鞅理论

在機率論中，**平賭**（英語：martingale）是滿足下述條件的隨機過程：已知過去某一 時刻 s 以及之前所有時刻的觀測值，若某一時刻 t 的觀測值的條件期望等於過去某一時刻 s 的觀測值，則稱這一隨機過程是平賭。而於博弈論中，平賭經常用來作為公平博弈的數學模型。

## 歷史

平賭的原名「martingale」原指一類於 18 世紀流行於法國的投注策略，稱為加倍賭注法。這類策略中最簡單的一種策略是為博弈設計的。在博弈中，賭徒會擲硬幣，若硬幣正面向上，賭徒會贏得賭本，若硬幣反面向上，賭徒會輸掉賭本。這一策略使賭徒在輸錢後加倍賭金投注，為的是在初次贏錢時贏回之前輸掉的所有錢，同時又能另外贏得與最初賭本等值的收益。當賭徒的財產和可用時間同時接近無窮時，他擲硬幣後硬幣正面向上的機率會接近 1，由此看來，加倍賭注法似乎是一種必然能贏錢的策略。然而，賭金的指數增長最終會導致使用這一策略的賭徒破產。

平賭的概念首先是由保羅・皮埃爾・萊維於 1934 年提出的，但他只提出了離散時間的版本，而且沒有給予命名。直到 1939 年，約翰・維爾將此概念推廣到連續時間的情況，並且首次提出「martingale」這個名稱。約瑟夫・利奧・杜布等人在平賭的相關理論的初期發展做出重大貢獻，而完成這些工作的部分動機是為了表明成功的投注策略不可能存在。此外，伊藤清在分析應用方面作出了重要的貢獻。從 1970 年代開始，平賭論就在純粹數學和應用數學的很多領域中有廣泛的應用，特別是在數學物理和金融數學中。

## 定義

### 離散時間平賭

離散時間**平賭**是對於所有 n 都滿足

　
: $\mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty $

　
: $\mathbf {E} (X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n},\quad n\in \mathbb {N} ,$

的時間離散的隨機過程 X1，X2，X3,…，也就是說，已知之前所有觀測值，若下一次觀測值的條件期望等於本次觀測值，則稱這一隨機過程（即隨機變數序列）是離散時間平賭。

### 關於隨機過程的離散時間平賭

相對來說更為一般的定義如下：若對於所有 n 都滿足

　
: $\mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty $

　
: $\mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n},\quad n\in \mathbb {N} ,$

則稱隨機過程 Y1，Y2，Y3，… 是關於另一隨機過程 X1，X2，X3，… 的平賭。

### 連續時間平賭

與離散時間平賭的定義相似，連續時間平賭的定義為：若對於所有 t 都滿足

　
: $\mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty $

　
: $\mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s},\ \forall \ s\leq t,$

則稱關於隨機過程 Xt 的連續時間平賭是隨機過程 Yt 。

上述定義表達了平賭的性質，即在 s ≤ t 的條件下，已知時刻 s 以及之前所有時刻的觀測值，若時刻 t 的觀測值的條件期望等於時刻 s 的觀測值，則隨機過程是平賭。

### 廣義的定義

更為一般性的定義如下：若隨機過程 $Y:T\times \Omega \to S$ 滿足如下性質，則稱 Y 是一個關於濾鏈 Σ∗和機率測度 P 的平賭。

* Σ∗ 是給定機率空間 (Ω, Σ,**P**) 的濾鏈；
* Y 是適應於濾鏈 Σ∗ 的適應過程，即對於指標集 T 中的每一 t ，隨機變數 Yt 是一個 Σt 可測函數；
* 對於任意 t ，Yt 存在於 Lp 空間 L1(Ω, Σt, **P**; S) 中，即

　
: : $\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;$

* 對於所有 s 和 t （s < t ）和所有 F ∈ Σs，

　
: : $\mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,$

　
: 其中 χF 表示事件 F 的指示函數。在 Grimmett 和 Stirzaker 的《_Probability and Random Processes_》一書中，最後一個條件被表示為條件期望的一般形式：

　
: $Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),$

要注意的重點是平賭成立的性質與濾鏈以及關於選定期望的機率測度都有關。Y 可能是某一測度的平賭，但不是另一測度的平賭；而要說明某一伊藤過程是平賭，則可以利用吉爾薩諾夫定理找出相關的測度。

