theorem extracted_formal_statement_57.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (x : Fin n → Z) (x' : Z) :
  let g := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ;
  let h := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ;
  (∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) →
    (∀ (j : ι), |g j - h j| ≤ (↑n)⁻¹ * 2 * b) →
      (⨆ i, |g i|) - ⨆ i_1, |h i_1| ≤ (↑n)⁻¹ * 2 * b →
        (∀ y ∈ Set.range fun i => |h i|, y ≤ b + b) →
          ∀ (a : ι), |(↑n)⁻¹ * ∑ k, f a (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b + b := sorry

State before:
case h
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
p''' : ∀ (j : ι), |g j - h j| ≤ (↑n)⁻¹ * 2 * b
p : (⨆ i, |g i|) - ⨆ i_1, |h i_1| ≤ (↑n)⁻¹ * 2 * b
⊢ ∀ y ∈ Set.range fun i => |h i|, y ≤ b + b

Tactic: simp only [Set.mem_range, forall_exists_index, forall_apply_eq_imp_iff, h, g]

State after:
[case h
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
 p''' : ∀ (j : ι), |g j - h j| ≤ (↑n)⁻¹ * 2 * b
 p : (⨆ i, |g i|) - ⨆ i_1, |h i_1| ≤ (↑n)⁻¹ * 2 * b
 ⊢ ∀ (a : ι), |(↑n)⁻¹ * ∑ k, f a (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b + b]

Relevant lemmas:
forall_apply_eq_imp_iff : ∀ {α : Sort u_2} {β : Sort u_1} {f : α → β} {p : β → Prop},
  (∀ (b : β) (a : α), f a = b → p b) ↔ ∀ (a : α), p (f a)
Set.mem_range : ∀ {α : Type u} {ι : Sort u_1} {f : ι → α} {x : α}, x ∈ Set.range f ↔ ∃ y, f y = x
forall_exists_index : ∀ {α : Sort u_1} {p : α → Prop} {q : (∃ x, p x) → Prop},
  (∀ (h : ∃ x, p x), q h) ↔ ∀ (x : α) (h : p x), q ⋯