除以零

在數學中，被除數的除數（分母）是零或將某數**除以零**，可表達為 ${\frac {a}{0}}$ ， $a$ 是被除數。在算式中沒有意義，因為沒有數目，以零相乘（假設 $a\neq 0$ ），由於任何數字乘以零均等於零，因此除以零是一個沒有定義的值。此式是否成立端視其在如何的數學設定下計算。一般實數算術中，此式為無意義。在程序設計中，當遇上正整數除以零程序會中止，正如浮點數會出現無限大或 NaN 值的情況，而在 Microsoft Excel 及 Openoffice 或 Libreoffice 的 Calc 中，除以零會直接顯示 #DIV/0!
。

## 基本算術

基本算術中，除法指將一個集合中的物件分成若干等份。例如， $10$ 個蘋果平分給 $5$ 人，每人可得 ${\frac {10}{5}}=2$ 個蘋果。同理， $10$ 個蘋果只分給 $1$ 人，則其可獨得 ${\frac {10}{1}}=10$ 個蘋果。

若除以 $0$ 又如何？若有 $10$ 顆蘋果，無人（ $0$ 解作沒有）來分，每「人」可得多少蘋果？問題本身是無意義的，因根本無人來，論每「人」可得多少，根本多餘。因此， ${\frac {10}{0}}$ ，在基本算術中，是無意義或未下定義的。

另種解釋是將除法理解為不斷的減法。例如「 $13$ 除以 $5$ 」，換一種說法， $13$ 減去兩個 $5$ ，餘下 $3$ ，即被除數一直減去除數直至餘數數值低於除數，算式為 ${\frac {13}{5}}=2$ 餘數 $3$ 。若某數除以零，就算不斷減去零，餘數也不可能小於除數，使得算式與無窮拉上關係，超出基本算術的範疇。此解釋也有一問題，即為無窮大乘以零仍是零。

### 早期嘗試

婆羅摩笈多（598–668 年）的著作《婆羅摩曆算書》被視為最早討論零的數學和定義涉及零的算式的文本。但當中對除以零的論述並不正確，根據婆羅摩笈多所說，

830 年，另一位數學家摩訶吠羅在其著作《_Ganita Sara Samgraha_》試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤，但不成功：

婆什迦羅第二嘗試解決此問題，答案是讓 ${\frac {n}{0}}=\infty $ 。雖然此定義有一定道理，但會導致一個悖論： $0\times \infty $ 的結果可以是任意一個數，所以所有的數都是相同的。

在微積分和數學分析中，像 $0\times \infty $ 或 ${\frac {0}{0}}$ 這一類極限稱為不定型。不定型是可以計算的，結果可能是任意數。

## 代數處理

若某數學系統遵從域的公理，則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法的逆向操作，即 ${\frac {a}{b}}$ 值是方程式 $bx=a$ 中 $x$ 的解（若有的話）。若設 $b=0$ ，方程式式 $bx=a$ 可寫成 $0\times x=a$ 或直接 $0=a$ 。因此，方程式式 $bx=a$ 沒有解（當 $a\neq 0$ 時），但 $x$ 是任何數值也可解此方程式（當 $a=0$ 時）。在各自情況下均沒有獨一無二的數值，所以 ${\frac {a}{b}}$ 未能下定義。

### 除以零的謬誤

在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明： $2=1$

式：

　
: $0a=0$

試：

　
: $a=1$ ：正確

　
: $a=2$ ：正確

得出：

　
: $0\times 1=0\times 2$

除以零得出

　
: ${\frac {0}{0}}\times 1=2$

簡化，得出：

　
: $1=2\,$

以上謬論假設，某數除以 0 是容許的，並且 ${\frac {0}{0}}=1$ 。

另一個簡潔的證明

通過上面的過程，證明了一切數字等於 $0$ 。此謬論是由於簡化的過程不正確，計算過程使用了「除以零」。

因為 $(a-b)$ 是零，所以不能夠把左右兩邊的 $(a-b)$ 刪去。

### 虛假的除法

在矩陣代數或線性代數中，可定義一種虛假的除法，設 ${\frac {a}{b}}=ab^{+}$ ，當中 $b^{+}$ 代表 $b$ 的虛構倒數。這樣，若 $b^{-}$ 存在，則 $b^{+}=b^{-}$ 。若 $b=0$ ，則 $0^{+}=0$ ；參見廣義逆。

## 數學分析

### 擴展的實數軸

表面看來，可以藉著考慮隨著 $b$ 趨向 $0$ 的 ${\frac {a}{b}}$ 來定義「除以零」。

對於任何正數 $a$ ，右極限是

　
: $\lim _{b\to 0^{+}}{a \over b}={+}\infty $

另一方面，左極限是

　
: $\lim _{b\to 0^{-}}{a \over b}={-}\infty $

由於左極限及右極限不相同，因此函數在 $x=0$ 的極限不存在，該點沒有定義。同樣地，若 $a$ 是負數，極限也不存在。

如果分子及分母均為零或趨向零，則可使用羅必達法則計算。

### 不定型極限

不定型（Indeterminate Form）的極限可透過四則運算或羅必達法則計算。

考慮函數 $f(x)={\frac {x^{2}-9}{x-3}}$

如果直接代入 $x=3$ ，會得到零除以零，這是沒有意義的。

　
: $f(3)={\frac {3^{2}-9}{3-3}}={\frac {0}{0}}$

但透過約簡分子及分母，該點的極限是可以計算的。

　
: $\lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-9}{x-3}}=\lim _{x\to 3}{\frac {(x+3)(x-3)}{x-3}}=\lim _{x\to 3}x+3=6$

此外，函數的極限可透過羅必達法則計算。

　
: $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

若隨著 $x$ 趨向 $0$ ， $f(x)$ 與 $g(x)$ 均趨向 $0$ ，該極限可等於任何實數或無限，或者根本不存在，視乎 $f$ 及 $g$ 是何函數。

### 形式推算

運用形式推算，正號、負號或沒有正負號因情況而定，除以零定義為：

　
: $\lim \limits _{x\to 0}{{\frac {1}{x}}={\frac {\lim \limits _{x\to 0}{1}}{\lim \limits _{x\to 0}{x}}}}=\infty .$

### 黎曼球

集合 $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ 為黎曼球（Riemann sphere），在複分析中相當重要。

## 計算機科學

在計算機中，除以零的結果根據程式語言、軟硬體環境、數據類型、數值而不同。部分語言中，無論是整數還是浮點數，除以 0 均會產生異常，而在另一部分語言中，整數除以零會產生異常或未定義行為，而浮點數除以零的結果如下：

* 零與 NaN 除以零：NaN（註：NaN 不等於 NaN）
* 零與 NaN 以外的數除以符號相同的 0（如 1 除以 0）：正無窮大
* 零與 NaN 以外的數除以符號不同的 0（如 1 除以 - 0、-1 除以 0）：負無窮大

## 注釋

## 參考

* Patrick Suppes 1957 (1999 Dover edition), _Introduction to Logic_, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-40687-3 (pbk.).
* Charles Seife 2000, _Zero: The Biography of a Dangerous Idea_, Penguin Books, NY, ISBN 0 14 02.9647 6 (pbk.).
* Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), _Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences_, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.).

## 延伸閱讀

* Jakub Czajko (July 2004) "On Cantorian spacetime over number systems with division by zero", _Chaos, Solitons and Fractals_, volume 21, number 2, pages 261–271.
* Ben Goldacre. Maths Professor Divides By Zero, Says BBC. 2006-12-07 [2008-04-23]. （原始內容存檔於 2008-05-27）.

## 參見

* 漸近線
* 0/0
* 引力奇異點