Thomas-féle kalkulus II. kötet Thomas, George B., Massachusetts Institute of Technology Weir, Maurice D., Naval Postgraduate School Hass, Joel, University of California, Giordano, R., Naval Postgraduate School Szerkesztette Domokos és Szép, Gabriella Gerner, József Ferenc Szép, Gabriella Ruzsa, Zoltán
4.5.2. Integrálok deriváltjai A –. feladatokban keressük meg a deriváltat (a) az integrál kiszámításával és azt követő deriválással; (b) az integrál közvetlen deriválásával! 27. 28. 29. 30. A –. feladatokban keressük meg -et. 31. 32. 33. 34. 35.
7. Mint a feladat (a) részében, csak ellentétes előjellel. 5.24. ábra. Az görbe alatti terület a intervallumon π területegység (. példa). 8. példa: Az görbe alatti terület A . ábra a grafikonját mutatja a intervallumon. Számítsuk ki határozott integrálját a intervallumon, a függvény grafikonja és az az x-tengely közötti területet a intervallumon! Megoldás A (a) példa alapján a határozott integrál: A függvény nemnegatív, ezért a terület egyenlő a határozott integrállal, azaz 5.25. ábra. A feszültség grafikonja egy teljes periódusban. Egy félperiódusban a feszültség átlagértéke . Egy teljes periódusban az átlagérték nulla (. példa). 9. példa: Háztartási elektromosság A lakásokban alkalmazott vezetékes áram feszültségét a
Szorzattá alakítunk. y A két megoldás. Az integrálás felső határa . (Az érték az x-tengely alatt elhelyezkedő metszéspontot ad.) A tartomány területe: Ez megegyezik a . példa eredményével, csak most kevesebb munkával jutottunk el hozzá. 6.5. A geometriai területképletekés az integrál együttes alkalmazása A területet gyakran úgy tudjuk a leggyorsabban meghatározni, ha az analízis és a geometria módszereit vegyítjük egymással. 5.33. ábra. A kék tartomány területe egyenlő az parabola alatti terület mínusz a háromszög területe (. 7. példa: A 5. példában szereplő tartomány területének leggyorsabb meghatározása Határozzuk meg a . példában szereplő tartomány területét! Megoldás A kérdéses terület az parabola és az x-tengely közötti terület mínusz a 2 egység és 2 egység magasságú háromszög területe (. ábra): a terület A –. példákból levonható következtetés: néha egyszerűbb két által határolt területet x helyett y szerint integrálva meghatározni. Az is segíthet, ha a kalkulus és a geometria módszereit kombináljuk. A tartomány felvázolását követően először gondoljuk végig, hogy mi legyen a követendő eljárás! 6.6. 5.6. Feladatok
31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. A –. feladatokban határozzuk meg a görbe és az egyenes által határolt tartomány területét! 41. és 42. és 43. és 44. és 45. és 46. és 47. és 48. , és 49. és (Hány metszéspont van itt?) 50. és A –. feladatokban határozzuk meg a görbék és egyenesek által határolt tartomány területét! 51. , és 52. és 53. és 54. és
4. Tegyük fel, hogy és . Számítsuk ki a következő összegeket! 1. 2. 3. 4. 8.2. Határozott integrálok A –. gyakorlatokban a határértéket fejezzük ki határozott integrállal! Azután számítsuk ki az integrál értékét, s ezzel egyben a határértéket is megkapjuk. P minden esetben az adott intervallum egy felosztását jelenti, a -k pedig P részintervallumaiból valók. 3. , ahol P az intervallum egy felosztása. 4. , ahol P az intervallum egy felosztása. 5. , ahol P a intervallum egy felosztása. 6. , ahol P a intervallum egy felosztása. 7. Számítsuk ki az alábbi integrálok értékét, ha, és ! 1. 2. 3. 4. 5. 8. Számítsuk ki az alábbi integrálok értékét, ha, és ! 1. 2. 3. 4. 5. 8.3. Terület A –. gyakorlatokban keressük meg az f függvény grafikonja és az x-tengely közé eső tartomány területét! 9. , 10. , 11. , 12. , A –. gyakorlatokban határozzuk meg a és az egyenesek által közrefogott tartomány területét!
láncszabály A Leibniz-szabály alkalmazásával keressük meg a –. feladatokban szereplő függvények deriváltját! 11. 12. 13. 14. A Leibniz-szabály alkalmazásával határozzuk meg azt az x értéket, amely mellett az integrál a lehető legnagyobb lesz! (Az ilyen jellegű problémák a politikai választások matematikai elméletéből erednek.) 9.3. összegekközelítése integrálokkal A gyakorlati életben az integrált sokszor használjuk véges összegek közelítésére – az általában megszokott eljárással éppen ellentétesen, amikor is az integrál közelítésére használunk véges összegeket. Számítsuk ki például az első n szám négyzetgyökének összegét, azaz a kifejezésnek az értékét! Az integrál az határértéke. Ezért n növekedtével 2/3-hoz tart és azt kapjuk, hogy Az alábbi táblázat mutatja a közelítés ,,jóságát”. n a gyökösszeg a relatív hiba 10 22, 468 21, 082 1.386/22.468≈6% 50 239, 04 235, 70 1.4%
-et, -et, -et! Keressük meg a intervallumban azokat az x értékeket, amelyekre g-nek relatív maximuma van! Írjuk fel g érintőegyenesének egyenletét az pontban! Határozzuk meg a g grafikonjának összes intervallumbeli inflexiós pontjának abszcisszáját! Határozzuk meg g értékkészletét!
összefüggésnek, amit a kettős és hármas integráloknál, a 15. fejezetben fogunk majd látni. Az ott kapott általános összefüggés nemcsak a forgástestek, hanem más testek térfogatának kiszámítására is alkalmas. 2.2. 6.2. Feladatok 2.2.1. Síkmetszetek területe A –. feladatokban héjmódszerrel határozzuk meg a satírozott tartomány megadott tengely körüli forgatásával generált forgástest térfogatát! Az y-tengely körül: Az x-tengely 2.2.2. y -tengely körüli forgatás A –. feladatokban héjmódszerrel határozzuk meg a satírozott tartomány y-tengely körüli forgatásával generált forgástest térfogatát! 7. , , 8. , , 9. , , esetén 10. , , 11. , , 12. , , 13. Legyen Mutassuk meg, hogy , ! Számítsuk ki a satírozott tartomány y-tengely körüli forgatásával generált test térfogatát! 14. Legyen Mutassuk meg, hogy , ! Számítsuk ki a satírozott tartomány y-tengely körüli forgatásával generált test térfogatát!
A () és a () összefüggést egy képletbe is összefoglalhatjuk, ha észrevesszük, hogy a jobb oldalon mindkét esetben áll. A () egyenletben , mivel ; a () egyenletben , mivel . Tehát u akár pozitív, akár negatív, határozatlan integrálja egyaránt . Ha u egy intervallumon differenciálható és sehol sem 0 függvény, akkor ezen az intervallumon (7.6) A () egyenlet értelmezési tartományának minden pontjára – vagyis amelyekre – érvényes. Racionális, -től különböző n-ek esetén a () összefüggés pedig megmondja, mi a teendő, ha . () szerint bizonyos alakú függvények integrálásakor logaritmusos kifejezést kapunk. Ha , akkor és A () egyenlet alapján végül a következőt kapjuk: minden differenciálható függvény esetén, amely a vizsgált tartományon nem vált előjelet. 4. példa: A (7.6) összefüggés alkalmazása (a) . (b) . a intervallumon mindenütt pozitív, az () összefüggés valóban alkalmazható. 2.6. A tangens- és a kotangensfüggvény integrálja A () összefüggés alapján a és a függvény integrálját is meghatározhatjuk. Lássuk először a tangensfüggvényt: = = = A kotangensfüggvény integráljának kiszámítása hasonlóan megy:
3.2. Az függvény Az e szám racionális kitevőjű hatványait a szokásos módon értelmezzük: és így tovább. Mivel e pozitív, tetszőleges r racionális szám esetén is az. Így tehát -nek értelmezhető a (természetes) logaritmusa. Az szám logaritmusát véve Figyelembe véve, hogy injektív, és hogy tetszőleges x esetén , azt kapjuk, hogy bármely racionális r szám esetén: (7.7) Igaz ugyan, hogy egyelőre nem adtuk meg értelmezését irracionális x-ekre, az függvény azonban minden x-re – racionálisokra éppúgy, mint irracionálisokra – értelmezve van. A () egyenlőség így az definíciójának irracionális x-ekre való kiterjesztéseként is felfogható. Az függvény minden x valós számra értelmezve van tehát, így amikor az iménti (racionális kitevőkre vonatkozó) definíció nem alkalmazható, ennek alapján határozzuk meg értékét. x kerekítve 0.37 0 1 1 2.72 2 7.39 10 22 026 100 Néhány -érték Definíció: A természetes alapú exponenciális függvény Tetszőleges x valós szám esetén . Most tehát – tanulmányaink során először – pontosan tudjuk, mi egy irracionális kitevőjű hatvány jelentése. Az e alapú exponenciális függvényt általában jelöli, az jelölést csak ritkán alkalmazzuk. Mivel és egymás inverzei, Inverz azonosságok és között.
2. 3. 3.8.2. Exponenciális és logaritmusos egyenletek Fejezzük ki y-t x (illetve t) segítségével (5–10. feladatok)! 5. 6. 7. 8. 9. 10. Fejezzük ki k-t (–. feladatok)! 11. 1. 2. 3. 12. 1. 2. 3. Fejezzük ki t-t (–. feladatok)! 13. 1. 2. 3. 14. 1. 2. 3. 15. 16. 3.8.3. Deriváltak Határozzuk meg az y (megfelelő független változó szerinti) deriváltját (–. feladatok)!
() azonosság! 131. Az azonosság. A . ábra alapján az azonosság a intervallum elemeire teljesül. A intervallum fennmaradó elemeire vonatkozóan járjunk el a következőképpen! Először igazoljuk az azonosságot az , 0 és esetekre! A intervallumbeli x-ek esetén legyen (ahol ), majd alkalmazzuk a () és () azonosságokat az összegre! 132. Bizonyítsuk be, hogy az összeg állandó! Melyik kifejezés értelmes az alábbiak közül (–. feladatok)? Válaszunkat indokoljuk! 3. 1. 2. 4. 1. 2. 5. 1. 2. 6. 1. 2. 7. A . feladat folytatása.. Milyen messzire üljünk a szemközti faltól, hogy a táblát maximális szög alatt lássuk? 8. Mekkora x esetén lesz az ábrán látható θ szög maximális? [Útmutatás: először mutassuk meg, hogy !] 9. Lehet-e helyes mindkét integrálás? Indokoljuk válaszunkat! 10. helyes mindkét integrálás? Indokoljuk válaszunkat! , itt az , helyettesítést alkalmaztuk. 11. Az azonosság alapján (és az arcsec függvény deriváltjának ismeretében) vezessük le az arccsc függvény deriváltjára a . táblázatban megadott képletet! 12. Vezessük le az függvény deriváltját megadó
23. 24. 25. 26. 27. 28. Számítsuk ki az integrálokat (a) az inverz hiperbolikus függvények, (b) a természetes logaritmus segítségével (–. feladatok)! 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 8.7.7. További példák és feladatok 37. Igazoljuk, hogy ha az f függvény értelmezési tartománya egy origóra szimmetrikus intervallum (azaz minden olyan x esetén értelmezve van, amelynél is), akkor (7.33) Ezután igazoljuk, hogy az függvény páros, pedig páratlan! A () egyenlőség jelentősen leegyszerűsödik, ha f páros, vagy páratlan függvény. Hogyan és miért? 38. Vezessük le az , azonosságot! Magyarázzuk meg, hogy a gyökjel előtt miért + áll! 39. Szabadesés. Ha egy szabadon eső, m tömegű testre ható légellenállás egyenesen arányos a test sebességének négyzetével, akkor a (nyugalomból induló) test sebességét megadó függvény kielégíti az differenciálegyenletet, ahol a k konstans értéke a test aerodinamikai tulajdonságaitól és a levegő sűrűségétől függ. (Feltesszük, hogy a zuhanás ideje elég rövid, így a levegő sűrűségének változásától eltekinthetünk.) Igazoljuk, hogy a
szereposztással. Ezzel Vizsgáljuk meg, mi történt ha máshogy osztjuk ki u és szerepét! 2. példa: A 1. példa alaposabb vizsgálata A parciális integrálás első lépése amikor felírjuk, hogy négy lehetőségünk van: 1. legyen és ; 2. legyen és ; 3. legyen és ; 4. legyen és . Vizsgáljuk meg mindegyiket! Az első választás nem vezet sehova, hiszen v kiszámolásához meghatározására lenne szükségünk, és ez maga a megoldandó feladat volt. A második választás működik, mint a . példában láttuk. A harmadik választással u v adódik, amely az integrálhoz ám ez bonyolultabb, mint a kiinduló feladat volt. A negyedik választással u v amellyel és ez szintén nehezebb, mint amiből kiindultunk. Tehát a parciális integrálás célja az, hogy a bonyolultnak tűnő határozatlan integrált olyan integrállá alakítsuk, amelyet könnyebben ki tudunk számolni. Általában -t választjuk ki először úgy, hogy mindenképp belekerüljön , és a függvényből minél több, amelynek még tudjuk a primitív függvényét. A megmaradó részt választjuk u-nak. Ne felejtsük azonban, hogy – ellentétben a szorzatfüggvény deriválásával – parciálisan nem lehet minden szorzatfüggvényt integrálni.
