theorem extracted_formal_statement_56.{u_2, u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] {μ : Measure Ω}
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {𝓧 : Type u_2} {m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧} [hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧] {m : ℕ}
  {X' : Fin m → Ω → 𝓧} (hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)) (hIndep' : iIndepFun X' μ) {f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ}
  {c' : Fin m → ℝ} (hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i)
  (hf'' : StronglyMeasurable f') {t : ℝ} (ht : t ≥ 0) (ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1) :
  let Y := fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ;
  (∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
      Y k.succ (Fin.snoc Xk x) =
        ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ) →
    ∀ (x₀ : 𝓧),
      let bdf := |f' fun x => x₀| + ∑ i, c' i;
      (∀ (xi : Fin m → 𝓧), |f' xi| ≤ bdf) →
        ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧) (i : Fin m),
          ¬↑i < ↑k →
            ¬↑i = ↑k →
              ((fun x_1 => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i x_1) = fun x_1 => X' i x_1) →
                Measurable fun x_1 => X' i x_1 := sorry

State before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
𝓧 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
hnonempty𝓧 : Nonempty 𝓧
m : ℕ
X' : Fin m → Ω → 𝓧
hX'' : ∀ (i : Fin m), Measurable (X' i)
hIndep' : iIndepFun X' μ
f' : (Fin m → 𝓧) → ℝ
c' : Fin m → ℝ
hfι : ∀ (i : Fin m) (x : Fin m → 𝓧) (x' : 𝓧), |f' x - f' (Function.update x i x')| ≤ c' i
hf'' : StronglyMeasurable f'
ε : ℝ
hε : ε > 0
t : ℝ
ht : t ≥ 0
ht' : t * ∑ i, c' i ^ 2 ≤ 1
Y : (k : Fin m.succ) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk => ∫ (x : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else X' i ω) x ∂μ
A : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨅ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
B : (k : Fin m) → (Fin ↑k → 𝓧) → ℝ :=
  fun k Xk =>
    ⨆ x, ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
AB_rw :
  ∀ (k : Fin m) (Xk : Fin ↑k → 𝓧) (x : 𝓧),
    Y k.succ (Fin.snoc Xk x) =
      ∫ (x_1 : Ω), (fun ω => f' fun i => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i ω) x_1 ∂μ
x₀ : 𝓧
bdf : ℝ := |f' fun x => x₀| + ∑ i, c' i
hfbdd : ∀ (xi : Fin m → 𝓧), |f' xi| ≤ bdf
k : Fin m
Xk : Fin ↑k → 𝓧
x : 𝓧
i : Fin m
h₀ : ¬↑i < ↑k
h₁ : ¬↑i = ↑k
this : (fun x_1 => if h : ↑i < ↑k then Xk ⟨↑i, h⟩ else if ↑i = ↑k then x else X' i x_1) = fun x_1 => X' i x_1
⊢ Measurable fun x_1 => X' i x_1

Tactic: exact hX'' i

State after:

Relevant lemmas: