theorem extracted_formal_statement_125.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (r_Φ : ℝ)
  (h1 : ∀ (n : ℕ), ‖Φ n‖ < r_Φ) :
  let r := √(r_Φ / ADMM.ρ E₁ E₂ F);
  r = √(r_Φ / ADMM.ρ E₁ E₂ F) →
    ∀ (n : ℕ),
      ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 ≤ ‖Φ n‖ →
        ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 < r_Φ / ADMM.ρ E₁ E₂ F →
          0 ≤ ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ →
            √(‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2) < √(r_Φ / ADMM.ρ E₁ E₂ F) → 0 ≤ ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 := sorry

State before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
r_Φ : ℝ
h1 : ∀ (n : ℕ), ‖Φ n‖ < r_Φ
r : ℝ := √(r_Φ / ADMM.ρ E₁ E₂ F)
hr : r = √(r_Φ / ADMM.ρ E₁ E₂ F)
n : ℕ
h2 : ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 ≤ ‖Φ n‖
h3 : ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 < r_Φ / ADMM.ρ E₁ E₂ F
h4 : 0 ≤ ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖
⊢ √(‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2) < √(r_Φ / ADMM.ρ E₁ E₂ F)

Tactic: apply Real.sqrt_lt_sqrt at h3

State after:
[E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 r_Φ : ℝ
 h1 : ∀ (n : ℕ), ‖Φ n‖ < r_Φ
 r : ℝ := √(r_Φ / ADMM.ρ E₁ E₂ F)
 hr : r = √(r_Φ / ADMM.ρ E₁ E₂ F)
 n : ℕ
 h2 : ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 ≤ ‖Φ n‖
 h4 : 0 ≤ ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖
 h3 : √(‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2) < √(r_Φ / ADMM.ρ E₁ E₂ F)
 ⊢ √(‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2) < √(r_Φ / ADMM.ρ E₁ E₂ F),
 case hx
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 r_Φ : ℝ
 h1 : ∀ (n : ℕ), ‖Φ n‖ < r_Φ
 r : ℝ := √(r_Φ / ADMM.ρ E₁ E₂ F)
 hr : r = √(r_Φ / ADMM.ρ E₁ E₂ F)
 n : ℕ
 h2 : ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 ≤ ‖Φ n‖
 h3 : ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 < r_Φ / ADMM.ρ E₁ E₂ F
 h4 : 0 ≤ ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖
 ⊢ 0 ≤ ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2]

Relevant lemmas:
Real.sqrt_lt_sqrt : ∀ {x y : ℝ}, 0 ≤ x → x < y → √x < √y