theorem extracted_formal_statement_66.{w, v, u} {Z : Type w} {ι : Type v} {f : ι → Z → ℝ} {Ω : Type u} {X : Ω → Z} {n : ℕ}
  {b : ℝ} (h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω) (I : ι) (σ : Fin n → { x // x ∈ {-1, 1} })
  (h_original_goal : ∑ i, |↑↑(σ i) * (f I (X (ω i).1) - f I (X (ω i).2))| ≤ ∑ i, (b + b)) :
  (fun i => |↑↑(σ i) * (f I (X (ω i).1) - f I (X (ω i).2))|) ≤ fun i => b + b := sorry

State before:
Z : Type w
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
Ω : Type u
X : Ω → Z
n : ℕ
b : ℝ
h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
I : ι
σ : Fin n → { x // x ∈ {-1, 1} }
⊢ ∑ i, |↑↑(σ i) * (f I (X (ω i).1) - f I (X (ω i).2))| ≤ ∑ i, (b + b)

Tactic: apply Fintype.sum_mono

State after:
[case a
 Z : Type w
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 Ω : Type u
 X : Ω → Z
 n : ℕ
 b : ℝ
 h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω × Ω
 I : ι
 σ : Fin n → { x // x ∈ {-1, 1} }
 ⊢ (fun i => |↑↑(σ i) * (f I (X (ω i).1) - f I (X (ω i).2))|) ≤ fun i => b + b]

Relevant lemmas:
Fintype.sum_mono : ∀ {ι : Type u_1} {M : Type u_4} [inst : Fintype ι] [inst_1 : OrderedAddCommMonoid M],
  Monotone fun f => ∑ i, f i