theorem extracted_formal_statement_4.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  [inst : Countable ι] {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω) (σ : Signs n)
  (this : ∃ x, ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ x) (z : ℝ)
  (hz : ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ z) (y : ℝ)
  (hy : y ∈ Set.range fun i => |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|) : y ≤ z := sorry

State before:
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
σ : Signs n
this : ∃ x, ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ x
z : ℝ
hz : ∀ y ∈ Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|, y ≤ z
y : ℝ
hy : y ∈ Set.range fun i => |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|
⊢ y ≤ z

Tactic: simp only [Int.reduceNeg, Set.mem_range] at hy
    have ⟨i, hi⟩ := hy
    rw [← hi]
    simp only [Int.reduceNeg, ge_iff_le]
    calc
  _ ≤ ∑ k : Fin n, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| := by apply Finset.abs_sum_le_sum_abs
  _ ≤ z := by
    apply hz
    simp

State after:

Relevant lemmas:
Finset.abs_sum_le_sum_abs : ∀ {ι : Type u_1} {G : Type u_9} [inst : LinearOrderedAddCommGroup G] (f : ι → G)
  (s : Finset ι), |∑ i ∈ s, f i| ≤ ∑ i ∈ s, |f i|
ge_iff_le : ∀ {α : Type u} [inst : LE α] {x y : α}, x ≥ y ↔ y ≤ x
Set.mem_range : ∀ {α : Type u} {ι : Sort u_1} {f : ι → α} {x : α}, x ∈ Set.range f ↔ ∃ y, f y = x