theorem extracted_formal_statement_502.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : b ≥ 0)
  (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (hn : ¬n = 0)
  (hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C)
  (hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y)
  (hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k))))
  (hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)))) (x : Fin n → Ω)
  (h_original_goal :
    ∑ x_1, ⨆ i, |∑ x_2, ↑↑(x_1 x_2) * f i (X (x x_2))| = ↑n * ∑ x_1, ⨆ i, |(↑n)⁻¹ * ∑ k, ↑↑(x_1 k) * f i (X (x k))|) :
  ∑ x_1, ⨆ i, |∑ x_2, ↑↑(x_1 x_2) * f i (X (x x_2))| =
    ∑ i, ↑n * ⨆ i_1, |(↑n)⁻¹ * ∑ k, ↑↑(i k) * f i_1 (X (x k))| := sorry

State before:
case e_a.e_f.h.e_a
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : b ≥ 0
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
hn : ¬n = 0
hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y
hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
x✝ : Fin n → Ω
⊢ ∑ x, ⨆ i, |∑ x_1, ↑↑(x x_1) * f i (X (x✝ x_1))| = ↑n * ∑ x, ⨆ i, |(↑n)⁻¹ * ∑ k, ↑↑(x k) * f i (X (x✝ k))|

Tactic: rw [Finset.mul_sum]

State after:
[case e_a.e_f.h.e_a
 Ω : Type u
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : b ≥ 0
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 hn : ¬n = 0
 hr : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
 hr' : ∃ C, ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), C ≤ y
 hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
 hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
 x✝ : Fin n → Ω
 ⊢ ∑ x, ⨆ i, |∑ x_1, ↑↑(x x_1) * f i (X (x✝ x_1))| = ∑ i, ↑n * ⨆ i_1, |(↑n)⁻¹ * ∑ k, ↑↑(i k) * f i_1 (X (x✝ k))|]

Relevant lemmas:
Finset.mul_sum : ∀ {ι : Type u_1} {α : Type u_3} [inst : NonUnitalNonAssocSemiring α] (s : Finset ι) (f : ι → α)
  (a : α), a * ∑ i ∈ s, f i = ∑ i ∈ s, a * f i