theorem extracted_formal_statement_0.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {m : ℝ} {f' : E → E} {x y : E} {l : NNReal} (mp : m > 0)
  (hf : ∀ (x : E), HasGradientAt f (f' x) x) (h₂ : LipschitzWith l f') (hl : ↑l > 0) (cov : Convex ℝ univ)
  (hsc :
    ∀ ⦃x : E⦄,
      x ∈ univ →
        ∀ ⦃y : E⦄,
          y ∈ univ →
            ∀ ⦃a b : ℝ⦄,
              0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y - a * b * (m / 2 * ‖x - y‖ ^ 2)) :
  let phi := fun x => ↑l / 2 * ‖x‖ ^ 2 - f x;
  ConvexOn ℝ univ phi → l > 0 := sorry

State before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
m : ℝ
f' : E → E
x y : E
l : NNReal
mp : m > 0
hf : ∀ (x : E), HasGradientAt f (f' x) x
h₂ : LipschitzWith l f'
hl : ↑l > 0
cov : Convex ℝ univ
hsc :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ univ →
      ∀ ⦃y : E⦄,
        y ∈ univ →
          ∀ ⦃a b : ℝ⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y - a * b * (m / 2 * ‖x - y‖ ^ 2)
phi : E → ℝ := fun x => ↑l / 2 * ‖x‖ ^ 2 - f x
⊢ ConvexOn ℝ univ phi

Tactic: apply lipschitz_to_lnorm_sub_convex
    apply cov
    simp

State after:
[case h₁
 E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 m : ℝ
 f' : E → E
 x y : E
 l : NNReal
 mp : m > 0
 hf : ∀ (x : E), HasGradientAt f (f' x) x
 h₂ : LipschitzWith l f'
 hl : ↑l > 0
 cov : Convex ℝ univ
 hsc :
   ∀ ⦃x : E⦄,
     x ∈ univ →
       ∀ ⦃y : E⦄,
         y ∈ univ →
           ∀ ⦃a b : ℝ⦄,
             0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y - a * b * (m / 2 * ‖x - y‖ ^ 2)
 phi : E → ℝ := fun x => ↑l / 2 * ‖x‖ ^ 2 - f x
 ⊢ ∀ (x : E), HasGradientAt f (?f' x) x,
 case h₂
 E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 m : ℝ
 f' : E → E
 x y : E
 l : NNReal
 mp : m > 0
 hf : ∀ (x : E), HasGradientAt f (f' x) x
 h₂ : LipschitzWith l f'
 hl : ↑l > 0
 cov : Convex ℝ univ
 hsc :
   ∀ ⦃x : E⦄,
     x ∈ univ →
       ∀ ⦃y : E⦄,
         y ∈ univ →
           ∀ ⦃a b : ℝ⦄,
             0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y - a * b * (m / 2 * ‖x - y‖ ^ 2)
 phi : E → ℝ := fun x => ↑l / 2 * ‖x‖ ^ 2 - f x
 ⊢ LipschitzOnWith l ?f' univ,
 case hl
 E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 m : ℝ
 f' : E → E
 x y : E
 l : NNReal
 mp : m > 0
 hf : ∀ (x : E), HasGradientAt f (f' x) x
 h₂ : LipschitzWith l f'
 hl : ↑l > 0
 cov : Convex ℝ univ
 hsc :
   ∀ ⦃x : E⦄,
     x ∈ univ →
       ∀ ⦃y : E⦄,
         y ∈ univ →
           ∀ ⦃a b : ℝ⦄,
             0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y - a * b * (m / 2 * ‖x - y‖ ^ 2)
 phi : E → ℝ := fun x => ↑l / 2 * ‖x‖ ^ 2 - f x
 ⊢ l > 0,
 case f'
 E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 m : ℝ
 f' : E → E
 x y : E
 l : NNReal
 mp : m > 0
 hf : ∀ (x : E), HasGradientAt f (f' x) x
 h₂ : LipschitzWith l f'
 hl : ↑l > 0
 cov : Convex ℝ univ
 hsc :
   ∀ ⦃x : E⦄,
     x ∈ univ →
       ∀ ⦃y : E⦄,
         y ∈ univ →
           ∀ ⦃a b : ℝ⦄,
             0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y - a * b * (m / 2 * ‖x - y‖ ^ 2)
 phi : E → ℝ := fun x => ↑l / 2 * ‖x‖ ^ 2 - f x
 ⊢ E → E]

Relevant lemmas:
lipschitz_to_lnorm_sub_convex : ∀ {E : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_3 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_4 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {s : Set E} {l : NNReal},
  Convex ℝ s →
    (∀ x ∈ s, HasGradientAt f (f' x) x) → LipschitzOnWith l f' s → l > 0 → ConvexOn ℝ s fun x => ↑l / 2 * ‖x‖ ^ 2 - f x