theorem extracted_formal_statement_285.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (hψ : KL_function ψ) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (M : ℝ)
  (sumle : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ≤ M)
  (h_original_goal : Summable fun n => dist (z n) (z n.succ)) (n : ℕ) : 0 ≤ dist (z n) (z n.succ) := sorry

State before:
case H.h.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
hψ : KL_function ψ
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
M : ℝ
sumle : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ≤ M
⊢ Summable fun n => dist (z n) (z n.succ)

Tactic: apply @summable_of_sum_range_le _ M _ _

State after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 hψ : KL_function ψ
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 M : ℝ
 sumle : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ≤ M
 ⊢ ∀ (n : ℕ), 0 ≤ dist (z n) (z n.succ),
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 hψ : KL_function ψ
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 M : ℝ
 sumle : ∀ (n : ℕ), ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ≤ M
 ⊢ ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, dist (z i) (z i.succ) ≤ M]

Relevant lemmas:
summable_of_sum_range_le : ∀ {f : ℕ → ℝ} {c : ℝ},
  (∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n) → (∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, f i ≤ c) → Summable f