theorem extracted_formal_statement_71.{w, v, u} {Z : Type w} {ι : Type v} {f : ι → Z → ℝ} {Ω : Type u} {X : Ω → Z} {n : ℕ}
  [inst : Nonempty ι] {b : ℝ} (h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b) {c : ι → ℝ} {C : ℝ} (hC : ∀ (I : ι), |c I| ≤ C)
  (ω : Fin n → Ω × Ω) (σ : Fin n → { x // x ∈ {-1, 1} })
  (h_original_goal : |⨆ I, ∑ i, ↑↑(σ i) * (f I (X (ω i).1) - f I (X (ω i).2)) + c I| ≤ ↑n * (b + b) + C) (i : ι) :
  |∑ i_1, ↑↑(σ i_1) * (f i (X (ω i_1).1) - f i (X (ω i_1).2)) + c i| ≤ ↑n * (b + b) + C := sorry

State before:
Z : Type w
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
Ω : Type u
X : Ω → Z
n : ℕ
inst✝ : Nonempty ι
b : ℝ
h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b
c : ι → ℝ
C : ℝ
hC : ∀ (I : ι), |c I| ≤ C
ω : Fin n → Ω × Ω
σ : Fin n → { x // x ∈ {-1, 1} }
⊢ |⨆ I, ∑ i, ↑↑(σ i) * (f I (X (ω i).1) - f I (X (ω i).2)) + c I| ≤ ↑n * (b + b) + C

Tactic: apply abs_iSup_le

State after:
[case hf
 Z : Type w
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 Ω : Type u
 X : Ω → Z
 n : ℕ
 inst✝ : Nonempty ι
 b : ℝ
 h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b
 c : ι → ℝ
 C : ℝ
 hC : ∀ (I : ι), |c I| ≤ C
 ω : Fin n → Ω × Ω
 σ : Fin n → { x // x ∈ {-1, 1} }
 ⊢ ∀ (i : ι), |∑ i_1, ↑↑(σ i_1) * (f i (X (ω i_1).1) - f i (X (ω i_1).2)) + c i| ≤ ↑n * (b + b) + C]

Relevant lemmas:
abs_iSup_le : ∀ {ι : Type v} [inst : Nonempty ι] {f : ι → ℝ} {a : ℝ}, (∀ (i : ι), |f i| ≤ a) → |⨆ i, f i| ≤ a