面积积分

數學上，**曲面積分**，也稱為**面積分**（英語：Surface integral），是在曲面上的定積分（曲面可以是空間中的彎曲子集）；它可以視為和線積分相似的雙重積分。給定一個曲面，可以在上面對純量場（也就是實數值的函數）進行積分，也可以對向量場（也就是向量值的函數）積分。

面積分在物理中有大量應用，特別是在電磁學的經典物理學中。

## 純量場的面積分

考慮定義在曲面 _S_ 上的實函數 $f$ ，計算面積分的一個辦法是將曲面分割成很多小片，假設函數 $f$ 在每小片的變化不大，且每個小片的近似計算的面積跟實際面積誤差不大，任意取每片中函數 $f$ 的值，然後乘以小片的近似面積，最後全部加起來得到一個值，當這種分割越來越細時，如果這值趨近一個實數，我們稱這實數為實數值函數 $f$ 在曲面 $S$ 上的面積分。

要找到面積分的直接公式，首先需要參數化曲面 _S_，也即在 _S_ 上建立坐標系，就像球面上的經緯度。令參數化為 **x**(_s_, _t_)，其中 (_s_, _t_) 在某個平面上的區域 _T_ 中變化。則 $f$ 在曲面 $S$ 的面積分為

　
: $\iint _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right|ds\,dt$

其中 $\textstyle \left|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right|$ 是 **x**(_s_, _t_) 的偏導數的外積這向量的長度，而 $\textstyle \left|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right|dsdt$ 在微分幾何裡又叫作流形 $S$ 的面積元素（Surface element）。

例如，如果要找出某個函數（ $z=f\,(x,y)$ ）形狀的曲面面積，就有

　
: $A=\iint _{S}\,dS=\iint _{T}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}\right|dx\,dy$

其中 $\mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))$ 。所以， ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}=(1,0,f_{x}(x,y))$ ，且 ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=(0,1,f_{y}(x,y))$ 。因此

　
: ${\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,dx\,dy\end{aligned}}$

這就是一般以 $(x,y,f(x,y))$ 為參數的曲面其面積的標準公式。很容易認出第二行中的向量是曲面的法向量。

注意，因為外積的存在，這裡的公式只在曲面嵌入在三維空間中時適用。

## 向量場的面積分

考慮 _S_ 上的向量場 **v**，對於每個 _S_ 上的點 **x**，**v**(**x**) 是一個向量。想像一個穿過 _S_ 的液體流，使得 **v**(**x**) 決定液體在 **x** 的速度。則流量定義為單位時間穿過 _S_ 的液體量。

這個解釋意味著如果向量場和 _S_ 在每點相切，則流量為 0，因為液體平行於 _S_ 流動，從而不進不出。這也意味著如果 **v** 不僅僅沿著 _S_ 流動，也即，如果 **v** 既有切向分量也有法向分量，則只有法向分量對流量作出貢獻。基於這個推理，要找出流量，我們必須取 **v** 和 _S_ 上每點的單位法向量的點積，這就給出了一個純量場，然後就可以用上述方式積分。公式如下

　
: $\int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,dS=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x}  \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x}  \over \partial t}\right)ds\,dt.$

右手邊的叉積是由參數化所決定的法向量。

該公式_定義_為向量場 **v** 在 _S_ 上的面積分。

## 微分 2 - 形式的面積分

令

　
: $\omega =f_{x}dy\wedge dz+f_{y}dz\wedge dx+f_{z}dx\wedge dy$

為定義在曲面 _S_ 上的 2 階微分形式，並令

　
: $\mathbf {x} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))\!$

為一保定向的在曲面 $S$ 上的參數化，其中 $(s,t)\in D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ 。利用變數變換，則 $\omega $ 在 _S_ 上的面積分變成

　
: $\iint _{D}\left[f_{x}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}+f_{z}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right]\,dsdt$

其中

　
: ${\partial \mathbf {x}  \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x}  \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t))}}\right)$

為 _S_ 的法向量。利用微分形式（2-form）的變數變換，我們有

　
: $\int _{S}\omega =\iint _{S}(f_{x},f_{y},f_{z})\cdot d\mathbf {S} =\iint _{S}(f_{x},f_{y},f_{z})\cdot \mathbf {n} \,dS$

 
也就是說，對 $\omega $ 該 2 - 形式的積分和以 $f_{x}$ 、 $f_{y}$ 和 $f_{z}.$ 為分量的向量場的面積分相同。

## 涉及面積分的定理

面積分中很多有用的結果可以用微分幾何和向量微積分導出，例如散度定理及其推廣斯托克斯定理。

## 進階問題

注意面積分的定義中用到曲面 _S_ 的參數化。而給定曲面可以有多種參數化。例如，如果移動球面上南極和北極的位置，所有球面上的點的經度和緯度都會改變。很自然就有面積分是否依賴於給定參數化的問題。對於純量場的積分，答案很簡單：無論參數化為何，面積分不變。

對於向量場，情況複雜一些，因為積分時涉及到曲面的法向量。如果兩個參數化下法向量的定向相同，則積分值不變。如果法向量定向相反，則積分值相反。因此，不需要規定特定的參數化，但是對於法向量，不同的參數化的定向必須保持一致。

另外一個問題是，有時曲面沒有覆蓋整個曲面的單一參數化；譬如對於有限長的圓柱面就是這樣。一個直接的解決辦法就是將曲面切成幾片，在每一片上求面積分，然後加起來。這就是正確的辦法，但是對向量場積分的時候，必須小心，要讓每個小片的法向量定向和周圍的一致。對於柱面來講，也就是讓所有片的法向量向外指。

最後一個問題是，有些曲面沒有一個一致的法向量（譬如莫比烏斯帶）。對於這樣的曲面，無法找到一致的定向。這樣的曲面稱為不可定向的，在其上無法進行向量場的積分。

## 參看

* 散度定理
* 斯托克斯定理
* 體積分
* 不同坐標系下的體積和面積元

## 參考

* Leathem, J. G. Volume and Surface Integrals Used in Physics. Cambridge, England: University Press, 1905

## 外部連結

* 曲面積分 -- MathWorld （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 曲面積分 -- 理論和習題 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）