theorem extracted_formal_statement_59.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ)
  (lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖) (cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0)
  (dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0) :
  let a := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1));
  ‖a + (gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1))).1 - (gradient H (alg.x k, alg.y k)).1‖ =
      ‖a + (gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1))).1 - grad_fst H (alg.y k) (alg.x k)‖ →
    ‖a +
            ((WithLp.equiv 2 (E × F)).symm
                (grad_fst H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)).2 (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)).1,
                  grad_snd H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)).1 (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)).2)).1 -
          ((WithLp.equiv 2 (E × F)).symm
              (grad_fst H (alg.x k, alg.y k).2 (alg.x k, alg.y k).1,
                grad_snd H (alg.x k, alg.y k).1 (alg.x k, alg.y k).2)).1‖ =
      ‖a +
            ((WithLp.equiv 2 (E × F)).symm
                (grad_fst H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)).2 (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)).1,
                  grad_snd H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)).1 (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)).2)).1 -
          grad_fst H (alg.y k) (alg.x k)‖ := sorry

State before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
⊢ ‖a + (gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1))).1 - (gradient H (alg.x k, alg.y k)).1‖ =
    ‖a + (gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1))).1 - grad_fst H (alg.y k) (alg.x k)‖

Tactic: rw [grad_eq_block_grad, grad_fun_comp, grad_comp, grad_fun_comp, grad_comp]

State after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 k : ℕ
 lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
 cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
 dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
 a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
 ⊢ ‖a +
           ((WithLp.equiv 2 (E × F)).symm
               (grad_fst H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)).2 (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)).1,
                 grad_snd H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)).1 (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)).2)).1 -
         ((WithLp.equiv 2 (E × F)).symm
             (grad_fst H (alg.x k, alg.y k).2 (alg.x k, alg.y k).1,
               grad_snd H (alg.x k, alg.y k).1 (alg.x k, alg.y k).2)).1‖ =
     ‖a +
           ((WithLp.equiv 2 (E × F)).symm
               (grad_fst H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)).2 (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)).1,
                 grad_snd H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)).1 (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1)).2)).1 -
         grad_fst H (alg.y k) (alg.x k)‖,
 E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 k : ℕ
 lip : ∀ (x y : WithLp 2 (E × F)), ‖gradient H x - gradient H y‖ ≤ ↑l * ‖x - y‖
 cpos' : (alg.c k)⁻¹ ≥ 0
 dpos' : (alg.d k)⁻¹ ≥ 0
 a : E := (alg.c k)⁻¹ • (alg.x k - alg.x (k + 1))
 ⊢ Differentiable ℝ H]

Relevant lemmas:
grad_eq_block_grad : ∀ {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_6 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_7 : CompleteSpace E] [inst_8 : NormedAddCommGroup F] [inst_9 : InnerProductSpace ℝ F]
  [inst_10 : CompleteSpace F] {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}, Differentiable ℝ H → gradient H = grad_fun_comp H