theorem extracted_formal_statement_2.{w, v, u} {Z : Type w} {ι : Type v} {f : ι → Z → ℝ} {Ω : Type u} {X : Ω → Z} {b : ℝ}
  (h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b) {c : ι → ℝ} {C : ℝ} (hC : ∀ (I : ι), |c I| ≤ C) (ω : Ω × Ω)
  (σ : { x // x ∈ {-1, 1} }) (I : ι) (h_original_goal : |↑↑σ * (f I (X ω.1) - f I (X ω.2))| + |c I| ≤ b + b + |c I|) :
  |f I (X ω.1) - f I (X ω.2)| ≤ b + b := sorry

State before:
Z : Type w
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
Ω : Type u
X : Ω → Z
b : ℝ
h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b
c : ι → ℝ
C : ℝ
hC : ∀ (I : ι), |c I| ≤ C
ω : Ω × Ω
σ : { x // x ∈ {-1, 1} }
I : ι
⊢ |↑↑σ * (f I (X ω.1) - f I (X ω.2))| + |c I| ≤ b + b + |c I|

Tactic: apply add_le_add_right
    rw [abs_mul, abs_sigma σ]
    simp only [one_mul]

State after:
[case bc
 Z : Type w
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 Ω : Type u
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b
 c : ι → ℝ
 C : ℝ
 hC : ∀ (I : ι), |c I| ≤ C
 ω : Ω × Ω
 σ : { x // x ∈ {-1, 1} }
 I : ι
 ⊢ |f I (X ω.1) - f I (X ω.2)| ≤ b + b]

Relevant lemmas:
abs_sigma : ∀ (σ : { x // x ∈ {-1, 1} }), |↑↑σ| = 1
abs_mul : ∀ {α : Type u_1} [inst : LinearOrderedRing α] (a b : α), |a * b| = |a| * |b|
one_mul : ∀ {M : Type u} [inst : MulOneClass M] (a : M), 1 * a = a
add_le_add_right : ∀ {α : Type u_1} [inst : Add α] [inst_1 : LE α] [i : AddRightMono α] {b c : α},
  b ≤ c → ∀ (a : α), b + a ≤ c + a