theorem extracted_formal_statement_78.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω)
  (h_original_goal : ∑ σ, |⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|| ≤ ∑ σ, ⨆ i, |(|∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)|)
  (i : Signs n) :
  i ∈ Finset.univ → |⨆ i_1, |∑ k, ↑↑(i k) * f i_1 (X (ω k))|| ≤ ⨆ i_1, |(|∑ k, ↑↑(i k) * f i_1 (X (ω k))|)| := sorry

State before:
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
⊢ ∑ σ, |⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|| ≤ ∑ σ, ⨆ i, |(|∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)|

Tactic: apply Finset.sum_le_sum

State after:
[case h
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 ⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, |⨆ i_1, |∑ k, ↑↑(i k) * f i_1 (X (ω k))|| ≤ ⨆ i_1, |(|∑ k, ↑↑(i k) * f i_1 (X (ω k))|)|]

Relevant lemmas:
Finset.sum_le_sum : ∀ {ι : Type u_1} {N : Type u_5} [inst : OrderedAddCommMonoid N] {f g : ι → N} {s : Finset ι},
  (∀ i ∈ s, f i ≤ g i) → ∑ i ∈ s, f i ≤ ∑ i ∈ s, g i