theorem extracted_formal_statement_46.{u_3, u_2} {α : Type u_2} [inst : MeasurableSpace α] (μ : Measure α)
  [inst_1 : IsFiniteMeasure μ] {ι : Sort u_3} [inst_2 : Countable ι] (f : ι → α → ℝ≥0∞)
  (hfm : ∀ (i : ι), Measurable (f i)) {b : ℝ≥0∞} (hb : b ≠ ⊤) (hf : ∀ (i : ι) (x : α), f i x ≤ b)
  (hf_le : ∀ (i : ι) (x : α), f i x < ⊤) (hfle : ∀ (i : ι), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f i x < ⊤)
  (hfne : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (i : ι), f i x ≠ ⊤) (hb' : b * μ Set.univ < ⊤) (hf_nebot : ⨆ i, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ ≠ ⊤)
  (hf' : ∫⁻ (a : α), ⨆ i, f i a ∂μ ≠ ⊤) (hf'' : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ ≠ ⊤)
  (hfle' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ⨆ i, f i x < ⊤)
  (h_original_goal : ⨆ i, (∫⁻ (a : α), f i a ∂μ).toReal ≤ ∫ (a : α), ⨆ i, (f i a).toReal ∂μ) :
  (⨆ i, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ).toReal ≤ ∫ (a : α), ⨆ i, (f i a).toReal ∂μ := sorry

State before:
α : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
ι : Sort u_3
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
hfm : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
b : ℝ≥0∞
hb : b ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι) (x : α), f i x ≤ b
hf_le : ∀ (i : ι) (x : α), f i x < ⊤
hfle : ∀ (i : ι), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f i x < ⊤
hfne : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (i : ι), f i x ≠ ⊤
hb' : b * μ Set.univ < ⊤
hf_nebot : ⨆ i, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ ≠ ⊤
hf' : ∫⁻ (a : α), ⨆ i, f i a ∂μ ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ ≠ ⊤
hfle' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ⨆ i, f i x < ⊤
⊢ ⨆ i, (∫⁻ (a : α), f i a ∂μ).toReal ≤ ∫ (a : α), ⨆ i, (f i a).toReal ∂μ

Tactic: rw [← ENNReal.toReal_iSup hf'']

State after:
[α : Type u_2
 inst✝² : MeasurableSpace α
 μ : Measure α
 inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
 ι : Sort u_3
 inst✝ : Countable ι
 f : ι → α → ℝ≥0∞
 hfm : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
 b : ℝ≥0∞
 hb : b ≠ ⊤
 hf : ∀ (i : ι) (x : α), f i x ≤ b
 hf_le : ∀ (i : ι) (x : α), f i x < ⊤
 hfle : ∀ (i : ι), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f i x < ⊤
 hfne : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (i : ι), f i x ≠ ⊤
 hb' : b * μ Set.univ < ⊤
 hf_nebot : ⨆ i, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ ≠ ⊤
 hf' : ∫⁻ (a : α), ⨆ i, f i a ∂μ ≠ ⊤
 hf'' : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ ≠ ⊤
 hfle' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ⨆ i, f i x < ⊤
 ⊢ (⨆ i, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ).toReal ≤ ∫ (a : α), ⨆ i, (f i a).toReal ∂μ]

Relevant lemmas:
ENNReal.toReal_iSup : ∀ {ι : Sort u_1} {f : ι → ℝ≥0∞}, (∀ (i : ι), f i ≠ ⊤) → (iSup f).toReal = ⨆ i, (f i).toReal