量子疊加

在量子力學裏，**態疊加原理**（superposition principle）表明，假若一個量子系統的量子態可以是幾種不同量子態中的任意一種，則它們的歸一化線性組合也可以是其量子態。稱這線性組合為「疊加態」。假設組成疊加態的幾種量子態相互正交，則這量子系統處於其中任意量子態的機率是對應權值的絕對值平方。

從數學表述，態疊加原理是薛丁格方程式的解所具有的性質。由於薛丁格方程式是個線性方程式，任意幾個解的線性組合也是解。這些形成線性組合（稱為「疊加態」）的解時常會被設定為相互正交（稱為「基底態」），例如氫原子的電子能級態；換句話說，這幾個基底態彼此之間不會出現重疊。這樣，對於疊加態測量任意可觀察量所得到的期望值，是對於每一個基底態測量同樣可觀察量所得到的期望值，乘以疊加態處於對應基底態的機率之後，所有乘積的總和。

更具體地說明，假設對於某量子系統測量可觀察量 $A$ ，而可觀察量 $A$ 的本徵態 $|a_{1}\rangle $ 、 $|a_{2}\rangle $ 分別擁有本徵值 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ ，則根據薛丁格方程式的線性關係，疊加態 $|\psi \rangle =c_{1}|a_{1}\rangle +c_{2}|a_{2}\rangle $ 也可以是這量子系統的量子態；其中， $c_{1}$ 、 $c_{2}$ 分別為疊加態處於本徵態 $|a_{1}\rangle $ 、 $|a_{2}\rangle $ 的機率幅。假設對這疊加態系統測量可觀察量 $A$ ，則測量獲得數值是 $a_{1}$ 或 $a_{2}$ 的機率分別為 $|c_{1}|^{2}$ 、 $|c_{2}|^{2}$ ，期望值為 $\langle \psi |A|\psi \rangle =|c_{1}|^{2}a_{1}+|c_{2}|^{2}a_{2}$ 。

舉一個可直接觀察到量子疊加的實例，在雙縫實驗裏，可以觀察到通過兩條狹縫的光子相互干涉，造成了顯示於偵測屏障的明亮條紋和黑暗條紋，這就是雙縫實驗著名的干涉圖樣。

再舉一個案例，在量子運算裏，量子位元是的兩個基底態 $|0\rangle $ 與 $|1\rangle $ 的線性疊加。這兩個基底態 $|0\rangle $ 、 $|1\rangle $ 的本徵值分別為 $0$ 、 $1$ 。

## 理論

在數學裏，疊加原理表明，線性方程式的任意幾個解所組成的線性組合也是這方程式的解。由於薛丁格方程式是線性方程式，疊加原理也適用於量子力學，在量子力學裏稱為態疊加原理。假設某量子系統的量子態可以是 $|f_{1}\rangle $ 或 $|f_{2}\rangle $ ，這些量子態都滿足描述這量子系統物理行為的薛丁格方程式。則這量子系的量子態也可以是它們的線性組合 $|f\rangle =c_{1}|f_{1}\rangle +c_{2}|f_{2}\rangle $ ，也滿足同樣的薛丁格方程式；其中， $c_{1}$ 、 $c_{2}$ 是複值係數，為了歸一化 $|f\rangle $ ，必須讓 $|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1$ 。

假設 $\theta $ 為實數，則雖然 $e^{i\theta }|f_{2}\rangle $ 與 $|f_{2}\rangle $ 標記同樣的量子態，他們並無法相互替換。例如， $|f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle $ 、 $|f_{1}\rangle +e^{i\theta }|f_{2}\rangle $ 分別標記兩種不同的量子態。但是， $|f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle $ 和 $e^{i\theta }(|f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle )$ 都標記同一個量子態。因此可以這樣說，整體的相位因子並不具有物理意義，但相對的相位因子具有重要的物理意義。這種相位因子固定不變的量子疊加稱為「相干量子疊加」。

### 電子自旋範例

設想自旋為 $1/2$ 的電子，它擁有兩種相互正交的自旋本徵態，上旋態 $|\uparrow \rangle $ 與下旋態 $|\downarrow \rangle $ ，它們的量子疊加可以用來表示量子位元：

　
: $|\psi \rangle =c_{\uparrow }|\uparrow \rangle +c_{\downarrow }|\downarrow \rangle $ ；

其中， $c_{\uparrow }$ 、 $c_{\downarrow }$ 分別是複值係數，為了歸一化 $|\psi \rangle $ ，必須讓 $|c_{\uparrow }|^{2}+|c_{\downarrow }|^{2}=1$ 。

這是最一般的量子態。係數 $c_{\uparrow }$ 、 $c_{\downarrow }$ 分別給定電子處於上旋態或下旋態的機率：

　
: $p_{\uparrow }=|c_{\uparrow }|^{2}$ 、

　
: $p_{\downarrow }=|c_{\downarrow }|^{2}$ 。

總機率應該等於 1： $p=p_{\uparrow }+p_{\downarrow }=|c_{\uparrow }|^{2}+|c_{\downarrow }|^{2}=1$ 。

這電子也可能處於這兩個量子態的疊加態：

　
: $|\psi \rangle ={3i \over 5}|\uparrow \rangle +{4 \over 5}|\downarrow \rangle $ 。

電子處於上旋態或下旋態的機率分別為

　
: $p_{\uparrow }=\left|\;{\frac {3i}{5}}\;\right|^{2}={\frac {9}{25}}$ 、

　
: $p_{\downarrow }=\left|\;{\frac {4}{5}}\;\right|^{2}={\frac {16}{25}}$ 。

再次注意到總機率應該等於 1：

　
: $p={\frac {9}{25}}+{\frac {16}{25}}=1$ 。

### 非相對論性自由粒子案例

描述一個非相對論性自由粒子的含時薛丁格方程式為

　
: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$ ；

其中， $\hbar $ 是約化普朗克常數， $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ 是粒子的波函數， $\mathbf {r} $ 是粒子的位置， $t$ 是時間。

這薛丁格方程式有一個平面波解：

　
: $\Psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$ ；

其中， $\mathbf {k} $ 是波向量， $\omega $ 是角頻率。

代入薛丁格方程式，這兩個變數必須遵守關係式

　
: ${\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega $ 。

由於粒子存在的機率等於 1，波函數 $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ 必須歸一化，才能夠表達出正確的物理意義。對於一般的自由粒子而言，這不是問題。因為，自由粒子的波函數，在位置或動量方面，都是局部性的。在量子力學裏，一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數可以表示為很多平面波的量子疊加：

　
: $\Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {K} }A(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\mathrm {d} \mathbf {k} $ ；

其中，積分區域 $\mathbb {K} $ 是 $\mathbf {k} $ - 空間。

為了方便計算，只思考一維空間，

　
: $\Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\ \mathrm {d} k$ ；

其中，振幅 $A(k)$ 是量子疊加的係數函數。

逆反過來，係數函數表示為

　
: $A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }\Psi (x,0)~e^{-ikx}\,\mathrm {d} x$ ；

其中， $\Psi (x,0)$ 是在時間 $t=0$ 的波函數。

所以，知道在時間 $t=0$ 的波函數 $\Psi (x,0)$ ，通過傅立葉變換，可以推導出在任何時間的波函數 $\Psi (x,t)$ 。

## 參見

* 疊加原理
* 波函數
* Delta 位勢阱
* Delta 位勢壘

## 參考文獻