逆威沙特分佈

**逆威沙特分布**，也叫**反威沙特分布**作是統計學中出現的一類概率分布函數，定義在實值的正定矩陣上。在貝葉斯統計中，逆威沙特分布會用作多變量常態分布協方差矩陣的共軛先驗分布。
如果一個正定矩陣 ${\mathbf {B} }$ 的逆矩陣 $\mathbf {B} ^{-1}$ 遵從威沙特分布 $W({\mathbf {\Psi } }^{-1},m)$ 的話，那麼就說矩陣 ${\mathbf {B} }$ 遵從逆威沙特分布：

　
: $\mathbf {B} \sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } },m)$

## 概率密度函數

逆威沙特分布的概率密度函數是：

　
: ${\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{m/2}\left|\mathbf {B} \right|^{-(m+p+1)/2}e^{-\mathrm {trace} ({\mathbf {\Psi } }{\mathbf {B} }^{-1})/2}}{2^{mp/2}\Gamma _{p}(m/2)}},$

其中 ${\mathbf {B} }$ 和 ${\mathbf {\Psi } }$ 都是 $p\times p$ 的正定矩陣，而 Γp(・) 則是多變量伽馬分布。函數

　
: $\mathrm {trace} \;:\quad \mathbf {M} \quad \rightarrow \quad \mathrm {trace} (\mathbf {M} )$

指的是跡函數。

## 相關定理

### 威沙特分布矩陣之逆的概率分布

設矩陣 ${\mathbf {A} }\sim W({\mathbf {\Sigma } },m)$ 並且 ${\mathbf {\Sigma } }$ 是 $p\times p$ 的矩陣，那麼 ${\mathbf {B} }={\mathbf {A} }^{-1}$ 遵從逆威沙特分布： ${\mathbf {B} }\sim W^{-1}({\mathbf {\Sigma } }^{-1},m)$ 。它的概率密度函數是：

　
: $p(\mathbf {B} |\mathbf {\Psi } ,m)={\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{m/2}\left|\mathbf {B} \right|^{-(m+p+1)/2}\exp \left({-\mathrm {tr} ({\mathbf {\Psi } }{\mathbf {B} }^{-1})/2}\right)}{2^{mp/2}\Gamma _{p}(m/2)}}$

其中 $\mathbf {\Psi } =\mathbf {\Sigma } ^{-1}$ ，而 $\Gamma _{p}(\cdot )$ 是多變量伽馬分布。

### 威沙特分布矩陣之逆的邊際與條件分布

設矩陣 ${\mathbf {A} }\sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } },m)$ 遵從逆威沙特分布。並且假設矩陣 ${\mathbf {A} }$ 和 ${\mathbf {\Psi } }$ 都有相適合的分塊矩陣表示方式：

　
: ${\mathbf {A} }={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{bmatrix}},\;{\mathbf {\Psi } }={\begin{bmatrix}\mathbf {\Psi } _{11}&\mathbf {\Psi } _{12}\\\mathbf {\Psi } _{21}&\mathbf {\Psi } _{22}\end{bmatrix}}$

其中子矩陣 ${\mathbf {A} _{ij}}$ 和 ${\mathbf {\Psi } _{ij}}$ 是 $p_{i}\times p_{j}$ 的矩陣，那麼會有：

甲） ${\mathbf {A} _{11}}$ 和 ${\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}$ 與 ${\mathbf {A} }_{22\cdot 1}$ 相互獨立，其中 ${\mathbf {A} _{22\cdot 1}}={\mathbf {A} }_{22}-{\mathbf {A} }_{21}{\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}$ 是子矩陣 ${\mathbf {A} _{11}}$ 在 ${\mathbf {A} }$ 中的舒爾補。

乙） ${\mathbf {A} _{11}}\sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } _{11}},m-p_{2})$ ; 

丙） ${\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}|{\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\sim MN_{p_{1}\times p_{2}}({\mathbf {\Psi } }_{11}^{-1}{\mathbf {\Psi } }_{12},{\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\otimes {\mathbf {\Psi } }_{11}^{-1})$ ，其中 $MN_{p\times q}(\cdot ,\cdot )$ 是矩陣常態分布。

丁） ${\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } }_{22\cdot 1},m)$

### 共軛分布

假設要求先驗分布 ${p(\mathbf {\Sigma } )}$ 為逆威沙特分布 $W^{-1}({\mathbf {\Psi } },m)$ 的協方差矩陣 ${\mathbf {\Sigma } }$ 。如果觀測值 $\mathbf {X} =[\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}]$ 是從互相獨立的 p - 變量常態分布 $N(\mathbf {0} ,{\mathbf {\Sigma } })$ 的隨機變量得到的，那麼條件分布 ${p(\mathbf {\Sigma } |\mathbf {X} )}$ 遵從的是逆威沙特分布： $W^{-1}({\mathbf {A} }+{\mathbf {\Psi } },n+m)$ 。其中 ${\mathbf {A} }=\mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}$ 是樣本協方差矩陣的 $n$ 倍。

因此，逆威沙特矩陣是多變量常態分布的共軛先驗分布。

### 矩相關特性

期望值：

　
: $E(\mathbf {B} )={\frac {\mathbf {\Psi } }{m-p-1}}.$

矩陣 $\mathbf {B} $ 的每一個係數的方差：

　
: ${\mbox{var}}(b_{ij})={\frac {(m-p+1)\psi _{ij}^{2}+(m-p-1)\psi _{ii}\psi _{jj}}{(m-p)(m-p-1)^{2}(m-p-3)}}$

對角係數的方差是在上式中令 $i=j$ 得到，化簡後變成：

　
: ${\mbox{var}}(b_{ii})={\frac {2\psi _{ii}^{2}}{(m-p-1)^{2}(m-p-3)}}.$

## 相關分布

當變量數目減到一個的時候，逆威沙特分布會變成特例：逆伽馬分布。也就是說，當 $p=1$ 、 $\alpha =m/2$ 、 $\beta =\mathbf {\Psi } /2$ 以及 $x=\mathbf {B} $ 的時候，逆威沙特分布的概率密度函數是：

　
: $p(x|\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }\,x^{-\alpha -1}\exp(-\beta /x)}{\Gamma _{1}(\alpha )}}.$

 
這正是逆伽馬分布。其中 $\Gamma _{1}(\cdot )$ 是通常的伽馬函數。

 
而逆威沙特分布也有推廣，其中一個是正態逆威沙特分布。

## 參見

* 威沙特分布
* 矩陣常態分布

## 參考來源