theorem extracted_formal_statement_17.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  {f : E → ℝ} {G : NNReal} (h : ∀ (x y : E), edist (f x) (f y) ≤ ↑G * edist x y) (x g : E) (h₂ : g ∈ SubderivAt f x)
  (h₃ : ↑G < ‖g‖) :
  let y := x + (1 / ‖g‖) • g;
  y = x + (1 / ‖g‖) • g → f y ≥ f x + ‖g‖ → ‖g‖ ≠ 0 → ⟪g, y - x⟫_ℝ = ‖g‖ → f y - f x ≥ f x + ‖g‖ - f x := sorry

State before:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
f : E → ℝ
G : NNReal
h : ∀ (x y : E), edist (f x) (f y) ≤ ↑G * edist x y
x g : E
h₂ : g ∈ SubderivAt f x
h₃ : ↑G < ‖g‖
y : E := x + (1 / ‖g‖) • g
hy : y = x + (1 / ‖g‖) • g
hy₂ : f y ≥ f x + ‖g‖
hg₁ : ‖g‖ ≠ 0
hl : ⟪g, y - x⟫_ℝ = ‖g‖
⊢ f y - f x ≥ f x + ‖g‖ - f x

Tactic: apply sub_le_sub_right hy₂

State after:

Relevant lemmas:
sub_le_sub_right : ∀ {α : Type u} [inst : AddGroup α] [inst_2 : LE α] [inst_3 : AddRightMono α] {a b : α},
  a ≤ b → ∀ (c : α), a - c ≤ b - c