theorem extracted_formal_statement_3.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {G : NNReal} (hf : ConvexOn ℝ Set.univ f) (hc : ContinuousOn f Set.univ)
  (h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G) (x y gx : E) (hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x) (hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G)
  (hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ) (hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ) (gy : E) (hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y)
  (hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G) (hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ) : f x - f y ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ - f y := sorry

State before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
G : NNReal
hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
hc : ContinuousOn f Set.univ
h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
x y gx : E
hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
hx₂ : f y ≥ f x + ⟪gx, y - x⟫_ℝ
hx₄ : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ
gy : E
hy₁ : gy ∈ SubderivAt f y
hy₃ : ‖gy‖ ≤ ↑G
hy₂ : f x ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ
⊢ f x - f y ≥ f y + ⟪gy, x - y⟫_ℝ - f y

Tactic: apply sub_le_sub_right hy₂

State after:

Relevant lemmas:
sub_le_sub_right : ∀ {α : Type u} [inst : AddGroup α] [inst_3 : LE α] [inst_4 : AddRightMono α] {a b : α},
  a ≤ b → ∀ (c : α), a - c ≤ b - c