重差

《**海島算經**》是三國時代魏國數學家劉徽所著的測量學著作，原為《劉徽九章算術注》第九卷勾股章內容的延續和發展，名為《九章重差圖》，附於《劉徽九章算術注》之後作為第十章。唐代將《重差》從《九章》分離出來，單獨成書，按第一題「今有望海島」，取名為《海島算經》，是《算經十書》之一。

劉徽《海島算經》「使中國測量學達到登峰造極的地步」，使「中國在數學測量學的成就，超越西方約一千年」（美國數學家弗蘭克・斯委特茲語）

## 重差理論的歷史

重差理論起源於《周髀算經》的《日高圖》「以表高乘兩表相去為黃甲之實。以影差為黃乙之廣而一，所得則變為黃乙之袤，上與日齊。」

劉徽在《九章算術・序》中，進一步發展了重差術：「凡望極高、測絕深，而兼知其遠者必用重差、句股，則必以重差為率，故曰**重差**也。立兩表於洛陽之城，令高八尺。南北各盡平地，同日度其正中之時，以景差為法，表高乘表間為實，實如法而一。所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為句、股，為之求弦，即日去人也。」

　
: 日去地 = $H*D \over d$ $+H$

　
: 

　
: 南戴日下 = 南表景 \* $D \over d$

　
: 其中 H 為表高，D 為表間，d 為景差。

## 內容

《海島算經》共九問。都是用表尺重複從不同位置測望，取測量所得的差數，進行計算從而求得山高或谷深，這就是劉徽的重差理論。《海島算經》中，從題目文字可知所有計算都是用籌算進行的。「為實」指作為一個分數的分子，「為法」指作為分數的分母。所用的長度單位有里、丈、步、尺、寸；１里＝180 丈 = 1800 尺；1 丈 = 10 尺：1 步 = 6 尺，1 尺 = 10 寸。

### 望海島

由於前表去島的距離不能直接測量，劉徽用同樣高度的表杆前後測量，表杆與地面垂直，人眼貼地，望表杆頂和島上山頂對齊，這時測得人眼和前表杆的水平距離叫「前表卻行」DG=123 步；再將表杆往後移動，兩表杆間距稱為「表間」=1000 步，依法測出「後表卻行」FH=127 步。

　
: 表高 =CD

　
: 前表卻行 = DG

　
: 後表卻行 = FH

　
: 相多 = FH-DG

　
: 表間 = DF

　
: 島高 = AB

　
: 前表去島遠近 = BD

依法得島高 AB= ${\tfrac {CD\times DF}{FH-DG}}+CD$

依法得前表去島遠近 BD= ${\tfrac {DG\times DF}{FH-DG}}$

### 望松生山上

CD EF 表示前後兩支表杆，前表杆有刻度，用作兩次測量，第一次從 G 點瞄準 A、C 兩點成直線，第二次從 G 點校準樹根 J，讀出前表杆上度數（入表）。

　
: 表高 =CD=2 丈

　
: 前表卻行 = DG=7 步 4 尺

　
: 後表卻行 = FH=8 步 5 尺

　
: 相多 = FH-DG

　
: 表間 = DF=50 步

　
: 松高 = AJ

　
: 前表去山遠近 = BD

　
: 入表 = CK = 二尺八寸

松高 = AJ= ${\tfrac {CK\times DF}{(FH-DG)}}+CK$

前表去山遠近 = BD= ${\tfrac {DF\times DG}{(FH-DG)}}$

### 南望方邑

由於待測的方城寬度 AB，在東西方向，與地面平行，因此兩支在 C 點 D 點插入地面與地面垂直的表杆，在此不用作直接測量，測量是依靠一根拴在 C、D 兩根垂直表杆中間的一條水平測量繩索 CD 完成的。此題中一根水平測量繩作兩次測量用。

　
: : : : : 景差 = 入表 \* 後去表 / 表相去。

### 望深谷

　
: : : 山谷深 =（距間 × 上股）/（下股 - 上股）- 句高。

### 登山望樓

### 南望波口

此題中一根水平測量繩，作三次測量用。

### 望清淵

A 標誌水岸，S 標誌白石，C 標誌岸邊；句是古代測量用具之一，有兩個邊成直角（如今三角板）：使用時句的一邊務必與地面垂直。此題用兩個句，一個在 C，一個在 D，各測量水岸和水底白石。此題用四次測望術。

### 登山望津

### 登山臨邑

此題用四次測望術

## 歷代研究

南北朝數學家祖沖之曾為《九章重差圖》作注。唐朝將《九章重差圖》從《劉徽九章算術注》中分離出來單獨成書，以第一題「今有望海島」取名為《海島算經》。唐高宗顯慶元年（656 年）數學家李淳風等注釋《算經十書》，作為國子監學習和考試用書，《海島算經》就是《算經十書》之一，並且規定《海島算經》的學習期限為三年，是其他算經學習期限的三倍，可見《海島算經》在唐代受重視的程度。北宋元豐七年（1084 年）和南宋寧宗嘉定六年（1213 年）先後刻印兩次。但宋刻本《海島算經》後來遺失。南宋秦九韶研究過類似於海島算經的測量書題目《表望浮屠》，南宋數學家楊輝《續古摘奇算法》討論了四種測量問題，包括來自《海島算經》海島題，並指出「登高望松，遙望波口，非三望之術乎？清淵白石、登山臨邑，非四望之術乎？」。明永樂年間收入《永樂大典》，但只存劉徽文字和李淳風注，劉徽原圖和劉徽所作的注釋已不存。元朝數學家朱世傑《四元玉鑒》《勾股測望》門第四，六，七，八等四問用天元術闡述《海島算經》的《望海島》，《望深谷》，《南望方邑》，《望清淵》。清乾隆時代，經學家戴震將《海島算經》文字，從《永樂大典》中輯錄出來收入《四庫全書》。
清代數學家李潢著《海島算經細草圖說》，沈欽裴著《重差圖說》，均以歐幾里德幾何學論證，已失劉徽原意。
李鏐著《海島算經緯筆》。到民國時期，中算史家李儼《重差術流源及其新注》和《中國古代中算家的測繪術》，《海島算經新注》都對《海島算經》有所論述。

近年中國數學家白尚恕對海島算經有較詳細的論證。吳文俊院士論文《我國古代測望之學重差理論評介兼評數學史研究中的某些方法問題》
與《海島算經古證探源》兩篇論文對《海島算經》有詳細的論證，前文批評一些前人對《海島算經》的論證中添加歐幾里德幾何的平行線或利用相似形理論或後代的代數論證的方法，顛倒歷史，都是錯誤的方法，並提出正確的論證，必須以劉徽時代的出入相補原理為基礎，才能還原《海島算經》的本來面目。

## 傳播

《海島算經》在唐代傳入朝鮮、日本。最早向西方介紹《海島算經》的是 19 世紀來華傳教士偉烈亞力。他 1852 年在《北華捷報》（North China Herald，《字林西報》前身）發表的論文：《中國數學科學札記》（Jottings on the Sciences of Chinese Mathematics）。偉烈亞力在文中介紹了《海島算經》，說此書是「一部關於實用三角學的九個問題」。1913 年日本數學史家三上義夫在其英文著作《中國與日本數學的發展》第五章《海島算經》 中譯出頭三則問題，1932 年法國數學家 L・van・Hee 翻譯《海島算經》全文。1986 年澳大利亞華人數學家洪天賜和美國數學家弗蘭克・斯委特茲將《海島算經》全文翻譯成英文。此外還有日文翻譯本和俄文翻譯本。

## 評價

3 世紀劉徽《海島算經》運用二次、三次、四次測望法，是測量學歷史上領先的創造。中外學者對《海島算經》的成就，給予很高的評價。《海島算經》的英譯者和研究者，美國數學家弗蘭克・斯委特茲，在比較西歐測量學從古代希臘、羅馬直到文藝復興時期的發展，認為希臘測量術，重點在測量器具的運用，而其數學水準遠不如劉徽《海島算經》，直到文藝復興時代，才差強達到《海島算經》水準。他還指出 17 世紀初義大利來華傳教士利瑪竇和中國徐光啟合著的《測量法義》十五題，並未能達到或超越《海島算經》。他結論；「簡而言之，在測量數學領域，中國人的成就，超越西方世界約一千年。」

《中國數學大系》一書中評價《海島算經》：「使中國測量學達到登峰造極的地步。在西歐直到 16，17 世紀，才出現二次測量術的記載，到 18 世紀，才有了三、四次測量之術，可見中國古代測量學的意境之深，功用之廣」。劉徽《海島算經》的測量術，實比歐洲早一千三百至一千五百年。

## 翻譯本

* （法）L. van Hee: Le Classique de l'Île Maritime: Ouvrage Chinois de III siècle 1932。
* （美）Frank J. Swetz: The Sea Island Mathematical Manual, The Pennsylvania State University Press, 1992 ISBN 0-271-00799-0
* （日）川原秀成譯 《海島算經》
* （俄）別遼姿金娜譯 《海島算經》 1974 年

## 參考文獻