theorem extracted_formal_statement_4.{u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] (μ : Measure Ω)
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {n : ℕ} {X : Fin n → Ω → ℝ} (hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i))
  (hXi : iIndepFun X μ) (hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1)
  (hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0) (σ : ℝ) (hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ)
  (ε τ : ℝ) (hτ : τ ≥ 0)
  (h_chernoff :
    Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
      (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ)
  (h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ)
  (h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t)
  (chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ)
  (h_exp_taylor : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, rexp (τ * X i ω) ≤ 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ))
  (i : Fin n) (h_single_integ1 : Integrable (fun ω => rexp (τ * X i ω)) μ)
  (h_single_integ2 : Integrable (fun ω => 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ)
  (h_exp_int : ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ)
  (h_const : Integrable (fun x => 1) μ) (hX_int : Integrable (fun ω => X i ω) μ)
  (h_mul' : Integrable (fun x => τ * X i x) μ) (this : HasFiniteIntegral ((fun x => 1) + fun x => τ * X i x) μ)
  (h_original_goal :
    ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ =
      ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), τ * X i ω ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ) :
  Integrable (fun ω => X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ := sorry

State before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
n : ℕ
X : Fin n → Ω → ℝ
hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i)
hXi : iIndepFun X μ
hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1
hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0
σ : ℝ
hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ
ε τ : ℝ
hτ : τ ≥ 0
h_chernoff :
  Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
    (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ
h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ
h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t
chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ
h_exp_taylor : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, rexp (τ * X i ω) ≤ 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)
i : Fin n
h_single_integ1 : Integrable (fun ω => rexp (τ * X i ω)) μ
h_single_integ2 : Integrable (fun ω => 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ
h_exp_int : ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ
h_const : Integrable (fun x => 1) μ
hX_int : Integrable (fun ω => X i ω) μ
h_mul' : Integrable (fun x => τ * X i x) μ
this : HasFiniteIntegral ((fun x => 1) + fun x => τ * X i x) μ
⊢ ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ =
    ∫ (ω : Ω), 1 ∂μ + ∫ (ω : Ω), τ * X i ω ∂μ + ∫ (ω : Ω), X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ

Tactic: rw [integral_add]
    rw [integral_add]
    simp only [h_const]
    simp only [h_mul']
    simp [<- Pi.add_apply]

State after:
[case hf
 Ω : Type u_1
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 n : ℕ
 X : Fin n → Ω → ℝ
 hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i)
 hXi : iIndepFun X μ
 hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1
 hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0
 σ : ℝ
 hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ
 ε τ : ℝ
 hτ : τ ≥ 0
 h_chernoff :
   Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
     (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ
 h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ
 h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t
 chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ
 h_exp_taylor : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, rexp (τ * X i ω) ≤ 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)
 i : Fin n
 h_single_integ1 : Integrable (fun ω => rexp (τ * X i ω)) μ
 h_single_integ2 : Integrable (fun ω => 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ
 h_exp_int : ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ
 h_const : Integrable (fun x => 1) μ
 hX_int : Integrable (fun ω => X i ω) μ
 h_mul' : Integrable (fun x => τ * X i x) μ
 this : HasFiniteIntegral ((fun x => 1) + fun x => τ * X i x) μ
 ⊢ Integrable (fun x => τ * X i x) μ,
 case hg
 Ω : Type u_1
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 n : ℕ
 X : Fin n → Ω → ℝ
 hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i)
 hXi : iIndepFun X μ
 hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1
 hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0
 σ : ℝ
 hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ
 ε τ : ℝ
 hτ : τ ≥ 0
 h_chernoff :
   Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
     (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ
 h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ
 h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t
 chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ
 h_exp_taylor : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, rexp (τ * X i ω) ≤ 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)
 i : Fin n
 h_single_integ1 : Integrable (fun ω => rexp (τ * X i ω)) μ
 h_single_integ2 : Integrable (fun ω => 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ
 h_exp_int : ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω), 1 + τ * X i ω + X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) ∂μ
 h_const : Integrable (fun x => 1) μ
 hX_int : Integrable (fun ω => X i ω) μ
 h_mul' : Integrable (fun x => τ * X i x) μ
 this : HasFiniteIntegral ((fun x => 1) + fun x => τ * X i x) μ
 ⊢ Integrable (fun ω => X i ω ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) μ]

Relevant lemmas:
Pi.add_apply : ∀ {I : Type u} {f : I → Type v₁} (x y : (i : I) → f i) (i : I) [inst : (i : I) → Add (f i)],
  (x + y) i = x i + y i
MeasureTheory.integral_add : ∀ {α : Type u_1} {G : Type u_5} [inst : NormedAddCommGroup G] [inst_2 : NormedSpace ℝ G]
  {m : MeasurableSpace α} {μ : Measure α} {f g : α → G},
  Integrable f μ → Integrable g μ → ∫ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫ (a : α), f a ∂μ + ∫ (a : α), g a ∂μ