zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_2.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {l : NNReal} {a : ℝ} (h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁)
  (h₂ : ↑l > 0) (ha₁ : ↑l ≤ 1 / a) (ha₂ : a > 0) (h₃ : LipschitzWith l f') (x : E)
  (h_original_goal :
    f x - ⟪f' x, a • f' x⟫_ℝ + ↑l * ‖a • f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2)) :
  f x - a * ‖f' x‖ ^ 2 + ↑l * (a * ‖f' x‖) ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
l : NNReal
a : ℝ
h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
h₂ : ↑l > 0
ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
ha₂ : a > 0
h₃ : LipschitzWith l f'
x : E
⊢ f x - ⟪f' x, a • f' x⟫_ℝ + ↑l * ‖a • f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2)

Tactic:
rw [real_inner_smul_right, real_inner_self_eq_norm_sq, norm_smul]
    simp
    rw [abs_of_pos ha₂]

Tactic state after:
[E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 l : NNReal
 a : ℝ
 h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
 h₂ : ↑l > 0
 ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
 ha₂ : a > 0
 h₃ : LipschitzWith l f'
 x : E
 ⊢ f x - a * ‖f' x‖ ^ 2 + ↑l * (a * ‖f' x‖) ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2)]
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_3.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {l : NNReal} {a : ℝ} (h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁)
  (h₂ : ↑l > 0) (ha₁ : ↑l ≤ 1 / a) (ha₂ : a > 0) (h₃ : LipschitzWith l f') (x : E)
  (h_original_goal : f x + (↑l / 2 * a * a - a) * ‖f' x‖ ^ 2 ≤ f x + -a / 2 * ‖f' x‖ ^ 2) : 0 ≤ ‖f' x‖ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
l : NNReal
a : ℝ
h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
h₂ : ↑l > 0
ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
ha₂ : a > 0
h₃ : LipschitzWith l f'
x : E
⊢ f x + (↑l / 2 * a * a - a) * ‖f' x‖ ^ 2 ≤ f x + -a / 2 * ‖f' x‖ ^ 2

Tactic:
simp only [add_le_add_iff_left, gt_iff_lt, norm_pos_iff, ne_eq]
    apply mul_le_mul_of_nonneg_right
    · simp;
  calc
    l / 2 * a * a = (l * a) * (a / 2) := by ring_nf
    _ ≤ 1 * (a / 2) := by
      apply mul_le_mul_of_nonneg _ (by linarith) (by positivity) (by linarith)
      · exact (le_div_iff₀ ha₂).mp ha₁
    _ = -a / 2 + a := by ring_nf

Tactic state after:
[case a0
 E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 l : NNReal
 a : ℝ
 h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
 h₂ : ↑l > 0
 ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
 ha₂ : a > 0
 h₃ : LipschitzWith l f'
 x : E
 ⊢ 0 ≤ ‖f' x‖ ^ 2]
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_4.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {xm x₀ : E} {alg : Gradient_Descent_fix_stepsize f f' x₀}
  (hfun : ConvexOn ℝ univ f)
  (step₂ : Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ ≤ 1 / ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀)) :
  ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀) ≤ 1 / Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
xm x₀ : E
alg : Gradient_Descent_fix_stepsize f f' x₀
hfun : ConvexOn ℝ univ f
step₂ : Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ ≤ 1 / ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀)
⊢ ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀) ≤ 1 / Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀

Tactic:
rw [le_one_div alg.step₁] at step₂
    exact step₂
    linarith [alg.hl]

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_5.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {xm x₀ : E} {alg : Gradient_Descent_fix_stepsize f f' x₀}
  (hfun : ConvexOn ℝ univ f)
  (step₂_1 : Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ ≤ 1 / ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀))
  (step₂ : ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀) ≤ 1 / Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀)
  (this_1 : LipschitzWith (Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀) f')
  (this : Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀ > 0) (x : E)
  (t1 : 1 / (2 * Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀) * (2 * Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀) = 1)
  (h_original_goal :
    ‖x - Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ • f' x - xm‖ ^ 2 =
      ‖x - xm‖ ^ 2 - 2 * Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ * ⟪f' x, x - xm⟫_ℝ +
        ‖Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ • f' x‖ ^ 2) :
  ⟪x - xm, Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ • f' x⟫_ℝ * 2 =
    Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ * ⟪f' x, x - xm⟫_ℝ * 2 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
xm x₀ : E
alg : Gradient_Descent_fix_stepsize f f' x₀
hfun : ConvexOn ℝ univ f
step₂✝ : Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ ≤ 1 / ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀)
step₂ : ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀) ≤ 1 / Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀
k : ℕ
this✝ : LipschitzWith (Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀) f'
this : Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀ > 0
x : E
t1 : 1 / (2 * Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀) * (2 * Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀) = 1
⊢ ‖x - Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ • f' x - xm‖ ^ 2 =
    ‖x - xm‖ ^ 2 - 2 * Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ * ⟪f' x, x - xm⟫_ℝ +
      ‖Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ • f' x‖ ^ 2

