量子數

**量子數**描述量子系統中動力學上各守恆數的值。它們通常按性質描述原子中電子的各能量，但也會描述其他物理量（如角動量、自旋等）。由於任何量子系統都能有一個或以上的量子數，列出所有可能的量子數是件沒有意義的工作，學習量子數與軌域也是。

## 有多少個量子數？

「要多少個量子數才能描述任何已知系統？」這道問題並沒有一致的答案，儘管要解決每一個系統都必須要對系統進行全面分析。任何系統的動力學都由一量子哈密頓算符，**H**，所描述。系統中有一量子數對應能量，即哈密頓算符的特徵值。對每一個算符 **O** 而言，還有一個量子數可與哈密頓算符交換（即滿足 **OH = HO** 這條關係式）。這些是一個系統中所能有的所有量子數。注意定義量子數的算符 **O** 應互相獨立。很多時候，能有好幾種選擇一組互相獨立算符的方法。故此，在不同的條件下，可使用不同的量子數組來描述同一個系統。

## 原子內的單個電子

最被廣為研究的量子數組是用於一原子的單個電子：不只是因為它在化學中有用（它是週期表、化合價及其他一系列特性的基本概念），還因為它是一個可解的真實問題，故廣為教科書所採用。

在非相對論性量子力學中，這個系統的哈密頓算符由電子的動能及位能（由電子及原子核間的庫侖力所產生）。動能可被分成，有環繞原子核的電子角動量，**J** 的一份，及餘下的一份。由於位能是球狀對稱的關係，其完整的哈密頓算符能與 **J**2 交換。而 **J**2 本身能與角動量的任一分量（按慣例使用 **J**z）交換。由於這是本題中唯一的一組可交換算符，所以會有三個量子數。

依慣例，它們被稱為：

* 主量子數（n=1，2，3，4 ……（K,L,M,S…）代表除掉 **J**2 以後 **H** 的特徵值。這個數因此會視電子與原子核間的距離（即半徑座標 **r**）而定。平均距離會隨著 **n** 增大，因此不同量子數的量子態會被說成屬於不同的電子層。
* 角量子數（l=0，1 … n-1）（又稱**方位角量子數**或**軌道量子數**）通過關係式 $L^{2}=\hbar ^{2}l(l+1)$ 來代表軌道角動量。在化學中，這個量子數是非常重要的，因為它表明了一軌道的形狀，並對化學鍵及鍵角有重大影響。有些時候，不同角量子數的軌域有不同代號，**l=0** 的軌域叫 s 軌域，**l=1** 的叫 p 軌域，**l=2** 的叫 d 軌域，而 **l=3** 的則叫 f 軌域。
* 磁量子數（ml= -l，-l+1 … 0 … l-1，l）代表特徵值， $L_{z}=m_{l}\hbar $ 。這是軌道角動量沿某指定軸的投影。

從光譜學中所得的結果指出一個軌道最多可容納兩個電子。然而兩個電子絕不能擁有完全相同的量子態（包立不相容原理），故也絕不能擁有同一組量子數。所以為此特別提出一個假設來解決這問題，就是設存在一個有兩個可能值的第四個量子數。這假設以後能被相對論性量子力學所解釋。

* 自旋量子數（ms= -1/2 或 +1/2）代表電子的固有角動量。這是自旋 s=1/2 沿某指定軸的射影。

作為摘要，一電子的量子態視下列各量子數而定：

例：用於描述氟（F）原子最外層電子（即價電子，位於原子軌道 2p）的各量子數值為：n=2，l=1，ml=1 或 0 或 - 1，ms=-1/2 或 1/2。

注意分子軌道需要使用完全不同的量子數組，因為其哈密頓算符及對稱跟上述相當不同。

## 適用於自旋－軌道交互作用的量子數

當考慮到自旋 - 軌道作用時，l、m 及 s 就再不能與哈密頓算符交換，因而它們的值會隨時間改變。故應該使用另一組量子數。這組包括了

* 總角動量量子數（j=1/2，3/2 … n-1/2）通過關係式 $J^{2}=\hbar ^{2}j(j+1)$ 代表著總角動量。
* 總角動量沿某指定軸的投影（mj=-j，-j+1 … j-1，j），此數與 m 類似，且滿足關係式 $m_{j}=m_{l}+m_{s}$ 。
* 宇稱。它是經反射所得的特徵值，當態之 l 為偶數時其值為正（即 + 1），奇數時其值為負（即 - 1）。前者亦被稱為**偶宇稱**，後者則為**奇宇稱**。

例：考慮以下八個態，定義它們的量子數：

1. l = 1，ml = 1，ms = +1/2
2. l = 1，ml = 1，ms = -1/2
3. l = 1，ml = 0，ms = +1/2
4. l = 1，ml = 0，ms = -1/2
5. l = 1，ml = -1，ms = +1/2
6. l = 1，ml = -1，ms = -1/2
7. l = 0，ml = 0，ms = +1/2
8. l = 0，ml = 0，ms = -1/2

系統的量子態能被這八個態的線性組合所描述。但由於自旋 - 軌道作用的關係，如欲使用八個由哈密頓算符的特徵向量（即每一個代表一個態且不會因時間而跟其他態混合）所組成的態來描述同一個系統，應考慮以下這八個態：

1. j = 3/2， mj = 3/2，奇宇稱 （從上態 1 得）
2. j = 3/2， mj = 1/2，奇宇稱 （從上態 2 及 3 得）
3. j = 3/2， mj = -1/2，奇宇稱 （從上態 4 及 5 得）
4. j = 3/2， mj = -3/2，奇宇稱 （從上態 6 得）
5. j = 1/2， mj = 1/2，奇宇稱 （從上態 2 及 3 得）
6. j = 1/2， mj = -1/2，奇宇稱 （從上態 4 及 5 得）
7. j = 1/2， mj = 1/2，偶宇稱 （從上態 7 得）
8. j = 1/2， mj = -1/2，偶宇稱 （從上態 8 得）

## 基本粒子

基本粒子包含不少量子數，一般來說它們都是粒子本身的。但需要明白的是，基本粒子是粒子物理學上標準模型的量子態，所以這些粒子量子數間的關係跟模型的哈密頓算符一樣，就像波耳原子量子數及其哈密頓算符的關係那樣。亦即是說，每一個量子數代表問題的一個對稱性。這在場論中有著更大的用處，被用於識別時空及內對稱。

一般跟時空對稱有關係的量子數有自旋（跟旋轉對稱有關）、宇稱、C - 宇稱、T - 宇稱（跟時空上的龐加萊對稱有關係）。一般的內對稱有輕子數、重子數及電荷數。條目味有這些量子數的更詳細列表。

值得一提的是較次要但常被混淆的一點。大部分守恆量子數都是可相加的。故此，在一基本粒子反應中，反應前後的量子數總和應相等。然而，某些量子數（一般被稱為宇稱）是可相乘的；即它們的積是守恆的。所以可相乘的量子數都屬於一種對稱（像守恆那樣），而在這種對稱中使用兩次對稱變換式跟沒用過是一樣的。它們都屬於一個叫 **Z**2 的抽象群。

## 參考連結

### 基本原理

* Dirac, Paul A.M. Principles of quantum mechanics. Oxford University Press. 1982. ISBN 0-19-852011-5.

### 原子物理

* 量子數與電子排佈 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）
* 氫原子的量子數 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）

### 粒子物理

* Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-805326-X.
* Halzen, Francis and Martin, Alan D. QUARKS AND LEPTONS: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. 1984. ISBN 0-471-88741-2.
* 粒子數據小組 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）