theorem extracted_formal_statement_208.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (r : ℝ)
  (hr : ∀ (n : ℕ), ‖Φ n‖ < r) (n : ℕ) :
  let φ₀ := fun i => Φ i.succ;
  (∀ i ∈ Finset.range n, φ₀ i - φ₀ (i + 1) = Φ i.succ - Φ (i.succ + 1)) →
    Finset.range n = Finset.range n → |Φ (Nat.succ 0) - Φ n.succ| ≤ |Φ (Nat.succ 0)| + |Φ n.succ| := sorry

State before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
r : ℝ
hr : ∀ (n : ℕ), ‖Φ n‖ < r
n : ℕ
φ₀ : ℕ → ℝ := fun i => Φ i.succ
this : ∀ i ∈ Finset.range n, φ₀ i - φ₀ (i + 1) = Φ i.succ - Φ (i.succ + 1)
h : Finset.range n = Finset.range n
⊢ |Φ (Nat.succ 0) - Φ n.succ| ≤ |Φ (Nat.succ 0)| + |Φ n.succ|

Tactic: apply abs_sub

State after:

Relevant lemmas:
abs_sub : ∀ {G : Type u_1} [inst : LinearOrderedAddCommGroup G] (a b : G), |a - b| ≤ |a| + |b|