theorem extracted_formal_statement_0.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (a : ι)
  (h_original_goal : ∫ (x : Ω), |f a (X x)| ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), b ∂μ) : Integrable (fun a_1 => |f a (X a_1)|) μ := sorry

State before:
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
a : ι
⊢ ∫ (x : Ω), |f a (X x)| ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), b ∂μ

Tactic: apply integral_mono

State after:
[case hf
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 a : ι
 ⊢ Integrable (fun a_1 => |f a (X a_1)|) μ,
 case hg
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 a : ι
 ⊢ Integrable (fun a => b) μ,
 case h
 Ω : Type u
 inst✝² : MeasurableSpace Ω
 Z : Type w
 n : ℕ
 ι : Type v
 f : ι → Z → ℝ
 μ : Measure Ω
 inst✝¹ : Nonempty ι
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 hn : 0 < n
 X : Ω → Z
 hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
 b : ℝ
 hb : 0 ≤ b
 hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
 i : Fin n
 x : Fin n → Z
 x' : Z
 g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
 h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
 a : ι
 ⊢ (fun a_1 => |f a (X a_1)|) ≤ fun a => b]

Relevant lemmas:
MeasureTheory.integral_mono : ∀ {α : Type u_1} {m : MeasurableSpace α} {μ : Measure α} {f g : α → ℝ},
  Integrable f μ → Integrable g μ → f ≤ g → ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫ (a : α), g a ∂μ