theorem extracted_formal_statement_293.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Ω → 𝓧} (hX'' : Measurable X') {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ} {c' : Fin m → ℝ}
  (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1)
  (hX''' : ∀ (i : Fin m), Measurable fun ω => X' (ω i)) (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧) (ω : Fin m → Ω)
  (h_original_goal :
    (f' fun i => if h : ↑i < ↑k.succ then Fin.snoc Xk x ⟨↑i, h⟩ else X' (ω i)) =
      f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i)) :
  (fun i => if h : ↑i < ↑k.succ then Fin.snoc Xk x ⟨↑i, h⟩ else X' (ω i)) = fun i =>
    if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i) := sorry

State before:
case h.h
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Ω → 𝓧
hX'' : Measurable X'
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε ≥ 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
hX''' : ∀ (i : Fin m), Measurable fun ω => X' (ω i)
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ∫ (x : Fin m → Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' (ω i)) x ∂Measure.pi fun x => μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x,
      ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
          x_1 ∂Measure.pi fun x => μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x,
      ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
        (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
          x_1 ∂Measure.pi fun x => μ
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x : 𝓧
ω : Fin m → Ω
⊢ (f' fun i => if h : ↑i < ↑k.succ then Fin.snoc Xk x ⟨↑i, h⟩ else X' (ω i)) =
    f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i)

Tactic: apply congr rfl

State after:
[case h.h
 Ω : Type u_1
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 𝓧 : Type u_2
 m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
 hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
 m : ℕ
 X' : Ω → 𝓧
 hX'' : Measurable X'
 f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
 c' : Fin m → ℝ
 hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
 hf'' : StronglyMeasurable f'
 ε : ℝ
 hε : ε ≥ 0
 t : ℝ
 ht : t ≥ 0
 ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
 hX''' : ∀ (i : Fin m), Measurable fun ω => X' (ω i)
 Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ∫ (x : Fin m → Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' (ω i)) x ∂Measure.pi fun x => μ
 A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨅ x,
       ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
         (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
           x_1 ∂Measure.pi fun x => μ
 B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
   fun k Xk =>
     ⨆ x,
       ∫ (x_1 : Fin m → Ω),
         (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i))
           x_1 ∂Measure.pi fun x => μ
 k : Fin m
 Xk : Fin ↑k → 𝓧
 x : 𝓧
 ω : Fin m → Ω
 ⊢ (fun i => if h : ↑i < ↑k.succ then Fin.snoc Xk x ⟨↑i, h⟩ else X' (ω i)) = fun i =>
     if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' (ω i)]

Relevant lemmas:
congr : ∀ {α : Sort u} {β : Sort v} {f₁ f₂ : α → β} {a₁ a₂ : α}, f₁ = f₂ → a₁ = a₂ → f₁ a₁ = f₂ a₂