逆小波轉換

**逆小波轉換**(inverse wavelet transform) 為小波轉換的反函數，小波轉換大致分為三類

1. 連續小波轉換
2. 離散變數連續小波轉換
3. 離散小波轉換

分別介紹此三種的反函數

## 連續小波轉換反函數

已知

$$
X_{w}(a,b)={\frac {1}{\sqrt {|(b)|}}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\psi ({\frac {t-a}{b}})\,dt
$$

則逆轉換為

$$
x(t)={\frac {1}{C}}_{\psi }\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{b^{5/2}}}X_{w}(a,b)\psi ({\frac {t-a}{b}})\,dadb
$$

其中

$$
C_{\psi }=\int _{0}^{\infty }{\frac {|{\boldsymbol {\psi }}(f)|^{2}}{|f|}}df<\infty
$$

證明:

由於 $X_{w}(a,b)=x(t)*{\frac {1}{\sqrt[{}]{b}}}\psi ({\frac {-t}{b}})$

假設 $y(t)={\frac {1}{C}}_{\psi }\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{b^{5/2}}}X_{w}(a,b)\psi ({\frac {t-a}{b}})\,dadb$

則 $y(t)={\frac {1}{C}}_{\psi }\int _{0}^{\infty }x(t)*\psi ({\frac {-t}{b}})*\psi ({\frac {t}{b}}){\frac {db}{b^{3}}}$

經過傅立葉轉換，原本的摺積性質變為相乘

$$
Y(f)={\frac {1}{C}}_{\psi }\int _{0}^{\infty }X(f){\boldsymbol {\psi }}(-bf){\boldsymbol {\psi }}(bf){\frac {db}{b}}
$$

如果母小波為實函數，則其傅立葉轉換有以下性質

$$
{\boldsymbol {\psi }}(-f)={\boldsymbol {\psi }}^{*}(f),{\boldsymbol {\psi }}(-bf){\boldsymbol {\psi }}(bf)={\boldsymbol {\psi }}^{*}(f){\boldsymbol {\psi }}(bf)=|{\boldsymbol {\psi }}(bf)|^{2}
$$

$$
Y(f)=X(f){\frac {1}{C}}_{\psi }\int _{0}^{\infty }|{\boldsymbol {\psi }}(bf)|^{2}{\frac {db}{b}}
$$

 $=X(f){\frac {1}{C}}_{\psi }\int _{0}^{\infty }|{\boldsymbol {\psi }}(f_{1})|^{2}{\frac {df_{1}}{bf}}$ (使用變數代換 $f_{1}=bf$ )

$$
=X(f){\frac {1}{C}}_{\psi }\int _{0}^{\infty }|{\boldsymbol {\psi }}(f_{1})|^{2}{\frac {df_{1}}{bf_{1}}}
$$

$$
=X(f)
$$

得證 $y(t)=x(t)$

## 離散變數連續小波轉換反函數

$$
x(t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }2^{m/2}\psi _{1}(2^{m}-n)X_{w}(n,m)
$$

 $\psi _{1}(t)$ 為 $\psi (t)$ 的雙效函數 (dual function)，滿足以下正交 (orthogonal) 特性

$$
\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }2^{m}\psi _{1}(2^{m}-n)\psi (2^{m}t_{1}-n)=\delta (t-t_{1})
$$

或是

$$
\int _{-\infty }^{\infty }2^{m}\psi _{1}(2^{m_{1}}t-n_{1})\psi (2^{m}t-n)\,dt=\delta (m-m_{1})\delta (n-n_{1})
$$

通常會設計成 $\psi _{1}(t)=\psi (t)$

因此離散變數連續小波轉換能進行逆轉換的條件為:

$$
\int _{-\infty }^{\infty }2^{m}\psi (2^{m_{1}}t-n_{1})\psi (2^{m}t-n)\,dt=\delta (m-m_{1})\delta (n-n_{1})
$$

## 離散小波轉換反函數

在這裡解釋的是如何重建 (reconstruction) 一個經過離散小波轉換的函數

以進行一階離散小波轉換，升降頻倍率為 2 為例，可以得到右圖的架構

$$
g_{1}[n],h_{1}[n]$ 需要滿足一些條件才能使 $x[n]=x_{0}[n]
$$

將此流程進行 Z 轉換及化簡可得到:

$$
X_{0}(z)={\frac {1}{2}}[G(z)G_{1}(z)+H(z)H_{1}(z)]X(z)+{\frac {1}{2}}[G(-z)G_{1}(z)+H(-z)H_{1}(z)]X(-z)
$$

因此為了得到 $X_{0}(z)=X(z)$ ，須滿足以下二條件

 1. $G(z)G_{1}(z)+H(z)H_{1}(z)=2$
2. $G(-z)G_{1}(z)+H(-z)H_{1}(z)=0$

可轉換為 ${\begin{bmatrix}G(z)&H(z)\\G(-z)&H(-z)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}G_{1}(z)\\H_{1}(z)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}}$

化簡得到 ${\begin{bmatrix}G_{1}(z)\\H_{1}(z)\end{bmatrix}}={\frac {2}{det(H_{m}(z))}}{\begin{bmatrix}H(-z)\\-G(-z)\end{bmatrix}}$ 其中 $det(H_{m}(z))=G(z)H(-z)-H(z)G(-z)$

要滿足上式須滿足以下四個條件，此四條件及上式的關係為若且唯若

 1. $\sum _{p}g[p]g_{1}[2n-p]=\delta [n]$
2. $\sum _{p}h[p]h_{1}[2n-p]=\delta [n]$
3. $\sum _{p}g[p]h_{1}[2n-p]=0$
4. $\sum _{p}g_{1}[p]h[2n-p]=0$

證明於參考條目中
因此只要 $g_{1}[n],h_{1}[n]$ 符合上述條件就能將經過離散小波轉換的 $x_{1,L}[n],x_{1,H}[n]$ 重建為 x [n]

## 相關條目

* 數值分析
* 訊號處理

## 參考

1. Jian-Jiun Ding (2014) Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）