theorem extracted_formal_statement_164.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] [inst_2 : Countable ι] {X : Ω → Z}
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω)
  (h_original_goal :
    ∑ σ, ⨆ i, ∑ k, |f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2)| ≤ ∑ σ, ⨆ i, ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|))
  (i : Signs n) :
  i ∈ Finset.univ →
    ⨆ i, ∑ k, |f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2)| ≤ ⨆ i, ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|) := sorry

State before:
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
ω₁ : Fin n → Ω := fun k => (ω k).1
ω₂ : Fin n → Ω := fun k => (ω k).2
⊢ ∑ σ, ⨆ i, ∑ k, |f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2)| ≤ ∑ σ, ⨆ i, ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|)

Tactic: apply Finset.sum_le_sum

State after:
[case h
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
 inst✝ : Countable ι
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω × Ω
 ω₁ : Fin n → Ω := fun k => (ω k).1
 ω₂ : Fin n → Ω := fun k => (ω k).2
 ⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, ⨆ i, ∑ k, |f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2)| ≤ ⨆ i, ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|)]

Relevant lemmas:
Finset.sum_le_sum : ∀ {ι : Type u_1} {N : Type u_5} [inst : OrderedAddCommMonoid N] {f g : ι → N} {s : Finset ι},
  (∀ i ∈ s, f i ≤ g i) → ∑ i ∈ s, f i ≤ ∑ i ∈ s, g i