theorem extracted_formal_statement_323.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} (n : ℕ+) (h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0) (h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F)
  (h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2) :
  let S1 := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n);
  let S2 := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂;
  let s1 := √(ADMM.τ E₁ E₂ F);
  s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2 →
    s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 → s1 ≠ 0 → ⟪S1, S2⟫_ℝ = s1 * s1⁻¹ * ⟪S1, S2⟫_ℝ → s1 ≠ 0 := sorry

State before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
n : ℕ+
h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
h2 : s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
this : s1 ≠ 0
⊢ ⟪S1, S2⟫_ℝ = s1 * s1⁻¹ * ⟪S1, S2⟫_ℝ

Tactic: rw [mul_inv_cancel₀, one_mul]

State after:
[E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝² : NormedAddCommGroup F
 inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 n : ℕ+
 h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
 h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
 h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
 S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
 S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
 s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
 h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
 h2 : s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
 this : s1 ≠ 0
 ⊢ s1 ≠ 0]

Relevant lemmas:
mul_inv_cancel₀ : ∀ {G₀ : Type u} [inst : GroupWithZero G₀] {a : G₀}, a ≠ 0 → a * a⁻¹ = 1
one_mul : ∀ {M : Type u} [inst : MulOneClass M] (a : M), 1 * a = a