theorem extracted_formal_statement_89.{u_1, w, u} {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ}
  {X : Ω → Z} {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω) (σ : Signs n)
  (a : σ ∈ Finset.univ)
  (h_original_goal : ⨆ i, |(|∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)| ≤ ⨆ i, ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|) (x : ι) :
  |(|∑ k, ↑↑(σ k) * f x (X (ω k))|)| ≤ ∑ k, |↑↑(σ k) * f x (X (ω k))| := sorry

State before:
case h
Ω : Type u
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
X : Ω → Z
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
σ : Signs n
a✝ : σ ∈ Finset.univ
⊢ ⨆ i, |(|∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|)| ≤ ⨆ i, ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|

Tactic: apply ciSup_mono

State after:
[case h.B
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 σ : Signs n
 a✝ : σ ∈ Finset.univ
 ⊢ BddAbove (Set.range fun i => ∑ k, |↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|),
 case h.H
 Ω : Type u
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 X : Ω → Z
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 σ : Signs n
 a✝ : σ ∈ Finset.univ
 ⊢ ∀ (x : ι), |(|∑ k, ↑↑(σ k) * f x (X (ω k))|)| ≤ ∑ k, |↑↑(σ k) * f x (X (ω k))|]

Relevant lemmas:
ciSup_mono : ∀ {α : Type u_1} {ι : Sort u_4} [inst : ConditionallyCompleteLattice α] {f g : ι → α},
  BddAbove (Set.range g) → (∀ (x : ι), f x ≤ g x) → iSup f ≤ iSup g