集合_(公理化数学)

**集合**（英語：set）簡稱**集**，是一個基本的數學模型，指具有某種特定性質的事物的母體。集合裡的事物稱作**元素**，它們可以是任何類型的數學物件：數字、符號、變數、空間中的點、線、面，甚至是其他集合。若 $x$ 是集合 $A$ 的元素，記作 $x\in A$ 。

集合在現代數學無處不在，其基本理論是於十九世紀末創立的。自 20 世紀上半葉以來，集合理論，更確切地說是策梅洛 - 弗蘭克爾集合論，一直是為所有數學分支奠定嚴格實際基礎的標準。

## 導言

### 定義

簡單來說，所謂的一個_集合_，就是將數個物件歸類而分成為一個或數個形態各異的大小整體。
一般來講，集合是具有某種特性的事物的整體，或是一些確認物件的匯集。構成集合的事物或物件稱作「元素」或「成員」。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或數字等。

在數學交流當中為了方便，集合會有一些別名。比如：

* 族、系　通常指它的元素也是一些集合。

### 符號

元素通常用 $a,\ b,\ c,\ d,\ x$ 等小寫字母來表示；而集合通常用 $\mathbf {A,\ B,\ C,\ D,\ X} $ 等大寫字母來表示。

當元素 $a$ 屬於集合 $\mathbf {A} $ 時，記作 $a\in \mathbf {A} $ 。

當元素 $a$ 不屬於集合 $\mathbf {A} $ 時，記作 $a\not \in \mathbf {A} $ 。

如果 $\mathbf {A,\ B} $ 兩個集合所包含的元素完全一樣，則二者相等，寫作 $\mathbf {A=B} $

### 集合的特性

**無序性**：一個集合中，每個元素的地位都是相同的，元素之間是無序的。

* 集合上可以定義序關係，定義了序關係後，元素之間就可以按照序關係排序。但就集合本身的特性而言，元素之間沒有必然的序。（參見序理論）

**互異性**：一個集合中，任何兩個元素都認為是不相同的，即每個元素只能出現一次。

* 有時需要對同一元素出現多次的情形進行刻畫，可以使用多重集，其中的元素允許出現多次。

**確定性**：給定一個集合，任給一個元素，該元素或者屬於或者不屬於該集合，二者必居其一，不允許有模稜兩可的情況出現。

## 集合的表示

* 集合可以用文字或數學符號描述，稱為**描述法**，比如：

　
: $A=$ 大於零的前三個自然數

　
: $B=$ 光的三原色和白色

* 集合的另一種表示方法是在大括號中列出其元素，稱為**列舉法**，比如：

　
: $C=\left\{1,2,3\right\}$

　
: $D=\{$ 紅色 $,$ 藍色 $,$ 綠色 $,$ 白色 $\}$

儘管兩個集合有不同的表示，它們仍可能是相同的。比如：上述集合中， $A=C$ 而 $B=D$ ，因為它們正好有相同的元素。

元素列出的順序不同，或者元素列表中有重複，都和集合相同與否沒有關係。比如：這三個集合 $\left\{2,4\right\}$ ， $\left\{4,2\right\}$ 和 $\left\{2,2,4,2\right\}$ 是相同的，因為它們有相同的元素。

* 集合在不嚴格的意義下也可以通過草圖來表示，更多訊息，請見文氏圖。

## 集合間的關係

### 子集與包含關係

#### 定義

集合 $A$ 、 $B$ ，若 $\forall a\in A$ ，有 $a\in B\therefore A\subseteq B$ 。則稱 $A$ 是 $B$ 的**子集**，亦稱 $A$ **包含於** $B$ ，或 $B$ **包含** $A$ ，記作 $A\subseteq B$ 或 $B\supseteq A$ ，否則稱 $A$ 不是 $B$ 的子集，記作 $A\nsubseteq B$ 或 $B\nsupseteq A$ 。

若 $A\subseteq B$ ，且 $A\neq B$ ，則稱 $A$ 是 $B$ 的**真子集**，亦稱 $A$ **真包含於** $B$ ，或 $B$ **真包含** $A$ ，記作 $A\subsetneqq B$ 或 $B\supsetneqq A$ （有時也記作 $A\subset B$ 或 $B\supset A$ ）。

#### 基本性質

* 包含關係「 $\subseteq $ 」是集合間的一個**非嚴格偏序關係**，因為它有如下性質：
  * **自反性**： $\forall $ 集合 $S$ ， $S\subseteq S$ ；（任何集合都是其本身的子集）
  * **反對稱性**： $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A\Leftrightarrow A=B$ ；（這是證明兩集合相等的常用手段之一）
  * **遞移性**： $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C$ ；
* 真包含關係「 $\subsetneqq $ 」是集合間的一個**嚴格偏序關係**，因為它有如下性質：
  * **反自反性**： $\forall $ 集合 $S$ ， $S\subsetneqq S$ 都不成立；
  * **非對稱性**： $A\subsetneqq B\Rightarrow B\subsetneqq A$ 不成立；反之亦然；
  * **遞移性**： $A\subsetneqq B$ 且 $B\subsetneqq C\Rightarrow A\subsetneqq C$ ；
* 顯然，包含關係，真包含關係定義了集合間的偏序關係。而 $\varnothing $ 是這個偏序關係的**最小元素**，即： $\forall $ 集合 $S$ ， $\varnothing \subseteq S$ ；且若 $S\neq \varnothing $ ，則 $\varnothing \subsetneqq S$ ，（空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）

#### 舉例

　
: * 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。
* 所有自然數的集合是所有整數的集合的真子集。
* $\left\{1,3\right\}\subsetneqq \left\{1,2,3,4\right\}$
* $\left\{1,2,3,4\right\}\subseteq \left\{1,2,3,4\right\}$

## 集合的運算

### 併

兩個集合可以相 "加"。 $A$ 和 $B$ 的**聯集**是將 $A$ 和 $B$ 的元素放到一起構成的新集合。

#### 定義

給定集合 $A$ ， $B$ ，定義運算 $\cup $ 如下： $A\cup B=\{e|e\in A$ 或 $e\in B\}$ 。 $A\cup B$ 稱為 $A$ 和 $B$ 的**聯集**。

#### 示例

　
: * $\{1,2\}\cup \{$ 紅色 $,$ 白色 $\}=\{1,2,$ 紅色 $,$ 白色 $\}$
* $\{1,2,$ 綠色 $\}\cup \{$ 紅色 $,$ 白色 $,$ 綠色 $\}=\{1,2,$ 紅色 $,$ 白色 $,$ 綠色 $\}$
* $\left\{1,2\right\}\cup \left\{1,2\right\}=\left\{1,2\right\}$

#### 基本性質

作為集合間的二元運算， $\cup $ 運算具有以下性質。

* **交換律**： $A\cup B=B\cup A$ ；
* **結合律**： $\left(A\cup B\right)\cup C=A\cup \left(B\cup C\right)$ ；
* **冪等律**： $A\cup A=A$ ；
* **單位元素**： $\forall $ 集合 $A$ ， $A\cup \varnothing =A$ ；（ $\varnothing $ 是 $\cup $ 運算的單位元素）。

### 交

一個新的集合也可以通過兩個集合**均**有的元素來構造。 $A$ 和 $B$ 的**交集**，寫作 $A\cap B$ ，是既屬於 $A$ 的、又屬於 $B$ 的所有元素組成的集合。

若 $A\cap B=\varnothing $ ，則 $A$ 和 $B$ 稱作**不相交**。

#### 定義

給定集合 $A$ 、 $B$ ，定義運算 $\cap $ 如下： $A\cap B=\{e|e\in A$ 且 $e\in B\}$ 。 $A\cap B$ 稱為 $A$ 和 $B$ 的**交集**。

#### 基本性質

作為集合間的二元運算， $\cap $ 運算具有以下性質。

* **交換律**： $A\cap B=B\cap A$ ；
* **結合律**： $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ ；
* **冪等律**： $A\cap A=A$ ；
* **空集合**： $\forall $ 集合 $A$ ， $A\cap \varnothing =\varnothing $ ；（ $\varnothing $ 是 $\cap $ 運算的空集合）。

其它性質還有：

 * $A\subseteq B\Rightarrow A\cap B=A$

#### 示例

　
: * $\{1,2\}\cap \{$ 紅色 $,$ 白色 $\}=\varnothing $
* $\{1,2,$ 綠色 $\}\cap \{$ 紅色 $,$ 白色 $,$ 綠色 $\}=\{$ 綠色 $\}$
* $\{1,2\}\cap \{1,2\}=\{1,2\}$

### 補集

兩個集合也可以相 "減"。 $A$ 在 $B$ 中的**相對補集**，國際上通常寫作 $B\setminus A$ ，中文教材中有時也會寫作 $B-A$ 。表示屬於 $B$ 的、但不屬於 $A$ 的所有元素組成的集合。

在特定情況下，所討論的所有集合是一個給定的全集 $U$ 的子集。這樣， $U-A$ 稱作 $A$ 的**絕對補集**，或簡稱**補集**（餘集），寫作 $A'$ 或 $\complement _{U}A$ 。

補集可以看作兩個集合相減，有時也稱作**差集**。

#### 定義

給定集合 $A$ ， $B$ ，定義運算 - 如下： $A-B=\{e|e\in A$ 且 $e\not \in B\}$ 。 $A-B$ 稱為 $B$ 對於 $A$ 的**差集**，**相對補集**或**相對餘集**。

在上下文確定了**全集** $U$ 時，對於 $U$ 的某個子集 $A$ ，一般稱 $U-A$ 為 $A$ （對於 $U$ ）的**補集**或**余集**，通常記為 $A'$ 或 ${\bar {A}}$ ，也有記為 $A^{\text{c}}$ , $A'$ , $\complement _{U}A$ ，以及 $\complement A$ 的。

#### 基本性質

作為集合間的二元運算，- 運算有如下基本性質：

 * $A-A=\varnothing $ ；
* **右單位元素**： $\forall $ 集合 $A$ ， $A-\varnothing =A$ ；（ $\varnothing $ 是 $-$ 運算的右單位元素）。
* **左零元素**： $\forall $ 集合 $A$ ， $\varnothing -A=\varnothing $ ；（ $\varnothing $ 是 $-$ 運算的左零元素）。

#### 示例

　
: * $\{1,2\}-\{$ 紅色 $,$ 白色 $\}=\{1,2\}$
* $\{1,2,$ 綠色 $\}-\{$ 紅色 $,$ 白色 $,$ 綠色 $\}=\{1,2\}$
* $\{1,2\}-\{1,2\}=\varnothing $
* 若 $U$ 是整數集，則奇數的補集是偶數

### 對稱差

#### 定義

給定集合 $A$ ， $B$ ，定義**對稱差**運算 $\vartriangle $ 如下： $A\vartriangle B=(A-B)\cup (B-A)$ 。

#### 基本性質

作為集合間的二元運算， $\vartriangle $ 運算具有如下基本性質：

* **交換律**： $A\vartriangle B=B\vartriangle A$ ；
* **結合律**： $(A\vartriangle B)\vartriangle C=A\vartriangle (B\vartriangle C)$ ；
* **單位元素**： $\forall $ 集合 $A$ ， $A\vartriangle \varnothing =A$ ；（ $\varnothing $ 是 $\vartriangle $ 運算的單位元素）。
* **反元素**： $A\vartriangle A=\varnothing $ ；

## 運算性質

集合的運算除了以上情況之外，集合間還具有以下運算性質：

* **分配律**:

　
: $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

　
: $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

* **對偶律**:

　
: ${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}$

　
: ${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

## 集合的元素個數

上述每一個集合都有確定的元素個數；比如：集合 _A_ 有三個元素、而集合 _B_ 有四個。一個集合中元素的數目稱為該集合的基數。數學寫法有很多種，不同作者及不同書本用不同的寫法: $\operatorname {Card} (A),\ \#A,\ |A|,\ {\bar {A}},\ {\bar {\bar {A}}}$ 。

集合可以沒有元素。這樣的集合叫做**空集**，用 $\{\}$ 或符號 $\varnothing $ 表示。比如：集合 $A$ 是 2004 年所有住在月球上的人，它沒有元素，則 $A=\varnothing $ 。在數學上，空集非常重要。更多資訊請參閱空集。

如果集合只含有限個元素，那麼這個集合可以稱為**有限集合**。

集合也可以有無窮多個元素，這樣的集合稱為**無限集合**。比如：自然數集便是無限集合。關於無窮大和集合的大小的其他資訊請見集合的勢。

## 公理化集合論

若把集合看作「符合任意特定性質的一堆東西」，會得出所謂羅素悖論。為解決羅素悖論，數學家提出公理化集合論。在公理集合論中，集合是一個不加定義的概念。

## 類

在更深層的公理化數學中，**集合**僅僅是一種特殊的**類**，是「良性類」，是能夠成為其它類的元素的類。

類區分為兩種：一種是可以順利進行類運算的「**良性類**」，我們把這種「良性類」稱為**集合**；另一種是要限制運算的「**本性類**」，對於本性類，類運算並不是都能進行的。

**定義** 類 A 如果滿足條件「 $\exists B(A\in B)$ 」，則稱類 A 為一個**集合**(簡稱為**集**)，記為 $\operatorname {Set} (A)$ 。否則稱為**本性類**。

這說明，一個集合可以作為其它類的元素，但一個本性類卻不能成為其它類的元素。因此可以理解為「本性類是最高層次的類」。

## 參見

* 公理化數學
* 類的理論
* 羅素公理體系
* 集合代數

## 參考文獻