theorem extracted_formal_statement_289.{u_2, u_1} {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E] [inst_2 : CompleteSpace E] [inst_3 : NormedAddCommGroup F]
  [inst_4 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_5 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ}
  {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal} {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_6 : ProperSpace E] [inst_7 : ProperSpace F] (γ : ℝ)
  (hγ : γ > 1) (ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) (dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l))
  (bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)) (hψ : KL_function ψ) (lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)) (z_ : WithLp 2 (E × F))
  (hzz : Tendsto z atTop (𝓝 z_)) (z_in : z_ ∈ limit_set z) : z_ ∈ critial_point ψ := sorry

State before:
case intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → ℝ
g : F → ℝ
H : WithLp 2 (E × F) → ℝ
x0 : E
y0 : F
l : NNReal
alg : BCD f g H l x0 y0
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
γ : ℝ
hγ : γ > 1
ck : ∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)
dk : ∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)
bd : Bornology.IsBounded (z '' univ)
hψ : KL_function ψ
lbdψ : BddBelow (ψ '' univ)
z_ : WithLp 2 (E × F)
hzz : Tendsto z atTop (𝓝 z_)
z_in : z_ ∈ limit_set z
⊢ z_ ∈ critial_point ψ

Tactic: apply (limitset_property_1 γ hγ ck dk bd lbdψ).2 z_in

State after:

Relevant lemmas:
limitset_property_1 : ∀ {E : Type u_1} {F : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_8 : InnerProductSpace ℝ E]
  [inst_9 : CompleteSpace E] [inst_10 : NormedAddCommGroup F] [inst_11 : InnerProductSpace ℝ F]
  [inst_12 : CompleteSpace F] {f : E → ℝ} {g : F → ℝ} {H : WithLp 2 (E × F) → ℝ} {x0 : E} {y0 : F} {l : NNReal}
  {alg : BCD f g H l x0 y0} [inst_13 : ProperSpace E] [inst_14 : ProperSpace F],
  ∀ γ > 1,
    (∀ (k : ℕ), alg.c k = 1 / (γ * ↑l)) →
      (∀ (k : ℕ), alg.d k = 1 / (γ * ↑l)) →
        Bornology.IsBounded (z '' univ) → BddBelow (ψ '' univ) → (limit_set z).Nonempty ∧ limit_set z ⊆ critial_point ψ