Az azonos fokú x hatványok együtthatóinak egyenlőségét felírva: 0 0 4 Határozzuk meg az egyenletrendszerből A, B, C és D értékét! kivonva a negyedik egyenletet a másodikból C az első egyenletből B D a negyedik egyenletből A, B, C és D értékét a () egyenletbe helyettesítve, megkapjuk a keresett parciális törteket: Végül ilyen formában már elvégezhető a határozatlan integrálás is: 5. Irreducibilis másodfokú tényező négyzete a nevezőben Határozzuk meg az határozatlan integrált!
3.3. További módszerek az együtthatók meghatározására Egy további lehetőség a parciális törtekre való felbontás együtthatóinak megkeresésére a megfelelő egyenlet differenciálása, a következő példánál látni is fogjuk. Végül megnézzük, hogy x helyébe célszerűen választott számokat helyettesítve hogyan kaphatjuk meg az együtthatókat. 8. példa: Az együtthatók meghatározása differenciálással Keressük meg az A, B és C együtthatókat, melyekkel Megoldás Először beszorzunk az közös nevezővel: Az helyettesítésből megkapjuk, hogy . Mindkét oldalt x szerint deriválva a következő egyenletet kapjuk: Most az helyettesítés azt adja, hogy . Egy differenciálás után a egyenletet kapjuk, azaz Egyes esetekben x helyébe kis számokat írva, például -t, A-ra, B-re és C-re gyorsan jól kezelhető egyenleteket kapunk. 9. példa: Az együtthatók meghatározása behelyettesítéssel Keressünk A-t, B-t és C-t, amelyekre Megoldás Beszorozva a közös nevezővel, azt kapjuk, hogy Helyettesítsünk x helyébe rendre -at: x 2 A x 5
8.3. táblázat. Az függvény osztópontokban felvett értékei. Alkalmazzuk a trapézformulát az így kiszámolt értékekkel , illetve mellett: T Az integrál pontos értéke A becslés hibája az integrál százalékában kifejezve A trapézformula mintegy fél százalékkal felülbecsülte az integrál valódi értékét. Azt, hogy a trapézformula az integrál valódi értékénél nagyobb közelítő értéket ad, a számolás elvégzése nélkül is láthattuk Mivel az parabola konvex függvény, a közelítő egyenes szakaszok a függvény grafikonja fölött helyezkednek el, így minden egyes trapéz területe egy picit nagyobb lesz, mint a függvény görbéje alatti terület. A . ábrán láthatjuk, hogy ha egy intervallumon a függvény konkáv, akkor azon az intervallumon a trapézformula alulbecsli az integrál valódi értékét. 2. példa: Átlaghőmérséklet Egy őszi minden egész órában megmértük a külső hőmérsékletet dél és éjfél között. A mérések eredményét a következő táblázat tartalmazza: Idő 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ℃ 17 19 20 21 21 20 20 20 19 18 16 15 13 Mekkora volt az átlaghőmérséklet ezalatt a 12 óra alatt? Megoldás Egy folytonos függvény, a hőmérsékletfüggvény átlagát keressük, de csak néhány helyen ismerjük a függvény értékét.
8.15. ábra. Ha -tól h-ig integrálunk, azt kapjuk, hogy a besatírozott rész területe A Simpson-formula. közelítő kiszámolása a Simpson-formulával: A képletben szereplő -k f értékei az pontokban, ahol n páros, és . Figyeljük meg az együtthatók sorrendjét: ! A formula megalkotója Thomas Simpson (1710–1761) angol matematikus. 5. példa: A Simpson-formula használata Használjuk a Simpson-formulát -gyel az közelítő kiszámolására! 8.4. táblázat. Az függvény osztópontokban felvett értékei. Megoldás Osszuk fel a intervallumout 4 egyenlő részre, és számoljuk ki értékét az osztópontokban (. táblázat)! Alkalmazzuk a Simpson-formulát és mellett: S
majd kiadjuk az integráló parancsot: A Maple kiírja a választ: Ha numerikus eredményt szeretnénk használjuk az evalf parancsot, és adjuk meg a kiírandó tizedesjegyek számát: A parancs argumentumában a % azt jelenti, hogy a képernyőre utoljára kifejezésen szeretnénk az eljárást végrehajtani. A program válasza 1.14579. A Mathematica használata esetén az parancs kiadására kapott válasz: Ha 6 tizedesjegy pontosságú numerikus eredményt szeretnénk kapni, az parancs szintén 1.14579-et ad válaszként. 7. példa: Végtelen test térfogata A . látható végtelen kürt x-tengelyre merőleges, pontokban vett metszetei olyan körök, melyek átmérője az x-tengely és az görbe közötti távolsággal egyenlő. Mekkora a kürt térfogata? 8.24. ábra. A . példa eredménye szerint ennek a végtelen kürtnek a térfogata véges. Megoldás Az x pont feletti metszet területe A kürt térfogatát úgy tudjuk kiszámolni, hogy az függvényt integráljuk b és között, majd mellett vesszük a kapott eredmény határértékét. A b és közötti rész térfogata V Ha , akkor , és így . Azaz a végtelen kürt térfogata . 8. példa: Egy helytelen megközelítés Számoljuk ki az
Így az integrál konvergens, az értéke egy véges valós szám. Nem tudjuk, hogy mi ez a szám, csak annyit, hogy pozitív, és kisebb mint 0.37. (Itt valójában kihasználtuk a valós számok teljességét, amelyről az első kötetben, az F.3. függelékben olvashatunk.) Az és függvények összehasonlítása a . példában a következő konvergenciakritérium speciális esete volt. 1. Tétel: Összehasonlító kritérium Legyenek f és g az intervallumon folytonos függvények, melyekre minden mellett teljesül. Ekkor Ha konvergens, akkor is konvergens, Ha divergens, is divergens. A . bizonyítása hasonló a . példában követett gondolatmenethez. Ha minden -ra , akkor Innen a . példához hasonlóan megállapíthatjuk, hogy illetve a következtetés 10. példa: Az összehasonlító kritérium használata konvergens, mert divergens, mert (Az konvergenciáját és az divergenciáját a . példa eredménye alapján állapíthatjuk meg.) 2. Tétel: Hányadosteszt Ha az f és g pozitív függvények folytonosak az intervallumon, és akkor az integrálok vagy mindketten konvergensek, vagy mindketten divergensek. A . tételt itt nem bizonyítjuk. Bár a tétel szerint a két improprius integrál ugyanakkor konvergens, a következő példában látni fogjuk, hogy nem szükséges, hogy az integrálok értéke meg is egyezzen.
hibafüggvényt! T Ábrázoljuk a függvényt számítógéppel az intervallumon! Vizsgáljuk meg az konvergenciáját! Ha konvergens, kb. mennyi az értéke? 77. A normális eloszlás sűrűségfüggvénye. A valószínűségszámításban fontos szerepet játszó σ szórású és μ várható értékű normális eloszlás sűrűségfüggvénye Itt μ jelenti az eloszlás középpontját, a σ azt méri, hogy az események mennyire ,,szóródnak” a középpont körül.Valószínűségszámításból tudhatjuk, hogy A továbbiakban legyen és . T Rajzoltassuk ki a függvény grafikonját! Keressük meg, hogy a függvény mely intervallumon monoton nő, melyen csökken, és hol vannak lokális szélsőértékei! Számítsuk ki értékét -ra! Adjunk meggyőző érvet arra, hogy (Útmutatás: mutassuk meg, hogy -re , és esetén 78. Adunk egy (hamis) ,,bizonyítást” arra, hogy ! Hol a hiba a gondolatmenetben?
T Rajzoljunk be néhány megoldásgörbét az előbb meghatározott iránymezőbe! Elemezzük, mi történik a populációval különböző kezdeti értékek esetén! Egzakt megoldások. Határozzuk meg a következő kezdetiérték-problémák pontos megoldását: , , , ! Logisztikus differenciálegyenlet. Mutassuk meg, hogy a differenciálegyenlet megoldása ahol A egy tetszőleges konstans! Katasztrófás-jellegű megoldás. Legyenek k és pozitív konstansok! Oldjuk meg a kezdetiérték-problémát! T Mutassuk meg, hogy az előző pont megoldásgörbéjének függőleges aszimptotája van t egy pozitív értékére! Mi ez az érték? Kihaló populáció. Tekintsük a modellt, ahol , M a maximális eltartható populáció, m pedig az a minimális populáció létszám, ami alatt a populáció kihal! Legyen , , és tegyük fel, hogy ! Mutassuk meg, hogy a differenciálegyenlet alakra hozható, és oldjuk meg ezt a szeparábilis differenciálegyenletet! Határozzuk meg azt a megoldást, amire ! Adjuk meg a differenciálegyenlet általános megoldását feltétellel! 5.4.1. Ortogonális trajektóriák A –. feladatokban határozzuk meg a megadott görbeseregek ortogonális trajektóriáit! 4. 5. 6. 7. 8. 9.
. . . . (b) . . . . . (a); (b); (c); (d) . (a) Az x-tengely körül: ; az y-tengely körül: ; (b) Az x-tengely körül: ; az körül: . (a); (b); (c); (d) . (a); (b) . (a); (b) . (a); (b) . Korong: 2 integrál; gyűrű: 2 integrál; héj: integrál 2.3. . . . 7 . . 12 . . . . 2 . (a); (c) . (a); (c) . (a); (c) . (a); (c) . Igen, , ahol C valamilyen valós szám. . (a) és között. (b) Csak egy. Ismerjük a függvény deriváltját és a függvényértéket egy x értékre. . (a)π; (b)π
. . 2, 1/2 . . Az pontban f meredeksége 3, g meredeksége ; a pontban f meredeksége 3, g meredeksége . az egyenletű érintője az helyen az egyenletű egyenes; érintője az helyen az egyenletű egyenes. . . 3 . Az függvény grafikonja az origón átmenő meredekségű egyenes. . . Az függvény grafikonja párhuzamos f grafikonjával; a két egyenes az egyenletű egyenes ellenkező partjain helyezkedik el, attól egyenlő távolságra. A grafikonok párhuzamos, az egyenletű egyenes ellenkező partjain, attól egyenlő távolságra elhelyezkedő egyenesek. . Növekvő, és így injektív; . . Csökkenő, és így injektív; . 3.2. . . 1. 2. 3. 4. 5. 6.
. Abszolút maximum az helyen . . 2 . . . (b) . 2.71828183 3.4. . . 1. 7 2. 3. 75 4. 2 5. 0.5 6. . 1. 2. 3. . 1. 2. 3 3. 2 . . vagy . . . . . .
2. 13.26 perc . C . kb. 6659 év . 41 éves 3.6. . . 1. lassabban 2. lassabban 3. lassabban 4. gyorsabban 5. lassabban 6. lassabban 7. ugyanolyan ütemben 8. lassabban . 1. ugyanolyan ütemben 2. gyorsabban 3. ugyanolyan ütemben 4. ugyanolyan ütemben 5. lassabban 6. gyorsabban 7. lassabban 8. ugyanolyan ütemben . 1. ugyanolyan ütemben 2. ugyanolyan ütemben 3. ugyanolyan ütemben 4. gyorsabban 5. gyorsabban 6. ugyanolyan ütemben 7. lassabban 8. gyorsabban
. (a) 0.31929 (b) 0.32812 (c) . (a) (b) 2.00421 (c) . (a) 1 (b) 2 . (a) 116 (b) 2 . (a) 283 (b) 2 . (a) 71 (b) 10 . (a) 76 (b) 12 . (a) 82 (b) 8 . 3615 m . 0.9785 mérföld méter . 3.405 . (a) (b) (c) . (a) (b) 0.02588 (c) -el . 1.08943 . 0pt . , , n 10 100 1000 0pt . A grafikonról leolvasható, hogy , ha .