面电荷密度

: 在這篇文章內，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

在電磁學裏，**電荷密度**是一種度量，用以描述空間中連續電荷的分布狀況。依據討論電磁模型的維度而定，電荷密度可以是**線電荷密度**、**面電荷密度**或**體電荷密度**。

假設電荷分佈於一條曲線或一根直棒子，則其線電荷密度是每單位長度的電荷密度，單位為庫侖／公尺 (coulomb/meter) 。假設電荷分佈於一個平面或一個物體的表面，則其面電荷密度是每單位面積的電荷密度，單位為庫侖／公尺 2。假設電荷分佈於一個三維空間的某區域或物體內部，則其體電荷密度是每單位體積的電荷密度，單位為庫侖／公尺 3。

由於在大自然裏，有兩種電荷，正電荷和負電荷，所以，電荷密度可能會是負值。電荷密度也可能會跟位置有關。特別注意，不要將電荷密度與電荷載子密度 (charge carrier density) 搞混了。

電荷密度與電荷載子的體積有關。例如，由於鋰陽離子的半徑比較小，它的體電荷密度大於鈉陽離子的體電荷密度。

## 古典電荷密度

假設，一個體積為 $V$ 的載電體，其電荷密度 $\rho _{0}$ 是均勻的，跟位置無關，那麼，總電荷量 $Q$ 為

　
: $Q=\rho _{0}V$ 。

假設，在某一區域內有 $N$ 個離散的點電荷，像電子。那麼，電荷密度可以用狄拉克 δ 函數來表達為

　
: $\rho (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})$ ；

其中， $\mathbf {r} $ 是檢驗位置， $q_{i}$ 是位置為 $\mathbf {r} _{i}$ 的第 $i$ 個點電荷的電量。

## 量子電荷密度

在量子力學裏，類氫原子的中心有一個正電性的原子核，環繞著原子核四週的一個電子的軌域，其電荷密度可以用波函數 $\psi (\mathbf {r} )$ 表達為

　
: $\rho (\mathbf {r} )=q\cdot |\psi (\mathbf {r} )|^{2}$ ；

其中， $q$ 是電子的電荷量。

注意到 $|\psi (\mathbf {r} )|^{2}$ 是找到電子的機率。經過歸一化，在全部空間找到電子的機率是

　
: $\int _{all\ space}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\mathrm {d} ^{3}{r}=1$ ；

例如，氫原子的波函數 $\psi _{nlm}(\mathbf {r} )$ 是

　
: $\psi _{nlm}(\mathbf {r} )=R_{nl}(r)Y_{l}^{m}(\theta ,\,\phi )$ ；

其中， $R_{nl}$ 是徑向函數， $Y_{l}^{m}(\theta ,\,\phi )$ 是球諧函數， $n$ 是主量子數， $l$ 是角量子數， $m$ 是磁量子數。

## 相對論性電荷密度

從相對論的角度來論述，導線的長度與觀察者的移動速度有關，所以電荷密度是一種相對論性觀念。安東尼・法蘭碁（Anthony French）在他的著作中表明，移動中的電荷密度會產生磁場力，會吸引或排斥其它載流導線。。使用閔可夫斯基圖，法蘭碁闡明，一條中性的載流導線，對於處於移動參考系的觀察者而言，為什麼會貌似載有淨電荷密度。通過時空坐標，研究電磁現象的領域稱為相對論性電磁學（relativistic electromagnetism）。

## 電荷守恆的連續方程式

電荷密度與電流密度之間的關係式為：

　
: ${\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ,\,t)=0$ ；

其中， $\mathbf {r} $ 是位置， $t$ 是時間， $\mathbf {J} $ 是電流密度。

在電磁理論裏，從馬克士威方程組，可以推導出電荷守恆的連續方程式。根據加入位移電流項目後的安培定律，

　
: $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ ；

其中， $\mathbf {B} $ 是磁場， $\mathbf {E} $ 是電場， $\mu _{0}$ 是磁常數， $\epsilon _{0}$ 是電常數。

取散度於方程式的兩邊：

　
: $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\nabla \cdot \mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \cdot \mathbf {E} )$ 。

由於旋度的散度等於零，再根據高斯定律，可以得到想要的關係式

　
: $0=\nabla \cdot \mathbf {J} +\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \cdot \mathbf {E} )=\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$ 。

換另外一種比較直覺的推導方法。流入某體積 $\mathbb {V} $ 的淨電流為

　
: $I=-\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} $ ；

其中， $I$ 是電流， $\mathbb {S} $ 是包圍體積 $\mathbb {V} $ 的閉曲面， $\mathrm {d} \mathbf {r} ^{2}$ 是微小面向量元素，垂直於 $\mathbb {S} $ 從體積內朝外指出。

應用散度定理，將這方程式寫為

　
: $I=-\int _{\mathbb {V} }\nabla \cdot \mathbf {J} \ \mathrm {d} ^{3}r$ 。

總電荷量 $Q$ 與體積 $\mathbb {V} $ 內的電荷密度 $\rho $ 的關係為

　
: $Q=\int _{\mathbb {V} }\rho \ \mathrm {d} ^{3}r$ 。

電荷守恆要求，流入體積 $\mathbb {V} $ 的淨電流，等於體積 $\mathbb {V} $ 內總電荷量 $Q$ 的變率：

　
: ${\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}=I=\int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\ \mathrm {d} ^{3}r$ 。

所以，

　
: $\int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} \ \mathrm {d} ^{3}r=0$ 。

對於任意體積 $\mathbb {V} $ ，上述方程式都成立。所以，可以將被積式提取出來：

　
: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0$ 。

## 電位和電場

在一個體積區域 $\mathbb {V} '$ 內，源位置 $\mathbf {r} '$ 的電荷密度為 $\rho (\mathbf {r} ')$ 的電荷分佈，所產生在場位置 $\mathbf {r} \!$ 的電位為

　
: $\phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}{r}'$ ；

其中， $\mathrm {d} ^{3}{r}'$ 是微小體積元素。

電場 $\mathbf {E} $ 是電位的負梯度：

　
: $\mathbf {E} (\mathbf {r} )=-{\boldsymbol {\nabla }}\phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} '){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}{r}'$ 。

應用向量關係式

　
: ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}=4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')$ ，

取散度於電場，

　
: ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ')4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} ^{3}{r}'$ ，

可以得到高斯定律的微分形式

　
: ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\epsilon _{0}}}$ ，

和帕松方程式

　
: $\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} )=-{\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\epsilon _{0}}}$ 。

## 參閱

* 拉普拉斯方程式
* 恩紹定理
* 格林互反定理 (Green's reciprocity theorem)

## 參考文獻