zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_26.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F]
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ))
  (h_original_goal : Tendsto (fun n => (EMetric.infEdist (z n) (limit_set z)).toReal) atTop (𝓝 0)) : False := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
⊢ Tendsto (fun n => (EMetric.infEdist (z n) (limit_set z)).toReal) atTop (𝓝 0)

Tactic:
apply (nhds_basis_Ioo_pos 0).tendsto_right_iff.mpr
    rintro ε epos
    by_contra h

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 ε : ℝ
 epos : 0 < ε
 h : ¬∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, (EMetric.infEdist (z x) (limit_set z)).toReal ∈ Ioo (0 - ε) (0 + ε)
 ⊢ False]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_27.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F]
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (ε : ℝ) (epos : 0 < ε)
  (h :
    ∀ (x : ℕ),
      ∃ x_1,
        x ≤ x_1 ∧
          (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal →
            ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)) :
  let W := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose (h 0)) fun n p => Classical.choose (h (p + 1));
  StrictMono W →
    ∀ z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ),
      ∀ (α : ℕ → ℕ), StrictMono α → Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_) → z_ ∈ limit_set z := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
ε : ℝ
epos : 0 < ε
h :
  ∀ (x : ℕ),
    ∃ x_1,
      x ≤ x_1 ∧
        (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal → ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)
W : ℕ → ℕ := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose ⋯) fun n p => Classical.choose ⋯
monoW : StrictMono W
z_ : WithLp 2 (E × F)
left✝ : z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ)
α : ℕ → ℕ
monoa : StrictMono α
conv : Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_)
⊢ z_ ∈ limit_set z

Tactic:
simp [limit_set, MapClusterPt]
    apply ClusterPt.mono (ClusterPt.of_le_nhds conv)
    calc
  _ = map (fun n ↦ (alg.z ∘ W) n) (map α atTop) := by rw [map_map]; rfl
  _ ≤ map (fun n ↦ (alg.z ∘ W) n) atTop := (map_mono (StrictMono.tendsto_atTop monoa))
  _ ≤ map (fun n ↦ alg.z n) atTop := by rw [← map_map]; apply map_mono (StrictMono.tendsto_atTop monoW)

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_29.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F]
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (ε : ℝ) (epos : 0 < ε)
  (h :
    ∀ (x : ℕ),
      ∃ x_1,
        x ≤ x_1 ∧
          (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal →
            ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)) :
  let W := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose (h 0)) fun n p => Classical.choose (h (p + 1));
  StrictMono W →
    ∀ z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ),
      ∀ (α : ℕ → ℕ),
        StrictMono α →
          Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_) →
            z_ ∈ limit_set z → ∀ (n : ℕ), 1 ≤ n → ε ≤ Metric.infDist (z (W (α n))) (limit_set z) := sorry

Tactic state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
ε : ℝ
epos : 0 < ε
h :
  ∀ (x : ℕ),
    ∃ x_1,
      x ≤ x_1 ∧
        (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal → ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)
W : ℕ → ℕ := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose ⋯) fun n p => Classical.choose ⋯
monoW : StrictMono W
z_ : WithLp 2 (E × F)
left✝ : z_ ∈ closure (z ∘ W '' univ)
α : ℕ → ℕ
monoa : StrictMono α
conv : Tendsto (fun n => (z ∘ W) (α n)) atTop (𝓝 z_)
z_in : z_ ∈ limit_set z
n : ℕ
len : 1 ≤ n
⊢ ε ≤ Metric.infDist (z (W (α n))) (limit_set z)

Tactic:
rw [← tsub_add_cancel_iff_le.mpr (Nat.one_le_of_lt (monoa len))]
    apply (Classical.choose_spec (h (W (α n - 1) + 1))).2
    apply lt_of_le_of_lt' (ENNReal.toReal_nonneg) (neg_neg_iff_pos.mpr epos)

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_30.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ))
  (h_original_goal : IsPreconnected (limit_set z)) : False := sorry

Tactic state before:
case right.right
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
⊢ IsPreconnected (limit_set z)

Tactic:
rw [isPreconnected_closed_iff]
    by_contra nonconnect
    push_neg at nonconnect

