theorem extracted_formal_statement_229.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (ω' : Fin n → Ω) (i : ι) (x : Fin n → Ω) (t : -↑n * b ≤ ∑ x, f i (X (ω' x)))
  (h_original_goal : -↑n * b ≤ -∑ x_1, f i (X (x x_1))) : ∑ x_1, f i (X (x x_1)) ≤ ↑n * b := sorry

State before:
Ω : Type u
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst_2 : Nonempty ι
inst_3 : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω' : Fin n → Ω
i : ι
x : Fin n → Ω
t : -↑n * b ≤ ∑ x, f i (X (ω' x))
⊢ -↑n * b ≤ -∑ x_1, f i (X (x x_1))

Tactic: simp only [neg_mul, neg_le_neg_iff]

State after:
[Ω : Type u
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst_2 : Nonempty ι
 inst_3 : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω' : Fin n → Ω
 i : ι
 x : Fin n → Ω
 t : -↑n * b ≤ ∑ x, f i (X (ω' x))
 ⊢ ∑ x_1, f i (X (x x_1)) ≤ ↑n * b]

Relevant lemmas:
neg_mul : ∀ {α : Type u} [inst : Mul α] [inst_4 : HasDistribNeg α] (a b : α), -a * b = -(a * b)
neg_le_neg_iff : ∀ {α : Type u} [inst : AddGroup α] [inst_4 : LE α] [inst_5 : AddLeftMono α] {a b : α}
  [inst_6 : AddRightMono α], -a ≤ -b ↔ b ≤ a