错误纠正

在電腦科學和通訊的資訊理論和編碼理論應用中，**錯誤檢測和糾正**（英語：**error detection and correction**）或**錯誤控制**（**error control**）是在不可靠的通訊頻道上可靠地傳送數位資料的技術。許多通訊頻道會經受頻道雜訊，因此可能在源至接收器的傳輸期間引入錯誤。錯誤檢測技術能夠檢測這樣的錯誤，而錯誤糾正能在不少情況下重建原始資料。

## 定義

該術語的一般定義如下：

* **錯誤檢測**是檢測發射機到接收機的傳輸期間由雜訊或其他原因所致的錯誤。
* **錯誤糾正**是檢測錯誤並重建無錯誤的原樣資料。

## 歷史

錯誤糾正編碼的現代發展在 1947 年由理察・衛斯里・漢明帶來。漢明碼的描述出現於克勞德・夏農的《通訊的數學理論》一書中，並由 Marcel J. E. Golay 迅速推廣。

## 引入

實現錯誤檢測和糾正的一般思路是添加一些資訊冗餘（例如一些額外資料）到訊息，從而使接收器可以用它來檢查訊息的一致性，並恢復被確定為損壞的資料。錯誤檢測和糾正的方案可以是系統性或非系統性：在系統性方案中，發射機傳送原始資料，並且附加其通過一些確定性演算法從資料位元匯出的固定數量的校驗位（或奇偶校驗資料）。如果僅需要錯誤檢測，則接收器可以簡單對接收到的資料位應用相同的演算法，並將其輸出與接收到的校驗位進行比較。如果值不匹配，則傳輸期間的某個點位發生錯誤。在非系統性的編碼系統中，原始訊息被變換與原始訊息相等或更長位元的被編碼訊息。

良好的錯誤控制效能需要基於通訊頻道的特性來選擇方案。常見的頻道模型包括無記憶模型，其中錯誤以一定概率隨機發生，以及錯誤主要突發出現的動態模型。因此，錯誤檢測與糾正編碼通常可分為：隨機錯誤檢測 / 糾正與突發錯誤檢測 / 糾正。一些編碼是同時適用隨機錯誤與突發錯誤的混合體。

如果頻道容量不能被確定，或者高度可變，錯誤檢測方案可以與重傳出錯資料的系統組合。這也稱之為自動重傳請求（ARQ），它在網際網路中極為常用。用於替代錯誤控制的一種方案是混合式自動重送請求（HARQ），它是 ARQ 與錯誤糾正編碼的組合。

## 實現

錯誤糾正通常可以用兩種方式實現：

* 自動重傳請求（ARQ），有時也稱後向糾錯：這是一種錯誤控制技術，其中將錯誤檢測方案與重傳錯誤資料的請求組合。其中使用錯誤檢測代碼檢查接收的每個資料塊，如果檢查失敗則請求重傳資料 —— 這可以被重複進行，直至資料可通過驗證。
* 前向錯誤更正（FEC）：傳送者在傳輸前使用錯誤更正碼（ECC）對資料進行編碼。額外資訊（資訊冗餘）由代碼添加以供接收者用來恢復原始資料。一般來說，重建的資料被認為是「最有可能」的原始資料。

ARQ 與 FEC 可以組合，使得不需重傳就糾正微小錯誤，並經由重傳請求校正大的錯誤，這被稱為混合式自動重送請求（HARQ）。

## 錯誤檢測方案

錯誤檢測通常使用適合的雜湊函式（或校驗和 演算法）實現。雜湊演算法添加定長的_標籤_到訊息，從而使接收者能通過計算標籤並與所提供的標籤比較來驗證傳遞的訊息。

雜湊函式存在多種多樣的設計。其中一部分因其簡單性或適合檢測某些類型的錯誤（例如循環冗餘校驗的效能優勢 為檢測突發錯誤而使用）而被廣泛使用。

一個隨機前向錯誤更正 基於最小距離編碼的可以對可檢測誤差的數量提供嚴格保證，但它可能不能防禦原像攻擊。下面章節中描述的重複編碼就是錯誤更正碼的一種特殊案例。雖然相當低效，但由於其簡單性，重複編碼適合部分糾錯與檢測的應用。

