theorem extracted_formal_statement_208 {φ : ℝ → ℝ} {η x y : ℝ} (hx : x ∈ Ioo 0 η) (hy : y ∈ Ioo 0 η)
  (h1 : ConcaveOn ℝ (Ico 0 η) φ) (left : φ 0 = 0) (left_1 : ContDiffOn ℝ 1 φ (Ioo 0 η)) (left_2 : ContinuousAt φ 0)
  (h6 : ∀ x ∈ Ioo 0 η, deriv φ x > 0) (hdiff : DifferentiableAt ℝ φ x) :
  let hx' := Ioo_subset_Ico_self hx;
  let hy' := Ioo_subset_Ico_self hy;
  x = y → φ x - φ y ≥ deriv φ x * (x - y) → φ y - φ y ≥ deriv φ y * (y - y) := sorry

State before:
case intro.intro.intro.intro.inl
φ : ℝ → ℝ
η x y : ℝ
hx : x ∈ Ioo 0 η
hy : y ∈ Ioo 0 η
h1 : ConcaveOn ℝ (Ico 0 η) φ
left✝² : φ 0 = 0
left✝¹ : ContDiffOn ℝ 1 φ (Ioo 0 η)
left✝ : ContinuousAt φ 0
h6 : ∀ x ∈ Ioo 0 η, deriv φ x > 0
hdiff : DifferentiableAt ℝ φ x
hx' : x ∈ Ico 0 η := Ioo_subset_Ico_self hx
hy' : y ∈ Ico 0 η := Ioo_subset_Ico_self hy
heq : x = y
⊢ φ x - φ y ≥ deriv φ x * (x - y)

Tactic: rw [heq]

State after:
[case intro.intro.intro.intro.inl
 φ : ℝ → ℝ
 η x y : ℝ
 hx : x ∈ Ioo 0 η
 hy : y ∈ Ioo 0 η
 h1 : ConcaveOn ℝ (Ico 0 η) φ
 left✝² : φ 0 = 0
 left✝¹ : ContDiffOn ℝ 1 φ (Ioo 0 η)
 left✝ : ContinuousAt φ 0
 h6 : ∀ x ∈ Ioo 0 η, deriv φ x > 0
 hdiff : DifferentiableAt ℝ φ x
 hx' : x ∈ Ico 0 η := Ioo_subset_Ico_self hx
 hy' : y ∈ Ico 0 η := Ioo_subset_Ico_self hy
 heq : x = y
 ⊢ φ y - φ y ≥ deriv φ y * (y - y)]

Relevant lemmas: