黎曼級數定理

**黎曼級數定理**（亦稱**黎曼重排定理**），是一個有關於無窮級數性質的數學定理，得名於 19 世紀德國著名數學家波恩哈德・黎曼。黎曼級數定理說明，如果一個實數項無窮級數若是條件收斂的，它的項在重新排列後，重新排列後的級數收斂的值可以收斂到任何一個給定的值，甚至發散。

許多有限項級數具有的性質，在一般的無窮級數不一定滿足，例如一般的有限項級數可以重新排列各項，其級數和不會改變，但在無窮級數中，只有絕對收斂的無窮級數才可以重新排列各項而不改變收斂值。

## 相關定義

給定無窮級數 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ ，其部分和為： $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ 。如果部分和的數列

　
: $\left\{S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\dots \right\}$

收斂於某個數值： $\ell $ ，則級數收斂。也就是說，如果對於任何的 $\epsilon >0$ ，總存在一個整數 _N_，使得如果 $n\geq N$ ，則

　
: $\left|S_{n}-\ell \right\vert \leq \ \epsilon $ .

那麼級數 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 收斂。如果級數 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 收斂，但級數 $\sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right\vert $ 發散，則稱此級數是條件收斂的。:149

## 定理的陳述

假設 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 是一個條件收斂的無窮級數。對任意的一個實數 $C$ ，都存在一種從自然數集合到自然數集合的排列 $\sigma :\,\,n\mapsto \sigma (n)$ ，使得

　
: $\sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=C.$

此外，也存在另一種排列 $\sigma ':\,\,n\mapsto \sigma '(n)$ ，使得

　
: $\sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma '(n)}=\infty .$

類似地，也可以有辦法使它的部分和趨於 $-\infty $ ，或沒有任何極限。:192

反之，如果級數是絕對收斂的，那麼無論怎樣重排，它仍然會收斂到同一個值，也就是級數的和。:193

## 例子

交錯調和級數是條件收斂級數的一個經典的例子：

　
: $A_{h}=\sum _{n}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$

收斂，而

　
: $S_{h}=\sum _{n}{\bigg |}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}{\bigg |}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}$

是調和級數，它是發散的。雖然在標準的表示法中，交錯調和級數收斂於 ln (2)，我們可以把它的項重新排列，使它收斂於任何一個數，甚至發散。例如，如果排列為以下的形式，

　
: $\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots $

　
: 那麼這時的和等於 $\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}-{\frac {1}{4n+2}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+2}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$

可以看出，它的和是原來的和的一半。:153-154:108-111

### 趨近任一個實數

用不同的排列方法，可以讓交錯調和級數趨向任意一個給定的實數。事實上，由於調和級數 $\sum _{n}{\frac {1}{n}}$ 是發散的，它的部分和可以近似估計為：

　
: $S_{N}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=\gamma +\ln N+o(1),$

其中 $o(1)$ 表示一個當 N 趨於無窮大時的無窮小， $\gamma $ 指歐拉常數。如果將調和級數 $A_{h}$ 中所有負項（也就是所有偶數項）相加，得到的級數會是：

　
: $A_{h}^{-}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\cdots =-{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots \right)$

它的部分和是：

　
: $A_{N}^{-}=-\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2n}}=-{\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {1}{2}}\ln N+o(1),$

因此所有正項相加的級數 $A_{h}^{+}=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots $ 的部分和是：

　
: $A_{N}^{+}=A_{N}-A_{N}^{-}=\ln 2+{\frac {1}{2}}\left(\gamma +\ln N\right)+o(1),$

這也是一個發散級數，趨向正無窮。因此，對任意給定的正實數 $C$ ，可以使用以下的算法來構造出趨向 $C$ 的重排級數 $A^{\sigma }$ 的每一項：

1. 從第一項起，將 $A_{h}$ 中的正項（奇數項）從前往後放入，一直放到超過 $C$ 為止：必定存在一個自然數 $N_{1}$ ，使得 $A_{N_{1}-1}^{+}\leqslant C+<A_{N_{1}}^{+}$ （假設 $A_{0}=0$ ）。將第 1 至第 $N_{1}$ 項定義為：

　
: $\forall k=1,2,\cdots ,N_{1},\,\,\sigma (k)=2k-1$
2. 從第 $N_{1}+1$ 項開始，將 $A_{h}$ 中的負項（偶數項）從前往後放入，一直放到小於 $C$ 為止：必定存在一個自然數 $N_{2}>N_{1}$ ，使得 $A_{N_{1}}^{+}+A_{N_{2}-N_{1}-1}^{-}\leqslant C+<A_{N_{1}}^{+}+A_{N_{2}-N_{1}}^{-}$ 。將第 $N_{1}+1$ 至第 $N_{2}$ 項定義為：

　
: $\forall k=N_{1}+1,N_{1}+2,\cdots ,N_{2},\,\,\sigma (k)=2k-2N_{1}$

交替重複這兩步來重排級數，可以將重排級數的部分和 $A_{N_{k}}^{\sigma }$ 保持在 $C$ 上下，而因為 $A_{N_{k}}^{\sigma }$ 是重複第 k 步時首次「跨過」 $C$ 時候的值，因而它與 $C$ 的差距必定不超過「跨越」時的「步長」，也就是 ${\frac {1}{N_{k}}}$ 。隨著 $N_{k}$ 越來越大， $A_{N_{k}}^{\sigma }$ 與 $C$ 的差距也會越來越趨近於 0. 因此使用這個算法構造出來的重排級數 $A^{\sigma }$ 最終會收斂於 $C$ 。:111-113

## 證明

對一般的條件收斂級數，也可以用以上的算法來證明黎曼級數定理。上文中有關交錯調和級數的算法之所以成立，原因有二：首先，所有正項構成的級數發散到正無窮大，所有負項構成的級數發散到負無窮大，所以每次超出（低於）目標值 $C$ 以後，只要不停地累加，必然能夠再次低於（超出）目標值 $C$ ；其次，調和級數是由 ${\frac {1}{n}}$ 相加而成，而隨著 $n$ 趨向無窮， ${\frac {1}{n}}$ 趨向於 0，也就是說「步長」趨向 0，所以最終能夠收斂。所以只需要證明，任何條件收斂級數都滿足這兩個性質：

1. 所有正項構成的級數和所有負項構成的級數都是發散的；
2. 級數的項隨著項數趨於無窮而趨於 0.

就能證明黎曼級數定理成立了。

證明了性質一與性質二後，就可以用上文提到的算法構造趨向任何實數甚至發散的重排方式。對於任意實數 $C$ ，不妨假設 $C\geqslant 0$ . 首先將 $A^{+}$ 的項按順序累加，直到部分和超過 $C$ 為止，然後再將 $A^{-}$ 的項按順序累加在其後，直到部分和小於 $C$ 為止，接著再將 $A^{+}$ 剩餘的項按順序累加在其後，直到部分和超過 $C$ 為止…… 這個算法可以一直進行下去，因為根據性質一， $A^{+}$ 和 $A^{-}$ 都是發散的。而在執行算法的過程中，部分和與 $C$ 會越來越接近。因為無論是在部分和低於 $C$ ，逐項增加到超過 $C$ 的過程中，還是在部分和超過了 $C$ ，逐項減少到低於 $C$ 的過程中，部分和與 $C$ 的差距（絕對值）都不超過前一次「跨越」 $C$ 值的那一刻，部分和與 $C$ 的差距。而這個差距又小於等於部分和「跨越」 $C$ 值時的「步長」。假設第 $k$ 次「跨越」的是在累加第 $N_{k}$ 項的時候發生的，那麼直到第 $k+1$ 次「跨越」時，部分和與 $C$ 的差距都小於等於 $a_{N_{k}}$ 。隨著 $k$ 趨於無窮大， $N_{k}$ 也趨於無窮大，因而根據性質二， $a_{N_{k}}$ 趨於 0，也就是說部分和與 $C$ 的差距趨於 0。這等價於說重排後的級數 $A^{\sigma }$ 收斂於 $C$ 。

如果 $C<0$ ，只需要將算法中的正負項顛倒即可。如果將算法中第 $k$ 次累加正項要超越的值從 $C$ 改為 $C+k$ ，然後累加負項直到低於 $C+k$ ，再開始第 $k+1$ 次累加正項直到超越 $C+k+1$ ，如此以往，就能得到發散到正無窮大的重排級數。反之也能得到發散到負無窮大的重排級數。而如果將算法中每次累加正項要超過的值設為 1，將每次累加負項要低於的值設為 0，那麼重排級數的值將在 0 和 1 左右上下反覆擺動，從而不收斂於任何定值。這就是黎曼級數定理。:193-197:154-156

## 推廣

此定理可推廣至斯坦尼茲定理。給定一個複數收斂級數∑ _a_n，則重排後的級數∑ _a_σ (_n_) 之和有以下幾種可能：

* 級數∑ _a_n 為絕對收斂，所以任何重排後的級數和都收斂到同一個值。
* 級數∑ _a_n 為條件收斂。令 _S_ 為所有重排級數之和的集合，則 _S_ 要不為整個複數平面 **C**，要不為複數平面上 **C** 上的一條線 _L_

　
: : $L=\{a+tb:t\in \mathbf {R} \},\quad a,b\in \mathbf {C} ,\ b\neq 0$

更一般的說，給定一個有限維度實向量空間 _E_，考慮其向量組成的收斂級數，則重排級數之和的集合為 _E_ 的仿射子空間。

## 參考來源

* Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. 於 2005 年 5 月 16 日訪問。