雅可比矩陣

在向量分析中，**雅可比矩陣**（也稱作 **Jacobi 矩陣**，英語：**Jacobian matrix**）是函數的一階偏導數以一定方式排列成的矩陣。

當其為方形矩陣時，其行列式稱為**雅可比行列式（Jacobi determinant）** 。

要注意的是，如果雅可比矩陣為方陣，那在英文中雅可比矩陣跟 Jacobi 行列式兩者都稱作 **Jacobian**。

其重要性在於，如果函數 **f** : ℝn → ℝm 在點 **x** 可微的話，在點 **x** 的雅可比矩陣即為該函數在該點的最佳線性逼近，也代表雅可比矩陣是單變數實數函數的微分在向量值多變數函數的推廣，在這種情況下，雅可比矩陣也被稱作函數 **f** 在點 **x** 的微分或者導數。

在代數幾何中，代數曲線的_雅可比行列式'_ 表示雅可比簇：伴隨該曲線的一個代數群，曲線可以嵌入其中。

它們全部都以普魯士數學家卡爾・雅可比命名。

## 雅可比矩陣

假設某函數從 **f** : ℝn → ℝm， 從 **x** ∈ ℝn 映射到 向量 **f**(**x**) ∈ ℝm， 其雅可比矩陣是一 _m_×_n_ 的矩陣，換句話講也就是從 ℝn 到 ℝm 的線性映射，其重要意義在於它表現了一個多變數向量函數的最佳線性逼近。因此，雅可比矩陣類似於單變數函數的導數。

此函數 **f** 的雅可比矩陣 **J** 為 _m_×_n_ 的矩陣，一般由以下方式定義：

　
: $\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$

矩陣的分量可表示成：

　
: $\mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}$

雅可比矩陣的其他常用符號還有：

　
: $Df$ 、 $\mathrm {D} \mathbf {f} $ 、 $\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 或者 ${\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}$

此矩陣的第 $i$ 列是由函數 $f_{i}$ 的梯度函數所表示的， $1\leq i\leq m$ 。 

如果 $p$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的一點， $f$ 在 $p$ 點可微分，根據數學分析， $\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(p)$ 是在這點的導數。在此情況下， $\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(p)$ 這個線性映射即 $f$ 在點 $p$ 附近的最優線性逼近，也就是說當 $x$ 足夠靠近點 $p$ 時，我們有

　
: $f(x)\approx f(p)+\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(p)\cdot (x-p)$

講更詳細點也就是：

　
: $\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {p} )+\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)$

其中，_o_ 代表小 o 符號，‖**x** − **p**‖ 為 **x** 與 **p** 之間的距離。

## 例子

### 例一

由球坐標系到直角坐標系的轉化由 **F**: ℝ+ × [0, _π_) × [0, 2_π_) → ℝ3 函數給出，其分量為：

　
: ${\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \varphi ;\\y&=r\sin \theta \sin \varphi ;\\z&=r\cos \theta \end{aligned}}$

此坐標變換的雅可比矩陣是

　
: $\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{bmatrix}}$

其雅可比行列式為 _r_2 sin _θ_。以體積元變換爲例，由於 _dV_ = _dx_ _dy_ _dz_，如果做變數變換，則其體積元（Volume element，_dV_），會變成：_dV_ = _r_2 sin _θ_ _dr_ _dθ_ _dφ_。

### 例二

**F** : ℝ3 → ℝ4，其各分量為

　
: $y_{1}=x_{1}\,$

　
: $y_{2}=5x_{3}\,$

　
: $y_{3}=4x_{2}^{2}-2x_{3}\,$

　
: $y_{4}=x_{3}\sin x_{1}\,$

其雅可比矩陣為:

　
: $J_{F}(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\frac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\frac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}$

此例子說明雅可比矩陣不一定為方陣。

## 在動力系統中

考慮形為 $x^{\prime }=F(x)$ 的動力系統， $F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ 。如果 $F(x_{0})=0$ ，那麼 $x_{0}$ 是一個臨界點。系統接近臨界點時的行為跟 $J_{F}(x_{0})$ 的特徵值相關。

## 雅可比行列式

如果 _m_ = _n_，那麼 _F_ 是從 ℝn 映射到 ℝn 的函數，且它的雅可比矩陣是一個方陣。於是我們可以取它的行列式，稱為**雅可比行列式**。

在某個給定點的雅可比行列式提供了 _F_ 在接近該點時的表現的重要資訊。例如，如果連續可微函數 _F_ 在 _p_ 點的 Jacobi 行列式不等於零，那麼它在該點附近有 _F_ 的反函數。這稱為反函數定理。更進一步，如果 _p_ 點的 Jacobi 行列式是正數，則 _F_ 在 _p_ 點保持定向（preserves orientation）；如果是負數，則 _F_ 逆轉定向（reverses orientation）。而從 Jacobi 行列式的絕對值，就可以知道函數 _F_ 在 _p_ 點附近是放大或縮小體積；這就是它出現在換元積分法中的原因。

### 例子一

設有函數 _F_ : ℝ3 → ℝ3，其分量為：

　
: $y_{1}=5x_{2}\,$

　
: $y_{2}=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\,$

　
: $y_{3}=x_{2}x_{3}\,$

則它的 Jacobi 行列式為：

　
: ${\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}\cdot {\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}$

從中我們可以看到，當 _x_1 和 _x_2 同號時，_F_ 逆轉定向；該函數處處具有反函數，除了在 _x_1 = 0 或 _x_2 = 0 的點。

### 例子二

這是一個與巴塞爾問題 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ 較為相似的級數 $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}$ 的求解方法，首先可以轉化為二重積分（在這裡 _D_1 指 _x_ 與 _y_ 皆為從 0 到 1 的正方形區域）：

　
: $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}=\iint \limits _{D_{1}}\sum _{n=1}^{\infty }(xy)^{2n}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint \limits _{D_{1}}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1-x^{2}y^{2}}}$

此時定義映射 _F_ : ℝ2 → ℝ2，滿足：

　
: ${\begin{cases}u=\arctan \left(x{\sqrt {\dfrac {1-y^{2}}{1-x^{2}}}}\right)\\v=\arctan \left(y{\sqrt {\dfrac {1-x^{2}}{1-y^{2}}}}\right)\end{cases}}\iff {\begin{cases}x={\dfrac {\sin u}{\cos v}}\\y={\dfrac {\sin v}{\cos u}}\end{cases}}$

於是有相應的雅可比行列式：

　
: ${\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial u}}&{\dfrac {\partial x}{\partial v}}\\{\dfrac {\partial y}{\partial u}}&{\dfrac {\partial y}{\partial v}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\cos u}{\cos v}}&{\dfrac {\sin u\sin v}{\cos ^{2}v}}\\{\dfrac {\sin u\sin v}{\cos ^{2}u}}&{\dfrac {\cos v}{\cos u}}\end{vmatrix}}=1-{\frac {\sin ^{2}u\sin ^{2}v}{\cos ^{2}u\cos ^{2}v}}=1-x^{2}y^{2}$

因此 $\mathrm {d} x\mathrm {d} y=(1-x^{2}y^{2})\mathrm {d} u\mathrm {d} v$ ，並且將正方形 _D_1 映射成 _u_>0、_v_>0、_u_+_v_<π/2 的等腰直角三角形，記為 _D_2，得到：

　
: $\iint \limits _{D_{1}}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1-x^{2}y^{2}}}=\iint \limits _{D_{2}}\mathrm {d} u\mathrm {d} v=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left(\int _{0}^{{\frac {\pi }{2}}-v}\mathrm {d} u\right)\mathrm {d} v={\frac {\pi ^{2}}{8}}$

## 逆矩陣

根據反函數定理，一個_可逆函數_（存在反函數的函數）的雅可比矩陣的逆矩陣即為該函數的_反函數_的雅可比矩陣。即，若函數 $F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ 在點 $p\in \mathbb {R} ^{n}$ 的雅可比矩陣是連續且可逆的，則 $F$ 在點 $p$ 的某一鄰域內也是可逆的，且有

　
: $J_{F^{-1}}\circ f=J_{F}^{-1}$

成立。相反，倘若雅可比行列式在某一個點**不為**零，那麽該函數在這個點的某一鄰域內_可逆_（存在反函數）。

一個多項式函數的可逆性與未經證明的雅可比猜想有關。其斷言，如果函數的雅可比行列式為一個非零實數（相當於其不存在**複零點**），則該函數可逆且其反函數也為一個多項式。

## 參看

* 前推
* 黑塞矩陣

## 參考資料

## 外部連結

* Ian Craw 的本科教學網頁 雅可比行列式的通俗解釋
* Mathworld （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 更技術型的雅可比行列式的解釋