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open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_16.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Ω → 𝓧} (hX'' : Measurable X') {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ} {c' : Fin m → ℝ}
  (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1)
  (hX''' : ∀ (i : Fin m), Measurable fun ω => X' (ω i)) :
  let Y := fun k Xk =>
    ∫ (x : Fin m → Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' (ω i)) x ∂Measure.pi fun x => μ;
  let A := fun k Xk =>
    ⨅ x,
      ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
          x_1 ∂Measure.pi fun x => μ;
  let B := fun k Xk =>
    ⨆ x,
      ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
          x_1 ∂Measure.pi fun x => μ;
  (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
      Y k.succ (Fin.snoc Xk x) =
        ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
          (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
            x_1 ∂Measure.pi fun x => μ) →
    ∀ (x₀ : 𝓧),
      let bdf := |f' fun x => x₀| + ∑ i, c' i;
      (∀ (xi : Fin m → 𝓧), |f' xi| ≤ bdf) →
        (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
            Integrable (fun a => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (a i))
              (Measure.pi fun x => μ)) →
          (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧), A k Xk ≤ Y k.succ (Fin.snoc Xk x)) →
            (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧),
                𝓧 →
                  BddAbove
                    (Set.range fun x =>
                      ∫ (a : Fin m → Ω),
                        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
                          a ∂Measure.pi fun x => μ)) →
              (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧), B k Xk ≥ Y k.succ (Fin.snoc Xk x)) →
                ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), B k Xk ≤ A k Xk + c' k := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Ω → 𝓧
hX'' : Measurable X'
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε ≥ 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
hX''' : ∀ (i : Fin m), Measurable fun ω => X' (ω i)
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ∫ (x : Fin m → Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' (ω i)) x ∂Measure.pi fun x => μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x,
      ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
          x_1 ∂Measure.pi fun x => μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x,
      ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
          x_1 ∂Measure.pi fun x => μ
AB_rw :
  ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
    Y k.succ (Fin.snoc Xk x) =
      ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
          x_1 ∂Measure.pi fun x => μ
x₀ : 𝓧
bdf : ℝ := |f' fun x => x₀| + ∑ i, c' i
hfbdd : ∀ (xi : Fin m → 𝓧), |f' xi| ≤ bdf
hintegrableAB :
  ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
    Integrable (fun a => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (a i))
      (Measure.pi fun x => μ)
hAY : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧), A k Xk ≤ Y k.succ (Fin.snoc Xk x)
hBddAbove :
  ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧),
    𝓧 →
      BddAbove
        (Set.range fun x =>
          ∫ (a : Fin m → Ω),
            (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
              a ∂Measure.pi fun x => μ)
hYB : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧), B k Xk ≥ Y k.succ (Fin.snoc Xk x)
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
⊢ B k Xk ≤ A k Xk + c' k

Tactic:
apply le_ciInf_add
    intro x₁
    apply (ciSup_le_iff (hBddAbove k Xk x₁)).mpr
    intro x₂
    calc
  _ ≤
      ∫ (ω : Fin m → Ω),
        (f' fun i ↦ if h : i.1 < k.1 then Xk ⟨↑i, h⟩ else if i.1 = k.1 then x₁ else X' (ω i)) + c' k ∂μⁿ :=
    by
    to_theorem
      apply
        integral_mono
          exact
        hintegrableAB k Xk
          x₂
            exact
        integrable_add_const_iff.mpr
          (hintegrableAB k Xk
            x₁)intro
        ω
          have :
        (fun i : Fin m ↦ if h : i.1 < k.1 then Xk ⟨↑i, h⟩ else if i.1 = k.1 then x₁ else X' (ω i)) =
          Function.update (fun i : Fin m ↦ if h : i.1 < k.1 then Xk ⟨↑i, h⟩ else if i.1 = k.1 then x₂ else X' (ω i)) k
            x₁ :=
        by
        ext i
        if h : i.1 < k.1 then 
          have : i ≠ k := Fin.ne_of_lt h
          rw [dif_pos h, Function.update_of_ne this, dif_pos h]
        else
          rw [dif_neg h]
          if h' : i.1 = k.1 then 
            have : i = k := Fin.eq_of_val_eq h'
            rw [if_pos h', this, Function.update_self]
          else
            rw [if_neg h']
            have : i ≠ k := fun a ↦ h' (congrArg Fin.val a)
            rw [Function.update_of_ne this, dif_neg h, if_neg h']
    dsimp
    rw [this]
    apply tsub_le_iff_left.mp
    apply le_of_max_le_left
    apply hfι
  _ =
      (∫ (ω : Fin m → Ω), f' fun i ↦ if h : i.1 < k.1 then Xk ⟨↑i, h⟩ else if i.1 = k.1 then x₁ else X' (ω i) ∂μⁿ) +
        (∫ (_ : Fin m → Ω), c' k ∂μⁿ) :=
    (integral_add (hintegrableAB k Xk x₁) (integrable_const (c' k)))
  _ = _ := add_left_cancel_iff.mpr (expectation_const (c' k))

Tactic state after: