theorem extracted_formal_statement_288 : 0 ≤ 2 := sorry

State before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
n : ℕ+
⊢ 2 *
      (1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ⟪ey (↑n + 1), ey ↑n - ey (↑n + 1)⟫_ℝ -
            (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
              ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) -
                    OptProblem.b E₁ E₂‖ ^
                2 +
          M (n + 1) -
        ADMM.ρ E₁ E₂ F *
          ⟪(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n), (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))⟫_ℝ) ≥
    0

Tactic: apply mul_nonneg

State after:
[case ha
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 n : ℕ+
 ⊢ 0 ≤ 2,
 case hb
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 n : ℕ+
 ⊢ 0 ≤
     1 / (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) * ⟪ey (↑n + 1), ey ↑n - ey (↑n + 1)⟫_ℝ -
           (1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) * ADMM.ρ E₁ E₂ F *
             ‖(OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F (↑n + 1)) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) -
                   OptProblem.b E₁ E₂‖ ^
               2 +
         M (n + 1) -
       ADMM.ρ E₁ E₂ F *
         ⟪(OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n), (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ (↑n + 1))⟫_ℝ]

Relevant lemmas:
mul_nonneg : ∀ {α : Type u_3} {a b : α} [inst : MulZeroClass α] [inst_1 : Preorder α] [inst_2 : PosMulMono α],
  0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 ≤ a * b