龐特里亞金最小值定理

**龐特里亞金最大化原理**（Pontryagin's maximum principle）也根據使用條件稱為**龐特里亞金最小化原理**或**最大值原理**及**最小值原理**，是最優控制中的理論，是在狀態或是輸入控制項有限制條件的情形下，可以找到將動力系統由一個狀態到另一個狀態的最優控制信號。此理論是蘇俄數學家列夫・龐特里亞金及他的學生在 1956 年提出的。這是變分法中歐拉 - 拉格朗日方程的特例。

簡單來說，此定理是指在所有可能的控制中，需讓「控制哈密頓量」（control Hamiltonian）取極值，極值是最大值或是最小值則依問題以及哈密頓量的符號定義而不同。正式的用法，也就是哈密頓量中所使用的符號，會取到最大值，但是此條目中使用的符號定義方式，會讓極值取到最小值。

若 ${\mathcal {U}}$ 是所有可能控制值的集合，則此原理指出，最優控制 $u^{*}$ 必須滿足以下條件：

　
: $H(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda ^{*}(t),t)\leq H(x^{*}(t),u,\lambda ^{*}(t),t),\quad \forall u\in {\mathcal {U}},\quad t\in [t_{0},t_{f}]$

其中 $x^{*}\in C^{1}[t_{0},t_{f}]$ 是最佳狀態軌跡，而 $\lambda ^{*}\in BV[t_{0},t_{f}]$ 是最佳 協態軌跡

此結果最早成功的應用在輸入控制有限制條件的最小時間問題中，不過也可以用在狀態有限制條件的問題中。

也可以推導控制哈密頓量的特殊條件。若最終時間 $t_{f}$ 固定，且控制哈密頓量不是時間的顯函數 $\left({\tfrac {\partial H}{\partial t}}\equiv 0\right)$ ，則：

　
: $H(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda ^{*}(t))\equiv \mathrm {constant} \,$

若最終時間沒有限制，則：

　
: $H(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda ^{*}(t))\equiv 0.\,$

若在某一軌跡上滿足龐特里亞金最大化原理，此原理是最佳解的必要條件。哈密頓 - 雅可比 - 貝爾曼方程 提供了最佳解的充份必要條件，但該條件須在整個狀態空間中都要成立。

## 最大化和最小化

此定理一開始的名稱是龐特里亞金最大化原理（Pontryagin's maximum principle），其證明也是以控制哈密頓量最大化為基礎。此原理最早的應用是要最大化火箭的終端速度。不過後來此定理大部份的應用是使性能指標最小化，因此常稱為龐特里亞金最小化原理。龐特里亞金的書解出了要讓性能指標最小化的問題

## 符號

以下的內容會使用這些表示方式

　
: $\Psi _{T}(x(T))={\frac {\partial \Psi (x)}{\partial T}}|_{x=x(T)}\,$

　
: $\Psi _{x}(x(T))={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{1}}}|_{x=x(T)}&\cdots &{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{n}}}|_{x=x(T)}\end{bmatrix}}$

　
: $H_{x}(x^{*},u^{*},\lambda ^{*},t)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H}{\partial x_{1}}}|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}&\cdots &{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}\end{bmatrix}}$

　
: $L_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial L}{\partial x_{1}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &{\frac {\partial L}{\partial x_{n}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}$

　
: $f_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\ldots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}$

## 最小化問題必要條件的正式敘述

以下是讓泛函最小化的必要條件。令 $x$ 為在輸入為 $u$ 時，動態系統的狀態，且滿足以下條件

　
: ${\dot {x}}=f(x,u),\quad x(0)=x_{0},\quad u(t)\in {\mathcal {U}},\quad t\in [0,T]$

其中

　
: ${\mathcal {U}}$ 為可行控制的集合

　
: $T$ 為系統的結束時間。

控制 $u\in {\mathcal {U}}$ 需在所有 $t\in [0,T]$ 內使目標泛函 $J$ 最小化，目標泛函 $J$ 隨應用而定，可以寫成

　
: $J=\Psi (x(T))+\int _{0}^{T}L(x(t),u(t))\,dt$

系統動態的限制可以用導入時變拉格朗日乘數向量 $\lambda $ 的方式和 $L$ 相加，而拉格朗日乘數向量 $\lambda $ 的元素稱為系統的協態（costate）。因此可以建構在所有 $t\in [0,T]$ 的哈密頓量為：

　
: $H(x(t),u(t),\lambda (t),t)=\lambda ^{\rm {T}}(t)f(x(t),u(t))+L(x(t),u(t))\,$

其中 $\lambda ^{\rm {T}}$ 是 $\lambda $ 的轉置。

龐特里亞金最小化原理提到最佳狀態軌跡 $x^{*}$ ，最佳控制 $u^{*}$ 及對應的拉格朗日乘數向量 $\lambda ^{*}$ 必需最小化哈密頓量 $H$ ，因此

　
: $(1)\qquad H(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda ^{*}(t),t)\leq H(x^{*}(t),u,\lambda ^{*}(t),t)\,$

針對所有 $t\in [0,T]$ 時間，也針對所有可能的控制輸入 $u\in {\mathcal {U}}$ 。以下的式子也必須成立

　
: $(2)\qquad \Psi _{T}(x(T))+H(T)=0\,$

而且也要滿足以下的協態方程

　
: $(3)\qquad -{\dot {\lambda }}^{\rm {T}}(t)=H_{x}(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda (t),t)=\lambda ^{\rm {T}}(t)f_{x}(x^{*}(t),u^{*}(t))+L_{x}(x^{*}(t),u^{*}(t))$

若最終狀態 $x(T)$ 沒有固定（其微分變異不為 0），最終協態也要滿足以下條件

　
: $(4)\qquad \lambda ^{\rm {T}}(T)=\Psi _{x}(x(T))\,$

上述 (1)-(4) 的條件是最佳控制的必要條件。公式 (4) 只有在 $x(T)$ 沒有固定時才需要成立。若 $x(T)$ 是固定值，公式 (4) 不在必要條件中。

此解法可以應用在宇宙學和天體物理學中 。

## 相關條目

* 巴拿赫空間下的拉格朗日乘數，變分法下中的拉格朗日法
* 奇異控制：無法利用龐特里亞金最小化原理求出完整解的最優控制問題。

## 腳註

## 參考資料

* Boltyanskii, V. G.; Gamkrelidze, R. V.; Pontryagin, L. S. К теории оптимальных процессов [Towards a Theory of Optimal Processes]. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1956, **110** (1): 7–10. MR 0084444 （俄語）.
* Pontryagin, L. S.; Boltyanskii, V. G.; Gamkrelidze, R. V.; Mishchenko, E. F. The Mathematical Theory of Optimal Processes. English translation. Interscience. 1962. ISBN 2-88124-077-1.
* Fuller, A. T. Bibliography of Pontryagin's maximum principle. J. Electronics & Control. 1963, **15** (5): 513–517.
* Kirk, D. E. Optimal Control Theory: An Introduction. Prentice Hall. 1970. ISBN 0-486-43484-2.
* Sethi, S. P.; Thompson, G. L. Optimal Control Theory: Applications to Management Science and Economics 2nd. Springer. 2000. ISBN 0-387-28092-8.  Slides are available at [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Geering, H. P. Optimal Control with Engineering Applications. Springer. 2007. ISBN 978-3-540-69437-3.
* Ross, I. M. A Primer on Pontryagin's Principle in Optimal Control. Collegiate. 2009. ISBN 978-0-9843571-0-9.
* Cassel, Kevin W. Variational Methods with Applications in Science and Engineering. Cambridge University Press. 2013.

## 外部連結

* Hazewinkel, Michiel (編), Pontryagin maximum principle, 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4