鏈復形

數學上，同調代數領域中的一個**鏈複形** $(A_{\bullet },d_{\bullet })$ 是一個交換群或者模的序列 _A_0, _A_1, _A_2... 通過一系列同態 _d_n : _A_n→_A_n-1 相連，使得每兩個連接的映射的複合為零：_d_n o _d_n+1 = 0 對於所有 _n_。它們常常寫作如下形式：

　
: : $\ldots \longrightarrow A_{n+1}{\begin{matrix}d_{n+1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n}{\begin{matrix}d_{n}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n-1}{\begin{matrix}d_{n-1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n-2}\longrightarrow \ldots \longrightarrow A_{2}{\begin{matrix}d_{2}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{1}{\begin{matrix}d_{1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{0}{\begin{matrix}d_{0}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}0.$

定義鏈複形的**同調群**為 $H_{n}(A_{\bullet }):=\mathrm {Ker} (d_{n})/\mathrm {Im} (d_{n+1})$ 。當所有同調群為零時，此鏈複形為正合的。

鏈複形概念的一個變種是_上鏈複形_。一個**上鏈複形** $(A^{\bullet },d^{\bullet })$ 是一個交換群或者模的序列 _A_0, _A_1, _A_2... 由一系列同態 _d_n : _A_n→_A_n+1 相連，使得任何兩個接連的映射的複合為零：_d_n+1 o _d_n = 0 對於所有的 _n_: 

　
: : $0\longrightarrow A_{0}{\begin{matrix}d_{0}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{1}{\begin{matrix}d_{1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{2}\longrightarrow \ldots \longrightarrow A_{n-1}{\begin{matrix}d_{n-1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n}{\begin{matrix}d_{n}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n+1}\longrightarrow \ldots .$

定義上鏈複形的**上同調群**為 $H^{n}(A^{\bullet }):=\mathrm {Ker} (d^{n})/\mathrm {Im} (d^{n-1})$ 。當所有上同調群為零時，此上鏈複形正合。想法基本上是一樣的。

鏈複形的應用通常定義並應用它們的同調群（對於上鏈複形是上同調群）；在更抽象的範圍里，很多等價關係被應用到複形上（例如從鏈同倫的思想開始，以下將解說）。鏈複形很容易在交換範疇中定義。

一個**有界複形**是其中，幾乎所有的 _A_i 為零 — 這樣一個有限的複形，用 0 來伸展到左邊和右邊。一個例子是定義一個（有限）單純複形的同調理論的複形。

## 例子

### 奇異同調

假定我們給定一個拓撲空間 _X_。

定義 _C_n(_X_)（對於自然數 _n_）為自由交換群由 _X_ 中的奇異單純形形式化的生成，並定義邊界映射

　
: : $\partial _{n}:C_{n}(X)\to C_{n-1}(X):\,(\sigma :[v_{0},\ldots ,v_{n}]\to X)\mapsto (\partial _{n}\sigma =\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma |[v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}]),$

其中帽子表示省略一個頂點。也就是說，一個奇異單純形的邊界是限制到其面的交替和。可以證明∂² = 0，所以 $(C_{\bullet },\partial _{\bullet })$ 是一個鏈複形；_奇異同調_ $H_{\bullet }(X)$ 是該複形的同調類；也就是說，

　
: : $H_{n}(X)=\ker \partial _{n}/{\mbox{im }}\partial _{n+1}$ .

### 德拉姆上同調

任何光滑流形上的微分 _k_- 形式在加法下組成一個交換群（事實上一個 **R**- 向量空間）稱為 Ωk(_M_)。
外導數 _d_ = _d_ _k_ 映射 Ωk(_M_) → Ωk+1(_M_)，而且 _d_ 2 = 0 可以直接從二階導數的對稱性導出，所以 _k_- 形式的向量空間和外導數一起成為一個上鏈複形：

　
: : $\Omega ^{0}(M)\to \Omega ^{1}(M)\to \Omega ^{2}(M)\to \Omega ^{3}(M)\to \ldots .$

該複形的上同調是_德拉姆上同調_

　
: : $H_{\mathrm {DR} }^{k}(M)=\ker d_{k+1}/{\mbox{im }}d_{k}$ .

## 鏈映射

兩個鏈複形 $(A_{\bullet },d_{A,\bullet })$ 、 $(B_{\bullet },d_{B,\bullet })$ 之間的**鏈映射**是一族同態 $f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}$ ，使之滿足： $f_{n}\circ d_{A,n}=d_{B,n}\circ f_{n+1}$ ；全體鏈複形依此構成一範疇。鏈映射誘導出同調群間的映射。

上鏈複形的情形類似：兩個上鏈複形 $(X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })$ 、 $(Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })$ 之間的**上鏈映射**是一族同態 $f^{n}:X^{n}\rightarrow Y^{n}$ ，使之滿足： $f^{n+1}\circ d_{X}^{n}=d_{Y}^{n}\circ f^{n}$ 。上鏈映射也誘導出上同調群間的映射。

舉例來說，拓撲空間之間的連續映射誘導出奇異上同調的鏈映射；而光滑流形間的光滑映射則誘導出德拉姆上同調的上鏈映射。這是**函子性**或稱**自然性**的一個例子：空間與映射的拓撲 / 幾何性質藉此反映在代數結構上，因而變得容易操作與計算。

## 鏈同倫

兩個鏈映射 $f_{n},g_{n}:A_{\bullet }\rightarrow B_{\bullet }$ 稱作是同倫的，若且唯若存在一族同態 $D_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n+1}$ 使得 $f_{n}-g_{n}=d_{n+1}\circ D_{n}+D_{n-1}\circ d_{n}$ 。

上鏈映射的同倫定義也類似，惟此時考慮的是一族同態 $D^{n}:X^{n}\rightarrow Y^{n+1}$ 。以下給出上鏈同倫的圖解：

（上）鏈同倫的鏈映射在（上）同調群上誘導出相同的映射。特別是：同倫於恆等映射 id. 的（上）鏈映射是擬同構。

鏈映射的同倫可理解作單純形同倫的代數翻譯。

### 參看

* 同調
* 微分分級代數