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open MeasureTheory ProbabilityTheory

theorem extracted_formal_statement_76.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Ω → 𝓧} (hX'' : Measurable X') {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ} {c' : Fin m → ℝ}
  (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1)
  (hX''' : ∀ (i : Fin m), Measurable fun ω => X' (ω i)) :
  let Y := fun k Xk =>
    ∫ (x : Fin m → Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' (ω i)) x ∂Measure.pi fun x => μ;
  let A := fun k Xk =>
    ⨅ x,
      ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
          x_1 ∂Measure.pi fun x => μ;
  let B := fun k Xk =>
    ⨆ x,
      ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
          x_1 ∂Measure.pi fun x => μ;
  (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
      Y k.succ (Fin.snoc Xk x) =
        ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
          (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
            x_1 ∂Measure.pi fun x => μ) →
    ∀ (x₀ : 𝓧),
      let bdf := |f' fun x => x₀| + ∑ i, c' i;
      (∀ (xi : Fin m → 𝓧), |f' xi| ≤ bdf) →
        (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
            Integrable (fun a => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (a i))
              (Measure.pi fun x => μ)) →
          (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧), A k Xk ≤ Y k.succ (Fin.snoc Xk x)) →
            (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧),
                𝓧 →
                  BddAbove
                    (Set.range fun x =>
                      ∫ (a : Fin m → Ω),
                        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
                          a ∂Measure.pi fun x => μ)) →
              (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧), B k Xk ≥ Y k.succ (Fin.snoc Xk x)) →
                (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), B k Xk ≤ A k Xk + c' k) →
                  (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧),
                      (∫ (ω : Fin m → Ω), Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' (ω k))) ∂Measure.pi fun x => μ) = Y k.castSucc Xk) →
                    (∀ (k : Fin m.succ), Measurable (Y k)) →
                      (∀ (k : Fin m.succ) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), |Y k Xk| ≤ bdf) →
                        let V := fun k Xk ω => Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' (ω k))) - Y k.castSucc Xk;
                        ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧),
                          (Measurable fun x => Fin.snoc Xk (X' (x k))) →
                            (∫ (x : Fin m → Ω), V k Xk x ∂Measure.pi fun x => μ) =
                              (∫ (ω : Fin m → Ω), Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' (ω k))) ∂Measure.pi fun x => μ) -
                                ∫ (x : Fin m → Ω), Y k.castSucc Xk ∂Measure.pi fun x => μ := sorry

Tactic state before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Ω → 𝓧
hX'' : Measurable X'
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε ≥ 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
hX''' : ∀ (i : Fin m), Measurable fun ω => X' (ω i)
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ∫ (x : Fin m → Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' (ω i)) x ∂Measure.pi fun x => μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x,
      ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
          x_1 ∂Measure.pi fun x => μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x,
      ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
          x_1 ∂Measure.pi fun x => μ
AB_rw :
  ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
    Y k.succ (Fin.snoc Xk x) =
      ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
          x_1 ∂Measure.pi fun x => μ
x₀ : 𝓧
bdf : ℝ := |f' fun x => x₀| + ∑ i, c' i
hfbdd : ∀ (xi : Fin m → 𝓧), |f' xi| ≤ bdf
hintegrableAB :
  ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
    Integrable (fun a => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (a i))
      (Measure.pi fun x => μ)
hAY : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧), A k Xk ≤ Y k.succ (Fin.snoc Xk x)
hBddAbove :
  ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧),
    𝓧 →
      BddAbove
        (Set.range fun x =>
          ∫ (a : Fin m → Ω),
            (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
              a ∂Measure.pi fun x => μ)
hYB : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧), B k Xk ≥ Y k.succ (Fin.snoc Xk x)
hAB : ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), B k Xk ≤ A k Xk + c' k
hmartigale :
  ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧),
    (∫ (ω : Fin m → Ω), Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' (ω k))) ∂Measure.pi fun x => μ) = Y k.castSucc Xk
hmeasurableY : ∀ (k : Fin m.succ), Measurable (Y k)
hYbdd : ∀ (k : Fin m.succ) (Xk : Fin ↑k → 𝓧), |Y k Xk| ≤ bdf
V : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → (Fin m → Ω) → ℝ := fun k Xk ω => Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' (ω k))) - Y k.castSucc Xk
t'' : ℝ := 4 * ε * t
ht'' : t'' ≥ 0
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
a : ℝ := A k Xk - Y k.castSucc Xk
b : ℝ := B k Xk - Y k.castSucc Xk
hmeasurable : Measurable fun x => Fin.snoc Xk (X' (x k))
⊢ (∫ (x : Fin m → Ω), V k Xk x ∂Measure.pi fun x => μ) =
    (∫ (ω : Fin m → Ω), Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' (ω k))) ∂Measure.pi fun x => μ) -
      ∫ (x : Fin m → Ω), Y k.castSucc Xk ∂Measure.pi fun x => μ

Tactic:
apply integral_sub
    ·
  constructor
  · apply aestronglyMeasurable_iff_aemeasurable.mpr
    apply Measurable.comp_aemeasurable'
    · exact hmeasurableY k.succ
    · apply Measurable.aemeasurable
      exact hmeasurable
  · apply MeasureTheory.hasFiniteIntegral_of_bounded _
    exact max (B k Xk) (-(A k Xk))
    filter_upwards with ω
    calc
      _ ≤ max (Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' (ω k)))) (-Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' (ω k)))) :=
        Preorder.le_refl ‖Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' (ω k)))‖
      _ ≤ max (Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' (ω k)))) (-(A k Xk)) :=
        by
        apply max_le_max_left (Y k.succ (Fin.snoc Xk (X' (ω k))))
        exact neg_le_neg_iff.mpr (hAY k Xk (X' (ω k)))
      _ ≤ _ := max_le_max_right (-A k Xk) (hYB k Xk (X' (ω k)))
    · exact integrable_const (Y k.castSucc Xk)

Tactic state after: