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黎昭宗

**黎昭宗**（越南語：**Lê Chiêu Tông**／黎昭宗，1506 年 11 月 18 日 —1527 年 1 月 9 日（統元五年十二月初八））本名**黎椅**（越南語：**Lê Y**／黎椅），又名**黎譓**，是越南後黎朝第十一任君主，1516 年至 1522 年在位。

## 生平

黎昭宗是莊定王黎漴之子，為鄭氏鸞所生。1516 年，黎襄翼帝因為暴虐，被鄭惟㦃殺死。鄭惟㦃欲立黎光治為帝，武佐侯馮邁卻提出要立黎椅為帝，被鄭惟㦃殺害。黎光治遂被擁立為帝。但不久黎光治被鄭惟㦃之兄鄭惟岱劫持到了西都清化，數日後被殺害。而襄翼帝被殺之事傳到安和侯阮弘裕耳中後，阮弘裕發兵進攻東都昇龍，鄭惟㦃只得擁立黎椅即位，是為昭宗，改元光紹（一作光照），隨後挾持黎椅退往西都。

農民軍首領陳暠得知昇龍空虛，率軍襲破了昇龍，宣佈恢復陳朝，改元天應。在黎昭宗的號召下，鄭惟㦃、阮弘裕、鄭綏、陳真等各路諸侯平定了陳暠之亂。但不久阮弘裕、鄭綏就因爭權而發生了軍事衝突，最後陳真驅逐了阮弘裕，執掌了昇龍的朝政。

陳真權勢太重，引起了黎昭宗的猜忌，黎昭宗於 1518 年將陳真誘入宮中暗殺。陳真的餘黨十分不滿，聯合鄭綏起兵作亂，先後擁立黎榜、黎槱為帝。黎昭宗不得不逃到了嘉林縣菩提津避難，召莫登庸前來救駕。次年莫登庸擊敗並殺死了黎槱，將陳真的餘黨收編為自己的黨羽，權勢越來越大，開始控制昇龍，執掌朝政。

莫登庸出入都使用天子的儀衛，引起黎昭宗的不滿。莫登庸也對黎昭宗十分警惕，派女兒入侍，實際是監視昭宗的行動。昭宗於 1522 年與西都的鄭綏書信相通，同范獻、范恕二人一起逃到了山西明義縣的夢山，號召天下諸侯討伐莫登庸。皇太后鄭氏鸞和弟弟黎椿都未及隨行，留在了昇龍。莫登庸遂宣稱黎昭宗被奸臣劫持到首都之外，另立黎椿為帝，是為黎恭皇。

黎昭宗出逃的時候本來有許多人支持，但由於聽信了宦官范田的讒言導致人心渙散。黎昭宗又殺死了鄭綏的部將阮伯紀，引起鄭綏的不滿，發動兵變將黎昭宗劫持到了西都清化，成為鄭綏的傀儡。

在莫登庸的主持下，黎恭皇廢黎昭宗為**陀陽王**（越南語：Đà Dương vương／陀陽王）。此後莫登庸曾兩次挾持黎恭皇進攻鄭綏，最終在 1525 年攻陷西都並殺死了鄭綏，將黎昭宗押往昇龍囚禁。

鄭綏的勢力被滅後，莫登庸篡位之心越來越強烈。1527 年，莫登庸指使范金榜將其殺害，葬於清潭縣（今青池縣）的永興陵。死後廟號**昭宗**，諡號**神皇帝**。黎昭宗死後不久，莫登庸就脅迫黎恭皇禪位，建立莫朝。

## 注釋

## 參考資料

* 《大越史記全書》，吳士連等著，陳荊和編校，東京大學東洋文化硏究所附屬東洋學文獻センター，昭和五十九年至六十一年（1959 年至 1986 年）出版。
* 《越南史略》（或譯《越南通史》），陳仲金著，戴可來中文翻譯，商務印書館 1992 年出版。ISBN 7100004543
黎昭昇

**黎昭昇**（英語：**Jamie Richards**，1989 年 8 月 18 日 —），綽號「昇哥」、「昇爺」，前譯李占美，是香港賽馬會所屬練馬師。

## 簡介

黎昭昇來自紐西蘭南島南部達尼丁市，他是當地頂級練馬師，並於 2014/2015 年度馬季獲紐西蘭賽馬會發出練馬師牌照，開始其從練生涯。他先後於 2015/2016 年度、2019/2020 年度、2020/2021 年度及 2021/2022 年度馬季四度登上紐西蘭冠軍練馬師寶座，當中他在 2020/2021 年度馬季勝出 160 場頭馬，刷新紐西蘭歷來一季勝出最多頭馬的紀錄。黎昭昇於紐西蘭合共勝出 53 場一級賽賽事，當中包括訓練出「旋律美人」、「投機法寶」、「狂鯊」、「薑汁脆餅」及「優越條件」等多匹星級戰駒。

2021 年 12 月 17 日，黎昭昇獲香港賽馬會牌照委員會發出 2022/2023 年度練馬師牌照，准許他該季開始在港開倉。

黎昭昇來港開倉首季，在馬季開鑼後一直按兵不動，直至 2022 年 10 月 5 日才首次派馬出賽。當天他於跑馬地馬場賽日派出「淺草飛」、「富存大師」及「亞洲籐王」三匹參戰馬，最終他憑「亞洲籐王」取得一席亞軍，首次在港派馬出戰上名。

2022 年 10 月 12 日，黎昭昇於跑馬地馬場憑黃俊策騎的「旋里多彩」（上手練馬師為徐雨石）勝出，贏得在港從練以來首場頭馬。

## 練馬師隸屬見習騎師

## 主要訓練馬匹

### 來港發展前

* 旋律美人 (**九項一級賽及一項表列賽冠軍**：卡拉卡百萬兩歲馬大賽 、馬拉華度育馬錦標、大捷龍錦標、溫莎園盾、懷卡托短途錦標賽、奧塔奇毛利錦標、紐西蘭錦標、春季經典賽、帝國玫瑰錦標 、唐頓一哩賽冠軍)
* 優越條件 (**七項一級賽及一項表列賽冠軍**：卡拉卡百萬兩歲馬大賽 、馬拉華度育馬錦標、電報讓賽、奧塔奇毛利錦標、紐西蘭錦標、火車路錦標、懷卡托短途錦標賽、紐西蘭育馬者錦標冠軍)
* 投機法寶 (**四項一級賽及兩項表列賽冠軍**：卡拉卡百萬兩歲馬大賽、卡拉卡百萬三歲馬大賽、環繞錦標、葉森讓賽、未來錦標、考菲爾德錦標冠軍)
* 薑汁脆餅 (**三項一級賽冠軍**：紐西蘭打吡大賽、玫瑰崗堅尼、溫莎園盾冠軍)
* 狂鯊 (**兩項一級賽冠軍**：懷卡托短途錦標賽、諾頓錦標冠軍)

### 來港發展期間

* 旋里多彩 (在港從練首場頭馬)

## 成就

* 紐西蘭冠軍練馬師 - (4) - (2015/2016 年度、2019/2020 年度、2020/2021 年度、2021/2022 年度馬季)

## 個人生活

黎昭昇的女友莊倩（Danielle Johnson）是紐西蘭著名女騎師，她現時在港替黎昭昇在晨課操練馬匹。

## 在港從練成績

## 在港從練資料

## 參考資料

## 外部連結
黎显宗

**黎顯宗**（越南語：Lê Hiển Tông／黎顯宗；1717 年 5 月 20 日 —1786 年 8 月 10 日），名**黎維祧**（越南語：Lê Duy Diêu／黎維祧），又名**黎維𥚻**，是越南後黎朝第二十四代君主，1740 年 —1786 年在位。

## 生平

黎顯宗生於永盛十三年四月初十日（1717 年 5 月 20 日），是黎純宗黎維祥之子，黎懿宗黎維祳之侄。龍德四年（1735 年），父親黎純宗去世，鄭杠捨棄皇子黎維祧，擁立黎懿宗繼位。永佑六年五月二十一日（1740 年 6 月 14 日），在新鄭主鄭楹的要求下，黎懿宗禪位，黎維祧繼位，改元景興，以生日為清和聖節，是為黎顯宗。

景興四十六年（1785 年），群臣上尊號**淵懿欽恭仁慈德壽皇帝**，同年九月，西山起義勢力日盛。

景興四十七年（1786 年）七月，冊封阮文惠為元帥扶正翊運威國公，但阮文惠卻對此冊封感到不悅，因此顯宗以公主黎玉昕嫁之。十七日戊午（8 月 10 日），他死於萬壽殿，壽七十歲，皇太孫黎維改名黎維祁即位，是為昭統帝。八月，葬於磐石陵。昭統元年（1787 年）七月，昭統帝上廟號**顯宗**，諡號**永皇帝**。

## 家庭

### 後宮

* 皇后陳氏，後被廢，景興四十七年（1786 年）十月，昭統帝追尊為貞順皇太后
* 昭儀阮氏玄，公主黎氏玉昕生母
* 昭儀阮氏綢，公主黎氏玉評生母

### 子女

黎顯宗有 30 子 23 女。

* 第二子皇太子 黎維禕
* 第四子崇讓公 黎維
* 此外，還包括三個皇子，後在昭統年間被砍腳，名字皆不詳。
* 第十七子：黎維𬓋
* 黎維安
* 黎維團
* 次女黎氏，嫁鄭棡幼子嚴郡公鄭𣏜
* 九女黎氏玉昕，嫁西山朝皇帝阮惠
* 十女黎氏玉評，初嫁西山朝皇帝阮光纘，後改嫁阮朝世祖阮福映

## 注釋
黎晏孜

**李昀璐**（英語：**Mia**，1993 年 3 月 17 日 —），是一位新生代女藝人，本名:**李昀璐**。2012 年參與電影上映後出正式出道。2014 參加「2014 新百大正妹」從數百名參賽者中脫穎而出獲選第 6 名。同年也獲選「東森潛力女神」封號以及成為「飛兒樂團」吉他手阿沁創辦之 TPI 台灣練習生為成員之一。
歷經一年多的殘酷淘汰賽後獲得優異評比成績第二名，但因個人生涯規劃婉拒簽約往演員之路邁進。

## 簡介

身高 168 公分，體重 43 公斤，擁有一雙讓女人忌妒、讓男人移不開目光的 103 公分超修長美腿，加上 32C、22、33 的魔鬼身材，就連閱妹無數的 Z9 都盛讚「叫 Mia 的都很性感火辣，清純的臉孔跟誘人小蠻腰，應該沒有人能抵抗這一型的正妹……。」。

參與多部電影、戲劇及微電影的演出。

2020 年拍攝《頭等艙的情人》，改名「Yanzee 黎晏孜」正式重新回到台灣發展演藝生涯。

 
現今以戲劇演出為主，也開始規劃發行個人 Ep，除了演藝事業外，本人積極參與時尚產業的活動，近期也躍升為品牌主理人，個人品牌「Apher」預計於 2022 年發行。

## 作品

* 2014 新百大正妹第 6 名
* 東森潛力女神
* Tpi 女團練習生第 2 名

### 節目錄影

* 中天《明星開麥拉》之美腿美眉！
* 中天《明星接班人》外景主持
* 中視《你猜你猜你猜猜猜》來賓
* 中視《超級歌喉讚》助理主持
* 衛視中文臺《歡樂智多星》來賓
* 衛視中文臺《一代女王》來賓
* 三立都會台《國光幫幫忙》來賓
* 緯來綜合臺《來自星星的事》來賓
* 華視《全⺠一起來》來賓
* 日本 ATTV 選拔節目來賓

### MV

* TPI《The moment》MV

### 微電影

* 東森灶咖 職場劇
  * 《膽小女孩的困擾》女主角
  * 《職場菜鳥的生存逆襲》 女主角
* 2015 教育部反毒微電影 《毒害了 愛還在》 女主角

### 雜誌

* 《Rola》日本旅遊雜誌 拍攝
* 《Enzo lin》 品牌專屬 model
* 《汽車百科雜誌》2015 年 7 月份 封面女郎

## 電視劇

## 電影

## 外部連結

* 黎晏孜 Zee 的 Facebook 專頁
* 黎晏孜的 Instagram 帳戶
* YouTube 上 Mia's Vlog （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
黎晓宏

**黎曉宏**（1953 年 3 月 —），湖北沙市人，中華人民共和國政治人物。

1979 年 11 月加入中國共產黨，中華人民共和國政治人物；曾任北京市人民政府秘書長、中央巡視工作領導小組成員、中央巡視工作領導小組辦公室主任。

## 生平

2004 年 8 月，任華夏證券股份有限公司董事長、黨委書記。2005 年 9 月，任中信證券董事、中信建投證券公司黨委書記、董事長。2007 年 3 月，任北京市政府秘書長、辦公廳主任。2010 年 1 月 27 日，增選為北京市政協副主席。2011 年 10 月，任中國證券監督管理委紀委書記、黨委委員。2013 年 10 月，任中央巡視工作領導小組辦公室主任。2017 年 9 月，不再擔任中央巡視工作領導小組辦公室主任。2018 年 1 月，當選第十三屆全國政協委員。

## 參考文獻
黎晓英

**黎曉英**（？—），女，漢族，中華人民共和國政治人物。現任民進中央委員、參政議政部部長。第十四屆全國政協委員。

## 參考資料
黎晨

**黎晨**（1494 年 —？年），字**光啟**，四川閬中縣人，直隸任丘縣民籍，治《詩經》，明朝政治人物。

## 生平

順天府鄉試第三十一名舉人。嘉靖八年（1529 年）中式己丑科會試第一百四十九名，登第二甲第二十八名進士。官至寧國府知府。

## 家族

曾祖黎真，曾任教授；祖父黎愷，曾任典史；父黎顒，曾任知州。母張氏；繼母王氏。

## 參考文獻
黎晭

**黎襄翼**（越南語：**Lê Tương Dực**／黎襄翼；1495 年 7 月 16 日（洪德二十六年六月二十五）—1516 年 5 月 8 日（洪順八年四月初七）），名**黎瀠**（越南語：Lê Oanh／黎瀠），又名**黎晭**（越南語：Lê Trừ／黎晭），諡號**襄翼帝**，是越南後黎朝第九任君主。他殺害威穆帝黎濬，改元洪順。

## 生平

襄翼帝早年被封**簡修公**（越南語：Giản Tu công／簡修公），後來在 1509 年殺威穆帝奪位。

襄翼帝當上皇帝後，初年能頒布教旨，敷敎愼罰，看起來即將大有作為，可是後來他卻和前任的威穆帝一樣，只是玩樂，不理政事，又大興土木，重役疲亡，在位期間國內史稱「小民失業，盜賊滋起」，中國明朝使者認為他貌美而身傾，諷稱他為「豬王」（越南語：Trư vương／豬王）。黎瀠任內有數次內亂，又聽從匠人武如蘇之言，大興土木，使得民眾困苦，士卒疲勞。最後他被一位大臣社堂燒香官陳皓及其子陳昺所弒，廢他為**靈隱王**（越南語：Linh Ẩn vương／靈隱王）。《大越史記全書》則是記載，陳暠造反，大臣鄭惟㦃趁機弒帝。昭宗即位後，於光紹二年五月二十八（1517 年 6 月 16 日）尊為**襄翼帝**。

《大越史記全書》記載：

襄翼帝妻子欽德皇后阮氏禱，同時被鄭惟㦃所弒，無子，僅有 3 個女兒，包括寶福公主。

## 家庭

### 妻妾

* 欽德皇后阮氏禱

### 子女

* 女
  1. 寶福公主黎壽肅
  2. 皇女黎壽元
  3. 皇女黎壽敬

## 參考文獻
黎景全

**黎景全**（英語：Kinson Lai King Chuen，5 月 28 日 —），香港男配音員。

## 簡歷

黎景全曾用藝名**黎健**。任職配音員之前，曾於無綫電視擔任製作助理。

2004 年入讀第 3 期無綫電視粵語配音藝員訓練班，同年 11 月加入無綫電視粵語配音組。

2007 年 11 月約滿後任職自由身配音員。

現時為皮克斯動畫、照明娛樂以及索尼動畫之動畫常駐配音撰稿及翻譯。

## 配音作品

* **粗體**表示者為作品中的主角或要角
* 首播年份以黎景全配演的角色首次出場的日子為依歸
* 已知於片中有演唱的角色在角色名後會加上♪符號

### 電視動畫／OVA

### 劇場版／動畫電影

### 特攝片

### 日劇

### 韓劇

### 中／港劇

### 台劇

### 歐美劇

### 電影

### 綜藝及資訊節目／紀錄片

## 外部連結

* 黎景全的 Instagram 帳戶
黎景嵩

**黎景嵩**，臺灣民主國乙未戰爭領導人之一、清朝官員，湖南湘陰人。

## 生平

黎景崧曾擔任清朝福建龍巖州知州、霞浦縣知縣以及末代臺灣知府、欽加四品銜台灣府正堂總理中路營務處。乙未戰爭時，因違背朝廷命令留在臺灣領導新楚軍抵抗日本接收，遭清廷革職。抗日戰敗自殺獲救後，於張之洞幕府擔任幕僚，晚年著有《臺海思痛錄》，署名「思痛子」，以記其事並抒發失臺之痛。

## 參考資料
黎景恂

**黎景恂**（越南語：Lê Cảnh Tuân／黎景恂，？—1416 年），一作**黎景詢**，字**子謀**，安南屬明時期學者。

## 生平

黎景恂為上洪州唐安縣慕澤社（今海陽省平江縣新鴻社慕澤村）人，祖籍淳祐縣老竦社（今清化省厚祿縣），陳朝諒江知府黎汝猷之子。陳廢帝昌符年間，黎景恂參加鄉試，中舉人，後又在太學生試中中選，為下齋。胡朝開大五年（1407 年），明朝侵略安南，推翻胡朝。然而，明朝卻以陳朝子孫絕滅為由，直接在安南設置郡縣。黎景恂作《萬言書》，獻給明朝任命的土官參議裴伯耆，有上、中、下三策，大意是：明國既然有詔書賜給裴伯耆，承諾胡氏被擒後選擇陳氏子孫繼位，以閣下為輔佐之臣。然而明朝卻直接設立布政使司，授予閣下高官，卻只給陳氏祭祀之人。閣下若能奏明官吏耆老，使明朝冊封陳氏，是上策；不能實現，就請求辭職，擔任陳氏的祠官，這是中策；如果閣下貪戀高官厚祿、苟且偷生，就是下策。

後來裴伯耆因貪污被明朝逮捕之後，在其家中搜查出此書信，因此明朝對黎景恂進行通緝。然而因為交趾局勢混亂，他已不知所蹤。後來明朝在交州府新設學校，他擔任教授。永樂九年（1411 年），黎景恂被明朝逮捕，押送金陵，關進錦衣衛監獄。黎景恂三個兒子追隨父親到鎮南關，都想陪父親前往金陵。黎景恂要長子黎太顛陪伴，而命令兩個小兒子黎少穎、黎叔顯回家，「奉祀以報君父之仇」。他在監獄裡被關了五年，與兒子黎太顛都病死在裡面。

黎少穎和黎叔顯回家後入學讀書，後被明朝官員黃福收為養子。

## 評價

* 武瓊《大越通鑑通考》：《萬言》之書，忠貫日月，《七斬》之疏，義動鬼神。
* 脫軒《詠史詩》：「上庠劍瑟一書生，三策拳拳許國情。萬里虜庭終不屈，父忠子孝兩成名。」
* 黎景恂玄孫黎光賁詩：「趨庭詩禮講明諳，自勵懸弧壯志酣。蹇蹇匪躬誠協一，拳拳許國策陳三。紀綱自任他奚恤，鼎鑊如飴死亦甘。纍世並蒙忠義報，光前事業振天南。」
* 嗣德帝《御製越史總詠集》：「三策慇懃筆吐華，還將教職奉陳家。金陵一去雙魂斷，未向深山問夢葩。」

## 子女

黎景恂有三子。

* 長子黎太顛，隨父前往金陵，病死獄中。
* 次子黎少穎，黎太祖時出使明朝，探聽父兄下落。
* 三子黎叔顯，任諒江鎮宣撫使。

叔顯孫黎鼐為後黎朝狀元，黎鼒為進士，黎鼐子黎光賁亦為進士。

## 參考文獻
黎景詢

**黎景恂**（越南語：Lê Cảnh Tuân／黎景恂，？—1416 年），一作**黎景詢**，字**子謀**，安南屬明時期學者。

## 生平

黎景恂為上洪州唐安縣慕澤社（今海陽省平江縣新鴻社慕澤村）人，祖籍淳祐縣老竦社（今清化省厚祿縣），陳朝諒江知府黎汝猷之子。陳廢帝昌符年間，黎景恂參加鄉試，中舉人，後又在太學生試中中選，為下齋。胡朝開大五年（1407 年），明朝侵略安南，推翻胡朝。然而，明朝卻以陳朝子孫絕滅為由，直接在安南設置郡縣。黎景恂作《萬言書》，獻給明朝任命的土官參議裴伯耆，有上、中、下三策，大意是：明國既然有詔書賜給裴伯耆，承諾胡氏被擒後選擇陳氏子孫繼位，以閣下為輔佐之臣。然而明朝卻直接設立布政使司，授予閣下高官，卻只給陳氏祭祀之人。閣下若能奏明官吏耆老，使明朝冊封陳氏，是上策；不能實現，就請求辭職，擔任陳氏的祠官，這是中策；如果閣下貪戀高官厚祿、苟且偷生，就是下策。

後來裴伯耆因貪污被明朝逮捕之後，在其家中搜查出此書信，因此明朝對黎景恂進行通緝。然而因為交趾局勢混亂，他已不知所蹤。後來明朝在交州府新設學校，他擔任教授。永樂九年（1411 年），黎景恂被明朝逮捕，押送金陵，關進錦衣衛監獄。黎景恂三個兒子追隨父親到鎮南關，都想陪父親前往金陵。黎景恂要長子黎太顛陪伴，而命令兩個小兒子黎少穎、黎叔顯回家，「奉祀以報君父之仇」。他在監獄裡被關了五年，與兒子黎太顛都病死在裡面。

黎少穎和黎叔顯回家後入學讀書，後被明朝官員黃福收為養子。

## 評價

* 武瓊《大越通鑑通考》：《萬言》之書，忠貫日月，《七斬》之疏，義動鬼神。
* 脫軒《詠史詩》：「上庠劍瑟一書生，三策拳拳許國情。萬里虜庭終不屈，父忠子孝兩成名。」
* 黎景恂玄孫黎光賁詩：「趨庭詩禮講明諳，自勵懸弧壯志酣。蹇蹇匪躬誠協一，拳拳許國策陳三。紀綱自任他奚恤，鼎鑊如飴死亦甘。纍世並蒙忠義報，光前事業振天南。」
* 嗣德帝《御製越史總詠集》：「三策慇懃筆吐華，還將教職奉陳家。金陵一去雙魂斷，未向深山問夢葩。」

## 子女

黎景恂有三子。

* 長子黎太顛，隨父前往金陵，病死獄中。
* 次子黎少穎，黎太祖時出使明朝，探聽父兄下落。
* 三子黎叔顯，任諒江鎮宣撫使。

叔顯孫黎鼐為後黎朝狀元，黎鼒為進士，黎鼐子黎光賁亦為進士。

## 參考文獻
黎晶

**黎晶**（英語：Regina Encarnacion Ansong Velasquez，1970 年 4 月 22 日 —），菲律賓女歌手、演員和唱片製作人。在馬尼拉出生。1984 年獲得 Ang Bagong Kampeon 冠軍。1989 年獲得亞廣聯歌唱大賽冠軍。1986 年，黎晶以 Chona 的名義與 OctoArts International 簽約，並發行了單曲 "Love Me Again"。1987 年，黎晶以 Regine Velasquez 為藝名，與 VIVA 唱片公司簽約，並發行了首張同名專輯，其中有單曲 "Kung Maibabalik Ko Lang" 和 "Urong Sulong"。

## 生平

## 外部連結

* Regine Velásquez 在網際網路電影資料庫（IMDb）上的資料（英文）
黎智

**黎智**（1922 年 4 月 22 日 —2001 年 8 月 18 日），原名**聞立志**，1941 年赴延安時，取「立志」諧音改名為黎智，男，湖北浠水人，中華人民共和國政治人物。

## 生平

黎智出身書香門第 —— 溪水聞氏。聞氏居於浠水縣巴河鎮的望天湖畔，乃當地大族。聞氏先祖是文天祥的旁系家族成員，南宋滅亡後，逃亡至浠水，改姓為聞。黎智的父親聞家驄與著名學者聞一多和聞家駟是同胞兄弟。

1938 年，16 歲的黎智在鄂西巴東野三關加入中國共產黨。1940 年高中畢業後先後擔任來鳳縣委宣傳部長、利川縣委組織部長。皖南事變後，代理利川縣委書記，後因躲避國民黨抓捕，經由重慶轉往延安學習。1945 年回重慶中共中央南方局工作，任青年組秘書。1948 年，平津戰役前後，黎智負責領導平津兩地學生運動，策反不少國民黨高級官員的親屬和朋友，對中共和平接收北平和順利攻占天津貢獻很大。他曾動員傅作義的女兒傅冬（原名傅冬菊）、老師劉厚同，以及傅作義部的少將聯絡處長李騰九等人勸說傅作義接受和平改編。天津戰役時，領導收集重要情報，使得共軍能在 29 小時內攻占天津，殲敵 13 萬，且對天津破壞很小。他還領導反對國民黨當局南遷工科院校、工廠設備、以及工程技術人員，使得戰後天津重要人力和技術資源得以較完整保留。

1949 年，中共奪取武漢後，黎智一直在武漢工作，歷任中南局青委委員、武漢青委副書記、團市委書記、中南局團工委副書記、武漢市委宣傳部副部長、市委秘書長、市委常委、礄口區委第一書記、武漢市委候補書記兼工業部部長、市經委主任。1955 年擔任市委宣傳部副部長期間，曾兼任長江日報社社長。1978 年，黎智擔任工程總投資高達 40 多億元的武鋼一米七工程的指揮部常務書記、副指揮長。1980 年 7 月至 1981 年 3 月任武漢市代市長；1981 年 3 月至 1983 年 3 月任武漢市長。他還擔任過市委副書記兼市體改委主任，市人大常委會主任、黨組書記等職。2001 年在武漢逝世。

## 家庭

黎智的第一任妻子為魏克，在 1982 年病逝。他後來又與趙慧結為夫妻。有子女：聞心慧、聞心悅。

## 參考文獻
黎暄

**黎中宗**（越南語：Lê Trung Tông／黎中宗，1535 年 —1556 年 3 月 5 日（順平八年正月二十四）），名**黎暄**（越南語：Lê Huyên／黎暄），《明史》稱黎寵。他是越南後黎朝第十四代皇帝，復興後黎朝的黎莊宗的長子。元和十八年（1548 年），黎莊宗去世，十四歲的黎暄在清化繼位，改元順平。權臣鄭檢主持朝政。順平八年（1556 年），二十二歲的黎暄駕崩，廟號中宗，沒有兒子。鄭檢擁立後黎朝開國皇帝黎利的哥哥黎除的五世孫黎維邦做皇帝。太祖黎利一脈就此斷絕，他的後代再也沒有做皇帝。

## 年號

* 順平 1549 年 —1556 年

## 參考文獻
黎暉

**黎憲宗**（越南語：Lê Hiến Tông／黎憲宗；1461 年 —1504 年 7 月 5 日（景統七年五月二十四））名**黎鏳**（越南語：Lê Tăng／黎鏳），又名**黎暉**（越南語：Lê Huy／黎暉），是越南後黎朝第六任君主，1498 年 —1504 年在位。

## 生平

黎憲宗是黎聖宗之子，自小因聰明睿智而被聖宗所奇愛。其繼聖宗之後，也可稱一代明君，但他又與其父一樣有「女謁盛」的問題，以致在位短淺就身嬰重疾，英年早逝。

即位後，他為人仁慈溫和，不為嚴毅，曾經召見士大夫詢訪朝政得失，並用言辭引導他說出真話，使達下情，決壅蔽。另外在黎朝歷史中憲宗也算得上是一位仁君，臣下有過失，往往只是薄示戒責，不忍輟加笞辱，有所處罰。總體而言憲宗在位期間好文守成，節用愼罰，修政任賢，敬天勤民，是一位守成之主，大越史記全書也稱其為「賢主」。而同時期冊封往來的中國使者梁儲也讚賞黎憲宗「今日仰見國王，年長眞聖人相，眞長壽相，實天南生靈之福，何其博學應事捷敏之速」。

在政治上憲宗認為「聖祖肇造區夏，皇父內修外攘，規已定，吾無事乎更張，惟遵守成憲，充擴而光大之，以宣昭我祖考之德而已」，因此政策無甚更張，但其於文治尤其是農業民政上特別關注，不但加意勸課官民，又令疏導河流，開鑿溝渠，鋪設道路，建造水車，以便農耕，算是有所作為，政績斐然，可惜僅在位七年而逝世。

他逝世後廟號**憲宗**，諡號**體天凝道懋德至仁昭文紹武宣哲欽聖彰孝睿皇帝**。

## 妻妾

* 莊順皇太后阮氏環
* 昭仁皇太后阮氏瑾
* 廉皇后枚氏玉鼎
* 貴妃裴氏
* 敬妃阮氏

## 子女

### 子

1. 安王 黎洵，庶子，母枚氏玉鼎。
2. 威穆帝 黎濬
3. 黎肅宗 黎敬甫
4. 通王黎溶，母裴貴妃。
5. 明王黎治，母不詳。
6. 思王黎瀁，母不詳。

## 腳注
黎曉宏

**黎曉宏**（1953 年 3 月 —），湖北沙市人，中華人民共和國政治人物。

1979 年 11 月加入中國共產黨，中華人民共和國政治人物；曾任北京市人民政府秘書長、中央巡視工作領導小組成員、中央巡視工作領導小組辦公室主任。

## 生平

2004 年 8 月，任華夏證券股份有限公司董事長、黨委書記。2005 年 9 月，任中信證券董事、中信建投證券公司黨委書記、董事長。2007 年 3 月，任北京市政府秘書長、辦公廳主任。2010 年 1 月 27 日，增選為北京市政協副主席。2011 年 10 月，任中國證券監督管理委紀委書記、黨委委員。2013 年 10 月，任中央巡視工作領導小組辦公室主任。2017 年 9 月，不再擔任中央巡視工作領導小組辦公室主任。2018 年 1 月，當選第十三屆全國政協委員。

## 參考文獻
黎曉陽

**黎曉陽**（**Michael Lai Hiu Yeung**，1992 年 3 月 16 日 —），香港創作歌手。從街頭走到舞台，以吉他伴奏唱彈演出；2020 年因到美國進修而暫別香港樂壇，直至 2022 年仍然沒有新歌發佈的消息。

## 簡歷

從小熱愛唱歌，於 2009 年嬴得 18 區超新聲歌唱比賽冠軍，以及於海港城 Battlestage 歌唱比賽嬴得亞軍。

中七畢業後，黎曉陽毅然放下書包，全情投入音樂之路，過程中擔任著名音樂人陳輝陽的私人助理之餘，並自學吉他，學習自彈自唱。

苦練幾個月後，偶然一次機會在街上看到有人在街頭演唱，於是他鼓起勇氣詢問對方可否給他嘗試一下，於是做了人生第一次的街頭演出，從此便開始了數年在街頭演唱的生涯。

初期是個人表演，黎曉陽於十八歲那年創作了第一首由自己作曲、填詞的作品《Cope With Life》。

至 2012 年 5 月，黎曉陽與三位志同道合的音樂愛好者組成了「傻喇士多 – Sollasedo」，擔任主音及吉他手，逢星期五、六於街頭演唱，一致為著真誠的音樂和開放公共空間而努力。

2013 年參與 MOOV《與你音樂同路》廣告。在兩年間黎曉陽在不同地方作表演及街頭即興音樂演出，憑著清澈柔和的聲線，逐漸建立個人演繹風格。這段時間，他遇到不少伯樂如音樂創作人馮穎琪、謝國維等，他們慢慢帶他走上獨立歌手之路。

被他街頭及現場表演的真摯和熱情打動，Michael 亦多次被邀請於各類活動作特別演出，包括李志清注目速寫作品展、亞洲國際博覽館之張學友世界巡迴演唱會（香港站）Soliton Live 以及 Jason Mraz 「Tour is a Four Letter Word」 Pre-show 等。

2014 年，黎曉陽出版首張 CD Single《天行者》。並於同年創作及發表了單曲《撐著》。

2015 年，透過群眾募資，黎曉陽開了第一個音樂會，投資者包括王菲的女兒竇靖童與黃子華。並發行其第二張 CD《上上下下左右左右 BA Start》。

同年亦為電影《陪安東尼度過漫長歲月》主題曲作曲，歌名為《陪你度過漫長歲月》，英語版本為《Sleep alone》，由陳奕迅主唱。

2016 年，有幸參演電影《暗色天堂》。6 月簽約寰亞唱片成旗下歌手。同年 11 月 25 日，受邀成為 Clockenflap 音樂及藝術節其中一名表演歌手。

2017 年 12 月，發行第三張 CD《Some Things I Keep to Myself Some Things I Share》，並於同月 15 日舉行新碟 Launch Party。

2018 年 4 月，推出單曲《My England Ain't No Good》，以幽默手法描寫香港人日常使用的港式英語。

2020 年 3 月 16 日，出版第四張個人專輯《Before I Forget》。黎曉陽原本計劃在電車上舉行音樂會；然而遇上新冠肺炎，他便另覓其他方法。此外，黎更計劃在同年 5 月到美國進修瑜伽；派台歌曲《黑鏡》為其暫別作。黎曉陽在音樂份子和寰亞唱片的合約都隨著他到美國進修而結束，及後遊覽墨西哥，在 2022 年 11 月暫時回港，至 3 月下旬再離開香港回到墨西哥。

## 音樂作品

### 個人專輯

### 未收錄在專輯之歌曲

* 愛與夢飛行（2012 年）
* 伴你度過漫長歲月（2015 年）
* 請你關掉手提電話（2016 年）
* 敗部（2016 年）
* My England Ain't No Good（2018 年）
* GOST（2019 年）

### 派台歌曲成績

* （\*）仍在榜上
* （-）未能上榜
* （×）沒有派往該台
* （**(1)**）兩週冠軍
* **^** 註解 a：包括 2020 年後的冠軍歌曲
* **^** 註解 b：2020 年起

## 創作作品列表

### 2013 年

### 2014 年

### 2015 年

### 2016 年

### 2017 年

### 2018 年

### 2019 年

## 演出

### 主持電台節目

**2016 年**

* 香港電台第二台︰廢青自修室

### 電影

**2016 年**

* 暗色天堂

### 音樂會及現場表演

**2016 年**

* 2016 年 10 月 6 日 Dr.Martens Stand for something Hong Kong 2016
* 2016 年 11 月 25 日 Clockenflap 音樂及藝術節

### 電視節目

**2016 年**

* Busking 不停音樂

**2020 年**

* Chill Club
* 地產仔

### 微電影

**2015 年**

* 第二屆【微電影「創 + 作」支援計劃（音樂篇） - 《女神・搖滾・珍寶珠》

## 獎項

## 註釋

## 參考文獻

## 外部連結

* 黎曉陽的 Facebook 專頁
* YouTube 上的黎曉陽頻道
黎曙镇

**黎曙鎮**，是中華人民共和國四川省綿陽市三台縣下轄的一個建制鎮。2019 年 12 月，撤銷黎曙鎮，將其所屬行政區域劃歸金石鎮管轄。

## 行政區劃

黎曙鎮下轄以下地區：

社區、​旗山村、​寨山村、​土城村、​黎曙長興村、​黎福村、​黎曙村、​字庫村和佛岩村。

## 參考資料
黎曠

**黎曠**（越南語：Lê Khoáng；？—？年農曆十月二十八），是越南後黎朝開國君主黎利之父親。

明朝宣德三年（1428 年）三月，時為平定王的黎利追尊父親諡號為**憲文皇帝**，廟號**宣祖**。

紹平四年二月十五日乙亥（1437 年 3 月 21 日），孫黎元龍加黎曠諡為**憲文睿哲皇帝**，最終累諡為**憲文睿哲福皇帝**，陵墓號佛皇陵。

## 諡號問題

《欽定越史通鑑綱目》記載：順天元年三月，追尊黎曠為「憲文福皇帝」，廟號「宣祖」。但《大越史記全書》則只載「宣祖皇帝」，沒有提到「憲文福」二字諡號。四月二十日，稱帝後的黎利頒佈廟諱御名，稱其為「宣祖憲文皇帝」，顯然廟號諡號已在三月加尊。參考後黎朝諸帝藍山陵碑，聖宗之前，諸帝諡號都無一字簡諡。大致可知，聖宗以前，黎朝並無加尊一字簡諡的規定，所以黎曠的「福」字簡諡應當是後來追加。

## 家族

* 妻 貞慈懿文莊獻皇太后鄭氏玉蒼
* 長子 昭孝大王黎學
* 次子 弘裕王黎除
  * 五世孫：黎英宗
* 三子 黎太祖黎利

## 參考文獻
黎曦庭

**黎曦庭**（英語：Timothy F."Tim" LaHaye，1926 年 4 月 27 日 —2016 年 7 月 25 日），美國福音派基督教牧師、作家、演說家。著作出版的各類書籍達 50 餘冊，最為著名的作品 1995 年開始為與曾健時（Jerry B. Jenkins）合著的末日迷蹤系列小說。

## 外部連結

* 黎曦庭在網際網路電影資料庫（IMDb）上的資料（英文）
* 個人網站
* 末日迷蹤系列作品網站（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
黎曰造

**黎曰造**（越南語：**Lê Viết Tạo**／黎曰造；1876 年 —？年），越南阮朝官員。

## 生平

黎曰造是清化省河中府弘化縣慈光總月圓社（今屬清化省清化市弘光社月圓村）人，嗣德二十九年（1876 年）出生。維新三年（1909 年），參加清化場鄉試，考中解元。啟定四年（1919 年），會試中格，庭試考中副榜。後任刑部承派。

## 注釋
黎曼

**格奧爾格・弗雷德里希・伯恩哈德・黎曼**（德語：Georg Friedrich Bernhard Riemann，德語：[ˈʁiːman] （ 聆聽），1826 年 9 月 17 日 —1866 年 7 月 20 日）德國數學家，黎曼幾何創始人，複分析創始人之一。在實分析領域，他最著名的貢獻是第一個嚴格的積分公式：黎曼積分以及他關於傅立葉級數的工作。他在 1859 年發表的關於素數計數函數的著名論文包含了黎曼猜想的原始陳述，其被認為是解析數論中最具影響力的論文之一。通過對微分幾何的開拓性貢獻，黎曼奠定了廣義相對論數學的基礎。

## 生平

他出生於漢諾瓦王國（今德國下薩克森）的小鎮布雷瑟倫茨。他的父親弗雷德里希・伯恩哈德・黎曼是當地的路德會牧師，曾參加拿破崙戰爭。他在六個孩子中排行第二。黎曼從小就表現出非凡的數學技能，例如計算能力，但害怕在公共場合演講。

1840 年，黎曼搬到漢諾瓦和祖母生活並進入中學學習。1842 年祖母去世後，他搬到呂訥堡的約翰內烏姆學校（Johanneum）。1846 年，按照父親的意願，黎曼進入哥廷根大學神學院學習哲學和神學。在此期間他去聽了一些數學講座，包括高斯關於最小二乘法的講座。在得到父親的允許後，他改學數學。

1847 年春，黎曼轉到柏林大學，投入雅可比、狄利克雷和雅各布・施泰納門下。兩年後他回到哥廷根大學任教。

1851 年黎曼獲博士學位。

1854 年他做了第一次演講，《論作為幾何基礎的假設》，正式開創了黎曼幾何，並為後續愛因斯坦提出的廣義相對論提供了數學基礎。他在 1857 年升為哥廷根大學的編外教授，並在 1859 年狄利克雷去世後作為狄利克雷的繼承人任正教授。他也是第一個建議用高於三維或四維描述物理現實的人。

1862 年他與埃莉澤・科赫（Elise Koch）結婚，由於患肺病，開始了療養生活。

1866 年，漢諾威王國和普魯士王國的軍隊在哥廷根發生衝突，黎曼逃離了那裡。他在第三次去義大利王國的途中因肺結核在塞拉斯卡（Selasca）去世，他被埋葬在此地的公墓。

## 貢獻

他的名字出現在黎曼 ζ 函數，黎曼積分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映射定理，黎曼 - 希爾伯特問題，柯西 - 黎曼方程，黎曼曲面中。

## 參看

* 黎曼積分
* 黎曼猜想
* 黎曼張量
* 《對可用高斯級數表示的函數的理論的補充》

## 參考文獻

## 注釋

## 外部連結

* 伯恩哈德・黎曼在數學譜系計畫的資料。
* 黎曼的數學論文（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 黎曼的所有出版物可以在 這裡（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 找到
* 約翰・J・奧康納； 埃德蒙・F・羅伯遜, Riemann, MacTutor 數學史檔案 （英語）
黎曼-勒贝格定理

在數學分析中，**黎曼 - 勒貝格定理**（或**黎曼 - 勒貝格引理**、**黎曼 - 勒貝格積分引理**）是一個傅立葉分析方面的結果。這個定理有兩種形式，分別是關於周期函數（傅立葉理論中關於傅立葉級數的方面）和關於在一般實數域 $\mathbb {R} $ 上定義的函數（傅立葉變換的方面）。在任一種形式下，定理都說明了可積函數在傅立葉變換後的結果在無窮遠處趨於 0。這個結果也可以適用於局部緊緻的阿貝爾群。

## 歷史

波恩哈德・黎曼發表這個定理的最初版本是在公元 1854 年，作為他為哥廷根大學的特許任教資格進行的答辯的關於三角級數的論文《論函數之三角級數表示》（Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe）中的一部分。在這一篇答辯論文中，黎曼首先定義了現在以他的名字命名的黎曼積分。在黎曼積分的理論基礎上，黎曼得出了許多與傅立葉級數相關的結果，其中包括了黎曼 - 勒貝格定理。在黎曼逝世後的第二年（1867 年），這篇答辯論文被收錄在《黎曼著作集》中發表，1873 年被翻譯成法語。

## 定理的敘述

### 實數函數

設 $f$ 為一個在實數域 $\mathbb {R} $ 的區間 $\mathbb {I} $ 上定義的 L1 可積函數，取值為實數或複數。那麼有

　
: $\lim _{s\to \pm \infty }\int _{I}f(t)\,e^{-ist}\,dt=0$

在傅立葉分析中，可以將定理中的表達式變成相關的概念。

* 當區間 $\mathbb {I} $ 是 $[0,2\pi ]$ 的時候，黎曼 - 勒貝格定理變為

　
: $\lim _{n\to \pm \infty }\int _{I}f(t)\,e^{-int}\,dt=0$

其中的 **n** 是整數。因此，對於周期是 $2\pi $ 的局部可積的周期函數，其對應的傅立葉級數的係數 $c_{n}(f)$ 在 **n** 趨於正無窮或負無窮時都會趨於 0。比如說對於分段連續的函數，以上結果就是成立的。

* 當區間 $\mathbb {I} $ 包括了整個實數軸 $(-\infty ,\infty )$ 的時候，黎曼 - 勒貝格定理則說明函數的傅立葉變換在無窮遠處等於 0。

　
: $\lim _{s\to \pm \infty }{\hat {f}}(s)=\lim _{s\to \pm \infty }\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\,e^{-ist}\,dt=0$

### 抽象調和分析

設 $G$ 為一個局部緊緻的阿貝爾群（空間的可分性已經被緊性保證），而 ${\hat {G}}$ 為其對偶群。給定一個定義域為 $G$ ，而取值為實數或複數域的函數 $f$ ，並假設 $f$ 在哈爾測度下在 $G$ 上可積。那麼 $f$ 的傅立葉變換在 ${\hat {G}}$ 的無窮遠處為 0。

## 證明

定理的證明大致是基於一類基本或初等的函數在可積函數集合 $\mathbf {L} ^{1}(\mathbb {R} )$ 中的稠密性。這些函數都是能夠簡單的推出定理的成立，例如階梯函數或足夠光滑的函數（如 $C^{1}$ 的函數）。

證明的思路是首先證明對一類簡單的函數定理成立，然後再利用這一類函數在可積函數函數集合中的稠密性，將每個可積函數看成是一列此類函數的極限，於是由函數的可積性可以使用勒貝格控制收斂定理，證明對於一般可積函數的情況。
例如，對於在某個區間 [_a_, _b_] 上連續可導的函數（即 $C^{1}$ 的函數），運用分部積分法可以很容易地證明定理成立。運用分部積分法可以得到：

　
: $\int _{a}^{b}f(t)e^{-ist}\,\mathrm {d} t={\frac {i}{s}}f(b)e^{-isb}-{\frac {i}{s}}f(a)e^{-isa}-{\frac {i}{s}}\int _{a}^{b}f'(t)e^{-ist}\,\mathrm {d} t$

　
: ${\begin{aligned}\left\|\int _{a}^{b}f(t)e^{-ist}\,\mathrm {d} t\right\|&={\frac {1}{s}}\left\|f(b)e^{-isb}+f(a)e^{-isa}+\int _{a}^{b}f'(t)e^{-ist}\,\mathrm {d} t\right\|\\&\leq {\frac {1}{s}}\left(\left\|f(b)\right\|+\left\|f(a)\right\|+\int _{a}^{b}\left\|f'(t)\right\|\,\mathrm {d} t\right)\end{aligned}}$

 
由於 $f$ 是 $C^{1}$ 的函數， $f'$ 有界，於是以上括號中的三項都是有限的，因此當 $s$ 趨於無窮的時候，式子趨於 0。

對於階梯函數，經過類似的計算，也可以容易地證明定理成立。而由於緊支撐的階梯函數的集合（或 $C^{1}$ 函數的集合）在所有可積函數集合 $\mathbf {L} ^{1}(\mathbb {R} )$ 中是稠密的，於是只要將每個可積函數 $f$ 看成是一列緊支撐階梯函數（或 $C^{1}$ 函數）的極限，那麼根據勒貝格控制收斂定理，就有：

　
: ${\begin{aligned}\lim _{s\to \infty }\int _{I}f(t)e^{-ist}\mathrm {d} t&=\lim _{s\to \infty }\int _{I}\lim _{n\to \infty }f_{n}(t)e^{-ist}\mathrm {d} t=\lim _{s\to \infty }\lim _{n\to \infty }\int _{I}f_{n}(t)e^{-ist}\,\mathrm {d} t\\&=\lim _{n\to \infty }\lim _{s\to \infty }\int _{I}f_{n}(t)e^{-ist}\,\mathrm {d} t=0\end{aligned}}$

## 參考來源
黎曼-斯蒂尔吉斯积分

**黎曼－斯蒂爾傑斯積分**（英語：Riemann-Stieltjes integral）是數學中的一種「積分」概念，是對黎曼積分的推廣。

黎曼－斯蒂爾傑斯積分有數種定義方式，但不是每種定義方式都是彼此等價的。

## 定義

和黎曼積分一樣，黎曼－斯蒂爾傑斯積分的定義依賴對區間分割的定義。

### 區間的分割

一個閉區間 $[a,b]$ 的一個**分割** P 是指在此區間中取一個有限的點列 $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b$ 。每個閉區間 $[x_{i},x_{i+1}]$ 叫做一個**子區間**。這些子區間長度的最大值 $\lambda $ 為： $\lambda :=\max\{\,x_{i+1}-x_{i}\mid 0\leq i\leq n-1\,\}$ 。

定義**取樣分割**。一個閉區間 $[a,b]$ 的一個取樣分割是指分割 $P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}$ 再加上一組有限點， $\{a\leq t_{0}\leq t_{1}\leq ,\cdots ,\leq t_{n-1}\leq b\}$ ，其中 $t_{i}\in [x_{i},x_{i+1}]$ 對所有 $0\leq i\leq n-1$ 。

**精細化分割**：設 $x_{0},\ldots ,x_{n}$ 以及 $t_{0},\ldots ,t_{n-1}$ 構成了閉區間 $[a,b]$ 的一個取樣分割， $y_{0},\ldots ,y_{m}$ 和 $s_{0},\ldots ,s_{m-1}$ 是另一個分割。如果對於任意 $0\leq i\leq n$ ，都存在 $r(i)$ 使得 $x_{i}=y_{r(i)}$ ，並存在 $r(i)\leq j\leq r(i+1)$ 使得 $t_{i}=s_{j}$ ，那麼就把分割： $y_{0},\ldots ,y_{m}$ 、 $s_{0},\ldots ,s_{m-1}$ 稱作分割 $x_{0},\ldots ,x_{n}$ 、 $t_{0},\ldots ,t_{n-1}$ 的一個**精細化分割**。簡單來說，就是說分割 $y_{0},\ldots ,y_{m}$ 、 $s_{0},\ldots ,s_{m-1}$ 是在分割 $x_{0},\ldots ,x_{n}$ 、 $t_{0},\ldots ,t_{n-1}$ 的基礎上添加一些分點和標記。(即是說「設 $P=\{a=x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},x_{n}=b\}$ 是閉區間 $[a,b]$ 的一個分割，若分割 $P'$ 是分割 $P$ 的一個精細化分割，則 $P\subseteq P'$ ，也就是說，分割 $P$ 是分割 $P'$ 的子集」)

於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係，稱作「精細」。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割，就說前者比後者更「精細」。

### 黎曼－斯蒂爾傑斯和

對一個在閉區間 $[a,b]$ 有定義的實值函數 $f$ ，其對於函數 $g$ 關於分割

　
: $P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}$

的**黎曼－斯蒂爾傑斯和**，規定為下式：

　
: $S(P,f,g)=\sum _{i=0}^{n-1}f(c_{i})\cdot \left(g(x_{i+1})-g(x_{i})\right)$

和式中的 $c_{i}\in [x_{i},x_{i+1}],\,0\leq i\leq n-1$ 。

### 黎曼－斯蒂爾傑斯積分

當注意的是。這兩個定義在黎曼－斯蒂爾傑斯積分的情況下，並不完全等價，以第一種定義可推出其存在的積分，必能以第二種定義推出其存在，但以第二種定義方式可推出其存在的積分不一定能以第一種定義的方式來計算。

#### 第一種定義

 $A\in \mathbb {R} $ 是函數 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 上對函數 $g$ 的黎曼－斯蒂爾傑斯積分的值，若且唯若對任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $\delta >0$ ，使得對任意的分割 $\scriptstyle P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}$ ，只要這分割的子區間最大長度滿足 $\lambda \leq \delta $ 且對任意的 $\scriptstyle c_{i}\in [x_{i+1},x_{i}],\;0\leq i\leq n-1$ ，有：

　
: $\left|S(P,f,g)-A\right|<\epsilon .\,$

#### 第二種定義

 $A\in \mathbb {R} $ 是函數 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 上對函數 $g$ 的黎曼－斯蒂爾傑斯積分的值，若且唯若對於任意的 $\epsilon >0$ ，存在分割 $P_{\epsilon }$ ，使得對任何比 $P_{\epsilon }$ 還要「精細」的分割 $\scriptstyle P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}$ 跟任意選取的 $\scriptstyle c_{i}\in [x_{i+1},x_{i}],\;0\leq i\leq n-1$ ，都有：

　
: $\left|S(P,f,g)-A\right|<\epsilon .\,$

若一個函數 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 上對函數 $g$ 的黎曼－斯蒂爾傑斯積分存在，且值為 $A$ ，則可寫作 $A=\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x).$

## 與黎曼積分間的關聯

若 $\,g(x)=x\,$ 時， $\,f\,$ 在閉區間 $\,[a,b]\,$ 上對函數 $\,g\,$ 的黎曼－斯蒂爾傑斯積分

　
: $\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)$

即為 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 上的黎曼積分

　
: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ ，

故從黎曼－斯蒂爾傑斯積分可引出黎曼積分。

若 $\,g(x)\,$ 可微且其對 $\,x\,$ 微分後的函數 $\,g'(x)\,$ 在閉區間 $\,[a,b]\,$ 連續，則 $\,f\,$ 在閉區間 $\,[a,b]\,$ 上對函數 $\,g\,$ 的黎曼－斯蒂爾傑斯積分

　
: $\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)$

與黎曼積分

　
: $\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx$

相等。

## 參見

* 黎曼積分
* 有界變差

## 參考文獻

* Mathematical Analysis second edition, Tom M. Apostol, Pearson Education Taiwan Ltd.
* Rudin, Walter, Principles of mathematical analysis Second, New York: McGraw-Hill, 1964 .
黎曼-罗赫定理

**黎曼–羅赫定理**（Riemann–Roch theorem）是數學中的一個重要工具，在複分析和代數幾何中的應用尤為廣泛。利用該定理，可計算具有指定零點與極點的亞純函數空間的維數。它將具有純拓撲虧格 _g_ 的連通緊黎曼曲面上的複分析以某種方式可轉換為純代數設置。

此定理最初是**黎曼不等式**，對黎曼曲面的確定形式由黎曼早逝的學生古斯塔・羅赫於 1850 年代證明。隨後推廣到代數曲面，高維代數簇，等等。

## 一些數據

我們從一個虧格 _g_ 的連通緊黎曼曲面開始，在上面取定一點 _P_。我們想知道極點只在 _P_ 的函數。這是向量空間的一個遞增序列：沒有極點的函數（即常值函數），在 _P_ 有單極點，在 _P_ 點最多有兩個極點，三個極點…… 這些空間都是有限維的。在 _g_=0 我們可知維數的序列前幾項為

　
: 1, 2, 3, ...:

這可由部分分式理論得出。反之，如果此序列開始為

　
: 1, 2, ...

則 _g_ 必然是零（所謂黎曼球面）。

由橢圓函數理論知，_g_=1 時此序列是

　
: 1, 1, 2, 3, 4, 5 ...

且這也刻畫了 _g_=1 情形。當 _g_ > 2 時，序列前端不是固定的；但我們可以確定此序列的後端。我們也可以看到為什麼 _g_=2 的情形是特殊的，由超橢圓曲線理論，其序列開始幾項為

　
: 1, 1, 2, ...

這些結論為何具有這種形式可以追溯到此定理的表述（羅赫的部分）：兩個維數之差。當其中一個可以為零，我們得到一個確定的公式，對虧格與度數（即自由度的個數）是線性的。這些例子已經可重構出如下形式

　
: 維數 − 修正項 = 度數 − _g_ + 1。

對 _g_ = 1，修正項當度數為 0 時是 1；其它情形是 0。整個定理說明修正項是函數空間的一個「補空間」的維數。

## 定理的陳述

用現代記法，虧格為 _g_ 的緊黎曼曲面與一個典範除子 _K_ 的黎曼–羅赫定理表述為：

　
: _l_(_D_) − _l_(_K_ − _D_) = _deg_(_D_) − _g_ + 1.

這對所有除子 _D_ 均成立。除子是曲面上點的自由阿貝爾群中一個元素。等價地，一個除子是曲面上一些點的整係數線性組合。

我們定義一個亞純函數 _f_ 的除子為

　
: $(f):=\sum _{z_{\nu }\in R(f)}s_{\nu }z_{\nu }$

這裡 _R_(_f_) 是所有零點與極點的集合，而 _sν_ 定義為

　
:

我們類似地定義一個亞純 1 - 形式的除子。一個整體亞純函數的除子叫做主除子。相差一個主除子的兩個除子稱為線性等價。一個整體亞純 1 - 形式的除子叫做典範除子（通常記作 _K_）。任何兩個亞純 1 - 形式都是線性等價的，所以典範除子在線性等價的意義下是惟一的。

符號 _deg_(_D_) 表示除子 _D_ 的度數，即在 _D_ 中出現的係數之和。可以證明一個整體亞純函數的除子的度數總是 0，所以除子的度數隻取決於線性等價類。

數 _l_(D) 是首先感興趣的量：使得 (_h_) + _D_ 的所有係數都是非負的曲面上亞純函數 _h_ 組成的向量空間的維數（在 **C** 上）。直覺上，我們可以將其想像為在每一點處的極點不比 _D_ 中對應係數更壞的所有亞純函數；如果在 _z_ 處 _D_ 的係數是負數，則我們要求 _h_ 在 _z_ 處至少有那個重數的零點；如果 _D_ 的係數是正數，_h_ 最多有那個階數的極點。線性等價的除子相應的向量空間通過乘以那個整體亞純函數（這在差一個常數下是良定義的）是自然同構的。

即便我們對 _K_ 一無所知，我們知道**特殊性指標**（**index of speciality**）（上文所說的修正項）

　
: _l_(_K_ − _D_) ≥ 0,

所以

　
: _l_(D) ≥ _deg_(_D_) − _g_ + 1

這就是早先提到的**黎曼不等式**。

上面定理對所有緊連通黎曼曲面都成立。這個公式對一個代數閉域 _k_ 上所有非奇異射影代數曲線也成立。這裡 _l_(_D_) 表示在每一點的極點不壞於 _D_ 中對應係數的曲線上有理函數空間的維數（在 _k_ 上）。

為了將其與我們上面的例子聯繫起來，我們需要 _K_ 的一些信息：對 _g_=1 我們可取 _K_=0，而對 _g_=0 可取 _K_ = −2_P_ （任何 _P_）。一般地 _K_ 的度數是 2_g_ − 2。只要 _D_ 的度數至少是 2_g_ − 1 我們可確保修正項是 0。

回到 _g_= 2 的情形我們可知上面提到的序列是

　
: 1, 1, ?, 2, 3, ... .

由此知度數為 2 的不確定項是 1 或 2，當然與點的選擇有關。可以證明任何虧格為 2 的曲線恰有六個點的序列是 1, 1, 2, 2, ... 而其它一般點的序列是 1, 1, 1, 2, ...。特別地，一個虧格 2 曲線是超橢圓曲線。對 _g_>2 幾乎所有點的序列以 _g+1_ 個 1 開始，只有有限個點為其它序列（參見魏爾斯特拉斯點）。

## 推廣

**曲線的黎曼–羅赫定理**對黎曼曲面由黎曼與羅赫於 1850 年代證明，對代數曲線由施密特於 1929 年證明。它是基本的，曲線後續理論試圖加細它的結論（比如布里爾–諾特理論）。

在更高維（適當的定義除子或線叢）此定理有多個版本。它們的一般表述取決於將定理分成兩部分。其一，現在稱為塞爾對偶性，將 _l_(_K_ − _D_) 項解釋為第一層同調群的維數，_l_(_D_) 為零次上同調群（或截面的空間）的維數，定理左邊成為一個歐拉示性數，而右邊給出它的計算，正好只與黎曼曲面的拓撲有關的一個度數。

在二維代數幾何中這樣一個公式由義大利幾何學派找到；代數曲面的黎曼 - 羅赫定理證明了（有各種版本，最早可能屬於馬克斯・諾特。這樣的問題大約在 1950 年前解決了。

_n_- 維推廣，希策布魯赫–黎曼–羅赫定理，由弗里德里希・希策布魯赫找到並證明，利用了代數拓撲學中的示性類；他深受小平邦彥的工作影響。大約在同一時間讓 - 皮埃爾・塞爾給出了塞爾對偶性的一般形式，故我們冠以他的姓氏。

亞歷山大・格羅滕迪克於 1957 年證明了一個深遠的推廣，現在叫做格羅滕迪克–黎曼–羅赫定理。他的工作將黎曼–羅赫重新解釋為不僅是關於一個簇的定理，而是關於兩個簇之間的一個態射的。證明的細節由博雷爾–塞爾於 1958 年發表。

最後在代數拓撲中也找到了一個一般版本。這些發展本質上在 1950 年至 1960 年完成。阿蒂亞–辛格指標定理開啟了這一條推廣的道路。

它導致的結論是一個凝聚層相當好計算。如果只對交錯和中一項感興趣，這是通常的情形，必需更進一步的討論比如消滅定理。

## 參考文獻

### 引用

### 來源
黎曼-西格尔公式

在數學中，**黎曼 - 西格爾公式**是黎曼 ζ 函數的**近似函數方程**誤差的漸近公式，前者是 ζ 函數的近似值，由兩個有限狄利克雷級數的和來近似。Siegel (1932) 在波恩哈德・黎曼 1850 年代一篇未發表的手稿中發現這個公式。西格爾從**黎曼 - 西格爾積分公式**中推導出它，這是一個涉及 ζ 函數圍道積分的表達式。該公式通常用於計算黎曼 - 西格爾公式的值，與歐德里茲科 - 肖恩哈格算法相結合，可以大大加快算法的速度。當沿著臨界線使用時，通常將其變換為關於 Z 函數的公式比較有用。

如果 _M_ 和 _N_ 是非負整數，那麼 ζ 函數等於

　
: $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}+\gamma (1-s)\sum _{n=1}^{M}{\frac {1}{n^{1-s}}}+R(s)$

其中

　
: $\gamma (s)=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}-s}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(1-s)\right)}}$

是函數方程 _ζ_(_s_) = _γ_(_1-s_) _ζ_(1 − _s_) 中出現的因數，且

　
: $R(s)={\frac {-\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int {\frac {(-x)^{s-1}e^{-Nx}}{e^{x}-1}}dx$

是一個圍道積分，圍道的起點和終點在 +∞處，並最多繞絕對值奇點 2_πM_ 圈。近似函數方程給出了誤差項大小的估計。Siegel (1932) 和 Edwards (1974) 通過將最速下降法應用於該積分，推導出黎曼 - 西格爾公式，將誤差項 _R_(_s_) 漸近展開為 Im (_s_) 的負冪次級數。在應用中，_s_ 通常位於臨界線上，並且選擇正整數 _M_ 和 _N_ 約為 (2_π_Im(_s_))1/2。Gabcke (1979) 發現了一個黎曼 - 西格爾公式誤差的較好界限。

## 黎曼積分公式

黎曼證明了

　
: $\int _{0\searrow 1}{\frac {e^{-i\pi u^{2}+2\pi ipu}}{e^{\pi iu}-e^{-\pi iu}}}du={\frac {e^{i\pi p^{2}}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p}-e^{-i\pi p}}}$

積分圍道是一條斜率為 - 1 的線，通過 0 和 1 之間（Edwards 1974，7.9）。

他用此給出了以下 ζ 函數的積分公式：

　
: $\pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\int _{0\swarrow 1}{\frac {x^{-s}e^{\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx+\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {1-s}{2}}\right)\int _{0\searrow 1}{\frac {x^{s-1}e^{-\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx$

## 參考

* Berry, Michael V., The Riemann–Siegel expansion for the zeta function: high orders and remainders, Proceedings of the Royal Society. London. Series A. Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1995, **450** (1939): 439–462, ISSN 0962-8444, MR 1349513, Zbl 0842.11030, doi:10.1098/rspa.1995.0093
* Edwards, H.M., Riemann's zeta function, Pure and Applied Mathematics **58**, New York-London: Academic Press, 1974, ISBN 0-12-232750-0, Zbl 0315.10035
* Gabcke, Wolfgang, Neue Herleitung und Explizite Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel, Georg-August-Universität Göttingen, 1979, Zbl 0499.10040 （德語）
* Patterson, S.J., An introduction to the theory of the Riemann zeta-function, Cambridge Studies in Advanced Mathematics **14**, Cambridge: Cambridge University Press, 1988, ISBN 0-521-33535-3, Zbl 0641.10029
* Siegel, C. L., Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie, Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2, 1932: 45–80, JFM 58.1037.07, Zbl 0004.10501  Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.

## 外部連結

* Gourdon, X., Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function, [2018-04-13], （原始內容存檔於 2018-03-29）
* 埃里克・韋斯坦因。黎曼 - 西格尔公式. MathWorld.
黎曼xi函數

數學中，**黎曼 ξ 函數**（英語：Riemann Xi function）是黎曼 ζ 函數的變型，其定義是為了得到一個簡單的泛函方程式。此函數得名於波恩哈德・黎曼。

## 定義

愛德蒙・蘭道將黎曼原先小寫的 ξ 函數以被改為大寫的 Ξ 函數（另參見下方），而蘭道的小寫 ξ 函數則定義為：

　
: $\xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}s\right)\zeta (s)$ ，

其中

 * $s\in \mathbb {C} $ ；
* ζ(_s_) 為黎曼 ζ 函數；
* Γ(s) 為伽瑪函數。

蘭道的小寫 ζ 函數的泛函方程式（或稱反射式）為

　
: $\xi (1-s)=\xi (s)$ 。

蘭道的大寫 Ξ 函數（loc. cit., §71）為

　
: $\Xi (z)=\xi ({\frac {1}{2}}+zi)$

遵守泛函方程式：

　
: $\Xi (-z)=\Xi (z)$ 。

一如蘭道所寫（loc. cit., p. 894），Ξ 函數即原先的黎曼 ξ 函數。

## 函數值

當 _s_ 為偶數，亦即 _s_ = 2_n_，ξ(_s_) 一般式為

　
: $\xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {1}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n^{2}-n)(n-1)!$

其中 _Bn_ 為第 _n_ 個伯努利數。

例如：

　
: $\xi (2)={\pi ^{2} \over 6}$

## 級數表示式

$$
{\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n}
$$

其中

$$
\lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]
$$

## 相關條目

* 黎曼 ζ 函數

## 參考文獻
黎曼几何

微分幾何中，**黎曼幾何**（英語：Riemannian geometry）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注於角度、弧線長度及體積。把每個微小部分加起來而得出整體的數量。

19 世紀，波恩哈德・黎曼把這個概念加以推廣。

任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分拓撲問題。它成為偽黎曼流形複雜結構的入門。其中大部分都是廣義相對論的四維研究對象。

**黎曼幾何**與以下主題有關：

1. 度量張量
2. 黎曼流形
3. 列維 - 奇維塔聯絡
4. 曲率
5. 曲率張量

參看：

1. 微分幾何主題列表
2. 黎曼及度量幾何詞表

## 黎曼幾何古典理論

下面給出部分的黎曼幾何古典理論。

### 一般理論

1. **高斯 - 博內定理**：緊緻二維黎曼流形上高斯曲率的積分等於 $2\pi \chi (M)$ ，這裡的 $\chi (M)$ 記作 _M_ 的歐拉示性數。
2. **納什嵌入定理**：（兩個）被稱為黎曼幾何的基礎理論。他們表明每個黎曼流形可以是嵌入歐幾里得空間 **R**n。

### 理論

所有給出的定理中，都將用空間的局部行為（通常用曲率假設表述）來推出空間的整體結構的一些信息，包括流形的拓撲類型和 "足夠大" 距離的點間的關係。

#### 受限截面曲率

1. **1/4 - 受限 球定理**：若 _M_ 是完備 _n_- 維黎曼流形，其截面曲率嚴格限制於 1 和 4 之間，則 _M_ 同胚於 _n_- 球。
1. **Cheeger's 有限定理**：給定常數 _C_ 和 _D_，只有有限個（微分同胚的流形算作一個）緊 _n_- 維黎曼流形，其截面曲率 $|K|\leq C$ 並且直徑 $\leq D$ 。
1. **Gromov 的幾乎平坦流形**：存在一個 $\epsilon _{n}>0$ 使得如果一個 _n_- 維黎曼流形其度量的截面曲率 $|K|\leq \epsilon _{n}$ 且直徑 $\leq 1$ ，則其有限覆蓋微分同胚於一個零流形.

#### 正曲率

##### 正截面曲率

1. **靈魂定理**：若 _M_ 是一個不緊的完備正曲率 _n_- 維黎曼流形，則它微分同胚於 **R**n.
2. **Gromov 的貝蒂數定理**：有一個常數 _C=C(n)_ 使得若 _M_ 是一個由正截面曲率的緊連通 _n_- 維黎曼流形，則它的貝蒂數之和不超過 _C_.

##### 正里奇曲率

1. **Myers 定理**：若一個緊黎曼流形有正 Ricci 曲率則它的基本群有限。
1. **分裂定理**：若一個完備的 _n_- 維黎曼流形有非負 Ricci 曲率和一條直線（在任何區間上的距離都極小的測地線）則它等度同胚於一條實直線和一個有非負 Ricci 曲率的完備 (_n_-1)- 維黎曼流形的直積。
1. **Bishop's 不等式**：半徑為 _r_ 的球在一個有正 Ricci 曲率的完備 _n_- 維黎曼流形中的體積不超過歐幾里得空間中同樣半徑的球的體積。
1. **Gromov's 緊緻性定理**：所有正 Ricci 曲率且直徑不超過 _D_ 的黎曼流形在 Gromov-Hausdorff 度量下是仿緊的。

##### 數量曲率

1. _n_- 維環不存在有正數量曲率的度量。
1. 若一個緊 _n_- 維黎曼流形的單射半徑 $\geq \pi $ ，則數量曲率的平均值不超過 _n_（_n_-1）。

#### 負曲率

##### 負截面曲率

1. 任何有非正截面曲率的單連通黎曼流形的兩點有唯一的測地線連接。
1. 若 _M_ 是一個有負截面曲率的完備黎曼流形，則基本群的任何可交換子群同構於整數群 **Z**。
1. 設 V\* 是一 $\mathbb {R} $ -rank $\geq $ 2 的緊緻不可約局部對稱空間，設 V 是一截面曲率 $K\leq 0$ 的緊緻 $C^{\infty }$ 黎曼流形，若 $vol(V)=vol(V^{*})$ ，且 $\pi _{1}(V)=\pi _{1}(V^{*})$ ，則 $V$ 與 $V^{*}$ 等距。

##### 負里奇曲率

1. 任何有負里奇曲率的緊黎曼流形有一個離散的等距同胚群。
2. 任何光滑流形可以加入有負里奇曲率的黎曼度量。

## 參考文獻

* Marcel Berger, _Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century_, (2000) University Lecture Series vol. 17, American Mathematical Society, Rhode Island, ISBN 0-8218-2052-4. _(Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)_
* Jurgen Jost, _Riemannian Geometry and Geometric Analysis_, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 _(Provides a formal introduction, written at the grad-student level.)_
* Peter Peterson, _Riemannian Geometry_, (1998) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-98212-4. _(Provides an introduction, presented at an undergrad level.)_
黎曼度規

**黎曼流形**（Riemannian manifold）是一個微分流形，其中每點 _p_ 的切空間都定義了點積，而且其數值隨 _p_ 平滑地改變。它容許我們定義弧線長度、角度、面積、體積、曲率、函數梯度及向量域的散度。

每個 **R**n 的平滑子流形可以導出黎曼度量：把 **R**n 的點積都限制於切空間內。實際上，根據納什嵌入定理，所有黎曼流形都可以這樣產生。

我們可以_定義_黎曼流形為和 **R**n 的平滑子流形是等距同構的度量空間，**等距**是指其內蘊度量（intrinsic metric）和上述從 **R**n 導出的度量是相同的。這對建立黎曼幾何是很有用的。

黎曼流形可以定義為平滑流形，其中給出了一個切叢的正定二次形的光滑截面。它可產生度量空間：

如果 γ : [_a_, _b_] → _M_ 是黎曼流形 _M_ 中一段連續可微分的弧線，我們可以定義它的長度 _L_（γ）為

　
: $L(\gamma )=\int _{a}^{b}\|\gamma '(t)\|\;dt$

（注意：γ'（_t_）是切空間 _M_ 在 γ（_t_）點的元素；||・|| 是切空間的內積所得出的範數。）

使用這個長度的定義，每個連通的黎曼流形 _M_ 很自然的成為一個度量空間（甚至是長度度量空間）：在 _x_ 與 _y_ 兩點之間的距離 _d_（_x_, _y_）定義為：

　
: _d_(_x_,_y_) = inf {L (γ) : γ 是連接 _x_ 和 _y_ 的一條光滑曲線}。

雖然黎曼流形通常是彎曲的，「直線」的概念依然存在：那就是測地線。

在黎曼流形中，測地線完備的概念，和拓撲完備及度量完備是等價的：每個完備性都可以推出其他的完備性，這就是 Hopf-Rinow 定理的內容。

## 參看

* 黎曼幾何
* 芬斯勒流形
* 黎曼子流形
* 假黎曼流形

## 參考

* Jurgen Jost, _Riemannian Geometry and Geometric Analysis_, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2
黎曼度量

**度量張量**（英語：Metric tensor）在黎曼幾何裡面又叫**黎曼度量**，物理學譯為**度規張量**，是指一用來衡量度量空間中距離，面積及角度的二階張量。

## 內容

當選定一個局部坐標系統 $x^{i}$ ，度量張量為二階張量一般表示為 $\textstyle ds^{2}=\sum _{ij}g_{ij}dx^{i}dx^{j}$ ，也可以用矩陣 $(g_{ij})$ 表示，記作為 _G_ 或 _g_。而 $g_{ij}$ 記號傳統地表示度量張量的協變分量（亦為「矩陣元素」）。

 $a$ 到 $b$ 的弧線長度定義如下，其中參數定為 t，t 由 a 到 b:

　
: $L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{ij}g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}dt$

兩個切向量的夾角 $\theta $ , 設向量 $\textstyle U=\sum _{i}u^{i}{\partial  \over \partial x_{i}}$ 和 $\textstyle V=\sum _{i}v^{i}{\partial  \over \partial x_{i}}$ ，定義為：

　
: $\cos \theta ={\frac {\langle u,v\rangle }{|u||v|}}={\frac {\sum _{ij}g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|\sum _{ij}g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|\sum _{ij}g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}$

若 $f$ 為 $\mathbb {R} ^{n}$ 到 $\mathbb {R} ^{n}$ 的局部微分同胚，其誘導出的度量張量的矩陣形式 $G$ ，由以下方程式計算得出：

　
: $G=J^{T}J$

 $J$ 表示 $f$ 的雅可比矩陣，它的轉置為 $J^{T}$ 。著名例子有 $\mathbb {R} ^{2}$ 之間從極座標 $(r,\theta )$ 到直角座標 $(x,y)$ 的座標變換，在這例子裡有：

　
: $x=r\cos \theta $

　
: $y=r\sin \theta $

這映射的雅可比矩陣為

　
: $J={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}.$

所以

　
: $G=(g_{ij})=J^{\mathrm {T} }J={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &-r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\-r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta &r^{2}\sin ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}\ $

這跟微積分裡極座標的黎曼度量， $ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}$ ，一致。

## 例子

### 歐幾里德幾何度量

二維歐幾里德度量張量：

　
: $(g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

弧線長度轉為熟悉微積分方程式：

　
: $L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx^{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx^{2}}{dt}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t$

在其他坐標系統的歐氏度量：

極坐標系： $(x^{1},x^{2})=(r,\theta )$

　
: $(g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0\\0&(x^{1})^{2}\end{bmatrix}}$

圓柱坐標系： $(x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,z)$

　
: $(g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

球坐標系： $(x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\phi ,\theta )$

　
: $(g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&(x^{1}\sin x^{2})^{2}\end{bmatrix}}$

平坦的閔考斯基空間 (狹義相對論)： $(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)\,$

　
: $(g_{\mu \nu })=(\eta _{\mu \nu })\equiv {\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

在一些習慣中，與上面相反地，時間 _ct_ 的度規分量取正號而空間 (_x_,_y_,_z_) 的度規分量取負號，故矩陣表示為：

　
: $(g_{\mu \nu })=(\eta _{\mu \nu })\equiv {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}$

## 參看

* 偽黎曼度量
黎曼張量

在微分幾何中，**黎曼曲率張量**或**黎曼張量**是表達黎曼流形的曲率的標準方式，更普遍的，它可以表示有仿射聯絡的流形的曲率
, 包括無扭率或有撓率的。曲率張量通過列維 - 奇維塔聯絡 (更一般的，一個仿射聯絡) $\nabla $ (或者叫協變導數) 由下式給出:

　
: $R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.$

這裡 $R(u,v)$ 是一個流形切空間的線性變換；它對於每個參數都是線性的。

**注意**有些作者用相反的符號定義曲率.

如果 $u=\partial /\partial x_{i}$ 與 $v=\partial /\partial x_{j}$ 是坐標向量場則 $[u,v]=0$ 所以公式簡化為

　
: $R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w$

也就是說曲率張量衡量_協變導數的反交換性_。

線性變換 $w\mapsto R(u,v)w$ 也稱**曲率變換**。

## 對稱性和恆等式

進一步，由上式定義了如下的三重線性映射

 * $R:(w,u,v)\rightarrow R(u,v)w,$

映射 $R$ 關於每一個自變量都是 $C^{\infty }$ 線性的，故 $R$ 是 $M$ 上的 $(1,3)$ 型光滑張量場，稱之為仿射聯絡空間 $(M,\nabla )$ 的曲率張量.
在坐標向量場下， $R$ 可以表示為

 * $R=R_{kij}^{l}dx^{k}\otimes {\frac {\partial }{\partial x^{l}}}\otimes dx^{i}\otimes dx^{j}.$

還可以定義四重線性映射，如下

 * $R:(w,z,u,v)\rightarrow g(R(u,v)w,z),$

則映射 $R$ 關於每一個自變量都是 $C^{\infty }$ 線性的，故 $R$ 是黎曼流形 $(M,g)$ 上的 $(0,4)$ 型光滑張量場，稱之為黎曼流形 $(M,g)$ 的黎曼曲率張量。在坐標向量場下， $R$ 可以表示為

 * $R=R_{klij}dx^{k}\otimes dx^{l}\otimes dx^{i}\otimes dx^{j}.$
* 註：上述紡射聯絡空間 $(M,\nabla )$ 上的曲率張量 $R$ 與黎曼流形 $(M,g)$ 上的黎曼曲率張量 $R$ 是同一個對象的不同表現形式.
* 注 $R_{klij}=g_{lm}R_{kij}^{m}$ .

