theorem extracted_formal_statement_174.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] [inst_2 : Countable ι] {X : Ω → Z}
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω)
  (h : Nonempty ι) (i : ι) : ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|) ≤ ∑ k, (b + b) := sorry

State before:
case pos.H
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
ω₁ : Fin n → Ω := fun k => (ω k).1
ω₂ : Fin n → Ω := fun k => (ω k).2
h : Nonempty ι
i : ι
⊢ ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|) ≤ ∑ k, (b + b)

Tactic: apply Finset.sum_le_sum fun k _ ↦ add_le_add (hf' i (X (ω k).1)) (hf' i (X (ω k).2))

State after:

Relevant lemmas:
Finset.sum_le_sum : ∀ {ι : Type u_1} {N : Type u_5} [inst : OrderedAddCommMonoid N] {f g : ι → N} {s : Finset ι},
  (∀ i ∈ s, f i ≤ g i) → ∑ i ∈ s, f i ≤ ∑ i ∈ s, g i
add_le_add : ∀ {α : Type u_1} [inst : Add α] [inst_3 : Preorder α] [inst_4 : AddLeftMono α] [inst_5 : AddRightMono α]
  {a b c d : α}, a ≤ b → c ≤ d → a + c ≤ b + d