theorem extracted_formal_statement_2.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω) :
  ∑ σ, ⨆ i, |(|∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)| ≤ ∑ σ, ⨆ i, ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))| := sorry

State before:
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
⊢ ∑ σ, ⨆ i, |(|∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)| ≤ ∑ σ, ⨆ i, ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|

Tactic: apply Finset.sum_le_sum
    intro σ _
    apply ciSup_mono
    · apply bdd_above_aux hf'
    ·
  intro i
  simp only [Int.reduceNeg, abs_abs]
  apply Finset.abs_sum_le_sum_abs

State after:

Relevant lemmas:
Finset.abs_sum_le_sum_abs : ∀ {ι : Type u_1} {G : Type u_9} [inst : LinearOrderedAddCommGroup G] (f : ι → G)
  (s : Finset ι), |∑ i ∈ s, f i| ≤ ∑ i ∈ s, |f i|
Finset.sum_le_sum : ∀ {ι : Type u_1} {N : Type u_5} [inst : OrderedAddCommMonoid N] {f g : ι → N} {s : Finset ι},
  (∀ i ∈ s, f i ≤ g i) → ∑ i ∈ s, f i ≤ ∑ i ∈ s, g i
abs_abs : ∀ {α : Type u_1} [inst : Lattice α] [inst_1 : AddGroup α] [inst_2 : AddLeftMono α] [inst_3 : AddRightMono α]
  (a : α), |(|a|)| = |a|
ciSup_mono : ∀ {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} [inst : ConditionallyCompleteLattice α] {f g : ι → α},
  BddAbove (Set.range g) → (∀ (x : ι), f x ≤ g x) → iSup f ≤ iSup g
bdd_above_aux : ∀ {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {X : Ω → Z} {b : ℝ},
  (∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) →
    ∀ (σ : Signs n) (ω : Fin n → Ω), BddAbove (Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)