铁木辛柯梁理论

**鐵木辛柯梁**是 20 世紀早期由美籍俄裔科學家與工程師史蒂芬・鐵木辛柯提出並發展的力學模型。模型考慮了剪應力和轉動慣性，使其適於描述短梁、層合梁以及波長接近厚度的高頻激勵時梁的表現。結果方程有 4 階，但不同於一般的梁理論，如歐拉 - 伯努利梁理論，還有一個 2 階空間導數呈現。實際上，考慮了附加的變形機理有效地降低了梁的剛度，結果在一穩態載荷下撓度更大，在一組給定的邊界條件時預估固有頻率更低。後者在高頻即波長更短時效果更明顯，反向剪力距離縮短時也有同樣效果。

如果梁材料的剪切模量接近無窮，即此時梁為剪切剛體，並且忽略轉動慣性，則鐵木辛柯梁理論趨同於一般梁理論。

## 控制方程

### 准靜態鐵木辛柯梁

在靜力學中鐵木辛柯梁理論沒有軸向影響，假定梁的位移服從於

　
: $u_{x}(x,y,z)=-z~\varphi (x)~;~~u_{y}(x,y,z)=0~;~~u_{z}(x,y)=w(x)$

式中 $(x,y,z)$ 是梁上一點的坐標， $u_{x},u_{y},u_{z}$ 是位移矢量的三維坐標分量， $\varphi $ 是對於梁的中性面的法向轉角， $w$ 是中性面的在 $z$ 方向的位移。

控制方程是以下常微分方程的解耦系統：

　
: ${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right)=q(x,t)\\&{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}=\varphi -{\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right).\end{aligned}}$

靜態條件下的鐵木辛柯梁理論，若在以下條件成立時，等同於歐拉 - 伯努利梁理論

　
: ${\frac {EI}{\kappa L^{2}AG}}\ll 1$

此時，可忽略上面控制方程的最後一項，得到有效的近似，式中 $L$ 是梁的長度。

對於等截面均勻梁，合併以上兩個方程，

　
: $EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}$

### 動態鐵木辛柯梁

在鐵木辛柯梁理論中若不考慮軸向影響，則給出梁的位移

　
: $u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)$

式中 $(x,y,z)$ 是梁內一點的坐標， $u_{x},u_{y},u_{z}$ 是位移矢量的三維坐標分量， $\varphi $ 是對於梁的中性面的法向轉角， $w$ 是中性面 $z$ 方向的位移.

從以上假設，鐵木辛柯梁，考慮到振動，要用線性耦合偏微分方程描述：

　
: $\rho A{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-q(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]$

　
: $\rho I{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)$

其中因變量是梁的平移位移 $w(x,t)$ 和轉角位移 $\varphi (x,t)$ 。注意不同於歐拉 - 伯努利梁理論，轉角位移是另一個變量而非撓度斜率的近似。此外，

 * $\rho $ 是梁材料的密度（而非線密度）；
* $A$ 是截面面積；
* $E$ 是彈性模量；
* $G$ 是剪切模量；
* $I$ 是軸慣性矩；
* $\kappa $ ，稱作鐵木辛柯剪切係數，由形狀確定，通常矩形截面 $\kappa =5/6$ ；
* $q(x,t)$ 是載荷分布（單位長度上的力）；
* $m:=\rho A$
* $J:=\rho I$

這些參數不一定是常數。

對於各向同性的線彈性均勻等截面梁，以上兩個方程可合併成

　
: $EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {EIm}{kAG}}\right){\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{kAG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q(x,t)+{\cfrac {J}{kAG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}$

#### 軸向影響

如果梁的位移由下式給出

　
: $u_{x}(x,y,z,t)=u_{0}(x,t)-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z)=w(x,t)$

其中 $u_{0}$ 是 $x$ 方向的附加位移，則鐵木辛柯梁的控制方程成為

　
: ${\begin{aligned}m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)\\J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=N(x,t)~{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\end{aligned}}$

其中 $J=\rho I$ ， $N(x,t)$ 是外加軸向力。任意外部軸向力的平衡依靠應力

　
: $N_{xx}(x,t)=\int _{-h}^{h}\sigma _{xx}~dz$

式中 $\sigma _{xx}$ 是軸向應力，梁的厚度設為 $2h$ 。

包含軸向力的梁方程合併為

　
: $EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}$

#### 阻尼

如果，除軸向力外，我們考慮與速度成正比的阻尼力，形如

　
: $\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}$

鐵木辛柯梁的耦合控制方程成為

　
: $m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)$

　
: $J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=N{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)$

合併方程為

　
: ${\begin{aligned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}&+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {J\eta (x)}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{3}w}{\partial t^{3}}}\\&-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}\right)+\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}$

## 切變係數

確定切變係數不是直接的，一般它必須滿足：

　
: $\int _{A}\tau dA=\kappa AG\varphi \,$

切變係數由泊松比確定。更嚴格的表達方法由多位科學家完成，包括史蒂芬・鐵木辛柯、雷蒙德・明德林（Raymond D. Mindlin）、考珀（G. R. Cowper）和約翰・哈欽森（John W. Hutchinson）等。工程實踐中，史蒂芬・鐵木辛柯的表達一般狀況下足夠好。

對於固態矩形截面：

　
: $\kappa ={\cfrac {10(1+\nu )}{12+11\nu }}$

對於固態圓形截面：

　
: $\kappa ={\cfrac {6(1+\nu )}{7+6\nu }}$

## 參考文獻

* Stephen P. Timoshenko. Schwingungsprobleme der technik. Verlag von Julius Springer. 1932.