theorem extracted_formal_statement_9.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (ρ₁ : ℝ) (hρ₁ : ρ₁ > 0)
  (left : ρ₁ = (γ - 1) * ↑l) (k : ℕ) (h2 : ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))
  (h1 : 2 / ρ₁ * (ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2) ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1))))
  (h_original_goal : ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))) :
  ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1))) / ρ₁ := sorry

State before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
ρ₁ : ℝ
hρ₁ : ρ₁ > 0
left✝ : ρ₁ = (γ - 1) * ↑l
k : ℕ
h2 : ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1))
h1 : 2 / ρ₁ * (ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2) ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))
⊢ ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 / ρ₁ * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))

Tactic: rw [← mul_assoc] at h1
    field_simp at h1
    field_simp

State after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 ρ₁ : ℝ
 hρ₁ : ρ₁ > 0
 left✝ : ρ₁ = (γ - 1) * ↑l
 k : ℕ
 h2 : ρ₁ / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1))
 h1 : ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1))) / ρ₁
 ⊢ ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ 2 * (ψ (z k) - ψ (z (k + 1))) / ρ₁]

Relevant lemmas:
mul_assoc : ∀ {G : Type u_1} [inst : Semigroup G] (a b c : G), a * b * c = a * (b * c)