theorem extracted_formal_statement_1.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : CompleteSpace E] [inst_2 : ProperSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F] [inst_4 : CompleteSpace F]
  [inst_5 : ProperSpace F] (x : E) (y : F) (r : ℝ) (h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r))
  (x' : E) (y' : F) (hball : (x', y') ∈ Metric.closedBall (x, y) r) :
  (x', y') ∈ Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r := sorry

State before:
case mk
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : ProperSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : ProperSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
x : E
y : F
r : ℝ
h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
x' : E
y' : F
hball : (x', y') ∈ Metric.closedBall (x, y) r
⊢ (x', y') ∈ Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r

Tactic: rw [mem_prod]
    simp only [mem_closedBall_iff_norm, WithLp.prod_norm_eq_of_L2] at *
    constructor
    · exact le_trans this hball
    · exact le_trans this ((add_comm (‖x' - x‖ ^ 2) _) ▸ hball)

State after:

Relevant lemmas:
mem_closedBall_iff_norm : ∀ {E : Type u_5} [inst : SeminormedAddGroup E] {a b : E} {r : ℝ},
  b ∈ Metric.closedBall a r ↔ ‖b - a‖ ≤ r
le_trans : ∀ {α : Type u_1} [inst : Preorder α] {a b c : α}, a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
add_comm : ∀ {G : Type u_1} [inst : AddCommMagma G] (a b : G), a + b = b + a
Set.mem_prod : ∀ {α : Type u} {β : Type v} {s : Set α} {t : Set β} {p : α × β}, p ∈ s ×ˢ t ↔ p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ t
WithLp.prod_norm_eq_of_L2 : ∀ {α : Type u_2} {β : Type u_3} [inst : SeminormedAddCommGroup α]
  [inst_6 : SeminormedAddCommGroup β] (x : WithLp 2 (α × β)), ‖x‖ = √(‖x.1‖ ^ 2 + ‖x.2‖ ^ 2)