theorem extracted_formal_statement_163.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] [inst_2 : Countable ι] {X : Ω → Z}
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω)
  (σ : Signs n) (a : σ ∈ Finset.univ) (i : ι) :
  |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| ≤ ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| := sorry

State before:
case h.H
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
ω₁ : Fin n → Ω := fun k => (ω k).1
ω₂ : Fin n → Ω := fun k => (ω k).2
σ : Signs n
a✝ : σ ∈ Finset.univ
i : ι
⊢ |∑ k, ↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))| ≤ ∑ k, |↑↑(σ k) * (f i (X (ω k).1) - f i (X (ω k).2))|

Tactic: apply Finset.abs_sum_le_sum_abs

State after:

Relevant lemmas:
Finset.abs_sum_le_sum_abs : ∀ {ι : Type u_1} {G : Type u_9} [inst : LinearOrderedAddCommGroup G] (f : ι → G)
  (s : Finset ι), |∑ i ∈ s, f i| ≤ ∑ i ∈ s, |f i|