theorem extracted_formal_statement_16.{u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_2 : CompleteSpace E] {f : E → ℝ} {f' : E → E} {l : NNReal} {a : ℝ} (h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁)
  (h₂ : ↑l > 0) (ha₁ : ↑l ≤ 1 / a) (ha₂ : a > 0) (h₃ : LipschitzWith l f') (x : E)
  (h_original_goal :
    f x - ⟪f' x, a • f' x⟫_ℝ + ↑l * ‖a • f' x‖ ^ 2 * (1 / 2) =
      f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * (1 / 2) - a * ‖f' x‖ ^ 2)) :
  f x - ⟪f' x, a • f' x⟫_ℝ + ↑l * ‖a • f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2) := sorry

State before:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → ℝ
f' : E → E
l : NNReal
a : ℝ
h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
h₂ : ↑l > 0
ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
ha₂ : a > 0
h₃ : LipschitzWith l f'
x : E
⊢ f x - ⟪f' x, a • f' x⟫_ℝ + ↑l * ‖a • f' x‖ ^ 2 * (1 / 2) = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * (1 / 2) - a * ‖f' x‖ ^ 2)

Tactic: simp

State after:
[E : Type u_1
 inst✝² : NormedAddCommGroup E
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝ : CompleteSpace E
 f : E → ℝ
 f' : E → E
 l : NNReal
 a : ℝ
 h₁ : ∀ (x₁ : E), HasGradientAt f (f' x₁) x₁
 h₂ : ↑l > 0
 ha₁ : ↑l ≤ 1 / a
 ha₂ : a > 0
 h₃ : LipschitzWith l f'
 x : E
 ⊢ f x - ⟪f' x, a • f' x⟫_ℝ + ↑l * ‖a • f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ = f x + (↑l * a ^ 2 * ‖f' x‖ ^ 2 * 2⁻¹ - a * ‖f' x‖ ^ 2)]

Relevant lemmas: