退化三角形

**三角形**，又稱**三邊形**（英語： Triangle），是由三條線段順次首尾相連，或不共線的三點兩兩連接，所組成的一個閉合的平面幾何圖形，是最基本和最少邊的多邊形。

一般用大寫英語字母 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 為三角形的頂點標號；用小寫英語字母 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 表示邊；用 $\alpha $ 、 $\beta $ 和 $\gamma $ 給角標號，又或者以 $\angle ABC$ 這樣的頂點標號來表示。

## 分類

### 以角度分類

#### 銳角三角形

銳角三角形的所有內角均為銳角。

#### 鈍角三角形

鈍角三角形是其中一角為鈍角的三角形，其餘兩角均小於 90°。

#### 直角三角形

有一個角是直角（90°）的三角形為直角三角形。成直角的兩條邊稱為「直角邊」（cathetus），直角所對的邊是「斜邊」（hypotenuse）；或最長的邊稱為「弦」，底部的一邊稱作「勾」（又作「句」），另一邊稱為「股」。斜邊乘上斜邊上的高 ÷2 = 勾股相乘 ÷2 = 此直角三角形面積（ch=ab）

#### 三角函數

直角三角形各邊與角度的關係，可以三角比表示。

### 以邊長分類

#### 不等邊三角形

三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形。

#### 等邊三角形

等邊三角形（又稱正三角形），為三邊相等的三角形。其三個內角相等，均為 60°。它是銳角三角形的一種。設其邊長是 $a$ ，則其面積公式為 ${\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$ 。

等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個邊長相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形。

#### 等腰三角形

等腰三角形是三條邊中有兩條邊相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的兩條相等的邊被稱為「腰」，而另一條邊被稱為「底邊」，兩條腰交叉組成的那個點被稱為「頂點」，它們組成的角被稱為「頂角」。

等邊三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。

令其底邊是 $b$ ，腰是 $a$ ，則其面積公式為 ${\frac {1}{4}}{b{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}$ 等腰三角形的對應高，角平分線和中線重合。

#### 退化三角形

退化三角形是指面積為零的三角形。滿足下列條件之一的三角形即可稱為退化三角形：三個內角的度數為 (180°,0°,0°) 或 (90°,90°,0°)；三邊其中一條邊的長度為 0；一條邊的長度等於另外兩條之和。有人認為退化三角形並不能算是三角形，這是由於它介乎於三角不等式之間，在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。

## 勒洛三角形

勒洛三角形（英語：Reuleaux triangle），也譯作萊洛三角形或弧三角形，又被稱為劃粉形或曲邊三角形，是除了圓形以外，最簡單易懂的勒洛多邊形，一個定寬曲線。將一個曲線圖放在兩條平行線中間，使之與這兩平行線相切，則可以做到：無論這個曲線圖如何運動，只要它還是在這兩條平行線內，就始終與這兩條平行線相切。這個定義由十九世紀的德國工程師弗朗茨・勒洛命名。

## 一般性質

### 三角不等式

* 三角邊長不等式

　
: 三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差的絕對值小於第三邊。如果兩者相等，則是退化三角形。
* 三角內外角不等式

　
: 三角形任意一個外角大於不相鄰的一個內角。

### 角度

* 三角形外角

　
: 三角形兩內角之和，等於第三角的外角。
* 三角形內角和

　
: 在歐幾里德平面內，三角形的內角和等於 180°。

### 畢氏定理

畢氏定理，又稱畢氏定理或畢達哥拉斯定理。其斷言，若直角三角形的其中一邊 $c$ 為斜邊，即 $c$ 的對角 $\gamma =90^{\circ }$ ，則

　
: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 。

畢氏定理的逆定理亦成立，即若三角形滿足

　
: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ，

則

　
: $\gamma =90^{\circ }$

### 正弦定理

設 $R$ 為三角形外接圓半徑，則

　
: ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R$

### 餘弦定理

對於任意三角形：

　
: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha ,$

　
: $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta ,$

　
: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma .$

畢氏定理是本定理的特殊情況，即當角 $\alpha =90^{\circ }\,$ 時， $\cos \alpha =0$ ，於是 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha $ 化簡為 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ 。

## 全等及相似

### 全等三角形

三角形具有穩定性，若二個三角形有以下的邊角關係確定後，它的形狀、大小就不會改變，二個三角形即為全等三角形。全等三角形的判斷準則有以下幾種：

* SSS（Side-Side-Side，邊、邊、邊）：各三角形的三條邊的長度都對應地相等。
* SAS（Side-Angle-Side，邊、角、邊）：各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等，且兩條邊夾著的角都對應地相等。
* ASA（Angle-Side-Angle，角、邊、角）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且兩個角夾著的邊都對應地相等。
* RHS（Right Angle-Hypotenuse-Side，直角、斜邊、邊）：在直角三角形中，斜邊及另外一條直角邊對應地相等。
* AAS（Angle-Angle-Side，角、角、邊）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且其中一組對應角的對邊也對應地相等。

SSA（Side-Side-Angle、邊、邊、角）不能保證兩個三角形全等，除非該角大於等於 90°，此時可以保證全等。

### 相似三角形

* AA（Angle-Angle，角、角）：各三角形的其中兩個角的都對應地相等。（或稱 AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角））
* 三邊成比例（3 sides proportional）：各三角形的三條邊的長度都成同一比例。
* 兩邊成比例且夾角相等（ratio of 2 sides, inc.∠）：各三角形的兩條邊之長度都成同一比例，且兩條邊之夾角都對應地相等。（或稱 2 sides proportional, inc. ∠ equal）

## 特殊線段

三角形中有著一些特殊線段，是三角形研究的重要對象。

* 中線（median）：三角形一邊中點與這邊所對頂點的連線段。
* 高線（altitude）：從三角形一個頂點向它的對邊所作的垂線段。
* 角平分線（angle bisector）：平分三角形一角、一個端點在這一角的對邊上的線段。
* 垂直平分線（perpendicular bisector）：通過三角形一邊中點與該邊所垂直的線段，又稱中垂線。

以上特殊線段，每個三角形均有三條，且三線共點。

### 中線長度

設在 $\Delta ABC\,$ 中，若三邊 $a$ 、 $b$ 、 $c\,$ 的中線分別為 $m_{a}$ 、 $m_{b}$ 、 $m_{c}$ ，則：

　
: $m_{a}={\sqrt {{\frac {1}{2}}b^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}a^{2}}}$

　
: $m_{b}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}b^{2}}}$

　
: $m_{c}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}b^{2}-{\frac {1}{4}}c^{2}}}$

### 高線長度

設在 $\Delta ABC\,$ 中，連接三個頂點 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 上的高分別記作 $h_{a}$ 、 $h_{b}$ 、 $h_{c}$ ，則：

　
: $h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}$

　
: $h_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{b}}$

　
: $h_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{c}}$

其中 $s={\frac {a+b+c}{2}}$ 。

### 角平分線長度

設在 $\Delta ABC\,$ 中，若三個角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的角平分線分別為 $t_{a}$ 、 $t_{b}$ 、 $t_{c}$ ，則：

　
: $t_{a}={\frac {1}{b+c}}{\sqrt {\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)bc}}$

　
: $t_{b}={\frac {1}{a+c}}{\sqrt {\left(a+c+b\right)\left(a+c-b\right)ac}}$

　
: $t_{c}={\frac {1}{a+b}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)ab}}$

## 三角形的心

三角形的內心、外心、垂心及形心稱為三角形的四心，定義如下：

關於三角形的四心，有這樣的一首詩：

 

 

 

 

 

 

垂心（藍）、形心（黃）和外心（綠）能連成一線，且成比例 1:2，稱為歐拉線，與九點圓的圓心（紅）四點共線，為垂心和形心線段的中點。

連同以下的旁心，合稱為三角形的五心：

## 外接圓和內切圓半徑

設外接圓半徑為 $R$ ， 內切圓半徑為 $r$ ，則：

　
: $R={\frac {abc}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}}={\frac {abc}{4\triangle }}$

　
: $r={\frac {\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}{2\left(a+b+c\right)}}={\frac {\triangle }{s}}$

其中 $\triangle $ 為三角形面積； $s$ 為三角形半周長， $s={\frac {a+b+c}{2}}$

## 面積

### 基本公式

三角形的面積 $A$ 是底邊 $b$ 與高 $h$ 乘積的一半，即：

　
: $A={\frac {1}{2}}bh$ ，

其中的高是指底邊與對角的垂直距離。

### 已知兩邊及其夾角

設 $a$ $b$ 為已知的兩邊， $\gamma $ 為該兩邊的夾角，則三角形面積是：

　
: $A={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }$ 。

### 已知兩角及其夾邊

 $\beta $ 、 $\gamma $ 為已知的兩角， $a$ 為該兩角的夾邊，則三角形面積是：

　
: $A={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}}$ 。

### 已知三邊長

海龍公式，其表示形式為：

　
: $A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}$ ，

其中 $s$ 等於三角形的半周長，即：

　
: $s={\frac {a+b+c}{2}}$

秦九韶亦求過類似的公式，稱為**三斜求積法**：

　
: $A={\sqrt {{\frac {1}{4}}{\left[c^{2}a^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}}$

也有用冪和來表示的公式：

　
: ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\\end{aligned}}$

亦可用 Cayley–Menger 行列式表示的公式：

　
: $16\cdot A^{2}=-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\\\end{vmatrix}}$

基於海倫公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。設 $a\geq b\geq c$ ，三角形面積為：

　
: $A={\frac {1}{4}}{\sqrt {[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}}$ 。

### 已知坐標系中三頂點坐標

由 $(x_{1},y_{1})$ 、 $(x_{2},y_{2})$ 及 $(x_{3},y_{3})$ 三個頂點構成的三角形，其面積可用行列式的絕對值表示：

　
: $A=\left|{\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}\right|$

若三個頂點設在三維座標繫上，即由 $(x_{1},y_{1},z_{1})$ 、 $(x_{2},y_{2},z_{2})$ 及 $(x_{3},y_{3},z_{3})$ 三個頂點構成三角形，其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和，即：

　
: $A={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{1}&z_{1}&1\\y_{2}&z_{2}&1\\y_{3}&z_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{1}&x_{1}&1\\z_{2}&x_{2}&1\\z_{3}&x_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}}}$

### 已知周界及內切圓或外接圓半徑

設三角形三邊邊長分別為 $a$ 、 $b$ 及 $c$ ，三角形半周長（ ${\frac {a+b+c}{2}}$ ）為 $s$ ，內切圓半徑為 $r$ ，則：

　
: $A=sr$

若設外接圓半徑為 $R$ ，則：

　
: $A={\frac {abc}{4R}}$

### 已知兩邊向量

設從一角出發，引出兩邊的向量為 $\mathbf {a} $ 及 $\mathbf {b} $ ，三角形的面積為：

　
: $A={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |$

## 半角定理

在三角形 $ABC\,$ 中，三個角的半角的正切和三邊有如下關係：

　
: ${\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+c-b)(a+b-c)}{(a+b+c)(b+c-a)}}}\\\tan {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}}\\\tan {\frac {C}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}}\\\end{aligned}}$

## 其他有關三角形的定理

* 外角定理
* 拿破崙三角形
* 費馬點
* 歐拉線
* 梅涅勞斯定理
* 樞紐定理
* 維維亞尼定理
* 莫雷角三分線定理

## 註釋

## 參考資料

## 參看

* 三角學
* 三 - 橢圓形