theorem extracted_formal_statement_12.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (r : ℝ)
  (Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r) ⦃x : F⦄ (n_1 : ℕ) (eq : ey n_1 = x) (hτ : ADMM.τ E₁ E₂ F > 0)
  (hρ : ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0) (τ_mul_ρ' : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0)
  (τ_mul_ρ : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F ≥ 0) (n : ℕ)
  (h_original_goal :
    ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * Φ n =
      ‖ey n‖ ^ 2 + ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
        ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
          ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2) :
  ADMM.τ E₁ E₂ F * (ADMM.ρ E₁ E₂ F * ((ADMM.ρ E₁ E₂ F)⁻¹ * ((ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ * ‖ey n‖ ^ 2))) +
        ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F ^ 2 * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
      ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F ^ 2 * ((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹)) *
        ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 =
    ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F ^ 2 * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
        ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F ^ 2 * ((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹)) *
          ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
      ‖ey n‖ ^ 2 := sorry

State before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
r : ℝ
Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r
x : F
n✝ : ℕ
eq : ey n✝ = x
hτ : ADMM.τ E₁ E₂ F > 0
hρ : ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0
τ_mul_ρ' : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0
τ_mul_ρ : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F ≥ 0
n : ℕ
⊢ ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * Φ n =
    ‖ey n‖ ^ 2 + ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
      ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
        ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2

Tactic: simp [Φ, Ψ]
    ring_nf
    rw [mul_assoc, mul_assoc, mul_assoc]

State after:
[E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 r : ℝ
 Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r
 x : F
 n✝ : ℕ
 eq : ey n✝ = x
 hτ : ADMM.τ E₁ E₂ F > 0
 hρ : ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0
 τ_mul_ρ' : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0
 τ_mul_ρ : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F ≥ 0
 n : ℕ
 ⊢ ADMM.τ E₁ E₂ F * (ADMM.ρ E₁ E₂ F * ((ADMM.ρ E₁ E₂ F)⁻¹ * ((ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ * ‖ey n‖ ^ 2))) +
         ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F ^ 2 * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
       ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F ^ 2 * ((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹)) *
         ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 =
     ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F ^ 2 * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
         ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F ^ 2 * ((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹)) *
           ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
       ‖ey n‖ ^ 2]

Relevant lemmas:
mul_assoc : ∀ {G : Type u_1} [inst : Semigroup G] (a b c : G), a * b * c = a * (b * c)