theorem extracted_formal_statement_439.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : b ≥ 0)
  (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (hn : ¬n = 0)
  (hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C)
  (hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y)
  (hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k))))
  (hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)))) (ω : Fin n → Ω) (i : ι) :
  (∫ (x : Fin n → Ω), (fun ω' => ∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (ω' k)))) x ∂Measure.pi fun x => μ) =
    ∑ k, (f i (X (ω k)) - ∫ (x : Fin n → Ω), (fun ω' => f i (X (ω' k))) x ∂Measure.pi fun x => μ) := sorry

State before:
case h.h.h.h.h
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : b ≥ 0
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
hn : ¬n = 0
hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y
hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
ω : Fin n → Ω
i : ι
⊢ (∫ (x : Fin n → Ω), (fun ω' => ∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (ω' k)))) x ∂Measure.pi fun x => μ) =
    ∑ k, (f i (X (ω k)) - ∫ (x : Fin n → Ω), (fun ω' => f i (X (ω' k))) x ∂Measure.pi fun x => μ)

Tactic: apply extracted_7 hf hf' ω i

State after:

Relevant lemmas:
extracted_7 : ∀ {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {μ : Measure Ω} [inst_4 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z},
  (∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) →
    ∀ {b : ℝ},
      (∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) →
        ∀ (ω : Fin n → Ω) (i : ι),
          (∫ (ω' : Fin n → Ω), ∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (ω' k))) ∂Measure.pi fun x => μ) =
            ∑ k, (f i (X (ω k)) - ∫ (ω' : Fin n → Ω), f i (X (ω' k)) ∂Measure.pi fun x => μ)