zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_4.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) ⦃z_ : WithLp 2 (E × F)⦄ (ha : z_ ∈ limit_set z)
  (φ : ℕ → ℕ) (monoφ : StrictMono φ) (conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)) (h_original_goal : z_ ∈ critial_point ψ) :
  Tendsto (fun n => ψ (z (φ (n + 1)))) atTop (𝓝 (ψ z_)) ∧
    ∃ v, ∀ (n : ℕ), v n ∈ f_subdifferential ψ (z (φ (n + 1))) ∧ Tendsto v atTop (𝓝 0) := sorry

Tactic state before:
case right.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
z_ : WithLp 2 (E × F)
ha : z_ ∈ limit_set z
φ : ℕ → ℕ
monoφ : StrictMono φ
conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)
⊢ z_ ∈ critial_point ψ

Tactic:
apply Set.mem_setOf.mpr
    rw [subdifferential, Set.mem_setOf]
    use fun n ↦ alg.z (φ (n + 1))
    constructor
    exact (tendsto_add_atTop_iff_nat 1).mpr conv

Tactic state after:
[case h.right
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 z_ : WithLp 2 (E × F)
 ha : z_ ∈ limit_set z
 φ : ℕ → ℕ
 monoφ : StrictMono φ
 conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)
 ⊢ Tendsto (fun n => ψ (z (φ (n + 1)))) atTop (𝓝 (ψ z_)) ∧
     ∃ v, ∀ (n : ℕ), v n ∈ f_subdifferential ψ (z (φ (n + 1))) ∧ Tendsto v atTop (𝓝 0)]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_6.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F]
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ))
  (h_original_goal : Tendsto (fun n => (EMetric.infEdist (z n) (limit_set z)).toReal) atTop (𝓝 0)) : False := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
⊢ Tendsto (fun n => (EMetric.infEdist (z n) (limit_set z)).toReal) atTop (𝓝 0)

Tactic:
apply (nhds_basis_Ioo_pos 0).tendsto_right_iff.mpr
    rintro ε epos
    by_contra h
    simp at h
    let W : ℕ → ℕ := fun n ↦ Nat.recOn n (Classical.choose (h 0)) fun n p ↦ (Classical.choose (h (p + 1)))

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 ε : ℝ
 epos : 0 < ε
 h :
   ∀ (x : ℕ),
     ∃ x_1,
       x ≤ x_1 ∧
         (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal → ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)
 W : ℕ → ℕ := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose ⋯) fun n p => Classical.choose ⋯
 ⊢ False]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_7.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ))
  (h_original_goal : IsPreconnected (limit_set z)) : False := sorry

Tactic state before:
case right.right
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
⊢ IsPreconnected (limit_set z)

Tactic:
rw [isPreconnected_closed_iff]
    by_contra nonconnect
    push_neg at nonconnect
    rcases nonconnect with ⟨a, b, closea, closeb, sub_ab, nez_a, nez_b, nz_ab⟩
    let A := (limit_set alg.z) ∩ a

Tactic state after:
[case right.right.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 a b : Set (WithLp 2 (E × F))
 closea : IsClosed a
 closeb : IsClosed b
 sub_ab : limit_set z ⊆ a ∪ b
 nez_a : (limit_set z ∩ a).Nonempty
 nez_b : (limit_set z ∩ b).Nonempty
 nz_ab : limit_set z ∩ (a ∩ b) = ∅
 A : Set (WithLp 2 (E × F)) := limit_set z ∩ a
 ⊢ False]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_13 (a : NNReal) (ha : ↑a > 0) (b : NNReal) (hb : ↑b < ⊤)
  (hm : 1 ≤ ENNReal.ofReal ↑a * ↑b) : ↑a * (↑b).toReal ≥ 1 := sorry

Tactic state before:
case intro.intro
a : NNReal
ha : ↑a > 0
b : NNReal
hb : ↑b < ⊤
hm : 1 ≤ ENNReal.ofReal ↑a * ↑b
⊢ ↑a * (↑b).toReal ≥ 1

Tactic:
simp at hm
    simp
    rw [← NNReal.coe_mul]
    rw [← ENNReal.coe_mul] at hm
    rwa [ENNReal.one_le_coe_iff] at hm

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_14.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (hψ : KL_function ψ) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (z_ : WithLp 2 (E × F))
  (left : z_ ∈ closure (z '' univ)) (α : ℕ → ℕ) (monoa : StrictMono α) (conv : Tendsto (fun n => z (α n)) atTop (𝓝 z_))
  (ρ1 : ℝ) (ρ1pos : ρ1 > 0)
  (suff_des : ρ1 = (γ - 1) * ↑l ∧ ∀ (k : ℕ), ρ1 / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))
  (z_in : z_ ∈ limit_set z) (final : ∀ (m : ℕ), ∃ n, m ≤ α n)
  (psiconv : Tendsto (fun n => ψ (z (α n))) atTop (𝓝 (ψ z_))) (monopsi : ∀ (m n : ℕ), ψ (z (m + n)) ≤ ψ (z m))
  (h : ∀ (n : ℕ), ψ (z (α n)) > ψ z_) (L1 : ∀ η > 0, ∃ l1, ∀ k ≥ l1, ψ z_ < ψ (z k) ∧ ψ (z k) < ψ z_ + η)
  (L2 : ∀ ε > 0, ∃ l2, ∀ k > l2, (EMetric.infEdist (z k) (limit_set z)).toReal < ε) (z0 : WithLp 2 (E × F))
  (z0in : z0 ∈ limit_set z) : z0 ∈ active_domain ψ := sorry

