theorem extracted_formal_statement_47.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (ψ_final : ℝ)
  (hψ : Tendsto (ψ ∘ z) atTop (𝓝 ψ_final)) (z_1 : WithLp 2 (E × F)) (hz_1 : z_1 ∈ limit_set z) (φ : ℕ → ℕ)
  (monoφ : StrictMono φ) (conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_1)) : Tendsto (ψ ∘ z ∘ φ) atTop (𝓝 ψ_final) := sorry

State before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
ψ_final : ℝ
hψ : Tendsto (ψ ∘ z) atTop (𝓝 ψ_final)
z_1 : WithLp 2 (E × F)
hz_1 : z_1 ∈ limit_set z
φ : ℕ → ℕ
monoφ : StrictMono φ
conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_1)
⊢ Tendsto (ψ ∘ z ∘ φ) atTop (𝓝 ψ_final)

Tactic: apply le_trans _ hψ
    rw [← Filter.map_map]
    apply map_mono $ StrictMono.tendsto_atTop monoφ

State after:

Relevant lemmas:
Filter.map_map : ∀ {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {f : Filter α} {m : α → β} {m' : β → γ},
  map m' (map m f) = map (m' ∘ m) f
le_trans : ∀ {α : Type u_1} [inst : Preorder α] {a b c : α}, a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
Filter.map_mono : ∀ {α : Type u_1} {β : Type u_2} {m : α → β}, Monotone (map m)
StrictMono.tendsto_atTop : ∀ {φ : ℕ → ℕ}, StrictMono φ → Tendsto φ atTop atTop