zzhisthebest/LeanBenchmark huggingface dataset:
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology

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open BCD

theorem extracted_formal_statement_1.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ} (h : Differentiable ℝ H)
  (z : WithLp 2 (E × F)) (h₁ : HasGradientAt (fun y => H (z.1, y)) (grad_snd H z.1 z.2) z.2) ⦃c : ℝ⦄ (hc : 0 < c)
  (h₃ : ∀ᶠ (x : WithLp 2 (E × F)) in 𝓝 z, ‖H x - H z - inner (gradient H z) (x - z)‖ ≤ c * ‖x - z‖)
  (h₃' :
    ∀ᶠ (x' : E) in 𝓝 z.1,
      ∀ᶠ (y' : F) in 𝓝 z.2, ‖H (x', y') - H z - inner (gradient H z) ((x', y') - z)‖ ≤ c * ‖(x', y') - z‖)
  (v : Set F) (hv1 : v ∈ 𝓝 z.2) (y : F) (yv : y ∈ v) (this : z = (z.1, z.2))
  (hv2 : |H (z.1, y) - H z - inner (gradient H z).2 (y - z.2)| ≤ c * ‖(z.1 - z.1, y - z.2)‖) :
  ‖H (z.1, y) - H (z.1, z.2) - inner (gradient H z).2 (y - z.2)‖ ≤ c * ‖y - z.2‖ := sorry

Tactic state before:
case h.right
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
h : Differentiable ℝ H
z : WithLp 2 (E × F)
h₁ : HasGradientAt (fun y => H (z.1, y)) (grad_snd H z.1 z.2) z.2
c : ℝ
hc : 0 < c
h₃ : ∀ᶠ (x : WithLp 2 (E × F)) in 𝓝 z, ‖H x - H z - inner (gradient H z) (x - z)‖ ≤ c * ‖x - z‖
h₃' :
  ∀ᶠ (x' : E) in 𝓝 z.1,
    ∀ᶠ (y' : F) in 𝓝 z.2, ‖H (x', y') - H z - inner (gradient H z) ((x', y') - z)‖ ≤ c * ‖(x', y') - z‖
v : Set F
hv1 : v ∈ 𝓝 z.2
y : F
yv : y ∈ v
this : z = (z.1, z.2)
hv2 : |H (z.1, y) - H z - inner (gradient H z).2 (y - z.2)| ≤ c * ‖(z.1 - z.1, y - z.2)‖
⊢ ‖H (z.1, y) - H (z.1, z.2) - inner (gradient H z).2 (y - z.2)‖ ≤ c * ‖y - z.2‖

Tactic:
simp at hv2
    rw [norm_prod_left_zero] at hv2
    exact hv2

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


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open BCD

theorem extracted_formal_statement_2.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ} {l : NNReal}
  (h : Differentiable ℝ H) (hl : LipschitzWith l (gradient H)) : LipschitzWith l fun z => grad_fst H z.2 z.1 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
l : NNReal
h : Differentiable ℝ H
hl : LipschitzWith l (gradient H)
⊢ LipschitzWith l fun z => grad_fst H z.2 z.1

Tactic:
rw [lipschitzWith_iff_norm_sub_le] at *
    intro z z'
    calc
  _ = ‖(gradient H z).1 - (gradient H z').1‖ := by rw [grad_fst_eq h, grad_fst_eq h]
  _ = ‖(gradient H z - gradient H z').1‖ := rfl
  _ ≤ ‖(gradient H z - gradient H z')‖ := (fst_norm_le_prod_L2 _)
  _ ≤ _ := hl z z'

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


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open BCD

theorem extracted_formal_statement_3.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ} {l : NNReal}
  (h : Differentiable ℝ H) (hl : LipschitzWith l (gradient H)) : LipschitzWith l fun z => grad_snd H z.1 z.2 := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
l : NNReal
h : Differentiable ℝ H
hl : LipschitzWith l (gradient H)
⊢ LipschitzWith l fun z => grad_snd H z.1 z.2

Tactic:
rw [lipschitzWith_iff_norm_sub_le] at *
    intro z z'
    calc
  _ = ‖(gradient H z).2 - (gradient H z').2‖ := by rw [grad_snd_eq h, grad_snd_eq h]
  _ = ‖(gradient H z - gradient H z').2‖ := rfl
  _ ≤ ‖(gradient H z - gradient H z')‖ := (snd_norm_le_prod_L2 _)
  _ ≤ _ := hl z z'

Tactic state after:
import Mathlib
import Optlib


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open BCD

theorem extracted_formal_statement_4 {a b : ℝ} : a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2) := sorry

Tactic state before:
case mk
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : ProperSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : ProperSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
x : E
y : F
r : ℝ
h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
x' : E
y' : F
hball : (x', y') ∈ Metric.closedBall (x, y) r
⊢ (x', y') ∈ Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r

Tactic:
rw [mem_prod]
    simp only [mem_closedBall_iff_norm, WithLp.prod_norm_eq_of_L2] at *
    constructor

Tactic state after:
[case mk.left
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : ProperSpace E
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : CompleteSpace F
 inst✝ : ProperSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 x : E
 y : F
 r : ℝ
 h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
 this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
 x' : E
 y' : F
 hball : √(‖((x', y') - (x, y)).1‖ ^ 2 + ‖((x', y') - (x, y)).2‖ ^ 2) ≤ r
 ⊢ ‖x' - x‖ ≤ r,
 case mk.right
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : ProperSpace E
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : CompleteSpace F
 inst✝ : ProperSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 x : E
 y : F
 r : ℝ
 h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
 this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
 x' : E
 y' : F
 hball : √(‖((x', y') - (x, y)).1‖ ^ 2 + ‖((x', y') - (x, y)).2‖ ^ 2) ≤ r
 ⊢ ‖y' - y‖ ≤ r]
import Mathlib
import Optlib


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open BCD

theorem extracted_formal_statement_5.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : CompleteSpace E] [inst_2 : ProperSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F] [inst_4 : CompleteSpace F]
  [inst_5 : ProperSpace F] (x : E) (y : F) (r : ℝ) (h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r))
  (x' : E) (y' : F) (hball : (x', y') ∈ Metric.closedBall (x, y) r)
  (h_original_goal : (x', y') ∈ Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r) : ‖x' - x‖ ≤ r := sorry

Tactic state before:
case mk
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : ProperSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : ProperSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
x : E
y : F
r : ℝ
h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
x' : E
y' : F
hball : (x', y') ∈ Metric.closedBall (x, y) r
⊢ (x', y') ∈ Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r

Tactic:
rw [mem_prod]
    simp only [mem_closedBall_iff_norm, WithLp.prod_norm_eq_of_L2] at *
    constructor

Tactic state after:
[case mk.left
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : ProperSpace E
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : CompleteSpace F
 inst✝ : ProperSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 x : E
 y : F
 r : ℝ
 h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
 this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
 x' : E
 y' : F
 hball : √(‖((x', y') - (x, y)).1‖ ^ 2 + ‖((x', y') - (x, y)).2‖ ^ 2) ≤ r
 ⊢ ‖x' - x‖ ≤ r,
 case mk.right
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : ProperSpace E
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : CompleteSpace F
 inst✝ : ProperSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 x : E
 y : F
 r : ℝ
 h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
 this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
 x' : E
 y' : F
 hball : √(‖((x', y') - (x, y)).1‖ ^ 2 + ‖((x', y') - (x, y)).2‖ ^ 2) ≤ r
 ⊢ ‖y' - y‖ ≤ r]
import Mathlib
import Optlib


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open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open BCD

theorem extracted_formal_statement_6 {a b : ℝ} : a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2) := sorry

Tactic state before:
case mk
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : ProperSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : ProperSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
x : E
y : F
r : ℝ
h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
x' : E
y' : F
hball : (x', y') ∈ Metric.closedBall (x, y) r
⊢ (x', y') ∈ Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r

Tactic:
rw [mem_prod]
    simp only [mem_closedBall_iff_norm, WithLp.prod_norm_eq_of_L2] at *
    constructor

Tactic state after:
[case mk.left
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : ProperSpace E
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : CompleteSpace F
 inst✝ : ProperSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 x : E
 y : F
 r : ℝ
 h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
 this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
 x' : E
 y' : F
 hball : √(‖((x', y') - (x, y)).1‖ ^ 2 + ‖((x', y') - (x, y)).2‖ ^ 2) ≤ r
 ⊢ ‖x' - x‖ ≤ r,
 case mk.right
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : ProperSpace E
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : CompleteSpace F
 inst✝ : ProperSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 x : E
 y : F
 r : ℝ
 h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
 this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
 x' : E
 y' : F
 hball : √(‖((x', y') - (x, y)).1‖ ^ 2 + ‖((x', y') - (x, y)).2‖ ^ 2) ≤ r
 ⊢ ‖y' - y‖ ≤ r]
import Mathlib
import Optlib


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open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open BCD

theorem extracted_formal_statement_7.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : CompleteSpace E] [inst_2 : ProperSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F] [inst_4 : CompleteSpace F]
  [inst_5 : ProperSpace F] (x : E) (y : F) (r : ℝ) (h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r))
  (x' : E) (y' : F) (hball : (x', y') ∈ Metric.closedBall (x, y) r)
  (h_original_goal : (x', y') ∈ Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r) : ‖y' - y‖ ≤ r := sorry

Tactic state before:
case mk
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : ProperSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : ProperSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
x : E
y : F
r : ℝ
h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
x' : E
y' : F
hball : (x', y') ∈ Metric.closedBall (x, y) r
⊢ (x', y') ∈ Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r

Tactic:
rw [mem_prod]
    simp only [mem_closedBall_iff_norm, WithLp.prod_norm_eq_of_L2] at *
    constructor

Tactic state after:
[case mk.left
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : ProperSpace E
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : CompleteSpace F
 inst✝ : ProperSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 x : E
 y : F
 r : ℝ
 h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
 this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
 x' : E
 y' : F
 hball : √(‖((x', y') - (x, y)).1‖ ^ 2 + ‖((x', y') - (x, y)).2‖ ^ 2) ≤ r
 ⊢ ‖x' - x‖ ≤ r,
 case mk.right
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : ProperSpace E
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : CompleteSpace F
 inst✝ : ProperSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 x : E
 y : F
 r : ℝ
 h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
 this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
 x' : E
 y' : F
 hball : √(‖((x', y') - (x, y)).1‖ ^ 2 + ‖((x', y') - (x, y)).2‖ ^ 2) ≤ r
 ⊢ ‖y' - y‖ ≤ r]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open BCD

theorem extracted_formal_statement_8.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (k : ℕ) (ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (h_original_goal : 0 < 1 / (γ * ↑l)) : 0 < γ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
k : ℕ
ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
⊢ 0 < 1 / (γ * ↑l)

Tactic:
apply div_pos
    norm_num
    apply mul_pos

Tactic state after:
[case hb.ha
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 k : ℕ
 ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 ⊢ 0 < γ,
 case hb.hb
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 k : ℕ
 ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 ⊢ 0 < ↑l]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open BCD

theorem extracted_formal_statement_9.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (k : ℕ) (ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (h_original_goal : 0 < 1 / (γ * ↑l)) : 0 < ↑l := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
k : ℕ
ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
⊢ 0 < 1 / (γ * ↑l)

Tactic:
apply div_pos
    norm_num
    apply mul_pos

Tactic state after:
[case hb.ha
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 k : ℕ
 ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 ⊢ 0 < γ,
 case hb.hb
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 k : ℕ
 ck : alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 ⊢ 0 < ↑l]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open BCD

theorem extracted_formal_statement_10.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (k : ℕ) (dk : alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (h_original_goal : 0 < 1 / (γ * ↑l)) : 0 < γ := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
k : ℕ
dk : alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
⊢ 0 < 1 / (γ * ↑l)

Tactic:
apply div_pos
    norm_num
    apply mul_pos

Tactic state after:
[case hb.ha
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 k : ℕ
 dk : alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 ⊢ 0 < γ,
 case hb.hb
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 k : ℕ
 dk : alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 ⊢ 0 < ↑l]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open BCD

theorem extracted_formal_statement_11.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (k : ℕ) (dk : alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (h_original_goal : 0 < 1 / (γ * ↑l)) : 0 < ↑l := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
k : ℕ
dk : alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
⊢ 0 < 1 / (γ * ↑l)

Tactic:
apply div_pos
    norm_num
    apply mul_pos

Tactic state after:
[case hb.ha
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 k : ℕ
 dk : alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 ⊢ 0 < γ,
 case hb.hb
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 k : ℕ
 dk : alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 ⊢ 0 < ↑l]
import Mathlib
import Optlib


open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open Set Bornology Filter BigOperators Topology

open BCD

theorem extracted_formal_statement_12.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} (h : LipschitzWith l (grad_fun_comp H))
  (h_original_goal : (∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)) ∧ ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)) (x : E) :
  LipschitzWith l (grad_snd H x) := sorry

Tactic state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
self : BCD f g H l x0 y0
h : LipschitzWith l (grad_fun_comp H)
⊢ (∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)) ∧ ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)

Tactic:
rw [lipschitzWith_iff_norm_sub_le] at h
    constructor
    ·
  intro y
  to_theorem rw [lipschitzWith_iff_norm_sub_le]intro x1 x2 obtain h := h (x1, y) (x2, y);
  simp [grad_fun_comp, grad_comp] at h
  to_theorem apply le_trans (fst_norm_le_prod_L2 _)at h simp at h;rwa [sub_prod, sub_self, norm_prod_right_zero] at h;

Tactic state after:
[case right
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 self : BCD f g H l x0 y0
 h : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖grad_fun_comp H x - grad_fun_comp H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
 ⊢ ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)]