theorem extracted_formal_statement_56.{u_3, u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {ι : Type u_3} [inst_2 : DecidableEq ι] {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧}
  [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] [inst_3 : Fintype ι] (X : ι → Ω → 𝓧) (hX : ∀ (i : ι), Measurable (X i))
  (hX' : iIndepFun X μ) (f : (ι → 𝓧) → ℝ) (c : ι → ℝ)
  (hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i) (hf' : Measurable f) (t : ℝ)
  (ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1) (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧)
  (h_original_goal : |(-f) x - (-f) (Function.update x i x')| ≤ c i) :
  |f x + -f (Function.update x i x')| ≤ c i := sorry

State before:
Ω : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
inst✝ : Fintype ι
X : ι → Ω → 𝓧
hX : ∀ (i : ι), Measurable (X i)
hX' : iIndepFun X μ
f : (ι → 𝓧) → ℝ
c : ι → ℝ
hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i
hf' : Measurable f
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1
i : ι
x : ι → 𝓧
x' : 𝓧
⊢ |(-f) x - (-f) (Function.update x i x')| ≤ c i

Tactic: rw [← abs_neg]
    simp only [Pi.neg_apply, sub_neg_eq_add, neg_add_rev, neg_neg]
    rw [add_comm]

State after:
[Ω : Type u_1
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 𝓧 : Type u_2
 ι : Type u_3
 inst✝¹ : DecidableEq ι
 m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
 hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
 inst✝ : Fintype ι
 X : ι → Ω → 𝓧
 hX : ∀ (i : ι), Measurable (X i)
 hX' : iIndepFun X μ
 f : (ι → 𝓧) → ℝ
 c : ι → ℝ
 hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i
 hf' : Measurable f
 ε : ℝ
 hε : ε > 0
 t : ℝ
 ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1
 i : ι
 x : ι → 𝓧
 x' : 𝓧
 ⊢ |f x + -f (Function.update x i x')| ≤ c i]

Relevant lemmas:
abs_neg : ∀ {α : Type u_1} [inst : Lattice α] [inst_4 : AddGroup α] (a : α), |(-a)| = |a|
sub_neg_eq_add : ∀ {α : Type u_1} [inst : SubtractionMonoid α] (a b : α), a - -b = a + b
Pi.neg_apply : ∀ {I : Type u} {f : I → Type v₁} (x : (i : I) → f i) (i : I) [inst : (i : I) → Neg (f i)], (-x) i = -x i
neg_neg : ∀ {G : Type u_1} [inst : InvolutiveNeg G] (a : G), - -a = a
neg_add_rev : ∀ {G : Type u_1} [inst : SubtractionMonoid G] (a b : G), -(a + b) = -b + -a
add_comm : ∀ {G : Type u_1} [inst : AddCommMagma G] (a b : G), a + b = b + a