theorem extracted_formal_statement_6.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} (h : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F ∧ ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1)
  (h_original_goal : 1 - ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F) : ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1 := sorry

State before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
h : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F ∧ ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1
⊢ 1 - ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F

Tactic: apply sub_le_sub_left
    rw [le_div_iff₀ (by linarith), ← sq]
    apply pow_le_one₀

State after:
[case h.a
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 h : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F ∧ ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1
 ⊢ 0 ≤ ADMM.τ E₁ E₂ F,
 case h.a
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 h : 0 < ADMM.τ E₁ E₂ F ∧ ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1
 ⊢ ADMM.τ E₁ E₂ F ≤ 1]

Relevant lemmas:
sub_le_sub_left : ∀ {α : Type u} [inst : AddGroup α] [inst_9 : LE α] [inst_10 : AddLeftMono α]
  [inst_11 : AddRightMono α] {a b : α}, a ≤ b → ∀ (c : α), c - b ≤ c - a
le_div_iff₀ : ∀ {G₀ : Type u_2} [inst : GroupWithZero G₀] [inst_9 : PartialOrder G₀] [inst_10 : ZeroLEOneClass G₀]
  [inst_11 : PosMulReflectLT G₀] {a b c : G₀} [inst_12 : MulPosMono G₀], 0 < c → (a ≤ b / c ↔ a * c ≤ b)
sq : ∀ {M : Type u_2} [inst : Monoid M] (a : M), a ^ 2 = a * a
pow_le_one₀ : ∀ {M₀ : Type u_1} [inst : MonoidWithZero M₀] [inst_9 : Preorder M₀] {a : M₀} [inst_10 : ZeroLEOneClass M₀]
  [inst_11 : PosMulMono M₀] [inst_12 : MulPosMono M₀] {n : ℕ}, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a ^ n ≤ 1