theorem extracted_formal_statement_5.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Fin m → Ω → 𝓧} (hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)) (hIndep' : iIndepFun X' μ) {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ}
  {c' : Fin m → ℝ} (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1) (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧)
  (x : 𝓧) (ω : Ω) (i : Fin m) (h : ↑i < ↑k) (this : ↑i < ↑k.succ)
  (h_original_goal :
    (if h : ↑i < ↑k.succ then Fin.snoc Xk x ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) =
      if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) :
  Fin.snoc Xk x ⟨↑i, h⟩.castSucc = Xk ⟨↑i, h⟩ := sorry

State before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Fin m → Ω → 𝓧
hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
hIndep' : iIndepFun X' μ
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x : 𝓧
ω : Ω
i : Fin m
h : ↑i < ↑k
this : ↑i < ↑k.succ
⊢ (if h : ↑i < ↑k.succ then Fin.snoc Xk x ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) =
    if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω

Tactic: rw [dif_pos this, dif_pos h]
    have : ⟨i.1, this⟩ = (⟨i.1, h⟩ : Fin k).castSucc := rfl
    rw [this]

State after:
[Ω : Type u_1
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 𝓧 : Type u_2
 m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
 hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
 m : ℕ
 X' : Fin m → Ω → 𝓧
 hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
 hIndep' : iIndepFun X' μ
 f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
 c' : Fin m → ℝ
 hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
 hf'' : StronglyMeasurable f'
 ε : ℝ
 hε : ε > 0
 t : ℝ
 ht : t ≥ 0
 ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
 Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
 A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
 k : Fin m
 Xk : Fin ↑k → 𝓧
 x : 𝓧
 ω : Ω
 i : Fin m
 h : ↑i < ↑k
 this✝ : ↑i < ↑k.succ
 this : ⟨↑i, this✝⟩ = ⟨↑i, h⟩.castSucc
 ⊢ Fin.snoc Xk x ⟨↑i, h⟩.castSucc = Xk ⟨↑i, h⟩]

Relevant lemmas:
dif_pos : ∀ {c : Prop} {h : Decidable c} (hc : c) {α : Sort u} {t : c → α} {e : ¬c → α}, dite c t e = t hc