超越数

在數論中，**超越數**（transcendental number）是指任何一個不是代數數的無理數。只要它不是任何一個有理係數代數方程的根，它即是超越數。最著名的超越數是 e 以及 π。

幾乎所有的實數和複數都是超越數，這是因為代數數的集合是可數集，而實數和複數的集合是不可數集之故。

## 定義

超越數是代數數的相反，也即是說若 $x$ 是一個超越數，那麼對於任何整數 $a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{0}$ 都符合：

　
: $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\neq 0$

（其中 $a_{n}\neq 0$ ）

## 例子

超越數的例子包括：

* 錢珀瑙恩數
* 劉維爾數： $\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\ldots $ 
它是第一個確認為超越數的數，是於 1844 年劉維爾發現的。
* ${\boldsymbol {e}}$ （參見：e）。
* ${\boldsymbol {e}}^{a}$ ，其中 $a$ 是除 0 以外的代數數。
* ${\boldsymbol {\pi }}$ （參見：圓周率） 
林德曼 - 魏爾斯特拉斯定理，1882 年，註：因 $\pi \,$ 是超越數而證明尺規作圖中的「化圓為方」的不可實現性。
* ${\boldsymbol {e^{\pi }}}$ （參見：e 的 π 次方）
* $2^{\sqrt {2}}$ （參見：2 的√2 次方）。 
更一般地，若 $a\,$ 為零和一以外的任何代數數及 $b\,$ 為無理代數數則 $a^{b}\,$ 必為超越數。這就是格爾豐德 - 施奈德定理。
* $\sin 1\,$ （參見：正弦）
* $\ln a\,$ （參見：自然對數），其中 $a\,$ 為一不等於 1 的正有理數。
* $\mathbf {W} (a)\,$ （參見：朗伯 W 函數），其中 $a\,$ 為一正有理數。
* $\Gamma ({\frac {1}{3}})\,$ $\left(\approx 2.67894\right)\,$ ， $\Gamma ({\frac {1}{4}})\,$ $\left(\approx 3.62561\right)\,$ 及 $\Gamma ({\frac {1}{6}})\,$ $\left(\approx 5.56632\right)\,$ （參見伽傌函數）。

所有超越數構成的集是一個不可數集，也就是說，幾乎所有的實數和複數都是超越數；儘管如此，現今發現的超越數極少，甚至連 $\pi +e\,$ 是不是超越數也不知道，因為要證明一個數是超越數或代數數是十分困難的。

超越數的證明，給數學帶來了大的變革，解決了幾千年來數學上的難題 —— 尺規作圖三大問題，即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。隨著超越數的發現，這三大問題被證明為不可能。

## 可能的超越數

以下數仍待證明為超越數或代數數：

* 數 _e_ 和 $\pi $ 的大多數和、積、冪等等，例如 $\pi +e$ , $\pi -e$ , $\pi e$ , ${\frac {\pi }{e}}$ , $\pi ^{\pi }$ , $e^{e}$ , $\pi ^{e}$ , $\pi ^{\sqrt {2}}$ , $\pi ^{\pi ^{2}}$ 尚未得知是有理數、代數無理數或超越數。值得注意的例外是 $\pi +e^{\pi }$ , $\pi e^{\pi }$ 和 $e^{\pi {\sqrt {n}}}$ （對於所有正整數 $n$ ）已被證明是超越數
* 歐拉 - 馬歇羅尼常數 $\gamma $ ，尚未被證明是無理數
* 卡塔蘭常數，未被證明是無理數
* 阿培里常數 $\zeta (3)$ ，是無理數
* 黎曼 ζ 函數在其他奇整數的取值， $\zeta (5),\zeta (7),\ldots $ （尚未被證明是無理數）
* 費根鮑姆常數， $\delta $ 與 $\alpha $ ，皆未證明是否為無理數
* 米爾斯常數，未證明是否為無理數
* 辛欽常數，未證明是否為無理數
* 科普蘭 - 埃爾德什常數，是無理數

猜想：

* Schanuel 猜想
* 四指數猜想

## 簡要地證明 $e$ 是超越數

第一個對自然對數底 _e_ 是超越數的證明可以追溯到 1873 年。我們現在跟隨的是大衛・希爾伯特的策略。他給出了夏爾・埃爾米特的原始證明的簡化。思路如下所示：

為尋找矛盾，假設 $e$ 是代數數。那就存在一個有限的整係數集 $c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}$ 滿足下列等式：

　
: $c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0.$

現在對於一個正整數 $k$ ，我們定義如下的多項式：

　
: $f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},$

並在上述等式的兩端乘上

　
: $\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx,$

於是我們得到等式：

　
: $c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)=0.$

該等式可以寫成這種形式

　
: $P+Q=0$

其中

　
: $P=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)$

　
: $Q=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right)$

 **引理 1.** 對於恰當選擇的的 $k$ ， ${\frac {P}{k!}}$ 是非零整數。

> **證明：** _P_ 的每一項都是整數乘以階乘的和，這可以從以下的關係式得出
> 
> 　
> : $\int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!$
> 
> 對於任何正整數 _j_ 成立（考慮 Γ 函數）。
> 
> 它是非零的，因為對於每一個滿足 0< _a_ ≤ _n_ 的 _a_ ，
> 
> 　
> : $c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx$
> 
> 中的被積函數均為 _e−x_ 乘以一些項的和，在積分中用 _x_ - _a_ 替換 _x_ 後， _x_ 的最低冪次是 _k_+1 。然後這就變成了具有以下形式的積分的和
> 
> 　
> : $\int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx$
> 
> 其中 _k_+1 ≤ _j_ ，而且它是一個能被 (_k_+1)! 整除的整數。在除以 _k!_ 後，我們得到模 (_k_+1) 得 0 的數。不過，我們可以寫成：
> 
> 　
> : $\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left([(-1)^{n}(n!)]^{k+1}e^{-x}x^{k}+\cdots \right)dx$
> 
> 於是
> 
> 　
> : ${\frac {1}{k!}}c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1}\qquad \mod (k+1).$
> 
> 通過選擇 _k_ ，使得 _k_+1 是大於 _n_ 與 |_c_0| 的質數，我們可以得出 ${\tfrac {P}{k!}}$ 模 (_k_+1) 為非零，從而該數為非零整數。
> 
> 

**引理 2.** 對於充分大的 _k_ ， $\left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1$ 。

>  **證明：** 注意到
> 
> 　
> : $f_{k}e^{-x}=x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}=\left([x(x-1)\cdots (x-n)]^{k}\right)\left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)$
> 
> 使用 $|x(x-1)\cdots (x-n)|$ 和 $|(x-1)\cdots (x-n)e^{-x}|$ 在區間 [0,_n_] 的上限 G 和 H ，我們可以推出
> 
> 　
> : $|Q|<G^{k}H(|c_{1}|e+2|c_{2}|e^{2}+\cdots +n|c_{n}|e^{n})$
> 
> 從而
> 
> 　
> : $\lim _{k\to \infty }{\frac {G^{k}}{k!}}=0$
> 
> 於是有
> 
> 　
> : $\lim _{k\to \infty }{\frac {Q}{k!}}=0$
> 
> 這點足以完成對引理的證明。
> 
> 

注意可以選擇滿足兩個引理的 $k$ ，從而我們能得出矛盾。進而得以證明 $e$ 的超越性。

## 馬勒的分類

庫爾特・馬勒在 1932 年把超越數分為 3 類，分別叫做 **S 數**、**T 數**和 **U 數**。這些類別的定義利用了劉維爾數思想的擴充。

### 實數的無理性度量

一種定義劉維爾數的方式是考慮對於給定的實數 $x$ ，可以使得一次多項式 $\vert qx-p\vert $ 盡可能小但不精確地等於 0 。這裡的 $p$ , $q$ 是滿足 $\vert p\vert $ , $\vert q\vert $ 以正整數 $H$ 為界的整數。

令 $m(x,1,H)$ 為這些多項式所取的最小非零絕對值，並且令：

　
: $\omega (x,1,H)=-{\frac {\log m(x,1,H)}{\log H}}$

　
: $\omega (x,1)=\limsup _{H\to \infty }\omega (x,1,H).$

 $\omega (x,1)$ 常稱為實數 $x$ 的**無理性度量**（**measure of irrationality**）。對於有理數 $\omega (x,1)=0$ ，而且對無理數其值至少為 1 。劉維爾數可以定義為具有無窮大的無理性度量的數。Thue–Siegel–Roth 定理表明了實代數無理數的無理性度量均為 1 。

