電磁場的動力學理論

《**電磁場的動力學理論**》（英語：_A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field_）是一篇詹姆斯・馬克士威發於 1864 年的論文，這篇論文是他所寫的第三篇關於電磁學的論文。在這篇論文裏，他首次系統性地陳列出馬克士威方程組。馬克士威又應用了先前在他的 1861 年論文《論物理力線》裏提出的位移電流的概念，來推導出電磁波方程式。由於這導引將電學、磁學和光學聯結成一個統一理論。這創舉現在已被物理學術界公認為物理學史的重大里程碑。

這篇論文明確地闡明，能量儲存於電磁場內。因此，它在歷史上首先建立了場論的基礎概念。

## 馬克士威原本的方程式

在這篇論文的標題為**電磁場一般方程式**的第三章裏，馬克士威列出了涉及二十個未知量的二十個方程式，在那時期，稱為馬克士威方程組。由於向量微積分尚在發展中，這二十個方程式都是以分量形式表示，其中，有十八個方程式可以用六個向量方程式集中表示（對應於每一個直角坐標，有一個方程式），另外剩下的兩個是純量方程式。所以，以向量標記，馬克士威方程組可以表示為八個方程式。1884 年，從這八個方程式，奧利弗・黑維塞重新編排出四個方程式，並且稱這一組方程式為馬克士威方程組。今天廣泛使用的馬克士威方程組就是黑維塞編成的這一組方程式。

黑維塞版本的馬克士威方程組是以現代向量標記法寫出。在原先版本的八個方程式裏，只有一個方程式，高斯定律的方程式 (G)，完整不變地出現於黑維塞版本。另外一個在黑維塞版本的方程式，乃是由總電流定律的方程式 (A) 與安培環路定理的方程式 (C) 共同湊合而成。這方程式包含了馬克士威的位移電流，是安培環路定理的延伸。

以向量標記，馬克士威方程組的原先版本的八個方程式，分別寫為

**(A) 總電流定律**
: $\mathbf {J} _{tot}=\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ 、

**(B) 磁場方程式**
: $\mu \mathbf {H} =\nabla \times \mathbf {A} $ 、

**(C) 安培環路定理**
: $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{tot}$ 、

**(D) 勞侖茲力方程式**
: $\mathbf {E} =\mu \mathbf {v} \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \phi $ 、

**(E) 電彈性方程式**
: $\mathbf {E} ={\frac {1}{\epsilon }}\mathbf {D} $ 、

**(F) 歐姆定律**
: $\mathbf {E} ={\frac {1}{\sigma }}\mathbf {J} $ 、

**(G) 高斯定律**
: $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho $ 、

**(H) 連續方程式**
: $\nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$ 。

**標記符號：**
: $\mathbf {H} $ 是磁場強度，

　
: $\mathbf {J} $ 是傳導電流密度，

　
: $\mathbf {J} _{tot}$ 是總電流密度（包括位移電流密度），

　
: $\mathbf {D} $ 是電位移，

　
: $\rho $ 是自由電荷密度，

　
: $\mathbf {A} $ 是磁向量勢，

　
: $\mathbf {E} $ 是電場，

　
: $\phi $ 是電位，

　
: $\mu $ 是磁導率，

　
: $\epsilon $ 是電容率，

　
: $\sigma $ 是電導率 。

關於介質的性質，馬克士威並沒有試著處理比較複雜的狀況。他表述的主要是線性、均向性、非色散性物質；他也稍微談到一些有關異向性的晶體物質的問題。

值得注意的是，馬克士威將 $\mu \mathbf {v} \times \mathbf {H} $ 項目包括於他的合勢方程式 (D)。這項目表達一個以速度 $\mathbf {v} $ 移動的導體所感受到的單位電荷的磁場力而產生的動生電動勢。這意味著合勢方程式 (D) 表達了勞侖茲力。這方程式最先出現為論文《論物理力線》的方程式 (77)，比勞侖茲想到這問題早了很多年。現在，勞侖茲力方程式列為馬克士威方程組之外的額外方程式，並沒有被包括在馬克士威方程組裏面。

## 光波是電磁波

在論文《電磁場的動力學理論》裏，馬克士威應用了的 1861 年論文《論物理力線》第三節裏對於安培環路定理的修正，將位移電流與其它已成立的電磁方程式合併，因而得到了描述電磁波的波動方程式。最令人振奮的是，這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他於是說：

馬克士威在對於光波是一種電磁現象的推導裏，並沒有使用法拉第電磁感應定律，而是使用方程式 (D) 來解釋電磁感應作用。由於不考慮導體的運動，項目 $\mu \mathbf {v} \times \mathbf {H} $ 可以被刪除。事實上，他的八個方程式裏，並沒有包括法拉第電磁感應定律方程式在內。

由於馬克士威的推導比較冗長，現代的教科書已不再採用這推導，改而選擇另一種比較簡易了解的推導，這推導主要是使用馬克士威 - 安培定律（安培環路定理的延伸）與法拉第電磁感應定律。

## 馬克士威的推導

假設電磁波是一個平面波，以波速 $V$ 向正 z - 軸的方向傳播於某介質，則描述此電磁波的每一個函數都擁有參數 $w=z-Vt$ 。根據磁向量定義式 (B)，

　
: $\mathbf {B} =-{\hat {x}}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}+{\hat {y}}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}$ ；

其中， $B\ {\stackrel {def}{=}}\ \mu \mathbf {H} $ 是磁感應強度的定義式。

注意到 $B_{z}=0$ ， 還有， $\mathbf {B} $ 垂直於平面波的傳播方向，這電磁波是個橫波。

根據安培環路定理 (C)，

　
: $\mathbf {J} _{tot}=-{\hat {x}}{\frac {\partial H_{y}}{\partial z}}+{\hat {y}}{\frac {\partial H_{x}}{\partial z}}=-{\frac {1}{\mu }}\left({\hat {x}}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}+{\hat {y}}{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}\right)$ ；

假設介質是個絕緣體，傳導電流密度 $\mathbf {J} $ 等於零，則根據總電流定律 (A) 和電彈性方程式 (E)，

　
: $\mathbf {J} _{tot}={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\epsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ ；

假設導體的速度等於零，即動生電動勢項目等於零，則根據合勢方程式 (D)，

　
: ${\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial t^{2}}}=0$ 、

　
: ${\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial t^{2}}}=0$ 。

再應用磁向量定義式 (B)，就可以得到磁場的波動方程式：

　
: ${\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial t^{2}}}=0$ 、

　
: ${\frac {\partial ^{2}B_{y}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}B_{y}}{\partial t^{2}}}=0$ 。

鏈式法則要求

　
: ${\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {\partial w}{\partial z}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}$ 、

　
: ${\frac {\partial }{\partial t}}={\frac {\partial w}{\partial t}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}=-V{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}$ 。

所以，

　
: ${\frac {\mathrm {d} ^{2}B_{x}}{\mathrm {d} w^{2}}}-\mu \epsilon V^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}B_{x}}{\mathrm {d} w^{2}}}=0$ 、

　
: ${\frac {\mathrm {d} ^{2}B_{y}}{\mathrm {d} w^{2}}}-\mu \epsilon V^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}B_{y}}{\mathrm {d} w^{2}}}=0$ 。

傳播的速度為

　
: $V=1/{\sqrt {\mu \epsilon }}$ 。

設定磁導率為磁常數 $\mu _{0}$ ，電容率為電常數 $\epsilon _{0}$ ，則傳播速度是電磁波傳播於自由空間的速度。

類似地，應用合勢方程式 (D)，可以得到電場的波動方程式：

　
: ${\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial t^{2}}}=0$ 、

　
: ${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial t^{2}}}=0$ 、

　
: $E_{z}=-{\frac {\partial A_{z}}{\partial t}}-{\frac {\partial \phi }{\partial z}}$ 。

注意到， $E_{z}$ 可能不等於零。在尚未更清楚了解電荷密度的性質之前，馬克士威不排除電場波為縱波的可能性。

## 現代推導

在自由空間裏，黑維塞版的馬克士威方程組的四個微分方程式為

　
: $\nabla \cdot \mathbf {E} =0$ 、(1)

　
: $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ 、(2)

　
: $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ 、(3)

　
: $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ ；(4)

其中， $\mu _{0}$ 是磁常數， $\varepsilon _{0}$ 是電常數。

分別取公式 (2) 、(4) 的旋度，

　
: $\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {B} )=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}$ 、

　
: $\nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {E} )=-\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}$ 。

應用一則向量恆等式

　
: $\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {Z} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Z} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {Z} $ ；

其中， $\mathbf {Z} $ 是任意向量函數。

將公式 (1) 、(3) 代入，即可得到波動方程式：

　
: $\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} \ =\ 0$ 、(5)

　
: $\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} \ =\ 0$ ；(6)

其中， $c=c_{0}={1 \over {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}$ ［公尺／秒］是電磁波傳播於自由空間的速度。

## 參閱

* 《論法拉第力線》
* 電磁波方程式
* 彎曲時空中的馬克士威方程組
* 非齊次的電磁波方程式
* 馬克士威應力張量
* 馬克士威方程組的歷史
* 電磁學與經點光學時間表 (Timeline of electromagnetism and classical optics)

## 參考文獻

* Maxwell, James C.; Torrance, Thomas F., A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, Eugene, OR: Wipf and Stock, March 1996, ISBN 1-57910-015-5
* Niven, W. D., The Scientific Papers of James Clerk Maxwell _**Vol. 1**, New York: Dover, 1952_