theorem extracted_formal_statement_294.{u_1, w, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ}
  {ι : Type u_1} {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {X : Ω → Z} [inst_2 : Nonempty ι]
  [inst_3 : Countable ι] (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b)
  (ω : Fin n → Ω)
  (h_original_goal :
    ‖⨆ i, ∫ (ω' : Fin n → Ω), |∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (ω' k)))| ∂Measure.pi fun x => μ‖ ≤ ↑n * (b + b))
  (i : ι) : |∫ (ω' : Fin n → Ω), |∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (ω' k)))| ∂Measure.pi fun x => μ| ≤ ↑n * (b + b) := sorry

State before:
case refine_2.h
Ω : Type u
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type u_1
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
X : Ω → Z
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
ω : Fin n → Ω
⊢ ‖⨆ i, ∫ (ω' : Fin n → Ω), |∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (ω' k)))| ∂Measure.pi fun x => μ‖ ≤ ↑n * (b + b)

Tactic: apply abs_iSup_le

State after:
[case refine_2.h.hf
 Ω : Type u
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type u_1
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 X : Ω → Z
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : Countable ι
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 ω : Fin n → Ω
 ⊢ ∀ (i : ι), |∫ (ω' : Fin n → Ω), |∑ k, (f i (X (ω k)) - f i (X (ω' k)))| ∂Measure.pi fun x => μ| ≤ ↑n * (b + b)]

Relevant lemmas:
abs_iSup_le : ∀ {ι : Type v} [inst : Nonempty ι] {f : ι → ℝ} {a : ℝ}, (∀ (i : ι), |f i| ≤ a) → |⨆ i, f i| ≤ a