電阻值

在電磁學裏，**電阻**是一個物體對於電流通過的阻礙能力，以方程式定義為

　
: $R\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {V}{I}}$ ；

其中， $R$ 為電阻， $V$ 為物體兩端的電壓， $I$ 為通過物體的電流。

假設這物體具有均勻截面面積，則其電阻與電阻率、長度成正比，與截面面積成反比。

採用國際單位制，電阻的單位為歐姆（Ω，Ohm）。電阻的倒數為電導，單位為西門子（S）。

假設溫度不變，則很多種物質會遵守歐姆定律，即這些物質所組成的物體，其電阻為常數，不跟電流或電壓有關。稱這些物質為「歐姆物質」；不遵守歐姆定律的物質為「非歐姆物質」。
電路符號常常用 R 來表示，例: R1、R02、R100 等。

## 導體與電阻器

像電線一類的物體，具有低電阻，可以很有效率地傳輸電流，這類物體稱為「導體」。通常導體是由像銅、金和銀一類具有優等導電性質的金屬製造，或者次等導電性質的鋁。電阻器是具有特定電阻的電路元件。製備電阻器所使用的原料有很多種；應該使用哪種原料，要視指定的電阻、能量耗散、準確度和成本等因素而定。

### 直流電

在物理學裏，對於物質的微觀層次電性質研究，會使用到的歐姆定律，以向量方程式表達為

　
: $\mathbf {E} =\rho \mathbf {J} $ ；

其中， $\mathbf {E} $ 是電場， $\rho $ 是電阻率， $\mathbf {J} $ 是電流密度。

在導體內任意兩點 g、h，定義電壓為將單位電荷從點 g 移動到點 h，電場力所需做的機械功：

　
: $V_{gh}{\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} q}}=\int _{g}^{h}{\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }=\rho \int _{g}^{h}{\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }$ ；

其中， $V_{gh}$ 是電壓， $w$ 是機械功， $q$ 是電荷量， $\mathrm {d} \mathbf {l} $ 是微小線元素。

假設，沿著積分路徑，電流密度 $\mathbf {J} =J{\hat {\mathbf {l} }}$ 為均勻電流密度，並且平行於微小線元素：

　
: $\mathrm {d} \mathbf {l} =\mathrm {d} l{\hat {\mathbf {l} }}$ ；

其中， ${\hat {\mathbf {l} }}$ 是積分路徑的單位向量。

那麼，可以得到電壓：

　
: $V_{gh}=J\rho l$ ；

其中， $l$ 是積分路徑的徑長。

假設導體具有均勻的電阻率，則通過導體的電流密度也是均勻的：

　
: $J=I/a$ ；

其中， $a$ 是導體的截面面積。

電壓 $V_{gh}$ 簡寫為 $V$ 。電壓與電流成正比：

　
: $V=V_{gh}=I\rho l/a$ 。

總結，電阻與電阻率的關係為

　
: $R=\rho l/a$ 。

假設 $J>0$ ，則 $V>0$ ；將單位電荷從點 g 移動到點 h，電場力需要作的機械功 $w>0$ 。所以，點 g 的電位比點 h 的電位高，從點 g 到點 h 的電位差為 $-V$ 。從點 g 到點 h，電壓降是 $V$ ；從點 h 到點 g，電壓升是 $V$ 。

### 交流電

假設電線傳導的電流是高頻率交流電，則由於趨膚效應，電線的有效截面面積會減小。假設平行排列幾條電線在一起，則由於鄰近效應，每一條電線的有效電阻會大於單獨電線的電阻。對於普通家用交流電，由於頻率很低，這些效應非常微小，可以忽略這些效應。

## 測量電阻

電阻計是測量電阻的儀器。由於探針電阻和接觸電阻會造成電壓降，簡單電阻器不能準確地測量低電阻。高準確度測量工作必須使用四端點測量技術（four-terminal measurement technology）。

### 能帶理論概述

根據量子力學，束縛於原子內部的電子，其能量不能假定為任意數值，而只能占有某些固定能階，在這些能級之間的數值不可能是電子的能量。這些能級可以分為兩組，一組稱為導帶，另一組稱價帶。導帶的能級通常比較高一些。處於導帶的電子可以自由地移動於物體內部。

在絕緣體和半導體中，原子之間會相互影響，使得導帶和價帶之間出現能隙，電子無法處於能隙。為了要產生電流，必須給予電子相當大的能量，協助電子從價帶，跳過能隙，進入導帶。因此，即使對這些物質施加很大的電壓，產生的電流仍舊很小。

## 電阻種類

* 碳膜電阻
* 金屬氧化膜電阻
* 精密電阻
* 繞線電阻
* 水泥電阻
* 固定瓷管電阻
* 低感瓷管電阻
* 鋁殼精密電阻
* 光敏電阻：收到光線改變就會跟著改變電阻值的電阻
* 熱敏電阻
* 壓敏電阻

## 各種不同材料的電阻

### 金屬

金屬是一群原子以晶格結構形成的晶體，每個原子都擁有一層（或多層）由電子組成的外殼。處於外殼的電子能脫離原子核的吸引力而到處流動，形成一片電子海，使得金屬能夠導電。當施加電勢差（即電壓）於金屬兩端時，因為感受到電場的影響，這些自由電子會呈加速運動。但是每當自由電子與晶格發生碰撞，其動能會遭受損失，以熱能的形式將能量釋放，所以，電子的平均移動速度是漂移速度，其方向與電場方向相反。由於漂移運動，會產生電流。在現實中，物質的原子排列不可能為完全規則，因此電子在流動途中會被不按規則排列的原子散射，這是電阻的來源。

給予一個具有完美晶格的金屬晶體，移動於這晶體的電子，其運動等價於移動於自由空間、具有有效質量的電子的運動。所以，假設熱運動足夠微小，週期性結構沒有偏差，則這晶體的電阻等於零。但是，真實晶體並不完美，時常會出現晶體缺陷，有些晶格點的原子可能不存在，可能會被雜質侵佔。這樣，晶格的週期性會被擾動，因而電子會被散射。另外，假設溫度大於絕對零度，則處於晶格點的原子會發生熱震動，因而出現熱震動的粒子 —— 聲子 —— 移動於晶體。溫度越高，聲子越多。聲子會與電子發生碰撞，這過程稱為晶格散射（lattice scattering）。主要由於上述兩種散射，自由電子的流動會被阻礙，晶體因此具有有限電阻。

### 半導體和絕緣體

對於金屬，費米能級的位置在導帶區域內，因此金屬內部會出現自由的傳導電子。可是，對於半導體，費米能級的位置在能隙區域內。

本征半導體是未被摻雜的半導體，其費米能級大約為導帶最低值與價帶最高值的平均值。當溫度為絕對零度時，本征半導體內部沒有自由的傳導電子，電阻為無窮大。當溫度開始上升，高於絕對零度時，有些電子可能會獲得能量而進入傳導帶中；假設施加外電場，則這些電子在獲得外電場的能量後，會移動於金屬內部，因而形成電流。

雜質半導體是經過摻雜的半導體。靠著捐贈電子給導帶，或價帶接受電洞，外質半導體內部的雜質原子能夠增加電荷載子的密度，從而減低電阻。高度滲雜的半導體的導電性質類似金屬。在非常高溫度狀況，熱生成電荷載子的貢獻會超過雜質原子的貢獻；隨著溫度的增加，電阻會呈指數遞減。

### 離子液體／電解質

在電解質中，電流是由帶電的離子的流動產生，因此液體的電阻很受鹽的濃度所影響。譬如蒸餾水是絕緣體，但鹽水就是很好的導電體。

在生物體內的細胞膜，離子鹽負責電流的傳送。細胞膜中的小孔道，稱為離子通道，會選擇什麼離子可以通過。這直接決定了細胞膜的電阻。

## 非歐姆元件

有些電路元件不遵守歐姆定律，它們的電壓與電流之間的關係（I-V 線）乃非線性關係。PN 接面二極體是一個顯明範例。如右圖所示，隨著二極體兩端電壓的遞增，電流並沒有線性遞增。給定外電壓，可以用 I-V 線來估計電流，而不能用歐姆定律來計算電流，因為電阻會因為電壓的不同而改變。具有這種特性的電阻或元件稱為「非線性電阻」或「非歐姆元件」。

非歐姆元件的常見實例包括二極體、氣體放電燈（螢光燈）、壓敏電阻等。

對於這類元件在特定電壓電流下的電阻量，使用 V-I 線的斜率（或是 I-V 曲線斜率的倒數） ${\mathfrak {r}}$ ，稱為小信號電阻（small-signal resistance）、增量電阻（incremental resistance）或動態電阻（dynamic resistance），定義為

　
: ${\mathfrak {r}}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} I}}$ ，

此動態的電阻量適用於計算非歐姆元件，動態電阻的單位一樣也是歐姆。

## 溫度對電阻的影響

溫度對不同物質的電阻會有不同的影響。

### 導電體

假設溫度接近室溫，則典型金屬的電阻 $R$ 通常與溫度 $T$ 成正比：

　
: $R=R_{*}[\alpha (T-T_{*})+1]$ ；

其中， $R_{*}$ 是典型金屬在參考溫度為 $T_{*}$ 時的參考電阻， $\alpha $ 是電阻溫度係數。

 $\alpha $ 是電阻變化百分比每單位溫度。每一種物質都有其特定的 $\alpha $ 。實際而言，上述關係式只是近似，真實的物理是非線性的；換句話說， $\alpha $ 本身會隨著溫度的改變而變化。因此，通常會在 $\alpha $ 字尾添加測量時的溫度。例如， $\alpha _{15}$ 是在溫度為 15 °C 時測量的電阻溫度係數；使用 $\alpha _{15}$ 為電阻溫度係數，則參考溫度 $T_{*}$ 為 15 °C，參考電阻為金屬在參考溫度為 15 °C 時的參考電阻，而且上述關係式只適用於計算溫度在 15 °C 附近的電阻 $R$ 。

稍加排列，這方程式又可表示為

　
: $\alpha ={\frac {R-R_{*}}{R_{*}(T-T_{*})}}$ 。

取 $R-R_{*}\to 0$ 的極限，則可得到微分方程式

　
: $\alpha ={\frac {1}{R_{*}}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} T}}\right)_{*}$ 。

所以，在溫度為 $T_{*}$ 時，物質的電阻溫度係數是，其電阻對溫度的曲線在溫度為 $T_{*}$ 時的斜率，除以溫度為 $T_{*}$ 時的電阻。

於 1860 年代，奧古斯土・馬西森想出馬西森定則（Matthiessen's rule）。這定則表明，總電阻率 $\rho $ 可以分為兩個項目：

　
: $\rho =\rho _{d}+\rho _{p}$ ；

其中， $\rho _{d}$ 是由於晶體缺陷而產生的電阻率， $\rho _{p}$ 是由於聲子而產生的電阻率。

 $\rho _{d}$ 與金屬內部的缺陷密度有關，是電阻率對溫度的曲線外推至 0K 時的電阻率。因此， $\rho _{d}$ 與溫度無關。 $\rho _{p}$ 等於 $\rho -\rho _{d}$ 。假若缺陷密度不高，則 $\rho _{p}$ 通常與缺陷密度無關。 $\rho _{p}$ 與電子跟聲子的碰撞率有關，而碰撞率與聲子密度成正比。假設溫度高於德拜溫度，則聲子密度與溫度成正比，所以， $\rho _{p}$ 與溫度成正比：

　
: $\rho _{p}=C_{h}T$ 、

　
: $\rho =\rho _{d}+C_{h}T$ ；

其中， $C_{h}$ 是比例常數。

這方程式等價於前面電阻與溫度的關係方程式。

假設溫度低於德拜溫度，則電阻與溫度的 5 次方成正比：

　
: $\rho _{p}=C_{l}T^{5}$ ；

其中， $C_{l}$ 是比例常數。

如右圖所示，當溫度接近絕對溫度時，黃金和白金的電阻趨向於常數；而當溫度小於 4.2K 時，水銀的電阻突然從 0.002 歐姆陡降為 10-6 歐姆，成為超導體。

### 半導體

溫度越高，本征半導體的導電性質越優良，電子會被熱能撞跳至導帶，從而可以自由的移動，也因而留下電洞於價帶，也可以自由的移動於價帶。這電阻行為以方程式表達為

　
: $R=R_{0}e^{-aT}$ ；

其中， $R_{0}$ ， $a$ 是常數。

外質半導體的電阻對於溫度的反應比較複雜。從絕對零度開始，隨著溫度增加，由於載子迅速地離開施子或受子，電阻會急劇降低。當大多數的施子或受子都失去了載子之後，電阻會因載子的遷移率（mobility）下降而隨溫度稍為上升。當溫度升得更高，外質半導體的電阻行為類似本征半導體；施子或受子的載子數量超小於因熱能而產生的載子的數量，於是電阻會再度下降。

### 絕緣體和電解質

絕緣體和電解質的電阻與溫度一般成非線性關係，而且不同物質有不同的變化，故不在此列出概括性的算式。

### 超導體

某些材料在溫度接近絕對零度（-273.15°C）或極低的溫度時會出現超導現象，目前發現的超導體的最高溫度約是 203 克耳文（-70°C）。

## 應變對電阻的影響

導體的電阻受應變影響而改變。假設施加張力（一種應力的形式，會引起應變，即導體伸長）於導體，則導體沿張力的方向，其長度會增加，相對而言，導體於垂直張力方向的截面面積會減少。這兩種效應共同貢獻，使得受到張力的導體，其電阻會隨之增加。假設施加壓力，則由於壓縮（方向相反的應變：導體縮短，截面面積增加），導體應變部分的電阻會減少。應用這效應，應變計（strain gauge）可以測量物體的應變與所受張力。

## 參看

* 電測量（electrical measurements）
* 熱阻（thermal resistance）
* 薄膜電阻
* 量子霍爾效應，一種新的電阻測量標準。
* 近藤效應
* 四端點測量技術

## 參考文獻

## 外部連結

* 克萊門森大學車輛電子實驗室網頁：電阻計算機（英文）