量子諧振子

在量子力學裏，**量子諧振子**（英語：**quantum harmonic oscillator**）是古典諧振子的延伸。其為量子力學中數個重要的模型系統中的一者，因為一任意勢在穩定平衡點附近可以用諧振子勢來近似。此外，其也是少數幾個存在簡單解析解的量子系統。量子諧振子可用來近似描述分子振動。

## 一維諧振子

### 哈密頓算符與能量本徵態

在一維諧振子問題中，一個質量為 _m_ 的粒子，受到一位勢 $V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}$ 。此粒子的哈密頓算符為

　
: $H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}$

其中 _x_ 為位置算符，而 _p_ 為動量算符 $\left(p=-i\hbar {d \over dx}\right)$ 。第一項代表粒子動能，而第二項代表粒子處在其中的位能。為了要找到能階以相對應的能量本徵態，必須解所謂的「定態薛丁格方程式」：

　
: $H\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle $ .

在座標基底下可以解這個微分方程式，用到冪級數方法。可以見到有一族的解：

　
: $\left\langle x|\psi _{n}\right\rangle ={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)$

　
: $n=0,1,2,\ldots $

前 8 個解（_n_ = 0 到 7）如右圖。函數 $H_{n}$ 為埃爾米特多項式：

　
: $H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}$

注意到不應將之與哈密頓算符搞混，儘管哈密頓算符也標作 _H_。相應的能階為

　
: $E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)$ 。

值得注意的是能譜，理由有三。首先，能量被「量子化」（quantized），而只能有離散的值 —— 即 $\hbar \omega $ 乘以 1/2, 3/2, 5/2…… 等等。這是許多量子力學系統的特徵。在爾後的「階梯算符」段落，將對此現象做更詳細的檢視。再者，可有的最低能量（當 _n_ = 0）不為零，而是 $\hbar \omega /2$ ，被稱為「基態能量」或零點能量。在基態中，根據量子力學，一振子執行所謂的「零振動」（null oscillations）且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見，因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量，因為可以任意選擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態能量有許多的意涵，特別是在量子重力。最後一個理由式能階值是等距的，不像波耳模型或盒中粒子問題那樣。

注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部，合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時，機率密度變成集中在「古典轉向點」（classical turning points），其中狀態能量等同於位能。這樣的結果與古典諧振子相一致；古典的描述下，粒子多數時間處在（而更有機會被發現在）轉向點，因為在此處粒子速度最慢。因此滿足對應原理。

### 階梯算符方法

前述的冪級數解雖然直觀，但顯得相當繁複。階梯算符方法起自保羅・狄拉克，允許抽像求得能量本徵值，而不用直接解微分方程式。此外，此法很容易推廣到更複雜的問題，尤其是在量子場論中。跟從此方法，定義算符 _a_ 與其伴隨算符（adjoint）_a_†：

　
: ${\begin{matrix}a&=&{\sqrt {m\omega  \over 2\hbar }}\left(x+{i \over m\omega }p\right)\\a^{\dagger }&=&{\sqrt {m\omega  \over 2\hbar }}\left(x-{i \over m\omega }p\right)\end{matrix}}$

算符 _a_ 並非厄米算符（Hermitian），以其與伴隨算符 _a_†並不相同。

算符 _a_ 與 _a_†有如下性質：

　
: ${\begin{matrix}a\left|\phi _{n}\right\rangle &=&{\sqrt {n}}\left|\phi _{n-1}\right\rangle \\a^{\dagger }\left|\phi _{n}\right\rangle &=&{\sqrt {n+1}}\left|\phi _{n+1}\right\rangle \end{matrix}}$

在推導 _a_†形式的過程中，已用到算符 _x_ 與 _p_（代表可觀測量）為厄米算符這樣的事實。這些可觀測量算符可以被表示為階梯算符的線性組合：

　
: ${\begin{matrix}x&=&{\sqrt {\hbar  \over 2m\omega }}\left(a^{\dagger }+a\right)\\p&=&i{\sqrt {{\hbar }m\omega  \over 2}}\left(a^{\dagger }-a\right)\end{matrix}}$

_x_ 與 _p_ 算符遵守下面的等式，稱之為正則對易關係：

　
: $\left[x,p\right]=i\hbar $ .

方程式中的方括號是常用的標記機器，稱為交換子、**交換算符**或**對易算符**，其定義為

　
: $\left[A,B\right]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ AB-BA$ .

利用上面關係，可以證明如下等式：

　
: $H=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+1/2\right)$

　
: $\left[a,a^{\dagger }\right]=1$ .

