theorem extracted_formal_statement_2.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {x0 : E} {f h : E → ℝ} {f' : E → E} {alg : Nesterov_second f h f' x0} {xm : E}
  (minφ : IsMinOn (f + h) univ xm) :
  let φ := fun z => f z + h z;
  (∀ (z : E), φ z = f z + h z) →
    ∀ (k : ℕ+),
      Nesterov_second.y f h f' x0 (↑k - 1) -
              (Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k / Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k) • f' (Nesterov_second.z f h f' x0 k) -
            Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k ∈
          SubderivAt ((Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k / Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k) • h)
            (Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k) →
        SubderivAt (Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k • h) (Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k) =
            Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k •
              SubderivAt ((Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k / Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k) • h)
                (Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k) →
          Nesterov_second.y f h f' x0 (↑k - 1) -
                (Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k / Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k) • f' (Nesterov_second.z f h f' x0 k) -
              Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k ∈
            SubderivAt ((Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k / Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k) • h)
              (Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k) := sorry

State before:
case h.left
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
x0 : E
f h : E → ℝ
f' : E → E
alg : Nesterov_second f h f' x0
xm : E
minφ : IsMinOn (f + h) univ xm
φ : E → ℝ := fun z => f z + h z
φdef : ∀ (z : E), φ z = f z + h z
k : ℕ+
h1 :
  Nesterov_second.y f h f' x0 (↑k - 1) -
        (Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k / Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k) • f' (Nesterov_second.z f h f' x0 k) -
      Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k ∈
    SubderivAt ((Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k / Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k) • h) (Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k)
upd2 :
  SubderivAt (Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k • h) (Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k) =
    Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k •
      SubderivAt ((Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k / Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k) • h)
        (Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k)
⊢ Nesterov_second.y f h f' x0 (↑k - 1) -
        (Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k / Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k) • f' (Nesterov_second.z f h f' x0 k) -
      Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k ∈
    SubderivAt ((Nesterov_second.t f h f' x0 ↑k / Nesterov_second.γ f h f' x0 ↑k) • h) (Nesterov_second.y f h f' x0 ↑k)

Tactic: exact h1

State after:

Relevant lemmas: