theorem extracted_formal_statement_14.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (h_original_goal : ‖subdiff k‖ ≤ ↑l * (2 * γ + 2) * ‖z (k + 1) - z k‖) :
  ‖(subdiff k).1‖ + ‖(subdiff k).2‖ ≤ ↑l * (2 * γ + 2) * ‖z (k + 1) - z k‖ := sorry

State before:
case h.right
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
⊢ ‖subdiff k‖ ≤ ↑l * (2 * γ + 2) * ‖z (k + 1) - z k‖

Tactic: apply le_trans (prod_norm_le_block_sum_L2 (alg.subdiff k))
    obtain lip := alg.lip
    rw [lipschitzWith_iff_norm_sub_le] at lip

State after:
[case h.right
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 k : ℕ
 lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
 ⊢ ‖(subdiff k).1‖ + ‖(subdiff k).2‖ ≤ ↑l * (2 * γ + 2) * ‖z (k + 1) - z k‖]

Relevant lemmas:
prod_norm_le_block_sum_L2 : ∀ {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] (z : WithLp 2 (E × F)), ‖z‖ ≤ ‖z.1‖ + ‖z.2‖
lipschitzWith_iff_norm_sub_le : ∀ {E : Type u_2} {F : Type u_3} [inst : SeminormedAddGroup E]
  [inst_6 : SeminormedAddGroup F] {f : E → F} {C : NNReal}, LipschitzWith C f ↔ ∀ (x y : E), ‖f x - f y‖ ≤ ↑C * ‖x - y‖
le_trans : ∀ {α : Type u_1} [inst : Preorder α] {a b c : α}, a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c