theorem extracted_formal_statement_1.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {G : NNReal} (hf : ConvexOn ℝ Set.univ f) (hc : ContinuousOn f Set.univ)
  (h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G) (x y gx : E) (hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x) (hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G)
  (hx₂ : f y ≥ ⟪gx, y - x⟫_ℝ + f x) (this : f x ≤ f y + ⟪gx, x - y⟫_ℝ) : f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ := sorry

State before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
G : NNReal
hf : ConvexOn ℝ Set.univ f
hc : ContinuousOn f Set.univ
h : ∀ ⦃x g : E⦄, g ∈ SubderivAt f x → ‖g‖ ≤ ↑G
x y gx : E
hx₁ : gx ∈ SubderivAt f x
hx₃ : ‖gx‖ ≤ ↑G
hx₂ : f y ≥ ⟪gx, y - x⟫_ℝ + f x
this : f x ≤ f y + ⟪gx, x - y⟫_ℝ
⊢ f x - f y ≤ ⟪gx, x - y⟫_ℝ

Tactic: exact sub_left_le_of_le_add this

State after:

Relevant lemmas:
sub_left_le_of_le_add : ∀ {α : Type u} [inst : AddCommGroup α] [inst_3 : LE α] [inst_4 : AddLeftMono α] {a b c : α},
  a ≤ b + c → a - b ≤ c