雙二角錐

**四面體**是由四個三角形面組成的多面體，每兩個三角形都有一個共同的邊，每三個三角形都有一個共同的頂點。四面體也可以視為由四個三角形合成的角錐，底面為三角形，可以任一面為底，因此又稱為**三角錐**或**三稜錐**。所有四面體皆由四個頂點、六條棱和四個面組成，是所有凸多面體中最簡單的。四面體包括正四面體、鍥形體等種類，由四個全等的正三角形組成的四面體稱為正四面體。四面體也可以依角的類型分為**銳角四面體**、**鈍角四面體**、和直角四面體。

四面體是歐幾里德單體在三維空間中的特例。

四面體是目前已知兩種每個面都與其他所有面相鄰的多面體之一，另外一種是希洛西七面體。

四面體也是錐體的一種。錐體是指將某個平面上的多面體的所有頂點分別和平面外的一點以線段連接後構成的多面體。按錐體的分類方法，所有四面體都是由某平面上的三角形和平面外一點構成的錐體，所以四面體也被稱為三角錐。

與所有的凸多面體一樣，四面體可以由某個平面圖形（展開圖）摺疊而成。這樣的展開圖通常有兩種。

與三角形類似，任何四面體的四個頂點都在同一個球面上。這個球稱為四面體的外接球。同樣地，存在一個與四面體的四個面都相切的球，稱為四面體的內切球。

## 性質

四面體具有許多與之二維類比三角形相似的性質，例如，像三角形一樣，四面體也有內切球、外接球、旁切球和中點四面體。四面體也有各種不同幾何意義上的中心，例如內心、外心、旁心、Spieker 心和形心（在二維，Spieker 心就是形心，但在三維情況發生了變化，Spieker 心並不一定是形心），但是，四面體不總是有垂心，因為四面體的 4 條高並不一定交於一點。四面體的中點四面體的外接球是三角形九點圓的三維類比，但它並不總是通過原四面體高的垂足。

加斯帕爾・蒙日發現了存在於每一個四面體中的一個特殊中心，現在被命名為_蒙日點_：它是四面體六個中位面的交點。四面體的中位面被定義為一個與四面體其中兩個頂點連成的邊垂直，並且包含由另外兩個頂點連成的對邊的中點的平面。如果四面體的 4 條高交於了一點，形成了垂心，那麼蒙日點將與垂心重合，並且這樣的特殊四面體被稱為「垂心四面體」。

從蒙日點引向任意一面的垂線都會交這個面於這個三角形面的垂心與此面上四面體的高的垂足連線的中點。

四面體頂點和其對面形心的連線叫做四面體的_中線_，而四面體一條邊中點和其對邊中點的連線叫做四面體的_雙中線_，這樣，四面體中一共有 4 條中線和 3 條雙中線。這 7 條線段都是共點的，它們的交點即是四面體的_形心_。四面體的形心是其蒙日點和外心連線的中點，這 3 個點一起決定了四面體的_歐拉線_，這是二維三角形歐拉線的三維類比。

四面體十二點球的球心 _T_ 也位於這條歐拉線上。但不像其二維類比，這個球心位於從蒙日點到外心 1/3 處。並且，從這個心到四面體任意一選定面的垂線與另兩條垂線共面：第一條是過其對應歐拉點（即蒙日點與該面所對頂點連線與十二點球的交點）到該面的垂線，第二條是過該面形心的垂線。這條十二點心垂線到歐拉點垂線和形心垂線的距離相等。除此以外，十二點心還是四面體任何一面對應歐拉點和該面垂心連線的中點。

四面體十二點球的半徑是外接球半徑的 1/3。

對於任意的四面體，我們能給出其二面角之間的關係：

　
: ${\begin{vmatrix}-1&\cos {(\alpha _{12})}&\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{14})}\\\cos {(\alpha _{12})}&-1&\cos {(\alpha _{23})}&\cos {(\alpha _{24})}\\\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{23})}&-1&\cos {(\alpha _{34})}\\\cos {(\alpha _{14})}&\cos {(\alpha _{24})}&\cos {(\alpha _{34})}&-1\\\end{vmatrix}}=0\,$

這裡 $\alpha _{ij}$ 代表面 _i_ 和 _j_ 之間的二面角。

### 體積

任意四面體的體積公式可由稜錐的體積公式給出：

　
: $V={\frac {1}{3}}A_{0}\,h\,$

在這裡 _A0_ 是底面面積，_h_ 是從底面到頂點的高。這個體積公式對四個任意的底面的選擇都成立，因此我們可以推斷出對同一個四面體，其一個面上的高與這面的面積成反比。

對於一個四個頂點分別為 **a** = (_a_1, _a_2, _a_3)、
**b** = (_b_1, _b_2, _b_3)、
**c** = (_c_1, _c_2, _c_3)、
**d** = (_d_1, _d_2, _d_3) 的四面體，其體積公式為 (1/6)·|(**a** − **d**, **b** − **d**, **c** − **d**)| 一公式也可以用點積和叉積寫為：

　
: $V={\frac {|(\mathbf {a} -\mathbf {d} )\cdot [(\mathbf {b} -\mathbf {d} )\times (\mathbf {c} -\mathbf {d} )]|}{6}}.$

如果建立恰當的坐標系統，使得原點與 **d** 頂點重合，即 **d**=0 的話，該式可以簡化為：

　
: $V={\frac {|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}{6}},$

這裡 **a**、**b**、**c** 代表著三條交於一頂點的邊，並且我們發現 **a** · (**b** × **c**) 是純量三重積。將這個公式與計算平行六面體體積的公式對比，我們發現正四面體的體積等於任何與其共三條交於一頂點的邊的平行六面體體積的六分之一。

這個三重積可以用下列行列式表示：

　
: $6\cdot V={\begin{vmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{vmatrix}}$  或者  $6\cdot V={\begin{vmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \\\mathbf {c} \end{vmatrix}}$  這裡像  $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})\,$  可以被表示為橫或縱向量。

因此

　
: $36\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a^{2}} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b^{2}} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {c^{2}} \end{vmatrix}}$  這裡  $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos {\gamma }$  等。

這樣，我們能給出：

　
: $V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}},\,$

這裡 _α_、_β_、_γ_ 是以 **d** 為頂點的平面角。角 _α_ 是連接頂點 **d** 和頂點 **b**、**c** 的棱之間的夾角，而 _β_ 是 **d** 到 **a**、**c** 棱的夾角，_γ_ 是 **d** 到 **a**、**b** 棱的夾角。

如果我們已知四面體四個頂點之間相互的距離，那麼其體積可用 Cayley–Menger 行列式表示：

　
: $288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}$

這裡下標 $i,\,j\in \{1,\,2,\,3,\,4\}$ 代表頂點 {**a**, **b**, **c**, **d**}，而 $\scriptstyle d_{ij}$ 是兩兩頂點之間的距離，亦即連接著兩頂點之間棱的長度。如果行列式是零或是負數這意味著我們不可能用該給定的 4 個長度來構建一個四面體。這個公式，亦被稱作塔塔利亞公式，被 15 世紀的畫家皮耶羅・德拉・弗朗切斯卡認為是極其重要的，它被看作是 1 世紀的三角形面積海倫公式的三維類比。

#### 海倫公式形態的四面體體積公式

如果 U、V、W、u、v、w 是四面體的六條邊長（U、V、W 構成四面體的其中一個三角形面，而 u 是與 U 相對的棱，v 是與 V 相對的棱，w 是與 W 相對的棱），則四面體體積

　
: $V={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}$

這裡

　
: ${\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}$

#### 利用四面體邊之間的距離

四面體兩條相對的邊處於兩條互相歪斜（在三維空間中既不相交也不平行，等價於異面）的直線上，所以四面體相對邊之間的距離就被定義為其所在互相歪斜的直線之間的距離。設 _d_ 是四面體相對的邊 **a** 和 **b** − **c** 之間的距離，則四面體的另一個體積公式是：

　
: $V={\frac {d|[\mathbf {a} \times \mathbf {(b-c)} ]|}{6}}.$

### 關於四面體性質的其它向量公式

如果 OABC 四點能夠構成一個四面體，並且 O 點位於我們所定的空間直角坐標系的原點，而向量 **a**、**b**、**c** 代表著頂點 A、B、C 相對於 O 的位置，則四面體內切圓半徑可表示為：（在以下的公式中，像 **a**2 這樣的向量的平方代表著數量積 **a·a**，**b**2 和 **c**2 也是這樣）

　
: $r={\frac {6V}{|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {c} \times \mathbf {a} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|(\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+(\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}}\,$

外接圓半徑可表示為：

　
: $R={\frac {|\mathbf {a^{2}} (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b^{2}} (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c^{2}} (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}{12V}}\,$

於是我們可知十二點圓半徑為：

　
: $r_{T}={\frac {|\mathbf {a^{2}} (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b^{2}} (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c^{2}} (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}{36V}}\,$

這裡 _V_ 是四面體的體積：

　
: $6V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.\,$

四面體的各種中心的位置向量是：
形心：

　
: $\mathbf {G} ={\frac {\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} }{4}}.\,$

內心：

　
: $\mathbf {I} ={\frac {|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |\,\mathbf {a} +|\mathbf {c} \times \mathbf {a} |\,\mathbf {b} +|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |\,\mathbf {c} }{|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {c} \times \mathbf {a} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|\mathbf {b} \times \mathbf {c} +\mathbf {c} \times \mathbf {a} +\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}}.\,$

外心：

　
: $\mathbf {O} ={\frac {\mathbf {a^{2}} (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b^{2}} (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c^{2}} (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}}.\,$

蒙日點：

　
: $\mathbf {M} ={\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )(\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} +\mathbf {a} )(\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} +\mathbf {b} )(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}}.\,$

歐拉線上的中心之間的關係是：

　
: $\mathbf {G} =\mathbf {M} +{\frac {1}{2}}(\mathbf {O} -\mathbf {M} )\,$

　
: $\mathbf {T} =\mathbf {M} +{\frac {1}{3}}(\mathbf {O} -\mathbf {M} )\,$

這裡 **T** 是十二點心。
在這裡，我們還有：

　
: $\mathbf {a} \cdot \mathbf {O} ={\frac {\mathbf {a^{2}} }{2}}\quad \quad \mathbf {b} \cdot \mathbf {O} ={\frac {\mathbf {b^{2}} }{2}}\quad \quad \mathbf {c} \cdot \mathbf {O} ={\frac {\mathbf {c^{2}} }{2}}\,$

和：

　
: $\mathbf {a} \cdot \mathbf {M} ={\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )}{2}}\quad \quad \mathbf {b} \cdot \mathbf {M} ={\frac {\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} +\mathbf {a} )}{2}}\quad \quad \mathbf {c} \cdot \mathbf {M} ={\frac {\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} +\mathbf {b} )}{2}}.\,$

### 對稱變換群

以下列表示出了對應四面體的圖案，相同顏色的棱在等距同構對稱轉換中是等價的，而灰色則代表著條邊是不同於任何另外一邊的。

### 四面體正弦定理和所有形狀四面體所構成的空間

通過通常的三角形正弦定理，我們可以得到一個自然的推論，即在以 _O_、_A_、_B_、_C_ 為頂點的四面體中，有

　
: $\sin \angle OAB\cdot \sin \angle OBC\cdot \sin \angle OCA=\sin \angle OAC\cdot \sin \angle OCB\cdot \sin \angle OBA.\,$

這個等式的兩邊可以被看作分別是順時針取向的角的正弦乘積和逆時針取向角的正弦乘積。

通過將不同的頂點置於上式中 _O_ 點的位置，我們可以得到 4 個這樣的等式，但實際上，只有最多 3 個等式是獨立的，因為我們可以將這 3 個等式的「順時針邊」和「逆時針邊」分別相乘，得到一個新的等式，再消去相同的因式，這樣就能夠通過這 3 個等式得到第 4 個等式。

三個角能屬於同一個三角形若且唯若這三個角之和為 180°（π 弧度）。那麼，12 個角要滿足什麼充分必要條件，才能使其為一個四面體表面的 12 個角呢？首先，我們知道，四面體 4 個面每個面上的 3 個角之和都要為 180°。因為我們對於這 12 個角有 4 個這樣的限制，四面體 12 個角的取值自由度（統計學）從 12 降到了 8。進一步地，四面體角的 4 個正弦定理又降低了自由度，但不是降到 4 而是降到了 5，因為第 4 個四面體正弦定理並不是相對於前 3 個獨立的。因此，我們只要確定了四面體 12 個表面角中的任意 5 個角，則這個四面體就被唯一確定了，因此，我們可以用五維空間中的點來描述所有的四面體，也就是說，所有形狀四面體構成的空間是五維的。

## 其他種類的四面體

更廣義地說，四面體泛指所有由四個面構成的多面體。若其在歐氏空間、實數空間、構成面都是平面且未退化的情況下僅有可能是正四面體或三角錐。然而在上述條件不滿足的情況下，有可能可以建構出不同拓樸結構的四面體，例如皮特里立方體，其由 4 個扭歪六邊形構成，但由於其構成面是一種扭歪多邊形，無法確定其封閉範圍及面積，因此無法存在體積與表面積；而退化的四面體例子如四面形、八面體半形和二角柱等。

### 三角錐

在幾何學中，三角錐是一種底面為三角形的錐體，這種錐體所有形式都與四面體有相同的拓樸結構。根據角錐的定義，其由一個底面和一個頂點組成，底面的頂點與底面外的頂點相連接，形成與底面邊數相同數量的三角形側面。而三角錐是指底面為三角形的角錐，因此其會有 3 個側面，合計共 4 個面，且皆為三角形，因此結構基本上與四面體等價，皆為由四個三角形合成的立體。由於底面和側面皆為三角形，因此視為三角錐時，可以任一面為底，因此詞彙「三角錐」與「四面體」有時會被視為同義詞。

#### 正三角錐

雖然「三角錐」與「四面體」有時會被視為同義詞，但前方加一個「正」字就不一定了，例如正三角錐可以指底面為正三角形的角錐，在這個定義下則是要求四面體的其中一個面要是正三角形；而正四面體則要求四個面都要是正三角形。

### 二角柱

二角柱是指底面為二角形的柱體，由於其底面為二角形，因此在歐幾里得空間中，其已經退化無法擁有體積。在球面幾何學中，其可以作為球面鑲嵌，此時的二角柱由兩個球面二角形和兩個球面四邊形構成，等價於二角形二面體經截角變換後的結果，因此又可稱為截角二角形二面體。這種二角柱共有 4 個面、6 條邊和 4 個頂點，對偶多面體為雙二角錐。

### 雙二角錐

雙二角錐是以二角形為底的雙錐體，為二角柱的對偶多面體。由於其以二角形為底，因此在歐幾里得空間中，其已經退化無法擁有體積。在球面幾何學中，其可以作為球面鑲嵌，這種雙二角錐可以視為多了兩個頂點的四面形。雙二角錐由 4 個面、6 條邊和 4 個頂點組成，其四個面都是三角形，但拓撲結構與非退化的凸四面體不同，其中的兩個頂點為對蹠點，剩下的兩個頂點位於赤道面上連結與對蹠點相連的兩條邊。

### 八面體半形

八面體半形也是一種四面體，可透過將正八面體對映映射後而獲得，它有著正八面體一半的面。
它也可以視為沒有底面的正四角錐，算是一種非嚴格的錐體，換句話說，其為正八面體的一半。

### 四面形

在幾何學中，四面形是一種基底為四邊形的多面形，由 4 個月牙形或球弓形組成的球面鑲嵌，並且使得每一個月牙形或球弓形共用相同的兩個頂點。其在施萊夫利符號中用 {2,4} 表示。其亦可以視為由球面正二角形組成的球面鑲嵌圖，又稱為**四階二角形鑲嵌**或**四階二邊形鑲嵌**。

四面形是一種退化的四面體，無法擁有體積，由四個二角形組成。在球面幾何學中，四面形可以在球面上以鑲嵌的方式存在，其對偶多面體是四邊形二面體。

四面形由四個二角形組成，每個頂點都是四個二角形的公共頂點。正四面形的每個面都是正二角形，且每個頂點都是四個正二角形的公共頂點，因此正四面形也可以視為一種正多面體，但是因為其已退化，因此不會與柏拉圖立體一同討論。

四面形具有 D4h, [2,4], (\*224) 的對稱性和 D4, [2,4]+ 的旋轉對稱性，且階數為 16，在考克斯特符號中用表示，其對稱性與四角柱相同，因此四角柱也可以視為一種與四面形相關的立體，因為四角柱可以經由四面形透過截角變換構造。

### 四面體列表

## 相關多面體

任意非退化的四面體皆是三角錐的一種，因此與其它的錐體有相似的關連。

 

## 註釋

## 參考文獻

## 參見

* 正四面體
* 截角四面體
* 四面體數

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Tetrahedron. MathWorld.
* Free paper models of a tetrahedron and many other polyhedra（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* _An Amazing, Space Filling, Non-regular Tetrahedron_（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） that also includes a description of a "rotating ring of tetrahedra", also known as a kaleidocycle.