輻射轉移

**輻射轉移**（**Radiative transfer**）是以電磁輻射形式進行能量轉移的物理現象。經由介質傳播的輻射會受到吸收、發射和散射的影響。輻射轉移方程式就是以數學方式描述這些交互作用。輻射轉移的方程式被廣泛應用在光學、天文物理學、大氣科學和遙測上。輻射轉移方程式的解析解在單純狀況下存在，但在包含複雜多重散射效應的實際狀況下必須使用數值解方式。

本條目主要集中在輻射平衡
：

## 定義

輻射轉移方程式是描述一個在輻射場中，傳統上稱為「輻射比強度」，現在稱為「輻射率」的基本量。如果我們考慮一個輻射場中極小的單位面積，將會有輻射能通過該區域。該區域的流量可以被單位時間和單位立體角的流量指定，並確定其方向；而波長間隔也將被考慮（極化在這裡被忽略）。

在光譜輻射中， $I_{\nu }$ 是經由單位面積 $da\,$ 、距離 $\mathbf {r} $ 、時間 $dt\,$ 、立體角 $d\Omega $ 和方向 ${\hat {\mathbf {n} }}$ 以及頻率間隔 $\nu \,$ 到 $\nu +d\nu \,$ 時的能量：

　
: $dE_{\nu }=I_{\nu }(\mathbf {r} ,{\hat {\mathbf {n} }},t)\cos \theta \ d\nu \,da\,d\Omega \,dt$

這裡 $\theta $ 是單位向量 ${\hat {\mathbf {n} }}$ 和單位面積垂直方向的夾角。輻射率單位是以能量 / 時間 / 面積 / 立體角 / 頻率表示。MKS 單位制之下將是 W・m-2·sr-1·Hz-1。

## 輻射轉移方程式

輻射轉移方程式簡單來說就是一束輻射在傳播時因為吸收失去能量、發射過程獲得能量、以及因為散射使能量重分配的過程。輻射轉移方程式的微分方程形式如下：

 

　
: ${\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}I_{\nu }+{\hat {\Omega }}\cdot \nabla I_{\nu }+(k_{\nu ,s}+k_{\nu ,a})I_{\nu }=j_{\nu }+{\frac {1}{4\pi c}}k_{\nu ,s}\int _{\Omega }I_{\nu }d\Omega $

在這裡 $j_{\nu }$ 是發射係數、 $k_{\nu ,s}$ 是散射截面、而 $k_{\nu ,a}$ 是吸收截面。

## 輻射轉移方程式的解

輻射轉移方程式的解需要相當大量的工作。不過這可基於各種形式的吸收和發射係數。如果將散射忽略，發射和吸收係數的通解可以寫成：

　
: $I_{\nu }(s)=I_{\nu }(s_{0})e^{-\tau (s_{0},s)}+\int _{s_{0}}^{s}j_{\nu }(s')e^{-\tau (s',s)}\,ds'$

這裡 $\tau (s_{1},s_{2})$ 是 $s_{1}$ 和 $s_{2}$ 之間的大氣層光深度：

　
: $\tau (s_{1},s_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{s_{1}}^{s_{2}}\alpha _{\nu }(s)\,ds$

### 局部熱力學平衡

一個特別有用的輻射轉移方程式簡化是局部熱力學平衡（Local Thermodynamic Equilibrium, LTE）狀態。這個狀態之下大氣層包含大量互相平衡的粒子，因此有一個可定義的溫度。但輻射場並非處在平衡狀態，並且是由大量存在的粒子驅動。在局部熱力學平衡的大氣中，只有發射係數和吸收係數是溫度和密度函數，並且和以下方程式相關：

　
: ${\frac {j_{\nu }}{\alpha _{\nu }}}=B_{\nu }(T)$

這裡 $B_{\nu }(T)$ 是溫度 _T_ 之下的黑體輻射能量密度。該輻射轉移方程式的解：

　
: $I_{\nu }(s)=I_{\nu }(s_{0})e^{-\tau (s_{0},s)}+\int _{s_{0}}^{s}B_{\nu }(T(s'))\alpha _{\nu }(s')e^{-\tau (s',s)}\,ds'$

了解了大氣層溫度和密度分布之後就足以計算輻射轉移方程式的解。

### 愛丁頓近似

愛丁頓近似是雙流近似的特例。它可以在平面平行大氣層中各向同性的與頻率無關散射狀態下得知輻射率。假設輻射強度是 $\mu =\cos \theta $ 的線性方程式，即：

　
: $I_{\nu }(\mu ,z)=a(z)+\mu b(z)$

這裡 $z$ 是平面區域大氣層的垂直方向。注意， $\mu $ 是角積分的簡化形式，因為 $d\mu =-\sin \theta d\theta $ 是在球座標系下的雅可比矩陣積分形式。

關於 $\mu $ 產生輻射率可用以下公式解釋：

　
: $J_{\nu }={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}I_{\nu }d\mu =a$

　
: $H_{\nu }={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}\mu I_{\nu }d\mu ={\frac {b}{3}}$

　
: $K_{\nu }={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}\mu ^{2}I_{\nu }d\mu ={\frac {a}{3}}$

因此愛丁頓近似相當於 $K_{\nu }=1/3J_{\nu }$ 。愛丁頓近似的高階版本也是存在的，並且包含更複雜的強度線性關係。這額外的公式可以作為截斷系統的封閉關係。

請注意，前兩個部分有簡單的物理意義。 $J_{\nu }$ 是一個點上的各同向性強度，而 $H_{\nu }$ 是經由該點 $z$ 方向的流量。

在局部熱力學平衡下的各同向性散射大氣層狀況下的輻射轉移方程式是：

　
: $\mu {\frac {dI_{\nu }}{dz}}=-\alpha _{\nu }(I_{\nu }-B_{\nu })+\sigma _{\nu }(J_{\nu }-I_{\nu })$

積分所有的角度可得知：

　
: ${\frac {dH_{\nu }}{dz}}=\alpha _{\nu }(B_{\nu }-J_{\nu })$

自左方乘上 $\mu $ ，接著積分所有的角度可得到：

　
: ${\frac {dK_{\nu }}{dz}}=-(\alpha _{\nu }+\sigma _{\nu })H_{\nu }$

以封閉關係取代，並進行 $z$ 方向相關積分讓以上兩個公式合併成輻射擴散方程式：

　
: ${\frac {d^{2}J_{\nu }}{dz^{2}}}=3\alpha _{\nu }(\alpha _{\nu }+\sigma _{\nu })(J_{\nu }-B_{\nu })$

該方程式表示了在散射為主的系統中，光深度的效果會和散射不透明造成的效果明顯不同，如果吸收不透明度小的話。

## 參見

* 吸收 (光學)
* 原子譜線
* 比爾－朗伯定律
* 發射光譜
* 大氣輻射轉移模型
* 散射
* 輻射率
* 輻射比強度
* 希沃特積分

## 延伸閱讀

* Subrahmanyan Chandrasekhar. Radiative Transfer. Dover Publications Inc. 1960: 393. ISBN 0-486-60590-6.
* Jacqueline Lenoble. Radiative Transfer in Scattering and Absorbing Atmospheres: Standard Computational Procedures. A. Deepak Publishing. 1985: 583. ISBN 0-12-451451-0.
* Grant Petty. A First Course in Atmospheric Radiation (2nd Ed.). Sundog Publishing (Madison, Wisconsin). 2006. ISBN 0-9729033-1-3.
* Dimitri Mihalas, Barbara Weibel-Mihalas. Foundations of Radiation Hydrodynamics. Dover Publications, Inc. 1984. ISBN 0-486-40925-2.
* George B. Rybicki, Alan P. Lightman. Radiative Processes in Astrophysics. Wiley-Interscience. 1985. ISBN 0-471-82759-2.
* G. E. Thomas and K. Stamnes. Radiative Transfer in the Atmosphere and Ocean. Cambridge University Press. 1999. ISBN 0-521-40124-0.

## 參考資料