雅可比橢圓函數

在數學中，**雅可比橢圓函數**是由卡爾・雅可比在 1830 年左右研究的一類橢圓函數。這類函數可用於擺之類的應用問題，並具有與三角函數相似的性質。

## 介紹

雅可比橢圓函數有十二種，各對映到某個矩形的頂點連線。此諸頂點記作 $s\,$ $c\,$ $d\,$ $n\,$ 。

視此矩形為複數平面的一部分， $s\,$ 是原點， $c\,$ 是實軸上的一點 $K,d\,$ 是 $K+{\rm {i}}K'\,$ ， $n\,$ 是 ${\rm {i}}K'\,$ 。 $K\,$ 與 ${\rm {i}}K'\,$ 稱作四分之一週期。

十二個橢圓函數分別記為 ${\rm {sc}},{\rm {sd}},{\rm {sn}},{\rm {cs}},{\rm {cd}},{\rm {cn}},{\rm {ds}},{\rm {dc}},{\rm {dn}},{\rm {ns}},{\rm {nc}},{\rm {nd}}\,$ 。為方便起見，取變數 $p,q\,$ 意指矩形上的任一對頂點，則函數 $pq\,$ 是唯一滿足以下性質的週期亞純函數

 * $p\,$ 是單零點， $q\,$ 是單極點。
* $pq\,$ 在 ${\vec {pq}}$ 方向的週期等於 $p,q\,$ 距離的兩倍。對另兩個從 $p\,$ 出發的方向， $pq\,$ 亦滿足同樣性質。
* $pq\,$ 在頂點 $p\,$ $q\,$ 的展式首項係數均為一。

表列如次：

一般而言，須以平行四邊形代替上述矩形，以考慮更一般的週期。

## 表為橢圓積分之逆

以上定義略顯抽象，更具體的定義是將之表為某類橢圓積分 (第一類不完全橢圓積分) 之逆。設

　
: $u=\int _{0}^{\phi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}.$

橢圓正弦函數 sn _u_ 定義為

　
: $\operatorname {sn} \;u=\sin \phi \,$

而橢圓餘弦函數 cn _u_ 定義為

　
: $\operatorname {cn} \;u=\cos \phi $

同理，橢圓德爾塔函數有

　
: $\operatorname {dn} \;u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\phi }}.\,$

這裡的 $m\in \mathbb {R} $ 是自由變元，通常取 $0\leq m\leq 1$ 。

剩下的九種橢圓函數能由這三種構造。

## 反函數

雅可比橢圓函數的反函數可以像三角函數與反三角函數那樣被定義。因為橢圓函數往往是橢圓積分之逆，這些反函數也都可以用勒讓德橢圓積分來描述。如同反三角函數一樣，雅可比橢圓函數的反函數也是多值的，因此需要支割線。以下是部分反函數的積分表達：

 * $\mathrm {arcsn} \,(z,k)=\int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}$
* $\mathrm {arccn} \,(z,k)=\int _{z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}+k^{2}t^{2})}}}$
* $\mathrm {arcdn} \,(z,k)=\int _{z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(t^{2}+k^{2}-1)}}}$
 * $\mathrm {arcns} \,(z,k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(t^{2}-1)(t^{2}-k^{2})}}}$
* $\mathrm {arcnc} \,(z,k)=\int _{1}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(t^{2}-1)(1-k^{2})(k^{2}+t^{2})}}}$
* $\mathrm {arcnd} \,(z,k)=\int _{1}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(t^{2}-1)(1-(1-k^{2})t^{2})}}}$

## 用 Θ 函數來定義

雅可比橢圓函數也可以用 Θ 函數來定義。如果我們把 $\vartheta (0;\tau )$ 簡寫為 $\vartheta $ ，把 $\vartheta _{01}(0;\tau ),\vartheta _{10}(0;\tau ),\vartheta _{11}(0;\tau )$ 分別簡寫為 $\vartheta _{01},\vartheta _{10},\vartheta _{11}$ （Theta 常數），那麼橢圓模 _k_ 是 $k=({\vartheta _{10} \over \vartheta })^{2}$ 。如果我們設 $u=\pi \vartheta ^{2}z$ ，我們便有：

　
: ${\mbox{sn}}(u;k)=-{\vartheta \vartheta _{11}(z;\tau ) \over \vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\tau )}$

　
: ${\mbox{cn}}(u;k)={\vartheta _{01}\vartheta _{10}(z;\tau ) \over \vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\tau )}$

　
: ${\mbox{dn}}(u;k)={\vartheta _{01}\vartheta (z;\tau ) \over \vartheta \vartheta _{01}(z;\tau )}$

## 加法定理

　
: $\operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1,\,$

　
: $\operatorname {dn} ^{2}+k^{2}\operatorname {sn} ^{2}=1.\,$

由此可見 (cn,sn,dn) 描出射影空間 $\mathbb {P} ^{3}(\mathbb {C} )$ 中兩個二次曲面之交，這同構於一條橢圓曲線。曲線上的群運算由下列加法公式描述：

　
: $\operatorname {cn} (x+y)={\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {dn} (x)\;\operatorname {dn} (y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}},$

　
: $\operatorname {sn} (x+y)={\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {cn} (y)\;\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {dn} (x) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}},$

　
: $\operatorname {dn} (x+y)={\operatorname {dn} (x)\;\operatorname {dn} (y)-k^{2}\;\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {cn} (y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.$

## 函數的平方之間的關係

　
: $-\operatorname {dn} ^{2}(u)+(1-k^{2})=-k^{2}\;\operatorname {cn} ^{2}(u)=k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(u)-k^{2}$

　
: $(k^{2}-1)\;\operatorname {nd} ^{2}(u)+(1-k^{2})=k^{2}(k^{2}-1)\;\operatorname {sd} ^{2}(u)=k^{2}\;\operatorname {cd} ^{2}(u)-k^{2}$

　
: $(1-k^{2})\;\operatorname {sc} ^{2}(u)+(1-k^{2})=(1-k^{2})\;\operatorname {nc} ^{2}(u)=\operatorname {dc} ^{2}(u)-k^{2}$

　
: $\operatorname {cs} ^{2}(u)+(1-k^{2})=\operatorname {ds} ^{2}(u)=\operatorname {ns} ^{2}(u)-k^{2}$

## 常微分方程的解

三個基本的雅可比橢圓函數的導數為：

　
: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {sn} \,(z;k)=\mathrm {cn} \,(z;k)\,\mathrm {dn} \,(z;k),$

　
: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {cn} \,(z;k)=-\mathrm {sn} \,(z;k)\,\mathrm {dn} \,(z;k),$

　
: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {dn} \,(z;k)=-k^{2}\mathrm {sn} \,(z;k)\,\mathrm {cn} \,(z;k).$

根據以上的加法定理，可知它們是以下非線性常微分方程的解：

 * $\mathrm {sn} \,(x;k)$ 是微分方程 ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+k^{2})y-2k^{2}y^{3}=0,$ 和 $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}y^{2})$ 的解；
 * $\mathrm {cn} \,(x;k)$ 是微分方程 ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^{3}=0,$ 和 $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}+k^{2}y^{2})$ 的解；
 * $\mathrm {dn} \,(x;k)$ 是微分方程 ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0,$ 和 $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-k^{2}-y^{2})$ 的解。

## 圖像

## 文獻

* Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. 1972. ISBN 0-486-61272-4.  見 第 16 章 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Naum Illyich Akhiezer, _Elements of the Theory of Elliptic Functions_, (1970) Moscow, translated into English as _AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79_ (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
* E. T. Whittaker and G. N. Watson _A Course of Modern Analysis_, (1940, 1996) Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3
* Alfred George Greenhill, The applications of elliptic functions (London, New York, Macmillan, 1892)
* H. Hancock Lectures on the theory of elliptic functions (New York, J. Wiley & sons, 1910)
* A. C. Dixon The elementary properties of the elliptic functions, with examples (Macmillan, 1894)