高斯散度定理

**高斯公式**（Gauss's law），又稱為**高斯通量理論**（Gauss' flux theorem）、**散度定理**（Divergence Theorem）、**高斯散度定理**（Gauss's Divergence Theorem）、**高斯－奧斯特洛格拉德斯基公式**或**高－奧公式**，是指在向量分析中，一個把向量場通過閉合曲面的流動（即通量）與曲面內部的向量場的表現聯繫起來的定理。該定理與斯托克斯定理（Stokes' Theorem）是向量中兩大重要定理。

更加精確地說，高斯公式說明向量場穿過曲面的通量，等於散度在曲面圍起來的體積上的積分。直觀地，所有源點的和減去所有匯點的和，就是流出這區域的淨流量。

高斯公式在工程數學中是一個很重要的結果，特別是靜電學和流體力學。

在物理和工程中，散度定理通常運用在三維空間中。然而，它可以推廣到任意維數。在一維，它等價於分部積分法。

## 定理

設空間閉區域 Ω 是由分片光滑的閉曲面 Σ 所圍起來的三維區域，函數 $P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$ 在 $\Omega $ 上具有一階連續偏導數，則有

　
: $\iiint _{\Omega }\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)dv=$ $\oiint $ $\scriptstyle \Sigma $ $P\,dy\land dz+Q\,dz\land dx+R\,dx\land dy$

或

　
: $\iiint _{\Omega }\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)dv=$ $\oiint $ $\scriptstyle \Sigma $ $(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,dS$

這裡 $\Sigma $ 是 $\Omega $ 的邊界（boundary）， $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma $ 是 $\Sigma $ 在點 $(x,y,z)$ 處的單位法向量的方向餘弦。

這兩個公式都叫做**高斯公式**，不過這兩公式僅僅是表達方式不同，其實是相同的定理，這可以用變數變換得到兩公式的右邊都等於 $\iint _{\Sigma }(P,Q,R)\cdot \mathbf {n} \,dS$ ，其中 $\mathbf {n} $ 是曲面 $\Sigma $ 的向外單位法向量。

這個定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。

## 用散度表示

高斯公式用散度表示為：

　
: $\iiint _{\Omega }\mathrm {div} \mathbf {F} \,dv=$ $\oiint $ $\scriptstyle \Sigma $ $\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS.$

其中 Σ 是空間閉區域 Ω 的邊界曲面，而 $\mathbf {n} $ 是曲面 Σ 上的朝外的單位法向量。

## 用向量表示

令 _V_ 代表有一簡單閉曲面 _S_ 為邊界的體積， $\mathbf {F} $ 是定義在 _V_ 中和 _S_ 上連續可微的向量場。如果 $d\mathbf {S} $ 是外法向向量面元，則

　
: $\int _{S}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} dV$

## 推論

* 對於純量函數 _g_ 和向量場 **F** 的積，應用高斯公式可得：

　
: : $\iiint _{V}\left(\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right)dV=\iint _{\partial V}g\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} $

* 對於兩個向量場 $\mathbf {F} \times \mathbf {G} $ 的向量積，應用高斯公式可得：

　
: : $\iiint _{V}\left(\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right)\,dV=\iint _{\partial V}\left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\cdot d\mathbf {S} $

* 對於純量函數 _f_ 和非零常向量的積，應用高斯公式可得：

　
: : $\iiint _{V}\nabla f\,dV=\iint \limits _{\partial V}f\,d\mathbf {S} $

* 對於向量場 **F** 和非零常向量的向量積，應用高斯公式可得：

　
: : $\iiint _{V}\nabla \times \mathbf {F} \,dV=\iint _{\partial V}d\mathbf {S} \times \mathbf {F} .$

## 例子

假設我們想要計算

　
: $\oiint $ $\scriptstyle S$ $\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS,$

其中 S 是一個單位球面，定義為

　
: $S=\left\{x,y,z\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}.$

**F** 是向量場

　
: $\mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} .$

直接計算這個積分是相當困難的，但我們可以用高斯公式來把它簡化：

　
: $\iiint _{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV=2\iiint _{W}(1+y+z)\,dV=2\iiint _{W}dV+2\iiint _{W}y\,dV+2\iiint _{W}z\,dV.$

其中 W 是單位球:

　
: $W=\left\{x,y,z\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}.$

由於函數 y 和 z 是奇函數，我們有：

　
: $\iiint _{W}y\,dV=\iiint _{W}z\,dV=0.$

因此：

　
: $\oiint $ $\scriptstyle S$ $\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,{d}S=2\iiint _{W}\,dV={\frac {8\pi }{3}},$

因為單位球 W 的體積是 4_π_/3.

## 二階張量的高斯公式

**二階張量的高斯公式**實際上是上面的高斯公式的推論。為了使內容完整，首先簡要地介紹三維歐幾里得空間上的**二階張量**（詳見並矢張量或張量積）以及相關的概念和記號。在這裡，向量和向量場用**黑斜體**字母表示，張量用**正黑體**字母表示。

1. 兩個向量 ${\boldsymbol {a}}$ 和 ${\boldsymbol {b}}$ 並排放在一起所形成的量 ${\boldsymbol {ab}}$ 被稱為向量 ${\boldsymbol {a}}$ 和 ${\boldsymbol {b}}$ 的**並矢**或**並矢張量**。要注意，一般來說， ${\boldsymbol {ab}}\neq {\boldsymbol {ba}}$ 。
2. ${\boldsymbol {ab}}=0$ 的充分必要條件是 ${\boldsymbol {a}}=0$ 或 ${\boldsymbol {b}}=0$ 。
3. **二階張量**就是**有限個**並矢的線性組合。
4. ${\boldsymbol {ab}}$ 分別線性地依賴於 ${\boldsymbol {a}}$ 和 ${\boldsymbol {b}}$ 。
5. 二階張量 $\mathbf {T} $ 和向量 ${\boldsymbol {a}}$ 的縮併 $\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}$ 以及 ${\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T} $ 對 $\mathbf {T} $ 和 ${\boldsymbol {a}}$ 都是線性的。
6. 特別是，當 $\mathbf {T} ={\boldsymbol {uv}}$ 時，

　
: $\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}=({\boldsymbol {uv}})\cdot {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {a}})\,,\qquad {\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T} ={\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {uv}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})\,{\boldsymbol {v}},$

所以，一般說來， $\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}\neq {\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T} $ 。

下面舉一個例子：用二階張量及其與向量的縮併來重新寫 $({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}$ 和 ${\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})$ 。

　
: $({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {a}}=-({\boldsymbol {ab}}-{\boldsymbol {ba}})\cdot {\boldsymbol {c}}\,,\qquad {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})\,{\boldsymbol {c}}=-{\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {bc}}-{\boldsymbol {cb}})\,.$

我們還用到二階張量 $\mathbf {T} $ 的_轉置_ $\mathbf {T} '$ （又可以記為 $\mathbf {T} ^{\mathrm {t} }$ ），定義如下：

 1. $\mathbf {T} '$ 仍然是一個二階張量，並且線性地依賴於 $\mathbf {T} $ 。
2. $({\boldsymbol {uv}})'={\boldsymbol {vu}}$ 。

**定理：**設 $V$ 是三維歐幾里得空間中的一個有限區域， $S$ 是它的邊界曲面， ${\hat {\boldsymbol {n}}}$ 是 $S$ 的外法線方向上的單位向量， $\mathbf {T} $ 是定義在 $V$ 的某個開鄰域上的 $C^{1}$ 連續的二階張量場， $\mathbf {T} '$ 是 $\mathbf {T} $ 的轉置，則

　
: $\iint _{S}{\hat {\boldsymbol {n}}}\cdot \mathbf {T} \,dS=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} \,dV\,,\qquad \iint _{S}\mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,dS=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} '\,dV\,.$

**證明：**下面以第二個式子為例進行證明。令第二個式子的左邊為 ${\boldsymbol {F}}$ ，則

　
: ${\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}_{i}\cdot \iint _{S}\mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,dS=\iint _{S}{\boldsymbol {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,dS=\iint _{S}T^{ij}{\boldsymbol {e}}_{j}\cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,dS\,.$

接下來利用向量場的高斯公式，可得

　
: ${\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}}=\iiint _{V}\nabla \cdot (T^{ij}{\boldsymbol {e}}_{j})\,dV=\iiint _{V}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,dV\,,$

於是

　
: ${\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}_{i}\,({\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}})={\boldsymbol {e}}_{i}\iiint _{V}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,dV=\iiint _{V}{\boldsymbol {e}}_{i}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,dV=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} '\,dV\,.$

至此證畢。

## 參閱

* 格林定理
* 斯托克斯定理

## 參考文獻