theorem extracted_formal_statement_61.{u_1} {Ω : Type u_1} [inst : MeasurableSpace Ω] (μ : Measure Ω)
  [inst_1 : IsProbabilityMeasure μ] {n : ℕ} {X : Fin n → Ω → ℝ} (hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i))
  (hXi : iIndepFun X μ) (hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1)
  (hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0) (σ : ℝ) (hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ)
  (ε τ : ℝ) (hτ : τ ≥ 0)
  (chernoff_bound :
    τ ≥ 0 →
      Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
        (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ)
  (h_chernoff :
    Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
      (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ)
  (h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ) (t : ℝ) (hXmeas : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i))
  (h_original_goal : mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t) :
  mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = mgf (∑ i, X i) μ t := sorry

State before:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
n : ℕ
X : Fin n → Ω → ℝ
hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i)
hXi : iIndepFun X μ
hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1
hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0
σ : ℝ
hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ
ε τ : ℝ
hτ : τ ≥ 0
chernoff_bound :
  τ ≥ 0 →
    Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
      (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ
h_chernoff :
  Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
    (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ
h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ
t : ℝ
hXmeas : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i)
⊢ mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = ∏ i, mgf (X i) μ t

Tactic: rw [← iIndepFun.mgf_sum hXi hXmeas Finset.univ]

State after:
[Ω : Type u_1
 inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
 μ : Measure Ω
 inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
 n : ℕ
 X : Fin n → Ω → ℝ
 hXm : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i)
 hXi : iIndepFun X μ
 hX_bdd : ∀ (i : Fin n), ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, |X i ω| ≤ 1
 hμX : ∀ (i : Fin n), ∫ (x : Ω), X i x ∂μ = 0
 σ : ℝ
 hσ : ∀ (i : Fin n), σ ^ 2 = ∫ (x : Ω), (X i ^ 2) x ∂μ
 ε τ : ℝ
 hτ : τ ≥ 0
 chernoff_bound :
   τ ≥ 0 →
     Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
       (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ
 h_chernoff :
   Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ →
     (μ {ω | ε ≤ ∑ i, X i ω}).toReal ≤ rexp (-τ * ε) * mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ τ
 h_integ : Integrable (fun ω => rexp (τ * ∑ i, X i ω)) μ
 t : ℝ
 hXmeas : ∀ (i : Fin n), Measurable (X i)
 ⊢ mgf (fun ω => ∑ i, X i ω) μ t = mgf (∑ i, X i) μ t]

Relevant lemmas:
ProbabilityTheory.iIndepFun.mgf_sum : ∀ {Ω : Type u_1} {ι : Type u_2} {m : MeasurableSpace Ω} {μ : Measure Ω} {t : ℝ}
  {X : ι → Ω → ℝ},
  iIndepFun X μ → (∀ (i : ι), Measurable (X i)) → ∀ (s : Finset ι), mgf (∑ i ∈ s, X i) μ t = ∏ i ∈ s, mgf (X i) μ t