theorem extracted_formal_statement_10.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (ρ₁ : ℝ) (hρ₁ : ρ₁ > 0)
  (left : ρ₁ = (γ - 1) * ↑l) (h2 : ∀ (k : ℕ), ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))
  (hDescent' : ∀ (k : ℕ), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))) (d : ℕ)
  (hd : ∑ k ∈ Finset.range (d + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1))))
  (h_original_goal : ∑ k ∈ Finset.range (d + 1 + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1 + 1)))) :
  ∑ x ∈ Finset.range (d + 1), ‖z (x + 1) - z x‖ ^ 2 + ‖z (d + 1 + 1) - z (d + 1)‖ ^ 2 ≤
    2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1))) + 2 / ρ₁ * (ψ (z (d + 1)) - ψ (z (d + 1 + 1))) := sorry

State before:
case succ
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
ρ₁ : ℝ
hρ₁ : ρ₁ > 0
left✝ : ρ₁ = (γ - 1) * ↑l
h2 : ∀ (k : ℕ), ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1))
hDescent' : ∀ (k : ℕ), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))
d : ℕ
hd : ∑ k ∈ Finset.range (d + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1)))
⊢ ∑ k ∈ Finset.range (d + 1 + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1 + 1)))

Tactic: rw [Finset.sum_range_succ _ (d + 1)]
    have :
  2 / ρ₁ * (alg.ψ (alg.z 0) - alg.ψ (alg.z (d + 1 + 1))) =
    2 / ρ₁ * (alg.ψ (alg.z 0) - alg.ψ (alg.z (d + 1))) + 2 / ρ₁ * (alg.ψ (alg.z (d + 1)) - alg.ψ (alg.z (d + 1 + 1))) :=
  by ring
    rw [this]

State after:
[case succ
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 ρ₁ : ℝ
 hρ₁ : ρ₁ > 0
 left✝ : ρ₁ = (γ - 1) * ↑l
 h2 : ∀ (k : ℕ), ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1))
 hDescent' : ∀ (k : ℕ), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))
 d : ℕ
 hd : ∑ k ∈ Finset.range (d + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1)))
 this :
   2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1 + 1))) =
     2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1))) + 2 / ρ₁ * (ψ (z (d + 1)) - ψ (z (d + 1 + 1)))
 ⊢ ∑ x ∈ Finset.range (d + 1), ‖z (x + 1) - z x‖ ^ 2 + ‖z (d + 1 + 1) - z (d + 1)‖ ^ 2 ≤
     2 / ρ₁ * (ψ (z 0) - ψ (z (d + 1))) + 2 / ρ₁ * (ψ (z (d + 1)) - ψ (z (d + 1 + 1)))]

Relevant lemmas:
Finset.sum_range_succ : ∀ {β : Type u_4} [inst : AddCommMonoid β] (f : ℕ → β) (n : ℕ),
  ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), f x = ∑ x ∈ Finset.range n, f x + f n