theorem extracted_formal_statement_407.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ))
  (hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k))))
  (hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k))))
  (hq0 : ∀ (ω x : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)) - f i (X (x k))))
  (hq1_1 : ∀ (ω x : Fin n → Ω), BddAbove (Set.range fun i => ∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (x k)))))
  (hq2 : ∀ (ω x : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)) - f i (X (x k))))
  (hq3 : ∀ (ω x : Fin n → Ω), BddBelow (Set.range fun i => ∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (x k)))))
  (hq1 : ∀ (ω x : Fin n → Ω), BddAbove (Set.range fun i => |∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (x k)))|)) (C : ℝ)
  (hr0 : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C) (D : ℝ)
  (hr1 : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), D ≤ y) :
  ∑ k, (C - D) = ↑n * (C - D) := sorry

State before:
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ)
hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
hq0 : ∀ (ω x : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)) - f i (X (x k)))
hq1✝ : ∀ (ω x : Fin n → Ω), BddAbove (Set.range fun i => ∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (x k))))
hq2 : ∀ (ω x : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)) - f i (X (x k)))
hq3 : ∀ (ω x : Fin n → Ω), BddBelow (Set.range fun i => ∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (x k))))
hq1 : ∀ (ω x : Fin n → Ω), BddAbove (Set.range fun i => |∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (x k)))|)
C : ℝ
hr0 : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
D : ℝ
hr1 : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), D ≤ y
a : ι
x : Fin n → Ω
⊢ ∑ k, (C - D) = ↑n * (C - D)

Tactic: simp only [Finset.sum_const, Finset.card_univ, Fintype.card_fin, nsmul_eq_mul]

State after:

Relevant lemmas:
Finset.card_univ : ∀ {α : Type u_1} [inst : Fintype α], Finset.univ.card = Fintype.card α
Fintype.card_fin : ∀ (n : ℕ), Fintype.card (Fin n) = n
nsmul_eq_mul : ∀ {α : Type u_1} [inst : NonAssocSemiring α] (n : ℕ) (a : α), n • a = ↑n * a
Finset.sum_const : ∀ {α : Type u_3} {β : Type u_4} {s : Finset α} [inst : AddCommMonoid β] (b : β),
  ∑ _x ∈ s, b = s.card • b