里斯表示定理

在泛函分析中有多個有名的定理冠以**里斯表示定理**（英語：Riesz representation theorem），它們是為了紀念匈牙利數學家弗里傑什・里斯。

## 希爾伯特空間的表示定理

此定理說明希爾伯特空間的連續線性泛函都可以表示成內積。

**定理**： $H$ 是個複希爾伯特空間（也就是純量是複數），那對於任意連續線性泛函 $f:H\to \mathbb {C} $ ，存在唯一的 $v_{f}\in H$ 使得

　
: $f(h)=\langle v_{f},\,h\rangle $

證明的重點在於先證明 $f$ 的核 的正交補餘是 $H$ 的一維子空間，然後取那個子空間中一個非零元素 $z$ ，設 $v_{f}={\frac {f(z)\cdot z}{{\|z\|}^{2}}}$ 。

### 與狄拉克符號的關係

這個定理也是量子力學中的狄拉克符號於數學上合理的依據；也就是說，當機率幅 $\langle \psi |\phi \rangle $ 對每個任意態向量 $|\phi \rangle $ 都是連續的時候，可以視為每個左向量 $\langle \psi |$ （也就是表示躍遷到 $\psi $ 狀態的機率幅的線性泛函）都有一個相應的右向量 $|\psi \rangle $ 來同時代表同一個純態 $\psi $ ，因為根據以上的表現定理， $\langle \psi |\phi \rangle $ 就是 $|\psi \rangle $ 和 $|\phi \rangle $ 的內積。

## 里斯 - 馬可夫表示定理

### 歷史

歷史上，通常認為這個定理同時由里斯和弗雷歇發現

### 支集為緊的連續函數空間

 $C_{c}(X)$ 意為由所有支集為緊的連續函數 $f:X\to \mathbb {C} $ 所構成的函數空間。

**定理**： _$X$_ 是局部緊的郝斯多夫空間 ，則對正線性泛函 _$\Lambda :C_{c}(X)\to \mathbb {R} ^{+}$_ ，存在一個含有所有 _$X$_ 的博雷爾集的 Σ- 代數 _${\mathfrak {M}}$_ ，且存在唯一的測度 _$\mu :{\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} ^{+}\cup \{-\infty ,\,\infty \}$_ 使得

　
: $\Lambda (f)=\int _{X}f\,d\mu $

且（以下的條件稱為**正則的**） 

* 對所有 _$X$_ 的緊子集 _$K\subseteq X$_ ， _$\mu (K)\in \mathbb {R} $_ 。
* 若 _$E\in {\mathfrak {M}}$_ ，則 $\mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,\,U{\text{ is open}}\}$
* 若 _$E\in {\mathfrak {M}}$_ 且 _$\mu (E)\in \mathbb {R} $_ ，則 $\mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,\,K{\text{ is compact}}\}$
* 若 _$O$_ 為 _$X$_ 的開集，則 $\mu (O)=\sup\{\mu (K):K\subseteq O,\,K{\text{ is compact}}\}$

### 於無窮遠處消失的連續函數空間

里斯 - 馬可夫表示定理也有以下不同的版本：

設 $C_{0}(X)$ 為 _$X$_ 上所有在無窮遠處消失的連續函數 $f:X\to \mathbb {C} $ 所構成的函數空間。

**定理**： _$X$_ 是局部緊的郝斯多夫空間。則對有界線性泛函 _$\Lambda :C_{0}(X)\to \mathbb {R} $_ ，存在一個含有所有 _$X$_ 的博雷爾集的 Σ- 代數 _${\mathfrak {M}}$_ ，且存在唯一的**正則**測度 _$\mu :{\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\,\infty \}$_ 使得

　
: $\Lambda (f)=\int _{X}f\,d\mu $

且 _$\Lambda $_ 的範數是 _$\mu $_ 的全變差（英語：total variation），即

　
: $\|\Lambda \|=|\mu |(X).$

最後， _$\Lambda $_ 是正的若且唯若測度 _$\mu $_ 是非負的。

**注**： $C_{c}(X)$ 上的有界線性泛函可唯一地延拓為 $C_{0}(X)$ 上有界線性泛函，因為後一個空間是前者的閉包。但是 $C_{c}(X)$ 上一個無界正線性泛函不能延拓為 $C_{0}(X)$ 上一個有界線性泛函。因此前兩個結論應用的情形稍微不同。

## 參考文獻

* M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. _C. R. Acad. Sci. Paris_ **144**, 1414–1416.
* F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytiques des systèmes de fonctions sommables. _C. R. Acad. Sci. Paris_ **144**, 1409–1411.
* F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionelles linéaires. _C. R. Acad. Sci. Paris_ _149_, 974–977.
* J. D. Gray, The shaping of the Riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis, Archive for History in the Exact Sciences, Vol 31(3) 1984-85, 127-187.
* P. Halmos _Measure Theory_, D. van Nostrand and Co., 1950.
* P. Halmos, _A Hilbert Space Problem Book_, Springer, New York 1982 _(problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems)_.
* D. G. Hartig, The Riesz representation theorem revisited, _American Mathematical Monthly_, **90**(4), 277-280 _(A category theoretic presentation as natural transformation)_.
* Walter Rudin, _Real and Complex Analysis_, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.
* 埃里克・韋斯坦因. Riesz Representation Theorem. MathWorld.
* Proof of Riesz representation theorem for separable Hilbert spaces. PlanetMath.