## 平賭的例子

* 設 Xn 是一個賭徒 n 次拋擲公平硬幣後的財產，規則是如果硬幣正面朝上，則賭徒贏得 1 美元，硬幣反面朝上，則賭徒輸掉 1 美元。在已知過去不同時刻所擁有的財產之下，下一次試驗後賭徒財產的條件期望與其現在的財產相等，故這一隨機過程是平賭。這個例子稱為賭徒謬誤。
* 令 Yn = Xn2 − n ，其中 Xn 是上例中賭徒的財產，則隨機過程 { Yn: n = 1, 2, 3, ... } 是平賭。這一例子可以表明賭徒的全部收益或損失大致在拋擲次數的正負平方根之間變化。
* （棣美弗平賭）設拋擲的是偏誤硬幣（或稱為不公平硬幣），正面向上的機率為 p，反面向上的機率為 q = 1 − p 。令

　
: : $X_{n+1}=X_{n}\pm 1$

　
: 正面情況用「+」，反面情況用「−」。令

　
: : $Y_{n}=(q/p)^{X_{n}},$

　
: 則 { Yn: n = 1, 2, 3, ... } 是關於 { Xn: n = 1, 2, 3, ... } 的平賭。證明如下：

　
: ${\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}$

* （波利亞罐子模型）一個罐子中最初裝有 r 個紅球和 b 個藍球。某人隨機取出一個球，然後將此球與另一個與此球顏色相同的球放回罐子中。令 Xn 為重複上述步驟 n 次後罐子中的紅球數，令 Yn = Xn/ (n + r + b)。這時隨機過程 { Yn: n = 1, 2, 3, ... } 是平賭。
* （統計學中的概似比檢定）某一母體可能是按照機率密度 f 分布，也可能是按照機率密度 g 分布。從母體中取出一個隨機樣本，數據為 X1, ..., Xn 。令 Yn 為「概似比」：

　
: : $Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}$

　
: （上式在應用中用作檢定統計量。）若母體實際上是按照機率密度 f 而不是 g 分布，則 { Yn: n = 1, 2, 3, ... } 是關於 { Xn: n = 1, 2, 3, ... } 的平賭。

* 設每一變形蟲不是以機率 p 分裂成兩個變形蟲，就是以機率 1 − p 最終死亡。令 Xn 為 n 代後變形蟲的存活數目（若種群在某一時刻滅絕，則這一時刻的 Xn = 0）。令 r 為最終滅絕的機率。（找出 r 關於 p 的函數在實際應用中是非常有用的。提示：已知最初的一個變形蟲已經分裂了，則這個變形蟲的後代最終滅絕的機率等於其分裂直接得到的兩個後代中任何一個死亡的機率。）則

　
: : $\{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}$

　
: 是關於 { Xn: n = 1, 2, 3, ... } 的平賭。

* 一個大小固定生態系統中，任一特定物種的個體數量都是一個（離散）時間函數，可被視為一個隨機過程（隨機變數序列）。這一隨機過程是生物多樣性和生物地理學的統一中性理論下的平賭。
* 若 { Nt: t ≥ 0 } 是強度為 λ 的卜瓦松過程，則補償卜瓦松過程 { Nt− λt : t ≥ 0 } 是具有右連續且有左極限的樣本軌道的連續時間平賭（更確切地說是局部平賭）。
* 利用計算機軟體，平賭序列可以很容易地製作出來：
  * Microsoft Excel 或類似的電子製表軟體：在 A1（左上角）單元格中輸入 0.0，在下方的 A2 單元格中輸入 `=A1+NORMINV(RAND(),0,1)`。這時下拉複製此單元格，得到大約 300 個單元格，這樣就能創建均值為 0，標準差為 1 的平賭序列。在這些單元格仍處於選中狀態的情況下，利用圖表創建工具創建這些值的圖表。這時每次重新計算後（在 Excel 中可按 F9 實現），圖表都會顯示出不同的平賭序列。
  * R 語言：若要再現上述例子，可運行如下命令。若要顯示另一個平賭，重新輸入如下命令即可。
  
  　
  : `plot(cumsum(rnorm(100, mean=0, sd=1)), t="l", col="darkblue", lwd=3)`

## 下平賭與上平賭

（離散時間）**下平賭**（submartingale，又稱**亞平賭**）是滿足

　
: ${}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n},\quad n\in \mathbb {N} $

的可積隨機過程 X1，X2，X3，…。

類似地，（離散時間）**上平賭**（supermartingale，又稱**超平賭**）是滿足

　
: ${}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n},\quad n\in \mathbb {N} $

的可積隨機過程 X1，X2，X3，…。

下平賭或上平賭的定義都可由前述的離散時間和連續時間平賭的更為一般的定義轉換得到，只需將條件期望的等式代換成不等式即可。

這裡給出一個區分下平賭和上平賭的記憶方法：「生活是一個上平賭：隨著時間的推進，期望降低。」

### 例子

* 每一個平賭既是下平賭又是上平賭，反過來任何既是下平賭又是上平賭的隨機過程是平賭。
* 再次考慮賭徒的例子，若硬幣正面向上，賭徒贏得 1 美元，若硬幣反面向上，賭徒輸掉 1 美元。設此時硬幣是偏誤的，則硬幣正面向上的機率為 _p_ 。
  * 若 p 等於 1/2，平均起來，賭徒既未贏錢也未輸錢，則隨著時間的流逝，賭徒的財產是一個平賭。
  * 若 p 小於 1/2，平均起來，賭徒輸了錢，則隨著時間的流逝，賭徒的財產是一個上平賭。
  * 若 p 大於 1/2，平均起來，賭徒贏了錢，則隨著時間的流逝，賭徒的財產是一個下平賭。
* 由延森不等式求出的平賭的凸函數（convex function）是下平賭。例如，公平硬幣博弈中賭徒財產的平方是下平賭（同時也是根據 Xn2 − n 是平賭的事實得出的）。類似地，平賭的凹函數（concave function）是一個上平賭。

## 平賭與停時

關於隨機過程 X1，X2，X3，… 的停時是隨機變數 τ，這一隨機變數具有如下性質：對於每一個時間 ，事件 τ = t 的發生與否僅取決於 X1，X2，X3，…，Xt 的取值。從定義中可以感受到的直覺是在任一特定時刻 t，我們都可以知道在這一時刻隨機過程是否到了停時。現實生活中停時的例子如賭徒離開賭桌的時刻，這一時刻可能是賭徒以前贏得錢財的函數（例如，唯若他沒有錢時，他才可能離開賭桌），但是他不可能根據還未完成的博弈的結果來選擇離開還是留下。

上述停時定義滿足強條件，下面給出一個弱條件的停時定義：若事件 τ = t 的發生與否統計獨立於 Xt+1，Xt+2，… 但並不是完全決定於時刻 t 以及之前的過程歷史，則隨機變數 τ 是停時。雖然這是一個弱條件，但在需要用到停時的證明中的一些情況也算是足夠強的條件。

平賭的一個基本性質是若 $(X_{t})_{t>0}$ 是下 \ 上平賭且 $\tau $ 是停時，由 $X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}$ 定義的對應停止過程 $(X_{t}^{\tau })_{t>0}$ 也是下 \ 上平賭。

停時平賭的概念引出了一系列定理，例如可選停止定理（又稱可選抽樣定理）：在特定條件下，停時的平賭的期望值等於其初始值。利用這一定理，我們可以證明對於一個壽命有限且房產有限的賭徒，成功的投注策略不可能存在。

## 參見

* 吾妻不等式
* 布朗運動
* 伊藤微積分
* 平賭中央極限定理
* 平賭表示定理
* Doob 平賭
* 平賭收斂定理
* 科摩哥洛夫平賭不等式
* Doob-Meyer 分解定理
* 局部平賭
* 馬可夫鏈
* 馬可夫性質
* 半平賭

## 參考文獻

### 腳註

### 參考書目

* _The Splendors and Miseries of Martingales__. Electronic Journal for History of Probability and Statistics_. June 2009, **5** (1) [2010-09-06]. ISSN 1773-0074. （原始內容存檔於 2021-04-24）.
* David Williams. _Probability with Martingales_. Cambridge University Press. 1991. ISBN 0-521-40605-6.
* Hagen Kleinert. _Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets_ 第 4 版。新加坡: 世界科學出版社. 2004 [2010-09-06]. ISBN981-238-107-4. （原始內容存檔於 2008-06-15）.  平裝
* 有關平賭的演示文稿講義
* 歐洲輪盤策略：機率論 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）