黎納-維謝勢

: 在這篇文章內，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「 $'\,\!$ 」；源變數的標記的後面有單撇號「 $'\,\!$ 」。

在電動力學裏，**黎納 - 維謝勢**指的是移動中的帶電粒子的推遲勢。從馬克士威方程組，可以推導出黎納 - 維謝勢；而從黎納 - 維謝勢，又可以推導出一個移動中的帶電粒子所生成的含時電磁場。但是，黎納 - 維謝勢不能描述微觀系統的量子行為。

阿弗雷 - 瑪麗・黎納於 1898 年，艾密・維謝於 1900 年，分別獨立地研究求得黎納 - 維謝勢的公式。於 1995 年，Ribarič和Šušteršič正確計算出移動中的偶極子和四極子的推遲勢。

## 歷史重要性

古典電動力學的研究，關鍵地助導阿爾伯特・愛因斯坦發展出相對論。愛因斯坦細心地分析黎納 - 維謝勢和電磁波傳播，所累積的心得，引領他想出在狹義相對論裏對於時間和空間的概念。古典電動力學表述是一個重要的發射台，使得物理學家能夠飛航至更複雜的相對論性粒子運動的學術領域。

雖然古典電動力學表述的黎納 - 維謝勢，可以很準確地描述，獨立移動中的帶電粒子的物理行為，但是在原子層次，這表述遭到嚴峻的考驗，無法給出正確地答案。為此緣故，物理學家感到異常困惑，因而引發了量子力學的創立。

對於粒子發射電磁輻射的能力，量子力學又添加了許多新限制。古典電動力學表述，表達於黎納 - 維謝勢的方程式，明顯地違背了實驗觀測到的現象。例如，古典電動力學表述所預測的，環繞著原子不停運動的電子，由於連續不斷地呈加速度狀態，應該會不停地發射電磁輻射；但是，實際實驗觀測到的現象是，穩定的原子不會發射任何電磁輻射。經過研究論證，物理學家發現，電磁輻射的發射完全源自於電子軌域的離散能級的躍遷（參閱波耳原子）。在二十世紀後期，經過多年的改進與突破，量子電動力學成功地解釋了帶電粒子的放射行為。

## 物理理論

假設，從源頭位置 $\mathbf {r} '\,\!$ 往檢驗位置 $\mathbf {r} \,\!$ 發射出一束電磁波，而這束電磁波在檢驗時間 $t\,\!$ 抵達觀測者的檢驗位置 $\mathbf {r} \,\!$ ，則這束電磁波發射的時間是推遲時間 $t_{r}\,\!$ 。由於電磁波傳播於真空的速度是有限的，觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間 $t\,\!$ ，會不同於這電磁波發射的推遲時間 $t_{r}\,\!$ 。推遲時間 $t_{r}\,\!$ 定義為檢驗時間 $t\,\!$ 減去電磁波傳播的時間：

　
: $t_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}\,\!$ ；

其中， $c\,\!$ 是光速。

推遲時間的概念意味著電磁波的傳播不是瞬時的。電磁波從發射位置傳播到終點位置，需要一段傳播期間，稱為**時間延遲**。與日常生活的速度來比，電磁波傳播的速度相當快。因此，對於小尺寸系統，這時間延遲，通常很難察覺。例如，從開啟電燈泡到這電燈泡的光波抵達到觀測者的雙眼，所經過的時間延遲，只有幾兆分之一秒。但是，對於大尺寸系統，像太陽照射陽光到地球，時間延遲大約為 8 分鐘，可以經過實驗偵測察覺。

### 表達方程式

假設，一個移動中的帶電粒子，所帶電荷為 $q\,\!$ ，隨著時間 $t\,\!$ 而改變的運動軌道為 $\mathbf {w} (t)\,\!$ 。設定向量 ${\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\,\!$ 為從帶電粒子位置 $\mathbf {r} '=\mathbf {w} (t)\,\!$ 到檢驗位置 $\mathbf {r} \,\!$ 的分離向量：

　
: ${\boldsymbol {\mathfrak {R}}}=\mathbf {r} -\mathbf {r} '=\mathbf {r} -\mathbf {w} (t)\,\!$ 。

則黎納 - 維謝純量勢 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!$ 和黎納 - 維謝向量勢 $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!$ 分別以方程式表達為

