theorem extracted_formal_statement_12.{w, v, u} {Z : Type w} {ι : Type v} {f : ι → Z → ℝ} {Ω : Type u} {X : Ω → Z} {n : ℕ}
  [inst : Nonempty ι] {b : ℝ} (h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b) {c : ι → ℝ} {C : ℝ} (hC : ∀ (I : ι), |c I| ≤ C)
  (ω : Fin n → Ω × Ω) (σ : Fin n → { x // x ∈ {-1, 1} }) :
  |⨆ I, ∑ i, ↑↑(σ i) * (f I (X (ω i).1) - f I (X (ω i).2)) + c I| ≤ ↑n * (b + b) + C := sorry

State before:
Z : Type w
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
Ω : Type u
X : Ω → Z
n : ℕ
inst✝ : Nonempty ι
b : ℝ
h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b
c : ι → ℝ
C : ℝ
hC : ∀ (I : ι), |c I| ≤ C
ω : Fin n → Ω × Ω
σ : Fin n → { x // x ∈ {-1, 1} }
⊢ |⨆ I, ∑ i, ↑↑(σ i) * (f I (X (ω i).1) - f I (X (ω i).2)) + c I| ≤ ↑n * (b + b) + C

Tactic: apply abs_iSup_le
    intro I
    calc
  _ ≤ |∑ i : Fin n, (σ i) * (f I (X (ω i).1) - f I (X (ω i).2))| + |c I| := by apply abs_add_le
  _ ≤ n * (b + b) + |c I| := by apply add_le_add_right (bound_lem' h𝓕' ω I σ)
  _ ≤ _ := (add_le_add_iff_left (↑n * (b + b))).mpr (hC I)

State after:

Relevant lemmas:
bound_lem' : ∀ {Z : Type w} {ι : Type v} {f : ι → Z → ℝ} {Ω : Type u} {X : Ω → Z} {n : ℕ} {b : ℝ},
  (∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b) →
    ∀ (ω : Fin n → Ω × Ω) (I : ι) (σ : Fin n → { x // x ∈ {-1, 1} }),
      |∑ i, ↑↑(σ i) * (f I (X (ω i).1) - f I (X (ω i).2))| ≤ ↑n * (b + b)
abs_add_le : ∀ {α : Type u_1} [inst : Lattice α] [inst_1 : AddCommGroup α] [inst_2 : AddLeftMono α] (a b : α),
  |a + b| ≤ |a| + |b|
abs_iSup_le : ∀ {ι : Type v} [inst : Nonempty ι] {f : ι → ℝ} {a : ℝ}, (∀ (i : ι), |f i| ≤ a) → |⨆ i, f i| ≤ a
add_le_add_right : ∀ {α : Type u_1} [inst : Add α] [inst_1 : LE α] [i : AddRightMono α] {b c : α},
  b ≤ c → ∀ (a : α), b + a ≤ c + a
add_le_add_iff_left : ∀ {α : Type u_1} [inst : Add α] [inst_1 : LE α] [inst_2 : AddLeftMono α]
  [inst_3 : AddLeftReflectLE α] (a : α) {b c : α}, a + b ≤ a + c ↔ b ≤ c