theorem extracted_formal_statement_327.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} (n : ℕ+) (h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0) (h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F)
  (h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2) :
  let S1 := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n);
  let S2 := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂;
  let s1 := √(ADMM.τ E₁ E₂ F);
  s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2 →
    s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 →
      s1 ≠ 0 →
        ⟪S1, S2⟫_ℝ = ⟪s1 • S1, s1⁻¹ • S2⟫_ℝ →
          ‖s1 • S1‖ ^ 2 + ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 - -2 * ⟪s1 • S1, s1⁻¹ • S2⟫_ℝ =
              ‖s1 • S1‖ ^ 2 + 2 * ⟪s1 • S1, s1⁻¹ • S2⟫_ℝ + ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 →
            0 ≤ ‖s1 • S1 + s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 := sorry

State before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
n : ℕ+
h : ADMM.τ E₁ E₂ F ≥ 0
h₁ : √(ADMM.τ E₁ E₂ F) ^ 2 = ADMM.τ E₁ E₂ F
h₂ : (ADMM.τ E₁ E₂ F)⁻¹ = (√(ADMM.τ E₁ E₂ F))⁻¹ ^ 2
S1 : F := (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
S2 : F := (OptProblem.A₁ E₂) (ADMM.x₁ E₂ F ↑n) + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) - OptProblem.b E₁ E₂
s1 : ℝ := √(ADMM.τ E₁ E₂ F)
h1 : s1 ^ 2 * ‖S1‖ ^ 2 = ‖s1 • S1‖ ^ 2
h2 : s1⁻¹ ^ 2 * ‖S2‖ ^ 2 = ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
this✝ : s1 ≠ 0
h3 : ⟪S1, S2⟫_ℝ = ⟪s1 • S1, s1⁻¹ • S2⟫_ℝ
this :
  ‖s1 • S1‖ ^ 2 + ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2 - -2 * ⟪s1 • S1, s1⁻¹ • S2⟫_ℝ =
    ‖s1 • S1‖ ^ 2 + 2 * ⟪s1 • S1, s1⁻¹ • S2⟫_ℝ + ‖s1⁻¹ • S2‖ ^ 2
⊢ 0 ≤ ‖s1 • S1 + s1⁻¹ • S2‖ ^ 2

Tactic: apply pow_two_nonneg

State after:

Relevant lemmas:
pow_two_nonneg : ∀ {α : Type u} [inst : Semiring α] [inst_9 : LinearOrder α] [inst_10 : IsRightCancelAdd α]
  [inst_11 : ZeroLEOneClass α] [inst_12 : ExistsAddOfLE α] [inst_13 : PosMulMono α] [inst_14 : AddLeftStrictMono α]
  (a : α), 0 ≤ a ^ 2