theorem extracted_formal_statement_41 (k : ℕ) (hk : k ≠ 0)
  (h_original_goal : (if k = 0 then 1 / 2 else 2 / (1 + ↑k)) ≤ 1) : 2 ≤ 1 + ↑k := sorry

State before:
case neg
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ h✝ : E → ℝ
f'✝ : E → E
x0✝ : E
f h : E → ℝ
f' : E → E
x0 : E
p : Nesterov_second_fix_stepsize f h f' x0
k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ (if k = 0 then 1 / 2 else 2 / (1 + ↑k)) ≤ 1

Tactic: simp [hk]
    rw [div_le_iff₀ (by positivity)]
    simp [hk]

State after:
[case neg
 E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f✝ h✝ : E → ℝ
 f'✝ : E → E
 x0✝ : E
 f h : E → ℝ
 f' : E → E
 x0 : E
 p : Nesterov_second_fix_stepsize f h f' x0
 k : ℕ
 hk : k ≠ 0
 ⊢ 2 ≤ 1 + ↑k]

Relevant lemmas:
div_le_iff₀ : ∀ {G₀ : Type u_2} [inst : GroupWithZero G₀] [inst_1 : PartialOrder G₀] [inst_2 : ZeroLEOneClass G₀]
  [inst_3 : PosMulReflectLT G₀] {a b c : G₀} [inst_4 : MulPosMono G₀], 0 < c → (b / c ≤ a ↔ b ≤ a * c)