theorem extracted_formal_statement_30.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : CompleteSpace E] [inst_2 : ProperSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F] [inst_4 : CompleteSpace F]
  [inst_5 : ProperSpace F] (x : E) (y : F) (r : ℝ) (h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r))
  (x' : E) (y' : F) (hball : √(‖((x', y') - (x, y)).1‖ ^ 2 + ‖((x', y') - (x, y)).2‖ ^ 2) ≤ r) : ‖y' - y‖ ≤ r := sorry

State before:
case mk.right
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : ProperSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : ProperSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
x : E
y : F
r : ℝ
h : IsCompact (Metric.closedBall x r ×ˢ Metric.closedBall y r)
this : ∀ {a b : ℝ}, a ≤ √(a ^ 2 + b ^ 2)
x' : E
y' : F
hball : √(‖((x', y') - (x, y)).1‖ ^ 2 + ‖((x', y') - (x, y)).2‖ ^ 2) ≤ r
⊢ ‖y' - y‖ ≤ r

Tactic: exact le_trans this ((add_comm (‖x' - x‖ ^ 2) _) ▸ hball)

State after:

Relevant lemmas:
le_trans : ∀ {α : Type u_1} [inst : Preorder α] {a b c : α}, a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
add_comm : ∀ {G : Type u_1} [inst : AddCommMagma G] (a b : G), a + b = b + a