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open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_15.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : b ≥ 0)
  (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (hn : ¬n = 0)
  (hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C)
  (hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y)
  (hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k))))
  (hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k))))
  (h_original_goal :
    (∫ (x : Fin n → Ω),
        (fun ω => ⨆ i, ∫ (x : Fin n → Ω), (fun ω' => |∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (ω' k)))|) x ∂Measure.pi fun x => μ)
          x ∂Measure.pi fun x => μ) ≤
      ∫ (x : Fin n → Ω),
        (fun ω => ∫ (x : Fin n → Ω), (fun ω' => ⨆ i, |∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (ω' k)))|) x ∂Measure.pi fun x => μ)
          x ∂Measure.pi fun x => μ) :
  Integrable
    (fun ω => ∫ (x : Fin n → Ω), (fun ω' => ⨆ i, |∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (ω' k)))|) x ∂Measure.pi fun x => μ)
    (Measure.pi fun x => μ) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : b ≥ 0
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
hn : ¬n = 0
hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y
hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
⊢ (∫ (x : Fin n → Ω),
      (fun ω => ⨆ i, ∫ (x : Fin n → Ω), (fun ω' => |∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (ω' k)))|) x ∂Measure.pi fun x => μ)
        x ∂Measure.pi fun x => μ) ≤
    ∫ (x : Fin n → Ω),
      (fun ω => ∫ (x : Fin n → Ω), (fun ω' => ⨆ i, |∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (ω' k)))|) x ∂Measure.pi fun x => μ)
        x ∂Measure.pi fun x => μ

Tactic:
apply integral_mono _ _
    intro ω
    apply iSup_integral_le (μ := μⁿ) (b := n * (b + b))
    · exact fun i ↦ measurable_aux1 hf i ω
    ·
  intro i x
  exact bounded_difference_of_bounded hf' ω i x

Tactic state after:
[Ω : Type u
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : b ≥ 0
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 hn : ¬n = 0
 hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
 hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y
 hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
 hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
 ⊢ Integrable
     (fun ω => ⨆ i, ∫ (x : Fin n → Ω), (fun ω' => |∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (ω' k)))|) x ∂Measure.pi fun x => μ)
     (Measure.pi fun x => μ),
 Ω : Type u
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : b ≥ 0
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 hn : ¬n = 0
 hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
 hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y
 hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
 hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
 ⊢ Integrable
     (fun ω => ∫ (x : Fin n → Ω), (fun ω' => ⨆ i, |∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (ω' k)))|) x ∂Measure.pi fun x => μ)
     (Measure.pi fun x => μ)]