theorem extracted_formal_statement_91.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω) (σ : Signs n)
  (a : σ ∈ Finset.univ) (i : ι)
  (h_original_goal : |(|∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)| ≤ ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|) :
  |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))| ≤ ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))| := sorry

State before:
case h.H
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
σ : Signs n
a✝ : σ ∈ Finset.univ
i : ι
⊢ |(|∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)| ≤ ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|

Tactic: simp only [Int.reduceNeg, abs_abs]

State after:
[case h.H
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 σ : Signs n
 a✝ : σ ∈ Finset.univ
 i : ι
 ⊢ |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))| ≤ ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|]

Relevant lemmas:
abs_abs : ∀ {α : Type u_1} [inst : Lattice α] [inst_1 : AddGroup α] [inst_2 : AddLeftMono α] [inst_3 : AddRightMono α]
  (a : α), |(|a|)| = |a|