### 重複編碼

重複編碼是在頻道上重複位元資訊以實現無差錯通訊的編碼方案。首先將要傳送的資料流劃分為位元塊，然後將每個傳輸預定的次數。例如，要傳送位元「1011」，四位元塊 {{what}} 則再重複三次而產生「1011 1011 1011」。但是，如果此例中收到 12 位元資訊為「1010 1011 1011」，其中第一個塊不同於其他兩個，則可以確定已經發生錯誤。

重複編碼非常低效，並且如果錯誤在每個組的完全相同的地方發生，則很容易出現問題（例如上例中正巧錯誤為「1010 1010 1010」，將被檢測為傳輸無誤）。重複編碼的優點是它非常簡單，並實際上用於某些數位電台的傳輸。

### 奇偶校驗位

奇偶校驗位（parity bit）是一種非常簡單的方案，可以用於檢測任何奇數個錯誤的發生。但如果發生的錯誤數量為偶數，則奇偶效驗位看上去是正確的。

對奇偶效驗位的擴充和改變有縱向冗餘校驗、垂直冗餘檢查，以及雙或對角奇偶（在 RAID-DP 中使用）。

### 校驗和

訊息的校驗和是固定字長（例如位元組值）的位元組碼的模算數和。和可能在傳輸前用一補數以檢測全零訊息出現的錯誤。

校驗和方案包括奇偶校驗位、校驗碼和縱向冗餘校驗。部分校驗和方案如 Damm 演算法、Luhn 演算法和 Verhoeff 演算法在設計上是專門用於檢測人類書寫或記錄數位時常出現的錯誤。

### 迴圈冗餘校驗（CRC）

迴圈冗餘校驗（CRC）是一個非安全的雜湊函式，旨在檢測電腦網路中數位資料的意外變化。因此，它不適合檢測惡意引入的錯誤。

迴圈碼有著非常適合檢測突發錯誤的有利特性。CRC 尤其容易在硬體中實現，並且因此常用在數位網路和諸如硬碟等儲存裝置中。

奇偶校驗是迴圈冗餘校驗的特殊案例，其中單位元 CRC 由除數 x + 1 生成。

### 加密雜湊函式

加密雜湊函式的輸出也稱訊息摘要，它可以提供強力的資料完整性保證，無論資料改變是偶然（例如由於傳輸錯誤）還是被惡意引入。對資料的任何修改都可用檢測雜湊值是否匹配判斷。此外，指出某些雜湊值並找到產生相同雜湊值的另一組輸入資料（原輸入資料除外）一般是不可行的。如果攻擊者不僅能改變訊息，還可以改變雜湊值，那麼含金鑰雜湊或或訊息鑑別碼（MAC）可用於提供額外的安全性（即金鑰雜湊訊息鑑別碼）。在不了解金鑰的情況下，攻擊者不可能計算出結果正確的含金鑰雜湊值。

### 錯誤糾正碼

任何錯誤糾正碼都可用於錯誤檢測。最小漢明距離為 d 的編碼在碼字中最多可以檢測出 d − 1 個錯誤。如果對要檢測的最小錯誤數量有嚴格限制，使用基於最小距離的錯誤更正碼進行錯誤檢測則很合適。

最小漢明距離 d = 2 的編碼是錯誤更正碼的退化情況，並可用於檢測單個錯誤。奇偶校驗位是單錯誤檢測的一個例子。

## 錯誤糾正

### 自動重傳請求（ARQ）

自動重傳請求（ARQ）是通過錯誤檢測碼、確認或否決訊息，以及可靠訊息資料傳輸的訊息逾時來完成資料傳輸的一種錯誤控制方法。確認訊息是由接收方傳送，以表明其已正確接收資料框。

