量子幾何學

**迴圈量子重力論**（loop quantum gravity，LQG），又譯**環圈量子重力論**，英文別名**迴圈重力**（loop gravity）、**量子幾何學**（quantum geometry）；由阿貝・阿希提卡、李・斯莫林、卡洛・羅威利等人發展出來的量子引力理論，與弦理論同是當今將重力量子化最成功的理論。

利用量子場論的微擾理論來實現引力論的量子化的理論是不能被重整化的。如果主張時空只有四維而從廣義相對論下手，結果可以把廣義相對論轉變成類似規範場論的理論，基本正則變量為阿希提卡 - 巴貝羅聯絡而非度規張量，再以聯絡定義的平移算子（holonomy）以及通量變數為基本變量來實現量子化。

在此理論下，時空描述是呈背景獨立，由關係性迴圈織出的自旋網路鋪成時空幾何。網絡中每條邊的長度為普朗克長度。迴圈並不存在於時空中，而是以迴圈扭結的方式定義時空幾何。在普朗克尺度下，時空幾何充滿隨機的量子漲落，因此自旋網絡又稱為自旋泡沫。在此理論下，時空是離散的。

## 迴圈量子引力通論與目標

多數弦論學家相信無法在 3+1 維時空中，將引力量子化而不產生物質與能量有關的人工產物。然而弦論所預測的物質有關的人工產物也未被證明是否真的與實際觀測到的物質不相同。不過若迴圈量子引力成功地成為引力的量子理論，則已知的物質場必須「事後」再加到此一理論中，而不是從理論中自然而然地出現。迴圈量子引力論的創始者之一李・斯莫林已思索過弦論與迴圈量子引力兩者可能分別是一個終極理論兩相不同的近似這樣的可能性。

目前迴圈量子引力聲稱具有的成功之處有：

1. 其為 3 維空間幾何的非微擾量子化，具有量子化的面積與體積算符。
2. 其包含了對於黑洞熵的計算。
3. 其為弦論以外另一可行的理論，但僅只涉及引力的量子化（即非萬有理論）。

然而，這樣的聲稱尚未被完全接受。雖然許多迴圈量子引力的核心成果都是來自於嚴謹的數學物理，不過它們的物理詮釋仍多為推敲性質。迴圈量子引力是有可能成為引力或者是幾何的改進方案；舉例來說，(2) 中的熵計算事實上是針對一種形式的「洞」來做的，這個洞可能是，也可能不是黑洞。

量子引力的其他方案，比如自旋泡沫模型，與迴圈量子引力密切相關。

## 迴圈量子引力的假設

迴圈量子引力的兩個最重要的假設為

1. 廣義協變 - 物理學的定律可以用任何的坐標系來表示，這也是廣義相對論的基本假設。
2. 背景獨立 - 不存在可以作為背景的獨立不變的度規，坐標系等。

迴圈量子引力也假設量子論的基本原理是正確的。舉例廣義協變的理論有廣義相對論，非廣義協變的理論有狹義相對論（狹義協變），非背景獨立的理論有牛頓力學（假設存在一條獨立不變的時間軸），狹義相對論（其背景為閔考斯基空間，背景度規為閔考斯基度規），在背景電磁場中運動的電子的方程式等，背景獨立的理論有廣義相對論，度規張量的值完全由理論決定。

## 迴圈量子引力的基本內容

迴圈量子引力可以從廣義相對論的 ADM 表示法推導。ADM 表示法的正則變數為三維空間的度規張量 $q_{ab}$ 以及其正則動量 $P^{ab}$ 。使用狄拉克約束處理方法可得 ADM 表示法有兩個第一類約束：

1. 微分同胚約束: $-2q^{-{\frac {1}{2}}}\;^{3}\nabla _{a}P_{\ b}^{a}=0$
2. 哈密頓約束: $-^{3}R+q^{-1}(P^{ab}P_{ab}-{\frac {1}{2}}P^{2})=0$

### 阿希提卡 - 巴貝羅聯絡

此時用卡當的幾何法，用三足（triad）一次型來表示度規張量，

$$
e_{a}^{i}e_{b}^{j}\delta _{ij}=q_{ab}
$$

假設與三足相容的聯絡為 $\Gamma _{a}^{i}$ (稱為自旋聯絡), 三維空間的外部曲率張量為 $K_{a}^{i}$ , $\gamma $ 為任何實數，定義一個新的聯絡

$$
A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\gamma K_{a}^{i}
$$

即阿希提卡 - 巴貝羅聯絡。其正則動量為 $E_{i}^{a}=det(e)e_{i}^{a}$ 。使用狄拉克約束處理方法可得三個第一類約束:

1. 高斯約束: $D_{a}E_{i}^{a}=0$
2. 微分同胚約束: $F_{ab}^{i}E_{i}^{a}=0$
3. 哈密頓約束: ${\frac {1}{\sqrt {|det(E)|}}}F_{ab}^{i}E_{j}^{a}E_{k}^{b}\epsilon _{ijk}+...=0$

 $D_{a}$ 為阿希提卡 - 巴貝羅聯絡定義的協變微商， $F_{ab}^{i}$ 為阿希提卡 - 巴貝羅聯絡定義的曲率張量。由於有高斯約束的關係，所以迴圈量子引力是一種類似規範場論的理論.

## 相關條目

* 非交換幾何
* C\*- 代數
* 雙重狹義相對論

## 參考文獻

### 書目

* Rodolfo Gambini and Jorge Pullin, _Loop Quantum Gravity for Everyone_, World Scientific, 2020.
* Carlo Rovelli, "Reality is not what it seems", Penguin, 2016.
* Martin Bojowald, _Once Before Time: A Whole Story of the Universe_ 2010.
* Carlo Rovelli, _What is Time? What is space?_, Di Renzo Editore, Roma, 2006.
* Lee Smolin, _Three Roads to Quantum Gravity_, 2001

### 論文

* （英文）迴圈量子引力論中的引力子傳遞子 (_Graviton propagator in loop quantum gravity_) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）-- We compute some components of the graviton propagator in loop quantum gravity, using the spinfoam formalism, up to some second order terms in the expansion parameter.
* （英文）量子引力與標準模型 (_Quantum Gravity and the Standard Model_) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）-- Shows that a class of background independent models of quantum spacetime have local excitations that can be mapped to the first generation fermions of the standard model of particle physics.

## 外部連結

* "Loop Quantum Gravity" by Carlo Rovelli （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Physics World, November 2003
* Quantum Foam and Loop Quantum Gravity （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Abhay Ashtekar: Semi-Popular Articles . Some excellent popular articles suitable for beginners about space, time, GR, and LQG. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Loop Quantum Gravity: Lee Smolin. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Loop Quantum Gravity on arxiv.org （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* A list of LQG references catered to fresh graduates
* Loop Quantum Gravity Lectures Online by Lee Smolin
* Spin networks, spin foams and loop quantum gravity （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Wired magazine, News: _Moving Beyond String Theory （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_
* April 2006 Scientific American Special Issue, _A Matter of Time_, has Lee Smolin LQG Article _Atoms of Space and Time_
* September 2006, The Economist, article _Looping the loop （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_
* Gamma-ray Large Area Space Telescope: http://glast.gsfc.nasa.gov/ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Zeno meets modern science.（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Article from Acta Physica Polonica B （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Z.K. Silagadze.
* Did pre-big bang universe leave its mark on the sky? - According to a model based on "loop quantum gravity" theory, a parent universe that existed before ours may have left an imprint (_New Scientist_, 10 April 2008)