theorem extracted_formal_statement_383.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ))
  (hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C) (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n)
  (y : ℝ) (i : ι) (hi : f i (X (ω k)) = y) (h_original_goal : -b ≤ y) : -b ≤ f i (X (ω k)) := sorry

State before:
case intro
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω✝ : Fin n → Ω
hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ)
hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
ω : Fin n → Ω
k : Fin n
y : ℝ
i : ι
hi : f i (X (ω k)) = y
⊢ -b ≤ y

Tactic: rw [← hi]

State after:
[case intro
 Ω : Type u
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω✝ : Fin n → Ω
 hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ)
 hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
 ω : Fin n → Ω
 k : Fin n
 y : ℝ
 i : ι
 hi : f i (X (ω k)) = y
 ⊢ -b ≤ f i (X (ω k))]

Relevant lemmas: