-- File: optlib/Optlib/Algorithm/ADMM/Lemma.lean
Theorem statement:
theorem extracted_formal_statement_75.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} (n : ℕ+)
  (h_original_goal : SubderivAt (fun x => OptProblem.f₁ E₂ F (ADMM.x₁ E₂ F ↑n)) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) = 0) :
  HasGradientAt (fun x => OptProblem.f₁ E₂ F (ADMM.x₁ E₂ F ↑n)) 0 (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
n : ℕ+
⊢ SubderivAt (fun x => OptProblem.f₁ E₂ F (ADMM.x₁ E₂ F ↑n)) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) = 0

Tactic: apply SubderivAt_eq_gradient (convexOn_const (f₁ (x₁ n)) (convex_univ))

Tactic state after:
[E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 n : ℕ+
 ⊢ HasGradientAt (fun x => OptProblem.f₁ E₂ F (ADMM.x₁ E₂ F ↑n)) 0 (ADMM.x₂ E₁ F ↑n)]

Premises used:
convexOn_const : ∀ {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} {β : Type u_5} [inst : OrderedSemiring 𝕜] [inst_9 : AddCommMonoid E]
  [inst_10 : OrderedAddCommMonoid β] [inst_11 : SMul 𝕜 E] [inst_12 : Module 𝕜 β] {s : Set E} (c : β),
  Convex 𝕜 s → ConvexOn 𝕜 s fun x => c
SubderivAt_eq_gradient : ∀ {E : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_9 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_10 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {x f'x : E},
  ConvexOn ℝ univ f → HasGradientAt f f'x x → SubderivAt f x = {f'x}
convex_univ : ∀ {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_2} [inst : OrderedSemiring 𝕜] [inst_9 : AddCommMonoid E]
  [inst_10 : SMul 𝕜 E], Convex 𝕜 univ