import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_18.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt]
  (htau : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F ∧ ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1) (n : ℕ+)
  (h_original_goal :
    1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey ↑n‖ ^ 2 + ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2 +
          (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2 -
        (1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey (↑n + 1)‖ ^ 2 +
            ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2 +
          (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
            ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2) ≥
      ADMM.ρ E₁ E₂ F *
          ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) -
                OptProblem.b E₁ E₂‖ ^
            2 +
        ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)‖ ^ 2) :
  0 ≤
    1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey ↑n‖ ^ 2 + ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2 +
          (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2 -
        (1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey (↑n + 1)‖ ^ 2 +
            ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2 +
          (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
            ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2) -
      (ADMM.ρ E₁ E₂ F *
          ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) -
                OptProblem.b E₁ E₂‖ ^
            2 +
        ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)‖ ^ 2) := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
htau : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F ∧ ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1
n : ℕ+
e_y_n : ℝ := 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey ↑n‖ ^ 2
e_y_n1 : ℝ := 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey (↑n + 1)‖ ^ 2
A2_e2_n : ℝ := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2
A2_e2_n1 : ℝ := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2
Ae_Ae_n : ℝ := (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2
Ae_Ae_n1 : ℝ :=
  (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2
Ax_Ax_n1 : ℝ :=
  ADMM.ρ E₁ E₂ F *
    ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) - OptProblem.b E₁ E₂‖ ^ 2
t_Ax_Ax_n1 : ℝ :=
  (2 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
    ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) - OptProblem.b E₁ E₂‖ ^ 2
tt_Ax_Ax_n : ℝ :=
  (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
    ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂‖ ^ 2
A_diff_x : ℝ := ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)‖ ^ 2
A_diff_x' : ℝ := ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n - ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1))‖ ^ 2
t_A_diff_x : ℝ := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n - ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1))‖ ^ 2
t_A_diff_x' : ℝ := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)‖ ^ 2
tt_A_diff_x' : ℝ :=
  (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n - ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1))‖ ^ 2
ey_diff : ℝ := 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * (‖ey ↑n‖ ^ 2 - ‖ey (↑n + 1)‖ ^ 2)
cond : 0 ≤ e_y_n + A2_e2_n - e_y_n1 - A2_e2_n1 - Ae_Ae_n1 + Ae_Ae_n - Ax_Ax_n1 + t_A_diff_x - A_diff_x' - t_A_diff_x'
⊢ 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey ↑n‖ ^ 2 + ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2 +
        (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2 -
      (1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey (↑n + 1)‖ ^ 2 +
          ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2 +
        (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
          ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2) ≥
    ADMM.ρ E₁ E₂ F *
        ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) - OptProblem.b E₁ E₂‖ ^
          2 +
      ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)‖ ^ 2

Tactic:
apply ge_iff_le.mpr
    apply le_of_sub_nonneg
    let left_sub_right := e_y_n + A2_e2_n + Ae_Ae_n - (e_y_n1 + A2_e2_n1 + Ae_Ae_n1) - (Ax_Ax_n1 + A_diff_x)
    have norm_abs : ‖A₂ (x₂ n - x₂ (n + 1))‖ ^ 2 = ‖A₂ (x₂ (n + 1) - x₂ (n))‖ ^ 2 := by
  rw [norm_comm A₂ (x₂ n) (x₂ (n + 1))]
    have equation := by
  calc
    left_sub_right
    _ = e_y_n + A2_e2_n + Ae_Ae_n - e_y_n1 - A2_e2_n1 - Ae_Ae_n1 - (Ax_Ax_n1 + A_diff_x) := by ring
    _ = e_y_n + A2_e2_n - e_y_n1 - A2_e2_n1 - Ae_Ae_n1 + Ae_Ae_n - Ax_Ax_n1 + t_A_diff_x - A_diff_x - t_A_diff_x := by
      ring
    _ = e_y_n + A2_e2_n - e_y_n1 - A2_e2_n1 - Ae_Ae_n1 + Ae_Ae_n - Ax_Ax_n1 + t_A_diff_x - A_diff_x' - t_A_diff_x := by
      dsimp [A_diff_x, A_diff_x']; rw [norm_abs]
    _ = e_y_n + A2_e2_n - e_y_n1 - A2_e2_n1 + (-Ae_Ae_n1 + Ae_Ae_n - Ax_Ax_n1 + t_A_diff_x - A_diff_x' - t_A_diff_x) :=
      by ring
    _ = e_y_n + A2_e2_n - e_y_n1 - A2_e2_n1 - Ae_Ae_n1 + Ae_Ae_n - Ax_Ax_n1 + t_A_diff_x - A_diff_x' - t_A_diff_x' :=
      by
      dsimp [t_A_diff_x, t_A_diff_x']
      rw [norm_abs]
      ring

Tactic state after:
[case a
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 htau : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F ∧ ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1
 n : ℕ+
 e_y_n : ℝ := 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey ↑n‖ ^ 2
 e_y_n1 : ℝ := 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey (↑n + 1)‖ ^ 2
 A2_e2_n : ℝ := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2
 A2_e2_n1 : ℝ := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2
 Ae_Ae_n : ℝ := (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2
 Ae_Ae_n1 : ℝ :=
   (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2
 Ax_Ax_n1 : ℝ :=
   ADMM.ρ E₁ E₂ F *
     ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) - OptProblem.b E₁ E₂‖ ^ 2
 t_Ax_Ax_n1 : ℝ :=
   (2 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
     ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) - OptProblem.b E₁ E₂‖ ^ 2
 tt_Ax_Ax_n : ℝ :=
   (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
     ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂‖ ^ 2
 A_diff_x : ℝ := ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)‖ ^ 2
 A_diff_x' : ℝ := ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n - ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1))‖ ^ 2
 t_A_diff_x : ℝ := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n - ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1))‖ ^ 2
 t_A_diff_x' : ℝ := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)‖ ^ 2
 tt_A_diff_x' : ℝ :=
   (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n - ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1))‖ ^ 2
 ey_diff : ℝ := 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * (‖ey ↑n‖ ^ 2 - ‖ey (↑n + 1)‖ ^ 2)
 cond : 0 ≤ e_y_n + A2_e2_n - e_y_n1 - A2_e2_n1 - Ae_Ae_n1 + Ae_Ae_n - Ax_Ax_n1 + t_A_diff_x - A_diff_x' - t_A_diff_x'
 left_sub_right : ℝ := e_y_n + A2_e2_n + Ae_Ae_n - (e_y_n1 + A2_e2_n1 + Ae_Ae_n1) - (Ax_Ax_n1 + A_diff_x)
 norm_abs :
   ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n - ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1))‖ ^ 2 =
     ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)‖ ^ 2
 equation :
   left_sub_right =
     e_y_n + A2_e2_n - e_y_n1 - A2_e2_n1 - Ae_Ae_n1 + Ae_Ae_n - Ax_Ax_n1 + t_A_diff_x - A_diff_x' - t_A_diff_x'
 ⊢ 0 ≤
     1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey ↑n‖ ^ 2 + ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2 +
           (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2 -
         (1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey (↑n + 1)‖ ^ 2 +
             ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2 +
           (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
             ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2) -
       (ADMM.ρ E₁ E₂ F *
           ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) -
                 OptProblem.b E₁ E₂‖ ^
             2 +
         ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)‖ ^ 2)]