theorem extracted_formal_statement_149.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (C : ℝ) (zin : ∀ x ∈ z '' univ, ‖x‖ ≤ C)
  (z_ : WithLp 2 (E × F)) (z_in : z_ ∈ limit_set z) (φ : ℕ → ℕ) (left : StrictMono φ)
  (conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)) : ‖z_‖ ≤ C := sorry

State before:
case h.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
C : ℝ
zin : ∀ x ∈ z '' univ, ‖x‖ ≤ C
z_ : WithLp 2 (E × F)
z_in : z_ ∈ limit_set z
φ : ℕ → ℕ
left✝ : StrictMono φ
conv : Tendsto (z ∘ φ) atTop (𝓝 z_)
⊢ ‖z_‖ ≤ C

Tactic: apply le_of_tendsto' (Tendsto.norm conv) (fun n ↦ zin _ (mem_image_of_mem alg.z (mem_univ (φ n))))

State after:

Relevant lemmas:
le_of_tendsto' : ∀ {α : Type u} {β : Type v} [inst : TopologicalSpace α] [inst_8 : Preorder α]
  [inst_9 : ClosedIicTopology α] {f : β → α} {a b : α} {x : Filter β} [inst_10 : x.NeBot],
  Tendsto f x (𝓝 a) → (∀ (c : β), f c ≤ b) → a ≤ b
Set.mem_image_of_mem : ∀ {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) {x : α} {a : Set α}, x ∈ a → f x ∈ f '' a
Filter.Tendsto.norm : ∀ {α : Type u_2} {E : Type u_5} [inst : SeminormedAddGroup E] {a : E} {l : Filter α} {f : α → E},
  Tendsto f l (𝓝 a) → Tendsto (fun x => ‖f x‖) l (𝓝 ‖a‖)
Set.mem_univ : ∀ {α : Type u} (x : α), x ∈ univ