theorem extracted_formal_statement_15.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  [inst : Nonempty ι] {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω)
  (h_original_goal :
    ∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| ≤
      (∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k).1)|) + ∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k).2)|) :
  ∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| ≤
    ∑ x, ((⨆ i, |∑ k, ↑↑(x k) * f i (X (ω k).1)|) + ⨆ i, |∑ k, ↑↑(x k) * f i (X (ω k).2)|) := sorry

State before:
case h
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
inst✝ : Nonempty ι
X : Ω → Z
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
⊢ ∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| ≤
    (∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k).1)|) + ∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k).2)|

Tactic: rw [← Finset.sum_add_distrib]

State after:
[case h
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 inst✝ : Nonempty ι
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω × Ω
 ⊢ ∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| ≤
     ∑ x, ((⨆ i, |∑ k, ↑↑(x k) * f i (X (ω k).1)|) + ⨆ i, |∑ k, ↑↑(x k) * f i (X (ω k).2)|)]

Relevant lemmas:
Finset.sum_add_distrib : ∀ {α : Type u_3} {β : Type u_4} {s : Finset α} {f g : α → β} [inst : AddCommMonoid β],
  ∑ x ∈ s, (f x + g x) = ∑ x ∈ s, f x + ∑ x ∈ s, g x