量化误差

**量化**在數位訊號處理領域是指將訊號的連續取值（或者大量可能的離散取值）近似為有限多個（或較少的）離散值的過程。量化主要應用於從連續訊號到數位訊號的轉換中。連續訊號經過採樣成為離散訊號，離散訊號經過量化即成為數位訊號。注意離散訊號並不需要經過採樣的過程。訊號的採樣和量化通常都是由 ADC 實現的。

例如 CD 音訊訊號就是按照 44100Hz 的頻率採樣，按 16 位元量化為有著 65536（= $2^{16}$ ）個可能取值的數位訊號。

量化就是將類比聲音的波形轉換為數位，表示採樣值的位元數決定了量化的精度。量化的過程是先將整個振幅劃分成有限個小振幅（量化階距）的集合，把落入某個階距內的樣值歸為一類，並賦予相同的量化值。

## 數學描述

最簡單最易懂的量化是純量（有別於多維向量）量化，開始純量量化之前先要給出輸入資料。
通常，一個純量量化操作可以給出下面的描述

　
: $Q(x)=g(\lfloor f(x)\rfloor )$

其中

 * $x$ 是實數，
* $\lfloor x\rfloor $ 是下取整函數，生成整數 $i=\lfloor f(x)\rfloor $
* $f(x)$ 和 $g(i)$ 是任意的實值函數。

整數 $i$ 是表示的數值，它通常被儲存或者傳輸，然後在後來需要解釋的時候使用 $g(i)$ 進行最終的解釋重建。整數 $i$ 有時也稱作_量化指數_。

在電腦或者其它應用，一個已知的量化方法_均勻量化_。在均勻量化方法裡共有兩個變數，叫 _mid-rise_ 和 _mid-tread_。

如果 $x$ 是一個－1 到 1 之間的數，一個 mid-rise uniform 量化操作，可以用 "M"bit 來表示量化的精度。

　
: $Q(x)={\frac {\left\lfloor 2^{M-1}x\right\rfloor +0.5}{2^{M-1}}}$ .

在這個例子中 $f(x)$ 和 $g(i)$ 運算子都是乘以比例因子（其中一個是另外一個的逆），並且在 _g_（_i_）中帶有一個偏移量以使得每個量化表示都位於輸入區域的中間位置。 $2^{-(M-1)}$ 經常稱為_量化步長_。按照這個量化定律，假定在整個量化步長上量化雜訊大致是均勻分布的，並且假定量化的輸入訊號 $x$ 在整個 - 1 到 1 的區間大致均勻分布，量化的訊號雜訊比（SNR）可以用下面的公式計算，

　
: ${\frac {S}{N_{q}}}\approx 20\log _{10}(2^{M})=6.0206M\ \operatorname {dB} $ .

根據這個等式，人們常說 SNR 大約是每位 6 dB。

在 mid-tread 一致量化中，偏移 0.5 將加在下取整函數內部而不是外部。

有時候，mid-rise 量化使用時不加偏移 0.5。這將訊號與雜訊比減小了大約 6.02 dB，但是當步距小的時候為了簡化這是可接受的。

在數位電話系統中，兩個流行的量化機制是 'A-law'（在歐洲占據主導地位）和 'μ-law'（在北美和日本占據主導地位）。這些機制將離散的類比數值對映到 8 位元尺度，在小值的時候近似線性隨著振幅增長按照對數增加。由於人耳對於音量的感知近似對數曲線，這就使用一定的位數在可聽見的聲音強度範圍提供了更高的訊號雜訊比。

## 忽略熵約束：Lloyd–Max 量化

在上面的陳述中，若令 $\lambda $ 等於 0，從而忽略掉位元速率約束，或等價地假設要用定長碼（FLC）而非用變長碼（或其他熵編碼法，如算術編碼在率失真上就比定長碼好）來表示量化資料，這個最佳化問題就簡化為了只需最小化失真 $D$ 的問題了。

 $M$ 級量化器產生的索引可以用 $R=\lceil \log _{2}M\rceil $ 位元 / 符號的定長碼。例如當 $M=$ 256 階時，定長碼的位元速率 $R$ 為 8 位元 / 符號。由於這個原因，這樣的量化器有時稱作 8 位元量化器。不過使用定長碼消除了壓縮改進，但可以通過更好的熵編碼來改善。

