theorem extracted_formal_statement_7.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (x : Fin n → Z) (x' : Z) :
  let g := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ;
  let h := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ;
  (∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) →
    (∀ (j : ι), |g j - h j| ≤ (↑n)⁻¹ * 2 * b) →
      (⨆ i, |g i|) - ⨆ i_1, |h i_1| = ⨆ i, |g i| - ⨆ i_1, |h i_1| →
        ∀ (y : ℝ) (z : ι),
          |(↑n)⁻¹ * ∑ k, f z (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f z (X x) ∂μ| = y → 0 ≤ ∑ k, b := sorry

State before:
case refine_4
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
p''' : ∀ (j : ι), |g j - h j| ≤ (↑n)⁻¹ * 2 * b
p0 : (⨆ i, |g i|) - ⨆ i_1, |h i_1| = ⨆ i, |g i| - ⨆ i_1, |h i_1|
j : ι
y : ℝ
z : ι
hx : |(↑n)⁻¹ * ∑ k, f z (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f z (X x) ∂μ| = y
⊢ 0 ≤ ∑ k, b

Tactic: simp only [Finset.sum_const, Finset.card_univ, Fintype.card_fin, nsmul_eq_mul, h, g]
    field_simp
    exact hb

State after:

Relevant lemmas:
Finset.card_univ : ∀ {α : Type u_1} [inst : Fintype α], Finset.univ.card = Fintype.card α
Fintype.card_fin : ∀ (n : ℕ), Fintype.card (Fin n) = n
nsmul_eq_mul : ∀ {α : Type u_1} [inst : NonAssocSemiring α] (n : ℕ) (a : α), n • a = ↑n * a
Finset.sum_const : ∀ {α : Type u_3} {β : Type u_4} {s : Finset α} [inst : AddCommMonoid β] (b : β),
  ∑ _x ∈ s, b = s.card • b