theorem extracted_formal_statement_89.{w, v, u} {Z : Type w} {ι : Type v} {f : ι → Z → ℝ} {Ω : Type u} {X : Ω → Z} {n : ℕ}
  [inst : Nonempty ι] {b : ℝ} (h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b) {c : ι → ℝ} {C : ℝ} (hC : ∀ (I : ι), |c I| ≤ C)
  (ω' : Fin n → Ω × Ω)
  (h_original_goal : ∑ σ, |⨆ I, ∑ i, ↑↑(σ i) * (f I (X (ω' i).1) - f I (X (ω' i).2)) + c I| ≤ ∑ σ, (↑n * (b + b) + C))
  (i : Fin n → { x // x ∈ {-1, 1} }) :
  i ∈ Finset.univ →
    |⨆ I, ∑ i_1, ↑↑(i i_1) * (f I (X (ω' i_1).1) - f I (X (ω' i_1).2)) + c I| ≤ ↑n * (b + b) + C := sorry

State before:
Z : Type w
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
Ω : Type u
X : Ω → Z
n : ℕ
inst✝ : Nonempty ι
b : ℝ
h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b
c : ι → ℝ
C : ℝ
hC : ∀ (I : ι), |c I| ≤ C
ω' : Fin n → Ω × Ω
⊢ ∑ σ, |⨆ I, ∑ i, ↑↑(σ i) * (f I (X (ω' i).1) - f I (X (ω' i).2)) + c I| ≤ ∑ σ, (↑n * (b + b) + C)

Tactic: apply Finset.sum_le_sum

State after:
[case h
 Z : Type w
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 Ω : Type u
 X : Ω → Z
 n : ℕ
 inst✝ : Nonempty ι
 b : ℝ
 h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b
 c : ι → ℝ
 C : ℝ
 hC : ∀ (I : ι), |c I| ≤ C
 ω' : Fin n → Ω × Ω
 ⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, |⨆ I, ∑ i_1, ↑↑(i i_1) * (f I (X (ω' i_1).1) - f I (X (ω' i_1).2)) + c I| ≤ ↑n * (b + b) + C]

Relevant lemmas:
Finset.sum_le_sum : ∀ {ι : Type u_1} {N : Type u_5} [inst : OrderedAddCommMonoid N] {f g : ι → N} {s : Finset ι},
  (∀ i ∈ s, f i ≤ g i) → ∑ i ∈ s, f i ≤ ∑ i ∈ s, g i