theorem extracted_formal_statement_61.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (hψ : KL_function ψ) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ))
  (h_original_goal : ∃ z_, Tendsto z atTop (𝓝 z_)) : Summable fun n => dist (z n) (z n.succ) := sorry

State before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
hψ : KL_function ψ
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
⊢ ∃ z_, Tendsto z atTop (𝓝 z_)

Tactic: apply cauchySeq_tendsto_of_complete
    apply cauchySeq_of_summable_dist
    rcases Limited_length γ hγ ck dk bd hψ lbdψ with ⟨M, sumle⟩

State after:
[case H.h.intro
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 hψ : KL_function ψ
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 M : ℝ
 sumle : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ≤ M
 ⊢ Summable fun n => dist (z n) (z n.succ)]

Relevant lemmas:
cauchySeq_of_summable_dist : ∀ {α : Type u_1} [inst : PseudoMetricSpace α] {f : ℕ → α},
  (Summable fun n => dist (f n) (f n.succ)) → CauchySeq f
Limited_length : ∀ {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_8 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_9 : CompleteSpace E] [inst_10 : NormedAddCommGroup F] [inst_11 : InnerProductSpace ℝ F]
  [inst_12 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ} {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal}
  {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_13 : ProperSpace E] [inst_14 : ProperSpace F],
  ∀ γ > 1,
    (∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) →
      (∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) →
        Bornology.IsBounded (z '' univ) →
          KL_function ψ → BddBelow (ψ '' univ) → ∃ M, ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ≤ M
cauchySeq_tendsto_of_complete : ∀ {α : Type u} {β : Type v} [uniformSpace : UniformSpace α] [inst : Preorder β]
  [inst_8 : CompleteSpace α] {u : β → α}, CauchySeq u → ∃ x, Tendsto u atTop (𝓝 x)