theorem extracted_formal_statement_4.{u_2, u_1} {X : Type u_1} {Y : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup X]
  [inst_1 : InnerProductSpace ℝ X] [inst_2 : NormedAddCommGroup Y] [inst_3 : InnerProductSpace ℝ Y] (A : X →L[ℝ] Y)
  [inst_4 : CompleteSpace X] [inst_5 : CompleteSpace Y] [inst_6 : FiniteDimensional ℝ X] (fullrank : Injective ⇑A)
  (H : Module.finrank ℝ X = Module.finrank ℝ X) : Surjective ⇑((ContinuousLinearMap.adjoint A).comp A) := sorry

State before:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Y
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ Y
A : X →L[ℝ] Y
inst✝² : CompleteSpace X
inst✝¹ : CompleteSpace Y
inst✝ : FiniteDimensional ℝ X
fullrank : Injective ⇑A
H : Module.finrank ℝ X = Module.finrank ℝ X
⊢ Surjective ⇑((ContinuousLinearMap.adjoint A).comp A)

Tactic: apply (injective_iff_surjective_of_finrank_eq_finrank H).1 (A'A_inj A fullrank)

State after:

Relevant lemmas:
A'A_inj : ∀ {X : Type u_1} {Y : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup X] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ X]
  [inst_8 : NormedAddCommGroup Y] [inst_9 : InnerProductSpace ℝ Y] (A : X →L[ℝ] Y) [inst_10 : CompleteSpace X]
  [inst_11 : CompleteSpace Y], Injective ⇑A → Injective ⇑((ContinuousLinearMap.adjoint A).comp A)
LinearMap.injective_iff_surjective_of_finrank_eq_finrank : ∀ {K : Type u} {V : Type v} [inst : DivisionRing K]
  [inst_7 : AddCommGroup V] [inst_8 : Module K V] {V₂ : Type v'} [inst_9 : AddCommGroup V₂] [inst_10 : Module K V₂]
  [inst_11 : FiniteDimensional K V] [inst_12 : FiniteDimensional K V₂],
  Module.finrank K V = Module.finrank K V₂ → ∀ {f : V →ₗ[K] V₂}, Injective ⇑f ↔ Surjective ⇑f