theorem extracted_formal_statement_13.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω)
  (h_original_goal : ∑ σ, ⨆ i, ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ 2 ^ n * (↑n * b)) : ⨆ i, ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ ↑n * b := sorry

State before:
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
⊢ ∑ σ, ⨆ i, ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ 2 ^ n * (↑n * b)

Tactic: simp only [Finset.sum_const, Finset.card_univ, Signs.card, nsmul_eq_mul, Nat.cast_pow, Nat.cast_ofNat,
  Nat.ofNat_pos, pow_pos, mul_le_mul_left]
    by_cases h : Nonempty ι
    ·
  apply ciSup_le
  intro i
  suffices ∑ k : Fin n, |f i (X (ω k))| ≤ ∑ k : Fin n, b from by
    to_theorem
      apply
        le_trans this _ apply le_of_eq simp only [Finset.sum_const, Finset.card_univ, Fintype.card_fin, nsmul_eq_mul]
  exact Finset.sum_le_sum fun k _ ↦ hf' i (X (ω k))

State after:
[case neg
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 h : ¬Nonempty ι
 ⊢ ⨆ i, ∑ k, |f i (X (ω k))| ≤ ↑n * b]

Relevant lemmas:
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