馬約拉納-外爾旋量

在數學幾何學與物理中，**旋量**是複向量空間中的元素。旋量乃自旋群的表象，類似於歐幾里得空間中的向量以及更廣義的張量，當歐幾里得空間進行無限小旋轉時，旋量做相應的線性轉換。當如此一系列這樣的小旋轉組合成一定量的旋轉時，這些旋量轉換的次序會造成不同的組合旋轉結果，與向量或張量的情形不同。當空間從 0° 開始，旋轉了完整的一圈（360°），旋量發生了正負號變號（見圖），這個特徵即是旋量最大的特點。在一給定維度下，需要旋量才能完整地描述旋轉，如此引入了額外數量的維度。

在閔考斯基空間的情形，也可以定義出相似的旋量，其中狹義相對論的勞侖茲轉換扮演旋轉的角色。旋量最先是由埃利・嘉當於 1913 年引入幾何學。在 1920 年代，物理學家發現若要描述電子及其他次原子粒子的內稟角動量或自旋，旋量為不可或缺的角色。旋量群為所有旋轉相關的旋量所構成的群，其二重覆疊了旋轉群，因為每個完整旋轉結果皆有兩種不同但等效的旋轉方式。

## 概論

一種特定的**旋量**是旋轉群（李群 SO (n，**R**)）的投影表示中的元素，或更廣義地說，是 SO (p,q，**R**) 群的投影表示中的元素。

旋量常被描述成「向量的平方根」，因為向量表示會出現在兩個相同旋量表示的張量積。

旋量中最典型的是狄拉克旋量。

## 數學性質

當前有兩種架構可建構出旋量。

一者是表示論架構。正交群的李代數中，有一些群表示無法以尋常的張量來建構，這些群表示稱之為旋量群表示，組成成分即旋量。在此觀點下，旋量屬於旋轉群的二重覆疊的表示 SO(_n_, **R**)；更廣義的情形，其為度規記號為 (_p_, _q_) 之空間中，廣義特殊正交群的二重覆疊 SO+(_p_, _q_, **R**)。這些二重覆疊為稱作旋量群 Spin(_n_) 或 Spin(_p_, _q_) 的李群。

二者是幾何架構。人們可以直接建構旋量，並檢視相關李群操作下旋量的行為。此方法的優點是直觀，但對旋量的複雜性質則難以處理，例子包括菲爾茲恆等式。

### 克里福代數

### 自旋群

### 物理學中的名詞

### 表示論中的旋量

## 歷史

埃利・嘉當於 1913 年提出旋量的最廣義數學形式。「旋量」一詞則是首先出現在保羅・埃倫費斯特的量子物理論文中。

1927 年，沃爾夫岡・包立將旋量應用至數學物理，當時他引入了自旋矩陣。隔年，保羅・狄拉克發現了相對論性的電子自旋理論，其中展示了旋量與勞侖茲群的關連。於 1930 年代，狄拉克、皮亞特・海恩以及波耳研究所的其他研究者建立了 Tangloids 之類的玩具，作為旋量的教學以及旋量微積分的模型。

## 建構

## 克萊布希－高登係數

## 低維度總結

## 相關條目

* 狄拉克旋量
* 三維空間中的旋量

## 參考文獻

### 書目

* Brauer, Richard; Weyl, Hermann, Spinors in n dimensions, American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press), 1935, **57** (2): 425–449, JSTOR 2371218, doi:10.2307/2371218 .
* Cartan, Élie, Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane (PDF), Bul. Soc. Math. France, 1913, **41**: 53–96 [2015-05-29], （原始內容存檔 (PDF) 於 2017-06-29） .
* Cartan, Élie, The theory of spinors, Paris, Hermann (reprinted 1981, Dover Publications), 1966, ISBN 978-0-486-64070-9
* Chevalley, Claude, The algebraic theory of spinors and Clifford algebras, Columbia University Press (reprinted 1996, Springer), 1954, ISBN 978-3-540-57063-9 .
* Dirac, Paul M., The quantum theory of the electron, Proceedings of the Royal Society of London, 1928, **A117**: 610–624, JSTOR 94981 .
* Fulton, William; Harris, Joe, Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics **129**, New York: Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97495-4, MR 1153249 .
* Gilkey, Peter B., Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah–Singer Index Theorem, Publish or Perish, 1984 [2015-05-29], ISBN0-914098-20-9, （原始內容存檔於 2020-07-06） .
* Harvey, F. Reese, Spinors and Calibrations, Academic Press, 1990, ISBN 978-0-12-329650-4 .
* Hazewinkel, Michiel (編), Spinor, 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Hitchin, Nigel J., Harmonic spinors, Advances in Mathematics, 1974, **14**: 1–55, MR 0358873, doi:10.1016/0001-8708(74)90021-8 .
* Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise, Spin Geometry, Princeton University Press, 1989, ISBN 0-691-08542-0 .
* Pauli, Wolfgang, Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons, Zeitschrift für Physik, 1927, **43** (9–10): 601–632, Bibcode:1927ZPhy...43..601P, doi:10.1007/BF01397326 .
* Penrose, Roger; Rindler, W., Spinors and Space–Time: Volume 2, Spinor and Twistor Methods in Space–Time Geometry, Cambridge University Press, 1988, ISBN 0-521-34786-6 .
* Tomonaga, Sin-Itiro, Lecture 7: The Quantity Which Is Neither Vector nor Tensor, The story of spin, University of Chicago Press: 129, 1998, ISBN 0-226-80794-0