theorem extracted_formal_statement_19.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (x : Fin n → Z) (x' : Z) (s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) (j : ι) (pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b)
  (k : Fin n)
  (h_original_goal :
    f j (x k) - f j (if h : k = i then Eq.symm h ▸ x' else x k) = if i = k then f j (x k) - f j x' else 0) :
  f j (x k) - f j (if k = i then x' else x k) = if i = k then f j (x k) - f j x' else 0 := sorry

State before:
case h.h.h
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
j : ι
pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b
k : Fin n
⊢ f j (x k) - f j (if h : k = i then ⋯ ▸ x' else x k) = if i = k then f j (x k) - f j x' else 0

Tactic: simp only [eq_rec_constant, dite_eq_ite, h, g]

State after:
[case h.h.h
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
 j : ι
 pe : (↑n)⁻¹ * 2 * b * ↑n = 2 * b
 k : Fin n
 ⊢ f j (x k) - f j (if k = i then x' else x k) = if i = k then f j (x k) - f j x' else 0]

Relevant lemmas:
eq_rec_constant : ∀ {α : Sort u_1} {a a' : α} {β : Sort u_2} (y : β) (h : a = a'), h ▸ y = y
dite_eq_ite : ∀ {P : Prop} {α : Sort u_1} {a b : α} [inst : Decidable P], (if x : P then a else b) = if P then a else b