theorem extracted_formal_statement_256.{u_3, u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {ι : Type u_3} [inst_2 : DecidableEq ι] {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧}
  [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] [inst_3 : Fintype ι] (X_1 : ι → Ω → 𝓧) (hX : ∀ (i : ι), Measurable (X_1 i))
  (hX' : iIndepFun X_1 μ) (f : (ι → 𝓧) → ℝ) (c : ι → ℝ)
  (hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i) (hf' : Measurable f) (t : ℝ)
  (ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1) :
  let m := Fintype.card ι;
  let ιm := Fintype.equivFinOfCardEq rfl;
  ∀ (X : Fin m → 𝓧) (k : Fin m) (x : 𝓧) (i : ι),
    ¬k = ιm i →
      Function.update X k x (ιm i) = Function.update (X ∘ ⇑ιm) (ιm.symm k) x i →
        X (ιm i) = Function.update (X ∘ ⇑ιm) (ιm.symm k) x i := sorry

State before:
Ω : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
inst✝ : Fintype ι
X✝ : ι → Ω → 𝓧
hX : ∀ (i : ι), Measurable (X✝ i)
hX' : iIndepFun X✝ μ
f : (ι → 𝓧) → ℝ
c : ι → ℝ
hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i
hf' : Measurable f
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1
m : ℕ := Fintype.card ι
ιm : ι ≃ Fin m := Fintype.equivFinOfCardEq ⋯
X' : Fin m → Ω → 𝓧 := X✝ ∘ ⇑ιm.symm
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ := f ∘ fun s => s ∘ ⇑ιm
c' : Fin m → ℝ := c ∘ ⇑ιm.symm
X : Fin m → 𝓧
k : Fin m
x : 𝓧
i : ι
h : ¬k = ιm i
⊢ Function.update X k x (ιm i) = Function.update (X ∘ ⇑ιm) (ιm.symm k) x i

Tactic: rw [Function.update_of_ne (fun a ↦ h (id (Eq.symm a)))]

State after:
[Ω : Type u_1
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 𝓧 : Type u_2
 ι : Type u_3
 inst✝¹ : DecidableEq ι
 m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
 hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
 inst✝ : Fintype ι
 X✝ : ι → Ω → 𝓧
 hX : ∀ (i : ι), Measurable (X✝ i)
 hX' : iIndepFun X✝ μ
 f : (ι → 𝓧) → ℝ
 c : ι → ℝ
 hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i
 hf' : Measurable f
 ε : ℝ
 hε : ε > 0
 t : ℝ
 ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1
 m : ℕ := Fintype.card ι
 ιm : ι ≃ Fin m := Fintype.equivFinOfCardEq ⋯
 X' : Fin m → Ω → 𝓧 := X✝ ∘ ⇑ιm.symm
 f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ := f ∘ fun s => s ∘ ⇑ιm
 c' : Fin m → ℝ := c ∘ ⇑ιm.symm
 X : Fin m → 𝓧
 k : Fin m
 x : 𝓧
 i : ι
 h : ¬k = ιm i
 ⊢ X (ιm i) = Function.update (X ∘ ⇑ιm) (ιm.symm k) x i]

Relevant lemmas:
Eq.symm : ∀ {α : Sort u} {a b : α}, a = b → b = a
Function.update_of_ne : ∀ {α : Sort u} {β : α → Sort v} [inst : DecidableEq α] {a a' : α},
  a ≠ a' → ∀ (v : β a') (f : (a : α) → β a), Function.update f a' v a = f a