造鏡者公式

本條目介紹的是光學設備，其他領域的透鏡不在此處討論。

**透鏡**（英語：**Lens**）是一種將光線聚合或分散的設備，通常是由一片玻璃構成，但用於其他電磁輻射的類似設備通常也稱為透鏡，例如：由石蠟製成的微波透鏡，用玻璃、樹脂或水晶等透明材料製成的放大鏡、眼鏡等，也都是**透鏡**。

透鏡有兩類，中間厚邊緣薄的叫凸透鏡，中間薄邊緣厚的叫凹透鏡，比球面半徑小許多的透鏡叫薄透鏡，薄透鏡的幾何中心叫透鏡的鏡心。

透鏡並不一定是固定形狀，使用滿足要求的材料來製作可以改變形狀的透鏡可以提高清晰度，景深，不過通過使用鏡頭組也能達到相同的效果，就如澳大利亞攝影師吉姆・弗雷澤 (Jim Frazier) 做的那樣，這樣做是等效的。如果你有適合形狀的殼來封存潔淨的可增減的水，那就能做到。

## 歷史

歐洲有關透鏡的文字記載，最早出現在古希臘，在阿里斯托芬的戲劇雲彩（紀元前 424 年）中就提到了燒玻璃（一種凸透鏡，可以匯聚太陽光來點火）；以《自然史》（_Naturalis Historia_）一書留名後世的古羅馬作家、科學家，老普林尼 (23 年–79 年) 的文字敘述中也表示羅馬帝國知道燒玻璃，並且提及矯正透鏡第一個可能的用途：說是尼祿用於觀看格鬥比賽使用的綠寶石。（雖然可供參考的資料並不明確，但推測是改正近視的凹透鏡。）他與小普林尼和塞內卡 (前 3 年–65 年) 都描述充滿了水的玻璃球有放大的功能。阿拉伯的數學家 Ibn Sahl（c.940 年–c.1000 年）使用現在所知的史奈爾定律計算透鏡的形狀；Ibn al-Haitham（965 年–1038 年）撰寫了第一篇光學的論文，描述透鏡如何在人眼睛的視網膜上成像。最古老的人工製品是在美索不達米亞的尼尼微被挖掘出來的石英透鏡，大約出現在紀元前 640 年。

最近在維京人的港口小鎮 Fröjel，現在瑞典的哥特蘭，進行的挖掘工作，顯示在 11 到 12 世紀已經能夠製造水晶透鏡，而且檢視其品質可以與 50 年代的消球差透鏡相比較，維京透鏡可以聚集太陽光點燃火種。

眼鏡大約在 1280 年的義大利被發明，之後透鏡才被普遍的利用。尼古拉斯・庫沙則被認為是第一位將凹透鏡用於治療近視的人，時間則是 1451 年。

恩斯特・阿貝（1860 年）提出的阿貝正弦條件，描述了透鏡或其他光學系統要能在離開光軸的區域上產生如同在光軸上一樣清晰的影像所必須要的條件。他改革了光學儀器，例如顯微鏡的設計，並且幫助創立了卡爾・蔡斯公司，不僅成為光學儀器的供應商，還主導了光學儀器的研究與發展。

## 透鏡結構

### 球面透鏡和非球面透鏡

球面透鏡的「球面的曲率」是恆定的，也就是透鏡前面和後面的表面都分別是球形表面的一部份。每個表面可以是凸面（從透鏡向外凸起）、凹面（凹陷進入透鏡）或是「平面」（平坦的）。透鏡前後表面的球面中心點的連線稱為透鏡的**光軸**，幾乎在所有的狀況下，透鏡的光軸會通過透鏡的物理學上的中心。

非球面透鏡的曲率半徑隨著中心軸而變化，具有更佳的曲率半徑，可以維持良好的像差修正。

### 凸透鏡和凹透鏡

透鏡是依據兩個光學表面的曲度來分類，**雙凸透鏡**（或是**凸透鏡**）的兩面都是突起的，換言之，一個透鏡的兩面都是凹陷的稱為**雙凹透鏡**（**凹透鏡**）。如果有一個表面是平坦的，這個透鏡稱為**平凸透鏡**或**平凹透鏡**，要由另一個表面的曲度來決定。透鏡的一個表面凸起，另一個表面凹陷，稱為**凸凹透鏡**，**新月透鏡**。（通常，_新月透鏡_泛指所有形式的凸凹透鏡。）

通過透鏡兩個面中心的直線叫透鏡的主光軸，簡稱主軸或光軸；透鏡的中心稱為光心。

如果透鏡是雙凸透鏡或平凸透鏡，一束被校準或是平行的光柱，以平行於光軸的方向前進穿過鏡身後將會透鏡後方匯聚（或是聚焦）在軸上的一個點，這個點稱為焦點，與透鏡的距離稱為焦距。在這種情況下，透鏡稱為「正透鏡」、「凸透鏡」或「匯聚透鏡」。由於凸透鏡能匯聚光線，它可用於生火。另外，許多設備中裝有凸透鏡，來形成物體放大的像。

