theorem extracted_formal_statement_87.{w, v, u} {Z : Type w} {ι : Type v} {f : ι → Z → ℝ} {Ω : Type u} {X : Ω → Z} {n : ℕ}
  [inst : Nonempty ι] {b : ℝ} (h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b) {c : ι → ℝ} {C : ℝ} (hC : ∀ (I : ι), |c I| ≤ C)
  (ω' : Fin n → Ω × Ω)
  (h_original_goal :
    |2⁻¹ ^ n * ∑ σ, ⨆ I, ∑ i, ↑↑(σ i) * (f I (X (ω' i).1) - f I (X (ω' i).2)) + c I| ≤ ↑n * (b + b) + C) :
  2⁻¹ ^ n * |∑ σ, ⨆ I, ∑ i, ↑↑(σ i) * (f I (X (ω' i).1) - f I (X (ω' i).2)) + c I| ≤ ↑n * (b + b) + C := sorry

State before:
Z : Type w
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
Ω : Type u
X : Ω → Z
n : ℕ
inst✝ : Nonempty ι
b : ℝ
h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b
c : ι → ℝ
C : ℝ
hC : ∀ (I : ι), |c I| ≤ C
ω' : Fin n → Ω × Ω
⊢ |2⁻¹ ^ n * ∑ σ, ⨆ I, ∑ i, ↑↑(σ i) * (f I (X (ω' i).1) - f I (X (ω' i).2)) + c I| ≤ ↑n * (b + b) + C

Tactic: rw [abs_mul, abs_of_pos (by simp)]

State after:
[Z : Type w
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 Ω : Type u
 X : Ω → Z
 n : ℕ
 inst✝ : Nonempty ι
 b : ℝ
 h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b
 c : ι → ℝ
 C : ℝ
 hC : ∀ (I : ι), |c I| ≤ C
 ω' : Fin n → Ω × Ω
 ⊢ 2⁻¹ ^ n * |∑ σ, ⨆ I, ∑ i, ↑↑(σ i) * (f I (X (ω' i).1) - f I (X (ω' i).2)) + c I| ≤ ↑n * (b + b) + C]

Relevant lemmas:
abs_mul : ∀ {α : Type u_1} [inst : LinearOrderedRing α] (a b : α), |a * b| = |a| * |b|
abs_of_pos : ∀ {α : Type u_1} [inst : Lattice α] [inst_1 : AddGroup α] {a : α} [inst_2 : AddLeftMono α], 0 < a → |a| = a