現在，讓 $\left|\psi _{E}\right\rangle $ 代表帶有能量 _E_ 的能量本徵態。任何右括向量（ket）與自身的內積必須是非負值，因此

　
: $\left(a\left|\psi _{E}\right\rangle ,a\left|\psi _{E}\right\rangle \right)=\left\langle \psi _{E}\right|a^{\dagger }a\left|\psi _{E}\right\rangle \geq 0$ 。

將 _a_†_a_ 以哈密頓算符表示：

　
: $\left\langle \psi _{E}\right|{H \over \hbar \omega }-{1 \over 2}\left|\psi _{E}\right\rangle =\left({E \over \hbar \omega }-{1 \over 2}\right)\geq 0$ ，

因此 $E\geq \hbar \omega /2$ 。注意到當（ $a\left|\psi _{E}\right\rangle $ ）為零右括向量（亦即：長度為零的右括向量），則不等式飽和而 $E=\hbar \omega /2$ 。很直觀地，可以檢查到存在有一狀態滿足此條件 —— 前面段落所提到的基態（_n_ = 0）。

利用上面等式，可以指出 _a_ 及 _a_†與 _H_ 的對易關係：

　
: ${\begin{matrix}\left[H,a\right]&=&-\hbar \omega a\\\left[H,a^{\dagger }\right]&=&\hbar \omega a^{\dagger }\end{matrix}}$ .

因此要是（ $a\left|\psi _{E}\right\rangle $ ）並非零右括向量，

　
: ${\begin{matrix}H(a\left|\psi _{E}\right\rangle )&=&(\left[H,a\right]+aH)\left|\psi _{E}\right\rangle \\&=&(-\hbar \omega a+aE)\left|\psi _{E}\right\rangle \\&=&(E-\hbar \omega )(a\left|\psi _{E}\right\rangle )\end{matrix}}$ .

類似地，也可以指出

　
: $H(a^{\dagger }\left|\psi _{E}\right\rangle )=(E+\hbar \omega )(a^{\dagger }\left|\psi _{E}\right\rangle )$ .

換句話說，_a_ 作用在能量為 _E_ 的本徵態，而產生出 —— 還多了一個常數乘積 —— 另一個能量為 $E-\hbar \omega $ 的本徵態，而 _a_†作用在能量為 _E_ 的本徵態，產生出另一個能量為 $E+\hbar \omega $ 的本徵態。因為這樣，_a_ 稱作降算符而 _a_†稱作升算符。兩者合稱階梯算符。在量子場論中，_a_ 與 _a_†也分別稱作消滅算符與創生算符，以其分別摧毀與創造粒子 —— 對應於能量量子。

給定任何能量本徵態，可以拿降算符 _a_ 作用在其上，產生了另一個能量少了 $\hbar \omega $ 的本徵態。重複使用降算符，似乎可以產生能量本徵態其能量低到 _E_ = −∞。不過這樣就就與早先的要求 $E\geq \hbar \omega /2$ 相違背。因此，必須有一最底的能量本徵態 —— 基態，標示作 $\left|0\right\rangle $ （勿與零右括向量混淆），使得

　
: $a\left|0\right\rangle =0$ （即 _a_ 對 $\left|0\right\rangle $ 作用後產生零右括向量（zero ket））。

在這情況下，繼續使用降算符只會產生零右括向量，而不是產生額外的能量本徵態。此外，還指出了

　
: $H\left|0\right\rangle =(\hbar \omega /2)\left|0\right\rangle $ 。

最後，透過將升算符作用在 $\left|0\right\rangle $ 上，並且乘上適當的歸一化因子，可以產生出一個能量本徵態的無限集合 $\left\{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle ,\left|2\right\rangle ,...,\left|n\right\rangle ,...\right\}$ 使得

　
: $H\left|n\right\rangle =\hbar \omega (n+1/2)\left|n\right\rangle $ ，這與前段所給的能譜相符合。

這方法也能夠用來很快地找到量子諧振子的基態波函數。只要將消滅算符作用於基態， $a\left|0\right\rangle =0$ 變為

　
: $x\psi _{0}(x)+{\frac {\hslash }{m\omega }}{\frac {d\psi _{0}(x)}{dx}}=0$ 。

所以，

　
: ${\frac {d\ln \psi _{0}(x)}{dx}}=-{\frac {\hslash }{m\omega }}x+{\text{ Constant}}$ 。

這個方程式的解為，經過歸一化，

　
: $\psi _{0}(x)=\left({m\omega  \over \pi \hbar }\right)^{1 \over 4}e^{-m\omega x^{2}/2\hbar }$ 。

