问题：﻿中国数学教育水平在全世界怎样？ 近日，网上爆料称，“英国大学一年级的数学考题是勾股定理，中国高考的几何题需要做出这么多辅助线。”当教育部官员当众展示高考数学题时，白发的外国学者都发出…
话题：﻿教育、数学、学术
回答：﻿本文较长，加很多黑体，是为了减少没有耐心的同学阅读时间，实在迫属无奈。用黑体是没有礼貌的。本文所谈都是基于笔者个人的经验和判断。仁者见仁，智者见智，如有冒犯，实属无心。这是笔者离开知乎前的最后一篇答案，所以打字的时候，尽可能做到毫无私心，只希望后学少走些弯路，盼望同窗和前辈能认真对待教育这个行业。一句话来说，我觉得中国的教育缺乏的是常识和责任。懂得数学教育的常识却不愿意付出去创造实现这些常识的环境，则教育不行；用心去教而疏于常识，则会是南辕北辙。而中国的教育，在我看来，能认真贯彻以上两点的老师实在是太少了。一个数学教师，数学不一定非要顶尖，但一定要具备理解和欣赏数学的能力，知道怎么样学数学，这是常识得以建立的前提，如果自己对数学的世界观都理解得很差，怎么可能教得好学生呢，更有可能误人一辈子。同样，用心去教并不是指花费多少时间，或者如何谆谆教导，而是在于站在学生角度，切身体会学生可能面临的困难，并能因材施教，耐心地去启发他们，做到这点，大概就是儒家说的“仁“了吧？其实，这一点才是最重要的，如果一个老师真的能够诚于心，将一切的出发点都放在学生身上，那么他／她定然会谨慎对待自己的一言一行，殚精竭虑地去不断充实自己，进而让学生受益吧？突然想到，上面那段话说的不就是“学而不厌，诲人不倦“吗？儒家的内容最是实用，也最是被人忽略，真是可惜。立身为人，儒家最是适合筑基的。－－－－－－－－－－－－－－－PartI常识篇－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－什么是常识呢？要是我说一阴一阳谓之道，估计所有人把我喷死。然而我也不知道怎么用现代语言说清楚，就罗列几个在我求学过程中重要的问题，自问自答。长久只用英语说数学，中文真的不太会了，如果用中文说不清楚的，我就用英文来答了。之所以强调常识，是因为它们是根本。我们中国人总喜欢讲顿悟，悟出很多很多道理，我认识一些人总喜欢说美国人没文化。怎么说呢？别人是把常识教育看的很重要的，我下面将要写的内容可能人家中学时候都知道了，已经潜移默化到生活中，而我们总在讲顿悟，其实顿悟的原因是很多时候根本的问题没有明白。走了很久的弯路后顿悟，其实已经浪费了很多时间。（北大博士程海波这么说的，他是我迄今为止最佩服的同学，也是唯一一个我认为做到学而不厌，诲人不倦的同学，在此向他致敬。他太低调了，处众人之恶，我远远不如。）当老外在没有困惑的学习和玩耍的时候，少部分国人还沾沾自喜吹中国人聪明，吹中国的文化，说老外没文化，我真是无话可说，对这样的人，敬而远之，所幸，学数学的人很少夜郎自大，大概总是被灿烂丰富的内容和鬼斧神工的证明打击吧。。。下面说正题。－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－第一，什么是数学？恩格斯说：数学是研究（广义的）数量，大小和空间结构的科学。这话我现在看也是对的。经过系统学习很多数学知识，读过很多paper之后，真的发现，至少对于我来说，无论再高深的数学，最后在大脑里的显意识中，都会划归为空间，数量，大小，巨细，运动轨迹等感知，这是根本，感知力越强，对数学的理解越深，也越游刃有余。这解释了为什么很多时候一个看起来很复杂的定理和证明，最顶尖的人往往能用最简单的图说明白，几条曲线，一个球，几个基本不等式，一切尽在眼前。这个数学的定义，本来应该在人们刚开始学数学的时候老师就该就说明白，我到大学才知道这个定义的。我见过太多十分勤奋的人学不懂数学，最后归结为没有天赋。其实，大多时候是因为越学越傻。如果知道这个数学的定义，就会知道一切都会划归到感知力上，那么下了功夫而学不会，就是感知力的问题，提高感知力并不是没有办法。譬如，多睡觉和运动，保持精力的充足，精力好就，会专注，感知力就会提高，看这个世界更生动，积少成多，就上来了。所以勤奋的人学不好数学，是缺乏睡觉，运动以及其他娱乐罢了。譬如音乐，乐以养人，这是君子六艺之一，怎么不学呢？我见过的老师们从来都不强调这一点的。我自己运气好，高中时候怎么都学不懂空间几何，几于放弃，后来一个周末被损友带着玩CS，突然就悟了。就是这个道理。我们缺乏常识缺乏到什么程度呢？看看我们以前的教育。我们认为，一个优秀的科研工作者就是夜以继日的思考，勤学不辍，这种sterotype的宣传在我学习的那个年代到处都是。这是最大的骗局啊。Ithinksleepingonit
waswhathelpedthemost.Ifindmyminddoesalotofunconscious
thinkingwhileIsleepordaydream.就是说要多睡觉，多把问题留给潜意识。这是美国一个中学生都知道的问题啊。是我以前太蠢吗？我到快大学毕业才渐渐明白这个道理。总之，明白这个根本原因，就会少很多弯路，少很多莫名其妙的顿悟，专心致志，怎么会学不好呢？－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－第二，为什么中外很多研究生以上的教材都是一个又一个定理和证明，而enlightment和insight很少呢？Reason1Thegoalistolearnhowtodomathematics,notto"know"it.Nobodyeverlearnedmuchaboutdoingsomethingfromeither
lecturesortextbooks.ThestandardexamplesIalwaysgiveare
basketballandcarpentry.Whyismathematicsanydifferent?Peoplelearnmathsbydoingmathortalkingmath,notbyreadingmath.说的其实又是儒家说的“吾常终日而思矣，不如须臾之所学也。“儒家认为行百倍于言，言百倍于思。思想总是轻快地前进，那是因为没有根基。然而到了数学这里，你不可能像写文学那样天马行空，想象力也是建立在规矩之上的。学的多了，练得多了，自然不思而得，不勉而中。不用太在意想明白什么，而在于做明白什么。做了，自然就想明白了。我们每天下午的coffeehour经常去交流学数学，我发现这是美国人的常识，他们说这个道理他们中学就知道。我一点都没有夸张。Reason2Thebestwaytolearnisthrough
"guidedstruggle".Youhavetodotheworkyourself,butyouneed
someoneelsetheretoeitherhelpyouoverobstaclesyoucan'tget
arounddespitealotofeffortorprovideyouwithsomecritical
knowledge(usuallytherightperspectivebutsometimesaclevertrick)
youaremissing.Withouttheprioreffortbythestudent,theknowledge
suppliedbyateacherhasmuchlessimpact.

用中文说，就是“不愤不启，不悱不发“。当然，这个常识是老师和学生必须知道的。学生知道，就会增加挫折的承受力；老师知道，就应当明白老师起的作用，不要总不上心教育。然而，无论中外，好的老师都很少，所以，老外的解决办法是：Asubstituteforateacherlikethatisaworkinggroupofstudents
whoareallstrugglingthroughthesamematerial.WhenIwasagraduate
student,wehadawonderfulworkingseminaronSundaymorningswith
bagelsandcreamcheese,whereIlearnedalotaboutdifferential
geometryandLiegroupswithmyclassmates.然而，我发现，起码我当时所在的班级，大都缺乏这种热情吧，被无脑的老师误导，老师对怎么学数学也是一知半解，真是坑了一批有一批人。团队学习是中国教育缺乏的，经常提团队精神，不过是口号吧。Reason3“Thiscommonandunfortunatefactof
thelackofanadequatepresentation
ofbasicideasandmotivationsof
almostanymathematicaltheoryis,
probably,duetothebinarynatureof
mathematicalperception:eitheryou
havenoinklingofanideaor,once
youhaveunderstoodit,thisveryidea
appearssoembarrassinglyobviousthat
youfeelreluctanttosayitaloud;
moreover,onceyourmindswitchesfrom
thestateofdarknesstothelight,
allmemoryofthedarkstateiserased
anditbecomesimpossibletoconceive
theexistenceofanothermindfor
whichtheideaappearsnonobvious.“（ByGromov)Or:Onesimplycannotcommunicatewhatoneunderstands,butcanonlycommunicatewhatoneknows.(bymyfriend)用汉语说，道可道，非常道。我就不阐释了。这句话应该是常识，结果被各种人当玄学忽悠，也是醉了。---------------------------------------------------------------写到这里，突然没有写下去的欲望，我经历过太多太多的问题，最后发现都是常识的问题。天资并不重要的。做顶尖的数学家需要天资，做好的数学工作者不需要天资。所以，仅仅是学好数学，会用数学，更不需要天资。这话最先是陶哲轩曾经在他的博克说的，刘小川率先翻译并登上报纸。（现在应该还有很多年轻人受刘小川师兄的启发吧？向他致敬。）总之，有太多的常识需要普及了，我没有时间和本事一一列举。常识缺到什么程度呢？以致于有人认为心算算得快，也叫数学好，来嘲笑美国人一番。真是无知啊。数学从很多美国人嘴里表达出来，真的普遍比中国人高明啊。这部分解释了为什么很多人学得少，但善于做出好东西。（尽管我也没有数据支持。）最后我来贴一个我觉得写的不错的答案softquestion可能对科研阶段的人觉得一般，但初学者看了会受益的。如果读到这里的学数学的同学，有时间去mathoverflow,或者mathstackexchange，把上面最高的vote的问题都扫一遍，基本都是从大学数学到博士数学，以及科研里遇到最常见的软问题，但却是最重要的常识。一定要看的，否则会走很多很多弯路。这也算是我走之前的肺腑之言。来知乎收获颇多，只恨不能反哺于此。正好今天借此机会，一并多说些。－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－下面谈第二部分，也是最重要的，教师怎么教？、未免枯燥，我就先拿我的教学当个例子吧。我这个学期第一次教书，很多不足，但是我是用心教的，每次上课前，都会很庄重地站桩调气，定而后静，静而后安，安而后虑，虑而后得，正是正心诚意。我一直把教育看成神圣的事情。这个学期我教的是微积分习题课，下面是一个大概的总结。一开始，既要树立威严，又要让学生觉得可以近距离接触。这一点其实不难做到。就是开始把规矩定死，然后可以慢慢放松。开始放松后面定死是不好的，大家都听过朝三暮四的故事吧？某种程度上一个道理，教育也是艺术。讲课的时候，尽量让不同level的人都能有所收获，因材施教。要做到这一点，就要求老师有远远超过学生的水平。老师传授学生的有时候不仅仅是information，还是智慧。我常常喜欢拿弹奏乐器来比喻学数学，也是借以来回答学生总问为什么的答案：Therearetwoanswers.Thehonestansweris,Idon'tknow.Itjustlikeplayingapiano.Youplaysomanytimesthatyouevendon'tknowhowyoulaterbecomesoskilledindoingit.Youdon'trealizehowyourmindworks.Itjusthappens.Allyouneedisjustpractise.Youshouldplaywithmath,notbeplayedbymath.这算一个通用的答案，既提到了常识，又能劝学，讲做的重要性。Thesatisfactoryansweris，blablabla（这个需要智慧来补充，因问题而异。比如这个问题Edit-MathematicsStackExchange）然后解释完后，我说。Soyoushouldrealizethisisthebeautyofmath.Ijustwantyouknowtherearethingsthatcomputerscannotdobutwehumanbeingscan.这个更能引起学生的兴趣。还有很多，略。然后，在cooperativequiz的时间，不要等学生有问题再过去，要经常走动，看到他们讨论的时候，要参与，whatareyoudiscussingabout?因为学生的想法有时候很幼稚，虽然他们能得到正确的答案，但很多想法是有很多问题的，这个时候需要老师未病先治，否则等不成熟的想法积少成多，最后就麻烦了，我班里同学就事后很感谢我，因为总及时指出他们的错误，即使他们的答案是对的。（改quiz的时候是不可能知道他们怎么想的。未病先治是我读黄帝内经时学到的一种精神吧。）－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－总结下：第一，明白学生的认知过程。国内的大学数学教材，甚至是微积分，喜欢上来就是定理－证明－定理－证明，比如南开大学基地班以前那本臭名昭著的《数学分析》（李成章，黄玉民)以及《高等代数与解析几何》（孟道骥）。这些书纯粹就是装逼用的。一个没有经过大学数学训练的人，上来接触这个，除了少数人大多会厌学吧？而老外用的微积分一般是JamesStewart，之后学vectorcalculus的时候用到Thomos，都是喜欢用生动的例子和故事来启发学生，每一章每一节都是历史，例子，应用。我一个博士生，每次看到那样用心写的教材，都仿服见证了一个个大数学家物理学家的发现史，如史书般，被深深地吸引。那个时候，真的感觉到人类智慧的伟大，上达宇宙，下至微观，心生激荡，不能自已。子说：知之者不如好之者，好之者不如乐知者。兴趣的重要性谁都知道，但是老师们很少愿意那样付出。所以有时候老师要经常保持学习的热情，只有学习，才能常常经历思考后得的过程，才能对学生的学习感同身受。学而不厌的老师，也能往往作为表率——连老师都在不停地学习，何况是学生呢？以身作则的老师才受学生尊敬。第二，发自内心愿意帮助学生。这一条也适合所有学科。很多学生是否喜欢一门课往往取决于教课的老师，而不是自己的兴趣。如果能够让学生感觉到老师的诚意，发自内心愿意帮他们学好，他们会接受你，从而把心里的叛逆放到最低的程度。这一条也是根本，这在最开始说过，不赘述。第三，寓教于乐。教学重在启迪智慧，而不是传播信息。这也是中国教育欠缺的吧？－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－我不想谈什么体制的，我远远没有能力去参与这种体制的变革，能做的就是正己化人。（可是我还做不好，根子还是因为生活习惯不好。）还是接着说吧，个人能做的就是把自己的角色办好，收心简事，先救自己后救人。从小到大走了很多弯路，现在正是奋力追赶的时候。写这么多东西也是逾越，甚至写的都是水，然而这也是没有办法，很多想表达的内容没法表达。今天和老板讨论了5个小时候其实已经筋疲力尽，到了办公室开始构思敲字，到现在已经不知道自己在说什么。就到这里吧。这个问题也是我最想回答的问题，可惜在一个错误的时间回答了。知乎上数学大神很多，但是好的数学问题太少了。大神们都不会在这里吧？我这算抛砖引玉吧。有太多的东西可以说了。走到现在，同班里真正坚持学数学的人不多了。很多人放弃，因为缺乏常识，甚至被老师误导。即使是数学家在求学过程中也有诸多不顺，很多人都产生过放弃的念头，为什么一定要一帆风顺才坚持学数学呢？有远远理解不了的东西不是更好吗？最后贴一篇很有帮助的PDF，给年轻科研工作者的指导，菲尔兹奖得主写的。http://press.princeton.edu/chapters/gowers/gowers_VIII_6.pdf--------------------------1-------------1------后记---------------------------------------没有实力谈情怀就是吹逼。有时候不做确实不明白，本以为没有任何私欲的答案，写了这么多还是有了龌龊的心理。希望认识我的同学忽略这篇文章吧，还有，我的心思您一眼就看透了吧。还是睡觉睡得少的原因，邪念多。。。。。。以后潜水，再不写任何一个水的答案。从根源是杜绝类似今天的劣行。果然不完全诚实啊。再三考虑，不删了。慎独果然有道理的。