辐角原理

在複分析中，**輻角原理**（Argument principle）或稱**柯西輻角原理**（Cauchy's argument principle）說如果 _f_(_z_) 是在某個圍道 _C_ 上以及內部一個亞純函數，且 _f_ 在 _C_ 上沒有零點或極點，則下列公式成立

　
: $\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi i(N-P)$

這裡 _N_ 與 _P_ 分別表示 _f_(_z_) 在圍道 _C_ 內部的零點與極點個數，每個零點計重數，極點計階數。定理的陳述假設圍道 _C_ 是簡單的，即沒有自交，以及它是逆時針方向定向的。

更一般地，假設 _C_ 是一條曲線，逆時針方向定向，在複平面中一個開集 Ω 中可縮為一點。對每個 _z_ ∈ Ω，令 _n_(_C_,_z_) 是 _C_ 繞點 _z_ 的卷繞數。則

　
: $\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=2\pi i\left(\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\right),$

這裡第一個求和對 _f_ 所有零點 _a_ 進行並計重數，第二個求和在 _f_ 的所有極點 _b_ 上進行。

## 證明

設 _z_N 是 _f_ 的一個零點。我們可將 _f_ 寫成 _f_(_z_) = (_z_ −
_z_N)k_g_(_z_) 這裡 _k_ 是零點的重數，從而 _g_(_z_N) ≠ 0。我們有

　
: $f'(z)=k(z-z_{N})^{k-1}g(z)+(z-z_{N})^{k}g'(z)\,\!$

以及

　
: ${f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{N}}+{g'(z) \over g(z)}.$

因 _g_(_z_N) ≠ 0，故 _g_′(_z_)/_g_(_z_) 在 _z_N 沒有奇點，從而在 _z_N 解析，這意味著 _f_′(_z_)/_f_(_z_) 在 _z_N 的留數是 _k_。

設 _z_P 是 _f_ 的一個極點。我們可寫成 _f_(_z_) = (_z_ −
_z_P)−_m__h_(_z_) 這裡 _m_ 是極點的階數，從而 _h_(_z_P) ≠ 0。我們有

　
: $f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!.$

以及

　
: ${f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}}+{h'(z) \over h(z)}$

因為 _h_(_z_P) ≠ 0，故 _h_′(_z_)/_h_(_z_) 在 _z_P 沒有奇點，從而在 _z_P 解析。我們發現 _f_′(_z_)/_f_(_z_) 在 _z_P 的留數是 −_m_。

將它們放在一起，_f_ 的每個 _k_ 重零點 _z_N 產生 _f_′(_z_)/_f_(_z_) 的一個留數為 _k_ 的單極點，而 _f_ 的每個 _m_ 階極點 _z_P 產生 _f_′(_z_)/_f_(_z_) 的一個留數為 −_m_ 的單極點（這裡一個單極點指一階極點）。另外，可以證明 _f_′(_z_)/_f_(_z_) 沒有其它極點，從而沒有其它留數。

由留數定理我們有關於 _C_ 的積分是 2πi 與這些留數之和的乘積。總之，每個零點 _z_N 的 _k_ 之和是計重數的零點個數，對極點類似，故我們得到了欲證之結論。

## 推論

假設 _C_ 是一個以原點為中心的閉圍道，通過考慮 _f_(_z_) 關於 0 的卷繞數可得出一些推論。我們看到 _f_′(_z_)/_f_(_z_) 在 _C_ 上的積分是 log _f_(_z_) 值的變化。因為 _C_ 是閉的我們只需考慮 $i$ arg _f_(_z_) 在 _C_ 上的變化，它將是 2π $i$ 的某個整數倍（但可能繞原點卷多圈）。但從輻角原理

　
: $\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi i(N-P)$

約去因子 2 $\pi i$ ，我們得到

　
: $N-P=I(C,0)\,\!$

這裡 _I_(_C_,0) 表示 _f_ 在 _C_ 上關於 0 的卷繞數。

一個推論是更廣泛的定理，在同樣的假設下，如果 _g_ 是 Ω 中一個解析函數，則

　
: ${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}g(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)g(a)-\sum _{b}n(C,b)g(b).$

例如，如果 _f_ 是以一個簡單圍道 _C_ 內部 _z_1, ..., _z_p 為零點的多項式，以及 _g_(_z_) = _z_k，則

　
: ${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+\dots +z_{p}^{k},$

是 _f_ 的根的次方和對稱多項式。

另一個推論是如果我們計算復積分：

　
: $\oint _{C}f(z){g'(z) \over g(z)}\,dz,$

對一個合適的 _f_，我們有阿貝爾 - 普蘭納公式：

　
: $\sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt,$

這給出了一個離散和式與它的積分之間的關係。

## 歷史

按照弗蘭克・史密西斯一書（_Cauchy and the Creation of Complex Function Theory_, Cambridge University Press, 1997）的說法，在奧古斯丁・路易・柯西從法國到都靈（當時皮德蒙特 - 薩丁尼亞王國的首都）的自我放逐途中，柯西於 1831 年 11 月 2 日提出了和上面類似的一個定理（見 177 頁）。但是根據此書，只提到了零點，沒有極點。柯西的這個定理在許多年後的 1974 年才以手寫本發表，故很難閱讀。柯西逝世兩年前的 1855 年發表的一篇論文中，零點與極點都討論了。定理 1 只涉及了零點。柯西 1855 年論文中的定理 2 說「一個單復變量函數 _Z_ 的對數計量（_compteurs logarithmiques_，相當於現代教材中的對數留數）等於 Z 與 1/Z 根的個數之差（相當於現代教材中的函數 _Z_ 的零點與極點）。從而現代「輻角原理」可在 1855 年柯西論文中作為一個定理發現。

### 應用

反饋控制理論的現代書籍中頻繁用到輻角原理，將其作為奈奎斯特穩定性判據的理論基礎。哈里・奈奎斯特 1932 年原理的論文（H. Nyquist, "Regeneration theory", Bell System Technical Journal, vol. 11, pp. 126-147, 1932）用一種相當笨拙與原始的方法得出奈奎斯特穩定性判據。在這篇論文中，奈奎斯特完全沒有提到柯西的名字。後來，Leroy MacColl (Fundamental theory of servomechanisms, 1945) 與 Hendrik Bode (Network analysis and feedback amplifier design, 1945) 都從輻角原理得到了奈奎斯特穩定性判據。MacColl (Bell Laboratories) 將輻角原理稱為柯西定理。這樣輻角原理在純粹數學與控制工程學中都有重大影響。現在，輻角原理可在複分析或控制工程學的現代教材中都可以找到。

## 參考文獻

* Ahlfors, Lars. Complex Analysis. McGraw Hill. 1979.

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Argument Principle. MathWorld.
* Module for the Argument Principle by John H. Mathews
* An Illustration of the Argument Principle （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Keith Schneider, The Wolfram Demonstrations Project.

## 相關條目

* 儒歇定理
* 路徑積分
* 奈奎斯特穩定性判據
* 奧古斯丁・路易・柯西