theorem extracted_formal_statement_18.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ} (h : Differentiable ℝ H)
  (z : WithLp 2 (E × F)) (h₁ : HasGradientAt (fun y => H (z.1, y)) (grad_snd H z.1 z.2) z.2) ⦃c : ℝ⦄ (hc : 0 < c)
  (h₃ : ∀ᶠ (x : WithLp 2 (E × F)) in 𝓝 z, ‖H x - H z - inner (gradient H z) (x - z)‖ ≤ c * ‖x - z‖)
  (h₃' :
    ∀ᶠ (x' : E) in 𝓝 z.1,
      ∀ᶠ (y' : F) in 𝓝 z.2, ‖H (x', y') - H z - inner (gradient H z) ((x', y') - z)‖ ≤ c * ‖(x', y') - z‖)
  (v : Set F) (hv1 : v ∈ 𝓝 z.2)
  (hv2 : ∀ y ∈ v, ‖H (z.1, y) - H z - inner (gradient H z) ((z.1, y) - z)‖ ≤ c * ‖(z.1, y) - z‖) : v ∈ 𝓝 z.2 := sorry

State before:
case h.left
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
h : Differentiable ℝ H
z : WithLp 2 (E × F)
h₁ : HasGradientAt (fun y => H (z.1, y)) (grad_snd H z.1 z.2) z.2
c : ℝ
hc : 0 < c
h₃ : ∀ᶠ (x : WithLp 2 (E × F)) in 𝓝 z, ‖H x - H z - inner (gradient H z) (x - z)‖ ≤ c * ‖x - z‖
h₃' :
  ∀ᶠ (x' : E) in 𝓝 z.1,
    ∀ᶠ (y' : F) in 𝓝 z.2, ‖H (x', y') - H z - inner (gradient H z) ((x', y') - z)‖ ≤ c * ‖(x', y') - z‖
v : Set F
hv1 : v ∈ 𝓝 z.2
hv2 : ∀ y ∈ v, ‖H (z.1, y) - H z - inner (gradient H z) ((z.1, y) - z)‖ ≤ c * ‖(z.1, y) - z‖
⊢ v ∈ 𝓝 z.2

Tactic: exact hv1

State after:

Relevant lemmas: