theorem extracted_formal_statement_51.{u_5, u_4} {α : Type u_4} {β : Type u_5} [inst : NormedAddCommGroup α]
  [inst_1 : NormedAddCommGroup β] [inst_2 : InnerProductSpace ℝ α] [inst_3 : InnerProductSpace ℝ β]
  [inst_4 : CompleteSpace α] [inst_5 : CompleteSpace β] (A : α →L[ℝ] β) (s : α) (ε : ℝ) (εpos : ε > 0) (h : 0 < ‖A‖)
  (x : α) (hx : ‖s - x‖ ≤ ε / ‖A‖ ^ 2) (hzero : 0 < ‖A‖ ^ 2) :
  let t := x - s;
  s + t = x →
    ⟪A (s + t), A (s + t)⟫_ℝ - ⟪A s, A s⟫_ℝ - ⟪2 • (ContinuousLinearMap.adjoint A) (A s), s + t - s⟫_ℝ =
        ⟪A (s + t - s), A (s + t - s)⟫_ℝ →
      ⟪A s + A t, A s + A t⟫_ℝ - ⟪A s, A s⟫_ℝ - ⟪2 • (ContinuousLinearMap.adjoint A) (A s), t⟫_ℝ = ⟪A t, A t⟫_ℝ := sorry

State before:
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ α
inst✝² : InnerProductSpace ℝ β
inst✝¹ : CompleteSpace α
inst✝ : CompleteSpace β
A : α →L[ℝ] β
s : α
ε : ℝ
εpos : ε > 0
h : 0 < ‖A‖
x : α
hx : ‖s - x‖ ≤ ε / ‖A‖ ^ 2
hzero : 0 < ‖A‖ ^ 2
t : α := x - s
t1 : s + t = x
⊢ ⟪A (s + t), A (s + t)⟫_ℝ - ⟪A s, A s⟫_ℝ - ⟪2 • (ContinuousLinearMap.adjoint A) (A s), s + t - s⟫_ℝ =
    ⟪A (s + t - s), A (s + t - s)⟫_ℝ

Tactic: simp only [map_add, add_sub_cancel_left]

State after:
[α : Type u_4
 β : Type u_5
 inst✝⁵ : NormedAddCommGroup α
 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
 inst✝³ : InnerProductSpace ℝ α
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ β
 inst✝¹ : CompleteSpace α
 inst✝ : CompleteSpace β
 A : α →L[ℝ] β
 s : α
 ε : ℝ
 εpos : ε > 0
 h : 0 < ‖A‖
 x : α
 hx : ‖s - x‖ ≤ ε / ‖A‖ ^ 2
 hzero : 0 < ‖A‖ ^ 2
 t : α := x - s
 t1 : s + t = x
 ⊢ ⟪A s + A t, A s + A t⟫_ℝ - ⟪A s, A s⟫_ℝ - ⟪2 • (ContinuousLinearMap.adjoint A) (A s), t⟫_ℝ = ⟪A t, A t⟫_ℝ]

Relevant lemmas:
map_add : ∀ {M : Type u_4} {N : Type u_5} {F : Type u_9} [inst : Add M] [inst_6 : Add N] [inst_7 : FunLike F M N]
  [inst_8 : AddHomClass F M N] (f : F) (x y : M), f (x + y) = f x + f y
add_sub_cancel_left : ∀ {G : Type u_3} [inst : AddCommGroup G] (a b : G), a + b - a = b