theorem extracted_formal_statement_10.{w, v, u} {Ω : Type u} [inst : MeasurableSpace Ω] {Z : Type w} {n : ℕ} {ι : Type v}
  {f : ι → Z → ℝ} {μ : Measure Ω} [inst_1 : Nonempty ι] [inst_2 : IsProbabilityMeasure μ] (hn : 0 < n) (X : Ω → Z)
  (hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)) {b : ℝ} (hb : 0 ≤ b) (hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b) (i : Fin n)
  (x : Fin n → Z) (x' : Z) (s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b) (j : ι) :
  (↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (x k) - (↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (Function.update x i x' k) =
    (↑n)⁻¹ * (∑ k, f j (x k) - ∑ k, f j (Function.update x i x' k)) := sorry

State before:
case h
Ω : Type u
inst✝² : MeasurableSpace Ω
Z : Type w
n : ℕ
ι : Type v
f : ι → Z → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hn : 0 < n
X : Ω → Z
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i ∘ X)
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
hf' : ∀ (i : ι) (z : Z), |f i z| ≤ b
i : Fin n
x : Fin n → Z
x' : Z
g : ι → ℝ := fun i => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i (x k) - ∫ (x : Ω), f i (X x) ∂μ
h : ι → ℝ := fun i_1 => (↑n)⁻¹ * ∑ k, f i_1 (Function.update x i x' k) - ∫ (x : Ω), f i_1 (X x) ∂μ
s' : ∀ (a : ι), |∫ (x : Ω), f a (X x) ∂μ| ≤ b
j : ι
⊢ (↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (x k) - (↑n)⁻¹ * ∑ k, f j (Function.update x i x' k) =
    (↑n)⁻¹ * (∑ k, f j (x k) - ∑ k, f j (Function.update x i x' k))

Tactic: exact
  Eq.symm (mul_sub_left_distrib (↑n)⁻¹ (∑ k : Fin n, f j (x k)) (∑ k : Fin n, f j (Function.update x i x' k)))

State after:

Relevant lemmas:
mul_sub_left_distrib : ∀ {α : Type u} [inst : NonUnitalNonAssocRing α] (a b c : α), a * (b - c) = a * b - a * c
Eq.symm : ∀ {α : Sort u} {a b : α}, a = b → b = a