theorem extracted_formal_statement_102.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (n : ℕ+)
  (this : ↑n - 1 + 1 = ↑n) :
  let un := u n;
  un = u n →
    let yn := ADMM.y E₁ E₂ ↑n;
    let yn' := ADMM.y E₁ E₂ (↑n - 1);
    yn = ADMM.y E₁ E₂ ↑n →
      yn' = ADMM.y E₁ E₂ (↑n - 1) →
        let x₁n := ADMM.x₁ E₂ F ↑n;
        let x₂n := ADMM.x₂ E₁ F ↑n;
        let x₂n' := ADMM.x₂ E₁ F (↑n - 1);
        x₁n = ADMM.x₁ E₂ F ↑n →
          x₂n = ADMM.x₂ E₁ F ↑n →
            yn' =
                yn -
                  (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) •
                    ((OptProblem.A₁ E₂) x₁n + (OptProblem.A₂ E₁) x₂n - OptProblem.b E₁ E₂) →
              -(ContinuousLinearMap.adjoint (OptProblem.A₁ E₂)) yn' -
                  ADMM.ρ E₁ E₂ F •
                    (ContinuousLinearMap.adjoint (OptProblem.A₁ E₂))
                      ((OptProblem.A₁ E₂) x₁n + (OptProblem.A₂ E₁) x₂n' - OptProblem.b E₁ E₂) =
                -(ContinuousLinearMap.adjoint (OptProblem.A₁ E₂))
                    (yn' +
                      ADMM.ρ E₁ E₂ F • ((OptProblem.A₁ E₂) x₁n + (OptProblem.A₂ E₁) x₂n' - OptProblem.b E₁ E₂)) := sorry

State before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
n : ℕ+
this : ↑n - 1 + 1 = ↑n
un : E₁ := u n
h₁ : un = u n
yn : F := ADMM.y E₁ E₂ ↑n
yn' : F := ADMM.y E₁ E₂ (↑n - 1)
h₂ : yn = ADMM.y E₁ E₂ ↑n
h₃ : yn' = ADMM.y E₁ E₂ (↑n - 1)
x₁n : E₁ := ADMM.x₁ E₂ F ↑n
x₂n : E₂ := ADMM.x₂ E₁ F ↑n
x₂n' : E₂ := ADMM.x₂ E₁ F (↑n - 1)
h₄ : x₁n = ADMM.x₁ E₂ F ↑n
h₅ : x₂n = ADMM.x₂ E₁ F ↑n
aux :
  yn' = yn - (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) • ((OptProblem.A₁ E₂) x₁n + (OptProblem.A₂ E₁) x₂n - OptProblem.b E₁ E₂)
⊢ -(ContinuousLinearMap.adjoint (OptProblem.A₁ E₂)) yn' -
      ADMM.ρ E₁ E₂ F •
        (ContinuousLinearMap.adjoint (OptProblem.A₁ E₂))
          ((OptProblem.A₁ E₂) x₁n + (OptProblem.A₂ E₁) x₂n' - OptProblem.b E₁ E₂) =
    -(ContinuousLinearMap.adjoint (OptProblem.A₁ E₂))
        (yn' + ADMM.ρ E₁ E₂ F • ((OptProblem.A₁ E₂) x₁n + (OptProblem.A₂ E₁) x₂n' - OptProblem.b E₁ E₂))

Tactic: rw [← A₁†.map_smul, A₁†.map_add, neg_add']

State after:

Relevant lemmas:
map_add : ∀ {M : Type u_4} {N : Type u_5} {F : Type u_9} [inst : Add M] [inst_10 : Add N] [inst_11 : FunLike F M N]
  [inst_12 : AddHomClass F M N] (f : F) (x y : M), f (x + y) = f x + f y
neg_add' : ∀ {α : Type u_1} [inst : SubtractionCommMonoid α] (a b : α), -(a + b) = -a - b
map_smul : ∀ {F : Type u_8} {M : Type u_9} {X : Type u_10} {Y : Type u_11} [inst : SMul M X] [inst_10 : SMul M Y]
  [inst_11 : FunLike F X Y] [inst_12 : MulActionHomClass F M X Y] (f : F) (c : M) (x : X), f (c • x) = c • f x