馬克士威-安培方程式

: 在這篇文章內，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

**安培環路定律**（英語：Ampère's circuital law）常直接簡稱為「安培定律」，是由安德烈 - 馬里・安培於 1826 年提出的一條靜磁學基本定律。

安培環路定律表明了：在真空中載流導線所載有的穩恆電流，與磁感應強度沿著環繞導線的任意閉合迴路（環路，closed loop）的路徑積分（環場積），兩者之間的關係為

　
: $\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I_{\text{enc}}$ ；

其中， $\mathbb {C} $ 是環繞著導線的閉合迴路， $\mathbf {B} $ 是磁感應強度（又稱為 B 場）， $\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$ 是微小線元素向量， $\mu _{0}$ 是磁常數， $I_{\text{enc}}$ 是閉合迴路 $\mathbb {C} $ 所圍住的電流。

亦即，在真空中的穩恆電流會產生穩恆磁場，而磁感應強度 B 沿任意環繞載流導線的閉合路徑的線積分值（環場積），等於該選取的環路（安培環路）所包圍的總電流值（各個電流的代數和）乘以真空磁導率。

1861 年，詹姆斯・馬克士威又將這方程式重新推導一遍，使得符合電動力學條件，並且發表結果於論文《論物理力線》內。馬克士威認為，含時電場會生成磁場，假若電場含時間，則前述安培定律方程式不成立，必須加以修正。經過修正後，新的方程式稱為**馬克士威 - 安培方程式**，是馬克士威方程組中的一個方程式，以積分形式表示為

　
: $\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\int _{\mathbb {S} }\left(\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} $ ；

其中， $\mathbb {S} $ 是邊緣為 $\mathbb {C} $ 的任意曲面， $\mathbf {J} $ 是穿過曲面 $\mathbb {S} $ 的電流的電流密度， $\mathbf {D} $ 是電位移， $\mathrm {d} \mathbf {a} $ 是微小面元素向量。

## 右手定則

載流迴圈所產生的磁場方向可以使用右手定則來判斷。其方法為將拇指外的四根手指向手掌彎的方向視為磁場方向，則拇指所指的方向即為電流的方向。

右手定則也可以用來辨明一條電線四周磁場的方向。對於這用法，右手定則稱為「安培右手定則」，或「安培定則」。如右圖，安培右手定則表明，假若將右手的大拇指朝著電線的電流方向指去，再將四根手指握緊電線，則四根手指彎曲的方向為磁場的方向。

## 原版安培環路定律

安培環路定律的歷史原版形式，連結了磁場與源電流。這定律可以寫成兩種形式，積分形式和微分形式。根據克耳文－斯托克斯定理（即ℝ³ 上的斯托克斯公式），對於任意向量 $\mathbf {F} $ ，

　
: $\int _{\mathbb {S} }\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$ 。

所以，這兩種形式是等價的。

### 積分形式

電流 $I$ 在一個曲面 $\mathbb {S} $ 上的通量，等於磁場 $\mathbf {B} $ 沿著 $\mathbb {S} $ 的邊緣閉合迴路 $\mathbb {C} $ 的路徑積分。採用國際單位制（後面會講述 CGS 單位制版本），原版安培環路定律的積分形式可以寫為：

　
: $\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I$ 。

請注意到這方程式有些模糊之處，需要特別澄清：

* 第一，邊界曲線 $\mathbb {C} $ 的正向與曲面 $\mathbb {S} $ 的側符合右手規則。
* 第二，（固定 $\mathbb {C} $ ，）定理之成立與以 $\mathbb {C} $ 為邊界的 $\mathbb {S} $ 的選擇無關。

安培環路定律可由必歐 - 沙伐定律和磁場的疊加性證明（請參閱必歐 - 沙伐定律）。在靜磁學中，安培環路定律的角色與高斯定律在靜電學的角色類似。當系統組態具有適當的對稱性時，我們可以利用這對稱性，使用安培環路定律來便利地計算磁場。例如，當計算一條直線的載流導線或一個無限長螺線管的磁場時，可以採用圓柱坐標系來匹配系統的圓柱對稱性。

### 微分形式

根據克耳文－斯托克斯定理，這方程式也可以寫為微分形式。只有當電場不含時間的時候，也就是說，當電場對於時間的偏微分等於零的時候，這方程式才成立。採用國際單位制，這方程式表示為

　
: $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} $ 。

磁場 $\mathbf {B} $ 的旋度等於（產生該磁場的）傳導電流密度 $\mathbf {J} $ 。

## 電流分類

電流可以細分為自由電流和束縛電流，而束縛電流又可分類為磁化電流和電極化電流。以方程式表示，總電流密度 $\mathbf {J} $ 是

　
: $\mathbf {J} =\mathbf {J_{f}+J_{M}+J_{P}} $ ；

其中， $\mathbf {J} _{f}$ 是自由電流密度或傳導電流密度， $\mathbf {J} _{M}$ 是磁化電流密度， $\mathbf {J} _{P}$ 是電極化電流密度。

從微觀而言，所有的電流基本上是一樣的。但是，由於實用原因，物理學家會將電流分類為自由電流和束縛電流，對於每一類電流有不同的處理方式。例如，束縛電流通常發生於原子尺寸。物理學家或許想要使用較簡單但適用於較大尺寸狀況的理論。因此，較微觀的安培定律，以 B 場 $\mathbf {B} $ 和微觀電流（包括自由電流和束縛電流）來表達的定律，有時候會被替代為等價的形式，以附屬磁場（又稱為 H 場） $\mathbf {H} $ 和自由電流來表達的形式。後面證明段落，會有詳細的關於自由電流和束縛電流的定義，與兩種表述等價的證明。

### 自由電流

通常在教科書內所提及的單獨的「電流」二字，都是指的自由電流，即自由載流子（電子及陰陽離子）的定向移動。例如，通過一條導線或一個電池的電流。自由電流與後面提到的束縛電流明顯不同，後者出現於可以被磁化或電極化的宏觀物質裏（每一種物質都會或多或少地被電極化或磁化）。

### 磁化電流

當一個物質被磁化的時候（例如，將此物質置入外磁場），電子仍舊會束縛於它們所屬的原子。但是，它們的物理行為會有所改變（會與感受到的磁場耦合），產生微觀電流。將這些電流總合在一起，會有如同宏觀電流一般的效應，環繞於磁化物體內部或表面。稱這電流為**磁化電流**，是束縛電流的一部分。稱磁化電流的密度為「體磁化電流密度」 $\mathbf {J} _{M}$ ，用方程式定義為

　
: $\mathbf {J} _{M}\ {\stackrel {def}{=}}\ \nabla \times \mathbf {M} $ ；

其中， $\mathbf {M} $ 是磁化強度（單位體積的磁偶極矩）。

### 電極化電流

束縛電流的另外一種來源是電極化電流。感受到電場的作用，可電極化物質內的正束縛電荷和負束縛電荷會以原子距離相互分離。假設電場隨著時間而變化，束縛電荷也會隨著時間而移動，因而產生「電極化電流」，稱其密度為「電極化電流密度」 $\mathbf {J} _{P}$ ，用方程式定義為

　
: $\mathbf {J} _{P}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}$ ；

其中， $\mathbf {P} $ 是電極化強度。

注意到電極化強度的定義式

　
: $\nabla \cdot \mathbf {P} \ {\stackrel {def}{=}}\ -\rho _{b}$ ；

其中， $\rho _{b}$ 是「體束縛電荷密度」。

取電極化電流密度的散度：

　
: $\nabla \cdot \mathbf {J} _{P}={\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \cdot \mathbf {P} )$ 。

所以，電極化電流密度與體束縛電荷密度的關係為

　
: $\nabla \cdot \mathbf {J} _{P}=-{\frac {\partial \rho _{b}}{\partial t}}$ 。

## 原版安培環路定律的不足處

原版安培環路定律只適用於靜磁學。在電動力學裏，當物理量含時間，有些細節必須仔細檢查。思考安培方程式，

　
: $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} $ ；

其中， $\mathbf {B} $ 是 B 場， $\mu _{0}$ 是磁常數， $\mathbf {J} $ 是總電流。

取散度於這方程式，則會得到

　
: $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\nabla \cdot \mathbf {J} $ 。

應用一個向量恆等式，旋度的散度必定等於零。所以，

　
: $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=0$ 。

這意味著電流密度的散度等於零：

　
: $\nabla \cdot \mathbf {J} =0$ 。

在靜磁學內，這是正確的。但是，出了靜磁學範圍，當電流不穩定的時候，這就不一定正確了。

舉個古典例子，如圖右，一個正在充電的電容器，其兩片金屬板會隨著時間分別累積異性電荷。設定表面 $\mathbb {L} $ 的邊緣為閉合迴路 $\mathbb {C} $ 。應用安培定律，

　
: $\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I_{\text{enc}}$ 。

在這裡， $I_{\text{enc}}$ 是通過任意曲面的電流，只要這曲面符合一個條件：邊緣為閉合迴路 $\mathbb {C} $ 。所以，這任意曲面可以是表面 $\mathbb {L} $ ，而 $I_{\text{enc}}$ 是 $I$ ；或者這任意曲面可以是封閉圓柱表面減去左邊表面 $\mathbb {S} -\mathbb {L} $ ，而由於通過這任意曲面的電流是 $0$ ， $I_{\text{enc}}$ 是 $0$ 。選擇不同的曲面會得到不同的答案，這在物理學裏，是絕對不允許發生的事。

為了解決上述難題，安培環路定律必須加以修改延伸。應用流體力學的方法，馬克士威摹想磁場為電介質渦旋（vortex）大海，而位移電流即為大海內的電極化電流。在他於 1861 年發表的論文《論物理力線》裡面，馬克士威將位移電流項目加入了安培定律。

### 位移電流

在自由空間內，位移電流跟電場隨著時間的變化率有關；而在電介質內，上述貢獻仍舊存在，但另外一個重要貢獻則與電介質的電極化有關。雖然電荷不能自由地運動於電介質，感受到外電場的作用，分子的束縛電荷可以做微小的運動。因此，正值和負值的束縛電荷會產生小距離的分離，造成電極化的增加，這可以用變量電極化強度 $P$ 來表達。電極化強度隨著時間的變化所產生的效應就是電極化電流。

位移電流密度 $\mathbf {J} _{D}$ 定義為

　
: $\mathbf {J} _{D}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ ；

其中， $\mathbf {D} $ 是電位移，定義為

　
: $\mathbf {D} \ {\stackrel {def}{=}}\ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} $ ；

其中， $\varepsilon _{0}$ 是電常數， $\mathbf {P} $ 是電極化強度。

所以，位移電流密度分為兩個部分：

　
: $\mathbf {J} _{D}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}$ 。

這方程式右手邊的第一個項目是馬克士威修正項目，在任何地方都可存在，甚至在真空也可以存在。馬克士威修正項目並不涉及任何真實的電荷運動，但是，它描述一個含時電場的物理行為，就好像是真實的電流。第二個項目是電極化電流密度，與電介質內單獨分子的極化性有關。

## 原本定律的延伸：馬克士威 - 安培方程式

將馬克士威修正項目加入安培方程式：

　
: $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$  ;

或者，使用 H 場 $\mathbf {H} $ 和位移電流 $\mathbf {D} $ 來表達，

　
: $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ 。

這就是**馬克士威 - 安培方程式**，可以補救原本安培環路定律的限制。

假若使用 B 場 $\mathbf {B} $ 的馬克士威 - 安培方程式，由於習慣，時常會稱 $\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ 項目為位移電流密度。由於增添了位移電流，馬克士威能夠推論（正確地）光波是一種電磁波（請參閱電磁波條目）。

### 等價證明

　
:

## CGS 單位制的安培方程式

採用 CGS 單位制，安培方程式的積分形式，包括馬克士威修正項目，可以寫為

　
: $\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}={\frac {1}{c}}\int _{S}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} $ ；

其中， $c$ 是光速。

其微分形式可以寫為

　
: $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)$ 。

## 備註

## 參見

* 電荷守恆定律

## 註釋

## 參考文獻

## 外部連結

* Morgan, Kirby. 安培定律 (PDF). Project PHYSNET. [2009-08-08]. （原始內容 (PDF) 存檔於 2006-02-21）.
* Smith, Walter Fox. 安培定律之歌 (PDF). PhysicsSongs.org. [2009-08-08]. （原始內容存檔 (PDF) 於 2010-10-11）.