阿达马乘积公式

**黎曼澤塔函數** ，寫作 ζ(_s_) 的定義如下：
設一複數 _s_ 使得 Re(_s_) > 1，則定義：

　
: $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

它亦可以用積分定義：

　
: $\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\mathrm {d} x$

在區域 {_s_ : Re(_s_) > 1} 上，此無窮級數收斂並為一全純函數。歐拉在 1740 年考慮過 _s_ 為正整數的情況，後來柴比雪夫拓展到 _s_ > 1。波恩哈德・黎曼認識到：ζ 函數可以通過解析延拓，把定義域擴展到幾乎整個複數域上的全純函數 ζ(_s_)。這也是黎曼猜想所研究的函數。

雖然黎曼的 ζ 函數被數學家認為主要和「最純」的數學領域數論相關，它也出現在應用統計學（參看齊夫定律和齊夫 - 曼德爾布羅特定律）、物理，以及調音的數學理論中。

## 歷史

### 奧里斯姆

ζ 函數最早出現於 1350 年左右，尼克爾・奧里斯姆發現了調和級數發散，即： $\zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+...\to \infty $

　
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### 歐拉

之後的一次進展來自萊昂哈德・歐拉，他給出了調和級數呈對數發散。

　
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除此之外，他還在 1735 年給出了巴塞爾問題的解答，得到 
 $\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ 
的結果。歐拉最初的證明可以在巴塞爾問題 #歐拉的錯誤證明中看到，然而那是他的第一個證明，因而廣為人知。 
事實上，那個證明雖有不嚴謹之處，但是歐拉仍然有自己的嚴格證明。 

　
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歐拉在 1737 年還發現了歐拉乘積公式： 
 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}(1-{\frac {1}{p^{s}}})^{-1}$ 
這是 ζ 函數與質數的聯繫的朦朧徵兆，其證明可以在證明黎曼 ζ 函數的歐拉乘積公式中看到。 
通過這條公式，容易證明當 ${\begin{smallmatrix}\operatorname {Re} (s)>1\end{smallmatrix}}$ 時， ${\begin{smallmatrix}\zeta (s)>0\end{smallmatrix}}$ 

 1749 年，歐拉通過大膽的計算發現了 (以下公式當中存在定義域謬誤，後由黎曼透過解析延拓証明以下公式只適用於 Re(_s_) > 1) 
 $\zeta (-1)=1+2+3+4+5+...=-{\frac {1}{12}}$ 
 $\zeta (-2)=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+...=0$ 
 $\zeta (-3)=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+...={\frac {1}{120}}$ 
發現 ζ(s) 與 ζ(1-s) 之間存在某些關係。

### 黎曼

將歐拉所做的一切牢牢地置于堅石之上的是黎曼，他在 1859 年的論文論小於給定數值的質數個數以及未發表的手稿中做出了多項進展： 

* 第一積分表示： $\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x$
* 完備化的 ζ，即黎曼 ξ 函數： $\xi (s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)$ ，滿足函數方程式 $\xi (s)=\xi (1-s)$
* 第二積分表示： $\varphi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-\pi n^{2}x}$ ，則 $\xi (s)=\int _{0}^{\infty }\varphi (x)x^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} x$
* 黎曼 - 馮・曼戈爾特公式：以 ${\begin{smallmatrix}0<\operatorname {N} (T)\end{smallmatrix}}$ 表示虛部介於 0 與 T 之間的非平凡零點數量，則 $N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+\mathrm {O} (\log T)$
* 黎曼猜想：ζ 函數的所有非平凡零點的實部非常有可能均為 ${\begin{smallmatrix}{\frac {1}{2}}\end{smallmatrix}}$
* 第三積分表示： $\zeta (s)={\frac {1}{2\pi i}}\Gamma (1-s)\oint _{\gamma }{\frac {{z^{s-1}}{e^{z}}}{1-{e^{z}}}}\,\mathrm {d} z$ ，其中圍道 γ 逆時針環繞負實數軸

* 黎曼 - 西格爾公式：給出計算 ξ 函數的數值的方法
* 零點的計算：計算了虛部介於 0 與 100 的所有零點的數值
* 質數的分布公式：引入黎曼質數計數函數，給出了它與 ζ 函數的關係

### 阿達馬與普森

1896 年，雅克・阿達馬與普森幾乎同時地證明了 ${\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}$ 的所有非平凡零點的實部均小於 1，即 ${\begin{smallmatrix}\operatorname {Re} (s)=1\end{smallmatrix}}$ 上無非平凡零點，從而完成了質數定理的證明。

