齊次函數定理

在數學中，**齊次函數**是一個有倍數性質的函數：如果變數乘以一個係數，則新函數會是原函數再乘上係數的某次方倍。

## 正式定義

假設 $f:V\rightarrow W$ 是域 $F$ 內的兩個向量空間之間的函數。

我們說 $f$ 是「 $k$ 次齊次函數」，如果對於所有非零的 $\alpha \in F$ 和 $\mathbf {v} \in V$ ，都有：

　
: $f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )$

即是，在歐幾里得空間， $f(\alpha \mathbf {v} )=f(k)\ f(\mathbf {v} )$ ，
其中 $f(k)$ 為指數函數。

## 例子

* 線性函數 $f:V\rightarrow W$ 是一次齊次函數，因為根據線性的定義，對於所有的 $\alpha \in F$ 和 $\mathbf {v} \in V$ ，都有：
* 多線性函數 $f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\rightarrow W$ 是 n 次齊次函數，因為根據多線性的定義，對於所有的 $\alpha \in F$ 和 $\mathbf {v} _{1}\in V_{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\in V_{n}$ 都有：
* 從上一個例子中可以看出，兩個巴拿赫空間 $X$ 和 $Y$ 之間的函數 $f:X\rightarrow Y$ 的 $n$ 階弗雷歇導數是 $n$ 次齊次函數。
* $n$ 元單項式定義了齊次函數 $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} $ 。

例如：

　
: $f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}$

是 10 次齊次函數，因為：

　
: $(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}$ 。

* 齊次多項式是由同次數的單項式相加所組成的多項式。例如：

　
: $x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}$

是 5 次齊次多項式。齊次多項式可以用來定義齊次函數。

## 基本定理

* 歐拉定理：假設函數 $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} $ 是可導的，且是 $k$ 次齊次函數。那麼：

　
: $\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )\qquad $ 。

這個結果證明如下。記 $f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(\mathbf {x} )$ ，並把以下等式兩端對 $\alpha $ 求導：

　
: $f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )$

利用複合函數求導法則，可得：

　
: ${\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{1})+\cdots +{\frac {\partial }{\partial \alpha {x_{n}}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{n})=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )$ ，

因此：

　
: $x_{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} )+\cdots +x_{n}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{n}}}f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )$ 。

以上的方程可以用劈形算符寫為：

　
: $\mathbf {x} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k}f(\mathbf {x} ),\qquad \nabla =({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}})$ ，

當 $\alpha =1$ ，定理即得證。

* 假設 $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} $ 是可導的，且是 $k$ 階齊次函數。則它的一階偏導數 $\partial f/\partial x_{i}$ 是 $k-1$ 階齊次函數。

這個結果可以用類似歐拉定理的方法來證明。記 $f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(\mathbf {x} )$ ，並把以下等式兩端對 $x_{i}$ 求導：

　
: $f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )$

利用複合函數求導法則，可得：

　
: ${\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(\alpha x_{i})=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(x_{i})$ ，

因此：

　
: $\alpha {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )$

所以

　
: ${\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )$ .

## 用於解微分方程

對於以下的微分方程

　
: $I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,$

其中 $I$ 和 $J$ 是同次數的齊次函數，利用變量代換 $v=y/x$ ，可以把它化為可分離變量的微分方程：

　
: $x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v$ 。

## 參考文獻

* Blatter, Christian. 20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.. Analysis II (2nd ed.). Springer Verlag. 1979: p. 188. ISBN 3-540-09484-9 （德語）.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)

## 外部連結

* Hazewinkel, Michiel (編), Homogeneous function, 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Homogeneous function. PlanetMath.