theorem extracted_formal_statement_8.{u_2, u_1} {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] {F : Type u_2}
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : NormedAddCommGroup F] [inst_3 : InnerProductSpace ℝ F] {f : E → ℝ}
  {g : F → ℝ} {x u : E} {y v : F} (hf : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, f y - f x - inner u (y - x) ≥ -ε * ‖y - x‖)
  (hg : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y_1 : F) in 𝓝 y, g y_1 - g y - inner v (y_1 - y) ≥ -ε * ‖y_1 - y‖) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0)
  (ε2pos : 0 < ε / 2) (z : WithLp 2 (E × F)) (hfz : f z.1 - f x - inner u (z.1 - x) ≥ -(ε / 2) * ‖z.1 - x‖)
  (hyz : g z.2 - g y - inner v (z.2 - y) ≥ -(ε / 2) * ‖z.2 - y‖)
  (h_original_goal : f z.1 + g z.2 - (f x + g y) - inner (u, v) (z - (x, y)) ≥ -ε * ‖z - (x, y)‖) :
  f z.1 + g z.2 - (f x + g y) - (inner (u, v).1 (z - (x, y)).1 + inner (u, v).2 (z - (x, y)).2) ≥
    -ε * ‖z - (x, y)‖ := sorry

State before:
case h
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
F : Type u_2
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
x u : E
y v : F
hf : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, f y - f x - inner u (y - x) ≥ -ε * ‖y - x‖
hg : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y_1 : F) in 𝓝 y, g y_1 - g y - inner v (y_1 - y) ≥ -ε * ‖y_1 - y‖
ε : ℝ
εpos : ε > 0
ε2pos : 0 < ε / 2
z : WithLp 2 (E × F)
hfz : f z.1 - f x - inner u (z.1 - x) ≥ -(ε / 2) * ‖z.1 - x‖
hyz : g z.2 - g y - inner v (z.2 - y) ≥ -(ε / 2) * ‖z.2 - y‖
⊢ f z.1 + g z.2 - (f x + g y) - inner (u, v) (z - (x, y)) ≥ -ε * ‖z - (x, y)‖

Tactic: rw [WithLp.prod_inner_apply]

State after:
[case h
 E : Type u_1
 inst✝³ : NormedAddCommGroup E
 F : Type u_2
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
 inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 x u : E
 y v : F
 hf : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, f y - f x - inner u (y - x) ≥ -ε * ‖y - x‖
 hg : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (y_1 : F) in 𝓝 y, g y_1 - g y - inner v (y_1 - y) ≥ -ε * ‖y_1 - y‖
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 ε2pos : 0 < ε / 2
 z : WithLp 2 (E × F)
 hfz : f z.1 - f x - inner u (z.1 - x) ≥ -(ε / 2) * ‖z.1 - x‖
 hyz : g z.2 - g y - inner v (z.2 - y) ≥ -(ε / 2) * ‖z.2 - y‖
 ⊢ f z.1 + g z.2 - (f x + g y) - (inner (u, v).1 (z - (x, y)).1 + inner (u, v).2 (z - (x, y)).2) ≥ -ε * ‖z - (x, y)‖]

Relevant lemmas:
WithLp.prod_inner_apply : ∀ {𝕜 : Type u_1} {E : Type u_4} {F : Type u_5} [inst : RCLike 𝕜]
  [inst_4 : NormedAddCommGroup E] [inst_5 : InnerProductSpace 𝕜 E] [inst_6 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_7 : InnerProductSpace 𝕜 F] (x y : WithLp 2 (E × F)), inner x y = inner x.1 y.1 + inner x.2 y.2