theorem extracted_formal_statement_51.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {xm x₀ : E} {γ : ℕ+ → ℝ} {alg : Nesterov f f' γ x₀}
  (hfun : ConvexOn ℝ univ f) (hg : ∀ (k : ℕ+), γ k = 2 / (↑↑k + 1)) (min : IsMinOn f univ xm) (k : ℕ+)
  (h4 :
    f (Nesterov.x f f' γ x₀ ↑k) - f xm - (1 - γ k) * (f (Nesterov.x f f' γ x₀ (↑k - 1)) - f xm) ≤
      ↑(Nesterov.l f f' γ x₀) * γ k ^ 2 / 2 *
        (‖Nesterov.v f f' γ x₀ (↑k - 1) - xm‖ ^ 2 - ‖Nesterov.v f f' γ x₀ ↑k - xm‖ ^ 2))
  (con : (1 - γ k) / γ k ^ 2 ≤ 1 / γ (k - 1) ^ 2) (h_original_goal : 0 < (↑↑k + 1) ^ 2) : ↑↑k + 1 ≠ 0 := sorry

State before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
xm x₀ : E
γ : ℕ+ → ℝ
alg : Nesterov f f' γ x₀
hfun : ConvexOn ℝ univ f
hg : ∀ (k : ℕ+), γ k = 2 / (↑↑k + 1)
min : IsMinOn f univ xm
k : ℕ+
h4 :
  f (Nesterov.x f f' γ x₀ ↑k) - f xm - (1 - γ k) * (f (Nesterov.x f f' γ x₀ (↑k - 1)) - f xm) ≤
    ↑(Nesterov.l f f' γ x₀) * γ k ^ 2 / 2 *
      (‖Nesterov.v f f' γ x₀ (↑k - 1) - xm‖ ^ 2 - ‖Nesterov.v f f' γ x₀ ↑k - xm‖ ^ 2)
con : (1 - γ k) / γ k ^ 2 ≤ 1 / γ (k - 1) ^ 2
⊢ 0 < (↑↑k + 1) ^ 2

Tactic: apply sq_pos_of_ne_zero

State after:
[case a
 E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 xm x₀ : E
 γ : ℕ+ → ℝ
 alg : Nesterov f f' γ x₀
 hfun : ConvexOn ℝ univ f
 hg : ∀ (k : ℕ+), γ k = 2 / (↑↑k + 1)
 min : IsMinOn f univ xm
 k : ℕ+
 h4 :
   f (Nesterov.x f f' γ x₀ ↑k) - f xm - (1 - γ k) * (f (Nesterov.x f f' γ x₀ (↑k - 1)) - f xm) ≤
     ↑(Nesterov.l f f' γ x₀) * γ k ^ 2 / 2 *
       (‖Nesterov.v f f' γ x₀ (↑k - 1) - xm‖ ^ 2 - ‖Nesterov.v f f' γ x₀ ↑k - xm‖ ^ 2)
 con : (1 - γ k) / γ k ^ 2 ≤ 1 / γ (k - 1) ^ 2
 ⊢ ↑↑k + 1 ≠ 0]

Relevant lemmas:
sq_pos_of_ne_zero : ∀ {R : Type u_3} [inst : LinearOrderedSemiring R] [inst_3 : ExistsAddOfLE R] {a : R},
  a ≠ 0 → 0 < a ^ 2