theorem extracted_formal_statement_16.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖) (cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0)
  (dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0) :
  let a := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1));
  ‖a‖ + ‖(gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - gradient H (alg.x k, alg.y k)).1‖ ≤
    ‖a‖ + ‖gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - gradient H (alg.x k, alg.y k)‖ := sorry

State before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
⊢ ‖a‖ + ‖(gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - gradient H (alg.x k, alg.y k)).1‖ ≤
    ‖a‖ + ‖gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)) - gradient H (alg.x k, alg.y k)‖

Tactic: simp
    rw [← Prod.fst_sub]
    apply fst_norm_le_prod_L2

State after:

Relevant lemmas:
fst_norm_le_prod_L2 : ∀ {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_6 : NormedAddCommGroup F]
  (z : WithLp 2 (E × F)), ‖z.1‖ ≤ ‖z‖
Prod.fst_sub : ∀ {G : Type u_6} {H : Type u_7} [inst : Sub G] [inst_6 : Sub H] (a b : G × H), (a - b).1 = a.1 - b.1