theorem extracted_formal_statement_5.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {m : ℝ} {f' : E → E} {x y : E} {l : NNReal} (mp : m > 0)
  (hf : ∀ (x : E), HasGradientAt f (f' x) x) (h₂ : LipschitzWith l f') (hl : ↑l > 0) (cov : Convex ℝ univ)
  (hsc :
    ∀ ⦃x : E⦄,
      x ∈ univ →
        ∀ ⦃y : E⦄,
          y ∈ univ →
            ∀ ⦃a b : ℝ⦄,
              0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y - a * b * (m / 2 * ‖x - y‖ ^ 2)) :
  let phi := fun x => ↑l / 2 * ‖x‖ ^ 2 - f x;
  ConvexOn ℝ univ phi →
    let g := fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2;
    let g' := fun x => f' x - m • x;
    let h := fun x => (↑l - m) / 2 * ‖x‖ ^ 2 - g x;
    (∀ (x : E), HasGradientAt g (g' x) x) →
      ConvexOn ℝ univ g →
        (∀ (x : E), h x = phi x) →
          ConvexOn ℝ univ h →
            Convex ℝ univ ∧
              ∀ ⦃x : E⦄,
                x ∈ univ →
                  ∀ ⦃y : E⦄,
                    y ∈ univ → ∀ ⦃a b : ℝ⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → h (a • x + b • y) ≤ a • h x + b • h y := sorry

State before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
m : ℝ
f' : E → E
x y : E
l : NNReal
mp : m > 0
hf : ∀ (x : E), HasGradientAt f (f' x) x
h₂ : LipschitzWith l f'
hl : ↑l > 0
cov : Convex ℝ univ
hsc :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ univ →
      ∀ ⦃y : E⦄,
        y ∈ univ →
          ∀ ⦃a b : ℝ⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y - a * b * (m / 2 * ‖x - y‖ ^ 2)
phi : E → ℝ := fun x => ↑l / 2 * ‖x‖ ^ 2 - f x
convphi : ConvexOn ℝ univ phi
g : E → ℝ := fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2
g' : E → E := fun x => f' x - m • x
h : E → ℝ := fun x => (↑l - m) / 2 * ‖x‖ ^ 2 - g x
gderiv : ∀ (x : E), HasGradientAt g (g' x) x
convg : ConvexOn ℝ univ g
this : ∀ (x : E), h x = phi x
⊢ ConvexOn ℝ univ h

Tactic: rw [ConvexOn]

State after:
[E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 m : ℝ
 f' : E → E
 x y : E
 l : NNReal
 mp : m > 0
 hf : ∀ (x : E), HasGradientAt f (f' x) x
 h₂ : LipschitzWith l f'
 hl : ↑l > 0
 cov : Convex ℝ univ
 hsc :
   ∀ ⦃x : E⦄,
     x ∈ univ →
       ∀ ⦃y : E⦄,
         y ∈ univ →
           ∀ ⦃a b : ℝ⦄,
             0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y - a * b * (m / 2 * ‖x - y‖ ^ 2)
 phi : E → ℝ := fun x => ↑l / 2 * ‖x‖ ^ 2 - f x
 convphi : ConvexOn ℝ univ phi
 g : E → ℝ := fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2
 g' : E → E := fun x => f' x - m • x
 h : E → ℝ := fun x => (↑l - m) / 2 * ‖x‖ ^ 2 - g x
 gderiv : ∀ (x : E), HasGradientAt g (g' x) x
 convg : ConvexOn ℝ univ g
 this : ∀ (x : E), h x = phi x
 ⊢ Convex ℝ univ ∧
     ∀ ⦃x : E⦄,
       x ∈ univ → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ univ → ∀ ⦃a b : ℝ⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → h (a • x + b • y) ≤ a • h x + b • h y]

Relevant lemmas: