theorem extracted_formal_statement_52.{u_5, u_4} {α : Type u_4} {β : Type u_5} [inst : NormedAddCommGroup α]
  [inst_1 : NormedAddCommGroup β] [inst_2 : InnerProductSpace ℝ α] [inst_3 : InnerProductSpace ℝ β]
  [inst_4 : CompleteSpace α] [inst_5 : CompleteSpace β] (A : α →L[ℝ] β) (s : α) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (h : 0 < ‖A‖)
  (x : α) (hx : ‖s - x‖ ≤ ε / ‖A‖ ^ 2) (hzero : 0 < ‖A‖ ^ 2) :
  let t := x - s;
  s + t = x →
    ⟪A x, A x⟫_ℝ - ⟪A s, A s⟫_ℝ - ⟪2 • (ContinuousLinearMap.adjoint A) (A s), x - s⟫_ℝ = ⟪A (x - s), A (x - s)⟫_ℝ →
      |‖A (x - s)‖ ^ 2| ≤ ε * ‖s - x‖ → ‖A (x - s)‖ ^ 2 ≤ ε * ‖s - x‖ := sorry

State before:
case h
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ α
inst✝² : InnerProductSpace ℝ β
inst✝¹ : CompleteSpace α
inst✝ : CompleteSpace β
A : α →L[ℝ] β
s : α
ε : ℝ
εpos : ε > 0
h : 0 < ‖A‖
x : α
hx : ‖s - x‖ ≤ ε / ‖A‖ ^ 2
hzero : 0 < ‖A‖ ^ 2
t : α := x - s
t1 : s + t = x
this : ⟪A x, A x⟫_ℝ - ⟪A s, A s⟫_ℝ - ⟪2 • (ContinuousLinearMap.adjoint A) (A s), x - s⟫_ℝ = ⟪A (x - s), A (x - s)⟫_ℝ
⊢ |‖A (x - s)‖ ^ 2| ≤ ε * ‖s - x‖

Tactic: simp only [abs_pow, abs_norm, ge_iff_le]

State after:
[case h
 α : Type u_4
 β : Type u_5
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup α
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ α
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ β
 inst✝¹ : CompleteSpace α
 inst✝ : CompleteSpace β
 A : α →L[ℝ] β
 s : α
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 h : 0 < ‖A‖
 x : α
 hx : ‖s - x‖ ≤ ε / ‖A‖ ^ 2
 hzero : 0 < ‖A‖ ^ 2
 t : α := x - s
 t1 : s + t = x
 this : ⟪A x, A x⟫_ℝ - ⟪A s, A s⟫_ℝ - ⟪2 • (ContinuousLinearMap.adjoint A) (A s), x - s⟫_ℝ = ⟪A (x - s), A (x - s)⟫_ℝ
 ⊢ ‖A (x - s)‖ ^ 2 ≤ ε * ‖s - x‖]

Relevant lemmas:
abs_pow : ∀ {α : Type u_1} [inst : LinearOrderedRing α] (a : α) (n : ℕ), |a ^ n| = |a| ^ n
abs_norm : ∀ {E : Type u_5} [inst : SeminormedAddGroup E] (z : E), |‖z‖| = ‖z‖
ge_iff_le : ∀ {α : Type u} [inst : LE α] {x y : α}, x ≥ y ↔ y ≤ x