问题：为什么零乘以任何数都等于零？是纯粹的数学上的规定吗？
2.零加任何数，为什么都等于这个数本身，这是不是也是纯粹的数学上的规定呢？3.上面两个定理如何证明？4.正正得正，正负得负，负正得正，负负得正。这四个定理，也是纯粹的数学上的规定吗？如何证明？

回答：要严格回答这个问题，首先你得知道什么是有序域。
当一个集合 $R$ 中定义了两种二元运算(分别称为加法和乘法，但不一定是实数的加法和乘法; 二元指的是运算需要两个元素来参与) 之后，该集合 $R$ 便可称作一 个 "域" 。

那么什么样的运算才可以称为 $R$ 中的加法和乘法呢? 需要这两种运算满足以下3点。
一、加法公理
这条公理只针对加法提出，加法公理由以下5条构成。
(1) 对于 $R$ 中的任意两个元素 $a, b$ ，有 $a+b$  的结果仍在 $R$ 中。
(2) 加法满足结合律，即对于任意三个元素 $a, b, c$ ，有 $(a+b)+c=a+(b+c)$ 。
(3)  加法存在单位元，用 0 来表示，即对于任何元素 $a$ ，有 $a+0=0+a=a$ 。
(4）加法存在逆元 ， a$ 的逆元用符号 $-a$ 来表示，即对于任何元素 $a$ ，总是存在唯一的元素 $-a$ ，使得 $a+(-a)=(-a)+a=0$ 。
(5) 加法满足交换律，即对于任意两个元素 $a, b$ ，有 $a+b=b+a$ 。

二、乘法公理

这条公理只针对乘法提出，乘法公 理由以下5条构成。
(1) 对于 $R$ 中的任意两个元素 $a, b$ ，有 $a \cdot b$ 的结果仍在 $R$ 中。
(2) 乘 法满足结合律，即对于任意三个元素 $a, b, c$ ，有 $(a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c)$ 。
（3）乘法存在单位元，用1来表示，并且乘法单位元不等于加法单位元，即对于任何元素 $a$ ，有 $a \cdot 1=1 \cdot a=a$ 。
（4）除了加法单位元 0 之外，乘法存在逆元， $a$ 的逆元用符号 $\frac{1}{a}$ 来表示，即对于任何元素 $a \neq 0$ ，总是存在唯一的元素 $\frac{1}{a}$ ，使得 $a \cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a} \cdot a=1$ 。
（5）乘法满足交换律，即对于任意两个元素 $a, b$ ，有 $a \cdot b=b \cdot a$ 。
※乘号通常 可以省略， $a \cdot b$ 简写成 $a b$ 。

三、分配律
这条公理是针对加法和乘法同时提出的，只有1条。
(1) 乘法对加法满足分配律，即对于任意三个元素 $a, b, c$ ，有 $a(b+c)=a b+a c$ 。 ※由于乘法和加法都满足 交换律，上面的分配律也可以写成 $(a+b) c=a c+b c$ 。再来看看序关系。

在集合 $R$ 中定义一个二元全序关系，满足以下 3 条。
(1) 对于任意两个元素 $a, b$ ，不等式$a \leq$ 或者 $b \leq a$ 一定成立其中一个。
(2) 对于任意三个元素 $a, b, c$ ，如果 $a \leq b, b \leq c$ ，那么 $a \leq c$ 。
(3) 如果 (1) 中 的两个不等式同时成立，那么 $a=b$ 。

其中如果 $a \leq b$ 且 $a \neq b$ ，那么称 $a<b$ 。

所以，所谓的有序域就是指同时定义了加法、乘法运算和序关系之后，满足以下两条的集合。
(1) 对于任意三个元素 $a, b, c$ ，如果 $a \leq b$ ，那么 $a+c \leq b+c$ 。
(2) 如果上面的 $0 \leq c$ ，那么 $a c \leq b c$ 。

下面来证明您提出的问题

#### 1.证明 $0 a=0$ 。

根据加法公理 $3^Q ， 0+0=0$ ，所以 $0 a=(0+0) a$ 。
根据分配律， $(0+0) a=0 a+0 a$ 。
所以 $0 a=0 a+0 a$ 。
根据加法公理 $4,0 a$ 存在加法逆元 $-0 a$ 。
在等式 $0 a=0 a+0 a$ 的两边同时加上 $-0 a$ ，得 $0 a+(-0 a)=(0 a+0 a)+(-0 a)$ 。
根据加法 公理 4 ，等号的左边等于 0 。
根据加法公理2，等号的右边等于 $0 a+[0 a+(-0 a)]$ 。
根据加法公理 4 ，中括号内的部分等于 0 ，所以等号的右边等于 $0 a+0$ 。
根据加法公理 3 ，等号的右边等于 $0 a$ 。
所以 $0 a=0$ 。

#### 2.证明 $0+a=a$ 。

根据加法公理3，结论成立。

#### 3.先证明两个引理。
（1）如果 $a \neq 0, b \neq 0 ＼mathrm{~ ， 那 么 ~} a b \neq 0$ 。
反证法，假设 $a b=0$ 。
因为 $b \neq 0$ ，根据乘法公理 4 ， $b$ 存在乘法逆元 $\frac{1}{b}$ 。
在等式 $a b=0$ 的两边同时乘以 $\frac{1}{b}$ ， 得 $a b \cdot \frac{1}{b}=0 \cdot \frac{1}{b}$ 。
根据问题 1 ，等号的右边等于 0 。
根据乘法公理2，等号的左边等于 $a\left(b \cdot \frac{1}{b}\right)$ 。
根据乘法公理 4 ，括号内的部分等于 1 ，所以等号的左边等于 $a \cdot 1$ 。

根据乘法公理3，等号的左边等于 $a$ 。

所以 $a=0$ ，矛盾。

(2) 如果 $a \geq 0$ ，那么 $-a \leq 0$ ； 如果 $a \leq 0$ ，那么 $-a \geq 0$ 。

当 $a \geq 0$  时，根据有序域的定义 $1 ， a+(-a) \geq 0+(-a)$ 。根据加法公理3、4，得 $0 \geq-a$ 。

同理可证另一 个结论。

3.1当 $a>0, b>0$ 时，有 $0 \leq a, 0 \leq b$ ，且 $a \neq 0, b \neq 0$ 。根据有序域的 定义2， $0 b \leq a b$ 。

根据问题 $1 ， 0 b=0$ ， 所以 $0 \leq a b$ 。
根据引理 $1 ， a b \neq 0$ ，所以 $a b>0$ 。

3.2当 $a>0, b<0$ 时，有 $a \geq 0, b \leq 0$ 且 $a \neq 0, b \neq 0$ 。

根据加法公理 $4 ， b$ 存在加法逆元 $-b$ 。
根据引理2， $-b \geq 0$ 。
根据问题3.1， $a(-b) \geq 0$ 。
根据有序域的定义 $1 ， a(-b)+a b \geq 0+a b$ 。
根据分配律，不等式的左边等于 $a(-b+b)$ 。
根据加法公理 4 ，括号内的部分等于 0 ，所以不等式的左边等于 $a \cdot 0$ 。

根据问题 1 ，不等式的左边 等于 0 。
根据加法公理 3 ，不等式的右边等于 $a b$ ，所以 $0 \geq a b$ 。
根据引理1， $a b<0$ 。

3.3当 $a<0, b<0$ 时，有 $a \leq 0, b \leq 0$ 且 $a \neq 0, b \neq 0$ 。

根据加法公理4， $a$ 存 在加法逆元 $-a$ 。

根据引理2， $-a \geq 0$ 。

根据问题3.2， $(-a) b \leq 0$ 。

根据有序域的定义 $1 ，(-a) b+a b \leq 0+a b$ 。

根据分配律，不等式的左边等于 $(-a+a) b$ 。

根据加法公理 4  ，括号内的部分等于 0 ，所以不等式的左边等于 $0 \cdot b$ 。

根据问题 1 ，不等式的左边等于 0 。

 根据加法公理 3 ，不等式的右边等于 $a b$ ，所以 $0 \leq a b$ 。

根据引理1， $a b>0$ 。