zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_30.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] [inst_2 : Countable ι] {X : Ω → Z}
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω)
  (h_original_goal : ‖(↑(Fintype.card (Signs n)))⁻¹ * ∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k).1)|‖ ≤ ↑n * b) :
  |∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k).1)|| ≤ 2 ^ n * (↑n * b) := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
⊢ ‖(↑(Fintype.card (Signs n)))⁻¹ * ∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k).1)|‖ ≤ ↑n * b

Tactic:
simp only [Signs.card, Nat.cast_pow, Nat.cast_ofNat, Int.reduceNeg, norm_mul, norm_inv, norm_pow,
  norm_ofNat, norm_eq_abs]
    rw [inv_mul_le_iff₀' (by simp)]
    rw [mul_comm (↑n * b)]

Tactic state after:
[case h
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
 inst✝ : Countable ι
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω × Ω
 ⊢ |∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k).1)|| ≤ 2 ^ n * (↑n * b)]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_31.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] [inst_2 : Countable ι] {X : Ω → Z}
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω)
  (h_original_goal : ‖(↑(Fintype.card (Signs n)))⁻¹ * ∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k).2)|‖ ≤ ↑n * b) :
  |∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k).2)|| ≤ 2 ^ n * (↑n * b) := sorry

Tactic state before:
case h
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
⊢ ‖(↑(Fintype.card (Signs n)))⁻¹ * ∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k).2)|‖ ≤ ↑n * b

Tactic:
simp only [Signs.card, Nat.cast_pow, Nat.cast_ofNat, Int.reduceNeg, norm_mul, norm_inv, norm_pow,
  norm_ofNat, norm_eq_abs]
    rw [inv_mul_le_iff₀' (by simp)]
    rw [mul_comm (↑n * b)]

Tactic state after:
[case h
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
 inst✝ : Countable ι
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω × Ω
 ⊢ |∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k).2)|| ≤ 2 ^ n * (↑n * b)]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_32.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (ω' : Fin n → Ω) (i : ι)
  (h_original_goal :
    |(|∫ (x : Fin n → Ω), ∑ k, (f i (X (ω' k)) - f i (X (x k))) ∂Measure.pi fun x => μ|)| ≤ ↑n * (b + b)) :
  -(↑n * (b + b)) ≤ ∫ (x : Fin n → Ω), ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (x x_1)) ∂Measure.pi fun x => μ := sorry

Tactic state before:
case hf.right.h.hf
Ω : Type u
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst_2 : Nonempty ι
inst_3 : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω' : Fin n → Ω
i : ι
⊢ |(|∫ (x : Fin n → Ω), ∑ k, (f i (X (ω' k)) - f i (X (x k))) ∂Measure.pi fun x => μ|)| ≤ ↑n * (b + b)

Tactic:
simp only [Finset.sum_sub_distrib, abs_abs]
    rw [abs_le]
    constructor

Tactic state after:
[case hf.right.h.hf.left
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ -(↑n * (b + b)) ≤ ∫ (x : Fin n → Ω), ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (x x_1)) ∂Measure.pi fun x => μ,
 case hf.right.h.hf.right
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ (∫ (x : Fin n → Ω), ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (x x_1)) ∂Measure.pi fun x => μ) ≤ ↑n * (b + b)]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_33.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (ω' : Fin n → Ω) (i : ι)
  (h_original_goal :
    |(|∫ (x : Fin n → Ω), ∑ k, (f i (X (ω' k)) - f i (X (x k))) ∂Measure.pi fun x => μ|)| ≤ ↑n * (b + b)) :
  (∫ (x : Fin n → Ω), ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (x x_1)) ∂Measure.pi fun x => μ) ≤ ↑n * (b + b) := sorry

Tactic state before:
case hf.right.h.hf
Ω : Type u
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst_2 : Nonempty ι
inst_3 : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω' : Fin n → Ω
i : ι
⊢ |(|∫ (x : Fin n → Ω), ∑ k, (f i (X (ω' k)) - f i (X (x k))) ∂Measure.pi fun x => μ|)| ≤ ↑n * (b + b)