### 自然長度與能量尺度

量子諧振子擁有自然長度與自然能量兩個自然尺度，可以用來簡化問題。這可以透過無因次化來得到。結果是如果以 $\hbar \omega $ 為單位來測量能量，以及 $\left(\hbar /\left(m\omega \right)\right)^{1/2}$ 為單位來測量距離，則薛丁格方程式變成：

　
: $H=-{1 \over 2}{d^{2} \over du^{2}}+{1 \over 2}u^{2}$ ，

且能量本徵態與本徵值變成

　
: $\left\langle x|\psi _{n}\right\rangle ={1 \over {\sqrt {2^{n}n!}}}\pi ^{-1/4}{\hbox{exp}}(-u^{2}/2)H_{n}(u)$

　
: $E_{n}=n+{1 \over 2}$ .

為了避免混淆，在此文中不採用這些自然單位。不過，這用法在執行運算上總會因便利性而遲早被使用。

### 案例：雙原子分子

在雙原子分子中，自然頻率可以發現為 [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）：

　
: $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m_{r}}}}$

其中

　
: $\omega =2\pi f$ 為角頻率，

　
: _k_ 是**共價鍵勁度係數**

　
: $m_{r}$ 是約化質量。

## N 維諧振子

一維諧振子很容易地推廣到 $N$ 維。在一維中，粒子的位置是由單一座標 _x_ 來指定的。在 $N$ 維中，這由 $N$ 個位置座標所取代，以 $x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{N}$ 標示。對應每個位置座標有個動量，標示為 _p_1, ..., _p_N。這些算符之間的正則對易關係為

　
: ${\begin{matrix}\left[x_{i},p_{j}\right]&=&i\hbar \delta _{i,j}\\\left[x_{i},x_{j}\right]&=&0\\\left[p_{i},p_{j}\right]&=&0\end{matrix}}$ .

系統的哈密頓算符為

　
: $H=\sum _{i=1}^{N}\left({p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x_{i}^{2}\right)$ 。

從這個哈密頓量的形式，可以發覺， $N$ 維諧振子明確地可比擬為 $N$ 個質量相同，彈性常數相同，獨立的一維諧振子。在這案例裏，變數 $x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{N}$ 是 $N$ 個粒子的位置坐標。這是反平方連心位勢的一個優良的特性，允許位勢被分離為 $N$ 個項目，每一個項目只跟一個位置坐標有關。

這觀察使得問題的解答變的相當簡單。對於一個集合的量子數 $\{n\}$ ，一個 $N$ 維諧振子的能量本徵函數 $\langle \mathbf {x} |\psi _{\{n\}}\rangle $ 等於 $N$ 個一維本徵函數 $\langle x_{i}|\psi _{n_{i}}\rangle $ 的乘積：

　
: $\langle \mathbf {x} |\psi _{\{n\}}\rangle =\prod _{i=1}^{N}\langle x_{i}|\psi _{n_{i}}\rangle $ 。

採用階梯算符方法，定義 $N$ 組階梯算符，

　
: $a_{i}={\sqrt {m\omega  \over 2\hbar }}\left(x_{i}+{i \over m\omega }p_{i}\right)$ ，

　
: $a_{i}^{\dagger }={\sqrt {m\omega  \over 2\hbar }}\left(x_{i}-{i \over m\omega }p_{i}\right)$ 。

類似前面所述的一維諧振子案例，可以證明每一個 $a_{i}$ 與 $a_{i}^{\dagger }$ 算符將能量分別降低或升高 $\hbar \omega $ 。哈密頓量是

　
: $H=\hbar \omega \,\sum _{i=1}^{N}\left(a_{i}^{\dagger }\,a_{i}+{\frac {1}{2}}\right)$ 。

這量子系統的能階 $E$ 是

　
: $E=\hbar \omega \left[(n_{1}+\cdots +n_{N})+{N \over 2}\right]$ ；

其中，正整數 $n_{i}$ 是 $|\psi _{n_{i}}\rangle $ 的量子數。

如同一維案例，能量是量子化的。 $N$ 維基態能階是一維基態能階的 $N$ 倍。只有一點不同，在一維案例裏，每一個能階對應於一個單獨的量子態。在 $N$ 維案例裏，除了底態能階以外，每一個能階都是簡併的，都對應於多個量子態。

簡併度可以很容易地計算出來。例如，思考三維案例，設定 $n=n_{1}+n_{2}+n_{3}$ 。每一個 $n$ 相同的量子態，都會擁有相同的能量。給予 $n$ ，首先選擇一個 $n_{1}$ 。那麼， $n_{2}+n_{3}=n-n_{1}$ ，有 $n-n_{1}+1$ 個值，從 $0$ 到 $n-n_{1}$ ，可以選擇為 $n_{2}$ 的值。 $n_{3}$ 的值自動的設定為 $n-n_{1}-n_{2}$ 。因此，簡併度是

　
: $d_{n}=\sum _{n_{1}=0}^{n}n-n_{1}+1={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$ 。

對於 $N$ 維案例，

　
: $d_{n}={\binom {N+n-1}{n}}$ 。

### 案例：三維均向諧振子

　
: 參閱三維均向諧振子

球對稱的三維均向諧振子可以用分離變數法來求解。這方法類似於氫原子問題裏的方法，只有球對稱位勢不一樣：

　
: $V(r)={1 \over 2}\mu \omega ^{2}r^{2}$ ；

其中， $\mu $ 是這問題的質量。由於 $m$ 會被用來標記磁量子數，所以，用 $\mu $ 來標記質量。

這問題的薛丁格方程式為

　
: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi +{1 \over 2}\mu \omega ^{2}r^{2}\psi =E\psi $ 。

薛丁格方程式的全部解答寫為

　
: $\psi _{klm}(r,\theta ,\phi )=N_{kl}r^{l}e^{-\nu r^{2}}{L_{k}}^{(l+{1 \over 2})}(2\nu r^{2})Y_{lm}(\theta ,\phi )$ ；

其中，

　
: $N_{kl}={\sqrt {{\sqrt {\frac {2\nu ^{3}}{\pi }}}{\frac {2^{k+2l+3}\;k!\;\nu ^{l}}{(2k+2l+1)!!}}}}$ 是歸一常數，

　
: $\nu \equiv {\mu \omega  \over 2\hbar }$

　
: ${L_{k}}^{(l+{1 \over 2})}(2\nu r^{2})$ 是 $k$ 階廣義拉蓋爾多項式 (generalized Laguerre polynomials)， $k$ 是個正整數，

　
: $Y_{lm}(\theta ,\phi )\,$ 是球諧函數，

　
: $\hbar $ 是約化普朗克常數。

能量本徵值是

　
: $E=\hbar \omega (2k+l+{3 \over 2})$ 。

能量通常可以用一個量子數 $n$ 來描述：

　
: $n\equiv 2k+l$ 。

由於 $k$ 是個正整數，假若 $n$ 是偶數，那麼，角量子數也是偶數：

　
: $l=0,\,2,\,\dots ,\,n-2,\,n$ ；

假若 $n$ 是奇數，那麼，角量子數也是奇數：

　
: $l=1,\,3,\,\dots ,\,n-2,\,n$ 。

磁量子數 $m$ 滿足不等式

　
: $-l\leq m\leq l$ 。

對於每一個 $n$ 與 $l$ ，存在 $2l+1$ 個不同的量子態。每一個量子態都有不同的磁量子數 $m$ 。因此， $n$ 的兼併度是

　
: $\sum _{l=i,\,i+2,\,\ldots ,\,n-2,\,n}(2l+1)={(n+1)(n+2) \over 2}$ ；

其中，總和的指數 $l$ 的初始值是 $i=n\ mod\ 2$ 。

這結果與先前的方程式相同。

## 耦合諧振子

設想 $N$ 個相同質量的質點，以彈簧連結為一條一維的線形鏈條。標記每一個質點的離開其平衡點的位置為 $x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{N}$ （也就是說，假若一個質點 $k$ 位於其平衡點，則 $x_{k}=0$ ）。整個系統的哈密頓量是

　
: $H=\sum _{i=1}^{N}{p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{1\leq i\leq N}(x_{i}-x_{i-1})^{2}$ ；

其中， $x_{0}=0$ 。

這個問題可以用坐標變換來變換成一組獨立的諧振子，每一個獨立的諧振子對應於一個獨特的晶格集體波震動。這些波震動表現出類似粒子般的性質，稱為聲子。許多固體的離子晶格都會產生聲子。在固態物理學裏，這方面的理論對於許多現象的研究與了解是非常重要的。

## 參閱

* 自由粒子
* 無限深方形阱
* 有限深方形阱
* 有限位勢壘
* 球對稱位勢
* Delta 位勢壘
* 真空災變
* 盎魯效應

## 參考文獻

* Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.
* Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 2002. ISBN 978-0-8053-8714-8.

## 外部連結

* 國立交通大學物理系視聽教學：量子諧振子
* 喬治亞州州立大學（Georgia State University）線上物理網頁：量子諧振子 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）