超橢圓

**超橢圓**（英語：superellipse）也稱為**拉梅曲線**（Lamé curve），是在笛卡兒坐標系下滿足以下方程式的點的集合：

　
: $|{\frac {x}{a}}|^{n}\!+|{\frac {y}{b}}|^{n}\!=1$

其中 _n_、_a_ 及 _b_ 為正數。

上述方程式的解會是一個在−_a_ ≤ _x_ ≤ +_a_ 及−_b_ ≤ _y_ ≤ +_b_ 長方形內的封閉曲線，參數 _a_ 及 _b_ 稱為曲線的**半直徑**（semi-diameters）。

_n_ 在 0 和 1 之間時，超橢圓的圖形類似一個曲線的四角星，四邊的曲線往內凹。

_n_ 為 1 時，超橢圓的圖形為一菱形，四個頂點為（±_a_, 0）及（0, ±_b_）。_n_ 在 1 和 2 之間時，超橢圓的圖形類似菱形，四個頂點位置相同，但四邊是往外凸的曲線，越接近頂點，曲線的曲率越大，頂點的曲率趨近無限大。

_n_ 為 2 時，超橢圓的圖形即為橢圓（若 _a_ = _b_ 時則為一個圓形）。當 _n_ 大於 2 時，超橢圓的圖形看似四角有圓角的長方形，曲線的曲率在（±_a_, 0）及（0, ±_b_）四點為 0。_n_ 為 4 的超橢圓也稱為方圓形。

_n_< 2 的超橢圓也稱為**次橢圓**（hypoellipse），_n_> 2 的超橢圓則稱為**過橢圓**（hyperellipse）。

當 _n_≥ 1，且 _a_ = _b_=1 時的超橢圓是二維 Lp 空間下的單位圓，_n_ 即為其 p - 範數。

超橢圓的極點為（±_a_, 0）及（0, ±_b_），而其四個「角」為（±_sa, ±sb_），其中 $s=2^{-{\frac {1}{n}}}$ 。

## 數學性質

當 _n_ 為一個非零的有理數 _p_/_q_（最簡分數形式），則超橢圓為一平面代數曲線。若 _n_ 為正數，其曲線次數為 _pq_，若 _n_ 為負數，其曲線次數為 2_pq_。若 _a_ 和 _b_ 均為 1 且 _n_ 為偶數，則此超橢圓為一 _n_ 次的費馬曲線，此時超橢圓沒有奇點，但一般而言超橢圓中會有有奇點。

超橢圓的參數方程如下：

　
: $\left.{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \\y\left(\theta \right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}\theta \end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}$

或

　
: ${\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta }|^{\frac {2}{n}}\times a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin }\theta |^{\frac {2}{n}}\times b\operatorname {sgn}(\sin \theta )\end{aligned}}$

超橢圓內的面積可以用 Γ 函數 Γ(_x_) 來表示：

　
: $\ S$ = $\Gamma (x)=4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}}.$

其垂足曲線較容易計算，而以下曲線的垂足曲線

　
: $\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}\!+\left({\frac {y}{b}}\right)^{n}\!=1$

可以用極坐標方式來表示：

　
: $(a\cos \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}+(b\sin \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}=r^{\tfrac {n}{n-1}}.$

## 延伸

超橢圓可以延伸為以下的形式：

　
: $\left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m,n>0.$

或

　
: ${\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{m}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin \theta ).\end{aligned}}$

其中的 $\theta $ **不是**表示角度，只是方程式的一個參數。

## 歷史

超橢圓在笛卡兒坐標系下的表示式是由 1795 年出生的法國數學家加布里埃爾・拉梅，由橢圓的方程式擴展而得。

字體設計師赫爾曼・察普夫在 1952 年設計的 Melior 字體，利用超橢圓作為字母 _o_ 的外形。三十年後高德納設法選擇了介於橢圓及超橢圓之間的曲線（兩者都用樣條函數近似），作為他的 Computer Modern 字體。

1959 年時瑞典斯德哥爾摩提出了其市中心賽格爾廣場圓環的設計競賽。丹麥詩人皮亞特・海恩 (1905–1996) 的設計以是一個 _n_ = 2.5，_a_/_b_ = 6/5 的超橢圓為基礎。他的說明如下：

　
: 人是唯一一種會畫線然後將自己絆倒的動物。整個文明的推進有二個不同的取向：一種以直線及長方形為主，另一種則圓弧線為主。二種取向都有其機構上及心理上的原因。直線的事物可以放在一起，節省空間。而圓的東西很簡單，容易移動。但我們常常會陷入要在二者中選擇一個的困境，此時往往是介於二者中間的事物會更合適。隨意繪製的作品－例如以往在斯德哥爾摩出現過的圓環－無法達到這一點。它不是一個固定的形狀，也不像圓或方形有明確的定義，在美感上有所不足。超橢圓解決了這一個問題，它介於圓和長方形之間，既不是圓也不是長方形。它是一個有固定形狀、有明確定義的一個整體。

賽格爾廣場在 1967 年完成，而皮亞特・海恩繼續在其他的藝術品中使用超橢圓，包括牀、碟子、桌子等。皮亞特・海恩將超橢圓以長軸為軸心旋轉，形成了一個立體的超級蛋，其特點是可以平面上直立，不會倒下，因此變成一個特別的玩具。

1968 年在巴黎在為越戰談判時，談判者不滿意談判桌的外形，Balinski、Kieron Underwood 及 Holt 在一封寄給紐約時報的信件中建議以超橢圓作為談判桌的外形。1968 年由墨西哥城主辦奧運時，也以超橢圓為阿茲特克體育場的外形。

沃爾多・托布勒在 1973 年提出了托布勒超橢圓投影，其中的經線就是用超橢圓來表示。

美式足球球隊匹茲堡鋼人的標誌是三個相連的超橢圓。

## 相關條目

* 星形線，_n_= 2/3，且 _a_ = _b_ 的超橢圓，是四尖瓣的內擺線。
  * 三尖瓣線，是三尖瓣的內擺線。
* 方圓形，_n_= 4，且 _a_ = _b_ 的超橢圓，看起來像是「正方形的輪子」。
  * 勒洛三角形，看起來像是「三角形的輪子」。
* 超公式，超橢圓的延伸。
* 超二次曲面，三維下的超橢圓。
* 超橢圓曲線，方程為 _Y_n = _f_(_X_) 的曲線。

## 參考資料