import Mathlib
import Optlib


open Set InnerProductSpace Topology Filter InnerProduct

open scoped Pointwise

theorem extracted_formal_statement_57.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} (n : ℕ+) (h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0) (h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F)
  (h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2) :
  let S1 := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n);
  let S2 := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂;
  let s1 := √(ADMM.τ E₁ E₂ F);
  s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2 →
    s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 →
      s1 ≠ 0 →
        ⟪S1, S2⟫_ℝ = ⟪s1 • S1, s1⁻¹ • S2⟫_ℝ →
          0 ≤
              √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)‖ ^ 2 +
                  (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2 *
                    ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂‖ ^
                      2 -
                -2 *
                  ⟪(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n),
                    (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) -
                      OptProblem.b E₁ E₂⟫_ℝ →
            0 ≤ ‖s1 • S1 + s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
n : ℕ+
h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
h2 : s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
this : s1 ≠ 0
h3 : ⟪S1, S2⟫_ℝ = ⟪s1 • S1, s1⁻¹ • S2⟫_ℝ
⊢ 0 ≤
    √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)‖ ^ 2 +
        (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2 *
          ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂‖ ^ 2 -
      -2 *
        ⟪(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n),
          (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂⟫_ℝ

Tactic:
rw [h1, h2, h3]
    have :
  ‖s1 • S1‖ ^ 2 + ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 - -2 * ⟪s1 • S1, s1⁻¹ • S2⟫_ℝ =
    ‖s1 • S1‖ ^ 2 + 2 * ⟪s1 • S1, s1⁻¹ • S2⟫_ℝ + ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 :=
  by ring_nf
    rw [this, ← norm_add_sq_real]

Tactic state after:
[E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 n : ℕ+
 h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
 h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
 h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
 S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
 S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
 s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
 h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
 h2 : s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
 this✝ : s1 ≠ 0
 h3 : ⟪S1, S2⟫_ℝ = ⟪s1 • S1, s1⁻¹ • S2⟫_ℝ
 this :
   ‖s1 • S1‖ ^ 2 + ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 - -2 * ⟪s1 • S1, s1⁻¹ • S2⟫_ℝ =
     ‖s1 • S1‖ ^ 2 + 2 * ⟪s1 • S1, s1⁻¹ • S2⟫_ℝ + ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
 ⊢ 0 ≤ ‖s1 • S1 + s1⁻¹ • S2‖ ^ 2]