重整化群

在理論物理中，**重整化群**（renormalization group，簡稱 RG）是一個在不同長度標度下考察物理系統變化的數學工具。

標度上的變化稱為「標度變換」。重整化群與「標度不變性」和「共形不變性」的關係較為緊密。共形不變性包含了標度變換，它們都與自相似有關。在重整化理論中，系統在某一個標度上自相似於一個更小的標度，但描述它們組成的參量值不相同。系統的組成可以是原子，基本粒子，自旋等。系統的變量是以系統組成之間的相互作用來描述。

## 方程

基本想法就是耦合常數依賴長度縮放或能量標度，重整化群幫助陳述耦合數量和能量標度的關係。默里・蓋爾曼和 Francis E. Low 於 1954 年提出了下面量子電動力學的重整化群方程：

　
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費恩曼、朱利安・施溫格、朝永振一郎在 1965 年贏了物理學的諾貝爾獎，因為他們都把重整化以及正規化等想法應用於量子電動力學。

利奧・卡達諾夫在 1966 年推出塊自旋的概念來解釋重整化。

然後肯尼斯・威爾森使用重整化群解決近藤問題， 以及描述臨界現象和第二相變。 他 1982 年贏了諾貝爾獎。

## 塊自旋

這一節介紹重整化群的一個簡單圖像：塊自旋重整化群。這是由利奧・卡達諾夫在 1966 年推導出來的。

首先考慮一個固體，如圖所示，原子以二維正方形形式排列。假設每一個原子只與它最鄰近的原子有相互作用，且這一系統的溫度為 $T$ ，相互作用的強度使用耦合常數 $J$ 來描述。這一物理系統可以用一個特定的式子來表達，記為 $H(T,J)$ 。

現在，我們把這個系統分為有著 $2\times 2$ 個方塊的塊區，進而用塊變量來描述這個系統，這些變量可以是塊內變量的平均數。我們假設這些塊變量可以用相同的方程來描述，只不過參數 $T$ 和 $J$ 不同（事實上這一假設當然並不成立，但在實際應用中這一近似已足夠好）。

原本這個系統內有較多的原子，現在，在問題重整化後，只有四分之一個原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次後得到 $H(T'',J'')$ ，這次只需要計算最初的十六分之一個原子。當然，最好是能夠迭代直到只剩下一個最大的塊區。一般來說，當迭代很多次後，重整化群變換將趨向於一個**不動點**上的數。

現在考慮一個具體的例子：鐵磁 - 順磁相變中的伊辛模型。在這個模型里，耦合常數 $J$ 代表鄰近電子自旋平行時候的相互作用力。這一模型中有三個不動點：

 1. $T=0$ 和 $J\to \infty $ 。從宏觀上來看，溫度對系統的影響變得可以忽略不計。這時系統處於鐵磁相。
2. $T\to \infty $ 和 $J\to 0$ 。與第 1 種情形正好相反，溫度對系統的影響占據了主導，系統在宏觀上變得無序。
3. $T=T_{c}$ 且 $J=J_{c}$ 。在這一特定的狀態上，改變系統的標度不改變系統的物理性質，因為系統處於分形態上。這對應居里相變，這個點稱為臨界點。

## 基本理論

假設有一個可以用狀態變量 $\{s_{i}\}$ 和一組耦合常數 $\{J_{k}\}$ 表示的函數 $Z$ 。這個函數必須能夠用來描述整個物理系統，比如某個配分函數、作用量、哈密頓量等等。

現在我們考慮狀態變量上的塊變換 $\{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}$ ， ${\tilde {s}}_{i}$ 所包含的數目必須小於 $s_{i}$ 。接下來我們可以把函數 $Z$ 只用 ${\tilde {s}}_{i}$ 來表示。如果 $\{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}$ 也是可以實現的，那麼就說這個物理系統是**可重整化**的。

最基本的物理理論都是可以重整化的，比如量子電動力學，量子色動力學，電弱相互作用等，但是引力是無法重整化的。此外，凝聚態物理中的大部分理論也是可以被重整化的，比如超導，超流。

變量的變換可以由一個 β 函數實現： $\{{\tilde {J}}_{k}\}=\beta (\{J_{k}\})$ 。這一函數可以在 $J$ 空間上導出流圖。系統的宏觀狀態由流圖上的不動點給出。

由於重整化群變換是有損的，這一變換不可逆，所以這一變換實際上是數學上的半群。

## 舉例計算

參見 Phi fourth theory（四次交互論； $\phi ^{4}$ 論）。歐幾里得空間的拉氏量是

 ${\mathcal {L}}(\phi )={m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\lambda  \over 4!}\phi ^{4}.$ 配分函數或泛函積分是：

 $Z=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\lambda  \over 4!}\phi ^{4}\right)\right].$ 通過重正化以及正規化 $\Lambda $ ：
 $[D\phi ]_{\Lambda }=\prod _{|p|<\Lambda }d\phi (p)$

 $Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{\Lambda }\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\lambda  \over 4!}\phi ^{4}\right)\right].$ 若 $0<b<1$ ：

 ${\hat {\phi }}(p)={\begin{cases}\phi (p),&{\mbox{if }}b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda \\0,&{\mbox{if }}|p|<b\Lambda \end{cases}}$ $\phi (p)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda \\\phi (p),&{\mbox{if }}|p|<b\Lambda \end{cases}}$ 所以

 $Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}(\phi +{\hat {\phi }})^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi +\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+{\lambda  \over 4!}(\phi +{\hat {\phi }})^{4}\right)\right].$ 介紹 $\phi {\hat {\phi }}$ ：

 $Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }e^{-\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}(\phi )}\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}{\hat {\phi }}^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+\lambda ({1 \over 6}\phi ^{3}{\hat {\phi }}+{1 \over 4}\phi ^{2}{\hat {\phi }}^{2}+{1 \over 6}\phi {\hat {\phi }}^{3}+{1 \over 4!}{\hat {\phi }}^{4})\right)\right].$ 所以新的拉氏量是 ${\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )$ 以及

 $Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\exp {\left[-\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )\right]},$ ${\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )$ 不同於 ${\mathcal {L}}(\phi )$ ，因為 $\lambda ,\phi $ 改變了。 上面的 Z 陳述一個 effective field theory。若 $x'=bx,p'={p \over b},|p|<\Lambda $ .

 $\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'b^{-d}\left[{1 \over 2}(1+\Delta Z)b^{2}(\partial '_{\mu }\phi )^{2}+{1 \over 2}(m^{2}+\Delta m^{2})\phi ^{2}+{1 \over 4!}(\lambda +\Delta \lambda )\phi ^{4}+\Delta Bb^{4}(\partial '_{\mu }\phi )^{4}+\Delta C\phi ^{6}+...\right]$ 假設

 $\phi '=[b^{(2-d)}(1+\Delta Z)]^{1/2}\cdot \phi $ $m'^{2}=(1+\Delta Z)^{-1}(m^{2}+\Delta m^{2})b^{-2}$ $\lambda '=(1+\Delta Z)^{-2}(\lambda +\Delta \lambda )b^{d-4}$ $B'=(1+\Delta Z)^{-2}(B+\Delta B)b^{d}$ $C'=(1+\Delta Z)^{-3}(C+\Delta C)b^{2d-6}$ 所以

 $\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'\left[{1 \over 2}(\partial '_{\mu }\phi ')^{2}+{1 \over 2}m'^{2}\phi '^{2}+{1 \over 4!}\lambda '\phi ^{4}+\Delta B(\partial '_{\mu }\phi ')^{4}+\Delta C'\phi '^{6}+...\right]$ 耦合常數的變量為 $\Delta m^{2},\Delta Z,\Delta \lambda $ 。耦合常數的演進是動力系統的臨界點：

 $m'^{2}=m^{2}b^{-2},\lambda '=\lambda b^{d-4},B'=Bb^{d},C'=Cb^{2d-6}$

### 三種耦合

* 無關耦合（irrelevant）：耦合減少了
* 相關耦合（relevant）：耦合增加了
* 邊緣耦合（marginal）：耦合不變

若 $d=4$ ，因為 $b<1$ 所以 B 和 C 是無關的，m 是相關的，並且 $\lambda $ 是邊緣的。

而且 $\phi ^{4}$ 論是可重整化的。

## 動力系統的重整化

米切爾・費根鮑姆使用重整化群計算費根鮑姆常數，而且將重整化應用於分岔理論。

阿圖爾・阿維拉（巴西數學家）也將重整化群應用於動力系統、費根鮑姆常數等

其他應用包括：

* 混沌理論
* 湍流
* 分形
* 隨機微分方程、Kardar–Parisi–Zhang equation、參見馬丁・海雷爾的研究
* 滲流理論

等

## 參見

* 重整化
* 密度矩陣重整化群
* 臨界現象
* 普遍性

## 擴展閱讀

### 入門教程與歷史回顧

* S. R. White (1992): Density matrix formulation for quantum renormalization groups, Phys. Rev. Lett. **69**, 2863. 有人說這是最成功的 variational RG 辦法
* N. Goldenfeld (1993): Lectures on phase transitions and the renormalization group. Addison-Wesley.
* D. V. Shirkov (1999): Evolution of the Bogoliubov Renormalization Group. arXiv.org:hep-th/9909024 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. A mathematical introduction and historical overview with a stress on group theory and the application in high-energy physics.
* B. Delamotte (2004): A hint of renormalization. American Journal of Physics, Vol. 72, No. 2, pp. 170\u2013184, February 2004 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. A pedestrian introduction to renormalization and the renormalization group. For nonsubscribers see arXiv.org:hep-th/0212049 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* H.J. Maris, L.P. Kadanoff (1978): Teaching the renormalization group. American Journal of Physics, June 1978, Volume 46, Issue 6, pp. 652-657 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. A pedestrian introduction to the renormalization group as applied in condensed matter physics.
* K. Huang 黃克孫 (2013): A Critical History of Renormalization. arXiv:1310.5533 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Shirkov, D. V. Fifty years of the renormalization group. CERN Courier. 2001-08-31 [2008-11-12]. （原始內容存檔於 2008-12-03）.

### 相關著作

* T. D. Lee 李政道； _Particle physics and introduction to field theory_, Harwood academic publishers, 1981, [ISBN 3-7186-0033-1]. 是總結
* L. Ts. Adzhemyan, N.V.Antonov and A. N. Vasiliev; _The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence_; Gordon and Breach, 1999. [ISBN 90-5699-145-0].
* Vasil'ev, A. N.; _The field theoretic renormalization group in critical behavior theory and stochastic dynamics_; Chapman & Hall/CRC, 2004. [ISBN 9780415310024] (Self-contained treatment of renormalization group applications with complete computations);
* Zinn-Justin, Jean; _Quantum field theory and critical phenomena_, Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 (a very thorough presentation of both topics);
* The same author: _Renormalization and renormalization group: From the discovery of UV divergences to the concept of effective field theories_, in: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (eds), Proceedings of the NATO ASI on _Quantum Field Theory: Perspective and Prospective_, June 15–26, 1998, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999) [ISBN ]. Full text available in _PostScript_ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
* Kleinert, H. and Schulte Frohlinde, V; _Critical Properties of φ4-Theories_, World Scientific (Singapore, 2001); Paperback ISBN 981-02-4658-7_. Full text available in PDF （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）._

## 參考文獻