雙曲空間

**雙曲幾何**又名**羅氏幾何**（羅巴切夫斯基幾何），是非歐幾里德幾何的一種特例。與歐幾里德幾何的差別在於第五條公理（公設）－平行公設。在歐幾里德幾何中，若平面上有一條直線 R 和線外的一點 P，則存在唯一的一條線滿足通過 P 點且不與 R 相交（即 R 的平行線）。但在雙曲幾何中，至少可以找到兩條相異的直線，且都通過 P 點，並不與 R 相交，因此它違反了平行公設。然而，取代歐幾里德幾何中的平行公設的雙曲幾何本身並無矛盾之處，仍可以推得一系列屬於它的定理，這也說明了平行公設獨立於前四條公設，換句話說，無法由前四條公設推得平行公設。

到目前為止，數學家對雙曲幾何中平行線的定義尚未有共識，不同的作者會給予不同的定義。這裡定義兩條逐漸靠近的線為漸近線，它們互相漸進；兩條有共同垂直線的線為超平行線，它們互相超平行，並且兩條線為平行線代表它們互相漸進或互相超平行。雙曲幾何還有一項性質，就是三角形的內角和小於一個平角（180°）。在極端的情況，三角形的三邊長趨近於無限，而三內角趨近於 0°，此時該三角形稱作理想三角形。

雙曲幾何專門研究當平面變成鞍馬型之後，平面幾何到底還有哪些可以適用，以及會有甚麼特別的現象產生。在雙曲幾何的環境裡，平面的曲率是負數。

## 不相交的線

已知在雙曲幾何上，至少有兩條直線滿足過 P 點平行直線 R。接著在 R 上取一點 B 使得 PB 垂直 R 於 B 點，設在所有滿足過 P 點且不與 R 相交的直線中，存在一條直線 x 與 PB 的逆時針方向夾角比其他直線都來的小，即任何一條直線若與 PB 的逆時針夾角小於 x 與 PB 的逆時針夾角，則必與 R 相交，並定義 x 為 R 的漸近線。同理，若存在另一條直線 y 與 PB 的順時針方向夾角比其他直線都來的小，則 y 為 R 的另一條漸近線。並且，在所有滿足過 P 點且不與 R 相交的直線中，唯有 x 與 y 是 R 的漸近線，其餘的則稱之為 R 的超平行線。由於滿足小於 90° 且大於 x 與 PB 的夾角 θ 的角度有無線多個，每個角度皆可引出兩條 R 的超平行線，因此 R 有無線多條超平行線。

因此，對於平面上一條直線 R 以及線外的一點 P，恰能引出兩條直線過 P 且漸近於 R，以及無限多條直線過 P 超平行於 R。

此外，漸近線和超平行線的差別還有：不論往線的哪端延伸，兩條超平行線之間的距離皆會趨近於無限；但兩條漸近線之間的距離則會在一端趨近於零，在另一端趨近無限。從而，在雙曲幾何中有一定理超平行線定理：對於任兩條超平行線存在唯一一條線同時垂直於這兩條線。

對雙曲平面上的一條直線 R，作線段 BP 垂直 R 於 B 點，且線段 BP 的長度等於一個給定的值 p，則定義兩條 R 的過 P 點的漸近線與線段 BP 的夾角 θ 為 p 的漸近角（Angle of parallelism），通常記為 Π（p）。因此有

　
: $\lim _{p\to 0}\Pi (p)={\tfrac {1}{2}}\pi $ 以及 $\lim _{p\to \infty }\Pi (p)=0$

於是，隨著線段長度的縮小，雙曲幾何的性質會越來越像歐幾里得幾何。事實上，對任一個雙曲幾何定義一個定值 K = 高斯曲率，藉由線段長度與 ${\frac {1}{\sqrt {-K}}}$ 的比值，由此可知該平面的性質與歐幾里得幾何的相似度。

## 三角形

在雙曲幾何中，線段長度的定義為兩點的最短距離除以 $R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}$ ，K = 高斯曲率，正如同在球面幾何中的長度為其圓心角弧度（最短距離除以曲率），有了長度的定義後，便可給出雙曲幾何中的勾股定理：若一直角三角形的兩股長分別為 a 和 b，斜邊為 c，則

 $\cosh c=\cosh a\cosh b\ $
在此，**cosh** 指的是雙曲餘弦函數。

在雙曲幾何中，許多雙曲三角學公式與歐幾里得幾何十分相像，大抵上雙曲幾何中的長度需帶入雙曲函數。例如雙曲幾何中的正弦定律為：

 ${\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}$
不同於歐幾里得幾何，雙曲幾何中三角形的內角和必小於 π(180°)，故稱其內角和與 π 的差為該三角形的角虧，則該三角形的面積等於該三角形的角虧乘以 R²，而 $R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}$ 。故所有三角形的面積均小於等於 πR²，且等號成立若且唯若該三角形為理想三角形。

## 圓與球

以下的圓或球半徑皆為 r ，並且 K 代表高斯曲率， R 代表 ${\frac {1}{\sqrt {-K}}}$

雙曲幾何中圓的周長為 $2\pi R\sinh {\frac {r}{R}}\,$

因為 sinh x 的泰勒展開式為

 $\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
於是，對所有正實數 x＞0， $sinhx>x$ ，推得 $\sinh {\frac {r}{R}}>{\frac {r}{R}}$

故圓的周長必大於 $2\pi r$ 。

圓的面積則是 $2\pi R^{2}(\cosh {\frac {r}{R}}-1)$ 。

球的表面積為 $4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{R}}$ ，必大於歐幾里得幾何的 $4\pi r^{2}$

球的體積為 $\pi R^{3}\sinh {\frac {2r}{R}}-2\pi R^{2}r$

在 n 度空間中，定義 Ω\_n 是 n 維立體角，滿足 $\Omega _{n}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}$

在此，Γ(n) 是 Γ 函數。

則 n-1 維球面 (在 n 度空間中) 的測度是 $\Omega _{n}R^{n-1}\sinh ^{n-1}{\frac {r}{R}}$

n 維球 (在 n 度空間中) 的測度則是 $\Omega _{n}R^{n-1}\int _{0}^{r}\sinh ^{n-1}{\frac {s}{R}}ds$

## 羅式幾何

羅式幾何學的公理系統和歐式幾何學不同的地方僅僅是把歐式一對分散直線在其唯一公垂線兩側無限遠離幾何平行公理用「從直線外一點，至少可以做兩條直線和這條直線平行」來代替，其他公理基本相同。由於平行公理不同，經過演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內容不同的新的幾何命題。

凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅式幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，在羅式幾何中都不成立，他們都相應地含有新的意義。下面舉幾個例子加以說明：

* 歐式幾何：
  * 同一直線的垂線和斜線相交。
  * 垂直於同一直線的兩條直線互相平行。
  * 存在相似的多邊形。
  * 過不在同一直線上的三點可以作且僅能作一個圓。
* 羅式幾何
  * 同一直線的垂線和斜線不一定相交。
  * 垂直於同一直線的兩條直線，當兩端延長的時候，離散到無窮。
  * 不存在相似的多邊形。
  * 過不在同一直線上的三點，不一定能作一個圓。

從上面所列舉得羅式幾何的一些命題可以看到，這些命題和大眾所習慣的直觀形象有矛盾。所以羅式幾何中的一些幾何事實沒有像歐式幾何那樣容易被接受。但是，數學家們經過研究，提出可以用大眾習慣的歐式幾何中的事實作一個直觀「模型」來解釋羅式幾何，便是正確的。

1868 年，義大利數學家貝爾特拉米發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實現。這就是說，非歐幾何命題可以「翻譯」成相應的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。

直到這時，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學術界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨創性研究也就由此得到學術界的高度評價和一致讚美，他本人則被人們讚譽為「幾何學中的哥白尼」。

## 參見

* 歐式幾何
* 非歐幾何
* 黎曼幾何
* 球面幾何

## 參考資料

* http://www.math.brown.edu/~rkenyon/papers/cannon.pdf（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 外部連結

* Non-Euclidean geometry and Indra's pearls, by Caroline Series and David Wright（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）