餘弦

**餘弦**（cosine）是三角函數的一種。它的定義域是整個實數集，值域是 $[-1,1]$ 。它是周期函數，其最小正周期為 $2\pi $ （360°）。在自變量為 $2n\pi $ （或 $360^{\circ }n$ ，其中 $n$ 為整數）時，該函數有極大值 1；在自變量為 $(2n+1)\pi $ （ $360^{\circ }n+180^{\circ }$ ）時，該函數有極小值 - 1。餘弦函數是偶函數，其圖像關於 y 軸對稱。

## 符號說明

餘弦的符號為 $\cos $ ，取自拉丁文 cosinus。該符號最早由瑞士數學家萊昂哈德・歐拉所採用。

## 定義

### 直角三角形中

在直角三角形中，一個銳角 $\angle A$ 的**餘弦**定義為它的鄰邊與斜邊的比值，也就是：

　
: $\cos \theta ={\frac {\mathrm {b} }{\mathrm {c} }}\,\!$

可以發現其定義和正割函數互為倒數。

### 直角坐標系中

設 $\alpha $ 是平面直角坐標系 xOy 中的一個象限角， $P\left({x,y}\right)$ 是角的終邊上一點， $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0$ 是 P 到原點 O 的距離，則 $\alpha $ 的餘弦定義為：

　
: $\cos \alpha ={\frac {x}{r}}\,\!$

### 單位圓定義

圖像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角，而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同 _x_ 軸正半部分得到一個角 $\theta $ ，並與單位圓相交。這個交點的 _y_ 坐標等於 $\sin \theta $ 。

在這個圖形中的三角形確保了這個公式；半徑等於斜邊並有長度 1，所以有了 $\cos \theta ={\frac {x}{1}}$ 。單位圓可以被認為是通過改變鄰邊和對邊的長度並保持斜邊等於 1 查看無限數目的三角形的一種方式。

對於大於 $2\pi $ （360°）或小於 $-2\pi $ （-360°）的角度，簡單的繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下，餘弦變成了周期為 $2\pi $ （360°）的周期函數：

　
: $\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right)=\cos \left(\theta +360^{\circ }k\right)$

對於任何角度 $\theta $ 和任何整數 $k$ 。

### 級數定義

　
: $\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}\,\!$

### 微分方程定義

由於餘弦的導數是負的正弦，正弦的導數是餘弦，因此餘弦函數滿足初值問題

　
: $y''=-y,\,y(0)=1,\,y'(0)=0$

這就是餘弦的微分方程定義。

### 指數定義

　
: $\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,\!$

## 恆等式

### 用其它三角函數來表示餘弦

### 兩角和差公式

　
: $\cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

　
: $\cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

### 二倍角公式

　
: $\cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta $

### 三倍角公式

　
: $\cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \,$

### 半角公式

　
: $\cos {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}.\,$

### 冪簡約公式

　
: $\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\,\!$

　
: $\cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}}\,\!$

### 和差化積公式

　
: $\cos \theta +\cos \phi =2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)$

　
: $\cos \theta -\cos \phi =-2\sin \left({\theta +\phi  \over 2}\right)\sin \left({\theta -\phi  \over 2}\right)$

### 萬能公式

　
: $\cos \alpha ={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}\,\!$

## 含有餘弦的積分

　
: $\int \cos cx\;dx={\frac {1}{c}}\sin cx\,\!$

　
: $\int \cos ^{n}cx\;dx={\frac {\cos ^{n-1}cx\sin cx}{nc}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{)}}\,\!$

　
: $\int x\cos cx\;dx={\frac {\cos cx}{c^{2}}}+{\frac {x\sin cx}{c}}\,\!$

　
: $\int x^{n}\cos cx\;dx={\frac {x^{n}\sin cx}{c}}-{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}\sin cx\;dx\,\!$

　
: $\int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\cos ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(}}n=1,3,5...{\mbox{)}}\,\!$

　
: $\int {\frac {\cos cx}{x}}dx=\ln |cx|+\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {(cx)^{2i}}{2i\cdot (2i)!}}\,\!$

　
: $\int {\frac {\cos cx}{x^{n}}}dx=-{\frac {\cos cx}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {c}{n-1}}\int {\frac {\sin cx}{x^{n-1}}}dx\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!$

　
: $\int {\frac {dx}{\cos cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|\tan \left({\frac {cx}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|$

　
: $\int {\frac {dx}{\cos ^{n}cx}}={\frac {\sin cx}{c(n-1)cos^{n-1}cx}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{(}}n>1{\mbox{)}}\,\!$

　
: $\int {\frac {dx}{1+\cos cx}}={\frac {1}{c}}\tan {\frac {cx}{2}}\,\!$

　
: $\int {\frac {dx}{1-\cos cx}}=-{\frac {1}{c}}\cot {\frac {cx}{2}}\,\!$

　
: $\int {\frac {x\;dx}{1+\cos cx}}={\frac {x}{c}}\tan {\frac {cx}{2}}+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\cos {\frac {cx}{2}}\right|$

　
: $\int {\frac {x\;dx}{1-\cos cx}}=-{\frac {x}{c}}\cot {\frac {cx}{2}}+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\sin {\frac {cx}{2}}\right|$

　
: $\int {\frac {\cos cx\;dx}{1+\cos cx}}=x-{\frac {1}{c}}\tan {\frac {cx}{2}}\,\!$

　
: $\int {\frac {\cos cx\;dx}{1-\cos cx}}=-x-{\frac {1}{c}}\cot {\frac {cx}{2}}\,\!$

　
: $\int \cos c_{1}x\cos c_{2}x\;dx={\frac {\sin(c_{1}-c_{2})x}{2(c_{1}-c_{2})}}+{\frac {\sin(c_{1}+c_{2})x}{2(c_{1}+c_{2})}}\qquad {\mbox{(}}|c_{1}|\neq |c_{2}|{\mbox{)}}\,\!$

## 特殊值

## 餘弦定理

**餘弦定理**（也叫做餘弦公式）是勾股定理的擴展：

　
: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\,$

也表示為：

　
: $\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,\!$

這個定理也可以通過把三角形分為兩個直角三角形來證明。餘弦定律用於在一個三角形的兩個邊和一個角已知時確定未知的數據。

如果這個角不包含在這兩個邊之間，三角形可能不是唯一的（邊 - 邊 - 角全等歧義）。小心餘弦定律的這種歧義情況。

## 參見

* 正弦
* 正切
* 餘切
* 正割
* 餘割
* 三角學
* 三角函數
* 函數
* 正弦波