theorem extracted_formal_statement_0.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} (h1 : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F)
  (right : ADMM.τ E₁ E₂ F < (1 + √5) / 2)
  (h0 : 1 + ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2 = -(ADMM.τ E₁ E₂ F - 1 / 2) ^ 2 + 5 / 4)
  (h_original_goal : 1 + ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2 > 0) : |ADMM.τ E₁ E₂ F - 2⁻¹| < |(|√5 / 2|)| := sorry

State before:
case intro
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
h1 : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F
right✝ : ADMM.τ E₁ E₂ F < (1 + √5) / 2
h0 : 1 + ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2 = -(ADMM.τ E₁ E₂ F - 1 / 2) ^ 2 + 5 / 4
⊢ 1 + ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2 > 0

Tactic: rw [h0]
    simp only [one_div, gt_iff_lt, lt_neg_add_iff_add_lt, add_zero]
    have h2 : 5 / 4 = |√5 / 2| ^ 2 := by rw [sq_abs]; field_simp; norm_num
    rw [h2]
    apply sq_lt_sq.mpr

State after:
[case intro
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 h1 : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F
 right✝ : ADMM.τ E₁ E₂ F < (1 + √5) / 2
 h0 : 1 + ADMM.τ E₁ E₂ F - ADMM.τ E₁ E₂ F ^ 2 = -(ADMM.τ E₁ E₂ F - 1 / 2) ^ 2 + 5 / 4
 h2 : 5 / 4 = |√5 / 2| ^ 2
 ⊢ |ADMM.τ E₁ E₂ F - 2⁻¹| < |(|√5 / 2|)|]

Relevant lemmas:
gt_iff_lt : ∀ {α : Type u} [inst : LT α] {x y : α}, x > y ↔ y < x
lt_neg_add_iff_add_lt : ∀ {α : Type u} [inst : AddGroup α] [inst_9 : LT α] [inst_10 : AddLeftStrictMono α] {a b c : α},
  b < -a + c ↔ a + b < c
one_div : ∀ {G : Type u_1} [inst : DivInvMonoid G] (a : G), 1 / a = a⁻¹
sq_abs : ∀ {α : Type u_1} [inst : LinearOrderedRing α] (a : α), |a| ^ 2 = a ^ 2
add_zero : ∀ {M : Type u} [inst : AddZeroClass M] (a : M), a + 0 = a