Tactic:
simp only [Finset.sum_sub_distrib, abs_abs]
    rw [abs_le]
    constructor

Tactic state after:
[case hf.right.h.hf.left
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ -(↑n * (b + b)) ≤ ∫ (x : Fin n → Ω), ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (x x_1)) ∂Measure.pi fun x => μ,
 case hf.right.h.hf.right
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ (∫ (x : Fin n → Ω), ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (x x_1)) ∂Measure.pi fun x => μ) ≤ ↑n * (b + b)]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_35.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (ω' : Fin n → Ω) (i : ι)
  (h_original_goal :
    (∫ (x : Fin n → Ω), ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (x x_1)) ∂Measure.pi fun x => μ) ≤
      ∫ (x : Fin n → Ω), ↑n * (b + b) ∂Measure.pi fun x => μ) :
  AEStronglyMeasurable (fun a => ∑ x, f i (X (ω' x))) (Measure.pi fun x => μ) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst_2 : Nonempty ι
inst_3 : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω' : Fin n → Ω
i : ι
⊢ (∫ (x : Fin n → Ω), ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (x x_1)) ∂Measure.pi fun x => μ) ≤
    ∫ (x : Fin n → Ω), ↑n * (b + b) ∂Measure.pi fun x => μ

Tactic:
apply integral_mono
    apply Integrable.sub
    constructor

Tactic state after:
[case hf.hf.left
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ∑ x, f i (X (ω' x))) (Measure.pi fun x => μ),
 case hf.hf.right
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ HasFiniteIntegral (fun a => ∑ x, f i (X (ω' x))) (Measure.pi fun x => μ),
 case hf.hg
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ Integrable (fun a => ∑ x_1, f i (X (a x_1))) (Measure.pi fun x => μ),
 case hg
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ Integrable (fun a => ↑n * (b + b)) (Measure.pi fun x => μ),
 case h
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ (fun a => ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (a x_1))) ≤ fun a => ↑n * (b + b)]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_36.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (ω' : Fin n → Ω) (i : ι)
  (h_original_goal :
    (∫ (x : Fin n → Ω), ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (x x_1)) ∂Measure.pi fun x => μ) ≤
      ∫ (x : Fin n → Ω), ↑n * (b + b) ∂Measure.pi fun x => μ) :
  HasFiniteIntegral (fun a => ∑ x, f i (X (ω' x))) (Measure.pi fun x => μ) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst_2 : Nonempty ι
inst_3 : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω' : Fin n → Ω
i : ι
⊢ (∫ (x : Fin n → Ω), ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (x x_1)) ∂Measure.pi fun x => μ) ≤
    ∫ (x : Fin n → Ω), ↑n * (b + b) ∂Measure.pi fun x => μ

Tactic:
apply integral_mono
    apply Integrable.sub
    constructor

Tactic state after:
[case hf.hf.left
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ∑ x, f i (X (ω' x))) (Measure.pi fun x => μ),
 case hf.hf.right
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ HasFiniteIntegral (fun a => ∑ x, f i (X (ω' x))) (Measure.pi fun x => μ),
 case hf.hg
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ Integrable (fun a => ∑ x_1, f i (X (a x_1))) (Measure.pi fun x => μ),
 case hg
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ Integrable (fun a => ↑n * (b + b)) (Measure.pi fun x => μ),
 case h
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ (fun a => ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (a x_1))) ≤ fun a => ↑n * (b + b)]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_37.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (ω' : Fin n → Ω) (i : ι)
  (h_original_goal :
    (∫ (x : Fin n → Ω), ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (x x_1)) ∂Measure.pi fun x => μ) ≤
      ∫ (x : Fin n → Ω), ↑n * (b + b) ∂Measure.pi fun x => μ) :
  Integrable (fun a => ∑ x_1, f i (X (a x_1))) (Measure.pi fun x => μ) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst_2 : Nonempty ι
inst_3 : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω' : Fin n → Ω
i : ι
⊢ (∫ (x : Fin n → Ω), ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (x x_1)) ∂Measure.pi fun x => μ) ≤
    ∫ (x : Fin n → Ω), ↑n * (b + b) ∂Measure.pi fun x => μ