　
: $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {qc}{{\mathfrak {R}}c-{\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\cdot \mathbf {v} }}\,\!$ 、

　
: $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!$ ；

其中， $\epsilon _{0}\,\!$ 是真空電容率， $\mathbf {v} \,\!$ 是帶電粒子的移動速度， $\mathbf {v} (t)={\frac {d\mathbf {w} }{dt}}\,\!$ 。

雖然黎納 - 維謝純量勢 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!$ 和黎納 - 維謝向量勢 $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!$ 的時間參數是 $t\,\!$ ，方程式右手邊的幾個變數，帶電粒子位置 $\mathbf {r} '\,\!$ 和速度 $\mathbf {v} \,\!$ 都是採推遲時間 $t_{r}\,\!$ 時的數值：

　
: $\mathbf {r} '=\mathbf {w} (t_{r})\,\!$ 、

　
: $\mathbf {v} =\mathbf {v} (t_{r})\,\!$ 。

### 推導

從推遲勢，可以推導出黎納 - 維謝勢。推遲純量勢 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!$ 與推遲向量勢 $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!$ 分別以方程式定義為（參閱推遲勢）

　
: $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!$ 、

　
: $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!$ ；

其中， $\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\,\!$ 和 $\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})\,\!$ 分別是推遲時刻的電荷密度和電流密度， ${\mathcal {V}}'\,\!$ 是積分的體空間， $d^{3}\mathbf {r} '\,\!$ 是微小體元素， ${\mathfrak {R}}\,\!$ 向量還是採推遲時間 $t_{r}\,\!$ 時的數值。

帶電粒子運動軌道的電荷密度可以用狄拉克 δ 函數表達為

　
: $\rho (\mathbf {r} ,\,t)=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {w} (t))\,\!$ ；

其中， $\delta (\mathbf {r} -\mathbf {w} (t))\,\!$ 是狄拉克 δ 函數。

代入推遲純量勢 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!$ 的方程式，

　
: $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r}))}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!$ 。

由於狄拉克 δ 函數 $\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r}))\,\!$ 的積分會從 $\mathbf {r} '\,\!$ 的可能值中，挑選出當 $\mathbf {r} '=\mathbf {w} (t_{r})\,\!$ 時，所有變數的數值。所以，在積分內的變數，都可以被提出積分，採推遲時間 $\mathbf {r} '=\mathbf {w} (t_{r})\,\!$ 時所計算出的數值。積分內，只剩下狄拉克 δ 函數等待進一步處理：

　
: $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r}))\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!$ 。

由於推遲時間 $t_{r}\,\!$ 跟三個變數 $t\,\!$ 、 $\mathbf {r} \,\!$ 、 $\mathbf {r} '\,\!$ 有關，這積分比較難計算，需要使用換元積分法。設定變數 ${\boldsymbol {\eta }}=\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r})\,\!$ 。那麼，其雅可比行列式 ${\mathfrak {J}}\,\!$ 為

　
: ${\mathfrak {J}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {\eta }}}{\partial \mathbf {r} '}}={\begin{vmatrix}{\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial z'}}\\{\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial z'}}\\{\cfrac {\partial \eta _{z}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta _{z}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta _{z}}{\partial z'}}\\\end{vmatrix}}\,\!$ 。

行列式內分量很容易計算，例如：

　
: ${\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial x'}}=1-{\cfrac {\partial w_{x}}{\partial x'}}=1-{\cfrac {\partial w_{x}}{\partial t_{r}}}\ {\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}=1-v_{x}{\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}\,\!$ 、

　
: ${\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial x'}}={\cfrac {\partial w_{y}}{\partial x'}}={\cfrac {\partial w_{y}}{\partial t_{r}}}\ {\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}=v_{y}{\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}\,\!$ 。

按照上述方法，經過一番計算，可以得到

　
: ${\mathfrak {J}}=1-\mathbf {v} \cdot \nabla 't_{r}=1-{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\cdot \mathbf {v} /c\,\!$ 。

所以，推遲純量勢 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!$ 的方程式變為

　
: $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}\delta ({\boldsymbol {\eta }}){\cfrac {\partial \mathbf {r} '}{\partial {\boldsymbol {\eta }}}}\,d^{3}{\boldsymbol {\eta }}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\cfrac {\delta ({\boldsymbol {\eta }})}{\mathfrak {J}}}\,d^{3}{\boldsymbol {\eta }}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\cfrac {\delta ({\boldsymbol {\eta }})}{1-{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\cdot \mathbf {v} /c}}\,d^{3}{\boldsymbol {\eta }}\,\!$ 。

這樣，可以得到黎納 - 維謝純量勢：

　
: $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {qc}{{\mathfrak {R}}c-{\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\cdot \mathbf {v} }}\,\!$ 。

類似地，也可以推導出黎納 - 維謝向量勢。

### 相對論性導引

從推遲勢的表達式可以看出它只依賴於推遲時刻源點的速度，而不依賴於源點的加速度，所以通過電磁勢的洛侖茲變換也可以推導出黎納 - 維謝勢。考慮一個在推遲時刻瞬時速度與電荷運動速度相同的慣性系，記作 $S^{\prime }$ 。在 $S^{\prime }$ 系中，電荷在推遲時刻的速度為零（雖然加速度未必為零），其純量勢應由庫侖定律給出，向量勢為零。

　
: $\phi '={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}'}}$ 、

　
: $A'=0$ 。

純量勢和向量勢從 $S^{\prime }$ 繫到 $S$ 系的變換滿足洛侖茲變換：

　
: $\phi =\gamma (\phi '-c\beta A')$ 、

　
: $A=\gamma (-A'+\beta \phi '/c)$ ；

其中， $\gamma $ 是洛侖茲因子， ${\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c$ 。

代入後可以得到：

　
: $\phi ={\frac {\gamma q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}'}}$ 、

　
: ${\boldsymbol {A}}={\frac {\gamma q{\boldsymbol {\beta }}}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}'c}}$ 。

 ${\mathfrak {R}}'$ 和 ${\mathfrak {R}}$ 的變換關係也由洛侖茲變換給出：

　
: ${\mathfrak {R}}'=c\Delta t'=c\gamma (\Delta t-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}/c)=\gamma ({\mathfrak {R}}-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {R}}})$

將 ${\mathfrak {R}}'$ 的表達式代入即得到黎納 - 維謝勢。

### 物理意義

對於固定不動的帶電粒子，電位的方程式為

　
: $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {q}{\mathfrak {R}}}\,\!$ 。

這是黎納 - 維謝純量勢乘以**雅可比行列式因子** ${\mathfrak {J}}\,\!$ 。追根究柢，原因是移動中的帶電粒子，雖然理論上是點粒子，但是由於它是在移動中，在積分裏所佔有的體積顯得比較大，所帶的電荷因此比較多，所以產生的電位不同。這也可以看作是一種都卜勒效應。

### 移動中的帶電粒子的電磁場

從黎納 - 維謝勢，可以計算電場 $\mathbf {E} \,\!$ 和磁場 $\mathbf {B} \,\!$ ：

　
: $\mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\!$ 、

　
: $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,\!$ 。

求得的電場 $\mathbf {E} \,\!$ 和磁場 $\mathbf {B} \,\!$ 分別為

　
: $\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\cfrac {\mathfrak {R}}{({\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\cdot \mathbf {u} )^{3}}}[(c^{2}-v^{2})\mathbf {u} +{\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\times (\mathbf {u} \times \mathbf {a} )]\,\!$ 、

　
: $\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{c}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!$  ;

其中，向量 $\mathbf {u} \,\!$ 設定為 $c{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}-\mathbf {v} \,\!$ ，帶電粒子的加速度是 $\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\,\!$ 。

檢查電場 $\mathbf {E} \,\!$ 的方程式，右邊第一項稱為**廣義庫侖場**，又稱為**速度場**，因為這項目與加速度無關。當 $v\ll c\,\!$ ，粒子速度超小於光速時， $\mathbf {u} \to c{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\,\!$ ，這項目會趨向庫侖方程式：

　
: $\mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\,\!$ 。

右邊第二項稱為**輻射場**，又稱為**加速度場**，因為這項目的物理行為主要是由粒子的加速度決定。這個項目能夠描述電磁輻射的生成程序。

## 參閱

* 電磁波方程式
* 非齊次的電磁波方程式
* 傑斐緬柯方程式
* 拉莫方程式
* 阿布拉罕 - 勞侖茲力
* 電磁場的數學表述

## 參考文獻