theorem extracted_formal_statement_145.{w, v, u} {Z : Type w} {ι : Type v} {f : ι → Z → ℝ} {Ω : Type u}
  [inst : MeasurableSpace Ω] {X : Ω → Z} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] [inst_2 : Countable ι]
  [inst_3 : Nonempty ι] (h𝓕 : ∀ (I : ι), Measurable (f I ∘ X)) {b : ℝ} (h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b) {n : ℕ}
  {c : ι → ℝ} {C : ℝ} (hC : ∀ (I : ι), |c I| ≤ C) (ω : (Ω × Ω) × (Fin n → Ω × Ω))
  (h_original_goal :
    ∑ σ,
        |⨆ I,
            ∑ i, ↑↑(σ ↑↑i) * (f I (X (ω.2 i).1) - f I (X (ω.2 i).2)) +
              (↑↑(σ ↑n) * (f I (X ω.1.1) - f I (X ω.1.2)) + c I)| ≤
      ∑ σ, (↑n * (b + b) + (b + b + C)))
  (i : Fin (n + 1) → { x // x ∈ {-1, 1} }) :
  i ∈ Finset.univ →
    |⨆ I,
          ∑ i_1, ↑↑(i ↑↑i_1) * (f I (X (ω.2 i_1).1) - f I (X (ω.2 i_1).2)) +
            (↑↑(i ↑n) * (f I (X ω.1.1) - f I (X ω.1.2)) + c I)| ≤
      ↑n * (b + b) + (b + b + C) := sorry

State before:
Z : Type w
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
X : Ω → Z
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : Nonempty ι
h𝓕 : ∀ (I : ι), Measurable (f I ∘ X)
b : ℝ
h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b
n : ℕ
c : ι → ℝ
C : ℝ
hC : ∀ (I : ι), |c I| ≤ C
ω : (Ω × Ω) × (Fin n → Ω × Ω)
⊢ ∑ σ,
      |⨆ I,
          ∑ i, ↑↑(σ ↑↑i) * (f I (X (ω.2 i).1) - f I (X (ω.2 i).2)) +
            (↑↑(σ ↑n) * (f I (X ω.1.1) - f I (X ω.1.2)) + c I)| ≤
    ∑ σ, (↑n * (b + b) + (b + b + C))

Tactic: apply Finset.sum_le_sum

State after:
[case h
 Z : Type w
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 Ω : Type u
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 X : Ω → Z
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 inst✝¹ : Countable ι
 inst✝ : Nonempty ι
 h𝓕 : ∀ (I : ι), Measurable (f I ∘ X)
 b : ℝ
 h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b
 n : ℕ
 c : ι → ℝ
 C : ℝ
 hC : ∀ (I : ι), |c I| ≤ C
 ω : (Ω × Ω) × (Fin n → Ω × Ω)
 ⊢ ∀ i ∈ Finset.univ,
     |⨆ I,
           ∑ i_1, ↑↑(i ↑↑i_1) * (f I (X (ω.2 i_1).1) - f I (X (ω.2 i_1).2)) +
             (↑↑(i ↑n) * (f I (X ω.1.1) - f I (X ω.1.2)) + c I)| ≤
       ↑n * (b + b) + (b + b + C)]

Relevant lemmas:
Finset.sum_le_sum : ∀ {ι : Type u_1} {N : Type u_5} [inst : OrderedAddCommMonoid N] {f g : ι → N} {s : Finset ι},
  (∀ i ∈ s, f i ≤ g i) → ∑ i ∈ s, f i ≤ ∑ i ∈ s, g i