風險函數

**失效率**（英語：**Failure rate**），也稱**故障率**，是一個工程系統或零件失效的頻率，單位通常會用每小時的失效次數，一般會用希臘字母 λ 表示，是可靠度工程中的重要參數。

系統的失效率一般會隨著時間及系統的生命週期而改變。例如車輛在第五年時的失效率會比第一年要高很多倍，一般新車是不會需要換排氣管、檢修煞車，也不會有重大傳動系統的問題。

實務上，一般會使用平均故障間隔（MTBF, 1/λ）而不使用失效率。若是失效率假設是定值的話，此作法是有效的（定值失效率的假設一般常用在複雜元件 / 系統，軍事或航天的一些可靠度標準中的也接受此假設），不過只有在浴缸曲線中平坦的部份（這也稱為「可用生命期」）才符合失效率是定值的情形，因此不適合將平均故障間隔外插去預估元件的生命期，因為當時會碰到浴缸曲線的損耗階段，失效率會大幅提高，生命期會較依失效率推算的時間要少。

失效率一般會用固定時間（例如小時）下的失效次數表示，原因是這樣的用法（例如 2000 小時）會比很小的數值（例如每小時 0.0005 次）容易理解及記憶。

在一些需要管理失效率的系統（特別是安全系統）中，平均故障間隔是重要的系統參數。平均故障間隔常出現在工程設計要求中，也決定了系統維護及檢視的頻率。

失效率是保險、財務、商業及管制行業中的一個重要因子，也是安全系統設計的基礎，應用在許多不同的場合中。

風險率（Hazard rate）及故障發生率（rate of occurrence of failures, ROCOF）的定義和失效率不同，常誤認為和失效率定義相同。

## 離散定義下的失效率

失效率可以用以下的方式定義：

　
: 在一特定的測試條件及測試時間下，統計群體內失效次數總和，除以統計群體在失效前的測試時間總和。

雖然失效率 $\lambda (t)$ 常被視為假設時間 $t$ 前沒有失效的情形下，在一段特定時間內出現失效的機率，但失效率可能會大於 1，因此其實不是機率。若錯誤的將失效率以 % 表示，也很容易造成對於失效率不正確的認知。失效率可以用可靠度函數來定義，可靠度函數也稱為生存函數，是在時間 $t$ 之前沒有失效的機率。

　
: : $\lambda (t)={\frac {f(t)}{R(t)}}$ ，其中 $f(t)$ 為（第一次）失效發生時間的分佈（失效密度函數），而 $R(t)=1-F(t)$ .

　
: : $\lambda (t)={\frac {R(t_{1})-R(t_{2})}{(t_{2}-t_{1})\cdot R(t_{1})}}={\frac {R(t)-R(t+\triangle t)}{\triangle t\cdot R(t)}}\!$

在從時間 $t_{1}$ (或 $t$ ) 到 $t_{2}$ 之間時間區間 $(t_{2}-t_{1})$ ，而 $\Delta t$ 定義為 $(t_{2}-t_{1})$ 。

## 連續定義下的失效率

計算較短時間區間下的失效率，可以得到風險率（或風險函數） $h(t)$ ，是 $\scriptstyle \Delta t$ 趨近於零時的瞬時失效率：

　
: $h(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {R(t)-R(t+\Delta t)}{\Delta t\cdot R(t)}}.$

連續的失效率和失效分佈 $\scriptstyle F(t)$ 有關，失效分佈是描述失效機率的累積分布函數：

　
: $\operatorname {Pr} (T\leq t)=F(t)=1-R(t),\quad t\geq 0.\!$

其中 ${T}$ 失效時間。

失效分佈函數是機率密度函數 _f_(_t_) 的積分

　
: $F(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau .\!$

風險函數可以定義為

　
: $h(t)={\frac {f(t)}{1-F(t)}}={\frac {f(t)}{R(t)}}.$

許多機率分佈可以用來做為失效分佈的建模，常見的模型是指數失效分佈：

　
: $F(t)=\int _{0}^{t}\lambda e^{-\lambda \tau }\,d\tau =1-e^{-\lambda t},\!$

是以指數分佈為基礎的失效分佈，風險函數為：

　
: $h(t)={\frac {f(t)}{R(t)}}={\frac {\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}}}=\lambda .$

因此對於指數失效分佈，風險函數對時間為定值（分佈為無記憶性）。但對於像韋伯分布或對數常態分布等其他分佈，風險函數對時間可能不是定值。

## 失效率遞減

失效率遞減（DFR）是指一零件或系統在一段特定時間內，失效率會隨著時間而減小的現象。像早期失效已被移除或是修正後，就會有一段時間有失效率遞減的情形，此時的 λ(_t_) 為遞減函數。

DFR 的隨機變數混合後仍為 DFR，而指數分布的隨機變數混合後也是為 DFR。

### 應用

失效率遞增是因為零件老化所造成，失效率遞減則是指一個系統會隨著時間而漸漸強化。
在太空船的生命期中有發現失效率遞減的情形，Baker 和 Baker 的註解是「這太空船會一直一直維持下去。」。太空船空調系統的可靠度發現符合指數分布，因此也會滿足失效率遞減的情形。

### 變異係數

當失效率遞減時，其變異係數⩾ 1，當失效率遞增時，其變異係數 ⩽ 1.，不過這只在失效率是定義在整個 t ⩾ 0 的時間下才有效，而且無法由變異係數去反推失效率。

## 失效率資料

失效率資料可以由許多方式求得，常見的有以下幾種方式：

**待確認系統或設備的歷史資料**
: 許多組織都對於生產設備或產品的故障有內部的資料庫，可以用來計算設備或系統的失效率。對於新的設備或是系統，則可以先用類似設備或是系統的失效率做為估計值。

**政府或商用的失效率資料庫**
: 政府及商業組織會有許多零件的失效率手冊。MIL-HDBK-217F（電子元件的可靠度預估）是有許多軍用電子零件失效率的軍用規範。也有許多商用的失效率資料庫，主要針對商用的零件，甚至包括一些非電子的元件。

**測試**
: 最準確的方式是用實際的設備或是系統進行測試，以得到失效率資料。但此作法常有成本極其高昂或是不可行的缺點，因此會改用上述的作法。

### 單位

失效率一般會用固定時間（例如小時）下的失效次數表示，不過也可以用其他的單位，像是公里數、旋轉圈數…… 等來代替固定的時間。

在工程應用上，因為失效率一般很低，個別零件失效率常以 PPM 表示，也就是每百萬工作小時的失效次數。

失效率也會以菲特（FIT, Failures In Time）表示，是 109 設備 - 小時下（例如一千個零件運轉百萬小時，一百萬個零件運轉一千小時…… 等）預期的失效次數，一般用在半導體產業中。

菲特和失效間隔時間（MTBF）之間的關係是 MTBF = 1,000,000,000 x 1/FIT。

### 加成性

在一定的工程假設下（例如固定的失效率，以及考慮的系統沒有明顯的冗餘），複雜系統的失效率可以表示為個別元件失效率的和，但各元件的失效率需要有一致的單位，例如每百萬工作小時等。因此可以測試每個別的元件或子系統，將其失效率加總後即可以得到整體的失效率。

### 舉例

假設要估計特定元件的失效率，可以用以下的測試方式測試其失效率。用十個完全相同的元件測試到損壞或是滿 1000 小時為止，（此例中不考慮
統計的信賴區間），記錄測試的總時間，以及總共損壞元件的個數，其結果如下：

　
: ${\frac {6{\text{ failures}}}{7502{\text{ hours}}}}=0.0007998{\frac {\text{failures}}{\text{hour}}}=799.8\times 10^{-6}{\frac {\text{failures}}{\text{hour}}},$

或是每百萬工作小時會有 799.8 次失效。

## 估計

尼爾森 - 艾倫估測子可以用來估計累積危險率函數。

## 相關條目

## 參考資料

## 外部連結

* _Reliability Prediction of Electronic Equipment_, MIL-HDBK-217F(2), (DOD download site.)
* Bathtub curve issues by ASQC.（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Fault Tolerant Computing in Industrial Automation by Hubert Kirrmann, ABB Research Center, Switzerland
* Usenet FAQ about MTBF（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Reliability and Availability Basics（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Product failure behavior and wear out（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）