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闫耀锋

**陝西丹鳳高中生猝死公安局案**，是指 2009 年 3 月 8 日發生在中華人民共和國陝西丹鳳縣的一起公安機關涉嫌刑訊逼供、惡意傷害致死的惡性案件。

## 案件相關人

* **徐梗榮**，19 歲，本案被害人，丹鳳縣寺坪鎮人。
* **閆耀鋒**，丹鳳縣公安局原局長，之前調查案總指揮，本案被告人，有自首情節，因濫用職權罪判處兩年有期徒刑。
* **王慶保**，丹鳳縣公安局原紀委書記，之前調查案直接分管領導，本案被告人，法院認定玩忽職守罪，免予刑事處罰。
* **趙朔**，丹鳳縣公安局刑警，之前調查案審訊人員，本案被告人，因以暴力手段獲取口供，犯有刑訊逼供罪，判處兩年半有期徒刑。
* **賈嚴剛**，丹鳳縣公安局刑警，之前調查案審訊人員，本案被告人，有自首情節，因以暴力手段獲取口供，犯有刑訊逼供罪，判處一年半有期徒刑。
* **李紅衛**，丹鳳縣公安局刑警，之前調查案審訊人員，本案被告人，有自首情節，因以暴力手段獲取口供，犯有刑訊逼供罪，判處一年有期徒刑、緩期一年執行。

## 案件背景

2009 年 2 月 10 日凌晨，丹鳳縣一名女學生在丹江邊遇害。3 月 8 日，警方認定的重大嫌疑人徐梗榮在接受審訊期間突然死亡。在屍檢中，發現死者手腕有環狀傷痕，雙手浮腫，頭蓋骨內有淤血水腫，腸道半截為黑色，法醫初步鑑定死者死前長期未曾進食。此外，死者大腿、小腿內部兩側有淤青。

## 審理及判決

2009 年 11 月 24 日，作出一審判決，陝西省商南縣法院對閆耀鋒等 5 人以濫用職權、玩忽職守及刑訊逼供等罪名判處有期徒刑兩年半等。並依官方法醫鑑定，徐梗榮因患有原發性心肌病，由於外傷、疲勞等因素引發心跳驟停死亡。對此，家屬不相信該法醫鑑定結論。

2010 年 2 月 1 日，陝西商洛中級人民法院作出二審裁定：駁回上訴，維持原判。

## 相關條目

* 被自殺
* 阜陽「白宮」腐敗群案

## 參考文獻
闫肖锋

**閆肖鋒**（1963 年 5 月 27 日 —），中國評論員、作家，生於浙江杭州，曾在北京大學和清華大學學習。師承社會學大師費孝通，長於社會發展趨勢分析。現為《新周刊》總主筆，《財經郎眼》特邀評論嘉賓。

## 外部連結

* 一次真誠的全民互動 —— 訪《新周刊》閆肖鋒
闫膏珍

**閻膏珍**（大夏語：Οοημο Καδφισης，Vima Kadphises）是貴霜帝國的第三任君主，約公元 1 世紀後半葉在位。在位期間貴霜國勢強盛，征服阿富汗和印度半島西北部。與中國漢朝和羅馬帝國保持友好關係，相互間有貿易往來。

Vima Kadphises 是閻膏珍目前在學術界有爭議。另外一種說法是閻膏珍是 Vima Takto。

## 生平

根據《後漢書》記載，閻膏珍之父為丘就卻，為大月氏部落領袖，建立貴霜王朝。閻膏珍繼位後，將領土擴張到印度。

羅巴塔克銘文記載，丘就卻之子為 Vima Takto，也就是長久以來的 Soter Megas，那位無名王，Vima Kadphises 為其孫。

閻膏珍是第一個使用金幣的貴霜王朝君主，也是印度歷史上第一位發行與使用金幣的君主。在金幣之外，他也鑄造了銅幣與銀幣，多數的金幣都使用在對羅馬帝國的貿易上。貴霜王朝的金幣一枚重 8 盎司，與羅馬帝國在一世紀鑄造的金幣重量相同。

## 註釋
闫鑫泷

**閆鑫瀧**（1985 年 3 月 4 日 —），本名「閆龍」，漢族，中國歌手、演員。2014 年初獲得貴州衛視音樂選秀節目《唱出愛火花》全國季軍而出道至今，同年發行多首單曲。

## 主要經歷

* 1991 年 出生於重慶市一個普通工人家庭
* 2004 年 考入北京現代音樂學院流行演唱專業本科班（2008 年畢業）
* 2007 年 參加湖南衛視《快樂男聲》成都賽區 50 強，同年獲得東南衛視《風雲新人》廣州賽區 28 強；
* 2014 年 獲得貴州衛視《唱出愛火花》全國季軍；同年發行單曲《Farewell》《狠角色》備受觀眾喜愛。
* 2016 年 參加第三季《中國好歌曲》，以一首〈望〉成功入選，加入范曉萱導師戰隊。

## 音樂作品

### 專輯 / EP

### 單曲

未收錄在專輯的單曲

## 爭議事件

幼時遭家暴、父親出家、寄人籬下、5 歲的時候就有自殺的念頭、經常挨打。

閆鑫瀧接受媒體採訪，針對他現在成為《唱出愛火花》殺出來的「黑馬」，剖析他一路的成長曆程。據閆鑫瀧說：「從小就酷愛在舞台上表演，甚至在媽媽的培養下成為當地小有名氣的童星，可惜好景不長 5 歲時父母離異，法院判決哥哥跟著母親，我跟著父親。父親把我寄養在奶奶家，自己便外出打工。因為奶奶經常收不到父親寄來撫養費，寄人籬下就得經常挨奶奶的打，拳腳相加更是家常便飯，父親因為種種經歷也看破紅塵遁入佛門。

## 參考文獻

## 外部連結

* 閆鑫瀧 官方微博 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
闫锦锦

**閆錦錦**（1996 年 —），中國足球運動員，中國國家女子足球隊成員。曾代表中國參加 2018 年亞足聯女子亞洲杯。2016 年當選中國女超聯賽最佳新人。

## 參考資料

## 外部連結
闫集乡

**閆集鎮**，是中華人民共和國河南省商丘市睢陽區下轄的一個鄉鎮級行政單位，2013 年撤鄉設鎮。

## 行政區劃

閆集鎮下轄以下地區：

夏莊村、​何樓村、​唐莊村、​赫樓村、​火莊村、​周莊村、​蘇橋村、​巴莊村、​三關村、​許營村、​吳營村、​王駙馬村、​敏周婁村、​劉關廟村、​洪莊村、​東街村、​趙口村、​張碾道村、​季營村、​雷莊村、​劉營村、​耿樓村、​段集村、​周樓村、​楚廟村、​西街村和王魏村。

## 參考資料
闫集镇

**閆集鎮**可以指：

* 閆集鎮 (睢陽區)，中華人民共和國河南省商丘市睢陽區下轄的鎮，2013 年撤鄉設鎮。
* 閆集鎮 (蕭縣)，中華人民共和國安徽省宿州市蕭縣下轄的鎮。
闫集镇_(萧县)

**閆集鎮**，是中華人民共和國安徽省宿州市蕭縣下轄的一個鄉鎮級行政單位。

## 行政區劃

閆集鎮下轄以下地區：

柳元村、​孟樓村、​趙堂村、​孫老家村、​閆集村、​汪樓村、​高樓村、​鄭集村、​劉店村、​塘沃涯村和楊莊村。

## 參考資料
闭

**閉**可能指：

* 數學中
  * 閉包 (數學)
  * 閉流形
  * 閉軌道
  * 閉形式
  * 閉集
闭上你的嘴

**閉上你的嘴**（英語：_Don't Tell Me_）是加拿大創作歌手艾薇兒（Avril Lavigne）的第七張單曲，亦收錄於她第二張專輯《酷到骨子裡》（Under My Skin ）。此曲由艾薇兒作詞，由艾薇兒和美國創作歌手 埃文・陶本菲德 作曲，由 Butch Walker 製作。在 2004 年 4 月 27 日發行。

這曲在各地排行榜的表現亦算不錯：義大利第 3；澳洲第 10；西班牙第 6；英國第 5；墨西哥第 1；巴西第 1。這曲的 MV 描寫艾薇兒的男友在房間中戲弄她，然後男友自己離開住所到街上走走，艾薇兒在房間內搗亂物件發洩。她之後走在男友後面找機會報復 ── 她忽然分身起來，她的男友看然這些幻想很是迷惘。這 MV 被《MTV Video Music Awards》提名為「Best Pop Video」類，但最後落選。

## 曲目

## 排行榜

## 注釋
闭值域定理

**閉值域定理**是數學中的巴拿赫空間理論中的一個定理，給出了閉合稠定線性算子（closedDensely defined operator）的值域為閉集的充要條件。這一定理由斯特凡・巴拿赫於 1932 年在《線性算子理論》（_Théorie des opérations linéaires_）一文中給出了證明。

設 _X_ 與 _Y_ 為巴拿赫空間，若 _T_ : _D_(_X_) → _Y_ 是一個閉合的線性算子，它的定義域 _D_(_X_) 在 _X_ 中稠密，而 $\scriptstyle {T'}$ 是它的轉置算子。則定理指出，如下四個結論等價：

 * $\scriptstyle {T}$ 的值域（像） $\scriptstyle {\operatorname {Im} (T)}$ 是 $\scriptstyle {Y}$ 中的閉集。
* $\scriptstyle {T'}$ 的值域 $\scriptstyle {\operatorname {Im} (T')}$ 是 $\scriptstyle {X}$ 的對偶空間 $\scriptstyle {X'}$ 中的閉集。
* $\operatorname {Im} (T)=\operatorname {Ker} (T')^{\perp }=\{y\in Y|\langle x^{*},y\rangle =0\quad \forall \quad x^{*}\in \operatorname {Ker} (T')\}$
* $\operatorname {Im} (T')=\operatorname {Ker} (T)^{\perp }=\{x^{*}\in X'|\langle x^{*},y\rangle =0\quad \forall \quad y\in \operatorname {Ker} (T)\}.$

此定理有一些直接的推論。比如，若且唯若算子的轉置存在連續的逆算子時（continuous inverse），存在一個稠定線性算子 _T_ 使得 Im (_T_) = _Y_。相似地，若且唯若 _T_ 存在連續的逆算子時， $\scriptstyle {\operatorname {Im} (T')=X'}$ 。

## 另見

* 線性代數基本定理

## 參考來源

* Yosida, K., Functional Analysis, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (Fundamental Principles of Mathematical Sciences)，vol. 123 6th, Berlin，New York: Springer-Verlag, 1980 .
闭元音

**閉元音**（close vowel、high vowel (美國使用)）是元音的一種，特徵是舌頭的位置盡可能接近上顎，而不產生屬於輔音的過狹收縮。

這個限定是由國際語言協會（IPA）協定的。因為舌頭達到一個較高的位置，閉元音通常也被稱為**高元音**。

## 閉元音分類

以下是六個元音，當中含國際音標：

* 閉前不圓唇元音 close front unrounded vowel [i]
* 閉前圓唇元音 close front rounded vowel [y]
* 閉央不圓唇元音 close central unrounded vowel [ɨ]
* 閉央圓唇元音 close central rounded vowel [ʉ]
* 閉後不圓唇元音 close back unrounded vowel [ɯ]
* 閉後圓唇元音 close back rounded vowel [u]

## 元音歸類

語音學中，高元音可以指任何比中元音更緊閉的元音，即次閉元音，半閉元音及**閉元音**都可以被認為是高元音。

## 註釋
闭关弟兄会

**閉關弟兄會（Exclusive Brethren,EB）** 是一個基督教團體。成員都遵循一套嚴格的行為守則，過著封閉式的生活，包括（但並不限於）：不准看電視、聽收音機、閱讀報紙、使用網際網路、使用手提電話、在選舉中投票、上大學求學、踏足娛樂場所、看小說、看電影、擔任政治公職、買人壽保險甚至飼養寵物．．．等等。

## 淵源

1848 年英國普利茅斯弟兄會（Plymouth Brethren）發生分裂，支持慕勒（George Muller）及其畢士大（Bethesda）聚會的被稱為開放弟兄會（Open Brethren），支持達秘的聚會（**Assembly**）則被稱為**閉關弟兄會**（Exclusive Brethren），當然他們從不這樣稱呼自己。

## 著名領袖

* 達秘
* J B Stoney
* F E Raven
* C A Coates
* James Taylor
* Bruce D. Hales

## 外部連結

* 閉關弟兄會
* Peebes.net
* BBC 宗教與倫理 - 閉關弟兄會
* 我的弟兄們 - 那些通常稱為閉關弟兄會的歷史和職事 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 報導：英國教育部報告稱贊閉關弟兄會的教育活動 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 泰晤士報文章 - 有關一間閉關弟兄會開辦的學校 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
闭前不圆唇元音

**閉前不圓唇母音**是母音的一種，使用於許多口語語言之中，其國際音標的符號為 ⟨i⟩，相對應的 X-SAMPA 符號則為 ⟨i⟩。

此母音非常普遍，幾乎在所有超過三個母音的語言中都存在著。

## 特徵

* 其元音高度為閉，這意指舌頭的位置會盡量接近齒齦，但不會阻礙氣流而被歸類為子音。
* 其元音舌位是前，表示舌頭會盡可能地朝向嘴巴前面，但不至於阻礙氣流而被歸類為子音。通常圓唇前元音的實際位置會比參考點的位置還要更靠近中央（稱此過程為央化）。因此，前元音事實上常常是次前元音。
* 其圓唇度為**不圓唇元音**，嘴唇自然放鬆，不特別向前突起。

## 此音出現於

## 註釋

## 參考文獻

## 外部連結

* 在 PHOIBLE 上搜尋含有[i]的語言
闭前圆唇元音

**閉前圓唇元音**在 IPA 中的表示方法是⟨y⟩，X-SAMPA 符號是⟨y⟩。它分唇內和唇外兩種。

即現代標準漢語的 ü（ㄩ）。

## 閉前不突出元音

### 特徵

* 其元音高度為閉，這意指舌頭的位置會盡量接近齒齦，但不會阻礙氣流而被歸類為子音。
* 其元音舌位是前，表示舌頭會盡可能地朝向嘴巴前面，但不至於阻礙氣流而被歸類為子音。通常圓唇前元音的實際位置會比參考點的位置還要更靠近中央（稱此過程為央化）。因此，前元音事實上常常是次前元音。
* 其元音圓唇度為**不突出**，即嘴唇的邊緣緊繃而聚在一起，且嘴唇內側不向外露出。

 

### 使用於

## 閉前突出元音

大多數語言擁有圓唇前原音及圓唇舌後元音起於使用不同的圓唇原音形態，如_外圓唇_或_撅起_舌後元音，及_內圓唇_或_壓縮_前元音。然而，有些語言、諸如：斯堪的那維亞語言、擁有前元音配以典型的外圓唇舌後元音。其中之一，例如瑞典語對比於兩種圓唇前元音的形式。(參見 次閉次前圓唇元音，比如瑞典語圓唇元音呈現兩種形態的例子。)

在 IPA 並沒有附加符號來區別內圓唇元音及外圓唇元音，舊式的圓唇元音附加符號如：[  ̫]、將在這兒用作外圓唇元音的特別註記符號。

### 特徵

* 其元音高度為閉，這意指舌頭的位置會盡量接近齒齦，但不會阻礙氣流而被歸類為子音。
* 其元音舌位是前，表示舌頭會盡可能地朝向嘴巴前面，但不至於阻礙氣流而被歸類為子音。通常圓唇前元音的實際位置會比參考點的位置還要更靠近中央（稱此過程為央化）。因此，前元音事實上常常是次前元音。
* 其元音圓唇度為**突出**，即將嘴角聚攏，且嘴唇內側向外露出。

 

 

### 出現於

## 註釋

## 參考文獻

## 參閲

* 元音
* 漢語拼音國際音標
闭包

**閉包**可以指：

* 閉包 (電腦科學)
* 閉包 (數學)
* 閉包 (拓撲學)
* 閉包算子
* 閉包代數
闭包_(拓扑学)

**閉包**（英語：Closure）在拓撲學中是指，一個拓撲空間裡，子集 _S_ 的閉包由 _S_ 的所有點及 _S_ 的極限點所組成的一個集合；直觀上來說，即為所有「靠近」_S_ 的點所組成的集合。在子集 _S_ 的閉包內的點稱為 _S_ 的**閉包點**。閉包的概念在許多方面能與內部的概念相對比。

## 定義

### 閉包點

設 _S_ 為歐幾里德空間內的一個子集，若所有以 _x_ 為中心的開球都包含 _S_ 內的一點（這個點也可以是 _x_ 自身），即稱 _x_ 為 _S_ 的閉包點。

上述定義可以推廣到度量空間 _X_ 的任意子集 _S_ 之上。具體地說，設 _X_ 為具度量 _d_ 的度量空間，_S_ 為 _X_ 內的子集，若對所有的 _r_ > 0，皆存在一個 _S_ 內的點 _y_，使得 _d_(_x_, _y_) < _r_（同樣地，_x_ = _y_ 也可 ），即稱 _x_ 為 _S_ 的閉包點。另外，也可以如下定義：若 _d_(_x_, _S_) := inf{_d_(_x_, _s_) : _s_ in _S_} = 0，即稱 _x_ 為 _S_ 的閉包點。上述兩種定義的寫法是同樣的意思。

最後，閉包點的定義也可以推廣到拓撲空間，只需要用鄰域替代「開球」即可。設 _S_ 為拓撲空間 _X_ 的子集，則 _x_ 稱為 _S_ 的閉包點，若所有 _x_ 鄰域都包含 _S_ 內的一點。注意，這個定義並不要求鄰域一定要為開集。

### 極限點

閉包點的定義非常接近極限點的定義。這兩個定義之間的差別非常微小但很重要 —— 在極限點的定義中，點 _x_ 的鄰域必須包含「 不是 x 自身的」這個集合的點。

因此，所有極限點都是閉包點，但不是所有的閉包點都是極限點。不是極限點的閉包點就是孤點。也就是說，點 _x_ 是孤點，若它是 _S_ 的元素，且存在 _x_ 的鄰域，該鄰域中除了 _x_ 沒有其他的點屬於 _S_。

對給定的集合 _S_ 和點 _x_，_x_ 是 _S_ 的閉包點，若且唯若 _x_ 屬於 _S_，或 _x_ 是 _S_ 的極限點。

### 集合的閉包

集合 _S_ 的**閉包**是指由所有 _S_ 的閉包點所組成的集合。_S_ 的閉包寫作 cl (_S_)，Cl(_S_) 或 _S_−。集合的閉包具有如下性質：

* cl(_S_) 是 _S_ 的閉父集。
* cl(_S_) 是所有包含 _S_ 的閉集的交集。
* cl(_S_) 是包含 _S_ 的最小的閉集。
* 集合 _S_ 是閉集，若且唯若 _S_ = cl(_S_)。
* 若 _S_ 是 _T_ 的子集，則 cl (_S_) 是 cl (_T_) 的子集。
* 若 _A_ 是閉集，則 _A_ 包含 _S_ 若且唯若 _A_ 包含 cl (_S_)。

上述第二或第三條性質可作為拓撲閉包的_定義_。

在第一可數空間（如度量空間）中，cl (_S_) 是所有點的收斂序列的所有極限。

注意，若將「閉包」、「交集」、「包含」、「最小」、「閉」等詞彙相應替換成「內部」、「併集」、「包含於」、「最大」、「開」，上述性質仍然成立。更多信息請參看下面的「閉包算子」。

### 其他性質

* 集合的交集的閉包是集合的閉包的交集的子集。
* 有限多個集合的併集的閉包和這些集合的閉包的併集相等；零個集合的併集為空集，所以這個命題包含了前面的空集的閉包的特殊情況。無限多個集合的併集的閉包不一定等於這些集合的閉包的併集，但前者一定是後者的父集。

若 $A$ 為包含 $S$ 的 $X$ 的子空間，則 $S$ 在 $A$ 中計算得到的閉包等於 $A$ 和 $S$ 在 $X$ 中計算得到的閉包（ $Cl_{A}(S)=A\cap Cl_{X}(S)$ ）的交集。特別的， $S$ 在 $A$ 中是稠密的，若且唯若 $A$ 是 $Cl_{X}(S)$ 的子集。

## 舉例

* 在任意空間，空集的閉包是空集。
* 對任意空間 _X_，cl(_X_) = _X_。
* 若 _X_ 為實數的歐幾里得空間 **R**，則 cl ((0, 1)) = [0, 1]。
* 若 _X_ 為實數的歐幾里得空間 **R**，則有理數集合 **Q** 的閉包是全空間 **R**。也就是，**Q** 在 **R** 中是稠密的。
* 若 _X_ 為複平面 **C** = **R**2，則 cl ({_z_ 屬於 **C** : |_z_| > 1}) = {_z_ 屬於 **C** : |_z_| ≥ 1}。
* 若 _S_ 為歐幾里得空間的有限子集，則 cl (_S_) = _S_。（在一般拓撲空間，這個性質和 T1 公理等價。）

在實數集上，除了標準拓撲，還可以使用其他的拓撲結構。

* 若 _X_ = **R**，且 **R** 有下限拓撲，則 cl ((0, 1)) = [0, 1]。
* 若考慮 **R** 中所有集合都是開（閉）集的拓撲，則 cl ((0, 1)) = (0, 1)。
* 若考慮 **R** 中只有空集和 **R** 自身是開（閉）集的拓撲，則 cl ((0, 1)) = **R**。

上述示例中集合的閉包取決於背景空間的拓撲。接下來給出的兩個示例比較特殊。

* 在任意離散空間中，由於所有集合都是開（閉）集，所以所有集合都等於其閉包。
* 在任意不可分空間 _X_ 中，由於只有空集和 **X** 自身是開（閉）集，所以空集的閉包是空集，對 _X_ 中的非空集 _A_，cl(_A_) = _X_。也就是說，所有非離散空間中的非空集都是稠密的。

集合的閉包也取決於背景空間。例如：若 _X_ 是有理數集合，具有從歐幾里得空間 **R** 中得到的子空間拓撲，且 _S_ = {_q_ 屬於 **Q** : _q_2 > 2}，則 _S_ 是 **Q** 中的閉集，且 _S_ 在 **Q** 中的閉包是 _S_。相應的，_S_ 在歐幾里得空間 **R** 中的閉包是所有大於_等於_ ${\sqrt {2}}$ 的_實數_組成的集合。

## 閉包算子

**閉包算子** − 和內部算子 o 對偶，即

　
: _S_− = _X_ \ (_X_ \ _S_)o

並且

　
: _S_o = _X_ \ (_X_ \ _S_)−

這裡，_X_ 表示包含 _S_ 的拓撲空間，反斜線表示集合的補集。

因此，閉包算子和庫拉托夫斯基閉包公理的抽象理論就可以方便地轉換為內部算子的寫法，這裡只需要將集合用它們的補集替換就可以了。

通過對給定集合反覆應用閉包和補集運算最多能得到 14 個不同的集合，這個結果叫做庫拉托夫斯基十四集問題。

## 參見

* 內部
* 庫拉托夫斯基閉包公理
闭包_(数学)

數學中，若對某個集合的成員進行一種運算，生成的仍然是這個集合的成員，則該集合被稱為**在這個運算下閉合**。
例如，實數在減法下閉合，但自然數不行：自然數 3 和 7 的減法 3 − 7 的結果不是自然數。

類似的，一個集合被稱為**在某些運算的搜集下閉合**，如果它在每個運算之下都閉合。

一個集合在某個運算或某些運算的搜集下閉合被稱為滿足**閉包性質**。閉包性質經常作為公理，通常叫做**閉包公理**。現代集合論通常這樣定義：運算為在集合間的映射。所以向一個結構增加閉包性質作為公理是多餘的，儘管它對於子集是否閉合的問題仍有意義。

當一個集合 _S_ 在某個運算下不閉合的時候，我們通常可以找到包含 _S_ 的最小的閉合集合。這個最小閉合集合被稱為 _S_ 的（關於這個運算的）**閉包**。例如，若把自然數集看作實數集的子集，它在減法下的閉包就是整數集。一個重要的例子是拓撲閉包。閉包的概念推廣為伽羅瓦連接，進一步為單子。
注意集合 _S_ 必須是閉合集合的子集，這樣才能定義閉包算子。在前面的例子中，實數在減法下閉合是重要的，減法不總是在自然數的定義域中有定義的。

閉包這個詞的兩種用法不應混淆。前者用來提及閉合的性質，而後者提及包含不閉合集合的最小閉合集合。簡要的說，一個集合的閉包滿足閉包性質。

## 閉包集合

如果對一個集合的成員進行某種運算時，返回值總是這個集合的成員，那麼稱這個集合在這種運算下閉合。有時會明確要求運算的返回值位於某個集合中，在這種情況下它叫做**閉包公理**。例如，例如，群被定義為滿足一些公理的帶有一個二元運算的一個集合，包括了群的任何兩個元素的結合再次是一個元素的公理。但是現代的運算定義使這個公理多餘了，在 _S_ 上 n 元算子只是 _S_n+1 的子集。通過這種定義，在一個集合上的算子不能有在這個集合之外的值。

雖然如此，算子的閉包性質仍有某些用處。在一個集合上閉合不必然蘊涵在所有子集上閉合。所以群的子群被定義為在其上二元乘法和一元逆運算滿足閉包公理的子集。

一類不同的運算是找到拓撲空間的子集的極限點（如果這個空間是第一可數空間，只考慮收斂序列就足夠了，但一般而言至少要考慮網的極限）。拓撲學中通常稱在這個運算下閉合的集合為閉集。如果沒有其他說明的話，一般而言閉集就是指閉合的性質。閉區間如 [1,2] = {_x_: 1 ≤ _x_ ≤ 2} 就是在這種意義上閉合。

偏序集合是**向下閉合**的（也叫做下閉集合），如果對於這個集合的所有元素，所有更小的元素也都在其中；這適用於實數區間 (-∞, _p_) 和 (-∞, _p_] 的例子。

**向上閉合**和上閉集合也類似的定義。

## 閉包算子

給定在集合 _X_ 上的一個算子，可以對 _X_ 中的一個子集 _S_ 定義閉包 _C_(_S_)，_C_(_S_) 是在 _X_ 中包含 _S_ 且在運算下閉合的最小子集。例如，群的子集的閉包是這個集合所生成的子群。

關於某個運算的集合的閉包定義了在 _X_ 的子集上的 **閉包算子**。閉合集合可以確定自閉包算子；一個集合是閉合的如果它等於自己的閉包。所有閉包算子都有以下的典型結構性特徵：

* 閉包是**遞增**的或**擴大**的：一個物件的閉包包含這個物件。
* 閉包是**冪等**的：閉包的閉包等於閉包。
* 閉包是**單調**的，就是說，如果 _X_ 包含在 _Y_ 中，則 _C_(_X_) 也包含在 _C_(_Y_)。

若一物件等同於自身的閉包，就稱之為**閉合**。根據冪等性，一個物件是閉合的，若且唯若它是某個物件的閉包。

這三個性質定義了所謂**抽象閉包算子**。一般的，一個抽象閉包作用於一個集合的所有子集的類上。
闭包算子

在數學中，給定偏序集合 (_P_, ≤)，在 _P_ 上的**閉包算子**是函數 _C_ : _P_ → _P_ 帶有如下性質:

* _x_ ≤ _C_(_x_) 對於所有 _x_，就是說 _C_ 是**擴展性**的。
* 如果 _x_ ≤ _y_，則 _C_(_x_) ≤ _C_(_y_)，就是 _C_ 是單調遞增的。
* _C_(_C_(_x_)) = _C_(_x_) 對於所有的 _x_，就是說 _C_ 是冪等函數。

## 例子

名字來自形成拓撲空間的子集的閉包有這些性質，如果所有子集的集合按包含 ⊆ 來排序。(注意拓撲閉包算子不由這些性質來刻畫；完全特徵刻畫請參見庫拉托夫斯基閉包公理。)

另一個典型閉包算子是：選取群 _G_ 和任何 _G_ 的子集 _X_，設 _C_(_X_) 是 _X_ 生成的子群，就是說包含 _X_ 的 _G_ 的最小子群。則 _C_ 是在 _G_ 的子集的集合上閉包算子，它按包含 ⊆ 排序。類似的例子有向量空間的給定子集所生成的子空間，域的給定子集生成的子域，甚至泛代數意義上任何代數的給定子集生成的子代數。

從實數到實數的上取整函數，它對所有實數 _x_ 指派不小於 _x_ 的最小整數，也是閉包算子。

## 閉合元素和性質

給定閉包算子 _C_，_P_ 的「閉合元素」是一個元素 _x_，它是 _C_ 的不動點，或者等價的說，它在 _C_ 的像中。如果 _a_ 是閉合的並且 _x_ 是任意的，則有著 _x_ ≤ _a_ 若且唯若 _C_(_x_) ≤ _a_。所以 _C_(_x_) 是大於或等於 _x_ 的最小閉合元素。我們看到 _C_ 被唯一的確定自閉合元素的集合。

所有伽羅瓦連接都引發一個閉包算子 (其條目中有解釋)。事實上，所有閉包算子都以這種方式引發自伽羅瓦連接。伽羅瓦連接不唯一的確定自閉包算子。引發閉包算子 _C_ 的伽羅瓦連接可以描述如下：如果 _A_ 是關於 _C_ 的閉合元素的集合，則 _C_ : _P_ → _A_ 是在 _P_ 和 _A_ 之間的伽羅瓦連接的下伴隨，帶有上伴隨為把 _A_ 嵌入到 _P_ 中。進一步的說，所有把某個子集嵌入 _P_ 的下伴隨都是閉包算子。「閉包算子是嵌入的下伴隨」。但是注意不是所有嵌入都有下伴隨。

任何偏序集合 _P_ 都可以被看作範疇，帶有從 _x_ 到 _y_ 的一個單一態射若且唯若 _x_ ≤ _y_。在偏序集合 _P_ 上的閉包算子就是在範疇 _P_ 上的 單子。等價的說，閉包算子可以被單做有額外的**冪等**和**擴展**性質的 Posets 範疇的 endofunctor。

如果 _P_ 是完全格，則 _P_ 的子集 _A_ 是對某個 _P_ 上閉包算子的閉合元素的集合，若且唯若 _A_ 是在 _P_ 上的 **Moore 家族**，就是說 _P_ 的最大元素在 _A_ 中，並且任何 _A_ 中非空子集的下確界 (交運算) 也在 _A_ 中。任何這樣的集合 _A_ 自身是帶有繼承自 _P_ 的次序的完全格 (但是上確界 (並運算) 可能不同於 _P_ 的)。在 _P_ 上的閉包算子自身形成一個完全格；在閉包算子上的次序定義為 _C_1 ≤ _C_2 若且唯若 _C_1(_x_) ≤ _C_2(_x_) 對於所有 _P_ 中的 _x_。

## 推廣

如上面提及的，閉包可以被看作來自伽羅瓦連接。如果把伽羅瓦連接推廣為伴隨函子，閉包的對應是 單子。

## 引用

* Brown D.J. and Suszko R. (1973). Abstract Logics, Dissertationes Mathematicae, 102, 9-42.
* Castellini G. (2003) Categorical closure operators, Birkauser.
* Gerla G. (2000) Fuzzy Logic: Mathematical Tools for Approximate Reasoning, Kluwer Ac. Publishers.
* Lloyd J.W. (1987) Foundations of Logic Programming, Springer-Verlag, Berlin.
* Tarski A. (1956). Logic, semantics and metamathematics, Clarendon Press, Oxford.
* Ward M. (1942). The closure operators of a lattice, Annals of Mathematics, 43, 191-196.

## 參見

* 庫拉托夫斯基閉包公理
* 預閉包算子
* 內部代數
闭区间

**區間**（英語：interval）在數學上是指某個範圍的數的集合，一般以集合形式表示。

## 簡說

在初等代數，傳統上區間指一個集，包含在某兩個特定實數之間的所有實數，亦可能包含該兩個實數（或其中之一）。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中，圓括號表示**排除**，方括號表示**包括**。例如，開區間 $(10,20)$ 表示所有在 $10$ 和 $20$ 之間的實數，但不包括 $10$ 或 $20$ 。另一方面，閉區間 $[10,20]$ 表示所有在 $10$ 和 $20$ 之間的實數，以及 $10$ 和 $20$ 。

## 嚴格定義

區間的定義可以推廣到任何全序集 $T$ 的子集 $S$ ，使得若 $x$ 和 $y$ 均屬於 $S$ ，且 $x<z<y$ ，則 $z$ 亦屬於 $S$ 。

特別重要的情況是當 $T=\mathbb {R} $ 。

 $\mathbb {R} $ 的區間有以下十一種（ $a$ 和 $b$ 為實數且 $a<b$ ）：

 1. $(a,b)=\{x\mid a<x<b\}$
2. $[a,b]=\{x\mid a\leq x\leq b\}$
3. $[a,b)=\{x\mid a\leq x<b\}$
4. $(a,b]=\{x\mid a<x\leq b\}$
5. $(a,\infty )=\{x\mid x>a\}$
6. $[a,\infty )=\{x\mid x\geq a\}$
7. $(-\infty ,b)=\{x\mid x<b\}$
8. $(-\infty ,b]=\{x\mid x\leq b\}$
9. $(-\infty ,\infty )=\mathbb {R} $ 自身，實數集
10. $[a,a]=\{a\}$ ，即單元素集合
11. $\varnothing $ ，即空集

1、5、7 稱為**開區間**（因為它們是開集）；2、6、8、10 稱為**閉區間**（因為它們是閉集）；3、4 稱為**半開區間**、**半閉區間**或**半開半閉區間**；而 9、11 同時為**開區間**和**閉區間**，並非半開區間或半閉區間。

1、2、3、4、10、11 為**有界區間**；5、6、7、8、9 為**無界區間**；10 為單點。

## 區間算術

區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算，在 1950、60 年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。

　
: $T\times S=\{x\mid {}$ 屬於 $T$ 的某些 $y$ ，及屬於 $S$ 的某些 $z$ ，使得 $x=y\times z\}$

區間算術的基本運算是，對於實數線上的子集 $[a,b]$ 及 $[c,d]$ ：

　
: $[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]$

　
: $[a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]$

　
: $[a,b]\times [c,d]=[\min\{ac,ad,bc,bd\},\max\{ac,ad,bc,bd\}]$

　
: ${\frac {[a,b]}{[c,d]}}=\left[\min \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\},\max \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\}\right]$

被一個包含零的區間除，在基礎區間算術上無定義。

加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律：集 $X(Y+Z)$ 是 $XY+XZ$ 的子集。

## 另一種寫法

在法國及其他一些歐洲國家，用 $][$ 代替 $()$ 來表示開區間，例如：

　
: $\left]a,b\right[=\{x\mid a<x<b\}$

　
: $\left[a,b\right]=\{x\mid a\leq x\leq b\}$

　
: $\left[a,b\right[=\{x\mid a\leq x<b\}$

　
: $\left]a,b\right]=\{x\mid a<x\leq b\}$

國際標準化組織編制的 ISO 31-11 也允許這種寫法。

另外，在小數點以逗號來表示的情況下，為免產生混淆，分隔兩數的逗號要用分號來代替，例如將 $[1,2.3]$ 寫成 $[1;2,\!3]$ 。若只把小數點寫成逗號，就會變成 $[1,2,\!3]$ ，此時不易判斷究竟是 $1.2$ 與 $3$ 之間，還是 $1$ 與 $2.3$ 之間的閉區間。

## 參考
闭单位圆盘

數學中，繞平面上給定點 _P_ 的**開單位圓盤**（open unit disk），是與 _P_ 的距離小於 1 的點集合：

　
: $D_{1}(P)=\{Q:\vert P-Q\vert <1\}.\,$

繞 _P_ 的**閉單位圓盤**（closed unit disk）是與 _P_ 的距離小於或等於 1 的點集合：

　
: ${\bar {D}}_{1}(P)=\{Q:|P-Q|\leq 1\}.\,$

單位圓盤是圓盤與單位球體的特例。

若無其它修飾語，術語單位圓盤用於繞原點關於標準歐幾里得度量的開單位圓盤 $D_{1}(0)$ 。它是以原點為中心的半徑為 1 的圓周的內部。這個集合可以與所有絕對值小於 1 的複數等價。當視為複平面 **C** 的一個子集時，開單位圓盤經常記作 $\mathbb {D} $ 。

## 開單位圓盤、平面、上半平面

函數

　
: $f(z)={\frac {z}{1-|z|^{2}}}$

是一個從開單位圓盤到平面的實解析雙射函數；它的逆函數也是解析的。作為實二維解析流形，從而開單位圓盤同構於整個平面。特別地，開單位圓盤同胚於整個平面。

但在開單位圓盤與整個平面之間沒有共形雙射函數。作為一個黎曼曲面，從而開單位圓盤與複平面不同。

在開單位圓盤與開上半平面之間存在共形雙射。所以作為黎曼曲面，開單位圓盤（雙全純或共形等價）同構於上半平面，兩者經常是可以互換的。

更一般地，黎曼映射定理指出複平面的每個單連通開子集若不同於複平面自己則有到開單位圓盤的一個共形雙射。

一個從開單位圓盤到開上半平面的共形雙射是莫比烏斯變換

　
: $g(z)=i{\frac {1+z}{1-z}}.$

幾何上，我們可想像實軸彎曲收縮使得上半平面成為圓盤的內部而實軸成為圓盤的邊界，只在最上面留下無窮遠點。從單位圓盤到上半平面的一個共形雙射也可構造為兩個球極平面投影的複合：首先去單位球面的南極點作為投影中心，單位圓盤向上球極投影到單位上半球面；然後這個半球面投影到與該球面相切的一個豎直半平面，取投影中心為切點在球面上的對徑點。

單位圓盤與上半平面作為哈代空間不是可互換的區域。這個差別是因為單位圓周有有限（一維）勒貝格測度但實直線不是。

## 拓撲概念

如果考慮作為帶有標準拓撲的平面的子空間，開單位圓盤是一個開集，而閉單位圓盤是一個閉集。開或閉單位圓盤的邊界是單位圓周。

開單位圓盤與閉單位圓盤不是微分同胚的，因為後者是緊集而前者不是。但是從代數拓撲的視角來看他們有許多同樣的性質：兩者都是可縮的從而同倫等價於一個單點。這意味著他們的基本群平凡，且所有同倫群除了第零個同構於 **Z** 之外都是平凡的。一個點（從而對開或閉圓盤也對）的歐拉示性數等於 1。

任意從閉單位圓盤到自身的連續映射至少有一個不動點（我們甚至不要求雙射或滿射）；這是布勞威爾不動點定理 _n_=2 的情形。這個論斷對開單位圓盤不成立：考慮映射

　
: $f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right),\,$

它將開單位圓盤的每個點稍微向右移動。

開單位圓盤的單點緊化同胚於球面：想像開單位圓盤的邊界向上彎曲收縮，直到它成為一點；這說明開單位圓盤同胚於去掉北極點的球面；添上那點成為（緊）球面。

## 雙曲空間

通過開單位圓盤上引入一個新度量（龐加萊度量），開單位圓盤常常作為雙曲平面的一個模型。利用如上提到的開單位圓盤與上半平面的共形映射，這個模型可轉換成雙曲平面的龐加萊半平面模型。龐加萊圓盤與龐加萊半平面都是雙曲空間的共形模型，即模型中的角度與雙曲空間中的角度相同，從而保持了小圖形的形狀（但不保持尺寸）。

雙曲平面的另一個模型也是構造在開單位圓盤上：克萊因模型。它不是共形的，但這個模型中的直線對應於雙曲空間中的直線。

## 關於其它度量的單位圓盤

數學中也考慮關於其它度量的單位圓盤。例如關於計程車度量與切比雪夫距離的圓盤看起來像正方形（但它們的拓撲與歐幾里得情形是一樣的）。

歐幾里得圓盤的面積是 π 而周長是 2π。與之相比地是，計程車幾何中單位圓盤的周長（相對於計程車度量）是 8。1932 年，Stanisław Gołąb 證明了在由一個範數給出的度量中，單位圓盤的周長可取 6 與 8 之間的任何值，且得到極值若且唯若單位圓盤分別是正六邊形與平行四邊形。

## 相關條目

* 單位圓盤圖

## 參考文獻

* S. Golab, "Quelques problèmes métriques de la géometrie de Minkowski", Trav. de l'Acad. Mines Cracovie 6 (1932), 1­79.

