theorem extracted_formal_statement_12.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (A : ℝ)
  (hA : Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2) atTop (𝓝 A))
  (h_original_goal : Tendsto (fun k => ‖z (k + 1) - z k‖) atTop (𝓝 0)) (ε : ℝ) :
  ε > 0 → ∃ N, ∀ n ≥ N, dist ‖z (n + 1) - z n‖ 0 < ε := sorry

State before:
case intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
A : ℝ
hA : Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2) atTop (𝓝 A)
⊢ Tendsto (fun k => ‖z (k + 1) - z k‖) atTop (𝓝 0)

Tactic: rw [Metric.tendsto_atTop] at hA
    simp [dist_eq_norm] at hA
    rw [Metric.tendsto_atTop]

State after:
[case intro
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 A : ℝ
 hA : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε
 ⊢ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist ‖z (n + 1) - z n‖ 0 < ε]

Relevant lemmas:
dist_eq_norm : ∀ {E : Type u_5} [inst : SeminormedAddGroup E] (a b : E), dist a b = ‖a - b‖
Metric.tendsto_atTop : ∀ {α : Type u} {β : Type v} [inst : PseudoMetricSpace α] [inst_6 : Nonempty β]
  [inst_7 : SemilatticeSup β] {u : β → α} {a : α}, Tendsto u atTop (𝓝 a) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (u n) a < ε