theorem extracted_formal_statement_6.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F]
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ))
  (h_original_goal : Tendsto (fun n => (EMetric.infEdist (z n) (limit_set z)).toReal) atTop (𝓝 0)) : False := sorry

State before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
⊢ Tendsto (fun n => (EMetric.infEdist (z n) (limit_set z)).toReal) atTop (𝓝 0)

Tactic: apply (nhds_basis_Ioo_pos 0).tendsto_right_iff.mpr
    rintro ε epos
    by_contra h
    simp at h
    let W : ℕ → ℕ := fun n ↦ Nat.recOn n (Classical.choose (h 0)) fun n p ↦ (Classical.choose (h (p + 1)))

State after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 ε : ℝ
 epos : 0 < ε
 h :
   ∀ (x : ℕ),
     ∃ x_1,
       x ≤ x_1 ∧
         (-ε < (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal → ε ≤ (EMetric.infEdist (z x_1) (limit_set z)).toReal)
 W : ℕ → ℕ := fun n => Nat.recOn n (Classical.choose ⋯) fun n p => Classical.choose ⋯
 ⊢ False]

Relevant lemmas:
nhds_basis_Ioo_pos : ∀ {α : Type u_1} [inst : TopologicalSpace α] [inst_8 : LinearOrderedAddCommGroup α]
  [inst_9 : OrderTopology α] [inst_10 : NoMaxOrder α] (a : α),
  (𝓝 a).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => Ioo (a - ε) (a + ε)