香农小波

在泛函分析中，香農小波可以是實小波也可以是復小波。在理想帶通濾波器的信號分析中，分解得出了香農小波（或是正弦小波）。Haar 系統和正弦系統互為傅立葉對偶。

## 定義

香農小波的構建從 Sinc 函數開始。

### 尺度函數

首先由 sinc 函數定義香農小波的尺度函數：

$$
\phi ^{\text{(Sha)}}(t):={\frac {\sin \pi t}{\pi t}}=\operatorname {sinc} (t).
$$

其伸縮和平移為：

$$
\phi _{k}^{n}(t):=2^{n/2}\phi ^{\text{(Sha)}}(2^{n}t-k)
$$

其中， $n,k$ 為伸縮和平移的參數。

尺度函數的傅立葉變換為：

$$
\Phi ^{\text{(Sha)}}(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\Pi ({\frac {\omega }{2\pi }})={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }},&{\mbox{if }}{|\omega |\leq \pi },\\0&{\mbox{if }}{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}
$$

其中（歸一化的）矩形函數定義為：

$$
\Pi (x):={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}{|x|\leq 1/2},\\0&{\mbox{if }}{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}
$$

尺度函數在傅立葉域中的伸縮和平移定義為： $\Phi _{k}^{n}(\omega )={\frac {2^{-n/2}}{2\pi }}e^{-i\omega (k+1)/2^{n}}\Pi ({\frac {\omega }{2^{n+1}\pi }})$

### 母小波

由尺度函數 $\Phi ^{\text{(Sha)}}$ 和多解析度近似，我們可以得出香農母小波在傅立葉域的形式：

$$
\Psi ^{\text{(Sha)}}(\omega )={\frac {1}{2\pi }}e^{-i\omega }{\bigg (}\Pi ({\frac {\omega }{\pi }}-{\frac {3}{2}})+\Pi ({\frac {\omega }{\pi }}+{\frac {3}{2}}){\bigg )}
$$

其伸縮和平移形式為：

$$
\Psi _{k}^{n}(\omega )={\frac {2^{-n/2}}{2\pi }}e^{-i\omega (k+1)/2^{n}}{\bigg (}\Pi ({\frac {\omega }{2^{n}\pi }}-{\frac {3}{2}})+\Pi ({\frac {\omega }{2^{n}\pi }}+{\frac {3}{2}}){\bigg )}
$$

對其進行逆傅立葉變換，可以得到香農母小波函數的伸縮和平移形式：

$$
\psi ^{\text{(Sha)}}(t)={\frac {\sin \pi (t-(1/2))-\sin 2\pi (t-(1/2))}{\pi (t-1/2)}}=\operatorname {sinc} {\bigg (}t-{\frac {1}{2}}{\bigg )}-2\operatorname {sinc} {\bigg (}2(t-{\frac {1}{2}}){\bigg )}
$$

$$
\psi _{k}^{n}(t)=2^{n/2}\psi ^{\text{(Sha)}}(2^{n}t-k)
$$

進一步了解香農小波的構建可以參考。

### 尺度函數和母小波的性質

* 母小波是單位正交的：

$$
<\psi _{k}^{n}(t),\psi _{h}^{m}(t)>=\delta ^{nm}\delta _{hk}={\begin{cases}1,&{\text{if }}h=k{\text{ and }}n=m\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}
$$

* 尺度 $n=0$ 的尺度函數的平移是正交的：

$$
<\phi _{k}^{0}(t),\phi _{h}^{0}(t)>=\delta ^{kh}
$$

* 尺度 $n=0$ 的尺度函數和母小波時正交的：

$$
<\phi _{k}^{0}(t),\psi _{h}^{m}(t)>=0
$$

* 香農小波有無窮階的消失矩

## 實香農小波

在傅立葉變換中，香農母小波由下式給出：

　
: $\Psi ^{(\operatorname {Sha} )}(w)=\prod \left({\frac {w-3\pi /2}{\pi }}\right)+\prod \left({\frac {w+3\pi /2}{\pi }}\right).$

其中（歸一化）門函數由下式定義：

　
: $\prod (x):={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}{|x|\leq 1/2},\\0&{\mbox{if}}{\mbox{  otherwise}}.\\\end{cases}}$

實香農小波的解析表達式可由逆傅立葉變換得到：

　
: $\psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {3\pi t}{2}}\right)$

也可按：

　
: $\psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=2\cdot \operatorname {sinc} (2t-1)-\operatorname {sinc} (t),$

其中

　
: $\operatorname {sinc} (t):={\frac {\sin {\pi t}}{\pi t}}$

是出現在香農採樣定理中的常見正弦函數。
該小波有 $C^{\infty }$ 級的可微性，但是在無窮遠處緩慢減小並且沒有有界支撐，因為有頻帶限制的信號沒有時間限制。

對於香農 MRA（或是正弦 MRA）的縮放函數由下面示例函數給出：

　
: $\phi ^{(Sha)}(t)={\frac {\sin \pi t}{\pi t}}=\operatorname {sinc} (t).$

## 復香農小波

復連續香農小波由下式定義：

　
: $\psi ^{(CSha)}(t)=\operatorname {sinc} (t).e^{-j2\pi t}$ ,

## 參考資料

* S.G. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing,Academic Press, 1999, ISBN 0-12-466606-X
* C.S. Burrus, R.A. Gopinath, H. Guo, Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer, Prentice-Hall, 1988, ISBN 0-13-489600-9.
* L.W. LIU, Construction of Interval Shannon Wavelet and Its Application in Solving Nonlinear Black-Scholes Equation, 2014， 9 pages.