theorem extracted_formal_statement_12.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} (h : LipschitzWith l (grad_fun_comp H))
  (h_original_goal : (∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)) ∧ ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)) (x : E) :
  LipschitzWith l (grad_snd H x) := sorry

State before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
self : BCD f g H l x0 y0
h : LipschitzWith l (grad_fun_comp H)
⊢ (∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)) ∧ ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)

Tactic: rw [lipschitzWith_iff_norm_sub_le] at h
    constructor
    ·
  intro y
  to_theorem rw [lipschitzWith_iff_norm_sub_le]intro x1 x2 obtain h := h (x1, y) (x2, y);
  simp [grad_fun_comp, grad_comp] at h
  to_theorem apply le_trans (fst_norm_le_prod_L2 _)at h simp at h;rwa [sub_prod, sub_self, norm_prod_right_zero] at h;

State after:
[case right
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 self : BCD f g H l x0 y0
 h : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖grad_fun_comp H x - grad_fun_comp H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
 ⊢ ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)]

Relevant lemmas:
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