theorem extracted_formal_statement_503.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : b ≥ 0)
  (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (hn : ¬n = 0)
  (hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C)
  (hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y)
  (hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k))))
  (hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)))) (x : Fin n → Ω) (x_1 : Signs n)
  (h_original_goal :
    ⨆ i, |∑ x_2, ↑↑(x_1 x_2) * f i (X (x x_2))| = ↑n * ⨆ i, |(↑n)⁻¹ * ∑ k, ↑↑(x_1 k) * f i (X (x k))|) :
  ⨆ i, |∑ x_2, ↑↑(x_1 x_2) * f i (X (x x_2))| = ⨆ i, ↑n * |(↑n)⁻¹ * ∑ k, ↑↑(x_1 k) * f i (X (x k))| := sorry

State before:
case e_a.e_f.h.e_a.e_f.h
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : b ≥ 0
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
hn : ¬n = 0
hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y
hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
x✝¹ : Fin n → Ω
x✝ : Signs n
⊢ ⨆ i, |∑ x, ↑↑(x✝ x) * f i (X (x✝¹ x))| = ↑n * ⨆ i, |(↑n)⁻¹ * ∑ k, ↑↑(x✝ k) * f i (X (x✝¹ k))|

Tactic: rw [Real.mul_iSup_of_nonneg (by norm_num)]

State after:
[case e_a.e_f.h.e_a.e_f.h
 Ω : Type u
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : b ≥ 0
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 hn : ¬n = 0
 hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
 hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y
 hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
 hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
 x✝¹ : Fin n → Ω
 x✝ : Signs n
 ⊢ ⨆ i, |∑ x, ↑↑(x✝ x) * f i (X (x✝¹ x))| = ⨆ i, ↑n * |(↑n)⁻¹ * ∑ k, ↑↑(x✝ k) * f i (X (x✝¹ k))|]

Relevant lemmas:
Real.mul_iSup_of_nonneg : ∀ {ι : Sort u_1} {r : ℝ}, 0 ≤ r → ∀ (f : ι → ℝ), r * ⨆ i, f i = ⨆ i, r * f i