theorem extracted_formal_statement_13.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (r : ℝ)
  (Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r) ⦃x : F⦄ (n_1 : ℕ) (eq : ey n_1 = x) (hτ : ADMM.τ E₁ E₂ F > 0)
  (hρ : ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0) (τ_mul_ρ' : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0)
  (τ_mul_ρ : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F ≥ 0)
  (open_Φ :
    ∀ (n : ℕ),
      ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * Φ n =
        ‖ey n‖ ^ 2 + ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
          ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
            ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2)
  (open_Φ' :
    ∀ (n : ℕ),
      ‖ey n‖ ^ 2 + ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
          ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
            ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 =
        ‖ey n‖ ^ 2 +
          (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
            ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
              ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2))
  (nonneg1 : ∀ (n : ℕ), ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 ≥ 0)
  (nonneg2 :
    ∀ (n : ℕ),
      ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
          ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 ≥
        0)
  (nonneg3 :
    ∀ (n : ℕ),
      ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
          ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
            ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 ≥
        0)
  (ey_norm : ∀ (n : ℕ), ‖ey n‖ ^ 2 ≤ ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * Φ n)
  (ey_norm_pow : ∀ (n : ℕ), ‖ey n‖ ^ 2 < ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * r) (n : ℕ) (h_ey : √(‖ey n‖ ^ 2) = ‖ey n‖)
  (h_original_goal : ‖ey n‖ < √(ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * r)) :
  ‖ey n‖ ^ 2 < ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * r := sorry

State before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
r : ℝ
Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r
x : F
n✝ : ℕ
eq : ey n✝ = x
hτ : ADMM.τ E₁ E₂ F > 0
hρ : ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0
τ_mul_ρ' : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0
τ_mul_ρ : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F ≥ 0
open_Φ :
  ∀ (n : ℕ),
    ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * Φ n =
      ‖ey n‖ ^ 2 + ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
        ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
          ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2
open_Φ' :
  ∀ (n : ℕ),
    ‖ey n‖ ^ 2 + ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
        ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
          ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 =
      ‖ey n‖ ^ 2 +
        (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
          ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
            ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2)
nonneg1 : ∀ (n : ℕ), ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 ≥ 0
nonneg2 :
  ∀ (n : ℕ),
    ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
        ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 ≥
      0
nonneg3 :
  ∀ (n : ℕ),
    ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
        ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
          ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 ≥
      0
ey_norm : ∀ (n : ℕ), ‖ey n‖ ^ 2 ≤ ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * Φ n
ey_norm_pow : ∀ (n : ℕ), ‖ey n‖ ^ 2 < ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * r
n : ℕ
h_ey : √(‖ey n‖ ^ 2) = ‖ey n‖
⊢ ‖ey n‖ < √(ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * r)

Tactic: rw [← h_ey]
    have : ‖ey n‖ ^ 2 ≥ 0 := by apply pow_two_nonneg
    apply (Real.sqrt_lt_sqrt_iff this).mpr

State after:
[E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 r : ℝ
 Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r
 x : F
 n✝ : ℕ
 eq : ey n✝ = x
 hτ : ADMM.τ E₁ E₂ F > 0
 hρ : ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0
 τ_mul_ρ' : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0
 τ_mul_ρ : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F ≥ 0
 open_Φ :
   ∀ (n : ℕ),
     ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * Φ n =
       ‖ey n‖ ^ 2 + ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
         ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
           ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2
 open_Φ' :
   ∀ (n : ℕ),
     ‖ey n‖ ^ 2 + ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
         ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
           ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 =
       ‖ey n‖ ^ 2 +
         (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
           ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
             ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2)
 nonneg1 : ∀ (n : ℕ), ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 ≥ 0
 nonneg2 :
   ∀ (n : ℕ),
     ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
         ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 ≥
       0
 nonneg3 :
   ∀ (n : ℕ),
     ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
         ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
           ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 ≥
       0
 ey_norm : ∀ (n : ℕ), ‖ey n‖ ^ 2 ≤ ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * Φ n
 ey_norm_pow : ∀ (n : ℕ), ‖ey n‖ ^ 2 < ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * r
 n : ℕ
 h_ey : √(‖ey n‖ ^ 2) = ‖ey n‖
 this : ‖ey n‖ ^ 2 ≥ 0
 ⊢ ‖ey n‖ ^ 2 < ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * r]

Relevant lemmas:
Real.sqrt_lt_sqrt_iff : ∀ {x y : ℝ}, 0 ≤ x → (√x < √y ↔ x < y)
pow_two_nonneg : ∀ {α : Type u} [inst : Semiring α] [inst_10 : LinearOrder α] [inst_11 : IsRightCancelAdd α]
  [inst_12 : ZeroLEOneClass α] [inst_13 : ExistsAddOfLE α] [inst_14 : PosMulMono α] [inst_15 : AddLeftStrictMono α]
  (a : α), 0 ≤ a ^ 2