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高斗枢

**高斗樞**（1594 年 —1670 年），字**象先**，號**玄若**，浙江鄞縣人，明末政治軍事人物、史學家。以堅守鄖陽聞名，入清後隱居山林。

## 生平

崇禎元年（1628 年），考中進士，授刑部主事。因論巡撫耿如杞事與同僚四人下獄。不久後官復原位，進遷員外郎。

崇禎五年（1632 年），出任荊州府知府。久任後又任長沙兵備副使。當時地方農民起義風起雲湧，湖北數郡已被賊兵占領，勢頭將蔓延至湖南，在臨武、藍山、洞庭湖、湘潭一帶又有起義。長沙只有約五百老弱守兵。而鄰近的攸縣僅有二百守兵，城牆、倉庫都坍塌了。高斗樞到任後，立即修築了四十座飛樓，大量打造守城的武器。當臨武、藍山兩地的二百多艘賊船途徑衡陽、湘潭順流而下到達長沙城下時，高斗樞率軍與他們相持了十多日，賊兵無機可乘，撤離去了袁州。高斗樞又派兵在後追擊，賊兵解兵而去。

崇禎十四年（1641 年）六月，高斗樞晉升為按察使，移駐鄖陽，堅守了兩年，李自成不能破。崇禎十六年夏，朝廷加任高斗樞為太僕寺卿，仍署道事。崇禎十七年（1644 年）二月，尚書李遇知舉薦高斗樞出任陝西巡撫，並讓他兼督川北軍務，又擢升高斗樞右副都御史，因兵荒馬亂任命都沒能及時抵達，四月明朝都城北京陷落，遂謝事養病。

南明福王稱帝，調任高斗樞任湖廣巡撫，因道路不通，任命未能到達高斗樞。

清兵入關後，高斗樞回鄉隱居。南明大學士謝三賓降清，供出反清的名節之士百餘人，高斗樞也在其中，但他始終一言不發。晚年閉門不出，生活清貧。1670 年，病卒於家。

## 代表著作

* 《蠶瓮集》
* 《官宦漫記》
* 《三楚舊勞記》
* 《守鄖紀略》，研究晚明軍事的重要著作
* 《存漢錄》

## 家族

曾祖高士，以儒學名，贈刑部郎中。祖父高萃，萬曆甲戌進士，知肇慶府，贈右副都御史。父高 <羽惠>，光祿寺署丞致仕，封右副都御史。母黃氏，誥贈太淑人。

## 延伸閱讀

[編]

　
: 《明史卷二百六十》，出自《明史》

　
:

## 參考資料
高斗樞

**高斗樞**（1594 年 —1670 年），字**象先**，號**玄若**，浙江鄞縣人，明末政治軍事人物、史學家。以堅守鄖陽聞名，入清後隱居山林。

## 生平

崇禎元年（1628 年），考中進士，授刑部主事。因論巡撫耿如杞事與同僚四人下獄。不久後官復原位，進遷員外郎。

崇禎五年（1632 年），出任荊州府知府。久任後又任長沙兵備副使。當時地方農民起義風起雲湧，湖北數郡已被賊兵占領，勢頭將蔓延至湖南，在臨武、藍山、洞庭湖、湘潭一帶又有起義。長沙只有約五百老弱守兵。而鄰近的攸縣僅有二百守兵，城牆、倉庫都坍塌了。高斗樞到任後，立即修築了四十座飛樓，大量打造守城的武器。當臨武、藍山兩地的二百多艘賊船途徑衡陽、湘潭順流而下到達長沙城下時，高斗樞率軍與他們相持了十多日，賊兵無機可乘，撤離去了袁州。高斗樞又派兵在後追擊，賊兵解兵而去。

崇禎十四年（1641 年）六月，高斗樞晉升為按察使，移駐鄖陽，堅守了兩年，李自成不能破。崇禎十六年夏，朝廷加任高斗樞為太僕寺卿，仍署道事。崇禎十七年（1644 年）二月，尚書李遇知舉薦高斗樞出任陝西巡撫，並讓他兼督川北軍務，又擢升高斗樞右副都御史，因兵荒馬亂任命都沒能及時抵達，四月明朝都城北京陷落，遂謝事養病。

南明福王稱帝，調任高斗樞任湖廣巡撫，因道路不通，任命未能到達高斗樞。

清兵入關後，高斗樞回鄉隱居。南明大學士謝三賓降清，供出反清的名節之士百餘人，高斗樞也在其中，但他始終一言不發。晚年閉門不出，生活清貧。1670 年，病卒於家。

## 代表著作

* 《蠶瓮集》
* 《官宦漫記》
* 《三楚舊勞記》
* 《守鄖紀略》，研究晚明軍事的重要著作
* 《存漢錄》

## 家族

曾祖高士，以儒學名，贈刑部郎中。祖父高萃，萬曆甲戌進士，知肇慶府，贈右副都御史。父高 <羽惠>，光祿寺署丞致仕，封右副都御史。母黃氏，誥贈太淑人。

## 延伸閱讀

[編]

　
: 《明史卷二百六十》，出自《明史》

　
:

## 參考資料
高斯-克吕格坐标系

高斯克魯格坐標系是以德國數學家卡爾・弗里德里希・高斯和約翰・海因里希・路易斯・克呂格而命名的用於地圖學中的度量系統。
高斯-克吕格投影

**橫軸墨卡托投影**（transverse Mercator projection），又稱**高斯 - 克呂格投影**（Gauss–Krüger projection），簡稱高斯投影，是一種地圖投影法，它由德國數學家高斯於 1820 年代創立，1912 年經德國大地測量學家克呂格完善。它是一種橫軸等角切橢圓柱投影：假想一個平面捲成圓筒套在球體外面，圓柱的中心軸線通過地球的中心且與赤道面夾角為零，球面上一根子午線與圓柱面相切。這樣，該子午線在圓柱面上的投影為一直線，赤道面與圓柱面的交線是一條與該子午線投影垂直的直線。將圓柱面展開成平面，由這兩條正交直線就構成高斯 - 克呂格平面直角坐標系。為減少投影變形，高斯 - 克呂格投影分為 3° 帶和 6° 帶投影。

## 參見

* 麥卡托投影
* 地圖投影
* 斜軸墨卡托投影
高斯-勒让德算法

**高斯 - 勒讓德演算法**是一種用於計算圓周率（π）的演算法。它以迅速收斂著稱，只需 25 次迭代即可產生 π 的 4500 萬位正確數字。不過，它的缺點是記憶體密集，因此有時它不如梅欽類公式使用廣泛。

該方法基於德國數學家卡爾・弗里德里希・高斯（Johann Carl Friedrich Gauß，1777–1855）和法國數學家阿德里安 - 馬里・勒讓德（Adrien-Marie Legendre，1752–1833）的個人成果與乘法和平方根運算之現代演算法的結合。該演算法反覆替換兩個數值的算術平均數和幾何平均數，以接近它們的算術 - 幾何平均數。

下文的版本也被稱為**高斯 - 歐拉，布倫特 - 薩拉明（或薩拉明 - 布倫特）演算法**；它於 1975 年被理察・布倫特和尤金・薩拉明獨立發現。日本筑波大學於 2009 年 8 月 17 日宣布利用此演算法計算出 π 小數點後 2,576,980,370,000 位數字，計算結果用波溫演算法檢驗。

知名的電腦效能測試程式 Super PI 也使用此演算法。

## 演算法

1. 設定初始值： 
 $a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\qquad t_{0}={\frac {1}{4}}\qquad p_{0}=1.\!$
2. 反覆執行以下步驟直到 $a_{n}\!$ 與 $b_{n}\!$ 之間的誤差到達所需精度： 
 ${\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\\b_{n+1}&={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\\t_{n+1}&=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\\p_{n+1}&=2p_{n}.\end{aligned}}$
3. 則 π 的近似值為： 
 $\pi \approx {\frac {(a_{n+1}+b_{n+1})^{2}}{4t_{n+1}}}.\!$

下面給出前三個迭代結果（近似值精確到第一個錯誤的位數）：

　
: $3.140\dots \!$

　
: $3.14159264\dots \!$

　
: $3.1415926535897932382\dots \!$

該演算法具有二階收斂性，本質上說就是演算法每執行一步正確位數就會加倍。

## 數學背景

### 算術 - 幾何平均數的極限

a0 和 b0 兩個數的算術 - 幾何平均數，是通過計算它們的序列極限得到的：

　
: ${\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\\b_{n+1}&={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\end{aligned}}$

兩者匯聚於同一極限。 
若 $a_{0}=1\!$ 且 $b_{0}=\cos \varphi \!$ ，則極限為 ${\pi  \over 2K(\sin \varphi )}\!$ ，其中 $K(k)\!$ 為第一類完全橢圓積分：

　
: $K(k)=\int _{0}^{\pi  \over 2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.\!$

若 $c_{0}=\sin \varphi \!$ ， $c_{i+1}=a_{i}-a_{i+1}\!$ ，則

　
: $\sum _{i=0}^{\infty }2^{i-1}c_{i}^{2}=1-{E(\sin \varphi ) \over K(\sin \varphi )}\!$

其中 $E(k)\!$ 為第二類完全橢圓積分：

　
: $E(k)=\int _{0}^{\pi  \over 2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .\!$

高斯知道以上這兩個結果。

### 勒讓德恆等式

對於滿足 $\varphi +\theta ={1 \over 2}\pi \!$ 的 $\varphi \!$ 與 $\theta \!$ ，勒讓德證明了以下恆等式：

　
: $K(\sin \varphi )E(\sin \theta )+K(\sin \theta )E(\sin \varphi )-K(\sin \varphi )K(\sin \theta )={1 \over 2}\pi \!.$

### 高斯 - 歐拉法

 $\varphi =\theta ={\pi  \over 4}\!$ 的值可以代入勒讓德恆等式，且 K、E 的近似值可通過 $a_{0}=1\!$ 與 $b_{0}=\sin {\pi  \over 4}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\!$ 的算術 - 幾何平均數的序列項得到。

## 參考文獻
高斯-博内公式

在微分幾何中，**高斯 - 博內定理**（亦稱**高斯 - 博內公式**）是關於曲面的圖形（由曲率表徵）和拓撲（由歐拉示性數表徵）間聯繫的一項重要表述。它是以卡爾・弗里德里希・高斯和皮埃爾・奧西安・博內命名的，前者發現了定理的一個版本但從未發表，後者 1848 年發表了該定理的一個特例。

## 定理內容

設 $M$ 是一個緊的二維黎曼流形， $\partial M$ 是其邊界。令 $K$ 為 $M$ 的高斯曲率， $k_{g}$ 為 $\partial M$ 的測地曲率。則有

　
: $\int _{M}K\;dA+\int _{\partial M}k_{g}\;ds=2\pi \chi (M),\,$

其中 _dA_ 是該曲面的面積元，_ds_ 是 _M_ 邊界的線元。此處 $\chi (M)$ 是 $M$ 的歐拉示性數。

如果 $\partial M$ 的邊界是分段光滑的，我們將 $\int _{\partial M}k_{g}\;ds$ 視作光滑部分相應的積分之和，加上光滑部分在曲線邊界上的轉過的角度之和。

## 參看

* 陳 - 高斯 - 博內定理

 

## 外部連結

* 高斯 - 博內定理 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
高斯-卢卡斯定理

高斯 - 盧卡斯定理，又稱盧卡斯定理，該定理描述了複係數多項式的一個性質：多項式導數的根一定在原多項式的根所構成的凸包內。

這一結論曾在 1836 年被高斯直接使用，1874 年由菲利克斯・盧卡斯證明。

## 動機

二次多項式 $P(x)=ax^{2}+bx+c$ 的導數 $P'$ 的根為原多項式 $P$ 的兩個根的平均數。

同樣地，如果一個 $n$ 次多項式有 $n$ 個兩兩不同的實值零點 $x_{1}<x_{2}<...<x_{n}$ ，根據羅爾定理，其導數的每個零點都位於區間 $[x_{1},x_{n}]$ 之中。

高斯 - 盧卡斯定理可以看成這一性質在復係數多項式上的推廣。

## 表述

設 $P$ 是一個非常數的複係數多項式，那麼 $P'$ 的所有根都屬於由 $P$ 的根構成的凸包。

## 證明

將多項式函數 P 寫成複數下的不可約形式： $P(z)=c\prod _{i=1}^{r}(z-a_{i})^{n_{i}}$ ，其中複數 $c$ 是多項式的主係數、 $a_{i}$ 是多項式的根、 $n_{i}$ 為各個根的重數。

首先注意到：

 ${\frac {P^{\prime }(z)}{P(z)}}=\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{z-a_{i}}}$ 假設複數 $z$ 滿足：

 $P^{\prime }(z)=0\quad {\hbox{且}}\quad P(z)\neq 0,$
因此：

 $\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{z-a_{i}}}=0\quad $ 乘以共軛取模

