theorem extracted_formal_statement_0.{u_5, u_4} {α : Type u_4} {β : Type u_5} [inst : NormedAddCommGroup α]
  [inst_1 : NormedAddCommGroup β] [inst_2 : InnerProductSpace ℝ α] [inst_3 : InnerProductSpace ℝ β]
  [inst_4 : CompleteSpace α] [inst_5 : CompleteSpace β] (A : α →L[ℝ] β) (s : α) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (h : 0 < ‖A‖)
  (x : α) (hx : ‖s - x‖ ≤ ε / ‖A‖ ^ 2) (hzero : 0 < ‖A‖ ^ 2) :
  let t := x - s;
  s + t = x →
    ⟪A (s + t), A (s + t)⟫_ℝ - ⟪A s, A s⟫_ℝ - ⟪2 • (ContinuousLinearMap.adjoint A) (A s), s + t - s⟫_ℝ =
      ⟪A (s + t - s), A (s + t - s)⟫_ℝ := sorry

State before:
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ α
inst✝² : InnerProductSpace ℝ β
inst✝¹ : CompleteSpace α
inst✝ : CompleteSpace β
A : α →L[ℝ] β
s : α
ε : ℝ
εpos : ε > 0
h : 0 < ‖A‖
x : α
hx : ‖s - x‖ ≤ ε / ‖A‖ ^ 2
hzero : 0 < ‖A‖ ^ 2
t : α := x - s
t1 : s + t = x
⊢ ⟪A (s + t), A (s + t)⟫_ℝ - ⟪A s, A s⟫_ℝ - ⟪2 • (ContinuousLinearMap.adjoint A) (A s), s + t - s⟫_ℝ =
    ⟪A (s + t - s), A (s + t - s)⟫_ℝ

Tactic: simp only [map_add, add_sub_cancel_left]
    show ⟪A s + A t, A s + A t⟫ - ⟪A s, A s⟫ - ⟪(2 : ℝ) • (A†) (A s), t⟫ = ⟪A t, A t⟫
    rw [real_inner_add_add_self]
    rw [real_inner_smul_left, ContinuousLinearMap.adjoint_inner_left]
    ring

State after:

Relevant lemmas:
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