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Unit disk. MathWorld.
* On the Perimeter and Area of the Unit Disc, by J.C. Álvarez Pavia and A.C. Thompson
闭合图定理

**閉圖定理**是數學中泛函分析的一條定理。

## 敘述

設 $X$ ， $Y$ 為巴拿赫空間， $T:X\to Y$ 為線性算子。定義 $T$ 的圖像為 $X\times Y$ 的子空間

　
: $\Gamma (T)=\{(x,T(x))\in X\times Y\vert x\in X\}$ 。

賦予 $X\times Y$ 範數 $\|(x,y)\|_{X\times Y}=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}$ ，使得 $X\times Y$ 成為巴拿赫空間。那麼，這定理指 $T$ 是連續的（與有界等價）若且唯若 $\Gamma (T)$ 在 $X\times Y$ 內是閉集。

## 證明

閉圖定理可以從開映射定理推導出來。

 $\Gamma (T)$ 是閉集的充分必要條件是如果序列 $\{(x_{n},y_{n})\}_{n}\subset \Gamma (T)$ （即對任意 $n$ 有 $y_{n}=T(x_{n})$ ），而 $(x_{n},y_{n})\to (x,y)$ ，那麼 $(x,y)\in \Gamma (T)$ ， $y=T(x)$ 。如果 $T$ 是連續的，從連續性立刻可知 $\Gamma (T)$ 是閉集，因為連續性是更強的條件：如果 $x_{n}\to x$ ，則 $T(x_{n})\to T(x)$ 。

如果 $\Gamma (T)$ 是閉集，可以在 $\Gamma (T)$ 定義線性算子

　
: $\pi _{1}:\Gamma (T)\to X,\ (x,y)\mapsto x$ ，

　
: $\pi _{2}:\Gamma (T)\to Y,\ (x,y)\mapsto y$ 。

顯然 $\|\pi _{2}(x,y)\|_{Y}=\|y\|_{Y}\leq \|(x,y)\|_{X\times Y}$ ，因此 $\pi _{2}$ 是有界算子。

 $\Gamma (T)$ 是巴拿赫空間 $X\times Y$ 中的閉子空間，所以 $\Gamma (T)$ 是巴拿赫空間。 $X$ 也是巴拿赫空間， $\pi _{1}$ 是對射，從而由開映射定理的系可知，其逆 $\pi _{1}^{-1}:X\to \Gamma (T)$ 為有界算子。

因為 $T=\pi _{2}\circ \pi _{1}^{-1}$ ，故 $T$ 也是有界的。

## 推論

從這定理可得出黑林格 - 特普利茨定理──希爾伯特空間上處處定義的對稱線性算子是有界的。
闭合类时曲线

在一勞侖茲流形中，一條**封閉類時曲線**（closed timelike curve，CTC）是一物質粒子於時空中的一種世界線，其為「封閉」，亦即會返回起始點。這種可能性是由威廉・范・斯托克姆（Willem Jacob van Stockum）於 1937 年以及庫爾特・哥德爾（Kurt Gödel）於 1949 年開啟研究風潮。若 CTC 存在，則時間機器理論上似乎可行，如此也引出了祖父悖論（grandfather paradox）的夢魘。CTC 與參考系拖曳（frame dragging）以及提普勒柱體（Tipler Cylinder）有關，是廣義相對論帶來的眾多有趣的「副作用」其中一者。

## 光錐

當在廣義相對論中討論一系統的演進，或將討論限定在閔可夫斯基時空，物理學家常提及「光錐」。一個光錐表示一給定現在狀態的物體未來任何可能的演進，或給定現在位置之下，未來任何可能的位置。一個物體的未來可能位置受限於該物體能移動的速度，最快只能到光速。舉例而言，一個物體於時間 $t_{0}$ 位於位置 $p$ ，於時間 $t_{1}$ 時，僅能移動到 $c(t_{1}-t_{0})$ 之內的位置。

## 廣義相對論

有些愛因斯坦場方程式「局域上」無可異議的精確解含有 CTC，其中幾個最重要的解包括有：

* 克爾真空 (Kerr vacuum)（不帶電荷、磁荷的旋轉黑洞模型）
* van Stockum 塵（具有柱狀對稱之宇宙塵模型）
* 哥德爾 Λ 塵 (Gödel lambdadust)（精選宇宙常數項的宇宙塵模形）
* 提普勒柱體（含有 CTC 的柱狀對稱度規）
* 約翰・理察・戈特提出了利用宇宙弦製造 CTC 的機制。

這些例子中的幾個如同提普勒柱體，相當複雜而不自然，但克爾解的「外面」部份則被認為某種程度上是一般性的，所以一旦得知其「內部」含有 CTC，則令人相當不安。

## 相關條目

* 類時
* 廣義相對論

## 參考文獻

## 外部連結

* A Primer on Time Travel -(backup in the Internet Archive)
闭合音

**塞音**（漢語拼音：sè yīn；注音：**ㄙㄜˋㄧㄣ** ；英語：**plosive** 或 **stop** 或 **occlusive**），也稱**爆破音**、**閉塞音**、**塞爆音**。

塞音為一種輔音，藉由阻塞聲道使所有氣流停止。依照輔音發音三階段，**成阻**時發音部位緊閉；**持阻**時保持緊閉，同時呼出氣流，但氣流阻塞在發音部位，好像是發音的做勢；**除阻**時突然將障礙開放，氣流透出，因爆發、爆裂而成聲。

有些學者認為鼻音也可以歸入塞音，因為發音時氣流通過鼻腔，但是口腔中的氣流通道被阻礙。

* 雙唇音：p, b
* 舌尖音
  * 齒音：t̪, d̪（如法語、俄語的 t, d）
  * 齒齦音：t, d（如英語的 t, d）
  * 捲舌音：ʈ, ɖ（出現在印度的語言中。大部分專家認為，中古漢語的舌上音也是捲舌塞音。）
* 舌面音
  * 硬腭音：c, ɟ
* 舌根音
  * 軟腭音：k, g
  * 小舌音：q, ɢ
* 聲門塞音：ʔ

## 英語中的塞音

輔音的 [p]、[b]、[t]、[d]、[k]、[g]、[ʔ] 都是塞音。

## 參考文獻

## 外部連結

* Rothenberg M. The Breath-Stream Dynamics of Simple-Released Plosive Production. Vol. 6. [2013-10-30]. （原始內容存檔於 2019-02-21）.  Bibliotheca Phonetica, Karger, Basel, 1968
闭后不圆唇元音

**閉後不圓唇元音**為一元音。此音的國際音標符號是變形的拉丁字母 ⟨ɯ⟩（即是倒轉的 m）。

在普通話中，拼音 e 有時會通過輔音化的[ɰ]加上[ʌ]實現，如拼音的 he 在語音形式上可能為 [xɰʌ]。
類似於漢語拼音中的 z**i**(資), c**i**(慈), s**i**(斯) 的韻母部分。

## 特徵

* 其元音高度為閉，這意指舌頭的位置會盡量接近齒齦，但不會阻礙氣流而被歸類為子音。
* 其元音舌位是後，表示舌頭的位置會盡可能地朝向口腔後部，但不至於阻礙氣流而被歸類為子音。
* 其圓唇度為**不圓唇元音**，嘴唇自然放鬆，不特別向前突起。

## 見於

## 註釋

## 參考文獻

## 參閱

* Ɯ ɯ: 拉丁字母 Ɯ

## 外部連結

* 在 PHOIBLE 上搜尋含有[ɯ]的語言
闭后不突出元音

**閉後圓唇元音**是元音的一種。用於部份口說語言當中。國際音標用以表示此音的符號為⟨u⟩；而 X-SAMPA 則以 `u` 代表此音。

普通話的韻母 u 就是此音。

在多數有此音的語言中，此音以唇內 ('endolabial') 的方式發音；然而在少部份的狀況下，此音以唇外 ('exolabial') 的方式發音。

## 閉後突出元音

**閉後突出元音**是閉後圓唇元音最常見的變體。它通常在 IPA 中被轉錄為⟨u⟩，本文中亦依照此慣例。由於沒有專門用於表示「突出」（英語：protruded）的 IPA 變音符號，因此可以使用表示唇化作用的舊式符號⟨  ̫⟩，即⟨u̫⟩。另一種可能的寫法是⟨uʷ⟩ 或⟨ɯʷ⟩（被唇內化的閉後元音），然而這有可能被理解為一個雙元音。

### 特徵

* 其元音高度為閉，這意指舌頭的位置會盡量接近齒齦，但不會阻礙氣流而被歸類為子音。
* 其元音舌位是後，表示舌頭的位置會盡可能地朝向口腔後部，但不至於阻礙氣流而被歸類為子音。
* 其圓唇度為**圓唇元音**，這表示嘴唇向前突起並圓形的開口，且唇內側並不露出。
* 其元音圓唇度為**突出**，即將嘴角聚攏，且嘴唇內側向外露出。

 

### 見於

 

## 閉後不突出元音

在瑞典語、日語等語言中，其閉後元音使用了一種特別的圓唇方式，這樣的情況被稱作「不突出」（compressed）或唇外音（exolabial）。已知的語言中僅有上海話擁有與突出元音互相對比的的閉後元音。但事實上，兩個元音的高度都可以從可以在閉到半閉之間自由變化。

沒有確定的變音符號來描述是否突出。但唇的不突出度可被⟨β̞⟩描寫為⟨ɯ͡β̞⟩或⟨ɯᵝ⟩。展唇化變音符號⟨  ͍ ⟩作為 _ad hoc_ 標用在圓唇元音⟨u͍⟩也可以，但 ' 展' 實際上意味著不圓唇。

### 特徵

* 其元音高度為閉，這意指舌頭的位置會盡量接近齒齦，但不會阻礙氣流而被歸類為子音。
* 其元音舌位是後，表示舌頭的位置會盡可能地朝向口腔後部，但不至於阻礙氣流而被歸類為子音。
* 其元音圓唇度為**不突出**，即嘴唇的邊緣緊繃而聚在一起，且嘴唇內側不向外露出。

 

 

### 見於

## 註釋

## 參考文獻

## 外部連結

* 在 PHOIBLE 上搜尋含有[u]的語言
闭嘴

《**你丫閉嘴！**》（法語：_**Tais-toi !**_，法語發音：[tɛ twa]，又譯「**終極剋星**」、「**越獄瘋雲**」、「**搞笑雙雄**」），是 2003 年上映的一部法國與義大利合資拍攝的法語喜劇電影，由法蘭西斯・威柏執導，傑哈・德巴狄厄和尚・雷諾主演。

影片講述來自蒙塔日的頭腦簡單鋼蛋（傑哈・德巴狄厄飾）將來自比度的冷酷殺手盧比（尚・雷諾飾）視作知己，並熱心幫助他。

本片的東北官話配音版在中國大陸網絡上廣為流傳。

## 情節

來自蒙塔日的鋼蛋將一間外幣兌換所當作銀行搶劫，未果後向兌換所工作人員詢問最近銀行的位置。銀行雇員報警後，鋼蛋逃往一間電影院，在觀看《冰河世紀》（而非繼續逃亡）時被捕入獄。與此同時，黑幫老大沃傑勒的手下盧比因私藏從沃傑勒處偷得的贓物而被捕，而此舉的動機是為被沃傑勒殺死的情人桑德拉復仇。盧比入獄後一言不發，導致警官對沃傑勒案的調查受阻。

口無遮攔的鋼蛋在先後逼瘋兩個獄友後被關進盧比所在的牢房，一直對盧比說話，隨後認為自己與盧比成為朋友，並設想出獄後與其合辦小酒館。但兩人在盧比為越獄而自殺未遂後再度分開，鋼蛋為此亦作出割腕舉動，隨後在監獄醫務室中與盧比「重聚」。盧比以十萬歐元買通護工以達到越獄目的，而鋼蛋亦在其朋友（酗酒的吊車司機馬蒂諾）的幫助下試圖越獄。沃傑勒的保鏢三次試圖抓住盧比，而鋼蛋和盧比在出逃後先後偷車，搶劫玩具店和騎師家，著女裝逃亡，與兩個社會青年互換衣服。鋼蛋和盧比在試圖再次偷車時被警察發現，盧比中彈受傷。

二人在一間廢棄酒館中過夜時遇到長相與桑德拉相似的偷渡者卡佳，盧比將其送往一間旅店。而鋼蛋將沃傑勒的保鏢引至酒館，從而與盧比前往沃傑勒家。盧比舉槍射擊沃傑勒保鏢後被沃傑勒擊中腿部，沃傑勒在威脅殺死盧比時被鋼蛋射殺，臨死前仍開槍擊中鋼蛋。彼時警察已趕到沃傑勒家，未受致命傷的鋼蛋隨後在警察面前不打自招。

## 演員

* 傑哈・德巴狄厄 飾 鋼蛋（Quentin）
* 尚・雷諾 飾 盧比（Ruby）
* 理查・貝里 飾 維爾內（Vernet）
* 安德烈・杜索里埃 飾 心理醫生
* 讓 - 皮埃爾・馬洛 飾 沃傑勒（Vogel）
* 讓 - 米歇爾・諾里 飾 朗貝爾（Lambert）
* 洛朗・加默隆 飾 莫里塞（Mauricet）
* 奧雷利安・雷克因 飾 洛克（Rocco）
* 文森・莫斯卡托 飾 拉菲（Raffi）
* 蒂基・奧爾加多 飾 馬蒂諾（Martineau）
* 米歇爾・歐蒙 飾 諾斯伯格（Nosberg）
* 萊昂・維埃拉 飾 卡佳（Katia）/ 桑德拉（Sandra）
* 盧瓦・布拉班 飾 尚比爾（Jambier）
* 阿諾・卡桑 飾 布爾昆（Bourgoin）
* 埃德加・日夫里 飾 瓦維內（Vavinet）
* 吉約姆・德・唐柯迪克 飾 實習醫生
* 阿德里安・聖若雷 飾 青年 1
* 約翰・利伯歐 飾 青年 2
* 蓋伊・德拉馬奇 飾 朱利安騎師（Lefevre）
* 麗貝卡・波托克 飾 騎師夫人（Mme Lefevre）
* 斯特凡・布歇 飾 獄卒（le gardien de prison）
* 呂多維克・貝爾蒂約 飾 大塊頭犯人（Le gros Taulard）
* 蒂埃里・勒內 飾 安地列斯人約瑟夫（Joseph l'Antillais）

## 票房

以下為該片 2003 年上映後七周內的票房統計情況：

## 注釋

## 參考文獻

## 外部連結

* 網際網路電影資料庫（IMDb）上《你丫閉嘴！》的資料（英文）
* 豆瓣電影上《你丫閉嘴！》的資料 （簡體中文）
闭嘴_安静

〈**閉嘴 乖乖聽話**〉（義大利語：_Zitti e buoni_）是義大利搖滾樂團天際月光樂團於 2021 年 3 月 3 日推出的單曲，由達米亞諾・大衛（Damiano David）、伊森・託基奧（Ethan Torchio）、托馬斯・拉吉（Thomas Raggi）和維多利亞・德・安吉利斯（Victoria De Angelis）共同創作，代表義大利參與 2021 年在荷蘭鹿特丹舉辦的 2021 年歐洲歌唱大賽，並贏得了冠軍。這是義大利自 1990 年歐洲歌唱大賽，再次獲得冠軍。

## 製作

〈閉嘴 乖乖聽話〉由樂團成員達米亞諾・大衛（Damiano David）、伊森・託基奧（Ethan Torchio）、托馬斯・拉吉（Thomas Raggi）和維多利亞・德・安吉利斯（Victoria De Angelis）共同作詞作曲，歌曲每分鐘 103 拍，以 E 小調創作。曲風方面，《紐約時報》稱其為硬式搖滾，《衛報》則認為歌曲有著龐克和放克元素。

和現在的搖滾曲風不同，起初這是首抒情歌曲，樂團接受採訪表示：「這是我們 5 年前創作的歌，但後來我們對它進行大改造」。在那之後樂團一直等待合適的發布機會，直到聖雷莫音樂節，樂團認為能在音樂節演出一定很酷。《義大利告示牌》表示天際月光樂團終於展露他們的個性和電吉他。〈閉嘴 乖乖聽話〉是首關於宣洩憤怒的歌曲，樂團表示他們將憤怒轉化為主導一切的積極能量。《獨立報》認為這首活力充沛的搖滾歌曲充分展現主唱的死腔。Lenta.ru 則表示大衛的歌聲和北極潑猴主唱亞歷克斯・特納相似。

