连续统假设

**連續統假設**（英語：Continuum hypothesis，簡稱 **CH**）是數學中一個猜想，也是希爾伯特的 23 個問題的第一題，由康托爾提出，關於無窮集的可能大小。其為：

> 不存在一個基數絕對大於可數集而絕對小於實數集的集合。
> 
> 

康托爾引入了基數的概念以比較無窮集間的大小，也證明了整數集的基數絕對小於實集的基數。康托爾也就給出了連續統假設，就是說，在無限集中，比自然數集 $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,4,...\}$ 基數大的集合中，基數最小的集合是實數集。而連續統就是實數集的一個舊稱。

更加形式地說，自然數集的基數為 $\aleph _{0}$ （讀作「阿列夫零」）。而連續統假設的觀點認為實數集的基數為 $\aleph _{1}$ （讀作「阿列夫壹」）。於是，康托爾定義了絕對無限。

等價地，整數集的基數是 $\aleph _{0}$ 而實數的基數是 $2^{\aleph _{0}}$ ，連續統假設指出不存在一個集合 $S$ 使得

 $\aleph _{0}<|S|<2^{\aleph _{0}}.$ 假設選擇公理是對的，那就會有一個最小的基數 $\aleph _{1}$ 大於 $\aleph _{0}$ ，而連續統假設也就等價於以下的等式：

　
: $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.$

連續統假設有個更廣義的形式，叫作廣義連續統假設（GCH），其命題為：

> 對於所有的序數 $\alpha $ , $2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}.$
> 
> 

庫爾特・哥德爾在 1940 年用內模型法證明了連續統假設與 ZFC 的相對協調性（無法以 ZFC 證明為誤），保羅・柯恩在 1963 年用力迫法證明了連續統假設不能由 ZFC 推導。也就是說連續統假設獨立於 ZFC。

## 作為希爾伯特第一問題

1900 年，大衛・希爾伯特以「連續統假設是否成立」作為「希爾伯特第一問題」。Kurt Godel 和 Paul Cohen 確定了連續統假設在 ZFC 系統下，加上了選擇公理，也不能證明或證否。
連續統假設簡記 CH。選擇公理簡記 AC。

## 集合的大小

要正式地列出這個猜想，我們需要一些定義：假如兩個集合 _S_ 與 _T_ 之間存在著一個對射，我們會說這兩個集合擁有相同的基數。直觀的意思是在「_T_ 的每個元素只能配上僅僅一個 _S_ 的元素，反之亦然」這個前提下，把 _S_ 與 _T_ 的元素拿出來配對是可能的。因此，集合 {蕉，蘋果，橙} 與集合 {黃，紅，綠} 擁有相同基數。

當情況去到如整數集或有理數集等無窮集的情況時，事件就變得複雜得多。當考慮所有有理數的集合時，有些初學者可能會直覺地認為有理數理所當然地多於整數，而有理數又顯然少於實數，因此把連續統假設證否。但透過簡單集合論的方法，我們能證明有理數集能與整數集形成一對射，因此有理集跟整數集有著一樣的大小，而它們都被稱為可列集。對角論證法則證明了整數集跟連續統（實數集）的基數並不一樣。

連續統假設亦指出，實數集中每一個無窮子集，要麼和整數集有相同的基數，要麼和實數集有相同的基數。

## 證明或證否的不可能性（在 ZFC 系統下）

康托爾相信連續統假設是對的，花了很多年嘗試證明它，結果徒勞無功。它成為了希爾伯特那重要難題名單中的第一條，並在 1900 年巴黎的國際數學家大會上宣佈此事。在那個時候，還沒有公理化集合論的概念。

庫爾特・哥德爾在 1940 年指出連續統假設不能在 ZFC 系統下證否，即使接受了選擇公理為前提。保羅・寇恩在 1963 年證明了連續統假設同樣不能在 ZFC 下被證明。因此，連續統假設「邏輯地獨立於」ZFC。這些結果都是以 ZFC 的公設系統本身並不存在自相矛盾（相容性）為假設大前提，而這個大前提是被廣泛接受為對的。

連續統假設並非被證明跟 ZFC 互相獨立的第一個命題。哥德爾不完備定理一個立即的結論在 1931 年被發表，那是「『存在著一個正式命題表達 ZFC 的相容性』乃獨立於 ZFC」。有別於純粹數學的，這個一致的命題乃是有著在數學之上的特性。連續統假設和選擇公理乃是最先被證明跟 ZF 集合論獨立的命題。在 Paul Cohen 在 1960 年代發展出力迫法以前，這些獨立性的證明並沒有完成。

連續統假設與數學分析、點集拓撲學和測度論中很多的命題有緊密關係。由於其獨立性，很多這些範疇中的猜想也就被證明了其獨立性。

## 支持和反對連續統假設的辯論

哥德爾相信連續統假設是錯的，而他對於連續統假設相容性的證明，只表示了 ZF 系統的公理有缺陷。哥德爾是一個柏拉圖主義者，因此獨立於一個命題的可證性而宣稱其正確或錯誤，對他來說並無問題。寇恩也傾向於反對連續統假設。

歷史上，喜歡一個「豐富」而且「大」的全集的數學家傾向反對連續統假設；而喜歡一個「整齊」而且「可控制」的全集的數學家則傾向支持連續統假設。對於能推導出連續統假設的可建造公理，一直以來也有一些支持與反對的爭論。最近，Matthew Foreman 更指出本體論的多元主義對支持連續統假設有利（Maddy 1988, p. 500）。這是因為在各種模型裡面，支持連續統假設的模型往往會存在更多集合。

另一個觀點是對於集合的幼稚概念並不足夠明確地使我們能分辨究竟連續統假設是對是錯。這個觀點被「連續統假設對於 ZFC 系統的獨立性」所支持，由於這些公理足夠建立集合與基數的基本特性。要反對這一觀點，要是能展示一條既能被直觀所支持、又能從證明或證否面解決連續統假設的新公理，那就很足夠了。儘管可建造公理能解決連續統假設，但它比較起連續統假設的反題並不顯得更直觀地正確。

至少有另外兩個可推導出連續統假設的公理被提出，即使它們目前還沒有被數學社群所廣泛接受。在 1986 年，Chris Freiling 展示了一個反連續統假設的論點，透過顯示連續統的反題跟 Freiling 對稱公理──一個跟機率有關的命題──等價。Freiling 相信這條公理「直觀正確」，但其它人反對。一個由 W. Hugh Woodin 發展的困難論點同樣反連續統假設，並自 2000 年開始獲得了值得考慮的注意。Foreman (2003) 並沒有完全反對 Woodin 的論點但敦促小心謹慎。

## 廣義連續統假設

**廣義連續統假設**（**Generalized continuum hypothesis**，簡稱 **GCH**）是指：

　
: 若一個無限集 $A$ 的基數在另一個無限集 $S$ 與其冪集 $2^{S}$ 之間，則 $A$ 的基數必定與 $S$ 或其冪集 $2^{S}$ 相同。

**CH** 與 **GCH** 都獨立於 ZFC，不過瓦茨瓦夫・謝爾賓斯基證明了 ZF+GCH 可以推導出選擇公理，換句話說，不存在 ZF+GCH 但 AC 不成立的公設系統。

任何的無限集合 A 和 B，假如存在一個由 A 到 B 的單射，那就存在一個由 A 的子集到 B 的子集的單射。因此對於任何有限的序數 A 和 B，

　
: $A<B\to 2^{A}\leqslant 2^{B}$ .

假如 A 和 B 是有限集合，那我們可以得到更強的不等式：

　
: $A<B\to 2^{A}<2^{B}\!$

GCH 意味著這個嚴格的不等式對無限序數和有限序數都成立。

## 參考條目

* 艾禮富數
* 希爾伯特的 23 個問題
* ℶ 數
* 序數
* ZFC 系統無法確定的命題列表
* 首個不可數序數

## 參考資料

* Cohen, Paul Joseph. Set theory and the continuum hypothesis. Mineola, New York: Dover Publications. 2008 [1966]. ISBN 978-0-486-46921-8.
* Cohen, Paul J. The Independence of the Continuum Hypothesis. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. December 15, 1963, **50** (6): 1143–1148. Bibcode:1963PNAS...50.1143C. JSTOR 71858. PMC 221287 . PMID 16578557. doi:10.1073/pnas.50.6.1143.
* Cohen, Paul J. The Independence of the Continuum Hypothesis, II. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. January 15, 1964, **51** (1): 105–110. Bibcode:1964PNAS...51..105C. JSTOR 72252. PMC 300611 . PMID 16591132. doi:10.1073/pnas.51.1.105.
* Dales, H. G.; Woodin, W. H. An Introduction to Independence for Analysts. Cambridge. 1987.
* Dauben, Joseph Warren. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Princeton University Press. 1990: 134–137. ISBN 9780691024479.  含有內容需登入查看的頁面 (link)
* Enderton, Herbert. Elements of Set Theory. Academic Press. 1977.
* Feferman, Solomon. Does mathematics need new axioms?. American Mathematical Monthly. February 1999, **106** (2): 99–111. CiteSeerX 10.1.1.37.295 . doi:10.2307/2589047.
* Feferman, Solomon. Is the Continuum Hypothesis a definite mathematical problem? (PDF). Exploring the Frontiers of Independence (Harvard lecture series). 2011 [2021-01-31]. （原始內容存檔 (PDF) 於 2021-05-07）.
* Foreman, Matt. Has the Continuum Hypothesis been Settled? (PDF). 2003 [February 25, 2006]. （原始內容存檔 (PDF) 於 2021-04-13）.
* Freiling, Chris. Axioms of Symmetry: Throwing Darts at the Real Number Line. Journal of Symbolic Logic (Association for Symbolic Logic). 1986, **51** (1): 190–200. JSTOR 2273955. doi:10.2307/2273955.
* Gödel, K. The Consistency of the Continuum-Hypothesis. Princeton University Press. 1940.
* Gillman, Leonard. Two Classical Surprises Concerning the Axiom of Choice and the Continuum Hypothesis (PDF). American Mathematical Monthly. 2002, **109** [2021-01-31]. doi:10.2307/2695444. （原始內容存檔 (PDF) 於 2021-04-14）.
* Gödel, K.: _What is Cantor's Continuum Problem?_, reprinted in Benacerraf and Putnam's collection _Philosophy of Mathematics_, 2nd ed., Cambridge University Press, 1983. An outline of Gödel's arguments against CH.
* Goldrei, Derek. Classic Set Theory. Chapman & Hall. 1996.
* Goodman, Nicolas D. Mathematics as an objective science. The American Mathematical Monthly. 1979, **86** (7): 540–551. MR 0542765. doi:10.2307/2320581. This view is often called formalism. Positions more or less like this may be found in Haskell Curry [5], Abraham Robinson [17], and Paul Cohen [4].
* Hamkins, Joel David. The set-theoretic multiverse. Rev. Symb. Log. 2012, **5** (3): 416–449.
* Hayden, Seymour; Kennison, John F. Zermelo-Fraenkel Set Theory. Columbus, Ohio: Charles E. Merrill Publishing Company. 1968: 147, exercise 76.
* Jourdain, Philip E. B. On transfinite cardinal numbers of the exponential form. Philosophical Magazine. Series 6. 1905, **9**: 42–56 [2021-01-31]. doi:10.1080/14786440509463254. （原始內容存檔於 2021-04-13）.
* Koellner, Peter. The Continuum Hypothesis (PDF). Exploring the Frontiers of Independence (Harvard lecture series). 2011a [2021-01-31]. （原始內容存檔 (PDF) 於 2021-04-27）.
* Koellner, Peter. Feferman On the Indefiniteness of CH (PDF). 2011b [2021-01-31]. （原始內容存檔 (PDF) 於 2021-05-06）.
* Kunen, Kenneth. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Amsterdam: North-Holland. 1980. ISBN 978-0-444-85401-8.
* Maddy, Penelope. Believing the Axioms, I. Journal of Symbolic Logic (Association for Symbolic Logic). June 1988, **53** (2): 481–511. JSTOR 2274520. doi:10.2307/2274520.
* Martin, D. (1976). "Hilbert's first problem: the continuum hypothesis," in _Mathematical Developments Arising from Hilbert's Problems,_ Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII, F. Browder, editor. American Mathematical Society, 1976, pp. 81–92. ISBN 0-8218-1428-1
* McGough, Nancy. The Continuum Hypothesis. [2007-09-20]. （原始內容存檔於 2021-04-18）.
* Merimovich, Carmi. A power function with a fixed finite gap everywhere. Journal of Symbolic Logic. 2007, **72** (2): 361–417. MR 2320282. arXiv:math/0005179 . doi:10.2178/jsl/1185803615.
* Moore, Gregory H. Early history of the generalized continuum hypothesis: 1878–1938. Bulletin of Symbolic Logic. 2011, **17** (4): 489–532. MR 2896574. doi:10.2178/bsl/1318855631.
* Shelah, Saharon. Logical dreams. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 2003, **40** (2): 203–228. arXiv:math/0211398 . doi:10.1090/s0273-0979-03-00981-9.
* Woodin, W. Hugh. The Continuum Hypothesis, Part I (PDF). Notices of the AMS. 2001a, **48** (6): 567–576 [2007-09-20]. （原始內容存檔 (PDF) 於 2012-04-04）.
* Woodin, W. Hugh. The Continuum Hypothesis, Part II (PDF). Notices of the AMS. 2001b, **48** (7): 681–690 [2007-09-20]. （原始內容存檔 (PDF) 於 2021-05-06）.
* Cantor, Georg. Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 1878, **84** (84): 242–258 [2021-01-31]. doi:10.1515/crll.1878.84.242. （原始內容存檔於 2021-02-05）.
* Patai, L. Untersuchungen über die א-reihe. Mathematische und naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. 1930, **37**: 127–142.
* 左孝凌，李為鑑，劉永才。離散數學。上海科學技術文獻出版社. 1982. ISBN 978-7-8051-3069-9.

## 外部連結

本條目含有來自 PlanetMath《Generalized continuum hypothesis》的內容，版權遵守創用 CC 協議：署名 - 相同方式共享協議。