theorem extracted_formal_statement_279.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (hψ : KL_function ψ) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (z_ : WithLp 2 (E × F))
  (left : z_ ∈ closure (z '' univ)) (α : ℕ → ℕ) (monoa : StrictMono α) (conv : Tendsto (fun n => z (α n)) atTop (𝓝 z_))
  (ρ1 : ℝ) (ρ1pos : ρ1 > 0)
  (suff_des : ρ1 = (γ - 1) * ↑l ∧ ∀ (k : ℕ), ρ1 / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1)))
  (z_in : z_ ∈ limit_set z) (final : ∀ (m : ℕ), ∃ n, m ≤ α n)
  (psiconv : Tendsto (fun n => ψ (z (α n))) atTop (𝓝 (ψ z_))) (monopsi : ∀ (m n : ℕ), ψ (z (m + n)) ≤ ψ (z m)) (n_1 : ℕ)
  (eq : ψ (z (α n_1)) ≤ ψ z_) :
  let N := α n_1;
  (∀ i ≥ N, z (i + 1) = z i) →
    ∀ (n : ℕ),
      N < n →
        ∑ i ∈ Finset.range n \ Finset.range N, ‖z (i + 1) - z i‖ = 0 →
          ∀ x ∈ Finset.range n \ Finset.range N, ‖z (x + 1) - z x‖ = 0 := sorry

State before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
hψ : KL_function ψ
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
z_ : WithLp 2 (E × F)
left✝ : z_ ∈ closure (z '' univ)
α : ℕ → ℕ
monoa : StrictMono α
conv : Tendsto (fun n => z (α n)) atTop (𝓝 z_)
ρ1 : ℝ
ρ1pos : ρ1 > 0
suff_des : ρ1 = (γ - 1) * ↑l ∧ ∀ (k : ℕ), ρ1 / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1))
z_in : z_ ∈ limit_set z
final : ∀ (m : ℕ), ∃ n, m ≤ α n
psiconv : Tendsto (fun n => ψ (z (α n))) atTop (𝓝 (ψ z_))
monopsi : ∀ (m n : ℕ), ψ (z (m + n)) ≤ ψ (z m)
n✝ : ℕ
eq : ψ (z (α n✝)) ≤ ψ z_
N : ℕ := α n✝
eq0 : ∀ i ≥ N, z (i + 1) = z i
n : ℕ
nlen : N < n
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n \ Finset.range N, ‖z (i + 1) - z i‖ = 0

Tactic: apply Finset.sum_eq_zero

State after:
[case h
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 hψ : KL_function ψ
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 z_ : WithLp 2 (E × F)
 left✝ : z_ ∈ closure (z '' univ)
 α : ℕ → ℕ
 monoa : StrictMono α
 conv : Tendsto (fun n => z (α n)) atTop (𝓝 z_)
 ρ1 : ℝ
 ρ1pos : ρ1 > 0
 suff_des : ρ1 = (γ - 1) * ↑l ∧ ∀ (k : ℕ), ρ1 / 2 * ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 ≤ ψ (z k) - ψ (z (k + 1))
 z_in : z_ ∈ limit_set z
 final : ∀ (m : ℕ), ∃ n, m ≤ α n
 psiconv : Tendsto (fun n => ψ (z (α n))) atTop (𝓝 (ψ z_))
 monopsi : ∀ (m n : ℕ), ψ (z (m + n)) ≤ ψ (z m)
 n✝ : ℕ
 eq : ψ (z (α n✝)) ≤ ψ z_
 N : ℕ := α n✝
 eq0 : ∀ i ≥ N, z (i + 1) = z i
 n : ℕ
 nlen : N < n
 ⊢ ∀ x ∈ Finset.range n \ Finset.range N, ‖z (x + 1) - z x‖ = 0]

Relevant lemmas:
Finset.sum_eq_zero : ∀ {α : Type u_3} {β : Type u_4} [inst : AddCommMonoid β] {f : α → β} {s : Finset α},
  (∀ x ∈ s, f x = 0) → ∑ x ∈ s, f x = 0