theorem extracted_formal_statement_23.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  [inst : Nonempty ι] {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω) (σ : Signs n)
  (a : σ ∈ Finset.univ) (i : ι)
  (h_original_goal :
    ∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2)) =
      ∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k).1) - ∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k).2)) :
  ∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2)) =
    ∑ x, (↑↑(σ x) * f i (X (ω x).1) - ↑↑(σ x) * f i (X (ω x).2)) := sorry

State before:
case h.e'_3.h.e'_4
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
inst✝ : Nonempty ι
X : Ω → Z
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
σ : Signs n
a✝ : σ ∈ Finset.univ
i : ι
⊢ ∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2)) = ∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k).1) - ∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k).2)

Tactic: rw [← Finset.sum_sub_distrib]

State after:
[case h.e'_3.h.e'_4
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 inst✝ : Nonempty ι
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω × Ω
 σ : Signs n
 a✝ : σ ∈ Finset.univ
 i : ι
 ⊢ ∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2)) = ∑ x, (↑↑(σ x) * f i (X (ω x).1) - ↑↑(σ x) * f i (X (ω x).2))]

Relevant lemmas:
Finset.sum_sub_distrib : ∀ {α : Type u_3} {β : Type u_4} {s : Finset α} {f g : α → β} [inst : SubtractionCommMonoid β],
  ∑ x ∈ s, (f x - g x) = ∑ x ∈ s, f x - ∑ x ∈ s, g x