长球面坐标系

**長球面坐標系**（英語：Prolate spheroidal coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz - 平面；兩個焦點 $F_{1}$ 與 $F_{2}$ 的直角坐標分別為 $(0,\ 0,\ -a)$ 與 $(0,\ 0,\ a)$ 。將橢圓坐標系繞著 z - 軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。（假若，繞著 y - 軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，包含於 z - 軸。長球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最短的半軸的長度相同。

## 基本定義

在三維空間裏，一個點 P 的長球面坐標 $(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$ 常見的定義是

　
: $x=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \ \cos \phi $ 、

　
: $y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \ \sin \phi $ 、

　
: $z=a\ \cosh \mu \ \cos \nu $ ；

其中， $\mu \geq 0$ 是個實數，弧度 $0\leq \nu \leq \pi $ ，弧度 $0\leq \phi \leq 2\pi $ 。

### 坐標曲面

 $\mu $ 坐標曲面是長球面：

　
: ${\frac {z^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1$ 。

每一個長球面都是由橢圓繞著 z - 軸旋轉形成的。橢球面與 xz - 平面的相交，是一個橢圓。沿著 x - 軸，橢圓的短半軸長度為 $a\sinh \mu $ ，沿著 z - 軸，橢圓的長半軸長度為 $a\cosh \mu $ 。橢圓的焦點都包含於 z - 軸，z - 坐標分別為 $\pm a$ 。

 $\nu $ 坐標曲面是半個旋轉雙葉雙曲面：

　
: ${\frac {z^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1$ 。

當 $\nu <\pi /2$ 時，坐標曲面在 xy - 平面以上；當 $\nu >\pi /2$ 時，坐標曲面在 xy - 平面以下。

 $\phi $ 坐標曲面是個半平面 ：

　
: $x\sin \phi -y\cos \phi =0$ 。

### 標度因子

長球面坐標 $\mu $ 與 $\nu $ 的標度因子相等：

　
: $h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}$ 。

方位角 $\phi $ 的標度因子為

　
: $h_{\phi }=a\sinh \mu \ \sin \nu $ 。

無窮小體積元素是

　
: $dV=a^{3}\sinh \mu \ \sin \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu d\phi $ 。

拉普拉斯算子是

　
: $\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}+\coth \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}+\cot \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]+{\frac {1}{a^{2}\sinh ^{2}\mu \sin ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf {F} $ ， $\nabla \times \mathbf {F} $ ，都可以用 $(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

### 應用

當邊界條件涉及長球面時，長球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，位置分別在 z - 軸兩個焦點的電子，會產生怎樣的靜電場？一個關於氫離子 $H_{2}^{+}$ 的問題是，當移動於兩個正價的原子核中間時，一個電子的波函數是什麼？另外一個很實際的問題是，兩個小電極尖端之間的電場是什麼？極限案例包括一根電線段 ( $\mu =0$ ) 產生的電場，缺了一線段的一根電線 ( $\nu =0$ ) 產生的電場。

## 第二種表述

另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ ：

　
: $\sigma =\cosh \mu $ 、

　
: $\tau =\cos \nu $ 、

　
: $\phi =\phi $ 。

其中， $\sigma \geq 1$ 是個實數， $1\geq \tau \geq -1$ 是個實數，弧度 $0\leq \phi \leq 2\pi $ 。

與扁球面坐標系不同，長球面坐標系並沒有簡併。在三維空間裏，長球面坐標系與直角坐標有一一對應關係:

　
: $x=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}\cos \phi $ 、

　
: $y=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}\sin \phi $ 、

　
: $z=a\ \sigma \ \tau $ 。

### 坐標曲面

 $\sigma $ 坐標曲面是長球面：

　
: ${\frac {z^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}(\sigma ^{2}-1)}}=1$ 。

每一個長球面都是由橢圓繞著 z - 軸旋轉形成的。橢球面與 xz - 平面的相交，是一個橢圓。沿著 x - 軸，橢圓的短半軸長度為 $a{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}$ ，沿著 z - 軸，橢圓的長半軸長度為 $a\sigma $ 。橢圓的焦點都包含於 z - 軸，z - 坐標分別為 $\pm a$ 。

 $\tau $ 坐標曲面是半個旋轉雙曲面：

　
: ${\frac {z^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}(1-\tau ^{2})}}=1$ 。

當 $\tau >0$ 時，坐標曲面在 xy - 平面以上；當 $\tau <0$ 時，坐標曲面在 xy - 平面以下。

 $\phi $ 坐標曲面是個半平面 ：

　
: $x\sin \phi -y\cos \phi =0$ 。

任何一點 P 與焦點 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的距離 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ，可以一個很簡單的公式表示：

　
: $d_{1}+d_{2}=2a\sigma $ 、

　
: $d_{1}-d_{2}=2a\tau $ 。

所以，點 P 與焦點 $F_{1}$ 的距離 $d_{1}$ 是 $a(\sigma +\tau )$ ，點 P 與焦點 $F_{2}$ 的距離 $d_{2}$ 是 $a(\sigma -\tau )$ 。（回想 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 都是在 z - 軸，分別位於 $z=-a$ ， $z=+a$ 。）

### 標度因子

第二種長球面坐標 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ 的標度因子分別為:

　
: $h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}$ 、

　
: $h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}$ 、

　
: $h_{\phi }=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}$ 。

無窮小體積元素是

　
: $dV=a^{3}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau d\phi $ 。

拉普拉斯算子是

　
: $\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}-1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{2}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf {F} $ ， $\nabla \times \mathbf {F} $ ，都可以用 $(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

### 應用

如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為**長扁球諧函數**的答案。假若，邊界條件涉及長球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

## 參閱

## 參考目錄

### 不按照命名常規

* Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 661.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link) 採用 $\xi _{1}=a\cosh \mu $ 、 $\xi _{2}=\sin \nu $ 、 $\xi _{3}=\cos \phi $ 。
* Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link) 如同 Morse & Feshbach (1953) ，採用 $u_{k}$ 來替代 $\xi _{k}$ 。
* Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)
* Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 97.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link) 採用混合坐標 $\xi =\cosh \mu $ 、 $\eta =\sin \nu $ 、 $\phi =\phi $ 。

### 按照命名常規

* Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link) 採用第一種表述 $(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$ ，又加介紹了簡併的第三種表述 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ 。
* Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 180–182.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link) 如同 Korn and Korn (1961) ，但採用**餘緯度** $\theta =90^{\circ }-\nu $ 來替代緯度 $\nu $ 。
* Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 28–30 (Table 1.06). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link) Moon and Spencer 採用餘緯度常規 $\theta =90^{\circ }-\nu $ ，又改名 $\phi $ 為 $\psi $ 。

### 特異命名常規

* Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link) 視長球面坐標系為橢球坐標系的極限。