假設 $M$ 階定長碼，率失真最小化問題可以簡化為失真最小化問題。
簡化的問題可以陳述為：給定一個機率密度函數為 $f(x)$ 的信源 $X$ ，並約束量化器必須僅使用 $M$ 個分類區域，求得決策邊界 $\{b_{k}\}_{k=1}^{M-1}$ 與重建層級 $\{y_{k}\}_{k=1}^{M}$ 來最小化得到的失真

　
: $D=E[(x-Q(x))^{2}]=\int _{-\infty }^{\infty }(x-Q(x))^{2}f(x)dx=\sum _{k=1}^{M}\int _{b_{k-1}}^{b_{k}}(x-y_{k})^{2}f(x)dx=\sum _{k=1}^{M}d_{k}$ .

對上述問題求最佳解得到的量化器有時叫做 MMSQE（最小均方量化誤差）解，而得到的機率密度函數最佳化的（非均勻）量化器叫做 _Lloyd–Max_ 量化器，是用獨立發現迭代方法從 ${\partial D/\partial b_{k}}=0$ 和 ${\partial D/\partial y_{k}}=0$ 求解兩組聯立方程式的兩個人來命名的，如下：

　
: ${\partial D \over \partial b_{k}}=0\Rightarrow b_{k}={y_{k}+y_{k+1} \over 2}$ ,

會將閾值置於每對重建值的中點，而

　
: ${\partial D \over \partial y_{k}}=0\Rightarrow y_{k}={\int _{b_{k-1}}^{b_{k}}xf(x)dx \over \int _{b_{k-1}}^{b_{k}}f(x)dx}={\frac {1}{p_{k}}}\int _{b_{k-1}}^{b_{k}}xf(x)dx$

會讓重建值位於其相關分類區間的質心（條件期望值）。

Lloyd 方法 I 演算法，最初於 1957 提出，並可以直接推廣到用於向量資料。這個推廣會得到 Linde–Buzo–Gray（LBG）或 K - 平均分類器最佳化方法。此外，此方法還可以進一步推廣到對向量資料包含一個熵約束。

## 量化與資料壓縮

量化在有損資料壓縮中起著相當重要的作用。很多情況下，量化可以被當作將有損資料壓縮同無失真資料壓縮相區別的標誌之一。量化的目的通常是為了減少資料量。一些壓縮演算法，例如 MP3 和 Vorbis，以有選擇地丟棄部分資料作為壓縮的一種方法，這種手段可以被認為是量化的過程也可以被看作是一種失真壓縮的形式。

JPEG 是一種利用了量化的圖像失真壓縮。JPEG 的編碼過程對原始的圖像資料作離散餘弦轉換，然後對轉換結果進行量化並作熵編碼。通過量化可以降低轉換值的精度，從而減少圖像的資料量。當然，精度的損失意味著圖像品質的下降。然而圖像的品質可以通過量化位數的選擇加以控制。例如，JPEG 在每像素 3 位元的精度下得到的圖像品質還讓人可以接受的，相對於 PCM 抽樣得到的每個像素 24 位元的原始圖像來說，資料量大大下降了。

現代壓縮技術通常以量化輸出的訊息熵，而不是輸出值集合的大小度量訊息量的多少。

## 自然界中的量子化

從最基本的意義上來說，所有的物理量都是量子化的，這是量子力學的結論。為了數學上的明晰性，在宏觀的尺度上可以將量子的性質忽略，因此訊號可以表示為連續的形式。

在實際應用中，這種內在的量子或量化的性質並不需要考慮。首先，量子效應會被訊號的雜訊淹沒，因為任何觀察物件在實際系統中總會伴隨有其他物理現象。其次，測量儀器不可能絕對精確，被測的訊號必然會被測量雜訊污染。

## 量化誤差

量化誤差是指在量化過程引起的誤差，表現為量化結果和被量化類比量之間存在差值。這種差值在輸出端體現為引入了量化雜訊。

## 相關條目

* 模 - 數轉換器，數 - 模轉換器
* 量化誤差，量化雜訊
* 離散訊號，數位訊號
* 抖動
* 資訊理論
* 率失真
* 向量量化

## 參考文獻

## 外部連結

* Paper on mathematical theory and analysis of quantization （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Quantization threads in Comp.DSP （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）