theorem extracted_formal_statement_49.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} (γ : ℝ) (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l))
  (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) (k : ℕ) :
  HasGradientAt H (gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1))) (z (k + 1)) := sorry

State before:
case h.left.hg
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
k : ℕ
⊢ HasGradientAt H (gradient H (alg.x (k + 1), alg.y (k + 1))) (z (k + 1))

Tactic: exact DifferentiableAt.hasGradientAt (Differentiable.differentiableAt alg.Hdiff)

State after:

Relevant lemmas:
DifferentiableAt.hasGradientAt : ∀ {𝕜 : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : RCLike 𝕜] [inst_6 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_7 : InnerProductSpace 𝕜 F] [inst_8 : CompleteSpace F] {f : F → 𝕜} {x : F},
  DifferentiableAt 𝕜 f x → HasGradientAt f (gradient f x) x
Differentiable.differentiableAt : ∀ {𝕜 : Type u_1} [inst : NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2}
  [inst_6 : NormedAddCommGroup E] [inst_7 : NormedSpace 𝕜 E] {F : Type u_3} [inst_8 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_9 : NormedSpace 𝕜 F] {f : E → F} {x : E}, Differentiable 𝕜 f → DifferentiableAt 𝕜 f x