问题：如何求均匀带电旋转椭球的电势能？
椭球由半长轴为a,半短轴为b
 的椭圆绕长轴旋转得到，有均匀体电荷密度$ho$
 。以无穷远处为电势零点。

可以求出解析式（不包含积分或无穷级数），或使用特殊函数表示吗？

如是绕短轴旋转得到的，又如何？

回答：对于一般的电势能，我们知道
$$
W=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{2} \iint \frac{\rho(\mathbf{x}) \rho\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right|} \mathrm{d}^3 x \mathrm{~d}^3 x^{\prime}
$$

对于均匀带电的孤立系统，可将(1)简化为
$$
W=\frac{\rho^2}{8 \pi \epsilon_0} \iint \frac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right|} \mathrm{d}^3 x \mathrm{~d}^3 x^{\prime}
$$

考虑均匀带电的旋转长椭球，我们现在计算其自能。
 对于旋转长椭球 $\frac{x^2+y^2}{b^2}+\frac{z^2}{a^2}=1,(a>b>0)$ ，可以看成是椭圆 $\frac{x^2}{b^2}+\frac{z^2}{a^2}=1$ 绕 $z$ 轴旋转而成。

取旋转长椭球坐标 $(\xi, \eta, \phi)$ ，其中 $\xi \in(1, \infty), \eta \in(-1,1), \phi \in(0,2 \pi)$ ，坐标变换关系为:
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=a \sqrt{\left(\xi^2-1\right)\left(1-\eta^2\right)} \cos \phi \\
y=a \sqrt{\left(\xi^2-1\right)\left(1-\eta^2\right)} \sin \phi \\
z=a \xi \eta
\end{array}\right.
$$

计算 坐标变换的雅各比行列式 $|D|=\left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\xi, \eta, \phi)}\right|$ 是容易的，则可得体积元关系为
$$
\mathrm{d} V=a^3\left(\xi^2-\eta^2\right) \mathrm{d} \xi \mathrm{d} \eta \mathrm{d} \phi
$$

旋转长椭球坐标下的拉普拉斯算子为,

$$
\begin{aligned}
\nabla^2 \Phi= & \frac{1}{a^2\left(\xi^2-\eta^2\right)}\left\{\frac{\partial}{\partial \xi}\left[\left(\xi^2-1\right) \frac{\partial \Phi}{\partial \xi}\right]+\frac{\partial}{\partial \eta}\left[\left(1-\eta^2\right) \frac{\partial \Phi}{\partial \eta}\right]\right\} \\
& +\frac{1}{a^2\left(\xi^2-1\right)\left(1-\eta^2\right)} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2}
\end{aligned}
$$

通过求解 $\nabla^2 \Phi(\xi, \eta, \phi)=-\frac{\rho}{\epsilon_0} \delta\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right)^{[1]}$
利用分离变量法可以得到 $\frac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right|}$ 的旋转长椭球坐标下谐函数的展开式:

$\begin{aligned} & \frac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right|}=\frac{1}{a} \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^n(2 n+1)\left(2-\delta_{m 0}\right)(-1)^m\left[\frac{(n-m) !}{(n+m) !}\right]^2 \\ & \times P_n^m\left(\xi_{<}\right) Q_n^m\left(\xi_{>}\right) P_n^m(\eta) P_n^m\left(\eta^{\prime}\right) \cos \left[m\left(\phi-\phi^{\prime}\right)\right] \\ & \text { where } \xi_{>}=\max \left\{\xi, \xi^{\prime}\right\}, \xi_{<}=\min \left\{\xi, \xi^{\prime}\right\} \\ & \end{aligned}$

其中 $P_n^m(x), Q_n^m(x)$ 分别是第一类和第二类连带勒让德函数；

将此式代入(2)式中，并注意体积元的改变，另外积分上下限也需相应改变为
$$
\begin{array}{r}
W=\frac{\rho^2 a^5}{8 \pi \epsilon_0} \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^n(2 n+1)\left(2-\delta_{m 0}\right)(-1)^m\left[\frac{(n-m) !}{(n+m) !}\right]^2 \\
\times\left[\iint\left(\xi^2-\eta^2\right)\left(\xi^{\prime 2}-\eta^2\right) P_n^m\left(\xi_{<}\right) Q_n^m\left(\xi_{>}\right) P_n^m(\eta) P_n^m\left(\eta^{\prime}\right)\right. \\
\left.\times \cos \left[m\left(\phi-\phi^{\prime}\right)\right] \mathrm{d} \xi \mathrm{d} \eta \mathrm{d} \phi \mathrm{d} \xi^{\prime} \mathrm{d} \eta^{\prime} \mathrm{d} \phi^{\prime}\right]
\end{array}
$$

$$
\int_0^{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \cos \left[m\left(\phi-\phi^{\prime}\right)\right] \mathrm{d} \phi \mathrm{d} \phi^{\prime}=4 \pi^2 \delta_{m 0}
$$

于是
$$
\begin{aligned}
W & =\frac{\rho^2 a^5}{8 \pi \epsilon_0} \sum_{n=0}^{\infty}(2 n+1) 4 \pi^2 \\
& \times\left[\iint\left(\xi^2-\eta^2\right)\left(\xi^2-\eta^{\prime 2}\right) P_n\left(\xi_{<}\right) Q_n\left(\xi_{>}\right) P_n(\eta) P_n\left(\eta^{\prime}\right) \mathrm{d} \xi \mathrm{d} \eta \mathrm{d} \xi^{\prime} \mathrm{d} \eta^{\prime}\right]
\end{aligned}
$$

剩下的仅是关于Legendre函数的积分，
注意利用谐函数的正交关系，以及
$$
\begin{aligned}
& P_0(x)=1, \quad P_2(x)=\frac{1}{2}\left(3 x^2-1\right) \\
& Q_0(x)=\frac{1}{2} \ln \frac{x+1}{x-1}, \quad Q_2(x)=\frac{1}{4}\left(3 x^2-1\right) \ln \frac{x+1}{x-1}-\frac{2}{3}
\end{aligned}
$$

通过计算上述表 达式，

即可得到最终结果

$W=\frac{\rho^2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{8 \pi^2 a^2 b^4}{15 \sqrt{a^2-b^2}} \ln \frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{a-\sqrt{a^2-b^2}}$

对于一般的椭球 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ ，情况也是类似的，通过椭球坐标 $(\lambda, \mu, \nu)$ :
$$
\left\{\begin{aligned}
x^2 & =\frac{\left(a^2+\lambda\right)\left(a^2+\mu\right)\left(a^2+\nu\right)}{\left(a^2-b^2\right)\left(a^2-c^2\right)} \\
y^2 & =\frac{\left(b^2+\lambda\right)\left(b^2+\mu\right)\left(b^2+\nu\right)}{\left(b^2-c^2\right)\left(b^2-a^2\right)} \\
z^2 & =\frac{\left(c^2+\lambda\right)\left(c^2+\mu\right)\left(c^2+\nu\right)}{\left(c^2-a^2\right)\left(c^2-b^2\right)}
\end{aligned}\right.
$$

仿照上述计算过程，可以得到一般的均匀带电椭球电势能。