阿布拉罕-勞侖茲力

**阿布拉罕 - 勞侖茲力**（Abraham-Lorentz force）是一加速帶電粒子因為粒子放射出電磁輻射而所受到的平均力。其適用在粒子行進速度不快的時候。若在相對論性速度下，此力則稱作是阿布拉罕 - 勞侖茲 - 狄拉克力（Abraham-Lorentz-Dirac force）。

阿布拉罕 - 勞侖茲力問題的解被認為預測了「來自於未來的訊號影響了現在」這樣的結果，而挑戰了直觀上的因果律。試圖解決此一問題的涉及到許多近代物理的領域，雖然 Yaghjian 曾展試過這問題的解實際上相當簡單。

## 定義與描述

數學上，阿布拉罕 - 勞侖茲力可寫為：

 * $\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {\dot {a}} ={\frac {q^{2}}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}\mathbf {\dot {a}} \,$ （SI 單位制）
* $\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={2 \over 3}{\frac {q^{2}}{c^{3}}}\mathbf {\dot {a}} \,$ （cgs 單位制）

其中：

　
: **F** 是力，

　
: $\mathbf {\dot {a}} $ 是加加速度（加速度的時間導數）。

　
: μ0 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）和 ε0 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）是真空磁導率和真空電容率，

　
: _c_ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）是真空中的光速，

　
: _q_ 是電荷量。

當速度很慢時。根據拉莫爾方程式，一加速電荷放出輻射，而輻射會將動量自電荷帶走。既然動量是守恆的，電荷會被推往與輻射釋放方向相反的方向。阿布拉罕 - 勞侖茲力即為因於輻射釋放而施加在一加速電荷上的平均力。

## 背景

古典電動力學中，問題通常可以分為兩類：

1. 問題中，產生場的電荷與電流源已指定，要計算出場；
2. 問題中，場已指定，要計算出電荷的運動。

在一些物理學領域中，如電漿物理學，場由源產生，而源的運動可以自洽的解出。然而在這樣的場合中，源的運動常是從所有其他的源產生的場來計算。很少去計算一粒子（源）所產生的場，對於同一粒子造成什麼樣的運動影響。理由有兩個層次：

1. 忽略「自身場（self-fields）」通常仍可得到足夠精確的答案，足以用在許多應用上；
2. 包含自身場會導致物理學中目前未解決的問題，關係到物質與能量的本質。

由自身場所衍生的概念問題在標準的研究生教科書有所著墨。（_Jackson_ 電動力學）

## 推導

我們從點電荷輻射的拉莫爾方程式開始：

　
: $P={\frac {\mu _{0}q^{2}a^{2}}{6\pi c}}$ .

如果我們假設帶電粒子的運動是週期性的，則阿布拉罕 - 勞侖茲力對粒子所作的功等於拉莫功率從 $\tau _{1}$ 到 $\tau _{2}$ 的積分：

　
: $\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-Pdt=-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}a^{2}}{6\pi c}}dt=-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}dt$ .

我們可以用分部積分法來計算以上的積分。如果我們假設運動是週期性的，則表達式的第一項為零：

　
: $\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=-{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} {\bigg |}_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d^{2}\mathbf {v} }{dt^{2}}}\cdot \mathbf {v} dt=-0+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {\dot {a}} \cdot \mathbf {v} dt$

因此，我們有：

　
: $\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {\dot {a}} $

## 來自未來的訊號

下面展示了一種會導致驚人結果的古典分析方法。可以看到，古典理論正在挑戰因果律的標準圖景，表明要麼因果律被破壞，要麼理論需要擴展。在本例中，理論的擴展包括量子力學和它的相對論版本量子場論。參考 Rohrlich 關於「物理學理論遵循有效性限制的重要性」的介紹。

對於一個受到外力 $\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }$ ，我們有

　
: $m{\dot {\mathbf {v} }}=\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }+\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }=mt_{0}{\ddot {\mathbf {v} }}+\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }$

其中：

　
: $t_{0}={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}$

公式經過整理後，可以得到：

　
: $m{\dot {\mathbf {v} }}={1 \over t_{0}}\int _{t}^{\infty }\exp \left(-{t'-t \over t_{0}}\right)\,\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }(t')\,dt'$

這個積分從當前延續到無窮遠的未來。因而未來的作用力將影響到粒子當前的加速度。未來的數值按以下因子加權：

　
: $\exp \left(-{t'-t \over t_{0}}\right)$

隨著未來超過 $t_{0}$ 時間的增長而迅速減小。因此，大概在未來 $t_{0}$ 時間段內的信號會影響到當前的加速度。對於電子來說，這個時間段大約是 $10^{-24}$ 秒，相當於光線穿越電子「尺寸」所需的時間。

## 相關條目

* 輻射反作用力（Radiation reaction）

## 參考文獻

### 書目

* Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics 3rd ed. Prentice Hall. 1998. ISBN 978-0-13-805326-0.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)
* Jackson, John D. Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. 1998. ISBN 978-0-471-30932-1.
* F. Rohrlich, Am. J. Phys. 65, 1051 (1997).