theorem extracted_formal_statement_21.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y))
  (l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)) (k : ℕ)
  (hHf :
    H (alg.x (k + 1), alg.y k) + f (alg.x (k + 1)) ≤
      H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2) :
  let h := fun y => H (alg.x (k + 1), y);
  let h' := fun y => grad_snd H (alg.x (k + 1)) y;
  (∀ (y₁ : F), HasGradientAt h (h' y₁) y₁) →
    (alg.y (k + 1) ∈ prox_set (fun a => alg.d k * g a) (alg.y k - alg.d k • h' (alg.y k)) →
        h (alg.y (k + 1)) + g (alg.y (k + 1)) ≤
          h (alg.y k) + g (alg.y k) - 1 / 2 * (1 / alg.d k - ↑l) * ‖alg.y (k + 1) - alg.y k‖ ^ 2) →
      alg.y (k + 1) ∈ {u | prox_prop (fun a => alg.d k * g a) (alg.y k - alg.d k • h' (alg.y k)) u} →
        prox_prop (fun a => alg.d k * g a) (alg.y k - alg.d k • h' (alg.y k)) (alg.y (k + 1)) := sorry

State before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
k : ℕ
hHf :
  H (alg.x (k + 1), alg.y k) + f (alg.x (k + 1)) ≤
    H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2
h : F → ℝ := fun y => H (alg.x (k + 1), y)
h' : F → F := fun y => grad_snd H (alg.x (k + 1)) y
h1 : ∀ (y₁ : F), HasGradientAt h (h' y₁) y₁
prop :
  alg.y (k + 1) ∈ prox_set (fun a => alg.d k * g a) (alg.y k - alg.d k • h' (alg.y k)) →
    h (alg.y (k + 1)) + g (alg.y (k + 1)) ≤
      h (alg.y k) + g (alg.y k) - 1 / 2 * (1 / alg.d k - ↑l) * ‖alg.y (k + 1) - alg.y k‖ ^ 2
⊢ alg.y (k + 1) ∈ {u | prox_prop (fun a => alg.d k * g a) (alg.y k - alg.d k • h' (alg.y k)) u}

Tactic: simp

State after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 f : E → ℝ
 g : F → ℝ
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 x0 : E
 y0 : F
 l : NNReal
 alg : BCD f g H l x0 y0
 γ : ℝ
 hγ : γ > 1
 ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
 dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
 ρ₁ : ℝ := (γ - 1) * ↑l
 l1 : ∀ (y : F), LipschitzWith l (grad_fst H y)
 l2 : ∀ (x : E), LipschitzWith l (grad_snd H x)
 k : ℕ
 hHf :
   H (alg.x (k + 1), alg.y k) + f (alg.x (k + 1)) ≤
     H (alg.x k, alg.y k) + f (alg.x k) - 1 / 2 * (γ - 1) * ↑l * ‖alg.x (k + 1) - alg.x k‖ ^ 2
 h : F → ℝ := fun y => H (alg.x (k + 1), y)
 h' : F → F := fun y => grad_snd H (alg.x (k + 1)) y
 h1 : ∀ (y₁ : F), HasGradientAt h (h' y₁) y₁
 prop :
   alg.y (k + 1) ∈ prox_set (fun a => alg.d k * g a) (alg.y k - alg.d k • h' (alg.y k)) →
     h (alg.y (k + 1)) + g (alg.y (k + 1)) ≤
       h (alg.y k) + g (alg.y k) - 1 / 2 * (1 / alg.d k - ↑l) * ‖alg.y (k + 1) - alg.y k‖ ^ 2
 ⊢ prox_prop (fun a => alg.d k * g a) (alg.y k - alg.d k • h' (alg.y k)) (alg.y (k + 1))]

Relevant lemmas: