超積

數學上，**超積**（英語：ultraproduct）是常見於抽象代數和數理邏輯（尤其模型論和集合論）的構造。超積是一族無窮多個結構之直積的商結構，不過要求該族結構具有相同的表徵。**超冪**（英語：ultrapower）則是超積中各因子為同一個結構的特殊情況。

舉例，給定一個域，可以用超冪構造出新的域。超實數域便是實數域的超冪之一。

超積有一些出奇的應用。用超積，可以寫出緊緻性定理與完備性定理的優雅證明。開斯勒的超冪定理，從代數角度刻劃了「初等等價」此種語義概念。亞伯拉罕・魯濱遜和埃利亞斯・扎孔（Elias Zakon）用超結構及其單同態的表示來構造分析的非標準模型，使非標準分析理論得以發展。魯濱遜正是用緊致性定理開拓此分支。

## 定義

超積的一般定義中，先選定指標集 $I$ 、對應每個下標 $i\in I$ 的結構 ${\mathcal {M}}_{i}$ （具相同的表徵），以及 $I$ 上的超濾子 ${\mathcal {U}}$ 。通常僅考慮 $I$ 為無窮集，且 ${\mathcal {U}}$ 不為主超濾子的情況，即 ${\mathcal {U}}$ 的元素有齊 $I$ 的全部餘有限子集，但無任何有限子集。原因是，在主超濾子的情況下，所得的超積只會與其中一個因子同構，並無新的性質。

笛卡兒積

　
: $\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}$

上的代數運算，是逐點計。例如，對於二元運算 $+$ ， $({\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {b}})_{i}=a_{i}+b_{i}$ 。然後，在笛氏積上，定義等價關係 $\sim $ ，使 ${\boldsymbol {a}}\sim {\boldsymbol {b}}$ 當且僅當

　
: $\left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in {\mathcal {U}}$

（應當理解為「 ${\boldsymbol {a}}$ 與 ${\boldsymbol {b}}$ 在大多數位置相等」）。

最後，所得的**超積**，是模 $\sim $ 的商集。所以，該超積有時記為

　
: $\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}.$

另一種看法是，在指標集 $I$ 上，定義一個有限可加的測度 $m$ （弱於一般可數可加的條件），僅取 $0,1$ 二值，若 $A\in {\mathcal {U}}$ 則稱 $m(A)=1$ ，否則稱 $m(A)=0$ 。然後在笛氏積中，兩個元素若在幾乎每個下標處皆相等，則視為等同。超積是如此生成的等價類的集合。

其他關係同理可作引申：

　
: $R([{\boldsymbol {a}}^{1}],\ldots ,[{\boldsymbol {a}}^{n}])\iff \left\{i\in I:R^{{\mathcal {M}}_{i}}(a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n})\right\}\in {\mathcal {U}},$

其中 $[{\boldsymbol {a}}]$ 表示 ${\boldsymbol {a}}$ 模 $\sim $ 所屬的等價類。

特別地，若每個 ${\mathcal {M}}_{i}$ 皆為有序域，則所得的超積亦然。

所謂**超冪**，意思是所有因子 ${\mathcal {M}}_{i}$ 皆相等的超積：

　
: ${\mathcal {M}}^{I}/{\mathcal {U}}=\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}/{\mathcal {U}}.\,$

也可以推廣到 ${\mathcal {U}}$ 不為超濾子，而僅為 $I$ 上普通一個濾子的情況。此時所得的模型 $\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}$ 稱為**約化積**（英語：reduced product）。

## 例子

超實數系是可數無窮多個（以自然數集編號）實數系的超積，其中所選的超濾子含有全部餘有限集。超實數系的大小次序擴展了實數之間的大小次序。例如， $\omega _{n}=n$ 的序列 $(\omega _{n})$ 所在的等價類，記為超實數 $\omega $ ，比任意實數都要大，因為對於任意實數 $r$ ， $(\omega _{n})$ 除有限項外皆比 $r$ 大。於是， $\omega $ 可以理解成無窮大數。

類似地，可以定義非標準整數系、非標準複數系等，為相應標準結構的超積。

又考慮以下例子，以便理解超積中關係的定義。設超實數 $\psi $ 為序列 $\psi _{n}=2n$ 所在的等價類。由於對每個 $n$ 都有 $\psi _{n}>n=\omega _{n}$ ，在超積中，有 $\psi >\omega $ ，所以 $\psi $ 是較原先構造出的 $\omega $ 更大的無窮大數。又考慮與 $\omega _{n}=n$ 類似的序列 $(\chi _{n})$ ，令 $n\neq 7$ 時， $\chi _{n}=n$ ，但 $\chi _{7}=8$ 。則雖然兩個序列 $(\chi _{n})\neq (\omega _{n})$ ，但兩者僅在有限個下標處不相等，故兩者相等的下標集合是超濾子的元素（因為是餘有限集），從而作為等價類，有 $\omega =\chi $ 。

大基數論中，有個標準構造是小心選取超濾子 ${\mathcal {U}}$ ，然後取整個集合論全類關於 ${\mathcal {U}}$ 的超積。此時， ${\mathcal {U}}$ 的性質，對於所得超積的（高階）性質影響很大。例如，若 ${\mathcal {U}}$ 可數完備，則相應的超積仍是良基的。該範例在可測基數 § 定義有提及。

## 沃希定理

**沃希定理**（英語：Łoś's theorem），又稱**超積基本定理**，由耶日・沃希所證（波蘭語發音：[ˈjɛʐɨ ˈwɔɕ]）。定理斷言，任何一條一階邏輯式在超積 $\prod {\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}$ 中為真，當且僅當使該公式在 ${\mathcal {M}}_{i}$ 中成立的指標 $i$ 的集合，是 ${\mathcal {U}}$ 的元素。後一個條件，可以直觀理解為「大多數」 ${\mathcal {M}}_{i}$ 皆認為該公式為真。嚴謹敍述如下：

> 
> 設有表徵 $\sigma $ ，指標集 $I$ ，其上的超濾子 ${\mathcal {U}}$ ，且對每個 $i\in I$ ，有 $\sigma $ 結構 ${\mathcal {M}}_{i}$ 。又設 ${\mathcal {M}}$ 為 ${\mathcal {M}}_{i}$ 關於 ${\mathcal {U}}$ 之超積，即 ${\mathcal {M}}=\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}$ 。則對任意 $n$ 個多元組 $a^{1},\ldots ,a^{n}\in \prod {\mathcal {M}}_{i}$ ，其中 $a^{k}=(a_{i}^{k})_{i\in I}$ ，以及對任意 $\sigma $ 公式 $\varphi $ ，
> 
> 　
> : ${\mathcal {M}}\models \varphi (a^{1},\ldots ,a^{n})\iff \left\{i\in I:{\mathcal {M}}_{i}\models \varphi (a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n})\right\}\in {\mathcal {U}}.$
> 
> 

定理對公式 $\varphi $ 的複雜度歸納得證。 ${\mathcal {U}}$ 為超濾子（而不僅是濾子）的性質，在加入否定的一步用到。而在加存在量詞的一步，要用到選擇公理。應用定理可得超實域的轉移原理。

### 實例

設 $R$ 為結構 ${\mathcal {M}}$ 上的一元關係，並構造 ${\mathcal {M}}$ 的超冪。則集合 $S=\{x\in {\mathcal {M}}:{\mathcal {M}}\models Rx\}$ 在超冪中有對應的子集 ${}^{*}S$ ，而在 ${\mathcal {M}}$ 中，對 $S$ 量化且為真的一階公式，將 $S$ 換成 ${}^{*}S$ 後，仍在超冪中成立。例如，設 ${\mathcal {M}}=\mathbb {R} $ 為實數集。設 $Rx$ 表示「 $x$ 為有理數」。則在 ${\mathcal {M}}$ 中，對每對有理數 $x<y$ ，總有無理數 $z$ 介於兩者之間。即：

　
: ${\mathcal {M}}\models (\forall x)(\forall y)(Rx\wedge Ry\wedge (x<y)\implies (\exists z)(\neg Rz\wedge x<z<y)).$

既然有理數集 $S$ 此一性質可以寫成一階命題，沃希定理推出，超有理數集 ${}^{*}S$ 仍有同一性質，即任意兩個超有理數之間，有一個不為超有理數的超實數（「超無理數」）。更一般地，超有理數集與有理數集具有完全一樣的一階性質。

然而，考慮實數的阿基米德性質，即不存在實數 $x$ 同時滿足 $x>1,\ x>1+1,\ x>1+1+1,\ \ldots $ 此列無窮多條不等式。阿基米德性質無法用一階邏輯表示，所以，沃希定理不適用於此性質，不能推導出超實數滿足阿基米德性質。正好相反，超實數不滿足阿基米德性質，例如前一節構造的超實數 $\omega $ ，就比 $1,\ 1+1,\ 1+1+1,\ \ldots $ 都要大。

## 超冪的正極限（超極限）

模型論和集合論中，常考慮一列超冪的正極限（範疇論的餘極限）。模型論中，此構造稱為**超極限**（英語：ultralimit）或**極限超冪**（英語：limiting ultrapower）。

從某結構 ${\mathcal {A}}_{0}$ 和超濾子 ${\mathcal {U}}_{0}$ 開始，構造出超冪 ${\mathcal {A}}_{1}$ ，並重複，得到 ${\mathcal {A}}_{2}$ 等。對每個 $n$ ，有典範對角嵌入 ${\mathcal {A}}_{n}\hookrightarrow {\mathcal {A}}_{n+1}$ 。在極限階段，如 ${\mathcal {A}}_{\omega }$ ，取此前所有結構的正極限，如此便可取超限多次超冪。

## 參見

* 緊緻性定理 —— 若可滿足一族一階句子的任意有限條，則可全部滿足
* 勒文海姆–斯科倫定理 —— 一階理論無法控制無窮模型的大小
* 轉移原理

## 參考資料

* Bell, John Lane; Slomson, Alan B. Models and Ultraproducts: An Introduction [模型與超積：導論] reprint of 1974. Dover Publications. 2006 [1969]. ISBN 0-486-44979-3 （英語）.
* Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H.P. A Course in Universal Algebra [泛代數教程] Millennium. 2000 [1981] [2021-10-23]. （原始內容存檔於 2005-01-23） （英語）.