電磁波方程式

在電磁學裏，**電磁波方程式**（英語：Electromagnetic wave equation）乃是描述電磁波傳播於介質或真空的二階微分方程式。電磁波的波源是局域化的含時電荷密度和電流密度，假若波源為零，則電磁波方程式約化為二階齊次微分方程式。這方程式的形式，以電場 $\mathbf {E} \,\!$ 和磁場 $\mathbf {B} \,\!$ 來表達為

　
: $\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} \ =\ 0\,\!$ 、

　
: $\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} \ =\ 0\,\!$ ；

其中， $\nabla ^{2}\,\!$ 是拉普拉斯算符， $c\,\!$ 是電磁波在真空或介質中傳播的速度， $t\,\!$ 是時間。

由於光波就是電磁波， $c\,\!$ 也是光波傳播的速度，稱為光速。在真空裏， $c=c_{0}=299,792,458\,\!$ ［公尺／秒］，是電磁波傳播於自由空間的速度。

## 歷史

在詹姆斯・馬克士威的 1864 年論文《電磁場的動力學理論》內，馬克士威將位移電流與其它已成立的電磁方程式合併，因而得到了描述電磁波的波動方程式。最令人振奮的是，這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他這樣說
：

## 理論推導

在真空裏，馬克士威方程組的四個微分方程式為

　
: $\nabla \cdot \mathbf {E} =0\,\!$ 、(1)

　
: $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!$ 、(2)

　
: $\nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!$ 、(3)

　
: $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!$ ；(4)

其中， $\mu _{0}\,\!$ 是真空磁導率， $\varepsilon _{0}\,\!$ 是真空電容率。

分別取公式 (2)、(4) 的旋度，

　
: $\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {B} )=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\,\!$ 、

　
: $\nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {E} )=-\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\,\!$ 。

應用一則向量恆等式（這裏， $\nabla ^{2}\mathbf {V} $ 應被理解爲對 V 的每個分量取拉普拉斯算子，卽拉普拉斯–德拉姆算子）

　
: $\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} \,\!$ ；

其中， $\mathbf {V} \,\!$ 是任意向量函數。

將公式 (1)、(3) 代入，即可得到亥姆霍茲方程式形式的波動方程式：

　
: $\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} \ =\ 0\,\!$ 、(5)

　
: $\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} \ =\ 0\,\!$ ；(6)

其中， $c=c_{0}={1 \over {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\,\!$ ［公尺／秒］是電磁波傳播於自由空間的速度。

## 齊次的波動方程式的協變形式

電磁四維勢 $A^{\mu }\,\!$ 是由電位 $\phi \,\!$ 與矢量勢 $\mathbf {A} \,\!$ 共同形成的，定義為

　
: $A^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,\mathbf {A} )\,\!$ 。

採用勞侖次規範：

　
: ${\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0\,\!$ 。

前述那些齊次的波動方程式 (5)、(6)，可以按照反變形式寫為

　
: $\ \Box A^{\mu }=0\,\!$ ；

其中， $\Box =\partial ^{\nu }\partial _{\nu }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\nu }\partial x^{\nu }}}={\frac {1}{{c}^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}\,\!$ 是達朗貝爾算子，又稱為**四維拉普拉斯算子**。

## 彎曲時空中的齊次的波動方程式

齊次的電磁波方程式在彎曲時空中需要做兩處修正，分別是將偏導數替換為協變導數，以及增加了一項有關時空曲率的項。假設勞侖次規範在彎曲時空中的推廣為

　
: ${A^{\mu }}_{;\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0\,\!$ 。

那麼，彎曲時空中的齊次的波動方程式為

　
: $-{A^{\alpha ;\beta }}_{\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=0\,\!$ ；

其中， ${R^{\alpha }}_{\beta }\,\!$ 是里奇曲率張量。

## 非齊次的電磁波方程式

追根究底，局域化的含時電荷密度和電流密度是電磁波的波源。在有波源的情形下，馬克士威方程組可以寫成一個非齊次的電磁波方程式的形式。正是因為波源的存在，使得偏微分方程式變為非齊次。

## 波動方程式的解

在齊次的電磁波方程式中，電場和磁場的每一個分量都滿足純量波動方程式

　
: ${\frac {1}{{c}^{2}}}{\partial ^{2}f \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}f\ =\ 0\,\!$ ；(7)

其中， $f\,\!$ 是任意良態函數，

純量波動方程式的一般解的形式為

　
: $f(\mathbf {r} ,t)=g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!$ ；

其中， $g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!$ 是任意良態函數， $\mathbf {r} \,\!$ 是位置向量， $t\,\!$ 是時間， $\mathbf {k} \,\!$ 是波向量， $\omega \,\!$ 是角頻率。

函數 $g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!$ 描述一個波動，隨著時間的演化，朝著 $\mathbf {k} \,\!$ 的方向傳播於空間。將函數 $g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!$ 代入純量波動方程式 (7)，可得到角頻率與波數的色散關係：

　
: $\omega ^{2}=c^{2}k^{2}\,\!$ ，

或者，角頻率一定大於零，但波數可以是負值：

　
: $\omega =c|k|\,\!$ 。

### 正弦波

假設，函數 $g\,\!$ 的波形為正弦波：

　
: $f=f_{0}\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})\,\!$ ；

其中， ${f}_{0}\,\!$ 是實值波幅， $\phi _{0}\,\!$ 是**初相位**。

根據歐拉公式，

　
: $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \,\!$ ，

函數 $f\,\!$ 也可以表達為一個複數的實值部分

　
: $f=\operatorname {Re} \{f_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})}\}\,\!$ 。

以上方加有波浪號的符號來標記複值變數。設定複值函數 ${\tilde {f}}\,\!$ 為

　
: ${\tilde {f}}=f_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})}={\tilde {f}}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!$ ；

其中， ${\tilde {f}}_{0}=f_{0}e^{i\phi _{0}}\,\!$ 是複值波幅。

那麼，

　
: $f=\operatorname {Re} \{{\tilde {f}}\}\,\!$ ；

純量波動方程式的正弦波解的形式為 ${\tilde {f}}\,\!$ 的實值部分。任意涉及實函數 $f\,\!$ 的線性方程式，都可以用複函數 ${\tilde {f}}\,\!$ 來代替 $f\,\!$ 。最後得到的複值答案，只要取實值部分，就可以得到描述實際物理的答案。但是，當遇到非線性方程式，必須先轉換為實值函數，才能夠確保答案的正確性。

由於指數函數比三角函數容易計算，在很多場合，都可以使用這技巧。

### 線性疊加

任意波動 $f(\mathbf {r} ,t)\,\!$ 可以表達為一個無限集合的不同頻率的正弦波的線性疊加：

　
: $f(\mathbf {r} ,t)=\int _{0}^{\infty }{\tilde {f}}_{0}(\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}\ d\omega \,\!$ 。

所以，只要能得知單獨頻率的波動 ${\tilde {f}}_{0}(\mathbf {r} ,\omega )\,\!$ （單色波）的表達式，就可以求算整個波動 $f(\mathbf {r} ,t)\,\!$ 的表達式。

## 齊次的電磁波方程式的解

### 單色正弦平面波的解

從前面的分析，可以猜到齊次的電磁波方程式的單色正弦平面波的解為：

　
: ${\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\mathbf {E} }}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!$ 、

　
: ${\tilde {\mathbf {B} }}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\mathbf {B} }}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!$ ；

其中， ${\tilde {\mathbf {E} }}_{0}\,\!$ 、 ${\tilde {\mathbf {B} }}_{0}\,\!$ 分別為複值電場 ${\tilde {\mathbf {E} }}$ 和複值磁場 ${\tilde {\mathbf {B} }}$ 的複常數振幅向量。

這兩個方程式顯示出正弦平面波的傳播方向是 $\mathbf {k} \,\!$ 的方向。由於方程式 (1) 和 (3)，

　
: $\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}=0\,\!$ 、

　
: $\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}_{0}=0\,\!$ ，

電場和磁場垂直於波向量，波動傳播的方向。所以，電磁波是橫波。

由於法拉第電磁感應定律方程式 (2)，

　
: $\nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=\left(\nabla e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\right)\times {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}=i\mathbf {k} \times {\tilde {\mathbf {E} }}=-{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {B} }}}{\partial t}}=i\omega {\tilde {\mathbf {B} }}\,\!$ 。

將角頻率與波數的色散關係式 $\omega =ck\,\!$ 帶入：

　
: ${\tilde {\mathbf {B} }}={\frac {\mathbf {k} }{\omega }}\times {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {1}{c}}{\hat {\mathbf {k} }}\times {\tilde {\mathbf {E} }}\,\!$ 。

所以，電場與磁場相互垂直於對方；磁場的大小等於電場的大小除以光速。

### 電磁波譜分解

由於馬克士威方程組在真空裡的線性性質，其解答可以分解為一集合的正弦波。將這集合的正弦波的疊加在一起，又可以形成原本的解答。這是傅立葉變換方法解析微分方程式的基礎概念。電磁波方程式的正弦波解的形式為

　
: $\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\,\!$ 、

　
: $\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\,\!$ 。

波向量與角頻率的關係為

　
: $k=|\mathbf {k} |={\omega  \over c}={2\pi  \over \lambda }\,\!$ ；

其中， $\lambda \,\!$ 是波長。

按照波長長短，從長波開始，電磁波可以分類為電能、無線電波、微波、紅外線、可見光、紫外線、X - 射線和伽馬射線等等。普通實驗使用的光譜儀就足以分析從 2  奈米到 2500 奈米波長的電磁波。使用這種儀器，可以得知物體、氣體或甚至恆星的詳細物理性質。這是天文物理學的必備儀器。例如，氫原子會發射波長為 21.12 公分的無線電波。

### 圓柱對稱性解

如圖右，思考一條由半徑為 $a\,\!$ 的無窮長的直導線，和半徑為 $b\,\!$ 的無窮長的圓柱導電管，所組成的共軸傳輸線。假設這傳輸線與 z - 軸平行。由於共軸傳輸線的內部有一條直導線，不是空心的，它可以傳輸 $E_{z}=0\,\!$ 和 $B_{z}=0\,\!$ 的電磁橫波，採用圓柱坐標 $(s,\phi ,z)\,\!$ ，在傳輸線的內部空間，電場和磁場分別為

　
: ${\mathbf {E} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {{\mathbf {E} }_{0}}{s}}\cos(kz-\omega t){\hat {s}}\,\!$ 、

　
: ${\mathbf {B} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {E} _{0}}{cs}}\cos(kz-\omega t){\hat {\phi }}\,\!$ 。

這一組方程式顯示出電磁波方程式的圓柱對稱性解的一種形式。

### 球對稱性解

思考一個位於原點的振盪中的磁偶極矩 $m=m_{0}\cos(\omega t)\,\!$ 。這磁偶極矩會發射出電磁波，從原點往無窮遠輻射出去。採用球坐標 $(r,\theta ,\phi )\,\!$ ，則在離原點很遠的位置 $\mathbf {r} \,\!$ ，電場和磁場分別為

　
: ${\mathbf {E} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {E} _{0}\sin \theta }{r}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\phi }}\,\!$ 、

　
: ${\mathbf {B} }(\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\mathbf {E} _{0}\sin \theta }{cr}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\theta }}\,\!$ 。

這是一組滿足電磁波方程式的球面波方程式。

## 參閱

### 理論與實驗

### 應用領域

## 參考文獻