theorem extracted_formal_statement_41 : Nonempty { t // t > 0 } := sorry

State before:
Ω : Type u
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : autoParam (Measure Ω) _auto✝
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
a b : ℝ
m : ℕ
X : Fin m → Ω → ℝ
hXm : ∀ (i : Fin m), Measurable (X i)
hXi : iIndepFun X μ
hab : b > a
h : ∀ (i : Fin m), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, X i ω ∈ Set.Icc a b
ε : ℝ
hm : m > 0
hε : ε > 0
Y : Fin m → Ω → ℝ := fun i ω => X i ω - ∫ (x : Ω), (fun ω => X i ω) x ∂μ
hXint : ∀ (i : Fin m), Integrable (X i) μ
hY_b : ∀ (i : Fin m), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Y i ω ∈ Set.Icc (a - ∫ (x : Ω), X i x ∂μ) (b - ∫ (x : Ω), X i x ∂μ)
hYmeas_ae : ∀ (i : Fin m), AEMeasurable (Y i) μ
hYmeas : ∀ (i : Fin m), Measurable (Y i)
h_hoeffding_bound : ∀ (t : ℝ) (i : Fin m), mgf (Y i) μ t ≤ rexp (t ^ 2 * (b - a) ^ 2 / 8)
h_ysum : {ω | ε ≤ ∑ i, Y i ω} = {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω - ∫ (x : Ω), (fun ω => ∑ i, X i ω) x ∂μ}
h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, Y i ω) μ t = ∏ i, mgf (Y i) μ t
h_markov :
  ∀ t > 0,
    (μ {ω | rexp (t * ε) ≤ rexp (t * ∑ i, Y i ω)}).toReal ≤
      (∫ (x : Ω), (fun ω => rexp (t * ∑ i, Y i ω)) x ∂μ) / rexp (t * ε)
h_t_bound : ∀ t > 0, (μ {ω | ε ≤ ∑ i, Y i ω}).toReal ≤ rexp (-t * ε + t ^ 2 * ↑m * (b - a) ^ 2 / 8)
⊢ Nonempty { t // t > 0 }

Tactic: exact ⟨⟨1, by norm_num⟩⟩

State after:

Relevant lemmas: