超球坐標系

**_n_ 維球面**是普通的球面在任意維度的推廣。它是 (_n_+ 1) 維空間內的 _n_ 維流形。特別地，0 維球面就是直線上的兩個點，1 維球面是平面上的圓，2 維球面是三維空間內的普通球面。高於 2 維的球面有時稱為**超球面**。中心位於原點且半徑為單位長度的 _n_ 維球面稱為**單位 _n_ 維球面**，記為 _S_n。用符號來表示，就是：

　
: $S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\|x\|=1\right\}.$

_n_ 維球面是 (_n_+ 1) 維球體的表面或邊界，是 _n_ 維流形的一種。對於 _n_ ≥ 2，_n_ 維球面是單連通的 _n_ 維流形，其曲率為正的常數。

## 描述

對於任何自然數 _n_，半徑為 _r_ 的 _n_ 維球面定義為 (_n_+ 1) 維歐幾里得空間中到某個定點的距離等於常數 _r_ 的所有點的集合，其中 _r_ 可以是任何正的實數。它是 (_n_+ 1) 維空間內的 _n_ 維流形。特別地：

* 0 維球面是直線上的兩個點 {_p_ − _r_, _p_ + _r_}；
* 1 維球面是平面上的圓；
* 2 維球面是三維空間內的普通球面；
* 3 維球面是四維空間內的球面。

### (_n_ + 1) 維空間中的歐幾里得坐標

(_n_ + 1) 維空間中的點：(_x_1、_x_1、_x_2、……、_x_n+1) 定義了一個 _n_ 維球面 (**S**n)，由以下方程式表示：

　
: $r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-C_{i})^{2}.\,$

其中 _C_ 是中心點，_r_ 是半徑。

以上的 _n_ 維球面在 (_n_+ 1) 維空間中存在，是 _n_ 維流形的一個例子。半徑為 $r$ 的 _n_ 維球面的體積形式 ω 由下式給出：

　
: $\omega ={1 \over r}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}=*dr$

其中 \* 是霍奇星算子（關於討論和這個公式在 _r_= 1 的情形下的證明，請參見 Flanders (1989，§6.1)）。因此， $\scriptstyle {dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}}.$

### _n_ 維球體

由 _n_ 維球面所包圍的體積，稱為 (_n_+ 1) 維球體。如果把球體的表面包括在內，則 (_n_+ 1) 維球體是封閉的，否則是開放的。

特別地：

* 1 維球體，是一個線段，是 0 維球面的內部。
* 2 維球體，是一個圓盤，是圓（1 維球面）的內部。
* 3 維球體，是一個普通的球體，是球面（2 維球面）的內部。
* 4 維球體，是 3 維球面的內部。

## _n_ 維球體的體積

 $(n-1)$ 維球面所包圍的體積（ **$n$ 維球體**的體積）由以下公式給出：

　
: $V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n} \over \Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}={C_{n}R^{n}}$ ,

其中 $\Gamma $ 是伽瑪函數。對於偶數 $n$ ， $\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)=\left({\frac {n}{2}}\right)!$ ；對於奇數 $n$ ， $\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {n!!}{2^{(n+1)/2}}}$ ，其中 $n!!$ 表示雙階乘。

由此可以推出，對於給定的 $n$ ，常數 $C_{n}$ 的值為：

　
: $C_{n}={\frac {\pi ^{k}}{k!}}$ （對於偶數 _n_=2_k_），

　
: $C_{n}=C_{2k+1}={\frac {2^{2k+1}k!\,\pi ^{k}}{(2k+1)!}}$ （對於奇數 _n_=2_k_+1）。

這個 (n-1) 維球面的表面積是：

　
: $S_{n-1}={\frac {dV_{n}}{dR}}={\frac {nV_{n}}{R}}={2\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n-1} \over \Gamma ({\frac {n}{2}})}={nC_{n}R^{n-1}}$

_n_ 維球面的表面積和體積之間有以下的關係：

　
: $V_{n}/S_{n-1}=R/n\,$

　
: $S_{n+1}/V_{n}=2\pi R\,$

從此可以推導出遞迴關係：

　
: $V_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}\,$

這些公式也可以直接從 _n_ 維球坐標系中的積分推出（Stewart 2006，p.881）。

### 例子

對於較小的 $n$ ，半徑為 $R$ 的 $n$ 維球體體積 $V_{n}$ 為如下：

　
:

但當 $n$ 趨於無窮大時， ${\frac {V_{n}}{R^{n}}}$ 趨於 0。

如果維度 _n_ 不限於整數，那麼 n 維球面的體積就是 _n_ 的連續函數，它的極大值位於 _n_ = 5.2569464...，體積為 5.277768...。當 _n_= 0 或 _n_= 12.76405... 時，體積為 1。

單位 _n_ 維球面的外切超正方體的邊長為 2，因此體積為 2n；當維度增加時，_n_ 維球面的體積與外切於它的超正方體的體積之比單調減少。

## 超球坐標系

我們可以定義 n 維空間內的坐標系統，與 3 維空間內的球坐標系類似，由徑向坐標 $\ r$ 和 $\ n-1$ 個角度坐標 $\ \phi _{1},\phi _{2},...,\phi _{n-1}$ 組成。如果 $\ x_{i}$ 是笛卡兒坐標系，那麼我們可以定義：

　
: $x_{1}=r\cos(\phi _{1})\,$

　
: $x_{2}=r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\,$

　
: $x_{3}=r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\,$

　
: $\cdots \,$

　
: $x_{n-1}=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\,$

　
: $x_{n}~~\,=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})\,$

從中可以推出逆轉換的公式：

　
: $\tan(\phi _{n-1})={\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}$

　
: $\tan(\phi _{n-2})={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}{x_{n-2}}}$

　
: $\cdots \,$

　
: $\tan(\phi _{1})={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}{x_{1}}}$

注意最後一個角 $\phi _{n-1}$ 的值域為 $2\pi $ ，而其它角的值域為 $\pi $ 。這個值域覆蓋了整個球面。

_n_ 維空間內的體積元素可以從轉換的雅可比行列式得出：

　
: $d_{\mathbb {R} ^{n}}V=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial (r,\phi _{j})}}\right|dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}$

　
: $=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\cdots d\phi _{n-1}$

以上 n 維球體的體積方程式可以通過積分來重新得出：

　
: $V_{n}=\int _{r=0}^{R}\int _{\phi _{1}=0}^{\pi }\cdots \int _{\phi _{n-2}=0}^{\pi }\int _{\phi _{n-1}=0}^{2\pi }d_{\mathbb {R} ^{n}}V.\,$

(_n_-1)–維球面的體積元素是 2 維球面的面積元素的推廣，由以下公式給出：

　
: $d_{S^{n-1}}V=\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}$

## 球極平面投影

就像三維空間中的二維球面可以通過球極平面投影映射到二維平面上一樣，一個 n 維球面也可以通過球極平面投影的 n 維形式映射到 n 維超平面。例如，半徑為 1 的二維球面上的點 $\ [x,y,z]$ 映射到 $\ xy$ 平面上的點 $\ [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right]$ 。也就是說：

　
: $\ [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].$

類似地，半徑為 1 的 n 維球面 $\mathbf {S} ^{n-1}$ 的球極平面投影映射到垂直於 $\ x_{n}$ 軸的 n-1 維超平面 $\mathbf {R} ^{n-1}$ ：

　
: $[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].$

## 參見

* 共形幾何
* 同調球面
* 球的同倫群
* 同倫球
* 雙曲群
* 超正方體
* 反演幾何
* 正交群
* 莫比烏斯轉換

## 參考文獻

* Flanders, Harley, Differential forms with applications to the physical sciences, New York: Dover Publications, 1989, ISBN 978-0-486-66169-8 .
* Moura, Eduarda; Henderson, David G., Experiencing geometry: on plane and sphere, Prentice Hall, 1996 [2008-09-13], ISBN978-0-13-373770-7, （原始內容存檔於 2008-07-04） （第 20 章：3-spheres and hyperbolic 3-spaces）
* Weeks, Jeffrey R., The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds, Marcel Dekker, 1985, ISBN 978-0-8247-7437-0 （第 14 章：The Hypersphere）
* Marsaglia, G. "Choosing a Point from the Surface of a Sphere." Ann. Math. Stat. 43, 645-646, 1972.
* Stewart, James, Calculus: Concepts and Contexts 3rd, Thomson/Brooks/Cole, 2006 .

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因。超球面. MathWorld.

科學空間：求 n 維球的體積 http://spaces.ac.cn/index.php/archives/3154/（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）