量子四元

在量子資訊學中，**量子位元**（英語：quantum bit），又稱 **Q 位元**（qubit）是量子資訊的計量單位。傳統電腦使用的是 0 和 1，量子電腦雖然也是使用 0 跟 1，但不同的是，量子電腦的 0 與 1 可以同時計算。在古典系統中，一個位元在同一時間，只有 0 或 1，只存在一種狀態，但量子位元可以同時是 1 和 0，兩種狀態同時存在，這種效果叫量子疊加。這是量子電腦計算目前獨有的特性。

## 定義

具有量子特性的系統（通常為雙態系統，如自旋 1/2 粒子），選定兩個相互正交的本徵態，分別以 $|0\rangle $ （採狄拉克標記右括向量表示）和 $|1\rangle $ 代表。當對此系統做投影式量子測量時，會得到的結果必為這兩個本徵態之一，以特定機率比例出現。此外，這兩個本徵態可以複數係數做線性疊加得到諸多新的量子態

　
: $|\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle ;\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {C} $ ，

而從量子力學得知，這些線性疊加態 $|\psi \rangle \,$ 的兩個複數係數，必須要求各自絕對值平方相加之和為 1，也就是：

　
: $|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\,$

因為

　
: $1=\langle \psi |\psi \rangle =(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )^{\dagger }(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=(\alpha ^{*}\langle 0|+\beta ^{*}\langle 1|)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )$

　
: $=\alpha ^{*}\alpha \langle 0|0\rangle +\beta ^{*}\beta \langle 1|1\rangle $

　
: $=|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}\,$ ，即要求總機率要是 1。

兩個本徵態 $|0\rangle $ 、 $|1\rangle $ 及無限多種線性疊加態 $|\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle $ ，集合起來就代表了一個量子位元；各態皆屬純態。

和（古典）位元「非 0 即 1」有所不同，量子位元可以「又 0 又 1」的狀態存在，所謂「又 0 又 1」即上述無限多種 $(\alpha ,\beta )\,$ 組合的線性疊加態。這特性導致了量子平行處理等現象，並使量子計算應用在某些課題上顯著地優於古典計算，甚至可進行古典計算無法做到的工作。

量子位元通常會採用一種幾何表示法將之圖像化，此表示法稱之為布洛赫球面。

## 按方向所採的諸多表示法

若設定 $|0\rangle $ 、 $|1\rangle $ 順沿直角坐標系的 z 方向，則有諸多表示法。可採上述向量形式如狄拉克標記的右括向量，亦可將之表為行矩陣；另外有密度矩陣形式，可表為右括向量乘以左括向量，或表為方塊矩陣，可見如下：

### z 方向

　
: 向量： $z_{+}=|0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\quad z_{-}=|1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

　
: 密度矩陣： $z_{+}=|0\rangle \langle 0|={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},$ 
 $z_{-}=|1\rangle \langle 1|={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$

### x 方向

　
: 向量： $x_{+}=|x_{+}\rangle ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}},\quad x_{-}=|x_{-}\rangle ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}$

　
: 密度矩陣： $x_{+}=|x_{+}\rangle \langle x_{+}|={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},$ 
 $x_{-}=|x_{-}\rangle \langle x_{-}|={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$

### y 方向

　
: 向量： $y_{+}=|y_{+}\rangle ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}},\quad y_{-}=|y_{-}\rangle ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}$

　
: 密度矩陣： $y_{+}=|y_{+}\rangle \langle y_{+}|={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {i}{2}}\\{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},$ 
 $y_{-}=|y_{-}\rangle \langle y_{-}|={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {i}{2}}\\-{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$

## 量子三位元

**量子三位元**（qutrit）是量子位元的推廣，有些應用採取之。量子三元以狄拉克標記右括向量表示可寫為 $|0\rangle $ 、 $|1\rangle $ 、 $|2\rangle $ 。一個自旋為 1 的粒子，其自旋自由度有三，所對應的本徵值為 + 1, 0, -1，此粒子即可用作量子三元。

## 參閲

* 量子資訊學
* 貝爾態
* 布洛赫球面
* 雙態系統

## 註釋

## 參考文獻

## 外部連接

* Qubit.org （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）—cofounded by one of the pioneers in quantum computation, David Deutsch