theorem extracted_formal_statement_49.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (hψ : KL_function ψ) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (z_ : WithLp 2 (E × F))
  (left : z_ ∈ closure (z '' univ)) (α : ℕ → ℕ) (monoa : StrictMono α) (conv : Tendsto (fun n => z (α n)) atTop (𝓝 z_))
  (ρ1 : ℝ) (ρ1pos : ρ1 > 0)
  (suff_des : ρ1 = (γ - 1) * ↑l ∧ ∀ (k : ℕ), ρ1 / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1))) :
  z_ ∈ limit_set z := sorry

State before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
hψ : KL_function ψ
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
z_ : WithLp 2 (E × F)
left✝ : z_ ∈ closure (z '' univ)
α : ℕ → ℕ
monoa : StrictMono α
conv : Tendsto (fun n => z (α n)) atTop (𝓝 z_)
ρ1 : ℝ
ρ1pos : ρ1 > 0
suff_des : ρ1 = (γ - 1) * ↑l ∧ ∀ (k : ℕ), ρ1 / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1))
⊢ z_ ∈ limit_set z

Tactic: simp [limit_set, MapClusterPt]
    apply ClusterPt.mono (ClusterPt.of_le_nhds conv)
    calc
  _ = map (fun n ↦ alg.z n) (map α atTop) := by rw [map_map]; rfl
  _ ≤ map (fun n ↦ alg.z n) atTop := map_mono (StrictMono.tendsto_atTop monoa)

State after:

Relevant lemmas:
ClusterPt.mono : ∀ {X : Type u} {x : X} [inst : TopologicalSpace X] {f g : Filter X},
  ClusterPt x f → f ≤ g → ClusterPt x g
Filter.map_map : ∀ {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {f : Filter α} {m : α → β} {m' : β → γ},
  map m' (map m f) = map (m' ∘ m) f
ClusterPt.of_le_nhds : ∀ {X : Type u} {x : X} [inst : TopologicalSpace X] {f : Filter X},
  f ≤ 𝓝 x → ∀ [inst_8 : f.NeBot], ClusterPt x f
Filter.map_mono : ∀ {α : Type u_1} {β : Type u_2} {m : α → β}, Monotone (map m)
StrictMono.tendsto_atTop : ∀ {φ : ℕ → ℕ}, StrictMono φ → Tendsto φ atTop atTop