如果透鏡是雙凹透鏡或平凹透鏡，一束被校準或是平行的光柱，以平行於光軸的方向前進穿過鏡身後將會透鏡後方擴散（或是發散）。在這種情況下，透鏡稱為「負透鏡」、「凹透鏡」或「發散透鏡」。通過後發散的光線看起來像是從透鏡前方光軸上的一個點發射出去的，這個點稱為焦點，與透鏡的距離稱為焦距。與正透鏡相反，其焦距是負值。由於凹透鏡能發散光線，其成像較小、視野較廣，常用於製作近視眼鏡。

如果透鏡是凸凹透鏡，那麼是匯聚或發散透鏡就要看這兩個曲面表面的相對曲率來決定了。如果兩者相等（新月透鏡），則通過的光柱既不匯聚也不發散。

### 製鏡者方程式

對任何一個特殊的透鏡，焦長可以經由**製鏡者方程式**（英語：Lensmaker's equation）計算而得：

　
: ${\frac {1}{f}}=\left({\frac {n}{n_{m}}}-1\right)\left[{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {(n-1)d}{nR_{1}R_{2}}}\right],$

此處

　
: $f$ 是透鏡的焦距。

　
: $n$ 是透鏡材料的折射率。

　
: $n_{m}$ 是包圍在透鏡材料四周物質的折射率。

　
: $R_{1}$ 是透鏡靠近光源這一側表面的曲率半徑。

　
: $R_{2}$ 是透鏡遠離這一側表面的曲率半徑。

　
: $d$ 是透鏡的厚度（沿著光軸上，透鏡兩個面之間的距離）

#### 曲率半徑 _R_1 和 _R_2 的符號 (正負值)

透鏡曲率半徑的符號是由透鏡表面是匯聚或發散來決定的，這個符號用來表示變化的方式，但是在這篇文章中，_R_1 是正值，表示第一個面是凸面，而如果 _R_1 是負值，這個面就是凹面。但在透鏡後方的意義就相反了：如果 _R_2 是正值，這個面是凹面，而如果 _R_2 是負值，這個面是凸面。如果半徑是無限大，這表示是一個平面。

#### 薄透鏡方程式

如果厚度 _d_ 與曲率半徑 _R_1 和 _R_2 比較是很小的數值，這個透鏡稱為_薄透鏡_，而焦長 _f_ 的估計值可以下面近似的公式計算得到：

　
: ${\frac {1}{f}}=\left({\frac {n}{n_{m}}}-1\right)\left[{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right].$

焦長 _f_ 是正值，透鏡是匯聚透鏡；是負值，透鏡是發散透鏡；無限大，則是新月透鏡。焦長的倒數 1/_f_ 被稱為透鏡的_度數_，因此新月透鏡的度數為 0 度，透鏡的度是以_屈光度_來測量，它的單位是 (m−1).

當光線由後方向前方行進時，透鏡與光線由前方射入時有相同的焦長。當光線由前方進入透鏡時，還有一些其他的特質，例如像差，則不一定會與光線由後方進入時相同。

## 成像特點

物體到透鏡光心的距離稱為物距，而物體經透鏡所成的像到透鏡光心的距離稱為像距。則凸透鏡與凹透鏡的成像滿足以下公式： ${\frac {1}{u}}+{\frac {1}{v}}={\frac {1}{f}}$ ，其中 $u$ 為物距， $v$ 為像距， $f$ 為焦距。凸透鏡的成像、虛物對凹透鏡的成像具體規律如下表，其中若未特別說明，則凸透鏡所成像均為實像，凹透鏡所成像均為虛像：

物體所成像的移動方向總是與物體移動方向相同，而二者的相對速度則與相對大小有關。實物在鏡前對凹透鏡所成的像一律滿足 $v<f$ ，成縮小正立的虛像，近視眼鏡便是用到此原理。

## 光心

理論上，當光線穿過光心（optical center），應該會出現偏差（deviation）。
除了球面透鏡，凸透鏡、凹透鏡、平凸透鏡、平凹透鏡、凸凹透鏡的弧面都是由拋物面組成的，加上由於透鏡通常是很薄的，在一定角度，光線穿過中心不會出現看得見的偏差（visible deviation）。

在製造透鏡的時候，弧面是經過設計的，在一定角度，光線穿過中心時，投射線與折射線會儘量變成平行。而由於透鏡通常是很薄的，令近乎平行的投射線與折射線像一條直線一樣。

## 實際應用

* 凹透鏡 (concave lens)：近視眼鏡
* 凸透鏡 (convex lens)：放大鏡、幻燈機、魚眼鏡頭、遠視眼鏡、老花眼鏡

另外，相機鏡頭、顯微鏡、光學望遠鏡等也會用到多組透鏡。

* 中繼透鏡 (relay lens): 通常有兩組鏡片，安裝在鏡筒中組成，鏡片可以是普通球面透鏡，也可以是非球面透鏡。雖然名稱叫做中繼透鏡，但它並不是透鏡。兩組鏡片，至少有兩個配對透鏡或兩個配對透鏡組構成。

很多光學系統（比如望遠鏡）中需要轉向系統，轉向系統可分為稜鏡式和透鏡式。中繼透鏡就是一種透鏡式轉向系統，通常可以選擇由兩組雙膠合球面透鏡組成。

## 參考資料

## 外部連結

* （繁體中文）國立虎尾科技大學 - 幾何光學講義
* （繁體中文）高瞻自然科學教學資源平台 - 笛卡兒公式、造鏡者公式 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）