theorem extracted_formal_statement_29.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (n : ℕ) :
  let A_e_sum := (OptProblem.A₁ E₂) (e₁ (n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (n + 1));
  let ey' := ey (n + 1);
  -ey' + (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F - ADMM.ρ E₁ E₂ F) • A_e_sum +
        -1 • (-ey' + -((-(ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) + ADMM.ρ E₁ E₂ F) • A_e_sum)) =
      0 →
    (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F - ADMM.ρ E₁ E₂ F) • A_e_sum +
        ((-(ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) + ADMM.ρ E₁ E₂ F) • A_e_sum + ey' + -ey') =
      0 := sorry

State before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
n : ℕ
A_e_sum : F := (OptProblem.A₁ E₂) (e₁ (n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (n + 1))
A_x_sum : F := -(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F n - ADMM.x₂ E₁ F (n + 1))
ey' : F := ey (n + 1)
Ae1 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (e₁ (n + 1))
Ae2 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (n + 1))
⊢ -ey' + (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F - ADMM.ρ E₁ E₂ F) • A_e_sum +
      -1 • (-ey' + -((-(ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) + ADMM.ρ E₁ E₂ F) • A_e_sum)) =
    0

Tactic: rw [smul_add (-1) (-ey') (-((-(τ * ρ) + ρ) • A_e_sum))]
    rw [neg_smul_neg, neg_smul_neg, one_smul, one_smul]
    rw [add_assoc, add_comm, add_assoc, add_comm ey' ((-(τ * ρ) + ρ) • A_e_sum)]

State after:
[E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 n : ℕ
 A_e_sum : F := (OptProblem.A₁ E₂) (e₁ (n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (n + 1))
 A_x_sum : F := -(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F n - ADMM.x₂ E₁ F (n + 1))
 ey' : F := ey (n + 1)
 Ae1 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (e₁ (n + 1))
 Ae2 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (n + 1))
 ⊢ (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F - ADMM.ρ E₁ E₂ F) • A_e_sum +
       ((-(ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) + ADMM.ρ E₁ E₂ F) • A_e_sum + ey' + -ey') =
     0]

Relevant lemmas:
neg_smul_neg : ∀ {R : Type u_1} {M : Type u_3} [inst : Ring R] [inst_10 : AddCommGroup M] [inst_11 : Module R M] (r : R)
  (x : M), -r • -x = r • x
add_assoc : ∀ {G : Type u_1} [inst : AddSemigroup G] (a b c : G), a + b + c = a + (b + c)
one_smul : ∀ (M : Type u_1) {α : Type u_5} [inst : Monoid M] [inst_10 : MulAction M α] (b : α), 1 • b = b
smul_add : ∀ {M : Type u_1} {A : Type u_7} [inst : AddZeroClass A] [inst_10 : DistribSMul M A] (a : M) (b₁ b₂ : A),
  a • (b₁ + b₂) = a • b₁ + a • b₂
add_comm : ∀ {G : Type u_1} [inst : AddCommMagma G] (a b : G), a + b = b + a