theorem extracted_formal_statement_15.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖) (cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0)
  (dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0) (h_original_goal : ‖(subdiff k).1‖ ≤ ↑l * (γ + 1) * ‖z (k + 1) - z k‖) :
  ‖(alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1)) - grad_fst H (alg.y k) (alg.x k) +
        (gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1))).1‖ ≤
    ↑l * (γ + 1) * ‖z (k + 1) - z k‖ := sorry

State before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
⊢ ‖(subdiff k).1‖ ≤ ↑l * (γ + 1) * ‖z (k + 1) - z k‖

Tactic: simp only [BCD.subdiff, BCD.A_kx, Prod.fst_add, grad_fun_comp, grad_comp, sub_add]
    rw [A_k, A_kx, A_ky]
    simp

State after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 k : ℕ
 lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
 cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
 dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
 ⊢ ‖(alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1)) - grad_fst H (alg.y k) (alg.x k) +
         (gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1))).1‖ ≤
     ↑l * (γ + 1) * ‖z (k + 1) - z k‖]

Relevant lemmas:
sub_add : ∀ {α : Type u_1} [inst : SubtractionCommMonoid α] (a b c : α), a - b + c = a - (b - c)
Prod.fst_add : ∀ {M : Type u_6} {N : Type u_7} [inst : Add M] [inst_6 : Add N] (p q : M × N), (p + q).1 = p.1 + q.1