theorem extracted_formal_statement_8.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} (h : ADMM.τ E₁ E₂ F > 1)
  (hb : 1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 1 - ADMM.τ E₁ E₂ F)
  (h_original_goal : (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) ≥ 0) : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ ≤ 1 := sorry

State before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
h : ADMM.τ E₁ E₂ F > 1
hb : 1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 1 - ADMM.τ E₁ E₂ F
⊢ (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) ≥ 0

Tactic: rw [max_eq_right hb]
    apply sub_nonneg_of_le
    rw [one_div]

State after:
[case a
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 h : ADMM.τ E₁ E₂ F > 1
 hb : 1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 1 - ADMM.τ E₁ E₂ F
 ⊢ (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ ≤ 1]

Relevant lemmas:
sub_nonneg_of_le : ∀ {α : Type u} [inst : AddGroup α] [inst_9 : LE α] [inst_10 : AddRightMono α] {a b : α},
  b ≤ a → 0 ≤ a - b
one_div : ∀ {G : Type u_1} [inst : DivInvMonoid G] (a : G), 1 / a = a⁻¹
max_eq_right : ∀ {α : Type u_1} [inst : LinearOrder α] {a b : α}, a ≤ b → a ⊔ b = b