theorem extracted_formal_statement_16.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : ProperSpace E] {x₀ : E} {f : E → ℝ} {f' : E → E} {h : E → ℝ}
  {alg : proximal_gradient_method f h f' x₀} (th : ContinuousOn (proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • h) univ)
  (th' : ConvexOn ℝ univ (proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • h)) :
  let Gt := fun x =>
    (1 / proximal_gradient_method.t f h f' x₀) •
      (x -
        prox_point_c' (proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • h) (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • f' x) th
          th');
  (∀ (z : E), Gt z - f' z ∈ SubderivAt h (z - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt z)) →
    (∀ (x : E),
        f (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) ≤
          f x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ * inner (f' x) (Gt x) +
            proximal_gradient_method.t f h f' x₀ ^ 2 * ↑(proximal_gradient_method.L f h f' x₀) / 2 * ‖Gt x‖ ^ 2) →
      ∀ (x : E),
        proximal_gradient_method.t f h f' x₀ ^ 2 * ↑(proximal_gradient_method.L f h f' x₀) / 2 * ‖Gt x‖ ^ 2 ≤
            proximal_gradient_method.t f h f' x₀ / 2 * ‖Gt x‖ ^ 2 →
          proximal_gradient_method.t f h f' x₀ ^ 2 * ↑(proximal_gradient_method.L f h f' x₀) / 2 ≤
            proximal_gradient_method.t f h f' x₀ / 2 := sorry

State before:
case bc
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : ProperSpace E
x₀ : E
f : E → ℝ
f' : E → E
h : E → ℝ
alg : proximal_gradient_method f h f' x₀
k : ℕ+
th : ContinuousOn (proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • h) univ
th' : ConvexOn ℝ univ (proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • h)
Gt : E → E :=
  fun x =>
    (1 / proximal_gradient_method.t f h f' x₀) •
      (x -
        prox_point_c' (proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • h) (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • f' x) th
          th')
φ : E → ℝ := fun x => f x + h x
hG : ∀ (z : E), Gt z - f' z ∈ SubderivAt h (z - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt z)
fieq1 :
  ∀ (x : E),
    f (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) ≤
      f x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ * inner (f' x) (Gt x) +
        proximal_gradient_method.t f h f' x₀ ^ 2 * ↑(proximal_gradient_method.L f h f' x₀) / 2 * ‖Gt x‖ ^ 2
x : E
⊢ proximal_gradient_method.t f h f' x₀ ^ 2 * ↑(proximal_gradient_method.L f h f' x₀) / 2 * ‖Gt x‖ ^ 2 ≤
    proximal_gradient_method.t f h f' x₀ / 2 * ‖Gt x‖ ^ 2

Tactic: apply mul_le_mul_of_nonneg_right

State after:
[case bc.h
 E : Type u_1
 inst✝³ : NormedAddCommGroup E
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝¹ : CompleteSpace E
 inst✝ : ProperSpace E
 x₀ : E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 h : E → ℝ
 alg : proximal_gradient_method f h f' x₀
 k : ℕ+
 th : ContinuousOn (proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • h) univ
 th' : ConvexOn ℝ univ (proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • h)
 Gt : E → E :=
   fun x =>
     (1 / proximal_gradient_method.t f h f' x₀) •
       (x -
         prox_point_c' (proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • h) (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • f' x) th
           th')
 φ : E → ℝ := fun x => f x + h x
 hG : ∀ (z : E), Gt z - f' z ∈ SubderivAt h (z - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt z)
 fieq1 :
   ∀ (x : E),
     f (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) ≤
       f x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ * inner (f' x) (Gt x) +
         proximal_gradient_method.t f h f' x₀ ^ 2 * ↑(proximal_gradient_method.L f h f' x₀) / 2 * ‖Gt x‖ ^ 2
 x : E
 ⊢ proximal_gradient_method.t f h f' x₀ ^ 2 * ↑(proximal_gradient_method.L f h f' x₀) / 2 ≤
     proximal_gradient_method.t f h f' x₀ / 2,
 case bc.a0
 E : Type u_1
 inst✝³ : NormedAddCommGroup E
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝¹ : CompleteSpace E
 inst✝ : ProperSpace E
 x₀ : E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 h : E → ℝ
 alg : proximal_gradient_method f h f' x₀
 k : ℕ+
 th : ContinuousOn (proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • h) univ
 th' : ConvexOn ℝ univ (proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • h)
 Gt : E → E :=
   fun x =>
     (1 / proximal_gradient_method.t f h f' x₀) •
       (x -
         prox_point_c' (proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • h) (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • f' x) th
           th')
 φ : E → ℝ := fun x => f x + h x
 hG : ∀ (z : E), Gt z - f' z ∈ SubderivAt h (z - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt z)
 fieq1 :
   ∀ (x : E),
     f (x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ • Gt x) ≤
       f x - proximal_gradient_method.t f h f' x₀ * inner (f' x) (Gt x) +
         proximal_gradient_method.t f h f' x₀ ^ 2 * ↑(proximal_gradient_method.L f h f' x₀) / 2 * ‖Gt x‖ ^ 2
 x : E
 ⊢ 0 ≤ ‖Gt x‖ ^ 2]

Relevant lemmas:
mul_le_mul_of_nonneg_right : ∀ {α : Type u_3} {a b c : α} [inst : Mul α] [inst_4 : Zero α] [inst_5 : Preorder α]
  [inst_6 : MulPosMono α], b ≤ c → 0 ≤ a → b * a ≤ c * a