馬克士威爾應力張量

: 在這篇文章內，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

在電磁學裏，**馬克士威應力張量**(Maxwell stress tensor) 是描述電磁場帶有之應力的二階張量。馬克士威應力張量可以表現出電場力、磁場力和機械動量之間的交互作用。對於簡單的狀況，例如一個點電荷自由地移動於均勻磁場，應用勞侖茲力定律，就可以很容易地計算出點電荷所感受的作用力。但是，當遇到稍微複雜一點的狀況時，這很普通的程序會變得非常困難，方程式洋洋灑灑地一行又一行的延續。因此，物理學家通常會聚集很多項目於馬克士威應力張量內，然後使用張量數學來解析問題。

## 導引

為了方便參考，先列出馬克士威方程組：

其中， $\mathbf {E} $ 是電場， $\mathbf {B} $ 是磁場， $\rho $ 是電荷密度， $\mathbf {J} $ 是電流密度， $\varepsilon _{0}$ 是電常數， $\mu _{0}$ 是磁常數。

從勞侖茲力定律開始，一個電荷分佈所感受到的單位體積的作用力 $\mathbf {f} $ 是

　
: $\mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} $ 。

應用高斯定律和馬克士威 - 安培定律，把電荷密度和電流密度替換掉，只讓電場和磁場出現於方程式：

　
: $\mathbf {f} =\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} $ 。

應用乘積法則和法拉第感應定律：

　
: ${\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )$ ，

稍加編排，將 $\mathbf {f} $ 寫為

　
: ${\begin{aligned}\mathbf {f} &=\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\epsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\\&=\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[-\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)\\\end{aligned}}$ 。

為了使 $\mathbf {E} $ 的項目 $\mathbf {B} $ 的項目能夠相互對稱，加入一個 $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ 項目：

　
: $\mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)$ 。

應用向量恆等式，對於任意向量 $\mathbf {A} $

　
: $\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}A^{2}-(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} $ ，

將 $\mathbf {f} $ 的方程式內的旋度項目除去：

　
: $\mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)$ 。

這方程式最右邊項目涉及了坡印廷向量 $\mathbf {S} $ ：

　
: $\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} $ 。

設定馬克士威應力張量 ${\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}$ （以英文字母上面加兩隻箭矢符號來標記二階張量）：

　
: $T_{ij}\equiv \epsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right)$ ；

其中， $\delta _{ij}$ 是克羅內克函數。

定義一個向量 $\mathbf {A} $ 與馬克士威應力張量 ${\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}$ 的內積為

　
: $(\mathbf {A} \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }})_{j}=\textstyle {\sum _{i}}\ A_{i}T_{ij}$ 。

那麼，一個電荷分佈所感受到的單位體積的作用力 $\mathbf {f} $ 是

　
: $\mathbf {f} =\nabla \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}$ 。

## 馬克士威應力張量的性質

馬克士威應力張量是一個對稱張量，表達為

　
: $T_{ij}=\left({\begin{matrix}\epsilon _{0}(E_{x}^{2}-E^{2}/2)+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{x}^{2}-B^{2}/2)&\epsilon _{0}E_{x}E_{y}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{x}B_{y})&\epsilon _{0}E_{x}E_{z}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{x}B_{z})\\\epsilon _{0}E_{x}E_{y}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{x}B_{y})&\epsilon _{0}(E_{y}^{2}-E^{2}/2)+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{y}^{2}-B^{2}/2)&\epsilon _{0}E_{y}E_{z}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{y}B_{z})\\\epsilon _{0}E_{x}E_{z}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{x}B_{z})&\epsilon _{0}E_{y}E_{z}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{y}B_{z})&\epsilon _{0}(E_{z}^{2}-E^{2}/2)+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{z}^{2}-B^{2}/2)\end{matrix}}\right)$ 。

馬克士威應力張量的單位是牛頓／公尺 2。馬克士威應力張量的 ij 元素詮釋為，朝著 i - 軸方向，施加於 j - 軸的垂直平面，單位面積的作用力；對角元素代表負壓力，非對角元素代表剪應力。對角元素給出張力（拖拉力）作用於其對應軸的垂直面微分元素。不同於理想氣體因為壓力而施加的作用力，在電磁場內的一個面元素也會感受到方向不垂直於其面的剪應力。這是由非對角元素給出的。

## 動量守恆定律

在一個體積 ${\mathcal {V}}$ 內的電荷，所感受到的總作用力 $\mathbf {F} $ 是

　
: $\mathbf {F} =\int _{\mathcal {V}}\ \mathbf {f} \mathrm {d} \tau =\int _{\mathcal {V}}\ \nabla \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}\mathrm {d} \tau -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathcal {V}}\ \mathbf {S} \mathrm {d} \tau $ 。

應用散度定理，可以得到

　
: $\mathbf {F} =\oint _{\mathcal {S}}\ {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathcal {V}}\ \mathbf {S} \mathrm {d} \tau $ ；

其中， ${\mathcal {S}}$ 是體積 ${\mathcal {V}}$ 的閉合表面。

根據牛頓第二定律，

　
: $\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$ ；

其中， $\mathbf {p} $ 是動量。

所以，電荷的動量 $\mathbf {p} _{charge}$ 可以表達為

　
: ${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{charge}}{\mathrm {d} t}}=\oint _{\mathcal {S}}\ {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{em}}{\mathrm {d} t}}$ ；

其中， $\mathbf {p} _{em}=\epsilon _{0}\mu _{0}\oint _{\mathcal {V}}\ \mathbf {S} \mathrm {d} \tau $ 是儲存於電磁場的動量（坡印廷向量 $\mathbf {S} $ 是由電場和磁場組成的一個複合向量）。

稍加編排，可以得到動量守恆定律的積分方程式：

　
: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} _{charge}+\mathbf {p} _{em})=\oint _{\mathcal {S}}\ {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} $ 。

動量守恆定律闡明，一個體積的總動量（電荷的動量加上電磁場的動量）的增加速率等於每秒鐘**流入**閉合表面的動量。負的馬克士威應力張量 $-$ ${\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}$ 是一個動量通量密度。

動量守恆定律也能以微分形式表達為

　
: ${\frac {\partial }{\partial t}}({\mathfrak {p}}_{charge}+{\mathfrak {p}}_{em})=\nabla \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}$ ；

其中， ${\mathfrak {p}}_{charge}$ 是電荷的動量密度， ${\mathfrak {p}}_{em}$ 是電磁場的動量密度。

## 相關條目

* 電磁能量密度
* 坡印廷向量
* 電磁應力 - 能量張量
* 電磁場的數學表述

## 參考文獻

* Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 351–356. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)
* Jefimenko, Oleg. Correct Use of Maxwell Stress Equations for Electric and magnetic Fields. American Journal of Physics. Nov 1983, **51** (11): pp. 988–996.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)