theorem extracted_formal_statement_14.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (n : ℕ) :
  0 ≤
    ((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
      ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 := sorry

State before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
n : ℕ
⊢ 0 ≤
    ((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
      ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2

Tactic: apply mul_nonneg
    · apply mul_nonneg max_tau_nonneg; apply le_of_lt rho_pos
    · apply pow_nonneg; simp

State after:

Relevant lemmas:
le_of_lt : ∀ {α : Type u_1} [inst : Preorder α] {a b : α}, a < b → a ≤ b
mul_nonneg : ∀ {α : Type u_3} {a b : α} [inst : MulZeroClass α] [inst_10 : Preorder α] [inst_11 : PosMulMono α],
  0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 ≤ a * b
pow_nonneg : ∀ {M₀ : Type u_1} [inst : MonoidWithZero M₀] [inst_10 : Preorder M₀] {a : M₀} [inst_11 : ZeroLEOneClass M₀]
  [inst_12 : PosMulMono M₀], 0 ≤ a → ∀ (n : ℕ), 0 ≤ a ^ n