Tactic:
rw [sub_right_comm]
    simp [norm_sub_sq_real (x - xm) _]
    ring_nf

Tactic state after:
[E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 xm x₀ : E
 alg : Gradient_Descent_fix_stepsize f f' x₀
 hfun : ConvexOn ℝ univ f
 step₂✝ : Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ ≤ 1 / ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀)
 step₂ : ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀) ≤ 1 / Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀
 k : ℕ
 this✝ : LipschitzWith (Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀) f'
 this : Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀ > 0
 x : E
 t1 : 1 / (2 * Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀) * (2 * Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀) = 1
 ⊢ ⟪x - xm, Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ • f' x⟫_ℝ * 2 =
     Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ * ⟪f' x, x - xm⟫_ℝ * 2]
import Mathlib
import Optlib


open Set Finset

open InnerProductSpace Set

theorem extracted_formal_statement_7.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {xm x₀ : E} {alg : Gradient_Descent_fix_stepsize f f' x₀}
  (hfun : ConvexOn ℝ univ f)
  (step₂ : Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ ≤ 1 / ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀)) :
  ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀) ≤ 1 / Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
xm x₀ : E
alg : Gradient_Descent_fix_stepsize f f' x₀
hfun : ConvexOn ℝ univ f
step₂ : Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀ ≤ 1 / ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀)
k : ℕ
⊢ ↑(Gradient_Descent_fix_stepsize.l f f' x₀) ≤ 1 / Gradient_Descent_fix_stepsize.a f f' x₀

Tactic:
rw [le_one_div alg.step₁] at step₂
    exact step₂
    linarith [alg.hl]

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_0.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] {s : Set E} (hs : s.Nonempty)
  (x : E) (xs : x ∈ s) (this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x)
  (h_original_goal : ENNReal.ofReal ‖x‖ ≥ EMetric.infEdist 0 s) : EMetric.infEdist 0 s ≠ ⊤ := sorry

Tactic state before:
case neg
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : Set E
hs : s.Nonempty
x : E
xs : x ∈ s
this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
⊢ ENNReal.ofReal ‖x‖ ≥ EMetric.infEdist 0 s

Tactic:
rw [← dist_zero_left]
    apply (ENNReal.le_ofReal_iff_toReal_le _ _).2
    · exact ENNReal.toReal_le_of_le_ofReal dist_nonneg (edist_dist 0 x ▸ this)

Tactic state after:
[E : Type u_1
 inst✝ : NormedAddCommGroup E
 s : Set E
 hs : s.Nonempty
 x : E
 xs : x ∈ s
 this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
 ⊢ EMetric.infEdist 0 s ≠ ⊤,
 E : Type u_1
 inst✝ : NormedAddCommGroup E
 s : Set E
 hs : s.Nonempty
 x : E
 xs : x ∈ s
 this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
 ⊢ 0 ≤ dist 0 x]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_1.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] {s : Set E} (hs : s.Nonempty)
  (x : E) (xs : x ∈ s) (this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x)
  (h_original_goal : ENNReal.ofReal ‖x‖ ≥ EMetric.infEdist 0 s) : 0 ≤ dist 0 x := sorry

Tactic state before:
case neg
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : Set E
hs : s.Nonempty
x : E
xs : x ∈ s
this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
⊢ ENNReal.ofReal ‖x‖ ≥ EMetric.infEdist 0 s

Tactic:
rw [← dist_zero_left]
    apply (ENNReal.le_ofReal_iff_toReal_le _ _).2
    · exact ENNReal.toReal_le_of_le_ofReal dist_nonneg (edist_dist 0 x ▸ this)

Tactic state after:
[E : Type u_1
 inst✝ : NormedAddCommGroup E
 s : Set E
 hs : s.Nonempty
 x : E
 xs : x ∈ s
 this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
 ⊢ EMetric.infEdist 0 s ≠ ⊤,
 E : Type u_1
 inst✝ : NormedAddCommGroup E
 s : Set E
 hs : s.Nonempty
 x : E
 xs : x ∈ s
 this : EMetric.infEdist 0 s ≤ edist 0 x
 ⊢ 0 ≤ dist 0 x]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_2.{u_2, u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] {F : Type u_2}
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : NormedAddCommGroup F] [inst_3 : InnerProductSpace ℝ F] {f : E → ℝ}
  {g : F → ℝ} {x u : E} {y v : F} (hf : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, f y - f x - inner u (y - x) ≥ -ε * ‖y - x‖)
  (hg : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y_1 : F) in 𝓝 y, g y_1 - g y - inner v (y_1 - y) ≥ -ε * ‖y_1 - y‖) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0)
  (ε2pos : 0 < ε / 2) (z : WithLp 2 (E × F)) (hfz : f z.1 - f x - inner u (z.1 - x) ≥ -(ε / 2) * ‖z.1 - x‖)
  (hyz : g z.2 - g y - inner v (z.2 - y) ≥ -(ε / 2) * ‖z.2 - y‖)
  (h_original_goal : f z.1 + g z.2 - (f x + g y) - inner (u, v) (z - (x, y)) ≥ -ε * ‖z - (x, y)‖) :
  f z.1 + g z.2 - (f x + g y) - (inner u (z.1 - x) + inner v (z.2 - y)) ≥ -ε * ‖z - (x, y)‖ := sorry

Tactic state before:
case h
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
F : Type u_2
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
x u : E
y v : F
hf : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, f y - f x - inner u (y - x) ≥ -ε * ‖y - x‖
hg : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y_1 : F) in 𝓝 y, g y_1 - g y - inner v (y_1 - y) ≥ -ε * ‖y_1 - y‖
ε : ℝ
εpos : ε > 0
ε2pos : 0 < ε / 2
z : WithLp 2 (E × F)
hfz : f z.1 - f x - inner u (z.1 - x) ≥ -(ε / 2) * ‖z.1 - x‖
hyz : g z.2 - g y - inner v (z.2 - y) ≥ -(ε / 2) * ‖z.2 - y‖
⊢ f z.1 + g z.2 - (f x + g y) - inner (u, v) (z - (x, y)) ≥ -ε * ‖z - (x, y)‖

Tactic:
rw [WithLp.prod_inner_apply]
    simp only [WithLp.sub_fst, WithLp.sub_snd]
    let z' : WithLp 2 (E × F) := (x, y)

Tactic state after:
[case h
 E : Type u_1
 inst✝³ : NormedAddCommGroup E
 F : Type u_2
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
 inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 x u : E
 y v : F
 hf : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, f y - f x - inner u (y - x) ≥ -ε * ‖y - x‖
 hg : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y_1 : F) in 𝓝 y, g y_1 - g y - inner v (y_1 - y) ≥ -ε * ‖y_1 - y‖
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 ε2pos : 0 < ε / 2
 z : WithLp 2 (E × F)
 hfz : f z.1 - f x - inner u (z.1 - x) ≥ -(ε / 2) * ‖z.1 - x‖
 hyz : g z.2 - g y - inner v (z.2 - y) ≥ -(ε / 2) * ‖z.2 - y‖
 z' : WithLp 2 (E × F) := (x, y)
 ⊢ f z.1 + g z.2 - (f x + g y) - (inner u (z.1 - x) + inner v (z.2 - y)) ≥ -ε * ‖z - (x, y)‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_3.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y))
  (l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)) (k : ℕ) :
  let h := fun x => H (x, alg.y k);
  let h' := fun x => grad_fst H (alg.y k) x;
  ∀ (x : E), HasGradientAt h (h' x) x := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
k : ℕ
h : E → ℝ := fun x => H (x, alg.y k)
h' : E → E := fun x => grad_fst H (alg.y k) x
x : E
⊢ HasGradientAt h (h' x) x

Tactic:
apply DifferentiableAt.hasGradientAt
    apply diff_prod₁
    apply ContDiff.differentiable alg.conf (by simp)

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_4.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y))
  (l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)) (k : ℕ) :
  let h := fun x => H (x, alg.y k);
  let h' := fun x => grad_fst H (alg.y k) x;
  (∀ (x₁ : E), HasGradientAt h (h' x₁) x₁) →
    (alg.x (k + 1) ∈ prox_set (fun a => alg.c k * f a) (alg.x k - alg.c k • h' (alg.x k)) →
        h (alg.x (k + 1)) + f (alg.x (k + 1)) ≤
          h (alg.x k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (1 / alg.c k - ↑l) * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2) →
      H (alg.x (k + 1), alg.y k) + f (alg.x (k + 1)) ≤
        H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
k : ℕ
h : E → ℝ := fun x => H (x, alg.y k)
h' : E → E := fun x => grad_fst H (alg.y k) x
h1 : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt h (h' x₁) x₁
prop :
  alg.x ?m.83497 ∈ prox_set (fun a => alg.c k * f a) (alg.x ?m.83477 - alg.c k • h' (alg.x ?m.83477)) →
    h (alg.x ?m.83497) + f (alg.x ?m.83497) ≤
      h (alg.x ?m.83477) + f (alg.x ?m.83477) - 1 / 2 * (1 / alg.c k - ↑l) * ‖alg.x ?m.83497 - alg.x ?m.83477‖ ^ 2
⊢ H (alg.x (k + 1), alg.y k) + f (alg.x (k + 1)) ≤
    H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2

