雷諾數

在流體力學中，**雷諾數**（Reynolds number）是流體的慣性力 ${\frac {\rho v^{2}}{L}}$ 與黏性力 ${\frac {\mu v}{L^{2}}}$ 的比值，它是一個無因次量。

雷諾數較小時，黏滯力對流場的影響大於慣性力，流場中流速的擾動會因黏滯力而衰減，流體流動穩定，為層流；反之，若雷諾數較大時，慣性力對流場的影響大於黏滯力，流體流動較不穩定，流速的微小變化容易發展、增強，形成紊亂、不規則的紊流流場。

## 定義

雷諾數一般表示如下：

　
: $\mathrm {Re} ={{\rho {\mathbf {\mathrm {V} } }L} \over {\mu }}={{{\mathbf {\mathrm {V} } }L} \over {\nu }}$

其中

 * ${\mathbf {\mathrm {V} } }$ 是特徵速度（國際單位：m/s）
* ${L}$ 是特徵長度 (m)
* ${\mu }$ 是流體動力黏度（Pa・s 或 N・s/m²）
* ${\nu }$ 是流體運動黏度（ $\nu =\mu /$ _ρ_）(m²/s)
* ${\rho }$ 是流體密度（kg/m³）

對於不同的流場，雷諾數可以有很多表達方式。這些表達方式一般都包括流體性質（密度、黏度）再加上流體速度和一個特徵長度或者特徵尺寸。特徵長度取決於觀察的流場情況，以及約定俗成的使用習慣。當觀察在水管中流動內流場，或是放在流場中的球體外流場時，前者可能會選擇水管直徑或是管長，而後者通常使用直徑作為特徵長度。而半徑和直徑對於球型、圓形來說其實是同一件事，但是計算上就差了一倍，因此習慣上常用直徑來代表。

### 管內流場

對於在管內的流動，雷諾數定義為：

　
: $\mathrm {Re} ={{\rho {\mathbf {\mathrm {V} } }D} \over {\mu }}={{{\mathbf {\mathrm {V} } }D} \over {\nu }}={{{\mathbf {\mathrm {Q} } }D} \over {\nu }A}$

式中：

 * ${\mathbf {\mathrm {V} } }$ 特徵速度選擇平均流速（國際單位：m/s）
* ${D}$ 特徵長度選擇管徑或管長 (m)
* ${Q}$ 體積流量（m³/s）
* ${A}$ 橫截面積（m²）

假如雷諾數的體積流速固定，則雷諾數與密度（ρ）、速度的開方（ ${\sqrt {u}}$ ）成正比；與管徑（Ｄ）和黏度（ｕ）成反比

假如雷諾數的質量流速（即是可以穩定流動）固定，則雷諾數與管徑（Ｄ）、黏度（ｕ）成反比；與√速度（ ${\sqrt {u}}$ ）成正比；與密度（ρ）無關

### 平板流

對於在兩個寬板 (板寬遠大於兩板之間距離) 之間的流動，特徵長度為兩倍的兩板之間距離

### 流體中的物體

對於流體中的物體的雷諾數，經常用 **Rep** 表示。用雷諾數可以研究物體周圍的流動情況，是否有漩渦分離，還可以研究沉降速度。

#### 流體中的球

對於在流體中的球，特徵長度就是這個球的直徑，特徵速度是這個球相對於遠處流體的速度，密度和黏度都是流體的性質。在這種情況下，層流只存在於 Re=10 或者以下。
在小雷諾數情況下，力和運動速度的關係遵從斯托克斯定律。

球在流體中的雷諾數可以用下式計算，其中 $v_{f}$ 為流體速度， $v_{s}$ 為球速度， $d_{s}$ 為球直徑， $\rho _{f}$ 為流體密度， $\mu _{f}$ 為流體粘度。

$$
Re={\frac {|v_{f}-v_{s}|d_{s}\rho _{f}}{\mu _{f}}}
$$

### 攪拌槽

對於一個圓柱形的攪拌槽，中間有一個旋轉的槳或者渦輪，特徵長度是這個旋轉物體的直徑 _D_。速度 _V_ 等於 _ND_, 其中 _N_ 是轉速 (周 / 秒)。雷諾數表達為:

　
: $\mathrm {Re} ={{\rho VD} \over {\mu }}={{\rho ND^{2}} \over {\mu }}.$

當 Re>10,000 時，這個系統為完全亂流狀態。

## 過渡流雷諾數

在外流場中由於有邊界層的影響，實驗中發現當流體流過一定長度後，會由層流過渡到完全為亂流。對於不同的尺度和不同的流體，只要雷諾數達到某個特定值，這種不穩定性都會發生。外流場通常以雷諾數 $\mathrm {Re} _{x}\approx 5\times 10^{5}$ 代表層流結束，這裡特徵長度 x 是從物體前緣起算的距離，特徵速度是邊界層以外的自由流場速度。

內流場雷諾數 $\mathrm {Re} <2100$ 為層流狀態， $\mathrm {Re} >4000$ 為亂流狀態，介於 2100～4000 為過渡流狀態。

 

* 層流 (又可稱作黏滯流動、線流)：流體沿著管軸以平行方向流動，因為流體很平穩，所以可看作層層相疊，各層間不互相干擾。流體在管內速度分佈為拋物體的形狀，面向切面的則是拋物線分佈。因為是個別有其方向和速率流動，所以流動摩擦損失較小。
* 亂流 (又可稱作紊流、擾流)：此則是管內流體流動狀態為各分子互相激烈碰撞，非直線流動而是漩渦狀，流動摩擦損失較大。

## 管道中的摩擦阻力

在管道中完全成形（fully developed）流體的壓降可以用穆迪圖來說明，穆迪圖繪製出在不同相對粗糙度下，達西摩擦因子 _f_ 和雷諾數 ${\mathrm {Re} }$ 及相對粗糙度 $\epsilon /D$ 的關係，圖中隨著雷諾數的增加，管流由層流變為過渡流及亂流，管流的特性和流體為層流、過渡流或亂流有明顯關係。

## 流動相似性

兩個流動如果相似的話，他們必須有相同的幾何形狀和相同的雷諾數和歐拉數。當在模型和真實的流動之間比較兩個流體中相應的一點，如下關係式成立：

　
: $\mathrm {Re} _{m}=\mathrm {Re} \;$

　
: $\mathrm {Eu} _{m}=\mathrm {Eu} \;\quad \quad {\mbox{i.e.}}\quad {p_{m} \over \varrho _{m}{v_{m}}^{2}}={p \over \varrho v^{2}}\;,$

帶 m 下標的表示模型里的量，其他的表示實際流動里的量。
這樣工程師們就可以用縮小尺寸的水槽或者風洞來進行試驗，與數值模擬的模型比對數據分析，節約試驗成本和時間。實際應用中也許會需要其他的無因次量與模型一致，比如說馬赫數，福祿數。

以下是一些雷諾數的例子：

* 纖毛蟲～1×10−1
* 最小的魚 ～1
* 大腦中的血液流 ～1×102
* 主動脈中的血流～1×103

**亂流臨界值**~ 2.3×103-5.0×104(對於管內流) 到 106(邊界層)

* 棒球（美國職業棒球大聯盟投手投球）~2×105
* 游泳（人）~4×106
* 最快的魚～1×108
* 藍鯨～3×108
* 大型郵輪（伊莉莎白女王 2 號）~ 5×109

## 雷諾數的推導

雷諾數可以從無因次的非可壓納維－斯托克斯方程式推導得來:

　
: $\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} .$

上式中每一項的單位都是加速度乘以密度。無因次化上式，需要把方程式變成一個獨立於物理單位的方程式。我們可以把上式乘以係數:

　
: ${\frac {D}{\rho V^{2}}}$

這裡的字母跟在雷諾數定義中使用的是一樣的。我們設:

　
: $\mathbf {v'} ={\frac {\mathbf {v} }{V}},$

　
: $\ p'=p{\frac {1}{\rho V^{2}}},$

　
: $\ \mathbf {f'} =\mathbf {f} {\frac {D}{\rho V^{2}}},$

　
: $\ {\frac {\partial }{\partial t'}}={\frac {D}{V}}{\frac {\partial }{\partial t}},$

　
: $\ \nabla '=D\nabla $

無因次的納維 - 斯托克斯方程式可以寫為:

　
: ${\frac {\partial \mathbf {v'} }{\partial t'}}+\mathbf {v'} \cdot \nabla '\mathbf {v'} =-\nabla 'p'+{\frac {\mu }{\rho DV}}\nabla '^{2}\mathbf {v'} +\mathbf {f'} $

這裡: ${\frac {\mu }{\rho DV}}={\frac {1}{\mathit {Re}}}.$

最後，為了閱讀方便把撇去掉:

　
: ${\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} =-\nabla p+{\frac {1}{\mathit {Re}}}\nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} .$

這就是為什麼在數學上所有的具有相同雷諾數的流場是相似的。

## 參見

* 磁雷諾數

 

## 參考文獻