theorem extracted_formal_statement_445.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : b ≥ 0)
  (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (hn : ¬n = 0)
  (hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C)
  (hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y)
  (hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k))))
  (hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)))) (ω : Fin n → Ω)
  (h_original_goal :
    (fun ω => ⨆ i, |∫ (x : Fin n → Ω), (fun ω' => ∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (ω' k)))) x ∂Measure.pi fun x => μ|) ω ≤
      (fun ω => ⨆ i, ∫ (x : Fin n → Ω), (fun ω' => |∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (ω' k)))|) x ∂Measure.pi fun x => μ)
        ω) :
  BddAbove
    (Set.range fun i =>
      ∫ (x : Fin n → Ω), (fun ω' => |∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (ω' k)))|) x ∂Measure.pi fun x => μ) := sorry

State before:
case h
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : b ≥ 0
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
hn : ¬n = 0
hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y
hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
ω : Fin n → Ω
⊢ (fun ω => ⨆ i, |∫ (x : Fin n → Ω), (fun ω' => ∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (ω' k)))) x ∂Measure.pi fun x => μ|) ω ≤
    (fun ω => ⨆ i, ∫ (x : Fin n → Ω), (fun ω' => |∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (ω' k)))|) x ∂Measure.pi fun x => μ) ω

Tactic: apply ciSup_mono

State after:
[case h.B
 Ω : Type u
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : b ≥ 0
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 hn : ¬n = 0
 hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
 hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y
 hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
 hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
 ω : Fin n → Ω
 ⊢ BddAbove
     (Set.range fun i =>
       ∫ (x : Fin n → Ω), (fun ω' => |∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (ω' k)))|) x ∂Measure.pi fun x => μ),
 case h.H
 Ω : Type u
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : b ≥ 0
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 hn : ¬n = 0
 hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
 hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y
 hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
 hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
 ω : Fin n → Ω
 ⊢ ∀ (x : ι),
     |∫ (x_1 : Fin n → Ω), (fun ω' => ∑ k, (f x (X (ω k)) - f x (X (ω' k)))) x_1 ∂Measure.pi fun x => μ| ≤
       ∫ (x_1 : Fin n → Ω), (fun ω' => |∑ k, (f x (X (ω k)) - f x (X (ω' k)))|) x_1 ∂Measure.pi fun x => μ]

Relevant lemmas:
ciSup_mono : ∀ {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} [inst : ConditionallyCompleteLattice α] {f g : ι → α},
  BddAbove (Set.range g) → (∀ (x : ι), f x ≤ g x) → iSup f ≤ iSup g