theorem extracted_formal_statement_101.{u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] (μ : Measure Ω)
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {n : ℕ} {X : Fin n → Ω → ℝ} (hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i))
  (hXi : iIndepFun X μ) (hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1)
  (hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0) (σ : ℝ) (hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ)
  (ε τ : ℝ) (hτ : τ ≥ 0)
  (h_chernoff :
    Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
      (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ)
  (h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ)
  (h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t)
  (chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ)
  (this : ∀ (i : Fin n), ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ rexp (σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)))
  (h_nonneg : ∀ (i : Fin n), 0 ≤ ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ)
  (h_n : ↑n * σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) = ∑ i, σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) :
  let s := Finset.univ;
  ∏ i, ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∏ x, rexp (σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) →
    ∀ i ∈ s, ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ rexp (σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)) := sorry

State before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
n : ℕ
X : Fin n → Ω → ℝ
hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i)
hXi : iIndepFun X μ
hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1
hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0
σ : ℝ
hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ
ε τ : ℝ
hτ : τ ≥ 0
h_chernoff :
  Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
    (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ
h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ
h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t
chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ
this : ∀ (i : Fin n), ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ rexp (σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ))
h_nonneg : ∀ (i : Fin n), 0 ≤ ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ
h_n : ↑n * σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) = ∑ i, σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)
s : Finset (Fin n) := Finset.univ
⊢ ∏ i, ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ ∏ x, rexp (σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ))

Tactic: apply Finset.prod_le_prod (s := s)

State after:
[case h0
 Ω : Type u_1
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 n : ℕ
 X : Fin n → Ω → ℝ
 hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i)
 hXi : iIndepFun X μ
 hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1
 hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0
 σ : ℝ
 hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ
 ε τ : ℝ
 hτ : τ ≥ 0
 h_chernoff :
   Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
     (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ
 h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ
 h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t
 chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ
 this : ∀ (i : Fin n), ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ rexp (σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ))
 h_nonneg : ∀ (i : Fin n), 0 ≤ ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ
 h_n : ↑n * σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) = ∑ i, σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)
 s : Finset (Fin n) := Finset.univ
 ⊢ ∀ i ∈ s, 0 ≤ ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ,
 case h1
 Ω : Type u_1
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 n : ℕ
 X : Fin n → Ω → ℝ
 hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i)
 hXi : iIndepFun X μ
 hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1
 hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0
 σ : ℝ
 hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ
 ε τ : ℝ
 hτ : τ ≥ 0
 h_chernoff :
   Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
     (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ
 h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ
 h_ysum_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t
 chernoff_bound : (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-(τ * ε)) * ∏ i, mgf (X i) μ τ
 this : ∀ (i : Fin n), ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ rexp (σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ))
 h_nonneg : ∀ (i : Fin n), 0 ≤ ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ
 h_n : ↑n * σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ) = ∑ i, σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ)
 s : Finset (Fin n) := Finset.univ
 ⊢ ∀ i ∈ s, ∫ (ω : Ω), rexp (τ * X i ω) ∂μ ≤ rexp (σ ^ 2 * (rexp τ - 1 - τ))]

Relevant lemmas:
Finset.prod_le_prod : ∀ {ι : Type u_1} {R : Type u_2} [inst : CommMonoidWithZero R] [inst_2 : PartialOrder R]
  [inst_3 : ZeroLEOneClass R] [inst_4 : PosMulMono R] {f g : ι → R} {s : Finset ι},
  (∀ i ∈ s, 0 ≤ f i) → (∀ i ∈ s, f i ≤ g i) → ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ s, g i