電極化密度向量

在古典電磁學裏，當給電介質施加一個電場時，由於電介質內部正負電荷的相對位移，會產生電偶極子，這現象稱為**電極化**（英語：electric polarization）。施加的電場可能是外電場，也可能是嵌入電介質內部的自由電荷所產生的電場。因為電極化而產生的電偶極子稱為「感應電偶極子」，其電偶極矩稱為「感應電偶極矩」。

**電極化強度**（英語：polarization density），又稱為**電極化矢量**，定義為電介質內的電偶極矩密度，也就是單位體積的電偶極矩。這定義所指的電偶極矩包括永久電偶極矩和感應電偶極矩。它的國際單位制度量單位是庫侖每平方米（coulomb/m2），表示為矢量 **P**。

## 定義

電極化強度 **P** 定義為介電質單位體積 _V_ 內的電偶極矩 **p** 的平均值：

　
: $\mathbf {P} ={\langle \mathbf {p} \rangle  \over V}$

可以理解為在材料區域內電雙級的強度和對齊程度。這個定義很容易推廣到解析定義，即電極化就是電偶極矩微元 _d_**p** 與體積微元 _dV_ 的比值：

　
: $\mathbf {P} ={d\mathbf {p}  \over dV}$

這反過來便能導出電極化的物體的電偶極矩的一般表達式：

　
: $\mathbf {p} =\iiint \mathbf {P} \,dV$

這表明 **P**- 場與磁化強度 **M**- 場是完全類似的：

　
: $\mathbf {M} ={d\mathbf {m}  \over dV},\quad \mathbf {m} =\iiint \mathbf {M} \,dV$

對於由一個外加電場引起的 **P** 值的計算，必須已知介電質的電極化率 χ（見下文）。

## 束縛電荷

束縛電荷是束縛於電介質內部某微觀區域的電荷。這微觀區域指的是像原子或分子一類的區域。自由電荷是不束縛於電介質內部某微觀區域的電荷。電極化會稍微改變物質內部的束縛電荷的位置，雖然這束縛電荷仍舊束縛於原先的微觀區域，但這會形成一種不同的電荷密度，稱為「束縛電荷密度」 $\rho _{bound}$ ：

　
: $\rho _{bound}=-\nabla \cdot \mathbf {P} $ 。

注意剛才研究的是電雙級中伸出界面的那部分，原微觀區域的束縛電荷符號相反，故有負號。

總電荷密度 $\rho _{total}$ 是「自由電荷密度」 $\rho _{free}$ 與束縛電荷密度的總和：

　
: $\rho _{total}=\rho _{free}+\rho _{bound}$ 。

在電介質的表面，束縛電荷以表面電荷的形式存在，其表面密度稱為「面束縛電荷密度」 $\sigma _{bound}$ ：

　
: $\sigma _{bound}=\mathbf {P} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}_{\mathrm {out} }$ ；

其中， ${\hat {\mathbf {n} }}_{\mathrm {out} }\,$ 是從電介質表面往外指的法向量。假若，電介質內部的電極化強度是均勻的， $\mathbf {P} $ 是個常數向量，則 $\rho _{bound}$ 等於 0，這電介質所有的束縛電荷都是面束縛電荷。

假設電極化強度含時間，則束縛電荷密度也含時間，因而產生了「電極化電流密度」 $\mathbf {J} _{p}$ (A/m2)：

　
: $\mathbf {J} _{p}={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}$ 。

那麼，電介質的總電流密度 $\mathbf {J} _{total}$ 是

　
: $\mathbf {J} _{total}=\mathbf {J} _{free}+\mathbf {J} _{bound}+\mathbf {J} _{p}=\mathbf {J} _{free}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}$ ；

其中， $\mathbf {J} _{free}$ 是「自由電流密度」， $\mathbf {J} _{bound}$ 是「束縛電流密度」， $\mathbf {M} $ 是磁化強度。

「自由電流」是由外處進來的電流，不是由電介質的束縛電荷所構成的電流。「束縛電流」是由電介質束縛電荷產生的磁偶極子所構成的電流，一個原子尺寸的現象。

## 電極化強度與電場的關係

電極化強度 $\mathbf {P} $ 、電場 $\mathbf {E} $ 、電位移 $\mathbf {D} $ ，這三個向量的關係式為一個定義式：

　
: $\mathbf {D} \ {\stackrel {def}{=}}\ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} $ ；

其中， $\varepsilon _{0}$ 是電常數。

### 各向同性電介質

對於各向同性、線性電介質，電極化強度 $\mathbf {P} $ 和電場 $\mathbf {E} $ 的比例是電極化率 $\chi _{e}$ ：

　
: $\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} $ 。

所以，電位移與電場成正比：

　
: $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}(1+\chi _{e})\mathbf {E} =\varepsilon \mathbf {E} $ ；

其中， $\varepsilon $ 是電容率。

電極化強度 $\mathbf {P} $ 、電場 $\mathbf {E} $ 、電位移 $\mathbf {D} $ ，這三個向量的方向都一樣。另外，

　
: $\nabla \cdot (\varepsilon \mathbf {E} )=\rho _{free}$ 。

假設這電介質具有均勻性，則電容率 $\varepsilon $ 是常數：

　
: $\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{free}/\varepsilon $ 。

### 各向異性電介質

對於各向異性、線性電介質，電極化強度和電場的方向不一定一樣。電極化強度的第 $i$ 個分量與電場的第 $j$ 個分量的關係式為

　
: $P_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{0}\chi _{ij}E_{j}$ ；

其中， $\chi $ 是電介質的電極化率張量。例如，晶體光學（crystal optics）就會研究到很多各向異性電介質晶體。

電磁學所講述的物理量大多都是巨觀的平均值，像電場平均值、偶極子密度平均值、電極化強度平均值等等，都是取於一個超大於原子尺寸的區域。只有這樣，科學家才能夠研究一個電介質的連續近似。而當研究微觀問題時，對於在電介質內的單獨粒子，其極化性跟電極化率平均值、電極化強度平均值的關係，可以用克勞修斯 - 莫索提方程式來表達。

假若電極化強度和電場不呈線性正比，則稱這電介質為**非線性電介質**。非線性光學可以用來描述這種電介質的性質。假設電場 $\mathbf {E} $ 足夠地微弱，不存在任何永久電偶極子，則電極化強度 $\mathbf {P} $ 可以令人相當滿意地以泰勒級數近似為

　
: $P_{i}/\varepsilon _{0}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots $ ；

其中， $\chi ^{(1)}$ 是線性電極化率， $\chi ^{(2)}$ 給出波克斯效應（Pockels effect）， $\chi ^{(3)}$ 給出克爾效應（Kerr effect）。

對於鐵電材料，因為遲滯現象， $\mathbf {P} $ 與 $\mathbf {E} $ 之間，不存在一一對應關係。

## 參閱

* 馬克士威方程組
* 克勞修斯 - 莫索提方程式
* 駐極體

## 參考文獻