theorem extracted_formal_statement_105.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] [inst_2 : Countable ι] {X : Ω → Z}
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (ω : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)) (h_original_goal : |∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω.1 k))|| ≤ ↑n * b * 2 ^ n) :
  2 ^ n * (↑n * b) ≤ ↑n * b * 2 ^ n := sorry

State before:
case h
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)
⊢ |∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω.1 k))|| ≤ ↑n * b * 2 ^ n

Tactic: apply le_trans (integrable_aux2_aux hb hf' _)

State after:
[case h
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
 inst✝ : Countable ι
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : (Fin n → Ω) × (Fin n → Ω)
 ⊢ 2 ^ n * (↑n * b) ≤ ↑n * b * 2 ^ n]

Relevant lemmas:
le_trans : ∀ {α : Type u_1} [inst : Preorder α] {a b c : α}, a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
integrable_aux2_aux : ∀ {Ω : Type u} {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {X : Ω → Z} {b : ℝ},
  0 ≤ b →
    (∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) → ∀ (ω : Fin n → Ω), |∑ σ, ⨆ i, |∑ k, ↑↑(σ k) * f i (X (ω k))|| ≤ 2 ^ n * (↑n * b)