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open MeasureTheory ProbabilityTheory BigOperators ENNReal Real Set Filter Asymptotics

theorem extracted_formal_statement_6.{u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] (μ : Measure Ω)
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {n : ℕ} {X : Fin n → Ω → ℝ} (hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i))
  (hXi : iIndepFun X μ) (hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1)
  (hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0) (σ : ℝ) (hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ)
  (ε τ : ℝ) (hτ : τ ≥ 0)
  (h_chernoff :
    Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
      (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ)
  (h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ)
  (h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t)
  (chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ)
  (h_exp_taylor : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, rexp (τ * X i ω) ≤ 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ))
  (i : Fin n) (h_single_integ1 : Integrable (fun ω => rexp (τ * X i ω)) μ)
  (h_single_integ2 : Integrable (fun ω => 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ)
  (h_exp_int : ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ)
  (h_tmp : ∫ (ω : Ω), τ * X i ω ∂μ = τ * ∫ (ω : Ω), X i ω ∂μ)
  (h_int_decomp :
    ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ =
      ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ)
  (hmu : ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ = 1)
  (h_original_goal : ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ ≤ rexp (σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ))) :
  1 + σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ≤ rexp (σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
n : ℕ
X : Fin n → Ω → ℝ
hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i)
hXi : iIndepFun X μ
hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1
hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0
σ : ℝ
hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ
ε τ : ℝ
hτ : τ ≥ 0
h_chernoff :
  Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
    (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ
h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ
h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t
chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ
h_exp_taylor : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, rexp (τ * X i ω) ≤ 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)
i : Fin n
h_single_integ1 : Integrable (fun ω => rexp (τ * X i ω)) μ
h_single_integ2 : Integrable (fun ω => 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ
h_exp_int : ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ
h_tmp : ∫ (ω : Ω), τ * X i ω ∂μ = τ * ∫ (ω : Ω), X i ω ∂μ
h_int_decomp :
  ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ =
    ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ
hmu : ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ = 1
⊢ ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ ≤ rexp (σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ))

Tactic:
rw [hmu, integral_mul_right, add_comm]
    have hmu2 : (∫ (a : Ω), X i a ^ 2 ∂μ) * (rexp τ - 1 - τ) = σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) :=
  by
  by_cases h : rexp τ - 1 - τ = 0
  · rw [h]
    simp [mul_zero]
  · suffices (∫ (a : Ω), X i a ^ 2 ∂μ) = σ ^ 2 by simp [h]; exact this
    have this := (hσ i)
    simp [this]
    rw [hmu2]
    suffices 1 + σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ≤ rexp (σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) by linarith
    have this := add_one_le_exp (σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ))

Tactic state after:
[Ω : Type u_1
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 n : ℕ
 X : Fin n → Ω → ℝ
 hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i)
 hXi : iIndepFun X μ
 hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1
 hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0
 σ : ℝ
 hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ
 ε τ : ℝ
 hτ : τ ≥ 0
 h_chernoff :
   Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
     (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ
 h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ
 h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t
 chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ
 h_exp_taylor : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, rexp (τ * X i ω) ≤ 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)
 i : Fin n
 h_single_integ1 : Integrable (fun ω => rexp (τ * X i ω)) μ
 h_single_integ2 : Integrable (fun ω => 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ
 h_exp_int : ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ
 h_tmp : ∫ (ω : Ω), τ * X i ω ∂μ = τ * ∫ (ω : Ω), X i ω ∂μ
 h_int_decomp :
   ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ =
     ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ
 hmu : ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ = 1
 hmu2 : (∫ (a : Ω), X i a ^ 2 ∂μ) * (rexp τ - 1 - τ) = σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)
 this : σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) + 1 ≤ rexp (σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ))
 ⊢ 1 + σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ≤ rexp (σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ))]