## 歐洲歌唱大賽

自 2015 年來，義大利廣播電視公司（RAI）都會選定聖雷莫音樂節冠軍擔任歐洲歌唱大賽的義大利代表。2021 年聖雷莫音樂節於 2021 年 3 月 2 日至 6 日舉行，共有 26 位（組）參賽者角逐冠軍。最終天際月光樂團勝出，獲得代表義大利的權利。由於義大利為「五大國」，不須參與半決賽直接晉級。

決賽於 2021 年 5 月 22 日舉行，天際月光樂團被安排在第 24 位演出。為符合比賽規定，樂團不得不更改部分歌詞內容。決賽當天，天際月光樂團以評審得分 206 分，觀眾得分 318 分，合計得分 524 分獲得 2021 年歐洲歌唱大賽冠軍。成為繼 1964 年（吉吉羅拉・錢恩奎蒂）和 1990 年（托托・庫圖尼奧），第三位抱回歐洲歌唱大賽冠軍的義大利選手。這次勝利不單是繼 2006 年來再次有團體奪冠，也是繼 2010 年，「五大國」再度奪得冠軍。

## 專業評價

歌曲獲得樂評廣泛好評。Wiwibloggs 根據內部評審團評價給予歌曲 7.7/10，評審團認為優雅前衛又不失激情，雖然樂團不能在比賽上彈奏樂器，但靠著大衛的歌聲，他們還是可以點燃全場。全國公共廣播電台稱讚這是首鋒芒畢露的搖滾歌曲，雖然沒有厚重的金屬色彩，但它擁有最強烈、最具感染力的旋律。CNET 給予歌曲 3/5 分，評論樂團的厚底鞋、喇叭袖和佈滿鉚釘的黑色皮革帶領大家來到 80 年代的搖滾時期。

《每日電訊報》稱讚天際月光樂團帶來的華麗搖滾，雖然歌曲並非歐洲歌唱大賽的審美，但它美麗、耀眼且協調，在一眾流行音樂裡尤其突出。Lenta.ru 表示天際月光樂團再次證明「不管什麼類型的音樂，都可以成功」。《獨立報》將歌曲列在歷屆歐洲歌唱大賽冠軍歌曲第 12 名。

## 商業成績

歌曲首周登上義大利排行榜 14 名，並在奪得聖雷莫音樂節冠軍後成為當周榜單亞軍。同時，歌曲也登上瑞士熱門音樂榜，排名 57。3 月 20 日〈閉嘴 乖乖聽話〉和其他 3 首聖雷莫音樂節參賽作品一同登上《告示牌》不含美國成績的 Billboard Global Excl. U.S. 排行榜，以 1,110 萬次串流和 3,500 張銷量排名第 106 名。

在榮獲歐洲歌唱大賽冠軍後，〈閉嘴 乖乖聽話〉登上歐洲各國音樂排行榜。歌曲成功拿下芬蘭、希臘、立陶宛、荷蘭和瑞典排行榜冠軍。在英國，歌曲是繼 2015 年〈英雄〉後排名最高的歐洲歌唱大賽冠軍歌曲。〈閉嘴 乖乖聽話〉同時也是繼 1992 年蘇奇洛的〈Miserere〉後再次上榜的義大利語歌曲。在 2021 年 6 月 5 日這周，歌曲再次登上《告示牌》美國除外全球單曲榜，排名 11 名，並以 3,010 萬串流和 10,600 張銷量空降 Billboard Global 200 第 26 名，隔週歌曲成績上升至第 10 和第 22 名。

## 榜單表現

## 銷量認證

## 注釋

## 參考資料

## 外部連結

* YouTube 上的天際月光樂團在決賽的演出
闭嘴家族

《**Family**》（韓語：**패밀리**）是韓國 KBS 頻道 2012 年的日日連續劇，該劇從 2012 年 8 月 13 日起每周一至周五晚間 7 點 45 分－8 點 15 分播出。

## 劇名爭議及更改

原劇名為《**閉嘴家族**》（닥치고 패밀리），於 10 月 25 日接到韓國通信標準委員會關於命名方面的問題，因為其劇名使用「閉嘴」字眼，有損公共放送電視的格調，自 8 月首播以來，承受了許多外界的輿論壓力及批評，最後於 12 月 7 日播出時，宣布將更改劇名為《**Family**》，並於 12 月 10 日正式啟用。

## 劇情

講述優等家族與劣等家族兩家結合後發生的故事。

## 演員陣容

### 優等家族

### 劣等家族

### E Coffee

### 其他角色

## 同時段競爭劇集

* MBC：《不能沒有你的生活》、《吳子龍走吧》、《Stand-By》、《媽媽是什麼》
* SBS：《依然是你》、《家族的誕生》

## 外部連結

* 韓國 KBS（韓文）
* 台灣八大（中文）

## 節目的變遷
闭囊壳小煤炱

**閉囊殼小煤炱**（學名：_Meliola cleistopholidis_）是屬於小煤炱目小煤炱科小煤炱屬的一種真菌，寄生在番荔枝科植物上。該種分布於中國、剛果。

## 參考文獻
闭图像定理

**閉圖定理**是數學中泛函分析的一條定理。

## 敘述

設 $X$ ， $Y$ 為巴拿赫空間， $T:X\to Y$ 為線性算子。定義 $T$ 的圖像為 $X\times Y$ 的子空間

　
: $\Gamma (T)=\{(x,T(x))\in X\times Y\vert x\in X\}$ 。

賦予 $X\times Y$ 範數 $\|(x,y)\|_{X\times Y}=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}$ ，使得 $X\times Y$ 成為巴拿赫空間。那麼，這定理指 $T$ 是連續的（與有界等價）若且唯若 $\Gamma (T)$ 在 $X\times Y$ 內是閉集。

## 證明

閉圖定理可以從開映射定理推導出來。

 $\Gamma (T)$ 是閉集的充分必要條件是如果序列 $\{(x_{n},y_{n})\}_{n}\subset \Gamma (T)$ （即對任意 $n$ 有 $y_{n}=T(x_{n})$ ），而 $(x_{n},y_{n})\to (x,y)$ ，那麼 $(x,y)\in \Gamma (T)$ ， $y=T(x)$ 。如果 $T$ 是連續的，從連續性立刻可知 $\Gamma (T)$ 是閉集，因為連續性是更強的條件：如果 $x_{n}\to x$ ，則 $T(x_{n})\to T(x)$ 。

如果 $\Gamma (T)$ 是閉集，可以在 $\Gamma (T)$ 定義線性算子

　
: $\pi _{1}:\Gamma (T)\to X,\ (x,y)\mapsto x$ ，

　
: $\pi _{2}:\Gamma (T)\to Y,\ (x,y)\mapsto y$ 。

顯然 $\|\pi _{2}(x,y)\|_{Y}=\|y\|_{Y}\leq \|(x,y)\|_{X\times Y}$ ，因此 $\pi _{2}$ 是有界算子。

 $\Gamma (T)$ 是巴拿赫空間 $X\times Y$ 中的閉子空間，所以 $\Gamma (T)$ 是巴拿赫空間。 $X$ 也是巴拿赫空間， $\pi _{1}$ 是對射，從而由開映射定理的系可知，其逆 $\pi _{1}^{-1}:X\to \Gamma (T)$ 為有界算子。

因為 $T=\pi _{2}\circ \pi _{1}^{-1}$ ，故 $T$ 也是有界的。

## 推論

從這定理可得出黑林格 - 特普利茨定理──希爾伯特空間上處處定義的對稱線性算子是有界的。
闭塞

**閉塞**可以指：

* 與世隔絕，消息不靈通，通信或對外交通不發達。
* 閉塞 (鐵路)：鐵路信號的術語，指列車占用一個區間後，使用一些手段禁止其他列車駛入該區間，防止列車相撞。
* 塞音（爆破音、閉塞音）：輔音發音方法的一種
闭塞性细支气管炎

**閉塞性細支氣管炎**（英語：Obliterative bronchiolitis (OB)，縮寫為 **OB**；**constrictive bronchiolitis**；**popcorn lung**），是因為發炎造成肺部細支氣管阻塞的疾病。症狀包括乾咳、呼吸急促、喘鳴及疲勞，症狀一般會在數週或是數個月後惡化，這和隱源性器質性肺炎（cryptogenic organizing pneumonia）無關。

## 病因及診斷

原因包括呼入有毒煙霧、呼吸道感染，結締組織病，或是進行過骨髓移植或心肺移植。在中毒或感染後 2 至 8 週內可能不會出現症狀。潛在的病理機制包括發炎導致疤痕組織形成。本疾病可透過電腦斷層掃描（簡稱 CT）、肺功能試驗或肺部活體組織切片進行診斷。胸部 X 光檢查結果通常是正常的。

## 治療及預後

此疾病造成的傷害是不可逆的，但透過治療可以減緩症狀的惡化。治療方式包括使用皮質類固醇或免疫抑制藥物。在醫師建議下可以嘗試肺部移植。大多數人的預後往往很差，在幾個月到幾年內就死亡。

## 流行病學及歷史

對一般人而言，閉塞性細支氣管炎是不常見的症狀。在進行過肺部移植的病患而言，10 年內罹患的比例有到 75%，對於有從其他人身上移植過骨髓的人，最多有 10% 會得到閉塞性細支氣管炎。在 1981 年時首次詳細的描述此症狀，而在 1956 年時也有文獻提及此一症狀。

## 爆米花肺與爆米花工人肺

2007 年 8 月底，荷蘭學者研究發布論文表示長期接觸聯乙醯， 可能會增加患閉塞性細支氣管炎的風險，而聯乙醯正是爆米花工廠中常用的用來提升爆米花奶香口味的化學食品添加劑。研究人員發現這種添加劑在高溫下會導致**爆米花肺**的產生，即閉塞性細支氣管炎。患病患者的表現為咳嗽、哮喘與氣短，有些會發生呼吸困難，嚴重的病例會危及生命或需接受肺移植手術。美國全國職業安全和衛生研究所於同年亦公開多起長期食用爆米花後患上肺病的病例。另因爆米花工廠的工人亦常有接觸這兩種添加劑的機會，使得爆米花工人們患該病的風險提升，故又被人稱為「**爆米花工人肺**」，但兩種稱呼皆指的是閉塞性細支氣管炎。

## 參考文獻

## 參見

* 阻塞性肺病
  * 慢性阻塞性肺病
* 細支氣管炎
  * 瀰漫性泛細支氣管炎
闭塞音

**塞音**（漢語拼音：sè yīn；注音：**ㄙㄜˋㄧㄣ** ；英語：**plosive** 或 **stop** 或 **occlusive**），也稱**爆破音**、**閉塞音**、**塞爆音**。

塞音為一種輔音，藉由阻塞聲道使所有氣流停止。依照輔音發音三階段，**成阻**時發音部位緊閉；**持阻**時保持緊閉，同時呼出氣流，但氣流阻塞在發音部位，好像是發音的做勢；**除阻**時突然將障礙開放，氣流透出，因爆發、爆裂而成聲。

有些學者認為鼻音也可以歸入塞音，因為發音時氣流通過鼻腔，但是口腔中的氣流通道被阻礙。

* 雙唇音：p, b
* 舌尖音
  * 齒音：t̪, d̪（如法語、俄語的 t, d）
  * 齒齦音：t, d（如英語的 t, d）
  * 捲舌音：ʈ, ɖ（出現在印度的語言中。大部分專家認為，中古漢語的舌上音也是捲舌塞音。）
* 舌面音
  * 硬腭音：c, ɟ
* 舌根音
  * 軟腭音：k, g
  * 小舌音：q, ɢ
* 聲門塞音：ʔ

## 英語中的塞音

輔音的 [p]、[b]、[t]、[d]、[k]、[g]、[ʔ] 都是塞音。

## 參考文獻

## 外部連結

* Rothenberg M. The Breath-Stream Dynamics of Simple-Released Plosive Production. Vol. 6. [2013-10-30]. （原始內容存檔於 2019-02-21）.  Bibliotheca Phonetica, Karger, Basel, 1968
闭壳柯

**閉殼柯**（學名：_**Lithocarpus cryptocarpus**_）為殼斗科柯屬下的一個種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
闭壳龟属

**閉殼龜屬**（學名：_Cuora_）或稱**亞洲箱龜屬**（Asian box turtle），是亞洲的一屬盒龜屬，約有 10-11 個物種。鋸緣攝龜一般已被認為分類在此屬中，但仍有爭議應繼續分類在自己的鋸緣攝龜屬中。牠們分佈在印度的阿薩姆邦，經東南亞及中國中部至南部，東北至日本，東南至印尼的華萊士區邊界及菲律賓。

## 特徵

閉殼龜屬的龜殼呈低至高的拱形，一般有三道脊棱。牠們呈紅色、黃色、褐色、灰色及黑色。一些物種的脊棱有鮮黃色、橙色或白色的斑紋。牠們的身體顏色很多樣化，但都是很強色。大部份物種的頭部兩邊都有斑紋，直到鼻子相接。

## 行為

閉殼龜屬有陸生的、半水生的或主要水生的，大部份都會在充滿植被的淺水沼澤、河流或水池徘徊。牠們大部份都是雜食性的，但也有肉食性的。

## 分類

* 馬來閉殼龜（_C. amboinensis_）
  * 西印尼盒龜（_C. a. couro_）
  * 東南亞盒龜（_C. a. kamaroma_）
  * 緬甸盒龜（_C. a. lineata_）
* 金頭閉殼龜（_C. aurocapitata_）
* 麗圓閉殼龜（_C. cyclornata_）
  * _C. c. cyclornata_
  * _C. c. meieri_
* 黃緣閉殼龜（_C. flavomarginata_）
  * 琉球黃緣閉殼龜（_C. f. evelynae_）
  * 臺灣黃緣閉殼龜（_C. f. flavomarginata_）
  * 中國黃緣閉殼龜（_C. f. sinensis_）
* 黃額閉殼龜（_C. galbinifrons_）
  * 黑腹黃額閉殼龜（_C. g. galbinifrons_）
  * 布氏黃額閉殼龜（_C. g. bourreti_）
  * 圖畫黃額閉殼龜（_C. g. picturata_）
* 百色閉殼龜（_C. mccordi_）
* 潘氏閉殼龜（_C. pani_）
* 三線閉殼龜（_C. trifasciata_）
* 雲南閉殼龜（_C. yunnanensis_）
* 周氏閉殼龜（_C. zhoui_）

瓊崖閉殼龜（_C. serrata_）最初被認為是黃額閉殼龜的亞種，後來被提升為物種層級，但其實是鋸緣攝龜及黃額閉殼龜的混種。在野外曾發現了一個瓊崖閉殼龜的標本，估計有其他自然混種或群落的存在。在中國的龜養殖場沒有出產像瓊崖閉殼龜的標本，野外混種的出現是一種演化過程。不過瓊崖閉殼龜未知是否源自鋸緣攝龜及黃額閉殼龜的直接混種，或是自己的原位雜交。

其他閉殼龜屬的混種也存在，包括與艾氏擬水龜的混種、三線閉殼龜與黃喉擬水龜的混種等。

## 飼養

從野外捕捉的馬來閉殼龜是寵物市場的常客，但牠們的數量卻變得稀少。大部份物種因需要半水生的環境，這對於飼養是一個難題。對於初學者來說，飼養牠們是一個困難。幼龜可以很快就成長為成龜，一些甚至長大到難以處理的體型。在沒有《瀕危野生動植物種國際貿易公約》的許可下，飼養牠們是非法的。牠們的飼養繁殖也有一定困難，包括照顧要求及容易造成混種等。

## 參考

## 外部連結

* Turtle Puddle: _Cuora_ care （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
闭央不圆唇元音

**閉央不圓唇元音**是母音的一種，使用於許多口語語言之中，其國際音標的符號為 ⟨ɨ⟩，另一種符號為 ⟨ï⟩，相對應的 X-SAMPA 符號則為 ⟨1⟩。

## 特徵

* 其元音高度為閉，這意指舌頭的位置會盡量接近齒齦，但不會阻礙氣流而被歸類為子音。
* 其元音舌位是央，表示舌的位置是在央元音的地方，大約在前元音和後元音中間。
* 其圓唇度為**不圓唇元音**，嘴唇自然放鬆，不特別向前突起。

## 各語言比較表

/ɨ/ 在印歐語系語言中不是個普遍的音素，主要作為同位異音出現在部分斯拉夫語支語言，如俄語。但它在美洲孤立語言中是非常普遍的音素，且常和其它閉元音，如 /i/、/u/ 對立。這在現存語言和祖語 (如原始猶他 - 阿茲特克語) 中都發生。Campbell, Kaufman & Smith-Stark (1986) 認為這音素的中美洲語言聯盟的區域特徵 (儘管這一特徵不普遍存在於這一地區) 之一。

漢語中的舌尖元音 /ɿ/ 亦有人標示為此音，如：/sɨ͡/。

波蘭語 ⟨y⟩常是 /ɨ/，但實際上是半閉前移央展唇元音，更精確的記音是[ɘ̟]。相似地，歐洲葡萄牙語的非重讀⟨e⟩常被記作 /ɨ/，實際上是次閉次後不圓唇元音，更精確的記音使用 _ad hoc_ 標，如[ɯ̽], [ɯ̟]和[ʊ̜]。

## 註釋

## 參考書目

## 外部連結

* 在 PHOIBLE 上搜尋含有[ɨ]的語言
闭央圆唇元音

**閉央圓唇元音**（Ʉ）是母音的一種，使用於許多口語語言之中，其國際音標的符號為 ⟨ʉ⟩，另一種符號為 ⟨ü/ue⟩，相對應的 X-SAMPA 符號則為 ⟨}⟩。

在很多語言中發此音時會突起嘴唇。但也有少數情況嘴唇是扁平的。

## 特徵

* 其元音高度為閉，這意指舌頭的位置會盡量接近齒齦，但不會阻礙氣流而被歸類為子音。
* 其元音舌位是央，表示舌的位置是在央元音的地方，大約在前元音和後元音中間。
* 其元音圓唇度為突出，即將嘴角聚攏，且嘴唇內側向外露出。

## 發音方式

舌面中央部分向硬齶中部隆起，嘴唇向兩邊展開。

## 發音列表

* 英語個別口音 - boot /**bʉ̟ːt/** （船）
* 愛爾蘭語 - ciúin /**cʉ̠ːnʲ/** （安靜）
* 挪威語 - hus **/hʉ͍ːs/** （房子）
* 威爾斯語 - dŵr /**dʉr/** （水）

## 註釋

## 參考文獻

## 外部連結

* 在 PHOIBLE 上搜尋含有[ʉ]的語言
闭姓

**閉姓**是漢姓之一。

## 起源

據《閉氏族譜》記載，閉氏起源於唐朝唐玄宗時期，由山東曲阜白馬街遷徙到廣西。

## 現代名人

* 閉迎新：壯族，廣西柳州人，內科醫師。
* 閉丕強：壯族，廣西靖西人，中學一級教師。
* 閉艷艷：語言學家。

## 影視形象

* 《閉門一家親》：香港處境劇，戶主一家姓閉。

## 參考資料

## 延伸閱讀

[編]

　
: 《欽定古今圖書集成・明倫彙編・氏族典・閉姓部》，出自陳夢雷《古今圖書集成》
闭子群

在數學中，**拓撲群**是群 _G_ 和與之一起的 _G_ 上的拓撲，使得這個群的二元運算和這個群的取逆函數是連續的。拓撲群允許依據連續群作用來研究連續對稱的概念。

## 形式定義

**拓撲群** _G_ 是拓撲空間和群使得群運算

　
: $G\times G\to G:(x,y)\mapsto xy$

和

　
: $G\to G:x\mapsto x^{-1}$

是連續函數。這里的 _G_ × _G_ 被看作使用乘積拓撲得到拓撲空間。

儘管我們這里沒有做其他要求，很多作者要求在 _G_ 上的拓撲是豪斯多夫空間。下面會討論其理由和一些等價條件。最後，這不是個嚴重的限制 — 很多拓撲群都可以用規範方式變成豪斯多夫空間。

使用範疇論的語言，拓撲群可以簡明的定義為在拓撲空間範疇內的群對象，如同普通的群是集合範疇的群對象一樣。

### 同態

在兩個拓撲群 _G_ 和 _H_ 之間的同態就是連續群同態 _G_ → _H_。拓撲群的同構則要求同時是群同構及對應拓撲空間的同胚。這比單純要求連續群同構要更強，因其逆函數必須也是連續。有作為普通群是同構的但作為拓撲群卻不同構的例子。實際上，任何非離散的拓撲群在用離散拓撲來考慮的時候也是（另一個）拓撲群。底層的群是一樣的（同構），但兩個拓撲群並非同構。

拓撲群和它們的同態一起形成一個範疇。

## 例子

每個群可以平凡地變成一個拓撲群，這是通過給它一個離散拓撲達成地；這樣的群稱為離散群。在這個意義下，拓撲群的理論包含了普通群的理論。

實數 **R**，以及加法操作和它的普通拓撲構成一個拓撲群。更一般的，歐幾里得空間 **R**n 連同加法和標準的拓撲構成拓撲群。更一般的，所有拓撲向量空間（譬如巴拿赫空間和希爾伯特空間）的加法群是拓撲群。

上面的例子都是阿貝爾群的例子。非交換群的例子有各種李群（是拓撲群也是流形）。例如，一般線性群 GL (_n_,**R**) 由所有可逆 _n_×_n_ 實係數矩陣組成，可以視為拓撲群，其拓撲定義為將 GL (_n_,**R**) 作為歐幾里得空間 **R**n×_n_ 的子空間得到的子空間拓撲。所有李群是局部緊的。

不是李群的拓撲群的一個例子是有理數 **Q** 其拓撲從實數繼承。這是一個可數空間而它不是離散拓撲。對於一個非交換的例子，可以考慮 **R**3 的旋轉群由繞不同軸作 2π 的無理數倍的兩個旋轉所生成的子群。

在每個帶乘法單位元的巴拿赫代數中，可逆元素的集合構成一個乘法下的拓撲群。

## 性質

拓撲群的代數和拓撲結構以非平凡的方式互相影響。例如，在任何拓撲群中單位分支（也就是包含單位的連通分支）是一個閉正規子群。

拓撲群 _G_ 上的逆運算給出了一個從 G 到其自身的同胚。同樣，若 a 是 G 的任意元素，則 a 的左乘和右乘產生 _G_ → _G_ 的一個同胚。

每個拓撲群可以兩種方式視為一個一致空間；「左一致性」將所有左乘變成一個一致連續映射，而「右一致性」將所有右乘變為一致連續映射。若 _G_ 非交換，則這兩個一致性並不相同。這個一致性結構使得在拓撲群上討論完備性、一致連續、和一致收斂成為可能。

作為一個一致空間，每個拓撲群是一個完全正則空間。因而，若一個拓撲群是 T0（也就是柯爾莫果洛夫空間），則它也是 T2 (也即豪斯多夫空間)。

兩個拓撲群之間的最自然的同態概念是一個連續的群同態。拓撲群，和作為態射的連續群同態一起，構成一個範疇。

每個拓撲群的子群本身也是一個拓撲群，只要取子空間拓撲便可。若 _H_ 是 G 的一個子群，所有左或右陪集 _G_/_H_ 是一個拓撲空間，只要取商拓撲便可（_G_/_H_ 上使得自然投影 _q_ : _G_ → _G_/_H_ 連續的最細拓撲)。可以證明商映射 _q_ : _G_ → _G_/_H_ 總是開映射。

若 _H_ 是一個 G 的正規子群，則因子群，_G_/_H_ 成為一個拓撲群，而從普通群理論來的同構基本定理在這個範圍中也是成立的。但是，若 _H_ 不是 G 的拓撲下的閉集，則 _G_/_H_ 不是 T0 的，即使 _G_ 是。因此很自然可以要求限制到只考慮 T0 拓撲群的範疇，並且限制定義中的正規到正規且閉。

若 _H_ 是 G 的子群，則 H 的閉包也是一個子群。同樣，若 H 是一個正規子群，則 H 的閉包也是正規的。

## 和數學其他領域的關係

對於調和分析有特殊重要性的是局部緊拓撲群，因為它們承認一個自然的測度和積分的概念，由哈爾測度給出。在很多方面，局部緊拓撲群是可數群的一個推廣，而緊拓撲群可以視為有限群的一個推廣。群表示理論對於有限群和緊拓撲群幾乎是完全一樣的。

## 參看

* 李群
* 代數群
* 拓撲環

## 參考

* Husain, Taqdir. Introduction to Topological Groups. Philadelphia: W.B. Saunders Company. 1966.
* Pontryagin, Lev S. Topological Groups. trans. from Russian by Arlen Brown and P.S.V. Naidu 3rd ed. New York: Gordon and Breach Science Publishers. 1986. ISBN 978-2-88124-133-8.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)
闭子集

在拓撲空間中，**閉集**是指其補集為開集的集合。在一個拓撲空間內，閉集可以定義為一個包含所有其極限點的集合。在完備度量空間中，一個閉集的極限運算是閉合的。不要混淆於閉流形。

## 閉集等價的定義

在一個任意的拓撲空間 $(X,{\mathcal {T}})$ 內，一個集合 $C$ 是閉集若且唯若它與它的閉包 ${\bar {C}}$ 相同。等價地，一個集合 $C$ 是閉集若且唯若所有的極限點都是這個集合中的點；也就是， $C'\subseteq C$ 。

## 性質

閉集包含其自身的邊界。換句話說，這個概念基於「外部」的概念，如果你在一個閉集的外部，你稍微「抖動」一下仍在這個集合的外部。注意，這個概念在邊界為空的時候還是真的，比如在有理數的度量空間中，對於平方小於 2 的數的集合。

任意多個閉集的交集是閉集；有限多個閉集的併集是閉集。特別的，空集和全空間是閉集。

交集的性質也被用來定義空間 $X$ 上的集合 $A$ 的閉包，即 $X$ 的閉合子集中最小的 $A$ 的父集。特別的， $A$ 的閉包可以通過所有的其閉合父集的交集來構造。

## 例子

* 區間 $[a,b]$ 在實數上是閉集。（方括號、圓括號的集合符號，參見區間文中的解釋。）
* 單位區間 $[0,1]$ 在實數 $\mathbb {R} $ 的度量空間中是閉集。而集合 $[0,1]\cap \mathbb {Q} $ 在有理數 $\mathbb {Q} $ 上是閉集，但在實數 $\mathbb {R} $ 上並不是閉集。
* 有些集合既不是開集也不是閉集，如實數 $\mathbb {R} $ 上的半開區間 $[0,1)$ 。
* 有些集合既是開集也是閉集叫做閉開集，最簡單的例子就是空集合以及拓樸空間本身。
* 半區間 $[1,\infty )$ 在實數 $\mathbb {R} $ 上是閉集。
* 康托爾集是一個獨特的閉集，它包含所有邊界點，並且沒有一處是稠密的。
* 僅包含一個點的集合（顯然它是有限集）在豪斯多夫空間內是閉集。
* 如果 $X$ 和 _$Y$_ 是拓撲空間，而 $f$ 是一個從 _$X$_ 到 _$Y$_ 的連續函數當且僅當 _$Y$_ 中任意的閉集 $C$ 的原像 $f^{-1}(C)$ 在 _$X$_ 中也是閉集。

## 細說

上述閉集的定義是根據開集而來得，這一概念在拓撲空間上是有意義的，同時也適用於含有拓撲結構的其他空間，如度量空間、可微流形、一致空間和規格空間。

另一種對閉集的定義是通過序列。拓撲空間 $X$ 上的子集 $A$ 是**閉合的**，若且唯若 $A$ 的元素組成的任意序列的任意極限仍然屬於 $A$ 。這一表述的價值在於，它可以用在收斂空間的定義中，而收斂空間比拓撲空間更普通。注意，這一表述仍然依賴背景空間 $X$ ，因為序列是否在 $X$ 中收斂依賴於 $X$ 中的點。

集合是否是閉合的通常取決於它所在的空間。然而在某種意義上，緊緻的豪斯多夫空間是「絕對閉合的」。精確地說，將緊緻的豪斯多夫空間 $K$ 放在任意豪斯多夫空間 $X$ 中， $K$ 總是 $X$ 的一個閉合子集；這和「背景空間」沒有關係。實際上，這個性質刻畫了緊緻的豪斯多夫空間。

## 參見

* 開集
* 閉開集
* 閉包
闭孔仁

**閉悌**（1417 年 —？），字**孔仁**，廣西南寧府橫州人，軍籍。明朝政治人物。進士出身。

廣西鄉試第十一名。正統十三年（1448 年），參加戊辰科會試，得貢士第三十七名。殿試登進士第三甲第四十三名，知桂陽，後左遷蕭縣縣丞，縣民感其德，奏請為縣令，後晉為潮州府同知。曾祖父閉仲寧。祖父閉思暢。父親閉禎，曾任福建惠安縣知縣。

## 參考
闭开集

在拓撲學中，在拓撲空間中的**閉開集**（Clopen set）是既是開集又是閉集的集合。

## 例子

* 在任何拓撲空間 _X_ 中，空集和整個空間 _X_ 都是閉開集。
* 有些拓撲空間內有其他開閉集，如離散空間的任意子集都是閉開集。
* 考慮由兩個區間 [0,1] 和 [2,3] 的併集構成的空間 _X_。在 _X_ 上的拓撲是從實直線 **R** 上的正常拓撲繼承來的子空間拓撲。在 _X_ 中，集合 [0,1] 和 [2,3] 都是閉開集。這是非常典型的例子：只要空間是由有限數目個不相交連通單元以這種方式構成的，這些單元就是閉開集。
* 不太常見的例子，考慮所有有理數的空間 **Q** 帶有它們的正常拓撲，和平方大於 2 的所有正有理數的集合 _A_。利用 ${\sqrt {2}}$ 不在 **Q** 中的事實，可以非常容易的證明 _A_ 是 **Q** 的閉開子集。（還要注意 _A_ 不是實直線 **R** 的閉開子集；它在 **R** 中既不是開集也不是閉集。）

## 性質

* 拓撲空間 _X_ 是連通的，若且唯若唯一的閉開集是空集和 _X_。
* 集合是閉開集，若且唯若它的邊界是空的。
* 任何閉開集是（可能無限多）連通單元的併集。
* 如果 _X_ 的所有連通單元是開集（例如，如果 _X_ 只有有限多個單元，或者 _X_ 是局部連通的），則集合是 _X_ 中的閉開集，若且唯若它是連通單元的併集。
* 拓撲空間 _X_ 是離散的，若且唯若所有它的子集都是閉開集。
* 使用併集和交集作為運算，給定拓撲空間 _X_ 的閉開子集形成一個布爾代數。「所有」布爾代數都可以按這種方式從適合的拓撲空間獲得：參見 Stone 布爾代數表示定理。

## 參見

* 開集
* 閉集
闭式解

**解析解**，又稱為**閉式解**（英語：Analytic expression），是可以用解析表達式來表達的解。
在數學上，如果一個方程式或者方程組存在的某些解，是由有限次常見運算的組合給出的形式，則稱該方程式存在解析解。二次方程式的根就是一個解析解的典型例子。在低年級數學的教學當中，解析解也被稱為**公式解**。

當解析解不存在時，比如五次以及更高次的代數方程式，則該方程式只能用數值分析的方法求解近似值。大多數偏微分方程式，尤其是非線性偏微分方程式，都只有數值解。

解析表達式的準確含義依賴於何種運算稱為常見運算或常見函數。傳統上，只有初等函數被看作常見函數，無窮級數、序列的極限、連分數等都不被看作常見函數。按這種定義，許多累積分布函數無法寫成解析表達式。但如果把特殊函數，比如誤差函數或 gamma 函數也看作常見函數，則累積分布函數可以寫成解析表達式。

在電腦應用中，這些特殊函數因為大多有現成的數值法實現，它們通常被看作常見運算或常見函數。實際上，在電腦的計算過程中，多數基本函數都是用數值法計算的，所以所謂的基本函數和特殊函數對電腦而言並無區別。

## 注釋
闭形式

在數學，特別是向量分析與微分拓撲中，一個**閉形式** $\alpha $ 是微分算子 $d$ 的核，即 $d\alpha =0$ 的微分形式；而**恰當形式**(恰當微分形式) $\alpha $ 是微分算子 $d$ 的像，即存在某個微分形式 $\beta $ 使得 $\alpha =d\beta $ ， $\beta $ 稱為關於 $\alpha $ 的一個「本原」。

因為 $d^{2}=0$ ，所以恰當形式一定是閉形式，但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考慮一個閉形式是不是恰當的，可由不同的條件檢測拓撲信息來得知。問一個 0 - 形式是否恰當沒有意義，因為 $d$ 將階數提高 1，不過可以規定恰當 0 - 形式就是零函數。

當兩個閉形式的差是一個恰當形式時，稱它們為相互**上同調的**。這便是說，如果 $\zeta $ 與 $\eta $ 是閉形式，且存在某個 $\beta $ 使得

　
: $\zeta -\eta =d\beta \ ,$

則我們說 $\zeta $ 與 $\eta $ 是互相上同調的。恰當形式經常稱為**上同調於零**。相互上同調的形式的集合組成了一個德拉姆上同調類中的一個元素；對這樣的類作一般性研究稱為上同調理論。

 $\mathbb {R} ^{2}$ 與 $\mathbb {R} ^{2}$ 上的微分形式已經為十九世紀的數學物理所熟知。在平面上，0 - 形式就是函數，2 - 形式是函數乘以基本面積元 $dx\wedge dy$ ，故只有 1 - 形式

　
: $\alpha =f(x,y)dx+g(x,y)dy\ ,$

具有真正的意義，其外導數 $d$ 是

　
: $d\alpha =(g_{x}-f_{y})dx\wedge dy\ ,$

這裡下標表示偏導數。從而 _$\alpha $_ 「閉」的條件是

　
: $f_{y}=g_{x}\ .$

當 $h(x,y)$ 是一個函數時則

　
: $dh=h_{x}dx+h_{y}dy\ .$

「恰當形式是閉形式」便是關於 _x_ 與 _y_ 二階導數的對稱性的一個推論，這可以直接推廣到高維情形。

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 上，恰當 1 - 形式相當於有勢場（保守場），閉 1 - 形式相當於無旋場。故「恰當形式是閉形式」用向量分析的語言來說相當於有勢場一定是無旋場。

## 龐加萊引理

**龐加萊引理**斷言：如果 $X$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中可縮開子集，對任何整數 $p>0$ ，任何定義在 $X$ 上的光滑閉 $p$ - 形式 $\alpha $ 是恰當的（這只在 $p\leq n$ 有內容）。

可縮意味著存在同倫映射 $F_{t}:X\times [0,1]\rightarrow X$ 將 $X$ 形變為一點。從而任何 $X$ 中的閉鏈 $c$ 都是某個「錐」的邊緣；我們可以取錐為 $X$ 在同倫下的像。這個性質的對偶版本給出了龐加萊引理。

更確切地，我們將 $X$ 與柱 $X\times [0,1]$ 聯繫起來，分別通過映射 $j_{1}(x)=(x,1)$ 與 $j_{0}(x)=(x,0)$ 與頂端和底面等價。在微分形式上，誘導拉回映射 $j_{1}^{*}$ 與 $j_{0}^{*}$ 由上鏈同倫聯繫：

　
: $Kd+dK=j_{1}^{*}-j_{0}^{*}\ .$

令 $\Omega ^{p}(x)$ 表示 $X$ 上的 $p$ - 形式，映射 $K:\Omega ^{p+1}\left(X\times [0,1]\right)\rightarrow \Omega ^{p}(X)$ 是柱映射的對偶，定義為：

　
: $a(x,t)dx^{p+1}\mapsto 0,\;a(x,t)dtdx^{p}\mapsto (\int _{0}^{1}a(x,t)dt)dx^{p},$

這裡 $dx^{p}$ 是一個不含 $dt$ 的單項 $p$ - 形式。所以如果 $F$ 是 $X$ 到一點 $Q$ 的同倫形變，那麼

　
: $F\circ j_{1}=id,\;F\circ j_{0}=Q\ .$

在形式上：

　
: $j_{1}^{*}\circ F^{*}=id,\;j_{0}^{*}\circ F^{*}=0\ .$

將這兩個等式代入上鏈同倫等式便證明了龐加萊引理。

這個引理的一個推論是德拉姆上同調是同倫不變量。龐加萊引理的本質是局部的，大範圍的結果就是德拉姆定理。

不可縮空間不一定有平凡的德拉姆上同調。例如，在 $t\in [0,1]$ 參數化圓周 $S^{1}$ 上，閉 1 - 形式 $dt$ 不是恰當的（**注意**： $t$ 不能定義為整個 $S^{1}$ 上的函數，但 $dt$ 是一個良定的閉形式）。這是因為恰當形式在圓周上積分為 0，但 $dt$ 在圓周上積分是 $2\pi $ 。

## 參考文獻

* Bott, Raoul; Tu, Loring W., Diifferential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag(Reprinted by Beijing World Publishing Corp.), 1999, ISBN 7-5062-0112-7
* 陳維桓，微分流形初步 2, 高等教育出版社，2001 年， ISBN 7-04-009921-7
闭曲线

**曲（ㄑㄩ）線**（curve，curved line）是平滑彎曲的線段或線條，也指動點運動方向連續變化的軌跡。

## 歷史

* 若爾當曲線定理
* 變分法（最速降線問題、等時降線）
* 希爾伯特第十六問題
* 皮亞諾曲線和其他 Space-filling curve
* 卷繞數

## 定義

在數學上，一條曲線的定義為：

　
: 設 $I=[a,b]$ 為一實數區間，即實數集的非空子集，那麼曲線 _c_ 就是一個連續函數 _c_ : _I_ → _X_ 的映像，其中 _X_ 為一個拓撲空間。

我們常遇到的平面曲線的拓撲空間為 $\mathbb {R} ^{2}$ 。

若 f 是單射的，則 c 是**簡單曲線（simple curve）** 。

若 $I=[a,b]$ 和 $f(a)=f(b)$ ，f 是**閉曲線**（closed curve）或環圈。

## 曲線方程

一般來說，當在 $\mathbb {R} ^{n}$ 下一些符合一條方程的點的集合組成一條曲線時，那方程就叫那曲線的**曲線方程**（curvilinear equation，curve equation）。

例如， $x^{2}+y^{2}=1$ 是單位圓的曲線方程，因為有且僅有單位圓上的點符合這條方程；因這些點組成一個單位圓，故該方程正代表著平面上的單位圓。

## 曲線長度

若 $\gamma (t):[a,b]\to X\subset R^{n}$ ，則其長度是

$$
L(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\ dt
$$

### 平面曲線

例如，若一條平面曲線可表達成標準方程 $y=f(x)\,$ ，那麼它的長度就是：

　
: $\int _{a}^{b}{{\sqrt {\left[f'\left(x\right)\right]^{2}+1}}\;{\rm {d}}x}$

其中 $a\,$ 、 $b\,$ 為 $x\,$ 的上下限。

若平面曲線可表達成參數方程 $x(t),y(t)$ ，那麼它的長度就是：

　
: $\int _{\alpha }^{\beta }{{\sqrt {\left({x'}\right)^{2}+\left({y'}\right)^{2}}}{\rm {d}}t}$

其中 $\alpha \,$ 、 $\beta \,$ 為 $t\,$ 的上下限。

## 外部連結

* （英文）MacTutor 著名曲線列圖 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
闭曲面的分类

**曲（ㄑㄩ）面**（curved surface，surface）是實體的邊緣或空間中的曲線依某特定條件運動所形成的軌跡，例如球面、圓柱面、圓錐面等。

在數學（拓撲學）中，一個**曲面**（surface）是一個二維流形。三維空間中的例子有三維實心物體的邊界。流體的表面，例如雨滴或肥皂泡是一種理想化的曲面。關於雪花的表面，它有很多精細的結構，超越了這個簡單的數學定義。關於實際的曲面的資料，請參看表面張力，表面化學，曲面能量。

## 定義

在下文中，所有曲面視為第二可數 2 - 維流形。

更精確一點的講：一個**拓撲（帶邊界）曲面**是一個豪斯多夫空間，其中每點有一個開鄰域同胚於或者一個 _E2_ 的開子集或者 _E2_ 的閉的一半的開子集。

有一個同胚於 _En_ 的開子集的點的集合稱為流形的**內部**；它總是非空的。內部的補集稱為**邊界**；它是一個（_1_）流形，或者說閉曲線的併集。

無邊界的曲面稱為**閉**的，如果它是緊的，否則稱為**開**。

## 閉曲面分類

閉（緊無邊界）連通曲面有完整的分類，同類的曲面至多相差一個同胚。所有這種曲面屬於下面三個無窮多的集合之一：

* 球面加上 _n_ 個柄（稱為 _n - 環_）。這些是歐拉示性數為 2-2_n_ 的可定向曲面，也稱為虧格（genus）為 _n_ 的曲面。
* 帶 _n_ 個柄的射影平面（Projective plane）。這些是歐拉特徵數為 1-2_n_ 的不可定向曲面。
* 帶 _n_ 個柄的克萊因瓶。這些是歐拉特徵數為 - 2_n_ 的不可定向曲面。

所以歐拉示性數和可定向性描述了一個緊曲面除了可能的同胚（若曲面光滑則為微分同胚）.

## 緊曲面

帶邊界緊曲面就是有一個或多個開圓盤被取掉的曲面，而且這些圓盤的閉包互不相交。

## 在 R3 中的嵌入

一個緊曲面可以嵌入到 **R**3，只要它可定向或有非空邊界。Whitney 嵌入定理的結果表明任何曲面可以嵌入 **R**4.

## 微分幾何

曲面在 _n_ 維的嵌入的簡單回顧和這樣一個曲面的面積的計算可以在體積形式條目中找到。黎曼曲面的度量性質在條目龐加萊度量中有簡單介紹。

## 一些模型

把下面這些的邊貼起來可以得到一些模型：

```
      *                *                    B                B
    v   v            v   ^                *>>>>>*          *>>>>>*
   v     v          v     ^               v     v          v     v
A v       v A    A v       ^ A          A v     v A      A v     v A
   v     v          v     ^               v     v          v     v
    v   v            v   ^                *<<<<<*          *>>>>>*
      *                *                    B                B
```

```
   球面           实射影平面           克莱因瓶           环面
                    (打了孔的莫比乌斯带)                              (面包圈)
```

## 基本多邊形

每個閉曲面可以從一個偶數邊可定向多邊形通過將邊成對等同構造出來，該多邊形稱為**基本多邊形**。

這個構造可以用一串長度 2n 的包含 n 個不同符號的字符串表示，每個符號出現兩次，可以帶 + 1 或 - 1 指數。指數 - 1 表示該邊的方向和基本多邊形的方向相反。

上面的模型可作如下描述：

* 球面： $AA^{-1}$
* 射影平面： $AA$
* 克萊因瓶： $ABA^{-1}B$
* 環面： $ABA^{-1}B^{-1}$

 _（細節請見_基本多邊形_。）_ 

## 曲面的連通和

給定兩個曲面 M 和 M'，他們的**連通和 (connected sum)** M # M' 可以通過在每個曲面上除去一個圓盤再把他們在新的邊界分量上粘起來。

我們採用下面的記號。

* 球：S
* 環：T
* 克萊因瓶：K
* 射影平面：P

一些結果：

* S # S = S
* S # M = M
* P # P = K
* P # K = P # T

我們用一些縮略記法：nM = M # M # ... # M（n 次）以及 0M = S.

閉曲面可以分類如下：

* gT（g - 疊環）：虧格為 g 的可定向曲面。
* gP（g - 疊射影平面）：虧格為 g 的不可定向曲面。

## 代數曲面

曲面的概念和_代數曲面_不同。一個非奇異復射影代數曲線是一個光滑曲面。複數域上的代數曲面作為流形考慮時維度是 4。

## 參看

* 極小曲面
* 黎曼曲面
* 代數曲面
* 克萊因瓶
* 環面
* 球面
* 圓柱
* 射影平面

## 外部連結

* 數學曲面畫廊，60 ~ 曲面和提供實時轉動觀看功能的 Java Applet （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
闭果落檐

**閉果落檐屬**（學名：_Naiadia_）是天南星科的一個單型屬，是種開花植物。該屬唯一的物種是**閉果落檐**（_Naiadia zygoseta_）。該物種原產於婆羅洲。

## 參考資料
闭果衣科

**閉果衣科**（學名：_Sphinctrinaceae_）為巢衣菌目的一科真菌。

## 下屬分類

* _Pyrgidium_
* 閉果衣屬 _Sphinctrina_

## 參考文獻
闭架式书库

**閉架式書庫**(Closed Stacks) 是指圖書館的書庫僅能允許圖書館員取放館藏資料，讀者不得自行進出書庫，亦不能自行取放資料的一種書庫管理方式。

## 概述

圖書館原先功能在於保存典籍，因此古代的藏書樓 (相當於現今的圖書館) 是不公開給社會大眾，少數供大眾利用的藏書處也不隨便讓大眾直接接觸館藏資料。這樣設計的主要目的在於利於保藏的工作的進行，可以將館藏資料置滿書架，容納更多的藏書。

閉架式書庫的優點在於對空間的利用較為經濟，只需要留下管理人員的活動走道，因此節省了許多閱覽的空間。也因為由專人處理借閱的工作，因此在安全管理方面更加的安全與有效率。現在圖書館，閉架式書庫主要是用於珍貴文獻、使用率較低的資料或是不方便公開的資料的保藏。若讀者若要借閱置放在閉架式書庫的資料，必須先查檢館藏目錄，查得索書號，再請圖書館員依據索書號來取得館藏資料，供讀者辦理借閱手續。

 

## 參考文獻

* 胡述兆. 《圖書館學與資訊科學大辭典》 (M). 台北：漢美圖書. 1995 年. ISBN 9789579005777.
闭氏

**閉姓**是漢姓之一。

## 起源

據《閉氏族譜》記載，閉氏起源於唐朝唐玄宗時期，由山東曲阜白馬街遷徙到廣西。

## 現代名人

* 閉迎新：壯族，廣西柳州人，內科醫師。
* 閉丕強：壯族，廣西靖西人，中學一級教師。
* 閉艷艷：語言學家。

## 影視形象

* 《閉門一家親》：香港處境劇，戶主一家姓閉。

## 參考資料

## 延伸閱讀

[編]

　
: 《欽定古今圖書集成・明倫彙編・氏族典・閉姓部》，出自陳夢雷《古今圖書集成》
闭源

**專有軟體**（英語：Proprietary software），又稱**非自由軟體**（英語：non-free software，英語：nonfree software）、**專屬軟體**、**私有軟體**、**封閉性軟體**等，是指在使用、修改上有限制的軟體。此外，有些軟體也有複製和分發的限制，它也屬於專有軟體的範疇。通常，與專有軟體對應的是自由軟體。這些限制是由軟體的所有者制定的。

這些限制是通過法律或者技術上的手段實現的，有時這兩種手段被同時採用。最常見的技術限制方式是保留能夠被大家讀懂的原始碼，而只發布只有電腦才能讀懂的程式（如二進位格式）。法律上的限制包括使用著作權（附帶軟體許可證）和專利。這些程式的原始碼往往被其持有者視為商業機密。如果第三方要檢視原始碼時，往往需要簽署保密協定。

## 與商業化的關係

專有軟體並不等同於商業軟體。專有軟體和自由軟體都可以免費或者收費分發。它們之間的區別在於：專有軟體的所有者可以決定是否可以分發該軟體，以及費用的數額；而自由軟體可以被任何持有者隨意分發，相關的複製以及服務費用也可自行決定。

## 字面和法律含義

從字面上講，「所有權」在法律上指軟體的所有者可以規定使用者可以對軟體做哪些事情。

專有軟體的所有者並不需要自己「專有」該軟體，只要不公布原始碼，通過發布編譯過的程式，大眾軟體和在許可證保護下的軟體都能夠成為專有軟體。

## 支持意見

微軟公司是商業專有軟體的支持者，它認為使用者為軟體支付的費用可以增加軟體的研發資金。它聲稱，軟體的每個拷貝收取的費用使得軟體開發的收益最大化。

據稱專有軟體比自由軟體帶動了更多的商業活動，當有市場收入時更是如此。

## 反對意見

對軟體未來的版本和軟體的升級的依賴使得軟體使用者不能離開軟體所有者，這將導致壟斷的局面。

如果在軟體中發現問題時，軟體所有者已經消失，或者他們決定停止或減少軟體的生產或支援，都能夠讓使用者陷入不利和無助的境地。由於業務問題，軟體所有者可能無法改進或支援軟體。軟體的老版本的支援已經到期，卻沒有其它的軟體供應商提供支援。

## 流行度

專有軟體的範例包括 Microsoft Windows、Adobe Flash Player、PS3 OS、iTunes、Adobe Photoshop、Google Earth、macOS（以前的 Mac OS X 和 OS X）、Skype、WinRAR、Oracle 的 Java 版本和某些版本的 Unix。

被視為專有的軟體發行版實際上可能包含一個「混合源」模型，包括在同一發行版中的自由和非自由軟體。 大多數（如果不是全部）所謂的專有 UNIX 發行版都是混合源軟體，將 BIND、Sendmail、X 視窗系統、DHCP 等開源組件與純專有核心和系統實用程式捆綁在一起。

一些免費軟體包也可根據專有條款同時提供。範例包括 MySQL、Sendmail 和 ssh。自由軟體作品的原始著作權持有人，甚至是 Copyleft 自由軟體，可以使用雙重許可來允許自己或他人重新分發專有版本。非 Copyleft 自由軟體（即根據自由軟體許可分發或發佈到公共領域的軟體）允許任何人進行專有再分發。依賴於專有軟體的自由軟體被自由軟體基金會視為陷阱。這包括只為 Microsoft Windows 編寫的軟體，或只能在 Java 上運行的軟體，然後才成為免費軟體。

在 2013 年，印度有 150 萬台筆記型電腦預裝了政治部長穆拉揚・辛格・亞達夫肖像的螢幕保護程式。如果筆記型電腦的所有者試圖更改、刪除或修改此功能，該功能將使裝置崩潰。

## 參考文獻

## 參見

* 商業軟體
* 自由軟體
* 免費軟體
* 共享軟體
* Tivo 化

## 外部連結
闭犬玫属

**閉犬玫屬**（學名：_Camptostylus_）是鐘花科的一屬。

## 下屬物種

本屬包括以下物種：

* _Camptostylus kivuensis_ Bamps
* _Camptostylus mannii_ (Oliv.) Gilg
* _Camptostylus ovalis_ (Oliv.) Chipp

## 參考文獻
闭环MRP

閉環 MRP（closed-loop MRP）是在物料需求計劃（MRP）的基礎上，增加對投入與產出的控制，也就是對企業的能力進行校檢、執行和控制。

閉環 MRP 理論認為，只有在考慮能力的約束，或者對能力提出需求計劃，在滿足能力需求的前提下，物料需求計劃（MRP）才能保證物料需求的執行和實現。在物料需求計劃執行之前，要由能力需求計劃核算企業的工作中心的生產能力和需求負荷之間的平衡情況。

在閉環 MRP 之後，又發展出製造資源計劃（Manufacturing Resources Planning）簡稱（MRP-II）。
闭箭石目

**閉箭石目**（學名：Phragmoteuthida）是一類形似管魷目的頭足綱動物，其特徵是扇形的前甲附著在類似於箭石目的閉錐殼上。

## 描述

Jeletzky 描述稱閉箭石目的殼有一個大的三角形結構，扇狀的前甲，形成了殼的最長部分，它附著在一個相對較小的閉錐的大約前四分之三的長度上，它的閉錐具有小的殼室。它們長著像箭石目的鰭，喙膈肌較退化，類似箭石目的腕鉤，一個墨囊，類似於魷魚的喙和一個肌膜。

Donovan 於 2006 年對來自於英格蘭多塞特郡侏羅紀的閉箭石目化石進行了類似的描述，並注意到閉箭石目閉錐的頂角在 20 至 30 度之間，與箭石目相比，它們的殼室相對較少，如三疊紀物種中的多層圓錐形殼室，厚的體管，和長的三角形的前甲。它們的觸手短，並帶有一對彎曲的鉤子。

## 分類

* †**閉箭石目** **Phragmoteuthida**
  * †閉箭石科 Phragmoteuthidae
    * †_Breviconoteuthis_
    * †閉箭石屬 _Phragmoteuthis_
  * 未定科
    * †二疊箭石屬 _Permoteuthis_
    * _Lunzoteuthis_ 屬
    * _Winkleriteuthis_ 屬
    * _Zugmontites_ 屬

## 註腳

## 參考資料

* D.T. Donovan 2006. Phragmoteuthida (Cephalopoda: coleoidea) from the Jurassic of Dorset, England. Palaeontology Vp; 49 Issue 3 pp 673 –684 May 2006.[1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
闭箭石科

**閉箭石科**（學名：Phragmoteuthidae）為頭足綱的一個科。

## 下級分類

本科包括以下屬：

* _Permoteuthis_ Rosenkrantz, 1946
* 閉箭石屬 _Phragmoteuthis_ Mojsisovics, 1882

## 參考文獻
闭籽花属

**閉籽花科**又名白籽樹科，只有 1 屬 3 種，分布在中美洲和墨西哥的熱帶地區。

本科植物為灌木或藤本，生長在乾旱地區；單葉互生，肉質，無托葉；花的花瓣 5，花瓣比花萼短；果實為蒴果。

1981 年的克朗奎斯特分類法將其列在商陸科，1998 年根據基因親緣關係分類的 APG 分類法認為應該單獨分出一個科，仍然放在石竹目中，2003 年經過修訂的 APG II 分類法維持原分類。

## 外部連結

* 在 L. Watson 和 M.J. Dallwitz（1992 年）《有花植物分科》 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）中的閉籽花科 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* NCBI 中的閉籽花科 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
闭腹菌科

**籠頭菌科**（英文：Claustulaceae）也稱**閉腹菌科**，與鬼筆科同為鬼筆目下的一科，其下共有四個屬和十一個種。此科的真菌型態和鬼筆科類似，只是孢托非筆狀，反而有各式各樣的形態。這一科的菇類最早是由真菌學家戈登赫里奧特切坎寧安於 1939 年提出的
。

## 下屬分類

本科包括以下屬：

* _Claustula_ K.M.Curtis, 1926
* 膠皮菌屬 _Gelopellis_ Zeller
* _Kjeldsenia_ W.Colgan, M.A.Castellano & N.L.Bougher, 1995
* 膠腹菌屬 _Phlebogaster_ R.Fogel, 1980
* 假膠皮菌屬 _Pseudogelopellis_ K.Tao & B.Liu, 1996

## 參見

* 鬼筆科

## 參考資料
闭花兔儿风

**閉花兔兒風**（學名：_Ainsliaea cleistogama_）是菊科兔兒風屬的植物，是中國的特有植物。分布於中國大陸的廣東等地，生長於海拔 700 米的地區，多生在蔭濕的山坡上，目前尚未由人工引種栽培。

## 參考文獻
闭花木

**閉花木**（學名：_**Cleistanthus sumatranus**_）為大戟科閉花木屬下的一個種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
闭花紫云菜

**閉花紫雲菜**（學名：_Strobilanthes larium_）是爵床科紫雲菜屬的植物，是中國的特有植物。分布在中國大陸的雲南等地，生長於海拔 2,700 米至 3,500 米的地區，目前尚未由人工引種栽培。

## 參考文獻
闭花耳草

**閉花耳草**（學名：_**Hedyotis cryptantha**_）為茜草科耳草屬下的一個種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
闭苞买麻藤

**閉苞買麻藤**（學名：_**Gnetum cleistostachyum**_），為買麻藤科買麻藤屬下的一個植物種。

## 參考資料
闭螳属

**閉螳屬**（學名：_Cliomantis_）是矮螳科的一屬。

## 下屬物種

本屬包括以下物種：

* _Cliomantis cornuta_ Giglio-Tos, 1913
* _Cliomantis dispar_ Tindale, 1923
* _Cliomantis lateralis_ Hinton, 1939
* _Cliomantis obscura_ Hinton, 1939

## 參考文獻