theorem extracted_formal_statement_41.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (A ε : ℝ) (εge0 : 0 < ε)
  (hA : 0 < ε / 2 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2) (N : ℕ)
  (hNεhalf : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2) (n : ℕ) (ngeN : N ≤ n) :
  ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
    ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 := sorry

State before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
A ε : ℝ
εge0 : 0 < ε
hA : 0 < ε / 2 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
N : ℕ
hNεhalf : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
n : ℕ
ngeN : N ≤ n
⊢ ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
    ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2

Tactic: rw [Finset.sum_range_succ_sub_sum]

State after:

Relevant lemmas:
Finset.sum_range_succ_sub_sum : ∀ {M : Type u_3} (f : ℕ → M) {n : ℕ} [inst : AddCommGroup M],
  ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), f i - ∑ i ∈ Finset.range n, f i = f n