zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_12.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (A : ℝ)
  (hA : Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2) atTop (𝓝 A))
  (h_original_goal : Tendsto (fun k => ‖z (k + 1) - z k‖) atTop (𝓝 0)) (ε : ℝ) :
  ε > 0 → ∃ N, ∀ n ≥ N, dist ‖z (n + 1) - z n‖ 0 < ε := sorry

Tactic state before:
case intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
A : ℝ
hA : Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2) atTop (𝓝 A)
⊢ Tendsto (fun k => ‖z (k + 1) - z k‖) atTop (𝓝 0)

Tactic:
rw [Metric.tendsto_atTop] at hA
    simp [dist_eq_norm] at hA
    rw [Metric.tendsto_atTop]

Tactic state after:
[case intro
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 A : ℝ
 hA : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε
 ⊢ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist ‖z (n + 1) - z n‖ 0 < ε]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_13.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (A ε : ℝ) (εge0 : 0 < ε)
  (hA : 0 < ε / 2 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2) (N : ℕ)
  (hNεhalf : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2) (n : ℕ) (ngeN : N ≤ n) :
  ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
    ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A - (∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
A ε : ℝ
εge0 : 0 < ε
hA : 0 < ε / 2 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
N : ℕ
hNεhalf : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
n : ℕ
ngeN : N ≤ n
⊢ ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
    ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A - (∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A)

Tactic:
rw [sub_sub_sub_comm]
    simp
    rw [Finset.sum_range_succ_sub_sum]

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_14.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (h_original_goal : ‖subdiff k‖ ≤ ↑l * (2 * γ + 2) * ‖z (k + 1) - z k‖) :
  ‖(subdiff k).1‖ + ‖(subdiff k).2‖ ≤ ↑l * (2 * γ + 2) * ‖z (k + 1) - z k‖ := sorry

Tactic state before:
case h.right
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
⊢ ‖subdiff k‖ ≤ ↑l * (2 * γ + 2) * ‖z (k + 1) - z k‖

Tactic:
apply le_trans (prod_norm_le_block_sum_L2 (alg.subdiff k))
    obtain lip := alg.lip
    rw [lipschitzWith_iff_norm_sub_le] at lip

Tactic state after:
[case h.right
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 k : ℕ
 lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
 ⊢ ‖(subdiff k).1‖ + ‖(subdiff k).2‖ ≤ ↑l * (2 * γ + 2) * ‖z (k + 1) - z k‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_15.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖) (cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0)
  (dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0) (h_original_goal : ‖(subdiff k).1‖ ≤ ↑l * (γ + 1) * ‖z (k + 1) - z k‖) :
  ‖(alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1)) - grad_fst H (alg.y k) (alg.x k) +
        (gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1))).1‖ ≤
    ↑l * (γ + 1) * ‖z (k + 1) - z k‖ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
⊢ ‖(subdiff k).1‖ ≤ ↑l * (γ + 1) * ‖z (k + 1) - z k‖

Tactic:
simp only [BCD.subdiff, BCD.A_kx, Prod.fst_add, grad_fun_comp, grad_comp, sub_add]
    rw [A_k, A_kx, A_ky]
    simp

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 k : ℕ
 lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
 cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
 dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
 ⊢ ‖(alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1)) - grad_fst H (alg.y k) (alg.x k) +
         (gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1))).1‖ ≤
     ↑l * (γ + 1) * ‖z (k + 1) - z k‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_16.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖) (cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0)
  (dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0) :
  let a := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1));
  ‖a‖ + ‖(gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - gradient H (alg.x k, alg.y k)).1‖ ≤
    ‖a‖ + ‖gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - gradient H (alg.x k, alg.y k)‖ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
⊢ ‖a‖ + ‖(gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - gradient H (alg.x k, alg.y k)).1‖ ≤
    ‖a‖ + ‖gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - gradient H (alg.x k, alg.y k)‖

Tactic:
simp
    rw [← Prod.fst_sub]
    apply fst_norm_le_prod_L2

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_17.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖) (cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0)
  (dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0) :
  let a := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1));
  ‖a‖ = 1 / alg.c k * ‖alg.x k - alg.x (k + 1)‖ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
⊢ ‖a‖ = 1 / alg.c k * ‖alg.x k - alg.x (k + 1)‖

Tactic:
simp [a]
    rw [norm_smul_of_nonneg]
    apply cpos'

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_18.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖) (cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0)
  (dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0) (h1 : ‖(subdiff k).1‖ ≤ ↑l * (γ + 1) * ‖z (k + 1) - z k‖)
  (h_original_goal : ‖(subdiff k).2‖ ≤ ↑l * (γ + 1) * ‖z (k + 1) - z k‖) :
  ‖(alg.d k)⁻¹ • (alg.y k - alg.y (k + 1)) - grad_snd H (alg.x (k + 1)) (alg.y k) +
        (gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1))).2‖ ≤
    ↑l * (γ + 1) * ‖z (k + 1) - z k‖ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
h1 : ‖(subdiff k).1‖ ≤ ↑l * (γ + 1) * ‖z (k + 1) - z k‖
⊢ ‖(subdiff k).2‖ ≤ ↑l * (γ + 1) * ‖z (k + 1) - z k‖

Tactic:
simp only [BCD.subdiff, BCD.A_kx, Prod.fst_add, grad_fun_comp, grad_comp, sub_add]
    rw [A_k, A_kx, A_ky]
    simp

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 k : ℕ
 lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
 cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
 dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
 h1 : ‖(subdiff k).1‖ ≤ ↑l * (γ + 1) * ‖z (k + 1) - z k‖
 ⊢ ‖(alg.d k)⁻¹ • (alg.y k - alg.y (k + 1)) - grad_snd H (alg.x (k + 1)) (alg.y k) +
         (gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1))).2‖ ≤
     ↑l * (γ + 1) * ‖z (k + 1) - z k‖]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_19.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖) (cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0)
  (dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0) (h1 : ‖(subdiff k).1‖ ≤ ↑l * (γ + 1) * ‖z (k + 1) - z k‖) :
  let a := (alg.d k)⁻¹ • (alg.y k - alg.y (k + 1));
  ‖a‖ + ‖(gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - gradient H (alg.x (k + 1), alg.y k)).2‖ ≤
    ‖a‖ + ‖gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - gradient H (alg.x (k + 1), alg.y k)‖ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
h1 : ‖(subdiff k).1‖ ≤ ↑l * (γ + 1) * ‖z (k + 1) - z k‖
a : F := (alg.d k)⁻¹ • (alg.y k - alg.y (k + 1))
⊢ ‖a‖ + ‖(gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - gradient H (alg.x (k + 1), alg.y k)).2‖ ≤
    ‖a‖ + ‖gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - gradient H (alg.x (k + 1), alg.y k)‖

Tactic:
simp
    rw [← Prod.snd_sub]
    apply snd_norm_le_prod_L2

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_20.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖) (cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0)
  (dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0) (h1 : ‖(subdiff k).1‖ ≤ ↑l * (γ + 1) * ‖z (k + 1) - z k‖) :
  let a := (alg.d k)⁻¹ • (alg.y k - alg.y (k + 1));
  ‖a‖ = 1 / alg.d k * ‖alg.y k - alg.y (k + 1)‖ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
h1 : ‖(subdiff k).1‖ ≤ ↑l * (γ + 1) * ‖z (k + 1) - z k‖
a : F := (alg.d k)⁻¹ • (alg.y k - alg.y (k + 1))
⊢ ‖a‖ = 1 / alg.d k * ‖alg.y k - alg.y (k + 1)‖

Tactic:
simp [a]
    rw [norm_smul_of_nonneg]
    apply dpos'

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_21.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖) (cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0)
  (dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0) (h1 : ‖(subdiff k).1‖ ≤ ↑l * (γ + 1) * ‖z (k + 1) - z k‖) :
  let a := (alg.d k)⁻¹ • (alg.y k - alg.y (k + 1));
  ‖a‖ ≤ γ * ↑l * ‖z (k + 1) - z k‖ →
    ↑l * ‖(alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - (alg.x (k + 1), alg.y k)‖ = ↑l * ‖(z (k + 1) - z k).2‖ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
h1 : ‖(subdiff k).1‖ ≤ ↑l * (γ + 1) * ‖z (k + 1) - z k‖
a : F := (alg.d k)⁻¹ • (alg.y k - alg.y (k + 1))
inequ₁ : ‖a‖ ≤ γ * ↑l * ‖z (k + 1) - z k‖
⊢ ↑l * ‖(alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - (alg.x (k + 1), alg.y k)‖ = ↑l * ‖(z (k + 1) - z k).2‖

Tactic:
simp
    left
    repeat rw [z]; simp; apply norm_prod_left_zero

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_22 {α : ℕ → ℕ} (monoa : StrictMono α) (m n : ℕ) (ieqq : m ≤ α n) :
  α n + 1 ≤ α (n + 1) := sorry

Tactic state before:
α : ℕ → ℕ
monoa : StrictMono α
m n : ℕ
ieqq : m ≤ α n
⊢ α n + 1 ≤ α (n + 1)

Tactic:
apply Nat.succ_le_iff.mpr
    apply monoa
    norm_num

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_23.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) ⦃z_ : WithLp 2 (E × F)⦄ (ha : z_ ∈ limit_set z)
  (φ : ℕ → ℕ) (monoφ : StrictMono φ) (conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)) (h_original_goal : z_ ∈ critial_point ψ) :
  Tendsto (fun n => z (φ (n + 1))) atTop (𝓝 z_) ∧
    Tendsto (fun n => ψ ((fun n => z (φ (n + 1))) n)) atTop (𝓝 (ψ z_)) ∧
      ∃ v, ∀ (n : ℕ), v n ∈ f_subdifferential ψ ((fun n => z (φ (n + 1))) n) ∧ Tendsto v atTop (𝓝 0) := sorry

Tactic state before:
case right.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
z_ : WithLp 2 (E × F)
ha : z_ ∈ limit_set z
φ : ℕ → ℕ
monoφ : StrictMono φ
conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)
⊢ z_ ∈ critial_point ψ

Tactic:
apply Set.mem_setOf.mpr
    rw [subdifferential, Set.mem_setOf]
    use fun n ↦ alg.z (φ (n + 1))

Tactic state after:
[case h
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 z_ : WithLp 2 (E × F)
 ha : z_ ∈ limit_set z
 φ : ℕ → ℕ
 monoφ : StrictMono φ
 conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)
 ⊢ Tendsto (fun n => z (φ (n + 1))) atTop (𝓝 z_) ∧
     Tendsto (fun n => ψ ((fun n => z (φ (n + 1))) n)) atTop (𝓝 (ψ z_)) ∧
       ∃ v, ∀ (n : ℕ), v n ∈ f_subdifferential ψ ((fun n => z (φ (n + 1))) n) ∧ Tendsto v atTop (𝓝 0)]