魏爾斯特拉斯橢圓函數

在數學中，**魏爾斯特拉斯橢圓函數**（Weierstrass's elliptic functions）又稱 p 函數並且以 $\wp $ 符號表示，是格外簡單的一類橢圓函數，也是雅可比橢圓函數的特殊形式。卡爾・魏爾斯特拉斯首先研究了這些函數。

## 定義

固定 $\mathbb {C} $ 中的格 $\Lambda =\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2}$ （ $\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} $ 在 $\mathbb {Q} $ 上線性無關），對應的魏爾斯特拉斯橢圓函數定義是

　
: $\wp (z;\Lambda )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left\{{\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\}$ 。

顯然右式只與格 $\Lambda \,$ 相關，無關於基 $\omega _{1},\omega _{2}\,$ 之選取。 $\Lambda \,$ 的元素也稱作週期。

另一方面，格 $\Lambda \,$ 在取適當的全純同態 $\mathbb {C} \to \mathbb {C} $ 後可表成 $\Lambda =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \tau $ ，其中 $\tau \,$ 屬於上半平面。對於這種形式的格，

　
: $\wp (z;\Lambda )=\wp (z;\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}{1 \over (z-n-m\tau )^{2}}-{1 \over (n+m\tau )^{2}}$ 。

反之，由此亦可導出對一般的格之公式

　
: $\wp (z;\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2})={\frac {\wp ({\frac {z}{\omega _{1}}};{\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}})}{\omega _{1}^{2}}}\quad (\mathrm {Im} ({\frac {\omega _{1}}{\omega _{2}}})>0)$

在數值計算方面， $\wp $ 可以由 Θ 函數快速地計算，方程是

　
: $\wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}-{\pi ^{2} \over {3}}\left[\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )\right]$

* 在週期格中的每個點， $\wp $ 有二階極點。
* $\wp $ 是偶函數。
* 複導函數 $\wp '$ 是奇函數。

## 加法定理

　
: $\det {\begin{pmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (y)&\wp '(y)&1\\\wp (z+y)&-\wp '(z+y)&1\end{pmatrix}}=0$

假設 $u+v+w=0$ ，上式有一個較對稱的版本

　
: $\det {\begin{pmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{pmatrix}}=0$

此外

　
: $\wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right\}^{2}-\wp (z)-\wp (y).$

魏爾斯特拉斯橢圓函數滿足複製公式：若 $2z$ 不是週期，則

　
: $\wp (2z)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right\}^{2}-2\wp (z),$

## 微分方程與積分方程

定義 $g_{2},g_{3}$ （依賴於 $\Lambda $ ）為

　
: $g_{2}:=60\sum _{w\in \Lambda }'w^{-4}$

　
: $g_{3}:=120\sum _{w\in \Lambda }'w^{-6}$

求和符號 $\sum '_{w}$ 意謂取遍所有非零的 $w$ 。當 $\Lambda =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \tau $ 時，它們可由艾森斯坦級數 $G_{4},G_{6}$ 表示。

則魏爾斯特拉斯橢圓函數滿足微分方程

　
: $\wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}$ 。

故 $z\mapsto (\wp (z),\wp '(z))$ 給出了從複環面 $\mathbb {C} /\Lambda $ 映至三次複射影曲線 $y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}$ 的全純映射；可證明這是同構。

另一方面，將上式同除以 $\wp '$ ，積分後可得

　
: $z_{1}-z_{2}=\int _{\wp (z_{1})}^{\wp (z_{2})}{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}$ 。

右側是複平面上的路徑積分，對不同的路徑 $\wp (z_{1})\to \wp (z_{2})$ ，其積分值僅差一個 $\Lambda $ 的元素；所以左式應在複環面 $\mathbb {C} /\Lambda $ 中考慮。在此意義下，魏爾斯特拉斯橢圓函數是某類橢圓積分之逆。

## 模判別式

續用上節符號，**模判別式** $\Delta $ 定義為下述函數

　
: $\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.$

視為週期格的函數，這是權 12 之模形式。模判別式也可以用戴德金 η 函數表示。

## 文獻

* Stein. Complex Analysis.
* Naum Illyich Akhiezer, _Elements of the Theory of Elliptic Functions_, (1970) Moscow, translated into English as _AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79_ (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
* Tom M. Apostol, _Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition_ (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 _(See chapter 1.)_
* K. Chandrasekharan, _Elliptic functions_ (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
* Serge Lang, _Elliptic Functions_ (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
* E. T. Whittaker and G. N. Watson, _A course of modern analysis_ (1952), Cambridge University Press, chapters 20 and 21

## 外部連結

* Weierstrass's elliptic functions on Mathworld （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
* Elliptic functions, Hans Lundmark's Complex analysis page.