theorem extracted_formal_statement_16.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ} (h : Differentiable ℝ H)
  (z : WithLp 2 (E × F)) (h₁ : HasGradientAt (fun y => H (z.1, y)) (grad_snd H z.1 z.2) z.2)
  (h₃ : HasGradientAt H (gradient H z) z) (h_original_goal : HasGradientAt (fun y => H (z.1, y)) (gradient H z).2 z.2)
  ⦃c : ℝ⦄ :
  0 < c → ∀ᶠ (x : F) in 𝓝 z.2, ‖H (z.1, x) - H (z.1, z.2) - inner (gradient H z).2 (x - z.2)‖ ≤ c * ‖x - z.2‖ := sorry

State before:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
h : Differentiable ℝ H
z : WithLp 2 (E × F)
h₁ : HasGradientAt (fun y => H (z.1, y)) (grad_snd H z.1 z.2) z.2
h₃ : HasGradientAt H (gradient H z) z
⊢ HasGradientAt (fun y => H (z.1, y)) (gradient H z).2 z.2

Tactic: rw [hasGradientAt_iff_isLittleO, Asymptotics.isLittleO_iff] at h₃ ⊢

State after:
[E : Type u_1
 F : Type u_2
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
 inst✝³ : CompleteSpace E
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : CompleteSpace F
 H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
 h : Differentiable ℝ H
 z : WithLp 2 (E × F)
 h₁ : HasGradientAt (fun y => H (z.1, y)) (grad_snd H z.1 z.2) z.2
 h₃ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : WithLp 2 (E × F)) in 𝓝 z, ‖H x - H z - inner (gradient H z) (x - z)‖ ≤ c * ‖x - z‖
 ⊢ ∀ ⦃c : ℝ⦄,
     0 < c → ∀ᶠ (x : F) in 𝓝 z.2, ‖H (z.1, x) - H (z.1, z.2) - inner (gradient H z).2 (x - z.2)‖ ≤ c * ‖x - z.2‖]

Relevant lemmas:
Asymptotics.isLittleO_iff : ∀ {α : Type u_1} {E : Type u_3} {F : Type u_4} [inst : Norm E] [inst_6 : Norm F] {f : α → E}
  {g : α → F} {l : Filter α}, f =o[l] g ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
hasGradientAt_iff_isLittleO : ∀ {𝕜 : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : RCLike 𝕜] [inst_6 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_7 : InnerProductSpace 𝕜 F] [inst_8 : CompleteSpace F] {f : F → 𝕜} {f' x : F},
  HasGradientAt f f' x ↔ (fun x' => f x' - f x - inner f' (x' - x)) =o[𝓝 x] fun x' => x' - x