theorem extracted_formal_statement_20.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {l : NNReal} {a : ℝ} (h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁)
  (h₂ : ↑l > 0) (ha₁ : ↑l ≤ 1 / a) (ha₂ : a > 0) (h₃ : LipschitzWith l f') (x : E)
  (h_original_goal : f x + (↑l / 2 * a * a - a) * ‖f' x‖ ^ 2 ≤ f x + -a / 2 * ‖f' x‖ ^ 2) :
  (↑l / 2 * a * a - a) * ‖f' x‖ ^ 2 ≤ -a / 2 * ‖f' x‖ ^ 2 := sorry

State before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
l : NNReal
a : ℝ
h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
h₂ : ↑l > 0
ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
ha₂ : a > 0
h₃ : LipschitzWith l f'
x : E
⊢ f x + (↑l / 2 * a * a - a) * ‖f' x‖ ^ 2 ≤ f x + -a / 2 * ‖f' x‖ ^ 2

Tactic: simp only [add_le_add_iff_left, gt_iff_lt, norm_pos_iff, ne_eq]

State after:
[E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 l : NNReal
 a : ℝ
 h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
 h₂ : ↑l > 0
 ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
 ha₂ : a > 0
 h₃ : LipschitzWith l f'
 x : E
 ⊢ (↑l / 2 * a * a - a) * ‖f' x‖ ^ 2 ≤ -a / 2 * ‖f' x‖ ^ 2]

Relevant lemmas:
ne_eq : ∀ {α : Sort u_1} (a b : α), (a ≠ b) = ¬a = b
gt_iff_lt : ∀ {α : Type u} [inst : LT α] {x y : α}, x > y ↔ y < x
norm_pos_iff : ∀ {E : Type u_5} [inst : NormedAddGroup E] {a : E}, 0 < ‖a‖ ↔ a ≠ 0
add_le_add_iff_left : ∀ {α : Type u_1} [inst : Add α] [inst_3 : LE α] [inst_4 : AddLeftMono α]
  [inst_5 : AddLeftReflectLE α] (a : α) {b c : α}, a + b ≤ a + c ↔ b ≤ c