### 希爾伯特

1900 年，希爾伯特在巴黎的第二屆國際數學家大會上作了題為《數學問題》的演講，提出了 23 道最重要的數學問題，黎曼假設在其中作為第 8 題出現。 
之後，希爾伯特提出了希爾伯特－波利亞猜想，具體時間及場合未知。

### 玻爾與蘭道

1914 年，哈那德・玻爾和愛德蒙・蘭道證明了玻爾 - 蘭道定理：含有臨界線的任意帶狀區域都幾乎包含了 ζ 的所有非平凡零點，表明了臨界線為零點匯聚的「中心位置」。

### 哈代與李特爾伍德

1921 年，哈代和李特爾伍德證明了存在常數 T，使臨界線上虛部位於 0 與 T 之間的非平凡零點的數量至少為 ${\begin{smallmatrix}KT\end{smallmatrix}}$ 。

### 塞爾伯格

1942 年，阿特勒・塞爾伯格更進一步，證明了存在常數 T，使臨界線上虛部位於 0 與 T 之間的非平凡零點的數量至少為 ${\begin{smallmatrix}KT\log T\end{smallmatrix}}$ ，這意味著 ζ 函數在臨界線上的非平凡零點在所有零點中占有一個正密度，而臨界線 ${\begin{smallmatrix}\operatorname {Re} (s)={\frac {1}{2}}\end{smallmatrix}}$ 對於臨界帶 ${\begin{smallmatrix}0<\operatorname {Re} (s)<1\end{smallmatrix}}$ 的測度為 0。

## 解析延拓

ζ 函數原本定義在右半平面 ${\begin{smallmatrix}\operatorname {Re} s>1\end{smallmatrix}}$ 上，並且在此區域內為全純函數

　
: $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x$ $(\operatorname {Re} s>1)$

解析延拓後在全局具有積分表達式

　
: $\zeta (s)={\frac {1}{2\pi i}}\Gamma (1-s)\oint _{\gamma }{\frac {{z^{s-1}}{e^{z}}}{1-{e^{z}}}}\,\mathrm {d} z$

滿足函數方程式

　
: $\zeta (1-s)=2(2\pi )^{-s}\Gamma (s)\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\zeta (s)$

特別地，如果考慮正規化的 ζ，即黎曼 ξ 函數

　
: $\xi (s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)$

那麼它滿足函數方程式

　
: $\xi (s)=\xi (1-s)$

## 和數論函數的關係

黎曼 ζ 函數可看做是具有如下形式的級數的一個特例：

　
: $\operatorname {F} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$

這種類型的級數被稱作狄利克雷級數。當 f 為狄利克雷特徵時，又稱作狄利克雷 L 函數，也有與黎曼猜想相應的廣義黎曼猜想

為了方便對數論函數作討論，此處引入狄利克雷摺積 ${\begin{smallmatrix}f*g\end{smallmatrix}}$ ： 
 $(f*g)(n)=\sum _{{\text{pq}}=n}f(p)g(q)$

設 $\operatorname {F} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$ ， $\operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g(n)}{n^{s}}}$ 
於是顯然 $\operatorname {F} (s)\operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(f*g)(n)}{n^{s}}}$

　
:

於是，如果數論函數 ${\begin{smallmatrix}h=1*g\end{smallmatrix}}$ ，亦即 $h(n)=\sum _{d\|n}g(d)$ (此時， ${\begin{smallmatrix}h(n)\end{smallmatrix}}$ 與 ${\begin{smallmatrix}g(d)\end{smallmatrix}}$ 可通過默比烏斯反演公式相互轉換) 
那麼 $\operatorname {H} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {h(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g(n)}{n^{s}}}$ 
通常兩側的求和有一個是相對簡單的函數，或是和 ${\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}$ 直接相關的函數 
如果對 ${\begin{smallmatrix}g(n)\end{smallmatrix}}$ 的求和較簡單，可以將 ${\begin{smallmatrix}h(n)\end{smallmatrix}}$ 與 ${\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}$ 相聯繫，反之可以將 ${\begin{smallmatrix}g(n)\end{smallmatrix}}$ 與 ${\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}$ 相聯繫 
即 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g(n)}{n^{s}}}={\frac {\operatorname {H} (s)}{\zeta (s)}}$ ， 
如下表所示： 

## 佩龍公式

ζ 函數與數論函數存在的聯繫可以通過佩龍公式轉化為它和數論函數的求和的關係：設 

　
: $G(s)={\sum _{n=1}^{\infty }}g(n)$

則由佩龍公式，

　
: $A(x)={\sum _{n\leq x}}'g(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }G(z){\frac {x^{z}}{z}}\,\mathrm {d} z$

其中右上角的 ' 表示如果 x 是整數，那麼求和的最後一項要乘以 ${\begin{smallmatrix}{\frac {1}{2}}\end{smallmatrix}}$ 。 
這樣做的其中一個結果就是 ζ 函數和質數分布的關係。

## 和質數的關係

### 歐拉乘積

此函數和質數的關係已由歐拉所揭示：

　
: $\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$

這是一個延展到所有的質數 _p_ 的無窮乘積，被稱為歐拉乘積。這是幾何級數的公式和算術基本定理的一個結果。 
如果對上式取對數，則可得到

　
: $\log \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{p}p^{-ns}$

　
:

### 更進一步的聯繫

#### 黎曼階梯質數計數函數

可以使用黎曼質數計數函數 ${\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}$ 建立 ${\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}$ 與質數分布的進一步聯繫，這也是黎曼在他的論文論小於給定數值的質數個數中使用的函數，定義如下：

　
: $\operatorname {J} (x)=\sum _{n\leq x}\kappa (n)$

其中 $\kappa (n)={\begin{cases}{\frac {1}{k}}&n=p^{k}\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}$ 
那麼可以建立 ${\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}$ 與 ${\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}$ 的零點 ρ 的聯繫，稱為黎曼顯式公式

　
: ${\begin{aligned}\operatorname {J} (x)&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\log \zeta (s){\frac {x^{s}}{s}}\,\mathrm {d} s\\&=\operatorname {Li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {Li} (x^{\rho })+\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t(t^{2}-1)\log(t)}}\,\mathrm {d} x-\log 2\\\end{aligned}}$

　
:

而 ${\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}$ 與 ${\begin{smallmatrix}\pi (x)\end{smallmatrix}}$ 的聯繫可以通過莫比烏斯反演公式完成。 
 $\pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {J} (x)=\operatorname {J} (x)+\mathrm {O} ({\sqrt {x}}\log \log x)$ 
然而 ${\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}$ 的表達式過於複雜，如下的柴比雪夫函數更為常用。

#### 柴比雪夫函數

第一柴比雪夫函數 ${\begin{smallmatrix}\vartheta (x)\end{smallmatrix}}$ 定義為

　
: $\vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p$

而更常用的第二柴比雪夫函數 ${\begin{smallmatrix}\psi (x)\end{smallmatrix}}$ 定義為

　
: $\psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\lfloor \log _{p}x\rfloor \log p$

其中，如前文定義的 $\Lambda (n)={\begin{cases}\log(p)&n=p^{k}\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}$ 
第二柴比雪夫函數與第一柴比雪夫函數的關係，可看做「等同於」黎曼質數計數函數與質數計數函數的關係。 
第二柴比雪夫函數 ${\begin{smallmatrix}\psi (x)\end{smallmatrix}}$ 與 ${\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}$ 的零點 ρ 有如下的聯繫

　
: ${\begin{aligned}\psi (x)&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}{\frac {x^{s}}{s}}\,\mathrm {d} s\\&=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {1}{2}}\log(1-{\frac {1}{x^{2}}})-\log(2\pi )\\\end{aligned}}$

而 ${\begin{smallmatrix}\psi (x)\end{smallmatrix}}$ 與 ${\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}$ 的聯繫可以通過阿貝爾求和公式：

　
: $\psi (x)=\sum _{n=p^{k}\leq x}\log p=\psi (x)=\sum _{n=p^{k}\leq x}{\frac {1}{k}}\log n=\sum _{n\leq x}{\frac {\kappa (n)}{\log n}}$

其中 κ 如前文所定義，則由阿貝爾求和公式 

　
: $\operatorname {J} (x)=\sum _{n\leq x}\kappa (n)={\frac {\psi (x)}{\log x}}+\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)}{t^{2}\log t}}\,\mathrm {d} t={\frac {\psi (x)}{\log x}}+\mathrm {O} ({\frac {x}{\log ^{2}x}})$

## 零點

解析延拓之後的 ζ 函數具有零點，他們分別是分布有序的平凡零點（所有負偶數），以及臨界帶 ${\begin{smallmatrix}0<\operatorname {Re} s<1\end{smallmatrix}}$ 內的非平凡零點。 
以 ${\begin{smallmatrix}\operatorname {N} (T)\end{smallmatrix}}$ 表示虛部介於 0 與 T 之間的非平凡零點數量，則 ${\begin{smallmatrix}0<\operatorname {N} (T)\end{smallmatrix}}$ 遵循黎曼 - 馮・曼戈爾特公式： $N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+\mathrm {O} (\log T)$ 。

## 函數值

ζ 函數滿足如下函數方程式：

　
: $\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$

對於所有 **C**\{0,1} 中的 _s_ 成立。這裡，Γ 表示 Γ 函數。這個公式原來用來構造解析連續性。在 _s_ = 1，ζ 函數有一個簡單極點其留數為 1。上述方程式中有 sin 函數， $\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)$ 的零點為偶數 _s_ = 2_n_，這些位置是可能的零點，但 s 為正偶數時， $\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)$ 為不為零的規則函數，只有 s 為負偶數時，ζ 函數才有零點，稱為平凡零點。

### 當 s 為正整數

歐拉計算出 ζ（_2k_），對於偶整數 _2k_，使用公式

　
: $\zeta (2k)={\frac {B_{2k}(-1)^{k+1}(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}$

其中 _B_2_k_ 是伯努利數。從這個，我們可以看到 ζ(2) = π2/6, ζ(4) = π4/90, ζ(6) = π6/945 等等。（OEIS 中的序列 A046988（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）/A002432（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館））。這些給出了著名的 π 的無窮級數。奇整數的情況沒有這麼簡單。拉馬努金在這上面做了很多了不起的工作。 $s\,$ 為正偶數時的函數值公式已經由歐拉計算出。但當 $s\,$ 為正奇數時，尚未找到封閉式。

　
: $\zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty ;\!$

　
: 這是調和級數。

　
: $\zeta \left({\frac {3}{2}}\right)\approx 2.612;\!$    A078434

　
: 該值用於計算具有週期性邊界條件的玻色 - 愛因斯坦凝聚的臨界溫度以及磁系統的自旋波物理。

　
: $\zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1.645;\!$    A013661

　
: 即巴塞爾問題。這個結果的倒數回答了這個問題：隨機選取兩個數字而互質的機率是多少？

　
: $\zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \approx 1.202;\!$    A002117

　
: 稱為阿培里常數。

　
: $\zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\approx 1.0823;\!$    A0013662

　
: 黑體輻射裡的斯特藩－玻爾茲曼定律和維恩近似。

### s 趨近於 1

　
: $\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon )+\zeta (1-\varepsilon )}{2}}=\gamma $

其中 γ 是歐拉 - 馬歇羅尼常數 = $0.577215...$

### 負整數

同樣由歐拉發現，ζ 函數在負整數點的值是有理數，這在模形式中發揮著重要作用，而且 ζ 函數在負偶整數點的值為零。

事實上

　
: $\zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}$

_B_n 是白努利數。

因為 _B_2_n_+1 =0，故 ζ 函數在負偶整數點的值為零。

### 複數值

　
: $\zeta (x+{\rm {i}}y)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos(y\ln k)-{\rm {i}}\sin(y\ln k)}{k^{x}}},y\in {\mathbb {R} }$ ，x＞1。

### 幅角

　
: $\arg[\zeta (x+{\rm {i}}y)]=-\arctan {\frac {\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(y\ln k)}{k^{x}}}}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos(y\ln k)}{k^{x}}}}}$ ，

### 函數值表

　
: $\zeta (-2n_{n\in \mathbb {Z} ^{+}})=0$ ，

　
: $\zeta (-9)=-{\frac {1}{132}}$ ，

　
: $\zeta (-7)={\frac {1}{240}}$ ，

　
: $\zeta (-5)=-{\frac {1}{252}}$ ，

　
: $\zeta (-3)={\frac {1}{120}}$ ，

　
: $\zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}$ ，

　
: $\zeta (0)=-{\frac {1}{2}}$ ，

　
: $\zeta (1^{-})=-\infty $ ,

　
: $\zeta (1^{+})=\infty $ ,

　
: $\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ ，

　
: $\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}$ ，

　
: $\zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}}$ ，

　
: $\zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450}}$ ，

　
: $\zeta (10)={\frac {\pi ^{10}}{93555}}$ ，

### 臨界線上的數值計算

臨界線上的數值計算可以通過黎曼 - 西格爾公式完成。 
與之相關的，林德勒夫猜想：對於任意給定的實數 ${\begin{smallmatrix}\epsilon >0\end{smallmatrix}}$ ，

　
: $\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=\mathrm {O} (t^{\epsilon })$

## 參考資料

## 相關條目

* 黎曼猜想
* 狄利克雷級數
* 狄利克雷摺積
* 黎曼 ξ 函數