Tactic state before:
case a
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
hψ : KL_function ψ
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
z_ : WithLp 2 (E × F)
left✝ : z_ ∈ closure (z '' univ)
α : ℕ → ℕ
monoa : StrictMono α
conv : Tendsto (fun n => z (α n)) atTop (𝓝 z_)
ρ1 : ℝ
ρ1pos : ρ1 > 0
suff_des : ρ1 = (γ - 1) * ↑l ∧ ∀ (k : ℕ), ρ1 / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1))
z_in : z_ ∈ limit_set z
final : ∀ (m : ℕ), ∃ n, m ≤ α n
psiconv : Tendsto (fun n => ψ (z (α n))) atTop (𝓝 (ψ z_))
monopsi : ∀ (m n : ℕ), ψ (z (m + n)) ≤ ψ (z m)
h : ∀ (n : ℕ), ψ (z (α n)) > ψ z_
L1 : ∀ η > 0, ∃ l1, ∀ k ≥ l1, ψ z_ < ψ (z k) ∧ ψ (z k) < ψ z_ + η
L2 : ∀ ε > 0, ∃ l2, ∀ k > l2, (EMetric.infEdist (z k) (limit_set z)).toReal < ε
z0 : WithLp 2 (E × F)
z0in : z0 ∈ limit_set z
⊢ z0 ∈ active_domain ψ

Tactic:
simp [active_domain]
    intro empt
    have : (0 : WithLp 2 (E × F)) ∈ subdifferential alg.ψ z0 := (limitset_property_1 γ hγ ck dk bd lbdψ).2 z0in
    rw [empt] at this
    exact this

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open BCD

theorem extracted_formal_statement_0.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ} (h : Differentiable ℝ H)
  (z : WithLp 2 (E × F)) (h₁ : HasGradientAt (fun x => H (x, z.2)) (grad_fst H z.2 z.1) z.1) ⦃c : ℝ⦄ (hc : 0 < c)
  (h₃ : ∀ᶠ (x : WithLp 2 (E × F)) in 𝓝 z, ‖H x - H z - inner (gradient H z) (x - z)‖ ≤ c * ‖x - z‖) (v : Set E)
  (hv1 : v ∈ 𝓝 z.1) (y : E) (yv : y ∈ v)
  (hv2 : ∀ᶠ (y' : F) in 𝓝 z.2, ‖H (y, y') - H z - inner (gradient H z) ((y, y') - z)‖ ≤ c * ‖(y, y') - z‖)
  (hv2' : ‖H (y, z.2) - H z - inner (gradient H z) ((y, z.2) - z)‖ ≤ c * ‖(y, z.2) - z‖) (this : z = (z.1, z.2)) :
  ‖H (y, z.2) - H (z.1, z.2) - inner (gradient H z).1 (y - z.1)‖ ≤ c * ‖y - z.1‖ := sorry

Tactic state before:
case h.right
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
h : Differentiable ℝ H
z : WithLp 2 (E × F)
h₁ : HasGradientAt (fun x => H (x, z.2)) (grad_fst H z.2 z.1) z.1
c : ℝ
hc : 0 < c
h₃ : ∀ᶠ (x : WithLp 2 (E × F)) in 𝓝 z, ‖H x - H z - inner (gradient H z) (x - z)‖ ≤ c * ‖x - z‖
v : Set E
hv1 : v ∈ 𝓝 z.1
y : E
yv : y ∈ v
hv2 : ∀ᶠ (y' : F) in 𝓝 z.2, ‖H (y, y') - H z - inner (gradient H z) ((y, y') - z)‖ ≤ c * ‖(y, y') - z‖
hv2' : ‖H (y, z.2) - H z - inner (gradient H z) ((y, z.2) - z)‖ ≤ c * ‖(y, z.2) - z‖
this : z = (z.1, z.2)
⊢ ‖H (y, z.2) - H (z.1, z.2) - inner (gradient H z).1 (y - z.1)‖ ≤ c * ‖y - z.1‖

Tactic:
rw [this] at hv2'
    rw [Prod.mk_sub_mk y z.1 z.2 z.2] at hv2'
    simp at hv2'
    rw [norm_prod_right_zero] at hv2'
    exact hv2'

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open BCD

theorem extracted_formal_statement_1.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : CompleteSpace E] [inst_2 : ProperSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F] [inst_4 : CompleteSpace F]
  [inst_5 : ProperSpace F] (x : E) (y : F) (r : ℝ) (h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r))
  (x' : E) (y' : F) (hball : (x', y') ∈ Metric.closedBall (x, y) r) :
  (x', y') ∈ Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r := sorry

Tactic state before:
case mk
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : ProperSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : ProperSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
x : E
y : F
r : ℝ
h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
x' : E
y' : F
hball : (x', y') ∈ Metric.closedBall (x, y) r
⊢ (x', y') ∈ Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r

Tactic:
rw [mem_prod]
    simp only [mem_closedBall_iff_norm, WithLp.prod_norm_eq_of_L2] at *
    constructor
    · exact le_trans this hball
    · exact le_trans this ((add_comm (‖x' - x‖ ^ 2) _) ▸ hball)

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open BCD

theorem extracted_formal_statement_2.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (k : ℕ) (ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) :
  0 < 1 / (γ * ↑l) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
k : ℕ
ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
⊢ 0 < 1 / (γ * ↑l)

Tactic:
apply div_pos
    norm_num
    apply mul_pos
    linarith [hγ]
    apply alg.lpos

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open BCD

theorem extracted_formal_statement_3.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (k : ℕ) (dk : alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) :
  0 < 1 / (γ * ↑l) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
k : ℕ
dk : alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
⊢ 0 < 1 / (γ * ↑l)

Tactic:
apply div_pos
    norm_num
    apply mul_pos
    linarith [hγ]
    apply alg.lpos

Tactic state after: