隐函数定理

在數學分析中，**隱函數定理**是一個 (數學上的) 工具用來回答下面的問題：以隱函數表示的多變量函數，這函數的變量在局部上是否存在顯式的關係？隱函數定理說明，對於一個由關係 _f_(_x_, _y_)=0 表示的隱函數，如果它在某一點的偏微分滿足某些條件，則在這點有鄰域使得在該鄰域內 _y_ 可以表示成關於 _x_ 的函數：

　
: $y=h(x)$

這樣就把隱函數關係變成了常見的函數關係。

舉一個簡單例子：假設兩個變數 _x_, _y_ 滿足隱函數 _x_2 + _y_2 − 1 = 0，此隱函數代表了平面上的單位圓，任取單位圓中的一點，那是否存在包含該點的鄰域跟定義在鄰域裡的顯函數 _y_=_h_(_x_) 去 (局部的) 描述這單位圓的圖形？

答案是：除了 (-1,0) 跟 (1,0 ) 兩點外，其他點局部上都有 _y_=_h_(_x_) 的顯函數表達式。理由請看下面的隱函數定理。

## 例子

有函數 $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ ，那麼方程式 $f(x,y)-1=0$ 的所有解的集合構成平面上的單位圓。圓上的點整體上是無法表示成單變數函數 $y=h(x)$ 的形式的，因為每個 $x\in (-1,1),$ 都有兩個 $y$ 的值與之對應，即 $\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$ 。

然而在某些點附近，局部地用 $x$ 來表示 $y$ 是可能的。比如給定圓上一點 $(x,y)$ ，如果 $y>0$ ，也就是說如果只選取圓的上半部分的話，在這一點附近 $y$ 可以寫成關於 $x$ 的函數： $y={\sqrt {1-x^{2}}}$ 。如果 $y<0$ ，在圓的下半部分 $y$ 也可以寫成關於 $x$ 的函數： $y=-{\sqrt {1-x^{2}}}$ 。

但是，在點 $(\pm 1,0)$ 的附近， $y$ 無法寫成關於 $x$ 的函數，因為這些點的每一個鄰域中都包含了上半圓和下半圓的點，也就是說對於附近的每一個 $x$ ，都有兩個 $y$ 的值與之對應，這種情況下 $y$ 無法寫成 $x$ 的函數。

## 定理的敘述：歐幾里得空間的情況

設 _f_ : **R**n+m → **R**m 為一個連續可微函數。這裡 **R**n+m 被看作是兩個空間的直積： **R**n×**R**m，於是 **R**n+m 中的一個元素寫成 (**x**,**y**) = (_x1_, ..., _xn_, _y1_, ..., _ym_) 的形式。 我們的目標是找到一個函數 _h_: **R**n → **R**m ，讓這函數的圖形 (graph of a function), (**x**, _h_(**x**)), 局部上恰好等於集合 { (**x**, **y**) | _f_(**x**,**y**) = **0**}，當然這目標不見得一定可以達成，接下來我們會看需要哪些條件來保證函數 _h_ 的局部存在。

固定一點 (**a**,**b**) = (_a1_, ..., _an_, _b1_, ..., _bm_) 使得 _f_(**a**, **b**) = **0**，我們希望在點 (**a**,**b**) 的附近找到一個 **y** 關於 **x** 的函數 _h_，嚴格來說，就是說存在 **a** 的鄰域 _U_ ⊆ **R**n 和 **b** 的鄰域 _V_ ⊆ **R**m 以及函數：_h_ : _U_ → _V_，使得 _h_ 的函數的圖形 (**x**, _h_(**x**)) 剛好等於 _U_ × _V_ 中 _f_(**x**,**y**) = **0** 的集合，也就是說：

　
: $\{(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}$ 。

要保證這樣的函數 _h_ 存在，函數 _f_ 的雅可比矩陣要滿足某些性質。對於給定的一點 (**a**,**b**)，_f_ 的雅可比矩陣寫作：

　
: $(Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]$

其中的矩陣 $X$ 是函數 _f_ 關於變數 **x** 的偏微分，而矩陣 $Y$ 是 _f_ 關於變數 **y** 的偏微分。隱函數定理說明了：如果 $Y$ 是一個可逆矩陣的話，那麼滿足前面性質的鄰域 _U_、_V_ 和函數 _h_(_x_) 就會存在。正式的敘述就是：

## 一般情形

設 $E_{1}$ 、 $E_{2}$ 和 $F$ 是三個巴拿赫空間，而 $U$ 、 $V$ 分別是 $E_{1}$ 、 $E_{2}$ 上的兩個開集。設函數：

　
: $f:U\times V\rightarrow F$

是一個 $k~(k\geq 1)$ 階可微函數（見 Fréchet 導數），並且對於 $E_{1}\times E_{2}$ 中的一點 $(x_{0},y_{0})$ ，滿足：

 * $f(x_{0},y_{0})=0$
* 映射 $y\mapsto (Df(x_{0},y_{0}))(0,y)$ 是一個從 $E_{2}$ 到 $F$ 的同構

那麼有如下結論：

　
: 存在 $x_{0}$ 的鄰域 $U_{0}\subset U$ 、 $y_{0}$ 的鄰域 $V_{0}\subset V$ ，以及 $k$ 階 Fréchet 可微函數 $\varphi :U_{0}\rightarrow V_{0}$ ，使得：

　
: 對任意 $(x,y)\in U_{0}\times V_{0}$ ，只要 $f(x,y)=0$ ，就有 $y=\varphi (x)$ 。

## 參見

* 反函數定理
* 不動點定理
* 壓縮映射定理
* 微分

## 參考來源

* （英文）Arne Hallam. The implicite function theorem (PDF). Iowa State University. [2009-11-05]. （原始內容 (PDF) 存檔於 2021-05-07）.
* Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics 3rd. McGraw-Hill. 1984.
* Danilov, V.I., Implicit function (in algebraic geometry), Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
* Edwards, Charles Henry. Advanced Calculus of Several Variables. Mineola, New York: Dover Publications. 1994 [1973]. ISBN 978-0-486-68336-2.
* Fritzsche, K.; Grauert, H. From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer. 2002.
* Jittorntrum, K. An Implicit Function Theorem. Journal of Optimization Theory and Applications. 1978, **25** (4). doi:10.1007/BF00933522.
* Kudryavtsev, Lev Dmitrievich, Implicit function, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
* Kumagai, S. An implicit function theorem: Comment. Journal of Optimization Theory and Applications. 1980, **31** (2). doi:10.1007/BF00934117.
* Lang, Serge. Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. 1999. ISBN 978-0-387-98593-0.