theorem extracted_formal_statement_218.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (hψ : KL_function ψ) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ))
  (hcs : IsSeqCompact (closure (z '' univ))) (even : ∀ (n : ℕ), z n ∈ closure (z '' univ)) :
  ∃ z_ ∈ closure (z '' univ), ∃ α, StrictMono α ∧ Tendsto (fun n => z (α n)) atTop (𝓝 z_) := sorry

State before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
hψ : KL_function ψ
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
hcs : IsSeqCompact (closure (z '' univ))
even : ∀ (n : ℕ), z n ∈ closure (z '' univ)
⊢ ∃ z_ ∈ closure (z '' univ), ∃ α, StrictMono α ∧ Tendsto (fun n => z (α n)) atTop (𝓝 z_)

Tactic: exact hcs.subseq_of_frequently_in (Filter.Frequently.of_forall even)

State after:

Relevant lemmas:
Filter.Frequently.of_forall : ∀ {α : Type u} {f : Filter α} [inst : f.NeBot] {p : α → Prop},
  (∀ (x : α), p x) → ∃ᶠ (x : α) in f, p x