黎曼曲率張量有如下的對稱性:

 * $R(u,v)=-R(v,u)_{}^{}$
* $\langle R(u,v)w,z\rangle =-\langle R(u,v)z,w\rangle _{}^{}$
* $R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0_{}^{}$

最後一個恆等式由里奇發現，但是稱為**第一比安基恆等式**(First Bianchi identity) 或**代數比安基恆等式**(Algebraic Bianchi identity)，因為和下面的比安基恆等式相像。

這三個恆等式組成曲率張量對稱性的完整列表，也就是給定說任何滿足上述恆等式的張量，可以找到一個黎曼流形在某點的曲率張量和它一樣。簡單的計算表明這樣一個張量有 $n^{2}(n^{2}-1)/12$ 個獨立分量。

另一個有用的恆等式可以由上面這些導出:

　
: $\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u,v\rangle _{}^{}$

**比安基恆等式**(Bianchi identity)，經常也叫**第二比安基恆等式**(Second Bianchi identity) 或**微分比安基恆等式**(Differential Bianchi identity)。它涉及到協變導數:

　
: $\nabla _{u}R(v,w)+\nabla _{v}R(w,u)+\nabla _{w}R(u,v)=0$

給定流形某點的任一坐標表示，上述恆等式可以用黎曼曲率張量的分量形式表示為:

 * $R_{abcd}=-R_{bacd}\,$
* $R_{abcd}=R_{cdab}\,$
* 第一（代數）比安基恆等式： $R_{abcd}+R_{adbc}+R_{acdb}=0\,$ 或等價地寫為 $R_{a[bcd]}=0\,$
* 第二（微分）比安基恆等式： $\nabla _{e}R_{abcd}+\nabla _{d}R_{abec}+\nabla _{c}R_{abde}=0\,$ 或等價地寫為 $R_{ab[cd;e]}=0\,$

其中方括號表示對下標的反對稱化，分號表示協變導數。這些恆等式在物理中有應用，特別是廣義相對論。

## 相關條目

* 黎曼流形的曲率
* 截面曲率
* 曲率形式

## 外部連結

* （英文）Wolfram MathWorld —— Riemann Tensor（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）、Bianchi identity（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）、Contracted Bianchi identity（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
黎曼映射定理

在數學中，**黎曼映射定理**是複分析最深刻的定理之一，此定理分類了 $\mathbb {C} $ 的單連通開子集。

## 定理陳述

設 $D:=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$ 為開圓盤， $\Omega \subset \mathbb {C} $ 為單連通開子集。若 $\Omega \neq \mathbb {C} $ ，則存在一對一的全純映射 $f:\Omega \to D$ ，使 $f^{-1}:D\to \Omega $ 亦全純。換言之， $\Omega $ 與 $D$ 雙全純同構。

注意到二維的全純映射不外乎保持定向的共形映射，它保持角度與定向不變。

## 簡史

黎曼在他 1851 年的博士論文中陳述了這個結果，但其證明不完整。康斯坦丁・卡拉西奧多里在 1912 年發表了第一個完整證明。

## 注記

* 黎曼映射定理乃是**存在性定理**，一般無法具體表示從 $\Omega $ 至 $D$ 的全純映射。
* 定理中對 $\Omega $ 的條件極寬鬆；舉例明之， $\Omega $ 的邊界可能是碎形曲線，但 $\Omega $ 仍可透過共形映射映至單位圓盤，這在直觀上是很難想像的。
* 此定理對 $\pi _{1}(\Omega ,*)=\mathbb {Z} $ 時即告失效：環型區域（形如 $\{z\in \mathbb {C} :r<|z|<R\}$ ）之間的共形映射僅有反演、縮放與旋轉。
* 此定理在更高維度即不成立。
* 在黎曼曲面的框架下，此定理可推廣為單值化定理：單連通黎曼曲面必同構於 $\mathbb {C} ,D$ 或 $\mathbb {C} P^{1}$ 。

## 證明概要

給定 $U$ 和 $z_{0}$ ，我們希望構造一個函數 $f$ ，它把 $U$ 映射到單位圓盤，把 $z_{0}$ 映射到 $0$ 。在這個證明概要中，我們假設 $U$ 是有界的，且其邊界是光滑的，就像黎曼所做的那樣。記

　
: $f(z)=(z-z_{0})\exp(g(z))\,\!$

其中 $g=u+iv$ 是某個（待確定的）全純函數，其實數部分為 $u$ ，虛數部分為 $v$ 。於是顯然 _z_0 是 _f_ 的唯一一個零點。我們要求對於 $U$ 的邊界上的 $z$ 有 $|f(z)|=1$ ，因此我們需要在邊界上有 $u(z)=-\log |z-z_{0}|$ 。由於 $u$ 是全純函數的實數部分，我們知道 $u$ 一定是一個調和函數，也就是說，它滿足拉普拉斯方程。

於是問題變為：存在某個實值調和函數 $u$ ，對所有的 $U$ 都有定義，且具有給定的邊界條件嗎？狄利克雷原理提供了肯定的答案。只要確立了 _u_ 的存在，全純函數 $g$ 的柯西 - 黎曼方程便允許了我們求出 $v$ （這個論證依賴於 $U$ 是單連通的假設）。一旦構造了 $u$ 和 $v$ ，我們還需要驗證所得到的函數 $f$ 確實滿足所有需要的性質。

## 文獻

* John B. Conway, _Functions of one complex variable_, Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90328-3
* John B. Conway, _Functions of one complex variable II_, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94460-5
* Reinhold Remmert, _Classical topics in complex function theory_, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98221-3
* Bernhard Riemann, _Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ , Göttingen, 1851
黎曼曲面

數學上，特別是在複分析中，一個**黎曼曲面**是一個一維複流形。黎曼曲面可以被視為是一個複平面的變形版本：在每一點局部看來，他們就像一片複平面，但整體的拓撲可能極為不同。例如，他們可以看起來像球或是環，或者兩個頁面粘在一起。

黎曼曲面的精髓在於在曲面之間可以定義全純函數。黎曼曲面現在被認為是研究這些函數的整體行為的自然選擇，特別是像平方根和自然對數這樣的多值函數。

每個黎曼曲面都是二維實解析流形（也就是曲面），但它有更多的結構（特別是一個複結構），因為全純函數的無歧義的定義需要用到這些結構。一個實二維流形可以變成為一個黎曼曲面（通常有幾種不同的方式）若且唯若它是可定向的。所以球和環有複結構，但是莫比烏斯帶，克萊因瓶和射影平面沒有。

黎曼曲面的幾何性質是最妙的，它們也給與其它曲線，流形或簇上的推廣提供了直觀的理解和動力。黎曼 - 羅赫定理就是這種影響的最佳例子。

## 形式化定義

令 _X_ 為一個豪斯多夫空間。一個從開子集 _U_⊂_C_ 到 **X** 的子集的同胚稱為坐標卡。兩個有重疊區域的坐標卡 _f_ 和 _g_ 稱為相容的，如果映射 _f_ o _g_-1 和 _g_ o _f_-1 是在定義域上全純的。若 _A_ 一組相容的圖，並且每個 _X_ 中的 _x_ 都在某個 _f_ 的定義域中，則稱 _A_ 為一個圖冊 '。當我們賦予 _X_ 一個圖冊 _A_, 我們稱 (_X_,_A_) 為一個黎曼曲面。如果知道有圖冊，我們簡稱 _X_ 為黎曼曲面。

不同的圖冊可以在 _X_ 上給出本質上相同的黎曼曲面結構；為避免這種模糊性，我們有時候要求 _X_ 為_極大_的，也就是它不是任何一個更大的圖集的子集。根據佐恩引理每個圖集 _A_ 包含於一個唯一的最大圖集中。

## 例子

* 複平面 **C** 可能是最平凡的黎曼曲面了。映射 _f_(_z_) = _z_（恆等映射）定義了 **C** 的一個圖，而 {_f_} 是 **C** 的一個圖集。映射 _g_(_z_) = _z\*_（共軛）映射也定義了 **C** 的一個圖而 {_g_} 也是 **C** 的一個圖集。圖 _f_ 和 _g_ 不相容，所以他們各自給了 **C** 一個黎曼曲面結構。事實上，給定黎曼曲面 _X_ 及其圖集 _A_，共軛圖集 _B_ = {_f\*_ : _f_ ∈ A} 總是不和 _A_ 相容，因此賦予 _X_ 一個不同的黎曼曲面結構。
* 類似的，每個複平面的開子集可以自然的視為黎曼曲面。更一般的，每個黎曼曲面的開子集是一個黎曼曲面。
* 令 _S_ = **C** ∪ {∞} 並令 _f_(_z_) = _z_ 其中 _z_ 屬於 _S_ \ {∞} 並且令 _g_(_z_) = 1 / _z_ 其中 _z_ 屬於 _S_ \ {0} 以及定義 1/∞為 0. 則 _f_ 和 _g_ 為圖，它們相容，而 { _f_, _g_ } 是 _S_ 圖集，使 _S_ 成為黎曼曲面。這個特殊的曲面稱為**黎曼球**因為它可以解釋為把複平面裹在一個球上。不像複平面，它是一個緊空間。
* 緊黎曼曲面可以視為和定義在複數上的非奇異代數曲線等效。非緊黎曼曲面的重要例子由解析連續給出（見下面）

## 屬性和更多的定義

兩個黎曼曲面 _M_ 和 _N_ 之間的函數 _f_ : _M_ → _N_ 稱為全純，如果對於 _M_ 的圖集中的每個圖 _g_ 和 _N_ 的圖集中的每個圖 _h_，映射 _h_ o _f_ o _g_-1 在所有有定義的地方是全純的（作為從 **C** 到 **C** 的函數）。兩個全純函數的複合是全純的。兩個黎曼曲面 _M_ 和 _N_ 稱為**保角等價**（或**共形等價**），如果存在一個雙射的從 _M_ 到 _N_ 的全純函數並且其逆也是全純的（最後一個條件是自動滿足的所以可以略去）。兩個保角等價的黎曼曲面對於所有的實際應用來講是完全相同的。

每個單連通的黎曼曲面和 **C** 或黎曼球 **C** ∪ {∞} 或開圓盤 {_z_ ∈ **C** : |_z_| <1} 保角等價。這個命題稱為單值化定理。

每個連通黎曼曲面可以轉成有常數曲率 - 1，0 或 1 的完備實黎曼流形。這個黎曼結構除了度量的縮放外是唯一。有曲率 - 1 的黎曼曲面稱為**雙曲**的；開圓盤是個經典的例子。有曲率 0 的黎曼曲面稱為**拋物**的；**C** 是典型的拋物黎曼曲面。最後，有曲率 + 1 的黎曼曲面稱為**橢圓**的；黎曼球 **C** ∪ {∞} 是這樣的一個例子。

對於每個閉拋物黎曼曲面，基本群同構於 2 階格群，因而曲面可以構造為 **C**/Γ, 其中 **C** 是複平面而 Γ 是格群。陪集的代表的集合叫做基本域。

類似的，對每個雙曲黎曼曲面，基本群同構於富克斯群，因而曲面可以由富克斯模型 **H**/Γ 構造，其中 **H** 是上半平面而 Γ 是富克斯群。**H**/Γ 陪集的代表是自由正則集，可以作為度量基本多邊形。

當一個雙曲曲面是緊的，則曲面的總面積是 $4\pi (g-1)$ , 其中 _g_ 是曲面的虧格；面積可由把高斯 - 博內定理應用到基本多邊形的面積上來算出。

前面我們提到黎曼曲面，象所有複流形，象實流形一樣可定向。因為複圖 _f_ 和 _g_ 有變換函數 _h_ = _f_(_g_-1(_z_))，我們可以認為 _h_ 是從 **R**2 開集到 **R**2 的映射，在點 _z_ 的雅可比矩陣也就是由乘以複數 _h'(z)_ 的運算給出的實線性變換。但是，乘以複數 α 的行列式等於 |α|^2, 所以 _h_ 的雅可比陣有正的行列式值。所以，複圖集是可定向圖集。

## 歷史

黎曼最早開始研究黎曼曲面。黎曼曲面以他命名。

## 相關主題

* 代數幾何
* 共形幾何
* 黎曼曲率張量
* 黎曼球面
* 凱勒流形
* 泰希米勒空間
* 兒童畫（Dessin d'enfant）
* 和黎曼曲面有關的定理
  * 黎曼 - 羅赫定理
  * 黎曼 - 赫爾維茨公式
  * 黎曼映射定理
  * 單值化定理
  * 赫爾維茨自同構定理

## 參考

* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, _Riemann Surfaces_ (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4
* Jurgen Jost, _Compact Riemann Surfaces_ (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X
* Riemann Surface（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） on Planet Math
黎曼流形

**黎曼流形**（Riemannian manifold）是一個微分流形，其中每點 _p_ 的切空間都定義了點積，而且其數值隨 _p_ 平滑地改變。它容許我們定義弧線長度、角度、面積、體積、曲率、函數梯度及向量域的散度。

每個 **R**n 的平滑子流形可以導出黎曼度量：把 **R**n 的點積都限制於切空間內。實際上，根據納什嵌入定理，所有黎曼流形都可以這樣產生。

我們可以_定義_黎曼流形為和 **R**n 的平滑子流形是等距同構的度量空間，**等距**是指其內蘊度量（intrinsic metric）和上述從 **R**n 導出的度量是相同的。這對建立黎曼幾何是很有用的。

黎曼流形可以定義為平滑流形，其中給出了一個切叢的正定二次形的光滑截面。它可產生度量空間：

如果 γ : [_a_, _b_] → _M_ 是黎曼流形 _M_ 中一段連續可微分的弧線，我們可以定義它的長度 _L_（γ）為

　
: $L(\gamma )=\int _{a}^{b}\|\gamma '(t)\|\;dt$

（注意：γ'（_t_）是切空間 _M_ 在 γ（_t_）點的元素；||・|| 是切空間的內積所得出的範數。）

使用這個長度的定義，每個連通的黎曼流形 _M_ 很自然的成為一個度量空間（甚至是長度度量空間）：在 _x_ 與 _y_ 兩點之間的距離 _d_（_x_, _y_）定義為：

　
: _d_(_x_,_y_) = inf {L (γ) : γ 是連接 _x_ 和 _y_ 的一條光滑曲線}。

雖然黎曼流形通常是彎曲的，「直線」的概念依然存在：那就是測地線。

在黎曼流形中，測地線完備的概念，和拓撲完備及度量完備是等價的：每個完備性都可以推出其他的完備性，這就是 Hopf-Rinow 定理的內容。

## 參看

* 黎曼幾何
* 芬斯勒流形
* 黎曼子流形
* 假黎曼流形

## 參考

* Jurgen Jost, _Riemannian Geometry and Geometric Analysis_, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2
黎曼测度