通常來說，當傳送方沒有在逾時發生前（即傳送資料框之後的合理時間內）接收到確認，則它將重傳該影格，直到該影格被正確接收，或者該錯誤反覆存在而超過預定的重傳次數。

ARQ 協定的三種類型是停止並等待 ARQ、後退 N 影格 ARQ 和選擇重傳 ARQ。

如果通訊頻道具有變化或未知的容量，例如在網際網路，則 ARQ 適宜使用。但是，ARQ 需要一個反向頻道可用，這使重傳可能增加延遲，並且需要維護用於重傳的緩衝區和計時器，這在擁塞控制的情況下可對伺服器和整體網路容量造成壓力。

舉例來說，ARQ 在短波無線電資料鏈路中的應用為 ARQ-E，結合復用為 ARQ-M。

### 錯誤更正碼（ECC）

前向錯誤更正（ECC）或正向錯誤校正（FEC）碼是一種添加資訊冗餘資料或奇偶校驗資料到訊息的過程，使得即使在傳輸或儲存中發生多個錯誤，接收方也可以用它恢復（不能超過編碼本身的能力限制）。因為接收方不必要求傳送方重傳資料，在正向錯誤校正中不需要反向頻道，並因此適合諸如廣播等單邊通訊。錯誤更正碼經常用於底層通訊，以及用於諸如 CD、DVD、硬碟和 RAM 等媒介中的可靠儲存。

錯誤更正碼經常區分為卷積碼與分組碼：

* 卷積碼是逐位元處理。它特別適合於硬體，並且 Viterbi 解碼器允許解碼方法。
* 區塊碼_是_以逐塊為基礎。區塊碼的早期例子有重複碼、漢明碼和多維奇偶校驗碼。在它們之後是一些更有效的代碼，里德 - 所羅門碼因為其最顯著所以目前被廣泛使用。Turbo 碼和低密度奇偶檢查碼（LDPC）相對較新的方法，可以提供幾乎最佳的效率。

夏農定理是正向錯誤校正的一個重要定理，並且描述了在具有特定錯誤概率或訊號雜訊比（SNR）的頻道上可進行可靠通訊的最大資訊速率。這個嚴格的上限以頻道容量表示。

所允許的實際最大位元速率取決於所使用的錯誤更正碼，並可能更低。這是因為夏農的證明只是存在性的，並沒有顯示如何構建代碼是為最佳並具有高效的編碼和解碼演算法。

### 混合方案

混合式自動重送請求是 ARQ 與正向錯誤校正的組合。有兩種基本方法：

* 訊息始終與 FEC 奇偶校驗資料（和錯誤檢測冗餘）一起傳送。接收機使用奇偶校驗資訊解碼訊息，並僅在奇偶校驗資料不足以成功解碼（通過失敗的完整性校驗來辨識）時才使用 ARQ 請求重傳。
* 訊息在沒有奇偶校驗資料的情況下傳輸（僅具有錯誤檢測資訊）。如果接收方檢測到錯誤，則其使用 ARQ 向傳送方請求 FEC 資訊，然後用它來重建原始訊息。

後一種方法在擦除頻道上使用噴泉碼時尤為有吸引力。

## 應用程式

需要低延遲的應用程式（如電話通話）不能使用 ARQ；它們必須使用前向錯誤更正（FEC）。在此類應用中，當 ARQ 系統發現錯誤及重新請求和完成傳送，重新傳送的資料到達之時對於此類應用已然太遲以至沒有任何作用。

傳送方在傳送後立即忘記資訊的應用（例如大多數網路攝影機）不能使用 ARQ；它們必須使用 FEC，因為當發現錯誤時，原始資料已不再可用。（這也是為什麼 FEC 被用於 RAID、分散式檔案系統等資料儲存系統）。

使用 ARQ 的應用程式必須有一個返回頻道；沒有返回頻道的應用程式不能使用 ARQ。需要極低錯誤率的應用程式（如數位貨幣轉移）必須使用 ARQ。可靠性和檢驗工程也利用了錯誤更正碼的理論。

### 網際網路

在典型的 TCP/IP 棧中，錯誤控制在多個層級施行：

* 每個乙太網路影格攜帶一個 CRC-32 校驗和。接收到校驗和不正確的影格將由接收器硬體丟棄。
* IPv4 報頭包含保護頭內容的校驗和。不正確校驗和的網路封包將在網路或接收處丟棄。
* IPv6 報頭中省略了校驗和，以最小化網路路由的處理成本，並也假設當前的鏈路層技術足以提供足夠的錯誤檢測（另見 RFC 3819）。
* UDP 具有覆蓋有效載荷和來自 UDP 和 IP 報頭定址資訊的可選校驗和。有不正確校驗和的封包將被作業系統協定棧丟棄。校驗和僅在 IPv4 下可選，因為資料鏈路層的校驗和可能已提供了所期望的錯誤保護。
* TCP 提供用於保護有效載荷和來自 TCP 和 IP 報頭定址資訊的校驗和。有不正確校驗和的封包將在網路堆疊中被丟棄，並最終使用 ARQ 進行重傳，可能顯式（例如通過三重 ack）或因逾時而隱含。

### 深空通訊

由於訊號功率在星際距離上的極度稀釋，以及太空探測器上有限的可用功率，錯誤更正碼的開發與深空任務的歷史緊密相關。在早期任務中，傳送資料未被編碼，而從 1968 年開始，則以（子最佳解碼）卷積碼和里德 - 穆勒碼的形式實現數位糾錯。里德 - 穆勒碼非常適合於太空飛行器所受雜訊（大致匹配鐘形曲線），並在 1969 年至 1977 年期間在水手太空飛行器上執行任務。

在自 1977 年開始的旅行者 1 號和旅行者 2 號任務中，設計包括在木星和土星的科學資訊中提供彩色成像。這使得編碼的要求增加，因此太空飛行器得到了可以級聯外部 Golay (24,12,8) 碼的卷積碼（最佳 Viterbi 解碼器）的支援。

旅行者 2 號探測器也添加了一種里德 - 所羅門碼的支援：串聯的里德 - 所羅門 - 維特比（RSV）碼允許非常強效的錯誤糾正，並使太空飛行器的旅程延長到天王星和海王星。兩個探測器在 1989 年 ECC 系統升級後使用 V2 RSV 編碼。

CCSDS 目前建議至少使用效能類似於 Voyager 2 RSV 代碼的錯誤更正碼。串聯碼日已失去了空間任務的青睞，並正被更強大的編碼所取代，例如 Turbo 碼或低密度奇偶檢查碼。

不同種類的深空和軌道任務表明，試圖找到一個「萬能」的糾錯系統將是一段時間以來一個持續的問題。對於接近地球的任務，頻道雜訊的性質與星際任務中的宇宙飛船經歷並不相同。此外，隨著太空飛行器與地球距離的增加，校正雜訊的問題也日益嚴重。

### 衛星廣播（DVB）

受到提供電視節目（包括提供新頻道和高解析度電視）和 IP 資料需求的推動，衛星轉發器頻寬需求持續增長。轉發器的可用性和頻寬限制限制了這種增長，因為轉發器的容量是由所選擇的調變模式和前向錯誤更正（FEC）速率決定。

概述

* QPSK 加上傳統的里德・所羅門和維特比碼已經為提供數位衛星電視使用了近 20 年。
* 高階調變方案如 8PSK、16QAM 和 32QAM 已使衛星工業將轉發器效率提高了幾個數量級。
* 這種應答器中資訊速率的增加以犧牲載波功率的代碼以滿足現有天線的閾值要求。
* 使用最新晶片組進行的測試表明，使用 Turbo 碼實現的效能可能甚至低於早期設計中假定的 0.8 dB。

### 資料儲存

錯誤檢測和糾正碼經常被用於提供資料儲存媒介的可靠性。第一例是 1951 年在磁帶資料儲存上的「奇數軌道」。用於封包代碼記錄磁帶的「最佳矩形代碼」不僅能檢測，還能校正單位元錯誤。部分檔案格式，尤其是歸檔格式，包含一個校驗和（通常以 CRC32 提供）以檢測損壞與截斷，並可以採用冗餘和 / 或奇偶效驗檔案來恢復損壞部分的資料。里德 - 所羅門碼就被用於光碟中，以糾正由劃痕引起的錯誤。

現代的硬碟機使用 CRC 代碼來檢測和里德 - 所羅門碼校正磁區讀取中的較小錯誤，以及從「損壞」的磁區恢復資料並將該資料儲存在備用磁區中。RAID 系統使用各種糾錯技術來糾正硬碟機出現完全故障時導致的錯誤。諸如 ZFS 或 Btrfs 等檔案系統以及部分 RAID 實現支援資料擦洗和彈性，這允許在使用之前檢測並希望恢復壞塊。恢復的資料可能被重寫到完全相同的物理位置，以備在同一硬體上的另一處壞塊，或者替換硬體。

### 錯誤糾正記憶體

動態隨機存取記憶體（DRAM）記憶體可以採用錯誤更正碼提供對軟性錯誤的增強保護。諸如糾錯記憶體（也稱 **ECC** 或'**EDAC 保護**記憶體）就是一種面向高容錯應用提供的記憶體，它適合伺服器以及要經受宇宙線增加考驗的深空應用。

錯誤糾正記憶體的控制器通常使用漢明碼，也有些使用三重冗餘模組。

交織允許通過將相鄰位與不同的字相關聯來分散單個宇宙射線對多個物理相鄰位的潛在破壞。只要一次單粒子翻轉在特定期間內不超過錯誤閾值（例如：單位元錯誤），它就可以被糾正（例如通過單位元錯誤更正碼），並使儲存系統維持在無錯誤的狀態。

除了通過 ECC 記憶體硬體提供此項特性外，作業系統通常也包含相關的報告措施，用以在軟錯誤被透明恢復時提供通知。軟錯誤的增加率可能預示著 DIMM 模組需要被更換，但在沒有相關手段的情況下，此類報告資訊不容易取得。例如，Linux 核心的 EDAC 子系統（以前稱為 bluesmoke）會在啟用錯誤檢查的電腦系統內部收集資料；除了收集和報告與 ECC 記憶體相關的事件外，它還支援其他校驗和錯誤，包括在 PCI 匯流排上檢測到的錯誤。

有幾個系統也支援記憶體刷洗。

## 參見

* 伯格碼
* 突發錯誤糾正碼
* 前向錯誤更正
* 自適應調變和編碼
* 錯誤檢測與糾正演算法列表
* 前向錯誤更正
* 雜湊函式列表
* 可靠性 (電腦網路)

## 參考資料

## 拓展閱讀

* Shu Lin; Daniel J. Costello, Jr. Error Control Coding: Fundamentals and Applications. Prentice Hall. 1983. ISBN 0-13-283796-X.

## 外部連結

* The on-line textbook: Information Theory, Inference, and Learning Algorithms （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），作者戴維・J・C・麥凱。章節包括有關基本錯誤更正碼，關於誤差校正的理論極限，以及最新、最前沿的錯誤糾正碼，例如低密度奇偶檢查碼、turbo codes 和噴泉碼。
* Compute parameters of linear codes （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） – 用於生成和計算參數的線上介面（例如線性誤差校正碼的最小距離、覆蓋半徑）。
* ECC Page（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* SoftECC: A System for Software Memory Integrity Checking （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* A Tunable, Software-based DRAM Error Detection and Correction Library for HPC （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Detection and Correction of Silent Data Corruption for Large-Scale High-Performance Computing （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）