theorem extracted_formal_statement_448.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : b ≥ 0)
  (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (hn : ¬n = 0)
  (hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C)
  (hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y)
  (hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k))))
  (hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)))) (ω : Fin n → Ω) (x : ι) :
  ‖∫ (x_1 : Fin n → Ω), ∑ k, (f x (X (ω k)) - f x (X (x_1 k))) ∂Measure.pi fun x => μ‖ ≤
    ∫ (x_1 : Fin n → Ω), ‖∑ k, (f x (X (ω k)) - f x (X (x_1 k)))‖ ∂Measure.pi fun x => μ := sorry

State before:
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : b ≥ 0
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
hn : ¬n = 0
hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y
hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
ω : Fin n → Ω
x : ι
⊢ ‖∫ (x_1 : Fin n → Ω), ∑ k, (f x (X (ω k)) - f x (X (x_1 k))) ∂Measure.pi fun x => μ‖ ≤
    ∫ (x_1 : Fin n → Ω), ‖∑ k, (f x (X (ω k)) - f x (X (x_1 k)))‖ ∂Measure.pi fun x => μ

Tactic: apply norm_integral_le_integral_norm

State after:

Relevant lemmas:
MeasureTheory.norm_integral_le_integral_norm : ∀ {α : Type u_1} {G : Type u_5} [inst : NormedAddCommGroup G]
  [inst_4 : NormedSpace ℝ G] {m : MeasurableSpace α} {μ : Measure α} (f : α → G),
  ‖∫ (a : α), f a ∂μ‖ ≤ ∫ (a : α), ‖f a‖ ∂μ