theorem extracted_formal_statement_76 {n : ℕ+} ⦃x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)⦄ (a_1 : x ∈ Set.univ)
  ⦃y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)⦄ (a_2 : y ∈ Set.univ) ⦃a b : ℝ⦄ (anneg : 0 ≤ a) (bnneg : 0 ≤ b) (a_3 : a + b = 1)
  (h_original_goal : ∑ i, ‖(a • x + b • y) i‖ ≤ a • ∑ i, ‖x i‖ + b • ∑ i, ‖y i‖) :
  ∑ i, ‖(a • x + b • y) i‖ ≤ ∑ x_1, (a * ‖x x_1‖ + b * ‖y x_1‖) := sorry

State before:
case right
n : ℕ+
x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝² : x ∈ Set.univ
y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
a✝¹ : y ∈ Set.univ
a b : ℝ
anneg : 0 ≤ a
bnneg : 0 ≤ b
a✝ : a + b = 1
⊢ ∑ i, ‖(a • x + b • y) i‖ ≤ a • ∑ i, ‖x i‖ + b • ∑ i, ‖y i‖

Tactic: rw [smul_eq_mul, smul_eq_mul, mul_sum, mul_sum, ← sum_add_distrib]

State after:
[case right
 n : ℕ+
 x : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝² : x ∈ Set.univ
 y : EuclideanSpace ℝ (Fin ↑n)
 a✝¹ : y ∈ Set.univ
 a b : ℝ
 anneg : 0 ≤ a
 bnneg : 0 ≤ b
 a✝ : a + b = 1
 ⊢ ∑ i, ‖(a • x + b • y) i‖ ≤ ∑ x_1, (a * ‖x x_1‖ + b * ‖y x_1‖)]

Relevant lemmas:
Finset.sum_add_distrib : ∀ {α : Type u_3} {β : Type u_4} {s : Finset α} {f g : α → β} [inst : AddCommMonoid β],
  ∑ x ∈ s, (f x + g x) = ∑ x ∈ s, f x + ∑ x ∈ s, g x
smul_eq_mul : ∀ {α : Type u_9} [inst : Mul α] (a b : α), a • b = a * b
Finset.mul_sum : ∀ {ι : Type u_1} {α : Type u_3} [inst : NonUnitalNonAssocSemiring α] (s : Finset ι) (f : ι → α)
  (a : α), a * ∑ i ∈ s, f i = ∑ i ∈ s, a * f i