theorem extracted_formal_statement_26.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} ⦃x : E₁ × E₂ × F⦄ (hx : ∃ «y», (ADMM.x₁ E₂ F «y», ADMM.x₂ E₁ F «y», ADMM.y E₁ E₂ «y») = x)
  (h_original_goal :
    x ∈ {x | ∃ «y», ADMM.x₁ E₂ F «y» = x} ×ˢ {x | ∃ «y», ADMM.x₂ E₁ F «y» = x} ×ˢ {x | ∃ «y», ADMM.y E₁ E₂ «y» = x}) :
  (∃ «y», ADMM.x₁ E₂ F «y» = x.1) ∧ (∃ «y», ADMM.x₂ E₁ F «y» = x.2.1) ∧ ∃ «y», ADMM.y E₁ E₂ «y» = x.2.2 := sorry

State before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
x : E₁ × E₂ × F
hx : ∃ «y», (ADMM.x₁ E₂ F «y», ADMM.x₂ E₁ F «y», ADMM.y E₁ E₂ «y») = x
⊢ x ∈ {x | ∃ «y», ADMM.x₁ E₂ F «y» = x} ×ˢ {x | ∃ «y», ADMM.x₂ E₁ F «y» = x} ×ˢ {x | ∃ «y», ADMM.y E₁ E₂ «y» = x}

Tactic: simp only [mem_prod, mem_setOf_eq]
    rcases hx with ⟨n, hn⟩
    have h1 : x₁ n = x.1 := hn.symm ▸ rfl

State after:
[case intro
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 x : E₁ × E₂ × F
 n : ℕ
 hn : (ADMM.x₁ E₂ F n, ADMM.x₂ E₁ F n, ADMM.y E₁ E₂ n) = x
 h1 : ADMM.x₁ E₂ F n = x.1
 ⊢ (∃ «y», ADMM.x₁ E₂ F «y» = x.1) ∧ (∃ «y», ADMM.x₂ E₁ F «y» = x.2.1) ∧ ∃ «y», ADMM.y E₁ E₂ «y» = x.2.2]

Relevant lemmas:
Set.mem_setOf_eq : ∀ {α : Type u} {x : α} {p : α → Prop}, (x ∈ {y | p y}) = p x
Set.mem_prod : ∀ {α : Type u} {β : Type v} {s : Set α} {t : Set β} {p : α × β}, p ∈ s ×ˢ t ↔ p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ t