theorem extracted_formal_statement_39.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (A ε : ℝ) (εge0 : 0 < ε)
  (hA : 0 < ε / 2 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2) (N : ℕ)
  (hNεhalf : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2) (n : ℕ) (ngeN : N ≤ n)
  (h_original_goal :
    ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
      ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A - (∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A)) :
  ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
    ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - (A - A) := sorry

State before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
A ε : ℝ
εge0 : 0 < ε
hA : 0 < ε / 2 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
N : ℕ
hNεhalf : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
n : ℕ
ngeN : N ≤ n
⊢ ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
    ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A - (∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A)

Tactic: rw [sub_sub_sub_comm]

State after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
 A ε : ℝ
 εge0 : 0 < ε
 hA : 0 < ε / 2 → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
 N : ℕ
 hNεhalf : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → |∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - A| < ε / 2
 n : ℕ
 ngeN : N ≤ n
 ⊢ ‖z (n + 1) - z n‖ ^ 2 =
     ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - ∑ k ∈ Finset.range n, ‖z (k + 1) - z k‖ ^ 2 - (A - A)]

Relevant lemmas:
sub_sub_sub_comm : ∀ {α : Type u_1} [inst : SubtractionCommMonoid α] (a b c d : α), a - b - (c - d) = a - c - (b - d)