theorem extracted_formal_statement_83.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (r : ℝ)
  (Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r) ⦃x : F⦄ (n_1 : ℕ) (eq : ey n_1 = x) (hτ : ADMM.τ E₁ E₂ F > 0)
  (hρ : ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0) (τ_mul_ρ' : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0)
  (τ_mul_ρ : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F ≥ 0)
  (open_Φ :
    ∀ (n : ℕ),
      ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * Φ n =
        ‖ey n‖ ^ 2 + ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
          ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
            ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2)
  (open_Φ' :
    ∀ (n : ℕ),
      ‖ey n‖ ^ 2 + ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
          ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
            ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 =
        ‖ey n‖ ^ 2 +
          (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
            ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
              ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2))
  (nonneg1 : ∀ (n : ℕ), ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 ≥ 0)
  (nonneg2 :
    ∀ (n : ℕ),
      ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
          ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 ≥
        0)
  (nonneg3 :
    ∀ (n : ℕ),
      ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
          ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
            ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 ≥
        0)
  (ey_norm : ∀ (n : ℕ), ‖ey n‖ ^ 2 ≤ ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * Φ n) (n : ℕ) :
  ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * Φ n < ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * r := sorry

State before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
r : ℝ
Φ_isBounded : ∀ (n : ℕ), Φ n < r
x : F
n✝ : ℕ
eq : ey n✝ = x
hτ : ADMM.τ E₁ E₂ F > 0
hρ : ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0
τ_mul_ρ' : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F > 0
τ_mul_ρ : ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F ≥ 0
open_Φ :
  ∀ (n : ℕ),
    ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * Φ n =
      ‖ey n‖ ^ 2 + ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
        ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
          ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2
open_Φ' :
  ∀ (n : ℕ),
    ‖ey n‖ ^ 2 + ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
        ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
          ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 =
      ‖ey n‖ ^ 2 +
        (ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
          ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
            ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2)
nonneg1 : ∀ (n : ℕ), ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 ≥ 0
nonneg2 :
  ∀ (n : ℕ),
    ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
        ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 ≥
      0
nonneg3 :
  ∀ (n : ℕ),
    ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * ‖(OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 +
        ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * (((1 - ADMM.τ E₁ E₂ F) ⊔ (1 - 1 / ADMM.τ E₁ E₂ F)) * ADMM.ρ E₁ E₂ F) *
          ‖(OptProblem.A₁ E₂) (e₁ n) + (OptProblem.A₂ E₁) (e₂ n)‖ ^ 2 ≥
      0
ey_norm : ∀ (n : ℕ), ‖ey n‖ ^ 2 ≤ ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * Φ n
n : ℕ
⊢ ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * Φ n < ADMM.τ E₁ E₂ F * ADMM.ρ E₁ E₂ F * r

Tactic: apply mul_lt_mul_of_pos_left (Φ_isBounded n) τ_mul_ρ'

State after:

Relevant lemmas:
mul_lt_mul_of_pos_left : ∀ {α : Type u_3} {a b c : α} [inst : Mul α] [inst_10 : Zero α] [inst_11 : Preorder α]
  [inst_12 : PosMulStrictMono α], b < c → 0 < a → a * b < a * c