Tactic:
apply integral_mono
    apply Integrable.sub
    constructor

Tactic state after:
[case hf.hf.left
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ∑ x, f i (X (ω' x))) (Measure.pi fun x => μ),
 case hf.hf.right
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ HasFiniteIntegral (fun a => ∑ x, f i (X (ω' x))) (Measure.pi fun x => μ),
 case hf.hg
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ Integrable (fun a => ∑ x_1, f i (X (a x_1))) (Measure.pi fun x => μ),
 case hg
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ Integrable (fun a => ↑n * (b + b)) (Measure.pi fun x => μ),
 case h
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ (fun a => ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (a x_1))) ≤ fun a => ↑n * (b + b)]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_38.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (ω' : Fin n → Ω) (i : ι)
  (h_original_goal :
    (∫ (x : Fin n → Ω), ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (x x_1)) ∂Measure.pi fun x => μ) ≤
      ∫ (x : Fin n → Ω), ↑n * (b + b) ∂Measure.pi fun x => μ) :
  Integrable (fun a => ↑n * (b + b)) (Measure.pi fun x => μ) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst_2 : Nonempty ι
inst_3 : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω' : Fin n → Ω
i : ι
⊢ (∫ (x : Fin n → Ω), ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (x x_1)) ∂Measure.pi fun x => μ) ≤
    ∫ (x : Fin n → Ω), ↑n * (b + b) ∂Measure.pi fun x => μ

Tactic:
apply integral_mono
    apply Integrable.sub
    constructor

Tactic state after:
[case hf.hf.left
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ∑ x, f i (X (ω' x))) (Measure.pi fun x => μ),
 case hf.hf.right
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ HasFiniteIntegral (fun a => ∑ x, f i (X (ω' x))) (Measure.pi fun x => μ),
 case hf.hg
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ Integrable (fun a => ∑ x_1, f i (X (a x_1))) (Measure.pi fun x => μ),
 case hg
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ Integrable (fun a => ↑n * (b + b)) (Measure.pi fun x => μ),
 case h
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ (fun a => ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (a x_1))) ≤ fun a => ↑n * (b + b)]
import Mathlib
import FoML


open MeasureTheory ProbabilityTheory Real

open scoped ENNReal

theorem extracted_formal_statement_39.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (ω' : Fin n → Ω) (i : ι)
  (h_original_goal :
    (∫ (x : Fin n → Ω), ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (x x_1)) ∂Measure.pi fun x => μ) ≤
      ∫ (x : Fin n → Ω), ↑n * (b + b) ∂Measure.pi fun x => μ) :
  (fun a => ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (a x_1))) ≤ fun a => ↑n * (b + b) := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst_2 : Nonempty ι
inst_3 : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
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ω' : Fin n → Ω
i : ι
⊢ (∫ (x : Fin n → Ω), ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (x x_1)) ∂Measure.pi fun x => μ) ≤
    ∫ (x : Fin n → Ω), ↑n * (b + b) ∂Measure.pi fun x => μ

Tactic:
apply integral_mono
    apply Integrable.sub
    constructor

Tactic state after:
[case hf.hf.left
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
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 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ∑ x, f i (X (ω' x))) (Measure.pi fun x => μ),
 case hf.hf.right
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ HasFiniteIntegral (fun a => ∑ x, f i (X (ω' x))) (Measure.pi fun x => μ),
 case hf.hg
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ Integrable (fun a => ∑ x_1, f i (X (a x_1))) (Measure.pi fun x => μ),
 case hg
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ Integrable (fun a => ↑n * (b + b)) (Measure.pi fun x => μ),
 case h
 Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 ⊢ (fun a => ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (a x_1))) ≤ fun a => ↑n * (b + b)]