重力波天文学

**重力波天文學**（英語：Gravitational-wave astronomy）是觀測天文學 20 世紀中葉以來逐漸興起的一個新興分支，其發展基礎是廣義相對論中引力的輻射理論在各類相對論性天體系統研究中的應用。傳統天文學主要是使用電磁波來觀測各種天體系統，而重力波天文學則是通過重力波來觀測發出引力輻射的天體系統。由於萬有引力交互作用和電磁交互作用相比強度十分微弱，重力波的直接觀測需要利用到當今最高端科技。

阿爾伯特・愛因斯坦於 1915 年發表廣義相對論，隔年他又在理論上預言重力波的存在。然而，在之後一世紀時間，重力波都未能在實驗上直接被檢測到。間接的觀測最早是 1974 年普林斯頓大學的拉塞爾・赫爾斯和約瑟夫・泰勒發現的脈衝雙星，PSR 1913+16，其軌道的演化遵守重力波理論的預測，兩人因此榮獲 1993 年諾貝爾物理學獎。隨後，又觀測到很多其它脈衝雙星，它們的軌道的演化都符合重力波理論的預測。

2016 年 2 月 11 日，LIGO 科學團隊與處女座干涉儀團隊於華盛頓舉行的一場記者會上宣布人類對於重力波的首個直接探測結果。所探測到的重力波來源於雙黑洞併合。兩個黑洞分別估計為 29 及 36 倍太陽質量，這次探測為物理學家史上首次由地面直接成功探測重力波。同年 6 月 15 日，LIGO 團隊宣布，第二次直接探測到重力波。所探測到的重力波也來源於雙黑洞併合。兩個黑洞分別估計為 14.2 及 7.8 倍太陽質量，之後，又陸續確認探測到多次重力波事件。巴里・巴里什，萊納・魏斯及基普・索恩因領導此項工作而榮獲 2017 年諾貝爾物理學獎。

## 概述

廣義相對論預言下的重力波來自於宇宙間帶有強引力場的天文學或宇宙學波源，近半個世紀以來的天體物理學研究表明，引力輻射在天體系統中出現的場合非常豐富。這些可期待的波源包括銀河系內的雙星系統（白矮星、中子星或黑洞等緻密星體組成的雙星）、河外星系內的超大質量黑洞的併合、脈衝星的自轉、超新星爆發、大爆炸留下的背景輻射的重力波分量、構成天體的粒子的熱運動（熱輻射的重力波分量）等等。重力波的觀測意義不僅在於對廣義相對論的直接驗證，更在於它能夠提供一個觀測宇宙的新途徑，就像觀測天文學從可見光天文學擴展到全波段天文學那樣極大擴展人類的視野。傳統的觀測天文學完全依靠對電磁輻射的探測，而重力波天文學的出現則標誌著觀測手段已經開始超越電磁交互作用的範疇，重力波觀測將揭示關於恆星、星系以及宇宙更多前所未知的資訊。

天文學者可以兼用電磁輻射、微中子、重力波來做天文觀察，就好像同時使用視覺、聽覺、味覺來品嘗食物一般，這門學術領域被稱為多信使天文學。

## 特點

與基於電磁波觀測的傳統觀測天文學不同，重力波天文學具有如下特點：

* 重力波是由波源整體的宏觀相干運動所產生，而非如電磁波那樣來自很多單個原子或電子的運動的疊加，因此引力輻射所揭示的資訊與電磁輻射觀測到的完全不同。例如對一個雙星系統觀測到的重力波的偏振揭示了其雙星軌道的傾斜度，這類關于波源運動的宏觀資訊通常無法從電磁輻射觀測中取得。
* 如果比較波長與波源尺寸的關係，宇宙間的重力波並不像電磁波那樣波長比波源尺寸小很多，這使得重力波天文學通常不能像電磁波天文學那樣對波源進行拍照成相，而是類似聲波直接從波形分析波源的性質。
* 大多數重力波源很難或根本無法通過電磁輻射直接觀測到（例如黑洞），這個事實反過來也成立，即大多數電磁波源無法被重力波探測器觀測到。考慮到現在一般認為宇宙間不發射任何電磁波的暗物質所占比例要遠大於發無線電磁波的已知物質，暗物質與外界的唯一交互作用即是引力交互作用，重力波天文學對這些暗物質的觀測具有重要意義。
* 重力波與物質的交互作用非常弱，在傳播途徑中基本不會像電磁波那樣容易被吸收、散射或色散，這意味著它們可以揭示一些宇宙角落深處的資訊，例如宇宙誕生時形成的引力輻射至今仍然在宇宙間幾乎無衰減地傳播，這為直接觀測大爆炸提供了僅有的可能。

## 當代重力波天體物理學

引力輻射在很多已知的天體系統的動力學中都起到了很顯著的影響。這裡列舉了幾個引力輻射在某些天體系統中的著名應用，某些應用如脈衝雙星 PSR1913+16 是重力波間接觀測的典型實例，但更多的應用還只是理論上的解釋。

### 激變變星

最早的天體系統中的引力輻射效應解釋是由加利福尼亞大學聖塔克魯茲分校的約翰・福柯納（John Faulkner）首先提出的，他的模型是一個激變雙星系統。這類系統一般都包含有新星，存在著白矮星從其伴星（在福柯納的模型中是一顆紅矮星）吸積物質的過程。與中子星的吸積過程中氫元素很快轉變為重元素不同，白矮星吸積過程中的氫元素會不斷積累最後導致鏈式核反應，從而形成系統對外可見的突發輻射，因此系統被命名為激變變星。

福柯納計算了一個同時滿足質量和角動量守恆的圓軌道激變變星模型。從簡單的牛頓動力學就可以推導出在吸積過程中，如果質量從較大質量恆星向較小質量恆星轉移，系統的軌道會收縮，相反方向的轉移則會造成軌道擴張。存在有白矮星吸積的變星系統中，隨著質量向較小質量恆星的轉移，兩顆恆星的距離逐漸被拉近，其結果會進一步使吸積速率越來越快；直到兩顆恆星質量通過吸積達到相等狀態後，吸積過程成為了較小質量恆星向新的大質量恆星的質量轉移，這將導致系統的軌道擴張和兩顆恆星距離拉開。在這種情形下，吸積的速率本該逐漸降低，但實際觀測到的是吸積速率保持基本恆定。福柯納指出軌道運動輻射出的重力波會攜帶一部分角動量，從而使兩顆恆星的距離保持接近的趨勢，即軌道擴張和引力輻射兩種效應整體上共同決定了吸積速率保持恆定。福柯納運用四極矩公式與簡單牛頓軌道動力學來計算激變變星的引力輻射效應，其結果和實驗觀測相當符合。

### 脈衝雙星 PSR 1913+16

軌道系統的引力輻射效應中，最著名的例子之一是 1975 年普林斯頓大學的赫爾斯和泰勒發現的脈衝雙星，PSR 1913+16（也被稱作 PSR B1913+16）。這一系統由兩顆圍繞著它們共同質心運轉的中子星所構成，是首個被發現的脈衝雙星。脈衝星是一個穩定的時鐘，這使得人們能夠運用非相對論的數據分析方法，從脈衝信號的抵達時間，推算出系統軌道的基本參量（如脈衝星軌道的半長軸的投影、偏心率、軌道週期等），而從廣義相對論導致的抵達時間變化能夠推算出與相對論效應有關的參量（如近星點的進動角速率、引力紅移等），從這些參量可以進一步推算出雙星系統的傾斜度、質量等（得到的兩顆恆星質量都在 1.4 倍太陽質量左右）。

引力輻射導致的系統動能損失表現為雙星軌道的衰減，進一步表現為軌道運動週期的逐漸降低，理論計算得到的每秒鐘內的週期變化為 $-2.40242\pm 0.00002\times 10^{-12}\,$ 秒。這一理論預言和實驗觀測結果符合得相當好，而實驗觀測誤差則低於 1%。這是迄今為止，人類在引力輻射領域對愛因斯坦方程式正確性的驗證中，這個實驗是精確度最高的。

### CFS 不穩定性和 r 模式不穩定性

1971 年，應用四極矩公式，印度物理學家錢德拉塞卡計算自轉星體的簡正模式振動的本徵頻率的修正，他很驚訝地發現，在某些模式下，引力輻射的耦合可能會導致星體的不穩定性。之後，威斯康星大學密爾沃基分校的約翰・傅里德曼（John Friedman）和卡迪夫大學的伯納德・舒爾茨的研究揭示，在牛頓力學中某特定模式下呈穩定狀態的星體在廣義相對論中會變得不穩定，這一改變有一個關鍵的表徵：模式的圖樣的速率，也就是說，圖樣的波峰繞著星體的旋轉軸做旋轉運動的角速度。如果旋轉中的星體是一個理想流體星體，並且波峰的旋轉方向與星體的旋轉方向相同，而波峰的角速度比星體慢，這模式會不穩定，這種不穩定性被稱為 CFS 不穩定性。

之後，馬里蘭大學的黎伊・林德布洛姆（Lee Lindblom）和史蒂芬・戴特維勒（Steven Detweiler）指出，對於非理想流體星體的案例，因星體粘性作用產生的不穩定性和因引力輻射造成的 CFS 不穩定性，兩者傾向於相互抵消，固此波長最常的模式會展示出最為強勁的不穩定性，這模式即為四極矩模式。然而，後來從使用完全相對論性模型來做研究得到的結果暗示，這穩定性論題應歸屬天文物理學的邊緣研究。

1997 年華盛頓大學聖路易斯分校的尼爾斯・安德森（Nils Andersson）首先提出，自轉星體在另一類牛頓力學下的模式同樣地也會不穩定，這模式被稱作「羅斯比模式 」或「r 模式」。這是 動量主導的模式，即引力輻射源自於質量流的四極矩，而非質量的四極矩。其後，安德森等人的諸多研究表明，這種引力輻射導致的不穩定性在高溫高速旋轉的星體中表現得非常強勁，而這類星體正是對應著處於 r 模式的高速自轉的年輕的中子星，其引力輻射的效應要強於星體本身的粘性，其結果就是不穩定性嚴重限制了中子星的自轉頻率。在這些中子星形成初期它們的自轉頻率都很高，伴隨著引力輻射損失大部分角動量，估計算在約一年的時間內其頻率可降至最大值的 7.6%，溫度也可從設定的初始值 $10^{11}K\,$ 降至 $10^{9}K\,$ 。加州理工學院的林德布洛姆、班傑明・歐文（Benjamin Owen）和威斯康星大學密爾沃基分校的莎朗・莫辛克（Sharon Morsink）預計，隨著星體的逐漸冷卻至超流體的臨界溫度，中子星具有的超流動性會完全抑制了 r 模式的不穩定性，這些較老的中子星有可能通過吸積的途徑重新獲得角動量從而使自轉加快。這一理論的重要性在於，它或許能夠解釋為什麼所有已知的年輕的中子星，相對於較老的毫秒脈衝星，自轉速度較慢十倍左右，從而對中子星的早期演化有一個更全面深入的了解。

### 低質量 X 射線雙星

羅西探測器的觀測證明某一類特定的 X 射線源：低質量 X 射線雙星系統內存在具有相當窄頻自旋的中子星，它們的特性是，吸積的速度很快（每年可傳遞 10-11 倍太陽質量），磁場比較微弱（小於 1011 高斯）。這些中子星被認為能夠通過吸積獲得持續增長的角動量，從最初的低頻自旋逐漸變為高頻的毫秒脈衝星。從這個假設直接推導出的論述是，對這種類型的中子星進行觀測時會觀測到它們的頻率覆蓋了一個很寬的頻譜範圍。但事實並非如此，它們的自旋頻率都大於 250 赫茲但小於 500 赫茲，其中有很多都在 240-360 赫茲區域內。

對這一現象目前最合理的解釋是由拉爾斯・比爾德斯滕提出的，即引力輻射消耗了吸積得到的角動量，從而限制了自旋速率。他提出如下機制： 各向異性的吸積在中子星表殼形成了一個溫度梯度，從而導致在核心形成了處於定域平衡態的質量梯度，更導致形成密度梯度，然後通過星體的自旋使得發射出引力輻射。增加的角動量被引力輻射消耗殆盡，因此使中子星的自旋速度保持穩定。在這種機制下，中子星放射出的重力波的光度將和測量到的 X 射線的通量成正比，因為 X 射線的通量本身也和被引力輻射消耗的角動量增量成正比。如果這種機制是正確的，天蠍座的 X 射線源 X-1 將同時輻射可觀測的 X 射線和重力波，現今運作中的第一代干涉儀或許有可能探測到該重力波。

### 宇宙背景輻射

宇宙背景探測者（COBE）對宇宙微波背景輻射 在各向異性方面的最初觀測開啟了對早期宇宙研究的新窗口。而由美國國家航空暨太空總署發射的威爾金森微波各向異性探測器（WMAP）和由歐洲太空總署發射的普朗克探測器能夠顯著提高對這種小尺度的各向異性觀測的靈敏度。這些小尺度的各向異性有可能來自大爆炸留下的微波背景輻射，也有可能來自宇宙早期的質量密度微擾形成的引力背景輻射，因此原則上能夠為早期宇宙形成時留下的引力背景輻射的能量密度提供約束條件。

儘管這些探測器不能區分來自不同原因的各向異性，但目前為止這是對極低頻的引力背景輻射探測的唯一手段。這些重力波所攜帶的資訊將有助於理解早期星系形成以及利用各向異性測量宇宙學參數。而現有的重力波探測器原則上也能夠測量重力波的背景輻射，但即使它們的靈敏度達到了能夠測量的程度，它們的測量也僅限於較短波長的範圍內，因為受干涉臂長的限制，重力波探測器無法對太長波長的重力波進行測量。

## 研究對象

重力波天文學這個名稱現在已經脫離了單純意義上的觀測天文學範疇，粗略來講重力波天文學涉及以廣義相對論為基礎的理論和實驗天體物理學、鐳射物理、數位訊號處理、控制論、機率統計等多方面的領域。伯納德・舒爾茨曾列出成功觀測重力波的五條關鍵要素：

1. 良好的探測器技術。
2. 良好的波形預測。
3. 良好的數據分析方法和技術。
4. 多個獨立探測器間的齊步測量。
5. 重力波天文學和電磁波天文學的齊步測量。

從這五條要素可以將重力波天文學大致劃歸為三個方向：重力波源、重力波探測器、數據分析。

### 重力波源

研究對象為第 2 條和第 5 條，主要研究被認為可觀測重力波源的物理性質，從理論上計算具體的重力波源產生的重力波的波形，以及這些特定的波源在星系中的數量和在某一時空範圍內被觀測到的機率。

 
天體物理學中研究的電磁波譜是從 $10^{7}\,$ 赫茲開始，向上延伸 20 個數量級；而重力波譜通常最高為 $10^{4}\,$ 赫茲，也向下延伸 20 個數量級左右，範圍從最高頻的超新星引力塌縮和毫秒脈衝星到最低頻的宇宙早期量子漲落，涵蓋種類繁多的天體系統。

近年來關於引力輻射理論的研究著重於使用不同的近似來研究二體問題，主要原因在於雙星系統是重要的重力波源，而且在相對論力學中二體問題並不像牛頓力學中的二體問題那麼容易解析，必須徹底了解二體系統的演化，才能夠從觀測數據中萃取所有可獲得的資訊。在相對論力學中，二體問題只能得到近似解，這是因為在處理輻射場以及處理非線性的愛因斯坦方程式方面碰到嚴峻瓶頸。最直接的辦法是後牛頓力學近似方法、數值模擬或微擾理論。

* 後牛頓力學近似方法是一種典型並且常用的解析方法，這種近似試圖模仿牛頓力學的形式來解決較弱引力場的相對論問題。具體做法是對微小的牛頓力學量加以展開，可供選擇展開的項為速度 $\left(v\right)$ 或者牛頓引力勢 $\left(M/R\right)$ ；其中， $M$ 是波源的質量， $R$ 是波源與探測器之間的距離。這實則是對相對論一種弱場低速的近似。這兩個量是相聯繫的，因為對自引力系統，甚至相對論性引力系統而言， $v^{2}\sim M/R\,$ 。

