theorem extracted_formal_statement_1.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ} (h : Differentiable ℝ H)
  (z : WithLp 2 (E × F)) (h₁ : HasGradientAt (fun y => H (z.1, y)) (grad_snd H z.1 z.2) z.2) ⦃c : ℝ⦄ (hc : 0 < c)
  (h₃ : ∀ᶠ (x : WithLp 2 (E × F)) in 𝓝 z, ‖H x - H z - inner (gradient H z) (x - z)‖ ≤ c * ‖x - z‖)
  (h₃' :
    ∀ᶠ (x' : E) in 𝓝 z.1,
      ∀ᶠ (y' : F) in 𝓝 z.2, ‖H (x', y') - H z - inner (gradient H z) ((x', y') - z)‖ ≤ c * ‖(x', y') - z‖)
  (v : Set F) (hv1 : v ∈ 𝓝 z.2) (y : F) (yv : y ∈ v) (this : z = (z.1, z.2))
  (hv2 : |H (z.1, y) - H z - inner (gradient H z).2 (y - z.2)| ≤ c * ‖(z.1 - z.1, y - z.2)‖) :
  ‖H (z.1, y) - H (z.1, z.2) - inner (gradient H z).2 (y - z.2)‖ ≤ c * ‖y - z.2‖ := sorry

State before:
case h.right
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
h : Differentiable ℝ H
z : WithLp 2 (E × F)
h₁ : HasGradientAt (fun y => H (z.1, y)) (grad_snd H z.1 z.2) z.2
c : ℝ
hc : 0 < c
h₃ : ∀ᶠ (x : WithLp 2 (E × F)) in 𝓝 z, ‖H x - H z - inner (gradient H z) (x - z)‖ ≤ c * ‖x - z‖
h₃' :
  ∀ᶠ (x' : E) in 𝓝 z.1,
    ∀ᶠ (y' : F) in 𝓝 z.2, ‖H (x', y') - H z - inner (gradient H z) ((x', y') - z)‖ ≤ c * ‖(x', y') - z‖
v : Set F
hv1 : v ∈ 𝓝 z.2
y : F
yv : y ∈ v
this : z = (z.1, z.2)
hv2 : |H (z.1, y) - H z - inner (gradient H z).2 (y - z.2)| ≤ c * ‖(z.1 - z.1, y - z.2)‖
⊢ ‖H (z.1, y) - H (z.1, z.2) - inner (gradient H z).2 (y - z.2)‖ ≤ c * ‖y - z.2‖

Tactic: simp at hv2
    rw [norm_prod_left_zero] at hv2
    exact hv2

State after:

Relevant lemmas:
norm_prod_left_zero : ∀ {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_6 : NormedAddCommGroup F]
  (y : F), ‖(0, y)‖ = ‖y‖