theorem extracted_formal_statement_271 : 1 ≠ ⊤ := sorry

State before:
Ω : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
inst✝ : Fintype ι
X : ι → Ω → 𝓧
hX : ∀ (i : ι), Measurable (X i)
hX' : iIndepFun X μ
f : (ι → 𝓧) → ℝ
c : ι → ℝ
hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i
hf' : Measurable f
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1
m : ℕ := Fintype.card ι
ιm : ι ≃ Fin m := Fintype.equivFinOfCardEq ⋯
X' : Fin m → Ω → 𝓧 := X ∘ ⇑ιm.symm
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ := f ∘ fun s => s ∘ ⇑ιm
c' : Fin m → ℝ := c ∘ ⇑ιm.symm
hequpdate : ∀ (X : Fin m → 𝓧) (k : Fin m) (x : 𝓧), Function.update X k x ∘ ⇑ιm = Function.update (X ∘ ⇑ιm) (ιm.symm k) x
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
hIndep' : iIndepFun X' μ
hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X (ιm.symm i))
ht'' : t * ∑ i', c' i' ^ 2 ≤ 1
ht : ¬t ≥ 0
⊢ (μ fun ω => (f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (x : Ω), (f ∘ Function.swap X) x ∂μ ≥ ε).toReal ≤ ENNReal.toReal 1

Tactic: apply ENNReal.toReal_mono

State after:
[case hb
 Ω : Type u_1
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 𝓧 : Type u_2
 ι : Type u_3
 inst✝¹ : DecidableEq ι
 m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
 hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
 inst✝ : Fintype ι
 X : ι → Ω → 𝓧
 hX : ∀ (i : ι), Measurable (X i)
 hX' : iIndepFun X μ
 f : (ι → 𝓧) → ℝ
 c : ι → ℝ
 hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i
 hf' : Measurable f
 ε : ℝ
 hε : ε > 0
 t : ℝ
 ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1
 m : ℕ := Fintype.card ι
 ιm : ι ≃ Fin m := Fintype.equivFinOfCardEq ⋯
 X' : Fin m → Ω → 𝓧 := X ∘ ⇑ιm.symm
 f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ := f ∘ fun s => s ∘ ⇑ιm
 c' : Fin m → ℝ := c ∘ ⇑ιm.symm
 hequpdate :
   ∀ (X : Fin m → 𝓧) (k : Fin m) (x : 𝓧), Function.update X k x ∘ ⇑ιm = Function.update (X ∘ ⇑ιm) (ιm.symm k) x
 hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
 hf'' : StronglyMeasurable f'
 hIndep' : iIndepFun X' μ
 hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X (ιm.symm i))
 ht'' : t * ∑ i', c' i' ^ 2 ≤ 1
 ht : ¬t ≥ 0
 ⊢ 1 ≠ ⊤,
 case h
 Ω : Type u_1
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 𝓧 : Type u_2
 ι : Type u_3
 inst✝¹ : DecidableEq ι
 m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
 hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
 inst✝ : Fintype ι
 X : ι → Ω → 𝓧
 hX : ∀ (i : ι), Measurable (X i)
 hX' : iIndepFun X μ
 f : (ι → 𝓧) → ℝ
 c : ι → ℝ
 hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i
 hf' : Measurable f
 ε : ℝ
 hε : ε > 0
 t : ℝ
 ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1
 m : ℕ := Fintype.card ι
 ιm : ι ≃ Fin m := Fintype.equivFinOfCardEq ⋯
 X' : Fin m → Ω → 𝓧 := X ∘ ⇑ιm.symm
 f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ := f ∘ fun s => s ∘ ⇑ιm
 c' : Fin m → ℝ := c ∘ ⇑ιm.symm
 hequpdate :
   ∀ (X : Fin m → 𝓧) (k : Fin m) (x : 𝓧), Function.update X k x ∘ ⇑ιm = Function.update (X ∘ ⇑ιm) (ιm.symm k) x
 hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
 hf'' : StronglyMeasurable f'
 hIndep' : iIndepFun X' μ
 hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X (ιm.symm i))
 ht'' : t * ∑ i', c' i' ^ 2 ≤ 1
 ht : ¬t ≥ 0
 ⊢ (μ fun ω => (f ∘ Function.swap X) ω - ∫ (x : Ω), (f ∘ Function.swap X) x ∂μ ≥ ε) ≤ 1]

Relevant lemmas:
ENNReal.toReal_mono : ∀ {a b : ENNReal}, b ≠ ⊤ → a ≤ b → a.toReal ≤ b.toReal