theorem extracted_formal_statement_414.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (ω : Fin n → Ω) (hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ))
  (hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k))))
  (hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k))))
  (hq0 : ∀ (ω x : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)) - f i (X (x k))))
  (hq1_1 : ∀ (ω x : Fin n → Ω), BddAbove (Set.range fun i => ∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (x k)))))
  (hq2 : ∀ (ω x : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)) - f i (X (x k))))
  (hq3 : ∀ (ω x : Fin n → Ω), BddBelow (Set.range fun i => ∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (x k)))))
  (hq1 : ∀ (ω x : Fin n → Ω), BddAbove (Set.range fun i => |∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (x k)))|)) (C : ℝ)
  (hr0 : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C) (D : ℝ)
  (hr1 : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), D ≤ y) (a : ι)
  (hr2 : ∀ (x : Fin n → Ω), |∑ k, (f a (X (ω k)) - f a (X (x k)))| ≤ ↑n * (C - D)) (a_1 : Fin n → Ω)
  (h_original_goal : ∑ k, (f a (X (ω k)) - f a (X (a_1 k))) ≤ ∑ k, (b + b)) (i : Fin n) :
  i ∈ Finset.univ → f a (X (ω i)) - f a (X (a_1 i)) ≤ b + b := sorry

State before:
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ)
hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
hq0 : ∀ (ω x : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)) - f i (X (x k)))
hq1✝ : ∀ (ω x : Fin n → Ω), BddAbove (Set.range fun i => ∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (x k))))
hq2 : ∀ (ω x : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)) - f i (X (x k)))
hq3 : ∀ (ω x : Fin n → Ω), BddBelow (Set.range fun i => ∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (x k))))
hq1 : ∀ (ω x : Fin n → Ω), BddAbove (Set.range fun i => |∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (x k)))|)
C : ℝ
hr0 : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
D : ℝ
hr1 : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), D ≤ y
a : ι
hr2 : ∀ (x : Fin n → Ω), |∑ k, (f a (X (ω k)) - f a (X (x k)))| ≤ ↑n * (C - D)
a_1 : Fin n → Ω
⊢ ∑ k, (f a (X (ω k)) - f a (X (a_1 k))) ≤ ∑ k, (b + b)

Tactic: apply Finset.sum_le_sum

State after:
[case h
 Ω : Type u
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 hp : ∀ (i : ι) (j : Fin n), Integrable (fun a => f i (X (a j))) (Measure.pi fun x => μ)
 hq : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
 hq' : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)))
 hq0 : ∀ (ω x : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddAbove (Set.range fun i => f i (X (ω k)) - f i (X (x k)))
 hq1✝ : ∀ (ω x : Fin n → Ω), BddAbove (Set.range fun i => ∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (x k))))
 hq2 : ∀ (ω x : Fin n → Ω) (k : Fin n), BddBelow (Set.range fun i => f i (X (ω k)) - f i (X (x k)))
 hq3 : ∀ (ω x : Fin n → Ω), BddBelow (Set.range fun i => ∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (x k))))
 hq1 : ∀ (ω x : Fin n → Ω), BddAbove (Set.range fun i => |∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (x k)))|)
 C : ℝ
 hr0 : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), y ≤ C
 D : ℝ
 hr1 : ∀ (ω : Fin n → Ω) (k : Fin n), ∀ y ∈ Set.range fun i => f i (X (ω k)), D ≤ y
 a : ι
 hr2 : ∀ (x : Fin n → Ω), |∑ k, (f a (X (ω k)) - f a (X (x k)))| ≤ ↑n * (C - D)
 a_1 : Fin n → Ω
 ⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, f a (X (ω i)) - f a (X (a_1 i)) ≤ b + b]

Relevant lemmas:
Finset.sum_le_sum : ∀ {ι : Type u_1} {N : Type u_5} [inst : OrderedAddCommMonoid N] {f g : ι → N} {s : Finset ι},
  (∀ i ∈ s, f i ≤ g i) → ∑ i ∈ s, f i ≤ ∑ i ∈ s, g i