**黎曼測度**可指：

* 黎曼度量（英語：Riemannian metric），描述黎曼流形上距離、體積、角度等結構的張量。
* 黎曼流形的測度（英語：Riemannian measure），依照黎曼度量導出的測度，用於計算體積及函數的積分。與前者的關係見 Metric tensor#Canonical measure and volume form。
* 定義實數集 $\mathbb {R} $ 某類子集大小的一種方法：考慮 $\mathbb {R} $ 上的區間（包括無窮區間），關於有限併及有限差封閉而成的環 $R$ （它不是 $\sigma $ 環）。對於 $A\in R$ ，定義 $\mu (A)$ 為組成 $A$ 的各區間的長度之和，則 $\mu $ 稱為 $R$ 上的黎曼測度。

## 參考文獻
黎曼环形山

**黎曼環形山**（Riemann）是月球正面北半部位於東側邊沿上的一座古老大撞擊坑，約形成於 45.5-39.2 億年前的前酒海紀，其名稱取自十九世紀德國數學家、機械師暨物理學家 "格奧爾格・弗雷德里希・波恩哈德・黎曼"(1826 年 - 1866 年)，1964 年被國際天文學聯合會批准接受。

## 描述

該隕坑北面靠近劉易斯・博斯環形山、東北毗鄰瓦沙基澤隕石坑、哈爾赫比環形山位於它的東側、東南坐落了維斯廷環形山。黎曼環形山的西南邊緣上橫跨了比爾斯環形山、更遠處則是高斯。該隕坑中心月面坐標為 39.38°N 87.18°E﻿ / 39.38; 87.18，直徑 117.9 公里，深度約 3 公里。

黎曼環形山是一座已嚴重侵蝕和損毀的殘存坑，外側壁有多處已完全磨損消失，現已形成為一系列環坑底的嶙峋山丘和山脊。沿西南偏西坑壁坐落了比爾斯隕石，而西側和東南壁則覆蓋了數座更小的撞擊坑，只有東側部分保存相對最完整。坑內地表因撞擊擾動，形成平坦與崎嶇相混雜的地形，坑底東半部，尤其是靠近中央區地面更為坎坷崎嶇。坑底東南部坐落了一座碗狀的小隕坑，此外，在坑底表面還依稀可看到其它幾座更小的隕坑殘跡。

由於該隕坑地處月球東北邊沿，從地球上看，其外觀會產生變形，對它的觀察有賴於月球攝動，但也只能看到它的側面。

## 衛星隕石坑

按照慣例，最靠黎曼環形山的衛星坑在月圖上以字母標註在該坑中心點的旁邊。

* 衛星坑 "黎曼 A" 在 1982 年被國際天文學聯合會更名為比爾斯隕石坑。
* 衛星坑 "黎曼 J" 約形成於酒海紀。

## 參引資料

## 另請參閱

## 外部連結

* 月球數碼攝影圖集.（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 阿波羅 14 號、阿波羅 16 號拍攝的黎曼環形山照片.（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 維基月球在線解說 - 黎曼環形山（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Andersson, L.E., and E.A. Whitaker, 美國宇航局月球地名目錄，美國宇航局參考出版物 1097, 1982 年 10 月.（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
黎曼面

數學上，特別是在複分析中，一個**黎曼曲面**是一個一維複流形。黎曼曲面可以被視為是一個複平面的變形版本：在每一點局部看來，他們就像一片複平面，但整體的拓撲可能極為不同。例如，他們可以看起來像球或是環，或者兩個頁面粘在一起。

黎曼曲面的精髓在於在曲面之間可以定義全純函數。黎曼曲面現在被認為是研究這些函數的整體行為的自然選擇，特別是像平方根和自然對數這樣的多值函數。

每個黎曼曲面都是二維實解析流形（也就是曲面），但它有更多的結構（特別是一個複結構），因為全純函數的無歧義的定義需要用到這些結構。一個實二維流形可以變成為一個黎曼曲面（通常有幾種不同的方式）若且唯若它是可定向的。所以球和環有複結構，但是莫比烏斯帶，克萊因瓶和射影平面沒有。

黎曼曲面的幾何性質是最妙的，它們也給與其它曲線，流形或簇上的推廣提供了直觀的理解和動力。黎曼 - 羅赫定理就是這種影響的最佳例子。

## 形式化定義

令 _X_ 為一個豪斯多夫空間。一個從開子集 _U_⊂_C_ 到 **X** 的子集的同胚稱為坐標卡。兩個有重疊區域的坐標卡 _f_ 和 _g_ 稱為相容的，如果映射 _f_ o _g_-1 和 _g_ o _f_-1 是在定義域上全純的。若 _A_ 一組相容的圖，並且每個 _X_ 中的 _x_ 都在某個 _f_ 的定義域中，則稱 _A_ 為一個圖冊 '。當我們賦予 _X_ 一個圖冊 _A_, 我們稱 (_X_,_A_) 為一個黎曼曲面。如果知道有圖冊，我們簡稱 _X_ 為黎曼曲面。

不同的圖冊可以在 _X_ 上給出本質上相同的黎曼曲面結構；為避免這種模糊性，我們有時候要求 _X_ 為_極大_的，也就是它不是任何一個更大的圖集的子集。根據佐恩引理每個圖集 _A_ 包含於一個唯一的最大圖集中。

## 例子

* 複平面 **C** 可能是最平凡的黎曼曲面了。映射 _f_(_z_) = _z_（恆等映射）定義了 **C** 的一個圖，而 {_f_} 是 **C** 的一個圖集。映射 _g_(_z_) = _z\*_（共軛）映射也定義了 **C** 的一個圖而 {_g_} 也是 **C** 的一個圖集。圖 _f_ 和 _g_ 不相容，所以他們各自給了 **C** 一個黎曼曲面結構。事實上，給定黎曼曲面 _X_ 及其圖集 _A_，共軛圖集 _B_ = {_f\*_ : _f_ ∈ A} 總是不和 _A_ 相容，因此賦予 _X_ 一個不同的黎曼曲面結構。
* 類似的，每個複平面的開子集可以自然的視為黎曼曲面。更一般的，每個黎曼曲面的開子集是一個黎曼曲面。
* 令 _S_ = **C** ∪ {∞} 並令 _f_(_z_) = _z_ 其中 _z_ 屬於 _S_ \ {∞} 並且令 _g_(_z_) = 1 / _z_ 其中 _z_ 屬於 _S_ \ {0} 以及定義 1/∞為 0. 則 _f_ 和 _g_ 為圖，它們相容，而 { _f_, _g_ } 是 _S_ 圖集，使 _S_ 成為黎曼曲面。這個特殊的曲面稱為**黎曼球**因為它可以解釋為把複平面裹在一個球上。不像複平面，它是一個緊空間。
* 緊黎曼曲面可以視為和定義在複數上的非奇異代數曲線等效。非緊黎曼曲面的重要例子由解析連續給出（見下面）

## 屬性和更多的定義

兩個黎曼曲面 _M_ 和 _N_ 之間的函數 _f_ : _M_ → _N_ 稱為全純，如果對於 _M_ 的圖集中的每個圖 _g_ 和 _N_ 的圖集中的每個圖 _h_，映射 _h_ o _f_ o _g_-1 在所有有定義的地方是全純的（作為從 **C** 到 **C** 的函數）。兩個全純函數的複合是全純的。兩個黎曼曲面 _M_ 和 _N_ 稱為**保角等價**（或**共形等價**），如果存在一個雙射的從 _M_ 到 _N_ 的全純函數並且其逆也是全純的（最後一個條件是自動滿足的所以可以略去）。兩個保角等價的黎曼曲面對於所有的實際應用來講是完全相同的。

每個單連通的黎曼曲面和 **C** 或黎曼球 **C** ∪ {∞} 或開圓盤 {_z_ ∈ **C** : |_z_| <1} 保角等價。這個命題稱為單值化定理。

每個連通黎曼曲面可以轉成有常數曲率 - 1，0 或 1 的完備實黎曼流形。這個黎曼結構除了度量的縮放外是唯一。有曲率 - 1 的黎曼曲面稱為**雙曲**的；開圓盤是個經典的例子。有曲率 0 的黎曼曲面稱為**拋物**的；**C** 是典型的拋物黎曼曲面。最後，有曲率 + 1 的黎曼曲面稱為**橢圓**的；黎曼球 **C** ∪ {∞} 是這樣的一個例子。

對於每個閉拋物黎曼曲面，基本群同構於 2 階格群，因而曲面可以構造為 **C**/Γ, 其中 **C** 是複平面而 Γ 是格群。陪集的代表的集合叫做基本域。

類似的，對每個雙曲黎曼曲面，基本群同構於富克斯群，因而曲面可以由富克斯模型 **H**/Γ 構造，其中 **H** 是上半平面而 Γ 是富克斯群。**H**/Γ 陪集的代表是自由正則集，可以作為度量基本多邊形。

當一個雙曲曲面是緊的，則曲面的總面積是 $4\pi (g-1)$ , 其中 _g_ 是曲面的虧格；面積可由把高斯 - 博內定理應用到基本多邊形的面積上來算出。

前面我們提到黎曼曲面，象所有複流形，象實流形一樣可定向。因為複圖 _f_ 和 _g_ 有變換函數 _h_ = _f_(_g_-1(_z_))，我們可以認為 _h_ 是從 **R**2 開集到 **R**2 的映射，在點 _z_ 的雅可比矩陣也就是由乘以複數 _h'(z)_ 的運算給出的實線性變換。但是，乘以複數 α 的行列式等於 |α|^2, 所以 _h_ 的雅可比陣有正的行列式值。所以，複圖集是可定向圖集。

## 歷史

黎曼最早開始研究黎曼曲面。黎曼曲面以他命名。

## 相關主題

* 代數幾何
* 共形幾何
* 黎曼曲率張量
* 黎曼球面
* 凱勒流形
* 泰希米勒空間
* 兒童畫（Dessin d'enfant）
* 和黎曼曲面有關的定理
  * 黎曼 - 羅赫定理
  * 黎曼 - 赫爾維茨公式
  * 黎曼映射定理
  * 單值化定理
  * 赫爾維茨自同構定理

## 參考

* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, _Riemann Surfaces_ (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4
* Jurgen Jost, _Compact Riemann Surfaces_ (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X
* Riemann Surface（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） on Planet Math
黎曼，（G.F.）B.

**格奧爾格・弗雷德里希・伯恩哈德・黎曼**（德語：Georg Friedrich Bernhard Riemann，德語：[ˈʁiːman] （ 聆聽），1826 年 9 月 17 日 —1866 年 7 月 20 日）德國數學家，黎曼幾何創始人，複分析創始人之一。在實分析領域，他最著名的貢獻是第一個嚴格的積分公式：黎曼積分以及他關於傅立葉級數的工作。他在 1859 年發表的關於素數計數函數的著名論文包含了黎曼猜想的原始陳述，其被認為是解析數論中最具影響力的論文之一。通過對微分幾何的開拓性貢獻，黎曼奠定了廣義相對論數學的基礎。

## 生平

他出生於漢諾瓦王國（今德國下薩克森）的小鎮布雷瑟倫茨。他的父親弗雷德里希・伯恩哈德・黎曼是當地的路德會牧師，曾參加拿破崙戰爭。他在六個孩子中排行第二。黎曼從小就表現出非凡的數學技能，例如計算能力，但害怕在公共場合演講。

1840 年，黎曼搬到漢諾瓦和祖母生活並進入中學學習。1842 年祖母去世後，他搬到呂訥堡的約翰內烏姆學校（Johanneum）。1846 年，按照父親的意願，黎曼進入哥廷根大學神學院學習哲學和神學。在此期間他去聽了一些數學講座，包括高斯關於最小二乘法的講座。在得到父親的允許後，他改學數學。

1847 年春，黎曼轉到柏林大學，投入雅可比、狄利克雷和雅各布・施泰納門下。兩年後他回到哥廷根大學任教。

1851 年黎曼獲博士學位。

1854 年他做了第一次演講，《論作為幾何基礎的假設》，正式開創了黎曼幾何，並為後續愛因斯坦提出的廣義相對論提供了數學基礎。他在 1857 年升為哥廷根大學的編外教授，並在 1859 年狄利克雷去世後作為狄利克雷的繼承人任正教授。他也是第一個建議用高於三維或四維描述物理現實的人。

1862 年他與埃莉澤・科赫（Elise Koch）結婚，由於患肺病，開始了療養生活。

1866 年，漢諾威王國和普魯士王國的軍隊在哥廷根發生衝突，黎曼逃離了那裡。他在第三次去義大利王國的途中因肺結核在塞拉斯卡（Selasca）去世，他被埋葬在此地的公墓。

## 貢獻

他的名字出現在黎曼 ζ 函數，黎曼積分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映射定理，黎曼 - 希爾伯特問題，柯西 - 黎曼方程，黎曼曲面中。

## 參看

* 黎曼積分
* 黎曼猜想
* 黎曼張量
* 《對可用高斯級數表示的函數的理論的補充》

## 參考文獻

## 注釋

## 外部連結

* 伯恩哈德・黎曼在數學譜系計畫的資料。
* 黎曼的數學論文（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 黎曼的所有出版物可以在 這裡（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 找到
* 約翰・J・奧康納； 埃德蒙・F・羅伯遜, Riemann, MacTutor 數學史檔案 （英語）