theorem extracted_formal_statement_12.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω) (σ : Signs n)
  (a : σ ∈ Finset.univ)
  (h_original_goal : |⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|| ≤ ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|) :
  0 ≤ ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))| := sorry

State before:
case h
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
σ : Signs n
a✝ : σ ∈ Finset.univ
⊢ |⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|| ≤ ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|

Tactic: apply Eq.le
    simp only [Int.reduceNeg, abs_eq_self]
    by_cases h : Nonempty ι

State after:
[case pos
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 σ : Signs n
 a✝ : σ ∈ Finset.univ
 h : Nonempty ι
 ⊢ 0 ≤ ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|,
 case neg
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 σ : Signs n
 a✝ : σ ∈ Finset.univ
 h : ¬Nonempty ι
 ⊢ 0 ≤ ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|]

Relevant lemmas:
abs_eq_self : ∀ {G : Type u_1} [inst : LinearOrderedAddCommGroup G] {a : G}, |a| = a ↔ 0 ≤ a
Eq.le : ∀ {α : Type u_1} [inst : Preorder α] {a b : α}, a = b → a ≤ b