theorem extracted_formal_statement_2.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {xm x₀ : E} {γ : ℕ+ → ℝ} {alg : Nesterov f f' γ x₀}
  (hfun : ConvexOn ℝ univ f) (hg : ∀ (k : ℕ+), γ k = 2 / (↑↑k + 1)) (min : IsMinOn f univ xm) (k : ℕ+)
  (h4 :
    f (Nesterov.x f f' γ x₀ ↑k) - f xm - (1 - γ k) * (f (Nesterov.x f f' γ x₀ (↑k - 1)) - f xm) ≤
      ↑(Nesterov.l f f' γ x₀) * γ k ^ 2 / 2 *
        (‖Nesterov.v f f' γ x₀ (↑k - 1) - xm‖ ^ 2 - ‖Nesterov.v f f' γ x₀ ↑k - xm‖ ^ 2))
  (con : (1 - γ k) / γ k ^ 2 ≤ 1 / γ (k - 1) ^ 2) : γ k ^ 2 > 0 := sorry

State before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
xm x₀ : E
γ : ℕ+ → ℝ
alg : Nesterov f f' γ x₀
hfun : ConvexOn ℝ univ f
hg : ∀ (k : ℕ+), γ k = 2 / (↑↑k + 1)
min : IsMinOn f univ xm
k : ℕ+
h4 :
  f (Nesterov.x f f' γ x₀ ↑k) - f xm - (1 - γ k) * (f (Nesterov.x f f' γ x₀ (↑k - 1)) - f xm) ≤
    ↑(Nesterov.l f f' γ x₀) * γ k ^ 2 / 2 *
      (‖Nesterov.v f f' γ x₀ (↑k - 1) - xm‖ ^ 2 - ‖Nesterov.v f f' γ x₀ ↑k - xm‖ ^ 2)
con : (1 - γ k) / γ k ^ 2 ≤ 1 / γ (k - 1) ^ 2
⊢ γ k ^ 2 > 0

Tactic: rw [hg k]
    simp only [Real.rpow_two, div_pow, gt_iff_lt]
    apply div_pos (by linarith)
    apply sq_pos_of_ne_zero
    exact Nat.cast_add_one_ne_zero ↑k

State after:

Relevant lemmas:
gt_iff_lt : ∀ {α : Type u} [inst : LT α] {x y : α}, x > y ↔ y < x
Real.rpow_two : ∀ (x : ℝ), x ^ 2 = x ^ 2
sq_pos_of_ne_zero : ∀ {R : Type u_3} [inst : LinearOrderedSemiring R] [inst_3 : ExistsAddOfLE R] {a : R},
  a ≠ 0 → 0 < a ^ 2
Nat.cast_add_one_ne_zero : ∀ {R : Type u_1} [inst : AddMonoidWithOne R] [inst_3 : CharZero R] (n : ℕ), ↑n + 1 ≠ 0
div_pos : ∀ {G₀ : Type u_2} [inst : GroupWithZero G₀] [inst_3 : PartialOrder G₀] [inst_4 : ZeroLEOneClass G₀]
  [inst_5 : PosMulReflectLT G₀] {a b : G₀} [inst_6 : PosMulStrictMono G₀], 0 < a → 0 < b → 0 < a / b
div_pow : ∀ {α : Type u_1} [inst : DivisionCommMonoid α] (a b : α) (n : ℕ), (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n