　
: 對於一般的雙星系統，最常見的解法是用後牛頓力學近似方法做出的解析近似，這方法可以在低階近似時給出牛頓力學描述，在高階近似時給出廣義相對論效應。後牛頓展開至最低 2.5 階才會出現引力輻射效應，即展開至 $\left(v/c\right)$ 的 2.5 冪次方項（展開至 2 階時系統動量 - 能量仍然守恆，無引力輻射），習慣記做 2.5PN。為了要預測雙星系統的物理行為，後牛頓方法必須至少展開到 3PN。研究 3PN 展開獲得重要結果主要有兩個團隊，一個是塞包特・達莫（Thibault Damour），皮歐特・傑拉諾斯基（Piotr Jaranowski）和葛哈德・薩法（Gerhard Schäfer）團隊，其採用廣義相對論的 ADM - 哈密頓量形式，另一個是范妮莎・德・安德雷德（Vanessa de Andrade）、路克・布蘭謝（Luc Blanchet）和紀堯姆・法耶（Guillaume Faye）團隊，其直接在諧振坐標下計算運動方程式。這兩種算法的結果在物理上被證明等價，為尋找來自雙星系統的重力波信號提供了可信的模板。當今，後牛頓展開近似的最高階數為 5.5PN，為大阪大學的佐佐木節（佐々木 節，羅馬字 Sasaki Misao）等人所得出。

* 原則而言，任意實際可能出來的相對論性系統都可以用電腦進行數值模擬，不論引力場有多麼強勁，不論速度有多麼快捷。數值模擬能夠被用來研究雙星演化的最終階段，這包括了它們的併合，以及任何後牛頓近似方法不適用之處。然而，儘管這方法能夠處理完全相對論性與非線性的廣義相對論問題，它仍舊被視為只是一種近似方法，因為時空並沒有被分解至無限精確度。數值模擬的準確度通常可以用收斂考驗來作判別，更詳細地說，使用不同的解析度來做數值模擬，所獲得的結果應該找不出任何意想不到的差別，否則可以判別這數值模擬不夠準確。
* 當應用微擾理論來解析雙星系統時，雙星系統的質量比率是微擾參數，第 0 階解答是較大質量星體的引力場，第 1 階解答是另外一個星體所貢獻的線性引力場修正，其可估算雙星系統的軌道運動與所發射出的引力輻射。微擾理論可以延伸至更高階，給出更精確的解答。特別是對於用來研究密緻星體或小型黑洞掉入超大質量黑洞時所發射出的引力輻射與其它信號，微擾理論是很理想的工具。

### 重力波探測器

重力波探測器的研究對象為第 1 條和第 4 條，主要研究重力波探測器的設計和遞建原理，雜訊分析以及探測器對重力波的響應。重力波探測器一般分為共振質量探測器與電磁波束探測器兩類。由於共振質量探測器的靈敏度欠佳，現在探測重力波主要是使用的是電磁波束探測器，其使用電磁波束來測量重力波所產生的效應，從而尋找重力波的蛛絲馬跡。電磁波束探測器有很多種系統，主要的地面鐳射干涉儀有 LIGO 與 VIRGO 等等，LISA 是正在籌劃與興建中的空間鐳射干涉儀，除了干涉儀以外，太空飛行器測距與脈衝星計時也是很好的方法。在這些電磁波束探測器中，物理學者認為，干涉儀的靈敏度最高，它們最有可能探測到重力波。干涉儀有兩個優點，第一是靈敏度可以大幅度改善，應該沒有甚麼基本因素給出限制，第二是它可以操作的頻帶很寬廣，不像韋伯棒只能探測共振頻率附近的重力波。

現今一般的鐳射干涉儀的基本構造是一個干涉測量系統，在探測器的設計中需要考慮如何正確測量到干涉信號，以及如何測量到有用的重力波信號。重力波探測器是否能夠達到探測各種重力波源的要求，探測器的靈敏度是決定因素。探測器的靈敏度應該相當於或優於可觀測的引力輻射，地面引力探測器的靈敏度通常為 h ≈ 10-21 至 10-22，但在實際應用中由於各種隨機雜訊的影響總是存在，這些雜訊是制約探測器靈敏度提升的主要原因。對於干涉儀而言，主要的燥聲源有震動噪聲、熱燥聲、散粒燥聲、量子燥聲、引力梯度燥聲。每一種重力波探測器都有其特定的頻域下的靈敏度曲線，靈敏度曲線是由特定頻域下的主導雜訊決定的，例如，地面引力探測器的頻帶大約為 40 Hz 至 1kHz。在低頻帶，主要限制是震動燥聲；在中間頻帶，限制改為熱燥聲；在高頻帶，必須克服散粒燥聲。通常情況下，雜訊的數量級遠超過探測器的靈敏度要求，因此需要找到所有可能造成影響的雜訊源，並儘可能將這些雜訊降低至靈敏度的要求，否則真正的重力波信號就會淹沒在雜訊的海洋中無法識別。

如何降噪是重力波探測器設計製造的關鍵環節之一，在實際應用中探測器有各種降噪手段，包括被廣泛採用的自動控制的方法，通過反饋信號將參數穩定在規定的目標範圍內。例如對鐳射干涉空間天線（LISA）而言，主要的雜訊源來自探測器本身的鐳射頻率雜訊，LISA 因此有其相應的鐳射頻率降噪技術，包括光學諧振腔相位調變的解調技術、時間延遲干涉測量術等。而重力波信號傳播到探測器時，由於受到地球自轉和公轉的都卜勒調製，頻率、振幅、相位等參數會發生改變；加上坐標變換、探測器本身對重力波存在特定的響應模式（即天線樣式，Antenna Pattern）等因素，探測器得到的重力波信號和其在 TT 規範下的形式會很不相同，這也是重力波探測器的研究內容之一。

### 數據分析

研究對象為第 3 條和第 4 條，通過對觀測結果進行數據分析，尋找到可能的重力波信號。

重力波探測器的探測結果是一個同時遍布雜訊和探測器對重力波信號響應的時間序列：

　
: $s(t)=F_{+}(t)h_{+}(t)+F_{\times }(t)h_{\times }(t)+n(t)$ ；

其中， $s(t)\,$ 是測量到的帶有噪聲的重力波信號， $F_{+}\,$ 和 $F_{\times }\,$ 分別是探測器對重力波兩種偏振態的響應模式（天線樣式）， $h_{+}\,$ 和 $h_{\times }\,$ 分別是重力波的兩種偏振態的分量， $n(t)\,$ 是隨機雜訊。

數據分析的基本出發點是通過傅立葉變換（例如應用快速傅立葉算法）將這個時間序列轉換到頻域。但由於隨機雜訊的存在，分析這些數據時需要考慮到其不確定性，這需要用到機率論。對於機率存在兩種詮釋：頻率機率和貝葉斯機率，重力波信號的數據分析一般也分為相應的方法，其中對應頻率機率的最常見的分析方法叫做模式匹配算法。在通信工程中，模式匹配算法是辨識信號的常用算法，它的基本思路是將信號模板（已知信號）和觀測結果（未知信號）進行互相關運算，然後從觀測結果中找到信號模板是否存在。對于波形能夠得到準確預知的重力波信號，這種算法理論上是可行的。

除此之外，某些場合還對數據結果有特殊要求，例如 LISA 在處理數據時需要對結果進行高精度的插值以消除計時誤差的影響，這種算法叫做分數延遲濾波。

## 參閱

* 重力波探測器
* 匹配濾波器

## 參考文獻

## 外部連結

* AstroGravS 關於重力波源的資料庫 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）
* 加州理工學院物理學教授西恩・卡羅關於廣義相對論的講義（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）
* 線上愛因斯坦關於重力波天文學的網頁 （英文）
* 鐳射干涉重力波天文台主頁 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） （英文）
* 鐳射干涉空間天線主頁 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） （英文）
* 重力波探測基本原理簡介 -- 電子書 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (多種語言)