theorem extracted_formal_statement_267.{u_3, u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {ι : Type u_3} [inst_2 : DecidableEq ι] {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧}
  [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] [inst_3 : Fintype ι] (X : ι → Ω → 𝓧) (hX : ∀ (i : ι), Measurable (X i))
  (hX' : iIndepFun X μ) (f : (ι → 𝓧) → ℝ) (c : ι → ℝ)
  (hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i) (hf' : Measurable f) (ε : ℝ)
  (hε : ε > 0) (t : ℝ) (ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1) :
  let m := Fintype.card ι;
  let ιm := Fintype.equivFinOfCardEq rfl;
  let X' := X ∘ ⇑ιm.symm;
  let f' := f ∘ fun s => s ∘ ⇑ιm;
  let c' := c ∘ ⇑ιm.symm;
  (∀ (X : Fin m → 𝓧) (k : Fin m) (x : 𝓧), Function.update X k x ∘ ⇑ιm = Function.update (X ∘ ⇑ιm) (ιm.symm k) x) →
    (∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i) →
      StronglyMeasurable f' →
        iIndepFun X' μ →
          (∀ (i : Fin m), Measurable (X (ιm.symm i))) →
            t * ∑ i', c' i' ^ 2 ≤ 1 →
              t ≥ 0 →
                (μ fun ω =>
                        (f' ∘ Function.swap fun i => X (ιm.symm i)) ω -
                            ∫ (x : Ω), (f' ∘ Function.swap fun i => X (ιm.symm i)) x ∂μ ≥
                          ε).toReal ≤
                    Real.exp (-2 * ε ^ 2 * t) →
                  ∀ (ω : Ω),
                    ((f ∘ fun s => s ∘ ⇑ιm) ∘ Function.swap fun i => X (ιm.symm i)) ω = (f ∘ Function.swap X) ω →
                      f (Function.swap (fun i => X (ιm.symm i)) ω ∘ ⇑ιm) = f (Function.swap X ω) := sorry

State before:
case h
Ω : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
inst✝ : Fintype ι
X : ι → Ω → 𝓧
hX : ∀ (i : ι), Measurable (X i)
hX' : iIndepFun X μ
f : (ι → 𝓧) → ℝ
c : ι → ℝ
hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i
hf' : Measurable f
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1
m : ℕ := Fintype.card ι
ιm : ι ≃ Fin m := Fintype.equivFinOfCardEq ⋯
X' : Fin m → Ω → 𝓧 := X ∘ ⇑ιm.symm
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ := f ∘ fun s => s ∘ ⇑ιm
c' : Fin m → ℝ := c ∘ ⇑ιm.symm
hequpdate : ∀ (X : Fin m → 𝓧) (k : Fin m) (x : 𝓧), Function.update X k x ∘ ⇑ιm = Function.update (X ∘ ⇑ιm) (ιm.symm k) x
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
hIndep' : iIndepFun X' μ
hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X (ιm.symm i))
ht'' : t * ∑ i', c' i' ^ 2 ≤ 1
ht : t ≥ 0
this :
  (μ fun ω =>
        (f' ∘ Function.swap fun i => X (ιm.symm i)) ω - ∫ (x : Ω), (f' ∘ Function.swap fun i => X (ιm.symm i)) x ∂μ ≥
          ε).toReal ≤
    Real.exp (-2 * ε ^ 2 * t)
ω : Ω
⊢ ((f ∘ fun s => s ∘ ⇑ιm) ∘ Function.swap fun i => X (ιm.symm i)) ω = (f ∘ Function.swap X) ω

Tactic: simp only [Function.comp_apply, f']

State after:
[case h
 Ω : Type u_1
 inst✝³ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝² : IsProbabilityMeasure μ
 𝓧 : Type u_2
 ι : Type u_3
 inst✝¹ : DecidableEq ι
 m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
 hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
 inst✝ : Fintype ι
 X : ι → Ω → 𝓧
 hX : ∀ (i : ι), Measurable (X i)
 hX' : iIndepFun X μ
 f : (ι → 𝓧) → ℝ
 c : ι → ℝ
 hf : ∀ (i : ι) (x : ι → 𝓧) (x' : 𝓧), |f x - f (Function.update x i x')| ≤ c i
 hf' : Measurable f
 ε : ℝ
 hε : ε > 0
 t : ℝ
 ht' : t * ∑ i, c i ^ 2 ≤ 1
 m : ℕ := Fintype.card ι
 ιm : ι ≃ Fin m := Fintype.equivFinOfCardEq ⋯
 X' : Fin m → Ω → 𝓧 := X ∘ ⇑ιm.symm
 f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ := f ∘ fun s => s ∘ ⇑ιm
 c' : Fin m → ℝ := c ∘ ⇑ιm.symm
 hequpdate :
   ∀ (X : Fin m → 𝓧) (k : Fin m) (x : 𝓧), Function.update X k x ∘ ⇑ιm = Function.update (X ∘ ⇑ιm) (ιm.symm k) x
 hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
 hf'' : StronglyMeasurable f'
 hIndep' : iIndepFun X' μ
 hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X (ιm.symm i))
 ht'' : t * ∑ i', c' i' ^ 2 ≤ 1
 ht : t ≥ 0
 this :
   (μ fun ω =>
         (f' ∘ Function.swap fun i => X (ιm.symm i)) ω - ∫ (x : Ω), (f' ∘ Function.swap fun i => X (ιm.symm i)) x ∂μ ≥
           ε).toReal ≤
     Real.exp (-2 * ε ^ 2 * t)
 ω : Ω
 ⊢ f (Function.swap (fun i => X (ιm.symm i)) ω ∘ ⇑ιm) = f (Function.swap X ω)]

Relevant lemmas:
Function.comp_apply : ∀ {β : Sort u_1} {δ : Sort u_2} {α : Sort u_3} {f : β → δ} {g : α → β} {x : α},
  (f ∘ g) x = f (g x)