Tactic:
apply le_of_eq_of_le' _ (prop (by rw [prox_set]; simp; exact (alg.s₁ k)))
    rw [ck, one_div_one_div]
    ring

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_5.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y))
  (l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)) (k : ℕ)
  (hHf :
    H (alg.x (k + 1), alg.y k) + f (alg.x (k + 1)) ≤
      H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2) :
  let h := fun y => H (alg.x (k + 1), y);
  let h' := fun y => grad_snd H (alg.x (k + 1)) y;
  ∀ (y : F), HasGradientAt h (h' y) y := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
k : ℕ
hHf :
  H (alg.x (k + 1), alg.y k) + f (alg.x (k + 1)) ≤
    H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2
h : F → ℝ := fun y => H (alg.x (k + 1), y)
h' : F → F := fun y => grad_snd H (alg.x (k + 1)) y
y : F
⊢ HasGradientAt h (h' y) y

Tactic:
apply DifferentiableAt.hasGradientAt
    apply diff_prod₂
    apply ContDiff.differentiable alg.conf (by simp)

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_6.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y))
  (l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)) (k : ℕ)
  (hHf :
    H (alg.x (k + 1), alg.y k) + f (alg.x (k + 1)) ≤
      H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2) :
  let h := fun y => H (alg.x (k + 1), y);
  let h' := fun y => grad_snd H (alg.x (k + 1)) y;
  (∀ (y₁ : F), HasGradientAt h (h' y₁) y₁) →
    (alg.y (k + 1) ∈ prox_set (fun a => alg.d k * g a) (alg.y k - alg.d k • h' (alg.y k)) →
        h (alg.y (k + 1)) + g (alg.y (k + 1)) ≤
          h (alg.y k) + g (alg.y k) - 1 / 2 * (1 / alg.d k - ↑l) * ‖alg.y (k + 1) - alg.y k‖ ^ 2) →
      H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) + g (alg.y (k + 1)) ≤
        H (alg.x (k + 1), alg.y k) + g (alg.y k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.y (k + 1) - alg.y k‖ ^ 2 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
k : ℕ
hHf :
  H (alg.x (k + 1), alg.y k) + f (alg.x (k + 1)) ≤
    H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2
h : F → ℝ := fun y => H (alg.x (k + 1), y)
h' : F → F := fun y => grad_snd H (alg.x (k + 1)) y
h1 : ∀ (y₁ : F), HasGradientAt h (h' y₁) y₁
prop :
  alg.y ?m.87723 ∈ prox_set (fun a => alg.d k * g a) (alg.y k - alg.d k • h' (alg.y k)) →
    h (alg.y ?m.87723) + g (alg.y ?m.87723) ≤
      h (alg.y k) + g (alg.y k) - 1 / 2 * (1 / alg.d k - ↑l) * ‖alg.y ?m.87723 - alg.y k‖ ^ 2
⊢ H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) + g (alg.y (k + 1)) ≤
    H (alg.x (k + 1), alg.y k) + g (alg.y k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.y (k + 1) - alg.y k‖ ^ 2

Tactic:
apply le_of_eq_of_le' _ (prop (by rw [prox_set]; simp; exact (alg.s₂ k)))
    rw [dk, one_div_one_div]
    ring

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_9.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (ρ₁ : ℝ) (hρ₁ : ρ₁ > 0)
  (left : ρ₁ = (γ - 1) * ↑l) (k : ℕ) (h2 : ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))
  (h1 : 2 / ρ₁ * (ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2) ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1))))
  (h_original_goal : ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))) :
  ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1))) / ρ₁ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
ρ₁ : ℝ
hρ₁ : ρ₁ > 0
left✝ : ρ₁ = (γ - 1) * ↑l
k : ℕ
h2 : ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1))
h1 : 2 / ρ₁ * (ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2) ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))
⊢ ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))

Tactic:
rw [← mul_assoc] at h1
    field_simp at h1
    field_simp

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 ρ₁ : ℝ
 hρ₁ : ρ₁ > 0
 left✝ : ρ₁ = (γ - 1) * ↑l
 k : ℕ
 h2 : ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1))
 h1 : ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1))) / ρ₁
 ⊢ ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1))) / ρ₁]