 $\quad \ \sum _{i=1}^{r}n_{i}{\frac {{\overline {z}}-{\overline {a_{i}}}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}=0,$ 寫成如下形式：

 $\left(\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}\right){\overline {z}}=\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}{\overline {a_{i}}}.$
此時，可以將 $z$ 看成是 $n$ 個位於 $a_{i}$ 的質點的重心，因此在其構成的凸包內。

另一種 $P(z)=0$ 情況下的證明是顯然的。

## 參考

## 相關定理

* Théorème de Marden
* 施圖姆定理
* Conjecture d'Iliev-Sendov
高斯-約旦消去法

**高斯 - 約旦消去法**，又稱**高・約二氏消去法**（英語：Gauss-Jordan Elimination），是數學中的一個算法，是高斯消去法的另一個版本。它在線性代數中用來找出線性方程組的解，其方法與高斯消去法相同。唯一相異之處就是這算法產生出來的矩陣是一個簡化列階梯形矩陣，而不是高斯消去法中的列階梯形矩陣。相比起高斯消去法，此算法的效率比較低，卻可把方程組的解用矩陣一次過表示出來。

## 歷史

這種方法最早被記載於中國的九章算術中。而在歐洲則是牛頓最先發現這種方法。Carl Friedrich Gauss（高斯）於 1810 年發明了一種在 19 世紀被廣為接受的（特別是對於當時辛勤工作的手算員）的用於 symmetric elimination 的記法，這種記法被手算員們廣泛應用於解決正常方程式的最小平方問題。而此詞條的高斯－約旦消去法的命名中的「約旦」則來源於 1888 年德國數學家 Wilhelm Jordan 發現了這種高斯消去法的變體。有趣的是 Clasen 在同年出版的作品中也提到了相同的方法。這個事情更多地被認為是兩人分別獨立地發現了此方法。

## 參見

* 高斯消去法
* 列階梯形矩陣

## 參考文獻

* Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. "Schaum's Outlines: Linear Algebra". Tata McGraw-hill edition. Delhi 2001. pp. 69-80.

## 外部連結

* Matlab 語言的高斯－約旦消去法 (英文)
* Python 語言的高斯－約旦消去法 (英文) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Gauss-Jordan Elimination Calculator (英文) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
高斯-赛德尔迭代

**高斯－賽德爾疊代**（**Gauss–Seidel method**）是數值線性代數中的一個疊代法，可用來求出線性方程組解的近似值。該方法以卡爾・弗里德里希・高斯和路德維希・賽德爾命名。

## 算法

對於一個含有 n 個未知量及 n 個等式的如下線性方程組

$$
{\begin{aligned}a_{11}\cdot x_{1}+a_{12}\cdot x_{2}+\ldots +a_{1n}\cdot x_{n}&=b_{1},\\a_{21}\cdot x_{1}+a_{22}\cdot x_{2}+\ldots +a_{2n}\cdot x_{n}&=b_{2},\\\vdots \qquad \qquad \qquad &=\vdots \\a_{n1}\cdot x_{1}+a_{n2}\cdot x_{2}+\ldots +a_{nn}\cdot x_{n}&=b_{n}.\end{aligned}}
$$

為了求這個方程組的解 ${\vec {x}}$ ，我們使用疊代法。k 用來計量疊代步數。給定該方程組解的一個近似值 ${\vec {x}}^{\,k}\in \mathbb {R} ^{n}$ 。在求 k+1 步近似值時，我們利用第 m 個方程式求解第 m 個未知量。在求解過程中，所有已解出的 k+1 步元素都被直接使用。這一點與雅可比法不同。對於每個元素可以使用如下公式

$$
x_{m}^{k+1}={\frac {1}{a_{mm}}}\left(b_{m}-\sum _{j=1}^{m-1}a_{mj}\cdot x_{j}^{k+1}-\sum _{j=m+1}^{n}a_{mj}\cdot x_{j}^{k}\right),\quad 1\leq m\leq n.
$$

重複上述的求解過程，可以得到一個線性方程組解的近似值數列： ${\vec {x}}^{0},{\vec {x}}^{1},{\vec {x}}^{2},\ldots $ 。在該方法收斂的前提下，此數列收斂於 ${\vec {x}}$ . 可以證明數列收斂若線性方程組係數矩陣為對稱正定矩陣 (symmetric positive definite matrix) 或對角優勢矩陣 (diagonally dominant matrix)。

為了保證該方法可以進行，主對角線元素 $a_{mm}$ 需非零。

## 矩陣分解

線性方程組的係數 $a_{ij}\,(i,j=1,2,\ldots ,n)$ 可以被寫成矩陣形式 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ , 該矩陣的第 i 行第 j 列元素滿足 $(A)_{i,j}=a_{ij}$ 。方程組的右邊項可以被寫成向量形式 ${\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{n}:\,({\vec {b}})_{i}=b_{i}$ 。 線性方程組因此可以被寫成矩陣運算形式

$$
A{\vec {x}}={\vec {b}}
$$

矩陣 $A$ 可以分解成如下形式

 $A=D+L+U$ ,

其中 $D\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 為一個對角矩陣滿足 $(D)_{i,i}=(A)_{i,i}$ , $L,\,U$ 均為嚴格三角矩陣： $L$ 為嚴格下三角矩陣， $U$ 為嚴格上三角矩陣。

**例子**

 $A={\begin{pmatrix}1&2&2\\3&1&4\\5&3&1\end{pmatrix}}$ ， $D={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ ， $L={\begin{pmatrix}0&0&0\\3&0&0\\5&3&0\end{pmatrix}}$ ， $U={\begin{pmatrix}0&2&2\\0&0&4\\0&0&0\end{pmatrix}}$ .

高斯－賽德爾疊代的每一步可以寫成如下形式

 $D{\vec {x}}^{\,k+1}={\vec {b}}-L{\vec {x}}^{\,k+1}-U{\vec {x}}^{\,k}$ .

　
:

## 算法

因為元素可以被重新賦值為在這個算法中計算得到的新值，所以只需要保存一個向量，而向量索引被省略。該算法如下：

```
输入: A, b
输出: $\phi $
```

初始化一個的猜測結果 $\phi $

```
**repeat** until convergence（收敛）
    **for** i **from** 1 **until** n **do**
        $\sigma \leftarrow 0$
        **for** j **from** 1 **until** n **do**
            **if** j ≠ i **then**
                $\sigma \leftarrow \sigma +a_{ij}\phi _{j}$
            **end if**
        **end** (j - loop)
        $\phi _{i}\leftarrow {\frac {1}{a_{ii}}}(b_{i}-\sigma )$
    **end** (i-loop)
    check if convergence is reached（检查是否已收敛）
**end** (repeat)
```

## 參見

* 雅可比法
高斯_(单位)

**高斯**簡稱**高**，是 CGS 制中磁感應強度或磁通量的單位，為紀念德國數學家卡爾・弗里德里希・高斯而得名，常用符號 **G** 或 **Gs** 表示。

## 定義

若放在磁感應強度均勻的磁場中，方向與磁感應強度方向垂直的長直導線在通有 1 電磁系單位（emu）的穩恆電流（等於 10 安培）時，在每厘米長度的導線受到電磁力為 1 達因，則該磁感應強度就定義為 1 高斯。

## 換算關係

高斯和國際單位制中磁感應強度單位特斯拉（T）的換算關係為：

* 1 G = 1×10-4 T＝0.1 mT
* 1 T = 10000 G

## 參閱

* 高斯單位制

## 參考文獻

* 中國大百科全書・物理學卷
高斯_(消歧义)

**高斯**可以指：

人物

* 卡爾・弗里德里希・高斯，德國著名數學家、天文學家、大地測量學家、物理學家
* 羅納德・科斯，又譯羅納德・高斯，英國經濟學家，法學家，提出交易成本理論
* 高斯 (1923 年)，新四軍人物，曾任江蘇省出版總社社長
* 神探高斯，倪匡同名小說系列主角

其它

* 高斯 (單位)，磁感應強度單位，為紀念數學家卡爾・弗里德里希・高斯命名
* 高斯符號
* GAUSSIAN，量子化學軟體
* 高斯環形山 (月球)
高斯·范·聖特

**葛斯・范桑**（英語：Gus Van Sant，1952 年 7 月 24 日 —），全名**小葛斯・格林・范桑**，美國電影導演、編劇、攝影師、音樂家與作家。他曾二度以《心靈捕手》與《自由大道》入圍奧斯卡最佳導演，並於 2003 年坎城影展以電影《大象》拿下金棕櫚獎。

他以拍攝電視廣告起家，1985 年完成首部電影作品《追流雲的少年》，獲得 1987 年洛杉磯影評人協會最佳獨立電影。

范桑現定居於奧瑞岡州波特蘭。

## 作品

## 參考資料

## 外部連結

* 葛斯・范桑在網際網路電影資料庫（IMDb）上的資料（英文）
* 葛斯・范桑在豆瓣電影上的簡介（簡體中文）
* MySpace （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
高斯光学

**高斯光學**是幾何光學中用近軸近似（小角近似）描述在光學系統中光線行為的技術，在近軸近似中，光線和光軸的夾角很小.，因此，夾角的一些三角函數可以用角度的線性函數來表示。高斯光學用在光學系統的表面平坦或者是為球面一部份的情形。此時可以用一些簡單的公式，配合一些像焦距、放大率及明度等參數描述影像系統，而這些參數是以組成元素的幾何形狀及材料性質來定義的。

高斯光學得名自卡爾・弗里德里希・高斯，他證明光學系統可以用很多的基本點來找出其特徵，因此可以計算其光學性質等。

## 參考資料
高斯光水蚤

**高斯光水蚤**（學名：_**Lucicutia macrocera**_）為光水蚤科光水蚤屬下的一個種。

## 參考文獻
高斯克_(大象)

**高斯克** （**Kosik**，韓語：코식；讀作 Ko-shik）是韓國龍仁市愛寶樂園的雄性印度象 （學名：_Elephas maximus_ ），出生於 1990 年。2006 年 9 月，人們發現牠可以模仿韓語中的「是」（네）、「否」（한니오）、「坐」（앉한）、「躺」（누워）和其他四個詞時，因此登上了新聞頭版。牠將鼻子放進嘴裡，並在呼氣時搖動鼻子來發出聲音，類似於人類將手指放在嘴裡吹口哨的方式。首爾動物園園長권수완（音譯：權秀莞、Kwon Su-wan）說：「我們計畫與飼養員、獸醫和科學家一同進一步研究高斯克在說這些話時是否理解這些詞的含義。」

這樣的主張跟所有其他會說話的動物的案例一樣，受到觀察者期望效應的影響，這可能是一種毫無意義的模仿形式，並且由於許多原因所捏造。

## 參見

* 巴特爾，能使用大量有意義的人類語言的亞洲象。
* 坎茲
* NOC，一隻會發出類似人類聲音的白鯨。
* 個別大象清單

## 註記

## 參考文獻

* Random Samples. Science. October 6, 2006, **314** (5796): 29. S2CID 220114060. doi:10.1126/science.314.5796.29d.
* Associated Press Article
* YouTube 上的 TV program about Kosik （韓語）
* Kosik speaks at Google Videos （韓語）
高斯克鲁格坐标系

高斯克魯格坐標系是以德國數學家卡爾・弗里德里希・高斯和約翰・海因里希・路易斯・克呂格而命名的用於地圖學中的度量系統。
高斯冰川

**高斯冰川**（德語：Gauß-Gletscher），是南極洲的冰川，位於維多利亞地的斯科特海岸，處於戴塔姆峰北坡，最終注入布盧冰川，以德國數學家卡爾・弗里德里希・高斯命名，現時由南極條約體系管理。

## 參考資料

* Gauss Glacier. 美國地質局地理名稱信息系統. [2012-04-18].
* 本條目引用的公有領域材料來自美國地質調查局的文檔《高斯冰川》 （資料來自地名信息系統）。
高斯函数

**高斯函數**是形式為

　
: $f(x)=ae^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}$

的函數。其中 _a_、_b_ 與 _c_ 為實數常數，且 _a_ > 0.

_c_2 = 2 的高斯函數是傅立葉轉換的特徵函數。這就意味著高斯函數的傅立葉轉換不僅僅是另一個高斯函數，而且是進行傅立葉轉換的函數的純量倍。

## 半峰全寬與積分

聯立高斯積分

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}.$

　
: 和半峰全寬，

　
: $\mathrm {FWHM} =2{\sqrt {2\ln 2}}\;\sigma \approx 2.355\;\sigma .$ 解得

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=a\cdot {\sqrt {2\pi }}FWHM/2.355\approx 1.064\cdot a\cdot FWHM$

　
:

 

## 應用

高斯函數的不定積分是誤差函數。在自然科學、社會科學、數學以及工程學等領域都有高斯函數的身影，這方面的例子包括：

* 在統計學與機率論中，高斯函數是**常態分布**的密度函數，根據中央極限定理它是複雜總和的有限機率分布。
* 高斯函數是量子諧振子基態的波函數。
* 計算化學中所用的分子軌道是名為高斯軌道的高斯函數的線性組合（參見量子化學中的基組）。
* 在數學領域，高斯函數在埃爾米特多項式的定義中起著重要作用。
* 高斯函數與量子場論中的真空態相關。
* 在光學以及微波系統中有高斯波束的應用。
* 高斯函數在圖像處理中用作預平滑核（參見尺度空間表示）。

## 注釋

## 參見

* 勞倫茲函數
* 常態分布
* 洛侖茲轉換
高斯函數

**高斯函數**是形式為

　
: $f(x)=ae^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}$

的函數。其中 _a_、_b_ 與 _c_ 為實數常數，且 _a_ > 0.

_c_2 = 2 的高斯函數是傅立葉轉換的特徵函數。這就意味著高斯函數的傅立葉轉換不僅僅是另一個高斯函數，而且是進行傅立葉轉換的函數的純量倍。

## 半峰全寬與積分

聯立高斯積分

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}.$

　
: 和半峰全寬，

　
: $\mathrm {FWHM} =2{\sqrt {2\ln 2}}\;\sigma \approx 2.355\;\sigma .$ 解得

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=a\cdot {\sqrt {2\pi }}FWHM/2.355\approx 1.064\cdot a\cdot FWHM$

　
:

 

## 應用

高斯函數的不定積分是誤差函數。在自然科學、社會科學、數學以及工程學等領域都有高斯函數的身影，這方面的例子包括：

* 在統計學與機率論中，高斯函數是**常態分布**的密度函數，根據中央極限定理它是複雜總和的有限機率分布。
* 高斯函數是量子諧振子基態的波函數。
* 計算化學中所用的分子軌道是名為高斯軌道的高斯函數的線性組合（參見量子化學中的基組）。
* 在數學領域，高斯函數在埃爾米特多項式的定義中起著重要作用。
* 高斯函數與量子場論中的真空態相關。
* 在光學以及微波系統中有高斯波束的應用。
* 高斯函數在圖像處理中用作預平滑核（參見尺度空間表示）。

## 注釋

## 參見

* 勞倫茲函數
* 常態分布
* 洛侖茲轉換
高斯判别法

**高斯判別法**是正項級數斂散性的一種判別方法，方法是將級數相鄰項的比（ ${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}$ ）寫成 ${\frac {1}{n}}$ 的線性函數和餘項（與有界量相乘的 ${\frac {1}{n^{2}}}$ ）之和，分析各係數來判斷級數收斂與否，可以視作達朗貝爾判別法、拉阿伯判別法和貝特朗判別法的推論。

## 定理

設 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 是要判斷審斂性的級數，其中（至少從某一項開始） $a_{n}>0$ 。倘若其相鄰項比值 ${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}$ 可以被表示為：

$$
{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\lambda +{\frac {\mu }{n}}+{\frac {\theta _{n}}{n^{2}}}
$$

其中 $\lambda $ 和 $\mu $ 都是常數，而 $\theta _{n}$ 是一個有界的序列，那麼
：

* 當 $\lambda >1$ 或 $\lambda =1,\mu >1$ 時，級數收斂；
* 當 $\lambda <1$ 或 $\lambda =1,\mu \leq 1$ 時，級數發散。

　
:

## 參考文獻
高斯和

在數論中，**高斯和**是一種單位根的有限和，可抽象地表為

　
: $G(\chi ,\psi )=\sum _{r\in R}\chi (r)\psi (r)$

其中 $R$ 為有限交換環， $\psi :(R,+)\to \mathbb {S} ^{1}$ 為同態， $\chi :(R^{\times },*)\to \mathbb {S} ^{1}$ 亦為同態，對於 $r\notin R^{\times }$ ，可定義 $\chi (r)=0$ 。

這類有限和常見於代數數論與解析數論。此時通常取 $R:=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} $ ，特徵 $\psi $ 必為 $\psi (x)=e^{2\pi i\alpha x/n}$ 之形式（ $\alpha \in \mathbb {Z} $ ），此處的 $\chi $ 不外是一個狄利克雷特徵。這類高斯和有時也記為 $\tau _{\alpha }(\chi )$ ，出現於狄利克雷 L 函數的函數方程中。

高斯和的絕對值可透過抽象調和分析的方法導出，其確切值則較難確定。高斯首先算出了**二次高斯和**，此時取 $R=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} $ ，其中 $p$ 為素數，並取 $\chi (x):=\left({\frac {x}{p}}\right)$ 為勒讓德符號。高斯和遂化為下述指數和：

　
: $\tau _{\alpha }=\sum _{x=0}^{p-1}e^{2\pi i\alpha x^{2}/p}$

高斯得到的結果是：

　
: $\tau _{\alpha }={\begin{cases}\left({\frac {\alpha }{p}}\right){\sqrt {p}},&p\equiv 1\mod 4\\\left({\frac {\alpha }{p}}\right)i{\sqrt {p}},&p\equiv 3\mod 4\end{cases}}$

由此可導出二次互反律的一種證明；二次高斯和也與 Theta 函數理論相關。

## 文獻

* Ireland and Rosen. A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer-Verlag. 1990. ISBN 0-387-97329-X.
* B.M. Bredikhin, Gauss sum, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
高斯噪声

**高斯噪聲**（Gaussian noise）是一種具有常態分布（也稱作高斯分布）概率密度函數的噪聲。換句話說，高斯噪聲的值遵循高斯分布或者它在各個頻率分量上的能量具有高斯分布。它被極其普遍地應用為用以產生加成性高斯白噪聲（AWGN）的迭代白噪聲。

## 解釋

## 參看

* 白噪聲
* AWGN
高斯圓問題

數學中，**高斯圓問題**（英語：Gauss circle problem）問以原點為中心， $r$ 為半徑的圓內，有多少個整數點。答案與圓的面積相近，因此，真正的問題是如何準確地描述點數與面積的差異。問題得名自數學家卡爾・弗里德里希・高斯。

## 問題

考慮 $\mathbb {R} ^{2}$ 中以原點為中心和以 $r\geq 0$ 為半徑的一個圓。高斯圓問題詢問該圓中有多少個點 $(m,n)$ 使 $m$ 和 $n$ 都是整數。由於在笛卡爾坐標系中，這個圓的方程式是 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ，問題等價於詢問有多少對整數 $m$ 和 $n$ 使得

　
: $m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.$

以 $N(r)$ 表示輸入為 $r$ 時的答案。以下第一行先列出 $r$ 由 $0$ 至 $12$ 時， $N(r)$ 的值，第二行列出 $\pi r^{2}$ 四捨五入到最接近的整數，以作比較：

　
: : 1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 （OEIS 數列 A000328）

　
: 0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 （OEIS 數列 A075726）

## 解決方案和猜想的上下界

 $N(r)$ 大概是 $\pi r^{2}$ ，半徑範圍內的區域 $r$ 。這是因為平均而言，每個單位正方形包含一個格子點。因此，圓中格子點的實際數量大約等於其面積， $\pi r^{2}$ 。因此，應該預期

　
: $N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,$

對於某些錯誤項 $E(r)$ 具有相對較小的絕對值。找到正確的上限 $\mid E(r)\mid $ 因此是問題採取的形式。注意 $r$ 不必是整數。後 $N(4)=49$ 一個有 $N({\sqrt {17}})=57,N({\sqrt {18}})=61,N({\sqrt {20}})=69,N(5)=81.$ 在這些地方 $E(r)$ 之後它減少（以 $2\pi r$ ），直到下一次增加為止。

高斯設法證明

　
: $|E(r)|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.$

謝爾品斯基將指數改進至 $2/3$ ，以大 O 符號表示，即證明 $|E(r)|=O(r^{2/3})$ ，約翰內斯・范德科皮特引進了他關於外爾和的估計，從而證明了指數為 $37/56$ 的結果（此數略小於 $2/3$ ）。以後不少數學家改進這一結果。中國數學家華羅庚與陳景潤分別證得指數為 $13/20$ 與 $24/37$ 的上界。

下界方面，哈代和 Landau 分別獨立證明

　
: $|E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),$

其中用到小 o 表示。據推測，正確的界線是

　
: $|E(r)|=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).$

設 $E(r)\leq Cr^{t}$ 總成立，則關於 $t$ 的最小可能值 $t_{0}$ ，目前所知的結果是

　
: ${\frac {1}{2}}<t_{0}\leq {\frac {131}{208}}=0.6298\ldots ,$

其中下界是 1915 年 Hardy 和 Landau 所證，上界於 2000 年由馬丁・赫克斯利證明。

## 確切形式

 $N(r)$ 的值可以由幾個形式給出，例如以下取整函數表示成以下和式： 

　
: $N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).$

這是雅可比二平方和定理的結果，該定理來自雅可比三重積。

如果將平方和函數 $r_{2}(n)$ 定義為將自然數 $n$ 寫為兩個整數平方之和的方法數，則 $r_{2}(n)/4$ 是一個積性函數，且可寫出較簡單的和式：

　
: $N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n)$

Hardy 首次發現了以下的最新成果： 

　
: $N(x)-{\frac {r_{2}(x^{2})}{2}}=\pi x^{2}+x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n)}{\sqrt {n}}}J_{1}(2\pi x{\sqrt {n}}),$

其中 $J_{1}$ 表示第一種階數為 1 的貝塞爾函數。

## 概論

儘管最初的問題要求在一個圓內的整數點個數，但沒有理由不考慮其他形狀，例如圓錐形。的確，狄利克雷（Dirichlet）的除數問題是用矩形雙曲線替換圓的等價問題。同樣，可以將問題從二維擴展到更高的維度，並在球體或其他物體中求整數。關於這些問題有大量文獻。如果忽略幾何學而僅將問題視為 Diophantine 不等式的代數之一，則可能會增加問題中出現的指數，從平方到立方，甚至更高次方。

### 原始圓問題

另一個概括是計算互質整數解數量 $m,n$ 的不等式

　
: $m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.\,$

此問題稱為原始圓問題，因為它涉及搜索原始圓問題的原始解。可以直觀地理解為在原點的歐幾里得果園中可見多少距離為 r 的樹木的問題。如果表示此類解決方案的數量 $V(r)$ 然後的值 $V(r)$ 為了 _$r$_ 取小整數值是

　
: 0，4，8，16，32，48，72，88，120，152，192 （OEIS 中的數列 A175341）

使用與普通的高斯圓問題相同的方法，以及兩個整數互質的機率為 $6/\pi ^{2}$ ，容易證明

　
: $V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).$

與普通的圓問題一樣，原始圓問題的問題部分在於減少誤差項中的指數。如果假設黎曼猜想正確，目前最著名的指數是 $221/304+\varepsilon $ 。在不假設黎曼猜想正確的情況下，最著名的上限是

　
: $V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r^{2})^{-1/5}))$

其中 $c$ 為正常數 。 特別是，目前不假設黎曼猜想正確的情況下，對於任何 $\varepsilon >0$ ， $1-\varepsilon $ 的誤差項沒有限制。

## 筆記

## 外部鏈接

* 埃里克・韋斯坦因. Gauss's circle problem. MathWorld.
高斯型轨道

: 在這篇文章內，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

**高斯軌域**（又稱**高斯型軌域**，英語：**G**aussian **t**ype **o**rbital，簡寫為 **GTO**），在計算化學和理論化學中是表示原子軌域的函數，在原子軌域線性組合法中用於求算分子軌域及其性質。

## 定義

1950 年，法蘭克西・博伊斯在電子結構理論中首次用高斯軌域取代更多的斯萊特型軌域。在計算化學中使用高斯軌域基組的依據是**高斯乘積定理**（Gaussian Product Theorem）：對於兩個中心分別位於空間中兩個分隔的點上的高斯函數，它們的積可以表示為中心位於這兩個點的連線上某處的有限個高斯函數的加和。運用此方法，四中心積分可以減少為雙中心積分的有限和，下一步中減少為單中心積分的有限和。通過大幅減少基函數，高斯軌域的計算速度比斯萊特型軌域快 4-5 個數量級。

簡便起見，求球面高斯軌域時，許多量子化學程序在笛卡爾型高斯函數的基礎上工作，因為其容易計算，且球面函數可以用其簡單表達。

## 數學形式

高斯基函數遵循通常的徑向角分解：

　
: $\ \Phi (\mathbf {r} )=R_{l}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )$ ,

其中 $Y_{lm}(\theta ,\phi )$ 表示球諧函數， $l$ 和 $m$ 表示角動量及其 $z$ 軸上的分量， $r,\theta ,\phi $ 為球坐標。

斯萊特型軌域的徑向部分為：

　
: $\ R_{l}(r)=A(l,\alpha )r^{l}e^{-\alpha r},$

其中 $A(l,\alpha )$ 為歸一化常數。高斯軌域的徑向部分為：

　
: $\ R_{l}(r)=B(l,\alpha )r^{l}e^{-\alpha r^{2}},$

其中 $B(l,\alpha )$ 為高斯軌域的歸一化常數。

決定 $A(l,\alpha )$ 或 $B(l,\alpha )$ 的規範化條件為：

　
: $\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} r\,r^{2}\left|R_{l}(r)\right|^{2}=1$

通常不會在 $l$ 中施加正交性。

單個原始高斯函數對核附近電子的波函數給出的描述很差，因此高斯軌域基組幾乎總是收縮：

　
: $\ R_{l}(r)=r^{l}\sum _{p=1,P}c_{p}B(l,\alpha _{p})\exp(-\alpha _{p}r^{2})$ ,

其中 $c_{p}$ 是帶指數 $\alpha _{p}$ 的原函數的收縮係數。歸一化原函數的係數需要給定，因為非標準化原函數的係數有不同的數量級。指數以原子單位制報告。

## 分子積分

1966 年，竹田等人提出了在高斯基組上獲得矩陣元素所需的數學方程式。此後，做了大量工作來加快這些積分的計算，這些積分是許多量子化學計算中最慢的部分。1968 年，濟夫科維奇和梅克賽奇提議使用埃爾米特 - 程燦高斯函數來簡化方程式。1975 年，麥克默里和戴維森採用了遞歸關係，大大減少了運算量。1978 年，波普爾和赫雷使用了局部坐標法。1985 年，奧巴拉和西卡採用了有效的遞歸關係，並發展了其它重要的遞推關係。1991 年，吉爾和波普爾引入了一個「PRISM」算法，可以有效地使用 20 個不同的計算路徑。

## POLYATOM 系統

POLYATOM 系統是第一個使用高斯軌域進行從頭計算的軟體，其應用於各種各樣的分子，是在麻省理工學院約翰・斯萊特的固態和分子理論組（SSMTG）中使用聯合計算實驗室的資源開發。其中，數學基礎設施和操作軟體由爾・克賽茲馬迪亞、馬爾科姆・哈里森、儒勒・莫斯科維茨及布萊恩・蘇特克里夫等人開發。

## 參見

* 量子化學和固態物理學軟體列表

## 參考資料
高斯堡火山

**高斯山**（德語：Gaußberg）是南極洲的死火山，位於威廉二世地，處於南大洋沿岸波薩多夫斯基冰川以西，海拔高度 370 米，該山峰在 1902 年 2 月由德國高斯號探險隊發現。
高斯奖

**卡爾・弗里德里希・高斯數學應用獎**（**Carl Friedrich Gauss Prize**）是在國際數學家大會上，與菲爾茲獎和奈望林納獎一同頒發的獎項，表揚研究工作在數學外領域影響深遠的數學家。與另外兩個獎項不同，高斯獎不設年齡限制，因為研究工作的影響可能要很多年後才表現出來。這獎項以卡爾・弗里德里希・高斯命名，紀念他的研究在科學、工程和統計學的廣泛應用。獎項包括獎章和獎金。2006 年的獎金金額為 10,000 歐元。獎金資助來自 1998 年德國柏林國際數學家大會的盈餘。

獎章正面為高斯的肖像，背面為一條曲線穿過圓形和正方形，代表高斯以最小二乘法算出穀神星的軌道。

第一屆高斯獎在 2006 年 8 月 22 日於西班牙馬德里國際數學家大會頒發，授予日本數學家伊藤清。

## 得獎者列表

## 參考資料

## 外部連結

* 國際數學家聯盟的高斯獎網頁
高斯奥特曼：日月第一击

《**超人力霸王高斯：第一次接觸**》（原題：ウルトラマンコスモス THE FIRST CONTACT，英文：Ultraman Cosmos: The First Contact），為 2001 年圓谷製作公司製作的特攝片《超人力霸王高斯》的劇場版電影。於 2001 年 7 月 20 日由松竹系在全國公映。 電影的廣告語為：（原題：「君も勇者になれる！」、「優しさがあれば、強くもなれる！」）。

## 概要

此部電影為 21 世紀的第一部超人力霸王系列電影。描述了《超人力霸王高斯》TV 版的八年前，春野武藏與高斯之間的相遇。
原預定於 2001 年 3 月上映，然而但製作組為了使 TV 版與於圓谷英二的誕辰 100 週年紀念日之際的 7 月播出而造成電影版的製作延後。

 
在該作品的世界觀中，「超人力霸王」被人們認為是聖誕老人等類似童話的存在，只有武藏相信它的存在，經常出現在《超人力霸王》和《超異象之謎》中的演員也出現在該作品中（黑部進，櫻井浩子等）。

系列中的經典角色「巴爾坦星人」以全新的樣貌出現在了這部作品中，並成為在《超人力霸王高斯》中唯一登場的舊系列怪獸角色。擔任本部導演的飯島敏宏是《超人力霸王》第二話《打擊侵略者》的導演，並應製片人鈴木清的要求「如果飯島是巴爾坦星人」下決定巴爾坦星人再度出現，本作的編劇則是飯島在 1990 年代初，以北尾千塚的名義所寫的未製作劇本《超人力霸王：異形巴爾坦的大反擊》的復興化。。

一些角色出現在後來的電視版本和續集中。

## 故事大綱

2001 年，由於母星的毀滅，在「廢月」上為了幫助後代尋找新居所，並將目標放在侵略地球的巴爾坦星人（Alien Baltan）與前來追擊的超人力霸王高斯（Ultraman Cosmos）在宇宙中戰鬥，並意外降臨地球，而高斯在因戰鬥時能源消耗過大而墜落至日本，而及時被年幼的「春野武藏」救助。
跨越種族的兩人從此便定下了「勇者的誓言」。而高斯和武藏，也即將面對著即將入侵地球的巴爾坦星人帶來的巨大威脅...

## 登場角色

## 本作登場的超人力霸王・怪獸

#### 超人力霸王高斯

## 演員名單

#### 登場演員

## 製作人員

製作 - 電影超人力霸王高斯製作委員會（圓谷製作、萬代、萬代影視、TBS、毎日放送、講談社、小學館、ジェイアール東日本企畫、松竹）

## 主題歌

* **「ウルトラマンコスモス〜君にできるなにか」**

　
: 作詞 - 松井五郎 / 作曲 - 鈴木キサブロー / 編曲 - 京田誠一 / 歌 - Project DMM

## 註解

**註釋**

**來源**

**書目**

* てれびくんデラックス愛蔵版（小學館）
* 『劇場版ウルトラマンコスモス THE FIRST CONTACT 超全集』小學館〈てれびくんデラックス愛蔵版〉、2001 年 10 月 1 日。ISBN 4-09-101480-1。
* 『ウルトラマンコスモス超全集』小學館〈てれびくんデラックス愛蔵版〉、2003 年 9 月 20 日。ISBN 4-09-101492-5。
* 『テレビマガジン特別編集 ウルトラマンコスモス』構成・執筆・編集 岩畠壽明・鈴木洋一、講談社、2003 年 9 月 8 日。ISBN 4061784293。
* 『ウルトラマン AGE スペシャル ウルトラマンコスモスイズム』辰巳出版〈タツミムック〉、2003 年 10 月 10 日。ISBN 4-88641-928-3。
* 『丸山浩ウルトラデザイン畫集』洋泉社、2018 年 11 月 22 日。ISBN 978-4-8003-1596-0。
* 『平成ウルトラマン メカクロニクル』ぴあ株式會社〈ぴあ MOOK〉、2021 年 4 月 30 日。ISBN 978-4-8356-4288-8。

## 關聯項目

* 奧特系列
* 超人力霸王高斯
* 超人力霸王高斯 2 THE BLUE PLANET
* 超人力霸王高斯 VS 超人力霸王正義：最後戰役

## 外部連結

* 超人力霸王高斯：第一次接觸 - 日本電影資料庫
* 超人力霸王高斯：第一次接觸 - allcinema（日語）
* 超人力霸王高斯：第一次接觸 - KINENOTE（日語）
高斯山

**高斯山**（德語：Gaußberg）是南極洲的死火山，位於威廉二世地，處於南大洋沿岸波薩多夫斯基冰川以西，海拔高度 370 米，該山峰在 1902 年 2 月由德國高斯號探險隊發現。
高斯山_(斯科特海岸)

**高斯山**（德語：Mount Gauss），是南極洲的山峰，位於維多利亞地的斯科特海岸，處於高斯山北面，由英國探險隊發現，由德國數學家和天文學家卡爾・弗里德里希・高斯命名，現時由南極條約體系管理。

## 參考資料

* Gauss, Mount. 美國地質局地理名稱信息系統. [2012-04-18].
* 本條目引用的公有領域材料來自美國地質調查局的文檔《Gauss, Mount》 （資料來自地名信息系統）。
高斯差

在計算機視覺中，**高斯差**（英語：Difference of Gaussians，簡稱「DOG」）是一種將一個原始灰度圖像的模糊圖像從另一幅灰度圖像進行增強的算法，通過 DOG 以降低模糊圖像的模糊度。這個模糊圖像是通過將原始灰度圖像經過帶有不同標準差的高斯核進行卷積得到的。用高斯核進行高斯模糊只能壓制高頻信息。從一幅圖像中減去另一幅可以保持在兩幅圖像中所保持的頻帶中含有的空間信息。這樣的話，DOG 就相當於一個能夠去除除了那些在原始圖像中被保留下來的頻率之外的所有其他頻率信息的帶通濾波器。

## 數學原理

DOG 是一個空總額的小波母函數，它從一個窄高斯減去一個寬高斯，是墨西哥帽小波的一個近似。一維情況下它的定義公式如下： $f(x;\mu ,\sigma _{1},\sigma _{2})={\frac {1}{\sigma _{1}{\sqrt {2\pi }}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}\right)-{\frac {1}{\sigma _{2}{\sqrt {2\pi }}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}\right).$

在二維的情況下（參見高斯模糊）： $f(u,v,\sigma )={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\exp ^{-(u^{2}+v^{2})/(2\sigma ^{2})}-{\frac {1}{2\pi K^{2}\sigma ^{2}}}\exp ^{-(u^{2}+v^{2})/(2K^{2}\sigma ^{2})}$

## 細節及應用

作為一個增強算法，DOG 可以被用來增加邊緣和其他細節的可見性，大部分的邊緣銳化算子使用增強高頻信號的方法，但是因為隨機雜訊也是高頻信號，很多銳化算子也增強了雜訊。DOG 算法去除的高頻信號中通常包含了隨機雜訊，所以這種方法是最適合處理那些有高頻雜訊的圖像。這個算法的一個主要缺點就是在調整圖像對比度的過程中信息量會減少。

當它被用於圖像增強時，DOG 算法中兩個高斯核的半徑之比通常為 4:1 或 5:1。當設為 1.6 時，即為高斯拉普拉斯算子的近似。高斯拉普拉斯算子在多尺度多解析度像片。用於近似高斯拉普拉斯算子兩個高斯核的確切大小決定了兩個高斯模糊後的影像間的尺度。

DOG 也被用於尺度不變特徵變換中的斑點檢測。事實上，DOG 算法作為兩個多元常態分布的差通常總額為零，把它和一個恆定信號進行卷積沒有意義。當 K 約等於 1.6 時它很好的近似了高斯拉普拉斯變換，當 K 約等於 5 時又很好的近似了視網膜上神經節細胞的視野。它可以很好的作為一個實時斑點檢測算子和尺度選擇算子應用於遞歸程序。

## 更多信息

在 DOG 算法中，它被認為是在模擬視網膜上的神經從影像中提取信息從而提供給大腦。

## 其他

* 馬爾 - 希爾德雷斯算法
* 斑點檢測中的 DOG 算法
* 斑點檢測
* 尺度空間
* 尺度不變特徵轉換
* 「邊緣檢測及高斯相關數學」 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）－愛丁堡大學 Bryan.S.Morse 的筆記
高斯帕县_(内布拉斯加州)

**高斯帕縣**（英語：Gosper County）是美國內布拉斯加州南部的一個縣。面積 1,198 平方公里。根據美國 2000 年人口普查，共有人口 2,143 人。縣治埃爾伍德（Elwood）。

成立於 1873 年 11 月 26 日，縣政府成立於 1881 年。縣名紀念州務卿、亞利桑那準州州務卿約翰・J・高斯帕（John J. Gosper）。

## 參考文獻
高斯常數

**高斯常數**符號為 **G**，是 1 和根號 2 之算術 - 幾何平均數的倒數：

　
: $G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0.8346268\dots .$

此數學常數得名自卡爾・弗里德里希・高斯，他在 1799 年 5 月 30 日發現

　
: $G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}$

因此

　
: $G={\frac {1}{2\pi }}B({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})$

其中 _B_ 為貝塔函數。

## 和其他常數的關係

高斯常數常用來表示 $\color {blue}\Gamma ({\frac {1}{4}})$ 的數值。

　
: $\Gamma ({\tfrac {1}{4}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}$

換句話說

　
: $G={\frac {[\Gamma ({\tfrac {1}{4}})]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}$

因為 $\pi $ 和 $\Gamma ({\frac {1}{4}})$ 互相代數獨立，且 $\Gamma ({\frac {1}{4}})$ 為無理數，因此高斯常數為超越數。

### Lemniscate 常數

高斯常數常用來定義 lemniscate 常數，第一 lemniscate 常數為：

　
: $L_{1}\;=\;\pi G$

第二 lemniscate 常數為：

　
: $L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}$

在計算伯努利雙紐線的弧長時會出現這些常數。

## 其他公式

以下是一個用 Θ 函數定義高斯常數的公式

　
: $G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi })$

也可以用以下快速收斂的級數表示

　
: $G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.$

高斯常數也可以用無窮乘積表示：

　
: $G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).$

在以下的定積分中也有高斯常數

　
: ${\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\sin(x)}}dx=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\cos(x)}}dx$

　
: $G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}$

高斯常數的連分數為 [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...]. （OEIS 數列 A053002）

## 相關條目

* Lemniscatic 橢圓函數

## 參考資料

* 埃里克・韋斯坦因. Gauss's Constant. MathWorld.
* Sequences A014549 and A053002 in OEIS
高斯平滑

**高斯模糊**（英語：Gaussian Blur），也叫高斯平滑，是在 Adobe Photoshop、GIMP 以及 Paint.NET 等圖像處理軟體中廣泛使用的處理效果，通常用它來減少圖像雜訊以及降低細節層次。這種模糊技術生成的圖像，其視覺效果就像是經過一個半透明螢幕在觀察圖像，這與鏡頭焦外成像效果散景以及普通照明陰影中的效果都明顯不同。高斯平滑也用於電腦視覺演算法中的預先處理階段，以增強圖像在不同比例大小下的圖像效果（參見尺度空間表示以及尺度空間實現）。
從數學的角度來看，圖像的高斯模糊過程就是圖像與常態分布做卷積。由於常態分布又叫作「高斯分布」，所以這項技術就叫作高斯模糊。圖像與圓形方框模糊做卷積將會生成更加精確的焦外成像效果。由於高斯函式的傅立葉變換是另外一個高斯函式，所以高斯模糊對於圖像來說就是一個低通濾波器。

## 機理

高斯模糊是一種圖像模糊濾波器，它用常態分布計算圖像中每個像素的變換。N 維空間常態分布方程為

　
: $G(r)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}^{N}}}e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}$

在二維空間定義為

　
: $G(u,v)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{-(u^{2}+v^{2})/(2\sigma ^{2})}$

其中 _r_ 是模糊半徑 （ $r^{2}=u^{2}+v^{2}$ ），σ 是常態分布的標準偏差。在二維空間中，這個公式生成的曲面的等高線是從中心開始呈常態分布的同心圓。分布不為零的像素組成的卷積矩陣與原始圖像做變換。每個像素的值都是周圍相鄰像素值的加權平均。原始像素的值有最大的高斯分布值，所以有最大的權重，相鄰像素隨著距離原始像素越來越遠，其權重也越來越小。這樣進行模糊處理比其它的均衡模糊濾波器更高地保留了邊緣效果，參見尺度空間實現。

理論上來講，圖像中每點的分布都不為零，這也就是說每個像素的計算都需要包含整幅圖像。在實際應用中，在計算高斯函式的離散近似時，在大概 3σ 距離之外的像素都可以看作不起作用，這些像素的計算也就可以忽略。通常，圖像處理程式只需要計算 $(6\sigma +1)\times (6\sigma +1)$ 的矩陣就可以保證相關像素影響。對於邊界上的點，通常採用複製周圍的點到另一面再進行加權平均運算。

除了圓形對稱之外，高斯模糊也可以在二維圖像上對兩個獨立的一維空間分別進行計算，這叫作**線性可分**。這也就是說，使用二維矩陣變換得到的效果也可以通過在水平方向進行一維高斯矩陣變換加上豎直方向的一維高斯矩陣變換得到。從計算的角度來看，這是一項有用的特性，因為這樣只需要 $O(n\times M\times N)+O(m\times M\times N)$ 次計算，而不可分的矩陣則需要 $O(m\times n\times M\times N)$ 次計算，其中 $M$ , $N$ 是需要進行濾波的圖像的維數， $m$ 、 $n$ 是濾波器的維數。

對一幅圖像進行多次連續高斯模糊的效果與一次更大的高斯模糊可以產生同樣的效果，大的高斯模糊的半徑是所用多個高斯模糊半徑平方和的平方根。例如，使用半徑分別為 6 和 8 的兩次高斯模糊變換得到的效果等同於一次半徑為 10 的高斯模糊效果， ${\sqrt {6\times 6+8\times 8}}=10$ 。根據這個關係，使用多個連續較小的高斯模糊處理不會比單個高斯較大處理時間要少。

在減小圖像尺寸的場合經常使用高斯模糊。在進行欠採樣的時候，通常在採樣之前對圖像進行低通濾波處理。這樣就可以保證在採樣圖像中不會出現虛假的高頻資訊。高斯模糊有很好的特性，如沒有明顯的邊界，這樣就不會在濾波圖像中形成震盪。

## 高斯矩陣範例

這是一個計算 σ = 0.84089642 的高斯分布生成的範例矩陣。注意中心元素 (4,4) 處有最大值，隨著距離中心越遠數值對稱地減小。

注意中心處的 0.22508352 比 3σ 外的 0.00019117 大 1177 倍。

## 例子

下面的例子展示了高斯模糊的效果；圖 2 是圖 1 經過高斯模糊濾波器（σ = 2）處理之後的結果。

## 參見

* 無限脈衝回應（IIR）
* 尺度空間實現
* 高斯濾波器
* 高斯

## 參考文獻

* https://web.archive.org/web/20061109221710/http://www.cee.hw.ac.uk/hipr/html/gsmooth.html
高斯年

**高斯年**的定義是 365.2568983 天，他是卡爾・高斯在太陽系的動力學研究中所採用的恆星年數值，與現在所採用的恆星年長度有些微的不同，因此給予了專有的名稱。

一個質量可以忽略的質點，以上述的週期環繞一個太陽質量的天體，他的平均軌道距離是 1 天文單位。這個數值也可以由克卜勒行星運動定律的第三定律直接獲得。

　
: ${\mbox{1 Gaussian year}}={\frac {2\pi }{k}}\,$

此處

　
: _k_ 是高斯引力常數。

1976 年，國際天文學聯會把一天文單位 (AU) 定義為一顆質量可忽略、公轉軌道不受干擾而且公轉周期為 365.2568983 日（即一高斯年）的粒子與一個質量相等約一個太陽的物體的距離，即公轉半徑。

## 相關條目

* 天文單位
* 恆星年
* 太陽年
高斯度普路斯

**伊雲・高斯度普路斯**（英語：**Evan Kostopoulos**，1990 年 5 月 7 日 —），生於澳洲阿德萊德，澳洲職業足球員，司職前鋒，在 2010 年至 13 年間效力澳甲俱樂部阿德萊德聯並隨隊出戰亞冠盃，於 2010 年 1 月 30 日對威靈頓鳳凰的賽事在 79 分鐘後備替補亞當休斯完成了他職業生涯中在阿德萊德聯的處子戰，於 2014 年 7 月加盟香港超級聯賽球隊南華，不過在季初便於練習中觸傷膝部經隊醫診斷後證實傷及半月板，傷瘉後在聯賽表現保持出色至季尾離隊，現時效力南澳洲國家超級聯賽球隊阿德萊德城。

## 參考資料

## 外部連結

* Adelaide United profile
* 香港足球總會網頁球員註冊資料 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
高斯引力常数

**高斯引力常數**是卡爾・弗里德里希・高斯引入的以太陽系為單位的引力常數，其好處是不需要準確地知道在常用單位（如公制單位）下的太陽系的尺度或是太陽和行星的質量，就可以精確地描述行星的運動。

高斯使用下列的單位：

* 長度（A）：天文單位（地球繞太陽公轉的平均軌道半徑）。
* 時間（D）：平太陽日（相對於太陽，地球繞軸自轉的平均週期）。
* 質量（S）：太陽質量。

由克卜勒第三定律使用於地球的運動，他推導出他的引力常數：

　
: _k_ = 0.01720209895 _A_3/2 _S_−1/2 _D_−1.

在 1939 年，國際天文聯合會採納他上述的數值作為天文學上的常數，由此推導出天文單位，並不再實際定義地球到太陽的軌道。在近代的天體曆，地球的平均軌道軸比 1 天文單位略長一些，而且恆星年比 1 高斯年略短一些。

高斯並未完全了解實際的平太陽日會逐漸增長，和未察覺時鐘速率在相對論上的區別。以這個常數定義的日稍後被作為曆書時的依據，以這個常數定義的一日的 1/86,400 做為曆書時秒的單位；並且在現代的用法是作為質心力學時（TDB）的單位，並且曆表時秒的長度如同地球表面上的計時器測量的秒，被做為公制中秒的單位。

## 延伸閱讀

## 外部連結

* Glossary entry _Gaussian gravitational constant_ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at the US Naval Observatory's _Astronomical Almanac Online_ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Gaussian Gravitational Constant, Wolfram ScienceWorld （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
高斯引力通量定律

高斯重力定律也稱為高斯引力通量定律，描述的是通過一個閉曲面的引力通量與其中包含的質量之間的關係，本質上等價於牛頓萬有引力定律。儘管它們具有等價性，但許多時候高斯重力定律提供了一種比牛頓萬有引力定律更為簡便的求解引力問題的方法.

高斯重力定律在形式上與靜電學的高斯定律相同 (也是麥克斯韋方程組中的一個方程). 事實上，它們都是三維空間中力場與距離平方反比 (庫侖定律) 的結果.

## 定律的定性描述

定義引力場 **g** 為空間中每一點及每一時刻該處的假想放置的粒子受到的引力除以粒子質量。顯然 **g** 是個向量場.

_引力通量_是引力場通過一個曲面的面積分。在高斯重力定律中，要求此曲面必須是可定向閉曲面.

高斯重力定律斷言:

　
: _通過一個可定向閉曲面的引力通量正比於其中包含的質量_

## 積分形式

高斯重力定律的積分形式斷言:

$$
\oiint $ $\partial V$ ${\textrm {g}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-4\pi GM
$$

其中

　
: $\oiint $ $\partial V$ 表示沿閉曲面的積分，為了簡明起見，也使用 $\oint _{\partial V}$ 來表示 (如下面的積分操作)

　
: ∂_V_ 是任意閉曲面 (即是閉體區域 _V_ 的邊界),

　
: ${\textrm {ds}}$ 是一個 向量，其大小是曲面 ∂_V_ 的面積微元，方向與指向外的曲面法向量相同.

　
: $g$ 是 引力場，

　
: _G_ 是 萬有引力常數，

　
: _M_ 是包含在曲面 ∂_V_ 內的總質量.

等式的左邊稱為引力通量，它總是個負數或零，而在電磁學中相應的通量則未必。因為質量總是正的，不像電荷有正有負.

## 微分形式

高斯重力定律的微分形式為:

　
: $\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho $

其中

　
: $\nabla \cdot \mathbf {g} $ 表示 散度， _G_ 是 萬有引力常數， _ρ_ 是每一點的密度.

## 參閱

* 卡爾・高斯
* 高斯定律
* 高斯散度定理

## 參考文獻

* For usage of the term "Gauss's law for gravity" see, for example, this article.
高斯引理_(多項式)

在代數學中 ，**高斯引理**以高斯命名，是關於整係數多項式的命題，或者更一般地說，是關於一個唯一分解整環的敘述。

高斯的引理斷言兩個本原多項式的乘積仍是本原多項式（本原多項式是指：係數的最大公因數為 1 的整係數多項式）。

高斯引理有一個推論，有時也被稱為高斯引理。其斷定一個本原多項式在整數上是不可約的 ，若且唯若它在有理數上是不可約的。

## 整係數多項式版本

當一個整係數多項式 $f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}$ 的係數的最大公因數是 1，我們稱其為_本原多項式_。那麼有以下高斯引理：

**高斯引理 (本原版本).** 兩個本原多項式的乘積仍是本原多項式。

**證明：**

以下以反證法證明。

設整係數多項式 $f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{s}x^{s},g(x)=b_{0}+b_{1}x+\cdots +b_{t}x^{t}$ 都是本原的，並反設 $h(x):=f(x)g(x)$ 不是本原多項式。

於是 $h(x)$ 是非本原的整係數多項式，因此可選整除 $h(x)$ 所有係數的質數 $p$ 。 

但 $f(x),g(x)$ 皆是本原的，從而可分別選定 $i\in \{0,\dots ,s\},j\in \{0,\dots ,t\}$ 為滿足 $p\nmid a_{i},p\nmid b_{j}$ 的最小整數。現在我們知道 $h(x)$ 的 $i+j$ 項係數是 

> 
> $$
> \sum _{k=0}^{i+j}a_{k}b_{i+j-k}\equiv a_{i}b_{j}\not \equiv 0{\pmod {p}}.
> $$
> 
> 
> 
> 

 根據假設，該項係數應該被 $p$ 整除，矛盾，故得證。

**高斯引理 (不可約版本).** 如果一非常數整係數多項式在有理係數多項式環 $\mathbb {Q} [x]$ 內可約，則他在整係數多項式環 $\mathbb {Z} [x]$ 內也可約。

**證明：**

設 $h(x)$ 是一在 $\mathbb {Q} [x]$ 內可約的非常數整係數多項式。於是可取兩個非常數的有理係數多項式 $f_{1}(x),g_{1}(x)$ 使得 $h(x)=f_{1}(x)g_{1}(x)$ 。 

透過適當選取整數 $a,b,c,d$ ，可以假設 $\textstyle f_{2}(x):={\frac {a}{c}}f_{1}(x),g_{2}(x):={\frac {b}{d}}g_{1}(x)$ 皆是本原多項式（當然也就是整係數多項式）。

由上一個引理， $f_{2}(x)g_{2}(x)=\textstyle {\frac {ab}{cd}}h(x)$ 也是本原多項式。於是 $\textstyle {\frac {cd}{ab}}$ 是 $h(x)$ 的係數的最大公因數，故 $\textstyle {\frac {cd}{ab}}$ 是個整數。

現在，我們有 $h(x)=\textstyle {\frac {cd}{ab}}f_{2}(x)g_{2}(x)$ 且 $\textstyle {\frac {cd}{ab}}$ 是整數，於是也就證明了 $h(x)$ 在 $\mathbb {Z} [x]$ 內也可約。

## 參考資料
高斯得

**高斯得**（?—?），本名斯信，字不妄，邛州蒲江（今屬四川）人。

父高稼，叔父魏了翁。早年在鶴山書院師從魏了翁、李坤臣學習，坤臣眼瞎，斯得左右扶持之。寶慶元年（1225 年），中成都路轉運司試，入太學。理宗紹定二年（1229 年）進士，授利州路觀察推官，該年赴靖州看望魏了翁。端平二年（1235 年）高稼死於沔州，高斯得深入敵區尋得屍骸，奉以歸葬。曾佐李心傳修史，參與分修光、寧二帝紀。後因「冬雷封事」忤史嵩之，出通判紹興府，一年後添差通判台州。

淳祐初年，召爲太常博士，遷秘書郎。不久，又以言事出知嚴州。宋度宗時，擢起居舍人，兼國史院編修官、實錄院檢討官兼侍講，編修敕令及經武要略，官至參知政事。

度宗卒後，因論「似道柄國十五年，濁亂天下」，留夢炎乘間罷之。著有《恥堂文集》，已佚。清初開四庫館，據《永樂大典》輯爲《恥堂存稿》八卷。

## 注釋
高斯德

**高斯德**博士（John Curtis，1880 年 3 月 15 日 —1962 年 7 月 11 日） 是一位聖公會傳教士。

1880 年 3 月 15 日，高斯德出生於愛爾蘭都柏林，就讀於都柏林三一學院，1904 年接受按立。他擔任都柏林 Leeson Park 基督堂牧師，後來加入都柏林大學福建布道會，在那裡與女傳教士 Eda Bryan-Brown 結婚。自 1929 年至 1950 年擔任聖公會浙江教區主教。返回英格蘭後，他是伍斯特郡威爾頓的牧師，直到 1957 年。1962 年 7 月 11 日去世

## 參考文獻
高斯托尼

**高斯托尼**（匈牙利語：Gasztony），是匈牙利沃什州所轄的一個村，總面積 14.27 平方公里，總人口 450，人口密度 31.5 人 / 平方公里（2010 年 1 月 1 日）。

## 參考文獻
高斯数值积分

**高斯求積**，又稱**高斯數值積分**，（英語：Gaussian quadrature），是以德國數學家卡爾・弗里德里希・高斯所命名的一種數值積分中的求積規則。

當我們要求解某個函數的積分 $\int _{-1}^{1}f(x)dx$ ，其數值解可以由 $\sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})$ 近似，其中 $w_{i},i=1...n$ 為權重。高斯求積僅當函數 $f(x)$ 可以由在區間 $[-1,1]$ 上的多項式近似時才能獲得準確的近似解，且這種方法並不適用於函數具有奇異點的情況。於是乎，我們可以把函數 $f(x)$ 寫作 $f(x)=W(x)g(x)$ ，其中 $g(x)$ 是近似多項式， $W(x)$ 是已知的權重函數，這樣我們就有

　
: $\int _{-1}^{1}f(x)dx=\int _{-1}^{1}W(x)g(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}'g(x_{i})$ 。

常用的權重函數有

　
: $W(x)=(1-x^{2})^{-1/2}$ （高斯切比雪夫）

以及

　
: $W(x)=e^{-x^{2}}$ （高斯埃米特）。

## 高斯勒讓得求積

對於上述的最簡單的積分形式，即權重函數 $W(x)=1$ 時，關聯多項式為勒讓得多項式 $P_{n}(x)$ ，這種方法通常稱為高斯勒讓德求積，此時權重函數為下式，

　
: $w_{i}={\frac {2}{(1-x_{i}^{2})[P_{n}'(x_{i})^{2}]}}$

 $x_{i}$ 為 $P_{n}(x)$ 的第 $i$ 個根。

　
: $P_{n}(x)=\prod _{1\leq i\leq n}(x-x_{i})$

對於求解低階積分，選擇的點的數目、位置和權重如下表所示。

## 變區間法則

在使用高斯求積的時候必須要將積分區間 $[a,b]$ 變換到 $[-1,1]$ ，可利用變數變換得：

　
: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {b-a}{2}}\int _{-1}^{1}f\left({\frac {b-a}{2}}x+{\frac {a+b}{2}}\right)\,dx$

對應的高斯求積近似式為

　
: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}f\left({\frac {b-a}{2}}x_{i}+{\frac {a+b}{2}}\right)$

## 其他形式

對於如下的通用積分式來說，

　
: $\int _{a}^{b}w(x)f(x)dx$

當 $a=-1$ ， $b=1$ ， $w(x)=1$ 時，即為上述內容。我們還可以用別的積分規則，如下表所示。
高斯整数

**高斯整數**是實數和虛數部分都是整數的複數。所有高斯整數組成了一個整域，寫作 $\mathbf {Z} [i]$ ，是個不可以轉成有序環的歐幾里得整環。

　
: $\mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}$

高斯整數的範數都是非負整數，定義為

　
: $N(zw)=N(z)N(w)$

 $\mathbf {Z} [i]$ 單位元素 $1,-1,i,-i$ 的範數均為 $1$ 。

## 高斯整環

高斯整數形成了一個唯一分解整環，其可逆元素為 $1,-1,i,-i$ 。

### 質元素

　
: $\mathbf {Z} [i]$ 的質元素又稱為**高斯質數**。

高斯整數 $a+bi$ 是質數若且唯若：

 * $a,b$ 中有一個是零，另一個是形為 $4n+3$ 或其相反數 $-(4n+3)$ 的質數

或

 * $a,b$ 均不為零，而 $a^{2}+b^{2}$ 為質數。

以下給出這些條件的證明。

必要條件的證明為：唯若高斯整數的範數是質數，或質數的平方時，它才是高斯質數。這是因為對於任何高斯整數 $g$ ， $g\mid g{\overline {g}}=N(g)$ 。現在， $N(g)$ 是整數，因此根據算術基本定理，它可以分解為質數 $p_{1}p_{2}\cdots p_{n}$ 的乘積。根據質數的定義，如果 $g$ 是質數，則它可以整除 $p_{i}$ ，對於某個 $i$ 。另外， ${\overline {g}}$ 可以整除 ${\overline {p_{i}}}=p_{i}$ ，因此 $N(g)=g{\overline {g}}\mid p_{i}^{2}$ 。於是現在只有兩種選擇：要麼 $g$ 的範數是質數，要麼是質數的平方。

如果實際上對於某個質數 $p$ ，有 $N(g)=p^{2}$ ，那麼 $g$ 和 ${\overline {g}}$ 都能整除 $p^{2}$ 。它們都不能是可逆元素，因此 $g=pu$ ，以及 ${\overline {g}}=p{\overline {u}}$ ，其中 $u$ 是可逆元素。這就是說，要麼 $a=0$ ，要麼 $b=0$ ，其中 $g=a+bi$ 。

然而，不是每一個質數 $p$ 都是高斯質數。 $2$ 就不是高斯質數，因為 $2=(1+i)(1-i)$ 。高斯質數不能是 $4n+1$ 的形式，因為根據費馬平方和定理，它們可以寫成 $a^{2}+b^{2}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是整數，且 $a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)$ 。剩下的就只有形為 $4n+3$ 的質數了。

形為 $4n+3$ 的質數也是高斯質數。假設 $g=p+0i$ ，其中 $p=4n+3$ 是質數，且可以分解為 $g=hk$ 。那麼 $p^{2}=N(g)=N(h)N(k)$ 。如果這個分解是非平凡的，那麼 $N(h)=N(k)=p$ 。但是，任何兩個平方數的和都不能寫成 $4n+3$ 的形式。因此分解一定是平凡的，所以 $g$ 是高斯質數。

類似地， $i$ 乘以一個形為 $4n+3$ 的質數也是高斯質數，但 $i$ 乘以形為 $4n+1$ 的質數則不是。

如果 $g$ 是範數為質數的高斯整數，那麼 $g$ 是高斯質數。這是因為如果 $g=hk$ ，那麼 $N(g)=N(h)N(k)$ 。由於 $N(g)$ 是質數，因此 $N(h)$ 或 $N(k)$ 一定是 1，所以 $h$ 或 $k$ 一定是可逆元素。

### 作為整閉包

高斯整數環是 $\mathbf {Z} $ 在高斯有理數域中的整閉包，由實數部分和虛數部分都是有理數的複數組成。

### 作為歐幾里德環

在圖中很容易看到，每一個複數與最近的高斯整數的距離最多為 ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ 個單位。因此， $\mathbf {Z} [i]$ 是一個歐幾里德環，其中 $v(z)=N(z)$ 。所以，該環尤其是主理想整環，其理想皆形如 $\langle a+bi\rangle $ 。若 $(a,b)=1$ ，則對應的商是：

　
: $\mathbb {Z} [i]/{\left\langle a+bi\right\rangle }\cong \mathbb {Z} _{a^{2}+b^{2}}\ =\ \{[0],[1],[2]\cdots ,[a^{2}+b^{2}-1]\}.$

## 未解決的問題

高斯圓問題是中心為原點、半徑為給定值的圓內有多少格點的問題。它本身並不是關於高斯整數的，但等價於確定範數小於某個給定值的高斯整數的數目。

關於高斯整數，還有一些猜想和未解決的問題，例如：

實數軸和虛數軸含有無窮多個高斯質數 $3,7,11,19,\dots $ 。在複數平面上，還存在任何其它的直線上有無窮多個高斯質數嗎？特別地，實數部分為 $1$ 的直線上存在無窮多個高斯質數嗎？

在高斯質數上行走，步伐小於某個給定的值，可以走到無窮遠嗎？

## 參見

* 艾森斯坦整數
* 費馬平方和定理
* 二次互反律

## 參考文獻

* C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-­34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-­148.
* 從數到環：環論的早期歷史，由 Israel Kleiner 所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35)
* Ribenboim, Paulo, The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, 1996, ISBN 0-387-94457-5
高斯映射

在微分幾何裡，**高斯映射**是從歐氏空間 **R**3 中的一個曲面到單位球面 _S_2 的一個映射。高斯映射是以卡爾・弗里德里希・高斯命名。

給出 **R**3 中的曲面 _X_，高斯映射是一個連續映射 _N_: _X_ → _S_2，使得 _N_(_p_) 是在點 _p_ 上正交於 _X_ 的單位向量，就是曲面 _X_ 在點 _p_ 處的法向量。

高斯映射可以在曲面的整體上定義，當且僅當曲面是可定向的，此時其映射度等於歐拉示性數的一半。無論何時高斯映射都可以在曲面的局部上（即曲面的一小塊上）定義。高斯映射的雅可比行列式等於高斯曲率，而高斯映射的微分稱為形狀算子。

高斯以此為題在 1825 年寫了一份初稿，並在 1827 年發表。

## 全曲率

高斯映射的像的面積稱為**全曲率**，等於高斯曲率的曲面積分。這是起初高斯所給出的詮釋。高斯 - 博內定理將曲面的全曲率和曲面的拓撲性質聯繫起來：

　
: $\iint _{R}|N_{u}\times N_{v}|\ du\,dv=\iint _{R}K|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv=\iint _{R}K\ dA$

## 推廣

高斯映射可以定義在 **R**n 中的超曲面上，從超曲面映射到 **R**n 中的單位球面 _S_n-1。

## 參考

* Gauss, K. F., _Disquisitiones generales circa superficies curvas_ (1827)
* Gauss, K. F., _General investigations of curved surfaces_, English translation. Hewlett, New York: Raven Press (1965).
高斯曲线

**高斯函數**是形式為

　
: $f(x)=ae^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}$

的函數。其中 _a_、_b_ 與 _c_ 為實數常數，且 _a_ > 0.

_c_2 = 2 的高斯函數是傅立葉轉換的特徵函數。這就意味著高斯函數的傅立葉轉換不僅僅是另一個高斯函數，而且是進行傅立葉轉換的函數的純量倍。

## 半峰全寬與積分

聯立高斯積分

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}.$

　
: 和半峰全寬，

　
: $\mathrm {FWHM} =2{\sqrt {2\ln 2}}\;\sigma \approx 2.355\;\sigma .$ 解得

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=a\cdot {\sqrt {2\pi }}FWHM/2.355\approx 1.064\cdot a\cdot FWHM$

　
:

 

## 應用

高斯函數的不定積分是誤差函數。在自然科學、社會科學、數學以及工程學等領域都有高斯函數的身影，這方面的例子包括：

* 在統計學與機率論中，高斯函數是**常態分布**的密度函數，根據中央極限定理它是複雜總和的有限機率分布。
* 高斯函數是量子諧振子基態的波函數。
* 計算化學中所用的分子軌道是名為高斯軌道的高斯函數的線性組合（參見量子化學中的基組）。
* 在數學領域，高斯函數在埃爾米特多項式的定義中起著重要作用。
* 高斯函數與量子場論中的真空態相關。
* 在光學以及微波系統中有高斯波束的應用。
* 高斯函數在圖像處理中用作預平滑核（參見尺度空間表示）。

## 注釋

## 參見

* 勞倫茲函數
* 常態分布
* 洛侖茲轉換
高斯曲面

**高斯面**（英語：**Gaussian surface**、縮寫：**G.S.**），又稱**高斯曲面**，是三維空間一閉合曲面，用於運用高斯定理計算向量場的通量，例如重力場、電場和磁場。是任意形狀的封閉曲面 _S_ = ∂_V_（3 維 V) 流形邊界），通過對其進行曲面積分運算，可以求出曲面中包含的場源總量，例如重力場中包含的物質總量和靜電場場源中包含的總電荷量，等等，也可以反過來從場源推算它產生的場。例如這裡所舉的最常見的情況，運用高斯曲面和高斯定理計算電場的時候，運用對稱性選擇恰當的高斯面，可以簡化所研究的問題，使曲面積分更簡單。如果高斯曲面上的每一點都能使該點垂直曲面的電場分量為常數，進行曲面積分的時候就能大大簡化運算，因為常數可以從積分式中被提取出來。

## 常見的高斯曲面

大多數使用高斯曲面計算都是從研究高斯定律電開始：

　
: $\Phi _{E}=$ $\oiint $ $\scriptstyle S$ $\mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}}.$

從而 _Q_enc 是被高斯曲面包圍的電荷。

這是結合了高斯散度定理和庫侖定律的高斯定律。

### 高斯球面

當找到由以下任何一種產生的電場或通量時，可使用高斯球面：

### 高斯圓柱面

當找到由以下任何一種產生的電場或通量時，可使用高斯圓柱面：

* 一條無限長的均勻電荷線
* 一個無限均勻電荷平面
* 一個無限長的均勻電荷圓柱體

例如「無限線電荷附近的場」如下所示；

### 高斯盒（pillbox）

## 另見

* 表面積
* 微積分
  * 積分
* 法拉第籠
* 經典場論
* 場線

## 參考

* Purcell, Edward M. Electricity and Magnetism. McGraw-Hill. 1985. ISBN 0-07-004908-4.
* Jackson, John D. Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. 1998. ISBN 0-471-30932-X.

## 進一步閱讀

* _Electromagnetism (2nd Edition)_, I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9

## 外部鏈接

* Fields （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） - 在線教科書
高斯有理數

在數學中，**高斯有理數**（英語：Gaussian rational）是指實部與虛部都是有理數的複數；形如 $p+qi$ 的複數，其中 $p$ 和 $q$ 都是有理數。所有高斯有理數的集合構成了高斯有理數域，可表示為 $\mathbb {Q} (i)$ 。

用符號表示，所有高斯有理數的集是 $\{p+q\mathrm {i} \mid (p,q)\in \mathbb {Q} ^{2}\}$ 。

高斯有理數的名稱來源於德國數學家卡爾・高斯。

## 參考文獻
高斯枪

**線圈炮**（Coilgun）是一種由一個或多個線圈組成的投射加速器，以同步線性馬達的方式將磁性拋射物加速到極高的速度。這種裝置也被稱為**高斯炮**（Gauss gun），鑑於線圈砲是用純物理方式來提供彈丸動能，所以嚴格來說，線圈砲是冷兵器的一種。

## 結構

## 局限

儘管線圈槍研發已經過很長的時間，仍有許多問題未能解決。

### 電阻問題

線圈的電阻是線圈砲的一個主要問題；因為通過線圈的電流很大，根據歐姆定律，再好的線圈也會將大部分的電能以熱能的形式浪費掉。從而無法將拋射物提升至高速度。

## 參見

* 質量投射器
* 磁軌炮
* 直線電動機
高斯模糊

**高斯模糊**（英語：Gaussian Blur），也叫高斯平滑，是在 Adobe Photoshop、GIMP 以及 Paint.NET 等圖像處理軟體中廣泛使用的處理效果，通常用它來減少圖像雜訊以及降低細節層次。這種模糊技術生成的圖像，其視覺效果就像是經過一個半透明螢幕在觀察圖像，這與鏡頭焦外成像效果散景以及普通照明陰影中的效果都明顯不同。高斯平滑也用於電腦視覺演算法中的預先處理階段，以增強圖像在不同比例大小下的圖像效果（參見尺度空間表示以及尺度空間實現）。
從數學的角度來看，圖像的高斯模糊過程就是圖像與常態分布做卷積。由於常態分布又叫作「高斯分布」，所以這項技術就叫作高斯模糊。圖像與圓形方框模糊做卷積將會生成更加精確的焦外成像效果。由於高斯函式的傅立葉變換是另外一個高斯函式，所以高斯模糊對於圖像來說就是一個低通濾波器。

## 機理

高斯模糊是一種圖像模糊濾波器，它用常態分布計算圖像中每個像素的變換。N 維空間常態分布方程為

　
: $G(r)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}^{N}}}e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}$

在二維空間定義為

　
: $G(u,v)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{-(u^{2}+v^{2})/(2\sigma ^{2})}$

其中 _r_ 是模糊半徑 （ $r^{2}=u^{2}+v^{2}$ ），σ 是常態分布的標準偏差。在二維空間中，這個公式生成的曲面的等高線是從中心開始呈常態分布的同心圓。分布不為零的像素組成的卷積矩陣與原始圖像做變換。每個像素的值都是周圍相鄰像素值的加權平均。原始像素的值有最大的高斯分布值，所以有最大的權重，相鄰像素隨著距離原始像素越來越遠，其權重也越來越小。這樣進行模糊處理比其它的均衡模糊濾波器更高地保留了邊緣效果，參見尺度空間實現。

理論上來講，圖像中每點的分布都不為零，這也就是說每個像素的計算都需要包含整幅圖像。在實際應用中，在計算高斯函式的離散近似時，在大概 3σ 距離之外的像素都可以看作不起作用，這些像素的計算也就可以忽略。通常，圖像處理程式只需要計算 $(6\sigma +1)\times (6\sigma +1)$ 的矩陣就可以保證相關像素影響。對於邊界上的點，通常採用複製周圍的點到另一面再進行加權平均運算。

除了圓形對稱之外，高斯模糊也可以在二維圖像上對兩個獨立的一維空間分別進行計算，這叫作**線性可分**。這也就是說，使用二維矩陣變換得到的效果也可以通過在水平方向進行一維高斯矩陣變換加上豎直方向的一維高斯矩陣變換得到。從計算的角度來看，這是一項有用的特性，因為這樣只需要 $O(n\times M\times N)+O(m\times M\times N)$ 次計算，而不可分的矩陣則需要 $O(m\times n\times M\times N)$ 次計算，其中 $M$ , $N$ 是需要進行濾波的圖像的維數， $m$ 、 $n$ 是濾波器的維數。

對一幅圖像進行多次連續高斯模糊的效果與一次更大的高斯模糊可以產生同樣的效果，大的高斯模糊的半徑是所用多個高斯模糊半徑平方和的平方根。例如，使用半徑分別為 6 和 8 的兩次高斯模糊變換得到的效果等同於一次半徑為 10 的高斯模糊效果， ${\sqrt {6\times 6+8\times 8}}=10$ 。根據這個關係，使用多個連續較小的高斯模糊處理不會比單個高斯較大處理時間要少。

在減小圖像尺寸的場合經常使用高斯模糊。在進行欠採樣的時候，通常在採樣之前對圖像進行低通濾波處理。這樣就可以保證在採樣圖像中不會出現虛假的高頻資訊。高斯模糊有很好的特性，如沒有明顯的邊界，這樣就不會在濾波圖像中形成震盪。

## 高斯矩陣範例

這是一個計算 σ = 0.84089642 的高斯分布生成的範例矩陣。注意中心元素 (4,4) 處有最大值，隨著距離中心越遠數值對稱地減小。

注意中心處的 0.22508352 比 3σ 外的 0.00019117 大 1177 倍。

## 例子

下面的例子展示了高斯模糊的效果；圖 2 是圖 1 經過高斯模糊濾波器（σ = 2）處理之後的結果。

## 參見

* 無限脈衝回應（IIR）
* 尺度空間實現
* 高斯濾波器
* 高斯

## 參考文獻

* https://web.archive.org/web/20061109221710/http://www.cee.hw.ac.uk/hipr/html/gsmooth.html
高斯派尔

**上施派爾**（德語：Hochspeyer）是德國萊茵蘭 - 普法爾茨州的一個市鎮。總面積 22.72 平方公里，總人口 4511 人，其中男性 2282 人，女性 2229 人（2011 年 12 月 31 日），人口密度 199 人 / 平方公里。

## 參見

* 萊茵蘭 - 普法爾茨州市鎮列表

## 參考
高斯混合模型

在統計學中，混合模型（Mixture model）是用於表示母體中子母體的存在的機率模型，換句話說，混合模型表示了測量結果在母體中的機率分布，它是一個由數個子母體之機率分布組成的混合分布。混合模型不要求測量結果供關於各個子母體之機率分布的資訊即可計算測量結果在母體分布中的機率。

## 高斯混合模型（Gaussian Mixture Model）

對一維的隨機變數 $X$ 的高斯分佈存在以下機率密度函數：

$$
F_{X}(x)=P_{X}(X\leq x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}})}
$$

其中的 $\sigma $ 為 $X$ 的標準差， $\mu $ 為 $X$ 的期望值。

而當將高斯分佈推廣到 $k$ 維時，根據定義，若 $k$ 維的隨機向量 $X=[X_{1},...X_{k}]^{T}$ 服從多變數的常態分佈，則存在一個對稱半正定的共變異數矩陣 $\Sigma $ 以及期望值向量 $\mu =[\mu _{1},...,\mu _{k}]^{T}$ 滿足 $X$ 的特徵函數。若 $\Sigma $ 為非奇異的，則此分佈可以由以下的機率密度函數描述：

 ${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{k}|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})},}$ $|\Sigma |$ 為共變異數矩陣的行列式。

而高斯混合模型為單一高斯概率密度函數的延伸，用多個高斯概率密度函數（常態分布曲線）精確地量化變量分布，是將變量分布分解為若干基於高斯概率密度函數（常態分布曲線）分布的統計子模型，每個子模型可視為此混合模型的隱變量。

舉一個不是那麼嚴謹的例子，若是我們手上有一個班級中所有學生某一次考試的各項科目分數分佈，並且每一科的分數都大致依照高斯分佈。則當我們要描述每個學生的總分分佈時，單高斯模型及多維的高斯模型不一定能很好的描述這個分佈，因為每一科的分布的情形都不盡相同，此時我們可以用高斯混合分佈更好的來描述這個問題。
高斯滤波器

**高斯濾波器**（Gaussian filter）是一種低通濾波器， 其脈衝函數的權重呈現為在原點附近服從常態分布。高斯濾波器具有指數形式的響應特性。

圖像大多數的噪聲均屬於高斯噪聲，因此高斯濾波器適用於消除高斯噪聲，廣泛應用於圖像去噪。

## 參考文獻
高斯濾波器

**高斯濾波器**（Gaussian filter）是一種低通濾波器， 其脈衝函數的權重呈現為在原點附近服從常態分布。高斯濾波器具有指數形式的響應特性。

圖像大多數的噪聲均屬於高斯噪聲，因此高斯濾波器適用於消除高斯噪聲，廣泛應用於圖像去噪。

## 參考文獻
高斯獎

**卡爾・弗里德里希・高斯數學應用獎**（**Carl Friedrich Gauss Prize**）是在國際數學家大會上，與菲爾茲獎和奈望林納獎一同頒發的獎項，表揚研究工作在數學外領域影響深遠的數學家。與另外兩個獎項不同，高斯獎不設年齡限制，因為研究工作的影響可能要很多年後才表現出來。這獎項以卡爾・弗里德里希・高斯命名，紀念他的研究在科學、工程和統計學的廣泛應用。獎項包括獎章和獎金。2006 年的獎金金額為 10,000 歐元。獎金資助來自 1998 年德國柏林國際數學家大會的盈餘。

獎章正面為高斯的肖像，背面為一條曲線穿過圓形和正方形，代表高斯以最小二乘法算出穀神星的軌道。

第一屆高斯獎在 2006 年 8 月 22 日於西班牙馬德里國際數學家大會頒發，授予日本數學家伊藤清。

## 得獎者列表

## 參考資料

## 外部連結

* 國際數學家聯盟的高斯獎網頁
高斯环形山

**高斯環形山**(Gauss) 是月球正面東北部一座古老的巨大撞擊坑，形成於酒海紀，其名稱取自德國數學家、工程師、物理學家、天文學家及測量學家卡爾・弗里德里希・高斯 (1777 年 - 1855 年)，1935 年被國際天文聯合會批准接受。

## 描述

高斯環形山屬於 "環壁平原"(walled plain) 的月貌類型，這意味著它的直徑至少達到 110 公里，且地表略凹，沒有或只有很少的中央山丘。由於其特殊的位置，從地球看因透視原因，該環形山大幅度變小。此外，它的能見度也受到月球攝動的影響。

高斯環形山西北毗鄰芝諾環形山、西南為成對的哈恩環形山和貝羅索斯環形山；東側從北至南分別坐落著劉易斯・博斯環形山、黎曼環形山、比爾斯環形山、瑞利環形山及尤里隕石坑；正南則橫亙著塞內卡隕石坑。

該隕中心月面坐標為 36.01°N 79.08°E﻿ / 36.01; 79.08，直徑 170.72 公里，
深度 2.64 公里。

高斯環形山呈多邊形狀，由於存續時間長而侵蝕嚴重。北半部邊緣保存完整，外形清晰，但南半部邊緣明顯損毀並被切割出眾多縱向凹槽。隕坑西北內壁呈階地結構，而東北內壁則顯示有崩塌下滑的現象。隕坑壁平均高出周邊地區 1860 米。坑底地表相當平坦，分布有一些大小不同的撞擊坑痕跡，其中較大的衛星坑 "高斯 E"、"高斯 F"、"高斯 G" 位於坑內西南部，"高斯 W" 位於東南，而 "高斯 B" 則坐落在坑底東部，它的東北是橫跨在東側邊緣上更小的 "高斯 A"。坑內地表上，特別是東部和西北部分布著數道明顯的裂縫；一道山脊線從南到北穿過整個隕坑表面。

## 圖集

* *

## 衛星環形山

按慣例，在月面圖上以字母標示在以下靠近高斯的衛星環形山中心點的一側：

* 衛星坑 "高斯 B" 形成於酒海紀；
* 衛星坑 "高斯 C" 形成於晚雨海世。

## 參考文獻

## 另請參閱

## 外部連結

* 月球數碼攝影圖集
* 阿波羅 8、14、16 及 17 號拍攝的高斯環形山照片. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 維基月球在線解說 - 高斯環形山. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Andersson, L.E., and E.A. Whitaker, 美國宇航局月球地名目錄，美國宇航局參考出版物 1097, 1982 年 10 月. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
高斯甘杰

**高斯甘傑**（Gausganj），是印度北方邦 Kanpur Dehat 縣的一個城鎮。總人口 7708（2001 年）。

## 人口

該地 2001 年總人口 7708 人，其中男性 4047 人，女性 3661 人；0—6 歲人口 1262 人，其中男 652 人，女 610 人；識字率 62.42%，其中男性為 69.58%，女性為 54.49%。

## 參見

* 北方邦城鎮列表

## 參考
高斯由

**故國原王**（？—371 年），高句麗第 16 任君主，名**斯由**、**劉**、**釗**，331 年 - 371 年在位。

在與鮮卑慕容家族建立的前燕爭奪滿洲一帶的戰爭中，在故國原王任內，前燕取得壓倒性的優勢。

342 年，前燕又發動了對高句驪的戰爭，前燕軍重創高句驪軍隊。又發掘故國原王的先王美川王之墓，擄走美川王的屍體和故國原王的生母周氏，並將高句驪歷代積累下來的金銀全部搜刮一空，虜走了高句驪百姓五萬多口，最後一把火燒了高句驪王宮，並將丸都城再次變為平地。

343 年（東晉咸康八年），高句驪重修由於毌丘儉東征而被摧毀的舊丸都城，並於同年秋天又一次移居丸都城。4 個月後，丸都山城就再次毀於戰火。

344 年，故國原王派王弟到前燕都城龍城稱臣納貢。前燕歸還美川王的屍體，依然扣留故國原王的生母周氏，此後高句驪元氣大傷，再沒有反抗前燕的能力。

345 年（東晉咸康九年）十月，慕容恪再度進攻高句驪，輕鬆攻取了南蘇城（今五龍山城南距蘇子河 8 公里）。

355 年，前燕入主中原後，和高句驪和解，歸還故國原王的生母周氏，並封故國原王為「征東大將軍、營州刺史、樂浪公、高句驪王」。

在朝鮮半島的爭奪戰中，本是同源的百濟於 371 年傾全國之力發兵北上，並且圍困了平壤城，故國原王中箭身亡。高句麗南下朝鮮半島的腳步受到南部百濟的有力阻擋。同年其子小獸林王即位。

後世在朝鮮民主主義人民共和國黃海南道安岳郡發現的古墓被朝鮮官方認為是高句麗的 21 代王故國原王（331—371 年）的墓即安岳 3 號古墓。

## 參見

前燕與高句麗的戰爭

## 注釋與參考資料
高斯电子公司_(漫画)

**《高斯電子公司》**（韓語：가우스전자）是一部韓國網路漫畫，由韓國漫畫家郭百洙所作。該漫畫以虛構的韓國「高斯電子」公司上班族為背景，共 4 季 2070 話，於 2011 年 6 月 6 日至 2019 年 10 月 25 日在 Naver 漫畫連載。中文翻譯版為 1821 話，於 2020 年 10 月完結。

## 登場人物

* 李相植：高斯電子營銷 3 部員工→助理經理→經理
* 車娜萊：高斯電子營銷 3 部經理→廣告部經理
* 白馬帥：高斯電子營銷 3 部員工
* 建江美：高斯電子營銷 3 部員工

## 衍生電視劇

* 韓國 2022 年電視劇《高斯電子公司》，主演：郭東延、高聖熙、裴賢聖、姜旻兒
* 中國大陸 2023 年電視劇《今日宜加油》，主演：鄭愷、陳鈺琪、王鶴棣

## 參考

## 外部連結

* LINE WEBTOON 官網上的《高斯電子公司》 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 咚漫漫畫官網上的《高斯電子公司》 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
高斯白噪声

**加性高斯白雜訊**（英語：Additive white Gaussian noise，AWGN）在通訊領域中指的是一種功率譜函數是常數（即白雜訊），且振幅服從高斯分布的雜訊訊號。因其可加性、振幅服從高斯分布且為白雜訊的一種而得名。

該雜訊訊號為一種便於分析的理想雜訊訊號，實際的雜訊訊號往往只在某一頻段內可以用高斯白雜訊的特性來進行近似處理。由於 AWGN 訊號易於分析、近似，因此在訊號處理領域，對訊號處理系統（如濾波器、低噪音高頻放大器、無線訊號傳輸等）的雜訊性能的簡單分析 (如：訊號雜訊比分析) 中，一般可假設系統所產生的噪音或受到的噪音訊號干擾在某頻段或限制條件之下是高斯白雜訊。

加性高斯白雜訊只是白雜訊的一種，另有泊松白雜訊等。

## 頻道容量

AWGN 頻道由一系列的 $Y_{i}$ （輸出） 來表示，其中的 $i$ 表示離散的時間事件索引。 $Y_{i}$ 是 $X_{i}$ （輸入）和 $Z_{i}$ （雜訊）的數值和，其中 $Z_{i}$ 是獨立恆等分布的隨機變量並來自於均值為 0，方差為 $N$ （雜訊） 的常態分布。 $Z_{i}$ 可以進一步認為和 $X_{i}$ 有關。

　
: $Z_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,N)\,\!$

　
: $Y_{i}=X_{i}+Z_{i}\,\!$

頻道的容量是無窮的，除非雜訊 $n$ 非零且 $X_{i}$ 有足夠的約束。輸入中最常見的約束被叫做功率約束，這要求碼字 $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})$ 通過頻道傳送。我們有：

　
: ${\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}x_{i}^{2}\leq P,\,\!$

其中 $P$ 代表頻道功率的最大值。因此頻道容量的功率約束可以通過以下公式給出：

　
: $C=\max _{f(x){\text{ s.t. }}E\left(X^{2}\right)\leq P}I(X;Y)\,\!$

這裡， $f(x)$ 是 $X$ 的分布。 $I(X;Y)$ 可以擴展為微分熵的形式：

　
: ${\begin{aligned}I(X;Y)=h(Y)-h(Y|X)&=h(Y)-h(X+Z|X)&=h(Y)-h(Z|X)\end{aligned}}\,\!$

但是 $X$ 和 $Z$ 是獨立的，因此：

　
: $I(X;Y)=h(Y)-h(Z)\,\!$

通過計算高斯微分熵可給出：

　
: $h(Z)={\frac {1}{2}}\log(2\pi eN)\,\!$

因為 $X$ 和 $Z$ 是獨立的並且它們的和給出了 $Y$ ：

　
: $E(Y^{2})=E(X+Z)^{2}=E(X^{2})+2E(X)E(Z)+E(Z^{2})=P+N\,\!$

從此約束中，我們可以從微分熵的屬性中推斷出：

　
: $h(Y)\leq {\frac {1}{2}}\log(2\pi e(P+N))\,\!$

因此通道容量可以通過可變資訊中的最高可獲取約束求得：

　
: $I(X;Y)\leq {\frac {1}{2}}\log(2\pi e(P+N))-{\frac {1}{2}}\log(2\pi eN)\,\!$

其中 $I(X;Y)$ 在

　
: $X\sim {\mathcal {N}}(0,P)\,\!$

時最大。

因此 AWGN 的頻道容量 $C$ 可以由此給出：

　
: $C={\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P}{N}}\right)\,\!$

## 時域中的影響

在序列數據通訊中，AWGN 數學模型被用來對由隨機抖動引發的時間性錯誤建模。

右圖中展示了和 AWGN 關聯的時間性錯誤。變量 $\Delta t$ 表示零點交叉處的不確定性。當 AWGN 中的振幅被提升時，訊號雜訊比降低。這導致不確定性 $\Delta t$ 降低。

當受 AWGN 影響時。當輸入是一個正弦波時，窄通頻帶濾波輸出中的每一秒，不管是正向趨近於零點交叉還是負趨向於零點交叉的平均數都是：

　
: ${\frac {\mathrm {positive\ zero\ crossings} }{\mathrm {second} }}={\frac {\mathrm {negative\ zero\ crossings} }{\mathrm {second} }}$

　
: $=f_{0}{\sqrt {\frac {\mathrm {SNR} +1+{\frac {B^{2}}{12f_{0}^{2}}}}{\mathrm {SNR} +1}}}$

其中

* f0 = 濾波的中心頻率
* B = 濾波器帶寬
* SNR = 線性關係上的信噪功率比

## 相域中的影響

在現代通訊系統中，帶寬受限的 AWGN (加性高斯白雜訊) 不容忽視。統計分析表明，對相量域中帶寬受限的 AWGN 調變時，實部和虛部的振幅是遵循高斯分布模型的相互獨立的變量。組合後，所產生的相量是符合瑞利分布的隨機變量，而其相位從 0 到 2π 均勻分布。

## 參照

* 接地反彈
* 有噪頻道編碼定理
* 高斯過程