theorem extracted_formal_statement_233.{u_3, u_2, u_1} {E₁ : Type u_1} {E₂ : Type u_2} {F : Type u_3}
  [inst : NormedAddCommGroup E₁] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ E₁] [inst_2 : FiniteDimensional ℝ E₁]
  [inst_3 : NormedAddCommGroup E₂] [inst_4 : InnerProductSpace ℝ E₂] [inst_5 : FiniteDimensional ℝ E₂]
  [inst_6 : NormedAddCommGroup F] [inst_7 : InnerProductSpace ℝ F] [inst_8 : FiniteDimensional ℝ F]
  {admm : ADMM E₁ E₂ F} {admm_kkt : Existance_of_kkt admm} [inst_9 : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt] (n : ℕ+) :
  let A₂T := ContinuousLinearMap.adjoint (OptProblem.A₂ E₁);
  let A₂υn := -A₂T (υ ↑n);
  let A₂υn1 := -A₂T (υ (↑n + 1));
  A₂υn ∈ SubderivAt (OptProblem.f₂ E₁ F) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n) →
    A₂υn1 ∈ SubderivAt (OptProblem.f₂ E₁ F) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1)) →
      ⟪A₂υn1 - A₂υn, ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n⟫_ℝ ≥ 0 →
        A₂T (υ ↑n) - A₂T (υ (↑n + 1)) = -A₂T (υ (↑n + 1)) - -A₂T (υ ↑n) := sorry

State before:
E₁ : Type u_1
E₂ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ E₁
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E₂
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E₂
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
admm : ADMM E₁ E₂ F
admm_kkt : Existance_of_kkt admm
inst✝ : Setting E₁ E₂ F admm admm_kkt
n : ℕ+
A₂T : F →L[ℝ] E₂ := ContinuousLinearMap.adjoint (OptProblem.A₂ E₁)
A₂υn : E₂ := -A₂T (υ ↑n)
A₂υn1 : E₂ := -A₂T (υ (↑n + 1))
h1 : A₂υn ∈ SubderivAt (OptProblem.f₂ E₁ F) (ADMM.x₂ E₁ F ↑n)
h2 : A₂υn1 ∈ SubderivAt (OptProblem.f₂ E₁ F) (ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1))
mono : ⟪A₂υn1 - A₂υn, ADMM.x₂ E₁ F (↑n + 1) - ADMM.x₂ E₁ F ↑n⟫_ℝ ≥ 0
⊢ A₂T (υ ↑n) - A₂T (υ (↑n + 1)) = -A₂T (υ (↑n + 1)) - -A₂T (υ ↑n)

Tactic: rw [sub_neg_eq_add, add_comm (-(A₂T ((υ) (n + 1)))), sub_eq_add_neg]

State after:

Relevant lemmas:
sub_eq_add_neg : ∀ {G : Type u_1} [inst : SubNegMonoid G] (a b : G), a - b = a + -b
sub_neg_eq_add : ∀ {α : Type u_1} [inst : SubtractionMonoid α] (a b : α), a - -b = a + b
add_comm : ∀ {G : Type u_1} [inst : AddCommMagma G] (a b : G), a + b = b + a