重力内波

**內波**是在流體介質內而不是在其表面上振盪的重力波。為了存在，流體必須分層：由於例如溫度和 / 或鹽度的變化，密度必須隨深度 / 高度而變化（連續或不連續）。如果密度在很小的垂直距離內發生變化（如湖泊和海洋中的溫躍層或大氣逆溫），波像表面波一樣水平傳播，但速度較慢，由流體的密度差決定界面下方和上方。如果密度連續變化，波可以垂直傳播，也可以水平傳播通過流體。

內波，一般也稱為重力內波，根據流體分層、產生機制、幅度和外力的影響而有許多其他名稱。如果沿密度隨高度迅速降低的界面水平傳播，則它們被特別稱為界面（內部）波。如果界面波振幅很大，則稱為內部孤立波或內部孤立子。如果在大氣中垂直移動，空氣密度的顯著變化會影響它們的動力學，內波就被稱為非彈性（內部）波。如果是由流過地形產生的，內波就被稱為背風波或山波。如果山浪衝破高空，內波會在地面產生強烈的暖風，稱為奇努克風（在北美）或焚風（在歐洲）。如果通過海底脊或大陸架上的潮汐流在海洋中產生，內波就被稱為內部潮汐。如果它們與地球的旋轉頻率相比演化緩慢，以至於它們的動力學受到科里奧利效應的影響，內波就被稱為慣性重力波，或者簡單地說，慣性波。內波通常有別於羅斯貝波，後者受科里奧利頻率隨緯度變化的影響。

## 內波的可視化

通過緩慢地前後傾斜一瓶沙拉醬，可以很容易地在廚房中觀察到內波 - 波存在於油和醋之間的界面處。

大氣內波可以通過波雲來可視化：在波峰處，空氣在相對較低的壓力下上升和冷卻，如果相對濕度接近 100%，則會導致水蒸氣凝結。由於流過山丘而顯示內部波的雲被稱為透鏡狀雲，因為它們的外觀類似透鏡。不太引人注目的是，一列內波可以通過被描述為人字形天空或鯖魚形天空的波紋雲圖案來可視化。雷暴的冷空氣外流可以在大氣逆溫時發射大振幅的內部孤立波。在澳大利亞北部，這些會產生牽牛花雲，一些冒失鬼用它來滑行，就像衝浪者乘著海浪一樣。澳大利亞和其他地方的衛星顯示，這些波浪可以跨越數百公里。

海洋溫躍層的起伏可以通過衛星觀察到，因為波浪會增加水平流匯聚處的表面粗糙度，這會增加陽光的散射（如本頁頂部的圖像所示，潮汐流通過海洋時產生的波浪，拍攝於直布羅陀海峽上空）。

## 浮力，降低重力和浮力頻率

根據阿基米德原理，浸沒物體的重量會減少它所排開的流體的重量。這適用於密度的流體包裹 $\rho $ 被高密度的環境流體包圍 $\rho _{0}$ . 它每單位體積的重量是 $g(\rho -\rho _{0})$ , 其中 $g$ 是重力加速度。除以特徵密度， $\rho _{00}$ , 給出了減少重力的定義：

　
: $g^{\prime }\equiv g{\frac {\rho -\rho _{0}}{\rho _{00}}}$

如果 $\rho >\rho _{0}$ , $g^{\prime }$ 是正數，但通常遠小於 $g$ . 因為水的密度比空氣大得多，所以表面重力波對水的置換幾乎可以感受到全部的重力（ $g^{\prime }\sim g$ ）。將較暖的表面與較冷的深水分開的湖溫躍層的位移，感受到通過降低的重力表達的浮力。例如，冰水和常溫水的密度差是水的特徵密度的 0.002。所以減少的重力是重力的 0.2%。正是由於這個原因，內波相對於表面波以慢速運動。

雖然降低的重力是描述界面內波浮力的關鍵變量，但使用不同的量來描述密度隨高度變化的連續分層流體中的浮力： $\rho _{0}(z)$ . 假設一個水柱處於流體靜力平衡狀態和一小塊有密度的流體 $\rho _{0}(z_{0})$ 垂直位移一小段距離 $\Delta z$ 。浮力恢復力導致垂直加速度，由 給出

　
: ${\frac {d^{2}\Delta z}{dt^{2}}}=-g^{\prime }=-g(\rho _{0}(z_{0})-\rho _{0}(z_{0}+\Delta z))/\rho _{0}(z_{0})\simeq -g\left(-{\frac {d\rho _{0}}{dz}}\Delta z\right)/\rho _{0}(z_{0})$

這是彈簧方程，其解預測振盪垂直位移約 $z_{0}$ 與浮力頻率給出的頻率有關的時間：

　
: $N=\left(-{\frac {g}{\rho _{0}}}{\frac {d\rho _{0}}{dz}}\right)^{1/2}.$

上述論點可以推廣到預測頻率， $\omega $ , 沿線以一定角度擺動的流體包裹 $\Theta $ 垂直：

　
: $\omega =N\cos \Theta $ .

這是為恆定相位線呈一定角度的內波編寫色散關係的一種方法 $\Theta $ 到垂直。特別是，這表明浮力頻率是允許的內波頻率的上限。

## 內波的數學建模

內波理論在界面波和垂直傳播內波的描述上有所不同。這些在下面分別處理。

### 界面波

在最簡單的情況下，考慮一種兩層流體，其中有一塊密度均勻的流體 $\rho _{1}$ 覆蓋在一塊密度均勻的流體上 $\rho _{2}$ . 任意取兩層之間的界面位於 $z=0.$ 假定上層和下層的流體是無旋的。所以每一層的速度由速度勢的梯度給出， ${{\vec {u}}=\nabla \phi ,}$ 勢本身滿足拉普拉斯方程：

　
: $\nabla ^{2}\phi =0.$

假設域是無界且二維的（在 $x-z$ 平面），並假設波是周期性的 $x$ 帶波數 $k>0,$ 每一層的方程都簡化為一個二階常微分方程 $z$ . 堅持有界解，每一層的速度勢為

　
: $\phi _{1}(x,z,t)=Ae^{-kz}\cos(kx-\omega t)$

以及

　
: $\phi _{2}(x,z,t)=Ae^{kz}\cos(kx-\omega t),$

和 $A$ 波的幅度和 $\omega $ 它的角頻率。在推導這種結構時，在需要質量和壓力連續性的界面處使用了匹配條件。這些條件也給出了色散關係： 

　
: $\omega ^{2}=g^{\prime }k$

其中減少的重力 $g^{\prime }$ 是基於上下層的密度差：

　
: $g^{\prime }={\frac {\rho _{2}-\rho _{1}}{\rho _{2}+\rho _{1}}}\,g,$

其中 $g$ 為地球引力。注意色散關係與深水表面波的色散關係相同，通過設置 $g^{\prime }=g.$

### 均勻分層流體中的內波

假設流體不可壓縮且背景密度變化很小（ Boussinesq 近似），通過求解線性化的質量、動量和內能方程，可以得到均勻分層流體中內波的結構和色散關係。假設波在 xz 平面中是二維的，則相應的方程為

　
: $\partial _{x}u+\partial _{z}w=0$

　
: $\rho _{00}\partial _{t}u=-\partial _{x}p$

　
: $\rho _{00}\partial _{t}w=-\partial _{z}p-\rho g$

　
: $\partial _{t}\rho =-wd\rho _{0}/dz$

其中 $\rho $ 是擾動密度， $p$ 是壓力，並且 $(u,w)$ 是速度。環境密度隨高度線性變化，由下式給出 $\rho _{0}(z)$ 和 $\rho _{00}$ ，一個常數，是特徵環境密度。

求解形式為波的四個未知數中的四個方程 $\exp[i(kx+mz-\omega t)]$ 給出色散關係

　
: $\omega ^{2}=N^{2}{\frac {k^{2}}{k^{2}+m^{2}}}=N^{2}\cos ^{2}\Theta $

其中 $N$ 是浮力頻率和 $\Theta =\tan ^{-1}(m/k)$ 是波數矢量與水平面的夾角，也是恆定相位線與垂直方向的夾角。

從色散關係中得到的相速度和群速度預測了它們是垂直的並且相速度和群速度的垂直分量具有相反符號的異常性質：如果波包向上向右移動，波峰向下向右移動。

## 海洋中的內波

大多數人認為波浪是一種表面現象，它作用於水（如湖泊或海洋）和空氣之間。在海洋中低密度水覆蓋高密度水的地方，內波沿邊界傳播。它們在世界海洋的大陸架區域尤其常見，在大河流出口處鹹水覆蓋鹹水的地方。除了可以在波谷上形成的光滑帶外，通常幾乎沒有波浪的表面表現。

內波是一種叫做**死水**的奇怪現象的來源，1893 年挪威海洋學家弗里德喬夫・南森首次報導了這種現象，在這種現象中，一艘船在表面平靜的情況下可能會遇到向前運動的強大阻力。當船在一層相對較淡水的水域航行時，就會發生這種情況，該水域的深度與船的吃水相當。這會引起內波的尾流，從而耗散大量能量。 

## 內波的性質

內波通常比表面重力波具有更低的頻率和更高的振幅，因為流體內的密度差異（以及因此的恢復力）通常要小得多。波長從厘米到千米不等，周期分別為幾秒到幾小時。

大氣和海洋不斷分層：勢密度一般會穩步向下增加。連續分層介質中的內波可以垂直傳播也可以水平傳播。這種波的色散關係很奇怪：對於自由傳播的內部波包，能量的傳播方向（群速度）垂直于波峰和波谷的傳播方向（相速度）。由於不同的分層或風，內波也可能被限制在高度或深度的有限區域內。在這裡，波被認為是被_引導_的或被_捕獲_的，並且可能形成垂直駐波，其中群速度的垂直分量接近於零。導管內波_模式_可以水平傳播，具有平行的群和相速度矢量，類似於波導內的傳播。

在大尺度上，內波既受地球自轉的影響，也受介質分層的影響。這些地球物理波動的頻率從科里奧利頻率的下限（慣性流）到 Brunt-Väisälä 頻率或浮力頻率（浮力振盪）不等。在 Brunt-Väisälä 頻率以上，可能會出現漸逝的內部波動，例如由部分反射引起的波動。潮汐頻率的內波是由地形 / 測深上的潮汐流產生的，被稱為內潮汐。類似地，大氣潮汐產生於例如與晝夜運動相關的非均勻太陽加熱。

## 浮游幼蟲的上岸

跨陸架運輸，即沿海和近海環境之間的水交換，因其在將海洋浮游幼蟲從共享的近海幼蟲池中運送到通常不同的成年種群中的作用而受到特別關注。 已經提出了幾種通過內波對浮游幼蟲進行跨架的機制。每種事件的發生率取決於多種因素，包括底部地形、水體分層和潮汐影響。

### 內部潮汐洞

與表面波類似，內波在接近海岸時會發生變化。隨著波浪振幅與水深的比率變得如此，波浪「感覺底部」，波浪底部的水由於與海底的摩擦而減速。這導致波浪變得不對稱並且波浪面變陡，最終波浪將破裂，作為內孔向前傳播。 當潮汐經過陸架斷裂時，通常會形成內波。 這些波浪中最大的一個是在大潮期間產生的，而那些足夠大的波浪會破裂並作為鑽孔穿過大陸架。 這些鑽孔的證據是溫度和鹽度隨深度的快速、階梯狀變化、底部附近突然出現的上坡流以及跟隨鑽孔前沿的高頻內波包。 

與內部鑽孔相關的涼爽的、以前的深水進入溫暖的、較淺的水域，這與浮游植物和浮遊動物濃度的急劇增加以及浮游物種豐度的變化相對應。 此外，雖然地表水和深層水的初級生產力往往相對較低，但溫躍層通常與葉綠素最大層有關。這些層反過來又吸引了大量的移動浮遊動物 ，內部鑽孔隨後將它們推向海岸。許多分類群在溫暖的地表水中幾乎不存在，但在這些內部鑽孔中卻很豐富。 

### 表面浮油

雖然大幅度的內波通常會在越過大陸架斷裂帶後中斷，但較小的波列將不間斷地穿過大陸架。 在低風速下，這些內波可以通過形成與底部地形平行的寬表面浮油來證明，這些浮油隨著內波向海岸前進。 內波上方的水在其波谷和上升流中匯聚和下沉，並在其波峰處發散。 與內部波槽相關的輻合帶通常會積聚油和漂浮物，偶爾會隨著浮油向岸邊推進。 這些漂浮物還可以容納高濃度的無脊椎動物幼蟲和比周圍水域高出一個數量級的魚類。 

### 可預測的下沉

溫躍層通常與葉綠素最大層有關。 內波代表了這些溫躍層的振盪，因此有可能將這些富含浮游植物的水域向下轉移，耦合底棲和中上層系統。 受這些事件影響的地區顯示出較高的懸浮攝食海鞘和苔蘚蟲的生長速率，這可能是由於高濃度浮游植物的周期性湧入。 溫躍層的周期性下降和相關的下降流也可能在浮游幼蟲的垂直運輸中起重要作用。

### 束縛核心

包含被束縛的反向振盪核心的大陡峭內波也可以將水團輸送到岸邊。 這些具有被困核心的非線性波先前已在實驗室中觀察到並在理論上進行了預測。 這些波在以高剪切和湍流為特徵的環境中傳播，並且可能從與上游更遠的淺灘底部相互作用的窪地波中獲取能量。 有利於產生這些波浪的條件也可能使底部的沉積物以及在深水中的底棲生物中發現的浮游生物和營養物質懸浮。

## 參考資料