theorem extracted_formal_statement_106.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (n : ℕ+)
  (this : ↑n - 1 + 1 = ↑n) :
  let un := u n;
  un = u n →
    let yn := ADMM.y E₁ E₂ ↑n;
    let yn' := ADMM.y E₁ E₂ (↑n - 1);
    yn = ADMM.y E₁ E₂ ↑n →
      yn' = ADMM.y E₁ E₂ (↑n - 1) →
        let x₁n := ADMM.x₁ E₂ F ↑n;
        let x₂n := ADMM.x₂ E₁ F ↑n;
        let x₂n' := ADMM.x₂ E₁ F (↑n - 1);
        x₁n = ADMM.x₁ E₂ F ↑n →
          x₂n = ADMM.x₂ E₁ F ↑n →
            yn' =
                yn -
                  (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) •
                    ((OptProblem.A₁ E₂) x₁n + (OptProblem.A₂ E₁) x₂n - OptProblem.b E₁ E₂) →
              ADMM.ρ E₁ E₂ F •
                    ((OptProblem.A₁ E₂) x₁n + (OptProblem.A₂ E₁) x₂n + (OptProblem.A₂ E₁) x₂n' -
                        (OptProblem.A₂ E₁) x₂n -
                      OptProblem.b E₁ E₂) =
                  ADMM.ρ E₁ E₂ F • ((OptProblem.A₁ E₂) x₁n + (OptProblem.A₂ E₁) x₂n - OptProblem.b E₁ E₂) +
                    ADMM.ρ E₁ E₂ F • ((OptProblem.A₂ E₁) x₂n' - (OptProblem.A₂ E₁) x₂n) →
                ADMM.ρ E₁ E₂ F •
                    ((OptProblem.A₁ E₂) x₁n + (OptProblem.A₂ E₁) x₂n + (OptProblem.A₂ E₁) x₂n' -
                        (OptProblem.A₂ E₁) x₂n -
                      OptProblem.b E₁ E₂) =
                  ADMM.ρ E₁ E₂ F •
                    ((OptProblem.A₁ E₂) x₁n + (OptProblem.A₂ E₁) x₂n - OptProblem.b E₁ E₂ +
                      ((OptProblem.A₂ E₁) x₂n' - (OptProblem.A₂ E₁) x₂n)) := sorry

State before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
n : ℕ+
this : ↑n - 1 + 1 = ↑n
un : E₁ := u n
h₁ : un = u n
yn : F := ADMM.y E₁ E₂ ↑n
yn' : F := ADMM.y E₁ E₂ (↑n - 1)
h₂ : yn = ADMM.y E₁ E₂ ↑n
h₃ : yn' = ADMM.y E₁ E₂ (↑n - 1)
x₁n : E₁ := ADMM.x₁ E₂ F ↑n
x₂n : E₂ := ADMM.x₂ E₁ F ↑n
x₂n' : E₂ := ADMM.x₂ E₁ F (↑n - 1)
h₄ : x₁n = ADMM.x₁ E₂ F ↑n
h₅ : x₂n = ADMM.x₂ E₁ F ↑n
aux :
  yn' = yn - (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) • ((OptProblem.A₁ E₂) x₁n + (OptProblem.A₂ E₁) x₂n - OptProblem.b E₁ E₂)
⊢ ADMM.ρ E₁ E₂ F •
      ((OptProblem.A₁ E₂) x₁n + (OptProblem.A₂ E₁) x₂n + (OptProblem.A₂ E₁) x₂n' - (OptProblem.A₂ E₁) x₂n -
        OptProblem.b E₁ E₂) =
    ADMM.ρ E₁ E₂ F • ((OptProblem.A₁ E₂) x₁n + (OptProblem.A₂ E₁) x₂n - OptProblem.b E₁ E₂) +
      ADMM.ρ E₁ E₂ F • ((OptProblem.A₂ E₁) x₂n' - (OptProblem.A₂ E₁) x₂n)

Tactic: rw [← smul_add]

State after:
[E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 n : ℕ+
 this : ↑n - 1 + 1 = ↑n
 un : E₁ := u n
 h₁ : un = u n
 yn : F := ADMM.y E₁ E₂ ↑n
 yn' : F := ADMM.y E₁ E₂ (↑n - 1)
 h₂ : yn = ADMM.y E₁ E₂ ↑n
 h₃ : yn' = ADMM.y E₁ E₂ (↑n - 1)
 x₁n : E₁ := ADMM.x₁ E₂ F ↑n
 x₂n : E₂ := ADMM.x₂ E₁ F ↑n
 x₂n' : E₂ := ADMM.x₂ E₁ F (↑n - 1)
 h₄ : x₁n = ADMM.x₁ E₂ F ↑n
 h₅ : x₂n = ADMM.x₂ E₁ F ↑n
 aux :
   yn' = yn - (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F) • ((OptProblem.A₁ E₂) x₁n + (OptProblem.A₂ E₁) x₂n - OptProblem.b E₁ E₂)
 ⊢ ADMM.ρ E₁ E₂ F •
       ((OptProblem.A₁ E₂) x₁n + (OptProblem.A₂ E₁) x₂n + (OptProblem.A₂ E₁) x₂n' - (OptProblem.A₂ E₁) x₂n -
         OptProblem.b E₁ E₂) =
     ADMM.ρ E₁ E₂ F •
       ((OptProblem.A₁ E₂) x₁n + (OptProblem.A₂ E₁) x₂n - OptProblem.b E₁ E₂ +
         ((OptProblem.A₂ E₁) x₂n' - (OptProblem.A₂ E₁) x₂n))]

Relevant lemmas:
smul_add : ∀ {M : Type u_1} {A : Type u_7} [inst : AddZeroClass A] [inst_10 : DistribSMul M A] (a : M) (b₁ b₂ : A),
  a • (b₁ + b₂) = a • b₁ + a • b₂