theorem extracted_formal_statement_167 {n m : ℕ+} {A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ} {μ : ℝ} {μpos : 0 < μ} {Ane0 : A ≠ 0}
  (x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)) (a : x ∈ Set.univ) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n))
  (ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2) (i : Fin ↑n)
  (aux : ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2) (h_original_goal : ||y i| - |x i|| ≤ |x i - y i|) :
  ||x i| - |y i|| ≤ |x i - y i| := sorry

State before:
n m : ℕ+
A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
b : Fin ↑m → ℝ
μ : ℝ
μpos : 0 < μ
Ane0 : A ≠ 0
x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝ : x ∈ Set.univ
ε : ℝ
εpos : ε > 0
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
i : Fin ↑n
aux : ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
⊢ ||y i| - |x i|| ≤ |x i - y i|

Tactic: rw [abs_sub_comm]

State after:
[n m : ℕ+
 A : Matrix (Fin ↑m) (Fin ↑n) ℝ
 b : Fin ↑m → ℝ
 μ : ℝ
 μpos : 0 < μ
 Ane0 : A ≠ 0
 x₀ : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 p : LASSO A b μ μpos Ane0 x₀
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝ : x ∈ Set.univ
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 ydist : 0 ≤ ε / ↑↑n / μ ∧ ∑ i, ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
 i : Fin ↑n
 aux : ‖(x - y) i‖ ^ 2 ≤ (ε / ↑↑n / μ) ^ 2
 ⊢ ||x i| - |y i|| ≤ |x i - y i|]

Relevant lemmas:
abs_sub_comm : ∀ {α : Type u_1} [inst : Lattice α] [inst_1 : AddGroup α] (a b : α), |a - b| = |b - a|