-- File: optlib/Optlib/Algorithm/ADMM/Lemma.lean
Theorem statement:
theorem extracted_formal_statement_303.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt]
  (htau : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F ∧ ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1) (n : ℕ+) :
  let e_y_n := 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey ↑n‖ ^ 2;
  let e_y_n1 := 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey (↑n + 1)‖ ^ 2;
  let A2_e2_n := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2;
  let A2_e2_n1 := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2;
  let Ae_Ae_n := (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2;
  let A_diff_x' := ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n - ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1))‖ ^ 2;
  let t_A_diff_x := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n - ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1))‖ ^ 2;
  let t_A_diff_x' := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)‖ ^ 2;
  let tt_A_diff_x' :=
    (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n - ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1))‖ ^ 2;
  e_y_n + A2_e2_n - e_y_n1 - A2_e2_n1 -
              (2 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
                ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) -
                      OptProblem.b E₁ E₂‖ ^
                  2 +
            tt_A_diff_x' +
          Ae_Ae_n -
        t_A_diff_x' =
      e_y_n + A2_e2_n - e_y_n1 - A2_e2_n1 -
                  (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
                    ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2 +
                Ae_Ae_n -
              ADMM.ρ E₁ E₂ F *
                ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) -
                      OptProblem.b E₁ E₂‖ ^
                  2 +
            t_A_diff_x -
          A_diff_x' -
        t_A_diff_x' →
    e_y_n + A2_e2_n - e_y_n1 - A2_e2_n1 -
              (2 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
                ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) -
                      OptProblem.b E₁ E₂‖ ^
                  2 +
            tt_A_diff_x' +
          Ae_Ae_n -
        t_A_diff_x' =
      e_y_n + A2_e2_n - e_y_n1 - A2_e2_n1 -
                  (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
                    ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) -
                          OptProblem.b E₁ E₂‖ ^
                      2 +
                Ae_Ae_n -
              ADMM.ρ E₁ E₂ F *
                ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) -
                      OptProblem.b E₁ E₂‖ ^
                  2 +
            t_A_diff_x -
          A_diff_x' -
        t_A_diff_x' := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
htau : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F ∧ ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1
n : ℕ+
e_y_n : ℝ := 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey ↑n‖ ^ 2
e_y_n1 : ℝ := 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey (↑n + 1)‖ ^ 2
A2_e2_n : ℝ := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2
A2_e2_n1 : ℝ := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2
Ae_Ae_n : ℝ := (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2
Ae_Ae_n1 : ℝ :=
  (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2
Ax_Ax_n1 : ℝ :=
  ADMM.ρ E₁ E₂ F *
    ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) - OptProblem.b E₁ E₂‖ ^ 2
t_Ax_Ax_n1 : ℝ :=
  (2 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
    ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) - OptProblem.b E₁ E₂‖ ^ 2
tt_Ax_Ax_n : ℝ :=
  (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
    ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂‖ ^ 2
A_diff_x : ℝ := ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)‖ ^ 2
A_diff_x' : ℝ := ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n - ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1))‖ ^ 2
t_A_diff_x : ℝ := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n - ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1))‖ ^ 2
t_A_diff_x' : ℝ := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)‖ ^ 2
tt_A_diff_x' : ℝ :=
  (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n - ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1))‖ ^ 2
ey_diff : ℝ := 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * (‖ey ↑n‖ ^ 2 - ‖ey (↑n + 1)‖ ^ 2)
⊢ e_y_n + A2_e2_n - e_y_n1 - A2_e2_n1 -
            (2 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
              ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) -
                    OptProblem.b E₁ E₂‖ ^
                2 +
          tt_A_diff_x' +
        Ae_Ae_n -
      t_A_diff_x' =
    e_y_n + A2_e2_n - e_y_n1 - A2_e2_n1 -
                (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
                  ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2 +
              Ae_Ae_n -
            ADMM.ρ E₁ E₂ F *
              ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) -
                    OptProblem.b E₁ E₂‖ ^
                2 +
          t_A_diff_x -
        A_diff_x' -
      t_A_diff_x'

Tactic: rw [← Φ_isdescending_eq3 n]

Tactic state after:
[E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 htau : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F ∧ ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1
 n : ℕ+
 e_y_n : ℝ := 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey ↑n‖ ^ 2
 e_y_n1 : ℝ := 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ‖ey (↑n + 1)‖ ^ 2
 A2_e2_n : ℝ := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2
 A2_e2_n1 : ℝ := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2
 Ae_Ae_n : ℝ := (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ ↑n)‖ ^ 2
 Ae_Ae_n1 : ℝ :=
   (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))‖ ^ 2
 Ax_Ax_n1 : ℝ :=
   ADMM.ρ E₁ E₂ F *
     ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) - OptProblem.b E₁ E₂‖ ^ 2
 t_Ax_Ax_n1 : ℝ :=
   (2 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
     ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) - OptProblem.b E₁ E₂‖ ^ 2
 tt_Ax_Ax_n : ℝ :=
   (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
     ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂‖ ^ 2
 A_diff_x : ℝ := ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)‖ ^ 2
 A_diff_x' : ℝ := ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n - ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1))‖ ^ 2
 t_A_diff_x : ℝ := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n - ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1))‖ ^ 2
 t_A_diff_x' : ℝ := ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)‖ ^ 2
 tt_A_diff_x' : ℝ :=
   (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n - ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1))‖ ^ 2
 ey_diff : ℝ := 1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * (‖ey ↑n‖ ^ 2 - ‖ey (↑n + 1)‖ ^ 2)
 ⊢ e_y_n + A2_e2_n - e_y_n1 - A2_e2_n1 -
             (2 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
               ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) -
                     OptProblem.b E₁ E₂‖ ^
                 2 +
           tt_A_diff_x' +
         Ae_Ae_n -
       t_A_diff_x' =
     e_y_n + A2_e2_n - e_y_n1 - A2_e2_n1 -
                 (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
                   ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) -
                         OptProblem.b E₁ E₂‖ ^
                     2 +
               Ae_Ae_n -
             ADMM.ρ E₁ E₂ F *
               ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) -
                     OptProblem.b E₁ E₂‖ ^
                 2 +
           t_A_diff_x -
         A_diff_x' -
       t_A_diff_x']

Premises used: