theorem extracted_formal_statement_68.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : ProperSpace E] {x₀ : E} {f : E → ℝ} {f' : E → E} {h : E → ℝ}
  {alg : proximal_gradient_method f h f' x₀} (th : ContinuousOn (proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • h) univ)
  (th' : ConvexOn ℝ univ (proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • h)) :
  let Gt := fun x =>
    (1 / proximal_gradient_method.t f h f' x₀) •
      (x -
        prox_point_c' (proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • h) (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • f' x) th
          th');
  let φ := fun x => f x + h x;
  (∀ (z : E), Gt z - f' z ∈ SubderivAt h (z - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt z)) →
    (∀ (x : E),
        f (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) ≤
          f x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ * inner (f' x) (Gt x) +
            proximal_gradient_method.t f h f' x₀ ^ 2 * ↑(proximal_gradient_method.L f h f' x₀) / 2 * ‖Gt x‖ ^ 2) →
      (∀ (x : E),
          f (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) ≤
            f x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ * inner (f' x) (Gt x) +
              proximal_gradient_method.t f h f' x₀ / 2 * ‖Gt x‖ ^ 2) →
        (∀ (x z : E), f x + inner (f' x) (z - x) ≤ f z) →
          (∀ (x z : E),
              h (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) +
                  inner (Gt x - f' x) (z - x + proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) ≤
                h z) →
            (∀ (x z : E),
                h (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) ≤
                  h z - inner (Gt x - f' x) (z - x + proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x)) →
              (∀ (x z : E),
                  φ (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) ≤
                    φ z + inner (Gt x) (x - z) - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ / 2 * ‖Gt x‖ ^ 2) →
                (∀ (x : E),
                    φ (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) - φ (proximal_gradient_method.xm f h f' x₀) ≤
                      1 / (2 * proximal_gradient_method.t f h f' x₀) *
                        (‖x - proximal_gradient_method.xm f h f' x₀‖ ^ 2 -
                          ‖x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x - proximal_gradient_method.xm f h f' x₀‖ ^
                            2)) →
                  (∀ (i : ℕ),
                      proximal_gradient_method.x f h f' x₀ (i + 1) =
                        proximal_gradient_method.x f h f' x₀ i -
                          proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ i)) →
                    (∀ (i : ℕ),
                        φ (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ (i + 1)) ≤ φ (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ i)) →
                      (∀ (i j : ℕ),
                          i ≤ j →
                            φ (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ j) ≤ φ (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ i)) →
                        (∀ (i k : ℕ),
                            i < k →
                              φ (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ k) - φ (proximal_gradient_method.xm f h f' x₀) ≤
                                1 / (2 * proximal_gradient_method.t f h f' x₀) *
                                    ‖proximal_gradient_method.x f h f' x₀ i - proximal_gradient_method.xm f h f' x₀‖ ^
                                      2 -
                                  1 / (2 * proximal_gradient_method.t f h f' x₀) *
                                    ‖proximal_gradient_method.x f h f' x₀ (i + 1) -
                                          proximal_gradient_method.xm f h f' x₀‖ ^
                                      2) →
                          ∀ (k : ℕ),
                            let nr := fun n =>
                              1 / (2 * proximal_gradient_method.t f h f' x₀) *
                                ‖proximal_gradient_method.x f h f' x₀ n - proximal_gradient_method.xm f h f' x₀‖ ^ 2;
                            let s := Finset.range k;
                            k = s.card →
                              ∑ _x ∈ s,
                                    (φ (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ k) -
                                      φ (proximal_gradient_method.xm f h f' x₀)) ≤
                                  ∑ i ∈ Finset.range k, (nr i - nr (i + 1)) →
                                ∀ i ∈ s,
                                  φ (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ k) -
                                      φ (proximal_gradient_method.xm f h f' x₀) ≤
                                    nr i - nr (i + 1) := sorry

State before:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : ProperSpace E
x₀ : E
f : E → ℝ
f' : E → E
h : E → ℝ
alg : proximal_gradient_method f h f' x₀
k✝ : ℕ+
th : ContinuousOn (proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • h) univ
th' : ConvexOn ℝ univ (proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • h)
Gt : E → E :=
  fun x =>
    (1 / proximal_gradient_method.t f h f' x₀) •
      (x -
        prox_point_c' (proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • h) (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • f' x) th
          th')
φ : E → ℝ := fun x => f x + h x
hG : ∀ (z : E), Gt z - f' z ∈ SubderivAt h (z - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt z)
fieq1 :
  ∀ (x : E),
    f (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) ≤
      f x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ * inner (f' x) (Gt x) +
        proximal_gradient_method.t f h f' x₀ ^ 2 * ↑(proximal_gradient_method.L f h f' x₀) / 2 * ‖Gt x‖ ^ 2
fieq2 :
  ∀ (x : E),
    f (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) ≤
      f x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ * inner (f' x) (Gt x) +
        proximal_gradient_method.t f h f' x₀ / 2 * ‖Gt x‖ ^ 2
fieq3 : ∀ (x z : E), f x + inner (f' x) (z - x) ≤ f z
hieq1 :
  ∀ (x z : E),
    h (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) +
        inner (Gt x - f' x) (z - x + proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) ≤
      h z
hieq2 :
  ∀ (x z : E),
    h (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) ≤
      h z - inner (Gt x - f' x) (z - x + proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x)
univieq :
  ∀ (x z : E),
    φ (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) ≤
      φ z + inner (Gt x) (x - z) - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ / 2 * ‖Gt x‖ ^ 2
φieq1 :
  ∀ (x : E),
    φ (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) - φ (proximal_gradient_method.xm f h f' x₀) ≤
      1 / (2 * proximal_gradient_method.t f h f' x₀) *
        (‖x - proximal_gradient_method.xm f h f' x₀‖ ^ 2 -
          ‖x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x - proximal_gradient_method.xm f h f' x₀‖ ^ 2)
iter :
  ∀ (i : ℕ),
    proximal_gradient_method.x f h f' x₀ (i + 1) =
      proximal_gradient_method.x f h f' x₀ i -
        proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ i)
φdecrease : ∀ (i : ℕ), φ (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ (i + 1)) ≤ φ (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ i)
φdecrease' :
  ∀ (i j : ℕ), i ≤ j → φ (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ j) ≤ φ (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ i)
φieq3 :
  ∀ (i k : ℕ),
    i < k →
      φ (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ k) - φ (proximal_gradient_method.xm f h f' x₀) ≤
        1 / (2 * proximal_gradient_method.t f h f' x₀) *
            ‖proximal_gradient_method.x f h f' x₀ i - proximal_gradient_method.xm f h f' x₀‖ ^ 2 -
          1 / (2 * proximal_gradient_method.t f h f' x₀) *
            ‖proximal_gradient_method.x f h f' x₀ (i + 1) - proximal_gradient_method.xm f h f' x₀‖ ^ 2
k : ℕ
nr : ℕ → ℝ :=
  fun n =>
    1 / (2 * proximal_gradient_method.t f h f' x₀) *
      ‖proximal_gradient_method.x f h f' x₀ n - proximal_gradient_method.xm f h f' x₀‖ ^ 2
x✝ : ℕ → ℝ := fun x => φ (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ k) - φ (proximal_gradient_method.xm f h f' x₀)
s : Finset ℕ := Finset.range k
this : k = s.card