Tactic state after:
[case right.right
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 nonconnect :
   ∃ t t',
     IsClosed t ∧
       IsClosed t' ∧
         limit_set z ⊆ t ∪ t' ∧ (limit_set z ∩ t).Nonempty ∧ (limit_set z ∩ t').Nonempty ∧ limit_set z ∩ (t ∩ t') = ∅
 ⊢ False]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_31.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (a b : Set (WithLp 2 (E × F)))
  (closea : IsClosed a) (closeb : IsClosed b) (sub_ab : limit_set z ⊆ a ∪ b) (nez_a : (limit_set z ∩ a).Nonempty)
  (nez_b : (limit_set z ∩ b).Nonempty) (nz_ab : limit_set z ∩ (a ∩ b) = ∅) :
  let A := limit_set z ∩ a;
  let B := limit_set z ∩ b;
  A ∪ B = limit_set z := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
a b : Set (WithLp 2 (E × F))
closea : IsClosed a
closeb : IsClosed b
sub_ab : limit_set z ⊆ a ∪ b
nez_a : (limit_set z ∩ a).Nonempty
nez_b : (limit_set z ∩ b).Nonempty
nz_ab : limit_set z ∩ (a ∩ b) = ∅
A : Set (WithLp 2 (E × F)) := limit_set z ∩ a
B : Set (WithLp 2 (E × F)) := limit_set z ∩ b
⊢ A ∪ B = limit_set z

Tactic:
simp [A, B]
    rw [← inter_union_distrib_left (limit_set z) a b, left_eq_inter.mpr sub_ab]
    simp

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_47.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (ψ_final : ℝ)
  (hψ : Tendsto (ψ ∘ z) atTop (𝓝 ψ_final)) (z_1 : WithLp 2 (E × F)) (hz_1 : z_1 ∈ limit_set z) (φ : ℕ → ℕ)
  (monoφ : StrictMono φ) (conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_1)) : Tendsto (ψ ∘ z ∘ φ) atTop (𝓝 ψ_final) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
ψ_final : ℝ
hψ : Tendsto (ψ ∘ z) atTop (𝓝 ψ_final)
z_1 : WithLp 2 (E × F)
hz_1 : z_1 ∈ limit_set z
φ : ℕ → ℕ
monoφ : StrictMono φ
conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_1)
⊢ Tendsto (ψ ∘ z ∘ φ) atTop (𝓝 ψ_final)

Tactic:
apply le_trans _ hψ
    rw [← Filter.map_map]
    apply map_mono $ StrictMono.tendsto_atTop monoφ

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_48 (a : NNReal) (ha : ↑a > 0) (b : NNReal) (hb : ↑b < ⊤)
  (hm : 1 ≤ ENNReal.ofReal ↑a * ↑b) (h_original_goal : ↑a * (↑b).toReal ≥ 1) : 1 ≤ ↑(a * b) := sorry

Tactic state before:
case intro.intro
a : NNReal
ha : ↑a > 0
b : NNReal
hb : ↑b < ⊤
hm : 1 ≤ ENNReal.ofReal ↑a * ↑b
⊢ ↑a * (↑b).toReal ≥ 1

Tactic:
simp at hm
    simp
    rw [← NNReal.coe_mul]

Tactic state after:
[case intro.intro
 a : NNReal
 ha : ↑a > 0
 b : NNReal
 hb : ↑b < ⊤
 hm : 1 ≤ ↑a * ↑b
 ⊢ 1 ≤ ↑(a * b)]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_49.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (hψ : KL_function ψ) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (z_ : WithLp 2 (E × F))
  (left : z_ ∈ closure (z '' univ)) (α : ℕ → ℕ) (monoa : StrictMono α) (conv : Tendsto (fun n => z (α n)) atTop (𝓝 z_))
  (ρ1 : ℝ) (ρ1pos : ρ1 > 0)
  (suff_des : ρ1 = (γ - 1) * ↑l ∧ ∀ (k : ℕ), ρ1 / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1))) :
  z_ ∈ limit_set z := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
hψ : KL_function ψ
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
z_ : WithLp 2 (E × F)
left✝ : z_ ∈ closure (z '' univ)
α : ℕ → ℕ
monoa : StrictMono α
conv : Tendsto (fun n => z (α n)) atTop (𝓝 z_)
ρ1 : ℝ
ρ1pos : ρ1 > 0
suff_des : ρ1 = (γ - 1) * ↑l ∧ ∀ (k : ℕ), ρ1 / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1))
⊢ z_ ∈ limit_set z

Tactic:
simp [limit_set, MapClusterPt]
    apply ClusterPt.mono (ClusterPt.of_le_nhds conv)
    calc
  _ = map (fun n ↦ alg.z n) (map α atTop) := by rw [map_map]; rfl
  _ ≤ map (fun n ↦ alg.z n) atTop := map_mono (StrictMono.tendsto_atTop monoa)

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_50.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (hψ : KL_function ψ) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (z_ : WithLp 2 (E × F))
  (left : z_ ∈ closure (z '' univ)) (α : ℕ → ℕ) (monoa : StrictMono α) (conv : Tendsto (fun n => z (α n)) atTop (𝓝 z_))
  (ρ1 : ℝ) (ρ1pos : ρ1 > 0)
  (suff_des : ρ1 = (γ - 1) * ↑l ∧ ∀ (k : ℕ), ρ1 / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))
  (z_in : z_ ∈ limit_set z) (m n : ℕ) (ieqq : m ≤ α n) : α n + 1 ≤ α (n + 1) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
hψ : KL_function ψ
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
z_ : WithLp 2 (E × F)
left✝ : z_ ∈ closure (z '' univ)
α : ℕ → ℕ
monoa : StrictMono α
conv : Tendsto (fun n => z (α n)) atTop (𝓝 z_)
ρ1 : ℝ
ρ1pos : ρ1 > 0
suff_des : ρ1 = (γ - 1) * ↑l ∧ ∀ (k : ℕ), ρ1 / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1))
z_in : z_ ∈ limit_set z
m n : ℕ
ieqq : m ≤ α n
⊢ α n + 1 ≤ α (n + 1)

Tactic:
apply Nat.succ_le_iff.mpr
    apply monoa
    norm_num

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_61.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (hψ : KL_function ψ) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ))
  (h_original_goal : ∃ z_, Tendsto z atTop (𝓝 z_)) : Summable fun n => dist (z n) (z n.succ) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
hψ : KL_function ψ
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
⊢ ∃ z_, Tendsto z atTop (𝓝 z_)

Tactic:
apply cauchySeq_tendsto_of_complete
    apply cauchySeq_of_summable_dist
    rcases Limited_length γ hγ ck dk bd hψ lbdψ with ⟨M, sumle⟩

Tactic state after:
[case H.h.intro
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 hψ : KL_function ψ
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 M : ℝ
 sumle : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ≤ M
 ⊢ Summable fun n => dist (z n) (z n.succ)]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology BCD

open BCD

theorem extracted_formal_statement_62.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (hψ : KL_function ψ) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (M : ℝ)
  (sumle : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ≤ M)
  (h_original_goal : Summable fun n => dist (z n) (z n.succ)) (n : ℕ) :
  ∑ i ∈ Finset.range n, dist (z i) (z i.succ) ≤ M := sorry

Tactic state before:
case H.h.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
hψ : KL_function ψ
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
M : ℝ
sumle : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ≤ M
⊢ Summable fun n => dist (z n) (z n.succ)

Tactic:
apply @summable_of_sum_range_le _ M _ _
    intro n
    simp

Tactic state after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 hψ : KL_function ψ
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 M : ℝ
 sumle : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ≤ M
 n : ℕ
 ⊢ 0 ≤ dist (z n) (z (n + 1)),
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 hψ : KL_function ψ
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 M : ℝ
 sumle : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ≤ M
 ⊢ ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, dist (z i) (z i.succ) ≤ M]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open BCD

theorem extracted_formal_statement_0.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : NormedAddCommGroup F] [inst_3 : InnerProductSpace ℝ F]
  {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ} (h : Differentiable ℝ H) : Differentiable ℝ H := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
h : Differentiable ℝ H
⊢ Differentiable ℝ H

Tactic:
apply Differentiable.comp h
    apply IsBoundedLinearMap.differentiable
    exact instIsBoundedLinearMapL2equiv

Tactic state after: