-- File: optlib/Optlib/Algorithm/ADMM/Lemma.lean
Theorem statement:
theorem extracted_formal_statement_192.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} (n : ℕ) :
  ADMM.ρ E₁ E₂ F • ((OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (n + 1)) - (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F n)) =
    -1 • ADMM.ρ E₁ E₂ F • ((OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F n) - (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (n + 1))) := sorry

Tactic state before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
n : ℕ
A_e_sum : F := (OptProblem.A₁ E₂) (e₁ (n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (n + 1))
A_x_sum : F := -(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F n - ADMM.x₂ E₁ F (n + 1))
ey' : F := ey (n + 1)
Ae1 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (e₁ (n + 1))
Ae2 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (n + 1))
⊢ ADMM.ρ E₁ E₂ F • ((OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (n + 1)) - (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F n)) =
    -1 • ADMM.ρ E₁ E₂ F • ((OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F n) - (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (n + 1)))

Tactic: rw [smul_comm, neg_one_smul, neg_sub]

Tactic state after:

Premises used:
neg_sub : ∀ {α : Type u_1} [inst : SubtractionMonoid α] (a b : α), -(a - b) = b - a
neg_one_smul : ∀ (R : Type u_1) {M : Type u_3} [inst : Ring R] [inst_9 : AddCommGroup M] [inst_10 : Module R M] (x : M),
  -1 • x = -x
SMulCommClass.smul_comm : ∀ {M : Type u_9} {N : Type u_10} {α : Type u_11} {inst : SMul M α} {inst_9 : SMul N α}
  [self : SMulCommClass M N α] (m : M) (n : N) (a : α), m • n • a = n • m • a