theorem extracted_formal_statement_148.{w, v, u} {Z : Type w} {ι : Type v} {f : ι → Z → ℝ} {Ω : Type u}
  [inst : MeasurableSpace Ω] {X : Ω → Z} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] [inst_2 : Countable ι]
  [inst_3 : Nonempty ι] (h𝓕 : ∀ (I : ι), Measurable (f I ∘ X)) {b : ℝ} (h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b) {n : ℕ}
  {c : ι → ℝ} {C : ℝ} (hC : ∀ (I : ι), |c I| ≤ C)
  (h_original_goal : Finset.univ.card • (↑n * (b + b) + (b + b + C)) = 2 ^ (n + 1) * (↑n * (b + b) + (b + b + C))) :
  2 ^ (n + 1) * (↑n * (b + b)) + (2 ^ (n + 1) * b + 2 ^ (n + 1) * b + 2 ^ (n + 1) * C) =
    2 ^ (n + 1) * (↑n * (b + b) + (b + b + C)) := sorry

State before:
Z : Type w
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
X : Ω → Z
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : Nonempty ι
h𝓕 : ∀ (I : ι), Measurable (f I ∘ X)
b : ℝ
h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b
n : ℕ
c : ι → ℝ
C : ℝ
hC : ∀ (I : ι), |c I| ≤ C
ω : (Ω × Ω) × (Fin n → Ω × Ω)
⊢ Finset.univ.card • (↑n * (b + b) + (b + b + C)) = 2 ^ (n + 1) * (↑n * (b + b) + (b + b + C))

Tactic: simp only [Int.reduceNeg, Finset.card_univ, Finset.mem_insert, Finset.mem_singleton, Fintype.card_pi,
  Fintype.card_coe, reduceCtorEq, not_false_eq_true, Finset.card_insert_of_not_mem, Finset.card_singleton,
  Nat.reduceAdd, Finset.prod_const, Fintype.card_fin, smul_add, nsmul_eq_mul, Nat.cast_pow, Nat.cast_ofNat]

State after:
[Z : Type w
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 Ω : Type u
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 X : Ω → Z
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 inst✝¹ : Countable ι
 inst✝ : Nonempty ι
 h𝓕 : ∀ (I : ι), Measurable (f I ∘ X)
 b : ℝ
 h𝓕' : ∀ (I : ι) (z : Z), |f I z| ≤ b
 n : ℕ
 c : ι → ℝ
 C : ℝ
 hC : ∀ (I : ι), |c I| ≤ C
 ω : (Ω × Ω) × (Fin n → Ω × Ω)
 ⊢ 2 ^ (n + 1) * (↑n * (b + b)) + (2 ^ (n + 1) * b + 2 ^ (n + 1) * b + 2 ^ (n + 1) * C) =
     2 ^ (n + 1) * (↑n * (b + b) + (b + b + C))]

Relevant lemmas:
Fintype.card_pi : ∀ {ι : Type u_4} {α : ι → Type u_6} [inst : DecidableEq ι] [inst_4 : Fintype ι]
  [inst_5 : (i : ι) → Fintype (α i)], Fintype.card ((i : ι) → α i) = ∏ i, Fintype.card (α i)
Finset.mem_insert : ∀ {α : Type u_1} [inst : DecidableEq α] {s : Finset α} {a b : α}, a ∈ insert b s ↔ a = b ∨ a ∈ s
Nat.cast_pow : ∀ {α : Type u_1} [inst : Semiring α] (m n : ℕ), ↑(m ^ n) = ↑m ^ n
Nat.cast_ofNat : ∀ {R : Type u_1} {n : ℕ} [inst : NatCast R] [inst_4 : n.AtLeastTwo], ↑(OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
Finset.mem_singleton : ∀ {α : Type u_1} {a b : α}, b ∈ {a} ↔ b = a
Finset.card_univ : ∀ {α : Type u_1} [inst : Fintype α], Finset.univ.card = Fintype.card α
not_false_eq_true : (¬False) = True
Fintype.card_fin : ∀ (n : ℕ), Fintype.card (Fin n) = n
nsmul_eq_mul : ∀ {α : Type u_1} [inst : NonAssocSemiring α] (n : ℕ) (a : α), n • a = ↑n * a
Finset.prod_const : ∀ {α : Type u_3} {β : Type u_4} {s : Finset α} [inst : CommMonoid β] (b : β),
  ∏ _x ∈ s, b = b ^ s.card
Finset.card_insert_of_not_mem : ∀ {α : Type u_1} {s : Finset α} {a : α} [inst : DecidableEq α],
  a ∉ s → (insert a s).card = s.card + 1
smul_add : ∀ {M : Type u_1} {A : Type u_7} [inst : AddZeroClass A] [inst_4 : DistribSMul M A] (a : M) (b₁ b₂ : A),
  a • (b₁ + b₂) = a • b₁ + a • b₂
Fintype.card_coe : ∀ {α : Type u_1} (s : Finset α) [inst : Fintype { x // x ∈ s }], Fintype.card { x // x ∈ s } = s.card
Finset.card_singleton : ∀ {α : Type u_1} (a : α), {a}.card = 1