theorem extracted_formal_statement_219.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (ω' : Fin n → Ω) (i : ι) (this : ∀ (x : Fin n → Ω), -(↑n * (b + b)) ≤ ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (x x_1))) :
  ∑ x, |f i (X (ω' x))| ≤ ∑ x, b := sorry

State before:
Ω : Type u
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst_2 : Nonempty ι
inst_3 : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω' : Fin n → Ω
i : ι
this : ∀ (x : Fin n → Ω), -(↑n * (b + b)) ≤ ∑ x, f i (X (ω' x)) - ∑ x_1, f i (X (x x_1))
a : Fin n → Ω
⊢ ∑ x, |f i (X (ω' x))| ≤ ∑ x, b

Tactic: exact Finset.sum_le_sum fun i_1 a ↦ hf' i (X (ω' i_1))

State after:

Relevant lemmas:
Finset.sum_le_sum : ∀ {ι : Type u_1} {N : Type u_5} [inst : OrderedAddCommMonoid N] {f g : ι → N} {s : Finset ι},
  (∀ i ∈ s, f i ≤ g i) → ∑ i ∈ s, f i ≤ ∑ i ∈ s, g i