隱函數

在數學中，**隱式方程式**（英語：Implicit equation）是形同 $f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=0$ 的關係，其中 $f$ 是多元函數。比如單位圓的隱式方程式是 $x^{2}+y^{2}-1=0$ 。

**隱函數**（implicit function）是由隱式方程式所隱含定義的函數，比如 $y={\sqrt {1-x^{2}}}$ 是由 $x^{2}+y^{2}-1=0$ 確定的函數。而可以直接用含自變數的算式表示的函數稱為顯函數，也就是通常所說的函數，如 $y=\cos(x)$ 。

隱函數定理說明了隱式方程式在什麼情況下會確定出隱函數。

## 例子

### 反函數

隱函數的一個常見類型是反函數。若 $f$ 是一個函數，那麼 $f$ 的反函數記作 $f^{-1}$ , 是給出下面方程式解的函數

　
: $x=f(y)$

用 _x_ 表示 _y_。這個解是

　
: $y=f^{-1}(x).$

直觀地，通過交換 _f_ 自變數和應變數的位置就可以得到反函數。換一種說法，反函數給出該方程式對於 $y$ 的解

　
: $R(x,y)=x-f(y)=0.\,$

**例子**

1. 對數函數 $\ln x$ 給出方程式 $x-e^{y}=0$ 或等價的 $x=e^{y}$ 的解 $y=\ln x$ 。 這裡 $f(y)=e^{y}$ 並且 $f^{-1}(x)=\ln x$ 。
2. 朗伯 W 函數則可以解出 $x-ye^{y}=0$ 的 $y$ 值。

### 代數函數

一個**代數函數**是滿足自身多項式係數的多項式方程式的函數。例如，單變數 $x$ 的代數函數給出一個方程式中 $y$ 的解。

　
: $a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,$

其中係數 $a_{i}(x)$ 為 $x$ 的多項式函數。

代數函數在數學分析和代數幾何中扮演重要角色，我們再拿單位圓方程式式來當作代數函數的範例：

　
: $x^{2}+y^{2}-1=0.\,$

那麼 $y$ 的顯函數解顯然是：

　
: $y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,$

但其實我們不一定要把它的顯函數解寫出來，它也可以直接利用隱函數來表達。

對於 _y_ 的二次、三次和四次方程式，可以找到只包含有限次四則運算和開方運算的顯函數解，但這並不適用於包括五次在內的更高次數的方程式（參見阿貝爾 - 魯菲尼定理），例如：

　
: $y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0.\,$

但是，我們仍然可以以隱函數 _y_ = _g_(_x_) 的方式來表達。

## 隱函數的導數

隱函數導數的求解一般可以採用以下方法：

### 方法一

* 把 n 元隱函數看作 (n+1) 元函數，通過多元函數的偏導數的商求得 n 元隱函數的導數。

#### 示例

把一元隱函數 $y=g(x)$ 看作二元函數 $f(x,y)=0$ ，若欲求 ${\frac {dy}{dx}}$ ，對 $f$ 取全微分，可得 $df(x,y)=f_{x}dx+f_{y}dy=0$ ，經過移項可得 ${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {f_{x}}{f_{y}}}$

（式中 $f_{x}$ 表示 $f(x,y)$ 關於 $x$ 的偏導數 ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ ，以此類推）。

把 2 元隱函數 $y=g(x,z)$ 看作 3 元函數 $f(x,y,z)=0$ ，若欲求 ${\frac {\partial y}{\partial x}}$ ，對 $f$ 取全微分，可得 $df(x,y,z)=f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz=0$ 。

由於所求為 ${\frac {\partial g(x,z)}{\partial x}}$ ，令 z 為常數，即 $dz=0$ ，經過移項可得 ${\frac {\partial y}{\partial x}}=-{\frac {f_{x}}{f_{y}}}$

### 方法二

* 針對 1 元隱函數，把 $y$ 看作 $x$ 的函數，利用連鎖法則在隱函數等式兩邊分別對 $x$ 求導，再通過移項求得 ${\frac {dy}{dx}}$ 的值。
* 針對 2 元隱函數，把 $y,z$ 看作 $x$ 的函數，利用連鎖法則在隱函數等式兩邊分別對 $x$ 求導，令 $dz=0$ ，再通過移項求得 ${\frac {\partial y}{\partial x}}$ 的值。

#### 示例

* 針對 $y^{n}$ ：

$$
{\frac {d}{dx}}y^{n}=n\cdot y^{n-1}{\frac {dy}{dx}}
$$

* 針對 $x^{m}y^{n}$ ：

$$
{\frac {d}{dx}}x^{m}y^{n}=n\cdot x^{m}y^{n-1}{\frac {dy}{dx}}+m\cdot x^{m-1}y^{n}
$$

* 求 $\ 12x^{7}-7x^{4}y^{3}+6xy^{5}-14y^{6}+25=10$ 中 y 對 x 的導數。

為了方便辨別相應的導數部分，各項都以不同顏色分開（常數則以黑色表示）。

$$
{\color {Blue}12x^{7}}{\color {Red}-7x^{4}y^{3}}{\color {Green}+6xy^{5}}{\color {Brown}-14y^{6}}+25=10
$$

1. 兩邊皆取其相應的導數，得出

$$
{\color {Blue}12\cdot 7x^{6}}{\color {Red}-7\left(3x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx}}+4x^{3}y^{3}\right)}{\color {Green}+6\left(5xy^{4}{\frac {dy}{dx}}+y^{5}\right)}{\color {Brown}-14\cdot 6y^{5}{\frac {dy}{dx}}}+0=0
$$

2. 移項處理。

$$
{\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}={\color {Red}21x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx}}}{\color {Green}-30xy^{4}{\frac {dy}{dx}}}{\color {Brown}+84y^{5}{\frac {dy}{dx}}}
$$

3. 提出導數因子。

$$
{\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}=\left({\color {Red}21x^{4}y^{2}}{\color {Green}-30xy^{4}}{\color {Brown}+84y^{5}}\right)\left({\frac {dy}{dx}}\right)
$$

4. 移項處理。

$$
{\frac {dy}{dx}}={\frac {{\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}}{{\color {Red}21x^{4}y^{2}}{\color {Green}-30xy^{4}}{\color {Brown}+84y^{5}}}}
$$

5. 完成。得出其導數為 ${\frac {84x^{6}-28x^{3}y^{3}+6y^{5}}{21x^{4}y^{2}-30xy^{4}+84y^{5}}}$ 。

6. 選擇性步驟：因式分解。

$$
{\frac {dy}{dx}}={\frac {2\left(42x^{6}-14x^{3}y^{3}+3y^{5}\right)}{3y^{2}\left(7x^{4}-10xy^{2}+28y^{3}\right)}}
$$

## 參見

* 反函數