theorem extracted_formal_statement_4.{u_3, u_2} {𝓧 : Type u_2} {ι : Type u_3} [inst : DecidableEq ι] (f : (ι → 𝓧) → ℝ)
  (c : ι → ℝ) (h : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), f x - f (Function.update x i x') ≤ c i) (i : ι) (xi : ι → 𝓧) (x' : 𝓧)
  (h_original_goal : |f xi - f (Function.update xi i x')| ≤ c i) : f (Function.update xi i x') - f xi ≤ c i := sorry

State before:
case mpr
𝓧 : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → 𝓧) → ℝ
c : ι → ℝ
h : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), f x - f (Function.update x i x') ≤ c i
i : ι
xi : ι → 𝓧
x' : 𝓧
⊢ |f xi - f (Function.update xi i x')| ≤ c i

Tactic: apply abs_sub_le_iff.mpr
    constructor
    · exact h i xi x'

State after:
[case mpr.right
 𝓧 : Type u_2
 ι : Type u_3
 inst✝ : DecidableEq ι
 f : (ι → 𝓧) → ℝ
 c : ι → ℝ
 h : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), f x - f (Function.update x i x') ≤ c i
 i : ι
 xi : ι → 𝓧
 x' : 𝓧
 ⊢ f (Function.update xi i x') - f xi ≤ c i]

Relevant lemmas: