theorem extracted_formal_statement_41 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {b : Fin ↑m → ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ}
  {Ane0 : A ≠ 0} {x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)} (p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀) (k : ℕ)
  (h_original_goal : prox_prop (p.t • p.h) (p.x k - p.t • p.f' (p.x k)) (p.x (k + 1))) : 0 < μ := sorry

State before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
k : ℕ
⊢ prox_prop (p.t • p.h) (p.x k - p.t • p.f' (p.x k)) (p.x (k + 1))

Tactic: apply norm_one_proximal
    · rw [p.heq]
    ·
  rw [p.teq]; simp
  to_theorem rw [p.Leq];simp rw [Transpose_mul_self_eq_zero]
  exact Ane0

State after:
[case μpos
 n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 k : ℕ
 ⊢ 0 < μ,
 case minpoint
 n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 k : ℕ
 ⊢ ∀ (i : Fin ↑n),
     p.x (k + 1) i = sign ((p.x k - p.t • p.f' (p.x k)) i) * ((|(p.x k - p.t • p.f' (p.x k)) i| - p.t * μ) ⊔ 0)]

Relevant lemmas:
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