theorem extracted_formal_statement_40.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} (n : ℕ+) (x : E₁)
  (h_original_goal :
    ⟪ADMM.y E₁ E₂ n.natPred,
        (OptProblem.A₁ E₂) x + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F n.natPred) - OptProblem.b E₁ E₂⟫_ℝ =
      ((fun x => ⟪ADMM.y E₁ E₂ n.natPred, (OptProblem.A₁ E₂) x⟫_ℝ) + fun x =>
          ⟪ADMM.y E₁ E₂ n.natPred, (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F n.natPred) - OptProblem.b E₁ E₂⟫_ℝ)
        x) :
  ⟪ADMM.y E₁ E₂ n.natPred, (OptProblem.A₁ E₂) x + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F n.natPred) - OptProblem.b E₁ E₂⟫_ℝ =
    ⟪ADMM.y E₁ E₂ n.natPred, (OptProblem.A₁ E₂) x⟫_ℝ +
      ⟪ADMM.y E₁ E₂ n.natPred, (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F n.natPred) - OptProblem.b E₁ E₂⟫_ℝ := sorry

State before:
case h
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
n : ℕ+
x✝ : E₁
c : F := ADMM.y E₁ E₂ n.natPred
c₁ : ℝ := ⟪ADMM.y E₁ E₂ n.natPred, (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F n.natPred) - OptProblem.b E₁ E₂⟫_ℝ
x : E₁
⊢ ⟪ADMM.y E₁ E₂ n.natPred, (OptProblem.A₁ E₂) x + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F n.natPred) - OptProblem.b E₁ E₂⟫_ℝ =
    ((fun x => ⟪ADMM.y E₁ E₂ n.natPred, (OptProblem.A₁ E₂) x⟫_ℝ) + fun x =>
        ⟪ADMM.y E₁ E₂ n.natPred, (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F n.natPred) - OptProblem.b E₁ E₂⟫_ℝ)
      x

Tactic: simp only [Pi.add_apply]

State after:
[case h
 E₁ : Type u_1
 E₂ : Type u_2
 F : Type u_3
 inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
 inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
 inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
 inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
 inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
 inst✝³ : NormedAddCommGroup F
 inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
 inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
 admm : ADMM E₁ E₂ F
 admm_kkt : Existance_of_kkt admm
 inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
 n : ℕ+
 x✝ : E₁
 c : F := ADMM.y E₁ E₂ n.natPred
 c₁ : ℝ := ⟪ADMM.y E₁ E₂ n.natPred, (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F n.natPred) - OptProblem.b E₁ E₂⟫_ℝ
 x : E₁
 ⊢ ⟪ADMM.y E₁ E₂ n.natPred, (OptProblem.A₁ E₂) x + (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F n.natPred) - OptProblem.b E₁ E₂⟫_ℝ =
     ⟪ADMM.y E₁ E₂ n.natPred, (OptProblem.A₁ E₂) x⟫_ℝ +
       ⟪ADMM.y E₁ E₂ n.natPred, (OptProblem.A₂ E₁) (ADMM.x₂ E₁ F n.natPred) - OptProblem.b E₁ E₂⟫_ℝ]

Relevant lemmas:
Pi.add_apply : ∀ {I : Type u} {f : I → Type v₁} (x y : (i : I) → f i) (i : I) [inst : (i : I) → Add (f i)],
  (x + y) i = x i + y i