theorem extracted_formal_statement_43.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (A ε : ℝ) (εge0 : 0 < ε)
  (hA : 0 < ε / 2 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2) (N n : ℕ)
  (ngeN : N ≤ n)
  (eq' :
    ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
      ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A - (∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A))
  (hNεhalf' : |∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2)
  (hNεhalf1 : ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A < ε / 2)
  (hNεhalf :
    -(ε / 2) < ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A ∧
      ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A < ε / 2) :
  ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A > -(ε / 2) := sorry

State before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
A ε : ℝ
εge0 : 0 < ε
hA : 0 < ε / 2 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
N n : ℕ
ngeN : N ≤ n
eq' :
  ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
    ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A - (∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A)
hNεhalf' : |∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
hNεhalf1 : ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A < ε / 2
hNεhalf :
  -(ε / 2) < ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A ∧ ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A < ε / 2
⊢ ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A > -(ε / 2)

Tactic: exact hNεhalf.left

State after:

Relevant lemmas: