钟慢效应

**狹義相對論**（英語：Special relativity）是由阿爾伯特・愛因斯坦、亨德里克・洛侖茲和亨利・龐加萊等物理學家創立的一個應用在慣性參考系下的時空理論，是對牛頓時空觀的拓展和修正。愛因斯坦在其於 1905 年完成的論文《論動體的電動力學》中提出了狹義相對論。

牛頓力學是狹義相對論在低速情況下的近似。

## 背景

### 伽利略變換與電磁學理論的不自洽

在 19 世紀末，以馬克士威方程組為核心的古典電磁理論的正確性已經被大量實驗所證實，但馬克士威方程組在古典力學中的伽利略變換下並不具有協變性，而古典力學中的相對性原理則要求一切物理規律在伽利略變換下都具有協變性。

### 以太假說

為了解決這一矛盾，物理學家們提出了「以太假說」，即放棄相對性原理，認為馬克士威方程組只對一個絕對參考系（以太）成立。根據這個假說，由馬克士威方程組計算得到的真空光速是相對於絕對參考系（以太）的速度；在相對於「以太」運動的參考系中，光速具有不同的數值。

### 實驗的結果 —— 零結果

但斐索實驗和邁克生 - 莫雷實驗表明了光速跟參考系的運動無關。該實驗結果否定了以太假說，並表明相對性原理的正確性。亨德里克・勞侖茲把伽利略變換修改為勞侖茲變換，在勞侖茲變換下，馬克士威方程組具有相對性原理所要求的協變性。勞侖茲的假說解決了上述的矛盾，但他不能對勞侖茲變換的物理本質做出合理的解釋。隨後數學家亨利・龐加萊猜測勞侖茲變換其實和時空性質有關。

## 愛因斯坦的狹義相對論

阿爾伯特・愛因斯坦意識到伽利略變換實際上是牛頓古典時空觀的體現，如果承認「真空中的光速獨立於參考系」這一實驗事實為基本原理，可以建立起一種新的時空觀（相對論時空觀）。在這一時空觀下，由相對性原理即可導出勞侖茲變換。1905 年，愛因斯坦發表論文《論動體的電動力學》，建立**狹義相對論**，成功描述了在亞光速領域宏觀物體的運動。

### 狹義相對論的基本原理

* 光速不變原理。

在所有慣性系中，真空中的光速都等於 $c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}=$ 299 792 458 m/s（ $\mu _{0}$ ：真空磁導率， $\epsilon _{0}$ ：真空介電常數），與光源運動無關。

* 狹義相對性原理。

在所有慣性系中，物理定律擁有相同的表達形式，這是力學相對性原理的推廣，它適用於天下所有物理定律，其本質是所有慣性系平權。

狹義相對論是僅描述平直線性的時空（指沒有引力的，即閔考斯基時空）的相對論理論。牛頓的時空觀認為運動空間是平直非線性的時空，可以用一個三維的速度空間來描述；時間並不是獨立於空間的單獨一維，而是空間坐標的自變量。

狹義相對論同樣認為空間和時間並不是相互獨立的，而它們應該用一個統一的四維時空來描述，並不存在絕對的空間和時間。在狹義相對論中，整個時空仍然是平直線性的，所以在其中就存在「全局慣性系」。狹義相對論將「真空中，光速為常數」作為基本假設，結合狹義相對性原理和上述時空的性質可以推出勞侖茲變換。

### 勞侖茲坐標變換

狹義相對論中，勞侖茲變換描述時空中兩個慣性參考系的時間、空間坐標之間的變換關係的。它最早由勞侖茲從以太說推出，用以解決古典力學與古典電磁學間的矛盾（即邁克生 - 莫雷實驗的零結果）。後被愛因斯坦用於狹義相對論。

#### 形式

當兩個參考系 $s$ 與 $s'$ 在時刻 $t=0$ 時重合，且 $s'$ 相對 $s$ 以速度 $v$ 沿 $x$ 軸正方向運動時，一個事件在 $s$ 系的坐標 $(x,y,z,t)$ 與在 $s'$ 系的坐標 $(x',y',z',t')$ 滿足以下關係：

　
: $x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

　
: $y'=y$

　
: $z'=z$

　
: $t'={\frac {t-{\frac {v}{c^{2}}}x}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

或使用矩陣乘法的形式，寫作：

　
: ${\begin{bmatrix}x'\\ct'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma \\-\beta \gamma &\gamma \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\ct\end{bmatrix}}$

其中

　
: $\beta ={\frac {v}{c}}$

　
: $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ ，稱為勞侖茲因子。

用張量表示方法可以簡單的表示為

$$
x'_{i}=a_{ij}x_{j}
$$

其中 $x'_{i}={\begin{bmatrix}x'\\ct'\end{bmatrix}}$ ；
 $x_{j}={\begin{bmatrix}x\\ct\end{bmatrix}}$ ；
 $a_{ij}={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma \\-\beta \gamma &\gamma \end{bmatrix}}$

#### 推導

#### 注意事項

1. 勞侖茲變換要求 $t=0$ 時， $x=0$ ， $y=0$ ， $z=0$ ，且相對速度僅有 $x$ 分量

### 時間膨脹（愛因斯坦延緩）

當物體運動時，它的一切（物理、化學變化）從參照系的角度來看都會變慢，就是時間膨脹（簡稱時慢）。等速運動的物體帶在身上的時鐘，用靜系觀察者的時鐘去測量，不論運動方向，測量結果動鐘都隨著運動速度增加而變慢。光速運動的物體（如光子）在時間軸上的分量為零，它的時間是靜止的。速度低於光速的物體，其時間膨脹的程度遵循洛侖茲變換 $\ T={\frac {T_{0}}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}$
。

動系的時間膨脹率 = 勞侖茲因子 $\gamma $ ,

愛因斯坦利用畢氏定理 (勾股定理) 以及假設光速對任何相對等速運動的觀察者都一樣就推論出:

動鐘計時值 $t'$ = 靜鐘計時值 $t$ $\times $ 勞侖茲因子 $\gamma $

假如有一個絕對靜止系，顯然，我們就可以測得各種物體的絕對時慢。所以處於相對靜止系的我們，所得之一切時慢之觀測值，都是相對時慢的觀測值。例如由勞侖茲變換的假說去推論，在動系的觀察者就測量出靜系的時間膨脹: $t'=\gamma t$ , 同時也測量出靜系的長度縮收: $x'={\frac {x}{\gamma }}$

注意：這裡假設的時間膨脹率，絕非只因為都卜勒效應讓時頻變低的視值。假設的時間膨脹率只跟受測物的相對速度有關，與近接或遠離的方向無關。遠離的都卜勒效應時頻視值 $F_{\gamma }={\cfrac {c}{c+v'}}F$ 是變慢的，但近接的都卜勒效應時頻視值 $F_{a}={\cfrac {c}{c-v'}}F$ 是變快的。按照
愛因斯坦延緩假說，對靜系觀察者來說不論近接或遠離，動系通過一段固定距離的時間都加長了。 也就是說通過那段固定距離的動系速度 $v'$ 被靜系觀察者計算成比較慢的 $v$ ，慢率是勞侖茲因子， $v={\cfrac {v'}{\gamma }}$ 。所以靜系觀察者所測出的都卜勒效應被愛因斯坦延緩假說修改成為: $F_{\gamma }={\cfrac {c}{c+{\tfrac {v'}{\gamma }}}}F$ 和 $F_{a}={\cfrac {c}{c-{\tfrac {v'}{\gamma }}}}F$ 。

### 長度收縮（勞侖茲收縮）

$$
\ L=L_{0}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}
$$

勞侖茲收縮就是指相對於某物體運動的觀測者觀測，在運動的那個軸向的長度，會比相對於物體靜止的觀測者觀測到的同一長度要短。其收縮率，就是勞侖茲因子。其它軸向的長度，並不會有影響。

邁克生 - 莫雷實驗那種實驗，就是勞侖茲收縮的最佳証明。

當然，被勞侖茲收縮的人事物本身，並不會察覺到被收縮；從靜系看來，動系上的觀測者，就像拿著一根被收縮的尺，去測量被收縮的物體。

但是，因為絕對靜止系不可得，所以我們僅能測得相對短縮。因為我們不知道自己設定的靜止參考系，是否真的比我們要測的運動物體還要靜止。

假如運動物體上面有個觀測者，他又設定他的慣性系才是靜止的，那我們就變成他的動系了。當他觀測我們時，我們才是被收縮的一方，而他是正常的一方。

另外，勞侖茲收縮率，從移動電荷所產生的電場推遲的效應，也就可以推出來。

高速運動電荷產生的電場形變之等勢面，因為電場傳播不是無限快，所以必定會產生推遲，所以它向四周散發出的電場之等勢面，就不再是正球面對稱了。

### 同時的相對性

因為絕對靜止系不可得，所以各慣性系的觀測者，對於兩事件發生，僅能作出是否相對同時的判斷，而沒有辦法作出是否絕對同時的判斷，除非兩事件發生在同一時空點上。

當慣性系中的觀測者，在對該系中的有距離之兩鐘，進行校時，他把同步訊號源放在兩鐘的正中央，同步脈波呈球面對稱，半徑光速擴展，當鐘被同步波緣觸及時，即歸零 (或重置在相同的計時初值)，此時兩鐘的計時步調，即相對同步計時，有時也簡稱相對同時。

### 相對論質量

$$
m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}
$$

m0 指靜止質量，m 為相對論質量。

由公式可以看出：

1. 對於一個有質量的物體，其速度 v 不可能等於或者超過光速，否則分母將會無意義或為一個虛數（註：光子沒有靜止質量，因此其速度可以達到光速；但是在其運動時，會有動量或者說能量，不屬於質量範疇）。

2. 當某有質量之物體移動速率越接近光速，相對論質量會變重。

3. 當 v 遠小於 c 時，m 近似於 m0，符合牛頓力學定律。

### 相對論力學

在狹義相對論中牛頓第二定律 **F** = m**a** 應改寫成下式（**F** = m**a** 可解釋為下式的特例）

　
: $\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$

而動量 **P** = M**v**，其中 M 非定值，所以根據微分計算式 d（uv）=udv+vdu，得

$$
\mathbf {F} ={\frac {d(M\mathbf {v} )}{dt}}={\frac {dM}{dt}}\mathbf {v} +M{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={m_{0}}{\frac {d\gamma }{dt}}\mathbf {v} +\gamma {m_{0}}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}
$$

得

　
: $\mathbf {F} ={\frac {\gamma ^{3}{m_{0}}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} \right)}{c^{2}}}\,\mathbf {v} +\gamma {m_{0}}\,\mathbf {a} .$

由上式可見，加速度並不和力的方向一致，且隨著速度逐漸趨向於光速，物體的質量趨向於無窮大，加速度趨向於零。

### 相對論能量

根據 $m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ 公式，運動時物體質量增大，同時運動時將會有動能，質量與動能均隨速度增大而增大。

根據 $\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$

得 ${dE_{k}}=\mathbf {F} {dx}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}{dx}$

因為 ${\frac {dx}{dt}}=v$ , 所以 ${dE_{k}}=vd(mv)=v^{2}dm+mvdv$

由 $m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ 公式改寫而得 $m^{2}c^{2}-m^{2}v^{2}=m_{0}^{2}c^{2}$

因為 m,v 都是 t 的函數，將該式兩邊對 t 微分，得 $mvdv=c^{2}dm-v^{2}dm$ ，

將結果帶入上式 ${dE_{k}}$ ，得

$$
{dE_{k}}=c^{2}dm
$$

對其積分， ${E_{k}}={\int _{m_{0}}^{m}c^{2}\,dm}=mc^{2}-m_{0}c^{2}$

這就是相對論下的動能公式。當速度為 0 時， $m=m_{0}$ ，所以動能為 0。 $m_{0}c^{2}$ 為物體靜止時的能量。而總能量 = 靜止能量 + 動能，因此總能量 $E=mc^{2}$ .

### 相對論動量與能量

根據 $m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ ，

等式左右兩邊平方，再同乘以光速的二次方

得: $E^{2}=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}\,$

此外，不難證明: $\mathbf {p} c^{2}=E\mathbf {v} \,.$

上兩式說明動量與能量是密切相關的

當速度接近光速時，v 約等於 c，因此最後一式可改寫為 $\mathbf {E} =pc\,.$

### 相對論下的電效應 —— 磁場與電場的統一

古典電磁學的理論研究開始了有關電磁波傳播的探討。由擴展電磁效應的方程式可推得，若 E 場和 B 場以有限的速度傳播，帶電粒子需要符合特定的條件，有關帶電粒子的相關研究形成了黎納 - 維謝勢，已開始往狹義相對論前進。

一個移動粒子產生的電場，若用勞侖茲變換轉換到固定坐標系下，會出現對應磁場的項。相對的，一個移動粒子產生的磁場，若在一個速度和粒子相同的坐標系來觀察，磁場會消失，轉變為電場。馬克士威方程組只是將狹義相對論的效應應用在古典模式下，經驗性的結果。由於電場和磁場都和坐標系有關，而且會互相轉換。狹義相對論提供電磁場從一個慣性坐標系轉移到另一個慣性坐標系時，需要的轉換公式。

### 實驗驗證

* 橫向都卜勒效應實驗
* 高速運動粒子壽命的測定

1、在超新星爆發中產生的宇宙射線，在近光速運動中半衰期延長。

2、在粒子加速器中派介子半衰期延長。

3、攜帶原子鐘的實驗 #在 2010 年時美國國家標準技術研究所比較一個在地面的原子鐘和在高速火箭上的電子鐘，證實了雙生子悖論成立。

## 相關條目

* 勞侖茲變換
* 伽利略變換
* 廣義相對論
* 論動體的電動力學
* E=mc²
* 移動中的磁鐵與導體問題

## 延伸閱讀

[編]

　
: 《論動體的電動力學》

## 參考文獻