theorem extracted_formal_statement_23.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) ⦃z_ : WithLp 2 (E × F)⦄ (ha : z_ ∈ limit_set z)
  (φ : ℕ → ℕ) (monoφ : StrictMono φ) (conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)) (h_original_goal : z_ ∈ critial_point ψ) :
  Tendsto (fun n => z (φ (n + 1))) atTop (𝓝 z_) ∧
    Tendsto (fun n => ψ ((fun n => z (φ (n + 1))) n)) atTop (𝓝 (ψ z_)) ∧
      ∃ v, ∀ (n : ℕ), v n ∈ f_subdifferential ψ ((fun n => z (φ (n + 1))) n) ∧ Tendsto v atTop (𝓝 0) := sorry

State before:
case right.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
z_ : WithLp 2 (E × F)
ha : z_ ∈ limit_set z
φ : ℕ → ℕ
monoφ : StrictMono φ
conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)
⊢ z_ ∈ critial_point ψ

Tactic: apply Set.mem_setOf.mpr
    rw [subdifferential, Set.mem_setOf]
    use fun n ↦ alg.z (φ (n + 1))

State after:
[case h
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 z_ : WithLp 2 (E × F)
 ha : z_ ∈ limit_set z
 φ : ℕ → ℕ
 monoφ : StrictMono φ
 conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)
 ⊢ Tendsto (fun n => z (φ (n + 1))) atTop (𝓝 z_) ∧
     Tendsto (fun n => ψ ((fun n => z (φ (n + 1))) n)) atTop (𝓝 (ψ z_)) ∧
       ∃ v, ∀ (n : ℕ), v n ∈ f_subdifferential ψ ((fun n => z (φ (n + 1))) n) ∧ Tendsto v atTop (𝓝 0)]

Relevant lemmas:
Set.mem_setOf : ∀ {α : Type u} {a : α} {p : α → Prop}, a ∈ {x | p x} ↔ p a