超現實數

在數學上，**超現實數系統**（英語：**Surreal Numbers**）是一種連續統，其中含有實數以及無窮量，即無窮大（小）量，其絕對值大（小）於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質，包括其全序關係「≤」以及通常的算術運算（加減乘除）；也因此，它們構成了有序域。在嚴格的集合論意義下，超現實數是可能出現的有序域中最大的；其他的有序域，如有理數域、實數域、有理函數域、列維 - 奇維塔域、上超實數域和超實數域等，全都是超現實數域的子域。超現實數域也包含可達到的、在集合論裡構造過的所有超限序數。

超現實數是由約翰・何頓・康威（John Horton Conway）所定義和構造的。這個名稱早在 1974 年便已由高德納（Donald Knuth）在他的書《研究之美》中就被引進了。《研究之美》是一部中短篇數學小說，而值得一提的是，這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裡，高德納造了「surreal number」一詞，用來指稱康威起初只叫做「number」（數）的這個新概念。康威樂於採用新的名稱，後來在他 1976 年的著作《論數字與博弈》（On Numbers and Games）中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。

## 概述

康威使用遞歸構造了超現實數，其中每個數都是兩個數集構成的序對，記為 $\{L|R\}$ 。這兩個集合要求 $L$ 里的每個元素都嚴格小於每個 $R$ 里的元素。不同的序對可能表達同樣的數字： $\{1|3\}=\left\{{\frac {3}{2}}|{\frac {5}{2}}\right\}=2$ 。

### 整數及二進分數

讓我們先來看幾個簡單的例子。

　
: $\{|\}=0$

　
: $\{0|\}=1$

　
: $\{1|\}=2$

　
: $\{|0\}=-1$

　
: $\{|-1\}=-2$

因此整數都是超現實數。（以上幾行是**定義**而非**等式**。）

　
: $\{0|1\}={\frac {1}{2}}$

　
: $\left\{0|{\frac {1}{2}}\right\}={\frac {1}{4}}$

　
: $\left\{{\frac {1}{2}}|1\right\}={\frac {3}{4}}$

至此我們可以通過超現實數定義二進分數（分母為 2 的冪次的分數）。

### 其他實數

為了定義更多的實數，我們可以將使用無限的左右集合： ${\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}$ ， $\pi =\{3,{\frac {25}{8}},{\frac {201}{64}},\ldots |4,{\frac {7}{2}},{\frac {13}{4}},{\frac {51}{16}},\ldots \}$ ，事實上可以同樣地使用二進位展開的方法定義出所有實數。

### 無窮數

根據歸納法，我們可以構造出 $\omega =\{0,1,2,3\ldots |\}$ ， $\omega -1=\{0,1,2,3\ldots |\omega \}$ 等無窮大的數， ${\frac {1}{\omega }}=\{0|1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}}\ldots \}$ 等無窮小數。以上超現實數皆不屬於實數。

### 更多的數

我們定義 $P_{0}={0}$ 。

若 $x=\{L|R\},\ L,R\subset P_{i}$ 且 $x\not \in P_{i}$ ，那麼 $x\in P_{i+1}$ ，這在直觀上等價於「 $x$ 是在第 $i$ 天中出生的」。

那麼我們可以觀察發現：

 * $1,-1\in P_{1}$
* $2,-2,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\in P_{2}$
* $\pi ,\omega ,{\frac {1}{3}}\in P_{\omega }$
* $\omega -1,\omega +1\in P_{\omega +1}$
* $\omega +\pi \in P_{2\omega }$ ，其中 $2\omega =\{0,1,2,\ldots ,\omega +1,\omega +2,\ldots |\}$
* $\forall i\in \mathbb {Ord} :i\in P_{i}$

我們將超現實數集合稱作 $\mathbb {No} $ 。

## 序關係

給定 $x=\{X_{L}|X_{R}\},\ y=\{Y_{L}|Y_{R}\}$ ，我們（遞歸地）定義 $x\leq y$ 若且唯若以下兩命題同時成立：

* 沒有一個 $x_{L}\in X_{L}$ 符合 $y\leq x_{L}$ ，
* 沒有一個 $y_{R}\in Y_{R}$ 符合 $y_{R}\leq x$ 。

那麼可以自然地定義 $x<y,x>y,x=y,x\geq y$ 。可以證明，這樣的二元關係是一個全序關係。

我們分別將 $x<0,x>0,x\leq 0,x\geq 0$ 稱為 $x$ 負、 $x$ 正、 $x$ 非正、 $x$ 非負。

我們定義 $x\|y$ 表示 $x\leq y$ 與 $y\leq x$ **同時不成立**。事實上這樣的二元關係在超現實數中不可能存在，但是這個關係會在之後的博弈章節出現。

## 運算

### 加法

我們定義超現實數之間的加法為 $x+y=\left\{X_{L}+y\cup x+Y_{L}|X_{R}+y\cup x+Y_{R}\right\}$ ，其中 $X+y=\left\{x+y|x\in X\right\},x+Y=\left\{x+y|y\in Y\right\}$ 。

#### 加法逆元

我們定義負號（加法逆元）為 $-x=\left\{-X_{R}|-X_{L}\right\}$ ，其中 $-X=\left\{-x|x\in X\right\}$ 。

可以驗證這兩個運算構成了（真類上的）阿貝爾群。

### 乘法

我們定義乘法運算為 $xy=\left\{(X_{L}y+xY_{L}-X_{L}Y_{L})\cup (X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R})|(X_{L}y+xY_{R}-X_{L}Y_{R})\cup (X_{R}y+xY_{L}-X_{R}Y_{L})\right\}$ ，其中 $XY=\{xy|x\in X,y\in Y\},\ xY=\{x\}Y,\ Xy=X\{y\}$ 。

#### 乘法逆元

我們定義（正數的）乘法逆元為 ${\frac {1}{y}}={\Bigg \{}0,{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{R}}},{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{L}}}{\Bigg |}{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{L}}},{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{R}}}{\Bigg \}}$ ，這樣除法就是 ${\frac {x}{y}}=x\left({\frac {1}{y}}\right)$ 。我們可以發現這個定義是遞歸的，但是實際上這個數字是良定義的：我們取 $y=3=\{2|\}$ 那麼 ${\frac {1}{3}}$ 會有一個 $0$ 作為左項，導致了 ${\frac {1+(2-3)0}{2}}=1/2$ 會是一個右項。這又意味著 ${\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{2}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}$ 作為左項、 ${\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{4}}\right)}{2}}={\frac {3}{8}}$ 作為右項，以此類推，所以我們有 ${\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}$ （考慮兩邊的序列在實數中分別收斂到 ${\frac {1}{3}}$ ，因此是相容的）。

對於負數，我們定義 ${\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{-x}}\quad (x<0)$ 。

## 子集對應

有理數、實數、序數分別是超現實數的子集。

### 有理數

所有二進分數都可以定義為超現實數，而所有分數都可以表示為兩個整數之比，因此所有有理數都可以表示為超現實數。

### 實數

在定義出了有理數之後，使用戴德金分割可以立刻將實數映射到超現實數中。

假設 $x\in \mathbb {R} ,x=A|A'$ ，其中 $A,A'\subset \mathbb {Q} $ ，那麼立刻可知存在 $X\in \mathbb {No} ,X=\left\{f(A)|f(B)\right\}$ 是 $x$ 的一個超現實數表示，其中 $f:\mathbb {Q} \to \mathbb {No} $ 是有理數到超現實數的域同態。

### 序數

我們將所有序數定義為小於它的序數構成的集合。所有序數的全體記為 $\mathbb {Ord} $ ，那麼我們有：

 * $f:\mathbb {Ord} \to \mathbb {No} ,\ f(X)=\left\{f(x),x\in X|\right\}$

這樣的同態可以保持序關係的結構，但是並不能保證算術的一一對應，比如 $\omega -1$ 這一式子的值在序數中的結果是 $\omega $ ，而在超現實數中則是 $\{0,1,2,\ldots |\omega \}$ .

## 博弈

如果去除超現實數定義中對所有 $L<R$ 的約定，那麼這樣（遞歸）定義出來的真類被稱做**遊戲**。對其仍然可以（一模一樣的）定義加法、加法逆元以及比較。

顯然，所有的超現實數都是遊戲，但並非所有遊戲都是超現實數，例如 $\star =\{0|0\}$ 就不是，其滿足 $\star \|0$ 。

可以發現，所有的遊戲都體現了一個兩人輪流、確定、公開的博弈遊戲，其中左集合表示第一位玩家（下稱**左玩家**）可以走到的局面，右集合則表示第二位玩家（下稱**右玩家**）的選擇，不能操作者負。

兩個遊戲的和的意義就是同時進行兩個遊戲，而每個玩家選擇其中一個進行操作，不能操作者負。

我們可以發現，這個遊戲的勝負取決於 $G$ 和 $0$ 的相對關係。

* 若 $G=0$ ，則後手必勝。
* 若 $G>0$ ，則左玩家必勝。
* 若 $G<0$ ，則右玩家必勝。
* 若 $G\|0$ ，則先手必勝（英語：fuzzy game）。

有以下這些特殊的遊戲：

 * $\star =\{0|0\}$
* $\uparrow =\{0|\star \},\ \downarrow =\{\star |0\}$
* $\pm 1=\{1|-1\}$

可以發現，關於他們有這麼幾個性質：

 * $\star \|0$
* $\forall i:-1\leq i\leq 1\implies \pm 1\|i$
* $\forall x\in \mathbb {No} ,x>0:-x<\downarrow <0<\uparrow <x$ （比所有超現實數更接近 0）
* $\star +\star =\uparrow +\downarrow =0$
* $(\uparrow +\star )\|0,\ \uparrow +\uparrow +\star >0$

可以用於分析複雜的遊戲。

## 暫譯術語

* 超現實數（Surreal）
* 無窮量（Infinitesimal）
* 格羅滕迪克宇集

## 注釋

## 來源