ‖f' x‖) ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
l : NNReal
a : ℝ
h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
h₂ : ↑l > 0
ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
ha₂ : a > 0
h₃ : LipschitzWith l f'
x : E
⊢ f x + ⟪f' x, x - a • f' x - x⟫_ℝ + ↑l / 2 * ‖x - a • f' x - x‖ ^ 2 = f x + (↑l / 2 * a * a - a) * ‖f' x‖ ^ 2

Tactic:
simp
    ring_nf
    simp
    rw [real_inner_smul_right, real_inner_self_eq_norm_sq, norm_smul]
    simp

Tactic state after:
[E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 l : NNReal
 a : ℝ
 h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
 h₂ : ↑l > 0
 ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
 ha₂ : a > 0
 h₃ : LipschitzWith l f'
 x : E
 ⊢ f x - a * ‖f' x‖ ^ 2 + ↑l * (|a| * ‖f' x‖) ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2)]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_0.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y))
  (l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)) (k_1 : ℕ)
  (hHf :
    H (alg.x (k_1 + 1), alg.y k_1) + f (alg.x (k_1 + 1)) ≤
      H (alg.x k_1, alg.y k_1) + f (alg.x k_1) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k_1 + 1) - alg.x k_1‖ ^ 2)
  (hHg :
    H (alg.x (k_1 + 1), alg.y (k_1 + 1)) + g (alg.y (k_1 + 1)) ≤
      H (alg.x (k_1 + 1), alg.y k_1) + g (alg.y k_1) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.y (k_1 + 1) - alg.y k_1‖ ^ 2)
  (k : ℕ) : ψ (z k) = H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) + g (alg.y k) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
k✝ : ℕ
hHf :
  H (alg.x (k✝ + 1), alg.y k✝) + f (alg.x (k✝ + 1)) ≤
    H (alg.x k✝, alg.y k✝) + f (alg.x k✝) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k✝ + 1) - alg.x k✝‖ ^ 2
hHg :
  H (alg.x (k✝ + 1), alg.y (k✝ + 1)) + g (alg.y (k✝ + 1)) ≤
    H (alg.x (k✝ + 1), alg.y k✝) + g (alg.y k✝) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.y (k✝ + 1) - alg.y k✝‖ ^ 2
k : ℕ
⊢ ψ (z k) = H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) + g (alg.y k)

Tactic:
rw [BCD.ψ]
    nth_rw 2 [add_assoc]
    nth_rw 1 [add_comm]
    apply add_right_cancel_iff.2
    rfl

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_1.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) :
  let ρ₁ := (γ - 1) * ↑l;
  (∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)) →
    (∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)) →
      ∀ (k : ℕ),
        H (alg.x (k + 1), alg.y k) + f (alg.x (k + 1)) ≤
            H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2 →
          H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) + g (alg.y (k + 1)) ≤
              H (alg.x (k + 1), alg.y k) + g (alg.y k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.y (k + 1) - alg.y k‖ ^ 2 →
            (∀ (k : ℕ), ψ (z k) = H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) + g (alg.y k)) →
              1 / 2 * ρ₁ * (‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2 + ‖alg.y (k + 1) - alg.y k‖ ^ 2) =
                (γ - 1) * ↑l / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
k : ℕ
hHf :
  H (alg.x (k + 1), alg.y k) + f (alg.x (k + 1)) ≤
    H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2
hHg :
  H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) + g (alg.y (k + 1)) ≤
    H (alg.x (k + 1), alg.y k) + g (alg.y k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.y (k + 1) - alg.y k‖ ^ 2
eq : ∀ (k : ℕ), ψ (z k) = H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) + g (alg.y k)
⊢ 1 / 2 * ρ₁ * (‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2 + ‖alg.y (k + 1) - alg.y k‖ ^ 2) =
    (γ - 1) * ↑l / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2

Tactic:
simp only [WithLp.prod_norm_sq_eq_of_L2]
    rw [Prod.fst_sub, Prod.snd_sub, BCD.z, BCD.z]
    unfold ρ₁
    ring_nf
    field_simp

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_2.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (A : ℝ)
  (hA : Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2) atTop (𝓝 A))
  (h_original_goal : Tendsto (fun k => ‖z (k + 1) - z k‖) atTop (𝓝 0)) :
  ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖z (n + 1) - z n‖ < ε := sorry

Tactic state before:
case intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
A : ℝ
hA : Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2) atTop (𝓝 A)
⊢ Tendsto (fun k => ‖z (k + 1) - z k‖) atTop (𝓝 0)

Tactic:
rw [Metric.tendsto_atTop] at hA
    simp [dist_eq_norm] at hA
    rw [Metric.tendsto_atTop]
    simp [dist_zero_right]
    have SqConver : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖alg.z (n + 1) - alg.z n‖ ^ 2 < ε :=
  by
  intro ε εge0
  specialize hA (ε / 2)
  rcases(hA (by linarith [εge0])) with ⟨N, hNεhalf⟩
  use N; intro n ngeN
  have eq' :
    ‖alg.z (n + 1) - alg.z n‖ ^ 2 =
      (∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖alg.z (k + 1) - alg.z k‖ ^ 2 - A) -
        (∑ k ∈ Finset.range n, ‖alg.z (k + 1) - alg.z k‖ ^ 2 - A) :=
    by rw [sub_sub_sub_comm]; simp; rw [Finset.sum_range_succ_sub_sum]
  obtain hNεhalf' := hNεhalf (n + 1) (by linarith [ngeN])
  have hNεhalf1 : ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖alg.z (k + 1) - alg.z k‖ ^ 2 - A < ε / 2 := by rw [abs_lt] at hNεhalf';
    exact hNεhalf'.right
  have hNεhalf2 : ∑ k ∈ Finset.range n, ‖alg.z (k + 1) - alg.z k‖ ^ 2 - A > -(ε / 2) :=
    by
    specialize hNεhalf n ngeN
    rw [abs_lt] at hNεhalf; exact hNεhalf.left
  rw [eq']; linarith [hNεhalf1, hNεhalf1]

Tactic state after:
[case intro
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 A : ℝ
 hA : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε
 SqConver : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 < ε
 ⊢ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖z (n + 1) - z n‖ < ε]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_3.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (h_original_goal : ‖subdiff k‖ ≤ ↑l * (2 * γ + 2) * ‖z (k + 1) - z k‖) :
  ‖(subdiff k).1‖ + ‖(subdiff k).2‖ ≤ ↑l * (2 * γ + 2) * ‖z (k + 1) - z k‖ := sorry

Tactic state before:
case h.right
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
⊢ ‖subdiff k‖ ≤ ↑l * (2 * γ + 2) * ‖z (k + 1) - z k‖

Tactic:
apply le_trans (prod_norm_le_block_sum_L2 (alg.subdiff k))
    obtain lip := alg.lip
    rw [lipschitzWith_iff_norm_sub_le] at lip
    have cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0 := by simp; apply le_of_lt (alg.cpos γ hγ ck k)
    have dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0 := by simp; apply le_of_lt (alg.dpos γ hγ dk k)

Tactic state after:
[case h.right
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 k : ℕ
 lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
 cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
 dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
 ⊢ ‖(subdiff k).1‖ + ‖(subdiff k).2‖ ≤ ↑l * (2 * γ + 2) * ‖z (k + 1) - z k‖]