theorem extracted_formal_statement_123.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) ⦃z_ : WithLp 2 (E × F)⦄ (ha : z_ ∈ limit_set z)
  (φ : ℕ → ℕ) (monoφ : StrictMono φ) (conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)) (ρ : ℝ) (ρpos : ρ > 0)
  (ieq : ∀ (k : ℕ), ∃ dΨ ∈ f_subdifferential ψ (z (k + 1)), ‖dΨ‖ ≤ ρ * ‖z (k + 1) - z k‖) :
  let v := fun q => Classical.choose (ieq (φ (q + 1) - 1));
  (∀ (q : ℕ), φ (q + 1) - 1 + 1 = φ (q + 1)) →
    (∀ (q : ℕ),
        v q ∈ f_subdifferential ψ (alg.x (φ (q + 1)), alg.y (φ (q + 1))) ∧
          ‖v q‖ ≤ ρ * ‖z (φ (q + 1)) - z (φ (q + 1) - 1)‖) →
      Tendsto (fun x => ‖v x‖) atTop (𝓝 0) →
        ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖v x‖ ∈ Ioo (0 - i) (0 + i) := sorry

State before:
case h.right
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
z_ : WithLp 2 (E × F)
ha : z_ ∈ limit_set z
φ : ℕ → ℕ
monoφ : StrictMono φ
conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
ieq : ∀ (k : ℕ), ∃ dΨ ∈ f_subdifferential ψ (z (k + 1)), ‖dΨ‖ ≤ ρ * ‖z (k + 1) - z k‖
v : ℕ → WithLp 2 (E × F) := fun q => Classical.choose ⋯
n : ℕ
subadd : ∀ (q : ℕ), φ (q + 1) - 1 + 1 = φ (q + 1)
key :
  ∀ (q : ℕ),
    v q ∈ f_subdifferential ψ (alg.x (φ (q + 1)), alg.y (φ (q + 1))) ∧ ‖v q‖ ≤ ρ * ‖z (φ (q + 1)) - z (φ (q + 1) - 1)‖
⊢ Tendsto (fun x => ‖v x‖) atTop (𝓝 0)

Tactic: apply (nhds_basis_Ioo_pos 0).tendsto_right_iff.mpr

State after:
[case h.right
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝⁵ : CompleteSpace E
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝² : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 inst✝¹ : ProperSpace E
 inst✝ : ProperSpace F
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 z_ : WithLp 2 (E × F)
 ha : z_ ∈ limit_set z
 φ : ℕ → ℕ
 monoφ : StrictMono φ
 conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)
 ρ : ℝ
 ρpos : ρ > 0
 ieq : ∀ (k : ℕ), ∃ dΨ ∈ f_subdifferential ψ (z (k + 1)), ‖dΨ‖ ≤ ρ * ‖z (k + 1) - z k‖
 v : ℕ → WithLp 2 (E × F) := fun q => Classical.choose ⋯
 n : ℕ
 subadd : ∀ (q : ℕ), φ (q + 1) - 1 + 1 = φ (q + 1)
 key :
   ∀ (q : ℕ),
     v q ∈ f_subdifferential ψ (alg.x (φ (q + 1)), alg.y (φ (q + 1))) ∧ ‖v q‖ ≤ ρ * ‖z (φ (q + 1)) - z (φ (q + 1) - 1)‖
 ⊢ ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖v x‖ ∈ Ioo (0 - i) (0 + i)]

Relevant lemmas:
nhds_basis_Ioo_pos : ∀ {α : Type u_1} [inst : TopologicalSpace α] [inst_8 : LinearOrderedAddCommGroup α]
  [inst_9 : OrderTopology α] [inst_10 : NoMaxOrder α] (a : α),
  (𝓝 a).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => Ioo (a - ε) (a + ε)