theorem extracted_formal_statement_169.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] [inst_2 : Countable ι] {X : Ω → Z}
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (ω : Fin n → Ω × Ω)
  (h_original_goal : ∑ σ, ⨆ i, ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|) ≤ 2 ^ n * (↑n * (b + b))) :
  ⨆ i, ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|) ≤ ↑n * (b + b) := sorry

State before:
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : Countable ι
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω × Ω
ω₁ : Fin n → Ω := fun k => (ω k).1
ω₂ : Fin n → Ω := fun k => (ω k).2
⊢ ∑ σ, ⨆ i, ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|) ≤ 2 ^ n * (↑n * (b + b))

Tactic: simp only [Finset.sum_const, Finset.card_univ, Signs.card, nsmul_eq_mul, Nat.cast_pow, Nat.cast_ofNat,
  Nat.ofNat_pos, pow_pos, mul_le_mul_left]

State after:
[Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
 inst✝ : Countable ι
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω × Ω
 ω₁ : Fin n → Ω := fun k => (ω k).1
 ω₂ : Fin n → Ω := fun k => (ω k).2
 ⊢ ⨆ i, ∑ k, (|f i (X (ω k).1)| + |f i (X (ω k).2)|) ≤ ↑n * (b + b)]

Relevant lemmas:
Nat.ofNat_pos : ∀ {α : Type u_3} [inst : OrderedSemiring α] [inst_3 : Nontrivial α] {n : ℕ} [inst_4 : n.AtLeastTwo],
  0 < OfNat.ofNat n
Finset.card_univ : ∀ {α : Type u_1} [inst : Fintype α], Finset.univ.card = Fintype.card α
pow_pos : ∀ {M₀ : Type u_1} [inst : MonoidWithZero M₀] [inst_3 : PartialOrder M₀] {a : M₀} [inst_4 : ZeroLEOneClass M₀]
  [inst_5 : PosMulStrictMono M₀], 0 < a → ∀ (n : ℕ), 0 < a ^ n
nsmul_eq_mul : ∀ {α : Type u_1} [inst : NonAssocSemiring α] (n : ℕ) (a : α), n • a = ↑n * a
mul_le_mul_left : ∀ {α : Type u_3} {a b c : α} [inst : Mul α] [inst_3 : Zero α] [inst_4 : Preorder α]
  [inst_5 : PosMulMono α] [inst_6 : PosMulReflectLE α], 0 < a → (a * b ≤ a * c ↔ b ≤ c)
Nat.cast_pow : ∀ {α : Type u_1} [inst : Semiring α] (m n : ℕ), ↑(m ^ n) = ↑m ^ n
Finset.sum_const : ∀ {α : Type u_3} {β : Type u_4} {s : Finset α} [inst : AddCommMonoid β] (b : β),
  ∑ _x ∈ s, b = s.card • b
Signs.card : ∀ (n : ℕ), Fintype.card (Signs n) = 2 ^ n
Nat.cast_ofNat : ∀ {R : Type u_1} {n : ℕ} [inst : NatCast R] [inst_3 : n.AtLeastTwo], ↑(OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n