### 複數的超越性度量

接下來考慮多項式對於複數 $x$ 的取值，這些多項式係數為整數，次數至多為 $n$ ，而且高至多為 $H$ ，此處的 $n$ , $H$ 是正整數。

令 $m(x,n,H)$ 為以 $x$ 為變量的上述多項式所取的最小非零值，並且令：

　
: $\omega (x,n,H)=-{\frac {\log m(x,n,H)}{n\log H}}$

　
: $\omega (x,n)=\limsup _{H\to \infty }\omega (x,n,H).$

假如對於盡可能小的正整數 $n$ ， $\omega (x,n)$ 為無窮大，則這種情況下複數 $x$ 稱為 $n$ 次的 **U 數**。

現在我們可以定義

　
: $\omega (x)=\limsup _{n\to \infty }\omega (x,n).$

 $\omega (x)$ 常稱為 $x$ 的**超越性度量**（**measure of transcendence**）。假如 $\omega (x,n)$ 有界，則 $\omega (x)$ 有限， $x$ 稱為 **S 數**。如果 $\omega (x,n)$ 有限而無界，則 $x$ 稱為 **T 數**。 $x$ 為代數數當且僅當 $\omega (x)=0$ 。

顯然劉維爾數是 U 數的子集。威廉・勒維克在 1953 年構造了任意次數的 U 數。劉維爾數是不可數集，從而 U 數也是。它們的測度為 0 。

T 數組成的集合測度亦為 0 。人們花了 35 年時間證明它們存在。沃爾夫岡・M・施密特在 1968 年證明了 T 數的樣例存在。由是可知幾乎所有複數都是 S 數。馬勒證明了當 $x$ 為任意非零代數數時 $e^{x}$ 均為 S 數：這點揭示了 $e$ 是 S 數且給出了 $\pi $ 的超越性證明。對於 $\pi $ 我們至多知道它不是 U 數。其他更多的超越數仍未歸類。

兩個數 $x$ , $y$ 稱為**代數相關**，當存在 2 個變量的整係數非零多項式 $P$ 滿足 $P(x,y)=0$ 。一個有力的定理指出，屬於相同馬勒分類的 2 個複數是代數相關的。這允許我們構造新形式的超越數，例如劉維爾數與 $e$ 或 $\pi $ 的和。

通常推測 S 代表馬勒的老師卡爾・西格爾（Carl Ludwig **S**iegel），而 T 和 U 是接下來的兩個字母。

### Koksma 的等價分類

Jurjen Koksma 在 1939 年提出了基於代數數逼近的另一種分類。

考慮用次數 $\leq n$ 且高 $\leq H$ 的代數數逼近複數 $x$ 。令 $\alpha $ 為該有限集中滿足 $\vert x-\alpha \vert $ 取最小正值得代數數。定義 $\omega ^{*}(x,H,n)$ 和 $\omega ^{*}(x,n)$ 如下：

　
: $|x-\alpha |=H^{-n\omega ^{*}(x,H,n)-1}.$

　
: $\omega ^{*}(x,n)=\limsup _{H\to \infty }\omega ^{*}(x,n,H).$

若對於最小的正整數 $n$ ， $\omega ^{*}(x,n)$ 為無窮大，則稱 $x$ 為 $n$ 次的 **U\* 數**。

若 $\omega ^{*}(x,n)$ 有界且不收斂到 0 ，則則稱 $x$ 為 **S\* 數**，

一個數 $x$ 被稱為 **A\* 數** ，當 $\omega ^{*}(x,n)$ 收斂到 0 。

若所有的 $\omega ^{*}(x,n)$ 均為有限但無界，則稱 _x_ 為 **T\* 數**，

Koksma 和馬勒的分類是等價的，因為它們將超越數以同樣的方式分類。_A\* 數_就是代數數。

### 勒維克的構造

令

　
: $\lambda ={\tfrac {1}{3}}+\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}$

可以證明 $\lambda $ （劉維爾數）的 $n$ 次方根是 $n$ 次的 U 數。

此構造可以改進以建立 $n$ 次 U 數的不可數個系列。令 $Z$ 為上述 $\lambda $ 的級數中 10 的冪次的集合。 $Z$ 所有子集的集合是不可數的。在表示 $\lambda $ 的級數中刪去任意一個 $Z$ 的子集，將產生不可數個顯然的劉維爾數，它們每一個的 $n$ 次方根都是次數為 $n$ 的 U 數。

### 類型

數列 $\{\omega (x,n)\}$ 的上界稱為**類型**（**type**）。幾乎所有實數都是類型為 1 的 S 數，此類型數在實 S 數中是最小的。幾乎所有複數都是類型為 1/2 的 S 數，此類型數在複 S 數中同樣是最小的。以上判斷對於幾乎所有數成立的猜想由馬勒提出，於 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 證明。

## 參考文獻

## 參見

* 多項式
* 無理數
* 代數數
* 林德曼 - 魏爾斯特拉斯定理