theorem extracted_formal_statement_7.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : CompleteSpace E] [inst_2 : ProperSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F] [inst_4 : CompleteSpace F]
  [inst_5 : ProperSpace F] (x : E) (y : F) (r : ℝ) (h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r))
  (x' : E) (y' : F) (hball : (x', y') ∈ Metric.closedBall (x, y) r)
  (h_original_goal : (x', y') ∈ Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r) : ‖y' - y‖ ≤ r := sorry

State before:
case mk
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : ProperSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : ProperSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
x : E
y : F
r : ℝ
h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
x' : E
y' : F
hball : (x', y') ∈ Metric.closedBall (x, y) r
⊢ (x', y') ∈ Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r

Tactic: rw [mem_prod]
    simp only [mem_closedBall_iff_norm, WithLp.prod_norm_eq_of_L2] at *
    constructor

State after:
[case mk.left
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : ProperSpace E
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : CompleteSpace F
 inst✝ : ProperSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 x : E
 y : F
 r : ℝ
 h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
 this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
 x' : E
 y' : F
 hball : √(‖((x', y') - (x, y)).1‖ ^ 2 + ‖((x', y') - (x, y)).2‖ ^ 2) ≤ r
 ⊢ ‖x' - x‖ ≤ r,
 case mk.right
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : ProperSpace E
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : CompleteSpace F
 inst✝ : ProperSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 x : E
 y : F
 r : ℝ
 h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
 this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
 x' : E
 y' : F
 hball : √(‖((x', y') - (x, y)).1‖ ^ 2 + ‖((x', y') - (x, y)).2‖ ^ 2) ≤ r
 ⊢ ‖y' - y‖ ≤ r]

Relevant lemmas:
mem_closedBall_iff_norm : ∀ {E : Type u_5} [inst : SeminormedAddGroup E] {a b : E} {r : ℝ},
  b ∈ Metric.closedBall a r ↔ ‖b - a‖ ≤ r
Set.mem_prod : ∀ {α : Type u} {β : Type v} {s : Set α} {t : Set β} {p : α × β}, p ∈ s ×ˢ t ↔ p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ t
WithLp.prod_norm_eq_of_L2 : ∀ {α : Type u_2} {β : Type u_3} [inst : SeminormedAddCommGroup α]
  [inst_6 : SeminormedAddCommGroup β] (x : WithLp 2 (α × β)), ‖x‖ = √(‖x.1‖ ^ 2 + ‖x.2‖ ^ 2)