⊢ ∑ _x ∈ s, (φ (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ k) - φ (proximal_gradient_method.xm f h f' x₀)) ≤
    ∑ i ∈ Finset.range k, (nr i - nr (i + 1))

Tactic: apply Finset.sum_le_sum

State after:
[case h
 E : Type u_1
 inst✝³ : NormedAddCommGroup E
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝¹ : CompleteSpace E
 inst✝ : ProperSpace E
 x₀ : E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 h : E → ℝ
 alg : proximal_gradient_method f h f' x₀
 k✝ : ℕ+
 th : ContinuousOn (proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • h) univ
 th' : ConvexOn ℝ univ (proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • h)
 Gt : E → E :=
   fun x =>
     (1 / proximal_gradient_method.t f h f' x₀) •
       (x -
         prox_point_c' (proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • h) (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • f' x) th
           th')
 φ : E → ℝ := fun x => f x + h x
 hG : ∀ (z : E), Gt z - f' z ∈ SubderivAt h (z - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt z)
 fieq1 :
   ∀ (x : E),
     f (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) ≤
       f x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ * inner (f' x) (Gt x) +
         proximal_gradient_method.t f h f' x₀ ^ 2 * ↑(proximal_gradient_method.L f h f' x₀) / 2 * ‖Gt x‖ ^ 2
 fieq2 :
   ∀ (x : E),
     f (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) ≤
       f x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ * inner (f' x) (Gt x) +
         proximal_gradient_method.t f h f' x₀ / 2 * ‖Gt x‖ ^ 2
 fieq3 : ∀ (x z : E), f x + inner (f' x) (z - x) ≤ f z
 hieq1 :
   ∀ (x z : E),
     h (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) +
         inner (Gt x - f' x) (z - x + proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) ≤
       h z
 hieq2 :
   ∀ (x z : E),
     h (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) ≤
       h z - inner (Gt x - f' x) (z - x + proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x)
 univieq :
   ∀ (x z : E),
     φ (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) ≤
       φ z + inner (Gt x) (x - z) - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ / 2 * ‖Gt x‖ ^ 2
 φieq1 :
   ∀ (x : E),
     φ (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) - φ (proximal_gradient_method.xm f h f' x₀) ≤
       1 / (2 * proximal_gradient_method.t f h f' x₀) *
         (‖x - proximal_gradient_method.xm f h f' x₀‖ ^ 2 -
           ‖x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x - proximal_gradient_method.xm f h f' x₀‖ ^ 2)
 iter :
   ∀ (i : ℕ),
     proximal_gradient_method.x f h f' x₀ (i + 1) =
       proximal_gradient_method.x f h f' x₀ i -
         proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ i)
 φdecrease : ∀ (i : ℕ), φ (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ (i + 1)) ≤ φ (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ i)
 φdecrease' :
   ∀ (i j : ℕ), i ≤ j → φ (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ j) ≤ φ (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ i)
 φieq3 :
   ∀ (i k : ℕ),
     i < k →
       φ (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ k) - φ (proximal_gradient_method.xm f h f' x₀) ≤
         1 / (2 * proximal_gradient_method.t f h f' x₀) *
             ‖proximal_gradient_method.x f h f' x₀ i - proximal_gradient_method.xm f h f' x₀‖ ^ 2 -
           1 / (2 * proximal_gradient_method.t f h f' x₀) *
             ‖proximal_gradient_method.x f h f' x₀ (i + 1) - proximal_gradient_method.xm f h f' x₀‖ ^ 2
 k : ℕ
 nr : ℕ → ℝ :=
   fun n =>
     1 / (2 * proximal_gradient_method.t f h f' x₀) *
       ‖proximal_gradient_method.x f h f' x₀ n - proximal_gradient_method.xm f h f' x₀‖ ^ 2
 x✝ : ℕ → ℝ := fun x => φ (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ k) - φ (proximal_gradient_method.xm f h f' x₀)
 s : Finset ℕ := Finset.range k
 this : k = s.card
 ⊢ ∀ i ∈ s, φ (proximal_gradient_method.x f h f' x₀ k) - φ (proximal_gradient_method.xm f h f' x₀) ≤ nr i - nr (i + 1)]

Relevant lemmas:
Finset.sum_le_sum : ∀ {ι : Type u_1} {N : Type u_5} [inst : OrderedAddCommMonoid N] {f g : ι → N} {s : Finset ι},
  (∀ i ∈ s, f i ≤ g i) → ∑ i ∈ s, f i ≤ ∑ i ∈ s, g i