theorem extracted_formal_statement_47.{u_3, u_2} {α : Type u_2} [inst : MeasurableSpace α] (μ : Measure α)
  [inst_1 : IsFiniteMeasure μ] {ι : Sort u_3} [inst_2 : Countable ι] (f : ι → α → ℝ≥0∞)
  (hfm : ∀ (i : ι), Measurable (f i)) {b : ℝ≥0∞} (hb : b ≠ ⊤) (hf : ∀ (i : ι) (x : α), f i x ≤ b)
  (hf_le : ∀ (i : ι) (x : α), f i x < ⊤) (hfle : ∀ (i : ι), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f i x < ⊤)
  (hfne : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (i : ι), f i x ≠ ⊤) (hb' : b * μ Set.univ < ⊤) (hf_nebot : ⨆ i, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ ≠ ⊤)
  (hf' : ∫⁻ (a : α), ⨆ i, f i a ∂μ ≠ ⊤) (hf'' : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ ≠ ⊤)
  (hfle' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ⨆ i, f i x < ⊤)
  (h_original_goal : ∫ (a : α), ⨆ i, (f i a).toReal ∂μ = ∫ (ω : α), (⨆ i, f i ω).toReal ∂μ) :
  (fun a => ⨆ i, (f i a).toReal) =ᶠ[ae μ] fun a => (⨆ i, f i a).toReal := sorry

State before:
α : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
ι : Sort u_3
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
hfm : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
b : ℝ≥0∞
hb : b ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι) (x : α), f i x ≤ b
hf_le : ∀ (i : ι) (x : α), f i x < ⊤
hfle : ∀ (i : ι), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f i x < ⊤
hfne : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (i : ι), f i x ≠ ⊤
hb' : b * μ Set.univ < ⊤
hf_nebot : ⨆ i, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ ≠ ⊤
hf' : ∫⁻ (a : α), ⨆ i, f i a ∂μ ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ ≠ ⊤
hfle' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ⨆ i, f i x < ⊤
⊢ ∫ (a : α), ⨆ i, (f i a).toReal ∂μ = ∫ (ω : α), (⨆ i, f i ω).toReal ∂μ

Tactic: apply MeasureTheory.integral_congr_ae

State after:
[case h
 α : Type u_2
 inst✝² : MeasurableSpace α
 μ : Measure α
 inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
 ι : Sort u_3
 inst✝ : Countable ι
 f : ι → α → ℝ≥0∞
 hfm : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
 b : ℝ≥0∞
 hb : b ≠ ⊤
 hf : ∀ (i : ι) (x : α), f i x ≤ b
 hf_le : ∀ (i : ι) (x : α), f i x < ⊤
 hfle : ∀ (i : ι), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f i x < ⊤
 hfne : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (i : ι), f i x ≠ ⊤
 hb' : b * μ Set.univ < ⊤
 hf_nebot : ⨆ i, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ ≠ ⊤
 hf' : ∫⁻ (a : α), ⨆ i, f i a ∂μ ≠ ⊤
 hf'' : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ ≠ ⊤
 hfle' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ⨆ i, f i x < ⊤
 ⊢ (fun a => ⨆ i, (f i a).toReal) =ᶠ[ae μ] fun a => (⨆ i, f i a).toReal]

Relevant lemmas:
MeasureTheory.integral_congr_ae : ∀ {α : Type u_1} {G : Type u_5} [inst : NormedAddCommGroup G]
  [inst_3 : NormedSpace ℝ G] {m : MeasurableSpace α} {μ : Measure α} {f g : α → G},
  f =ᶠ[ae μ] g → ∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), g a ∂μ